Aulas 01 a - matdigitalegp.files.wordpress.com · EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... fatorial em um outro...
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Ano 2017
PFC Aulas 01 a
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário FATORIAL ................................................................................................................................................................. 2
FATORIAL ................................................................................................................................................................. 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
PFC .......................................................................................................................................................................... 3
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM (PFC) ............................................................................................... 3
PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 3
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO ................................................................................................................................... 3
PRINCÍPIO ADITIVO ................................................................................................................................................. 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
PROBLEMAS QUE ENVOLVEM PFC .......................................................................................................................... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
MÉTODO DESTRUTIVO ............................................................................................................................................ 5
MÉTODO DESTRUTIVO ............................................................................................................................................ 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01
FATORIAL FATORIAL Seja 𝑛 ∈ ℕ. Define-se o fatorial de 𝑛, denotado por 𝑛!,
como
𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ ⋯ ⋅⋅ 2 ⋅ 1
para 𝑛 ≥ 2 e define-se, também, que
1! = 1 e 0! = 1.
Exemplo 1.1: Tem-se os seguintes resultados de
fatorais
2! = 2 ⋅ 1 = 2
3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720
Observe que para o fatorial de 6 tem-se a relação
6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
6! = 6 ⋅ 5!
Ou mais ainda,
6! = 6 ⋅ 5! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!
Pode-se agrupar os 𝑛 − 1 fatores em um único
fatorial. Assim,
𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1)! ; 𝑛 ≥ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule
a. 3! − 2!
b. 7!
c. 3! ⋅ 2!
d. 7! − 6!
e. 5!
6!
f. 9!
10!
g. 3!
4!+
4!
5!
h. 8!⋅6!
7!⋅7!
i. 11!+9!
10!
j. 21!−3⋅20!
19!
Obs.1: Em questões que envolvem divisão de fatorial
com soma no numerador ou denominador, desenvolva
todos os fatorais envolvidos até o menor entre eles,
para então cancelar.
1.2. Satisfeitas as condições de existência, simplifique
as expressões:
a. (𝑛+3)!
(𝑛+1)!
b. (𝑛+1)!−𝑛!
𝑛!
c. (𝑛+1)!−𝑛!
𝑛!−(𝑛−1)!
1.3. Determine o conjunto-solução das equações:
a. 𝑛! = 24
b. (𝑥 − 5)! = 1
c. 𝑛!
(𝑛−1)!= 4
d. (𝑛!)2 − 100(𝑛!) = 2400
1.4. (UEL) Se o número natural 𝑛 é tal que 𝑛!+2⋅(𝑛−1)!
(𝑛−2)!= 18, então 𝑛 é um número:
a. Menor que 3.
b. Maior que 10.
c. Divisível por 5.
d. Divisível por 2.
e. Múltiplo de 7.
Obs.2: Nas equações que envolvem fatoriais, lembre-
se de verificar as condições de existência.
Entendendo o fatorial
Entenda o fatorial de um número 𝑛 como o
produto dos números naturais não nulos até 𝑛
(considerando o próprio 𝑛).
O fato de podermos agrupar uma subparte do
fatorial em um outro fatorial é muito importante em
questões de simplificação, para assim evitarmos
contas exaustivas
v
v
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AULA 02
PFC PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA
CONTAGEM (PFC)
PRELIMINAR 1 Na montagem de um combo em uma determinada
lanchonete, um cliente possui três opções de
sanduíche (frango, presunto e atum) e duas opções de
suco (laranja e uva). De quantas maneiras distintas o
combo pode ser montado?
Obs.3: A organização acima é chamada de diagrama
de flechas.
Perceba que pode-se montar 6 combos distintos. Por
outro lado
3 ⋅ 2 = 6,
onde 3 é o número de escolhas de sanduíche e 2 de
sucos.
• Se fosse dado mais uma opção de sanduíche,
seria possível formar 4 ⋅ 2 = 8 combos
distintos.
• Se fosse dado, além de mais uma opção de
sanduíche, duas opções de sobremesa, seria
possível formar 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 combos
distintos.
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO O princípio multiplicativo para duas decisões pode ser
descrito como segue:
Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e
se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder
ser tomada de y maneiras, então o número de
maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é x y .
Este princípio pode ser estendido para n decisões.
PRINCÍPIO ADITIVO Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos disjuntos (𝐴 ∩ 𝐵 = ∅).
Tem-se que
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵)
Obs.4: O conectivo “ou” geralmente indica método
aditivo.
Como resolver um problema de PFC?
1º - Se coloque no lugar de quem monta a sequência
2- Determine o número de decisões a se tomar para
que a sequência seja montada
3º- Determine quantas possiblidades existem em cada
decisão levando em conta as decisões já tomadas.
Entendendo o princípio aditivo
O princípio aditivo garante, basicamente, que para
calcular o número de elementos de um conjunto
podemos o particionar em dois subconjuntos
disjuntos e fazer a contagem separadamente, ou
seja, em um problema de contagem, se necessário, é
possível fazer a contagem em subcasos.
Por exemplo, se é desejado contar quantos são os
números pares, podemos calcular separadamente o
número de casos que terminam em 𝟎, depois em 𝟐,
em 𝟒, em 𝟔, em 𝟖 e finalmente, somar os valores
obtidos.
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Utilizando os algarismos do sistema decimal
determine:
a) Quantos números de quatro algarismos
podem ser formados?
b) Quantos números de quatro algarismos
distintos podem ser formados?
c) Quantos números pares de quatro algarismos
podem ser formados?
d) Quantos números pares de quatro algarismos
distintos podem ser formados?
e) Quantos números divisíveis por 5 de quatro
algarismos podem ser formados?
f) Quantos números divisíveis por 5 de quatro
algarismos distintos podem ser formados?
g) Quantos números de quatro algarismos tem
pelo menos dois algarismos repetidos?
h) Quantos números de quatro algarismos
distintos são maiores que 4326?
2.2 Uma senha bancária é composta de duas letras
distintas seguidas por quatro algarismos.
a) Quantas senhas podem ser formadas?
b) Quantas senhas contém apenas algarismos
ímpares?
AULA 03 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM PFC
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1 Um encontro anual de pecuaristas será realizado
durante 5 anos consecutivos. A sede do encontro, em
cada ano, deverá ser escolhida entre 7 cidades.
a) De quantas formas distintas podem ser escolhidas
as sedes se a organização não pretende realizar o
encontro em uma mesma sede mais de uma vez?
b) De quantas formas distintas pode ser feita a
escolha se a sede de um ano não pode ser igual a do
ano anterior?
3.2 (UnB) Para ir de um acampamento 𝐴 para um
acampamento 𝐵, um escoteiro dispõe de 4 trilhas
diferentes, enquanto para ir de 𝐵 para 𝐶 existem 6
trilhas distintas (qualquer trajeto de 𝐴 a 𝐶, ou vice-
versa, deve passar por 𝐵. Com base nisso, julgue os
itens.
(A) Se um escoteiro pretende ir de 𝐴 até 𝐶 e
voltar a A sem utilizar, no percurso de volta,
qualquer trecho do trajeto utilizado na ida,
então ele dispõe de 360 maneiras distintas de
fazer o percurso.
(B) Se o escoteiro deseja fazer o percurso de ida e
volta de 𝐴 a 𝐶, podendo repetir na volta a
mesma trilha entre 𝐵 e 𝐶 utilizada na ida, mas
não a trilha para ir de 𝐴 a 𝐵, então o número
de possíveis trajetos é 576.
(C) Admitindo que as trilhas de 𝐵 a 𝐶 estejam
numeradas de 1 a 6 e que o escoteiro deseja
fazer o percurso de 𝐴 até 𝐶 e voltar até 𝐵,
sem repetir na volta a paridade da trilha de 𝐵
a 𝐶 usada na ida, então o número de trajetos
é igual a 48.
3.3 De quantas maneiras podemos classificar os
quatro empregados de uma microempresa nas
categorias A e/ou B, se cada empregado pode
pertencer às duas categorias?
3.4. (UnB) Num determinado experimento, o
pesquisador atribui valor 𝐴 ou 𝐵 se o resultado cai
acima ou abaixo de um determinado nível. Após 5
experimentos, determine quantas sequências (de A e
B) diferentes podem ocorrer.
3.5. Esmeralda possui 8 livros de matemática, 6 de
física e 3 de química. De quantas formas ela pode
escolher dois deles com matérias distintas para
estudar?
3.6. Considere três acampamentos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Existem 5
trilhas de 𝐴 para 𝐵, 3 trilhas de 𝐵 para 𝐶 e 2 trilhas de
𝐴 para 𝐶. De quantas maneiras distintas pode-se ir de
𝐴 até 𝐶, passando ou não por 𝐵.
3.7. A senha de um cadeado é formada por uma
sequência de quatro letras, escolhidas entre as 26 do
alfabeto.
a) Quantas senhas podemos formar?
b) Quantas senhas com quatro letras distintas
podemos formar?
c) Quantas senhas começando por vogal podem ser
formadas?
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d) Quantas senhas de letras distintas podem ser
formadas começando e terminando por vogal?
AULA 04
MÉTODO DESTRUTIVO MÉTODO DESTRUTIVO Pelo princípio aditivo, temos que
𝑛(Ω) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐴𝑐).
O termo 𝑛(Ω) simboliza o total de elementos do
nosso problema e 𝐴𝑐 é o complementar de 𝐴.
Isolando qualquer um dos termos do 2º membro,
temos que
𝑛(𝐴) = 𝑛(Ω) − 𝑛(𝐴𝑐).
Assim, o número de elementos do conjunto 𝐴 pode
ser obtido pegando o total de elementos e retirando
tudo que não está em 𝐴.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1 (PUC) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores
independentes. O número de modos de iluminar a
sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é
a) 63.
b) 79.
c) 127.
d) 182.
e) 201.
Obs.5: Os termos pelo menos, no máximo e no mínimo
costumam indicar questões de método destrutivo.
4.2 Ana, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo vão a
uma montanha russa, onde devem se sentar
formando uma fila. De quantos modos podemos
formar essa fila, sendo que Ana e Bernardo não
podem ficar lado a lado, pois acabaram de ter uma
briga feia.
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS 1. Calcule a expressão
4 ⋅ 31! − 6 ⋅ 30!
118 ⋅ 29!
2. Satisfeitas as condições de existência, simplifique
as expressões
a) 𝑛!−(𝑛+1)!
𝑛!
b) 𝑛!−(𝑛−1)!
(𝑛+1)!+(𝑛+2)!
3. Resolva a equação
(𝑛 − 1)! ⋅ (𝑛 + 1)!
(𝑛!)2
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1.
QUESTÕES EXTRAS 1. 30
2. a) −𝑛 b) (𝑛−1)2
𝑛
3. {4}
TAREFA 1 – No capítulo “Análise combinatória 1”, no
2º período, fazer as questões do Praticando em Sala de
Aula (PSA) de 1 a 10.