Aula4 - Estatística Básica

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Vanessa Fortes Vanessa Fortes Aula 4 Aula 4 1 A IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA A IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA A Estatística é aplicada como auxílio nas A Estatística é aplicada como auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas tomadas de decisão diante de incertezas para justificar cientificamente as decisões para justificar cientificamente as decisões Governo Governo Indústria Indústria Ciências sociais, biológicas, físicas, etc Ciências sociais, biológicas, físicas, etc Pesquisas Pesquisas A Estatística envolve técnicas para A Estatística envolve técnicas para coletar, organizar, descrever, analisar e coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados, ou provenientes de interpretar dados, ou provenientes de experimentos, ou vindos de estudos experimentos, ou vindos de estudos observacionais observacionais

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A IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICAA IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA

• A Estatística é aplicada como auxílio nas A Estatística é aplicada como auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas tomadas de decisão diante de incertezas para justificar cientificamente as decisõespara justificar cientificamente as decisões– GovernoGoverno– IndústriaIndústria– Ciências sociais, biológicas, físicas, etcCiências sociais, biológicas, físicas, etc– PesquisasPesquisas

• A Estatística envolve técnicas para coletar, A Estatística envolve técnicas para coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar organizar, descrever, analisar e interpretar dados, ou provenientes de experimentos, ou dados, ou provenientes de experimentos, ou vindos de estudos observacionaisvindos de estudos observacionais

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O QUE É ESTATÍSTICA ?O QUE É ESTATÍSTICA ?

• Estatística pode ser pensada como a ciência Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados de aprendizagem a partir de dados

• No nosso cotidiano, precisamos tomar No nosso cotidiano, precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidasdecisões, muitas vezes decisões rápidas

• Em linhas gerais, a Estatística fornece Em linhas gerais, a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão.de decisão.

DADOS

ANÁLISE

DECISÕES

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POR QUE USAR ESTATÍSTICA ? POR QUE USAR ESTATÍSTICA ?

• Por que a natureza apresenta VARIABILIDADEPor que a natureza apresenta VARIABILIDADE– Variações de indivíduo para indivíduoVariações de indivíduo para indivíduo

– Variações no mesmo indivíduoVariações no mesmo indivíduo

• ““A Estatística estuda como controlar, minimizar e A Estatística estuda como controlar, minimizar e observar a variabilidade INEVITÁVEL de todas as observar a variabilidade INEVITÁVEL de todas as medidas e observações”medidas e observações”

• Sem Métodos Estatísticos, sem validade científica!Sem Métodos Estatísticos, sem validade científica!

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• FENÔMENO ESTATÍSTICOFENÔMENO ESTATÍSTICO– qualquer evento que se pretenda analisar, cujo qualquer evento que se pretenda analisar, cujo

estudo seja possível da aplicação do método estudo seja possível da aplicação do método estatísticoestatístico

• DADO ESTATÍSTICODADO ESTATÍSTICO– dado numérico considerado matéria-prima sobre a dado numérico considerado matéria-prima sobre a

qual se aplica os métodos estatísticosqual se aplica os métodos estatísticos

• POPULAÇÃOPOPULAÇÃO– conjunto total de elementos portadores de, pelo conjunto total de elementos portadores de, pelo

menos, uma característica comum observávelmenos, uma característica comum observável

X1 X2 X3...

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• AMOSTRAAMOSTRA– parcela representativa da população que é parcela representativa da população que é

examinada com o propósito de examinada com o propósito de tirarconclusões sobre a essa populaçãotirarconclusões sobre a essa população

– como selecionar uma amostra, de tal como selecionar uma amostra, de tal modo que as informações possam ser modo que as informações possam ser expandidas para a população ?expandidas para a população ?

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• Deseja-se fazer uma pesquisa para estimar a Deseja-se fazer uma pesquisa para estimar a preferência dos cariocas para a prefeiturapreferência dos cariocas para a prefeitura

• Como selecionar uma amostra de n pessoas Como selecionar uma amostra de n pessoas (n grande) dentre os moradores do (n grande) dentre os moradores do município?município?

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• Esta amostra é representativa da população?Esta amostra é representativa da população?

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• Esta amostra é representativa da população?Esta amostra é representativa da população?

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• Esta amostra é representativa da Esta amostra é representativa da população?população?

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• Ao selecionar uma amostra deve-se considerar Ao selecionar uma amostra deve-se considerar alguns critérios de acordo com o tipo de pesquisaalguns critérios de acordo com o tipo de pesquisa– RegiãoRegião– SexoSexo– Nível sócio-econômicoNível sócio-econômico– IdadeIdade

• PARÂMETROSPARÂMETROS– valores singulares que existem na população e que servem valores singulares que existem na população e que servem

para caracterizá-la.para caracterizá-la.– para definir um parâmetro deve-se examinar toda a para definir um parâmetro deve-se examinar toda a

populaçãopopulação– ex: Os alunos do 2º ano da UERJ têm em média 1,70 metros ex: Os alunos do 2º ano da UERJ têm em média 1,70 metros

de estaturade estatura

• ESTIMATIVAESTIMATIVA– valor aproximado do parâmetrovalor aproximado do parâmetro– calculado com o uso da amostracalculado com o uso da amostra

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• ATRIBUTOATRIBUTO– características que podem ser enumeradascaracterísticas que podem ser enumeradas

• VARIÁVELVARIÁVEL– características que podem ser medidas, controladas ou características que podem ser medidas, controladas ou

manipuladas em uma pesquisamanipuladas em uma pesquisa• VARIÁVEL QUALITATIVAVARIÁVEL QUALITATIVA

– valores expressos por atributosvalores expressos por atributos• sexo, cor da pele, etc.sexo, cor da pele, etc.

– Ex: pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em Ex: pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A (sexo, por exemplo), mas não se pode termos da variável A (sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles "tem mais" da qualidade representada pela dizer qual deles "tem mais" da qualidade representada pela variávelvariável

• VARIÁVEL QUANTITATIVAVARIÁVEL QUANTITATIVA– conjunto de resultados numéricosconjunto de resultados numéricos– ex: pode-se dizer que a temperatura de 40°C é maior do ex: pode-se dizer que a temperatura de 40°C é maior do

que 30°C e que um aumento de 20°C para 40°C é duas que 30°C e que um aumento de 20°C para 40°C é duas vezes maior do que um aumento de 30°C para 40°Cvezes maior do que um aumento de 30°C para 40°C

– e se dividem em:e se dividem em:

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• VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUAVARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA– valores expressos através de números inteiros não valores expressos através de números inteiros não

negativosnegativos– Ex: Nº de alunos presentes às aulas de CQ no 2º Ex: Nº de alunos presentes às aulas de CQ no 2º

semestre de 2006semestre de 2006• agosto = 10, setembro = 13, outubro = 15 agosto = 10, setembro = 13, outubro = 15

• VARIÁVEL CONTÍNUAVARIÁVEL CONTÍNUA– Valores mensuráveisValores mensuráveis– escala numérica correspondente ao conjunto R dos escala numérica correspondente ao conjunto R dos

números Reais, ou seja, podem assumir, números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limitesteoricamente, qualquer valor entre dois limites

– Ex.: Quando se mede a temperatura do corpo com Ex.: Quando se mede a temperatura do corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: seguinte: • O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as

temperaturas intermediárias até chegar na temperatura temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do corpoatual do corpo

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICOFASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO

1.1. DEFINIÇÃO DO PROBLEMADEFINIÇÃO DO PROBLEMASaber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problemamesmo que definir corretamente o problema

2.2. PLANEJAMENTOPLANEJAMENTOComo levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? E o cronograma de atividades ? Os custos envolvidos ? etc.E o cronograma de atividades ? Os custos envolvidos ? etc.

3.3. COLETA DE DADOSCOLETA DE DADOSFase operacional, registro sistemático de dados, com um Fase operacional, registro sistemático de dados, com um objetivo determinado.objetivo determinado.

4.4. APURAÇÃO DOS DADOSAPURAÇÃO DOS DADOSResumo dos dados através de sua contagem e agrupamento. Resumo dos dados através de sua contagem e agrupamento. É a condensação e tabulação de dados.É a condensação e tabulação de dados.

5.5. APRESENTAÇÃO DOS DADOSAPRESENTAÇÃO DOS DADOSFormas de apresentação dos dadosFormas de apresentação dos dados

6.6. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOSANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOSA última fase do trabalho estatístico é a mais importante e A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicadadelicadaEstá ligada essencialmente ao cálculo de medidas e Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno.coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno.

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• Medidas de tendência central Medidas de tendência central – representam uma série de dados orientando representam uma série de dados orientando

quanto à posição da distribuição em relação quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüênciafreqüência

– verifica-se uma tendência dos dados verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos observados a se agruparem em torno dos valores centraisvalores centrais

– As medidas de tendência central mais As medidas de tendência central mais utilizadas são:utilizadas são:• Média aritméticaMédia aritmética• ModaModa• MedianaMediana

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CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICAESTATÍSTICA

• Média Aritmética ( )Média Aritmética ( )– soma dos valores individuais dividido pelo total soma dos valores individuais dividido pelo total

de elementos considerados.de elementos considerados.

– Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4

X

X

n

X

n

n

1i iX

nn

X...2

X1

XX

32,105

4,101,104,105,102,10X

Média: ponto de equilíbrio do conjuntoMédia: ponto de equilíbrio do conjunto

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• Moda ( )Moda ( )– valor que ocorre com maior freqüência valor que ocorre com maior freqüência

dentro de um conjunto de números.dentro de um conjunto de números.

•Exemplo: 10,2; 10,5; Exemplo: 10,2; 10,5; 10,410,4; 10,1; ; 10,1; 10,410,4

X

4,10X̂

Moda: valor mais provávelModa: valor mais provável

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

– A moda é facilmente reconhecida basta procurar o valor que A moda é facilmente reconhecida basta procurar o valor que mais se repete.mais se repete.

– Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outrosnenhum valor apareça mais vezes que outros

• Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta modaExemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda

• A série é A série é amodalamodal

– Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Então, a série tem dois ou mais valores modaisconcentração. Então, a série tem dois ou mais valores modais

• Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7apresenta duas modas: 4 e 7

• A série é A série é bimodalbimodal

X

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

– Uma vez agrupados os dados, é possível Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequênciavalor da variável de maior frequência

– Ex: Qual a temperatura mais comum medida no Ex: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo?mês abaixo?

– 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior frequênciafrequência

X

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• Mediana (Md = )Mediana (Md = )

– valor situado de tal forma no conjunto de valor situado de tal forma no conjunto de dados que o separa em dois subconjuntos dados que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.de mesmo número de elementos.

– Dada uma série de valores como: { 5, 2, 6, Dada uma série de valores como: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }13, 9, 15, 10 }

– 1º - ordenar a série { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }1º - ordenar a série { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

– O valor que divide a série acima em duas O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9

X

X~

Mediana: divide o conjunto em duas Mediana: divide o conjunto em duas partes iguais.partes iguais.

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• Método prático para o cálculo da MedianaMétodo prático para o cálculo da Mediana

– Se a série dada tiver número ímpar de termos: Se a série dada tiver número ímpar de termos:

• O valor mediano será o termo de ordem dado fela O valor mediano será o termo de ordem dado fela fórmula: ( n + 1 ) / 2 fórmula: ( n + 1 ) / 2

• Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }2, 5 }

• 1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

• n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana5º elemento da série ordenada será a mediana

• A mediana será o 5º elemento = 2A mediana será o 5º elemento = 2

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• Se a série dada tiver número par de termos: Se a série dada tiver número par de termos: – O valor mediano será o termo de ordem dado fela fórmula: O valor mediano será o termo de ordem dado fela fórmula:

[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2 [( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2

– Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente.substituídos pelo valor correspondente.

– Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }5, 6 }

– 1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

– n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2 = n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2 = [( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2[( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2

– 5º termo = 2 e 6º termo = 35º termo = 2 e 6º termo = 3

– A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série.série.

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. série.

• Quando o número de elementos da série estatística for par, Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série.da série.

• A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série. centrais da série.

• Em um série a mediana, a média e a moda não têm, Em um série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. necessariamente, o mesmo valor.

• A mediana, depende da posição e não dos valores dos A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada.elementos na série ordenada.

• Essa é uma das diferenças marcantes entre mediana e média Essa é uma das diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos).(que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos).

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• Exemplo: Exemplo:

• Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10

• Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10

• A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.mediana permanece a mesma.

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• Dispersão ou Variabilidade:Dispersão ou Variabilidade:

– maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central (média ou mediana) tomado torno de um valor de tendência central (média ou mediana) tomado como ponto de comparação.como ponto de comparação.

– A média - ainda que considerada como um número que tem a A média - ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores - não pode, por si faculdade de representar uma série de valores - não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto. que existe entre os valores que compõem o conjunto.

– Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z: e Z:

• X = { 70, 70, 70, 70, 70 }X = { 70, 70, 70, 70, 70 }

• Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 } Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 }

• Z = { 5, 15, 50, 120, 160 } Z = { 5, 15, 50, 120, 160 }

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• Dispersão ou Variabilidade:Dispersão ou Variabilidade:

– Observamos então que os três conjuntos apresentam a Observamos então que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética = 350/5 = 70mesma média aritmética = 350/5 = 70

– Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z, já que todos os valores são iguais à que os conjuntos Y e Z, já que todos os valores são iguais à média. média.

– O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há menor diversificação entre cada um de seus Z, pois há menor diversificação entre cada um de seus valores e a média representativa. valores e a média representativa.

– Concluímos então que o conjunto X apresenta dispersão nula Concluímos então que o conjunto X apresenta dispersão nula e que o conjunto Y apresenta uma dispersão menor que o e que o conjunto Y apresenta uma dispersão menor que o conjunto Z.conjunto Z.

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• Medidas de Dispersão mais utilizadasMedidas de Dispersão mais utilizadas

– Amplitude Amplitude

– Desvio padrão Desvio padrão

– VariânciaVariância

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• Amplitude (R ou AT): é a diferença entre o maior e o Amplitude (R ou AT): é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.menor valor de um conjunto de dados.

• Exemplo: 10,2; Exemplo: 10,2; 10,510,5; 10,4; ; 10,4; 10,110,1; 10,4; 10,4

• A amplitude total tem o incoveniente de só levar em conta os A amplitude total tem o incoveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários.valores intermediários.

• Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia, por exemplo, no controle amplitude da temperatura em um dia, por exemplo, no controle de qualidade ou como uma medida de cálculo rápido sem muita de qualidade ou como uma medida de cálculo rápido sem muita exatidão.exatidão.

.minX

.maxXR

4,01,105,10R

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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• Desvio padrão ( ou S)Desvio padrão ( ou S)– Baseia-se nos desvios em torno da média aritmética Baseia-se nos desvios em torno da média aritmética

e a sua fórmula básica pode ser traduzida comoe a sua fórmula básica pode ser traduzida como• raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é

representada por  S .representada por  S .

– Expresso na unidade original de medidaExpresso na unidade original de medida– Utilizado para avaliação da variabilidade de um Utilizado para avaliação da variabilidade de um

processo/amostraprocesso/amostra– Indicador de variabilidade bastante estável, pois Indicador de variabilidade bastante estável, pois

leva em consideração a totalidade dos valores da leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudovariável em estudo

2n

1i i

1n

XXσ

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

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– Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4

1643,015

1080,0

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

i Xi

1 10,2 10,32 -0,12 0,0144

2 10,5 10,32 0,18 0,0324

3 10,4 10,32 0,08 0,0064

4 10,1 10,32 -0,22 0,0484

5 10,4 10,32 0,08 0,0064

Total 0,1080

X XX i 2

i XX

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• Variância ( ou SVariância ( ou S22))– Desvio padrão elevado ao quadradoDesvio padrão elevado ao quadrado– Expresso na unidade original de medida Expresso na unidade original de medida

elevada ao quadradoelevada ao quadrado– Utilizado para avaliação da variabilidade de Utilizado para avaliação da variabilidade de

um processo/amostraum processo/amostra

2

1

1

2

2

n

XXn

ii

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• Variância ( )Variância ( )– Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4

i Xi

1 10,2 10,32 -0,12 0,0144

2 10,5 10,32 0,18 0,0324

3 10,4 10,32 0,08 0,0064

4 10,1 10,32 -0,22 0,0484

5 10,4 10,32 0,08 0,0064

Total 0,1080

X XX i 2

i XX

2

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• Variância ( )Variância ( )

– Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4

1643,015

1080,0

027,02

2

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CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICAESTATÍSTICA

• Regras de ArredondamentoRegras de Arredondamento

– O algarismo a ser cancelado O algarismo a ser cancelado é menor é menor que 5:que 5:

•Exemplo: 21,742 Exemplo: 21,742 21,74 (aproximação 21,74 (aproximação 0,01)0,01)

– O algarismo a ser cancelado O algarismo a ser cancelado é maior é maior que 5:que 5:

•Exemplo: 13,78 Exemplo: 13,78 13,8 (aproximação 0,1) 13,8 (aproximação 0,1)

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CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICAESTATÍSTICA

• Regras de ArredondamentoRegras de Arredondamento

– O algarismo a ser cancelado O algarismo a ser cancelado é igual a 5: é igual a 5: arredonda-se para o par mais próximo do arredonda-se para o par mais próximo do algarismo que precede o 5.algarismo que precede o 5.

•Exemplo: 2,75 Exemplo: 2,75 2,8 (aproximação 0,1) 2,8 (aproximação 0,1)

– O algarismo a ser cancelado O algarismo a ser cancelado é igual a 5: é igual a 5: arredonda-se para o par mais próximo do arredonda-se para o par mais próximo do algarismo que precede o 5. Caso o valor algarismo que precede o 5. Caso o valor precedente seja par, cancela-se o 5.precedente seja par, cancela-se o 5.

•Exemplo: 42,885 Exemplo: 42,885 42,88 (aproximação 0,01) 42,88 (aproximação 0,01)

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CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICAESTATÍSTICA

• Regras de AproximaçãoRegras de Aproximação

– As aproximações devem ser feitas As aproximações devem ser feitas sempre no final do resultado e não sempre no final do resultado e não durante os cálculos intermediários.durante os cálculos intermediários.

– Caso necessário, durante os cálculos Caso necessário, durante os cálculos intermediários, as aproximações intermediários, as aproximações devem ser no mínimo 0,001 (três devem ser no mínimo 0,001 (três casas); usar as regras de casas); usar as regras de arredondamento quando necessário;arredondamento quando necessário;

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CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICAESTATÍSTICA

• Regras de AproximaçãoRegras de Aproximação

– Para o cálculo das médias, desvios, Para o cálculo das médias, desvios, limites, etc., aproximar em “uma limites, etc., aproximar em “uma casa” a mais do que a aproximação casa” a mais do que a aproximação dos elementos da amostra.dos elementos da amostra.

•Exemplo: Xi: 10; 11; 14Exemplo: Xi: 10; 11; 14

7,11X

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CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICACONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• ExercícioExercício

– Calcular , , , R, , , a partir Calcular , , , R, , , a partir dos dados de uma amostra A.dos dados de uma amostra A.

– Dados: Dados: •X1 – 22,0X1 – 22,0

•X2 – 22,5X2 – 22,5

•X3 – 22,5X3 – 22,5

•X4 – 24,0X4 – 24,0

•X5 – 23,5X5 – 23,5

X X~

X̂ 2