Aulas de PO Prof Edilson Assis 1 de 2opt

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

PESQUISA PESQUISA OPERACIONALOPERACIONAL

PROF. EDILSON M. PROF. EDILSON M. DE ASSISDE ASSIS

2


JustificativaJustificativa

Atualmente, no mundo dos negAtualmente, no mundo dos negóócios cios buscambuscam--se modelos de atividades e se modelos de atividades e comportamentos necesscomportamentos necessáários ao rios ao fortalecimento das organizafortalecimento das organizaçções, voltados ões, voltados a oferecer a satisfaa oferecer a satisfaçção a seus ão a seus proprietproprietáários, trabalhadores, fornecedores rios, trabalhadores, fornecedores e consumidores.e consumidores.

3


A disputa pela conquista de maiores fatias A disputa pela conquista de maiores fatias do mercado consumidor, o enfrentamento do mercado consumidor, o enfrentamento da concorrência, a busca pela qualidade da concorrência, a busca pela qualidade do servido serviçço ou do produto e melhoria do o ou do produto e melhoria do ambiente social tornaramambiente social tornaram--se desafios se desafios constantes em todos os ramos da constantes em todos os ramos da atividade humana. atividade humana. Maximizar os Maximizar os resultados e minimizar os dispêndios, resultados e minimizar os dispêndios, solucionando os problemas da melhor solucionando os problemas da melhor maneira possmaneira possíível por meio de modelos vel por meio de modelos matemmatemááticos tornouticos tornou--se um imperativo no se um imperativo no mundo competitivo em que vivemos.mundo competitivo em que vivemos.

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CONHECIMENTOS NECESSCONHECIMENTOS NECESSÁÁRIOS:RIOS:

OPERAOPERAÇÇÕES MATEMÕES MATEMÁÁTICAS BTICAS BÁÁSICASSICAS

OPERAOPERAÇÇÕES COM FRAÕES COM FRAÇÇÕESÕES

EQUAEQUAÇÇÕES E INEQUAÕES E INEQUAÇÇÕESÕES

GRGRÁÁFICO CARTESIANOFICO CARTESIANO

FUNFUNÇÇÃO LINEARÃO LINEAR

5


Bibliografia (deste material)Bibliografia (deste material)

Andrade, E. L. Andrade, E. L. IntroduIntroduçção ão àà Pesquisa Pesquisa Operacional.Operacional.CTC Editora,1998.CTC Editora,1998.

EhrlichEhrlich, Pierre J. , Pierre J. Pesquisa operacional: Pesquisa operacional: curso introdutcurso introdutóóriorio. São Paulo: Atlas, . São Paulo: Atlas, 1991.1991.

LachtermacherLachtermacher, Gerson. , Gerson. Pesquisa Pesquisa Operacional na tomada de decisõesOperacional na tomada de decisões. . Editora Campus. Rio de Janeiro,2002.Editora Campus. Rio de Janeiro,2002.

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Bibliografia (deste material)Bibliografia (deste material)

Oberstone, Joelee. Management Science concepts, insights and applications. West Publishing Company. St.Paul.1990.

Silva, E.M.; Silva, E.M.; GonSilva, E.M.; Silva, E.M.; Gonççalves V.; alves V.; MuroloMurolo, A.C. , A.C. Pesquisa Operacional: Pesquisa Operacional: ProgramaProgramaçção Linear e Simulaão Linear e Simulaççãoão. 3a . 3a ediediçção. Editora Atlas,1998.ão. Editora Atlas,1998.

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Conceito

A Pesquisa Operacional trata da busca da melhor utilização técnica, econômica, social ou política de recursos e processos, por meio da aplicação de métodos científicos, visando a maior satisfação do usuário. De um ponto de vista mais específico a Pesquisa Operacional cuida da modelagem matemática aplicada à área de negócios.

Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional

8


IntroduçãoA ciência da administração

(Management Sciences) é a área de estudos que utiliza computadores, estatística e matemática para resolver problemas de negócios sendo considerada uma subárea da Pesquisa Operacional. Há poucos anos as sociedades que estudavam separadamente as duas áreas de estudo se fundiram e aqui no Brasil foi criada a SOBRAPO – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional.


9


Introdução

O desenvolvimento de um trabalho de P.O envolve equipes multi-disciplinares para a aplicação dos métodos científicos a problemas reais encontrados nos sistemas de produção de bens e serviços, como ferramenta auxiliar para a tomada de decisões, em quaisquer setores e níveis da economia


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Histórico

Na década de 50, professores da USP, ITA e PUC-RJ, com formação no exterior, criaram os primeiros cursos de graduação que incluíam disciplinas de P.O, como o de Engenharia da Produção, e que foram incluídas também em outros cursos, jáexistentes, como os de Economia, Engenharia, Matemática e Estatística.


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HistóricoA partir de 1960, a criação de cursos de pós-graduação na área de P.O e a aquisição dos primeiros computadores multiplicaram as possibilidades de sua aplicação. Várias empresas começaram a utilizar a P.O, estreitando um proveitoso relacionamento com as Universidades. O primeiro exemplo desta relação foi o da PUC-RJ com as empresas SOCIL e Anhanguera, para o desenvolvimento de programas de minimização de custo de rações para animais, usando Programação Linear.


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Os principais setores a empregar técnicas de P.O, na época, foram:1 - Siderurgia (CSN, Cia. Vale do Rio Doce)2 - Eletricidade (Cia Nacional de Energia Elétrica)3 - Transportes (FRONAPE)4 - Petróleo (PETROBRÁS, ESSO)5 - TelecomunicaçõesEm função da grande aplicabilidade de seus conceitos, incluindo grandes projetos em obras estatais, foi criada, em 1968, a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional – SOBRAPO


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Histórico

A década de 70 consolidou a P.O, no Brasil, com um maior interesse das empresas e um maior contingente de profissionais habilitados na área, permitindo a formação de grupos próprios de P.O, visando a solução de problemas táticos e o planejamento estratégico, naquelas empresas.


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Histórico

Nos anos seguintes, embora consolidada, a P.O. aplicada ao planejamento estratégico de empresas, perdia o sentido frente à situação imprevisível da economia nacional. Ao mesmo tempo, no entanto, houve grande incremento do instrumental científico, com o desenvolvimento de softwares e dos microcomputadores.


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Histórico

Na década de 90 a P.O ganha um novo impulso, nesta década, nas áreas de:

• administração (tomada de decisões), visando a qualidade dos processos de produção e• atendimento (serviços, desenvolvimento de linhas de produtos, comercialização e marketing).


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Trabalhos por área em 24 simpósios da SOBRAPO


5,0%Agropecuária6,5%Siderurgia8,0%Telecomunicações8,0%

Planejamento e Controle da Produção

9,0%Logística11,5%Economia e Finanças19,0%Energia21,0%Transportes

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Fases de um Estudo em P.O.Fases de um Estudo em P.O.

Um estudo em Pesquisa Operacional costuma envolver seis fases:

1.Formulação do problema;2.Construção do modelo do sistema;3.Cálculo da solução;4.Teste do modelo e da solução;5.Estabelecimento de controles da

solução;6. Implementação e acompanhamento;

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Formulação do Problema1.Colocar o problema de maneira clara e

coerente.2.Definir os objetivos a alcançar e quais

os possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra.

3.Levantar as limitações técnicas do sistema e as relações desse sistema com outros ou ambiente externo

4.Criar uma medida de eficiência para o sistema.

FASE 1FASE 1

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Construção do Modelo do SistemaOs modelos são matemáticos, isto é,

modelos formados por um conjunto de equações e inequações.

Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta é a função objetivo.

As inequações geralmente descrevem as limitações ou restrições técnicas do sistema. As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:

FASE 2FASE 2

20


Construção do Modelo do Sistema

As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:

• Variáveís controladas ou de decisão -são variáveis cujo valor está sob controle do administrador.

• Variáveis não controladas - são as variáveis cujos valores são atribuídos por sistemas fora do controle do administrador

FASE 2FASE 2

21


Construção do Modelo do Sistema

As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:

• Variáveís controladas ou de decisão -são variáveis cujo valor está sob controle do administrador.

• Variáveis não controladas - são as variáveis cujos valores são atribuídos por sistemas fora do controle do administrador

FASE 2FASE 2

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Cálculo da solução

É feito através de técnicas matemáticas específicas.

A construção do modelo deve levar em consideração disponibilidade de uma técnica para o cálculo da solução.

FASE 3FASE 3

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Teste do modelo e da solução• Se houver dados históricos, eles serão

aplicados no modelo, gerando um desempenho que pode ser comparado ao observado no sistema. Se o desvio verificado não for aceitável, reformular o abandonar o modelo

• Se não houver dados históricos, os dados serão anotados com o sistema funcionando sem interferência até que permitam que o teste possa ser realizado.

FASE 4FASE 4

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Estabelecimento de controles da soluçãoPara a construção e experimentação do

modelo são criados parâmetros.

Qualquer mudança nesses parâmetros deverá ser controlada para garantir a validade da solução adotada.

Caso alguns desses parâmetros sofra desvio além do permitido, o cálculo de nova solução ou mesmo a reformulação do modelo poderá ser necessária.

FASE 5FASE 5

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Implementação e acompanhamento

Nesta fase, a solução será apresentada ao administrador, evitando-se o uso da linguagem técnica.

O uso da linguagem simples facilita a compreensão e a boa vontade para a implantação que está sendo sugerida.

Importante acompanhar o comportamento do sistema.

FASE 6FASE 6

26


TEORIA

DAS

FILAS

27


Introdução

Teoria das filas é o estudo matemático das linhas de espera. O primeiro trabalho importante feito neste campo foi realizado pelo engenheiro A. K. Erlang. Erlangmodelou a flutuação na demanda dos serviços de telefonia e a capacidade da companhia telefônica lidar com esta demanda.

Teoria das FilasTeoria das Filas

28


Introdução

Linhas de espera são um fenômeno comum. Elas ocorrem toda vez que a demanda instantânea por um serviço excede a capacidade de atendimento. Em negócios, freqüentemente tem que se tomar decisões sobre o nível de serviço a oferecer. Oferecer um serviço de nível excepcionalmente alto é muito custoso.


29


Introdução

Por outro lado, não oferecer serviços suficientemente eficazes, provoca longas filas de espera e perdas financeiras. Assim a meta do administrador deve ser encontrar o equilíbrio entre a demanda e a oferta de um serviço.


30


Exemplos de aplicaçãoA Teoria das Filas é uma das mais

antigas técnicas da ciência de administração. Sua aplicação data do início do século XX. A seguir, alguns casos de aplicação:

•Serviço de embarque de passageiros em aeroportos (1979)•Alocação de leitos em albergues públicos (1981)


31


Exemplos de aplicação

•Análise de falta de combustíveis (1974)•Projeto de um sistema de denúncias por telefone do Centro de Abusos Contra a Criança do Estado de Nova Iorque (1979)•Desenvolvimento de unidades de serviço de emergência (1975)•Análise do tempo de viagem de rádio-patrulhas da cidade de Nova Iorque (1987)


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Consideração sobre estado estávelÉ importante manter em mente que

em todos os casos aqui tratados, assume-se que o sistema opera em estado estável.

De fato, a grande maioria dos sistemas de espera opera em estado estável ou próximo destas condições. Esta simplificação é muito útil pois a análise de transientes é muito difícil e nos casos mais complexos pode ser matematicamente intratável.


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O Sistema de FilaA figura abaixo detalha um sistema

de fila.


Fila (clientes)

Entrada Saída

Unidade de Atendimento

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Definições:Cliente - unidade de chegada que requer atendimento. Ex.: pessoas, peças, máquinas, etc.

Fila (linha de espera) - número de clientes esperando atendimento. Não inclui o cliente que está sendo atendido.

Canal de Atendimento - processo ou sistema que realiza o atendimento do cliente. Pode ser canal único ou múltiplo.


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Exemplos de Sistemas de Filas

Situação Processo de Entrada Processo de Saída

Banco Usuários chegando ao banco Usuário atendido pelo caixa

Atendimento em pizzaria Pedido para entrega de pizza Pizzaria envia pizzas para o cliente


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Exemplos de Sistemas de Filas

Banco de Sangue Chegada de bolsa com sangue Bolsa usada por paciente

Estaleiro de Navios Navio necessitando reparo é enviado para o estaleiro Navio reparado volta o para o mar


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Parâmetros de operação das filas Taxa média de chegada - taxa

(clientes / unidade de tempo) segundo a qual os clientes chegam para ser atendidos.

Taxa média de atendimento - taxa (clientes / unidade de tempo) segundo a qual um canal de atendimento pode efetuar o atendimento de um cliente.

Fator de utilização para uma unidade de atendimento – proporção do tempo em que os atendentes estão ocupados.


λ

µ

ρ

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n Número de clientes no sistemac Número máximo de clientes permitidos em um sistema de fila com comprimento finitos Número de atendentes ou servidores.


39


Po Probabilidade de que nenhum cliente esteja no sistema.Pn Probabilidade de que exatamente n clientes estejam no sistemaL Número médio de clientes no sistema - número de clientes aguardando na fila mais os que estão sendo atendidosLq Número médio de clientes na fila -número de clientes que aguardam atendimento.


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W Tempo médio do cliente no sistema -tempo médio gasto pelo cliente na fila esperando para ser atendido mais o tempo de atendimento.

Wq Tempo médio de um cliente na Fila -tempo médio do cliente na fila esperando para ser atendido.


41


Ln Número médio de clientes em fila não vazia - número médio de clientes esperando em filas excluindo-se os tempos em que a fila está vazia.

Wn Tempo médio de espera para fila não vazia – tempo que um cliente aguarda em fila se ele tiver de esperar.


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Tamanho da população (finita ou infinita)

Infinita

Se a probabilidade de um cliente chegar não é significativamente alterada quando um ou mais membros da população estão sendo atendidos a população é dita infinita. A maioria dos sistemas de filas tem população infinita. Exemplo: pessoas que visitam Disneylândia.

CaracterCaracteríísticassticas

43


Finita

Uma população é considerada finita Se a probabilidade de um cliente chegar éalterada quando um ou mais membros da população estão sendo atendidos. Exemplo: pessoas de bom gosto que compram CDs de Tiririca.


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Padrão de chegada da população ( com horário pré-determinado ou aleatório).

Pré-determinado

Não há necessidade de se criar um modelo analítico. Se o padrão é aleatório então énecessário especificar o tipo de distribuição de probabilidade dos tempos entre chegadas ao sistema consecutivas.


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Padrão de chegada da população ( com horário pré-determinado ou aleatório).

AleatórioÉ necessário especificar o tipo de distribuição de probabilidade dos tempos entre chegadas ao sistema consecutivas.O tipo mais comum de padrão de chegada éa distribuição de Poisson. Neste caso, as chegadas ao sistema ocorrem aleatoriamente, mas com uma certa média λ.


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Tamanho da fila (finito ou infinito)

A fila é caracterizada pelo máximo número de clientes que pode conter. Este número pode ser considerado finito ou infinito e isto vai depender das limitações físicas do sistema (espaço disponível). É mais fácil trabalhar analiticamente filas de comprimento infinito.


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A disciplina da fila

A disciplina da fila é a ordem pela qual os clientes que chegam ao sistema são selecionados para serem atendidos.

Tipos : FCFS, LCFS, SIRO


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FCFS - first come, first served (o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido). É o tipo mais comum

LCFS - last come, first served (o último a chegar é o primeiro a ser atendido). Ex: uma pilha de pratos esperando para serem lavados. O último prato a ser colocado é o primeiro a ser lavado.


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SIRO - service in random order(atendimento em ordem aleatória).

Exemplo: Um pátio de uma concessionária na qual os carros esperam para serem comprados. A ordem de compra éaleatória.


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Número de canais de atendimento (singular ou múltiplo “n”)

O atendimento pode ser processado por meio de um único atendente ou por meio de dois ou mais canais de atendimento. No primeiro caso diz-se que o atendimento é feito por um canal e no segundo diz-se canal múltiplo.


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Teorema

Para qualquer sistema de filas no qual exista uma distribuição em regime constante, são válidas as seguintes relações:

L = λ.WLq = λ.WqLn = λ.Wn


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Cada Sistema de Filas é descrito por 6 características: (1 / 2 / 3) : (4 / 5 / 6)

(1) Tipo de tempos de chegada(2) Tipo de tempos de antendimento(3) Número de canais de atendimento(4) Número máximo de usuários no

sistema.(5) Tamanho da população que usa o

sistema.(6) Disciplina da fila: FCFS, LCFS, SIRO

NotaNotaçção de filasão de filas

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(1) Tipo de tempos de chegada (intervalos de tempo de chegada são indepedentese...)

M - aleatórios com distribuição exponencial

D - determinísticosE - aleatórios tendo distribuição de ErlangG – com distribuição genérica (pode

englobar as anteriores)


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(2) Tipo de tempos de atendimento (intervalos de tempo de chegada são indepedentes e...)

M - aleatórios com distribuição exponencial

D - determinísticosE - aleatórios tendo distribuição de ErlangG – com distribuição genérica (pode

englobar as anteriores)


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(3) Número de canais de atendimenton

(4) Número máximo de usuários no sistema.

c(5) Tamanho da população que usa o

sistema.

(6) Disciplina da filaFCFS, LCFS, SIRO ou G (genérica)


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Sistema de um canal com comprimento infinito de fila.

Este é o modelo básico para servidor simples. É o mais comum de todos.

Intervalo entre chegadas exponencial = MTempo de atendimento exponencial = M

Canais de atendimento = 1Capacidade do sistema = ∞Tamanho da população = ∞

Disciplina da fila = FCFS

Sistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)

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FórmulasSistema (M / M / 1) : (Sistema (M / M / 1) : (∞∞ / / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)

λρµ

=

1Po ρ= −

. nPn Po ρ=

L λµ λ

=−

( )2

.Lq λ

µ µ λ=

−

1Wµ λ

=−

( ).Wq λ

µ µ λ=

−58


Exemplo:

Pacientes chegam a um posto médico para receber a inoculação de uma vacina numa taxa de 100 pessoas por hora seguindo a distribuição de Poisson. Cada pessoa consome 15 segundos de uma única enfermeira que aplica a vacina. Os tempos de serviços realizados seguem a distribuição exponencial. Responda:


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Exemplo (continuação):a) Qual a chance de que um paciente que

acaba de chegar, não tenha que esperar?

b) Qual a chance de haver exatamente três pacientes no sistema?

c) Qual é o número médio de pacientes no sistema?

d) Qual o número médio de pacientes esperando na fila? (não inclua o paciente recebendo a vacina).


60


Exemplo (continuação):

e) Em média, quanto tempo um paciente gasta para chegar, receber a inoculação e sair?

f) Qual é o tempo médio de espera antes que o paciente possa estar com a enfermeira?


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Solução:

a) Qual a chance de que um paciente que acaba de chegar, não tenha que esperar?


λρµ

= = 0,417= 0,417

1Po ρ= − = 0,583= 0,583

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Solução:



P3 = 0,042P3 = 0,042. nPn Po ρ=

63


Solução:



L λµ λ

=−

L = 0,714 clientes

L = 0,714 clientes

64


Solução:



( )2

.Lq λ

µ µ λ=

−Lq = 0,298

clientesLq = 0,298

clientes

65


Solução



1Wµ λ

=−

W = 0,007143 h ou

W = 25,7 segundos

W = 0,007143 h ou

W = 25,7 segundos

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Solução



( ).Wq λ

µ µ λ=

−Wq = 0,002976 h ou

Wq = 10,7 segundos

Wq = 0,002976 h ou

Wq = 10,7 segundos

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Sistema de um canal com comprimento finito de fila.

O comprimento da fila agora é limitado. Este tipo de restrição não é usual mas épossível considerar os limites físicos de um sistema de filas.

Intervalo entre chegadas exponencial = MTempo de atendimento exponencial = M

Canais de atendimento = 1Capacidade do sistema = c Tamanho da população = ∞

Disciplina da fila = FCFS

Sistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)

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ObservaçãoQuando “c” clientes estão no sistema, se

chegar algum outro cliente, este vai embora e não volta mais.


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FórmulasSistema (M / M / 1) : (c / Sistema (M / M / 1) : (c / ∞∞ / FCFS)/ FCFS)

λρµ

=

1

11 cPo ρ

ρ +

−=

−

. com n cnPn Po ρ= ≤

( )1Lq L Po= − −

( ). 1LW

Pcλ=

−

( ) 1

1

1 .1 1

c

c

cL

ρρρ ρ

+

+

⎛ ⎞+= − ⎜ ⎟

− −⎝ ⎠

( ). 1LqWq

Pcλ=

−

70


Exemplo:Os pacientes chegam numa taxa de 100 pessoas por hora seguindo a distribuição de Poisson. Cada pessoa consome 15 segundos de uma única enfermeira que aplica a vacina. Os tempos de serviços realizados seguem a distribuição exponencial. Devido ao pequeno tamanho da sala de espera, a capacidade das instalações é igual a três pessoas.


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Qual o efeito desta restrição quando comparamos este novo sistema com o anterior? As perguntas são as mesmas. Responda:


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Exemplo (continuação):a) Qual a chance de que um paciente que

acaba de chegar, não tenha que esperar?





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Solução:

a) Qual a chance de que um paciente que acaba de chegar, não tenha que esperar?


λρµ

= = 0,417 (não mudou)= 0,417 (não mudou)

Era Po= 0,583Era Po= 0,583

1

11 cPo ρ

ρ +

−=

−Po= 0,601Po= 0,601

75


Solução:



P3 = 0,104P3 = 0,104. nPn Po ρ=

Era P3 = 0,042Era P3 = 0,042

76


Solução:



Era L = 0,714Era L = 0,714

( ) 1

1

1 .1 1

c

c

cL

ρρρ ρ

+

+

⎛ ⎞+= − ⎜ ⎟

− −⎝ ⎠L = 0,59 clientes

L = 0,59 clientes

77


Solução:



Era Lq = 0,298Era Lq = 0,298

( )1Lq L Po= − − Lq = 0,191Lq = 0,191

78


Solução



Era W = 25,7 segundosEra W = 25,7 segundos

( ). 1LW

Pcλ=

−W = 0,00616 h ou

W = 22,2 segundos

W = 0,00616 h ou

W = 22,2 segundos

79


Solução



Era Wq = 10,7 segundosEra Wq = 10,7 segundos

( ). 1LqWq

Pcλ=

−Wq=0,002 h ou

Wq = 7,19 segundos

Wq=0,002 h ou

Wq = 7,19 segundos

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1- Num sistema de atendimento composto de um único servidor e uma única fila oriunda de população infinita, os clientes chegam numa taxa de 3 pessoas/min. Sabendo que são atendidas 5 pessoas/min. e que sistema segue distribuição de Poisson, calcule:

a) O número médio de clientes no sistemab) O número médio de clientes na filac) A probabilidade do sistema estar ocioso

ExercExercíícios propostoscios propostos

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d) A probabilidade do sistema estar ocupado

e) O tempo médio de espera no sistemaf) O tempo médio de espera na fila


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2 - Resolva o exercício anterior considerando que o sistema agora tem capacidade limitada a c=4.


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MODELAGEM EMMODELAGEM EM

PROGRAMAPROGRAMAÇÇÃO LINEARÃO LINEAR

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Uma das técnicas mais utilizadas em Pesquisa Operacional é a programação linear. Exemplo:

Função objetivo a ser maximizada:Lucro = 2x1 + 3x2

Restrições: Técnicas 4x1+3x2 ≤10

6x1-x2 ≥ 20

Não negatividade x1 ≥ 0x2 ≥ 0

ProgramaProgramaçção Linearão Linear

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1 – Conhecimento do problemaTabela

2 – Variáveis de decisãox1, x2, ....

3 – Função objetivoEquação

4 – RestriçõesInequações e ou equações

5 – ModeloFunção objetivo e restrições

RoteiroRoteiro

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1 – Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. Os lucros unitários dos produtos P1 e P2 são R$1.000 e R$1.800 respectivamente. A empresa precisa de 20 h para fabricar uma unidade de P1 e de 30 h para P2. O tempo anual de produção disponível é de 1.200 h. A demanda anual esperada para cada produto é de 40 unidades para P1 e 30 para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso.

ExemploExemplo

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SoluSoluççãoão

1200Total disponível

30180030P240100020P1

DemandaLucroHoras necessáriasProdutos

1 – Conhecimento do problema

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2 – Variáveis de decisão

x1 = quantidade anual a produzir de P1x2 = quantidade anual a produzir de P2

3 – Função objetivo

O objetivo é maximizar o lucro:Lucro total: L = 1 000x1 + 1800x2

Objetivo: maximizar L = 1 000x1 + 1800x2

SoluSoluççãoão

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4 – Restriçõesa) Disponibilidade de horas para a produção:

1200 hHoras ocupadas com P1: 20x1Horas ocupadas com P2: 30x2

Total em horas ocupadas na produção: 20x1 + 30x2

disponibilidade: 1.200 horas.

Restrição: 20x1 + 30x2 ≤ 1200

SoluSoluççãoão

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4 – Restriçõesb) Disponibilidade de mercado para os

produtos (demanda)

Disponibilidade para P1: 40 unidadesRestrição: x1 ≤ 40

Disponibilidade para P2: 30 unidadesRestrição: x2 ≤ 30

SoluSoluççãoão

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5 – ModeloFunção objetivo e restrições

Maximizar L = 1000x1 + 1800x2Sujeito a:

20x1 + 30x2 ≤ 1200x1 ≤ 40x2 ≤ 30x1≥0x2≥0

SoluSoluççãoão

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2 – Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 un. por dia e a de proteínas de 36. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 un. de vitaminas e 6 un. de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 un. de vitaminas e 6 de proteínas.

Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível ?

ExemploExemplo

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Minimizar C = 3x1 + 2,5x2Sujeito a:

4x1 + 8x2 ≥ 326x1+6x2 ≥ 36x1≥0x2≥0

SoluSoluçção finalão final

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1 – Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1un de sapato e 1 un de couro para fabricar um cinto.

Sabendo-se que o total disponível de couro éde 6 un e que o lucro unitário por sapato é de R$5 e o do cinto é de R$2, pede-se o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.

ExercExercíícioscios

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2 – Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de R$100 e o de P2 é de R$150. A empresa necessita de 2h para fabricar uma unidade de P1 e 3h para P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 h. As demandas esperadas para os 2 produtos P1 e P2 não devem ultrapassar 40 un e 30 un por mês respectivamente.Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa


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3 – Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a R$20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a R$10 e no mínimo 200 caixas de tangerinas a R$30.

De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.


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4 – Uma emissora de rádio transmite 2 programas A e B. O programa "A" com 20 minutos de música e 1 min de propaganda conquista 30.000 ouvintes, enquanto o programa "B", com 10 min de música e 1 min de propaganda conquista 10.000 ouvintes. No decorrer de uma semana, o patrocinador exige no mínimo, 5 min para sua propaganda e diz que não há verba para mais de 80 min de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser irradiado para obter maior audiência? Construa o.modelo do sistema.


98


5 – Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1 requer o dobro do tempo de fabricação do modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos usam fivelas diferentes cujas disponibilidades diárias são 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de R$4 para M1 e R$3 para M2. Construa, o modelo que maximiza o lucro diário da empresa.


99


6 – Uma empresa está com disponibilidade de 3 recursos produtivos: R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos: P1 e P2. Sabe-se que P1 daria um lucro de R$120 por unidade e P2 R$150. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.


100


6 – (continuação)ExercExercíícioscios

12090100Disponibilidade de recursos

324P2532P1

Recurso R3

Recurso R2

Recurso R1Produtos

101


7 –Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:A (Arrendamento) - Destinar alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que paga pelo aluguel da terra R$300 por alqueire por ano.P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. Isto requer adubação (100 kg/Alq) e irrigação (100.000 l de água/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$400 por alqueire por ano.


102


S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água/Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$500,00/alqno ano.Disponibilidade de recursos por ano:12.750.000 l de água; 14.000 kg de adubo; 100 alqueires de terra.Quantos alqueires deverá destinar para cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão.

ExercExercíícios (continuacios (continuaçção)ão)

103


8 – O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2.

As alternativas são:a) Investir em um programa institucional com

outras empresas do mesmo ramo.Esse programa requer um investimento mínimo de R $3.000 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada R$1.000 investidos.


104


8 – (continuação)

b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada R$1.000 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, para P2 o retorno é de 10%.

A empresa dispõe de R$ 10.000 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.


105


SOLUSOLUÇÇÃO POR ÃO POR

MMÉÉTODO GRTODO GRÁÁFICOFICO

106


Conceito

Consiste em representar o sistema num gráfico cartesiano e encontrar a solução por meio de um gráfico contendo algumas retas e regiões

MMéétodo Grtodo Grááficofico

107


Seja o exemplo:Maximizar L = 4x1 + x2Sujeito a:

2x1 + 3x2 ≤ 12 (a)2x1 +x2 ≤ 8 (b)x1, x2 ≥0

Para resolver:1 – Traçar os gráficos das regiões (a) e (b)

conforme a seguir2 – Traçar a função objetivo3 – Encontrar a solução


108


0

4

8

0 2 4 6

1 – Reta (a)MMéétodo Grtodo Grááficofico

6x1=4x2=0x2=0x1 =

2x1 + 3x2=12

x1

x2

109


1 – Região (a)MMéétodo Grtodo Grááficofico

6x1=4x2=0x2=0x1 =

2x1 + 3x2 ≤ 12

0

4

8

0 2 4 6x1

x2

110


0

4

8

0 2 4 6

1 – Reta (b)MMéétodo Grtodo Grááficofico

4x1=8x2=0x2=0x1 =

2x1 + x2=8

x1

x2

111


0

4

8

0 2 4 6

1 – Região (b)MMéétodo Grtodo Grááficofico

x1

x2

4x1=8x2=0x2=0x1 =

2x1 + x2 ≤ 8

x2

112


0

4

8

0 2 4 6

(a) (b)

1 – Regiões (a) e (b) juntasMMéétodo Grtodo Grááficofico

x1

x2

Região de solução

113


2 – Função objetivoMMéétodo Grtodo Grááficofico

0

4

8

0 2 4 6x1

x2As retas

são paralelas:

L maior, reta mais afastada

1x1=4x2=0x2=0x1 =

L=4x1+x2=4

2x1=8x2=0x2=0x1 =

L=4x1+x2=8

L=8L=4

114


0

4

8

0 2 4 6

3 – Encontrar a soluçãoA solução é um ponto da região de solução

com o maior L (para maximização)


Solução:

x1=4

X2=0

L=4.4+0=16L=8

L=4

L=?x2

x1

115


Problema Fundamental

A solução ocorre sempre em pelo menos um vértice da figura


116


Resolver usando método gráfico:

1 - Maximizar L = x1 + 4x2Sujeito a: 2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 +x2 ≤ 8 x1, x2 ≥0

2 - Maximizar L = 6x1 + 5x2Sujeito a: 2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 +x2 ≤ 8x1, x2 ≥0


117


3 - Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2Sujeito a: -x1 + 2x2 ≤ 4

x1 + 2x2 ≤ 6x1 + 3x2 ≤ 9x1, x2 ≥0

4 - Maximizar Receita = 0,3x1 + 0,5x2Sujeito a: 2x1 + x2 ≤ 2

x1 + 3x2 ≤ 3x1, x2 ≥0


118


5 - Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2Sujeito a: x1 + 3x2 ≤ 9

-x1 + 2x2 ≤ 4x1 + x2 ≤ 6x1, x2 ≥0

6 - Minimizar Custo = 10x1 + 12x2Sujeito a: x1 + x2 ≤ 20

x1 + x2 ≥ 105x1 + 6x2 ≥ 54x1, x2 ≥0


119


7 - Minimizar Z = 7x1 + 9x2Sujeito a: -x1 + x2 ≤ 2

x1 ≤ 5x2 ≤ 63x1 + 5x2 ≥ 155x1 + 4x2 ≥ 20x1, x2 ≥0


120


8 -Duas fábricas ,AeB, produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6t de papel médio e 28t de grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produção na fábrica A é de R$1.000 e o da B é R$2.000 por dia. Afábrica A produz 8t de papel fino, 1t de médio e 2t de grosso por dia; a fábrica B produz 2t de papel fino, 1t de médio e 7t de grosso. Quantos dias cada fabrica deve operar para suprir os pedidos mais economicamente?


121


9 - Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo "A" tem 2 m³ de espaço refrigerado e 3m³ não refrigerados; o tipo "B" tem 2m³ refrigerados e 1 m3 não refrigerados. O cliente quer transportar um

produto que necessita de 16m³ refrigerados e 12 m³ não refrigerados. A companhia calcula em 1.100 l. o combustível para uma viagem com o caminhão "A" e 750 l para o caminhão “B“. Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte para o menor consumo de combustível?


122


10 - Uma companhia fabrica dois produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos produtivos: matéria-prima, forja e polimento. Cada unidade de P1 exige 4 h de forjaria, 2 h de polimento e utiliza 100 u de matéria-prima. Cada unidade de P2 requer 2 h de forjaria, 3 h de polimento e 200 u. de matéria-prima. O preço de venda de P1 éR$1.900 o de P2, R$2.100. Toda produção tem mercado garantido. As disponibilidades são de: 20 h de forja; 10 h de polimento e 500 unidades de matéria-prima, por dia.


123


10 – continuação...Determinar as quantidades a produzir de P1 e

P2 que otimizem a receita diária


124


MMÉÉTODOTODO

SIMPLEXSIMPLEX

125


Embora seja possível encontrar a resolução de um problema de programação linear resolvendo sistemas de equações lineares e calculando o valor da função objetivo (mesmo sem gráfico, usando o problema fundamental) isto não deve ser feito pois é muito trabalhoso.

O Método Simplex é uma maneira mais simples de encontrar as soluções sem utilizar gráficos

MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX

126


O método Simplex é capaz de apontar:

• Qual o sistema de equações deve ser resolvido;

• Qual o próximo sistema a ser resolvido fornecendo uma solução melhor que os anteriores;

• Que a solução atual é a solução ótima, se for o caso.


127


Seja o exemplo:Maximizar L = 4x1 + x2Sujeito a:

2x1 + 3x2 ≤ 12 2x1 +x2 ≤ 8x1, x2 ≥0

Solução:1 – Preparação da função objetivoBasta passar todos os membros para a

esquerda.L – 4x1 – x2 = 0


128


Solução:2 – Reescrever cada restrições com variáveis

de folga:2x1 + 3x2 ≤ 12 Note que o lado esquerdo é

menor ou igual ao direito, acrescentando a folga fica:

2x1 + 3x2 +x3 = 122x1 +x2 ≤ 8 com a folga fica:

2x1 +x2 + x4 = 8Observe que cada restrição requer a sua folga

e que para ≥ a folga deve subtrair


129


Solução:3 – Sistema modificadoMaximizar L – 4x1 – x2 + 0x3 + 0x4 = 0Sujeito a: 2x1 + 3x2+ x3 + 0x4 = 12

2x1 +x2 + 0x3 + x4 = 8x1, x2, x3, x4 ≥0


130


4 – Dispositivo práticoMMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX

000-1-4L81012x4

120132x3bx4x3x2x1BASE

0Coef. Função obj.modif.L

Lado direito

igualdade

Coeficientes das restrições

Variáveis de folga

bTodas variáveisBASE

131


5 – Solução inicialA solução inicial para o problema é obtida

fazendo as variáveis originais do modelo: x1 e x2 iguais a zero e calculando as demais.

x3=12 x4=8 (variáveis básicas “≠0”)L=0

Igual ao mostrado no 1° quadro !


000-1-4L81012x4


132


5 – Segunda solução (a)

A primeira variável a entrar na base, ou seja, a ficar “≠0” é a que mais contribui no lucro x1. Isto indica a coluna pivô. Observe o valor mais negativo da linha “L”.


000-1-4L81012x4


133


5 – Segunda solução (b)A variável a sair da base, ou seja, a ficar “=0”

é a que permite que x1 cresça mais e atenda às restrições.

Sabe-se que x2=0Por: 2x1 + 3x2+ x3 = 12 fazendo x3=0 temos

x1=12/2=6Mas por 2x1 +x2 + x4 = 8 fazendo x4=0

temos x1=8/2=4 (se x1 for “6” não dá para atender a segunda restrição)

Logo x4 deve sair da base e portanto indica a linha pivô (4 é menor que 6)


134


5 – Segunda solução (c)Veja no quadro a coluna e a linha pivô


000-1-4L8/2=481012x412/2=6120132x3

b/col. pivôbx4x3x2x1BASE

Coluna Pivô Linha Pivô Menor valor

4<6

135


5 – Segunda solução (c)No segundo quadro x4 sai para x1 entrar na

baseA linha pivô é dividida pelo elemento pivô num

processo similar ao escalonamento


000-1-4L8/2=41/20/2=01/22/2=1x1


136


5 – Segunda solução (d)No terceiro as demais linhas, exceto a pivô

são recalculadas:Lx3 = -2 .Lpivô + Lx3 L = 4.Lpivô + L


000-1-4L41/201/21x1


137


5 – Segunda solução (d)No terceiro as demais linhas, exceto a pivô

são recalculadas:Lx3 = -2.[1 ½ 0 ½ 4]+[2 3 1 0 12]=[0 2 1 -1 4]Lx3 = 4.[1 ½ 0 ½ 4]+[-4 -1 0 0 0]=[0 1 0 2 16]


162010L41/201/21X14-1120X3bx4x3x2x1BASE

138


5 – Segunda solução (e)Na última linha não há valores negativos. A

solução ótima foi encontrada:x3=4 x1=4 (variáveis básicas)

x2=0 x4=0 (variáveis não básicas “fora da base”) L=16


162010L41/201/21X14-1120X3bx4x3x2x1BASE

139


ATENÇÃO

Se na última linha existirem valores negativos, os passos 5(a) até 5(e) devem ser aplicados até não haver mais negativos


140


Exemplo:

Resolva pelo processo SIMPLEX

Maximizar L = 3x1 + 5x2Sujeito a: x1 ≤ 4

x2 ≤ 63x1 + 2x2 ≤ 18x1, x2 ≥0


141


Sistema originalMaximizar L = 3x1 + 5x2Sujeito a: x1 ≤ 4

x2 ≤ 63x1 + 2x2 ≤ 18x1, x2 ≥0

Sistema modificadoMaximizar L – 3x1 – 5x2 +0x3+0x4+0x5 = 0Sujeito a: x1 + 0x2 +1x3+0x4+0x5 = 4

0x1 + x2 +0x3+1x4+0x5 = 63x1 + 2x2 +0x3+0x4+1x5 = 18

x1,x2,x3,x4,x5 ≥0


142


Quadro 1MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX

0000-5-3L91810023x46601010x4

4/0=400101x3

b/col. Pivôbx5x4x3x2x1Base

∃

143


Quadro 2 - IdênticoMMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX

0000-5-3L91810023x56601010x2

4/0=400101x3


∃

144



300500-3L61-2003x5601010x2400101x3bx5x4x3x2x1Base

Há -3 (número negativo), repetir o processo.

145



300500-3L261-2003x4

6/0 !601010x24400101x3


146



6001005-3L

20,33-0,67001x1

601010x2

400101x3

bx5x4x3x2x1Base

147


Quadro 6 (último)MMéétodo SIMPLEXtodo SIMPLEX

3613000L

20,33-0,67001x1601010x2

2-0,330,667100x3

bx5x4x3x2x1Base

x1=2 x2=6 x3=2 x4=0 x5=0 L=36

148


Resolva utilizando o método SIMPLEX1 - Maximizar Receita = 10x1 + 12x2Sujeito a: x1 + x2 ≤ 100

2x1 + 3x2 ≤ 270x1, x2 ≥0

Quadro 1

ExercExercíícios com respostacios com resposta

000-12-10R

902701032x41001000111x3

b/colpivôbx4x3x2x1Base

149


Quadros 2 e 3ExercExercíícios com respostacios com resposta

1080400-2R

135900,333010,667x2

3010-0,333100,333x3000-12-10R

900,333010,667x21000111x3

b/colpivôbx4x3x2x1Base

150


Quadros 4 e 5ExercExercíícios com respostacios com resposta

11402600R701-210x230-1301x1

1080400-2R900,333010,667x230-1301x1bx4x3x2x1Base

x1=30 x2=70 x3=0 x4=0 x5=0 L=1140

151


2 - Maximizar Receita = 2x1 + 3x2 + 4x3Sujeito a: 2x1 ≤ 4

x1 + x2 + x3 ≤ 1002x1 + x2 ≤ 210x1 ≤ 80x1, x2, x3 ≥0


152



400004012L

801000080x6210010012x5100001111x3

0000-4-3-2L80/0 !801000080x6

210/0 !210010012x5100100001111x4

b/colpivôbx6x5x4x3x2x1Base

x1=0 x2=0 x3=100 x4=0 x5=210 x6=80 L=400

153


3 - Maximizar Receita = 0,2x1 + 2x2 + 4x3Sujeito a: x1 + 2x2 ≤ 20

3x1 + x3 ≤ 50x1 + x2 –x3 ≤ 15x1, x2, x3 ≥0


154



2000400-211,8Z6565110014X6

50/0!50010103x31020001021x400000-4-2-0,2Z

-1515100-111x65050010103x5

20/0!20001021x4


155



2200410012,8Z5511-0,5003,5x650010103x310000,5010,5x22000400-211,8Z65110014x650010103x310000,5010,5x2bx6x5x4x3x2x1Base

x1=0 x2=10 x3=50 x4=0 x5=0 x6=55 Z=220 156


4 - Maximizar Z = 5x1 - 3x2 + 4x3 –x4Sujeito a: x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 600

2x1 + x3 ≤ 280x2 + 3x4 ≤ 150x1, x2, x3 ≥0


157



00001-43-5Z1501003010x7

14014000,5000,501x16006000011111x5

00001-43-5Z150/01501003010x71402800100102x66006000011111x5

b/colpivôbx7x6x5x4x3x2x1Base

158



70002,501-1,530Z1501003010x72800100102x34600-0,5110,510x570002,501-1,530Z

150/01501003010x728014000,5000,501x19204600-0,5110,510x5

b/colpivôbx7x6x5x4x3x2x1Ba

se

159



11200401033Z1501003010x72800100102x33200-11101-1x5bx7x6x5x4x3x2x1Base

x1=0 x2=0 x3=280 x4=0 x5=320 x6=0 x7=150 Z=1120

160


5 - Maximizar Z = 2x1 + 4x3Sujeito a: x1 + 2x2 + x3 ≤ 8000

2x1 ≤ 6000x2 + x3 ≤ 620x1, x2, x3 ≥0


161



248040004-2Z620/0!620100110x330006000010002x573807380-101011x4

0000-40-2Z620620100110x6

6000/0!6000010002x580008000001121x4


162



8480410040Z620100110x3

300000,50001x14380-1-0,51010x4248040004-2Z620100110x3300000,50001x17380-101011x4

bx6x5x4x3x2x1Base

x1=3000 x2=0 x3=620 x4=4380 x5=0 x6=0 L=400

163


6 - Maximizar Z = 9x1 + 3x2Sujeito a: 2x1 + x2 ≤ 14

2x1 + 3x2 ≤ 24x1, x2 ≥0

7 - Maximizar Z = 5x1 + 5x2Sujeito a: 8x1 + 4x2 ≤ 32

x1 + 2x2 ≤ 8x1, x2 ≥0


164


8 - Maximizar Receita = 16x1 + 12x2Sujeito a: 2x1 ≤ 4

2x1 + 3x2 ≤ 122x1 + x2 ≤ 8x1, x2 ≥0

9 - Maximizar Z = 3x1 + 5x2 + x3Sujeito a: 2x1 + 4x2 + x3 ≤ 16

6x1 + 2x2 ≤ 242x2 ≤ 6x1, x2, x3 ≥0


165


10 - Uma pequena manufatura produz dois modelos, standard e luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo standardrequer 3horas de lixação e 1h de polimento. Cada unidade do modelo luxo exige 1h de lixação e 4h de polimento. A fábrica dispõe de duas lixadoras e três polidoras cada uma trabalhando 40 horas semanais. Os lucros são R$24 e R$32 para os modelos standard e luxo respectivamente. Não existem restrições de demanda.Elabore o modelo maximiza o lucro do fabricante e resolva por SIMPLEX


166


Artifícios para colocar o modelo na forma padrão estudada:1 – A minimização de Z é igual à maximização de –Z.

Ex: Min Z=2x1+3x2 ↔ Max z=-2x1-3x22 – As desigualdades ≤ ou ≥ podem ser trocadas multiplicando por “-1”.

Ex: 2x1 -3 ↔ -2x1 ≥ 33 – Uma equação pode ser substituída por duas desigualdades opostas. Ex:5x1+2x2=7 ↔ 5x1+2x2 ≤ 7 ; 5x1+2x2 ≥ 7

Simplex Simplex –– Aspectos SingularesAspectos Singulares

167


INTERPRETAINTERPRETAÇÇÃO ÃO ECONÔMICAECONÔMICA

ANANÁÁLISE DE LISE DE SENSIBILIDADESENSIBILIDADE

168


Seja o modelo abaixo (já calculado)Maximizar L = 3x1 +5x2Sujeito a: x1 + x3 = 4 (recurso A)

x2 + x4 = 6 (recurso B)3x1 + 2x2 + x5 = 18 (recurso C)x1,x2,x3,x4,x5 ≥0

Onde: x1= qtd de produto 1 a ser feitax2= qtd de produto 2 a ser feitax3= folga da utilização do recurso Ax4= folga da utilização do recurso Bx5= folga da utilização do recurso C

InterpretaInterpretaçção Econômicaão Econômica

169


O quadro final é:InterpretaInterpretaçção Econômicaão Econômica

3613000L20,33-0,67001x1601010x22-0,330,667100x3bx5x4x3x2x1Base

x1=2 x2=6 x3=2 x4=0 x5=0 L=36Vamos interpretar os coeficientes das

variáveis fora da base “=0” e os coeficientes da última linha L

170


Análise para escassez de uma unidade de x4x4=1

Cálculo da variação em x3

3613000L20,33-0,67001x1601010x22-0,330,667100x3bx5x4x3x2x1Base

AnAnáálise de Sensibilidadelise de Sensibilidade

171


Para x4 (para folga de 1 unidade x4=1, x5=0):AnAnáálise de Sensibilidadelise de Sensibilidade

23 . 4 2 para x4=1 temos:3

2 43 2 33 3

x x

x novo x novo

+ =

= − → =

43 3 3 23

233

x x novo x

x

∆ = − = −

−∆ =

172


3613000L20,33-0,67001x1601010x22-0,330,667100x3bx5x4x3x2x1Base

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x4=1

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