AULAS DE - UFV
Transcript of AULAS DE - UFV
AULAS
DE
ELETROMAGNETISMO
Joseacute Arnaldo Redinz
redinzufvbr
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal de Viccedilosa - MG
3ordf Ediccedilatildeo ndash 2021
Versatildeo 31
Versatildeo 30082021
Direitos reservados ao autor
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash versatildeo 31
O texto que segue nasceu principalmente do objetivo de registrar as minhas aulas de FIS 203 Trata-
se basicamente de uma transcriccedilatildeo de minhas aulas com algumas (talvez muitas muitas mesmo)
extensotildees que o tempo curto de aula proiacutebe mas que o papelPDF permite O conteuacutedo eacute basicamente
aquele apresentado nos livros jaacute consagrados no segmento como as coleccedilotildees Halliday amp Resnick e
Young amp Freedman e que faz parte da disciplina FIS 203 na UFV Apenas a forma de apresentar esse
conteuacutedo eacute original eacute a forma que encontreiconstruiacute ao longo dos anos levando em conta minha visatildeo
proacutepria do tema e a resposta vinda dos estudantes que percebi nas aulas e nas muitas (muitas mesmo)
avaliaccedilotildees (provas e testes) que elaborei e corrigi
Uma coisa que aprendi nesses anos eacute que nada eacute trivial nada eacute oacutebvio nada eacute simples Nesse
sentido eacute melhor pecar pelo excesso do que pela falta o que muitas vezes infelizmente o tempo
restrito de aula natildeo permite Natildeo havendo essa restriccedilatildeo aqui deixei de lado a pretensatildeo de escrever
um texto sinteacutetico enxuto e elegante (jaacute haacute vaacuterios deles por aiacute) e preferi um texto mais longo e algumas
vezes repetitivo enfatizando os pontos que acredito dada minha experiecircncia serem merecedores de
mais atenccedilatildeo por parte dos alunos Os exemplos exibidos no texto pretendem convencer o estudante de
que a fiacutesica em particular o eletromagnetismo estaacute (muito) presente em nossas vidas e de que vale a
pena portanto o esforccedilo para compreendecirc-la
Procurei combater a ideia muitas vezes disseminada de que a fiacutesica eacute uma espeacutecie de jogo de
adivinhaccedilatildeo um quebra-cabeccedilas um teste de QI em que cada problema proposto requer uma espeacutecie
de truque de atalho de toque de gecircnio de foacutermula maacutegica para ser resolvido Enfatizo o contraacuterio a
fiacutesica trata do mundo real (muitas vezes complexo) e todos os problemas propostos podem ser
resolvidos com a aplicaccedilatildeo sistemaacutetica dos conceitos e do formalismo Um pouco de bom-senso sempre
ajuda
Natildeo houve nenhuma revisatildeo do texto ou sugestatildeo por parte de terceiros Os errosdeslizes
seratildeo corrigidos pelo autor com o passar dos anos (o arquivo PDF eacute atualizado com frequumlecircncia
corrigindo alguns erros e melhorandocompletando o texto) Esta eacute a que estou chamando de 3ordf ediccedilatildeo
ou versatildeo 31 revisada em 2021
Original disponiacutevel em httpftpufvbrdpf203textohtm
Prefaacutecio
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash versatildeo 31
Iacutendice de Capiacutetulos
1 Carga eleacutetrica - forccedila - campo eleacutetrico 1
2 Lei de Gauss 69
3 Potencial eletrostaacutetico 134
4 Capacitores e dieleacutetricos 175
5 Correntes eleacutetricas 214
6 Circuitos eleacutetricos 261
7 Forccedila magneacutetica 294
8 O campo magneacutetico 335
9 Induccedilatildeo eletromagneacutetica 379
10 Indutacircncia 418
11 Circuitos de corrente alternada 454
1
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
1 Carga eleacutetrica ndash Forccedila ndash Campo eleacutetrico
11 Carga eleacutetrica e lei de Coulomb
O eletromagnetismo se concentra na descriccedilatildeo de uma interaccedilatildeoforccedila fundamental da natureza a
interaccedilatildeo eletromagneacutetica Atraveacutes dessa interaccedilatildeo uma porccedilatildeo de mateacuteria eacute capaz de exercer forccedila sobre
outra porccedilatildeo de mateacuteria que estaacute distante dela a interaccedilatildeo se propaga atraveacutes do espaccedilo
Jaacute estamos habituados a conviver com uma interaccedilatildeoforccedila que possui essas caracteriacutesticas a
interaccedilatildeo gravitacional ou seja a forccedila peso O planeta Terra atrai todas as massas que estatildeo na sua
vizinhanccedila desde uma simples folha de aacutervore ateacute a Lua e o Sol Assim conseguimos compreender os
movimentos desses corpos a queda das folhas e as oacuterbitas dos planetas e das luas Dessa forma a gravidade
explica uma grande classe de fenocircmenos que ocorrem na natureza e nos permite construir maacutequinas que
funcionam graccedilas a ela (ou apesar dela) Entendemos as oacuterbitas as mareacutes a formaccedilatildeo dos planetas das
estrelas e das galaacutexias Outros fenocircmenos natildeo podem ser descritos pela gravidade e ficam aguardando uma
descriccedilatildeoexplicaccedilatildeo Para que avancemos precisamos entender que haacute outras interaccedilotildeesforccedilas na natureza
Como explicar a coesatildeo de um aacutetomo O que manteacutem os eleacutetrons viajando em torno do nuacutecleo O que
manteacutem os aacutetomos unidos dentro de um bloco de mateacuteria Por que a agulha de uma buacutessola aponta sempre
na mesma direccedilatildeo norte-sul Como explicar o funcionamento de um motor eleacutetrico de um chuveiro eleacutetrico
de um telefone celular A gravidade se cala quanto a isso satildeo fenocircmenos no domiacutenio de outra
interaccedilatildeoforccedila Essa interaccedilatildeoforccedila eacute o tema do eletromagnetismo
Podemos comeccedilar especulando sobre o que eacute mateacuteria Para responder essa pergunta devemos agir
como uma crianccedila que desmonta e estraccedilalha um brinquedo para ver o que tem dentro do que ele eacute feito
2
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Pode ser que a crianccedila natildeo tenha forccedila suficiente para desmembrar as peccedilas menores e tenha que pedir ajuda
aos pais que tem mais forccedila para ajudaacute-lo na tarefa Essa eacute basicamente a ideia do que a fiacutesica de partiacuteculas
faz quebrar a mateacuteria para ver do que ela eacute feita Para isso satildeo construiacutedos os aceleradores de partiacuteculas
onde a mateacuteria eacute bombardeada por feixes de partiacuteculas (mateacuteria) e se quebra revelando seu interior Para
quebrar as partes menores precisamos de mais forccedila e por isso essa eacute uma ciecircncia que avanccedila agrave medida que
novos aceleradores (maiores e mais caros) vatildeo ficando acessiacuteveis O primeiro experimento desse tipo foi feito
por Rutherford (cong1911) ele bombardeou uma folha fina de ouro com um feixe de partiacuteculas (gaacutes Heacutelio
ionizado) e viu o que saiu laacute de dentro Ele descobriu a existecircncia dos nuacutecleos atocircmicos Se quebrarmos o
nuacutecleo descobrimos que eles satildeo feitos de proacutetons e necircutrons Se quebrarmos os proacutetons e os necircutrons
Enfim vamos ficar por aqui por que essa histoacuteria eacute longa e eacute o tema da fiacutesica de partiacuteculas Para o que vai nos
interessar nesse curso podemos nos contentar com a ideia baacutesica de que a mateacuteria eacute feita de partiacuteculas
minuacutesculas (mas de tamanho natildeo nulo) eleacutetrons proacutetons e necircutrons Os proacutetons e necircutrons se aglomeram
para formar os nuacutecleos atocircmicos e esses nuacutecleos se juntam aos eleacutetrons para formar os aacutetomos que se juntam
para formar as moleacuteculas que se juntam para formar o que entendemos como mateacuteria em um niacutevel
macroscoacutepico Essas partiacuteculas possuem massa mostradas na Tabela 1 e portanto se atraem mutuamente
pela gravidade Note que o proacuteton possui basicamente a mesma massa que o necircutron ( cong mas de fato lt ) e que ambos satildeo muito mais massivos que o eleacutetron ( cong 1840 )
Tabela 1 Massas das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria
Considere que dentro de um aacutetomo de Hidrogecircnio (nuacutemero atocircmico Z=1) haacute um eleacutetron viajando em
torno de um proacuteton a uma distacircncia (raio) meacutedia de cong 05 times 10 m ou seja cong 05Å (Å = angstrom)
Vamos usar a lei de gravitaccedilatildeo de Newton para estimar a forccedila de atraccedilatildeo gravitacional muacutetua entre o
proacuteton e o eleacutetron dentro do aacutetomo (considerando que cong 667 times10 Nm2kg2)
= cong 41 times 10
Analogamente a energia potencial gravitacional do aacutetomo seria
= minus cong minus20 times10
partiacutecula massa (kg)
eleacutetron cong 9109 times 10
proacuteton cong 1673 times 10
necircutron cong 1674 times 10
3
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Essa eacute a energia que eacute liberada (na forma de energia cineacutetica) quando essas duas massas e se
aproximam a partir de uma separaccedilatildeo inicial infinita (partindo do repouso) Para separar novamente essas
duas massas devemos fornecerdevolver a esse sistema a energia minus (vencendo a atraccedilatildeo entre elas)
Estamos desprezando aqui as energias cineacuteticas orbitais das duas massas afinal elas natildeo estatildeo estaacuteticas
dentro do aacutetomo Se considerarmos essas energias cineacuteticas que satildeo positivas concluiremos que a energia
necessaacuteria para separardesligar as duas massas seraacute ainda menor que minus = | | Se esse aacutetomo faz parte de um gaacutes de Hidrogecircnio na temperatura ambiente ( cong 300 K) a energia
cineacutetica dos aacutetomos nesse gaacutes eacute da ordem de sendo a constante de Boltzmann ( cong 1381 times 10
JK) ou seja cong 41 times 10
Vemos portanto que | | cong 20 times10
Dessa razatildeo gigantesca concluiacutemos que se dependesse da atraccedilatildeo gravitacional para garantir a coesatildeo
dos aacutetomos seria impossiacutevel a existecircncia do gaacutes Hidrogecircnio na temperatura ambiente pois as colisotildees entre
os aacutetomos teriam energias muito muito mesmo mais que suficientes para ionizaacute-los separando eleacutetrons e
proacutetons No entanto sabemos que o gaacutes Hidrogecircnio pode existir sem dificuldades na temperatura ambiente
Concluindo esse exemplo simples e muitos outros que poderiacuteamos descrever mostram que a
gravidade natildeo deve ter papel relevante na explicaccedilatildeo da estabilidade dos aacutetomos e da mateacuteria em geral
soacutelidos liacutequidos e gases A gravidade eacute muito fraca nesse contexto Outra forccedila e outra energia devem estar
associadas a essa estabilidade A gravidade eacute importante em sistemas que envolvem massas (pelo menos uma
delas) gigantescas como no caso da interaccedilatildeo entre o planeta Terra e uma folha de aacutervore que resulta no
peso da folha (mas a atraccedilatildeo gravitacional entre duas folhas de aacutervore por sua vez eacute despreziacutevel)
Experimentos com as partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria como o experimento da gota de oacuteleo de
Millikan mostram que aleacutem da massa elas possuem outra propriedade a carga eleacutetrica e que cargas eleacutetricas
podem exercer forccedilas umas sobre as outras uma forccedila eletromagneacutetica Na Tabela 2 mostramos os valores
das cargas eleacutetricas das partiacuteculas constituintes da mateacuteria A carga eleacutetrica da mateacuteria em geral em um niacutevel
macroscoacutepico eacute apenas um reflexo da carga eleacutetrica intriacutenseca de seus constituintes microscoacutepicos
A unidade de carga eleacutetrica eacute o coulomb (siacutembolo C) em homenagem ao cientista pioneiro Charles
Augustin de Coulomb Depois podemos entender melhor essa unidade mas agora basta entender que ela
expressa a quantidade de carga eleacutetrica de um corpo qualquer assim como o kg (quilograma) expressa a
quantidade de massa
4
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Partiacutecula massa (kg) carga eleacutetrica (C)
eleacutetron cong 9109 times 10 cong minus1602 times 10
proacuteton cong 1673 times 10 = minus
necircutron cong 1674 times 10 = 0
Tabela 2 Massas e cargas eleacutetricas das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria
O proacuteton e o eleacutetron possuem cargas eleacutetricas (exatamente) de mesmo moacutedulo mas de sinais
contraacuterios O necircutron natildeo possui carga eleacutetrica ele eacute eletricamente neutro Partiacuteculas que possuem carga
eleacutetrica exercem forccedilas entre si forccedilas eleacutetricas e magneacuteticas O necircutron natildeo fazsofre forccedilas eleacutetricas (mas
fazsofre forccedilas magneacuteticas pois ele eacute um imatilde microscoacutepico) A mateacuteria eacute composta dessas partiacuteculas que
possuem carga eleacutetrica e portanto podemos esperar que essa forccedila seja observada em um niacutevel
macroscoacutepico uma porccedilatildeo de mateacuteria pode exercer forccedila eletromagneacutetica em outra porccedilatildeo de mateacuteria Essa
forccedila eacute independente da gravidade e descreveexplica fenocircmenos que a gravidade natildeo descreveexplica
Agora podemos comeccedilar a entender a coesatildeo em um aacutetomo proacutetons e eleacutetrons se atraem
mutuamente atraveacutes de forccedilas eleacutetricas porque possuem cargas eleacutetricas de sinais opostos Imagine entatildeo
um eleacutetron livre na vizinhanccedila de um proacuteton Eles vatildeo se atrair mutuamente e se aproximar podendo formar
um objeto eletricamente neutro uma espeacutecie (mas natildeo exatamente) de sistema planetaacuterio em miniatura um
aacutetomo de Hidrogecircnio (nuacutemero atocircmico Z=1) Esse aacutetomo por ser eletricamente neutro natildeo exerceraacute mais
forccedila eleacutetrica significativa sobre outras partiacuteculas carregadas em sua vizinhanccedila e seraacute estaacutevel (mas forccedilas
eleacutetricas residuais ainda poderatildeo formar por exemplo o Hidrogecircnio molecular H2 e outros compostos
quiacutemicos conforme discutiremos mais adiante) Imagine dois proacutetons juntos formando um nuacutecleo com Z=2
Esse nuacutecleo vai atrair eleacutetrons em sua vizinhanccedila e quando ele ldquocapturarrdquo dois eleacutetrons vai se tornar
eletricamente neutro um aacutetomo de Heacutelio (Z=2) Esse aacutetomo natildeo exerceraacute mais forccedila eleacutetrica significativa
sobre outras partiacuteculas carregadas em sua vizinhanccedila e seraacute estaacutevel (um gaacutes nobre muito pouco reativo)
Assim podemos entender a formaccedilatildeo dos aacutetomos Z eleacutetrons viajando em torno de um nuacutecleo com Z proacutetons
produzindo uma estrutura minuacutescula (com tamanho da ordem de 1Å) eletricamente neutra e estaacutevel Resta
calcular a intensidade da forccedila e da energia associadas a essa ligaccedilatildeo eleacutetronnuacutecleo para mostrar que ela eacute
forte e estaacutevel diferentemente do que concluiacutemos anteriormente sobre a ligaccedilatildeo gravitacional que eacute fraca e
instaacutevel frente agraves perturbaccedilotildees teacutermicas em um gaacutes Faremos isso em breve apoacutes termos conhecimento da lei
de forccedila entre proacutetons e eleacutetrons a lei de Coulomb
Vocecirc poderia se perguntar sobre a estabilidade do nuacutecleo como explicar que proacutetons que se repelem
mutuamente podem ficar estaacuteveis dentro de uma regiatildeo minuacutescula (com tamanho da ordem de 10 Å) A
5
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
gravidade Natildeo A gravidade entre as partiacuteculas constituintes da mateacuteria eacute despreziacutevel Esse questionamento
vai levar agrave descoberta de outra forccedila da natureza a chamada forccedila forte ou forccedila nuclear Proacutetons e necircutrons
se atraem mutuamente por accedilatildeo dessa forccedila e ela eacute capaz de equilibrar a repulsatildeo eleacutetrica entre os proacutetons
Agora podemos entender o papel dos necircutrons dentro do nuacutecleo Eles natildeo participam da interaccedilatildeo eleacutetrica
natildeo se atraem nem se repelem e nem atraem ou repelem os proacutetons Mas pela interaccedilatildeo forte eles atraem os
proacutetons e se atraem mutuamente Os proacutetons por sua vez atraem os necircutrons e tambeacutem se atraem
mutuamente pela accedilatildeo da forccedila forte Os necircutrons conferem entatildeo estabilidade ao nuacutecleo funcionando como
uma espeacutecie de cola Grosso modo um nuacutecleo com Z proacutetons conteacutem aproximadamente Z necircutrons A
natureza permite uma pequena variaccedilatildeo nesse nuacutemero de necircutrons dando origem aos diferentes isoacutetopos de
um mesmo elemento quiacutemico O carbono (C) Z=6 por exemplo possui dois isoacutetopos estaacuteveis 12C6 e 13C6 com
6 e 7 necircutrons no nuacutecleo respectivamente Haacute ainda um isoacutetopo natural instaacutevel (radioativo) o 14C6 com 8
necircutrons O 14C6 vai decaindo (se transformando) em Nitrogecircnio (Z=7) 14N7 com o passar do tempo emitindo
eleacutetrons que satildeo chamados nesse contexto de radiaccedilatildeo beta Esse decaimento daacute origem a um processo de
dataccedilatildeo de materiais orgacircnicos (foacutesseis) Deixaremos essa discussatildeo por aqui porque o estudo da forccedila forte eacute
tema da fiacutesica nuclear
A mateacuteria sendo composta de aacutetomos eletricamente neutros conteacutem em seu interior proacutetons e
eleacutetrons em iguais quantidades formando uma estrutura macroscoacutepica eletricamente neutra A neutralidade
eleacutetrica se daacute globalmente pois a carga eleacutetrica total em um corpo eacute nula e localmente pois a neutralidade
ocorre em todos os pontos do corpo O processo de eletrizaccedilatildeo de um corpo eacute a quebra dessa neutralidade
eleacutetrica atraveacutes da adiccedilatildeoremoccedilatildeo de cargas eleacutetricas (proacutetons eou eleacutetrons) ou do simples rearranjo das
cargas eleacutetricas no corpo como ocorre nos processos de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Onde haacute quebra de
neutralidade eleacutetrica dizemos que haacute um excesso de cargas eleacutetricas (um excesso de proacutetons ou de eleacutetrons)
Estando os proacutetons confinados aos nuacutecleos atocircmicos os processos de eletrizaccedilatildeo se datildeo comumente pela
adiccedilatildeosubtraccedilatildeomovimentaccedilatildeo de eleacutetrons no corpo inicialmente neutro Dessa forma podemos arrancar
eleacutetrons de um corpo e tornaacute-lo carregado positivamente (pelo excesso de proacutetons que sobrou) ou depositar
eleacutetrons nesse corpo e tornaacute-lo carregado negativamente Podemos tambeacutem deslocar eleacutetrons para uma
regiatildeo do corpo tornando essa regiatildeo carregada negativamente e outra regiatildeo oposta carregada
positivamente (pelo deacuteficit de eleacutetrons) Eletrizaccedilatildeo eacute portanto a criaccedilatildeo de qualquer distribuiccedilatildeo de cargas
eleacutetricas diferente do que seria a neutralidade eleacutetrica em todos os pontos do corpo
Nessa discussatildeo eacute interessante distinguir os dois principais tipos de materiais que existem na natureza
com relaccedilatildeo agrave forma como as cargas eleacutetricas podem ou natildeo se movimentar dentro desses materiais Nos
materiais condutores de eletricidade existem partiacuteculas com carga eleacutetrica que podem se mover livremente
dentro deles Um exemplo simples eacute o de uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal (NaCl) O sal dissolvido se dissocia em iacuteons
Na+ e Cl- e esses iacuteons podem fluir dentro da soluccedilatildeo Chamamos essas partiacuteculas carregadas que possuem
6
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
mobilidade de ldquoportadores de carga eleacutetricardquo Na soluccedilatildeo de aacutegua e sal os portadores de carga satildeo os iacuteons Na+
e Cl- Nos metais que satildeo condutores de eletricidade por excelecircncia os portadores de carga satildeo eleacutetrons A
aacutegua pura por outro lado eacute um isolante eleacutetrico pois ela natildeo possui portadores de carga Se natildeo haacute
portadores de carga natildeo haacute movimentaccedilatildeofluxo de cargas e o material eacute um isolante eleacutetrico Um gaacutes por
exemplo pode se converter de isolante (posto que os aacutetomos satildeo eletricamente neutros) em condutor se os
aacutetomos que compotildeem esse gaacutes forem ionizados Isso ocorre por exemplo em uma lacircmpada fluorescente que
emite luz pela ionizaccedilatildeo de um gaacutes e tambeacutem em uma tempestade em que o ar inicialmente isolante eacute
ionizado e conduz um raio (cargas eleacutetricas) entre as nuvens e a terra
Nos materiais soacutelidos isolantes os proacutetons e eleacutetrons estatildeo todos bem localizados em suas posiccedilotildees no
interior dos aacutetomos que compotildeem o material Um eleacutetron pertence a um uacutenico aacutetomo ou eacute compartilhado por
dois aacutetomos vizinhos e natildeo possui nenhuma mobilidade ou seja esse eleacutetron natildeo pode migrar para outro
aacutetomo mais distante Ele pode apenas se deslocar um pouco na vizinhanccedila do(s) aacutetomo(s) a(aos) qual(quais)
ele pertence Exemplos de materiais soacutelidos isolantes satildeo o plaacutestico o vidro e a madeira seca Nos materiais
soacutelidos condutores como os metais os proacutetons continuam fixos dentro dos nuacutecleos atocircmicos circundados
pelos eleacutetrons das camadas mais proacuteximas desses nuacutecleos formando um iacuteon Os eleacutetrons das camadas mais
externas nos aacutetomos por sua vez possuem mobilidade ou seja eles podem migrar de um aacutetomo para outro
aacutetomo vizinho fluindo no material Nos metais como o cobre e o alumiacutenio existe portanto uma estrutura
razoavelmente riacutegida de iacuteons positivos (um cristal) imersa em uma nuvem (ou um gaacutes) de eleacutetrons livres (a
carga eleacutetrica total eacute zero) Essa eacute a chamada ligaccedilatildeo metaacutelica
Os processos de eletrizaccedilatildeo acontecem ou iniciam nas superfiacutecies dos corpos e por isso satildeo
processos de difiacutecil descriccedilatildeo ou previsatildeo A superfiacutecie de um bloco de vidro por exemplo natildeo eacute composta
apenas de vidro Nessa superfiacutecie encontram-se vaacuterias impurezas depositadas aleacutem de umidade Por isso
mesmo que o vidro seja um isolante as cargas eleacutetricas em sua superfiacutecie podem ter alguma mobilidade Mas
cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie limpa de um isolante ficam em geral no mesmo lugar onde elas satildeo
depositadas e por isso satildeo chamadas de cargas estaacuteticas No caso dos condutores eacute diferente Cargas eleacutetricas
depositadas na superfiacutecie de um condutor podem fluir nessa superfiacutecie e tambeacutem fluir para dentro do volume
do condutor Os excessos de carga eleacutetrica podem mudar livremente de lugar buscando eles mesmos suas
proacuteprias posiccedilotildees de equiliacutebrio na superfiacutecie e dentro do material condutor
Sendo os eleacutetrons as partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica e de mais faacutecil movimentaccedilatildeo dentro da
mateacuteria (soacutelida) os processos de eletrizaccedilatildeo (quebra da neutralidade eleacutetrica) se datildeo geralmente atraveacutes de
transporte de eleacutetrons dentro do proacuteprio corpo ou de um corpo A para outro corpo B
7
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
A eletrizaccedilatildeo por contato se daacute como o proacuteprio nome jaacute diz pelo simples contato entre as superfiacutecies
dos corpos A e B O processo de atritar uma superfiacutecie na outra intensifica o contato e aumenta o transporte
de eleacutetrons Por isso esse processo eacute muitas vezes chamado de eletrizaccedilatildeo por atrito Mas trata-se de fato de
eletrizaccedilatildeo por contato (tambeacutem chamado de triboeletrificaccedilatildeo) Esse processo ocorre por exemplo quando
esfregamos um pente no cabelo e observamos que este passa a atrair pequenos pedacinhos de papel O pente
recebe eleacutetrons ou doa eleacutetrons (eacute difiacutecil prever o que vai ocorrer) dopara o cabelo e se torna eletrizado A
partir daiacute o pente eletricamente carregado (em sua superfiacutecie) passa a exercer forccedila sobre pedacinhos de
papel conforme discutiremos mais adiante O processo de triboeletrificaccedilatildeo eacute bastante complexo mas
basicamente ele se daacute porque os eleacutetrons em um corpo A estatildeo em um potencial quiacutemico diferente dos
eleacutetrons em outro corpo B e daiacute havendo o contato entre esses dois corpos o transporte de eleacutetrons se
estabelece e continua ateacute que os dois potenciais quiacutemicos se igualem (o
potencial quiacutemico eacute o anaacutelogo da temperatura se pensamos na troca de
ldquopartiacuteculasrdquo ao inveacutes de ldquocalorrdquo) A triboeletrificaccedilatildeo pode ter efeitos
indesejados como no caso de aviotildees que acumulam grandes quantidades
de carga devido ao seu arraste com o ar circundante Esses acuacutemulos de
carga eleacutetrica podem interferir nas telecomunicaccedilotildees e causar a queima de
equipamentos eletrocircnicos incecircndios e explosotildees devido a uma descarga
eleacutetrica que porventura possa ser produzida
O gerador de Van de Graaff eacute um equipamento de laboratoacuterio que
usa a eletrizaccedilatildeo por atrito para construir grandes concentraccedilotildees de cargas
estaacuteticas acumuladas em uma casca esfeacuterica metaacutelica A Figura 1 ao lado
mostra um pequeno gerador desses usado em laboratoacuterios de ensino
Basicamente um motor move uma correia de material isolante que eacute
eletrizada por atrito e deposita cargas eleacutetricas em uma casca esfeacuterica
metaacutelica Deixando o aparelho ligado por um bom tempo pode-se
acumular grandes quantidades de carga e observar os efeitos disso como
centelhas que saltam da esfera metaacutelica para objetos proacuteximos ou mesmo
para o ar Na Figura 1 podemos ver tambeacutem o proacuteprio Van de Graaff
demonstrando seu protoacutetipo de gerador que podia produzir ateacute um milhatildeo de volts (imagem retirada do
artigo A history of the Van de Graaff generator F A Furfari ieeexploreieeeorgdocument1380320) Esse
gerador tem muitas aplicaccedilotildees praacuteticas como na aceleraccedilatildeo de partiacuteculas para produccedilatildeo de raios X e no teste
de isoladores eleacutetricos de alta voltagem
Outro processo de eletrizaccedilatildeo eacute o de induccedilatildeo A palavra induccedilatildeo eacute usada aqui com o sentido de um
efeito que eacute causado a certa distacircncia sem contato fiacutesico entre objetos (no cotidiano tambeacutem usamos esse
Figura 1 geradores de Van de Graaff
8
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
termo com esse sentido como na frase ldquoele me induziu ao errordquo) A ideia eacute que se aproximarmos um objeto A
que jaacute possui um excesso de cargas eleacutetricas (positivas ou negativas) de outro objeto B as forccedilas de
atraccedilatildeorepulsatildeo das cargas eleacutetricas de A nas cargas eleacutetricas em B vatildeo produzir em B uma distribuiccedilatildeo de
cargas eleacutetricas uma eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Se B for um corpo isolante a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo eacute causada
pela polarizaccedilatildeo dos aacutetomosmoleacuteculas conforme discutiremos no capiacutetulo 4 quando estudarmos capacitores
e dieleacutetricos Se B for um condutor a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo eacute causada pela migraccedilatildeomovimentaccedilatildeo de
eleacutetrons dentro do corpo B que estaacute sendo eletrizado
Podemos usar a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo para carregar eletricamente o objeto condutor B se
utilizarmos essa movimentaccedilatildeo das cargas eleacutetricas em B para nos livrarmos de algumas cargas nele
tornando-o eletricamente carregado
A Figura 2 abaixo ilustra esse processo de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo em que um pente jaacute carregado
positivamente em sua superfiacutecie (talvez porque ele foi atritado no cabelo de algueacutem e perdeu alguns eleacutetrons)
eacute usado para eletrizar e carregar eletricamente duas esferas metaacutelicas que eram eletricamente neutras (note
que natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas)
A Figura 2 mostra uma sequecircncia temporal com as seguintes etapas i) O pente carregado
positivamente (em sua superfiacutecie) se aproxima de uma esfera metaacutelica e polariza essa esfera (forma dois
poacutelos duas regiotildees com cargas de sinais opostos) pois eleacutetrons no metal satildeo atraiacutedos pelo pente se movem e
se concentram em uma face da esfera que fica carregada negativamente (minus ) (lembre-se que nos metais haacute
um manancial de eleacutetrons que podem fluir livremente dentro deles) Na face oposta criou-se um deacuteficit de
eleacutetrons e ela se tornou positivamente carregada ( ) A esfera (azul) sofreu um processo de eletrizaccedilatildeo por
induccedilatildeo (sem nenhum contato superfiacuteciesuperfiacutecie com o pente) Note que natildeo houve quebra na
neutralidade eleacutetrica da esfera azul ela continua tendo carga eleacutetrica total nula mas ela foi eletrizada pois
apresenta regiotildees (faces) que natildeo satildeo eletricamente neutras ii) Uma segunda esfera metaacutelica (verde) se
Figura 2 Um pente carregado eletricamente eacute usado para carregar duas esferas metaacutelicas atraveacutes da eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo (agrave distacircncia) Note satildeo esferas e natildeo ciacuterculos
+ +
+
+ + +
+ - - -
+ +
+
+ + +
+ - - -
+ +
- -
+ +
+
+
+
- - -
+ +
+ -
-
-
+ +
9
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
aproxima da primeira esfera (azul) e se polariza tambeacutem devido agrave eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo causada pela esfera
azul (minus e ) e pelo pente mais distante iii) As duas esferas se tocam e estabelece-se o contato eleacutetrico
entre elas As duas esferas satildeo agora um soacute corpo metaacutelico e os eleacutetrons fluem livremente nesse corpo
neutralizando algumas cargas positivas e o restante se posicionando nas superfiacutecies opostas devido agrave
atraccedilatildeorepulsatildeo das cargas do pente exatamente como acontecia com uma esfera apenas iv) Finalmente as
esferas metaacutelicas satildeo separadas e o pente eacute afastado pois natildeo precisamos mais dele Restam ao final duas
esferas carregadas uma positiva e outra negativa Elas foram carregadas atraveacutes da eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo
Note que a carga total nas duas esferas eacute sempre nula pois natildeo houve nenhum transporte de cargas eleacutetricas
do pente para elas
Esses corpos carregados podem natildeo se manter assim por muito tempo porque ao possuiacuterem um
excesso de carga eleacutetrica eles passam a atrair fortemente impurezas e umidade do ar circundante Ao final
esse processo de descarga que pode ser raacutepido vai levaacute-los de volta agrave neutralidade eleacutetrica Experimentos
realizados no vaacutecuo ou mesmo em um tempo mais seco evitariamretardariam essa descarga
No processo ilustrado na Figura 2 fazemos alusatildeo ao fato de que quando dois objetos metaacutelicos A e B
se tocam os excessos de carga que existem em um fluem para o outro e se dividem entre os dois cada um
ficando com uma porccedilatildeo da carga eleacutetrica total Isso ocorre basicamente porque dois condutores que se tocam
tornam-se de fato apenas um condutor e natildeo haacute razatildeo para que nesse novo condutor (A+B) qualquer excesso
de cargas eleacutetricas fique concentrado em um dos condutores apenas (A ou B) As cargas de mesmo sinal por
exemplo sempre se repelem mutuamente e elas acabam fluindo dentro do condutor e se espalhando por toda
a superfiacutecie dele (de onde elas natildeo podem escapar pois elas estatildeo ligadas a essa porccedilatildeo de mateacuteria) A Figura
3 abaixo ilustra essa ideia Um condutor A (azul) possuiacutea inicialmente um excesso de carga eleacutetrica (positiva
deacuteficit de eleacutetrons) distribuiacuteda em sua superfiacutecie (basicamente porque essas cargas se repelem mutuamente)
e outro condutor B (verde) estava eletricamente neutro No instante em que A e B se tocam as cargas que
estavam em A ldquoenxergamrdquo um novo espaccedilo onde elas podem fluir livremente e as forccedilas de repulsatildeo muacutetuas
redistribuem as cargas agora nas superfiacutecies de A e de B A carga foi dividida uma parte permaneceu em
A e uma parte ficou concentrada em B de tal forma que + =
Figura 3 No equiliacutebrio eletrostaacutetico de dois condutores em contato eleacutetrico o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior da carga eleacutetrica em excesso
+
+ + + +
+ +
+ +
+
+
+
A AB B
10
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Fato eacute que (como em quase tudo na vida) no equiliacutebrio o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior
da carga total Provaremos isso depois usando o conceito de potencial eleacutetrico que veremos no capiacutetulo 3
Um acuacutemulo de cargas eleacutetricas em um objeto pode ser perigoso pois ao tocarmos esse objeto noacutes
vamos funcionar como sendo o condutor B (verde) ilustrado na Figura 3 e vamos receber uma descarga
eleacutetrica (se estivermos em contato eleacutetrico com a terra essa descarga seraacute ainda maior) Essa descarga um
choque eleacutetrico pode produzir vaacuterios danos ao organismo desde queimaduras associadas ao fluxo de cargas
eleacutetricas dentro da carne (ou tecidos) ateacute a morte por parada cardiacuteaca Assim sendo eacute bom que esses
acuacutemulos sejam evitados O aterramento eacute feito com esse objetivo Substitua na Figura 3 o condutor B pelo
planeta Terra e vocecirc vai entender logo como funciona um aterramento Se conectarmos o condutor A agrave terra
atraveacutes de fios e hastes condutoras enfiadas na terra (hastes de cobre enterradas) as cargas em excesso em A
vatildeo se redistribuir entre A e o planeta Terra que eacute uma bola gigantesca condutora Quem eacute maior fica com
mais carga eleacutetrica Resultado todas as cargas que estavam em A fluem para a Terra e o perigo que havia se
tocaacutessemos em A foi eliminado A Figura 4 abaixo ilustra o aterramento do corpo A que estava inicialmente
com um excesso de carga eleacutetrica positiva Ao fechar a chave S o condutor A e a Terra se tornam um condutor
apenas e o processo ilustrado na Figura 3 de redistribuiccedilatildeo dos excessos de cargas eleacutetricas se daacute Ao final no
novo equiliacutebrio eletrostaacutetico o condutor A estaacute para todos os efeitos praacuteticos descarregado
Na Figura 4 nem nos demos ao trabalho de representar as cargas eleacutetricas depositadas no
planeta Terra pois se vocecirc procuraacute-las natildeo vai encontrar O siacutembolo padratildeo para o
aterramento eacute mostrado ao lado
A carga eleacutetrica possui duas propriedades baacutesicas quantizaccedilatildeo e conservaccedilatildeo
A palavra quantizaccedilatildeo pode ser entendida aqui como se referindo a uma variaccedilatildeo natildeo-contiacutenua da
carga eleacutetrica Quacircntico eacute o oposto de contiacutenuo Uma grandeza contiacutenua eacute uma grandeza que pode assumir
qualquer valor real dentro de seu intervalo de variaccedilatildeo Por exemplo considere a distacircncia (em metros)
entre dois pontos quaisquer no espaccedilo Podemos dizer que = 1 m ou = 0123459 m ou ainda que =
m e assim por diante Podemos chutar qualquer valor representado por um nuacutemero real para eacute uma
Figura 4 Ao fechar a chave S o bloco condutor (azul) fica aterrado e seu excesso inicial de cargas eleacutetricas se esvai para a Terra
+
+ + + +
+
S S
11
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
grandeza que varia continuamente eacute uma variaacutevel contiacutenua A carga eleacutetrica natildeo eacute assim A carga eleacutetrica eacute
quantizada ou seja soacute pode assumir valores que satildeo muacuteltiplos inteiros de um quantum ∆ Resumindo = ∆ com = ⋯ minus3minus2minus1 0 1 2 3 hellip( isin ℤ) O quantum de carga eacute exatamente a carga do proacuteton ∆= cong 1602 times10 C Portanto para um
proacuteton vale = 1 para um eleacutetron vale = minus1 e para um necircutron vale = 0 Para qualquer objeto
macroscoacutepico carregado eletricamente vale que a carga eleacutetrica dele eacute = para algum inteiro Essa
propriedade eacute facilmente entendida se aceitamos o simples fato de que a mateacuteria eacute um aglomerado de
proacutetons necircutrons e eleacutetrons Entatildeo a carga eleacutetrica de uma porccedilatildeo de mateacuteria qualquer eacute sempre = + + 0 = minus = sendo o nuacutemero total de proacutetons o nuacutemero total de eleacutetrons e o nuacutemero total de necircutrons que
compotildeem essa porccedilatildeo de mateacuteria Resumindo = minus Se a porccedilatildeo de mateacuteria possui a mesma
quantidade de proacutetons e eleacutetrons como em um aacutetomo ela eacute eletricamente neutra e = 0 Se a porccedilatildeo de
mateacuteria possui um excesso de proacutetons entatildeo = minus eacute positivo como em um iacuteon Na+ (soacutedio ionizado)
em que = 1 Se a porccedilatildeo de mateacuteria possui um excesso de eleacutetrons entatildeo = minus eacute negativo como
em um iacuteon SO4- - (iacuteon sulfato) em que = minus2
Suponha que algueacutem diga que a carga eleacutetrica acumulada em uma placa metaacutelica eacute exatamente = 0561501 times 10 C Vocecirc pode afirmar baseando-se apenas na propriedade de quantizaccedilatildeo da carga
eleacutetrica que isso eacute impossiacutevel pois a razatildeo cong 3505
estaacute longe se ser um nuacutemero inteiro (natildeo haacute meio proacuteton ou meio eleacutetron) Os fenocircmenos macroscoacutepicos
envolvem muitas vezes uma quantidade tatildeo grande de carga eleacutetrica que a quantizaccedilatildeogranulaccedilatildeo dessa
grandeza se torna imperceptiacutevel Nesse contexto a carga eleacutetrica pode ser descrita por funccedilotildees contiacutenuas ( ) ( ) e ( ) que representam sua distribuiccedilatildeo no espaccedilo Essa ideia seraacute discutida mais adiante
A outra propriedade baacutesica da carga eleacutetrica eacute que ela se conserva em um sistema isolado Carga
eleacutetrica natildeo pode ser criada e nem destruiacuteda Se em um sistema isolado haacute hoje uma carga eleacutetrica natildeo
importa o que aconteccedila com esse sistema desde que ele se mantenha isolado apoacutes mil anos a carga eleacutetrica
desse sistema seraacute A uacutenica maneira da carga eleacutetrica desse sistema mudar de valor eacute ele deixar de ser
isolado e trocar partiacuteculas eletricamente carregadas com a sua vizinhanccedila Suponha que algueacutem diga que um
necircutron ( ) pode se transformar em um proacuteton ( ) apenas Essa pessoa estaacute dizendo que a seguinte reaccedilatildeo
nuclear pode acontecer rarr
12
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Chamamos essa reaccedilatildeo de ldquonuclearrdquo porque e satildeo constituintes dos nuacutecleos atocircmicos e nesse sentido satildeo
eles mesmos nuacutecleos com Z=0 e A=1 e com Z=1 a A=1 (A eacute o nuacutemero de massa)
Vocecirc pode afirmar baseando-se apenas na propriedade de conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica que essa
reaccedilatildeo acima eacute impossiacutevel Isso porque a carga eleacutetrica do sistema natildeo se conservou Antes o sistema era um
necircutron e entatildeo = 0 Depois aconteceu algo com esse sistema (isolado por hipoacutetese) e ele passou a ser um
proacuteton ou seja = Absurdo pois a carga eleacutetrica do sistema aumentou Essa reaccedilatildeo natildeo pode ocorrer
Ela viola a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica Considere agora a seguinte reaccedilatildeo nuclear rarr +
Um necircutron se transforma em (ou daacute origem agrave) um proacuteton mais um eleacutetron ( ) Essa reaccedilatildeo conserva
a carga eleacutetrica pois = 0 tanto antes quanto depois da reaccedilatildeo Ela pode acontecer e acontece na natureza
Trata-se do decaimento beta do necircutron (haacute de fato mais um produto da reaccedilatildeo um neutrino que eacute
eletricamente neutro) Eacute atraveacutes dessa reaccedilatildeo que o 14C6 (Carbono 14 Z=6 e A=14) se transforma em 14N7
(Nitrogecircnio 14 Z=7 e A=14) Note que o nuacutemero atocircmico Z aumenta de uma unidade pois um necircutron no
nuacutecleo de Carbono deu origem a um proacuteton e daiacute ocorreu a transmutaccedilatildeo do Carbono em Nitrogecircnio (o
nuacutemero A permanece constante) Um eleacutetron eacute emitido pelo nuacutecleo saindo com alta velocidade Essa chuva
de eleacutetrons emitida por uma porccedilatildeo de Carbono radioativo eacute chamada de radiaccedilatildeo beta A longa exposiccedilatildeo a
esse tipo de radiaccedilatildeo pode ser perigosa pode causar queimaduras na pele cegueira e cacircncer Um processo de
determinaccedilatildeo da idade de foacutesseis se baseia nesse decaimento do 14C6 que se daacute com uma taxa bem precisa
como um reloacutegio Basicamente se sabemos a quantidade de 14C6 (ou a proporccedilatildeo 14C612C6) que havia em um
organismo hoje um foacutessil no instante em que ele morreu e medimos a quantidade de 14C6 que ele possui hoje
podemos inferir sua idade (desde quando ele morreu ateacute hoje) atraveacutes da taxa de decaimento beta do 14C6 A
quantidade de 14C6 (ou a proporccedilatildeo 14C612C6) no organismo no instante em que ele morreu eacute definida por essa
quantidade (proporccedilatildeo) na atmosfera em que ele vivia (respirava)
Partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica exercem forccedila uma sobre a outra Considere a situaccedilatildeo mais
simples a eletrostaacutetica (cargas paradas) duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas e estatildeo paradas fixadas em
suas posiccedilotildees a uma distacircncia r uma da outra (ver a Figura 5 abaixo) Qual a forccedila eleacutetrica entre elas Essa
pergunta eacute respondida pela lei de Coulomb A forccedila eleacutetrica que a partiacutecula 1 faz na partiacutecula 2 eacute
=
sendo uma constante (que depende do sistema de unidades utilizado) e um vetor unitaacuterio ao longo do eixo
que eacute o eixo que passa por e com sentido apontando de 1 para 2 A forccedila eleacutetrica que 2 faz em 1 eacute a
reaccedilatildeo
= minus
13
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Os experimentos mostram que se gt 0 as forccedilas estaratildeo como mostradas na Figura 5 e as
partiacuteculas se repelem mutuamente eacute o caso de dois proacutetons Se lt 0 o sinal negativo vai inverter os
sentidos das duas setas de forccedila e as partiacuteculas se atraem mutuamente eacute o caso de um proacuteton e um eleacutetron
Se pelo menos uma das partiacuteculas for eletricamente neutra entatildeo = 0 e natildeo haacute forccedila eleacutetrica entre
essas partiacuteculas eacute o caso de um proacuteton e um necircutron
No sistema internacional de unidades (SI) que eacute usado no Brasil forccedilas satildeo dadas em newtons (N)
distacircncias em metros (m) e cargas eleacutetricas satildeo dadas em coulombs (C) Dessa forma tendo definido essas trecircs
unidades podemos determinar experimentalmente o valor numeacuterico da constante na lei de Coulomb
Obteacutem-se cong 9 times 10 Nm C
Por razatildeo de conveniecircncia (natildeo tatildeo evidente) escrevemos = 14
sendo cong 8854 times 10 a chamada permissividade eleacutetrica do vaacutecuo A ideia baacutesica de se
introduzir jaacute na lei de Coulomb esse fator 4 no denominador eacute que futuramente quando aplicarmos essa lei
e outras derivadas dela a objetos de formas circulares ou esfeacutericas que satildeo formas comuns de objetos
utilizadas em sistemas eletromagneacuteticos esse fator vai desaparecer porque por exemplo a aacuterea superficial
de uma esfera de raio eacute 4 Ficamos entatildeo com a constante (permissividade eleacutetrica do vaacutecuo) que eacute
uma propriedade da interaccedilatildeo eleacutetrica que se daacute no vaacutecuo A ideia baacutesica aqui eacute que a forccedila eleacutetrica que eacute
dada por
= 14
eacute a forccedila eleacutetrica entre duas partiacuteculas que estatildeo localizadas no vaacutecuo ou seja natildeo haacute outras partiacuteculas no
espaccedilo apenas as partiacuteculas 1 e 2 Essa eacute a forccedila eleacutetrica na partiacutecula 2 Mais adiante no capiacutetulo 4 veremos
que se esse espaccedilo em que as partiacuteculas 1 e 2 estatildeo for preenchido por um meio material o ar por exemplo a
forccedila eleacutetrica na partiacutecula 2 deixa de ser dada pela expressatildeo acima Isso ocorre natildeo porque a forccedila muda
Figura 5 Duas partiacuteculas fixas em suas posiccedilotildees separadas por uma distacircncia r se atraem ou se repelem mutuamente de acordo com a lei de Coulomb Se gt 0 elas se repelem Se lt 0 elas se atraem Se = 0 natildeo haacute forccedila
14
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
mas porque a partiacutecula 2 passa a sofrer outras forccedilas eleacutetricas geradas pelas partiacuteculas que compotildeem esse
meio material circundante Basicamente a forccedila eleacutetrica resultante em passa a ser
= + = 14 +
Nessa equaccedilatildeo eacute a forccedila eleacutetrica que as cargas eleacutetricas que compotildeem o meio material que ocupa o
espaccedilo (aacutetomos e moleacuteculas) fazem na partiacutecula de carga Veremos que para muitos meios materiais
simples ocupando o espaccedilo os dois termos na expressatildeo acima podem se juntar e a forccedila pode ser escrita
como na forma original da lei de Coulomb = 14
sendo a permissividade eleacutetrica desse meio material Por exemplo se e estatildeo fixas debaixo drsquoaacutegua
segue que = + Aacute = 14 + Aacute = 14 Aacute
sendo Aacute cong 80 Portanto a forccedila em embaixo da aacutegua eacute cerca de 80 vezes menor que a forccedila em
no vaacutecuo Isso ocorre por causa da polarizaccedilatildeo da aacutegua e da blindagem que ela confere agraves cargas eleacutetricas
mergulhadas nela Por isso a aacutegua eacute o solvente universal e pode por exemplo dissolver o sal de cozinha (iacuteons
Na+ e Cl-) misturado nela
Resumindo ao trocar por na lei de Coulomb a forccedila definida acima deixa de ser (apenas) a
forccedila que a partiacutecula 1 faz na partiacutecula 2 ( ) e passa a ser a forccedila (resultante) na partiacutecula 2 devido agrave
presenccedila da partiacutecula 1 (que afeta tambeacutem as cargas eleacutetricas no meio circundante) Veremos um pouco mais
desse assunto no capiacutetulo 4
Vamos voltar ao aacutetomo de Hidrogecircnio e estimar a forccedila eleacutetrica que o proacuteton faz no eleacutetron dentro
desse aacutetomo Da lei de Coulomb com cong 05Å obtemos
= 14 cong 92 times10
Comparando essa forccedila com a forccedila gravitacional que calculamos anteriormente obtemos
cong 92 times10 41 times 10 cong 22 times10
A forccedila eleacutetrica entre partiacuteculas elementares eacute muito muito mesmo maior que a forccedila gravitacional
15
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Dada a similaridade entre a lei de Coulomb e a lei da gravitaccedilatildeo de Newton natildeo eacute muito difiacutecil
acreditar (como seraacute mostrado no capiacutetulo 3) que a energia potencial eleacutetrica associada agrave interaccedilatildeo entre o
proacuteton e o eleacutetron no aacutetomo de Hidrogecircnio eacute
= 14 cong minus46 times10
Se quisermos (apenas) separar esse eleacutetron desse proacuteton partindo da distacircncia (e do repouso) vamos gastar
uma energia minus (e com isso o aacutetomo seraacute ionizadodesfeito)
Portanto a razatildeo entre essa energia de ligaccedilatildeo eleacutetrica e a energia cineacutetica de um aacutetomo em um gaacutes
de Hidrogecircnio agrave temperatura ambiente ( ) eacute | | cong 90 times10
Vemos que a energia teacutermica disponiacutevel no gaacutes eacute muito menor que a energia de ligaccedilatildeo eletrostaacutetica No caso
da energia potencial gravitacional tiacutenhamos obtido a razatildeo cong 20 times10 Concluindo notamos
que a forccedila eleacutetrica e a energia potencial de ligaccedilatildeo eleacutetrica satildeo muito muito mesmo maiores que a forccedila
gravitacional e a energia potencial de ligaccedilatildeo gravitacional e que portanto elas podem dar conta da
estabilidade do aacutetomo de Hidrogecircnio e tambeacutem de toda a mateacuteria As partiacuteculas na mateacuteria se ligam atraveacutes
da forccedila eleacutetrica que eacute suficientemente forte para garantir a estabilidade da mateacuteria diferentemente da
gravidade que eacute despreziacutevel nesse contexto
A forccedila eleacutetrica dada pela lei de Coulomb eacute tambeacutem chamada de forccedila eletrostaacutetica pois ela eacute a uacutenica
forccedila de origem eleacutetrica entre partiacuteculas carregadas que estatildeo estaacuteticas fixas em suas posiccedilotildees Se essas
partiacuteculas estiverem se movendo veremos mais adiante que haveraacute outras forccedilas entre essas partiacuteculas como
a forccedila magneacutetica e a forccedila associada ao campo eleacutetrico induzido A lei de Coulomb eacute portanto a base da
eletrostaacutetica o estudo de sistemas de partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica e que estatildeo fixas no espaccedilo
depositadasacumuladas em algum corpoobjeto eletrizado
Na natureza nada estaacute de fato estaacutetico e a eletrostaacutetica eacute a todo rigor uma idealizaccedilatildeo As partiacuteculas
que compotildeem a mateacuteria estatildeo sempre em agitaccedilatildeo vibrando com intensidades que dependem da
temperatura local Mas essas vibraccedilotildees satildeo muito raacutepidas de baixa amplitude e natildeo produzem nenhum
deslocamento efetivo das partiacuteculas pois elas vatildeo tanto para laacute quanto para caacute de tal forma que ao final a
interaccedilatildeo eleacutetrica entre elas se daacute como se elas estivessem de fato estaacuteticas em suas posiccedilotildees centrais de
equiliacutebrio Por isso conseguimos observar no mundo real comportamentos que satildeo previstos pela
eletrostaacutetica Aleacutem disso podemos muitas vezes considerar que os efeitos do movimento das partiacuteculas
carregadas satildeo despreziacuteveis ou que eles apenas seratildeo deixados para uma etapa posterior do estudo que
estamos realizando e assim utilizar a lei de Coulomb como uma primeira aproximaccedilatildeo para calcular a forccedila
16
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
entre partiacuteculas que estatildeo se movendo Fazemos isso por exemplo quando usamos a lei de Coulomb para
calcular a forccedila eleacutetrica entre o eleacutetron e o proacuteton no interior de um aacutetomo de Hidrogecircnio (onde certamente
os proacutetons e eleacutetrons natildeo estatildeo estaacuteticos pois essa configuraccedilatildeo estaacutetica natildeo seria estaacutevel o eleacutetron e o
proacuteton acabariam por se fundir talvez formando um necircutron)
A Figura ao lado ilustra um modelo do que seria a visatildeo microscoacutepica da
estrutura do sal de cozinha (cloreto de soacutedio NaCl) Nessa estrutura os aacutetomos de
soacutedio (bolinhas roxas) e os aacutetomos de cloro (bolinhas verdes) se aproximam muito
de tal forma que um eleacutetron eacute transferido de um aacutetomo de soacutedio que se torna um
iacuteon Na+ para um aacutetomo de cloro que se torna um iacuteon Cl- (a mecacircnica quacircntica
explica porque isso ocorre) Esses iacuteons se atraem mutuamente pela forccedila
eletrostaacutetica de Coulomb e formam uma estrutura regular razoavelmente riacutegida e estaacutevel Nessa rede
cristalina cada iacuteon eacute circundado por seis outros iacuteons de carga oposta e se manteacutem em equiliacutebrio sob accedilatildeo
dessas vaacuterias forccedilas eletrostaacuteticas apenas balanccedilando para caacute e para laacute Toda a mateacuteria que existe aacutetomos
moleacuteculas soacutelidos liacutequidos e gases possuem propriedades micromacroscoacutepicas marcantes advindas da
interaccedilatildeo eletrostaacutetica entre seus constituintes
Podemos usar a lei de Coulomb para calcular a forccedila que uma porccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas A faz
em outra porccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas B Para isso utilizamos o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que a
forccedila resultante de vaacuterias cargas em outra carga eacute simplesmente a soma (vetorial) das forccedilas individuais
que cada uma das cargas faz em como se as outras cargas natildeo existissem Resumindo
= = 14 = 4
sendo a distacircncia entre e e um vetor unitaacuterio que aponta de para (em breve passaremos a
chamar esse vetor de no lugar de )
Considere o exemplo mostrado na Figura 6 abaixo que mostra um objeto dipolar (uma moleacutecula
polar) proacuteximo de uma carga pontual (um iacuteon)
Daqui para diante vamos adotar essa praacutetica de chamar de as cargas eleacutetricas que estamos supondo
positivas e minus as cargas eleacutetricas que estamos supondo negativas Entatildeo na Figura 6 estamos supondo gt
Figura 6 Uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) estaacute proacutexima de um iacuteon de carga
x
y
minus
d
17
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
0 minus lt 0 e gt 0 Essa hipoacutetese sobre os sinais eacute importante apenas para que desenhemos as setas das
forccedilas atraccedilotildees e repulsotildees mas os resultados algeacutebricos obtidos satildeo vaacutelidos para quaisquer sinais das cargas
Em uma distribuiccedilatildeo dipolar (como a da moleacutecula na Figura 6 acima) duas cargas pontuais e minus
estatildeo separadas por uma distacircncia formando uma espeacutecie de haltere de cargas eleacutetricas Essa distribuiccedilatildeo
dipolar eacute muito comum na natureza em moleacuteculas que possuem centros de cargas positivo e negativo
separados entre si Eacute o caso da moleacutecula de aacutegua (H2O) cuja estrutura molecular eacute ilustrada na Figura 7 abaixo
juntamente com seu modelo de dipolo eleacutetrico
Na moleacutecula de aacutegua um aacutetomo de Oxigecircnio (Z=8) se liga com dois aacutetomos de Hidrogecircnio (Z=1)
formando uma estrutura eletricamente neutra e estaacutevel com a forma da letra V As ligaccedilotildees satildeo covalentes
significando que o Oxigecircnio e um Hidrogecircnio compartilham dois eleacutetrons entre si eleacutetrons que ficam viajando
na regiatildeo entre esses dois aacutetomos (regiatildeo indicada pelas linhas ligando os aacutetomos na estrutura molecular
mostrada na Figura 7) A interaccedilatildeo eleacutetrica (repulsatildeo) entre os quatro eleacutetrons das duas ligaccedilotildees covalentes e
os demais eleacutetrons no aacutetomo de Oxigecircnio leva finalmente a uma estrutura molecular dobrada em forma de V
(soacute a mecacircnica quacircntica pode explicar isso) Os eleacutetrons compartilhados nas ligaccedilotildees covalentes satildeo mais
atraiacutedos e passam mais tempo proacuteximos ao Oxigecircnio e essa regiatildeo fica carregada negativamente A regiatildeo
proacutexima dos Hidrogecircnios fica com excesso de proacutetons e portanto carregada positivamente (trata-se do
caraacuteter iocircnico dessa ligaccedilatildeo covalente) O resultado final eacute uma estrutura eleacutetrica dipolar como representado
na Figura 7 Dois centros de carga ( e minus ) estatildeo separados no espaccedilo por uma distacircncia A moleacutecula de
aacutegua eacute polar Em uma moleacutecula de aacutegua poderiacuteamos estimar os valores numeacutericos cong 10 C e cong 1Å
Dizemos que a moleacutecula de aacutegua eacute polar pois ela possui uma dipolaridade eleacutetrica intriacutenseca
Apenas para comparaccedilatildeo ilustramos na Figura 8 abaixo as estruturas de uma moleacutecula de CO2 (dioacutexido
de carbono) que natildeo possui dipolaridade eleacutetrica (eacute apolar) e de uma moleacutecula de CO (monoacutexido de carbono)
que assim como a moleacutecula de aacutegua possui dipolaridade eleacutetrica (eacute polar)
Figura 7 ilustraccedilotildees da forma em V de uma moleacutecula de aacutegua e do modelo dipolar de distribuiccedilatildeo de carga eleacutetrica nessa moleacutecula
O
H H
minus
1045o
Figura 8 ilustraccedilatildeo da forma retiliacutenea de uma moleacutecula de dioacutexido de carbono (CO2) Essa moleacutecula natildeo possui dipolaridade eleacutetrica (eacute apolar) A moleacutecula de monoacutexido de carbono (CO) eacute polar pois possui uma ponta + e uma ponta -
O C O
C O
+ -
+ + - -
18
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
No CO2 assim como na aacutegua haacute duas ligaccedilotildees covalentes dessa vez entre um aacutetomo de Carbono
(Z=6) e dois aacutetomos de Oxigecircnio (Z=8) A estrutura final estaacutevel eacute linear e simeacutetrica natildeo havendo duas
regiotildeesextremidades distintas na moleacutecula com cargas opostas Natildeo haacute nesse caso a formaccedilatildeo de um dipolo
eleacutetrico A moleacutecula de CO2 eacute apolar Podemos considerar que na moleacutecula de CO2 haacute duas dipolaridades
opostas que se cancelam mutuamente ou equivalentemente que o centro das duas cargas negativas (anaacutelogo
ao centro de massa) estaacute por simetria exatamente no ponto meacutedio entre essas cargas ou seja no aacutetomo C
onde estaacute tambeacutem o centro das cargas positivas Natildeo haacute portanto dois centros de cargas opostas separados
no espaccedilo Quanto ao monoacutexido de carbono (CO) ele possui uma dipolaridade eleacutetrica eacute uma moleacutecula polar
Por isso ele eacute mais reativo que o CO2 Os processos naturais de respiraccedilatildeo e a combustatildeo completa de
combustiacuteveis por exemplo produzem CO2 Em contraste a combustatildeo incompleta produz CO que funciona
como um veneno no ar pois ele se ligaconecta ao oxigecircnio no sangue bloqueando a absorccedilatildeo desse oxigecircnio
na respiraccedilatildeo
Voltando ao exemplo na Figura 6 mostrado novamente na Figura 9 abaixo queremos calcular a forccedila
eleacutetrica que a moleacutecula polar faz no iacuteon de carga eleacutetrica (positiva) interaccedilatildeo dipolo-monopolo (o iacuteon eacute um
monopolo eleacutetrico) A moleacutecula polar tem a forma de um haltere com comprimento e cargas gt 0 e minus
localizadas em suas extremidades A outra partiacutecula eacute um iacuteon de carga eleacutetrica (um monopolo) A distacircncia
(ou uma distacircncia) entre esses dois objetos (dipolo e iacuteon) eacute Jaacute adotamos nessa figura um referencial xy para
podermos representar apropriadamente os vetores forccedila Apenas como exemplo podemos considerar que
estamos calculando a forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula de aacutegua faz em um iacuteon Na+ que estaacute colocado em sua
vizinhanccedila como mostrado na Figura 9 Note que a moleacutecula de aacutegua eacute eletricamente neutra mas mesmo
assim ela faz forccedila eleacutetrica em outros objetos eletricamente carregados em sua vizinhanccedila graccedilas agrave sua
dipolaridade eleacutetrica intriacutenseca
De acordo com nossa discussatildeo anterior da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo sabemos
que a forccedila que o dipolo (D) faz no iacuteon (I) eacute
= +
Calculamos a forccedila que cada poacutelo de D faz no iacuteon I e somamos vetorialmente
minus
Figura 9 Forccedilas que os polos de uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) fazem em um iacuteon de carga
x
y
d
19
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Considere o poacutelo minus inferior A forccedila que esse poacutelo faz no iacuteon eacute representada pela seta azul na Figura
9 acima A forccedila (atrativa) que esse poacutelo faz no iacuteon eacute
= 14 (minus ) A forccedila (repulsiva) que o poacutelo de carga faz no iacuteon (seta verde) eacute
= 14 + [cos( ) minus sen( ) ] sendo o acircngulo mostrado na Figura 9
Vemos na Figura que cos( ) = radic + e sen( ) = radic +
Portanto
= 4 ( + ) minus 1 minus ( + )
Note que radic = Na Figura 10 abaixo limpamos um pouco a Figura anterior e mostramos a forccedila eleacutetrica
resultante que a moleacutecula polar faz no iacuteon (a seta de eacute a soma da seta verde com a seta azul
mostradas na Figura 9 de acordo com a regra do paralelogramo)
A Figura 10 sugere que o iacuteon positivo estaacute sendo puxado para proacuteximo do poacutelo negativo da moleacutecula
polar Se pensarmos que a moleacutecula polar estaacute fixa e que o iacuteon pode ser mover a Figura sugere que o iacuteon vai
percorrer uma curva no espaccedilo e finalmente terminar aderindo agrave moleacutecula formando uma estrutura de cargas
mais complexa uma nova moleacutecula Toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e a moleacutecula dipolar tambeacutem estaacute sendo atraiacuteda
pelo iacuteon com uma forccedila = minus Essa interaccedilatildeo dipoloiacuteon faz com que o sal de mesa se torne molhado
pelo fato dele atrair moleacuteculas de aacutegua que se encontram dissolvidas no ar circundante O sal de mesa (um
aglomerado de iacuteons Na+ e Cl-) eacute higroscoacutepico e vai atraindo e aglutinando as moleacuteculas do vapor de aacutegua
atmosfeacuterico Ao final a aacutegua condensa (forma gotiacuteculas) e se torna liacutequida deixando o sal molhado
Figura 10 Forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) faz em um iacuteon de carga
x
y
d
minus
20
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
A expressatildeo que obtivemos para a forccedila da moleacutecula polar no iacuteon natildeo traacutes nenhuma hipoacutetese
sobre as distacircncias e Na praacutetica sempre podemos considerar que uma moleacutecula real eacute um objeto muito
pequeno com cong 1Å (10 m) Portanto se fizermos a hipoacutetese de que ≪ podemos simplificar a
expressatildeo da forccedila e obter uma expressatildeo mais apropriadarealistasimples para moleacuteculas interagindo com
iacuteons em sua vizinhanccedila Para obter essa simplificaccedilatildeo poderiacuteamos fazer simplesmente + = mas essa
poderia ser uma aproximaccedilatildeo muito grosseira Preferimos ateacute como um exerciacutecio ir mais devagar
comeccedilando pela expansatildeo binomial truncada (1 + ) = 1 + se cong 0
Por exemplo para = 2 sabemos que (1 + ) = 1 + 2 + = 1 + 2 na hipoacutetese de valer cong 0
Primeiramente definimos = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de vemos que
esse (cong 0 por hipoacutetese) aparece explicitamente
= 4 ( + ) minus 1 minus ( + ) = 4 1(1 + ( ) ) minus 1 minus (1 + ( ) ) == 4 1(1 + ) minus 1 minus (1 + )
Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus32 = (1 + ) = 1 + (minus )
Portanto
= 4 1 minus 32 minus 1 minus 1 minus 32
Concluindo (desprezando logo e levando em conta que = cong 0)
= 4 minus Finalmente
= 14 (minus ) (no final das contas deu o mesmo resultado que a mera simplificaccedilatildeo + = )
Note que se o dipolo eleacutetrico eacute pequeno ( ≪ e = cong 0) basicamente um objeto pontual a
forccedila natildeo fica na direccedilatildeo mostrada na Figura 10 mas sim na direccedilatildeo minus (a componente x da forccedila eacute nula
nesse limite) conforme ilustrado na Figura 11 abaixo
21
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Percebemos acima que a forccedila moleacuteculaiacuteon decai com o cubo da distacircncia entre essas duas
partiacuteculas e depende do produto que reuacutene a carga do iacuteon e a carga deslocada (ou carga do poacutelo) da
moleacutecula polar multiplicada pela distacircncia desse deslocamento (basicamente o tamanho da moleacutecula
polar)
Esse produto caracteriza a dipolaridade da moleacutecula (se valesse = 0 eou = 0 natildeo haveria
dipolaridade) as magnitudes das cargas nos poacutelos e a separaccedilatildeo espacial desses poacutelos
Nesse sentido definimos o ldquomomento de dipolo eleacutetricordquo dessa moleacutecula como sendo o vetor =
ou seja o vetor possui moacutedulo direccedilatildeo que passa pelos dois poacutelos da moleacutecula e sentido que aponta do
poacutelo negativo para o poacutelo positivo (essa escolha de sentido eacute arbitraacuteria mas conforme veremos vantajosa)
Para o caso de uma moleacutecula de aacutegua por exemplo o momento de dipolo estaacute ilustrado na Figura 12 abaixo
A ideia do momento de dipolo eleacutetrico eacute que essa grandeza resume as propriedades eleacutetricas de um
objeto dipolar pequeno (pontual para todos os efeitos) como uma moleacutecula polar cuja carga total eacute nula
Nesse sentido podemos resumir a configuraccedilatildeo de uma moleacutecula polar interagindo com um iacuteon mostrada na
Figura 10 pela configuraccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico de intensidade interagindo com um monopolo ou iacuteon de
carga A Figura 11 ilustra essa ideia Note que estamos ao final representando nessa Figura a moleacutecula
dipolar apenas por uma bolinha pois ela eacute pontual nesse limite ≪
Figura 12 ilustraccedilotildees da forma em V de uma moleacutecula de aacutegua de seu modelo de dipolo eleacutetrico e de seu momento de dipolo eleacutetrico intriacutenseco
O
H H
minus
Figura 11 Uma moleacutecula polar (duas cargas e minus separadas por um deslocamento ) pode ser caracterizada apenas por seu momento de dipolo = Para ≪ a moleacutecula se torna um dipolo pontual e a forccedila no iacuteon fica na direccedilatildeo ndashy
≪
x
y
minus
d
x
y
22
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
O termo ldquomomentordquo eacute usado em estatiacutestica para representar propriedades de distribuiccedilotildees O produto
da quantidade distribuiacuteda por uma distacircncia eacute o primeiro momento dessa distribuiccedilatildeo Alguns exemplos satildeo o
torque (distribuiccedilatildeo de forccedilas) o centro de massa (distribuiccedilatildeo de massas) e o momento de dipolo eleacutetrico
(distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas)
A forccedila que a moleacutecula polar de momento de dipolo faz no iacuteon de carga posicionado conforme a
Figura 11 eacute
= minus4
A forccedila seraacute a mesma se a moleacutecula polar tiver poacutelos de cargas plusmn distanciados de ou poacutelos de
cargas plusmn2 distanciados de 2 ou enfim qualquer combinaccedilatildeo dessas duas grandezas que resulte no
mesmo produto (se insistirmos em pensar em rarr 0 (dipolo pontual) devemos pensar em rarr infin) Nesse
sentido a grandeza = caracterizaresume a dipolaridade da moleacutecula e sua interaccedilatildeo eleacutetrica com
outras partiacuteculas em sua vizinhanccedila
Note que o iacuteon tambeacutem faz forccedila no dipolo (accedilatildeo e reaccedilatildeo) e
= 4
Portanto enquanto a moleacutecula polar empurra o iacuteon para baixo (ao longo de ndashy) o iacuteon empurra a
moleacutecula para cima (ao longo de +y que eacute o sentido de na configuraccedilatildeo que estamos considerando)
Veremos mais adiante que a interaccedilatildeo iacuteonmoleacutecula vai afetar tambeacutem a orientaccedilatildeo da seta de que gira no
espaccedilo apontando sua ponta negativa para o iacuteon positivo Essa interaccedilatildeo eleacutetrica entre essas duas partiacuteculas
vai dar origem a uma ldquodanccedilardquo em que uma partiacutecula vai circundando a outra podendo ocorrer ao final a
formaccedilatildeo de uma moleacutecula mais complicada (se essa nova moleacutecula vai se formar como um sistema estaacutevel
ou natildeo vai depender de outros fatores que natildeo estamos estudando aqui afinal esses fenocircmenos
microscoacutepicos como a formaccedilatildeo de aacutetomos moleacuteculas e materiais em geral satildeo regidos pela mecacircnica
quacircntica) Essa forccedila dipoloiacuteon eacute a responsaacutevel pela dissoluccedilatildeo do sal de cozinha (Na+ + Cl-) na aacutegua
Nesse exemplo discutimos a interaccedilatildeo eleacutetrica entre uma moleacutecula polar e um iacuteon Haveria interaccedilatildeo
eleacutetrica (forccedila) entre um iacuteon e uma moleacutecula natildeo polar (apolar) Equivalentemente haveria interaccedilatildeo eleacutetrica
entre um iacuteon e um aacutetomo isolado (que eacute sempre apolar por simetria) Sim porque o iacuteon induz na moleacutecula
apolar (ou no aacutetomo) um momento de dipolo eleacutetrico (momento de dipolo induzido) e a partir daiacute tudo
funciona como o que jaacute discutimos trocando por De fato considere que uma moleacutecula ou mesmo um
aacutetomo natildeo satildeo objetos riacutegidos eles podem se deformar quando submetidos a forccedilas eleacutetricas (atraccedilotildees e
repulsotildees) externas Ao se deformarem eles adquirem um momento de dipolo eleacutetrico induzido A Figura
13 abaixo ilustra essa ideia
23
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Um iacuteon positivo de carga foi colocado (em = 0) ao lado de um aacutetomomoleacutecula apolar que
inicialmente natildeo possuiacutea nenhuma dipolaridade eleacutetrica (ambos natildeo possuem poacutelos eleacutetricos intriacutensecos os
aacutetomos porque satildeo esfericamente simeacutetricos e as moleacuteculas apolares por causa de suas geometrias
particulares simeacutetricas como no caso do CO2) Representamos esse aacutetomomoleacutecula apolar como uma esfera
deformaacutevel ou seja um objeto simeacutetrico em que o centro de carga positiva (proacutetons) coincide com o centro
de carga negativa (eleacutetrons) Em um segundo momento ( ≳ 0) o iacuteon positivo vai atrair o centro de carga
negativa do aacutetomomoleacutecula apolar (os eleacutetrons) e repelir o centro positivo (os proacutetons nos nuacutecleos)
Esses centros vatildeo se separar um pouco (lembre-se que esses dois centros estatildeo tambeacutem se atraindo
mutuamente dentro do aacutetomomoleacutecula apolar e por isso haveraacute um equiliacutebrio atraccedilatildeorepulsatildeo) e ao final
o aacutetomomoleacutecula apolar vai adquirir uma dipolaridade uma dipolaridade eleacutetrica induzida (basicamente
a esfera se deforma em um elipsoacuteide) No caso da moleacutecula de aacutegua a dipolaridade eleacutetrica eacute intriacutenseca pois
ela natildeo depende de fatores externos para existir Nesse caso que estamos discutindo agora a dipolaridade
eleacutetrica eacute induzida ela soacute existe no aacutetomomoleacutecula apolar enquanto este estaacute na vizinhanccedila do iacuteon Se
afastarmos muito o iacuteon ( rarr infin) entatildeo as deformaccedilotildees desaparecem e rarr 0
Note que no caso do dipolo eleacutetrico induzido natildeo temos liberdade em escolher a direccedilatildeo de
como fizemos com na Figura 11 A interaccedilatildeo do iacuteon com o aacutetomomoleacutecula apolar (atraccedilatildeo e repulsatildeo) vai
produzir obrigatoriamente um esticamento desse aacutetomomoleacutecula na direccedilatildeo x (que passa pelo iacuteon) e induzir
um momento de dipolo induzido nessa direccedilatildeo e nesse sentido = minus
Vamos calcular a forccedila que o iacuteon faz no aacutetomomoleacutecula polarizado Da lei de Coulomb e do princiacutepio
da superposiccedilatildeo
= +
Supondo (arbitrariamente) que a distacircncia seja medida em relaccedilatildeo ao centro do dipolo obtemos
Figura 13 Um aacutetomomoleacutecula apolar (bolinha laranja) foi colocado na vizinhanccedila de um iacuteon positivo e adquiriu uma dipolaridade eleacutetrica induzida (duas cargas e minus separadas por um
deslocamento minus ) = = minus
= 0
x
y
minus d
x
y
≳ 0
24
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
= 4 minus 1( + 2) + 1( minus 2)
Essa eacute a expressatildeo da forccedila Mas com o objetivo de obter uma expressatildeo mais simples vamos
considerar como jaacute fizemos anteriormente que o aacutetomomoleacutecula polarizado eacute um objeto bem pequeno com
dimensotildees da ordem de 1 Å Vamos tomar o limite ≫ Natildeo podemos simplesmente desprezar na
expressatildeo acima pois obtemos uma forccedila nula significando que exageramos na aproximaccedilatildeo A forccedila entre
esse objetos minuacutesculos eacute pequena mas natildeo-nula Devemos ir mais devagar utilizando a expansatildeo binomial
truncada (1 + ) = 1 + se cong 0
Primeiramente definimos = 2 Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de vemos que
esse (cong 0 por hipoacutetese) aparece explicitamente
= 4 minus 1( + 2) + 1( minus 2) = 4 minus 1(1 + 2 ) + 1(1 minus 2 ) = 4 minus 1(1 + ) + 1(1 minus )
Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) = 1 minus 2 = minus2 = minus (1 minus ) = (1 + (minus )) = 1 + (minus2)(minus ) = 1 + 2
Portanto
= 4 [minus(1 minus 2 ) + (1 + 2 )]
Concluindo
= 4 (4 ) = 2 = minus 12 (minus ) = minus 12
Note que trata-se de uma forccedila atrativa pois o aacutetomomoleacutecula polarizado sofre uma forccedila na direccedilatildeo
+x ( = minus aponta no sentido de ndashx) O iacuteon atrai o aacutetomomoleacutecula apolar atraveacutes de um processo que
envolve a etapa intermediaacuteria de criaccedilatildeo de um momento de dipolo induzido nesse aacutetomomoleacutecula apolar A
forccedila seraacute sempre atrativa
Percebemos que a expressatildeo da forccedila que obtivemos aqui eacute bem parecida com a anterior que
deduzimos para um iacuteon e uma moleacutecula polar basicamente trocando por (mas haacute um fator 2 porque a
direccedilatildeo de aqui eacute diferente) A forccedila parece decair com o cubo da distacircncia Mas note que aqui o proacuteprio
momento de dipolo induzido eacute um efeito da interaccedilatildeo entre o aacutetomomoleacutecula apolar e o iacuteon e portanto
deve depender tambeacutem da distacircncia (diferentemente de um momento de dipolo intriacutenseco como no
25
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
caso da moleacutecula de aacutegua) De fato podemos definir uma ldquopolarizabilidaderdquo para qualquer aacutetomomoleacutecula
apolar de tal forma que (note que prop eacute o siacutembolo de proporcionalidade natildeo confundir com a letra (alfa))
= prop
ou seja o momento de dipolo induzido eacute funccedilatildeo proporcional da forccedila (por unidade de carga) que estaacute
produzindo essa polarizaccedilatildeo no aacutetomomoleacutecula apolar a forccedila do iacuteon positivo em qualquer um de seus
centros de carga Quanto maior a polarizabilidade mais polarizaacutevel (deformaacutevel) eacute o aacutetomomoleacutecula apolar
e maior deve ser a forccedila de atraccedilatildeo Concluindo (usando a lei de Coulomb para )
= minus 12 = minus 12 4 (minus ) 1 = 18 1 A forccedila eleacutetrica entre um iacuteon e um aacutetomomoleacutecula apolar depende da polarizabilidade desse
aacutetomomoleacutecula (se valesse = 0 (aacutetomomoleacutecula riacutegido) natildeo haveria forccedila) e decai com a quinta potecircncia
da distacircncia entre essas duas partiacuteculas Trata-se de uma forccedila sempre atrativa e bem fraca em geral Essa eacute a
forccedila responsaacutevel pela atraccedilatildeo que um pente eletricamente carregado exerce sobre pedacinhos de papel As
cargas eleacutetricas na superfiacutecie do pente polarizam as moleacuteculas do papel e atraem esses pedacinhos
Mesmo as moleacuteculas polares como a aacutegua possuem alguma polarizabilidade (pois elas natildeo satildeo
riacutegidas) e seus momentos de dipolos intriacutensecos se modificam um pouco quando essas moleacuteculas estatildeo na
presenccedila de um objeto eletricamente carregado Na hipoacutetese de que ≪ (polarizabilidade pequena)
podemos desprezar esse efeito e considerar que os momentos de dipolo intriacutensecos das moleacuteculas polares satildeo
riacutegidos (de magnitude constante independente da interaccedilatildeo dessas moleacuteculas com outras cargas eleacutetricas)
Continuando nossa investigaccedilatildeo sobre as interaccedilotildees eleacutetricas entre partiacuteculas podemos nos perguntar
se uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre outra moleacutecula polar A resposta eacute sim e essa forccedila deve depender
fortemente das orientaccedilotildees desses dois dipolos eleacutetricos no espaccedilo Como exemplo vamos considerar a
interaccedilatildeo entre duas moleacuteculas dipolares posicionadas no espaccedilo com seus momentos de dipolo eleacutetrico e
paralelos entre si conforme a Figura 14 abaixo As moleacuteculas estatildeo distanciadas de
Podemos considerar que estamos calculando a forccedila eleacutetrica entre duas moleacuteculas de aacutegua mas
preferimos supor o caso mais geral em que as moleacuteculas satildeo em princiacutepio diferentes e que possuem portanto
momentos de dipolo eleacutetrico intriacutensecos diferentes e
Figura 14 Duas moleacuteculas dipolares (pontuais) com momentos de dipolo eleacutetrico e paralelos entre si e sobre um eixo comum distanciadas de Elas vatildeo se atrair
26
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Na Figura 15 abaixo detalhamos as estruturas de carga eleacutetrica microscoacutepicas correspondentes agraves
orientaccedilotildees dos dipolos mostradas na Figura 14 (lembre-se que aponta sempre por definiccedilatildeo da carga ndash
para a carga +) Nossa ideia eacute calcular a forccedila entre essas duas distribuiccedilotildees de carga mais especificamente a
forccedila da moleacutecula 1 na moleacutecula 2 e ao final considerar os limites ≪ e ≪ (moleacuteculas realistas
pequenas) Do princiacutepio da superposiccedilatildeo obtemos
= + + +
Note que a distacircncia foi arbitrada como sendo a distacircncia entre os poacutelos negativos das moleacuteculas
Portanto da lei de Coulomb
= 14 (minus )(minus ) + (minus )( + ) + (minus )( minus ) + ( + minus )
Note que haacute duas forccedilas de repulsatildeo ao longo de + e duas forccedilas de atraccedilatildeo ao longo de minus Simplificando
= 4 1 + 1( + minus ) minus 1( + ) minus 1( minus )
Agora considerando que moleacuteculas satildeo objetos bem pequenos com dimensotildees da ordem de 1 Å
vamos considerar os limites ≪ e ≪ (dipolos pontuais) Como jaacute fizemos vamos utilizar a expansatildeo
binomial truncada mas agora mantendo o termo (1 + ) = 1 + + ( ) se cong 0
Primeiramente definimos = e = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de
vemos que esses (cong 0 por hipoacutetese) aparecem explicitamente
= 4 1 + 1(1 + minus ) minus 1(1 + ) minus 1(1 minus )
Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = minus (1 + minus ) = 1 + (minus2) ( minus ) + 3( minus )
minus minus
x
Figura 15 Detalhamento das distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica das duas moleacuteculas correspondentes aos momentos de dipolo eleacutetrico
e Por hipoacutetese = e =
27
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
= minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) + 3 = minus2 = minus (1 minus ) = (1 + (minus )) = 1 + (minus2)(minus ) + 3(minus )
Note que aqui tivemos que considerar uma expansatildeo binomial que vai ateacute o termo basicamente
porque se consideraacutessemos termos somente ateacute obteriacuteamos = 0 Natildeo haveria nada de errado com esse
resultado ele apenas estaria mostrando que nesse niacutevel de aproximaccedilatildeo (grosseiro) natildeo haacute nenhuma forccedila
entre as moleacuteculas dipolares De fato a forccedila que estamos calculando aqui eacute bem fraca e soacute conseguimos
calcular sua magnitude natildeo nula se avanccedilamos um pouco mais na expansatildeo binomial Foi o que fizemos
Portanto substituindo as expansotildees binomiais obtemos
= 4 1 + [1 minus 2( minus ) + 3( minus ) ] minus [1 minus 2 + 3 ] minus [1 + 2 + 3 ]
Concluindo (sendo = e = os moacutedulos dos momentos de dipolo)
= 4 (minus6 ) = minus32 = minus 32
Vemos que a moleacutecula 2 eacute atraiacuteda pela moleacutecula 1 que a forccedila intermolecular eacute proporcional ao
produto dos dois momentos de dipolo eleacutetrico e decai com a quarta potecircncia da distacircncia entre as moleacuteculas
Em geral devemos esperar tambeacutem que a forccedila entre dois objetos dipolares dependa da orientaccedilatildeo relativa
entre os momentos de dipolo eleacutetricos Se e forem antiparalelos entre si (poacutelos de mesma polaridade
face a face) por exemplo a forccedila intermolecular seraacute repulsiva
Note que as moleacuteculas polares satildeo objetos eletricamente neutros mas que exercem forccedilas eleacutetricas
entre elas porque possuem poacutelos eleacutetricos Satildeo forccedilas minuacutesculas porque satildeo proporcionais a e decaem
rapidamente com a distacircncia Mesmo assim satildeo forccedilas capazes de produzir efeitos macroscoacutepicos
influenciando nos comportamentos fiacutesicos e quiacutemicos das substacircncias
Moleacuteculas de aacutegua podem se aglutinar ligando seus poacutelos de polaridades opostas (formando as pontes
de hidrogecircnio) o que eleva a temperatura de solidificaccedilatildeo da aacutegua (eacute mais faacutecil formar gelo devido a essa
atraccedilatildeo eleacutetrica entre as moleacuteculas de aacutegua) e eleva sua temperatura de evaporaccedilatildeo (eacute mais difiacutecil separar as
moleacuteculas e formar o vapor devido a essa atraccedilatildeo eleacutetrica entre as moleacuteculas de aacutegua) A organizaccedilatildeo espacial
das moleacuteculas (cristalizaccedilatildeo) conectando seus poacutelos eleacutetricos de sinais opostos tambeacutem leva a um aumento
do volume do gelo em relaccedilatildeo agrave aacutegua e agrave flutuaccedilatildeo do gelo na aacutegua (o gelo eacute menos denso que a aacutegua) De
fato o maacuteximo na densidade da aacutegua ocorre proacuteximo de 4oC e eacute igual a 1 gcm3 Baixando a temperatura a
organizaccedilatildeo espacial dos dipolos eleacutetricos faz com que a densidade da aacutegua vaacute diminuindo pois os dipolos
eleacutetricos organizados no espaccedilo ocupam um volume maior que os dipolos simplesmente misturados ao acaso
O fato do gelo flutuar na aacutegua impede que toda a aacutegua de um lago congele no inverno preservando a vida Eacute
28
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
sempre bom lembrar que a formaccedilatildeo de pontes de hidrogecircnio eacute um fenocircmeno quacircntico mas isso natildeo invalida
a ideia de que este eacute um fenocircmeno que ocorre graccedilas agrave forccedila dipolo-dipolo discutida aqui
Continuando nossa pesquisa podemos perguntar se uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre outra
moleacutecula apolar Equivalentemente uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre um aacutetomo isolado (que eacute sempre
apolar por simetria) Sim basicamente porque como jaacute vimos uma carga eleacutetrica externa exerce forccedila sobre
as cargas dentro de um aacutetomomoleacutecula apolar induzindo um momento de dipolo eleacutetrico nesse
aacutetomomoleacutecula apolar Para discutir esse caso basta considerarmos que na Figura 14 o dipolo representa
uma moleacutecula polar (como a aacutegua) e que o dipolo representa o momento de dipolo induzido em um
aacutetomomoleacutecula apolar ou seja = Note que as atraccedilotildees e repulsotildees que a moleacutecula polar vai
produzir sobre os nuacutecleos e eleacutetrons no aacutetomomoleacutecula apolar devem finalmente levar a um momento de
dipolo induzido com a orientaccedilatildeo que adotamos na Figura 14 ou seja as partiacuteculas vatildeo sempre se atrair Para
dois dipolos como na Figura 14 obtivemos
= minus 32
Quanto ao momento de dipolo induzido devemos considerar aqui que eacute resultado da forccedila que o
dipolo intriacutenseco faz nos centros de carga + e - da moleacutecula apolar deformando-a No caso que jaacute
discutimos anteriormente da induccedilatildeo de dipolo pela presenccedila de um iacuteon utilizamos a lei de Coulomb para a
forccedila iacuteoncentro de carga resultando em = prop
sendo a polarizabilidade do aacutetomomoleacutecula apolar (prop eacute o siacutembolo de proporcionalidade) Aqui devemos
considerar que quem faz a forccedila nos centros de carga + e - da moleacutecula apolar eacute um dipolo pontual intriacutenseco
e que essa forccedila conforme jaacute mostramos atraveacutes do caacutelculo da forccedila dipoloiacuteon decai com o cubo da
distacircncia ou seja
= minus4
Portanto para a interaccedilatildeo dipolo intriacutensecodipolo induzido obtemos
= prop
Concluindo fazendo apenas uma estimativa sem entrar em muito detalhe nos caacutelculos a magnitude da forccedila
atrativa entre essas duas partiacuteculas polar e apolar deve se comportar como
prop prop =
29
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
A forccedila (chamada de forccedila de Debye) decai com a seacutetima potecircncia da distacircncia e eacute proporcional agrave capacidade
que o aacutetomomoleacutecula apolar tem de ser deformadopolarizado por um agente externo (a moleacutecula polar
nesse caso) Podemos imaginar essa forccedila provocandofacilitando a reaccedilatildeo CO+Orarr CO2
Finalmente poderiacuteamos nos perguntar se uma moleacutecula apolar (ou um aacutetomo isolado) exerce forccedila
sobre outra moleacutecula apolar (ou sobre outro aacutetomo isolado) Nesse caso natildeo haacute nenhum excesso de carga ou
polaridade eleacutetrica inicial A resposta eacute sim pois essa eacute a forccedila que explica a condensaccedilatildeo de um gaacutes a baixas
temperaturas Essa forccedila eacute chamada de forccedila de dispersatildeo (ou forccedila de London) No entanto somente as leis
do eletromagnetismo claacutessico que estamos estudando aqui natildeo satildeo capazes de demonstrar a existecircncia dessa
forccedila ou mesmo de calcular sua magnitude (se simplesmente aplicarmos a lei de Coulomb para duas
partiacuteculas neutras e apolares vamos obter uma forccedila nula) Precisamos apelar para a mecacircnica quacircntica
Basicamente a mecacircnica quacircntica mostra que quando essas duas moleacuteculas apolares (ou aacutetomos) se
aproximarem as flutuaccedilotildees em suas dipolaridades eleacutetricas (advindas dos movimentos dos eleacutetrons no
interior das moleacuteculasaacutetomos) ficam sincronizadas entre si e produzem momentos de dipolos induzidos em
ambas as moleacuteculas momentos de dipolo paralelos entre si (pois as cargas dos polos induzidos de sinais
opostos se atraem) Portanto as moleacuteculas se atraem mutuamente como mostramos para a configuraccedilatildeo na
Figura 14 Apenas para fazer uma estimativa (grosseira) podemos partir da expressatildeo da forccedila entre dois
dipolos que obtivemos no caso da Figura 14 qual seja
= minus 32
e considerar que e satildeo ambos momentos de dipolo induzidos ou seja
prop
sendo eacute a polarizabilidade da moleacutecula 1 Analogamente para Portanto a magnitude da forccedila (de
dispersatildeo) entre aacutetomosmoleacuteculas apolares se comportaria como
prop prop
(o resultado da mecacircnica quacircntica fornece uma forccedila que eacute proporcional a 1 ) Trata-se de uma forccedila bem
fraca proporcional ao produto das polarizabilidades e que decai rapidamente com a distacircncia Essa forccedila estaacute
presente na adesatildeo que pode ocorrer entre dois corpos eletricamente neutros como de uma fita adesiva no
papel e da pata de um inseto ou de uma lagartixa na parede As superfiacutecies desses objetos eletricamente
neutros se aproximam muito no contato entre eles e o surgimento de forccedilas de dispersatildeo (entre outras) vai
produzir a atraccedilatildeo muacutetuaadesatildeo entre as duas superfiacutecies Enfim as forccedilas de dispersatildeo entre duas partiacuteculas
satildeo bem fracas mas elas estatildeo em toda parte e participam de muitos fenocircmenos macroscoacutepicos aleacutem da
30
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
adesatildeo entre superfiacutecies jaacute citada como o atrito de contato entre superfiacutecies a capilaridade e o transporte de
moleacuteculas atraveacutes de membranas celulares
12 Campo Eleacutetrico
121 O campo eletrostaacutetico intermediaacuterio da forccedila de Coulomb
Poderiacuteamos continuar aqui calculando a forccedila eleacutetrica entre diversas configuraccedilotildees de cargas
diferentes posto que esse eacute basicamente o objetivo da eletrostaacutetica e tambeacutem do eletromagnetismo em
geral No entanto logo perceberemos que esse caacutelculo vai se tornar proibitivo devido agrave dificuldade
matemaacutetica envolvida Por isso avanccedilamos no formalismo indo aleacutem do conceito primitivo de forccedila e
construiacutemos novas ferramentas para a abordagem de problemas de eletromagnetismo Um desses conceitos
crucial para o entendimento da natureza e da tecnologia eacute o de campo eleacutetrico O campo eleacutetrico eacute um campo
de forccedila assim como o campo gravitacional ao qual jaacute estamos mais habituados Imagine que desejemos
saber qual seraacute o peso de um corpo de massa = 1 kg que for levado para a Lua Para responder a essa
pergunta devemos conhecer o valor do campo gravitacional laacute na Lua o campo de forccedila gravitacional que a
Lua cria na sua vizinhanccedila Este campo estaacute laacute agora (um campo eacute simplesmente uma funccedilatildeo definida no
espaccedilo e no tempo) e ele depende de propriedades da Lua apenas O nome que damos a esse campo eacute
aceleraccedilatildeo da gravidade na (ou da) Lua e seu siacutembolo eacute Se soubermos quanto vale nas proximidades da
superfiacutecie da Lua podemos afirmar que o peso do corpo de massa (qualquer) que for colocado laacute nessa
superfiacutecie seraacute = A ideia eacute que a Lua faz forccedila nesse corpo puxando ele para baixo mas essa forccedila eacute
intermediada pelo campo gravitacional da Lua que permeia todo o espaccedilo graccedilas agrave simples existecircncia da Lua
(e de sua propriedade de possuir massa) A mesma ideia vale para o campo gravitacional da Terra ou do Sol A
Terra orbita o Sol porque ela estaacute na regiatildeo de forte influecircncia do campo de gravidade do Sol Isso vale para
todos os planetas do sistema solar O campo gravitacional do Sol estaacute definido em todo o espaccedilo e eacute mais
intenso na regiatildeo mais proacutexima do Sol (decai com o quadrado da distacircncia) Tudo que entra nessa vizinhanccedila
do Sol sofre como consequumlecircncia uma forccedila a forccedila gravitacional do Sol O campo de forccedila eacute portanto o
mensageiro da forccedila ele intermedeia a interaccedilatildeo (a forccedila) entre os corpos
Vimos que existe uma forccedila entre objetos carregados eletricamente a forccedila de Coulomb O campo
eleacutetrico eacute o campo de forccedila que transmite essa forccedila atraveacutes do espaccedilo Cargas eleacutetricas estaacuteticas produzem
no espaccedilo um campo eletrostaacutetico (que natildeo muda com o tempo) Cargas eleacutetricas podem se mover e produzir
ondas de variaccedilatildeo de seu campo eleacutetrico ondas que se propagam no espaccedilo Chamamos essas ondas de ondas
eletromagneacuteticas Atraveacutes dessas ondas podemos transmitir vibraccedilotildees atraveacutes de grandes distacircncias que
fazem com que cargas eleacutetricas vibrem sob accedilatildeo de uma forccedila vibratoacuteria Essa eacute a base das telecomunicaccedilotildees
Vamos introduzir a ideia de campo de forccedila atraveacutes de uma (simples) analogia mecacircnica
31
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Imagine dois pequenos objetos (A e B) flutuando na superfiacutecie calma da aacutegua de uma lagoa Suponha
que o objeto A comece a balanccedilar para cima e para baixo (uma mosca pode ter pousado nele) Ele cria na
superfiacutecie da aacutegua uma perturbaccedilatildeo (ondas concecircntricas) que se propaga por essa superfiacutecie e que
finalmente apoacutes um intervalo de tempo atinge o objeto B em sua vizinhanccedila que passa a balanccedilar para cima
e para baixo tambeacutem Podemos dizer que A exerceu influecircncia sobre B uma influecircncia que foi intermediada
pela aacutegua A Figura 16 abaixo ilustra essa ideia
Note que a existecircncia das ondas na superfiacutecie da aacutegua natildeo tem relaccedilatildeo com a existecircncia do objeto B
elas existiriam e se propagariam mesmo que o objeto B natildeo estivesse laacute A perturbaccedilatildeo na superfiacutecie da aacutegua eacute
criada pelo objeto A independentemente da existecircncia de B Mas estando B em sua posiccedilatildeo ele sofre
influecircncia de A pela accedilatildeo das ondulaccedilotildees da aacutegua na posiccedilatildeo em que B estaacute B fica sabendo que A existe
atraveacutes das ondas que A cria na superfiacutecie da aacutegua Se natildeo fosse a aacutegua natildeo haveria influecircncia de A sobre B
Aqui podemos fazer uma analogia com a interaccedilatildeo eleacutetrica entre dois objetos distantes um do outro (A
e B) e que possuem carga eleacutetrica Considere a situaccedilatildeo acima e apenas troque os objetos A e B pelos objetos
carregados eletricamente A e B Troque a superfiacutecie da aacutegua pelo simples espaccedilo entre esses objetos e troque
as perturbaccedilotildees na aacutegua pelo campo eleacutetrico Essa eacute a ideia do campo eleacutetrico o campo de forccedila que
intermedeia a interaccedilatildeo eleacutetrica a forccedila entre objetos eletricamente carregados Essa eacute a forma como
entendemos a interaccedilatildeo eleacutetrica entre os corpos Basicamente um objeto eletricamente carregado A cria no
espaccedilo ao seu redor um campo de forccedila um campo eleacutetrico que denotamos por ( ) sendo uma posiccedilatildeo
qualquer no espaccedilo Outro objeto eletricamente carregado B que porventura esteja na vizinhanccedila de A na
posiccedilatildeo vai sofrer uma forccedila exercida por A uma forccedila definida pelo valor do campo ( ) na posiccedilatildeo em
que B estaacute O campo eleacutetrico ( ) eacute o intermediaacuterio da forccedila eleacutetrica dada pela lei de Coulomb
Note que a analogia com os objetos flutuando na aacutegua natildeo deve ser (como toda analogia) levada ao peacute
da letra Natildeo estamos definindo aqui algo como ondas eleacutetricas ou mesmo ondas eletromagneacuteticas sobre as
quais todos jaacute ouvimos falar Estamos dizendo que uma carga fixa no espaccedilo vai criar em sua vizinhanccedila um
campo eleacutetrico estaacutetico ( ) e que se outra partiacutecula eletricamente carregada estiver nessa vizinhanccedila ela vai
A
B
Figura 16 Um objeto A exerce influecircncia sobre outro objeto B distante atraveacutes das perturbaccedilotildees (ondas) que se propagam em um meio a aacutegua
32
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
sentir o efeito desse campo uma forccedila eletrostaacutetica O efeito de ( ) sobre uma carga eleacutetrica eacute uma forccedila
eleacutetrica a forccedila de Coulomb Dessa forma deixamos de ver a interaccedilatildeo eleacutetrica entre duas cargas e
como uma interaccedilatildeo direta entre essas cargas e passamos a ver essa interaccedilatildeo intermediada pelos campos
eleacutetricos que essas cargas geram no espaccedilo Mas eacute verdade que em situaccedilotildees mais gerais em que as cargas
eleacutetricas tecircm movimentos arbitraacuterios no espaccedilo o campo eleacutetrico dessas cargas varia no tempo e no espaccedilo e
pode constituir o que chamamos de uma onda eletromagneacutetica que viaja atraveacutes do espaccedilo com a velocidade
da luz (algo mais parecido com as ondulaccedilotildees na aacutegua) A proacutepria luz eacute uma onda eletromagneacutetica que oscila
no tempo e que pode ser detectada por nossos olhos Aqui estamos perto dessa ideia mas estamos ainda
apenas engatinhando Estamos ainda no caso estaacutetico
Houve um tempo na histoacuteria do eletromagnetismo em que se atribuiacutea ao campo eleacutetrico uma
realidade mecacircnica como se o campo eleacutetrico fosse a propriedade de um fluido que permeia o espaccedilo todo o
eacuteter Nesse sentido as interaccedilotildees eleacutetricas seriam similares agrave situaccedilatildeo mostrada na Figura 16 em que o eacuteter
faria o papel da aacutegua Hoje essa ideia foi abandonada pois chegou-se agrave conclusatildeo de que natildeo existe esse eacuteter
e que o campo eleacutetrico natildeo eacute propriedade de nada ele tem realidade proacutepria Portanto assim como aceitamos
a existecircncia na natureza de eleacutetrons e proacutetons devemos aceitar a simples existecircncia do campo eleacutetrico Ele
existe e se manifesta atraveacutes de uma forccedila Explicar a existecircncia do campo eleacutetrico em termos de outras
coisas seria como explicar uma banana em termos de melancias
No estudo da mecacircnica temos oportunidade de discutir sobre o campo gravitacional de um planeta ou
estrela e a ideia eacute a mesma que temos aqui para o campo eleacutetrico A Terra por exemplo cria no espaccedilo ao seu
redor um campo gravitacional ( ) (a aceleraccedilatildeo da gravidade na posiccedilatildeo ) Uma partiacutecula de massa que
ocupar a posiccedilatildeo vai sofrer a influecircncia desse campo gravitacional da Terra e essa influecircncia se traduz na
forccedila gravitacional na partiacutecula o peso da partiacutecula = ( ) A ideia baacutesica aqui eacute que uma carga eleacutetrica fixa no espaccedilo vai criar em sua vizinhanccedila um campo de
forccedila o campo eleacutetrico ( ) Uma segunda partiacutecula de carga eleacutetrica que esteja na posiccedilatildeo vai sofrer
uma forccedila eleacutetrica pela accedilatildeo do campo ( ) sobre ela Dessa forma a partiacutecula de carga interage
eletricamente com a partiacutecula de carga Toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e claramente a partiacutecula de carga
tambeacutem cria em sua vizinhanccedila um campo eleacutetrico ( ) A partiacutecula de carga vai interagir com esse
campo eleacutetrico laacute onde ela estaacute e assim a partiacutecula de carga interage eletricamente com a partiacutecula de
carga As cargas e interagem entre si atraveacutes de seus campos eleacutetricos proacuteprios
O campo eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo eacute definido como a densidade de forccedila por unidade
de carga nesse ponto Note que natildeo faz sentido em se falar em forccedila em um ponto e por isso temos que
explicar melhor esse conceito Para definir o valor de ( ) em um ponto colocamos (ou pelo menos
33
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
imaginamos que colocamos) nesse ponto uma partiacutecula eletricamente carregada que vamos chamar de carga
de prova e medimos a forccedila eleacutetrica ( ) nessa partiacutecula digamos de carga gt 0 (podemos sempre
considerar positiva mas isso natildeo faz diferenccedila) O campo eleacutetrico em eacute definido por
( ) = ( )
Fica claro agora que natildeo estamos associando uma forccedila a um ponto do espaccedilo mas uma densidade de forccedila
a uma partiacutecula que porventura ocupe esse ponto no espaccedilo natildeo eacute forccedila mas uma capacidade de exercer
forccedila Eacute uma ideia anaacuteloga agrave da aceleraccedilatildeo da gravidade ( ) Natildeo podemos associar aceleraccedilatildeo a um ponto
do espaccedilo Fica claro que ( ) eacute a aceleraccedilatildeo de queda livre de uma partiacutecula (uma massa de prova) que
porventura seja colocada na posiccedilatildeo Analogamente podemos dizer que ( ) eacute a densidade de forccedila
gravitacional por unidade de massa pois a forccedila (peso) de uma partiacutecula de massa que porventura seja
colocada na posiccedilatildeo seraacute = ( ) e portanto =
A carga de prova eacute uma espeacutecie de ldquodetectorrdquo e ldquomedidorrdquo de campo eleacutetrico O campo eleacutetrico no
espaccedilo natildeo depende de mas precisamos dessa partiacutecula para definir formalmente o campo eleacutetrico no
espaccedilo Aqui podemos fazer uma analogia com um termocircmetro Se quisermos medirdefinir a temperatura ( ) em um ponto do espaccedilo devemos colocar nesse ponto um termocircmetro esperar que ele atinja o
equiliacutebrio teacutermico com o ambiente e finalmente fazer a leitura da temperatura Depois disso podemos jogar o
termocircmetro fora pois ( ) natildeo eacute uma propriedade do termocircmetro ( ) eacute uma propriedade do ambiente em
que a posiccedilatildeo estaacute (uma sala por exemplo) Eacute interessante que o termocircmetro seja pequeno para que ele
natildeo modifique muito a proacutepria temperatura que queremos medir (natildeo troque muito calor com o ambiente)
Analogamente para medirdefinir o campo eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo devemos colocar nesse
ponto uma partiacutecula de carga eleacutetrica de prova em repouso e eacute bom que seja um valor pequeno de
carga para natildeo influenciar (atraveacutes de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo por exemplo) as outras cargas eleacutetricas que
estatildeo no espaccedilo cujo campo eleacutetrico queremos medirdefinir Colocamos em (em repouso) e medimos a
forccedila eleacutetrica ( ) nela (ou a aceleraccedilatildeo dela e usamos a segunda lei de Newton para obter a forccedila) Fazemos
a razatildeo ( ) e definimos entatildeo o valor de ( ) Depois disso jogamos a carga de prova fora pois ela natildeo
eacute mais uacutetil O valor do campo eleacutetrico ( ) no ponto jaacute estaacute definido e continua laacute ele natildeo tem relaccedilatildeo com
a carga de prova ( ) eacute o campo eleacutetrico produzido por outras cargas eleacutetricas que por hipoacutetese existem e
estatildeo fixas nessa regiatildeo do espaccedilo
Equivalentemente se conhecemos o campo eleacutetrico ( ) e colocamos nesse ponto uma partiacutecula de
carga eleacutetrica qualquer a forccedila eleacutetrica nessa partiacutecula seraacute = ( )
34
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
A carga de prova eacute um ldquoaparelhordquo que pode ser usado para definir experimentalmente o valor do
campo eleacutetrico em um ponto qualquer do espaccedilo Aqui estaremos mais interessados em calcular
analiticamente o campo eleacutetrico produzido por distribuiccedilotildees de carga simples como uma moleacutecula dipolar
por exemplo Como podemos calcular o campo eleacutetrico no espaccedilo O campo eleacutetrico no espaccedilo depende da
distribuiccedilatildeo de cargas que cria ele Vamos entatildeo comeccedilar pelo caso mais simples considere a distribuiccedilatildeo de
cargas mais simples possiacutevel uma uacutenica carga pontual fixa no espaccedilo Qual o campo eleacutetrico (ou campo
eletrostaacutetico) que essa carga estaacutetica cria no espaccedilo ao seu redor Mais especificamente qual o valor de ( ) no ponto mostrado na Figura 17(a) abaixo
Note que estamos usando por conveniecircncia o proacuteprio ponto onde estaacute fixa como origem do nosso
sistema de coordenadas ou seja a seta de nasce em
Primeiramente colocamos uma carga de prova gt 0 (bolinha azul) estaacutetica na posiccedilatildeo como na
Figura 17(b) Depois medimos a forccedila eleacutetrica que sofre ou seja a forccedila que faz em Essa forccedila
seria a seta vermelha na Figura 17 se gt 0 ( seria repelida) caso contraacuterio apenas inverteriacuteamos o sentido
dessa seta ( seria atraiacuteda) Apoacutes medirmos a forccedila podemos nos livrar da carga de prova
Depois fazemos a razatildeo e o resultado dessa conta eacute o valor de ( ) que seria representado pela
seta verde na Figura se gt 0 caso contraacuterio apenas inverteriacuteamos o sentido dessa seta A todo rigor
deveriacuteamos desenhar a seta verde de um tamanho diferente da seta vermelha a natildeo ser que valesse = 1 C
o que natildeo seria aconselhaacutevel pois 1 coulomb eacute um valor grande de carga eleacutetrica para uma carga de prova O
mais realista seria que a carga de prova fosse um proacuteton e que cong 16 times10 C Portanto na Figura 17 a
seta verde deveria ser cerca de 10 vezes maior que a seta vermelha Como isso eacute impraticaacutevel uma seta
desse tamanho simplesmente natildeo caberia no desenho preferimos deixar as setas com os tamanhos que estatildeo
e entender que a Figura estaacute fora de escala (as partiacuteculas tambeacutem natildeo satildeo bolinhas com os tamanhos
mostrados na Figura elas satildeo idealmente pontuais) Enfim jaacute conhecemos a forccedila entre duas cargas
pontuais ela eacute dada pela lei de Coulomb e portanto
( ) = ( ) = 1 14 = 14 = 14
( a )
( b ) ( c )
( ) Figura 17 Ilustraccedilatildeo do processo de definirmedir o campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual atraveacutes de uma carga de prova
35
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
sendo um vetor unitaacuterio na direccedilatildeo (radial) e sentido do vetor mostrado na Figura 17 (na uacuteltima igualdade
preferimos escrever a razatildeo no lugar de o que daacute no mesmo pois = Usaremos uma forma ou
a outra conforme a conveniecircncia) Note entatildeo que a carga de prova natildeo aparece na expressatildeo do campo
eleacutetrico de O campo eletrostaacutetico de depende apenas de da distacircncia (raio) ateacute e da direccedilatildeo radial tomando como centro ( ) = 14
Trata-se de um campo radial cuja intensidade decai com o quadrado da distacircncia ateacute a carga que
estaacute gerando esse campo O nome mais apropriado para ( ) eacute ldquocampo eletrostaacuteticordquo mas muitas vezes
usamos o termo mais simples ldquocampo eleacutetricordquo Sendo essa lei do campo eleacutetrico uma consequumlecircncia direta da
lei de Coulomb para a forccedila entre partiacuteculas carregadas vamos chamaacute-la simplesmente de lei de Coulomb A
lei de Coulomb para a forccedila implica na lei de Coulomb para o campo de forccedila da carga pontual elas satildeo
equivalentes Se quisermos ter uma ideia de como eacute esse campo eleacutetrico basta que desenhemos vaacuterias setas
representando o valor de ( ) em diferentes pontos do espaccedilo como na Figura 18 abaixo para uma carga
positiva e para uma carga negativa
Considere nessa Figura que o ponto onde a seta de ( ) se inicia eacute o ponto onde esse campo estaacute
sendo definido Notamos que agrave medida que nos afastamos das cargas as setas se tornam menores porque a
magnitude do campo eleacutetrico de uma carga pontual decai com o quadrado da distacircncia ateacute ela
Para uma carga positiva as setas apontam para fora na direccedilatildeo de enquanto que para uma carga
negativa as setas apontam para dentro na direccedilatildeo de minus (lembre-se que sempre aponta no sentido do
crescimento da variaacutevel raio ( ) tomando a carga como centro
Deve-se fazer um esforccedilo para entender que a Figura 18 ilustra apenas um corte no plano da paacutegina
mas que as setas de ( ) existem no espaccedilo todo tambeacutem fora do plano do papel A Figura 19 obtida no
programa Maple de computaccedilatildeo algeacutebrica (httpswwwmaplesoftcom) ilustra melhor a ideia de um campo
radial no espaccedilo tridimensional
Figura 18 Algumas setas do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual positiva e negativa Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees lt 0 gt 0
36
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Com relaccedilatildeo agrave constante na expressatildeo do campo eleacutetrico vale a mesma observaccedilatildeo que fizemos laacute
atraacutes quando estudamos a lei de Coulomb A ideia baacutesica aqui eacute que o campo eleacutetrico que eacute dado por
( ) = 14 eacute o campo eleacutetrico medido no espaccedilo na posiccedilatildeo criado pela partiacutecula de carga eleacutetrica que estaacute
localizada no vaacutecuo ou seja natildeo haacute outras partiacuteculas no espaccedilo apenas a partiacutecula de carga Se esse espaccedilo
em que essa partiacutecula estaacute for preenchido por um meio material o ar por exemplo o campo eleacutetrico na
posiccedilatildeo deixa de ser dado pela expressatildeo acima (que vamos chamar de ( )) Isso ocorre natildeo porque o
campo eleacutetrico de ( ( )) muda mas porque as outras partiacuteculas no espaccedilo partiacuteculas que compotildeem esse
meio material circundante tambeacutem geram campo eleacutetrico em (elas podem se polarizar por exemplo devido
agrave influecircncia de ) Basicamente o campo eleacutetrico resultante em se torna
( ) = ( ) + ( ) = 14 + ( ) Constatamos que para muitos meios materiais simples ocupando o espaccedilo os dois termos na
expressatildeo acima podem se juntar e o campo eleacutetrico resultante em pode ser escrito como
( ) = 14 sendo a permissividade eleacutetrica do meio material Por exemplo se estaacute fixa debaixo drsquoaacutegua obtemos
( ) = ( ) + Aacute ( ) = 14 Aacute sendo Aacute cong 80 Portanto o campo eleacutetrico devido agrave embaixo da aacutegua eacute cerca de 80 vezes menor que
o campo que essa mesma partiacutecula produziria no vaacutecuo (na mesma posiccedilatildeo) Isso ocorre por causa da
Figura 19 Ilustraccedilatildeo do campo eleacutetrico radial produzido por uma carga pontual As pontas das setas (azuis) natildeo satildeo visiacuteveis nessa escala mas estariam apontando para fora do centro no caso de uma carga positiva e para dentro no caso de uma carga negativa
37
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
polarizaccedilatildeo eleacutetrica da aacutegua e da blindagem que ela confere agraves cargas eleacutetricas mergulhadas nela Por isso a
aacutegua eacute o solvente universal e pode por exemplo dissolver o sal de cozinha (iacuteons Na+ e Cl-) misturado nela
Resumindo ao trocar por na expressatildeo do campo eleacutetrico da carga pontual o campo
eleacutetrico ( ) deixa de ser o campo que a partiacutecula de carga faz (sozinha) no espaccedilo ( ( )) e passa a ser o
campo eleacutetrico no espaccedilo devido agrave presenccedila da partiacutecula de carga No caso do ar vale cong 10006 e
basicamente facilitamos as coisas fazendo =
Daqui para diante faremos uma pausa no caacutelculo de forccedilas e passaremos a nos concentrar no caacutelculo
de campos eleacutetricos pois se conhecemos o campo de forccedila podemos posteriormente conhecer a forccedila (= ( )) Consideraremos diversas distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas e calcularemos o campo eleacutetrico que
elas geram no espaccedilo
Para comeccedilar se natildeo quisermos ter muito trabalho podemos aproveitar a situaccedilatildeo da moleacutecula polar
interagindo com um iacuteon de carga positiva que jaacute discutimos anteriormente cuja configuraccedilatildeo de cargas
repetimos na Figura 20 que segue
Nessa Figura mostramos tambeacutem a forccedila que a moleacutecula polar faz no iacuteon de carga na
aproximaccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico pequenopontual ( ≪ )
Deduzimos que a forccedila nessa aproximaccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico pequeno ( ≪ ) eacute dada por
= minus4
com sendo o momento de dipolo eleacutetrico da moleacutecula polar Note que estaacute ao longo de minus
Portanto vamos considerar agora que eacute apenas uma carga de prova que foi colocada nessa
posiccedilatildeo para avaliar o campo eleacutetrico que a moleacutecula polar produz nesse ponto onde estaacute (que vamos
chamar de ponto P) Concluiacutemos que esse campo eleacutetrico em P eacute dado por
( ) = = 1 minus4 = minus4
Figura 20 Forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula polar pontual com momento de dipolo faz em um iacuteon de carga
x
y
38
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
A Figura 21 abaixo mostra a seta do campo ( ) (seta verde) produzido pela moleacutecula polar no
ponto P onde estava a carga de prova Natildeo precisamos mais da carga de prova e natildeo representamos ela na
Figura 21 pois ( ) eacute uma propriedade apenas da moleacutecula polar (e do ponto P)
O momento de dipolo define o campo eleacutetrico de uma moleacutecula polar campo que decai com o cubo
da distacircncia
Se realizarmos esse mesmo procedimento de colocar uma carga de prova calcular a forccedila que a
moleacutecula polar produz nela e dividir pelo valor da carga de prova para muitos pontos no espaccedilo teremos
entatildeo uma visatildeo mais geral de como eacute o campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula polar A Figura 22 que
segue ilustra algumas setas (em verde) do campo eleacutetrico produzido pelo dipolo eleacutetrico em sua
vizinhanccedila Note a simetria entre direita e esquerda e o fato de que as setas vatildeo ficando menores quando nos
afastamos do dipolo Tente imaginar essas setas definidas no espaccedilo tridimensional basicamente girando o
dipolo (a seta vermelha) em torno dele mesmo de tal forma que as setas saem do plano da paacutegina As setas
do campo basicamente apontam para fora do poacutelo positivo e para dentro do poacutelo negativo do dipolo (lembre-
se que aponta do poacutelo negativo para o poacutelo positivo)
Note que o dipolo eacute pontual e o tamanho da seta de natildeo
tem relaccedilatildeo com o tamanho do objeto dipolar (a moleacutecula) mas sim
com a intensidade da dipolaridade dessa moleacutecula Moleacuteculas com
dipolaridade mais intensa como a moleacutecula de aacutegua teratildeo um maior
e portanto uma seta de maior Note tambeacutem que a expressatildeo do
campo ( ) que obtivemos acima soacute vale no ponto P e natildeo expressa
portanto o valor de em outros pontos do espaccedilo Para esses outros
pontos temos que calcular novamente como fizemos para ( ) Daqui para diante simplesmente ignoraremos o processo de se
colocarposicionar uma carga de prova para avaliar o campo eleacutetrico e
partiremos diretamente do resultado anterior para o campo eleacutetrico
de uma carga pontual e do princiacutepio da superposiccedilatildeo para calcular o
( ) P
Figura 21 Campo eleacutetrico que uma moleacutecula polar produz em um ponto P na sua vizinhanccedila
x
y
Figura 22 Algumas setas do campo eleacutetrico que uma moleacutecula polar produz na sua vizinhanccedila
39
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
campo eleacutetrico de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas arbitraacuterias
O princiacutepio da superposiccedilatildeo para o campo eleacutetrico expressa basicamente a mesma ideia do princiacutepio
da superposiccedilatildeo para as forccedilas ele diz que o campo eleacutetrico resultante de vaacuterias cargas em um ponto do
espaccedilo eacute simplesmente a soma (vetorial) dos campos eleacutetricos individuais que cada uma das cargas produz
em como se as outras cargas natildeo existissem Resumindo
( ) = ( ) = 14 = 14 = 14
sendo a distacircncia entre e o ponto e um vetor unitaacuterio que aponta de
para esse ponto A Figura ao lado ilustra esses vetores para um sistema de trecircs
cargas eleacutetricas ldquoOrdquo eacute a origem (qualquer) onde nasce Os vetores nascem
nas cargas
Como exemplo do caacutelculo de campo eleacutetrico via princiacutepio da superposiccedilatildeo vamos considerar um
objeto triangular (uma moleacutecula) com trecircs cargas eleacutetricas fixadas em seus veacutertices conforme a Figura 23
abaixo
Uma moleacutecula de aacutegua possui uma estrutura triangular de cargas parecida com
a que estamos modelando aqui mas no caso da aacutegua o triacircngulo eacute isoacutesceles e natildeo
retacircngulo (ver a Figura ao lado)
Vemos na Figura 23 que a carga minus (negativa por hipoacutetese) produz no ponto P um campo eleacutetrico
dado por (usando o resultado que jaacute obtivemos para o campo de uma carga pontual a lei de Coulomb)
( ) = 14 (minus ) Analogamente a carga (positiva por hipoacutetese) produz em P o campo eleacutetrico
( ) = 14 ( + )
Finalmente a carga produz em P o campo eleacutetrico (obliacutequo) dado por
Figura 23 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e
x
y
minus
0
40
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
( ) = 14 ( + ) + [cos( ) minus sen( ) ] O acircngulo estaacute definido na Figura 24 abaixo onde ilustramos tambeacutem as setas dos campos eleacutetricos ( ) ( ) e ( ) em P Podemos ver nessa Figura que
cos( ) = +( + ) + e sen( ) = ( + ) +
Portanto ( ) = 14 [( + ) + ] [( + ) minus ] Note que radic =
Finalmente podemos usar o princiacutepio da superposiccedilatildeo para calcular o campo eleacutetrico ( ) que a
moleacutecula triangular produz na posiccedilatildeo P em sua vizinhanccedila ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Obtemos ( ) = 14 ( + )[( + ) + ] + ( + ) minus + minus[( + ) + ] Imagine agora que um iacuteon de carga seja colocado no ponto P em repouso Qual a forccedila eleacutetrica que a
moleacutecula triangular vai fazer nesse iacuteon Sabendo o campo eleacutetrico ( ) que a moleacutecula produz em P a
resposta a essa pergunta eacute simples
= ( ) Da mesma forma o iacuteon faraacute na moleacutecula triangular uma forccedila = minus
Podemos simplificar a expressatildeo de ( ) supondo que o objeto triangular representa uma moleacutecula
bem pequena e tomar os limites cong 0 e cong 0 Simplesmente desprezando e obtemos para
uma moleacutecula pontual ( ) = 14 ( + minus )
Figura 24 Campos eleacutetricos criados pelas trecircs cargas da moleacutecula triangular na posiccedilatildeo P
x
y
minus
( )( )( )
41
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Mas note que para uma moleacutecula eletricamente neutra esperamos que + minus = 0 o que leva
a ( ) = 0 Portanto estamos exagerando em nossa aproximaccedilatildeo que eacute muito grosseira Sabemos que ( ) eacute pequeno para uma moleacutecula pequena mas natildeo nulo Portanto vamos ter que apelar para a expansatildeo
binomial truncada (1 + ) = 1 + se cong 0
Primeiramente definimos = e = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de ( ) vemos que esses (cong 0 por hipoacutetese) aparecem explicitamente
( ) = 14 (1 + )[(1 + ) + ( ) ] + (1 + ) minus+ minus [(1 + ) + ( ) ]
Portanto
( ) = 14 (1 + )[(1 + ) + ] + (1 + ) minus + minus[(1 + ) + ]
Desprezando desde jaacute os termos obtemos uma expressatildeo mais simples
( ) = 14 (1 + ) + (1 + ) minus + minus(1 + )
Note que ( ) =
Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) = minus3 = (1 + ) = 1 + (minus3)
Portanto ( ) = 14 ( + )(1 minus 2 ) minus minus (1 minus 3 )
Impondo a neutralidade da moleacutecula ( + minus = 0) obtemos (desprezando o produto )
( ) = 14 [minus2( + ) minus ] = 14 [minus2 minus ] Trata-se de um campo dipolar pois decai com 1 (um campo monopolar decai com 1 mas o monopolo
aqui eacute nulo pois a moleacutecula eacute eletricamente neutra) A Figura 25 abaixo ilustra esse campo (seta verde) jaacute
considerando que a moleacutecula triangular (M) se tornou pontual
42
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Note que natildeo haacute nada em P trata-se de um ponto no vaacutecuo (a bolinha preta representa apenas um
ponto no espaccedilo) Todas as cargas eleacutetricas estatildeo concentradas em M (bolinha vermelha) e produzem em P o
campo eleacutetrico resultante ( ) Se um iacuteon de carga eleacutetrica for colocado no ponto P em repouso ele vai
sofrer a forccedila eleacutetrica dada por
= ( ) Vemos na Figura que se valer gt 0 esse iacuteon vai ser empurrado para baixo em uma direccedilatildeo obliacutequa
em relaccedilatildeo aos eixos x e y Esse iacuteon vai comeccedilar a orbitar a moleacutecula M O que resultaria disso no mundo real
natildeo sabemos
122 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico
Um campo eleacutetrico eacute um campo vetorial e associa portanto a cada posiccedilatildeo no espaccedilo uma seta
representada pela funccedilatildeo ( ) Se quisermos ter uma ideia do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula
de aacutegua podemos dar uma olhada na Figura 22 que mostra algumas setas do campo eleacutetrico de um objeto
pequeno dipolar
Podemos imaginar uma forma mais agradaacutevel de visualizar e representar a configuraccedilatildeo do campo
eleacutetrico no espaccedilo na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo de cargas Para isso definimos o conceito de linha de
forccedila que foi introduzido por Michael Faraday um dos gecircnios fundadores do eletromagnetismo Basicamente
uma linha de forccedila eacute uma linha contiacutenua orientada que eacute tangente ao campo eleacutetrico em todos os pontos do
espaccedilo orientada no mesmo sentido do campo eleacutetrico em cada ponto Ao representar diagramas de linhas de
forccedila devemos obedecer a duas regras baacutesicas
1) Duas linhas de forccedila natildeo podem se cruzar em um ponto pois nesse ponto a direccedilatildeo do campo
eleacutetrico natildeo estaria definida (mas uma linha de forccedila pode mudar sua orientaccedilatildeo em um ponto do
espaccedilo onde o campo eleacutetrico se anula)
2) Uma linha de forccedila natildeo pode comeccedilar no nada ou terminar no nada pois nessa extremidade da
linha a direccedilatildeo do campo eleacutetrico natildeo estaria definida Linhas de forccedila nascem em cargas pontuais
positivas terminam em cargas pontuais negativas ou se estendem ateacute o infinito
P
Figura 25 Campo eleacutetrico criado pela moleacutecula pontual M (triangular) na posiccedilatildeo P
x
y
M ( )
43
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Jaacute conhecemos o campo eleacutetrico radial de uma carga pontual Portanto as linhas de forccedila na
vizinhanccedila de uma carga pontual satildeo radiais nascem na carga e se estendem ateacute o infinito se ela for positiva
ou nascem no infinito e terminam na carga se ela for negativa A ideia estaacute ilustrada na Figura 26 abaixo
Nessa Figura devemos entender que as linhas de forccedila se estendem ateacute o infinito pois uma linha de
forccedila natildeo pode comeccedilar ou terminar em um ponto no vaacutecuo onde natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica
Desenhamos oito linhas em cada carga mas poderiacuteamos desenhar mais ou menos linhas Apenas escolhemos
um nuacutemero de linhas que eacute suficiente para ilustrar a configuraccedilatildeo de campo eleacutetrico nessas regiotildees do espaccedilo
Devemos fazer um esforccedilo e imaginar essas figuras em trecircs dimensotildees com linhas de forccedila irradiando
em todas as direccedilotildees Comparando as Figuras 26 e 18 fica clara a vantagem da representaccedilatildeo graacutefica do campo
eleacutetrico atraveacutes de linhas de forccedila Devemos enfatizar que linhas de forccedila natildeo satildeo objetos reais que existem
no espaccedilo e que fluem daqui para laacute ou de laacute para caacute Linhas de forccedila satildeo apenas objetos matemaacuteticos que
representam graficamente a configuraccedilatildeo do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de cargas eleacutetricas
Agora podemos tentar representar as linhas de forccedila na vizinhanccedila de um dipolo eleacutetrico Podemos
nos basear na Figura 22 e sair traccedilando linhas que tangenciam as setas do campo eleacutetrico em todos os pontos
sem nunca se cruzarem nascendo na carga positiva e terminando na carga negativa Como eacute muito difiacutecil fazer
essa figura na matildeo preferimos aqui recorrer a uma figura jaacute pronta A Figura 27 abaixo foi copiada do livro
(claacutessico) Static and Dynamic Electricity de W R Smythe (1950) Apenas algumas linhas estatildeo orientadas elas
satildeo orientadas da carga (poacutelo) positiva para a carga (poacutelo) negativa com exceccedilatildeo das duas linhas retas que se
estendem ateacute o infinito O dipolo pontual estaacute no centro dessa Figura com seu momento de dipolo
orientado para cima (poacutelo positivo acima do negativo) Essa eacute a configuraccedilatildeo das linhas de forccedila do campo
eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula de aacutegua
-+
Figura 26 Configuraccedilotildees das linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga eleacutetrica pontual positiva e de uma carga pontual negativa As linhas satildeo radiais e se estendem ateacute o infinito
Figura 27 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de um dipolo eleacutetrico pontual localizado no centro da Figura com orientado para cima
44
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Nesse mesmo livro encontramos a configuraccedilatildeo de linhas de forccedila mostrada na Figura 28 abaixo
proacuteximo de duas cargas pontuais iguais de mesmo sinal (esqueccedila as linhas tracejadas) Devemos sempre fazer
um esforccedilo para enxergar essas configuraccedilotildees de linhas de forccedila no espaccedilo tridimensional
Enfim podemos sair procurando na internet e vamos encontrar algumas Figuras mais modernas e mais
agradaacuteveis que representam essas configuraccedilotildees de linhas de forccedila Na Figura 29 que segue mostramos
Figuras retiradas do site academoorg onde encontramos um applet (um programaaplicativo) que nos
permite definir livremente os valores das duas cargas eleacutetricas fixas no espaccedilo uma ao lado da outra
Na Figura 29(a) que eacute um dipolo eleacutetrico vemos que quando as cargas tecircm sinais opostos as linhas de
forccedila nascem no poacutelo + e morrem no poacutelo ndash (a exceccedilatildeo seriam duas linhas retas que se estendem ateacute o
infinito mostradas claramente na Figura 27 mas que o applet natildeo desenhou) No caso da Figura 29(b) com
cargas iguais (positivas) as linhas de forccedila satildeo todas abertas e se estendem ateacute o infinito elas morrem no
infinito As linhas natildeo podem se cruzar e por isso temos a impressatildeo nessa Figura que elas se repelem
mutuamente na regiatildeo entre as cargas Se na Figura 29(a) as cargas natildeo tivessem o mesmo moacutedulo algumas
linhas de forccedila iriam se estender ateacute o infinito (aleacutem das duas linhas que jaacute estatildeo representadas na Figura 27)
Figura 29 (a) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo dipolar de cargas eleacutetricas Duas cargas +q (vermelha) e ndashq (azul)
(b) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo formada por duas cargas eleacutetricas iguais (ambas positivas)
Figura 28 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de duas cargas pontuais de mesma magnitude e de mesmo sinal As linhas natildeo foram orientadas as cargas podem ser ambas positivas ou negativas (esqueccedila as linhas tracejadas)
45
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Isso porque devemos respeitar mais uma regra quando representamos diagramas de linhas de forccedila
aleacutem das duas que jaacute mencionamos Essa regra nos permite ldquovisualizarrdquo a magnitude (intensidade) do campo
eleacutetrico no espaccedilo
Em um diagrama de linhas de forccedila do campo eleacutetrico a direccedilatildeo e o sentido do campo eleacutetrico em um
ponto qualquer do espaccedilo satildeo evidentes a seta do campo eleacutetrico eacute tangente agrave linha de forccedila que passa por
esse ponto orientada no mesmo sentido da linha de forccedila Mas e quanto agrave magnitude do campo eleacutetrico ou
seja o tamanho da seta de Podemos obter informaccedilatildeo sobre essa magnitude em um diagrama de linhas de
forccedila Podemos ldquoenxergarrdquo a magnitude do campo eleacutetrico em uma configuraccedilatildeo de linhas forccedila atraveacutes da
densidade de linhas no espaccedilo nas regiotildees onde a densidade de linhas eacute alta o campo eleacutetrico eacute mais intenso
Eacute o caso da regiatildeo entre as cargas na Figura 29(a) Na regiatildeo onde a densidade de linhas eacute baixa o campo
eleacutetrico eacute mais fraco Eacute o caso da regiatildeo entre as cargas na Figura 29(b) Notamos claramente que agrave medida
que nos afastamos da distribuiccedilatildeo de cargas as linhas de forccedila vatildeo ficando mais afastadas entre si refletindo
o decaimento do campo eleacutetrico com a distacircncia agraves cargas Isso eacute evidente quando olhamos na configuraccedilatildeo
de linhas de forccedila de uma carga pontual apenas como na Figura 26 Nesse caso mais simples podemos ser
mais especiacuteficos quanto a essa densidade de linhas de forccedila Considere o nuacutemero de linhas de forccedila por
unidade de aacuterea ortogonal a essas linhas ou seja por unidade de aacuterea de superfiacutecie esfeacuterica centrada na carga
pontual Estando fixa a quantidade de linhas representadas na Figura que se estendem ateacute o infinito essa
densidade de linhas de forccedila por unidade de aacuterea decai com 1 pois a aacuterea da esfera cresce com ( eacute o
raio que nasce na carga pontual) Esse (1 ) eacute exatamente o decaimento da magnitude do campo eleacutetrico de
uma carga pontual
Para que essa ideia funcione devemos entatildeo respeitar a seguinte regra ao representar as linhas de
forccedila se desenhamos N linhas de forccedila saindo ou entrando de uma carga pontual devemos desenhar 2N
linhas de forccedila saindo ou entrando de uma carga pontual 2 e assim por diante Somente assim poderemos
ldquoenxergarrdquo que na vizinhanccedila da carga 2 haacute o dobro de linhas de forccedila e portanto o campo eleacutetrico eacute o
dobro do campo eleacutetrico na vizinhanccedila da carga Nas Figuras 29(a) e 29(b) vemos que o applet optou por
desenhar 10 linhas de forccedila entrando ou saindo de cada uma das cargas pontuais (esse nuacutemero eacute arbitraacuterio)
Na Figura 30(a) abaixo mostramos uma distribuiccedilatildeo de cargas dipolar assimeacutetrica formada por uma
carga 2 na vizinhanccedila de uma carga minus Vemos que infelizmente o applet falhou nesse caso Por isso
tivemos que acrescentar mais uma linha de forccedila (agrave direita da Figura) ldquona matildeordquo
Note que ldquoemanamrdquo 20 linhas de forccedila da carga 2 e ldquoentramrdquo apenas 9 linhas de forccedila na carga minus
(deveriam ser 10) Para dar um jeito nisso acrescentamos uma linha na matildeo a linha ldquohorizontalrdquo mais agrave direita
que entra em minus e tambeacutem se estende ateacute o infinito Note que sobre essa linha haacute um ponto em que o campo
eleacutetrico se anula e portanto a linha de forccedila muda de orientaccedilatildeo (o campo muda de sinal) nesse ponto Essa
46
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
deve ter sido a dificuldade do applet nesse caso Portanto 12 linhas de forccedila ldquonascemrdquo nesse objeto dipolar e
se estendem ateacute o infinito Vemos que na regiatildeo mais agrave esquerda da carga 2 o campo eleacutetrico eacute mais intenso
que na regiatildeo mais agrave direita da carga minus pois a densidade de linhas de forccedila aiacute (mais agrave esquerda de 2 ) eacute
maior Tente imaginar essa Figura no espaccedilo tridimensional
Na Figura 30(b) mostramos uma distribuiccedilatildeo de duas cargas positivas formada por uma carga na
vizinhanccedila de uma carga 3 Aqui o applet acertou ldquoEmanamrdquo 10 linhas de forccedila da carga e 30 linhas de
forccedila da carga 3 Portanto 40 linhas de forccedila ldquonascemrdquo nessas cargas e se estendem ateacute o infinito Vemos
que na regiatildeo mais agrave esquerda da carga o campo eleacutetrico eacute mais fraco que na regiatildeo mais agrave direita da carga 3 pois a densidade de linhas de forccedila aiacute (mais agrave esquerda de ) eacute menor Vemos um ldquoburacordquo na regiatildeo entre
as cargas de onde as linhas de forccedila parecem ser repelidas Haacute um ponto no meio desse buraco onde o campo
eleacutetrico se anula e se desenharmos uma linha de forccedila reta unindo as duas cargas a orientaccedilatildeo dessa linha
mudaria nesse ponto Na vizinhanccedila desse ponto o campo eleacutetrico eacute fraco e daiacute vem a presenccedila desse
ldquoburacordquo (o applet parece evitar desenhar essas linhas de forccedila com mudanccedila de orientaccedilatildeo elas satildeo mais
difiacuteceis de se calcular e aleacutem disso a presenccedila do buraco vazio acaba ilustrando melhor a ldquofraquezardquo do
campo eleacutetrico nessa regiatildeo)
Enfim poderiacuteamos passar horas representando as configuraccedilotildees de linhas de forccedila para diferentes
configuraccedilotildees de cargas eleacutetricas Esperamos que os exemplos que jaacute demos convenccedilam que a representaccedilatildeo
de campos eleacutetricos atraveacutes de linhas de forccedila eacute mais interessante e agradaacutevel aos olhos que a representaccedilatildeo
desses campos atraveacutes de setas de vetores Apenas para finalizar representamos na Figura 31 abaixo algumas
Figura 30 (a) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo dipolar de cargas eleacutetricas em que o polo positivo eacute mais intenso +2q e ndashq
(b) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo formada por duas cargas eleacutetricas (positivas) de valores diferentes +q e +3q
47
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
linhas de forccedila (em azul) do campo eleacutetrico produzido pela moleacutecula
triangular que jaacute discutimos no texto (Figura 24) Nessa Figura fizemos
a hipoacutetese de que = 03 e = 07 (moleacutecula eletricamente
neutra) Todas as linhas de forccedila que nascem em e em morrem
na carga minus (nenhuma linha se estende ateacute o infinito) Essa Figura foi
gerada atraveacutes do simulador que pode ser encontrado em
httpsdemonstrationswolframcomElectricFieldsForThreePointChar
ges Podemos imaginar iacuteons ou outras moleacuteculas colocados nessa
vizinhanccedila e fluindo sob accedilatildeo de forccedilas eleacutetricas tangentes a essas
linhas de forccedila
13 Forccedila e torque em uma partiacutecula dipolar em um campo eleacutetrico externo
Jaacute tivemos oportunidade de calcular a forccedila sobre partiacuteculas dipolares ou seja partiacuteculas que possuem
momento de dipolo eleacutetrico Calculamos essa forccedila utilizando a lei de Coulomb na hipoacutetese de que o dipolo
eleacutetrico estava na vizinhanccedila de um iacuteon ou de outra partiacutecula dipolar Agora calcularemos essa forccedila de uma
forma mais geral supondo que a partiacutecula dipolar esteja simplesmente em uma regiatildeo onde existe um campo
eleacutetrico um campo eleacutetrico criado por outros objetos estaacuteticos carregados na vizinhanccedila desse dipolo
eleacutetrico Por exemplo se esse objeto for um iacuteon como jaacute discutimos anteriormente entatildeo seria o campo
eleacutetrico que o iacuteon produz na regiatildeo onde se encontra o dipolo eleacutetrico Aqui ao inveacutes de utilizarmos a lei de
Coulomb vamos partir da lei = que daacute a forccedila sobre uma partiacutecula de carga eleacutetrica que estaacute em um
ponto do espaccedilo onde existe um campo eleacutetrico Jaacute sabemos que a estrutura interna de um objeto dipolar eacute
formada por dois poacutelos + e ndash separados por uma distacircncia d conforme ilustrado na Figura 32 abaixo
Figura 32 Uma moleacutecula dipolar (duas cargas e minus separadas por um deslocamento ) caracterizada
apenas por seu momento de dipolo = estaacute em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo eleacutetrico
produzido por outras cargas eleacutetricas (natildeo mostradas) Note que (e ) aponta ao longo de d com o sentido da carga ndash para a carga +
y
minus
d
minus
d
Figura 31 linhas de forccedila de na vizinhanccedila de uma moleacutecula triangular como na Fig 24
48
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
A Figura 32 mostra o dipolo eleacutetrico em uma regiatildeo onde existe um campo eleacutetrico externo (setas
azuis) produzido por outros objetos carregados que natildeo estatildeo mostrados na Figura O campo estaacute definido
em todos os pontos do espaccedilo mas para o caacutelculo da forccedila sobre o objeto dipolar soacute interessam os valores de
nos pontos onde as cargas (dos poacutelos) plusmn estatildeo
Sejam entatildeo o valor do campo no ponto onde estaacute a carga + e o valor do campo no ponto
onde estaacute a carga ndash Na segunda Figura mostramos as forccedilas e sobre os poacutelos do dipolo Note que eacute
oposta ao campo Do princiacutepio da superposiccedilatildeo a forccedila resultante no dipolo eacute = + = + (minus ) = minus = ∆
Vemos que a forccedila no dipolo eleacutetrico eacute dada pela variaccedilatildeo ∆ = minus do campo eleacutetrico dentro do dipolo
Esperamos que na praacutetica para uma moleacutecula por exemplo essa forccedila seja em geral minuacutescula porque ∆
seraacute a variaccedilatildeo do campo eleacutetrico dentro de uma distacircncia da ordem de 10 metros Em particular para um
campo eleacutetrico uniforme ou seja um campo eleacutetrico que possui o mesmo valor em todos os pontos do
espaccedilo vale ∆ = minus = 0 pois = = =constante Nesse caso natildeo haacute forccedila resultante no dipolo
e seu centro de massa (CM) possui aceleraccedilatildeo nula (desprezando outras forccedilas como a gravidade) Se o CM da
moleacutecula dipolar estava em repouso ele vai continuar em repouso mesmo estando a moleacutecula em uma regiatildeo
com campo eleacutetrico natildeo nulo (mas uniforme)
Note que nos casos que discutimos anteriormente em que calculamos a forccedila eleacutetrica sobre uma
moleacutecula dipolar produzida por um iacuteon ou por outro objeto dipolar o campo eleacutetrico no espaccedilo produzido por
esses objetos era natildeo uniforme e por isso obtivemos uma forccedila natildeo nula De fato para a forccedila atrativa que
um iacuteon de carga positiva faz em um dipolo pontual com seu momento de dipolo paralelo a um raio que
passa pelo iacuteon (ver Figura 13) obtivemos a forccedila do iacuteon no dipolo (sendo a distacircncia iacuteondipolo)
= minus 12
Podemos obter novamente esse resultado com base no que deduzimos aqui Considere que o campo eleacutetrico
do iacuteon de carga eacute dado pela lei de Coulomb ( ) = 14 e que portanto dentro de um dipolo de tamanho infinitesimal = obtemos a variaccedilatildeo em
∆ = = = minus12 = minus12
49
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Nesse exemplo tiramos vantagem de que se o dipolo estaacute deitado na direccedilatildeo radial entatildeo a variaccedilatildeo ∆ eacute a
variaccedilatildeo de apenas na direccedilatildeo radial e que = = Para um dipolo com uma orientaccedilatildeo mais geral a
conta seria mais complicada (envolveria as trecircs derivadas de em x em y e em z) Note que ( ) =minus2 Note tambeacutem que nesse caso = e assim a expressatildeo ∆ recupera aquela acima para
Resumindo sendo a carga no poacutelo positivo do dipolo obtemos a forccedila iacuteondipolo
= ∆ = minus12 = minus12
sendo = o momento de dipolo eleacutetrico desse dipolo
Estando o dipolo eleacutetrico em uma regiatildeo com campo eleacutetrico uniforme natildeo acontece nada com ele
Acontece ele sofre um torque Um torque que depende da orientaccedilatildeo de relativa a Vamos usar a Figura
32 para calcular esse torque fazendo jaacute a simplificaccedilatildeo em que = = Lembramos que o torque de
uma forccedila eacute dado por = times
sendo a posiccedilatildeo de aplicaccedilatildeo da forccedila Sendo posiccedilatildeo um conceito relativo segue que o torque tambeacutem eacute O
torque depende em princiacutepio da origem que escolhemos para o caacutelculo das posiccedilotildees Mas no caso
especiacutefico em que a resultante das forccedilas eacute nula segue que o torque resultante dessas forccedilas independe da
referecircncia que usamos para definir Portanto podemos escolher essa origem de acordo com nossa
conveniecircncia (fazemos isso o tempo todo em problemas de equiliacutebrio estaacutetico de corpos riacutegidos) Aqui vamos
escolher por conveniecircncia a origem exatamente na posiccedilatildeo da carga ndash Nesse caso segue que = 0 e = Portanto o torque resultante sobre o dipolo eacute = + = times + times = times + 0
Concluindo como natildeo poderia deixar de ser o torque sobre o dipolo depende intrinsecamente de seu
momento de dipolo = pois = times = times = times
Esse resultado vale para um objeto dipolar de tamanho arbitraacuterio pois natildeo fizemos nenhuma hipoacutetese
sobre Mas eacute verdade que para um objeto microscoacutepico como uma moleacutecula fica mais faacutecil justificar a
hipoacutetese de uniformidade do campo De fato mesmo que fosse natildeo uniforme sua variaccedilatildeo dentro de
uma distacircncia microscoacutepica (como o tamanho de uma moleacutecula) seria basicamente despreziacutevel (usamos essa
mesma ideacuteia quando consideramos que a aceleraccedilatildeo da gravidade eacute uniforme proacuteximo agrave superfiacutecie da Terra)
50
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Portanto um dipolo eleacutetrico inicialmente em repouso na presenccedila de um campo eleacutetrico externo
uniforme natildeo sai do lugar (pois a resultante das forccedilas eacute nula) mas sofre um torque e gira em torno de um
eixo que passa por seu CM O moacutedulo desse torque eacute dado por = times = sen( ) sendo o (menor) acircngulo entre os vetores e conforme a Figura ao lado Na Figura ao lado o
torque estaacute para dentro do plano da paacutegina (de acordo com a regra da matildeo direita do produto
vetorial movimento dos dedos da matildeo direita indo de para atraveacutes de implica no polegar
no sentido de times ) e portanto ele produz um giro do vetor no sentido horaacuterio alinhando o
vetor momento de dipolo eleacutetrico da moleacutecula com o vetor campo eleacutetrico externo que existe na regiatildeo
onde essa moleacutecula estaacute A posiccedilatildeo = 0 eacute uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel pois nela vale = 0 (se o
dipolo jaacute estiver nessa posiccedilatildeo ele permanece nela) e para ne ne 0 o torque gira a moleacutecula e leva o
momento de dipolo ateacute ela A posiccedilatildeo oposta = eacute uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel pois nela vale = 0 (se o dipolo jaacute estiver nessa posiccedilatildeo ele permanece nela) e para ne ne 0 o torque gira a
moleacutecula e leva o momento de dipolo para longe dela (leva para = 0)
Concluindo estamos vendo aqui um mecanismo em que podemos transferir energia cineacutetica de
rotaccedilatildeo = 2 para partiacuteculas (moleacuteculas) que possuem momento de dipolo eleacutetrico intriacutenseco como
as moleacuteculas de aacutegua Note que a moleacutecula que estiver em uma orientaccedilatildeo qualquer ne ne 0 vai sofrer um
torque que vai levaacute-la para a posiccedilatildeo = 0 de tal forma que a moleacutecula vai oscilar em torno dessa posiccedilatildeo
em um movimento pendular pois o torque natildeo eacute constante durante esse giro da moleacutecula ele alterna de
sinal conforme a moleacutecula passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio = 0 Havendo algum mecanismo de dissipaccedilatildeo
como um arraste atuando nessa moleacutecula ela vai oscilar para laacute e para caacute em torno de = 0 ateacute que vai
finalmente atingir o repouso (como um pecircndulo amortecido) A energia cineacutetica vai ser transferida para
o meio em que a moleacutecula dipolar estaacute imersa Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do forno de microondas
O forno de microondas eacute basicamente uma cavidade dentro da qual eacute gerado um campo eleacutetrico
intenso um campo eleacutetrico que muda com o tempo um campo oscilatoacuterio (de fato uma onda
eletromagneacutetica) O campo eleacutetrico oscila no tempo com uma frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo ( cong 25 GHz sendo G =
giga = 109 e comprimento de onda cong 12 cm) que estaacute na chamada faixa de microondas dentro do espectro
eletromagneacutetico daiacute o nome ldquoforno de microondasrdquo Vamos chamar esse campo de ( ) ( eacute o tempo)
Dentro do forno essas ondas eletromagneacuteticas refletem nas paredes e formam ondas estacionaacuterias com
regiotildees em que ( ) eacute mais intenso e regiotildees em que ele eacute menos intenso (daiacute a necessidade do prato
giratoacuterio) ou seja de fato ( ) = ( ) (assim como o campo magneacutetico que tambeacutem existe no forno)
51
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Portanto imagine um pedaccedilo de alimento colocado dentro dessa cavidade e considere que esse
alimento conteacutem dentro dele aacutegua (um pedaccedilo de carne por exemplo) O alimento eacute basicamente um
substrato (carboidratos+proteiacutenas+lipiacutedeos) permeado por moleacuteculas de aacutegua (cerca de 75) As moleacuteculas de
aacutegua estatildeo laacute com seus momentos de dipolo eleacutetrico orientados ao acaso Ao ligar o forno liga-se o campo
eleacutetrico ( ) e esse campo penetra dentro do alimento atingindo as posiccedilotildees onde estatildeo as moleacuteculas de
aacutegua Cada moleacutecula sofre um torque = times ( ) e comeccedila a girar buscando a posiccedilatildeo = 0 de
alinhamento dos vetores e ( ) Em um proacuteximo instante o campo ( ) jaacute mudou jaacute estaacute em outra direccedilatildeo
e a moleacutecula de aacutegua inicia um novo giro buscando a nova posiccedilatildeo = 0 de alinhamento dos vetores e ( ) Enfim vocecirc deve ter entendido que um campo eleacutetrico vibratoacuterio vai produzir um movimento vibratoacuterio
permanente das moleacuteculas de aacutegua no interior do alimento ou seja uma produccedilatildeo permanente de
Havendo a interaccedilatildeo da aacutegua com o restante do alimento (o substrato) essa energia cineacutetica vai sendo
transferida para todo o alimento sua energia interna vai aumentando e ele vai esquentando No forno
convencional a energia teacutermica flui de fora para dentro do alimento No forno de microondas a energia
teacutermica eacute produzida dentro do proacuteprio alimento atraveacutes de e Cada moleacutecula de aacutegua eacute uma fonte
minuacutescula de calor Fornos de microondas satildeo seguros ldquovazamrdquo pouquiacutessima radiaccedilatildeo eletromagneacutetica para o
ambiente e natildeo alteram quimicamente os alimentos pois a radiaccedilatildeo utilizada natildeo tem energia suficiente para
fazecirc-lo (se vocecirc tiver interesse em mais informaccedilotildees veja o artigo Physics of the microwave oven M Vollmer
Physics Education 39 2004)
14 Distribuiccedilotildees contiacutenuas de cargas eleacutetricas
Em princiacutepio chegamos em um ponto em que podemos calcular o campo eleacutetrico (ou eletrostaacutetico) de
qualquer distribuiccedilatildeo de N cargas estaacuteticas Basta utilizar a lei de Coulomb e o princiacutepio da superposiccedilatildeo
( ) = ( ) = 14 = 14 = 14
Essa expressatildeo para o campo eleacutetrico resultante pode ser usada para calcular o campo de qualquer
distribuiccedilatildeo microscoacutepica de cargas estaacuteticas como aacutetomos e moleacuteculas Podemos usaacute-la tambeacutem para o
caacutelculo do campo eleacutetrico de objetos macroscoacutepicos eletrizados como um pente que foi atritado no cabelo
Mas nesses casos haacute um fato importante que em princiacutepio pode ser visto como uma dificuldade mas que no
final das contas acaba por se tornar uma facilidade O fato eacute que nessas distribuiccedilotildees de cargas macroscoacutepicas
a quantidade N de cargas eleacutetricas (eleacutetrons proacutetons ou iacuteons) eacute muito grande da ordem do nuacutemero de
Avogadro (cong 10 ) e o somatoacuterio dado na expressatildeo acima se torna impraticaacutevel Imagine que atritemos uma
superfiacutecie de plaacutestico com um tecido criando nessa superfiacutecie uma eletrizaccedilatildeo ou seja arrancando ou
depositando um monte de eleacutetrons nessa superfiacutecie Esse ldquomonterdquo eacute o N que eacute da ordem do nuacutemero de
52
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Avogadro Aleacutem disso esse monte de cargas eleacutetricas fica concentrado em uma mancha uma mancha
localizada na superfiacutecie de plaacutestico composta de cong 10 partiacuteculas de carga eleacutetrica cong 10 C separadas
entre si por distacircncias cong 10 m Esses nuacutemeros mostram que essa mancha se aproxima muito do que
entendemos como uma distribuiccedilatildeo contiacutenua de cargas eleacutetricas em contraste com um conjunto pequeno de
cargas eleacutetricas separadas no espaccedilo que podemos chamar de uma distribuiccedilatildeo discreta de cargas
Sabemos que a mateacuteria natildeo eacute contiacutenua ela eacute discreta formada por partiacuteculas
separadas pelo vaacutecuo Mas em um niacutevel macroscoacutepico essa discretizaccedilatildeo muito fina natildeo
eacute perceptiacutevel e ldquoenxergamosrdquo a mateacuteria como se ela fosse contiacutenua Ningueacutem olha para
um copo drsquoaacutegua e vecirc um monte de bolinhas dentro do copo vemos um fluido um
contiacutenuo de aacutegua As duas imagens ao lado mostram o mesmo material (mica) visto em
duas escalas de comprimento diferentes Na primeira imagem podemos estimar o
comprimento como sendo da ordem de 1 cm (10 m) enquanto que na segunda
imagem eacute da ordem de 50 angstroms (50 times 10 m) (imagem de microscoacutepio de
forccedila atocircmica httpwwwcnsgatechedu) Na escala macroscoacutepica temos a ldquoilusatildeordquo
de que a mateacuteria ocupa continuamente uma regiatildeo do espaccedilo como uma mancha
enquanto que na escala microscoacutepica a granulaccedilatildeodiscretizaccedilatildeo (e o vazio) da mateacuteria se revela
Basicamente o que vamos fazer aqui eacute tratar as distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica em objetos
macroscoacutepicos eletrizados como distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga na esperanccedila de que os aparelhos de
medida que vatildeo ser usados para comparar os campos eleacutetricos calculados com os campos eleacutetricos
determinados experimentalmente atuam em uma escala macroscoacutepica em que a granulaccedilatildeo da mateacuteria eacute
imperceptiacutevel ou seja natildeo tem nenhum efeito praacutetico Nossos olhos satildeo eles mesmos exemplos desses
aparelhos detectores de campos eleacutetricos e eles natildeo tecircm a capacidade de discernir a discretizaccedilatildeo da mateacuteria
Encaramos a mateacuteria como contiacutenua em outros contextos como quando definimos a temperatura
termodinacircmica ou a simples densidade de massa de um gaacutes que satildeo grandezas meacutedias bem definidas apenas
se o gaacutes possui uma quantidade muito grande de partiacuteculas ou seja se o gaacutes pode ser tratado como um fluido
Qual a vantagem desse processo de limite Eacute que com ele ganhamos todas as ferramentas do caacutelculo
diferencial e integral Basicamente quando rarr infin (de fato cong 10 ) rarr 0 (de fato cong 10 C) e rarr 0
(de fato cong 10 m) que vamos chamar resumidamente de limite do contiacutenuo (LC) o somatoacuterio no campo
eleacutetrico que expressa o princiacutepio da superposiccedilatildeo se torna uma integral
( ) = lim 14 = 14 sendo a regiatildeo do espaccedilo onde estaacute definida a mancha de cargas eleacutetricas e uma porccedilatildeo infinitesimal de
carga eleacutetrica nessa mancha (uma grandeza infinitesimal eacute basicamente uma quantidade tatildeo pequena quanto
53
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
vocecirc queira uma espeacutecie de 1infin mas diferente de zero) A Figura 33 abaixo ilustra as grandezas envolvidas
nessa integral
A Figura 33 expressa a ideia de que esse conjunto muito grande e denso de cargas eleacutetricas pontuais
minuacutesculas separadas por distacircncias minuacutesculas vai se comportar para efeito de criaccedilatildeo de campo eleacutetrico
no espaccedilo como uma mancha contiacutenua de carga eleacutetrica definida em uma regiatildeo R do espaccedilo
Essa mancha de carga eleacutetrica eacute descrita atraveacutes de uma funccedilatildeo ( ) que daacute a densidade de carga
eleacutetrica em cada ponto da regiatildeo R Onde tem muita carga concentrada ( ) tem um valor grande onde
tem pouca carga ( ) tem um valor pequeno onde tem carga positiva ( ) tem valor positivo onde tem
carga negativa ( ) tem valor negativo e finalmente onde natildeo tem carga eleacutetrica ( ) eacute nula
Em resumo o limite do contiacutenuo transforma somatoacuterios em integrais
( ) = ( ) ( ) = 14
LC rarr infin rarr 0 rarr rarr 0
( ) =
( ) = 14 Imagine uma placa plana retangular em que atritamos uma
flanela e criamos atraveacutes de eletrizaccedilatildeo por atrito uma distribuiccedilatildeo
uma mancha de cargas eleacutetricas Trata-se para todos os efeitos de
uma distribuiccedilatildeo de cargas em uma superfiacutecie ou seja uma
distribuiccedilatildeo bidimensional (2D) de cargas eleacutetricas Na Figura ao lado
mostramos uma possibilidade para a funccedilatildeo densidade de carga
eleacutetrica ( ) que descreve essa mancha Na placa definimos um
referencial xy com origem no centro da placa e portanto
Figura 33 Ilustraccedilatildeo do limite do contiacutenuo (LC) e sua consequumlecircncia no caacutelculo do campo eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas soma rarr integral
LC rarr infinrarr 0rarr rarr 0
54
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
( ) = ( ) Ao longo de x a placa possui comprimento 628 cm (cong 2 ) e ao longo de y o comprimento eacute 2
cm Note que um lado da placa estaacute carregado positivamente foram arrancados eleacutetrons desse lado e o outro
lado estaacute carregado negativamente foram depositados eleacutetrons nesse lado A
linha central = 0 e as bordas = plusmn314 satildeo eletricamente neutras Esse eacute
simplesmente o graacutefico da funccedilatildeo ( ) = sen( ) A Figura ao lado ilustra
algumas cargas eleacutetricas distribuiacutedas nessa placa retangular mas note que nossa
hipoacutetese aqui eacute que satildeo muitas muitas mesmo cargas eleacutetricas distribuiacutedas ao
longo da placa formando uma distribuiccedilatildeo contiacutenua de cargas eleacutetricas na placa A funccedilatildeo ( ) daacute a densidade
de carga eleacutetrica no posiccedilatildeo da placa de tal forma que a carga eleacutetrica depositada em um pedacinho de
placa de aacuterea infinitesimal = eacute = ( ) = ( )
O campo eleacutetrico que essa placa produz em um ponto P qualquer do espaccedilo eacute dado por (de acordo
com a lei de Coulomb o princiacutepio da superposiccedilatildeo e o limite do contiacutenuo)
( ) = 14 = 14 ( ) = 14 ( )
sendo a distacircncia desde o ponto (xy) da placa ateacute o ponto P e um vetor unitaacuterio
que aponta do ponto (xy) da placa para o ponto P ou seja = eacute o vetor posiccedilatildeo
de P tomando o ponto (xy) na placa como origem A Figura ao lado ilustra essa ideacuteia
Na sequecircncia vamos dar alguns exemplos de aplicaccedilatildeo dessas ideacuteias para o
caacutelculo de campos eleacutetricos Eacute comum para simplificar os caacutelculos considerar que
objetos (suportes) onde satildeo depositados excessos de carga eleacutetrica podem ser
unidimensionais bidimensionais ou tridimensionais Tudo na natureza eacute tridimensional (3D) mas eacute verdade
que podemos considerar corpos que satildeo essencialmente unidimensionais (1D) como uma linha longa de nylon
(linha de pesca) ou essencialmente bidimensionais (2D) como uma folha de papel O termo ldquoessencialmenterdquo
significa aqui que se vocecirc considerar a espessura da linha de nylon ou da folha de papel natildeo faraacute diferenccedila Um
objeto essencialmente unidimensional eacute aquele em que uma das suas trecircs dimensotildees eacute bem maior que as
outras duas algo como ≫ Por exemplo uma haste de comprimento 1 metro e seccedilatildeo transversal
circular de raio 1 mm Um objeto essencialmente bidimensional eacute aquele em que duas das trecircs dimensotildees satildeo
bem maiores que a terceira algo como ≫ Por exemplo uma folha de papel de lados 20 cm 10 cm e
espessura 01 mm Um objeto tridimensional (de fato) eacute aquele em que suas trecircs dimensotildees satildeo basicamente
da mesma ordem de grandeza algo como cong cong Por exemplo uma bola de sinuca Eacute padratildeo que
densidades de carga eleacutetrica definidas em objetos 1D sejam representadas pela letra (lambda) ou seja ( ) = ( ) Da mesma forma densidades de carga definidas em objetos 2D satildeo representadas pela letra
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
--
--
--
--
--
--
--
--
--
--
+ +
+ +
P
55
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
(sigma) ou seja ( ) = ( ) Finalmente densidades de carga definidas em objetos (de fato) 3D satildeo
representadas pela letra (rocirc) ou seja ( ) = ( ) Consideremos um exemplo 1D um aro circular fino de raio como na
Figura 34 ao lado Imagine que atritemos esse aro com uma flanela e criemos
nele uma densidade de cargas eleacutetricas ( prime) sendo prime um ponto no aro
Vamos calcular o campo eleacutetrico que as cargas nesse aro (o ldquocampo do arordquo)
produzem em um ponto P no espaccedilo o ponto P mostrado na Figura 34
Segundo Steven Strogatz (Infinite Powers how calculus reveals the
secrets of the universe 2019) o caacutelculo integral se baseia em uma grande ideia
que ele chama de ldquoprinciacutepio do infinitordquo ldquopara desvendar uma forma objeto
movimento processo ou fenocircmeno contiacutenuo natildeo importa o quatildeo louco ou
complicado ele possa parecer imagine ele como uma seacuterie infinita de pequenas partes mais simples analise
essas partes e entatildeo somejunte os resultados novamente para entender o todordquo Seguindo essa ideia
considere um pequeno pedaccedilo de aro na posiccedilatildeo arbitraacuteria prime do aro um segmento infinitesimal de aro de
comprimento que conteacutem por hipoacutetese uma quantidade infinitesimal de carga eleacutetrica = ( prime)
Esse pedacinho de aro eletrizado produz campo eleacutetrico em P Sim ele eacute infinitesimal ( ) e eacute dado pela lei de
Coulomb estando representado pela seta roxa na Figura 34 (se gt 0) Portanto
= 14 = 14 ( prime) Pronto jaacute analisamos a parte e para chegar ao todo apenas somamos os efeitos das partes que eacute
essencialmente o que diz o princiacutepio da superposiccedilatildeo
( ) = isin = 14 ( prime) isin
Agora devemos realizar a integral ou seja somar sobre todos os pedacinhos infinitesimais localizados ao longo
de todo o aro ( prime isin ) e estaraacute determinado o campo eleacutetrico produzido pelo aro (de fato pelas cargas em
excesso no aro) em P Note que a variaacutevel de integraccedilatildeo eacute prime ou seja a
posiccedilatildeo ao longo do aro O problema aqui estaacute exatamente em realizar essa
integral Na linguagem popular poderiacuteamos dizer que jaacute podemos comprar
uma Ferrari 0 km soacute falta o dinheiro
A integral acima que fornece ( ) pode ser realizada natildeo haacute nada de
errado com ela mas seu resultado natildeo ajuda muito pois eacute dado em termos
de integrais eliacutepticas Portanto para simplificar vamos particularizar aqui o
Figura 34 um aro fino eletrizado
z
P
Figura 35 um aro fino eletrizado
z
P
z
56
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
ponto P e a densidade de carga no aro ( prime) Vamos imaginar que P eacute um ponto sobre o eixo de simetria do
aro eixo z e que ( prime) = =constante ou seja que o aro possui uma densidade de carga uniforme ao longo
de sua extensatildeo A Figura 35 acima eacute basicamente a Figura 34 com essas hipoacuteteses incorporadas A forma mais
simples de somar vetores eacute decompocirc-los em componentes e somar cada uma das componentes
separadamente As componentes se somam como escalares pois satildeo colineares entre si Assim sendo jaacute
aproveitando o eixo z e o acircngulo na Figura 35 ficamos com
( ) = isin = +isin perpisin = cos( ) +isin isin sen( ) perp
Nessa expressatildeo acima inventamos um vetor unitaacuterio perp ortogonal ao eixo z (seria uma combinaccedilatildeo de e
ver Figura 36 adiante) Note que eacute o moacutedulo de ou seja = 14 = 14
Note tambeacutem na Figura 35 que (sendo z a distacircncia fixa de P ateacute o centro do aro) sen( ) = e cos( ) =
Portanto
( ) = 14 +isin14
isin perp
Antes de realizarmos qualquer integral devemos retirar de dentro do siacutembolo de integraccedilatildeo tudo que eacute
constante ou seja tudo que natildeo muda enquanto prime percorre o aro Vendo que = radic + eacute constante
chegamos finalmente a (lembre-se que radic = )
( ) = 4 ( + ) isin + 4 ( + ) isin perp
Note entatildeo que sobraram apenas o infiniteacutesimo de comprimento e o vetor
unitaacuterio perp dentro das integrais Na Figura 36 ao lado vemos que agrave medida que
varre o aro o vetor perp (seta vermelha) vai mudando de direccedilatildeo como o
ponteiro de um reloacutegio Assim sendo natildeo eacute difiacutecil acreditar que a integral
(soma) de perp sobre toda a extensatildeo do aro eacute nula Se vocecirc quiser provar isso
apenas projete perp no plano xy perp= cos( ) + sen( ) reconheccedila que eacute um
comprimento de arco nesse plano ou seja que = realize a integral em isin [02 ] para varrer o aro todo e conclua que as integrais satildeo nulas
Figura 36 um aro fino eletrizado perp eacute como um ponteiro de reloacutegio
z
P perp
57
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Conclusatildeo sendo 2 o comprimento total do aro (a integral em ) obtemos
( ) = 4 ( + ) isin = ( ) = 4 ( + ) 2
Simplificando
Como natildeo poderia deixar de ser dada a simetria da situaccedilatildeo ao longo do eixo
do aro o campo eleacutetrico eacute axial A Figura 37 ilustra algumas setas desse campo
eleacutetrico nesse eixo supondo que a carga no aro eacute positiva Note que agrave medida
que nos afastamos do aro a seta vai ficando menor pois o campo eleacutetrico decai
a zero no infinito Note tambeacutem que a expressatildeo acima se aplica para os dois
lados do aro pois deve valer (minus ) = minus ( ) (por simetria) e se trocarmos
por ndash obtemos
(minus ) = minus 2 ( + ) Para lt 0 a expressatildeo de apenas muda de sinal ( inverte de sentido)
Note tambeacutem que no centro do aro vale ( = 0) = 0 por simetria
O graacutefico ao lado mostra o comportamento da magnitude ( ) versus
z supondo gt 0 ( ( ) natildeo eacute o moacutedulo do campo pois o moacutedulo eacute sempre
positivo) A inversatildeo de sinal reflete a inversatildeo de sentido dos dois lados do
aro Vemos que o campo eleacutetrico inicialmente cresce quando nos afastamos
do centro do aro atinge um pico e depois comeccedila a decair a zero Uma
partiacutecula de carga eleacutetrica negativa colocada em repouso no centro desse aro continuaria em repouso pois ( = 0) = 0 e retornaria agrave origem se fosse deslocada um pouco desse ponto sobre o eixo z (mas note que o
centro do aro eacute de fato uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel) Se nos afastarmos muito do aro ( ≫ ) obtemos
o comportamento assintoacutetico do campo eleacutetrico
( ) = 2 ( + ) rarr 2 (0 + ) = 2 = 2 4 = 4 sendo = (2 ) o excesso de carga eleacutetrica total depositado no aro Trata-se do campo eleacutetrico de uma
carga pontual localizada em z=0 Visto de longe o aro se parece com um objeto pontual e seu campo
eleacutetrico reflete esse fato se comportando assintoticamente como o campo eleacutetrico de uma carga pontual (o
campo eleacutetrico de uma carga pontual se caracteriza pelo decaimento com o quadrado da distacircncia)
Figura 37 Campo eleacutetrico sobre o eixo de um aro fino eletrizado com carga positiva
( ) = ( ) = 2 ( + )
58
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Considere agora um exemplo 2D Vamos calcular o campo eleacutetrico
de um disco eletrizado feito de material isolante (plaacutestico) de raio R com
uma densidade de cargas eleacutetricas superficial uniforme ( prime) ==constante ( prime isin ) Novamente para simplificar vamos calcular o
campo somente em um ponto P que estaacute no eixo de simetria do disco (eixo
z) conforme a Figura 38 ao lado
Aqui o elemento infinitesimal de carga ocupa uma aacuterea
infinitesimal do disco (um retacircngulo) e deve varrer toda a superfiacutecie do
disco ou seja seu raio ateacute a origem deve varrer o intervalo isin [0 ] enquanto que para cada raio fixo varre ainda um acircngulo (digamos )
no intervalo isin [02 ] Trata-se de uma situaccedilatildeo similar agrave do aro carregado que estudamos anteriormente
em que o disco pode ser pensado como uma sucessatildeo de aros com diferentes raios (no caso do aro soacute havia
um valor possiacutevel para = )
Os caacutelculos aqui satildeo parecidos com aqueles para o aro carregado A forma mais simples de somar
vetores eacute decompocirc-los em componentes e somar cada uma das componentes separadamente Assim sendo jaacute
aproveitando o eixo z e o acircngulo na Figura 38 ficamos com
( ) = isin = +isin perpisin = cos( ) +isin isin sen( ) perp
em que inventamos como no caso do aro um vetor unitaacuterio perp ortogonal ao eixo z (seria uma combinaccedilatildeo de
e ) Nessa expressatildeo eacute o moacutedulo de ou seja (note que = )
= 14 = 14
Note tambeacutem na Figura 38 que (sendo gt 0 a distacircncia fixa de P ateacute o centro do disco) sen( ) = e cos( ) =
Portanto
( ) = 14 +isin14
isin perp
Antes de realizarmos qualquer integral devemos retirar de dentro do siacutembolo de integraccedilatildeo tudo que eacute
constante ou seja tudo que natildeo muda enquanto prime percorre o disco Vendo que = radic + chegamos
finalmente a
z
Figura 38 um disco fino eletrizado
z
P s
59
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
( ) = 4 ( + ) + 4 isin ( + ) isin perp
Novamente vamos apelar para a simetria do disco em relaccedilatildeo ao ponto P Notamos na Figura 38 que agrave medida
que varre o disco o vetor perp vai mudando de direccedilatildeo como o ponteiro de um reloacutegio Assim sendo natildeo eacute
difiacutecil acreditar que a integral (soma) de perp sobre toda a extensatildeo do disco (com isin [02 ]) eacute nula como jaacute
acontecia para o aro carregado (isso soacute ocorre aqui porque a parte escalar do integrando natildeo depende do
acircngulo de giro ) Portanto
( ) = 4 ( + ) isin
Para realizar essa integral soacute falta escolhermos o infiniteacutesimo de aacuterea conveniente em termos de variaacuteveis
capazes de percorrer toda a aacuterea do disco Basicamente jaacute definimos essas variaacuteveis anteriormente e natildeo eacute
difiacutecil de acreditar que elas natildeo satildeo as uacutenicas mas que satildeo as mais simples o raio ateacute a origem que deve
varrer o intervalo isin [0 ] e para cada raio fixo o acircngulo no plano do disco que
deve varrer o intervalo isin [02 ] (essas satildeo as coordenadas polares ou ciliacutendricas) A
Figura ao lado tenta ilustrar essa aacuterea infinitesimal (em cinza) que eacute basicamente
(apesar de natildeo parecer) um retacircngulo de lados e cuja aacuterea infinitesimal eacute = Substituindo na integral e explicitando os limites de integraccedilatildeo obtemos ( ) = 4 ( + )
A integral em eacute a mais simples pois soacute haacute um a integrar resultando em 2
( ) = 4 2 ( + )
Note que essa integral tem uma interpretaccedilatildeo simples em termos do campo eleacutetrico de vaacuterios aros
Lembramos que para um aro de raio R e carga eleacutetrica total obtivemos o campo eleacutetrico
( ) = 4 ( + ) Considere entatildeo que o disco eacute composto de vaacuterios (infinitos) aros de raios isin [0 ] que unidos um dentro
do outro formam o disco completo Cada um desses aros possui raio e espessura ou seja aacuterea
infinitesimal 2 e carga eleacutetrica infinitesimal = 2 Portanto vemos que
60
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
( ) = ( ) Voltando ao caacutelculo do campo eleacutetrico do disco buscando o resultado para a integral em em uma tabela de
integrais (ou no Maple) obtemos ( ) = ( gt 0) = 2 1 minus 1radic + = 2 1 minus radic + Vemos que essa expressatildeo natildeo se aplica para lt 0 pois deve valer (minus ) = minus ( ) (por simetria) e se
trocarmos por ndash obtemos (minus ) = 2 1 + radic + ne minus ( ) = minus 2 1 minus radic + Portanto vamos definir o campo sobre o eixo z negativo separadamente
( lt 0) = minus 2 1 + radic + O graacutefico ao lado ilustra o comportamento da magnitude ( ) versus
A inversatildeo de sinal reflete a inversatildeo de sentido nos dois lados do disco
Notamos claramente que o campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja
exatamente sobre o disco Isso eacute um comportamento comum do campo
eleacutetrico quando atravessamos uma densidade de cargas eleacutetricas superficial
qualquer Essa descontinuidade eacute apenas um artefato de nosso modelo da
realidade em que consideramos um disco que eacute infinitamente fino ou seja
uma superfiacutecie um objeto bidimensional
Sabemos que na natureza tudo eacute tridimensional tudo tem uma
espessura natildeo nula Se eletrizarmos a superfiacutecie de um disco de plaacutestico real
as cargas eleacutetricas se distribuiratildeo sobre a superfiacutecie desse disco mas
penetraratildeo tambeacutem para dentro do volume do disco por uma distacircncia de
alguns poucos angstroms A densidade de carga seraacute de fato uma e natildeo
uma O que estamos fazendo aqui em nosso modelo da realidade eacute
desprezar esses poucos angstroms e nesse contexto obtemos o campo
eleacutetrico que eacute descontiacutenuo sobre o disco O valor exato de natildeo estaacute
definido em = 0 pois ele eacute descontiacutenuo aiacute No graacutefico ao lado ilustramos
com seria o graacutefico da magnitude ( ) versus em um modelo mais realista em que o disco
possui de fato uma espessura diferente de zero (como na Figura ao lado) e em cujo volume se
distribuem uniformemente as cargas eleacutetricas depositadas nele Nesse modelo mais realista o
z
( )
z
( )
61
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
campo eleacutetrico varia abruptamente mas eacute contiacutenuo dentro do disco e se anula exatamente no centro dele
(por simetria) No limite rarr 0 esse graacutefico converge para o graacutefico anterior em que ( ) eacute descontiacutenuo (uma
convergecircncia natildeo uniforme) Nosso modelo bidimensional de distribuiccedilatildeo de cargas ( ) eacute uacutetil quando estamos
interessados apenas no campo eleacutetrico na regiatildeo fora do disco natildeo nos interessando o que acontece dentro
dos poucos angstroms de espessura do disco
Voltando ao disco fino para gt 0 quando nos aproximamos infinitamente do centro do disco
obtemos ( rarr 0) = 2 Analogamente quando nos afastamos muito do disco ( ≫ ) obtemos o comportamento assintoacutetico
(usando a expansatildeo binomial (1 + ) = 1 minus (12) sendo = cong 0)
( ≫ ) = 2 1 minus 1 + ( ) = 2 1 minus 1 minus 12 = 2 12 Concluindo definindo = a carga eleacutetrica total depositada no disco vemos que como natildeo poderia
deixar de ser ( ≫ ) = 4 Visto de longe o disco ldquoparecerdquo uma carga pontual na origem = 0
Uma uacuteltima observaccedilatildeo que podemos fazer acerca do campo eleacutetrico do disco eacute que o resultado que
obtivemos no limite rarr 0 qual seja ( rarr 0) = 2 tambeacutem pode ser obtido se ao inveacutes de fazermos rarr 0 fizermos rarr infin (para qualquer gt 0 finito) ou
seja ( rarr infin) = 2 Nesse limite o disco se torna uma superfiacutecie plana infinita carregada com densidade de carga eleacutetrica
uniforme Portanto concluiacutemos que um plano infinito com
densidade de carga eleacutetrica uniforme produz em todo o
espaccedilo um campo eleacutetrico uniforme no lado com gt 0 e um
campo uniforme de mesma magnitude mas com sentido
oposto no lado com lt 0 A Figura ao lado ilustra essa
situaccedilatildeo (para gt 0) com as setas vermelhas representando o
z
62
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
campo Note que natildeo haacute decaimento do campo com a distacircncia ao plano infinito (as setas de natildeo
diminuem e as linhas de forccedila natildeo se afastam mutuamente) Natildeo conseguimos nos afastar de um plano
infinito ele eacute sempre igualmente infinito mesmo visto de muito longe Note tambeacutem que o resultado que
obtivemos para o campo eleacutetrico do disco soacute vale para pontos sobre o eixo z central do disco enquanto que o
campo do plano infinito vale para qualquer ponto do espaccedilo pois para um plano infinito qualquer eixo eacute
igualmente distante de suas bordas (infinitamente distante) Sabemos que natildeo existem planos infinitos (trata-
se de um modelo) mas o resultado obtido acima pode ser encarado com uma boa aproximaccedilatildeo para o campo
eleacutetrico proacuteximo do centro de uma placa plana grande com densidade de carga eleacutetrica uniforme em sua
superfiacutecie
Considere o caso de uma nuvem de
tempestade como mostrado na Figura abaixo A
nuvem conteacutem acuacutemulos de cargas eleacutetricas em suas
faces superior e inferior Aleacutem disso o terreno
(condutor) logo abaixo da nuvem tambeacutem apresenta
uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas graccedilas a uma
eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Trata-se basicamente de
um sistema de planos carregados paralelos entre si e
o campo eleacutetrico no espaccedilo entre a nuvem e o
terreno eacute em uma primeira aproximaccedilatildeo a
superposiccedilatildeo de campos eleacutetricos de planos infinitos
(linhas de forccedila em amarelo na Figura ao lado) Esse
campo eleacutetrico pode ionizar o ar criando uma sopa
de iacuteons e eleacutetrons tornando o ar um condutor de
eletricidade Atraveacutes desse meio condutor cargas
eleacutetricas podem fluir entre a nuvem e a terra
constituindo um raio
A presenccedila de um objeto pontudo no
terreno como uma aacutervore um preacutedio ou um paacutera-raios poderia concentrar cargas eleacutetricas e intensificar o
campo eleacutetrico nessa regiatildeo conforme ilustrado na Figura ao lado em que percebemos uma concentraccedilatildeo de
linhas de forccedila em torno do objeto pontudo Isso poderia acarretar maior ionizaccedilatildeo do ar nessa regiatildeo e
direcionar os raios proacuteximos para o objeto pontudo Esse eacute o princiacutepio de funcionamento de um paacutera-raios
63
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
15 Aplicaccedilotildees
1) Considere uma haste fina de comprimento L que possui uma
densidade de carga linear uniforme Vamos calcular o campo
eleacutetrico que as cargas nessa haste produzem no ponto P mostrado
na Figura 39 O ponto P estaacute a uma altura H da extremidade direita
da haste Note que estamos desprezando aqui a espessura da
haste trata-se do modelo de um objeto unidimensional
Utilizaremos o princiacutepio da superposiccedilatildeo e o caacutelculo integral
Destacamos um segmento infinitesimal de haste de comprimento
que possui carga eleacutetrica = e que produz em P um campo eleacutetrico infinitesimal como o de uma
carga pontual
= 14 = 14 = 14
sendo (o raio) definido na Figura ao lado Em seguida decompomos o
vetor em componentes x e y utilizando o acircngulo definido nessa
mesma Figura Tudo que temos que fazer eacute somar essas componentes
de enquanto a carga infinitesimal varre a haste de uma
extremidade a outra Imaginamos que isso pode ser realizado atraveacutes
de uma integral na variaacutevel prime que eacute a posiccedilatildeo de na haste desde = 0 ateacute = Resumindo
( ) = = 4
Note na Figura que sen( ) = cos( ) = ( minus ) = + ( minus )
Portanto = cos( ) + sen( ) = ( minus ) +
Finalmente considerando ainda que = prime o vetor campo eleacutetrico em P possui as componentes (note que radic = )
( ) = 4 = 4 ( minus ) prime( + ( minus ) ) + 4 prime( + ( minus ) )
Figura 39 uma haste fina eletrizada uniformemente
x
P
y
H
x
P
y
H
prime
minus
64
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) concluiacutemos que
( ) = 4 1 minus 1radic + + radic +
Podemos fazer apenas mais uma pequena simplificaccedilatildeo
( ) = 4 1 minus radic + + radic +
Alguns casos particulares interessantes satildeo
i) rarr 0 que significa uma haste muito pequena eou uma haste vista de uma distacircncia muito grande
Nesse caso obtemos
( ) rarr 4 0 + = 4 = 4
sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste Trata-se do resultado esperado
um campo radial que decai com o quadrado da distacircncia tiacutepico de uma carga pontual
ii) rarr infin que eacute o caso de uma haste semi-infinita ou seja que se estenderia de = minusinfin ateacute = Obtemos
( ) rarr 4 [1 + 1 ] = 4 ( + ) Note que esse campo faz um acircngulo de 45deg com o eixo x para qualquer valor de
Considere agora o caacutelculo do campo eleacutetrico no ponto Prsquo
mostrado na Figura 40 ao lado Prsquo eacute um ponto que estaacute equumlidistante
das extremidades da haste Podemos calcular ( prime) utilizando nosso
resultado anterior para ( ) e o princiacutepio da superposiccedilatildeo A ideia
estaacute ilustrada na Figura que segue logo abaixo (supondo gt 0)
Dividimos a haste ao meio cada metade eacute uma haste de
comprimento L2 e mesma densidade de carga Vemos que por
simetria as componentes x das duas hastes se cancelam em Prsquo
enquanto que as componentes y se somam Conclusatildeo ( prime) = 2 ( prime)
Note que nessa expressatildeo ( prime) eacute a componente y do campo
eleacutetrico calculado anteriormente em um ponto P que estaacute a uma
altura H da extremidade direita da haste mas para uma haste de
comprimento L2 Conclusatildeo
Figura 40 uma haste fina eletrizada uniformemente
x
Prsquo
y H
x
Prsquo
y H
1 2
( prime)( prime)
65
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
( prime) = 2 4 2+ ( 2)
Finalmente ( prime) = 4 + ( 2) = 4 1+ ( 2)
sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste
Novamente fazendo rarr infin que agora corresponde ao caso de uma haste infinita obtemos
( prime) rarr 2
Esse resultado poderaacute ser obtido de maneira mais raacutepida e simples no proacuteximo capiacutetulo atraveacutes da lei de
Gauss Note que no caso da haste finita o ( prime) que calculamos soacute eacute vaacutelido para pontos Prsquo equumlidistantes das
extremidades da haste enquanto que no caso da haste infinita o ( prime) obtido vale para todos os pontos no
espaccedilo (no plano xy) pois qualquer ponto eacute equumlidistante das extremidades
de uma haste infinita (infinitamente distante)
Finalmente vamos utilizar o resultado do campo eleacutetrico da haste
finita para calcular o campo eleacutetrico no ponto P mostrado na Figura ao lado
O ponto P estaacute a uma distacircncia da quina direita superior de uma placa
plana (fina ou seja bidimensional) quadrada de lado L que possui uma
densidade de carga eleacutetrica superficial uniforme Jaacute adotamos na Figura um
referencial para facilitar as coisas
A Figura ao lado ilustra a ideia que vamos utilizar para o caacutelculo de ( ) (supondo gt 0) Vamos considerar que a placa fina eacute uma ldquocolagemrdquo
de vaacuterias hastes uma ao lado da outra cada uma (em vermelho) de
comprimento L e aacuterea infinitesimal = prime A carga eleacutetrica distribuiacuteda em
uma dessas hastes eacute = = prime e o ponto P funciona como no
nosso primeiro exemplo abordado acima Se prime eacute a posiccedilatildeo em x de uma
dessas hastes vemos na Figura que a altura do ponto P jaacute definida
anteriormente fica = + minus prime com isin [0 ] Vimos que o campo eleacutetrico de uma haste de carga eleacutetrica =
no ponto P eacute
( ) = 4 1 minus radic + + radic + = 4 1 1 minus radic + + 1radic +
= + minus prime
P
x
y
P
x
y
66
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
Portanto para uma haste de carga = prime localizada na posiccedilatildeo prime obtemos
( ) = prime4 1 1 minus radic + + 1radic + = prime4 1 minus 1radic + + radic +
com = + minus prime Agora precisamos apenas integrar na placa ou seja com = 0 ateacute = Portanto
( ) = 4 1( + minus prime) minus 1( + minus prime) + + ( + minus prime) ( + minus prime) +acute prime Consultando uma tabela de integrais (ou o Maple) obtemos
( ) = 4 ln 1 + + ln ( + ) + minus minusradic + minus+ arctanh radic + minusarctanh ( + ) +
sendo ln a funccedilatildeo logaritmo natural e arctanh a funccedilatildeo arco tangente hiperboacutelica
Apenas podemos nos arriscar a dizer (e natildeo eacute impossiacutevel provar) que no limite rarr 0 (muito longe
da placa eou para uma placa muito pequena) vamos obter
( ) rarr 4 + 0 = 4
sendo = a carga eleacutetrica total armazenada na placa quadrada
2) Vamos considerar agora o caacutelculo da forccedila eleacutetrica entre duas hastes
finas carregadas como mostrado na Figura ao lado A haste de tamanho
A possui densidade de carga uniforme enquanto que a haste de
tamanho B possui densidade de carga uniforme Vamos calcular a
forccedila eleacutetrica que a haste A produz na haste B Para obter essa forccedila
vamos inicialmente esquecer a haste B e calcular o campo eleacutetrico que a
haste A produz em um ponto qualquer do espaccedilo que seraacute ocupado
posteriormente pela haste B
A Figura ao lado resume as ideacuteias que precisamos para
calcular ( ) o campo eleacutetrico que a haste A produz em um ponto
P que seraacute ocupado depois pela haste B Mostramos um segmento
infinitesimal da haste A de carga = prime na posiccedilatildeo isin [0 ]
x
y A
B
L
x
y
A P
L
prime
67
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
da haste A O ponto P possui coordenada arbitraacuteria (mas constante)
Do princiacutepio da superposiccedilatildeo
( ) = = 14 = 4 prime Decompondo o vetor em componentes obtemos = cos( ) + sen( )
Na Figura vemos que = ( minus prime) + cos( ) = sen( ) = ( minus )
Portanto
( ) = 4 cos( ) + sen( ) = 4 + ( minus )( minus prime) + prime Concluindo ( ) = 4 minus( minus ) + + + minus 1+ minus 1( minus ) +
Apenas para conferir note que se fizermos = 0 obtemos
( = 0) = 4 radic + minus 1 minus radic +
Se fizermos = obtemos
( = ) = 4 radic + + 1 minus radic +
Se fizermos = 2 obtemos
( = 2) = 4 ( 2) + + 0
Note que todos esses resultados apenas confirmam os jaacute obtidos no iniacutecio dessa seccedilatildeo
Agora vamos posicionar a haste B em sua posiccedilatildeo original e
calcular a forccedila A Figura ao lado ilustra a ideia supondo que as
hastes tenham cargas de mesmo sinal Um segmento infinitesimal da
haste B de carga = e localizado na posiccedilatildeo com isin [0 ] sofre a forccedila infinitesimal = ( ) = ( )
y
A
L
68
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31
O que temos que fazer eacute integrar esse em toda a extensatildeo da haste B
= = ( )
Substituindo a expressatildeo acima de ( ) integrando e definido ∆= minus obtemos
= 4 1 + + + minus ∆ + minus + ln radic∆ + + ∆radic + + radic + minus
Vamos analisar alguns casos particulares interessantes Para = ∆= 0 obtemos
ln radic∆ + + ∆radic + + radic + minus rarr ln radic + minus = ln(1) = 0
Portanto confirmando a simetria da configuraccedilatildeo vemos que a forccedila entre duas hastes de tamanhos iguais
(A) estaacute ao longo de x e eacute dada por (jaacute substituindo as cargas = e = )
= 2 1 + minus 1
No caso limite cong 0 obtemos 1 + = 1 + (12) e portanto
rarr 2 1 + 12 minus 1 = 4
Como natildeo poderia deixar de ser obtivemos a forccedila entre duas cargas eleacutetricas pontuais distanciadas de L
69
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
2 Lei de Gauss
21 Fluxo de um campo vetorial
Agraves vezes temos que dar uma pausa no caacutelculo de campos eleacutetricos para tentar encontrar propriedades
gerais desse campo que nos permitam entendecirc-lo melhor entender melhor o eletromagnetismo e a natureza
Ao fazer isso pode ocorrer de encontrarmos uma nova ferramenta para o proacuteprio caacutelculo do campo eleacutetrico
Uma ferramenta mais sofisticada e de aplicaccedilatildeo mais simples em alguns casos quando comparada com a
simples aplicaccedilatildeo da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo (que poderiacuteamos chamar de ldquoforccedila
brutardquo) A lei de Gauss estabelece uma relaccedilatildeo vaacutelida para o campo eleacutetrico expressa por
∙ =
O que vamos fazer nesse capiacutetulo eacute estudar essa lei esboccedilar sua deduccedilatildeo (sem muito rigor) a partir da
lei de Coulomb e analisar suas consequumlecircncias e aplicaccedilotildees como uma ferramenta para o caacutelculo do campo
eleacutetrico de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas
Comeccedilamos pela interpretaccedilatildeo da integral de que aparece na lei de Gauss que eacute chamada de ldquofluxo
do campo eleacutetrico na superfiacutecie fechada SG (superfiacutecie gaussiana)rdquo
Jaacute fizemos uma analogia entre a interaccedilatildeo entre cargas eleacutetricas e a interaccedilatildeo entre bloquinhos
flutuando na aacutegua e aqui vamos apelar novamente para uma analogia semelhante O termo ldquofluxordquo eacute de faacutecil
entendimento quando nos referimos a um fluido aacutegua por exemplo que flui em uma regiatildeo ou tubulaccedilatildeo
Considere entatildeo um tubo grande onde flui aacutegua Consideraremos aqui que a aacutegua eacute um fluido incompressiacutevel
o que natildeo estaacute muito longe da realidade Com isso queremos dizer que se vocecirc apertar um pistatildeo cheio de
aacutegua a variaccedilatildeo de volume (compressatildeo) seraacute despreziacutevel Analogamente a aacutegua natildeo aumenta de volume
Resumindo sua densidade eacute constante enquanto ela flui Em cada ponto dentro do tubo a aacutegua possui uma
velocidade ( ) Se a aacutegua estivesse estagnada como em um tubo fechado entatildeo valeria ( ) = 0 para todo
70
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Note que se a aacutegua fosse compressiacutevel como um gaacutes rarefeito ela poderia estar fluindo mesmo com o tubo
fechado apenas se comprimindo contra uma parede da tubulaccedilatildeo Daiacute percebemos a importacircncia da hipoacutetese
de incompressibilidade ela simplifica a interpretaccedilatildeo do fenocircmeno Vamos iniciar com o caso mais simples a
aacutegua estaacute fluindo com a mesma velocidade em todos os pontos dentro do tubo ou seja ( ) = para todo
A Figura 1 abaixo ilustra os dois casos a aacutegua fluindo de forma arbitraacuteria (a) e a aacutegua fluindo com velocidade
uniforme (b) Note que ( ) eacute um campo definido no espaccedilo fora do tubo vale ( ) = 0 (ou o campo ( ) natildeo estaacute nem definido posto que nessa regiatildeo natildeo haacute fluido) e dentro do tubo vale ( ) ne 0 Satildeo mostradas
(em vermelho) algumas setas do campo ( )
Suponha agora que mergulhemos uma peneira ou seja uma superfiacutecie permeaacutevel agrave aacutegua retangular
de lados e e nos perguntemos qual o fluxo de aacutegua atraveacutes da peneira ou seja quantos metros cuacutebicos de
aacutegua atravessam essa peneira a cada segundo Essa grandeza tambeacutem eacute
chamada nesse contexto de vazatildeo A Figura ao lado ilustra essa ideia (imagine
que a peneira em cinza estaacute obliacutequa e natildeo no plano da paacutegina) Natildeo eacute difiacutecil de
acreditar que o fluxo de aacutegua atraveacutes dessa peneira que vamos chamar de
(fi) depende da magnitude da velocidade da aacutegua ( ) maior velocidade maior
fluxo depende da aacuterea da peneira ( = ) maior aacuterea maior fluxo mas
depende tambeacutem de um acircngulo de inclinaccedilatildeo entre a peneira e o campo (digamos ) Algo como o acircngulo
entre as linhas tracejadas verde a azul na Figura Se essas linhas forem paralelas entre si por exemplo natildeo
haveraacute fluxo pois a aacutegua vai tangenciar a peneira sem atravessaacute-la Concluindo = ( ) Agora vamos obter essa funccedilatildeo Para isso vamos construir um paralelepiacutepedo mergulhado na aacutegua
cuja uma das faces eacute a peneira de aacuterea A Figura 2 abaixo ilustra essa construccedilatildeo Note que trata-se de um
paralelepiacutepedo obliacutequo por causa do acircngulo ou definido na Figura 2 arbitraacuterio Nessa Figura definimos
um vetor que eacute ortogonal (normal) agrave peneira e que forma portanto um acircngulo com a direccedilatildeo da
Figura 1 (a) aacutegua fluindo em um tubo ciliacutendrico com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) natildeo uniforme
Figura 1 (b) aacutegua fluindo em um tubo ciliacutendrico com campo de velocidades ( ) = (setas vermelhas) uniforme
71
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
velocidade da aacutegua Note que tambeacutem eacute o acircngulo de obliquumlidade do paralelepiacutepedo e que portanto o
volume desse paralelepiacutepedo eacute Δ = cos( )
O comprimento eacute arbitraacuterio Agora podemos partir para o caacutelculo do fluxo ou seja a quantidade
(volume) de aacutegua que passa pela peneira a cada segundo A ideia eacute simples toda a aacutegua que estaacute no
paralelepiacutepedo vai passar pela peneira em um tempo Δ = Estando a
peneira fixa podemos imaginar o paralelepiacutepedo fluindo junto com a aacutegua
como se fosse uma gaveta que desliza na direccedilatildeo de A ideia estaacute ilustrada ao
lado O volume da gaveta eacute Δ e o tempo que demora para a gaveta passar para
o outro lado da peneira eacute Δt Portanto concluiacutemos que = Δ Δt ou seja
= ΔΔt = cos( ) = cos( ) Essa eacute a funccedilatildeo = ( ou ) que estaacutevamos procurando Podemos escrever esse fluxo de uma forma
mais compacta e elegante se definirmos o vetor aacuterea = e reconhecermos que eacute o acircngulo entre os
vetores e (ou e ) Segue que = cos( ) = ∙ = ∙
sendo que o ponto (∙) nessa equaccedilatildeo representa a operaccedilatildeo de produto escalar entre os vetores e Vemos
entatildeo que o fluxo de aacutegua atraveacutes da peneira eacute maacuteximo se a peneira estiver com seu plano ortogonal agrave direccedilatildeo
de (caso = 0 e cos( ) = 1) e eacute nulo se a peneira estiver colocada paralelamente agrave direccedilatildeo de (caso = 90 e cos( ) = 0) Note que o fluxo pode ser negativo se orientarmos a normal no sentido oposto ao
mostrado na Figura 2 De fato para uma superfiacutecie aberta como essa peneira haacute sempre duas normais
possiacuteveis e minus e a escolha eacute arbitraacuteria Um fluxo negativo significa apenas que a aacutegua estaacute fluindo em um
sentido oposto ao que adotamos para Eacute importante frisar que o fluxo pode ser positivo negativo ou
nulo dependendo da orientaccedilatildeo da peneira e do sentido que escolhemos para Se na Figura 2 obtiveacutessemos
um fluxo = minus10 m3s concluiriacuteamos que como a normal adotada nos caacutelculos estaacute apontando para a
direita entatildeo a aacutegua estaria fluindo para a esquerda com uma vazatildeo de 10 m3s ou seja o campo de
velocidades estaria de fato no sentido oposto ao representado nessa Figura
Figura 2 Partindo de uma peneira retangular mergulhada em um tubo em que flui aacutegua construiacutemos um paralelepiacutepedo obliacutequo que tem a peneira com base (seta verde) eacute um vetor ortogonal agrave peneira
72
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
A lei de Gauss envolve o fluxo do campo eleacutetrico no lugar de e natildeo podemos interpretar esse fluxo
como a vazatildeo de alguma substacircncia no espaccedilo Trata-se do fluxo desse campo de forccedila Aleacutem disso a lei de
Gauss envolve apenas fluxos em superfiacutecies fechadas ou seja superfiacutecies sem buracos ou bordas Por isso jaacute
vamos introduzir essa ideia aqui
A Figura 3 abaixo mostra a mesma aacutegua fluindo com velocidade mas agora queremos calcular o
fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie fechada formada pelas seis faces do paralelepiacutepedo que vamos chamar de
superfiacutecie S Em cada face definimos um vetor ortogonal apontando para fora do paralelepiacutepedo (por
convenccedilatildeo) ou seja eacute um campo vetorial que assume um valor diferente em cada uma das faces ( ) eacute o
valor do campo na face do paralelepiacutepedo Note que agora vamos supor que essa superfiacutecie fechada que eacute
a peneira estaacute parada e que a aacutegua passa por ela entrando por um lado e saindo pelo outro
O fluxo de aacutegua atraveacutes de S eacute (tendo em vista nosso resultado anterior para apenas uma face = ∙ )
= = ∙ ( ) ( ) sendo ( ) a aacuterea da face cujo valor natildeo importa muito agora Vemos na Figura que na face 1 vale = cos( ) (fluxo positivo porque a aacutegua sai de S atraveacutes dessa face) na face 3 vale (note que ( ) = minus ( )) = minus cos( ) ((fluxo negativo porque a aacutegua entra em S atraveacutes dessa face)) e nas outras
faces vale = 0 (a aacutegua tangencia essas faces) pois nelas o campo eacute ortogonal agrave ( ) Portanto concluiacutemos
que = 0 O significado desse resultado eacute simples ele estaacute dizendo que a aacutegua que entra em S sai e vice-
versa Podemos afirmar aqui que isso eacute verdade para qualquer movimentaccedilatildeo da aacutegua ou seja qualquer
campo de velocidades ( ) e qualquer superfiacutecie S Isso porque estamos supondo que a aacutegua eacute
incompressiacutevel De fato considere que estando apontando para fora dessa superfiacutecie fechada S qualquer
entatildeo o fluxo atraveacutes de S eacute a vazatildeo de aacutegua que atravessa a superfiacutecie S no sentido para fora ou seja a
vazatildeo que sai do volume dentro de S e vai para a regiatildeo exterior agrave S Portanto um fluxo positivo significaria
que tem mais aacutegua saindo do que entrando em S Analogamente um fluxo negativo significaria que tem
Figura 3 Agora queremos calcular o fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie fechada do paralelepiacutepedo (que vamos chamar de S) (setas verdes) eacute um vetor ortogonal a cada face do paralelepiacutepedo apontando para fora dele = ( ) eacute ele mesmo um campo de vetores definido em S
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
73
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
mais aacutegua entrando do que saindo de S Um fluxo nulo significa que o que entra sai que eacute o que tem que valer
para um fluido incompressiacutevel Considere por exemplo que valesse lt 0 entatildeo entraria mais aacutegua em S do
que sairia de onde concluiriacuteamos que a aacutegua estaria comprimindo dentro de S pois aacutegua natildeo pode
simplesmente desaparecer Note que o resultado = 0 portanto natildeo significa que natildeo flui aacutegua atraveacutes da
superfiacutecie fechada S significa apenas que o mesmo que flui para dentro flui para fora de S
Agora podemos generalizar o conceito de fluxo para uma superfiacutecie qualquer aberta ou fechada A
Figura 4 abaixo ilustra uma superfiacutecie aberta de forma arbitraacuteria Aproveitamos para abandonar a hipoacutetese de
que a aacutegua flui com velocidade uniforme ( ) = e vamos supor que a aacutegua flui com velocidade arbitraacuteria
dada pela funccedilatildeo ( ) qualquer
A ideia eacute basicamente aquela (do caacutelculo integral) que mencionamos no capiacutetulo 1 toma-se uma parte
infinitesimal de S calcula-se o fluxo de aacutegua nessa parte e depois faz-se a soma sobre toda a superfiacutecie S
Fato eacute que sendo infinitesimal tudo funciona como na Figura 2 para ou seja os campos ( ) e ( ) satildeo localmente uniformes em uma aacuterea infinitesimal Portanto o fluxo em eacute infinitesimal e eacute dado por = ( ) ∙ ( ) = ( ) cos ( )
Nessa expressatildeo podemos ser mais especiacuteficos e enfatizar que tudo depende do ponto da superfiacutecie S
escrevendo explicitamente ( ) = ( ) ∙ ( ) ( ) = ( ) cos ( ) ( ) Mas por conveniecircncia vamos fazer o contraacuterio e deixar todas as dependecircncias em impliacutecitas e escrever = ∙ = cos( )
que eacute basicamente o que todo mundo faz
Concluindo o fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie S na Figura 4 eacute
= = ∙ = cos( )
Figura 4 Uma superfiacutecie S aberta de forma arbitraacuteria eacuteatravessada por aacutegua que flui de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea
e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto
( )
( ) ( )
74
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Para aplicar essa mesma ideia a superfiacutecies fechadas simplesmente colocaremos uma bolinha no
siacutembolo de integral e convencionaremos que nesse caso o campo deve apontar obrigatoriamente para fora
de S A Figura 5 abaixo mostra uma superfiacutecie S fechada de forma ciliacutendrica como uma lata de cerveja
Escolhemos essa superfiacutecie apenas por conveniecircncia mas estamos considerando aqui que S pode ter qualquer
forma como se fosse um balatildeo de gaacutes qualquer Mas note S eacute de fato uma superfiacutecie imaginaacuteria um objeto
matemaacutetico S natildeo eacute feita de nada ela eacute um objeto abstrato O fluxo de aacutegua na superfiacutecie S da Figura 5 eacute
(deixando as dependecircncias em impliacutecitas)
= = ∙ = cos( )
Podemos afirmar sem nenhum caacutelculo que sendo a aacutegua incompressiacutevel e estando ela fluindo de
forma arbitraacuteria vale = 0 para qualquer superfiacutecie fechada
Agora vamos direcionar as ideacuteias para finalmente fazermos uma analogia entre o fluxo de aacutegua que
estamos estudando aqui e a lei de Gauss Para isso precisamos aumentar um pouco o niacutevel de abstraccedilatildeo
Vamos definir ldquofontesrdquo e ldquosumidourosrdquo de aacutegua Considere uma torneira e um ralo ideais como mostrados na
Figura 6 abaixo
A diferenccedila da torneira ideal mostrada na Figura 6 (a) para a torneira real eacute que na torneira real a aacutegua
apenas passa por ela chegando por um cano e saindo pelo bico da torneira Na torneira ideal natildeo haacute cano a
aacutegua nasce nela ela eacute uma fonte de aacutegua Analogamente a diferenccedila do ralo ideal mostrado na Figura 6(b)
Figura 5 Uma superfiacutecie S fechada de forma ciliacutendrica eacuteatravessada por aacutegua que flui de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto
( )
( ) ( )
( )
( )
Figura 6 (a) Uma torneira ideal eacute uma ldquofonterdquo de aacutegua ou seja a aacutegua nasce na torneira
6 (b) Um ralo ideal eacute um ldquosumidourordquo de aacutegua ou seja a aacutegua desaparece no ralo
75
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
para o ralo real eacute que no ralo real a aacutegua apenas passa por ele chegando na abertura do ralo e saindo pelo
cano No ralo ideal natildeo haacute cano a aacutegua desaparece nele ele eacute um sumidouro de aacutegua Na Figura 6 para
simplificar substituiacutemos os vetores do campo de velocidades ( ) pelas linhas de fluxo (em vermelho) que
satildeo anaacutelogas agraves linhas de forccedila para um campo de forccedila Note que jaacute adiantando a analogia que queremos
fazer aqui a torneira eacute anaacuteloga a uma carga eleacutetrica positiva enquanto que o ralo eacute anaacutelogo a uma carga
eleacutetrica negativa Podemos atribuir a essas torneiras e ralos ideais uma intensidade uma vazatildeo proacutepria Por
exemplo suponha que da torneira saiam litros de aacutegua por segundo eou que no ralo entrem litros de
aacutegua por segundo e satildeo propriedades desses objetos assim como as cargas eleacutetricas satildeo propriedades de
partiacuteculas
Na Figura 7 (a) mostramos uma superfiacutecie fechada qualquer S que tem dentro dela uma torneira de
vazatildeo Qual o fluxo de aacutegua atraveacutes de S Devemos nos esforccedilar para entender que na Figura 7 a superfiacutecie
S eacute representada por uma curva azul mas que se trata de fato de uma superfiacutecie no espaccedilo 3D como um
balatildeo cheio de gaacutes mas apenas uma superfiacutecie imaginaacuteria
Podemos afirmar sem nenhuma duacutevida que
= ∙ =
Analogamente na Figura 7 (b) em que S engloba um ralo ideal de vazatildeo podemos afirmar que o fluxo de
aacutegua atraveacutes de S eacute
= ∙ = minus
Para entender esses resultados basta lembrar que eacute o saldo de aacutegua que sai da superfiacutecie S Se natildeo
houvesse a torneira ou o ralo dentro de S entatildeo a aacutegua apenas passaria por S entrando por um lado ( lt 0) e
Figura 7 (a) Uma torneira ideal de vazatildeo estaacute dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D
S S
7 (b) Um ralo ideal de vazatildeo estaacute dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D
76
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
saindo pelo outro ( gt 0) e valeria = 0 Se haacute uma torneira dentro de S o saldo de aacutegua que sai de S eacute a
vazatildeo dessa torneira Havendo um ralo o saldo eacute negativo porque a aacutegua entra e natildeo sai ( eacute oposto a nesse caso) e o fluxo atraveacutes de S eacute o que entra no ralo com o sinal trocado = minus
Na Figura 8 abaixo tentamos convencer o leitor de que
= ∙ = = = ∙
Com essa igualdade queremos dizer que a aacutegua que sai da torneira ideal tem que passar por S1 e por
S2 caso contraacuterio a aacutegua estaria comprimindo ou expandindo dentro do volume delimitado entre essas duas
superfiacutecies Enfim para qualquer superfiacutecie fechada que engloba essa torneira vale = A mesma ideia vale
para um ralo com vazatildeo apenas lembrando que nesse caso = minus (aacutegua entrando em S)
Finalmente a Figura 9 sintetiza todas as ideias que queriacuteamos discutir aqui Uma superfiacutecie fechada S
engloba uma torneira de vazatildeo e um ralo de vazatildeo Aleacutem disso representamos uma linha de corrente que
apenas passa por S Essa linha representa aacutegua que vem de outro lugar de outras torneiras e que vai para
outros ralos distantes de S Qual o fluxo de aacutegua atraveacutes de S
Figura 9 Uma torneira ideal de vazatildeo e um ralo ideal de vazatildeo estatildeo
dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D
S
Figura 8 Uma torneira ideal de vazatildeo estaacute dentro de superfiacutecies fechadas S1 e S2 Note S1 e S2 natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies no espaccedilo 3D
S2
S1
77
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
A resposta eacute simples
= ∙ = minus
Concluindo a quantidade de aacutegua que sai de S eacute o saldo do que sai da torneira e entra no ralo que
estatildeo contidos em S O que sobrar ou faltar desse saldo teraacute que necessariamente passar por S Por exemplo
imagine que saia da torneira = 10 m3s de aacutegua e que entre no ralo apenas = 6 m3s Entatildeo a diferenccedila minus = 4 m3s teraacute que sair atraveacutes de S sair e procurar outros ralos fora de S ou fluir para o infinito
Analogamente imagine que saia da torneira apenas = 7 m3s de aacutegua e que entre no ralo = 20 m3s
Entatildeo a diferenccedila minus = minus13 m3s teraacute que entrar atraveacutes de S vindo de outras torneiras fora de S ou do
infinito Para um ldquodipolordquo por exemplo que seria formado por uma torneira de vazatildeo e um ralo de vazatildeo = vale = 0 pois natildeo sobra ou falta nada para passar obrigatoriamente atraveacutes de S A aacutegua que
estiver entrando em S vai ter que sair e vice-versa pois a torneira e o ralo se completam
Poderiacuteamos apenas dar um uacuteltimo passo nesse formalismo e considerar que torneiras possuem vazotildees
positivas e ralos possuem vazotildees negativas (por exemplo para uma torneira pode valer = 10 m3s e
para um ralo = minus10 m3s) Portanto para uma superfiacutecie fechada S que engloba torneiras e ralos o
fluxo de aacutegua eacute
= ∙ = + =
sendo o saldo total de vazatildeo das torneiras e ralos internos ( ) agrave superfiacutecie S Para um ldquodipolordquo por
exemplo (uma torneira e um ralo de mesma vazatildeo em moacutedulo) = + (minus ) = 0 O subindice INT
significa que torneiras e ralos externos agrave S natildeo contribuem para o fluxo atraveacutes de S A aacutegua que vem dessas
torneiras ou que vai para esses ralos externos agrave S apenas passa por S entra por um lado e sai pelo outro
Concluindo chegamos agrave seguinte lei que daacute o fluxo em superfiacutecies fechadas S desse fluido
incompressiacutevel hipoteacutetico que nasce em torneiras ideais e desaparece em ralos ideais
= ∙ =
sendo a vazatildeo interna agrave S ou seja eacute a soma algeacutebrica das vazotildees das torneiras e ralos ideacuteias que
estatildeo englobados pela superfiacutecie S As torneiras e ralos que estatildeo fora de S natildeo interessam Por maior que seja
a quantidade de fluido que saia eou entre nessas torneiras e ralos externos eles natildeo contribuem para
Agora podemos voltar agrave lei de Gauss do eletromagnetismo
78
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
22 Lei de Gauss
A ideia expressa acima para o fluxo de aacutegua eacute a mesma ideia da lei de Gauss Trocando por
(linhas de fluxovelocidade por linhas de forccedila) torneiras por cargas eleacutetricas positivas e ralos por cargas
eleacutetricas negativas (vazotildees em torneiras e ralos por ) obtemos
= ∙ =
Na Figura 10 abaixo ilustramos a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss para o caso em que haacute apenas uma carga
pontual gt 0 no espaccedilo As linhas de forccedila de satildeo radiais (tomando como centro) e atravessam S Se
estiver fora de S as linhas de forccedila entram ( lt 0) e saem ( gt 0) de S e o saldo eacute = 0 Se estiver dentro
de S as linhas de forccedila apenas saem de S e o saldo eacute = gt 0 Nesse uacuteltimo caso se fosse negativa as
linhas de forccedila apenas entrariam em S e o saldo seria = lt 0
Natildeo pretendemos provar a lei de Gauss rigorosamente
Apenas mostraremos que o resultado eacute razoaacutevel para uma carga
pontual e depois apelaremos para o princiacutepio da superposiccedilatildeo
Considere a Figura 11 que mostra uma carga pontual englobada
por uma superfiacutecie fechada qualquer S (em azul) Queremos
calcular o fluxo de atraveacutes de S que chamaremos de Natildeo
pretendemos calcular esse fluxo atraveacutes de uma integral de em
S mesmo porque a superfiacutecie S nem foi especificada
S
S
Figura 10 (a) Uma carga pontual externa a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana) Nesse caso = 0 Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D
(b) Uma carga pontual interna a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana) Nesse caso = Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D
Figura 11 Uma carga pontual interna a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana em azul) Outra superfiacutecie esfeacuterica SE (em roxo) tambeacutem engloba Note S e SE natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas no espaccedilo 3D
S
SE
79
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Entatildeo apelamos para uma propriedade importante das linhas de forccedila de Primeiramente definimos
uma nova superfiacutecie esfeacuterica SE (em roxo) que eacute especificamente uma superfiacutecie esfeacuterica centrada em Seja
o fluxo de atraveacutes de SE Tudo que precisamos para provar validade da lei de Gauss nesse contexto eacute
acreditar que =
ou seja precisamos acreditar que as linhas de forccedila de que nascem em tem que atravessar a superfiacutecie S e
antes disso elas tem que ter atravessado a superfiacutecie SE Isso porque linhas de forccedila natildeo podem simplesmente
terminar no espaccedilo vazio que eacute o que existe na vizinhanccedila de por hipoacutetese A analogia entre cargas
eleacutetricas e torneirasralos ideais nos ajuda a acreditar que essa igualdade acima eacute razoaacutevel Vamos partir dela
O caacutelculo de eacute imediato pois nesse caso = e na superfiacutecie SE o raio ateacute a carga eacute
constante Portanto tendo em vista a lei de Coulomb para o campo eleacutetrico de uma carga pontual
= ∙ = 4 ∙ = 4 = 4 = 4 4 =
Usamos nessa equaccedilatildeo que a aacuterea de uma superfiacutecie esfeacuterica de raio eacute = 4 Concluindo tendo em
vista a igualdade entre os fluxos em S e em SE deduzimos que qualquer que seja a forma da superfiacutecie S que
passaremos a chamar de superfiacutecie gaussiana SG vale a igualdade
= ∙ =
se a carga eleacutetrica estiver em qualquer lugar dentro de SG Se estiver fora de SG entatildeo = 0 (toda linha
de forccedila que entrasai emde SG saientra e o saldo eacute zero)
Para finalizar apelamos para o princiacutepio da superposiccedilatildeo todos os campos eleacutetricos estaacuteticos satildeo
campos resultantes de um conjunto de cargas pontuais estaacuteticas Entatildeo se a lei de Gauss vale para uma carga
pontual segue que ela vale para uma quantidade arbitraacuteria de cargas Dessa quantidade de cargas
somente as que satildeo internas a uma superfiacutecie fechada SG contribuem para Chamaremos esse (saldo)
total de cargas eleacutetricas internas de Portanto a lei de Gauss diz que
= ∙ =
Para as cinco cargas eleacutetricas e as duas superfiacutecies fechadas mostradas na Figura 12 abaixo por
exemplo a lei de Gauss diz que
80
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= ∙ = + + = ∙ = +
Note que nas duas expressotildees acima eacute o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo ou seja o campo
eleacutetrico das cinco cargas eleacutetricas mostrada na Figura 12 que eacute dado por
= 4 somado ainda ao campo eleacutetrico de outras cargas que porventura existam fora de SG1 e SG2 e que natildeo estatildeo
mostradas nessa Figura Por mais complicado que seja esse campo a lei de Gauss fornece imediatamente a
resposta para o caacutelculo do fluxo desse campo eleacutetrico em qualquer superfiacutecie fechada que imaginarmos Basta
olhar o saldo de cargas eleacutetricas englobado por essa superfiacutecie
Na Figura 13 abaixo mostramos mais um exemplo em que uma superfiacutecie gaussiana SG qualquer
engloba um objeto dipolar (eletricamente neutro) bem pequeno que poderia ser uma moleacutecula de aacutegua
Nesse caso vale = 0 pois = 0 Toda linha de forccedila de que sai da superfiacutecie SG volta e entra nessa
superfiacutecie resultando em um fluxo nulo Eacute o que afirma a lei de Gauss
Note esse exemplo simples mostra que = 0 natildeo significa que natildeo haacute linhas de campo eleacutetrico
atravessando a superfiacutecie SG = 0 significa apenas que o que entra sai e vice-versa
Figura 13 Uma superfiacutecie gaussiana SG (em vermelho) engloba um dipolo eleacutetrico pontual Note SG natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie fechada no espaccedilo 3D
SG
Figura 12 Cinco cargas pontuais fixas e duas superfiacutecies gaussianas fechadas SG1 (em azul) e SG2 (em vermelho) Note SG1 e SG2 natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas no espaccedilo 3D
SG2
SG1
81
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
23 Aplicaccedilotildees da Lei de Gauss
Daqui para diante partiremos da validade da lei de Gauss que seraacute usada como uma ferramenta para
abordarmos problemas de eletrostaacutetica
231 Comportamento eletrostaacutetico dos condutores
Vamos comeccedilar discutindo propriedades gerais que satildeo satisfeitas por condutores isolados no
contexto da eletrostaacutetica
Um condutor (mais especificamente um condutor perfeito) eacute um material que possui um manancial
ilimitado de partiacuteculas com carga eleacutetrica que podem se mover livremente dentro de seu volume Essas
partiacuteculas livres satildeo chamadas de portadores de carga e vamos falar um pouco mais sobre elas quando
estudarmos correntes eleacutetricas Nos metais por exemplo os portadores de carga satildeo eleacutetrons Nesses
materiais as cargas positivas fixadas nos nuacutecleos atocircmicos natildeo se movem Um excesso de carga eleacutetrica
positiva em um metal eacute de fato um deacuteficit de eleacutetrons (agrave medida que os eleacutetrons vatildeo fluindo e preenchendo
esses deacuteficits podemos ter a impressatildeo de que satildeo as cargas positivas que estatildeo se movendo) Em uma
soluccedilatildeo eletroliacutetica como a mistura aacutegua+sal os portadores de carga podem ser iacuteons positivos e negativos
Aqui vamos admitir para simplificar que estamos tratando de condutores idealmente perfeitos (ou seja que
possuem um manancial infinito de portadores de carga eleacutetrica) Os metais como a prata e o cobre estatildeo
razoavelmente proacuteximos desse ideal Na natureza haacute tambeacutem os materiais isolantes em cujo volume natildeo haacute
portadores de carga eleacutetrica pois nenhuma das suas partiacuteculas constituintes possui mobilidade Podemos
mencionar tambeacutem os materiais semicondutores que possuem uma capacidade de conduccedilatildeo de cargas
eleacutetricas intermediaacuteria entre a dos condutores e a dos isolantes Toda a tecnologia eletrocircnica moderna se
baseia nesse comportamento intermediaacuterio e por isso controlaacutevel da conduccedilatildeo eleacutetrica dos semicondutores
Nas Figuras 14 (a) e (b) abaixo ilustramos a diferenccedila essencial entre um condutor soacutelido um metal
por exemplo e um isolante Mostramos o que seriam trecircs aacutetomos na vizinhanccedila da superfiacutecie do material ou
seja na fronteira materialvaacutecuo No isolante os eleacutetrons estatildeo atrelados aos nuacutecleos sendo no maacuteximo
compartilhados entre aacutetomos primeiros vizinhos no material como em uma ligaccedilatildeo covalente Esses eleacutetrons
podem apenas circular em uma regiatildeo restrita em torno de seu aacutetomo de origem Nos metais os eleacutetrons mais
externos nos aacutetomos possuem mobilidade ou seja eles fluem atraveacutes de todo o volume do condutor saltando
de um aacutetomo para outro Esses eleacutetrons satildeo os portadores de carga eleacutetrica Para que eles fluam basta que
atue sobre eles um campo de forccedila ou seja um campo eleacutetrico (mais adiante veremos que esse campo de
forccedila pode ser tambeacutem um campo magneacutetico) Nos condutores perfeitos existe um manancial ilimitado de
portadores de carga eleacutetrica (nos metais eles satildeo cong1024) Note que todos os materiais satildeo em princiacutepio
82
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
eletricamente neutros Os portadores de carga nos metais natildeo constituem um excesso de carga eleacutetrica nesses
materiais eles satildeo eleacutetrons do proacuteprio material
A presenccedila dessa mobilidade para as cargas eleacutetricas nos condutores os torna especiais mesmo no
contexto simples da eletrostaacutetica Resumidamente podemos adiantar que os condutores possuem a
capacidade de blindar algumas regiotildees do espaccedilo da influecircncia de campos eleacutetricos que eacute o princiacutepio de
funcionamento da gaiola de Faraday
Considere que no contexto da eletrostaacutetica todas as partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica devem
estar estaacuteticas paradas em suas posiccedilotildees de equiliacutebrio Em um isolante essa situaccedilatildeo natildeo parece muito difiacutecil
de ser atingida posto que os eleacutetrons e proacutetons natildeo possuem mobilidade nesses materiais (eles podem
apenas se deslocar um pouco em torno de suas posiccedilotildees de equiliacutebrio) A situaccedilatildeo eacute mais interessante quando
consideramos um material condutor um metal por exemplo Dentro do volume desse metal haacute eleacutetrons que
podem se mover e fluir para laacute e para caacute nas trecircs dimensotildees do espaccedilo Na superfiacutecie dos metais a mobilidade
desses eleacutetrons livres eacute mais restrita eles podem se moverfluir livremente apenas nas duas direccedilotildees paralelas
agrave superfiacutecie Na direccedilatildeo ortogonal agrave superfiacutecie os eleacutetrons natildeo podem se mover para fora do metal (para o
vaacutecuo) posto que eles estatildeo ligados a essa estrutura de partiacuteculas (atraveacutes da ligaccedilatildeo metaacutelica) Na ausecircncia
de uma forccedila resultante sobre esses eleacutetrons livres eles estaratildeo naturalmente estaacuteticos em alguma posiccedilatildeo
de equiliacutebrio Eacute o que acontece em um metal isolado e em repouso (sem gradientes de temperatura etc)
Sendo a gravidade despreziacutevel a forccedila resultante que poderia atuar sobre esses eleacutetrons em um bloco de
metal em repouso seria um campo eleacutetrico produzido por exemplo por cargas eleacutetricas estaacuteticas
colocadas proacuteximas desse metal Esse campo eleacutetrico existe dentro do volume do metal e vai colocar os
portadores de carga para fluir sob accedilatildeo da forccedila = sendo a carga de um portador Admitindo que a
eletrostaacutetica eacute possiacutevel na presenccedila de materiais condutores temos que concluir que esse fluxo de portadores
- + - - -+ -
- - + - -
- -
- - + -
- -+ -- - + -
-
Figura 14 (a) Em um isolante eleacutetrico como a madeira seca os proacutetons estatildeo fixos nos nuacutecleos atocircmicos e os eleacutetrons circulam na vizinhanccedila proacutexima desses nuacutecleos sem poderem se afastar muito deles A quantidade de eleacutetrons eacute igual agrave quantidade de proacutetons
(b) Em um condutor eleacutetrico como o cobre os proacutetons estatildeo fixos nos nuacutecleos atocircmicos e os eleacutetrons das camadas mais internas nesses aacutetomos circulam na vizinhanccedila proacutexima desses nuacutecleos sem poderem se afastar muito deles (como nos isolantes) Os eleacutetrons mais externos (em roxo) podem circular livremente saltando de um aacutetomo para o outro A quantidade de eleacutetrons eacute igual agrave quantidade de proacutetons
vaacutecuo
vaacutecuo
isolante
metal
83
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
teraacute que terminar em algum momento e que os portadores de carga teratildeo que enfim encontrar suas posiccedilotildees
de equiliacutebrio Qualquer que seja o processo que leve a esse equiliacutebrio ao final ele vai levar agrave condiccedilatildeo
( ) = 0 Em todos os pontos dentro do volume do condutor (onde os
portadores de carga possuem mobilidade irrestrita)
eacute o campo eleacutetrico resultante dentro do volume do condutor ou seja no equiliacutebrio eletrostaacutetico deve valer = = 0 em todos os portadores de carga dentro do condutor
A Figura ao lado ilustra essa ideia Um bloco de metal estaacute
parado e vaacuterias cargas eleacutetricas estatildeo fixas na vizinhanccedila desse
condutor Se essa Figura representa uma situaccedilatildeo eletrostaacutetica entatildeo
temos que admitir que vale = 0 no volume do condutor (regiatildeo
cinza) Se isso natildeo fosse verdade ou seja se valesse ne 0 no volume
do condutor natildeo haveria nada de errado com isso mas natildeo seria eletrostaacutetica Os portadores de carga
estariam fluindo dentro do metal (correntes eleacutetricas) e estariacuteamos no contexto da eletrodinacircmica que vamos
estudar mais adiante
Concluindo
Equiliacutebrio eletrostaacutetico hArr ( ) = 0 Em todos os pontos dentro do volume dos condutores
(onde os portadores de carga possuem mobilidade irrestrita)
Portanto tomamos a condiccedilatildeo = 0 dentro do volume dos condutores como sinocircnimo de equiliacutebrio
eletrostaacutetico na presenccedila desses materiais Nesse sentido nunca precisamos calcular o campo eleacutetrico dentro
do volume de um condutor que estaacute por hipoacutetese em equiliacutebrio eletrostaacutetico podemos sempre admitir que
vale = 0 nessas regiotildees sem a necessidade de demonstraccedilatildeo
A primeira pergunta que queremos responder aqui eacute como um material condutor consegue satisfazer
essa condiccedilatildeo = 0 em seu interior Considere o exemplo mostrado na Figura 15 abaixo Um bloco condutor
maciccedilo eletricamente neutro um bloco de metal para simplificar estaacute parado diante de uma carga pontual
fixa em sua posiccedilatildeo Considere o ponto P dentro do volume desse metal
Vamos supor que o metal esteja em equiliacutebrio eletrostaacutetico Sabemos entatildeo que ( ) = 0 Pergunta
a carga pontual gera campo eleacutetrico em P Sim Esse campo estaacute mostrado na Figura 15 (seta verde) e vale
de acordo com a lei de Coulomb ( ) = 4
= 0
84
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
sendo a distacircncia de P ateacute Como pode entatildeo valer ( ) = 0 Haacute outras cargas eleacutetricas Que cargas se o
metal estaacute eletricamente neutro Cargas eleacutetricas do proacuteprio metal que acumulam em sua superfiacutecie graccedilas agrave
accedilatildeo de sobre elas uma eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo A Figura 15 (b) ilustra essas cargas supondo gt 0
Considere esse processo ao longo do tempo Em um primeiro instante o campo eleacutetrico dentro do
metal (e fora tambeacutem) eacute = ele natildeo estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Esse campo (supondo que gt 0)
atrai eleacutetrons de conduccedilatildeo no metal (assim como esses eleacutetrons tambeacutem atraem que estamos supondo fixa)
e eles fluem para a superfiacutecie externa do metal mais proacutexima de formando aiacute uma densidade de cargas
eleacutetricas superficial uma lt 0 (E de externa) Ao mesmo tempo a superfiacutecie oposta do metal mais afastada
de fica com densidade de carga eleacutetrica gt 0 pois haacute aiacute um deacuteficit de eleacutetrons Essa densidade de carga
superficial produz campo eleacutetrico dentro do metal (e fora tambeacutem) e o campo eleacutetrico nessas regiotildees passa
a ser = + Portadores de carga eleacutetrica continuam fluindo sob accedilatildeo de = + e a densidade
de carga vai aumentando assim como o campo eleacutetrico Esse processo (transiente) vai acabar quando
valer = + = 0 em todos os pontos dentro do volume do metal em particular no ponto P Sabemos
que esse equiliacutebrio vai ocorrer caso contraacuterio a eletrostaacutetica seria impossiacutevel na presenccedila de materiais
condutores Note que nesse caso a densidade de carga induzida na superfiacutecie S do condutor seraacute tal que
= 0
pois a presenccedila de cargas eleacutetricas proacuteximas do condutor induzem mas natildeo alteram a neutralidade eleacutetrica
do condutor (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) Esses processos transientes satildeo muito raacutepidos para os bons condutores
(algo como 10 s para um metal) basicamente instantacircneos para os nossos sentidos
Daqui para diante assumiremos a validade desse fato natildeo importa o que existe fora de um bloco
condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) no equiliacutebrio eletrostaacutetico haveraacute na
superfiacutecie externa desse condutor uma densidade de cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico dentro
P ( )metal
P ( ) metal ++
+ +
--
- - ( )Figura 15 (a) um bloco maciccedilo de metal eletricamente neutro estaacute diante de uma carga eleacutetrica pontual gt 0 A carga produz campo eleacutetrico em P ( ) Como pode ser ( ) = 0
(b) nas paredes do bloco de metal acumulam-se cargas eleacutetricas atraiacutedas e repelidas por (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) Essas cargas produzem em P o campo eleacutetrico ( ) Tente imaginar essas Figuras em trecircs dimensotildees
85
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
do condutor de tal forma que vale = 0 nessa regiatildeo Note que esses argumentos natildeo valem para um bloco
isolante (ou mesmo para o vaacutecuo) pois ele natildeo pode contar com esse manancial de portadores de carga
eleacutetrica para blindar (atraveacutes de ) seu interior de influecircncias externas Mais adiante quando estudarmos os
capacitores e os dieleacutetricos veremos que os isolantes ateacute tentam blindar seu interior mas natildeo conseguem
Natildeo se engane o fato de valer = 0 no volume de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico natildeo eacute
consequumlecircncia da lei de Gauss = 0 (em ) eacute uma condiccedilatildeo para a eletrostaacutetica na presenccedila de condutores
mesmo em um universo em que natildeo houvesse lei de Gauss A frase abaixo
retirada do livro texto Physics for Scientists and Engineers de Debora M Katz (Ed Cengage Learning) parece
mostrar que essa confusatildeo natildeo estaacute restrita apenas aos estudantes que estatildeo iniciando no estudo da lei de
Gauss
Discutiremos em seguida alguns fatos interessantes ligados a esse comportamento (de blindagem) dos
materiais condutores alguns deles consequumlecircncia da validade da lei de Gauss
1) Todos os excessos de carga eleacutetrica depositados em um condutor vatildeo se localizar no equiliacutebrio
eletrostaacutetico na superfiacutecie desse condutor No exemplo da Figura 15 denotamos esses excessos de carga
superficiais por
Jaacute fizemos alusatildeo vaacuterias vezes a esse fato sem justificar sempre desenhando os excessos de cargas
nas superfiacutecies dos condutores Agora poderemos entender por que eacute assim
No caso de um excesso de carga de mesmo sinal gt 0 por exemplo costumamos apelar para a
ideia de que as cargas eleacutetricas em excesso se repelem mutuamente e que ao se afastarem umas das outras
vatildeo parar na superfiacutecie externa do condutor De fato as coisas natildeo satildeo tatildeo simples assim A Figura 16 abaixo
tenta convencer o leitor dessa constataccedilatildeo
Note que essa repulsatildeo muacutetua natildeo ocorre com os eleacutetrons de conduccedilatildeo de um metal pois esses
eleacutetrons se encontram em um meio eletricamente neutro devido agrave presenccedila da quantidade igual de cargas
eleacutetricas positivas A repulsatildeo muacutetua ocorre apenas para as cargas em excesso positivas ou negativas
Enfim queremos provar que a situaccedilatildeo correta para o equiliacutebrio eletrostaacutetico de um condutor isolado
com um excesso de cargas eleacutetricas (positivo por exemplo) eacute aquela mostrada na Figura 16 (a) em que todo o
excesso de cargas se encontra concentrado na superfiacutecie externa do bloco condutor
86
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Vamos pensar aqui no caso de um bloco de metal em repouso Primeiramente eacute interessante notar
que se depositarmos eleacutetrons extras nesse metal estes eleacutetrons natildeo pertenceratildeo a nenhum aacutetomo em
particular e possuiratildeo portanto mobilidade dentro do volume desse condutor assim como os proacuteprios
eleacutetrons de conduccedilatildeo Se arrancarmos eleacutetrons do metal este ficaraacute com um excesso de cargas eleacutetricas
positivas que satildeo de fato vacacircncias no ldquomarrdquo de cargas negativas Essas vacacircncias exibindo um excesso de
carga positiva vatildeo atrair os eleacutetrons de conduccedilatildeo o que vai produzir uma movimentaccedilatildeo da proacutepria vacacircncia
que vai sendo preenchida por eleacutetrons ou seja os excessos de carga positiva tambeacutem possuem mobilidade no
volume do condutor Queremos provar que esses excessos de carga se movimentam ateacute finalmente
encontrarem o equiliacutebrio na superfiacutecie exterior do bloco de metal Para isso vamos repetir abaixo na Figura
17 a Figura 16 (b) e vamos mostrar que aquela carga eleacutetrica desenhada no interior do volume do bloco
condutor natildeo pode existir A lei de Gauss natildeo deixa
Para provar isso construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana (SG) que abraccedila o volume do condutor (em
azul) mas que estaacute sempre localizada por dentro da proacutepria superfiacutecie S do condutor (em verde) Vamos
considerar o limite em que SG tende agrave superfiacutecie externa S do condutor por dentro dela ou seja vamos tomar
o limite rarr 0
Aplicando a lei de Gauss para a superfiacutecie SG obtemos
+ ++
+
+ ++
++ +
++
+++
+
Figura 16 Em qual caso a distacircncia muacutetua entre as cargas eacute em meacutedia maior Essas duas Figuras tentam convencer o leitor de que estaacute longe de ser evidente que no equiliacutebrio eletrostaacutetico em condutores para que as cargas eleacutetricas em excesso se afastem ao maacuteximo umas das outras devido agrave simples repulsatildeo muacutetua entre elas elas devem necessariamente se posicionar todas na superfiacutecie do condutor A Figura (a) estaacute correta porque as cargas eleacutetricas se repelem com uma forccedila que decai com o quadrado da distacircncia (levando agrave validade da lei de Gauss) Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees
(a) (b)
Figura 17 Um bloco de metal possui um excesso de cargas eleacutetricas positivas e estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana SG (em azul) toda contida no volume do metal e que se aproxima da superfiacutecie externa S (em verde) do bloco de metal Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas
S
+ + +
+
+ + +
+ SG
87
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= ∙ =
sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG por exemplo a carga + isolada mostrada na
Figura 17 quase que no centro da SG Agora vamos apelar para a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0
no volume do metal Sabemos que = 0 em todos os pontos da superfiacutecie SG pois ela estaacute por construccedilatildeo
toda contida nesse volume Portanto na lei de Gauss
= ∙ = 0 ∙ = 0 =
Conclusatildeo = 0 e natildeo pode existir aquela carga + em excesso desenhada dentro da SG na Figura 17 (mas
note os proacutetons e eleacutetrons do proacuteprio condutor estatildeo dentro dessa SG formando uma massa eletricamente
neutra) Ateacute onde podemos estender esse argumento Podemos tomar a distacircncia tatildeo pequena quanto
quisermos soacute natildeo podemos fazer = 0 pois nesse caso natildeo poderiacuteamos usar a condiccedilatildeo = 0 sobre a SG (
geralmente eacute descontiacutenuo na superfiacutecie de um condutor onde existe uma densidade de carga superficial
como mostramos no caso similar de um disco e de um plano infinito com densidades de carga ) Concluiacutemos
que o excesso de carga eleacutetrica depositado no bloco de metal soacute pode ter encontrado o equiliacutebrio na superfiacutecie
externa do bloco de metal que eacute onde nosso argumento natildeo vale Esse excesso de cargas constitui uma
densidade de carga eleacutetrica superficial definida em S (de fato a distribuiccedilatildeo superficial de cargas possui uma
espessura que se estende por alguns poucos angstrons que estamos desprezando aqui) A Figura correta para
essa situaccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico de um bloco de metal com um excesso de cargas positivas eacute a 16 (a)
Vemos entatildeo que o fato dos excessos de carga eleacutetrica de mesmo sinal se localizarem apenas na
superfiacutecie de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico natildeo eacute consequumlecircncia apenas da repulsatildeo entre as
partiacuteculas carregadas que constituem esse excesso O fato de precisarmos da lei de Gauss para provar que isso
ocorre jaacute eacute uma dica de que as coisas natildeo satildeo tatildeo simples assim Os excessos de carga eleacutetrica se localizam
apenas na superfiacutecie de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico porque a forccedila eletrostaacutetica de repulsatildeo
muacutetua entre as cargas eleacutetricas que constituem esse excesso decai com o quadrado da distacircncia (o que leva agrave
validade da lei de Gauss) Pode-se provar que se natildeo fosse esse o caso se a forccedila decaiacutesse por exemplo com o
cubo da distacircncia (entatildeo a lei de Gauss natildeo valeria) os excessos de carga nos condutores em equiliacutebrio
eletrostaacutetico natildeo se concentrariam todos na superfiacutecie eles se distribuiriam tambeacutem ao longo do volume do
condutor como na Figura 16(b) (ver o artigo The charge distribution on a conductor for non-Coulombic
potentials D J Griffiths e D Z Uvanovic American Journal of Physics 69 (2001))
Se voltarmos na Figura 15 em que mostramos um bloco condutor maciccedilo eletricamente neutro
diante de uma carga pontual fixa podemos entender agora porque representamos todos os excessos de
88
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
carga positiva e negativa nas faces do condutor Nenhum excesso de carga eleacutetrica por menor que seja pode
ficar localizada no volume do condutor quebrando a neutralidade eleacutetrica nessa regiatildeo O volume de um
condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico eacute sempre uma mistura eletricamente neutra de proacutetons e eleacutetrons
Proacutetons e eleacutetrons deslocados de suas posiccedilotildees pela accedilatildeo de agentes externos (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) como
a carga na Figura 15 ou depositados em excesso em um condutor vatildeo vagar por alguns instantes e
finalmente encontrar equiliacutebrio na superfiacutecie do condutor constituindo aiacute uma densidade de carga superficial
Essa densidade de carga superficial eacute o agente que garante a validade da condiccedilatildeo = 0 no volume do
condutor e do equiliacutebrio eletrostaacutetico sob quaisquer circunstacircncias
2) Em um condutor com uma cavidade vazia (sem cargas eleacutetricas dentro dela) natildeo haacute campo eleacutetrico dentro
da cavidade e nem excesso de cargas eleacutetricas na superfiacutecie dela Esse eacute o princiacutepio da gaiola de Faraday
Isso deve valer em qualquer situaccedilatildeo (no equiliacutebrio eletrostaacutetico) natildeo importando o que existe fora do
bloco condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) ou qual o excesso de cargas que
porventura exista no condutor Essa propriedade eacute simples de ser provada utilizando-se o conceito de
potencial eleacutetrico que estudaremos no capiacutetulo 3 Como natildeo temos esse conceito definido ainda vamos
tentar mostrar aqui apenas a razoabilidade dessa propriedade A Figura 18 ilustra um bloco de metal com uma
cavidade vazia em seu interior e um excesso de cargas positivas concentradas em sua superfiacutecie externa P
eacute um ponto no volume do metal e Prsquo eacute um ponto no interior da cavidade vazia
Poderiacuteamos nos perguntar se natildeo seria o caso de uma fraccedilatildeo desse excesso de cargas se depositar na
superfiacutecie da cavidade afinal essa tambeacutem eacute uma superfiacutecie do metal assim como a superfiacutecie externa
Aqui apelamos para um argumento parecido com o que jaacute usamos
anteriormente baseado na lei de Gauss Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana
(SG) que abraccedila a cavidade mas que estaacute sempre localizada por fora da proacutepria
superfiacutecie da cavidade dentro do metal Essa superfiacutecie SG eacute ilustrada em azul
na Figura ao lado (imagine essa Figura em trecircs dimensotildees) Vamos considerar o
limite em que SG tende agrave superfiacutecie da cavidade por fora dela Aplicando a lei
de Gauss para a superfiacutecie SG (azul) obtemos
Figura 18 Um bloco de metal possui um excesso de cargas eleacutetricas positivas e estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Dentro dele haacute uma cavidade vazia uma bolha Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas
SG
+ +
+
+ + +
+
++
+
P Prsquo
P Prsquo SG
++
+
+ ++
+
++
+
89
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= ∙ =
sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG que poderia estar por exemplo depositada
na superfiacutecie da cavidade
Agora vamos apelar para a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0 no volume do metal Entatildeo = 0 em todos os pontos da superfiacutecie SG pois ela estaacute por construccedilatildeo toda contida nesse volume
Portanto na lei de Gauss
= ∙ = 0 ∙ = 0 =
Conclusatildeo = 0 e natildeo podem existir excessos de cargas eleacutetricas dentro dessa SG Concluiacutemos que natildeo haacute
excessos de cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie da cavidade (pois no volume do metal jaacute sabemos que
natildeo haacute)
Poderiacuteamos especular que soacute provamos que natildeo haacute excessos de cargas de mesmo sinal mas poderia
ainda haver cargas positivas e negativas espalhadas nessa superfiacutecie formando
uma densidade de carga superficial (I de interna) de tal forma que a carga total
fosse nula como ilustrado (em azul) ao lado Mostramos acima que deve valer = 0
sendo a superfiacutecie da cavidade Podemos ateacute cogitar a existecircncia dessa mas soacute poderiacuteamos entender
sua existecircncia como sendo consequumlecircncia de uma influecircncia de cargas eleacutetricas externas sobre as cargas
eleacutetricas na superfiacutecie da cavidade separando as cargas positivas das negativas (pois dentro da cavidade natildeo
haacute nada por hipoacutetese) Portanto vamos apelar aqui para a propriedade que mostramos anteriormente natildeo
importa o que existe fora do bloco condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) no
equiliacutebrio eletrostaacutetico haveraacute na superfiacutecie externa desse condutor uma densidade de cargas eleacutetricas (E
de externa) que ldquomatardquo o campo eleacutetrico dentro do condutor de tal forma que vale sempre = 0 nessa
regiatildeo Portanto natildeo podemos conceber uma influecircncia externa que penetra dentro do condutor e atinge a
cavidade em seu interior Tambeacutem por isso fica claro que vale ( ) = ( prime) = 0 ou seja natildeo haacute campo
eleacutetrico dentro do condutor e nem dentro da cavidade pois natildeo distingue o ponto P do ponto Prsquo ambos
estatildeo dentro da superfiacutecie S do condutor Como jaacute dissemos esses fatos satildeo provados de forma simples
atraveacutes do conceito de potencial eleacutetrico como veremos em breve Aqui estamos apresentando uma prova
rigorosa apenas do fato de que se haacute uma distribuiccedilatildeo de cargas na superfiacutecie de cavidade entatildeo
P Prsquo
SG
++
+
+ ++
+
++
+
++
+- - -
90
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= 0
mas vamos assumir que de fato vale = 0 (se a cavidade estaacute vazia)
Aqui estamos discutindo a ideia de uma gaiola de Faraday uma regiatildeo vazia dentro de um condutor
que estaacute blindada de influecircncias (estaacuteticas) de quaisquer excessos de cargas depositados no proacuteprio condutor
e de outras cargas eleacutetricas estaacuteticas no seu exterior As cargas que constituem blindam esse interior elas
estatildeo laacute e existem para isso Enquanto natildeo desempenhar essa funccedilatildeo de blindar o interior do condutor
ainda natildeo eacute eletrostaacutetica eacute eletrodinacircmica Uma pessoa que estivesse colocada dentro dessa cavidade natildeo
teria condiccedilotildees de afirmar se existem excessos de cargas eleacutetricas depositados no condutor ou se existem
cargas eleacutetricas posicionadas laacute fora na regiatildeo exterior ao condutor Essa pessoa estaria blindada das possiacuteveis
influecircncias dessas cargas eleacutetricas (graccedilas agrave accedilatildeo de ) Essa pessoa (eletricamente neutra por hipoacutetese)
dentro da cavidade natildeo mede nenhum campo eleacutetrico dentro da cavidade e nenhuma carga eleacutetrica
depositada na superfiacutecie dessa cavidade
Agraves vezes vemos esse argumento ser usado para por exemplo aconselhar uma pessoa a permanecer
dentro de um automoacutevel durante uma tempestade com raios pois o automoacutevel sendo basicamente uma
casca de metal funcionaria razoavelmente como uma gaiola de Faraday De fato um raio estaacute longe de ser um
objeto da eletrostaacutetica pois trata-se de um jato de cargas eleacutetricas fluindo para laacute e para caacute e natildeo devemos
levar essa extrapolaccedilatildeo muito a seacuterio Para estudar a possiacutevel blindagem produzida por um condutor em um
contexto mais geral devemos levar em conta a induccedilatildeo de cargas eleacutetricas e
tambeacutem de correntes eleacutetricas na superfiacutecie do condutor e apelar para
conceitos mais gerais da eletrodinacircmica Esse efeito de blindagem (natildeo-
eletrostaacutetica) existe e possui aplicaccedilotildees importantes Ele eacute utilizado por
exemplo para impedir que a radiaccedilatildeo produzida dentro de um forno de
microondas saia para o ambiente externo A Figura ao lado mostra uma
pessoa que estaacute dentro de uma gaiola de metal (uma gaiola de
Faraday) tocando com uma matildeo a superfiacutecie interna dessa gaiola No
lado externo da gaiola haacute uma descarga eleacutetrica intensa que atinge a
superfiacutecie exterior da gaiola Essa descarga eleacutetrica transporta cargas
eleacutetricas para o metal da gaiola e essas cargas natildeo atingem a matildeo da
pessoa em seu interior caso contraacuterio ela sentiria um choque
eleacutetrico O que esse experimento estaacute mostrando eacute que as condiccedilotildees
de equiliacutebrio eletrostaacutetico que estamos estudando aqui devem ser
atingidas rapidamente de tal forma que as cargas eleacutetricas atingem o
++
+
+ ++
+
++
+
91
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
metal da gaiola e em um tempo muito curto se depositam na superfiacutecie exterior da gaiola sem terem tempo
de atravessarem a espessura do metal e atingir a superfiacutecie interior da gaiola e a matildeo da pessoa A Figura
acima ilustra esse processo supondo que a descarga eleacutetrica arranca eleacutetrons da gaiola metaacutelica Essas cargas
fluem rapidamente no metal e natildeo chegam a atravessar a espessura que separa a superfiacutecie exterior da
superfiacutecie interior Esses fatos satildeo demonstrados rigorosamente atraveacutes das leis mais gerais da eletrodinacircmica
e experimentos como esse ilustrado na fotografia acima demonstram isso na praacutetica
3) Em um condutor com uma cavidade ocupada (por cargas eleacutetricas) haacute campo eleacutetrico dentro da cavidade e
cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie dela
A figura 19 abaixo ilustra essa ideia Agora fixamos uma carga eleacutetrica pontual (+) dentro da
cavidade para ver o que acontece Representamos densidades de carga eleacutetrica superficiais e para
discutir a existecircncia ou natildeo dessas densidades
Os argumentos aqui satildeo similares aos dos itens anteriores mas com conclusotildees um tanto diferentes
Haacute excesso de cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie da cavidade Tem que haver senatildeo natildeo seria
possiacutevel valer = 0 dentro do volume do condutor Imagine que gt 0 Essa carga vai produzir campo
eleacutetrico dentro do condutor (metal) e atrair eleacutetrons para a superfiacutecie da cavidade formando aiacute uma
densidade de carga superficial negativa Eleacutetrons vatildeo sendo atraiacutedos e vai aumentando e produzindo
tambeacutem campo eleacutetrico dentro do metal (e dentro da cavidade e fora do metal) um campo cada vez maior
No equiliacutebrio eletrostaacutetico eacute tal que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de dentro do volume do metal O que
podemos concluir sobre a magnitude de Aqui apelamos para um argumento parecido com o que jaacute usamos
anteriormente baseado na lei de Gauss Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana (SG) que abraccedila a cavidade
mas que estaacute sempre localizada por fora da proacutepria superfiacutecie da cavidade dentro do metal Aplicando a lei de
Gauss para a superfiacutecie SG obtemos
= ∙ =
sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG Agora apelamos para a condiccedilatildeo de
equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0 no volume do metal e em todos os pontos da superfiacutecie SG Da lei de Gauss
obtemos
P Prsquo
Figura 19 Um bloco de metal possui uma cavidade dentro da qual estaacute fixada uma carga pontual Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas
SG
+
92
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= ∙ = 0 ∙ = 0 =
Conclusatildeo = 0 e natildeo podem existir excessos de cargas eleacutetricas dentro dessa SG Mas podemos ver na
Figura 19 que a carga estaacute laacute Conclusatildeo tem que haver uma carga total ndash depositada na superfiacutecie da
cavidade ou seja a densidade de carga superficial existe e eacute tal que
= minus
sendo a superfiacutecie da cavidade (nos levando a concluir que = 0 = + (minus )) Isso eacute tudo que
podemos afirmar sobre
Note que existe tambeacutem mesmo que o objeto colocado dentro da
cavidade seja eletricamente neutro desde que ele produza campo eleacutetrico no
espaccedilo Teraacute que haver uma densidade de carga na parede da cavidade para
blindar o campo eleacutetrico desse objeto colocado dentro da cavidade produzindo o
resultado = 0 no volume do condutor Por exemplo se colocarmos um dipolo no
interior da cavidade como na Figura ao lado haveraacute na parede da cavidade uma
densidade de carga que eacute positiva proacutexima ao poacutelo negativo e negativa proacutexima ao poacutelo positivo do dipolo
Nesse caso a carga total induzida na superfiacutecie da cavidade seraacute
= 0
jaacute que o dipolo eacute eletricamente neutro ( = 0 + 0 = 0)
Haacute cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie externa do condutor Em princiacutepio sim pois se haacute um
excesso de cargas no condutor por hipoacutetese entatildeo tem que haver uma carga total prime nessa superfiacutecie
externa na forma de uma densidade de carga superficial tal que
+ (minus ) = minus =
sendo a superfiacutecie externa do condutor Essa igualdade estaacute dizendo que se somarmos a carga eleacutetrica total
depositada na superfiacutecie externa (SE) do condutor ( ) com a carga eleacutetrica total depositada na superfiacutecie (SC)
da cavidade (minus ) temos que obter o excesso de carga total no condutor ( ) Por exemplo se o condutor for
eletricamente neutro ( = 0) e fixarmos uma carga dentro da cavidade na superfiacutecie da cavidade vai se
concentrar uma carga ndash enquanto que na superfiacutecie externa do condutor vai se concentrar uma carga de
tal forma que + (minus ) = = 0
P Prsquo
+-+
++
- --
93
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Juntando esse resultado com os que jaacute obtivemos anteriormente podemos resumir tudo da seguinte
forma considere um bloco de metal em repouso com um excesso de cargas eleacutetricas e com uma cavidade
em seu interior Dentro da cavidade haacute um excesso de cargas fixas Na regiatildeo exterior do condutor haacute uma
distribuiccedilatildeo arbitraacuteria de cargas eleacutetricas fixas O condutor jaacute estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico
i) Na superfiacutecie exterior do condutor concentra-se uma densidade de carga superficial que blinda o interior
desse condutor das influecircncias externas (princiacutepio da gaiola de Faraday) Interior = volume do condutor +
volume da cavidade
ii) Na superfiacutecie da cavidade concentra-se uma densidade de carga superficial que blinda o exterior dessa
cavidade das influecircncias externas da carga dentro da cavidade Exterior = volume do condutor + volume
exterior ao condutor
iii) eacute tal que sua soma (integral de superfiacutecie) eacute exatamente ndash
iv) eacute tal que sua soma (integral de superfiacutecie) eacute exatamente +
O que podemos falar sobre o campo eleacutetrico no espaccedilo Considere que vale o princiacutepio da
superposiccedilatildeo e que haacute quatro campos eleacutetricos aqui
Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas que estatildeo colocadas no espaccedilo fora do condutor
Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas concentradas na superfiacutecie exterior do condutor
Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas concentradas na superfiacutecie da cavidade
Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas que estatildeo colocadas dentro da cavidade
Portanto em qualquer ponto do espaccedilo vale = + + +
Vamos analisar agora as trecircs regiotildees do espaccedilo
i) Dentro do material condutor (regiatildeo ldquohabitadardquo pelos portadores de carga eleacutetrica) = + ++ = 0 Eacute para isso que essas densidades de carga e existem Sem elas natildeo haveria o equiliacutebrio
eletrostaacutetico desse condutor Mas note que mais especificamente = + + + = 0 +0 = 0 Cada distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial daacute conta de uma blindagem (esses dois fenocircmenos satildeo
independentes entre si) blinda o condutor da influecircncia das cargas eleacutetricas externas e blinda o
condutor da influecircncia das cargas eleacutetricas dentro da cavidade (essa independecircncia vem do fato de que essas
duas superfiacutecies podem estar tatildeo distantes uma da outra quanto queiramos)
94
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
ii) Regiatildeo exterior do condutor = + + + = + + 0 = + Laacute fora existe
o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas externas e o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie
externa do condutor Os campos eleacutetricos de e de se aniquilaram nessa regiatildeo
iii) Regiatildeo dentro da cavidade = + + + = 0 + + = + Dentro da cavidade
haacute o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas que foram colocadas laacute dentro e o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas
na superfiacutecie da cavidade Os campos eleacutetricos das cargas externas e de se aniquilaram nessa regiatildeo
Se natildeo houver cargas eleacutetricas externas ao condutor ( = 0) e se aterrarmos a superfiacutecie externa
do condutor podemos fazer com que o excesso de cargas eleacutetricas depositado nela se esvaia para a Terra
tornando essa superfiacutecie eletricamente neutra ou seja = 0 Nesse caso valeria = 0 nessa regiatildeo
exterior + = 0 + 0 = 0 Somente um condutor aterrado consegue blindar o mundo exterior das
influecircncias das cargas eleacutetricas depositadas em uma cavidade dentro dele No entanto qualquer condutor
(aterrado ou natildeo) consegue blindar o interior de uma cavidade dentro dele da influecircncia das cargas eleacutetricas
externas a ele (princiacutepio da gaiola de Faraday)
4) Na regiatildeo externa do condutor o campo eleacutetrico eacute ortogonal agrave superfiacutecie do condutor
Essa eacute outra propriedade que eacute simples de ser provada utilizando-se o conceito de potencial eleacutetrico
que estudaremos no proacuteximo capiacutetulo Como natildeo temos esse conceito definido ainda vamos tentar mostrar
aqui apenas a razoabilidade dessa propriedade
Jaacute sabemos com base nos resultados para o campo eleacutetrico de um disco eletrizado que o campo
eleacutetrico eacute descontiacutenuo em superfiacutecies que possuem uma densidade de carga eleacutetrica qualquer Portanto natildeo
podemos fazer alusatildeo ao campo eleacutetrico exatamente na superfiacutecie de um condutor (superfiacutecie externa ou
superfiacutecie de uma cavidade) onde por hipoacutetese estaacute depositada uma densidade de carga eleacutetrica pois natildeo
estaacute definido nesses pontos do espaccedilo O que jaacute sabemos eacute que na regiatildeo interna do condutor incluindo aiacute
pontos tatildeo proacuteximo quanto vocecirc queira da superfiacutecie desse condutor (que vamos chamar de S) vale = 0 O
que pretendemos mostrar agora eacute que na regiatildeo exterior do condutor tatildeo proacuteximo quanto vocecirc queira da
superfiacutecie S o campo eleacutetrico eacute ortogonal a essa superfiacutecie ou seja a componente de paralela agrave superfiacutecie
do condutor eacute nula
Basicamente vamos apelar para o fato de que um excesso de cargas nessa superfiacutecie possui
mobilidade nas direccedilotildees paralelas agrave superfiacutecie mas na direccedilatildeo ortogonal soacute haacute mobilidade no sentido para
dentro do condutor pois no lado de fora haacute o vaacutecuo Portanto esse excesso de carga natildeo pode sofrer forccedilas
eleacutetricas paralelas agrave superfiacutecie do condutor Daiacute segue a ortogonalidade do campo eleacutetrico na regiatildeo exterior
proacutexima agrave superfiacutecie do condutor
95
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
A Figura ao lado ilustra essa situaccedilatildeo Eacute mostrado um pedaccedilo da superfiacutecie
S (linha vermelha) que separa uma regiatildeo condutora do vaacutecuo exterior Nela estaacute
depositada uma densidade de cargas eleacutetricas por hipoacutetese Dentro do condutor
vale = 0 e no vaacutecuo para pontos tatildeo proacuteximos da superfiacutecie quanto se queira
eacute ortogonal agrave superfiacutecie (setas verdes) Exatamente sobre a superfiacutecie natildeo estaacute
definido pois ele sofre uma descontinuidade aiacute Nosso argumento abaixo natildeo eacute
muito rigoroso mas tenta convencer o leitor da razoabilidade da ortogonalidade de na vizinhanccedila externa
do condutor
Na Figura ao lado mostramos uma ampliaccedilatildeo de uma regiatildeo pequena dessa
superfiacutecie S (linha vermelha) O ponto eacute um ponto dessa superfiacutecie que separa o
condutor do vaacutecuo O ponto eacute um ponto no vaacutecuo tatildeo proacuteximo de quanto se
queira ou seja estamos imaginando o limite rarr 0 Considere um pedacinho de
excesso de carga eleacutetrica que estaacute localizado em algo como = ( ) sendo uma aacuterea
infinitesimal em Esse pedacinho de carga estaacute sofrendo uma forccedila devido ao campo eleacutetrico de todas as
cargas eleacutetricas nessa regiatildeo cujo campo eleacutetrico que vamos chamar de (OC de ldquooutras cargasrdquo) somado
ao campo eleacutetrico da proacutepria que vamos chamar de eacute esse campo eleacutetrico resultante cujas
propriedades estamos discutindo ( = + ) Fato eacute que as outras cargas diferentes de natildeo
poderiam exercer forccedila em que tivesse componente paralela agrave superfiacutecie S Se isso ocorresse fluiria e
isso natildeo pode ocorrer no equiliacutebrio eletrostaacutetico Conclusatildeo o campo eleacutetrico das outras cargas
diferentes de em eacute ortogonal agrave superfiacutecie S A carga deve estar (e soacute pode estar) sendo empurrada
para fora de S para onde ela natildeo pode fluir Essa ortogonalidade deve ser verdade tambeacutem no ponto
quando rarr 0 tendo em vista a continuidade do campo eleacutetrico (o campo eleacutetrico distante das cargas eacute
sempre contiacutenuo ele soacute eacute descontiacutenuo sobre as cargas ou seja soacute eacute descontiacutenuo sobre as outras cargas e
natildeo sobre ) Sendo infinitesimal segue que produz em um campo radial ou seja tambeacutem
ortogonal a S Portanto a resultante = + eacute
ortogonal agrave S em (quando rarr 0)
Na Figura 20 ao lado ilustramos um bloco de metal
com uma carga eleacutetrica pontual gt 0 fora dele e uma carga minus lt 0 dentro de uma cavidade nesse bloco Esboccedilamos
algumas linhas de forccedila do campo eleacutetrico (resultante) que
existe na vizinhanccedila desse bloco respeitando as propriedades
que mostramos acima quando as linhas de forccedila do campo
= 0
condutorvaacutecuo
vaacutecuo condutor
Figura 20
96
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
eleacutetrico se aproximam de superfiacutecies condutoras elas se aproximam ortogonalmente a essas superfiacutecies Note
tambeacutem que natildeo haacute linhas de forccedila dentro do condutor pois natildeo haacute campo eleacutetrico aiacute Estamos supondo gt e por isso desenhamos mais linhas de forccedila saindo de do que entrando em
Nessa Figura desenhamos linhas de forccedila tais que i)
satildeo radiais proacuteximas das cargas eleacutetricas pontuais pois nessas
regiotildees os campos eleacutetricos dessas cargas dominam (eles satildeo
divergentes aiacute) ii) se aproximam das superfiacutecies do condutor
ortogonalmente Todas as linhas de forccedila que ldquomorremrdquo na
carga minus lt 0 dentro da cavidade nascem nas cargas
eleacutetricas distribuiacutedas na superfiacutecie da cavidade ( ) Algumas
linhas de forccedila que nascem em gt 0 ldquomorremrdquo na superfiacutecie
exterior do condutor onde foi induzida uma densidade de
carga eleacutetrica ( ) e tal que sua soma eacute e tal que sua
soma eacute minus supondo que o condutor seja eletricamente neutro Na Figura 21 esboccedilamos algumas cargas
eleacutetricas das distribuiccedilotildees superficiais e Note que morrem 7 linhas de forccedila em minus e morrem 7 linhas
de forccedila na superfiacutecie externa do condutor pois a carga aiacute tambeacutem eacute minus Tente imaginar essas Figuras em
trecircs dimensotildees Natildeo haacute linhas de forccedila conectando a regiatildeo dentro da cavidade com a regiatildeo exterior ao
condutor Por isso entendemos que natildeo haacute influecircncias
eleacutetricas entre essas duas regiotildees se ocupa de ldquomatarrdquo
o campo eleacutetrico de minus dentro do condutor como se
mais nada existisse enquanto que se ocupa de ldquomatarrdquo
o campo eleacutetrico de dentro do condutor como se mais
nada existisse
Na Figura 22 esboccedilamos a mesma ideia mas
supondo agora que o condutor possui um excesso de carga
eleacutetrica Agora e tal que sua soma eacute e e tal que
sua soma eacute 0 (o excesso de carga no condutor foi todo
para a superfiacutecie da cavidade) Nascem 5 linhas e morrem
5 linhas de forccedila na superfiacutecie externa do condutor
Um exemplo simples da blindagem entre o interior e o exterior de um condutor eacute o caso em que a
superfiacutecie exterior do condutor eacute esfeacuterica como na Figura abaixo Uma carga gt 0 eacute colocada no interior da
cavidade que possui forma arbitraacuteria Se natildeo houvesse cavidade e nem dentro dela e colocaacutessemos um
excesso de carga nessa esfera maciccedila ela se distribuiria por simetria uniformemente na superfiacutecie exterior
Figura 21
+ +
+
+ +
+ +
-- ---
-
-
Figura 22
+ +
+
+ +
++
-- - -
++
+ +
-
+
97
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
da esfera constituindo uma densidade de carga uniforme Havendo a cavidade e
dentro dela isso continua sendo verdade graccedilas agrave blindagem que produz dos
efeitos externos de Suponha que a esfera esteja eletricamente neutra e que ela
possua uma cavidade com uma carga dentro dela Uma carga ndash vai se depositar
na parede da cavidade constituindo uma densidade de carga que blinda os efeitos
de fora da cavidade Portanto a carga que se concentra na superfiacutecie externa do
condutor se distribui uniformemente nessa superfiacutecie como se natildeo houvesse
cavidade e A cavidade e natildeo exercem influecircncia sobre mas eacute verdade que
soacute existe porque haacute uma carga no interior da cavidade Nesse sentido a presenccedila
desse condutor em volta de natildeo elimina o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior mas
cria aiacute um campo eleacutetrico que eacute independente da forma da cavidade ou da posiccedilatildeo de
dentro dessa cavidade O teorema da cascas que discutiremos em breve mostra que o campo eleacutetrico na
regiatildeo exterior dessa esfera eacute o mesmo que seria criado por uma carga pontual no centro da esfera Para
eliminar o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior da esfera blindando totalmente os efeitos de devemos
desaparecer com as cargas na superfiacutecie externa da esfera Haacute duas maneiras de fazer isso ou introduzimos na
esfera um excesso de carga ndash ou aterramos a esfera (Figura ao lado) e deixamos que a Terra se encarregue
se fornecer agrave esfera essa carga ndash neutralizando as cargas na superfiacutecie externa do condutor ou seja fazendo rarr 0
5) Na regiatildeo externa do condutor (no vaacutecuo) em um ponto muito proacuteximo da superfiacutecie desse condutor o
campo eleacutetrico eacute ( ) = ( ) ( ) sendo um ponto da superfiacutecie do condutor tatildeo proacuteximo de quanto vocecirc queira ( ) eacute a densidade de
carga eleacutetrica nesse ponto da superfiacutecie e ( ) eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie
no ponto A Figura ao lado ilustra esses objetos (curva vermelha=superfiacutecie do
condutor) Estamos pensando aqui no limite rarr 0 Esse resultado vale para qualquer
superfiacutecie do condutor tanto sua superfiacutecie externa quanto a superfiacutecie de uma
cavidade que porventura exista dentro desse condutor Na vizinhanccedila da superfiacutecie de
fora do condutor o campo eleacutetrico estaacute relacionado com enquanto que na vizinhanccedila da superfiacutecie da
cavidade o campo eleacutetrico estaacute relacionado com
De fato jaacute vimos que na regiatildeo exterior do condutor vale = + + + = ++ 0 = + e o que estamos dizendo aqui eacute que se nos aproximarmos muito da superfiacutecie do
condutor o campo domina essa superposiccedilatildeo e vale = + rarr Da mesma forma vimos que
vaacutecuocondutor
( )
-
- - -
+
+ +
+
-
- - -
98
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
dentro da cavidade vale = + + + = 0 + + = + e o que estamos dizendo
aqui eacute que se nos aproximarmos muito da superfiacutecie do condutor nessa regiatildeo o campo domina essa
superposiccedilatildeo e vale = + rarr
Finalmente precisamos apenas acreditar que quando nos aproximamos muito de uma superfiacutecie
carregada ela se comporta como um plano carregado com a ressalva que no presente contexto o campo
eleacutetrico eacute nulo em um dos lados desse plano que corresponde ao interior do condutor Daiacute podemos mostrar
facilmente atraveacutes da lei de Gauss que o campo eleacutetrico na vizinhanccedila desse plano no lado que corresponde
ao vaacutecuo eacute dado por =
Deixaremos essa demonstraccedilatildeo para a proacutexima seccedilatildeo em que trataremos do caacutelculo do campo eleacutetrico
atraveacutes da lei de Gauss
A Figura ao lado ilustra um raio incidindo em um paacutera-raios e poderiacuteamos nos perguntar por que esse
raio atingiu exatamente essa ponta metaacutelica O que haacute de especial nessa ponta que ldquoguiardquo
o raio para ela A resposta a essa pergunta tem relaccedilatildeo com o que estamos discutindo
aqui Considere que o paacutera-raios eacute uma haste metaacutelica aterrada e que uma nuvem acima
dessa haste atrai cargas eleacutetricas da Terra e concentra na extremidade dela uma
densidade de cargas eleacutetricas gigantesca Portanto da relaccedilatildeo acima vemos que na
vizinhanccedila exterior dessa ponta haveraacute um campo eleacutetrico muito intenso de magnitude Esse campo eleacutetrico atua sobre o ar atmosfeacuterico e ioniza o ar formando uma sopa
de iacuteons e eleacutetrons na vizinhanccedila da ponta do paacutera-raios Concluindo uma descarga
eleacutetrica que se forma na vizinhanccedila dessa haste eletrizada flui pelo caminho ldquomais faacutecilrdquo
na atmosfera e esse caminho converge para a regiatildeo ionizada pelo paacutera-raios
direcionando as cargas eleacutetricas do raio para a Terra
232 Caacutelculo do campo eleacutetrico via lei de Gauss
Aqui vamos discutir a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss como ferramenta de caacutelculo de campos eleacutetricos A
ideia baacutesica eacute que queremos transformar a equaccedilatildeo (lei de Gauss)
= ∙ =
em uma equaccedilatildeo para a funccedilatildeo ( ) = ( )
De fato a equaccedilatildeo acima envolve basicamente a magnitude de pois haacute um produto escalar nela
Se quisermos podemos deixar isso expliacutecito reescrevendo a lei de Gauss como
99
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= cos( ) =
sendo o acircngulo entre os vetores e (nesse ponto a lei de Gauss considera a direccedilatildeo de ) A ideia seria
entatildeo que se conhecermos agrave priori a direccedilatildeo de (ou seja o cos( )) a equaccedilatildeo acima poderia ser
transformada em uma equaccedilatildeo para e daiacute juntando essas duas coisas conheceriacuteamos o vetor Como
transformar a equaccedilatildeo que envolve uma integral de em uma equaccedilatildeo que envolve explicitamente fora do
siacutembolo de integral Basta retirar de dentro da integral Mas somente constantes podem sair de dentro do
siacutembolo de integral e natildeo esperamos que valha necessariamente que seja uma constante em geral Pelo
contraacuterio em geral o moacutedulo do campo eleacutetrico depende das coordenadas no espaccedilo uma funccedilatildeo ( ) Aqui eacute interessante definirmos melhor o que queremos dizer com uma ldquoconstanterdquo Considere por
exemplo a integral
= ( ) ( )
Nessa integral a funccedilatildeo ( ) eacute uma constante mesmo dependendo da variaacutevel (suposta independente da
variaacutevel ) Conclusatildeo se algo eacute constante ou natildeo para uma integral depende das variaacuteveis de integraccedilatildeo
Portanto nesse exemplo a funccedilatildeo ( ) sai de dentro do siacutembolo de integral
= ( ) ( ) = ( ) ( )
Voltando na lei de Gauss queremos retirar de dentro do siacutembolo de integral mas natildeo podemos
assumir que eacute (absolutamente) constante pois estamos exatamente querendo calcular a funccedilatildeo ( ) A
estrateacutegia entatildeo reside em usar a liberdade que temos na escolha da superfiacutecie gaussiana SG em que vamos
aplicar a lei de Gauss pois para que saia de dentro do siacutembolo da integral basta que ele seja constante
sobre essa superfiacutecie SG Como vamos saber qual superfiacutecie escolher Primeiro devemos saber de que
variaacuteveis depende Por exemplo se sabemos que = ( ) entatildeo para uma superfiacutecie que varre o plano xy
eacute constante pois natildeo depende nem de e nem de
Em resumo a possibilidade de transformar a lei de Gauss em uma equaccedilatildeo para depende
basicamente da simetria que conseguimos prever para o campo eleacutetrico no espaccedilo Abaixo vamos discutir as
trecircs simetrias baacutesicas para as distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas e para os campos eleacutetricos que elas produzem
no espaccedilo A ideia baacutesica que permeia essa discussatildeo eacute a de que o campo eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de
cargas eleacutetricas herda suas simetrias das simetrias presentes nessa distribuiccedilatildeo de cargas
100
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
2321 Simetria esfeacuterica
Vamos comeccedilar com o exemplo mais simples Imagine que natildeo soubeacutessemos que o campo eleacutetrico de
uma uacutenica carga pontual em um ponto de posiccedilatildeo eacute (ver a Figura abaixo)
( ) = 4
Vamos mostrar que a lei de Gauss diz que eacute Nesse sentido estariacuteamos mostrando
que a lei de Coulomb eacute consequumlecircncia da lei de Gauss ou que a lei de Coulomb e a
lei de Gauss satildeo irmatildes siamesas Queremos calcular ( ) ou ( ) para tornar a
notaccedilatildeo mais expliacutecita Jaacute vimos que a lei de Gauss eacute uma equaccedilatildeo para o moacutedulo ( ) = ( ) por causa
do produto escalar
= cos( ) =
A ideia seria entatildeo que se conhecermos agrave priori a direccedilatildeo de (ou seja o cos( )) temos a esperanccedila de
obter No caso da carga pontual qual poderia ser a direccedilatildeo de ( ) Imagine que tentaacutessemos esboccedilar a
seta de ( ) como na Figura ao lado (seta verde supondo gt 0) em que ( ) faz um acircngulo com a direccedilatildeo radial ou seja com Isso seria muito
esquisito pois estariacuteamos dizendo que a carga eleacutetrica diferencia o lado de
cima da Figura do lado de baixo pois ( ) estaacute ldquopreferindordquo apontar para
cima e natildeo para baixo Existem objetos que criam campos eleacutetricos assim por exemplo um dipolo eleacutetrico
Portanto natildeo haacute nada de absurdo em geral nessa ldquopreferecircnciardquo mas para a carga pontual haacute Lembremos que
o dipolo eleacutetrico eacute um objeto que privilegia uma direccedilatildeo no espaccedilo a direccedilatildeo de seu momento de dipolo
Uma carga pontual natildeo pode fazer isso ela eacute esfericamente simeacutetrica pois natildeo tem
forma Conclusatildeo = 0 e ( ) = ( ) Demos um passo importante rumo ao
conhecimento de ( ) O que podemos afirmar com certeza absoluta sobre o
moacutedulo ( ) Imagine que tentaacutessemos esboccedilar as setas de ( ) em dois pontos
diferentes 1 e 2 ambos a uma mesma distacircncia de | | = | | = A Figura ao
lado ilustra essa tentativa jaacute respeitando o fato de que o campo eacute radial (supondo gt 0) Os pontos 1 e 2 estatildeo separados por um acircngulo Desenhamos propositalmente a seta de ( ) maior em 1 que em 2 ou seja ( ) gt ( ) Novamente estamos vendo a carga diferenciando direccedilotildees
no espaccedilo pois a uacutenica diferenccedila entre 1 e 2 estaacute na direccedilatildeo atraveacutes de Ou seja estamos representando
nessa Figura uma dependecircncia de ( ) no acircngulo Outro absurdo Tem que valer ( ) = ( ) ou seja
( )
( )( )
101
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
natildeo pode depender de ou qualquer outro acircngulo de giro em torno de Entatildeo = ( ) e portanto ( ) = ( ) Demos um grande passo rumo ao conhecimento de ( ) Soacute falta calcular a funccedilatildeo ( ) Essas funccedilotildees do tipo = ( ) satildeo ditas esfericamente simeacutetricas Elas soacute dependem de uma variaacutevel raio
medido em relaccedilatildeo a um ponto (no caso a posiccedilatildeo de ) Mas note que isso natildeo eacute verdade para o campo
vetorial ( ) = ( ) pois o depende da direccedilatildeo no espaccedilo ou seja natildeo eacute verdade que = ( ) pois = ( ) tendo em vista que = ( ) Vamos substituir essa expressatildeo particular de ( ) na expressatildeo
geral do fluxo que aparece na lei de Gauss e ver o que daacute
= ∙ = ( ) ∙
Nossa uacuteltima esperanccedila agora eacute poder retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo de integral Ao
fazer isso a lei de Gauss se tornaraacute uma equaccedilatildeo expliacutecita para ( ) Soacute constantes saem de dentro de
integrais ( ) eacute constante (no espaccedilo) Natildeo pois eacute funccedilatildeo do raio Refazendo a pergunta ( ) eacute
constante sobre a superfiacutecie SG Depende da SG Se a superfiacutecie SG for uma superfiacutecie em
que o raio eacute constante entatildeo ( ) seraacute constante sobre ela e sairaacute da integral Qual seria
a superfiacutecie = em que eacute uma constante Seria uma superfiacutecie equumlidistante de
pois eacute o raio tomando como centro Seria entatildeo uma superfiacutecie esfeacuterica com centro
em Uma casca esfeacuterica de raio = A Figura ao lado ilustra uma superfiacutecie SG que eacute
uma superfiacutecie esfeacuterica centrada em e de raio qualquer (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma
casca esfeacuterica como uma bola de pingue-pongue mas imaginaacuteria e de espessura nula) Note que nessa
superfiacutecie a direccedilatildeo normal eacute a direccedilatildeo radial ou seja = Portanto o fluxo do campo eleacutetrico atraveacutes
dessa SG especiacutefica eacute dado por
= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4
sendo 4 a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica de raio Note que natildeo estamos calculando ( ) em um ponto
especiacutefico sobre a SG pois o campo eleacutetrico tem o mesmo moacutedulo ( ) em todos os pontos dessa SG
Estamos portanto calculando ( ) em qualquer ponto sobre a SG esfeacuterica
Para terminar lembrando que a lei de Gauss diz que
= ∙ =
e que para a SG que escolhemos vale = concluiacutemos que
( ) =
102
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
( )4 = rArr ( ) = 4 rArr ( ) = 4 que eacute o que diz a lei de Coulomb para o campo eleacutetrico de uma carga pontual
Essa simetria do campo eleacutetrico tal que ( ) = ( ) eacute comum a todas as distribuiccedilotildees de cargas
eleacutetricas com simetria esfeacuterica ou seja distribuiccedilotildees de carga que natildeo privilegiam nenhuma direccedilatildeo no
espaccedilo
Partindo dessa simetria para o campo o ldquoteorema das cascasrdquo pode ser demonstrado facilmente
atraveacutes da lei de Gauss Considere uma casca esfeacuterica de raio R (um objeto bidimensional)
sobre a qual estaacute definida uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial uniforme de
densidade e carga total = 4 A casca eacute oca (como uma bola de pingue-pongue)
e tem portanto duas regiotildees dentro ( lt ) e fora ( gt ) A Figura ao lado ilustra essa
casca (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera) Queremos calcular os campos e Tendo em vista
o que jaacute discutimos para a simetria da carga pontual segue que ( ) = ( ) tanto dentro quanto fora da
casca Portanto para qualquer superfiacutecie SG segue que
= ∙ = ( ) ∙
Queremos calcular a funccedilatildeo ( ) mas note que deve haver duas funccedilotildees ( ) e ( ) A
SG conveniente que nos permite retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro da integral eacute a casca esfeacuterica de raio
qualquer concecircntrica agrave casca sobre a qual vale = Portanto
= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4
Considere agora que vale lt como mostrado para a SG ao lado (em verde note natildeo
satildeo ciacuterculos satildeo esferas) Nesse caso segue que = 0 e portanto pela lei de Gauss ( )4 = 0 rArr ( ) = 0
Natildeo haacute campo eleacutetrico dentro da casca
Considere agora que vale gt como mostrado para a SG ao lado (em verde
note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas) Nesse caso segue que = e portanto pela lei
de Gauss ( )4 = rArr ( ) = 4
O campo eleacutetrico fora da casca eacute o mesmo que seria gerado por uma carga pontual fixada no centro da
casca Esses dois resultados compotildeem juntos o teorema das cascas
103
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
O resultado para o campo eleacutetrico dentro da casca esfeacuterica = 0 eacute muitas vezes creditado
unicamente ao fato de natildeo haver cargas eleacutetricas dentro da casca ( = 0) sem que se decirc a importacircncia
devida agrave simetria requerida para o campo eleacutetrico que porventura houvesse nessa regiatildeo O que noacutes
mostramos aqui natildeo eacute que = 0 rArr = 0 O que noacutes mostramos eacute que se houvesse um
entatildeo esse teria que ter dada a simetria da distribuiccedilatildeo de cargas na casca esfeacuterica a forma simples = ( ) Tendo em vista esse fato e o fato de que = 0 na SG esfeacuterica com lt
segue que = 0 Jaacute que o campo eleacutetrico dentro da casca esfeacuterica vazia teria que ter essa simetria
entatildeo natildeo haacute campo eleacutetrico nessa regiatildeo A natureza natildeo consegue produzir esse campo entatildeo ele eacute nulo
Apenas para ilustrar considere uma situaccedilatildeo anaacuteloga mas com uma simetria
totalmente diferente Considere uma caixa cuacutebica oca cujas paredes (quadradas) feitas
de um material isolante possuem todas a mesma densidade de carga eleacutetrica superficial
uniforme (ver Figura ao lado) A caixa estaacute vazia natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica no
interior da casca assim como natildeo havia no interior da casca esfeacuterica com a mesma
densidade de carga Qual o campo eleacutetrico Seraacute que vale = 0 Natildeo Haacute campo eleacutetrico
dentro dessa caixa gerado pelas cargas eleacutetricas nas suas faces e trata-se de um campo eleacutetrico bem
complicado Este problema estaacute discutido com detalhes no artigo The electric field of a uniformly charged
cubic shell K McCreery e H Greenside American Journal of Physics 86 (2018)
Considere por exemplo uma superfiacutecie gaussiana esfeacuterica SG que envolve o
centro dessa caixa e que estaacute toda contida dentro da caixa (em azul na Figura ao lado
Note que natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera) Se eacute o campo eleacutetrico dentro dessa caixa a
lei de Gauss diz que
= ∙ = 0
pois natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica dentro da caixa e nem dentro da SG escolhida Podemos concluir que = 0 dentro da caixa Natildeo porque a equaccedilatildeo acima natildeo eacute uma equaccedilatildeo que determina ou mesmo = Essa equaccedilatildeo determina apenas o fluxo de atraveacutes dessa SG Esse fluxo eacute nulo Isso indica apenas
que as linhas de forccedila de nessa regiatildeo entram na superfiacutecie SG e saem produzindo um saldo nulo de fluxo
No caso da casca esfeacuterica foi possiacutevel graccedilas agrave simetria simples de basicamente = ( ) transformar a
lei de Gauss em uma equaccedilatildeo expliacutecita para = e provar entatildeo que = 0 Com relaccedilatildeo agrave simetria de
dentro dessa caixa cuacutebica natildeo temos a menor ideacuteia de como pode ser e por isso natildeo podemos fazer nenhuma
hipoacutetese sobre ela agrave priori Supor por exemplo que dentro dessa casca cuacutebica vale = ( ) seria uma
hipoacutetese totalmente injustificaacutevel Por que o moacutedulo do campo eleacutetrico proacuteximo de um veacutertice do cubo teria o
= 0
SG
104
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
mesmo moacutedulo do campo eleacutetrico proacuteximo ao centro de uma face do cubo supondo que eles estatildeo
igualmente proacuteximos da origem no centro do cubo (mesmo )
Enfim vocecirc pode quebrar a cabeccedila e natildeo vai encontrar nenhuma condiccedilatildeo simples de simetria que
deve ser satisfeita por esse campo no interior da caixa Eacute verdade que haacute algumas simetrias como por
exemplo o fato de todos os veacutertices ou faces serem equivalentes Natildeo haveria porque o moacutedulo do campo
eleacutetrico proacuteximo do centro de face superior ser diferente por
exemplo desse moacutedulo proacuteximo ao centro da face esquerda na
Figura Mas enfim isso natildeo ajuda muito e fato eacute que existe
campo eleacutetrico no interior dessa caixa e ele tem um
comportamento bem complicado no espaccedilo Na Figura ao lado
ilustramos (em vermelho) algumas (poucas) linhas de forccedila de
nesse plano central (em verde) que divide o cubo em duas metades iguais (supomos gt 0) Note que as
linhas de forccedila nascem basicamente ortogonais aos centros das faces (como no plano infin) e depois se curvam
tangenciando as diagonais desse plano central e convergindo para as arestas (quinas) do cubo Note que
exatamente no centro do cubo vale = 0 por simetria e o afastamento muacutetuo (vazio) das linhas de forccedila
nessa regiatildeo jaacute estaacute sugerindo isso Mas = 0 somente em um ponto do espaccedilo
Na Figura ao lado incluiacutemos o ciacuterculo produzido pela interseccedilatildeo da superfiacutecie
esfeacuterica SG considerada anteriormente com esse plano que divide o cubo ao meio
Note que as linhas de forccedila entram no ciacuterculo se curvam e depois saem Se
conseguirmos enxergar isso acontecendo no espaccedilo tridimensional vamos entender
por que = 0 mesmo com ne 0
Lembre-se que a caixa eacute feita de material isolante com uniforme em suas
faces Se a caixa cuacutebica fosse metaacutelica tendo nela depositado um excesso de carga eleacutetrica poderiacuteamos
mostrar (natildeo atraveacutes da lei de Gauss mas sim atraveacutes do conceito de potencial eleacutetrico) que valeria = 0 no
interior da caixa Sendo a caixa metaacutelica a carga se moveria nas faces da caixa procurando ela mesma sua
distribuiccedilatildeo de equiliacutebrio No equiliacutebrio eletrostaacutetico haveria uma distribuiccedilatildeo ( ) natildeo uniforme nessas faces
produzindo dentro da caixa metaacutelica um campo eleacutetrico nulo Se a caixa fosse metaacutelica esta seria exatamente
a situaccedilatildeo do condutor com uma cavidade vazia que jaacute discutimos anteriormente (a gaiola de Faraday)
Se a caixa cuacutebica fosse metaacutelica seu interior seria uma cavidade vazia e valeria = 0 nessa regiatildeo
natildeo importando quanto de carga eleacutetrica depositaacutessemos nas paredes da caixa e nem que outras cargas
houvesse na regiatildeo exterior agrave caixa Nesse caso os excessos de cargas eleacutetricas se moveriam livremente nas
faces da superfiacutecie cuacutebica ateacute que o campo eleacutetrico no interior fosse nulo Ao final no equiliacutebrio eletrostaacutetico
105
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
haveria uma densidade de carga ( ) natildeo-uniforme nessas faces Olhando para a Figura acima que mostra as
linhas de forccedila de dentro da caixa com paredes isolantes e uniforme podemos ver que se essas paredes
fossem condutoras deveria haver um acuacutemulo maior de cargas nas arestas da caixa que eacute para onde
convergem todas as linhas de forccedila de que nascem nas faces Assim para anular esse campo dentro da
caixa que eacute mais intenso proacuteximo agraves arestas o condutor acumularia mais cargas nessas arestas Trata-se de
um efeito de borda que afeta natildeo soacute as linhas de forccedila de mas tambeacutem a distribuiccedilatildeo de cargas ( ) na
superfiacutecie do condutor Em geral as cargas eleacutetricas em condutores se concentram mais nas regiotildees pontudas
arestas e quinas desses corpos Por isso os paacutera-raios tecircm a forma de lanccedilas pontudas
2322 Simetria ciliacutendrica
Considere um objeto linear muito longo uma linha infinita para todos os
efeitos como uma linha de varal longa e reta (um objeto unidimensional)
Depositamos nessa linha cargas eleacutetricas definindo nela uma densidade de cargas
eleacutetricas linear uniforme Esse objeto eacute basicamente um cilindro de raio nulo e
ele privilegia uma direccedilatildeo no espaccedilo a direccedilatildeo dele A Figura ao lado ilustra um pedaccedilo desse cilindro mas
aqui estamos desprezando sua espessura (eacute uma linha) Chamamos de z o eixo paralelo e ao longo da linha e
de s o raio medido em relaccedilatildeo a esse eixo (z e s satildeo coordenadas ciliacutendricas)
Queremos calcular o campo eleacutetrico que essa linha eletrizada produz no espaccedilo
ao seu redor Para isso pretendemos usar a lei de Gauss Vamos comeccedilar entatildeo
especulando sobre a simetria da funccedilatildeo ( ) O que podemos dizer sobre a
direccedilatildeo de Se natildeo pode privilegiar direita ou esquerda segue que ( ) = ( ) Eacute o que a Figura ao lado tenta mostrar A seta de mostrada (em
verde) claramente privilegia um dos lados da linha apontando para o lado direito Sendo a linha infinita tanto
no lado direito quanto no lado esquerdo essa escolha de direccedilatildeo para se torna inaceitaacutevel Conclusatildeo
deve ficar ldquono meiordquo nem apontando para a direita nem apontando para a esquerda (e nem para a frente e
nem para traacutes) Soacute resta entatildeo para apontar na direccedilatildeo do raio s que passa pelo ponto considerado ou
seja ( ) = ( ) Quanto agrave magnitude ( ) o que podemos afirmar Soacute pode depender da distacircncia ateacute a
linha ou seja ( ) = ( ) Conclusatildeo ( ) = ( ) Falta apenas calcular a funccedilatildeo ( ) Vamos substituir
essa forma de ( ) na expressatildeo do fluxo envolvido na lei de Gauss para ver o que daacute = ∙ = ( ) ∙
z
s
z
s
106
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Nossa esperanccedila reside em retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo de integral Soacute se ( ) fosse uma
constante Melhor dizendo soacute se ( ) fosse uma constante na superfiacutecie SG Soacute
se a superfiacutecie SG fosse uma superfiacutecie s constante algo como = sendo gt 0 uma constante qualquer A SG deveria ser equumlidistante da linha carregada
Existe essa superfiacutecie eacute uma superfiacutecie ciliacutendrica coaxial agrave linha A Figura ao lado
ilustra essa SG (em verde) O problema aqui eacute que essa casca ciliacutendrica eacute uma
superfiacutecie aberta e a lei de Gauss soacute admite superfiacutecies fechadas Vamos fechar ela
entatildeo Considere duas tampas dois discos que satildeo unidos agraves bocas da casca
ciliacutendrica formando uma superfiacutecie ciliacutendrica fechada algo parecido com uma
lata Na Figura ao lado mostramos entatildeo a tampa 1 (T1) onde vale = minus (em
azul) a tampa 2 (T2) onde vale = e a casca ciliacutendrica (CC) onde vale = Desmembrando a integral do fluxo em trecircs integrais vemos que em T1 ∙ = ( ) ∙ (minus ) = 0 analogamente em T2 Na CC ∙ = ( ) ∙ =( ) Portanto desmembrando a integral do fluxo obtemos
= ∙ = + + ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( ) = ( )2
sendo = 2 a aacuterea de uma casca ciliacutendrica de raio e comprimento (trata-se da aacuterea de um retacircngulo
de lados 2 e )
As Figuras ao lado ilustram a ideia da superfiacutecie fechada SG formada
pela ldquocolagemrdquo de trecircs superfiacutecies abertas dois discos T1 e T2 e uma casca
ciliacutendrica lateral (CC) Estando o campo eleacutetrico da linha carregada na
direccedilatildeo radial ( ) = ( ) segue que soacute haacute fluxo do campo eleacutetrico na
casca ciliacutendrica que eacute dado por = ( )2
Em princiacutepio poderiacuteamos pensar que as tampas T1 e T2 satildeo
irrelevantes pois natildeo contribuem para o fluxo e que poderiam portanto
ser simplesmente ignoradas Mas veremos abaixo que essas tampas satildeo
cruciais para determinar a carga interna agrave superfiacutecie gaussiana Uma
superfiacutecie aberta natildeo possui interior e exterior e portanto a ideia de carga
interna natildeo se aplicaria nesse caso
Voltando agrave lei de Gauss temos que computar a carga eleacutetrica ldquoguardadardquo dentro dessa SG a carga
eleacutetrica interna Eacute a carga eleacutetrica acumulada em um segmento de linha de comprimento ou seja = De fato as tampas T1 e T2 seccionam a linha carregada delimitando um segmento de linha de
z
s
L
z
s
L
T1 T2 CC
L
T1 T2
CC
107
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
comprimento que fica interno agrave superfiacutecie SG que estamos considerando Esse
segmento estaacute ilustrado ao lado em cinza Aqui podemos ver a importacircncia das
tampas T1 e T2 que fecham a superfiacutecie SG tornando bem definidas a regiatildeo
interior e a carga interna a essa superfiacutecie SG
Concluindo a lei de Gauss diz que
= ( )2 = = rArr ( ) = 2
Na Figura 23 abaixo ilustramos as linhas de forccedila desse campo (em verde supondo gt 0) Mostramos
uma visatildeo lateral da linha e uma visatildeo frontal onde podemos ver o afastamento muacutetuo das linhas de forccedila de
refletindo o decaimento desse campo com 1
Na Figura 24 abaixo apenas ilustramos para comparaccedilatildeo as linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma
linha reta finita de comprimento L carregada com densidade de carga eleacutetrica uniforme gt 0 Notamos que
o campo passa a ter uma componente ao longo do eixo z e tambeacutem uma dependecircncia na coordenada z ou
seja ( ) = ( ) + ( ) A simetria em z foi quebrada Mas ainda foi mantida a simetria de rotaccedilatildeo
em torno de z (a Figura das linhas de forccedila com visatildeo frontal aqui eacute igual a da linha infinita na Figura 23)
Comparando essa Figura com a anterior para uma linha infinita vemos que no centro da linha finita as
coisas se parecem com o que ocorre na linha infinita ou seja longe das bordas da linha finita ldquoparecerdquo que
essa linha eacute infinita Quando nos aproximamos das extremidades (bordas) da linha finita as linhas de forccedila de
vatildeo se curvando cada vez mais ateacute que elas deixam de ser ortogonais agrave linha e passam a ser paralelas
Vemos tambeacutem que se nos afastamos das bordas ao longo de z (eixo da linha) as linhas de forccedila vatildeo ficando
Figura 23 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma linha reta infinita carregada com densidade de carga eleacutetrica gt 0 uniforme Visatildeo lateral e visatildeo frontal
Figura 24 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma linha reta finita de comprimento L carregada com densidade de carga eleacutetrica gt 0 uniforme
L
z
s
108
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
mais afastadas entre si refletindo um decaimento do campo com z que natildeo pode ocorrer e natildeo ocorre na
linha infinita Chamamos esses efeitos distorccedilatildeo e afastamento das linhas de forccedila de proacuteximo das bordas
de ldquoefeitos de bordardquo No caso da linha infinita natildeo haacute efeitos de borda porque ela natildeo tem bordas (as bordas
estatildeo no infinito) Note finalmente que se olharmos essa linha finita de muito longe vamos ver linhas de forccedila
se afastando radialmente do centro da linha que vai se tornar pontual O campo eleacutetrico vai finalmente decair
com 1 sendo a distacircncia radial ateacute o centro da linha Eacute o campo eleacutetrico da carga pontual
2323 Simetria plana
Considere agora uma placa plana fina e muito extensa ou seja uma superfiacutecie plana (um objeto
bidimensional) infinita em extensatildeo onde foram depositadas cargas eleacutetricas com uma densidade de carga
uniforme Queremos calcular o campo eleacutetrico ( ) que essa placa produz no espaccedilo
De fato jaacute mencionamos qual o valor desse campo quando discutimos o campo eleacutetrico
de um disco eletrizado Tomando o limite rarr infin para o raio do disco obtivemos o
campo eleacutetrico do plano infinito Aqui vamos calcular novamente esse campo via lei de
Gauss A Figura ao lado ilustra um pedaccedilo dessa placa ela eacute infinita (natildeo tem bordas e
nem efeitos de borda) Adotamos um eixo z ortogonal agrave placa e posicionamos por
conveniecircncia a placa em z=0 Portanto gt 0 eacute a regiatildeo agrave direita da placa (nessa Figura) e lt 0 eacute a regiatildeo agrave
esquerda da placa Nessas duas regiotildees o campo tem a mesma magnitude a uma mesma distacircncia da placa
por simetria mas sentidos opostos
Vamos especular sobre a simetria da funccedilatildeo ( ) O que podemos dizer sobre a direccedilatildeo de Se
natildeo pode privilegiar nenhuma direccedilatildeo no espaccedilo paralela ao plano carregado (x e y) segue que ( ) =( ) Quanto agrave magnitude de ( ) o que podemos afirmar Soacute pode depender da distacircncia ateacute a placa
plana ou seja ( ) = (| |) Conclusatildeo ( ) = (| |)(plusmn ) sendo que a direccedilatildeo + se aplica agrave regiatildeo agrave
direita da placa e a direccedilatildeo minus se aplica agrave regiatildeo agrave esquerda da placa Falta apenas calcular a funccedilatildeo (| |) Vamos substituir essa forma de ( ) na expressatildeo do fluxo na lei de Gauss para ver o que daacute
= ∙ = (| |)(plusmn ) ∙
Como sempre nossa esperanccedila reside em retirar a funccedilatildeo (| |) de dentro do siacutembolo de integral Soacute se a
superfiacutecie SG for uma superfiacutecie z constante onde (| |) eacute constante algo como = sendo uma
constante qualquer A SG deveria ser equumlidistante do plano carregado Existe essa superfiacutecie eacute uma superfiacutecie
plana paralela agrave placa carregada O problema eacute que planos satildeo superfiacutecies abertas e a lei de Gauss soacute admite
superfiacutecies fechadas Entatildeo vamos juntar tudo isso e definir uma superfiacutecie SG apropriada para essa simetria
z
109
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
espacial Considere duas tampas planas dois discos que satildeo unidos agraves bocas de uma casca ciliacutendrica formando
uma superfiacutecie ciliacutendrica fechada algo parecido
com uma lata Na Figura ao lado mostramos
entatildeo a tampa 1 (T1) onde vale = minus (em azul)
a tampa 2 (T2) onde vale = e a casca
ciliacutendrica (CC) onde vale = (s eacute o raio
ciliacutendrico) As duas tampas estatildeo equumlidistantes da
lata ou seja | | tem o mesmo valor nessas
tampas assim como a funccedilatildeo (| |) Mostramos
tambeacutem uma visatildeo de perfil em que as coisas parecem mais simples de visualizar Nessa visatildeo a SG tem um
corte retangular de largura 2| | As setas de dos dois lados do plano satildeo mostradas em roxo (supondo gt0) Vamos chamar de a aacuterea de cada uma das tampas T1 e T2 Desmembrando a integral do fluxo em trecircs
integrais vemos que em T1 ∙ = (| |)(minus ) ∙ (minus ) = (| |) em T2 ∙ = (| |) ∙ = (| |) e na
CC ∙ = (| |) ∙ = 0
Portanto
= ∙ = + + (| |)(plusmn ) ∙ = (| |) + (| |) = 2 (| |)
A Figura ao lado ilustra a superfiacutecie ciliacutendrica SG (em roxo) que
atravessa a placa carregada (em amarelo) Estando o campo eleacutetrico na direccedilatildeo
ortogonal agrave placa soacute haacute fluxo nas duas tampas da SG que satildeo dois discos de
aacuterea Os fluxos nessas tampas satildeo iguais pois elas estatildeo equumlidistantes da
placa e = (| |) Aqui podemos ter a impressatildeo de que a casca ciliacutendrica
lateral (CC) eacute irrelevante e que ela poderia ser simplesmente ignorada Mas sua
importacircncia se mostra no caacutelculo de
Voltando agrave lei de Gauss temos que computar a carga eleacutetrica ldquoguardadardquo dentro dessa SG a carga
eleacutetrica interna Eacute a carga eleacutetrica acumulada em um ldquopedaccediloldquo do plano que eacute um disco de aacuterea ou seja = Esse pedaccedilo de placa na forma de um disco de aacuterea eacute seccionado pela casca lateral CC que
atravessa a placa carregada Concluindo a lei de Gauss diz que
= 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =
z T1
T2
CC
2| |
T1 T2 CC
2| | z
perfil
110
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Concluiacutemos que diferentemente do que fomos
obrigados a supor pois natildeo tiacutenhamos razatildeo para natildeo fazecirc-lo o
campo eleacutetrico natildeo depende nem da distacircncia | | do ponto ao
plano (o que mostra que natildeo conseguimos nos afastar de um
plano infinito) O campo eleacutetrico em cada lado do plano
carregado eacute uniforme ortogonal ao plano havendo apenas uma
inversatildeo de sentido quando vamos de um lado para outro A
Figura ao lado ilustra algumas setas desse campo (para gt 0) (as linhas de
forccedila de nem se afastam e nem se aproximam mutuamente agrave medida que
nos afastamos do plano) O eixo z eacute ortogonal agrave placa Note que eacute o mesmo
resultado que obtivemos quando tomamos o limite em que o raio de um
disco com uniforme se torna infinito O campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja sobre o plano carregado e portanto natildeo estaacute definido
exatamente em = 0 Esse eacute um artefato desse modelo em que
desprezamos a espessura da placa plana carregada Uma placa realista teria
alguma espessura natildeo nula por menor que fosse (mesmo que fosse de
apenas alguns angstrons) e dentro dessa espessura o campo eleacutetrico variaria
abruptamente mas seria contiacutenuo As Figuras ao lado ilustram graacuteficos de ( ) versus para uma placa plana bidimensional (de espessura nula) em
que ( ) eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja na placa e para uma placa
grossa de espessura em que ( ) varia abruptamente dentro da placa
mas eacute contiacutenuo Nesse caso por simetria ( = 0) = 0 O graacutefico de cima eacute
obtido no limite rarr 0 (uma convergecircncia natildeo uniforme)
Considere agora a situaccedilatildeo em que haacute duas placas planas
infinitas carregadas e paralelas entre si separados por uma
distacircncia Uma placa estaacute carregada com uma densidade de
carga gt 0 uniforme e a outra com uma densidade ndash lt 0
Queremos calcular o campo eleacutetrico que essas duas placas
produzem no espaccedilo Essa eacute uma configuraccedilatildeo que
consideraremos quando estudarmos os capacitores Basta usar
nosso resultado anterior e o princiacutepio da superposiccedilatildeo A Figura ao
lado ilustra a ideacuteia A placa positiva (bordas vermelhas) produz um campo apontando para fora dela ou seja 2 (minus ) agrave esquerda dela e 2 ( ) agrave direita dela (setas vermelhas) A placa negativa (bordas verdes)
produz um campo apontando para ela ou seja 2 ( ) agrave esquerda dela e 2 (minus ) agrave direita dela (setas
z
2 minus2
z
( )
minus2
2
z
( )
z
minus
111
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
verdes) Somando essas setas em cada uma das trecircs regiotildees distintas vemos que os campos eleacutetricos se
cancelam nas regiotildees agrave esquerda e agrave direita de ambas as placas e se adicionam na regiatildeo entre as placas
Concluindo o campo eleacutetrico eacute ( ) na regiatildeo entre as placas e nulo nas outras regiotildees Soacute haacute campo
eleacutetrico (resultante) na regiatildeo entre as placas Essas placas confinam o campo eleacutetrico no espaccedilo
A lei de Gauss eacute surpreendente e poderosa reforccedilando a ideia de que o campo eleacutetrico de uma
distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas deve refletir as simetrias que essa distribuiccedilatildeo de cargas possui De certa
forma mesmo no contexto menos sofisticado da lei de Coulomb nos beneficiamos de argumentos de
simetria por exemplo quando ganhamos tempo natildeo calculando a componente do campo eleacutetrico fora do eixo
de simetria (eixo z) de um aro ou de um disco eletrizado uniformemente No contexto da lei de Gauss esses
argumentos de simetria se tornam cruciais e sem eles natildeo podemos avanccedilar no caacutelculo de campos eleacutetricos
Vimos que a lei de Gauss implica na validade da lei de Coulomb como um caso particular de simetria esfeacuterica
Mas a lei de Gauss eacute mais geral que a lei de Coulomb que soacute vale mesmo no contexto da eletrostaacutetica A lei
de Gauss tem validade geral no eletromagnetismo vale na eletrostaacutetica e na eletrodinacircmica Podemos usaacute-la
para analisar os campos eleacutetricos de cargas eleacutetricas estaacuteticas e de ondas eletromagneacuteticas
2324 Resumo das simetrias mais simples para o campo eleacutetrico
Nas seccedilotildees anteriores vimos que para realizar a tarefa de calcular o campo eleacutetrico de uma dada
distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas via lei de Gauss devemos ter a capacidade de antever as simetrias que esse
campo eleacutetrico deve apresentar Ao introduzir essas simetrias na lei de Gauss somos levados quase que
automaticamente agrave escolha de uma superfiacutecie gaussiana que nos permite finalizar o caacutelculo do campo eleacutetrico
na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de cargas As simetrias do campo eleacutetrico refletem as simetrias da distribuiccedilatildeo
de cargas a qual ele estaacute associado
Essa ideia pode ser colocada em termos da forccedila eleacutetrica = que a distribuiccedilatildeo de cargas pode
produzir em uma carga de prova colocada em um ponto qualquer na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de
cargas cujo campo eleacutetrico queremos calcular Imagine que a distribuiccedilatildeo de cargas seja tal que natildeo haja
distinccedilatildeo entre as direccedilotildees positiva ou negativa Nada na distribuiccedilatildeo de cargas nos permite dizer que o
sentido positivo possui um privileacutegio em relaccedilatildeo ao sentido negativo e vice-versa Entatildeo a carga de prova
colocada na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de cargas vai estar sujeita a essa mesma ambiguumlidade ldquosofro
forccedila e me desloco no sentido de positivo ou de negativordquo Se a ambiguumlidade existe ela natildeo pode ser
quebrada pelo acaso Portanto deve valer = = 0 ou seja = 0 eliminando a ambiguumlidade que
antevimos tendo em vista a simetria da distribuiccedilatildeo de cargas Analogamente se natildeo haacute distinccedilatildeo entre os
diferentes valores da coordenada entatildeo nenhuma componente de deveria depender de
112
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
A tabela abaixo resume algumas simetrias simples das distribuiccedilotildees de cargas e as conclusotildees que
inferimos sobre o campo eleacutetrico Nos casos (menos simples) marcados com a lei de Gauss natildeo resolve
Distribuiccedilatildeo de cargas
Coordenadas com sentido ambiacuteguo
Coordenadas sem ambiguidade
Direccedilatildeo e dependecircncia do campo eleacutetrico
Carga pontual (esfera com = ( ))
Os acircngulos de giro
em torno da carga e
A direccedilatildeo radial (se afasta ou se
aproxima da carga) = ( )
Linha finita com uniforme (cilindro
finito com = ( ))
O acircngulo de giro em torno da
carga
A direccedilatildeo radial e a direccedilatildeo axial (se
afastam ou se aproximam da
carga)
= ( ) + ( ) Linha infinita com uniforme (cilindro
infinito com = ( ))
O acircngulo de giro em torno da carga
( ) e a coordenada axial
( )
A direccedilatildeo radial (se afasta ou se
aproxima da carga) = ( )
Aro com uniforme
O acircngulo de giro em torno da
carga = cilindro finito
A direccedilatildeo radial e a direccedilatildeo axial (se
afastam ou se aproximam da
carga)
= ( ) + ( ) Plano fino infinito com uniforme
(plano grosso infinito com = ( )) As direccedilotildees e
paralelas ao plano
A direccedilatildeo axial (se afasta ou se
aproxima da carga) = ( )
2325 Dificuldades com a lei de Gauss
A lei de Gauss eacute considerada um toacutepico difiacutecil no eletromagnetismo baacutesico tendo em vista seu grau de
abstraccedilatildeo e de sofisticaccedilatildeo matemaacutetica (haacute vaacuterios artigos que discutem esse tema como por exemplo
Student understanding of symmetry and Gaussrsquos law of electricity Chandralekha S Am J Phys 74 (2006))
Uma duacutevida que percebemos como recorrente na interpretaccedilatildeo da lei de Gauss diz respeito agraves cargas
eleacutetricas que datildeo origem ao campo eleacutetrico que estaacute dentro da integral do fluxo
= ∙ =
Esse campo eacute o campo eleacutetrico (somente) das cargas eleacutetricas que compotildeem ou ele eacute o campo eleacutetrico
de todas as cargas o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo (avaliado na SG) A resposta eacute sim e natildeo De fato de
acordo com o princiacutepio da superposiccedilatildeo podemos escrever
113
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= +
sendo o campo das cargas internas agrave SG ( ) e o campo das cargas externas agrave SG ( ) Entatildeo eacute
verdade que
= ∙ = ∙ =
posto que
∙ = 0
Considere como exemplo o problema da placa plana infinita carregada
com densidade de carga eleacutetrica uniforme que jaacute abordamos A Figura ao lado
repete a superfiacutecie SG (em verde) que utilizamos na lei de Gauss para calcular a
magnitude do campo eleacutetrico dessa placa uma lata ciliacutendrica com tampas (T1 e
T2) que satildeo discos de aacuterea e uma casca ciliacutendrica lateral Destacamos nessa
Figura a carga eleacutetrica interna agrave SG (em amarelo) que eacute a carga eleacutetrica
concentrada em um pedaccedilo da placa que eacute um disco de aacuterea e carga eleacutetrica
Esse disco foi seccionado pela intercessatildeo da SG com a placa Enfim aplicando a
lei de Gauss a essa SG mostramos que = 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =
A questatildeo que queremos discutir aqui eacute esse campo = 2 eacute o campo eleacutetrico produzido no espaccedilo
apenas pelas cargas eleacutetricas destacadas em amarelo na Figura ( ) ou esse eacute o campo eleacutetrico produzido
por todas todas as cargas eleacutetricas depositadas na placa infinita Trata-se de uma pergunta que pode surgir
tendo em vista que a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss se concentra em um pequeno pedaccedilo do plano infinito o disco
de aacuterea (em amarelo) A resposta a essa pergunta eacute que = 2 eacute o campo eleacutetrico gerado no espaccedilo
por todas as cargas eleacutetricas concentradas na placa infinita Em que momento a lei de Gauss leva em conta que
existem outras cargas eleacutetricas aleacutem de = as infinitas cargas eleacutetricas concentradas na placa plana
infinita No momento em que assumimos a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) para o campo eleacutetrico no espaccedilo
Essa eacute a simetria do campo eleacutetrico de uma placa infinita com densidade de carga uniforme e natildeo de um
pequeno disco de carga uniforme
Enfim se eacute o campo eleacutetrico das cargas em toda a placa e eacute o campo eleacutetrico apenas das cargas
do disco de aacuterea (em amarelo) e carga = eacute verdade que para SG mostrada na Figura acima vale
z T1
T2
CC
=
114
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= ∙ = ∙ =
Mas partindo dessas igualdades podemos calcular apenas pois somente possui uma simetria simples
conhecida O campo que seria o campo de um disco de aacuterea e carga uniforme natildeo possui simetria
simples conhecida e natildeo pode ser obtido dessa igualdade acima Resumindo a lei de Gauss para nos leva ao
caacutelculo de graccedilas a sua simetria enquanto que a lei de Gauss para fica como estaacute pois natildeo podemos
avanccedilar aleacutem disso
Natildeo por acaso muitos estudantes que persistem no
pensamento errocircneo de que o campo = 2 obtido via lei de
Gauss eacute o campo eleacutetrico apenas das cargas no disco (amarelo)
erram no caacutelculo do campo eleacutetrico ao longo de eixo (z) de um disco de
raio com densidade de carga eleacutetrica uniforme A Figura ao lado
ilustra esse disco (em amarelo) e uma superfiacutecie gaussiana SG (em
verde) com a forma de uma lata com duas tampas que satildeo discos de
aacuterea Em vermelho estaacute destacada a porccedilatildeo do disco (um disco
menor) que fica dentro dessa SG que possui carga eleacutetrica = O raciociacutenio errado segue Suponha
que a aacuterea seja suficientemente pequena de tal forma que o campo do disco possa ser considerado
uniforme nas tampas T1 e T2 da SG (parece razoaacutevel) Assumindo a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) proacutexima ao
eixo z (parece razoaacutevel) e aplicando a lei de Gauss a essa SG obtemos para o campo eleacutetrico em pontos sobre
o eixo z do disco = 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =
Esse eacute o campo eleacutetrico do plano infinito e natildeo pode ser portanto o campo eleacutetrico do disco de raio Jaacute
vimos no capiacutetulo 1 que o campo eleacutetrico em pontos sobre o eixo z desse disco eacute dado por
( gt 0) = 2 1 minus radic + Esse campo tem propriedades que o campo eleacutetrico da placa infinita natildeo tem ele depende de z e se
tomarmos ≫ vamos ver que ele decai com 1 (o disco se torna uma carga eleacutetrica pontual) Aleacutem disso
se fizermos = 0 ou seja se sumirmos com o disco vemos que rarr 0
Onde estaacute a falha no caacutelculo acima em que utilizamos a lei de Gauss Estaacute em assumir a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) para o campo do disco em pontos distantes do centro com coordenada z arbitraacuteria Natildeo eacute
verdade que longe do centro do disco o campo eleacutetrico do disco tem a direccedilatildeo z apenas Existem efeitos de
T1 T2
=z
CC
115
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
borda e o campo eleacutetrico possui componente fora do eixo z e portanto haacute um
fluxo dessa componente natildeo axial de na superfiacutecie ciliacutendrica lateral CC de nossa
SG fluxo que natildeo foi levado em conta nos caacutelculos A Figura ao lado ilustra
algumas linhas de forccedila (em vermelho) do campo eleacutetrico desse disco (supondo gt 0) Quanto maior z maior essa superfiacutecie CC na SG e maior o erro que
cometemos ao desprezar o fluxo de nessa superfiacutecie CC Vemos aqui que as bordas do disco que podem
estar bem distantes do eixo z estatildeo afetando nosso caacutelculo do campo eleacutetrico em pontos sobre esse eixo Isso
porque o campo eleacutetrico que estamos tentando calcular eacute o campo eleacutetrico do disco e natildeo o campo eleacutetrico
apenas das cargas eleacutetricas proacuteximas do centro do disco = Eacute verdade que se tomarmos a hipoacutetese de
que cong 0 o que equivale a tomarmos rarr infin os argumentos que eram errocircneos se tornam vaacutelidos pois a
aacuterea da superfiacutecie ciliacutendrica CC vai a zero e o erro que estaacutevamos cometendo ao desprezar o fluxo de nessa
superfiacutecie se torna despreziacutevel Esse limite leva automaticamente ao resultado correto = 2 para pontos
muito proacuteximos do centro de um disco de raio (ou seja para um plano infinito)
Jaacute mencionamos anteriormente que o campo eleacutetrico na regiatildeo proacutexima (externa) da superfiacutecie de um
condutor que vamos chamar de estaacute na direccedilatildeo normal a essa superfiacutecie e que sua magnitude eacute
dada pela densidade de carga eleacutetrica que estaacute distribuiacuteda nessa superfiacutecie =
Podemos usar as ideacuteias discutidas anteriormente para mostrar esse resultado ou seja para calcular a
magnitude do campo eleacutetrico em um ponto no vaacutecuo muito proacuteximo agrave superfiacutecie de um condutor que possui
uma densidade de cargas eleacutetricas superficial ( ) A ideia eacute
usar a lei de Gauss para o caacutelculo desse campo
As Figuras ao lado ilustram a superfiacutecie do condutor
(em vermelho) e o ponto (no vaacutecuo) onde queremos
calcular a magnitude do campo eleacutetrico eacute um ponto da
superfiacutecie do condutor tatildeo proacuteximo de quanto vocecirc
queira ( ) eacute a densidade de carga eleacutetrica nesse ponto da
superfiacutecie e ( ) eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie no ponto
Estamos pensando aqui no limite rarr 0 ou seja eacute um ponto muito
proacuteximo da superfiacutecie do condutor Jaacute sabemos que esse campo eacute dado
por ( ) = ( ) ( ) sendo a distacircncia de ateacute a superfiacutecie do
condutor ou seja a distacircncia entre e A Figura sugere que esse
caacutelculo se resume ao caacutelculo do campo eleacutetrico proacuteximo de um disco com
densidade de carga uniforme ( ) com a ressalva que no lado
correspondente ao volume do condutor o campo eleacutetrico eacute nulo As Figuras mostram entatildeo a superfiacutecie
tampa 1
tampa 2
casca ciliacutendrica lateral
vaacutecuo condutor
( )
116
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
gaussiana a ser utilizada nessas condiccedilotildees uma superfiacutecie ciliacutendrica muito pequena (infinitesimal) formada
pela junccedilatildeo de duas tampas que satildeo discos (T1 e T2) e uma casca ciliacutendrica lateral (CC) Note que usaremos o
tempo todo aqui o fato de que essa superfiacutecie eacute bem pequena pois estamos interessados apenas no campo
em um ponto tal que rarr 0 A lei de Gauss aplicada a essa SG diz que = ∙ =
Primeiro desmembramos a integral na SG em trecircs integrais nas superfiacutecies abertas T1 T2 e CC
∙ = ∙ + ∙ + ∙
Agora lembramos que = 0 em T2 pois ela estaacute dentro do volume do condutor e que ∙ = 0 em CC pois
eacute (por construccedilatildeo) paralelo agrave superfiacutecie do condutor nessa casca Conclusatildeo lembrando que = ( ) =( ) ( ) em T1 obtemos
∙ = ∙ = ( ) ( ) ∙
Pensando no limite rarr 0 em T1 segue que = ( ) ou seja ( ) ∙ = 1 Sendo a SG infinitesimal segue
que eacute constante em T1 tal que = ( ) Portanto
( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )
sendo a aacuterea da tampa T1 (a aacuterea desse disco)
Para concluir devemos calcular a carga dentro da SG Vemos que a superfiacutecie ciliacutendrica guarda
dentro dela um pedacinho da superfiacutecie do condutor onde haacute por hipoacutetese uma densidade de cargas
eleacutetricas Sendo a SG infinitesimal segue que dentro dela a densidade de carga eacute uniforme e vale ( ) Portanto a carga na superfiacutecie do condutor que ficou guardada dentro de SG eacute = ( )
Concluindo a lei de Gauss diz que devemos igualar essas coisas tal que
∙ = ( ) = = ( ) rArr ( ) = ( )
Concluindo ao atravessar a superfiacutecie de um condutor o campo eleacutetrico sofre uma descontinuidade
saltando abruptamente no ponto do valor = 0 (dentro) para o valor ( ) = [ ( ) ] ( ) (fora)
Note que esse resultado soacute eacute vaacutelido para um ponto muito proacuteximo da superfiacutecie do condutor ( rarr 0 ou rarr ) na regiatildeo externa a ele Com relaccedilatildeo aos outros pontos mais afastados da superfiacutecie do condutor
117
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
nada podemos afirmar cada caso eacute um caso Essa descontinuidade no campo eleacutetrico eacute um artefato do
modelo em que a distribuiccedilatildeo de cargas na superfiacutecie de um condutor eacute bidimensional Em um condutor real
essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial possui uma espessura de alguns angstrons e o campo eleacutetrico
estaacute bem definido em todos os pontos do espaccedilo Ele apenas varia abruptamente quando caminhamos de
dentro para fora do condutor
Jaacute comentamos que nos condutores as cargas eleacutetricas superficiais acumulam mais intensamente nas
regiotildees pontudas e cortantes como quinas e arestas Portanto nas regiotildees do espaccedilo fora do condutor
proacuteximas dessas pontas quinas e arestas o campo eleacutetrico eacute mais intenso posto que ele eacute dado por
( ) = ( ) ( ) sendo um ponto do espaccedilo exterior proacuteximo ao ponto da superfiacutecie do condutor Nos lugares da
superfiacutecie do condutor onde ( ) eacute mais intenso o campo externo proacuteximo ( ) eacute mais intenso Por
essa razatildeo os para-raios satildeo pontudos como lanccedilas apontando para o ceacuteu A ideia do para-raios eacute ionizar o ar
ao seu redor fornecendo um caminho mais faacutecil para um raio que porventura caia em sua vizinhanccedila Para
ionizar o ar quebrando sua rigidez dieleacutetrica precisamos de um campo eleacutetrico intenso aplicado no ar Esse
campo vai polarizar moleacuteculas que constituem o ar fazendo com que algumas
sejam ionizadas pelo excesso de separaccedilatildeo dos poacutelos positivos e negativos Sendo
o para-raios pontudo ele tem mais chance de desenvolver grandes
concentraccedilotildees de cargas eleacutetricas (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo produzida pelas cargas
eleacutetricas nas nuvens) em suas pontas e ionizar o ar em sua vizinhanccedila A Figura ao
lado mostra um para-raios fixado em uma antena sendo atingido exatamente em
sua regiatildeo mais pontuda onde ( ) e ( ) satildeo mais intensos O raio flui serpenteando pelo ar sendo
conduzido ateacute a ponta do para-raios O para-raios natildeo induz a formaccedilatildeo do raio ele apenas conduz um raio
que jaacute se formou em sua vizinhanccedila
24 Aplicaccedilotildees
1) Jaacute tivemos oportunidade de mencionar o artigo ldquoStudent understanding of symmetry and Gaussrsquos law of
electricity Chandralekha S Am J Phys 74 (2006)rdquo em que eacute feito um estudo sobre as dificuldades dos
estudantes na compreensatildeo e aplicaccedilatildeo da lei de Gauss Nesse estudo o autor aplica um teste para avaliar o
conhecimento de um grupo de estudantes sobre a lei de Gauss Esse teste foi aplicado para vaacuterios estudantes
de graduaccedilatildeo e tambeacutem estudantes de poacutes-graduaccedilatildeo em fiacutesica na Universidade de Pittsburgh (apenas dois
alunos chineses de poacutes-graduaccedilatildeo obtiveram 100 de acerto) Abaixo reproduzimos algumas das questotildees
desse teste (as que achamos mais diretamente relacionadas agrave lei de Gauss) seguidas de uma discussatildeo
118
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Quais grandezas satildeo escalaresvetores o campo
eleacutetrico o fluxo de a carga eleacutetrica Somente o
campo eleacutetrico eacute uma grandeza vetorial O fluxo do
campo eleacutetrico ( ) eacute uma integral de um produto escalar ∙ e soacute pode portanto ser um escalar A lei de Gauss
iguala fluxo de agrave carga eleacutetrica (dividida por uma
constante a permissividade eleacutetrica do vaacutecuo) Portanto a lei de Gauss iguala dois escalares =
Para que a lei de Gauss possa ser aplicada a uma
superfiacutecie S ou seja para que S possa ser chamada
propriamente de uma superfiacutecie gaussiana ela deve ser
apenas fechada S natildeo tem que ser simeacutetrica esfeacuterica
ciliacutendrica ou o que quer que seja Poderiacuteamos acrescentar
apenas que S natildeo pode incluir entre seus pontos aqueles em que o campo natildeo estaacute bem definido afinal a
lei de Gauss envolve uma integral da funccedilatildeo ( ) Por exemplo suponha que exatamente sobre a superfiacutecie S
esteja localizada uma carga pontual Essa carga eacute interna ou externa agrave S Nenhum dos dois e natildeo faz sentido
se aplicar a lei de Gauss para essa superfiacutecie De fato olhando pelo lado do caacutelculo do fluxo a funccedilatildeo ( ) diverge sobre a carga e essa divergecircncia vai entrar no caacutelculo de Portanto a lei de Gauss se torna
indeterminada dos dois lados da igualdade = Outro exemplo improacuteprio seria uma superfiacutecie
gaussiana S que coincide pelo menos em parte com uma superfiacutecie carregada com uma densidade
de carga (a superfiacutecie de um metal por exemplo) Jaacute sabemos que eacute descontiacutenuo e natildeo estaacute
definido nessas superfiacutecies carregadas o que torna o caacutelculo de ambiacuteguo assim com o caacutelculo de
A Figura ao lado ilustra um exemplo desses em que uma face da superf gaussiana S (em verde) coincide
com a superfiacutecie de um disco carregado (em cinza) A carga na face de S que coincide com o disco carregado eacute
interna ou externa agrave S
No problema 6 abaixo se aborda algo similar ao problema 5 mas que agora se refere natildeo agrave validade da
lei de Gauss mas agrave sua utilidadeconveniecircncia para o caacutelculo de Enfim para que possamos avanccedilar no lado
esquerdo da lei de Gauss = devemos conhecer a simetria de algo como = ( ecirc) ccedilatilde O ldquodepende de quecircrdquo vai definir a forma da superfiacutecie S em que eacute
constante e a direccedilatildeo vai nos permitir realizar o produto escalar de com o vetor Note que a alternativa (iii)
diz que natildeo importa na escolha de S como as cargas estatildeo distribuiacutedas no objeto eletrizado Jaacute chamamos
atenccedilatildeo para o fato de que o campo reflete as simetrias da distribuiccedilatildeo de cargas que cria esse campo Natildeo
importa a simetria do objeto suporte das cargas mas sim a simetria da forma como as cargas estatildeo
119
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
distribuiacutedas nesse suporte Podemos considerar um suporte
esfeacuterico uma bola de sinuca por exemplo com uma
distribuiccedilatildeo de cargas maluca (cargas acumuladas somente
em um lado da bola por exemplo) e natildeo termos como
imaginar a simetria que o campo criado por essas cargas
depositadas na bola vai ter Natildeo seria uma simetria simples
Isso porque o campo natildeo eacute criado pela bola mas sim
pelas cargas eleacutetricas distribuiacutedas na bola Portanto
somente (i) e (ii) satildeo verdadeiras Podemos acrescentar
tambeacutem que a superfiacutecie S pode englobar apenas uma parte
de um objeto eletrizado e natildeo eacute somente a simetria da
distribuiccedilatildeo de cargas dessa parte englobada que interessa A simetria de eacute ditada por todas as cargas que
criam tanto as que estatildeo dentro de S quanto as que estatildeo fora de S Abordamos essa questatildeo na seccedilatildeo
2325
O campo eleacutetrico em P eacute de acordo com o princiacutepio da
superposiccedilatildeo ( ) = ( ) + ( ) As duas cargas contribuem para ( ) campos dados pela lei de
Coulomb Quanto ao fluxo atraveacutes de S somente contribui
pois somente conta como carga interna agrave S = A
alternativa (c) eacute correta No problema 5 comentamos que natildeo
pode haver uma carga pontual em P que eacute um ponto de S Essa
carga natildeo seria nem interna nem externa Ela criaria uma
ambiguumlidade na lei de Gauss impedindo sua aplicaccedilatildeo
120
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
De acordo com a lei de Gauss =
Portanto se o fluxo eacute mais intenso em S eacute porque
tem mais carga interna (em moacutedulo) em S Eacute o caso
da superfiacutecie (3) O fluxo eacute tambeacutem
= ∙
Mas olhando para essa integral e para o valor final
de natildeo podemos concluir nada sobre o tamanho
de S ou sobre se o campo eleacutetrico eacute mais fraco ou
mais intenso em uma superfiacutecie ou em outra Como natildeo sabemos nada sobre as trecircs superfiacutecies natildeo sabemos
nada sobre o campo nessas superfiacutecies Pode haver uma superfiacutecie maior onde eacute mais intenso mas a
direccedilatildeo de eacute tal que ∙ eacute pequeno e que portanto eacute pequeno Enfim tudo eacute possiacutevel Natildeo podemos
nos esquecer que eacute uma integral e que uma integral eacute uma soma Imagine as duas somas definidas abaixo
= e =
Suponha que lt Vocecirc pode concluir que lt Vocecirc pode concluir que lt Concluindo somente
podemos inferir a validade de (ii)
A lei de Gauss diz que = Portanto = =
e = ( minus ) = 0 Natildeo importa a localizaccedilatildeo
especiacutefica das cargas eleacutetricas importa apenas se elas
estatildeo dentro ou fora de cada superfiacutecie S As cargas
pontuais (ou densidades de cargas superficiais ) soacute natildeo
podem estar sobre a superfiacutecie gaussiana
121
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
A simetria do campo eacute ditada pela simetria da
distribuiccedilatildeo de cargas que cria esse campo Uma
distribuiccedilatildeo de cargas com simetria esfeacuterica (que
natildeo distingue direccedilotildees no espaccedilo) cria um campo
tal que = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo
ao centro da distribuiccedilatildeo de cargas Esse eacute um
caso facilmente abordado pela lei de Gauss Se
encaixam nesse caso as distribuiccedilotildees de cargas
em (i) e (iii) somente Quanto ao campo das
cargas no haltere (ii) natildeo podemos prever uma
simetria simples para esse campo Note que (iii)
tambeacutem eacute um suporte com forma de haltere mas
o que importa satildeo as cargas e natildeo o suporte
delas Soacute haacute cargas em uma parte esfeacuterica do
haltere e o campo em (iii) eacute o mesmo campo
em (i)
Se eacute um eixo ortogonal agrave placa carregada as cargas
nessa placa criam um campo tal que = (| |) Portanto na lei de Gauss eacute importante que a superfiacutecie
gaussiana seja (pelo menos em parte) uma superfiacutecie
onde z eacute constante Somente o cubo e o cilindro
apresentam porccedilotildees (faces) que coincidem com planos
z=constante= e que permitem portanto o caacutelculo de
no ponto A As porccedilotildees dessas superfiacutecies que satildeo
ortogonais ao plano carregado natildeo contribuem para o
fluxo por causa do produto escalar ∙
122
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Da lei de Gauss concluiacutemos que
= =
Pronto natildeo haacute mais o que concluir Note que em
geral
= ∙ ne
Somente nos casos especiais em que a simetria
(simples) de eacute aproveitada pela superfiacutecie S ocorre
de sair de dentro do siacutembolo de integral e resultar
em = Esse natildeo eacute o caso aqui pois o campo
de uma haste carregada natildeo possui simetria esfeacuterica
(a direccedilatildeo da haste eacute privilegiada) e uma superfiacutecie
gaussiana esfeacuterica natildeo eacute apropriada para o caacutelculo
desse campo Aliaacutes o campo de uma haste
carregada de tamanho finito natildeo possui simetria
simples e natildeo pode ser calculado via lei de Gauss (pode ser calculado pela lei de
Coulomb)
Jaacute discutimos esse caso na seccedilatildeo 2321 Haacute campo
eleacutetrico dentro da caixa cuacutebica carregada com
densidade de carga uniforme e esse campo eacute bem
complicado Ele natildeo e uniforme (constante no
espaccedilo) ele natildeo eacute radial (por que seria) e natildeo tem
que ser perpendicular a um dos lados da caixa
(qual lado) Enfim a alternativa correta eacute a (e)
123
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Apenas o campo da casca esfeacuterica carregada
possui uma simetria simples = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo ao centro da casca
As distribuiccedilotildees de cargas cuacutebica e ciliacutendrica
finita (comprimento L) produzem campos
eleacutetricos complicados que natildeo podem ser
obtidos via lei de Gauss No caso do cilindro
somente no limite rarr infin haveria uma
simetria previsiacutevel simples = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo ao eixo do cilindro
Nesse caso especiacutefico a lei de Gauss eacute uacutetil no
caacutelculo da funccedilatildeo ( )
O fluxo do campo eleacutetrico em S eacute dado por
= ∙
Portanto se vale = 0 em todos os pontos de
S entatildeo
= 0 ∙ = 0
(da mesma forma que sum0 = 0) Se = 0
em S entatildeo = 0 em S pois a lei de Gauss diz
que = Isso natildeo implica que = 0 em todos os pontos de S (assim como sum = 0 natildeo implica que = 0 para todo ) = 0 pode significar que o integrando ∙ assume valores positivos e negativos em S
de tal forma que a soma eacute nula Se = 0 entatildeo = 0 (e vice-versa) e isso natildeo significa que = 0 em
todos os pontos de S Somente (i) eacute verdadeira sem exceccedilotildees
124
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Um campo eleacutetrico uniforme em uma regiatildeo do
espaccedilo eacute um campo constante ou seja um campo
que assume o mesmo valor (moacutedulo direccedilatildeo e
sentido) em todos os pontos dessa regiatildeo Na Figura
12 ao lado se chamarmos de a direccedilatildeo de
poderiacuteamos escrever = com = 20 NC uma constante (isso significa que
uma carga pontual = 1 C nessa regiatildeo vai sofrer
uma forccedila eleacutetrica de 20 N na direccedilatildeo z)
Se A e B satildeo dois pontos dessa regiatildeo entatildeo = = Alternativa (d)
O fluxo de atraveacutes da superfiacutecie cuacutebica S eacute = ∙ = + +⋯
sendo o fluxo de na face (de lado L) = ∙
Na face superior = ∙ = Na face
inferior = ∙ (minus ) = minus Nas outras faces = 0 pois ∙ = 0 Portanto = 0 (i) e (ii) satildeo
verdadeiras (note que = 1 m2) Um campo eleacutetrico uniforme natildeo produz fluxo em nenhuma superfiacutecie S
fechada de qualquer formato pois se natildeo depende de nenhuma coordenada espacial (ele sai da integral)
= ∙ = = ∙ = ∙ 0 = 0
125
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
A lei de Gauss diz que = Portanto para
as trecircs superfiacutecies fechadas mostradas na Figura
podemos ver que haacute um segmento de linha de
tamanho embutido dentro de cada superfiacutecie ou
seja = Concluiacutemos que = para
essas trecircs superfiacutecies Para uma superfiacutecie aberta
natildeo podemos aplicar a lei de Gauss mas a
definiccedilatildeo de fluxo de pode ser aplicada a
qualquer superfiacutecie aberta ou fechada Para uma
superfiacutecie aberta basta tirar a ldquobolinhardquo do
siacutembolo de integral
= ∙
Podemos usar essa ideia para avaliar na
superfiacutecie quadrada mostrada na Figura Se
chamarmos de z o eixo da linha carregada
apontando para a direita podemos ver que nessa
superfiacutecie aberta vale = plusmn (podemos escolher o
sinal) Sabemos tambeacutem que o campo produzido
por uma linha infinita com densidade de carga
uniforme eacute ortogonal agrave linha (ele eacute radial) ou seja ∙ = ∙ (plusmn ) = 0 em Portanto = 0 em
Chamando de o raio das coordenadas ciliacutendricas com eixo z sobre a linha carregada sabemos que o campo
eleacutetrico dessa linha tem a simetria = ( ) O campo eacute radial e soacute depende da distacircncia ateacute a linha (em
moacutedulo) Portanto a superfiacutecie gaussiana conveniente para o caacutelculo da funccedilatildeo ( ) eacute uma superfiacutecie
constante ou seja uma superfiacutecie ciliacutendrica Essa superfiacutecie eacute aberta mas podemos fechaacute-la com discos nas
tampas e nada muda no caacutelculo do fluxo de posto que nas tampas = plusmn Essa eacute a superfiacutecie (i) somente
126
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Tomando uma superfiacutecie gaussiana S toda contida
na regiatildeo D tatildeo proacutexima quanto se queira da
fronteira dessa regiatildeo com o espaccedilo exterior
obtemos
= ∙ = = 0 ∙ = 0
posto que = 0 na regiatildeo D A lei de Gauss diz que = portanto = 0 dentro de S ou
seja a carga eleacutetrica total na regiatildeo abraccedilada por S
a regiatildeo A+B+C+D eacute nula Tomando uma superfiacutecie
gaussiana S1 na regiatildeo A e que engloba o centro da
regiatildeo A obtemos tambeacutem = 0 posto que = 0 na regiatildeo A Essa superfiacutecie S1 pode ser tatildeo
pequena quanto desejarmos sempre envolvendo o
centro da regiatildeo A Concluiacutemos que natildeo pode haver
um excesso de carga eleacutetrica nesse centro pois = 0 = Vemos claramente que as setas
de apontam para a superfiacutecie que eacute fronteira
entre as regiotildees B e C Portanto tem que haver
carga eleacutetrica negativa depositada nessa fronteira
entre B e C Vemos tambeacutem que haacute cargas positivas
depositadas nas fronteiras entre A e B e entre C e D
A carga total eacute nula conforme jaacute vimos Todas as afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras Com relaccedilatildeo agrave afirmaccedilatildeo (iii)
podemos utilizar a lei de Gauss para provaacute-la Tomando uma superfiacutecie gaussiana SC na regiatildeo C e que engloba
a fronteira CB obtemos lt 0 posto que aponta na direccedilatildeo minus na regiatildeo C (e a normal agrave SC estaacute para
fora) Portanto da lei de Gauss concluiacutemos que a carga eleacutetrica dentro de SC eacute negativa digamos ndash (com gt 0) Analogamente tomando uma superfiacutecie gaussiana SB na regiatildeo B e que engloba a regiatildeo A obtemos gt 0 posto que aponta na direccedilatildeo + na regiatildeo B (e a normal agrave SB estaacute para fora) Portanto da lei de
Gauss concluiacutemos que a carga eleacutetrica dentro de SB eacute positiva digamos Essas duas superfiacutecies SB e SC
podem ser tatildeo proacuteximas quanto se queira da fronteira entre as regiotildees B e C Note que tambeacutem estaacute
dentro de SC ou seja ndash = + Portanto a carga na fronteira entre B e C eacute
= minus minus lt 0
127
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
2) Considere uma bola maciccedila (como uma bola de sinuca) de raio que possui uma densidade de carga
eleacutetrica distribuiacuteda em todo o seu volume A carga se distribui natildeo-uniformemente mas com simetria
esfeacuterica ou seja a densidade de carga eacute funccedilatildeo apenas do raio em relaccedilatildeo ao centro da bola Portanto de
qualquer direccedilatildeo que olhamos a bola vemos a mesma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas Vamos assumir aqui a
seguinte distribuiccedilatildeo de cargas ( ) = 1 minus
sendo e constantes positivas Para gt vale = 0 ou seja haacute o vaacutecuo
Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) versus para os valores
numeacutericos = 1 = 2 e = 3 Vemos que a bola possui carga positiva na
regiatildeo mais central ( cong 0) e carga negativa na regiatildeo mais perifeacuterica ( cong ) A
densidade de carga muda de sinal no raio = que eacute onde vale = 0
Vamos calcular o campo eleacutetrico que essa bola produz no espaccedilo
Trata-se de uma distribuiccedilatildeo de cargas com simetria esfeacuterica e sabemos (tendo em vista nossa
discussatildeo sobre a carga pontual) sem a necessidade de nenhum caacutelculo que o campo eleacutetrico que essa
distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo herda essa simetria ou seja ( ) = ( ) sendo uma posiccedilatildeo qualquer no espaccedilo posiccedilatildeo medida em relaccedilatildeo ao centro da bola Essa simetria do
campo eleacutetrico eacute comum a todas as distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas com simetria esfeacuterica ou seja
distribuiccedilotildees de carga que natildeo privilegiam nenhuma direccedilatildeo no espaccedilo
Dessa forma esse eacute um problema em que a lei de Gauss pode mostrar seu poder de simplificaccedilatildeo no
caacutelculo de campos eleacutetricos Vamos substituir essa expressatildeo particular de ( ) na expressatildeo geral do fluxo
que aparece na lei de Gauss e ver o que daacute
= ∙ = ( ) ∙
Nossa uacuteltima esperanccedila agora eacute poder retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo
de integral Ao fazer isso a lei de Gauss se tornaraacute uma equaccedilatildeo expliacutecita para ( ) Se a
superfiacutecie SG for uma superfiacutecie em que o raio eacute constante entatildeo ( ) seraacute constante
sobre ela e sairaacute da integral Essa superfiacutecie deve ser entatildeo uma superfiacutecie esfeacuterica
concecircntrica agrave bola Uma casca esfeacuterica de raio arbitraacuterio como mostrado na Figura ao
lado (em verde) Na Figura mostramos a bola eletrizada em cinza e a superfiacutecie gaussiana
em verde nesse caso com gt (note natildeo satildeo ciacuterculos eacute uma casca esfeacuterica imaginaacuteria como uma bola de
( ) =
128
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
pingue-pongue concecircntrica a uma bola maciccedila como uma bola de sinuca) Nessa superfiacutecie a direccedilatildeo normal
eacute a direccedilatildeo radial ou seja = Portanto o fluxo do campo eleacutetrico atraveacutes dessa SG especiacutefica eacute dado por
= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4
sendo 4 a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica de raio
Para terminar lembrando que a lei de Gauss diz que
= ∙ =
obtemos ( )4 = rArr ( ) = 4
Falta agora calcular a carga interna agrave SG Para calcular devemos especificar em qual regiatildeo do
espaccedilo estamos calculando o campo eleacutetrico dentro da bola ( lt ) ou fora da bola ( gt )
Dentro da bola ( lt ) obtemos
= ( ) = 1 minus
sendo o volume interno agrave superfiacutecie SG que eacute o volume de uma esfera de raio lt O elemento
infinitesimal de volume mais apropriado para a realizaccedilatildeo dessa integral eacute a casca esfeacuterica de espessura ou
seja = 4 Portanto
= 1 minus 4 = 4 4 minus 9 = 4 14 minus 9
Concluindo a magnitude do campo eleacutetrico na regiatildeo interior dessa bola eletrizada de raio eacute
( ) = 4 = 14 minus 9
Fora da bola ( gt ) obtemos
= ( ) = 1 minus
sendo o volume interno agrave superfiacutecie SG que eacute o volume de uma esfera de raio gt mas note que soacute haacute
carga eleacutetrica no interior da bola ou seja para le Por isso a integral se estende apenas ateacute a superfiacutecie da
bola Portanto
129
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= 1 minus 4 = 4 4 minus 9 = 4 14 minus 9 =
sendo a carga eleacutetrica total armazenada na bola eletrizada
Concluindo a magnitude do campo eleacutetrico na regiatildeo exterior a essa bola eletrizada de raio eacute
( ) = 4 = 4 = 14 minus 9
Note que esse eacute o mesmo campo de uma carga pontual de carga localizada no centro da bola que eacute o
resultado esperado de acordo com o teorema das cascas
Na Figura ao lado esboccedilamos um graacutefico de ( ) versus
Inicialmente o campo eleacutetrico cresce atinge um maacuteximo e
depois comeccedila a cair Em = na superfiacutecie da bola o campo
eleacutetrico muda de comportamento (mas eacute contiacutenuo pois natildeo haacute uma )
e passa a decair a zero com 1 Na origem o campo eacute nulo por
simetria
Um caso particular interessante eacute aquele em que a bola eacute
eletricamente neutra ou seja = 4 14 minus 9 = 0 rArr = 94
Nesse caso a bola natildeo produz nenhum campo eleacutetrico em seu exterior e o graacutefico do campo eleacutetrico
fica como na Figura ao lado Dentro da bola o campo eleacutetrico sempre
tem a direccedilatildeo radial e aponta para fora da bola inicialmente
aumentando de magnitude e depois decaindo a zero na superfiacutecie da
bola
Um exemplo que se encaixaria nesse caso eacute aquele em que
essa bola fosse um modelo para um aacutetomo que eacute eletricamente
neutro Como a densidade de carga muda de sinal no raio =
esse seria nesse modelo o raio do nuacutecleo (com = 94)
Portanto a regiatildeo onde ( ) gt 0 lt representaria o nuacutecleo e a regiatildeo
onde ( ) lt 0 lt lt representaria a nuvem eletrocircnica desse aacutetomo
Essa ideia estaacute ilustrada ao lado em um graacutefico de ( ) versus
( )
( )
( ) = cong 085
130
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Natildeo se trata de um modelo muito bom para um aacutetomo porque sabemos que o nuacutecleo de um aacutetomo eacute
de fato bem menor que o proacuteprio aacutetomo algo como cong 10
Portanto a densidade de carga positiva no aacutetomo estaacute muito muito mesmo concentrada na regiatildeo proacutexima
de = 0 enquanto que a nuvem eletrocircnica onde a densidade de carga eacute negativa se distribui de forma natildeo
uniforme no intervalo 0 lt lt
3) Considere agora uma esfera metaacutelica maciccedila de raio e eletricamente neutra que
possui duas cavidades esfeacutericas em seu interior conforme a Figura ao lado No centro
da cavidade de raio estaacute fixa uma carga eleacutetrica pontual e no centro da outra
cavidade de raio estaacute fixa uma carga eleacutetrica pontual Note natildeo satildeo ciacuterculos
satildeo esferas
Vamos comeccedilar discutindo as densidades de carga eleacutetrica que se formam nas
superfiacutecies dessa esfera metaacutelica Aqui eacute importante levar em conta que o objeto metaacutelico e as cavidades satildeo
esfeacutericas e tambeacutem que as cargas pontuais estatildeo exatamente nos centros das cavidades Essas condiccedilotildees
impotildeem simetrias que determinam muitas das propriedades das distribuiccedilotildees de carga e de seus respectivos
campos eleacutetricos
Primeiramente entendemos que natildeo haacute influecircncia muacutetua entre as cavidades cada uma cuida da sua
vida e o que acontece em uma eacute basicamente o mesmo que acontece na outra Na superfiacutecie da cavidade 1
forma-se uma densidade de cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de em todo o espaccedilo exterior agrave
essa cavidade Esse espaccedilo exterior inclui o metal da esfera metaacutelica a cavidade 2 e o espaccedilo exterior agrave esfera
metaacutelica A lei de Gauss mostra que ( 1 eacute a superfiacutecie da cavidade 1)
= minus
Como estaacute no centro da cavidade 1 a simetria eacute tal que eacute uniforme Portanto
= = 4 = minus rArr = minus4
Tudo isso vale tambeacutem para a cavidade 2 Na superfiacutecie da cavidade 2 forma-se uma densidade de
cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de em todo o espaccedilo exterior agrave essa cavidade Esse espaccedilo
exterior inclui o metal da esfera metaacutelica a cavidade 1 e o espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica A lei de Gauss
mostra que ( 2 eacute a superfiacutecie da cavidade 2)
131
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
= minus
Como estaacute no centro da cavidade 2 a simetria eacute tal que eacute uniforme Portanto
= = 4 = minus rArr = minus4
Sendo a esfera eletricamente neutra ( = 0) segue que a carga eleacutetrica prime na superfiacutecie exterior dessa
esfera eacute tal que
= + + = 0 rArr = +
Portanto nas superfiacutecies das cavidades haacute minus e minus e na superfiacutecie exterior da esfera metaacutelica haacute = + de tal forma que + (minus ) + (minus ) = 0
Como natildeo haacute influecircncia das cargas e sobre o que acontece na superfiacutecie exterior da esfera
metaacutelica segue que a carga se distribui uniformemente nessa superfiacutecie com uma densidade de carga
uniforme dada por ( eacute a superfiacutecie exterior da esfera metaacutelica de aacuterea 4 )
= 4 = + rArr = +4
Agora vamos discutir o campo eleacutetrico no espaccedilo Haacute 4 regiotildees bem distintas O espaccedilo ocupado pelo
metal da esfera metaacutelica o interior da cavidade 1 o interior da cavidade 2 e o espaccedilo exterior agrave esfera
metaacutelica Haacute 5 distribuiccedilotildees de cargas e cada uma produz seu campo eleacutetrico proacuteprio Seja o campo
eleacutetrico da carga o campo eleacutetrico da carga o campo eleacutetrico de o campo eleacutetrico de
e o campo eleacutetrico de Em qualquer ponto do espaccedilo vale o princiacutepio da superposiccedilatildeo = + + + +
1 No espaccedilo ocupado pelo metal da esfera metaacutelica vale = + + + + = 0 Mais
especificamente cada distribuiccedilatildeo de cargas daacute conta de uma blindagem = + + + + = 0 + 0 + 0
Note que = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme em uma superfiacutecie esfeacuterica e de
acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo geram campo eleacutetrico dentro da esfera metaacutelica
2 No interior da cavidade 1 = + + + + = + 0 + 0 + 0
132
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
Nessa regiatildeo natildeo haacute blindagem de mas vale = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme
em uma superfiacutecie esfeacuterica e de acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo produzem campo
eleacutetrico dentro da cavidade 1 Vale tambeacutem = 0 como no item 1 Dentro da cavidade 1 haacute apenas
o campo eleacutetrico radial da carga pontual Note que nesse caso a carga natildeo sofre nenhuma forccedila
3 Analogamente no interior da cavidade 2 = + + + + = 0 + + 0 + 0
Nessa regiatildeo natildeo haacute blindagem de mas vale = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme
em uma superfiacutecie esfeacuterica e de acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo produzem campo
eleacutetrico dentro da cavidade 2 Vale tambeacutem = 0 como no item 1 Dentro da cavidade 2 haacute apenas
o campo eleacutetrico radial da carga pontual Note que nesse caso a carga natildeo sofre nenhuma forccedila
4 No espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica = + + + + = 0 + 0 +
Sendo eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme em uma superfiacutecie esfeacuterica de acordo com o teorema
das cascas nessa regiatildeo o campo eleacutetrico eacute o mesmo que seria produzido por uma carga pontual de
valor + localizada no centro da esfera metaacutelica O metal em volta das cavidades natildeo anula o
campo eleacutetrico exterior mas o torna independente dos detalhes internos Somente o aterramento da
esfera metaacutelica seria capaz de anular o campo eleacutetrico nessa regiatildeo exterior Resumindo na regiatildeo
fora da esfera metaacutelica vale (de acordo com o teorema das cascas) = = +4 sendo o raio medido em relaccedilatildeo ao centro da esfera metaacutelica
Considere agora que nada mais eacute esfeacuterico nem o condutor e nem as
cavidades conforme a Figura ao lado O que muda e o que permanece igual ao caso
anterior As densidades de carga nas superfiacutecies deixam de ser uniformes mas
continua valendo (de acordo com a lei de Gauss e o equiliacutebrio eletrostaacutetico)
= minus = minus = +
No espaccedilo ocupado pelo metal continua valendo = + + + + = 0 + 0 + 0
No interior da cavidade 1 = + + + + = + + 0 + 0 e a carga passa a
sofrer uma forccedila (o condutor faz forccedila em e vice-versa) No interior da cavidade 2 = + + + + = 0 + + + 0 e a carga passa a sofrer uma forccedila (o
condutor faz forccedila em e vice-versa) No espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica = + + +
133
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31
+ = 0 + 0 + O campo passa a ser complicado (cada caso eacute um caso) sem simetria esfeacuterica
(por que haveria simetria esfeacuterica) produzido por uma natildeo uniforme mas ainda um campo independente
das formas das cavidades e das posiccedilotildees de e dentro dessas cavidades (graccedilas agraves blindagens produzidas
por e
134
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
3 Potencial eletrostaacutetico
Jaacute comentamos que agraves vezes temos que dar uma pausa no caacutelculo de campos eleacutetricos para tentar
encontrar propriedades gerais desse campo que nos permitam entendecirc-lo melhor entender melhor o
eletromagnetismo e a natureza Ao fazer isso pode ocorrer de encontrarmos uma nova ferramenta para a
abordagem de sistemas no eletromagnetismo e ateacute para o proacuteprio caacutelculo do campo eleacutetrico Nesse sentido jaacute
encontramos a lei de Gauss uma ferramenta mais sofisticada e de aplicaccedilatildeo mais simples em alguns casos
quando comparada com a aplicaccedilatildeo direta da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo (que poderiacuteamos
chamar de ldquoforccedila brutardquo) Aqui vamos estudar o conceito de potencial eleacutetrico ou mais especificamente de
potencial eletrostaacutetico Esse conceito nos permitiraacute estudar problemas de eletrostaacutetica utilizando o teorema
do trabalho energia A aplicaccedilatildeo do conceito de potencial eleacutetrico eacute crucial para o entendimento e a descriccedilatildeo
de circuitos eleacutetricos A ideia de potencial eletrostaacutetico nasce quando constatamos que o campo eleacutetrico
produzido por uma distribuiccedilatildeo qualquer de cargas eleacutetricas estaacuteticas eacute conservativo
31 O campo eletrostaacutetico eacute conservativo
311 Forccedilas conservativas
Laacute na mecacircnica estudamos o conceito de forccedila conservativa o peso por exemplo Um campo de forccedila
conservativo eacute basicamente um campo de forccedila intermediaacuterio de uma forccedila conservativa o campo
gravitacional por exemplo
Uma forccedila conservativa eacute aquela cujo trabalho entre dois pontos quaisquer A e B no espaccedilo eacute
independente da trajetoacuteria que eacute percorrida (pelo corpo que sofre ) para partir de A e chegar em B
Equivalentemente uma forccedila conservativa eacute aquela cujo trabalho em uma trajetoacuteria fechada (percorrida
pelo corpo que sofre ) eacute nulo Finalmente podemos dizer que uma forccedila conservativa eacute aquela cujo
trabalho entre dois pontos quaisquer A e B no espaccedilo depende apenas de A e de B
135
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Considere apenas para ilustrar o caso simples da forccedila peso de um corpo de massa = na
aproximaccedilatildeo em que eacute uniforme no espaccedilo ( eacute independente de quaisquer coordenadas espaciais) Para
simplificar adotando um referencial com eixo vertical apontando para cima podemos escrever =minus Considere agora que esse corpo viaje nessa regiatildeo do espaccedilo partindo do ponto A e chegando no
ponto B Ele faz isso percorrendo uma trajetoacuteria que eacute uma curva orientada no espaccedilo que nasce em A e
morre em B O trabalho da forccedila nesse percurso eacute
( rarr ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙
sendo vetores deslocamento ( = eacute um comprimento) infinitesimais tangentes agrave trajetoacuteria em
todos os pontos orientados de A para B A Figura 1 abaixo ilustra essa ideia Satildeo mostrados dois caminhos
diferentes conectando A e B as curvas (azul) e prime (roxa)
Lembrando que o produto escalar opera uma projeccedilatildeo de um vetor sobre o outro fica claro que ∙ = (a componente y de ) sendo um deslocamento infinitesimal ao longo do eixo vertical y
Portanto
( rarr ) = minus ∙ = minus = minus ] = ( minus ) Uma coordenada vertical que cresce no sentido para cima eacute o que costumamos chamar de altura que
geralmente representamos por ℎ Portanto mostramos que ( rarr ) = ℎ minus ℎ
Note que do lado direito dessa equaccedilatildeo natildeo haacute nenhuma alusatildeo agrave curva percorrida pelo corpo ou seja ( rarr ) = ( rarr ) = ℎ minus ℎ
O trabalho do peso = entre A e B soacute depende de A e de B natildeo depende da trajetoacuteria ( ou prime) que
conecta A e B O peso eacute uma forccedila conservativa
Figura 1 Duas trajetoacuterias possiacuteveis e primeconectando dois pontos A e B no espaccedilo Um corpo vai de A ateacute B atraveacutes de (curva azul) sob accedilatildeo de seu proacuteprio peso e de outras forccedilas natildeo mostradas (atrito normal etc)
A
B
prime
y
136
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Definindo entatildeo a funccedilatildeo = ℎ que chamamos de energia potencial gravitacional do corpo de massa
fica claro que mostramos que existe uma funccedilatildeo tal que
( rarr ) = ∙ = ℎ minus ℎ = ( ) minus ( ) e que essa funccedilatildeo (da altura) eacute = (ℎ) = ℎ para um corpo de massa na gravidade De fato
poderiacuteamos concluir que haacute uma soluccedilatildeo mais geral para a equaccedilatildeo acima em que (ℎ) = ℎ +
sendo uma constante de valor natildeo determinado por essa equaccedilatildeo Vemos logo que = (ℎ = 0) ou seja
eacute o valor da funccedilatildeo no que poderiacuteamos chamar de altura nula (a referecircncia de alturas) Como essa ldquoaltura
de referecircnciardquo eacute arbitraacuteria segue que o valor de tambeacutem eacute e para simplificar arbitramos desde jaacute = 0
O resultado para mostrado acima independe da curva Nesse sentido o trabalho do peso eacute
independente da trajetoacuteria ele soacute depende do proacuteprio peso do corpo e do desniacutevel de altura ∆ℎ entre os
pontos A e B Se esse corpo tivesse percorrido a trajetoacuteria prime na Figura 1 teriacuteamos obtido o mesmo resultado
para o trabalho do peso Isso porque e rsquo partem do mesmo ponto A e chegam no mesmo ponto B Para um
caminho fechado que parte de A passeia pelo espaccedilo e retorna para o mesmo ponto A vale (B=A e ℎ = ℎ ) ( rarr = ) = 0 Essas satildeo propriedades natildeo triviais da forccedila que a definem como sendo uma forccedila
conservativa Para entender esse nome devemos recorrer ao teorema do trabalho-energia cineacutetica (TTEC)
O TTEC diz que se uma partiacutecula parte de A e chega em B atraveacutes de um caminho entatildeo vale minus = ( rarr ) Esse resultado pode ser estendido para corpos riacutegidos mas vamos ficar aqui com a versatildeo do TTEC para
partiacuteculas apenas que eacute o nosso contexto Nessa expressatildeo = 2 eacute a energia cineacutetica da partiacutecula e
eacute o trabalho da forccedila resultante que atua nessa partiacutecula enquanto ela viaja de A ateacute B Nessa viagem uma
das forccedilas eacute o peso do corpo e podemos fatorar a forccedila resultante tornando o peso expliacutecito = +
sendo um siacutembolo que usamos para representar a resultante de todas as outras forccedilas que atuam nesse
corpo diferentes do peso (ou seja normal atrito etc) O trabalho de tambeacutem fatora e fica ( rarr ) = ( rarr ) + ( rarr ) = ℎ minus ℎ + ( rarr ) Substituindo essa expressatildeo no TTEC obtemos uma nova forma para esse teorema minus = ( rarr ) rArr + ( ) minus + ( ) = ( rarr ) Definindo entatildeo a energia mecacircnica = + obtemos o teorema do trabalho-energia minus = ( rarr )
137
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Considere por exemplo uma partiacutecula submetida ao seu proacuteprio peso e a outras forccedilas que natildeo realizam
trabalho (como a forccedila normal em uma partiacutecula que desliza para baixo de um tobogatilde) Para essa partiacutecula a
energia mecacircnica se conserva pois minus = 0 rArr =
Daiacute vem o nome forccedila conservativa Em particular se uma partiacutecula se move sob accedilatildeo somente de forccedilas
conservativas (mas note que poderia haver outras forccedilas desde que elas natildeo realizassem trabalho) entatildeo sua
energia mecacircnica se conserva a energia mecacircnica na partida (A) eacute exatamente igual agrave energia mecacircnica na
chegada (B) Isso eacute verdade para qualquer trajetoacuteria que a partiacutecula percorra entre A e B Encarando os
fatos podemos dizer que eacute uma forma (posicional) de energia porque pode ser convertida em energia
cineacutetica Uma folha de aacutervore que cai ganha energia cineacutetica graccedilas agrave sua energia potencial gravitacional
Energia vem de energia
312 O campo eletrostaacutetico eacute conservativo
Vamos repetir agora todo esse raciociacutenio apenas trocando o peso (e a massa) pela forccedila eleacutetrica (e a
carga eleacutetrica)
Considere agora uma partiacutecula de carga eleacutetrica que viaja em uma regiatildeo do espaccedilo em que existe
um campo eleacutetrico criado por outras cargas eleacutetricas quaisquer estaacuteticas A partiacutecula parte do ponto A e
chega no ponto B Ela faz isso percorrendo uma trajetoacuteria que eacute uma curva orientada no espaccedilo que nasce
em A e morre em B A Figura 2 abaixo ilustra essa ideia que eacute anaacuteloga agrave da Figura 1 trocando o campo
gravitacional pelo campo eleacutetrico que tem direccedilatildeo arbitraacuteria Satildeo mostrados dois caminhos diferentes
conectando A e B as curvas (azul) e prime (roxa)
O trabalho da forccedila eleacutetrica que atua nessa partiacutecula = nesse percurso eacute
( rarr ) = ∙ = ∙
Figura 2 Duas trajetoacuterias possiacuteveis e prime conectando dois pontos A e B no espaccedilo Uma partiacutecula de carga eleacutetrica vai de A ateacute B atraveacutes de (curva azul) sob accedilatildeo de uma forccedila
eleacutetrica = produzida pelo campo eleacutetrico que existe nessa regiatildeo do espaccedilo Outras forccedilas natildeo
satildeo mostradas (peso atrito normal etc)
=
A
B
prime
138
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
sendo vetores deslocamento ( = eacute um comprimento) infinitesimais tangentes agrave trajetoacuteria em
todos os pontos orientados de A para B A pergunta que queremos responder aqui eacute fazendo analogia com a
forccedila peso se existe uma funccedilatildeo (da posiccedilatildeo) tal que
∙ = ( ) minus ( ) Se essa funccedilatildeo existir vai ser chamada de energia potencial eleacutetrica vai poder ser convertida em e
em e vice-versa Sendo uma constante podemos simplificar essa pergunta definindo a funccedilatildeo =
que eacute chamada de potencial eleacutetrico sendo simplesmente a energia potencial eleacutetrica de uma partiacutecula por
unidade de carga Nesses termos a pergunta que queremos responder eacute se existe uma funccedilatildeo (da posiccedilatildeo)
tal que
∙ = ( ) minus ( ) Essa equaccedilatildeo acima define o campo eleacutetrico com sendo um campo de forccedila conservativo pois se
existe essa funccedilatildeo potencial eleacutetrico entatildeo a integral de caminho de entre A e B independe do caminho
que conecta esses dois pontos Essa integral soacute depende do campo eleacutetrico que existe no espaccedilo e de A e de
B Para responder essa pergunta se existe uma funccedilatildeo o potencial eleacutetrico que se relaciona com o campo
eleacutetrico atraveacutes da equaccedilatildeo acima vamos comeccedilar discutindo o caso de apenas uma carga pontual A lei de
Coulomb daacute o campo eleacutetrico da carga pontual ( ) = 4
Vamos mostrar que eacute conservativo ou seja que existe uma funccedilatildeo como definida acima Depois vamos
partir do fato de que todo campo eletrostaacutetico eacute uma superposiccedilatildeo (soma vetorial) de ( = sum ) e que
portanto eacute conservativo ou seja existe uma funccedilatildeo como definida acima (que eacute simplesmente = sum )
Vamos portanto calcular a integral
∙ = 4 ∙
Essa integral pressupotildee um caminho conectando A e B de tal forma que eacute tangente a esse caminho Mas
jaacute sabemos que o produto escalar opera uma projeccedilatildeo de um vetor sobre o outro de onde segue que ∙ = (a componente radial de ) sendo um deslocamento infinitesimal ao longo do raio que nasce
em Portanto
139
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
∙ = 4 = minus4 1 = 4 1 minus 1
Olhando para a expressatildeo acima vemos logo que existe uma funccedilatildeo (funccedilatildeo do raio) para o campo
= ( ) = 4
de tal forma que
∙ = ( ) minus ( ) Mais precisamente = 4 +
sendo uma constante cujo valor natildeo estaacute determinado pela equaccedilatildeo acima Vemos logo que = ( rarr infin) ou seja eacute o valor da funccedilatildeo a uma distacircncia infinita da carga onde ela natildeo exerce mais influecircncia Essa
simples constataccedilatildeo natildeo define o valor de e por conveniecircncia arbitramos desde jaacute = 0 Sendo o potencial = sua unidade no SI eacute o joulecoulomb que chamamos de volt (siacutembolo V) em homenagem ao
cientista italiano Alessandro Volta eacute uma representaccedilatildeo da influecircncia (eleacutetrica) que a carga exerce no
espaccedilo ao seu redor e a escolha ( rarr infin) = 0 eacute uma escolha natural e razoaacutevel (mesmo que arbitraacuteria)
Como interpretamos a funccedilatildeo ( ) Jaacute sabiacuteamos que na vizinhanccedila de uma carga pontual estaacute
definido um campo de forccedila ( ) o campo eleacutetrico produzido por Agora mostramos que nessa vizinhanccedila
tambeacutem estaacute definido um campo escalar ( ) o potencial eleacutetrico associado a essa carga Sabemos que ( ) natildeo define a forccedila em um ponto do espaccedilo (pontos natildeo sofrem forccedila) ( ) define uma forccedila por
unidade de carga em de tal forma que se uma carga pontual (que vocecirc poderia chamar de carga de
prova mas natildeo eacute necessaacuterio) passar algum dia por esse ponto ela vai sofrer uma forccedila eleacutetrica ( ) =( ) Nesse sentido ( ) eacute uma capacidade que a carga tem de exercer forccedila (atraccedilatildeo ou repulsatildeo)
sobre outras cargas que porventura passem na sua vizinhanccedila Analogamente ( ) natildeo define a energia em
um ponto do espaccedilo (pontos natildeo possuem energia) ( ) define uma energia por unidade de carga em de
tal forma que se uma carga pontual (que vocecirc poderia chamar de carga de prova mas natildeo eacute necessaacuterio)
passar algum dia por esse ponto ela vai possuir a energia potencial eleacutetrica ( ) = ( ) Nesse sentido ( ) eacute uma energia potencial de interaccedilatildeo eleacutetrica por unidade de carga que a carga estabelece no espaccedilo
ao seu redor
140
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
O mais correto natildeo eacute chamar ( ) = ( ) de energia potencial eleacutetrica da carga mas sim de
energia potencial eleacutetrica do par de cargas e De fato substituindo a expressatildeo de ( ) que obtivemos
anteriormente segue que ( ) = ( ) = 4
Vemos que na expressatildeo de ( ) natildeo haacute nenhuma distinccedilatildeo entre e eacute simplesmente a distacircncia entre
essas cargas pontuais ( ) eacute a energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre as cargas e Mas ocorre que
agraves vezes podemos supor que por exemplo a carga estaacute fixa e que queremos estudar o movimento da carga
sob influecircncia da carga Nesse contexto para simplificar as ideacuteias chamamos ( ) = ( ) de energia
potencial eleacutetrica da carga Mas devemos ter em mente que toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e que ( ) eacute sempre a
energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre cargas eleacutetricas nesse caso e Adotamos um procedimento
similar quando muitas vezes chamamos = ℎ de energia potencial gravitacional da partiacutecula de massa
De fato eacute a energia potencial gravitacional do par Terrapartiacutecula pois sem a presenccedila da Terra natildeo
haveria e nem Fazemos isso porque geralmente estamos estudando apenas o movimento da partiacutecula
em um referencial em que a Terra estaacute fixa Devemos ter em mente que trata-se apenas de uma simplificaccedilatildeo
(um atalho) na linguagem
Voltando ao exemplo das duas partiacuteculas considere duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas e fixas no
espaccedilo separadas por uma distacircncia A energia potencial eleacutetrica desse par de cargas eacute
( ) = ( ) = 4
Essa energia tem uma interpretaccedilatildeo simples Considere que inicialmente as partiacuteculas estavam em
repouso separadas por uma distacircncia muito grande ( rarr infin) situaccedilatildeo em que elas nem interagiam entre si
( ( rarr infin) = 0) Agora um agente externo vai pegar essas partiacuteculas e transportaacute-las no espaccedilo
construindo a configuraccedilatildeo estaacutetica em que e estatildeo fixas no espaccedilo separadas por uma distacircncia A
Figura 3 abaixo ilustra essa ideia Qual o trabalho que esse agente externo deve fazer para conseguir esse
feito de construir essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacutetica ( e separadas por uma distacircncia )
infin
Figura 3 um agente externo constroacutei a configuraccedilatildeo de duas cargas e fixas no espaccedilo separadas por uma distacircncia partindo da situaccedilatildeo em que essas cargas natildeo interagiam entre si ( rarr infin)
141
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Seja a forccedila que esse agente externo aplica nas cargas enquanto as desloca no espaccedilo Seja (infin rarr ) o trabalho desse agente externo ou seja dessa forccedila nesse percurso em que as partiacuteculas
satildeo aproximadas O teorema do trabalho energia diz que minus = (infin rarr ) As partiacuteculas estavam em repouso (no infin) e foram fixadas em repouso ou seja = = 0 Segue que
(infin rarr ) = ( ) minus (infin) = ( ) = 4
(note que (infin) = 0) Conclusatildeo ( ) eacute a energia de formaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de duas cargas e fixas no
espaccedilo separadas por uma distacircncia Eacute o que noacutes (agentes externos) gastariacuteamos para construir essa
configuraccedilatildeo estaacutetica de cargas eleacutetricas partindo do espaccedilo vazio
Quanto gastamos para construir um aacutetomo de Hidrogecircnio Trata-se de um proacuteton (de carga eleacutetrica cong 1602 times 10 C) separado de um eleacutetron (de carga eleacutetrica = minus ) pela distacircncia cong 053Å Entatildeo
(infin rarr ) = 4 = minus4 cong minus27 times (1602 times 10 )
Escrevemos esse valor numeacuterico dessa forma porque sendo ele um valor minuacutesculo de energia (em joules)
definimos uma nova unidade de energia o eleacutetron-volt (siacutembolo eV) que eacute mais conveniente para esse
contexto de tal forma que 1 eV cong 1602 times 10 Portanto segue que (infin rarr ) cong minus27 eV (o plural
de eleacutetron-volt eacute eleacutetron-volts) O primeiro fato que notamos eacute que essa energia de formaccedilatildeo eacute negativa Isso
significa que natildeo ldquogastamosrdquo de fato energia para construir um aacutetomo H (partindo de um eleacutetron e um proacuteton
infinitamente afastados) mas sim ldquoganhamosrdquo energia Um gasto negativo eacute um ganho De fato o eleacutetron e o
proacuteton se atraem mutuamente e natildeo precisamos nos esforccedilar para que eles se unam pelo contraacuterio devemos
ir freando essas partiacuteculas enquanto elas transferem energia para noacutes
A natureza eacute o ldquoagente externordquo que fabrica hidrogecircnio a partir de proacutetons e eleacutetrons separados e isso
ocorre espontaneamente com liberaccedilatildeo de energia (foacutetons=luz e energia cineacutetica=calor) Logo apoacutes o Big Bang
(haacute cong 137 bilhotildees de anos) quando o universo jaacute havia esfriado (e expandido) o suficiente eleacutetrons e proacutetons
conseguiram se unir e se manterem estaacuteveis formando grande parte do hidrogecircnio (nome que significa
ldquocriador da aacuteguardquo) que existe na natureza na qual ele eacute o elemento mais abundante Por volta dessa eacutepoca
outros elementos leves tambeacutem se formaram como o heacutelio e o liacutetio Natildeo havia energia suficiente para formar
elementosnuacutecleos mais pesados (aglomerando mais proacutetons que se repelem mutuamente) o que soacute foi
possiacutevel apoacutes o surgimento das estrelas que satildeo basicamente bolas de hidrogecircnio e usinas de produccedilatildeo de
elementos quiacutemicos mais pesados
142
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Eacute verdade que um aacutetomo de hidrogecircnio natildeo eacute uma estrutura estaacutetica de cargas eleacutetricas pois isso nem
seria estaacutevel (o eleacutetron e o proacuteton natildeo permaneceriam estaacuteticos um ao lado do outro eles se atraem) O
eleacutetron ldquoorbitardquo o nuacutecleo e portanto essa configuraccedilatildeo de cargas possui energia potencial eleacutetrica que
calculamos acima e tambeacutem energia cineacutetica Isso significa que ao ldquofabricarrdquo um aacutetomo H a natureza natildeo
ganha cong 27 eV mas ganha menos porque uma parte da energia que seria liberada fica ldquopresardquo dentro do
aacutetomo na forma de energia cineacutetica do proacuteton e do eleacutetron Levando essa energia cineacutetica em conta o
teorema do trabalho energia fica (infin rarr ) = ( ) + ( ) minus (infin) = ( ) + ( ) Um caacutelculo de ( ) mostra que ( ) cong 136 eV e que portanto (infin rarr ) = ( ) + ( ) cong minus27 + 136 cong 136eV
Podemos conferir esse resultado medindo a energia de ionizaccedilatildeo do hidrogecircnio Ionizar um aacutetomo eacute
arrancar um eleacutetron dele Se ionizamos um aacutetomo H destruiacutemos a configuraccedilatildeo de cargas e voltamos ao
estado inicial em que o eleacutetron e o proacuteton estavam muito separados no espaccedilo Experimentos mostram que a
energia de ionizaccedilatildeo do H eacute cong 136 eV e natildeo cong 27 eV pois a energia cineacutetica interna do aacutetomo jaacute daacute uma
ajuda no processo de ionizaccedilatildeo Ganhamos cong 136 eV quando construiacutemos um aacutetomo de H (infin rarr ) e
devemos gastar cong 136 eV se quisermos destruiacute-lo ( rarr infin) ou seja ionizaacute-lo
Essa interpretaccedilatildeo da energia potencial eleacutetrica como sendo a energia necessaacuteria para a construccedilatildeo
de uma configuraccedilatildeo de cargas estaacuteticas pode ser estendida para distribuiccedilotildees com vaacuterias partiacuteculas
carregadas Imagine um sistema de partiacuteculas de cargas eleacutetricas ( = 12 hellip ) fixas no espaccedilo Seja a
distacircncia entre a partiacutecula e a partiacutecula A energia potencial eleacutetrica armazenada nessa configuraccedilatildeo de
cargas ou seja a energia necessaacuteria para construir essa configuraccedilatildeo estaacutetica de cargas eacute
= 4 = 12 4
Vemos que eacute simplesmente a soma das energias potenciais eleacutetricas de todos os pares ( ) de cargas
eleacutetricas Na uacuteltima expressatildeo para evitar o
termo ( ) que produziria = 0 colocamos
um ne no segundo somatoacuterio O fator 12
desconta a contagem dupla pois o par ( )
aparece duas vezes no somatoacuterio duplo no
termo ( ) e no termo ( ) Considere o
exemplo mostrado na Figura 4 ao lado uma
Figura 4 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e
143
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
espeacutecie de moleacutecula triangular (estaacutetica) que jaacute consideramos no capiacutetulo 1 Haacute trecircs pares de partiacuteculas (12)
(13) e (23) A energia potencial eleacutetrica dessa configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute a soma das energias
potenciais desses trecircs pares = 14 + + +
Imagine que retiremos dessa moleacutecula a carga removendo-a e afastando-a para o infinito Quanto de
energia devemos gastar (no miacutenimo ou seja com (infin) = 0) para fazer isso Na configuraccedilatildeo final sobraratildeo
apenas e separados por uma distacircncia com energia potencial eleacutetrica final
= 14
Portanto a energia gasta para remover dessa moleacutecula a partiacutecula de carga seria
minus = minus4 + +
A energia potencial eleacutetrica desempenha um papel central nas reaccedilotildees quiacutemicas e formaccedilatildeo dos
compostos quiacutemicos Juntamente com a energia cineacutetica ela compotildee o que chamamos de energia interna de
um sistema de partiacuteculas = + Durante uma reaccedilatildeo quiacutemica o sistema de partiacuteculas formado pelos
reagentes ( ) que participam da reaccedilatildeo se rearranja no espaccedilo modificando e tambeacutem natildeo podemos nos
esquecer Comparando a energia interna dos reagentes com a dos produtos ( ) podemos ter
uma ideia sobre as condiccedilotildees para que essa reaccedilatildeo rarr ocorra ou natildeo
Considere a formaccedilatildeo da moleacutecula ionizada H2+ (caacutetion di-hidrogecircnio a
moleacutecula mais simples) composta de dois proacutetons (separados por uma distacircncia cong 1Å) e um eleacutetron localizado em meacutedia na posiccedilatildeo central entre esses proacutetons
Quanto de energia a natureza ldquogastardquo para construir essa moleacutecula Considere a Figura
ao lado Inicialmente devemos juntar os dois proacutetons ( bolinhas vermelhas) e para
isso gastamos energia pois eles se repelem mutuamente e relutam em se aproximar A energia ldquogastardquo para
colocar os dois proacutetons separados por uma distacircncia eacute
( ) = 14 = 14 gt 0
Agora vamos trazer o eleacutetron de rarr infin ateacute a posiccedilatildeo central = 0 (a
trajetoacuteria do eleacutetron eacute irrelevante pois a forccedila eleacutetrica eacute conservativa) Ao
fazer isso vemos que a energia potencial do conjunto de trecircs cargas vai
diminuindo conforme ilustrado no graacutefico ao lado Essa energia eacute dada por
= minus
144
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
( )( ) = ( ) + ( )( ) = 14 + 2 14 ( 2) + = 4 1 minus 2( 2) +
Vemos no graacutefico de ( )( ) times acima que agrave medida que o eleacutetron vai se posicionando entre os
proacutetons ( rarr 0) a energia potencial eleacutetrica do sistema de trecircs cargas vai reduzindo ateacute que ela atinge um
miacutenimo na posiccedilatildeo central de equiliacutebrio do eleacutetron A energia potencial eleacutetrica final do iacuteon molecular eacute
( )( = 0) = 4 1 minus 4 = minus34
Esse eacute o ldquogastordquo de energia para a construccedilatildeo desse iacuteon Note que ele eacute negativo o que significa que esse iacuteon
pode se formar espontaneamente na natureza liberando energia na forma cineacutetica (calor) A forma mais
comum de formaccedilatildeo do iacuteon H2+ na natureza eacute atraveacutes da simples ionizaccedilatildeo da moleacutecula H2 Note que
moleacuteculas natildeo satildeo objetos estaacuteticos pois o equiliacutebrio estaacutetico da configuraccedilatildeo
de cargas que estamos analisando aqui eacute impossiacutevel Trata-se apenas de um
modelo De fato olhando para a Figura ao lado vemos que o eleacutetron estaacute em
uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio pois a forccedila eleacutetrica resultante nele eacute
= 4 ( 2) + 4 ( 2) (minus ) = 0
mas trata-se de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel pois se o eleacutetron se deslocar um pouco para a direita ou
para a esquerda ele natildeo retorna mais para a posiccedilatildeo central Os proacutetons por outro lado estatildeo sujeitos a uma
forccedila eleacutetrica resultante natildeo-nula (para o proacuteton da direita)
= 4 + 4 ( 2) = minus 34
Concluindo esse modelo estaacutetico de moleacutecula natildeo eacute estaacutevel As partiacuteculas natildeo conseguem permanecer
em equiliacutebrio estaacutetico nessas posiccedilotildees Eacute necessaacuterio que haja um equiliacutebrio dinacircmico em que o eleacutetron vibre
para laacute e para caacute agraves vezes se aproximando e agraves vezes se afastando de cada um dos proacutetons mantendo eles em
suas posiccedilotildees Portanto deve haver tambeacutem aleacutem da energia potencial eleacutetrica energia cineacutetica na moleacutecula
Esse mundo microscoacutepico eacute o domiacutenio da mecacircnica quacircntica em que as partiacuteculas satildeo descritas natildeo por suas
posiccedilotildees mas por suas funccedilotildees de onda A Figura ao lado (Ref Attosecond
photoelectron microscopy of H2+ S X Hu et al Phys Rev A 80 (2009))
mostra a probabilidade (calculada) de se encontrar o eleacutetron em uma dada
posiccedilatildeo na vizinhanccedila dos dois proacutetons na moleacutecula H2+ (vermelho (maior
probabilidade) amarelo verde azul (menor)) Podemos imaginar o eleacutetron
viajando em torno desses proacutetons (em meacutedia ele fica no centro) atraindo
para laacute e para caacute enquanto eles se repelem mutuamente Ao final um
y
145
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
equiliacutebrio dinacircmico eacute produzido em que uma nuvem eletrocircnica envolve os proacutetons
Concluiacutemos que na formaccedilatildeo do iacuteon H2+ a energia liberada seraacute menor que nossa estimativa anterior
para o modelo estaacutetico ( ( )( = 0)) pois uma parte dessa energia que seria liberada ficaraacute armazenada
na moleacutecula na forma cineacutetica do eleacutetron e dos proacutetons
O nuacutecleo de um aacutetomo eacute um reservatoacuterio de energia potencial eleacutetrica Quanto gastamos para
construir um nuacutecleo de heacutelio Trata-se de dois proacutetons (de carga eleacutetrica ) separados pela distacircncia
minuacutescula cong 10 Å Entatildeo (infin rarr ) = ( ) minus (infin) = 4 cong 14 times 10 times (1602 times 10 )
Em termos da unidade de energia eleacutetron-volt (siacutembolo eV) (infin rarr ) cong 14 times 10 eV Aqui a energia de
formaccedilatildeo eacute positiva ou seja ldquogastamosrdquo de fato energia para construir um nuacutecleo de heacutelio H (partindo de dois
proacutetons infinitamente afastados) Esses proacutetons se repelem mutuamente e precisamos nos esforccedilar para que
eles se unam realizando um trabalho positivo sobre os proacutetons Ao final eles se conectam via forccedila forte (com
a participaccedilatildeo dos necircutrons) e a energia potencial eleacutetrica ( ) = (infin rarr ) fica armazenda na
configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas do nuacutecleo (como ocorre com a energia elaacutestica quando comprimimos uma
mola) O dia em que esse nuacutecleo se desfizer (a mola relaxar) e os proacutetons forem se afastando cada vez mais
rapidamente essa energia potencial eleacutetrica vai ser liberada na forma de energia cineacutetica dos proacutetons Essa eacute a
forma como a energia eacute liberada dos nuacutecleos nos processos de fissatildeo nuclear em que nuacutecleos grandes se
quebram em fragmentos menores que se afastam mutuamente com altas velocidades Note que assim como
os aacutetomos e moleacuteculas o nuacutecleo atocircmico natildeo eacute uma estrutura estaacutetica de proacutetons e necircutrons Aleacutem da energia
potencial eleacutetrica essas partiacuteculas que compotildeem os nuacutecleos possuem tambeacutem energia cineacutetica
Esses exemplos simples evidenciam a grande diferenccedila de escala de energia entre os fenocircmenos
quiacutemicos (ou eletrocircnicos) e os fenocircmenos nucleares Enquanto as reaccedilotildees quiacutemicas envolvem basicamente o
rearranjo espacial de eleacutetrons nos aacutetomosmoleacuteculas e energias da ordem de 1 eV as reaccedilotildees nucleares
envolvem o rearranjo de proacutetons nos nuacutecleos e energias da ordem de 10 eV Essa disparidade nos permite
entender o poder incriacutevel de uma bomba nuclear em que a energia de fissatildeo de nuacutecleos atocircmicos (de uracircnio-
235 por exemplo) eacute liberada (basicamente na forma de energia cineacutetica da explosatildeo) Tipicamente a explosatildeo
de uma bomba nuclear pode liberar cerca de 1 quiloton ldquoqueimandordquo uma massa de aproximadamente 1 kg
Um quiloton eacute a energia liberada na ldquoqueimardquo de 1000 toneladas (10 kg) de dinamite (TNT) Essa queima de
TNT eacute uma reaccedilatildeo quiacutemica Portanto vemos que a reaccedilatildeo nuclear de uma massa 1 kg produz uma energia
equivalente agrave reaccedilatildeo quiacutemica de uma massa de 10 kg Esse fator 10 eacute basicamente o fator que
encontramos anteriormente comparando as energias potenciais eleacutetricas no aacutetomo de hidrogecircnio e no nuacutecleo
146
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
de heacutelio A mesma energia potencial eleacutetrica liberada na explosatildeo de uma bomba nuclear eacute utilizada em uma
usina nuclear para aquecer a aacutegua e mover turbinas e geradores que produzem energia eleacutetrica
32 O potencial eletrostaacutetico V
Daqui para diante vamos assumir o fato de que o campo eleacutetrico criado por uma distribuiccedilatildeo qualquer de
cargas eleacutetricas estaacuteticas (o campo eletrostaacutetico) eacute conservativo e que existe portanto uma funccedilatildeo potencial
eleacutetrico ( ) como definimos anteriormente atraveacutes de uma integral do campo eleacutetrico Isso porque esses
fatos estatildeo provados para a carga eleacutetrica pontual e podem ser estendidos para distribuiccedilotildees de cargas
arbitraacuterias atraveacutes do princiacutepio da superposiccedilatildeo
Para mostrar mais claramente a importacircncia do conceito de potencial eleacutetrico considere o seguinte
problema uma partiacutecula de carga eleacutetrica e massa estaacute na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo de cargas
eleacutetricas fixas no espaccedilo A partiacutecula estava em repouso no ponto A
e eacute repelida pelas outras cargas descrevendo uma trajetoacuteria no
espaccedilo que passa pelo ponto B Qual a velocidade dessa partiacutecula
no instante em que ela passa por B A Figura 5 ao lado ilustra essa
ideia A trajetoacuteria hipoteacuteticaarbitraacuteria da partiacutecula estaacute
representada em verde
Sabemos que a distribuiccedilatildeo de outras cargas eleacutetricas que
vamos abreviar por OC gera no espaccedilo um campo eleacutetrico ( ) e que a forccedila (de repulsatildeo) na partiacutecula de carga quando ela estiver na posiccedilatildeo eacute = ( ) Portanto supondo que podemos conhecer o campo eleacutetrico ( ) com as ferramentas que jaacute temos para o
caacutelculo de campos eleacutetricos (lei de Coulomb princiacutepio da superposiccedilatildeo e lei de Gauss) podemos conhecer essa
forccedila e apelar para a segunda lei de Newton que diz que a velocidade da partiacutecula de carga varia no tempo
de acordo com a equaccedilatildeo diferencial (supondo que natildeo haacute outras forccedilas em ) = ( ) Se pudermos resolver essa equaccedilatildeo com a condiccedilatildeo inicial = 0 podemos obter Natildeo eacute muito difiacutecil de
perceber que essa abordagem pode ser bem trabalhosa pois requer o caacutelculo do campo vetorial ( ) no
espaccedilo e a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial vetorial acima Aqui entra o teorema do trabalho-energia e o
conceito de potencial eleacutetrico Estamos vendo que associado ao campo eleacutetrico ( ) existe a funccedilatildeo
potencial eleacutetrico ( ) A ideia eacute que a distribuiccedilatildeo de outras cargas eleacutetricas (OC) gera no espaccedilo um campo
escalar ( ) que define a energia potencial eleacutetrica de uma partiacutecula qualquer de carga eleacutetrica quando
ela estiver na posiccedilatildeo = ( ) (apenas para lembrar vamos chamar essa energia de ldquoenergia
A
B
outras cargas
Figura 5 uma partiacutecula de carga eleacutetrica eacute repelida por outras cargas eleacutetricas
147
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
potencial da partiacutecula de carga rdquo porque estamos interessados apenas no movimento dessa partiacutecula
estando as outras cargas fixas no espaccedilo eacute de fato uma energia de interaccedilatildeo eleacutetrica OC ) Portanto
supondo que podemos conhecer essa funccedilatildeo escalar ( ) associada agraves outras cargas o teorema do trabalho
energia fornece a seguinte equaccedilatildeo algeacutebrica (supondo que natildeo haacute outras forccedilas em )
( ) = ( ) rArr 12 + ( ) = 0 + ( ) rArr 12 = ( ) minus ( )
Vemos que a velocidade (em moacutedulo) estaacute determinada pela simples diferenccedila de potencial (DDP) entre os
pontos A e B diferenccedila de potencial produzida no espaccedilo pela presenccedila das outras cargas eleacutetricas que
repelem Com esse exemplo tentamos deixar claro que a abordagem desse problema atraveacutes do conceito de
potencial eleacutetrico eacute muito mais simples basicamente porque eacute uma funccedilatildeo escalar enquanto que eacute uma
funccedilatildeo vetorial e tambeacutem porque a segunda lei de Newton produz nesses casos equaccedilotildees diferenciais
vetoriais enquanto que o teorema do trabalho-energia produz equaccedilotildees escalares algeacutebricas
A questatildeo que fica eacute como obter o potencial eleacutetrico ( ) de uma dada distribuiccedilatildeo de cargas
eleacutetricas Jaacute temos a resposta para essa pergunta no caso em que essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute
apenas uma carga pontual ( ) = ( ) = 4
Note que esse potencial eacute esfericamente simeacutetrico ( ) = ( ) Portanto voltando ao problema proposto
considere uma partiacutecula de carga eleacutetrica e massa que estaacute na vizinhanccedila de uma outra carga eleacutetrica
pontual fixa no espaccedilo A partiacutecula de carga estava em repouso no ponto A e eacute repelida pela outra carga
( gt 0) descrevendo uma trajetoacuteria no espaccedilo que passa pelo ponto B Qual a velocidade dessa partiacutecula de
carga no instante em que ela passa por B Jaacute vimos que a resposta eacute de acordo com o teorema do trabalho-
energia cineacutetica (note que Δ = Δ )
Δ + Δ = 0 rArr 12 minus 0 = ( ) minus ( ) = 4 minus 4 = 4 1 minus 1
Note que sendo a partiacutecula repelida ( gt 0) segue que necessariamente vale gt Por exemplo se dois
proacutetons (de carga ) se repelem a partir de uma distacircncia inicial um deles estando fixo o proacuteton livre
chega a uma distacircncia do proacuteton fixo com velocidade ( ) dada por ( eacute a massa do proacuteton) 12 [ ( )] minus 0 = 4 1 minus 1
Vemos que agrave medida que o proacuteton livre se afasta ( rarr infin) a energia potencial eleacutetrica vai sendo convertida
em energia cineacutetica ateacute que para um afastamento infinito a velocidade do proacuteton livre seraacute
148
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
12 [ (infin)] = 4 = ( = ) O graacutefico ao lado mostra as curvas de ( ) (curva vermelha) que eacute dada
por ( ) = 4
e de ( ) (curva verde) que eacute dada por ( ) = 4 1 minus 1
em funccedilatildeo da distacircncia A energia potencial eleacutetrica estaacute sendo convertida em energia cineacutetica Trata-se de
uma situaccedilatildeo anaacuteloga agrave de um corpo que cai e converte sua energia potencial gravitacional ( ) em energia
cineacutetica ( )
A questatildeo agora eacute como resolver esse mesmo problema se as outras cargas forem mais complicadas
como um dipolo eleacutetrico ou um disco eletrizado Precisamos saber calcular o potencial eleacutetrico ( ) que esses
objetos produzem no espaccedilo Haacute duas maneiras de se obter o potencial eleacutetrico para uma distribuiccedilatildeo
qualquer de cargas eleacutetricas estaacuteticas Uma parte do princiacutepio da superposiccedilatildeo e a outra parte do (nem
sempre factiacutevel) conhecimento do campo eleacutetrico que essa distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo
321 Caacutelculo do potencial eletrostaacutetico via campo eleacutetrico
Vamos considerar uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas no espaccedilo cujo campo eleacutetrico eacute
conhecido Segue que podemos calcular a diferenccedila de potencial entre quaisquer dois pontos no espaccedilo
atraveacutes da relaccedilatildeo
( ) minus ( ) = ∙
que eacute a proacutepria definiccedilatildeo primitiva do potencial eleacutetrico Vale lembrar que a integral acima pode ser
realizada em qualquer caminho que nasce em A e morre em B Note entatildeo que as coisas podem ser mais
simples Para calcular ( ) minus ( ) para dois pontos A e B particulares natildeo precisamos conhecer o campo
eleacutetrico em todo o espaccedilo basta que conheccedilamos esse campo em um (e apenas um) caminho qualquer que
conecta A e B
Consideremos um exemplo que jaacute discutimos anteriormente Um aro circular fino de raio e
densidade de carga eleacutetrica uniforme ao longo de todo o seu comprimento No capiacutetulo 1 calculamos o
149
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
campo eleacutetrico produzido por esse aro mas natildeo o campo eleacutetrico ( ) em um ponto qualquer do espaccedilo
Calculamos o campo eleacutetrico apenas sobre o eixo de simetria do aro (eixo z) Obtivemos o resultado
( ) = 2 ( + ) sendo = 0 a posiccedilatildeo do centro do aro
Considere agora o seguinte problema calcule a diferenccedila de potencial ( ) minus ( ) para dois pontos
A e B sobre o eixo do aro ambos no lado com gt 0 conforme a Figura ao lado
Basta que escolhamos um caminho que conecta A e B e sobre o qual
conheccedilamos (em todos os seus pontos) o campo eleacutetrico que o aro produz no
espaccedilo A Figura 6 sugere dois caminhos O caminho em verde vai pelo espaccedilo
por fora do eixo O caminho em vermelho estaacute restrito ao eixo ele percorre o
eixo de A ateacute B Podemos usar qualquer caminho para o caacutelculo de ( ) minus ( ) pois o campo eleacutetrico eacute conservativo Mas tendo em vista que soacute
conhecemos o campo eleacutetrico do aro sobre o eixo z soacute nos resta a opccedilatildeo de
usar o caminho em vermelho Para usar o caminho em verde teriacuteamos que ter
conhecimento sobre a funccedilatildeo ( ) no espaccedilo e natildeo apenas sobre o campo ( ) restrito aos pontos sobre o
eixo Concluindo no caminho vermelho fica claro que = e que portanto
( ) minus ( ) = ∙ = 2 ( + ) ∙ = 2 ( + )
Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) obtemos
( ) minus ( ) = 2 1+ minus 1+
sendo e as distacircncias de A e B ateacute a origem Note que se gt 0 e lt (como na Figura 6) segue que ( ) gt ( ) ou seja o potencial eleacutetrico produzido pelo aro decai agrave medida que nos afastamos dele Essa eacute
uma propriedade baacutesica do potencial eleacutetrico (e que vale a pena ser memorizada) ele decai quando
caminhamos no mesmo sentido do campo eleacutetrico no espaccedilo (se gt 0 o campo eleacutetrico do aro aponta de A
para B) Note que a expressatildeo de ( ) que utilizamos vale sobre todo o eixo z ou seja para gt 0 e le 0
Portanto isso tambeacutem eacute verdadeiro para a expressatildeo da diferenccedila de potencial que obtivemos A e B satildeo dois
pontos quaisquer sobre o eixo z Por exemplo se na Figura 6 o ponto A estiver agrave esquerda do centro do aro e o
ponto B agrave direita ambos a uma mesma distacircncia do centro do aro entatildeo = minus e vemos acima que ( ) = ( ) (uma simetria de ) O potencial eacute o mesmo em dois pontos opostos equumlidistantes do aro
Figura 6 um aro fino eletrizado com densidade de carga uniforme
zA B
150
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Muitas vezes nos referimos ao potencial eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo mas podemos ver
que a definiccedilatildeo acima para o potencial define a diferenccedila ( ) minus ( ) mas natildeo define nem ( ) e nem ( ) Por exemplo suponha que determinemos que ( ) minus ( ) = 100 volts quanto vale ( ) Natildeo
podemos saber esse valor natildeo estaacute determinado pelo formalismo do potencial eleacutetrico Tanto faz sentido
dizermos que ( ) = 900 volts e ( ) = 800 volts quanto ( ) = minus103 volts e ( ) = minus203 volts Soacute
sabemos que o potencial em A eacute 100 volts acima do potencial em B Isso eacute suficiente para abordarmos
problemas atraveacutes do teorema do trabalho-energia pois este soacute envolve variaccedilotildees de energia e portanto
variaccedilotildees de potencial eleacutetrico Mas enfim apenas por conveniecircncia podemos ldquocalibrarrdquo o formalismo
fixando uma referecircncia de potencial no espaccedilo onde = 0 digamos e nos referirmos entatildeo ao potencial
eleacutetrico ( ) em um ponto qualquer Se vocecirc se recordar fizemos isso quando dissemos que o potencial
eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual eacute ( ) = 4
e natildeo ( ) = 4 +
Para simplificar nossa expressatildeo de ( ) fixamos = 0 ou seja fixamos (infin) = = 0
No exemplo do aro se fixarmos B como sendo a referecircncia de potencial e arbitrarmos ( ) = 0
segue que automaticamente ( ) = 100 volts porque sabemos que ( ) minus ( ) = 100 volts Ao fixar uma
referecircncia de potencial eleacutetrico fixamos automaticamente o valor do potencial eleacutetrico em todos os pontos do
espaccedilo Natildeo haacute muita novidade nisso pois essa mesma ideia vale para o conceito simples de altura Qual a
altura ℎ de um determinado ponto do espaccedilo Natildeo haacute resposta para essa pergunta pois altura eacute um conceito
relativo Devemos escolher uma referecircncia de altura um piso onde normalmente fixamos o valor ℎ = 0 A
partir daiacute as alturas de todos os pontos do espaccedilo ficam bem definidas A mesma ideia vale para o potencial
eleacutetrico Podemos escolher uma posiccedilatildeo de referecircncia e fixar o potencial eleacutetrico nessa posiccedilatildeo como
sendo zero ( ( ) = 0) e com isso fixar o valor do potencial em todos os pontos do espaccedilo Uma escolha
comum eacute rarr infin que foi o que fizemos para o potencial de uma uacutenica carga eleacutetrica pontual Mas outras
escolhas podem ser mais convenientes Em circuitos eleacutetricos por exemplo eacute comum se fixar a referecircncia =0 no poacutelo negativo da bateria ou da fonte de alimentaccedilatildeo ou mesmo no terminal ldquoterrardquo do circuito O
potencial eleacutetrico assim como o campo eleacutetrico expressa uma influecircncia que uma distribuiccedilatildeo de cargas
eleacutetricas exerce no espaccedilo ao seu redor Assim sendo a escolha ( rarr infin) = 0 pressupotildee que essa
influecircncia desaparece rapidamente no infinito o que eacute sempre verdade para distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas
de tamanho finito (limitadas no espaccedilo) Esse eacute sempre o caso para corpos eletrizados realistas Haacute
basicamente dois casos em que essa escolha de referecircncia natildeo funciona o plano infinito e o cilindro infinito
151
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
com densidades de carga uniformes Esses objetos de tamanho infinito (modelos artificiais para corpos muito
grandes) exercem influecircncia marcante mesmo a uma distacircncia infinita deles o que faz com que a escolha ( rarr infin) = 0 se torne absurda e natildeo factiacutevel Sendo a escolha de arbitraacuteria esse fato natildeo tem
nenhuma consequecircncia relevante para esses casos Mas enfim fica aqui o registro de que a escolha ( rarr infin) = 0 eacute conveniente mas nem sempre eacute possiacutevel Voltaremos a discutir esse detalhe mais
adiante
Para o aro eletrizado poderiacuteamos escolher o centro do aro ( = 0) como referecircncia e fixar ( = 0) =0 Tomando entatildeo o ponto A no centro do aro e fazendo ( ) = (0) = 0 na expressatildeo da diferenccedila de
potencial obtemos a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) dada por (o ponto B eacute um ponto de coordenada z
qualquer ou seja faremos = ) (0) minus ( ) = 2 1radic + 0 minus 1+ rArr ( ) = 2 1radic + minus 1
A funccedilatildeo ( ) daacute o valor do potencial eleacutetrico em qualquer ponto sobre o eixo z do aro Por exemplo
( = 0) = 2 1radic + 0 minus 1 = 0 ( rarr infin) = 2 1radic +infin minus 1 = minus2
O primeiro resultado eacute apenas uma verificaccedilatildeo de nossa referecircncia pois noacutes forccedilamos ( = 0) = 0
O segundo resultado mostra que para gt 0 o potencial deve decair quando nos afastamos do aro (ele
sempre decai quando caminhamos no sentido de ) e portanto se ele eacute nulo em = 0 ele tem que se tornar
negativo no infinito (para lt 0 o campo eleacutetrico inverte de sentido e o potencial diminui quando nos
aproximamos do aro pois ele era positivo no infinito e eacute nulo no centro do aro)
Outra pessoa poderia achar mais conveniente escolher um ponto no infinito ( rarr infin) como referecircncia
e fixar (infin) = 0 Tomando entatildeo o ponto A no infinito e fazendo ( ) = (infin) = 0 na expressatildeo da
diferenccedila de potencial obtemos a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) dada por (o ponto B eacute um ponto de
coordenada z qualquer ou seja faremos = ) (infin) minus ( ) = 2 1radic + infin minus 1+ rArr ( ) = 2 radic +
A funccedilatildeo ( ) daacute o valor do potencial eleacutetrico em qualquer ponto sobre o eixo z do aro Por exemplo
( = 0) = 2 ( rarr infin) = 2 1radic +infin = 0
Agora o segundo resultado eacute apenas uma verificaccedilatildeo de nossa referecircncia pois noacutes forccedilamos a validade de ( rarr infin) = 0 O primeiro resultado mostra que para gt 0 o potencial deve decair quando nos afastamos
do aro (ele sempre decai quando caminhamos no sentido de ) e portanto se ele eacute nulo no infinito ele tem
152
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
que se tornar positivo no centro do aro (para lt 0 o campo eleacutetrico inverte de sentido e o potencial diminui
quando nos aproximamos do aro ele se torna negativo)
Os graacuteficos na Figura 7 abaixo mostram as duas funccedilotildees ( ) (para o caso gt 0) que obtivemos com
essas escolhas diferentes de referecircncia para o piso = 0 A curva verde eacute o caso ( rarr infin) = 0 em que
vemos que o potencial tem um pico positivo no centro do aro e vai decaindo a zero suavemente A curva
vermelha eacute o caso ( = 0) = 0 em que vemos que o potencial tem um pico no centro do aro e vai decaindo
suavemente para um valor assintoacutetico negativo no infinito As duas curvas apresentam o mesmo
comportamento
Olhando para essas duas curvas fica claro que elas estatildeo apenas deslocadas ao longo do eixo vertical e
que portanto as diferenccedilas de potencial natildeo satildeo afetadas por esses deslocamentos Qualquer escolha de
referecircncia eacute vaacutelida Mas utilizando um criteacuterio de simplicidade vemos que a escolha ( rarr infin) = 0 eacute mais
interessante pois leva a uma funccedilatildeo ( ) um pouco mais simples e compacta Ficaremos com essa escolha
ou seja podemos afirmar que o potencial ao longo do eixo z de um aro eletrizado eacute
( ) = 2 radic +
Note que essa funccedilatildeo soacute eacute vaacutelida para pontos sobre o eixo z do aro Sobre os outros pontos no espaccedilo fora
desse eixo natildeo temos ideia do valor do potencial Essa expressatildeo vale para ge 0 e lt 0 Note a simetria (minus ) = ( ) Vamos considerar agora o exemplo de uma casca
esfeacuterica de raio eletrizada com uma densidade de carga
eleacutetrica uniforme A Figura 8 ao lado mostra essa casca
(em azul) e dois pontos A e B para os quais queremos
calcular ( ) minus ( ) O ponto A estaacute dentro da casca
( lt ) e o ponto B estaacute fora ( gt ) Da definiccedilatildeo
Figura 7 potencial eleacutetrico ao longo do eixo z de um aro eletrizado tomando duas referecircncias diferentes ( rarr infin) = 0 (curva verde) e ( = 0) = 0 (curva vermelha)
A
B Figura 8 Dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma casca esfeacuterica eletrizada (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera)
153
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
( ) minus ( ) = ∙
De acordo com o teorema das cascas o campo eleacutetrico que essa casca esfeacuterica eletrizada produz no espaccedilo eacute
( ) = 0 se lt ( ) = 4 se gt
sendo = 4 a carga eleacutetrica total acumulada na casca esfeacuterica Portanto devemos levar em conta que
no caminho que conecta A e B qualquer que seja ele o campo eleacutetrico muda ao longo desse caminho
conforme estamos caminhando dentro ou fora da casca esfeacuterica Como de praxe qualquer caminho de A ateacute B
pode ser utilizado nesse caacutelculo mas sempre haacute um caminho mais apropriado
Aqui antes de prosseguirmos podemos introduzir a ideia de ldquosuperfiacutecie equipotencialrdquo Uma
superfiacutecie equipotencial eacute aquela na qual o potencial eleacutetrico assume um valor constante Dessa forma se e
satildeo dois pontos quaisquer que pertencem a uma superfiacutecie equipotencial entatildeo ( ) = ( ) Como
sabemos quais satildeo as superfiacutecies equipotenciais para uma distribuiccedilatildeo de cargas particular Em princiacutepio
devemos olhar a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) analisar sua dependecircncia das coordenadas espaciais e
descobrir a partir daiacute em quais superfiacutecies no espaccedilo vale a equaccedilatildeo ( ) =constante Mas as superfiacutecies
equipotenciais possuem uma propriedade simples que nos permite muitas vezes descobrir quem elas satildeo
antes mesmo de conhecermos a funccedilatildeo ( ) A propriedade marcante de uma superfiacutecie equipotencial eacute o
campo eleacutetrico eacute ortogonal a todos os pontos de uma superfiacutecie equipotencial e analogamente uma
superfiacutecie equipotencial eacute ortogonal ao campo eleacutetrico em todos os seus pontos Haacute vaacuterias maneiras de
demonstrar isso Aqui vamos partir da ideia simples de que para A e B quaisquer vale
( ) minus ( ) = ∙
Portanto para dois pontos A e B separados por uma distacircncia infinitesimal vale = minus ∙ pois
= + minus ( ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙
(a integral dentro de um intervalo infinitesimal eacute igual ao proacuteprio integrando) A diferenccedila infinitesimal de
potencial eleacutetrico ( ) entre dois pontos quaisquer do espaccedilo separados por um deslocamento infinitesimal
eacute dada pelo produto escalar minus ∙ Conclusatildeo i) para quaisquer dois pontos de uma superfiacutecie
equipotencial vale = 0 e portanto ∙ = 0 de onde concluiacutemos que estando na superfiacutecie (pois A e
B tambeacutem estatildeo) segue que estaacute ortogonal a essa superfiacutecie (porque o produto escalar entre vetores
ortogonais entre si eacute nulo) ii) se haacute uma superfiacutecie que eacute ortogonal a em todos os seus pontos entatildeo
154
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
∙ = 0 para quaisquer dois pontos proacuteximos nessa superfiacutecie separados por de onde concluiacutemos que = 0 para esses dois pontos e que portanto ( ) =constante nessa superfiacutecie
Voltamos agora ao problema da casca esfeacuterica Vemos que o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior da
casca eacute radial e que portanto eacute ortogonal
agraves superfiacutecies esfeacutericas concecircntricas agrave casca
Segue que essas superfiacutecies esfeacutericas de
raio qualquer gt satildeo superfiacutecies
equipotenciais Isso vale tambeacutem para a
proacutepria superfiacutecie da casca esfeacuterica
eletrizada ou seja = Na Figura 9 ao
lado mostramos (em vermelho) uma
superfiacutecie equipotencial que conteacutem o ponto B ou seja todos os pontos dessa superfiacutecie esfeacuterica possuem o
mesmo potencial eleacutetrico ( ) inclusive o ponto C mostrado que se conecta com A atraveacutes de um caminho
estritamente radial (em verde) Nossa ideia aqui eacute entatildeo calcular ( ) minus ( ) sabendo que ( ) = ( ) O ponto X faz parte do caminho radial AC e estaacute exatamente sobre a casca eletrizada ( = )
marcando a posiccedilatildeo em que o campo eleacutetrico muda de comportamento
Conclusatildeo desmembrando o caminho AC em AX + XC obtemos
( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ + ∙
Substituindo as funccedilotildees em cada regiatildeo e considerando que em um caminho radial vale = obtemos
( ) minus ( ) = 0 ∙ + 4 ∙ = 4 1
Concluindo (usando = e = ) ( ) minus ( ) = 4 minus 1 = 4 1 minus 1
Vemos que se = vale ( ) = ( ) qualquer que seja o ponto A dentro da casca eletrizada De fato em
toda essa regiatildeo interior vale ( ) = 0 e portanto todo o volume dentro da casca esfeacuterica eacute equipotencial e
possui o mesmo potencial da superfiacutecie = O valor desse potencial natildeo estaacute definido agrave priori pois
conforme jaacute discutimos somente diferenccedilas de potencial eleacutetrico satildeo definidas por esse formalismo Para
definir ldquoo potencialrdquo em cada ponto devemos fixar uma referecircncia onde = 0 Se tomarmos um ponto B no
infinito vemos que
Figura 9 Dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma casca esfeacuterica eletrizada Uma superfiacutecie equipotencial (em vermelho) de raio
onde vale ( ) = ( ) C eacute um ponto dessa superfiacutecie (note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas)
( ) = ( )
A
B
C
X
155
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
( ) minus (infin) = 4 1 minus 1infin = 4 rArr ( ) = (infin) + 4 Essa equaccedilatildeo mostra que se fixarmos um valor para (infin) automaticamente fixamos um valor para o
potencial em qualquer ponto (A) no interior da casca eletrizada Se arbitrarmos (infin) = 0 segue que valor do
potencial eleacutetrico nessa regiatildeo interior da casca fica dado por
( le ) = 4 Na regiatildeo exterior agrave casca ( gt ) obtemos (fixamos o ponto B em um raio qualquer = gt )
( ) = ( ) = ( ) minus 4 1 minus 1 rArr ( ) = 4 minus 4 1 minus 1 rArr ( gt ) = 4 que eacute o potencial de uma carga pontual localizada na origem (teorema das cascas)
Os graacuteficos ao lado ilustram os comportamentos do moacutedulo do campo
eleacutetrico e do potencial eleacutetrico em funccedilatildeo do raio supondo gt 0 Vemos
que o campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo na casca eletrizada ( = ) um artifiacutecio
do modelo de distribuiccedilatildeo de carga bidimensional mas o potencial eleacutetrico eacute
contiacutenuo No interior da casca o campo eleacutetrico eacute nulo e o potencial eacute
constante No exterior da casca tudo se daacute como se houvesse uma carga
pontual no centro da casca o campo eleacutetrico decai com 1 e o potencial
eleacutetrico decai com 1 (teorema das cascas)
Suponha um gerador de Van de Graaff que vai acumulando
progressivamente cargas eleacutetricas em uma casca esfeacuterica metaacutelica de raio = 10 cm Sabemos que a quebra de rigidez dieleacutetrica do ar ocorre quando a magnitude do campo eleacutetrico
na vizinhanccedila dessa esfera atinge o valor =30 kVcm (isso significa que se houver uma diferenccedila de
potencial de 30000 volts entre dois pontos separados pela distacircncia de 1 cm no ar vai haver conduccedilatildeo de
cargas eleacutetricas entre esses dois pontos atraveacutes do ar) Qual o potencial e a carga eleacutetrica maacuteximos que
podem ser atingidos nesse gerador As cargas eleacutetricas vatildeo sendo depositadas nessa casca metaacutelica e se
concentrando em uma densidade de cargas superficial uniforme Enquanto isso o campo eleacutetrico nas
proximidades da casca vai crescendo pois ele eacute dado por = No instante em que = o
ar proacuteximo agrave casca deixa de ser isolante e passa a conduzir cargas eleacutetricas para o proacuteprio ar circundante e
centelhas passam a saltar da casca para o ar circundante A carga eleacutetrica acumulada na casca metaacutelica para de
crescer Nesse instante vale = Portanto a carga eleacutetrica maacutexima acumulada na casca eacute = 4 ou seja = 4 e o potencial maacuteximo na casca esfeacuterica metaacutelica eacute (com (infin) = 0)
( )
( )
156
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
= 4 = 4 4 =
Com os valores numeacutericos obtemos cong 33 times 10 C e cong 300 kV Natildeo se deve brincar com um
gerador de Van de Graaff
Antes de continuar vamos dar uma olhada nas superfiacutecies equipotenciais de algumas distribuiccedilotildees de
cargas simples
A Figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico (Figura retirada
do livro claacutessico Static and Dynamic Electricity W R Smythe) as
linhas de forccedila de (linhas cheias) e as linhas equipotenciais (linhas
tracejadas) que satildeo cortes no plano do dipolo das superfiacutecies
equipotenciais (essas superfiacutecies podem ser ldquovisualizadasrdquo girando
a Figura em torno do eixo horizontal) Note que as linhas cheias e
as linhas tracejadas se interceptam ortogonalmente pois as
superfiacutecies equipotenciais satildeo ortogonais a em todos os seus
pontos A linha reta central tracejada eacute a interseccedilatildeo do plano = 0
com o plano do dipolo Como esse plano se estende ateacute o infin entatildeo
o potencial nele eacute o mesmo potencial no infin que eacute (infin) = 0 Se o
poacutelo + estaacute agrave direita na Figura entatildeo nesse lado vale gt 0 e no lado esquerdo vale lt 0 O plano = 0
separa essas duas regiotildees A Figura ao lado
(httpswwwwolframcommathematica) representa essas superfiacutecies em
3D Plano = 0 em verde e superfiacutecies gt 0 em azul Um iacuteon viajando na
vizinhanccedila desse dipolo vai atravessando essas superfiacutecies modificando sua
energia cineacutetica
A Figura ao lado mostra um esboccedilo que fizemos para o caso de uma
haste fina de tamanho L com densidade de carga
uniforme gt 0 As linhas de forccedila de satildeo as linhas
orientadas e as linhas azul verde e vermelha satildeo
cortes no plano da haste de trecircs superfiacutecies
equipotenciais (essas superfiacutecies que satildeo elipsoacuteides
podem ser ldquovisualizadasrdquo girando a Figura em torno
do eixo horizontal) Note que as linhas de forccedila e as
linhas equipotenciais se interceptam (ou pelo menos
157
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
deveriam se interceptar mas esse eacute apenas um esboccedilo ldquona matildeordquo) ortogonalmente pois as superfiacutecies
equipotenciais satildeo ortogonais a em todos os seus pontos
A Figura ao lado tenta passar a ideia de uma dessas superfiacutecies
equipotenciais no espaccedilo 3D A haste eletrizada estaacute sobre o eixo
maior do elipsoacuteide em uma posiccedilatildeo central os focos do elipsoacuteide
estatildeo nas extremidades da haste Em todos os pontos desse elipsoacuteide
vale ( ) =constante
No capiacutetulo 2 tivemos oportunidade de discutir as propriedades gerais de condutores em equiliacutebrio
eletrostaacutetico Laacute mencionamos que algumas dessas propriedades podem ser demonstradas facilmente usando
o conceito de potencial eleacutetrico Portanto vamos voltar a discuti-las aqui
Apenas para lembrar os materiais condutores (perfeitos) possuem um manancial ilimitado de
portadores de carga em seu interior que se movimentam e assumem posiccedilotildees de equiliacutebrio (nas superfiacutecies)
ao sabor das influecircncias de outras cargas eleacutetricas colocadas na vizinhanccedila do condutor (tanto fora quanto
dentro de uma cavidade)
Concluiacutemos daiacute que no equiliacutebrio eletrostaacutetico de um condutor deve valer a condiccedilatildeo ( ) = 0 em
todo o seu interior (senatildeo natildeo seria eletrostaacutetica) Portanto com base no que vimos aqui concluiacutemos que o
volume de um condutor e toda a sua superfiacutecie exterior e interior (se houver uma cavidade) possuem o
mesmo potencial eleacutetrico ou seja constituem uma regiatildeo equipotencial Em particular as superfiacutecies do
condutor (exterior e interior no caso de haver uma cavidade) satildeo superfiacutecies equipotenciais
Tentamos argumentar no capiacutetulo 2 que o campo eleacutetrico exterior ao condutor tatildeo proacuteximo de sua
superfiacutecie quanto queiramos (superfiacutecies exterior e interior no caso de haver uma cavidade) eacute ortogonal a
essa superfiacutecie Vemos agora que essa eacute uma propriedade geral das superfiacutecies equipotenciais
Podemos entender tambeacutem porque natildeo pode haver campo eleacutetrico dentro de
uma cavidade vazia (sem cargas eleacutetricas) em um condutor Estando a cavidade vazia as
linhas de forccedila de um hipoteacutetico que houvesse dentro dessa cavidade deveriam nascer
e morrer na superfiacutecie da cavidade (elas natildeo podem nascer ou morrer no nada dentro da
cavidade) Portanto tomando uma linha de forccedila desse campo que conecta dois
pontos A e B na superfiacutecie da cavidade e utilizando essa linha de forccedila como caminho de
integraccedilatildeo obtemos (ver Figura ao lado)
( ) minus ( ) = ∙
A
B
+
-
+++++++++++++
158
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Essa linha de forccedila (hipoteacutetica) possui somente uma orientaccedilatildeo (digamos de A para B) assim como
(ver a Figura acima) Segue que o sinal de ∙ estaacute fixo em todo o percurso AB Portanto segue que ( ) ne ( ) o que eacute um absurdo pois sabemos que a superfiacutecie da cavidade eacute equipotencial Conclusatildeo natildeo
pode haver nenhum campo dentro da cavidade vazia
Mostramos tambeacutem que a carga eleacutetrica total na superfiacutecie da cavidade eacute nula caso contraacuterio a lei de
Gauss natildeo valeria Mas especulamos que poderia haver uma densidade de carga nessa superfiacutecie que fosse
positiva em uma regiatildeo e negativa em outra de tal forma que = 0 O mesmo raciociacutenio acima mostra
que essa ideia eacute absurda pois se houvesse essas cargas positivas e negativas na superfiacutecie da cavidade ( ne 0)
haveria campo eleacutetrico dentro da cavidade vazia (dado por proacuteximo agrave superfiacutecie dentro da cavidade) e jaacute
sabemos que natildeo haacute esse campo
Esses dois uacuteltimos argumentos acima natildeo se aplicam a cavidades com cargas eleacutetricas dentro delas
pois nesse caso as linhas de forccedila do campo eleacutetrico dentro da cavidade podem (e vatildeo fazer isso)
nascermorrer na superfiacutecie da cavidade e morrernascer nas cargas dentro da cavidade Nenhuma linha de
forccedila vai nascer e morrer na superfiacutecie da cavidade A Figura ao lado ilustra o caso de um dipolo colocado
dentro de uma cavidade no interior de um condutor O dipolo induz na superfiacutecie da cavidade uma densidade
de carga que eacute positiva em uma regiatildeo e negativa em outra de tal forma que = 0 As linhas de forccedila de conectam os poacutelos do dipolo agraves cargas na superfiacutecie
da cavidade Haacute cargas eleacutetricas na superfiacutecie da cavidade e haacute campo eleacutetrico no
interior da cavidade Nada disso contradiz o fato de que a superfiacutecie da cavidade eacute
equipotencial (como tem que ser no equiliacutebrio eletrostaacutetico) Note que as linhas de forccedila
de se aproximam da superfiacutecie da cavidade ortogonalmente
No capiacutetulo 1 discutimos tambeacutem a troca de cargas eleacutetricas entre dois condutores que se tocam e
comentamos que o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior das cargas Aqui podemos tornar essa ideia
mais quantitativa Imagine uma esfera metaacutelica de raio que possui inicialmente um excesso de carga
eleacutetrica Uma segunda esfera metaacutelica de raio e eletricamente neutra eacute colocada em contato eleacutetrico
com a primeira esfera Sabemos que cargas eleacutetricas vatildeo fluir da esfera 1 para a esfera 2 (pois elas formam um
condutor soacute) e um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico vai se estabelecer Como seraacute a divisatildeo da carga entre as
duas esferas Ao se tocarem as duas esferas se tornam um condutor apenas e portanto uma equipotencial
apenas No equiliacutebrio eletrostaacutetico vai valer a igualdade entre os potenciais eleacutetricos nas superfiacutecies das duas
esferas (e nos volumes tambeacutem) Desprezando a influecircncia de uma esfera sobre a outra (eletrizaccedilatildeo por
induccedilatildeo) supondo que elas satildeo mantidas a uma distacircncia razoaacutevel uma da outra podemos utilizar a expressatildeo
para o potencial em uma esfera isolada e afirmar que no equiliacutebrio (com as esferas conectadas) vale
+
- +
+ +
- - -
159
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
= rArr4 = 4 rArr = valendo ainda + = Concluindo a carga eacute partilhada entre as duas esferas de acordo com
= 1 + = 1 +
Se as esferas forem iguais ( = ) entatildeo a carga seraacute partilhada frac12 a frac12 = = 2 Caso contraacuterio a
esfera maior vai ficar com mais carga eleacutetrica Se vocecirc considerar que a esfera 2 eacute o planeta Terra entatildeo = cong 6400000 m e em geral cong 0 o que torna faacutecil entender por que um aterramento escoa
todos os acuacutemulos de cargas eleacutetricas para a Terra = (1 + 0) = e = (1 +infin) = 0
Como uacuteltimo exemplo de caacutelculo de diferenccedila de
potencial eleacutetrico via campo eleacutetrico vamos considerar um
plano infinito carregado com uma densidade de carga
eleacutetrica superficial uniforme Considere dois pontos A e B
na vizinhanccedila desse plano no mesmo lado do plano
conforme a Figura 10 ao lado Queremos calcular a
diferenccedila de potencial
( ) minus ( ) = ∙
e jaacute sabemos que nesse lado do plano o campo eacute dado por
= 2 sendo z a direccedilatildeo ortogonal ao plano carregado Qual
curva vamos utilizar nessa integraccedilatildeo Considere que as
superfiacutecies equipotenciais para essa configuraccedilatildeo de
cargas eleacutetricas satildeo planos paralelos ao plano
carregado ou seja superfiacutecies z=constante Essas
superfiacutecies satildeo ortogonais ao campo eleacutetrico do plano em todos os pontos do espaccedilo A Figura 11 mostra uma
dessas superfiacutecies equipotenciais (bordas em azul) que conteacutem o ponto B e o ponto C ( ( ) = ( )) que
estaacute na mesma linha de A ao longo de um eixo paralelo ao eixo z O caminho vermelho que conecta A e C eacute
portanto um caminho paralelo ao eixo z Assim sendo nesse caminho vale = e segue que
( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = 2 ∙ = 2 = 2 ( minus )
z
A
B
Figura 10 dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma superfiacutecie plana infinita com densidade de carga uniforme
z
A
B
Figura 11 o ponto C possui o mesmo potencial do ponto B pois eles estatildeo em um plano z=constante
C
160
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
sendo e as coordenadas z dos pontos A e B (note que = ) A diferenccedila de potencial depende
essencialmente da distacircncia entre A e B mas a distacircncia apenas ao longo do eixo z (uma espeacutecie de altura)
Vamos pensar agora em uma referecircncia onde poderiacuteamos fixar = 0 e definir entatildeo o valor do
potencial eleacutetrico em todos os pontos do espaccedilo nesse lado do plano Note que aqui natildeo faz sentido em se
pensar em uma referecircncia no infin (se fizermos rarr infin obtemos ( ) minus (infin) rarr infin para todo ponto A) pois
isso tornaria o potencial infinito em todos os pontos do espaccedilo Isso ocorre porque o campo eleacutetrico do plano
carregado eacute uniforme e portanto natildeo diminui de valor no infin Assim sendo natildeo faz sentido em se dizer que o
potencial eleacutetrico (a influecircncia) do plano carregado se anula no infin Uma alternativa razoaacutevel eacute tomar como
referecircncia o potencial no proacuteprio plano carregado ou seja fixar (0) = 0 (colocando o plano carregado na
origem do eixo z) Tomando o ponto A sobre o plano carregado ( = 0) e fazendo ( ) = 0 obtemos ( ) minus ( ) = (0) minus ( ) = 2 ( minus 0) rArr ( ) = minus2
O ponto B eacute um ponto de coordenada = qualquer Para gt 0 quando andamos ao longo do eixo z
positivo indo para rarr infin o potencial deve diminuir (pois o campo eleacutetrico do plano carregado aponta nesse
sentido) Se ele eacute nulo sobre o plano carregado entatildeo ele tem que se tornar negativo para gt 0 Tendo em
vista a simetria do plano esperamos que a mesma ideia valha quando andamos ao longo do eixo z negativo
indo para rarr minusinfin Portanto para lt 0 deve valer ( ) = minus2 | | Concluindo como para gt 0 vale | | = segue que a expressatildeo acima vale dos dois
lados do plano carregado (uma simetria (minus ) = ( )) Os graacuteficos ao lado mostram
os comportamentos do campo eleacutetrico e do potencial eleacutetrico em funccedilatildeo da
coordenada z ortogonal ao plano carregado (para gt 0) Um valor negativo do
campo eleacutetrico significa um campo ao longo de ndashz O campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo no
plano carregado mas o potencial eleacutetrico eacute contiacutenuo No infinito o potencial diverge
vai para minusinfin Por essa razatildeo se tentamos zerar o potencial no infinito (onde ele de
fato diverge) o potencial passa a divergir em todos os pontos do espaccedilo
Vemos portanto que o plano infinito com densidade de carga uniforme eacute
um exemplo em que natildeo podemos tomar a referecircncia (infin) = 0 Ela natildeo funciona pois leva a uma
divergecircncia na funccedilatildeo ( ) De fato o potencial eleacutetrico assim como o campo eleacutetrico eacute uma grandeza que
representa uma influecircncia que uma distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo ao seu redor Dizer que (infin) = 0 equivale portanto a dizer que essa influecircncia deixou de existir a uma distacircncia infinita da
distribuiccedilatildeo de cargas Isso eacute sempre verdade para uma distribuiccedilatildeo de cargas limitada em uma regiatildeo finita do
espaccedilo quando nos afastamos dela ela vai se tornando cada vez menor ateacute que deixamos de sentir sua
( )
( )
161
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
influecircncia ( rarr 0 e rarr = 0) No caso do plano infinito essa ideia natildeo funciona natildeo conseguimos nos
afastar de um plano infinito ele natildeo fica menor Por essa razatildeo o campo eleacutetrico de um plano infinito eacute
uniforme ou seja natildeo decai a zero quando nos afastamos dele = 2 qualquer que seja o valor da
coordenada z medida em relaccedilatildeo ao plano carregado O mesmo problema ocorre com um cilindro infinito
com densidade de carga linear uniforme O campo eleacutetrico desse cilindro decai a zero no infinito mas de
uma forma muito lenta ( ) = 2 sendo o raio medido em relaccedilatildeo ao cilindro carregado Por essa
razatildeo tambeacutem natildeo conseguimos adotar a referecircncia (infin) = 0 para o cilindro carregado com densidade de
carga uniforme
Para tornar essa ideia mais quantitativa imagine que a uma distacircncia muito grande de uma
distribuiccedilatildeo de cargas o campo eleacutetrico dessa distribuiccedilatildeo tenha o seguinte comportamento assintoacutetico ( ≫ 1) = sendo gt 0 uma constante e ge 0 um expoente de decaimento Para o caso de uma carga pontual (ou um
aro ou um disco com cargas uniformes conforme jaacute vimos) vale = 2 para um dipolo eleacutetrico pontual vale = 3 e assim por diante Mas para o cilindro infinito com densidade de carga uniforme vale = 1 e para o
plano infinito com densidade de carga uniforme vale = 0 (campo independente da distacircncia) Portanto
vamos calcular a diferenccedila de potencial entre um ponto A (distante) em um raio ≫ 1 e um ponto no infinito
(atraveacutes de um caminho radial)
( ) minus (infin) = ∙ = = 1 minus (infin minus ) Agora tomando (infin) = 0 obtemos ( ) = ( ) = 1 minus (infin minus ) Vemos que para ge 2 natildeo haacute nenhum problema nessa expressatildeo pois infin rarr 0 Mas para o plano infinito
fica claro que ( ) diverge (infin = infin rarr infin) ou seja natildeo podemos tomar (infin) = 0 Para o cilindro infinito
as coisas satildeo mais estranhas pois obtemos uma indeterminaccedilatildeo (infin = infin rarr) Com um pouco de
paciecircncia podemos concluir que nesse caso ( ) tambeacutem diverge mas mais lentamente do que no caso do
plano infinito Natildeo podemos tomar (infin) = 0 para o cilindro com uniforme
Sendo esses objetos infinitos apenas idealizaccedilotildees apropriadas para descrever objetos reais que satildeo
grandes mas de fato finitos concluiacutemos que essa limitaccedilatildeo na escolha de (infin) eacute apenas um artefato desses
modelos Em geral para objetos reais sempre podemos admitir que (infin) = 0 eacute uma escolha conveniente de
referecircncia para o potencial eleacutetrico Note que a limitaccedilatildeo a que nos referimos aqui estaacute na distribuiccedilatildeo de
cargas eleacutetricas e natildeo no objeto suporte dessas cargas Poderiacuteamos imaginar distribuiccedilotildees de cargas
162
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
suficientemente limitadas definidas em planos e cilindros infinitos de tal forma que a escolha (infin) = 0 seria
perfeitamente possiacutevel Um caso simples seria uma mancha de carga natildeo uniforme definida em um plano
infinito como por exemplo ( ) = sendo uma constante e um raio medido paralelamente ao
plano partindo de um ponto central qualquer nesse plano Essa mancha de carga se estende por todo o plano
infinito mais decai a zero agrave medida que nos afastamos do centro do plano estando basicamente
concentradalimitada proacuteximo a esse centro Trata-se portanto de uma distribuiccedilatildeo de cargas limitada cuja
influecircncia se anula rapidamente no infinito e que admite a escolha de referecircncia (infin) = 0
322 Caacutelculo do potencial eletrostaacutetico via princiacutepio da superposiccedilatildeo
Pode ocorrer de desejarmos calcular o potencial eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas cujo
campo eleacutetrico natildeo conhecemos agrave priori e portanto o formalismo que discutimos na seccedilatildeo anterior se torna
inuacutetil Nesses casos calcular primeiro o campo eleacutetrico para calcular depois o potencial eleacutetrico natildeo eacute
necessariamente uma boa estrateacutegia Um meacutetodo mais eficiente eacute calcular diretamente o potencial eleacutetrico
utilizando o resultado jaacute conhecido para o potencial de uma uacutenica carga eleacutetrica pontual qual seja ( ) = 4 e o princiacutepio da superposiccedilatildeo Para um conjunto discreto de cargas pontuais ( = 1hellip ) basta fazer o
somatoacuterio
( ) = 4 sendo a distacircncia da carga ateacute o ponto onde o potencial estaacute sendo avaliado
Considere o exemplo de um objeto dipolar ( = 2) como
mostrado na Figura 12 Duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas plusmn
estatildeo separadas no espaccedilo por uma distacircncia formando o que
chamamos de dipolo eleacutetrico Utilizando o referencial na Figura
vamos calcular o potencial que esse dipolo produz no ponto
mostrado cujo raio a partir da origem faz um acircngulo com o eixo
do dipolo (eixo z) Depois vamos estar interessados no limite desse potencial quando o dipolo se torna muito
pequeno como uma moleacutecula de aacutegua O princiacutepio da superposiccedilatildeo diz que
( ) = 4 prime + (minus )4 = 4 1prime minus 1
Esse eacute o potencial eleacutetrico em P estabelecido pelo dipolo eleacutetrico mostrado na Figura 12 Note que jaacute haacute uma
referecircncia previamente adotada para o potencial que eacute (infin) = 0 Essa referecircncia foi herdada de
minusprime
Figura 12 Um dipolo eleacutetrico e um ponto P em sua vizinhanccedila
163
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Podemos ver na expressatildeo acima que isso eacute verdade quando rarr infin e prime rarr infin ou seja rarr infin Podemos
especificar melhor o potencial em termos das coordenadas e que determinam o ponto Basta ver que prime = + minus 2 cos( ) Portanto
( ) = ( ) = 4 1+ minus 2 cos( ) minus 1
Agora como temos feito no contexto do campo eleacutetrico queremos especializar essa expressatildeo de ( ) para o caso de um dipolo pequeno ou seja para cong 0 Jaacute estamos habituados a executar esse
caacutelculo Basta colocar em evidecircncia que a razatildeo = fica expliacutecita e utilizar a expansatildeo binomial
truncada (com = minus12) Portanto ( ) = 4 11 + minus 2 cos( ) minus 1
Jaacute desprezando o obtemos
( ) = 4 11 minus 2 cos( ) minus 1 = 4 1 + minus12 (minus2 cos( )) minus 1
Concluindo ( ) = 4 cos( ) = cos( )4 em que substituiacutemos como de haacutebito = para o moacutedulo do momento de dipolo eleacutetrico = desse
dipolo Se considerarmos um iacuteon de carga eleacutetrica na vizinhanccedila dessa ldquomoleacuteculardquo dipolar fixa no espaccedilo
exatamente nesse ponto especificado pelas coordenadas e a energia potencial eleacutetrica desse iacuteon seraacute
= ( ) = cos( )4 Enquanto esse iacuteon viaja pelo espaccedilo (varrendo e ) sob accedilatildeo das forccedilas de atraccedilatildeorepulsatildeo produzidas pela
moleacutecula dipolar nele sua energia potencial eleacutetrica vai mudando e sendo convertida em outras formas de
energia (cineacutetica por exemplo)
Jaacute discutimos o caso de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas macroscoacutepicas densamente distribuiacutedas em
uma certa regiatildeo do espaccedilo (manchas de carga) Aqui usaremos a mesma ideia e tomaremos o limite do
contiacutenuo (LC) para calcular o potencial eleacutetrico produzido por essas distribuiccedilotildees de cargas Assim sendo nesse
limite
( ) = 4 4
164
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
sendo uma regiatildeo do espaccedilo onde estaacute definida a mancha de cargas eleacutetricas a carga eleacutetrica
infinitesimal de um fragmento infinitesimal dessa mancha e a distacircncia desse fragmento ateacute o ponto onde
o potencial eleacutetrico estaacute sendo avaliado
Vamos ilustrar essa ideia calculando novamente o potencial eleacutetrico em um ponto P no eixo (z) de um
aro eletrizado com uma densidade de carga eleacutetrica uniforme Jaacute calculamos
esse potencial atraveacutes da integral do campo eleacutetrico do aro e agora
ignoraremos o conhecimento desse campo A Figura 13 ao lado ilustra o aro
(em zul) e o ponto P que estaacute a uma distacircncia z do centro do aro Obtemos ( ) = 4 = 14
Na integral acima consideramos que enquanto percorremos o aro realizando a
soma o raio eacute constante e pode sair de dentro do siacutembolo de integral
Portanto sendo = 2 a carga eleacutetrica total acumulada no aro e = radic + obtemos ( ) = ( ) = 4 = 2 4 radic + = 2 radic + Note que obtivemos aqui o mesmo resultado anterior em que utilizamos o campo eleacutetrico do aro para
calcular ( ) mas jaacute com a referecircncia ( rarr infin) = 0 Isso porque essa referecircncia jaacute estaacute impliacutecita no
potencial da carga pontual Mas se desejarmos podemos mudar livremente a referecircncia pois podemos
usar a expressatildeo acima e voltar para a expressatildeo da diferenccedila de potencial
( ) minus ( ) = 2 1+ minus 1+
Agora podemos redefinir a referecircncia que acharmos mais conveniente Mas natildeo ganharemos nada com isso
Esse meacutetodo de caacutelculo do potencial eleacutetrico eacute geralmente mais vantajoso que o primeiro baseado em
uma integral do campo eleacutetrico Isso porque ele natildeo requer o conhecimento preacutevio do campo eleacutetrico e
envolve apenas uma integral de uma funccedilatildeo escalar Haacute poucos casos em que esse meacutetodo natildeo se aplica
diretamente pelo fato de ele pressupor a referecircncia (infin) = 0 Satildeo aqueles casos que jaacute discutimos de
distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica infinitas e uniformes como o plano e o cilindro infinitos em que essa referecircncia
para o potencial eleacutetrico natildeo funciona Considere por exemplo o caso do plano infinito eletrizado com uma
densidade de carga eleacutetrica uniforme Jaacute obtivemos o potencial eleacutetrico desse plano e vimos que natildeo eacute
possiacutevel tomar (infin) = 0 basicamente porque mesmo no infinito a influecircncia do plano eletrizado eacute ainda
intensa Vamos tentar calcular o potencial eleacutetrico desse plano atraveacutes do meacutetodo baseado no princiacutepio da
Figura 13 um aro fino eletrizado O ponto P estaacute a uma distacircncia z do centro do aro
z
P
z
165
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
superposiccedilatildeo Para isso vamos tomar um atalho e aproveitar o potencial que jaacute
obtivemos para o aro pensando no plano infinito como uma sucessatildeo de aros
um dentro do outro formando um disco infinito A Figura 14 ao lado ilustra
essa ideia Considere um aro de raio e espessura Esse aro possui aacuterea = 2 e carga eleacutetrica = = 2 O potencial eleacutetrico
que esse aro de raio e carga eleacutetrica produz em P eacute de acordo com nosso
resultado acima (substituindo por por e por )
Portanto superpondo os potenciais eleacutetricos de infinitos aros com raios
variando de = 0 ateacute rarr infin obtemos
( ) = = 14 radic + = 14 2 radic + = 2 radic + Vamos fazer uma pausa aqui (pois jaacute podemos ver que a integral diverge) e ao inveacutes de integrarmos
ateacute infin vamos integrar ateacute um raio finito = para obter o potencial sobre o eixo (z) de um disco eletrizado
com uma densidade de carga eleacutetrica uniforme Esse potencial eacute (note que radic = | |) ( ) = ( ) = 2 radic + = 2 + minus | |
O graacutefico ao lado ilustra o comportamento desse potencial eleacutetrico (para gt0) No centro do disco o potencial vale (0) = 2
e no infinito ele decai a zero como jaacute estava programado para ser
Agora podemos retornar ao problema do plano infinito Em princiacutepio
basta fazer rarr infin na expressatildeo do potencial do disco Mas se fizermos isso obtemos ( ) rarr infin ou seja o
potencial diverge em todos os pontos na vizinhanccedila do plano infinito Concluiacutemos novamente que o potencial
do plano infinito natildeo eacute compatiacutevel com a escolha de referecircncia (infin) = 0 que estaacute impliacutecita nesse meacutetodo de
caacutelculo do potencial eleacutetrico Nesse caso poderiacuteamos apelar para o meacutetodo que se baseia no conhecimento
preacutevio do campo eleacutetrico que fornece ( ) minus ( ) e nos permite escolher a referecircncia conveniente e
possiacutevel de ser realizada para essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas
Mas ainda podemos aproveitar o resultado do potencial do disco para obter o potencial do plano
infinito Primeiramente nos livramos da referecircncia (infin) = 0 Fazemos isso voltando agrave expressatildeo da diferenccedila
Figura 14 um plano infinito pode ser pensado com uma superposiccedilatildeo de infinitos aros
z
P
z
( ) = 4 radic + rArr = 14 radic +
166
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
de potencial entre dois pontos que eacute independente de qualquer referecircncia Calculando entatildeo a diferenccedila de
potencial entre dois pontos sobre o eixo z do disco de raio dois pontos com coordenadas e prime obtemos ( ) minus ( ) = 2 + minus | | minus 2 + prime minus | prime|
Agora considerando que o raio eacute muito grande podemos fazer radic + = radic + prime =
Portanto para um disco grande ( ) minus ( ) = 2 (| prime| minus | |) Como natildeo haacute mais na expressatildeo de podemos fazer rarr infin que o resultado continua valendo Essa
eacute a diferenccedila de potencial entre dois pontos na vizinhanccedila de um plano infinito com densidade de carga
uniforme
Agora podemos escolher se desejarmos uma referecircncia adequada para esse potencial (que
obviamente natildeo eacute prime rarr infin) Por exemplo tomando ( = 0) = 0 obtemos um resultado jaacute conhecido ( ) = minus2 | | 33 A energia potencial eletrostaacutetica de um dipolo eleacutetrico
Considere uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas que estaacute na
vizinhanccedila de outra distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas conforme ilustrado
ao lado Seja ( ) o potencial eleacutetrico que as cargas produzem no
espaccedilo A energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre essas duas
distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas eacute
= ( ) sendo a posiccedilatildeo da carga
Como caso particular considere que eacute simplesmente um
dipolo eleacutetrico duas cargas eleacutetricas plusmn separadas por um deslocamento
(e momento de dipolo eleacutetrico = ) conforme a Figura ao lado A
energia potencial de interaccedilatildeo desse dipolo com as outras cargas eleacutetricas
eacute = + + (minus ) ( ) = + minus ( )
sendo a posiccedilatildeo da partiacutecula de carga minus A partiacutecula de carga estaacute na posiccedilatildeo + sendo o
deslocamento de em relaccedilatildeo a ndash (basicamente o tamanho e orientaccedilatildeo do dipolo) Vemos que a energia
minus
0
167
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
potencial que vamos chamar (para simplificar a linguagem) de energia potencial eleacutetrica do dipolo eacute dada
pela diferenccedila de potencial que existe entre as posiccedilotildees de seus dois poacutelos eleacutetricos (potencial criado no
espaccedilo pelas cargas )
A Figura ao lado ilustra um dipolo em uma regiatildeo em que existe um campo
eleacutetrico uniforme = Poderiacuteamos considerar aqui que as cargas satildeo
cargas eleacutetricas depositadas uniformemente em uma placa plana infinita com eixo
z ortogonal a essa placa pois jaacute vimos que essa placa produz um campo eleacutetrico
uniforme em cada um de seus lados Poderiacuteamos considerar tambeacutem que para um
dipolo pequeno como uma moleacutecula de aacutegua a aproximaccedilatildeo de que o campo eleacutetrico eacute uniforme ldquodentro do
dipolordquo eacute razoaacutevel Jaacute vimos que nesse caso a forccedila eleacutetrica resultante nesse dipolo eacute nula mas que haacute um
torque ( times ) que gira o momento de dipolo no sentido do alinhamento de com Na Figura acima o
dipolo eleacutetrico executaraacute um movimento pendular em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel em que estaacute
paralelo a (eixo z) a posiccedilatildeo = 0 Aqui queremos descrever essa interaccedilatildeo entre o campo = e o
dipolo atraveacutes de conceitos de energia Se calcularmos a energia potencial eleacutetrica do dipolo na presenccedila
desse campo = a posiccedilatildeo em que estaacute paralelo a deve ser a posiccedilatildeo de mais baixa energia
Jaacute vimos que o potencial eleacutetrico nesse caso eacute (com a referecircncia conveniente (0) = 0) ( ) = minus
Portanto = + minus ( ) = ( + cos( )) minus ( ) = minus ( + cos( )) minus [minus ]
Note que cos( ) eacute a projeccedilatildeo de ao longo do eixo z conforme a Figura ao lado
Concluindo = minus cos( ) = minus cos( ) = minus ∙
O graacutefico ao lado ilustra o comportamento de em funccedilatildeo do acircngulo entre os vetores e Vemos que a
posiccedilatildeo de alinhamento ( = 0) corresponde agrave menor energia potencial
eleacutetrica (= minus ) e que a posiccedilatildeo anticolinear ( = ) eacute a posiccedilatildeo de
mais alta energia (= ) No meio haacute a posiccedilatildeo de energia nula que
corresponde a = 2 (ortogonalidade entre os vetores e )
Esse conceito de energia potencial eleacutetrica orientacional
(dependente de ) para o dipolo eleacutetrico pode ser inserido no teorema do trabalho-energia Imagine a
situaccedilatildeo em que um dipolo eleacutetrico eacute solto do repouso da orientaccedilatildeo inicial = 2 Esse dipolo vai sofrer
minus
( )
cos( )
z
168
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
um torque times que vai giraacute-lo fornecendo a ele energia cineacutetica de rotaccedilatildeo Quando o dipolo passar
pela posiccedilatildeo alinhada = 0 sua energia cineacutetica de rotaccedilatildeo seraacute (desprezando outras forccedilastorques) ( 2) + ( 2) = (0) + (0) rArr 0 + 0 = (0) + (0) Portanto 0 = minus + (0) rArr (0) =
Vemos que enquanto o dipolo eleacutetrico gira sua energia potencial eleacutetrica orientacional vai sendo convertida
em energia cineacutetica Esse eacute basicamente o processo pelo qual um forno de microondas produz energia teacutermica
nos alimentos
34 Aplicaccedilotildees
Vamos repetir aqui alguns exemplos que demos no capiacutetulo 1 para o caacutelculo de campo eleacutetrico via
princiacutepio da superposiccedilatildeo Agora vamos calcular o potencial eleacutetrico
1) Considere uma haste fina de comprimento L que possui uma densidade de carga linear uniforme Vamos
calcular o potencial eleacutetrico que essa haste produz no ponto P mostrado na Figura abaixo
O ponto P estaacute a uma altura H da extremidade direita da haste
Note que estamos desprezando aqui a espessura da haste trata-se do
modelo de um objeto unidimensional Utilizaremos o princiacutepio da
superposiccedilatildeo e o caacutelculo integral
Destacamos em vermelho um segmento infinitesimal de haste
de comprimento que possui carga eleacutetrica = e que produz
em P um potencial eleacutetrico infinitesimal do tipo carga pontual
= 14 = 14 sendo = | | (o raio) definido na Figura Tudo que temos que fazer eacute somar esses s enquanto a carga
infinitesimal varre a haste de uma extremidade a outra Imaginamos que isso pode ser realizado atraveacutes de
uma integral na variaacutevel prime que eacute a posiccedilatildeo de na haste desde = 0 ateacute = Resumindo ( ) = = 4 Note na Figura que = + ( minus )
Finalmente considerando ainda que = prime obtemos
x
P
y
H
prime
minus
169
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
( ) = 4 = 4 prime+ ( minus ) Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) concluiacutemos que
( ) = 4 ln radic + minus
ln eacute a funccedilatildeo logaritmo natural
Note que se rarr 0 que significa uma haste muito pequena eou uma haste vista de uma distacircncia
muito grande obtemos
( ) rarr 4 ln minus = minus 4 ln minus = minus 4 ln 1 minus = minus 4 minus = 4
sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste Trata-se do resultado esperado
um potencial que decai com a distacircncia como no caso da carga pontual
Considere agora o caacutelculo do potencial no ponto Prsquo mostrado na Figura
15 ao lado Prsquo eacute um ponto que estaacute equumlidistante das extremidades da haste
Podemos calcular ( prime) utilizando nosso resultado acima para ( ) e o
princiacutepio da superposiccedilatildeo A ideia estaacute ilustrada na Figura abaixo Dividimos a
haste ao meio cada metade eacute uma haste de comprimento L2 e mesma
densidade de carga Vemos que o potencial em Prsquo eacute a soma dos potenciais
das duas hastes Conclusatildeo ( prime) = 2 ( prime) Note que nessa expressatildeo ( prime) eacute o potencial eleacutetrico calculado
anteriormente em um ponto P que estaacute a uma altura H da extremidade direita da
haste mas para uma haste de comprimento L2 Conclusatildeo
( prime) = 2 4 ln + ( 2) minus 2
Simplificando ( prime) = ( ) = 2 ln 2radic4 + minus
O graacutefico ao lado ilustra o comportamento de ( prime) em funccedilatildeo da altura
do ponto prime (para gt 0)
Figura 15 uma haste finaeletrizada uniformemente
Prsquo
H
Prsquo
H
1 2
170
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
Aqui natildeo podemos tomar o limite rarr infin por causa da referecircncia (infin) = 0 impliacutecita nessa expressatildeo
de potencial De fato fazendo rarr infin na expressatildeo acima obtemos ( prime) rarr 2 ln(infin) Para calcular o potencial da haste infinita com uniforme primeiramente calculamos a diferenccedila de
potencial entre dois pontos a uma altura e prime a uma altura prime ao longo do eixo central dessa haste
( ) minus ( prime) = 2 ln 2radic4 + minus minus ln 2 primeradic4 prime + minus
Juntando os termos similares obtemos ( ) minus ( prime) = 2 ln minus ln radic4 + minusradic4 prime + minus
Tomando agora o limite rarr infin vemos que o segundo termo resulta em
ln radic4 + minusradic4 prime + minus = ln 1 + 4( ) minus 11 + 4( ) minus 1 rarr ln 1 + 2( ) minus 11 + 2( prime ) minus 1 = ln prime = 2 ln prime
Usamos a expansatildeo binomial truncada radic1 + = 1 + (12) se cong 0 Portanto
( ) minus ( prime) = 2 ln minus 2ln prime
Concluindo (usando que ln(1 ) = ln( ) = minusln( )) ( ) minus ( prime) = 2 ln prime
Podemos fixar agora ( prime) = 0 desde que natildeo escolhamos prime rarr infin ou = 0 que seriam casos em
que a expressatildeo acima divergiria Dessa forma obtemos ( ) = ( ) = 2 ln prime
sendo prime uma constante onde vale = 0 Uma escolha conveniente eacute fazer = 1 m De tal forma que para
em metros vale ( ) = minus( 2 ) ln( ) 2) Vamos considerar agora o potencial no centro de uma casca ciliacutendrica de raio
interno raio externo e comprimento que possui uma densidade de carga
eleacutetrica volumeacutetrica uniforme A Figura ao lado ilustra o ponto P no centro dessa
casca Como natildeo conhecemos o campo eleacutetrico que essa casca ciliacutendrica produz no
espaccedilo (ou pelo menos sobre seu eixo de simetria) vamos apelar para o princiacutepio da superposiccedilatildeo
L
P
171
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
( ) =
sendo o potencial infinitesimal produzido em P por um pedaccedilo infinitesimal
da casca e a integral percorrendo toda a casca ciliacutendrica Devemos comeccedilar
escolhendo uma particcedilatildeo dessa casca imaginando que ela eacute uma ldquocolagemrdquo de
infinitos pedaccedilos infinitesimais Como jaacute temos o potencial do aro com carga
uniforme nossa ideia eacute pensar a casca como uma superposiccedilatildeo de infinitos aros
de espessuras infinitesimais A Figura ao lado ilustra essa ideia O aro (em
vermelho) de raio le le estaacute em uma posiccedilatildeo qualquer prime e a integral na
casca eacute uma integral no raio desde = ateacute = e em desde = 0 ateacute = Vemos que a posiccedilatildeo do
ponto P em relaccedilatildeo ao centro desse aro eacute 2 minus prime Nosso resultado para o potencial de um aro de raio com densidade de carga superficial uniforme
em um ponto de coordenada em relaccedilatildeo ao centro desse aro foi
( ) = 4 radic + sendo = 2 a carga eleacutetrica total distribuiacuteda no aro Aqui vamos considerar aros que satildeo fatias da casca
ciliacutendrica fatias de espessuras prime ao longo de prime ao longo do raio volume = 2 prime e carga
eleacutetrica = = 2 prime Portanto essa fatia da casca produz em P o potencial infinitesimal
= 4 radic + = prime2 radic + com = 2 minus prime Concluindo o potencial no ponto P eacute
( ) = = prime2 radic + = 2 + ( 2 minus prime) prime Utilizando o Maple obtemos
( ) = 4 4 + minus 4 + + 2 ln radic4 + +radic4 + minus minus 2 ln radic4 + +radic4 + minus
Para um cilindro maciccedilo = 0 obtemos
( ) = 4 4 + minus + 2 ln radic4 + +radic4 + minus
Para um cilindro estreito ≫ obtemos
x
L
P
0 x
L2 - xrsquo
172
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
( ) rarr 2 ( minus ) + 2 ln(1) minus 2 ln(1) = ( minus )2
Se aleacutem de estreito o cilindro eacute fino ou seja cong recuperamos o resultado para o potencial no
centro do aro com densidade de carga uniforme ( ) = 2
se entendermos que para a casca ciliacutendrica estreita e fina vale = 2 sendo a carga total no cilindro = ( minus )
Portanto (se = + com cong 0) = 2 = ( minus )2 = (2 )2 = = ( minus )
3) Vamos calcular a energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre uma
haste finas carregada e uma partiacutecula de carga como mostrado na
Figura ao lado A haste possui tamanho H e densidade de carga
uniforme Para obter essa energia de interaccedilatildeo vamos inicialmente
esquecer a carga pontual e calcular o potencial eleacutetrico ( ) que a
haste A produz em um ponto qualquer no plano da haste (plano xy)
ponto que seraacute ocupado posteriormente pela carga
A Figura ao lado resume as ideacuteias que precisamos para
calcular ( ) o potencial eleacutetrico que a haste produz em um ponto
P que seraacute ocupado depois pela carga Mostramos um segmento
infinitesimal da haste de carga = prime na posiccedilatildeo isin [0 ] da haste O ponto P possui coordenadas e arbitraacuterias (mas
constantes)
Do princiacutepio da superposiccedilatildeo
( ) = = 14 = 4 1 prime Na Figura vemos que = ( minus prime) + Portanto
( ) = 4 1 = 4 1( minus prime) + prime Concluindo (usando o Maple)
x
y H
x
y
A P
prime
173
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
( ) = ( ) = 4 ln ( minus ) + + minus+ minus
A Figura ao lado mostra o graacutefico de ( ) times (supondo gt 0) com a
distacircncia fixa = 2 (curva vermelha) e = 10 (curva verde) para uma
haste de tamanho = 10 (haste em azul na Figura) Note a simetria em
torno do centro da haste ( = 5)
O proacuteximo graacutefico mostra ( ) times (supondo gt 0) com a distacircncia
fixa = 5 (altura do meio da haste) para uma haste de tamanho = 10 Note que o potencial diverge exatamente sobre a haste ( =0)
O uacuteltimo graacutefico mostra duas curvas de ( ) times (supondo gt 0)
com a distacircncia fixa = 15 (curva verde) e = 20 (curva vermelha)
(alturas maiores que a da haste) para uma haste de tamanho = 10
Aqui natildeo haacute mais divergecircncia porque a varredura em natildeo atravessa a
haste em = 0 Note a simetria esquerda-direita
Enfim abaixo mostramos algumas superfiacutecies que representam a funccedilatildeo ( ) para = 10 e gt 0 A haste estaacute localizada sobre o eixo y no
intervalo isin [0 10] O ldquorasgordquo na superfiacutecie eacute um artifiacutecio causado pela
divergecircncia da funccedilatildeo sobre a haste
Agora podemos imaginar a partiacutecula de carga viajando na vizinhanccedila dessa haste sofrendo forccedila e
modificando sua energia Supondo gt 0 (e gt 0) podemos imaginar que a partiacutecula enxerga a haste como
uma montanha quando ela se aproxima da haste ela ganha energia potencial ( ) = ( ) e perde
energia cineacutetica Quando ela se afasta da haste ela desce a montanha perde energia potencial eleacutetrica e ganha
energia cineacutetica Se a carga fosse negativa ( lt 0) seria o oposto a partiacutecula seria atraiacuteda pela haste e a
174
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31
energia potencial da partiacutecula multiplicaria as superfiacutecie mostradas acima por minus1 (lembre-se que ( ) = ( )) a partiacutecula enxergaria a haste como um precipiacutecio Ao ldquocairrdquo em direccedilatildeo agrave haste a partiacutecula
perderia energia potencial e ganharia energia cineacutetica Ao se afastar do precipiacutecio a partiacutecula ganharia energia
potencial e perderia energia cineacutetica
Supondo por exemplo que a partiacutecula com gt 0 parta do repouso da posiccedilatildeo ( = 2) e seja
repelida pela haste sua energia cineacutetica ( ) seraacute dada por (de acordo com o teorema do trabalho-energia
cineacutetica) Δ + Δ = 0 rArr [ ( ) minus 0] + [ ( = 2) minus ( = 2)] = 0
A partiacutecula seguiria uma trajetoacuteria reta ao longo de x mantendo fixo = 2 (por simetria) Portanto ( ) = ( = 2) minus ( = 2) = [ ( = 2) minus ( = 2)] ( ) = 4 ln + 2 ++ 2 minus minus ln radic + 2 +radic + 2 minus
O graacutefico ao lado mostra a curva de ( ) times supondo = 1 e = 10
A partiacutecula parte do repouso vai ldquodescendo a montanhardquo e ganhando
energia cineacutetica No infinito sua energia cineacutetica converge para
( rarr infin) = 4 ln + 2 ++ 2 minus
Toda a energia potencial eleacutetrica inicial eacute convertida em energia cineacutetica
175
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
4 Capacitores e dieleacutetricos
Nesse capiacutetulo daremos uma pausa no desenvolvimento do formalismo para discutir um dispositivo o
capacitor que eacute capaz de acumular cargas eleacutetricas e energia potencial eletrostaacutetica Essa carga e essa
energia podem ser acumuladas para vaacuterios fins como por exemplo armazenar informaccedilotildees binaacuterias (0s e 1s)
em uma memoacuteria de computador ou fazer brilhar intensamente uma lacircmpada de flash em uma fraccedilatildeo de
segundo Aproveitaremos a oportunidade para discutir um pouco sobre a influecircncia que a presenccedila de um
meio material isolante permeando o espaccedilo (como o ar ou outro isolante qualquer) tem sobre campos e
potenciais eleacutetricos O estudo do capacitor nessa altura do curso nos daacute oportunidade de aplicar todos os
conceitos que jaacute estudamos ateacute agora carga eleacutetrica campo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica e potencial
eleacutetrico
41 Relembrando a energia potencial eleacutetrica
Vimos no capiacutetulo 3 que uma configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute capaz de acumular energia potencial
eleacutetrica Essa energia eacute uma capacidade de realizar trabalho das forccedilas eleacutetricas muacutetuas entre as cargas
eleacutetricas dessa distribuiccedilatildeo
A energia potencial eleacutetrica tem uma interpretaccedilatildeo simples como sendo a energia necessaacuteria para
a construccedilatildeo (aglomeraccedilatildeo) de uma configuraccedilatildeo de cargas estaacuteticas Da mesma forma eacute a energia que
obtemos de volta quando essa configuraccedilatildeo de cargas se desfaz atraveacutes da desaglomeraccedilatildeo de suas cargas
eleacutetricas Para um sistema de partiacuteculas de cargas eleacutetricas ( = 12 hellip ) fixas no espaccedilo separadas
entre si por distacircncias a energia potencial eleacutetrica eacute
= 4 ( )
eacute simplesmente a soma das energias potenciais eleacutetricas de todos os pares ( ) de cargas eleacutetricas
176
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
Um exemplo que jaacute discutimos no capiacutetulo 2 eacute mostrado novamente na Figura 1 abaixo Trata-se de
uma espeacutecie de moleacutecula triangular cuja energia potencial eleacutetrica eacute
= 14 + + +
Para simplificar podemos imaginar que as
trecircs cargas satildeo positivas e que portanto gt 0 ou seja gastamos (mesmo) energia
para vencer as repulsotildees muacutetuas entre as
partiacuteculas e aglomeraacute-las nessa
configuraccedilatildeo Analogamente se soltarmos
as partiacuteculas e permitirmos que as repulsotildees
muacutetuas afastem essas partiacuteculas essas forccedilas de repulsatildeo vatildeo realizar um trabalho positivo e as partiacuteculas vatildeo
ganhar energia cineacutetica de tal forma que + + = Essa energia estaacute acumulada (potencial) na
configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas e poderaacute ser convertida em outras formas de energia se essa configuraccedilatildeo se
desfizer Natildeo discutiremos aqui casos em que lt 0 como o aacutetomo de Hidrogecircnio Nesses casos temos que
gastar energia para separar as cargas eleacutetricas ao inveacutes de ganhar
42 Capacitores e capacitacircncia
Um capacitor eacute um dispositivo capaz de acumular cargas eleacutetricas e energia potencial eleacutetrica gt 0
Esses acuacutemulos se datildeo em placas metaacutelicas onde as cargas eleacutetricas (os eleacutetrons) podem ser depositadas
(adicionando energia potencial) e retiradas (subtraindo energia potencial) facilmente atraveacutes de um circuito
externo
Para acumular uma quantidade macroscoacutepica de energia precisamos acumular uma quantidade
macroscoacutepica de cargas eleacutetricas Poderiacuteamos usar por exemplo um uacutenico bloco de metal e depositar nele
muitos eleacutetrons constituindo uma densidade de carga eleacutetrica estaacutetica superficial Esse simples bloco de
metal eacute o que chamamos de capacitor um capacitor com apenas uma placa (condutor = placa) Estaremos
tratando aqui especificamente dos capacitores utilizados na praacutetica em circuitos eleacutetricos e eletrocircnicos
Portanto imaginaremos sempre que esses capacitores satildeo carregados (eletrizados) atraveacutes de um circuito
externo tipicamente uma bateria Discutiremos um pouco sobre as baterias no proacuteximo capiacutetulo Agora eacute
suficiente aceitarmos o fato de que uma bateria manteacutem pequenos acuacutemulos de cargas eleacutetricas em seus
terminais que podem ser transferidos para outros dispositivos conectados a elas No terminal + da bateria haacute
um deacuteficit de eleacutetrons e no terminal ndash haacute um excesso de eleacutetrons A bateria produz tambeacutem um campo eleacutetrico
em sua vizinhanccedila (algo parecido com o campo de um dipolo eleacutetrico) e manteacutem entre seus terminais uma
Figura 1 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e
177
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
diferenccedila de potencial (DDP) eleacutetrico A capacidade de fazer tudo isso eacute o que chamamos de ldquoforccedila
eletromotrizrdquo da bateria um conceito que estudaremos no proacuteximo capiacutetulo
Conforme discutimos nos capiacutetulos anteriores o simples contato eleacutetrico entre um bloco de metal (a
placa desse capacitor) e um dos terminais da bateria (que tambeacutem eacute de metal) implicaraacute em uma
transferecircncia de cargas eleacutetricas da bateria para o bloco de metal (eleacutetrons vatildeo fluir de um para o outro) ateacute
que um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico se estabeleccedila Esse equiliacutebrio vai ocorrer quando o potencial eleacutetrico da
placa se igualar ao potencial do terminal da bateria a que ela estaacute conectada (pois = 0 dentro de um
condutor em equiliacutebrio) Trata-se de um processo de eletrizaccedilatildeo por contato Apoacutes essa transferecircncia
podemos separar a placa e a bateria e teremos depositada nela (na placa) uma certa quantidade de cargas
eleacutetricas e portanto teremos uma certa energia potencial eleacutetrica disponiacutevel Se quisermos podemos depois
conectar essa placa agrave terra atraveacutes de uma lacircmpada incandescente e poderemos ver a lacircmpada brilhar por
alguns instantes como um flash enquanto as cargas na placa (que se repelem mutuamente) se esvaem para a
Terra passando pelo filamento da lacircmpada Assim teremos recuperado a energia potencial eleacutetrica acumulada
no capacitor que vai ser convertida em outras formas de energia como a proacutepria luminosidade da lacircmpada A
Figura 2 abaixo ilustra esse processo de carga e descarga desse capacitor
Nessa Figura ilustramos o processo de carga do capacitor em que cargas eleacutetricas + fluem do terminal
+ da bateria para a placa do capacitor (de fato satildeo eleacutetrons de conduccedilatildeo da placa que satildeo atraiacutedos pelo
terminal + da bateria mas no final das contas daacute no mesmo) A placa fica carregada acumulando cargas
eleacutetricas e energia potencial eleacutetrica gt 0 Natildeo haacute nada de misterioso em ela apenas expressa de sua
forma particular a repulsatildeo muacutetua entre as cargas + na placa e a capacidade que essas cargas tecircm portanto
de se repelirem e se separarem enquanto as forccedilas eleacutetricas entre elas as empurram e realizam um trabalho
positivo Sendo exatamente a capacidade dessas forccedilas realizarem trabalho enquanto elas realizam um
placa
placa + + + + +
placa ++
++ + placa
+
+ +
+
+
Figura 2 um capacitor de apenas uma placa eacute carregado atraveacutes de uma bateria e depois descarrega para a Terra atraveacutes de uma lacircmpada A energia potencial eleacutetrica eacute acumulada no capacitor e depois utilizada para acender uma lacircmpada por alguns poucos instantes
178
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
trabalho positivo diminui Enfim se conectarmos a placa agrave Terra essa distribuiccedilatildeo de cargas e ao mesmo
tempo vatildeo ldquodesaparecerrdquo (a repulsatildeo muacutetua vai escoaacute-las para a Terra) Uma lacircmpada no meio do caminho
pode nos permitir utilizar uma parte dessa energia potencial eleacutetrica acumulada no capacitor Fazendo uma
analogia gravitacional o capacitor carregado eacute anaacutelogo a um balde cheio de aacutegua colocado a uma certa altura
sobre uma prateleira por exemplo O processo de descarga do capacitor poderia ser comparado agrave situaccedilatildeo em
que abrimos um pequeno buraco nesse balde permitindo que a aacutegua caia e mova uma pequena roda drsquoaacutegua
fixada proacutexima ao chatildeo Nesse processo a energia potencial gravitacional da aacutegua eacute convertida em energia
cineacutetica de rotaccedilatildeo da roda drsquoaacutegua
Podemos tornar as coisas mais eficientes acumulando mais carga eleacutetrica e mais energia potencial e
nos livrando da necessidade do aterramento se construirmos um capacitor com duas placas que eacute de fato o
caso mais comum para os capacitores de uso comercial Considere entatildeo um capacitor que eacute constituiacutedo de
duas placas metaacutelicas isoladas eletricamente uma da outra Esse isolamento pode ser obtido mantendo-se o
vaacutecuo no espaccedilo entre as placas ou preenchendo esse espaccedilo com algum meio isolante como um plaacutestico
Mais adiante veremos que a presenccedila desse material isolante (dieleacutetrico) entre as placas tem consequumlecircncia
sobre o comportamento do capacitor (basicamente porque um material adiciona outras cargas eleacutetricas ao
sistema) Por enquanto podemos supor que as placas estatildeo separadas pelo vaacutecuo
A Figura 3 abaixo eacute similar agrave Figura 2 mas agora para um capacitor comum de duas placas
Nessa Figura 3 ilustramos o processo de carga do capacitor de duas placas em que cargas eleacutetricas +
fluem do terminal + da bateria para uma placa do capacitor e as cargas ndash fluem para a outra placa (de fato satildeo
sempre eleacutetrons de conduccedilatildeo que fluem entre as placas e os terminais da bateria mas no final das contas daacute
placas
Figura 3 um capacitor comum de duas placas eacute carregado atraveacutes de uma bateria e depois descarrega atraveacutes de uma lacircmpada A energia potencial eleacutetrica eacute acumulada no capacitor e depois utilizada para acender uma lacircmpada por alguns poucos instantes
placas
+
placas
+ + + + + +
- -----
+ +++++
- -----
-
placas
+ + + + +
- ----
179
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
no mesmo) As placas ficam carregadas uma placa fica positiva e a outra negativa (a soma das cargas nas duas
placas eacute zero) e o capacitor acumula energia potencial eleacutetrica gt 0 Se conectarmos as placas entre si as
forccedilas muacutetuas entre as cargas de repulsatildeo dentro das placas e de atraccedilatildeo entre placas produziratildeo uma
redistribuiccedilatildeo das cargas que se recombinaratildeo levando agrave neutralidade eleacutetrica das placas ao mesmo tempo
em que ldquodesaparecerdquo (as cargas fluiratildeo ateacute que as duas placas estejam no mesmo potencial eleacutetrico o que
vai ocorrer quando elas estiverem eletricamente neutras) Uma lacircmpada no meio do caminho pode nos
permitir utilizar uma parte dessa energia potencial eleacutetrica acumulada no capacitor Note que a proximidade
das placas acrescenta um efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo ao capacitor de duas placas As cargas em uma
placa atraem cargas na outra placa proacutexima dela fazendo com que mais carga eleacutetrica seja transferida da
bateria para as placas O capacitor de duas placas proacuteximas uma da outra possui mais capacidade de acumular
cargas eleacutetricas em suas placas quando comparado ao capacitor com apenas uma placa isolada
Na bateria nas Figuras 2 e 3 podemos ver que estaacute escrito 9 V que eacute a DDP (daqui para diante
usaremos muito esse atalho DDP = diferenccedila de potencial) que existe entre os terminais + e ndash dessa bateria
Vocecirc vai perceber que daqui para diante nos referiremos frequentemente agrave grandeza DDP pois ela eacute uma
grandeza comum que faz parte do cotidiano Todos os aparelhos eleacutetricos possuem uma DDP nominal de
funcionamento (comumente 110 ou 220 V) tomadas na parede pilhas e baterias possuem suas DDPs entre
seus terminais Existe um aparelho simples e barato o voltiacutemetro que mede DDPs Portanto na aplicaccedilatildeo do
formalismo do eletromagnetismo eacute natural que falemos muitas vezes mais de DDP do que de campo eleacutetrico
apesar do campo eleacutetrico ser uma grandeza mais fundamental que a DDP Quando estudarmos circuitos
eleacutetricos veremos que o conceito de DDP se torna crucial na descriccedilatildeo quantitativa (escalar) desses sistemas
Uma aplicaccedilatildeo de capacitores estaacute em sua simples capacidade de acumular cargas eleacutetricas mesmo
que minuacutesculas Em uma memoacuteria RAM de computador usada para armazenar informaccedilotildees temporaacuterias
enquanto o computador estaacute em funcionamento haacute bilhotildees de capacitores minuacutesculos cada um
armazenando um bit de informaccedilatildeo (0 = descarregado ou 1 = carregado) Capacitores maiores podem
armazenar muita carga eleacutetrica e muita energia potencial desempenhando muitas funccedilotildees em circuitos
eleacutetricos e eletrocircnicos Os capacitores podem constituir simples depoacutesitos de cargas eleacutetricas e energia
potencial mas tambeacutem circuitos osciladores filtros de frequumlecircncia filtros de fontes CACC temporizadores
corretores de fator de potecircncia etc Algumas dessas aplicaccedilotildees seratildeo discutidas ao longo desse curso
O capacitor eacute o primeiro dispositivo eleacutetrico (ou eletrocircnico) passivo que vamos estudar Depois
estudaremos ainda os resistores e os indutores ideais Os dispositivos passivos satildeo os mais simples eles
possuem apenas dois terminais por onde as cargas eleacutetricas entram e saem (corrente eleacutetrica) Os dispositivos
passivos sempre satildeo caracterizados por alguma propriedade baacutesica que no caso dos capacitores eacute sua
capacidade de acumular cargas eleacutetricas (e concomitantemente energia potencial eleacutetrica) Um capacitor eacute
180
Aulas de elet
caracterizad
pela DDP ∆princiacutepio m
capacitacircncia
A u
homenagem
exemplo se
entre suas
proporciona
eacute uma ca
da carga q
entre suas
porque sua
uma propri
um capacito
Cada um do
da capacitacirc
nunca vai
funcioname
DDP 200 V
meio isolan
qualquer D
capacitor d
aqueciment
bateria de
Analogame
entre suas
capacitor ac∆ = =V Nesse ca
tromagnetism
do pela carg
entre suas
maior capacid
a definida
unidade de
m ao pioneir
eria capaz d
s placas No
alidade entre
racteriacutestica d
que estaacute eve
placas Se u
capacitacircnci
edade intriacuten
or de uso co
os dois term
ncia vem es
mudar e
ento Vemos
V Esse valor
nte (dieleacutetric
DP entre 0
eixa de ser
to e agrave forma
9 V sua pl
nte se na p
placas ser
cumulasse u= 01470 timesso teriacuteamos
mo ndash Joseacute Arna
a eleacutetrica
s placas Um
dade de acuacute
pela razatildeo
capacitacircnci
ro do eletro
e acumular
ote a expr
e e ∆
do capacitor
entualmente
um mesmo
a dobrou m
nseca de um
mercial com
inais estaacute co
scrito no cap
enquanto e
s que no ca
eacute a DDP maacute
co) que exist
e 200 V Aleacute
propriamen
accedilatildeo interna
aca positiva
placa positiva
aacute ∆ = uma carga times 10 cong 21
que compra
aldo Redinz ndash
que ele acum
capacitor q
uacutemulo de ca
a eacute o coul
magnetismo
uma carga e
ressatildeo acim= ∆ um
r de sua geo
e depositada
capacitor pa
mas sim porq
m dado capa
m capacitacircnci
onectado a u
pacitor porq
le estiver
pacitor tam
aacutexima que o
te entre as d
eacutem desse lim
nte um capa
de gases S
a vai adquiri
a desse capa= 00147= 01 C (em13 V o que n
r outro capa
Capiacutetulo 4 ndash v
mula em sua
ue eacute capaz d
rgas eleacutetrica
= ∆ombvolt (C
o Michael Fa
eleacutetrica de 1
ma define a
a constante
ometria de s
em sua plac
assou a acu
que a DDP en
citor A Figu
a = 470uma placa do
que eacute uma ca
em perfeit
beacutem estaacute e
fabricante i
duas placas
mite pode ha
acitor Nesse
Se conectarm
ir a carga e
acitor estive70 times 10 congm sua placa p
natildeo seria rec
acitor para es
versatildeo 31
a placa posit
de acumular
as A grande
CV) que eacute
araday Um c
1 C em sua p
a capacitacircnc
no sentido d
uas dimensotilde
ca positiva ou
mular o dob
ntre suas pla
ura ao lado
F ( =micro=
o capacitor
aracteriacutestica
tas condiccedilotilde
scrito um va
indica para e
desse capac
aver conduccedil
e caso prov
mos esse cap
leacutetrica =er depositadcong 213 V F
positiva) dev
comendado
sse fim
iva (na placa
mais carga c
eza que quan
chamada d
capacitor de
placa positiv
cia como s
de que eacute in
otildees e de seus
u da DDP ∆bro de carga
acas dobrou
mostra
=10 )
O valor
dele e
otildees de
alor de
esse capacito
citor Podem
atildeo eleacutetrica i
vavelmente e
pacitor da Fi∆ = 470a uma carga
inalmente
veria haver e
pois ultrapa
a negativa se
com menor D
ntifica essa
de farad (siacute
e capacitacircnci
va com apen
sendo uma
ndependente
s materiais
que existe
a eleacutetrica is
O valor de
or eacute a rigide
mos ligar ess
interna entr
ele vai explo
gura aos ter0 times 10 times 9a = 001 C
se quiseacutesse
entre suas p
assaria o valo
empre haacute ndashDDP possui
capacidade
iacutembolo F)
ia = 1 F
nas 1 V de D
constante
e de e de ∆ natildeo depen
eventualme
sso natildeo se d
natildeo muda
ez dieleacutetrica
e capacitor
e as placas
odir devido
rminais de u9 = 000423C entatildeo a D
emos que e
placas uma D
or limite de 2
) e
em
eacute a
em
por
DDP
de ∆
nde
nte
deu
a eacute
do
em
e o
ao
uma 3 C
DDP
esse
DDP
200
181
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
43 Exemplos de caacutelculo de capacitacircncia
Aqui vamos dar alguns poucos exemplos de caacutelculo de capacitacircncia para geometrias simples A ideia
baacutesica eacute usar a definiccedilatildeo primitiva = ∆
Considere o exemplo de um capacitor esfeacuterico As duas placas satildeo esfeacutericas e concecircntricas Uma placa
eacute uma esfera metaacutelica de raio e a outra placa eacute uma casca esfeacuterica metaacutelica de raio interno e espessura
A Figura 4 ao lado ilustra esse capacitor Note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo objetos esfeacutericos no espaccedilo
tridimensional Vamos supor que as placas estejam
separadas por uma camada de vaacutecuo ou seja que natildeo haacute
nenhum material no espaccedilo entre as placas Podemos
imaginar dois terminais um terminal conectado agrave esfera
interna e outro terminal conectado agrave casca esfeacuterica
externa Atraveacutes desses dois terminais (que satildeo fios finos
metaacutelicos) esse capacitor poderia ser carregado e descarregado facilmente Note que natildeo falamos nada de
carga eleacutetrica ou de DDP porque essas natildeo satildeo propriedades que definem a capacitacircncia de um capacitor Elas
natildeo satildeo ldquocausasrdquo mas sim ldquoefeitosrdquo da capacitacircncia O que vai definir a capacitacircncia desse capacitor eacute o que jaacute
definimos aqui geometria dimensotildees e vaacutecuo Como calculamos a capacitacircncia desse capacitor Usamos a
definiccedilatildeo Primeiro supomos que em uma das placas haacute uma carga eleacutetrica Depois calculamos a DDP ∆
entre as placas tendo em vista essa carga Fazemos a razatildeo ∆ O que resultar dessa razatildeo eacute a expressatildeo de
Haacute ainda uma etapa intermediaacuteria pois para calcular ∆ devemos conhecer o campo eleacutetrico entre as
placas
Voltando ao capacitor esfeacuterico aplicamos essas ideacuteias em etapas
1 Suponha uma carga eleacutetrica na esfera menor de raio e uma carga ndash na casca de raio Jaacute
sabemos que a carga vai se distribuir na superfiacutecie da esfera de raio e que a carga ndash vai se
distribuir na superfiacutecie interior (de raio ) da casca metaacutelica (essas cargas e ndash se atraem
mutuamente) De fato esse eacute basicamente o problema de um condutor (a casca) com uma
cavidade e uma carga dentro dessa cavidade Por simetria todas as cargas se distribuiratildeo
uniformemente nas superfiacutecies
2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo com raios lt lt Da
lei de Gauss ou do teorema das cascas sabemos que esse campo eacute = 4
Figura 4 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute o vaacutecuo Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas
vaacutecuo
182
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
Isso porque as cargas na esfera criam fora dela o mesmo campo eleacutetrico de uma carga
localizada no centro da esfera e as cargas na casca natildeo criam campo eleacutetrico dentro da casca Note
que soacute haacute campo eleacutetrico na regiatildeo entre as placas ( lt lt ) Dentro do material da esfera
menor ( lt ) e dentro do material da casca ( lt lt + ) natildeo haacute campo eleacutetrico pois satildeo
regiotildees ocupadas por materiais condutores Na regiatildeo exterior ao capacitor ( gt + ) natildeo haacute
campo eleacutetrico porque os campos de e ndash se cancelam (conforme podemos ver do teorema das
cascas)
3 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas
( ) minus ( ) = ∙ = 4 ∙ = 4 1 = 4 1 minus 1
Note que a DDP positiva eacute sempre a DDP (+) minus (minus) Na expressatildeo acima considere que usamos um
caminho de integraccedilatildeo radial que parte da superfiacutecie equipotencial de raio (na placa +) e termina na
superfiacutecie equipotencial de raio (na placa -) Nesse caminho = 4 Faccedila a razatildeo = ∆ = 4 1 minus 1 = 4 1 minus 1 = 4 minus
Essa eacute a capacitacircncia desse capacitor esfeacuterico De que depende Primeiro da geometria que no caso
eacute esfeacuterica Depois das dimensotildees ou seja e Depende tambeacutem do vaacutecuo pois o na expressatildeo acima
identifica o vaacutecuo como aquilo que existe no espaccedilo entre as placas do capacitor Note que depende
explicitamente da distacircncia radial = minus entre as placas (a espessura da camada de vaacutecuo) Quanto
menor mais proacuteximas as placas e maior o efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo entre elas (as cargas e ndash nas
placas se atraem mutuamente) maior a capacidade de acuacutemulo de cargas eleacutetricas e maior a capacitacircncia
Note que a capacitacircncia independe da espessura da casca esfeacuterica externa pois as cargas eleacutetricas nas
placas concentram-se nas superfiacutecies delas na superfiacutecie da esfera de raio e na superfiacutecie interna da casca
de raio Na haacute cargas eleacutetricas acumuladas nos volumes das placas ou na superfiacutecie externa de raio +
da casca esfeacuterica Por isso sua espessura eacute irrelevante
Um caso particular interessante eacute o caso rarr infin em que vamos obter a capacitacircncia apenas da
esfera de raio (um capacitor com apenas uma placa esfeacuterica) = 4
Essa eacute a capacitacircncia de um capacitor com apenas uma placa esfeacuterica de raio ∆ nesse caso eacute a diferenccedila
de potencial entre a esfera e um ponto no infinito A capacitacircncia do planeta Terra ( cong 6370 km) eacute
183
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
cong 00007
A Terra eacute eletricamente neutra Para aumentar seu potencial eleacutetrico em 1 V (em relaccedilatildeo ao infinito) a Terra
deveria acumular uma carga eleacutetrica = ∆ cong 00007 C Trata-se de um valor gigantesco de carga tendo
em vista que a carga eleacutetrica de eleacutetrons e proacutetons possui magnitude cong 16 times 10 C
Como segundo e uacuteltimo exemplo de caacutelculo de capacitacircncia
considere um capacitor formado por duas placas metaacutelicas planas cada uma
de aacuterea e espessura separadas em suas faces internas por uma
distacircncia (em que haacute vaacutecuo) A Figura ao lado ilustra esse dispositivo
Considere que os dois terminais do capacitor estatildeo conectados cada um a
uma das placas metaacutelicas Atraveacutes desses terminais as cargas eleacutetricas podem fluir das e para as placas indo e
vindo de um circuito externo uma bateria por exemplo Aqui para calcular a capacitacircncia vamos usar a
mesma sequecircncia de etapas que usamos para o capacitor esfeacuterico Mas no meio do caminho encontraremos
um problema que chamamos de ldquoefeitos de bordardquo Esse problema natildeo surgiu no capacitor esfeacuterico porque
ele natildeo possui bordas Aqui vemos claramente que uma placa termina em suas quatro faces laterais que satildeo
as bordas da placa plana Esperamos que essas bordas quebrem simetrias que haveria nas placas sem bordas
(placas planas infinitas) e modifiquem as distribuiccedilotildees de carga nas placas distorcendo o campo eleacutetrico nas
vizinhanccedilas dessas regiotildees
A Figura ao lado (encontrada na internet Ref
Harold M Waage Princeton University) ilustra uma visatildeo
de perfil de um capacitor de placas planas paralelas com
placas pequenas onde podemos ver claramente a
distorccedilatildeo das linhas de forccedila de nas vizinhanccedilas das
bordas Trata-se de um resultado experimental em que o
campo atua sobre um liacutequido no qual o capacitor estaacute
mergulhado ldquomaterializandordquo suas linhas de forccedila Note
que o campo eacute basicamente dipolar e que as linhas de
forccedila satildeo ortogonais agraves superfiacutecies das placas pois elas (as placas) satildeo equipotenciais No centro do capacitor
o campo eleacutetrico eacute razoavelmente uniforme porque essa regiatildeo estaacute longe das bordas Proacuteximo agraves bordas as
linhas de forccedila se curvam e se tornam menos densas refletindo uma reduccedilatildeo na magnitude de Eacute
interessante frisar que o campo eacute criado pelas cargas eleacutetricas distribuiacutedas nas placas e que o efeito de
borda se daacute tambeacutem nessa distribuiccedilatildeo de cargas que se torna natildeo uniforme nas bordas das placas (jaacute
comentamos que eacute comum que nos condutores as cargas eleacutetricas acumulem mais nas regiotildees de arestas e
184
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
pontas) A distorccedilatildeo no campo eacute causada pelas quebras de simetria geomeacutetricas (mais carga eleacutetrica de um
lado do que de outro) e pela natildeo-uniformidade na distribuiccedilatildeo de cargas nas placas
Concluindo a dificuldade de calcular analiticamente a capacitacircncia do capacitor de placas planas
paralelas estaacute em se prever essa distribuiccedilatildeo natildeo uniforme de cargas nas placas e o campo eleacutetrico que elas
criariam no espaccedilo levando em conta os efeitos de borda Sendo assim partimos para uma aproximaccedilatildeo em
que os efeitos de borda podem ser desprezados Por exemplo podemos simplesmente supor que as placas do
capacitor satildeo infinitas e que portanto natildeo haacute efeitos de bordas O resultado para que vamos obter seria
uma boa aproximaccedilatildeo para um capacitor de placas grandes Mas nada eacute absolutamente grande (a natildeo ser que
seja infinito) e vemos que outra dimensatildeo importante eacute a distacircncia entre as faces internas das placas
Quanto mais proacuteximas as placas menor a distorccedilatildeo de e menores os efeitos de borda Nesse sentido a
razatildeo de proporccedilatildeo radic sendo a aacuterea das placas seria o fator importante para determinar a magnitude
dos efeitos de borda radic cong 0 significa placas grandes eou muito proacuteximas o que levaria a efeitos de borda
pequenos e talvez despreziacuteveis (dependendo do seu niacutevel de exigecircncia)
Na praacutetica desprezar os efeitos de borda no capacitor de placas planas
paralelas significa considerar que a distribuiccedilatildeo superficial de cargas nas
placas que vamos chamar de eacute uniforme em toda a extensatildeo das placas e
que o campo eleacutetrico eacute em todos os pontos do espaccedilo entre as placas igual ao
campo eleacutetrico no centro das placas (onde haacute simetria) A Figura ao lado ilustra
essa ideia Note que as cargas em uma placa atraem as cargas na outra placa e
que portanto as cargas se concentram apenas nas faces internas das placas na
placa positiva e ndash na placa negativa Jaacute estudamos o campo eleacutetrico criado por uma
placa plana infinita com densidade de carga uniforme O campo eacute ortogonal agrave placa
(eixo z) e de magnitude = 2 A Figura ao lado ilustra (visatildeo de perfil) as cargas
eleacutetricas depositadas nas superfiacutecies internas das placas e algumas linhas de forccedila de
(em verde) no espaccedilo (de vaacutecuo) entre as placas (desprezando efeitos de borda)
Vamos aplicar aqui a mesma sequecircncia de passos que usamos para determinar a capacitacircncia do
capacitor esfeacuterico
1 Suponha uma carga eleacutetrica na placa superior e uma carga ndash na placa inferior ambas de aacuterea
Essas cargas ficam distribuiacutedas uniformemente nas faces internas das placas (elas se atraem
mutuamente) constituindo densidades de carga eleacutetrica uniformes plusmn = plusmn = plusmn
z
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -
z
185
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo entre as faces mais proacuteximas
das placas (nas outras regiotildees o campo eacute nulo) Da lei de Gauss e superpondo os campos das duas
placas (infinitas para todos os efeitos) com densidade de carga uniforme obtemos = 3 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas
(+) minus (minus) = ∙ = ∙ = =
Na expressatildeo acima considere que usamos um caminho de integraccedilatildeo ao longo do eixo z que parte da
face inferior da placa superior (z=0) e termina na face superior da placa inferior (z=d) Essas duas faces satildeo
superfiacutecies equipotenciais uma com potencial (+) e a outra com potencial (minus) Nesse caminho ao longo
do eixo z vale = 4 Faccedila a razatildeo = ∆ = =
Note que = eacute a carga eleacutetrica total depositada na placa positiva Essa eacute a capacitacircncia desse capacitor
de placas planas paralelas sem efeitos de borda De que depende Primeiro da geometria que no caso eacute
plana Depois das dimensotildees ou seja e Depende tambeacutem do vaacutecuo pois o na expressatildeo acima
identifica o vaacutecuo como aquilo que existe no espaccedilo entre as placas do capacitor Note que depende
explicitamente da distacircncia entre as faces internas das placas (a espessura da camada de vaacutecuo) Quanto
menor mais proacuteximas as placas e maior o efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo entre elas maior a capacidade
de acuacutemulo de cargas eleacutetricas e maior a capacitacircncia Note que a capacitacircncia independe da espessura das
placas pois as cargas eleacutetricas concentram-se apenas nas faces internas das placas (as cargas e minus nas
placas se atraem mutuamente) Na haacute cargas eleacutetricas acumuladas nos volumes das placas ou nas superfiacutecies
externas Por isso suas espessuras satildeo irrelevantes
Na literatura podemos encontrar vaacuterios meacutetodos aproximados para levar em conta os efeitos de borda
no capacitor de placas paralelas Para placas quadradas de lado radic encontramos a foacutermula aproximada (ver
Electrodynamics of continuous media Landau e Lifschitz)
= + radic2 ln radic
Vemos que a capacitacircncia com efeitos de borda (ou seja mais realista) eacute maior que a capacitacircncia
ideal sem nenhum efeito de borda Isso ocorre porque as bordas concentram mais carga eleacutetrica do que a
186
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
porccedilatildeo plana das placas Esse eacute um efeito que ocorre sempre que um condutor possui alguma regiatildeo pontuda
ou uma simples aresta cortante conforme jaacute vimos no capiacutetulo 2 quando discutimos o campo eleacutetrico na
regiatildeo externa proacutexima agrave superfiacutecie de um condutor Essas regiotildees de grandes curvaturas acumulam maior
densidade de cargas eleacutetricas do que as regiotildees mais planas e suaves de pequenas curvaturas Trata-se de
um efeito da repulsatildeo muacutetua entre as cargas superficiais que compotildeem Conforme jaacute discutimos sendo
maior a densidade de cargas maior eacute o campo eleacutetrico externo nas regiotildees do espaccedilo proacuteximas dessas
pontas e arestas metaacutelicas (um efeito de borda) Por isso essas regiotildees estatildeo mais propensas agrave quebra de
rigidez dieleacutetrica do ar o que justifica a geometria pontuda de um para-raios
44 Associaccedilotildees de capacitores (seacuterie e paralelo)
Na Figura 5 ao lado mostramos uma porccedilatildeo do esquema
do circuito de um raacutedio AM Podemos ver a antena (o triacircngulo
invertido) um transistor Q1 (amplificaccedilatildeo) alguns resistores e
alguns capacitores O siacutembolo do capacitor eacute formado por dois
tracinhos paralelos representando as duas placas Note que natildeo
haacute transporte de carga de uma placa para a outra por dentro do
capacitor mas as placas estatildeo acopladas entre si atraveacutes do
campo eleacutetrico que leva ao processo de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo
Vemos que o capacitor C1 por exemplo tem o valor especificado
de 47 pF (p=pico=10 ) Haacute um capacitor ajustaacutevel VC (com
valor maacuteximo de 300 pF) representado pelos dois tracinhos
cortados por uma seta Esse capacitor eacute usado na sintonia das
estaccedilotildees de raacutedio Haacute um capacitor de 1 F em que um dos tracinhos eacute curvo Esse eacute um capacitor que possui
polaridade ou seja o terminal esquerdo no esquema marcado com um + deve ser ligado ao potencial maior
no circuito Essa polaridade eacute ditada pelas propriedades do material isolante que existe entre as placas O
capacitor C1 natildeo possui polaridade seus dois terminais satildeo iguais
Suponha que vocecirc esteja montando esse circuito construindo seu proacuteprio raacutedio AM Vocecirc vai agrave loja de
material eletrocircnico comprar os componentes indicados no esquema e natildeo encontra o capacitor de 1 F mas eacute
informado de que haacute capacitores de 2 F disponiacuteveis Entatildeo vocecirc pode comprar dois capacitores de 2 F
conectaacute-los em seacuterie e ligar essa associaccedilatildeo dos dois capacitores ao circuito Ele vai funcionar perfeitamente
Isso porque a associaccedilatildeo em seacuterie de dois capacitores de 2 F possui uma capacitacircncia equivalente de 1 F
Essas associaccedilotildees de capacitores eacute o que vamos discutir agora
Figura 5 Uma porccedilatildeo do circuito de um raacutedio AM Podemos ver a presenccedila de quatro capacitores sendo um deles ajustaacutevel (de sintonia)
187
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
441 Associaccedilatildeo de capacitores em seacuterie
Considere dois capacitores de capacitacircncias e conectados em seacuterie A conexatildeo em seacuterie se daacute
quando pegamos um terminal de cada capacitor e conectamos eletricamente formando um noacute Nesse noacute natildeo
haacute mais nada conectado nada aleacutem desses dois terminais A Figura 6 abaixo ilustra essa ideia
Nessa Figura ilustramos esquematicamente o processo em que dois capacitores em seacuterie satildeo
reduzidos a um soacute Os terminais A e B e as placas mais externas satildeo mantidos intactos nesse processo (as duas
placas internas (azuis) ldquose fundemrdquo e funcionam como uma placa apenas) A e B satildeo os terminais que seratildeo
conectados ao circuito externo Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B
um uacutenico capacitor de capacitacircncia Quanto vale
Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆
Considere que a carga eleacutetrica na placa positiva do capacitor eacute digamos a placa conectada ao
terminal A Entatildeo na placa direita de haacute uma carga minus As duas placas conectadas pelo noacute estatildeo
eletricamente isoladas do universo e portanto a carga total nessas duas placas deve ser constante ou seja
deve ser nula Concluiacutemos que na placa esquerda de a carga eacute de tal forma que + (minus ) = 0
Concluindo as cargas eleacutetricas nos dois capacitores satildeo iguais = =
Note que na reduccedilatildeo dos dois capacitores a um soacute as placas conectadas a A e a B se preservam
constituindo as placas do capacitor equivalente Assim sendo eacute a carga eleacutetrica no capacitor equivalente eacute a
carga que fluiu do circuito externo para o capacitor ldquototalrdquo atraveacutes do terminal A =
Por outro lado se ∆ = ( ) minus ( ) eacute dada por uma integral de caminho do campo eleacutetrico indo
de A ateacute B fica claro que nesse caminho vamos atravessar a regiatildeo entre as placas de e obter ∆ e na
sequecircncia vamos atravessar a regiatildeo entre as placas de e obter ∆ de tal forma que
Figura 6 dois capacitores associados em seacuterie Natildeo haacute nada mais conectado ao noacute apenas os dois terminais dos dois capacitores Dois capacitores reais de 10 F ligados em seacuterie Eles equivalem a um capacitor de 5 F
A A B B
A BA
noacute
B
188
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
∆ = ∙ = ∙ + ∙ =∆ + ∆
Portanto ∆ = ∆ + ∆
Dividindo essa uacuteltima equaccedilatildeo por obtemos ∆ = ∆ + ∆ rArr 1 = 1 + 1 rArr = +
Por exemplo se associarmos em seacuterie um capacitor de 2 F com outro capacitor de 3 F essa
associaccedilatildeo seraacute equivalente a um uacutenico capacitor de capacitacircncia
= + = 2 times 32 + 3 = 65 cong 12
Note que obtemos uma capacitacircncia equivalente menor que e (ldquodistacircncia entre as placas maior mesma
aacuterea da placas capacitacircncia menorrdquo) De fato
= + = + lt e = + = + lt
Para vaacuterios capacitores em seacuterie obtemos 1 = 1 + 1 + 1 +⋯
Note que isso natildeo equivale a
Resumindo a tabela 1 abaixo lista as propriedades que observamos para capacitores quaisquer
ligados em seacuterie
Propriedades de N capacitores em seacuterie = = = ⋯ = ∆ = ∆ + ∆ +⋯+ ∆ 1 = ∆ = 1 + 1 + 1 +⋯+ 1
Tabela 1 Propriedades de capacitores associados em seacuterie
= hellip+ + +⋯
189
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
442 Associaccedilatildeo de capacitores em paralelo
Considere agora dois capacitores de capacitacircncias e conectados em paralelo A conexatildeo em
paralelo se daacute quando conectamos os terminais dos capacitores dois a dois A Figura 7 abaixo ilustra essa
ideia
Nessa Figura ilustramos esquematicamente o processo em que dois capacitores em paralelo satildeo
reduzidos a um soacute Os terminais A e B satildeo mantidos intactos nesse processo As placas se juntam duas a duas
para formarem as placas do capacitor equivalente A e B satildeo os terminais que seratildeo conectados ao circuito
externo Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B um uacutenico capacitor de
capacitacircncia Quanto vale
Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆
Considere que a carga eleacutetrica na placa positiva do capacitor eacute digamos a placa conectada ao
terminal A Analogamente seja a carga eleacutetrica na placa positiva de tambeacutem conectada a A (essas
cargas natildeo tem que ser iguais) Entatildeo nas duas placas da esquerda haacute uma carga eleacutetrica total + Essa eacute
a carga na placa positiva do capacitor equivalente entre A e B que eacute a uniatildeo das duas placas positivas de e
+ eacute a carga que fluiu para o capacitor ldquototalrdquo atraveacutes do terminal A Concluindo a carga eleacutetrica
(total) na placa positiva do capacitor equivalente eacute = +
Note que na reduccedilatildeo dos dois capacitores a um soacute as placas conectadas a A se juntam e a mesma
coisa ocorre com as placas conectadas a B Essas placas juntas constituem as placas do capacitor equivalente
Por outro lado se ∆ = ( ) minus ( ) eacute dada por uma integral de caminho do campo eleacutetrico desde
A ateacute B fica claro que esse caminho pode atravessar a regiatildeo entre as placas de e fornecer ∆ ou
atravessar a regiatildeo entre as placas de e fornecer ∆ Como a integral que fornece ∆ independe do
caminho temos que obter o mesmo resultado para esses dois caminhos ou seja ∆ = ∆ = ∆
Figura 7 dois capacitores associados em paralelo Dois capacitores reais de 10 F ligados em paralelo Eles equivalem a um capacitor de 20 F
A B
A B
A B
A B
190
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
Dividindo a primeira equaccedilatildeo por ∆ obtemos
∆ = ∆ + ∆ rArr = +
Por exemplo se associarmos em paralelo um capacitor de 2 F com outro capacitor de 3 F essa
associaccedilatildeo seraacute equivalente a um uacutenico capacitor de capacitacircncia = 3 + 2 = 5
Note que obtemos uma capacitacircncia equivalente maior que e (ldquoaacuterea das placas maior capacitacircncia
maiorrdquo) posto que + gt e + gt
Para vaacuterios capacitores em paralelo obtemos = + + +⋯
Resumindo a tabela 2 abaixo lista as propriedades que observamos para capacitores quaisquer
ligados em paralelo
Propriedades de N capacitores em paralelo = + +⋯+ ∆ = ∆ = ∆ = ⋯ = ∆
= ∆ = + + +⋯+
Tabela 2 Propriedades de capacitores associados em paralelo
443 Exemplo de aplicaccedilatildeo da associaccedilatildeo de capacitores
Apenas para ilustrar a aplicaccedilatildeo dessas ideacuteias de associaccedilotildees
de capacitores vamos considerar a situaccedilatildeo em que queremos
calcular a carga eleacutetrica depositada na placa esquerda de
(destacada em vermelho) no circuito mostrado na Figura 8 ao lado
Os dados do problema satildeo a DDP ( ) minus ( ) = gt 0 e as
capacitacircncias Nesse circuito jaacute demos nome a alguns noacutes para
facilitar a anaacutelise Eacute bom frisar que os ldquofiosrdquo metaacutelicos que conectam
as placas dos capacitores satildeo equipotenciais e portanto podemos
ver na Figura que por exemplo ( ) = ( prime) ( ) = ( prime) = ( ) Podemos afirmar tambeacutem que o potencial na placa esquerda de eacute igual
ao potencial na placa esquerda de e na placa direita de sendo
Figura 8 Dado que ( ) minus ( ) = gt0 calcule a carga eleacutetrica depositada na placa destacada em vermelho
A Bx y
Arsquo Brsquo
191
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
todos iguais a ( ) Nossa esperanccedila aqui eacute obter ( ) minus ( ) e concluir que = ∆ = [ ( ) minus ( )] Vamos
comeccedilar entatildeo a trilhar um caminho que nos leve a esse resultado Note que haacute vaacuterios caminhos possiacuteveis e nossa
escolha eacute basicamente uma questatildeo de gosto e um tanto aleatoacuteria A experiecircncia que adquirimos ao resolver vaacuterios
problemas desse tipo amplia o leque de abordagens e facilita as coisas
1 Jaacute podemos conhecer = ∆ = [ ( ) minus ( )] =
2 Se conhecermos a capacitacircncia equivalente entre A e B poderemos conhecer pois a carga total no
capacitor equivalente entre A e B eacute + (as placas da esquerda de e se juntam para formar a placa
esquerda do capacitor equivalente entre A e B) Mas note que e natildeo estatildeo em paralelo Vamos calcular
essa capacitacircncia equivalente ( ) Vemos que e estatildeo em paralelo e a capacitacircncia
equivalente entre x e y eacute ( ) = 2 + 3
Esse ( ) estaacute em seacuterie com e a capacitacircncia equivalente nesse ramo superior entre Alsquo e Brsquo eacute ( prime prime) = 1 ( )1 + ( ) = 1( 2 + 3)1 + 2 + 3
Finalmente ( prime prime) estaacute em paralelo com e a capacitacircncia equivalente entre A e B eacute ( ) = ( prime prime) + 4 = 1( 2 + 3)1 + 2 + 3 + 4
Portanto a carga total no capacitor equivalente entre A e B eacute = ( ) 0 Como jaacute dissemos
podemos determinar pois = ( ) 0 = + = + Conclusatildeo = ( ) minus = ( prime prime) = ( + )+ +
Nosso resultado mostra que poderiacuteamos ter raciocinado atraveacutes apenas da capacitacircncia equivalente entre Arsquo
e Brsquo mas agora jaacute era
3 Agora podemos conhecer ∆ =
4 Jaacute vimos que ( ) estaacute em seacuterie com e portanto ( ) minus ( ) = = ∆ + ( ) minus ( ) Sendo ( ) minus ( ) a DDP entre os terminais de ( ) Portanto essa DDP vale ( ) minus ( ) = minus ∆
5 Concluindo ( ) minus ( ) = ∆ e portanto = ∆ = ( minus ∆ ) = minus = 1 minus ( + )+ + = + +
Vemos que o resultado independe de pois no ramo superior ArsquoBrsquo a DDP define as cargas em cada
capacitor desse ramo incluindo Nem precisaacutevamos envolver nos caacutelculos
Vamos analisar alguns casos particulares Se quisermos desprezar a presenccedila de devemos juntar suas placas
(o que chamamos de curto-circuito) e considerar portanto rarr infin (pensando em um capacitor de placas paralelas
vemos que se rarr 0 = 0 rarr infin) Nesse caso obtemos
192
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
= + + rarr =
O que eacute compatiacutevel com o fato de que nesse limite vale ∆ =
Se quisermos desprezar a presenccedila de devemos separar suas placas (abrir o circuito em ) e considerar
portanto rarr 0 (pensando em um capacitor de placas paralelas vemos que se rarr infin = 0 rarr 0) Nesse caso
obtemos = + + rarr +
O que eacute compatiacutevel com o fato de que nesse limite restam apenas e em seacuterie no ramo ArsquoBrsquo
Enfim agora que jaacute terminamos podemos resumir essa soluccedilatildeo acima da seguinte forma
1 Calculamos 1 = ( prime prime) 0 = 1( 2+ 3)1+ 2+ 3 0 pois a placa esquerda de eacute a placa do capacitor
equivalente entre Arsquo e Brsquo
2 Vemos que + = pois a carga total nas trecircs placas que se conectam em x eacute nula
3 e estatildeo em paralelo e entatildeo ∆ = ∆ o que leva a =
4 Concluindo = minus = minus e portanto
5 = = ( ) =
45 A energia potencial eleacutetrica armazenada em um capacitor
Considere um capacitor de capacitacircncia que estaacute carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa
positiva (e com uma DDP ∆ = entre suas placas) Quantos joules de energia potencial eleacutetrica estatildeo
armazenados nesse capacitor
Para responder essa pergunta podemos imaginar um processo iterativo em que as cargas eleacutetricas vatildeo
chegando aos poucos nas placas e o potencial eleacutetrico vai se ajustando aumentando de magnitude
concomitantemente ao aumento da carga obedecendo agrave relaccedilatildeo ∆ prime = prime Em cada instante o capacitor
recebe uma carga eleacutetrica em sua placa positiva (e simultaneamente ndash em sua placa negativa) e nesse
instante ele acumula um acreacutescimo de energia potencial eleacutetrica dada por = + (minus ) = ( minus ) = ∆
Nessa expressatildeo ∆ = minus eacute a DDP entre as placas nesse instante em que plusmn acumula nas placas
Imaginemos entatildeo esse processo iterativo Inicialmente as placas estatildeo vazias = 0 e ∆ = 0 Os
primeiros incrementos de carga plusmn satildeo depositados nessas placas vazias e isso natildeo custa (e nem armazena)
nada
193
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
(0) = ∆ = 0 = 0
Os segundos incrementos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo depositados plusmn
e haacute um ∆ prime = Portanto (1) = ∆ prime = = ( )
Os terceiros incrementos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo depositados plusmn2
e haacute um ∆ prime = 2 Portanto (2) = ∆ prime = 2 = 2 ( )
Os quartos pedacinhos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo plusmn3 e haacute um ∆ prime = 3 Portanto (3) = ∆ prime = 3 = 3 ( )
Enfim se a carga eleacutetrica final depositada nas placas eacute = com ≫ 1 segue que a energia total
armazenada nesse capacitor eacute
= (0) + (1) + ⋯+ ( minus 1) = ( ) = ( ) = ( )
Fazendo o somatoacuterio acima obtemos finalmente
= ( ) = ( ) ( minus 1)2 = ( ) 2 = 12 ( ) = 12
Note que usamos que para ≫ 1 vale minus 1 = (considere que cong 10 )
Concluindo a energia potencial eleacutetrica armazenada em um capacitor de capacitacircncia que estaacute
carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa positiva (e com uma DDP ∆ = entre suas placas) eacute
= 12 = 12 (∆ ) = 12 ∆
A ideia acima eacute ilustrativa do processo de acuacutemulo de cargas e energia potencial eleacutetrica em um
capacitor Se quisermos podemos simplificar as coisas afirmando que o acuacutemulo de um incremento
infinitesimal de cargas plusmn no instante acrescenta a energia potencial infinitesimal ( ) ao capacitor de
tal forma que ( ) = ∆ ( )
Note que eacute a mesma ideia anterior ( ) estaacute definido pela DDP ∆ ( ) que existe no instante e natildeo pela
DDP final no capacitor ∆ Utilizando a relaccedilatildeo entre ∆ ( ) e ( ) obtemos
194
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
( ) = ∆ ( ) = ( ) rArr = rArr = = 12
Nesse resultado acima usamos a condiccedilatildeo inicial (0) = (0) = 0
Considere o capacitor mostrado na Figura ao lado fabricado para uso em
unidades de flash de maacutequinas fotograacuteficas (httpwwwrubyconcojp) Vemos
que = 100 F Vamos supor que sua DDP de operaccedilatildeo seja ∆ cong 400 V (abaixo
dos 450 V de DDP limite) Estando plenamente carregado esse capacitor vai
acumular a energia potencial eleacutetrica (em joules) = 12 (∆ ) cong 8
Ao pressionar o botatildeo de acionamento da maacutequina fotograacutefica o capacitor vai descarregar e esses 8 joules de
energia seratildeo entregues a uma lacircmpada que vai emitir um brilho intenso o flash Esse brilho vai depender
tambeacutem da eficiecircncia da lacircmpada ou seja do percentual desses 8 J que a lacircmpada eacute capaz de converter em
energia luminosa (radiaccedilatildeo visiacutevel) Se o flash tiver um tempo de duraccedilatildeo ∆ cong 11000 s e se a eficiecircncia da
lacircmpada for proacutexima de 100 (apenas uma estimativa) a potecircncia luminosa emitida pela lacircmpada seraacute
= ∆ cong 8000
Com certeza eacute um brilho intenso Ao desmontar uma maacutequina fotograacutefica cuidado com o capacitor de flash
ele pode te dar um susto inesqueciacutevel
Energia eacute capacidade de realizar trabalho Na mecacircnica associamos energia potencial elaacutestica = a uma mola deformada de porque entendemos que essa mola tem capacidade de puxar ou
empurrar atraveacutes da forccedila de mola corpos que estejam em contato com ela A mola deformada possui uma
capacidade de realizar trabalho igual a Realizar trabalho eacute aplicar forccedila e deslocar transferindo portanto
energia O campo eleacutetrico eacute ele mesmo uma capacidade que uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas possui de
realizar forccedila sobre outros objetos carregados distantes dele Assim sendo natildeo devemos nos surpreender com
a ideia de que a capacidade de realizar trabalho de uma distribuiccedilatildeo de cargas se estende no espaccedilo
juntamente com seu campo eleacutetrico Dito de outra forma onde haacute campo eleacutetrico haacute capacidade de realizaccedilatildeo
de trabalho e haacute portanto energia potencial eleacutetrica A luz eacute um campo eletromagneacutetico ou seja eacute a
superposiccedilatildeo de um campo eleacutetrico e um campo magneacutetico acoplados entre si oscilando no tempo e no
espaccedilo Quando nos expomos agrave luz do Sol sentimos o aquecimento da pele ou seja a produccedilatildeo de energia
teacutermica De onde vem essa energia Ela vem do Sol No Sol ocorrem reaccedilotildees nucleares que produzem luz
(aleacutem de outras radiaccedilotildees invisiacuteveis e tambeacutem energia cineacutetica calor etc) e essa luz se propaga no espaccedilo
chegando na Terra A luz eacute um campo eleacutetrico oscilatoacuterio e quando ela atinge a pele ela exerce uma forccedila
195
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
oscilatoacuteria sobre cargas eleacutetricas que compotildeem a pele agitando-as Daiacute sentimos o aquecimento da pele
Aonde a luz do Sol vai a energia do Sol vai junto
Cargas eleacutetricas satildeo diferentes de molas porque a capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho da mola estaacute
localizada em sua extremidade livre que exerce a forccedila de mola enquanto que a capacidade de realizaccedilatildeo de
trabalho de cargas eleacutetricas se estende por todo o espaccedilo onde o campo eleacutetrico produzido por essa
distribuiccedilatildeo de cargas vai Sendo assim deve ser possiacutevel computar a energia potencial de uma distribuiccedilatildeo de
cargas atraveacutes do campo eleacutetrico que ela produz no espaccedilo
Por exemplo no caso do capacitor computamos sua energia potencial eleacutetrica atraveacutes de sua
capacitacircncia e da carga eleacutetrica que ele acumula = 12
Deve ser possiacutevel expressar essa em termos do campo eleacutetrico que a distribuiccedilatildeo de cargas no capacitor
produz no espaccedilo
Considere o caso mais simples do capacitor de placas paralelas sem efeitos de borda Nesse caso
sabemos que o campo eleacutetrico eacute uniforme entre as placas e vale
= =
sendo a aacuterea das placas Sabemos tambeacutem que = sendo a distacircncia entre as faces internas das
placas Portanto podemos expressar em termo de Basta fazer
= 12 = 12 ( ) = 12
Note que eacute exatamente o volume entre as placas do capacitor onde existe
campo eleacutetrico (nas outras regiotildees o campo eacute nulo) O campo eleacutetrico entre as
placas eacute uniforme e vale = preenchendo todo o volume do
paralelepiacutepedo de aacuterea da base e altura conforme ilustrado na Figura ao lado
(linhas de forccedila em vermelho) Note que a grandeza = 12
tem unidade de densidade de energia potencial eleacutetrica por unidade de volume Concluindo mostramos que
para o capacitor de placas paralelas vale =
z
196
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
sendo = o volume do espaccedilo por onde se estende o campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas no
capacitor Esse exemplo estaacute confirmando quantitativamente as ideacuteias que discutimos anteriormente
Concluiacutemos que se existe no ponto do espaccedilo um campo eleacutetrico ( ) entatildeo nesse ponto haacute uma
capacidade de exercer forccedila sobre uma carga eleacutetrica que porventura passe por aiacute e haacute tambeacutem uma
capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho ou seja uma densidade de energia potencial eleacutetrica ( ) dada por
( ) = 12 [ ( )]
Tendo em vista o nosso resultado acima ( = ) podemos afirmar que para uma configuraccedilatildeo qualquer
de cargas eleacutetricas deve valer
= ( ) = 2 [ ( )]
sendo um elemento infinitesimal de volume e ET significa que devemos realizar a integral no espaccedilo todo
em que o campo eleacutetrico ( ) eacute natildeo-nulo Essa capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho ou seja essa energia
potencial eleacutetrica eacute um atributo das cargas eleacutetricas que estatildeo produzindo no espaccedilo esse campo ( ) No contexto da eletrostaacutetica natildeo haacute nenhuma vantagem em se calcular a energia eletrostaacutetica atraveacutes
de uma integral espacial da densidade ( ) ao inveacutes de se usar o conceito mais simples de potencial eleacutetrico
que eacute o que temos feito No entanto essa eacute uma primeira oportunidade que temos para introduzir essa ideia
de que onde haacute campo eleacutetrico haacute energia e que portanto uma onda eletromagneacutetica transporta energia
potencial eleacutetrica atraveacutes de sua propagaccedilatildeo no espaccedilo Eacute atraveacutes dessa propagaccedilatildeo de energia que o Sol
mesmo estando a milhotildees de quilocircmetros de distacircncia da Terra eacute capaz de realizar vaacuterias ldquotarefasrdquo aqui na
Terra como aquecer os oceanos e mover a maacutequina atmosfeacuterica realizar a fotossiacutentese nas plantas aquecer a
aacutegua em placas de aquecimento solar gerar energia eleacutetrica em paineacuteis solares etc
Como a luz do Sol aquece a aacutegua nos oceanos O campo eleacutetrico oscilatoacuterio potildee cargas eleacutetricas na
aacutegua do mar para vibrar (anaacutelogo a um forno de micro-ondas) Ele realiza trabalho sobre elas Da mesma
forma a luz do Sol aquece o ar e cria os ventos e aquece um tubo de cobre por onde passa aacutegua em uma placa
de aquecimento solar Como a luz do Sol produz a fotossiacutentese Por mais complicado que seja esse processo
ele se resume ao campo eleacutetrico forccedilando a reaccedilatildeo de CO2 e aacutegua produzindo
carboidratos e oxigecircnio Como a luz do Sol produz energia eleacutetrica em um painel solar
(fotovoltaico) O campo eleacutetrico produz separaccedilatildeo de cargas em um material
semicondutor atraveacutes do transporte de eleacutetrons Separaccedilatildeo de cargas implica em
energia potencial eleacutetrica Um painel solar pode ser usado para carregar uma bateria
como a que alimenta o holofote mostrado na Figura ao lado
197
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
46 O efeito de um dieleacutetrico sobre a capacitacircncia
Capacitores com vaacutecuo entre as placas possuem geralmente baixa capacitacircncia e alta rigidez dieleacutetrica
(da ordem de kV) Capacitores de uso comum com altas capacitacircncias tendo em vista suas dimensotildees
pequenas possuem geralmente um material isolante entre as placas Esses materiais isolantes satildeo tambeacutem
chamados de materiais dieleacutetricos ou simplesmente dieleacutetricos (dieleacutetrico = isolante eleacutetrico) A presenccedila de
um dieleacutetrico entre as placas modifica a capacitacircncia do capacitor quando comparado com a situaccedilatildeo de
vaacutecuo entre as placas Vamos discutir aqui por que isso acontece
Basicamente a capacitacircncia de um capacitor de duas placas eacute fortemente influenciada pelo
acoplamento eleacutetrico entre as placas a capacidade de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo de uma placa na outra Vemos
isso explicitamente na expressatildeo da capacitacircncia de um capacitor de placas planas paralelas = pois
aumentando reduzimos o acoplamento eleacutetrico entre as placas e diminui Dessa forma podemos
entender que a inserccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas de um capacitor vai modificar o acoplamento eleacutetrico
entre suas placas e modificar sua capacitacircncia
Mais especificamente a propriedade central de um dieleacutetrico que faz com que ele modifique a
capacitacircncia de um capacitor estaacute em sua polarizaccedilatildeo eleacutetrica Jaacute vimos que moleacuteculas
apolares e aacutetomos na presenccedila de campos eleacutetricos externos se polarizam se tornam
pequenos dipolos eleacutetricos Moleacuteculas polares por sua vez jaacute satildeo pequenos dipolos
eleacutetricos por natureza Esses dipolos eleacutetricos (intriacutensecos ou induzidos) se orientam
paralelamente ao campo eleacutetrico externo conforme a Figura ao lado (a seta verde
eacute a seta de o momento de dipolo eleacutetrico do dipolo) Um dipolo eleacutetrico produz ele
mesmo campo eleacutetrico no espaccedilo um campo (linhas de forccedila azuis) Considere
entatildeo que eacute o campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas nas placas de um capacitor Se
preenchermos o espaccedilo entre as placas com um dieleacutetrico esperamos que surja no espaccedilo entre as placas um
campo (ou a resultante macroscoacutepica desse campo para vaacuterios aacutetomos ou moleacuteculas) e que esse campo
afete a capacitacircncia desse capacitor Seria surpreendente se isso natildeo acontecesse Para capacitores com vaacutecuo
entre as placas vale = 0
Observamos que a inserccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas de um capacitor sempre aumenta a
capacitacircncia quando comparada com a capacitacircncia com vaacutecuo entre as placas Definimos entatildeo a constante
dieleacutetrica gt 1 de um dieleacutetrico como sendo a constante de proporcionalidade na relaccedilatildeo
( ) = ( )
+-
198
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
sendo ( ) a capacitacircncia de um capacitor com esse dieleacutetrico entre as placas e ( ) a capacitacircncia desse
mesmo capacitor (mesma geometria e mesmas dimensotildees) com vaacutecuo entre as placas Esse aumento na
capacitacircncia estaacute associado ao campo e agraves cargas de polarizaccedilatildeo que definiremos em seguida
Aqui vale a pena considerarmos duas situaccedilotildees que levam agrave mesma conclusatildeo final do aumento da
capacitacircncia com a inserccedilatildeo do dieleacutetrico entre as placas Na primeira situaccedilatildeo consideramos um capacitor
que estaacute carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa positiva e que estaacute com suas placas desconectadas
do mundo exterior (capacitor isolado) Na segunda situaccedilatildeo consideramos um capacitor permanentemente
conectado a uma bateria Imaginaremos um processo em que o capacitor inicialmente com vaacutecuo entre as
placas tem o espaccedilo entre as placas (todo) preenchido por um meio dieleacutetrico qualquer
461 Inserccedilatildeo de um dieleacutetrico em um capacitor isolado
Vamos ilustrar as coisas usando um capacitor de placas paralelas mas nossas conclusotildees valem para
qualquer capacitor A Figura 9 compara um capacitor isolado (visatildeo de perfil) sem e com dieleacutetrico entre as
placas (desprezando efeitos de borda)
Inicialmente haacute por hipoacutetese uma carga eleacutetrica depositada nas placas concentrada em densidades
de carga uniformes plusmn em cada uma das faces internas das placas Essas cargas produzem no espaccedilo entre as
placas o campo eleacutetrico (PL de placas) Esse campo existe independentemente da presenccedila do dieleacutetrico e
por isso ele eacute tambeacutem representado nas Figuras (b) e (c) Estando o capacitor desconectado as cargas nas
placas e o campo natildeo mudam ou seja natildeo satildeo afetados pela presenccedila ou natildeo do dieleacutetrico entre as
placas Em (b) estamos supondo que haacute um dieleacutetrico entre as placas e mostramos o efeito de (que age
como um campo eleacutetrico externo) nas moleacuteculas (ou aacutetomos) do dieleacutetrico (exagerando bastante seus
tamanhos) Os momentos de dipolo eleacutetrico (intriacutensecos ou induzidos) se orientam paralelamente ao campo
+ + + + +
- - - - -
++++ +
---- -
+++ + +
--- - -
+ -
+ - +
-
+- +
- - - - -
+ + ++
+++ + +
--- - -
(a) vaacutecuo (b) dieleacutetrico (c) dieleacutetrico (d) dieleacutetrico
Figura 9 Visatildeo de perfil de um capacitor de placas planas paralelas (a) com vaacutecuo entre as placas (b) com dieleacutetrico entre as placas moleacuteculas polarizadas (c) cargas de polarizaccedilatildeo e seu campo eleacutetrico (d) campo eleacutetrico resultante entre as placas A seta azul eacute menor que a seta vermelha
199
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
Note que isso produz uma organizaccedilatildeo nas cargas eleacutetricas concentradas nos poacutelos dos
aacutetomosmoleacuteculas cujo resultado final se resume agrave formaccedilatildeo de densidades superficiais de carga eleacutetrica nas
superfiacutecies do dieleacutetrico que faceiam as placas metaacutelicas Chamamos essas cargas eleacutetricas de cargas de
polarizaccedilatildeo pois elas satildeo fruto desse processo de organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos do dieleacutetrico Na regiatildeo
interior do dieleacutetrico vemos basicamente uma mistura homogecircnea de poacutelos positivos e negativos ou seja a
neutralidade eleacutetrica eacute mantida (em cada ponto) nessa regiatildeo Em (c) mostramos o campo eleacutetrico (POL
de polarizaccedilatildeo) criado por essas densidades de carga de polarizaccedilatildeo plusmn concentradas nas faces superior e
inferior do dieleacutetrico Note que eacute oposto a Mostramos uma seta pequena de comparada agrave seta
de porque devemos ter em mente que eacute um efeito de sem natildeo haacute e que esse efeito eacute
normalmente pequeno Na Figura 9(d) mostramos finalmente o resultado disso tudo o campo eleacutetrico
resultante entre as placas qual seja = + tem magnitude menor que o campo eleacutetrico original
quando havia somente o vaacutecuo entre as placas Conclusatildeo se as cargas eleacutetricas depositadas nas placas
estatildeo constantes (pois o capacitor estaacute isolado) a inserccedilatildeo do dieleacutetrico reduz o campo eleacutetrico entre as placas
(quando comparado ao vaacutecuo) A DDP entre as placas eacute
∆ = (+) minus (minus) = ∙
Portanto
∆ ( ) = ∙ ∆ ( ) = + ∙
Segue que ∆ diminui com a inserccedilatildeo do dieleacutetrico (lembre-se que + lt ) Como esse
capacitor com dieleacutetrico estaacute acumulando a mesma quantidade de carga eleacutetrica que o capacitor com vaacutecuo
mas com menor DDP entre as placas concluiacutemos que sendo = ∆
( ) gt ( ) A presenccedila do dieleacutetrico entre as placas aumenta a capacitacircncia do capacitor
Resumindo nosso raciociacutenio
Se ( ) = ( ) e ∆ ( ) lt ∆ ( ) segue que ( ) gt ( ) 462 Inserccedilatildeo de um dieleacutetrico em um capacitor conectado a uma bateria
A Figura 10 abaixo compara um capacitor (visatildeo de perfil) que estaacute constantemente conectado a uma
bateria sem e com dieleacutetrico entre as placas O raciociacutenio aqui eacute parecido com o anterior Mas haacute uma etapa
intermediaacuteria em que as coisas se datildeo de uma forma diferente Nossa conclusatildeo quanto ao aumento da
capacitacircncia eacute a mesma
200
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
Inicialmente haacute uma carga eleacutetrica depositada nas placas concentrada em densidades de carga plusmn em
cada uma das faces internas das placas Essas cargas produzem no espaccedilo entre as placas o campo eleacutetrico
(PL de placas) Esse campo existe independentemente da presenccedila do dieleacutetrico e por isso ele eacute representado
nas Figuras (b) e (c) Em (b) estamos supondo um dieleacutetrico entre as placas e mostramos o efeito de (que
age como um campo eleacutetrico externo) nas moleacuteculas (ou aacutetomos) do dieleacutetrico (exagerando bastante seus
tamanhos)
Os momentos de dipolo eleacutetrico se orientam paralelamente ao campo Note que isso produz
uma organizaccedilatildeo nas cargas eleacutetricas concentradas nos poacutelos dos aacutetomosmoleacuteculas cujo resultado final eacute a
formaccedilatildeo de densidades superficiais de carga eleacutetrica nas superfiacutecies do dieleacutetrico que faceiam as placas
metaacutelicas As coisas aqui acontecem da mesma forma que no nosso exemplo anterior
Chamamos essas cargas eleacutetricas de cargas de polarizaccedilatildeo pois elas satildeo fruto desse processo de
organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos do dieleacutetrico Na regiatildeo interior do dieleacutetrico vemos basicamente uma
mistura homogecircnea de poacutelos positivos e negativos ou seja a neutralidade eleacutetrica eacute mantida (em cada ponto)
nessa regiatildeo Na Figura 10(c) mostramos o campo eleacutetrico (POL de polarizaccedilatildeo) criado por essas
densidades de carga de polarizaccedilatildeo plusmn nas faces do dieleacutetrico Note que eacute oposto a Mostramos
uma seta pequena de comparada agrave seta de porque devemos ter em mente que eacute um efeito de
sem natildeo haacute e que esse efeito eacute normalmente pequeno Na Figura 10(d) mostramos finalmente o
resultado final disso tudo o campo eleacutetrico resultante entre as placas qual seja = + tem a
mesma magnitude que o campo eleacutetrico original Por quecirc Aqui a presenccedila constante da bateria manteacutem
o valor de ∆ constante igual agrave DDP entre os terminais da bateria Se por exemplo a bateria for uma bateria
de 9 V entatildeo ∆ = 9 V com vaacutecuo entre as placas e com dieleacutetrico entre as placas (tanto em (a) quanto em
(d)) Portanto como vale a relaccedilatildeo
+ + + + +
- - - - -
+++ + +
--- - -
+ -
+ - +
-
+- +
- - - - -
+ + ++
+++ + +
--- - -
(a) vaacutecuo (b) dieleacutetrico (c) dieleacutetrico (d) dieleacutetrico
Figura 10 Visatildeo de perfil de um capacitor de placas planas paralelas (a) com vaacutecuo entre as placas (b) com dieleacutetrico entre as placas moleacuteculas polarizadas (c) cargas de polarizaccedilatildeo e seu campo eleacutetrico (d) campo eleacutetrico resultante entre as placas A seta azul tem o mesmo tamanho da seta vermelha em (a)
++++ +
---- -
+ ++ + + + ++
-- - - - - - -
201
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
∆ = (+) minus (minus) = ∙ = ∙
segue que = Mas existe o campo eleacutetrico oposto e portanto como pode ser mantido o valor
do campo resultante Eacute simples a inserccedilatildeo do dieleacutetrico aumenta a magnitude de Como Aumentando a
carga eleacutetrica depositada nas placas graccedilas agrave accedilatildeo da bateria que fornece cargas eleacutetricas para o capacitor
enquanto o dieleacutetrico eacute inserido entre suas placas Basicamente as cargas de polarizaccedilatildeo nas faces superior e
inferior dos dieleacutetricos atraem mais cargas de sinais opostos para as placas metaacutelicas (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo)
No capacitor isolado isso natildeo produz nenhum efeito mas aqui essa atraccedilatildeo faz com que a bateria forneccedila mais
cargas eleacutetricas para as placas do capacitor aumentando a magnitude de
Conclusatildeo se a carga eleacutetrica depositada nas placas aumenta (pela accedilatildeo da bateria) ao mesmo tempo
em que a DDP entre as placas se manteacutem (pela accedilatildeo da bateria) segue que como = ∆
( ) gt ( ) A presenccedila do dieleacutetrico entre as placas aumenta a capacitacircncia do capacitor
Resumindo nosso raciociacutenio
Se ( ) gt ( ) e ∆ ( ) = ∆ ( ) segue que ( ) gt ( ) Juntando os resultados de nossas duas anaacutelises anteriores podemos dizer que um capacitor com
dieleacutetrico tem maior capacitacircncia que o mesmo capacitor com vaacutecuo entre as placas porque ele acumula a
mesma quantidade de carga eleacutetrica com uma DDP menor entre as placas eou porque ele acumula mais carga
eleacutetrica com a mesma DDP entre as placas Enfim em qualquer caso a polarizaccedilatildeo do material dieleacutetrico faz
com que um capacitor tenha capacitacircncia maior do que ele teria se houvesse vaacutecuo entre as placas
A razatildeo entre as capacitacircncias (para um mesmo capacitor mesma geometria e mesmas dimensotildees)
com e sem dieleacutetrico define a constante dieleacutetrica do material dieleacutetrico inserido entre as placas
= ( )( )
Voltando agraves anaacutelises que fizemos considerando o caso especiacutefico de um capacitor de placas paralelas
obtemos que no caso do capacitor isolado (carga eleacutetrica constante Figura 9)
= ( )( ) = ∆ ( )∆ ( ) = ∆ ( )∆ ( ) = rArr ( ) = ( )
sendo a distacircncia entre as faces internas das placas (por isso ∆ = ) Concluiacutemos que na presenccedila do
dieleacutetrico o campo eleacutetrico entre as placas ( ( )) diminui (por causa do campo eleacutetrico de polarizaccedilatildeo) ele
eacute vezes menor do que o campo eleacutetrico que haveria se houvesse vaacutecuo entre as placas ( ( )) com a
202
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
mesma carga eleacutetrica depositada nas placas Lembrando que o campo eleacutetrico entre as placas que obtivemos
para o capacitor de placas planas paralelas com vaacutecuo entre as placas eacute
( ) =
Concluiacutemos que o campo eleacutetrico entre as placas com o espaccedilo preenchido por dieleacutetrico e a mesma
densidade de carga nas placas eacute ( ) =
Aqui eacute interessante introduzirmos a permissividade dieleacutetrica do meio dieleacutetrico = de tal
forma que o campo eleacutetrico manteacutem a mesma forma original mas com no lugar de ou seja
( ) =
Aqui chegamos a uma conclusatildeo importante se acreditarmos que tudo que dissemos anteriormente
natildeo eacute restrito ao contexto do capacitor de placas paralelas mas sim um resultado geral apenas descoberto
nesse contexto Esse eacute o caso Concluiacutemos que se jaacute conhecemos o campo eleacutetrico ( )( ) de uma
distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas fixas no vaacutecuo o campo eleacutetrico produzido pela mesma distribuiccedilatildeo de cargas
eleacutetricas mas agora fixas no espaccedilo que eacute (todo) preenchido por um meio material dieleacutetrico eacute dado pela
mesma expressatildeo do campo ( )( ) mas com o substituiacutedo por = sendo a constante
dieleacutetrica desse material que permeia o espaccedilo Jaacute haviacuteamos adiantado esse resultado quando discutimos a lei
de Coulomb no capiacutetulo 1
Resumindo uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas produz no espaccedilo vazio o campo eleacutetrico ( )( ) Havendo um meio material permeando o espaccedilo o campo ( )( ) organiza os dipolos eleacutetricos (intriacutensecos
ou induzidos) desse meio que passa a produzir no espaccedilo o campo ( )( ) O campo eleacutetrico (resultante)
no espaccedilo passa a ser ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) Estamos descobrindo aqui que a expressatildeo de ( )( ) eacute a mesma expressatildeo de ( )( ) apenas trocando por
Por exemplo vimos que o campo eleacutetrico de uma carga pontual fixa no espaccedilo vazio eacute
( )( ) = 4 Portanto se essa mesma carga eleacutetrica estiver fixa em uma regiatildeo do espaccedilo permeado por um meio material
de permissividade eleacutetrica o campo eleacutetrico no mesmo ponto do espaccedilo seraacute dado por
( )( ) = 4
203
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
Esse resultado natildeo mostra que a presenccedila do meio material modifica o campo eleacutetrico que a carga gera no
espaccedilo Mesmo na presenccedila do meio material a carga continua gerando em o campo eleacutetrico ( )( ) mas o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo muda deixa de ser ( )( ) e passa a ser ( )( ) + ( )( ) Assim o campo eleacutetrico resultante em passa a ser dado por
( )( ) = ( )( ) + ( )( ) rArr 4 = 4 + ( )( ) Por isso eacute mais correto nesse contexto chamar ( )( ) de campo eleacutetrico em devido agrave presenccedila
da carga eleacutetrica do que chamar esse campo de campo eleacutetrico em gerado pela carga eleacutetrica (que eacute de
fato sempre ( )( )) Se considerarmos que o meio material eacute o ar temos que cong 10006 e portanto natildeo faz muita
diferenccedila considerar ou Um capacitor com ar entre as placas eacute basicamente um capacitor com vaacutecuo
Da mesma forma a forccedila em uma carga pontual prime devido agrave presenccedila de uma carga eleacutetrica pontual ambas
no ar eacute
( )( ) = ( )( ) = prime4 sendo a distacircncia entre as cargas Essa eacute basicamente a mesma forccedila que atuaria se as cargas estivessem no
vaacutecuo
Por outro lado se considerarmos que o meio material eacute a aacutegua segue que cong 80 ( cong 80) e
portanto faz muita diferenccedila considerar Um capacitor com aacutegua entre as placas possui capacitacircncia 80
vezes maior que o mesmo capacitor com vaacutecuo Portanto podemos reduzir a aacuterea de um capacitor de placas
paralelas em 80 vezes e obter a mesma capacitacircncia se preenchermos o espaccedilo entre as placas com aacutegua
Essa propriedade dos dieleacutetricos nos permite miniaturizar os capacitores A aacutegua natildeo eacute propriamente uma boa
opccedilatildeo para isolar as placas de capacitores Existem materiais dieleacutetricos soacutelidos com constantes dieleacutetricas da
ordem de 1000 e que portanto permitem uma grande miniaturizaccedilatildeo dos capacitores
Voltando ao caso da aacutegua a forccedila em uma carga pontual prime devido agrave presenccedila de uma carga eleacutetrica
pontual ambas mergulhadas na aacutegua eacute
( )( ) = ( )( ) = prime4 cong 180 prime4 sendo a distacircncia entre as cargas A forccedila na presenccedila da aacutegua eacute 80 vezes menor do que a que atuaria se as
cargas estivessem no vaacutecuo (ou no ar) A Figura que segue (tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees)
ilustra o processo de organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos das moleacuteculas de aacutegua por um iacuteon positivo que nos
permite entender por que o campo eleacutetrico devido agrave presenccedila do iacuteon sofre uma reduccedilatildeo quando ele estaacute
mergulhado na aacutegua O campo eleacutetrico radial do iacuteon ( )( ) atua nos dipolos eleacutetricos e gira os momentos
204
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
de dipolo das moleacuteculas de aacutegua orientando-os na direccedilatildeo radial O iacuteon
positivo fica circundado por uma camada de poacutelos negativos das moleacuteculas de
aacutegua Essa camada de cargas eleacutetricas (de polarizaccedilatildeo) negativas envolvendo o
iacuteon blinda o campo do iacuteon ou seja essas cargas produzem um campo eleacutetrico
radial oposto ao campo do iacuteon produzindo um campo resultante ( )( ) que
eacute menor que o campo que haveria no vaacutecuo (nesse caso 80 vezes menor)
Essa reduccedilatildeo draacutestica na forccedila de interaccedilatildeo eleacutetrica produzida pela presenccedila da aacutegua permeando o
espaccedilo nos permite entender por que a aacutegua possui a capacidade de dissolver as substacircncias diluiacutedas nela
Considere por exemplo o sal de cozinha que eacute basicamente o composto NaCl A forccedila que produz a coesatildeo
entre os iacuteons Na+ e Cl- nessa substacircncia eacute a forccedila eleacutetrica de atraccedilatildeo muacutetua entre eles a forccedila de Coulomb
Quando o sal eacute mergulhado na aacutegua essa forccedila de atraccedilatildeo fica cerca de 80 vezes menor facilitando a
separaccedilatildeo dos iacuteons e a dissoluccedilatildeo do sal
Concluiacutemos que se haacute um meio dieleacutetrico permeando todo o espaccedilo basta substituir na expressatildeo de ( )( ) o pelo que obtemos o ( )( ) Eacute interessante frisar que essa afirmaccedilatildeo vale para uma
classe de dieleacutetricos aqueles que podem ser caracterizados por uma constante dieleacutetrica e por uma
permissividade eleacutetrica = Esses dieleacutetricos satildeo ditos ldquolinearesrdquo A natureza eacute rica e complexa e
existem dieleacutetricos natildeo-lineares ou seja dieleacutetricos para os quais as definiccedilotildees de e dadas acima natildeo
se aplicam Para os casos em que o espaccedilo eacute preenchido por um dieleacutetrico natildeo-linear a situaccedilatildeo eacute mais
complicada e cada caso eacute um caso
Apenas para concluir mostramos que no caso do capacitor com carga constante (Figura 9) vale
( ) = ( )
Portanto como ( ) = ( ) minus ( ) (campos opostos) segue que
( ) = ( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = ( ) 1 minus 1 = minus 1 ( ) lt ( ) Estamos apenas confirmando aqui que na Figura 9 a seta de (que tem moacutedulo ( )) eacute sempre menor
que a seta de (que tem moacutedulo ( )) Para a aacutegua por exemplo cong 80 e vale
( )( ) = minus 1 cong 7980 cong 0988
ou seja o campo eleacutetrico produzido pelas cargas de polarizaccedilatildeo concentradas nas interfaces dieleacutetricometal
tem moacutedulo que eacute basicamente 99 do moacutedulo do campo eleacutetrico produzido pelas cargas nas placas do
+
+
+ +
++
++
+
--
-
- --
-
-
205
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
capacitor Isso significa que as densidades de carga de polarizaccedilatildeo ( ) possuem magnitude que eacute 99 da
magnitude das densidades de carga nas placas ( ) Para o ar vale ( ) cong 00006 ( ) Se fizeacutessemos esse experimento de preencher com aacutegua o espaccedilo entre as placas de um capacitor
isolado com carga fixa veriacuteamos a DDP entre as placas cair muito Se imaginarmos que um voltiacutemetro estaacute
conectado agraves placas desse capacitor e que ele indica inicialmente uma DDP de 80 V ao inserir aacutegua entre as
placas vamos ver o ponteiro do voltiacutemetro descer ateacute indicar a leitura
∆ ( ) = ∆ ( ) cong 1
Por isso a capacitacircncia desse capacitor com aacutegua seria 80 vezes maior do que com vaacutecuo (ou ar) entre as
placas Ele acumula a mesma carga eleacutetrica mas com uma DDP 80 vezes menor (que o caso com vaacutecuo)
Na Figura 11 abaixo mostramos alguns capacitores feitos de diferentes materiais dieleacutetricos
polieacutester ceracircmica tacircntalo mica
Figura 11 capacitores feitos de diversos materiais dieleacutetricos
Considere que cada material dieleacutetrico eacute selecionado natildeo apenas por sua constante dieleacutetrica K mas
tambeacutem por sua rigidez dieleacutetrica e por outras propriedades que podem ser importantes para cada aplicaccedilatildeo
Na Figura ao lado mostramos um capacitor de 1000 F (50 V) que abrimos para
ver o que tem dentro A proacutexima Figura mostra que haacute duas placas que satildeo folhas de
alumiacutenio separadas por uma folha de papel muito fina impregnada com um liacutequido Haacute
ainda um oacutexido nas folhas de alumiacutenio que eacute o dieleacutetrico entre as placas (de espessura
minuacutescula) Esse tipo de capacitor eacute chamado de eletroliacutetico
As folhas satildeo enroladas formando um sanduiacuteche alumiacuteniopapelalumiacutenio
(ainda tem o oacutexido)
A Figura ao lado mostra que se desenrolarmos as folhas
de alumiacutenio vemos que elas possuem basicamente 32 cm de
206
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
comprimento por 2 cm de largura Portanto a aacuterea de cada placa eacute cong 032 times 002 = 00064 m2
Finalmente a Figura ao lado (httpwwwelnacojp) mostra que haacute
ainda um recurso para o aumento da capacitacircncia As folhas de alumiacutenio
possuem superfiacutecies rugosas o que aumenta bastante a aacuterea efetiva das
placas A Figura mostra um corte lateral do capacitor mostrando os perfis das
duas placas em uma escala microscoacutepica
Juntando tudo geometria aacuterea efetiva das placas distacircncia minuacutescula entre as placas ( m) e
constante dieleacutetrica resulta em uma capacitacircncia de 1000 F = 1 mF em um capacitor minuacutesculo
463 Caacutelculo de capacitacircncia com dieleacutetricos
Aqui vamos dar um uacuteltimo exemplo de caacutelculo de capacitacircncia no caso em que haacute uma combinaccedilatildeo de
vaacuterios dieleacutetricos entre as placas de um capacitor Vamos voltar no exemplo do capacitor esfeacuterico que jaacute
discutimos no iniacutecio desse capiacutetulo As duas placas satildeo esfeacutericas e concecircntricas Uma placa eacute uma esfera
metaacutelica de raio e a outra placa eacute uma casca esfeacuterica
metaacutelica de raio interno e espessura A Figura 12 ao
lado ilustra esse capacitor Note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo
objetos esfeacutericos no espaccedilo tridimensional Supondo que
as placas estatildeo separadas por uma camada de vaacutecuo
mostramos que a capacitacircncia desse capacitor eacute
( ) = 4 1 minus 1 = 4 minus
Agora vamos supor que o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dieleacutetricos Suponha que a
camada (em amarelo) com raios tais que lt lt
estaacute preenchida com um dieleacutetrico de constante dieleacutetrica
e que a camada (em verde) com raios tais que lt lt estaacute preenchida com um dieleacutetrico de
constante dieleacutetrica A Figura 13 ao lado ilustra esse
capacitor
Vamos calcular a capacitacircncia desse capacitor Primeiro supomos que em uma das placas haacute uma
carga eleacutetrica Depois calculamos a DDP ∆ entre as placas tendo em vista essa carga Fazemos a razatildeo ∆ O que resultar dessa razatildeo eacute a expressatildeo de Haacute ainda uma etapa intermediaacuteria pois para calcular ∆
devemos conhecer o campo eleacutetrico entre as placas Aplicando essas ideacuteias em etapas obtemos o algoritmo
abaixo
Figura 12 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute o vaacutecuo Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas
Figura 13 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute dois dieleacutetricos diferentes Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas
1 2
207
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
1 Suponha uma carga eleacutetrica na esfera menor de raio e uma carga ndash na casca de raio Jaacute
sabemos que a carga vai se distribuir na superfiacutecie da esfera de raio e que a carga ndash vai se
distribuir na superfiacutecie interior (de raio ) da casca metaacutelica (essas cargas e ndash se atraem) De
fato esse eacute basicamente o problema de um condutor (a casca) com uma cavidade e uma carga
dentro dessa cavidade Por simetria todas as cargas se distribuiratildeo uniformemente nas
superfiacutecies
2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo com raios lt lt
Vamos imaginar primeiramente que haacute vaacutecuo entre as placas Da lei de Gauss ou do teorema das
cascas sabemos que o campo eleacutetrico entre as placas seria nesse caso dado por = 4 Isso porque as cargas na esfera criam fora dela o mesmo campo eleacutetrico de uma carga
localizada no centro da esfera e as cargas na casca natildeo criam campo eleacutetrico dentro da casca Note
que soacute haacute campo eleacutetrico na regiatildeo entre as placas ( lt lt ) Dentro do material da esfera
menor ( lt ) e dentro do material da casca ( lt lt + ) natildeo haacute campo eleacutetrico pois satildeo
regiotildees ocupadas por materiais condutores Na regiatildeo exterior ao capacitor ( gt + ) natildeo haacute
campo eleacutetrico porque os campos de e ndash se cancelam (conforme podemos ver do teorema das
cascas)
3 Agora vamos levar em conta a presenccedila dos dieleacutetricos entre as placas conforme nossa discussatildeo
anterior Na regiatildeo (amarela) com raios tais que lt lt que estaacute preenchida com um
dieleacutetrico de constante dieleacutetrica o campo eleacutetrico seraacute o mesmo que haveria se fosse vaacutecuo
mas com substituiacutedo por Portanto = 4 Na regiatildeo (verde) com raios tais que lt lt que estaacute preenchida com um dieleacutetrico de
constante dieleacutetrica o campo eleacutetrico seraacute o mesmo que haveria se fosse vaacutecuo mas com
substituiacutedo por Portanto = 4 4 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas
Considere um caminho radial ( = ) que parte da superfiacutecie equipotencial de raio (na
placa +) e termina na superfiacutecie equipotencial de raio (na placa -) Ao percorrer esse caminho o
campo eleacutetrico muda de valor quando passamos por = Levamos isso em conta dividindo a
integral que daacute a DDP em duas integrais
208
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
∆ = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ + ∙
Substituindo as expressotildees dos campos obtemos (usando ∙ = )
∆ = 4 + 4 = 4 1 minus 1 + 4 1 minus 1
5 Faccedila a razatildeo (aqui preferimos calcular 1 ) 1 = ∆ = 14 1 minus 1 + 14 1 minus 1
Note que obtivemos o resultado de uma associaccedilatildeo seacuterie de dois capacitores um capacitor esfeacuterico
com raios e com o espaccedilo entre as placas preenchido pelo dieleacutetrico de constante dieleacutetrica cuja
capacitacircncia eacute 1 = 14 1 minus 1 rArr = 4 1 minus 1 = 4 minus
e outro um capacitor esfeacuterico com raios e com o espaccedilo entre as placas preenchido pelo dieleacutetrico de
constante dieleacutetrica cuja capacitacircncia eacute 1 = 14 1 minus 1 rArr = 4 1 minus 1 = 4 minus
Portanto mostramos que 1 = 1 + 1
Os dois ldquocapacitoresrdquo estatildeo em seacuterie porque quando caminhamos de um terminal (na esfera menor)
ateacute o outro (na casca maior) passamos primeiramente pelo capacitor e depois passamos pelo capacitor
Portanto e estatildeo ligados um na sequecircncia do outro como em qualquer associaccedilatildeo seacuterie de capacitores
A superfiacutecie esfeacuterica de raio que eacute compartilhada pelos dois capacitores funciona como a conexatildeo (o noacute)
entre esses dois capacitores esfeacutericos
47 Aplicaccedilotildees
1) a) Um capacitor estaacute inicialmente carregado e a DDP entre suas placas eacute
Em um dado instante uma chave S eacute fechada e esse capacitor eacute conectado a outro
capacitor inicialmente descarregado conforme a Figura ao lado Vamos calcular
as cargas finais e nos capacitores
+ -
209
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
A ideia eacute que o fechamento da chave vai produzir um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico em que as cargas
iniciais plusmn em vatildeo se distribuir nas placas metaacutelicas que foram unidas entre si Na placa positiva de
havia o excesso de cargas Ao fechar a chave essa carga se redistribui uma parte ficando em e outra
parte ficando em Analogamente nas placas inferiores negativas O transiente termina quando as placas
unidas se encontram no mesmo potencial (jaacute que elas formam um condutor soacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico) Os
princiacutepios que definem os valores de e e as equaccedilotildees associadas a esse princiacutepios satildeo
Conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica (nas duas placas positivas) + =
Paralelismo entre os dois capacitores Δ = Δ
Note que natildeo estamos afirmando aqui que Δ = Δ = Natildeo haacute essa ldquoconservaccedilatildeo da DDPrdquo pelo
contraacuterio as cargas nos capacitores mudam os campos eleacutetricos entre as placas mudam e as DDPs mudam
mas sempre vale Δ = Δ posto que as placas dos capacitores estatildeo conectadas duas a duas Concluindo
Δ = Δ rArr = rArr =
Portanto + = rArr + = rArr = 1 +
e ainda = (1 + ) Note que o capacitor de maior capacitacircncia fica com a fraccedilatildeo maior das cargas
De fato se gt ( gt 1) vale = 1 + 1 + ( ) gt 1
A nova DDP entre as placas (que era ) eacute Δ = = = +
Note que pensando em termos de um capacitor equivalente de capacitacircncia = + segue que a
carga total nesse capacitor equivalente eacute e portanto Δ = = ( + ) 1) b) Um capacitor estaacute inicialmente carregado e a DDP entre suas
placas eacute mantida por uma bateria conectada aos seus terminais Em um
dado instante uma chave S eacute fechada e esse capacitor eacute conectado a outro
capacitor inicialmente descarregado conforme a Figura ao lado Vamos
calcular as cargas finais e nos capacitores
+ -
210
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
A ideia eacute anaacuteloga agrave do item anterior o fechamento da chave vai produzir um novo equiliacutebrio
eletrostaacutetico em que as cargas iniciais plusmn em vatildeo se distribuir nas placas metaacutelicas que foram unidas
entre si Na placa positiva de havia o excesso de cargas Ao fechar a chave essa carga se redistribui uma
parte ficando em e outra parte ficando em Analogamente nas placas inferiores negativas Mas agora haacute
a presenccedila da bateria que pode fornecer ou absorver cargas no sistema de dois capacitores O transiente
termina quando as placas unidas se encontram no mesmo potencial (jaacute que elas formam um condutor soacute em
equiliacutebrio eletrostaacutetico) O princiacutepio que define os valores de e e a equaccedilatildeo associada a esse princiacutepio eacute
Conservaccedilatildeo da DDP entre as placas mantida pela bateria e
paralelismo entre os capacitores Δ = Δ =
Note que agora estamos afirmando que Δ = Δ = Haacute uma ldquoconservaccedilatildeo da DDPrdquo pois essa eacute a funccedilatildeo
da bateria em um circuito estabelecer uma DDP fixa entre os terminais a que ela eacute conectada Portanto a
carga no capacitor natildeo muda o campo eleacutetrico entre suas placas natildeo muda e a DDP natildeo muda continua
No capacitor natildeo havia carga nem campo eleacutetrico e nem DDP Com o fechamento da chave a bateria teraacute
que transferir cargas para esse capacitor estabelecendo um campo eleacutetrico entre as placas e uma DDP igual a
Concluindo V = Δ = Δ rArr = =
Portanto = =
e ainda = Note que o capacitor de maior capacitacircncia fica com mais cargas
A carga que havia no circuito era = Apoacutes fechar a chave a carga total no circuito passa a ser = + = + = ( + )
Note que pensando em termos de um capacitor equivalente de capacitacircncia = + segue que a
carga total nesse capacitor eacute =
2) A Figura ao lado mostra a associaccedilatildeo de N capacitores iguais
em paralelo cada um de capacitacircncia Vamos supor que esses
capacitores possuam inicialmente vaacutecuo entre as placas
a) Suponha agora que um dos capacitores tenha o espaccedilo entre as placas preenchido por um dieleacutetrico de
constante dieleacutetrica K Calcule a razatildeo entre as capacitacircncias equivalentes dessa associaccedilatildeo de
capacitores depois ( ) e antes ( ) da inserccedilatildeo desse dieleacutetrico
Para capacitores em paralelo vale
211
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
= + +⋯
Portanto no caso do item (a) obtemos = e = ( minus 1) + = ( minus 1 + ) Segue que
= minus 1 + = 1 + minus 1
Note que no caso particular = 1 (ou seja nada foi alterado de fato o ldquodieleacutetricordquo eacute o vaacutecuo) vale = 1 Esse resultado vale tambeacutem se rarr infin pois nesse caso o uacutenico capacitor ldquodiferenterdquo de tornaria
irrelevante
b) Suponha agora que um nuacutemero de capacitores tenha o espaccedilo entre as placas preenchido por um
dieleacutetrico de constante dieleacutetrica K Calcule para que valha a razatildeo = 2
Para essa situaccedilatildeo obtemos = ( minus ) + = [ + ( minus 1)] Segue que
= + ( minus 1) = 1 + ( minus 1) Note que no caso particular = 1 (ou seja nada foi alterado de fato o ldquodieleacutetricordquo eacute o vaacutecuo) vale = 1 Por outro lado se = seque que = pois todo o espaccedilo entre as placas foi
preenchido pelo dieleacutetrico Para que valha = 2 deve ser tal que
1 + ( minus 1) = 2 rArr = minus 1
Caso o dieleacutetrico fosse a aacutegua por exemplo com cong 80 deveria valer = 79 ou seja a situaccedilatildeo
( = 2) soacute seria possiacutevel se valesse ge 79 Se valesse exatamente = 79 apenas um capacitor
deveria ter o espaccedilo entre suas placas preenchido com aacutegua Os outros 78 continuariam com vaacutecuo entre as
placas Haveria entatildeo ao final 78 capacitores de capacitacircncia e 1 capacitor de capacitacircncia 80 A
capacitacircncia final seria = 78 + 80 = 2 times 79 = 2
3) Considere um capacitor de placas paralelas (com placas de aacuterea = e
distacircncia entre as faces internas das placas) que possui um dieleacutetrico entre as
placas cuja ldquoconstanterdquo dieleacutetrica eacute natildeo homogecircnea ou seja natildeo eacute uma
constante mas sim uma funccedilatildeo ( ) com a coordenada definida na Figura ao
lado A Figura mostra um referencial xy paralelo ao plano das placas com a
coordenada x variando no intervalo isin [0 ] e a variaacutevel y variando no intervalo isin [0 ] A origem (00) estaacute na quina esquerda frontal da placa inferior Calcule
a capacitacircncia desse capacitor Despreze efeitos de borda
Se a constante dieleacutetrica fosse constante a resposta seria simples
212
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
= =
Sendo a ldquoconstanterdquo dieleacutetrica variaacutevel ao longo da direccedilatildeo x fica claro que natildeo faz sentido dizermos que
= ( )
pois essa expressatildeo natildeo especifica o valor de que pode assumir qualquer valor no intervalo [0 ] Portanto
essa resposta ldquoapressadardquo natildeo especifica de fato o valor de Ela natildeo faz o menor sentido
Nossa ideia aqui seraacute considerar que esse capacitor eacute uma sucessatildeo de
capacitores em paralelo cada um com uma constante dieleacutetrica proacutepria ( ) A
Figura ao lado ilustra essa ideia (visatildeo de perfil) Cada cor representa um valor
diferente para ( ) dentro da fatia de dieleacutetrico de espessura ∆ (e
profundidade ) A capacitacircncia de um capacitor que tem essa fatia como
dieleacutetrico entre suas placas eacute
( ) = ∆ = ( ) ∆
Em resumo esse ldquocapacitor fatiardquo possui aacuterea de placas Δ = Δ distacircncia entre as placas e dieleacutetrico
com constante dieleacutetrica ( ) Portanto se eacute a quantidade de fatias de dieleacutetrico segue que a capacitacircncia dessa ldquoassociaccedilatildeordquo de
capacitores em paralelo eacute
= = ( ) ∆ = ( )∆
Nesse caso vemos que haacute = ∆ fatias ou seja capacitores em paralelo Os capacitores estatildeo em
paralelo pois estatildeo todos com suas placas conectadas duas a duas (de fato soacute haacute duas placas metaacutelicas que
fatiamos mentalmente)
Fica claro que esse raciociacutenio deve ser estendido para o limite do contiacutenuo em que ∆ rarr 0 e = ∆ rarr infin Nesse limite o somatoacuterio se torna uma integral e obtemos
= ( )
Esse resultado pode ser expresso em termos de uma constante dieleacutetrica meacutedia definida por
= 1 ( )
x ∆
213
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31
eacute uma meacutedia espacial de ( ) dentro do intervalo [0 ] Obtemos em termos de
= ( ) = 1 ( ) =
Para produzir um resultado mais concreto podemos fazer uma hipoacutetese simples sobre a funccedilatildeo ( ) por exemplo ( ) = com gt 0 e ge 0 constantes (e ainda ( ) ge 1 para todo x) Note que a
constante possui uma unidade que depende de De fato como eacute adimensional segue que a unidade de
eacute ( aqui representa uma unidade qualquer de comprimento por exemplo o metro) [ ] = 1
Nesse caso especiacutefico de ( ) obtemos finalmente
= = + 1 = + 1
Vemos que nesse caso vale = ( + 1) Para o caso particular = 0 recuperamos ( ) = = constante (adimensional) e = Obtemos
tambeacutem = ( + 1) = (0 + 1) = A meacutedia de uma constante eacute a proacutepria constante
Para o caso particular = 1 em que ( ) = varia linearmente obtemos
= 2
Obtemos tambeacutem = ( + 1) = (1 + 1) = 2 O eacute o valor de ( ) no ponto meacutedio = 2 do intervalo [0 ] Note que nesse capacitor a distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas nas placas seria natildeo uniforme Se por
exemplo a DDP entre as placas for ∆ a densidade de carga eleacutetrica superficial na posiccedilatildeo da placa seraacute
∆ = = ( )( ) rArr ( ) = ∆ ( ) Na regiatildeo onde ( ) eacute maior ocorre mais polarizaccedilatildeo do dieleacutetrico concentram-se mais cargas de polarizaccedilatildeo
levando a uma maior concentraccedilatildeo de cargas eleacutetricas nas placas Por exemplo no caso ( ) = a carga
na placa positiva se distribui ao longo de x como ( ) = ∆
A carga eleacutetrica total depositada na placa positiva para essa DDP seria
= ( ) = ( ) = ∆ = ∆ + 1 = + 1∆ = ∆
214
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
5 Correntes eleacutetricas
Daqui para diante vamos abandonar o contexto da eletrostaacutetica A partir desse capiacutetulo
consideraremos situaccedilotildees em que partiacuteculas com carga eleacutetrica estatildeo se movendo no espaccedilo Chamamos essas
partiacuteculas de ldquoportadores de carga eleacutetricardquo Portadores de carga eleacutetrica podem fluir no vaacutecuo ou dentro de
um meio condutor como um metal Chamamos de corrente eleacutetrica esses conjuntos de portadores de carga
se movendo no espaccedilo transportando carga eleacutetrica Estabelecer uma corrente eleacutetrica consiste em
movimentar um conjunto de portadores de carga eleacutetrica que podem ser eleacutetrons proacutetons ou iacuteons Podemos
fazer isso atraveacutes de um campo de forccedila um campo eleacutetrico por
exemplo que empurra os portadores de carga em uma dada direccedilatildeo
A Figura ao lado ilustra trecircs portadores de carga de carga eleacutetrica
fluindo cada um com sua velocidade A eletrostaacutetica eacute o caso
particular = 0 para todo Nesse capiacutetulo vamos iniciar
caracterizando as correntes eleacutetricas definindo suas magnitudes e
propriedades baacutesicas Em seguida estudaremos os conceitos de
resistividade resistecircncia eleacutetrica e forccedila eletromotriz Esses conceitos
seratildeo utilizados depois quando estudarmos os circuitos eleacutetricos que
satildeo uma aplicaccedilatildeo praacutetica comum das correntes eleacutetricas que fluem
nesses circuitos transportando energia potencial eleacutetrica Nos proacuteximos capiacutetulos discutiremos sobre as forccedilas
que essas correntes eleacutetricas exercem em outras cargas eleacutetricas Veremos que a lei de Coulomb e o campo
eleacutetrico conservativo associado a ela natildeo satildeo suficientes para abordar esse contexto mais geral Veremos que
correntes eleacutetricas produzem campos magneacuteticos e ainda campos eleacutetricos induzidos (natildeo conservativos) nos
permitindo entender uma nova classe muito ampla de fenocircmenos da natureza e da tecnologia
Figura 1 Uma corrente eleacutetrica no espaccedilo portadores de carga eleacutetrica fluindo
215
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
51 Quantificando correntes eleacutetricas
Uma corrente eleacutetrica eacute basicamente definida atraveacutes de um conjunto que determina as cargas
eleacutetricas e as velocidades de movimentaccedilatildeo de um conjunto de portadores de carga ( = 12 hellip ) que fluem
em uma regiatildeo do espaccedilo Se = 0 para todo entatildeo natildeo haacute corrente eleacutetrica como no caso de necircutrons ou
aacutetomos fluindo no espaccedilo (haveria nesse caso uma corrente ou um transporte de massa) Se = 0 para
todo entatildeo natildeo haacute corrente eleacutetrica trata-se do contexto da eletrostaacutetica Jaacute comentamos que no mundo
real as partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria estatildeo sempre em agitaccedilatildeo e que portanto sempre haacute uma
velocidade associada a uma partiacutecula com carga eleacutetrica Mas essas velocidades associadas agrave agitaccedilatildeo
teacutermica satildeo geralmente aleatoacuterias (a natildeo ser no caso especial que estamos excluindo aqui em que haja um
gradiente de temperatura estabelecido no espaccedilo que daacute origem a uma corrente termoeleacutetrica) e natildeo levam a
nenhum deslocamento efetivo das partiacuteculas ou seja o valor meacutedio temporal de eacute nulo Aqui estamos
imaginando um fluxo de portadores em que eles se deslocam no espaccedilo de uma regiatildeo para a outra ou seja
em que haacute um transporte efetivo de carga eleacutetrica no espaccedilo Nesse sentido eacute mais interessante pensarmos
desde jaacute que eacute uma velocidade meacutedia (temporal e espacial) dos portadores de carga eleacutetrica Essa
velocidade eacute chamada de velocidade de arraste ou de deriva por razotildees que discutiremos mais adiante
Passaremos entatildeo a representar a velocidade (meacutedia) de qualquer portador por (d de deriva) de tal
forma que para uma partiacutecula que possui somente um movimento teacutermico aleatoacuterio vale = 0
A corrente eleacutetrica implica em um transporte de carga eleacutetrica no espaccedilo um fluxo de cargas eleacutetricas
Como tal a corrente eleacutetrica possui uma magnitude (um moacutedulo) e um sentido (um sinal) O sentido da
corrente indica o sentido em que o transporte de carga eleacutetrica se daacute Mas haacute dois sinais possiacuteveis de carga
eleacutetrica e isso gera uma ambiguumlidade na definiccedilatildeo do sentido do transporte de carga eleacutetrica ambiguumlidade
que tem que ser resolvida por uma convenccedilatildeo de sinal No caso de correntetransporte de massa essa
ambiguumlidade natildeo existe pois soacute haacute massas positivas Imagine que aacutegua (com cong 25degC) esteja fluindo em um
tubo com uma vazatildeo de 1 m3s indo no sentido de A para B Ningueacutem teria duacutevida de dizer que a corrente de
massa nesse tubo (a vazatildeo) tem a magnitude de 1 m3s (ou 997 kgs) e o sentido de A para B
Imagine agora corrente eleacutetrica fluindo em uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal O sal dissolvido na aacutegua (uma
soluccedilatildeo eletroliacutetica) se dissocia em iacuteons Na+ (caacutetion) e Cl- (acircnion) que satildeo os
portadores de carga nesse caso e fluem atraveacutes da soluccedilatildeo (em sentidos
opostos) sob accedilatildeo de um campo eleacutetrico aplicado A Figura ao lado ilustra um
container com essa aacutegua salgada e duas placas + (anodo) e ndash (catodo) gerando
um campo eleacutetrico na aacutegua (como as placas de um capacitor) e movimentando
os iacuteons + para a direita e os iacuteons ndash para a esquerda (considere que haacute um
+
+
+
+ -
-
- -
anodo catodo
216
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
circuito externo natildeo mostrado) Haacute duas correntes eleacutetricas nessa soluccedilatildeo que poderiacuteamos chamar de e
e a corrente total na soluccedilatildeo eacute = + Fica claro entatildeo que qualquer que seja a regra que inventemos
para atribuir sentido (e sinal) para as correntes eleacutetricas nesse caso especiacutefico essa regra deve atribuir o
mesmo sentido para e Isso porque os efeitos de transporte de carga eleacutetrica de e se somam
ambas tornam (ou pelo menos tentam tornar) a placa + mais negativa e a placa ndash mais positiva faz isso
porque deposita cargas + na placa ndash faz isso porque deposita cargas ndash na placa + e devem ter o
mesmo sentido e se somar efetivamente para resultar na corrente total = + na soluccedilatildeo Considere
outro exemplo Dentro de uma mangueira de aacutegua fluem moleacuteculas de aacutegua que satildeo eletricamente neutras
Portanto natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro de uma mangueira onde flui aacutegua (natildeo haacute portadores de carga
eleacutetrica) Mas podemos pensar que haacute duas correntes eleacutetricas nessa mangueira pois a moleacutecula de aacutegua eacute
um agregado de proacutetons e eleacutetrons Entatildeo dentro da mangueira haacute tambeacutem (corrente de proacutetons) e
(corrente de eleacutetrons) e a corrente eleacutetrica na mangueira eacute = + Agora a nossa regra de sentido para a
corrente deve resultar em = 0 pois qualquer coisa diferente disso seria absurda A diferenccedila da mangueira
para o container de aacutegua salgada eacute que na mangueira as cargas + e as cargas ndash fluem no mesmo sentido (elas
natildeo fluem por causa de um campo eleacutetrico e sim por causa de um gradiente de pressatildeo)
Enfim a convenccedilatildeo que define o sentido da corrente eleacutetrica eacute o sentido da corrente eleacutetrica eacute o
sentido da velocidade do portador se sua carga eleacutetrica for positiva Se a carga eleacutetrica do portador for
negativa o sentido da corrente eacute o de minus
No caso do container de aacutegua salgada na Figura acima essa regra implica que estaacute para a direita
pois estaacute para a direita e tambeacutem estaacute para a direita porque estaacute para a esquerda Portanto = + estaacute para a direita No caso da mangueira de aacutegua essa regra implica que estaacute oposta a pois
estaacute paralela a Portanto = + = 0 na mangueira de aacutegua
Essa equivalecircncia entre as movimentaccedilotildees em sentidos opostos de cargas eleacutetricas positivas e
negativas do ponto de vista do transporte de carga nos permite muitas vezes considerar que os portadores
de carga possuem carga eleacutetrica positiva e se movem no sentido da corrente Esse procedimento simplifica as
ideacuteias e as contas e seraacute adotado muitas vezes nesse curso Por exemplo nos metais sabemos que os
portadores de carga eleacutetrica satildeo os eleacutetrons (de conduccedilatildeo) mas eacute mais simples pensarmos que esses
portadores possuem carga positiva e fluem no sentido da corrente (os eleacutetrons fluem de fato no sentido
oposto agrave corrente) Havendo simultaneamente portadores de carga de diferentes sinais como no caso da aacutegua
salgada natildeo haacute muita vantagem em aplicar essa simplificaccedilatildeo eacute melhor considerar os verdadeiros sinas das
cargas dos diferentes portadores
Agora vamos pensar na magnitude da corrente eleacutetrica Muitas vezes negligenciamos esse fato mas a
corrente eleacutetrica eacute um fluxo Um fluxo ou vazatildeo de carga eleacutetrica Uma ideia que jaacute discutimos laacute no contexto
217
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
da lei de Gauss Assim sendo sempre haacute uma superfiacutecie impliacutecita na atribuiccedilatildeo de um valor para a corrente
eleacutetrica Quando dizemos que a corrente eleacutetrica em um fio eacute 10 A (A=ampere = unidade de corrente eleacutetrica)
estamos dizendo que a cada segundo 10 coulombs atravessam a seccedilatildeo transversal desse fio de um lado para
o outro (no sentido da corrente) Para um fio ciliacutendrico essa seccedilatildeo transversal seria uma superfiacutecie aberta com
a forma de um disco Assim sendo seja S uma superfiacutecie (imaginaacuteria) que eacute atravessada por portadores de
carga eleacutetrica que fluem no espaccedilo A corrente eleacutetrica atraveacutes de S eacute
=
ou seja eacute a taxa no tempo ( ) em coulombsegundo com que carga eleacutetrica atravessa a superfiacutecie S Essa
unidade coulombsegundo eacute o que chamamos de ampere (Cs = A) em homenagem a um pioneiro do
eletromagnetismo Andreacute-Marie Ampegravere Portanto uma corrente de 10 A atraveacutes de S significa que a cada
segundo 10 coulombs de carga eleacutetrica atravessam S indo de um lado para o outro (atraveacutes de S)
Vamos entatildeo rememorar o conteuacutedo do capiacutetulo 2 quando discutimos o fluxo ou vazatildeo de um fluido
no contexto da introduccedilatildeo agrave lei de Gauss O conceito de fluxovazatildeo aqui eacute exatamente o mesmo basta
apenas que troquemos a ideia de transporte de massa pela de transporte de carga eleacutetrica Abaixo repetimos
entatildeo as ideacuteias do capiacutetulo 2 adaptando-as para o contexto de correntes eleacutetricas Trata-se basicamente de
uma coacutepia do que estaacute laacute
Vamos iniciar com o caso mais simples os portadores de carga todos de carga eleacutetrica estatildeo fluindo
em uma regiatildeo do espaccedilo com a mesma velocidade ou seja ( ) = para todo
Suponha que mergulhemos nessa regiatildeo uma peneira (que vamos
chamar de superfiacutecie S) ou seja uma superfiacutecie permeaacutevel aos portadores
retangular de aacuterea e nos perguntemos qual o fluxo de carga eleacutetrica atraveacutes
da peneira ou seja quantos coulombs atravessam essa peneira a cada segundo
(enfim a corrente eleacutetrica atraveacutes da peneira) A Figura ao lado ilustra essa
ideia (imagine que a peneira estaacute obliacutequa e natildeo no plano da paacutegina) Natildeo eacute difiacutecil de acreditar que o fluxo de
carga atraveacutes dessa peneira ( ) depende de carga eleacutetrica dos portadores (maior carga maior corrente) da
magnitude da velocidade dos portadores (maior velocidade maior corrente) da aacuterea da peneira (maior
aacuterea maior corrente) e depende tambeacutem de um acircngulo de inclinaccedilatildeo entre a peneira e o campo (digamos
) Algo como o acircngulo entre as linhas tracejadas verde a azul na Figura Se essas linhas forem paralelas entre
si por exemplo natildeo haveraacute corrente pois os portadores vatildeo tangenciar a peneira sem atravessaacute-la
Concluindo = ( )
218
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
Agora vamos obter essa funccedilatildeo Para isso vamos construir um paralelepiacutepedo mergulhado nesse
espaccedilo onde os portadores fluem cuja uma das faces eacute a peneira S Note que trata-se de um paralelepiacutepedo
obliacutequo por causa do acircngulo arbitraacuterio A Figura 2 abaixo ilustra essa construccedilatildeo
Na Figura 2 definimos um vetor que eacute ortogonal (normal) agrave peneira e que forma portanto um
acircngulo com a direccedilatildeo da velocidade dos portadores Note que tambeacutem eacute o acircngulo de obliquumlidade do
paralelepiacutepedo e que portanto o volume desse paralelepiacutepedo eacute Δ = cos( ) O comprimento eacute
arbitraacuterio Agora podemos partir para o caacutelculo da corrente eleacutetrica ou seja a quantidade de carga eleacutetrica
que passa pela superfiacutecie S a cada segundo
Mas antes precisamos definir uma propriedade desse sistema ou dessa regiatildeo do espaccedilo que eacute a
densidade de portadores de carga por unidade de volume que vamos chamar de A ideia agora eacute simples
toda a carga eleacutetrica que estaacute no interior do paralelepiacutepedo vai passar pela peneira em um tempo Δ =
(o paralelepiacutepedo desliza como uma gaveta atraveacutes da peneira juntamente com os portadores de carga
enquanto que a peneira fica fixa) Portanto = ∆Δt = cos( ) = cos( )
Note que ∆ = cos( ) eacute a quantidade total de portadores dentro do paralelepiacutepedo ( Δ = cos( )) multiplicada pela carga eleacutetrica de um portador Podemos escrever a corrente eleacutetrica atraveacutes de
S de uma forma mais compacta e elegante se definirmos o vetor aacuterea = e reconhecermos que eacute o
acircngulo entre os vetores e (ou e ) Segue que = ∙ = ∙
sendo que o ponto (∙) nessa equaccedilatildeo representa a operaccedilatildeo de produto escalar entre os vetores e
Vemos entatildeo que a corrente eleacutetrica atraveacutes de S eacute maacutexima se S estiver com seu plano ortogonal agrave direccedilatildeo de
(caso = 0 e cos( ) = 1) e eacute nula se S estiver colocada paralelamente agrave direccedilatildeo de (caso = 90 e cos( ) = 0) Note que o vetor tem o sentido da corrente Vamos chamar esse vetor de ou seja = De fato o sentido de eacute o sentido de se for positiva Caso contraacuterio se for negativa o
Figura 2 Partindo de uma peneira retangular mergulhada em uma regiatildeo em que fluem portadores de carga eleacutetrica construiacutemos um paralelepiacutepedo obliacutequo que tem a peneira com base
(seta verde) eacute um vetor ortogonal agrave peneira
219
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
sentido de eacute o sentido de minus Conclusatildeo o vetor = tem o mesmo sentido da corrente que ele
representa
Note que a corrente como qualquer fluxo pode ser positiva ou negativa (ou mesmo nula)
dependendo da nossa escolha de sentido para que eacute arbitraacuterio (para uma superfiacutecie aberta sempre haacute dois
sentidos ldquonormaisrdquo possiacuteveis e minus ) Como jaacute vimos que = tem o sentido da corrente se adotarmos
paralelo a obteremos um gt 0 Caso contraacuterio se adotarmos oposto a obteremos um lt 0 O sinal
negativo estaacute apenas indicando que a corrente atraveacutes de S tem de fato o sentido oposto ao que atribuiacutemos a
Por exemplo se adotarmos apontando de A para B e obtivermos = minus10 A concluiacutemos que a corrente
atraveacutes de S eacute de 10 A fluindo de B para A
Agora podemos generalizar o conceito de corrente eleacutetrica para uma superfiacutecie (imaginaacuteria) S
qualquer aberta ou fechada A Figura 3 abaixo ilustra uma superfiacutecie aberta de forma arbitraacuteria Aproveitamos
para abandonar a hipoacutetese de que os portadores de carga fluem com velocidade uniforme ( ) = e vamos
supor que eles fluem com velocidades arbitraacuterias dadas pela funccedilatildeo ( ) (na posiccedilatildeo de S os portadores
estatildeo fluindo com velocidade ( ))
A ideia eacute basicamente aquela (do caacutelculo integral) que mencionamos no capiacutetulo 1 toma-se uma parte
infinitesimal de S calcula-se a corrente eleacutetrica nessa parte e depois faz-se a soma sobre toda a superfiacutecie
S Fato eacute que sendo infinitesimal tudo funciona como na Figura 2 para ou seja os campos ( ) e ( ) satildeo localmente uniformes em uma aacuterea infinitesimal que eacute plana Portanto a corrente eleacutetrica em eacute
infinitesimal e eacute dada por = ( ) ∙ ( ) = ( ) cos ( )
Nessa expressatildeo deveriacuteamos ser mais especiacuteficos e enfatizar que tudo depende do ponto (pertencente agrave
superfiacutecie S) e escrever explicitamente ( ) = ( ) ( ) ( ) ∙ ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) Mas por conveniecircncia vamos fazer o contraacuterio e deixar todas as dependecircncias em impliacutecitas escrevendo
Figura 3 Uma superfiacutecie S aberta de forma arbitraacuteria eacuteatravessada por portadores de carga que fluem de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto
( ) ( )
220
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
= ∙ = cos( )
que eacute basicamente o que todo mundo faz
Concluindo a corrente eleacutetrica atraveacutes da superfiacutecie S na Figura 3 eacute
= = ∙ = ∙
Podemos aplicar essa mesma ideia a superfiacutecies fechadas e para isso simplesmente colocaremos uma bolinha
no siacutembolo de integral e convencionaremos que nesse caso o campo deve apontar obrigatoriamente para
fora de S (como na lei de Gauss) A corrente eleacutetrica atraveacutes de uma superfiacutecie fechada S eacute (deixando as
dependecircncias em impliacutecitas)
= = ∙ = ∙
Note que estando para fora de S as correntes que entram nessa superfiacutecie fechada contribuem com lt 0 e as correntes que saem dessa superfiacutecie fechada contribuem com gt 0 Portanto eacute o saldo de
cargas eleacutetricas positivas que saem (corrente para fora) do volume delimitado por S atraveacutes de S Em sistemas
estacionaacuterios em que nada depende do tempo sempre vai valer = 0 qualquer que seja a superfiacutecie
fechada S De fato se admitirmos que gt 0 isso significa que haacute um saldo de corrente saindo de S e que
entatildeo a carga eleacutetrica total armazenada no interior de S estaacute diminuindo com o passar do tempo Se nada
depende do tempo por hipoacutetese vemos que natildeo pode valer gt 0 e nem lt 0 Entatildeo = 0 Essa eacute a
propriedade de conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica a que nos referimos no capiacutetulo 1 Se a carga eleacutetrica
armazenada no volume delimitado por S natildeo pode sumir ou surgir do nada entatildeo ela soacute pode variar seu valor
atravessando a superfiacutecie S ou seja atraveacutes da corrente Se essa carga natildeo puder variar no tempo (sistemas
estacionaacuterios) entatildeo = 0 Se ela puder variar (sistemas natildeo-estacionaacuterios) entatildeo = minus (corrente
positiva (saindo de S) rArr (dentro de S) diminuindo no tempo e lt 0)
Vemos que a corrente eleacutetrica eacute um fluxo um fluxo atraveacutes de uma superfiacutecie S qualquer O vetor = eacute chamado ldquovetor densidade de corrente eleacutetricardquo pois ele daacute a corrente eleacutetrica por unidade de
aacuterea (Am2) em cada ponto do espaccedilo Integrando essa densidade de corrente em toda uma superfiacutecie
encontramos a corrente eleacutetrica atraveacutes dessa superfiacutecie Nesse sentido eacute uma grandeza local que nos
permite descrever com detalhes a movimentaccedilatildeo dos portadores de carga no espaccedilo enquanto que eacute uma
grandeza global que daacute o fluxo total de portadores atraveacutes de uma superfiacutecie qualquer
Em sistemas que conduzem correntes eleacutetricas oscilatoacuterias de alta frequumlecircncia observa-se que a
corrente se concentra mais na regiatildeo proacutexima das superfiacutecies dos fios condutores Esse eacute o chamado ldquoefeito
221
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
pelerdquo (porque a corrente eleacutetrica se concentra na pele dos fios) Em contraste em sistemas que conduzem
correntes constantes no tempo a corrente se distribui uniformemente nas seccedilotildees transversais dos fios
condutores Note entatildeo que natildeo se trata de um efeito de repulsatildeo entre cargas eleacutetricas mas sim de um efeito
de induccedilatildeo eletromagneacutetica que estudaremos em um proacuteximo capiacutetulo De fato os portadores de carga natildeo
constituem um excesso de cargas eleacutetricas em um condutor e a ideia de repulsatildeo muacutetua entre eles eacute absurda
Imagine um fio condutor de forma ciliacutendrica conduzindo uma corrente eleacutetrica axial A Figura 4 abaixo ilustra
os dois casos sem efeito pele e com efeito pele A Figura mostra uma seccedilatildeo transversal do fio ciliacutendrico e o
valor de = em cada ponto dessa seccedilatildeo transversal eacute representado atraveacutes de um coacutedigo de cores
Na Figura 4(b) imaginamos que eacute uma corrente constante no tempo e que portanto natildeo haacute efeito
pele A corrente se distribui uniformemente na seccedilatildeo transversal do fio e = eacute representado por uma cor
apenas Na Figura 4(c) (emprestada da internet httpswwwmathworkscom) imaginamos que = ( ) eacute
uma corrente oscilatoacuteria de variaccedilatildeo raacutepida no tempo (MHz) e que portanto haacute um efeito pele intenso A
corrente se distribui natildeo uniformemente na seccedilatildeo transversal do fio e eacute representado por um coacutedigo de
cores A cor azul representa um valor pequeno de e a cor vermelha intensa um valor grande Vemos entatildeo
que a corrente estaacute mais concentrada na superfiacutecie do fio e daiacute vem o nome ldquoefeito pelerdquo No caso da Figura
4(b) podemos dizer que a funccedilatildeo eacute uma constante (natildeo depende de nenhuma coordenada espacial) e que
= ∙ = ∙ = ∙ = = =
sendo S a superfiacutecie da seccedilatildeo transversal do fio que eacute um disco de raio Note que o vetor normal a esse
disco eacute exatamente o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo axial do fio (z) ou seja = No caso da Figura 4(c) podemos dizer que eacute uma funccedilatildeo crescente do raio = ( ) e que
z
(a) (b) (c)
Figura 4 (a) Um fio ciliacutendrico transporta uma corrente eleacutetrica axial (b) seccedilatildeo transversal do fio
para correntes constantes no tempo sem efeito pele axial e uniforme (c) seccedilatildeo transversal do
fio para correntes oscilatoacuterias de variaccedilatildeo raacutepida no tempo com efeito pele axial e natildeo-uniforme (cor vermelha = corrente mais intensa)
222
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
= ∙ = ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( )
sendo S a mesma superfiacutecie da seccedilatildeo transversal do fio que eacute um disco de raio Aqui natildeo podemos fazer a
integral a natildeo ser que conheccedilamos a funccedilatildeo ( ) Apenas como exemplo poderiacuteamos supor ( ) =
sendo gt 0 uma constante e obter uma relaccedilatildeo entre e
= ∙ = ( ) = = 2 = 12
Nessa integral acima escolhemos = 2 ou seja eacute a aacuterea de um aro de raio e largura (radial)
Em circuitos com correntes de frequumlecircncias muito altas o efeito pele pode ser tatildeo intenso que a
substituiccedilatildeo dos fios condutores maciccedilos por tubos condutores ocos natildeo leva a nenhuma diferenccedila importante
no funcionamento do circuito Condutores ocos como tubos de cobre economizam material satildeo mais leves e
permitem facilmente a dissipaccedilatildeo de calor pela circulaccedilatildeo de aacutegua ou um gaacutes por dentro deles
52 Resistividade e Resistecircncia eleacutetricas
Aqui vamos considerar o caso mais comum em que os portadores de carga eleacutetrica (a corrente
eleacutetrica) fluem dentro de um meio material um meio condutor Esse meio pode ser por exemplo um metal
ou uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal A ideia baacutesica que vamos discutir nessa seccedilatildeo eacute que enquanto a corrente
eleacutetrica flui em um meio material ela encontra uma oposiccedilatildeo a esse fluxo basicamente devido a colisotildees dos
portadores de carga com as partiacuteculas desse meio material Daiacute nascem os conceitos de resistividade e de
resistecircncia eleacutetrica Eacute interessante frisar que a conduccedilatildeo eleacutetrica eacute um fenocircmeno microscoacutepico e como tal soacute
pode ser corretamente descrito atraveacutes da mecacircnica quacircntica No entanto isso natildeo invalida as ideacuteias baacutesicas
do fenocircmeno que vamos discutir aqui
521 Resistividade eleacutetrica de um material condutor
Considere que uma corrente eleacutetrica eacute estabelecida em um meio condutor o cobre por exemplo
Imagine um portador de carga eleacutetrica de carga e massa que estaacute fluindo nesse meio fazendo parte
dessa corrente No cobre esse portador seria um eleacutetron de conduccedilatildeo A corrente eleacutetrica eacute estabelecida
atraveacutes de uma forccedila que impulsiona os portadores de carga na direccedilatildeo da corrente No caso mais comum
essa forccedila eacute um campo eleacutetrico (depois veremos que essa forccedila pode ser tambeacutem magneacutetica) Esse campo eacute
estabelecido dentro do meio condutor e atua sobre os portadores de carga que existem dentro dele Os
portadores de carga possuem mobilidade por definiccedilatildeo e portanto se movem sob a accedilatildeo de
223
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
A afirmaccedilatildeo de que existe um campo eleacutetrico dentro ou seja no volume de um condutor pode
parecer contraditoacuteria com a conclusatildeo que chegamos laacute no capiacutetulo 2 de que = 0 no volume de condutores
em equiliacutebrio eletrostaacutetico A aparente contradiccedilatildeo desaparece quando atentamos para a condiccedilatildeo de
ldquoequiliacutebrio eletrostaacuteticordquo Condutores onde fluem correntes eleacutetricas natildeo estatildeo em equiliacutebrio eletrostaacutetico e
portanto a condiccedilatildeo = 0 natildeo vale para eles Equiliacutebrio eletrostaacutetico significa isso que estaacute dito cargas
eleacutetricas estaacuteticas Correntes eleacutetricas satildeo cargas eleacutetricas que fluem no espaccedilo ou seja natildeo-estaacuteticas Como
afirmamos logo no iniacutecio desse capiacutetulo ao abordar correntes eleacutetricas abandonamos o contexto da
eletrostaacutetica e as condiccedilotildees que valiam laacute Condutores onde fluem correntes eleacutetricas estatildeo geralmente
conectados a outros corpos ou dispositivos como baterias por exemplo e satildeo mantidos portanto fora do
equiliacutebrio eletrostaacutetico Uma bateria tem a capacidade de retirar um condutor de seu equiliacutebrio eletrostaacutetico
produzindo nele
1 Uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas diferente daquela imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico
2 Um campo eleacutetrico interno diferente daquele imposto pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico ( = 0)
3 Uma distribuiccedilatildeo de potencial eleacutetrico ( ) diferente daquela imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico
( ( ) =constante)
4 Uma movimentaccedilatildeovelocidade ( ) de cargas eleacutetricas (portadores de carga) diferente daquela
imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico ( = 0 para todas as cargas eleacutetricas)
Mais adiante discutiremos sobre essa capacidade da bateria de fazer tudo isso a forccedila eletromotriz
Voltando ao um portador de carga eleacutetrica de carga e massa que estaacute fluindo no meio condutor
impulsionado por um campo eleacutetrico a segunda lei de Newton aplicada a esse portador diz que
=
sendo a velocidade de deriva desse portador Supondo que seja constante chegamos agrave conclusatildeo de que
a velocidade do portador vai crescer indefinidamente Portanto = e vatildeo crescer
indefinidamente Trata-se de uma conclusatildeo absurda Correntes eleacutetricas finitas satildeo facilmente estabelecidas
em condutores comuns A conclusatildeo que chegamos eacute que falta uma forccedila na segunda lei de Newton uma
forccedila de arraste que se opotildee ao aumento desenfreado de Qual a origem dessa forccedila de arraste nos
portadores de carga Temos que considerar que os portadores de carga viajam atraveacutes de um amontoado de
partiacuteculas dentro de um meio material e que essas partiacuteculas servem de obstaacuteculo ao fluxo de portadores
Mesmo em materiais cristalinos como os metais em que essas partiacuteculas do meio (iacuteons) estatildeo dispostas de
forma bastante regular no espaccedilo a presenccedila de impurezas e defeitos nessa regularidade oferece forte
oposiccedilatildeo agrave propagaccedilatildeo dos portadores de carga (os eleacutetrons nesse caso) Aleacutem disso haacute uma forte influecircncia
224
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
da temperatura pois a agitaccedilatildeo teacutermica desloca aleatoriamente as partiacuteculas do meio condutor de suas
posiccedilotildees de equiliacutebrio atrapalhando ainda mais a conduccedilatildeo eleacutetrica Nesse sentido um portador de carga se
deslocando em um meio condutor pode ser comparado a uma pessoa que tenta caminhar em meio a uma
multidatildeo agitada No final das contas essa interaccedilatildeo portador de carga eleacutetricapartiacuteculas agitadas do meio
condutordefeitosimpurezas resulta em uma forccedila de arraste ( ) em cada portador forccedila que eacute
dependente da velocidade de deriva do portador apontando sempre no sentido oposto ao vetor (com um
atrito cineacutetico) e de magnitude crescente com a magnitude ( = 0 = 0)
Portanto levando esse efeito em conta a segunda lei de Newton aplicada a um portador de carga
eleacutetrica que flui em um meio condutor fica = + ( ) Assumindo um arraste proporcional agrave velocidade ( ) = minus ( ) sendo ( ) uma constante (no
sentido de que independe de ) de arraste que depende do material condutor (MAT) e da temperatura ( )
obtemos finalmente = minus ( )
Agora podemos entender que a velocidade de arraste natildeo cresce indefinidamente porque agrave medida que o
campo acelera os portadores de carga a forccedila de arraste aumenta de magnitude se opondo ao proacuteprio
aumento de No caso estacionaacuterio constante obtemos a velocidade de equiliacutebrio
minus ( ) = 0 rArr = ( )
Considerando a relaccedilatildeo entre e a densidade de corrente dentro do meio condutor obtemos
= rArr = ( )
Esse modelo mecacircnico da conduccedilatildeo eleacutetrica apesar de simples nos permite prever muitas
propriedades dos materiais condutores eleacutetricos principalmente dos materiais de comportamento mais
simples como os metais Enfim considere que exista um campo eleacutetrico aplicado dentro de um material
Tendo em vista a expressatildeo de que obtivemos acima concluiacutemos que (tendo em vista outras informaccedilotildees
relevantes que vamos assumir como verdadeiras aqui)
i) se = 0 natildeo haacute portadores de carga dentro desse material ele eacute de fato um isolante eleacutetrico perfeito
e = 0 ou seja um campo natildeo eacute capaz de estabelecer uma corrente eleacutetrica nesse material
225
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
ii) Quanto maior a densidade de portadores de carga eleacutetrica no material condutor maior seraacute a
resposta do material ao estiacutemulo de e maior seraacute o valor de Nos metais esse nuacutemero eacute da ordem de 10 eleacutetrons de conduccedilatildeocm3 e eacute independente da temperatura Por isso os metais em geral satildeo oacutetimos
condutores de eletricidade e a influecircncia da temperatura na conduccedilatildeo eleacutetrica se daacute basicamente pela
influecircncia que a temperatura tem na taxa de colisotildees dos portadores (ou seja via ( )) iii) Os materiais semicondutores tecircm um fortemente dependente da temperatura = ( ) e a
conduccedilatildeo eleacutetrica melhora com o aumento da temperatura do material porque ( ) cresce com
iv) A constante de arraste ( ) deve ser uma funccedilatildeo crescente da temperatura e da quantidade de
defeitos e impurezas presentes no material condutor Por isso a conduccedilatildeo eleacutetrica nos metais piora com
o aumento da temperatura e das quantidadesproporccedilotildees de defeitos e impurezas
Essa relaccedilatildeo linear entre (a resposta do material condutor) e (o estiacutemulo) que descobrimos atraveacutes
de um modelo bem simples para a conduccedilatildeo eleacutetrica foi descoberta experimentalmente pelo cientista
pioneiro Georg Simon Ohm Por isso essa lei eacute chamada de lei de Ohm A lei de Ohm pode ser sintetizada na
forma =
sendo a constante (no sentido de que natildeo depende nem de e nem de ) de proporcionalidade entre esses
dois campos A constante eacute chamada de condutividade eleacutetrica do material material que eacute chamado de
ldquoocirchmicordquo pelo fato dele obedecer a essa lei de linearidade A natureza eacute rica em comportamentos e existem os
materiais natildeo ocirchmicos que natildeo obedecem agrave lei de Ohm ou seja em que natildeo tem relaccedilatildeo linear com Os
metais satildeo por excelecircncia exemplos de materiais ocirchmicos Do nosso simples modelo mecacircnico para a
conduccedilatildeo eleacutetrica deduzimos que = ( ) Portanto eacute dependente do material atraveacutes de e e eacute dependente da temperatura atraveacutes de e
de ou seja da taxa de colisotildees dos portadores Nos metais como jaacute dissemos depende da
temperatura somente atraveacutes de ou seja um aumento de leva a um aumento de (mais colisotildees)
e a uma diminuiccedilatildeo na condutividade eleacutetrica
Vemos que vale a proporcionalidade prop maior
concentraccedilatildeo de portadores de carga maior a condutividade
do material Um experimento simples pode demonstrar a
validade desse resultado variando-se a concentraccedilatildeo de iacuteons
em uma soluccedilatildeo aquosa O graacutefico ao lado mostra um graacutefico
226
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
de versus obtido em um experimento didaacutetico com uma simples soluccedilatildeo de NaCl em aacutegua
(httpswwwwardscicomwwwwardscicomimagesLiquid_Conductivitypdf) Quanto mais dissolvemos sal
na aacutegua maior a concentraccedilatildeo de portadores de carga (iacuteons livres) Na+ e Cl- na soluccedilatildeo e melhor a conduccedilatildeo
de eletricidade atraveacutes da soluccedilatildeo maior sua condutividade Como jaacute mencionamos nos metais a
concentraccedilatildeo de portadores de carga (eleacutetrons) eacute gigantesca e basicamente constante enquanto que nos
materiais semicondutores (siliacutecio por exemplo) essa concentraccedilatildeo cresce com o aumento da temperatura = ( ) Muitas vezes por conveniecircncia nos referimos ao inverso de a resistividade eleacutetrica
= 1
Baseado em tudo que jaacute discutimos esperamos que o aumento da temperatura de um metal leve a
um concomitante aumento em sua resistividade eleacutetrica Para os metais por exemplo tem um
crescimento basicamente linear com Soluccedilotildees eletroliacuteticas tecircm um comportamento oposto o aumento da
temperatura diminui a resistividade (aumenta a mobilidade dos iacuteons) Por esse motivo eacute mais difiacutecil dar a
partida em um carro no inverno Olhando para a lei de Ohm = vemos que a unidade de eacute
(Am2)(Vm)=(AV)m A unidade VA eacute chamada de ohm (siacutembolo Ω (omega)) e portanto a unidade de eacute o
simples produto Ω m Os metais comuns como o cobre e o alumiacutenio possuem cong 10 Ω m sendo o cobre
um condutor um pouco melhor que o alumiacutenio ( cong 172 times 10 Ω m contra cong 2 75 times 10 Ω m)
Esses dois materiais satildeo muito utilizados na confecccedilatildeo de fios condutores de eletricidade No outro extremo o
vidro possui na faixa 10 minus 10 Ω m e a madeira seca na faixa 10 minus 10 Ω m Esses satildeo materiais muito
utilizados no isolamento de linhas de distribuiccedilatildeo e transmissatildeo de energia eleacutetrica
A Figura ao lado mostra uma combinaccedilatildeo de materiais de diferentes
propriedades eleacutetricas cada um cumprindo seu papel em uma rede de
distribuiccedilatildeo de eletricidade O metal no fio permite a conduccedilatildeo faacutecil de
portadores de carga atraveacutes do espaccedilo transportando energia potencial eleacutetrica
com poucas perdas O vidro nos isoladores e a madeira no poste isolam esse fio
eletricamente de tal forma que os portadores de carga sigam seu caminho ao longo da linha sem
desviosfugas Natildeo podemos ver mas haacute tambeacutem o ar circundante que tambeacutem eacute um isolante eleacutetrico
Sendo = em geral e = para um material condutor ocirchmico deduzimos que a velocidade
de derivaarraste nesses materiais eacute = = rArr =
227
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
Para o cobre por exemplo cong 6 times 10 1Ω m cong 85 times 10 eleacutetronsm3 e cong minus16 times 10 C
Portanto cong minus00044
(o sinal de menos significa apenas que os portadores de carga que satildeo eleacutetrons se movem no sentido oposto
ao sentido do campo )
Suponha um fio ciliacutendrico de cobre de raio = 2 mm transportando uma corrente eleacutetrica constante = 10 A A densidade de corrente no cobre eacute uniforme e vale
= cong 8 times 10 Am
Portanto o campo eleacutetrico no cobre necessaacuterio para estabelecer essa corrente eacute
= cong 0013Vm
Trata-se de um campo eleacutetrico bem pequeno que levaria a um DDP de 0013 V entre as extremidades
de um metro de fio Analogamente seriam necessaacuterios 100 m de fio para se medir uma DDP de 13 V entre
suas extremidades
Conclusatildeo a velocidade de deriva dos eleacutetrons dentro do cobre que compotildee esse fio que estaacute
transportando essa corrente tem o valor minuacutesculo
= cong 00044 cong 006mms
Os eleacutetrons literalmente ldquose arrastamrdquo dentro do cobre sob accedilatildeo de um campo de forccedila de impulsatildeo
minuacutesculo cong 0013Vm uma forccedila minuacutescula = cong 2 times 10 N e um arraste de igual valor atuando
no sentido oposto agrave velocidade A velocidade de arraste eacute similar agrave velocidade terminal de um para-
quedista que cai na atmosfera No para-quedista a gravidade o impulsiona para baixo e o arraste do para-
quedas com o ar produz uma forccedila para cima que cresce ateacute equilibrar com o peso em uma velocidade
terminal constante de queda No portador de carga o campo eleacutetrico o impulsiona para a frente e o arraste
com o meio condutor que o empurra para traacutes cresce ateacute que equilibra com a forccedila eleacutetrica em uma
velocidade de arrastederiva minuacutescula
Esse valor pequeno de velocidade de deriva surpreende aqueles que acreditam que os portadores de
carga os eleacutetrons por exemplo devem ser emitidos por uma bateria e atravessar metros de fio condutor ateacute
chegar a uma lacircmpada e fazer com que ela acenda Com essa velocidade de 006 mms um eleacutetron demoraria
quase cinco horas para percorrer 1 metro de fio Devemos esperar 5 horas entre o apertar de um botatildeo e o
acendimento de uma lacircmpada Natildeo porque um circuito eleacutetrico jaacute estaacute cheio de eleacutetrons livres soacute esperando
uma forccedila que os faccedila fluir Na lacircmpada jaacute haacute eleacutetrons livres eles estatildeo laacute esperando a forccedila que vai
228
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
estabelecer a corrente na lacircmpada Ao ligar a bateria no circuito da lacircmpada ocorre uma propagaccedilatildeo de
eletrizaccedilatildeo nos fios e um campo eleacutetrico no espaccedilo e essa propagaccedilatildeo se daacute na velocidade da luz cerca de
300000 kms No instante em que esse campo eleacutetrico atinge a lacircmpada os eleacutetrons de conduccedilatildeo que jaacute
estavam laacute fazendo parte da lacircmpada comeccedilam a fluir e a lacircmpada acende Natildeo percebemos nenhum
retardo dada a velocidade incriacutevel da luz
Podemos fazer aqui uma analogia com uma mangueira de aacutegua ligada a uma torneira inicialmente
fechada Imagine que a mangueira esteja inicialmente vazia sem aacutegua dentro dela Ao ligarmos a torneira
teremos que esperar que a aacutegua vaacute ocupando o volume da mangueira ateacute que ela jorre em sua extremidade
Se a mangueira for muito longa isso pode demorar bastante Um circuito eleacutetrico natildeo funciona assim O
circuito eleacutetrico eacute similar agrave situaccedilatildeo em que a mangueira jaacute estaacute cheia de aacutegua aacutegua inicialmente parada Ao
ligarmos a torneira propaga-se na aacutegua uma onde de pressatildeo com a velocidade do som na aacutegua cerca de
1500 ms e rapidamente a aacutegua que jaacute estava na sua extremidade comeccedila a jorrar Da mesma forma
condutores eleacutetricos estatildeo repletos de portadores de carga (que natildeo constituem excessos de carga pois satildeo
partiacuteculas constituintes do material) apenas esperando uma forccedila de impulsatildeo (um campo eleacutetrico) para
comeccedilarem a se mover
522 Resistecircncia eleacutetrica lei de Ohm
Na seccedilatildeo anterior definimos a resistividade eleacutetrica como sendo uma caracteriacutestica dos materiais
condutores que quantifica o quanto esse material se opotildee agrave passagem da corrente eleacutetrica atraveacutes dele Essa
oposiccedilatildeo se daacute atraveacutes de um arraste que eacute resultado das colisotildees dos portadores de carga eleacutetrica com as
demais partiacuteculas que compotildeem o material Aqui vamos considerar um dispositivo eleacutetrico de dois terminais A
e B tal que ao conectarmos esse dispositivo a um circuito a corrente eleacutetrica vai fluir (ou tentar fluir) de A para
B (ou de B para A) atraveacutes desse dispositivo Estamos chamando de dispositivo eleacutetrico um aparelho qualquer
que eacute conectado a um circuito atraveacutes de seus dois terminais como uma lacircmpada uma geladeira um
aparelho de TV etc Obviamente a dificuldade que a corrente teraacute de atravessar esse dispositivo vai depender
do material ou dos materiais de que ele eacute feito mais especificamente das resistividades desses materiais
Mas essa oposiccedilatildeo agrave passagem da corrente eleacutetrica que chamamos de resistecircncia eleacutetrica do dispositivo
vai depender tambeacutem de outras caracteriacutesticas do dispositivo como de sua formageometria suas dimensotildees
etc A resistecircncia eleacutetrica eacute a grandeza que mede a oposiccedilatildeo que um dispositivo oferece agrave passagem da
corrente eleacutetrica atraveacutes de seus dois terminais
Mais adiante vamos estudar correntes alternadas (CA) ou seja correntes ( ) que variam de
intensidade no tempo de forma perioacutedica diferentemente da corrente contiacutenua (CC) que tem um valor
constante no tempo Correntes alternadas satildeo produzidas por DDPs alternadas ∆ ( ) (como a produzida por
uma tomada de parede) e correntes contiacutenuas satildeo produzidas por DDPs contiacutenuas ∆ (como a produzida por
229
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
uma bateria) Aqui estamos pensando no conceito de resistecircncia eleacutetrica estritamente no caso mais simples de
correntes contiacutenuas correntes constantes produzidas por DDPs constantes Para correntes alternadas
podemos generalizar o conceito de resistecircncia atraveacutes do conceito de impedacircncia que veremos mais adiante
Para os resistores que satildeo dispositivos caracterizados apenas por sua resistecircncia eleacutetrica o conceito de
resistecircncia se aplica tambeacutem no regime CA (basicamente porque a DDP e a corrente nesses dispositivos
oscilam em fase)
Enfim se quisermos medirdefinir a resistecircncia de um dispositivo de dois terminais A e B noacutes
ligamos esses terminais aos terminais de uma bateria que estabelece uma DDP constante ∆ no dispositivo e
medimos a corrente constante que flui de A para B ou de B para A dependendo da polaridade da bateria A
resistecircncia eleacutetrica desse dispositivo eacute definida pela razatildeo
= ∆
Interpretamos nessa expressatildeo o ∆ gt 0 como sendo o estiacutemulo constante agrave passagem da corrente eleacutetrica
entre A e B e a corrente gt 0 como sendo a resposta constante a esse estiacutemulo Um dispositivo de resistecircncia
eleacutetrica grande eacute aquele em que estabelecemos uma ∆ grande entre seus terminais e isso resulta em uma
corrente pequena Por outro lado um dispositivo de resistecircncia eleacutetrica pequena eacute aquele em que
estabelecemos uma ∆ pequena entre seus terminais e isso resulta em uma corrente grande A unidade de
eacute o VA que jaacute definimos anteriormente como sendo o ohm (siacutembolo Ω)
A relaccedilatildeo inversa (resposta) = ∆ (estiacutemuloa )(oposiccedilatildeoa )
deixa mais evidente o papel desempenhado por em um dispositivo eleacutetrico eacute a oposiccedilatildeo a atraveacutes de
um dispositivo assim como em um material condutor eacute a oposiccedilatildeo a Maior menor para uma mesma ∆ aplicada aos terminais A e B
Eacute interessante frisar que na definiccedilatildeo = ∆ ou de outra forma ∆ = natildeo estamos afirmando
que eacute uma ldquoconstanterdquo independente de ∆ e de Pelo contraacuterio aqui podemos supor os mais variados
comportamentos para ou seja pode ele mesmo ser funccedilatildeo de ∆ e de = (∆ )
Um exemplo tiacutepico desse comportamento mais geral da resistecircncia eleacutetrica eacute o do diodo retificador
que eacute mostrado na Figura ao lado O diodo eacute um dispositivo passivo de dois terminais
caso tiacutepico do que estamos discutindo aqui Note na Figura que um dos terminais estaacute
marcado com uma faixa prateada Isso ocorre porque o diodo possui polaridade ou seja seus dois terminais
natildeo satildeo equivalentes Na Figura que segue mostramos o siacutembolo utilizado para o diodo em esquemas
eleacutetricos em que fica evidente a assimetria entre os seus terminais A e B
230
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
O diodo retificador possui uma resistecircncia eleacutetrica seletiva Se a corrente eacute
estimulada a fluir de A para B ou seja se Δ = minus gt 0 entatildeo a corrente flui
facilmente e cong 0 Caso contraacuterio se a corrente eacute estimulada a fluir de B
para A ou seja se Δ = minus lt 0 entatildeo a corrente praticamente natildeo flui e rarr infin
O diodo eacute um dispositivo feito de materiais semicondutores e nesse sentido ele faz parte da
revoluccedilatildeo tecnoloacutegica que substituiu as vaacutelvulas eletrocircnicas por dispositivos semicondutores
Uma vaacutelvula diodo ver Figura ao lado eacute um tubo com vaacutecuo que possui dentro dele um
filamento como o filamento de uma lacircmpada incandescente e uma placa metaacutelica Os dois
terminais da vaacutelvula diodo correspondentes aos terminais A e B definidos no siacutembolo do diodo
na Figura acima satildeo ligados ao filamento (terminal B) e agrave placa (terminal A) Durante a operaccedilatildeo
da vaacutelvula o filamento deve ser alimentado externamente e permanecer incandescente (por isso a vaacutelvula
parece uma lacircmpada e emite luz) Portanto se a polarizaccedilatildeo da vaacutelvula for gt eleacutetrons deveratildeo fluir do
filamento aquecido para a placa metaacutelica (porque o campo aponta da placa para o filamento e a carga do
eleacutetron eacute negativa) e eles fazem isso facilmente porque em volta do filamento haacute uma nuvem de eleacutetrons
(emissatildeo termiocircnica) Caso contraacuterio se a polarizaccedilatildeo da vaacutelvula for lt eleacutetrons deveratildeo fluir da placa
(fria) para o filamento aquecido (porque o campo aponta do filamento para a placa) e isso natildeo vai ocorrer
Eleacutetrons natildeo vatildeo simplesmente saltar da placa Daiacute vem a capacidade de retificaccedilatildeo da vaacutelvula diodo A
corrente eleacutetrica flui da placa para o filamento ndash de A para B (os eleacutetrons voam do filamento para a placa) ndash
mas o contraacuterio natildeo acontece O diodo retificador desempenha essa mesma funccedilatildeo sem nenhum tubo de
vidro sem filamento sem vaacutecuo com muito menos dissipaccedilatildeo de calor e ocupando um volume muito muito
mesmo menor (note que nessa discussatildeo o sentido da corrente eacute oposto ao sentido do movimento dos
eleacutetrons porque a carga do eleacutetron eacute negativa)
Se conectarmos um diodo a uma fonte de DDP contiacutenua com Δ ajustaacutevel ou seja cujo valor e
polaridade de Δ podemos variar livremente vamos obter o graacutefico times Δ como mostrado na Figura 5(a)
abaixo A Figura 5(a) mostra que com a polaridade direta ( gt Δ gt 0) o diodo retificador conduz
facilmente (porque sua resistecircncia eleacutetrica eacute muito baixa) apoacutes um valor pequeno de limiar Δ (na praacutetica
esse limiar eacute da ordem de 03 a 07 V dependendo do diodo) Abaixo desse limiar e para polaridades reversas
( lt Δ lt 0) a corrente no diodo eacute minuacutescula (porque sua resistecircncia eleacutetrica eacute muito alta)
A B
231
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
Note que uma corrente positiva representa uma corrente de A para B e vice-versa Na Figura 5(b)
mostramos o resultado da razatildeo = ∆ que daacute a resistecircncia eleacutetrica do diodo Vemos claramente que = (∆ ) ou seja eacute uma funccedilatildeo da DDP ∆ Vemos que eacute fortemente dependente do sinal de ∆ Para ∆ lt 0 vale rarr infin (por isso natildeo haacute curva representada no lado esquerdo do graacutefico na Figura 5(b) a
resistecircncia do diodo diverge nesse lado do graacutefico (o lado em que ∆ lt 0))
As Figuras 5(c) e 5(d) mostram as curvas times Δ e times Δ para um dispositivo mais simples em que a
resposta eacute simeacutetrica ou seja um dispositivo sem polaridade e linear pois a curva times Δ eacute uma reta que
passa pela origem A curva de times Δ eacute uma reta horizontal porque a inclinaccedilatildeo da reta times Δ que eacute
exatamente 1 = ∆ eacute uma constante Portanto esse dispositivo obedece a uma relaccedilatildeo
= ∆ = constante
em que eacute uma constante ou seja natildeo depende nem de ∆ e nem de eacute portanto um propriedade do
dispositivo
Essa relaccedilatildeo de linearidade eacute chamada de lei de Ohm Podemos chamar essa lei de lei de Ohm
macroscoacutepica para diferenciaacute-la da outra relaccedilatildeo de linearidade = que poderiacuteamos chamar de lei de
Ohm microscoacutepica Mas para simplificar natildeo havendo chance de confusatildeo vamos simplesmente chamar essa
Δ
Δ
Δ
= Δ
Δ
(b) = Δ (a)
(c) (d)
Figura 5 Comparaccedilatildeo entre as curvas times Δ e as resistecircncias eleacutetricas = ∆ para um diodo (a) e (b) e para um resistor (c) e (d) O diodo eacute um dispositivo natildeo ocirchmico e o resistor eacute um dispositivo ocirchmico
232
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
lei de lei de Ohm A lei de Ohm diz simplesmente que existe essa classe de dispositivos para os quais a
resistecircncia eleacutetrica eacute uma grandeza intriacutenseca que independe do estiacutemulo ∆ ou da resposta Esses
dispositivos satildeo tipicamente chamados de resistores pois estatildeo definidos atraveacutes da resistecircncia eleacutetrica que
possuem A resistecircncia de um resistor pode vir escrita nele diferentemente de um diodo retificador por
exemplo cuja resistecircncia estaacute definida por sua conexatildeo ao circuito externo (pelo
valor de ∆ que pode ser diferente para cada circuito) A Figura ao lado mostra um
resistor de resistecircncia eleacutetrica =22 Ω com erro de 5 (ou seja 209Ω le le231Ω) e potecircncia maacutexima de 5W Essa potecircncia maacutexima limita a corrente maacutexima
que pode passar no resistor garantindo que ele vai atingir uma temperatura maacutexima que natildeo danifica sua
estrutura
Resistores satildeo usados em circuitos eleacutetricos e eletrocircnicos cumprindo diversas funccedilotildees como a simples
modificaccedilatildeo de um valor de DDP (divisor de tensatildeo) e a produccedilatildeo de calor por efeito
Joule A Figura ao lado mostra o siacutembolo de um resistor usado em esquemas de
circuitos eleacutetricos um resistor de resistecircncia eleacutetrica e terminais A e B (o serrilhado
passa uma ideia de aspereza e atritoarraste) Diferentemente do diodo o resistor natildeo possui polaridade Seus
dois terminais satildeo equivalentes a corrente eleacutetrica enfrenta a mesma dificuldade (resistecircncia) quando flui de
A para B ou de B para A
523 A resistecircncia eleacutetrica de um cilindro feito de material ocirchmico
O resistor de resistecircncia = 22Ω mostrado na Figura acima eacute um
simples cilindro maciccedilo feito de um material ocirchmico ou seja de um
material que obedece agrave lei de Ohm = Podemos mostrar que um
cilindro como esse obedece ele mesmo a lei de Ohm macroscoacutepica = ∆ com uma constante
A Figura ao lado ilustra esse dispositivo condutor um cilindro maciccedilo de comprimento e aacuterea de
seccedilatildeo transversal = feito de um material condutor ocirchmico de resistividade = 1 Os terminais do
resistor satildeo os pontos A e B Por hipoacutetese conectamos esse dispositivo a uma bateria que estabelece uma DDP
constante ∆ gt 0 entre os terminais A e B A essa DDP estaacute associado o campo eleacutetrico uniforme = no
interior do volume do resistor (seta verde) que empurra os portadores de carga eleacutetrica nessa regiatildeo
estabelecendo uma densidade de corrente = = (seta vermelha) Note que estamos assumindo e
uniformes porque natildeo haacute efeito pele em circuitos CC Esse eacute o caso mais simples de distribuiccedilatildeo radial de
corrente eleacutetrica no condutor (mas vocecirc jaacute pode desconfiar que o efeito pele modifica a resistecircncia eleacutetrica de
B A
A B
z
L
R
233
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
um dispositivo a resistecircncia aumenta com a frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo) Agora vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆ para determinar a resistecircncia entre os terminais A e B
Primeiramente determinamos a DDP entre os terminais A e B (o estiacutemulo agrave corrente)
∆ = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ = = ∆ =
Agora determinamos a corrente que flui de A para B ( eacute a seccedilatildeo transversal do cilindro = disco de raio )
= ∙ = ∙ = ∙ = =
eacute a resposta do dispositivo ao estiacutemulo Δ
Concluindo a resistecircncia eleacutetrica desse cilindro condutor eacute (lembrando que = )
= ∆ = = = =
Vemos que independe de ∆ e de depende do material de que o cilindro condutor eacute feito do
comprimento e da aacuterea da seccedilatildeo transversal do cilindro Esse cilindro condutor eacute um resistor ele obedece agrave lei
de Ohm (que diz que a razatildeo ∆ eacute uma constante) Note que havendo uma dependecircncia de com a
temperatura segue que a resistecircncia eleacutetrica herda essa dependecircncia Para um cilindro de metal por
exemplo como um simples fio de cobre esperamos que seja uma funccedilatildeo crescente de assim como
Veremos na proacutexima seccedilatildeo que a passagem de corrente eleacutetrica atraveacutes de um material resistivo resulta em
aumento da energia internaagitaccedilatildeo teacutermica desse material e concomitante elevaccedilatildeo na sua temperatura
Assim sendo como depende de que depende de que depende de ∆ segue que observa-se ao final
uma dependecircncia = (∆ ) ou seja uma (aparente) pequena violaccedilatildeo na validade da lei de Ohm mesmo
para um simples cilindro condutor feito de material ocirchmico Para situaccedilotildees em que a temperatura do cilindro
condutor natildeo varia muito observa-se a validade da lei de Ohm ou seja eacute uma caracteriacutestica intriacutenseca do
cilindro Portanto esperamos que na praacutetica a validade da lei de Ohm seja observada apenas quando os
eventuais efeitos da temperatura sobre a conduccedilatildeo eleacutetrica forem devidamente eliminados (por exemplo
atraveacutes de um experimento com temperatura fixa controlada)
Os metais mais usados em fios de instalaccedilotildees eleacutetricas satildeo o cobre e o alumiacutenio O cobre eacute um
condutor mais nobre pois possui resistividade um pouco menor que o alumiacutenio cong 172 times 10 Ω m e cong 275 times 10 Ω m em cong 20degC Mesmo assim o alumiacutenio por ser mais leve e mais barato que o cobre eacute
muito usado em fios de linhas de transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica (onde os fios ficam pendurados
em postes ou torres) que podem ter centenas de quilocircmetros de comprimento
234
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
Com relaccedilatildeo a esses dois materiais considere a seguinte questatildeo qual deveria ser a relaccedilatildeo entre as
aacutereas das seccedilotildees transversais de dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio para
que eles tivessem a mesma resistecircncia eleacutetrica As resistecircncias eleacutetricas esses fios (ciliacutendricos) satildeo
= =
Portanto assumindo resistecircncias iguais = rArr = rArr = cong 16
O fio de alumiacutenio deve ser cong 16 vezes mais grosso que o fio de cobre Qual a relaccedilatildeo entre os pesos =
desses fios Sejam cong 896 gcm3 e cong 270 gcm3 as densidades de massa do cobre e do alumiacutenio Entatildeo
= = = cong 030 times 16 cong 048
Nesse caacutelculo usamos que o peso eacute = a massa eacute = e o volume do cilindro eacute =
Vemos que o fio de alumiacutenio de mesma resistecircncia eleacutetrica mesmo sendo mais grosso ainda possui
basicamente a metade do peso do fio de cobre (trata-se apenas de uma estimativa razoaacutevel pois existem
vaacuterios alumiacutenios e vaacuterios cobres ligeiramente diferentes) Essa pode ser uma vantagem importante para um fio
que fica pendurado em um poste ou em uma torre
Eacute importante registrar que os conceitos que estamos discutindo aqui possuem aplicaccedilatildeo ampla natildeo se
restringindo somente aos circuitos eleacutetricos Por exemplo os conceitos de resistividade e resistecircncia eleacutetricas
satildeo amplamente utilizados na identificaccedilatildeo de diferentes materiais atraveacutes de sondagem por eletrodos de
corrente Em geologia por exemplo a mediccedilatildeo da resistecircncia e da resistividade do solo pode ajudar na
identificaccedilatildeo de sua composiccedilatildeo e na caracterizaccedilatildeo de diferentes camadas geoloacutegicas (ver o artigo An
introduction to electrical resistivity in geophysics Rhett Herman American Journal of Physics 69 (2001))
Resumidamente essa teacutecnica se baseia na introduccedilatildeo de dois eletrodos (hastes condutoras) no solo
separados entre si por uma certa distacircncia Aplica-se uma DDP ∆ nesses eletrodos e mede-se a corrente
que flui de um eletrodo para o outro atraveacutes do solo A resistividade eleacutetrica do solo seraacute dada por
= ∆ = rArr = ∆
O fator geomeacutetrico que depende de natildeo eacute tatildeo simples de ser determinado como no caso de uma
corrente que flui em um cilindro condutor mas ele pode ser calculado para essa geometria utilizando-se as
ferramentas do eletromagnetismo Um fato interessante eacute que quanto mais espaccedilados os eletrodos mais
profundamente a corrente flui atraveacutes do solo Portanto um graacutefico de versus pode mostrar uma variaccedilatildeo
235
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
abrupta quando a corrente atinge uma camada de solo mais profunda com composiccedilatildeo diferente da camada
superior ou um lenccedilol freaacutetico (solo + aacutegua)
Uma ideia parecida pode ser utilizada para se medir a composiccedilatildeo de gordura ou
massa oacutessea do corpo humano Sabe-se por exemplo que a gordura eacute basicamente um
isolante eleacutetrico e que a corrente eleacutetrica flui no corpo humano principalmente atraveacutes da
ldquomassa livre de gordurardquo Na chamada ldquoanaacutelise de bioimpedacircnciardquo divide-se o corpo
humano em cinco regiotildees ciliacutendricas (braccedilos pernas e tronco) como na Figura ao lado
Eletrodos satildeo colocados na pele nas extremidades dessas regiotildees Aplica-se uma DDP ∆
(pequena para natildeo produzir choques eleacutetricos) nesses eletrodos e mede-se a corrente que
flui de um eletrodo para o outro A resistividade eleacutetrica do material do cilindro seraacute dada por
= ∆
Atraveacutes dessa medida de pode-se inferir o percentual de gordura em cada parte do corpo A mesma ideia
funciona para se estimar a massa oacutessea (a bioimpedacircncia eacute melhor avaliada utilizando os conceitos de circuitos
de corrente alternada que estudaremos mais adiante Se vocecirc quiser ver uma introduccedilatildeo ao tema pode
recorrer ao artigo Bioelectrical impedance analysis as a laboratory activity At the interface of physics and the
body de Elliot Mylotta et al American Journal of Physics 82 (2014))
524 A potecircncia dissipada na forma de calor por um resistor efeito Joule
A passagem de corrente eleacutetrica atraveacutes de um meio condutor resistivo ( ne 0) faz com que a energia
interna desse meio aumente Esse eacute o chamado efeito Joule descrito em 1839 por James P Joule A ideia eacute
simples A resistecircncia eleacutetrica de um condutor resistivo estaacute associada agraves colisotildees entre os portadores de carga
eleacutetrica que constituem a corrente e as demais partiacuteculas que compotildeem juntas o meio condutor (aacutetomos iacuteons
etc) As colisotildees transferem portanto energia dos portadores de carga para o meio condutor que ganha
energia de agitaccedilatildeo teacutermica (energia cineacutetica) Natildeo havendo inicialmente uma dissipaccedilatildeo total dessa energia
teacutermica espera-se uma elevaccedilatildeo na temperatura desse meio condutor Sua temperatura aumenta ateacute que o
equiliacutebrio entre a energia teacutermica produzida e o calor dissipado se estabeleccedila Trata-se de um efeito de faacutecil
realizaccedilatildeo servindo de base para o funcionamento de uma grande quantidade de aparelhos eleacutetricos A Figura
6 mostra alguns desses aparelhos Seu princiacutepio de funcionamento estaacute no efeito Joule Esquematicamente + rArr calor Na relaccedilatildeo esquemaacutetica acima enfatizamos o papel de no efeito Joule
Podemos conceber materiais com = 0 chamados de condutores perfeitos nos quais a passagem de
corrente eleacutetrica natildeo implica em produccedilatildeo de calor De fato Heike K Onnes ganhou o precircmio Nobel em 1913
236
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
por ter descoberto que existem materiais ditos supercondutores que exibem o comportamento de
condutores perfeitos a temperaturas muito baixas Onnes fez sua descoberta utilizando o Mercuacuterio como
metal condutor e observou que para ≲ 42 K a resistividade desse material caia abruptamente a zero Ele se
tornava um supercondutor e portanto um condutor perfeito (um supercondutor tem outras propriedades
aleacutem da conduccedilatildeo perfeita) Correntes eleacutetricas circulando em condutores perfeitos natildeo dissipam energia
Secador de cabelos
Air fryer
Chuveiro eleacutetrico
Lacircmpada incandescente
Misteira eleacutetrica
Ferro de passar roupa
Olhando para a lei de Ohm = = entendemos que os portadores de carga podem fluir
dentro de um condutor perfeito sem nenhuma forccedila de impulsatildeo posto que natildeo haacute nenhuma forccedila de
oposiccedilatildeoarraste ao fluxo de portadores basicamente para um condutor perfeito vale = = infin0 = = 00 Notamos tambeacutem que os condutores perfeitos em circuitos de corrente contiacutenua satildeo geralmente
equipotenciais mesmo fora do contexto da eletrostaacutetica posto que ∆ eacute uma integral de caminho de e = 0 dentro deles Para simplificar a anaacutelise de circuitos eleacutetricos utilizamos essa ideia quando consideramos
que os pequenos segmentos de fio ( cong 0) que conectam os componentes eleacutetricos de um circuito (resistores
baterias etc) satildeo equipotenciais
Suponha um resistor de resistecircncia em que circula um acorrente como
ilustrado ao lado Qual a taxa de produccedilatildeo de energia internateacutermica nesse
resistor Em um resistor circula corrente porque haacute dentro dele um campo eleacutetrico
impulsionando os portadores de carga vencendo o arrasteresistecircncia Se a
Figura 6 Alguns exemplos de aparelhos eleacutetricos cujo funcionamento se baseia no efeito Joule
B A
237
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
corrente no resistor flui de A para B entatildeo esse campo eleacutetrico estaacute dentro do resistor apontando de A para
B Eacute o que diz a lei de Ohm = ( eacute paralelo a pois gt 0) Segue que ∆ = minus gt 0 ( sempre
aponta no sentido do decaimento de ) Em um resistor a corrente sempre flui no sentido do decaimento do
potencial eleacutetrico (pois eacute paralelo a ) Considere um portador de carga de carga eleacutetrica gt 0 Esse
portador se desloca de A para B dentro do resistor Quando ele estava em A sua energia potencial eleacutetrica era = Ao chegar em B sua energia potencial eleacutetrica passa a ser = Portanto nessa viagem
dentro do resistor um uacutenico portador de carga perde a energia potencial eleacutetrica ∆ = ( minus ) =minus ∆ lt 0 Aonde vai parar essa energia Considere o teorema do trabalho-energia aplicado a esse portador
no percurso AB ∆ + ∆ = ( rarr ) Quais as outras forccedilas ( ou seja diferentes de ) que atuam no portador de carga que flui dentro do
resistor A forccedila de arraste produzida pelo meio condutor Note que o portador entra e sai do resistor com a
mesma velocidade de arraste a corrente que entra em A eacute a mesma corrente que sai em B Logo ∆ = 0 e ( rarr ) = ( rarr ) = ∆ = minus ∆
O trabalho do arraste eacute negativo porque trata-se de uma forccedila oposta ao deslocamento do portador Trabalho
eacute transferecircncia de energia Essa energia que o portador de carga estaacute perdendo estaacute sendo transferida para o
agente que exerce a forccedila de arraste nele o meio condutor Ou seja para cada portador de carga que
atravessa de A para B o meio condutor ganha a energia cineacutetica (teacutermica) ∆ gt 0 Um resistor eacute um
dispositivo que converte energia potencial eleacutetrica dos portadores de carga em energia teacutermica do meio
condutor
A Figura ao lado sugere uma analogia mecacircnica entre um resistor e um
sistema mecacircnico em que um bloco escorrega para baixo com velocidade
constante (a resultante das forccedilas no bloco eacute nula) em um plano inclinado com
atrito cineacutetico Nesse percurso de queda de A ateacute B o bloco perde energia
potencial gravitacional mantendo sua energia cineacutetica constante (ou seja∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) lt 0) A energia potencial eacute
convertida em energia teacutermica do bloco e do plano inclinado graccedilas agrave accedilatildeo do
atrito cineacutetico entre as superfiacutecies desses corpos Reescrevendo essa uacuteltima frase
adaptando-a para o caso da corrente no resistor obtemos um portador de carga
eleacutetrica flui dentro do resistor com velocidade de deriva constante em um material com arraste Nesse
percurso de A ateacute B o portador perde energia potencial eleacutetrica mantendo sua energia cineacutetica constante
(ou seja ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) lt 0) A energia potencial eacute convertida em
energia teacutermica do meio resistivo graccedilas agrave accedilatildeo do arraste entre o meio e os portadores de carga
calorA
B
B A
238
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
Finalmente a taxa no tempo com que os portadores de carga atravessam de A para B eacute exatamente
e portanto a taxa no tempo (potecircncia) com que o meio condutor ganha energia teacutermica (efeito Joule) eacute
= ( ∆ ) = ∆ = ∆ = ( ) = = ∆ = (∆ )
Acima jaacute escrevemos essa potecircncia de geraccedilatildeo de energia teacutermica em um resistor em trecircs formas diferentes
tendo em vista a validade da lei de Ohm ∆ = A unidade de potecircncia eacute Js que chamamos de watt
(siacutembolo W) Uma lacircmpada de 100 W por exemplo consome 100 J de energia eleacutetrica a cada segundo
(convertendo essa energia em luz e calor quanto maior a eficiecircncia da lacircmpada mais luz e menos calor)
Considere que um chuveiro eleacutetrico deve dissipar uma potecircncia = 5000 W para aquecer a aacutegua
Esse chuveiro estaacute ligado a uma DDP de 127 V Qual deve ser a resistecircncia eleacutetrica interna do chuveiro
= (∆ ) rArr = (∆ ) cong 323Ω
Agora comutamos esse mesmo chuveiro para a posiccedilatildeo inverno em que ele dissipa mais calor prime = 7000 W
para poder aquecer mais a aacutegua circulante Qual a nova resistecircncia desse chuveiro (obtida pela comutaccedilatildeo de
seu circuito interno atraveacutes de uma chave) prime = (∆ )prime cong 230Ω
Alguns estudantes estranham esse resultado pois eles esperam que para se obter mais calor (na
posiccedilatildeo inverno) deveriacuteamos aumentar a resistecircncia e natildeo diminuir que foi o que obtivemos Esses
estudantes geralmente se fixam na relaccedilatildeo = e se esquecem que as correntes eleacutetricas nas posiccedilotildees
veratildeo e inverno do chuveiro natildeo satildeo iguais O que se manteacutem constante aqui eacute a DDP fornecida pela tomada a
qual o chuveiro estaacute conectado e por isso a anaacutelise eacute mais simples se utilizarmos a relaccedilatildeo = (∆ ) que
nos leva a concluir que para uma mesma ∆ menor leva a maior Vemos claramente que na posiccedilatildeo
veratildeo a corrente seraacute = ∆ cong 393 A enquanto que na posiccedilatildeo inverno a corrente no chuveiro seraacute prime = ∆ prime cong 552 A Mais corrente implica nesse caso em mais calor mesmo com menor Essas seriam
correntes muito altas que requereriam fios condutores razoavelmente grossos conectando o chuveiro agrave rede
eleacutetrica Para minimizar esse problema poderiacuteamos comprar um chuveiro com essas mesmas potecircncias mas
que funcionasse em ∆ = 220 V (em duas fases ao inveacutes de fase e neutro) Nesse caso teriacuteamos cong 968Ω cong 691Ω e as correntes seriam cong 227 A e prime cong 318 A Note que o banho natildeo sairia mais barato pois a
potecircncia eacute a mesma mas a corrente nos fios seria menor com o chuveiro de 220 V Isso permitiria uma
instalaccedilatildeo eleacutetrica com fios de cobre mais finos e portanto mais barata mais eficiente e segura
Os valores de resistecircncia eleacutetrica do chuveiro calculados anteriormente satildeo os valores que seriam
observados durante a operaccedilatildeo do chuveiro enquanto ele estaacute esquentando a aacutegua Se medirmos as
239
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
resistecircncias desses resistores com um ohmiacutemetro com o chuveiro desligado podemos observar valores bem
diferentes dos calculados
Imagine que vocecirc pegue uma lacircmpada incandescente GE cristal 60 W 127 V e meccedila a resistecircncia
eleacutetrica do filamento dessa lacircmpada com um ohmiacutemetro (lacircmpada desligada) Vocecirc vai obter cong 17Ω
Daiacute vocecirc calcula a potecircncia da lacircmpada e obteacutem = (Δ ) = (127) 17 cong 949 W Na lacircmpada estaacute
escrito 60 W e vocecirc obteacutem 949 W Qual a origem desse disparate Devemos nos lembrar que enquanto a
lacircmpada estaacute em operaccedilatildeo a temperatura do filamento (feito de Tungstecircnio) supera os 1500 oC e a
resistecircncia do filamento natildeo eacute que seria o valor da resistecircncia do filamento na temperatura ambiente
Enquanto estaacute em operaccedilatildeo o metal do filamento apresenta uma resistividade maior e o filamento apresenta
uma resistecircncia eleacutetrica maior levando a uma potecircncia menor A resistecircncia do filamento no regime de
operaccedilatildeo da lacircmpada eacute = (Δ ) = (127) 60 cong 269Ω Portanto quando ligamos a lacircmpada a
resistecircncia eleacutetrica de seu filamento cresce rapidamente desde o valor cong 17Ω ateacute o valor final cong269Ω A corrente eleacutetrica que circula na lacircmpada tem um pico inicial enquanto o filamento estaacute frio de = Δ = 12717 cong 75 A e decai rapidamente para seu valor de operaccedilatildeo que eacute = Δ =127269 cong 05 A Concluiacutemos que se ficarmos ligando e desligando uma lacircmpada vamos pagar mais
A resistecircncia eleacutetrica natildeo deve ser vista como uma propriedade exclusiva de resistores mas sim como
uma propriedade de todos os dispositivos eleacutetricos Um aparelho de TV um pedaccedilo de fio de cobre uma
lacircmpada uma geladeira todos os dispositivos eleacutetricos reais possuem resistecircncia eleacutetrica e essa resistecircncia
implica em aquecimento e dissipaccedilatildeo de energia na forma de calor Para os dispositivos mostrados na Figura 6
essa dissipaccedilatildeo de calor eacute importante e uacutetil pois essa eacute basicamente a funccedilatildeo deles esquentar Para outros
dispositivos como uma geladeira um computador um fio de cobre de uma instalaccedilatildeo eleacutetrica ou um cabo de
uma linha de transmissatildeo de energia eleacutetrica essa dissipaccedilatildeo de calor eacute indesejaacutevel e inuacutetil devendo ser
minimizada Nos diagramas de circuitos eleacutetricos que representam todos esses dispositivos
vamos representar um siacutembolo de resistor como na Figura ao lado Apesar de nos referirmos
muitas vezes para simplificar a linguagem a um resistor esse siacutembolo natildeo representa necessariamente um
resistor mas sim a propriedade de resistecircncia eleacutetrica de um dispositivo qualquer Esses resistores satildeo
conectados a outros dispositivos no circuito atraveacutes de pequenos segmentos de fio condutor cuja resistecircncia
eleacutetrica desprezamos ou porque ela eacute despreziacutevel mesmo ou porque ela jaacute foi incluiacuteda em um siacutembolo de
resistor no circuito Esses segmentos de ldquocondutor perfeitordquo (equipotenciais) satildeo representados por uma linha
reta nos diagramas de circuitos Uma linha reta no diagrama de um circuito representa uma conexatildeo entre
dois pontos que natildeo apresenta nenhuma propriedade eleacutetrica importante resistecircncia capacitacircncia e (como
veremos em breve) indutacircncia Um serrilhado representa a resistecircncia eleacutetrica de um dispositivo
Nas proacuteximas seccedilotildees comeccedilaremos a discutir a anaacutelise de circuitos eleacutetricos
240
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
53 Forccedila eletromotriz baterias
Na Figura 7 abaixo comparamos um circuito mecacircnico com um circuito eleacutetrico No circuito mecacircnico
um bloco circula no percurso ABCDA com velocidade de moacutedulo constante Vamos imaginar que o bloco sai de
A desce o plano inclinado (com atrito) com velocidade constante perde energia potencial gravitacional
que eacute convertida em calor (pela accedilatildeo do atrito cineacutetico) chega em B desliza ateacute C pela superfiacutecie horizontal
(verde) sem atrito sobe o segundo plano inclinado sem atrito ganhando energia potencial gravitacional O
bloco chega em D desliza ateacute A em um plano horizontal sem atrito e comeccedila tudo outra vez
Esse circuito mecacircnico natildeo esclarece como o bloco vai subir o plano inclinado CD ganhando energia
potencial gravitacional com energia cineacutetica constante Se imaginarmos que natildeo haacute nenhuma outra
forccedila atuando no bloco enquanto ele sobe (aleacutem do peso) o teorema do trabalho energia aplicado ao bloco no
percurso CD fica ∆ + ∆ = 0 rArr ∆ = 0
o que eacute um absurdo completo Fica evidente entatildeo que no percurso CD tem que atuar no bloco uma forccedila
externa que fornece ao bloco energia potencial gravitacional
Poderiacuteamos imaginar por exemplo uma pessoa que fica ali parada e que quando o bloco chega em C
aplica no bloco uma forccedila paralela ao plano inclinado e leva o bloco ateacute D com o mesmo moacutedulo de
velocidade Dessa forma o teorema do trabalho-energia aplicado ao bloco no percurso CD fica ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) gt 0
Essa pessoa representada por na equaccedilatildeo acima gasta sua energia interna atraveacutes de seu
metabolismo para realizar trabalho sobre o bloco e fornecer a ele energia potencial gravitacional Na
sequecircncia o bloco desce o plano inclinado AB com atrito e converte energia potencial gravitacional em calor
Podemos imaginar entatildeo esse circuito funcionando em regime estacionaacuterio em que a energia interna da
pessoa vai sendo convertida continuamente em calor no plano inclinado AB Concluindo natildeo podemos
calorA
B
prime C
D
C
B A
D
Figura 7 comparaccedilatildeo entre um circuito mecacircnico ABCDA em que um bloco circula e um circuito eleacutetrico ABCDA em que portadores de carga circulam
241
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
imaginar esse circuito mecacircnico funcionando em regime estacionaacuterio sem a presenccedila dessa ldquofonte de energiardquo
que fornece ao bloco energia potencial Sem essa fonte poderiacuteamos imaginar apenas um comportamento
transiente em que o bloco se movesse um pouco ao longo do circuito e fosse perdendo velocidade (pela accedilatildeo
do atrito) ateacute finalmente parar (∆ ne 0)
Aqui por analogia comeccedilamos e entender que para que um circuito eleacutetrico funcione em regime
estacionaacuterio eacute necessaacuterio que exista no circuito um dispositivo que forneccedila energia potencial eleacutetrica aos
portadores de carga Esse dispositivo estaacute marcado com um sinal no circuito na Figura 7
Vemos nessa Figura que se a corrente no resistor flui de A para B segue que minus gt 0 Em um
resistor a corrente sempre flui no sentido do decaimento do potencial eleacutetrico (pois eacute paralelo a e a
dentro dele = e sempre aponta no sentido do decaimento de ) Portanto como = e =
(condutores perfeitos = equipotenciais) segue que gt ou seja os portadores
de carga ganham energia potencial eleacutetrica quando atravessam esse dispositivo
entre C e D Esse dispositivo eacute uma fonte de energia potencial eleacutetrica Chamamos
de ldquoforccedila eletromotrizrdquo (FEM) essa capacidade que um dispositivo tem de fornecer
energia potencial eleacutetrica aos portadores de carga em um circuito O dispositivo
entre C e D eacute uma fonte de FEM como ilustrado na Figura ao lado O nome ldquoforccedila
eletromotrizrdquo permanece no eletromagnetismo pela forccedila do haacutebito mas eacute um tanto impreciso pois a FEM
natildeo eacute propriamente uma forccedila mas sim uma taxa de realizaccedilatildeo de trabalho Definimos a FEM ℇ de um
dispositivo como sendo a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho (positivo) sobre os portadores de carga por unidade
de carga realizada por esse dispositivo ℇ =
Note que a unidade de ℇ eacute o JC que jaacute apelidamos de volt (V) Agora entendemos que enquanto um portador
de carga vai de A para B vale (sempre com ∆ = 0 corrente que chega = corrente que sai) ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( minus ) = ( rarr ) lt 0
sendo o trabalho da forccedila de arraste (que eacute negativo pois o arraste eacute oposto ao deslocamento)
Depois enquanto esse mesmo portador de carga vai de C ateacute D vale ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( minus ) = ( minus ) = ( rarr ) gt 0
sendo o trabalho (positivo) que a fonte de FEM faz nesse portador para levaacute-lo de C ateacute D
Portanto para que esse circuito funcione em regime estacionaacuterio deve valer
ℇ = = ( rarr ) = ∆ = ( minus ) = minus
C
B A
D ℇ
242
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
Conclusatildeo um dispositivo ideal de FEM deve ser capaz de manter entre seus terminais uma diferenccedila de
potencial cujo valor eacute exatamente o valor de sua FEM ℇ (note que estamos considerando um dispositivo de
FEM ideal ou seja sem resistecircncia eleacutetrica interna)
Resumindo um dispositivo ideal de FEM eacute aquele que eacute capaz de i) realizar trabalho positivo sobre os
portadores de carga e fornecer energia potencial eleacutetrica para esses portadores que passam por ele ii) manter
uma diferenccedila de potencial fixa entre seus terminais A FEM ℇ do dispositivo resumequantifica essas
capacidades Veremos mais adiante que uma bateria eacute um dispositivo que tem essas capacidades
Os conceitos de trabalho e energia satildeo os mais adequados para se descrever o funcionamento de
circuitos eleacutetricos No entanto afirmaccedilotildees do tipo ldquoa corrente flui em um resistor porque haacute uma DDP entre
seus terminaisrdquo que satildeo comumente encontradas em livros texto natildeo ajudam muito no entendimento do
fenocircmeno Na Figura do circuito acima representamos uma corrente circulando no sentido horaacuterio Por que
essa corrente circula Portadores de carga fluem em um circuito porque haacute uma forccedila que nos casos que
estamos discutindo aqui eacute um campo eleacutetrico que existe no interior dos condutores e que impulsiona esses
portadores fazendo com que eles circulem ao longo do circuito Dentro de um resistor em que circula
corrente haacute um campo eleacutetrico impulsionando os portadores de carga vencendo o arrasteresistecircncia de tal
forma que dentro desse resistor vale a lei de Ohm =
Em um circuito de corrente constante (CC) deve haver portanto um campo constante ou seja
eletrostaacutetico atuando nos portadores dentro do resistor Qual a origem desse
campo Campos eleacutetricos estaacuteticos satildeo produzidos por acuacutemulos de cargas
eleacutetricas estaacuteticas Onde estatildeo acumuladas essas cargas A Figura ao lado responde
essa pergunta Em um resistor por onde circula uma corrente eleacutetrica constante
haacute um acuacutemulo de cargas eleacutetricas estaacuteticas em sua superfiacutecie principalmente em
suas extremidades (A e B) Por que as cargas eleacutetricas acumulam nessas
extremidades Por causa da diferenccedila entre as resistividades nas regiotildees de conexotildees do resistor com o
restante do circuito
Considere a Figura ao lado que representa o
resistor como sendo simplesmente uma regiatildeo ciliacutendrica
com ne 0 conectada em A e B a regiotildees ciliacutendricas
condutoras perfeitas (a regiatildeo cinza representa o resistor) No lado esquerdo do terminal A haacute um condutor
perfeito ( = 0 em branco) e no lado direito haacute o material resistivo do resistor ( ne 0 em cinza) Imagine que
acabamos de ligar o circuito e que os portadores de carga positiva (sinais + em vermelho na Figura) estatildeo
comeccedilando a se mover indo de A para B No lado esquerdo do ponto A os portadores se movem livremente e
mais rapidamente enquanto que no lado direito eles enfrentam o arraste e se movem mais lentamente
C
B A
D ℇ+ +
--
++
++ +
+ + + +---
A B
243
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
Conclusatildeo chegam mais cargas positivas (pela esquerda) ao terminal A do que saem (pela direita) O terminal
A estaacute acumulando carga eleacutetrica positiva como mostrado na Figura (cargas azuis) No terminal B ocorre algo
parecido mas saem mais portadores (pela direita) do que chegam (pela esquerda) e esse terminal vai se
tornando negativo Agrave medida que isso acontece vai nascendo o campo (seta azul) que vai crescendo e
acelerando os portadores de carga dentro do resistor eliminando aos poucos o processo de acuacutemulo de
cargas eleacutetricas nos terminais A e B Vecirc-se entatildeo um mecanismo regenerativo que dura o tempo de um
transiente muito raacutepido em que o primeiro surto de corrente no circuito eacute irregular maior onde eacute menor e
menor onde eacute maior e que vai criando acuacutemulos de cargas eleacutetricas nas conexotildees dos diferentes
dispositivos Esses acuacutemulos de carga (superficiais) vatildeo estabelecendo um campo eleacutetrico ao longo do
circuito que vai modificando a corrente eleacutetrica que vai modificando os acuacutemulos de carga etc Ao final desse
transiente raacutepido (cuja existecircncia geralmente nem conseguimos perceber) o circuito entra em regime
estacionaacuterio a corrente eacute a mesma e constante em toda extensatildeo do circuito os acuacutemulos de carga e o campo
satildeo constantes nas diferentes partes do circuito produzindo mais forccedila (maior ) onde eacute maior
Na praacutetica o campo eleacutetrico dentro de um dispositivo eleacutetrico eacute bem pequeno e os acuacutemulos de
carga eleacutetrica necessaacuterios para produzir esse campo tambeacutem Por essa razatildeo essas densidades de carga
eleacutetrica satildeo geralmente ignoradas nas discussotildees sobre circuitos eleacutetricos como se elas natildeo existissem A
discussatildeo do tema em termos de conceitos de energia no lugar do conceito de forccedila contribui para essa
situaccedilatildeo Mas enfim para entendermos mesmo o funcionamento de qualquer circuito eleacutetrico devemos ter
ciecircncia de que esse campo estaacute laacute tanto dentro dos fios onde ele eacute pequeno mas crucial para impulsionar
os portadores de carga quanto no espaccedilo exterior onde ele eacute pequeno e basicamente irrelevante pois trata-
se de uma regiatildeo isolante (ar por exemplo) Apenas no interior dos condutores perfeitos ( = 0) natildeo haacute
campo eleacutetrico pois ele natildeo eacute necessaacuterio (natildeo haacute arraste) Nas superfiacutecies desses condutores perfeitos os
acuacutemulos de carga satildeo tais que produzem campo nulo dentro deles (como se fosse eletrostaacutetica) Esses
acuacutemulos de cargas nas superfiacutecies dos fios natildeo ocorrem apenas nas regiotildees onde haacute mudanccedila abrupta na
resistividade do condutor mas tambeacutem nas
curvas e dobras dos fios A Figura ao lado tenta
ilustrar essa ideia A corrente (seta azul) entra
pela direita e sai por baixo em um segmento de
fio dobrado em L No iniacutecio os portadores de
carga (sinais + vermelhos) nem sabem que essa
curva existe e a corrente no fio eacute irregular Alguns portadores colidem com a parede do fio na dobra e
acumulam aiacute (cargas azuis) A regiatildeo oposta da dobra vai ficando negativa pois os portadores que estavam aiacute
foram embora Os proacuteximos portadores que chegam na dobra jaacute sentem o campo eleacutetrico (seta laranja) desse
+ +
+
+ +
+
++
--
+
+++
---
+ +
++
+
244
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
acuacutemulo de cargas e jaacute fazem a curva com mais habilidade sem colidir e acumular Apoacutes um breve transiente
a corrente flui regularmente ao longo do fio guiado pelo campo os acuacutemulos de carga se estabilizam e tudo
fica estacionaacuterio (se vocecirc tiver interesse pode ver figuras melhores no artigo A semiquantitative treatment of
surface charges in DC circuits Rainer Muller American Journal of Physics 80 (2012))
Voltando ao conceito de FEM talvez seja mais faacutecil entender a ideia se considerarmos antes um
circuito em que natildeo haacute nenhum dispositivo com essa propriedade Por exemplo considere um circuito
contendo apenas um capacitor inicialmente carregado e um resistor Na Figura 8 abaixo ilustramos esse
processo de descarga do capacitor atraveacutes do resistor Chamamos esse processo de transiente porque ele dura
um tempo curto em que a corrente depende do tempo = ( ) e vai decaindo a zero ateacute o capacitor se
descarregar totalmente No proacuteximo capiacutetulo estudaremos esse circuito de forma quantitativa Aqui vamos
apenas dar uma olhada no que acontece no processo de descarga do capacitor
Na sequecircncia (1)-(6) mostrada na Figura 8 esboccedilamos um transiente em que um capacitor inicialmente
carregado eacute conectado a um resistor formando um circuito fechado e descarrega agrave medida que as cargas
eleacutetricas fluem entre as placas passando pelo resistor Na Figura 8(1) o capacitor estaacute inicialmente carregado e
o resistor estaacute afastado As cargas nas placas do capacitor produzem um campo eleacutetrico no espaccedilo (linhas de
forccedila em roxo) Na Figura 8(2) conectamos o resistor ao capacitor e o campo comeccedila a mover as cargas nos
Figura 8 Um circuito que natildeo conteacutem um dispositivo de FEM apenas um capacitor inicialmente carregado conectado a um resistor A corrente circula por um breve transiente
(1)
+
+
-
+ +
- -
+ + + +
+
- - - - -
+ + + + + + +
+
-- - - - - -
+ +
+
-- -
-
+
-
(2)
(3) (4)
(5) (6)
+ + + +
- - - -
+ + + +
- - - -
+ + + +
- - - -
+ + + +
- - - -
A
B
C
R
C
D
R
C
D
A
B
C
R
C
D
A
B
C R
C
D
A
B
C
R
C
D
A
B
C
R
C
D
A
B
C
245
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
fios condutores Sabemos que nos metais satildeo os eleacutetrons que se movem mas aqui para simplificar vamos
pensar que satildeo as cargas + que se movem no sentido da corrente eleacutetrica As cargas ndash estatildeo fixas mas agrave
medida que elas vatildeo sendo ldquoneutralizadasrdquo pelas cargas + deixam um deacuteficit ndash para traacutes e temos a impressatildeo
que elas tambeacutem se movem Portanto na Figura 8(2) no ramo de cima conectado agrave placa + as cargas +
comeccedilam a fluir para a direita No ramo de baixo conectado agrave placa ndash as cargas + dos fios fluem para essa
placa (porque satildeo atraiacutedas) e deixam um ndash para traacutes A corrente eleacutetrica comeccedila a fluir no sentido horaacuterio Na
Figura 8(3) mostramos uma situaccedilatildeo mais avanccedilada em que o surto de corrente estaacute chegando ao resistor
Eacute interessante frisar que o campo eleacutetrico existe em todo o espaccedilo e esperamos que essa
movimentaccedilatildeo de cargas se estabeleccedila rapidamente em todo o circuito de forma irregular sendo
inicialmente mais intensa na regiatildeo proacutexima das placas Nossas Figuras satildeo uma simplificaccedilatildeo desse processo
e apenas ilustram essas regiotildees em que a corrente eacute mais intensa
Na Figura 8(4) ilustramos a formaccedilatildeo de acuacutemulos de carga nas extremidades do resistor que vatildeo
produzir um campo eleacutetrico mais intenso nessa regiatildeo onde a resistividade eleacutetrica eacute maior (os outros
condutores satildeo perfeitos por hipoacutetese) Esses acuacutemulos produzem um campo dentro do material do resistor
de tal forma que valha a lei de Ohm = Nas superfiacutecies dos condutores perfeitos os acuacutemulos de carga
devem ser tais que = 0 dentro deles ( = infin0) Na Figura 8(5) queremos dar a ideia de que as cargas
acumuladas nas placas estatildeo acabando afinal elas estavam diminuindo desde que o circuito foi fechado
Finalmente na Figura 8(6) mostramos o fim do transiente todas as cargas + que estavam na placa positiva do
capacitor fluiacuteram para a placa negativa e neutralizaram as cargas ndash que estavam laacute Os cuacutemulos de carga nas
superfiacutecies dos fios e nas extremidades do resistor desaparecem e tudo volta agrave neutralidade eleacutetrica Note que
enquanto o capacitor possui carga vale gt e que enquanto o circuito estaacute fechado vale = e = e portanto gt Os portadores de carga que fluem de C para D atraveacutes do resistor perdem
energia potencial eleacutetrica que eacute convertida em energia teacutermica (efeito Joule) Essa energia potencial eleacutetrica
estava acumulada no capacitor Nesse transiente de descarga do capacitor a energia potencial eleacutetrica
acumulada nele eacute convertida em calor
Queremos introduzir agora nesse circuito a ideia de forccedila eletromotriz (FEM) que eacute uma propriedade
que o capacitor natildeo tem pois ele natildeo eacute capaz de manter a corrente eleacutetrica circulando constantemente no
circuito O capacitor produz apenas um raacutepido transiente Um dispositivo de FEM deve ser capaz de manter a
corrente fluindo no circuito e para isso ele deve manter as cargas em suas placas ou seja ele natildeo deve
descarregar com o tempo Ao manter essas cargas em suas placas o dispositivo de FEM vai manter a DDP entre
seus terminais a eletrizaccedilatildeo ao longo do circuito e o campo de forccedila necessaacuterio para que a corrente flua
nesse circuito Diferentemente do capacitor em que as placas estatildeo isoladas entre si o dispositivo de FEM
deve conduzir atraveacutes dele os portadores de carga + que chegam agrave placa negativa para a placa positiva
246
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
mantendo constantes as cargas depositadas nas placas Sendo gt fica claro que esse dispositivo de FEM
deve ser capaz de fornecer energia potencial aos portadores de carga pois um portador de carga gt 0 que eacute
transportado atraveacutes desse dispositivo de B ateacute A ganha a energia potencial eleacutetrica ∆ = ( minus ) gt 0
Conforme a definiccedilatildeo que jaacute demos para a forccedila eletromotriz ℰ a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho sobre os
portadores por unidade de carga obtemos
ℰ = = ∆ = minus
Vemos portanto que a FEM ℰ de um dispositivo ideal de FEM eacute exatamente a DDP que esse dispositivo eacute
capaz de manter entre seus terminais
Na Figura ao lado apenas substituiacutemos no circuito da Figura 8 o capacitor
por esse dispositivo de FEM ℰ sendo que estamos usando aqui o siacutembolo para a
bateria que definiremos mais adiante O siacutembolo para a fonte de FEM lembra
um capacitor Mas um capacitor apenas acumula cargas eleacutetricas que satildeo
colocadas nas suas placas por um agente externo uma bateria por exemplo A
fonte de FEM acumula cargas eleacutetricas em seus terminais produzidas por ela
mesma atraveacutes de sua FEM Ela natildeo depende de agentes externos
Representamos nesse circuito uma forccedila interna (seta verde) ao dispositivo de FEM que modela sua
capacidade de transportar os portadores de carga + que chegam agrave placa negativa de volta para a placa
positiva Ao chegar em B o portador de carga (positiva) enxerga um campo eleacutetrico apontando de A para B (do
+ para o ndash na fonte) ou seja ele natildeo pode seguir de B para A sozinho (com velocidade constante) Nesse ponto
entra a capacidade da fonte de exercer a forccedila (forccedila por unidade de carga) no portador levando ele com
velocidade de deriva constante ateacute A A forccedila deve ser tal que
ℇ = = ∙
Note que definimos como sendo forccedila por unidade de carga para economizar uma divisatildeo por Dentro da
fonte o portador de carga se move sob efeito de duas forccedilas opostas apontando de B para A e apontando
de A para B A lei de Ohm dentro da fonte fica = +
+
+ + + + + + +
- - - - ---
+ + + +
- - - - R
C
D
ℰ
A
B
247
Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31
Sendo a fonte ideal ou seja sem resistecircncia segue que rarr infin dentro dela e deve valer = minus ( = infin0) O
portador de carga desliza dentro da fonte sem arraste e portanto sem forccedila resultante de impulsatildeo
Portanto a DDP estabelecida entre os terminais A e B da fonte eacute
minus = ∙ = minus ∙ = minus ∙ = ∙ = ℇ
Chegamos aqui agrave mesma conclusatildeo que haviacuteamos chegado atraveacutes unicamente de conceitos de
trabalhoenergia
Resumindo um dispositivo ideal de FEM eacute aquele que eacute capaz de i) realizar trabalho positivo sobre os
portadores de carga e fornecer energia potencial eleacutetrica para esses portadores que passam por ele ii) manter
uma diferenccedila de potencial fixa entre seus terminais iii) manter uma separaccedilatildeo de cargas fixa em seus
terminais e ao longo do circuito A FEM ℇ do dispositivo resumequantifica essas capacidades De fato todas
essas propriedades estatildeo ligadas entre si e satildeo basicamente equivalentes Natildeo haacute muito como estabelecer
uma ordem entre elas
Na Figura 9 acima comparamos a corrente em funccedilatildeo do tempo em um circuito como o da Figura 8
circuito RC (a) em que natildeo haacute FEM com o circuito ℇ + resistor (b) em que apenas substituiacutemos o capacitor por
uma fonte de FEM ℇ O capacitor natildeo eacute capaz de manter as cargas acumuladas em suas placas e nem a DDP
entre elas pois ele apenas acumula cargas e energia potencial eleacutetrica A corrente flui apenas por um breve
transiente A fonte de FEM manteacutem as cargas e a DDP entre seus terminais mantendo uma corrente
constante fluindo no circuito
531 Baterias
Um exemplo tiacutepico de dispositivo de FEM constante eacute uma bateria ou uma pilha cujo
siacutembolo em esquemas de circuitos eleacutetricos estaacute mostrado na Figura ao lado Lembra um
pouco o siacutembolo de um capacitor satildeo duas placas sendo a placa maior o terminal positivo A
seta mostra o sentido da FEM ou seja o sentido em que essa bateria impulsiona a corrente
atraveacutes dela Na praacutetica o siacutembolo pode ser simplificado sem a necessidade do siacutembolo + e da seta do sentido
da FEM
+
ℇ
t
( ) t
( )
(a) (b)
Figura 9 (a) corrente em um circuito sem FEM como o circuito RC da Figura 8 A corrente flui apenas por um breve transiente (b) corrente em um circuito com FEM uma bateria e um resistor por exemplo A corrente atinge um valor estacionaacuterio