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Ano 2016

PFC Aulas 01 a

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário FATORIAL ................................................................................................................................................................. 2

FATORIAL ................................................................................................................................................................. 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

PFC .......................................................................................................................................................................... 3

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM (PFC) ............................................................................................... 3

PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 3

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO ................................................................................................................................... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

PROBLEMAS QUE ENVOLVEM PFC .......................................................................................................................... 4

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

PRINCÍPIO ADITIVO .................................................................................................... Erro! Indicador não definido.

................................................................................................................................... Erro! Indicador não definido.

................................................................................................................................... Erro! Indicador não definido.

PRINCÍPIO ADITIVO ................................................................................................................................................. 3

................................................................................................................................... Erro! Indicador não definido.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ................................................................................. Erro! Indicador não definido.

MÉTODO DESTRUTIVO ............................................................................................................................................ 5

MÉTODO DESTRUTIVO ............................................................................................................................................ 5

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

FATORIAL FATORIAL Seja 𝑛 ∈ ℕ. Define-se o fatorial de 𝑛, denotado por 𝑛!,

como

𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ ⋯ ⋅⋅ 2 ⋅ 1

para 𝑛 ≥ 2 e define-se, também, que

1! = 1 e 0! = 1.

Exemplo 1.1: Tem-se os seguintes resultados de

fatorais

2! = 2 ⋅ 1 = 2

3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720

Observe que para o fatorial de 6 tem-se a relação

6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

6! = 6 ⋅ 5!

Ou mais ainda,

6! = 6 ⋅ 5! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!

Pode-se agrupar as 𝑛 − 1 parcelas em um único

fatorial. Assim,

𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1)! ; 𝑛 ≥ 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule

a. 3! − 2!

b. 7!

c. 3! ⋅ 2!

d. 7! − 6!

e. 5!

6!

f. 9!

10!

g. 3!

4!+

4!

5!

h. 8!⋅6!

7!⋅7!

i. 11!+9!

10!

j. 21!−3⋅20!

19!

Obs.1: Em questões que envolvem divisão de fatorial

com soma no numerador ou denominador, desenvolva

todos os fatorais envolvidos até o menor entre eles,

para então cancelar.

1.2. Satisfeitas as condições de existência, simplifique

as expressões:

a. (𝑛+3)!

(𝑛+1)!

b. (𝑛+1)!−𝑛!

𝑛!

c. (𝑛+1)!−𝑛!

𝑛!−(𝑛−1)!

1.3. Determine o conjunto-solução das equações:

a. 𝑛! = 24

b. (𝑥 − 5)! = 1

c. 𝑛!

(𝑛−1)!= 4

d. (𝑛!)2 − 100(𝑛!) = 2400

1.4. (UEL) Se o número natural 𝑛 é tal que 𝑛!+2⋅(𝑛−1)!

(𝑛−2)!= 18, então 𝑛 é um número:

a. Menor que 3.

b. Maior que 10.

c. Divisível por 5.

d. Divisível por 2.

e. Múltiplo de 7.

Obs.2: Nas equações que envolvem fatoriais, lembre-

se de verificar as condições de existência.

Entendendo o fatorial

Entenda o fatorial de um número 𝑛 como o

produto dos números naturais não nulos até 𝑛

(considerando o próprio 𝑛).

O fato de podermos agrupar uma subparte do

fatorial em um outro fatorial é muito importante em

questões de simplificação, para assim evitarmos

contas exaustivas

v

v

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3

AULA 02

PFC PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

CONTAGEM (PFC)

PRELIMINAR 1 Na montagem de um combo em uma determinada

lanchonete, um cliente possui três opções de

sanduíche (frango, presunto e atum) e duas opções de

suco (laranja e uva). De quantas maneiras distintas o

combo pode ser montado?

Obs.3: A organização acima é chamada de diagrama

de flechas.

Perceba que pode-se montar 6 combos distintos. Por

outro lado

3 ⋅ 2 = 6,

onde 3 é o número de escolhas de sanduíche e 2 de

sucos.

Se fosse dado mais uma opção de sanduíche,

seria possível formar 4 ⋅ 2 = 8 combos

distintos.

Se fosse dado, além de mais uma opção de

sanduíche, duas opções de sobremesa, seria

possível formar 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 comcos

distintos.

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Seja uma sequência de 𝑘 termos

(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑘)

na qual

𝑎1 pode ser escolhido entre 𝑛1 possibilidades

𝑎2 pode ser escolhido entre 𝑛2 possibilidades

𝑎3 pode ser escolhido entre 𝑛3 possibilidades

⋮

𝑎𝑘 pode ser escolhido entre 𝑛𝑘 possiblidades

O total de maneiras que podemos formar a sequência

é

𝑛1 ⋅ 𝑛2 ⋅ 𝑛3 ⋅ … ⋅ 𝑛𝑘

PRINCÍPIO ADITIVO Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos disjuntos (𝐴 ∩ 𝐵 = ∅).

Tem-se que

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵)

Como resolver um problema de PFC?

1º - Se coloque no lugar de quem monta a sequência

2- Determine o número de decisões a se tomar para

que a sequência seja montada

3º- Determine quantas possiblidades existem em cada

decisão.

4º-Utilize o PFC, caso a ordem dos elementos

importe.

v

Entendendo o princípio aditivo

O princípio aditivo garante, basicamente, que para

calcular o número de elementos de um conjunto

podemos particiona-lo em dois subconjuntos e fazer

a contagem separadamente, sendo que eles não

possuam elementos em comum, ou seja, em um

problema de contagem, se necessário, é possível

fazer a contagem em subcasos.

Por exemplo, se é desejado contar quantos são os

números pares, podemos calcular separadamente o

número de casos que terminam em 𝟎, depois em 𝟐,

em 𝟒, em 𝟔, em 𝟖 e finalmente, somar os valores

obtidos.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4

Obs.4: O conectivo “ou” geralmente indica método

aditivo.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Utilizando os algarismos do sistema decimal

determine:

a) Quantos números de quatro algarismos podem ser

formados?

b) Quantos números de quatro algarismos distintos

podem ser formados?

c) Quantos números pares de quatro algarismos

podem ser formados?

d) Quantos números pares de quatro algarismos

distintos podem ser formados?

e) Quantos números divisíveis por 5 de quatro

algarismos podem ser formados?

f) Quantos números divisíveis por 5 de quatro

algarismos distintos podem ser formados?

g) Quantos números de quatro algarismos tem pelo

menos dois algarismos repetidos?

g) Quantos números de quatro algarismos distintos

são maiores que 4326?

2.2 Uma senha bancária é composta de duas letras

distintas seguidas por quatro algarismos.

a) Quantas senhas podem ser formadas?

b) Quantas senhas contém apenas algarismos ímpares?

AULA 03 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM PFC

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1 Um encontro anual de pecuaristas será realizado

durante 5 anos consecutivos. A sede do encontro, em

cada ano, deverá ser escolhida entre 7 cidades.

a) De quantas formas distintas podem ser escolhidas

as sedes se a organização não pretende realizar o

encontro em uma mesma sede mais de uma vez?

b) De quantas formas distintas pode ser feita a

escolha se a sede de um ano não pode ser igual a do

ano anterior?

3.2 (UnB) Para ir de um acampamento 𝐴 para um

acampamento 𝐵, um escoteiro dispõe de 4 trilhas

diferentes, enquanto para ir de 𝐵 para 𝐶 existem 6

trilhas distintas (qualquer trajeto de 𝐴 a 𝐶, ou vice-

versa, deve passar por 𝐵. Com base nisso, julgue os

itens.

(A) Se um escoteiro pretende ir de 𝐴 até 𝐶 e

voltar a A sem utilizar, no percurso de volta,

qualquer trecho do trajeto utilizado na ida,

então ele dispõe de 360 maneiras distintas de

fazer o percurso.

(B) Se o escoteiro deseja fazer o percurso de ida e

volta de 𝐴 a 𝐶, podendo repetir na volta a

mesma trilha entre 𝐵 e 𝐶 utilizada na ida, mas

não a trilha para ir de 𝐴 a 𝐵, então o número

de possíveis trajetos é 576.

(C) Admitindo que as trilhas de 𝐵 a 𝐶 estejam

numeradas de 1 a 6 e que o escoteiro deseja

fazer o percurso de 𝐴 até 𝐶 e voltar até 𝐵,

sem repetir na volta a paridade da trilha de 𝐵

a 𝐶 usada na ida, então o número de trajetos

é igual a 48.

3.3 De quantas maneiras podemos classificar os

quatro empregados de uma microempresa nas

categorias A e/ou B, se cada empregado pode

pertencer às duas categorias?

3.4. (UnB) Num determinado experimento, o

pesquisador atribui valor 𝐴 ou 𝐵 se o resultado cai

acima ou abaixo de um determinado nível. Após 5

experimentos, determine quantas sequências (de A e

B) diferentes podem ocorrer.

3.5. Esmeralda possui 8 livros de matemática, 6 de

física e 3 de química. De quantas formas ela pode

escolher dois deles com matérias distintas para

estudar?

3.6. Considere três acampamentos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Existem 5

trilhas de 𝐴 para 𝐵, 3 trilhas de 𝐵 para 𝐶 e 2 trilhas de

𝐴 para 𝐶. De quantas maneiras distintas pode-se ir de

𝐴 até 𝐶, passando ou não por 𝐵.

3.7. A senha de um cadeado é formada por uma

sequência de quatro letras, escolhidas entre as 26 do

alfabeto.

a) Quantas senhas podemos formar?

b) Quantas senhas com quatro letras distintas

podemos formar?

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c) Quantas senhas começando por vogal podem ser

formadas?

d) Quantas senhas de letras distintas podem ser

formadas começando e terminando por vogal?

AULA 04

MÉTODO DESTRUTIVO

MÉTODO DESTRUTIVO Pelo princípio aditivo, temos que

𝑛(Ω) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐴𝑐).

O termo 𝑛(Ω) simboliza o total de elementos do

nosso problema e 𝐴𝑐 é o complementar de 𝐴.

Isolando qualquer um dos termos do 2º membro,

temos que

𝑛(𝐴) = 𝑛(Ω) − 𝑛(𝐴𝑐).

Assim, o número de elementos do conjunto 𝐴 pode

ser obtido pegando o total de elementos e retirando

tudo que não está em 𝐴.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1 (PUC) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores

independentes. O número de modos de iluminar a

sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é

a) 63.

b) 79.

c) 127.

d) 182.

e) 201.

Obs.5: Os termos pelo menos, no máximo e no mínimo

costumam indicar questões de método destrutivo.

4.2 Ana, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo vão a

uma montanha russa, onde devem se sentar

formando uma fila. De quantos modos podemos

formar essa fila, sendo que Ana e Bernardo não

podem ficar lado a lado, pois acabaram de ter uma

briga feia.