Escoamento em leitos porosos

Equao de Ergun

Lei de Darcy Porosidade, Dimetro equivalente

Leitos fixos e fluidizados

Equao de Blake-Kozeny Equao de Burke-Plummer

TA 631 OPERAES UNITRIAS I

Aula 20: 01/06/2012

1

1. Lei de DarcyHenry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade mdia (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso proporcional ao gradiente de presso e inversamente proporcional distncia percorrida.

LPKv leitof

)( =

v = velocidade mdia do fluido no leito poroso K = constante que depende das propriedades

do fludo e do leito poroso(-P) = queda de presso atravs do leitoL = percurso realizado no leito poroso 2

3LPBv

fleitof

)( =

A equao de Darcy tambm pode ser escrita da seguinte maneira:

B = coeficiente de permeabilidade, que depende apenas das propriedades fsicas do leito poroso

f = viscosidade do fludo.

2. Equao de PoiseuilleExplica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo.

232D

v

LP

=

LPD

v

)(32

2 =Colocando a equao em termos da

velocidade mdia do fluido no tubo:

Onde:p a o gradiente de presso (N/m2)v a velocidade do fluido no tubo (m/s)D o dimetro do tubo (m)L o comprimento do tubo (m) a viscosidade do fluido (Pa.s)

4

LPBv

tortuosocanal

)( =

Comparando as equaes:

LPD

v tubono )(

32

2 =

22

D32DB k=

Considerando o canal tortuoso como um tubo, relaciona-se as duas equaes e obtm-se uma expresso para B :

Darcy modificadaPoiseuille

k = f(, Dp, p, etc.) Logo, necessrio uma equao mais robusta. 5

Quais so as variveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano em um leito de partculas slidas rgidas?

Precisamos de uma equao para descrever como varia a velocidade do fluido com a presso aplicada, a distncia percorrida (altura do leito), a viscosidade e a densidade do fluido, o dimetro das partculase sua esfericidade, a porosidade do leito.

3. Deduo de um modelo para descrever a passagem de um fluido em um leito particulado

6

Primeiro para leitos fixos e depois em leitos mveis(ou fluidizados)

),,,,,)(( pptortuosocanal DL

Pfv =

Consideraes para as equaes que

sero desenvolvidas a seguir:

Fluido Newtoniano As partculas se distribuem de forma homognea,

o que permite a formao de canais de escoamento contnuos, uniformes e em paralelo

Um leito de percurso curto (L pequeno)

7

v0

3.1. PorosidadeLembrando que em um leito poroso existem espaos vazios (zonas sem partculas).

leitodototalVolumevazioVolume

=

A porosidade () definida comoa razo entre o volume do leito que no est ocupado com material slido e o volume total do leito.

8

v0

No caso do fluxo atravs do leito de partculas:

Vazio SlidoFrao

Volume

Massa

)(1

sb )(SL)(1

9

)(SL)(1 bfb )(SL

)(SL b

leitodototalVolumevazioVolume

=

s = densidade da partcula slida f = densidade do fluido

( )Vm =

v0

Equao pra correlacionar a porosidade com as densidades do leito, das partculas e do fluido:

btotal SLV =

total

total

Vm

=leito

fs += )1(leito

fbsb )(SL)(SL)1(m +=total

)(leito sfs +=sf

s

=leito

massa total = massa de slidos + massa de fluido

Substituindo os termos, tem-se:

(densidade aparente)

[1]10

3.2. Volumes no leito

leitodototalvolume=bSL

slidasparticulaspelasocupadovolume= bSL)1( vazios) de (volume fluxoo paradisponvelvolume=bSL

Volume total do

leito

Leito particulado

Conjunto de partculasVolume = soma dos volumes unitrios

Volume total de vazios

Volume total de slidos

11

v0

A vazo mssica do fluido fora do leito igual a vazo dentro do leito:

( )SvSvQQ

mm

leitoff

leitofforaf

leitofora

=

=

=

0

Balano de massa

3.3. Relao entre velocidade superficial (fora do leito)

do fluido e velocidade mdia do fluido no leito

0vvleito =

5,0=1=Quando o leito no tem partculas:

02 vvleito =Se a porosidade for 50%:

[2] rea de vazios

12

leitovv =0

v0

3.4. Dimetro equivalente

Como no se trata do escoamento em uma tubulao cilndrica (pois tem-se um canal tortuoso), devemos usar o conceito de dimetro equivalente e de raio hidrulico, cuja definio :

==

molhadoperimetrofluxodeltransversarea44 Heq RD

=

slidas partculas as e fluido o entre atritodereafluido do fluxooparadisponvelvolume4eqD

Multiplicando por (Lb/Lb) tem-se:

13

A rea de atrito entre o fluido e as partculas slida corresponde a rea externa das partculas slidas.

( )

=sb

beq

aSLSLD

14

slidapartcula uma de volumeslidapartcula uma deexterna rea

partculas denpartculas den

o

o

=sa

( )

=s

eqa

D

14

=

slidas partculas as e fluido o entre atritodereafluido do fluxooparadisponvelvolume4eqD

slidasparticulaspelasocupadovolume= bSL)1( vazios) de (volume fluxoparadisponvelvolume=bSL

Sabemos que:

Se as a rea superficial por unidade de volume slido:

Substituindo essas relaes no Deq acima tem-se:

14

rea de atrito = volume ocupado pelas partculas slidas x as

pp

ps DD

Da

6

63

2

==

pi

pi

Para partculas esfricas tem-se:

( ) peq DD

=

164

( )

=s

eqa

D

14

[3]

slidodo volumeslidodolsuperficia rea

=sa

15

v0

3.5. Leito particulado fixo

f

fleitocanaleqF vDf

.

16Re16

==

^

22

22

21

11

2

2 gE

gv

zg

Pg

Wg

vz

gP f

ff+++=+++

2

.

^

2 leitocanaleq

Fff

vD

LfEP

==

A perda de presso no leito particulado obtida com o Balano de Energia:

( ) fcanaleqfleito

f DLvP

2.

32=

Substituindo fF para fluido Newtoniano em regime laminar tem-se:

[5]

[4]

16

Substituindo [3] e [6] em [2], obtm-se:

( )L

PDvf

canaleqleito )(

321 2

.

=

( ) peq DD

=

164

LPD

vf

p

)(

)1(72 232

0

=

( )3

2

2172

=

p

ofD

LvP

( ) fcanaleqfleito

f DLvP

2.

32=

[6]

leitovv =0 [2] [3]

ou

[7]

[8]

Equaes [7] e [8]vlidas para partculas

esfricas, fluido Newtoniano em regime laminar.

17

Regimes de escoamento

f

canaleqleitoff Dv

.

..

Re =Nmero de Reynolds

Definio do regime do fluxo de fluido: Laminar quando Re < 10

Turbulento quando Re > 100

f

fpvDRe

)1(64 0

=

Substituindo Deq [3] e vleito [2] em Re tem-se:

[9]

18

( ) peq DD

=

164 leitovv =0

Os dados experimentais revelam que o valor da constante (72) em [8] geralmente maior, como mostra a equao abaixo:

( )3

2

20 1150

=

pDLvP

Equao de Blake-Kozeny; vlida para

2kfF =

Rek1

=FfF

a

t

o

r

d

e

F

a

n

n

i

n

g

Re

Laminar

Turbulento

20

Para o regime turbulento pode propor-se:

( )3

20 13

=

p

fD

LvkP

Equao de Burke-Plummer(k=0,583)

( )3

20 175,1

=

p

fD

LvP

kfF =3.5.2. Regime Turbulento

Agora, substituindo [2] e [3] em [4] tem-se:

( ) peq DD

=

164

leitovv =0 [2][4]

2

.

^

2 leitocanaleq

Fff

vD

LfEP

==

[3]

[10]21

Somando os dois regimes (laminar de Blake-Kozeny e turbulento de

Burke-Plummer ), tem-se a equao geral de Ergunque descreve a queda de presso de um fluido deslocando-se em um leito poroso fixo:

Rearranjando tem-se:

( ) 75,1150

1

3

20

+=

ReL

Dv

P pf

( ) ( )3

20

3

2

20 175,11150

+

=p

f

p

f

DLv

DLv

P [11]

[12]

22

3.6. Partculas no esfricas

A equao de Ergun [11] inclui a esfericidade quando as partculas no so esfricas. Para isso, o dimetro da partcula multiplicado pela esfericidade (phi):

( ) ( )3

20

3

2

220 175,11150

+

=

pp

f

pp

fD

LvD

LvP [13]

23

4. Resposta ao fluxo superficial (velocidade v0 do fluido)

O fluido no possui uma fora de arraste suficiente para se sobrepor a fora da gravidade e fazer com que as partculas se movimentem: Leito fixo.

Se o fluido tem alta fora cintica, as foras de arraste e empuxo superam a da gravidade e o leito se expande e se movimenta: Leito fluidizado.

Baixa velocidade

Alta Velocidade

P e o aumento da velocidadesuperficial v0Enquanto se estabelece a fluidizao o P cresce, depois se mantm constante.

Comprimento do leito quando aumenta v0A altura (L) constante at que se atinge o estado de fluidizao depois comea a crescer. 24

5. FluidizaoA fluidizao ocorre quando um fluxo ascendente de fluido escoa atravs de um leito de partculas e adquire velocidade suficiente para manter as partculas em

suspenso, sem que sejam arrastadas junto com o fluido.

25

http://www.youtube.com/watch?v=e5u9oW-PSy0&feature=related

http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&NR=1&v=3_ILu2Ye8gQ

A fluidizao empregada

em:

Secagem Mistura Revestimento de

partculas Aglomerao de ps Aquecimento e

resfriamento de slidos Congelamento Torrefao de caf Pirlise

Alta mistura dos slidos (homogeneizao rpida) A rea superficial das partculas slidas fica completamente

disponvel para transferncia de calor e de massa

Vantagens da Fluidizao:

26

OA: Aumento da velocidade e da queda de presso do fludo; AB: O leito est iniciando a fluidizao; BC: Com o aumento da velocidade, h uma queda leve da

presso devido mudana repentina da porosidade do leito;CD: O log(-P) varia linearmente com log(v) at o ponto D. D: Aps o ponto D, as partculas comeam a ser carregadas pelo

fludo e perde-se a funcionalidade do sistema.

vmf = velocidade mnima de fluidizao va = velocidade de arraste

Leito fluidizado

Transporte pneumtico

5.1. Etapas da fluidizao

27

Leito fixo

Exemplo da aplicao de fluidizao em resfriamento de slidos

Entrada de slidos quentes

Entrada de ar

Entrada de ar

Leito fluidizado

gua fria

Sada de ar

Sada de slidos friosdistribuidor

28http://www.youtube.com/watch?v=CGXr_GKhksE&feature=related

gua quente

5.2. Tipos de fluidizao

(A) Fluidizao particulada:

Ocorre quando a densidade das partculas parecida com a do fluido e o dimetro das partculas pequeno.

Video sobre fluidizao particulada:

http://www.youtube.com/watch?v=waohqAsKCxU&feature=related29

(B) Fluidizao agregativa:

Ocorre quando as densidades das partculas e do fludo so muito diferentes ou quando o dimetro das partculas grande.

http://www.youtube.com/watch?v=NXJhjhQFBNk&NR=1

Video sobre fluidizao agregativa:

30http://www.youtube.com/watch?v=8n78CDI3GoU&feature=related

Quando inicia-se a fluidizao, h um aumento daporosidade e da altura do leito. Essa relao dada pelaseguinte expresso:

)1()1( 2211 = LSLS

5.3. Altura do leito poroso

volume de slidos

no leito fixo

volume de slidos

no leito fluidizado

S S[14]

31

)1()1(

2

1

1

2

=

LL

5.4. Velocidade mnima de fluidizaoO leito somente fluidizar a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente. Essa velocidade definida como a velocidade mnima de fluidizao (vmf).

Quando atinge-se vmf , a fora da presso (Fp) e a de empuxo (Fe) se igualam a fora do peso das partculas do leito (Fg).

Logo, Fp + Fe = Fg

Fe

http://www.youtube.com/watch?v=nGovDPNvSDI&feature=related32

gSLgmFg pslidos )1( ==SPFp .=

Sabe-se que

Fazendo tem-se:

gLP

fp )1)(( = [15]

gSLgmFe fdeslocadofluido )1( ==

L

Fe

Fp + Fe = Fg

33

5.4.1. vmf para regime laminarPara esse regime, a parte final da equao de Ergun [13] insignificante em relao primeira, logo temos:

232

.)1()(

1501 Dpgv

f

fp

mf

mfpmf

=

2030232

2 )1(75,1

)1(150 v

Dpv

DpLP

p

f

p

f

+

=

Rearranjando com a equao [15] tem-se:

[16]

34

Para esse regime, a parte inicial da equao de Ergun [13] insignificante em relao segunda, logo temos:

2/1

3)(756,0

= Dpgv mfpf

fpmf

5.4.2. vmf para regime turbulento

[17]

2030232

2 )1(75,1

)1(150 v

Dpv

DpLP

p

f

p

f

+

=

Rearranjando com a equao [15] tem-se:

35

Para determin-la, usam-se as seguintes relaes:

mfleito

slidaspartculasdetotalmfleito

mfleito

mfvaziosmf V

VVVV

==

141

.

3 mfp

Experimentalmente:

5.5. Porosidade mnima de fluidizao

36

Exerccios de

Fluidizao

37

Ex. 1: Um leito fluidizado possui 80 kg de partculas de dimetro 60 m ( = 0,8) e densidade 2500 kg/m3. O dimetro do leito 40 cm e a altura mnima de fluidizao 50 cm. O fluido ascendente ar ( = 0,62 kg/m3), que flui em regime turbulento no leito. Calcule:(a) A porosidade mnima de fluidizao.(b) A perda de carga na altura mnima de fluidizao.(c) A velocidade mnima de fluidizao

(a) Volume de slidos = 80kg / 2500 kg/m3 = 0,032 m3. Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas slidos seria de: L1=Volume/rea=0,032m3/0,1256m2=0,2548 mUsando [14] tem-se:

)1(5,0)01(2548,0)1()1( 22211 == mmLSLSNo incio da fluidizao, o leito possui 49% de seu volume ocupado com ar e os 51% restantes com partculas slidas49,02 =

mfleito

slidaspartculasdetotalmfleito

mfleito

mfvaziosmf V

VVVV

==

Tambm poderia ser resolvido por:

38

(b) gL

Pmffp

mf)1)(( =De [15] tem-se:

PaP 62468,9)49,01)(62,02550(50,0 ==Na altura mnima de fluidizao, a perda de carga no leito poroso ser de 6,3kPa

(c) De [13] tem-se:

smvmf /_______=

Quando o fluido atingir Vmf se iniciar a fluidizao do leito.39

( ) ( )3

2

3

2

22175,11150

mfpp

mfmff

mfpp

mfmffD

LvD

LvP

+

=

40

=f=f

=

=pD=mfv

175,00 == mfvv

f

fpvDRe

)1(64 0

=

?=Re Tipo de escoamento Consistncia?

Exerccio 2: Velocidade mnima de fluidizaoPartculas slidas possuindo dimetro de 0,12mm, esfericidade de 0,88 e densidade de 1000kg/m3 iro ser fluidizadas com ar a 2 atme 25C (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mnima de fluidizao 0,42. Com essas informaes encontre:(a) A altura mnima de fluidizao considerando a seo transversal

do leito vazio de 0,30m2 e que o leito contm 300kg de slidos.(b) Encontre a queda de presso nas condies de fluidizao

mnima.(c) Encontre a velocidade mnima de fluidizao

(a) Volume de slidos = 300kg / 1000 kg/m3 = 0,3 m3Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas slidos seria de: L1=0,3m3/0,3m2=1mUsando [14] tem-se:

mmLLSLS 72,1)42,01(

)01(1)1()1( 22211 =

== No incio da

fluidizao, o leito ter 1,72m

41

(b) gL

Pmffp

mf)1)(( =De [15] tem-se:

PaP 97538,9)42,01)(37,21000(72,1 ==

(c)Na altura mnima de fluidizao, a perda de carga no leito ser 9,7kPa

De [15](condies de mnima fluidizao) em [13] (Ergun) tem-se:

( ) ( )3

2

3

2

22

175,111509753

mf

mf

pp

mfmff

mf

mf

pp

mfmffD

LvD

LvPa

+

=

( ) ( )3

2

3

2

22

5

42,042,01

)00012,0(88,0)72,1()37,2(75,1

42,042,01

)00012,0()88,0()72,1()10.84,1(150

9753 +=

mfmf vvPa

Resolvendo tem-se: vmf = 0,00504 m/s

Quando o fluido atingir 0,00504 m/s, a fluidizao do leito ser iniciada. 42

Exerccio 3: Velocidade mnima de fluidizao e expanso do leitoPartculas slidas possuindo dimetro de 0,10mm, esfericidade de 0,86 e densidade de 1200kg/m3 iro ser fluidizadas com ar a 2atm e 25C (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mnima de fluidizao 0,43. O dimetro do leito de 0,60m e contm 350kg de slidos. Com essas informaes encontre:(a) A altura mnima de fluidizao.(b) Encontre a queda de presso nas condies de fluidizao

mnima.(c) Encontre a velocidade mnima de fluidizao.(d) Utilizando 4 vezes a velocidade mnima, estime a porosidade do

leito.Itens (a), (b) e (c) so resolvidos da mesma maneira que o exerccio anterior. Respostas: (a) 1,81m; (b) 12120Pa; (c) 0,004374m/s. 43

(d) De [15] em [13] (Ergun) tem-se:( ) ( )

3

2

3

2

22

175,11150)1)((

+

=

pp

f

pp

ffp D

v

Dv

g

( ) ( )3

2

3

2

22

5 1)0001,0(86,0

)004374,0*4)(37,2(75,11)0001,0()86,0(

)004374,0*4)(10.84,1(150)1)(37,21200(

+

=

g

Resolvendo tem-se: = 0,605Quando o fluido atingir quatro vezes a velocidade mnima de fluidizao, a porosidade do leito ser de 0,605, ou seja, 60,5% do volume do leito ocupado com fluido e 39,5% do volume do leito ocupado com as partculas slidas.

44

Exerccio 4: Fluidizao em um filtro de areiaPara limpar um filtro de areia, ele fluidizado condies mnimas utilizando gua a 24C. As partculas arredondadas de areia possuem densidade de 2550 kg/m3 e um tamanho mdio de 0,40mm. A areai possui as seguintes propriedades: esfericidade de 0,86 e porosidade mnima de fluidizao de 0,42.(a) O dimetro do leito 0,40m e a altura desejada do leito para as

condies mnimas de fluidizao 1,75m. Calcule a quantidade de slidos necessrios (massa de areia).

(b) Encontre a queda de presso nessas condies, e a velocidade mnima de fluidizao.

(c) Utilizando 4 vezes a velocidade mnima de fluidizao, estime a porosidade e altura do leito expandido.

(a) 325,08kg(b) 15418Pa; 0,00096 m/s(b) = 0,536; 2,16m

Respostas:

45