Aula7 Algebra Booleana

PROGRAMA DE INFORMÁTICA BÁSICA

Álgebra Booleana

Prof. João Dallyson

Na aula passada....

• Sistemas de Numeração

• Operações Aritméticas

09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 2

Sumário

• Introdução

• Variáveis Lógicas

• Tipos de Representação

• Operações Lógicas

– AND, OR, XOR, NOT, NAND, NOR

• Aplicações de Portas Lógicas

• Equivalência de Expressões Lógicas


Introdução

• O computador codifica a informação por meio de padrões de 0s e 1s. (bits) – O bit 0 representa o valor falso

– O bit 1 representa o valor positivo

• Operações Booleanas: – São operações que manipulam valores

verdadeiro/false

– George Boole (1815-1864) • Pioneiro na área da matemática chamada de lógica

• A álgebra booleana foi inicialmente relacionada ao computador por Claude Shannon em 1937;


Variáveis Lógicas

• Toda variável lógica só pode assumir dois estados lógicos distintos

• Operações: AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR


Baixo e Alto ON e OFF Falso e Verdadeiro 0 e 1 (usado em digital)

Tipos de representação

• Expressões booleanas

• Tabela Verdade

• Circuitos Lógicos



• Expressões booleanas

– Precedência na avaliação:

• Respeitar os parênteses

• Avaliar a inversão

• Avaliar a multiplicação

• Avaliar a adição



• Tabela Verdade:

– Tabela na qual são exibidas todas as possíveis entradas e saídas de uma expressão booleana

– facilita o cálculo do valor lógico de uma proposição composta

– Para n variáveis booleanas, há 2^n



• Porta Lógica: – Dispositivo que produz a saída de um operação booleana dados os valores

de entrada

– Podem ser construídas:

• Engrenagens, relés, circuitos eletrônicos e dispositivos ópticos

– Gráficos: AB ; ABCD..N


Operação Lógica: “E” (AND)

• Possuem duas ou mais entradas e apenas uma saída;

• Para que a proposição composta seja considerada verdade ambas as proposições que a compõem devem ser verdade;

• realiza a multiplicação booleana de duas ou mais variáveis binárias;

• Notação: P1 and P2

– P1P2, P1.P2, P1˄P2


P1 P2 P1 e P2

F F F

F V F

V F F

V V V

P1 P2 P1 . P2

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tabela Verdade


• Exemplo:

– Considere as seguintes sentenças abaixo:

• O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino; – Verdade

• O Vasco é campeão mundial; – Falso


P1 P2

O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino

E Nenhuma seleção possui tantos título mundiais como o Brasil

O Flamengo é campeão mundial E O Vasco é campeão mundial

P1 E P2

V

F


• Implementação da Porta Lógica AND



• Casos possíveis (AND)


Operação Lógica: “OU” (OR)

• Possuem duas ou mais entradas e apenas uma saída;

• Nesse caso a proposição composta só será verdade se pelo menos uma das proposições sejam verdade;

• Realiza a soma booleana de duas ou mais variáveis binárias;

• Notação: P1 or P2

– P1 + P2, P1 v P2


P1 P2 P1 ou P2

F F F

F V V

V F V

V V V

P1 P2 P1 + P2

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Tabela Verdade


• Exemplo:

– Considere as seguintes sentenças abaixo:


P1 P2

O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino

OU Nenhuma seleção possui tantos título mundiais como o Brasil

O Flamengo é campeão mundial OU O Vasco é campeão mundial

O Paraguai possui sete títulos mundiais

OU O Vasco é tricampeão mundial

P1 E P2

V

V

F


• Implementação da Porta Lógica OR



• Casos possíveis Porta Lógica OR


Operação Lógica: “NÃO” (NOT)

• Possuem apenas uma entrada e uma única saída;

• Este conectivo tem o papel de negar uma proposição, ou seja, inverte seu valor;

• Basta acrescentar “é falso que”;

• Notação: not P1; P1’ ; ¬P1 ; P1 ; ~;

• Exemplo:

– É falso que a Itália possui 7 títulos mundiais

• Verdadeiro


P1 Não P1

V F

F V

Operação Lógica: “NÃO” (NOT)

• Implementação porta lógica NOT

• Casos possíveis


Operações Lógicas “Não E” (NAND)

• NAND

– realiza a multiplicação booleana de duas ou mais variáveis binárias e inverte o resultado

– Notação: P1 nand P2 ; P1.P2 ; (P1.P2)’ ; ¬(P1.P2)


P1 P2 P1 nand P2

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Tabela Verdade Porta Lógica

Operações Lógicas “Não Ou” (NOR)

• NOR

– Realiza a soma booleana de duas ou mais variáveis binárias e inverte o resultado

– Notação: P1 nor P2 ; P1+P2 ; (P1+P2)’ ; ¬(P1+P2)


P1 P2 P1 nor P2

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Tabela Verdade Porta Lógica

Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR)

• Nesse caso a preposição composta só será verdade se as proposições forem diferentes;

• Notação: P1 xor P2 ; P1 P2


P1 P2 P1 xor P2

F F F

F V V

V F V

V V F

P1 P2 P1 xor P2

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Tabela Verdade


• Implementação porta lógica XOR



• Casos possíveis porta lógica XOR


Aplicação de Portas Lógicas

• Ex:

– Circuito para testar de modo rápido se duas

palavras são iguais


Solução: Porta XOR e porta NOR

Aplicação de Portas Lógicas

• Ex:

– Alerta de cinto de segurança não afivelado


1 1 1

0 0 1

0 1 0

0 0 0

campainha Cinto desafi-velado

ignição

Solução:

Porta AND

Exemplos

• (A E B) OU C


A

0

0

0

0

1

1

1

1

B

0

0

1

1

0

0

1

1

C

0

1

0

1

0

1

0

1

A E B

0

0

0

0

0

0

1

1

C

0

1

0

1

0

1

0

1

(A E B) OU C

0

1

0

1

0

1

1

1

Resumo


Exemplo 1

• Composição de operações lógicas:


Exemplo 2



Exemplo 3



Exemplo 4

• Representação por Tabela Verdade


Exemplo 5

• Representação por Tabela Verdade


Equivalência de expressões Lógicas

● Uma expressão booleana pode ser representada por mais de um circuito lógico

● Dados dois circuitos, como saber se eles são equivalentes (possuem a mesma expressão lógica)? – Tabela verdade

• Se os resultados da tabela verdade são iguais, então são equivalentes

• Se os resultados da tabela verdade são diferentes, então não são equivalentes


Equivalência de expressões Lógicas

● Exemplo 1:

● Exemplo 2:


Exercícios

• Faça a tabela-verdade dos circuitos combinatórios (portas lógicas):

1)

2)


Exercícios

3) Represente a função F = A.B + A.B usando portas lógicas e a tabela verdade (tabela de combinações).

4) Verifique se as expressões abaixo são equivalentes:


Exercícios

5) Dadas as seguintes proposições: A = 3, B = 10, C = 21 e D = 8 Determine o resultado de: a) A < B b) ~(C < B) c) (A > D) + (C > D) d) (C < B) + ~(A < A) e) ~((D < B) . (C < B)) f) (B > C) + (A > D) g) (C < D) + ((D < A) . ((A < D) + (B > D))) h) ~(D > C) + ~(A > B) i) ~(((A < D) + (A = B)) . (A < 3)) j) (9 > C) + (C < C) . ~(D > 2)


Agradecimentos

• Ao Prof. Dr. Bruno Feres, do BCT/UFMA

• Ao Prof. Dr. Sergio Souza Costa, do BCT/UFMA

• Ao Prof. Me. Geraldo Braz, DEINF/UFMA

• Ao Prof. Me. Osvaldo Silva Sousa Junior, NTI/UFMA


Referências

• TANENBAUM, A. S. Organização Estruturada de Computadores. 5ª Ed. São Paulo: Prentice-Hall, 2007.

• MARÇULA, M.; BENINI FILHO, P. A. Informática Conceitos e Aplicações. 3ª Ed. São Paulo: Érica, 2008;

• VELLOSO, F. C. Informática Conceitos Básicos. 8.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011.


Perguntas....


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