AULAS DE - UFV

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AULAS DE ELETROMAGNETISMO José Arnaldo Redinz [email protected] Departamento de Física / Universidade Federal de Viçosa - MG 3ª Edição – 2021 Versão 3.1 Versão: 30/08/2021 Direitos reservados ao autor

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AULAS

DE

ELETROMAGNETISMO

Joseacute Arnaldo Redinz

redinzufvbr

Departamento de Fiacutesica Universidade Federal de Viccedilosa - MG

3ordf Ediccedilatildeo ndash 2021

Versatildeo 31

Versatildeo 30082021

Direitos reservados ao autor

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash versatildeo 31

O texto que segue nasceu principalmente do objetivo de registrar as minhas aulas de FIS 203 Trata-

se basicamente de uma transcriccedilatildeo de minhas aulas com algumas (talvez muitas muitas mesmo)

extensotildees que o tempo curto de aula proiacutebe mas que o papelPDF permite O conteuacutedo eacute basicamente

aquele apresentado nos livros jaacute consagrados no segmento como as coleccedilotildees Halliday amp Resnick e

Young amp Freedman e que faz parte da disciplina FIS 203 na UFV Apenas a forma de apresentar esse

conteuacutedo eacute original eacute a forma que encontreiconstruiacute ao longo dos anos levando em conta minha visatildeo

proacutepria do tema e a resposta vinda dos estudantes que percebi nas aulas e nas muitas (muitas mesmo)

avaliaccedilotildees (provas e testes) que elaborei e corrigi

Uma coisa que aprendi nesses anos eacute que nada eacute trivial nada eacute oacutebvio nada eacute simples Nesse

sentido eacute melhor pecar pelo excesso do que pela falta o que muitas vezes infelizmente o tempo

restrito de aula natildeo permite Natildeo havendo essa restriccedilatildeo aqui deixei de lado a pretensatildeo de escrever

um texto sinteacutetico enxuto e elegante (jaacute haacute vaacuterios deles por aiacute) e preferi um texto mais longo e algumas

vezes repetitivo enfatizando os pontos que acredito dada minha experiecircncia serem merecedores de

mais atenccedilatildeo por parte dos alunos Os exemplos exibidos no texto pretendem convencer o estudante de

que a fiacutesica em particular o eletromagnetismo estaacute (muito) presente em nossas vidas e de que vale a

pena portanto o esforccedilo para compreendecirc-la

Procurei combater a ideia muitas vezes disseminada de que a fiacutesica eacute uma espeacutecie de jogo de

adivinhaccedilatildeo um quebra-cabeccedilas um teste de QI em que cada problema proposto requer uma espeacutecie

de truque de atalho de toque de gecircnio de foacutermula maacutegica para ser resolvido Enfatizo o contraacuterio a

fiacutesica trata do mundo real (muitas vezes complexo) e todos os problemas propostos podem ser

resolvidos com a aplicaccedilatildeo sistemaacutetica dos conceitos e do formalismo Um pouco de bom-senso sempre

ajuda

Natildeo houve nenhuma revisatildeo do texto ou sugestatildeo por parte de terceiros Os errosdeslizes

seratildeo corrigidos pelo autor com o passar dos anos (o arquivo PDF eacute atualizado com frequumlecircncia

corrigindo alguns erros e melhorandocompletando o texto) Esta eacute a que estou chamando de 3ordf ediccedilatildeo

ou versatildeo 31 revisada em 2021

Original disponiacutevel em httpftpufvbrdpf203textohtm

Prefaacutecio

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash versatildeo 31

Iacutendice de Capiacutetulos

1 Carga eleacutetrica - forccedila - campo eleacutetrico 1

2 Lei de Gauss 69

3 Potencial eletrostaacutetico 134

4 Capacitores e dieleacutetricos 175

5 Correntes eleacutetricas 214

6 Circuitos eleacutetricos 261

7 Forccedila magneacutetica 294

8 O campo magneacutetico 335

9 Induccedilatildeo eletromagneacutetica 379

10 Indutacircncia 418

11 Circuitos de corrente alternada 454

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

1 Carga eleacutetrica ndash Forccedila ndash Campo eleacutetrico

11 Carga eleacutetrica e lei de Coulomb

O eletromagnetismo se concentra na descriccedilatildeo de uma interaccedilatildeoforccedila fundamental da natureza a

interaccedilatildeo eletromagneacutetica Atraveacutes dessa interaccedilatildeo uma porccedilatildeo de mateacuteria eacute capaz de exercer forccedila sobre

outra porccedilatildeo de mateacuteria que estaacute distante dela a interaccedilatildeo se propaga atraveacutes do espaccedilo

Jaacute estamos habituados a conviver com uma interaccedilatildeoforccedila que possui essas caracteriacutesticas a

interaccedilatildeo gravitacional ou seja a forccedila peso O planeta Terra atrai todas as massas que estatildeo na sua

vizinhanccedila desde uma simples folha de aacutervore ateacute a Lua e o Sol Assim conseguimos compreender os

movimentos desses corpos a queda das folhas e as oacuterbitas dos planetas e das luas Dessa forma a gravidade

explica uma grande classe de fenocircmenos que ocorrem na natureza e nos permite construir maacutequinas que

funcionam graccedilas a ela (ou apesar dela) Entendemos as oacuterbitas as mareacutes a formaccedilatildeo dos planetas das

estrelas e das galaacutexias Outros fenocircmenos natildeo podem ser descritos pela gravidade e ficam aguardando uma

descriccedilatildeoexplicaccedilatildeo Para que avancemos precisamos entender que haacute outras interaccedilotildeesforccedilas na natureza

Como explicar a coesatildeo de um aacutetomo O que manteacutem os eleacutetrons viajando em torno do nuacutecleo O que

manteacutem os aacutetomos unidos dentro de um bloco de mateacuteria Por que a agulha de uma buacutessola aponta sempre

na mesma direccedilatildeo norte-sul Como explicar o funcionamento de um motor eleacutetrico de um chuveiro eleacutetrico

de um telefone celular A gravidade se cala quanto a isso satildeo fenocircmenos no domiacutenio de outra

interaccedilatildeoforccedila Essa interaccedilatildeoforccedila eacute o tema do eletromagnetismo

Podemos comeccedilar especulando sobre o que eacute mateacuteria Para responder essa pergunta devemos agir

como uma crianccedila que desmonta e estraccedilalha um brinquedo para ver o que tem dentro do que ele eacute feito

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Pode ser que a crianccedila natildeo tenha forccedila suficiente para desmembrar as peccedilas menores e tenha que pedir ajuda

aos pais que tem mais forccedila para ajudaacute-lo na tarefa Essa eacute basicamente a ideia do que a fiacutesica de partiacuteculas

faz quebrar a mateacuteria para ver do que ela eacute feita Para isso satildeo construiacutedos os aceleradores de partiacuteculas

onde a mateacuteria eacute bombardeada por feixes de partiacuteculas (mateacuteria) e se quebra revelando seu interior Para

quebrar as partes menores precisamos de mais forccedila e por isso essa eacute uma ciecircncia que avanccedila agrave medida que

novos aceleradores (maiores e mais caros) vatildeo ficando acessiacuteveis O primeiro experimento desse tipo foi feito

por Rutherford (cong1911) ele bombardeou uma folha fina de ouro com um feixe de partiacuteculas (gaacutes Heacutelio

ionizado) e viu o que saiu laacute de dentro Ele descobriu a existecircncia dos nuacutecleos atocircmicos Se quebrarmos o

nuacutecleo descobrimos que eles satildeo feitos de proacutetons e necircutrons Se quebrarmos os proacutetons e os necircutrons

Enfim vamos ficar por aqui por que essa histoacuteria eacute longa e eacute o tema da fiacutesica de partiacuteculas Para o que vai nos

interessar nesse curso podemos nos contentar com a ideia baacutesica de que a mateacuteria eacute feita de partiacuteculas

minuacutesculas (mas de tamanho natildeo nulo) eleacutetrons proacutetons e necircutrons Os proacutetons e necircutrons se aglomeram

para formar os nuacutecleos atocircmicos e esses nuacutecleos se juntam aos eleacutetrons para formar os aacutetomos que se juntam

para formar as moleacuteculas que se juntam para formar o que entendemos como mateacuteria em um niacutevel

macroscoacutepico Essas partiacuteculas possuem massa mostradas na Tabela 1 e portanto se atraem mutuamente

pela gravidade Note que o proacuteton possui basicamente a mesma massa que o necircutron ( cong mas de fato lt ) e que ambos satildeo muito mais massivos que o eleacutetron ( cong 1840 )

Tabela 1 Massas das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria

Considere que dentro de um aacutetomo de Hidrogecircnio (nuacutemero atocircmico Z=1) haacute um eleacutetron viajando em

torno de um proacuteton a uma distacircncia (raio) meacutedia de cong 05 times 10 m ou seja cong 05Å (Å = angstrom)

Vamos usar a lei de gravitaccedilatildeo de Newton para estimar a forccedila de atraccedilatildeo gravitacional muacutetua entre o

proacuteton e o eleacutetron dentro do aacutetomo (considerando que cong 667 times10 Nm2kg2)

= cong 41 times 10

Analogamente a energia potencial gravitacional do aacutetomo seria

= minus cong minus20 times10

partiacutecula massa (kg)

eleacutetron cong 9109 times 10

proacuteton cong 1673 times 10

necircutron cong 1674 times 10

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Essa eacute a energia que eacute liberada (na forma de energia cineacutetica) quando essas duas massas e se

aproximam a partir de uma separaccedilatildeo inicial infinita (partindo do repouso) Para separar novamente essas

duas massas devemos fornecerdevolver a esse sistema a energia minus (vencendo a atraccedilatildeo entre elas)

Estamos desprezando aqui as energias cineacuteticas orbitais das duas massas afinal elas natildeo estatildeo estaacuteticas

dentro do aacutetomo Se considerarmos essas energias cineacuteticas que satildeo positivas concluiremos que a energia

necessaacuteria para separardesligar as duas massas seraacute ainda menor que minus = | | Se esse aacutetomo faz parte de um gaacutes de Hidrogecircnio na temperatura ambiente ( cong 300 K) a energia

cineacutetica dos aacutetomos nesse gaacutes eacute da ordem de sendo a constante de Boltzmann ( cong 1381 times 10

JK) ou seja cong 41 times 10

Vemos portanto que | | cong 20 times10

Dessa razatildeo gigantesca concluiacutemos que se dependesse da atraccedilatildeo gravitacional para garantir a coesatildeo

dos aacutetomos seria impossiacutevel a existecircncia do gaacutes Hidrogecircnio na temperatura ambiente pois as colisotildees entre

os aacutetomos teriam energias muito muito mesmo mais que suficientes para ionizaacute-los separando eleacutetrons e

proacutetons No entanto sabemos que o gaacutes Hidrogecircnio pode existir sem dificuldades na temperatura ambiente

Concluindo esse exemplo simples e muitos outros que poderiacuteamos descrever mostram que a

gravidade natildeo deve ter papel relevante na explicaccedilatildeo da estabilidade dos aacutetomos e da mateacuteria em geral

soacutelidos liacutequidos e gases A gravidade eacute muito fraca nesse contexto Outra forccedila e outra energia devem estar

associadas a essa estabilidade A gravidade eacute importante em sistemas que envolvem massas (pelo menos uma

delas) gigantescas como no caso da interaccedilatildeo entre o planeta Terra e uma folha de aacutervore que resulta no

peso da folha (mas a atraccedilatildeo gravitacional entre duas folhas de aacutervore por sua vez eacute despreziacutevel)

Experimentos com as partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria como o experimento da gota de oacuteleo de

Millikan mostram que aleacutem da massa elas possuem outra propriedade a carga eleacutetrica e que cargas eleacutetricas

podem exercer forccedilas umas sobre as outras uma forccedila eletromagneacutetica Na Tabela 2 mostramos os valores

das cargas eleacutetricas das partiacuteculas constituintes da mateacuteria A carga eleacutetrica da mateacuteria em geral em um niacutevel

macroscoacutepico eacute apenas um reflexo da carga eleacutetrica intriacutenseca de seus constituintes microscoacutepicos

A unidade de carga eleacutetrica eacute o coulomb (siacutembolo C) em homenagem ao cientista pioneiro Charles

Augustin de Coulomb Depois podemos entender melhor essa unidade mas agora basta entender que ela

expressa a quantidade de carga eleacutetrica de um corpo qualquer assim como o kg (quilograma) expressa a

quantidade de massa

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Partiacutecula massa (kg) carga eleacutetrica (C)

eleacutetron cong 9109 times 10 cong minus1602 times 10

proacuteton cong 1673 times 10 = minus

necircutron cong 1674 times 10 = 0

Tabela 2 Massas e cargas eleacutetricas das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria

O proacuteton e o eleacutetron possuem cargas eleacutetricas (exatamente) de mesmo moacutedulo mas de sinais

contraacuterios O necircutron natildeo possui carga eleacutetrica ele eacute eletricamente neutro Partiacuteculas que possuem carga

eleacutetrica exercem forccedilas entre si forccedilas eleacutetricas e magneacuteticas O necircutron natildeo fazsofre forccedilas eleacutetricas (mas

fazsofre forccedilas magneacuteticas pois ele eacute um imatilde microscoacutepico) A mateacuteria eacute composta dessas partiacuteculas que

possuem carga eleacutetrica e portanto podemos esperar que essa forccedila seja observada em um niacutevel

macroscoacutepico uma porccedilatildeo de mateacuteria pode exercer forccedila eletromagneacutetica em outra porccedilatildeo de mateacuteria Essa

forccedila eacute independente da gravidade e descreveexplica fenocircmenos que a gravidade natildeo descreveexplica

Agora podemos comeccedilar a entender a coesatildeo em um aacutetomo proacutetons e eleacutetrons se atraem

mutuamente atraveacutes de forccedilas eleacutetricas porque possuem cargas eleacutetricas de sinais opostos Imagine entatildeo

um eleacutetron livre na vizinhanccedila de um proacuteton Eles vatildeo se atrair mutuamente e se aproximar podendo formar

um objeto eletricamente neutro uma espeacutecie (mas natildeo exatamente) de sistema planetaacuterio em miniatura um

aacutetomo de Hidrogecircnio (nuacutemero atocircmico Z=1) Esse aacutetomo por ser eletricamente neutro natildeo exerceraacute mais

forccedila eleacutetrica significativa sobre outras partiacuteculas carregadas em sua vizinhanccedila e seraacute estaacutevel (mas forccedilas

eleacutetricas residuais ainda poderatildeo formar por exemplo o Hidrogecircnio molecular H2 e outros compostos

quiacutemicos conforme discutiremos mais adiante) Imagine dois proacutetons juntos formando um nuacutecleo com Z=2

Esse nuacutecleo vai atrair eleacutetrons em sua vizinhanccedila e quando ele ldquocapturarrdquo dois eleacutetrons vai se tornar

eletricamente neutro um aacutetomo de Heacutelio (Z=2) Esse aacutetomo natildeo exerceraacute mais forccedila eleacutetrica significativa

sobre outras partiacuteculas carregadas em sua vizinhanccedila e seraacute estaacutevel (um gaacutes nobre muito pouco reativo)

Assim podemos entender a formaccedilatildeo dos aacutetomos Z eleacutetrons viajando em torno de um nuacutecleo com Z proacutetons

produzindo uma estrutura minuacutescula (com tamanho da ordem de 1Å) eletricamente neutra e estaacutevel Resta

calcular a intensidade da forccedila e da energia associadas a essa ligaccedilatildeo eleacutetronnuacutecleo para mostrar que ela eacute

forte e estaacutevel diferentemente do que concluiacutemos anteriormente sobre a ligaccedilatildeo gravitacional que eacute fraca e

instaacutevel frente agraves perturbaccedilotildees teacutermicas em um gaacutes Faremos isso em breve apoacutes termos conhecimento da lei

de forccedila entre proacutetons e eleacutetrons a lei de Coulomb

Vocecirc poderia se perguntar sobre a estabilidade do nuacutecleo como explicar que proacutetons que se repelem

mutuamente podem ficar estaacuteveis dentro de uma regiatildeo minuacutescula (com tamanho da ordem de 10 Å) A

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

gravidade Natildeo A gravidade entre as partiacuteculas constituintes da mateacuteria eacute despreziacutevel Esse questionamento

vai levar agrave descoberta de outra forccedila da natureza a chamada forccedila forte ou forccedila nuclear Proacutetons e necircutrons

se atraem mutuamente por accedilatildeo dessa forccedila e ela eacute capaz de equilibrar a repulsatildeo eleacutetrica entre os proacutetons

Agora podemos entender o papel dos necircutrons dentro do nuacutecleo Eles natildeo participam da interaccedilatildeo eleacutetrica

natildeo se atraem nem se repelem e nem atraem ou repelem os proacutetons Mas pela interaccedilatildeo forte eles atraem os

proacutetons e se atraem mutuamente Os proacutetons por sua vez atraem os necircutrons e tambeacutem se atraem

mutuamente pela accedilatildeo da forccedila forte Os necircutrons conferem entatildeo estabilidade ao nuacutecleo funcionando como

uma espeacutecie de cola Grosso modo um nuacutecleo com Z proacutetons conteacutem aproximadamente Z necircutrons A

natureza permite uma pequena variaccedilatildeo nesse nuacutemero de necircutrons dando origem aos diferentes isoacutetopos de

um mesmo elemento quiacutemico O carbono (C) Z=6 por exemplo possui dois isoacutetopos estaacuteveis 12C6 e 13C6 com

6 e 7 necircutrons no nuacutecleo respectivamente Haacute ainda um isoacutetopo natural instaacutevel (radioativo) o 14C6 com 8

necircutrons O 14C6 vai decaindo (se transformando) em Nitrogecircnio (Z=7) 14N7 com o passar do tempo emitindo

eleacutetrons que satildeo chamados nesse contexto de radiaccedilatildeo beta Esse decaimento daacute origem a um processo de

dataccedilatildeo de materiais orgacircnicos (foacutesseis) Deixaremos essa discussatildeo por aqui porque o estudo da forccedila forte eacute

tema da fiacutesica nuclear

A mateacuteria sendo composta de aacutetomos eletricamente neutros conteacutem em seu interior proacutetons e

eleacutetrons em iguais quantidades formando uma estrutura macroscoacutepica eletricamente neutra A neutralidade

eleacutetrica se daacute globalmente pois a carga eleacutetrica total em um corpo eacute nula e localmente pois a neutralidade

ocorre em todos os pontos do corpo O processo de eletrizaccedilatildeo de um corpo eacute a quebra dessa neutralidade

eleacutetrica atraveacutes da adiccedilatildeoremoccedilatildeo de cargas eleacutetricas (proacutetons eou eleacutetrons) ou do simples rearranjo das

cargas eleacutetricas no corpo como ocorre nos processos de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Onde haacute quebra de

neutralidade eleacutetrica dizemos que haacute um excesso de cargas eleacutetricas (um excesso de proacutetons ou de eleacutetrons)

Estando os proacutetons confinados aos nuacutecleos atocircmicos os processos de eletrizaccedilatildeo se datildeo comumente pela

adiccedilatildeosubtraccedilatildeomovimentaccedilatildeo de eleacutetrons no corpo inicialmente neutro Dessa forma podemos arrancar

eleacutetrons de um corpo e tornaacute-lo carregado positivamente (pelo excesso de proacutetons que sobrou) ou depositar

eleacutetrons nesse corpo e tornaacute-lo carregado negativamente Podemos tambeacutem deslocar eleacutetrons para uma

regiatildeo do corpo tornando essa regiatildeo carregada negativamente e outra regiatildeo oposta carregada

positivamente (pelo deacuteficit de eleacutetrons) Eletrizaccedilatildeo eacute portanto a criaccedilatildeo de qualquer distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas diferente do que seria a neutralidade eleacutetrica em todos os pontos do corpo

Nessa discussatildeo eacute interessante distinguir os dois principais tipos de materiais que existem na natureza

com relaccedilatildeo agrave forma como as cargas eleacutetricas podem ou natildeo se movimentar dentro desses materiais Nos

materiais condutores de eletricidade existem partiacuteculas com carga eleacutetrica que podem se mover livremente

dentro deles Um exemplo simples eacute o de uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal (NaCl) O sal dissolvido se dissocia em iacuteons

Na+ e Cl- e esses iacuteons podem fluir dentro da soluccedilatildeo Chamamos essas partiacuteculas carregadas que possuem

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

mobilidade de ldquoportadores de carga eleacutetricardquo Na soluccedilatildeo de aacutegua e sal os portadores de carga satildeo os iacuteons Na+

e Cl- Nos metais que satildeo condutores de eletricidade por excelecircncia os portadores de carga satildeo eleacutetrons A

aacutegua pura por outro lado eacute um isolante eleacutetrico pois ela natildeo possui portadores de carga Se natildeo haacute

portadores de carga natildeo haacute movimentaccedilatildeofluxo de cargas e o material eacute um isolante eleacutetrico Um gaacutes por

exemplo pode se converter de isolante (posto que os aacutetomos satildeo eletricamente neutros) em condutor se os

aacutetomos que compotildeem esse gaacutes forem ionizados Isso ocorre por exemplo em uma lacircmpada fluorescente que

emite luz pela ionizaccedilatildeo de um gaacutes e tambeacutem em uma tempestade em que o ar inicialmente isolante eacute

ionizado e conduz um raio (cargas eleacutetricas) entre as nuvens e a terra

Nos materiais soacutelidos isolantes os proacutetons e eleacutetrons estatildeo todos bem localizados em suas posiccedilotildees no

interior dos aacutetomos que compotildeem o material Um eleacutetron pertence a um uacutenico aacutetomo ou eacute compartilhado por

dois aacutetomos vizinhos e natildeo possui nenhuma mobilidade ou seja esse eleacutetron natildeo pode migrar para outro

aacutetomo mais distante Ele pode apenas se deslocar um pouco na vizinhanccedila do(s) aacutetomo(s) a(aos) qual(quais)

ele pertence Exemplos de materiais soacutelidos isolantes satildeo o plaacutestico o vidro e a madeira seca Nos materiais

soacutelidos condutores como os metais os proacutetons continuam fixos dentro dos nuacutecleos atocircmicos circundados

pelos eleacutetrons das camadas mais proacuteximas desses nuacutecleos formando um iacuteon Os eleacutetrons das camadas mais

externas nos aacutetomos por sua vez possuem mobilidade ou seja eles podem migrar de um aacutetomo para outro

aacutetomo vizinho fluindo no material Nos metais como o cobre e o alumiacutenio existe portanto uma estrutura

razoavelmente riacutegida de iacuteons positivos (um cristal) imersa em uma nuvem (ou um gaacutes) de eleacutetrons livres (a

carga eleacutetrica total eacute zero) Essa eacute a chamada ligaccedilatildeo metaacutelica

Os processos de eletrizaccedilatildeo acontecem ou iniciam nas superfiacutecies dos corpos e por isso satildeo

processos de difiacutecil descriccedilatildeo ou previsatildeo A superfiacutecie de um bloco de vidro por exemplo natildeo eacute composta

apenas de vidro Nessa superfiacutecie encontram-se vaacuterias impurezas depositadas aleacutem de umidade Por isso

mesmo que o vidro seja um isolante as cargas eleacutetricas em sua superfiacutecie podem ter alguma mobilidade Mas

cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie limpa de um isolante ficam em geral no mesmo lugar onde elas satildeo

depositadas e por isso satildeo chamadas de cargas estaacuteticas No caso dos condutores eacute diferente Cargas eleacutetricas

depositadas na superfiacutecie de um condutor podem fluir nessa superfiacutecie e tambeacutem fluir para dentro do volume

do condutor Os excessos de carga eleacutetrica podem mudar livremente de lugar buscando eles mesmos suas

proacuteprias posiccedilotildees de equiliacutebrio na superfiacutecie e dentro do material condutor

Sendo os eleacutetrons as partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica e de mais faacutecil movimentaccedilatildeo dentro da

mateacuteria (soacutelida) os processos de eletrizaccedilatildeo (quebra da neutralidade eleacutetrica) se datildeo geralmente atraveacutes de

transporte de eleacutetrons dentro do proacuteprio corpo ou de um corpo A para outro corpo B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A eletrizaccedilatildeo por contato se daacute como o proacuteprio nome jaacute diz pelo simples contato entre as superfiacutecies

dos corpos A e B O processo de atritar uma superfiacutecie na outra intensifica o contato e aumenta o transporte

de eleacutetrons Por isso esse processo eacute muitas vezes chamado de eletrizaccedilatildeo por atrito Mas trata-se de fato de

eletrizaccedilatildeo por contato (tambeacutem chamado de triboeletrificaccedilatildeo) Esse processo ocorre por exemplo quando

esfregamos um pente no cabelo e observamos que este passa a atrair pequenos pedacinhos de papel O pente

recebe eleacutetrons ou doa eleacutetrons (eacute difiacutecil prever o que vai ocorrer) dopara o cabelo e se torna eletrizado A

partir daiacute o pente eletricamente carregado (em sua superfiacutecie) passa a exercer forccedila sobre pedacinhos de

papel conforme discutiremos mais adiante O processo de triboeletrificaccedilatildeo eacute bastante complexo mas

basicamente ele se daacute porque os eleacutetrons em um corpo A estatildeo em um potencial quiacutemico diferente dos

eleacutetrons em outro corpo B e daiacute havendo o contato entre esses dois corpos o transporte de eleacutetrons se

estabelece e continua ateacute que os dois potenciais quiacutemicos se igualem (o

potencial quiacutemico eacute o anaacutelogo da temperatura se pensamos na troca de

ldquopartiacuteculasrdquo ao inveacutes de ldquocalorrdquo) A triboeletrificaccedilatildeo pode ter efeitos

indesejados como no caso de aviotildees que acumulam grandes quantidades

de carga devido ao seu arraste com o ar circundante Esses acuacutemulos de

carga eleacutetrica podem interferir nas telecomunicaccedilotildees e causar a queima de

equipamentos eletrocircnicos incecircndios e explosotildees devido a uma descarga

eleacutetrica que porventura possa ser produzida

O gerador de Van de Graaff eacute um equipamento de laboratoacuterio que

usa a eletrizaccedilatildeo por atrito para construir grandes concentraccedilotildees de cargas

estaacuteticas acumuladas em uma casca esfeacuterica metaacutelica A Figura 1 ao lado

mostra um pequeno gerador desses usado em laboratoacuterios de ensino

Basicamente um motor move uma correia de material isolante que eacute

eletrizada por atrito e deposita cargas eleacutetricas em uma casca esfeacuterica

metaacutelica Deixando o aparelho ligado por um bom tempo pode-se

acumular grandes quantidades de carga e observar os efeitos disso como

centelhas que saltam da esfera metaacutelica para objetos proacuteximos ou mesmo

para o ar Na Figura 1 podemos ver tambeacutem o proacuteprio Van de Graaff

demonstrando seu protoacutetipo de gerador que podia produzir ateacute um milhatildeo de volts (imagem retirada do

artigo A history of the Van de Graaff generator F A Furfari ieeexploreieeeorgdocument1380320) Esse

gerador tem muitas aplicaccedilotildees praacuteticas como na aceleraccedilatildeo de partiacuteculas para produccedilatildeo de raios X e no teste

de isoladores eleacutetricos de alta voltagem

Outro processo de eletrizaccedilatildeo eacute o de induccedilatildeo A palavra induccedilatildeo eacute usada aqui com o sentido de um

efeito que eacute causado a certa distacircncia sem contato fiacutesico entre objetos (no cotidiano tambeacutem usamos esse

Figura 1 geradores de Van de Graaff

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

termo com esse sentido como na frase ldquoele me induziu ao errordquo) A ideia eacute que se aproximarmos um objeto A

que jaacute possui um excesso de cargas eleacutetricas (positivas ou negativas) de outro objeto B as forccedilas de

atraccedilatildeorepulsatildeo das cargas eleacutetricas de A nas cargas eleacutetricas em B vatildeo produzir em B uma distribuiccedilatildeo de

cargas eleacutetricas uma eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Se B for um corpo isolante a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo eacute causada

pela polarizaccedilatildeo dos aacutetomosmoleacuteculas conforme discutiremos no capiacutetulo 4 quando estudarmos capacitores

e dieleacutetricos Se B for um condutor a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo eacute causada pela migraccedilatildeomovimentaccedilatildeo de

eleacutetrons dentro do corpo B que estaacute sendo eletrizado

Podemos usar a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo para carregar eletricamente o objeto condutor B se

utilizarmos essa movimentaccedilatildeo das cargas eleacutetricas em B para nos livrarmos de algumas cargas nele

tornando-o eletricamente carregado

A Figura 2 abaixo ilustra esse processo de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo em que um pente jaacute carregado

positivamente em sua superfiacutecie (talvez porque ele foi atritado no cabelo de algueacutem e perdeu alguns eleacutetrons)

eacute usado para eletrizar e carregar eletricamente duas esferas metaacutelicas que eram eletricamente neutras (note

que natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas)

A Figura 2 mostra uma sequecircncia temporal com as seguintes etapas i) O pente carregado

positivamente (em sua superfiacutecie) se aproxima de uma esfera metaacutelica e polariza essa esfera (forma dois

poacutelos duas regiotildees com cargas de sinais opostos) pois eleacutetrons no metal satildeo atraiacutedos pelo pente se movem e

se concentram em uma face da esfera que fica carregada negativamente (minus ) (lembre-se que nos metais haacute

um manancial de eleacutetrons que podem fluir livremente dentro deles) Na face oposta criou-se um deacuteficit de

eleacutetrons e ela se tornou positivamente carregada ( ) A esfera (azul) sofreu um processo de eletrizaccedilatildeo por

induccedilatildeo (sem nenhum contato superfiacuteciesuperfiacutecie com o pente) Note que natildeo houve quebra na

neutralidade eleacutetrica da esfera azul ela continua tendo carga eleacutetrica total nula mas ela foi eletrizada pois

apresenta regiotildees (faces) que natildeo satildeo eletricamente neutras ii) Uma segunda esfera metaacutelica (verde) se

Figura 2 Um pente carregado eletricamente eacute usado para carregar duas esferas metaacutelicas atraveacutes da eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo (agrave distacircncia) Note satildeo esferas e natildeo ciacuterculos

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- - -

+ +

+ -

-

-

+ +

9

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

aproxima da primeira esfera (azul) e se polariza tambeacutem devido agrave eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo causada pela esfera

azul (minus e ) e pelo pente mais distante iii) As duas esferas se tocam e estabelece-se o contato eleacutetrico

entre elas As duas esferas satildeo agora um soacute corpo metaacutelico e os eleacutetrons fluem livremente nesse corpo

neutralizando algumas cargas positivas e o restante se posicionando nas superfiacutecies opostas devido agrave

atraccedilatildeorepulsatildeo das cargas do pente exatamente como acontecia com uma esfera apenas iv) Finalmente as

esferas metaacutelicas satildeo separadas e o pente eacute afastado pois natildeo precisamos mais dele Restam ao final duas

esferas carregadas uma positiva e outra negativa Elas foram carregadas atraveacutes da eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo

Note que a carga total nas duas esferas eacute sempre nula pois natildeo houve nenhum transporte de cargas eleacutetricas

do pente para elas

Esses corpos carregados podem natildeo se manter assim por muito tempo porque ao possuiacuterem um

excesso de carga eleacutetrica eles passam a atrair fortemente impurezas e umidade do ar circundante Ao final

esse processo de descarga que pode ser raacutepido vai levaacute-los de volta agrave neutralidade eleacutetrica Experimentos

realizados no vaacutecuo ou mesmo em um tempo mais seco evitariamretardariam essa descarga

No processo ilustrado na Figura 2 fazemos alusatildeo ao fato de que quando dois objetos metaacutelicos A e B

se tocam os excessos de carga que existem em um fluem para o outro e se dividem entre os dois cada um

ficando com uma porccedilatildeo da carga eleacutetrica total Isso ocorre basicamente porque dois condutores que se tocam

tornam-se de fato apenas um condutor e natildeo haacute razatildeo para que nesse novo condutor (A+B) qualquer excesso

de cargas eleacutetricas fique concentrado em um dos condutores apenas (A ou B) As cargas de mesmo sinal por

exemplo sempre se repelem mutuamente e elas acabam fluindo dentro do condutor e se espalhando por toda

a superfiacutecie dele (de onde elas natildeo podem escapar pois elas estatildeo ligadas a essa porccedilatildeo de mateacuteria) A Figura

3 abaixo ilustra essa ideia Um condutor A (azul) possuiacutea inicialmente um excesso de carga eleacutetrica (positiva

deacuteficit de eleacutetrons) distribuiacuteda em sua superfiacutecie (basicamente porque essas cargas se repelem mutuamente)

e outro condutor B (verde) estava eletricamente neutro No instante em que A e B se tocam as cargas que

estavam em A ldquoenxergamrdquo um novo espaccedilo onde elas podem fluir livremente e as forccedilas de repulsatildeo muacutetuas

redistribuem as cargas agora nas superfiacutecies de A e de B A carga foi dividida uma parte permaneceu em

A e uma parte ficou concentrada em B de tal forma que + =

Figura 3 No equiliacutebrio eletrostaacutetico de dois condutores em contato eleacutetrico o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior da carga eleacutetrica em excesso

+

+ + + +

+ +

+ +

+

+

+

A AB B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Fato eacute que (como em quase tudo na vida) no equiliacutebrio o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior

da carga total Provaremos isso depois usando o conceito de potencial eleacutetrico que veremos no capiacutetulo 3

Um acuacutemulo de cargas eleacutetricas em um objeto pode ser perigoso pois ao tocarmos esse objeto noacutes

vamos funcionar como sendo o condutor B (verde) ilustrado na Figura 3 e vamos receber uma descarga

eleacutetrica (se estivermos em contato eleacutetrico com a terra essa descarga seraacute ainda maior) Essa descarga um

choque eleacutetrico pode produzir vaacuterios danos ao organismo desde queimaduras associadas ao fluxo de cargas

eleacutetricas dentro da carne (ou tecidos) ateacute a morte por parada cardiacuteaca Assim sendo eacute bom que esses

acuacutemulos sejam evitados O aterramento eacute feito com esse objetivo Substitua na Figura 3 o condutor B pelo

planeta Terra e vocecirc vai entender logo como funciona um aterramento Se conectarmos o condutor A agrave terra

atraveacutes de fios e hastes condutoras enfiadas na terra (hastes de cobre enterradas) as cargas em excesso em A

vatildeo se redistribuir entre A e o planeta Terra que eacute uma bola gigantesca condutora Quem eacute maior fica com

mais carga eleacutetrica Resultado todas as cargas que estavam em A fluem para a Terra e o perigo que havia se

tocaacutessemos em A foi eliminado A Figura 4 abaixo ilustra o aterramento do corpo A que estava inicialmente

com um excesso de carga eleacutetrica positiva Ao fechar a chave S o condutor A e a Terra se tornam um condutor

apenas e o processo ilustrado na Figura 3 de redistribuiccedilatildeo dos excessos de cargas eleacutetricas se daacute Ao final no

novo equiliacutebrio eletrostaacutetico o condutor A estaacute para todos os efeitos praacuteticos descarregado

Na Figura 4 nem nos demos ao trabalho de representar as cargas eleacutetricas depositadas no

planeta Terra pois se vocecirc procuraacute-las natildeo vai encontrar O siacutembolo padratildeo para o

aterramento eacute mostrado ao lado

A carga eleacutetrica possui duas propriedades baacutesicas quantizaccedilatildeo e conservaccedilatildeo

A palavra quantizaccedilatildeo pode ser entendida aqui como se referindo a uma variaccedilatildeo natildeo-contiacutenua da

carga eleacutetrica Quacircntico eacute o oposto de contiacutenuo Uma grandeza contiacutenua eacute uma grandeza que pode assumir

qualquer valor real dentro de seu intervalo de variaccedilatildeo Por exemplo considere a distacircncia (em metros)

entre dois pontos quaisquer no espaccedilo Podemos dizer que = 1 m ou = 0123459 m ou ainda que =

m e assim por diante Podemos chutar qualquer valor representado por um nuacutemero real para eacute uma

Figura 4 Ao fechar a chave S o bloco condutor (azul) fica aterrado e seu excesso inicial de cargas eleacutetricas se esvai para a Terra

+

+ + + +

+

S S

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

grandeza que varia continuamente eacute uma variaacutevel contiacutenua A carga eleacutetrica natildeo eacute assim A carga eleacutetrica eacute

quantizada ou seja soacute pode assumir valores que satildeo muacuteltiplos inteiros de um quantum ∆ Resumindo = ∆ com = ⋯ minus3minus2minus1 0 1 2 3 hellip( isin ℤ) O quantum de carga eacute exatamente a carga do proacuteton ∆= cong 1602 times10 C Portanto para um

proacuteton vale = 1 para um eleacutetron vale = minus1 e para um necircutron vale = 0 Para qualquer objeto

macroscoacutepico carregado eletricamente vale que a carga eleacutetrica dele eacute = para algum inteiro Essa

propriedade eacute facilmente entendida se aceitamos o simples fato de que a mateacuteria eacute um aglomerado de

proacutetons necircutrons e eleacutetrons Entatildeo a carga eleacutetrica de uma porccedilatildeo de mateacuteria qualquer eacute sempre = + + 0 = minus = sendo o nuacutemero total de proacutetons o nuacutemero total de eleacutetrons e o nuacutemero total de necircutrons que

compotildeem essa porccedilatildeo de mateacuteria Resumindo = minus Se a porccedilatildeo de mateacuteria possui a mesma

quantidade de proacutetons e eleacutetrons como em um aacutetomo ela eacute eletricamente neutra e = 0 Se a porccedilatildeo de

mateacuteria possui um excesso de proacutetons entatildeo = minus eacute positivo como em um iacuteon Na+ (soacutedio ionizado)

em que = 1 Se a porccedilatildeo de mateacuteria possui um excesso de eleacutetrons entatildeo = minus eacute negativo como

em um iacuteon SO4- - (iacuteon sulfato) em que = minus2

Suponha que algueacutem diga que a carga eleacutetrica acumulada em uma placa metaacutelica eacute exatamente = 0561501 times 10 C Vocecirc pode afirmar baseando-se apenas na propriedade de quantizaccedilatildeo da carga

eleacutetrica que isso eacute impossiacutevel pois a razatildeo cong 3505

estaacute longe se ser um nuacutemero inteiro (natildeo haacute meio proacuteton ou meio eleacutetron) Os fenocircmenos macroscoacutepicos

envolvem muitas vezes uma quantidade tatildeo grande de carga eleacutetrica que a quantizaccedilatildeogranulaccedilatildeo dessa

grandeza se torna imperceptiacutevel Nesse contexto a carga eleacutetrica pode ser descrita por funccedilotildees contiacutenuas ( ) ( ) e ( ) que representam sua distribuiccedilatildeo no espaccedilo Essa ideia seraacute discutida mais adiante

A outra propriedade baacutesica da carga eleacutetrica eacute que ela se conserva em um sistema isolado Carga

eleacutetrica natildeo pode ser criada e nem destruiacuteda Se em um sistema isolado haacute hoje uma carga eleacutetrica natildeo

importa o que aconteccedila com esse sistema desde que ele se mantenha isolado apoacutes mil anos a carga eleacutetrica

desse sistema seraacute A uacutenica maneira da carga eleacutetrica desse sistema mudar de valor eacute ele deixar de ser

isolado e trocar partiacuteculas eletricamente carregadas com a sua vizinhanccedila Suponha que algueacutem diga que um

necircutron ( ) pode se transformar em um proacuteton ( ) apenas Essa pessoa estaacute dizendo que a seguinte reaccedilatildeo

nuclear pode acontecer rarr

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Chamamos essa reaccedilatildeo de ldquonuclearrdquo porque e satildeo constituintes dos nuacutecleos atocircmicos e nesse sentido satildeo

eles mesmos nuacutecleos com Z=0 e A=1 e com Z=1 a A=1 (A eacute o nuacutemero de massa)

Vocecirc pode afirmar baseando-se apenas na propriedade de conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica que essa

reaccedilatildeo acima eacute impossiacutevel Isso porque a carga eleacutetrica do sistema natildeo se conservou Antes o sistema era um

necircutron e entatildeo = 0 Depois aconteceu algo com esse sistema (isolado por hipoacutetese) e ele passou a ser um

proacuteton ou seja = Absurdo pois a carga eleacutetrica do sistema aumentou Essa reaccedilatildeo natildeo pode ocorrer

Ela viola a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica Considere agora a seguinte reaccedilatildeo nuclear rarr +

Um necircutron se transforma em (ou daacute origem agrave) um proacuteton mais um eleacutetron ( ) Essa reaccedilatildeo conserva

a carga eleacutetrica pois = 0 tanto antes quanto depois da reaccedilatildeo Ela pode acontecer e acontece na natureza

Trata-se do decaimento beta do necircutron (haacute de fato mais um produto da reaccedilatildeo um neutrino que eacute

eletricamente neutro) Eacute atraveacutes dessa reaccedilatildeo que o 14C6 (Carbono 14 Z=6 e A=14) se transforma em 14N7

(Nitrogecircnio 14 Z=7 e A=14) Note que o nuacutemero atocircmico Z aumenta de uma unidade pois um necircutron no

nuacutecleo de Carbono deu origem a um proacuteton e daiacute ocorreu a transmutaccedilatildeo do Carbono em Nitrogecircnio (o

nuacutemero A permanece constante) Um eleacutetron eacute emitido pelo nuacutecleo saindo com alta velocidade Essa chuva

de eleacutetrons emitida por uma porccedilatildeo de Carbono radioativo eacute chamada de radiaccedilatildeo beta A longa exposiccedilatildeo a

esse tipo de radiaccedilatildeo pode ser perigosa pode causar queimaduras na pele cegueira e cacircncer Um processo de

determinaccedilatildeo da idade de foacutesseis se baseia nesse decaimento do 14C6 que se daacute com uma taxa bem precisa

como um reloacutegio Basicamente se sabemos a quantidade de 14C6 (ou a proporccedilatildeo 14C612C6) que havia em um

organismo hoje um foacutessil no instante em que ele morreu e medimos a quantidade de 14C6 que ele possui hoje

podemos inferir sua idade (desde quando ele morreu ateacute hoje) atraveacutes da taxa de decaimento beta do 14C6 A

quantidade de 14C6 (ou a proporccedilatildeo 14C612C6) no organismo no instante em que ele morreu eacute definida por essa

quantidade (proporccedilatildeo) na atmosfera em que ele vivia (respirava)

Partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica exercem forccedila uma sobre a outra Considere a situaccedilatildeo mais

simples a eletrostaacutetica (cargas paradas) duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas e estatildeo paradas fixadas em

suas posiccedilotildees a uma distacircncia r uma da outra (ver a Figura 5 abaixo) Qual a forccedila eleacutetrica entre elas Essa

pergunta eacute respondida pela lei de Coulomb A forccedila eleacutetrica que a partiacutecula 1 faz na partiacutecula 2 eacute

=

sendo uma constante (que depende do sistema de unidades utilizado) e um vetor unitaacuterio ao longo do eixo

que eacute o eixo que passa por e com sentido apontando de 1 para 2 A forccedila eleacutetrica que 2 faz em 1 eacute a

reaccedilatildeo

= minus

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Os experimentos mostram que se gt 0 as forccedilas estaratildeo como mostradas na Figura 5 e as

partiacuteculas se repelem mutuamente eacute o caso de dois proacutetons Se lt 0 o sinal negativo vai inverter os

sentidos das duas setas de forccedila e as partiacuteculas se atraem mutuamente eacute o caso de um proacuteton e um eleacutetron

Se pelo menos uma das partiacuteculas for eletricamente neutra entatildeo = 0 e natildeo haacute forccedila eleacutetrica entre

essas partiacuteculas eacute o caso de um proacuteton e um necircutron

No sistema internacional de unidades (SI) que eacute usado no Brasil forccedilas satildeo dadas em newtons (N)

distacircncias em metros (m) e cargas eleacutetricas satildeo dadas em coulombs (C) Dessa forma tendo definido essas trecircs

unidades podemos determinar experimentalmente o valor numeacuterico da constante na lei de Coulomb

Obteacutem-se cong 9 times 10 Nm C

Por razatildeo de conveniecircncia (natildeo tatildeo evidente) escrevemos = 14

sendo cong 8854 times 10 a chamada permissividade eleacutetrica do vaacutecuo A ideia baacutesica de se

introduzir jaacute na lei de Coulomb esse fator 4 no denominador eacute que futuramente quando aplicarmos essa lei

e outras derivadas dela a objetos de formas circulares ou esfeacutericas que satildeo formas comuns de objetos

utilizadas em sistemas eletromagneacuteticos esse fator vai desaparecer porque por exemplo a aacuterea superficial

de uma esfera de raio eacute 4 Ficamos entatildeo com a constante (permissividade eleacutetrica do vaacutecuo) que eacute

uma propriedade da interaccedilatildeo eleacutetrica que se daacute no vaacutecuo A ideia baacutesica aqui eacute que a forccedila eleacutetrica que eacute

dada por

= 14

eacute a forccedila eleacutetrica entre duas partiacuteculas que estatildeo localizadas no vaacutecuo ou seja natildeo haacute outras partiacuteculas no

espaccedilo apenas as partiacuteculas 1 e 2 Essa eacute a forccedila eleacutetrica na partiacutecula 2 Mais adiante no capiacutetulo 4 veremos

que se esse espaccedilo em que as partiacuteculas 1 e 2 estatildeo for preenchido por um meio material o ar por exemplo a

forccedila eleacutetrica na partiacutecula 2 deixa de ser dada pela expressatildeo acima Isso ocorre natildeo porque a forccedila muda

Figura 5 Duas partiacuteculas fixas em suas posiccedilotildees separadas por uma distacircncia r se atraem ou se repelem mutuamente de acordo com a lei de Coulomb Se gt 0 elas se repelem Se lt 0 elas se atraem Se = 0 natildeo haacute forccedila

14

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

mas porque a partiacutecula 2 passa a sofrer outras forccedilas eleacutetricas geradas pelas partiacuteculas que compotildeem esse

meio material circundante Basicamente a forccedila eleacutetrica resultante em passa a ser

= + = 14 +

Nessa equaccedilatildeo eacute a forccedila eleacutetrica que as cargas eleacutetricas que compotildeem o meio material que ocupa o

espaccedilo (aacutetomos e moleacuteculas) fazem na partiacutecula de carga Veremos que para muitos meios materiais

simples ocupando o espaccedilo os dois termos na expressatildeo acima podem se juntar e a forccedila pode ser escrita

como na forma original da lei de Coulomb = 14

sendo a permissividade eleacutetrica desse meio material Por exemplo se e estatildeo fixas debaixo drsquoaacutegua

segue que = + Aacute = 14 + Aacute = 14 Aacute

sendo Aacute cong 80 Portanto a forccedila em embaixo da aacutegua eacute cerca de 80 vezes menor que a forccedila em

no vaacutecuo Isso ocorre por causa da polarizaccedilatildeo da aacutegua e da blindagem que ela confere agraves cargas eleacutetricas

mergulhadas nela Por isso a aacutegua eacute o solvente universal e pode por exemplo dissolver o sal de cozinha (iacuteons

Na+ e Cl-) misturado nela

Resumindo ao trocar por na lei de Coulomb a forccedila definida acima deixa de ser (apenas) a

forccedila que a partiacutecula 1 faz na partiacutecula 2 ( ) e passa a ser a forccedila (resultante) na partiacutecula 2 devido agrave

presenccedila da partiacutecula 1 (que afeta tambeacutem as cargas eleacutetricas no meio circundante) Veremos um pouco mais

desse assunto no capiacutetulo 4

Vamos voltar ao aacutetomo de Hidrogecircnio e estimar a forccedila eleacutetrica que o proacuteton faz no eleacutetron dentro

desse aacutetomo Da lei de Coulomb com cong 05Å obtemos

= 14 cong 92 times10

Comparando essa forccedila com a forccedila gravitacional que calculamos anteriormente obtemos

cong 92 times10 41 times 10 cong 22 times10

A forccedila eleacutetrica entre partiacuteculas elementares eacute muito muito mesmo maior que a forccedila gravitacional

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Dada a similaridade entre a lei de Coulomb e a lei da gravitaccedilatildeo de Newton natildeo eacute muito difiacutecil

acreditar (como seraacute mostrado no capiacutetulo 3) que a energia potencial eleacutetrica associada agrave interaccedilatildeo entre o

proacuteton e o eleacutetron no aacutetomo de Hidrogecircnio eacute

= 14 cong minus46 times10

Se quisermos (apenas) separar esse eleacutetron desse proacuteton partindo da distacircncia (e do repouso) vamos gastar

uma energia minus (e com isso o aacutetomo seraacute ionizadodesfeito)

Portanto a razatildeo entre essa energia de ligaccedilatildeo eleacutetrica e a energia cineacutetica de um aacutetomo em um gaacutes

de Hidrogecircnio agrave temperatura ambiente ( ) eacute | | cong 90 times10

Vemos que a energia teacutermica disponiacutevel no gaacutes eacute muito menor que a energia de ligaccedilatildeo eletrostaacutetica No caso

da energia potencial gravitacional tiacutenhamos obtido a razatildeo cong 20 times10 Concluindo notamos

que a forccedila eleacutetrica e a energia potencial de ligaccedilatildeo eleacutetrica satildeo muito muito mesmo maiores que a forccedila

gravitacional e a energia potencial de ligaccedilatildeo gravitacional e que portanto elas podem dar conta da

estabilidade do aacutetomo de Hidrogecircnio e tambeacutem de toda a mateacuteria As partiacuteculas na mateacuteria se ligam atraveacutes

da forccedila eleacutetrica que eacute suficientemente forte para garantir a estabilidade da mateacuteria diferentemente da

gravidade que eacute despreziacutevel nesse contexto

A forccedila eleacutetrica dada pela lei de Coulomb eacute tambeacutem chamada de forccedila eletrostaacutetica pois ela eacute a uacutenica

forccedila de origem eleacutetrica entre partiacuteculas carregadas que estatildeo estaacuteticas fixas em suas posiccedilotildees Se essas

partiacuteculas estiverem se movendo veremos mais adiante que haveraacute outras forccedilas entre essas partiacuteculas como

a forccedila magneacutetica e a forccedila associada ao campo eleacutetrico induzido A lei de Coulomb eacute portanto a base da

eletrostaacutetica o estudo de sistemas de partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica e que estatildeo fixas no espaccedilo

depositadasacumuladas em algum corpoobjeto eletrizado

Na natureza nada estaacute de fato estaacutetico e a eletrostaacutetica eacute a todo rigor uma idealizaccedilatildeo As partiacuteculas

que compotildeem a mateacuteria estatildeo sempre em agitaccedilatildeo vibrando com intensidades que dependem da

temperatura local Mas essas vibraccedilotildees satildeo muito raacutepidas de baixa amplitude e natildeo produzem nenhum

deslocamento efetivo das partiacuteculas pois elas vatildeo tanto para laacute quanto para caacute de tal forma que ao final a

interaccedilatildeo eleacutetrica entre elas se daacute como se elas estivessem de fato estaacuteticas em suas posiccedilotildees centrais de

equiliacutebrio Por isso conseguimos observar no mundo real comportamentos que satildeo previstos pela

eletrostaacutetica Aleacutem disso podemos muitas vezes considerar que os efeitos do movimento das partiacuteculas

carregadas satildeo despreziacuteveis ou que eles apenas seratildeo deixados para uma etapa posterior do estudo que

estamos realizando e assim utilizar a lei de Coulomb como uma primeira aproximaccedilatildeo para calcular a forccedila

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

entre partiacuteculas que estatildeo se movendo Fazemos isso por exemplo quando usamos a lei de Coulomb para

calcular a forccedila eleacutetrica entre o eleacutetron e o proacuteton no interior de um aacutetomo de Hidrogecircnio (onde certamente

os proacutetons e eleacutetrons natildeo estatildeo estaacuteticos pois essa configuraccedilatildeo estaacutetica natildeo seria estaacutevel o eleacutetron e o

proacuteton acabariam por se fundir talvez formando um necircutron)

A Figura ao lado ilustra um modelo do que seria a visatildeo microscoacutepica da

estrutura do sal de cozinha (cloreto de soacutedio NaCl) Nessa estrutura os aacutetomos de

soacutedio (bolinhas roxas) e os aacutetomos de cloro (bolinhas verdes) se aproximam muito

de tal forma que um eleacutetron eacute transferido de um aacutetomo de soacutedio que se torna um

iacuteon Na+ para um aacutetomo de cloro que se torna um iacuteon Cl- (a mecacircnica quacircntica

explica porque isso ocorre) Esses iacuteons se atraem mutuamente pela forccedila

eletrostaacutetica de Coulomb e formam uma estrutura regular razoavelmente riacutegida e estaacutevel Nessa rede

cristalina cada iacuteon eacute circundado por seis outros iacuteons de carga oposta e se manteacutem em equiliacutebrio sob accedilatildeo

dessas vaacuterias forccedilas eletrostaacuteticas apenas balanccedilando para caacute e para laacute Toda a mateacuteria que existe aacutetomos

moleacuteculas soacutelidos liacutequidos e gases possuem propriedades micromacroscoacutepicas marcantes advindas da

interaccedilatildeo eletrostaacutetica entre seus constituintes

Podemos usar a lei de Coulomb para calcular a forccedila que uma porccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas A faz

em outra porccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas B Para isso utilizamos o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que a

forccedila resultante de vaacuterias cargas em outra carga eacute simplesmente a soma (vetorial) das forccedilas individuais

que cada uma das cargas faz em como se as outras cargas natildeo existissem Resumindo

= = 14 = 4

sendo a distacircncia entre e e um vetor unitaacuterio que aponta de para (em breve passaremos a

chamar esse vetor de no lugar de )

Considere o exemplo mostrado na Figura 6 abaixo que mostra um objeto dipolar (uma moleacutecula

polar) proacuteximo de uma carga pontual (um iacuteon)

Daqui para diante vamos adotar essa praacutetica de chamar de as cargas eleacutetricas que estamos supondo

positivas e minus as cargas eleacutetricas que estamos supondo negativas Entatildeo na Figura 6 estamos supondo gt

Figura 6 Uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) estaacute proacutexima de um iacuteon de carga

x

y

minus

d

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

0 minus lt 0 e gt 0 Essa hipoacutetese sobre os sinais eacute importante apenas para que desenhemos as setas das

forccedilas atraccedilotildees e repulsotildees mas os resultados algeacutebricos obtidos satildeo vaacutelidos para quaisquer sinais das cargas

Em uma distribuiccedilatildeo dipolar (como a da moleacutecula na Figura 6 acima) duas cargas pontuais e minus

estatildeo separadas por uma distacircncia formando uma espeacutecie de haltere de cargas eleacutetricas Essa distribuiccedilatildeo

dipolar eacute muito comum na natureza em moleacuteculas que possuem centros de cargas positivo e negativo

separados entre si Eacute o caso da moleacutecula de aacutegua (H2O) cuja estrutura molecular eacute ilustrada na Figura 7 abaixo

juntamente com seu modelo de dipolo eleacutetrico

Na moleacutecula de aacutegua um aacutetomo de Oxigecircnio (Z=8) se liga com dois aacutetomos de Hidrogecircnio (Z=1)

formando uma estrutura eletricamente neutra e estaacutevel com a forma da letra V As ligaccedilotildees satildeo covalentes

significando que o Oxigecircnio e um Hidrogecircnio compartilham dois eleacutetrons entre si eleacutetrons que ficam viajando

na regiatildeo entre esses dois aacutetomos (regiatildeo indicada pelas linhas ligando os aacutetomos na estrutura molecular

mostrada na Figura 7) A interaccedilatildeo eleacutetrica (repulsatildeo) entre os quatro eleacutetrons das duas ligaccedilotildees covalentes e

os demais eleacutetrons no aacutetomo de Oxigecircnio leva finalmente a uma estrutura molecular dobrada em forma de V

(soacute a mecacircnica quacircntica pode explicar isso) Os eleacutetrons compartilhados nas ligaccedilotildees covalentes satildeo mais

atraiacutedos e passam mais tempo proacuteximos ao Oxigecircnio e essa regiatildeo fica carregada negativamente A regiatildeo

proacutexima dos Hidrogecircnios fica com excesso de proacutetons e portanto carregada positivamente (trata-se do

caraacuteter iocircnico dessa ligaccedilatildeo covalente) O resultado final eacute uma estrutura eleacutetrica dipolar como representado

na Figura 7 Dois centros de carga ( e minus ) estatildeo separados no espaccedilo por uma distacircncia A moleacutecula de

aacutegua eacute polar Em uma moleacutecula de aacutegua poderiacuteamos estimar os valores numeacutericos cong 10 C e cong 1Å

Dizemos que a moleacutecula de aacutegua eacute polar pois ela possui uma dipolaridade eleacutetrica intriacutenseca

Apenas para comparaccedilatildeo ilustramos na Figura 8 abaixo as estruturas de uma moleacutecula de CO2 (dioacutexido

de carbono) que natildeo possui dipolaridade eleacutetrica (eacute apolar) e de uma moleacutecula de CO (monoacutexido de carbono)

que assim como a moleacutecula de aacutegua possui dipolaridade eleacutetrica (eacute polar)

Figura 7 ilustraccedilotildees da forma em V de uma moleacutecula de aacutegua e do modelo dipolar de distribuiccedilatildeo de carga eleacutetrica nessa moleacutecula

O

H H

minus

1045o

Figura 8 ilustraccedilatildeo da forma retiliacutenea de uma moleacutecula de dioacutexido de carbono (CO2) Essa moleacutecula natildeo possui dipolaridade eleacutetrica (eacute apolar) A moleacutecula de monoacutexido de carbono (CO) eacute polar pois possui uma ponta + e uma ponta -

O C O

C O

+ -

+ + - -

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

No CO2 assim como na aacutegua haacute duas ligaccedilotildees covalentes dessa vez entre um aacutetomo de Carbono

(Z=6) e dois aacutetomos de Oxigecircnio (Z=8) A estrutura final estaacutevel eacute linear e simeacutetrica natildeo havendo duas

regiotildeesextremidades distintas na moleacutecula com cargas opostas Natildeo haacute nesse caso a formaccedilatildeo de um dipolo

eleacutetrico A moleacutecula de CO2 eacute apolar Podemos considerar que na moleacutecula de CO2 haacute duas dipolaridades

opostas que se cancelam mutuamente ou equivalentemente que o centro das duas cargas negativas (anaacutelogo

ao centro de massa) estaacute por simetria exatamente no ponto meacutedio entre essas cargas ou seja no aacutetomo C

onde estaacute tambeacutem o centro das cargas positivas Natildeo haacute portanto dois centros de cargas opostas separados

no espaccedilo Quanto ao monoacutexido de carbono (CO) ele possui uma dipolaridade eleacutetrica eacute uma moleacutecula polar

Por isso ele eacute mais reativo que o CO2 Os processos naturais de respiraccedilatildeo e a combustatildeo completa de

combustiacuteveis por exemplo produzem CO2 Em contraste a combustatildeo incompleta produz CO que funciona

como um veneno no ar pois ele se ligaconecta ao oxigecircnio no sangue bloqueando a absorccedilatildeo desse oxigecircnio

na respiraccedilatildeo

Voltando ao exemplo na Figura 6 mostrado novamente na Figura 9 abaixo queremos calcular a forccedila

eleacutetrica que a moleacutecula polar faz no iacuteon de carga eleacutetrica (positiva) interaccedilatildeo dipolo-monopolo (o iacuteon eacute um

monopolo eleacutetrico) A moleacutecula polar tem a forma de um haltere com comprimento e cargas gt 0 e minus

localizadas em suas extremidades A outra partiacutecula eacute um iacuteon de carga eleacutetrica (um monopolo) A distacircncia

(ou uma distacircncia) entre esses dois objetos (dipolo e iacuteon) eacute Jaacute adotamos nessa figura um referencial xy para

podermos representar apropriadamente os vetores forccedila Apenas como exemplo podemos considerar que

estamos calculando a forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula de aacutegua faz em um iacuteon Na+ que estaacute colocado em sua

vizinhanccedila como mostrado na Figura 9 Note que a moleacutecula de aacutegua eacute eletricamente neutra mas mesmo

assim ela faz forccedila eleacutetrica em outros objetos eletricamente carregados em sua vizinhanccedila graccedilas agrave sua

dipolaridade eleacutetrica intriacutenseca

De acordo com nossa discussatildeo anterior da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo sabemos

que a forccedila que o dipolo (D) faz no iacuteon (I) eacute

= +

Calculamos a forccedila que cada poacutelo de D faz no iacuteon I e somamos vetorialmente

minus

Figura 9 Forccedilas que os polos de uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) fazem em um iacuteon de carga

x

y

d

19

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Considere o poacutelo minus inferior A forccedila que esse poacutelo faz no iacuteon eacute representada pela seta azul na Figura

9 acima A forccedila (atrativa) que esse poacutelo faz no iacuteon eacute

= 14 (minus ) A forccedila (repulsiva) que o poacutelo de carga faz no iacuteon (seta verde) eacute

= 14 + [cos( ) minus sen( ) ] sendo o acircngulo mostrado na Figura 9

Vemos na Figura que cos( ) = radic + e sen( ) = radic +

Portanto

= 4 ( + ) minus 1 minus ( + )

Note que radic = Na Figura 10 abaixo limpamos um pouco a Figura anterior e mostramos a forccedila eleacutetrica

resultante que a moleacutecula polar faz no iacuteon (a seta de eacute a soma da seta verde com a seta azul

mostradas na Figura 9 de acordo com a regra do paralelogramo)

A Figura 10 sugere que o iacuteon positivo estaacute sendo puxado para proacuteximo do poacutelo negativo da moleacutecula

polar Se pensarmos que a moleacutecula polar estaacute fixa e que o iacuteon pode ser mover a Figura sugere que o iacuteon vai

percorrer uma curva no espaccedilo e finalmente terminar aderindo agrave moleacutecula formando uma estrutura de cargas

mais complexa uma nova moleacutecula Toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e a moleacutecula dipolar tambeacutem estaacute sendo atraiacuteda

pelo iacuteon com uma forccedila = minus Essa interaccedilatildeo dipoloiacuteon faz com que o sal de mesa se torne molhado

pelo fato dele atrair moleacuteculas de aacutegua que se encontram dissolvidas no ar circundante O sal de mesa (um

aglomerado de iacuteons Na+ e Cl-) eacute higroscoacutepico e vai atraindo e aglutinando as moleacuteculas do vapor de aacutegua

atmosfeacuterico Ao final a aacutegua condensa (forma gotiacuteculas) e se torna liacutequida deixando o sal molhado

Figura 10 Forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) faz em um iacuteon de carga

x

y

d

minus

20

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A expressatildeo que obtivemos para a forccedila da moleacutecula polar no iacuteon natildeo traacutes nenhuma hipoacutetese

sobre as distacircncias e Na praacutetica sempre podemos considerar que uma moleacutecula real eacute um objeto muito

pequeno com cong 1Å (10 m) Portanto se fizermos a hipoacutetese de que ≪ podemos simplificar a

expressatildeo da forccedila e obter uma expressatildeo mais apropriadarealistasimples para moleacuteculas interagindo com

iacuteons em sua vizinhanccedila Para obter essa simplificaccedilatildeo poderiacuteamos fazer simplesmente + = mas essa

poderia ser uma aproximaccedilatildeo muito grosseira Preferimos ateacute como um exerciacutecio ir mais devagar

comeccedilando pela expansatildeo binomial truncada (1 + ) = 1 + se cong 0

Por exemplo para = 2 sabemos que (1 + ) = 1 + 2 + = 1 + 2 na hipoacutetese de valer cong 0

Primeiramente definimos = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de vemos que

esse (cong 0 por hipoacutetese) aparece explicitamente

= 4 ( + ) minus 1 minus ( + ) = 4 1(1 + ( ) ) minus 1 minus (1 + ( ) ) == 4 1(1 + ) minus 1 minus (1 + )

Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus32 = (1 + ) = 1 + (minus )

Portanto

= 4 1 minus 32 minus 1 minus 1 minus 32

Concluindo (desprezando logo e levando em conta que = cong 0)

= 4 minus Finalmente

= 14 (minus ) (no final das contas deu o mesmo resultado que a mera simplificaccedilatildeo + = )

Note que se o dipolo eleacutetrico eacute pequeno ( ≪ e = cong 0) basicamente um objeto pontual a

forccedila natildeo fica na direccedilatildeo mostrada na Figura 10 mas sim na direccedilatildeo minus (a componente x da forccedila eacute nula

nesse limite) conforme ilustrado na Figura 11 abaixo

21

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Percebemos acima que a forccedila moleacuteculaiacuteon decai com o cubo da distacircncia entre essas duas

partiacuteculas e depende do produto que reuacutene a carga do iacuteon e a carga deslocada (ou carga do poacutelo) da

moleacutecula polar multiplicada pela distacircncia desse deslocamento (basicamente o tamanho da moleacutecula

polar)

Esse produto caracteriza a dipolaridade da moleacutecula (se valesse = 0 eou = 0 natildeo haveria

dipolaridade) as magnitudes das cargas nos poacutelos e a separaccedilatildeo espacial desses poacutelos

Nesse sentido definimos o ldquomomento de dipolo eleacutetricordquo dessa moleacutecula como sendo o vetor =

ou seja o vetor possui moacutedulo direccedilatildeo que passa pelos dois poacutelos da moleacutecula e sentido que aponta do

poacutelo negativo para o poacutelo positivo (essa escolha de sentido eacute arbitraacuteria mas conforme veremos vantajosa)

Para o caso de uma moleacutecula de aacutegua por exemplo o momento de dipolo estaacute ilustrado na Figura 12 abaixo

A ideia do momento de dipolo eleacutetrico eacute que essa grandeza resume as propriedades eleacutetricas de um

objeto dipolar pequeno (pontual para todos os efeitos) como uma moleacutecula polar cuja carga total eacute nula

Nesse sentido podemos resumir a configuraccedilatildeo de uma moleacutecula polar interagindo com um iacuteon mostrada na

Figura 10 pela configuraccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico de intensidade interagindo com um monopolo ou iacuteon de

carga A Figura 11 ilustra essa ideia Note que estamos ao final representando nessa Figura a moleacutecula

dipolar apenas por uma bolinha pois ela eacute pontual nesse limite ≪

Figura 12 ilustraccedilotildees da forma em V de uma moleacutecula de aacutegua de seu modelo de dipolo eleacutetrico e de seu momento de dipolo eleacutetrico intriacutenseco

O

H H

minus

Figura 11 Uma moleacutecula polar (duas cargas e minus separadas por um deslocamento ) pode ser caracterizada apenas por seu momento de dipolo = Para ≪ a moleacutecula se torna um dipolo pontual e a forccedila no iacuteon fica na direccedilatildeo ndashy

x

y

minus

d

x

y

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

O termo ldquomomentordquo eacute usado em estatiacutestica para representar propriedades de distribuiccedilotildees O produto

da quantidade distribuiacuteda por uma distacircncia eacute o primeiro momento dessa distribuiccedilatildeo Alguns exemplos satildeo o

torque (distribuiccedilatildeo de forccedilas) o centro de massa (distribuiccedilatildeo de massas) e o momento de dipolo eleacutetrico

(distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas)

A forccedila que a moleacutecula polar de momento de dipolo faz no iacuteon de carga posicionado conforme a

Figura 11 eacute

= minus4

A forccedila seraacute a mesma se a moleacutecula polar tiver poacutelos de cargas plusmn distanciados de ou poacutelos de

cargas plusmn2 distanciados de 2 ou enfim qualquer combinaccedilatildeo dessas duas grandezas que resulte no

mesmo produto (se insistirmos em pensar em rarr 0 (dipolo pontual) devemos pensar em rarr infin) Nesse

sentido a grandeza = caracterizaresume a dipolaridade da moleacutecula e sua interaccedilatildeo eleacutetrica com

outras partiacuteculas em sua vizinhanccedila

Note que o iacuteon tambeacutem faz forccedila no dipolo (accedilatildeo e reaccedilatildeo) e

= 4

Portanto enquanto a moleacutecula polar empurra o iacuteon para baixo (ao longo de ndashy) o iacuteon empurra a

moleacutecula para cima (ao longo de +y que eacute o sentido de na configuraccedilatildeo que estamos considerando)

Veremos mais adiante que a interaccedilatildeo iacuteonmoleacutecula vai afetar tambeacutem a orientaccedilatildeo da seta de que gira no

espaccedilo apontando sua ponta negativa para o iacuteon positivo Essa interaccedilatildeo eleacutetrica entre essas duas partiacuteculas

vai dar origem a uma ldquodanccedilardquo em que uma partiacutecula vai circundando a outra podendo ocorrer ao final a

formaccedilatildeo de uma moleacutecula mais complicada (se essa nova moleacutecula vai se formar como um sistema estaacutevel

ou natildeo vai depender de outros fatores que natildeo estamos estudando aqui afinal esses fenocircmenos

microscoacutepicos como a formaccedilatildeo de aacutetomos moleacuteculas e materiais em geral satildeo regidos pela mecacircnica

quacircntica) Essa forccedila dipoloiacuteon eacute a responsaacutevel pela dissoluccedilatildeo do sal de cozinha (Na+ + Cl-) na aacutegua

Nesse exemplo discutimos a interaccedilatildeo eleacutetrica entre uma moleacutecula polar e um iacuteon Haveria interaccedilatildeo

eleacutetrica (forccedila) entre um iacuteon e uma moleacutecula natildeo polar (apolar) Equivalentemente haveria interaccedilatildeo eleacutetrica

entre um iacuteon e um aacutetomo isolado (que eacute sempre apolar por simetria) Sim porque o iacuteon induz na moleacutecula

apolar (ou no aacutetomo) um momento de dipolo eleacutetrico (momento de dipolo induzido) e a partir daiacute tudo

funciona como o que jaacute discutimos trocando por De fato considere que uma moleacutecula ou mesmo um

aacutetomo natildeo satildeo objetos riacutegidos eles podem se deformar quando submetidos a forccedilas eleacutetricas (atraccedilotildees e

repulsotildees) externas Ao se deformarem eles adquirem um momento de dipolo eleacutetrico induzido A Figura

13 abaixo ilustra essa ideia

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Um iacuteon positivo de carga foi colocado (em = 0) ao lado de um aacutetomomoleacutecula apolar que

inicialmente natildeo possuiacutea nenhuma dipolaridade eleacutetrica (ambos natildeo possuem poacutelos eleacutetricos intriacutensecos os

aacutetomos porque satildeo esfericamente simeacutetricos e as moleacuteculas apolares por causa de suas geometrias

particulares simeacutetricas como no caso do CO2) Representamos esse aacutetomomoleacutecula apolar como uma esfera

deformaacutevel ou seja um objeto simeacutetrico em que o centro de carga positiva (proacutetons) coincide com o centro

de carga negativa (eleacutetrons) Em um segundo momento ( ≳ 0) o iacuteon positivo vai atrair o centro de carga

negativa do aacutetomomoleacutecula apolar (os eleacutetrons) e repelir o centro positivo (os proacutetons nos nuacutecleos)

Esses centros vatildeo se separar um pouco (lembre-se que esses dois centros estatildeo tambeacutem se atraindo

mutuamente dentro do aacutetomomoleacutecula apolar e por isso haveraacute um equiliacutebrio atraccedilatildeorepulsatildeo) e ao final

o aacutetomomoleacutecula apolar vai adquirir uma dipolaridade uma dipolaridade eleacutetrica induzida (basicamente

a esfera se deforma em um elipsoacuteide) No caso da moleacutecula de aacutegua a dipolaridade eleacutetrica eacute intriacutenseca pois

ela natildeo depende de fatores externos para existir Nesse caso que estamos discutindo agora a dipolaridade

eleacutetrica eacute induzida ela soacute existe no aacutetomomoleacutecula apolar enquanto este estaacute na vizinhanccedila do iacuteon Se

afastarmos muito o iacuteon ( rarr infin) entatildeo as deformaccedilotildees desaparecem e rarr 0

Note que no caso do dipolo eleacutetrico induzido natildeo temos liberdade em escolher a direccedilatildeo de

como fizemos com na Figura 11 A interaccedilatildeo do iacuteon com o aacutetomomoleacutecula apolar (atraccedilatildeo e repulsatildeo) vai

produzir obrigatoriamente um esticamento desse aacutetomomoleacutecula na direccedilatildeo x (que passa pelo iacuteon) e induzir

um momento de dipolo induzido nessa direccedilatildeo e nesse sentido = minus

Vamos calcular a forccedila que o iacuteon faz no aacutetomomoleacutecula polarizado Da lei de Coulomb e do princiacutepio

da superposiccedilatildeo

= +

Supondo (arbitrariamente) que a distacircncia seja medida em relaccedilatildeo ao centro do dipolo obtemos

Figura 13 Um aacutetomomoleacutecula apolar (bolinha laranja) foi colocado na vizinhanccedila de um iacuteon positivo e adquiriu uma dipolaridade eleacutetrica induzida (duas cargas e minus separadas por um

deslocamento minus ) = = minus

= 0

x

y

minus d

x

y

≳ 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

= 4 minus 1( + 2) + 1( minus 2)

Essa eacute a expressatildeo da forccedila Mas com o objetivo de obter uma expressatildeo mais simples vamos

considerar como jaacute fizemos anteriormente que o aacutetomomoleacutecula polarizado eacute um objeto bem pequeno com

dimensotildees da ordem de 1 Å Vamos tomar o limite ≫ Natildeo podemos simplesmente desprezar na

expressatildeo acima pois obtemos uma forccedila nula significando que exageramos na aproximaccedilatildeo A forccedila entre

esse objetos minuacutesculos eacute pequena mas natildeo-nula Devemos ir mais devagar utilizando a expansatildeo binomial

truncada (1 + ) = 1 + se cong 0

Primeiramente definimos = 2 Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de vemos que

esse (cong 0 por hipoacutetese) aparece explicitamente

= 4 minus 1( + 2) + 1( minus 2) = 4 minus 1(1 + 2 ) + 1(1 minus 2 ) = 4 minus 1(1 + ) + 1(1 minus )

Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) = 1 minus 2 = minus2 = minus (1 minus ) = (1 + (minus )) = 1 + (minus2)(minus ) = 1 + 2

Portanto

= 4 [minus(1 minus 2 ) + (1 + 2 )]

Concluindo

= 4 (4 ) = 2 = minus 12 (minus ) = minus 12

Note que trata-se de uma forccedila atrativa pois o aacutetomomoleacutecula polarizado sofre uma forccedila na direccedilatildeo

+x ( = minus aponta no sentido de ndashx) O iacuteon atrai o aacutetomomoleacutecula apolar atraveacutes de um processo que

envolve a etapa intermediaacuteria de criaccedilatildeo de um momento de dipolo induzido nesse aacutetomomoleacutecula apolar A

forccedila seraacute sempre atrativa

Percebemos que a expressatildeo da forccedila que obtivemos aqui eacute bem parecida com a anterior que

deduzimos para um iacuteon e uma moleacutecula polar basicamente trocando por (mas haacute um fator 2 porque a

direccedilatildeo de aqui eacute diferente) A forccedila parece decair com o cubo da distacircncia Mas note que aqui o proacuteprio

momento de dipolo induzido eacute um efeito da interaccedilatildeo entre o aacutetomomoleacutecula apolar e o iacuteon e portanto

deve depender tambeacutem da distacircncia (diferentemente de um momento de dipolo intriacutenseco como no

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

caso da moleacutecula de aacutegua) De fato podemos definir uma ldquopolarizabilidaderdquo para qualquer aacutetomomoleacutecula

apolar de tal forma que (note que prop eacute o siacutembolo de proporcionalidade natildeo confundir com a letra (alfa))

= prop

ou seja o momento de dipolo induzido eacute funccedilatildeo proporcional da forccedila (por unidade de carga) que estaacute

produzindo essa polarizaccedilatildeo no aacutetomomoleacutecula apolar a forccedila do iacuteon positivo em qualquer um de seus

centros de carga Quanto maior a polarizabilidade mais polarizaacutevel (deformaacutevel) eacute o aacutetomomoleacutecula apolar

e maior deve ser a forccedila de atraccedilatildeo Concluindo (usando a lei de Coulomb para )

= minus 12 = minus 12 4 (minus ) 1 = 18 1 A forccedila eleacutetrica entre um iacuteon e um aacutetomomoleacutecula apolar depende da polarizabilidade desse

aacutetomomoleacutecula (se valesse = 0 (aacutetomomoleacutecula riacutegido) natildeo haveria forccedila) e decai com a quinta potecircncia

da distacircncia entre essas duas partiacuteculas Trata-se de uma forccedila sempre atrativa e bem fraca em geral Essa eacute a

forccedila responsaacutevel pela atraccedilatildeo que um pente eletricamente carregado exerce sobre pedacinhos de papel As

cargas eleacutetricas na superfiacutecie do pente polarizam as moleacuteculas do papel e atraem esses pedacinhos

Mesmo as moleacuteculas polares como a aacutegua possuem alguma polarizabilidade (pois elas natildeo satildeo

riacutegidas) e seus momentos de dipolos intriacutensecos se modificam um pouco quando essas moleacuteculas estatildeo na

presenccedila de um objeto eletricamente carregado Na hipoacutetese de que ≪ (polarizabilidade pequena)

podemos desprezar esse efeito e considerar que os momentos de dipolo intriacutensecos das moleacuteculas polares satildeo

riacutegidos (de magnitude constante independente da interaccedilatildeo dessas moleacuteculas com outras cargas eleacutetricas)

Continuando nossa investigaccedilatildeo sobre as interaccedilotildees eleacutetricas entre partiacuteculas podemos nos perguntar

se uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre outra moleacutecula polar A resposta eacute sim e essa forccedila deve depender

fortemente das orientaccedilotildees desses dois dipolos eleacutetricos no espaccedilo Como exemplo vamos considerar a

interaccedilatildeo entre duas moleacuteculas dipolares posicionadas no espaccedilo com seus momentos de dipolo eleacutetrico e

paralelos entre si conforme a Figura 14 abaixo As moleacuteculas estatildeo distanciadas de

Podemos considerar que estamos calculando a forccedila eleacutetrica entre duas moleacuteculas de aacutegua mas

preferimos supor o caso mais geral em que as moleacuteculas satildeo em princiacutepio diferentes e que possuem portanto

momentos de dipolo eleacutetrico intriacutensecos diferentes e

Figura 14 Duas moleacuteculas dipolares (pontuais) com momentos de dipolo eleacutetrico e paralelos entre si e sobre um eixo comum distanciadas de Elas vatildeo se atrair

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Na Figura 15 abaixo detalhamos as estruturas de carga eleacutetrica microscoacutepicas correspondentes agraves

orientaccedilotildees dos dipolos mostradas na Figura 14 (lembre-se que aponta sempre por definiccedilatildeo da carga ndash

para a carga +) Nossa ideia eacute calcular a forccedila entre essas duas distribuiccedilotildees de carga mais especificamente a

forccedila da moleacutecula 1 na moleacutecula 2 e ao final considerar os limites ≪ e ≪ (moleacuteculas realistas

pequenas) Do princiacutepio da superposiccedilatildeo obtemos

= + + +

Note que a distacircncia foi arbitrada como sendo a distacircncia entre os poacutelos negativos das moleacuteculas

Portanto da lei de Coulomb

= 14 (minus )(minus ) + (minus )( + ) + (minus )( minus ) + ( + minus )

Note que haacute duas forccedilas de repulsatildeo ao longo de + e duas forccedilas de atraccedilatildeo ao longo de minus Simplificando

= 4 1 + 1( + minus ) minus 1( + ) minus 1( minus )

Agora considerando que moleacuteculas satildeo objetos bem pequenos com dimensotildees da ordem de 1 Å

vamos considerar os limites ≪ e ≪ (dipolos pontuais) Como jaacute fizemos vamos utilizar a expansatildeo

binomial truncada mas agora mantendo o termo (1 + ) = 1 + + ( ) se cong 0

Primeiramente definimos = e = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de

vemos que esses (cong 0 por hipoacutetese) aparecem explicitamente

= 4 1 + 1(1 + minus ) minus 1(1 + ) minus 1(1 minus )

Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = minus (1 + minus ) = 1 + (minus2) ( minus ) + 3( minus )

minus minus

x

Figura 15 Detalhamento das distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica das duas moleacuteculas correspondentes aos momentos de dipolo eleacutetrico

e Por hipoacutetese = e =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

= minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) + 3 = minus2 = minus (1 minus ) = (1 + (minus )) = 1 + (minus2)(minus ) + 3(minus )

Note que aqui tivemos que considerar uma expansatildeo binomial que vai ateacute o termo basicamente

porque se consideraacutessemos termos somente ateacute obteriacuteamos = 0 Natildeo haveria nada de errado com esse

resultado ele apenas estaria mostrando que nesse niacutevel de aproximaccedilatildeo (grosseiro) natildeo haacute nenhuma forccedila

entre as moleacuteculas dipolares De fato a forccedila que estamos calculando aqui eacute bem fraca e soacute conseguimos

calcular sua magnitude natildeo nula se avanccedilamos um pouco mais na expansatildeo binomial Foi o que fizemos

Portanto substituindo as expansotildees binomiais obtemos

= 4 1 + [1 minus 2( minus ) + 3( minus ) ] minus [1 minus 2 + 3 ] minus [1 + 2 + 3 ]

Concluindo (sendo = e = os moacutedulos dos momentos de dipolo)

= 4 (minus6 ) = minus32 = minus 32

Vemos que a moleacutecula 2 eacute atraiacuteda pela moleacutecula 1 que a forccedila intermolecular eacute proporcional ao

produto dos dois momentos de dipolo eleacutetrico e decai com a quarta potecircncia da distacircncia entre as moleacuteculas

Em geral devemos esperar tambeacutem que a forccedila entre dois objetos dipolares dependa da orientaccedilatildeo relativa

entre os momentos de dipolo eleacutetricos Se e forem antiparalelos entre si (poacutelos de mesma polaridade

face a face) por exemplo a forccedila intermolecular seraacute repulsiva

Note que as moleacuteculas polares satildeo objetos eletricamente neutros mas que exercem forccedilas eleacutetricas

entre elas porque possuem poacutelos eleacutetricos Satildeo forccedilas minuacutesculas porque satildeo proporcionais a e decaem

rapidamente com a distacircncia Mesmo assim satildeo forccedilas capazes de produzir efeitos macroscoacutepicos

influenciando nos comportamentos fiacutesicos e quiacutemicos das substacircncias

Moleacuteculas de aacutegua podem se aglutinar ligando seus poacutelos de polaridades opostas (formando as pontes

de hidrogecircnio) o que eleva a temperatura de solidificaccedilatildeo da aacutegua (eacute mais faacutecil formar gelo devido a essa

atraccedilatildeo eleacutetrica entre as moleacuteculas de aacutegua) e eleva sua temperatura de evaporaccedilatildeo (eacute mais difiacutecil separar as

moleacuteculas e formar o vapor devido a essa atraccedilatildeo eleacutetrica entre as moleacuteculas de aacutegua) A organizaccedilatildeo espacial

das moleacuteculas (cristalizaccedilatildeo) conectando seus poacutelos eleacutetricos de sinais opostos tambeacutem leva a um aumento

do volume do gelo em relaccedilatildeo agrave aacutegua e agrave flutuaccedilatildeo do gelo na aacutegua (o gelo eacute menos denso que a aacutegua) De

fato o maacuteximo na densidade da aacutegua ocorre proacuteximo de 4oC e eacute igual a 1 gcm3 Baixando a temperatura a

organizaccedilatildeo espacial dos dipolos eleacutetricos faz com que a densidade da aacutegua vaacute diminuindo pois os dipolos

eleacutetricos organizados no espaccedilo ocupam um volume maior que os dipolos simplesmente misturados ao acaso

O fato do gelo flutuar na aacutegua impede que toda a aacutegua de um lago congele no inverno preservando a vida Eacute

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

sempre bom lembrar que a formaccedilatildeo de pontes de hidrogecircnio eacute um fenocircmeno quacircntico mas isso natildeo invalida

a ideia de que este eacute um fenocircmeno que ocorre graccedilas agrave forccedila dipolo-dipolo discutida aqui

Continuando nossa pesquisa podemos perguntar se uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre outra

moleacutecula apolar Equivalentemente uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre um aacutetomo isolado (que eacute sempre

apolar por simetria) Sim basicamente porque como jaacute vimos uma carga eleacutetrica externa exerce forccedila sobre

as cargas dentro de um aacutetomomoleacutecula apolar induzindo um momento de dipolo eleacutetrico nesse

aacutetomomoleacutecula apolar Para discutir esse caso basta considerarmos que na Figura 14 o dipolo representa

uma moleacutecula polar (como a aacutegua) e que o dipolo representa o momento de dipolo induzido em um

aacutetomomoleacutecula apolar ou seja = Note que as atraccedilotildees e repulsotildees que a moleacutecula polar vai

produzir sobre os nuacutecleos e eleacutetrons no aacutetomomoleacutecula apolar devem finalmente levar a um momento de

dipolo induzido com a orientaccedilatildeo que adotamos na Figura 14 ou seja as partiacuteculas vatildeo sempre se atrair Para

dois dipolos como na Figura 14 obtivemos

= minus 32

Quanto ao momento de dipolo induzido devemos considerar aqui que eacute resultado da forccedila que o

dipolo intriacutenseco faz nos centros de carga + e - da moleacutecula apolar deformando-a No caso que jaacute

discutimos anteriormente da induccedilatildeo de dipolo pela presenccedila de um iacuteon utilizamos a lei de Coulomb para a

forccedila iacuteoncentro de carga resultando em = prop

sendo a polarizabilidade do aacutetomomoleacutecula apolar (prop eacute o siacutembolo de proporcionalidade) Aqui devemos

considerar que quem faz a forccedila nos centros de carga + e - da moleacutecula apolar eacute um dipolo pontual intriacutenseco

e que essa forccedila conforme jaacute mostramos atraveacutes do caacutelculo da forccedila dipoloiacuteon decai com o cubo da

distacircncia ou seja

= minus4

Portanto para a interaccedilatildeo dipolo intriacutensecodipolo induzido obtemos

= prop

Concluindo fazendo apenas uma estimativa sem entrar em muito detalhe nos caacutelculos a magnitude da forccedila

atrativa entre essas duas partiacuteculas polar e apolar deve se comportar como

prop prop =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A forccedila (chamada de forccedila de Debye) decai com a seacutetima potecircncia da distacircncia e eacute proporcional agrave capacidade

que o aacutetomomoleacutecula apolar tem de ser deformadopolarizado por um agente externo (a moleacutecula polar

nesse caso) Podemos imaginar essa forccedila provocandofacilitando a reaccedilatildeo CO+Orarr CO2

Finalmente poderiacuteamos nos perguntar se uma moleacutecula apolar (ou um aacutetomo isolado) exerce forccedila

sobre outra moleacutecula apolar (ou sobre outro aacutetomo isolado) Nesse caso natildeo haacute nenhum excesso de carga ou

polaridade eleacutetrica inicial A resposta eacute sim pois essa eacute a forccedila que explica a condensaccedilatildeo de um gaacutes a baixas

temperaturas Essa forccedila eacute chamada de forccedila de dispersatildeo (ou forccedila de London) No entanto somente as leis

do eletromagnetismo claacutessico que estamos estudando aqui natildeo satildeo capazes de demonstrar a existecircncia dessa

forccedila ou mesmo de calcular sua magnitude (se simplesmente aplicarmos a lei de Coulomb para duas

partiacuteculas neutras e apolares vamos obter uma forccedila nula) Precisamos apelar para a mecacircnica quacircntica

Basicamente a mecacircnica quacircntica mostra que quando essas duas moleacuteculas apolares (ou aacutetomos) se

aproximarem as flutuaccedilotildees em suas dipolaridades eleacutetricas (advindas dos movimentos dos eleacutetrons no

interior das moleacuteculasaacutetomos) ficam sincronizadas entre si e produzem momentos de dipolos induzidos em

ambas as moleacuteculas momentos de dipolo paralelos entre si (pois as cargas dos polos induzidos de sinais

opostos se atraem) Portanto as moleacuteculas se atraem mutuamente como mostramos para a configuraccedilatildeo na

Figura 14 Apenas para fazer uma estimativa (grosseira) podemos partir da expressatildeo da forccedila entre dois

dipolos que obtivemos no caso da Figura 14 qual seja

= minus 32

e considerar que e satildeo ambos momentos de dipolo induzidos ou seja

prop

sendo eacute a polarizabilidade da moleacutecula 1 Analogamente para Portanto a magnitude da forccedila (de

dispersatildeo) entre aacutetomosmoleacuteculas apolares se comportaria como

prop prop

(o resultado da mecacircnica quacircntica fornece uma forccedila que eacute proporcional a 1 ) Trata-se de uma forccedila bem

fraca proporcional ao produto das polarizabilidades e que decai rapidamente com a distacircncia Essa forccedila estaacute

presente na adesatildeo que pode ocorrer entre dois corpos eletricamente neutros como de uma fita adesiva no

papel e da pata de um inseto ou de uma lagartixa na parede As superfiacutecies desses objetos eletricamente

neutros se aproximam muito no contato entre eles e o surgimento de forccedilas de dispersatildeo (entre outras) vai

produzir a atraccedilatildeo muacutetuaadesatildeo entre as duas superfiacutecies Enfim as forccedilas de dispersatildeo entre duas partiacuteculas

satildeo bem fracas mas elas estatildeo em toda parte e participam de muitos fenocircmenos macroscoacutepicos aleacutem da

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

adesatildeo entre superfiacutecies jaacute citada como o atrito de contato entre superfiacutecies a capilaridade e o transporte de

moleacuteculas atraveacutes de membranas celulares

12 Campo Eleacutetrico

121 O campo eletrostaacutetico intermediaacuterio da forccedila de Coulomb

Poderiacuteamos continuar aqui calculando a forccedila eleacutetrica entre diversas configuraccedilotildees de cargas

diferentes posto que esse eacute basicamente o objetivo da eletrostaacutetica e tambeacutem do eletromagnetismo em

geral No entanto logo perceberemos que esse caacutelculo vai se tornar proibitivo devido agrave dificuldade

matemaacutetica envolvida Por isso avanccedilamos no formalismo indo aleacutem do conceito primitivo de forccedila e

construiacutemos novas ferramentas para a abordagem de problemas de eletromagnetismo Um desses conceitos

crucial para o entendimento da natureza e da tecnologia eacute o de campo eleacutetrico O campo eleacutetrico eacute um campo

de forccedila assim como o campo gravitacional ao qual jaacute estamos mais habituados Imagine que desejemos

saber qual seraacute o peso de um corpo de massa = 1 kg que for levado para a Lua Para responder a essa

pergunta devemos conhecer o valor do campo gravitacional laacute na Lua o campo de forccedila gravitacional que a

Lua cria na sua vizinhanccedila Este campo estaacute laacute agora (um campo eacute simplesmente uma funccedilatildeo definida no

espaccedilo e no tempo) e ele depende de propriedades da Lua apenas O nome que damos a esse campo eacute

aceleraccedilatildeo da gravidade na (ou da) Lua e seu siacutembolo eacute Se soubermos quanto vale nas proximidades da

superfiacutecie da Lua podemos afirmar que o peso do corpo de massa (qualquer) que for colocado laacute nessa

superfiacutecie seraacute = A ideia eacute que a Lua faz forccedila nesse corpo puxando ele para baixo mas essa forccedila eacute

intermediada pelo campo gravitacional da Lua que permeia todo o espaccedilo graccedilas agrave simples existecircncia da Lua

(e de sua propriedade de possuir massa) A mesma ideia vale para o campo gravitacional da Terra ou do Sol A

Terra orbita o Sol porque ela estaacute na regiatildeo de forte influecircncia do campo de gravidade do Sol Isso vale para

todos os planetas do sistema solar O campo gravitacional do Sol estaacute definido em todo o espaccedilo e eacute mais

intenso na regiatildeo mais proacutexima do Sol (decai com o quadrado da distacircncia) Tudo que entra nessa vizinhanccedila

do Sol sofre como consequumlecircncia uma forccedila a forccedila gravitacional do Sol O campo de forccedila eacute portanto o

mensageiro da forccedila ele intermedeia a interaccedilatildeo (a forccedila) entre os corpos

Vimos que existe uma forccedila entre objetos carregados eletricamente a forccedila de Coulomb O campo

eleacutetrico eacute o campo de forccedila que transmite essa forccedila atraveacutes do espaccedilo Cargas eleacutetricas estaacuteticas produzem

no espaccedilo um campo eletrostaacutetico (que natildeo muda com o tempo) Cargas eleacutetricas podem se mover e produzir

ondas de variaccedilatildeo de seu campo eleacutetrico ondas que se propagam no espaccedilo Chamamos essas ondas de ondas

eletromagneacuteticas Atraveacutes dessas ondas podemos transmitir vibraccedilotildees atraveacutes de grandes distacircncias que

fazem com que cargas eleacutetricas vibrem sob accedilatildeo de uma forccedila vibratoacuteria Essa eacute a base das telecomunicaccedilotildees

Vamos introduzir a ideia de campo de forccedila atraveacutes de uma (simples) analogia mecacircnica

31

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Imagine dois pequenos objetos (A e B) flutuando na superfiacutecie calma da aacutegua de uma lagoa Suponha

que o objeto A comece a balanccedilar para cima e para baixo (uma mosca pode ter pousado nele) Ele cria na

superfiacutecie da aacutegua uma perturbaccedilatildeo (ondas concecircntricas) que se propaga por essa superfiacutecie e que

finalmente apoacutes um intervalo de tempo atinge o objeto B em sua vizinhanccedila que passa a balanccedilar para cima

e para baixo tambeacutem Podemos dizer que A exerceu influecircncia sobre B uma influecircncia que foi intermediada

pela aacutegua A Figura 16 abaixo ilustra essa ideia

Note que a existecircncia das ondas na superfiacutecie da aacutegua natildeo tem relaccedilatildeo com a existecircncia do objeto B

elas existiriam e se propagariam mesmo que o objeto B natildeo estivesse laacute A perturbaccedilatildeo na superfiacutecie da aacutegua eacute

criada pelo objeto A independentemente da existecircncia de B Mas estando B em sua posiccedilatildeo ele sofre

influecircncia de A pela accedilatildeo das ondulaccedilotildees da aacutegua na posiccedilatildeo em que B estaacute B fica sabendo que A existe

atraveacutes das ondas que A cria na superfiacutecie da aacutegua Se natildeo fosse a aacutegua natildeo haveria influecircncia de A sobre B

Aqui podemos fazer uma analogia com a interaccedilatildeo eleacutetrica entre dois objetos distantes um do outro (A

e B) e que possuem carga eleacutetrica Considere a situaccedilatildeo acima e apenas troque os objetos A e B pelos objetos

carregados eletricamente A e B Troque a superfiacutecie da aacutegua pelo simples espaccedilo entre esses objetos e troque

as perturbaccedilotildees na aacutegua pelo campo eleacutetrico Essa eacute a ideia do campo eleacutetrico o campo de forccedila que

intermedeia a interaccedilatildeo eleacutetrica a forccedila entre objetos eletricamente carregados Essa eacute a forma como

entendemos a interaccedilatildeo eleacutetrica entre os corpos Basicamente um objeto eletricamente carregado A cria no

espaccedilo ao seu redor um campo de forccedila um campo eleacutetrico que denotamos por ( ) sendo uma posiccedilatildeo

qualquer no espaccedilo Outro objeto eletricamente carregado B que porventura esteja na vizinhanccedila de A na

posiccedilatildeo vai sofrer uma forccedila exercida por A uma forccedila definida pelo valor do campo ( ) na posiccedilatildeo em

que B estaacute O campo eleacutetrico ( ) eacute o intermediaacuterio da forccedila eleacutetrica dada pela lei de Coulomb

Note que a analogia com os objetos flutuando na aacutegua natildeo deve ser (como toda analogia) levada ao peacute

da letra Natildeo estamos definindo aqui algo como ondas eleacutetricas ou mesmo ondas eletromagneacuteticas sobre as

quais todos jaacute ouvimos falar Estamos dizendo que uma carga fixa no espaccedilo vai criar em sua vizinhanccedila um

campo eleacutetrico estaacutetico ( ) e que se outra partiacutecula eletricamente carregada estiver nessa vizinhanccedila ela vai

A

B

Figura 16 Um objeto A exerce influecircncia sobre outro objeto B distante atraveacutes das perturbaccedilotildees (ondas) que se propagam em um meio a aacutegua

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

sentir o efeito desse campo uma forccedila eletrostaacutetica O efeito de ( ) sobre uma carga eleacutetrica eacute uma forccedila

eleacutetrica a forccedila de Coulomb Dessa forma deixamos de ver a interaccedilatildeo eleacutetrica entre duas cargas e

como uma interaccedilatildeo direta entre essas cargas e passamos a ver essa interaccedilatildeo intermediada pelos campos

eleacutetricos que essas cargas geram no espaccedilo Mas eacute verdade que em situaccedilotildees mais gerais em que as cargas

eleacutetricas tecircm movimentos arbitraacuterios no espaccedilo o campo eleacutetrico dessas cargas varia no tempo e no espaccedilo e

pode constituir o que chamamos de uma onda eletromagneacutetica que viaja atraveacutes do espaccedilo com a velocidade

da luz (algo mais parecido com as ondulaccedilotildees na aacutegua) A proacutepria luz eacute uma onda eletromagneacutetica que oscila

no tempo e que pode ser detectada por nossos olhos Aqui estamos perto dessa ideia mas estamos ainda

apenas engatinhando Estamos ainda no caso estaacutetico

Houve um tempo na histoacuteria do eletromagnetismo em que se atribuiacutea ao campo eleacutetrico uma

realidade mecacircnica como se o campo eleacutetrico fosse a propriedade de um fluido que permeia o espaccedilo todo o

eacuteter Nesse sentido as interaccedilotildees eleacutetricas seriam similares agrave situaccedilatildeo mostrada na Figura 16 em que o eacuteter

faria o papel da aacutegua Hoje essa ideia foi abandonada pois chegou-se agrave conclusatildeo de que natildeo existe esse eacuteter

e que o campo eleacutetrico natildeo eacute propriedade de nada ele tem realidade proacutepria Portanto assim como aceitamos

a existecircncia na natureza de eleacutetrons e proacutetons devemos aceitar a simples existecircncia do campo eleacutetrico Ele

existe e se manifesta atraveacutes de uma forccedila Explicar a existecircncia do campo eleacutetrico em termos de outras

coisas seria como explicar uma banana em termos de melancias

No estudo da mecacircnica temos oportunidade de discutir sobre o campo gravitacional de um planeta ou

estrela e a ideia eacute a mesma que temos aqui para o campo eleacutetrico A Terra por exemplo cria no espaccedilo ao seu

redor um campo gravitacional ( ) (a aceleraccedilatildeo da gravidade na posiccedilatildeo ) Uma partiacutecula de massa que

ocupar a posiccedilatildeo vai sofrer a influecircncia desse campo gravitacional da Terra e essa influecircncia se traduz na

forccedila gravitacional na partiacutecula o peso da partiacutecula = ( ) A ideia baacutesica aqui eacute que uma carga eleacutetrica fixa no espaccedilo vai criar em sua vizinhanccedila um campo de

forccedila o campo eleacutetrico ( ) Uma segunda partiacutecula de carga eleacutetrica que esteja na posiccedilatildeo vai sofrer

uma forccedila eleacutetrica pela accedilatildeo do campo ( ) sobre ela Dessa forma a partiacutecula de carga interage

eletricamente com a partiacutecula de carga Toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e claramente a partiacutecula de carga

tambeacutem cria em sua vizinhanccedila um campo eleacutetrico ( ) A partiacutecula de carga vai interagir com esse

campo eleacutetrico laacute onde ela estaacute e assim a partiacutecula de carga interage eletricamente com a partiacutecula de

carga As cargas e interagem entre si atraveacutes de seus campos eleacutetricos proacuteprios

O campo eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo eacute definido como a densidade de forccedila por unidade

de carga nesse ponto Note que natildeo faz sentido em se falar em forccedila em um ponto e por isso temos que

explicar melhor esse conceito Para definir o valor de ( ) em um ponto colocamos (ou pelo menos

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

imaginamos que colocamos) nesse ponto uma partiacutecula eletricamente carregada que vamos chamar de carga

de prova e medimos a forccedila eleacutetrica ( ) nessa partiacutecula digamos de carga gt 0 (podemos sempre

considerar positiva mas isso natildeo faz diferenccedila) O campo eleacutetrico em eacute definido por

( ) = ( )

Fica claro agora que natildeo estamos associando uma forccedila a um ponto do espaccedilo mas uma densidade de forccedila

a uma partiacutecula que porventura ocupe esse ponto no espaccedilo natildeo eacute forccedila mas uma capacidade de exercer

forccedila Eacute uma ideia anaacuteloga agrave da aceleraccedilatildeo da gravidade ( ) Natildeo podemos associar aceleraccedilatildeo a um ponto

do espaccedilo Fica claro que ( ) eacute a aceleraccedilatildeo de queda livre de uma partiacutecula (uma massa de prova) que

porventura seja colocada na posiccedilatildeo Analogamente podemos dizer que ( ) eacute a densidade de forccedila

gravitacional por unidade de massa pois a forccedila (peso) de uma partiacutecula de massa que porventura seja

colocada na posiccedilatildeo seraacute = ( ) e portanto =

A carga de prova eacute uma espeacutecie de ldquodetectorrdquo e ldquomedidorrdquo de campo eleacutetrico O campo eleacutetrico no

espaccedilo natildeo depende de mas precisamos dessa partiacutecula para definir formalmente o campo eleacutetrico no

espaccedilo Aqui podemos fazer uma analogia com um termocircmetro Se quisermos medirdefinir a temperatura ( ) em um ponto do espaccedilo devemos colocar nesse ponto um termocircmetro esperar que ele atinja o

equiliacutebrio teacutermico com o ambiente e finalmente fazer a leitura da temperatura Depois disso podemos jogar o

termocircmetro fora pois ( ) natildeo eacute uma propriedade do termocircmetro ( ) eacute uma propriedade do ambiente em

que a posiccedilatildeo estaacute (uma sala por exemplo) Eacute interessante que o termocircmetro seja pequeno para que ele

natildeo modifique muito a proacutepria temperatura que queremos medir (natildeo troque muito calor com o ambiente)

Analogamente para medirdefinir o campo eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo devemos colocar nesse

ponto uma partiacutecula de carga eleacutetrica de prova em repouso e eacute bom que seja um valor pequeno de

carga para natildeo influenciar (atraveacutes de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo por exemplo) as outras cargas eleacutetricas que

estatildeo no espaccedilo cujo campo eleacutetrico queremos medirdefinir Colocamos em (em repouso) e medimos a

forccedila eleacutetrica ( ) nela (ou a aceleraccedilatildeo dela e usamos a segunda lei de Newton para obter a forccedila) Fazemos

a razatildeo ( ) e definimos entatildeo o valor de ( ) Depois disso jogamos a carga de prova fora pois ela natildeo

eacute mais uacutetil O valor do campo eleacutetrico ( ) no ponto jaacute estaacute definido e continua laacute ele natildeo tem relaccedilatildeo com

a carga de prova ( ) eacute o campo eleacutetrico produzido por outras cargas eleacutetricas que por hipoacutetese existem e

estatildeo fixas nessa regiatildeo do espaccedilo

Equivalentemente se conhecemos o campo eleacutetrico ( ) e colocamos nesse ponto uma partiacutecula de

carga eleacutetrica qualquer a forccedila eleacutetrica nessa partiacutecula seraacute = ( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A carga de prova eacute um ldquoaparelhordquo que pode ser usado para definir experimentalmente o valor do

campo eleacutetrico em um ponto qualquer do espaccedilo Aqui estaremos mais interessados em calcular

analiticamente o campo eleacutetrico produzido por distribuiccedilotildees de carga simples como uma moleacutecula dipolar

por exemplo Como podemos calcular o campo eleacutetrico no espaccedilo O campo eleacutetrico no espaccedilo depende da

distribuiccedilatildeo de cargas que cria ele Vamos entatildeo comeccedilar pelo caso mais simples considere a distribuiccedilatildeo de

cargas mais simples possiacutevel uma uacutenica carga pontual fixa no espaccedilo Qual o campo eleacutetrico (ou campo

eletrostaacutetico) que essa carga estaacutetica cria no espaccedilo ao seu redor Mais especificamente qual o valor de ( ) no ponto mostrado na Figura 17(a) abaixo

Note que estamos usando por conveniecircncia o proacuteprio ponto onde estaacute fixa como origem do nosso

sistema de coordenadas ou seja a seta de nasce em

Primeiramente colocamos uma carga de prova gt 0 (bolinha azul) estaacutetica na posiccedilatildeo como na

Figura 17(b) Depois medimos a forccedila eleacutetrica que sofre ou seja a forccedila que faz em Essa forccedila

seria a seta vermelha na Figura 17 se gt 0 ( seria repelida) caso contraacuterio apenas inverteriacuteamos o sentido

dessa seta ( seria atraiacuteda) Apoacutes medirmos a forccedila podemos nos livrar da carga de prova

Depois fazemos a razatildeo e o resultado dessa conta eacute o valor de ( ) que seria representado pela

seta verde na Figura se gt 0 caso contraacuterio apenas inverteriacuteamos o sentido dessa seta A todo rigor

deveriacuteamos desenhar a seta verde de um tamanho diferente da seta vermelha a natildeo ser que valesse = 1 C

o que natildeo seria aconselhaacutevel pois 1 coulomb eacute um valor grande de carga eleacutetrica para uma carga de prova O

mais realista seria que a carga de prova fosse um proacuteton e que cong 16 times10 C Portanto na Figura 17 a

seta verde deveria ser cerca de 10 vezes maior que a seta vermelha Como isso eacute impraticaacutevel uma seta

desse tamanho simplesmente natildeo caberia no desenho preferimos deixar as setas com os tamanhos que estatildeo

e entender que a Figura estaacute fora de escala (as partiacuteculas tambeacutem natildeo satildeo bolinhas com os tamanhos

mostrados na Figura elas satildeo idealmente pontuais) Enfim jaacute conhecemos a forccedila entre duas cargas

pontuais ela eacute dada pela lei de Coulomb e portanto

( ) = ( ) = 1 14 = 14 = 14

( a )

( b ) ( c )

( ) Figura 17 Ilustraccedilatildeo do processo de definirmedir o campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual atraveacutes de uma carga de prova

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

sendo um vetor unitaacuterio na direccedilatildeo (radial) e sentido do vetor mostrado na Figura 17 (na uacuteltima igualdade

preferimos escrever a razatildeo no lugar de o que daacute no mesmo pois = Usaremos uma forma ou

a outra conforme a conveniecircncia) Note entatildeo que a carga de prova natildeo aparece na expressatildeo do campo

eleacutetrico de O campo eletrostaacutetico de depende apenas de da distacircncia (raio) ateacute e da direccedilatildeo radial tomando como centro ( ) = 14

Trata-se de um campo radial cuja intensidade decai com o quadrado da distacircncia ateacute a carga que

estaacute gerando esse campo O nome mais apropriado para ( ) eacute ldquocampo eletrostaacuteticordquo mas muitas vezes

usamos o termo mais simples ldquocampo eleacutetricordquo Sendo essa lei do campo eleacutetrico uma consequumlecircncia direta da

lei de Coulomb para a forccedila entre partiacuteculas carregadas vamos chamaacute-la simplesmente de lei de Coulomb A

lei de Coulomb para a forccedila implica na lei de Coulomb para o campo de forccedila da carga pontual elas satildeo

equivalentes Se quisermos ter uma ideia de como eacute esse campo eleacutetrico basta que desenhemos vaacuterias setas

representando o valor de ( ) em diferentes pontos do espaccedilo como na Figura 18 abaixo para uma carga

positiva e para uma carga negativa

Considere nessa Figura que o ponto onde a seta de ( ) se inicia eacute o ponto onde esse campo estaacute

sendo definido Notamos que agrave medida que nos afastamos das cargas as setas se tornam menores porque a

magnitude do campo eleacutetrico de uma carga pontual decai com o quadrado da distacircncia ateacute ela

Para uma carga positiva as setas apontam para fora na direccedilatildeo de enquanto que para uma carga

negativa as setas apontam para dentro na direccedilatildeo de minus (lembre-se que sempre aponta no sentido do

crescimento da variaacutevel raio ( ) tomando a carga como centro

Deve-se fazer um esforccedilo para entender que a Figura 18 ilustra apenas um corte no plano da paacutegina

mas que as setas de ( ) existem no espaccedilo todo tambeacutem fora do plano do papel A Figura 19 obtida no

programa Maple de computaccedilatildeo algeacutebrica (httpswwwmaplesoftcom) ilustra melhor a ideia de um campo

radial no espaccedilo tridimensional

Figura 18 Algumas setas do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual positiva e negativa Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees lt 0 gt 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Com relaccedilatildeo agrave constante na expressatildeo do campo eleacutetrico vale a mesma observaccedilatildeo que fizemos laacute

atraacutes quando estudamos a lei de Coulomb A ideia baacutesica aqui eacute que o campo eleacutetrico que eacute dado por

( ) = 14 eacute o campo eleacutetrico medido no espaccedilo na posiccedilatildeo criado pela partiacutecula de carga eleacutetrica que estaacute

localizada no vaacutecuo ou seja natildeo haacute outras partiacuteculas no espaccedilo apenas a partiacutecula de carga Se esse espaccedilo

em que essa partiacutecula estaacute for preenchido por um meio material o ar por exemplo o campo eleacutetrico na

posiccedilatildeo deixa de ser dado pela expressatildeo acima (que vamos chamar de ( )) Isso ocorre natildeo porque o

campo eleacutetrico de ( ( )) muda mas porque as outras partiacuteculas no espaccedilo partiacuteculas que compotildeem esse

meio material circundante tambeacutem geram campo eleacutetrico em (elas podem se polarizar por exemplo devido

agrave influecircncia de ) Basicamente o campo eleacutetrico resultante em se torna

( ) = ( ) + ( ) = 14 + ( ) Constatamos que para muitos meios materiais simples ocupando o espaccedilo os dois termos na

expressatildeo acima podem se juntar e o campo eleacutetrico resultante em pode ser escrito como

( ) = 14 sendo a permissividade eleacutetrica do meio material Por exemplo se estaacute fixa debaixo drsquoaacutegua obtemos

( ) = ( ) + Aacute ( ) = 14 Aacute sendo Aacute cong 80 Portanto o campo eleacutetrico devido agrave embaixo da aacutegua eacute cerca de 80 vezes menor que

o campo que essa mesma partiacutecula produziria no vaacutecuo (na mesma posiccedilatildeo) Isso ocorre por causa da

Figura 19 Ilustraccedilatildeo do campo eleacutetrico radial produzido por uma carga pontual As pontas das setas (azuis) natildeo satildeo visiacuteveis nessa escala mas estariam apontando para fora do centro no caso de uma carga positiva e para dentro no caso de uma carga negativa

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

polarizaccedilatildeo eleacutetrica da aacutegua e da blindagem que ela confere agraves cargas eleacutetricas mergulhadas nela Por isso a

aacutegua eacute o solvente universal e pode por exemplo dissolver o sal de cozinha (iacuteons Na+ e Cl-) misturado nela

Resumindo ao trocar por na expressatildeo do campo eleacutetrico da carga pontual o campo

eleacutetrico ( ) deixa de ser o campo que a partiacutecula de carga faz (sozinha) no espaccedilo ( ( )) e passa a ser o

campo eleacutetrico no espaccedilo devido agrave presenccedila da partiacutecula de carga No caso do ar vale cong 10006 e

basicamente facilitamos as coisas fazendo =

Daqui para diante faremos uma pausa no caacutelculo de forccedilas e passaremos a nos concentrar no caacutelculo

de campos eleacutetricos pois se conhecemos o campo de forccedila podemos posteriormente conhecer a forccedila (= ( )) Consideraremos diversas distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas e calcularemos o campo eleacutetrico que

elas geram no espaccedilo

Para comeccedilar se natildeo quisermos ter muito trabalho podemos aproveitar a situaccedilatildeo da moleacutecula polar

interagindo com um iacuteon de carga positiva que jaacute discutimos anteriormente cuja configuraccedilatildeo de cargas

repetimos na Figura 20 que segue

Nessa Figura mostramos tambeacutem a forccedila que a moleacutecula polar faz no iacuteon de carga na

aproximaccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico pequenopontual ( ≪ )

Deduzimos que a forccedila nessa aproximaccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico pequeno ( ≪ ) eacute dada por

= minus4

com sendo o momento de dipolo eleacutetrico da moleacutecula polar Note que estaacute ao longo de minus

Portanto vamos considerar agora que eacute apenas uma carga de prova que foi colocada nessa

posiccedilatildeo para avaliar o campo eleacutetrico que a moleacutecula polar produz nesse ponto onde estaacute (que vamos

chamar de ponto P) Concluiacutemos que esse campo eleacutetrico em P eacute dado por

( ) = = 1 minus4 = minus4

Figura 20 Forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula polar pontual com momento de dipolo faz em um iacuteon de carga

x

y

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A Figura 21 abaixo mostra a seta do campo ( ) (seta verde) produzido pela moleacutecula polar no

ponto P onde estava a carga de prova Natildeo precisamos mais da carga de prova e natildeo representamos ela na

Figura 21 pois ( ) eacute uma propriedade apenas da moleacutecula polar (e do ponto P)

O momento de dipolo define o campo eleacutetrico de uma moleacutecula polar campo que decai com o cubo

da distacircncia

Se realizarmos esse mesmo procedimento de colocar uma carga de prova calcular a forccedila que a

moleacutecula polar produz nela e dividir pelo valor da carga de prova para muitos pontos no espaccedilo teremos

entatildeo uma visatildeo mais geral de como eacute o campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula polar A Figura 22 que

segue ilustra algumas setas (em verde) do campo eleacutetrico produzido pelo dipolo eleacutetrico em sua

vizinhanccedila Note a simetria entre direita e esquerda e o fato de que as setas vatildeo ficando menores quando nos

afastamos do dipolo Tente imaginar essas setas definidas no espaccedilo tridimensional basicamente girando o

dipolo (a seta vermelha) em torno dele mesmo de tal forma que as setas saem do plano da paacutegina As setas

do campo basicamente apontam para fora do poacutelo positivo e para dentro do poacutelo negativo do dipolo (lembre-

se que aponta do poacutelo negativo para o poacutelo positivo)

Note que o dipolo eacute pontual e o tamanho da seta de natildeo

tem relaccedilatildeo com o tamanho do objeto dipolar (a moleacutecula) mas sim

com a intensidade da dipolaridade dessa moleacutecula Moleacuteculas com

dipolaridade mais intensa como a moleacutecula de aacutegua teratildeo um maior

e portanto uma seta de maior Note tambeacutem que a expressatildeo do

campo ( ) que obtivemos acima soacute vale no ponto P e natildeo expressa

portanto o valor de em outros pontos do espaccedilo Para esses outros

pontos temos que calcular novamente como fizemos para ( ) Daqui para diante simplesmente ignoraremos o processo de se

colocarposicionar uma carga de prova para avaliar o campo eleacutetrico e

partiremos diretamente do resultado anterior para o campo eleacutetrico

de uma carga pontual e do princiacutepio da superposiccedilatildeo para calcular o

( ) P

Figura 21 Campo eleacutetrico que uma moleacutecula polar produz em um ponto P na sua vizinhanccedila

x

y

Figura 22 Algumas setas do campo eleacutetrico que uma moleacutecula polar produz na sua vizinhanccedila

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campo eleacutetrico de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas arbitraacuterias

O princiacutepio da superposiccedilatildeo para o campo eleacutetrico expressa basicamente a mesma ideia do princiacutepio

da superposiccedilatildeo para as forccedilas ele diz que o campo eleacutetrico resultante de vaacuterias cargas em um ponto do

espaccedilo eacute simplesmente a soma (vetorial) dos campos eleacutetricos individuais que cada uma das cargas produz

em como se as outras cargas natildeo existissem Resumindo

( ) = ( ) = 14 = 14 = 14

sendo a distacircncia entre e o ponto e um vetor unitaacuterio que aponta de

para esse ponto A Figura ao lado ilustra esses vetores para um sistema de trecircs

cargas eleacutetricas ldquoOrdquo eacute a origem (qualquer) onde nasce Os vetores nascem

nas cargas

Como exemplo do caacutelculo de campo eleacutetrico via princiacutepio da superposiccedilatildeo vamos considerar um

objeto triangular (uma moleacutecula) com trecircs cargas eleacutetricas fixadas em seus veacutertices conforme a Figura 23

abaixo

Uma moleacutecula de aacutegua possui uma estrutura triangular de cargas parecida com

a que estamos modelando aqui mas no caso da aacutegua o triacircngulo eacute isoacutesceles e natildeo

retacircngulo (ver a Figura ao lado)

Vemos na Figura 23 que a carga minus (negativa por hipoacutetese) produz no ponto P um campo eleacutetrico

dado por (usando o resultado que jaacute obtivemos para o campo de uma carga pontual a lei de Coulomb)

( ) = 14 (minus ) Analogamente a carga (positiva por hipoacutetese) produz em P o campo eleacutetrico

( ) = 14 ( + )

Finalmente a carga produz em P o campo eleacutetrico (obliacutequo) dado por

Figura 23 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e

x

y

minus

0

40

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( ) = 14 ( + ) + [cos( ) minus sen( ) ] O acircngulo estaacute definido na Figura 24 abaixo onde ilustramos tambeacutem as setas dos campos eleacutetricos ( ) ( ) e ( ) em P Podemos ver nessa Figura que

cos( ) = +( + ) + e sen( ) = ( + ) +

Portanto ( ) = 14 [( + ) + ] [( + ) minus ] Note que radic =

Finalmente podemos usar o princiacutepio da superposiccedilatildeo para calcular o campo eleacutetrico ( ) que a

moleacutecula triangular produz na posiccedilatildeo P em sua vizinhanccedila ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Obtemos ( ) = 14 ( + )[( + ) + ] + ( + ) minus + minus[( + ) + ] Imagine agora que um iacuteon de carga seja colocado no ponto P em repouso Qual a forccedila eleacutetrica que a

moleacutecula triangular vai fazer nesse iacuteon Sabendo o campo eleacutetrico ( ) que a moleacutecula produz em P a

resposta a essa pergunta eacute simples

= ( ) Da mesma forma o iacuteon faraacute na moleacutecula triangular uma forccedila = minus

Podemos simplificar a expressatildeo de ( ) supondo que o objeto triangular representa uma moleacutecula

bem pequena e tomar os limites cong 0 e cong 0 Simplesmente desprezando e obtemos para

uma moleacutecula pontual ( ) = 14 ( + minus )

Figura 24 Campos eleacutetricos criados pelas trecircs cargas da moleacutecula triangular na posiccedilatildeo P

x

y

minus

( )( )( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Mas note que para uma moleacutecula eletricamente neutra esperamos que + minus = 0 o que leva

a ( ) = 0 Portanto estamos exagerando em nossa aproximaccedilatildeo que eacute muito grosseira Sabemos que ( ) eacute pequeno para uma moleacutecula pequena mas natildeo nulo Portanto vamos ter que apelar para a expansatildeo

binomial truncada (1 + ) = 1 + se cong 0

Primeiramente definimos = e = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de ( ) vemos que esses (cong 0 por hipoacutetese) aparecem explicitamente

( ) = 14 (1 + )[(1 + ) + ( ) ] + (1 + ) minus+ minus [(1 + ) + ( ) ]

Portanto

( ) = 14 (1 + )[(1 + ) + ] + (1 + ) minus + minus[(1 + ) + ]

Desprezando desde jaacute os termos obtemos uma expressatildeo mais simples

( ) = 14 (1 + ) + (1 + ) minus + minus(1 + )

Note que ( ) =

Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) = minus3 = (1 + ) = 1 + (minus3)

Portanto ( ) = 14 ( + )(1 minus 2 ) minus minus (1 minus 3 )

Impondo a neutralidade da moleacutecula ( + minus = 0) obtemos (desprezando o produto )

( ) = 14 [minus2( + ) minus ] = 14 [minus2 minus ] Trata-se de um campo dipolar pois decai com 1 (um campo monopolar decai com 1 mas o monopolo

aqui eacute nulo pois a moleacutecula eacute eletricamente neutra) A Figura 25 abaixo ilustra esse campo (seta verde) jaacute

considerando que a moleacutecula triangular (M) se tornou pontual

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Note que natildeo haacute nada em P trata-se de um ponto no vaacutecuo (a bolinha preta representa apenas um

ponto no espaccedilo) Todas as cargas eleacutetricas estatildeo concentradas em M (bolinha vermelha) e produzem em P o

campo eleacutetrico resultante ( ) Se um iacuteon de carga eleacutetrica for colocado no ponto P em repouso ele vai

sofrer a forccedila eleacutetrica dada por

= ( ) Vemos na Figura que se valer gt 0 esse iacuteon vai ser empurrado para baixo em uma direccedilatildeo obliacutequa

em relaccedilatildeo aos eixos x e y Esse iacuteon vai comeccedilar a orbitar a moleacutecula M O que resultaria disso no mundo real

natildeo sabemos

122 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico

Um campo eleacutetrico eacute um campo vetorial e associa portanto a cada posiccedilatildeo no espaccedilo uma seta

representada pela funccedilatildeo ( ) Se quisermos ter uma ideia do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula

de aacutegua podemos dar uma olhada na Figura 22 que mostra algumas setas do campo eleacutetrico de um objeto

pequeno dipolar

Podemos imaginar uma forma mais agradaacutevel de visualizar e representar a configuraccedilatildeo do campo

eleacutetrico no espaccedilo na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo de cargas Para isso definimos o conceito de linha de

forccedila que foi introduzido por Michael Faraday um dos gecircnios fundadores do eletromagnetismo Basicamente

uma linha de forccedila eacute uma linha contiacutenua orientada que eacute tangente ao campo eleacutetrico em todos os pontos do

espaccedilo orientada no mesmo sentido do campo eleacutetrico em cada ponto Ao representar diagramas de linhas de

forccedila devemos obedecer a duas regras baacutesicas

1) Duas linhas de forccedila natildeo podem se cruzar em um ponto pois nesse ponto a direccedilatildeo do campo

eleacutetrico natildeo estaria definida (mas uma linha de forccedila pode mudar sua orientaccedilatildeo em um ponto do

espaccedilo onde o campo eleacutetrico se anula)

2) Uma linha de forccedila natildeo pode comeccedilar no nada ou terminar no nada pois nessa extremidade da

linha a direccedilatildeo do campo eleacutetrico natildeo estaria definida Linhas de forccedila nascem em cargas pontuais

positivas terminam em cargas pontuais negativas ou se estendem ateacute o infinito

P

Figura 25 Campo eleacutetrico criado pela moleacutecula pontual M (triangular) na posiccedilatildeo P

x

y

M ( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Jaacute conhecemos o campo eleacutetrico radial de uma carga pontual Portanto as linhas de forccedila na

vizinhanccedila de uma carga pontual satildeo radiais nascem na carga e se estendem ateacute o infinito se ela for positiva

ou nascem no infinito e terminam na carga se ela for negativa A ideia estaacute ilustrada na Figura 26 abaixo

Nessa Figura devemos entender que as linhas de forccedila se estendem ateacute o infinito pois uma linha de

forccedila natildeo pode comeccedilar ou terminar em um ponto no vaacutecuo onde natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica

Desenhamos oito linhas em cada carga mas poderiacuteamos desenhar mais ou menos linhas Apenas escolhemos

um nuacutemero de linhas que eacute suficiente para ilustrar a configuraccedilatildeo de campo eleacutetrico nessas regiotildees do espaccedilo

Devemos fazer um esforccedilo e imaginar essas figuras em trecircs dimensotildees com linhas de forccedila irradiando

em todas as direccedilotildees Comparando as Figuras 26 e 18 fica clara a vantagem da representaccedilatildeo graacutefica do campo

eleacutetrico atraveacutes de linhas de forccedila Devemos enfatizar que linhas de forccedila natildeo satildeo objetos reais que existem

no espaccedilo e que fluem daqui para laacute ou de laacute para caacute Linhas de forccedila satildeo apenas objetos matemaacuteticos que

representam graficamente a configuraccedilatildeo do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de cargas eleacutetricas

Agora podemos tentar representar as linhas de forccedila na vizinhanccedila de um dipolo eleacutetrico Podemos

nos basear na Figura 22 e sair traccedilando linhas que tangenciam as setas do campo eleacutetrico em todos os pontos

sem nunca se cruzarem nascendo na carga positiva e terminando na carga negativa Como eacute muito difiacutecil fazer

essa figura na matildeo preferimos aqui recorrer a uma figura jaacute pronta A Figura 27 abaixo foi copiada do livro

(claacutessico) Static and Dynamic Electricity de W R Smythe (1950) Apenas algumas linhas estatildeo orientadas elas

satildeo orientadas da carga (poacutelo) positiva para a carga (poacutelo) negativa com exceccedilatildeo das duas linhas retas que se

estendem ateacute o infinito O dipolo pontual estaacute no centro dessa Figura com seu momento de dipolo

orientado para cima (poacutelo positivo acima do negativo) Essa eacute a configuraccedilatildeo das linhas de forccedila do campo

eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula de aacutegua

-+

Figura 26 Configuraccedilotildees das linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga eleacutetrica pontual positiva e de uma carga pontual negativa As linhas satildeo radiais e se estendem ateacute o infinito

Figura 27 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de um dipolo eleacutetrico pontual localizado no centro da Figura com orientado para cima

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Nesse mesmo livro encontramos a configuraccedilatildeo de linhas de forccedila mostrada na Figura 28 abaixo

proacuteximo de duas cargas pontuais iguais de mesmo sinal (esqueccedila as linhas tracejadas) Devemos sempre fazer

um esforccedilo para enxergar essas configuraccedilotildees de linhas de forccedila no espaccedilo tridimensional

Enfim podemos sair procurando na internet e vamos encontrar algumas Figuras mais modernas e mais

agradaacuteveis que representam essas configuraccedilotildees de linhas de forccedila Na Figura 29 que segue mostramos

Figuras retiradas do site academoorg onde encontramos um applet (um programaaplicativo) que nos

permite definir livremente os valores das duas cargas eleacutetricas fixas no espaccedilo uma ao lado da outra

Na Figura 29(a) que eacute um dipolo eleacutetrico vemos que quando as cargas tecircm sinais opostos as linhas de

forccedila nascem no poacutelo + e morrem no poacutelo ndash (a exceccedilatildeo seriam duas linhas retas que se estendem ateacute o

infinito mostradas claramente na Figura 27 mas que o applet natildeo desenhou) No caso da Figura 29(b) com

cargas iguais (positivas) as linhas de forccedila satildeo todas abertas e se estendem ateacute o infinito elas morrem no

infinito As linhas natildeo podem se cruzar e por isso temos a impressatildeo nessa Figura que elas se repelem

mutuamente na regiatildeo entre as cargas Se na Figura 29(a) as cargas natildeo tivessem o mesmo moacutedulo algumas

linhas de forccedila iriam se estender ateacute o infinito (aleacutem das duas linhas que jaacute estatildeo representadas na Figura 27)

Figura 29 (a) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo dipolar de cargas eleacutetricas Duas cargas +q (vermelha) e ndashq (azul)

(b) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo formada por duas cargas eleacutetricas iguais (ambas positivas)

Figura 28 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de duas cargas pontuais de mesma magnitude e de mesmo sinal As linhas natildeo foram orientadas as cargas podem ser ambas positivas ou negativas (esqueccedila as linhas tracejadas)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Isso porque devemos respeitar mais uma regra quando representamos diagramas de linhas de forccedila

aleacutem das duas que jaacute mencionamos Essa regra nos permite ldquovisualizarrdquo a magnitude (intensidade) do campo

eleacutetrico no espaccedilo

Em um diagrama de linhas de forccedila do campo eleacutetrico a direccedilatildeo e o sentido do campo eleacutetrico em um

ponto qualquer do espaccedilo satildeo evidentes a seta do campo eleacutetrico eacute tangente agrave linha de forccedila que passa por

esse ponto orientada no mesmo sentido da linha de forccedila Mas e quanto agrave magnitude do campo eleacutetrico ou

seja o tamanho da seta de Podemos obter informaccedilatildeo sobre essa magnitude em um diagrama de linhas de

forccedila Podemos ldquoenxergarrdquo a magnitude do campo eleacutetrico em uma configuraccedilatildeo de linhas forccedila atraveacutes da

densidade de linhas no espaccedilo nas regiotildees onde a densidade de linhas eacute alta o campo eleacutetrico eacute mais intenso

Eacute o caso da regiatildeo entre as cargas na Figura 29(a) Na regiatildeo onde a densidade de linhas eacute baixa o campo

eleacutetrico eacute mais fraco Eacute o caso da regiatildeo entre as cargas na Figura 29(b) Notamos claramente que agrave medida

que nos afastamos da distribuiccedilatildeo de cargas as linhas de forccedila vatildeo ficando mais afastadas entre si refletindo

o decaimento do campo eleacutetrico com a distacircncia agraves cargas Isso eacute evidente quando olhamos na configuraccedilatildeo

de linhas de forccedila de uma carga pontual apenas como na Figura 26 Nesse caso mais simples podemos ser

mais especiacuteficos quanto a essa densidade de linhas de forccedila Considere o nuacutemero de linhas de forccedila por

unidade de aacuterea ortogonal a essas linhas ou seja por unidade de aacuterea de superfiacutecie esfeacuterica centrada na carga

pontual Estando fixa a quantidade de linhas representadas na Figura que se estendem ateacute o infinito essa

densidade de linhas de forccedila por unidade de aacuterea decai com 1 pois a aacuterea da esfera cresce com ( eacute o

raio que nasce na carga pontual) Esse (1 ) eacute exatamente o decaimento da magnitude do campo eleacutetrico de

uma carga pontual

Para que essa ideia funcione devemos entatildeo respeitar a seguinte regra ao representar as linhas de

forccedila se desenhamos N linhas de forccedila saindo ou entrando de uma carga pontual devemos desenhar 2N

linhas de forccedila saindo ou entrando de uma carga pontual 2 e assim por diante Somente assim poderemos

ldquoenxergarrdquo que na vizinhanccedila da carga 2 haacute o dobro de linhas de forccedila e portanto o campo eleacutetrico eacute o

dobro do campo eleacutetrico na vizinhanccedila da carga Nas Figuras 29(a) e 29(b) vemos que o applet optou por

desenhar 10 linhas de forccedila entrando ou saindo de cada uma das cargas pontuais (esse nuacutemero eacute arbitraacuterio)

Na Figura 30(a) abaixo mostramos uma distribuiccedilatildeo de cargas dipolar assimeacutetrica formada por uma

carga 2 na vizinhanccedila de uma carga minus Vemos que infelizmente o applet falhou nesse caso Por isso

tivemos que acrescentar mais uma linha de forccedila (agrave direita da Figura) ldquona matildeordquo

Note que ldquoemanamrdquo 20 linhas de forccedila da carga 2 e ldquoentramrdquo apenas 9 linhas de forccedila na carga minus

(deveriam ser 10) Para dar um jeito nisso acrescentamos uma linha na matildeo a linha ldquohorizontalrdquo mais agrave direita

que entra em minus e tambeacutem se estende ateacute o infinito Note que sobre essa linha haacute um ponto em que o campo

eleacutetrico se anula e portanto a linha de forccedila muda de orientaccedilatildeo (o campo muda de sinal) nesse ponto Essa

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

deve ter sido a dificuldade do applet nesse caso Portanto 12 linhas de forccedila ldquonascemrdquo nesse objeto dipolar e

se estendem ateacute o infinito Vemos que na regiatildeo mais agrave esquerda da carga 2 o campo eleacutetrico eacute mais intenso

que na regiatildeo mais agrave direita da carga minus pois a densidade de linhas de forccedila aiacute (mais agrave esquerda de 2 ) eacute

maior Tente imaginar essa Figura no espaccedilo tridimensional

Na Figura 30(b) mostramos uma distribuiccedilatildeo de duas cargas positivas formada por uma carga na

vizinhanccedila de uma carga 3 Aqui o applet acertou ldquoEmanamrdquo 10 linhas de forccedila da carga e 30 linhas de

forccedila da carga 3 Portanto 40 linhas de forccedila ldquonascemrdquo nessas cargas e se estendem ateacute o infinito Vemos

que na regiatildeo mais agrave esquerda da carga o campo eleacutetrico eacute mais fraco que na regiatildeo mais agrave direita da carga 3 pois a densidade de linhas de forccedila aiacute (mais agrave esquerda de ) eacute menor Vemos um ldquoburacordquo na regiatildeo entre

as cargas de onde as linhas de forccedila parecem ser repelidas Haacute um ponto no meio desse buraco onde o campo

eleacutetrico se anula e se desenharmos uma linha de forccedila reta unindo as duas cargas a orientaccedilatildeo dessa linha

mudaria nesse ponto Na vizinhanccedila desse ponto o campo eleacutetrico eacute fraco e daiacute vem a presenccedila desse

ldquoburacordquo (o applet parece evitar desenhar essas linhas de forccedila com mudanccedila de orientaccedilatildeo elas satildeo mais

difiacuteceis de se calcular e aleacutem disso a presenccedila do buraco vazio acaba ilustrando melhor a ldquofraquezardquo do

campo eleacutetrico nessa regiatildeo)

Enfim poderiacuteamos passar horas representando as configuraccedilotildees de linhas de forccedila para diferentes

configuraccedilotildees de cargas eleacutetricas Esperamos que os exemplos que jaacute demos convenccedilam que a representaccedilatildeo

de campos eleacutetricos atraveacutes de linhas de forccedila eacute mais interessante e agradaacutevel aos olhos que a representaccedilatildeo

desses campos atraveacutes de setas de vetores Apenas para finalizar representamos na Figura 31 abaixo algumas

Figura 30 (a) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo dipolar de cargas eleacutetricas em que o polo positivo eacute mais intenso +2q e ndashq

(b) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo formada por duas cargas eleacutetricas (positivas) de valores diferentes +q e +3q

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

linhas de forccedila (em azul) do campo eleacutetrico produzido pela moleacutecula

triangular que jaacute discutimos no texto (Figura 24) Nessa Figura fizemos

a hipoacutetese de que = 03 e = 07 (moleacutecula eletricamente

neutra) Todas as linhas de forccedila que nascem em e em morrem

na carga minus (nenhuma linha se estende ateacute o infinito) Essa Figura foi

gerada atraveacutes do simulador que pode ser encontrado em

httpsdemonstrationswolframcomElectricFieldsForThreePointChar

ges Podemos imaginar iacuteons ou outras moleacuteculas colocados nessa

vizinhanccedila e fluindo sob accedilatildeo de forccedilas eleacutetricas tangentes a essas

linhas de forccedila

13 Forccedila e torque em uma partiacutecula dipolar em um campo eleacutetrico externo

Jaacute tivemos oportunidade de calcular a forccedila sobre partiacuteculas dipolares ou seja partiacuteculas que possuem

momento de dipolo eleacutetrico Calculamos essa forccedila utilizando a lei de Coulomb na hipoacutetese de que o dipolo

eleacutetrico estava na vizinhanccedila de um iacuteon ou de outra partiacutecula dipolar Agora calcularemos essa forccedila de uma

forma mais geral supondo que a partiacutecula dipolar esteja simplesmente em uma regiatildeo onde existe um campo

eleacutetrico um campo eleacutetrico criado por outros objetos estaacuteticos carregados na vizinhanccedila desse dipolo

eleacutetrico Por exemplo se esse objeto for um iacuteon como jaacute discutimos anteriormente entatildeo seria o campo

eleacutetrico que o iacuteon produz na regiatildeo onde se encontra o dipolo eleacutetrico Aqui ao inveacutes de utilizarmos a lei de

Coulomb vamos partir da lei = que daacute a forccedila sobre uma partiacutecula de carga eleacutetrica que estaacute em um

ponto do espaccedilo onde existe um campo eleacutetrico Jaacute sabemos que a estrutura interna de um objeto dipolar eacute

formada por dois poacutelos + e ndash separados por uma distacircncia d conforme ilustrado na Figura 32 abaixo

Figura 32 Uma moleacutecula dipolar (duas cargas e minus separadas por um deslocamento ) caracterizada

apenas por seu momento de dipolo = estaacute em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo eleacutetrico

produzido por outras cargas eleacutetricas (natildeo mostradas) Note que (e ) aponta ao longo de d com o sentido da carga ndash para a carga +

y

minus

d

minus

d

Figura 31 linhas de forccedila de na vizinhanccedila de uma moleacutecula triangular como na Fig 24

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A Figura 32 mostra o dipolo eleacutetrico em uma regiatildeo onde existe um campo eleacutetrico externo (setas

azuis) produzido por outros objetos carregados que natildeo estatildeo mostrados na Figura O campo estaacute definido

em todos os pontos do espaccedilo mas para o caacutelculo da forccedila sobre o objeto dipolar soacute interessam os valores de

nos pontos onde as cargas (dos poacutelos) plusmn estatildeo

Sejam entatildeo o valor do campo no ponto onde estaacute a carga + e o valor do campo no ponto

onde estaacute a carga ndash Na segunda Figura mostramos as forccedilas e sobre os poacutelos do dipolo Note que eacute

oposta ao campo Do princiacutepio da superposiccedilatildeo a forccedila resultante no dipolo eacute = + = + (minus ) = minus = ∆

Vemos que a forccedila no dipolo eleacutetrico eacute dada pela variaccedilatildeo ∆ = minus do campo eleacutetrico dentro do dipolo

Esperamos que na praacutetica para uma moleacutecula por exemplo essa forccedila seja em geral minuacutescula porque ∆

seraacute a variaccedilatildeo do campo eleacutetrico dentro de uma distacircncia da ordem de 10 metros Em particular para um

campo eleacutetrico uniforme ou seja um campo eleacutetrico que possui o mesmo valor em todos os pontos do

espaccedilo vale ∆ = minus = 0 pois = = =constante Nesse caso natildeo haacute forccedila resultante no dipolo

e seu centro de massa (CM) possui aceleraccedilatildeo nula (desprezando outras forccedilas como a gravidade) Se o CM da

moleacutecula dipolar estava em repouso ele vai continuar em repouso mesmo estando a moleacutecula em uma regiatildeo

com campo eleacutetrico natildeo nulo (mas uniforme)

Note que nos casos que discutimos anteriormente em que calculamos a forccedila eleacutetrica sobre uma

moleacutecula dipolar produzida por um iacuteon ou por outro objeto dipolar o campo eleacutetrico no espaccedilo produzido por

esses objetos era natildeo uniforme e por isso obtivemos uma forccedila natildeo nula De fato para a forccedila atrativa que

um iacuteon de carga positiva faz em um dipolo pontual com seu momento de dipolo paralelo a um raio que

passa pelo iacuteon (ver Figura 13) obtivemos a forccedila do iacuteon no dipolo (sendo a distacircncia iacuteondipolo)

= minus 12

Podemos obter novamente esse resultado com base no que deduzimos aqui Considere que o campo eleacutetrico

do iacuteon de carga eacute dado pela lei de Coulomb ( ) = 14 e que portanto dentro de um dipolo de tamanho infinitesimal = obtemos a variaccedilatildeo em

∆ = = = minus12 = minus12

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Nesse exemplo tiramos vantagem de que se o dipolo estaacute deitado na direccedilatildeo radial entatildeo a variaccedilatildeo ∆ eacute a

variaccedilatildeo de apenas na direccedilatildeo radial e que = = Para um dipolo com uma orientaccedilatildeo mais geral a

conta seria mais complicada (envolveria as trecircs derivadas de em x em y e em z) Note que ( ) =minus2 Note tambeacutem que nesse caso = e assim a expressatildeo ∆ recupera aquela acima para

Resumindo sendo a carga no poacutelo positivo do dipolo obtemos a forccedila iacuteondipolo

= ∆ = minus12 = minus12

sendo = o momento de dipolo eleacutetrico desse dipolo

Estando o dipolo eleacutetrico em uma regiatildeo com campo eleacutetrico uniforme natildeo acontece nada com ele

Acontece ele sofre um torque Um torque que depende da orientaccedilatildeo de relativa a Vamos usar a Figura

32 para calcular esse torque fazendo jaacute a simplificaccedilatildeo em que = = Lembramos que o torque de

uma forccedila eacute dado por = times

sendo a posiccedilatildeo de aplicaccedilatildeo da forccedila Sendo posiccedilatildeo um conceito relativo segue que o torque tambeacutem eacute O

torque depende em princiacutepio da origem que escolhemos para o caacutelculo das posiccedilotildees Mas no caso

especiacutefico em que a resultante das forccedilas eacute nula segue que o torque resultante dessas forccedilas independe da

referecircncia que usamos para definir Portanto podemos escolher essa origem de acordo com nossa

conveniecircncia (fazemos isso o tempo todo em problemas de equiliacutebrio estaacutetico de corpos riacutegidos) Aqui vamos

escolher por conveniecircncia a origem exatamente na posiccedilatildeo da carga ndash Nesse caso segue que = 0 e = Portanto o torque resultante sobre o dipolo eacute = + = times + times = times + 0

Concluindo como natildeo poderia deixar de ser o torque sobre o dipolo depende intrinsecamente de seu

momento de dipolo = pois = times = times = times

Esse resultado vale para um objeto dipolar de tamanho arbitraacuterio pois natildeo fizemos nenhuma hipoacutetese

sobre Mas eacute verdade que para um objeto microscoacutepico como uma moleacutecula fica mais faacutecil justificar a

hipoacutetese de uniformidade do campo De fato mesmo que fosse natildeo uniforme sua variaccedilatildeo dentro de

uma distacircncia microscoacutepica (como o tamanho de uma moleacutecula) seria basicamente despreziacutevel (usamos essa

mesma ideacuteia quando consideramos que a aceleraccedilatildeo da gravidade eacute uniforme proacuteximo agrave superfiacutecie da Terra)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Portanto um dipolo eleacutetrico inicialmente em repouso na presenccedila de um campo eleacutetrico externo

uniforme natildeo sai do lugar (pois a resultante das forccedilas eacute nula) mas sofre um torque e gira em torno de um

eixo que passa por seu CM O moacutedulo desse torque eacute dado por = times = sen( ) sendo o (menor) acircngulo entre os vetores e conforme a Figura ao lado Na Figura ao lado o

torque estaacute para dentro do plano da paacutegina (de acordo com a regra da matildeo direita do produto

vetorial movimento dos dedos da matildeo direita indo de para atraveacutes de implica no polegar

no sentido de times ) e portanto ele produz um giro do vetor no sentido horaacuterio alinhando o

vetor momento de dipolo eleacutetrico da moleacutecula com o vetor campo eleacutetrico externo que existe na regiatildeo

onde essa moleacutecula estaacute A posiccedilatildeo = 0 eacute uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel pois nela vale = 0 (se o

dipolo jaacute estiver nessa posiccedilatildeo ele permanece nela) e para ne ne 0 o torque gira a moleacutecula e leva o

momento de dipolo ateacute ela A posiccedilatildeo oposta = eacute uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel pois nela vale = 0 (se o dipolo jaacute estiver nessa posiccedilatildeo ele permanece nela) e para ne ne 0 o torque gira a

moleacutecula e leva o momento de dipolo para longe dela (leva para = 0)

Concluindo estamos vendo aqui um mecanismo em que podemos transferir energia cineacutetica de

rotaccedilatildeo = 2 para partiacuteculas (moleacuteculas) que possuem momento de dipolo eleacutetrico intriacutenseco como

as moleacuteculas de aacutegua Note que a moleacutecula que estiver em uma orientaccedilatildeo qualquer ne ne 0 vai sofrer um

torque que vai levaacute-la para a posiccedilatildeo = 0 de tal forma que a moleacutecula vai oscilar em torno dessa posiccedilatildeo

em um movimento pendular pois o torque natildeo eacute constante durante esse giro da moleacutecula ele alterna de

sinal conforme a moleacutecula passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio = 0 Havendo algum mecanismo de dissipaccedilatildeo

como um arraste atuando nessa moleacutecula ela vai oscilar para laacute e para caacute em torno de = 0 ateacute que vai

finalmente atingir o repouso (como um pecircndulo amortecido) A energia cineacutetica vai ser transferida para

o meio em que a moleacutecula dipolar estaacute imersa Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do forno de microondas

O forno de microondas eacute basicamente uma cavidade dentro da qual eacute gerado um campo eleacutetrico

intenso um campo eleacutetrico que muda com o tempo um campo oscilatoacuterio (de fato uma onda

eletromagneacutetica) O campo eleacutetrico oscila no tempo com uma frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo ( cong 25 GHz sendo G =

giga = 109 e comprimento de onda cong 12 cm) que estaacute na chamada faixa de microondas dentro do espectro

eletromagneacutetico daiacute o nome ldquoforno de microondasrdquo Vamos chamar esse campo de ( ) ( eacute o tempo)

Dentro do forno essas ondas eletromagneacuteticas refletem nas paredes e formam ondas estacionaacuterias com

regiotildees em que ( ) eacute mais intenso e regiotildees em que ele eacute menos intenso (daiacute a necessidade do prato

giratoacuterio) ou seja de fato ( ) = ( ) (assim como o campo magneacutetico que tambeacutem existe no forno)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Portanto imagine um pedaccedilo de alimento colocado dentro dessa cavidade e considere que esse

alimento conteacutem dentro dele aacutegua (um pedaccedilo de carne por exemplo) O alimento eacute basicamente um

substrato (carboidratos+proteiacutenas+lipiacutedeos) permeado por moleacuteculas de aacutegua (cerca de 75) As moleacuteculas de

aacutegua estatildeo laacute com seus momentos de dipolo eleacutetrico orientados ao acaso Ao ligar o forno liga-se o campo

eleacutetrico ( ) e esse campo penetra dentro do alimento atingindo as posiccedilotildees onde estatildeo as moleacuteculas de

aacutegua Cada moleacutecula sofre um torque = times ( ) e comeccedila a girar buscando a posiccedilatildeo = 0 de

alinhamento dos vetores e ( ) Em um proacuteximo instante o campo ( ) jaacute mudou jaacute estaacute em outra direccedilatildeo

e a moleacutecula de aacutegua inicia um novo giro buscando a nova posiccedilatildeo = 0 de alinhamento dos vetores e ( ) Enfim vocecirc deve ter entendido que um campo eleacutetrico vibratoacuterio vai produzir um movimento vibratoacuterio

permanente das moleacuteculas de aacutegua no interior do alimento ou seja uma produccedilatildeo permanente de

Havendo a interaccedilatildeo da aacutegua com o restante do alimento (o substrato) essa energia cineacutetica vai sendo

transferida para todo o alimento sua energia interna vai aumentando e ele vai esquentando No forno

convencional a energia teacutermica flui de fora para dentro do alimento No forno de microondas a energia

teacutermica eacute produzida dentro do proacuteprio alimento atraveacutes de e Cada moleacutecula de aacutegua eacute uma fonte

minuacutescula de calor Fornos de microondas satildeo seguros ldquovazamrdquo pouquiacutessima radiaccedilatildeo eletromagneacutetica para o

ambiente e natildeo alteram quimicamente os alimentos pois a radiaccedilatildeo utilizada natildeo tem energia suficiente para

fazecirc-lo (se vocecirc tiver interesse em mais informaccedilotildees veja o artigo Physics of the microwave oven M Vollmer

Physics Education 39 2004)

14 Distribuiccedilotildees contiacutenuas de cargas eleacutetricas

Em princiacutepio chegamos em um ponto em que podemos calcular o campo eleacutetrico (ou eletrostaacutetico) de

qualquer distribuiccedilatildeo de N cargas estaacuteticas Basta utilizar a lei de Coulomb e o princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = ( ) = 14 = 14 = 14

Essa expressatildeo para o campo eleacutetrico resultante pode ser usada para calcular o campo de qualquer

distribuiccedilatildeo microscoacutepica de cargas estaacuteticas como aacutetomos e moleacuteculas Podemos usaacute-la tambeacutem para o

caacutelculo do campo eleacutetrico de objetos macroscoacutepicos eletrizados como um pente que foi atritado no cabelo

Mas nesses casos haacute um fato importante que em princiacutepio pode ser visto como uma dificuldade mas que no

final das contas acaba por se tornar uma facilidade O fato eacute que nessas distribuiccedilotildees de cargas macroscoacutepicas

a quantidade N de cargas eleacutetricas (eleacutetrons proacutetons ou iacuteons) eacute muito grande da ordem do nuacutemero de

Avogadro (cong 10 ) e o somatoacuterio dado na expressatildeo acima se torna impraticaacutevel Imagine que atritemos uma

superfiacutecie de plaacutestico com um tecido criando nessa superfiacutecie uma eletrizaccedilatildeo ou seja arrancando ou

depositando um monte de eleacutetrons nessa superfiacutecie Esse ldquomonterdquo eacute o N que eacute da ordem do nuacutemero de

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Avogadro Aleacutem disso esse monte de cargas eleacutetricas fica concentrado em uma mancha uma mancha

localizada na superfiacutecie de plaacutestico composta de cong 10 partiacuteculas de carga eleacutetrica cong 10 C separadas

entre si por distacircncias cong 10 m Esses nuacutemeros mostram que essa mancha se aproxima muito do que

entendemos como uma distribuiccedilatildeo contiacutenua de cargas eleacutetricas em contraste com um conjunto pequeno de

cargas eleacutetricas separadas no espaccedilo que podemos chamar de uma distribuiccedilatildeo discreta de cargas

Sabemos que a mateacuteria natildeo eacute contiacutenua ela eacute discreta formada por partiacuteculas

separadas pelo vaacutecuo Mas em um niacutevel macroscoacutepico essa discretizaccedilatildeo muito fina natildeo

eacute perceptiacutevel e ldquoenxergamosrdquo a mateacuteria como se ela fosse contiacutenua Ningueacutem olha para

um copo drsquoaacutegua e vecirc um monte de bolinhas dentro do copo vemos um fluido um

contiacutenuo de aacutegua As duas imagens ao lado mostram o mesmo material (mica) visto em

duas escalas de comprimento diferentes Na primeira imagem podemos estimar o

comprimento como sendo da ordem de 1 cm (10 m) enquanto que na segunda

imagem eacute da ordem de 50 angstroms (50 times 10 m) (imagem de microscoacutepio de

forccedila atocircmica httpwwwcnsgatechedu) Na escala macroscoacutepica temos a ldquoilusatildeordquo

de que a mateacuteria ocupa continuamente uma regiatildeo do espaccedilo como uma mancha

enquanto que na escala microscoacutepica a granulaccedilatildeodiscretizaccedilatildeo (e o vazio) da mateacuteria se revela

Basicamente o que vamos fazer aqui eacute tratar as distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica em objetos

macroscoacutepicos eletrizados como distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga na esperanccedila de que os aparelhos de

medida que vatildeo ser usados para comparar os campos eleacutetricos calculados com os campos eleacutetricos

determinados experimentalmente atuam em uma escala macroscoacutepica em que a granulaccedilatildeo da mateacuteria eacute

imperceptiacutevel ou seja natildeo tem nenhum efeito praacutetico Nossos olhos satildeo eles mesmos exemplos desses

aparelhos detectores de campos eleacutetricos e eles natildeo tecircm a capacidade de discernir a discretizaccedilatildeo da mateacuteria

Encaramos a mateacuteria como contiacutenua em outros contextos como quando definimos a temperatura

termodinacircmica ou a simples densidade de massa de um gaacutes que satildeo grandezas meacutedias bem definidas apenas

se o gaacutes possui uma quantidade muito grande de partiacuteculas ou seja se o gaacutes pode ser tratado como um fluido

Qual a vantagem desse processo de limite Eacute que com ele ganhamos todas as ferramentas do caacutelculo

diferencial e integral Basicamente quando rarr infin (de fato cong 10 ) rarr 0 (de fato cong 10 C) e rarr 0

(de fato cong 10 m) que vamos chamar resumidamente de limite do contiacutenuo (LC) o somatoacuterio no campo

eleacutetrico que expressa o princiacutepio da superposiccedilatildeo se torna uma integral

( ) = lim 14 = 14 sendo a regiatildeo do espaccedilo onde estaacute definida a mancha de cargas eleacutetricas e uma porccedilatildeo infinitesimal de

carga eleacutetrica nessa mancha (uma grandeza infinitesimal eacute basicamente uma quantidade tatildeo pequena quanto

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

vocecirc queira uma espeacutecie de 1infin mas diferente de zero) A Figura 33 abaixo ilustra as grandezas envolvidas

nessa integral

A Figura 33 expressa a ideia de que esse conjunto muito grande e denso de cargas eleacutetricas pontuais

minuacutesculas separadas por distacircncias minuacutesculas vai se comportar para efeito de criaccedilatildeo de campo eleacutetrico

no espaccedilo como uma mancha contiacutenua de carga eleacutetrica definida em uma regiatildeo R do espaccedilo

Essa mancha de carga eleacutetrica eacute descrita atraveacutes de uma funccedilatildeo ( ) que daacute a densidade de carga

eleacutetrica em cada ponto da regiatildeo R Onde tem muita carga concentrada ( ) tem um valor grande onde

tem pouca carga ( ) tem um valor pequeno onde tem carga positiva ( ) tem valor positivo onde tem

carga negativa ( ) tem valor negativo e finalmente onde natildeo tem carga eleacutetrica ( ) eacute nula

Em resumo o limite do contiacutenuo transforma somatoacuterios em integrais

( ) = ( ) ( ) = 14

LC rarr infin rarr 0 rarr rarr 0

( ) =

( ) = 14 Imagine uma placa plana retangular em que atritamos uma

flanela e criamos atraveacutes de eletrizaccedilatildeo por atrito uma distribuiccedilatildeo

uma mancha de cargas eleacutetricas Trata-se para todos os efeitos de

uma distribuiccedilatildeo de cargas em uma superfiacutecie ou seja uma

distribuiccedilatildeo bidimensional (2D) de cargas eleacutetricas Na Figura ao lado

mostramos uma possibilidade para a funccedilatildeo densidade de carga

eleacutetrica ( ) que descreve essa mancha Na placa definimos um

referencial xy com origem no centro da placa e portanto

Figura 33 Ilustraccedilatildeo do limite do contiacutenuo (LC) e sua consequumlecircncia no caacutelculo do campo eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas soma rarr integral

LC rarr infinrarr 0rarr rarr 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) Ao longo de x a placa possui comprimento 628 cm (cong 2 ) e ao longo de y o comprimento eacute 2

cm Note que um lado da placa estaacute carregado positivamente foram arrancados eleacutetrons desse lado e o outro

lado estaacute carregado negativamente foram depositados eleacutetrons nesse lado A

linha central = 0 e as bordas = plusmn314 satildeo eletricamente neutras Esse eacute

simplesmente o graacutefico da funccedilatildeo ( ) = sen( ) A Figura ao lado ilustra

algumas cargas eleacutetricas distribuiacutedas nessa placa retangular mas note que nossa

hipoacutetese aqui eacute que satildeo muitas muitas mesmo cargas eleacutetricas distribuiacutedas ao

longo da placa formando uma distribuiccedilatildeo contiacutenua de cargas eleacutetricas na placa A funccedilatildeo ( ) daacute a densidade

de carga eleacutetrica no posiccedilatildeo da placa de tal forma que a carga eleacutetrica depositada em um pedacinho de

placa de aacuterea infinitesimal = eacute = ( ) = ( )

O campo eleacutetrico que essa placa produz em um ponto P qualquer do espaccedilo eacute dado por (de acordo

com a lei de Coulomb o princiacutepio da superposiccedilatildeo e o limite do contiacutenuo)

( ) = 14 = 14 ( ) = 14 ( )

sendo a distacircncia desde o ponto (xy) da placa ateacute o ponto P e um vetor unitaacuterio

que aponta do ponto (xy) da placa para o ponto P ou seja = eacute o vetor posiccedilatildeo

de P tomando o ponto (xy) na placa como origem A Figura ao lado ilustra essa ideacuteia

Na sequecircncia vamos dar alguns exemplos de aplicaccedilatildeo dessas ideacuteias para o

caacutelculo de campos eleacutetricos Eacute comum para simplificar os caacutelculos considerar que

objetos (suportes) onde satildeo depositados excessos de carga eleacutetrica podem ser

unidimensionais bidimensionais ou tridimensionais Tudo na natureza eacute tridimensional (3D) mas eacute verdade

que podemos considerar corpos que satildeo essencialmente unidimensionais (1D) como uma linha longa de nylon

(linha de pesca) ou essencialmente bidimensionais (2D) como uma folha de papel O termo ldquoessencialmenterdquo

significa aqui que se vocecirc considerar a espessura da linha de nylon ou da folha de papel natildeo faraacute diferenccedila Um

objeto essencialmente unidimensional eacute aquele em que uma das suas trecircs dimensotildees eacute bem maior que as

outras duas algo como ≫ Por exemplo uma haste de comprimento 1 metro e seccedilatildeo transversal

circular de raio 1 mm Um objeto essencialmente bidimensional eacute aquele em que duas das trecircs dimensotildees satildeo

bem maiores que a terceira algo como ≫ Por exemplo uma folha de papel de lados 20 cm 10 cm e

espessura 01 mm Um objeto tridimensional (de fato) eacute aquele em que suas trecircs dimensotildees satildeo basicamente

da mesma ordem de grandeza algo como cong cong Por exemplo uma bola de sinuca Eacute padratildeo que

densidades de carga eleacutetrica definidas em objetos 1D sejam representadas pela letra (lambda) ou seja ( ) = ( ) Da mesma forma densidades de carga definidas em objetos 2D satildeo representadas pela letra

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

+ +

+ +

P

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

(sigma) ou seja ( ) = ( ) Finalmente densidades de carga definidas em objetos (de fato) 3D satildeo

representadas pela letra (rocirc) ou seja ( ) = ( ) Consideremos um exemplo 1D um aro circular fino de raio como na

Figura 34 ao lado Imagine que atritemos esse aro com uma flanela e criemos

nele uma densidade de cargas eleacutetricas ( prime) sendo prime um ponto no aro

Vamos calcular o campo eleacutetrico que as cargas nesse aro (o ldquocampo do arordquo)

produzem em um ponto P no espaccedilo o ponto P mostrado na Figura 34

Segundo Steven Strogatz (Infinite Powers how calculus reveals the

secrets of the universe 2019) o caacutelculo integral se baseia em uma grande ideia

que ele chama de ldquoprinciacutepio do infinitordquo ldquopara desvendar uma forma objeto

movimento processo ou fenocircmeno contiacutenuo natildeo importa o quatildeo louco ou

complicado ele possa parecer imagine ele como uma seacuterie infinita de pequenas partes mais simples analise

essas partes e entatildeo somejunte os resultados novamente para entender o todordquo Seguindo essa ideia

considere um pequeno pedaccedilo de aro na posiccedilatildeo arbitraacuteria prime do aro um segmento infinitesimal de aro de

comprimento que conteacutem por hipoacutetese uma quantidade infinitesimal de carga eleacutetrica = ( prime)

Esse pedacinho de aro eletrizado produz campo eleacutetrico em P Sim ele eacute infinitesimal ( ) e eacute dado pela lei de

Coulomb estando representado pela seta roxa na Figura 34 (se gt 0) Portanto

= 14 = 14 ( prime) Pronto jaacute analisamos a parte e para chegar ao todo apenas somamos os efeitos das partes que eacute

essencialmente o que diz o princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = isin = 14 ( prime) isin

Agora devemos realizar a integral ou seja somar sobre todos os pedacinhos infinitesimais localizados ao longo

de todo o aro ( prime isin ) e estaraacute determinado o campo eleacutetrico produzido pelo aro (de fato pelas cargas em

excesso no aro) em P Note que a variaacutevel de integraccedilatildeo eacute prime ou seja a

posiccedilatildeo ao longo do aro O problema aqui estaacute exatamente em realizar essa

integral Na linguagem popular poderiacuteamos dizer que jaacute podemos comprar

uma Ferrari 0 km soacute falta o dinheiro

A integral acima que fornece ( ) pode ser realizada natildeo haacute nada de

errado com ela mas seu resultado natildeo ajuda muito pois eacute dado em termos

de integrais eliacutepticas Portanto para simplificar vamos particularizar aqui o

Figura 34 um aro fino eletrizado

z

P

Figura 35 um aro fino eletrizado

z

P

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

ponto P e a densidade de carga no aro ( prime) Vamos imaginar que P eacute um ponto sobre o eixo de simetria do

aro eixo z e que ( prime) = =constante ou seja que o aro possui uma densidade de carga uniforme ao longo

de sua extensatildeo A Figura 35 acima eacute basicamente a Figura 34 com essas hipoacuteteses incorporadas A forma mais

simples de somar vetores eacute decompocirc-los em componentes e somar cada uma das componentes

separadamente As componentes se somam como escalares pois satildeo colineares entre si Assim sendo jaacute

aproveitando o eixo z e o acircngulo na Figura 35 ficamos com

( ) = isin = +isin perpisin = cos( ) +isin isin sen( ) perp

Nessa expressatildeo acima inventamos um vetor unitaacuterio perp ortogonal ao eixo z (seria uma combinaccedilatildeo de e

ver Figura 36 adiante) Note que eacute o moacutedulo de ou seja = 14 = 14

Note tambeacutem na Figura 35 que (sendo z a distacircncia fixa de P ateacute o centro do aro) sen( ) = e cos( ) =

Portanto

( ) = 14 +isin14

isin perp

Antes de realizarmos qualquer integral devemos retirar de dentro do siacutembolo de integraccedilatildeo tudo que eacute

constante ou seja tudo que natildeo muda enquanto prime percorre o aro Vendo que = radic + eacute constante

chegamos finalmente a (lembre-se que radic = )

( ) = 4 ( + ) isin + 4 ( + ) isin perp

Note entatildeo que sobraram apenas o infiniteacutesimo de comprimento e o vetor

unitaacuterio perp dentro das integrais Na Figura 36 ao lado vemos que agrave medida que

varre o aro o vetor perp (seta vermelha) vai mudando de direccedilatildeo como o

ponteiro de um reloacutegio Assim sendo natildeo eacute difiacutecil acreditar que a integral

(soma) de perp sobre toda a extensatildeo do aro eacute nula Se vocecirc quiser provar isso

apenas projete perp no plano xy perp= cos( ) + sen( ) reconheccedila que eacute um

comprimento de arco nesse plano ou seja que = realize a integral em isin [02 ] para varrer o aro todo e conclua que as integrais satildeo nulas

Figura 36 um aro fino eletrizado perp eacute como um ponteiro de reloacutegio

z

P perp

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Conclusatildeo sendo 2 o comprimento total do aro (a integral em ) obtemos

( ) = 4 ( + ) isin = ( ) = 4 ( + ) 2

Simplificando

Como natildeo poderia deixar de ser dada a simetria da situaccedilatildeo ao longo do eixo

do aro o campo eleacutetrico eacute axial A Figura 37 ilustra algumas setas desse campo

eleacutetrico nesse eixo supondo que a carga no aro eacute positiva Note que agrave medida

que nos afastamos do aro a seta vai ficando menor pois o campo eleacutetrico decai

a zero no infinito Note tambeacutem que a expressatildeo acima se aplica para os dois

lados do aro pois deve valer (minus ) = minus ( ) (por simetria) e se trocarmos

por ndash obtemos

(minus ) = minus 2 ( + ) Para lt 0 a expressatildeo de apenas muda de sinal ( inverte de sentido)

Note tambeacutem que no centro do aro vale ( = 0) = 0 por simetria

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da magnitude ( ) versus

z supondo gt 0 ( ( ) natildeo eacute o moacutedulo do campo pois o moacutedulo eacute sempre

positivo) A inversatildeo de sinal reflete a inversatildeo de sentido dos dois lados do

aro Vemos que o campo eleacutetrico inicialmente cresce quando nos afastamos

do centro do aro atinge um pico e depois comeccedila a decair a zero Uma

partiacutecula de carga eleacutetrica negativa colocada em repouso no centro desse aro continuaria em repouso pois ( = 0) = 0 e retornaria agrave origem se fosse deslocada um pouco desse ponto sobre o eixo z (mas note que o

centro do aro eacute de fato uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel) Se nos afastarmos muito do aro ( ≫ ) obtemos

o comportamento assintoacutetico do campo eleacutetrico

( ) = 2 ( + ) rarr 2 (0 + ) = 2 = 2 4 = 4 sendo = (2 ) o excesso de carga eleacutetrica total depositado no aro Trata-se do campo eleacutetrico de uma

carga pontual localizada em z=0 Visto de longe o aro se parece com um objeto pontual e seu campo

eleacutetrico reflete esse fato se comportando assintoticamente como o campo eleacutetrico de uma carga pontual (o

campo eleacutetrico de uma carga pontual se caracteriza pelo decaimento com o quadrado da distacircncia)

Figura 37 Campo eleacutetrico sobre o eixo de um aro fino eletrizado com carga positiva

( ) = ( ) = 2 ( + )

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Considere agora um exemplo 2D Vamos calcular o campo eleacutetrico

de um disco eletrizado feito de material isolante (plaacutestico) de raio R com

uma densidade de cargas eleacutetricas superficial uniforme ( prime) ==constante ( prime isin ) Novamente para simplificar vamos calcular o

campo somente em um ponto P que estaacute no eixo de simetria do disco (eixo

z) conforme a Figura 38 ao lado

Aqui o elemento infinitesimal de carga ocupa uma aacuterea

infinitesimal do disco (um retacircngulo) e deve varrer toda a superfiacutecie do

disco ou seja seu raio ateacute a origem deve varrer o intervalo isin [0 ] enquanto que para cada raio fixo varre ainda um acircngulo (digamos )

no intervalo isin [02 ] Trata-se de uma situaccedilatildeo similar agrave do aro carregado que estudamos anteriormente

em que o disco pode ser pensado como uma sucessatildeo de aros com diferentes raios (no caso do aro soacute havia

um valor possiacutevel para = )

Os caacutelculos aqui satildeo parecidos com aqueles para o aro carregado A forma mais simples de somar

vetores eacute decompocirc-los em componentes e somar cada uma das componentes separadamente Assim sendo jaacute

aproveitando o eixo z e o acircngulo na Figura 38 ficamos com

( ) = isin = +isin perpisin = cos( ) +isin isin sen( ) perp

em que inventamos como no caso do aro um vetor unitaacuterio perp ortogonal ao eixo z (seria uma combinaccedilatildeo de

e ) Nessa expressatildeo eacute o moacutedulo de ou seja (note que = )

= 14 = 14

Note tambeacutem na Figura 38 que (sendo gt 0 a distacircncia fixa de P ateacute o centro do disco) sen( ) = e cos( ) =

Portanto

( ) = 14 +isin14

isin perp

Antes de realizarmos qualquer integral devemos retirar de dentro do siacutembolo de integraccedilatildeo tudo que eacute

constante ou seja tudo que natildeo muda enquanto prime percorre o disco Vendo que = radic + chegamos

finalmente a

z

Figura 38 um disco fino eletrizado

z

P s

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( ) = 4 ( + ) + 4 isin ( + ) isin perp

Novamente vamos apelar para a simetria do disco em relaccedilatildeo ao ponto P Notamos na Figura 38 que agrave medida

que varre o disco o vetor perp vai mudando de direccedilatildeo como o ponteiro de um reloacutegio Assim sendo natildeo eacute

difiacutecil acreditar que a integral (soma) de perp sobre toda a extensatildeo do disco (com isin [02 ]) eacute nula como jaacute

acontecia para o aro carregado (isso soacute ocorre aqui porque a parte escalar do integrando natildeo depende do

acircngulo de giro ) Portanto

( ) = 4 ( + ) isin

Para realizar essa integral soacute falta escolhermos o infiniteacutesimo de aacuterea conveniente em termos de variaacuteveis

capazes de percorrer toda a aacuterea do disco Basicamente jaacute definimos essas variaacuteveis anteriormente e natildeo eacute

difiacutecil de acreditar que elas natildeo satildeo as uacutenicas mas que satildeo as mais simples o raio ateacute a origem que deve

varrer o intervalo isin [0 ] e para cada raio fixo o acircngulo no plano do disco que

deve varrer o intervalo isin [02 ] (essas satildeo as coordenadas polares ou ciliacutendricas) A

Figura ao lado tenta ilustrar essa aacuterea infinitesimal (em cinza) que eacute basicamente

(apesar de natildeo parecer) um retacircngulo de lados e cuja aacuterea infinitesimal eacute = Substituindo na integral e explicitando os limites de integraccedilatildeo obtemos ( ) = 4 ( + )

A integral em eacute a mais simples pois soacute haacute um a integrar resultando em 2

( ) = 4 2 ( + )

Note que essa integral tem uma interpretaccedilatildeo simples em termos do campo eleacutetrico de vaacuterios aros

Lembramos que para um aro de raio R e carga eleacutetrica total obtivemos o campo eleacutetrico

( ) = 4 ( + ) Considere entatildeo que o disco eacute composto de vaacuterios (infinitos) aros de raios isin [0 ] que unidos um dentro

do outro formam o disco completo Cada um desses aros possui raio e espessura ou seja aacuterea

infinitesimal 2 e carga eleacutetrica infinitesimal = 2 Portanto vemos que

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) Voltando ao caacutelculo do campo eleacutetrico do disco buscando o resultado para a integral em em uma tabela de

integrais (ou no Maple) obtemos ( ) = ( gt 0) = 2 1 minus 1radic + = 2 1 minus radic + Vemos que essa expressatildeo natildeo se aplica para lt 0 pois deve valer (minus ) = minus ( ) (por simetria) e se

trocarmos por ndash obtemos (minus ) = 2 1 + radic + ne minus ( ) = minus 2 1 minus radic + Portanto vamos definir o campo sobre o eixo z negativo separadamente

( lt 0) = minus 2 1 + radic + O graacutefico ao lado ilustra o comportamento da magnitude ( ) versus

A inversatildeo de sinal reflete a inversatildeo de sentido nos dois lados do disco

Notamos claramente que o campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja

exatamente sobre o disco Isso eacute um comportamento comum do campo

eleacutetrico quando atravessamos uma densidade de cargas eleacutetricas superficial

qualquer Essa descontinuidade eacute apenas um artefato de nosso modelo da

realidade em que consideramos um disco que eacute infinitamente fino ou seja

uma superfiacutecie um objeto bidimensional

Sabemos que na natureza tudo eacute tridimensional tudo tem uma

espessura natildeo nula Se eletrizarmos a superfiacutecie de um disco de plaacutestico real

as cargas eleacutetricas se distribuiratildeo sobre a superfiacutecie desse disco mas

penetraratildeo tambeacutem para dentro do volume do disco por uma distacircncia de

alguns poucos angstroms A densidade de carga seraacute de fato uma e natildeo

uma O que estamos fazendo aqui em nosso modelo da realidade eacute

desprezar esses poucos angstroms e nesse contexto obtemos o campo

eleacutetrico que eacute descontiacutenuo sobre o disco O valor exato de natildeo estaacute

definido em = 0 pois ele eacute descontiacutenuo aiacute No graacutefico ao lado ilustramos

com seria o graacutefico da magnitude ( ) versus em um modelo mais realista em que o disco

possui de fato uma espessura diferente de zero (como na Figura ao lado) e em cujo volume se

distribuem uniformemente as cargas eleacutetricas depositadas nele Nesse modelo mais realista o

z

( )

z

( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

campo eleacutetrico varia abruptamente mas eacute contiacutenuo dentro do disco e se anula exatamente no centro dele

(por simetria) No limite rarr 0 esse graacutefico converge para o graacutefico anterior em que ( ) eacute descontiacutenuo (uma

convergecircncia natildeo uniforme) Nosso modelo bidimensional de distribuiccedilatildeo de cargas ( ) eacute uacutetil quando estamos

interessados apenas no campo eleacutetrico na regiatildeo fora do disco natildeo nos interessando o que acontece dentro

dos poucos angstroms de espessura do disco

Voltando ao disco fino para gt 0 quando nos aproximamos infinitamente do centro do disco

obtemos ( rarr 0) = 2 Analogamente quando nos afastamos muito do disco ( ≫ ) obtemos o comportamento assintoacutetico

(usando a expansatildeo binomial (1 + ) = 1 minus (12) sendo = cong 0)

( ≫ ) = 2 1 minus 1 + ( ) = 2 1 minus 1 minus 12 = 2 12 Concluindo definindo = a carga eleacutetrica total depositada no disco vemos que como natildeo poderia

deixar de ser ( ≫ ) = 4 Visto de longe o disco ldquoparecerdquo uma carga pontual na origem = 0

Uma uacuteltima observaccedilatildeo que podemos fazer acerca do campo eleacutetrico do disco eacute que o resultado que

obtivemos no limite rarr 0 qual seja ( rarr 0) = 2 tambeacutem pode ser obtido se ao inveacutes de fazermos rarr 0 fizermos rarr infin (para qualquer gt 0 finito) ou

seja ( rarr infin) = 2 Nesse limite o disco se torna uma superfiacutecie plana infinita carregada com densidade de carga eleacutetrica

uniforme Portanto concluiacutemos que um plano infinito com

densidade de carga eleacutetrica uniforme produz em todo o

espaccedilo um campo eleacutetrico uniforme no lado com gt 0 e um

campo uniforme de mesma magnitude mas com sentido

oposto no lado com lt 0 A Figura ao lado ilustra essa

situaccedilatildeo (para gt 0) com as setas vermelhas representando o

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

campo Note que natildeo haacute decaimento do campo com a distacircncia ao plano infinito (as setas de natildeo

diminuem e as linhas de forccedila natildeo se afastam mutuamente) Natildeo conseguimos nos afastar de um plano

infinito ele eacute sempre igualmente infinito mesmo visto de muito longe Note tambeacutem que o resultado que

obtivemos para o campo eleacutetrico do disco soacute vale para pontos sobre o eixo z central do disco enquanto que o

campo do plano infinito vale para qualquer ponto do espaccedilo pois para um plano infinito qualquer eixo eacute

igualmente distante de suas bordas (infinitamente distante) Sabemos que natildeo existem planos infinitos (trata-

se de um modelo) mas o resultado obtido acima pode ser encarado com uma boa aproximaccedilatildeo para o campo

eleacutetrico proacuteximo do centro de uma placa plana grande com densidade de carga eleacutetrica uniforme em sua

superfiacutecie

Considere o caso de uma nuvem de

tempestade como mostrado na Figura abaixo A

nuvem conteacutem acuacutemulos de cargas eleacutetricas em suas

faces superior e inferior Aleacutem disso o terreno

(condutor) logo abaixo da nuvem tambeacutem apresenta

uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas graccedilas a uma

eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Trata-se basicamente de

um sistema de planos carregados paralelos entre si e

o campo eleacutetrico no espaccedilo entre a nuvem e o

terreno eacute em uma primeira aproximaccedilatildeo a

superposiccedilatildeo de campos eleacutetricos de planos infinitos

(linhas de forccedila em amarelo na Figura ao lado) Esse

campo eleacutetrico pode ionizar o ar criando uma sopa

de iacuteons e eleacutetrons tornando o ar um condutor de

eletricidade Atraveacutes desse meio condutor cargas

eleacutetricas podem fluir entre a nuvem e a terra

constituindo um raio

A presenccedila de um objeto pontudo no

terreno como uma aacutervore um preacutedio ou um paacutera-raios poderia concentrar cargas eleacutetricas e intensificar o

campo eleacutetrico nessa regiatildeo conforme ilustrado na Figura ao lado em que percebemos uma concentraccedilatildeo de

linhas de forccedila em torno do objeto pontudo Isso poderia acarretar maior ionizaccedilatildeo do ar nessa regiatildeo e

direcionar os raios proacuteximos para o objeto pontudo Esse eacute o princiacutepio de funcionamento de um paacutera-raios

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

15 Aplicaccedilotildees

1) Considere uma haste fina de comprimento L que possui uma

densidade de carga linear uniforme Vamos calcular o campo

eleacutetrico que as cargas nessa haste produzem no ponto P mostrado

na Figura 39 O ponto P estaacute a uma altura H da extremidade direita

da haste Note que estamos desprezando aqui a espessura da

haste trata-se do modelo de um objeto unidimensional

Utilizaremos o princiacutepio da superposiccedilatildeo e o caacutelculo integral

Destacamos um segmento infinitesimal de haste de comprimento

que possui carga eleacutetrica = e que produz em P um campo eleacutetrico infinitesimal como o de uma

carga pontual

= 14 = 14 = 14

sendo (o raio) definido na Figura ao lado Em seguida decompomos o

vetor em componentes x e y utilizando o acircngulo definido nessa

mesma Figura Tudo que temos que fazer eacute somar essas componentes

de enquanto a carga infinitesimal varre a haste de uma

extremidade a outra Imaginamos que isso pode ser realizado atraveacutes

de uma integral na variaacutevel prime que eacute a posiccedilatildeo de na haste desde = 0 ateacute = Resumindo

( ) = = 4

Note na Figura que sen( ) = cos( ) = ( minus ) = + ( minus )

Portanto = cos( ) + sen( ) = ( minus ) +

Finalmente considerando ainda que = prime o vetor campo eleacutetrico em P possui as componentes (note que radic = )

( ) = 4 = 4 ( minus ) prime( + ( minus ) ) + 4 prime( + ( minus ) )

Figura 39 uma haste fina eletrizada uniformemente

x

P

y

H

x

P

y

H

prime

minus

64

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) concluiacutemos que

( ) = 4 1 minus 1radic + + radic +

Podemos fazer apenas mais uma pequena simplificaccedilatildeo

( ) = 4 1 minus radic + + radic +

Alguns casos particulares interessantes satildeo

i) rarr 0 que significa uma haste muito pequena eou uma haste vista de uma distacircncia muito grande

Nesse caso obtemos

( ) rarr 4 0 + = 4 = 4

sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste Trata-se do resultado esperado

um campo radial que decai com o quadrado da distacircncia tiacutepico de uma carga pontual

ii) rarr infin que eacute o caso de uma haste semi-infinita ou seja que se estenderia de = minusinfin ateacute = Obtemos

( ) rarr 4 [1 + 1 ] = 4 ( + ) Note que esse campo faz um acircngulo de 45deg com o eixo x para qualquer valor de

Considere agora o caacutelculo do campo eleacutetrico no ponto Prsquo

mostrado na Figura 40 ao lado Prsquo eacute um ponto que estaacute equumlidistante

das extremidades da haste Podemos calcular ( prime) utilizando nosso

resultado anterior para ( ) e o princiacutepio da superposiccedilatildeo A ideia

estaacute ilustrada na Figura que segue logo abaixo (supondo gt 0)

Dividimos a haste ao meio cada metade eacute uma haste de

comprimento L2 e mesma densidade de carga Vemos que por

simetria as componentes x das duas hastes se cancelam em Prsquo

enquanto que as componentes y se somam Conclusatildeo ( prime) = 2 ( prime)

Note que nessa expressatildeo ( prime) eacute a componente y do campo

eleacutetrico calculado anteriormente em um ponto P que estaacute a uma

altura H da extremidade direita da haste mas para uma haste de

comprimento L2 Conclusatildeo

Figura 40 uma haste fina eletrizada uniformemente

x

Prsquo

y H

x

Prsquo

y H

1 2

( prime)( prime)

65

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( prime) = 2 4 2+ ( 2)

Finalmente ( prime) = 4 + ( 2) = 4 1+ ( 2)

sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste

Novamente fazendo rarr infin que agora corresponde ao caso de uma haste infinita obtemos

( prime) rarr 2

Esse resultado poderaacute ser obtido de maneira mais raacutepida e simples no proacuteximo capiacutetulo atraveacutes da lei de

Gauss Note que no caso da haste finita o ( prime) que calculamos soacute eacute vaacutelido para pontos Prsquo equumlidistantes das

extremidades da haste enquanto que no caso da haste infinita o ( prime) obtido vale para todos os pontos no

espaccedilo (no plano xy) pois qualquer ponto eacute equumlidistante das extremidades

de uma haste infinita (infinitamente distante)

Finalmente vamos utilizar o resultado do campo eleacutetrico da haste

finita para calcular o campo eleacutetrico no ponto P mostrado na Figura ao lado

O ponto P estaacute a uma distacircncia da quina direita superior de uma placa

plana (fina ou seja bidimensional) quadrada de lado L que possui uma

densidade de carga eleacutetrica superficial uniforme Jaacute adotamos na Figura um

referencial para facilitar as coisas

A Figura ao lado ilustra a ideia que vamos utilizar para o caacutelculo de ( ) (supondo gt 0) Vamos considerar que a placa fina eacute uma ldquocolagemrdquo

de vaacuterias hastes uma ao lado da outra cada uma (em vermelho) de

comprimento L e aacuterea infinitesimal = prime A carga eleacutetrica distribuiacuteda em

uma dessas hastes eacute = = prime e o ponto P funciona como no

nosso primeiro exemplo abordado acima Se prime eacute a posiccedilatildeo em x de uma

dessas hastes vemos na Figura que a altura do ponto P jaacute definida

anteriormente fica = + minus prime com isin [0 ] Vimos que o campo eleacutetrico de uma haste de carga eleacutetrica =

no ponto P eacute

( ) = 4 1 minus radic + + radic + = 4 1 1 minus radic + + 1radic +

= + minus prime

P

x

y

P

x

y

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Portanto para uma haste de carga = prime localizada na posiccedilatildeo prime obtemos

( ) = prime4 1 1 minus radic + + 1radic + = prime4 1 minus 1radic + + radic +

com = + minus prime Agora precisamos apenas integrar na placa ou seja com = 0 ateacute = Portanto

( ) = 4 1( + minus prime) minus 1( + minus prime) + + ( + minus prime) ( + minus prime) +acute prime Consultando uma tabela de integrais (ou o Maple) obtemos

( ) = 4 ln 1 + + ln ( + ) + minus minusradic + minus+ arctanh radic + minusarctanh ( + ) +

sendo ln a funccedilatildeo logaritmo natural e arctanh a funccedilatildeo arco tangente hiperboacutelica

Apenas podemos nos arriscar a dizer (e natildeo eacute impossiacutevel provar) que no limite rarr 0 (muito longe

da placa eou para uma placa muito pequena) vamos obter

( ) rarr 4 + 0 = 4

sendo = a carga eleacutetrica total armazenada na placa quadrada

2) Vamos considerar agora o caacutelculo da forccedila eleacutetrica entre duas hastes

finas carregadas como mostrado na Figura ao lado A haste de tamanho

A possui densidade de carga uniforme enquanto que a haste de

tamanho B possui densidade de carga uniforme Vamos calcular a

forccedila eleacutetrica que a haste A produz na haste B Para obter essa forccedila

vamos inicialmente esquecer a haste B e calcular o campo eleacutetrico que a

haste A produz em um ponto qualquer do espaccedilo que seraacute ocupado

posteriormente pela haste B

A Figura ao lado resume as ideacuteias que precisamos para

calcular ( ) o campo eleacutetrico que a haste A produz em um ponto

P que seraacute ocupado depois pela haste B Mostramos um segmento

infinitesimal da haste A de carga = prime na posiccedilatildeo isin [0 ]

x

y A

B

L

x

y

A P

L

prime

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

da haste A O ponto P possui coordenada arbitraacuteria (mas constante)

Do princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = = 14 = 4 prime Decompondo o vetor em componentes obtemos = cos( ) + sen( )

Na Figura vemos que = ( minus prime) + cos( ) = sen( ) = ( minus )

Portanto

( ) = 4 cos( ) + sen( ) = 4 + ( minus )( minus prime) + prime Concluindo ( ) = 4 minus( minus ) + + + minus 1+ minus 1( minus ) +

Apenas para conferir note que se fizermos = 0 obtemos

( = 0) = 4 radic + minus 1 minus radic +

Se fizermos = obtemos

( = ) = 4 radic + + 1 minus radic +

Se fizermos = 2 obtemos

( = 2) = 4 ( 2) + + 0

Note que todos esses resultados apenas confirmam os jaacute obtidos no iniacutecio dessa seccedilatildeo

Agora vamos posicionar a haste B em sua posiccedilatildeo original e

calcular a forccedila A Figura ao lado ilustra a ideia supondo que as

hastes tenham cargas de mesmo sinal Um segmento infinitesimal da

haste B de carga = e localizado na posiccedilatildeo com isin [0 ] sofre a forccedila infinitesimal = ( ) = ( )

y

A

L

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

O que temos que fazer eacute integrar esse em toda a extensatildeo da haste B

= = ( )

Substituindo a expressatildeo acima de ( ) integrando e definido ∆= minus obtemos

= 4 1 + + + minus ∆ + minus + ln radic∆ + + ∆radic + + radic + minus

Vamos analisar alguns casos particulares interessantes Para = ∆= 0 obtemos

ln radic∆ + + ∆radic + + radic + minus rarr ln radic + minus = ln(1) = 0

Portanto confirmando a simetria da configuraccedilatildeo vemos que a forccedila entre duas hastes de tamanhos iguais

(A) estaacute ao longo de x e eacute dada por (jaacute substituindo as cargas = e = )

= 2 1 + minus 1

No caso limite cong 0 obtemos 1 + = 1 + (12) e portanto

rarr 2 1 + 12 minus 1 = 4

Como natildeo poderia deixar de ser obtivemos a forccedila entre duas cargas eleacutetricas pontuais distanciadas de L

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

2 Lei de Gauss

21 Fluxo de um campo vetorial

Agraves vezes temos que dar uma pausa no caacutelculo de campos eleacutetricos para tentar encontrar propriedades

gerais desse campo que nos permitam entendecirc-lo melhor entender melhor o eletromagnetismo e a natureza

Ao fazer isso pode ocorrer de encontrarmos uma nova ferramenta para o proacuteprio caacutelculo do campo eleacutetrico

Uma ferramenta mais sofisticada e de aplicaccedilatildeo mais simples em alguns casos quando comparada com a

simples aplicaccedilatildeo da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo (que poderiacuteamos chamar de ldquoforccedila

brutardquo) A lei de Gauss estabelece uma relaccedilatildeo vaacutelida para o campo eleacutetrico expressa por

∙ =

O que vamos fazer nesse capiacutetulo eacute estudar essa lei esboccedilar sua deduccedilatildeo (sem muito rigor) a partir da

lei de Coulomb e analisar suas consequumlecircncias e aplicaccedilotildees como uma ferramenta para o caacutelculo do campo

eleacutetrico de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas

Comeccedilamos pela interpretaccedilatildeo da integral de que aparece na lei de Gauss que eacute chamada de ldquofluxo

do campo eleacutetrico na superfiacutecie fechada SG (superfiacutecie gaussiana)rdquo

Jaacute fizemos uma analogia entre a interaccedilatildeo entre cargas eleacutetricas e a interaccedilatildeo entre bloquinhos

flutuando na aacutegua e aqui vamos apelar novamente para uma analogia semelhante O termo ldquofluxordquo eacute de faacutecil

entendimento quando nos referimos a um fluido aacutegua por exemplo que flui em uma regiatildeo ou tubulaccedilatildeo

Considere entatildeo um tubo grande onde flui aacutegua Consideraremos aqui que a aacutegua eacute um fluido incompressiacutevel

o que natildeo estaacute muito longe da realidade Com isso queremos dizer que se vocecirc apertar um pistatildeo cheio de

aacutegua a variaccedilatildeo de volume (compressatildeo) seraacute despreziacutevel Analogamente a aacutegua natildeo aumenta de volume

Resumindo sua densidade eacute constante enquanto ela flui Em cada ponto dentro do tubo a aacutegua possui uma

velocidade ( ) Se a aacutegua estivesse estagnada como em um tubo fechado entatildeo valeria ( ) = 0 para todo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Note que se a aacutegua fosse compressiacutevel como um gaacutes rarefeito ela poderia estar fluindo mesmo com o tubo

fechado apenas se comprimindo contra uma parede da tubulaccedilatildeo Daiacute percebemos a importacircncia da hipoacutetese

de incompressibilidade ela simplifica a interpretaccedilatildeo do fenocircmeno Vamos iniciar com o caso mais simples a

aacutegua estaacute fluindo com a mesma velocidade em todos os pontos dentro do tubo ou seja ( ) = para todo

A Figura 1 abaixo ilustra os dois casos a aacutegua fluindo de forma arbitraacuteria (a) e a aacutegua fluindo com velocidade

uniforme (b) Note que ( ) eacute um campo definido no espaccedilo fora do tubo vale ( ) = 0 (ou o campo ( ) natildeo estaacute nem definido posto que nessa regiatildeo natildeo haacute fluido) e dentro do tubo vale ( ) ne 0 Satildeo mostradas

(em vermelho) algumas setas do campo ( )

Suponha agora que mergulhemos uma peneira ou seja uma superfiacutecie permeaacutevel agrave aacutegua retangular

de lados e e nos perguntemos qual o fluxo de aacutegua atraveacutes da peneira ou seja quantos metros cuacutebicos de

aacutegua atravessam essa peneira a cada segundo Essa grandeza tambeacutem eacute

chamada nesse contexto de vazatildeo A Figura ao lado ilustra essa ideia (imagine

que a peneira em cinza estaacute obliacutequa e natildeo no plano da paacutegina) Natildeo eacute difiacutecil de

acreditar que o fluxo de aacutegua atraveacutes dessa peneira que vamos chamar de

(fi) depende da magnitude da velocidade da aacutegua ( ) maior velocidade maior

fluxo depende da aacuterea da peneira ( = ) maior aacuterea maior fluxo mas

depende tambeacutem de um acircngulo de inclinaccedilatildeo entre a peneira e o campo (digamos ) Algo como o acircngulo

entre as linhas tracejadas verde a azul na Figura Se essas linhas forem paralelas entre si por exemplo natildeo

haveraacute fluxo pois a aacutegua vai tangenciar a peneira sem atravessaacute-la Concluindo = ( ) Agora vamos obter essa funccedilatildeo Para isso vamos construir um paralelepiacutepedo mergulhado na aacutegua

cuja uma das faces eacute a peneira de aacuterea A Figura 2 abaixo ilustra essa construccedilatildeo Note que trata-se de um

paralelepiacutepedo obliacutequo por causa do acircngulo ou definido na Figura 2 arbitraacuterio Nessa Figura definimos

um vetor que eacute ortogonal (normal) agrave peneira e que forma portanto um acircngulo com a direccedilatildeo da

Figura 1 (a) aacutegua fluindo em um tubo ciliacutendrico com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) natildeo uniforme

Figura 1 (b) aacutegua fluindo em um tubo ciliacutendrico com campo de velocidades ( ) = (setas vermelhas) uniforme

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

velocidade da aacutegua Note que tambeacutem eacute o acircngulo de obliquumlidade do paralelepiacutepedo e que portanto o

volume desse paralelepiacutepedo eacute Δ = cos( )

O comprimento eacute arbitraacuterio Agora podemos partir para o caacutelculo do fluxo ou seja a quantidade

(volume) de aacutegua que passa pela peneira a cada segundo A ideia eacute simples toda a aacutegua que estaacute no

paralelepiacutepedo vai passar pela peneira em um tempo Δ = Estando a

peneira fixa podemos imaginar o paralelepiacutepedo fluindo junto com a aacutegua

como se fosse uma gaveta que desliza na direccedilatildeo de A ideia estaacute ilustrada ao

lado O volume da gaveta eacute Δ e o tempo que demora para a gaveta passar para

o outro lado da peneira eacute Δt Portanto concluiacutemos que = Δ Δt ou seja

= ΔΔt = cos( ) = cos( ) Essa eacute a funccedilatildeo = ( ou ) que estaacutevamos procurando Podemos escrever esse fluxo de uma forma

mais compacta e elegante se definirmos o vetor aacuterea = e reconhecermos que eacute o acircngulo entre os

vetores e (ou e ) Segue que = cos( ) = ∙ = ∙

sendo que o ponto (∙) nessa equaccedilatildeo representa a operaccedilatildeo de produto escalar entre os vetores e Vemos

entatildeo que o fluxo de aacutegua atraveacutes da peneira eacute maacuteximo se a peneira estiver com seu plano ortogonal agrave direccedilatildeo

de (caso = 0 e cos( ) = 1) e eacute nulo se a peneira estiver colocada paralelamente agrave direccedilatildeo de (caso = 90 e cos( ) = 0) Note que o fluxo pode ser negativo se orientarmos a normal no sentido oposto ao

mostrado na Figura 2 De fato para uma superfiacutecie aberta como essa peneira haacute sempre duas normais

possiacuteveis e minus e a escolha eacute arbitraacuteria Um fluxo negativo significa apenas que a aacutegua estaacute fluindo em um

sentido oposto ao que adotamos para Eacute importante frisar que o fluxo pode ser positivo negativo ou

nulo dependendo da orientaccedilatildeo da peneira e do sentido que escolhemos para Se na Figura 2 obtiveacutessemos

um fluxo = minus10 m3s concluiriacuteamos que como a normal adotada nos caacutelculos estaacute apontando para a

direita entatildeo a aacutegua estaria fluindo para a esquerda com uma vazatildeo de 10 m3s ou seja o campo de

velocidades estaria de fato no sentido oposto ao representado nessa Figura

Figura 2 Partindo de uma peneira retangular mergulhada em um tubo em que flui aacutegua construiacutemos um paralelepiacutepedo obliacutequo que tem a peneira com base (seta verde) eacute um vetor ortogonal agrave peneira

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A lei de Gauss envolve o fluxo do campo eleacutetrico no lugar de e natildeo podemos interpretar esse fluxo

como a vazatildeo de alguma substacircncia no espaccedilo Trata-se do fluxo desse campo de forccedila Aleacutem disso a lei de

Gauss envolve apenas fluxos em superfiacutecies fechadas ou seja superfiacutecies sem buracos ou bordas Por isso jaacute

vamos introduzir essa ideia aqui

A Figura 3 abaixo mostra a mesma aacutegua fluindo com velocidade mas agora queremos calcular o

fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie fechada formada pelas seis faces do paralelepiacutepedo que vamos chamar de

superfiacutecie S Em cada face definimos um vetor ortogonal apontando para fora do paralelepiacutepedo (por

convenccedilatildeo) ou seja eacute um campo vetorial que assume um valor diferente em cada uma das faces ( ) eacute o

valor do campo na face do paralelepiacutepedo Note que agora vamos supor que essa superfiacutecie fechada que eacute

a peneira estaacute parada e que a aacutegua passa por ela entrando por um lado e saindo pelo outro

O fluxo de aacutegua atraveacutes de S eacute (tendo em vista nosso resultado anterior para apenas uma face = ∙ )

= = ∙ ( ) ( ) sendo ( ) a aacuterea da face cujo valor natildeo importa muito agora Vemos na Figura que na face 1 vale = cos( ) (fluxo positivo porque a aacutegua sai de S atraveacutes dessa face) na face 3 vale (note que ( ) = minus ( )) = minus cos( ) ((fluxo negativo porque a aacutegua entra em S atraveacutes dessa face)) e nas outras

faces vale = 0 (a aacutegua tangencia essas faces) pois nelas o campo eacute ortogonal agrave ( ) Portanto concluiacutemos

que = 0 O significado desse resultado eacute simples ele estaacute dizendo que a aacutegua que entra em S sai e vice-

versa Podemos afirmar aqui que isso eacute verdade para qualquer movimentaccedilatildeo da aacutegua ou seja qualquer

campo de velocidades ( ) e qualquer superfiacutecie S Isso porque estamos supondo que a aacutegua eacute

incompressiacutevel De fato considere que estando apontando para fora dessa superfiacutecie fechada S qualquer

entatildeo o fluxo atraveacutes de S eacute a vazatildeo de aacutegua que atravessa a superfiacutecie S no sentido para fora ou seja a

vazatildeo que sai do volume dentro de S e vai para a regiatildeo exterior agrave S Portanto um fluxo positivo significaria

que tem mais aacutegua saindo do que entrando em S Analogamente um fluxo negativo significaria que tem

Figura 3 Agora queremos calcular o fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie fechada do paralelepiacutepedo (que vamos chamar de S) (setas verdes) eacute um vetor ortogonal a cada face do paralelepiacutepedo apontando para fora dele = ( ) eacute ele mesmo um campo de vetores definido em S

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

mais aacutegua entrando do que saindo de S Um fluxo nulo significa que o que entra sai que eacute o que tem que valer

para um fluido incompressiacutevel Considere por exemplo que valesse lt 0 entatildeo entraria mais aacutegua em S do

que sairia de onde concluiriacuteamos que a aacutegua estaria comprimindo dentro de S pois aacutegua natildeo pode

simplesmente desaparecer Note que o resultado = 0 portanto natildeo significa que natildeo flui aacutegua atraveacutes da

superfiacutecie fechada S significa apenas que o mesmo que flui para dentro flui para fora de S

Agora podemos generalizar o conceito de fluxo para uma superfiacutecie qualquer aberta ou fechada A

Figura 4 abaixo ilustra uma superfiacutecie aberta de forma arbitraacuteria Aproveitamos para abandonar a hipoacutetese de

que a aacutegua flui com velocidade uniforme ( ) = e vamos supor que a aacutegua flui com velocidade arbitraacuteria

dada pela funccedilatildeo ( ) qualquer

A ideia eacute basicamente aquela (do caacutelculo integral) que mencionamos no capiacutetulo 1 toma-se uma parte

infinitesimal de S calcula-se o fluxo de aacutegua nessa parte e depois faz-se a soma sobre toda a superfiacutecie S

Fato eacute que sendo infinitesimal tudo funciona como na Figura 2 para ou seja os campos ( ) e ( ) satildeo localmente uniformes em uma aacuterea infinitesimal Portanto o fluxo em eacute infinitesimal e eacute dado por = ( ) ∙ ( ) = ( ) cos ( )

Nessa expressatildeo podemos ser mais especiacuteficos e enfatizar que tudo depende do ponto da superfiacutecie S

escrevendo explicitamente ( ) = ( ) ∙ ( ) ( ) = ( ) cos ( ) ( ) Mas por conveniecircncia vamos fazer o contraacuterio e deixar todas as dependecircncias em impliacutecitas e escrever = ∙ = cos( )

que eacute basicamente o que todo mundo faz

Concluindo o fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie S na Figura 4 eacute

= = ∙ = cos( )

Figura 4 Uma superfiacutecie S aberta de forma arbitraacuteria eacuteatravessada por aacutegua que flui de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea

e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto

( )

( ) ( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Para aplicar essa mesma ideia a superfiacutecies fechadas simplesmente colocaremos uma bolinha no

siacutembolo de integral e convencionaremos que nesse caso o campo deve apontar obrigatoriamente para fora

de S A Figura 5 abaixo mostra uma superfiacutecie S fechada de forma ciliacutendrica como uma lata de cerveja

Escolhemos essa superfiacutecie apenas por conveniecircncia mas estamos considerando aqui que S pode ter qualquer

forma como se fosse um balatildeo de gaacutes qualquer Mas note S eacute de fato uma superfiacutecie imaginaacuteria um objeto

matemaacutetico S natildeo eacute feita de nada ela eacute um objeto abstrato O fluxo de aacutegua na superfiacutecie S da Figura 5 eacute

(deixando as dependecircncias em impliacutecitas)

= = ∙ = cos( )

Podemos afirmar sem nenhum caacutelculo que sendo a aacutegua incompressiacutevel e estando ela fluindo de

forma arbitraacuteria vale = 0 para qualquer superfiacutecie fechada

Agora vamos direcionar as ideacuteias para finalmente fazermos uma analogia entre o fluxo de aacutegua que

estamos estudando aqui e a lei de Gauss Para isso precisamos aumentar um pouco o niacutevel de abstraccedilatildeo

Vamos definir ldquofontesrdquo e ldquosumidourosrdquo de aacutegua Considere uma torneira e um ralo ideais como mostrados na

Figura 6 abaixo

A diferenccedila da torneira ideal mostrada na Figura 6 (a) para a torneira real eacute que na torneira real a aacutegua

apenas passa por ela chegando por um cano e saindo pelo bico da torneira Na torneira ideal natildeo haacute cano a

aacutegua nasce nela ela eacute uma fonte de aacutegua Analogamente a diferenccedila do ralo ideal mostrado na Figura 6(b)

Figura 5 Uma superfiacutecie S fechada de forma ciliacutendrica eacuteatravessada por aacutegua que flui de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto

( )

( ) ( )

( )

( )

Figura 6 (a) Uma torneira ideal eacute uma ldquofonterdquo de aacutegua ou seja a aacutegua nasce na torneira

6 (b) Um ralo ideal eacute um ldquosumidourordquo de aacutegua ou seja a aacutegua desaparece no ralo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

para o ralo real eacute que no ralo real a aacutegua apenas passa por ele chegando na abertura do ralo e saindo pelo

cano No ralo ideal natildeo haacute cano a aacutegua desaparece nele ele eacute um sumidouro de aacutegua Na Figura 6 para

simplificar substituiacutemos os vetores do campo de velocidades ( ) pelas linhas de fluxo (em vermelho) que

satildeo anaacutelogas agraves linhas de forccedila para um campo de forccedila Note que jaacute adiantando a analogia que queremos

fazer aqui a torneira eacute anaacuteloga a uma carga eleacutetrica positiva enquanto que o ralo eacute anaacutelogo a uma carga

eleacutetrica negativa Podemos atribuir a essas torneiras e ralos ideais uma intensidade uma vazatildeo proacutepria Por

exemplo suponha que da torneira saiam litros de aacutegua por segundo eou que no ralo entrem litros de

aacutegua por segundo e satildeo propriedades desses objetos assim como as cargas eleacutetricas satildeo propriedades de

partiacuteculas

Na Figura 7 (a) mostramos uma superfiacutecie fechada qualquer S que tem dentro dela uma torneira de

vazatildeo Qual o fluxo de aacutegua atraveacutes de S Devemos nos esforccedilar para entender que na Figura 7 a superfiacutecie

S eacute representada por uma curva azul mas que se trata de fato de uma superfiacutecie no espaccedilo 3D como um

balatildeo cheio de gaacutes mas apenas uma superfiacutecie imaginaacuteria

Podemos afirmar sem nenhuma duacutevida que

= ∙ =

Analogamente na Figura 7 (b) em que S engloba um ralo ideal de vazatildeo podemos afirmar que o fluxo de

aacutegua atraveacutes de S eacute

= ∙ = minus

Para entender esses resultados basta lembrar que eacute o saldo de aacutegua que sai da superfiacutecie S Se natildeo

houvesse a torneira ou o ralo dentro de S entatildeo a aacutegua apenas passaria por S entrando por um lado ( lt 0) e

Figura 7 (a) Uma torneira ideal de vazatildeo estaacute dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

S S

7 (b) Um ralo ideal de vazatildeo estaacute dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

saindo pelo outro ( gt 0) e valeria = 0 Se haacute uma torneira dentro de S o saldo de aacutegua que sai de S eacute a

vazatildeo dessa torneira Havendo um ralo o saldo eacute negativo porque a aacutegua entra e natildeo sai ( eacute oposto a nesse caso) e o fluxo atraveacutes de S eacute o que entra no ralo com o sinal trocado = minus

Na Figura 8 abaixo tentamos convencer o leitor de que

= ∙ = = = ∙

Com essa igualdade queremos dizer que a aacutegua que sai da torneira ideal tem que passar por S1 e por

S2 caso contraacuterio a aacutegua estaria comprimindo ou expandindo dentro do volume delimitado entre essas duas

superfiacutecies Enfim para qualquer superfiacutecie fechada que engloba essa torneira vale = A mesma ideia vale

para um ralo com vazatildeo apenas lembrando que nesse caso = minus (aacutegua entrando em S)

Finalmente a Figura 9 sintetiza todas as ideias que queriacuteamos discutir aqui Uma superfiacutecie fechada S

engloba uma torneira de vazatildeo e um ralo de vazatildeo Aleacutem disso representamos uma linha de corrente que

apenas passa por S Essa linha representa aacutegua que vem de outro lugar de outras torneiras e que vai para

outros ralos distantes de S Qual o fluxo de aacutegua atraveacutes de S

Figura 9 Uma torneira ideal de vazatildeo e um ralo ideal de vazatildeo estatildeo

dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

S

Figura 8 Uma torneira ideal de vazatildeo estaacute dentro de superfiacutecies fechadas S1 e S2 Note S1 e S2 natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies no espaccedilo 3D

S2

S1

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A resposta eacute simples

= ∙ = minus

Concluindo a quantidade de aacutegua que sai de S eacute o saldo do que sai da torneira e entra no ralo que

estatildeo contidos em S O que sobrar ou faltar desse saldo teraacute que necessariamente passar por S Por exemplo

imagine que saia da torneira = 10 m3s de aacutegua e que entre no ralo apenas = 6 m3s Entatildeo a diferenccedila minus = 4 m3s teraacute que sair atraveacutes de S sair e procurar outros ralos fora de S ou fluir para o infinito

Analogamente imagine que saia da torneira apenas = 7 m3s de aacutegua e que entre no ralo = 20 m3s

Entatildeo a diferenccedila minus = minus13 m3s teraacute que entrar atraveacutes de S vindo de outras torneiras fora de S ou do

infinito Para um ldquodipolordquo por exemplo que seria formado por uma torneira de vazatildeo e um ralo de vazatildeo = vale = 0 pois natildeo sobra ou falta nada para passar obrigatoriamente atraveacutes de S A aacutegua que

estiver entrando em S vai ter que sair e vice-versa pois a torneira e o ralo se completam

Poderiacuteamos apenas dar um uacuteltimo passo nesse formalismo e considerar que torneiras possuem vazotildees

positivas e ralos possuem vazotildees negativas (por exemplo para uma torneira pode valer = 10 m3s e

para um ralo = minus10 m3s) Portanto para uma superfiacutecie fechada S que engloba torneiras e ralos o

fluxo de aacutegua eacute

= ∙ = + =

sendo o saldo total de vazatildeo das torneiras e ralos internos ( ) agrave superfiacutecie S Para um ldquodipolordquo por

exemplo (uma torneira e um ralo de mesma vazatildeo em moacutedulo) = + (minus ) = 0 O subindice INT

significa que torneiras e ralos externos agrave S natildeo contribuem para o fluxo atraveacutes de S A aacutegua que vem dessas

torneiras ou que vai para esses ralos externos agrave S apenas passa por S entra por um lado e sai pelo outro

Concluindo chegamos agrave seguinte lei que daacute o fluxo em superfiacutecies fechadas S desse fluido

incompressiacutevel hipoteacutetico que nasce em torneiras ideais e desaparece em ralos ideais

= ∙ =

sendo a vazatildeo interna agrave S ou seja eacute a soma algeacutebrica das vazotildees das torneiras e ralos ideacuteias que

estatildeo englobados pela superfiacutecie S As torneiras e ralos que estatildeo fora de S natildeo interessam Por maior que seja

a quantidade de fluido que saia eou entre nessas torneiras e ralos externos eles natildeo contribuem para

Agora podemos voltar agrave lei de Gauss do eletromagnetismo

78

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

22 Lei de Gauss

A ideia expressa acima para o fluxo de aacutegua eacute a mesma ideia da lei de Gauss Trocando por

(linhas de fluxovelocidade por linhas de forccedila) torneiras por cargas eleacutetricas positivas e ralos por cargas

eleacutetricas negativas (vazotildees em torneiras e ralos por ) obtemos

= ∙ =

Na Figura 10 abaixo ilustramos a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss para o caso em que haacute apenas uma carga

pontual gt 0 no espaccedilo As linhas de forccedila de satildeo radiais (tomando como centro) e atravessam S Se

estiver fora de S as linhas de forccedila entram ( lt 0) e saem ( gt 0) de S e o saldo eacute = 0 Se estiver dentro

de S as linhas de forccedila apenas saem de S e o saldo eacute = gt 0 Nesse uacuteltimo caso se fosse negativa as

linhas de forccedila apenas entrariam em S e o saldo seria = lt 0

Natildeo pretendemos provar a lei de Gauss rigorosamente

Apenas mostraremos que o resultado eacute razoaacutevel para uma carga

pontual e depois apelaremos para o princiacutepio da superposiccedilatildeo

Considere a Figura 11 que mostra uma carga pontual englobada

por uma superfiacutecie fechada qualquer S (em azul) Queremos

calcular o fluxo de atraveacutes de S que chamaremos de Natildeo

pretendemos calcular esse fluxo atraveacutes de uma integral de em

S mesmo porque a superfiacutecie S nem foi especificada

S

S

Figura 10 (a) Uma carga pontual externa a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana) Nesse caso = 0 Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

(b) Uma carga pontual interna a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana) Nesse caso = Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

Figura 11 Uma carga pontual interna a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana em azul) Outra superfiacutecie esfeacuterica SE (em roxo) tambeacutem engloba Note S e SE natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas no espaccedilo 3D

S

SE

79

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Entatildeo apelamos para uma propriedade importante das linhas de forccedila de Primeiramente definimos

uma nova superfiacutecie esfeacuterica SE (em roxo) que eacute especificamente uma superfiacutecie esfeacuterica centrada em Seja

o fluxo de atraveacutes de SE Tudo que precisamos para provar validade da lei de Gauss nesse contexto eacute

acreditar que =

ou seja precisamos acreditar que as linhas de forccedila de que nascem em tem que atravessar a superfiacutecie S e

antes disso elas tem que ter atravessado a superfiacutecie SE Isso porque linhas de forccedila natildeo podem simplesmente

terminar no espaccedilo vazio que eacute o que existe na vizinhanccedila de por hipoacutetese A analogia entre cargas

eleacutetricas e torneirasralos ideais nos ajuda a acreditar que essa igualdade acima eacute razoaacutevel Vamos partir dela

O caacutelculo de eacute imediato pois nesse caso = e na superfiacutecie SE o raio ateacute a carga eacute

constante Portanto tendo em vista a lei de Coulomb para o campo eleacutetrico de uma carga pontual

= ∙ = 4 ∙ = 4 = 4 = 4 4 =

Usamos nessa equaccedilatildeo que a aacuterea de uma superfiacutecie esfeacuterica de raio eacute = 4 Concluindo tendo em

vista a igualdade entre os fluxos em S e em SE deduzimos que qualquer que seja a forma da superfiacutecie S que

passaremos a chamar de superfiacutecie gaussiana SG vale a igualdade

= ∙ =

se a carga eleacutetrica estiver em qualquer lugar dentro de SG Se estiver fora de SG entatildeo = 0 (toda linha

de forccedila que entrasai emde SG saientra e o saldo eacute zero)

Para finalizar apelamos para o princiacutepio da superposiccedilatildeo todos os campos eleacutetricos estaacuteticos satildeo

campos resultantes de um conjunto de cargas pontuais estaacuteticas Entatildeo se a lei de Gauss vale para uma carga

pontual segue que ela vale para uma quantidade arbitraacuteria de cargas Dessa quantidade de cargas

somente as que satildeo internas a uma superfiacutecie fechada SG contribuem para Chamaremos esse (saldo)

total de cargas eleacutetricas internas de Portanto a lei de Gauss diz que

= ∙ =

Para as cinco cargas eleacutetricas e as duas superfiacutecies fechadas mostradas na Figura 12 abaixo por

exemplo a lei de Gauss diz que

80

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ = + + = ∙ = +

Note que nas duas expressotildees acima eacute o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo ou seja o campo

eleacutetrico das cinco cargas eleacutetricas mostrada na Figura 12 que eacute dado por

= 4 somado ainda ao campo eleacutetrico de outras cargas que porventura existam fora de SG1 e SG2 e que natildeo estatildeo

mostradas nessa Figura Por mais complicado que seja esse campo a lei de Gauss fornece imediatamente a

resposta para o caacutelculo do fluxo desse campo eleacutetrico em qualquer superfiacutecie fechada que imaginarmos Basta

olhar o saldo de cargas eleacutetricas englobado por essa superfiacutecie

Na Figura 13 abaixo mostramos mais um exemplo em que uma superfiacutecie gaussiana SG qualquer

engloba um objeto dipolar (eletricamente neutro) bem pequeno que poderia ser uma moleacutecula de aacutegua

Nesse caso vale = 0 pois = 0 Toda linha de forccedila de que sai da superfiacutecie SG volta e entra nessa

superfiacutecie resultando em um fluxo nulo Eacute o que afirma a lei de Gauss

Note esse exemplo simples mostra que = 0 natildeo significa que natildeo haacute linhas de campo eleacutetrico

atravessando a superfiacutecie SG = 0 significa apenas que o que entra sai e vice-versa

Figura 13 Uma superfiacutecie gaussiana SG (em vermelho) engloba um dipolo eleacutetrico pontual Note SG natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie fechada no espaccedilo 3D

SG

Figura 12 Cinco cargas pontuais fixas e duas superfiacutecies gaussianas fechadas SG1 (em azul) e SG2 (em vermelho) Note SG1 e SG2 natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas no espaccedilo 3D

SG2

SG1

81

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

23 Aplicaccedilotildees da Lei de Gauss

Daqui para diante partiremos da validade da lei de Gauss que seraacute usada como uma ferramenta para

abordarmos problemas de eletrostaacutetica

231 Comportamento eletrostaacutetico dos condutores

Vamos comeccedilar discutindo propriedades gerais que satildeo satisfeitas por condutores isolados no

contexto da eletrostaacutetica

Um condutor (mais especificamente um condutor perfeito) eacute um material que possui um manancial

ilimitado de partiacuteculas com carga eleacutetrica que podem se mover livremente dentro de seu volume Essas

partiacuteculas livres satildeo chamadas de portadores de carga e vamos falar um pouco mais sobre elas quando

estudarmos correntes eleacutetricas Nos metais por exemplo os portadores de carga satildeo eleacutetrons Nesses

materiais as cargas positivas fixadas nos nuacutecleos atocircmicos natildeo se movem Um excesso de carga eleacutetrica

positiva em um metal eacute de fato um deacuteficit de eleacutetrons (agrave medida que os eleacutetrons vatildeo fluindo e preenchendo

esses deacuteficits podemos ter a impressatildeo de que satildeo as cargas positivas que estatildeo se movendo) Em uma

soluccedilatildeo eletroliacutetica como a mistura aacutegua+sal os portadores de carga podem ser iacuteons positivos e negativos

Aqui vamos admitir para simplificar que estamos tratando de condutores idealmente perfeitos (ou seja que

possuem um manancial infinito de portadores de carga eleacutetrica) Os metais como a prata e o cobre estatildeo

razoavelmente proacuteximos desse ideal Na natureza haacute tambeacutem os materiais isolantes em cujo volume natildeo haacute

portadores de carga eleacutetrica pois nenhuma das suas partiacuteculas constituintes possui mobilidade Podemos

mencionar tambeacutem os materiais semicondutores que possuem uma capacidade de conduccedilatildeo de cargas

eleacutetricas intermediaacuteria entre a dos condutores e a dos isolantes Toda a tecnologia eletrocircnica moderna se

baseia nesse comportamento intermediaacuterio e por isso controlaacutevel da conduccedilatildeo eleacutetrica dos semicondutores

Nas Figuras 14 (a) e (b) abaixo ilustramos a diferenccedila essencial entre um condutor soacutelido um metal

por exemplo e um isolante Mostramos o que seriam trecircs aacutetomos na vizinhanccedila da superfiacutecie do material ou

seja na fronteira materialvaacutecuo No isolante os eleacutetrons estatildeo atrelados aos nuacutecleos sendo no maacuteximo

compartilhados entre aacutetomos primeiros vizinhos no material como em uma ligaccedilatildeo covalente Esses eleacutetrons

podem apenas circular em uma regiatildeo restrita em torno de seu aacutetomo de origem Nos metais os eleacutetrons mais

externos nos aacutetomos possuem mobilidade ou seja eles fluem atraveacutes de todo o volume do condutor saltando

de um aacutetomo para outro Esses eleacutetrons satildeo os portadores de carga eleacutetrica Para que eles fluam basta que

atue sobre eles um campo de forccedila ou seja um campo eleacutetrico (mais adiante veremos que esse campo de

forccedila pode ser tambeacutem um campo magneacutetico) Nos condutores perfeitos existe um manancial ilimitado de

portadores de carga eleacutetrica (nos metais eles satildeo cong1024) Note que todos os materiais satildeo em princiacutepio

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

eletricamente neutros Os portadores de carga nos metais natildeo constituem um excesso de carga eleacutetrica nesses

materiais eles satildeo eleacutetrons do proacuteprio material

A presenccedila dessa mobilidade para as cargas eleacutetricas nos condutores os torna especiais mesmo no

contexto simples da eletrostaacutetica Resumidamente podemos adiantar que os condutores possuem a

capacidade de blindar algumas regiotildees do espaccedilo da influecircncia de campos eleacutetricos que eacute o princiacutepio de

funcionamento da gaiola de Faraday

Considere que no contexto da eletrostaacutetica todas as partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica devem

estar estaacuteticas paradas em suas posiccedilotildees de equiliacutebrio Em um isolante essa situaccedilatildeo natildeo parece muito difiacutecil

de ser atingida posto que os eleacutetrons e proacutetons natildeo possuem mobilidade nesses materiais (eles podem

apenas se deslocar um pouco em torno de suas posiccedilotildees de equiliacutebrio) A situaccedilatildeo eacute mais interessante quando

consideramos um material condutor um metal por exemplo Dentro do volume desse metal haacute eleacutetrons que

podem se mover e fluir para laacute e para caacute nas trecircs dimensotildees do espaccedilo Na superfiacutecie dos metais a mobilidade

desses eleacutetrons livres eacute mais restrita eles podem se moverfluir livremente apenas nas duas direccedilotildees paralelas

agrave superfiacutecie Na direccedilatildeo ortogonal agrave superfiacutecie os eleacutetrons natildeo podem se mover para fora do metal (para o

vaacutecuo) posto que eles estatildeo ligados a essa estrutura de partiacuteculas (atraveacutes da ligaccedilatildeo metaacutelica) Na ausecircncia

de uma forccedila resultante sobre esses eleacutetrons livres eles estaratildeo naturalmente estaacuteticos em alguma posiccedilatildeo

de equiliacutebrio Eacute o que acontece em um metal isolado e em repouso (sem gradientes de temperatura etc)

Sendo a gravidade despreziacutevel a forccedila resultante que poderia atuar sobre esses eleacutetrons em um bloco de

metal em repouso seria um campo eleacutetrico produzido por exemplo por cargas eleacutetricas estaacuteticas

colocadas proacuteximas desse metal Esse campo eleacutetrico existe dentro do volume do metal e vai colocar os

portadores de carga para fluir sob accedilatildeo da forccedila = sendo a carga de um portador Admitindo que a

eletrostaacutetica eacute possiacutevel na presenccedila de materiais condutores temos que concluir que esse fluxo de portadores

- + - - -+ -

- - + - -

- -

- - + -

- -+ -- - + -

-

Figura 14 (a) Em um isolante eleacutetrico como a madeira seca os proacutetons estatildeo fixos nos nuacutecleos atocircmicos e os eleacutetrons circulam na vizinhanccedila proacutexima desses nuacutecleos sem poderem se afastar muito deles A quantidade de eleacutetrons eacute igual agrave quantidade de proacutetons

(b) Em um condutor eleacutetrico como o cobre os proacutetons estatildeo fixos nos nuacutecleos atocircmicos e os eleacutetrons das camadas mais internas nesses aacutetomos circulam na vizinhanccedila proacutexima desses nuacutecleos sem poderem se afastar muito deles (como nos isolantes) Os eleacutetrons mais externos (em roxo) podem circular livremente saltando de um aacutetomo para o outro A quantidade de eleacutetrons eacute igual agrave quantidade de proacutetons

vaacutecuo

vaacutecuo

isolante

metal

83

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

teraacute que terminar em algum momento e que os portadores de carga teratildeo que enfim encontrar suas posiccedilotildees

de equiliacutebrio Qualquer que seja o processo que leve a esse equiliacutebrio ao final ele vai levar agrave condiccedilatildeo

( ) = 0 Em todos os pontos dentro do volume do condutor (onde os

portadores de carga possuem mobilidade irrestrita)

eacute o campo eleacutetrico resultante dentro do volume do condutor ou seja no equiliacutebrio eletrostaacutetico deve valer = = 0 em todos os portadores de carga dentro do condutor

A Figura ao lado ilustra essa ideia Um bloco de metal estaacute

parado e vaacuterias cargas eleacutetricas estatildeo fixas na vizinhanccedila desse

condutor Se essa Figura representa uma situaccedilatildeo eletrostaacutetica entatildeo

temos que admitir que vale = 0 no volume do condutor (regiatildeo

cinza) Se isso natildeo fosse verdade ou seja se valesse ne 0 no volume

do condutor natildeo haveria nada de errado com isso mas natildeo seria eletrostaacutetica Os portadores de carga

estariam fluindo dentro do metal (correntes eleacutetricas) e estariacuteamos no contexto da eletrodinacircmica que vamos

estudar mais adiante

Concluindo

Equiliacutebrio eletrostaacutetico hArr ( ) = 0 Em todos os pontos dentro do volume dos condutores

(onde os portadores de carga possuem mobilidade irrestrita)

Portanto tomamos a condiccedilatildeo = 0 dentro do volume dos condutores como sinocircnimo de equiliacutebrio

eletrostaacutetico na presenccedila desses materiais Nesse sentido nunca precisamos calcular o campo eleacutetrico dentro

do volume de um condutor que estaacute por hipoacutetese em equiliacutebrio eletrostaacutetico podemos sempre admitir que

vale = 0 nessas regiotildees sem a necessidade de demonstraccedilatildeo

A primeira pergunta que queremos responder aqui eacute como um material condutor consegue satisfazer

essa condiccedilatildeo = 0 em seu interior Considere o exemplo mostrado na Figura 15 abaixo Um bloco condutor

maciccedilo eletricamente neutro um bloco de metal para simplificar estaacute parado diante de uma carga pontual

fixa em sua posiccedilatildeo Considere o ponto P dentro do volume desse metal

Vamos supor que o metal esteja em equiliacutebrio eletrostaacutetico Sabemos entatildeo que ( ) = 0 Pergunta

a carga pontual gera campo eleacutetrico em P Sim Esse campo estaacute mostrado na Figura 15 (seta verde) e vale

de acordo com a lei de Coulomb ( ) = 4

= 0

84

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

sendo a distacircncia de P ateacute Como pode entatildeo valer ( ) = 0 Haacute outras cargas eleacutetricas Que cargas se o

metal estaacute eletricamente neutro Cargas eleacutetricas do proacuteprio metal que acumulam em sua superfiacutecie graccedilas agrave

accedilatildeo de sobre elas uma eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo A Figura 15 (b) ilustra essas cargas supondo gt 0

Considere esse processo ao longo do tempo Em um primeiro instante o campo eleacutetrico dentro do

metal (e fora tambeacutem) eacute = ele natildeo estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Esse campo (supondo que gt 0)

atrai eleacutetrons de conduccedilatildeo no metal (assim como esses eleacutetrons tambeacutem atraem que estamos supondo fixa)

e eles fluem para a superfiacutecie externa do metal mais proacutexima de formando aiacute uma densidade de cargas

eleacutetricas superficial uma lt 0 (E de externa) Ao mesmo tempo a superfiacutecie oposta do metal mais afastada

de fica com densidade de carga eleacutetrica gt 0 pois haacute aiacute um deacuteficit de eleacutetrons Essa densidade de carga

superficial produz campo eleacutetrico dentro do metal (e fora tambeacutem) e o campo eleacutetrico nessas regiotildees passa

a ser = + Portadores de carga eleacutetrica continuam fluindo sob accedilatildeo de = + e a densidade

de carga vai aumentando assim como o campo eleacutetrico Esse processo (transiente) vai acabar quando

valer = + = 0 em todos os pontos dentro do volume do metal em particular no ponto P Sabemos

que esse equiliacutebrio vai ocorrer caso contraacuterio a eletrostaacutetica seria impossiacutevel na presenccedila de materiais

condutores Note que nesse caso a densidade de carga induzida na superfiacutecie S do condutor seraacute tal que

= 0

pois a presenccedila de cargas eleacutetricas proacuteximas do condutor induzem mas natildeo alteram a neutralidade eleacutetrica

do condutor (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) Esses processos transientes satildeo muito raacutepidos para os bons condutores

(algo como 10 s para um metal) basicamente instantacircneos para os nossos sentidos

Daqui para diante assumiremos a validade desse fato natildeo importa o que existe fora de um bloco

condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) no equiliacutebrio eletrostaacutetico haveraacute na

superfiacutecie externa desse condutor uma densidade de cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico dentro

P ( )metal

P ( ) metal ++

+ +

--

- - ( )Figura 15 (a) um bloco maciccedilo de metal eletricamente neutro estaacute diante de uma carga eleacutetrica pontual gt 0 A carga produz campo eleacutetrico em P ( ) Como pode ser ( ) = 0

(b) nas paredes do bloco de metal acumulam-se cargas eleacutetricas atraiacutedas e repelidas por (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) Essas cargas produzem em P o campo eleacutetrico ( ) Tente imaginar essas Figuras em trecircs dimensotildees

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

do condutor de tal forma que vale = 0 nessa regiatildeo Note que esses argumentos natildeo valem para um bloco

isolante (ou mesmo para o vaacutecuo) pois ele natildeo pode contar com esse manancial de portadores de carga

eleacutetrica para blindar (atraveacutes de ) seu interior de influecircncias externas Mais adiante quando estudarmos os

capacitores e os dieleacutetricos veremos que os isolantes ateacute tentam blindar seu interior mas natildeo conseguem

Natildeo se engane o fato de valer = 0 no volume de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico natildeo eacute

consequumlecircncia da lei de Gauss = 0 (em ) eacute uma condiccedilatildeo para a eletrostaacutetica na presenccedila de condutores

mesmo em um universo em que natildeo houvesse lei de Gauss A frase abaixo

retirada do livro texto Physics for Scientists and Engineers de Debora M Katz (Ed Cengage Learning) parece

mostrar que essa confusatildeo natildeo estaacute restrita apenas aos estudantes que estatildeo iniciando no estudo da lei de

Gauss

Discutiremos em seguida alguns fatos interessantes ligados a esse comportamento (de blindagem) dos

materiais condutores alguns deles consequumlecircncia da validade da lei de Gauss

1) Todos os excessos de carga eleacutetrica depositados em um condutor vatildeo se localizar no equiliacutebrio

eletrostaacutetico na superfiacutecie desse condutor No exemplo da Figura 15 denotamos esses excessos de carga

superficiais por

Jaacute fizemos alusatildeo vaacuterias vezes a esse fato sem justificar sempre desenhando os excessos de cargas

nas superfiacutecies dos condutores Agora poderemos entender por que eacute assim

No caso de um excesso de carga de mesmo sinal gt 0 por exemplo costumamos apelar para a

ideia de que as cargas eleacutetricas em excesso se repelem mutuamente e que ao se afastarem umas das outras

vatildeo parar na superfiacutecie externa do condutor De fato as coisas natildeo satildeo tatildeo simples assim A Figura 16 abaixo

tenta convencer o leitor dessa constataccedilatildeo

Note que essa repulsatildeo muacutetua natildeo ocorre com os eleacutetrons de conduccedilatildeo de um metal pois esses

eleacutetrons se encontram em um meio eletricamente neutro devido agrave presenccedila da quantidade igual de cargas

eleacutetricas positivas A repulsatildeo muacutetua ocorre apenas para as cargas em excesso positivas ou negativas

Enfim queremos provar que a situaccedilatildeo correta para o equiliacutebrio eletrostaacutetico de um condutor isolado

com um excesso de cargas eleacutetricas (positivo por exemplo) eacute aquela mostrada na Figura 16 (a) em que todo o

excesso de cargas se encontra concentrado na superfiacutecie externa do bloco condutor

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Vamos pensar aqui no caso de um bloco de metal em repouso Primeiramente eacute interessante notar

que se depositarmos eleacutetrons extras nesse metal estes eleacutetrons natildeo pertenceratildeo a nenhum aacutetomo em

particular e possuiratildeo portanto mobilidade dentro do volume desse condutor assim como os proacuteprios

eleacutetrons de conduccedilatildeo Se arrancarmos eleacutetrons do metal este ficaraacute com um excesso de cargas eleacutetricas

positivas que satildeo de fato vacacircncias no ldquomarrdquo de cargas negativas Essas vacacircncias exibindo um excesso de

carga positiva vatildeo atrair os eleacutetrons de conduccedilatildeo o que vai produzir uma movimentaccedilatildeo da proacutepria vacacircncia

que vai sendo preenchida por eleacutetrons ou seja os excessos de carga positiva tambeacutem possuem mobilidade no

volume do condutor Queremos provar que esses excessos de carga se movimentam ateacute finalmente

encontrarem o equiliacutebrio na superfiacutecie exterior do bloco de metal Para isso vamos repetir abaixo na Figura

17 a Figura 16 (b) e vamos mostrar que aquela carga eleacutetrica desenhada no interior do volume do bloco

condutor natildeo pode existir A lei de Gauss natildeo deixa

Para provar isso construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana (SG) que abraccedila o volume do condutor (em

azul) mas que estaacute sempre localizada por dentro da proacutepria superfiacutecie S do condutor (em verde) Vamos

considerar o limite em que SG tende agrave superfiacutecie externa S do condutor por dentro dela ou seja vamos tomar

o limite rarr 0

Aplicando a lei de Gauss para a superfiacutecie SG obtemos

+ ++

+

+ ++

++ +

++

+++

+

Figura 16 Em qual caso a distacircncia muacutetua entre as cargas eacute em meacutedia maior Essas duas Figuras tentam convencer o leitor de que estaacute longe de ser evidente que no equiliacutebrio eletrostaacutetico em condutores para que as cargas eleacutetricas em excesso se afastem ao maacuteximo umas das outras devido agrave simples repulsatildeo muacutetua entre elas elas devem necessariamente se posicionar todas na superfiacutecie do condutor A Figura (a) estaacute correta porque as cargas eleacutetricas se repelem com uma forccedila que decai com o quadrado da distacircncia (levando agrave validade da lei de Gauss) Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees

(a) (b)

Figura 17 Um bloco de metal possui um excesso de cargas eleacutetricas positivas e estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana SG (em azul) toda contida no volume do metal e que se aproxima da superfiacutecie externa S (em verde) do bloco de metal Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas

S

+ + +

+

+ + +

+ SG

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ =

sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG por exemplo a carga + isolada mostrada na

Figura 17 quase que no centro da SG Agora vamos apelar para a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0

no volume do metal Sabemos que = 0 em todos os pontos da superfiacutecie SG pois ela estaacute por construccedilatildeo

toda contida nesse volume Portanto na lei de Gauss

= ∙ = 0 ∙ = 0 =

Conclusatildeo = 0 e natildeo pode existir aquela carga + em excesso desenhada dentro da SG na Figura 17 (mas

note os proacutetons e eleacutetrons do proacuteprio condutor estatildeo dentro dessa SG formando uma massa eletricamente

neutra) Ateacute onde podemos estender esse argumento Podemos tomar a distacircncia tatildeo pequena quanto

quisermos soacute natildeo podemos fazer = 0 pois nesse caso natildeo poderiacuteamos usar a condiccedilatildeo = 0 sobre a SG (

geralmente eacute descontiacutenuo na superfiacutecie de um condutor onde existe uma densidade de carga superficial

como mostramos no caso similar de um disco e de um plano infinito com densidades de carga ) Concluiacutemos

que o excesso de carga eleacutetrica depositado no bloco de metal soacute pode ter encontrado o equiliacutebrio na superfiacutecie

externa do bloco de metal que eacute onde nosso argumento natildeo vale Esse excesso de cargas constitui uma

densidade de carga eleacutetrica superficial definida em S (de fato a distribuiccedilatildeo superficial de cargas possui uma

espessura que se estende por alguns poucos angstrons que estamos desprezando aqui) A Figura correta para

essa situaccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico de um bloco de metal com um excesso de cargas positivas eacute a 16 (a)

Vemos entatildeo que o fato dos excessos de carga eleacutetrica de mesmo sinal se localizarem apenas na

superfiacutecie de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico natildeo eacute consequumlecircncia apenas da repulsatildeo entre as

partiacuteculas carregadas que constituem esse excesso O fato de precisarmos da lei de Gauss para provar que isso

ocorre jaacute eacute uma dica de que as coisas natildeo satildeo tatildeo simples assim Os excessos de carga eleacutetrica se localizam

apenas na superfiacutecie de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico porque a forccedila eletrostaacutetica de repulsatildeo

muacutetua entre as cargas eleacutetricas que constituem esse excesso decai com o quadrado da distacircncia (o que leva agrave

validade da lei de Gauss) Pode-se provar que se natildeo fosse esse o caso se a forccedila decaiacutesse por exemplo com o

cubo da distacircncia (entatildeo a lei de Gauss natildeo valeria) os excessos de carga nos condutores em equiliacutebrio

eletrostaacutetico natildeo se concentrariam todos na superfiacutecie eles se distribuiriam tambeacutem ao longo do volume do

condutor como na Figura 16(b) (ver o artigo The charge distribution on a conductor for non-Coulombic

potentials D J Griffiths e D Z Uvanovic American Journal of Physics 69 (2001))

Se voltarmos na Figura 15 em que mostramos um bloco condutor maciccedilo eletricamente neutro

diante de uma carga pontual fixa podemos entender agora porque representamos todos os excessos de

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

carga positiva e negativa nas faces do condutor Nenhum excesso de carga eleacutetrica por menor que seja pode

ficar localizada no volume do condutor quebrando a neutralidade eleacutetrica nessa regiatildeo O volume de um

condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico eacute sempre uma mistura eletricamente neutra de proacutetons e eleacutetrons

Proacutetons e eleacutetrons deslocados de suas posiccedilotildees pela accedilatildeo de agentes externos (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) como

a carga na Figura 15 ou depositados em excesso em um condutor vatildeo vagar por alguns instantes e

finalmente encontrar equiliacutebrio na superfiacutecie do condutor constituindo aiacute uma densidade de carga superficial

Essa densidade de carga superficial eacute o agente que garante a validade da condiccedilatildeo = 0 no volume do

condutor e do equiliacutebrio eletrostaacutetico sob quaisquer circunstacircncias

2) Em um condutor com uma cavidade vazia (sem cargas eleacutetricas dentro dela) natildeo haacute campo eleacutetrico dentro

da cavidade e nem excesso de cargas eleacutetricas na superfiacutecie dela Esse eacute o princiacutepio da gaiola de Faraday

Isso deve valer em qualquer situaccedilatildeo (no equiliacutebrio eletrostaacutetico) natildeo importando o que existe fora do

bloco condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) ou qual o excesso de cargas que

porventura exista no condutor Essa propriedade eacute simples de ser provada utilizando-se o conceito de

potencial eleacutetrico que estudaremos no capiacutetulo 3 Como natildeo temos esse conceito definido ainda vamos

tentar mostrar aqui apenas a razoabilidade dessa propriedade A Figura 18 ilustra um bloco de metal com uma

cavidade vazia em seu interior e um excesso de cargas positivas concentradas em sua superfiacutecie externa P

eacute um ponto no volume do metal e Prsquo eacute um ponto no interior da cavidade vazia

Poderiacuteamos nos perguntar se natildeo seria o caso de uma fraccedilatildeo desse excesso de cargas se depositar na

superfiacutecie da cavidade afinal essa tambeacutem eacute uma superfiacutecie do metal assim como a superfiacutecie externa

Aqui apelamos para um argumento parecido com o que jaacute usamos

anteriormente baseado na lei de Gauss Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana

(SG) que abraccedila a cavidade mas que estaacute sempre localizada por fora da proacutepria

superfiacutecie da cavidade dentro do metal Essa superfiacutecie SG eacute ilustrada em azul

na Figura ao lado (imagine essa Figura em trecircs dimensotildees) Vamos considerar o

limite em que SG tende agrave superfiacutecie da cavidade por fora dela Aplicando a lei

de Gauss para a superfiacutecie SG (azul) obtemos

Figura 18 Um bloco de metal possui um excesso de cargas eleacutetricas positivas e estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Dentro dele haacute uma cavidade vazia uma bolha Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas

SG

+ +

+

+ + +

+

++

+

P Prsquo

P Prsquo SG

++

+

+ ++

+

++

+

89

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ =

sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG que poderia estar por exemplo depositada

na superfiacutecie da cavidade

Agora vamos apelar para a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0 no volume do metal Entatildeo = 0 em todos os pontos da superfiacutecie SG pois ela estaacute por construccedilatildeo toda contida nesse volume

Portanto na lei de Gauss

= ∙ = 0 ∙ = 0 =

Conclusatildeo = 0 e natildeo podem existir excessos de cargas eleacutetricas dentro dessa SG Concluiacutemos que natildeo haacute

excessos de cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie da cavidade (pois no volume do metal jaacute sabemos que

natildeo haacute)

Poderiacuteamos especular que soacute provamos que natildeo haacute excessos de cargas de mesmo sinal mas poderia

ainda haver cargas positivas e negativas espalhadas nessa superfiacutecie formando

uma densidade de carga superficial (I de interna) de tal forma que a carga total

fosse nula como ilustrado (em azul) ao lado Mostramos acima que deve valer = 0

sendo a superfiacutecie da cavidade Podemos ateacute cogitar a existecircncia dessa mas soacute poderiacuteamos entender

sua existecircncia como sendo consequumlecircncia de uma influecircncia de cargas eleacutetricas externas sobre as cargas

eleacutetricas na superfiacutecie da cavidade separando as cargas positivas das negativas (pois dentro da cavidade natildeo

haacute nada por hipoacutetese) Portanto vamos apelar aqui para a propriedade que mostramos anteriormente natildeo

importa o que existe fora do bloco condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) no

equiliacutebrio eletrostaacutetico haveraacute na superfiacutecie externa desse condutor uma densidade de cargas eleacutetricas (E

de externa) que ldquomatardquo o campo eleacutetrico dentro do condutor de tal forma que vale sempre = 0 nessa

regiatildeo Portanto natildeo podemos conceber uma influecircncia externa que penetra dentro do condutor e atinge a

cavidade em seu interior Tambeacutem por isso fica claro que vale ( ) = ( prime) = 0 ou seja natildeo haacute campo

eleacutetrico dentro do condutor e nem dentro da cavidade pois natildeo distingue o ponto P do ponto Prsquo ambos

estatildeo dentro da superfiacutecie S do condutor Como jaacute dissemos esses fatos satildeo provados de forma simples

atraveacutes do conceito de potencial eleacutetrico como veremos em breve Aqui estamos apresentando uma prova

rigorosa apenas do fato de que se haacute uma distribuiccedilatildeo de cargas na superfiacutecie de cavidade entatildeo

P Prsquo

SG

++

+

+ ++

+

++

+

++

+- - -

90

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= 0

mas vamos assumir que de fato vale = 0 (se a cavidade estaacute vazia)

Aqui estamos discutindo a ideia de uma gaiola de Faraday uma regiatildeo vazia dentro de um condutor

que estaacute blindada de influecircncias (estaacuteticas) de quaisquer excessos de cargas depositados no proacuteprio condutor

e de outras cargas eleacutetricas estaacuteticas no seu exterior As cargas que constituem blindam esse interior elas

estatildeo laacute e existem para isso Enquanto natildeo desempenhar essa funccedilatildeo de blindar o interior do condutor

ainda natildeo eacute eletrostaacutetica eacute eletrodinacircmica Uma pessoa que estivesse colocada dentro dessa cavidade natildeo

teria condiccedilotildees de afirmar se existem excessos de cargas eleacutetricas depositados no condutor ou se existem

cargas eleacutetricas posicionadas laacute fora na regiatildeo exterior ao condutor Essa pessoa estaria blindada das possiacuteveis

influecircncias dessas cargas eleacutetricas (graccedilas agrave accedilatildeo de ) Essa pessoa (eletricamente neutra por hipoacutetese)

dentro da cavidade natildeo mede nenhum campo eleacutetrico dentro da cavidade e nenhuma carga eleacutetrica

depositada na superfiacutecie dessa cavidade

Agraves vezes vemos esse argumento ser usado para por exemplo aconselhar uma pessoa a permanecer

dentro de um automoacutevel durante uma tempestade com raios pois o automoacutevel sendo basicamente uma

casca de metal funcionaria razoavelmente como uma gaiola de Faraday De fato um raio estaacute longe de ser um

objeto da eletrostaacutetica pois trata-se de um jato de cargas eleacutetricas fluindo para laacute e para caacute e natildeo devemos

levar essa extrapolaccedilatildeo muito a seacuterio Para estudar a possiacutevel blindagem produzida por um condutor em um

contexto mais geral devemos levar em conta a induccedilatildeo de cargas eleacutetricas e

tambeacutem de correntes eleacutetricas na superfiacutecie do condutor e apelar para

conceitos mais gerais da eletrodinacircmica Esse efeito de blindagem (natildeo-

eletrostaacutetica) existe e possui aplicaccedilotildees importantes Ele eacute utilizado por

exemplo para impedir que a radiaccedilatildeo produzida dentro de um forno de

microondas saia para o ambiente externo A Figura ao lado mostra uma

pessoa que estaacute dentro de uma gaiola de metal (uma gaiola de

Faraday) tocando com uma matildeo a superfiacutecie interna dessa gaiola No

lado externo da gaiola haacute uma descarga eleacutetrica intensa que atinge a

superfiacutecie exterior da gaiola Essa descarga eleacutetrica transporta cargas

eleacutetricas para o metal da gaiola e essas cargas natildeo atingem a matildeo da

pessoa em seu interior caso contraacuterio ela sentiria um choque

eleacutetrico O que esse experimento estaacute mostrando eacute que as condiccedilotildees

de equiliacutebrio eletrostaacutetico que estamos estudando aqui devem ser

atingidas rapidamente de tal forma que as cargas eleacutetricas atingem o

++

+

+ ++

+

++

+

91

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

metal da gaiola e em um tempo muito curto se depositam na superfiacutecie exterior da gaiola sem terem tempo

de atravessarem a espessura do metal e atingir a superfiacutecie interior da gaiola e a matildeo da pessoa A Figura

acima ilustra esse processo supondo que a descarga eleacutetrica arranca eleacutetrons da gaiola metaacutelica Essas cargas

fluem rapidamente no metal e natildeo chegam a atravessar a espessura que separa a superfiacutecie exterior da

superfiacutecie interior Esses fatos satildeo demonstrados rigorosamente atraveacutes das leis mais gerais da eletrodinacircmica

e experimentos como esse ilustrado na fotografia acima demonstram isso na praacutetica

3) Em um condutor com uma cavidade ocupada (por cargas eleacutetricas) haacute campo eleacutetrico dentro da cavidade e

cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie dela

A figura 19 abaixo ilustra essa ideia Agora fixamos uma carga eleacutetrica pontual (+) dentro da

cavidade para ver o que acontece Representamos densidades de carga eleacutetrica superficiais e para

discutir a existecircncia ou natildeo dessas densidades

Os argumentos aqui satildeo similares aos dos itens anteriores mas com conclusotildees um tanto diferentes

Haacute excesso de cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie da cavidade Tem que haver senatildeo natildeo seria

possiacutevel valer = 0 dentro do volume do condutor Imagine que gt 0 Essa carga vai produzir campo

eleacutetrico dentro do condutor (metal) e atrair eleacutetrons para a superfiacutecie da cavidade formando aiacute uma

densidade de carga superficial negativa Eleacutetrons vatildeo sendo atraiacutedos e vai aumentando e produzindo

tambeacutem campo eleacutetrico dentro do metal (e dentro da cavidade e fora do metal) um campo cada vez maior

No equiliacutebrio eletrostaacutetico eacute tal que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de dentro do volume do metal O que

podemos concluir sobre a magnitude de Aqui apelamos para um argumento parecido com o que jaacute usamos

anteriormente baseado na lei de Gauss Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana (SG) que abraccedila a cavidade

mas que estaacute sempre localizada por fora da proacutepria superfiacutecie da cavidade dentro do metal Aplicando a lei de

Gauss para a superfiacutecie SG obtemos

= ∙ =

sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG Agora apelamos para a condiccedilatildeo de

equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0 no volume do metal e em todos os pontos da superfiacutecie SG Da lei de Gauss

obtemos

P Prsquo

Figura 19 Um bloco de metal possui uma cavidade dentro da qual estaacute fixada uma carga pontual Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas

SG

+

92

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ = 0 ∙ = 0 =

Conclusatildeo = 0 e natildeo podem existir excessos de cargas eleacutetricas dentro dessa SG Mas podemos ver na

Figura 19 que a carga estaacute laacute Conclusatildeo tem que haver uma carga total ndash depositada na superfiacutecie da

cavidade ou seja a densidade de carga superficial existe e eacute tal que

= minus

sendo a superfiacutecie da cavidade (nos levando a concluir que = 0 = + (minus )) Isso eacute tudo que

podemos afirmar sobre

Note que existe tambeacutem mesmo que o objeto colocado dentro da

cavidade seja eletricamente neutro desde que ele produza campo eleacutetrico no

espaccedilo Teraacute que haver uma densidade de carga na parede da cavidade para

blindar o campo eleacutetrico desse objeto colocado dentro da cavidade produzindo o

resultado = 0 no volume do condutor Por exemplo se colocarmos um dipolo no

interior da cavidade como na Figura ao lado haveraacute na parede da cavidade uma

densidade de carga que eacute positiva proacutexima ao poacutelo negativo e negativa proacutexima ao poacutelo positivo do dipolo

Nesse caso a carga total induzida na superfiacutecie da cavidade seraacute

= 0

jaacute que o dipolo eacute eletricamente neutro ( = 0 + 0 = 0)

Haacute cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie externa do condutor Em princiacutepio sim pois se haacute um

excesso de cargas no condutor por hipoacutetese entatildeo tem que haver uma carga total prime nessa superfiacutecie

externa na forma de uma densidade de carga superficial tal que

+ (minus ) = minus =

sendo a superfiacutecie externa do condutor Essa igualdade estaacute dizendo que se somarmos a carga eleacutetrica total

depositada na superfiacutecie externa (SE) do condutor ( ) com a carga eleacutetrica total depositada na superfiacutecie (SC)

da cavidade (minus ) temos que obter o excesso de carga total no condutor ( ) Por exemplo se o condutor for

eletricamente neutro ( = 0) e fixarmos uma carga dentro da cavidade na superfiacutecie da cavidade vai se

concentrar uma carga ndash enquanto que na superfiacutecie externa do condutor vai se concentrar uma carga de

tal forma que + (minus ) = = 0

P Prsquo

+-+

++

- --

93

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Juntando esse resultado com os que jaacute obtivemos anteriormente podemos resumir tudo da seguinte

forma considere um bloco de metal em repouso com um excesso de cargas eleacutetricas e com uma cavidade

em seu interior Dentro da cavidade haacute um excesso de cargas fixas Na regiatildeo exterior do condutor haacute uma

distribuiccedilatildeo arbitraacuteria de cargas eleacutetricas fixas O condutor jaacute estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico

i) Na superfiacutecie exterior do condutor concentra-se uma densidade de carga superficial que blinda o interior

desse condutor das influecircncias externas (princiacutepio da gaiola de Faraday) Interior = volume do condutor +

volume da cavidade

ii) Na superfiacutecie da cavidade concentra-se uma densidade de carga superficial que blinda o exterior dessa

cavidade das influecircncias externas da carga dentro da cavidade Exterior = volume do condutor + volume

exterior ao condutor

iii) eacute tal que sua soma (integral de superfiacutecie) eacute exatamente ndash

iv) eacute tal que sua soma (integral de superfiacutecie) eacute exatamente +

O que podemos falar sobre o campo eleacutetrico no espaccedilo Considere que vale o princiacutepio da

superposiccedilatildeo e que haacute quatro campos eleacutetricos aqui

Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas que estatildeo colocadas no espaccedilo fora do condutor

Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas concentradas na superfiacutecie exterior do condutor

Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas concentradas na superfiacutecie da cavidade

Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas que estatildeo colocadas dentro da cavidade

Portanto em qualquer ponto do espaccedilo vale = + + +

Vamos analisar agora as trecircs regiotildees do espaccedilo

i) Dentro do material condutor (regiatildeo ldquohabitadardquo pelos portadores de carga eleacutetrica) = + ++ = 0 Eacute para isso que essas densidades de carga e existem Sem elas natildeo haveria o equiliacutebrio

eletrostaacutetico desse condutor Mas note que mais especificamente = + + + = 0 +0 = 0 Cada distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial daacute conta de uma blindagem (esses dois fenocircmenos satildeo

independentes entre si) blinda o condutor da influecircncia das cargas eleacutetricas externas e blinda o

condutor da influecircncia das cargas eleacutetricas dentro da cavidade (essa independecircncia vem do fato de que essas

duas superfiacutecies podem estar tatildeo distantes uma da outra quanto queiramos)

94

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

ii) Regiatildeo exterior do condutor = + + + = + + 0 = + Laacute fora existe

o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas externas e o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie

externa do condutor Os campos eleacutetricos de e de se aniquilaram nessa regiatildeo

iii) Regiatildeo dentro da cavidade = + + + = 0 + + = + Dentro da cavidade

haacute o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas que foram colocadas laacute dentro e o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas

na superfiacutecie da cavidade Os campos eleacutetricos das cargas externas e de se aniquilaram nessa regiatildeo

Se natildeo houver cargas eleacutetricas externas ao condutor ( = 0) e se aterrarmos a superfiacutecie externa

do condutor podemos fazer com que o excesso de cargas eleacutetricas depositado nela se esvaia para a Terra

tornando essa superfiacutecie eletricamente neutra ou seja = 0 Nesse caso valeria = 0 nessa regiatildeo

exterior + = 0 + 0 = 0 Somente um condutor aterrado consegue blindar o mundo exterior das

influecircncias das cargas eleacutetricas depositadas em uma cavidade dentro dele No entanto qualquer condutor

(aterrado ou natildeo) consegue blindar o interior de uma cavidade dentro dele da influecircncia das cargas eleacutetricas

externas a ele (princiacutepio da gaiola de Faraday)

4) Na regiatildeo externa do condutor o campo eleacutetrico eacute ortogonal agrave superfiacutecie do condutor

Essa eacute outra propriedade que eacute simples de ser provada utilizando-se o conceito de potencial eleacutetrico

que estudaremos no proacuteximo capiacutetulo Como natildeo temos esse conceito definido ainda vamos tentar mostrar

aqui apenas a razoabilidade dessa propriedade

Jaacute sabemos com base nos resultados para o campo eleacutetrico de um disco eletrizado que o campo

eleacutetrico eacute descontiacutenuo em superfiacutecies que possuem uma densidade de carga eleacutetrica qualquer Portanto natildeo

podemos fazer alusatildeo ao campo eleacutetrico exatamente na superfiacutecie de um condutor (superfiacutecie externa ou

superfiacutecie de uma cavidade) onde por hipoacutetese estaacute depositada uma densidade de carga eleacutetrica pois natildeo

estaacute definido nesses pontos do espaccedilo O que jaacute sabemos eacute que na regiatildeo interna do condutor incluindo aiacute

pontos tatildeo proacuteximo quanto vocecirc queira da superfiacutecie desse condutor (que vamos chamar de S) vale = 0 O

que pretendemos mostrar agora eacute que na regiatildeo exterior do condutor tatildeo proacuteximo quanto vocecirc queira da

superfiacutecie S o campo eleacutetrico eacute ortogonal a essa superfiacutecie ou seja a componente de paralela agrave superfiacutecie

do condutor eacute nula

Basicamente vamos apelar para o fato de que um excesso de cargas nessa superfiacutecie possui

mobilidade nas direccedilotildees paralelas agrave superfiacutecie mas na direccedilatildeo ortogonal soacute haacute mobilidade no sentido para

dentro do condutor pois no lado de fora haacute o vaacutecuo Portanto esse excesso de carga natildeo pode sofrer forccedilas

eleacutetricas paralelas agrave superfiacutecie do condutor Daiacute segue a ortogonalidade do campo eleacutetrico na regiatildeo exterior

proacutexima agrave superfiacutecie do condutor

95

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A Figura ao lado ilustra essa situaccedilatildeo Eacute mostrado um pedaccedilo da superfiacutecie

S (linha vermelha) que separa uma regiatildeo condutora do vaacutecuo exterior Nela estaacute

depositada uma densidade de cargas eleacutetricas por hipoacutetese Dentro do condutor

vale = 0 e no vaacutecuo para pontos tatildeo proacuteximos da superfiacutecie quanto se queira

eacute ortogonal agrave superfiacutecie (setas verdes) Exatamente sobre a superfiacutecie natildeo estaacute

definido pois ele sofre uma descontinuidade aiacute Nosso argumento abaixo natildeo eacute

muito rigoroso mas tenta convencer o leitor da razoabilidade da ortogonalidade de na vizinhanccedila externa

do condutor

Na Figura ao lado mostramos uma ampliaccedilatildeo de uma regiatildeo pequena dessa

superfiacutecie S (linha vermelha) O ponto eacute um ponto dessa superfiacutecie que separa o

condutor do vaacutecuo O ponto eacute um ponto no vaacutecuo tatildeo proacuteximo de quanto se

queira ou seja estamos imaginando o limite rarr 0 Considere um pedacinho de

excesso de carga eleacutetrica que estaacute localizado em algo como = ( ) sendo uma aacuterea

infinitesimal em Esse pedacinho de carga estaacute sofrendo uma forccedila devido ao campo eleacutetrico de todas as

cargas eleacutetricas nessa regiatildeo cujo campo eleacutetrico que vamos chamar de (OC de ldquooutras cargasrdquo) somado

ao campo eleacutetrico da proacutepria que vamos chamar de eacute esse campo eleacutetrico resultante cujas

propriedades estamos discutindo ( = + ) Fato eacute que as outras cargas diferentes de natildeo

poderiam exercer forccedila em que tivesse componente paralela agrave superfiacutecie S Se isso ocorresse fluiria e

isso natildeo pode ocorrer no equiliacutebrio eletrostaacutetico Conclusatildeo o campo eleacutetrico das outras cargas

diferentes de em eacute ortogonal agrave superfiacutecie S A carga deve estar (e soacute pode estar) sendo empurrada

para fora de S para onde ela natildeo pode fluir Essa ortogonalidade deve ser verdade tambeacutem no ponto

quando rarr 0 tendo em vista a continuidade do campo eleacutetrico (o campo eleacutetrico distante das cargas eacute

sempre contiacutenuo ele soacute eacute descontiacutenuo sobre as cargas ou seja soacute eacute descontiacutenuo sobre as outras cargas e

natildeo sobre ) Sendo infinitesimal segue que produz em um campo radial ou seja tambeacutem

ortogonal a S Portanto a resultante = + eacute

ortogonal agrave S em (quando rarr 0)

Na Figura 20 ao lado ilustramos um bloco de metal

com uma carga eleacutetrica pontual gt 0 fora dele e uma carga minus lt 0 dentro de uma cavidade nesse bloco Esboccedilamos

algumas linhas de forccedila do campo eleacutetrico (resultante) que

existe na vizinhanccedila desse bloco respeitando as propriedades

que mostramos acima quando as linhas de forccedila do campo

= 0

condutorvaacutecuo

vaacutecuo condutor

Figura 20

96

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

eleacutetrico se aproximam de superfiacutecies condutoras elas se aproximam ortogonalmente a essas superfiacutecies Note

tambeacutem que natildeo haacute linhas de forccedila dentro do condutor pois natildeo haacute campo eleacutetrico aiacute Estamos supondo gt e por isso desenhamos mais linhas de forccedila saindo de do que entrando em

Nessa Figura desenhamos linhas de forccedila tais que i)

satildeo radiais proacuteximas das cargas eleacutetricas pontuais pois nessas

regiotildees os campos eleacutetricos dessas cargas dominam (eles satildeo

divergentes aiacute) ii) se aproximam das superfiacutecies do condutor

ortogonalmente Todas as linhas de forccedila que ldquomorremrdquo na

carga minus lt 0 dentro da cavidade nascem nas cargas

eleacutetricas distribuiacutedas na superfiacutecie da cavidade ( ) Algumas

linhas de forccedila que nascem em gt 0 ldquomorremrdquo na superfiacutecie

exterior do condutor onde foi induzida uma densidade de

carga eleacutetrica ( ) e tal que sua soma eacute e tal que sua

soma eacute minus supondo que o condutor seja eletricamente neutro Na Figura 21 esboccedilamos algumas cargas

eleacutetricas das distribuiccedilotildees superficiais e Note que morrem 7 linhas de forccedila em minus e morrem 7 linhas

de forccedila na superfiacutecie externa do condutor pois a carga aiacute tambeacutem eacute minus Tente imaginar essas Figuras em

trecircs dimensotildees Natildeo haacute linhas de forccedila conectando a regiatildeo dentro da cavidade com a regiatildeo exterior ao

condutor Por isso entendemos que natildeo haacute influecircncias

eleacutetricas entre essas duas regiotildees se ocupa de ldquomatarrdquo

o campo eleacutetrico de minus dentro do condutor como se

mais nada existisse enquanto que se ocupa de ldquomatarrdquo

o campo eleacutetrico de dentro do condutor como se mais

nada existisse

Na Figura 22 esboccedilamos a mesma ideia mas

supondo agora que o condutor possui um excesso de carga

eleacutetrica Agora e tal que sua soma eacute e e tal que

sua soma eacute 0 (o excesso de carga no condutor foi todo

para a superfiacutecie da cavidade) Nascem 5 linhas e morrem

5 linhas de forccedila na superfiacutecie externa do condutor

Um exemplo simples da blindagem entre o interior e o exterior de um condutor eacute o caso em que a

superfiacutecie exterior do condutor eacute esfeacuterica como na Figura abaixo Uma carga gt 0 eacute colocada no interior da

cavidade que possui forma arbitraacuteria Se natildeo houvesse cavidade e nem dentro dela e colocaacutessemos um

excesso de carga nessa esfera maciccedila ela se distribuiria por simetria uniformemente na superfiacutecie exterior

Figura 21

+ +

+

+ +

+ +

-- ---

-

-

Figura 22

+ +

+

+ +

++

-- - -

++

+ +

-

+

97

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

da esfera constituindo uma densidade de carga uniforme Havendo a cavidade e

dentro dela isso continua sendo verdade graccedilas agrave blindagem que produz dos

efeitos externos de Suponha que a esfera esteja eletricamente neutra e que ela

possua uma cavidade com uma carga dentro dela Uma carga ndash vai se depositar

na parede da cavidade constituindo uma densidade de carga que blinda os efeitos

de fora da cavidade Portanto a carga que se concentra na superfiacutecie externa do

condutor se distribui uniformemente nessa superfiacutecie como se natildeo houvesse

cavidade e A cavidade e natildeo exercem influecircncia sobre mas eacute verdade que

soacute existe porque haacute uma carga no interior da cavidade Nesse sentido a presenccedila

desse condutor em volta de natildeo elimina o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior mas

cria aiacute um campo eleacutetrico que eacute independente da forma da cavidade ou da posiccedilatildeo de

dentro dessa cavidade O teorema da cascas que discutiremos em breve mostra que o campo eleacutetrico na

regiatildeo exterior dessa esfera eacute o mesmo que seria criado por uma carga pontual no centro da esfera Para

eliminar o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior da esfera blindando totalmente os efeitos de devemos

desaparecer com as cargas na superfiacutecie externa da esfera Haacute duas maneiras de fazer isso ou introduzimos na

esfera um excesso de carga ndash ou aterramos a esfera (Figura ao lado) e deixamos que a Terra se encarregue

se fornecer agrave esfera essa carga ndash neutralizando as cargas na superfiacutecie externa do condutor ou seja fazendo rarr 0

5) Na regiatildeo externa do condutor (no vaacutecuo) em um ponto muito proacuteximo da superfiacutecie desse condutor o

campo eleacutetrico eacute ( ) = ( ) ( ) sendo um ponto da superfiacutecie do condutor tatildeo proacuteximo de quanto vocecirc queira ( ) eacute a densidade de

carga eleacutetrica nesse ponto da superfiacutecie e ( ) eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie

no ponto A Figura ao lado ilustra esses objetos (curva vermelha=superfiacutecie do

condutor) Estamos pensando aqui no limite rarr 0 Esse resultado vale para qualquer

superfiacutecie do condutor tanto sua superfiacutecie externa quanto a superfiacutecie de uma

cavidade que porventura exista dentro desse condutor Na vizinhanccedila da superfiacutecie de

fora do condutor o campo eleacutetrico estaacute relacionado com enquanto que na vizinhanccedila da superfiacutecie da

cavidade o campo eleacutetrico estaacute relacionado com

De fato jaacute vimos que na regiatildeo exterior do condutor vale = + + + = ++ 0 = + e o que estamos dizendo aqui eacute que se nos aproximarmos muito da superfiacutecie do

condutor o campo domina essa superposiccedilatildeo e vale = + rarr Da mesma forma vimos que

vaacutecuocondutor

( )

-

- - -

+

+ +

+

-

- - -

98

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

dentro da cavidade vale = + + + = 0 + + = + e o que estamos dizendo

aqui eacute que se nos aproximarmos muito da superfiacutecie do condutor nessa regiatildeo o campo domina essa

superposiccedilatildeo e vale = + rarr

Finalmente precisamos apenas acreditar que quando nos aproximamos muito de uma superfiacutecie

carregada ela se comporta como um plano carregado com a ressalva que no presente contexto o campo

eleacutetrico eacute nulo em um dos lados desse plano que corresponde ao interior do condutor Daiacute podemos mostrar

facilmente atraveacutes da lei de Gauss que o campo eleacutetrico na vizinhanccedila desse plano no lado que corresponde

ao vaacutecuo eacute dado por =

Deixaremos essa demonstraccedilatildeo para a proacutexima seccedilatildeo em que trataremos do caacutelculo do campo eleacutetrico

atraveacutes da lei de Gauss

A Figura ao lado ilustra um raio incidindo em um paacutera-raios e poderiacuteamos nos perguntar por que esse

raio atingiu exatamente essa ponta metaacutelica O que haacute de especial nessa ponta que ldquoguiardquo

o raio para ela A resposta a essa pergunta tem relaccedilatildeo com o que estamos discutindo

aqui Considere que o paacutera-raios eacute uma haste metaacutelica aterrada e que uma nuvem acima

dessa haste atrai cargas eleacutetricas da Terra e concentra na extremidade dela uma

densidade de cargas eleacutetricas gigantesca Portanto da relaccedilatildeo acima vemos que na

vizinhanccedila exterior dessa ponta haveraacute um campo eleacutetrico muito intenso de magnitude Esse campo eleacutetrico atua sobre o ar atmosfeacuterico e ioniza o ar formando uma sopa

de iacuteons e eleacutetrons na vizinhanccedila da ponta do paacutera-raios Concluindo uma descarga

eleacutetrica que se forma na vizinhanccedila dessa haste eletrizada flui pelo caminho ldquomais faacutecilrdquo

na atmosfera e esse caminho converge para a regiatildeo ionizada pelo paacutera-raios

direcionando as cargas eleacutetricas do raio para a Terra

232 Caacutelculo do campo eleacutetrico via lei de Gauss

Aqui vamos discutir a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss como ferramenta de caacutelculo de campos eleacutetricos A

ideia baacutesica eacute que queremos transformar a equaccedilatildeo (lei de Gauss)

= ∙ =

em uma equaccedilatildeo para a funccedilatildeo ( ) = ( )

De fato a equaccedilatildeo acima envolve basicamente a magnitude de pois haacute um produto escalar nela

Se quisermos podemos deixar isso expliacutecito reescrevendo a lei de Gauss como

99

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= cos( ) =

sendo o acircngulo entre os vetores e (nesse ponto a lei de Gauss considera a direccedilatildeo de ) A ideia seria

entatildeo que se conhecermos agrave priori a direccedilatildeo de (ou seja o cos( )) a equaccedilatildeo acima poderia ser

transformada em uma equaccedilatildeo para e daiacute juntando essas duas coisas conheceriacuteamos o vetor Como

transformar a equaccedilatildeo que envolve uma integral de em uma equaccedilatildeo que envolve explicitamente fora do

siacutembolo de integral Basta retirar de dentro da integral Mas somente constantes podem sair de dentro do

siacutembolo de integral e natildeo esperamos que valha necessariamente que seja uma constante em geral Pelo

contraacuterio em geral o moacutedulo do campo eleacutetrico depende das coordenadas no espaccedilo uma funccedilatildeo ( ) Aqui eacute interessante definirmos melhor o que queremos dizer com uma ldquoconstanterdquo Considere por

exemplo a integral

= ( ) ( )

Nessa integral a funccedilatildeo ( ) eacute uma constante mesmo dependendo da variaacutevel (suposta independente da

variaacutevel ) Conclusatildeo se algo eacute constante ou natildeo para uma integral depende das variaacuteveis de integraccedilatildeo

Portanto nesse exemplo a funccedilatildeo ( ) sai de dentro do siacutembolo de integral

= ( ) ( ) = ( ) ( )

Voltando na lei de Gauss queremos retirar de dentro do siacutembolo de integral mas natildeo podemos

assumir que eacute (absolutamente) constante pois estamos exatamente querendo calcular a funccedilatildeo ( ) A

estrateacutegia entatildeo reside em usar a liberdade que temos na escolha da superfiacutecie gaussiana SG em que vamos

aplicar a lei de Gauss pois para que saia de dentro do siacutembolo da integral basta que ele seja constante

sobre essa superfiacutecie SG Como vamos saber qual superfiacutecie escolher Primeiro devemos saber de que

variaacuteveis depende Por exemplo se sabemos que = ( ) entatildeo para uma superfiacutecie que varre o plano xy

eacute constante pois natildeo depende nem de e nem de

Em resumo a possibilidade de transformar a lei de Gauss em uma equaccedilatildeo para depende

basicamente da simetria que conseguimos prever para o campo eleacutetrico no espaccedilo Abaixo vamos discutir as

trecircs simetrias baacutesicas para as distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas e para os campos eleacutetricos que elas produzem

no espaccedilo A ideia baacutesica que permeia essa discussatildeo eacute a de que o campo eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de

cargas eleacutetricas herda suas simetrias das simetrias presentes nessa distribuiccedilatildeo de cargas

100

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

2321 Simetria esfeacuterica

Vamos comeccedilar com o exemplo mais simples Imagine que natildeo soubeacutessemos que o campo eleacutetrico de

uma uacutenica carga pontual em um ponto de posiccedilatildeo eacute (ver a Figura abaixo)

( ) = 4

Vamos mostrar que a lei de Gauss diz que eacute Nesse sentido estariacuteamos mostrando

que a lei de Coulomb eacute consequumlecircncia da lei de Gauss ou que a lei de Coulomb e a

lei de Gauss satildeo irmatildes siamesas Queremos calcular ( ) ou ( ) para tornar a

notaccedilatildeo mais expliacutecita Jaacute vimos que a lei de Gauss eacute uma equaccedilatildeo para o moacutedulo ( ) = ( ) por causa

do produto escalar

= cos( ) =

A ideia seria entatildeo que se conhecermos agrave priori a direccedilatildeo de (ou seja o cos( )) temos a esperanccedila de

obter No caso da carga pontual qual poderia ser a direccedilatildeo de ( ) Imagine que tentaacutessemos esboccedilar a

seta de ( ) como na Figura ao lado (seta verde supondo gt 0) em que ( ) faz um acircngulo com a direccedilatildeo radial ou seja com Isso seria muito

esquisito pois estariacuteamos dizendo que a carga eleacutetrica diferencia o lado de

cima da Figura do lado de baixo pois ( ) estaacute ldquopreferindordquo apontar para

cima e natildeo para baixo Existem objetos que criam campos eleacutetricos assim por exemplo um dipolo eleacutetrico

Portanto natildeo haacute nada de absurdo em geral nessa ldquopreferecircnciardquo mas para a carga pontual haacute Lembremos que

o dipolo eleacutetrico eacute um objeto que privilegia uma direccedilatildeo no espaccedilo a direccedilatildeo de seu momento de dipolo

Uma carga pontual natildeo pode fazer isso ela eacute esfericamente simeacutetrica pois natildeo tem

forma Conclusatildeo = 0 e ( ) = ( ) Demos um passo importante rumo ao

conhecimento de ( ) O que podemos afirmar com certeza absoluta sobre o

moacutedulo ( ) Imagine que tentaacutessemos esboccedilar as setas de ( ) em dois pontos

diferentes 1 e 2 ambos a uma mesma distacircncia de | | = | | = A Figura ao

lado ilustra essa tentativa jaacute respeitando o fato de que o campo eacute radial (supondo gt 0) Os pontos 1 e 2 estatildeo separados por um acircngulo Desenhamos propositalmente a seta de ( ) maior em 1 que em 2 ou seja ( ) gt ( ) Novamente estamos vendo a carga diferenciando direccedilotildees

no espaccedilo pois a uacutenica diferenccedila entre 1 e 2 estaacute na direccedilatildeo atraveacutes de Ou seja estamos representando

nessa Figura uma dependecircncia de ( ) no acircngulo Outro absurdo Tem que valer ( ) = ( ) ou seja

( )

( )( )

101

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

natildeo pode depender de ou qualquer outro acircngulo de giro em torno de Entatildeo = ( ) e portanto ( ) = ( ) Demos um grande passo rumo ao conhecimento de ( ) Soacute falta calcular a funccedilatildeo ( ) Essas funccedilotildees do tipo = ( ) satildeo ditas esfericamente simeacutetricas Elas soacute dependem de uma variaacutevel raio

medido em relaccedilatildeo a um ponto (no caso a posiccedilatildeo de ) Mas note que isso natildeo eacute verdade para o campo

vetorial ( ) = ( ) pois o depende da direccedilatildeo no espaccedilo ou seja natildeo eacute verdade que = ( ) pois = ( ) tendo em vista que = ( ) Vamos substituir essa expressatildeo particular de ( ) na expressatildeo

geral do fluxo que aparece na lei de Gauss e ver o que daacute

= ∙ = ( ) ∙

Nossa uacuteltima esperanccedila agora eacute poder retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo de integral Ao

fazer isso a lei de Gauss se tornaraacute uma equaccedilatildeo expliacutecita para ( ) Soacute constantes saem de dentro de

integrais ( ) eacute constante (no espaccedilo) Natildeo pois eacute funccedilatildeo do raio Refazendo a pergunta ( ) eacute

constante sobre a superfiacutecie SG Depende da SG Se a superfiacutecie SG for uma superfiacutecie em

que o raio eacute constante entatildeo ( ) seraacute constante sobre ela e sairaacute da integral Qual seria

a superfiacutecie = em que eacute uma constante Seria uma superfiacutecie equumlidistante de

pois eacute o raio tomando como centro Seria entatildeo uma superfiacutecie esfeacuterica com centro

em Uma casca esfeacuterica de raio = A Figura ao lado ilustra uma superfiacutecie SG que eacute

uma superfiacutecie esfeacuterica centrada em e de raio qualquer (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma

casca esfeacuterica como uma bola de pingue-pongue mas imaginaacuteria e de espessura nula) Note que nessa

superfiacutecie a direccedilatildeo normal eacute a direccedilatildeo radial ou seja = Portanto o fluxo do campo eleacutetrico atraveacutes

dessa SG especiacutefica eacute dado por

= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4

sendo 4 a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica de raio Note que natildeo estamos calculando ( ) em um ponto

especiacutefico sobre a SG pois o campo eleacutetrico tem o mesmo moacutedulo ( ) em todos os pontos dessa SG

Estamos portanto calculando ( ) em qualquer ponto sobre a SG esfeacuterica

Para terminar lembrando que a lei de Gauss diz que

= ∙ =

e que para a SG que escolhemos vale = concluiacutemos que

( ) =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

( )4 = rArr ( ) = 4 rArr ( ) = 4 que eacute o que diz a lei de Coulomb para o campo eleacutetrico de uma carga pontual

Essa simetria do campo eleacutetrico tal que ( ) = ( ) eacute comum a todas as distribuiccedilotildees de cargas

eleacutetricas com simetria esfeacuterica ou seja distribuiccedilotildees de carga que natildeo privilegiam nenhuma direccedilatildeo no

espaccedilo

Partindo dessa simetria para o campo o ldquoteorema das cascasrdquo pode ser demonstrado facilmente

atraveacutes da lei de Gauss Considere uma casca esfeacuterica de raio R (um objeto bidimensional)

sobre a qual estaacute definida uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial uniforme de

densidade e carga total = 4 A casca eacute oca (como uma bola de pingue-pongue)

e tem portanto duas regiotildees dentro ( lt ) e fora ( gt ) A Figura ao lado ilustra essa

casca (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera) Queremos calcular os campos e Tendo em vista

o que jaacute discutimos para a simetria da carga pontual segue que ( ) = ( ) tanto dentro quanto fora da

casca Portanto para qualquer superfiacutecie SG segue que

= ∙ = ( ) ∙

Queremos calcular a funccedilatildeo ( ) mas note que deve haver duas funccedilotildees ( ) e ( ) A

SG conveniente que nos permite retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro da integral eacute a casca esfeacuterica de raio

qualquer concecircntrica agrave casca sobre a qual vale = Portanto

= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4

Considere agora que vale lt como mostrado para a SG ao lado (em verde note natildeo

satildeo ciacuterculos satildeo esferas) Nesse caso segue que = 0 e portanto pela lei de Gauss ( )4 = 0 rArr ( ) = 0

Natildeo haacute campo eleacutetrico dentro da casca

Considere agora que vale gt como mostrado para a SG ao lado (em verde

note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas) Nesse caso segue que = e portanto pela lei

de Gauss ( )4 = rArr ( ) = 4

O campo eleacutetrico fora da casca eacute o mesmo que seria gerado por uma carga pontual fixada no centro da

casca Esses dois resultados compotildeem juntos o teorema das cascas

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

O resultado para o campo eleacutetrico dentro da casca esfeacuterica = 0 eacute muitas vezes creditado

unicamente ao fato de natildeo haver cargas eleacutetricas dentro da casca ( = 0) sem que se decirc a importacircncia

devida agrave simetria requerida para o campo eleacutetrico que porventura houvesse nessa regiatildeo O que noacutes

mostramos aqui natildeo eacute que = 0 rArr = 0 O que noacutes mostramos eacute que se houvesse um

entatildeo esse teria que ter dada a simetria da distribuiccedilatildeo de cargas na casca esfeacuterica a forma simples = ( ) Tendo em vista esse fato e o fato de que = 0 na SG esfeacuterica com lt

segue que = 0 Jaacute que o campo eleacutetrico dentro da casca esfeacuterica vazia teria que ter essa simetria

entatildeo natildeo haacute campo eleacutetrico nessa regiatildeo A natureza natildeo consegue produzir esse campo entatildeo ele eacute nulo

Apenas para ilustrar considere uma situaccedilatildeo anaacuteloga mas com uma simetria

totalmente diferente Considere uma caixa cuacutebica oca cujas paredes (quadradas) feitas

de um material isolante possuem todas a mesma densidade de carga eleacutetrica superficial

uniforme (ver Figura ao lado) A caixa estaacute vazia natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica no

interior da casca assim como natildeo havia no interior da casca esfeacuterica com a mesma

densidade de carga Qual o campo eleacutetrico Seraacute que vale = 0 Natildeo Haacute campo eleacutetrico

dentro dessa caixa gerado pelas cargas eleacutetricas nas suas faces e trata-se de um campo eleacutetrico bem

complicado Este problema estaacute discutido com detalhes no artigo The electric field of a uniformly charged

cubic shell K McCreery e H Greenside American Journal of Physics 86 (2018)

Considere por exemplo uma superfiacutecie gaussiana esfeacuterica SG que envolve o

centro dessa caixa e que estaacute toda contida dentro da caixa (em azul na Figura ao lado

Note que natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera) Se eacute o campo eleacutetrico dentro dessa caixa a

lei de Gauss diz que

= ∙ = 0

pois natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica dentro da caixa e nem dentro da SG escolhida Podemos concluir que = 0 dentro da caixa Natildeo porque a equaccedilatildeo acima natildeo eacute uma equaccedilatildeo que determina ou mesmo = Essa equaccedilatildeo determina apenas o fluxo de atraveacutes dessa SG Esse fluxo eacute nulo Isso indica apenas

que as linhas de forccedila de nessa regiatildeo entram na superfiacutecie SG e saem produzindo um saldo nulo de fluxo

No caso da casca esfeacuterica foi possiacutevel graccedilas agrave simetria simples de basicamente = ( ) transformar a

lei de Gauss em uma equaccedilatildeo expliacutecita para = e provar entatildeo que = 0 Com relaccedilatildeo agrave simetria de

dentro dessa caixa cuacutebica natildeo temos a menor ideacuteia de como pode ser e por isso natildeo podemos fazer nenhuma

hipoacutetese sobre ela agrave priori Supor por exemplo que dentro dessa casca cuacutebica vale = ( ) seria uma

hipoacutetese totalmente injustificaacutevel Por que o moacutedulo do campo eleacutetrico proacuteximo de um veacutertice do cubo teria o

= 0

SG

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

mesmo moacutedulo do campo eleacutetrico proacuteximo ao centro de uma face do cubo supondo que eles estatildeo

igualmente proacuteximos da origem no centro do cubo (mesmo )

Enfim vocecirc pode quebrar a cabeccedila e natildeo vai encontrar nenhuma condiccedilatildeo simples de simetria que

deve ser satisfeita por esse campo no interior da caixa Eacute verdade que haacute algumas simetrias como por

exemplo o fato de todos os veacutertices ou faces serem equivalentes Natildeo haveria porque o moacutedulo do campo

eleacutetrico proacuteximo do centro de face superior ser diferente por

exemplo desse moacutedulo proacuteximo ao centro da face esquerda na

Figura Mas enfim isso natildeo ajuda muito e fato eacute que existe

campo eleacutetrico no interior dessa caixa e ele tem um

comportamento bem complicado no espaccedilo Na Figura ao lado

ilustramos (em vermelho) algumas (poucas) linhas de forccedila de

nesse plano central (em verde) que divide o cubo em duas metades iguais (supomos gt 0) Note que as

linhas de forccedila nascem basicamente ortogonais aos centros das faces (como no plano infin) e depois se curvam

tangenciando as diagonais desse plano central e convergindo para as arestas (quinas) do cubo Note que

exatamente no centro do cubo vale = 0 por simetria e o afastamento muacutetuo (vazio) das linhas de forccedila

nessa regiatildeo jaacute estaacute sugerindo isso Mas = 0 somente em um ponto do espaccedilo

Na Figura ao lado incluiacutemos o ciacuterculo produzido pela interseccedilatildeo da superfiacutecie

esfeacuterica SG considerada anteriormente com esse plano que divide o cubo ao meio

Note que as linhas de forccedila entram no ciacuterculo se curvam e depois saem Se

conseguirmos enxergar isso acontecendo no espaccedilo tridimensional vamos entender

por que = 0 mesmo com ne 0

Lembre-se que a caixa eacute feita de material isolante com uniforme em suas

faces Se a caixa cuacutebica fosse metaacutelica tendo nela depositado um excesso de carga eleacutetrica poderiacuteamos

mostrar (natildeo atraveacutes da lei de Gauss mas sim atraveacutes do conceito de potencial eleacutetrico) que valeria = 0 no

interior da caixa Sendo a caixa metaacutelica a carga se moveria nas faces da caixa procurando ela mesma sua

distribuiccedilatildeo de equiliacutebrio No equiliacutebrio eletrostaacutetico haveria uma distribuiccedilatildeo ( ) natildeo uniforme nessas faces

produzindo dentro da caixa metaacutelica um campo eleacutetrico nulo Se a caixa fosse metaacutelica esta seria exatamente

a situaccedilatildeo do condutor com uma cavidade vazia que jaacute discutimos anteriormente (a gaiola de Faraday)

Se a caixa cuacutebica fosse metaacutelica seu interior seria uma cavidade vazia e valeria = 0 nessa regiatildeo

natildeo importando quanto de carga eleacutetrica depositaacutessemos nas paredes da caixa e nem que outras cargas

houvesse na regiatildeo exterior agrave caixa Nesse caso os excessos de cargas eleacutetricas se moveriam livremente nas

faces da superfiacutecie cuacutebica ateacute que o campo eleacutetrico no interior fosse nulo Ao final no equiliacutebrio eletrostaacutetico

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

haveria uma densidade de carga ( ) natildeo-uniforme nessas faces Olhando para a Figura acima que mostra as

linhas de forccedila de dentro da caixa com paredes isolantes e uniforme podemos ver que se essas paredes

fossem condutoras deveria haver um acuacutemulo maior de cargas nas arestas da caixa que eacute para onde

convergem todas as linhas de forccedila de que nascem nas faces Assim para anular esse campo dentro da

caixa que eacute mais intenso proacuteximo agraves arestas o condutor acumularia mais cargas nessas arestas Trata-se de

um efeito de borda que afeta natildeo soacute as linhas de forccedila de mas tambeacutem a distribuiccedilatildeo de cargas ( ) na

superfiacutecie do condutor Em geral as cargas eleacutetricas em condutores se concentram mais nas regiotildees pontudas

arestas e quinas desses corpos Por isso os paacutera-raios tecircm a forma de lanccedilas pontudas

2322 Simetria ciliacutendrica

Considere um objeto linear muito longo uma linha infinita para todos os

efeitos como uma linha de varal longa e reta (um objeto unidimensional)

Depositamos nessa linha cargas eleacutetricas definindo nela uma densidade de cargas

eleacutetricas linear uniforme Esse objeto eacute basicamente um cilindro de raio nulo e

ele privilegia uma direccedilatildeo no espaccedilo a direccedilatildeo dele A Figura ao lado ilustra um pedaccedilo desse cilindro mas

aqui estamos desprezando sua espessura (eacute uma linha) Chamamos de z o eixo paralelo e ao longo da linha e

de s o raio medido em relaccedilatildeo a esse eixo (z e s satildeo coordenadas ciliacutendricas)

Queremos calcular o campo eleacutetrico que essa linha eletrizada produz no espaccedilo

ao seu redor Para isso pretendemos usar a lei de Gauss Vamos comeccedilar entatildeo

especulando sobre a simetria da funccedilatildeo ( ) O que podemos dizer sobre a

direccedilatildeo de Se natildeo pode privilegiar direita ou esquerda segue que ( ) = ( ) Eacute o que a Figura ao lado tenta mostrar A seta de mostrada (em

verde) claramente privilegia um dos lados da linha apontando para o lado direito Sendo a linha infinita tanto

no lado direito quanto no lado esquerdo essa escolha de direccedilatildeo para se torna inaceitaacutevel Conclusatildeo

deve ficar ldquono meiordquo nem apontando para a direita nem apontando para a esquerda (e nem para a frente e

nem para traacutes) Soacute resta entatildeo para apontar na direccedilatildeo do raio s que passa pelo ponto considerado ou

seja ( ) = ( ) Quanto agrave magnitude ( ) o que podemos afirmar Soacute pode depender da distacircncia ateacute a

linha ou seja ( ) = ( ) Conclusatildeo ( ) = ( ) Falta apenas calcular a funccedilatildeo ( ) Vamos substituir

essa forma de ( ) na expressatildeo do fluxo envolvido na lei de Gauss para ver o que daacute = ∙ = ( ) ∙

z

s

z

s

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Nossa esperanccedila reside em retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo de integral Soacute se ( ) fosse uma

constante Melhor dizendo soacute se ( ) fosse uma constante na superfiacutecie SG Soacute

se a superfiacutecie SG fosse uma superfiacutecie s constante algo como = sendo gt 0 uma constante qualquer A SG deveria ser equumlidistante da linha carregada

Existe essa superfiacutecie eacute uma superfiacutecie ciliacutendrica coaxial agrave linha A Figura ao lado

ilustra essa SG (em verde) O problema aqui eacute que essa casca ciliacutendrica eacute uma

superfiacutecie aberta e a lei de Gauss soacute admite superfiacutecies fechadas Vamos fechar ela

entatildeo Considere duas tampas dois discos que satildeo unidos agraves bocas da casca

ciliacutendrica formando uma superfiacutecie ciliacutendrica fechada algo parecido com uma

lata Na Figura ao lado mostramos entatildeo a tampa 1 (T1) onde vale = minus (em

azul) a tampa 2 (T2) onde vale = e a casca ciliacutendrica (CC) onde vale = Desmembrando a integral do fluxo em trecircs integrais vemos que em T1 ∙ = ( ) ∙ (minus ) = 0 analogamente em T2 Na CC ∙ = ( ) ∙ =( ) Portanto desmembrando a integral do fluxo obtemos

= ∙ = + + ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( ) = ( )2

sendo = 2 a aacuterea de uma casca ciliacutendrica de raio e comprimento (trata-se da aacuterea de um retacircngulo

de lados 2 e )

As Figuras ao lado ilustram a ideia da superfiacutecie fechada SG formada

pela ldquocolagemrdquo de trecircs superfiacutecies abertas dois discos T1 e T2 e uma casca

ciliacutendrica lateral (CC) Estando o campo eleacutetrico da linha carregada na

direccedilatildeo radial ( ) = ( ) segue que soacute haacute fluxo do campo eleacutetrico na

casca ciliacutendrica que eacute dado por = ( )2

Em princiacutepio poderiacuteamos pensar que as tampas T1 e T2 satildeo

irrelevantes pois natildeo contribuem para o fluxo e que poderiam portanto

ser simplesmente ignoradas Mas veremos abaixo que essas tampas satildeo

cruciais para determinar a carga interna agrave superfiacutecie gaussiana Uma

superfiacutecie aberta natildeo possui interior e exterior e portanto a ideia de carga

interna natildeo se aplicaria nesse caso

Voltando agrave lei de Gauss temos que computar a carga eleacutetrica ldquoguardadardquo dentro dessa SG a carga

eleacutetrica interna Eacute a carga eleacutetrica acumulada em um segmento de linha de comprimento ou seja = De fato as tampas T1 e T2 seccionam a linha carregada delimitando um segmento de linha de

z

s

L

z

s

L

T1 T2 CC

L

T1 T2

CC

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

comprimento que fica interno agrave superfiacutecie SG que estamos considerando Esse

segmento estaacute ilustrado ao lado em cinza Aqui podemos ver a importacircncia das

tampas T1 e T2 que fecham a superfiacutecie SG tornando bem definidas a regiatildeo

interior e a carga interna a essa superfiacutecie SG

Concluindo a lei de Gauss diz que

= ( )2 = = rArr ( ) = 2

Na Figura 23 abaixo ilustramos as linhas de forccedila desse campo (em verde supondo gt 0) Mostramos

uma visatildeo lateral da linha e uma visatildeo frontal onde podemos ver o afastamento muacutetuo das linhas de forccedila de

refletindo o decaimento desse campo com 1

Na Figura 24 abaixo apenas ilustramos para comparaccedilatildeo as linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma

linha reta finita de comprimento L carregada com densidade de carga eleacutetrica uniforme gt 0 Notamos que

o campo passa a ter uma componente ao longo do eixo z e tambeacutem uma dependecircncia na coordenada z ou

seja ( ) = ( ) + ( ) A simetria em z foi quebrada Mas ainda foi mantida a simetria de rotaccedilatildeo

em torno de z (a Figura das linhas de forccedila com visatildeo frontal aqui eacute igual a da linha infinita na Figura 23)

Comparando essa Figura com a anterior para uma linha infinita vemos que no centro da linha finita as

coisas se parecem com o que ocorre na linha infinita ou seja longe das bordas da linha finita ldquoparecerdquo que

essa linha eacute infinita Quando nos aproximamos das extremidades (bordas) da linha finita as linhas de forccedila de

vatildeo se curvando cada vez mais ateacute que elas deixam de ser ortogonais agrave linha e passam a ser paralelas

Vemos tambeacutem que se nos afastamos das bordas ao longo de z (eixo da linha) as linhas de forccedila vatildeo ficando

Figura 23 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma linha reta infinita carregada com densidade de carga eleacutetrica gt 0 uniforme Visatildeo lateral e visatildeo frontal

Figura 24 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma linha reta finita de comprimento L carregada com densidade de carga eleacutetrica gt 0 uniforme

L

z

s

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

mais afastadas entre si refletindo um decaimento do campo com z que natildeo pode ocorrer e natildeo ocorre na

linha infinita Chamamos esses efeitos distorccedilatildeo e afastamento das linhas de forccedila de proacuteximo das bordas

de ldquoefeitos de bordardquo No caso da linha infinita natildeo haacute efeitos de borda porque ela natildeo tem bordas (as bordas

estatildeo no infinito) Note finalmente que se olharmos essa linha finita de muito longe vamos ver linhas de forccedila

se afastando radialmente do centro da linha que vai se tornar pontual O campo eleacutetrico vai finalmente decair

com 1 sendo a distacircncia radial ateacute o centro da linha Eacute o campo eleacutetrico da carga pontual

2323 Simetria plana

Considere agora uma placa plana fina e muito extensa ou seja uma superfiacutecie plana (um objeto

bidimensional) infinita em extensatildeo onde foram depositadas cargas eleacutetricas com uma densidade de carga

uniforme Queremos calcular o campo eleacutetrico ( ) que essa placa produz no espaccedilo

De fato jaacute mencionamos qual o valor desse campo quando discutimos o campo eleacutetrico

de um disco eletrizado Tomando o limite rarr infin para o raio do disco obtivemos o

campo eleacutetrico do plano infinito Aqui vamos calcular novamente esse campo via lei de

Gauss A Figura ao lado ilustra um pedaccedilo dessa placa ela eacute infinita (natildeo tem bordas e

nem efeitos de borda) Adotamos um eixo z ortogonal agrave placa e posicionamos por

conveniecircncia a placa em z=0 Portanto gt 0 eacute a regiatildeo agrave direita da placa (nessa Figura) e lt 0 eacute a regiatildeo agrave

esquerda da placa Nessas duas regiotildees o campo tem a mesma magnitude a uma mesma distacircncia da placa

por simetria mas sentidos opostos

Vamos especular sobre a simetria da funccedilatildeo ( ) O que podemos dizer sobre a direccedilatildeo de Se

natildeo pode privilegiar nenhuma direccedilatildeo no espaccedilo paralela ao plano carregado (x e y) segue que ( ) =( ) Quanto agrave magnitude de ( ) o que podemos afirmar Soacute pode depender da distacircncia ateacute a placa

plana ou seja ( ) = (| |) Conclusatildeo ( ) = (| |)(plusmn ) sendo que a direccedilatildeo + se aplica agrave regiatildeo agrave

direita da placa e a direccedilatildeo minus se aplica agrave regiatildeo agrave esquerda da placa Falta apenas calcular a funccedilatildeo (| |) Vamos substituir essa forma de ( ) na expressatildeo do fluxo na lei de Gauss para ver o que daacute

= ∙ = (| |)(plusmn ) ∙

Como sempre nossa esperanccedila reside em retirar a funccedilatildeo (| |) de dentro do siacutembolo de integral Soacute se a

superfiacutecie SG for uma superfiacutecie z constante onde (| |) eacute constante algo como = sendo uma

constante qualquer A SG deveria ser equumlidistante do plano carregado Existe essa superfiacutecie eacute uma superfiacutecie

plana paralela agrave placa carregada O problema eacute que planos satildeo superfiacutecies abertas e a lei de Gauss soacute admite

superfiacutecies fechadas Entatildeo vamos juntar tudo isso e definir uma superfiacutecie SG apropriada para essa simetria

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

espacial Considere duas tampas planas dois discos que satildeo unidos agraves bocas de uma casca ciliacutendrica formando

uma superfiacutecie ciliacutendrica fechada algo parecido

com uma lata Na Figura ao lado mostramos

entatildeo a tampa 1 (T1) onde vale = minus (em azul)

a tampa 2 (T2) onde vale = e a casca

ciliacutendrica (CC) onde vale = (s eacute o raio

ciliacutendrico) As duas tampas estatildeo equumlidistantes da

lata ou seja | | tem o mesmo valor nessas

tampas assim como a funccedilatildeo (| |) Mostramos

tambeacutem uma visatildeo de perfil em que as coisas parecem mais simples de visualizar Nessa visatildeo a SG tem um

corte retangular de largura 2| | As setas de dos dois lados do plano satildeo mostradas em roxo (supondo gt0) Vamos chamar de a aacuterea de cada uma das tampas T1 e T2 Desmembrando a integral do fluxo em trecircs

integrais vemos que em T1 ∙ = (| |)(minus ) ∙ (minus ) = (| |) em T2 ∙ = (| |) ∙ = (| |) e na

CC ∙ = (| |) ∙ = 0

Portanto

= ∙ = + + (| |)(plusmn ) ∙ = (| |) + (| |) = 2 (| |)

A Figura ao lado ilustra a superfiacutecie ciliacutendrica SG (em roxo) que

atravessa a placa carregada (em amarelo) Estando o campo eleacutetrico na direccedilatildeo

ortogonal agrave placa soacute haacute fluxo nas duas tampas da SG que satildeo dois discos de

aacuterea Os fluxos nessas tampas satildeo iguais pois elas estatildeo equumlidistantes da

placa e = (| |) Aqui podemos ter a impressatildeo de que a casca ciliacutendrica

lateral (CC) eacute irrelevante e que ela poderia ser simplesmente ignorada Mas sua

importacircncia se mostra no caacutelculo de

Voltando agrave lei de Gauss temos que computar a carga eleacutetrica ldquoguardadardquo dentro dessa SG a carga

eleacutetrica interna Eacute a carga eleacutetrica acumulada em um ldquopedaccediloldquo do plano que eacute um disco de aacuterea ou seja = Esse pedaccedilo de placa na forma de um disco de aacuterea eacute seccionado pela casca lateral CC que

atravessa a placa carregada Concluindo a lei de Gauss diz que

= 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =

z T1

T2

CC

2| |

T1 T2 CC

2| | z

perfil

110

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Concluiacutemos que diferentemente do que fomos

obrigados a supor pois natildeo tiacutenhamos razatildeo para natildeo fazecirc-lo o

campo eleacutetrico natildeo depende nem da distacircncia | | do ponto ao

plano (o que mostra que natildeo conseguimos nos afastar de um

plano infinito) O campo eleacutetrico em cada lado do plano

carregado eacute uniforme ortogonal ao plano havendo apenas uma

inversatildeo de sentido quando vamos de um lado para outro A

Figura ao lado ilustra algumas setas desse campo (para gt 0) (as linhas de

forccedila de nem se afastam e nem se aproximam mutuamente agrave medida que

nos afastamos do plano) O eixo z eacute ortogonal agrave placa Note que eacute o mesmo

resultado que obtivemos quando tomamos o limite em que o raio de um

disco com uniforme se torna infinito O campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja sobre o plano carregado e portanto natildeo estaacute definido

exatamente em = 0 Esse eacute um artefato desse modelo em que

desprezamos a espessura da placa plana carregada Uma placa realista teria

alguma espessura natildeo nula por menor que fosse (mesmo que fosse de

apenas alguns angstrons) e dentro dessa espessura o campo eleacutetrico variaria

abruptamente mas seria contiacutenuo As Figuras ao lado ilustram graacuteficos de ( ) versus para uma placa plana bidimensional (de espessura nula) em

que ( ) eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja na placa e para uma placa

grossa de espessura em que ( ) varia abruptamente dentro da placa

mas eacute contiacutenuo Nesse caso por simetria ( = 0) = 0 O graacutefico de cima eacute

obtido no limite rarr 0 (uma convergecircncia natildeo uniforme)

Considere agora a situaccedilatildeo em que haacute duas placas planas

infinitas carregadas e paralelas entre si separados por uma

distacircncia Uma placa estaacute carregada com uma densidade de

carga gt 0 uniforme e a outra com uma densidade ndash lt 0

Queremos calcular o campo eleacutetrico que essas duas placas

produzem no espaccedilo Essa eacute uma configuraccedilatildeo que

consideraremos quando estudarmos os capacitores Basta usar

nosso resultado anterior e o princiacutepio da superposiccedilatildeo A Figura ao

lado ilustra a ideacuteia A placa positiva (bordas vermelhas) produz um campo apontando para fora dela ou seja 2 (minus ) agrave esquerda dela e 2 ( ) agrave direita dela (setas vermelhas) A placa negativa (bordas verdes)

produz um campo apontando para ela ou seja 2 ( ) agrave esquerda dela e 2 (minus ) agrave direita dela (setas

z

2 minus2

z

( )

minus2

2

z

( )

z

minus

111

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

verdes) Somando essas setas em cada uma das trecircs regiotildees distintas vemos que os campos eleacutetricos se

cancelam nas regiotildees agrave esquerda e agrave direita de ambas as placas e se adicionam na regiatildeo entre as placas

Concluindo o campo eleacutetrico eacute ( ) na regiatildeo entre as placas e nulo nas outras regiotildees Soacute haacute campo

eleacutetrico (resultante) na regiatildeo entre as placas Essas placas confinam o campo eleacutetrico no espaccedilo

A lei de Gauss eacute surpreendente e poderosa reforccedilando a ideia de que o campo eleacutetrico de uma

distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas deve refletir as simetrias que essa distribuiccedilatildeo de cargas possui De certa

forma mesmo no contexto menos sofisticado da lei de Coulomb nos beneficiamos de argumentos de

simetria por exemplo quando ganhamos tempo natildeo calculando a componente do campo eleacutetrico fora do eixo

de simetria (eixo z) de um aro ou de um disco eletrizado uniformemente No contexto da lei de Gauss esses

argumentos de simetria se tornam cruciais e sem eles natildeo podemos avanccedilar no caacutelculo de campos eleacutetricos

Vimos que a lei de Gauss implica na validade da lei de Coulomb como um caso particular de simetria esfeacuterica

Mas a lei de Gauss eacute mais geral que a lei de Coulomb que soacute vale mesmo no contexto da eletrostaacutetica A lei

de Gauss tem validade geral no eletromagnetismo vale na eletrostaacutetica e na eletrodinacircmica Podemos usaacute-la

para analisar os campos eleacutetricos de cargas eleacutetricas estaacuteticas e de ondas eletromagneacuteticas

2324 Resumo das simetrias mais simples para o campo eleacutetrico

Nas seccedilotildees anteriores vimos que para realizar a tarefa de calcular o campo eleacutetrico de uma dada

distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas via lei de Gauss devemos ter a capacidade de antever as simetrias que esse

campo eleacutetrico deve apresentar Ao introduzir essas simetrias na lei de Gauss somos levados quase que

automaticamente agrave escolha de uma superfiacutecie gaussiana que nos permite finalizar o caacutelculo do campo eleacutetrico

na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de cargas As simetrias do campo eleacutetrico refletem as simetrias da distribuiccedilatildeo

de cargas a qual ele estaacute associado

Essa ideia pode ser colocada em termos da forccedila eleacutetrica = que a distribuiccedilatildeo de cargas pode

produzir em uma carga de prova colocada em um ponto qualquer na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de

cargas cujo campo eleacutetrico queremos calcular Imagine que a distribuiccedilatildeo de cargas seja tal que natildeo haja

distinccedilatildeo entre as direccedilotildees positiva ou negativa Nada na distribuiccedilatildeo de cargas nos permite dizer que o

sentido positivo possui um privileacutegio em relaccedilatildeo ao sentido negativo e vice-versa Entatildeo a carga de prova

colocada na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de cargas vai estar sujeita a essa mesma ambiguumlidade ldquosofro

forccedila e me desloco no sentido de positivo ou de negativordquo Se a ambiguumlidade existe ela natildeo pode ser

quebrada pelo acaso Portanto deve valer = = 0 ou seja = 0 eliminando a ambiguumlidade que

antevimos tendo em vista a simetria da distribuiccedilatildeo de cargas Analogamente se natildeo haacute distinccedilatildeo entre os

diferentes valores da coordenada entatildeo nenhuma componente de deveria depender de

112

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A tabela abaixo resume algumas simetrias simples das distribuiccedilotildees de cargas e as conclusotildees que

inferimos sobre o campo eleacutetrico Nos casos (menos simples) marcados com a lei de Gauss natildeo resolve

Distribuiccedilatildeo de cargas

Coordenadas com sentido ambiacuteguo

Coordenadas sem ambiguidade

Direccedilatildeo e dependecircncia do campo eleacutetrico

Carga pontual (esfera com = ( ))

Os acircngulos de giro

em torno da carga e

A direccedilatildeo radial (se afasta ou se

aproxima da carga) = ( )

Linha finita com uniforme (cilindro

finito com = ( ))

O acircngulo de giro em torno da

carga

A direccedilatildeo radial e a direccedilatildeo axial (se

afastam ou se aproximam da

carga)

= ( ) + ( ) Linha infinita com uniforme (cilindro

infinito com = ( ))

O acircngulo de giro em torno da carga

( ) e a coordenada axial

( )

A direccedilatildeo radial (se afasta ou se

aproxima da carga) = ( )

Aro com uniforme

O acircngulo de giro em torno da

carga = cilindro finito

A direccedilatildeo radial e a direccedilatildeo axial (se

afastam ou se aproximam da

carga)

= ( ) + ( ) Plano fino infinito com uniforme

(plano grosso infinito com = ( )) As direccedilotildees e

paralelas ao plano

A direccedilatildeo axial (se afasta ou se

aproxima da carga) = ( )

2325 Dificuldades com a lei de Gauss

A lei de Gauss eacute considerada um toacutepico difiacutecil no eletromagnetismo baacutesico tendo em vista seu grau de

abstraccedilatildeo e de sofisticaccedilatildeo matemaacutetica (haacute vaacuterios artigos que discutem esse tema como por exemplo

Student understanding of symmetry and Gaussrsquos law of electricity Chandralekha S Am J Phys 74 (2006))

Uma duacutevida que percebemos como recorrente na interpretaccedilatildeo da lei de Gauss diz respeito agraves cargas

eleacutetricas que datildeo origem ao campo eleacutetrico que estaacute dentro da integral do fluxo

= ∙ =

Esse campo eacute o campo eleacutetrico (somente) das cargas eleacutetricas que compotildeem ou ele eacute o campo eleacutetrico

de todas as cargas o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo (avaliado na SG) A resposta eacute sim e natildeo De fato de

acordo com o princiacutepio da superposiccedilatildeo podemos escrever

113

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= +

sendo o campo das cargas internas agrave SG ( ) e o campo das cargas externas agrave SG ( ) Entatildeo eacute

verdade que

= ∙ = ∙ =

posto que

∙ = 0

Considere como exemplo o problema da placa plana infinita carregada

com densidade de carga eleacutetrica uniforme que jaacute abordamos A Figura ao lado

repete a superfiacutecie SG (em verde) que utilizamos na lei de Gauss para calcular a

magnitude do campo eleacutetrico dessa placa uma lata ciliacutendrica com tampas (T1 e

T2) que satildeo discos de aacuterea e uma casca ciliacutendrica lateral Destacamos nessa

Figura a carga eleacutetrica interna agrave SG (em amarelo) que eacute a carga eleacutetrica

concentrada em um pedaccedilo da placa que eacute um disco de aacuterea e carga eleacutetrica

Esse disco foi seccionado pela intercessatildeo da SG com a placa Enfim aplicando a

lei de Gauss a essa SG mostramos que = 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =

A questatildeo que queremos discutir aqui eacute esse campo = 2 eacute o campo eleacutetrico produzido no espaccedilo

apenas pelas cargas eleacutetricas destacadas em amarelo na Figura ( ) ou esse eacute o campo eleacutetrico produzido

por todas todas as cargas eleacutetricas depositadas na placa infinita Trata-se de uma pergunta que pode surgir

tendo em vista que a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss se concentra em um pequeno pedaccedilo do plano infinito o disco

de aacuterea (em amarelo) A resposta a essa pergunta eacute que = 2 eacute o campo eleacutetrico gerado no espaccedilo

por todas as cargas eleacutetricas concentradas na placa infinita Em que momento a lei de Gauss leva em conta que

existem outras cargas eleacutetricas aleacutem de = as infinitas cargas eleacutetricas concentradas na placa plana

infinita No momento em que assumimos a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) para o campo eleacutetrico no espaccedilo

Essa eacute a simetria do campo eleacutetrico de uma placa infinita com densidade de carga uniforme e natildeo de um

pequeno disco de carga uniforme

Enfim se eacute o campo eleacutetrico das cargas em toda a placa e eacute o campo eleacutetrico apenas das cargas

do disco de aacuterea (em amarelo) e carga = eacute verdade que para SG mostrada na Figura acima vale

z T1

T2

CC

=

114

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ = ∙ =

Mas partindo dessas igualdades podemos calcular apenas pois somente possui uma simetria simples

conhecida O campo que seria o campo de um disco de aacuterea e carga uniforme natildeo possui simetria

simples conhecida e natildeo pode ser obtido dessa igualdade acima Resumindo a lei de Gauss para nos leva ao

caacutelculo de graccedilas a sua simetria enquanto que a lei de Gauss para fica como estaacute pois natildeo podemos

avanccedilar aleacutem disso

Natildeo por acaso muitos estudantes que persistem no

pensamento errocircneo de que o campo = 2 obtido via lei de

Gauss eacute o campo eleacutetrico apenas das cargas no disco (amarelo)

erram no caacutelculo do campo eleacutetrico ao longo de eixo (z) de um disco de

raio com densidade de carga eleacutetrica uniforme A Figura ao lado

ilustra esse disco (em amarelo) e uma superfiacutecie gaussiana SG (em

verde) com a forma de uma lata com duas tampas que satildeo discos de

aacuterea Em vermelho estaacute destacada a porccedilatildeo do disco (um disco

menor) que fica dentro dessa SG que possui carga eleacutetrica = O raciociacutenio errado segue Suponha

que a aacuterea seja suficientemente pequena de tal forma que o campo do disco possa ser considerado

uniforme nas tampas T1 e T2 da SG (parece razoaacutevel) Assumindo a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) proacutexima ao

eixo z (parece razoaacutevel) e aplicando a lei de Gauss a essa SG obtemos para o campo eleacutetrico em pontos sobre

o eixo z do disco = 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =

Esse eacute o campo eleacutetrico do plano infinito e natildeo pode ser portanto o campo eleacutetrico do disco de raio Jaacute

vimos no capiacutetulo 1 que o campo eleacutetrico em pontos sobre o eixo z desse disco eacute dado por

( gt 0) = 2 1 minus radic + Esse campo tem propriedades que o campo eleacutetrico da placa infinita natildeo tem ele depende de z e se

tomarmos ≫ vamos ver que ele decai com 1 (o disco se torna uma carga eleacutetrica pontual) Aleacutem disso

se fizermos = 0 ou seja se sumirmos com o disco vemos que rarr 0

Onde estaacute a falha no caacutelculo acima em que utilizamos a lei de Gauss Estaacute em assumir a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) para o campo do disco em pontos distantes do centro com coordenada z arbitraacuteria Natildeo eacute

verdade que longe do centro do disco o campo eleacutetrico do disco tem a direccedilatildeo z apenas Existem efeitos de

T1 T2

=z

CC

115

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

borda e o campo eleacutetrico possui componente fora do eixo z e portanto haacute um

fluxo dessa componente natildeo axial de na superfiacutecie ciliacutendrica lateral CC de nossa

SG fluxo que natildeo foi levado em conta nos caacutelculos A Figura ao lado ilustra

algumas linhas de forccedila (em vermelho) do campo eleacutetrico desse disco (supondo gt 0) Quanto maior z maior essa superfiacutecie CC na SG e maior o erro que

cometemos ao desprezar o fluxo de nessa superfiacutecie CC Vemos aqui que as bordas do disco que podem

estar bem distantes do eixo z estatildeo afetando nosso caacutelculo do campo eleacutetrico em pontos sobre esse eixo Isso

porque o campo eleacutetrico que estamos tentando calcular eacute o campo eleacutetrico do disco e natildeo o campo eleacutetrico

apenas das cargas eleacutetricas proacuteximas do centro do disco = Eacute verdade que se tomarmos a hipoacutetese de

que cong 0 o que equivale a tomarmos rarr infin os argumentos que eram errocircneos se tornam vaacutelidos pois a

aacuterea da superfiacutecie ciliacutendrica CC vai a zero e o erro que estaacutevamos cometendo ao desprezar o fluxo de nessa

superfiacutecie se torna despreziacutevel Esse limite leva automaticamente ao resultado correto = 2 para pontos

muito proacuteximos do centro de um disco de raio (ou seja para um plano infinito)

Jaacute mencionamos anteriormente que o campo eleacutetrico na regiatildeo proacutexima (externa) da superfiacutecie de um

condutor que vamos chamar de estaacute na direccedilatildeo normal a essa superfiacutecie e que sua magnitude eacute

dada pela densidade de carga eleacutetrica que estaacute distribuiacuteda nessa superfiacutecie =

Podemos usar as ideacuteias discutidas anteriormente para mostrar esse resultado ou seja para calcular a

magnitude do campo eleacutetrico em um ponto no vaacutecuo muito proacuteximo agrave superfiacutecie de um condutor que possui

uma densidade de cargas eleacutetricas superficial ( ) A ideia eacute

usar a lei de Gauss para o caacutelculo desse campo

As Figuras ao lado ilustram a superfiacutecie do condutor

(em vermelho) e o ponto (no vaacutecuo) onde queremos

calcular a magnitude do campo eleacutetrico eacute um ponto da

superfiacutecie do condutor tatildeo proacuteximo de quanto vocecirc

queira ( ) eacute a densidade de carga eleacutetrica nesse ponto da

superfiacutecie e ( ) eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie no ponto

Estamos pensando aqui no limite rarr 0 ou seja eacute um ponto muito

proacuteximo da superfiacutecie do condutor Jaacute sabemos que esse campo eacute dado

por ( ) = ( ) ( ) sendo a distacircncia de ateacute a superfiacutecie do

condutor ou seja a distacircncia entre e A Figura sugere que esse

caacutelculo se resume ao caacutelculo do campo eleacutetrico proacuteximo de um disco com

densidade de carga uniforme ( ) com a ressalva que no lado

correspondente ao volume do condutor o campo eleacutetrico eacute nulo As Figuras mostram entatildeo a superfiacutecie

tampa 1

tampa 2

casca ciliacutendrica lateral

vaacutecuo condutor

( )

116

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

gaussiana a ser utilizada nessas condiccedilotildees uma superfiacutecie ciliacutendrica muito pequena (infinitesimal) formada

pela junccedilatildeo de duas tampas que satildeo discos (T1 e T2) e uma casca ciliacutendrica lateral (CC) Note que usaremos o

tempo todo aqui o fato de que essa superfiacutecie eacute bem pequena pois estamos interessados apenas no campo

em um ponto tal que rarr 0 A lei de Gauss aplicada a essa SG diz que = ∙ =

Primeiro desmembramos a integral na SG em trecircs integrais nas superfiacutecies abertas T1 T2 e CC

∙ = ∙ + ∙ + ∙

Agora lembramos que = 0 em T2 pois ela estaacute dentro do volume do condutor e que ∙ = 0 em CC pois

eacute (por construccedilatildeo) paralelo agrave superfiacutecie do condutor nessa casca Conclusatildeo lembrando que = ( ) =( ) ( ) em T1 obtemos

∙ = ∙ = ( ) ( ) ∙

Pensando no limite rarr 0 em T1 segue que = ( ) ou seja ( ) ∙ = 1 Sendo a SG infinitesimal segue

que eacute constante em T1 tal que = ( ) Portanto

( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )

sendo a aacuterea da tampa T1 (a aacuterea desse disco)

Para concluir devemos calcular a carga dentro da SG Vemos que a superfiacutecie ciliacutendrica guarda

dentro dela um pedacinho da superfiacutecie do condutor onde haacute por hipoacutetese uma densidade de cargas

eleacutetricas Sendo a SG infinitesimal segue que dentro dela a densidade de carga eacute uniforme e vale ( ) Portanto a carga na superfiacutecie do condutor que ficou guardada dentro de SG eacute = ( )

Concluindo a lei de Gauss diz que devemos igualar essas coisas tal que

∙ = ( ) = = ( ) rArr ( ) = ( )

Concluindo ao atravessar a superfiacutecie de um condutor o campo eleacutetrico sofre uma descontinuidade

saltando abruptamente no ponto do valor = 0 (dentro) para o valor ( ) = [ ( ) ] ( ) (fora)

Note que esse resultado soacute eacute vaacutelido para um ponto muito proacuteximo da superfiacutecie do condutor ( rarr 0 ou rarr ) na regiatildeo externa a ele Com relaccedilatildeo aos outros pontos mais afastados da superfiacutecie do condutor

117

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

nada podemos afirmar cada caso eacute um caso Essa descontinuidade no campo eleacutetrico eacute um artefato do

modelo em que a distribuiccedilatildeo de cargas na superfiacutecie de um condutor eacute bidimensional Em um condutor real

essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial possui uma espessura de alguns angstrons e o campo eleacutetrico

estaacute bem definido em todos os pontos do espaccedilo Ele apenas varia abruptamente quando caminhamos de

dentro para fora do condutor

Jaacute comentamos que nos condutores as cargas eleacutetricas superficiais acumulam mais intensamente nas

regiotildees pontudas e cortantes como quinas e arestas Portanto nas regiotildees do espaccedilo fora do condutor

proacuteximas dessas pontas quinas e arestas o campo eleacutetrico eacute mais intenso posto que ele eacute dado por

( ) = ( ) ( ) sendo um ponto do espaccedilo exterior proacuteximo ao ponto da superfiacutecie do condutor Nos lugares da

superfiacutecie do condutor onde ( ) eacute mais intenso o campo externo proacuteximo ( ) eacute mais intenso Por

essa razatildeo os para-raios satildeo pontudos como lanccedilas apontando para o ceacuteu A ideia do para-raios eacute ionizar o ar

ao seu redor fornecendo um caminho mais faacutecil para um raio que porventura caia em sua vizinhanccedila Para

ionizar o ar quebrando sua rigidez dieleacutetrica precisamos de um campo eleacutetrico intenso aplicado no ar Esse

campo vai polarizar moleacuteculas que constituem o ar fazendo com que algumas

sejam ionizadas pelo excesso de separaccedilatildeo dos poacutelos positivos e negativos Sendo

o para-raios pontudo ele tem mais chance de desenvolver grandes

concentraccedilotildees de cargas eleacutetricas (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo produzida pelas cargas

eleacutetricas nas nuvens) em suas pontas e ionizar o ar em sua vizinhanccedila A Figura ao

lado mostra um para-raios fixado em uma antena sendo atingido exatamente em

sua regiatildeo mais pontuda onde ( ) e ( ) satildeo mais intensos O raio flui serpenteando pelo ar sendo

conduzido ateacute a ponta do para-raios O para-raios natildeo induz a formaccedilatildeo do raio ele apenas conduz um raio

que jaacute se formou em sua vizinhanccedila

24 Aplicaccedilotildees

1) Jaacute tivemos oportunidade de mencionar o artigo ldquoStudent understanding of symmetry and Gaussrsquos law of

electricity Chandralekha S Am J Phys 74 (2006)rdquo em que eacute feito um estudo sobre as dificuldades dos

estudantes na compreensatildeo e aplicaccedilatildeo da lei de Gauss Nesse estudo o autor aplica um teste para avaliar o

conhecimento de um grupo de estudantes sobre a lei de Gauss Esse teste foi aplicado para vaacuterios estudantes

de graduaccedilatildeo e tambeacutem estudantes de poacutes-graduaccedilatildeo em fiacutesica na Universidade de Pittsburgh (apenas dois

alunos chineses de poacutes-graduaccedilatildeo obtiveram 100 de acerto) Abaixo reproduzimos algumas das questotildees

desse teste (as que achamos mais diretamente relacionadas agrave lei de Gauss) seguidas de uma discussatildeo

118

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Quais grandezas satildeo escalaresvetores o campo

eleacutetrico o fluxo de a carga eleacutetrica Somente o

campo eleacutetrico eacute uma grandeza vetorial O fluxo do

campo eleacutetrico ( ) eacute uma integral de um produto escalar ∙ e soacute pode portanto ser um escalar A lei de Gauss

iguala fluxo de agrave carga eleacutetrica (dividida por uma

constante a permissividade eleacutetrica do vaacutecuo) Portanto a lei de Gauss iguala dois escalares =

Para que a lei de Gauss possa ser aplicada a uma

superfiacutecie S ou seja para que S possa ser chamada

propriamente de uma superfiacutecie gaussiana ela deve ser

apenas fechada S natildeo tem que ser simeacutetrica esfeacuterica

ciliacutendrica ou o que quer que seja Poderiacuteamos acrescentar

apenas que S natildeo pode incluir entre seus pontos aqueles em que o campo natildeo estaacute bem definido afinal a

lei de Gauss envolve uma integral da funccedilatildeo ( ) Por exemplo suponha que exatamente sobre a superfiacutecie S

esteja localizada uma carga pontual Essa carga eacute interna ou externa agrave S Nenhum dos dois e natildeo faz sentido

se aplicar a lei de Gauss para essa superfiacutecie De fato olhando pelo lado do caacutelculo do fluxo a funccedilatildeo ( ) diverge sobre a carga e essa divergecircncia vai entrar no caacutelculo de Portanto a lei de Gauss se torna

indeterminada dos dois lados da igualdade = Outro exemplo improacuteprio seria uma superfiacutecie

gaussiana S que coincide pelo menos em parte com uma superfiacutecie carregada com uma densidade

de carga (a superfiacutecie de um metal por exemplo) Jaacute sabemos que eacute descontiacutenuo e natildeo estaacute

definido nessas superfiacutecies carregadas o que torna o caacutelculo de ambiacuteguo assim com o caacutelculo de

A Figura ao lado ilustra um exemplo desses em que uma face da superf gaussiana S (em verde) coincide

com a superfiacutecie de um disco carregado (em cinza) A carga na face de S que coincide com o disco carregado eacute

interna ou externa agrave S

No problema 6 abaixo se aborda algo similar ao problema 5 mas que agora se refere natildeo agrave validade da

lei de Gauss mas agrave sua utilidadeconveniecircncia para o caacutelculo de Enfim para que possamos avanccedilar no lado

esquerdo da lei de Gauss = devemos conhecer a simetria de algo como = ( ecirc) ccedilatilde O ldquodepende de quecircrdquo vai definir a forma da superfiacutecie S em que eacute

constante e a direccedilatildeo vai nos permitir realizar o produto escalar de com o vetor Note que a alternativa (iii)

diz que natildeo importa na escolha de S como as cargas estatildeo distribuiacutedas no objeto eletrizado Jaacute chamamos

atenccedilatildeo para o fato de que o campo reflete as simetrias da distribuiccedilatildeo de cargas que cria esse campo Natildeo

importa a simetria do objeto suporte das cargas mas sim a simetria da forma como as cargas estatildeo

119

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

distribuiacutedas nesse suporte Podemos considerar um suporte

esfeacuterico uma bola de sinuca por exemplo com uma

distribuiccedilatildeo de cargas maluca (cargas acumuladas somente

em um lado da bola por exemplo) e natildeo termos como

imaginar a simetria que o campo criado por essas cargas

depositadas na bola vai ter Natildeo seria uma simetria simples

Isso porque o campo natildeo eacute criado pela bola mas sim

pelas cargas eleacutetricas distribuiacutedas na bola Portanto

somente (i) e (ii) satildeo verdadeiras Podemos acrescentar

tambeacutem que a superfiacutecie S pode englobar apenas uma parte

de um objeto eletrizado e natildeo eacute somente a simetria da

distribuiccedilatildeo de cargas dessa parte englobada que interessa A simetria de eacute ditada por todas as cargas que

criam tanto as que estatildeo dentro de S quanto as que estatildeo fora de S Abordamos essa questatildeo na seccedilatildeo

2325

O campo eleacutetrico em P eacute de acordo com o princiacutepio da

superposiccedilatildeo ( ) = ( ) + ( ) As duas cargas contribuem para ( ) campos dados pela lei de

Coulomb Quanto ao fluxo atraveacutes de S somente contribui

pois somente conta como carga interna agrave S = A

alternativa (c) eacute correta No problema 5 comentamos que natildeo

pode haver uma carga pontual em P que eacute um ponto de S Essa

carga natildeo seria nem interna nem externa Ela criaria uma

ambiguumlidade na lei de Gauss impedindo sua aplicaccedilatildeo

120

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

De acordo com a lei de Gauss =

Portanto se o fluxo eacute mais intenso em S eacute porque

tem mais carga interna (em moacutedulo) em S Eacute o caso

da superfiacutecie (3) O fluxo eacute tambeacutem

= ∙

Mas olhando para essa integral e para o valor final

de natildeo podemos concluir nada sobre o tamanho

de S ou sobre se o campo eleacutetrico eacute mais fraco ou

mais intenso em uma superfiacutecie ou em outra Como natildeo sabemos nada sobre as trecircs superfiacutecies natildeo sabemos

nada sobre o campo nessas superfiacutecies Pode haver uma superfiacutecie maior onde eacute mais intenso mas a

direccedilatildeo de eacute tal que ∙ eacute pequeno e que portanto eacute pequeno Enfim tudo eacute possiacutevel Natildeo podemos

nos esquecer que eacute uma integral e que uma integral eacute uma soma Imagine as duas somas definidas abaixo

= e =

Suponha que lt Vocecirc pode concluir que lt Vocecirc pode concluir que lt Concluindo somente

podemos inferir a validade de (ii)

A lei de Gauss diz que = Portanto = =

e = ( minus ) = 0 Natildeo importa a localizaccedilatildeo

especiacutefica das cargas eleacutetricas importa apenas se elas

estatildeo dentro ou fora de cada superfiacutecie S As cargas

pontuais (ou densidades de cargas superficiais ) soacute natildeo

podem estar sobre a superfiacutecie gaussiana

121

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A simetria do campo eacute ditada pela simetria da

distribuiccedilatildeo de cargas que cria esse campo Uma

distribuiccedilatildeo de cargas com simetria esfeacuterica (que

natildeo distingue direccedilotildees no espaccedilo) cria um campo

tal que = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo

ao centro da distribuiccedilatildeo de cargas Esse eacute um

caso facilmente abordado pela lei de Gauss Se

encaixam nesse caso as distribuiccedilotildees de cargas

em (i) e (iii) somente Quanto ao campo das

cargas no haltere (ii) natildeo podemos prever uma

simetria simples para esse campo Note que (iii)

tambeacutem eacute um suporte com forma de haltere mas

o que importa satildeo as cargas e natildeo o suporte

delas Soacute haacute cargas em uma parte esfeacuterica do

haltere e o campo em (iii) eacute o mesmo campo

em (i)

Se eacute um eixo ortogonal agrave placa carregada as cargas

nessa placa criam um campo tal que = (| |) Portanto na lei de Gauss eacute importante que a superfiacutecie

gaussiana seja (pelo menos em parte) uma superfiacutecie

onde z eacute constante Somente o cubo e o cilindro

apresentam porccedilotildees (faces) que coincidem com planos

z=constante= e que permitem portanto o caacutelculo de

no ponto A As porccedilotildees dessas superfiacutecies que satildeo

ortogonais ao plano carregado natildeo contribuem para o

fluxo por causa do produto escalar ∙

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Da lei de Gauss concluiacutemos que

= =

Pronto natildeo haacute mais o que concluir Note que em

geral

= ∙ ne

Somente nos casos especiais em que a simetria

(simples) de eacute aproveitada pela superfiacutecie S ocorre

de sair de dentro do siacutembolo de integral e resultar

em = Esse natildeo eacute o caso aqui pois o campo

de uma haste carregada natildeo possui simetria esfeacuterica

(a direccedilatildeo da haste eacute privilegiada) e uma superfiacutecie

gaussiana esfeacuterica natildeo eacute apropriada para o caacutelculo

desse campo Aliaacutes o campo de uma haste

carregada de tamanho finito natildeo possui simetria

simples e natildeo pode ser calculado via lei de Gauss (pode ser calculado pela lei de

Coulomb)

Jaacute discutimos esse caso na seccedilatildeo 2321 Haacute campo

eleacutetrico dentro da caixa cuacutebica carregada com

densidade de carga uniforme e esse campo eacute bem

complicado Ele natildeo e uniforme (constante no

espaccedilo) ele natildeo eacute radial (por que seria) e natildeo tem

que ser perpendicular a um dos lados da caixa

(qual lado) Enfim a alternativa correta eacute a (e)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Apenas o campo da casca esfeacuterica carregada

possui uma simetria simples = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo ao centro da casca

As distribuiccedilotildees de cargas cuacutebica e ciliacutendrica

finita (comprimento L) produzem campos

eleacutetricos complicados que natildeo podem ser

obtidos via lei de Gauss No caso do cilindro

somente no limite rarr infin haveria uma

simetria previsiacutevel simples = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo ao eixo do cilindro

Nesse caso especiacutefico a lei de Gauss eacute uacutetil no

caacutelculo da funccedilatildeo ( )

O fluxo do campo eleacutetrico em S eacute dado por

= ∙

Portanto se vale = 0 em todos os pontos de

S entatildeo

= 0 ∙ = 0

(da mesma forma que sum0 = 0) Se = 0

em S entatildeo = 0 em S pois a lei de Gauss diz

que = Isso natildeo implica que = 0 em todos os pontos de S (assim como sum = 0 natildeo implica que = 0 para todo ) = 0 pode significar que o integrando ∙ assume valores positivos e negativos em S

de tal forma que a soma eacute nula Se = 0 entatildeo = 0 (e vice-versa) e isso natildeo significa que = 0 em

todos os pontos de S Somente (i) eacute verdadeira sem exceccedilotildees

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Um campo eleacutetrico uniforme em uma regiatildeo do

espaccedilo eacute um campo constante ou seja um campo

que assume o mesmo valor (moacutedulo direccedilatildeo e

sentido) em todos os pontos dessa regiatildeo Na Figura

12 ao lado se chamarmos de a direccedilatildeo de

poderiacuteamos escrever = com = 20 NC uma constante (isso significa que

uma carga pontual = 1 C nessa regiatildeo vai sofrer

uma forccedila eleacutetrica de 20 N na direccedilatildeo z)

Se A e B satildeo dois pontos dessa regiatildeo entatildeo = = Alternativa (d)

O fluxo de atraveacutes da superfiacutecie cuacutebica S eacute = ∙ = + +⋯

sendo o fluxo de na face (de lado L) = ∙

Na face superior = ∙ = Na face

inferior = ∙ (minus ) = minus Nas outras faces = 0 pois ∙ = 0 Portanto = 0 (i) e (ii) satildeo

verdadeiras (note que = 1 m2) Um campo eleacutetrico uniforme natildeo produz fluxo em nenhuma superfiacutecie S

fechada de qualquer formato pois se natildeo depende de nenhuma coordenada espacial (ele sai da integral)

= ∙ = = ∙ = ∙ 0 = 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A lei de Gauss diz que = Portanto para

as trecircs superfiacutecies fechadas mostradas na Figura

podemos ver que haacute um segmento de linha de

tamanho embutido dentro de cada superfiacutecie ou

seja = Concluiacutemos que = para

essas trecircs superfiacutecies Para uma superfiacutecie aberta

natildeo podemos aplicar a lei de Gauss mas a

definiccedilatildeo de fluxo de pode ser aplicada a

qualquer superfiacutecie aberta ou fechada Para uma

superfiacutecie aberta basta tirar a ldquobolinhardquo do

siacutembolo de integral

= ∙

Podemos usar essa ideia para avaliar na

superfiacutecie quadrada mostrada na Figura Se

chamarmos de z o eixo da linha carregada

apontando para a direita podemos ver que nessa

superfiacutecie aberta vale = plusmn (podemos escolher o

sinal) Sabemos tambeacutem que o campo produzido

por uma linha infinita com densidade de carga

uniforme eacute ortogonal agrave linha (ele eacute radial) ou seja ∙ = ∙ (plusmn ) = 0 em Portanto = 0 em

Chamando de o raio das coordenadas ciliacutendricas com eixo z sobre a linha carregada sabemos que o campo

eleacutetrico dessa linha tem a simetria = ( ) O campo eacute radial e soacute depende da distacircncia ateacute a linha (em

moacutedulo) Portanto a superfiacutecie gaussiana conveniente para o caacutelculo da funccedilatildeo ( ) eacute uma superfiacutecie

constante ou seja uma superfiacutecie ciliacutendrica Essa superfiacutecie eacute aberta mas podemos fechaacute-la com discos nas

tampas e nada muda no caacutelculo do fluxo de posto que nas tampas = plusmn Essa eacute a superfiacutecie (i) somente

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Tomando uma superfiacutecie gaussiana S toda contida

na regiatildeo D tatildeo proacutexima quanto se queira da

fronteira dessa regiatildeo com o espaccedilo exterior

obtemos

= ∙ = = 0 ∙ = 0

posto que = 0 na regiatildeo D A lei de Gauss diz que = portanto = 0 dentro de S ou

seja a carga eleacutetrica total na regiatildeo abraccedilada por S

a regiatildeo A+B+C+D eacute nula Tomando uma superfiacutecie

gaussiana S1 na regiatildeo A e que engloba o centro da

regiatildeo A obtemos tambeacutem = 0 posto que = 0 na regiatildeo A Essa superfiacutecie S1 pode ser tatildeo

pequena quanto desejarmos sempre envolvendo o

centro da regiatildeo A Concluiacutemos que natildeo pode haver

um excesso de carga eleacutetrica nesse centro pois = 0 = Vemos claramente que as setas

de apontam para a superfiacutecie que eacute fronteira

entre as regiotildees B e C Portanto tem que haver

carga eleacutetrica negativa depositada nessa fronteira

entre B e C Vemos tambeacutem que haacute cargas positivas

depositadas nas fronteiras entre A e B e entre C e D

A carga total eacute nula conforme jaacute vimos Todas as afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras Com relaccedilatildeo agrave afirmaccedilatildeo (iii)

podemos utilizar a lei de Gauss para provaacute-la Tomando uma superfiacutecie gaussiana SC na regiatildeo C e que engloba

a fronteira CB obtemos lt 0 posto que aponta na direccedilatildeo minus na regiatildeo C (e a normal agrave SC estaacute para

fora) Portanto da lei de Gauss concluiacutemos que a carga eleacutetrica dentro de SC eacute negativa digamos ndash (com gt 0) Analogamente tomando uma superfiacutecie gaussiana SB na regiatildeo B e que engloba a regiatildeo A obtemos gt 0 posto que aponta na direccedilatildeo + na regiatildeo B (e a normal agrave SB estaacute para fora) Portanto da lei de

Gauss concluiacutemos que a carga eleacutetrica dentro de SB eacute positiva digamos Essas duas superfiacutecies SB e SC

podem ser tatildeo proacuteximas quanto se queira da fronteira entre as regiotildees B e C Note que tambeacutem estaacute

dentro de SC ou seja ndash = + Portanto a carga na fronteira entre B e C eacute

= minus minus lt 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

2) Considere uma bola maciccedila (como uma bola de sinuca) de raio que possui uma densidade de carga

eleacutetrica distribuiacuteda em todo o seu volume A carga se distribui natildeo-uniformemente mas com simetria

esfeacuterica ou seja a densidade de carga eacute funccedilatildeo apenas do raio em relaccedilatildeo ao centro da bola Portanto de

qualquer direccedilatildeo que olhamos a bola vemos a mesma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas Vamos assumir aqui a

seguinte distribuiccedilatildeo de cargas ( ) = 1 minus

sendo e constantes positivas Para gt vale = 0 ou seja haacute o vaacutecuo

Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) versus para os valores

numeacutericos = 1 = 2 e = 3 Vemos que a bola possui carga positiva na

regiatildeo mais central ( cong 0) e carga negativa na regiatildeo mais perifeacuterica ( cong ) A

densidade de carga muda de sinal no raio = que eacute onde vale = 0

Vamos calcular o campo eleacutetrico que essa bola produz no espaccedilo

Trata-se de uma distribuiccedilatildeo de cargas com simetria esfeacuterica e sabemos (tendo em vista nossa

discussatildeo sobre a carga pontual) sem a necessidade de nenhum caacutelculo que o campo eleacutetrico que essa

distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo herda essa simetria ou seja ( ) = ( ) sendo uma posiccedilatildeo qualquer no espaccedilo posiccedilatildeo medida em relaccedilatildeo ao centro da bola Essa simetria do

campo eleacutetrico eacute comum a todas as distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas com simetria esfeacuterica ou seja

distribuiccedilotildees de carga que natildeo privilegiam nenhuma direccedilatildeo no espaccedilo

Dessa forma esse eacute um problema em que a lei de Gauss pode mostrar seu poder de simplificaccedilatildeo no

caacutelculo de campos eleacutetricos Vamos substituir essa expressatildeo particular de ( ) na expressatildeo geral do fluxo

que aparece na lei de Gauss e ver o que daacute

= ∙ = ( ) ∙

Nossa uacuteltima esperanccedila agora eacute poder retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo

de integral Ao fazer isso a lei de Gauss se tornaraacute uma equaccedilatildeo expliacutecita para ( ) Se a

superfiacutecie SG for uma superfiacutecie em que o raio eacute constante entatildeo ( ) seraacute constante

sobre ela e sairaacute da integral Essa superfiacutecie deve ser entatildeo uma superfiacutecie esfeacuterica

concecircntrica agrave bola Uma casca esfeacuterica de raio arbitraacuterio como mostrado na Figura ao

lado (em verde) Na Figura mostramos a bola eletrizada em cinza e a superfiacutecie gaussiana

em verde nesse caso com gt (note natildeo satildeo ciacuterculos eacute uma casca esfeacuterica imaginaacuteria como uma bola de

( ) =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

pingue-pongue concecircntrica a uma bola maciccedila como uma bola de sinuca) Nessa superfiacutecie a direccedilatildeo normal

eacute a direccedilatildeo radial ou seja = Portanto o fluxo do campo eleacutetrico atraveacutes dessa SG especiacutefica eacute dado por

= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4

sendo 4 a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica de raio

Para terminar lembrando que a lei de Gauss diz que

= ∙ =

obtemos ( )4 = rArr ( ) = 4

Falta agora calcular a carga interna agrave SG Para calcular devemos especificar em qual regiatildeo do

espaccedilo estamos calculando o campo eleacutetrico dentro da bola ( lt ) ou fora da bola ( gt )

Dentro da bola ( lt ) obtemos

= ( ) = 1 minus

sendo o volume interno agrave superfiacutecie SG que eacute o volume de uma esfera de raio lt O elemento

infinitesimal de volume mais apropriado para a realizaccedilatildeo dessa integral eacute a casca esfeacuterica de espessura ou

seja = 4 Portanto

= 1 minus 4 = 4 4 minus 9 = 4 14 minus 9

Concluindo a magnitude do campo eleacutetrico na regiatildeo interior dessa bola eletrizada de raio eacute

( ) = 4 = 14 minus 9

Fora da bola ( gt ) obtemos

= ( ) = 1 minus

sendo o volume interno agrave superfiacutecie SG que eacute o volume de uma esfera de raio gt mas note que soacute haacute

carga eleacutetrica no interior da bola ou seja para le Por isso a integral se estende apenas ateacute a superfiacutecie da

bola Portanto

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= 1 minus 4 = 4 4 minus 9 = 4 14 minus 9 =

sendo a carga eleacutetrica total armazenada na bola eletrizada

Concluindo a magnitude do campo eleacutetrico na regiatildeo exterior a essa bola eletrizada de raio eacute

( ) = 4 = 4 = 14 minus 9

Note que esse eacute o mesmo campo de uma carga pontual de carga localizada no centro da bola que eacute o

resultado esperado de acordo com o teorema das cascas

Na Figura ao lado esboccedilamos um graacutefico de ( ) versus

Inicialmente o campo eleacutetrico cresce atinge um maacuteximo e

depois comeccedila a cair Em = na superfiacutecie da bola o campo

eleacutetrico muda de comportamento (mas eacute contiacutenuo pois natildeo haacute uma )

e passa a decair a zero com 1 Na origem o campo eacute nulo por

simetria

Um caso particular interessante eacute aquele em que a bola eacute

eletricamente neutra ou seja = 4 14 minus 9 = 0 rArr = 94

Nesse caso a bola natildeo produz nenhum campo eleacutetrico em seu exterior e o graacutefico do campo eleacutetrico

fica como na Figura ao lado Dentro da bola o campo eleacutetrico sempre

tem a direccedilatildeo radial e aponta para fora da bola inicialmente

aumentando de magnitude e depois decaindo a zero na superfiacutecie da

bola

Um exemplo que se encaixaria nesse caso eacute aquele em que

essa bola fosse um modelo para um aacutetomo que eacute eletricamente

neutro Como a densidade de carga muda de sinal no raio =

esse seria nesse modelo o raio do nuacutecleo (com = 94)

Portanto a regiatildeo onde ( ) gt 0 lt representaria o nuacutecleo e a regiatildeo

onde ( ) lt 0 lt lt representaria a nuvem eletrocircnica desse aacutetomo

Essa ideia estaacute ilustrada ao lado em um graacutefico de ( ) versus

( )

( )

( ) = cong 085

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Natildeo se trata de um modelo muito bom para um aacutetomo porque sabemos que o nuacutecleo de um aacutetomo eacute

de fato bem menor que o proacuteprio aacutetomo algo como cong 10

Portanto a densidade de carga positiva no aacutetomo estaacute muito muito mesmo concentrada na regiatildeo proacutexima

de = 0 enquanto que a nuvem eletrocircnica onde a densidade de carga eacute negativa se distribui de forma natildeo

uniforme no intervalo 0 lt lt

3) Considere agora uma esfera metaacutelica maciccedila de raio e eletricamente neutra que

possui duas cavidades esfeacutericas em seu interior conforme a Figura ao lado No centro

da cavidade de raio estaacute fixa uma carga eleacutetrica pontual e no centro da outra

cavidade de raio estaacute fixa uma carga eleacutetrica pontual Note natildeo satildeo ciacuterculos

satildeo esferas

Vamos comeccedilar discutindo as densidades de carga eleacutetrica que se formam nas

superfiacutecies dessa esfera metaacutelica Aqui eacute importante levar em conta que o objeto metaacutelico e as cavidades satildeo

esfeacutericas e tambeacutem que as cargas pontuais estatildeo exatamente nos centros das cavidades Essas condiccedilotildees

impotildeem simetrias que determinam muitas das propriedades das distribuiccedilotildees de carga e de seus respectivos

campos eleacutetricos

Primeiramente entendemos que natildeo haacute influecircncia muacutetua entre as cavidades cada uma cuida da sua

vida e o que acontece em uma eacute basicamente o mesmo que acontece na outra Na superfiacutecie da cavidade 1

forma-se uma densidade de cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de em todo o espaccedilo exterior agrave

essa cavidade Esse espaccedilo exterior inclui o metal da esfera metaacutelica a cavidade 2 e o espaccedilo exterior agrave esfera

metaacutelica A lei de Gauss mostra que ( 1 eacute a superfiacutecie da cavidade 1)

= minus

Como estaacute no centro da cavidade 1 a simetria eacute tal que eacute uniforme Portanto

= = 4 = minus rArr = minus4

Tudo isso vale tambeacutem para a cavidade 2 Na superfiacutecie da cavidade 2 forma-se uma densidade de

cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de em todo o espaccedilo exterior agrave essa cavidade Esse espaccedilo

exterior inclui o metal da esfera metaacutelica a cavidade 1 e o espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica A lei de Gauss

mostra que ( 2 eacute a superfiacutecie da cavidade 2)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= minus

Como estaacute no centro da cavidade 2 a simetria eacute tal que eacute uniforme Portanto

= = 4 = minus rArr = minus4

Sendo a esfera eletricamente neutra ( = 0) segue que a carga eleacutetrica prime na superfiacutecie exterior dessa

esfera eacute tal que

= + + = 0 rArr = +

Portanto nas superfiacutecies das cavidades haacute minus e minus e na superfiacutecie exterior da esfera metaacutelica haacute = + de tal forma que + (minus ) + (minus ) = 0

Como natildeo haacute influecircncia das cargas e sobre o que acontece na superfiacutecie exterior da esfera

metaacutelica segue que a carga se distribui uniformemente nessa superfiacutecie com uma densidade de carga

uniforme dada por ( eacute a superfiacutecie exterior da esfera metaacutelica de aacuterea 4 )

= 4 = + rArr = +4

Agora vamos discutir o campo eleacutetrico no espaccedilo Haacute 4 regiotildees bem distintas O espaccedilo ocupado pelo

metal da esfera metaacutelica o interior da cavidade 1 o interior da cavidade 2 e o espaccedilo exterior agrave esfera

metaacutelica Haacute 5 distribuiccedilotildees de cargas e cada uma produz seu campo eleacutetrico proacuteprio Seja o campo

eleacutetrico da carga o campo eleacutetrico da carga o campo eleacutetrico de o campo eleacutetrico de

e o campo eleacutetrico de Em qualquer ponto do espaccedilo vale o princiacutepio da superposiccedilatildeo = + + + +

1 No espaccedilo ocupado pelo metal da esfera metaacutelica vale = + + + + = 0 Mais

especificamente cada distribuiccedilatildeo de cargas daacute conta de uma blindagem = + + + + = 0 + 0 + 0

Note que = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme em uma superfiacutecie esfeacuterica e de

acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo geram campo eleacutetrico dentro da esfera metaacutelica

2 No interior da cavidade 1 = + + + + = + 0 + 0 + 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Nessa regiatildeo natildeo haacute blindagem de mas vale = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme

em uma superfiacutecie esfeacuterica e de acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo produzem campo

eleacutetrico dentro da cavidade 1 Vale tambeacutem = 0 como no item 1 Dentro da cavidade 1 haacute apenas

o campo eleacutetrico radial da carga pontual Note que nesse caso a carga natildeo sofre nenhuma forccedila

3 Analogamente no interior da cavidade 2 = + + + + = 0 + + 0 + 0

Nessa regiatildeo natildeo haacute blindagem de mas vale = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme

em uma superfiacutecie esfeacuterica e de acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo produzem campo

eleacutetrico dentro da cavidade 2 Vale tambeacutem = 0 como no item 1 Dentro da cavidade 2 haacute apenas

o campo eleacutetrico radial da carga pontual Note que nesse caso a carga natildeo sofre nenhuma forccedila

4 No espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica = + + + + = 0 + 0 +

Sendo eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme em uma superfiacutecie esfeacuterica de acordo com o teorema

das cascas nessa regiatildeo o campo eleacutetrico eacute o mesmo que seria produzido por uma carga pontual de

valor + localizada no centro da esfera metaacutelica O metal em volta das cavidades natildeo anula o

campo eleacutetrico exterior mas o torna independente dos detalhes internos Somente o aterramento da

esfera metaacutelica seria capaz de anular o campo eleacutetrico nessa regiatildeo exterior Resumindo na regiatildeo

fora da esfera metaacutelica vale (de acordo com o teorema das cascas) = = +4 sendo o raio medido em relaccedilatildeo ao centro da esfera metaacutelica

Considere agora que nada mais eacute esfeacuterico nem o condutor e nem as

cavidades conforme a Figura ao lado O que muda e o que permanece igual ao caso

anterior As densidades de carga nas superfiacutecies deixam de ser uniformes mas

continua valendo (de acordo com a lei de Gauss e o equiliacutebrio eletrostaacutetico)

= minus = minus = +

No espaccedilo ocupado pelo metal continua valendo = + + + + = 0 + 0 + 0

No interior da cavidade 1 = + + + + = + + 0 + 0 e a carga passa a

sofrer uma forccedila (o condutor faz forccedila em e vice-versa) No interior da cavidade 2 = + + + + = 0 + + + 0 e a carga passa a sofrer uma forccedila (o

condutor faz forccedila em e vice-versa) No espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica = + + +

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

+ = 0 + 0 + O campo passa a ser complicado (cada caso eacute um caso) sem simetria esfeacuterica

(por que haveria simetria esfeacuterica) produzido por uma natildeo uniforme mas ainda um campo independente

das formas das cavidades e das posiccedilotildees de e dentro dessas cavidades (graccedilas agraves blindagens produzidas

por e

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

3 Potencial eletrostaacutetico

Jaacute comentamos que agraves vezes temos que dar uma pausa no caacutelculo de campos eleacutetricos para tentar

encontrar propriedades gerais desse campo que nos permitam entendecirc-lo melhor entender melhor o

eletromagnetismo e a natureza Ao fazer isso pode ocorrer de encontrarmos uma nova ferramenta para a

abordagem de sistemas no eletromagnetismo e ateacute para o proacuteprio caacutelculo do campo eleacutetrico Nesse sentido jaacute

encontramos a lei de Gauss uma ferramenta mais sofisticada e de aplicaccedilatildeo mais simples em alguns casos

quando comparada com a aplicaccedilatildeo direta da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo (que poderiacuteamos

chamar de ldquoforccedila brutardquo) Aqui vamos estudar o conceito de potencial eleacutetrico ou mais especificamente de

potencial eletrostaacutetico Esse conceito nos permitiraacute estudar problemas de eletrostaacutetica utilizando o teorema

do trabalho energia A aplicaccedilatildeo do conceito de potencial eleacutetrico eacute crucial para o entendimento e a descriccedilatildeo

de circuitos eleacutetricos A ideia de potencial eletrostaacutetico nasce quando constatamos que o campo eleacutetrico

produzido por uma distribuiccedilatildeo qualquer de cargas eleacutetricas estaacuteticas eacute conservativo

31 O campo eletrostaacutetico eacute conservativo

311 Forccedilas conservativas

Laacute na mecacircnica estudamos o conceito de forccedila conservativa o peso por exemplo Um campo de forccedila

conservativo eacute basicamente um campo de forccedila intermediaacuterio de uma forccedila conservativa o campo

gravitacional por exemplo

Uma forccedila conservativa eacute aquela cujo trabalho entre dois pontos quaisquer A e B no espaccedilo eacute

independente da trajetoacuteria que eacute percorrida (pelo corpo que sofre ) para partir de A e chegar em B

Equivalentemente uma forccedila conservativa eacute aquela cujo trabalho em uma trajetoacuteria fechada (percorrida

pelo corpo que sofre ) eacute nulo Finalmente podemos dizer que uma forccedila conservativa eacute aquela cujo

trabalho entre dois pontos quaisquer A e B no espaccedilo depende apenas de A e de B

135

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Considere apenas para ilustrar o caso simples da forccedila peso de um corpo de massa = na

aproximaccedilatildeo em que eacute uniforme no espaccedilo ( eacute independente de quaisquer coordenadas espaciais) Para

simplificar adotando um referencial com eixo vertical apontando para cima podemos escrever =minus Considere agora que esse corpo viaje nessa regiatildeo do espaccedilo partindo do ponto A e chegando no

ponto B Ele faz isso percorrendo uma trajetoacuteria que eacute uma curva orientada no espaccedilo que nasce em A e

morre em B O trabalho da forccedila nesse percurso eacute

( rarr ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙

sendo vetores deslocamento ( = eacute um comprimento) infinitesimais tangentes agrave trajetoacuteria em

todos os pontos orientados de A para B A Figura 1 abaixo ilustra essa ideia Satildeo mostrados dois caminhos

diferentes conectando A e B as curvas (azul) e prime (roxa)

Lembrando que o produto escalar opera uma projeccedilatildeo de um vetor sobre o outro fica claro que ∙ = (a componente y de ) sendo um deslocamento infinitesimal ao longo do eixo vertical y

Portanto

( rarr ) = minus ∙ = minus = minus ] = ( minus ) Uma coordenada vertical que cresce no sentido para cima eacute o que costumamos chamar de altura que

geralmente representamos por ℎ Portanto mostramos que ( rarr ) = ℎ minus ℎ

Note que do lado direito dessa equaccedilatildeo natildeo haacute nenhuma alusatildeo agrave curva percorrida pelo corpo ou seja ( rarr ) = ( rarr ) = ℎ minus ℎ

O trabalho do peso = entre A e B soacute depende de A e de B natildeo depende da trajetoacuteria ( ou prime) que

conecta A e B O peso eacute uma forccedila conservativa

Figura 1 Duas trajetoacuterias possiacuteveis e primeconectando dois pontos A e B no espaccedilo Um corpo vai de A ateacute B atraveacutes de (curva azul) sob accedilatildeo de seu proacuteprio peso e de outras forccedilas natildeo mostradas (atrito normal etc)

A

B

prime

y

136

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Definindo entatildeo a funccedilatildeo = ℎ que chamamos de energia potencial gravitacional do corpo de massa

fica claro que mostramos que existe uma funccedilatildeo tal que

( rarr ) = ∙ = ℎ minus ℎ = ( ) minus ( ) e que essa funccedilatildeo (da altura) eacute = (ℎ) = ℎ para um corpo de massa na gravidade De fato

poderiacuteamos concluir que haacute uma soluccedilatildeo mais geral para a equaccedilatildeo acima em que (ℎ) = ℎ +

sendo uma constante de valor natildeo determinado por essa equaccedilatildeo Vemos logo que = (ℎ = 0) ou seja

eacute o valor da funccedilatildeo no que poderiacuteamos chamar de altura nula (a referecircncia de alturas) Como essa ldquoaltura

de referecircnciardquo eacute arbitraacuteria segue que o valor de tambeacutem eacute e para simplificar arbitramos desde jaacute = 0

O resultado para mostrado acima independe da curva Nesse sentido o trabalho do peso eacute

independente da trajetoacuteria ele soacute depende do proacuteprio peso do corpo e do desniacutevel de altura ∆ℎ entre os

pontos A e B Se esse corpo tivesse percorrido a trajetoacuteria prime na Figura 1 teriacuteamos obtido o mesmo resultado

para o trabalho do peso Isso porque e rsquo partem do mesmo ponto A e chegam no mesmo ponto B Para um

caminho fechado que parte de A passeia pelo espaccedilo e retorna para o mesmo ponto A vale (B=A e ℎ = ℎ ) ( rarr = ) = 0 Essas satildeo propriedades natildeo triviais da forccedila que a definem como sendo uma forccedila

conservativa Para entender esse nome devemos recorrer ao teorema do trabalho-energia cineacutetica (TTEC)

O TTEC diz que se uma partiacutecula parte de A e chega em B atraveacutes de um caminho entatildeo vale minus = ( rarr ) Esse resultado pode ser estendido para corpos riacutegidos mas vamos ficar aqui com a versatildeo do TTEC para

partiacuteculas apenas que eacute o nosso contexto Nessa expressatildeo = 2 eacute a energia cineacutetica da partiacutecula e

eacute o trabalho da forccedila resultante que atua nessa partiacutecula enquanto ela viaja de A ateacute B Nessa viagem uma

das forccedilas eacute o peso do corpo e podemos fatorar a forccedila resultante tornando o peso expliacutecito = +

sendo um siacutembolo que usamos para representar a resultante de todas as outras forccedilas que atuam nesse

corpo diferentes do peso (ou seja normal atrito etc) O trabalho de tambeacutem fatora e fica ( rarr ) = ( rarr ) + ( rarr ) = ℎ minus ℎ + ( rarr ) Substituindo essa expressatildeo no TTEC obtemos uma nova forma para esse teorema minus = ( rarr ) rArr + ( ) minus + ( ) = ( rarr ) Definindo entatildeo a energia mecacircnica = + obtemos o teorema do trabalho-energia minus = ( rarr )

137

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Considere por exemplo uma partiacutecula submetida ao seu proacuteprio peso e a outras forccedilas que natildeo realizam

trabalho (como a forccedila normal em uma partiacutecula que desliza para baixo de um tobogatilde) Para essa partiacutecula a

energia mecacircnica se conserva pois minus = 0 rArr =

Daiacute vem o nome forccedila conservativa Em particular se uma partiacutecula se move sob accedilatildeo somente de forccedilas

conservativas (mas note que poderia haver outras forccedilas desde que elas natildeo realizassem trabalho) entatildeo sua

energia mecacircnica se conserva a energia mecacircnica na partida (A) eacute exatamente igual agrave energia mecacircnica na

chegada (B) Isso eacute verdade para qualquer trajetoacuteria que a partiacutecula percorra entre A e B Encarando os

fatos podemos dizer que eacute uma forma (posicional) de energia porque pode ser convertida em energia

cineacutetica Uma folha de aacutervore que cai ganha energia cineacutetica graccedilas agrave sua energia potencial gravitacional

Energia vem de energia

312 O campo eletrostaacutetico eacute conservativo

Vamos repetir agora todo esse raciociacutenio apenas trocando o peso (e a massa) pela forccedila eleacutetrica (e a

carga eleacutetrica)

Considere agora uma partiacutecula de carga eleacutetrica que viaja em uma regiatildeo do espaccedilo em que existe

um campo eleacutetrico criado por outras cargas eleacutetricas quaisquer estaacuteticas A partiacutecula parte do ponto A e

chega no ponto B Ela faz isso percorrendo uma trajetoacuteria que eacute uma curva orientada no espaccedilo que nasce

em A e morre em B A Figura 2 abaixo ilustra essa ideia que eacute anaacuteloga agrave da Figura 1 trocando o campo

gravitacional pelo campo eleacutetrico que tem direccedilatildeo arbitraacuteria Satildeo mostrados dois caminhos diferentes

conectando A e B as curvas (azul) e prime (roxa)

O trabalho da forccedila eleacutetrica que atua nessa partiacutecula = nesse percurso eacute

( rarr ) = ∙ = ∙

Figura 2 Duas trajetoacuterias possiacuteveis e prime conectando dois pontos A e B no espaccedilo Uma partiacutecula de carga eleacutetrica vai de A ateacute B atraveacutes de (curva azul) sob accedilatildeo de uma forccedila

eleacutetrica = produzida pelo campo eleacutetrico que existe nessa regiatildeo do espaccedilo Outras forccedilas natildeo

satildeo mostradas (peso atrito normal etc)

=

A

B

prime

138

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

sendo vetores deslocamento ( = eacute um comprimento) infinitesimais tangentes agrave trajetoacuteria em

todos os pontos orientados de A para B A pergunta que queremos responder aqui eacute fazendo analogia com a

forccedila peso se existe uma funccedilatildeo (da posiccedilatildeo) tal que

∙ = ( ) minus ( ) Se essa funccedilatildeo existir vai ser chamada de energia potencial eleacutetrica vai poder ser convertida em e

em e vice-versa Sendo uma constante podemos simplificar essa pergunta definindo a funccedilatildeo =

que eacute chamada de potencial eleacutetrico sendo simplesmente a energia potencial eleacutetrica de uma partiacutecula por

unidade de carga Nesses termos a pergunta que queremos responder eacute se existe uma funccedilatildeo (da posiccedilatildeo)

tal que

∙ = ( ) minus ( ) Essa equaccedilatildeo acima define o campo eleacutetrico com sendo um campo de forccedila conservativo pois se

existe essa funccedilatildeo potencial eleacutetrico entatildeo a integral de caminho de entre A e B independe do caminho

que conecta esses dois pontos Essa integral soacute depende do campo eleacutetrico que existe no espaccedilo e de A e de

B Para responder essa pergunta se existe uma funccedilatildeo o potencial eleacutetrico que se relaciona com o campo

eleacutetrico atraveacutes da equaccedilatildeo acima vamos comeccedilar discutindo o caso de apenas uma carga pontual A lei de

Coulomb daacute o campo eleacutetrico da carga pontual ( ) = 4

Vamos mostrar que eacute conservativo ou seja que existe uma funccedilatildeo como definida acima Depois vamos

partir do fato de que todo campo eletrostaacutetico eacute uma superposiccedilatildeo (soma vetorial) de ( = sum ) e que

portanto eacute conservativo ou seja existe uma funccedilatildeo como definida acima (que eacute simplesmente = sum )

Vamos portanto calcular a integral

∙ = 4 ∙

Essa integral pressupotildee um caminho conectando A e B de tal forma que eacute tangente a esse caminho Mas

jaacute sabemos que o produto escalar opera uma projeccedilatildeo de um vetor sobre o outro de onde segue que ∙ = (a componente radial de ) sendo um deslocamento infinitesimal ao longo do raio que nasce

em Portanto

139

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

∙ = 4 = minus4 1 = 4 1 minus 1

Olhando para a expressatildeo acima vemos logo que existe uma funccedilatildeo (funccedilatildeo do raio) para o campo

= ( ) = 4

de tal forma que

∙ = ( ) minus ( ) Mais precisamente = 4 +

sendo uma constante cujo valor natildeo estaacute determinado pela equaccedilatildeo acima Vemos logo que = ( rarr infin) ou seja eacute o valor da funccedilatildeo a uma distacircncia infinita da carga onde ela natildeo exerce mais influecircncia Essa

simples constataccedilatildeo natildeo define o valor de e por conveniecircncia arbitramos desde jaacute = 0 Sendo o potencial = sua unidade no SI eacute o joulecoulomb que chamamos de volt (siacutembolo V) em homenagem ao

cientista italiano Alessandro Volta eacute uma representaccedilatildeo da influecircncia (eleacutetrica) que a carga exerce no

espaccedilo ao seu redor e a escolha ( rarr infin) = 0 eacute uma escolha natural e razoaacutevel (mesmo que arbitraacuteria)

Como interpretamos a funccedilatildeo ( ) Jaacute sabiacuteamos que na vizinhanccedila de uma carga pontual estaacute

definido um campo de forccedila ( ) o campo eleacutetrico produzido por Agora mostramos que nessa vizinhanccedila

tambeacutem estaacute definido um campo escalar ( ) o potencial eleacutetrico associado a essa carga Sabemos que ( ) natildeo define a forccedila em um ponto do espaccedilo (pontos natildeo sofrem forccedila) ( ) define uma forccedila por

unidade de carga em de tal forma que se uma carga pontual (que vocecirc poderia chamar de carga de

prova mas natildeo eacute necessaacuterio) passar algum dia por esse ponto ela vai sofrer uma forccedila eleacutetrica ( ) =( ) Nesse sentido ( ) eacute uma capacidade que a carga tem de exercer forccedila (atraccedilatildeo ou repulsatildeo)

sobre outras cargas que porventura passem na sua vizinhanccedila Analogamente ( ) natildeo define a energia em

um ponto do espaccedilo (pontos natildeo possuem energia) ( ) define uma energia por unidade de carga em de

tal forma que se uma carga pontual (que vocecirc poderia chamar de carga de prova mas natildeo eacute necessaacuterio)

passar algum dia por esse ponto ela vai possuir a energia potencial eleacutetrica ( ) = ( ) Nesse sentido ( ) eacute uma energia potencial de interaccedilatildeo eleacutetrica por unidade de carga que a carga estabelece no espaccedilo

ao seu redor

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

O mais correto natildeo eacute chamar ( ) = ( ) de energia potencial eleacutetrica da carga mas sim de

energia potencial eleacutetrica do par de cargas e De fato substituindo a expressatildeo de ( ) que obtivemos

anteriormente segue que ( ) = ( ) = 4

Vemos que na expressatildeo de ( ) natildeo haacute nenhuma distinccedilatildeo entre e eacute simplesmente a distacircncia entre

essas cargas pontuais ( ) eacute a energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre as cargas e Mas ocorre que

agraves vezes podemos supor que por exemplo a carga estaacute fixa e que queremos estudar o movimento da carga

sob influecircncia da carga Nesse contexto para simplificar as ideacuteias chamamos ( ) = ( ) de energia

potencial eleacutetrica da carga Mas devemos ter em mente que toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e que ( ) eacute sempre a

energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre cargas eleacutetricas nesse caso e Adotamos um procedimento

similar quando muitas vezes chamamos = ℎ de energia potencial gravitacional da partiacutecula de massa

De fato eacute a energia potencial gravitacional do par Terrapartiacutecula pois sem a presenccedila da Terra natildeo

haveria e nem Fazemos isso porque geralmente estamos estudando apenas o movimento da partiacutecula

em um referencial em que a Terra estaacute fixa Devemos ter em mente que trata-se apenas de uma simplificaccedilatildeo

(um atalho) na linguagem

Voltando ao exemplo das duas partiacuteculas considere duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas e fixas no

espaccedilo separadas por uma distacircncia A energia potencial eleacutetrica desse par de cargas eacute

( ) = ( ) = 4

Essa energia tem uma interpretaccedilatildeo simples Considere que inicialmente as partiacuteculas estavam em

repouso separadas por uma distacircncia muito grande ( rarr infin) situaccedilatildeo em que elas nem interagiam entre si

( ( rarr infin) = 0) Agora um agente externo vai pegar essas partiacuteculas e transportaacute-las no espaccedilo

construindo a configuraccedilatildeo estaacutetica em que e estatildeo fixas no espaccedilo separadas por uma distacircncia A

Figura 3 abaixo ilustra essa ideia Qual o trabalho que esse agente externo deve fazer para conseguir esse

feito de construir essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacutetica ( e separadas por uma distacircncia )

infin

Figura 3 um agente externo constroacutei a configuraccedilatildeo de duas cargas e fixas no espaccedilo separadas por uma distacircncia partindo da situaccedilatildeo em que essas cargas natildeo interagiam entre si ( rarr infin)

141

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Seja a forccedila que esse agente externo aplica nas cargas enquanto as desloca no espaccedilo Seja (infin rarr ) o trabalho desse agente externo ou seja dessa forccedila nesse percurso em que as partiacuteculas

satildeo aproximadas O teorema do trabalho energia diz que minus = (infin rarr ) As partiacuteculas estavam em repouso (no infin) e foram fixadas em repouso ou seja = = 0 Segue que

(infin rarr ) = ( ) minus (infin) = ( ) = 4

(note que (infin) = 0) Conclusatildeo ( ) eacute a energia de formaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de duas cargas e fixas no

espaccedilo separadas por uma distacircncia Eacute o que noacutes (agentes externos) gastariacuteamos para construir essa

configuraccedilatildeo estaacutetica de cargas eleacutetricas partindo do espaccedilo vazio

Quanto gastamos para construir um aacutetomo de Hidrogecircnio Trata-se de um proacuteton (de carga eleacutetrica cong 1602 times 10 C) separado de um eleacutetron (de carga eleacutetrica = minus ) pela distacircncia cong 053Å Entatildeo

(infin rarr ) = 4 = minus4 cong minus27 times (1602 times 10 )

Escrevemos esse valor numeacuterico dessa forma porque sendo ele um valor minuacutesculo de energia (em joules)

definimos uma nova unidade de energia o eleacutetron-volt (siacutembolo eV) que eacute mais conveniente para esse

contexto de tal forma que 1 eV cong 1602 times 10 Portanto segue que (infin rarr ) cong minus27 eV (o plural

de eleacutetron-volt eacute eleacutetron-volts) O primeiro fato que notamos eacute que essa energia de formaccedilatildeo eacute negativa Isso

significa que natildeo ldquogastamosrdquo de fato energia para construir um aacutetomo H (partindo de um eleacutetron e um proacuteton

infinitamente afastados) mas sim ldquoganhamosrdquo energia Um gasto negativo eacute um ganho De fato o eleacutetron e o

proacuteton se atraem mutuamente e natildeo precisamos nos esforccedilar para que eles se unam pelo contraacuterio devemos

ir freando essas partiacuteculas enquanto elas transferem energia para noacutes

A natureza eacute o ldquoagente externordquo que fabrica hidrogecircnio a partir de proacutetons e eleacutetrons separados e isso

ocorre espontaneamente com liberaccedilatildeo de energia (foacutetons=luz e energia cineacutetica=calor) Logo apoacutes o Big Bang

(haacute cong 137 bilhotildees de anos) quando o universo jaacute havia esfriado (e expandido) o suficiente eleacutetrons e proacutetons

conseguiram se unir e se manterem estaacuteveis formando grande parte do hidrogecircnio (nome que significa

ldquocriador da aacuteguardquo) que existe na natureza na qual ele eacute o elemento mais abundante Por volta dessa eacutepoca

outros elementos leves tambeacutem se formaram como o heacutelio e o liacutetio Natildeo havia energia suficiente para formar

elementosnuacutecleos mais pesados (aglomerando mais proacutetons que se repelem mutuamente) o que soacute foi

possiacutevel apoacutes o surgimento das estrelas que satildeo basicamente bolas de hidrogecircnio e usinas de produccedilatildeo de

elementos quiacutemicos mais pesados

142

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Eacute verdade que um aacutetomo de hidrogecircnio natildeo eacute uma estrutura estaacutetica de cargas eleacutetricas pois isso nem

seria estaacutevel (o eleacutetron e o proacuteton natildeo permaneceriam estaacuteticos um ao lado do outro eles se atraem) O

eleacutetron ldquoorbitardquo o nuacutecleo e portanto essa configuraccedilatildeo de cargas possui energia potencial eleacutetrica que

calculamos acima e tambeacutem energia cineacutetica Isso significa que ao ldquofabricarrdquo um aacutetomo H a natureza natildeo

ganha cong 27 eV mas ganha menos porque uma parte da energia que seria liberada fica ldquopresardquo dentro do

aacutetomo na forma de energia cineacutetica do proacuteton e do eleacutetron Levando essa energia cineacutetica em conta o

teorema do trabalho energia fica (infin rarr ) = ( ) + ( ) minus (infin) = ( ) + ( ) Um caacutelculo de ( ) mostra que ( ) cong 136 eV e que portanto (infin rarr ) = ( ) + ( ) cong minus27 + 136 cong 136eV

Podemos conferir esse resultado medindo a energia de ionizaccedilatildeo do hidrogecircnio Ionizar um aacutetomo eacute

arrancar um eleacutetron dele Se ionizamos um aacutetomo H destruiacutemos a configuraccedilatildeo de cargas e voltamos ao

estado inicial em que o eleacutetron e o proacuteton estavam muito separados no espaccedilo Experimentos mostram que a

energia de ionizaccedilatildeo do H eacute cong 136 eV e natildeo cong 27 eV pois a energia cineacutetica interna do aacutetomo jaacute daacute uma

ajuda no processo de ionizaccedilatildeo Ganhamos cong 136 eV quando construiacutemos um aacutetomo de H (infin rarr ) e

devemos gastar cong 136 eV se quisermos destruiacute-lo ( rarr infin) ou seja ionizaacute-lo

Essa interpretaccedilatildeo da energia potencial eleacutetrica como sendo a energia necessaacuteria para a construccedilatildeo

de uma configuraccedilatildeo de cargas estaacuteticas pode ser estendida para distribuiccedilotildees com vaacuterias partiacuteculas

carregadas Imagine um sistema de partiacuteculas de cargas eleacutetricas ( = 12 hellip ) fixas no espaccedilo Seja a

distacircncia entre a partiacutecula e a partiacutecula A energia potencial eleacutetrica armazenada nessa configuraccedilatildeo de

cargas ou seja a energia necessaacuteria para construir essa configuraccedilatildeo estaacutetica de cargas eacute

= 4 = 12 4

Vemos que eacute simplesmente a soma das energias potenciais eleacutetricas de todos os pares ( ) de cargas

eleacutetricas Na uacuteltima expressatildeo para evitar o

termo ( ) que produziria = 0 colocamos

um ne no segundo somatoacuterio O fator 12

desconta a contagem dupla pois o par ( )

aparece duas vezes no somatoacuterio duplo no

termo ( ) e no termo ( ) Considere o

exemplo mostrado na Figura 4 ao lado uma

Figura 4 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e

143

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

espeacutecie de moleacutecula triangular (estaacutetica) que jaacute consideramos no capiacutetulo 1 Haacute trecircs pares de partiacuteculas (12)

(13) e (23) A energia potencial eleacutetrica dessa configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute a soma das energias

potenciais desses trecircs pares = 14 + + +

Imagine que retiremos dessa moleacutecula a carga removendo-a e afastando-a para o infinito Quanto de

energia devemos gastar (no miacutenimo ou seja com (infin) = 0) para fazer isso Na configuraccedilatildeo final sobraratildeo

apenas e separados por uma distacircncia com energia potencial eleacutetrica final

= 14

Portanto a energia gasta para remover dessa moleacutecula a partiacutecula de carga seria

minus = minus4 + +

A energia potencial eleacutetrica desempenha um papel central nas reaccedilotildees quiacutemicas e formaccedilatildeo dos

compostos quiacutemicos Juntamente com a energia cineacutetica ela compotildee o que chamamos de energia interna de

um sistema de partiacuteculas = + Durante uma reaccedilatildeo quiacutemica o sistema de partiacuteculas formado pelos

reagentes ( ) que participam da reaccedilatildeo se rearranja no espaccedilo modificando e tambeacutem natildeo podemos nos

esquecer Comparando a energia interna dos reagentes com a dos produtos ( ) podemos ter

uma ideia sobre as condiccedilotildees para que essa reaccedilatildeo rarr ocorra ou natildeo

Considere a formaccedilatildeo da moleacutecula ionizada H2+ (caacutetion di-hidrogecircnio a

moleacutecula mais simples) composta de dois proacutetons (separados por uma distacircncia cong 1Å) e um eleacutetron localizado em meacutedia na posiccedilatildeo central entre esses proacutetons

Quanto de energia a natureza ldquogastardquo para construir essa moleacutecula Considere a Figura

ao lado Inicialmente devemos juntar os dois proacutetons ( bolinhas vermelhas) e para

isso gastamos energia pois eles se repelem mutuamente e relutam em se aproximar A energia ldquogastardquo para

colocar os dois proacutetons separados por uma distacircncia eacute

( ) = 14 = 14 gt 0

Agora vamos trazer o eleacutetron de rarr infin ateacute a posiccedilatildeo central = 0 (a

trajetoacuteria do eleacutetron eacute irrelevante pois a forccedila eleacutetrica eacute conservativa) Ao

fazer isso vemos que a energia potencial do conjunto de trecircs cargas vai

diminuindo conforme ilustrado no graacutefico ao lado Essa energia eacute dada por

= minus

144

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( )( ) = ( ) + ( )( ) = 14 + 2 14 ( 2) + = 4 1 minus 2( 2) +

Vemos no graacutefico de ( )( ) times acima que agrave medida que o eleacutetron vai se posicionando entre os

proacutetons ( rarr 0) a energia potencial eleacutetrica do sistema de trecircs cargas vai reduzindo ateacute que ela atinge um

miacutenimo na posiccedilatildeo central de equiliacutebrio do eleacutetron A energia potencial eleacutetrica final do iacuteon molecular eacute

( )( = 0) = 4 1 minus 4 = minus34

Esse eacute o ldquogastordquo de energia para a construccedilatildeo desse iacuteon Note que ele eacute negativo o que significa que esse iacuteon

pode se formar espontaneamente na natureza liberando energia na forma cineacutetica (calor) A forma mais

comum de formaccedilatildeo do iacuteon H2+ na natureza eacute atraveacutes da simples ionizaccedilatildeo da moleacutecula H2 Note que

moleacuteculas natildeo satildeo objetos estaacuteticos pois o equiliacutebrio estaacutetico da configuraccedilatildeo

de cargas que estamos analisando aqui eacute impossiacutevel Trata-se apenas de um

modelo De fato olhando para a Figura ao lado vemos que o eleacutetron estaacute em

uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio pois a forccedila eleacutetrica resultante nele eacute

= 4 ( 2) + 4 ( 2) (minus ) = 0

mas trata-se de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel pois se o eleacutetron se deslocar um pouco para a direita ou

para a esquerda ele natildeo retorna mais para a posiccedilatildeo central Os proacutetons por outro lado estatildeo sujeitos a uma

forccedila eleacutetrica resultante natildeo-nula (para o proacuteton da direita)

= 4 + 4 ( 2) = minus 34

Concluindo esse modelo estaacutetico de moleacutecula natildeo eacute estaacutevel As partiacuteculas natildeo conseguem permanecer

em equiliacutebrio estaacutetico nessas posiccedilotildees Eacute necessaacuterio que haja um equiliacutebrio dinacircmico em que o eleacutetron vibre

para laacute e para caacute agraves vezes se aproximando e agraves vezes se afastando de cada um dos proacutetons mantendo eles em

suas posiccedilotildees Portanto deve haver tambeacutem aleacutem da energia potencial eleacutetrica energia cineacutetica na moleacutecula

Esse mundo microscoacutepico eacute o domiacutenio da mecacircnica quacircntica em que as partiacuteculas satildeo descritas natildeo por suas

posiccedilotildees mas por suas funccedilotildees de onda A Figura ao lado (Ref Attosecond

photoelectron microscopy of H2+ S X Hu et al Phys Rev A 80 (2009))

mostra a probabilidade (calculada) de se encontrar o eleacutetron em uma dada

posiccedilatildeo na vizinhanccedila dos dois proacutetons na moleacutecula H2+ (vermelho (maior

probabilidade) amarelo verde azul (menor)) Podemos imaginar o eleacutetron

viajando em torno desses proacutetons (em meacutedia ele fica no centro) atraindo

para laacute e para caacute enquanto eles se repelem mutuamente Ao final um

y

145

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

equiliacutebrio dinacircmico eacute produzido em que uma nuvem eletrocircnica envolve os proacutetons

Concluiacutemos que na formaccedilatildeo do iacuteon H2+ a energia liberada seraacute menor que nossa estimativa anterior

para o modelo estaacutetico ( ( )( = 0)) pois uma parte dessa energia que seria liberada ficaraacute armazenada

na moleacutecula na forma cineacutetica do eleacutetron e dos proacutetons

O nuacutecleo de um aacutetomo eacute um reservatoacuterio de energia potencial eleacutetrica Quanto gastamos para

construir um nuacutecleo de heacutelio Trata-se de dois proacutetons (de carga eleacutetrica ) separados pela distacircncia

minuacutescula cong 10 Å Entatildeo (infin rarr ) = ( ) minus (infin) = 4 cong 14 times 10 times (1602 times 10 )

Em termos da unidade de energia eleacutetron-volt (siacutembolo eV) (infin rarr ) cong 14 times 10 eV Aqui a energia de

formaccedilatildeo eacute positiva ou seja ldquogastamosrdquo de fato energia para construir um nuacutecleo de heacutelio H (partindo de dois

proacutetons infinitamente afastados) Esses proacutetons se repelem mutuamente e precisamos nos esforccedilar para que

eles se unam realizando um trabalho positivo sobre os proacutetons Ao final eles se conectam via forccedila forte (com

a participaccedilatildeo dos necircutrons) e a energia potencial eleacutetrica ( ) = (infin rarr ) fica armazenda na

configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas do nuacutecleo (como ocorre com a energia elaacutestica quando comprimimos uma

mola) O dia em que esse nuacutecleo se desfizer (a mola relaxar) e os proacutetons forem se afastando cada vez mais

rapidamente essa energia potencial eleacutetrica vai ser liberada na forma de energia cineacutetica dos proacutetons Essa eacute a

forma como a energia eacute liberada dos nuacutecleos nos processos de fissatildeo nuclear em que nuacutecleos grandes se

quebram em fragmentos menores que se afastam mutuamente com altas velocidades Note que assim como

os aacutetomos e moleacuteculas o nuacutecleo atocircmico natildeo eacute uma estrutura estaacutetica de proacutetons e necircutrons Aleacutem da energia

potencial eleacutetrica essas partiacuteculas que compotildeem os nuacutecleos possuem tambeacutem energia cineacutetica

Esses exemplos simples evidenciam a grande diferenccedila de escala de energia entre os fenocircmenos

quiacutemicos (ou eletrocircnicos) e os fenocircmenos nucleares Enquanto as reaccedilotildees quiacutemicas envolvem basicamente o

rearranjo espacial de eleacutetrons nos aacutetomosmoleacuteculas e energias da ordem de 1 eV as reaccedilotildees nucleares

envolvem o rearranjo de proacutetons nos nuacutecleos e energias da ordem de 10 eV Essa disparidade nos permite

entender o poder incriacutevel de uma bomba nuclear em que a energia de fissatildeo de nuacutecleos atocircmicos (de uracircnio-

235 por exemplo) eacute liberada (basicamente na forma de energia cineacutetica da explosatildeo) Tipicamente a explosatildeo

de uma bomba nuclear pode liberar cerca de 1 quiloton ldquoqueimandordquo uma massa de aproximadamente 1 kg

Um quiloton eacute a energia liberada na ldquoqueimardquo de 1000 toneladas (10 kg) de dinamite (TNT) Essa queima de

TNT eacute uma reaccedilatildeo quiacutemica Portanto vemos que a reaccedilatildeo nuclear de uma massa 1 kg produz uma energia

equivalente agrave reaccedilatildeo quiacutemica de uma massa de 10 kg Esse fator 10 eacute basicamente o fator que

encontramos anteriormente comparando as energias potenciais eleacutetricas no aacutetomo de hidrogecircnio e no nuacutecleo

146

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

de heacutelio A mesma energia potencial eleacutetrica liberada na explosatildeo de uma bomba nuclear eacute utilizada em uma

usina nuclear para aquecer a aacutegua e mover turbinas e geradores que produzem energia eleacutetrica

32 O potencial eletrostaacutetico V

Daqui para diante vamos assumir o fato de que o campo eleacutetrico criado por uma distribuiccedilatildeo qualquer de

cargas eleacutetricas estaacuteticas (o campo eletrostaacutetico) eacute conservativo e que existe portanto uma funccedilatildeo potencial

eleacutetrico ( ) como definimos anteriormente atraveacutes de uma integral do campo eleacutetrico Isso porque esses

fatos estatildeo provados para a carga eleacutetrica pontual e podem ser estendidos para distribuiccedilotildees de cargas

arbitraacuterias atraveacutes do princiacutepio da superposiccedilatildeo

Para mostrar mais claramente a importacircncia do conceito de potencial eleacutetrico considere o seguinte

problema uma partiacutecula de carga eleacutetrica e massa estaacute na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas fixas no espaccedilo A partiacutecula estava em repouso no ponto A

e eacute repelida pelas outras cargas descrevendo uma trajetoacuteria no

espaccedilo que passa pelo ponto B Qual a velocidade dessa partiacutecula

no instante em que ela passa por B A Figura 5 ao lado ilustra essa

ideia A trajetoacuteria hipoteacuteticaarbitraacuteria da partiacutecula estaacute

representada em verde

Sabemos que a distribuiccedilatildeo de outras cargas eleacutetricas que

vamos abreviar por OC gera no espaccedilo um campo eleacutetrico ( ) e que a forccedila (de repulsatildeo) na partiacutecula de carga quando ela estiver na posiccedilatildeo eacute = ( ) Portanto supondo que podemos conhecer o campo eleacutetrico ( ) com as ferramentas que jaacute temos para o

caacutelculo de campos eleacutetricos (lei de Coulomb princiacutepio da superposiccedilatildeo e lei de Gauss) podemos conhecer essa

forccedila e apelar para a segunda lei de Newton que diz que a velocidade da partiacutecula de carga varia no tempo

de acordo com a equaccedilatildeo diferencial (supondo que natildeo haacute outras forccedilas em ) = ( ) Se pudermos resolver essa equaccedilatildeo com a condiccedilatildeo inicial = 0 podemos obter Natildeo eacute muito difiacutecil de

perceber que essa abordagem pode ser bem trabalhosa pois requer o caacutelculo do campo vetorial ( ) no

espaccedilo e a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial vetorial acima Aqui entra o teorema do trabalho-energia e o

conceito de potencial eleacutetrico Estamos vendo que associado ao campo eleacutetrico ( ) existe a funccedilatildeo

potencial eleacutetrico ( ) A ideia eacute que a distribuiccedilatildeo de outras cargas eleacutetricas (OC) gera no espaccedilo um campo

escalar ( ) que define a energia potencial eleacutetrica de uma partiacutecula qualquer de carga eleacutetrica quando

ela estiver na posiccedilatildeo = ( ) (apenas para lembrar vamos chamar essa energia de ldquoenergia

A

B

outras cargas

Figura 5 uma partiacutecula de carga eleacutetrica eacute repelida por outras cargas eleacutetricas

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potencial da partiacutecula de carga rdquo porque estamos interessados apenas no movimento dessa partiacutecula

estando as outras cargas fixas no espaccedilo eacute de fato uma energia de interaccedilatildeo eleacutetrica OC ) Portanto

supondo que podemos conhecer essa funccedilatildeo escalar ( ) associada agraves outras cargas o teorema do trabalho

energia fornece a seguinte equaccedilatildeo algeacutebrica (supondo que natildeo haacute outras forccedilas em )

( ) = ( ) rArr 12 + ( ) = 0 + ( ) rArr 12 = ( ) minus ( )

Vemos que a velocidade (em moacutedulo) estaacute determinada pela simples diferenccedila de potencial (DDP) entre os

pontos A e B diferenccedila de potencial produzida no espaccedilo pela presenccedila das outras cargas eleacutetricas que

repelem Com esse exemplo tentamos deixar claro que a abordagem desse problema atraveacutes do conceito de

potencial eleacutetrico eacute muito mais simples basicamente porque eacute uma funccedilatildeo escalar enquanto que eacute uma

funccedilatildeo vetorial e tambeacutem porque a segunda lei de Newton produz nesses casos equaccedilotildees diferenciais

vetoriais enquanto que o teorema do trabalho-energia produz equaccedilotildees escalares algeacutebricas

A questatildeo que fica eacute como obter o potencial eleacutetrico ( ) de uma dada distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas Jaacute temos a resposta para essa pergunta no caso em que essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute

apenas uma carga pontual ( ) = ( ) = 4

Note que esse potencial eacute esfericamente simeacutetrico ( ) = ( ) Portanto voltando ao problema proposto

considere uma partiacutecula de carga eleacutetrica e massa que estaacute na vizinhanccedila de uma outra carga eleacutetrica

pontual fixa no espaccedilo A partiacutecula de carga estava em repouso no ponto A e eacute repelida pela outra carga

( gt 0) descrevendo uma trajetoacuteria no espaccedilo que passa pelo ponto B Qual a velocidade dessa partiacutecula de

carga no instante em que ela passa por B Jaacute vimos que a resposta eacute de acordo com o teorema do trabalho-

energia cineacutetica (note que Δ = Δ )

Δ + Δ = 0 rArr 12 minus 0 = ( ) minus ( ) = 4 minus 4 = 4 1 minus 1

Note que sendo a partiacutecula repelida ( gt 0) segue que necessariamente vale gt Por exemplo se dois

proacutetons (de carga ) se repelem a partir de uma distacircncia inicial um deles estando fixo o proacuteton livre

chega a uma distacircncia do proacuteton fixo com velocidade ( ) dada por ( eacute a massa do proacuteton) 12 [ ( )] minus 0 = 4 1 minus 1

Vemos que agrave medida que o proacuteton livre se afasta ( rarr infin) a energia potencial eleacutetrica vai sendo convertida

em energia cineacutetica ateacute que para um afastamento infinito a velocidade do proacuteton livre seraacute

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12 [ (infin)] = 4 = ( = ) O graacutefico ao lado mostra as curvas de ( ) (curva vermelha) que eacute dada

por ( ) = 4

e de ( ) (curva verde) que eacute dada por ( ) = 4 1 minus 1

em funccedilatildeo da distacircncia A energia potencial eleacutetrica estaacute sendo convertida em energia cineacutetica Trata-se de

uma situaccedilatildeo anaacuteloga agrave de um corpo que cai e converte sua energia potencial gravitacional ( ) em energia

cineacutetica ( )

A questatildeo agora eacute como resolver esse mesmo problema se as outras cargas forem mais complicadas

como um dipolo eleacutetrico ou um disco eletrizado Precisamos saber calcular o potencial eleacutetrico ( ) que esses

objetos produzem no espaccedilo Haacute duas maneiras de se obter o potencial eleacutetrico para uma distribuiccedilatildeo

qualquer de cargas eleacutetricas estaacuteticas Uma parte do princiacutepio da superposiccedilatildeo e a outra parte do (nem

sempre factiacutevel) conhecimento do campo eleacutetrico que essa distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo

321 Caacutelculo do potencial eletrostaacutetico via campo eleacutetrico

Vamos considerar uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas no espaccedilo cujo campo eleacutetrico eacute

conhecido Segue que podemos calcular a diferenccedila de potencial entre quaisquer dois pontos no espaccedilo

atraveacutes da relaccedilatildeo

( ) minus ( ) = ∙

que eacute a proacutepria definiccedilatildeo primitiva do potencial eleacutetrico Vale lembrar que a integral acima pode ser

realizada em qualquer caminho que nasce em A e morre em B Note entatildeo que as coisas podem ser mais

simples Para calcular ( ) minus ( ) para dois pontos A e B particulares natildeo precisamos conhecer o campo

eleacutetrico em todo o espaccedilo basta que conheccedilamos esse campo em um (e apenas um) caminho qualquer que

conecta A e B

Consideremos um exemplo que jaacute discutimos anteriormente Um aro circular fino de raio e

densidade de carga eleacutetrica uniforme ao longo de todo o seu comprimento No capiacutetulo 1 calculamos o

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campo eleacutetrico produzido por esse aro mas natildeo o campo eleacutetrico ( ) em um ponto qualquer do espaccedilo

Calculamos o campo eleacutetrico apenas sobre o eixo de simetria do aro (eixo z) Obtivemos o resultado

( ) = 2 ( + ) sendo = 0 a posiccedilatildeo do centro do aro

Considere agora o seguinte problema calcule a diferenccedila de potencial ( ) minus ( ) para dois pontos

A e B sobre o eixo do aro ambos no lado com gt 0 conforme a Figura ao lado

Basta que escolhamos um caminho que conecta A e B e sobre o qual

conheccedilamos (em todos os seus pontos) o campo eleacutetrico que o aro produz no

espaccedilo A Figura 6 sugere dois caminhos O caminho em verde vai pelo espaccedilo

por fora do eixo O caminho em vermelho estaacute restrito ao eixo ele percorre o

eixo de A ateacute B Podemos usar qualquer caminho para o caacutelculo de ( ) minus ( ) pois o campo eleacutetrico eacute conservativo Mas tendo em vista que soacute

conhecemos o campo eleacutetrico do aro sobre o eixo z soacute nos resta a opccedilatildeo de

usar o caminho em vermelho Para usar o caminho em verde teriacuteamos que ter

conhecimento sobre a funccedilatildeo ( ) no espaccedilo e natildeo apenas sobre o campo ( ) restrito aos pontos sobre o

eixo Concluindo no caminho vermelho fica claro que = e que portanto

( ) minus ( ) = ∙ = 2 ( + ) ∙ = 2 ( + )

Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) obtemos

( ) minus ( ) = 2 1+ minus 1+

sendo e as distacircncias de A e B ateacute a origem Note que se gt 0 e lt (como na Figura 6) segue que ( ) gt ( ) ou seja o potencial eleacutetrico produzido pelo aro decai agrave medida que nos afastamos dele Essa eacute

uma propriedade baacutesica do potencial eleacutetrico (e que vale a pena ser memorizada) ele decai quando

caminhamos no mesmo sentido do campo eleacutetrico no espaccedilo (se gt 0 o campo eleacutetrico do aro aponta de A

para B) Note que a expressatildeo de ( ) que utilizamos vale sobre todo o eixo z ou seja para gt 0 e le 0

Portanto isso tambeacutem eacute verdadeiro para a expressatildeo da diferenccedila de potencial que obtivemos A e B satildeo dois

pontos quaisquer sobre o eixo z Por exemplo se na Figura 6 o ponto A estiver agrave esquerda do centro do aro e o

ponto B agrave direita ambos a uma mesma distacircncia do centro do aro entatildeo = minus e vemos acima que ( ) = ( ) (uma simetria de ) O potencial eacute o mesmo em dois pontos opostos equumlidistantes do aro

Figura 6 um aro fino eletrizado com densidade de carga uniforme

zA B

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Muitas vezes nos referimos ao potencial eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo mas podemos ver

que a definiccedilatildeo acima para o potencial define a diferenccedila ( ) minus ( ) mas natildeo define nem ( ) e nem ( ) Por exemplo suponha que determinemos que ( ) minus ( ) = 100 volts quanto vale ( ) Natildeo

podemos saber esse valor natildeo estaacute determinado pelo formalismo do potencial eleacutetrico Tanto faz sentido

dizermos que ( ) = 900 volts e ( ) = 800 volts quanto ( ) = minus103 volts e ( ) = minus203 volts Soacute

sabemos que o potencial em A eacute 100 volts acima do potencial em B Isso eacute suficiente para abordarmos

problemas atraveacutes do teorema do trabalho-energia pois este soacute envolve variaccedilotildees de energia e portanto

variaccedilotildees de potencial eleacutetrico Mas enfim apenas por conveniecircncia podemos ldquocalibrarrdquo o formalismo

fixando uma referecircncia de potencial no espaccedilo onde = 0 digamos e nos referirmos entatildeo ao potencial

eleacutetrico ( ) em um ponto qualquer Se vocecirc se recordar fizemos isso quando dissemos que o potencial

eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual eacute ( ) = 4

e natildeo ( ) = 4 +

Para simplificar nossa expressatildeo de ( ) fixamos = 0 ou seja fixamos (infin) = = 0

No exemplo do aro se fixarmos B como sendo a referecircncia de potencial e arbitrarmos ( ) = 0

segue que automaticamente ( ) = 100 volts porque sabemos que ( ) minus ( ) = 100 volts Ao fixar uma

referecircncia de potencial eleacutetrico fixamos automaticamente o valor do potencial eleacutetrico em todos os pontos do

espaccedilo Natildeo haacute muita novidade nisso pois essa mesma ideia vale para o conceito simples de altura Qual a

altura ℎ de um determinado ponto do espaccedilo Natildeo haacute resposta para essa pergunta pois altura eacute um conceito

relativo Devemos escolher uma referecircncia de altura um piso onde normalmente fixamos o valor ℎ = 0 A

partir daiacute as alturas de todos os pontos do espaccedilo ficam bem definidas A mesma ideia vale para o potencial

eleacutetrico Podemos escolher uma posiccedilatildeo de referecircncia e fixar o potencial eleacutetrico nessa posiccedilatildeo como

sendo zero ( ( ) = 0) e com isso fixar o valor do potencial em todos os pontos do espaccedilo Uma escolha

comum eacute rarr infin que foi o que fizemos para o potencial de uma uacutenica carga eleacutetrica pontual Mas outras

escolhas podem ser mais convenientes Em circuitos eleacutetricos por exemplo eacute comum se fixar a referecircncia =0 no poacutelo negativo da bateria ou da fonte de alimentaccedilatildeo ou mesmo no terminal ldquoterrardquo do circuito O

potencial eleacutetrico assim como o campo eleacutetrico expressa uma influecircncia que uma distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas exerce no espaccedilo ao seu redor Assim sendo a escolha ( rarr infin) = 0 pressupotildee que essa

influecircncia desaparece rapidamente no infinito o que eacute sempre verdade para distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas

de tamanho finito (limitadas no espaccedilo) Esse eacute sempre o caso para corpos eletrizados realistas Haacute

basicamente dois casos em que essa escolha de referecircncia natildeo funciona o plano infinito e o cilindro infinito

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com densidades de carga uniformes Esses objetos de tamanho infinito (modelos artificiais para corpos muito

grandes) exercem influecircncia marcante mesmo a uma distacircncia infinita deles o que faz com que a escolha ( rarr infin) = 0 se torne absurda e natildeo factiacutevel Sendo a escolha de arbitraacuteria esse fato natildeo tem

nenhuma consequecircncia relevante para esses casos Mas enfim fica aqui o registro de que a escolha ( rarr infin) = 0 eacute conveniente mas nem sempre eacute possiacutevel Voltaremos a discutir esse detalhe mais

adiante

Para o aro eletrizado poderiacuteamos escolher o centro do aro ( = 0) como referecircncia e fixar ( = 0) =0 Tomando entatildeo o ponto A no centro do aro e fazendo ( ) = (0) = 0 na expressatildeo da diferenccedila de

potencial obtemos a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) dada por (o ponto B eacute um ponto de coordenada z

qualquer ou seja faremos = ) (0) minus ( ) = 2 1radic + 0 minus 1+ rArr ( ) = 2 1radic + minus 1

A funccedilatildeo ( ) daacute o valor do potencial eleacutetrico em qualquer ponto sobre o eixo z do aro Por exemplo

( = 0) = 2 1radic + 0 minus 1 = 0 ( rarr infin) = 2 1radic +infin minus 1 = minus2

O primeiro resultado eacute apenas uma verificaccedilatildeo de nossa referecircncia pois noacutes forccedilamos ( = 0) = 0

O segundo resultado mostra que para gt 0 o potencial deve decair quando nos afastamos do aro (ele

sempre decai quando caminhamos no sentido de ) e portanto se ele eacute nulo em = 0 ele tem que se tornar

negativo no infinito (para lt 0 o campo eleacutetrico inverte de sentido e o potencial diminui quando nos

aproximamos do aro pois ele era positivo no infinito e eacute nulo no centro do aro)

Outra pessoa poderia achar mais conveniente escolher um ponto no infinito ( rarr infin) como referecircncia

e fixar (infin) = 0 Tomando entatildeo o ponto A no infinito e fazendo ( ) = (infin) = 0 na expressatildeo da

diferenccedila de potencial obtemos a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) dada por (o ponto B eacute um ponto de

coordenada z qualquer ou seja faremos = ) (infin) minus ( ) = 2 1radic + infin minus 1+ rArr ( ) = 2 radic +

A funccedilatildeo ( ) daacute o valor do potencial eleacutetrico em qualquer ponto sobre o eixo z do aro Por exemplo

( = 0) = 2 ( rarr infin) = 2 1radic +infin = 0

Agora o segundo resultado eacute apenas uma verificaccedilatildeo de nossa referecircncia pois noacutes forccedilamos a validade de ( rarr infin) = 0 O primeiro resultado mostra que para gt 0 o potencial deve decair quando nos afastamos

do aro (ele sempre decai quando caminhamos no sentido de ) e portanto se ele eacute nulo no infinito ele tem

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

que se tornar positivo no centro do aro (para lt 0 o campo eleacutetrico inverte de sentido e o potencial diminui

quando nos aproximamos do aro ele se torna negativo)

Os graacuteficos na Figura 7 abaixo mostram as duas funccedilotildees ( ) (para o caso gt 0) que obtivemos com

essas escolhas diferentes de referecircncia para o piso = 0 A curva verde eacute o caso ( rarr infin) = 0 em que

vemos que o potencial tem um pico positivo no centro do aro e vai decaindo a zero suavemente A curva

vermelha eacute o caso ( = 0) = 0 em que vemos que o potencial tem um pico no centro do aro e vai decaindo

suavemente para um valor assintoacutetico negativo no infinito As duas curvas apresentam o mesmo

comportamento

Olhando para essas duas curvas fica claro que elas estatildeo apenas deslocadas ao longo do eixo vertical e

que portanto as diferenccedilas de potencial natildeo satildeo afetadas por esses deslocamentos Qualquer escolha de

referecircncia eacute vaacutelida Mas utilizando um criteacuterio de simplicidade vemos que a escolha ( rarr infin) = 0 eacute mais

interessante pois leva a uma funccedilatildeo ( ) um pouco mais simples e compacta Ficaremos com essa escolha

ou seja podemos afirmar que o potencial ao longo do eixo z de um aro eletrizado eacute

( ) = 2 radic +

Note que essa funccedilatildeo soacute eacute vaacutelida para pontos sobre o eixo z do aro Sobre os outros pontos no espaccedilo fora

desse eixo natildeo temos ideia do valor do potencial Essa expressatildeo vale para ge 0 e lt 0 Note a simetria (minus ) = ( ) Vamos considerar agora o exemplo de uma casca

esfeacuterica de raio eletrizada com uma densidade de carga

eleacutetrica uniforme A Figura 8 ao lado mostra essa casca

(em azul) e dois pontos A e B para os quais queremos

calcular ( ) minus ( ) O ponto A estaacute dentro da casca

( lt ) e o ponto B estaacute fora ( gt ) Da definiccedilatildeo

Figura 7 potencial eleacutetrico ao longo do eixo z de um aro eletrizado tomando duas referecircncias diferentes ( rarr infin) = 0 (curva verde) e ( = 0) = 0 (curva vermelha)

A

B Figura 8 Dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma casca esfeacuterica eletrizada (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera)

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( ) minus ( ) = ∙

De acordo com o teorema das cascas o campo eleacutetrico que essa casca esfeacuterica eletrizada produz no espaccedilo eacute

( ) = 0 se lt ( ) = 4 se gt

sendo = 4 a carga eleacutetrica total acumulada na casca esfeacuterica Portanto devemos levar em conta que

no caminho que conecta A e B qualquer que seja ele o campo eleacutetrico muda ao longo desse caminho

conforme estamos caminhando dentro ou fora da casca esfeacuterica Como de praxe qualquer caminho de A ateacute B

pode ser utilizado nesse caacutelculo mas sempre haacute um caminho mais apropriado

Aqui antes de prosseguirmos podemos introduzir a ideia de ldquosuperfiacutecie equipotencialrdquo Uma

superfiacutecie equipotencial eacute aquela na qual o potencial eleacutetrico assume um valor constante Dessa forma se e

satildeo dois pontos quaisquer que pertencem a uma superfiacutecie equipotencial entatildeo ( ) = ( ) Como

sabemos quais satildeo as superfiacutecies equipotenciais para uma distribuiccedilatildeo de cargas particular Em princiacutepio

devemos olhar a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) analisar sua dependecircncia das coordenadas espaciais e

descobrir a partir daiacute em quais superfiacutecies no espaccedilo vale a equaccedilatildeo ( ) =constante Mas as superfiacutecies

equipotenciais possuem uma propriedade simples que nos permite muitas vezes descobrir quem elas satildeo

antes mesmo de conhecermos a funccedilatildeo ( ) A propriedade marcante de uma superfiacutecie equipotencial eacute o

campo eleacutetrico eacute ortogonal a todos os pontos de uma superfiacutecie equipotencial e analogamente uma

superfiacutecie equipotencial eacute ortogonal ao campo eleacutetrico em todos os seus pontos Haacute vaacuterias maneiras de

demonstrar isso Aqui vamos partir da ideia simples de que para A e B quaisquer vale

( ) minus ( ) = ∙

Portanto para dois pontos A e B separados por uma distacircncia infinitesimal vale = minus ∙ pois

= + minus ( ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙

(a integral dentro de um intervalo infinitesimal eacute igual ao proacuteprio integrando) A diferenccedila infinitesimal de

potencial eleacutetrico ( ) entre dois pontos quaisquer do espaccedilo separados por um deslocamento infinitesimal

eacute dada pelo produto escalar minus ∙ Conclusatildeo i) para quaisquer dois pontos de uma superfiacutecie

equipotencial vale = 0 e portanto ∙ = 0 de onde concluiacutemos que estando na superfiacutecie (pois A e

B tambeacutem estatildeo) segue que estaacute ortogonal a essa superfiacutecie (porque o produto escalar entre vetores

ortogonais entre si eacute nulo) ii) se haacute uma superfiacutecie que eacute ortogonal a em todos os seus pontos entatildeo

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∙ = 0 para quaisquer dois pontos proacuteximos nessa superfiacutecie separados por de onde concluiacutemos que = 0 para esses dois pontos e que portanto ( ) =constante nessa superfiacutecie

Voltamos agora ao problema da casca esfeacuterica Vemos que o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior da

casca eacute radial e que portanto eacute ortogonal

agraves superfiacutecies esfeacutericas concecircntricas agrave casca

Segue que essas superfiacutecies esfeacutericas de

raio qualquer gt satildeo superfiacutecies

equipotenciais Isso vale tambeacutem para a

proacutepria superfiacutecie da casca esfeacuterica

eletrizada ou seja = Na Figura 9 ao

lado mostramos (em vermelho) uma

superfiacutecie equipotencial que conteacutem o ponto B ou seja todos os pontos dessa superfiacutecie esfeacuterica possuem o

mesmo potencial eleacutetrico ( ) inclusive o ponto C mostrado que se conecta com A atraveacutes de um caminho

estritamente radial (em verde) Nossa ideia aqui eacute entatildeo calcular ( ) minus ( ) sabendo que ( ) = ( ) O ponto X faz parte do caminho radial AC e estaacute exatamente sobre a casca eletrizada ( = )

marcando a posiccedilatildeo em que o campo eleacutetrico muda de comportamento

Conclusatildeo desmembrando o caminho AC em AX + XC obtemos

( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ + ∙

Substituindo as funccedilotildees em cada regiatildeo e considerando que em um caminho radial vale = obtemos

( ) minus ( ) = 0 ∙ + 4 ∙ = 4 1

Concluindo (usando = e = ) ( ) minus ( ) = 4 minus 1 = 4 1 minus 1

Vemos que se = vale ( ) = ( ) qualquer que seja o ponto A dentro da casca eletrizada De fato em

toda essa regiatildeo interior vale ( ) = 0 e portanto todo o volume dentro da casca esfeacuterica eacute equipotencial e

possui o mesmo potencial da superfiacutecie = O valor desse potencial natildeo estaacute definido agrave priori pois

conforme jaacute discutimos somente diferenccedilas de potencial eleacutetrico satildeo definidas por esse formalismo Para

definir ldquoo potencialrdquo em cada ponto devemos fixar uma referecircncia onde = 0 Se tomarmos um ponto B no

infinito vemos que

Figura 9 Dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma casca esfeacuterica eletrizada Uma superfiacutecie equipotencial (em vermelho) de raio

onde vale ( ) = ( ) C eacute um ponto dessa superfiacutecie (note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas)

( ) = ( )

A

B

C

X

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( ) minus (infin) = 4 1 minus 1infin = 4 rArr ( ) = (infin) + 4 Essa equaccedilatildeo mostra que se fixarmos um valor para (infin) automaticamente fixamos um valor para o

potencial em qualquer ponto (A) no interior da casca eletrizada Se arbitrarmos (infin) = 0 segue que valor do

potencial eleacutetrico nessa regiatildeo interior da casca fica dado por

( le ) = 4 Na regiatildeo exterior agrave casca ( gt ) obtemos (fixamos o ponto B em um raio qualquer = gt )

( ) = ( ) = ( ) minus 4 1 minus 1 rArr ( ) = 4 minus 4 1 minus 1 rArr ( gt ) = 4 que eacute o potencial de uma carga pontual localizada na origem (teorema das cascas)

Os graacuteficos ao lado ilustram os comportamentos do moacutedulo do campo

eleacutetrico e do potencial eleacutetrico em funccedilatildeo do raio supondo gt 0 Vemos

que o campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo na casca eletrizada ( = ) um artifiacutecio

do modelo de distribuiccedilatildeo de carga bidimensional mas o potencial eleacutetrico eacute

contiacutenuo No interior da casca o campo eleacutetrico eacute nulo e o potencial eacute

constante No exterior da casca tudo se daacute como se houvesse uma carga

pontual no centro da casca o campo eleacutetrico decai com 1 e o potencial

eleacutetrico decai com 1 (teorema das cascas)

Suponha um gerador de Van de Graaff que vai acumulando

progressivamente cargas eleacutetricas em uma casca esfeacuterica metaacutelica de raio = 10 cm Sabemos que a quebra de rigidez dieleacutetrica do ar ocorre quando a magnitude do campo eleacutetrico

na vizinhanccedila dessa esfera atinge o valor =30 kVcm (isso significa que se houver uma diferenccedila de

potencial de 30000 volts entre dois pontos separados pela distacircncia de 1 cm no ar vai haver conduccedilatildeo de

cargas eleacutetricas entre esses dois pontos atraveacutes do ar) Qual o potencial e a carga eleacutetrica maacuteximos que

podem ser atingidos nesse gerador As cargas eleacutetricas vatildeo sendo depositadas nessa casca metaacutelica e se

concentrando em uma densidade de cargas superficial uniforme Enquanto isso o campo eleacutetrico nas

proximidades da casca vai crescendo pois ele eacute dado por = No instante em que = o

ar proacuteximo agrave casca deixa de ser isolante e passa a conduzir cargas eleacutetricas para o proacuteprio ar circundante e

centelhas passam a saltar da casca para o ar circundante A carga eleacutetrica acumulada na casca metaacutelica para de

crescer Nesse instante vale = Portanto a carga eleacutetrica maacutexima acumulada na casca eacute = 4 ou seja = 4 e o potencial maacuteximo na casca esfeacuterica metaacutelica eacute (com (infin) = 0)

( )

( )

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= 4 = 4 4 =

Com os valores numeacutericos obtemos cong 33 times 10 C e cong 300 kV Natildeo se deve brincar com um

gerador de Van de Graaff

Antes de continuar vamos dar uma olhada nas superfiacutecies equipotenciais de algumas distribuiccedilotildees de

cargas simples

A Figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico (Figura retirada

do livro claacutessico Static and Dynamic Electricity W R Smythe) as

linhas de forccedila de (linhas cheias) e as linhas equipotenciais (linhas

tracejadas) que satildeo cortes no plano do dipolo das superfiacutecies

equipotenciais (essas superfiacutecies podem ser ldquovisualizadasrdquo girando

a Figura em torno do eixo horizontal) Note que as linhas cheias e

as linhas tracejadas se interceptam ortogonalmente pois as

superfiacutecies equipotenciais satildeo ortogonais a em todos os seus

pontos A linha reta central tracejada eacute a interseccedilatildeo do plano = 0

com o plano do dipolo Como esse plano se estende ateacute o infin entatildeo

o potencial nele eacute o mesmo potencial no infin que eacute (infin) = 0 Se o

poacutelo + estaacute agrave direita na Figura entatildeo nesse lado vale gt 0 e no lado esquerdo vale lt 0 O plano = 0

separa essas duas regiotildees A Figura ao lado

(httpswwwwolframcommathematica) representa essas superfiacutecies em

3D Plano = 0 em verde e superfiacutecies gt 0 em azul Um iacuteon viajando na

vizinhanccedila desse dipolo vai atravessando essas superfiacutecies modificando sua

energia cineacutetica

A Figura ao lado mostra um esboccedilo que fizemos para o caso de uma

haste fina de tamanho L com densidade de carga

uniforme gt 0 As linhas de forccedila de satildeo as linhas

orientadas e as linhas azul verde e vermelha satildeo

cortes no plano da haste de trecircs superfiacutecies

equipotenciais (essas superfiacutecies que satildeo elipsoacuteides

podem ser ldquovisualizadasrdquo girando a Figura em torno

do eixo horizontal) Note que as linhas de forccedila e as

linhas equipotenciais se interceptam (ou pelo menos

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

deveriam se interceptar mas esse eacute apenas um esboccedilo ldquona matildeordquo) ortogonalmente pois as superfiacutecies

equipotenciais satildeo ortogonais a em todos os seus pontos

A Figura ao lado tenta passar a ideia de uma dessas superfiacutecies

equipotenciais no espaccedilo 3D A haste eletrizada estaacute sobre o eixo

maior do elipsoacuteide em uma posiccedilatildeo central os focos do elipsoacuteide

estatildeo nas extremidades da haste Em todos os pontos desse elipsoacuteide

vale ( ) =constante

No capiacutetulo 2 tivemos oportunidade de discutir as propriedades gerais de condutores em equiliacutebrio

eletrostaacutetico Laacute mencionamos que algumas dessas propriedades podem ser demonstradas facilmente usando

o conceito de potencial eleacutetrico Portanto vamos voltar a discuti-las aqui

Apenas para lembrar os materiais condutores (perfeitos) possuem um manancial ilimitado de

portadores de carga em seu interior que se movimentam e assumem posiccedilotildees de equiliacutebrio (nas superfiacutecies)

ao sabor das influecircncias de outras cargas eleacutetricas colocadas na vizinhanccedila do condutor (tanto fora quanto

dentro de uma cavidade)

Concluiacutemos daiacute que no equiliacutebrio eletrostaacutetico de um condutor deve valer a condiccedilatildeo ( ) = 0 em

todo o seu interior (senatildeo natildeo seria eletrostaacutetica) Portanto com base no que vimos aqui concluiacutemos que o

volume de um condutor e toda a sua superfiacutecie exterior e interior (se houver uma cavidade) possuem o

mesmo potencial eleacutetrico ou seja constituem uma regiatildeo equipotencial Em particular as superfiacutecies do

condutor (exterior e interior no caso de haver uma cavidade) satildeo superfiacutecies equipotenciais

Tentamos argumentar no capiacutetulo 2 que o campo eleacutetrico exterior ao condutor tatildeo proacuteximo de sua

superfiacutecie quanto queiramos (superfiacutecies exterior e interior no caso de haver uma cavidade) eacute ortogonal a

essa superfiacutecie Vemos agora que essa eacute uma propriedade geral das superfiacutecies equipotenciais

Podemos entender tambeacutem porque natildeo pode haver campo eleacutetrico dentro de

uma cavidade vazia (sem cargas eleacutetricas) em um condutor Estando a cavidade vazia as

linhas de forccedila de um hipoteacutetico que houvesse dentro dessa cavidade deveriam nascer

e morrer na superfiacutecie da cavidade (elas natildeo podem nascer ou morrer no nada dentro da

cavidade) Portanto tomando uma linha de forccedila desse campo que conecta dois

pontos A e B na superfiacutecie da cavidade e utilizando essa linha de forccedila como caminho de

integraccedilatildeo obtemos (ver Figura ao lado)

( ) minus ( ) = ∙

A

B

+

-

+++++++++++++

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Essa linha de forccedila (hipoteacutetica) possui somente uma orientaccedilatildeo (digamos de A para B) assim como

(ver a Figura acima) Segue que o sinal de ∙ estaacute fixo em todo o percurso AB Portanto segue que ( ) ne ( ) o que eacute um absurdo pois sabemos que a superfiacutecie da cavidade eacute equipotencial Conclusatildeo natildeo

pode haver nenhum campo dentro da cavidade vazia

Mostramos tambeacutem que a carga eleacutetrica total na superfiacutecie da cavidade eacute nula caso contraacuterio a lei de

Gauss natildeo valeria Mas especulamos que poderia haver uma densidade de carga nessa superfiacutecie que fosse

positiva em uma regiatildeo e negativa em outra de tal forma que = 0 O mesmo raciociacutenio acima mostra

que essa ideia eacute absurda pois se houvesse essas cargas positivas e negativas na superfiacutecie da cavidade ( ne 0)

haveria campo eleacutetrico dentro da cavidade vazia (dado por proacuteximo agrave superfiacutecie dentro da cavidade) e jaacute

sabemos que natildeo haacute esse campo

Esses dois uacuteltimos argumentos acima natildeo se aplicam a cavidades com cargas eleacutetricas dentro delas

pois nesse caso as linhas de forccedila do campo eleacutetrico dentro da cavidade podem (e vatildeo fazer isso)

nascermorrer na superfiacutecie da cavidade e morrernascer nas cargas dentro da cavidade Nenhuma linha de

forccedila vai nascer e morrer na superfiacutecie da cavidade A Figura ao lado ilustra o caso de um dipolo colocado

dentro de uma cavidade no interior de um condutor O dipolo induz na superfiacutecie da cavidade uma densidade

de carga que eacute positiva em uma regiatildeo e negativa em outra de tal forma que = 0 As linhas de forccedila de conectam os poacutelos do dipolo agraves cargas na superfiacutecie

da cavidade Haacute cargas eleacutetricas na superfiacutecie da cavidade e haacute campo eleacutetrico no

interior da cavidade Nada disso contradiz o fato de que a superfiacutecie da cavidade eacute

equipotencial (como tem que ser no equiliacutebrio eletrostaacutetico) Note que as linhas de forccedila

de se aproximam da superfiacutecie da cavidade ortogonalmente

No capiacutetulo 1 discutimos tambeacutem a troca de cargas eleacutetricas entre dois condutores que se tocam e

comentamos que o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior das cargas Aqui podemos tornar essa ideia

mais quantitativa Imagine uma esfera metaacutelica de raio que possui inicialmente um excesso de carga

eleacutetrica Uma segunda esfera metaacutelica de raio e eletricamente neutra eacute colocada em contato eleacutetrico

com a primeira esfera Sabemos que cargas eleacutetricas vatildeo fluir da esfera 1 para a esfera 2 (pois elas formam um

condutor soacute) e um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico vai se estabelecer Como seraacute a divisatildeo da carga entre as

duas esferas Ao se tocarem as duas esferas se tornam um condutor apenas e portanto uma equipotencial

apenas No equiliacutebrio eletrostaacutetico vai valer a igualdade entre os potenciais eleacutetricos nas superfiacutecies das duas

esferas (e nos volumes tambeacutem) Desprezando a influecircncia de uma esfera sobre a outra (eletrizaccedilatildeo por

induccedilatildeo) supondo que elas satildeo mantidas a uma distacircncia razoaacutevel uma da outra podemos utilizar a expressatildeo

para o potencial em uma esfera isolada e afirmar que no equiliacutebrio (com as esferas conectadas) vale

+

- +

+ +

- - -

159

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

= rArr4 = 4 rArr = valendo ainda + = Concluindo a carga eacute partilhada entre as duas esferas de acordo com

= 1 + = 1 +

Se as esferas forem iguais ( = ) entatildeo a carga seraacute partilhada frac12 a frac12 = = 2 Caso contraacuterio a

esfera maior vai ficar com mais carga eleacutetrica Se vocecirc considerar que a esfera 2 eacute o planeta Terra entatildeo = cong 6400000 m e em geral cong 0 o que torna faacutecil entender por que um aterramento escoa

todos os acuacutemulos de cargas eleacutetricas para a Terra = (1 + 0) = e = (1 +infin) = 0

Como uacuteltimo exemplo de caacutelculo de diferenccedila de

potencial eleacutetrico via campo eleacutetrico vamos considerar um

plano infinito carregado com uma densidade de carga

eleacutetrica superficial uniforme Considere dois pontos A e B

na vizinhanccedila desse plano no mesmo lado do plano

conforme a Figura 10 ao lado Queremos calcular a

diferenccedila de potencial

( ) minus ( ) = ∙

e jaacute sabemos que nesse lado do plano o campo eacute dado por

= 2 sendo z a direccedilatildeo ortogonal ao plano carregado Qual

curva vamos utilizar nessa integraccedilatildeo Considere que as

superfiacutecies equipotenciais para essa configuraccedilatildeo de

cargas eleacutetricas satildeo planos paralelos ao plano

carregado ou seja superfiacutecies z=constante Essas

superfiacutecies satildeo ortogonais ao campo eleacutetrico do plano em todos os pontos do espaccedilo A Figura 11 mostra uma

dessas superfiacutecies equipotenciais (bordas em azul) que conteacutem o ponto B e o ponto C ( ( ) = ( )) que

estaacute na mesma linha de A ao longo de um eixo paralelo ao eixo z O caminho vermelho que conecta A e C eacute

portanto um caminho paralelo ao eixo z Assim sendo nesse caminho vale = e segue que

( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = 2 ∙ = 2 = 2 ( minus )

z

A

B

Figura 10 dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma superfiacutecie plana infinita com densidade de carga uniforme

z

A

B

Figura 11 o ponto C possui o mesmo potencial do ponto B pois eles estatildeo em um plano z=constante

C

160

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

sendo e as coordenadas z dos pontos A e B (note que = ) A diferenccedila de potencial depende

essencialmente da distacircncia entre A e B mas a distacircncia apenas ao longo do eixo z (uma espeacutecie de altura)

Vamos pensar agora em uma referecircncia onde poderiacuteamos fixar = 0 e definir entatildeo o valor do

potencial eleacutetrico em todos os pontos do espaccedilo nesse lado do plano Note que aqui natildeo faz sentido em se

pensar em uma referecircncia no infin (se fizermos rarr infin obtemos ( ) minus (infin) rarr infin para todo ponto A) pois

isso tornaria o potencial infinito em todos os pontos do espaccedilo Isso ocorre porque o campo eleacutetrico do plano

carregado eacute uniforme e portanto natildeo diminui de valor no infin Assim sendo natildeo faz sentido em se dizer que o

potencial eleacutetrico (a influecircncia) do plano carregado se anula no infin Uma alternativa razoaacutevel eacute tomar como

referecircncia o potencial no proacuteprio plano carregado ou seja fixar (0) = 0 (colocando o plano carregado na

origem do eixo z) Tomando o ponto A sobre o plano carregado ( = 0) e fazendo ( ) = 0 obtemos ( ) minus ( ) = (0) minus ( ) = 2 ( minus 0) rArr ( ) = minus2

O ponto B eacute um ponto de coordenada = qualquer Para gt 0 quando andamos ao longo do eixo z

positivo indo para rarr infin o potencial deve diminuir (pois o campo eleacutetrico do plano carregado aponta nesse

sentido) Se ele eacute nulo sobre o plano carregado entatildeo ele tem que se tornar negativo para gt 0 Tendo em

vista a simetria do plano esperamos que a mesma ideia valha quando andamos ao longo do eixo z negativo

indo para rarr minusinfin Portanto para lt 0 deve valer ( ) = minus2 | | Concluindo como para gt 0 vale | | = segue que a expressatildeo acima vale dos dois

lados do plano carregado (uma simetria (minus ) = ( )) Os graacuteficos ao lado mostram

os comportamentos do campo eleacutetrico e do potencial eleacutetrico em funccedilatildeo da

coordenada z ortogonal ao plano carregado (para gt 0) Um valor negativo do

campo eleacutetrico significa um campo ao longo de ndashz O campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo no

plano carregado mas o potencial eleacutetrico eacute contiacutenuo No infinito o potencial diverge

vai para minusinfin Por essa razatildeo se tentamos zerar o potencial no infinito (onde ele de

fato diverge) o potencial passa a divergir em todos os pontos do espaccedilo

Vemos portanto que o plano infinito com densidade de carga uniforme eacute

um exemplo em que natildeo podemos tomar a referecircncia (infin) = 0 Ela natildeo funciona pois leva a uma

divergecircncia na funccedilatildeo ( ) De fato o potencial eleacutetrico assim como o campo eleacutetrico eacute uma grandeza que

representa uma influecircncia que uma distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo ao seu redor Dizer que (infin) = 0 equivale portanto a dizer que essa influecircncia deixou de existir a uma distacircncia infinita da

distribuiccedilatildeo de cargas Isso eacute sempre verdade para uma distribuiccedilatildeo de cargas limitada em uma regiatildeo finita do

espaccedilo quando nos afastamos dela ela vai se tornando cada vez menor ateacute que deixamos de sentir sua

( )

( )

161

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

influecircncia ( rarr 0 e rarr = 0) No caso do plano infinito essa ideia natildeo funciona natildeo conseguimos nos

afastar de um plano infinito ele natildeo fica menor Por essa razatildeo o campo eleacutetrico de um plano infinito eacute

uniforme ou seja natildeo decai a zero quando nos afastamos dele = 2 qualquer que seja o valor da

coordenada z medida em relaccedilatildeo ao plano carregado O mesmo problema ocorre com um cilindro infinito

com densidade de carga linear uniforme O campo eleacutetrico desse cilindro decai a zero no infinito mas de

uma forma muito lenta ( ) = 2 sendo o raio medido em relaccedilatildeo ao cilindro carregado Por essa

razatildeo tambeacutem natildeo conseguimos adotar a referecircncia (infin) = 0 para o cilindro carregado com densidade de

carga uniforme

Para tornar essa ideia mais quantitativa imagine que a uma distacircncia muito grande de uma

distribuiccedilatildeo de cargas o campo eleacutetrico dessa distribuiccedilatildeo tenha o seguinte comportamento assintoacutetico ( ≫ 1) = sendo gt 0 uma constante e ge 0 um expoente de decaimento Para o caso de uma carga pontual (ou um

aro ou um disco com cargas uniformes conforme jaacute vimos) vale = 2 para um dipolo eleacutetrico pontual vale = 3 e assim por diante Mas para o cilindro infinito com densidade de carga uniforme vale = 1 e para o

plano infinito com densidade de carga uniforme vale = 0 (campo independente da distacircncia) Portanto

vamos calcular a diferenccedila de potencial entre um ponto A (distante) em um raio ≫ 1 e um ponto no infinito

(atraveacutes de um caminho radial)

( ) minus (infin) = ∙ = = 1 minus (infin minus ) Agora tomando (infin) = 0 obtemos ( ) = ( ) = 1 minus (infin minus ) Vemos que para ge 2 natildeo haacute nenhum problema nessa expressatildeo pois infin rarr 0 Mas para o plano infinito

fica claro que ( ) diverge (infin = infin rarr infin) ou seja natildeo podemos tomar (infin) = 0 Para o cilindro infinito

as coisas satildeo mais estranhas pois obtemos uma indeterminaccedilatildeo (infin = infin rarr) Com um pouco de

paciecircncia podemos concluir que nesse caso ( ) tambeacutem diverge mas mais lentamente do que no caso do

plano infinito Natildeo podemos tomar (infin) = 0 para o cilindro com uniforme

Sendo esses objetos infinitos apenas idealizaccedilotildees apropriadas para descrever objetos reais que satildeo

grandes mas de fato finitos concluiacutemos que essa limitaccedilatildeo na escolha de (infin) eacute apenas um artefato desses

modelos Em geral para objetos reais sempre podemos admitir que (infin) = 0 eacute uma escolha conveniente de

referecircncia para o potencial eleacutetrico Note que a limitaccedilatildeo a que nos referimos aqui estaacute na distribuiccedilatildeo de

cargas eleacutetricas e natildeo no objeto suporte dessas cargas Poderiacuteamos imaginar distribuiccedilotildees de cargas

162

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

suficientemente limitadas definidas em planos e cilindros infinitos de tal forma que a escolha (infin) = 0 seria

perfeitamente possiacutevel Um caso simples seria uma mancha de carga natildeo uniforme definida em um plano

infinito como por exemplo ( ) = sendo uma constante e um raio medido paralelamente ao

plano partindo de um ponto central qualquer nesse plano Essa mancha de carga se estende por todo o plano

infinito mais decai a zero agrave medida que nos afastamos do centro do plano estando basicamente

concentradalimitada proacuteximo a esse centro Trata-se portanto de uma distribuiccedilatildeo de cargas limitada cuja

influecircncia se anula rapidamente no infinito e que admite a escolha de referecircncia (infin) = 0

322 Caacutelculo do potencial eletrostaacutetico via princiacutepio da superposiccedilatildeo

Pode ocorrer de desejarmos calcular o potencial eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas cujo

campo eleacutetrico natildeo conhecemos agrave priori e portanto o formalismo que discutimos na seccedilatildeo anterior se torna

inuacutetil Nesses casos calcular primeiro o campo eleacutetrico para calcular depois o potencial eleacutetrico natildeo eacute

necessariamente uma boa estrateacutegia Um meacutetodo mais eficiente eacute calcular diretamente o potencial eleacutetrico

utilizando o resultado jaacute conhecido para o potencial de uma uacutenica carga eleacutetrica pontual qual seja ( ) = 4 e o princiacutepio da superposiccedilatildeo Para um conjunto discreto de cargas pontuais ( = 1hellip ) basta fazer o

somatoacuterio

( ) = 4 sendo a distacircncia da carga ateacute o ponto onde o potencial estaacute sendo avaliado

Considere o exemplo de um objeto dipolar ( = 2) como

mostrado na Figura 12 Duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas plusmn

estatildeo separadas no espaccedilo por uma distacircncia formando o que

chamamos de dipolo eleacutetrico Utilizando o referencial na Figura

vamos calcular o potencial que esse dipolo produz no ponto

mostrado cujo raio a partir da origem faz um acircngulo com o eixo

do dipolo (eixo z) Depois vamos estar interessados no limite desse potencial quando o dipolo se torna muito

pequeno como uma moleacutecula de aacutegua O princiacutepio da superposiccedilatildeo diz que

( ) = 4 prime + (minus )4 = 4 1prime minus 1

Esse eacute o potencial eleacutetrico em P estabelecido pelo dipolo eleacutetrico mostrado na Figura 12 Note que jaacute haacute uma

referecircncia previamente adotada para o potencial que eacute (infin) = 0 Essa referecircncia foi herdada de

minusprime

Figura 12 Um dipolo eleacutetrico e um ponto P em sua vizinhanccedila

163

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Podemos ver na expressatildeo acima que isso eacute verdade quando rarr infin e prime rarr infin ou seja rarr infin Podemos

especificar melhor o potencial em termos das coordenadas e que determinam o ponto Basta ver que prime = + minus 2 cos( ) Portanto

( ) = ( ) = 4 1+ minus 2 cos( ) minus 1

Agora como temos feito no contexto do campo eleacutetrico queremos especializar essa expressatildeo de ( ) para o caso de um dipolo pequeno ou seja para cong 0 Jaacute estamos habituados a executar esse

caacutelculo Basta colocar em evidecircncia que a razatildeo = fica expliacutecita e utilizar a expansatildeo binomial

truncada (com = minus12) Portanto ( ) = 4 11 + minus 2 cos( ) minus 1

Jaacute desprezando o obtemos

( ) = 4 11 minus 2 cos( ) minus 1 = 4 1 + minus12 (minus2 cos( )) minus 1

Concluindo ( ) = 4 cos( ) = cos( )4 em que substituiacutemos como de haacutebito = para o moacutedulo do momento de dipolo eleacutetrico = desse

dipolo Se considerarmos um iacuteon de carga eleacutetrica na vizinhanccedila dessa ldquomoleacuteculardquo dipolar fixa no espaccedilo

exatamente nesse ponto especificado pelas coordenadas e a energia potencial eleacutetrica desse iacuteon seraacute

= ( ) = cos( )4 Enquanto esse iacuteon viaja pelo espaccedilo (varrendo e ) sob accedilatildeo das forccedilas de atraccedilatildeorepulsatildeo produzidas pela

moleacutecula dipolar nele sua energia potencial eleacutetrica vai mudando e sendo convertida em outras formas de

energia (cineacutetica por exemplo)

Jaacute discutimos o caso de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas macroscoacutepicas densamente distribuiacutedas em

uma certa regiatildeo do espaccedilo (manchas de carga) Aqui usaremos a mesma ideia e tomaremos o limite do

contiacutenuo (LC) para calcular o potencial eleacutetrico produzido por essas distribuiccedilotildees de cargas Assim sendo nesse

limite

( ) = 4 4

164

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

sendo uma regiatildeo do espaccedilo onde estaacute definida a mancha de cargas eleacutetricas a carga eleacutetrica

infinitesimal de um fragmento infinitesimal dessa mancha e a distacircncia desse fragmento ateacute o ponto onde

o potencial eleacutetrico estaacute sendo avaliado

Vamos ilustrar essa ideia calculando novamente o potencial eleacutetrico em um ponto P no eixo (z) de um

aro eletrizado com uma densidade de carga eleacutetrica uniforme Jaacute calculamos

esse potencial atraveacutes da integral do campo eleacutetrico do aro e agora

ignoraremos o conhecimento desse campo A Figura 13 ao lado ilustra o aro

(em zul) e o ponto P que estaacute a uma distacircncia z do centro do aro Obtemos ( ) = 4 = 14

Na integral acima consideramos que enquanto percorremos o aro realizando a

soma o raio eacute constante e pode sair de dentro do siacutembolo de integral

Portanto sendo = 2 a carga eleacutetrica total acumulada no aro e = radic + obtemos ( ) = ( ) = 4 = 2 4 radic + = 2 radic + Note que obtivemos aqui o mesmo resultado anterior em que utilizamos o campo eleacutetrico do aro para

calcular ( ) mas jaacute com a referecircncia ( rarr infin) = 0 Isso porque essa referecircncia jaacute estaacute impliacutecita no

potencial da carga pontual Mas se desejarmos podemos mudar livremente a referecircncia pois podemos

usar a expressatildeo acima e voltar para a expressatildeo da diferenccedila de potencial

( ) minus ( ) = 2 1+ minus 1+

Agora podemos redefinir a referecircncia que acharmos mais conveniente Mas natildeo ganharemos nada com isso

Esse meacutetodo de caacutelculo do potencial eleacutetrico eacute geralmente mais vantajoso que o primeiro baseado em

uma integral do campo eleacutetrico Isso porque ele natildeo requer o conhecimento preacutevio do campo eleacutetrico e

envolve apenas uma integral de uma funccedilatildeo escalar Haacute poucos casos em que esse meacutetodo natildeo se aplica

diretamente pelo fato de ele pressupor a referecircncia (infin) = 0 Satildeo aqueles casos que jaacute discutimos de

distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica infinitas e uniformes como o plano e o cilindro infinitos em que essa referecircncia

para o potencial eleacutetrico natildeo funciona Considere por exemplo o caso do plano infinito eletrizado com uma

densidade de carga eleacutetrica uniforme Jaacute obtivemos o potencial eleacutetrico desse plano e vimos que natildeo eacute

possiacutevel tomar (infin) = 0 basicamente porque mesmo no infinito a influecircncia do plano eletrizado eacute ainda

intensa Vamos tentar calcular o potencial eleacutetrico desse plano atraveacutes do meacutetodo baseado no princiacutepio da

Figura 13 um aro fino eletrizado O ponto P estaacute a uma distacircncia z do centro do aro

z

P

z

165

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

superposiccedilatildeo Para isso vamos tomar um atalho e aproveitar o potencial que jaacute

obtivemos para o aro pensando no plano infinito como uma sucessatildeo de aros

um dentro do outro formando um disco infinito A Figura 14 ao lado ilustra

essa ideia Considere um aro de raio e espessura Esse aro possui aacuterea = 2 e carga eleacutetrica = = 2 O potencial eleacutetrico

que esse aro de raio e carga eleacutetrica produz em P eacute de acordo com nosso

resultado acima (substituindo por por e por )

Portanto superpondo os potenciais eleacutetricos de infinitos aros com raios

variando de = 0 ateacute rarr infin obtemos

( ) = = 14 radic + = 14 2 radic + = 2 radic + Vamos fazer uma pausa aqui (pois jaacute podemos ver que a integral diverge) e ao inveacutes de integrarmos

ateacute infin vamos integrar ateacute um raio finito = para obter o potencial sobre o eixo (z) de um disco eletrizado

com uma densidade de carga eleacutetrica uniforme Esse potencial eacute (note que radic = | |) ( ) = ( ) = 2 radic + = 2 + minus | |

O graacutefico ao lado ilustra o comportamento desse potencial eleacutetrico (para gt0) No centro do disco o potencial vale (0) = 2

e no infinito ele decai a zero como jaacute estava programado para ser

Agora podemos retornar ao problema do plano infinito Em princiacutepio

basta fazer rarr infin na expressatildeo do potencial do disco Mas se fizermos isso obtemos ( ) rarr infin ou seja o

potencial diverge em todos os pontos na vizinhanccedila do plano infinito Concluiacutemos novamente que o potencial

do plano infinito natildeo eacute compatiacutevel com a escolha de referecircncia (infin) = 0 que estaacute impliacutecita nesse meacutetodo de

caacutelculo do potencial eleacutetrico Nesse caso poderiacuteamos apelar para o meacutetodo que se baseia no conhecimento

preacutevio do campo eleacutetrico que fornece ( ) minus ( ) e nos permite escolher a referecircncia conveniente e

possiacutevel de ser realizada para essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas

Mas ainda podemos aproveitar o resultado do potencial do disco para obter o potencial do plano

infinito Primeiramente nos livramos da referecircncia (infin) = 0 Fazemos isso voltando agrave expressatildeo da diferenccedila

Figura 14 um plano infinito pode ser pensado com uma superposiccedilatildeo de infinitos aros

z

P

z

( ) = 4 radic + rArr = 14 radic +

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

de potencial entre dois pontos que eacute independente de qualquer referecircncia Calculando entatildeo a diferenccedila de

potencial entre dois pontos sobre o eixo z do disco de raio dois pontos com coordenadas e prime obtemos ( ) minus ( ) = 2 + minus | | minus 2 + prime minus | prime|

Agora considerando que o raio eacute muito grande podemos fazer radic + = radic + prime =

Portanto para um disco grande ( ) minus ( ) = 2 (| prime| minus | |) Como natildeo haacute mais na expressatildeo de podemos fazer rarr infin que o resultado continua valendo Essa

eacute a diferenccedila de potencial entre dois pontos na vizinhanccedila de um plano infinito com densidade de carga

uniforme

Agora podemos escolher se desejarmos uma referecircncia adequada para esse potencial (que

obviamente natildeo eacute prime rarr infin) Por exemplo tomando ( = 0) = 0 obtemos um resultado jaacute conhecido ( ) = minus2 | | 33 A energia potencial eletrostaacutetica de um dipolo eleacutetrico

Considere uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas que estaacute na

vizinhanccedila de outra distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas conforme ilustrado

ao lado Seja ( ) o potencial eleacutetrico que as cargas produzem no

espaccedilo A energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre essas duas

distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas eacute

= ( ) sendo a posiccedilatildeo da carga

Como caso particular considere que eacute simplesmente um

dipolo eleacutetrico duas cargas eleacutetricas plusmn separadas por um deslocamento

(e momento de dipolo eleacutetrico = ) conforme a Figura ao lado A

energia potencial de interaccedilatildeo desse dipolo com as outras cargas eleacutetricas

eacute = + + (minus ) ( ) = + minus ( )

sendo a posiccedilatildeo da partiacutecula de carga minus A partiacutecula de carga estaacute na posiccedilatildeo + sendo o

deslocamento de em relaccedilatildeo a ndash (basicamente o tamanho e orientaccedilatildeo do dipolo) Vemos que a energia

minus

0

167

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

potencial que vamos chamar (para simplificar a linguagem) de energia potencial eleacutetrica do dipolo eacute dada

pela diferenccedila de potencial que existe entre as posiccedilotildees de seus dois poacutelos eleacutetricos (potencial criado no

espaccedilo pelas cargas )

A Figura ao lado ilustra um dipolo em uma regiatildeo em que existe um campo

eleacutetrico uniforme = Poderiacuteamos considerar aqui que as cargas satildeo

cargas eleacutetricas depositadas uniformemente em uma placa plana infinita com eixo

z ortogonal a essa placa pois jaacute vimos que essa placa produz um campo eleacutetrico

uniforme em cada um de seus lados Poderiacuteamos considerar tambeacutem que para um

dipolo pequeno como uma moleacutecula de aacutegua a aproximaccedilatildeo de que o campo eleacutetrico eacute uniforme ldquodentro do

dipolordquo eacute razoaacutevel Jaacute vimos que nesse caso a forccedila eleacutetrica resultante nesse dipolo eacute nula mas que haacute um

torque ( times ) que gira o momento de dipolo no sentido do alinhamento de com Na Figura acima o

dipolo eleacutetrico executaraacute um movimento pendular em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel em que estaacute

paralelo a (eixo z) a posiccedilatildeo = 0 Aqui queremos descrever essa interaccedilatildeo entre o campo = e o

dipolo atraveacutes de conceitos de energia Se calcularmos a energia potencial eleacutetrica do dipolo na presenccedila

desse campo = a posiccedilatildeo em que estaacute paralelo a deve ser a posiccedilatildeo de mais baixa energia

Jaacute vimos que o potencial eleacutetrico nesse caso eacute (com a referecircncia conveniente (0) = 0) ( ) = minus

Portanto = + minus ( ) = ( + cos( )) minus ( ) = minus ( + cos( )) minus [minus ]

Note que cos( ) eacute a projeccedilatildeo de ao longo do eixo z conforme a Figura ao lado

Concluindo = minus cos( ) = minus cos( ) = minus ∙

O graacutefico ao lado ilustra o comportamento de em funccedilatildeo do acircngulo entre os vetores e Vemos que a

posiccedilatildeo de alinhamento ( = 0) corresponde agrave menor energia potencial

eleacutetrica (= minus ) e que a posiccedilatildeo anticolinear ( = ) eacute a posiccedilatildeo de

mais alta energia (= ) No meio haacute a posiccedilatildeo de energia nula que

corresponde a = 2 (ortogonalidade entre os vetores e )

Esse conceito de energia potencial eleacutetrica orientacional

(dependente de ) para o dipolo eleacutetrico pode ser inserido no teorema do trabalho-energia Imagine a

situaccedilatildeo em que um dipolo eleacutetrico eacute solto do repouso da orientaccedilatildeo inicial = 2 Esse dipolo vai sofrer

minus

( )

cos( )

z

168

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

um torque times que vai giraacute-lo fornecendo a ele energia cineacutetica de rotaccedilatildeo Quando o dipolo passar

pela posiccedilatildeo alinhada = 0 sua energia cineacutetica de rotaccedilatildeo seraacute (desprezando outras forccedilastorques) ( 2) + ( 2) = (0) + (0) rArr 0 + 0 = (0) + (0) Portanto 0 = minus + (0) rArr (0) =

Vemos que enquanto o dipolo eleacutetrico gira sua energia potencial eleacutetrica orientacional vai sendo convertida

em energia cineacutetica Esse eacute basicamente o processo pelo qual um forno de microondas produz energia teacutermica

nos alimentos

34 Aplicaccedilotildees

Vamos repetir aqui alguns exemplos que demos no capiacutetulo 1 para o caacutelculo de campo eleacutetrico via

princiacutepio da superposiccedilatildeo Agora vamos calcular o potencial eleacutetrico

1) Considere uma haste fina de comprimento L que possui uma densidade de carga linear uniforme Vamos

calcular o potencial eleacutetrico que essa haste produz no ponto P mostrado na Figura abaixo

O ponto P estaacute a uma altura H da extremidade direita da haste

Note que estamos desprezando aqui a espessura da haste trata-se do

modelo de um objeto unidimensional Utilizaremos o princiacutepio da

superposiccedilatildeo e o caacutelculo integral

Destacamos em vermelho um segmento infinitesimal de haste

de comprimento que possui carga eleacutetrica = e que produz

em P um potencial eleacutetrico infinitesimal do tipo carga pontual

= 14 = 14 sendo = | | (o raio) definido na Figura Tudo que temos que fazer eacute somar esses s enquanto a carga

infinitesimal varre a haste de uma extremidade a outra Imaginamos que isso pode ser realizado atraveacutes de

uma integral na variaacutevel prime que eacute a posiccedilatildeo de na haste desde = 0 ateacute = Resumindo ( ) = = 4 Note na Figura que = + ( minus )

Finalmente considerando ainda que = prime obtemos

x

P

y

H

prime

minus

169

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) = 4 = 4 prime+ ( minus ) Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) concluiacutemos que

( ) = 4 ln radic + minus

ln eacute a funccedilatildeo logaritmo natural

Note que se rarr 0 que significa uma haste muito pequena eou uma haste vista de uma distacircncia

muito grande obtemos

( ) rarr 4 ln minus = minus 4 ln minus = minus 4 ln 1 minus = minus 4 minus = 4

sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste Trata-se do resultado esperado

um potencial que decai com a distacircncia como no caso da carga pontual

Considere agora o caacutelculo do potencial no ponto Prsquo mostrado na Figura

15 ao lado Prsquo eacute um ponto que estaacute equumlidistante das extremidades da haste

Podemos calcular ( prime) utilizando nosso resultado acima para ( ) e o

princiacutepio da superposiccedilatildeo A ideia estaacute ilustrada na Figura abaixo Dividimos a

haste ao meio cada metade eacute uma haste de comprimento L2 e mesma

densidade de carga Vemos que o potencial em Prsquo eacute a soma dos potenciais

das duas hastes Conclusatildeo ( prime) = 2 ( prime) Note que nessa expressatildeo ( prime) eacute o potencial eleacutetrico calculado

anteriormente em um ponto P que estaacute a uma altura H da extremidade direita da

haste mas para uma haste de comprimento L2 Conclusatildeo

( prime) = 2 4 ln + ( 2) minus 2

Simplificando ( prime) = ( ) = 2 ln 2radic4 + minus

O graacutefico ao lado ilustra o comportamento de ( prime) em funccedilatildeo da altura

do ponto prime (para gt 0)

Figura 15 uma haste finaeletrizada uniformemente

Prsquo

H

Prsquo

H

1 2

170

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Aqui natildeo podemos tomar o limite rarr infin por causa da referecircncia (infin) = 0 impliacutecita nessa expressatildeo

de potencial De fato fazendo rarr infin na expressatildeo acima obtemos ( prime) rarr 2 ln(infin) Para calcular o potencial da haste infinita com uniforme primeiramente calculamos a diferenccedila de

potencial entre dois pontos a uma altura e prime a uma altura prime ao longo do eixo central dessa haste

( ) minus ( prime) = 2 ln 2radic4 + minus minus ln 2 primeradic4 prime + minus

Juntando os termos similares obtemos ( ) minus ( prime) = 2 ln minus ln radic4 + minusradic4 prime + minus

Tomando agora o limite rarr infin vemos que o segundo termo resulta em

ln radic4 + minusradic4 prime + minus = ln 1 + 4( ) minus 11 + 4( ) minus 1 rarr ln 1 + 2( ) minus 11 + 2( prime ) minus 1 = ln prime = 2 ln prime

Usamos a expansatildeo binomial truncada radic1 + = 1 + (12) se cong 0 Portanto

( ) minus ( prime) = 2 ln minus 2ln prime

Concluindo (usando que ln(1 ) = ln( ) = minusln( )) ( ) minus ( prime) = 2 ln prime

Podemos fixar agora ( prime) = 0 desde que natildeo escolhamos prime rarr infin ou = 0 que seriam casos em

que a expressatildeo acima divergiria Dessa forma obtemos ( ) = ( ) = 2 ln prime

sendo prime uma constante onde vale = 0 Uma escolha conveniente eacute fazer = 1 m De tal forma que para

em metros vale ( ) = minus( 2 ) ln( ) 2) Vamos considerar agora o potencial no centro de uma casca ciliacutendrica de raio

interno raio externo e comprimento que possui uma densidade de carga

eleacutetrica volumeacutetrica uniforme A Figura ao lado ilustra o ponto P no centro dessa

casca Como natildeo conhecemos o campo eleacutetrico que essa casca ciliacutendrica produz no

espaccedilo (ou pelo menos sobre seu eixo de simetria) vamos apelar para o princiacutepio da superposiccedilatildeo

L

P

171

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) =

sendo o potencial infinitesimal produzido em P por um pedaccedilo infinitesimal

da casca e a integral percorrendo toda a casca ciliacutendrica Devemos comeccedilar

escolhendo uma particcedilatildeo dessa casca imaginando que ela eacute uma ldquocolagemrdquo de

infinitos pedaccedilos infinitesimais Como jaacute temos o potencial do aro com carga

uniforme nossa ideia eacute pensar a casca como uma superposiccedilatildeo de infinitos aros

de espessuras infinitesimais A Figura ao lado ilustra essa ideia O aro (em

vermelho) de raio le le estaacute em uma posiccedilatildeo qualquer prime e a integral na

casca eacute uma integral no raio desde = ateacute = e em desde = 0 ateacute = Vemos que a posiccedilatildeo do

ponto P em relaccedilatildeo ao centro desse aro eacute 2 minus prime Nosso resultado para o potencial de um aro de raio com densidade de carga superficial uniforme

em um ponto de coordenada em relaccedilatildeo ao centro desse aro foi

( ) = 4 radic + sendo = 2 a carga eleacutetrica total distribuiacuteda no aro Aqui vamos considerar aros que satildeo fatias da casca

ciliacutendrica fatias de espessuras prime ao longo de prime ao longo do raio volume = 2 prime e carga

eleacutetrica = = 2 prime Portanto essa fatia da casca produz em P o potencial infinitesimal

= 4 radic + = prime2 radic + com = 2 minus prime Concluindo o potencial no ponto P eacute

( ) = = prime2 radic + = 2 + ( 2 minus prime) prime Utilizando o Maple obtemos

( ) = 4 4 + minus 4 + + 2 ln radic4 + +radic4 + minus minus 2 ln radic4 + +radic4 + minus

Para um cilindro maciccedilo = 0 obtemos

( ) = 4 4 + minus + 2 ln radic4 + +radic4 + minus

Para um cilindro estreito ≫ obtemos

x

L

P

0 x

L2 - xrsquo

172

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) rarr 2 ( minus ) + 2 ln(1) minus 2 ln(1) = ( minus )2

Se aleacutem de estreito o cilindro eacute fino ou seja cong recuperamos o resultado para o potencial no

centro do aro com densidade de carga uniforme ( ) = 2

se entendermos que para a casca ciliacutendrica estreita e fina vale = 2 sendo a carga total no cilindro = ( minus )

Portanto (se = + com cong 0) = 2 = ( minus )2 = (2 )2 = = ( minus )

3) Vamos calcular a energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre uma

haste finas carregada e uma partiacutecula de carga como mostrado na

Figura ao lado A haste possui tamanho H e densidade de carga

uniforme Para obter essa energia de interaccedilatildeo vamos inicialmente

esquecer a carga pontual e calcular o potencial eleacutetrico ( ) que a

haste A produz em um ponto qualquer no plano da haste (plano xy)

ponto que seraacute ocupado posteriormente pela carga

A Figura ao lado resume as ideacuteias que precisamos para

calcular ( ) o potencial eleacutetrico que a haste produz em um ponto

P que seraacute ocupado depois pela carga Mostramos um segmento

infinitesimal da haste de carga = prime na posiccedilatildeo isin [0 ] da haste O ponto P possui coordenadas e arbitraacuterias (mas

constantes)

Do princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = = 14 = 4 1 prime Na Figura vemos que = ( minus prime) + Portanto

( ) = 4 1 = 4 1( minus prime) + prime Concluindo (usando o Maple)

x

y H

x

y

A P

prime

173

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = 4 ln ( minus ) + + minus+ minus

A Figura ao lado mostra o graacutefico de ( ) times (supondo gt 0) com a

distacircncia fixa = 2 (curva vermelha) e = 10 (curva verde) para uma

haste de tamanho = 10 (haste em azul na Figura) Note a simetria em

torno do centro da haste ( = 5)

O proacuteximo graacutefico mostra ( ) times (supondo gt 0) com a distacircncia

fixa = 5 (altura do meio da haste) para uma haste de tamanho = 10 Note que o potencial diverge exatamente sobre a haste ( =0)

O uacuteltimo graacutefico mostra duas curvas de ( ) times (supondo gt 0)

com a distacircncia fixa = 15 (curva verde) e = 20 (curva vermelha)

(alturas maiores que a da haste) para uma haste de tamanho = 10

Aqui natildeo haacute mais divergecircncia porque a varredura em natildeo atravessa a

haste em = 0 Note a simetria esquerda-direita

Enfim abaixo mostramos algumas superfiacutecies que representam a funccedilatildeo ( ) para = 10 e gt 0 A haste estaacute localizada sobre o eixo y no

intervalo isin [0 10] O ldquorasgordquo na superfiacutecie eacute um artifiacutecio causado pela

divergecircncia da funccedilatildeo sobre a haste

Agora podemos imaginar a partiacutecula de carga viajando na vizinhanccedila dessa haste sofrendo forccedila e

modificando sua energia Supondo gt 0 (e gt 0) podemos imaginar que a partiacutecula enxerga a haste como

uma montanha quando ela se aproxima da haste ela ganha energia potencial ( ) = ( ) e perde

energia cineacutetica Quando ela se afasta da haste ela desce a montanha perde energia potencial eleacutetrica e ganha

energia cineacutetica Se a carga fosse negativa ( lt 0) seria o oposto a partiacutecula seria atraiacuteda pela haste e a

174

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

energia potencial da partiacutecula multiplicaria as superfiacutecie mostradas acima por minus1 (lembre-se que ( ) = ( )) a partiacutecula enxergaria a haste como um precipiacutecio Ao ldquocairrdquo em direccedilatildeo agrave haste a partiacutecula

perderia energia potencial e ganharia energia cineacutetica Ao se afastar do precipiacutecio a partiacutecula ganharia energia

potencial e perderia energia cineacutetica

Supondo por exemplo que a partiacutecula com gt 0 parta do repouso da posiccedilatildeo ( = 2) e seja

repelida pela haste sua energia cineacutetica ( ) seraacute dada por (de acordo com o teorema do trabalho-energia

cineacutetica) Δ + Δ = 0 rArr [ ( ) minus 0] + [ ( = 2) minus ( = 2)] = 0

A partiacutecula seguiria uma trajetoacuteria reta ao longo de x mantendo fixo = 2 (por simetria) Portanto ( ) = ( = 2) minus ( = 2) = [ ( = 2) minus ( = 2)] ( ) = 4 ln + 2 ++ 2 minus minus ln radic + 2 +radic + 2 minus

O graacutefico ao lado mostra a curva de ( ) times supondo = 1 e = 10

A partiacutecula parte do repouso vai ldquodescendo a montanhardquo e ganhando

energia cineacutetica No infinito sua energia cineacutetica converge para

( rarr infin) = 4 ln + 2 ++ 2 minus

Toda a energia potencial eleacutetrica inicial eacute convertida em energia cineacutetica

175

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

4 Capacitores e dieleacutetricos

Nesse capiacutetulo daremos uma pausa no desenvolvimento do formalismo para discutir um dispositivo o

capacitor que eacute capaz de acumular cargas eleacutetricas e energia potencial eletrostaacutetica Essa carga e essa

energia podem ser acumuladas para vaacuterios fins como por exemplo armazenar informaccedilotildees binaacuterias (0s e 1s)

em uma memoacuteria de computador ou fazer brilhar intensamente uma lacircmpada de flash em uma fraccedilatildeo de

segundo Aproveitaremos a oportunidade para discutir um pouco sobre a influecircncia que a presenccedila de um

meio material isolante permeando o espaccedilo (como o ar ou outro isolante qualquer) tem sobre campos e

potenciais eleacutetricos O estudo do capacitor nessa altura do curso nos daacute oportunidade de aplicar todos os

conceitos que jaacute estudamos ateacute agora carga eleacutetrica campo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica e potencial

eleacutetrico

41 Relembrando a energia potencial eleacutetrica

Vimos no capiacutetulo 3 que uma configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute capaz de acumular energia potencial

eleacutetrica Essa energia eacute uma capacidade de realizar trabalho das forccedilas eleacutetricas muacutetuas entre as cargas

eleacutetricas dessa distribuiccedilatildeo

A energia potencial eleacutetrica tem uma interpretaccedilatildeo simples como sendo a energia necessaacuteria para

a construccedilatildeo (aglomeraccedilatildeo) de uma configuraccedilatildeo de cargas estaacuteticas Da mesma forma eacute a energia que

obtemos de volta quando essa configuraccedilatildeo de cargas se desfaz atraveacutes da desaglomeraccedilatildeo de suas cargas

eleacutetricas Para um sistema de partiacuteculas de cargas eleacutetricas ( = 12 hellip ) fixas no espaccedilo separadas

entre si por distacircncias a energia potencial eleacutetrica eacute

= 4 ( )

eacute simplesmente a soma das energias potenciais eleacutetricas de todos os pares ( ) de cargas eleacutetricas

176

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Um exemplo que jaacute discutimos no capiacutetulo 2 eacute mostrado novamente na Figura 1 abaixo Trata-se de

uma espeacutecie de moleacutecula triangular cuja energia potencial eleacutetrica eacute

= 14 + + +

Para simplificar podemos imaginar que as

trecircs cargas satildeo positivas e que portanto gt 0 ou seja gastamos (mesmo) energia

para vencer as repulsotildees muacutetuas entre as

partiacuteculas e aglomeraacute-las nessa

configuraccedilatildeo Analogamente se soltarmos

as partiacuteculas e permitirmos que as repulsotildees

muacutetuas afastem essas partiacuteculas essas forccedilas de repulsatildeo vatildeo realizar um trabalho positivo e as partiacuteculas vatildeo

ganhar energia cineacutetica de tal forma que + + = Essa energia estaacute acumulada (potencial) na

configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas e poderaacute ser convertida em outras formas de energia se essa configuraccedilatildeo se

desfizer Natildeo discutiremos aqui casos em que lt 0 como o aacutetomo de Hidrogecircnio Nesses casos temos que

gastar energia para separar as cargas eleacutetricas ao inveacutes de ganhar

42 Capacitores e capacitacircncia

Um capacitor eacute um dispositivo capaz de acumular cargas eleacutetricas e energia potencial eleacutetrica gt 0

Esses acuacutemulos se datildeo em placas metaacutelicas onde as cargas eleacutetricas (os eleacutetrons) podem ser depositadas

(adicionando energia potencial) e retiradas (subtraindo energia potencial) facilmente atraveacutes de um circuito

externo

Para acumular uma quantidade macroscoacutepica de energia precisamos acumular uma quantidade

macroscoacutepica de cargas eleacutetricas Poderiacuteamos usar por exemplo um uacutenico bloco de metal e depositar nele

muitos eleacutetrons constituindo uma densidade de carga eleacutetrica estaacutetica superficial Esse simples bloco de

metal eacute o que chamamos de capacitor um capacitor com apenas uma placa (condutor = placa) Estaremos

tratando aqui especificamente dos capacitores utilizados na praacutetica em circuitos eleacutetricos e eletrocircnicos

Portanto imaginaremos sempre que esses capacitores satildeo carregados (eletrizados) atraveacutes de um circuito

externo tipicamente uma bateria Discutiremos um pouco sobre as baterias no proacuteximo capiacutetulo Agora eacute

suficiente aceitarmos o fato de que uma bateria manteacutem pequenos acuacutemulos de cargas eleacutetricas em seus

terminais que podem ser transferidos para outros dispositivos conectados a elas No terminal + da bateria haacute

um deacuteficit de eleacutetrons e no terminal ndash haacute um excesso de eleacutetrons A bateria produz tambeacutem um campo eleacutetrico

em sua vizinhanccedila (algo parecido com o campo de um dipolo eleacutetrico) e manteacutem entre seus terminais uma

Figura 1 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e

177

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

diferenccedila de potencial (DDP) eleacutetrico A capacidade de fazer tudo isso eacute o que chamamos de ldquoforccedila

eletromotrizrdquo da bateria um conceito que estudaremos no proacuteximo capiacutetulo

Conforme discutimos nos capiacutetulos anteriores o simples contato eleacutetrico entre um bloco de metal (a

placa desse capacitor) e um dos terminais da bateria (que tambeacutem eacute de metal) implicaraacute em uma

transferecircncia de cargas eleacutetricas da bateria para o bloco de metal (eleacutetrons vatildeo fluir de um para o outro) ateacute

que um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico se estabeleccedila Esse equiliacutebrio vai ocorrer quando o potencial eleacutetrico da

placa se igualar ao potencial do terminal da bateria a que ela estaacute conectada (pois = 0 dentro de um

condutor em equiliacutebrio) Trata-se de um processo de eletrizaccedilatildeo por contato Apoacutes essa transferecircncia

podemos separar a placa e a bateria e teremos depositada nela (na placa) uma certa quantidade de cargas

eleacutetricas e portanto teremos uma certa energia potencial eleacutetrica disponiacutevel Se quisermos podemos depois

conectar essa placa agrave terra atraveacutes de uma lacircmpada incandescente e poderemos ver a lacircmpada brilhar por

alguns instantes como um flash enquanto as cargas na placa (que se repelem mutuamente) se esvaem para a

Terra passando pelo filamento da lacircmpada Assim teremos recuperado a energia potencial eleacutetrica acumulada

no capacitor que vai ser convertida em outras formas de energia como a proacutepria luminosidade da lacircmpada A

Figura 2 abaixo ilustra esse processo de carga e descarga desse capacitor

Nessa Figura ilustramos o processo de carga do capacitor em que cargas eleacutetricas + fluem do terminal

+ da bateria para a placa do capacitor (de fato satildeo eleacutetrons de conduccedilatildeo da placa que satildeo atraiacutedos pelo

terminal + da bateria mas no final das contas daacute no mesmo) A placa fica carregada acumulando cargas

eleacutetricas e energia potencial eleacutetrica gt 0 Natildeo haacute nada de misterioso em ela apenas expressa de sua

forma particular a repulsatildeo muacutetua entre as cargas + na placa e a capacidade que essas cargas tecircm portanto

de se repelirem e se separarem enquanto as forccedilas eleacutetricas entre elas as empurram e realizam um trabalho

positivo Sendo exatamente a capacidade dessas forccedilas realizarem trabalho enquanto elas realizam um

placa

placa + + + + +

placa ++

++ + placa

+

+ +

+

+

Figura 2 um capacitor de apenas uma placa eacute carregado atraveacutes de uma bateria e depois descarrega para a Terra atraveacutes de uma lacircmpada A energia potencial eleacutetrica eacute acumulada no capacitor e depois utilizada para acender uma lacircmpada por alguns poucos instantes

178

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

trabalho positivo diminui Enfim se conectarmos a placa agrave Terra essa distribuiccedilatildeo de cargas e ao mesmo

tempo vatildeo ldquodesaparecerrdquo (a repulsatildeo muacutetua vai escoaacute-las para a Terra) Uma lacircmpada no meio do caminho

pode nos permitir utilizar uma parte dessa energia potencial eleacutetrica acumulada no capacitor Fazendo uma

analogia gravitacional o capacitor carregado eacute anaacutelogo a um balde cheio de aacutegua colocado a uma certa altura

sobre uma prateleira por exemplo O processo de descarga do capacitor poderia ser comparado agrave situaccedilatildeo em

que abrimos um pequeno buraco nesse balde permitindo que a aacutegua caia e mova uma pequena roda drsquoaacutegua

fixada proacutexima ao chatildeo Nesse processo a energia potencial gravitacional da aacutegua eacute convertida em energia

cineacutetica de rotaccedilatildeo da roda drsquoaacutegua

Podemos tornar as coisas mais eficientes acumulando mais carga eleacutetrica e mais energia potencial e

nos livrando da necessidade do aterramento se construirmos um capacitor com duas placas que eacute de fato o

caso mais comum para os capacitores de uso comercial Considere entatildeo um capacitor que eacute constituiacutedo de

duas placas metaacutelicas isoladas eletricamente uma da outra Esse isolamento pode ser obtido mantendo-se o

vaacutecuo no espaccedilo entre as placas ou preenchendo esse espaccedilo com algum meio isolante como um plaacutestico

Mais adiante veremos que a presenccedila desse material isolante (dieleacutetrico) entre as placas tem consequumlecircncia

sobre o comportamento do capacitor (basicamente porque um material adiciona outras cargas eleacutetricas ao

sistema) Por enquanto podemos supor que as placas estatildeo separadas pelo vaacutecuo

A Figura 3 abaixo eacute similar agrave Figura 2 mas agora para um capacitor comum de duas placas

Nessa Figura 3 ilustramos o processo de carga do capacitor de duas placas em que cargas eleacutetricas +

fluem do terminal + da bateria para uma placa do capacitor e as cargas ndash fluem para a outra placa (de fato satildeo

sempre eleacutetrons de conduccedilatildeo que fluem entre as placas e os terminais da bateria mas no final das contas daacute

placas

Figura 3 um capacitor comum de duas placas eacute carregado atraveacutes de uma bateria e depois descarrega atraveacutes de uma lacircmpada A energia potencial eleacutetrica eacute acumulada no capacitor e depois utilizada para acender uma lacircmpada por alguns poucos instantes

placas

+

placas

+ + + + + +

- -----

+ +++++

- -----

-

placas

+ + + + +

- ----

179

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

no mesmo) As placas ficam carregadas uma placa fica positiva e a outra negativa (a soma das cargas nas duas

placas eacute zero) e o capacitor acumula energia potencial eleacutetrica gt 0 Se conectarmos as placas entre si as

forccedilas muacutetuas entre as cargas de repulsatildeo dentro das placas e de atraccedilatildeo entre placas produziratildeo uma

redistribuiccedilatildeo das cargas que se recombinaratildeo levando agrave neutralidade eleacutetrica das placas ao mesmo tempo

em que ldquodesaparecerdquo (as cargas fluiratildeo ateacute que as duas placas estejam no mesmo potencial eleacutetrico o que

vai ocorrer quando elas estiverem eletricamente neutras) Uma lacircmpada no meio do caminho pode nos

permitir utilizar uma parte dessa energia potencial eleacutetrica acumulada no capacitor Note que a proximidade

das placas acrescenta um efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo ao capacitor de duas placas As cargas em uma

placa atraem cargas na outra placa proacutexima dela fazendo com que mais carga eleacutetrica seja transferida da

bateria para as placas O capacitor de duas placas proacuteximas uma da outra possui mais capacidade de acumular

cargas eleacutetricas em suas placas quando comparado ao capacitor com apenas uma placa isolada

Na bateria nas Figuras 2 e 3 podemos ver que estaacute escrito 9 V que eacute a DDP (daqui para diante

usaremos muito esse atalho DDP = diferenccedila de potencial) que existe entre os terminais + e ndash dessa bateria

Vocecirc vai perceber que daqui para diante nos referiremos frequentemente agrave grandeza DDP pois ela eacute uma

grandeza comum que faz parte do cotidiano Todos os aparelhos eleacutetricos possuem uma DDP nominal de

funcionamento (comumente 110 ou 220 V) tomadas na parede pilhas e baterias possuem suas DDPs entre

seus terminais Existe um aparelho simples e barato o voltiacutemetro que mede DDPs Portanto na aplicaccedilatildeo do

formalismo do eletromagnetismo eacute natural que falemos muitas vezes mais de DDP do que de campo eleacutetrico

apesar do campo eleacutetrico ser uma grandeza mais fundamental que a DDP Quando estudarmos circuitos

eleacutetricos veremos que o conceito de DDP se torna crucial na descriccedilatildeo quantitativa (escalar) desses sistemas

Uma aplicaccedilatildeo de capacitores estaacute em sua simples capacidade de acumular cargas eleacutetricas mesmo

que minuacutesculas Em uma memoacuteria RAM de computador usada para armazenar informaccedilotildees temporaacuterias

enquanto o computador estaacute em funcionamento haacute bilhotildees de capacitores minuacutesculos cada um

armazenando um bit de informaccedilatildeo (0 = descarregado ou 1 = carregado) Capacitores maiores podem

armazenar muita carga eleacutetrica e muita energia potencial desempenhando muitas funccedilotildees em circuitos

eleacutetricos e eletrocircnicos Os capacitores podem constituir simples depoacutesitos de cargas eleacutetricas e energia

potencial mas tambeacutem circuitos osciladores filtros de frequumlecircncia filtros de fontes CACC temporizadores

corretores de fator de potecircncia etc Algumas dessas aplicaccedilotildees seratildeo discutidas ao longo desse curso

O capacitor eacute o primeiro dispositivo eleacutetrico (ou eletrocircnico) passivo que vamos estudar Depois

estudaremos ainda os resistores e os indutores ideais Os dispositivos passivos satildeo os mais simples eles

possuem apenas dois terminais por onde as cargas eleacutetricas entram e saem (corrente eleacutetrica) Os dispositivos

passivos sempre satildeo caracterizados por alguma propriedade baacutesica que no caso dos capacitores eacute sua

capacidade de acumular cargas eleacutetricas (e concomitantemente energia potencial eleacutetrica) Um capacitor eacute

180

Aulas de elet

caracterizad

pela DDP ∆princiacutepio m

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DDP

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DDP

200

181

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

43 Exemplos de caacutelculo de capacitacircncia

Aqui vamos dar alguns poucos exemplos de caacutelculo de capacitacircncia para geometrias simples A ideia

baacutesica eacute usar a definiccedilatildeo primitiva = ∆

Considere o exemplo de um capacitor esfeacuterico As duas placas satildeo esfeacutericas e concecircntricas Uma placa

eacute uma esfera metaacutelica de raio e a outra placa eacute uma casca esfeacuterica metaacutelica de raio interno e espessura

A Figura 4 ao lado ilustra esse capacitor Note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo objetos esfeacutericos no espaccedilo

tridimensional Vamos supor que as placas estejam

separadas por uma camada de vaacutecuo ou seja que natildeo haacute

nenhum material no espaccedilo entre as placas Podemos

imaginar dois terminais um terminal conectado agrave esfera

interna e outro terminal conectado agrave casca esfeacuterica

externa Atraveacutes desses dois terminais (que satildeo fios finos

metaacutelicos) esse capacitor poderia ser carregado e descarregado facilmente Note que natildeo falamos nada de

carga eleacutetrica ou de DDP porque essas natildeo satildeo propriedades que definem a capacitacircncia de um capacitor Elas

natildeo satildeo ldquocausasrdquo mas sim ldquoefeitosrdquo da capacitacircncia O que vai definir a capacitacircncia desse capacitor eacute o que jaacute

definimos aqui geometria dimensotildees e vaacutecuo Como calculamos a capacitacircncia desse capacitor Usamos a

definiccedilatildeo Primeiro supomos que em uma das placas haacute uma carga eleacutetrica Depois calculamos a DDP ∆

entre as placas tendo em vista essa carga Fazemos a razatildeo ∆ O que resultar dessa razatildeo eacute a expressatildeo de

Haacute ainda uma etapa intermediaacuteria pois para calcular ∆ devemos conhecer o campo eleacutetrico entre as

placas

Voltando ao capacitor esfeacuterico aplicamos essas ideacuteias em etapas

1 Suponha uma carga eleacutetrica na esfera menor de raio e uma carga ndash na casca de raio Jaacute

sabemos que a carga vai se distribuir na superfiacutecie da esfera de raio e que a carga ndash vai se

distribuir na superfiacutecie interior (de raio ) da casca metaacutelica (essas cargas e ndash se atraem

mutuamente) De fato esse eacute basicamente o problema de um condutor (a casca) com uma

cavidade e uma carga dentro dessa cavidade Por simetria todas as cargas se distribuiratildeo

uniformemente nas superfiacutecies

2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo com raios lt lt Da

lei de Gauss ou do teorema das cascas sabemos que esse campo eacute = 4

Figura 4 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute o vaacutecuo Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas

vaacutecuo

182

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Isso porque as cargas na esfera criam fora dela o mesmo campo eleacutetrico de uma carga

localizada no centro da esfera e as cargas na casca natildeo criam campo eleacutetrico dentro da casca Note

que soacute haacute campo eleacutetrico na regiatildeo entre as placas ( lt lt ) Dentro do material da esfera

menor ( lt ) e dentro do material da casca ( lt lt + ) natildeo haacute campo eleacutetrico pois satildeo

regiotildees ocupadas por materiais condutores Na regiatildeo exterior ao capacitor ( gt + ) natildeo haacute

campo eleacutetrico porque os campos de e ndash se cancelam (conforme podemos ver do teorema das

cascas)

3 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas

( ) minus ( ) = ∙ = 4 ∙ = 4 1 = 4 1 minus 1

Note que a DDP positiva eacute sempre a DDP (+) minus (minus) Na expressatildeo acima considere que usamos um

caminho de integraccedilatildeo radial que parte da superfiacutecie equipotencial de raio (na placa +) e termina na

superfiacutecie equipotencial de raio (na placa -) Nesse caminho = 4 Faccedila a razatildeo = ∆ = 4 1 minus 1 = 4 1 minus 1 = 4 minus

Essa eacute a capacitacircncia desse capacitor esfeacuterico De que depende Primeiro da geometria que no caso

eacute esfeacuterica Depois das dimensotildees ou seja e Depende tambeacutem do vaacutecuo pois o na expressatildeo acima

identifica o vaacutecuo como aquilo que existe no espaccedilo entre as placas do capacitor Note que depende

explicitamente da distacircncia radial = minus entre as placas (a espessura da camada de vaacutecuo) Quanto

menor mais proacuteximas as placas e maior o efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo entre elas (as cargas e ndash nas

placas se atraem mutuamente) maior a capacidade de acuacutemulo de cargas eleacutetricas e maior a capacitacircncia

Note que a capacitacircncia independe da espessura da casca esfeacuterica externa pois as cargas eleacutetricas nas

placas concentram-se nas superfiacutecies delas na superfiacutecie da esfera de raio e na superfiacutecie interna da casca

de raio Na haacute cargas eleacutetricas acumuladas nos volumes das placas ou na superfiacutecie externa de raio +

da casca esfeacuterica Por isso sua espessura eacute irrelevante

Um caso particular interessante eacute o caso rarr infin em que vamos obter a capacitacircncia apenas da

esfera de raio (um capacitor com apenas uma placa esfeacuterica) = 4

Essa eacute a capacitacircncia de um capacitor com apenas uma placa esfeacuterica de raio ∆ nesse caso eacute a diferenccedila

de potencial entre a esfera e um ponto no infinito A capacitacircncia do planeta Terra ( cong 6370 km) eacute

183

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

cong 00007

A Terra eacute eletricamente neutra Para aumentar seu potencial eleacutetrico em 1 V (em relaccedilatildeo ao infinito) a Terra

deveria acumular uma carga eleacutetrica = ∆ cong 00007 C Trata-se de um valor gigantesco de carga tendo

em vista que a carga eleacutetrica de eleacutetrons e proacutetons possui magnitude cong 16 times 10 C

Como segundo e uacuteltimo exemplo de caacutelculo de capacitacircncia

considere um capacitor formado por duas placas metaacutelicas planas cada uma

de aacuterea e espessura separadas em suas faces internas por uma

distacircncia (em que haacute vaacutecuo) A Figura ao lado ilustra esse dispositivo

Considere que os dois terminais do capacitor estatildeo conectados cada um a

uma das placas metaacutelicas Atraveacutes desses terminais as cargas eleacutetricas podem fluir das e para as placas indo e

vindo de um circuito externo uma bateria por exemplo Aqui para calcular a capacitacircncia vamos usar a

mesma sequecircncia de etapas que usamos para o capacitor esfeacuterico Mas no meio do caminho encontraremos

um problema que chamamos de ldquoefeitos de bordardquo Esse problema natildeo surgiu no capacitor esfeacuterico porque

ele natildeo possui bordas Aqui vemos claramente que uma placa termina em suas quatro faces laterais que satildeo

as bordas da placa plana Esperamos que essas bordas quebrem simetrias que haveria nas placas sem bordas

(placas planas infinitas) e modifiquem as distribuiccedilotildees de carga nas placas distorcendo o campo eleacutetrico nas

vizinhanccedilas dessas regiotildees

A Figura ao lado (encontrada na internet Ref

Harold M Waage Princeton University) ilustra uma visatildeo

de perfil de um capacitor de placas planas paralelas com

placas pequenas onde podemos ver claramente a

distorccedilatildeo das linhas de forccedila de nas vizinhanccedilas das

bordas Trata-se de um resultado experimental em que o

campo atua sobre um liacutequido no qual o capacitor estaacute

mergulhado ldquomaterializandordquo suas linhas de forccedila Note

que o campo eacute basicamente dipolar e que as linhas de

forccedila satildeo ortogonais agraves superfiacutecies das placas pois elas (as placas) satildeo equipotenciais No centro do capacitor

o campo eleacutetrico eacute razoavelmente uniforme porque essa regiatildeo estaacute longe das bordas Proacuteximo agraves bordas as

linhas de forccedila se curvam e se tornam menos densas refletindo uma reduccedilatildeo na magnitude de Eacute

interessante frisar que o campo eacute criado pelas cargas eleacutetricas distribuiacutedas nas placas e que o efeito de

borda se daacute tambeacutem nessa distribuiccedilatildeo de cargas que se torna natildeo uniforme nas bordas das placas (jaacute

comentamos que eacute comum que nos condutores as cargas eleacutetricas acumulem mais nas regiotildees de arestas e

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

pontas) A distorccedilatildeo no campo eacute causada pelas quebras de simetria geomeacutetricas (mais carga eleacutetrica de um

lado do que de outro) e pela natildeo-uniformidade na distribuiccedilatildeo de cargas nas placas

Concluindo a dificuldade de calcular analiticamente a capacitacircncia do capacitor de placas planas

paralelas estaacute em se prever essa distribuiccedilatildeo natildeo uniforme de cargas nas placas e o campo eleacutetrico que elas

criariam no espaccedilo levando em conta os efeitos de borda Sendo assim partimos para uma aproximaccedilatildeo em

que os efeitos de borda podem ser desprezados Por exemplo podemos simplesmente supor que as placas do

capacitor satildeo infinitas e que portanto natildeo haacute efeitos de bordas O resultado para que vamos obter seria

uma boa aproximaccedilatildeo para um capacitor de placas grandes Mas nada eacute absolutamente grande (a natildeo ser que

seja infinito) e vemos que outra dimensatildeo importante eacute a distacircncia entre as faces internas das placas

Quanto mais proacuteximas as placas menor a distorccedilatildeo de e menores os efeitos de borda Nesse sentido a

razatildeo de proporccedilatildeo radic sendo a aacuterea das placas seria o fator importante para determinar a magnitude

dos efeitos de borda radic cong 0 significa placas grandes eou muito proacuteximas o que levaria a efeitos de borda

pequenos e talvez despreziacuteveis (dependendo do seu niacutevel de exigecircncia)

Na praacutetica desprezar os efeitos de borda no capacitor de placas planas

paralelas significa considerar que a distribuiccedilatildeo superficial de cargas nas

placas que vamos chamar de eacute uniforme em toda a extensatildeo das placas e

que o campo eleacutetrico eacute em todos os pontos do espaccedilo entre as placas igual ao

campo eleacutetrico no centro das placas (onde haacute simetria) A Figura ao lado ilustra

essa ideia Note que as cargas em uma placa atraem as cargas na outra placa e

que portanto as cargas se concentram apenas nas faces internas das placas na

placa positiva e ndash na placa negativa Jaacute estudamos o campo eleacutetrico criado por uma

placa plana infinita com densidade de carga uniforme O campo eacute ortogonal agrave placa

(eixo z) e de magnitude = 2 A Figura ao lado ilustra (visatildeo de perfil) as cargas

eleacutetricas depositadas nas superfiacutecies internas das placas e algumas linhas de forccedila de

(em verde) no espaccedilo (de vaacutecuo) entre as placas (desprezando efeitos de borda)

Vamos aplicar aqui a mesma sequecircncia de passos que usamos para determinar a capacitacircncia do

capacitor esfeacuterico

1 Suponha uma carga eleacutetrica na placa superior e uma carga ndash na placa inferior ambas de aacuterea

Essas cargas ficam distribuiacutedas uniformemente nas faces internas das placas (elas se atraem

mutuamente) constituindo densidades de carga eleacutetrica uniformes plusmn = plusmn = plusmn

z

+ + + + + + + + +

- - - - - - - - -

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo entre as faces mais proacuteximas

das placas (nas outras regiotildees o campo eacute nulo) Da lei de Gauss e superpondo os campos das duas

placas (infinitas para todos os efeitos) com densidade de carga uniforme obtemos = 3 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas

(+) minus (minus) = ∙ = ∙ = =

Na expressatildeo acima considere que usamos um caminho de integraccedilatildeo ao longo do eixo z que parte da

face inferior da placa superior (z=0) e termina na face superior da placa inferior (z=d) Essas duas faces satildeo

superfiacutecies equipotenciais uma com potencial (+) e a outra com potencial (minus) Nesse caminho ao longo

do eixo z vale = 4 Faccedila a razatildeo = ∆ = =

Note que = eacute a carga eleacutetrica total depositada na placa positiva Essa eacute a capacitacircncia desse capacitor

de placas planas paralelas sem efeitos de borda De que depende Primeiro da geometria que no caso eacute

plana Depois das dimensotildees ou seja e Depende tambeacutem do vaacutecuo pois o na expressatildeo acima

identifica o vaacutecuo como aquilo que existe no espaccedilo entre as placas do capacitor Note que depende

explicitamente da distacircncia entre as faces internas das placas (a espessura da camada de vaacutecuo) Quanto

menor mais proacuteximas as placas e maior o efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo entre elas maior a capacidade

de acuacutemulo de cargas eleacutetricas e maior a capacitacircncia Note que a capacitacircncia independe da espessura das

placas pois as cargas eleacutetricas concentram-se apenas nas faces internas das placas (as cargas e minus nas

placas se atraem mutuamente) Na haacute cargas eleacutetricas acumuladas nos volumes das placas ou nas superfiacutecies

externas Por isso suas espessuras satildeo irrelevantes

Na literatura podemos encontrar vaacuterios meacutetodos aproximados para levar em conta os efeitos de borda

no capacitor de placas paralelas Para placas quadradas de lado radic encontramos a foacutermula aproximada (ver

Electrodynamics of continuous media Landau e Lifschitz)

= + radic2 ln radic

Vemos que a capacitacircncia com efeitos de borda (ou seja mais realista) eacute maior que a capacitacircncia

ideal sem nenhum efeito de borda Isso ocorre porque as bordas concentram mais carga eleacutetrica do que a

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

porccedilatildeo plana das placas Esse eacute um efeito que ocorre sempre que um condutor possui alguma regiatildeo pontuda

ou uma simples aresta cortante conforme jaacute vimos no capiacutetulo 2 quando discutimos o campo eleacutetrico na

regiatildeo externa proacutexima agrave superfiacutecie de um condutor Essas regiotildees de grandes curvaturas acumulam maior

densidade de cargas eleacutetricas do que as regiotildees mais planas e suaves de pequenas curvaturas Trata-se de

um efeito da repulsatildeo muacutetua entre as cargas superficiais que compotildeem Conforme jaacute discutimos sendo

maior a densidade de cargas maior eacute o campo eleacutetrico externo nas regiotildees do espaccedilo proacuteximas dessas

pontas e arestas metaacutelicas (um efeito de borda) Por isso essas regiotildees estatildeo mais propensas agrave quebra de

rigidez dieleacutetrica do ar o que justifica a geometria pontuda de um para-raios

44 Associaccedilotildees de capacitores (seacuterie e paralelo)

Na Figura 5 ao lado mostramos uma porccedilatildeo do esquema

do circuito de um raacutedio AM Podemos ver a antena (o triacircngulo

invertido) um transistor Q1 (amplificaccedilatildeo) alguns resistores e

alguns capacitores O siacutembolo do capacitor eacute formado por dois

tracinhos paralelos representando as duas placas Note que natildeo

haacute transporte de carga de uma placa para a outra por dentro do

capacitor mas as placas estatildeo acopladas entre si atraveacutes do

campo eleacutetrico que leva ao processo de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo

Vemos que o capacitor C1 por exemplo tem o valor especificado

de 47 pF (p=pico=10 ) Haacute um capacitor ajustaacutevel VC (com

valor maacuteximo de 300 pF) representado pelos dois tracinhos

cortados por uma seta Esse capacitor eacute usado na sintonia das

estaccedilotildees de raacutedio Haacute um capacitor de 1 F em que um dos tracinhos eacute curvo Esse eacute um capacitor que possui

polaridade ou seja o terminal esquerdo no esquema marcado com um + deve ser ligado ao potencial maior

no circuito Essa polaridade eacute ditada pelas propriedades do material isolante que existe entre as placas O

capacitor C1 natildeo possui polaridade seus dois terminais satildeo iguais

Suponha que vocecirc esteja montando esse circuito construindo seu proacuteprio raacutedio AM Vocecirc vai agrave loja de

material eletrocircnico comprar os componentes indicados no esquema e natildeo encontra o capacitor de 1 F mas eacute

informado de que haacute capacitores de 2 F disponiacuteveis Entatildeo vocecirc pode comprar dois capacitores de 2 F

conectaacute-los em seacuterie e ligar essa associaccedilatildeo dos dois capacitores ao circuito Ele vai funcionar perfeitamente

Isso porque a associaccedilatildeo em seacuterie de dois capacitores de 2 F possui uma capacitacircncia equivalente de 1 F

Essas associaccedilotildees de capacitores eacute o que vamos discutir agora

Figura 5 Uma porccedilatildeo do circuito de um raacutedio AM Podemos ver a presenccedila de quatro capacitores sendo um deles ajustaacutevel (de sintonia)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

441 Associaccedilatildeo de capacitores em seacuterie

Considere dois capacitores de capacitacircncias e conectados em seacuterie A conexatildeo em seacuterie se daacute

quando pegamos um terminal de cada capacitor e conectamos eletricamente formando um noacute Nesse noacute natildeo

haacute mais nada conectado nada aleacutem desses dois terminais A Figura 6 abaixo ilustra essa ideia

Nessa Figura ilustramos esquematicamente o processo em que dois capacitores em seacuterie satildeo

reduzidos a um soacute Os terminais A e B e as placas mais externas satildeo mantidos intactos nesse processo (as duas

placas internas (azuis) ldquose fundemrdquo e funcionam como uma placa apenas) A e B satildeo os terminais que seratildeo

conectados ao circuito externo Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B

um uacutenico capacitor de capacitacircncia Quanto vale

Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆

Considere que a carga eleacutetrica na placa positiva do capacitor eacute digamos a placa conectada ao

terminal A Entatildeo na placa direita de haacute uma carga minus As duas placas conectadas pelo noacute estatildeo

eletricamente isoladas do universo e portanto a carga total nessas duas placas deve ser constante ou seja

deve ser nula Concluiacutemos que na placa esquerda de a carga eacute de tal forma que + (minus ) = 0

Concluindo as cargas eleacutetricas nos dois capacitores satildeo iguais = =

Note que na reduccedilatildeo dos dois capacitores a um soacute as placas conectadas a A e a B se preservam

constituindo as placas do capacitor equivalente Assim sendo eacute a carga eleacutetrica no capacitor equivalente eacute a

carga que fluiu do circuito externo para o capacitor ldquototalrdquo atraveacutes do terminal A =

Por outro lado se ∆ = ( ) minus ( ) eacute dada por uma integral de caminho do campo eleacutetrico indo

de A ateacute B fica claro que nesse caminho vamos atravessar a regiatildeo entre as placas de e obter ∆ e na

sequecircncia vamos atravessar a regiatildeo entre as placas de e obter ∆ de tal forma que

Figura 6 dois capacitores associados em seacuterie Natildeo haacute nada mais conectado ao noacute apenas os dois terminais dos dois capacitores Dois capacitores reais de 10 F ligados em seacuterie Eles equivalem a um capacitor de 5 F

A A B B

A BA

noacute

B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

∆ = ∙ = ∙ + ∙ =∆ + ∆

Portanto ∆ = ∆ + ∆

Dividindo essa uacuteltima equaccedilatildeo por obtemos ∆ = ∆ + ∆ rArr 1 = 1 + 1 rArr = +

Por exemplo se associarmos em seacuterie um capacitor de 2 F com outro capacitor de 3 F essa

associaccedilatildeo seraacute equivalente a um uacutenico capacitor de capacitacircncia

= + = 2 times 32 + 3 = 65 cong 12

Note que obtemos uma capacitacircncia equivalente menor que e (ldquodistacircncia entre as placas maior mesma

aacuterea da placas capacitacircncia menorrdquo) De fato

= + = + lt e = + = + lt

Para vaacuterios capacitores em seacuterie obtemos 1 = 1 + 1 + 1 +⋯

Note que isso natildeo equivale a

Resumindo a tabela 1 abaixo lista as propriedades que observamos para capacitores quaisquer

ligados em seacuterie

Propriedades de N capacitores em seacuterie = = = ⋯ = ∆ = ∆ + ∆ +⋯+ ∆ 1 = ∆ = 1 + 1 + 1 +⋯+ 1

Tabela 1 Propriedades de capacitores associados em seacuterie

= hellip+ + +⋯

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442 Associaccedilatildeo de capacitores em paralelo

Considere agora dois capacitores de capacitacircncias e conectados em paralelo A conexatildeo em

paralelo se daacute quando conectamos os terminais dos capacitores dois a dois A Figura 7 abaixo ilustra essa

ideia

Nessa Figura ilustramos esquematicamente o processo em que dois capacitores em paralelo satildeo

reduzidos a um soacute Os terminais A e B satildeo mantidos intactos nesse processo As placas se juntam duas a duas

para formarem as placas do capacitor equivalente A e B satildeo os terminais que seratildeo conectados ao circuito

externo Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B um uacutenico capacitor de

capacitacircncia Quanto vale

Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆

Considere que a carga eleacutetrica na placa positiva do capacitor eacute digamos a placa conectada ao

terminal A Analogamente seja a carga eleacutetrica na placa positiva de tambeacutem conectada a A (essas

cargas natildeo tem que ser iguais) Entatildeo nas duas placas da esquerda haacute uma carga eleacutetrica total + Essa eacute

a carga na placa positiva do capacitor equivalente entre A e B que eacute a uniatildeo das duas placas positivas de e

+ eacute a carga que fluiu para o capacitor ldquototalrdquo atraveacutes do terminal A Concluindo a carga eleacutetrica

(total) na placa positiva do capacitor equivalente eacute = +

Note que na reduccedilatildeo dos dois capacitores a um soacute as placas conectadas a A se juntam e a mesma

coisa ocorre com as placas conectadas a B Essas placas juntas constituem as placas do capacitor equivalente

Por outro lado se ∆ = ( ) minus ( ) eacute dada por uma integral de caminho do campo eleacutetrico desde

A ateacute B fica claro que esse caminho pode atravessar a regiatildeo entre as placas de e fornecer ∆ ou

atravessar a regiatildeo entre as placas de e fornecer ∆ Como a integral que fornece ∆ independe do

caminho temos que obter o mesmo resultado para esses dois caminhos ou seja ∆ = ∆ = ∆

Figura 7 dois capacitores associados em paralelo Dois capacitores reais de 10 F ligados em paralelo Eles equivalem a um capacitor de 20 F

A B

A B

A B

A B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Dividindo a primeira equaccedilatildeo por ∆ obtemos

∆ = ∆ + ∆ rArr = +

Por exemplo se associarmos em paralelo um capacitor de 2 F com outro capacitor de 3 F essa

associaccedilatildeo seraacute equivalente a um uacutenico capacitor de capacitacircncia = 3 + 2 = 5

Note que obtemos uma capacitacircncia equivalente maior que e (ldquoaacuterea das placas maior capacitacircncia

maiorrdquo) posto que + gt e + gt

Para vaacuterios capacitores em paralelo obtemos = + + +⋯

Resumindo a tabela 2 abaixo lista as propriedades que observamos para capacitores quaisquer

ligados em paralelo

Propriedades de N capacitores em paralelo = + +⋯+ ∆ = ∆ = ∆ = ⋯ = ∆

= ∆ = + + +⋯+

Tabela 2 Propriedades de capacitores associados em paralelo

443 Exemplo de aplicaccedilatildeo da associaccedilatildeo de capacitores

Apenas para ilustrar a aplicaccedilatildeo dessas ideacuteias de associaccedilotildees

de capacitores vamos considerar a situaccedilatildeo em que queremos

calcular a carga eleacutetrica depositada na placa esquerda de

(destacada em vermelho) no circuito mostrado na Figura 8 ao lado

Os dados do problema satildeo a DDP ( ) minus ( ) = gt 0 e as

capacitacircncias Nesse circuito jaacute demos nome a alguns noacutes para

facilitar a anaacutelise Eacute bom frisar que os ldquofiosrdquo metaacutelicos que conectam

as placas dos capacitores satildeo equipotenciais e portanto podemos

ver na Figura que por exemplo ( ) = ( prime) ( ) = ( prime) = ( ) Podemos afirmar tambeacutem que o potencial na placa esquerda de eacute igual

ao potencial na placa esquerda de e na placa direita de sendo

Figura 8 Dado que ( ) minus ( ) = gt0 calcule a carga eleacutetrica depositada na placa destacada em vermelho

A Bx y

Arsquo Brsquo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

todos iguais a ( ) Nossa esperanccedila aqui eacute obter ( ) minus ( ) e concluir que = ∆ = [ ( ) minus ( )] Vamos

comeccedilar entatildeo a trilhar um caminho que nos leve a esse resultado Note que haacute vaacuterios caminhos possiacuteveis e nossa

escolha eacute basicamente uma questatildeo de gosto e um tanto aleatoacuteria A experiecircncia que adquirimos ao resolver vaacuterios

problemas desse tipo amplia o leque de abordagens e facilita as coisas

1 Jaacute podemos conhecer = ∆ = [ ( ) minus ( )] =

2 Se conhecermos a capacitacircncia equivalente entre A e B poderemos conhecer pois a carga total no

capacitor equivalente entre A e B eacute + (as placas da esquerda de e se juntam para formar a placa

esquerda do capacitor equivalente entre A e B) Mas note que e natildeo estatildeo em paralelo Vamos calcular

essa capacitacircncia equivalente ( ) Vemos que e estatildeo em paralelo e a capacitacircncia

equivalente entre x e y eacute ( ) = 2 + 3

Esse ( ) estaacute em seacuterie com e a capacitacircncia equivalente nesse ramo superior entre Alsquo e Brsquo eacute ( prime prime) = 1 ( )1 + ( ) = 1( 2 + 3)1 + 2 + 3

Finalmente ( prime prime) estaacute em paralelo com e a capacitacircncia equivalente entre A e B eacute ( ) = ( prime prime) + 4 = 1( 2 + 3)1 + 2 + 3 + 4

Portanto a carga total no capacitor equivalente entre A e B eacute = ( ) 0 Como jaacute dissemos

podemos determinar pois = ( ) 0 = + = + Conclusatildeo = ( ) minus = ( prime prime) = ( + )+ +

Nosso resultado mostra que poderiacuteamos ter raciocinado atraveacutes apenas da capacitacircncia equivalente entre Arsquo

e Brsquo mas agora jaacute era

3 Agora podemos conhecer ∆ =

4 Jaacute vimos que ( ) estaacute em seacuterie com e portanto ( ) minus ( ) = = ∆ + ( ) minus ( ) Sendo ( ) minus ( ) a DDP entre os terminais de ( ) Portanto essa DDP vale ( ) minus ( ) = minus ∆

5 Concluindo ( ) minus ( ) = ∆ e portanto = ∆ = ( minus ∆ ) = minus = 1 minus ( + )+ + = + +

Vemos que o resultado independe de pois no ramo superior ArsquoBrsquo a DDP define as cargas em cada

capacitor desse ramo incluindo Nem precisaacutevamos envolver nos caacutelculos

Vamos analisar alguns casos particulares Se quisermos desprezar a presenccedila de devemos juntar suas placas

(o que chamamos de curto-circuito) e considerar portanto rarr infin (pensando em um capacitor de placas paralelas

vemos que se rarr 0 = 0 rarr infin) Nesse caso obtemos

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

= + + rarr =

O que eacute compatiacutevel com o fato de que nesse limite vale ∆ =

Se quisermos desprezar a presenccedila de devemos separar suas placas (abrir o circuito em ) e considerar

portanto rarr 0 (pensando em um capacitor de placas paralelas vemos que se rarr infin = 0 rarr 0) Nesse caso

obtemos = + + rarr +

O que eacute compatiacutevel com o fato de que nesse limite restam apenas e em seacuterie no ramo ArsquoBrsquo

Enfim agora que jaacute terminamos podemos resumir essa soluccedilatildeo acima da seguinte forma

1 Calculamos 1 = ( prime prime) 0 = 1( 2+ 3)1+ 2+ 3 0 pois a placa esquerda de eacute a placa do capacitor

equivalente entre Arsquo e Brsquo

2 Vemos que + = pois a carga total nas trecircs placas que se conectam em x eacute nula

3 e estatildeo em paralelo e entatildeo ∆ = ∆ o que leva a =

4 Concluindo = minus = minus e portanto

5 = = ( ) =

45 A energia potencial eleacutetrica armazenada em um capacitor

Considere um capacitor de capacitacircncia que estaacute carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa

positiva (e com uma DDP ∆ = entre suas placas) Quantos joules de energia potencial eleacutetrica estatildeo

armazenados nesse capacitor

Para responder essa pergunta podemos imaginar um processo iterativo em que as cargas eleacutetricas vatildeo

chegando aos poucos nas placas e o potencial eleacutetrico vai se ajustando aumentando de magnitude

concomitantemente ao aumento da carga obedecendo agrave relaccedilatildeo ∆ prime = prime Em cada instante o capacitor

recebe uma carga eleacutetrica em sua placa positiva (e simultaneamente ndash em sua placa negativa) e nesse

instante ele acumula um acreacutescimo de energia potencial eleacutetrica dada por = + (minus ) = ( minus ) = ∆

Nessa expressatildeo ∆ = minus eacute a DDP entre as placas nesse instante em que plusmn acumula nas placas

Imaginemos entatildeo esse processo iterativo Inicialmente as placas estatildeo vazias = 0 e ∆ = 0 Os

primeiros incrementos de carga plusmn satildeo depositados nessas placas vazias e isso natildeo custa (e nem armazena)

nada

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

(0) = ∆ = 0 = 0

Os segundos incrementos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo depositados plusmn

e haacute um ∆ prime = Portanto (1) = ∆ prime = = ( )

Os terceiros incrementos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo depositados plusmn2

e haacute um ∆ prime = 2 Portanto (2) = ∆ prime = 2 = 2 ( )

Os quartos pedacinhos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo plusmn3 e haacute um ∆ prime = 3 Portanto (3) = ∆ prime = 3 = 3 ( )

Enfim se a carga eleacutetrica final depositada nas placas eacute = com ≫ 1 segue que a energia total

armazenada nesse capacitor eacute

= (0) + (1) + ⋯+ ( minus 1) = ( ) = ( ) = ( )

Fazendo o somatoacuterio acima obtemos finalmente

= ( ) = ( ) ( minus 1)2 = ( ) 2 = 12 ( ) = 12

Note que usamos que para ≫ 1 vale minus 1 = (considere que cong 10 )

Concluindo a energia potencial eleacutetrica armazenada em um capacitor de capacitacircncia que estaacute

carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa positiva (e com uma DDP ∆ = entre suas placas) eacute

= 12 = 12 (∆ ) = 12 ∆

A ideia acima eacute ilustrativa do processo de acuacutemulo de cargas e energia potencial eleacutetrica em um

capacitor Se quisermos podemos simplificar as coisas afirmando que o acuacutemulo de um incremento

infinitesimal de cargas plusmn no instante acrescenta a energia potencial infinitesimal ( ) ao capacitor de

tal forma que ( ) = ∆ ( )

Note que eacute a mesma ideia anterior ( ) estaacute definido pela DDP ∆ ( ) que existe no instante e natildeo pela

DDP final no capacitor ∆ Utilizando a relaccedilatildeo entre ∆ ( ) e ( ) obtemos

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

( ) = ∆ ( ) = ( ) rArr = rArr = = 12

Nesse resultado acima usamos a condiccedilatildeo inicial (0) = (0) = 0

Considere o capacitor mostrado na Figura ao lado fabricado para uso em

unidades de flash de maacutequinas fotograacuteficas (httpwwwrubyconcojp) Vemos

que = 100 F Vamos supor que sua DDP de operaccedilatildeo seja ∆ cong 400 V (abaixo

dos 450 V de DDP limite) Estando plenamente carregado esse capacitor vai

acumular a energia potencial eleacutetrica (em joules) = 12 (∆ ) cong 8

Ao pressionar o botatildeo de acionamento da maacutequina fotograacutefica o capacitor vai descarregar e esses 8 joules de

energia seratildeo entregues a uma lacircmpada que vai emitir um brilho intenso o flash Esse brilho vai depender

tambeacutem da eficiecircncia da lacircmpada ou seja do percentual desses 8 J que a lacircmpada eacute capaz de converter em

energia luminosa (radiaccedilatildeo visiacutevel) Se o flash tiver um tempo de duraccedilatildeo ∆ cong 11000 s e se a eficiecircncia da

lacircmpada for proacutexima de 100 (apenas uma estimativa) a potecircncia luminosa emitida pela lacircmpada seraacute

= ∆ cong 8000

Com certeza eacute um brilho intenso Ao desmontar uma maacutequina fotograacutefica cuidado com o capacitor de flash

ele pode te dar um susto inesqueciacutevel

Energia eacute capacidade de realizar trabalho Na mecacircnica associamos energia potencial elaacutestica = a uma mola deformada de porque entendemos que essa mola tem capacidade de puxar ou

empurrar atraveacutes da forccedila de mola corpos que estejam em contato com ela A mola deformada possui uma

capacidade de realizar trabalho igual a Realizar trabalho eacute aplicar forccedila e deslocar transferindo portanto

energia O campo eleacutetrico eacute ele mesmo uma capacidade que uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas possui de

realizar forccedila sobre outros objetos carregados distantes dele Assim sendo natildeo devemos nos surpreender com

a ideia de que a capacidade de realizar trabalho de uma distribuiccedilatildeo de cargas se estende no espaccedilo

juntamente com seu campo eleacutetrico Dito de outra forma onde haacute campo eleacutetrico haacute capacidade de realizaccedilatildeo

de trabalho e haacute portanto energia potencial eleacutetrica A luz eacute um campo eletromagneacutetico ou seja eacute a

superposiccedilatildeo de um campo eleacutetrico e um campo magneacutetico acoplados entre si oscilando no tempo e no

espaccedilo Quando nos expomos agrave luz do Sol sentimos o aquecimento da pele ou seja a produccedilatildeo de energia

teacutermica De onde vem essa energia Ela vem do Sol No Sol ocorrem reaccedilotildees nucleares que produzem luz

(aleacutem de outras radiaccedilotildees invisiacuteveis e tambeacutem energia cineacutetica calor etc) e essa luz se propaga no espaccedilo

chegando na Terra A luz eacute um campo eleacutetrico oscilatoacuterio e quando ela atinge a pele ela exerce uma forccedila

195

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

oscilatoacuteria sobre cargas eleacutetricas que compotildeem a pele agitando-as Daiacute sentimos o aquecimento da pele

Aonde a luz do Sol vai a energia do Sol vai junto

Cargas eleacutetricas satildeo diferentes de molas porque a capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho da mola estaacute

localizada em sua extremidade livre que exerce a forccedila de mola enquanto que a capacidade de realizaccedilatildeo de

trabalho de cargas eleacutetricas se estende por todo o espaccedilo onde o campo eleacutetrico produzido por essa

distribuiccedilatildeo de cargas vai Sendo assim deve ser possiacutevel computar a energia potencial de uma distribuiccedilatildeo de

cargas atraveacutes do campo eleacutetrico que ela produz no espaccedilo

Por exemplo no caso do capacitor computamos sua energia potencial eleacutetrica atraveacutes de sua

capacitacircncia e da carga eleacutetrica que ele acumula = 12

Deve ser possiacutevel expressar essa em termos do campo eleacutetrico que a distribuiccedilatildeo de cargas no capacitor

produz no espaccedilo

Considere o caso mais simples do capacitor de placas paralelas sem efeitos de borda Nesse caso

sabemos que o campo eleacutetrico eacute uniforme entre as placas e vale

= =

sendo a aacuterea das placas Sabemos tambeacutem que = sendo a distacircncia entre as faces internas das

placas Portanto podemos expressar em termo de Basta fazer

= 12 = 12 ( ) = 12

Note que eacute exatamente o volume entre as placas do capacitor onde existe

campo eleacutetrico (nas outras regiotildees o campo eacute nulo) O campo eleacutetrico entre as

placas eacute uniforme e vale = preenchendo todo o volume do

paralelepiacutepedo de aacuterea da base e altura conforme ilustrado na Figura ao lado

(linhas de forccedila em vermelho) Note que a grandeza = 12

tem unidade de densidade de energia potencial eleacutetrica por unidade de volume Concluindo mostramos que

para o capacitor de placas paralelas vale =

z

196

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

sendo = o volume do espaccedilo por onde se estende o campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas no

capacitor Esse exemplo estaacute confirmando quantitativamente as ideacuteias que discutimos anteriormente

Concluiacutemos que se existe no ponto do espaccedilo um campo eleacutetrico ( ) entatildeo nesse ponto haacute uma

capacidade de exercer forccedila sobre uma carga eleacutetrica que porventura passe por aiacute e haacute tambeacutem uma

capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho ou seja uma densidade de energia potencial eleacutetrica ( ) dada por

( ) = 12 [ ( )]

Tendo em vista o nosso resultado acima ( = ) podemos afirmar que para uma configuraccedilatildeo qualquer

de cargas eleacutetricas deve valer

= ( ) = 2 [ ( )]

sendo um elemento infinitesimal de volume e ET significa que devemos realizar a integral no espaccedilo todo

em que o campo eleacutetrico ( ) eacute natildeo-nulo Essa capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho ou seja essa energia

potencial eleacutetrica eacute um atributo das cargas eleacutetricas que estatildeo produzindo no espaccedilo esse campo ( ) No contexto da eletrostaacutetica natildeo haacute nenhuma vantagem em se calcular a energia eletrostaacutetica atraveacutes

de uma integral espacial da densidade ( ) ao inveacutes de se usar o conceito mais simples de potencial eleacutetrico

que eacute o que temos feito No entanto essa eacute uma primeira oportunidade que temos para introduzir essa ideia

de que onde haacute campo eleacutetrico haacute energia e que portanto uma onda eletromagneacutetica transporta energia

potencial eleacutetrica atraveacutes de sua propagaccedilatildeo no espaccedilo Eacute atraveacutes dessa propagaccedilatildeo de energia que o Sol

mesmo estando a milhotildees de quilocircmetros de distacircncia da Terra eacute capaz de realizar vaacuterias ldquotarefasrdquo aqui na

Terra como aquecer os oceanos e mover a maacutequina atmosfeacuterica realizar a fotossiacutentese nas plantas aquecer a

aacutegua em placas de aquecimento solar gerar energia eleacutetrica em paineacuteis solares etc

Como a luz do Sol aquece a aacutegua nos oceanos O campo eleacutetrico oscilatoacuterio potildee cargas eleacutetricas na

aacutegua do mar para vibrar (anaacutelogo a um forno de micro-ondas) Ele realiza trabalho sobre elas Da mesma

forma a luz do Sol aquece o ar e cria os ventos e aquece um tubo de cobre por onde passa aacutegua em uma placa

de aquecimento solar Como a luz do Sol produz a fotossiacutentese Por mais complicado que seja esse processo

ele se resume ao campo eleacutetrico forccedilando a reaccedilatildeo de CO2 e aacutegua produzindo

carboidratos e oxigecircnio Como a luz do Sol produz energia eleacutetrica em um painel solar

(fotovoltaico) O campo eleacutetrico produz separaccedilatildeo de cargas em um material

semicondutor atraveacutes do transporte de eleacutetrons Separaccedilatildeo de cargas implica em

energia potencial eleacutetrica Um painel solar pode ser usado para carregar uma bateria

como a que alimenta o holofote mostrado na Figura ao lado

197

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

46 O efeito de um dieleacutetrico sobre a capacitacircncia

Capacitores com vaacutecuo entre as placas possuem geralmente baixa capacitacircncia e alta rigidez dieleacutetrica

(da ordem de kV) Capacitores de uso comum com altas capacitacircncias tendo em vista suas dimensotildees

pequenas possuem geralmente um material isolante entre as placas Esses materiais isolantes satildeo tambeacutem

chamados de materiais dieleacutetricos ou simplesmente dieleacutetricos (dieleacutetrico = isolante eleacutetrico) A presenccedila de

um dieleacutetrico entre as placas modifica a capacitacircncia do capacitor quando comparado com a situaccedilatildeo de

vaacutecuo entre as placas Vamos discutir aqui por que isso acontece

Basicamente a capacitacircncia de um capacitor de duas placas eacute fortemente influenciada pelo

acoplamento eleacutetrico entre as placas a capacidade de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo de uma placa na outra Vemos

isso explicitamente na expressatildeo da capacitacircncia de um capacitor de placas planas paralelas = pois

aumentando reduzimos o acoplamento eleacutetrico entre as placas e diminui Dessa forma podemos

entender que a inserccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas de um capacitor vai modificar o acoplamento eleacutetrico

entre suas placas e modificar sua capacitacircncia

Mais especificamente a propriedade central de um dieleacutetrico que faz com que ele modifique a

capacitacircncia de um capacitor estaacute em sua polarizaccedilatildeo eleacutetrica Jaacute vimos que moleacuteculas

apolares e aacutetomos na presenccedila de campos eleacutetricos externos se polarizam se tornam

pequenos dipolos eleacutetricos Moleacuteculas polares por sua vez jaacute satildeo pequenos dipolos

eleacutetricos por natureza Esses dipolos eleacutetricos (intriacutensecos ou induzidos) se orientam

paralelamente ao campo eleacutetrico externo conforme a Figura ao lado (a seta verde

eacute a seta de o momento de dipolo eleacutetrico do dipolo) Um dipolo eleacutetrico produz ele

mesmo campo eleacutetrico no espaccedilo um campo (linhas de forccedila azuis) Considere

entatildeo que eacute o campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas nas placas de um capacitor Se

preenchermos o espaccedilo entre as placas com um dieleacutetrico esperamos que surja no espaccedilo entre as placas um

campo (ou a resultante macroscoacutepica desse campo para vaacuterios aacutetomos ou moleacuteculas) e que esse campo

afete a capacitacircncia desse capacitor Seria surpreendente se isso natildeo acontecesse Para capacitores com vaacutecuo

entre as placas vale = 0

Observamos que a inserccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas de um capacitor sempre aumenta a

capacitacircncia quando comparada com a capacitacircncia com vaacutecuo entre as placas Definimos entatildeo a constante

dieleacutetrica gt 1 de um dieleacutetrico como sendo a constante de proporcionalidade na relaccedilatildeo

( ) = ( )

+-

198

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

sendo ( ) a capacitacircncia de um capacitor com esse dieleacutetrico entre as placas e ( ) a capacitacircncia desse

mesmo capacitor (mesma geometria e mesmas dimensotildees) com vaacutecuo entre as placas Esse aumento na

capacitacircncia estaacute associado ao campo e agraves cargas de polarizaccedilatildeo que definiremos em seguida

Aqui vale a pena considerarmos duas situaccedilotildees que levam agrave mesma conclusatildeo final do aumento da

capacitacircncia com a inserccedilatildeo do dieleacutetrico entre as placas Na primeira situaccedilatildeo consideramos um capacitor

que estaacute carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa positiva e que estaacute com suas placas desconectadas

do mundo exterior (capacitor isolado) Na segunda situaccedilatildeo consideramos um capacitor permanentemente

conectado a uma bateria Imaginaremos um processo em que o capacitor inicialmente com vaacutecuo entre as

placas tem o espaccedilo entre as placas (todo) preenchido por um meio dieleacutetrico qualquer

461 Inserccedilatildeo de um dieleacutetrico em um capacitor isolado

Vamos ilustrar as coisas usando um capacitor de placas paralelas mas nossas conclusotildees valem para

qualquer capacitor A Figura 9 compara um capacitor isolado (visatildeo de perfil) sem e com dieleacutetrico entre as

placas (desprezando efeitos de borda)

Inicialmente haacute por hipoacutetese uma carga eleacutetrica depositada nas placas concentrada em densidades

de carga uniformes plusmn em cada uma das faces internas das placas Essas cargas produzem no espaccedilo entre as

placas o campo eleacutetrico (PL de placas) Esse campo existe independentemente da presenccedila do dieleacutetrico e

por isso ele eacute tambeacutem representado nas Figuras (b) e (c) Estando o capacitor desconectado as cargas nas

placas e o campo natildeo mudam ou seja natildeo satildeo afetados pela presenccedila ou natildeo do dieleacutetrico entre as

placas Em (b) estamos supondo que haacute um dieleacutetrico entre as placas e mostramos o efeito de (que age

como um campo eleacutetrico externo) nas moleacuteculas (ou aacutetomos) do dieleacutetrico (exagerando bastante seus

tamanhos) Os momentos de dipolo eleacutetrico (intriacutensecos ou induzidos) se orientam paralelamente ao campo

+ + + + +

- - - - -

++++ +

---- -

+++ + +

--- - -

+ -

+ - +

-

+- +

- - - - -

+ + ++

+++ + +

--- - -

(a) vaacutecuo (b) dieleacutetrico (c) dieleacutetrico (d) dieleacutetrico

Figura 9 Visatildeo de perfil de um capacitor de placas planas paralelas (a) com vaacutecuo entre as placas (b) com dieleacutetrico entre as placas moleacuteculas polarizadas (c) cargas de polarizaccedilatildeo e seu campo eleacutetrico (d) campo eleacutetrico resultante entre as placas A seta azul eacute menor que a seta vermelha

199

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Note que isso produz uma organizaccedilatildeo nas cargas eleacutetricas concentradas nos poacutelos dos

aacutetomosmoleacuteculas cujo resultado final se resume agrave formaccedilatildeo de densidades superficiais de carga eleacutetrica nas

superfiacutecies do dieleacutetrico que faceiam as placas metaacutelicas Chamamos essas cargas eleacutetricas de cargas de

polarizaccedilatildeo pois elas satildeo fruto desse processo de organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos do dieleacutetrico Na regiatildeo

interior do dieleacutetrico vemos basicamente uma mistura homogecircnea de poacutelos positivos e negativos ou seja a

neutralidade eleacutetrica eacute mantida (em cada ponto) nessa regiatildeo Em (c) mostramos o campo eleacutetrico (POL

de polarizaccedilatildeo) criado por essas densidades de carga de polarizaccedilatildeo plusmn concentradas nas faces superior e

inferior do dieleacutetrico Note que eacute oposto a Mostramos uma seta pequena de comparada agrave seta

de porque devemos ter em mente que eacute um efeito de sem natildeo haacute e que esse efeito eacute

normalmente pequeno Na Figura 9(d) mostramos finalmente o resultado disso tudo o campo eleacutetrico

resultante entre as placas qual seja = + tem magnitude menor que o campo eleacutetrico original

quando havia somente o vaacutecuo entre as placas Conclusatildeo se as cargas eleacutetricas depositadas nas placas

estatildeo constantes (pois o capacitor estaacute isolado) a inserccedilatildeo do dieleacutetrico reduz o campo eleacutetrico entre as placas

(quando comparado ao vaacutecuo) A DDP entre as placas eacute

∆ = (+) minus (minus) = ∙

Portanto

∆ ( ) = ∙ ∆ ( ) = + ∙

Segue que ∆ diminui com a inserccedilatildeo do dieleacutetrico (lembre-se que + lt ) Como esse

capacitor com dieleacutetrico estaacute acumulando a mesma quantidade de carga eleacutetrica que o capacitor com vaacutecuo

mas com menor DDP entre as placas concluiacutemos que sendo = ∆

( ) gt ( ) A presenccedila do dieleacutetrico entre as placas aumenta a capacitacircncia do capacitor

Resumindo nosso raciociacutenio

Se ( ) = ( ) e ∆ ( ) lt ∆ ( ) segue que ( ) gt ( ) 462 Inserccedilatildeo de um dieleacutetrico em um capacitor conectado a uma bateria

A Figura 10 abaixo compara um capacitor (visatildeo de perfil) que estaacute constantemente conectado a uma

bateria sem e com dieleacutetrico entre as placas O raciociacutenio aqui eacute parecido com o anterior Mas haacute uma etapa

intermediaacuteria em que as coisas se datildeo de uma forma diferente Nossa conclusatildeo quanto ao aumento da

capacitacircncia eacute a mesma

200

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Inicialmente haacute uma carga eleacutetrica depositada nas placas concentrada em densidades de carga plusmn em

cada uma das faces internas das placas Essas cargas produzem no espaccedilo entre as placas o campo eleacutetrico

(PL de placas) Esse campo existe independentemente da presenccedila do dieleacutetrico e por isso ele eacute representado

nas Figuras (b) e (c) Em (b) estamos supondo um dieleacutetrico entre as placas e mostramos o efeito de (que

age como um campo eleacutetrico externo) nas moleacuteculas (ou aacutetomos) do dieleacutetrico (exagerando bastante seus

tamanhos)

Os momentos de dipolo eleacutetrico se orientam paralelamente ao campo Note que isso produz

uma organizaccedilatildeo nas cargas eleacutetricas concentradas nos poacutelos dos aacutetomosmoleacuteculas cujo resultado final eacute a

formaccedilatildeo de densidades superficiais de carga eleacutetrica nas superfiacutecies do dieleacutetrico que faceiam as placas

metaacutelicas As coisas aqui acontecem da mesma forma que no nosso exemplo anterior

Chamamos essas cargas eleacutetricas de cargas de polarizaccedilatildeo pois elas satildeo fruto desse processo de

organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos do dieleacutetrico Na regiatildeo interior do dieleacutetrico vemos basicamente uma

mistura homogecircnea de poacutelos positivos e negativos ou seja a neutralidade eleacutetrica eacute mantida (em cada ponto)

nessa regiatildeo Na Figura 10(c) mostramos o campo eleacutetrico (POL de polarizaccedilatildeo) criado por essas

densidades de carga de polarizaccedilatildeo plusmn nas faces do dieleacutetrico Note que eacute oposto a Mostramos

uma seta pequena de comparada agrave seta de porque devemos ter em mente que eacute um efeito de

sem natildeo haacute e que esse efeito eacute normalmente pequeno Na Figura 10(d) mostramos finalmente o

resultado final disso tudo o campo eleacutetrico resultante entre as placas qual seja = + tem a

mesma magnitude que o campo eleacutetrico original Por quecirc Aqui a presenccedila constante da bateria manteacutem

o valor de ∆ constante igual agrave DDP entre os terminais da bateria Se por exemplo a bateria for uma bateria

de 9 V entatildeo ∆ = 9 V com vaacutecuo entre as placas e com dieleacutetrico entre as placas (tanto em (a) quanto em

(d)) Portanto como vale a relaccedilatildeo

+ + + + +

- - - - -

+++ + +

--- - -

+ -

+ - +

-

+- +

- - - - -

+ + ++

+++ + +

--- - -

(a) vaacutecuo (b) dieleacutetrico (c) dieleacutetrico (d) dieleacutetrico

Figura 10 Visatildeo de perfil de um capacitor de placas planas paralelas (a) com vaacutecuo entre as placas (b) com dieleacutetrico entre as placas moleacuteculas polarizadas (c) cargas de polarizaccedilatildeo e seu campo eleacutetrico (d) campo eleacutetrico resultante entre as placas A seta azul tem o mesmo tamanho da seta vermelha em (a)

++++ +

---- -

+ ++ + + + ++

-- - - - - - -

201

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

∆ = (+) minus (minus) = ∙ = ∙

segue que = Mas existe o campo eleacutetrico oposto e portanto como pode ser mantido o valor

do campo resultante Eacute simples a inserccedilatildeo do dieleacutetrico aumenta a magnitude de Como Aumentando a

carga eleacutetrica depositada nas placas graccedilas agrave accedilatildeo da bateria que fornece cargas eleacutetricas para o capacitor

enquanto o dieleacutetrico eacute inserido entre suas placas Basicamente as cargas de polarizaccedilatildeo nas faces superior e

inferior dos dieleacutetricos atraem mais cargas de sinais opostos para as placas metaacutelicas (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo)

No capacitor isolado isso natildeo produz nenhum efeito mas aqui essa atraccedilatildeo faz com que a bateria forneccedila mais

cargas eleacutetricas para as placas do capacitor aumentando a magnitude de

Conclusatildeo se a carga eleacutetrica depositada nas placas aumenta (pela accedilatildeo da bateria) ao mesmo tempo

em que a DDP entre as placas se manteacutem (pela accedilatildeo da bateria) segue que como = ∆

( ) gt ( ) A presenccedila do dieleacutetrico entre as placas aumenta a capacitacircncia do capacitor

Resumindo nosso raciociacutenio

Se ( ) gt ( ) e ∆ ( ) = ∆ ( ) segue que ( ) gt ( ) Juntando os resultados de nossas duas anaacutelises anteriores podemos dizer que um capacitor com

dieleacutetrico tem maior capacitacircncia que o mesmo capacitor com vaacutecuo entre as placas porque ele acumula a

mesma quantidade de carga eleacutetrica com uma DDP menor entre as placas eou porque ele acumula mais carga

eleacutetrica com a mesma DDP entre as placas Enfim em qualquer caso a polarizaccedilatildeo do material dieleacutetrico faz

com que um capacitor tenha capacitacircncia maior do que ele teria se houvesse vaacutecuo entre as placas

A razatildeo entre as capacitacircncias (para um mesmo capacitor mesma geometria e mesmas dimensotildees)

com e sem dieleacutetrico define a constante dieleacutetrica do material dieleacutetrico inserido entre as placas

= ( )( )

Voltando agraves anaacutelises que fizemos considerando o caso especiacutefico de um capacitor de placas paralelas

obtemos que no caso do capacitor isolado (carga eleacutetrica constante Figura 9)

= ( )( ) = ∆ ( )∆ ( ) = ∆ ( )∆ ( ) = rArr ( ) = ( )

sendo a distacircncia entre as faces internas das placas (por isso ∆ = ) Concluiacutemos que na presenccedila do

dieleacutetrico o campo eleacutetrico entre as placas ( ( )) diminui (por causa do campo eleacutetrico de polarizaccedilatildeo) ele

eacute vezes menor do que o campo eleacutetrico que haveria se houvesse vaacutecuo entre as placas ( ( )) com a

202

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

mesma carga eleacutetrica depositada nas placas Lembrando que o campo eleacutetrico entre as placas que obtivemos

para o capacitor de placas planas paralelas com vaacutecuo entre as placas eacute

( ) =

Concluiacutemos que o campo eleacutetrico entre as placas com o espaccedilo preenchido por dieleacutetrico e a mesma

densidade de carga nas placas eacute ( ) =

Aqui eacute interessante introduzirmos a permissividade dieleacutetrica do meio dieleacutetrico = de tal

forma que o campo eleacutetrico manteacutem a mesma forma original mas com no lugar de ou seja

( ) =

Aqui chegamos a uma conclusatildeo importante se acreditarmos que tudo que dissemos anteriormente

natildeo eacute restrito ao contexto do capacitor de placas paralelas mas sim um resultado geral apenas descoberto

nesse contexto Esse eacute o caso Concluiacutemos que se jaacute conhecemos o campo eleacutetrico ( )( ) de uma

distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas fixas no vaacutecuo o campo eleacutetrico produzido pela mesma distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas mas agora fixas no espaccedilo que eacute (todo) preenchido por um meio material dieleacutetrico eacute dado pela

mesma expressatildeo do campo ( )( ) mas com o substituiacutedo por = sendo a constante

dieleacutetrica desse material que permeia o espaccedilo Jaacute haviacuteamos adiantado esse resultado quando discutimos a lei

de Coulomb no capiacutetulo 1

Resumindo uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas produz no espaccedilo vazio o campo eleacutetrico ( )( ) Havendo um meio material permeando o espaccedilo o campo ( )( ) organiza os dipolos eleacutetricos (intriacutensecos

ou induzidos) desse meio que passa a produzir no espaccedilo o campo ( )( ) O campo eleacutetrico (resultante)

no espaccedilo passa a ser ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) Estamos descobrindo aqui que a expressatildeo de ( )( ) eacute a mesma expressatildeo de ( )( ) apenas trocando por

Por exemplo vimos que o campo eleacutetrico de uma carga pontual fixa no espaccedilo vazio eacute

( )( ) = 4 Portanto se essa mesma carga eleacutetrica estiver fixa em uma regiatildeo do espaccedilo permeado por um meio material

de permissividade eleacutetrica o campo eleacutetrico no mesmo ponto do espaccedilo seraacute dado por

( )( ) = 4

203

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Esse resultado natildeo mostra que a presenccedila do meio material modifica o campo eleacutetrico que a carga gera no

espaccedilo Mesmo na presenccedila do meio material a carga continua gerando em o campo eleacutetrico ( )( ) mas o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo muda deixa de ser ( )( ) e passa a ser ( )( ) + ( )( ) Assim o campo eleacutetrico resultante em passa a ser dado por

( )( ) = ( )( ) + ( )( ) rArr 4 = 4 + ( )( ) Por isso eacute mais correto nesse contexto chamar ( )( ) de campo eleacutetrico em devido agrave presenccedila

da carga eleacutetrica do que chamar esse campo de campo eleacutetrico em gerado pela carga eleacutetrica (que eacute de

fato sempre ( )( )) Se considerarmos que o meio material eacute o ar temos que cong 10006 e portanto natildeo faz muita

diferenccedila considerar ou Um capacitor com ar entre as placas eacute basicamente um capacitor com vaacutecuo

Da mesma forma a forccedila em uma carga pontual prime devido agrave presenccedila de uma carga eleacutetrica pontual ambas

no ar eacute

( )( ) = ( )( ) = prime4 sendo a distacircncia entre as cargas Essa eacute basicamente a mesma forccedila que atuaria se as cargas estivessem no

vaacutecuo

Por outro lado se considerarmos que o meio material eacute a aacutegua segue que cong 80 ( cong 80) e

portanto faz muita diferenccedila considerar Um capacitor com aacutegua entre as placas possui capacitacircncia 80

vezes maior que o mesmo capacitor com vaacutecuo Portanto podemos reduzir a aacuterea de um capacitor de placas

paralelas em 80 vezes e obter a mesma capacitacircncia se preenchermos o espaccedilo entre as placas com aacutegua

Essa propriedade dos dieleacutetricos nos permite miniaturizar os capacitores A aacutegua natildeo eacute propriamente uma boa

opccedilatildeo para isolar as placas de capacitores Existem materiais dieleacutetricos soacutelidos com constantes dieleacutetricas da

ordem de 1000 e que portanto permitem uma grande miniaturizaccedilatildeo dos capacitores

Voltando ao caso da aacutegua a forccedila em uma carga pontual prime devido agrave presenccedila de uma carga eleacutetrica

pontual ambas mergulhadas na aacutegua eacute

( )( ) = ( )( ) = prime4 cong 180 prime4 sendo a distacircncia entre as cargas A forccedila na presenccedila da aacutegua eacute 80 vezes menor do que a que atuaria se as

cargas estivessem no vaacutecuo (ou no ar) A Figura que segue (tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees)

ilustra o processo de organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos das moleacuteculas de aacutegua por um iacuteon positivo que nos

permite entender por que o campo eleacutetrico devido agrave presenccedila do iacuteon sofre uma reduccedilatildeo quando ele estaacute

mergulhado na aacutegua O campo eleacutetrico radial do iacuteon ( )( ) atua nos dipolos eleacutetricos e gira os momentos

204

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

de dipolo das moleacuteculas de aacutegua orientando-os na direccedilatildeo radial O iacuteon

positivo fica circundado por uma camada de poacutelos negativos das moleacuteculas de

aacutegua Essa camada de cargas eleacutetricas (de polarizaccedilatildeo) negativas envolvendo o

iacuteon blinda o campo do iacuteon ou seja essas cargas produzem um campo eleacutetrico

radial oposto ao campo do iacuteon produzindo um campo resultante ( )( ) que

eacute menor que o campo que haveria no vaacutecuo (nesse caso 80 vezes menor)

Essa reduccedilatildeo draacutestica na forccedila de interaccedilatildeo eleacutetrica produzida pela presenccedila da aacutegua permeando o

espaccedilo nos permite entender por que a aacutegua possui a capacidade de dissolver as substacircncias diluiacutedas nela

Considere por exemplo o sal de cozinha que eacute basicamente o composto NaCl A forccedila que produz a coesatildeo

entre os iacuteons Na+ e Cl- nessa substacircncia eacute a forccedila eleacutetrica de atraccedilatildeo muacutetua entre eles a forccedila de Coulomb

Quando o sal eacute mergulhado na aacutegua essa forccedila de atraccedilatildeo fica cerca de 80 vezes menor facilitando a

separaccedilatildeo dos iacuteons e a dissoluccedilatildeo do sal

Concluiacutemos que se haacute um meio dieleacutetrico permeando todo o espaccedilo basta substituir na expressatildeo de ( )( ) o pelo que obtemos o ( )( ) Eacute interessante frisar que essa afirmaccedilatildeo vale para uma

classe de dieleacutetricos aqueles que podem ser caracterizados por uma constante dieleacutetrica e por uma

permissividade eleacutetrica = Esses dieleacutetricos satildeo ditos ldquolinearesrdquo A natureza eacute rica e complexa e

existem dieleacutetricos natildeo-lineares ou seja dieleacutetricos para os quais as definiccedilotildees de e dadas acima natildeo

se aplicam Para os casos em que o espaccedilo eacute preenchido por um dieleacutetrico natildeo-linear a situaccedilatildeo eacute mais

complicada e cada caso eacute um caso

Apenas para concluir mostramos que no caso do capacitor com carga constante (Figura 9) vale

( ) = ( )

Portanto como ( ) = ( ) minus ( ) (campos opostos) segue que

( ) = ( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = ( ) 1 minus 1 = minus 1 ( ) lt ( ) Estamos apenas confirmando aqui que na Figura 9 a seta de (que tem moacutedulo ( )) eacute sempre menor

que a seta de (que tem moacutedulo ( )) Para a aacutegua por exemplo cong 80 e vale

( )( ) = minus 1 cong 7980 cong 0988

ou seja o campo eleacutetrico produzido pelas cargas de polarizaccedilatildeo concentradas nas interfaces dieleacutetricometal

tem moacutedulo que eacute basicamente 99 do moacutedulo do campo eleacutetrico produzido pelas cargas nas placas do

+

+

+ +

++

++

+

--

-

- --

-

-

205

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

capacitor Isso significa que as densidades de carga de polarizaccedilatildeo ( ) possuem magnitude que eacute 99 da

magnitude das densidades de carga nas placas ( ) Para o ar vale ( ) cong 00006 ( ) Se fizeacutessemos esse experimento de preencher com aacutegua o espaccedilo entre as placas de um capacitor

isolado com carga fixa veriacuteamos a DDP entre as placas cair muito Se imaginarmos que um voltiacutemetro estaacute

conectado agraves placas desse capacitor e que ele indica inicialmente uma DDP de 80 V ao inserir aacutegua entre as

placas vamos ver o ponteiro do voltiacutemetro descer ateacute indicar a leitura

∆ ( ) = ∆ ( ) cong 1

Por isso a capacitacircncia desse capacitor com aacutegua seria 80 vezes maior do que com vaacutecuo (ou ar) entre as

placas Ele acumula a mesma carga eleacutetrica mas com uma DDP 80 vezes menor (que o caso com vaacutecuo)

Na Figura 11 abaixo mostramos alguns capacitores feitos de diferentes materiais dieleacutetricos

polieacutester ceracircmica tacircntalo mica

Figura 11 capacitores feitos de diversos materiais dieleacutetricos

Considere que cada material dieleacutetrico eacute selecionado natildeo apenas por sua constante dieleacutetrica K mas

tambeacutem por sua rigidez dieleacutetrica e por outras propriedades que podem ser importantes para cada aplicaccedilatildeo

Na Figura ao lado mostramos um capacitor de 1000 F (50 V) que abrimos para

ver o que tem dentro A proacutexima Figura mostra que haacute duas placas que satildeo folhas de

alumiacutenio separadas por uma folha de papel muito fina impregnada com um liacutequido Haacute

ainda um oacutexido nas folhas de alumiacutenio que eacute o dieleacutetrico entre as placas (de espessura

minuacutescula) Esse tipo de capacitor eacute chamado de eletroliacutetico

As folhas satildeo enroladas formando um sanduiacuteche alumiacuteniopapelalumiacutenio

(ainda tem o oacutexido)

A Figura ao lado mostra que se desenrolarmos as folhas

de alumiacutenio vemos que elas possuem basicamente 32 cm de

206

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

comprimento por 2 cm de largura Portanto a aacuterea de cada placa eacute cong 032 times 002 = 00064 m2

Finalmente a Figura ao lado (httpwwwelnacojp) mostra que haacute

ainda um recurso para o aumento da capacitacircncia As folhas de alumiacutenio

possuem superfiacutecies rugosas o que aumenta bastante a aacuterea efetiva das

placas A Figura mostra um corte lateral do capacitor mostrando os perfis das

duas placas em uma escala microscoacutepica

Juntando tudo geometria aacuterea efetiva das placas distacircncia minuacutescula entre as placas ( m) e

constante dieleacutetrica resulta em uma capacitacircncia de 1000 F = 1 mF em um capacitor minuacutesculo

463 Caacutelculo de capacitacircncia com dieleacutetricos

Aqui vamos dar um uacuteltimo exemplo de caacutelculo de capacitacircncia no caso em que haacute uma combinaccedilatildeo de

vaacuterios dieleacutetricos entre as placas de um capacitor Vamos voltar no exemplo do capacitor esfeacuterico que jaacute

discutimos no iniacutecio desse capiacutetulo As duas placas satildeo esfeacutericas e concecircntricas Uma placa eacute uma esfera

metaacutelica de raio e a outra placa eacute uma casca esfeacuterica

metaacutelica de raio interno e espessura A Figura 12 ao

lado ilustra esse capacitor Note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo

objetos esfeacutericos no espaccedilo tridimensional Supondo que

as placas estatildeo separadas por uma camada de vaacutecuo

mostramos que a capacitacircncia desse capacitor eacute

( ) = 4 1 minus 1 = 4 minus

Agora vamos supor que o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dieleacutetricos Suponha que a

camada (em amarelo) com raios tais que lt lt

estaacute preenchida com um dieleacutetrico de constante dieleacutetrica

e que a camada (em verde) com raios tais que lt lt estaacute preenchida com um dieleacutetrico de

constante dieleacutetrica A Figura 13 ao lado ilustra esse

capacitor

Vamos calcular a capacitacircncia desse capacitor Primeiro supomos que em uma das placas haacute uma

carga eleacutetrica Depois calculamos a DDP ∆ entre as placas tendo em vista essa carga Fazemos a razatildeo ∆ O que resultar dessa razatildeo eacute a expressatildeo de Haacute ainda uma etapa intermediaacuteria pois para calcular ∆

devemos conhecer o campo eleacutetrico entre as placas Aplicando essas ideacuteias em etapas obtemos o algoritmo

abaixo

Figura 12 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute o vaacutecuo Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas

Figura 13 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute dois dieleacutetricos diferentes Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas

1 2

207

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

1 Suponha uma carga eleacutetrica na esfera menor de raio e uma carga ndash na casca de raio Jaacute

sabemos que a carga vai se distribuir na superfiacutecie da esfera de raio e que a carga ndash vai se

distribuir na superfiacutecie interior (de raio ) da casca metaacutelica (essas cargas e ndash se atraem) De

fato esse eacute basicamente o problema de um condutor (a casca) com uma cavidade e uma carga

dentro dessa cavidade Por simetria todas as cargas se distribuiratildeo uniformemente nas

superfiacutecies

2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo com raios lt lt

Vamos imaginar primeiramente que haacute vaacutecuo entre as placas Da lei de Gauss ou do teorema das

cascas sabemos que o campo eleacutetrico entre as placas seria nesse caso dado por = 4 Isso porque as cargas na esfera criam fora dela o mesmo campo eleacutetrico de uma carga

localizada no centro da esfera e as cargas na casca natildeo criam campo eleacutetrico dentro da casca Note

que soacute haacute campo eleacutetrico na regiatildeo entre as placas ( lt lt ) Dentro do material da esfera

menor ( lt ) e dentro do material da casca ( lt lt + ) natildeo haacute campo eleacutetrico pois satildeo

regiotildees ocupadas por materiais condutores Na regiatildeo exterior ao capacitor ( gt + ) natildeo haacute

campo eleacutetrico porque os campos de e ndash se cancelam (conforme podemos ver do teorema das

cascas)

3 Agora vamos levar em conta a presenccedila dos dieleacutetricos entre as placas conforme nossa discussatildeo

anterior Na regiatildeo (amarela) com raios tais que lt lt que estaacute preenchida com um

dieleacutetrico de constante dieleacutetrica o campo eleacutetrico seraacute o mesmo que haveria se fosse vaacutecuo

mas com substituiacutedo por Portanto = 4 Na regiatildeo (verde) com raios tais que lt lt que estaacute preenchida com um dieleacutetrico de

constante dieleacutetrica o campo eleacutetrico seraacute o mesmo que haveria se fosse vaacutecuo mas com

substituiacutedo por Portanto = 4 4 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas

Considere um caminho radial ( = ) que parte da superfiacutecie equipotencial de raio (na

placa +) e termina na superfiacutecie equipotencial de raio (na placa -) Ao percorrer esse caminho o

campo eleacutetrico muda de valor quando passamos por = Levamos isso em conta dividindo a

integral que daacute a DDP em duas integrais

208

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

∆ = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ + ∙

Substituindo as expressotildees dos campos obtemos (usando ∙ = )

∆ = 4 + 4 = 4 1 minus 1 + 4 1 minus 1

5 Faccedila a razatildeo (aqui preferimos calcular 1 ) 1 = ∆ = 14 1 minus 1 + 14 1 minus 1

Note que obtivemos o resultado de uma associaccedilatildeo seacuterie de dois capacitores um capacitor esfeacuterico

com raios e com o espaccedilo entre as placas preenchido pelo dieleacutetrico de constante dieleacutetrica cuja

capacitacircncia eacute 1 = 14 1 minus 1 rArr = 4 1 minus 1 = 4 minus

e outro um capacitor esfeacuterico com raios e com o espaccedilo entre as placas preenchido pelo dieleacutetrico de

constante dieleacutetrica cuja capacitacircncia eacute 1 = 14 1 minus 1 rArr = 4 1 minus 1 = 4 minus

Portanto mostramos que 1 = 1 + 1

Os dois ldquocapacitoresrdquo estatildeo em seacuterie porque quando caminhamos de um terminal (na esfera menor)

ateacute o outro (na casca maior) passamos primeiramente pelo capacitor e depois passamos pelo capacitor

Portanto e estatildeo ligados um na sequecircncia do outro como em qualquer associaccedilatildeo seacuterie de capacitores

A superfiacutecie esfeacuterica de raio que eacute compartilhada pelos dois capacitores funciona como a conexatildeo (o noacute)

entre esses dois capacitores esfeacutericos

47 Aplicaccedilotildees

1) a) Um capacitor estaacute inicialmente carregado e a DDP entre suas placas eacute

Em um dado instante uma chave S eacute fechada e esse capacitor eacute conectado a outro

capacitor inicialmente descarregado conforme a Figura ao lado Vamos calcular

as cargas finais e nos capacitores

+ -

209

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

A ideia eacute que o fechamento da chave vai produzir um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico em que as cargas

iniciais plusmn em vatildeo se distribuir nas placas metaacutelicas que foram unidas entre si Na placa positiva de

havia o excesso de cargas Ao fechar a chave essa carga se redistribui uma parte ficando em e outra

parte ficando em Analogamente nas placas inferiores negativas O transiente termina quando as placas

unidas se encontram no mesmo potencial (jaacute que elas formam um condutor soacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico) Os

princiacutepios que definem os valores de e e as equaccedilotildees associadas a esse princiacutepios satildeo

Conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica (nas duas placas positivas) + =

Paralelismo entre os dois capacitores Δ = Δ

Note que natildeo estamos afirmando aqui que Δ = Δ = Natildeo haacute essa ldquoconservaccedilatildeo da DDPrdquo pelo

contraacuterio as cargas nos capacitores mudam os campos eleacutetricos entre as placas mudam e as DDPs mudam

mas sempre vale Δ = Δ posto que as placas dos capacitores estatildeo conectadas duas a duas Concluindo

Δ = Δ rArr = rArr =

Portanto + = rArr + = rArr = 1 +

e ainda = (1 + ) Note que o capacitor de maior capacitacircncia fica com a fraccedilatildeo maior das cargas

De fato se gt ( gt 1) vale = 1 + 1 + ( ) gt 1

A nova DDP entre as placas (que era ) eacute Δ = = = +

Note que pensando em termos de um capacitor equivalente de capacitacircncia = + segue que a

carga total nesse capacitor equivalente eacute e portanto Δ = = ( + ) 1) b) Um capacitor estaacute inicialmente carregado e a DDP entre suas

placas eacute mantida por uma bateria conectada aos seus terminais Em um

dado instante uma chave S eacute fechada e esse capacitor eacute conectado a outro

capacitor inicialmente descarregado conforme a Figura ao lado Vamos

calcular as cargas finais e nos capacitores

+ -

210

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

A ideia eacute anaacuteloga agrave do item anterior o fechamento da chave vai produzir um novo equiliacutebrio

eletrostaacutetico em que as cargas iniciais plusmn em vatildeo se distribuir nas placas metaacutelicas que foram unidas

entre si Na placa positiva de havia o excesso de cargas Ao fechar a chave essa carga se redistribui uma

parte ficando em e outra parte ficando em Analogamente nas placas inferiores negativas Mas agora haacute

a presenccedila da bateria que pode fornecer ou absorver cargas no sistema de dois capacitores O transiente

termina quando as placas unidas se encontram no mesmo potencial (jaacute que elas formam um condutor soacute em

equiliacutebrio eletrostaacutetico) O princiacutepio que define os valores de e e a equaccedilatildeo associada a esse princiacutepio eacute

Conservaccedilatildeo da DDP entre as placas mantida pela bateria e

paralelismo entre os capacitores Δ = Δ =

Note que agora estamos afirmando que Δ = Δ = Haacute uma ldquoconservaccedilatildeo da DDPrdquo pois essa eacute a funccedilatildeo

da bateria em um circuito estabelecer uma DDP fixa entre os terminais a que ela eacute conectada Portanto a

carga no capacitor natildeo muda o campo eleacutetrico entre suas placas natildeo muda e a DDP natildeo muda continua

No capacitor natildeo havia carga nem campo eleacutetrico e nem DDP Com o fechamento da chave a bateria teraacute

que transferir cargas para esse capacitor estabelecendo um campo eleacutetrico entre as placas e uma DDP igual a

Concluindo V = Δ = Δ rArr = =

Portanto = =

e ainda = Note que o capacitor de maior capacitacircncia fica com mais cargas

A carga que havia no circuito era = Apoacutes fechar a chave a carga total no circuito passa a ser = + = + = ( + )

Note que pensando em termos de um capacitor equivalente de capacitacircncia = + segue que a

carga total nesse capacitor eacute =

2) A Figura ao lado mostra a associaccedilatildeo de N capacitores iguais

em paralelo cada um de capacitacircncia Vamos supor que esses

capacitores possuam inicialmente vaacutecuo entre as placas

a) Suponha agora que um dos capacitores tenha o espaccedilo entre as placas preenchido por um dieleacutetrico de

constante dieleacutetrica K Calcule a razatildeo entre as capacitacircncias equivalentes dessa associaccedilatildeo de

capacitores depois ( ) e antes ( ) da inserccedilatildeo desse dieleacutetrico

Para capacitores em paralelo vale

211

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

= + +⋯

Portanto no caso do item (a) obtemos = e = ( minus 1) + = ( minus 1 + ) Segue que

= minus 1 + = 1 + minus 1

Note que no caso particular = 1 (ou seja nada foi alterado de fato o ldquodieleacutetricordquo eacute o vaacutecuo) vale = 1 Esse resultado vale tambeacutem se rarr infin pois nesse caso o uacutenico capacitor ldquodiferenterdquo de tornaria

irrelevante

b) Suponha agora que um nuacutemero de capacitores tenha o espaccedilo entre as placas preenchido por um

dieleacutetrico de constante dieleacutetrica K Calcule para que valha a razatildeo = 2

Para essa situaccedilatildeo obtemos = ( minus ) + = [ + ( minus 1)] Segue que

= + ( minus 1) = 1 + ( minus 1) Note que no caso particular = 1 (ou seja nada foi alterado de fato o ldquodieleacutetricordquo eacute o vaacutecuo) vale = 1 Por outro lado se = seque que = pois todo o espaccedilo entre as placas foi

preenchido pelo dieleacutetrico Para que valha = 2 deve ser tal que

1 + ( minus 1) = 2 rArr = minus 1

Caso o dieleacutetrico fosse a aacutegua por exemplo com cong 80 deveria valer = 79 ou seja a situaccedilatildeo

( = 2) soacute seria possiacutevel se valesse ge 79 Se valesse exatamente = 79 apenas um capacitor

deveria ter o espaccedilo entre suas placas preenchido com aacutegua Os outros 78 continuariam com vaacutecuo entre as

placas Haveria entatildeo ao final 78 capacitores de capacitacircncia e 1 capacitor de capacitacircncia 80 A

capacitacircncia final seria = 78 + 80 = 2 times 79 = 2

3) Considere um capacitor de placas paralelas (com placas de aacuterea = e

distacircncia entre as faces internas das placas) que possui um dieleacutetrico entre as

placas cuja ldquoconstanterdquo dieleacutetrica eacute natildeo homogecircnea ou seja natildeo eacute uma

constante mas sim uma funccedilatildeo ( ) com a coordenada definida na Figura ao

lado A Figura mostra um referencial xy paralelo ao plano das placas com a

coordenada x variando no intervalo isin [0 ] e a variaacutevel y variando no intervalo isin [0 ] A origem (00) estaacute na quina esquerda frontal da placa inferior Calcule

a capacitacircncia desse capacitor Despreze efeitos de borda

Se a constante dieleacutetrica fosse constante a resposta seria simples

212

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

= =

Sendo a ldquoconstanterdquo dieleacutetrica variaacutevel ao longo da direccedilatildeo x fica claro que natildeo faz sentido dizermos que

= ( )

pois essa expressatildeo natildeo especifica o valor de que pode assumir qualquer valor no intervalo [0 ] Portanto

essa resposta ldquoapressadardquo natildeo especifica de fato o valor de Ela natildeo faz o menor sentido

Nossa ideia aqui seraacute considerar que esse capacitor eacute uma sucessatildeo de

capacitores em paralelo cada um com uma constante dieleacutetrica proacutepria ( ) A

Figura ao lado ilustra essa ideia (visatildeo de perfil) Cada cor representa um valor

diferente para ( ) dentro da fatia de dieleacutetrico de espessura ∆ (e

profundidade ) A capacitacircncia de um capacitor que tem essa fatia como

dieleacutetrico entre suas placas eacute

( ) = ∆ = ( ) ∆

Em resumo esse ldquocapacitor fatiardquo possui aacuterea de placas Δ = Δ distacircncia entre as placas e dieleacutetrico

com constante dieleacutetrica ( ) Portanto se eacute a quantidade de fatias de dieleacutetrico segue que a capacitacircncia dessa ldquoassociaccedilatildeordquo de

capacitores em paralelo eacute

= = ( ) ∆ = ( )∆

Nesse caso vemos que haacute = ∆ fatias ou seja capacitores em paralelo Os capacitores estatildeo em

paralelo pois estatildeo todos com suas placas conectadas duas a duas (de fato soacute haacute duas placas metaacutelicas que

fatiamos mentalmente)

Fica claro que esse raciociacutenio deve ser estendido para o limite do contiacutenuo em que ∆ rarr 0 e = ∆ rarr infin Nesse limite o somatoacuterio se torna uma integral e obtemos

= ( )

Esse resultado pode ser expresso em termos de uma constante dieleacutetrica meacutedia definida por

= 1 ( )

x ∆

213

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

eacute uma meacutedia espacial de ( ) dentro do intervalo [0 ] Obtemos em termos de

= ( ) = 1 ( ) =

Para produzir um resultado mais concreto podemos fazer uma hipoacutetese simples sobre a funccedilatildeo ( ) por exemplo ( ) = com gt 0 e ge 0 constantes (e ainda ( ) ge 1 para todo x) Note que a

constante possui uma unidade que depende de De fato como eacute adimensional segue que a unidade de

eacute ( aqui representa uma unidade qualquer de comprimento por exemplo o metro) [ ] = 1

Nesse caso especiacutefico de ( ) obtemos finalmente

= = + 1 = + 1

Vemos que nesse caso vale = ( + 1) Para o caso particular = 0 recuperamos ( ) = = constante (adimensional) e = Obtemos

tambeacutem = ( + 1) = (0 + 1) = A meacutedia de uma constante eacute a proacutepria constante

Para o caso particular = 1 em que ( ) = varia linearmente obtemos

= 2

Obtemos tambeacutem = ( + 1) = (1 + 1) = 2 O eacute o valor de ( ) no ponto meacutedio = 2 do intervalo [0 ] Note que nesse capacitor a distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas nas placas seria natildeo uniforme Se por

exemplo a DDP entre as placas for ∆ a densidade de carga eleacutetrica superficial na posiccedilatildeo da placa seraacute

∆ = = ( )( ) rArr ( ) = ∆ ( ) Na regiatildeo onde ( ) eacute maior ocorre mais polarizaccedilatildeo do dieleacutetrico concentram-se mais cargas de polarizaccedilatildeo

levando a uma maior concentraccedilatildeo de cargas eleacutetricas nas placas Por exemplo no caso ( ) = a carga

na placa positiva se distribui ao longo de x como ( ) = ∆

A carga eleacutetrica total depositada na placa positiva para essa DDP seria

= ( ) = ( ) = ∆ = ∆ + 1 = + 1∆ = ∆

214

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

5 Correntes eleacutetricas

Daqui para diante vamos abandonar o contexto da eletrostaacutetica A partir desse capiacutetulo

consideraremos situaccedilotildees em que partiacuteculas com carga eleacutetrica estatildeo se movendo no espaccedilo Chamamos essas

partiacuteculas de ldquoportadores de carga eleacutetricardquo Portadores de carga eleacutetrica podem fluir no vaacutecuo ou dentro de

um meio condutor como um metal Chamamos de corrente eleacutetrica esses conjuntos de portadores de carga

se movendo no espaccedilo transportando carga eleacutetrica Estabelecer uma corrente eleacutetrica consiste em

movimentar um conjunto de portadores de carga eleacutetrica que podem ser eleacutetrons proacutetons ou iacuteons Podemos

fazer isso atraveacutes de um campo de forccedila um campo eleacutetrico por

exemplo que empurra os portadores de carga em uma dada direccedilatildeo

A Figura ao lado ilustra trecircs portadores de carga de carga eleacutetrica

fluindo cada um com sua velocidade A eletrostaacutetica eacute o caso

particular = 0 para todo Nesse capiacutetulo vamos iniciar

caracterizando as correntes eleacutetricas definindo suas magnitudes e

propriedades baacutesicas Em seguida estudaremos os conceitos de

resistividade resistecircncia eleacutetrica e forccedila eletromotriz Esses conceitos

seratildeo utilizados depois quando estudarmos os circuitos eleacutetricos que

satildeo uma aplicaccedilatildeo praacutetica comum das correntes eleacutetricas que fluem

nesses circuitos transportando energia potencial eleacutetrica Nos proacuteximos capiacutetulos discutiremos sobre as forccedilas

que essas correntes eleacutetricas exercem em outras cargas eleacutetricas Veremos que a lei de Coulomb e o campo

eleacutetrico conservativo associado a ela natildeo satildeo suficientes para abordar esse contexto mais geral Veremos que

correntes eleacutetricas produzem campos magneacuteticos e ainda campos eleacutetricos induzidos (natildeo conservativos) nos

permitindo entender uma nova classe muito ampla de fenocircmenos da natureza e da tecnologia

Figura 1 Uma corrente eleacutetrica no espaccedilo portadores de carga eleacutetrica fluindo

215

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

51 Quantificando correntes eleacutetricas

Uma corrente eleacutetrica eacute basicamente definida atraveacutes de um conjunto que determina as cargas

eleacutetricas e as velocidades de movimentaccedilatildeo de um conjunto de portadores de carga ( = 12 hellip ) que fluem

em uma regiatildeo do espaccedilo Se = 0 para todo entatildeo natildeo haacute corrente eleacutetrica como no caso de necircutrons ou

aacutetomos fluindo no espaccedilo (haveria nesse caso uma corrente ou um transporte de massa) Se = 0 para

todo entatildeo natildeo haacute corrente eleacutetrica trata-se do contexto da eletrostaacutetica Jaacute comentamos que no mundo

real as partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria estatildeo sempre em agitaccedilatildeo e que portanto sempre haacute uma

velocidade associada a uma partiacutecula com carga eleacutetrica Mas essas velocidades associadas agrave agitaccedilatildeo

teacutermica satildeo geralmente aleatoacuterias (a natildeo ser no caso especial que estamos excluindo aqui em que haja um

gradiente de temperatura estabelecido no espaccedilo que daacute origem a uma corrente termoeleacutetrica) e natildeo levam a

nenhum deslocamento efetivo das partiacuteculas ou seja o valor meacutedio temporal de eacute nulo Aqui estamos

imaginando um fluxo de portadores em que eles se deslocam no espaccedilo de uma regiatildeo para a outra ou seja

em que haacute um transporte efetivo de carga eleacutetrica no espaccedilo Nesse sentido eacute mais interessante pensarmos

desde jaacute que eacute uma velocidade meacutedia (temporal e espacial) dos portadores de carga eleacutetrica Essa

velocidade eacute chamada de velocidade de arraste ou de deriva por razotildees que discutiremos mais adiante

Passaremos entatildeo a representar a velocidade (meacutedia) de qualquer portador por (d de deriva) de tal

forma que para uma partiacutecula que possui somente um movimento teacutermico aleatoacuterio vale = 0

A corrente eleacutetrica implica em um transporte de carga eleacutetrica no espaccedilo um fluxo de cargas eleacutetricas

Como tal a corrente eleacutetrica possui uma magnitude (um moacutedulo) e um sentido (um sinal) O sentido da

corrente indica o sentido em que o transporte de carga eleacutetrica se daacute Mas haacute dois sinais possiacuteveis de carga

eleacutetrica e isso gera uma ambiguumlidade na definiccedilatildeo do sentido do transporte de carga eleacutetrica ambiguumlidade

que tem que ser resolvida por uma convenccedilatildeo de sinal No caso de correntetransporte de massa essa

ambiguumlidade natildeo existe pois soacute haacute massas positivas Imagine que aacutegua (com cong 25degC) esteja fluindo em um

tubo com uma vazatildeo de 1 m3s indo no sentido de A para B Ningueacutem teria duacutevida de dizer que a corrente de

massa nesse tubo (a vazatildeo) tem a magnitude de 1 m3s (ou 997 kgs) e o sentido de A para B

Imagine agora corrente eleacutetrica fluindo em uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal O sal dissolvido na aacutegua (uma

soluccedilatildeo eletroliacutetica) se dissocia em iacuteons Na+ (caacutetion) e Cl- (acircnion) que satildeo os

portadores de carga nesse caso e fluem atraveacutes da soluccedilatildeo (em sentidos

opostos) sob accedilatildeo de um campo eleacutetrico aplicado A Figura ao lado ilustra um

container com essa aacutegua salgada e duas placas + (anodo) e ndash (catodo) gerando

um campo eleacutetrico na aacutegua (como as placas de um capacitor) e movimentando

os iacuteons + para a direita e os iacuteons ndash para a esquerda (considere que haacute um

+

+

+

+ -

-

- -

anodo catodo

216

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

circuito externo natildeo mostrado) Haacute duas correntes eleacutetricas nessa soluccedilatildeo que poderiacuteamos chamar de e

e a corrente total na soluccedilatildeo eacute = + Fica claro entatildeo que qualquer que seja a regra que inventemos

para atribuir sentido (e sinal) para as correntes eleacutetricas nesse caso especiacutefico essa regra deve atribuir o

mesmo sentido para e Isso porque os efeitos de transporte de carga eleacutetrica de e se somam

ambas tornam (ou pelo menos tentam tornar) a placa + mais negativa e a placa ndash mais positiva faz isso

porque deposita cargas + na placa ndash faz isso porque deposita cargas ndash na placa + e devem ter o

mesmo sentido e se somar efetivamente para resultar na corrente total = + na soluccedilatildeo Considere

outro exemplo Dentro de uma mangueira de aacutegua fluem moleacuteculas de aacutegua que satildeo eletricamente neutras

Portanto natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro de uma mangueira onde flui aacutegua (natildeo haacute portadores de carga

eleacutetrica) Mas podemos pensar que haacute duas correntes eleacutetricas nessa mangueira pois a moleacutecula de aacutegua eacute

um agregado de proacutetons e eleacutetrons Entatildeo dentro da mangueira haacute tambeacutem (corrente de proacutetons) e

(corrente de eleacutetrons) e a corrente eleacutetrica na mangueira eacute = + Agora a nossa regra de sentido para a

corrente deve resultar em = 0 pois qualquer coisa diferente disso seria absurda A diferenccedila da mangueira

para o container de aacutegua salgada eacute que na mangueira as cargas + e as cargas ndash fluem no mesmo sentido (elas

natildeo fluem por causa de um campo eleacutetrico e sim por causa de um gradiente de pressatildeo)

Enfim a convenccedilatildeo que define o sentido da corrente eleacutetrica eacute o sentido da corrente eleacutetrica eacute o

sentido da velocidade do portador se sua carga eleacutetrica for positiva Se a carga eleacutetrica do portador for

negativa o sentido da corrente eacute o de minus

No caso do container de aacutegua salgada na Figura acima essa regra implica que estaacute para a direita

pois estaacute para a direita e tambeacutem estaacute para a direita porque estaacute para a esquerda Portanto = + estaacute para a direita No caso da mangueira de aacutegua essa regra implica que estaacute oposta a pois

estaacute paralela a Portanto = + = 0 na mangueira de aacutegua

Essa equivalecircncia entre as movimentaccedilotildees em sentidos opostos de cargas eleacutetricas positivas e

negativas do ponto de vista do transporte de carga nos permite muitas vezes considerar que os portadores

de carga possuem carga eleacutetrica positiva e se movem no sentido da corrente Esse procedimento simplifica as

ideacuteias e as contas e seraacute adotado muitas vezes nesse curso Por exemplo nos metais sabemos que os

portadores de carga eleacutetrica satildeo os eleacutetrons (de conduccedilatildeo) mas eacute mais simples pensarmos que esses

portadores possuem carga positiva e fluem no sentido da corrente (os eleacutetrons fluem de fato no sentido

oposto agrave corrente) Havendo simultaneamente portadores de carga de diferentes sinais como no caso da aacutegua

salgada natildeo haacute muita vantagem em aplicar essa simplificaccedilatildeo eacute melhor considerar os verdadeiros sinas das

cargas dos diferentes portadores

Agora vamos pensar na magnitude da corrente eleacutetrica Muitas vezes negligenciamos esse fato mas a

corrente eleacutetrica eacute um fluxo Um fluxo ou vazatildeo de carga eleacutetrica Uma ideia que jaacute discutimos laacute no contexto

217

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

da lei de Gauss Assim sendo sempre haacute uma superfiacutecie impliacutecita na atribuiccedilatildeo de um valor para a corrente

eleacutetrica Quando dizemos que a corrente eleacutetrica em um fio eacute 10 A (A=ampere = unidade de corrente eleacutetrica)

estamos dizendo que a cada segundo 10 coulombs atravessam a seccedilatildeo transversal desse fio de um lado para

o outro (no sentido da corrente) Para um fio ciliacutendrico essa seccedilatildeo transversal seria uma superfiacutecie aberta com

a forma de um disco Assim sendo seja S uma superfiacutecie (imaginaacuteria) que eacute atravessada por portadores de

carga eleacutetrica que fluem no espaccedilo A corrente eleacutetrica atraveacutes de S eacute

=

ou seja eacute a taxa no tempo ( ) em coulombsegundo com que carga eleacutetrica atravessa a superfiacutecie S Essa

unidade coulombsegundo eacute o que chamamos de ampere (Cs = A) em homenagem a um pioneiro do

eletromagnetismo Andreacute-Marie Ampegravere Portanto uma corrente de 10 A atraveacutes de S significa que a cada

segundo 10 coulombs de carga eleacutetrica atravessam S indo de um lado para o outro (atraveacutes de S)

Vamos entatildeo rememorar o conteuacutedo do capiacutetulo 2 quando discutimos o fluxo ou vazatildeo de um fluido

no contexto da introduccedilatildeo agrave lei de Gauss O conceito de fluxovazatildeo aqui eacute exatamente o mesmo basta

apenas que troquemos a ideia de transporte de massa pela de transporte de carga eleacutetrica Abaixo repetimos

entatildeo as ideacuteias do capiacutetulo 2 adaptando-as para o contexto de correntes eleacutetricas Trata-se basicamente de

uma coacutepia do que estaacute laacute

Vamos iniciar com o caso mais simples os portadores de carga todos de carga eleacutetrica estatildeo fluindo

em uma regiatildeo do espaccedilo com a mesma velocidade ou seja ( ) = para todo

Suponha que mergulhemos nessa regiatildeo uma peneira (que vamos

chamar de superfiacutecie S) ou seja uma superfiacutecie permeaacutevel aos portadores

retangular de aacuterea e nos perguntemos qual o fluxo de carga eleacutetrica atraveacutes

da peneira ou seja quantos coulombs atravessam essa peneira a cada segundo

(enfim a corrente eleacutetrica atraveacutes da peneira) A Figura ao lado ilustra essa

ideia (imagine que a peneira estaacute obliacutequa e natildeo no plano da paacutegina) Natildeo eacute difiacutecil de acreditar que o fluxo de

carga atraveacutes dessa peneira ( ) depende de carga eleacutetrica dos portadores (maior carga maior corrente) da

magnitude da velocidade dos portadores (maior velocidade maior corrente) da aacuterea da peneira (maior

aacuterea maior corrente) e depende tambeacutem de um acircngulo de inclinaccedilatildeo entre a peneira e o campo (digamos

) Algo como o acircngulo entre as linhas tracejadas verde a azul na Figura Se essas linhas forem paralelas entre

si por exemplo natildeo haveraacute corrente pois os portadores vatildeo tangenciar a peneira sem atravessaacute-la

Concluindo = ( )

218

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Agora vamos obter essa funccedilatildeo Para isso vamos construir um paralelepiacutepedo mergulhado nesse

espaccedilo onde os portadores fluem cuja uma das faces eacute a peneira S Note que trata-se de um paralelepiacutepedo

obliacutequo por causa do acircngulo arbitraacuterio A Figura 2 abaixo ilustra essa construccedilatildeo

Na Figura 2 definimos um vetor que eacute ortogonal (normal) agrave peneira e que forma portanto um

acircngulo com a direccedilatildeo da velocidade dos portadores Note que tambeacutem eacute o acircngulo de obliquumlidade do

paralelepiacutepedo e que portanto o volume desse paralelepiacutepedo eacute Δ = cos( ) O comprimento eacute

arbitraacuterio Agora podemos partir para o caacutelculo da corrente eleacutetrica ou seja a quantidade de carga eleacutetrica

que passa pela superfiacutecie S a cada segundo

Mas antes precisamos definir uma propriedade desse sistema ou dessa regiatildeo do espaccedilo que eacute a

densidade de portadores de carga por unidade de volume que vamos chamar de A ideia agora eacute simples

toda a carga eleacutetrica que estaacute no interior do paralelepiacutepedo vai passar pela peneira em um tempo Δ =

(o paralelepiacutepedo desliza como uma gaveta atraveacutes da peneira juntamente com os portadores de carga

enquanto que a peneira fica fixa) Portanto = ∆Δt = cos( ) = cos( )

Note que ∆ = cos( ) eacute a quantidade total de portadores dentro do paralelepiacutepedo ( Δ = cos( )) multiplicada pela carga eleacutetrica de um portador Podemos escrever a corrente eleacutetrica atraveacutes de

S de uma forma mais compacta e elegante se definirmos o vetor aacuterea = e reconhecermos que eacute o

acircngulo entre os vetores e (ou e ) Segue que = ∙ = ∙

sendo que o ponto (∙) nessa equaccedilatildeo representa a operaccedilatildeo de produto escalar entre os vetores e

Vemos entatildeo que a corrente eleacutetrica atraveacutes de S eacute maacutexima se S estiver com seu plano ortogonal agrave direccedilatildeo de

(caso = 0 e cos( ) = 1) e eacute nula se S estiver colocada paralelamente agrave direccedilatildeo de (caso = 90 e cos( ) = 0) Note que o vetor tem o sentido da corrente Vamos chamar esse vetor de ou seja = De fato o sentido de eacute o sentido de se for positiva Caso contraacuterio se for negativa o

Figura 2 Partindo de uma peneira retangular mergulhada em uma regiatildeo em que fluem portadores de carga eleacutetrica construiacutemos um paralelepiacutepedo obliacutequo que tem a peneira com base

(seta verde) eacute um vetor ortogonal agrave peneira

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

sentido de eacute o sentido de minus Conclusatildeo o vetor = tem o mesmo sentido da corrente que ele

representa

Note que a corrente como qualquer fluxo pode ser positiva ou negativa (ou mesmo nula)

dependendo da nossa escolha de sentido para que eacute arbitraacuterio (para uma superfiacutecie aberta sempre haacute dois

sentidos ldquonormaisrdquo possiacuteveis e minus ) Como jaacute vimos que = tem o sentido da corrente se adotarmos

paralelo a obteremos um gt 0 Caso contraacuterio se adotarmos oposto a obteremos um lt 0 O sinal

negativo estaacute apenas indicando que a corrente atraveacutes de S tem de fato o sentido oposto ao que atribuiacutemos a

Por exemplo se adotarmos apontando de A para B e obtivermos = minus10 A concluiacutemos que a corrente

atraveacutes de S eacute de 10 A fluindo de B para A

Agora podemos generalizar o conceito de corrente eleacutetrica para uma superfiacutecie (imaginaacuteria) S

qualquer aberta ou fechada A Figura 3 abaixo ilustra uma superfiacutecie aberta de forma arbitraacuteria Aproveitamos

para abandonar a hipoacutetese de que os portadores de carga fluem com velocidade uniforme ( ) = e vamos

supor que eles fluem com velocidades arbitraacuterias dadas pela funccedilatildeo ( ) (na posiccedilatildeo de S os portadores

estatildeo fluindo com velocidade ( ))

A ideia eacute basicamente aquela (do caacutelculo integral) que mencionamos no capiacutetulo 1 toma-se uma parte

infinitesimal de S calcula-se a corrente eleacutetrica nessa parte e depois faz-se a soma sobre toda a superfiacutecie

S Fato eacute que sendo infinitesimal tudo funciona como na Figura 2 para ou seja os campos ( ) e ( ) satildeo localmente uniformes em uma aacuterea infinitesimal que eacute plana Portanto a corrente eleacutetrica em eacute

infinitesimal e eacute dada por = ( ) ∙ ( ) = ( ) cos ( )

Nessa expressatildeo deveriacuteamos ser mais especiacuteficos e enfatizar que tudo depende do ponto (pertencente agrave

superfiacutecie S) e escrever explicitamente ( ) = ( ) ( ) ( ) ∙ ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) Mas por conveniecircncia vamos fazer o contraacuterio e deixar todas as dependecircncias em impliacutecitas escrevendo

Figura 3 Uma superfiacutecie S aberta de forma arbitraacuteria eacuteatravessada por portadores de carga que fluem de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto

( ) ( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

= ∙ = cos( )

que eacute basicamente o que todo mundo faz

Concluindo a corrente eleacutetrica atraveacutes da superfiacutecie S na Figura 3 eacute

= = ∙ = ∙

Podemos aplicar essa mesma ideia a superfiacutecies fechadas e para isso simplesmente colocaremos uma bolinha

no siacutembolo de integral e convencionaremos que nesse caso o campo deve apontar obrigatoriamente para

fora de S (como na lei de Gauss) A corrente eleacutetrica atraveacutes de uma superfiacutecie fechada S eacute (deixando as

dependecircncias em impliacutecitas)

= = ∙ = ∙

Note que estando para fora de S as correntes que entram nessa superfiacutecie fechada contribuem com lt 0 e as correntes que saem dessa superfiacutecie fechada contribuem com gt 0 Portanto eacute o saldo de

cargas eleacutetricas positivas que saem (corrente para fora) do volume delimitado por S atraveacutes de S Em sistemas

estacionaacuterios em que nada depende do tempo sempre vai valer = 0 qualquer que seja a superfiacutecie

fechada S De fato se admitirmos que gt 0 isso significa que haacute um saldo de corrente saindo de S e que

entatildeo a carga eleacutetrica total armazenada no interior de S estaacute diminuindo com o passar do tempo Se nada

depende do tempo por hipoacutetese vemos que natildeo pode valer gt 0 e nem lt 0 Entatildeo = 0 Essa eacute a

propriedade de conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica a que nos referimos no capiacutetulo 1 Se a carga eleacutetrica

armazenada no volume delimitado por S natildeo pode sumir ou surgir do nada entatildeo ela soacute pode variar seu valor

atravessando a superfiacutecie S ou seja atraveacutes da corrente Se essa carga natildeo puder variar no tempo (sistemas

estacionaacuterios) entatildeo = 0 Se ela puder variar (sistemas natildeo-estacionaacuterios) entatildeo = minus (corrente

positiva (saindo de S) rArr (dentro de S) diminuindo no tempo e lt 0)

Vemos que a corrente eleacutetrica eacute um fluxo um fluxo atraveacutes de uma superfiacutecie S qualquer O vetor = eacute chamado ldquovetor densidade de corrente eleacutetricardquo pois ele daacute a corrente eleacutetrica por unidade de

aacuterea (Am2) em cada ponto do espaccedilo Integrando essa densidade de corrente em toda uma superfiacutecie

encontramos a corrente eleacutetrica atraveacutes dessa superfiacutecie Nesse sentido eacute uma grandeza local que nos

permite descrever com detalhes a movimentaccedilatildeo dos portadores de carga no espaccedilo enquanto que eacute uma

grandeza global que daacute o fluxo total de portadores atraveacutes de uma superfiacutecie qualquer

Em sistemas que conduzem correntes eleacutetricas oscilatoacuterias de alta frequumlecircncia observa-se que a

corrente se concentra mais na regiatildeo proacutexima das superfiacutecies dos fios condutores Esse eacute o chamado ldquoefeito

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

pelerdquo (porque a corrente eleacutetrica se concentra na pele dos fios) Em contraste em sistemas que conduzem

correntes constantes no tempo a corrente se distribui uniformemente nas seccedilotildees transversais dos fios

condutores Note entatildeo que natildeo se trata de um efeito de repulsatildeo entre cargas eleacutetricas mas sim de um efeito

de induccedilatildeo eletromagneacutetica que estudaremos em um proacuteximo capiacutetulo De fato os portadores de carga natildeo

constituem um excesso de cargas eleacutetricas em um condutor e a ideia de repulsatildeo muacutetua entre eles eacute absurda

Imagine um fio condutor de forma ciliacutendrica conduzindo uma corrente eleacutetrica axial A Figura 4 abaixo ilustra

os dois casos sem efeito pele e com efeito pele A Figura mostra uma seccedilatildeo transversal do fio ciliacutendrico e o

valor de = em cada ponto dessa seccedilatildeo transversal eacute representado atraveacutes de um coacutedigo de cores

Na Figura 4(b) imaginamos que eacute uma corrente constante no tempo e que portanto natildeo haacute efeito

pele A corrente se distribui uniformemente na seccedilatildeo transversal do fio e = eacute representado por uma cor

apenas Na Figura 4(c) (emprestada da internet httpswwwmathworkscom) imaginamos que = ( ) eacute

uma corrente oscilatoacuteria de variaccedilatildeo raacutepida no tempo (MHz) e que portanto haacute um efeito pele intenso A

corrente se distribui natildeo uniformemente na seccedilatildeo transversal do fio e eacute representado por um coacutedigo de

cores A cor azul representa um valor pequeno de e a cor vermelha intensa um valor grande Vemos entatildeo

que a corrente estaacute mais concentrada na superfiacutecie do fio e daiacute vem o nome ldquoefeito pelerdquo No caso da Figura

4(b) podemos dizer que a funccedilatildeo eacute uma constante (natildeo depende de nenhuma coordenada espacial) e que

= ∙ = ∙ = ∙ = = =

sendo S a superfiacutecie da seccedilatildeo transversal do fio que eacute um disco de raio Note que o vetor normal a esse

disco eacute exatamente o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo axial do fio (z) ou seja = No caso da Figura 4(c) podemos dizer que eacute uma funccedilatildeo crescente do raio = ( ) e que

z

(a) (b) (c)

Figura 4 (a) Um fio ciliacutendrico transporta uma corrente eleacutetrica axial (b) seccedilatildeo transversal do fio

para correntes constantes no tempo sem efeito pele axial e uniforme (c) seccedilatildeo transversal do

fio para correntes oscilatoacuterias de variaccedilatildeo raacutepida no tempo com efeito pele axial e natildeo-uniforme (cor vermelha = corrente mais intensa)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

= ∙ = ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( )

sendo S a mesma superfiacutecie da seccedilatildeo transversal do fio que eacute um disco de raio Aqui natildeo podemos fazer a

integral a natildeo ser que conheccedilamos a funccedilatildeo ( ) Apenas como exemplo poderiacuteamos supor ( ) =

sendo gt 0 uma constante e obter uma relaccedilatildeo entre e

= ∙ = ( ) = = 2 = 12

Nessa integral acima escolhemos = 2 ou seja eacute a aacuterea de um aro de raio e largura (radial)

Em circuitos com correntes de frequumlecircncias muito altas o efeito pele pode ser tatildeo intenso que a

substituiccedilatildeo dos fios condutores maciccedilos por tubos condutores ocos natildeo leva a nenhuma diferenccedila importante

no funcionamento do circuito Condutores ocos como tubos de cobre economizam material satildeo mais leves e

permitem facilmente a dissipaccedilatildeo de calor pela circulaccedilatildeo de aacutegua ou um gaacutes por dentro deles

52 Resistividade e Resistecircncia eleacutetricas

Aqui vamos considerar o caso mais comum em que os portadores de carga eleacutetrica (a corrente

eleacutetrica) fluem dentro de um meio material um meio condutor Esse meio pode ser por exemplo um metal

ou uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal A ideia baacutesica que vamos discutir nessa seccedilatildeo eacute que enquanto a corrente

eleacutetrica flui em um meio material ela encontra uma oposiccedilatildeo a esse fluxo basicamente devido a colisotildees dos

portadores de carga com as partiacuteculas desse meio material Daiacute nascem os conceitos de resistividade e de

resistecircncia eleacutetrica Eacute interessante frisar que a conduccedilatildeo eleacutetrica eacute um fenocircmeno microscoacutepico e como tal soacute

pode ser corretamente descrito atraveacutes da mecacircnica quacircntica No entanto isso natildeo invalida as ideacuteias baacutesicas

do fenocircmeno que vamos discutir aqui

521 Resistividade eleacutetrica de um material condutor

Considere que uma corrente eleacutetrica eacute estabelecida em um meio condutor o cobre por exemplo

Imagine um portador de carga eleacutetrica de carga e massa que estaacute fluindo nesse meio fazendo parte

dessa corrente No cobre esse portador seria um eleacutetron de conduccedilatildeo A corrente eleacutetrica eacute estabelecida

atraveacutes de uma forccedila que impulsiona os portadores de carga na direccedilatildeo da corrente No caso mais comum

essa forccedila eacute um campo eleacutetrico (depois veremos que essa forccedila pode ser tambeacutem magneacutetica) Esse campo eacute

estabelecido dentro do meio condutor e atua sobre os portadores de carga que existem dentro dele Os

portadores de carga possuem mobilidade por definiccedilatildeo e portanto se movem sob a accedilatildeo de

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

A afirmaccedilatildeo de que existe um campo eleacutetrico dentro ou seja no volume de um condutor pode

parecer contraditoacuteria com a conclusatildeo que chegamos laacute no capiacutetulo 2 de que = 0 no volume de condutores

em equiliacutebrio eletrostaacutetico A aparente contradiccedilatildeo desaparece quando atentamos para a condiccedilatildeo de

ldquoequiliacutebrio eletrostaacuteticordquo Condutores onde fluem correntes eleacutetricas natildeo estatildeo em equiliacutebrio eletrostaacutetico e

portanto a condiccedilatildeo = 0 natildeo vale para eles Equiliacutebrio eletrostaacutetico significa isso que estaacute dito cargas

eleacutetricas estaacuteticas Correntes eleacutetricas satildeo cargas eleacutetricas que fluem no espaccedilo ou seja natildeo-estaacuteticas Como

afirmamos logo no iniacutecio desse capiacutetulo ao abordar correntes eleacutetricas abandonamos o contexto da

eletrostaacutetica e as condiccedilotildees que valiam laacute Condutores onde fluem correntes eleacutetricas estatildeo geralmente

conectados a outros corpos ou dispositivos como baterias por exemplo e satildeo mantidos portanto fora do

equiliacutebrio eletrostaacutetico Uma bateria tem a capacidade de retirar um condutor de seu equiliacutebrio eletrostaacutetico

produzindo nele

1 Uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas diferente daquela imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico

2 Um campo eleacutetrico interno diferente daquele imposto pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico ( = 0)

3 Uma distribuiccedilatildeo de potencial eleacutetrico ( ) diferente daquela imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico

( ( ) =constante)

4 Uma movimentaccedilatildeovelocidade ( ) de cargas eleacutetricas (portadores de carga) diferente daquela

imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico ( = 0 para todas as cargas eleacutetricas)

Mais adiante discutiremos sobre essa capacidade da bateria de fazer tudo isso a forccedila eletromotriz

Voltando ao um portador de carga eleacutetrica de carga e massa que estaacute fluindo no meio condutor

impulsionado por um campo eleacutetrico a segunda lei de Newton aplicada a esse portador diz que

=

sendo a velocidade de deriva desse portador Supondo que seja constante chegamos agrave conclusatildeo de que

a velocidade do portador vai crescer indefinidamente Portanto = e vatildeo crescer

indefinidamente Trata-se de uma conclusatildeo absurda Correntes eleacutetricas finitas satildeo facilmente estabelecidas

em condutores comuns A conclusatildeo que chegamos eacute que falta uma forccedila na segunda lei de Newton uma

forccedila de arraste que se opotildee ao aumento desenfreado de Qual a origem dessa forccedila de arraste nos

portadores de carga Temos que considerar que os portadores de carga viajam atraveacutes de um amontoado de

partiacuteculas dentro de um meio material e que essas partiacuteculas servem de obstaacuteculo ao fluxo de portadores

Mesmo em materiais cristalinos como os metais em que essas partiacuteculas do meio (iacuteons) estatildeo dispostas de

forma bastante regular no espaccedilo a presenccedila de impurezas e defeitos nessa regularidade oferece forte

oposiccedilatildeo agrave propagaccedilatildeo dos portadores de carga (os eleacutetrons nesse caso) Aleacutem disso haacute uma forte influecircncia

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

da temperatura pois a agitaccedilatildeo teacutermica desloca aleatoriamente as partiacuteculas do meio condutor de suas

posiccedilotildees de equiliacutebrio atrapalhando ainda mais a conduccedilatildeo eleacutetrica Nesse sentido um portador de carga se

deslocando em um meio condutor pode ser comparado a uma pessoa que tenta caminhar em meio a uma

multidatildeo agitada No final das contas essa interaccedilatildeo portador de carga eleacutetricapartiacuteculas agitadas do meio

condutordefeitosimpurezas resulta em uma forccedila de arraste ( ) em cada portador forccedila que eacute

dependente da velocidade de deriva do portador apontando sempre no sentido oposto ao vetor (com um

atrito cineacutetico) e de magnitude crescente com a magnitude ( = 0 = 0)

Portanto levando esse efeito em conta a segunda lei de Newton aplicada a um portador de carga

eleacutetrica que flui em um meio condutor fica = + ( ) Assumindo um arraste proporcional agrave velocidade ( ) = minus ( ) sendo ( ) uma constante (no

sentido de que independe de ) de arraste que depende do material condutor (MAT) e da temperatura ( )

obtemos finalmente = minus ( )

Agora podemos entender que a velocidade de arraste natildeo cresce indefinidamente porque agrave medida que o

campo acelera os portadores de carga a forccedila de arraste aumenta de magnitude se opondo ao proacuteprio

aumento de No caso estacionaacuterio constante obtemos a velocidade de equiliacutebrio

minus ( ) = 0 rArr = ( )

Considerando a relaccedilatildeo entre e a densidade de corrente dentro do meio condutor obtemos

= rArr = ( )

Esse modelo mecacircnico da conduccedilatildeo eleacutetrica apesar de simples nos permite prever muitas

propriedades dos materiais condutores eleacutetricos principalmente dos materiais de comportamento mais

simples como os metais Enfim considere que exista um campo eleacutetrico aplicado dentro de um material

Tendo em vista a expressatildeo de que obtivemos acima concluiacutemos que (tendo em vista outras informaccedilotildees

relevantes que vamos assumir como verdadeiras aqui)

i) se = 0 natildeo haacute portadores de carga dentro desse material ele eacute de fato um isolante eleacutetrico perfeito

e = 0 ou seja um campo natildeo eacute capaz de estabelecer uma corrente eleacutetrica nesse material

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

ii) Quanto maior a densidade de portadores de carga eleacutetrica no material condutor maior seraacute a

resposta do material ao estiacutemulo de e maior seraacute o valor de Nos metais esse nuacutemero eacute da ordem de 10 eleacutetrons de conduccedilatildeocm3 e eacute independente da temperatura Por isso os metais em geral satildeo oacutetimos

condutores de eletricidade e a influecircncia da temperatura na conduccedilatildeo eleacutetrica se daacute basicamente pela

influecircncia que a temperatura tem na taxa de colisotildees dos portadores (ou seja via ( )) iii) Os materiais semicondutores tecircm um fortemente dependente da temperatura = ( ) e a

conduccedilatildeo eleacutetrica melhora com o aumento da temperatura do material porque ( ) cresce com

iv) A constante de arraste ( ) deve ser uma funccedilatildeo crescente da temperatura e da quantidade de

defeitos e impurezas presentes no material condutor Por isso a conduccedilatildeo eleacutetrica nos metais piora com

o aumento da temperatura e das quantidadesproporccedilotildees de defeitos e impurezas

Essa relaccedilatildeo linear entre (a resposta do material condutor) e (o estiacutemulo) que descobrimos atraveacutes

de um modelo bem simples para a conduccedilatildeo eleacutetrica foi descoberta experimentalmente pelo cientista

pioneiro Georg Simon Ohm Por isso essa lei eacute chamada de lei de Ohm A lei de Ohm pode ser sintetizada na

forma =

sendo a constante (no sentido de que natildeo depende nem de e nem de ) de proporcionalidade entre esses

dois campos A constante eacute chamada de condutividade eleacutetrica do material material que eacute chamado de

ldquoocirchmicordquo pelo fato dele obedecer a essa lei de linearidade A natureza eacute rica em comportamentos e existem os

materiais natildeo ocirchmicos que natildeo obedecem agrave lei de Ohm ou seja em que natildeo tem relaccedilatildeo linear com Os

metais satildeo por excelecircncia exemplos de materiais ocirchmicos Do nosso simples modelo mecacircnico para a

conduccedilatildeo eleacutetrica deduzimos que = ( ) Portanto eacute dependente do material atraveacutes de e e eacute dependente da temperatura atraveacutes de e

de ou seja da taxa de colisotildees dos portadores Nos metais como jaacute dissemos depende da

temperatura somente atraveacutes de ou seja um aumento de leva a um aumento de (mais colisotildees)

e a uma diminuiccedilatildeo na condutividade eleacutetrica

Vemos que vale a proporcionalidade prop maior

concentraccedilatildeo de portadores de carga maior a condutividade

do material Um experimento simples pode demonstrar a

validade desse resultado variando-se a concentraccedilatildeo de iacuteons

em uma soluccedilatildeo aquosa O graacutefico ao lado mostra um graacutefico

226

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

de versus obtido em um experimento didaacutetico com uma simples soluccedilatildeo de NaCl em aacutegua

(httpswwwwardscicomwwwwardscicomimagesLiquid_Conductivitypdf) Quanto mais dissolvemos sal

na aacutegua maior a concentraccedilatildeo de portadores de carga (iacuteons livres) Na+ e Cl- na soluccedilatildeo e melhor a conduccedilatildeo

de eletricidade atraveacutes da soluccedilatildeo maior sua condutividade Como jaacute mencionamos nos metais a

concentraccedilatildeo de portadores de carga (eleacutetrons) eacute gigantesca e basicamente constante enquanto que nos

materiais semicondutores (siliacutecio por exemplo) essa concentraccedilatildeo cresce com o aumento da temperatura = ( ) Muitas vezes por conveniecircncia nos referimos ao inverso de a resistividade eleacutetrica

= 1

Baseado em tudo que jaacute discutimos esperamos que o aumento da temperatura de um metal leve a

um concomitante aumento em sua resistividade eleacutetrica Para os metais por exemplo tem um

crescimento basicamente linear com Soluccedilotildees eletroliacuteticas tecircm um comportamento oposto o aumento da

temperatura diminui a resistividade (aumenta a mobilidade dos iacuteons) Por esse motivo eacute mais difiacutecil dar a

partida em um carro no inverno Olhando para a lei de Ohm = vemos que a unidade de eacute

(Am2)(Vm)=(AV)m A unidade VA eacute chamada de ohm (siacutembolo Ω (omega)) e portanto a unidade de eacute o

simples produto Ω m Os metais comuns como o cobre e o alumiacutenio possuem cong 10 Ω m sendo o cobre

um condutor um pouco melhor que o alumiacutenio ( cong 172 times 10 Ω m contra cong 2 75 times 10 Ω m)

Esses dois materiais satildeo muito utilizados na confecccedilatildeo de fios condutores de eletricidade No outro extremo o

vidro possui na faixa 10 minus 10 Ω m e a madeira seca na faixa 10 minus 10 Ω m Esses satildeo materiais muito

utilizados no isolamento de linhas de distribuiccedilatildeo e transmissatildeo de energia eleacutetrica

A Figura ao lado mostra uma combinaccedilatildeo de materiais de diferentes

propriedades eleacutetricas cada um cumprindo seu papel em uma rede de

distribuiccedilatildeo de eletricidade O metal no fio permite a conduccedilatildeo faacutecil de

portadores de carga atraveacutes do espaccedilo transportando energia potencial eleacutetrica

com poucas perdas O vidro nos isoladores e a madeira no poste isolam esse fio

eletricamente de tal forma que os portadores de carga sigam seu caminho ao longo da linha sem

desviosfugas Natildeo podemos ver mas haacute tambeacutem o ar circundante que tambeacutem eacute um isolante eleacutetrico

Sendo = em geral e = para um material condutor ocirchmico deduzimos que a velocidade

de derivaarraste nesses materiais eacute = = rArr =

227

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Para o cobre por exemplo cong 6 times 10 1Ω m cong 85 times 10 eleacutetronsm3 e cong minus16 times 10 C

Portanto cong minus00044

(o sinal de menos significa apenas que os portadores de carga que satildeo eleacutetrons se movem no sentido oposto

ao sentido do campo )

Suponha um fio ciliacutendrico de cobre de raio = 2 mm transportando uma corrente eleacutetrica constante = 10 A A densidade de corrente no cobre eacute uniforme e vale

= cong 8 times 10 Am

Portanto o campo eleacutetrico no cobre necessaacuterio para estabelecer essa corrente eacute

= cong 0013Vm

Trata-se de um campo eleacutetrico bem pequeno que levaria a um DDP de 0013 V entre as extremidades

de um metro de fio Analogamente seriam necessaacuterios 100 m de fio para se medir uma DDP de 13 V entre

suas extremidades

Conclusatildeo a velocidade de deriva dos eleacutetrons dentro do cobre que compotildee esse fio que estaacute

transportando essa corrente tem o valor minuacutesculo

= cong 00044 cong 006mms

Os eleacutetrons literalmente ldquose arrastamrdquo dentro do cobre sob accedilatildeo de um campo de forccedila de impulsatildeo

minuacutesculo cong 0013Vm uma forccedila minuacutescula = cong 2 times 10 N e um arraste de igual valor atuando

no sentido oposto agrave velocidade A velocidade de arraste eacute similar agrave velocidade terminal de um para-

quedista que cai na atmosfera No para-quedista a gravidade o impulsiona para baixo e o arraste do para-

quedas com o ar produz uma forccedila para cima que cresce ateacute equilibrar com o peso em uma velocidade

terminal constante de queda No portador de carga o campo eleacutetrico o impulsiona para a frente e o arraste

com o meio condutor que o empurra para traacutes cresce ateacute que equilibra com a forccedila eleacutetrica em uma

velocidade de arrastederiva minuacutescula

Esse valor pequeno de velocidade de deriva surpreende aqueles que acreditam que os portadores de

carga os eleacutetrons por exemplo devem ser emitidos por uma bateria e atravessar metros de fio condutor ateacute

chegar a uma lacircmpada e fazer com que ela acenda Com essa velocidade de 006 mms um eleacutetron demoraria

quase cinco horas para percorrer 1 metro de fio Devemos esperar 5 horas entre o apertar de um botatildeo e o

acendimento de uma lacircmpada Natildeo porque um circuito eleacutetrico jaacute estaacute cheio de eleacutetrons livres soacute esperando

uma forccedila que os faccedila fluir Na lacircmpada jaacute haacute eleacutetrons livres eles estatildeo laacute esperando a forccedila que vai

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

estabelecer a corrente na lacircmpada Ao ligar a bateria no circuito da lacircmpada ocorre uma propagaccedilatildeo de

eletrizaccedilatildeo nos fios e um campo eleacutetrico no espaccedilo e essa propagaccedilatildeo se daacute na velocidade da luz cerca de

300000 kms No instante em que esse campo eleacutetrico atinge a lacircmpada os eleacutetrons de conduccedilatildeo que jaacute

estavam laacute fazendo parte da lacircmpada comeccedilam a fluir e a lacircmpada acende Natildeo percebemos nenhum

retardo dada a velocidade incriacutevel da luz

Podemos fazer aqui uma analogia com uma mangueira de aacutegua ligada a uma torneira inicialmente

fechada Imagine que a mangueira esteja inicialmente vazia sem aacutegua dentro dela Ao ligarmos a torneira

teremos que esperar que a aacutegua vaacute ocupando o volume da mangueira ateacute que ela jorre em sua extremidade

Se a mangueira for muito longa isso pode demorar bastante Um circuito eleacutetrico natildeo funciona assim O

circuito eleacutetrico eacute similar agrave situaccedilatildeo em que a mangueira jaacute estaacute cheia de aacutegua aacutegua inicialmente parada Ao

ligarmos a torneira propaga-se na aacutegua uma onde de pressatildeo com a velocidade do som na aacutegua cerca de

1500 ms e rapidamente a aacutegua que jaacute estava na sua extremidade comeccedila a jorrar Da mesma forma

condutores eleacutetricos estatildeo repletos de portadores de carga (que natildeo constituem excessos de carga pois satildeo

partiacuteculas constituintes do material) apenas esperando uma forccedila de impulsatildeo (um campo eleacutetrico) para

comeccedilarem a se mover

522 Resistecircncia eleacutetrica lei de Ohm

Na seccedilatildeo anterior definimos a resistividade eleacutetrica como sendo uma caracteriacutestica dos materiais

condutores que quantifica o quanto esse material se opotildee agrave passagem da corrente eleacutetrica atraveacutes dele Essa

oposiccedilatildeo se daacute atraveacutes de um arraste que eacute resultado das colisotildees dos portadores de carga eleacutetrica com as

demais partiacuteculas que compotildeem o material Aqui vamos considerar um dispositivo eleacutetrico de dois terminais A

e B tal que ao conectarmos esse dispositivo a um circuito a corrente eleacutetrica vai fluir (ou tentar fluir) de A para

B (ou de B para A) atraveacutes desse dispositivo Estamos chamando de dispositivo eleacutetrico um aparelho qualquer

que eacute conectado a um circuito atraveacutes de seus dois terminais como uma lacircmpada uma geladeira um

aparelho de TV etc Obviamente a dificuldade que a corrente teraacute de atravessar esse dispositivo vai depender

do material ou dos materiais de que ele eacute feito mais especificamente das resistividades desses materiais

Mas essa oposiccedilatildeo agrave passagem da corrente eleacutetrica que chamamos de resistecircncia eleacutetrica do dispositivo

vai depender tambeacutem de outras caracteriacutesticas do dispositivo como de sua formageometria suas dimensotildees

etc A resistecircncia eleacutetrica eacute a grandeza que mede a oposiccedilatildeo que um dispositivo oferece agrave passagem da

corrente eleacutetrica atraveacutes de seus dois terminais

Mais adiante vamos estudar correntes alternadas (CA) ou seja correntes ( ) que variam de

intensidade no tempo de forma perioacutedica diferentemente da corrente contiacutenua (CC) que tem um valor

constante no tempo Correntes alternadas satildeo produzidas por DDPs alternadas ∆ ( ) (como a produzida por

uma tomada de parede) e correntes contiacutenuas satildeo produzidas por DDPs contiacutenuas ∆ (como a produzida por

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

uma bateria) Aqui estamos pensando no conceito de resistecircncia eleacutetrica estritamente no caso mais simples de

correntes contiacutenuas correntes constantes produzidas por DDPs constantes Para correntes alternadas

podemos generalizar o conceito de resistecircncia atraveacutes do conceito de impedacircncia que veremos mais adiante

Para os resistores que satildeo dispositivos caracterizados apenas por sua resistecircncia eleacutetrica o conceito de

resistecircncia se aplica tambeacutem no regime CA (basicamente porque a DDP e a corrente nesses dispositivos

oscilam em fase)

Enfim se quisermos medirdefinir a resistecircncia de um dispositivo de dois terminais A e B noacutes

ligamos esses terminais aos terminais de uma bateria que estabelece uma DDP constante ∆ no dispositivo e

medimos a corrente constante que flui de A para B ou de B para A dependendo da polaridade da bateria A

resistecircncia eleacutetrica desse dispositivo eacute definida pela razatildeo

= ∆

Interpretamos nessa expressatildeo o ∆ gt 0 como sendo o estiacutemulo constante agrave passagem da corrente eleacutetrica

entre A e B e a corrente gt 0 como sendo a resposta constante a esse estiacutemulo Um dispositivo de resistecircncia

eleacutetrica grande eacute aquele em que estabelecemos uma ∆ grande entre seus terminais e isso resulta em uma

corrente pequena Por outro lado um dispositivo de resistecircncia eleacutetrica pequena eacute aquele em que

estabelecemos uma ∆ pequena entre seus terminais e isso resulta em uma corrente grande A unidade de

eacute o VA que jaacute definimos anteriormente como sendo o ohm (siacutembolo Ω)

A relaccedilatildeo inversa (resposta) = ∆ (estiacutemuloa )(oposiccedilatildeoa )

deixa mais evidente o papel desempenhado por em um dispositivo eleacutetrico eacute a oposiccedilatildeo a atraveacutes de

um dispositivo assim como em um material condutor eacute a oposiccedilatildeo a Maior menor para uma mesma ∆ aplicada aos terminais A e B

Eacute interessante frisar que na definiccedilatildeo = ∆ ou de outra forma ∆ = natildeo estamos afirmando

que eacute uma ldquoconstanterdquo independente de ∆ e de Pelo contraacuterio aqui podemos supor os mais variados

comportamentos para ou seja pode ele mesmo ser funccedilatildeo de ∆ e de = (∆ )

Um exemplo tiacutepico desse comportamento mais geral da resistecircncia eleacutetrica eacute o do diodo retificador

que eacute mostrado na Figura ao lado O diodo eacute um dispositivo passivo de dois terminais

caso tiacutepico do que estamos discutindo aqui Note na Figura que um dos terminais estaacute

marcado com uma faixa prateada Isso ocorre porque o diodo possui polaridade ou seja seus dois terminais

natildeo satildeo equivalentes Na Figura que segue mostramos o siacutembolo utilizado para o diodo em esquemas

eleacutetricos em que fica evidente a assimetria entre os seus terminais A e B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

O diodo retificador possui uma resistecircncia eleacutetrica seletiva Se a corrente eacute

estimulada a fluir de A para B ou seja se Δ = minus gt 0 entatildeo a corrente flui

facilmente e cong 0 Caso contraacuterio se a corrente eacute estimulada a fluir de B

para A ou seja se Δ = minus lt 0 entatildeo a corrente praticamente natildeo flui e rarr infin

O diodo eacute um dispositivo feito de materiais semicondutores e nesse sentido ele faz parte da

revoluccedilatildeo tecnoloacutegica que substituiu as vaacutelvulas eletrocircnicas por dispositivos semicondutores

Uma vaacutelvula diodo ver Figura ao lado eacute um tubo com vaacutecuo que possui dentro dele um

filamento como o filamento de uma lacircmpada incandescente e uma placa metaacutelica Os dois

terminais da vaacutelvula diodo correspondentes aos terminais A e B definidos no siacutembolo do diodo

na Figura acima satildeo ligados ao filamento (terminal B) e agrave placa (terminal A) Durante a operaccedilatildeo

da vaacutelvula o filamento deve ser alimentado externamente e permanecer incandescente (por isso a vaacutelvula

parece uma lacircmpada e emite luz) Portanto se a polarizaccedilatildeo da vaacutelvula for gt eleacutetrons deveratildeo fluir do

filamento aquecido para a placa metaacutelica (porque o campo aponta da placa para o filamento e a carga do

eleacutetron eacute negativa) e eles fazem isso facilmente porque em volta do filamento haacute uma nuvem de eleacutetrons

(emissatildeo termiocircnica) Caso contraacuterio se a polarizaccedilatildeo da vaacutelvula for lt eleacutetrons deveratildeo fluir da placa

(fria) para o filamento aquecido (porque o campo aponta do filamento para a placa) e isso natildeo vai ocorrer

Eleacutetrons natildeo vatildeo simplesmente saltar da placa Daiacute vem a capacidade de retificaccedilatildeo da vaacutelvula diodo A

corrente eleacutetrica flui da placa para o filamento ndash de A para B (os eleacutetrons voam do filamento para a placa) ndash

mas o contraacuterio natildeo acontece O diodo retificador desempenha essa mesma funccedilatildeo sem nenhum tubo de

vidro sem filamento sem vaacutecuo com muito menos dissipaccedilatildeo de calor e ocupando um volume muito muito

mesmo menor (note que nessa discussatildeo o sentido da corrente eacute oposto ao sentido do movimento dos

eleacutetrons porque a carga do eleacutetron eacute negativa)

Se conectarmos um diodo a uma fonte de DDP contiacutenua com Δ ajustaacutevel ou seja cujo valor e

polaridade de Δ podemos variar livremente vamos obter o graacutefico times Δ como mostrado na Figura 5(a)

abaixo A Figura 5(a) mostra que com a polaridade direta ( gt Δ gt 0) o diodo retificador conduz

facilmente (porque sua resistecircncia eleacutetrica eacute muito baixa) apoacutes um valor pequeno de limiar Δ (na praacutetica

esse limiar eacute da ordem de 03 a 07 V dependendo do diodo) Abaixo desse limiar e para polaridades reversas

( lt Δ lt 0) a corrente no diodo eacute minuacutescula (porque sua resistecircncia eleacutetrica eacute muito alta)

A B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Note que uma corrente positiva representa uma corrente de A para B e vice-versa Na Figura 5(b)

mostramos o resultado da razatildeo = ∆ que daacute a resistecircncia eleacutetrica do diodo Vemos claramente que = (∆ ) ou seja eacute uma funccedilatildeo da DDP ∆ Vemos que eacute fortemente dependente do sinal de ∆ Para ∆ lt 0 vale rarr infin (por isso natildeo haacute curva representada no lado esquerdo do graacutefico na Figura 5(b) a

resistecircncia do diodo diverge nesse lado do graacutefico (o lado em que ∆ lt 0))

As Figuras 5(c) e 5(d) mostram as curvas times Δ e times Δ para um dispositivo mais simples em que a

resposta eacute simeacutetrica ou seja um dispositivo sem polaridade e linear pois a curva times Δ eacute uma reta que

passa pela origem A curva de times Δ eacute uma reta horizontal porque a inclinaccedilatildeo da reta times Δ que eacute

exatamente 1 = ∆ eacute uma constante Portanto esse dispositivo obedece a uma relaccedilatildeo

= ∆ = constante

em que eacute uma constante ou seja natildeo depende nem de ∆ e nem de eacute portanto um propriedade do

dispositivo

Essa relaccedilatildeo de linearidade eacute chamada de lei de Ohm Podemos chamar essa lei de lei de Ohm

macroscoacutepica para diferenciaacute-la da outra relaccedilatildeo de linearidade = que poderiacuteamos chamar de lei de

Ohm microscoacutepica Mas para simplificar natildeo havendo chance de confusatildeo vamos simplesmente chamar essa

Δ

Δ

Δ

= Δ

Δ

(b) = Δ (a)

(c) (d)

Figura 5 Comparaccedilatildeo entre as curvas times Δ e as resistecircncias eleacutetricas = ∆ para um diodo (a) e (b) e para um resistor (c) e (d) O diodo eacute um dispositivo natildeo ocirchmico e o resistor eacute um dispositivo ocirchmico

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

lei de lei de Ohm A lei de Ohm diz simplesmente que existe essa classe de dispositivos para os quais a

resistecircncia eleacutetrica eacute uma grandeza intriacutenseca que independe do estiacutemulo ∆ ou da resposta Esses

dispositivos satildeo tipicamente chamados de resistores pois estatildeo definidos atraveacutes da resistecircncia eleacutetrica que

possuem A resistecircncia de um resistor pode vir escrita nele diferentemente de um diodo retificador por

exemplo cuja resistecircncia estaacute definida por sua conexatildeo ao circuito externo (pelo

valor de ∆ que pode ser diferente para cada circuito) A Figura ao lado mostra um

resistor de resistecircncia eleacutetrica =22 Ω com erro de 5 (ou seja 209Ω le le231Ω) e potecircncia maacutexima de 5W Essa potecircncia maacutexima limita a corrente maacutexima

que pode passar no resistor garantindo que ele vai atingir uma temperatura maacutexima que natildeo danifica sua

estrutura

Resistores satildeo usados em circuitos eleacutetricos e eletrocircnicos cumprindo diversas funccedilotildees como a simples

modificaccedilatildeo de um valor de DDP (divisor de tensatildeo) e a produccedilatildeo de calor por efeito

Joule A Figura ao lado mostra o siacutembolo de um resistor usado em esquemas de

circuitos eleacutetricos um resistor de resistecircncia eleacutetrica e terminais A e B (o serrilhado

passa uma ideia de aspereza e atritoarraste) Diferentemente do diodo o resistor natildeo possui polaridade Seus

dois terminais satildeo equivalentes a corrente eleacutetrica enfrenta a mesma dificuldade (resistecircncia) quando flui de

A para B ou de B para A

523 A resistecircncia eleacutetrica de um cilindro feito de material ocirchmico

O resistor de resistecircncia = 22Ω mostrado na Figura acima eacute um

simples cilindro maciccedilo feito de um material ocirchmico ou seja de um

material que obedece agrave lei de Ohm = Podemos mostrar que um

cilindro como esse obedece ele mesmo a lei de Ohm macroscoacutepica = ∆ com uma constante

A Figura ao lado ilustra esse dispositivo condutor um cilindro maciccedilo de comprimento e aacuterea de

seccedilatildeo transversal = feito de um material condutor ocirchmico de resistividade = 1 Os terminais do

resistor satildeo os pontos A e B Por hipoacutetese conectamos esse dispositivo a uma bateria que estabelece uma DDP

constante ∆ gt 0 entre os terminais A e B A essa DDP estaacute associado o campo eleacutetrico uniforme = no

interior do volume do resistor (seta verde) que empurra os portadores de carga eleacutetrica nessa regiatildeo

estabelecendo uma densidade de corrente = = (seta vermelha) Note que estamos assumindo e

uniformes porque natildeo haacute efeito pele em circuitos CC Esse eacute o caso mais simples de distribuiccedilatildeo radial de

corrente eleacutetrica no condutor (mas vocecirc jaacute pode desconfiar que o efeito pele modifica a resistecircncia eleacutetrica de

B A

A B

z

L

R

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

um dispositivo a resistecircncia aumenta com a frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo) Agora vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆ para determinar a resistecircncia entre os terminais A e B

Primeiramente determinamos a DDP entre os terminais A e B (o estiacutemulo agrave corrente)

∆ = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ = = ∆ =

Agora determinamos a corrente que flui de A para B ( eacute a seccedilatildeo transversal do cilindro = disco de raio )

= ∙ = ∙ = ∙ = =

eacute a resposta do dispositivo ao estiacutemulo Δ

Concluindo a resistecircncia eleacutetrica desse cilindro condutor eacute (lembrando que = )

= ∆ = = = =

Vemos que independe de ∆ e de depende do material de que o cilindro condutor eacute feito do

comprimento e da aacuterea da seccedilatildeo transversal do cilindro Esse cilindro condutor eacute um resistor ele obedece agrave lei

de Ohm (que diz que a razatildeo ∆ eacute uma constante) Note que havendo uma dependecircncia de com a

temperatura segue que a resistecircncia eleacutetrica herda essa dependecircncia Para um cilindro de metal por

exemplo como um simples fio de cobre esperamos que seja uma funccedilatildeo crescente de assim como

Veremos na proacutexima seccedilatildeo que a passagem de corrente eleacutetrica atraveacutes de um material resistivo resulta em

aumento da energia internaagitaccedilatildeo teacutermica desse material e concomitante elevaccedilatildeo na sua temperatura

Assim sendo como depende de que depende de que depende de ∆ segue que observa-se ao final

uma dependecircncia = (∆ ) ou seja uma (aparente) pequena violaccedilatildeo na validade da lei de Ohm mesmo

para um simples cilindro condutor feito de material ocirchmico Para situaccedilotildees em que a temperatura do cilindro

condutor natildeo varia muito observa-se a validade da lei de Ohm ou seja eacute uma caracteriacutestica intriacutenseca do

cilindro Portanto esperamos que na praacutetica a validade da lei de Ohm seja observada apenas quando os

eventuais efeitos da temperatura sobre a conduccedilatildeo eleacutetrica forem devidamente eliminados (por exemplo

atraveacutes de um experimento com temperatura fixa controlada)

Os metais mais usados em fios de instalaccedilotildees eleacutetricas satildeo o cobre e o alumiacutenio O cobre eacute um

condutor mais nobre pois possui resistividade um pouco menor que o alumiacutenio cong 172 times 10 Ω m e cong 275 times 10 Ω m em cong 20degC Mesmo assim o alumiacutenio por ser mais leve e mais barato que o cobre eacute

muito usado em fios de linhas de transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica (onde os fios ficam pendurados

em postes ou torres) que podem ter centenas de quilocircmetros de comprimento

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Com relaccedilatildeo a esses dois materiais considere a seguinte questatildeo qual deveria ser a relaccedilatildeo entre as

aacutereas das seccedilotildees transversais de dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio para

que eles tivessem a mesma resistecircncia eleacutetrica As resistecircncias eleacutetricas esses fios (ciliacutendricos) satildeo

= =

Portanto assumindo resistecircncias iguais = rArr = rArr = cong 16

O fio de alumiacutenio deve ser cong 16 vezes mais grosso que o fio de cobre Qual a relaccedilatildeo entre os pesos =

desses fios Sejam cong 896 gcm3 e cong 270 gcm3 as densidades de massa do cobre e do alumiacutenio Entatildeo

= = = cong 030 times 16 cong 048

Nesse caacutelculo usamos que o peso eacute = a massa eacute = e o volume do cilindro eacute =

Vemos que o fio de alumiacutenio de mesma resistecircncia eleacutetrica mesmo sendo mais grosso ainda possui

basicamente a metade do peso do fio de cobre (trata-se apenas de uma estimativa razoaacutevel pois existem

vaacuterios alumiacutenios e vaacuterios cobres ligeiramente diferentes) Essa pode ser uma vantagem importante para um fio

que fica pendurado em um poste ou em uma torre

Eacute importante registrar que os conceitos que estamos discutindo aqui possuem aplicaccedilatildeo ampla natildeo se

restringindo somente aos circuitos eleacutetricos Por exemplo os conceitos de resistividade e resistecircncia eleacutetricas

satildeo amplamente utilizados na identificaccedilatildeo de diferentes materiais atraveacutes de sondagem por eletrodos de

corrente Em geologia por exemplo a mediccedilatildeo da resistecircncia e da resistividade do solo pode ajudar na

identificaccedilatildeo de sua composiccedilatildeo e na caracterizaccedilatildeo de diferentes camadas geoloacutegicas (ver o artigo An

introduction to electrical resistivity in geophysics Rhett Herman American Journal of Physics 69 (2001))

Resumidamente essa teacutecnica se baseia na introduccedilatildeo de dois eletrodos (hastes condutoras) no solo

separados entre si por uma certa distacircncia Aplica-se uma DDP ∆ nesses eletrodos e mede-se a corrente

que flui de um eletrodo para o outro atraveacutes do solo A resistividade eleacutetrica do solo seraacute dada por

= ∆ = rArr = ∆

O fator geomeacutetrico que depende de natildeo eacute tatildeo simples de ser determinado como no caso de uma

corrente que flui em um cilindro condutor mas ele pode ser calculado para essa geometria utilizando-se as

ferramentas do eletromagnetismo Um fato interessante eacute que quanto mais espaccedilados os eletrodos mais

profundamente a corrente flui atraveacutes do solo Portanto um graacutefico de versus pode mostrar uma variaccedilatildeo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

abrupta quando a corrente atinge uma camada de solo mais profunda com composiccedilatildeo diferente da camada

superior ou um lenccedilol freaacutetico (solo + aacutegua)

Uma ideia parecida pode ser utilizada para se medir a composiccedilatildeo de gordura ou

massa oacutessea do corpo humano Sabe-se por exemplo que a gordura eacute basicamente um

isolante eleacutetrico e que a corrente eleacutetrica flui no corpo humano principalmente atraveacutes da

ldquomassa livre de gordurardquo Na chamada ldquoanaacutelise de bioimpedacircnciardquo divide-se o corpo

humano em cinco regiotildees ciliacutendricas (braccedilos pernas e tronco) como na Figura ao lado

Eletrodos satildeo colocados na pele nas extremidades dessas regiotildees Aplica-se uma DDP ∆

(pequena para natildeo produzir choques eleacutetricos) nesses eletrodos e mede-se a corrente que

flui de um eletrodo para o outro A resistividade eleacutetrica do material do cilindro seraacute dada por

= ∆

Atraveacutes dessa medida de pode-se inferir o percentual de gordura em cada parte do corpo A mesma ideia

funciona para se estimar a massa oacutessea (a bioimpedacircncia eacute melhor avaliada utilizando os conceitos de circuitos

de corrente alternada que estudaremos mais adiante Se vocecirc quiser ver uma introduccedilatildeo ao tema pode

recorrer ao artigo Bioelectrical impedance analysis as a laboratory activity At the interface of physics and the

body de Elliot Mylotta et al American Journal of Physics 82 (2014))

524 A potecircncia dissipada na forma de calor por um resistor efeito Joule

A passagem de corrente eleacutetrica atraveacutes de um meio condutor resistivo ( ne 0) faz com que a energia

interna desse meio aumente Esse eacute o chamado efeito Joule descrito em 1839 por James P Joule A ideia eacute

simples A resistecircncia eleacutetrica de um condutor resistivo estaacute associada agraves colisotildees entre os portadores de carga

eleacutetrica que constituem a corrente e as demais partiacuteculas que compotildeem juntas o meio condutor (aacutetomos iacuteons

etc) As colisotildees transferem portanto energia dos portadores de carga para o meio condutor que ganha

energia de agitaccedilatildeo teacutermica (energia cineacutetica) Natildeo havendo inicialmente uma dissipaccedilatildeo total dessa energia

teacutermica espera-se uma elevaccedilatildeo na temperatura desse meio condutor Sua temperatura aumenta ateacute que o

equiliacutebrio entre a energia teacutermica produzida e o calor dissipado se estabeleccedila Trata-se de um efeito de faacutecil

realizaccedilatildeo servindo de base para o funcionamento de uma grande quantidade de aparelhos eleacutetricos A Figura

6 mostra alguns desses aparelhos Seu princiacutepio de funcionamento estaacute no efeito Joule Esquematicamente + rArr calor Na relaccedilatildeo esquemaacutetica acima enfatizamos o papel de no efeito Joule

Podemos conceber materiais com = 0 chamados de condutores perfeitos nos quais a passagem de

corrente eleacutetrica natildeo implica em produccedilatildeo de calor De fato Heike K Onnes ganhou o precircmio Nobel em 1913

236

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

por ter descoberto que existem materiais ditos supercondutores que exibem o comportamento de

condutores perfeitos a temperaturas muito baixas Onnes fez sua descoberta utilizando o Mercuacuterio como

metal condutor e observou que para ≲ 42 K a resistividade desse material caia abruptamente a zero Ele se

tornava um supercondutor e portanto um condutor perfeito (um supercondutor tem outras propriedades

aleacutem da conduccedilatildeo perfeita) Correntes eleacutetricas circulando em condutores perfeitos natildeo dissipam energia

Secador de cabelos

Air fryer

Chuveiro eleacutetrico

Lacircmpada incandescente

Misteira eleacutetrica

Ferro de passar roupa

Olhando para a lei de Ohm = = entendemos que os portadores de carga podem fluir

dentro de um condutor perfeito sem nenhuma forccedila de impulsatildeo posto que natildeo haacute nenhuma forccedila de

oposiccedilatildeoarraste ao fluxo de portadores basicamente para um condutor perfeito vale = = infin0 = = 00 Notamos tambeacutem que os condutores perfeitos em circuitos de corrente contiacutenua satildeo geralmente

equipotenciais mesmo fora do contexto da eletrostaacutetica posto que ∆ eacute uma integral de caminho de e = 0 dentro deles Para simplificar a anaacutelise de circuitos eleacutetricos utilizamos essa ideia quando consideramos

que os pequenos segmentos de fio ( cong 0) que conectam os componentes eleacutetricos de um circuito (resistores

baterias etc) satildeo equipotenciais

Suponha um resistor de resistecircncia em que circula um acorrente como

ilustrado ao lado Qual a taxa de produccedilatildeo de energia internateacutermica nesse

resistor Em um resistor circula corrente porque haacute dentro dele um campo eleacutetrico

impulsionando os portadores de carga vencendo o arrasteresistecircncia Se a

Figura 6 Alguns exemplos de aparelhos eleacutetricos cujo funcionamento se baseia no efeito Joule

B A

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

corrente no resistor flui de A para B entatildeo esse campo eleacutetrico estaacute dentro do resistor apontando de A para

B Eacute o que diz a lei de Ohm = ( eacute paralelo a pois gt 0) Segue que ∆ = minus gt 0 ( sempre

aponta no sentido do decaimento de ) Em um resistor a corrente sempre flui no sentido do decaimento do

potencial eleacutetrico (pois eacute paralelo a ) Considere um portador de carga de carga eleacutetrica gt 0 Esse

portador se desloca de A para B dentro do resistor Quando ele estava em A sua energia potencial eleacutetrica era = Ao chegar em B sua energia potencial eleacutetrica passa a ser = Portanto nessa viagem

dentro do resistor um uacutenico portador de carga perde a energia potencial eleacutetrica ∆ = ( minus ) =minus ∆ lt 0 Aonde vai parar essa energia Considere o teorema do trabalho-energia aplicado a esse portador

no percurso AB ∆ + ∆ = ( rarr ) Quais as outras forccedilas ( ou seja diferentes de ) que atuam no portador de carga que flui dentro do

resistor A forccedila de arraste produzida pelo meio condutor Note que o portador entra e sai do resistor com a

mesma velocidade de arraste a corrente que entra em A eacute a mesma corrente que sai em B Logo ∆ = 0 e ( rarr ) = ( rarr ) = ∆ = minus ∆

O trabalho do arraste eacute negativo porque trata-se de uma forccedila oposta ao deslocamento do portador Trabalho

eacute transferecircncia de energia Essa energia que o portador de carga estaacute perdendo estaacute sendo transferida para o

agente que exerce a forccedila de arraste nele o meio condutor Ou seja para cada portador de carga que

atravessa de A para B o meio condutor ganha a energia cineacutetica (teacutermica) ∆ gt 0 Um resistor eacute um

dispositivo que converte energia potencial eleacutetrica dos portadores de carga em energia teacutermica do meio

condutor

A Figura ao lado sugere uma analogia mecacircnica entre um resistor e um

sistema mecacircnico em que um bloco escorrega para baixo com velocidade

constante (a resultante das forccedilas no bloco eacute nula) em um plano inclinado com

atrito cineacutetico Nesse percurso de queda de A ateacute B o bloco perde energia

potencial gravitacional mantendo sua energia cineacutetica constante (ou seja∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) lt 0) A energia potencial eacute

convertida em energia teacutermica do bloco e do plano inclinado graccedilas agrave accedilatildeo do

atrito cineacutetico entre as superfiacutecies desses corpos Reescrevendo essa uacuteltima frase

adaptando-a para o caso da corrente no resistor obtemos um portador de carga

eleacutetrica flui dentro do resistor com velocidade de deriva constante em um material com arraste Nesse

percurso de A ateacute B o portador perde energia potencial eleacutetrica mantendo sua energia cineacutetica constante

(ou seja ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) lt 0) A energia potencial eacute convertida em

energia teacutermica do meio resistivo graccedilas agrave accedilatildeo do arraste entre o meio e os portadores de carga

calorA

B

B A

238

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Finalmente a taxa no tempo com que os portadores de carga atravessam de A para B eacute exatamente

e portanto a taxa no tempo (potecircncia) com que o meio condutor ganha energia teacutermica (efeito Joule) eacute

= ( ∆ ) = ∆ = ∆ = ( ) = = ∆ = (∆ )

Acima jaacute escrevemos essa potecircncia de geraccedilatildeo de energia teacutermica em um resistor em trecircs formas diferentes

tendo em vista a validade da lei de Ohm ∆ = A unidade de potecircncia eacute Js que chamamos de watt

(siacutembolo W) Uma lacircmpada de 100 W por exemplo consome 100 J de energia eleacutetrica a cada segundo

(convertendo essa energia em luz e calor quanto maior a eficiecircncia da lacircmpada mais luz e menos calor)

Considere que um chuveiro eleacutetrico deve dissipar uma potecircncia = 5000 W para aquecer a aacutegua

Esse chuveiro estaacute ligado a uma DDP de 127 V Qual deve ser a resistecircncia eleacutetrica interna do chuveiro

= (∆ ) rArr = (∆ ) cong 323Ω

Agora comutamos esse mesmo chuveiro para a posiccedilatildeo inverno em que ele dissipa mais calor prime = 7000 W

para poder aquecer mais a aacutegua circulante Qual a nova resistecircncia desse chuveiro (obtida pela comutaccedilatildeo de

seu circuito interno atraveacutes de uma chave) prime = (∆ )prime cong 230Ω

Alguns estudantes estranham esse resultado pois eles esperam que para se obter mais calor (na

posiccedilatildeo inverno) deveriacuteamos aumentar a resistecircncia e natildeo diminuir que foi o que obtivemos Esses

estudantes geralmente se fixam na relaccedilatildeo = e se esquecem que as correntes eleacutetricas nas posiccedilotildees

veratildeo e inverno do chuveiro natildeo satildeo iguais O que se manteacutem constante aqui eacute a DDP fornecida pela tomada a

qual o chuveiro estaacute conectado e por isso a anaacutelise eacute mais simples se utilizarmos a relaccedilatildeo = (∆ ) que

nos leva a concluir que para uma mesma ∆ menor leva a maior Vemos claramente que na posiccedilatildeo

veratildeo a corrente seraacute = ∆ cong 393 A enquanto que na posiccedilatildeo inverno a corrente no chuveiro seraacute prime = ∆ prime cong 552 A Mais corrente implica nesse caso em mais calor mesmo com menor Essas seriam

correntes muito altas que requereriam fios condutores razoavelmente grossos conectando o chuveiro agrave rede

eleacutetrica Para minimizar esse problema poderiacuteamos comprar um chuveiro com essas mesmas potecircncias mas

que funcionasse em ∆ = 220 V (em duas fases ao inveacutes de fase e neutro) Nesse caso teriacuteamos cong 968Ω cong 691Ω e as correntes seriam cong 227 A e prime cong 318 A Note que o banho natildeo sairia mais barato pois a

potecircncia eacute a mesma mas a corrente nos fios seria menor com o chuveiro de 220 V Isso permitiria uma

instalaccedilatildeo eleacutetrica com fios de cobre mais finos e portanto mais barata mais eficiente e segura

Os valores de resistecircncia eleacutetrica do chuveiro calculados anteriormente satildeo os valores que seriam

observados durante a operaccedilatildeo do chuveiro enquanto ele estaacute esquentando a aacutegua Se medirmos as

239

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

resistecircncias desses resistores com um ohmiacutemetro com o chuveiro desligado podemos observar valores bem

diferentes dos calculados

Imagine que vocecirc pegue uma lacircmpada incandescente GE cristal 60 W 127 V e meccedila a resistecircncia

eleacutetrica do filamento dessa lacircmpada com um ohmiacutemetro (lacircmpada desligada) Vocecirc vai obter cong 17Ω

Daiacute vocecirc calcula a potecircncia da lacircmpada e obteacutem = (Δ ) = (127) 17 cong 949 W Na lacircmpada estaacute

escrito 60 W e vocecirc obteacutem 949 W Qual a origem desse disparate Devemos nos lembrar que enquanto a

lacircmpada estaacute em operaccedilatildeo a temperatura do filamento (feito de Tungstecircnio) supera os 1500 oC e a

resistecircncia do filamento natildeo eacute que seria o valor da resistecircncia do filamento na temperatura ambiente

Enquanto estaacute em operaccedilatildeo o metal do filamento apresenta uma resistividade maior e o filamento apresenta

uma resistecircncia eleacutetrica maior levando a uma potecircncia menor A resistecircncia do filamento no regime de

operaccedilatildeo da lacircmpada eacute = (Δ ) = (127) 60 cong 269Ω Portanto quando ligamos a lacircmpada a

resistecircncia eleacutetrica de seu filamento cresce rapidamente desde o valor cong 17Ω ateacute o valor final cong269Ω A corrente eleacutetrica que circula na lacircmpada tem um pico inicial enquanto o filamento estaacute frio de = Δ = 12717 cong 75 A e decai rapidamente para seu valor de operaccedilatildeo que eacute = Δ =127269 cong 05 A Concluiacutemos que se ficarmos ligando e desligando uma lacircmpada vamos pagar mais

A resistecircncia eleacutetrica natildeo deve ser vista como uma propriedade exclusiva de resistores mas sim como

uma propriedade de todos os dispositivos eleacutetricos Um aparelho de TV um pedaccedilo de fio de cobre uma

lacircmpada uma geladeira todos os dispositivos eleacutetricos reais possuem resistecircncia eleacutetrica e essa resistecircncia

implica em aquecimento e dissipaccedilatildeo de energia na forma de calor Para os dispositivos mostrados na Figura 6

essa dissipaccedilatildeo de calor eacute importante e uacutetil pois essa eacute basicamente a funccedilatildeo deles esquentar Para outros

dispositivos como uma geladeira um computador um fio de cobre de uma instalaccedilatildeo eleacutetrica ou um cabo de

uma linha de transmissatildeo de energia eleacutetrica essa dissipaccedilatildeo de calor eacute indesejaacutevel e inuacutetil devendo ser

minimizada Nos diagramas de circuitos eleacutetricos que representam todos esses dispositivos

vamos representar um siacutembolo de resistor como na Figura ao lado Apesar de nos referirmos

muitas vezes para simplificar a linguagem a um resistor esse siacutembolo natildeo representa necessariamente um

resistor mas sim a propriedade de resistecircncia eleacutetrica de um dispositivo qualquer Esses resistores satildeo

conectados a outros dispositivos no circuito atraveacutes de pequenos segmentos de fio condutor cuja resistecircncia

eleacutetrica desprezamos ou porque ela eacute despreziacutevel mesmo ou porque ela jaacute foi incluiacuteda em um siacutembolo de

resistor no circuito Esses segmentos de ldquocondutor perfeitordquo (equipotenciais) satildeo representados por uma linha

reta nos diagramas de circuitos Uma linha reta no diagrama de um circuito representa uma conexatildeo entre

dois pontos que natildeo apresenta nenhuma propriedade eleacutetrica importante resistecircncia capacitacircncia e (como

veremos em breve) indutacircncia Um serrilhado representa a resistecircncia eleacutetrica de um dispositivo

Nas proacuteximas seccedilotildees comeccedilaremos a discutir a anaacutelise de circuitos eleacutetricos

240

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

53 Forccedila eletromotriz baterias

Na Figura 7 abaixo comparamos um circuito mecacircnico com um circuito eleacutetrico No circuito mecacircnico

um bloco circula no percurso ABCDA com velocidade de moacutedulo constante Vamos imaginar que o bloco sai de

A desce o plano inclinado (com atrito) com velocidade constante perde energia potencial gravitacional

que eacute convertida em calor (pela accedilatildeo do atrito cineacutetico) chega em B desliza ateacute C pela superfiacutecie horizontal

(verde) sem atrito sobe o segundo plano inclinado sem atrito ganhando energia potencial gravitacional O

bloco chega em D desliza ateacute A em um plano horizontal sem atrito e comeccedila tudo outra vez

Esse circuito mecacircnico natildeo esclarece como o bloco vai subir o plano inclinado CD ganhando energia

potencial gravitacional com energia cineacutetica constante Se imaginarmos que natildeo haacute nenhuma outra

forccedila atuando no bloco enquanto ele sobe (aleacutem do peso) o teorema do trabalho energia aplicado ao bloco no

percurso CD fica ∆ + ∆ = 0 rArr ∆ = 0

o que eacute um absurdo completo Fica evidente entatildeo que no percurso CD tem que atuar no bloco uma forccedila

externa que fornece ao bloco energia potencial gravitacional

Poderiacuteamos imaginar por exemplo uma pessoa que fica ali parada e que quando o bloco chega em C

aplica no bloco uma forccedila paralela ao plano inclinado e leva o bloco ateacute D com o mesmo moacutedulo de

velocidade Dessa forma o teorema do trabalho-energia aplicado ao bloco no percurso CD fica ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) gt 0

Essa pessoa representada por na equaccedilatildeo acima gasta sua energia interna atraveacutes de seu

metabolismo para realizar trabalho sobre o bloco e fornecer a ele energia potencial gravitacional Na

sequecircncia o bloco desce o plano inclinado AB com atrito e converte energia potencial gravitacional em calor

Podemos imaginar entatildeo esse circuito funcionando em regime estacionaacuterio em que a energia interna da

pessoa vai sendo convertida continuamente em calor no plano inclinado AB Concluindo natildeo podemos

calorA

B

prime C

D

C

B A

D

Figura 7 comparaccedilatildeo entre um circuito mecacircnico ABCDA em que um bloco circula e um circuito eleacutetrico ABCDA em que portadores de carga circulam

241

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

imaginar esse circuito mecacircnico funcionando em regime estacionaacuterio sem a presenccedila dessa ldquofonte de energiardquo

que fornece ao bloco energia potencial Sem essa fonte poderiacuteamos imaginar apenas um comportamento

transiente em que o bloco se movesse um pouco ao longo do circuito e fosse perdendo velocidade (pela accedilatildeo

do atrito) ateacute finalmente parar (∆ ne 0)

Aqui por analogia comeccedilamos e entender que para que um circuito eleacutetrico funcione em regime

estacionaacuterio eacute necessaacuterio que exista no circuito um dispositivo que forneccedila energia potencial eleacutetrica aos

portadores de carga Esse dispositivo estaacute marcado com um sinal no circuito na Figura 7

Vemos nessa Figura que se a corrente no resistor flui de A para B segue que minus gt 0 Em um

resistor a corrente sempre flui no sentido do decaimento do potencial eleacutetrico (pois eacute paralelo a e a

dentro dele = e sempre aponta no sentido do decaimento de ) Portanto como = e =

(condutores perfeitos = equipotenciais) segue que gt ou seja os portadores

de carga ganham energia potencial eleacutetrica quando atravessam esse dispositivo

entre C e D Esse dispositivo eacute uma fonte de energia potencial eleacutetrica Chamamos

de ldquoforccedila eletromotrizrdquo (FEM) essa capacidade que um dispositivo tem de fornecer

energia potencial eleacutetrica aos portadores de carga em um circuito O dispositivo

entre C e D eacute uma fonte de FEM como ilustrado na Figura ao lado O nome ldquoforccedila

eletromotrizrdquo permanece no eletromagnetismo pela forccedila do haacutebito mas eacute um tanto impreciso pois a FEM

natildeo eacute propriamente uma forccedila mas sim uma taxa de realizaccedilatildeo de trabalho Definimos a FEM ℇ de um

dispositivo como sendo a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho (positivo) sobre os portadores de carga por unidade

de carga realizada por esse dispositivo ℇ =

Note que a unidade de ℇ eacute o JC que jaacute apelidamos de volt (V) Agora entendemos que enquanto um portador

de carga vai de A para B vale (sempre com ∆ = 0 corrente que chega = corrente que sai) ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( minus ) = ( rarr ) lt 0

sendo o trabalho da forccedila de arraste (que eacute negativo pois o arraste eacute oposto ao deslocamento)

Depois enquanto esse mesmo portador de carga vai de C ateacute D vale ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( minus ) = ( minus ) = ( rarr ) gt 0

sendo o trabalho (positivo) que a fonte de FEM faz nesse portador para levaacute-lo de C ateacute D

Portanto para que esse circuito funcione em regime estacionaacuterio deve valer

ℇ = = ( rarr ) = ∆ = ( minus ) = minus

C

B A

D ℇ

242

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Conclusatildeo um dispositivo ideal de FEM deve ser capaz de manter entre seus terminais uma diferenccedila de

potencial cujo valor eacute exatamente o valor de sua FEM ℇ (note que estamos considerando um dispositivo de

FEM ideal ou seja sem resistecircncia eleacutetrica interna)

Resumindo um dispositivo ideal de FEM eacute aquele que eacute capaz de i) realizar trabalho positivo sobre os

portadores de carga e fornecer energia potencial eleacutetrica para esses portadores que passam por ele ii) manter

uma diferenccedila de potencial fixa entre seus terminais A FEM ℇ do dispositivo resumequantifica essas

capacidades Veremos mais adiante que uma bateria eacute um dispositivo que tem essas capacidades

Os conceitos de trabalho e energia satildeo os mais adequados para se descrever o funcionamento de

circuitos eleacutetricos No entanto afirmaccedilotildees do tipo ldquoa corrente flui em um resistor porque haacute uma DDP entre

seus terminaisrdquo que satildeo comumente encontradas em livros texto natildeo ajudam muito no entendimento do

fenocircmeno Na Figura do circuito acima representamos uma corrente circulando no sentido horaacuterio Por que

essa corrente circula Portadores de carga fluem em um circuito porque haacute uma forccedila que nos casos que

estamos discutindo aqui eacute um campo eleacutetrico que existe no interior dos condutores e que impulsiona esses

portadores fazendo com que eles circulem ao longo do circuito Dentro de um resistor em que circula

corrente haacute um campo eleacutetrico impulsionando os portadores de carga vencendo o arrasteresistecircncia de tal

forma que dentro desse resistor vale a lei de Ohm =

Em um circuito de corrente constante (CC) deve haver portanto um campo constante ou seja

eletrostaacutetico atuando nos portadores dentro do resistor Qual a origem desse

campo Campos eleacutetricos estaacuteticos satildeo produzidos por acuacutemulos de cargas

eleacutetricas estaacuteticas Onde estatildeo acumuladas essas cargas A Figura ao lado responde

essa pergunta Em um resistor por onde circula uma corrente eleacutetrica constante

haacute um acuacutemulo de cargas eleacutetricas estaacuteticas em sua superfiacutecie principalmente em

suas extremidades (A e B) Por que as cargas eleacutetricas acumulam nessas

extremidades Por causa da diferenccedila entre as resistividades nas regiotildees de conexotildees do resistor com o

restante do circuito

Considere a Figura ao lado que representa o

resistor como sendo simplesmente uma regiatildeo ciliacutendrica

com ne 0 conectada em A e B a regiotildees ciliacutendricas

condutoras perfeitas (a regiatildeo cinza representa o resistor) No lado esquerdo do terminal A haacute um condutor

perfeito ( = 0 em branco) e no lado direito haacute o material resistivo do resistor ( ne 0 em cinza) Imagine que

acabamos de ligar o circuito e que os portadores de carga positiva (sinais + em vermelho na Figura) estatildeo

comeccedilando a se mover indo de A para B No lado esquerdo do ponto A os portadores se movem livremente e

mais rapidamente enquanto que no lado direito eles enfrentam o arraste e se movem mais lentamente

C

B A

D ℇ+ +

--

++

++ +

+ + + +---

A B

243

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Conclusatildeo chegam mais cargas positivas (pela esquerda) ao terminal A do que saem (pela direita) O terminal

A estaacute acumulando carga eleacutetrica positiva como mostrado na Figura (cargas azuis) No terminal B ocorre algo

parecido mas saem mais portadores (pela direita) do que chegam (pela esquerda) e esse terminal vai se

tornando negativo Agrave medida que isso acontece vai nascendo o campo (seta azul) que vai crescendo e

acelerando os portadores de carga dentro do resistor eliminando aos poucos o processo de acuacutemulo de

cargas eleacutetricas nos terminais A e B Vecirc-se entatildeo um mecanismo regenerativo que dura o tempo de um

transiente muito raacutepido em que o primeiro surto de corrente no circuito eacute irregular maior onde eacute menor e

menor onde eacute maior e que vai criando acuacutemulos de cargas eleacutetricas nas conexotildees dos diferentes

dispositivos Esses acuacutemulos de carga (superficiais) vatildeo estabelecendo um campo eleacutetrico ao longo do

circuito que vai modificando a corrente eleacutetrica que vai modificando os acuacutemulos de carga etc Ao final desse

transiente raacutepido (cuja existecircncia geralmente nem conseguimos perceber) o circuito entra em regime

estacionaacuterio a corrente eacute a mesma e constante em toda extensatildeo do circuito os acuacutemulos de carga e o campo

satildeo constantes nas diferentes partes do circuito produzindo mais forccedila (maior ) onde eacute maior

Na praacutetica o campo eleacutetrico dentro de um dispositivo eleacutetrico eacute bem pequeno e os acuacutemulos de

carga eleacutetrica necessaacuterios para produzir esse campo tambeacutem Por essa razatildeo essas densidades de carga

eleacutetrica satildeo geralmente ignoradas nas discussotildees sobre circuitos eleacutetricos como se elas natildeo existissem A

discussatildeo do tema em termos de conceitos de energia no lugar do conceito de forccedila contribui para essa

situaccedilatildeo Mas enfim para entendermos mesmo o funcionamento de qualquer circuito eleacutetrico devemos ter

ciecircncia de que esse campo estaacute laacute tanto dentro dos fios onde ele eacute pequeno mas crucial para impulsionar

os portadores de carga quanto no espaccedilo exterior onde ele eacute pequeno e basicamente irrelevante pois trata-

se de uma regiatildeo isolante (ar por exemplo) Apenas no interior dos condutores perfeitos ( = 0) natildeo haacute

campo eleacutetrico pois ele natildeo eacute necessaacuterio (natildeo haacute arraste) Nas superfiacutecies desses condutores perfeitos os

acuacutemulos de carga satildeo tais que produzem campo nulo dentro deles (como se fosse eletrostaacutetica) Esses

acuacutemulos de cargas nas superfiacutecies dos fios natildeo ocorrem apenas nas regiotildees onde haacute mudanccedila abrupta na

resistividade do condutor mas tambeacutem nas

curvas e dobras dos fios A Figura ao lado tenta

ilustrar essa ideia A corrente (seta azul) entra

pela direita e sai por baixo em um segmento de

fio dobrado em L No iniacutecio os portadores de

carga (sinais + vermelhos) nem sabem que essa

curva existe e a corrente no fio eacute irregular Alguns portadores colidem com a parede do fio na dobra e

acumulam aiacute (cargas azuis) A regiatildeo oposta da dobra vai ficando negativa pois os portadores que estavam aiacute

foram embora Os proacuteximos portadores que chegam na dobra jaacute sentem o campo eleacutetrico (seta laranja) desse

+ +

+

+ +

+

++

--

+

+++

---

+ +

++

+

244

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

acuacutemulo de cargas e jaacute fazem a curva com mais habilidade sem colidir e acumular Apoacutes um breve transiente

a corrente flui regularmente ao longo do fio guiado pelo campo os acuacutemulos de carga se estabilizam e tudo

fica estacionaacuterio (se vocecirc tiver interesse pode ver figuras melhores no artigo A semiquantitative treatment of

surface charges in DC circuits Rainer Muller American Journal of Physics 80 (2012))

Voltando ao conceito de FEM talvez seja mais faacutecil entender a ideia se considerarmos antes um

circuito em que natildeo haacute nenhum dispositivo com essa propriedade Por exemplo considere um circuito

contendo apenas um capacitor inicialmente carregado e um resistor Na Figura 8 abaixo ilustramos esse

processo de descarga do capacitor atraveacutes do resistor Chamamos esse processo de transiente porque ele dura

um tempo curto em que a corrente depende do tempo = ( ) e vai decaindo a zero ateacute o capacitor se

descarregar totalmente No proacuteximo capiacutetulo estudaremos esse circuito de forma quantitativa Aqui vamos

apenas dar uma olhada no que acontece no processo de descarga do capacitor

Na sequecircncia (1)-(6) mostrada na Figura 8 esboccedilamos um transiente em que um capacitor inicialmente

carregado eacute conectado a um resistor formando um circuito fechado e descarrega agrave medida que as cargas

eleacutetricas fluem entre as placas passando pelo resistor Na Figura 8(1) o capacitor estaacute inicialmente carregado e

o resistor estaacute afastado As cargas nas placas do capacitor produzem um campo eleacutetrico no espaccedilo (linhas de

forccedila em roxo) Na Figura 8(2) conectamos o resistor ao capacitor e o campo comeccedila a mover as cargas nos

Figura 8 Um circuito que natildeo conteacutem um dispositivo de FEM apenas um capacitor inicialmente carregado conectado a um resistor A corrente circula por um breve transiente

(1)

+

+

-

+ +

- -

+ + + +

+

- - - - -

+ + + + + + +

+

-- - - - - -

+ +

+

-- -

-

+

-

(2)

(3) (4)

(5) (6)

+ + + +

- - - -

+ + + +

- - - -

+ + + +

- - - -

+ + + +

- - - -

A

B

C

R

C

D

R

C

D

A

B

C

R

C

D

A

B

C R

C

D

A

B

C

R

C

D

A

B

C

R

C

D

A

B

C

245

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

fios condutores Sabemos que nos metais satildeo os eleacutetrons que se movem mas aqui para simplificar vamos

pensar que satildeo as cargas + que se movem no sentido da corrente eleacutetrica As cargas ndash estatildeo fixas mas agrave

medida que elas vatildeo sendo ldquoneutralizadasrdquo pelas cargas + deixam um deacuteficit ndash para traacutes e temos a impressatildeo

que elas tambeacutem se movem Portanto na Figura 8(2) no ramo de cima conectado agrave placa + as cargas +

comeccedilam a fluir para a direita No ramo de baixo conectado agrave placa ndash as cargas + dos fios fluem para essa

placa (porque satildeo atraiacutedas) e deixam um ndash para traacutes A corrente eleacutetrica comeccedila a fluir no sentido horaacuterio Na

Figura 8(3) mostramos uma situaccedilatildeo mais avanccedilada em que o surto de corrente estaacute chegando ao resistor

Eacute interessante frisar que o campo eleacutetrico existe em todo o espaccedilo e esperamos que essa

movimentaccedilatildeo de cargas se estabeleccedila rapidamente em todo o circuito de forma irregular sendo

inicialmente mais intensa na regiatildeo proacutexima das placas Nossas Figuras satildeo uma simplificaccedilatildeo desse processo

e apenas ilustram essas regiotildees em que a corrente eacute mais intensa

Na Figura 8(4) ilustramos a formaccedilatildeo de acuacutemulos de carga nas extremidades do resistor que vatildeo

produzir um campo eleacutetrico mais intenso nessa regiatildeo onde a resistividade eleacutetrica eacute maior (os outros

condutores satildeo perfeitos por hipoacutetese) Esses acuacutemulos produzem um campo dentro do material do resistor

de tal forma que valha a lei de Ohm = Nas superfiacutecies dos condutores perfeitos os acuacutemulos de carga

devem ser tais que = 0 dentro deles ( = infin0) Na Figura 8(5) queremos dar a ideia de que as cargas

acumuladas nas placas estatildeo acabando afinal elas estavam diminuindo desde que o circuito foi fechado

Finalmente na Figura 8(6) mostramos o fim do transiente todas as cargas + que estavam na placa positiva do

capacitor fluiacuteram para a placa negativa e neutralizaram as cargas ndash que estavam laacute Os cuacutemulos de carga nas

superfiacutecies dos fios e nas extremidades do resistor desaparecem e tudo volta agrave neutralidade eleacutetrica Note que

enquanto o capacitor possui carga vale gt e que enquanto o circuito estaacute fechado vale = e = e portanto gt Os portadores de carga que fluem de C para D atraveacutes do resistor perdem

energia potencial eleacutetrica que eacute convertida em energia teacutermica (efeito Joule) Essa energia potencial eleacutetrica

estava acumulada no capacitor Nesse transiente de descarga do capacitor a energia potencial eleacutetrica

acumulada nele eacute convertida em calor

Queremos introduzir agora nesse circuito a ideia de forccedila eletromotriz (FEM) que eacute uma propriedade

que o capacitor natildeo tem pois ele natildeo eacute capaz de manter a corrente eleacutetrica circulando constantemente no

circuito O capacitor produz apenas um raacutepido transiente Um dispositivo de FEM deve ser capaz de manter a

corrente fluindo no circuito e para isso ele deve manter as cargas em suas placas ou seja ele natildeo deve

descarregar com o tempo Ao manter essas cargas em suas placas o dispositivo de FEM vai manter a DDP entre

seus terminais a eletrizaccedilatildeo ao longo do circuito e o campo de forccedila necessaacuterio para que a corrente flua

nesse circuito Diferentemente do capacitor em que as placas estatildeo isoladas entre si o dispositivo de FEM

deve conduzir atraveacutes dele os portadores de carga + que chegam agrave placa negativa para a placa positiva

246

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

mantendo constantes as cargas depositadas nas placas Sendo gt fica claro que esse dispositivo de FEM

deve ser capaz de fornecer energia potencial aos portadores de carga pois um portador de carga gt 0 que eacute

transportado atraveacutes desse dispositivo de B ateacute A ganha a energia potencial eleacutetrica ∆ = ( minus ) gt 0

Conforme a definiccedilatildeo que jaacute demos para a forccedila eletromotriz ℰ a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho sobre os

portadores por unidade de carga obtemos

ℰ = = ∆ = minus

Vemos portanto que a FEM ℰ de um dispositivo ideal de FEM eacute exatamente a DDP que esse dispositivo eacute

capaz de manter entre seus terminais

Na Figura ao lado apenas substituiacutemos no circuito da Figura 8 o capacitor

por esse dispositivo de FEM ℰ sendo que estamos usando aqui o siacutembolo para a

bateria que definiremos mais adiante O siacutembolo para a fonte de FEM lembra

um capacitor Mas um capacitor apenas acumula cargas eleacutetricas que satildeo

colocadas nas suas placas por um agente externo uma bateria por exemplo A

fonte de FEM acumula cargas eleacutetricas em seus terminais produzidas por ela

mesma atraveacutes de sua FEM Ela natildeo depende de agentes externos

Representamos nesse circuito uma forccedila interna (seta verde) ao dispositivo de FEM que modela sua

capacidade de transportar os portadores de carga + que chegam agrave placa negativa de volta para a placa

positiva Ao chegar em B o portador de carga (positiva) enxerga um campo eleacutetrico apontando de A para B (do

+ para o ndash na fonte) ou seja ele natildeo pode seguir de B para A sozinho (com velocidade constante) Nesse ponto

entra a capacidade da fonte de exercer a forccedila (forccedila por unidade de carga) no portador levando ele com

velocidade de deriva constante ateacute A A forccedila deve ser tal que

ℇ = = ∙

Note que definimos como sendo forccedila por unidade de carga para economizar uma divisatildeo por Dentro da

fonte o portador de carga se move sob efeito de duas forccedilas opostas apontando de B para A e apontando

de A para B A lei de Ohm dentro da fonte fica = +

+

+ + + + + + +

- - - - ---

+ + + +

- - - - R

C

D

A

B

247

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Sendo a fonte ideal ou seja sem resistecircncia segue que rarr infin dentro dela e deve valer = minus ( = infin0) O

portador de carga desliza dentro da fonte sem arraste e portanto sem forccedila resultante de impulsatildeo

Portanto a DDP estabelecida entre os terminais A e B da fonte eacute

minus = ∙ = minus ∙ = minus ∙ = ∙ = ℇ

Chegamos aqui agrave mesma conclusatildeo que haviacuteamos chegado atraveacutes unicamente de conceitos de

trabalhoenergia

Resumindo um dispositivo ideal de FEM eacute aquele que eacute capaz de i) realizar trabalho positivo sobre os

portadores de carga e fornecer energia potencial eleacutetrica para esses portadores que passam por ele ii) manter

uma diferenccedila de potencial fixa entre seus terminais iii) manter uma separaccedilatildeo de cargas fixa em seus

terminais e ao longo do circuito A FEM ℇ do dispositivo resumequantifica essas capacidades De fato todas

essas propriedades estatildeo ligadas entre si e satildeo basicamente equivalentes Natildeo haacute muito como estabelecer

uma ordem entre elas

Na Figura 9 acima comparamos a corrente em funccedilatildeo do tempo em um circuito como o da Figura 8

circuito RC (a) em que natildeo haacute FEM com o circuito ℇ + resistor (b) em que apenas substituiacutemos o capacitor por

uma fonte de FEM ℇ O capacitor natildeo eacute capaz de manter as cargas acumuladas em suas placas e nem a DDP

entre elas pois ele apenas acumula cargas e energia potencial eleacutetrica A corrente flui apenas por um breve

transiente A fonte de FEM manteacutem as cargas e a DDP entre seus terminais mantendo uma corrente

constante fluindo no circuito

531 Baterias

Um exemplo tiacutepico de dispositivo de FEM constante eacute uma bateria ou uma pilha cujo

siacutembolo em esquemas de circuitos eleacutetricos estaacute mostrado na Figura ao lado Lembra um

pouco o siacutembolo de um capacitor satildeo duas placas sendo a placa maior o terminal positivo A

seta mostra o sentido da FEM ou seja o sentido em que essa bateria impulsiona a corrente

atraveacutes dela Na praacutetica o siacutembolo pode ser simplificado sem a necessidade do siacutembolo + e da seta do sentido

da FEM

+

t

( ) t

( )

(a) (b)

Figura 9 (a) corrente em um circuito sem FEM como o circuito RC da Figura 8 A corrente flui apenas por um breve transiente (b) corrente em um circuito com FEM uma bateria e um resistor por exemplo A corrente atinge um valor estacionaacuterio

248

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Uma bateria graccedilas agrave sua FEM ou seja agrave sua capacidade de separar e acumular cargas eleacutetricas no

espaccedilo eacute capaz de produzir e manter uma DDP entre seus terminais Uma bateria de 9 volts por exemplo

separa as cargas eleacutetricas depositando-as em seus terminais + e ndash mantendo entre eles uma DDP de 9 volts

Um capacitor por sua vez tambeacutem possui uma DDP entre seus terminais mas natildeo possui FEM As cargas que

estatildeo depositadas nas placas do capacitor natildeo foram depositadas laacute pelo proacuteprio capacitor ele natildeo tem essa

capacidade ele natildeo tem FEM Elas foram depositadas por algum outro dispositivo que foi conectado a ele

talvez uma bateria (ou um gerador ou uma fotoceacutelula) Ao conectarmos um capacitor a um circuito de

resistores rapidamente ele descarrega e a DDP entre suas placas decai a zero porque ele natildeo possui

capacidade de manter essas cargas e essa DDP ou seja ele natildeo possui FEM

Uma bateria possui uma forccedila eletromotriz (FEM) porque uma reaccedilatildeo quiacutemica dentro dela resulta no

transporte de eleacutetrons (de carga minus ) do terminal positivo para o terminal negativo Esse transporte requer

energia porque os eleacutetrons ganham energia potencial eleacutetrica quando viajam atraveacutes do interior da bateria

do + para o ndash (lembre-se que = que = minus eacute negativa nesse caso e que o potencial do terminal + eacute

maior que o potencial do terminal -) A energia requerida para o transporte de um uacutenico eleacutetron por

unidade de carga ( ) eacute exatamente o valor da FEM da bateria ( = ) Essa energia vem da reaccedilatildeo

quiacutemica

Haacute tipicamente trecircs materiais envolvidos nessa reaccedilatildeo o material do catodo (+) o material do anodo

(ndash) e o material da soluccedilatildeo eletroliacutetica que permeia o espaccedilo entre o catodo e o anodo (o eletroacutelito) Dessa

forma a soluccedilatildeo eletroliacutetica reage com o material do catodo (+) e arranca eleacutetrons dele tornando-o carregado

positivamente Analogamente a soluccedilatildeo eletroliacutetica reage com o material do anodo (-) e deposita eleacutetrons

nele tornando-o carregado negativamente No final das contas podemos resumir a ideacuteia como se fosse de

fato um simples transporte de eleacutetrons do catodo para o anodo Enfim dentro da bateria a FEM impulsiona a

corrente do anodo para o catodo (sentido do movimento dos portadores de carga positivos) Esse eacute o sentido

da FEM da bateria de seu terminal ndash (anodo) para seu terminal + (catodo) A polarizaccedilatildeo do anodo e do

catodo produz um campo eleacutetrico dentro (e fora) da bateria apontando do

+ para o ndash ou seja oposto agrave FEM na regiatildeo do eletroacutelito A Figura ao lado

ilustra essa ideacuteia Sendo a bateria ideal ou seja natildeo havendo resistecircncia

eleacutetrica nos materiais da bateria segue que a diferenccedila de potencial entre

os terminais da bateria eacute igual agrave sua FEM Esse equiliacutebrio existe se a bateria

estaacute desconectada ou conectada fornecendo corrente para o circuito

desde que seus materiais reagentes ainda sejam capazes de manter a reaccedilatildeo quiacutemica necessaacuteria para o

transporte de eleacutetrons do catodo (+) para o anodo (ndash) Quando isso natildeo for mais possiacutevel porque a bateria

esgotou seus reagentes ela se torna inuacutetil Na Figura acima representamos esse equiliacutebrio desenhando as duas

+ + + +

- - - -

catodo

anodo

249

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

setas de e da FEM do mesmo tamanho (e opostas) mas note essa eacute apenas uma representaccedilatildeo pictoacuterica

dessas grandezas eacute uma forccedila e a FEM eacute um trabalho (ambos por unidade de carga) Estando a bateria

desconectadaisolada o equiliacutebrio entre as accedilotildees do campo e da FEM estanca a reaccedilatildeo mantendo fixa a

polarizaccedilatildeo dos terminais da bateria (mantendo a diferenccedila de potencial ∆ ) Uma bateria desconectada natildeo

consome (idealmente) seus reagentes (na praacutetica consome lentamente)

Para tornar essa discussatildeo mais concreta podemos tomar o exemplo da bateria de chumboaacutecido que

eacute geralmente utilizada em automoacuteveis Vamos deixar de lado quais satildeo os compostos especiacuteficos que

compotildeem essa bateria (chumbo dioacutexido de chumbo e soluccedilatildeo de aacutecido sulfuacuterico em aacutegua) e imaginar que o

anodo (ndash) eacute uma placa soacutelida condutora feita de um material O catodo (+) eacute uma placa soacutelida condutora de

material O eletroacutelito por sua vez eacute uma soluccedilatildeo que conteacutem os iacuteons (positivo) e (negativo)

dissolvidos em aacutegua O iacuteon possui um deacuteficit de um eleacutetron e carga eleacutetrica + O iacuteon por sua vez

possui um eleacutetron sobrando e carga eleacutetrica ndash Durante o processo de descarga ocorrem as seguintes reaccedilotildees

na bateria

No anodo (ndash) + rarr + Ou seja iacuteons chegam (colidem) na (com a) placa ndash e o produto

vai se formando (e se depositando) no anodo e eleacutetrons ( ) livres vatildeo sendo liberados e acumulando

nessa placa condutora que era neutra mas se torna negativa Esses eleacutetrons satildeo eleacutetrons de conduccedilatildeo (livres)

No catodo (+) + + rarr Ou seja iacuteons chegam (colidem) na (com a) placa + e o produto

vai se formando (e se depositando) no catodo e eleacutetrons livres ( ) vatildeo sendo consumidos nessa placa que

vai se tornando positiva Imagine que o jaacute estava na placa que eacute condutora e inicialmente eletricamente

neutra mas com muitos eleacutetrons livres em seu volume (eleacutetrons de conduccedilatildeo) Com a chegada de nessa

placa esse eleacutetron livre participa da reaccedilatildeo que produz resultando em um deacuteficit de um eleacutetron A placa

que era neutra fica positiva

As duas reaccedilotildees satildeo espontacircneas e liberam energia (quiacutemica) que estaacute sendo armazenada na bateria

na forma de energia potencial eleacutetrica Ao final as reaccedilotildees no catodo e no anodo resultam no

ldquodesaparecimentordquo de um eleacutetron no catodo que tinha energia potencial eleacutetrica ndash e no ldquosurgimentordquo de

um eleacutetron no anodo com energia potencial eleacutetrica ndash A energia potencial ldquocriadardquo eacute = ∆ =minus ( minus ) = ∆ sendo ∆ = minus a diferenccedila de potencial positiva entre catodo e anodo De onde

veio essa energia Soacute pode ter vindo das energias liberadas nas reaccedilotildees quiacutemicas nas placas

Na bateria de chumboaacutecido curiosamente os produtos e satildeo de fato o mesmo composto

( = ) os iacuteons que participam da reaccedilatildeo satildeo divalentes (conteacutem carga eleacutetrica plusmn2 ) e a aacutegua da soluccedilatildeo

tambeacutem eacute parte ativa nas reaccedilotildees Aqui estamos tentando simplificar a ideacuteia Se vocecirc quiser saber mais sobre

isso pode consultar um livro de eletroquiacutemica

250

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Durante essas reaccedilotildees quiacutemicas acontecem dois fenocircmenos que competem entre si e levam

finalmente ao equiliacutebrio e ao fim das proacuteprias reaccedilotildees (supondo que a bateria natildeo esteja conectada a nada)

Primeiramente o consumo de iacuteons na vizinhanccedila das placas (devido agraves reaccedilotildees) diminui as concentraccedilotildees

desses iacuteons nessas regiotildees e produzem fluxos de iacuteons em direccedilatildeo agraves placas por difusatildeo Essa difusatildeo alimenta

a reaccedilatildeo Iacuteons satildeo sugados (devido agrave diferenccedila de concentraccedilatildeo) e migram da soluccedilatildeo para as superfiacutecies das

placas onde reagem e ldquodesaparecemrdquo Mas essas mesmas reaccedilotildees quiacutemicas acumulam cargas eleacutetricas nas

placas e fazem surgir um campo eleacutetrico dentro do eletroacutelito apontando da placa + para a placa ndash Esse campo

repele os iacuteons que se difundiriam para o anodo e os iacuteons que iriam para o catodo Essa repulsatildeo se

opotildee e freia a reaccedilatildeo Agrave medida que a reaccedilatildeo ocorre e as cargas vatildeo acumulando nas placas o campo eleacutetrico

entre as placas vai crescendo ateacute que ele finalmente equilibra a difusatildeo de iacuteons para as placas e a reaccedilatildeo eacute

interrompida As placas ficam carregadas e uma diferenccedila de potencial eleacutetrico constante fica estabelecida

entre elas

A Figura ao lado ilustra essas ideacuteias A regiatildeo cinza eacute o eletroacutelito

entre as placas + (vermelha) e ndash (azul) A regiatildeo cinza mais clara representa o

eletroacutelito nas vizinhanccedilas das placas onde houve depleccedilatildeo nas

concentraccedilotildees de iacuteons devido agraves reaccedilotildees que acontecem nessas interfaces

placaseletroacutelito que consomem esses iacuteons Essas diferenccedilas de concentraccedilatildeo produzem difusatildeo de iacuteons e

em direccedilatildeo agraves placas (setas verdes) O campo eleacutetrico = minus vai se estabelecendo e freia as difusotildees

pois a forccedila eleacutetrica nos iacuteons estaacute ao longo de ndashx ( = ) e a forccedila nos iacuteons estaacute ao longo de +x

( = minus ) As placas repelem os iacuteons que reagem nelas No equiliacutebrio a difusatildeo e a reaccedilatildeo cessam

Ao conectar a bateria a um circuito externo uma lacircmpada por exemplo as cargas nas placas fluem

pelos condutores desse circuito externo imediatamente o campo eleacutetrico entre as placas diminui (de uma

quantidade miacutenima) e a difusatildeo de iacuteons para as placas se restabelece ligando novamente as reaccedilotildees quiacutemicas

nas placas Agora a lacircmpada brilha pela passagem da corrente e as reaccedilotildees quiacutemicas nas interfaces

placaseletroacutelito mantecircm as cargas depositadas nas placas e a diferenccedila de potencial ∆ entre elas A energia

quiacutemica ldquodesaparecerdquo enquanto a lacircmpada brilha

Essa diferenccedila de potencial ∆ estaacute definida basicamente pela capacidade de reaccedilatildeo desses

compostos pois a reaccedilatildeo produz a difusatildeo de iacuteons que deve ser freada pelo campo eleacutetrico entre as placas

que define a diferenccedila de potencial entre os terminais da bateria No caso da bateria de chumboaacutecido a

diferenccedila de potencial estabelecida entre as duas placas eacute de aproximadamente 2 volts (uma bateria de 12

volts conteacutem 6 dessas ldquoceacutelulas galvacircnicasrdquo ligadas em seacuterie)

Resumindo uma bateria possui uma FEM porque ela eacute capaz de i) fornecer energia potencial eleacutetrica

para os portadores de carga (positiva) que passam por dentro dela do terminal ndash para o terminal + ii) manter

+--

-

+

+

x

251

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

uma diferenccedila de potencial fixa entre seus terminais iii) manter uma separaccedilatildeo de cargas fixa em seus

terminais A FEM ℇ da bateria resumequantifica essas capacidades

A Figura ao lado mostra uma bateria de chumboaacutecido de FEM = 12 V comumente utilizada em aparelhos de no-break para

computadores Nela tambeacutem estaacute escrito 72 Ah Isso significa que essa

bateria estando totalmente carregada eacute capaz de fornecer uma corrente

constante de 72 A ao longo de uma hora ou 072 A ao longo de 10 horas

etc Essa informaccedilatildeo daacute a carga eleacutetrica total que a reaccedilatildeo quiacutemica na bateria

eacute capaz de gerardepositar em suas placas e fazer circular pelo circuito externo Essa carga eacute

= 72Ah = 72 Cs times 3600s = 25920C

Trata-se da movimentaccedilatildeo de 1023 eleacutetrons depende basicamente do tamanho da bateria ou seja da

quantidade de reagentes que ela possui Vaacuterias baterias conectadas em paralelo produzem a mesma FEM mas

podem funcionar por mais tempo porque satildeo capazes de gerar mais carga eleacutetrica

Baterias reais possuem uma resistecircncia interna definida pelas propriedades

dos materiais usados em sua construccedilatildeo A Figura ao lado ilustra o esquema eleacutetrico

de uma bateria real uma bateria ideal + um resistor de resistecircncia O resistor

representa a resistecircncia total que os portadores de carga enfrentam ao atravessar a

bateria de A para B A DDP entre os terminais A e B da bateria real natildeo eacute necessariamente igual a sua FEM

Essas duas grandezas satildeo iguais apenas se a bateria natildeo estiver conectada a nada Se houver corrente eleacutetrica

fluindo pela bateria a resistecircncia modifica o valor da DDP entre A e B (pois causa o que eacute comumente

chamado de ldquoqueda de tensatildeordquo) fazendo com que ela seja diferente de ℰ De fato suponha uma corrente

fluindo de A para B na bateria e seguindo por um circuito externo qualquer A bateria ideal manteacutem seu

terminal + em um potencial ℰ acima do potencial do terminal ndash Portanto se C eacute o ponto de conexatildeo da

bateria ideal com o resistor na Figura acima segue que minus = ℰ

No resistor a corrente soacute flui do potencial maior para o potencial menor no caso gt Da lei de

Ohm sabemos que minus =

Portanto a DDP entre os terminais A e B da bateria real eacute minus = ( minus ) minus ( minus ) = ℰ minus

+

A B

C

252

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Haacute uma queda de DDP (ou queda de tensatildeo) de dentro da bateria Uma bateria de ℰ = 12 V pode

apresentar uma DDP de 115 V (queda de 05 V) entre seus terminais se ela estiver alimentando algum circuito

externo Isso natildeo significa que ela estaacute com defeito Trata-se apenas do efeito (indesejado) de sua resistecircncia

interna

Continuando com essa mesma bateria real vamos calcular a taxa com que ela entrega energia

potencial eleacutetrica para os portadores que circulam nesse circuito A taxa com que os portadores passam por

essa bateria eacute Portanto a taxa com a bateria ideal entrega energia potencial eleacutetrica para os portadores de

carga que circulam nesse circuito eacute

= = = ℰ = ℰ

Essa eacute a potecircncia para uma baterial ideal Se considerarmos que a resistecircncia interna da bateria dissipa

uma parte dessa energia uma parte dada por segue que uma bateria real entrega energia aos portadores

de carga no (restante do) circuito com a potecircncia = ℰ minus

Podemos notar que uma bateria em uso aquece pois uma parte da energia produzida na reaccedilatildeo

quiacutemica eacute perdida na forma de calor devido a sua resistecircncia interna O restante da energia vai para o circuito

externo conectado agrave bateria Concluindo uma bateria real de FEM ℰ em que circula uma corrente consome

sua energia interna na taxa ℰ sendo a parte que ela consome com sua proacutepria resistecircncia interna

(perdas por efeito Joule) e ℰ minus a parte (o restante) que ela entrega para o circuito externo

54 Um circuito eleacutetrico simples bateria + resistor

Finalmente podemos comeccedilar a discutir o funcionamento de circuitos simples formados basicamente

pela conexatildeo de resistores e baterias O resistor representa nesse circuito uma saiacuteda de energia potencial

eleacutetrica do circuito para o mundo exterior na forma de calor A bateria representa uma entrada de energia

potencial eleacutetrica no circuito vinda de um processo de conversatildeo de energia quiacutemica em energia potencial

eleacutetrica O circuito portanto acaba por cumprir seu papel de converter energia quiacutemica em calor A energia

potencial eleacutetrica eacute apenas uma intermediaacuteria nesse processo Esquematicamente rarr rarr

Mas enfim essa eacute a ideia baacutesica de um circuito eleacutetrico transferir energia atraveacutes do espaccedilo de forma

eficiente A energia eleacutetrica pode ser transmitida tambeacutem atraveacutes do espaccedilo sem a necessidade de fios

condutores Os fornos de microondas e os telefones celulares estatildeo aiacute para mostrar isso No entanto para a

transmissatildeo de energia em grande quantidade com o miacutenimo de perdas no caminho a melhor soluccedilatildeo ainda eacute

o circuito eleacutetrico Por isso vemos as instalaccedilotildees eleacutetricas residenciais por dentro das paredes das casas as

253

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

linhas de distribuiccedilatildeo nos postes nas ruas e as linhas de transmissatildeo nas torres ao longo das estradas Elas

estatildeo desempenhando seu papel de levar a energia potencial eleacutetrica de um lugar para o outro de uma forma

economicamente viaacutevel

Analisar um circuito eleacutetrico consiste basicamente em determinar os

valores das correntes que circulam por ele tendo em vista os paracircmetros

conhecidos como as resistecircncias e as FEMs Vamos comeccedilar pelo caso mais

simples um resistor conectado a uma bateria ideal como ilustrado na Figura ao

lado A bateria eacute ideal (sem resistecircncia interna) de FEM ℰ e o resistor possui

resistecircncia R Qual a corrente que circula nesse circuito No proacuteximo capiacutetulo estudaremos as leis de Kirchhoff

que basicamente automatizam a anaacutelise de circuitos e que se aplicam de uma forma bem simples a esse

circuito em particular Por enquanto vamos analisar esse circuito do ponto de vista da energia ou potecircncia de

seus componentes A ideia eacute simples A bateria ideal fornece energia potencial eleacutetrica aos portadores de

carga na taxa = ℰ No resistor os portadores de carga perdem energia potencial eleacutetrica na taxa = Essas ideacuteias jaacute foram discutidas anteriormente mas apenas para resumir a bateria consome

seus compostos quiacutemicos para transportar os portadores de carga positiva de B ateacute A fornecendo a um

portador de carga gt 0 a energia potencial eleacutetrica = ( minus ) No resistor um portador de carga

enfrenta um arraste e perde energia potencial eleacutetrica quando ele vai de C ateacute D Ele perde a energia = ( minus ) = ( minus ) = minus Vemos que se natildeo haacute outras entradas ou saiacutedas de energia potencial

eleacutetrica do circuito segue que = ℰ = =

Portanto a corrente nesse circuito vale = ℰ

Considere a lacircmpada de farol automotivo Magneti Marelli H7 de 55 W mostrada na

Figura ao lado Qual a resistecircncia eleacutetrica e qual a corrente que circula nessa lacircmpada

Devemos saber que nos automoacuteveis de passeio os circuitos eleacutetricos satildeo tipicamente

alimentados por uma bateria de FEM ℰ = 12 V Essa bateria deve ter uma resistecircncia

interna pois todas tecircm mas vamos desconsideraacute-la aqui Qual a resistecircncia do filamento dessa lacircmpada

Sabemos que para um resistor vale = (∆ ) e que nesse caso vale = 55 W e ∆ = 12 V Portanto cong 262Ω (resistecircncia do filamento em funcionamento) A corrente na lacircmpada eacute

= ℰ cong 12262 cong 46A

-

R

C

D

A

B

254

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Estando o automoacutevel com o motor desligado a bateria de 12 V alimenta essa lacircmpada Enquanto o

automoacutevel roda com essa lacircmpada acesa ela eacute alimentada por um gerador o alternador do automoacutevel e natildeo

pela bateria Nesse caso de onde vem a energia da lacircmpada Segundo o fabricante essa lacircmpada acarreta um

consumo de 007 litros de gasolina a cada 100 km rodados Como a lacircmpada faz para consumir gasolina O

alternador estaacute acoplado ao motor de combustatildeo atraveacutes de uma correia O motor de combustatildeo do

automoacutevel gira o rotor do alternador Ao ligarmos a lacircmpada a corrente na lacircmpada e no gerador produz uma

forccedila magneacutetica no rotor do gerador uma forccedila de freio O motor de combustatildeo sente esse esforccedilo extra

atraveacutes da correia e aumenta o consumo de combustiacutevel Quando estudarmos o princiacutepio de funcionamento

de um gerador de energia eleacutetrica entenderemos melhor essa ideia

55 Aplicaccedilotildees

1) Considere a questatildeo mostrada na Figura 10 abaixo que pode ser encontrada em um livro considerado

ldquoclaacutessicordquo nesse assunto

Primeiramente poderiacuteamos nos perguntar o que seria um resistor ldquorealrdquo De fato a questatildeo se refere

ao comportamento da curva times ∆ em uma situaccedilatildeo ldquorealistardquo ou praacutetica em que a temperatura do resistor

varia livremente Eacute o que ocorre por exemplo com os fios condutores que transportam corrente eleacutetrica em

circuitos eleacutetricos comuns Enquanto eles transportam corrente eles aquecem devido ao efeito Joule Mas eacute

claro que poderiacuteamos imaginar um caso em que a temperatura do resistor estaacute fixa por exemplo atraveacutes de

um sistema de refrigeraccedilatildeo Natildeo haacute nada de absurdo nisso Mas enfim essa natildeo seria uma situaccedilatildeo muito

ldquocomumrdquo Essa deve ser a ideia que a questatildeo acima quer passar com o termo ldquoresistor realrdquo

Sabemos que a resistecircncia de um resistor eacute dada por

= ∆ rArr = 1 ∆

Portanto vemos que o comportamento da curva times ∆ seraacute afetado pelo comportamento da resistecircncia

enquanto varremosvariamos o valor de ∆ (e de )

Figura 10 uma questatildeo de um livro claacutessico de eletromagnetismo

255

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Em um experimento com temperatura fixa natildeo varia e portanto a curva times ∆ eacute a curva mostrada

na alternativa (a) acima Trata-se de uma reta que passa pela origem (∆ = 0 rArr = 0)

Mas a questatildeo aqui se refere a um ldquoresistor realrdquo e jaacute traduzimos essa ideia como sendo o caso em

que a temperatura (de equiliacutebrio teacutermico) do resistor vai aumentando agrave medida que a corrente que passa por

ele vai aumentando Conclusatildeo agrave medida que ∆ (e ) aumenta aumenta (porque aumenta) e a curva times ∆ vai se tornando horizontal porque 1 diminui (lembre-se que uma retacurva de inclinaccedilatildeo

(derivada) zero eacute uma retacurva paralela ao eixo das abscissas que seria o eixo de ∆ nesse caso) Trata-se

portanto da alternativa (d) na questatildeo Note que a curva em (c) tambeacutem apresenta esse comportamento de

se tornar progressivamente horizontal mas devemos levar em conta tambeacutem que a curva times ∆ deve passar

pela origem (se natildeo haacute estiacutemulo (∆ ) natildeo haacute resposta ( ))

2) Considere agora o problema mostrado na Figura 11 abaixo Uma bateria (real) de FEM ℰ e resistecircncia

interna eacute conectada a um resistor ajustaacutevel ou seja um resistor cuja resistecircncia eleacutetrica pode ser ajustada

livremente dentro da faixa isin [0infin) Esse resistor poderia ser algo como mostrado na Figura 12 abaixo

Variando a distacircncia entre os terminais A e B vamos variando o comprimento de um fio resistivo e a

resistecircncia eleacutetrica entre A e B (maior comprimento maior resistecircncia)

O amperiacutemetro (ideal) e o voltiacutemetro (ideal) medem a corrente eleacutetrica no circuito e a DDP entre os

terminais da bateria respectivamente Discutiremos um pouco mais sobre esses

instrumentos de medida no proacuteximo capiacutetulo Fato eacute que podemos analisar o

circuito como se o amperiacutemetro e o voltiacutemetro natildeo existissem fato que eacute

consequumlecircncia da hipoacutetese deles serem ideais

Na Figura ao lado mostramos um esquema eleacutetrico desse circuito Note que

natildeo haacute corrente passando pelo voltiacutemetro ideal Vamos comeccedilar calculando a

Figura 11 uma bateria ldquorealrdquo conectada a um resistor ajustaacutevel

A B

Figura 12 um resistor ajustaacutevel

R C D

ℰA B

r

A

V

256

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

corrente eleacutetrica que circula no circuito Como natildeo temos ainda as leis de Kirchhoff que governam o

funcionamento dos circuitos eleacutetricos usaremos aqui a ideia da conservaccedilatildeo da energia ou da potecircncia A

bateria real entrega energia potencial eleacutetrica para os portadores de carga no circuito na taxa = ℰ minus

Estaacute claro que eacute a potecircncia com que energia eacute perdida na forma de calor na proacutepria bateria Por outro

lado os portadores de carga perdem energia potencial eleacutetrica no resistor transformada em calor (efeito

Joule) na taxa

=

Se a energia natildeo tem outro lugar para ir ou de onde vir segue que

= rArr ℰ minus = rArr = ℰ+

Essa eacute a leitura indicada pelo amperiacutemetro pois vemos que essa corrente passa por dentro do

amperiacutemetro

A leitura do voltiacutemetro eacute ∆ = minus pois os dois terminais do voltiacutemetro estatildeo ligados a A e a B

(sabemos que gt ) Jaacute vimos que A bateria ideal manteacutem seu terminal + em um potencial ℰ acima do

potencial do terminal - Portanto se P eacute o ponto de conexatildeo da bateria ideal com o resistor r na Figura acima

segue que minus = ℰ

Em um resistor a corrente soacute flui do potencial maior para o potencial menor no caso gt Da lei

de Ohm sabemos que minus =

Portanto (como jaacute vimos) a DDP entre os terminais A e B da bateria real eacute minus = ( minus ) minus ( minus ) = ℰ minus

Haacute uma queda de DDP (ou queda de tensatildeo) de dentro da bateria Concluindo a leitura do

voltiacutemetro eacute ∆ = ℰ minus = ℰ minus ℰ+ = + ℰ

Se a bateria fosse ideal ( = 0) valeria ∆ = ℰ

Agora vamos analisar os comportamentos de e ∆ quando ajustamos livremente O caso extremo = 0 eacute o que podemos chamar de curto-circuito dos terminais da bateria Nesse caso obtemos

257

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

= ℰ+ rarr ℰ

Corrente de curto-circuito da bateria Eacute a corrente

maacutexima que uma bateria pode fornecer (perigo de

incecircndio)

∆ = + ℰ rarr 0 A fonte curto-circuitada apresenta DDP nula entre seus

terminais pois a queda de tensatildeo se torna = ℰ

O outro extremo rarr infin eacute o que podemos chamar de circuito aberto Nesse caso obtemos

= ℰ+ rarr 0 Natildeo circula corrente em um circuito aberto

∆ = + ℰ rarr ℰ

A DDP entre os terminais de uma bateria aberta em

que natildeo circula corrente eacute igual a sua FEM pois a

queda de tensatildeo se torna = 0

Enfim os graacuteficos abaixo ilustram os comportamentos de (curva vermelha) e ∆ (curva verde)

quando ajustamos livremente entre esses dois extremos curto-circuito e circuito aberto Note que as

escalas verticais satildeo diferentes para cada curva A escala de ∆ eacute dada em volts e a escala de eacute dada em

ampegraveres

Um valor tiacutepico para uma bateria de chumbo-aacutecido (ℰ = 12 V) eacute cong 01Ω o que implica em uma

corrente de curto circuito ℰ cong 120 A Com essa corrente a taxa de produccedilatildeo de calor na bateria eacute cong 14

W Eacute melhor sair de perto pois a temperatura da bateria vai subir muito e provavelmente ela vai explodir Esse

curto-circuito da bateria eacute responsaacutevel pela explosatildeo de aparelhos de telefone celular

3) Um cilindro maciccedilo de raio e comprimento eacute formado pela uniatildeo de dois

cilindros de materiais ocirchmicos diferentes um de comprimento e resistividade

eleacutetrica e o outro de comprimento = minus e resistividade A Figura ao

lado ilustra essa ideia Suponha que uma corrente esteja fluindo

uniformemente na seccedilatildeo transversal desse cilindro Vamos calcular a resistecircncia

R 0

ℰℰ

bateria em curto-circuito rarr infin

bateria em um circuito aberto

z

258

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

eleacutetrica desse cilindro

A resistecircncia eleacutetrica eacute dada pela razatildeo = Δ Portanto devemos calcular a DDP Δ entre as

extremidades (os terminais) A (esquerda) e B (direita) desse cilindro A DDP eacute dada por

Δ = ∙

Portanto devemos conhecer primeiro o campo eleacutetrico que existe dentro do material do cilindro onde a

corrente flui Para isso usamos a lei de Ohm

No cilindro 1 = No cilindro 2 =

sendo = a densidade de corrente uniforme que existe no material condutor do cilindro (z eacute o eixo do cilindro ao longo

de ) A densidade de corrente eacute a mesma nos dois cilindros Portanto nos materiais condutores desses

cilindros existem os campos eleacutetricos uniformes (responsaacuteveis pela corrente )

No cilindro 1 = No cilindro 2 = Note que se gt entatildeo vale gt no material mais resistivo deve haver um campo eleacutetrico mais

intenso para vencer o arraste maior e estabelecer a mesma corrente nos dois cilindros

Agora devemos integrar o campo eleacutetrico ao longo de um caminho qualquer que une os terminais

desse cilindro O caminho mais simples eacute aquele que vai ao longo do eixo z desde A ateacute B Mas ao longo desse

caminho o campo eleacutetrico muda de valor digamos no ponto C quando passamos de um cilindro para o outro

Portanto devemos separar a integral que fornece Δ em duas partes

Δ = ∙ = ∙ + ∙

Considerando que nesse caminho particular vale = e que os campos eleacutetricos satildeo uniformes obtemos

Δ = ∙ + ∙ = ∙ + ∙ = +

Conclusatildeo a resistecircncia eleacutetrica desse cilindro eacute

= Δ = + = +

259

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Vemos que a resistecircncia eleacutetrica do cilindro eacute simplesmente a soma das resistecircncias eleacutetricas e de cada

um dos cilindros que estatildeo unidos um apoacutes o outro formando o cilindro maior de resistecircncia Esse

resultado demonstra a regra de resistecircncia equivalente para uma associaccedilatildeo em seacuterie de dois resistores que

abordaremos novamente no proacuteximo capiacutetulo = +

O campo eleacutetrico muda de valor quando passamos de um material para o outro Quem eacute responsaacutevel

por essa mudanccedila no campo eleacutetrico O campo eleacutetrico dentro de fios condutores de eletricidade eacute produzido

por distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas acumuladas em suas superfiacutecies e em regiotildees de interface entre diferentes

materiais No presente caso haacute um acuacutemulo superficial de cargas eleacutetricas (uma )

no disco de raio que eacute a interface entre os dois cilindros de materiais diferentes

A Figura ao lado ilustra esse discointerface em vermelho onde existe uma

densidade de carga superficial

A proacutexima Figura destaca esse discointerface e mostra uma

superfiacutecie gaussiana do tipo ldquolatardquo ciliacutendrica que pode ser usada na lei de

Gauss para determinar a magnitude da densidade de carga superficial

uniforme que deve haver nessa interface entre esses dois meios

condutores Note que soacute haacute fluxo do campo eleacutetrico nas tampas da ldquolatardquo de

aacuterea e que a carga interna eacute simplesmente = Portanto levando

em conta que a normal nas tampas eacute = plusmn obtemos da lei de Gauss

∙ = minus + = =

Concluindo a densidade de carga na interface responsaacutevel pela mudanccedila abrupta na magnitude do campo

eleacutetrico nos diferentes materiais eacute = ( minus ) = minus = ( minus ) Note que se os dois materiais fossem de fato iguais natildeo haveria (nem interface) Se valer gt entatildeo gt 0 haacute um acuacutemulo de cargas positivas na interface Caso contraacuterio o acuacutemulo de cargas seria negativo

Esse acuacutemulo de cargas se forma durante um transiente raacutepido logo que o circuito eacute ligado e a

corrente eleacutetrica comeccedila a se estabelecer Ainda supondo gt durante o transiente inicial haveria uma

corrente maior no material 1 (menos resistivo) do que no material 2 Portanto chegariam mais cargas

positivas na interface do que sairiam resultando em um acuacutemulo de cargas positivas nessa interface Com

isso nasceria o campo eleacutetrico de gt 0 que frearia os portadores de carga no material 1 e aceleraria os

portadores de carga no material 2 (note o sentido do campo eleacutetrico devido a gt 0 nos dois lados da

interface) Esse acuacutemulo iria evoluindo ateacute que as duas correntes se igualassem nos dois materiais

z

260

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

diferentes Com isso a densidade atingiria um valor estacionaacuterio assim como a corrente no condutor e o

transiente terminaria A densidade de carga fica laacute estaacutetica cumprindo seu papel de promover um salto no

valor do campo na interface

261

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

6 Circuitos eleacutetricos

No capiacutetulo anterior jaacute iniciamos a anaacutelise de circuitos eleacutetricos Aqui vamos avanccedilar um pouco mais

nesse estudo analisando circuitos de baterias e resistores circuitos de corrente contiacutenua (CC) Estudaremos as

leis de Kirchhoff que nos permitem construir um algoritmo que leva do circuito a um conjunto de equaccedilotildees

lineares relacionando as FEMs as resistecircncias e as correntes no circuito Estudaremos tambeacutem o

comportamento da corrente no circuito RC seacuterie que jaacute discutimos qualitativamente no capiacutetulo 5

Basicamente um circuito eleacutetrico eacute um sistema de transmissatildeo de energia potencial eleacutetrica atraveacutes do

espaccedilo A Figura 1 abaixo faz uma analogia de um circuito eleacutetrico com um circuito mecacircnico Imagine que

uma pessoa queira girar uma roda drsquoaacutegua que estaacute muito distante dela algumas centenas de metros A roda

drsquoaacutegua pode por exemplo mover um moinho que moacutei gratildeos de trigo Essa pessoa monta o seguinte sistema

vaacuterias bolas de massa M vatildeo sendo erguidas em sequecircncia As bolas rolam por uma rampa longa que as

transporta ateacute o local onde estaacute a roda drsquoaacutegua As bolas caem e colidem com as paacutes da roda fazendo ela girar

Depois disso as bolas rolam de volta por uma rampa mais baixa e satildeo erguidas novamente pela pessoa Dessa

forma enquanto essa pessoa tiver disposiccedilatildeo a roda drsquoaacutegua vai rodar e moer o trigo

Figura 1 um circuito mecacircnico de transporte de energia potencial gravitacional

262

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

O sistema de rampas eacute um sistema de transmissatildeo de energia potencial gravitacional A pessoa eacute a

fonte de energia potencial gravitacional Ela produz a partir de sua energia interna ou seja de seu

metabolismo Note que uma pequena parte da energia potencial eacute perdida na transmissatildeo pois as rampas

possuem uma pequena inclinaccedilatildeo para compensar o atrito que atua nas bolas enquanto elas rolam Considere

que as bolas circulam todo o circuito com velocidade de moacutedulo constante ou seja que a resultante das

forccedilas em uma bola eacute sempre nula Fazendo analogia com um circuito eleacutetrico as bolas representam os

portadores de carga que fluem com velocidade de derivaarraste constante ao longo do circuito a pessoa faz

o papel da bateria que fornece energia potencial eleacutetrica aos portadores de carga as duas rampas fazem o

papel de fios condutores com resistecircncia eleacutetrica e que produzem portanto uma perda de energia eleacutetrica

(efeito Joule) com a circulaccedilatildeo da corrente A roda drsquoaacutegua poderia

representar um motor eleacutetrico sobre cujo funcionamento

discutiremos mais adiante O motor eleacutetrico converte energia eleacutetrica

em energia mecacircnica de rotaccedilatildeo assim como a roda drsquoaacutegua converte

a energia potencial gravitacional das bolas em energia cineacutetica de

rotaccedilatildeo A Figura ao lado ilustra esse circuito eleacutetrico que seria anaacutelogo ao circuito mecacircnico na Figura 1

Sendo o campo gravitacional conservativo uma equaccedilatildeo que poderiacuteamos escrever para esse circuito

mecacircnico eacute

∆ = 0

Com essa equaccedilatildeo queremos dizer que se somarmos as perdas e ganhos de de uma bola ao longo

de todo o circuito ou seja em um percurso fechado o saldo eacute zero Resumindo ao passar da rampa de baixo

para a rampa de cima uma bola recebe uma ∆ gt 0 graccedilas ao trabalho da pessoa que ergue as bolas Ao

descer pela rampa superior uma bola perde uma ∆ lt 0 que eacute convertida em calor pela accedilatildeo do atrito Ao

cair e bater na roda drsquoaacutegua uma bola perde um ∆ lt 0 que eacute convertida em energia cineacutetica de rotaccedilatildeo da

roda Ao rolar pela rampa inferior uma bola perde mais uma ∆ lt 0 que eacute convertida em calor pelo atrito

Somando todos esses ∆ s obtemos um saldo zero Isso porque o campo gravitacional eacute conservativo

Mais adiante veremos que a lei das malhas de Kirchhoff corresponde a um raciociacutenio anaacutelogo utilizado

em circuitos eleacutetricos apenas trocando por Isso porque o campo eletrostaacutetico eacute conservativo

61 As leis de Kirchhoff para circuitos eleacutetricos

A Figura 2 abaixo ilustra um circuito eleacutetrico formado por trecircs resistores e trecircs baterias Eacute importante

termos em mente que esse diagrama apenas pretende ilustrar as conexotildees eleacutetricas entre esses componentes

e natildeo traacutes nenhuma hipoacutetese sobre a geometria do circuito (se ele eacute quadrado redondo etc) ou sobre as

R1

R2

ℰ motor

263

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

dimensotildees e distacircncias envolvidas se o circuito eacute

grande ou pequeno nesse circuito pode estar

representando a resistecircncia interna da bateria de FEM ℰ ou a resistecircncia eleacutetrica de um fio de cobre de 200

km de comprimento ou de uma lacircmpada ou tudo isso

junto Analogamente as baterias de FEM ℰ e ℰ natildeo

estatildeo necessariamente uma ao lado da outra elas

podem estar distantes 400 km uma da outra

conectadas por fios longos Nesse caso poderia

modelar a resistecircncia eleacutetrica desses fios Enfim natildeo

devemos nos prender aos detalhes desse desenho O uacutenico criteacuterio utilizado na sua elaboraccedilatildeo (aleacutem das

conexotildees envolvidas) foi o esteacutetico Devemos atentar para as conexotildees entre os diferentes componentes do

circuito

A ideia baacutesica eacute que queremos determinar as correntes que circulam nesse circuito em funccedilatildeo dos

valores conhecidos das resistecircncias e das FEMs Identificamos nesse circuito o que chamamos de noacutes A B C

Um noacute eacute um ponto no circuito em que vaacuterios condutores (perfeitos por hipoacutetese) se conectam Os noacutes A e C

por exemplo satildeo apenas dobras do mesmo condutor (que vamos chamar de fio) mas mesmo assim estamos

chamando esses pontos de noacutes (triviais) Nos noacutes B e D por exemplo trecircs fios se conectam e nesses noacutes a

corrente se divide (com em um entroncamento em uma estrada) Um ramo eacute um caminho atraveacutes do circuito

que vai de um noacute ateacute outro subsequente (noacutes natildeo triviais onde a corrente se divide) Por exemplo no ramo

BAGH estatildeo o resistor R1 e a bateria de FEM ℰ e no ramo DEFH estatildeo o resistor R2 e a bateria de FEM ℰ Uma

malha eacute um caminho fechado ao longo do circuito partindo de um noacute e voltando a esse mesmo noacute Uma

malha eacute um conjunto fechado de ramos Por exemplo ao percorrer a malha ABJHGA vamos passar pelo

resistor R1 pela bateria de FEM ℰ e pela bateria de FEM ℰ O circuito na Figura 1 eacute dito de trecircs malhas

porque ele possui trecircs malhas independentes ABJHGA BCDJB e DEFHJD (por exemplo) Qualquer outro

caminho fechado que percorrermos nesse circuito seraacute uma composiccedilatildeo desses trecircs caminhos fechados Por

exemplo a malha BCDEFHJB eacute uma composiccedilatildeo de BCDJB com DEFHJD Note que o ramo JD eacute percorrido em

sentidos opostos nas malhas BCDJB e DEFHJD e quando combinamos as duas malhas esse ramo se cancela

formando a malha maior BCDEFHJB Finalmente em cada ramo do circuito definimos uma corrente circulando

em um sentido arbitraacuterio ateacute A ideia baacutesica de se resolver um circuito consiste em se determinar em

funccedilatildeo de e ℰ Para isso vamos fazer uso das duas leis de Kirchhoff

Eacute bom frisar que os ldquofiosrdquo metaacutelicos que conectam os componentes do circuito (representados pelas

linhas retas conectando os diferentes noacutes) satildeo por hipoacutetese condutores perfeitos e portanto equipotenciais

Assim sendo podemos ver na Figura 1 que por exemplo = = = e = = Se algum desses

R2

A ℰR1

R3 ℰ

B C

D

E F

G H

J

Figura 2 um circuito de trecircs malhas

264

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

condutores natildeo fosse perfeito sua resistecircncia eleacutetrica estaria representada no circuito atraveacutes de um resistor Se natildeo haacute

um siacutembolo de resistor representado a resistecircncia de um fio condutor entatildeo ele deve ser considerado perfeito

(equipotencial)

Havendo ramos no circuito haveraacute correntes independentes a serem determinadas ou seja o

conjunto possui elementos Portanto precisaremos de um conjunto de equaccedilotildees independentes

para resolver esse circuito Para o circuito da Figura 1 = 6 e devemos obter 6 equaccedilotildees independentes

para as correntes Essas equaccedilotildees satildeo obtidas da lei dos noacutes e da lei das malhas que discutiremos abaixo

Basicamente contamos no circuito o nuacutemero de noacutes natildeo triviais ou seja noacutes em que trecircs ou mais fios se

conectam (noacutes que natildeo satildeo apenas dobras) Para o circuito da Figura 1 = 4 (noacutes H B J e D) Ao aplicar a lei

dos noacutes a minus 1 desses noacutes obtemos minus 1 equaccedilotildees independentes (o uacuteltimo noacute daria uma equaccedilatildeo

redundante) Ainda faltam minus ( minus 1) equaccedilotildees que para o circuito da Figura 1 seriam minus + 1 =6 minus 4 + 1 = 3 equaccedilotildees Aplicamos a lei das malhas para minus + 1 malhas diferentes no circuito e pronto

construiacutemos com certeza um conjunto de equaccedilotildees independentes para as correntes Daiacute em diante

tudo se resume a resolver esse sistema linear de equaccedilotildees o que pode ser feito de vaacuterias maneiras diferentes

As leis de Kirchhoff se aplicam em um circuito funcionando em regime estacionaacuterio basicamente o

regime em que a corrente eacute a mesma ao longo de toda e extensatildeo de um ramo ou seja a corrente que entra

no ramo (por um noacute) eacute a mesma que sai desse ramo (por outro noacute) Essa condiccedilatildeo estaacute relacionada ao

tamanho linear do circuito (o comprimento tiacutepico ℒ dos ramos do circuito) e ao comprimento de onda (λ) das

oscilaccedilotildees espaciais da corrente Basicamente as leis de Kirchhoff valem se o circuito eacute compacto comparado

com λ ℒ ≪ Trata-se de uma condiccedilatildeo facilmente satisfeita em circuitos de baixa frequumlecircncia Por exemplo

para correntes alternadas oscilando com frequumlecircncia = 60 Hz que eacute o caso das instalaccedilotildees eleacutetricas

residenciais o comprimento de onda eacute = cong5000 km ( eacute a velocidade da luz no vaacutecuo cong300000

kms) Portanto mesmo uma linha de transmissatildeo de Itaipu ligando Foz do Iguaccedilu a Satildeo Paulo com

comprimento ℒ cong 900 km eacute pequena comparada com esse comprimento de onda No caso de circuitos de

corrente contiacutenua que estamos estudando aqui a corrente natildeo oscila ou seja rarr infin e as leis de Kirchhoff

satildeo exatas Vimos no capiacutetulo 5 que os circuitos eleacutetricos apresentam um transiente muito raacutepido

(basicamente imperceptiacutevel) em que a corrente flui de forma irregular acumulando cargas eleacutetricas

minuacutesculas em regiotildees estrateacutegias ao longo do circuito (por exemplo nas regiotildees de fronteiras entre materiais

de diferentes resistividades) Esse transiente muito raacutepido natildeo estaacute descrito pelas leis de Kirchhoff

No capiacutetulo 5 esboccedilamos algumas ideacuteias sobre a descriccedilatildeo de circuitos eleacutetricos em termos de forccedila

ou seja em termos das cargas eleacutetricas acumuladas nas superfiacutecies dos fios e do campo eleacutetrico que essas

cargas produzem dentro dos fios Essas ideacuteias nos ajudam a entender o funcionamento dos circuitos mas eacute

padratildeo que a descriccedilatildeo quantitativa de circuitos eacute realizada atraveacutes do conceito de potencial eleacutetrico e energia

(ou potecircncia) Essa eacute a descriccedilatildeo que discutiremos aqui Qualquer outra tentativa eacute muito complicada

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

611 Leis de Kirchhoff lei dos noacutes (ou lei das correntes)

A lei dos noacutes eacute consequumlecircncia da conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica Ela afirma que a soma das correntes

que chegam a um noacute eacute igual agrave soma das correntes que saem desse mesmo noacute Matematicamente

=

Trata-se do princiacutepio da conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica em qualquer instante a taxa com que

carga eleacutetrica chega a um noacute eacute igual agrave taxa com que carga sai desse noacute Trata-se de uma propriedade do estado

estacionaacuterio em um circuito CC Se nada depende do tempo tudo eacute constante entatildeo a carga eleacutetrica total que

eventualmente se deposite em um noacute qualquer deve ser constante e para isso a corrente que chega a esse noacute

deve ser igual agrave corrente que sai De fato um noacute eacute apenas uma junccedilatildeo de vaacuterios condutores sem nenhuma

outra propriedade importante que natildeo seja sua capacidade de simplesmente conduzir as cargas eleacutetricas

(condutor perfeito) entre os diferentes ramos do circuito Portanto mesmo em um regime natildeo constante no

tempo (circuitos de corrente alternada por exemplo) a carga eleacutetrica que eventualmente se deposite nesse noacute

eacute para todos os efeitos despreziacutevel

Podemos generalizar essa equaccedilatildeo da conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica para circuitos com

correntes natildeo constantes e pontospartes do circuito que acumulam quantidades importantes de carga ( ) como por exemplo placas de capacitores Nesse caso a ldquolei dos noacutesrdquo se torna

minus = ( )

sendo ( ) a carga eleacutetrica que estaacute acumulando nesse pontoparte do circuito onde chegamsaem essas

correntes Essa equaccedilatildeo estaacute dizendo que as cargas que chegam menos as cargas que saem eacute igual ao saldo de

cargas que ficam acumuladas A lei dos noacutes propriamente dita corresponde ao caso particular ( ) = 0

(nada depende do tempo (circuitos CC) ou cargas despreziacuteveis nos noacutes (circuitos CA))

Olhando para essa uacuteltima equaccedilatildeo soacute conseguimos conceber uma violaccedilatildeo da validade da lei dos noacutes

em circuitos com correntes oscilatoacuterias de altas frequumlecircncias de tal forma que a derivada ( ) tenha um

valor natildeo despreziacutevel em um simples noacute do circuito Natildeo eacute uma situaccedilatildeo muito comum Enfim se a lei dos noacutes

natildeo vale para um dado noacute particular no circuito entatildeo concluiacutemos que nesse contexto esse ldquonoacuterdquo natildeo deveria

ter sido chamado de ldquonoacuterdquo Talvez teria sido melhor chamaacute-lo de ldquoplaca de capacitorrdquo

Resumindo para qualquer circuito de corrente contiacutenua ou de corrente alternada de baixa frequumlecircncia

(que estudaremos mais adiante) a lei dos noacutes diz que

=

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Aplicando a lei dos noacutes aos noacutes do circuito mostrado na Figura 1 obtemos as equaccedilotildees que estatildeo

elencadas na tabela 1 abaixo

Note que as equaccedilotildees obtidas nos noacutes D e H estatildeo dizendo que algumas correntes devem ser

negativas Isso significa que algumas correntes devem ter sentidos reais diferentes daqueles que arbitramos na

Figura 1 Natildeo entendemos isso como um erro os sinais das correntes fazem parte da soluccedilatildeo e juntamente

com o desenho onde arbitramos os sentidos das correntes nos informam sobre os sentidos reais das

correntes no circuito

A equaccedilatildeo obtida no noacute J eacute redundante ela pode ser obtida da combinaccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas nos

noacutes H B e D Portanto confirmamos aqui a regra de que a lei dos noacutes fornece minus 1 equaccedilotildees

independentes sendo o nuacutemero de noacutes natildeo triviais no circuito Obtivemos trecircs equaccedilotildees independentes

para o circuito da Figura 1 Satildeo seis incoacutegnitas e faltam portanto mais trecircs equaccedilotildees que viratildeo de uma outra

lei independente da lei dos noacutes

noacute equaccedilatildeo

A = (trivial)

B = + (1)

C = (trivial)

D + + = 0 (2)

E = (trivial)

F = (trivial)

G = (trivial)

H 0 = + + (3)

J + = (jaacute foi H+B+D))

Concluiacutemos tambeacutem que os noacutes triviais (apenas dobras) natildeo servem para nada e podem ser

dispensados Eles servem apenas como referecircncia no circuito e nesse sentido tecircm sua utilidade

612 Leis de Kirchhoff lei das malhas (ou lei das voltagens)

A lei das malhas eacute apenas uma afirmaccedilatildeo da conservaccedilatildeo da energia No caso em questatildeo da

conservaccedilatildeo da energia potencial eleacutetrica (depois acrescentaremos a energia magneacutetica a essa lei) Jaacute vimos

que as baterias ideias satildeo dispositivos de FEM ℰ que fornecem energia potencial eleacutetrica aos portadores de

carga Ao atravessar uma bateria ideal de seu terminal ndash para seu terminal + um portador de carga gt 0

Tabela 1 equaccedilotildees obtidas via lei dos noacutes para o circuito na Figura 1

267

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

ganha a energia potencial eleacutetrica ∆ = ∆ = ℰ Por outro lado um resistor de resistecircncia eacute um

dispositivo em que os portadores de carga perdem energia potencial eleacutetrica (que eacute transformada em energia

teacutermica efeito Joule) Ao fluir atraveacutes de um resistor um portador de carga perde a energia potencial

eleacutetrica ∆ = ∆ =

A lei das malhas diz que em um caminho fechado no circuito ou seja em uma malha qualquer no

estado estacionaacuterio a energia potencial eleacutetrica que um portador de carga ganha ele perde Se natildeo fosse

assim a energia do portador estaria variando continuamente no tempo enquanto ele ldquodesse voltasrdquo nessa

malha e o circuito natildeo estaria em estado estacionaacuterio Natildeo haacute nada de absurdo na ideia de que um portador

de carga vai perdendo ou ganhando energia ao circular em um caminho fechado no circuito mas isso natildeo

pode ocorrer em um regime estacionaacuterio de funcionamento do circuito (poderia ocorrer durante o transiente

em que um circuito que estaacute desligando por exemplo)

Portanto ao aplicar a lei das malhas a uma malha especiacutefica computando as energias ganhas e as

energias perdidas por um portador de carga hipoteacutetico vamos produzir uma equaccedilatildeo para as correntes que

circulam nessa malha em termos das FEMs e das resistecircncias Algo como

∆ = 0

Eliminando que eacute constante obtemos finalmente a lei das malhas de Kirchhoff

∆ = 0

Considere as seguintes regras de computaccedilatildeo das DDPs ∆ entre os terminais dos dispositivos que

vamos encontrando agrave medida que vamos caminhando ao longo de uma malha

Portanto fazendo uma analogia com a energia potencial gravitacional

podemos comparar um resistor com um degrau de uma escada como na

Figura ao lado se atravessamos de A para B (mesmo sentido de )

descemos um degrau de altura (∆ = minus ) Se vamos de B para A

subimos esse degrau (∆ = + )

R

A B

Regra do resistor em um resistor os portadores de carga sempre fluem no sentido em que eles estatildeo perdendo energia potencial eleacutetrica Portanto na Figura ao lado concluiacutemos que se estaacute fluindo em de A para B entatildeo gt Conclusatildeo ao atravessar um resistor no mesmo sentido da corrente que flui por ele (de A para B) devemos acrescentar na lei das malhas um ∆ = minus Caso contraacuterio ao atravessar um resistor no sentido oposto ao da corrente que flui por ele (de B para A) devemos acrescentar na lei das malhas um ∆ =

A B

ΔV

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Portanto fazendo uma analogia com a energia potencial

gravitacional podemos comparar uma bateria com um degrau de uma

escada como na Figura ao lado se vamos do ndash para o + subimos um

degrau de altura ℰ (∆ = ℰ) Se vamos do + para o ndash descemos esse

degrau (∆ = minusℰ)

Nessa analogia o portador de carga hipoteacutetico que percorre a malha vai subindo e descendo degraus

ateacute que ao completar a malha ele retorna ao mesmo niacutevel (de potencial eleacutetrico) em que estava

Aplicando a lei das malhas a trecircs malhas independentes do circuito mostrado na Figura 2 obtemos as

equaccedilotildees mostradas na Tabela 2 baixo

Note que temos o haacutebito de sempre comeccedilar a equaccedilatildeo da lei das malhas com o potencial do noacute

onde comeccedilamos a caminhar atraveacutes da malha Assim vamos encarando os ∆ como ldquodegrausrdquo que vamos

subindo e descendo ateacute voltarmos para o mesmo niacutevel de potencial Essa forma de escrever a lei das malhas

natildeo tem nenhuma consequumlecircncia para o caacutelculo das correntes afinal o corta dos dois lados da equaccedilatildeo Mas

veremos mais adiante que essa forma de encarar as coisas facilita o caacutelculo de DDPs ao longo do circuito

Agora que jaacute construiacutemos nosso conjunto de seis equaccedilotildees para as correntes no circuito mostrado

na Figura 2 podemos terminar a anaacutelise desse circuito e computar as correntes fluindo nele Para nossa sorte

malha equaccedilatildeo

ABJHGA minus minus ℰ + ℰ = rArr minus minus ℰ + ℰ = 0 (4)

BCDJB + + ℰ = rArr + ℰ = 0 (5)

HJDEFH minus minus ℰ + = rArr minus minus ℰ + = 0 (6)

Tabela 2 equaccedilotildees obtidas via lei das malhas para o circuito na Figura 1

A B

Regra da bateria uma bateria ideal eacute capaz de manter seu terminal + em um potencial maior do que seu terminal ndash A diferenccedila de potencial mantida eacute exatamente a FEM ℰ da bateria Esse fato natildeo tem relaccedilatildeo com o sentido da corrente na bateria ou seja com o fato dela estar descarregando ou carregando Conclusatildeo ao atravessar a bateria de seu terminal ndash para seu terminal + (de A para B) devemos acrescentar na lei das malhas um ∆ = ℰ Caso contraacuterio ao atravessar a bateria de seu terminal + para seu terminal ndash (de B para A) devemos acrescentar na lei das malhas um ∆ = minusℰ Enfatizamos que esses fatos natildeo tecircm relaccedilatildeo com o sentido da corrente na bateria (se ela estaacute carregando ou descarregando)

A B

ΔV

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

o sistema de equaccedilotildees eacute simples Natildeo existe apenas uma maneira de se resolver um sistema de equaccedilotildees

lineares Cada um faz do seu jeito No presente caso vemos logo da Eq (4) que

minus minus ℰ + ℰ = 0 rArr = ℰ minus ℰ

O sentido de seraacute aquele mostrado na Figura 2 se ℰ gt ℰ e gt 0 Se valer ℰ = ℰ entatildeo natildeo haveraacute

corrente nesse ramo Se ℰ lt ℰ e lt 0 entatildeo estaraacute circulando de fato no sentido oposto agravequele que

desenhamos na Figura 2 Nesse caso natildeo vale a pena ir laacute na Figura do circuito e modificar o sentido da seta

de O melhor eacute deixar o desenho como estaacute e fornecer a resposta de com o seu sinal positivo ou negativo

Aqui como temos um problema algeacutebrico o sinal e o sentido de ficam indeterminados

Da Eq (5) obtemos + ℰ = 0 rArr = minus ℰ

A corrente tem com certeza o sentido oposto ao indicado na Figura 2 Deixamos a Figura como estaacute e

mantemos o sinal ndash em com estaacute escrito acima Da Eq (6) obtemos

minus minus ℰ + = 0 rArr = ℰ + minusℰ rArr = ℰ minus ℰ

O sentido de seraacute aquele mostrado na Figura 2 se ℰ gt ℰ e gt 0 Se valer ℰ = ℰ entatildeo natildeo haveraacute

corrente nesse ramo Se ℰ lt ℰ e lt 0 entatildeo estaraacute circulando no sentido oposto ao da Figura 2

Da eq (2) + + = 0 rArr = minus minusℰ minus ℰ minus ℰ rArr = ℰ 1 + 1 minus ℰ

Da Eq (1)

= + rArr = ℰ minus ℰ minus ℰ 1 + 1 minus ℰ rArr = ℰ + ℰ minus ℰ 1 + 1 + 1

Finalmente da Eq (3)

0 = + + rArr = minus ℰ minus ℰ minus ℰ minus ℰ rArr = ℰ 1 + 1 minus ℰ minus ℰ

Concluindo as leis de Kirchhoff mostram que as correntes que circulam em cada um dos ramos no

circuito mostrado na Figura 2 satildeo dadas por

= ℰ minus ℰ = ℰ 1 + 1 minus ℰ

= minus ℰ

270

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

= ℰ + ℰ minus ℰ 1 + 1 + 1 = ℰ 1 + 1 minus ℰ minus ℰ

= ℰ minus ℰ

Para conferir nossas respostas podemos

considerar alguns casos limites simples Para facilitar as

coisas mostramos o circuito na Figura ao lado Por

exemplo imagine que rarr infin Isso significa que natildeo

passa corrente no ramo HGAB pois uma resistecircncia

infinita corresponde a um circuito aberto Podemos ver na

Figura que nesse limite devemos ter = 0 = minus e = minus o que eacute verdade para nossas soluccedilotildees Imagine

agora que rarr infin Isso significa que natildeo passa corrente

no ramo JD Podemos ver na Figura que nesse limite devemos ter = 0 = minus e = minus o que eacute verdade

para nossas soluccedilotildees Finalmente se rarr infin natildeo passa corrente no ramo DEFH e devemos ter = 0 = minus e = minus o que eacute verdade para nossas soluccedilotildees Essas verificaccedilotildees nos datildeo confianccedila de que

nossas respostas para o problema estatildeo corretas Eacute muito faacutecil se errar um siacutembolo ou um sinal durante a

soluccedilatildeo de um sistema de vaacuterias equaccedilotildees Conferir as unidades das grandezas e alguns casos limites simples eacute

uma boa estrateacutegia para evitar esses erros

62 Associaccedilotildees de resistores (seacuterie e paralelo)

Na Figura 3 ao lado mostramos uma porccedilatildeo do esquema do circuito de um raacutedio AM (amplitude

modulada) Podemos ver a antena (o triacircngulo invertido) um

transistor Q1 (amplificaccedilatildeo) alguns resistores e alguns

capacitores Vemos por exemplo um resistor que deve ter

resistecircncia = 1 Ω ( Ω=mega-ohm=106 ohms) Suponha que

vocecirc esteja montando esse circuito construindo seu proacuteprio

raacutedio AM Vocecirc vai na loja de material eletrocircnico comprar os

componentes indicados no esquema e natildeo encontra o resistor de 1 Ω mas eacute informado de que haacute resistores de 500 Ω

disponiacuteveis ( =quilo=103) Entatildeo vocecirc pode comprar dois

resistores de 500 Ω conectaacute-los em seacuterie e ligar essa conexatildeo

dos dois resistores ao circuito Ele vai funcionar perfeitamente

Isso porque a associaccedilatildeo em seacuterie de dois resistores de 500 Ω

possui uma resistecircncia equivalente de 1 Ω Essas associaccedilotildees eacute o que vamos discutir agora

R2

A ℰR1

R3 ℰ

B C

D

E F

G H

J

Figura 3 Uma porccedilatildeo do circuito de um raacutedio AM Podemos ver a presenccedila de trecircs resistores

271

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

621 Associaccedilatildeo de resistores em seacuterie

Considere dois resistores de resistecircncias e conectados em seacuterie A conexatildeo em seacuterie se daacute

quando pegamos um terminal de cada resistor e conectamos eletricamente formando um noacute Nesse noacute natildeo

haacute mais nada conectado nada aleacutem desses dois terminais A Figura 4 abaixo ilustra essa ideia

Na Figura 4 ilustramos o processo em que dois resistores em seacuterie satildeo reduzidos a um soacute Os terminais

A e B satildeo mantidos intactos nesse processo A e B satildeo os terminais que seratildeo conectados ao circuito externo

Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B um uacutenico resistor de resistecircncia

Quanto vale

Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆

sendo ∆ = minus e a corrente que flui entre A e B

Considere que uma corrente esteja circulando atraveacutes dos dois resistores de A para B Vamos

calcular a DDP ∆ = minus Aqui usamos a mesma regra dos resistores que definimos quando estudamos a

lei das malhas Partindo de A e indo para B obtemos a equaccedilatildeo minus minus = rArr ∆ = ( + )

Concluindo = ∆ = ( + ) = +

Por exemplo se associarmos em seacuterie um resistor de 5 Ω com outro resistor de 3 Ω essa associaccedilatildeo

seraacute equivalente a um uacutenico resistor de resistecircncia = + = 5 + 3 = 8 Ω

Note que obtemos uma resistecircncia equivalente maior que e (comprimento entre A e B maior

resistecircncia maior)

Para vaacuterios resistores em seacuterie obtemos

Figura 4 dois resistores associados em seacuterie Natildeo haacute nada mais conectado ao noacute apenas os dois terminais dos dois resistores Dois resistores reais de 1 Ω ligados em seacuterie Eles equivalem a um resistor de 2 Ω

A BA B

A

noacute

B

A

B

272

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

= + + +⋯

Resumindo a tabela 3 abaixo lista as propriedades que observamos para resistores quaisquer

ligados em seacuterie

Propriedades de N resistores em seacuterie = = = ⋯ = ∆ = ∆ + ∆ +⋯+ ∆

= ∆ = + + +⋯

Tabela 3 Propriedades de resistores associados em seacuterie

622 Associaccedilatildeo de resistores em paralelo

Considere agora dois resistores de resistecircncias e conectados em paralelo A conexatildeo em

paralelo se daacute quando conectamos os terminais dos resistores dois a dois A Figura 5 abaixo ilustra essa ideia

Na Figura 5 ilustramos o processo em que dois resistores em paralelo satildeo reduzidos a um soacute Os

terminais A e B satildeo mantidos intactos nesse processo A e B satildeo os terminais que seratildeo conectados ao circuito

externo Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B um uacutenico resistor de

resistecircncia Quanto vale

Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆

sendo ∆ = minus e a corrente total que flui entre A e B

Considere que uma corrente flua de A para B atraveacutes de e que uma corrente flua de A para B

atraveacutes de

A DDP ∆ = minus pode ser obtida se partirmos de A e irmos ateacute B atraveacutes de Obtemos minus = rArr ∆ =

Figura 5 dois resistores associados em paralelo Dois resistores reais de 1 Ω ligados em paralelo Eles equivalem a um resistor de 05 Ω

B A BA

A

A B B

273

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Da mesma forma essa DDP ∆ pode ser obtida se partirmos de A e irmos ateacute B atraveacutes de (a DDP

independe do caminho) Obtemos minus = rArr ∆ =

Concluindo como ∆ independe do caminho segue que ∆ = ∆ = = ∆ =

A corrente total que flui de A para B ou seja a corrente atraveacutes do resistor equivalente eacute da lei dos

noacutes aplicada ao noacute A = +

Dividindo essa equaccedilatildeo por ∆ obtemos

∆ = ∆ + ∆ rArr ∆ = ∆ + ∆

Concluindo 1 = 1 + 1 rArr = +

Por exemplo se associarmos em paralelo um resistor de 5 Ω com outro resistor de 3 Ω essa

associaccedilatildeo seraacute equivalente a um uacutenico resistor de resistecircncia

= + = 3 times 53 + 5 = 158 cong 188 Ω

Note que obtemos uma resistecircncia equivalente menor que e (maior aacuterea resistecircncia menor)

Para vaacuterios resistores em paralelo obtemos 1 = 1 + 1 + 1 +⋯

Note que isso natildeo equivale a

Resumindo a tabela 4 abaixo lista as propriedades que observamos para resistores quaisquer

ligados em paralelo

= hellip+ + +⋯

274

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Propriedades de N resistores em paralelo = + +⋯+ ∆ = ∆ = ∆ = ⋯ = ∆ 1 = ∆ = 1 + 1 + 1 +⋯

Tabela 4 Propriedades de resistores associados em paralelo

623 Exemplo de aplicaccedilatildeo da associaccedilatildeo de resistores

Apenas para ilustrar a aplicaccedilatildeo dessas ideacuteias de associaccedilotildees de resistores vamos considerar a

situaccedilatildeo em que queremos calcular a corrente que circula na bateria no circuito mostrado na Figura 6

abaixo Note que haacute apenas uma bateria e vaacuterios resistores conectados entre si Nossa esperanccedila eacute reduzir

esse conjunto de oito resistores a um resistor equivalente apenas de resistecircncia Se conseguirmos fazer

isso (nem sempre isso eacute possiacutevel apenas com as regras de associaccedilotildees seacuterie e paralelo) a corrente que

estamos procurando seraacute

Essa estrateacutegia nos livraraacute do trabalho de arbitrar 8 correntes

no circuito e calculaacute-las atraveacutes das leis de Kirchhoff

Basicamente vamos analisando o circuito da direita para a

esquerda na direccedilatildeo da bateria tentando reduzir a

associaccedilatildeo a associaccedilotildees de resistores seacuterie e paralelo e

usando as regras que jaacute vimos na seccedilatildeo anterior Esse

processo estaacute ilustrado abaixo

Figura 6 Calcule a corrente eleacutetrica que circula na bateria desse circuito de resistores

R5

R1

R2

R7

ℰR4

R6

R3

R8

= ℰ

275

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Finalmente vemos que todos os resistores estatildeo em seacuterie e portanto a resistecircncia equivalente do

circuito mostrado na Figura 6 eacute = + + +

1) Circuito original

= +

2) Vemos que estaacute em paralelo com e substituiacutemos esses dois resistores por um apenas com resistecircncia equivalente

= +

3) Vemos duas oportunidades aqui estaacute em seacuterie com e substituiacutemos os dois por um apenas com resistecircncia = + Vemos tambeacutem que estaacute em paralelo com

e substituiacutemos os dois por um apenas com resistecircncia

= +

4) Vemos que estaacute em paralelo com e substituiacutemos esses dois resistores por um apenas com resistecircncia

R1

R2

R456 R3

R78

R1

R2

R3456

R78

R1

R2

R7

R4

R56

R3

R8

R5

R1

R2

R7

R4

R6

R3

R8

276

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

A corrente que circula na bateria eacute = ℰ+ + +

Qual a DDP entre os terminais de Com um pouco de paciecircncia vamos seguindo a histoacuteria dos noacutes

no circuito no processo ilustrado acima e chegamos agrave conclusatildeo de que a DDP entre os terminais de eacute a

DDP entre os terminais do resistor equivalente Para chegar a essa conclusatildeo acompanhamos os noacutes

marcados pelas bolinhas vermelha e azul na Figuras acima Vemos tambeacutem que a corrente que passa por

eacute exatamente (pois estaacute em seacuterie com a bateria) Portanto da lei de Ohm a DDP em eacute

∆ = = + + + ℰ Qual a corrente eleacutetrica que flui atraveacutes de Da lei de Ohm

= ∆ =

Qual a corrente eleacutetrica que flui atraveacutes de Aplicando a lei dos noacutes ao noacute marcado em vermelho

nas Figuras acima concluiacutemos que = + Portanto

= minus = 1 minus = 1 minus ℰ+ + +

Enfim tentamos mostrar com esse exemplo o poder de simplificaccedilatildeo que as regras seacuterieparalelo tecircm

sobre circuitos de resistores Temos que ter apenas o cuidado de identificar corretamente quais resistores

estatildeo em seacuterie e quais estatildeo em paralelo A praacutetica leva agrave perfeiccedilatildeo

63 Aparelhos de medidas eleacutetricas amperiacutemetro e voltiacutemetro

As grandezas baacutesicas que caracterizam o funcionamento de um circuito satildeo as FEMs as DDPs e as

correntes eleacutetricas que circulam nele Componentes eleacutetricos e eletrocircnicos possuem suas DDPs e correntes

especiacuteficas de funcionamento (valores nominais) e muitas vezes devemos averiguar na praacutetica os valores

dessas grandezas para verificar o bom funcionamento do circuito Para isso existem os instrumentos de

medidas eleacutetricas Os dois instrumentos baacutesicos de medidas eleacutetricas satildeo o amperiacutemetro que mede correntes

eleacutetricas e o voltiacutemetro que mede DDPs Outro instrumento de medida eleacutetrica talvez o mais comum no

cotidiano das pessoas eacute o medidor de energia eleacutetrica que encontramos nas entradas de todas as casas e

preacutedios (comumente chamado de ldquoreloacutegio de luzrdquo) Esse medidor informa agrave empresa fornecedora de energia a

energia eleacutetrica consumida pelo usuaacuterio durante um periacuteodo de tempo Sendo energia o produto potecircncia x

tempo e potecircncia o produto DDP x corrente segue que o medidor de energia eacute basicamente uma combinaccedilatildeo

277

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

de um voltiacutemetro e um amperiacutemetro Essa ideia vale tambeacutem para o ohmiacutemetro um instrumento medidor de

resistecircncia eleacutetrica Sendo a resistecircncia eleacutetrica a razatildeo DDPcorrente segue que este tambeacutem combina as

ideacuteias do voltiacutemetro e do amperiacutemetro Assim sendo vamos nos limitar a discutir aqui o amperiacutemetro e o

voltiacutemetro

Os instrumentos de medidas eleacutetricas podem ser analoacutegicos ou digitais Um instrumento analoacutegico

indica um valor contiacutenuo para a grandeza medida geralmente atraveacutes de um ponteiro e uma escala Um

instrumento digital acaba quantizando a grandeza medida que eacute geralmente indicada atraveacutes de um display

numeacuterico Natildeo importa se o instrumento eacute analoacutegico ou digital esses instrumentos de medida possuem um

componente comum que eacute o galvanocircmetro O galvanocircmetro eacute um instrumento sensiacutevel capaz de indicar um

valor de corrente ou DDP bem pequeno por exemplo A e V ( =micro=10 ) ou A e V ( =mili=10 )

Um galvanocircmetro analoacutegico tiacutepico eacute um pequeno motor eleacutetrico com seu eixo travado por uma mola espiral

Ao conectarmos esse motor a uma DDP circula uma corrente pelo motor que comeccedila a girar A mola espiral

torce e equilibra o eixo do motor em algum acircngulo de deflexatildeo Uma agulha

fixada ao eixo do motor gira com ele e indica essa deflexatildeo em uma escala A

Figura ao lado mostra um galvanocircmetro para uso didaacutetico que pode ser

comprado na internet Trata-se de um galvanocircmetro com zero central ou seja

capaz de indicar o sentido da corrente atraveacutes dele (o motor eleacutetrico pode girar

nos dois sentidos) que aceita uma corrente maacutexima ( ) = 50 A e de resistecircncia interna igual a = 1000Ω Isso significa que se passar atraveacutes desse galvanocircmetro uma corrente ( ) = 50 A o

ponteiro vai indicar o fim da escala (ou o fundo de escala) Analogamente se a DDP entre os terminais desse

galvanocircmetro for Δ ( ) = ( ) = 50 V o ponteiro indicaraacute o fundo de escala Portanto podemos

dizer que esse galvanocircmetro eacute um microamperiacutemetro com escala de 50 A ou um milivoltiacutemetro com escala

de 50 V

A Figura ao lado mostra um galvanocircmetro digital que tambeacutem pode ser

adquirido na internet A ideia eacute a mesma do aparelho analoacutegico apenas

substituindo o motor eleacutetrico por um circuito eletrocircnico que converte um valor

analoacutegico de DDP em um valor digital uma sequecircncia de bits Nesse caso ( ) ou Δ ( ) levariam ao fundo de escala que para esse galvanocircmetro seria o valor

999 unidades ( A V A ou V) O que haacute de comum entre todos os galvanocircmetros eacute que satildeo instrumentos

muito sensiacuteveis que natildeo aceitam correntes ou DDPs acima desses valores maacuteximos minuacutesculos ( ) e Δ ( ) = ( ) As correntes e DDPs em circuitos eleacutetricos satildeo geralmente bem maiores que esses

limites maacuteximos satildeo da ordem de A e V Assim sendo ao fabricar um amperiacutemetro ou um voltiacutemetro

278

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

devemos apenas ter o cuidado de proteger o galvanocircmetro para que ele natildeo fique submetido agrave corrente total

ou agrave DDP total que estaacute sendo lida pelo aparelho Fazemos isso conectando resistores em paralelo e em seacuterie

com o galvanocircmetro

Amperiacutemetro

Na Figura ao lado mostramos o siacutembolo do

amperiacutemetro um ciacuterculo com um A e seu esquema interno

com um galvanocircmetro (um ciacuterculo com um G) e um resistor

paralelo de valor A ideia eacute que para medir a corrente que

circula em um fio por exemplo devemos cortar esse fio e conectar as duas pontas aos terminais + e ndash do

amperiacutemetro Dessa forma a corrente que estava passando no fio seraacute obrigada a passar pelo amperiacutemetro e

seu valor seraacute indicado por ele Mas devemos proteger o galvanocircmetro

natildeo podemos permitir que uma corrente de 1 A por exemplo atravesse o

galvanocircmetro ele queimaria instantaneamente pelo excesso de calor

gerado por efeito Joule Para isso dividimos a corrente conforme a Figura

ao lado Uma pequena parte passa pelo galvanocircmetro ( ) e a maior parte

passa pelo resistor paralelo ( ) Assim se eacute a corrente que passa pelo

amperiacutemetro do + para o ndash a lei dos noacutes diz que = +

Agora devemos calcular o valor de para manter a corrente dentro de sua margem de seguranccedila ou seja le ( ) Lembramos que ( ) eacute exatamente o valor de corrente que ao passar pelo galvanocircmetro leva

seu indicador ao fundo de escala Portanto o valor de estaraacute determinado pelo amperiacutemetro que

queremos produzir com esse galvanocircmetro Suponha que queiramos fabricar um amperiacutemetro que seja capaz

de medir correntes ateacute um valor maacuteximo ( ) Por exemplo eacute comum encontrarmos amperiacutemetros com ( ) = 10 A Assim sendo quando passar pelo amperiacutemetro a corrente ( ) queremos que seu indicador

esteja no fundo de escala Para isso ocorrer basta que quando valer = ( ) valha simultaneamente = ( ) Concluindo nessa situaccedilatildeo de fundo de escala deveraacute passar pelo resistor paralelo a corrente = minus = ( ) minus ( ) Ao mesmo tempo estando o resistor em paralelo com o galvanocircmetro a DDP entre os terminais de eacute a

mesma que existe entre os terminais do galvanocircmetro ou seja Δ = Δ = Δ ( ) Portanto obtemos para o valor

A G

+ - + -

G + -

279

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

= Δ = Δ ( )( ) minus ( ) = ( )( ) minus ( ) = ( ) ( ) minus 1

Como exemplo vamos imaginar que pretendemos produzir um amperiacutemetro que mede correntes

eleacutetricas CC ateacute 10 A ( ( ) = 10 A) com o galvanocircmetro que jaacute mostramos acima que possui uma corrente

maacutexima ( ) = 50 A e resistecircncia interna igual a = 1000Ω Portanto basta conectar em paralelo

como esse galvanocircmetro um resistor de resistecircncia

= ( )( ) minus ( ) = 1000 times 50 times 1010 minus 50 times 10 cong 1000 times 50 times 1010 = 5 times 10 Ω

Nesse exemplo ao entrar no amperiacutemetro uma corrente ( ) = 10 A passaraacute pelo galvanocircmetro a corrente ( ) = 50 A e passaraacute pelo resistor paralelo a corrente ( ) = ( ) minus ( ) = (10 minus 50 times 10 ) A A

parte mais difiacutecil de se construir esse amperiacutemetro eacute obter esse resistor Para produzirmos um amperiacutemetro

preciso e confiaacutevel devemos utilizar componentes nobres de valores precisos (os resistores comerciais

comuns possuem erros da ordem de 5 a 10) Teremos que fabricar esse resistor de 5 times 10 Ω na matildeo

utilizando um comprimento calculado de fio resistivo especial ( = ) Natildeo eacute uma tarefa faacutecil

Voltiacutemetro

Na Figura ao lado mostramos o siacutembolo do

voltiacutemetro um ciacuterculo com um V e seu esquema interno

com um galvanocircmetro (um ciacuterculo com um G) e um resistor

seacuterie de valor A ideia eacute que para medir a DDP entre dois

pontos A e B em um circuito devemos conectar esses dois pontos aos terminais + e ndash do voltiacutemetro Dessa

forma a DDP entre esses dois pontos A e B seraacute a DDP entre os terminais do voltiacutemetro e seu valor seraacute

indicado por ele Mas devemos proteger o galvanocircmetro natildeo podemos permitir que uma DDP de 100 V por

exemplo seja aplicada aos terminais do galvanocircmetro ele queimaria instantaneamente pelo excesso de calor

gerado por efeito Joule Para isso dividimos a DDP uma pequena parte fica no galvanocircmetro (Δ ) e a maior

parte fica no resistor seacuterie (Δ ) Assim como o resistor e o galvanocircmetro estatildeo em seacuterie se Δ eacute a DDP

entre os terminais + e ndash do voltiacutemetro obtemos Δ = Δ + Δ

Agora devemos calcular o valor de para manter a DDP Δ dentro de sua margem de seguranccedila ou seja Δ le ∆ ( ) Lembramos que ∆ ( ) eacute exatamente o valor de DDP que estando aplicado aos terminais

do galvanocircmetro leva seu indicador ao fundo de escala Portanto o valor de estaraacute determinado pelo

voltiacutemetro que queremos produzir com esse galvanocircmetro Suponha que queiramos fabricar um voltiacutemetro

V G + - + -

280

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

que seja capaz de medir DDPs ateacute um valor maacuteximo ∆ ( ) Por exemplo eacute comum encontrarmos

voltiacutemetros com ∆ ( ) = 1000 V Assim sendo quando aplicarmos no voltiacutemetro a DDP ∆ ( ) queremos que seu indicador esteja no fundo de escala Para isso ocorrer basta que quando valer Δ =∆ ( ) valha simultaneamente = ( ) e Δ = ( ) = ∆ ( ) Concluindo nessa situaccedilatildeo de

fundo de escala deveraacute existir entre os terminais do resistor seacuterie a DDP Δ = Δ minus Δ = ∆ ( ) minus ∆ ( ) Ao mesmo tempo estando o resistor em seacuterie com o galvanocircmetro vale = = ( ) sendo a corrente que passa por

Portanto obtemos para o valor

= Δ = ∆ ( ) minus ∆ ( )( ) = ∆ ( ) minus ( )( ) = ∆ ( )( ) minus Como exemplo vamos imaginar que pretendemos produzir um voltiacutemetro que mede DDPs CC ateacute 500 V

(∆ ( ) = 500 V) com o galvanocircmetro que jaacute mostramos acima que possui uma corrente maacutexima ( ) = 50 A e resistecircncia interna igual a = 1000Ω Portanto basta conectar em seacuterie como esse

galvanocircmetro um resistor de resistecircncia

= ∆ ( )( ) minus = 50050 times 10 minus 1000 cong 50050 times 10 = 10 Ω

Novamente a parte mais difiacutecil eacute obter esse resistor pois para produzirmos um voltiacutemetro preciso e confiaacutevel

devemos utilizar componentes nobres de valores precisos

Uma coisa que notamos nos exemplos numeacutericos que demos acima eacute que um amperiacutemetro possui

uma resistecircncia interna muito baixa (1000 Ω em paralelo com 5 times 10 Ω eacute basicamente 5 times 10 Ω)

= + cong 0 + =

Por outro lado um voltiacutemetro possui uma resistecircncia interna muito alta (1000 Ω em seacuterie com 10 Ω eacute

basicamente 10 Ω) = + cong

Muitas vezes nos referimos aos dispositivos de medida ideais o amperiacutemetro ideal com resistecircncia interna

nula ( = 0) e o voltiacutemetro ideal com resistecircncia interna infinita ( rarr infin) Os dispositivos de medida ideais

natildeo alteram os valores das grandezas que eles pretendem medir Isso porque um amperiacutemetro ideal natildeo

281

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

acrescenta nenhuma resistecircncia ao circuito original e o voltiacutemetro ideal natildeo desvia nenhuma corrente no

circuito original Os aparelhos de medida mais caros satildeo os que se aproximam mais desse ideal

Na Figura 7 ao lado repetimos o circuito que

estudamos no iniacutecio desse capiacutetulo (Figura 2)

acrescentando um amperiacutemetro e um voltiacutemetro ideais

Vemos logo que o amperiacutemetro estaacute medindo a

corrente pois essa eacute a corrente que estaacute passando

por ele Portanto a leitura do amperiacutemetro eacute

= = ℰ 1 + 1 minus ℰ minus ℰ

O voltiacutemetro estaacute medindo a DDP minus (ou minus

natildeo importa) Seguindo pelo caminho AGHF obtemos

minus ℰ minus = rArr = minus = ℰ + = ℰ + ℰ minus ℰ = ℰ + ℰ minus ℰ

Note que esse resultado pode ser confirmado facilmente se seguirmos o caminho tortuoso AGJBCDEF que

atravessa apenas as trecircs baterias de FEMs ℰ ℰ e ℰ

Se o amperiacutemetro eou o voltiacutemetro acima natildeo fossem ideais teriacuteamos que refazer todos os caacutelculos

das correntes porque o circuito seria outro O amperiacutemetro acrescentaria uma resistecircncia (pequena) ao

ramo HJ e o voltiacutemetro acrescentaria mais um ramo entre os noacutes A e F um ramo com uma resistecircncia grande

e acrescentaria tambeacutem mais uma corrente (pequena) ao circuito fluindo nesse ramo Sendo os aparelhos

ideais a resistecircncia pequena no ramo HJ eacute nula a resistecircncia grande entre os noacutes A e F eacute infinita e a corrente

pequena eacute nula no ramo do voltiacutemetro Aparelhos ideais natildeo alteram as correntes e DDPs que havia no circuito

antes deles serem conectados ao circuito

64 O circuito RC seacuterie (resistor + capacitor)

Para finalizar esse capiacutetulo podemos usar a lei das malhas para analisar o circuito RC seacuterie formado

por um resistor de resistecircncia conectado em seacuterie com um capacitor de capacitacircncia alimentado por uma

bateria de FEM ℰ Vamos observar que estando a bateria conectada

o capacitor acumula carga eleacutetrica durante um certo transiente

Depois se conectarmos o capacitor carregado diretamente ao

resistor o capacitor descarrega durante um transiente Portanto

nesse circuito flui uma corrente que eacute funccedilatildeo do tempo = ( ) A

Figura 8 ao lado mostra o circuito RC pronto para ser carregado pela

R2

A ℰR1

R3 ℰ

B C

D

E F

G H

J

Figura 7 um circuito de trecircs malhas

A V

Figura 8 um circuito RC seacuterie em processo de carga do capacitor

R

( ) A ℰ

E F

B

C

S

282

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

accedilatildeo da bateria Precisamos apenas fechar o interruptor S para dar iniacutecio agrave circulaccedilatildeo de corrente no circuito e

o acuacutemulo de carga (e energia potencial) nas placas do capacitor Note que a corrente nunca flui entre as

placas do capacitor ou seja natildeo haacute corrente entre os noacutes B e E atraveacutes do capacitor A bateria vai somente

retirar cargas eleacutetricas positivas da placa inferior que vai se tornar negativa e depositar essas cargas na placa

superior que vai se tornar positiva (de fato jaacute sabemos que satildeo os eleacutetrons que se movem nesse circuito mas

no final das contas daacute no mesmo) Queremos obter o comportamento de ( ) com a condiccedilatildeo inicial de que

no instante em que fechamos a chave o capacitor estava descarregado ( = 0) = 0

A lei dos noacutes natildeo acrescenta nada aqui pois todos os noacutes satildeo triviais satildeo apenas dobras (o circuito soacute

possui um ramo fechado = uma malha) A lei das malhas no percurso ABEFA supondo a chave jaacute fechada gt 0 diz que (utilizando que para um capacitor vale ∆ = minus = minus = )

minus ( ) minus ( ) + ℰ =

Note que essa equaccedilatildeo envolve duas incoacutegnitas ( ) e ( ) Precisamos de mais uma equaccedilatildeo para obter ( ) Essa segunda equaccedilatildeo eacute uma afirmaccedilatildeo da continuidade da carga eleacutetrica Note ( ) eacute a taxa com que

carga eleacutetrica estaacute chegando na placa positiva do capacitor e ( ) eacute o excesso de carga eleacutetrica acumulada

nessa placa Entatildeo tem que valer ( ) = ( ) ( ) eacute a taxa com que ( ) estaacute aumentando no tempo Note essa eacute exatamente a lei da

conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica que jaacute mencionamos anteriormente

minus = ( )

Trata-se de uma generalizaccedilatildeo da lei dos noacutes para regiotildees do circuito em que haacute acuacutemulos de carga

em situaccedilotildees de correntes natildeo constantes Aplicando essa lei agrave placa superior do capacitor fazemos sum = ( ) e sum = 0 para obter a equaccedilatildeo ( ) = ( )

Substituindo ( ) na lei das malhas obtemos a equaccedilatildeo diferencial

minus ( ) minus ( ) + ℰ = 0

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre como resolver essa equaccedilatildeo diferencial Trata-se de um caso

simples de equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de primeira ordem A soluccedilatildeo com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = 0 eacute ( ) = ℰ 1 minus

A corrente no circuito se comporta como

283

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = ℰ 1 minus = ℰ

A Figura ao lado eacute um esboccedilo dos comportamentos da carga (curva vermelha) e da corrente (curva

verde) durante o transiente de carga do capacitor (note que as

escalas verticais satildeo diferentes para as duas curvas) O capacitor inicia

carregando rapidamente pois a corrente eacute maacutexima (=ℰ ) nos

primeiros instantes Agrave medida que ele vai carregando o processo vai

estabilizando a carga vai para o valor assintoacutetico maacuteximo ℰ e a

corrente vai para o valor assintoacutetico nulo

Aqui podemos relembrar algumas ideacuteias que jaacute discutimos

sobre o equiliacutebrio eletrostaacutetico em condutores Quando fechamos a chave S conectamos eletricamente o

terminal + da bateria agrave placa superior do capacitor atraveacutes de um meio condutor resistivo (o resistor ) Todos

esses objetos se tornam um condutor soacute um condutor fora do equiliacutebrio De fato esse condutor natildeo eacute

equipotencial pois minus = ( ) ou seja o potencial no terminal + da bateria natildeo eacute igual ao potencial na

placa superior do capacitor Assim que a chave eacute ligada vale minus = (0) = ℰ Estabelece-se entatildeo um

fluxo de cargas entre as extremidades desse condutor (terminal + e placa) esse fluxo eacute a corrente ( ) Agrave

medida que o tempo passa esse condutor vai se tornando equipotencial ou seja ele vai atingindo o equiliacutebrio

eletrostaacutetico Isso vai ocorrer ao final do processo de carga quando valer minus = ( rarr infin) = 0

Note que o expoente tem que ser adimensional (caso contraacuterio a exponencial = 1 +(minus ) + (minus ) 2 + (minus ) 6 + ⋯ natildeo teria dimensatildeo bem definida) Portanto o produto tem

unidade de tempo ou seja eacute um tempo De fato = Ω = = = =

Que tempo seria esse Vamos chamaacute-lo de = e calcular (levando em conta que cong 2718)

( ) = ℰ 1 minus = ℰ 1 minus 1 cong ℰ (0632) ( ) = ℰ = ℰ 1 cong ℰ 0368

Conclusatildeo o tempo = eacute um tempo caracteriacutestico do transiente de carga do capacitor Exatamente em = a carga no capacitor jaacute atingiu cong 63 de seu valor maacuteximo e a corrente jaacute caiu a apenas cong 37 de seu

valor maacuteximo inicial Se aumentarmos o valor de aumentando o valor de eou de o circuito fica mais

lento demora mais para carregar o capacitor Vemos portanto que o circuito RC pode ser usado como um

definidor de um intervalo de tempo um temporizador eleacutetrico A Figura 9(a) abaixo mostra a posiccedilatildeo do

instante = nos graacuteficos de ( ) e ( ) versus Na Figura 9(b) mostramos os comportamentos de ( )

( )ℰ

0 ( )ℰ

284

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

para dois circuitos com mesma bateria (mesmo ℰ) mesmo capacitor (mesmo ) mas diferentes valores de

resistecircncia gt Portanto esses dois circuitos apresentam o mesmo valor maacuteximo de carga ℰ mas o

circuito 2 eacute mais lento pois ( ) = gt ( ) =

A Figura 10 abaixo ilustra os dois extremos no comportamento do capacitor durante o processo de

carga no circuito RC No instante = 0 o capacitor estaacute vazio e a corrente flui com o valor maacuteximo ℰ que

seria a mesma corrente que fluiria se natildeo houvesse capacitor entre os pontos B e E e sim uma resistecircncia

nula ou seja um curto-circuito Portanto nesse instante o capacitor se comporta como um curto-circuito

entre os pontos B e E No outro extremo rarr infin o capacitor estaacute atingindo a carga plena ( ℰ) e a corrente

estaacute se anulando ou seja assintoticamente o circuito vai se comportar como um circuito aberto na porccedilatildeo

entre B e E um circuito em que natildeo circula corrente

Portanto durante o processo de carga o capacitor muda de comportamento indo de um curto-

circuito a um circuito aberto entre os pontos B e E conectados aos seus terminais

( ) ℰ

0

( ) ℰ

063 ℰ

037 ℰ

( )

063 ℰ

( )ℰ

0( )

( ) Figura 9 (a) comportamentos de ( ) e ( ) em funccedilatildeo do tempo para o processo de carga no circuito RC seacuterie (b) Comportamentos de ( ) para dois circuitos com diferentes de e portanto de = Quanto maior mais lento eacute o processo de carga

(a) (b)

Figura 10 transiccedilatildeo do capacitor durante o processo de carga de curto-circuito a circuito aberto

( rarr infin) rarr 0

infin

C = circuito aberto

( )ℰ

0

( )ℰ

E

B ℰ R B

E ( = 0) = ℰ

C = curto-circuito

R

285

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Agora vamos imaginar que o capacitor jaacute possui uma carga eleacutetrica

depositada em suas placas e vamos simplesmente conectaacute-lo ao resistor

para que ele descarregue A Figura 11 ao lado ilustra esse circuito Natildeo haacute

mais bateria Note que a corrente vai circular no sentido oposto agravequele do

processo de carga do capacitor As cargas + vatildeo sair da placa positiva e

fluir para a placa negativa neutralizando as placas

Precisamos apenas fechar o interruptor S para dar iniacutecio agrave

circulaccedilatildeo de corrente no circuito e agrave descarga do capacitor Queremos obter o comportamento de ( ) com a

condiccedilatildeo inicial de que no instante em que fechamos a chave o capacitor estava carregado com ( = 0) =ne 0 uma carga qualquer natildeo-nula

A lei das malhas no percurso BAFEB supondo a chave jaacute fechada gt 0 diz que

minus ( ) + ( ) =

Novamente a equaccedilatildeo envolve duas incoacutegnitas ( ) e ( ) Precisamos de mais uma equaccedilatildeo para obter ( ) Essa segunda equaccedilatildeo eacute uma afirmaccedilatildeo da conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica Note ( ) eacute a taxa

com que carga eleacutetrica estaacute saindo da placa positiva do capacitor e ( ) eacute o excesso de carga eleacutetrica

acumulada nessa placa Entatildeo tem que valer ( ) = minus ( ) ( ) eacute a taxa com que ( ) estaacute diminuindo no tempo Mas note que o sinal de ndash na equaccedilatildeo compatibiliza o

fato de que ( ) gt 0 ( ( ) estaacute no seu sentido correto) e que ( ) lt 0 Essa eacute exatamente a equaccedilatildeo da

conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica que conforme jaacute discutimos tem a lei dos noacutes como caso

particular (para um noacute a carga ( ) eacute despreziacutevel)

minus = ( )

Aplicando essa lei agrave placa superior do capacitor fazemos sum = 0 e sum = ( ) para obter a

equaccedilatildeo ( ) = minus ( )

Substituindo ( ) na lei das malhas obtemos a equaccedilatildeo diferencial

( ) + ( ) = 0

Trata-se de um caso simples de equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de primeira ordem A soluccedilatildeo com a

condiccedilatildeo inicial ( = 0) = eacute

Figura 11 um circuito RC seacuterie em processo de descarga do capacitor

R ( ) A

E F

B

C

S

+ + - -

286

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

( ) =

A corrente no circuito se comporta como

( ) = minus ( ) = minus =

A Figura ao lado eacute um esboccedilo dos comportamentos da carga

(curva vermelha) e da corrente (curva verde) durante o transiente de

descarga do capacitor (note que as escalas verticais satildeo diferentes para

as duas curvas) O capacitor descarrega aos poucos e a corrente

juntamente com a carga na placa positiva vai exponencialmente para o

valor assintoacutetico nulo

Relembrando novamente algumas ideacuteias que jaacute discutimos

sobre o equiliacutebrio eletrostaacutetico em condutores vemos que quando fechamos a chave S conectamos

eletricamente a placa superior (+) do capacitor agrave placa inferior (-) atraveacutes de um meio condutor resistivo (o

resistor ) Todos esses objetos de tornam um condutor soacute um condutor fora do equiliacutebrio De fato esse

condutor natildeo eacute equipotencial pois minus = ( ) ou seja o potencial na placa + do capacitor natildeo eacute igual

ao potencial na placa - Assim que a chave eacute ligada vale minus = (0) = Estabelece-se entatildeo um

fluxo de cargas entre as placas do capacitor esse fluxo eacute a corrente ( ) Agrave medida que o tempo passa esse

condutor vai se tornando equipotencial ou seja ele vai atingindo o equiliacutebrio eletrostaacutetico Isso vai ocorrer ao

final do processo de descarga quando valer minus = ( rarr infin) = 0

O tempo = eacute caracteriacutestico desse processo de descarga De fato

( ) = = 1 cong 0368

( ) = = 1 cong 0368 Conclusatildeo o tempo = eacute tambeacutem o tempo caracteriacutestico do transiente de descarga do

capacitor Exatamente em = a carga no capacitor caiu a apenas cong 37 de seu valor inicial maacuteximo e a

corrente jaacute caiu a apenas cong 37 de seu valor inicial maacuteximo Se aumentarmos o valor de

aumentando o valor de eou de o circuito fica mais lento demora mais tempo para descarregar o

capacitor

Com esses resultados pudemos caracterizar quantitativamente os transientes de carga e descarga de

um circuito RC seacuterie Fizemos isso atraveacutes da lei das malhas e da generalizaccedilatildeo da lei dos noacutes Podemos

analisar esses transientes tambeacutem do ponto de vista das energias e potecircncias Sabemos que

( ) 0 ( )

287

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

A bateria fornece para os portadores de carga no

circuito energia potencial eleacutetrica na taxa ( ) = ℰ ( )

O resistor dissipa energia potencial eleacutetrica (transforma

em energia teacutermica) na taxa ( ) = ( )

O capacitor acumula energia potencial eleacutetrica na taxa ( ) = ( )2 = 1 ( ) ( )

Para o processo de carga a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo

( ) + ( ) = ℰ

Multiplicando essa equaccedilatildeo por ( ) (lembrando que ( ) = ( )) vemos que conforme jaacute

discutimos a lei das malhas eacute apenas uma afirmaccedilatildeo da conservaccedilatildeo da energia ( ) + ( ) = ( ) A energia potencial eleacutetrica fornecida pela bateria eacute dividida uma parte acumula no capacitor e outra parte eacute

ldquoperdidardquo no resistor (essa energia sai do circuito e vai para o ambiente atraveacutes do resistor)

Para o processo de descarga a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo

( ) = ( )

Multiplicando essa equaccedilatildeo por ( ) (lembrando que ( ) = minus ( )) vemos que ( ) = minus ( ) A energia potencial eleacutetrica que sai do capacitor (em moacutedulo) eacute dissipada no resistor Note que no processo de

descarga vale ( ) lt 0 pois o capacitor estaacute perdendo energia potencial eleacutetrica ( ) lt 0 rArr ( ) = ( )2 = 1 ( ) ( ) lt 0

Se quisermos ver as expressotildees dessas potecircncias em funccedilatildeo do tempo podemos utilizar nossas

soluccedilotildees para a carga eleacutetrica e corrente no circuito

Para o processo de carga obtemos (note que ( ) + ( ) = ( )) ( ) = ℰ ( ) = ℰ

( ) = ( ) = ℰ ( ) = 1 ( ) ( ) = ℰ 1 minus

288

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

O graacutefico ao lado mostra as curvas de ( ) (curva

verde) ( ) (curva azul) e ( ) (curva vermelha) em funccedilatildeo

do tempo para o processo de carga do capacitor (ℰ = 1 e = 1) A curva verde eacute a soma da curva azul com a curva

vermelha No iniacutecio a corrente eacute alta e o capacitor estaacute

descarregado O resistor dissipa muito calor Depois a situaccedilatildeo

se inverte e o capacitor passa a cumular energia mais

rapidamente que a dissipaccedilatildeo no resistor As curvas de ( ) e ( ) se cruzam no instante tal que

( ) = ( ) rArr ℰ = ℰ 1 minus rArr = 12 rArr = ln(2) cong 0693

sendo ln() a funccedilatildeo logaritmo natural

65 Aplicaccedilotildees

1) Considere o circuito mostrado ao lado Uma bateria ideal de FEM ℰ estaacute conectada a cinco resistores iguais

cada um de resistecircncia Queremos calcular a corrente eleacutetrica que circula

atraveacutes da bateria

Nosso primeiro iacutempeto eacute tentar reduzir esses cinco resistores a um resistor

apenas de resistecircncia equivalente Mas percebemos que nenhum resistor

estaacute em seacuterie ou em paralelo com outro resistor e portanto essa primeira

tentativa eacute frustrada Esse circuito eacute chamado de ponte de Wheatstone e poderia

ser definido em um caso mais geral com 5 resistores diferentes entre si

Entatildeo nos convencemos de que teremos que arbitrar correntes em

cada um dos ramos do circuito e calcular essas correntes utilizando as leis de

Kirchhoff A Figura ao lado mostra as 6 correntes que arbitramos Agora

podemos partir para a construccedilatildeo de um conjunto de 6 equaccedilotildees lineares com

6 incoacutegnitas A lei dos noacutes em A por exemplo leva agrave equaccedilatildeo = +

Mas antes de continuarmos percebemos que esse circuito eacute razoavelmente simples pelo fato de

todos os resistores serem iguais Percebemos que natildeo haacute razatildeo para supormos que ne e que ne Haacute

uma clara simetria no circuito estabelecida pela igualdade de todos os resistores Note entatildeo que se =

segue que da lei dos noacutes = = 2

A

B

289

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Analogamente (no noacute oposto) = = 2

Segue que = = = = 2 No noacute A = + logo = minus = 0 Concluiacutemos que natildeo

passa corrente pelo ramo central Se natildeo passa corrente por esse ramo podemos

apagaacute-lo do circuito como fizemos na Figura ao lado Tudo funciona como se o ramo

entre A e B estivesse aberto pois natildeo passa corrente por ele Agora vemos

claramente que a resistecircncia equivalente desse circuito eacute

= 2 22 + 2 =

e a corrente na bateria eacute = ℰ = ℰ

Note que essa simetria seria mantida mesmo que o resistor entre A e B por onde circula fosse

diferente dos outros 4 resistores nos ramos laterais Para uma ponte de Wheatstone com resistores

diferentes entre si nos ramos laterais temos que resolver o sistema de 6 equaccedilotildees para encontrar as correntes

nos ramos do circuito

2) Considere agora o circuito ao lado contendo dois resistores e dois

capacitores O circuito eacute alimentado por uma DDP e os capacitores

estavam inicialmente descarregados a) Fixando = 0 no terminal ndash de

(uma bateria ideal de FEM ) calcule ( ) enquanto a chave S estaacute

aberta

Com a chave S aberta e estatildeo em seacuterie e a corrente que passa

(descendo) por esse ramo dos dois resistores eacute = +

Portanto partindo do noacute ldquoardquo em direccedilatildeo ao terminal ndash passando por obtemos ( ) minus = (minus) = 0

Concluindo ( ) = = +

Note que obteriacuteamos esse mesmo resultado qualquer que fosse o caminho que escolhecircssemos atraveacutes

do circuito Por exemplo se partirmos de ldquoardquo e subirmos por ateacute o terminal + obtemos ( ) + =(+) = Portanto ( ) = minus = minus + = +

b) Calcule ( ) enquanto a chave S estaacute aberta supondo que os capacitores jaacute atingiram suas cargas maacuteximas

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Partindo do noacute ldquobrdquo em direccedilatildeo ao terminal ndash passando por obtemos ( ) minus (infin) = (minus) =0 sendo (infin) a carga acumulada na placa + de apoacutes esperarmos um tempo muito longo e os capacitores

carregarem totalmente Portanto ( ) = (infin)

Falta apenas determinarmos o valor de (infin) Note que e estatildeo em seacuterie (com a chave S aberta) e que a

capacitacircncia equivalente no ramo desses capacitores eacute = +

Para capacitores em seacuterie sabemos que vale = = sendo a carga acumulada na placa positiva do

capacitor equivalente (que eacute a placa positiva de nesse caso) Portanto (infin) = Concluindo

( ) = (infin) = = +

Apenas para exercitar escolhendo um caminho diferente que parte do noacute ldquobrdquo em direccedilatildeo ao terminal

+ passando por obtemos ( ) + (infin) = (+) = sendo (infin) a carga acumulada na placa + de

apoacutes esperarmos um tempo muito longo e os capacitores carregarem totalmente Portanto

( ) = minus (infin)

Jaacute sabemos que e estatildeo em seacuterie (com a chave S aberta) e que = = = Concluindo

( ) = minus + = +

c) A chave S eacute fechada e esperamos um novo equiliacutebrio se estabelecer Qual o potencial em ldquobrdquo

Fato eacute que antes da chave S ser fechada havia uma DDP entre ldquoardquo e ldquobrdquo dada por

( ) minus ( ) = + minus + = minus ( + )( + )

Sabemos tambeacutem que quando fecharmos essa chave vai haver um fluxo de carga entre esses noacutes passando

por S Ao final quando o sistema atingir um novo equiliacutebrio vai valer ( ) = ( ) pois esses noacutes estatildeo

conectados entre si pelo ramo da chave S (esses dois noacutes foram curto-circuitados) Note que quando a chave

S for fechada os resistores e deixam de estar em seacuterie e as correntes nesse ramo mudam com o tempo

enquanto os capacitores mudam suas cargas Mas se esperarmos muito tempo que eacute a hipoacutetese aqui os

capacitores vatildeo se carregar totalmente (de novo mas com cargas diferentes) e a corrente atraveacutes dos

capacitores e atraveacutes de S vai voltar a valer zero Daiacute para diante nada muda no ramo dos resistores eles

291

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

ficam em seacuterie novamente como se a chave S estivesse aberta Portanto ( ) volta a ter o mesmo valor

obtido no item (a) e segue que ( ) = ( ) = +

d) Quanto de carga eleacutetrica flui atraveacutes de S considerando o intervalo de tempo entre o item (a) e o item (c)

Antes da chave S ser fechada a carga eleacutetrica total nas duas placas dos capacitores que se conectam

atraveacutes do noacute ldquobrdquo era zero Na placa inferior de havia a carga minus (infin) = minus e na placa superior de

havia a carga (infin) = de tal forma que (infin) + (infin) = 0 Isso ocorre porque essas duas placas

estavam isoladas do universo (e os capacitores estavam em seacuterie) Apoacutes fecharmos a chave S e deixam

de estar em seacuterie (assim como e ) e essa condiccedilatildeo (infin) + (infin) = 0 deixa de valer pois agora essas

duas placas natildeo estatildeo mais isoladas do universo Agora pode haver um excesso de carga nessas duas placas

que fluiu para elas atraveacutes de S Para calcular esse excesso de carga basta calcular a carga final em cada um

dos capacitores com a chave S fechada e subtrair

Olhando o circuito vemos que a DDP entre as placas de eacute

∆ = (+) minus ( ) = minus + = +

que eacute a DDP entre os terminais de pois e estatildeo em paralelo (com a chave S fechada) Portanto a

carga eleacutetrica na placa + de eacute = ∆ = +

Analogamente olhando o circuito vemos que a DDP entre as placas de eacute

∆ = ( ) minus (minus) = ( ) = +

que eacute a DDP entre os terminais de pois e estatildeo em paralelo (com a chave S fechada) Portanto a

carga eleacutetrica na placa + de eacute = ∆ = +

Concluindo na placa inferior de haacute a carga minus e na placa superior de haacute a carga de tal forma que o

excesso de carga nessas duas placas que se conectam no noacute ldquobrdquo eacute

∆ = minus = + minus + = minus+

Essa carga ∆ fluiu atraveacutes de S para estabelecer um novo equiliacutebrio no circuito produzido pelo fechamento

de S

292

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

3) Vamos ao supermercado e compramos duas lacircmpadas

incandescentes mostradas na Figura ao lado Uma lacircmpada eacute

especificada por ∆ = 127 V = 40 W e a outra por ∆ = 127 V = 60 W Esses valores satildeo os valores nominais

indicados pelo fabricante Quando ligadas em suas DDPs

nominais essas lacircmpadas iratildeo dissipar suas potecircncias nominais

Mas podemos ligar essas lacircmpadas da forma que quisermos

Podemos por exemplo ligar a lacircmpada 1 em uma DDP de 220V

Mas se fizermos isso ela vai queimar instantaneamente pelo excesso de produccedilatildeo de calor

(aproximadamente quatro vezes mais que o valor nominal) Podemos tambeacutem ligar a lacircmpada 2 na bateria de

um automoacutevel com DDP de apenas 12 V Mas se fizermos isso ela natildeo vai emitir luz pois estaraacute produzindo

pouco calor (aproximadamente 110 vezes menos que o valor nominal) e seu filamento natildeo se tornaraacute

incandescente Enfim os valores reais de ∆ e de podem ser arbitraacuterios muito diferentes dos valores

nominais dependendo de comoonde ligamos essas lacircmpadas Suponha que liguemos essas duas lacircmpadas

em seacuterie e liguemos essa associaccedilatildeo a uma DDP de 220 V Qual lacircmpada brilha mais

A ideia aqui eacute considerar que as lacircmpadas satildeo simples resistores cujas resistecircncias eleacutetricas podem ser

determinadas atraveacutes de seus valores nominais de ∆ e de = (∆ ) Ao fazer isso cometeremos um

erro pois sabemos que a resistecircncia de uma lacircmpada depende da temperatura e para diferentes valores de ∆ e de a temperatura do filamento da lacircmpada e sua resistecircncia eleacutetrica seratildeo diferentes De qualquer

forma esse erro natildeo vai mudar a nossa conclusatildeo sobre qual lacircmpada brilha mais

A lacircmpada 1 possui resistecircncia eleacutetrica = (∆ ) cong 403Ω A lacircmpada 2 possui resistecircncia

eleacutetrica = (∆ ) cong 269Ω Note que essas satildeo as resistecircncias que as lacircmpadas apresentam quando

atingem as temperaturas correspondentes agraves suas potecircncias nominais

Estando as lacircmpadas em seacuterie a resistecircncia equivalente do circuito seraacute = + cong 672Ω

Portanto ao ligarmos essa associaccedilatildeo em uma DDP ∆ = 220 V a corrente que passaraacute por cada uma das

lacircmpadas seraacute = = = ∆ cong 033

Assim sendo a lacircmpada 1 estaraacute dissipando a potecircncia real = cong 43 cong

enquanto que a lacircmpada 2 estaraacute dissipando a potecircncia real

293

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

= cong 29 cong 2

Concluindo a lacircmpada de menor potecircncia nominal (40 W) estaraacute brilhando mais e estaraacute apresentando

basicamente o mesmo brilho que ela apresentaria com seus valores nominais (ligada em ∆ = 127 V)

A influecircncia da temperatura nas resistecircncias eleacutetricas das lacircmpadas poderia mudar nossa conclusatildeo

Note que a lacircmpada 1 deve estar apresentando nesse circuito uma resistecircncia proacutexima de sua resistecircncia

nominal de 403Ω No caso da lacircmpada 2 ela estaacute funcionando em uma temperatura menor que seu valor

nominal e por isso eacute provaacutevel que sua resistecircncia eleacutetrica real seja menor que o valor nominal cong 267Ω

Por isso pode ser ainda menor que o valor calculado de 29 (note que a corrente tambeacutem vai

mudar um pouco)

Enfim em qualquer situaccedilatildeo em que essas duas lacircmpadas estejam ligadas em seacuteria (em qualquer

DDP) a lacircmpada 1 (de menor potecircncia nominal) vai brilhar mais se valer gt pois nesse caso gt

Assumindo uma variaccedilatildeo linear da resistividade dos filamentos (que satildeo feitos do mesmo material)

podemos dizer que = (1 + ∆ ) sendo o valor da resistecircncia do filamento na temperatura ambiente (lacircmpada desligada) o coeficiente

de temperatura para a resistividade do material dos filamentos (tungstecircnio cong 00045(deg ) ) e ∆ a

diferenccedila entre a temperatura real de funcionamento da lacircmpada (ligada) e a temperatura ambiente (para ∆ = 0 = ) Portanto sabendo que gt sempre vai valer gt pois a

uacutenica maneira disso natildeo acontecer seria a temperatura do filamento 2 ser muito maior que a temperatura do

filamento 1 invertendo esse sinal de desigualdade Mas isso eacute impossiacutevel pois a lacircmpada 2 estaacute produzindo

menos calor que a lacircmpada 1

294

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

7 Forccedila magneacutetica

Quem jaacute teve a curiosidade de brincar com dois imatildes percebendo como eles se atraem ou se repelem

mutuamente teve oportunidade de experimentar a forccedila magneacutetica que discutiremos nesse capiacutetulo Natildeo haacute

nenhum excesso de cargas eleacutetricas ou polarizaccedilatildeo eleacutetrica nos imatildes e portanto natildeo podemos explicar essa

forccedila em termos dos conceitos que estudamos nos capiacutetulos anteriores Trata-se de uma nova forccedila da

natureza No iniacutecio haacute cerca de dois mil anos quando essa forccedila foi descoberta por acaso em pequenos

fragmentos de mineacuterio de ferro (Fe3O4 - magnetita) na regiatildeo da Magneacutesia (Turquia) tudo era misteacuterio Aos

imatildes eram atribuiacutedos poderes medicinais e perturbaccedilotildees da mente (nem precisamos voltar no tempo ainda

hoje podemos comprar travesseiros magneacuteticos com o alegado poder de ldquorestabelecer o equiliacutebrio natural do

corpo e revigorar a energia vitalrdquo) A buacutessola inventada pelos chineses foi uma das primeiras aplicaccedilotildees

tecnoloacutegicas da forccedila magneacutetica tendo sido levada para a Europa pelos navegadores aacuterabes

Enfim a histoacuteria da ciecircncia eacute longa e tortuosa e hoje

compreendemos que a forccedila magneacutetica nasce em um niacutevel microscoacutepico

Trata-se de uma forccedila entre partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica assim

como a forccedila eleacutetrica mas que eacute crucialmente dependente das

velocidades das partiacuteculas A Figura 1 ao lado ilustra duas partiacuteculas com

cargas eleacutetricas e partiacuteculas que estatildeo se movendo com

velocidades e Poderiacuteamos chamar esse sistema mais

especificamente de duas correntes eleacutetricas pontuais

Jaacute vimos que haacute uma forccedila eleacutetrica entre essas partiacuteculas dada

pela lei de Coulomb

Figura 1 Duas correntes eleacutetricas pontuais

295

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = 14 sendo ( ) a forccedila eleacutetrica que a partiacutecula 1 faz na 2 e ( ) o campo eleacutetrico criado pela partiacutecula 1 na

posiccedilatildeo da partiacutecula 2 Analogamente para ( ) De fato a lei de Coulomb vale apenas no caso estaacutetico ou seja = 0 e nesse caso mais geral em

que estaacute se movendo a forccedila eleacutetrica ( ) se modifica pois o campo eleacutetrico passa a depender da

velocidade e da aceleraccedilatildeo = ( ) Analogamente para ( ) e Natildeo discutiremos essas

correccedilotildees do campo eleacutetrico agora Mais adiante quando discutirmos o campo eleacutetrico induzido teremos

oportunidade de voltar nesse assunto Fato eacute que mesmo no caso estaacutetico a forccedila eleacutetrica continua existindo

dada por ( ) = = 0 = 0 = ( ) ou seja a forccedila eleacutetrica eacute uma forccedila entre partiacuteculas que

possuem carga eleacutetrica independentemente delas estarem se movendo ou natildeo Mas na situaccedilatildeo da Figura 1

observamos que haacute outra forccedila entre as partiacuteculas uma nova forccedila que soacute existe se e forem ambas natildeo

nulas Essa eacute portanto uma forccedila entre correntes eleacutetricas Chamamos essa forccedila de forccedila magneacutetica

Resumindo na situaccedilatildeo da Figura 1

= ( ) + ( )( ) No caso em que pelo menos uma das partiacuteculas estaacute estaacutetica ( = 0 ou = 0) a forccedila magneacutetica

entre elas desaparece

( ) = 0 = 0 = ( ) = 0 = 0

Por essa razatildeo natildeo discutimos essa forccedila na eletrostaacutetica A forccedila magneacutetica natildeo existe no contexto da

eletrostaacutetica

A forccedila magneacutetica eacute uma forccedila entre duas correntes eleacutetricas

O primeiro a observar essa conexatildeo entre magnetismo e correntes

eleacutetricas foi Hans Oersted que teve a ideia de colocar uma buacutessola

proacutexima de um fio em que passava corrente eleacutetrica Ao ligar a

corrente a agulha da buacutessola girava e assumia uma nova posiccedilatildeo

diferente da norte-sul Oersted descobriu que uma corrente eleacutetrica

produz em sua vizinhanccedila um campo magneacutetico como um imatilde A

Figura 2 ao lado ilustra duas correntes eleacutetricas se atraindo

mutuamente pela accedilatildeo da forccedila magneacutetica A buacutessola o motor

eleacutetrico o gerador de energia eleacutetrica e a fechadura eleacutetrica satildeo aplicaccedilotildees simples dessa forccedila magneacutetica

Figura 2 Duas correntes eleacutetricas interagindo entre si atraveacutes da forccedila magneacutetica Elas estatildeo se atraindo

( )( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Poderiacuteamos nos perguntar entatildeo quais satildeo as correntes eleacutetricas envolvidas na forccedila magneacutetica entre

dois imatildes que se atraem ou se repelem e na forccedila que faz com que a agulha de uma bussola gire e se oriente

de acordo com os poacutelos terrestres Inicialmente se acreditava que existia no nuacutecleo da Terra um

grande imatilde permanente Outros atribuiacuteam a orientaccedilatildeo da buacutessola a uma propriedade misteriosa

de atraccedilatildeo produzida pela estrela polar ou por montanhas imantadas localizadas no poacutelo norte da

Terra um lugar que ningueacutem jamais havia ousado visitar Enfim houve um tempo em que todo o

magnetismo era um fenocircmeno de forccedila entre esses minerais especiais de que satildeo compostos os

imatildes e natildeo havia conexatildeo nenhuma entre magnetismo e correntes eleacutetricas Ao longo da histoacuteria

por analogia com os fenocircmenos eleacutetricos imaginou-se a existecircncia de poacutelos norte (N) e sul (S) microscoacutepicos

que se acumulariam no espaccedilo como cargas eleacutetricas positivas e negativas Assim um imatilde em forma de barra

possuiria um excesso de poacutelos N em seu poacutelo norte e um excesso de poacutelos S em seu poacutelo sul exatamente

como se fossem cargas eleacutetricas acumuladas nas extremidades de uma haste A Figura ao lado ilustra essa

ideacuteia Hoje sabemos que isso natildeo corresponde agrave realidade e que a origem da forccedila magneacutetica e do campo

magneacutetico estaacute nas correntes eleacutetricas Natildeo existem esses poacutelos N e S microscoacutepicos que poderiam ser

chamados de monopolos magneacuteticos anaacutelogos aos monopolos eleacutetricos + e ndash Por essa razatildeo quando

dividimos um imatilde ao meio obtemos dois novos imatildes e natildeo dois poacutelos N e S separados no espaccedilo

As respostas agraves perguntas que fizemos anteriormente satildeo i) quando dois imatildes se atraem ou se

repelem satildeo as correntes eleacutetricas microscoacutepicas dentro dos aacutetomos que compotildeem os imatildes que se atraem ou

se repelem de acordo com a forccedila ( ) discutida acima Satildeo as correntes associadas agrave movimentaccedilatildeo dos

eleacutetrons dentro da mateacuteria (ldquooacuterbitasrdquo) e tambeacutem ao spin do eleacutetron ou seja ao giro do eleacutetron em torno dele

mesmo como um pequeno piatildeo Dois imatildes se atraem ou se repelem porque as correntes eleacutetricas atocircmicas

que existem dentro dos imatildes interagem entre si A interaccedilatildeo magneacutetica eacute uma interaccedilatildeo entre cargas eleacutetricas

que se movem ii) No caso da buacutessola as correntes eleacutetricas estatildeo dentro da agulha (ldquooacuterbitasrdquo + spin dos

eleacutetrons) que eacute um imatilde e tambeacutem no nuacutecleo da Terra Hoje sabemos que a origem do campo magneacutetico da

Terra estaacute ligada ao seu nuacutecleo composto basicamente de ferro a altas temperaturas e altas pressotildees Esse

nuacutecleo se originou na formaccedilatildeo da Terra haacute cong45 bilhotildees de anos enquanto ela avanccedilava no seu processo de

esfriamento e solidificaccedilatildeo Correntes eleacutetricas circulando nesse nuacutecleo satildeo responsaacuteveis pelo campo

magneacutetico da Terra e pela forccedila magneacutetica que a Terra faz na agulha de uma buacutessola

A interaccedilatildeo magneacutetica assim como a eleacutetrica eacute intermediada por um campo de forccedila o campo

magneacutetico Dessa forma entendemos que uma corrente eleacutetrica 1 faz forccedila em outra corrente eleacutetrica 2

porque a corrente 1 produz em sua vizinhanccedila um campo magneacutetico ( ) que permeia todo o espaccedilo

Estando a corrente 2 na vizinhanccedila da corrente 1 ela vai sofrer uma forccedila uma forccedila magneacutetica ( ) A

S

N NN N

SSS

297

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

forccedila magneacutetica ( ) teraacute sua magnitude definida pelo campo magneacutetico ( ) criado pela corrente 1 na

posiccedilatildeo em que a corrente 2 estaacute e pela proacutepria magnitude da corrente 2 Analogamente para ( ) Nesse iniacutecio de nosso estudo das interaccedilotildees magneacuteticas vamos nos concentrar na forccedila ( ) que

uma corrente eleacutetrica 2 sofre pelo fato de estar em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo

magneacutetico ( ) criado por outras correntes eleacutetricas que existem no espaccedilo No proacuteximo capiacutetulo

completaremos o estudo dessa interaccedilatildeo aprendendo a calcular o campo magneacutetico ( ) criado por uma

corrente eleacutetrica qualquer Vamos considerar apenas o caso em que ( ) natildeo depende do tempo ou seja ( ) eacute o campo magneacutetico produzido por uma corrente estacionaacuteria (uma corrente independente do

tempo) O contexto de campos magneacuteticos estacionaacuterios eacute chamado de magnetostaacutetica em analogia com a

eletrostaacutetica que eacute o contexto de campos eleacutetricos estaacuteticosestacionaacuterios

No nosso estudo da eletrostaacutetica vimos que o objeto mais simples que possui a propriedade de carga

eleacutetrica eacute o monopolo eleacutetrico uma partiacutecula que possui um excesso de carga eleacutetrica Com esse bloco

baacutesico podemos construir outras distribuiccedilotildees de carga mais complexas como os dipolos que satildeo objetos

compostos de uma partiacutecula de carga proacutexima de outra de carga ndash A magnetostaacutetica se diferencia desse

contexto pela inexistecircncia de monopolos magneacuteticos poacutelos N e S isolados O magnetismo eacute uma interaccedilatildeo

entre correntes eleacutetricas ou seja entre fluxos de monopolos eleacutetricos Natildeo se trata portanto de uma

interaccedilatildeo associada a uma nova propriedade da mateacuteria o que poderiacuteamos chamar de ldquocarga magneacuteticardquo (N e

S) mas sim de uma interaccedilatildeo entre correntes eleacutetricas

Eacute interessante notar que a ausecircncia de monopolos magneacuteticos na natureza ou seja de poacutelos N e S

microscoacutepicos isolados faz com que o anaacutelogo da lei de Gauss no contexto da magnetostaacutetica fique

= ∙ = 0

para qualquer superfiacutecie fechada SG Essa lei deve ser comparada com a lei de Gauss da eletrostaacutetica

= ∙ =

O que a lei de Gauss da magnetostaacutetica estaacute dizendo eacute que natildeo existem as ldquocargas magneacuteticasrdquo N e S anaacutelogas

agraves cargas eleacutetricas + e ndash que estatildeo computadassomadas em na lei de Gauss da eletrostaacutetica Como jaacute

discutimos no capiacutetulo 2 eacute uma medida do saldo de linhas do campo que saem da superfiacutecie fechada SG

Esse saldo soacute poderia ser natildeo nulo se a superfiacutecie SG englobasse mais poacutelos N do que poacutelos S ou vice-versa o

que natildeo pode ocorrer pois natildeo existem esses poacutelos isolados Dito de outra forma a lei de Gauss da

magnetostaacutetica afirma que as linhas de satildeo sempre fechadas ou se estendem de um infinito a outro

298

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Na Figura ao lado ilustramos algumas linhas do campo magneacutetico gerado pela corrente que circula

em um segmento de um fio fino e reto As linhas de satildeo ciacuterculos centrados no fio ou seja em qualquer

ponto do espaccedilo na vizinhanccedila desse fio o campo eacute tangente a um ciacuterculo que passa

por esse ponto e eacute centrado no fio Depois vamos discutir um pouco mais sobre esse

campo O importante a ressaltar aqui eacute que as linhas de satildeo fechadas e para

qualquer superfiacutecie imaginaacuteria fechada vale = 0 (as linhas que entram saem) Natildeo

haacute nenhum ponto no espaccedilo onde as linhas de nascem ou morrem (que seriam os

locais dos monopolos N e S) Note que as linhas de diferentemente das linhas de natildeo satildeo tangentes agrave

forccedila magneacutetica ( ) mas sim ao campo Por isso evitamos chamar essas linhas de ldquolinhas de forccedilardquo de

No caso eleacutetrico como a forccedila eleacutetrica eacute ( ) = as linhas de satildeo tambeacutem linhas de forccedila pois satildeo

tambeacutem paralelas a ( ) Em contraste veremos em breve que a forccedila magneacutetica ( ) natildeo eacute paralela a

(eacute ortogonal)

Na Figura ao lado ilustramos em azul algumas linhas de produzidas pela

corrente que circula em um fio fino com a forma de um ciacuterculo (um fio formando

uma curva fechada eacute chamado de espira nesse caso eacute uma espira circular) Note

que com exceccedilatildeo de uma linha reta central que se estende de um infinito ao

outro todas as outras linhas de satildeo curvas fechadas descendentes diretas das

linhas circulares mostradas acima para o fio reto De um lado da espira (direito na

Figura) proacuteximo de seu centro as linhas de emanam da espira essa regiatildeo eacute

chamada de poacutelo norte por analogia com o campo de um imatilde Na face oposta da espira as linhas de

entram na espira essa regiatildeo eacute chamada de poacutelo sul Mas note natildeo satildeo poacutelos isolados satildeo apenas regiotildees do

espaccedilo onde as linhas de satildeo mais concentradas e eacute mais intenso

Comparando as linhas de da espira com as linhas de para um imatilde mostradas

ao lado podemos entender a ideia desses nomes No caso do imatilde os nomes

norte e sul para suas extremidades foram herdados dos nomes dos poacutelos

geograacuteficos da Terra graccedilas agrave accedilatildeo de uma buacutessola O campo magneacutetico do imatilde

eacute gerado pelas correntes eleacutetricas microscoacutepicas que circulam nos aacutetomos que

compotildeem o imatilde Por essa razatildeo se partirmos um imatilde ao meio vamos obter dois novos imatildes e natildeo um poacutelo

norte separado de um poacutelo sul Note que como no caso da espira circular as linhas de natildeo nascem no poacutelo

N do imatilde elas apenas emergem do imatilde dessa regiatildeo Dentro do imatilde vemos que as linhas de chegam ao

poacutelo N Nesse sentido fica claro que quando nos referimos aos poacutelos N e S magneacuteticos estamos apenas

fazendo uma analogia com os poacutelos + e ndash eleacutetricos onde as linhas de nascem e morrem respectivamente

299

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Se vocecirc olhar para a Figura ao lado que mostra as linhas de forccedila de para

um dipolo eleacutetrico vai entender que essa analogia eacute razoaacutevel Mas note que as

linhas de forccedila de nascem no poacutelo + enquanto que as linhas de no imatilde apenas

passam pelo poacutelo N emergindo dele nessa regiatildeo O poacutelo N natildeo eacute um poacutelo

magneacutetico isolado como uma carga eleacutetrica positiva por exemplo O poacutelo N do imatilde

eacute apenas uma regiatildeo de onde as linhas de emanam mais intensamente de dentro do imatilde

A Figura ao lado ilustra algumas linhas de geradas por um solenoacuteide helicoidal que eacute basicamente

uma sucessatildeo de espiras (circulares nesse caso) conectadas entre si A corrente entra por uma extremidade do

fio daacute vaacuterias voltas em torno de um eixo ciliacutendrico comum e sai pela outra

extremidade do fio Eacute evidente a semelhanccedila entre os campos magneacuteticos

do solenoacuteide e do imatilde Natildeo por acaso o solenoacuteide eacute chamado de eletroiacutematilde

A vantagem do eletroiacutematilde em relaccedilatildeo ao imatilde eacute que seu campo magneacutetico eacute

controlaacutevel podendo ser ligado e desligado agrave vontade Basta controlar a

corrente que circula pelo solenoacuteide Essa eacute a ideia por exemplo de uma

fechadura eletrocircnica ao apertar um botatildeo ligamos a corrente no solenoacuteide que produz um campo que

produz uma forccedila magneacutetica e puxa o trinco da fechadura

Finalmente acrescentamos a essa galeria a Figura ao lado que mostra

algumas linhas do campo da Terra Note que o poacutelo sul geograacutefico (agrave direita na

Figura) eacute um poacutelo norte magneacutetico (por isso o poacutelo N da buacutessola aponta para o poacutelo

norte geograacutefico da Terra porque laacute haacute um poacutelo S magneacutetico e poacutelos opostos se

atraem) Comparando o campo magneacutetico da Terra ao de um solenoacuteide podemos

ter uma ideia de como devem ser as correntes eleacutetricas no nuacutecleo da Terra que datildeo

origem a esse campo A Figura natildeo mostra mas as linhas do campo da Terra satildeo

fechadas elas natildeo nascem ou morrem nos poacutelos magneacuteticos da Terra As linhas de se estendem para dentro

da Terra e se fecham apenas emergindo da Terra predominantemente em seus poacutelos magneacuteticos Trata-se da

mesma situaccedilatildeo ilustrada acima para uma espira um solenoacuteide e um imatilde linhas de fechadas emergindo da

Terra no poacutelo N (poacutelo sul geograacutefico) e mergulhando para dentro da Terra no poacutelo S (poacutelo norte geograacutefico)

71 Forccedila magneacutetica sobre uma corrente pontual em um campo magneacutetico ( ) Conforme jaacute enfatizamos a forccedila magneacutetica eacute uma forccedila entre correntes eleacutetricas Vamos comeccedilar

nosso estudo da forccedila magneacutetica ( ) considerando que a corrente que estaacute sofrendo essa forccedila eacute a

corrente eleacutetrica mais simples possiacutevel uma corrente eleacutetrica pontual Uma corrente eleacutetrica pontual consiste

simplesmente em uma carga pontual se movendo no espaccedilo com uma velocidade A Figura 2 abaixo ilustra

300

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

a situaccedilatildeo que estamos imaginando As linhas orientadas azuis satildeo esboccedilos das linhas do campo produzido

por correntes eleacutetricas que natildeo estatildeo mostradas na Figura pode ser o campo magneacutetico de um imatilde de um

fio com corrente eleacutetrica de um solenoacuteide ou mesmo o campo magneacutetico da Terra A partiacutecula de carga e

velocidade estaacute se movendo nessa regiatildeo Observamos que essa

partiacutecula sofre um desvio em sua trajetoacuteria livre porque ela sofre

uma forccedila magneacutetica A forccedila magneacutetica nessa partiacutecula eacute

( ) = times

sendo times o siacutembolo da operaccedilatildeo de produto vetorial (entre e )

Dessa relaccedilatildeo jaacute podemos ver que a unidade de campo

magneacutetico no SI eacute N(Cms) que eacute abreviado por tesla (siacutembolo T)

em homenagem ao cientistainventor pioneiro Nikola Tesla O

campo magneacutetico da Terra por exemplo eacute da ordem de 10 T

Um campo magneacutetico intenso criado em laboratoacuterio eacute algo da ordem de 1 T Eacute interessante notar que uma

corrente eleacutetrica pontual conforme definida acima natildeo eacute o que poderiacuteamos chamar de uma corrente eleacutetrica

estacionaacuteria Uma corrente pontual eacute de fato uma ( ) um pulso de corrente que viaja no espaccedilo pois soacute haacute

corrente natildeo nula (transporte de carga eleacutetrica) na posiccedilatildeo instantacircnea ocupada pela partiacutecula Nos outros

pontos do espaccedilo a corrente eacute nula Mas isso natildeo invalida nossa hipoacutetese inicial estamos supondo que o

campo magneacutetico no espaccedilo ( ) atuando sobre a corrente pontual eacute um campo estacionaacuterio ou seja um

campo magneacutetico produzido por uma corrente eleacutetrica estacionaacuteria Se esse natildeo fosse o caso teriacuteamos que

supor que = ( ) Deixaremos esse caso mais geral para depois

Note se quisermos explicitar as dependecircncias na equaccedilatildeo da forccedila devemos escrever

( )( ) = ( ) times ( ) ou seja quando a partiacutecula estiver passando pela posiccedilatildeo com velocidade ( ) onde o campo magneacutetico

(produzido por outras correntes eleacutetricas proacuteximas) tem o valor ( ) ela vai sofrer a forccedila magneacutetica ( )( ) Mas para simplificar a notaccedilatildeo deixaremos essas dependecircncias impliacutecitas na equaccedilatildeo da forccedila

As propriedades mais estranhas de ( ) vecircm todas das propriedades da operaccedilatildeo de produto

vetorial As propriedades de ( ) satildeo

1 ( ) eacute proporcional agrave carga eleacutetrica Uma partiacutecula eletricamente neutra natildeo sofre essa forccedila

2 ( ) soacute atua em partiacuteculas que estatildeo se movendo ( ne 0) ou seja em correntes eleacutetricas

3 ( ) = sen( ) sendo o (menor) acircngulo entre os vetores e

Figura 2 Uma corrente eleacutetrica pontual em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico ( ) produzido por outras correntes eleacutetricas

( )

0

301

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

4 ( ) eacute ortogonal ao plano formado pelos vetores e

5 ( ) tem o sentido dado pela regra da matildeo direita fazendo um movimento de giro com os dedos

da matildeo direita atraveacutes do indo de para o polegar dessa matildeo aponta no sentido do vetor times

O sentido de ( ) eacute o sentido de times se gt 0 e o sentido oposto ao de times se lt 0

A Figura 3 ao lado ilustra essas ideacuteias Desenhamos nessa

Figura as arestas tracejadas de um cubo apenas para servir de

referecircncia dando a ideacuteia de vetores no espaccedilo 3D e foram

desenhados no plano da face inferior desse cubo e ( ) tem

portanto a direccedilatildeo de uma aresta do cubo que eacute ortogonal a essa

face Nessa Figura estamos supondo gt 0 (um proacuteton por

exemplo) e por isso ( ) tem o sentido de times dado pela

regra da matildeo direita Essa partiacutecula estaacute sendo empurrada para

cima e vai descrever uma trajetoacuteria curva

A forma mais faacutecil de calcular o vetor ( ) eacute adotar um

referencial xyz escrever cada um dos vetores e nesse

referencial e realizar o produto vetorial Na Figura que segue

adotamos um referencial na situaccedilatildeo jaacute mostrada na Figura 3 note

que eacute um referencial direito ou seja a ordem dos eixos eacute tal que times = Nesse referencial vale = e = sen( ) + cos( )

Portanto

( ) = times = sen( ) + cos( ) times

Usando a propriedade distributiva

( ) = sen( ) times + cos( ) times

Sabendo que times = e que times = 0 obtemos finalmente

( ) = sen( ) Nessa Figura a linha roxa pontilhada esboccedila como seria a trajetoacuteria dessa partiacutecula a partir da posiccedilatildeo

inicial mostrada Ela vai sair do plano da face inferior do cubo sendo empurrada para cima

Natildeo importa qual seja a trajetoacuteria dessa partiacutecula uma coisa que podemos afirmar em geral eacute que na

ausecircncia de outras forccedilas ela seraacute percorrida com moacutedulo de velocidade constante Isso porque a forccedila

( )

Figura 3 a forccedila magneacutetica ( ) sobre uma partiacutecula de carga eleacutetrica gt 0 e velocidade em uma posiccedilatildeo em que o campo magneacutetico eacute

( )

x

y

z

302

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

magneacutetica eacute sempre ortogonal agrave velocidade da partiacutecula ela natildeo realiza trabalho De fato para uma partiacutecula

submetida somente agrave forccedila magneacutetica o teorema do trabalho energia cineacutetica diz que

∆ = ( ) = ( ) ∙ = times ∙ =0

sendo e dois pontos quaisquer da trajetoacuteria da partiacutecula A uacuteltima igualdade vale porque eacute paralelo a

(de fato = ) enquanto que times eacute ortogonal a e ainda cos(90deg) = 0 ou seja o produto escalar de times com eacute sempre nulo Podemos escrever tambeacutem times ∙ = times ∙ = 0 Sendo = 2

constante segue que o moacutedulo da velocidade da partiacutecula eacute constante A velocidade varia apenas em

direccedilatildeo e sentido

O caso mais simples de movimento de uma partiacutecula em um campo magneacutetico eacute aquele em que o

campo magneacutetico eacute uniforme no espaccedilo digamos = sendo gt 0 uma constante (um campo uniforme

eacute um campo que natildeo depende de nenhuma coordenada espacial ele eacute constante no espaccedilo) Isso vale por

exemplo para o campo magneacutetico da Terra em uma regiatildeo pequena como dentro de uma sala Suponha que

em um instante qualquer a partiacutecula de carga possua a velocidade ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Nesse instante essa partiacutecula estaraacute sofrendo a forccedila magneacutetica

( )( ) = ( ) times = ( ) + ( ) + ( ) times = ( ( ) minus ( ) ) A primeira coisa que notamos eacute que natildeo haacute forccedila na direccedilatildeo de (direccedilatildeo y) porque ( ) eacute sempre

ortogonal a Portanto da segunda lei de Newton obtemos (se eacute a massa da partiacutecula) ( ) = ( ) = 0

Concluiacutemos que vale = constante = sendo o valor inicial de A partiacutecula se move na direccedilatildeo de

(direccedilatildeo y) como se nada estivesse acontecendo ou seja com movimento retiliacuteneo uniforme (MRU) de

velocidade Se valer = 0 entatildeo a partiacutecula vai se mover apenas no plano xz que eacute o plano ortogonal a

Veremos mais adiante que a trajetoacuteria da partiacutecula nesse plano seraacute um ciacuterculo

No plano xz que eacute o plano ortogonal a a partiacutecula descreve uma curva pois ela sofre uma forccedila que

eacute (sempre) ortogonal a Assim sendo as coisas ficam mais simples se nos concentrarmos nesse plano

ortogonal a (plano xz) e no final superpormos ao movimento nesse plano o MRU ao longo de y Vamos

iniciar definindo a componente ortogonal (ortogonal a ) da velocidade ( ) = ( ) + ( ) de tal

303

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

forma que ( ) = ( ) + (note que = natildeo depende do tempo) Como jaacute vimos a forccedila

magneacutetica eacute dada apenas por ( ) ( )( ) = ( ) times = ( ) + times = perp ( )

sendo perp ( ) um vetor no plano xz que eacute ortogonal a Note que natildeo depende do tempo pois a energia

cineacutetica da partiacutecula eacute constante assim como = 12 ( + ) As componentes ( ) e ( ) natildeo

satildeo constantes mas o moacutedulo = ( ) + ( ) eacute constante O vetor ( ) por sua vez depende do

tempo pois a partiacutecula descreve uma curva no espaccedilo mantendo o moacutedulo = constante A forccedila

magneacutetica eacute uma forccedila de moacutedulo constante que se manteacutem continuamente na direccedilatildeo ortogonal agrave

direccedilatildeo de Esse eacute o significado de perp ( ) na equaccedilatildeo acima um vetor unitaacuterio que em qualquer instante eacute

ortogonal a ( ) A equaccedilatildeo de movimento da partiacutecula no plano xz eacute ( ) = perp ( ) Na mecacircnica estudamos o movimento produzido por uma forccedila de magnitude

constante e direccedilatildeo ortogonal agrave velocidade o movimento circular uniforme

(MCU) A Figura ao lado ilustra os vetores velocidade e unitaacuterio centriacutepeto (perp ( )) em um MCU Considere que a partiacutecula esteja girando na trajetoacuteria circular com

velocidade angular constante ou seja ( ) = Olhando na Figura

decompomos os vetores (verde e azul) de acordo com os eixos e ( ) e obtemos

( ) = minussen( ) + cos( ) e perp ( ) = minus cos( ) minus sen( ) A Figura ao lado ilustra essas decomposiccedilotildees Note que ( ) = minuscos( 2 minus ) + sen( 2 minus ) = minussen( ) + cos( )

Portanto esses dois vetores satisfazem agrave equaccedilatildeo diferencial ( ) = perp ( ) De fato ( ) = minussen( ) + cos( ) = minuscos( ) minus sen( ) = perp ( )

Vemos que a dinacircmica do MCU eacute a mesma dinacircmica que obtivemos acima para a partiacutecula se

movendo no plano xz ortogonal a Comparando as duas equaccedilotildees para ( ) concluiacutemos que a

partiacutecula descreve no plano xz um MCU com velocidadefrequecircncia angular =

perp ( ) ( )( )

x

z

θ 90o - θ

x

z

304

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

que eacute chamada de rdquofrequumlecircncia ciacuteclotronrdquo Sabemos que no MCU = sendo o raio da trajetoacuteria

circular portanto =

que eacute chamada de rdquoraio ciacuteclotronrdquo (o nome ldquociacuteclotronrdquo se refere

a um acelerador de partiacuteculas onde um feixe de partiacuteculas

descreve uma oacuterbita circular como a que estamos discutindo

aqui sob accedilatildeo de um campo magneacutetico)

A Figura 4 ao lado ilustra a trajetoacuteria para essa partiacutecula

com carga eleacutetrica gt 0 em uma regiatildeo onde existe um campo

magneacutetico uniforme A trajetoacuteria eacute a superposiccedilatildeo de um

MRU ao longo de y com um MCU no plano xz o que resulta em

uma heacutelice que se estende paralelamente agrave direccedilatildeo de

Na Figura 4 representamos vaacuterios ciacuterculos de diferentes

cores mas devemos imaginar que a partiacutecula vai percorrendo

esses ciacuterculos no plano xz e ao mesmo tempo vai avanccedilando na

direccedilatildeo de com velocidade Ao final a trajetoacuteria se parece com uma mola helicoidal

A Figura ao lado (da internet) pode ajudar a visualizar essa trajetoacuteria um MCU no

plano ortogonal a superposto a um MRU na direccedilatildeo de O resultado eacute uma heacutelice

(curva laranja)

No caso particular = 0 a trajetoacuteria da partiacutecula seria apenas um ciacuterculo no

plano (xz) ortogonal a um ciacuterculo de raio =

Para cargas negativas apenas substitua por | | Quanto mais intenso o campo maior a forccedila centriacutepeta na

partiacutecula menor o seu raio de giro e maior sua velocidade angular

= | |

Voltando na Figura 4 se imaginarmos que = ( ) e que vai ficando mais

intenso com o aumento de y podemos deduzir que a partiacutecula vai percorrer ciacuterculos de

raios cada vez menores ( decresce) e girando cada vez mais rapidamente ( cresce)

ou seja ela vai percorrer uma espiral Isso ocorre por exemplo quando partiacuteculas do

vento solar penetram no campo magneacutetico da Terra proacuteximo aos poacutelos A Figura ao

y

Figura 4 trajetoacuteria de uma partiacutecula de carga gt 0 em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

lado tenta ilustrar algumas linhas do campo magneacutetico da Terra em que notamos que essas linhas se

concentram e convergem nas regiotildees dos poacutelos onde o campo eacute mais intenso Na vizinhanccedila da Terra o Sol

emite para o espaccedilo energia radiante e tambeacutem partiacuteculas em altas velocidades como proacutetons e eleacutetrons que

constituem o vento solar Quando esse vento solar chega a Terra ele interage com o campo magneacutetico

terrestre e essas partiacuteculas descrevem trajetoacuterias complexas rodopiando para laacute e para caacute Nas regiotildees

proacuteximas aos poacutelos as partiacuteculas do vento solar espiralam em direccedilatildeo aos poacutelos girando cada vez mais

rapidamente Partiacuteculas com carga eleacutetrica e com grandes aceleraccedilotildees (centriacutepetas

nesse caso) emitem radiaccedilatildeo eletromagneacutetica e essas emissotildees de luz pelo vento solar

nas regiotildees polares satildeo chamadas de auroras boreal (N) e austral (S) Algo como

mostrado na Figura ao lado Ao emitir radiaccedilatildeo (luz) as partiacuteculas do vento solar

perdem energia e velocidade e assim o campo magneacutetico da Terra produz um efeito protetor evitando que os

seres vivos e a proacutepria atmosfera aqui na Terra sejam fuzilados pelo vento solar

Trajetoacuterias espirais de partiacuteculas raacutepidas em um campo magneacutetico

podem ser observadas em laboratoacuterio utilizando uma cacircmara de bolhas A

Figura ao lado ilustra uma fotografia obtida em uma cacircmara de bolhas no

laboratoacuterio CERN A cacircmara de bolhas eacute basicamente um reservatoacuterio cheio de

hidrogecircnio onde estaacute aplicado um campo magneacutetico uniforme e intenso Na

Figura ao lado o campo estaacute apontando para fora da paacutegina e as partiacuteculas entram na cacircmara vindo do lado

esquerdo Quando uma partiacutecula com carga eleacutetrica passa por dentro dessa cacircmara ela ioniza o hidrogecircnio e

deixa um rastro de bolhas ou seja suas trajetoacuterias podem ser observadas Observamos na Figura algumas

trajetoacuterias espirais que satildeo basicamente as trajetoacuterias circulares discutidas aqui adicionando a elas uma

dissipaccedilatildeo de energia pela emissatildeo de radiaccedilatildeo Sendo o raio proporcional agrave velocidade da partiacutecula agrave

medida que ela irradia e perde energia ela perde velocidade e espirala em direccedilatildeo ao centro do que seria a

trajetoacuteria circular inicial As duas trajetoacuterias espirais em destaque correspondem agrave criaccedilatildeo de um par eleacutetron

(curva vermelha) poacutesitron (curva azul) induzida por alguma partiacutecula que veio da esquerda e penetrou na

cacircmara de bolhas

Uma aplicaccedilatildeo baacutesica da forccedila magneacutetica estaacute sugerida na equaccedilatildeo para o raio ciacuteclotron

= rArr =

em que eacute o moacutedulo da velocidade da partiacutecula que eacute lanccedilada na regiatildeo com campo magneacutetico uniforme

Vamos supor aqui o caso particular mais simples em que a partiacutecula eacute lanccedilada nessa regiatildeo com velocidade no

plano ortogonal a caso em que a trajetoacuteria da partiacutecula eacute simplesmente circular ( = 0 na discussatildeo

acima) Essa equaccedilatildeo para o raio da trajetoacuteria circular estaacute sugerindo que podemos medir a massa de

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

partiacuteculas eletricamente carregadas mais especificamente a razatildeo atraveacutes da mediccedilatildeo de raios de

trajetoacuterias circulares Isso eacute feito em cacircmaras de bolhas e eacute o que faz um espectrocircmetro de massa uma

ferramenta analiacutetica muito utilizada na quiacutemica na farmacologia e na medicina

Um espectrocircmetro de massa eacute um instrumento analiacutetico que cria um feixe de iacuteons a partir do vapor de

um composto a ser analisado Esse feixe de iacuteons eacute introduzido em uma regiatildeo com campo magneacutetico

uniforme originando vaacuterias trajetoacuterias circulares conforme a razatildeo de cada iacuteon Analisando os raios e as

intensidades dos feixes em cada raio podem-se inferir as razotildees e as abundacircncias de cada espeacutecie de iacuteon

no composto original Natildeo vamos entrar em detalhe acerca de cada etapa de funcionamento do

espectrocircmetro de massa Vamos nos concentrar nas trajetoacuterias circulares produzidas pelo campo magneacutetico

Mas basicamente o espectrocircmetro vaporiza o composto cuja composiccedilatildeo quiacutemica deve ser analisada ioniza

as partiacuteculas desse vapor geralmente uma vez apenas arrancando um eleacutetron de cada partiacutecula do vapor Em

seguida esses iacuteons satildeo acelerados atraveacutes de um campo eleacutetrico criando um feixe Um filtro de velocidades daacute

origem a um feixe em que todos os iacuteons possuem uma mesma velocidade conhecida Finalmente na etapa

que nos interessa mais esse feixe eacute introduzido em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme

Nessa regiatildeo as partiacuteculas do feixe descrevem trajetoacuterias (semi) circulares cujos raios fornecem as massas dos

iacuteons que fazem parte do composto analisado e cuja intensidade (dos feixes) fornece a abundacircncia desse iacuteon no

composto Basicamente =

sendo a carga eleacutetrica de um proacuteton apenas

A Figura 5 abaixo ilustra um diagrama esquemaacutetico simplificado de um espectrocircmetro de massa Note

que o campo magneacutetico atua no feixe de partiacuteculas de forma anaacuteloga agrave atuaccedilatildeo de um prisma em um feixe de

luz branca Assim como o prisma revela o espectro de cores contidas na luz branca separando o feixe de luz

em uma espeacutecie de arco-iacuteris o campo magneacutetico revela o espectro de massas das partiacuteculas constituintes do

feixe e portanto do composto analisado

vaporizador ionizador

filtro de velocidade

detector gt

Figura 5 diagrama esquemaacutetico simplificado de um espectrocircmetro de massa Um composto a ser analisado eacute vaporizado ionizado e acelerado por um campo eleacutetrico Apoacutes passar por um filtro de velocidade o feixe entra em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme para fora da paacutegina na Figura Nessa regiatildeo o feixe original se desmembra em vaacuterios feixes de acordo com as massas dos iacuteons

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Na Figura 5 acima estamos imaginando que haacute apenas dois iacuteons de massas diferentes no feixe original

Na Figura 6 abaixo ilustramos o resultado obtido no detector (basicamente detectores de corrente

eleacutetrica) quando o vaporizador eacute abastecido com uma simples amostra de dioacutexido de carbono CO2

(httpswebbooknistgov) Note que o eixo das massas (ou dos raios) eacute na verdade um eixo de sendo

a quantidade de ionizaccedilotildees do iacuteon (valecircncia) Geralmente vale = 1 mas outros valores de podem ocorrer

Iacuteons com = 2 por exemplo teratildeo um raio de trajetoacuteria que eacute a metade do raio do mesmo iacuteon com = 1 pois para esses iacuteons vale = 2 = 2

Notamos que haacute um pico principal com = 1 = 44 correspondente agrave massa do iacuteon CO2+ com o

isoacutetopo mais comum (cong 989) do carbono o 12C6 ( 1 = 12 + 2(16) = 44) Eacute o feixe de maior intensidade

tendo em vista que este eacute o iacuteon mais abundante no feixe original Haacute tambeacutem picos correspondentes aos iacuteons

CO2+ com os isoacutetopos mais raros 13C6 ( 1 = 45) e 14C6 ( 1 = 46) do carbono Notamos tambeacutem um pico

pequeno em 1 = 12 correspondente ao iacuteon 12C6+ um pico pequeno em 1 = 16 correspondente ao iacuteon

O+ e um pico pequeno em 1 = 28 correspondente ao iacuteon CO+ com o isoacutetopo 12C6 (haacute um pico tambeacutem com 1 = 29) Finalmente haacute um pico em 2 = 22 correspondente ao iacuteon duplamente ionizado CO2++ com o

isoacutetopo 12C6 Quanto aos isoacutetopos do Oxigecircnio somente haacute registro do 16O8 que possui abundacircncia cong 998

Eacute comum a necessidade de criaccedilatildeo de um feixe de partiacuteculas em que todas as partiacuteculas possuem a

mesma velocidade Isso ocorre por exemplo no espectrocircmetro de massa em que devemos conhecer a

velocidade das partiacuteculas que entram na regiatildeo com campo magneacutetico A mesma ideia se aplica ao feixe de

eleacutetrons em um microscoacutepio eletrocircnico Em analogia com a oacuteptica poderiacuteamos chamar esses feixes de

ldquomonocromaacuteticosrdquo Como podemos fazer para criar um feixe monocromaacutetico de partiacuteculas a partir de um feixe

original em que as partiacuteculas possuem velocidades de magnitudes aleatoacuterias (policromaacutetico) Basta combinar

as accedilotildees de um campo eleacutetrico e de um campo magneacutetico ambos uniformes Com esses dois campos

Figura 6 espectro de massa do dioacutexido de carbono CO2 Basicamente intensidade do feixe versus a razatildeo massavalecircncia do iacuteon

308

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

combinados podemos criar um filtro de velocidades de partiacuteculas em

que entra por um lado um feixe policromaacutetico e sai pelo outro lado

um feixe monocromaacutetico

A Figura ao lado ilustra essa ideia Em uma regiatildeo do espaccedilo

(em que haacute vaacutecuo) haacute um campo magneacutetico uniforme = minus

(setas azuis) Nessa mesma regiatildeo haacute um campo eleacutetrico uniforme = minus (setas roxas) Uma partiacutecula de carga eleacutetrica gt 0 entra

nessa regiatildeo com uma velocidade de magnitude qualquer =

Essa partiacutecula faz parte de um feixe de partiacuteculas com velocidades de

magnitudes arbitraacuterias (mas todas ao longo de y) Ao entrar nessa

regiatildeo a partiacutecula sofre uma forccedila magneacutetica dada por

( ) = times = times (minus ) = Ao mesmo tempo a partiacutecula sofre uma forccedila eleacutetrica oposta

( ) = = (minus ) = minus A segunda lei de Newton diz que essa partiacutecula (de massa ) vai entrar nessa regiatildeo obedecendo agrave dinacircmica ( ) = ( minus ) com a condiccedilatildeo inicial (0) = Note que essa equaccedilatildeo soacute vale nos primeiros instantes em que a partiacutecula

entra na regiatildeo com os campos e pois com o passar do tempo a velocidade da partiacutecula vai mudar e a

forccedila nela vai deixar de ser o caso particular ( minus ) (essa forccedila eacute dada sempre por ( ) times +

com ( ) no plano yz posto que estando ao longo de x ( ) nunca adquire uma componente x)

Conclusatildeo a partiacutecula jaacute entra na regiatildeo em que atuam os campos e sendo desviada na direccedilatildeo z

Partiacuteculas de altas velocidades ou seja para as quais minus gt 0 aceleram e sobem ao longo do eixo z e

partiacuteculas de baixas velocidades ou seja para as quais minus lt 0 aceleram e descem ao longo do eixo z

Somente as partiacuteculas para as quais minus = 0 continuam suas trajetoacuterias retiliacuteneas ao longo de y sem

subir nem descer Conclusatildeo havendo um anteparo diante desse feixe em uma posiccedilatildeo com algum y gt 0 e

havendo um buraco nesse anteparo alinhado com a entrada do feixe original de partiacuteculas somente

emergiratildeo do outro lado do anteparo atraveacutes do buraco as partiacuteculas do feixe original que possuem a

velocidade especiacutefica minus = 0 rArr =

( )

( ) x

y

z

buraco

309

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

A Figura 7 abaixo ilustra a construccedilatildeo de um filtro de velocidades para um feixe de partiacuteculas

carregadas (iacuteonseleacutetronsproacutetons) A fonte de partiacuteculas carregadas basicamente um forno e um campo

eleacutetrico que acelera as partiacuteculas ionizadas na direccedilatildeo do feixe cria um feixe com partiacuteculas carregadas de

velocidades arbitraacuterias O feixe entra em uma regiatildeo onde haacute um capacitor e um solenoacuteide O capacitor de

placas paralelas produz um campo eleacutetrico uniforme longe das bordas das placas e o solenoacuteide helicoidal

produz um campo magneacutetico uniforme em sua regiatildeo axial A accedilatildeo simultacircnea desses dois campos sobre o

feixe de partiacuteculas carregadas ramifica o feixe separando as partiacuteculas conforme suas velocidades (e cargas e

massas)

As partiacuteculas para as quais vale = (independentemente de suas cargas e massas) sendo a

magnitude de e a magnitude de seguem suas trajetoacuterias sem nenhum desvio e emergem atraveacutes do

buraco do anteparo formando um feixe monocromaacutetico de partiacuteculas Ajustando a corrente no solenoacuteide

eou a carga eleacutetrica depositada no capacitor podemos selecionar livremente a velocidade que queremos

para o feixe monocromaacutetico que emerge do anteparo

72 Forccedila magneacutetica sobre um fio transportando corrente

Na seccedilatildeo anterior aprendemos que uma partiacutecula com carga eleacutetrica que se move em uma regiatildeo onde

existe um campo magneacutetico sofre uma forccedila magneacutetica ( ) = times produzindo uma trajetoacuteria curva

Vimos algumas aplicaccedilotildees para essa forccedila e para essas trajetoacuterias Um fio transportando corrente eleacutetrica eacute

basicamente uma fila de partiacuteculas carregadas se movendo juntas com velocidade de deriva Se

colocarmos esse fio em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico cada um desses portadores de carga vai

sofrer uma forccedila minuacutescula ( ) = times puxando ele na direccedilatildeo ortogonal agrave e portanto ortogonal

ao fio (jaacute que eacute paralela ao fio) Conclusatildeo o fio como um todo vai sofrer uma forccedila magneacutetica dada pela

soma vetorial das forccedilas minuacutesculas sobre cada portador de carga se movendo no fio

+ + + +

- -

- - -

=

anteparo

capacitor

solenoacuteide

fonte de iacuteons

Figura 7 um filtroseletor de velocidade usando campos eleacutetrico e magneacutetico ortogonais entre si

310

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = times

Sendo o nuacutemero de portadores de carga da ordem de 1024 esperamos que essa forccedila seja intensa uma

forccedila macroscoacutepica A Figura ao lado mostra uma

das aplicaccedilotildees mais comuns dessa forccedila magneacutetica ( ) o motor eleacutetrico Basicamente no motor haacute

dois conjuntos de solenoacuteides (enrolamentos de fio de

cobre) os solenoacuteides na parte estaacutetica do motor o

estator e os solenoacuteides na parte giratoacuteria do motor

o rotor Passando corrente eleacutetrica pelos solenoacuteides

do estator cria-se um campo magneacutetico intenso

na regiatildeo do rotor Passando corrente eleacutetrica pelos

solenoacuteides do rotor estes sofrem a forccedila magneacutetica

( ) = times

Se a geometria for ajustada corretamente e ela eacute essa forccedila daraacute origem a um torque no rotor e ele comeccedilaraacute

a girar Dependendo do motor um desses dois conjuntos de solenoacuteides pode ser substituiacutedo por imatildes

permanentes Note os fios transportando corrente eleacutetrica satildeo eletricamente neutros (com exceccedilatildeo das

pequenas densidades de carga superficiais que jaacute discutimos no capiacutetulo 6) eles satildeo compostos de eleacutetrons

fluindo em um meio material de iacuteons positivos e natildeo haacute nenhuma forccedila eleacutetrica fazendo o rotor girar O motor

eleacutetrico funciona graccedilas agrave forccedila magneacutetica Com a disseminaccedilatildeo crescente dos veiacuteculos eleacutetricos substituindo

os movidos a combustiacuteveis foacutesseis e dos drones os motores eleacutetricos estatildeo ganhando uma nova onda de

interesse em seu desenvolvimento ganho de performance e otimizaccedilatildeo Haacute muito trabalho ainda a ser feito

pela forccedila ( ) 721 Forccedila magneacutetica sobre um fio reto com corrente em um campo uniforme

Vamos comeccedilar pelo caso mais simples um fio reto onde circula uma corrente eleacutetrica Olhando

dentro desse fio em um niacutevel microscoacutepico vamos encontrar os portadores de carga cada um com sua carga

eleacutetrica gt 0 e se movendo com a velocidade (meacutedia) de derivaarraste Trata-se basicamente (apoacutes

fazermos algumas meacutedias espaciais e temporais) de um tubo com filas paralelas de portadores um atraacutes do

outro A Figura 8 abaixo ilustra essa ideia O fio estaacute fixo em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico

uniforme

solenoacuteidesdo rotor

solenoacuteidesdo estator

311

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Na Figura 8 representamos apontando para fora da paacutegina e o

fio estaacute por hipoacutetese paralelo ao plano da paacutegina A ideia eacute calcular a

forccedila magneacutetica no fio atraveacutes do princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = ( ) = times

sendo ( ) = times a forccedila magneacutetica microscoacutepica sobre um

uacutenico portador de carga gt 0 que faz parte da corrente Usando a

regra da matildeo direita na situaccedilatildeo da Figura 8 vemos que ( ) estaria

apontando para a direita paralelamente ao plano do papel ( ( ) eacute

ortogonal a e a ) Cada um dos portadores eacute empurrado para a

direita e consequentemente o fio como um todo eacute empurrado para a

direita Sendo o campo magneacutetico uniforme e todos os portadores de

carga iguais segue que somar sobre os portadores se resume a

multiplicar ( ) pelo nuacutemero total de portadores dentro do fio

( ) = times = times Para tornar essa expressatildeo mais simples e amigaacutevel podemos escrever = sendo a

densidade de portadores por unidade de volume uma caracteriacutestica do material de que eacute feito o fio a aacuterea

da seccedilatildeo transversal do fio e o comprimento (altura) do fio ( eacute o volume do fio) Portanto

( ) = times

Lembrando que = eacute o vetor densidade de corrente no fio obtemos

( ) = times = times

Sabemos que a corrente no fio eacute dada por

= ∙ =

admitindo que eacute uniforme na seccedilatildeo transversal do fio (o que razoaacutevel para correntes CC ou CA de baixas

frequumlecircncias)

Vemos portanto que a forccedila no fio envolve explicitamente o produto que estaacute bem proacuteximo da

relaccedilatildeo = De fato eacute um vetor que tem moacutedulo = direccedilatildeo paralela a ou seja paralela ao fio

( )

( )

Figura 8 um fio reto de comprimento L transporta uma corrente e estaacute em uma regiatildeo onde existe um campo

magneacutetico uniforme O fio vai sofrer uma forccedila magneacutetica

312

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

e o sentido da corrente (paralelo a para o caso gt 0) Entatildeo para explicitar na expressatildeo da forccedila

definimos um vetor unitaacuterio paralelo ao fio e orientado no sentido da corrente de tal forma que = =

Substituindo na expressatildeo da forccedila magneacutetica obtemos finalmente

( ) = times = times = times = times

Em que definimos o vetor comprimento = ou seja eacute um vetor paralelo ao fio reto de moacutedulo igual

ao comprimento do fio e orientado no sentido da corrente no fio Esse vetor estaacute mostrado na Figura 8

Concluindo para um fio reto em um campo magneacutetico uniforme vale

( ) = times

Note que natildeo haveraacute forccedila magneacutetica em um fio reto que esteja colocado paralelamente ao campo magneacutetico

no espaccedilo pois nesse caso vai valer

( ) = times = sen(0) = 0

A Figura ao lado eacute uma simples demonstraccedilatildeo dessa forccedila apesar das

condiccedilotildees de fio retiliacuteneo e campo uniforme natildeo serem exatamente

satisfeitas (ver o artigo Force on a current-carrying wire S Stewart The Physics

Teacher 44 (2006)) Um pequeno pedaccedilo de fio eacute dobrado na forma de C e eacute

conectado aos terminais de uma pilha O fio apenas abraccedila a pilha e se fixa

graccedilas a sua proacutepria elasticidade Uma corrente intensa circula pelo fio pois a

resistecircncia eleacutetrica dele eacute muito pequena e a bateria estaacute praticamente em

curto-circuito Um pequeno imatilde eacute posicionado de tal forma que o fio natildeo cai

ele fica equilibrado pelo peso e pela forccedila magneacutetica Qual deve ser o poacutelo do

imatilde voltado para o fio A Figura ao lado mostra que deve ser um poacutelo S De

fato a corrente flui do + para o ndash da bateria e portanto estaacute paralelo ao fio

(ou ao segmento do fio paralelo agrave bateria que estaacute na regiatildeo com mais

intenso) meio que entrando no plano da paacutegina (seta vermelha) Entatildeo deve

apontar para dentro do imatilde (seta azul) para que ( ) (seta verde) possua uma componente vertical para

cima e consiga equilibrar o peso do fio A Figura abaixo especifica melhor os vetores envolvidos no caacutelculo da

forccedila magneacutetica no segmento de fio (em vermelho na Figura) No referencial mostrado vale = minus e = minus minus

( )

313

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

com gt 0 e gt 0 Portanto

( ) = times = (minus ) times minus minus

( ) = minus

Para que o segmento de fio fique em equiliacutebrio a componente vertical (z) de ( ) deve equilibrar o peso do fio ou seja =

Portanto a corrente eleacutetrica necessaacuteria para que isso ocorra eacute

=

No experimento mostrado a corrente eacute constante assim com e mas eacute natildeo-uniforme Assim sendo o

segmento de fio deve ir caindo ateacute que seja atingido um valor de que satisfaz a igualdade acima Nesse

instante o segmento de fio entra em equiliacutebrio nessa posiccedilatildeo especiacutefica

722 Forccedila magneacutetica sobre um fio fino qualquer com corrente em um campo qualquer

A Figura ao lado ilustra um fio fino (em verde) de forma arbitraacuteria

transportando uma corrente eleacutetrica e parado em uma regiatildeo onde existe um

campo magneacutetico arbitraacuterio ( ) A hipoacutetese de fio fino (unidimensional) serve

apenas para simplificar as ideacuteias e os caacutelculos Qual a forccedila magneacutetica nesse fio

Aqui utilizamos a ideia baacutesica do caacutelculo integral Consideramos primeiramente

um pedaccedilo infinitesimal de fio na posiccedilatildeo do fio de comprimento Esse

pedaccedilo infinitesimal de fio eacute reto mesmo que o fio seja curvo Definimos o vetor paralelo ao fio e orientado

no sentido da corrente Nessa regiatildeo infinitesimal o campo magneacutetico natildeo varia muito e pode portanto ser

considerado uniforme e igual a ( ) (aqui a hipoacutetese de um fio fino eacute importante) Portanto a forccedila

magneacutetica nesse segmento infinitesimal de fio eacute

( ) = times

Agora somamos sobre toda a extensatildeo do fio

( ) = ( ) = times = times

Note que se quisermos deixar expliacutecitas as dependecircncias das funccedilotildees devemos escrever

( )

( )

y

z

x

314

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) timesisin ( ) Mas para simplificar a notaccedilatildeo preferimos deixar essas dependecircncias impliacutecitas

Como caso particular para um fio fino arbitraacuterio em um campo magneacutetico uniforme ( ( ) = ) vale

( ) = ( ) timesisin = ( )isin times = times

Note que nessa expressatildeo tem um significado diferente daquele na expressatildeo da

forccedila no fio reto que deduzimos anteriormente Aqui eacute o vetor ldquodeslocamentordquo

ou seja o vetor que nasce em uma ponta do fio fino (onde entra a corrente) e

ldquomorrerdquo na outra ponta do fio (onde sai a corrente) A Figura ao lado ilustra o vetor

(em vermelho) para o fio (em verde) que tem uma forma arbitraacuteria (uma curva)

Note que essa uacuteltima expressatildeo da forccedila soacute vale para campos magneacuteticos

uniformes ou seja campos magneacuteticos que natildeo dependem de nenhuma

coordenada espacial

Considere o exemplo na Figura ao lado um segmento de fio fino (em

vermelho) onde circula uma corrente eacute curvado na forma de um

semiciacuterculo de raio O fio estaacute em uma regiatildeo onde existe um campo

magneacutetico uniforme que eacute ortogonal ao plano do fio (seta azul) conforme a

Figura Calcule a forccedila magneacutetica nesse segmento de fio Na Figura jaacute

adotamos um referencial xyz e portanto = 2 e =

Segue que ( ) = times = 2 times = minus2 Esse segmento de fio eacute puxado para baixo pela accedilatildeo do campo magneacutetico Trata-se da mesma forccedila que

sofreria um fio fino reto com corrente e comprimento 2 na direccedilatildeo de

Essa equaccedilatildeo simplificada para a forccedila em um fio qualquer em um campo magneacutetico uniforme nos

poupou de realizar a integral

( ) = times

( )

y

z

x

315

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

que nos levaria ao mesmo resultado com muito mais trabalho De fato

apenas como exerciacutecio note na Figura ao lado que = sen( ) +cos( ) e que = Portanto (notando que = )

( ) = times = minussen( ) + cos( )

Note que cada pequeno segmento de fio sofre uma forccedila magneacutetica radial ( ) pois eacute tangente ao semiciacuterculo e ( ) eacute ortogonal a

Concluindo

( ) = times = ( ) = minussen( ) + cos( )

( ) = cos( ) + sen( ) = (minus2 ) Se o campo fosse natildeo-uniforme natildeo poderiacuteamos escapar da necessidade de realizar uma integral da

forccedila sobre cada pequeno segmento de fio Vamos supor por exemplo

que o campo magneacutetico na regiatildeo desse fio em forma de arco fique mais

intenso agrave medida que nos deslocamos ao longo do eixo y Mais

especificamente vamos supor que = ( ) = ( + ) sendo gt 0

e gt 0 constantes A Figura ao lado ilustra a situaccedilatildeo supondo que o

segmento de fio inicia na origem A seta (em azul) vai ficando maior agrave

medida que avanccedilamos na direccedilatildeo y de Agora para o caacutelculo da forccedila soacute

nos resta resolver a integral

( ) = times

(aqui natildeo vale a expressatildeo ( ) = times porque natildeo eacute uniforme = ( )) A integral deve varrer

toda a extensatildeo do fio e jaacute definimos na Figura uma variaacutevel que eacute conveniente para esse fim 0 le le (a

mesma ideia do exemplo anterior mas agora faremos a integral com mais detalhes) A integral seraacute uma

integral na variaacutevel e devemos escrever todos os vetoresfunccedilotildees que estatildeo dentro dessa integral em

termos dessa variaacutevel angular O segmento infinitesimal de fio eacute tangente ao fio ou seja ortogonal ao raio

do semiciacuterculo Portanto decompondo nos eixos y e z obtemos = cos(90 minus ) + sen(90 minus ) = sen( ) + cos( ) Lembrando que = eacute um pequeno comprimento de arco obtemos = Portanto

( )y

z

x

( )

y

z

x

316

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

= sen( ) + cos( )

Falta ainda escrever o campo magneacutetico ( ) = ( + ) em termos de Para isso vemos que a

coordenada y pode ser escrita como = minus cos( ) = 1 minus cos( )

(note que para = 0 o segmento de fio estaacute na posiccedilatildeo = 0 e que para = o segmento de fio estaacute

na posiccedilatildeo = 2 ) Portanto ( ) = ( + ) = ( ) = + 1 minus cos( )

Conclusatildeo ( ) = times = sen( ) + cos( ) times + 1 minus cos( )

( ) = + 1 minus cos( ) minussen( ) + cos( ) (cada pequeno segmento de fio sofre uma forccedila magneacutetica infinitesimal radial ortogonal a )

Finalmente

( ) = times = + 1 minus cos( ) minussen( ) + cos( )

( ) = minus + 1 minus cos( ) sen( ) + + 1 minus cos( ) cos( )

( ) = minus (2 + 2 ) + (minus 2)

Apenas rearranjando ( ) = minus 2 + 2( + ) Para = 0 recuperamos o resultado anterior em que eacute uniforme e ( ) = minus2

A Figura ao lado ilustra a seta de ( ) Agora vemos que a espira

continua sendo puxada para baixo mas eacute puxada tambeacutem para a esquerda

Isso porque a dependecircncia do campo com y quebrou a simetria da

configuraccedilatildeo quando comparada com o caso em que eacute uniforme Agora o

campo eacute mais intenso no lado direito da espira do que no lado esquerdo e

isso produz uma resultante da forccedila magneacutetica na direccedilatildeo y

( )y

z

x

( )

317

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Voltando ao caso em que eacute uniforme no espaccedilo vemos logo que uma consequumlecircncia imediata do

nosso resultado para a forccedila magneacutetica nesse contexto eacute que natildeo haacute forccedila em uma espira qualquer em um

campo magneacutetico uniforme pois para uma espira (uma curva de fio fechada) vale = 0 (se eacute uniforme ( ) = times = 0 times = 0)

Considere o exemplo de um alto-falante O alto-falante se propotildee a traduzir uma corrente variaacutevel no

tempo ( ) em uma onda sonora cujas vibraccedilotildees de pressatildeo refletem as oscilaccedilotildees em ( ) Para isso

construiacutemos o seguinte aparato que eacute o alto-falante uma espira circular eacute colada em um (tronco de) cone de

papel O cone tem sua boca maior fixa em um aro metaacutelico mas com alguma flexibilidade de movimentaccedilatildeo

na direccedilatildeo axial para frente e para traacutes As Figuras abaixo ilustram essa ideia

A espira (em vermelho) eacute posicionada no campo magneacutetico de um imatilde permanente imatilde fixo

Passando uma corrente ( ) na espira esta vai sofrer uma forccedila magneacutetica se deslocar para frente para traacutes e

arrastar o cone de papel com ela Nesse movimento o cone desloca uma coluna de ar e produz uma onda

sonora Note se o campo magneacutetico do imatilde fosse uniforme na regiatildeo da espira ou seja se o campo

magneacutetico do imatilde tivesse o mesmo valor (moacutedulo direccedilatildeo e sentido) em todos os pontos da espira entatildeo

valeria ( ) = 0 e o alto-falante natildeo funcionaria A corrente ( ) poderia variar do jeito que ela quisesse a

espira e o cone permaneceriam estaacuteticos Mas vemos na

Figura acima que as linhas de (linhas azuis) se espalham a

partir do poacutelo N do imatilde refletindo um decaimento do

campo magneacutetico quando nos afastamos do imatilde ao longo

de seu eixo Portanto a espira do alto-falante estaacute em uma

regiatildeo onde existe um campo magneacutetico natildeo uniforme e ela

sofre uma forccedila magneacutetica resultante natildeo nula Na Figura

ao lado destacamos a espira (visatildeo obliacutequa e de perfil) e representamos duas setas de em duas posiccedilotildees

diametralmente opostas na espira Os segmentos de fio nessas posiccedilotildees estatildeo sofrendo as forccedilas magneacuteticas

z ( )

N ( )

imatilde

cone de papel

318

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

representadas pelas setas verdes Vemos que as componentes dessas duas forccedilas no plano da espira (radiais)

se cancelam e as componentes ao longo do eixo da espira (eixo z) se somam

De fato decompondo o campo magneacutetico do imatilde como (ver setas roxas na Figura acima) = + sendo a componente ao longo do eixo z e a componente ao longo do raio da espira circular obtemos times = (minus ) times ( + ) = ( minus )

sendo a direccedilatildeo tangente agrave espira circular no sentido oposto ao sentido de ( ) Esses vetores e satildeo

os vetores unitaacuterios em um sistema de coordenadas ciliacutendricas com o eixo z mostrado na Figura acima A forccedila

magneacutetica na espira eacute

( ) = ( ) times = ( ) ( minus )

A integral de ao longo de um ciacuterculo eacute nula pois eacute como o ponteiro de um reloacutegio Finalmente

( ) = ( ) = ( ) 2 sendo o raio da espira (estamos supondo e constantes (uniformes) ao longo da espira por simetria)

Vemos que ( ) eacute uma funccedilatildeo do tempo proporcional a ( ) e axial Dessa forma enquanto ( ) oscila no

tempo de acordo com o sinal eleacutetrico que eacute produzido por um amplificador de aacuteudio a forccedila magneacutetica oscila

no tempo e faz o cone do alto-falante vibrar para frente e para traacutes em sintonia com a corrente produzindo a

onda sonora correspondente

Esse exemplo do alto-falante pode servir de inspiraccedilatildeo para discutirmos qualitativamente a forccedila

magneacutetica em outros contextos Devemos apenas partir da hipoacutetese que

poderemos comprovar no proacuteximo capiacutetulo de que uma espira em que circula uma

corrente eleacutetrica produz em sua vizinhanccedila um campo magneacutetico cujas linhas de

campo satildeo como mostradas na Figura ao lado (em azul) Haacute uma linha de campo reta

axial que se estende de um infinito a outro As outras linhas de campo satildeo fechadas

passando por dentro da espira emergindo no lado chamado de N (polo norte) e

mergulhando para dentro da espira no lado chamado de S (polo sul) Portanto duas

espiras coaxiais proacuteximas com correntes eleacutetricas paralelas entre si vatildeo se atrair A

Figura ao lado ilustra a ideia Em uma espira (vermelha) circula a corrente e ela cria um

campo magneacutetico em que estaacute mergulhada a corrente na segunda espira (verde)

Duas linhas de estatildeo ilustradas em azul e as forccedilas em dois segmentos pequenos e

z

N S

319

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

diametralmente opostos da espira 2 estatildeo ilustradas em roxo Vemos que as componentes axiais (z) dessas

forccedilas se somam e a espira 2 eacute atraiacuteda na direccedilatildeo da espira 1 Analogamente a espira 1 eacute atraiacuteda pela espira 2

ou seja as espiras se atraem mutuamente Note que o poacutelo N da espira 1 estaacute faceando o poacutelo S da espira 2

Essa eacute a configuraccedilatildeo de correntes que explica porque dois imatildes se atraem quando eles estatildeo com seus poacutelos

opostos proacuteximos Se invertermos a corrente na espira 2 (ou na espira 1) as forccedilas invertem de sentido e as

espiras se repelem dois imatildes se repelem quando eles estatildeo com poacutelos iguais proacuteximos

Para pensar nas forccedilas entre imatildes basta considerar que as correntes nas espiras satildeo as correntes

microscoacutepicas nos aacutetomos que compotildeem os imatildes Na mateacuteria em geral essas correntes atocircmicas estatildeo

normalmente orientadas ao acaso mas no caso dos imatildes um processo de fabricaccedilatildeo consegue organizaacute-las

de tal forma que elas se sobrepotildeem funcionando como um solenoacuteide ou seja como uma sequecircncia de vaacuterias

espiras coaxiais Na Figura 9 abaixo tentamos ilustrar essa ideia A cada aacutetomo associamos uma corrente

atocircmica que eacute resultado dos movimentos (oacuterbita+spin) de todos os eleacutetrons constituintes desse aacutetomo Em um

material comum natildeo magnetizado essas correntes estatildeo orientadas ao acaso e mais do que isso elas estatildeo

constantemente mudando de direccedilatildeo vibrando pelo movimento teacutermico Em um imatilde as correntes atocircmicas

satildeo organizadas e permanecem nessa organizaccedilatildeo ou seja a agitaccedilatildeo teacutermica ambiente natildeo eacute capaz de

desorganizar as correntes e desmagnetizar o imatilde Satildeo materiais especiais capazes de manter

permanentemente um estado de organizaccedilatildeo espacial de suas correntes atocircmicas

Para ter uma ideia de quais satildeo esses materiais podemos dar uma olhada em um sitio de um

fabricante de imatildes (httpswwwduramagcommaterials) Vemos que (hoje) os materiais tiacutepicos para

fabricaccedilatildeo de imatildes satildeo Alnico (uma liga de alumiacutenio+ferro+cobalto+niacutequel) SmCo (samaacuterio+cobalto) e NdFeB

(neodiacutemio+ferro+boro)

Figura 9 em um material comum (a) natildeo magnetizado as correntes eleacutetricas atocircmicas estatildeo orientadas ao acaso e termicamente agitadas Elas se cancelam mutuamente e equivalem a natildeo haver corrente nenhuma Em um imatilde (b) essas correntes estatildeo em grande parte organizadas paralelas entre si funcionando como uma grande corrente eleacutetrica macroscoacutepica uma espeacutecie de solenoacuteide A agitaccedilatildeo teacutermica ambiente natildeo eacute capaz de desorganizar essas correntes ou seja de desmagnetizar o imatilde

= =

(a) (b)

320

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Por que um imatilde eacute capaz de atrair um prego de ferro Inicialmente as correntes eleacutetricas atocircmicas

dentro do imatilde estatildeo organizadas como na Figura 9(b) enquanto que as correntes atocircmicas dentro do prego

estatildeo orientadas ao acaso como na Figura 9(a) O imatilde produz um campo magneacutetico intenso na sua vizinhanccedila

Quando o prego eacute colocado nessa vizinhanccedila e submetido a esse campo magneacutetico suas correntes atocircmicas

mudam de orientaccedilatildeo (giram como pequenas agulhas de buacutessolas) e se organizam de tal forma que poacutelos

opostos no imatilde e no prego ficam faceados e eles se atraem mutuamente Mais adiante

discutiremos sobre o torque que daacute origem a essa orientaccedilatildeo nas correntes atocircmicas no

prego basicamente o mesmo torque que faz um motor eleacutetrico girar e a agulha de uma

buacutessola apontar para os poacutelos da Terra Fato eacute que o imatilde magnetiza o prego e o transforma

momentaneamente em um imatilde capaz de atrair outro prego etc A Figura ao lado ilustra essa

ideia Logo apoacutes retirarmos o imatilde de perto do primeiro prego podemos notar que os pregos

continuam ainda se atraindo mutuamente por alguns instantes ateacute que esse efeito

desaparece Isso ocorre porque o material dos pregos manteacutem sua magnetizaccedilatildeo ou seja o

ordenamento de suas correntes atocircmicas por alguns instantes mas esse ordenamento vai

sendo destruiacutedo pela agitaccedilatildeo teacutermica e os pregos voltam para o estado desmagnetizado

mostrado na Figura 9(a) O material dos pregos natildeo serve para a fabricaccedilatildeo de imatildes porque

ele natildeo eacute capaz de manter o estado magnetizado por muito tempo na temperatura ambiente

(um imatilde permanente pode manter esse estado de organizaccedilatildeo das correntes atocircmicas por milhares de anos

mas pode tambeacutem ser destruiacutedo em instantes se colocado no fogo)

Porque um imatilde natildeo eacute capaz de atrair um prego de alumiacutenio Ele atrai de fato mas muito pouco de tal

forma que nem conseguimos perceber Somente em um experimento a baixas temperaturas em um

laboratoacuterio poderemos observar a atraccedilatildeo que um imatilde produz sobre um objeto de alumiacutenio O magnetismo

como todos os fenocircmenos microscoacutepicos eacute governado e descrito pela mecacircnica quacircntica Por isso nem

sempre eacute simples entendermos por que um material se comporta de uma forma ou de outra do ponto de

vista de suas propriedades magneacuteticas Essas propriedades dependem de vaacuterias caracteriacutesticas dos materiais

como as valecircncias dos aacutetomos a camada especiacutefica de valecircncia a geometria com que os aacutetomos estatildeo

dispostos no espaccedilo o espaccedilamento interatocircmico etc Resumidamente as propriedades magneacuteticas de um

material estatildeo definidas por trecircs fatores a proacutepria existecircncia de uma corrente microscoacutepica associada aos

aacutetomos do material e uma competiccedilatildeo entre um efeito ordenador e um efeito desordenador dessas correntes

microscoacutepicas caso elas existam

Um aacutetomo de cobre (na composiccedilatildeo da forma metaacutelica) por exemplo possui um arranjo de eleacutetrons

(oacuterbitas e spins) que resulta em uma corrente atocircmica nula (em um aacutetomo de cobre isolado haacute um eleacutetron

desemparelhado que eacute liberado na ligaccedilatildeo metaacutelica) Para cada eleacutetron girando digamos no sentido horaacuterio

haacute outro eleacutetron girando no sentido anti-horaacuterio No final das contas a corrente eleacutetrica ldquoresultanterdquo no aacutetomo

321

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

de cobre eacute nula Portanto natildeo podemos associar ao cobre aquelas correntes atocircmicas que representamos na

Figura 9 Um imatilde natildeo atrai um objeto de cobre (de fato ele repele com uma forccedila muito fraca que nem

percebemos) No caso do alumiacutenio as correntes microscoacutepicas associadas aos aacutetomos existem pois natildeo ocorre

esse cancelamento total das correntes dentro dos aacutetomos como no caso do cobre metaacutelico Portanto para

explicar porque um imatilde natildeo atrai um objeto de alumiacutenio temos que recorrer aos ditos efeitos ordenador e

desordenador sobre essas correntes atocircmicas O efeito desordenador eacute a agitaccedilatildeo teacutermica que estaacute sempre

chacoalhando os aacutetomos e suas correntes atocircmicas Esse efeito estaacute em tudo chacoalhando as correntes

atocircmicas em um imatilde no ferro e no alumiacutenio A diferenccedila entre o ferro e o alumiacutenio estaacute no efeito ordenador

das correntes microscoacutepicas No ferro e nos demais materiais ditos ldquomagneacuteticosrdquo ou mais especificamente

ferromagneacuteticos (basicamente aqueles atraiacutedos fortemente por imatildes) as correntes atocircmicas interagem entre

si de tal forma que o paralelismo entra elas eacute por si soacute energeticamente favoraacutevel Podemos dizer que nesses

materiais as correntes atocircmicas ldquoqueremrdquo ficar paralelas entre si e estatildeo apenas esperando um ldquocomandordquo

externo para fazer isso A Figura abaixo ao lado como seria a visatildeo microscoacutepica das

correntes atocircmicas dentro de um material ferromagneacutetico como uma liga de ferro

Observa-se uma estrutura de ldquodomiacuteniosrdquo sendo cada domiacutenio uma regiatildeo dentro da

qual as (muitas) correntes atocircmicas jaacute estatildeo paralelas entre si porque isso eacute

energeticamente favoraacutevel Em outro domiacutenio ocorre a mesma coisa mas em cada

domiacutenio as correntes assumem uma orientaccedilatildeo diferente (basicamente porque o efeito

ordenador eacute de curto alcance e soacute define uma direccedilatildeo privilegiada no espaccedilo dentro de um domiacutenio)

No alumiacutenio natildeo haacute essa interaccedilatildeo entre as correntes atocircmicas (chamada de interaccedilatildeo de troca) e

portanto natildeo haacute esse efeito ordenador e nem uma estrutura de domiacutenios magneacuteticos Entatildeo basicamente o

que vai diferenciar o efeito que um imatilde teraacute sobre um prego de ferro ou sobre um prego de alumiacutenio eacute a

intensidade da resposta dessas correntes atocircmicas ao estiacutemulo de ordenamento produzido pelo imatilde ou mais

especificamente pelo campo magneacutetico do imatilde

No alumiacutenio o campo magneacutetico do imatilde vai incentivar o ordenamento das correntes atocircmicas mas o

efeito desordenador da agitaccedilatildeo teacutermica eacute tatildeo grande que essa competiccedilatildeo ao final produz um ordenamento

muito fraco das correntes atocircmicas e uma forccedila muito fraca de atraccedilatildeo pelo imatilde Nem percebemos essa forccedila

a natildeo ser que baixemos bastante a temperatura do alumiacutenio Isso pode ser feito em um experimento de

laboratoacuterio

Na liga de ferro o campo magneacutetico do imatilde vai incentivar o ordenamento das correntes atocircmicas que

vai se somar agrave interaccedilatildeo entre essas correntes que favorece o paralelismo entre elas e esses dois estiacutemulos ao

paralelismo vatildeo suplantar juntos o efeito desordenador da agitaccedilatildeo teacutermica produzindo ao final um

322

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

ordenamento muito intenso das correntes atocircmicas e uma forccedila muito forte de atraccedilatildeo pelo imatilde A Figura 10

abaixo ilustra essas ideacuteias

Resumindo a interaccedilatildeo de troca entre as correntes atocircmicas favorece o paralelismo entre elas e

ldquoamplificardquo o efeito de ordenamento sobre essas correntes produzido por um imatilde proacuteximo Esses materiais

que apresentam esse efeito satildeo chamados de ferromagneacuteticos e eles satildeo os candidatos naturais para a

produccedilatildeo de imatildes permanentes Um bom material para produccedilatildeo de imatildes deve ser capaz de por sua proacutepria

conta graccedilas agrave interaccedilatildeo de troca manter o ordenamento das correntes atocircmicas ou seja sua magnetizaccedilatildeo

Ele deve ser capaz de manter esse estado magnetizado apesar da temperatura que pode ser bem maior que a

ambiente e da presenccedila de outros imatildes ou eletroimatildes proacuteximos como acontece muitas vezes em maacutequinas

eleacutetricas Esses materiais capazes de manter seu estado magnetizado satildeo chamados de ferromagneacuteticos

ldquodurosrdquo e satildeo usados comumente na fabricaccedilatildeo de imatildes e tambeacutem em discos riacutegidos de computadores (HDs)

Em um HD as informaccedilotildees binaacuterias (zeros e uns) satildeo armazenadas em um disco magnetizaacutevel de tal

forma que em uma face do disco pode estar gravada

permanentemente uma sequecircncia de polaridades magneacuteticas

NSSNSNN que poderia corresponder agrave sequecircncia de bits

1001011 Na Figura ao lado podemos ver o disco de um HD onde

satildeo gravadas de forma magneacutetica as sequecircncias de bits Na

(alumiacutenio) (liga de ferro)

Figura 10 comparaccedilatildeo entre o efeito de um imatilde sobre um objeto de alumiacutenio e outro de uma liga de ferro No alumiacutenio antes de aproximarmos o imatilde as correntes atocircmicas estavam orientadas ao acaso A presenccedila do imatilde muda pouco isso Na liga de ferro antes de aproximarmos o imatilde as correntes atocircmicas jaacute haviam se organizado em uma estrutura de domiacutenios magneacuteticos A presenccedila do imatilde funciona como a ldquogota drsquoaacutegua que faltavardquo para que a grande maioria das correntes atocircmicas se oriente paralelamente entre si seguindo a orientaccedilatildeo do campo magneacutetico do imatilde

323

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

extremidade do braccedilo de gravaccedilatildeo haacute um solenoacuteide minuacutesculo em que circula uma corrente eleacutetrica pulsante

que vai gravando a sequecircncia de polaridades no disco enquanto ele gira No processo de leitura ocorre o

inverso esse mesmo solenoacuteide sofre a induccedilatildeo de uma corrente eleacutetrica pulsante agrave media que os poacutelos

magneacuteticos vatildeo passando por ele que traduz a sequecircncia de polaridades em uma sequecircncia de bits No

capiacutetulo 9 estudaremos o fenocircmeno de induccedilatildeo eletromagneacutetica Apoacutes aprender que a induccedilatildeo estaacute ligada agrave

variaccedilatildeo de fluxo magneacutetico vocecirc vai poder entender que para armazenar um bit (0 ou 1) precisamos de dois

poacutelos magneacuteticos (NS SN SS ou NN) e natildeo apenas um

73 Torque sobre uma espira de corrente em um campo magneacutetico uniforme

Uma espira eacute um fio condutor fechado onde a corrente eleacutetrica pode circular Aqui vamos imaginar

uma espira em que circula uma corrente eleacutetrica e que estaacute em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico

uniforme Jaacute vimos que a forccedila magneacutetica resultante sobre essa espira eacute nula pois

( ) = ( ) timesisin = ( )isin times = times

e = 0 (curva fechada) Isso significa que essa espira natildeo vai sair do lugar ou seja seu centro de massa

permaneceraacute estaacutetico se ele jaacute estava estaacutetico Mostraremos agora que essa espira poderaacute sofrer um torque e

girar sob accedilatildeo das forccedilas magneacuteticas Com isso poderemos entender o princiacutepio de funcionamento de um

motor eleacutetrico de uma buacutessola e ao mesmo tempo as mudanccedilas de orientaccedilatildeo nas correntes atocircmicas sob

accedilatildeo do campo magneacutetico de um imatilde que discutimos na seccedilatildeo anterior

O resultado para o torque que vamos mostrar se aplica a qualquer

espira de forma arbitraacuteria imersa em um campo magneacutetico uniforme No

entanto a demonstraccedilatildeo eacute mais simples se nos concentrarmos em uma

espira retangular como mostrado na Figura ao lado

A espira eacute um retacircngulo de lados e (em vermelho) e nela circula

uma corrente eleacutetrica O campo magneacutetico uniforme eacute representado pelas

setas azuis A espira estaacute em uma posiccedilatildeo obliacutequa inclinada de em relaccedilatildeo

ao eixo z Em cada um dos lados da espira atua uma forccedila magneacutetica

(representadas pelas setas verdes) dada por

( ) = times = times = ( ) = times = (minus ) times = minus ( ) = times = (ndash sen( ) + cos( ) ) times = minus cos( )

( )

y

z

x

( )

( )

( )

324

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = times = ( sen( ) minus cos( ) ) times = cos( )

Conclusatildeo como natildeo poderia deixar de ser

( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0

A espira permanece no mesmo lugar mas podemos ver que ela vai girar pois haacute um binaacuterio de forccedilas

formado por ( ) e ( ) = minus ( ) que produz um torque na espira ao longo da linha tracejada roxa na

Figura (que seraacute o eixo de rotaccedilatildeo da espira) As outras duas forccedilas ( ) e ( ) apenas tentam esticar a

espira na direccedilatildeo dessa linha tracejada Portanto a espira vai permanecer no

mesmo lugar e vai girar no sentido horaacuterio Limpando um pouco a Figura

podemos ver ao lado que a forccedila ( ) possui posiccedilatildeo de aplicaccedilatildeo (em

relaccedilatildeo ao centro da espira ndash seta preta) dada por =ndash sen( ) + cos( ) Analogamente a forccedila ( ) possui posiccedilatildeo se aplicaccedilatildeo dada por = minus

(seta azul claro) Portanto o torque resultante sobre a espira eacute = + = times ( ) + times ( ) = 2 times ( ) Conclusatildeo = 2 ndash2 sen( ) + 2 cos( ) times = minus sen( )

Note que = eacute a aacuterea da espira

O torque na espira depende de duas propriedades baacutesicas da proacutepria

espira sua aacuterea e a corrente que circula nela O torque depende tambeacutem

do campo magneacutetico e da orientaccedilatildeo da espira Jaacute estamos acostumados

(tendo em vista a lei de Gauss) agrave ideia de um vetor aacuterea = em que eacute

um vetor unitaacuterio ortogonal (normal) agrave aacuterea Na Figura ao lado definimos

um vetor ortogonal agrave aacuterea plana de nossa espira retangular Natildeo eacute difiacutecil ver que o

acircngulo entre e o campo eacute exatamente (ver Figura ao lado) e que portanto

De fato haacute duas normais agrave superfiacutecie retangular delimitada pela espira e minus e precisamos de uma regra que nos permita fazer sempre a escolha correta ou seja aquela que vai levar agrave

validade da equaccedilatildeo acima para o torque Essa ambiguumlidade eacute quebrada pela regra da matildeo direita circulando

( )

y

z

x

( )

22

x

( )

y

z

( )

= minus sen( ) = ( ) times

325

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

a espira com os dedos da matildeo direita no sentido da corrente o polegar vai

apontar no sentido do vetor normal ldquocorretordquo A Figura ao lado ilustra a

aplicaccedilatildeo dessa regra

Aqui podemos relembrar nosso resultado para o torque sobre um dipolo

eleacutetrico em uma regiatildeo em que existe um campo eleacutetrico uniforme O dipolo

eleacutetrico eacute composto de duas cargas eleacutetricas plusmn (dois poacutelos eleacutetricos) separadas

por uma distacircncia O resultado para o torque que obtivemos foi = ( ) times

Sendo o deslocamento da carga em relaccedilatildeo agrave carga ndash Vimos que o produto caracteriza a

dipolaridade do dipolo eleacutetrico magnitude dos poacutelos separaccedilatildeo entre eles (tamanho) e orientaccedilatildeo no espaccedilo

e demos o nome de ldquomomento de dipolo eleacutetricordquo para a grandeza = Dessa forma o torque no dipolo

eleacutetrico fica = times

Quando avanccedilamos no formalismo da eletrostaacutetica vimos que define tambeacutem o campo eleacutetrico e a energia

potencial eleacutetrica do dipolo ou seja eacute uma grandeza fundamental para caracterizar as propriedades

eleacutetricas de um objeto eleacutetrico dipolar

Voltando agrave nossa espira natildeo podemos deixar de notar a similaridade entre a expressatildeo = ( ) times

e a expressatildeo acima para Aqui vemos que a grandeza caracteriza a espira atraveacutes de sua

intensidade de corrente de sua aacuterea (basicamente o tamanho) e de sua orientaccedilatildeo no espaccedilo Seguindo entatildeo

essa analogia batizamos a grandeza = de ldquomomento de dipolo magneacuteticordquo da espira Jaacute discutimos

um pouco sobre essas ideacuteias quando ilustramos o campo magneacutetico produzido por uma espira Vimos

que haacute uma regiatildeo uma face da espira onde as linhas de emergem da espira que chamamos de poacutelo

norte (N) e que eacute anaacuteloga ao poacutelo + de um dipolo eleacutetrico Na face oposta da espira as linhas de

mergulham para dentro da espira face que chamamos de poacutelos sul (S) da espira anaacuteloga ao polo ndash de um

dipolo eleacutetrico (trata-se apenas de uma analogia pois a linhas de forccedila de emanam de um polo + enquanto

que as linhas de apenas passam pelo polo N) Haacute portanto uma similaridade entre o comportamento de

uma espira de corrente em um campo e o comportamento de um dipolo eleacutetrico em um campo Essa

similaridade aparece aqui na expressatildeo do torque Uma espira de corrente mergulhada em um campo

magneacutetico uniforme sofre um torque que orienta seu momento de dipolo magneacutetico paralelamente a

326

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

= times

Obtivemos esse resultado para uma espira retangular mas essa hipoacutetese

natildeo eacute importante ela apenas simplifica os caacutelculos O torque foi calculado

em relaccedilatildeo ao centro da espira mas ele poderia ser calculado em relaccedilatildeo a

qualquer outro ponto de referecircncia que levaria ao mesmo resultado Isso

porque a forccedila magneacutetica resultante sobre a espira eacute nula Qualquer espira

de corrente de forma arbitraacuteria (mesmo natildeo planar) possui um momento

de dipolo magneacutetico de tal forma que na presenccedila de um campo

magneacutetico externo ela vai sofrer o torque dado pela expressatildeo acima Para

o caso de uma espira de corrente planar o momento magneacutetico eacute dado por = sendo a aacuterea da figura plana delimitada pela espira Por

exemplo na Figura ao lado mostramos uma espira circular onde circula uma corrente Essa espira estaacute em

uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = (setas azuis) O momento magneacutetico dessa

espira eacute = = (cos( ) + sen( ) ) Essa espira estaacute sofrendo um torque = times = (cos( ) + sen( ) ) times = minus sen( )

Se essa espira puder girar ela vai girar no sentido horaacuterio no sentido de orientar seu momento magneacutetico

(seta verde) paralelamente a (note que a espira natildeo sai do lugar pois a forccedila magneacutetica resultante eacute nula) A

espira vai assumir um movimento pendular oscilando para cima e para baixo em torno da posiccedilatildeo = 0 que

eacute uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel De fato ao passar pela posiccedilatildeo = 0 o torque inverte de sentido e a

espira comeccedila a girar no sentido anti-horaacuterio Havendo um mecanismo de dissipaccedilatildeo de energia a espira vai

descrever oscilaccedilotildees amortecidas ateacute parar na posiccedilatildeo = 0 Daqui a pouco discutiremos esse torque no

contexto dos motores eleacutetricos

Agora jaacute podemos entender melhor o funcionamento de

uma buacutessola conforme ilustrado na Figura ao lado A agulha da

buacutessola eacute um imatilde que pode girar em torno de um eixo central

vertical Dentro da agulha haacute correntes eleacutetricas atocircmicas

organizadas espacialmente funcionando como uma corrente

eleacutetrica macroscoacutepica ou seja como uma espira de corrente (curva

vermelha orientada) De acordo com a regra da matildeo direita o

momento magneacutetico da agulha estaacute orientado como na Figura apontando do poacutelo S para o polo N da

y

z

x

S

N

N S sul

geograacutefico norte

geograacutefico

327

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

agulha (assim como o momento de dipolo eleacutetrico aponta do poacutelo ndash para o polo +) A agulha estaacute no campo

magneacutetico da Terra que aponta do poacutelo sul geograacutefico (que eacute um polo N magneacutetico) para o poacutelo norte

geograacutefico (que eacute um polo S magneacutetico) Portanto a agulha sofre um torque = times e gira

oscilando por alguns instantes em torno da posiccedilatildeo com o polo N da agulha apontando para o norte geograacutefico

da Terra O atrito no eixo da agulha amortece as oscilaccedilotildees e a agulha finalmente para alinhada com seu polo

N faceando o polo N geograacutefico da Terra Se vocecirc levar uma buacutessola para o poacutelo norte geograacutefico da Terra a

agulha da buacutessola vai ficar na vertical com seu polo N apontando para dentro de Terra

Podemos voltar aqui na discussatildeo que jaacute fizemos sobre o porquecirc de um imatilde atrair um prego de ferro

Agora podemos entender que o campo magneacutetico do imatilde Atilde produz um torque sobre as correntes

atocircmicas dentro do prego e orienta essas correntes como se fossem milhotildees e milhotildees de pequenas agulhas

de buacutessolas A Figura 11 abaixo ilustra essa ideia

A cada aacutetomo podemos associar um momento magneacutetico que sofre um torque =times Atilde e gira de tal forma que ao final o poacutelo do imatilde que estaacute proacuteximo ao prego estaraacute face a face

com milhotildees de poacutelos opostos nos aacutetomos que constituem o prego Nesse instante nasce uma forccedila magneacutetica

de atraccedilatildeo macroscoacutepica entre o imatilde e o prego (note que nesse caso haacute forccedila magneacutetica tambeacutem aleacutem de

torque porque o campo magneacutetico do imatilde eacute natildeo uniforme)

74 O motor eleacutetrico de corrente contiacutenua (CC)

O motor eleacutetrico eacute basicamente um dispositivo que converte energia potencial eleacutetrica em energia

mecacircnica (e tambeacutem sem querer em calor) Haacute vaacuterios tipos de motores eleacutetricos de corrente contiacutenua de

corrente alternada de induccedilatildeo etc Natildeo importa qual seja o motor eleacutetrico a ideia central para seu

funcionamento estaacute contida na equaccedilatildeo

Figura 11 Efeito de um imatilde sobre um objeto feito de uma liga de ferro Antes de aproximarmos o imatilde as correntes atocircmicas e seus momentos de dipolo magneacuteticos (setas azuis) jaacute haviam se organizado em uma estrutura de domiacutenios magneacuteticos A presenccedila do imatilde faz com que os momentos magneacuteticos sofram um torque e girem orientando-se de tal forma que seus polos S fiquem face a face com o polo N do imatilde Daiacute nasce a forccedila de atraccedilatildeo imatildeobjeto

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

= times

Como jaacute vimos essa equaccedilatildeo daacute o torque sobre uma espira de corrente de momento magneacutetico que

estaacute em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme As caracteriacutesticas da espira que satildeo

relevantes nesse contexto estatildeo todas contidas na grandeza o momento de dipolo magneacutetico da espira

Para uma espira que eacute uma curva plana vale = sendo a corrente na espira a aacuterea plana delimitada

pela espira e um vetor normal a essa aacuterea plana orientado de acordo com a regra da matildeo direita

Nos motores haacute geralmente solenoacuteides que satildeo conjuntos de digamos espiras paralelas entre si

onde circula a corrente Nesse caso a ideia eacute a mesma mas o torque se multiplica = times sendo o

momento de dipolo magneacutetico de uma espira Portanto podemos dizer que a ideia baacutesica do motor de

corrente contiacutenua (CC) jaacute foi discutida na seccedilatildeo anterior Haacute apenas um detalhe acerca da comutaccedilatildeo da

corrente que vale a pena mencionar Esse ldquodetalherdquo estaacute ilustrado na Figura 12 abaixo

Essa Figura mostra que se a corrente na espira circular sempre no mesmo sentido entatildeo o torque

ficaraacute mudando periodicamente de sentido e natildeo produziraacute um movimento rotatoacuterio mas sim oscilatoacuterio

da espira em torno de seu eixo de rotaccedilatildeo (eixo z) O torque eacute restaurador nesse caso tornando a posiccedilatildeo = 0 da espira (posiccedilatildeo (b) na Figura 12) uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel (como ocorre com a agulha de

uma buacutessola) A soluccedilatildeo para este problema estaacute em adicionar ao motor um sistema de comutaccedilatildeo da

corrente no rotor de tal forma que quando a espira passa pela posiccedilatildeo = 0 a corrente inverte de sentido

(a) (c) (b)

Figura 12 Um ldquoprojetordquo de motor eleacutetrico CC composto de apenas uma espira em um campo magneacutetico(setas azuis) uniforme (produzido por outras espiras por um solenoacuteide ou por um imatilde) O problema desse motor eacute que ele natildeo gira em torno do eixo z pois o torque eacute restaurador sempre levando o momento magneacutetico para a posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel = 0 (posiccedilatildeo (b)) Estamos supondo que a corrente sempre entra no terminal marcado pela bolinha verde e sai pelo outro terminal da espira

z

z

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

invertendo o sentido de na configuraccedilatildeo (c) na Figura 12 e mantendo o sentido do torque e o sentido de giro

da espira ou seja do rotor

A soluccedilatildeo eacute relativamente simples Basta introduzir os contatos

comutadores deslizantes entre os dois terminais da espira do rotor e os dois

terminais da fontepilhabateria que alimenta o rotor A Figura ao lado

ilustra a ideia Imagine que as duas extremidades da espira apenas tocam os

fios (em verde) conectados agrave pilha e que esses terminais da espira deslizam

fechando contato eleacutetrico com os fios conectados agrave bateria Note entatildeo que

ao passar proacuteximo agrave posiccedilatildeo = 0 a corrente desconecta

momentaneamente o que natildeo faz diferenccedila pois nessa posiccedilatildeo natildeo haacute

torque na espira mesmo que esteja passando corrente por ela (ver Figura

12 (b)) Ao passar pela posiccedilatildeo = 0 a espira continua girando por ineacutercia

e na sequecircncia a corrente na espira reverte seu sentido assim como

quando comparamos a Figura atual com a Figura 12 (c) Dessa forma essa espira estaraacute submetida

constantemente a um torque na direccedilatildeo minus e giraraacute continuamente no sentido horaacuterio

Concluindo se z eacute o eixo de rotaccedilatildeo desse motor orientado no sentido de na Figura acima

entatildeo ( ) = sen( ) Vemos entatildeo que na ausecircncia de comutaccedilatildeo da corrente a cada giro de 180deg o torque inverte de

sentido pois ( + ) = sen( + ) = minus sen( ) A ideia da comutaccedilatildeo eacute fazer com que a corrente e tambeacutem invertam de sentido a cada giro de 180deg ou seja ( + ) = minus ( ) De tal forma que o torque e o giro do rotor mantenham seus sentidos constantes ( + ) = ( + ) sen( + ) = (minus ) minus sen( ) = sen( ) A Figura 13 abaixo mostra um rotor real de um motor CC Podemos ver vaacuterias espiras conectadas a

pequenas placas de cobre que satildeo os contatos do comutador A presenccedila de vaacuterios solenoacuteides em diferentes

posiccedilotildees no rotor apenas multiplica o torque Natildeo haacute nenhuma posiccedilatildeo do rotor em que o torque eacute nulo

(como ocorre em = 0 no motor da Figura 12 e da Figura acima) Por isso esse motor pode iniciar sua

rotaccedilatildeo a partir do repouso em uma posiccedilatildeo qualquer O motor da Figura 12 acima com apenas uma espira no

+

330

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

rotor natildeo conseguiria dar partida e comeccedilar a girar se ele estivesse parado por azar exatamente na posiccedilatildeo = 0

No motor real os solenoacuteides do rotor satildeo alimentados atraveacutes dos contatos do comutador que

deslizam em contatos de grafite as escovas A Figura 13 mostra tambeacutem o detalhe de vaacuterios contatos do

comutador e as duas escovas de grafite atraveacutes das quais a corrente eleacutetrica chega nas espiras do rotor A

presenccedila de comutadores e escovas nos motores CC natildeo deixa de ser uma desvantagem pois esse contato

eleacutetrico deslizante produz centelhamento (faiacutescas) e ruiacutedos (eleacutetrico e eletromagneacutetico) aleacutem de exigir

manutenccedilatildeo permanente pelo desgaste das escovas Existem motores CC sem comutadores e escovas que

utilizam imatildes permanentes no rotor ao inveacutes de solenoacuteides Cada tipo de motor apresenta suas vantagens e

desvantagens

75 Aplicaccedilotildees

1) A Figura ao lado mostra uma espira (em vermelho) plana de fio fino e

forma arbitraacuteria onde circula uma corrente eleacutetrica com o sentido

indicado Essa espira estaacute parcialmente dentro de uma regiatildeo do espaccedilo

onde existe um campo magneacutetico uniforme (saindo ortogonalmente da

paacutegina na Figura) Fora dessa regiatildeo (acima da linha tracejada) natildeo haacute

campo magneacutetico Os pontos A e B distanciados entre si por marcam a

interseccedilatildeo da espira com a linha tracejada Vamos calcular a forccedila

magneacutetica nessa espira

Note que trata-se de uma espira plana em um campo magneacutetico natildeo uniforme pois o valor de muda

nos pontos do espaccedilo ocupados pela espira Dividindo a integral da forccedila na espira em duas partes obtemos

Figura 13 um rotor de um motor eleacutetrico CC Podemos ver os contatos do comutador conectados aos terminais das espiras do rotor A corrente eleacutetrica vem pelo circuito externo passa por dois contatos de grafite (escovas) que deslizam nos contatos do comutador e conduzem corrente para as espiras do rotor

BA

y

x

331

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = times = times + times = times + 0

A ideia expressa acima eacute que calculamos a forccedila magneacutetica na porccedilatildeo inferior da espira que inicia em A e vai

ateacute B submetida ao campo magneacutetico e somamos com a forccedila

magneacutetica na porccedilatildeo superior da espira que inicia em B e vai ateacute A Essa

porccedilatildeo superior estaacute em uma regiatildeo sem campo magneacutetico e portanto natildeo

sofre forccedila

Tudo que temos que fazer eacute calcular a forccedila no fio fino inferior que

comeccedila em A e termina em B transportando uma corrente Sendo o

campo magneacutetico uniforme na regiatildeo em que se encontra esse fio

obtemos

( ) = times = times

sendo o vetor ldquodeslocamentordquo mostrado na Figura acima (em azul) No nosso referencial obtemos = e = Portanto

( ) = times = ( times ) = (minus ) A espira eacute puxada para baixo para dentro da regiatildeo com campo magneacutetico A forccedila magneacutetica independe da

forma da espira Quando a espira estiver toda contida na regiatildeo com campo vai valer = 0 e ( ) = 0

Considere agora uma espira circular de fio fino e raio R onde

circula uma corrente eleacutetrica com o sentido indicado Essa espira estaacute

em uma regiatildeo do espaccedilo onde o campo magneacutetico muda de valor

conforme a Figura ao lado Acima da linha tracejada o campo

magneacutetico possui magnitude e aponta ortogonalmente para dentro

da paacutegina Abaixo da linha tracejada o campo magneacutetico possui

magnitude e aponta ortogonalmente para fora da paacutegina Os pontos

A e B distanciados entre si por marcam a interseccedilatildeo da espira com a

linha tracejada A altura ℎ eacute a porccedilatildeo do diacircmetro da espira que estaacute na regiatildeo acima da linha tracejada

Vamos calcular a forccedila magneacutetica nessa espira

Novamente trata-se de uma espira plana em um campo magneacutetico natildeo uniforme pois o valor de

muda nos pontos do espaccedilo ocupados pela espira Analogamente ao que fizemos no exemplo anterior

dividindo a integral da forccedila na espira em duas partes (arco inferior e arco superior) obtemos

x

y

A B

B A

y

x

times times times

times times times ℎ

332

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = times = times + times

Tudo que temos que fazer eacute calcular a forccedila em cada fio fino com a forma de arco de ciacuterculo com

extremidades em A e B transportando uma corrente Sendo o campo magneacutetico uniforme nas regiotildees em

que se encontram cada um desses fiosarcos obtemos

( ) = times + times

Lembrando que eacute o vetor ldquodeslocamentordquo que nasce em A e termina em B (para o arco inferior) Como = minus segue que ( eacute o vetor ldquodeslocamentordquo para o arco superior)

( ) = times minus

Se valesse = o campo magneacutetico seria uniforme sobre a espira e natildeo haveria forccedila

O comprimento da corda que conecta A e B eacute dado por = 2 ℎ(2 minus ℎ) Essa corda estaacute ilustrada em azul na Figura abaixo O comprimento da corda eacute simplesmente a distacircncia

entre os pontos A e B Note que | | =

Portanto no nosso referencial vale = = minus e = A forccedila magneacutetica na espira

eacute dada por

( ) = times minus = ( + )( times ) = 2 ℎ(2 minus ℎ)( + )(minus ) A espira seraacute empurrada para baixo qualquer que seja o valor de 0 lt ℎ lt 2 No caso ℎ = 0 a espira estaacute em um campo uniforme ( ) e

natildeo haacute forccedila A mesma coisa vale para o caso ℎ = 2 em que a espira

estaacute em um campo uniforme Enfim se a espira natildeo estiver

interceptando a fronteira entre as duas regiotildees com campos magneacuteticos

diferentes ela natildeo sofre forccedila magneacutetica (nesses dois casos vale = 0)

Uma espira soacute sofre forccedila magneacutetica se ela estiver em uma regiatildeo de

campo magneacutetico natildeo uniforme

2) A Figura abaixo mostra um segmento de fio fino dobrado na forma de um L (em vermelho) onde circula uma

corrente Esse fio estaacute na vizinhanccedila de outro fio reto muito longo onde circula uma corrente Os dois fios

BA

y

x

times times times

times times times ℎ

333

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

estatildeo no mesmo plano da tela Vamos calcular a forccedila magneacutetica que

a corrente no fio longo faz na corrente no fio com forma de L

O fio em forma de L estaacute mergulhado no campo magneacutetico do

fio longo Ainda natildeo conhecemos esse campo e por isso vamos

adiantar aqui a expressatildeo do campo magneacutetico que esse fio longo

produz no espaccedilo (esse campo seraacute calculado no proacuteximo capiacutetulo)

Na regiatildeo onde se encontra o fio em forma de L o campo magneacutetico

do fio longo aponta para dentro da tela ou seja tem a direccedilatildeo ndashz no

nosso referencial A magnitude desse campo decai com a distacircncia ao fio longo o raio mostrado na Figura

(em verde) de acordo com ( ) =

sendo uma constante positiva O raio eacute o raio do sistema de coordenadas ciliacutendricas a distacircncia ateacute um

eixo fixo nesse caso o fio longo

Portanto jaacute partindo do conhecimento desse campo magneacutetico podemos calcular a forccedila magneacutetica

no fio em L atraveacutes da expressatildeo geral da forccedila

( ) = times

Para simplificar as coisas podemos dividir o fio em L em dois segmentos de fio retos um paralelo ao fio longo

de comprimento e outro ortogonal de comprimento A forccedila magneacutetica no fio em L seraacute

( ) = ( ) + ( ) Note que o segmento paralelo ao fio longo estaacute equidistante do fio longo no raio = e portanto

este segmento de fio estaacute submetido a um campo magneacutetico uniforme dado por

= ( = ) = ( = )(minus ) = minus Para um fio reto em um campo magneacutetico uniforme natildeo precisamos fazer nenhuma integral a forccedila

magneacutetica eacute dada por ( ) = times

sendo que nesse caso = e = Portanto

( ) = times ( = ) = times minus = (minus ) Esse segmento de fio eacute atraiacutedo pelo fio longo (correntes paralelas se atraem)

x

y

334

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Quanto ao segmento de fio ortogonal ele estaacute submetido a um campo magneacutetico natildeo uniforme pois

enquanto varremos a coordenada ao longo desse segmento de fio o campo magneacutetico do fio longo vai

mudando de valor = ( ) Portanto nesse caso devemos integrar a forccedila em cada pequeno segmento

infinitesimal desse segmento de fio que eacute dada por

( ) = times

com = Portanto

( ) = times minus =

Como esse segmento de fio ortogonal se estende desde = ateacute = + obtemos

( ) = = = ln 1 +

Esse segmento de fio eacute empurrado para cima ao longo de y

Concluindo a forccedila magneacutetica no fio em forma de L eacute

( ) = minus + ln 1 +

O fio em L eacute atraiacutedo (ao longo de ndashx) e ao mesmo tempo empurrado para cima (ao longo de +y) Ele sofre

uma forccedila obliacutequa

No caso cong 0 que pode ser interpretado como o fio em L estando muito distante do fio reto

obtemos uma expressatildeo mais simples para a forccedila (tendo em vista que ln(1 + ) = se cong 0)

( ) = minus + = minus +

Note que essa eacute a forccedila em um fio reto obliacutequo com = + a

uma distacircncia (grande) do fio longo conforme ilustrado na Figura ao

lado ( ) = times ( = )

Longe do fio longo tudo se passa como se o campo fosse uniforme e

assumisse o valor constante ( = ) Nesse caso retornamos agrave

expressatildeo da forccedila em um fio fino qualquer em um campo magneacutetico

uniforme ( ) = times

sendo o vetor ldquodeslocamentordquo para o fio em L

x

y

335

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

8 O campo magneacutetico

No capiacutetulo 1 estudamos a interaccedilatildeo eleacutetrica entre objetos eletrizados

Vimos que uma carga pontual na vizinhanccedila de um conjunto de outras N cargas

pontuais estaacuteticas (Figura ao lado) sofre uma forccedila dada por

( ) = ( ) sendo ( ) o campo eleacutetrico (eletrostaacutetico) produzido pelas N cargas na posiccedilatildeo em que a carga

estaacute Quanto ao campo ( ) vimos que ele pode ser obtido a partir da lei de Coulomb e do princiacutepio da

superposiccedilatildeo ou seja

( ) = 14 sendo a distacircncia entre e o ponto no espaccedilo e um vetor unitaacuterio que aponta de para esse ponto

Depois avanccedilamos na ideia de distribuiccedilotildees de cargas muito densas (limite do contiacutenuo) etc Fato eacute que essas

duas expressotildees acima compotildeem juntas a base da descriccedilatildeo da interaccedilatildeo eletrostaacutetica entre cargas eleacutetricas

Analogamente no capiacutetulo 7 comeccedilamos a estudar a

magnetostaacutetica ou seja a interaccedilatildeo entre correntes eleacutetricas atraveacutes

de campos magneacuteticos estacionaacuterios (independentes do tempo) A

Figura 1 ao lado ilustra a ideia baacutesica uma corrente pontual ou seja

uma carga pontual se movendo com velocidade e uma corrente

estatildeo na vizinhanccedila de uma corrente estacionaacuteria Jaacute vimos que a

forccedila magneacutetica que faz em eacute dada por

( )

Figura 1 Uma carga pontual e uma corrente eleacutetrica interagem com outra corrente eleacutetrica Qual a forccedila magneacutetica entre esses objetos

336

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

( ) = times ( ) sendo ( ) campo magneacutetico (magnetostaacutetico) produzido pela corrente na posiccedilatildeo em que a carga

estaacute Analogamente a forccedila magneacutetica que faz na corrente eacute (omitindo as dependecircncias em )

( ) = times

sendo um vetor comprimento infinitesimal tangente ao fio 2 orientado no sentido de eacute o campo

magneacutetico do fio 1 avaliado nos pontos do espaccedilo ocupados pelo fio 2 A integral percorre o fio 2

Portanto para completar a descriccedilatildeo das interaccedilotildees magneacuteticas entre correntes eleacutetricas estaacute faltando

obtermos uma lei que nos permita calcular o campo magneacutetico produzido por uma corrente estacionaacuteria No

caso da Figura 1 e das forccedilas que queremos calcular ( ( ) e ( )) fica faltando conhecermos a

expressatildeo de ( ) Precisamos de uma espeacutecie de ldquolei de Coulombrdquo para a magnetostaacutetica Essa eacute a ideia que

vamos discutir nesse capiacutetulo

Aqui vamos aprender a calcular o campo magneacutetico produzido por uma corrente eleacutetrica qualquer De

fato vamos nos restringir ao caso mais simples de correntes estacionaacuterias ou seja correntes que natildeo variam

no tempo ( ) = ( ) Esse eacute o contexto da magnetostaacutetica Quanto agrave corrente que estaacute sofrendo a forccedila

magneacutetica natildeo importa se ela eacute variaacutevel no tempo ou natildeo pois o que nos interessa aqui eacute o caacutelculo do campo

magnetostaacutetico da corrente que estaacute exercendo a forccedila Enfim deixaremos um pouco de lado essa questatildeo do

caacutelculo da forccedila magneacutetica pois jaacute sabemos como fazecirc-lo se conhecemos o campo no espaccedilo e vamos nos

concentrar agora no caacutelculo do campo magneacutetico ( ) de uma corrente estacionaacuteria

No nosso estudo de campos eleacutetricos comeccedilamos pela distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas mais simples

uma uacutenica carga eleacutetrica pontual fixa no espaccedilo Atraveacutes da lei de Coulomb deduzimos a expressatildeo do campo

eleacutetrico dessa carga pontual Em seguida dado o princiacutepio da superposiccedilatildeo obtivemos uma expressatildeo para o

campo eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de cargas qualquer

No nosso estudo do caacutelculo de campos magneacuteticos temos a pretensatildeo de trilhar um caminho anaacutelogo

A corrente eleacutetrica estacionaacuteria mais simples deve ser aquela que produz no espaccedilo o campo

magnetostaacutetico mais simples Esse deveria ser portanto nosso ponto de partida Comentamos no capiacutetulo 7

que a corrente eleacutetrica mais simples eacute a corrente eleacutetrica pontual apenas uma carga pontual se movendo

com velocidade Mas surge um problema aqui Jaacute comentamos tambeacutem que uma corrente eleacutetrica pontual

natildeo eacute o que poderiacuteamos chamar de uma corrente eleacutetrica estacionaacuteria Uma corrente pontual eacute de fato uma ( ) um pulso de corrente que viaja no espaccedilo pois soacute haacute corrente natildeo nula (transporte de carga eleacutetrica)

na posiccedilatildeo instantacircnea ocupada pela partiacutecula Nos outros pontos do espaccedilo a corrente eacute nula Uma corrente

337

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

pontual eacute portanto um pulso de corrente que viaja no espaccedilo (onde a partiacutecula estaacute o pulso de corrente

estaacute) Conclusatildeo a corrente pontual natildeo eacute um objeto da magnetostaacutetica Uma corrente pontual produz no

espaccedilo um campo magneacutetico complicado e dependente do tempo = ( ) Concluiacutemos entatildeo que natildeo

faz muito sentido comeccedilarmos o estudo da magnetostaacutetica discutindo o campo magneacutetico de uma corrente

natildeo estacionaacuteria Mas enfim haacute livros texto de eletromagnetismo que fazem assim assumindo algumas

hipoacuteteses de aproximaccedilatildeo Por isso vamos introduzir essa discussatildeo aqui do campo magneacutetico de uma

corrente pontual Mas eacute verdade que essa discussatildeo poderia ser simplesmente ignorada como ocorre em

alguns (muitos) livros textos que jaacute partem do resultado experimental para o campo magneacutetico de um fio fino

(lei de Biot-Savart) onde flui uma corrente constante No entanto devemos reconhecer que tomar como ponto

de partida o campo magneacutetico da corrente pontual tem seu valor didaacutetico estabelecendo um paralelo mais

evidente entre o campo magneacutetico e o campo eleacutetrico Eacute o que faremos em seguida

81 O Campo magneacutetico de uma corrente pontual com velocidade constante

Considere a corrente pontual mostrada na Figura 2 Uma

carga pontual se movendo com velocidade ao longo da

trajetoacuteria tracejada em verde O vetor eacute a posiccedilatildeo do ponto P em

relaccedilatildeo a Queremos comeccedilar entendendo por que essa corrente

pontual produz no ponto P um ( ) ou seja um campo natildeo

magnetostaacutetico

Se vocecirc pensar no campo eleacutetrico que jaacute estudamos vai

entender logo que o campo eleacutetrico que a carga cria em P natildeo eacute

um campo eletrostaacutetico Sabemos que o campo eleacutetrico depende da distacircncia e portanto um medidor de

campo eleacutetrico fixo em P mediria um campo natildeo eletrostaacutetico ( ) produzido por Se esse medidor

tivesse um ponteiro veriacuteamos esse ponteiro se mexer enquanto passeia por sua trajetoacuteria Enquanto se

aproxima de P o campo ( ) fica mais intenso enquanto se afasta o campo fica mais fraco Aleacutem disso a

direccedilatildeo (radial) de ( ) tambeacutem vai mudando com o tempo Trata-se de um campo natildeo eletrostaacutetico

Em princiacutepio poderiacuteamos imaginar que o campo eleacutetrico da carga moacutevel eacute simples que temos apenas

que considerar que no caso estaacutetico o vetor eacute constante e no caso da partiacutecula moacutevel essa posiccedilatildeo passa a

ser uma funccedilatildeo do tempo = ( ) e portanto ( ) = 4 rArr ( ) = 4 ( ) ( ) Mas essa natildeo eacute a expressatildeo correta para o campo eleacutetrico ( ) de uma partiacutecula que se move Isso fica

evidente quando levamos em conta que as mudanccedilas no campo eleacutetrico se propagam no espaccedilo com a

Figura 2 Uma carga pontual se move na trajetoacuteria em verde Qual o campo magneacutetico que ela produz em P

P

338

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

velocidade da luz que eacute grande mas eacute finita ( cong 300000 kms) A expressatildeo exata de ( ) deve ser tal

que leva em conta o efeito de retardamento ou seja ( ) deve estar definido por ( prime) sendo lt Isso

significa que o valor de ( ) estaacute definido pela posiccedilatildeo da partiacutecula no passado (em lt )

Esse mesmo fenocircmeno de retardamento acontece com as ondas sonoras Imagine que vocecirc esteja

ouvindo a fala de uma pessoa que estaacute parada a uma distacircncia = 100 m de vocecirc O som viaja no ar com uma

velocidade cong 340 ms Portanto o som que vocecirc estaacute ouvindo no instante foi emitido por essa pessoa no

instante = minus cong minus 029 s Esse retardamento de 029 s eacute fruto da velocidade finita de propagaccedilatildeo

do som no ar No instante vocecirc estaacute ouvindo o que a pessoa falou no passado em = minus Um

retardamento anaacutelogo mas com no lugar de caracteriza a propagaccedilatildeo no espaccedilo das mudanccedilas nos

campos eleacutetrico e magneacutetico Para = 100 m o retardamento eletromagneacutetico seria cong 3 times 10 s

Portanto para uma partiacutecula que se move lentamente podemos esperar que a mudanccedila em ( ) seja lenta

e que o efeito de retardamento seja muito pequeno nos permitindo utilizar a expressatildeo acima para ( ) como uma boa aproximaccedilatildeo para o campo eleacutetrico que a carga moacutevel gera em P

A Figura ao lado ilustra uma partiacutecula se deslocando ao longo de sua

trajetoacuteria (curva verde) com velocidade No instante o campo eleacutetrico ( ) no ponto P estaacute definido por ( ) com lt Se o movimento da

partiacutecula eacute suficientemente lento ( ≪ ) podemos dizer que prime cong que ( ) cong ( ) (a partiacutecula natildeo se desloca muito) e que vale portanto a

aproximaccedilatildeo ( ) = 4 ( ) ( ) ou seja ( ) eacute dado pela lei do campo eletrostaacutetico (lei de Coulomb) com ( ) no lugar da constante A

ldquoqualidaderdquo dessa aproximaccedilatildeo depende da condiccedilatildeo ≪ e tambeacutem do niacutevel de exigecircncia de quem a utiliza

Por exemplo quando aplicamos esse campo eleacutetrico aproximado ( ) dado acima (ou seu potencial eleacutetrico

associado) ao estudo dos niacuteveis de energia de um aacutetomo seja atraveacutes de um modelo simples de Bohr ou da

mecacircnica quacircntica de Schrodinger obtemos um resultado aproximado para esses niacuteveis de energia pois os

eleacutetrons estatildeo se movendo nos aacutetomos viajando em torno do nuacutecleo Sendo essas velocidades baixas

(comparadas com a velocidade da luz) os resultados obtidos para os niacuteveis de energia atocircmicos dentro dessa

aproximaccedilatildeo satildeo bastante satisfatoacuterios quando comparados aos resultados experimentais da espectroscopia

Para se obter resultados mais precisos no caacutelculo desses niacuteveis de energia devemos levar em conta correccedilotildees

relativiacutesticas ao campo ( ) (e ao seu potencial associado)

( )P

( prime)

339

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Tudo isso que discutimos para o campo ( ) acontece tambeacutem com o campo magneacutetico da

corrente pontual ( ) em P

Devemos desconfiar que o campo magneacutetico assim como os campos eleacutetrico e gravitacional depende

tambeacutem da distacircncia e que portanto um medidor de campo magneacutetico (uma buacutessola por exemplo) fixo em P

vai medirindicar um campo natildeo magnetostaacutetico ( ) produzido pela corrente pontual ( ) Uma corrente

pontual natildeo eacute uma corrente estacionaacuteria pois correntes estacionaacuterias produzem campos magnetostaacuteticos

(independentes do tempo) ( ) A expressatildeo de ( ) para uma corrente pontual qualquer eacute bastante complicada e com certeza

envolve o efeito de retardamento que jaacute discutimos anteriormente Apenas quando a velocidade de eacute

constante e suficientemente baixa ( ≪ ) haacute uma expressatildeo simples para ( ) Essa expressatildeo pode

portanto ser usada como ponto de partida para o estudo da magnetostaacutetica Apenas deve ficar claro que o

campo para a corrente pontual ( ) que estaremos estudando aqui eacute uma expressatildeo aproximada assim

como a expressatildeo de ( ) em termos da lei de Coulomb (eletrostaacutetica) que escrevemos acima

Aqui vamos encarar de forma praacutetica que existe um regime de baixas velocidades (em relaccedilatildeo agrave

velocidade da luz ) no qual o campo magneacutetico ( ) de uma corrente pontual ( ) com constante tem

uma expressatildeo simples ( ) Essa expressatildeo eacute ( ) = ( ) = 4 times

sendo o vetor que vai de ateacute o ponto P eacute a posiccedilatildeo do ponto

onde o campo magneacutetico estaacute sendo avaliado posiccedilatildeo medida em

relaccedilatildeo agrave carga conforme a Figura 3 ao lado Note que tendo em

conta que = podemos escrever esse campo na forma

( ) = 4 times

que deixa evidente o fato de que esse campo decai com o quadrado

da distacircncia ateacute a carga exatamente como ocorre com o campo

eleacutetrico de uma carga pontual (lei de Coulomb) Agraves vezes preferimos a primeira expressatildeo com no lugar de porque ela nos livra da ideia de que para calcular ( ) devemos calcular um vetor unitaacuterio A expressatildeo

para ( ) acima eacute o anaacutelogo da expressatildeo do campo eleacutetrico da carga pontual (lei de Coulomb) que usamos

como ponto de partida para nosso estudo da eletrostaacutetica ( ) eacute proporcional agrave carga da partiacutecula e decai

com o quadrado da distacircncia ateacute ela Mas note que se = 0 entatildeo ( ) = 0 uma partiacutecula estaacutetica produz

campo eleacutetrico mas natildeo produz campo magneacutetico

Figura 3 Uma carga pontual se move na trajetoacuteria em verde (MRU) Qual o campo magneacutetico que ela produz em P supondo de = | | eacute constante e pequeno

P

340

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Olhando na Figura 3 fica claro que se a partiacutecula de carga estaacute se movendo entatildeo = ( ) e que

portanto o campo ( ) depende do tempo pois ( ) = ( ( )) = 4 times ( )[ ( )]

( ) eacute um campo natildeo magnetostaacutetico Conforme jaacute discutimos ( ) natildeo leva em conta efeitos de

retardamento e apenas no regime constante e ≪ podemos considerar que essa expressatildeo eacute uma

aproximaccedilatildeo boa para o campo magneacutetico de uma corrente pontual

A constante na expressatildeo de ( ) eacute chamada de permeabilidade magneacutetica do vaacutecuo possuindo

um valor numeacuterico exato = 4 times 10 TmA A ideia aqui eacute similar agrave da constante na expressatildeo do

campo eleacutetrico Esse eacute o campo magneacutetico criado no espaccedilo na posiccedilatildeo pela partiacutecula de carga eleacutetrica

que estaacute se movendo no vaacutecuo ou seja natildeo haacute outras partiacuteculas carregadas se movendo no espaccedilo apenas a

partiacutecula de carga Se esse espaccedilo em que essa partiacutecula estaacute for preenchido por um meio material o ar por

exemplo o campo magneacutetico na posiccedilatildeo deixa de ser dado pela expressatildeo acima (que vamos chamar de ( )) Isso ocorre natildeo porque o campo magneacutetico de ( ( )) muda mas porque as outras partiacuteculas no

espaccedilo partiacuteculas que compotildeem esse meio material circundante tambeacutem geram campo magneacutetico em (elas

podem se magnetizar por exemplo devido agrave influecircncia de ( )) Basicamente na presenccedila de um meio

material o campo magneacutetico resultante em se torna ( ) = ( ) + ( ) = 4 times + ( ) Constatamos que para muitos meios materiais simples ocupando o espaccedilo os dois termos na

expressatildeo acima podem se juntar e o campo magneacutetico resultante em pode ser escrito como

( ) = 4 times

sendo a permeabilidade magneacutetica desse meio material Por exemplo se estaacute se movendo debaixo

drsquoaacutegua segue que ( ) = ( ) + Aacute ( ) = Aacute4 times

Resumindo ao trocar por na expressatildeo do campo magneacutetico da corrente pontual o campo

magneacutetico ( ) deixa de ser o campo que a corrente pontual faz no espaccedilo ( ( )) e passa a ser o campo

magneacutetico no espaccedilo devido agrave presenccedila da corrente pontual No caso do ar e da aacutegua vale cong (meios

com propriedades magneacuteticas despreziacuteveis) e basicamente facilitamos as coisas fazendo = Aacute =

Alguns materiais especiais como ligas de ferro cobalto e niacutequel podem apresentar permeabilidades

magneacuteticas bem maiores que o vaacutecuo algo como cong 10 Definindo a permeabilidade magneacutetica

341

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

relativa = podemos dizer que para esses materiais ≫ 1 Essa propriedade de

amplificaccedilatildeo do campo magneacutetico aplicado que no contexto atual seria algo como = + ≫

eacute fruto das propriedades magneacuteticas das partiacuteculas que compotildeem esses materiais conforme jaacute discutimos no

capiacutetulo anterior Basicamente ( ) orienta os momentos magneacuteticos intriacutensecos dos aacutetomos que compotildeem

o material e estes passam a criar eles mesmos um campo magneacutetico intenso ( ) que vai se juntar ao

campo ( ) para dar um campo magneacutetico resultante ( ) intenso Esses materiais com ≫ 1 ditos

materiais ferromagneacuteticos ldquomolesrdquo (os materiais ferromagneacuteticos ldquodurosrdquo satildeo usados na fabricaccedilatildeo de imatildes)

satildeo utilizados em muitas aplicaccedilotildees em que se necessita de campos magneacuteticos intensos produzidos por

solenoacuteides como em motores eleacutetricos transformadores chaves magneacuteticas (releacutes) etc

Voltando ao campo magneacutetico de uma corrente pontual (lenta) qual seja ( ) = 4 times

vamos considerar como exerciacutecio a situaccedilatildeo mostrado na Figura ao

lado Vamos calcular o campo magneacutetico produzido pela partiacutecula de

carga eleacutetrica gt 0 nos sete veacutertices do cubo de referecircncia que possui

lados de comprimento No nosso referencial vale = Portanto

( ) = 4 times

Para o veacutertice A vale = ( = ) e portanto

( ) = 4 times = 4 times = 4

Para o veacutertice C vale = + ( = radic2 ) e portanto

( ) = 4 times ( + )(radic2 ) = 12radic2 4

Note que (sendo o acircngulo entre e conforme a Figura 4)

( ) = 4 sen( )

Portanto obtemos os resultados acima se fizermos = 2 para o veacutertice A e = 4 para o veacutertice C

Para o veacutertice D vale = ( = 0) e segue que

( ) = 4 times = 0

x

y

z

A

D

C

E F

G H

342

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Natildeo haacute campo magneacutetico em nenhum ponto ao longo da linha de (eixo y nesse caso onde = 0)

Para o veacutertice E vale = + e obtemos

( ) = 4 times ( + )(radic2 ) = 12radic2 4 (minus ) Para o veacutertice F vale = e portanto

( ) = 4 times = 4 (minus ) Para o veacutertice G vale = + e obtemos

( ) = 4 times ( + )(radic2 ) = 12radic2 4 (minus + ) Finalmente para o veacutertice H vale = + + ( = radic3 ) e portanto

( ) = 4 times ( + + )(radic3 ) = 13radic3 4 (minus + ) Na Figura ao lado ilustramos (em azul) as setas do

campo magneacutetico nesses veacutertices Se insistirmos nessa

ideia e calcularmos o campo magneacutetico para vaacuterios outros

pontos no espaccedilo vamos nos convencer de que as setas de

estatildeo sempre tangentes aos ciacuterculos contidos no plano xz

(plano ortogonal a pois conteacutem um produto times )

centrados no eixo y (eixo de ) e orientadas no sentido

dado pela regra da matildeo direita (ilustrada na Figura)

apontado o polegar da matildeo direita no sentido de os

outros dedos dessa matildeo vatildeo girar no sentido das setas de

(para gt 0 no caso de lt 0 basta inverter as setas)

Portanto as linhas de campo de satildeo esses ciacuterculos

orientados nesse sentido

Na Figura ao lado ilustramos trecircs linhas de campo

para o campo magneacutetico produzido por uma corrente

pontual com gt 0 No caso lt 0 todas as setas de

invertem de sentido assim como as linhas de campo A matildeo

na Figura mostra a regra da matildeo direita para o sentido de

H

x

y

z

A

D

C

E F

G

343

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Finalmente podemos calcular a forccedila magneacutetica que uma corrente pontual faz em outra corrente

pontual Por exemplo vamos calcular a forccedila magneacutetica que um proacuteton de carga gt 0 faz em um eleacutetron de

carga ndash ambos se movendo conforme mostrado na Figura 4 abaixo (duas correntes pontuais) Note que no

instante mostrado nessa Figura o eleacutetron estaacute passando exatamente pelo veacutertice que chamamos de C no

exemplo anterior Portanto

( ) = (minus ) times ( ) com = (minus ) Tendo em vista nosso resultado anterior

para o campo magneacutetico em C obtemos

( ) = (minus ) (minus ) times 12radic2 4 = 12radic2 4 times= 12radic2 4

O proacuteton vai desviar a trajetoacuteria do eleacutetron empurrando ele na

direccedilatildeo do eixo y conforme ilustrado ao lado A forccedila magneacutetica

entre as correntes pontuais eacute proporcional ao produto das

cargas e decai com o quadrado da distacircncia entre elas como na

lei de Coulomb Se ou forem nulos entatildeo natildeo haacute forccedila magneacutetica mas

continua havendo forccedila eleacutetrica De fato a forccedila eleacutetrica atrativa entre esse

proacuteton e esse eleacutetron possui magnitude (da lei de Coulomb)

( ) = 14 radic2

Jaacute comentamos que a lei de Coulomb soacute vale mesmo se = = 0 (eletrostaacutetica) mas para baixas

velocidades a aproximaccedilatildeo eacute razoaacutevel A razatildeo entre a forccedila magneacutetica e a forccedila eleacutetrica eacute

( )( ) = 1radic2

Vemos que o produto ( ) tem que ter unidade de velocidade ao quadrado pois a razatildeo entre as

forccedilas eacute adimensional De fato eacute possiacutevel mostrar que = 1 sendo a velocidade da luz no vaacutecuo

( cong 300000 kms) Portanto vemos que no regime de baixas velocidades das partiacuteculas vale

( )( ) = 1radic2 cong 0

minus ( ) ( )

x

y

z

minus

Figura 4 duas correntes pontuais um eleacutetron e um proacuteton interagindo entre si

344

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Esse fato que estamos observando aqui eacute verdade em geral as forccedilas magneacuteticas entre partiacuteculas

carregadas satildeo em geral muito menores que as forccedilas eleacutetricas No entanto no contexto da interaccedilatildeo entre

correntes eleacutetricas fluindo em fios eletricamente neutros natildeo haacute forccedila eleacutetrica e a forccedila magneacutetica se torna a

uacutenica forccedila uma forccedila importante e uacutetil como no caso dos motores eleacutetricos

Para finalizar esse exemplo vamos calcular agora a forccedila magneacutetica que o eleacutetron faz no proacuteton

( ) = times 0

sendo = a velocidade do proacuteton e 0 o campo magneacutetico que o eleacutetron produz na origem onde

estaacute passando nesse instante o proacuteton

O eleacutetron estaacute no veacutertice que chamamos de C e vimos que a posiccedilatildeo de C em relaccedilatildeo agrave origem eacute = + ( = radic2 ) Portanto a posiccedilatildeo da origem em relaccedilatildeo ao veacutertice C eacute = minus = minus minus O campo magneacutetico que o eleacutetron gera nessa posiccedilatildeo onde estaacute o proacuteton eacute

0 = 4 (minus ) times

sendo = (minus ) a velocidade do eleacutetron Portanto (lembrando que times = minus )

0 = 4 (minus ) (minus ) times (minus )( + )radic2 = 12radic2 4

Concluindo (lembrando que times = minus ) ( ) = times 0 = times 12radic2 4 = 12radic2 4 (minus )

O eleacutetron vai desviar a trajetoacuteria do proacuteton empurrando ele na direccedilatildeo e sentido de ndashz

Notamos nesse exemplo que as forccedilas magneacuteticas entre partiacuteculas natildeo obedecem agrave terceira Lei de

Newton pois natildeo eacute verdade que ( ) = minus ( ) Uma forccedila ( ( )) estaacute ao longo de +y enquanto que a

outra forccedila ( ( )) estaacute ao longo de ndashz Portanto a forccedila magneacutetica resultante muacutetua nesse sistema de duas

partiacuteculas ( ( ) = ( ) + ( )) natildeo eacute nula Essa propriedade tem relaccedilatildeo com o fato dessas correntes

pontuais natildeo serem de fato estacionaacuterias

82 Campo magneacutetico de uma corrente constante em um fio fino qualquer

Agora vamos direcionar o formalismo para o caacutelculo de correntes estacionaacuterias fluindo em fios

condutores quaisquer que eacute um contexto de aplicaccedilatildeo mais comum Vamos utilizar a ideia fundamental do

caacutelculo integral e considerar que um fio fino transportando corrente eleacutetrica pode ser pensado como uma

345

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

sucessatildeo de segmentos infinitesimais de fio agrupados em uma fila ao longo do fio

Dessa forma de acordo com o princiacutepio da superposiccedilatildeo obteremos o campo

magneacutetico da corrente no fio atraveacutes da superposiccedilatildeo (da integral) dos campos

magneacuteticos dos infinitos segmentos infinitesimais que compotildeem o fio A Figura ao lado

ilustra essa ideia Queremos calcular o campo magneacutetico que a corrente eleacutetrica

constante no fio fino (em vermelho) produz no ponto P Para isso vamos obter primeiro um resultado mais

simples qual seja o campo magneacutetico infinitesimal ( ) que a corrente em um segmento infinitesimal

desse fio produz em P O vetor representa esse segmento infinitesimal de fio ele possui moacutedulo um

comprimento infinitesimal ao longo do fio eacute paralelo ao fio e possui o sentido da corrente no fio O vetor eacute a

posiccedilatildeo de P em relaccedilatildeo a

A ideia baacutesica eacute que um segmento infinitesimal de fio eacute um cilindro

reto de altura infinitesimal e aacuterea de seccedilatildeo transversal cong 0 O raciociacutenio

aqui lembra muito o que jaacute fizemos para calcular a forccedila magneacutetica sobre um

fio reto A Figura ao lado ilustra esse segmento de fio estaacutetico Dentro dele haacute

muitos ( ) portadores de carga gt 0 se movendo com velocidade de deriva

constituindo uma corrente eleacutetrica estacionaacuteria Cada portador de carga

produz no ponto (ou P daacute no mesmo) um campo magneacutetico ( ) A ideia eacute

calcular o campo magneacutetico infinitesimal ( ) produzido pela corrente no segmento infinitesimal de fio

atraveacutes do princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = ( ) Sendo o segmento de fio infinitesimal e fino segue que a posiccedilatildeo do ponto em relaccedilatildeo ao segmento de fio eacute

a mesma posiccedilatildeo desse ponto em relaccedilatildeo a qualquer portador de carga dentro dele Portanto somar sobre os

portadores se resume a multiplicar pelo nuacutemero total de portadores dentro do segmento de fio

( ) = ( ) = ( ) Para tornar essa expressatildeo mais simples e amigaacutevel podemos escrever = sendo a densidade de

portadores por unidade de volume uma caracteriacutestica do material de que eacute feito o fio a aacuterea (pequena) da

seccedilatildeo transversal do fio e o comprimento infinitesimal (altura) do fio ( eacute o volume infinitesimal do

segmento de fio) Portanto ( ) = ( ) = 4 times

P

P

346

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Utilizamos aqui o campo magneacutetico aproximado para uma corrente pontual com baixa velocidade Essa

hipoacutetese eacute perfeitamente satisfeita para portadores de carga se movendo com velocidade de deriva dentro de

um fio Lembrando que = eacute o vetor densidade de corrente no fio obtemos

( ) = 4 times

A corrente no fio eacute dada por

= ∙ =

admitindo que eacute uniforme na seccedilatildeo transversal do fio (o que razoaacutevel para correntes CC ou CA de baixas

frequumlecircncias e ainda para um fio fino)

Vemos portanto que o campo magneacutetico do segmento de fio envolve explicitamente o produto

que estaacute bem proacuteximo da relaccedilatildeo = De fato eacute um vetor que tem moacutedulo direccedilatildeo paralela a

ou seja paralela ao fio e o sentido da corrente (paralelo a para o caso gt 0) Entatildeo para explicitar na

expressatildeo do campo definimos um vetor unitaacuterio paralelo ao segmento de fio e orientado no sentido da

corrente de tal forma que = =

Substituindo na expressatildeo do campo magneacutetico obtemos finalmente

( ) = 4 times = 4 times = 4 times

Nessa expressatildeo definimos o vetor comprimento = ou seja eacute um vetor paralelo ao segmento

infinitesimal de fio de moacutedulo igual ao comprimento do segmento de fio e orientado no sentido da corrente

no fio Concluindo a corrente eleacutetrica constante fluindo em um segmento infinitesimal de fio fino produz

em sua vizinhanccedila o campo magneacutetico infinitesimal ( ) = 4 times

Note que a hipoacutetese de que o fio eacute fino (basicamente um objeto unidimensional uma curva no espaccedilo) torna o

vetor assim com a distacircncia bem definidos na expressatildeo acima A mesma coisa acontece com o vetor

que eacute paralelo ao fio Para um fio grosso todas essas grandezas se tornariam ambiacuteguas e precisariacuteamos

expressar ( ) em termos de e de um volume infinitesimal Na praacutetica a hipoacutetese de um fio fino ou

filamentar natildeo eacute absurda ou irrealista Muitos fios condutores possuem seccedilotildees transversais pequenas com

raios de poucos miliacutemetros e considerar que esses fios satildeo apenas um filamento uma curva que se estende

no espaccedilo eacute perfeitamente razoaacutevel Vamos nos limitar a esse caso mais simples aqui

347

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

A Figura ao lado ilustra (em azul) o vetor em trecircs posiccedilotildees

diferentes na vizinhanccedila de um segmento de fio onde circula uma

corrente constante eacute sempre ortogonal ao plano formado por

e e tem moacutedulo dado por

= 4 sen( )

sendo o acircngulo entre os vetores e Ao longo da linha reta que

passa por por exemplo = 0 pois para pontos nessa linha vale = 0deg ou = 180deg Essas propriedades de foram herdadas do

campo magneacutetico da corrente pontual

As linhas de campo de ( ) satildeo ciacuterculos no plano ortogonal ao vetor

( times eacute ortogonal a ) centrados na linha reta que passa por e orientados de

acordo com a regra da matildeo direita apontado o polegar da matildeo direita

paralelamente ao segmento de fio no sentido de os outros dedos dessa matildeo

vatildeo girar no sentido das linhas do campo A Figura ao lado ilustra essa ideia

(linhas de em azul) Essas propriedades de foram herdadas do campo magneacutetico da corrente pontual

Note que a corrente constante fluindo em um segmento infinitesimal de fio estaacutetico constitui uma

corrente estacionaacuteria A corrente eleacutetrica eacute constantemente sobre o segmento infinitesimal de fio que estaacute

estaacutetico e constantemente nula fora dele A corrente nesse segmento infinitesimal de fio fino contribui para

o campo magneacutetico no espaccedilo com um campo magneacutetico infinitesimal dado por

( ) = 4 times

sendo uma posiccedilatildeo qualquer no espaccedilo posiccedilatildeo fixa (constante no tempo) medida em relaccedilatildeo ao segmento

infinitesimal de fio Nada na expressatildeo acima eacute dependente do tempo Essa eacute a chamada lei de Biot-Savart

Diferentemente do raciociacutenio dedutivo que estamos fazendo aqui basicamente um recurso didaacutetico a

lei de Biot-Savart foi extraiacuteda de resultados experimentais para a forccedila entre segmentos de fios transportando

correntes obtidos por Jean Baptiste Biot e Felix Savart (e outros) e possui portanto dentro da

magnetostaacutetica um status comparaacutevel ao da lei de Coulomb na eletrostaacutetica A lei de Biot-Savart eacute um fato

experimental de onde poderiacuteamos ter comeccedilado nosso estudo da magnetostaacutetica (muitos livros didaacuteticos

utilizam esse caminho)

P

348

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Assumindo a validade da lei de Biot-Savart como um fato experimental poderiacuteamos inverter agora a

ordem de raciociacutenio e deduzirmos a expressatildeo do campo magneacutetico de uma corrente pontual Basicamente

temos que voltar nosso raciociacutenio no sentido inverso e considerar que = = = ( ) = =

ou seja para = 1 portador apenas vale = Obtemos portanto o campo magneacutetico de uma

corrente pontual (fazendo = uma velocidade qualquer)

( ) = ( ) = 4 times

Apesar de ser um raciociacutenio razoaacutevel natildeo podemos nos esquecer que uma corrente pontual natildeo eacute

uma corrente constante no tempo como jaacute discutimos anteriormente Uma corrente pontual eacute de fato um

pulso (muito concentrado) de corrente que viaja no espaccedilo uma ( ) Portanto no raciociacutenio acima deve

ficar claro que enquanto ( ) eacute exato pois uma corrente constante fluindo em um segmento infinitesimal

de fio estaacutetico constitui de fato uma corrente estacionaacuteria o resultado obtido acima para o campo magneacutetico ( ) de uma corrente pontual eacute apenas uma aproximaccedilatildeo para baixas velocidades caso em que o pulso de

corrente (a partiacutecula) viaja lentamente no espaccedilo

Finalmente repetimos ao lado a primeira Figura que apresentamos nessa seccedilatildeo a

de um fio fino de forma arbitraacuteria (curva vermelha) transportando uma corrente eleacutetrica

constante Queremos calcular o campo magneacutetico que essa corrente produz no ponto P

mostrado De acordo com nosso resultado anterior e o princiacutepio da superposiccedilatildeo esse

campo eacute dado por

( ) = ( ) = 4 times = 4 times

que tambeacutem chamamos de lei de Biot-Savart (historicamente a expressatildeo acima para foi a primeira a ser

descoberta antes de e a partir de medidas da forccedila magneacutetica produzida por fios transportando

correntes eleacutetricas) A integral deve varrer toda a extensatildeo do fio ou seja devemos imaginar o vetor

percorrendo a curva descrita pelo fio filamentar enquanto avaliamos os vetores e as distacircncias e vamos

realizando a soma representada pela integral

Um exemplo simples de aplicaccedilatildeo da lei de Biot-Savart eacute o caacutelculo do campo

magneacutetico produzido pela corrente constante que flui em uma espira circular A

Figura ao lado ilustra essa ideia O fio eacute fino e tem a forma de um ciacuterculo de raio R

Para simplificar vamos calcular o campo apenas no ponto P mostrado que eacute um

P

z

P

R

349

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

ponto qualquer sobre o eixo de simetria (z) da espira Vamos chamar de a

distacircncia de P ateacute o centro da espira Primeiramente destacamos um elemento

infinitesimal ao longo da espira que nesse caso seraacute tangente ao ciacuterculo e

portanto ortogonal ao raio da espira A Figura ao lado resume todas as

informaccedilotildees que precisamos para calcular ( ) Primeiro vamos calcular a

contribuiccedilatildeo da corrente em um segmento de espira ( ) = 4 times

eacute representado pela seta verde na Figura Fato eacute que e satildeo sempre ortogonais entre si e portanto times = sen(90deg) = Segue que (o tamanho da seta verde na Figura eacute)

( ) = 4 times = 4 = 4

O vetor ( ) tem esse moacutedulo e a direccedilatildeo mostrada na Figura formando sempre um acircngulo com o eixo z

Se imaginarmos o vetor percorrendo a espira circular podemos enxergar o vetor

percorrendo a superfiacutecie de um cone em torno do eixo z conforme a Figura ao

lado Natildeo eacute difiacutecil acreditar que por simetria ao somarmos todos os sobre esse

cone soacute restaratildeo somadas as componentes z desses vetores As componentes fora

do eixo z se cancelam mutuamente Portanto se escrevermos ( ) = ( ) cos( ) + ⋯ Vemos que

( ) = ( ) = ( ) cos( ) + ⋯ = ( ) cos( ) Para aqueles que estatildeo familiarizados com o sistema de coordenadas ciliacutendricas esse resultado pode

ser demonstrado facilmente se notarmos que = minus sendo um vetor unitaacuterio na direccedilatildeo do raio

ciliacutendrico e que = sendo um vetor unitaacuterio tangente aos ciacuterculos no plano ortogonal ao eixo z e

centrados no eixo z Portanto times = times ( minus ) = ( + ) Logo o vetor tem as

componentes

= 4 times = 4 [ + ]

Agora podemos mostrar facilmente que tem integral nula se integramos os s ao longo de toda a espira

circular De fato sendo = cos( ) + sen( ) e = segue que a integral (em de 0 a 2 ) de eacute

nula restando apenas a componente z de a ser integrada

z P

R

z P

R

350

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Continuando entatildeo o caacutelculo de ( ) como vale que cos( ) = obtemos

( ) = 4

Agora vamos retirar do siacutembolo de integral todas as grandezas que permanecem constantes enquanto

o percorre a espira circular De fato vemos que tudo e constante e que portanto

( ) = 4 = 4 2 = 2 levando em conta que a soma de eacute o comprimento do ciacuterculo de raio Finamente podemos ver que = radic + Logo (lembrando que (radic ) = ) ( ) = ( ) = 2 ( + )

Natildeo podemos deixar de reparar que lembra a aacuterea do disco delimitado pela espira circular e que jaacute

definimos na seccedilatildeo 73 o momento de dipolo magneacutetico de uma espira plana qualquer como sendo =

sendo a corrente na espira a aacuterea plana delimitada pela espira e um vetor normal a essa aacuterea plana

orientado de acordo com a regra da matildeo direita apropriada (dedos no sentido de polegar no sentido de )

Portanto para a espira circular mostrada nas Figuras acima vale = = Logo o campo magneacutetico axial da espira circular pode ser expresso como

( ) = 2 ( + ) Juntando esse resultado com o obtido na seccedilatildeo 73 para o torque sobre uma espira em um campo

magneacutetico uniforme entendemos que o momento de dipolo magneacutetico eacute uma grandeza crucial para definir

as propriedades magneacuteticas de um circuito qualquer define a intensidade da reaccedilatildeo do circuito a um

estiacutemulo externo (o torque nele) e define tambeacutem a accedilatildeo que o proacuteprio circuito tem (o campo magneacutetico dele)

sobre outros circuitos proacuteximos

No graacutefico ao lado ilustramos o comportamento de ( ) versus

Note que a expressatildeo que obtivemos vale tambeacutem para lt 0 O campo

magneacutetico tem um maacuteximo no centro da espira onde ele assume o valor

( = 0) = 2

351

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

e depois decai a zero rapidamente quando nos afastamos da espira Para ≫ o decaimento se daacute com 1 que eacute o mesmo comportamento do campo eleacutetrico de um dipolo eleacutetrico

A corrente na espira circular produz campo magneacutetico no espaccedilo todo

e a Figura ao lado ilustra como seriam algumas linhas de campo para esse caso

Noacutes calculamos aqui o campo no caso mais simples apenas sobre o eixo de

simetria da espira correspondente agrave linha de campo axial que vai de um

infinito a outro passando pelo centro da espira O caacutelculo de em pontos fora

do eixo z eacute bastante complicado e preferimos nem tentar fazer isso aqui Note

na Figura a regra da matildeo direita para determinar o sentido do campo

magneacutetico na regiatildeo central de uma espira qualquer dedos no sentido de

polegar no sentido de (o polegar aponta no sentido do polo S para o polo N da espira que eacute o sentido de )

Imagine que uma partiacutecula de carga eleacutetrica gt 0 esteja passando pelo

centro dessa espira circular com velocidade radial conforme a Figura ao lado

Vamos calcular a forccedila magneacutetica que a corrente na espira faz nessa partiacutecula Jaacute

adotamos um referencial direito xyz para ajudar nos caacutelculos A velocidade da

partiacutecula eacute = e o campo magneacutetico na posiccedilatildeo em que ela estaacute eacute

(0) = 2 = 2 Portanto a forccedila magneacutetica na partiacutecula eacute

( ) = times (0) = times 2 = 2 times = 2 (minus ) Essa partiacutecula vai ser empurrada na direccedilatildeo ndashy conforme a Figura ao lado e vai

descrever uma trajetoacuteria curva a partir dessa posiccedilatildeo Quando a partiacutecula sair da

origem o campo magneacutetico jaacute vai ser outro e a forccedila magneacutetica vai mudar Portanto

eacute difiacutecil prever qual vai ser exatamente a trajetoacuteria dessa partiacutecula Sabemos apenas

que ela vai sair da origem sendo puxada na direccedilatildeo de ndashy Note que nesse caso natildeo

haacute forccedila eleacutetrica entre a espira e a partiacutecula pois a espira eacute por hipoacutetese

eletricamente neutra

Jaacute comentamos no capiacutetulo anterior que as linhas de campo magneacutetico da

corrente constante em um fio reto satildeo ciacuterculos no plano ortogonal ao fio e

centradas no fio conforme ilustrado na Figura ao lado Isso parece razoaacutevel tendo

em vista que essa eacute uma propriedade do campo magneacutetico de uma corrente

z

x

y

z

z

x

y

(0)( )

352

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

pontual e tambeacutem da corrente em um segmento infinitesimal (reto) de fio

De fato imagine que o fio se estende ao longo do eixo z Entatildeo = e

( ) = 4 times = 4 times

Portanto vemos logo que ( ) (e ( )) estaacute no plano ortogonal ao fio pois times eacute

ortogonal ao eixo z Na Figura ao lado o ( ) (seta azul) estaacute apontando para fora

do plano da paacutegina supondo que e o eixo z (o fio) estatildeo no plano da paacutegina O raio

eacute a distacircncia do fio ao ponto onde estaacute sendo avaliado

Para aqueles familiarizados com o sistema de coordenadas ciliacutendricas basta

decompor = + sendo o raio das coordenadas ciliacutendricas (a distacircncia do

ponto de coordenada ao eixo z) e notar que times = times ( + ) = sendo

um vetor unitaacuterio tangente aos ciacuterculos no plano ortogonal ao eixo z e centrados

no eixo z A Figura ao lado ilustra essas ideiais que satildeo basicamente as de um

sistema de coordenadas ciliacutendricas que eacute mais apropriado para descrever essa

situaccedilatildeo Em um sistema de coordenadas cartesianas podemos nos referir agrave Figura

ao lado e obter = + times = times ( + ) =

( ) = 4 ( + )

Apenas devemos notar que eacute a distacircncia de P ao fio ou seja

eacute o mesmo que o raio ciliacutendrico definido anteriormente e que eacute a

direccedilatildeo tangente a um ciacuterculo de raio centrado no fio e que passa por

P ou seja que = para o ponto P

Vamos considerar agora o problema especiacutefico de calcular o

campo magneacutetico em um ponto central P equumlidistante das duas

extremidades de um fio reto de comprimento L onde circula uma

corrente constante A Figura ao lado ilustra essa ideia em que

adotamos um referencial com o eixo z ao longo do fio que se estende

desde = minus 2 ateacute = 2

y

z

x

P

z

P

s

= minus2 = 2 = 0

353

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Na Figura ao lado definimos um segmento de fio localizado em uma

posiccedilatildeo ao longo do fio ( le le ) O vetor posiccedilatildeo de P faz um acircngulo

com o eixo z ou seja com Na Figura representamos o vetor saindo do plano

da paacutegina atraveacutes do siacutembolo ⨀ Como times = sen( ) segue que

= 4 sen( )

e que = 4 sen( ) ⨀

Nessa uacuteltima expressatildeo definimos o vetor unitaacuterio ⨀ que sai ortogonalmente do plano da paacutegina em P

Notamos ainda na Figura que

= + e sen( ) =

Portanto ( ) = 4 times = 4 ( + ) ⨀

Note que radic = e que vale = Tudo que temos que fazer agora eacute considerar que varre toda a

extensatildeo desse fio reto ou seja que sua posiccedilatildeo varia desde ateacute que satildeo as posiccedilotildees das extremidades

do fio no eixo z

Obtemos

( ) = ( ) = 4 times = 4 ⨀ ( + ) = 4

1+ ( 2) ⨀ Para um fio muito longo infinito para todos os efeitos obtemos o campo magneacutetico em P

( ) = limrarr 4 + ( 2) ⨀ = 4 2⨀ = 2 ⨀ Note que o resultado para ( ) no caso do fio de tamanho soacute vale para pontos equumlidistantes das

duas extremidades do fio No caso do fio infinito a expressatildeo de ( ) acima vale para qualquer ponto no

espaccedilo pois qualquer ponto estaacute infinitamente equumlidistante das duas extremidades de um fio infinito Note

tambeacutem que a direccedilatildeo especiacutefica ⨀ se refere em geral agrave direccedilatildeo tangente aos ciacuterculos centrados no fio (o

das coordenadas ciliacutendricas)

P ⨀

354

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Como aplicaccedilatildeo desse resultado vamos calcular a forccedila

magneacutetica que uma corrente fluindo em um fio reto infinito (em

verde) faz em outra corrente que flui em um fio reto paralelo a ele

de comprimento (em vermelho) A distacircncia entre os fios eacute

conforme a Figura ao lado O cubo tracejado serviraacute de referecircncia

A forccedila magneacutetica na corrente no fio 2 eacute

( ) = times

eacute o campo magneacutetico da corrente no fio longo que eacute avaliado nos

pontos P do espaccedilo ocupados pelo fio 2 Vimos acima que nos

pontos P ocupados pelo fio 2 eacute dado em geral por ( ) = 2 (minus ) com o raio = que eacute a distacircncia entre os fios A direccedilatildeo minus eacute a direccedilatildeo tangente aos ciacuterculos centrados no

fio 1 e que passam pelo fio 2 ciacuterculos orientados de acordo com a regra da matildeo direita par o fio reto (polegar

no sentido de outros dedos no sentido de )

Substituindo essa expressatildeo na integral da forccedila obtemos

( ) = times 2 (minus )

Enfim podemos notar que apesar de natildeo ser um campo uniforme no espaccedilo eacute um campo uniforme sobre

o fio 2 Portanto podemos interromper o caacutelculo dessa integral e passar diretamente para a expressatildeo da

forccedila sobre um fio reto que estaacute em um campo magneacutetico uniforme

( ) = times

com = Concluindo

( ) = times = times 2 (minus ) = 2 (minus ) Note que o fio 2 vai ser atraiacutedo pelo fio 1 De fato os fios vatildeo se atrair mutuamente Se as correntes

tivessem sentidos opostos elas se repeliriam mutuamente

Essas satildeo basicamente as forccedilas que produzem os torques responsaacuteveis pelo giro de um motor

eleacutetrico forccedilas das correntes nos solenoacuteides do estator nas correntes nos solenoacuteides do rotor Os solenoacuteides

apenas multiplicam o nuacutemero de fios digamos e multiplicam portanto as forccedilas por Havendo um

x

y

z

355

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

material magneacutetico nos nuacutecleos dos solenoacuteides uma liga de ferro por exemplo haveraacute ainda uma

multiplicaccedilatildeo da forccedila pela permeabilidade relativa desse material de tal forma que seraacute substituiacutedo

por = na expressatildeo da forccedila Sendo ≫ 1 essa tecnologia nos permite produzir motores

eleacutetricos com torques bastante intensos

83 A lei de Ampegravere

O formalismo desenvolvido acima para a magnetostaacutetica forccedilas e campos magneacuteticos possui uma

similaridade evidente com o formalismo da eletrostaacutetica forccedilas e campos eleacutetricos Mas eacute verdade que o

formalismo da magnetostaacutetica eacute matematicamente menos amigaacutevel pois envolve muitos produtos vetoriais e

suas regras da matildeo direita associadas O contraste mais evidente entre os formalismos eacute a ausecircncia de

monopolos magneacuteticos os poacutelos N e S isolados que seriam os anaacutelogos das cargas eleacutetricas + e ndash isoladas

como os proacutetons e os eleacutetrons Esse contraste estaacute estabelecido formalmente nas duas leis de Gauss

= ∙ = = ∙ = 0

Na eletrostaacutetica a lei de Gauss diz que o fluxo do campo eleacutetrico em uma superfiacutecie fechada

qualquer (superfiacutecie gaussiana) orientada por um campo de vetores normais apontando para fora dela eacute igual

ao saldo de carga eleacutetrica dentro dessa superfiacutecie dividido por Na magnetostaacutetica a lei de Gauss diz que o

fluxo do campo magneacutetico em uma superfiacutecie gaussiana qualquer eacute nulo As linhas de forccedila de nascem e

morrem nas cargas eleacutetricas ou seja nos monopolos eleacutetricos e essas linhas podem atravessar uma superfiacutecie

fechada em um sentido apenas contribuindo para se essas cargas estiverem englobadas pela superfiacutecie

fechada No caso magneacutetico natildeo haacute monopolos magneacuteticos e as linhas de satildeo sempre fechadas (ou se

estendem de um infinito a outro) Toda linha de que entra em uma SG sai natildeo contribuindo para

A lei de Ampegravere que estudaremos agora estabelece outro contraste marcante entre a eletrostaacutetica e a

magnetostaacutetica Na eletrostaacutetica vimos que o campo eleacutetrico eacute conservativo ou seja

∙ = 0

para qualquer curva (ou caminho) fechada Os vetores satildeo deslocamentos infinitesimais paralelos a essa

curva Sendo a forccedila eleacutetrica dada por a interpretaccedilatildeo dessa integral eacute simples O campo eletrostaacutetico natildeo

realiza trabalho (o saldo eacute nulo) em uma partiacutecula que descreve um percurso fechado Isso ocorre tambeacutem

com a forccedila gravitacional e essas forccedilas satildeo ditas conservativas Na magnetostaacutetica a lei de Ampegravere diz que a

integral anaacuteloga

356

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

pode ser natildeo nula Note que natildeo estamos discutindo aqui sobre o fato de ser conservativo ou natildeo pois a

forccedila magneacutetica natildeo eacute paralela a pelo contraacuterio ( ) = times eacute sempre ortogonal a Portanto a

integral acima natildeo eacute o trabalho da forccedila magneacutetica (jaacute vimos que o trabalho da forccedila magneacutetica eacute sempre nulo

em qualquer caminho aberto ou fechado posto que ( ) eacute sempre ortogonal a e a ) Chamamos essa

integral acima de circulaccedilatildeo de no caminho fechado Fato eacute que vimos que as linhas de satildeo sempre

fechadas envolvendo as correntes eleacutetricas que produzem esse Portanto o que a lei de Ampegravere afirma eacute

que se realizarmos a integral acima em um caminho que envolve uma corrente eleacutetrica essa integral seraacute natildeo

nula pois vai circular juntamente com

Enfim aqui vamos assumir a lei de Ampegravere como sendo um fato experimental e vamos nos concentrar

mais em discutir o que podemos extrair da validade dessa lei da natureza

A lei de Ampegravere diz que

∙ =

Sendo

eacute o campo magneacutetico no espaccedilo qualquer campo magneacutetico estaacutetico

eacute uma curva fechada qualquer orientada em um dado sentido arbitraacuterio (curva amperiana)

eacute um campo de vetores comprimento infinitesimais tangentes agrave curva e orientados no sentido

(arbitraacuterio) da orientaccedilatildeo de

eacute a corrente que passa por dentro da curva atravessando uma superfiacutecie aberta que tem essa

curva como borda

A integral eacute uma soma do produto escalar ∙ (uma projeccedilatildeo) ao

longo de toda a extensatildeo da curva fechada (essa integral eacute chamada de

circulaccedilatildeo de na curva ) A bolinha no siacutembolo de integral serve para nos

lembrar que a lei de Ampegravere soacute se aplica a curvas fechadas Esqueccedila a lei de

Ampegravere para curvas abertas ela natildeo faz sentido

A Figura 5 ao lado ilustra essas ideacuteias Considere que haacute no espaccedilo

quatro fios onde circulam as correntes eleacutetricas e Nesse espaccedilo haacute

Figura 5 Uma curva fechada qualquer engloba algumas

correntes e outras natildeo

357

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

um campo magneacutetico complicado que eacute a superposiccedilatildeo dos campos magneacuteticos dessas quatro correntes ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) As linhas de devem ser tambeacutem linhas complicadas e nem vamos tentar representaacute-las mas

sabemos que elas satildeo fechadas Imaginamos uma curva fechada (em roxo) nessa regiatildeo do espaccedilo Uma

curva qualquer plana ou natildeo mas fechada Orientamos essa curva em um sentido arbitraacuterio o sentido da

setinha na curva eacute um campo de vetores comprimento infinitesimais tangentes agrave curva com o sentido da

orientaccedilatildeo da curva Aconteceu dessa curva arbitraacuteria englobar as correntes eleacutetricas e ou seja os fios

que transportam essas correntes passam por dentro da curva A corrente ficou passando por fora da

curva Nesse sentido chamamos e de correntes internas agrave curva Nesse caso a lei de Ampegravere diz

que

∙ = = ( minus + ) Note entatildeo o poder da lei de Ampegravere Natildeo sabemos quase nada sobre e pode ter certeza que ele eacute

um campo bem complicado Sabemos apenas que as linhas de satildeo fechadas ou seja sabemos que eacute um

campo magnetostaacutetico conforme jaacute estudado Natildeo sabemos nada tambeacutem sobre a curva apenas que ela eacute

fechada orientada no sentido mostrado na Figura 6 e que ela engloba e Mesmo com todas essas

liberdades que ainda sobraram a lei de Ampegravere diz que se integrarmos ∙ ao longo de no final dessa

conta vamos obter o resultado simples ( minus + ) Mais adiante usaremos essa liberdade para

transformar a lei de Ampegravere em uma ferramenta para o caacutelculo de

campos magneacuteticos

Ainda falta justificar os sinais das correntes em = minus + Esses sinais satildeo dados pela regra da matildeo direita ilustrada na Figura 6

ao lado Circulando com os dedos da matildeo direita no sentido da

orientaccedilatildeo da curva o polegar apontaraacute no sentido das correntes que

devem ser computadas como positivas Vemos que e estatildeo no

mesmo sentido do polegar e devem receber o sinal + no caacutelculo de

A corrente estaacute oposta ao polegar e deve receber um sinal negativo

Natildeo eacute muito difiacutecil demonstrar a validade da lei de Ampegravere a

partir da lei de Biot-Savart (apenas adicionando uma hipoacutetese de que as correntes satildeo fechadas ou seja que

satisfazem a lei dos noacutes = em qualquer ponto do espaccedilo) mas vamos deixar essa demonstraccedilatildeo de

lado e nos concentrarmos mais em entender essa lei da magnetostaacutetica Existe apenas um caso particular

Figura 6 Regra da matildeo direita para a lei de Ampegravere

358

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

simples em que podemos verificar a validade da lei de Ampegravere Considere um fio reto e longo (infinito) onde

circula uma corrente constante O campo magneacutetico da corrente nesse fio eacute

( ) = 2

sendo um ponto qualquer do espaccedilo a uma distacircncia do fio eacute um vetor

unitaacuterio tangente a um ciacuterculo que passa por e que estaacute em um plano

ortogonal ao fio e centrado no fio eacute orientado no sentido da regra da matildeo

direita para o fio reto polegar no sentido de outros dedos no sentido de

( e satildeo as duas coordenadas ciliacutendricas aleacutem da coordenada z se o fio

estaacute ao longo do eixo z) A Figura ao lado ilustra uma parte desse fio (em azul)

e duas curvas fechadas e orientadas que englobam o fio A curva (em

verde) eacute uma curva qualquer e a curva eacute um ciacuterculo centrado no fio em um plano ortogonal ao fio A regra

da matildeo direita estaacute ilustrada na Figura ou seja o polegar estaacute no sentido de e os outros dedos estatildeo no

sentido do campo magneacutetico da corrente no fio reto A lei de Ampegravere diz que (aproveitando a mesma matildeo

direita da Figura para ver que tendo em vista os sentidos de orientaccedilatildeo das duas curvas = + )

∙ = ∙ =

Quanto agrave integral na curva preferimos deixar para laacute Para a curva podemos provar que esse resultado

eacute verdadeiro De fato sabemos que as linhas de forccedila de satildeo ciacuterculos como a proacutepria curva e que

portanto sobre esse ciacuterculo de raio vale

( ) ∙ = ( ) ∙ cos(0deg) = ( = ) = 2 Concluindo

∙ = 2 = 2 = 2 2 = Ou seja a circulaccedilatildeo de na curva amperiana circular eacute Para a curva amperiana arbitraacuteria vamos

assumir aqui que esse resultado tambeacutem eacute verdadeiro

Aqui vamos estar interessados em utilizar a lei de Ampegravere para calcular o campo magneacutetico de

algumas distribuiccedilotildees de correntes eleacutetricas com simetrias simples A ideia eacute similar agravequela que utilizamos para

a lei de Gauss

Recapitulando a lei de Ampegravere diz que

359

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

∙ =

sendo C uma curva fechada qualquer (curva amperiana) orientada vetores comprimento infinitesimal

tangentes agrave curva C com sentido ao longo da orientaccedilatildeo de C e a corrente interna agrave essa curva ou seja o

saldo de corrente que atravessa uma superfiacutecie aberta delimitada pela curva C Essa corrente possui um sinal

de acordo com a orientaccedilatildeo de C Orientando os dedos da matildeo direita no sentido da orientaccedilatildeo de C o

polegar dessa matildeo vai definir o sentido positivo das correntes que contribuem para Para transformar

essa equaccedilatildeo em uma equaccedilatildeo para ou mais especificamente para = pois a integral envolve um

produto escalar de devemos ser capazes de retirar a funccedilatildeo de dentro do siacutembolo de integral Mas

apenas constantes podem sair do siacutembolo de integral constantes que seratildeo definidas pelas variaacuteveis de

integraccedilatildeo contidas em ou mais especificamente em = O ldquopulo do gatordquo consiste entatildeo em se

utilizar a liberdade que temos na escolha da curva de tal forma que a funccedilatildeo saia de dentro da integral na

lei de Ampegravere Devemos escolher a curva tal que natildeo dependa da variaacutevel de integraccedilatildeo ao longo da

curva Para fazer essa escolha devemos saber agrave priori de quais variaacuteveis a funccedilatildeo depende (e a direccedilatildeo de

) ou seja devemos conhecer a simetria do campo para a corrente eleacutetrica particular que estamos

estudando Vemos entatildeo que a ideia aqui eacute muito parecida com a que utilizamos na aplicaccedilatildeo da lei de Gauss

para o caacutelculo de campos eleacutetricos

O exemplo mais simples que podemos dar de aplicaccedilatildeo dessa ideacuteia eacute novamente o fio reto infinito

transportando uma corrente constante Suponha que natildeo soubeacutessemos o campo magneacutetico dessa

corrente Como podemos usar a lei de Ampegravere para calcular esse campo Primeiramente teremos que

descobrir de que conjunto de variaacuteveis depende e qual a direccedilatildeo que deve ter no espaccedilo (para podermos

realizar o produto escalar na lei de Ampegravere) O raciociacutenio que leva ao conhecimento da simetria de natildeo eacute

simples mas com um pouco de experiecircncia vamos nos acostumando com a ideia

Para o fio reto (que eacute um cilindro) o sistema de coordenadas mais conveniente

eacute o ciliacutendrico ilustrado na Figura ao lado O fio estaacute deitado ao longo do eixo z A

coordenada z eacute a distacircncia ao longo desse eixo e o vetor unitaacuterio aponta ao longo de z

O raio medido em relaccedilatildeo ao eixo z eacute a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo desse

raio (no sentido crescente dele) eacute O acircngulo de giro em torno do eixo z eacute a coordenada

e o vetor unitaacuterio ao longo do aumento dessa coordenada eacute O sentido de eacute dado pela regra da matildeo

direita polegar no sentido de z os outros dedos apontam no sentido de Se vocecirc olhar o eixo z de frente vai

ver o no sentido anti-horaacuterio Nesse sistema de coordenadas o campo magneacutetico do fio reto infinito pode

ser escrito como (na pior das hipoacuteteses)

z

360

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = ( ) + ( ) + ( )

Essas trecircs componentes de estatildeo ilustradas na Figura ao lado Note agora que variar

a coordenada z eacute andar ao longo do fio e sendo ele infinito nada muda quando

fazemos isso Portanto ( ) em um ponto qualquer eacute igual ao ( ) em outro ponto

com coordenada z (apenas) diferente pois esses pontos tecircm diante deles a mesma

distribuiccedilatildeo de corrente (infinita para os dois lados ao longo de z) Concluindo

nenhuma componente de ( ) pode depender de z ou seja ( ) = ( ) = ( ) + ( ) + ( )

Note tambeacutem que variar a coordenada eacute girar em torno do fio e sendo ele ciliacutendrico nada muda quando

fazemos isso Portanto nenhuma componente de ( ) pode depender de ( ) = ( ) + ( ) + ( )

Mas note que e dependem de

Agora vamos ver que algumas dessas componentes de devem ser nulas

Note que o campo magneacutetico deve obedecer agrave propriedade (minus ) = minus ( ) ou seja se conhecemos

o campo magneacutetico de uma dada corrente e consideramos a mesma situaccedilatildeo com a corrente apenas invertida

de sentido entatildeo o campo magneacutetico eacute o mesmo apenas com seu sentido invertido Portanto note que se

virarmos a Figura anterior ao contraacuterio a corrente no fio reto inverte de sentido mas a componente de

natildeo faz a mesma coisa ela continua intacta Conclusatildeo = 0 e ( ) = ( ) + ( )

A Figura ao lado ilustra essa operaccedilatildeo de virar o fio e tudo que estaacute ligado a

ele (a seta de e suas componentes) ao contraacuterio invertendo o sentido da corrente

Note que natildeo muda quando fazemos essa operaccedilatildeo Entatildeo = 0

Finalmente poderiacuteamos apelar para um conhecimento baacutesico de que o campo

magneacutetico de uma corrente eacute sempre ortogonal a essa corrente (aqui isso eacute verdade

para e mas jaacute descartamos ) Essa informaccedilatildeo estaacute contida por exemplo na

lei de Biot-Savart Conclusatildeo = 0 e ( ) = ( ) = ( )

Concluindo o campo magneacutetico de um fio fino reto e infinito transportando

uma corrente deve ter a forma = ( )

z

z

z minus

minus minus

361

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Para reforccedilar essa ideacuteia podemos fazer aqui um raciociacutenio anaacutelogo ao que fizemos quando analisamos

a simetria do campo eleacutetrico no contexto de aplicaccedilatildeo da lei de Gauss Laacute analisamos o efeito ou seja a forccedila ( ) = que a distribuiccedilatildeo de cargas cujo campo eleacutetrico queremos determinar podia fazer em uma

carga de prova na sua vizinhanccedila A ideia central eacute que se haacute uma ambiguumlidade no sentido da forccedila ao longo

de uma coordenada espacial entatildeo a componente do campo eleacutetrico ao longo dessa coordenada (assim como

a forccedila) deve ser nula

Portanto fazendo um raciociacutenio anaacutelogo aqui podemos concluir sobre a direccedilatildeo de considerando o

efeito que o campo magneacutetico desse fio reto poderia ter sobre uma partiacutecula de carga eleacutetrica e

velocidade arbitraacuteria que estivesse passando em sua vizinhanccedila Essa partiacutecula sofreria a forccedila magneacutetica

( ) = times

Agora devemos pensar no sentido que essa forccedila poderia ter tendo em vista a simetria da distribuiccedilatildeo de

corrente que estaacute fazendo essa forccedila sobre a partiacutecula de carga Se concluirmos que em uma dada direccedilatildeo

do espaccedilo o sentido da forccedila eacute ambiacuteguo segue que a componente da forccedila nessa direccedilatildeo deve ser nula Com

esse raciociacutenio conseguimos concluir sobre a direccedilatildeo de

Rememorando jaacute concluiacutemos que para o fio reto (que eacute um cilindro) o

sistema de coordenadas mais conveniente eacute o ciliacutendrico ilustrado na Figura ao lado

O fio estaacute deitado ao longo do eixo z A coordenada z eacute a distacircncia ao longo desse

eixo e o vetor unitaacuterio aponta ao longo de z O raio medido em relaccedilatildeo ao eixo z eacute

a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo desse raio (no sentido crescente dele) eacute O acircngulo de giro em torno do eixo z eacute a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo

do aumento dessa coordenada eacute

Note que a distribuiccedilatildeo de corrente no fio seleciona um sentido ao longo de z pois ela aponta no

sentido de z crescente Portanto natildeo vemos nenhum problema em ( ) possuir uma componente z ( ) que seleciona um sentido para a direita ou para a esquerda ao longo desse eixo Natildeo haacute simetria

entre os dois sentidos ao longo de z A mesma coisa podemos dizer sobre a componente radial ( ) Vemos

claramente que natildeo haacute simetria nessa direccedilatildeo pois se andamos no sentido de s crescente nos afastamos do

fio e se andamos no sentido de s decrescente nos aproximamos do fio A coordenada

onde natildeo haacute quebra de simetria eacute a coordenada Se considerarmos que essa

partiacutecula (com velocidade qualquer) sofre uma forccedila ao longo da direccedilatildeo conforme

ilustrado na Figura ao lado natildeo conseguimos decidir se essa forccedila deveria estar no

sentido dado por ou tendo em vista a simetria da corrente no fio Conclusatildeo ( ) = 0 Como ( ) = times a uacutenica possibilidade para que valha sempre

z

z

362

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

( ) = 0 qualquer que seja eacute que esteja ao longo da direccedilatildeo De fato considere a velocidade

qualquer para a partiacutecula de carga = + +

Entatildeo times = + + times + + = minus + minus + ( minus )

Portanto (para e arbitraacuterios)

( ) = 0 hArr = hArr = 0e = 0

Conclusatildeo = ( ) Quanto ao sentido de este seraacute determinado pela lei de Ampegravere

Na tabela 81 abaixo resumimos as conclusotildees que tiramos atraveacutes desse mesmo raciociacutenio sobre a

simetria do campo magneacutetico para algumas distribuiccedilotildees de correntes eleacutetricas de simetrias simples

Basicamente a ideia eacute que se natildeo pode haver forccedila ao longo de uma coordenada pois o sentido eacute ambiacuteguo

entatildeo o campo magneacutetico estaacute exatamente ao longo desse coordenada e sua magnitude depende (apenas) da

distacircncia ateacute a corrente

Distribuiccedilatildeo de corrente

Coordenadas com sentido ambiacuteguo

Coordenadas sem ambiguidade

Direccedilatildeo e dependecircncia do campo magneacutetico

Solenoacuteide helicoidal infinito (corrente ao

longo de )

A coordenada axial ( )

O acircngulo de giro em torno da carga ( ) e

o raio = ( )

Solenoacuteide toroidal (corrente ao longo

de )

O acircngulo de giro ao longo do solenoacuteide

Os acircngulos de giro em torno do

solenoacuteide ( ) e o raio

= ( )

Placa plana infinita

com corrente uniforme (corrente

ao longo de )

A direccedilatildeo

paralela ao plano e ortogonal agrave

corrente

A direccedilatildeo paralela ao plano e

agrave corrente e a direccedilatildeo z ortogonal

ao plano

= ( )

Fio infinito com = ( ) ao longo de

O acircngulo de giro em torno do fio

A direccedilatildeo radial e a direccedilatildeo axial = ( )

Tabela 81 algumas simetrias do campo magneacutetico para distribuiccedilotildees de correntes de simetrias simples

363

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Voltando ao fio reto apoacutes esse longo raciociacutenio de simetria resta ainda calcular a funccedilatildeo ( ) Agora

chegou a hora da lei de Ampegravere mostrar seu poder de simplificaccedilatildeo no caacutelculo de campos magneacuteticos

Substituindo a expressatildeo de na lei de Ampegravere obtemos

( ) ∙ =

Conclusatildeo para que ( ) saia de dentro do siacutembolo de integral e obtenhamos uma

equaccedilatildeo para ( ) a curva deve ser tal que ( ) seja constante sobre ela Portanto

a curva deve ser uma curva em que o raio eacute constante ou seja uma curva

equumlidistante do fio reto Soacute haacute uma curva fechada equumlidistante do fio reto um ciacuterculo

Concluindo seja um ciacuterculo de raio qualquer centrado no fio em um plano

ortogonal ao fio conforme a Figura ao lado Vamos orientar essa curva no sentido de

Entatildeo ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) Concluindo

( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )2

A corrente interna a essa curva eacute = (ver matildeo direita na Figura) e portanto

( )2 = rArr ( ) = 2 rArr ( ) = 2

que eacute o mesmo resultado que obtivemos atraveacutes da lei de Biot-Savart Apenas para recordar o caacutelculo do

campo magneacutetico do fio reto infinito atraveacutes da lei de Biot-Savart envolve a soluccedilatildeo da integral

( ) = 4 ( + )

A soluccedilatildeo desse mesmo problema via lei de Ampegravere nos exigiu apenas o conhecimento do

comprimento da circunferecircncia Enfim a lei de Ampegravere estabelece uma propriedade do campo

magnetostaacutetico e pode ser utilizada agraves vezes para o proacuteprio caacutelculo do campo magneacutetico de determinadas

distribuiccedilotildees de correntes eleacutetricas de simetrias simples (tabela 81) Nesse sentido a lei de Ampegravere tem na

magnetostaacutetica um papel similar ao da lei de Gauss na eletrostaacutetica

Seguindo essa similaridade a lei de Ampegravere assim como a lei de Gauss possui tambeacutem suas

armadilhas Muitas vezes vemos estudantes apelando para a lei de Ampegravere no caacutelculo do campo magneacutetico

em um ponto central de um segmento finito de fio fino e reto que transporta uma corrente eleacutetrica A Figura

364

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

ao lado mostra o ponto P em uma posiccedilatildeo central em relaccedilatildeo a um

fio reto de comprimento L Jaacute calculamos o campo magneacutetico em P

utilizando a lei de Biot-Savart Nosso resultado foi

( ) = 4 1+ ( 2) sendo a distacircncia ao fio e eacute um vetor unitaacuterio tangente a um ciacuterculo que passa por e que estaacute em um

plano ortogonal ao fio e centrado no fio eacute orientado no sentido da regra da matildeo direita para o fio reto

polegar no sentido de outros dedos no sentido de No caso especiacutefico da Figura podemos ver que em P

estaacute orientado ortogonalmente para fora do plano da paacutegina (se o fio estaacute no plano da paacutegina)

Mas parece razoaacutevel imaginarmos que para pontos como o ponto P ou seja sobre o plano que divide

o fio ao meio haacute uma simetria no campo pois esses pontos estatildeo equumlidistantes das extremidades do fio

Entatildeo repetimos todo o raciociacutenio que fizemos acima para o fio reto infinito e concluiacutemos que tanto em P

quanto em todos os pontos nesse plano de simetria vale = ( )

Natildeo haacute nada de errado com isso Olhando para a soluccedilatildeo do problema via lei de Biot-Savart vemos que isso eacute

verdade ou seja natildeo eacute um ( ) ele natildeo depende em sua magnitude nem de (de fato todos os

pontos nesse plano de simetria possuem = 0 e natildeo teria como a variaacutevel aparecer na expressatildeo de ) e

nem do acircngulo (mas note que depende de ) Vemos que tambeacutem natildeo tem componentes e Fora

desse plano de simetria podemos ter certeza que ocorrem efeitos de borda e a simetria em eacute quebrada (= ( ) ) ou seja passa a depender de (de tal forma que por exemplo ( rarr plusmninfin) rarr 0)

Mas enfim estamos calculando apenas no plano de simetria e tudo que dissemos sobre a

simplicidade de eacute verdade para pontos nesse plano Conclusatildeo tudo segue como no caacutelculo que fizemos

para o fio reto infinito ou seja adotamos uma curva amperiana que eacute um ciacuterculo de raio centrado no fio e

contido nesse plano de simetria e obtemos

( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )2 = rArr ( ) = 2 rArr ( ) = 2

que como natildeo poderia deixar de ser eacute o campo magneacutetico em um ponto qualquer do espaccedilo para um fio reto

infinito transportando uma corrente

Ficamos entatildeo com as duas respostas diferentes para o campo no ponto P na vizinhanccedila de um fio reto

de comprimento L transportando uma corrente (um ponto no plano equumlidistante das extremidades do fio)

z

P

s

= minus2 = 2

365

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Biot - Savart Ampegravere

( ) = 4 1+ ( 2) ( ) = 2

Qual estaacute correta Imagine por exemplo que rarr 0 ou seja que o fio desapareccedila A lei de Biot-Savart diz que ( ) rarr 0 enquanto que a lei de Ampegravere diz que nada muda o comprimento L do fio natildeo tem influecircncia

sobre o campo magneacutetico da corrente em um fio de comprimento L Vemos claramente que a lei de Ampegravere

forneceu uma resposta errada para esse problema O erro existe natildeo porque a lei de Ampegravere estaacute errada mas

porque ela foi utilizada fora de seu domiacutenio de aplicaccedilatildeo Esse eacute um ponto crucial no entendimento da lei de

Ampegravere suas possibilidades de aplicaccedilatildeo e suas limitaccedilotildees

Para entender a origem desse erro devemos voltar na definiccedilatildeo de corrente eleacutetrica e lembrar que

essa definiccedilatildeo sempre pressupotildee uma superfiacutecie atraveacutes da qual os portadores de carga fluem Essa relaccedilatildeo

corrente eleacutetricasuperfiacutecie fica evidente quando olhamos para a relaccedilatildeo entre e o vetor densidade de

corrente

= ∙

sendo uma superfiacutecie aberta eacute uma aacuterea infinitesimal dessa superfiacutecie e eacute um vetor ortogonal a essa

aacuterea eacute a corrente eleacutetrica ( ) que atravessa a superfiacutecie no sentido de Assim quando nos

referimos agrave corrente em um fio por exemplo pressupotildee-se que estamos nos referindo agrave corrente atraveacutes de

uma superfiacutecie aberta que eacute a seccedilatildeo transversal do fio um disco por exemplo

A lei de Ampegravere envolve o conceito de corrente interna a corrente que ldquopassa por dentrordquo da

curva amperiana

∙ =

Esse ldquopassar por dentrordquo soacute fica bem definido quando definimos precisamente a superfiacutecie que vai

ser utilizada no caacutelculo de

Dada uma curva amperiana fechada qualquer orientada em um sentido arbitraacuterio qual deve ser a

superfiacutecie aberta que devemos utilizar no caacutelculo de Note que o lado esquerdo da lei de Ampegravere faz

referecircncia apenas agrave curva Natildeo haacute nesse lado da equaccedilatildeo nenhuma dica de qual deve ser a superfiacutecie que

deve ser usada no lado direito da equaccedilatildeo Conclusatildeo no caacutelculo de podemos usar qualquer superfiacutecie

aberta que tem como borda a curva Natildeo faz diferenccedila todas as superfiacutecies definidas acima tecircm que levar

ao mesmo resultado final senatildeo a equaccedilatildeo natildeo faria o menor sentido Qual deve ser a orientaccedilatildeo do campo

366

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

de vetores normais em tem o sentido dado pela regra da matildeo direita dedos da matildeo direita no sentido

da orientaccedilatildeo de polegar no sentido de Essa regra da matildeo direita leva ao mesmo resultado da regra da

matildeo direita que define os sinais das correntes em jaacute discutida anteriormente

A Figura 7 abaixo ilustra trecircs superfiacutecies possiacuteveis para uma curva amperiana que eacute um ciacuterculo (em

vermelho) Mas note haacute infinitas possibilidades de superfiacutecies que tem como borda esse ciacuterculo

Na Figura 7 mostramos apenas trecircs superfiacutecies que tem como ldquobocardquo o ciacuterculo mas podemos imaginar

infinitas ldquosacolasrdquo que tem essa propriedade Nada nos impediria por exemplo de desenhar na Figura 7

algumas dessas ldquosacolasrdquo viradas para o lado esquerdo de mas natildeo fizemos isso para natildeo tornar a Figura

mais confusa

Considere que esses objetos (que satildeo de fato imaginaacuterios) estatildeo em uma regiatildeo do espaccedilo onde flui

corrente eleacutetrica e onde existe portanto um campo magneacutetico Pode haver por exemplo vaacuterios fios

transportando corrente e passando por essa regiatildeo Enfim se quisermos descrever a situaccedilatildeo mais geral

possiacutevel podemos simplesmente dizer que nessa regiatildeo do espaccedilo existe uma distribuiccedilatildeo de corrente dada

pelo campo (de fato ( ) mas preferimos simplificar a notaccedilatildeo)

Portanto a corrente que ldquopassa por dentroldquo da curva ou seja a corrente interna a essa curva eacute

= ∙ = ∙ = ∙ = ⋯

Essa eacute apenas uma afirmaccedilatildeo da continuidade da corrente eleacutetrica corrente eleacutetrica natildeo pode desaparecer ou

ser criada no meio do caminho entre por exemplo e e entatildeo a corrente que atravessa tem que ser a

mesma que atravessa Para um conjunto de fios condutores essa afirmaccedilatildeo acima eacute apenas a lei dos noacutes

Figura 7 dada uma curva amperiana existem infinitas superfiacutecies abertas que tem como borda a curva Se eacute um ciacuterculo entatildeo pode ser um disco ou qualquer outra ldquosacolardquo que tem como boca a curva

= ciacuterculo em vermelho)

= disco (em cinza) = ldquocoadorldquo

(em verde) = ldquosacola

amassadardquo (em rosa)

367

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

A Figura ao lado ilustra essa ideia para apenas um

fio com corrente que ldquopassa por dentrordquo de A

corrente atravessa o disco daacute uma volta e atravessa

a superfiacutecie daacute mais uma volta e atravessa a

superfiacutecie e assim por diante Fato eacute que o fio que

transporta a corrente natildeo pode terminar ou comeccedilar

no nada pois isso violaria tudo que estamos discutindo

aqui e a lei de Ampegravere perderia o sentido e deixaria

portanto de valer

Conclusatildeo a lei de Ampegravere soacute faz sentido para correntes que satisfazem agrave lei dos noacutes ou seja ( ) = ( ) para qualquer ponto no espaccedilo (mais precisamente para qualquer superfiacutecie no

espaccedilo) Se aplicarmos a lei de Ampegravere fora desse contexto vamos obter resultados absurdos

Enfim essa eacute exatamente a situaccedilatildeo do segmento de fio de

comprimento L transportando uma corrente que discutimos

anteriormente O fio comeccedila em e termina em Portanto a lei de

Ampegravere natildeo se aplica para o caacutelculo do campo magneacutetico da corrente

nesse segmento de fio A lei de Ampegravere natildeo vale para essa distribuiccedilatildeo de

corrente eleacutetrica A Figura ao lado ilustra a ideia Queremos calcular o campo em atraveacutes da lei de Ampegravere

e para isso escolhemos uma curva que eacute um ciacuterculo que passa por Calculamos a circulaccedilatildeo de em e

ateacute aiacute natildeo vemos nenhum problema (apoacutes as consideraccedilotildees de simetria)

∙ = ( ) = ( ) = ( )2

Mas quando vamos calcular a corrente interna agrave curva encontramos um problema A lei de Ampegravere

natildeo especifica a superfiacutecie em que vamos avaliar Qualquer superfiacutecie deveria servir Mas se usamos a

superfiacutecie (em azul) obtemos = Se usamos a superfiacutecie (em roxo) obtemos = 0 (o fio acabou

no meio do caminho em ) Chegamos em uma ambiguumlidade Conclusatildeo esqueccedila a lei de Ampegravere para o

caacutelculo desse campo Contente-se com o resultado da lei de Biot-Savart que natildeo possui essa limitaccedilatildeo ela se

aplica para correntes constantes em fios infinitesimais fios finitos ou infinitos (e ateacute para partiacuteculas com

velocidades constantes e suficientemente baixas)

Estamos vendo aqui uma limitaccedilatildeo da lei de Ampegravere que soacute fica evidente quando analisamos a

deduccedilatildeo dessa lei a partir da lei de Biot-Savart Como natildeo fizemos isso aqui estamos descobrindo essa

limitaccedilatildeo agora ao tentar aplicar a lei de Ampegravere para o caacutelculo do campo magneacutetico da corrente em um

= ciacuterculo em vermelho)

z

P

s

368

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

segmento finito de fio Basicamente podemos resumir tudo isso que discutimos na afirmaccedilatildeo a lei de Ampegravere

soacute eacute verdadeira para correntes estacionaacuterias (independentes do tempo) que satisfazem a lei dos noacutes Nesse

sentido o domiacutenio de aplicaccedilatildeo da lei de Ampegravere eacute mais restrito do que o da lei de Biot-Savart Se vocecirc quiser

mais detalhes sobre os regimes de validade dessas leis pode ler o artigo Time-dependent generalizations of

the Biot-Savart and Coulomb laws D J Griffiths e M A Heald American Journal of Physics 59 (1991)

Mais adiante veremos que essa limitaccedilatildeo da lei de Ampegravere eacute eliminada quando incluiacutemos nessa lei a

chamada corrente de deslocamento e passamos a chamaacute-la de lei de Ampegravere-Maxwell Apoacutes isso as coisas se

invertem e a lei de Ampegravere-Maxwell se torna mais geral do que a lei de Biot-Savart Essa discussatildeo ficaraacute para

o proacuteximo capiacutetulo

Toda essa discussatildeo sobre a validade da lei de Ampegravere estaacute relacionada agrave definiccedilatildeo precisa do que eacute

um sistema de correntes estacionaacuterias Em princiacutepio poderiacuteamos imaginar que apenas a hipoacutetese de que as

correntes eleacutetricas nesse sistema satildeo constantes independentes do tempo bastaria Mas estamos vendo aqui

que isso natildeo eacute verdade

Devemos reconhecer que um segmento de fio finito com corrente isolado no espaccedilo natildeo eacute de fato

um sistema estacionaacuterio Mesmo que seja constante haveraacute acuacutemulos de cargas eleacutetricas crescentes nas

extremidades desse segmento de fio cargas variaacuteveis no tempo plusmn ( ) e portanto o sistema natildeo eacute

independente do tempo Ele natildeo eacute estacionaacuterio Sistemas estacionaacuterios natildeo podem acumular

progressivamente cargas eleacutetricas no espaccedilo e portanto devem ser sistemas de correntes fechadas que

satisfazem agrave lei dos noacutes (a carga eleacutetrica que chega em um ponto eacute a mesma que sai) A Figura ao lado ilustra

um segmento de fio finito com corrente constante isolado no

espaccedilo onde destacamos as cargas eleacutetricas opostas plusmn ( ) que

acumulam em suas extremidades A taxa de acuacutemulo de cargas na

extremidade positiva eacute ( ) = Essas cargas acumuladas vatildeo produzir no espaccedilo um campo eleacutetrico

variaacutevel no tempo ( ) Esse segmento de fio natildeo eacute um sistema estacionaacuterio

Portanto se entendemos a magnetostaacutetica como sendo o contexto restrito de sistemas estacionaacuterios

de correntes eleacutetricas fica claro que nesse contexto valem a lei de Biot-Savart e a lei de Ampegravere

O segmento de fio finito com corrente isolado no espaccedilo estaacute fora desse contexto (assim como a

corrente pontual que faz parte da magnetostaacutetica apenas como uma aproximaccedilatildeo) No contexto que inclui

correntes constantes nesses segmentos abertos de fios a lei de Biot-Savart fornece o resultado correto para o

campo magneacutetico mas a lei de Ampegravere natildeo vale (essa lei eacute de aplicaccedilatildeo mais restrita)

Na magnetostaacutetica sempre podemos supor que um segmento de fio finito com corrente natildeo eacute de

fato isolado no espaccedilo mas apenas um ldquopedaccedilordquo de um circuito maior em que a corrente eleacutetrica circula Por

( )minus ( )

369

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

algum motivo estamos interessados apenas no campo magneacutetico produzido pela corrente nesse segmento

finito de fio (talvez porque ele esteja mais proacuteximo do ponto onde estamos avaliando o campo magneacutetico do

circuito completo e o restante do circuito produza nesse ponto um campo despreziacutevel) Ao fazer isso assumir

que todas as correntes constantes satildeo ldquofechadasrdquo ( ( ) = ( ) para qualquer ponto no espaccedilo)

podemos assumir a validade das leis de Biot-Savart e Ampegravere

Por exemplo considere uma espira quadrada de lado L onde circula uma corrente

eleacutetrica Trata-se de uma corrente fechada Queremos calcular o campo magneacutetico que

essa corrente produz no centro da espira A lei de Ampegravere eacute perfeitamente vaacutelida nesse caso

mas inuacutetil pois natildeo conseguimos imaginar uma simetria simples para o campo magneacutetico

que a corrente nessa espira quadrada produz no espaccedilo Portanto podemos apelar para a lei

de Biot-Savart aplicada a cada um dos quatro lados da espira um de cada vez como se eles estivessem

isolados Depois superpomos os quatro campos magneacuteticos uma para cada lado e obtemos o campo

magneacutetico da corrente na espira quadrada no centro dessa espira

Tendo em vista nosso resultado para o campo magneacutetico da corrente em um segmento de fio de

comprimento L o campo magneacutetico no centro da espira quadrada eacute

(0) = 4 4 1+ ( 2) ⨂

com o raio = 2 e ⨂ um vetor unitaacuterio apontando para dentro da paacutegina Concluindo

(0) = 4 4 ( 2) 1( 2) + ( 2) ⨂ = 4radic2 ⨂ cong 09 ⨂

Se cometermos o erro de aplicar a lei de Ampegravere no caacutelculo do campo magneacutetico de um segmento

finito de fio obtemos (0) = 4 2 ⨂ = 4 2 ( 2) ⨂ = 4 ⨂ cong 127 ⨂

Um erro maior que 40 na magnitude de

84 Aplicaccedilotildees

1) Considere um solenoacuteide toroidal como o mostrado na Figura ao lado

em meio a outros componentes de um circuito eletrocircnico O solenoacuteide eacute

composto de espiras enroladas em torno de um nuacutecleo que tem a

forma de um toroacuteide Diferentemente do solenoacuteide ciliacutendrico o solenoacuteide

toroidal natildeo possui bordas A proacutexima Figura mostra o solenoacuteide toroidal

370

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

e um referencial ciliacutendrico conveniente para descrever o campo magneacutetico criado por esse solenoacuteide O eixo z

eacute o eixo de simetria do toroacuteide O raio medido em relaccedilatildeo a esse eixo eacute a coordenada s Finalmente o acircngulo

ϕ eacute o acircngulo de giro em torno do eixo z

Queremos calcular o campo magneacutetico produzido pela

corrente eleacutetrica que por hipoacutetese circula nas N espiras desse

solenoacuteide Para isso consideraremos que natildeo haacute nenhuma

irregularidade na distribuiccedilatildeo da corrente ao longo do solenoacuteide ou

seja vamos supor que as espiras estatildeo enroladas regularmente em

toda e extensatildeo do solenoacuteide sem nenhum espaccedilo livre entre elas (o

solenoacuteide da Figura acima apresenta vaacuterias irregularidades em suas

espiras principalmente no espaccedilamento entre elas que vamos

desprezar aqui) Essa hipoacutetese garante uma simetria simples para a corrente e concomitantemente para o

campo magneacutetico no espaccedilo Tendo em vista essa simetria podemos assumir que o campo magneacutetico na

vizinhanccedila desse solenoacuteide eacute dado por ( ) = ( )

ou seja o campo magneacutetico circula em torno do eixo z e sua magnitude natildeo depende do acircngulo ϕ pois o

solenoacuteide e a distribuiccedilatildeo de corrente nele eacute a mesma quando vista de qualquer acircngulo ϕ

Conforme jaacute fizemos para o fio reto e mostramos na Tabela 81 uma maneira de concluir sobre a

direccedilatildeo de eacute considerar o efeito que o campo magneacutetico desse solenoacuteide poderia ter sobre uma partiacutecula

de carga eleacutetrica e velocidade arbitraacuteria que estivesse passando em sua vizinhanccedila Essa partiacutecula sofreria

a forccedila magneacutetica ( ) = times

Agora devemos pensar no sentido que essa forccedila poderia ter tendo em vista a simetria da distribuiccedilatildeo de

corrente que estaacute fazendo essa forccedila sobre a partiacutecula de carga Se concluirmos que em uma dada direccedilatildeo

do espaccedilo o sentido da forccedila eacute ambiacuteguo segue que a componente da forccedila nessa direccedilatildeo deve ser nula

Jaacute concluiacutemos que para esse solenoacuteide o sistema de coordenadas mais conveniente eacute o ciliacutendrico

ilustrado na Figura acima

Note que a distribuiccedilatildeo de corrente no solenoacuteide seleciona um sentido ao longo de z pois ela flui ao

longo de z com um determinado sentido (de fato com sentidos opostos nas porccedilotildees ao longo de z mais

internas e mais externas das espiras) Portanto natildeo vemos nenhum problema em ( ) possuir uma

componente z ( ) que seleciona um sentido para cima ou para baixo ao longo desse eixo Natildeo haacute

simetria entre os dois sentidos ao longo de z A mesma coisa podemos dizer sobre a componente radial

z

s ϕ

371

Aulas de elet

( ) Vem

aproximam

quebra de s

uma forccedila a

decrescente( ) =esteja ao lo

Ten

calcular a fu

Nos

constante n

siacutembolo de

constante e

constante

centrado no

lado mostra

em um pla

solenoacuteide P

Pre

solenoacuteide t

desde =no centro d

solenoacuteide s

Figura ao la

Se

constante t

nenhuma co

tromagnetism

mos clarame

os ou nos a

simetria eacute a

ao longo da d

e de ten times segu

ngo de

ndo em vista

unccedilatildeo ( ssa esperanccedil

nessa curva

integral Pa

e tambeacutem

Essa curva e

o eixo z que

a uma dessa

ano z=consta

Para qualque

cisamos faze

oroidal Conminus ateacute =do solenoacuteide

se estende d

do ilustra es

considerarm

al que lt minusorrente e a l

mo ndash Joseacute Arna

ente que natildeo

afastamos do

coordenada

direccedilatildeo n

ndo em vist

ue que a uacuten= ( )a essa simet) Substituin

ccedila eacute encontr

e que port

ara isso bas

z eacute constan

existe eacute um

e eacute o eixo d

curvas em

ante Nessa

er um desses

( er agora um

nsidere que a= ou seja

e e ele possu

desde um ra

ssas dimensotilde

mos que a minus ou gtei de Ampegraver

∙ = (

aldo Redinz ndash

o haacute simetria

o solenoacuteide

a Se cons

atildeo consegui

ta a simetri

ica maneira

tria aparent

ndo a express

rar uma curv

anto essa f

sta que C se

nte Nessa c

m ciacuterculo em

e simetria d

azul um ciacuter

Figura faze

s ciacuterculos val

) ∙ =ma hipoacutetese

ao longo de

a a origem d

ui altura =aio menor

otildees

curva C est

fica claro

re fica

( ) ∙

Capiacutetulo 8 ndash v

a nessa direccedil

e ficamos t

siderarmos q

mos decidir

ia da corren

de valer (temente sim

satildeo de ( )va C tal que

funccedilatildeo saia d

eja um curva

curva ( um plano z

do solenoacuteide

rculo orienta

mos tambeacutem

e (note que

= ( ) sobre as d

z o solenoacuteid

de nosso ref2 Na dir

ateacute um rai

taacute em um p

que essa cu

=

versatildeo 31

ccedilatildeo pois se a

tambeacutem den

que essa par

se essa forccedila

nte no sole) = 0 pa

mples prete

na lei de Am

e ( ) sej

de dentro d

a em que s ) seraacute um

z constante

e A Figura a

do de raio s

m uma hipoacute

nesses ciacutercu

∙ =imensotildees d

de se estend

ferencial est

reccedilatildeo radial

o maior A

plano com

urva natildeo abra

andamos no

ntro dele A

rtiacutecula (com

a deveria est

enoacuteide Conc

ara qualquer

ndemos util

mpegravere obtem

a

o

eacute

a

e

o

s

oacutetese sobre

los = ( )2

o

a

taacute

o

A

z

accedila o solenoacute

sentido de

A coordenad

velocidade q

tar no sentid

clusatildeo (r eacute a cond

lizar a lei de

mos

o sentido d

)

oacuteide e portan

z

ϕ

z

s crescente n

a onde natildeo

qualquer) so

do crescente) = 0 Co

diccedilatildeo de que

e Ampegravere p

da corrente

nto natildeo abr

z

s

nos

haacute

ofre

e ou

omo

e

para

no

accedila

= 2

372

Aulas de elet

(A Figura a

Conclusatildeo

Vam

estaacute abraccedila

amperianas

delimitado

que sobe

lateral de

mesma conlt Ness

nenhuma co

Con

fato o sole

campo mag

raio lt ltPor

e raio ltconforme a

sentido tal

lateral exte

Por

Ape

mostramos

plano com

sendo que

que sobem

paacutegina nas

solenoacuteide c

tromagnetism

)2 =o lado mos= 0 nessa

mos consider

ando o solen

s com raio

por essa cur

pela latera

raio Port

nclusatildeo se co

se caso fica

orrente

ncluiacutemos que

noacuteide toroid

gneacutetico no selt

tanto para lt ou s

a Figura ao l

que sobe pe

rna de raio

tanto o cam

enas para d

na Figura aminus lt lta corrente

pela face in

s seccedilotildees tra

com raio =mo ndash Joseacute Arna

= 0stra uma d

as duas regiotilde

rar agora qu

noacuteide A Figugt Fica

rva para calc

l interna do

tanto novam

onsiderarmo

claro que a

e vale = 0dal assim co

eu interior o

finalizar con

seja que pa

ado Consid

ela lateral in

concluiacutemo

mpo magneacuteti

( deixar mais

o lado um c

Para si

sai do plan

nterna do so

ansversais d= As curv

aldo Redinz ndash

essas curva

otildees do espaccedil

ue minus lt ltura que segu

a claro que

cular v

o solenoacuteide

mente vale

s uma curva

curva ampe

0 em toda a

mo o solenoacute

ou seja no e

nsideramos

assa por de

erando que

nterna do so

os que para e=

co no interio

)2 = claro o c

corte transve

mplificar m

no da paacutegin

lenoacuteide com

dos fios que

as azuis satildeo

Capiacutetulo 8 ndash v

s amperiana

ccedilo gt e lt ou sej

ue mostra um

e se conside

emos que a

de raio d= 0 e

a com minus lteriana natildeo ab

a regiatildeo for

oacuteide ciliacutendric

espaccedilo que

uma curva C

entro das es

a corrente

olenoacuteide de

essa curva am

or desse sole

=aacutelculo da c

ersal do sole

mostramos a

a nas seccedilotildee

m raio =e descem p

o curvas amp

versatildeo 31

as com gtlt minus

a que a cur

ma dessas cu

erarmos o d

mesma corr

desce pela o= 0 Cheglt lt e co

braccedila o sole

a do solenoacute

o infinito co

passa por de

C com minus ltspiras do so

no solenoacuteid

raio e de

mperiana val

enoacuteide toroid

rArr =corrente int

enoacuteide toroid

apenas =s transversa

e entram no

pela face e

perianas Pa

gt

rva C

urvas

disco

rente

outra

gamos agrave

om raio

noacuteide e

oacuteide De

onfina o

entro de sua

lt lt

olenoacuteide

e tem o

sce pela

e

dal eacute dado po 2

terna

dal em um 4 espiras

ais dos fios

o plano da

externa do

ra a curva

as espiras minus

or

z

z

x

x

minus lt lt

z

z

x

x

e

373

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

com lt vemos claramente que nenhuma corrente atravessa o disco delimitado por essa curva ou seja = 0 Para a curva com gt vemos que = 4 minus 4 = 0 Para a curva que passa por dentro do

solenoacuteide ou seja com lt lt vemos que = 4 No caso geral =

2) Vamos considerar agora um solenoacuteide helicoidal em que circula uma corrente constante Considere um

solenoacuteide helicoidal composto de espiras circulares de raio O solenoacuteide eacute muito longo e possui

comprimento (infinito para todos os efeitos) A densidade de espiras por unidade de comprimento eacute = Suas espiras satildeo compostas de um fio fino e enroladas de forma compacta sem irregularidades A

Figura abaixo ilustra esse solenoacuteide O eixo z eacute o eixo de simetria do solenoacuteide e as espiras satildeo ciacuterculos ao

longo da direccedilatildeo de um sistema de coordenadas

ciliacutendricas

Queremos calcular o campo magneacutetico que

esse solenoacuteide produz no espaccedilo Para isso vamos usar

a lei de Ampegravere Note que a hipoacutetese rarr infin elimina

efeitos de borda e simplifica a simetria do sistema

Primeiramente devemos pensar na simetria de ( ) como jaacute

abordamos nesse capiacutetulo Aqui o sistema de coordenadas mais

conveniente eacute o ciliacutendrico ilustrado na Figura ao lado O eixo do

solenoacuteide estaacute ao longo de z A coordenada z eacute a distacircncia ao longo

desse eixo e o vetor unitaacuterio aponta ao longo de z O raio medido em

relaccedilatildeo ao eixo z eacute a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo desse

raio (no sentido crescente dele) eacute O acircngulo de giro em torno do eixo

z eacute a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo do aumento dessa coordenada eacute As espiras do solenoacuteide satildeo

ciacuterculos em planos z=constante

Vamos pensar agora no efeito que o campo magneacutetico desse solenoacuteide poderia ter sobre uma

partiacutecula de carga eleacutetrica e velocidade arbitraacuteria que estivesse passando em sua vizinhanccedila Essa partiacutecula

sofreria a forccedila magneacutetica ( ) = times

Em seguida devemos pensar no sentido que essa forccedila poderia ter tendo em vista a simetria da

distribuiccedilatildeo de corrente que estaacute fazendo essa forccedila sobre a partiacutecula de carga Se concluirmos que em uma

dada direccedilatildeo do espaccedilo o sentido da forccedila eacute ambiacuteguo segue que a componente da forccedila nessa direccedilatildeo deve

ser nula

rarr infin

z

374

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Note que a distribuiccedilatildeo de corrente no solenoacuteide seleciona um sentido ao longo de pois ela gira no

sentido de crescente (por hipoacutetese) Portanto natildeo vemos nenhum problema em ( ) possuir uma

componente ( ) Natildeo haacute simetria entre os dois sentidos ao longo de A mesma coisa podemos dizer

sobre a componente radial ( ) Vemos claramente que natildeo haacute simetria nessa direccedilatildeo pois se andamos no

sentido de s crescente nos aproximamos (na regiatildeo interior) e depois nos afastamos (na regiatildeo exterior) do

solenoacuteide A coordenada onde natildeo haacute quebra de simetria eacute a coordenada Se considerarmos que essa

partiacutecula (com velocidade qualquer) sofre uma forccedila ao longo da direccedilatildeo natildeo conseguimos decidir se essa

forccedila deveria estar no sentido de +z ou ndashz Conclusatildeo ( ) = 0 Como ( ) = times concluiacutemos que

se ( ) nunca pode ter componente ao longo de z (para qualquer ) entatildeo deve estar na direccedilatildeo

Quando ao sentido de este seraacute determinado pela lei de Ampegravere Concluindo = ( ) Note que dada a simetria do solenoacuteide esperamos tambeacutem que natildeo haja dependecircncia da magnitude

nas coordenadas z e ou seja resta calcular a funccedilatildeo ( ) Agora chegou a hora da lei de Ampegravere mostrar

seu poder de simplificaccedilatildeo no caacutelculo de campos magneacuteticos Substituindo a expressatildeo de na lei de Ampegravere

obtemos

( ) ∙ =

Conclusatildeo para que ( ) saia de dentro do siacutembolo de integral e obtenhamos uma equaccedilatildeo para ( ) a

curva deve ser tal que ( ) seja constante sobre ela Portanto a curva deve ser uma curva em que o raio

eacute constante ou seja uma curva equumlidistante do fio reto Um candidato

natural a essa curva eacute um ciacuterculo de raio qualquer centrado no fio em

um plano ortogonal ao fio Mas vemos que nessa curva vale = e

que portanto ( ) ∙ = 0 Natildeo haacute nada de errado com esse

resultado pois fica claro que tambeacutem se estende na direccedilatildeo e que = 0 para essa curva Concluiacutemos que 0 = 0 e que essa curva circular

natildeo serve para o caacutelculo de Portanto devemos procurar outra curva pois esse ciacuterculo eacute inuacutetil Uma reta

s=constante ao longo do eixo z tambeacutem parece uma boa candidata pois ao longo dessa reta vale ( ) =constante Mas uma reta eacute uma curva aberta e a lei de Ampegravere pressupotildee que C eacute uma curva fechada

Concluindo adotamos a curva retangular mostrada na Figura ao lado em verde C eacute um retacircngulo com dois

lados de comprimento ao longo do eixo z e dois lados de comprimento ao longo da direccedilatildeo radial s A

orientaccedilatildeo de C eacute mostrada na Figura Vamos supor que o lado inferior do retacircngulo estaacute no raio (portanto o

z

375

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

lado superior estaacute no raio + ) A seta preta vertical mostra o sentido de nas espiras Concluindo podemos

desmembrar a integral de ( ) em C em quatro interais cada uma em um lado de C

( ) ∙ = ( ) ∙ (minus ) + ( ) ∙ + ( ) ∙ (minus ) + ( ) ∙

H1 eacute o lado horizontal no raio + e H2 eacute o lado horizontal no raio V1 e V2 satildeo os lados verticais onde o

produto escalar ∙ se anula Portanto retirando ( ) de dentro dos siacutembolos de integrais e lembrando que a

integral de vai resultar no comprimento do lado de C onde a integral se realiza obtemos

( ) ∙ = minus ( + ) + ( ) + 0 + 0 = ( ) minus ( + )

Agora podemos considerar o caacutelculo do campo magneacutetico nas duas regiotildees distintas do espaccedilo dentro

do solenoacuteide ( lt ) e fora do solenoacuteide ( gt )

Se fixarmos a curva C em uma posiccedilatildeo tal que gt ou seja totalmente fora do solenoacuteide fica claro

que natildeo flui corrente atraveacutes da superfiacutecie retangular delimitada por C ou seja = 0 Portanto a lei de

Ampegravere diz que para quaisquer valores de gt e de vale ( ) minus ( + ) = 0 rArr ( ) = ( + ) Em particular tomando rarr infin obtemos para qualquer gt ( ) = (infin) Admitindo que a influecircncia do solenoacuteide se anule no infinito segue que na regiatildeo exterior do solenoacuteide longo

vale = 0

Isso significa que o solenoacuteide longo confina o campo magneacutetico agrave regiatildeo interior (como ocorre com o

solenoacuteide toroidal)

Tomando agora lt e + gt (que eacute a situaccedilatildeo ilustrada na Figura acima) obtemos

( ) minus ( + ) = ( ( ) minus 0) = ( ) = =

Na Figura notamos que algumas espiras do solenoacuteide (cinco no caso da Figura) atravessam a superfiacutecie

retangular delimitada pela curva C Cada espira que faz isso contribui com para Para calcular a

quantidade de espiras que atravessa a superfiacutecie retangular delimitada pela curva C em geral basta multiplicar

a densidade de espiras por unidade de comprimento no solenoacuteide pelo comprimento de C ao longo do

eixo do solenoacuteide Foi o que fizemos acima

Concluindo obtemos para qualquer lt

376

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

= = Resumindo nossos resultados concluiacutemos que a corrente no solenoacuteide muito longo cria campo

magneacutetico apenas na regiatildeo ciliacutendrica interior agrave suas espiras e que o campo magneacutetico nessa regiatildeo eacute

uniforme e axial tendo magnitude O sentido de eacute dado pela regra da matildeo direita dedos no sentido

de polegar no sentido de

A Figura ao lado ilustra um experimento em que uma corrente circula

por um solenoacuteide curto e o campo magneacutetico atua sobre partiacuteculas de uma

liga de ferro (itservicescasuntedu~klittler) Podemos ver que na regiatildeo

interior do solenoacuteide haacute uma forte organizaccedilatildeo das partiacuteculas que se

aglomeram e ldquomaterializamrdquo as linhas de nessa regiatildeo Podemos ver

tambeacutem o efeito de ldquodivergecircnciardquo das linhas de nas regiotildees das bordas

refletindo um campo magneacutetico mais fraco nesses locais Para um solenoacuteide

muito longo com espiras bem compactadas e uniformes o campo magneacutetico eacute

aquele que calculamos atraveacutes da lei de Ampegravere = na regiatildeo

ciliacutendrica no interior das espiras (e longe das bordas)

3) Considere uma espira retangular de lados e onde circula uma corrente

eleacutetrica Vamos calcular o campo magneacutetico no ponto mostrado na Figura um

ponto no mesmo plano da espira

Note que tendo em vista o princiacutepio da superposiccedilatildeo tudo se resume ao

caacutelculo do campo magneacutetico no ponto na vizinhanccedila de um segmento reto de fio

de comprimento mostrado na Figura abaixo O ponto estaacute a uma distacircncia do

fio e a uma distacircncia da extremidade direita do fio

Na Figura abaixo definimos um segmento infinitesimal de fio localizado em uma posiccedilatildeo ao longo do fio

(0 le le ) O vetor posiccedilatildeo de P faz um acircngulo com o eixo z ou seja com Na Figura representamos o

vetor saindo do plano da paacutegina atraveacutes do siacutembolo ⨀ Como times = sen( ) segue que

= 4 sen( )

377

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

e que = 4 sen( ) ⨀

Nessa uacuteltima expressatildeo definimos o vetor unitaacuterio ⨀ que sai

ortogonalmente do plano da paacutegina em P

Notamos ainda na Figura que

= ( minus minus ) + e sen( ) =

Portanto ( ) = 4 times = 4 (( minus minus ) + ) ⨀

Note que radic = e que vale = Tudo que temos que fazer agora eacute considerar que varre toda a

extensatildeo desse fio reto ou seja que sua posiccedilatildeo varia desde = 0 ateacute = que satildeo as posiccedilotildees das

extremidades do fio no eixo z

Obtemos

( ) = ( ) = 4 times = 4 ⨀ (( minus minus ) + ) Portanto ( ) = 4 + + minus( minus ) + ⨀ Note que para = = e = 2 recuperamos um resultado que jaacute haviacuteamos obtido para um ponto

central em uma altura ( ) = 4 1+ ( 2) ⨀

Voltando agora agrave espira retangular que reproduzimos ao lado tudo que temos que fazer eacute adaptar a

expressatildeo que obtivemos para ( ) em um ponto em ( ) para o ponto especiacutefico

dentro da espira

Para o lado (1) da esquerda devemos fazer = = e = minus

Portanto ( ) = 4 minus( minus ) + + radic + ⨀

minus minus

378

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Para o lado (2) da direta devemos fazer = = minus e = Portanto

( ) = 4 ( minus ) + ( minus ) + minus( minus ) + ( minus ) ⨀

Para o lado (3) superior devemos fazer = = e = Portanto

( ) = 4 radic + + minus( minus ) + ⨀

Para o lado (4) inferior devemos fazer = = minus e = minus Portanto

( ) = 4 ( minus ) minus( minus ) + ( minus ) + + ( minus ) ⨀

Notamos claramente que se = (espira quadrada) e = = 2 (ponto central) os quatro campos satildeo

iguais

Como natildeo haacute chance de simplificaccedilatildeo preferimos deixar como estaacute ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) O graacutefico ao lado ilustra o comportamento do moacutedulo de ( ) em

funccedilatildeo das coordenadas isin [0 ] e isin [0 ] (para os valores

numeacutericos = 3 e = 2) Note que o campo diverge exatamente sobre

os fios ( = 0 = = 0 e = ) o que eacute um artefato do modelo de

fios filamentares de espessura nula Para fios realistas de espessura natildeo

nula o campo atinge apenas um maacuteximo quando nos aproximamos dos

lados da espira

379

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

9 Induccedilatildeo eletromagneacutetica

Os campos eletrostaacutetico e magnetostaacutetico possuem existecircncias independentes um do outro e por

isso natildeo vimos ateacute agora nenhuma lei que envolve simultaneamente o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico

As leis de Coulomb e Gauss envolvem o campo eletrostaacutetico apenas e as leis de Biot-Savart e Ampegravere

envolvem o campo magnetostaacutetico apenas Apesar de terem em comum a origem nas partiacuteculas que possuem

cargas eleacutetricas ateacute aqui os campos ( ) e ( ) permanecem independentes entre si Essa situaccedilatildeo muda

quando passamos a analisar situaccedilotildees natildeo estacionaacuterias ou seja em que os campos dependem do tempo ( ) e ( ) Nessas situaccedilotildees os campos e se tornam inseparaacuteveis se um existe o outro

necessariamente existe tambeacutem eles passam a constituir um campo eletromagneacutetico O fato deles serem

inseparaacuteveis se revela atraveacutes de leis que relacionamligamacoplam e no espaccedilo e no tempo A lei de

induccedilatildeo de Faraday eacute uma dessas leis

Michael Faraday (por volta de 1830) estava intrigado com a relaccedilatildeo entre corrente eleacutetrica e campo

magneacutetico Oersted jaacute havia mostrado que corrente eleacutetrica produz no espaccedilo um campo magneacutetico Faraday

queria descobrir se podia ocorrer o contraacuterio produzir correntes eleacutetricas a partir de campos magneacuteticos Se

isso fosse possiacutevel Faraday estaria inventandodescobrindo o gerador de energia eleacutetrica que substituiria as

bateriaspilhas como uacutenica fonte que havia na eacutepoca capaz de produzir corrente eleacutetrica constante em um

circuito Foi o que ele fez

Na sequecircncia de experimentos que fez para tentar descobrir o que procurava Faraday acabou por

descobrir um fenocircmeno da natureza a induccedilatildeo eletromagneacutetica A regra do fluxo e a lei de Faraday

quantificamrelacionam as grandezas envolvidas nesse fenocircmeno

Na sequecircncia vamos discutir um pouco sobre os experimentos de Faraday que o levaram agrave descoberta

da induccedilatildeo eletromagneacutetica

380

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

91 Os experimentos de Faraday que levaram agrave descoberta da induccedilatildeo eletromagneacutetica

Faraday estava interessado em produzir corrente eleacutetrica em um circuito utilizando apenas um campo

magneacutetico Para ver se isso era possiacutevel ele fez vaacuterias tentativas com imatildes e solenoacuteides Apoacutes muitas

tentativas ele obteve sucesso Vamos descrever aqui as ideacuteias baacutesicas desses experimentos sem muita

preocupaccedilatildeo com a fidelidade ao que realmente aconteceu por volta de 1830

Primeiramente Faraday construiu uma espira (ou um solenoacuteide natildeo faz diferenccedila) e conectou essa

espira a um galvanocircmetro de zero central O galvanocircmetro eacute basicamente um amperiacutemetro muito sensiacutevel e

ele serviria entatildeo para detectar qualquer corrente eleacutetrica que porventura fluiacutesse nessa espira O fato de o

galvanocircmetro possuir zero central permitiria determinar o sentido da eventual corrente Se o ponteiro virasse

para um lado seria porque a corrente estaria fluindo em um certo sentido Se o ponteiro virasse para o outro

lado entatildeo a corrente teria o sentido inverso ao anterior Se o ponteiro ficasse permanentemente no zero da

escala natildeo haveria esse capiacutetulo que vocecirc estaacute lendo agora Talvez nem a humanidade existisse

Faraday queria produzir corrente nessa espira usando um campo magneacutetico Se houvesse corrente

ela seria produzida agrave distacircncia atraveacutes de um campo de forccedila que ocupa todo o espaccedilo daiacute o nome ldquoinduccedilatildeordquo

Essa corrente poderia ser chamada de ldquocorrente induzidardquo e o fenocircmeno de ldquoinduccedilatildeordquo ou como veremos de

ldquoinduccedilatildeo eletromagneacuteticardquo

Experimento 1 um imatilde eacute colocado diante da espira

A Figura ao lado ilustra o que poderia ser a montagem de

Faraday para esse experimento Uma espira estaacute simplesmente

mergulhada no campo magneacutetico de um imatilde Resultado nada o

galvanocircmetro indica o zero da escala Fracasso total campos

magneacuteticos natildeo satildeo capazes de por si soacutes produzirem correntes

eleacutetricas em um circuito apesar de o contraacuterio acontecer correntes

eleacutetricas satildeo capazes de por si soacutes produzirem campos magneacuteticos

Mas nem tudo estava perdido Faraday observou que se o imatilde se

movesse com o circuito parado a agulha do galvanocircmetro saltava do

zero Se o poacutelo N se aproximava da espira a agulha defletia para um

lado se o poacutelo N se afastava a agulha defletia para o lado oposto

Resultado final haacute corrente eleacutetrica (induzida) na espira somente

enquanto o imatilde estaacute se movendo Faraday havia acabado de inventar o gerador de energia eleacutetrica Substitua

o galvanocircmetro por uma lacircmpada e faccedila com que o imatilde se mova constantemente girando por exemplo A

Figura 1 um imatilde tenta produzir corrente eleacutetrica em um circuito distante

381

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

lacircmpada permaneceraacute acesa enquanto o imatilde gira Adapte o eixo de rotaccedilatildeo do imatilde a uma roda drsquoaacutegua e estaacute

criada a primeira usina hidreleacutetrica O movimento especificamente do imatilde eacute crucial para esse resultado Natildeo

Faraday moveu o circuito mantendo o imatilde parado e funcionou da mesma forma fluiu corrente na espira

Somente o movimento relativo imatildecircuito interessa Conclusatildeo final desse experimento enquanto (e

somente se) haacute movimento relativo entre o imatilde e o circuito haacute corrente induzida no circuito O sentido da

corrente induzida depende do sentido do movimento (aproximaccedilatildeo ou afastamento relativo) Aleacutem da

descoberta do fenocircmeno de induccedilatildeo (produccedilatildeo de corrente eleacutetrica atraveacutes de campos magneacuteticos) este

experimento de Faraday mostrou de forma marcante que natildeo existe na natureza o movimento absoluto De

fato se o movimento do imatilde produzisse um resultado diferente do movimento do circuito Faraday estaria

mostrando que o movimento eacute absoluto ou seja poderiacuteamos dizer que o imatilde ou o circuito se movem e

ponto final Mas eles se moveriam em relaccedilatildeo a quecirc Haveria uma referecircncia absoluta de movimento O

laboratoacuterio onde o experimento se daacute O espaccedilo O eacuteter Faraday mostrou que natildeo Quando dizemos que o

imatilde se move queremos dizer que ele se move em relaccedilatildeo agrave espira Isso eacute tanto verdade que se deixamos o

imatilde parado e movemos a espira daacute no mesmo Mais ainda se movemos os dois simultaneamente com a

mesma velocidade o galvanocircmetro marca zero A natureza soacute ldquoacusardquo o movimento relativo imatildeespira

Somente esse movimento faz sentido Anos depois Einstein se disse inspirado por esse experimento na

criaccedilatildeo da ldquoteoria da relatividade especialrdquo Nessa teoria a relatividade do movimento (uniforme) tem o status

de um princiacutepio da natureza

Experimento 2 um solenoacuteide ligado a uma bateria eacute colocado diante da espira

A Figura 2 ao lado ilustra o que poderia ser a

montagem de Faraday para esse experimento Uma espira estaacute

simplesmente mergulhada no campo magneacutetico de um

solenoacuteide A chave S (um interruptor) controla a corrente no

solenoacuteide Note que com a chave S fechada podemos repetir o

experimento 1 com o solenoacuteide no lugar do imatilde e obteremos

os mesmos resultados O imatilde natildeo eacute importante o importante eacute

o campo magneacutetico natildeo importando sua origem Mas com

esse experimento Faraday pretendia mostrar a importacircncia do

movimento para o fenocircmeno da induccedilatildeo Ele mostrou que o

movimento natildeo eacute importante pois nesse experimento o

solenoacuteide e o circuito da espira permaneceram ambos parados

Resultado se a chave S estaacute aberta nada acontece o que natildeo eacute surpreendente pois nesse caso natildeo haacute campo

magneacutetico no espaccedilo Se a chave S estaacute fechada ainda assim nada acontece o ponteiro indica o zero da

escala Mas nos instantes em que ocorrem os chaveamentos de S o ponteiro do galvanocircmetro daacute um salto

S

Figura 2 um solenoacuteide tenta produzir corrente eleacutetrica em um circuito distante

382

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

acusando um pulso de corrente induzida no circuito Enquanto a chave estaacute fechando nesse instante o

ponteiro do galvanocircmetro deflete para um lado e logo em seguida retorna ao zero Enquanto a chave estaacute

abrindo nesse instante o ponteiro deflete para o lado oposto e logo em seguida retorna ao zero Conclusatildeo

final desse experimento enquanto (e somente se) a chave estaacute mudando de estado (abrindo ou fechando) haacute

corrente induzida no circuito Com esse experimento Faraday acabava de inventar o transformador de

voltagem

92 A interpretaccedilatildeo dos resultados dos experimentos de Faraday

Resta agora interpretar os resultados desses experimentos Faraday mostrou que eacute possiacutevel produzir

corrente eleacutetrica em um circuito atraveacutes da accedilatildeo de um campo magneacutetico uma descoberta que levou

imediatamente ao desenvolvimento de vaacuterias invenccedilotildees que se baseiam nesse fenocircmeno como o teleacutegrafo

os geradores de energia eleacutetrica e os transformadores de voltagem Hoje todas as telecomunicaccedilotildees se

baseiam nessa possibilidade de se produzir correntes eleacutetricas em um circuito distante Eacute assim que raacutedios

TVs sateacutelites wifi Bluetooth 3G e telefones celulares funcionam Uma coisa que ficou clara nos experimentos

de Faraday eacute a importacircncia da variaccedilatildeo da mudanccedila para o fenocircmeno da induccedilatildeo Se tudo estiver estaacutetico

natildeo haacute induccedilatildeo Natildeo haacute induccedilatildeo nos contextos da eletrostaacutetica e da magnetostaacutetica Podemos esperar entatildeo

que a lei que governa esse fenocircmeno envolva a derivada temporal de alguma grandeza fiacutesica Resta saber a

derivada de quecirc

Podemos interpretar os resultados de Faraday em dois niacuteveis Primeiramente podemos interpretar em

termos de conceitos de circuitos eleacutetricos que satildeo mais simples e experimentalmente mais acessiacuteveis Mas se

nos aprofundarmos no estudo do fenocircmeno vamos descobrir que dependendo do contexto o proacuteprio

circuito eacute ele mesmo irrelevante para o fenocircmeno da induccedilatildeo O fenocircmeno da induccedilatildeo se daacute entre os

campos de forccedila magneacutetico e eleacutetrico que existem no espaccedilo independentemente da existecircncia do circuito

Nesse sentido o circuito eacute apenas um ldquodetectorrdquo do fenocircmeno de induccedilatildeo eletromagneacutetica que estaacute

ocorrendo no espaccedilo na relaccedilatildeo e no acoplamento entre os campos e

921 Interpretaccedilatildeo em termos de conceitos de circuitos eleacutetricos

No capiacutetulo 5 vimos que para que um circuito eleacutetrico funcione em regime estacionaacuterio (ou seja para

que natildeo haja nele apenas um transiente raacutepido) deve haver nesse circuito em alguma parte dele uma fonte

de forccedila eletromotriz (FEM) As baterias satildeo um exemplo dessas fontes de FEM A ideia baacutesica eacute que ao fluir no

circuito os portadores de carga perdem energia por exemplo devido ao efeito Joule (produccedilatildeo de calor)

Entatildeo para que a corrente eleacutetrica se mantenha fluindo em algum lugar do circuito os portadores teratildeo que

ganhar energia Na bateria essa energia (potencial eleacutetrica) eacute obtida a partir de reaccedilotildees quiacutemicas internas

383

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Definimos a FEM ℇ de um dispositivo (como uma bateria) como sendo a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho

(positivo) sobre os portadores de carga por unidade de carga ou seja

ℇ =

A unidade de ℇ eacute o JC que chamamos de volt (V) eacute o trabalho positivo em um portador de carga que

atravessa esse dispositivo de FEM

Faraday podia criar correntes estacionaacuterias na espira ligada ao galvanocircmetro Substituindo o

galvanocircmetro por uma lacircmpada ele poderia manter essa lacircmpada acesa pelo tempo que ele quisesse desde

que as condiccedilotildees necessaacuterias para a induccedilatildeo fossem mantidas (movimento ou chaveamento) Portanto

durante o fenocircmeno da induccedilatildeo eletromagneacutetica haacute a produccedilatildeoinduccedilatildeo de uma FEM no circuito da espira

que podemos chamar de FEM induzida ℇ Os portadores na espira estatildeo ganhando energia enquanto a

induccedilatildeo ocorre Analisando os resultados dos experimentos vemos que a produccedilatildeo de ℇ estaacute associada agrave

variaccedilatildeo Variaccedilatildeo da posiccedilatildeo relativa imatildeespira ou da posiccedilatildeo da chave no circuito do solenoacuteide Se a

variaccedilatildeo cessa segue que ℇ rarr 0 e a lacircmpada apaga Resta descobrir em todos os experimentos qual

grandeza comum a eles estaacute variando e ldquocausandordquo a induccedilatildeo na espira Imatildes solenoacuteides chaves nada disso eacute

importante Faraday descobriu que a induccedilatildeo soacute corre se o fluxo magneacutetico atraveacutes da espira ligada ao

galvanocircmetro varia no tempo Esse fluxo eacute dado por

= ∙

sendo o campo magneacutetico no espaccedilo produzido pelo imatilde pelo solenoacuteide ou o que quer que seja eacute uma

superfiacutecie aberta delimitada pelo circuito da espira que estaacute ldquosofrendordquo a induccedilatildeo De fato eacute qualquer

superfiacutecie aberta que tem como borda esse circuito fechado da espira Para uma simples espira circular por

exemplo poderia ser o disco delimitado por esse ciacuterculo eacute um campo de vetores normais (ortogonais) em

cada ponto de e eacute uma aacuterea infinitesimal em Mais adiante discutiremos sobre o

sentido de Na Figura ao lado mostramos uma superfiacutecie possiacutevel aacuterea hachurada

para o circuito que representamos na Figura 1 Os experimentos de Faraday mostraram

uma relaccedilatildeo direta ℇ harr

No primeiro experimento se o imatilde natildeo se move em relaccedilatildeo ao circuito entatildeo

eacute constante e o galvanocircmetro marca = 0 porque ℇ = 0 Se o imatilde se aproxima ou se

afasta do circuito entatildeo muda na superfiacutecie e ne 0 rArr ℇ ne 0 rArr ne 0 No

segundo experimento se a chave estaacute aberta ou fechada entatildeo eacute constante e o

384

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

galvanocircmetro marca = 0 porque ℇ = 0 Nos instantes em que a chave fecha ou abre muda na superfiacutecie

e ne 0 rArr ℇ ne 0 rArr ne 0

Qual a relaccedilatildeo entre ℇ e A relaccedilatildeo mais simples possiacutevel

ℇ = minus = minus ∙

Essa eacute a lei que governa a induccedilatildeo eletromagneacutetica ou seja a produccedilatildeo de FEM induzida e concomitante

corrente eleacutetrica induzida em um circuito qualquer Alguns autores chamam essa lei de ldquolei de Faradayrdquo e

outros chamam de ldquoregra universal do fluxordquo Preferimos ficar com o segundo nome por motivos (simples)

que discutiremos depois Fato eacute que a regra universal do fluxo diz que natildeo importa o motivo (nesse sentido eacute

universal) porque o fluxo magneacutetico atraveacutes de um circuito varia a FEM induzida nesse circuito eacute a derivada

desse fluxo com o sinal trocado Esse sinal tem a ver com o sentido da FEM induzida e da corrente induzida

que seraacute produzida no circuito Mais adiante discutiremos sobre ele e sua relaccedilatildeo com o sentido de

O que pode causar variaccedilatildeo de fluxo magneacutetico em um circuito Vamos dar uma olhada na expressatildeo

de

= ∙

Vemos que pode variar por diversos motivos (a regra do fluxo natildeo diferencia esses diferentes motivos) que

podem ocorrer separadamente ou todos ao mesmo tempo

1 Se varia na regiatildeo onde estaacute a superfiacutecie ou seja onde estaacute o circuito que estaacute sofrendo a

induccedilatildeo entatildeo varia Eacute o que ocorre nos experimentos de Faraday em que aproximamos ou

afastamos o imatilde e abrimos ou fechamos a chave Esse eacute o caso dos transformadores de voltagem

2 Se o circuito se move em regiotildees onde eacute natildeo uniforme ou seja onde muda no espaccedilo entatildeo

varia Isso ocorre quando movemos o circuito afastando-o ou aproximando-o do imatilde

3 Se a aacuterea do circuito varia entatildeo varia Isso ocorre por exemplo em um circuito

flexiacuteveldeformaacutevel em que podemos mudar sua forma e mudar a aacuterea livremente

4 Se o acircngulo entre o campo e o vetor varia entatildeo varia pois ∙ = cos( ) Isso ocorre

quando giramos o circuito e eacute a situaccedilatildeo mais comum em geradores de energia eleacutetrica

A forccedila eletromotriz induzida (assim como a corrente induzida) possui um sentido ou seja uma

polaridade A regra do fluxo determina esse sentido atraveacutes de uma regra da matildeo direita Primeiro escolhemos

o sentido de Se escolhermos de tal forma que eacute paralelo a por exemplo entatildeo valeraacute ∙ gt 0 Caso

385

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

contraacuterio valeraacute ∙ lt 0 Natildeo faz diferenccedila podemos escolher qualquer um dos dois sentidos possiacuteveis para

Agora aplicamos a regra da matildeo direita apontando o polegar dessa matildeo no sentido de os outros dedos

apontaratildeo no sentido positivo da FEM induzida Se calcularmos ℇ e obtivermos um valor negativo significa

que ℇ tem o sentido oposto a esse indicado como positivo pela regra da matildeo direita

Considere o exemplo mostrado a Figura 3 ao lado Uma espira circular de raio

estaacute fixa um uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme cujo moacutedulo

aumenta no tempo de tal forma que ( ) =

sendo gt 0 uma constante A direccedilatildeo do vetor eacute fixa no tempo e faz sempre um

acircngulo com o plano da espira Na praacutetica poderiacuteamos obter esse efeito ou algo

parecido se focircssemos aproximando lentamente da espira o poacutelo norte de um imatilde

grande ou atraveacutes de um solenoacuteide fixo em que circulasse uma corrente eleacutetrica

crescente no tempo Vamos calcular a magnitude e o sentido da FEM induzida nessa

espira Primeiro escolhemos uma normal ao disco delimitado pela espira circular

Podemos escolher para a direita ou para a esquerda Eacute mais simples escolher para a

direita conforme a Figura ao lado Note que o acircngulo entre e eacute 90 minus Sendo o

campo magneacutetico uniforme natildeo haacute o que integrar nas coordenadas espaciais ( ) ou seja

(considerando que a aacuterea do disco delimitado pela espira eacute )

= ∙ = cos( 2 minus ) = cos( 2 minus ) = sen( ) = sen( )

Portanto da regra do fluxo a FEM induzida nessa espira eacute

ℇ = minus = minus [ sen( ) ] = minus sen( ) Qual o sentido dessa FEM cuja magnitude em volts eacute sen( ) Agora vamos apelar para a regra da matildeo direita A Figura

ao lado mostra a matildeo direita com o polegar ao longo do escolhido A

curva roxa indica qual seria o sentido de ℇ se ℇ fosse positiva Mas

obtivemos uma ℇ negativa e portanto o sentido de ℇ nessa espira eacute o

oposto ao indicado pela curva roxa A Figura ao lado ilustra entatildeo (em

vermelho) nossa conclusatildeo sobre o sentido de ℇ Se a resistecircncia eleacutetrica

do fio que compotildee essa espira for a corrente induzida que vai circular na espira no sentido indicado na

Figura acima (pela setinha vermelha) seraacute

( )

Figura 3 uma espira estaacute em um campo magneacutetico variaacutevel no tempo

( )

sentido positivo de ℇ

( )

90deg minus

386

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

= ℇ = sen( )

Essa forccedila eletromotriz teria o mesmo efeito de uma bateria de FEM ℇ = ℇ conectada agrave espira

conectada com a polaridade que produzisse a corrente no sentido que obtivemos Se cortarmos o fio da espira

e conectarmos uma lacircmpada nesses dois terminais a lacircmpada vai brilhar enquanto o campo magneacutetico variar

no tempo Ela vai ter um brilho constante porque a FEM induzida (e a corrente) no circuito eacute constante

(corrente contiacutenua)

A regra do fluxo eacute suficiente para a determinaccedilatildeo da magnitude e do sentido da FEM induzida em um

circuito qualquer Mas para a determinaccedilatildeo do sentido de ℇ apenas temos a opccedilatildeo de usar a lei de Lenz Natildeo

precisamos da lei de Lenz mas podemos utilizaacute-la para conferir nosso resultado obtido via regra do fluxo A lei

de Lenz faz uma afirmaccedilatildeo sobre o sentido de ℇ mais especificamente da corrente induzida produzida por ℇ

Trata-se de uma afirmaccedilatildeo apenas qualitativa e um tanto imprecisa nos seus termos mas que funciona A lei

de Lenz diz que a corrente induzida (e a FEM induzida) tem um sentido tal que se opotildee agrave sua causa

Independentemente de sua eficiecircncia na determinaccedilatildeo do sentido de ℇ nos parece claro que a lei de Lenz

natildeo deve ser levada ao peacute da letra Dizer ou sugerir que a causa da induccedilatildeo eletromagneacutetica eacute a variaccedilatildeo de

fluxo magneacutetico eacute uma simplificaccedilatildeo grosseira baseada em uma leitura equivocada da regra do fluxo A regra

do fluxo natildeo eacute uma relaccedilatildeo de causa e efeito ℇ eacute uma taxa de realizaccedilatildeo de trabalho sobre os portadores de

carga (uma composiccedilatildeo de forccedila e deslocamento) e natildeo podemos dizer que uma variaccedilatildeo de fluxo magneacutetico

causa uma realizaccedilatildeo de trabalho Mas enfim encontramos frequentemente na literatura frases equivocadas

como ldquoa variaccedilatildeo do fluxo magneacutetico produz no circuito uma FEM induzidardquo Trata-se no miacutenimo de um

abuso de linguagem Mais adiante discutiremos o fenocircmeno da induccedilatildeo do ponto de vista dos campos e e

poderemos voltar nessa discussatildeo

Fato eacute que para a espira circular que discutimos anteriormente a lei de Lenz

funcionaria assim o fluxo magneacutetico na espira estaacute para a direita (porque atravessa

a espira para a direita) e estaacute tambeacutem aumentando no tempo porque ( ) estaacute

aumentando no tempo por hipoacutetese (ver Figura ao lado) Entatildeo a corrente induzida

na espira vai se opor a isso a essa variaccedilatildeo de fluxo magneacutetico A corrente induzida

teraacute o sentido tal que vai produzir ela mesma um fluxo magneacutetico na espira que

tenta anular esse aumento de fluxo produzido por Portanto a corrente induzida

deveraacute produzir um campo magneacutetico apontando para a esquerda e pela regra da

matildeo direita da espira a corrente deveraacute circular exatamente no sentido que jaacute

haviacuteamos determinado pela regra do fluxo A Figura ao lado relembra essa regra da

matildeo direita da espira O polegar aponta no sentido do campo magneacutetico que a

( )

( )

387

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

corrente induzida deve produzir para se opor agrave sua ldquocausardquo (o aumento do fluxo de ) Os outros dedos

apontam no sentido da corrente que deve fluir na espira para produzir um campo magneacutetico nesse sentido

Note natildeo estamos dizendo aqui que o campo magneacutetico produzido pela corrente induzida deve ser

sempre oposto ao campo como ocorreu nesse exemplo Natildeo satildeo os campos que interessam mas sim a

variaccedilatildeo do fluxo magneacutetico Se nessa mesma situaccedilatildeo o campo magneacutetico tivesse sua magnitude

diminuindo no tempo (e o restante fosse tudo igual) a regra do fluxo produziria uma derivada

negativa e obteriacuteamos uma ℇ gt 0 ou seja com o sentido indicado pela curva roxa na Figura que mostra a

regra da matildeo direita da regra do fluxo Nesse caso a FEM ℇ teria o sentido oposto ao obtido com um campo

crescente A lei de Lenz diria que a corrente induzida deveria se opor a essa diminuiccedilatildeo no fluxo de para a

direita Para isso a corrente induzida deveria produzir ela mesma um fluxo magneacutetico tambeacutem para a direita

Portanto o campo magneacutetico produzido pela corrente induzida seria nesse caso paralelo ao campo Como

natildeo pode deixar de ser a regra da matildeo direita da espira daria um sentido para ℇ igual ao obtido via regra do

fluxo oposto ao determinado para um campo crescente Esse exemplo nos permite entender por que o

galvanocircmetro nos experimentos de Faraday ficava indicando correntes induzidas em sentidos opostos

conforme o imatilde se aproximava ou se afastava da espira

A lei de Lenz eacute apenas qualitativa e natildeo precisamos dela pois a regra do fluxo jaacute cumpre seu objetivo

Em sua simplicidade a lei de Lenz apenas reflete uma verdade profunda da natureza a conservaccedilatildeo da

energia Imagine que no exemplo anterior da espira circular o aumento de na regiatildeo da espira esteja sendo

produzido pela aproximaccedilatildeo de um poacutelo N de um imatilde Entatildeo a aproximaccedilatildeo do imatilde induz corrente na espira e

faz com que haja produccedilatildeo de calor por efeito Joule = De onde vem esse calor Eacute verdade basta

aproximar um imatilde de uma espira e obtemos uma fonte de calor A questatildeo eacute que na natureza uma energia soacute

pode vir de outra energia A lei de Lenz (assim como a regra do fluxo) nos ajuda a entender isso A corrente

induzida na espira com o sentido dado pela lei de Lenz vai dar origem ela mesma a um campo magneacutetico

com poacutelo N faceando o poacutelo N do imatilde que se aproxima O imatilde seraacute repelido pela espira Conclusatildeo se o imatilde

estava voando livremente no espaccedilo ele vai parar por efeito dessa forccedila de repulsatildeo Onde foi parar a energia

cineacutetica do imatilde Eacute o calor na espira Se o imatilde estaacute sendo empurrado por um agente externo esse agente vai

sentir essa forccedila de ldquofreio magneacuteticordquo e vai ter que trabalhar para que o imatilde se aproxime da espira Enquanto

esse agente externo trabalha a corrente induzida circula e haacute produccedilatildeo de calor No momento que o agente

externo para o imatilde a corrente induzida cessa e a produccedilatildeo de calor cessa tambeacutem Se o agente externo

resolver afastar o poacutelo N do imatilde a corrente induzida inverte de sentido e a espira produz um poacutelo S faceando o

poacutelo N do imatilde Agora o imatilde eacute atraiacutedo pela espira e chegamos agraves mesmas conclusotildees Eacute assim que a natureza

funciona Discutiremos mais um pouco sobre essa forccedila de freio magneacutetico mais adiante

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

922 Interpretaccedilatildeo em termos de campos de forccedila

Agora podemos partir para a interpretaccedilatildeo dos resultados dos experimentos de Faraday em termos de

campos de forccedila Fazendo isso vamos entender que a descoberta de Faraday eacute muito mais profunda que a

simples produccedilatildeo de FEMs induzidas em circuitos atraveacutes de campos magneacuteticos

Para fazer isso devemos nos lembrar da definiccedilatildeo primitiva de FEM Os portadores de carga em um

circuito perdem energia potencial eleacutetrica por exemplo pela accedilatildeo de uma forccedila de arraste embutida no

conceito de resistecircncia eleacutetrica Para que o circuito funcione em regime estacionaacuterio os portadores de carga

devem ganhar energia em alguma parte do circuito Podemos fazer aqui uma analogia com a energia potencial

gravitacional como fazemos para que uma pedra inicialmente no chatildeo ganhe energia potencial gravitacional

Devemos aplicar nela uma forccedila vertical para cima vencendo seu peso fazendo com que ela ganhe altura ℎ

Devemos aplicar uma forccedila e realizar trabalho sobre a pedra Analogamente um portador de carga em um

circuito ganha energia atraveacutes de uma forccedila Essa forccedila desloca o portador de carga e realiza trabalho sobre

ele Se eacute essa forccedila (por unidade de carga) entatildeo a FEM eacute (primitivamente) definida por

ℇ = = ∙

A FEM ℇ eacute a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho positivo da forccedila sobre os portadores de carga (trabalho

por unidade de carga) A integral deve ser realizada ao longo do circuito ( eacute um deslocamento infinitesimal

paralelo ao circuito) que eacute a direccedilatildeo ao longo da qual os portadores se deslocam pela accedilatildeo de A integral

deve ser realizada no circuito todo para que o trabalho de e a FEM sejam devidamente computados Para

deixar isso expliacutecito na equaccedilatildeo podemos reescrevecirc-la na forma

ℇ = = ∙

O ciacuterculo no siacutembolo de integral serve para indicar que o caminho em que eacute integrada eacute fechado ou

seja eacute o circuito completo Na praacutetica pode ocorrer da forccedila estar restrita apenas a uma porccedilatildeo do circuito e

a integral acima se dar apenas nessa regiatildeo posto que no restante do circuito ela eacute nula Por exemplo para

um circuito ligado a uma bateria a integral de se limita ao espaccedilo interno entre os terminais da bateria A

forccedila eacute nesse caso uma forccedila de difusatildeo (de iacuteons) e ela soacute existe dentro da bateria onde ocorre uma reaccedilatildeo

quiacutemica

Aqui chegamos a um ponto crucial na interpretaccedilatildeo dos experimentos de Faraday Qual eacute a forccedila

responsaacutevel pelo trabalho nesses experimentos Haacute duas respostas a primeira eacute um caso mais simples e

a segunda eacute a que leva agrave grande descoberta de Faraday

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

O caso mais simples eacute aquele do experimento 1 em que o

circuito se move na presenccedila de um imatilde fixo A Figura 4 ao lado ilustra

essa ideia (imagine que o ponteiro do galvanocircmetro esteja fora do

zero) Nesse caso a espira estaacute se movendo com velocidade na

presenccedila do campo magneacutetico estaacutetico ( ) do imatilde que estaacute parado

Note que cada portador de carga dentro do circuito de carga eleacutetrica

adquire solidariamente a velocidade da espira e passa a sofrer

uma forccedila magneacutetica

( ) = times

Se essa forccedila possuir componente ao longo do circuito ela vai produzir

uma movimentaccedilatildeo dos portadores de carga ao longo dele ou seja

uma corrente eleacutetrica no circuito Essa eacute exatamente a corrente

eleacutetrica induzida medida por Faraday ou seja nesse caso vale

ℇ = ℇ( ) = minus = minus ∙ = ∙ = times ∙

Nesse contexto a FEM induzida eacute chamada de FEM de movimento ℇ( ) A equaccedilatildeo acima estaacute dizendo que

podemos calcular ℇ( ) de duas maneiras diferentes Vamos obter ao final o mesmo resultado Podemos

calcular ℇ( ) atraveacutes da regra do fluxo sem nem nos preocuparmos sobre qual a forccedila que estaacute realizando

trabalho sobre os portadores de carga Foi o que jaacute fizemos Essa eacute basicamente a atitude pragmaacutetica em que

a regra do fluxo eacute apenas uma ferramenta para obtermos a FEM induzida Ou podemos raciocinar em termos

da forccedila magneacutetica sobre os portadores de carga integrar essa forccedila ao longo do circuito e obter a FEM

induzida no circuito Essa segunda soluccedilatildeo daacute uma visatildeo mais detalhada do mecanismo da FEM de movimento

mas enfim a aplicaccedilatildeo da regra do fluxo eacute um atalho para o caacutelculo da FEM induzida nesse caso

Um exemplo simples em que podemos mostrar a validade

da equaccedilatildeo acima para as duas formas equivalentes de calcular ℇ( ) eacute o de uma haste condutora que desliza com velocidade

constante fechando um circuito atraveacutes de dois trilhos

condutores A Figura 5 ao lado ilustra esse sistema que poderia ser

chamado de gerador de energia eleacutetrica (natildeo muito praacutetico) A

haste deslizante (em vermelho) fecha o circuito da lacircmpada atraveacutes

de contatos eleacutetricos deslizantes O circuito estaacute em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo magneacutetico

uniforme e constante apontando para dentro do plano da paacutegina

Figura 5 um exemplo simples de FEM de movimento

Figura 4 um circuito de move em um campo magneacutetico estacionaacuterio

imatilde parado

390

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

A ideia eacute que enquanto a haste se move a lacircmpada

permanece acesa Vamos ver por que isso ocorre Do ponto de

vista da regra do fluxo a ldquoexplicaccedilatildeordquo eacute simples o fluxo magneacutetico

atraveacutes do circuito da lacircmpada varia no tempo e isso leva a uma

FEM induzida e a uma concomitante corrente induzida Na Figura

ao lado indicamos o que eacute necessaacuterio para aplicar a regra do fluxo a

esse sistema O circuito da lacircmpada eacute um circuito retangular que

tem um lado de tamanho fixo e o outro lado ao longo da direccedilatildeo em que a haste desliza de comprimento

variaacutevel que vamos chamar de ( ) Esse circuito eacute a borda de uma superfiacutecie retangular de aacuterea ( ) = ( ) Vemos que esse eacute um exemplo de um circuito deformaacutevel Ele se estica na direccedilatildeo de ( ) Adotando uma normal para dentro da paacutegina o fluxo magneacutetico atraveacutes dessa superfiacutecie eacute

= ∙ = = ( ) = ( ) Portanto a FEM de movimento nesse circuito eacute de acordo com a regra do fluxo

ℇ = ℇ( ) = minus = minus ( ) = minus ( ) = minus

Note que = Vemos na Figura acima que de acordo com a regra da matildeo direita como adotamos

para dentro da paacutegina (paralelo a ) a FEM positiva estaria no sentido horaacuterio Como obtivemos uma FEM

negativa segue que ela estaacute de fato no sentido anti-horaacuterio Podemos conferir esse sentido atraveacutes da lei de

Lenz O fluxo magneacutetico no circuito estaacute para dentro da paacutegina e aumentando com o tempo Portanto a

corrente induzida na espira vai ter que circular em um sentido tal que produz ela mesma um campo

magneacutetico para fora da paacutegina A regra da matildeo direita para o campo magneacutetico da espira diz entatildeo que a

corrente nela deve ter o sentido anti-horaacuterio

Em princiacutepio o problema estaacute resolvido e entendemos agora por que a lacircmpada acende Mas dizer

que a lacircmpada acende porque o fluxo magneacutetico no circuito varia natildeo explica nada apenas descreve Se

pensarmos em um niacutevel mais fundamental vamos querer saber qual

forccedila estaacute impulsionando os portadores de carga nesse circuito

fazendo com que a corrente flua atraveacutes da lacircmpada Para isso

podemos apelar para a definiccedilatildeo primitiva de FEM em termos do

trabalho de uma forccedila A Figura ao lado destaca um portador de

carga gt 0 (bolinha azul) que estaacute dentro da haste condutora deslizante Esse portador tambeacutem eacute puxado

com a velocidade e passa a sofrer uma forccedila magneacutetica (seta roxa) dada por

( )

( )

391

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

( ) = times

A forccedila magneacutetica por unidade de carga eacute = times Note que a forccedila impulsiona o portador paralelamente agrave

haste fazendo ele fluir no sentido anti-horaacuterio no circuito da lacircmpada (densidades de carga superficiais no

circuito vatildeo ajudar isso a acontecer) Soacute haacute forccedila magneacutetica nos portadores de carga que estatildeo na haste

deslizante pois no restante do circuito vale = 0 Portanto a magnitude da FEM no circuito (em volts) eacute

ℇ = ℇ( ) = ∙ = times ∙ = = =

Quanto ao sentido de ℇ( ) eacute o sentido em que ( ) impulsiona os portadores de carga positiva ou seja

anti-horaacuterio Se puxarmos a haste com velocidade constante vamos obter uma FEM constante

Aqui entendemos porque temos preferecircncia por chamar a relaccedilatildeo ℇ = minus de regra do fluxo

ao inveacutes de lei de Faraday De fato apesar de com esse experimento especiacutefico Faraday ter inventado o

gerador de energia eleacutetrica natildeo houve nele a descoberta de nenhuma nova lei da natureza ou do

eletromagnetismo Trata-se apenas da velha forccedila magneacutetica ( ) = times posta para trabalhar de uma

forma e com um efeito que ningueacutem tinha feito antes Vocecirc pode estranhar essa uacuteltima frase se vocecirc se

lembrar que a forccedila magneacutetica natildeo realiza trabalho Mas note o trabalho de uma forccedila sobre uma partiacutecula

que percorre uma curva eacute

em que eacute o deslocamento infinitesimal da partiacutecula ao longo de Nesse sentido podemos ter certeza

que

times ∙ = 0

para qualquer caminho percorrido por uma partiacutecula que sofre essa forccedila magneacutetica Mas na expressatildeo da

FEM de movimento natildeo eacute o deslocamento do portador de carga eacute um vetor deslocamento paralelo ao

circuito Devemos nos lembrar que no contexto da FEM de movimento o portador de carga se desloca ao

longo do circuito ou seja ao logo desse e tambeacutem ao longo de que eacute a velocidade de movimentaccedilatildeo do

circuito Para um intervalo de tempo infinitesimal poderiacuteamos dizer que = +

392

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

ou seja nesse tempo o portador de carga se desloca um pouco ao longo do circuito ( ) e ao mesmo

tempo se desloca um pouco juntamente com o circuito ( ) Tendo isso em vista natildeo haacute contradiccedilatildeo

quando entendemos que a FEM de movimento ℇ( ) eacute o trabalho da forccedila magneacutetica (sobre um portador de

carga) ao longo do circuito (e natildeo o trabalho da forccedila magneacutetica)

Para o sistema discutido acima devemos nos lembrar que enquanto haacute corrente induzida os

portadores de carga adquirem aleacutem da velocidade fornecida por um agente externo que puxa a haste (que

poderia ser uma roda drsquoaacutegua) a velocidade de deriva ao longo da haste (e ao longo de todo o circuito)

Portanto enquanto a haste desliza a forccedila magneacutetica em um portador de carga eacute

( ) = times + times

Note que isso natildeo altera em nada nosso resultado anterior para ℇ( ) pois times eacute ortogonal agrave haste jaacute

que eacute paralela agrave haste ou seja times ∙ = 0 Portanto o trabalho da forccedila magneacutetica em um portador

enquanto ele se desloca em um tempo eacute

( ) = ( ) ∙ = times + times ∙ +

Lembrando que nesse intervalo de tempo o deslocamento do portador ao longo da haste eacute =

obtemos finalmente

( ) = times + times ∙ ( + ) = ( + ) times ∙ ( + ) = 0

(levando em conta que o produto escalar entre dois vetores ortogonais entre si eacute nulo)

A Figura ao lado ilustra as vaacuterias grandezas vetoriais envolvidas na

expressatildeo de ( ) acima ( ) eacute a forccedila magneacutetica atuante no

portador de carga enquanto ele se move com velocidade + ao longo da

linha tracejada amarela Note que ( ) eacute ortogonal agrave trajetoacuteria do portador

e por isso ( ) = 0 Natildeo haacute trabalho da forccedila magneacutetica Quem realiza

trabalho e faz a lacircmpada acender O agente externo que puxa a haste Se ele parar de puxar a haste para

devido agrave accedilatildeo da forccedila magneacutetica times que aponta no sentido oposto agrave velocidade Resumindo o

agente externo puxa a haste e o portador com velocidade Nasce uma forccedila times que empurra o portador

para cima ao longo da haste O portador adquire a velocidade de deriva e nasce nele outra forccedila times

que o empurra no sentido oposto a O agente externo sente essa forccedila ele sente que a haste resiste a ser

puxada como se houvesse nela um arrasteatrito Se o agente externo desiste de puxar a haste desliza por

poucos segundos e para sob accedilatildeo dessa forccedila de ldquofreio magneacuteticordquo (a energia cineacutetica da haste eacute dissipada

atraveacutes do efeito Joule no circuito) Se o agente externo persiste ele sente que tem que manter uma forccedila

puxando a haste ele sente que tem que trabalhar para que a lacircmpada acenda A forccedila que ele tem que

times

times

( )

393

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

manter na haste para que ela continue com velocidade constante eacute a forccedila que vence a forccedila de freio

magneacutetico que para o total de portadores na haste vale

( ) = times = times = times

sendo a densidade de portadores no material da haste e a aacuterea da seccedilatildeo e o comprimento da haste e

o vetor comprimento ao qual jaacute estamos habituados Nesse caso especiacutefico e satildeo ortogonais entre si e essa

forccedila de freio possui moacutedulo e puxa a haste para traacutes O agente externo deveraacute aplicar na haste uma

forccedila de moacutedulo puxando a haste para a frente A taxa com que o agente externo deveraacute realizar

trabalho sobre a haste (a potecircncia mecacircnica) eacute = ( ) = ( ) = ℇ( )

Essa uacuteltima expressatildeo quantifica a afirmaccedilatildeo o responsaacutevel pelo brilho da lacircmpada eacute o agente externo

que estaacute puxando a haste imprimindo nela a velocidade Analogamente em uma usina hidreleacutetrica a

energia eleacutetrica vem da queda drsquoaacutegua que empurra as hastes das turbinas e movimenta o rotor do gerador de

energia eleacutetrica Nesse rotor haacute solenoacuteides que giram em um campo magneacutetico estaacutetico

Em um gerador de energia eleacutetrica o campo magneacutetico natildeo realiza trabalho Quem realiza trabalho eacute o

agente externo que movimenta o gerador O que faz o campo magneacutetico entatildeo Ele movimenta os portadores

de carga ao longo do circuito ou seja ele cria a corrente induzida Natildeo haacute muita novidade nisso Na mecacircnica

encontramos situaccedilotildees parecidas Para que uma pessoa caminhe ela precisa da forccedila de atrito estaacutetico entre

seus peacutes e o chatildeo eacute essa forccedila que a impulsiona para frente Mas a forccedila de atrito estaacutetico natildeo realiza

trabalho A pessoa caminha graccedilas agrave sua energia interna ao seu metabolismo

Esse exemplo mostra a coerecircncia da conservaccedilatildeo da energia em um gerador de energia eleacutetrica Para

entendermos isso devemos enxergar a existecircncia de uma forccedila de freio magneacutetico no circuito que resiste agrave

movimentaccedilatildeo do gerador Essa forccedila de freio magneacutetico tem aplicaccedilotildees praacuteticas ela eacute utilizada na frenagem

de trens de alta velocidade substituindo os sistemas convencionais de freio pela accedilatildeo do atrito cineacutetico Se

vocecirc quiser saber um pouco mais sobre essa forccedila de freio magneacutetico pode dar uma olhada no artigo

Analytical results for rotating and linear magnetic brakes J A Redinz Advanced Electromagnetics 7 (2018)

Estamos respondendo aqui agrave pergunta sobre qual a forccedila responsaacutevel pela corrente induzida nos

experimentos de Faraday No caso mais simples de FEM de movimento essa forccedila eacute a forccedila magneacutetica

produzida pela movimentaccedilatildeo do circuito em um campo magneacutetico estaacutetico Basicamente um agente externo

move o circuito com velocidade e nasce nos portadores de carga uma forccedila magneacutetica times responsaacutevel

pela FEM induzida A grande descoberta de Faraday veio da resposta a essa pergunta nos casos em que o

circuito estaacute parado No experimento 1 quando deixamos o circuito parado e movimentamos o imatilde ou no

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

experimento 2 quando mudamos o estado da chave S Nesses casos vale = 0 e ( ) = times = 0 Natildeo

podemos dizer que nesses sistemas haacute uma forccedila magneacutetica impulsionando os portadores de carga no circuito

ligado ao galvanocircmetro Mas sendo a FEM induzida dada por

ℇ = ∙

devemos encontrar uma forccedila nesses sistemas Os portadores de carga natildeo fluem por conta proacutepria

Natildeo restam muitas opccedilotildees Se natildeo eacute uma forccedila magneacutetica eacute uma forccedila eleacutetrica = = A

questatildeo eacute que jaacute estudamos campos eleacutetricos e sabemos que eles satildeo produzidos por acuacutemulos de cargas

eleacutetricas e natildeo haacute nenhum acuacutemulo de cargas eleacutetricas devido agrave movimentaccedilatildeo do imatilde ou ao chaveamento de

S Aleacutem disso sabemos que o campo eleacutetrico eacute conservativo e que se considerarmos a integral de no circuito

completo vamos obter um resultado nulo A energia que o campo daacute na ida ele retira na volta como faz o

campo gravitacional Enfim com esses experimentos Faraday descobriu duas coisas 1) haacute outra forma de

produzir campo eleacutetrico atraveacutes de correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo (natildeo estacionaacuterias) 2) esse campo

eleacutetrico natildeo sendo produzido por acuacutemulos de cargas eleacutetricas natildeo satisfaz agrave lei de Coulomb e portanto natildeo

tem que ser e natildeo eacute conservativo

Faraday descobriu que a movimentaccedilatildeo de um imatilde produz no espaccedilo um campo eletromagneacutetico ou

seja um campo magneacutetico (conforme jaacute estudamos) e um campo eleacutetrico O circuito ligado ao galvanocircmetro

estaacute mergulhado nesse campo eletromagneacutetico e mesmo que valha ( ) = times = 0 pois = 0 existe

uma forccedila eleacutetrica nos portadores de carga nesse circuito e portanto uma FEM induzida dada por

ℇ = ∙

Analogamente Faraday descobriu que a variaccedilatildeo da corrente eleacutetrica em um solenoacuteide faz com que

ele produza no espaccedilo um campo eletromagneacutetico ou seja um campo magneacutetico (conforme jaacute estudamos) e

um campo eleacutetrico O circuito ligado ao galvanocircmetro estaacute mergulhado nesse campo eletromagneacutetico e

mesmo que valha ( ) = times = 0 pois = 0 existe uma forccedila eleacutetrica nos portadores de carga nesse

circuito e portanto uma FEM induzida dada por

ℇ = ∙

Esses dois casos imatilde se movendo e chave S mudando de estado correspondem ao caso de sistemas

com correntes eleacutetricas que variam no tempo No caso do solenoacuteide isso eacute mais evidente pois o chaveamento

da chave S liga e desliga a corrente no solenoacuteide ou seja cria uma ( ) circulando no solenoacuteide No caso do

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

imatilde se movendo isso natildeo eacute tatildeo evidente mas note que conforme jaacute discutimos dentro do imatilde existem

correntes eleacutetricas microscoacutepicas (organizadas espacialmente) responsaacuteveis por seu campo magneacutetico e que

quando movemos o imatilde a corrente eleacutetrica ldquono espaccedilordquo passa a variar no tempo De fato seja A um ponto

qualquer do espaccedilo na vizinhanccedila do imatilde Enquanto o imatilde natildeo estiver passando por A vale ( ) = 0

Quando o imatilde estiver passando por A vai valer ( ) ne 0 Conclusatildeo a movimentaccedilatildeo do imatilde produz no

espaccedilo uma ( ) uma espeacutecie de pulso de corrente que acompanha o imatilde Aonde o imatilde vai a corrente vai

junto e em cada ponto do espaccedilo ela muda no tempo conforme a posiccedilatildeo do imatilde muda no tempo Apenas

para enfatizar essa ideia a movimentaccedilatildeo do imatilde natildeo modifica as correntes atocircmicas dentro do imatilde mas cria

no espaccedilo uma ( ) Resumindo Faraday descobriu que em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe uma corrente eleacutetrica

variaacutevel no tempo existe um campo magneacutetico (conforme jaacute haviacuteamos concluiacutedo para correntes estacionaacuterias)

e tambeacutem um campo eleacutetrico natildeo-coulombiano ambos em geral variaacuteveis no tempo ( ) e ( ) O

termo ldquonatildeo-coulombianordquo quer dizer que o a que estamos nos referindo aqui natildeo eacute aquele que

estudamos na eletrostaacutetica O campo coulombiano eacute criado por acuacutemulos de cargas eleacutetricas obedece agrave lei

de Coulomb e eacute conservativo O campo descoberto por Faraday tambeacutem chamado de campo eleacutetrico

induzido eacute produzido por correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo natildeo obedece agrave lei de Coulomb e natildeo eacute

conservativo

A Figura 6 ao lado ilustra a situaccedilatildeo do imatilde se

aproximando da espira ligada ao galvanocircmetro O imatilde cria

no espaccedilo um campo eletromagneacutetico Esboccedilamos

algumas linhas de (em verde) emanando do poacutelo N do

imatilde e algumas linhas de forccedila de (em azul) que satildeo

linhas fechadas orientadas como natildeo poderia deixar de

ser no mesmo sentido da FEM induzida na espira nesse

caso (imagine que o ponteiro do galvanocircmetro esteja fora

do zero) Quando dizemos que esse campo eleacutetrico natildeo eacute

conservativo queremos dizer basicamente o que essa

Figura ilustra se integrarmos o campo eleacutetrico ao longo

de qualquer uma dessas curvas que satildeo as proacuteprias

linhas de forccedila de vamos obter

∙ ne 0

imatilde se movendo

Figura 6 um imatilde se movendo cria no espaccedilo um campo eletromagneacutetico

396

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

ao passo que para o campo (coulombiano) eletrostaacutetico vale sempre

∙ = 0

Jaacute discutimos no capiacutetulo 6 que os circuitos eleacutetricos geralmente envolvem acuacutemulos de cargas

eleacutetricas nas extremidades de dispositivos como nos resistores e ao longo dos fios guiando os portadores de

carga e a corrente eleacutetrica ao longo do circuito Portanto em geral os circuitos eleacutetricos envolvem a accedilatildeo de

um campo eleacutetrico coulombiano Mas sendo esse campo conservativo ele natildeo pode ser o uacutenico responsaacutevel

pelo funcionamento de um circuito em regime estacionaacuterio O campo eletrostaacutetico pode no maacuteximo produzir

transientes em circuitos como no caso da descarga em um circuito RC Para que um circuito funcione em

regime estacionaacuterio mantendo uma lacircmpada acesa por exemplo tem que haver nele um outro campo de

forccedila com integral (circulaccedilatildeo) natildeo nula e positiva ao longo do circuito ou seja que realiza trabalho positivo e

fornece energia para os portadores de carga eleacutetrica No circuito da Figura 6 Faraday descobriu que esse outro

campo de forccedila eacute o campo eleacutetrico induzido

Na Figura 7 ilustramos a situaccedilatildeo em que

ficamos ligando e desligando continuamente a

chave S e criamos no solenoacuteide uma corrente

pulsante ( ) Mesmo que o solenoacuteide esteja

parado ele cria no espaccedilo um campo

eletromagneacutetico Esboccedilamos algumas linhas de

(em verde) emanando do que seria o poacutelo N do

solenoacuteide (se esse poacutelo eacute N ou S depende do

sentido da corrente no solenoacuteide) e algumas

linhas de forccedila de (em azul) que satildeo linhas

fechadas orientadas Estamos imaginando aqui

que ( ) estaacute crescendo nesse instante (a chave S acabou de ser fechada) o que equivaleria no caso da Figura

6 agrave aproximaccedilatildeo do imatilde (imagine que o ponteiro do galvanocircmetro estaacute fora do zero)

Um campo eletromagneacutetico eacute basicamente o que jaacute discutimos um par ( ) e ( ) definido em

todos os pontos de espaccedilo e em cada instante de tempo Um par ( ) e ( ) natildeo constitui um campo

eletromagneacutetico porque os campos estacionaacuterios possuem existecircncias independentes um do outro Natildeo haacute

uma lei que relacione em geral um com o outro As leis de Coulomb e Gauss governamdescrevem os campos ( ) e as leis de Biot-Savart e Ampegravere governamdescrevem os campos ( ) No caso dos campos

eletromagneacuteticos os campos ( ) e ( ) satildeo inseparaacuteveis um natildeo existe sem o outro Dizemos que os

S

Figura 7 uma corrente eleacutetrica pulsante em um solenoacuteide cria no espaccedilo um campo eletromagneacutetico

chave pulsando

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

campos estatildeo acoplados entre si Foi o que Faraday descobriu De fato tendo em vista que nesse contexto de

circuitos (que estatildeo sofrendo a induccedilatildeo) parados vale

ℇ = ∙

e considerando que a regra universal do fluxo vale sempre (por isso ela eacute universal) obtemos finalmente a lei

de induccedilatildeo de Faraday

minus = minus ∙ = ℇ = ∙

ou seja

∙ = minus ∙

sendo um circuito fechado (estaacutetico) qualquer e uma superfiacutecie aberta qualquer que tem como borda

esse circuito Essa equaccedilatildeo integral acopla uma propriedade espacial de (uma integral de caminho que

chamamos de circulaccedilatildeo) com uma propriedade espaccedilotemporal de (a derivada do fluxo) Chamamos esse

acoplamento entre e de induccedilatildeo eletromagneacutetica (a ideia de que e se induzem mutuamente)

Olhando para essa equaccedilatildeo acima vemos que ela natildeo envolve nenhuma caracteriacutestica do circuito que

natildeo seja simplesmente sua forma geomeacutetrica Natildeo haacute por exemplo menccedilatildeo ao material de que o circuito eacute

feito Enfim esse raciociacutenio estaacute nos indicando que o fenocircmeno da induccedilatildeo eletromagneacutetica estaacute revelando

um acoplamento que acontece entre os campos ( ) e ( ) independentemente da existecircncia ou natildeo de

um circuito e na expressatildeo acima satildeo os campos no espaccedilo que existem mesmo que retiremos o circuito

dessa regiatildeo onde ele estaacute (esses campos estatildeo sendo produzidos pela movimentaccedilatildeo do imatilde ou da chave no

solenoacuteide nos casos das Figuras 6 e 7) Nesse sentido podemos escrever a lei de induccedilatildeo de Faraday na forma

mais geral (e mais abstrata)

∙ = minus ∙

sendo uma curva (imaginaacuteria) fechada qualquer e uma superfiacutecie (imaginaacuteria) aberta qualquer que tem

como borda essa curva No caso estacionaacuterio se por exemplo paramos de mover o imatilde ou paramos de

chavear a chave S a corrente eleacutetrica no espaccedilo se torna estacionaacuteria o campo magneacutetico no espaccedilo se torna

um campo magnetostaacutetico e obtemos

∙ = minus ∙ = 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

ou seja se houver um campo eleacutetrico nessa regiatildeo do espaccedilo ele seraacute o velho campo eleacutetrico conservativo

produzido por algum acuacutemulo de cargas que porventura exista em algum lugar Voltamos ao caso estacionaacuterio

com campos e independentes entre si O campo volta a ser conservativo se ele existir e o

galvanocircmetro indica corrente nula na espira Se voltamos a mover o imatilde ou voltamos a chavear a chave S

comeccedila tudo outra vez a corrente eleacutetrica no espaccedilo se torna variaacutevel no tempo e produz campos e

acoplados entre si pela lei de Faraday O campo eleacutetrico deixa de ser conservativo e o galvanocircmetro acusa

uma corrente circulando na espira

Muitas vezes encontramos em textos de eletromagnetismo a ideia de que a lei de Faraday estaacute

mostrando que um campo magneacutetico variaacutevel no tempo induz um campo eleacutetrico no espaccedilo (daiacute o nome

campo eleacutetrico induzido) Mas natildeo eacute isso que estaacute descrito na lei de Faraday Aqui encontramos uma situaccedilatildeo

parecida com a do ovo e da galinha Quem nasceu primeiro A ideia de que o campo magneacutetico variaacutevel no

tempo induz campo eleacutetrico ou seja que o campo eleacutetrico (induzido) eacute um efeito do campo magneacutetico traacutes

embutida nela a ideia de que o campo eleacutetrico vem depois do campo magneacutetico com em uma relaccedilatildeo

qualquer de causa e efeito o efeito soacute pode vir depois da causa Mas o que vimos aqui foi apenas que

correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo produzem ( ) e ( ) Natildeo vimos que correntes eleacutetricas variaacuteveis

no tempo produzem um campo ( ) e que depois esse ( ) induz um ( ) Natildeo haacute essa sequecircncia de

eventos descrita na lei de Faraday A Lei de induccedilatildeo de Faraday apenas diz que havendo um ( ) haacute

tambeacutem um ( ) pois eles estatildeo acoplados entre si Natildeo haacute nessa lei nenhuma afirmaccedilatildeo sobre causa e

efeito De fato vale tambeacutem a ideia de que se haacute um ( ) natildeo conservativo no espaccedilo entatildeo haacute tambeacutem

um ( ) conforme veremos na lei de Ampegravere-Maxwell A causa comum de ( ) e ( ) eacute a corrente

eleacutetrica variaacutevel no tempo Eacute a corrente eleacutetrica variaacutevel no tempo que produz um campo eletromagneacutetico no

espaccedilo Nesse campo ( ) e ( ) nascem ou morrem simultaneamente acoplados entre si pela lei de

Faraday

Dizer que a causa de ( ) e ( ) eacute uma corrente eleacutetrica variaacutevel no tempo eacute uma visatildeo

macroscoacutepica do fenocircmeno da induccedilatildeo eletromagneacutetica Pensando em um niacutevel microscoacutepico o que estamos

descobrindo aqui eacute que partiacuteculas com carga eleacutetrica dependendo de como elas se movem produzem no

espaccedilo aleacutem dos campos eletrostaacutetico e magnetostaacutetico campos eleacutetricos natildeo conservativos Dependendo do

estado de movimento da partiacutecula com carga eleacutetrica podemos observar em sua vizinhanccedila apenas um campo

eletrostaacutetico tambeacutem um campo magnetostaacutetico e ainda um campo eleacutetrico natildeo conservativo Se vocecirc quiser

dar uma conferida nessa ideia pode olhar o artigo Faraday induction from point-charge fields J A Redinz

American Journal of Physics 87 (2019)

399

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Natildeo deixa de ser curioso que a FEM de movimento que natildeo envolve campo eleacutetrico induzido mas sim

a forccedila magneacutetica ( ) = times seja descrita pela mesma regra do fluxo que descreve as situaccedilotildees em

que ocorre a induccedilatildeo eletromagneacutetica descoberta por Faraday Por exemplo no experimento 1 se movemos o

circuito e deixamos o imatilde fixo natildeo haacute induccedilatildeo eletromagneacutetica (natildeo existe campo eleacutetrico induzido no espaccedilo)

mas ocorre induccedilatildeo de FEM e corrente no circuito com ℇ = ℇ( ) = minus Nesse mesmo experimento

se movemos o imatilde e deixamos o circuito fixo haacute induccedilatildeo eletromagneacutetica surge um campo eleacutetrico induzido

no espaccedilo e ocorre induccedilatildeo de FEM e corrente no circuito com ℇ = minus Natildeo se trata de uma

coincidecircncia incriacutevel mas sim da manifestaccedilatildeo da relatividade do movimento Natildeo importa quem estaacute se

movendo se eacute o imatilde ou a espira estes dois casos se encaixam no mesmo experimento visto por dois

observadores diferentes um em repouso em relaccedilatildeo agrave espira e outro em relaccedilatildeo ao imatilde Mesmo que as forccedilas

envolvidas na FEM sejam diferentes para esses dois observadores a regra do fluxo resume a ideia de que

havendo movimento relativo vocecirc mede a mesma FEM induzida no circuito da espira Vocecirc poderia se

perguntar mas haacute ou natildeo haacute campo eleacutetrico induzido no espaccedilo A resposta a essa pergunta vai depender de

a qual observador ela eacute dirigida Se vocecirc fizer essa pergunta a um observador que vecirc o imatilde parado (e o circuito

se movendo) ele vai responder que natildeo haacute campo eleacutetrico induzido no espaccedilo e ele pode provar isso atraveacutes

de medidas eleacutetricas Se por outro lado vocecirc fizer essa pergunta a um observador que vecirc o imatilde se movendo

(e o circuito parado) ele vai responder que haacute sim um campo eleacutetrico induzido no espaccedilo e ele pode provar

isso atraveacutes de medidas eleacutetricas Conclusatildeo a realidade eacute uma soacute mas a descriccedilatildeo da realidade depende do

observador A existecircncia de campos eleacutetricos e magneacuteticos eacute relativa

A lei de Faraday pode tambeacutem ser escrita na forma (para uma curva C estacionaacuteria)

∙ = minus ∙ rArr ∙ = minus ∙

sendo a derivada parcial de ( ) em relaccedilatildeo ao tempo Natildeo podemos deixar de notar uma

similaridade entre essa forma da lei de Faraday e a lei de Ampegravere

∙ = ∙ =

que estudamos no capiacutetulo 8 Se trocarmos por e por minus na lei Ampegravere obtemos a lei de Faraday

Assim sendo eacute de se esperar que o campo eleacutetrico induzido presente na lei de Faraday se relacione no espaccedilo

com o campo de uma forma similar agrave relaccedilatildeo que existe entre o campo magnetostaacutetico e o vetor

densidade de corrente na lei de Ampegravere Vimos que a lei de Biot-Savart leva geralmente a um campo

magneacutetico que eacute ortogonal agrave corrente que estaacute produzindo esse campo pois essa lei envolve um produto times sendo paralelo agrave corrente Portanto essa relaccedilatildeo entre e tambeacutem deve estar expressa na lei de

400

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Ampegravere o campo eleacutetrico induzido eacute ortogonal ao campo Eacute comum a situaccedilatildeo em que eacute

paralelo a (o campo muda apenas de intensidade sem mudar de direccedilatildeo) e que portanto o campo eleacutetrico

induzido tenha a mesma direccedilatildeo da corrente eleacutetrica que estaacute produzindo ele posto que ele eacute ortogonal a

que por sua vez eacute ortogonal a Usamos essa ideia nas Figuras 6 e 7 quando esboccedilamos as linhas de forccedila do

campo eleacutetrico induzido como sendo circulares paralelas agrave corrente nas espiras do solenoacuteide ou agraves correntes

microscoacutepicas no imatilde que estatildeo produzindo esse campo

93 Aplicaccedilotildees praacuteticas da induccedilatildeo eletromagneacutetica

Nessa seccedilatildeo vamos discutir algumas poucas aplicaccedilotildees praacuteticas desse fenocircmeno de induccedilatildeo FEM de

movimento e induccedilatildeo eletromagneacutetica Poderiacuteamos dizer que a aplicaccedilatildeo mais ldquoatualrdquo estaacute nas

telecomunicaccedilotildees pois as ondas eletromagneacuteticas que ldquotransportamrdquo os sinais de

raacutedioTVinternetsateacuteliteetc satildeo simplesmente campos eletromagneacuteticos que se propagam no espaccedilo na

velocidade da luz Essas ondas viajam na velocidade da luz porque a proacutepria luz eacute uma onda eletromagneacutetica e

todas viajam na mesma velocidade (dentro de um meio especiacutefico) Campos eletromagneacuteticos e portanto

ondas eletromagneacuteticas satisfazem a lei de Faraday e natildeo deixam de ser nesse sentido aplicaccedilotildees praacuteticas

dessa lei pois elas estatildeo em toda parte Mas a discussatildeo de ondas eletromagneacuteticas natildeo faz parte do contexto

desse curso e vamos ficar aqui com aplicaccedilotildees mais simples da induccedilatildeo

931 O gerador de energia eleacutetrica

Um gerador de energia eleacutetrica converte energia mecacircnica em

energia eleacutetrica Faraday inventou um gerador simples chamado de

disco de Faraday composto de apenas um disco metaacutelico (de alumiacutenio

ou cobre) que eacute posto a girar (por um agente externo) com velocidade

angular em um campo magneacutetico estacionaacuterio Contatos

deslizantes (escovas) conduzem a corrente induzida no disco para um

dispositivo externo uma lacircmpada por exemplo A ideia estaacute ilustrada

na Figura 8 ao lado Trata-se de uma simples aplicaccedilatildeo de FEM de

movimento Os portadores de carga no disco satildeo postos a girar com velocidade tangencial = sendo os

raios de suas posiccedilotildees no disco e passam a sofrer a forccedila magneacutetica ( ) = times Daiacute eles passam a fluir

no disco na direccedilatildeo radial Se o circuito externo estiver aberto os portadores de carga apenas acumulam na

periferia ou no centro do disco (depende do sentido de ( )) Daiacute nasce um campo eletrostaacutetico devido a

esses acuacutemulos de carga ateacute que se estabeleccedila o equiliacutebrio entre as forccedilas ( ) e ( ) = Ao final haacute

uma DDP entre o eixo e a periferia do disco Se vocecirc colocar a matildeo nesses lugares do disco pode levar um

Figura 8 o disco de Faraday

401

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

choque Fechando o circuito externo a corrente induzida passa a fluir Natildeo vamos entrar em detalhe aqui

sobre os caacutelculos dessas grandezas Se vocecirc quiser ter uma ideia pode olhar o artigo Faradays first dynamo

An alternate analysis J A Redinz American Journal of Physics 83 (2015)

Os geradores de uso mais comum consistem em solenoacuteides girando em uma regiatildeo onde existe um

campo magneacutetico estacionaacuterio criado por imatildes ou por outros solenoacuteides A Figura 9 abaixo ilustra a ideia para

apenas uma espira circular Imagine que a espira gire constantemente com velocidade angular Trata-se

novamente de um exemplo simples de FEM de movimento Se eacute o raio da espira a regra do fluxo diz que a

FEM induzida na espira eacute ℇ = ℇ( ) = minus

com = cos( ( )) = cos( ) posto que ( ) = Portanto ℇ( ) = sen( ) Note que a FEM na espira alterna de sinal ou seja alterna de polaridade No instante mostrado na

Figura 9 a FEM eacute positiva (porque 0 lt lt ) e tem o sentido

mostrado pela setinha vermelha Note que nesse instante o fluxo

magneacutetico estaacute diminuindo no tempo pois a espira estaacute se tornando

rasante em relaccedilatildeo ao campo Apoacutes passar pela posiccedilatildeo =

(quando a FEM eacute nula) a FEM se torna negativa ou seja circula no

sentido oposto na espira Trata-se de uma FEM alternada exatamente

como as que existem nas tomadas das instalaccedilotildees eleacutetricas

residenciais (porque essas tomadas estatildeo conectadas a geradores

como esse) Se a resistecircncia eleacutetrica da espira for a corrente eleacutetrica

induzida que vai circular nela seraacute

Note que enquanto essa corrente circula na espira nascem forccedilas

magneacuteticas que produzem um torque que freia a espira (o freio

magneacutetico a que jaacute nos referimos) e o agente externo sente que ele tem

que fazer forccedila na manivela para que a espira gire A potecircncia com que o

agente externo realiza trabalho eacute exatamente a potecircncia dissipada

na espira por efeito Joule (desprezando o atrito nos mancais)

Como ldquoretirarrdquo a corrente induzida desse circuito Podemos usar

aneacuteis e contatos deslizantes como na Figura ao lado Considere que os aneacuteis metaacutelicos estatildeo soldados aos

Figura 9 um gerador com uma espira

= ℇ( ) = sen( )

402

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

terminais da espira e giram com ela Os contatos deslizantes (escovas de grafite em roxo) fecham o circuito

externamente atraveacutes da lacircmpada Note que na lacircmpada circula uma corrente alternada

Adaptando o eixo de rotaccedilatildeo da espira a uma roda drsquoaacutegua produzimos uma usina hidreleacutetrica

932 O motor de induccedilatildeo

O motor eleacutetrico faz o oposto do gerador ele converte energia eleacutetrica em energia mecacircnica Jaacute

discutimos o motor eleacutetrico CC no capiacutetulo 7 e vimos que seu funcionamento de baseia na accedilatildeo da forccedila

magneacutetica e no torque magneacutetico no rotor dado por (para uma espira) = times

eacute o campo magneacutetico estacionaacuterio produzido pelo estator na regiatildeo do rotor Ele pode ser produzido por

imatildes ou por solenoacuteides eacute o momento de dipolo magneacutetico de uma espira no rotor Para uma espira que eacute

uma curva plana vale = sendo a corrente na espira a aacuterea plana delimitada pela espira e um

vetor normal a essa aacuterea plana orientado de acordo com a regra da matildeo direita Em um motor CC vimos que a

corrente eleacutetrica eacute levada ateacute as espiras do rotor atraveacutes de contatos comutadores e escovas deslizantes Em

um motor de induccedilatildeo o princiacutepio de funcionamento continua sendo a accedilatildeo do torque mas a corrente eacute

uma corrente induzida Natildeo haacute comutadores ou escovas A corrente eacute produzida no rotor atraveacutes de induccedilatildeo

eletromagneacutetica O motor de induccedilatildeo soacute funciona em correntes alternadas pois a ideia eacute que essas correntes

alternadas no estator vatildeo produzir um campo eletromagneacutetico na regiatildeo

do rotor e induzir correntes nesse rotor As correntes circulantes

produzem forccedilas magneacuteticas e o torque A Figura ao lado mostra o

rotor de um motor de induccedilatildeo Natildeo haacute contatos eleacutetricos e nem espiras

trata-se de um bloco metaacutelico ciliacutendrico maciccedilo e a corrente eleacutetrica no rotor eacute uma corrente induzida

Devido a sua simplicidade e baixa manutenccedilatildeo (ausecircncia de escovas) motores de induccedilatildeo tecircm sido

utilizados em veiacuteculos eleacutetricos (por serem alimentados por baterias exigem um circuito de conversatildeo CC em

CA) como os produzidos pela Tesla Motors

Se vocecirc quiser ver uma discussatildeo mais quantitativa do motor de induccedilatildeo pode olhar o artigo The

induction motor J A Redinz European Journal of Physics 36 (2015)

933 O transformador de voltagem

Considere que em diferentes situaccedilotildees precisamos de diferentes valores de DDP Por exemplo na

transmissatildeo de energia eleacutetrica por longas distacircncias como a que ocorre de uma usina hidreleacutetrica ateacute uma

cidade consumidora atraveacutes de linhas de transmissatildeo eacute interessante que o niacutevel de DDP seja bastante

elevado Encontramos exemplos de linhas de transmissatildeo em que a DDP entre dois de seus fios condutores eacute

403

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

da ordem de 500 kV Nesse caso a vantagem na elevaccedilatildeo da DDP estaacute na concomitante reduccedilatildeo na corrente

que circula nos fios da linha de transmissatildeo e portanto na reduccedilatildeo na perda de energia por efeito Joule

Considere que eacute a resistecircncia de um desses fios que pode ter centenas de quilocircmetros de comprimento Se

eacute a corrente circulando no fio a perda de energia nesse fio por efeito Joule se daacute com a potecircncia Natildeo

haacute muito como mudar o valor de dado basicamente pela foacutermula = sendo a resistividade do

material do fio seu comprimento e sua aacuterea de seccedilatildeo transversal Fatores como custo de material peso e

resistecircncia mecacircnica limitam bastante as opccedilotildees Geralmente os fios dessas linhas de transmissatildeo satildeo feitos

de uma trama de alumiacutenio e accedilo conferindo a ele baixo custo baixa resistecircncia eleacutetrica baixo peso e alta

resistecircncia mecacircnica Resta entatildeo para reduzir as perdas reduzir a corrente Mas a potecircncia com que a

usina hidreleacutetrica entrega energia a seus consumidores eacute funccedilatildeo de eacute dada basicamente por ∆ sendo ∆

a DDP entre dois fios da linha (por onde a corrente vai e volta) Vemos que a uacutenica forma de reduzir

mantendo a capacidade energeacutetica da usina eacute aumentar ∆ Se aumentamos ∆ por um fator 1000 por

exemplo reduzimos por esse mesmo fator e reduzimos a perda de energia por um fator 1000000 Natildeo eacute

pouca coisa Natildeo eacute difiacutecil imaginar que uma DDP de 500 kV traacutes muitos perigos para aqueles obrigados a lidar

com ela Assim sendo devemos reduzir o niacutevel de DDP em etapas ateacute que o consumidor final possa lidar com

um niacutevel de DDP menos letal

Essas mudanccedilas no niacutevel de DDP elevaccedilotildees e reduccedilotildees

satildeo realizadas facilmente pelos transformadores de voltagem

Um transformador de voltagem eacute basicamente o aparato

montado por Faraday em seu experimento 2 que discutimos

no iniacutecio desse capiacutetulo Ele funciona graccedilas agrave induccedilatildeo

eletromagneacutetica A Figura 9 ao lado ilustra o que seria um

simples transformador de voltagem dois solenoacuteides que

compartilham o mesmo fluxo magneacutetico Os solenoacuteides satildeo

isolados espacialmente e eletricamente mas estatildeo acoplados

entre si atraveacutes de um campo eletromagneacutetico Se pensarmos bem esse eacute o princiacutepio de funcionamento de

uma telecomunicaccedilatildeo transmissor e receptor A Figura 9 tenta dar uma ideia (eacute soacute um esboccedilo) de como

seriam as linhas dos campos ( ) (em verde) e ( ) (em azul) supondo que correntes variaacuteveis no tempo

circulam pelos solenoacuteides Considere que um dos solenoacuteides o primaacuterio possui espiras e o outro

solenoacuteide o secundaacuterio possui espiras Em um transformador ideal o fluxo magneacutetico em cada uma

das espiras do primaacuterio eacute exatamente o mesmo que flui atraveacutes de cada uma das espiras do secundaacuterio (natildeo

haacute ldquovazamentordquo de linhas de ) Sendo = o fluxo magneacutetico total atraveacutes do solenoacuteide primaacuterio e = o fluxo magneacutetico total atraveacutes do solenoacuteide secundaacuterio segue que

Figura 9 dois solenoacuteides compotildeem um transformador de voltagem

404

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

= = rArr =

Portanto da regra do fluxo para as FEMs em cada um dos solenoacuteides obtemos

= rArr minus = minus rArr ℇ = ℇ

Essa eacute a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo de ldquovoltagemrdquo do transformador Se no primaacuterio houver 10 vezes

mais espiras que no secundaacuterio entatildeo ℇ = 10ℇ Esse seria um transformador redutor de voltagem Se no

secundaacuterio houver 10 vezes mais espiras que no primaacuterio entatildeo ℇ = ℇ 10 Esse seria um transformador

elevador de voltagem

Os transformadores de uso comercial satildeo geralmente conectados a DDPs no primaacuterio que oscilam

senoidalmente no tempo algo como ℇ ( ) = ℇ( ) cos( + ) que satildeo as DDPs produzidas pelos geradores

de energia eleacutetrica que jaacute discutimos No secundaacuterio obtemos uma DDP tambeacutem senoidal ℇ ( ) =ℇ( ) cos( + prime) e a relaccedilatildeo entre as amplitudes ℇ( ) e ℇ( ) eacute a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo deduzida acima

Se vocecirc quiser ver uma discussatildeo mais detalhada sobre o funcionamento dos transformadores pode

olhar o artigo The role of the magnetic core in transformers J A Redinz European Journal of Physics 34

(2013)

933 O fogatildeo de induccedilatildeo

Eacute interessante notar que jaacute tivemos oportunidade de discutir nesse

curso o funcionamento de dois tipos de fornosfogotildees O forno ou o fogatildeo

de resistecircncia eleacutetrica se baseia apenas no efeito Joule Passa-se corrente

por um fio resistivo e ele esquenta dissipando calor na taxa

Mencionamos tambeacutem o forno de microondas como uma aplicaccedilatildeo da accedilatildeo

de um campo eleacutetrico sobre dipolos eleacutetricos moleculares Um campo

eleacutetrico oscilatoacuterio no tempo produz um torque oscilatoacuterio = times nas

moleacuteculas dipolares (aacutegua) produzindo intensa agitaccedilatildeo molecular e calor

Aqui vamos mencionar mais um fogatildeo cujo funcionamento se baseia no

eletromagnetismo A Figura ao lado mostra um fogatildeo de induccedilatildeo com

apenas uma ldquobocardquo Logo abaixo vemos que dentro do fogatildeo haacute um solenoacuteide (que eacute a ldquobocardquo) conectado a

alguns circuitos eletrocircnicos Natildeo haacute muita novidade aqui No solenoacuteide passa uma corrente variaacutevel no tempo

Este cria na sua vizinhanccedila um campo eletromagneacutetico com linhas de forccedila de circulares Coloca-se a panela

de metal nessa regiatildeo sobre a ldquobocardquo (sobre uma placa de vidro) onde o campo eletromagneacutetico eacute mais

intenso Dentro do metal da panela (de condutividade eleacutetrica ) vale a lei de Ohm microscoacutepica

405

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

=

Concluindo o campo eleacutetrico circulante no espaccedilo atua sobre os portadores de carga dentro do metal

da panela e produz aiacute uma corrente eleacutetrica intensa que circula no fundo da

panela algo como esboccedilado na Figura ao lado O resto eacute efeito Joule e

dissipaccedilatildeo de calor na taxa Fazendo uma analogia com um transformador

de voltagem no fogatildeo de induccedilatildeo a panela eacute o secundaacuterio (em curto-circuito)

Se vocecirc colocar sua matildeo na ldquobocardquo do fogatildeo ligado natildeo haveraacute nenhum

efeito Natildeo haacute perigo de queimadura pois a corrente induzida na sua matildeo eacute despreziacutevel

934 Quando as correntes induzidas satildeo indesejaacuteveis (correntes parasitas)

O fogatildeo de induccedilatildeo eacute um exemplo simples que mostra que um objeto metaacutelico qualquer (a panela no

caso) que eacute colocado em uma regiatildeo onde existe um campo eletromagneacutetico intenso se torna um circuito

onde circulam correntes eleacutetricas e ocorre a concomitante dissipaccedilatildeo de calor No caso do fogatildeo de induccedilatildeo

esse calor eacute uacutetil Podemos mencionar casos em que essas correntes induzidas

e sua dissipaccedilatildeo de energia satildeo indesejaacuteveis Nesses casos as correntes

induzidas em objetos metaacutelicos satildeo chamadas de correntes parasitas pois elas

ldquoroubamrdquo energia do sistema

Um caso simples de correntes parasitas ocorre (ou ocorreria) nos

transformadores de voltagem Nesses transformadores satildeo utilizados nuacutecleos

de materiais ferromagneacuteticos (moles) com o objetivo baacutesico de guiar e

intensificar o fluxo magneacutetico nos solenoacuteides A Figura ao lado ilustra um transformador pequeno em que

podemos ver que os dois solenoacuteides primaacuterio e secundaacuterio estatildeo enrolados um sobre o outro no centro de

um nuacutecleo metaacutelico Podemos ver que o nuacutecleo natildeo eacute maciccedilo ele eacute laminado

Cada lacircmina metaacutelica eacute eletricamente isolada das lacircminas adjacentes por uma

camada fina de verniz As lacircminas tem a forma das letras E e I e satildeo empilhadas

como as cartas de um baralho formando um ldquocircuito magneacutetico fechadordquo

(com a forma de um 8) Sem a laminaccedilatildeo circulariam correntes induzidas nesse

nuacutecleo correntes parasitas que produziriam inutilmente calor no nuacutecleo

desperdiccedilando a energia eletromagneacutetica que eacute transmitida atraveacutes do

transformador A Figura ao lado ilustra (em vermelho) como seria uma ldquoespirardquo de corrente induzida (parasita)

nesse nuacutecleo se ele fosse maciccedilo Note como a laminaccedilatildeo do nuacutecleo interrompe essa ldquoespirardquo e impede que

ela ocorra de fato A corrente deve ser induzida apenas nas espiras dos solenoacuteides

406

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

94 A lei de Ampegravere-Maxwell

Uma onda eletromagneacutetica eacute basicamente um campo eletromagneacutetico que viaja atraveacutes do espaccedilo

com a velocidade da luz Ao viajar no espaccedilo esses campos desacoplam das cargas eleacutetricascorrentes

eleacutetricas que produziram eles ou seja em uma onda eletromagneacutetica os campos e passam a depender

apenas deles proacuteprios e natildeo mais dessas cargas e correntes que foram deixadas para traacutes Considere a luz

emitida por uma estrela distante Essa luz eacute uma onda eletromagneacutetica que foi emitida pelas partiacuteculas que

compotildeem a estrela em algum tempo no passado No caso do Sol a estrela mais proacutexima a luz emitida demora

cerca de 8 minutos para chegar na Terra A luz emitida por uma estrela distante pode levar milhares de anos

ateacute chegar na Terra e pode ser que agora quando olhamos para ela ela nem exista mais No entanto a luz

emitida por ela continua se propagando no espaccedilo por sua proacutepria conta Os campos e dessa onda

eletromagneacutetica devem se alimentar mutuamente atraveacutes de seu acoplamento

Voltando aos campos eletromagneacuteticos vimos que a lei de Faraday estabelece um desses

acoplamentos entre os campos e em um campo eletromagneacutetico

∙ = minus ∙

sendo uma curva fechada qualquer e uma superfiacutecie aberta qualquer que tem como borda essa curva Essa

equaccedilatildeo integral acopla uma propriedade espacial de (uma integral de caminho que chamamos de

circulaccedilatildeo) com uma propriedade espaccedilotemporal de (a derivada do fluxo)

Se os campos e devem se alimentar e cooperar entre si parece natural esperar que houvesse uma

simetriaequivalecircncia entre esses campos em um campo eletromagneacutetico Haveria entatildeo uma lei simeacutetrica da

lei de Faraday Uma lei que fosse dada por

∙ = minus ∙

Com a ressalva de uma incompatibilidade nas unidades nos dois lados da equaccedilatildeo acima que pode ser

corrigida facilmente por uma constante a resposta eacute sim existe essa lei na natureza e graccedilas a isso existem

as ondas eletromagneacuteticas na natureza

Olhando a equaccedilatildeo acima podemos nos lembrar que jaacute vimos uma lei que envolve a ldquocirculaccedilatildeordquo do

campo em uma curva fechada Eacute a lei de Ampegravere que diz que

∙ =

407

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

sendo o campo magneacutetico no espaccedilo uma curva fechada qualquer orientada em um dado sentido

arbitraacuterio (curva amperiana) um campo de vetores comprimento infinitesimais tangentes agrave curva e

orientados no sentido da orientaccedilatildeo de e a corrente que passa por dentro da curva atravessando

qualquer superfiacutecie aberta que tem essa curva como borda

A lei sobre cuja existecircncia estamos especulando eacute a lei de

Ampegravere-Maxwell ou seja a velha lei de Ampegravere generalizada por

Maxwell (James Clerk Maxwell cientista britacircnico) Generalizada em que

sentido Vimos no capiacutetulo anterior que a lei de Ampegravere tem aplicaccedilatildeo

limitada a correntes constantes (estacionaacuterias) que satisfazem a lei dos

noacutes Para mostrar isso tentamos aplicar a lei de Ampegravere para calcular o

campo magneacutetico em um ponto simeacutetrico em relaccedilatildeo agraves extremidades de um segmento de fio reto de

comprimento L que transporta uma corrente A Figura ao lado ilustra a ideia Queremos calcular ( ) e para

isso escolhemos a curva amperiana em vermelho que eacute um ciacuterculo de raio s que passa por P Ateacute aiacute natildeo haacute

nada de mais O problema aparece quando tentamos calcular pois nesse caacutelculo podemos usar qualquer

superfiacutecie aberta que tem como borda esse ciacuterculo Olhando na Figura vemos que se usarmos a superfiacutecie

(em azul) obtemos = Se usarmos a superfiacutecie (em roxo) obtemos = 0 pois o fio jaacute acabou no

meio do caminho em Conclusatildeo a lei de Ampegravere natildeo se aplica nesse caso Concluiacutemos que a lei de Ampegravere

soacute faz sentido se houver uma continuaccedilatildeo da corrente eleacutetrica o que ocorreria se por exemplo esse fio reto

fosse infinito Daiacute a necessidade de validade da lei dos noacutes

Esse exemplo estaacute mostrando que a lei de Ampegravere tem aplicaccedilatildeo restrita a sistemas de cargas e

correntes eleacutetricas estacionaacuterios Um segmento de fio finito transportando uma corrente constante natildeo eacute um

sistema estacionaacuterio de fato Para concluir isso basta pensar na continuidade da carga eleacutetrica Na Figura

acima se corrente eleacutetrica estaacute chegando constantemente agrave extremidade direita do segmento de fio entatildeo

tem que haver nessa extremidade um acuacutemulo constante de carga eleacutetrica ou seja uma ( ) Na extremidade

esquerda haacute uma carga eleacutetrica minus ( ) A corrente transporta carga de uma extremidade do fio ateacute a outra

Portanto o sistema natildeo eacute estacionaacuterio A lei de Ampegravere soacute se aplica a sistemas estacionaacuterios em que as

correntes e os acuacutemulos de cargas eleacutetricas que porventura existam sejam necessariamente constantes no

tempo

Maxwell foi o cientista que teve a capacidade de sintetizar (cong 1870) todo o conhecimento jaacute

estabelecido acerca dos fenocircmenos eletromagneacuteticos estabelecido atraveacutes de experimentos realizados por

outros cientistas como Coulomb Ampegravere e Faraday e de reconhecer essa limitaccedilatildeo na lei de Ampegravere

propondo uma generalizaccedilatildeo para essa lei para que ela valha mesmo em regimes natildeo estacionaacuterios

z

P

s

408

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Natildeo vamos discutir aqui o raciociacutenio puramente teoacuterico desenvolvido por Maxwell para chegar na sua

generalizaccedilatildeo da lei de Ampegravere Fato eacute que ao generalizar a lei de Ampegravere Maxwell estabeleceu a simetria

entre os campos e sobre a qual jaacute comentamos Ao fazer isso Maxwell fez nascer dentro do formalismo

do eletromagnetismo a possibilidade de se prever a existecircncia na natureza das ondas eletromagneacuteticas

Maxwell propocircs entatildeo a existecircncia dessas ondas e mostrou que de acordo com seus caacutelculos elas viajariam

com uma velocidade numericamente muito proacutexima da velocidade da luz cujo valor jaacute era conhecido

experimentalmente na eacutepoca Daiacute Maxwell pode dar um salto incriacutevel de unificaccedilatildeo de descriccedilotildees de

diferentes fenocircmenos da natureza especulando que a proacutepria luz poderia ser uma onda eletromagneacutetica Natildeo

demorou muito para que novos experimentos mostrassem que Maxwell estava correto Enfim a lei de

Ampegravere-Maxwell diz que

∙ = + ∙

Apenas para ilustrar na Figura ao lado tentamos mostrar como

a lei de Ampegravere-Maxwell natildeo apresenta a mesma contradiccedilatildeo que a lei

de Ampegravere apresenta no caso do segmento de fio reto se usarmos a

superfiacutecie obtemos = Se usarmos a superfiacutecie obtemos = 0 Na Figura acrescentamos as cargas ( ) (bolinha vermelha) e minus ( ) (bolinha azul) que estatildeo acumulando nas extremidades do

segmento de fio Note que haacute portanto um campo eleacutetrico natildeo

estacionaacuterio no espaccedilo um campo eleacutetrico dipolar Esboccedilamos quatro

linhas de forccedila de que nascem na carga positiva e vatildeo morrer na carga negativa Note que mesmo que natildeo

haja fluxo de corrente atraveacutes de pois = 0 haacute fluxo de campo eleacutetrico e podemos ter certeza que se

compararmos com vamos obter

∙ = + ∙ = ∙

Podemos usar qualquer superfiacutecie S que tem como borda a curva C ao final vamos obter a mesma

resposta para o campo ( ) que nesse caso eacute aquela fornecida pela lei de Biot-Savart Conforme nossa

discussatildeo no capiacutetulo anterior vimos que a simples aplicaccedilatildeo da lei de Ampegravere no caacutelculo de ( ) qual seja

∙ =

z

P

s

409

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

vai levar a um resultado errado para ( ) O termo de Maxwell generaliza a lei de Ampegravere para sistemas natildeo

estacionaacuterios e fornece o resultado correto para ( ) o mesmo fornecido pela lei de Biot-Savart que requer

apenas a condiccedilatildeo de que a corrente que circula no fio seja constante no tempo

Maxwell chamou de ldquocorrente de deslocamentordquo o segundo termo no lado direito da lei de Ampegravere-

Maxwell de tal forma que

∙ = + ( ) sendo

( ) = ∙

a corrente de deslocamento interna agrave curva C ou equivalentemente a corrente de deslocamento que

atravessa a superfiacutecie aberta S (qualquer) que tem como borda a curva C O nome ldquocorrente de deslocamentordquo

se originou da maneira como Maxwell interpretava o fenocircmeno na eacutepoca (deslocamento de cargas no eacuteter)

que eacute diferente de como interpretamos hoje (apenas a derivada do fluxo de um termo de acoplamento

entre e )

Muitas vezes encontramos em textos de eletromagnetismo uma interpretaccedilatildeo dessa lei que sugere

que a corrente de deslocamento ( ) estaacute gerando o campo juntamente com a corrente eleacutetrica Trata-

se de um raciociacutenio anaacutelogo ao que diz que o campo magneacutetico estaacute gerando o campo eleacutetrico no fenocircmeno

da induccedilatildeo eletromagneacutetica descrito pela lei de Faraday Campos magneacuteticos satildeo gerados por correntes

eleacutetricas O que a lei de Ampegravere-Maxwell estabelece eacute um acoplamento entre os campos e que deve ser

levado em conta no caacutelculo da circulaccedilatildeo do campo Esse termo envolve uma derivada no tempo e

portanto natildeo afeta os regimes estacionaacuterios em que e satildeo independentes do tempo Nesses regimes

estacionaacuterios as leis de Coulomb e Biot-Savart datildeo conta de fornecer os campos e que existem no espaccedilo

As lei de Gauss e Ampegravere complementamgeneralizam esse formalismo

Seria interessante nos perguntarmos quais satildeo as leis mais gerais do eletromagnetismo que se

aplicam em regimes estacionaacuterios ou natildeo-estacionaacuterios Essas leis foram reunidas por Maxwell em seu tratado

de eletromagnetismo e satildeo chamadas portanto de equaccedilotildees de Maxwell Da eletrostaacutetica sobrevivem apenas

as leis de Gauss para e para (inexistecircncia de monopolos magneacuteticos) As leis de Coulomb e Ampegravere natildeo

valem em geral e devem ser substituiacutedas Essas leis gerais do eletromagnetismo estatildeo mostradas na Tabela 1

abaixo

410

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Equaccedilotildees de Maxwell na forma integral

Lei de Gauss para ( ) ∙ =

Lei de Gauss para ( ) ∙ = 0

Lei de Faraday ( ) ∙ = minus ( ) ∙

Lei de Ampegravere-Maxwell ( ) ∙ = + ( ) ∙

Tabela 1 Equaccedilotildees de Maxwell

As equaccedilotildees de Maxwell descrevem os comportamentos dos campos e no espaccedilo e no tempo e

como eles se acoplam entre si e com suas fontes as cargas eleacutetricas e as correntes eleacutetricas Em todas essas

equaccedilotildees C eacute uma curva fechada qualquer no espaccedilo (imaginaacuteria) Nas leis de Gauss S eacute uma superfiacutecie

fechada qualquer no espaccedilo (imaginaacuteria) e nas leis de Faraday e Ampegravere-Maxwell S eacute uma superfiacutecie aberta

qualquer (imaginaacuteria) que tem como borda a curva C que estaacute pressuposta do lado esquerdo dessas

equaccedilotildees As equaccedilotildees de Maxwell descrevem desde os casos mais simples estacionaacuterios (ver tabela 2 abaixo)

em que ( ) e ( ) se tornam apenas dois campos ( ) e ( ) desacoplados ateacute as ondas

eletromagneacuteticas em que ( ) e ( ) podem se desprender da mateacuteria e percorrer juntos o espaccedilo vazio

Equaccedilotildees de Maxwell na forma integral (caso estacionaacuterio)

Lei de Gauss para ( ) ∙ =

Lei de Gauss para ( ) ∙ = 0

Lei de Faraday ( ) ∙ = 0

Lei de Ampegravere-Maxwell ( ) ∙ =

Tabela 2 Equaccedilotildees de Maxwell no caso estacionaacuterio (nada depende do tempo)

411

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Aacutetomos e moleacuteculas satildeo compostos de partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica e por isso produzem

campos eletromagneacuteticos oscilatoacuterios ( ) e ( ) e tambeacutem sofrem forccedilas e torques quando expostos a

campos eletromagneacuteticos A diversidade de fenocircmenos eletromagneacuteticos na natureza e na tecnologia estaacute

ligada agrave frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo desses campos eletromagneacuteticos ( ) e ( ) que tem uma forte

influecircncia na maneira como esses campos afetam a mateacuteria Olhando o espectro eletromagneacutetico (Tabela 3

abaixo) ou seja a ampla faixa de frequumlecircncias (e comprimentos de onda) desses campos eletromagneacuteticos

oscilatoacuterios podemos ver algumas faixas de frequumlecircncia especiacuteficas definidas basicamente pelas propriedades

de interaccedilatildeo dos campos eletromagneacuteticos com a mateacuteria

Raios-x eleacutetrons satildeo acelerados e colidem sofrendo grandes aceleraccedilotildees e emitindo campos eletromagneacuteticos (raios-x) que se propagam no espaccedilo atravessam o corpo do paciente e incidem sobre um filme fotograacutefico

Luz aacutetomos no filamento da lacircmpada satildeo chacoalhados pela alta temperatura e emitem campos eletromagneacuteticos que se propagam no espaccedilo (a luz) Ceacutelulas fotoreceptoras nos olhos quando expostas agrave luz produzem impulsos nervosos (correntes eleacutetricas) que satildeo transmitidos para o ceacuterebro

Raacutedio Correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo circulam na antena do raacutedio transmissor e emitem campos eletromagneacuteticos que se propagam no espaccedilo (as ondas de raacutedio) Esses campos de forccedila incidem sobre a antena do raacutedio receptor e produzem correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo Assim a informaccedilatildeo se propaga no espaccedilo

Tabela 3 Espectro eletromagneacutetico e algumas aplicaccedilotildees

Na regiatildeo de baixas frequumlecircncias encontramos as ondas de radio e TV Correntes eleacutetricas variaacuteveis no

tempo (oscilatoacuterias) percorrem as antenas transmissoras desses aparelhos e emitem campos eletromagneacuteticos

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

412

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

oscilatoacuterios ( ) e ( ) nessa faixa de frequumlecircncias Esses campos se propagam no espaccedilo governados

pelas equaccedilotildees de Maxwell sendo refletidos transmitidos e absorvidos pela mateacuteria Para os nossos olhos

esses campos satildeo invisiacuteveis Ao atingir uma antena receptora os campos ( ) e ( ) produzem forccedilas

( = + times ) nos portadores de carga e induzem correntes na antena Dessa forma a informaccedilatildeo eacute

transmitida atraveacutes do espaccedilo de uma antena ateacute a outra

Em uma regiatildeo intermediaacuteria do espectro estatildeo localizados os campos eletromagneacuteticos ( ) e ( ) oscilatoacuterios que podemos ver que chamamos comumente de luz Nossos olhos satildeo antenas para esses

campos eletromagneacuteticos O Sol emite campos eletromagneacuteticos em todo o espectro mas emite mais na faixa

visiacutevel e nossos olhos evoluiacuteram adaptando-se a esse fato Alguns insetos e paacutessaros tambeacutem podem enxergar

o ultravioleta (UV) e ver o mundo de uma forma bem diferente da nossa As plantas tambeacutem se adaptaram ao

espectro solar realizando a fotossiacutentese atraveacutes da radiaccedilatildeo na faixa visiacutevel Frequentemente elas aproveitam

(absorvem) mais a radiaccedilatildeo nas cores azul e vermelha e por isso satildeo verdes

Na regiatildeo de mais alta frequumlecircncia estatildeo os raios-x que podem ser produzidos atraveacutes da

colisatildeofrenagem de eleacutetrons e por nuacutecleos de materiais radioativos (radiaccedilatildeo gama) Natildeo podemos ver esses

campos eletromagneacuteticos mas eles podem atravessar a mateacuteria e sensibilizar um filme fotograacutefico Por isso

possuem ampla aplicaccedilatildeo na medicina

95 Aplicaccedilotildees

1) Considere um solenoacuteide (P) helicoidal composto de espiras circulares de raio O solenoacuteide eacute muito

longo e possui comprimento (infinito para todos os efeitos) Suas espiras satildeo compostas de um fio fino e

enroladas de forma compacta sem irregularidades (a densidade de espiras por unidade de comprimento eacute = = infininfin) Esse solenoacuteide eacute circundado por um

segundo solenoacuteide (S) composto por espiras circulares de raio gt coaxiais ao solenoacuteide P Nesse segundo solenoacuteide as

espiras tambeacutem satildeo compostas de um fio fino e enroladas de

forma compacta sem irregularidades A Figura ao lado ilustra esse

sistema Nessa Figura para melhor visualizaccedilatildeo natildeo nos

preocupamos em mostrar as espiras enroladas de forma

compacta etc O solenoacuteide P de fio vermelho e raio deve ser

considerado muito longo (sem efeitos de borda) e o solenoacuteide S

de raio eacute o de fio azul Trata-se basicamente da configuraccedilatildeo de um transformador de voltagem (P eacute o

primaacuterio e S o secundaacuterio) Chamamos de z o eixo comum de simetria dos dois solenoacuteides A hipoacutetese de fio

fino e enrolamento compacto nos leva a considerar que as espiras se estendem ao longo da direccedilatildeo de um

z

413

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

sistema de coordenadas ciliacutendricas ou seja as espiras satildeo ciacuterculos coaxiais em planos ortogonais ao eixo z

Nosso objetivo aqui eacute calcular a FEM induzida no solenoacuteide S supondo que esteja circulando no solenoacuteide P

uma corrente eleacutetrica variaacutevel no tempo ( ) De acordo com a lei de Faraday (ou regra do fluxo) essa FEM induzida eacute dada por

ℇ = minus ( )

sendo ( ) o fluxo magneacutetico atraveacutes do solenoacuteide S produzido pelo campo magneacutetico do solenoacuteide P

( ) = ( ) ∙

sendo ( ) o campo magneacutetico produzido no espaccedilo pela corrente ( ) a superfiacutecie delimitada pelo

solenoacuteide S um campo de vetores normais a S e uma aacuterea infinitesimal em S

Nosso ponto de partida deve ser o caacutelculo de ( ) o campo magneacutetico da corrente ( ) que

circula em um solenoacuteide helicoidal muito longo

Aqui encontramos um primeiro obstaacuteculo pois nossa primeira ideia eacute utilizar a lei de Biot-Savart ou a

lei de Ampegravere para o caacutelculo de ( ) mas essas lei soacute valem para correntes estacionaacuterias Para a corrente ( ) nos restaria apelar para a lei de Ampegravere-Maxwell que generaliza a lei de Ampegravere para correntes natildeo

estacionaacuterias

( ) ∙ = + ( ) ∙

Fica claro nessa equaccedilatildeo que os campos ( ) e ( ) satildeo acoplados entre si e que para conhecer ( ) natildeo basta conhecer ( ) teriacuteamos que conhecer tambeacutem ( ) ou seja o campo eleacutetrico induzido

na vizinhanccedila do solenoacuteide P Mas esse campo eleacutetrico eacute exatamente o que queremos calcular pois eacute ele que

vai produzir a FEM induzida no solenoacuteide S Conclusatildeo vemos que se insistirmos em dar a esse problema uma

abordagem analiacutetica exata vamos enfrentar seacuterias dificuldades Resta entatildeo partir para uma abordagem

aproximada Essa situaccedilatildeo eacute comum em problemas de eletromagnetismo As equaccedilotildees de Maxwell satildeo muito

difiacuteceis de serem resolvidas analiticamente sem nenhuma aproximaccedilatildeo Por isso meacutetodos numeacutericos e

computacionais satildeo bastante comuns e bem-vindos

Aqui vamos recorrer a uma aproximaccedilatildeo simples Tudo comeccedila pela hipoacutetese de que a corrente ( ) varia lentamente no tempo de tal forma que o caacutelculo de ( ) atraveacutes da lei de Ampegravere fornece um

resultado aproximado satisfatoacuterio (o grau desse ldquosatisfatoacuteriordquo vai ser definido pela exigecircncia de precisatildeo na

aproximaccedilatildeo) Portanto partimos da aproximaccedilatildeo

414

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

( ) ∙ = ( ) que se resume ao caacutelculo do campo magneacutetico de uma corrente constante como fizemos no capiacutetulo 8 mas

trocando na resposta ao final por ( ) no presente caso por ( ) Enfim para um solenoacuteide muito longo

com = espiras por unidade de comprimento em que circula uma corrente constante obtemos = na regiatildeo interior do solenoacuteide Na regiatildeo fora do solenoacuteide o campo magneacutetico eacute nulo Portanto voltando ao

contexto o campo magneacutetico que procuramos eacute para lt (dentro do solenoacuteide P) ( ) = ( ) Fora do solenoacuteide P o campo magneacutetico eacute nulo Esse eacute o campo magneacutetico gerado no espaccedilo pelo solenoacuteide P

e que vai produzir fluxo magneacutetico atraveacutes do solenoacuteide S

Resumindo nossos resultados concluiacutemos que a corrente ( ) no solenoacuteide muito longo de raio cria

campo magneacutetico apenas na regiatildeo ciliacutendrica interior agrave suas espiras e que o campo magneacutetico nessa regiatildeo eacute

uniforme e axial tendo magnitude ( ) O sentido de eacute dado pela regra da matildeo direita dedos no

sentido de ( ) polegar no sentido de Devemos ter em mente que esse resultado para o campo magneacutetico

seria exato somente se fosse constante no tempo (mas nesse caso natildeo haveria induccedilatildeo) Aqui estamos

supondo que = ( ) e esse resultado eacute apenas uma aproximaccedilatildeo Para o caso natildeo-estacionaacuterio =( ) o resultado exato para ( ) deveria conter efeitos de retardamento e aleacutem disso natildeo seria verdade

que o campo magneacutetico na regiatildeo fora do solenoacuteide eacute nulo

Seguindo nosso raciociacutenio vamos partir para o caacutelculo de ( ) o fluxo magneacutetico atraveacutes do solenoacuteide

S produzido pelo campo magneacutetico do solenoacuteide P

( ) = ( ) ∙

Note que o solenoacuteide S eacute apenas uma sequecircncia de espiras circulares de raio gt cada espira

delimitando um disco de aacuterea = Note tambeacutem que = para essas espiras (poderia ser tambeacutem = minus ) e que portanto

( ) = ( ) ∙ = ( ) = ( )[ ]

415

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Note que a aacuterea que aparece na expressatildeo de ( ) eacute e natildeo pois o campo magneacutetico estaacute

confinado agrave regiatildeo interior do solenoacuteide ou seja agrave regiatildeo com raios lt Portanto na integral acima

devemos entender que o valor ( ) para soacute eacute vaacutelido na regiatildeo com lt e que soacute haacute fluxo

portanto nos discos de aacuterea que satildeo atravessados pelas linhas do campo A aacuterea total desses

discos atravessados pelo campo eacute

Da regra do fluxo obtemos finalmente

ℇ = minus ( ) = minus ( )

Para interpretar o sinal devemos levar em conta que adotamos a normal = no caacutelculo de ( ) e

que portanto da regra da matildeo direita sabemos que ℇ gt 0 estaraacute no sentido crescente da coordenada

Esse seraacute o caso se ( ) lt 0 (corrente eleacutetrica diminuindo no tempo)

2) Considere uma espira retangular de lados e que estaacute mergulhada no

campo magneacutetico de um solenoacuteide helicoidal A Figura ao lado ilustra a espira no

plano xy (eixo z para fora da paacutegina) A espira estaacute centrada na origem de um

referencial xy e sendo atravessada por um campo magneacutetico (produzido pelo

solenoacuteide) cujo moacutedulo ( ) depende do tempo e do raio mostrado na

Figura ( ) = ( )

sendo ( ) uma funccedilatildeo qualquer do tempo (com unidade teslametro) O campo magneacutetico estaacute saindo

ortogonalmente da paacutegina ou seja estaacute ao longo do eixo z Vamos calcular a FEM induzida nessa espira

De acordo com a lei de Faraday (ou regra do fluxo) essa FEM induzida eacute dada por

ℇ = minus ( )

sendo ( ) o fluxo magneacutetico atraveacutes da espira retangular produzido pelo campo magneacutetico do solenoacuteide

( ) = ( ) ∙

eacute a superfiacutecie delimitada pela espira retangular eacute um campo de vetores normais a S e uma aacuterea

infinitesimal em S Portanto (adotando = ) ( ) = ( ) ∙ = ( )

x

y

416

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Para realizar a integral devemos escrever o integrando em termos das variaacuteveis de integraccedilatildeo e = +

Portanto

( ) = ( ) +

Obtemos

( ) = ( ) 6 + 24 ln +minus + 24 ln +minus

sendo = radic + o comprimento da diagonal da espira retangular

Para uma espira quadrada de lado obtemos o resultado mais simples

( ) = ( ) radic2 + 12 ln radic2 + 1radic2 minus 1 6 cong 038 ( )

A FEM induzida na espira retangular eacute

ℇ = minus ( ) = minus 6 + 24 ln +minus + 24 ln +minus ( )

Da regra da matildeo direita (com a normal para fora) uma FEM positiva seria uma FEM no sentido anti-horaacuterio

Qual o campo de forccedila responsaacutevel por essa FEM induzida na espira retangular Eacute o campo eleacutetrico

que o solenoacuteide helicoidal produz na sua vizinhanccedila Esse campo eleacutetrico ( ) estaacute acoplado ao campo

magneacutetico do solenoacuteide ( ) = ( ) conforme descrito pela lei de induccedilatildeo de Faraday

( ) ∙ = minus ( ) ∙ = minus ( ) ∙

Qual seria a expressatildeo desse campo eleacutetrico Apoacutes um breve raciociacutenio de simetria levando em conta a

similaridade entre a lei de Faraday e a lei de Ampegravere podemos concluir que a simetria de ( ) eacute tal que ( ) = ( )

sendo e as coordenadas ciliacutendricas que tem o eixo z conforme jaacute definimos acima Portanto

( ) ∙ = ( ) ∙ = minus ( ) ∙

Resta agora utilizar a equaccedilatildeo acima para determinar a funccedilatildeo ( ) Jaacute estamos acostumados com essa

ideia de retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo de integral Para isso devemos adotar uma curva que

417

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

eacute um ciacuterculo de raio centrado na origem e orientado no sentido de A direccedilatildeo normal (com o sentido dado

pela regra da matildeo direita da regra do fluxo) ao disco delimitado por esse ciacuterculo eacute = Portanto usando

ainda que no ciacuterculo = e no disco = 2 obtemos finalmente

( ) ∙ = ( ) = minus ( ) 2 Concluindo ( )2 = minus ( ) 2 3

Portanto o campo eleacutetrico gerado pelo solenoacuteide eacute

( ) = minus ( ) 3

A Figura ao lado ilustra a espira retangular na presenccedila desse campo

eleacutetrico do solenoacuteide Mostramos algumas setas (em azul) do campo ( ) para o caso ( ) gt 0 e campo eleacutetrico ao longo de minus (FEM ℇ

negativa) Note que os tamanhos das setas vatildeo aumentando com o aumento

do raio pois ( ) prop As setas de ( ) satildeo tangentes aos ciacuterculos

centrados na origem

Partindo do conhecimento desse campo eleacutetrico poderiacuteamos

recalcular a FEM induzida na espira atraveacutes da definiccedilatildeo primitiva de FEM

ℇ = ∙ = ( ) ∙

sendo um vetor comprimento infinitesimal que eacute tangente aos lados da espira orientado no sentido anti-

horaacuterio (o sentido de ) Com essa escolha de sentido para os vetores obteremos o mesmo resultado jaacute

obtido via regra do fluxo uma FEM positiva estaacute no sentido anti-horaacuterio A integral acima pode ser dividida em

quatro integrais cada uma em um lado da espira Note que nesses lados vale = plusmn (lados horizontais)

ou = plusmn (lados verticais) Portanto (partindo do veacutertice direito inferior da espira)

ℇ = ( ) ∙ + ( ) ∙

+ ( ) ∙ + ( ) ∙

Enfim natildeo pretendemos insistir nesse caacutelculo pois jaacute deve ter ficado evidente a vantagem do uso da

regra do fluxo no caacutelculo de FEMs induzidas

x

y

418

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

10 Indutacircncia

Com seus experimentos de induccedilatildeo Faraday buscava descobrir se era possiacutevel produzir correntes

eleacutetricas atraveacutes de campos magneacuteticos Ele descobriu que sim Se nos concentrarmos apenas em situaccedilotildees

com circuitos riacutegidos e estaacuteticos (ou seja deixando de lado as FEMs de movimento) o que Faraday descobriu

mesmo foi que eacute possiacutevel criar correntes eleacutetricas atraveacutes de outras correntes eleacutetricas Esse foi o caso no

experimento 2 de Faraday analisado no capiacutetulo anterior em que uma corrente eleacutetrica ( ) circulava em um

solenoacuteide e induzia corrente em uma espira proacutexima A explicaccedilatildeo para essa induccedilatildeo estaacute no campo

eletromagneacutetico ( ) e ( ) criado pela corrente eleacutetrica variaacutevel no tempo O campo eleacutetrico (induzido)

especificamente incide nos portadores de carga na espira e potildee esses portadores para se mover dando

origem agrave FEM induzida e agrave corrente induzida na espira

Qualquer circuito que esteja em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo eletromagneacutetico estaacute

sujeito a sofrer a induccedilatildeo de FEMs e correntes induzidas Para que haja FEM induzida basta que a integral

ℇ = ∙

seja natildeo nula ( eacute a curva no espaccedilo definida pelo circuito) Em termos da regra do fluxo haveraacute FEM

induzida se a derivada

ℇ = minus = minus ∙

for natildeo nula (S eacute qualquer superfiacutecie aberta que tem como borda a curva ) De fato de acordo com a lei

de Faraday essas satildeo duas formas equivalentes de computar a FEM ℇ Para que haja corrente induzida basta

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

que valha ℇ ne 0 e que o circuito esteja fechado para permitir a circulaccedilatildeo de portadores de carga atraveacutes

dele

Como jaacute mencionamos aqui vamos nos concentrar em campos eletromagneacuteticos produzidos por

circuitos eleacutetricos estaacuteticos e riacutegidos (deixando de lado FEMs de movimento que natildeo envolvem a induccedilatildeo de

correntes por outras correntes) Nesses circuitos circulam por hipoacutetese correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo ( ) que produzem no espaccedilo esses campos eletromagneacuteticos Portanto um circuito em que circula uma

corrente eleacutetrica ( ) possui ele mesmo a capacidade de induzir FEMs (e correntes) em outros circuitos que

estejam na vizinhanccedila dele Chamamos esse fenocircmeno de induccedilatildeo muacutetua Mais do que isso um circuito em

que circula uma corrente eleacutetrica ( ) possui capacidade de induzir FEMs (e correntes) nele mesmo

Chamamos esse fenocircmeno de autoinduccedilatildeo

As indutacircncias muacutetua e auto quantificam essas capacidades de induccedilatildeo e caracterizam portanto os

circuitos eleacutetricos quanto a essas capacidades Veremos que um circuito que possui uma autoindutacircncia alta

apresenta um comportamento eleacutetrico especial uma espeacutecie de ineacutercia eletromagneacutetica Dois circuitos que

possuem indutacircncias muacutetuas altas estatildeo fortemente acoplados atraveacutes de seus campos eletromagneacuteticos

como acontece com os solenoacuteides primaacuterio e secundaacuterio em um transformador de voltagem e com o rotor e o

estator em um motor de induccedilatildeo

101 Indutacircncia muacutetua

A Figura 1 ao lado esboccedila a ideia da induccedilatildeo muacutetua

Dois solenoacuteides 1 e 2 onde circulam correntes eleacutetricas

variaacuteveis no tempo ( ) e ( ) estatildeo mergulhados em seus

campos eletromagneacuteticos A induccedilatildeo muacutetua eacute consequumlecircncia do

fato de que o solenoacuteide 1 estaacute mergulhado no campo

eletromagneacutetico ( ) e ( ) criado no espaccedilo pelo

solenoacuteide 2 Analogamente o solenoacuteide 2 estaacute mergulhado no

campo eletromagneacutetico ( ) e ( ) criado no espaccedilo

pelo solenoacuteide 1 Eles se induzem mutuamente De acordo com

a regra do fluxo a FEM induzida no solenoacuteide 1 pelo solenoacuteide

2 eacute dada por

ℇ( ) = minus ( ) = minus ∙

ou seja calculamos o fluxo magneacutetico ( ) do campo atraveacutes do circuito 1 (o fluxo muacutetuo) e derivamos

no tempo Analogamente a FEM induzida no solenoacuteide 2 pelo solenoacuteide 1 eacute dada por

1 2

( ) ( )Figura 1 Esquema da induccedilatildeo muacutetua entre dois solenoacuteides como ocorre em um transformador de voltagem

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

ℇ( ) = minus ( ) = minus ∙

As expressotildees acima mostram que a grandeza crucial para determinar a capacidade que um circuito

tem de induzir no outro eacute o fluxo muacutetuo Se o fluxo muacutetuo eacute grande como ocorre com solenoacuteides com muitas

espiras e muito proacuteximos entre si entatildeo a capacidade de induccedilatildeo muacutetua eacute alta e as FEMs induzidas seratildeo altas

Por outro lado para solenoacuteides com poucas espiras e muito afastados entre si esperamos que a capacidade

de induccedilatildeo muacutetua seja fraca e que as FEMs induzidas sejam pequenas ou mesmo despreziacuteveis

Esses exemplos acima ilustram o fato de que o fluxo muacutetuo ( ) (ou ( )) depende

intrinsecamente da geometria dos circuitos envolvidos no fenocircmeno mas depende tambeacutem da corrente

eleacutetrica que circula nesses circuitos Enfim o solenoacuteide 1 soacute vai produzir fluxo ( ) se ne 0 Podemos dizer

entatildeo que ( ) eacute funccedilatildeo de e da geometria dos circuitos que eacute uma caracteriacutestica intriacutenseca desse

sistema (jaacute que o sistema eacute riacutegido sem movimento) Em um transformador de voltagem por exemplo a

geometria estaacute fixa forma tamanho e nuacutemero de espiras nos solenoacuteides e posiccedilatildeo relativa dos solenoacuteides no

espaccedilo Tambeacutem estatildeo fixos os materiais que ocupam o espaccedilo como por exemplo a liga de ferro que serve

de nuacutecleo para os solenoacuteides Essas ligas de materiais ferromagneacuteticos incrementam e guiam o campo

eletromagneacutetico no espaccedilo influenciando nos fluxos muacutetuos A indutacircncia muacutetua eacute a grandeza que engloba

em sua definiccedilatildeo a influecircncia que todas essas caracteriacutesticas intriacutensecas geometria nuacutemeros de espiras e

materiais exercem sobre a capacidade de induccedilatildeo muacutetua entre dois circuitos A indutacircncia muacutetua entre os

circuitos 1 e 2 quaisquer eacute definida por ( ) =

A inspiraccedilatildeo nessa definiccedilatildeo vem basicamente da definiccedilatildeo de fluxo magneacutetico e da lei de Biot-Savart

( ) = ∙ = 4 times ∙ = 4 times ∙

Note que na expressatildeo acima o termo que sobrou entre chaves que eacute a indutacircncia muacutetua soacute depende da

geometria do circuito 1 (atraveacutes da integral na curva 1) da geometria do circuito 2 (atraveacutes da integral na

superfiacutecie 2) da distacircncia e posiccedilatildeo relativa desses circuitos (atraveacutes de ) e dos materiais que permeiam o

espaccedilo que no presente caso eacute o vaacutecuo ou seja o espaccedilo vazio (atraveacutes do que poderia ser um )

Da definiccedilatildeo ( ) = vemos que a unidade de indutacircncia eacute fluxocorrente ou seja T m2A que

abreviamos para Henry (siacutembolo H) em homenagem a Joseph Henry um pioneiro no eletromagnetismo

Analogamente devido agrave simetria (natildeo trivial) da induccedilatildeo muacutetua vale tambeacutem

421

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

( ) =

Essa simetria na indutacircncia muacutetua estaacute mostrando que se passarmos uma corrente pelo circuito 1 o

fluxo magneacutetico que ele produziraacute no circuito 2 seraacute ( ) e que se essa mesma corrente circular pelo

circuito 2 o fluxo magneacutetico que ele produziraacute no circuito 1 seraacute ( ) = ( ) Enfim estamos dizendo

aqui sem provar que vale a igualdade (apenas permutando 1 com 2 nas integrais)

4 times ∙ = 4 times ∙

Apesar de inspirada na lei de Biot-Savart uma lei da magnetostaacutetica a definiccedilatildeo acima para a

indutacircncia mutua continua valendo mesmo em regimes em que a lei de Biot-Savart natildeo vale como o

regime de correntes eleacutetricas oscilantes de alta frequumlecircncia Mas em casos extremos de altas frequumlecircncias a

indutacircncia muacutetua passa a ser dependente tambeacutem da frequumlecircncia dessas oscilaccedilotildees

Considere o exemplo de um solenoacuteide

helicoidal longo (infinito para todos os efeitos) com

espiras por unidade de comprimento e raio

envolvido por uma uacutenica espira coaxial circular de raio gt (em verde) Suponha uma corrente

circulando na espira Qual o fluxo magneacutetico que a

espira produz no solenoacuteide A ideia estaacute ilustrada na

Figura 2 ao lado Em princiacutepio parece que natildeo haacute

muita dificuldade Calculamos via Biot-Savart o

campo magneacutetico ( ) que a espira cria no espaccedilo

e integramos nas infinitas espiras do solenoacuteide longo

( ) = ∙

Mas haacute uma dificuldade nessa abordagem O campo magneacutetico que uma espira

apenas produz no espaccedilo eacute bastante complicado (algo como esboccedilado na Figura ao lado) e

preferimos natildeo calculaacute-lo quando estudamos a lei de Biot-Savart Calculamos apenas o

campo magneacutetico sobre o eixo da espira mas aqui precisamos conhecer o campo magneacutetico

no espaccedilo para calcular o fluxo magneacutetico atraveacutes das espiras do solenoacuteide longo Resta-

nos entatildeo apelar para a simetria na indutacircncia muacutetua O fluxo que queremos calcular eacute

( ) =

z

Figura 2 a corrente em uma espira circular cria fluxo magneacutetico em um solenoacuteide longo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

que eacute o mesmo fluxo que o solenoacuteide longo vai produzir na espira circular se passar por ele a mesma corrente

ou seja ( ) = = ( ) A vantagem nessa ldquocomutaccedilatildeordquo estaacute no fato de que o campo magneacutetico de um solenoacuteide longo (infinito) eacute

simples eacute nulo fora do solenoacuteide e uniforme dentro do solenoacuteide assumindo aiacute o valor constante = Portanto (adotando uma normal = na superfiacutecie do disco delimitado pela espira)

( ) = ( ) = ∙ = ∙ =

Nesse ponto percebemos que muitos estudantes se confundem pois eles esperavam que sendo o fluxo

calculado atraveacutes da espira a aacuterea que aparece ao final do caacutelculo deveria ser a

da espira e natildeo que eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal do solenoacuteide A

Figura ao lado tenta esclarecer essa questatildeo Algumas linhas de satildeo

mostradas em azul Note entatildeo que o fluxo ( ) eacute calculado atraveacutes da

aacuterea da espira mas que soacute haacute campo magneacutetico na porccedilatildeo de aacuterea

posto que o campo magneacutetico do solenoacuteide estaacute confinado ao seu interior

Portanto na integral que fornece ( ) o integrando ∙ =

soacute eacute natildeo nulo no disco de aacuterea No restante da aacuterea do disco delimitado pela espira ( minus ) o

integrando eacute nulo

Concluindo ao passar a corrente na espira o fluxo magneacutetico no solenoacuteide longo eacute

( ) =

Note que natildeo haacute de fato nenhuma caracteriacutestica da espira nessa expressatildeo Ela vale para qualquer espira com

raio gt coaxial ao solenoacuteide longo

A indutacircncia muacutetua entre o solenoacuteide e a espira (ou entre a espira e o solenoacuteide natildeo importa) eacute

( ) = = rArr =

Vemos nesse exemplo simples que a indutacircncia muacutetua envolve nuacutemero de espiras e geometria ( e ) e

tambeacutem (potencialmente) material ( vaacutecuo nesse caso)

A utilidade do conceito de indutacircncia natildeo reside no caacutelculo de fluxo magneacutetico mas sim de FEM

induzida Da regra do fluxo

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

ℇ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus ( )

Portanto voltando ao exemplo da espira circular de raio e do solenoacuteide longo se na espira fluir uma

corrente eleacutetrica alternada senoidal de frequumlecircncia e amplitude dada por ( ) = cos( ) a FEM induzida no solenoacuteide seraacute

ℇ( ) = minus ( ) = minus [ cos( ) = sen( ) Conclusatildeo no solenoacuteide haveraacute uma FEM induzida alternada senoidal de mesma frequumlecircncia e com

amplitude Quanto maior a densidade de espiras no solenoacuteide maior a amplitude ( )

da FEM induzida nele Esse eacute basicamente o princiacutepio de funcionamento de um transformador de voltagem

em que a espira eacute o primaacuterio onde conectamos uma FEM e o solenoacuteide longo eacute o secundaacuterio onde obtemos

uma FEM transformada (a amplitude no primaacuterio eacute transformada na amplitude no secundaacuterio)

102 Autoindutacircncia

A indutacircncia eacute uma medida da capacidade que um circuito tem de induzir FEMs Um circuito 1 em que

circula uma corrente eleacutetrica ( ) produz no espaccedilo um campo eletromagneacutetico ( ) e ( ) Um

circuito 2 que estaacute na vizinhanccedila de 1 pode entatildeo sofrer induccedilatildeo desde que valha ne 0 para esses dois

circuitos Mas o proacuteprio circuito 1 estaacute mergulhado em seu campo eletromagneacutetico e pode tambeacutem se

autoinduzir A autoindutacircncia quantifica a capacidade que um circuito tem de induzir FEM nele mesmo

A ideia eacute similar agrave da indutacircncia muacutetua A FEM autoinduzida pelo circuito 1 eacute

ℇ( ) = minus ( ) = minus ∙

A expressatildeo acima mostra que a grandeza crucial para determinar a capacidade que um circuito tem

de se autoinduzir eacute o autofluxo ( ) Se o autofluxo eacute grande como ocorre com solenoacuteides com muitas

espiras entatildeo a capacidade de autoinduccedilatildeo eacute alta e a FEM autoinduzida seraacute alta Por outro lado para

solenoacuteides com poucas espiras esperamos que a capacidade de autoinduccedilatildeo seja fraca e que a FEM

autoinduzida seja pequena ou mesmo despreziacutevel

O autofluxo ( ) (ou ( )) depende intrinsecamente da geometria do circuito envolvido no

fenocircmeno mas depende tambeacutem da corrente eleacutetrica que circula nesse circuito Enfim o solenoacuteide 1 soacute vai

produzir autofluxo ( ) se ne 0 Podemos dizer entatildeo que ( ) eacute funccedilatildeo de da geometria do circuito

1 e dos materiais que ocupam o espaccedilo e que podem modificar o campo eletromagneacutetico A autoindutacircncia

424

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

eacute a grandeza que engloba em sua definiccedilatildeo a influecircncia que todas essas caracteriacutesticas intriacutensecas - geometria

nuacutemeros de espiras e materiais que permeiam o espaccedilo - exercem sobre a capacidade de autoinduccedilatildeo de um

circuito A autoindutacircncia eacute definida por ( ) =

A inspiraccedilatildeo nessa definiccedilatildeo vem basicamente da definiccedilatildeo de fluxo magneacutetico e da lei de Biot-Savart

( ) = ∙ = 4 times ∙ = 4 times ∙

Note que na expressatildeo acima o termo que sobrou entre chaves que eacute a autoindutacircncia do circuito 1 soacute

depende da geometria do circuito 1 (atraveacutes da integral na curva 1 e da integral na superfiacutecie 1) e do

que permeia o espaccedilo que no presente caso eacute o vaacutecuo (atraveacutes do que poderia passar a ser um )

Essa definiccedilatildeo para a autoindutacircncia continua valendo mesmo em regimes em que a lei de Biot-Savart natildeo

vale como o regime de correntes eleacutetricas oscilantes de alta frequumlecircncia Mas nesses casos pode ser

tambeacutem dependente da frequumlecircncia Note que a unidade de eacute a mesma de o henry (H)

Como exerciacutecio vamos calcular a autoindutacircncia de um solenoacuteide helicoidal longo (infinito para todos

os efeitos) com espiras por unidade de comprimento e raio Vamos assumir que esse solenoacuteide possui

espiras e comprimento ou seja = Sabemos que o campo magneacutetico de um solenoacuteide longo (infinito)

eacute simples eacute nulo fora do solenoacuteide e uniforme e axial (eixo z) dentro do solenoacuteide assumindo aiacute o valor = sendo a corrente eleacutetrica que circula no solenoacuteide (z eacute o eixo de simetria do solenoacuteide) Portanto (adotando

uma normal = na superfiacutecie do disco que eacute a seccedilatildeo transversal do solenoacuteide)

( ) = ∙ = ∙ = = ( ) Note que eacute o (auto) fluxo magneacutetico atraveacutes de uma espira apenas do solenoacuteide e que para

espiras devemos multiplicar esse fluxo por (a aacuterea onde ocorre o fluxo magneacutetico eacute a aacuterea de espiras ou

seja = ) Conclusatildeo a autoindutacircncia desse solenoacuteide eacute

( ) = ( ) = rArr = =

Vemos nesse exemplo simples que a autoindutacircncia envolve nuacutemero de espiras e geometria ( e ) e

tambeacutem (potencialmente) material ( vaacutecuo nesse caso ou seja nenhum material) Natildeo existem solenoacuteides

infinitos e portanto devemos encarar essa expressatildeo para como uma aproximaccedilatildeo razoaacutevel para a

autoindutacircncia de um solenoacuteide longo (para um solenoacuteide infinito valeria rarr infin mas rarr )

425

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

Suponha que nesse solenoacuteide esteja circulando uma corrente eleacutetrica que cresce no tempo ( ) =

com gt 0 uma constante A FEM autoinduzida no solenoacuteide eacute (da regra do fluxo)

ℇ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus ( )

Portanto nesse caso especiacutefico

ℇ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus

Obtivemos uma FEM autoinduzida negativa Qual o significado desse sinal Vimos que o sinal da FEM induzida

na lei de Faraday estaacute relacionado ao sentido da FEM induzida e que ele pode ser determinado atraveacutes de uma

regra da matildeo direita apontando o polegar no sentido de utilizado no caacutelculo de os outros dedos

apontam no sentido da FEM induzida positiva Dessa forma podemos escolher livremente sempre

obteremos o sentido correto da FEM

Mas eacute verdade que no presente contexto se escolhermos livremente vamos permitir dois sinais

possiacuteveis para o produto escalar ∙ na expressatildeo de e obteremos gt 0 ou lt 0 de acordo com

nossa escolha No entanto sendo a autoindutacircncia estritamente positiva segue que ao escrevermos ( ) = jaacute estamos fazendo uma escolha de sentido para pois estamos fixando que ( ) gt 0

Resumindo ao escrevermos a FEM autoinduzida em termos da autoindutacircncia fazemos uma escolha do

sentido de utilizado no caacutelculo de de tal forma que gt 0 Essa escolha eacute ∙ gt 0 ou seja adotamos

paralelo a Essa escolha nos permite uma interpretaccedilatildeo simples para o sinal da FEM autoinduzida

A Figura 3 abaixo resume a ideia Se adotarmos sempre paralelo a (para que valha sempre gt 0

compatiacutevel com gt 0) entatildeo ℇ( ) gt 0 eacute uma FEM paralela agrave corrente (na Figura 3 o sentido da seta curva

verde coincide com o sentido da seta curva vermelha) Analogamente ℇ( ) lt 0 eacute uma FEM antiparalela agrave

corrente Resumindo a expressatildeo ℇ( ) = minus ( )

fornece a FEM autoinduzida no sentido da corrente Vemos claramente que uma corrente eleacutetrica ( ) crescente no tempo (de derivada positiva) vai implicar em uma FEM autoinduzida negativa ou seja oposta agrave

corrente Por outro lado uma corrente eleacutetrica ( ) decrescente no tempo (de derivada negativa) vai implicar

em uma FEM autoinduzida positiva ou seja paralela agrave corrente

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

Esses resultados satildeo compatiacuteveis com a lei de Lenz quando a corrente eleacutetrica em um circuito cresce

ele se autoinduz uma FEM oposta agrave corrente que se opotildee a esse crescimento A corrente cresce assim

mesmo mas enfrentando uma oposiccedilatildeo Analogamente quando a corrente eleacutetrica em um circuito decresce

ele se autoinduz uma FEM paralela agrave corrente que se opotildee a esse decaimento A corrente decresce assim

mesmo mas enfrentando uma oposiccedilatildeo Eacute o que diz a lei de Lenz a induccedilatildeo tem um sentido tal que se opotildee agrave

sua causa

No exemplo discutido acima do solenoacuteide longo obtivemos

ℇ( ) = minus

se a corrente no solenoacuteide cresce de acordo com ( ) = (sendo gt 0) Isso significa que ℇ( ) tem o

sentido oposto ao de ( ) (qualquer que seja ele) Pensando em termos do campo eleacutetrico induzido ℇ( ) lt 0 significa que o campo eleacutetrico induzido produzido pela proacutepria corrente no solenoacuteide tem no

espaccedilo o sentido oposto ao movimento dos portadores de carga (de carga eleacutetrica positiva) e realiza

portanto um trabalho negativo nesses portadores tentando freaacute-los (posto que eles estatildeo acelerando) Se a

corrente no solenoacuteide estivesse diminuindo no tempo obteriacuteamos ℇ( ) gt 0 significando que o campo

eleacutetrico induzido produzido pela proacutepria corrente no solenoacuteide teria no espaccedilo o sentido paralelo ao

movimento dos portadores de carga e realizaria portanto um trabalho positivo nesses portadores tentando

empurraacute-los para a frente (posto que eles estariam freando)

Essa escolha de ∙ gt 0 ou seja paralelo a pode ser utilizada tambeacutem na definiccedilatildeo da

indutacircncia muacutetua e isso vai levar a indutacircncias muacutetuas positivas e negativas Considere o exemplo de dois

solenoacuteides No solenoacuteide 1 flui a corrente ( ) e ele produz no espaccedilo o campo magneacutetico ( ) Analogamente para o solenoacuteide 2 No solenoacuteide 1 adotamos paralelo a e isso vai levar a uma

(a) Regra da matildeo direita da lei de Faraday polegar no sentido de (usado no calculo de

) dedos no sentido de ℇ gt 0

(b) Regra da matildeo direita da espira polegar no sentido de dedos no sentido de

ℇ gt 0

Figura 3 duas regras da matildeo direita que se juntam definindo o sentido da FEM autoinduzida Uma FEM positiva eacute uma FEM no mesmo sentido da corrente se eacute paralelo a entatildeo ℇ gt 0 eacute paralelo a

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

autoindutacircncia gt 0 (como deve ser) Analogamente para o solenoacuteide 2 Agora vamos calcular o fluxo

muacutetuo

( ) = ∙

Vemos claramente que conforme nossa escolha de sentido para (que levou em conta apenas o )

podemos obter fluxos muacutetuos positivos (se for paralelo a ) ou negativos (se for antiparalelo a )

Sendo a indutacircncia muacutetua definida por

( ) =

segue que podemos obter gt 0 ou lt 0

Considere os exemplos simples mostrados na Figura 4 abaixo Dois solenoacuteides (1 e 2) estatildeo ligados em

seacuterie e dispostos lado a lado no espaccedilo proacuteximos um do outro como mostrado na Figura A corrente ( ) entra pelo terminal A passa pelo solenoacuteide 1 passa pelo solenoacuteide 2 e sai pelo terminal B Vemos duas formas

de conectar os solenoacuteides Em (a) a corrente flui no mesmo sentido nos dois solenoacuteides e portanto os campos

magneacuteticos e seratildeo paralelos entre si Portanto adotando paralelo a fatalmente vai ocorrer que

eacute paralelo a e ∙ gt 0 Portanto nesse caso o fluxo muacutetuo eacute positivo e segue que gt 0 Em (b) a

corrente flui em sentidos opostos nos dois solenoacuteides e portanto os campos magneacuteticos e seratildeo

antiparalelos entre si Portanto adotando paralelo a fatalmente vai ocorrer que eacute antiparalelo a e ∙ lt 0 Portanto nesse caso o fluxo muacutetuo eacute negativo e segue que lt 0

Enfim esses resultados significam que no caso do circuito (a) supondo que a corrente ( ) esteja

aumentando os solenoacuteides 1 e 2 vatildeo ambos se autoinduzir de tal forma a se opor a esse aumento Ao mesmo

A

A

B

B

Figura 4 dois solenoacuteides (1 e 2) ligados em seacuterie No caso (a) vale gt 0 e no caso (b) vale lt 0

(a)

(b)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

tempo o acoplamento eletromagneacutetico entre eles com gt 0 vai reforccedilar essa oposiccedilatildeo o solenoacuteide 1 vai se

opor ao crescimento da corrente no solenoacuteide 2 e vice-versa no caso do circuito (b) os solenoacuteides 1 e 2 vatildeo

tambeacutem se autoinduzir de tal forma a se opor a esse aumento em ( ) Ao mesmo tempo o acoplamento

eletromagneacutetico entre eles com lt 0 vai ser oposto a essas oposiccedilotildees o solenoacuteide 1 vai tentar reforccedilar o

crescimento da corrente no solenoacuteide 2 e vice-versa Haveraacute portanto nesse caso uma competiccedilatildeo entre os

efeitos das autoinduccedilotildees e da induccedilatildeo muacutetua

A Figura 5 abaixo ilustra essa situaccedilatildeo atraveacutes dos sentidos dos campos eleacutetricos induzidos pelos

solenoacuteides e

Ainda supondo que a corrente ( ) esteja aumentando no tempo vemos na Figura 5 que para a

conexatildeo (a) dos solenoacuteides no solenoacuteide 1 os dois campos induzidos e satildeo antiparalelos agrave corrente

ambos se opondo ao aumento da corrente nesse solenoacuteide (para entender isso fique atento aos sentidos de

giro das correntes nos solenoacuteides comparando-os aos sentidos de giro das linhas de forccedila dos campos

eleacutetricos) Analogamente para o solenoacuteide 2 Na conexatildeo (b) entre os solenoacuteides e satildeo antiparalelos

entre si Vemos que no solenoacuteide 1 eacute oposto agrave corrente mas eacute paralelo se opotildee ao aumento da

corrente mas estaacute colaborando com esse aumento no solenoacuteide 1 Olhando para o solenoacuteide 2 vemos que

estaacute se opondo ao aumento da corrente no solenoacuteide 2 mas ao fazer isso ele acaba por contribuir para o

aumento da corrente no solenoacuteide 1 Esse eacute o significado de uma indutacircncia muacutetua negativa o efeito da

induccedilatildeo muacutetua eacute oposto ao da autoinduccedilatildeo

A

A

B

B

Figura 5 dois solenoacuteides (1 e 2) ligados em seacuterie No caso (a) vale gt 0 e no caso (b) vale lt 0Considere que ( ) esteja aumentando no tempo Linhas de forccedila dos campos eleacutetricos induzidos

(a)

(b)

( )

( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

103 O circuito RL

Podemos dizer que todo dispositivo eleacutetrico desde um simples segmento de fio ateacute uma cidade

inteira possui uma autoindutacircncia Se essa autoindutacircncia tiver um valor muito pequeno pode ser que seus

efeitos sejam despreziacuteveis Foi o que fizemos por exemplo quando estudamos o comportamento do circuito

RC no capiacutetulo 6 Nem mencionamos laacute a autoindutacircncia do circuito porque entendemos implicitamente que

ela era despreziacutevel Caso contraacuterio a autoindutacircncia vai exercer uma influecircncia marcante no comportamento

de um circuito Eacute o que vamos discutir aqui atraveacutes de um simples circuito composto de um resistor um

indutor e uma bateria Entendemos um resistor como sendo um dispositivo ideal cuja uacutenica propriedade

eleacutetrica eacute sua resistecircncia Nesse sentido a autoindutacircncia de um resistor eacute identicamente nula Um indutor

tambeacutem eacute um dispositivo ideal cuja uacutenica propriedade eleacutetrica eacute sua autoindutacircncia A resistecircncia eleacutetrica de

um indutor ideal eacute identicamente nula A mesma ideia vale para um capacitor um dispositivo ideal que possui

apenas uma capacitacircncia e = = 0 O resistor e o indutor (ideais) natildeo possuem capacitacircncia Dessa

forma com associaccedilotildees desses dispositivos ideais em seacuterie e em paralelo podemos representar as

propriedades eleacutetricas de vaacuterios dispositivos diferentes Um solenoacuteide (real) por exemplo pode ser

representado por um indutor em seacuterie com um resistor Nessa associaccedilatildeo o resistor representa a resistecircncia

eleacutetrica do fio que compotildee o solenoacuteide e o indutor representa sua capacidade de se

autoinduzir O siacutembolo para um indutor ideal em esquemas de circuitos eleacutetricos eacute

mostrado na Figura ao lado O siacutembolo faz referecircncia clara a um solenoacuteide mas ele

representa de fato uma propriedade a autoindutacircncia de um dispositivo eleacutetrico qualquer

Queremos discutir aqui o comportamento de circuitos eleacutetricos que possuem autoindutacircncia Para

fazer isso devemos incorporar uma nova regra agraves regras que jaacute conhecemos para aplicaccedilatildeo da lei das malhas

(de Kirchhoff) Sabemos por exemplo que ao atravessarmos um resistor no mesmo sentido da corrente o

potencial eleacutetrico cai de ∆ = sendo a corrente que estaacute passando no resistor A nova regra que

queremos conhecer eacute a que nos permite computar o ∆ que eacute adicionado agrave lei das malhas quando

atravessamos um indutor Enfim precisamos definir a DDP entre os terminais de um indutor

Vimos no capiacutetulo 3 que a diferenccedila de potencial eleacutetrico entre dois pontos A e B no espaccedilo eacute dada

por

( ) minus ( ) = ∙

sendo o campo eletrostaacutetico que existe nessa regiatildeo do espaccedilo Eacute importante recordar que essa expressatildeo

soacute faz sentido para campos conservativos (eletrostaacuteticos) Mas vimos no capiacutetulo 9 que circuitos com

correntes variaacuteveis no tempo produzem no espaccedilo campos eleacutetricos natildeo conservativos comumente

430

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

chamados de campos eleacutetricos induzidos (mas que natildeo deixam de ser apenas campos eleacutetricos) Portanto

antes de discutirmos a DDP ∆ em um indutor devemos ter o cuidado aqui de definir precisamente o potencial

eleacutetrico nessas situaccedilotildees natildeo eletrostaacuteticas pois o que aparece na integral que fornece ∆ natildeo pode incluir

o campo eleacutetrico induzido Nessa discussatildeo (e apenas nela) seraacute melhor definirmos entatildeo o campo eleacutetrico

como sendo aquele produzido por acuacutemulos de cargas eleacutetricas que satisfaz a lei de Coulomb e eacute

conservativo Analogamente definimos o campo eleacutetrico como sendo o campo eleacutetrico induzido produzido

por correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo que natildeo satisfaz a lei de Coulomb mas sim a lei de Faraday e natildeo eacute

conservativo Em situaccedilotildees mais gerais que envolvem acuacutemulos de cargas eleacutetricas e correntes eleacutetricas

variaacuteveis no tempo o campo eleacutetrico no espaccedilo eacute (de acordo com o princiacutepio da superposiccedilatildeo) = +

Portanto devemos definir a DDP entre dois pontos A e B com sendo

( ) minus ( ) = ∙

Somente essa definiccedilatildeo de DDP faz sentido pois somente eacute um campo conservativo

Assim sendo vimos que um resistor possui um pequeno acuacutemulo de cargas eleacutetricas em seus

terminais que produzem dentro dele um campo eleacutetrico Dentro desse resistor de resistecircncia os

portadores de carga fluem pois vale a lei de Ohm = Deduzimos entatildeo que nesse caso vale ∆ = plusmn Analogamente entre as placas de um capacitor de capacitacircncia carregado haacute um campo

eleacutetrico e nesse caso vale ∆ = plusmn Finalmente entre os terminais de uma bateria ideal de FEM ℇ

onde se acumulam pequenas quantidades de cargas eleacutetricas haacute um campo eleacutetrico e vale ∆ = plusmnℇ

Aqui chegamos a um ponto em que jaacute podemos calcular a DDP ∆ para um indutor ideal Tudo que

temos que fazer eacute reconhecer que dentro do indutor no material condutor onde fluem os portadores de carga

e a corrente ( ) tem que valer = + = 0 ou seja = minus Isso deve ocorrer porque um indutor eacute

um dispositivo ideal com = 0 ou seja a condutividade eleacutetrica desse material do indutor deve ser rarr infin

Portanto dentro desse material vale = = + = infin0 Qualquer outro valor para vai resultar

em uma corrente infinita pois o indutor ideal eacute composto de um condutor

perfeito (por hipoacutetese caso contraacuterio o indutor natildeo seria ideal) A Figura ao

lado ilustra de forma bastante simplificada como seriam e na vizinhanccedila

de um solenoacuteide que eacute um indutor tiacutepico em que passa uma corrente ( ) crescente no tempo eacute basicamente antiparalelo agrave corrente ele eacute produzido

por ( ) eacute basicamente axial ele eacute produzido por acuacutemulos de carga ao

longo da superfiacutecie do solenoacuteide (a superfiacutecie do fio) Note na Figura que a

( )

431

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

igualdade = minus natildeo vale no espaccedilo ao redor do solenoacuteide (estaacute longe disso) posto que essa igualdade

deve valer apenas ao longo e no interior do fio do solenoacuteide onde rarr infin e vale a lei de Ohm com = += 0 Na regiatildeo fora do fio do solenoacuteide (vaacutecuo) vale = 0 e = = 0 + = 0 O campo

resultante + natildeo tem que ser nulo na regiatildeo exterior ao fio que compotildee o solenoacuteide

Portanto sejam A e B os terminais de um indutor de indutacircncia por onde flui uma corrente eleacutetrica ( ) de A para B A definiccedilatildeo de DDP e a regra do fluxo levam a

( ) minus ( ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙ = minus minus ( ) = ( )

Na expressatildeo acima ndash ( ) eacute a FEM autoinduzida no indutor no sentido da corrente e por isso fizemos a

hipoacutetese de que a corrente estaacute fluindo de A para B Conclusatildeo na lei das malhas a regra do indutor eacute (note

que ∆ = ( ) minus ( ) e que a corrente ( ) estaacute fluindo de A para B)

Se atravessarmos um indutor no mesmo sentido da

corrente ( ) que circula nele ∆ = minus ( )

Se atravessarmos o indutor no sentido oposto agrave

corrente ( ) que circula nele ∆ = ( )

A regra do fluxo se aplica apenas a circuitos fechados e na expressatildeo de ( ) minus ( ) acima os pontos

A e B satildeo pontos diferentes no espaccedilo satildeo os terminais do indutor ideal Por isso podemos estranhar a

aplicaccedilatildeo dessa regra nesse caso como fizemos acima Detalhando um

pouco mais a ideia aqui eacute que podemos fechar o caminho que vai de A

para B por dentro do fio do indutor com um outro caminho externo que

vai de volta de B para A e onde vale ∙ = 0 A Figura ao lado ilustra

essa ideia Partimos de A e caminhamos por dentro do fio do solenoacuteide ateacute

chegar em B Nessa porccedilatildeo do caminho vale = minus Depois retornamos

de B para A pelo caminho externo axial azul que eacute ortogonal agrave e onde portanto ∙ = 0 Conclusatildeo

repetindo o caacutelculo que fizemos acima com um pouco mais de detalhe obtemos

( ) minus ( ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙ = minus ∙ + ∙ = ( )

Nessa expressatildeo a primeira integral de dentro dos colchetes eacute realizada de A ateacute B por dentro do fio do

solenoacuteide e a segunda integral que eacute nula eacute realizada de B ateacute A pelo caminho externo azul No final das

( )A B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

contas estamos integrando em um caminho fechado e podemos usar a regra do fluxo O resultado eacute o

mesmo

A Figura ao lado resume nosso resultado (de uma forma apenas

pictoacuterica) para um indutor em que circula uma corrente que estaacute crescendo

no tempo Se a corrente de A para B estaacute crescendo entatildeo aponta de B

para A pois esse campo se opotildee a esse crescimento Como + = 0

dentro do indutor segue que aponta de A para B e que portanto o

terminal A possui um pequeno acuacutemulo de cargas eleacutetricas positivas Segue que ( ) minus ( ) gt 0 pois

sempre aponta no sentido do decaimento do potencial eleacutetrico (do + para o -) Portanto ao atravessarmos o

indutor no sentido de A para B (sentido da corrente) o potencial cai ele cai de ( ) Daiacute concluiacutemos que Δ = minus ( ) (se percorremos o indutor no mesmo sentido da corrente) A mesma ideia funciona se a

corrente de A para B estaacute diminuindo aponta de A para B se opondo a esse decaimento e (como + = 0 dentro do indutor) aponta de B para A O terminal B possui um pequeno acuacutemulo de cargas

eleacutetricas positivas implicando que ( ) minus ( ) lt 0 (Δ = minus ( ) gt 0 posto que ( ) lt 0)

Agora estamos prontos para considerar o circuito RL

seacuterie ligado a uma bateria mostrado na Figura 6 ao lado A

chave S vai fechar o circuito e ligar a corrente no instante = 0

Queremos saber como se comporta a corrente eleacutetrica ( ) nesse circuito Qual o efeito da indutacircncia muacutetua sobre a

corrente Supondo que a chave S jaacute estaacute fechada partindo do

poacutelo + da bateria e percorrendo o circuito no sentido horaacuterio a

lei das malhas fornece a equaccedilatildeo minus ( ) minus ( ) + ℇ =

Portanto a corrente ( ) obedece agrave seguinte equaccedilatildeo diferencial (com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = 0) ( ) + ( ) = ℇ

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo (com essa condiccedilatildeo inicial) eacute ( ) = ℇ 1 minus

Para entendermos melhor o comportamento do circuito podemos calcular a FEM autoinduzida no

indutor (no sentido da corrente) ℇ ( ) = minus ( ) = minus ℇ 1 minus = minusℇ

( )

ℇFigura 6 um circuito RL seacuterie conectado a uma bateria

( )

+ -A B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

O fato de valer sempre ℇ lt 0 significa apenas que essa FEM estaacute sempre se opondo agrave corrente posto que a

corrente eacute crescente no tempo Por essa razatildeo pela FEM induzida se opor ao estabelecimento da corrente no

circuito ela eacute muitas vezes chamada de forccedila contra-eletromotriz Mas enfim este eacute apenas mais um nome e ℇ ( ) natildeo deixa de ser uma forccedila eletromotriz soacute que de fato trabalhando contra o movimento dos

portadores de carga no circuito (nesse sentido ela natildeo eacute ldquomotrizrdquo eacute ldquocontramotrizrdquo)

No graacutefico ao lado esboccedilamos as curvas de ( ) e de ℇ ( ) em funccedilatildeo do tempo Vemos que no instante em que a chave S eacute

fechada a corrente tem um iacutempeto de comeccedilar a circular no

circuito mas a FEM induzida no indutor vale exatamente minusℇ

se opondo agrave FEM da bateria Essa oposiccedilatildeo retarda mas natildeo

impede o crescimento da corrente (algo parecido com a accedilatildeo do

atrito cineacutetico que se opotildee ao movimento enquanto ele ocorre)

A corrente no circuito vai crescendo lentamente sofrendo uma oposiccedilatildeo contiacutenua de ℇ ( ) que compete com

o estiacutemulo produzido por ℇ Com o passar do tempo a corrente no circuito vai estabilizando em seu valor

assintoacutetico ( rarr infin) = ℇ e o indutor vai relaxando deixando de se autoinduzir (ℇ ( rarr infin) = 0)

Comparando o comportamento do indutor com o de um resistor podemos dizer que nesse circuito o indutor

inicia se comportando como uma resistecircncia infinita (circuito aberto) natildeo deixando passar corrente no

circuito e termina se comportando como uma resistecircncia nula (curto-circuito) deixando de influenciar a

corrente no circuito

A comparaccedilatildeo do comportamento desse circuito com o de

um circuito sem indutacircncia nos ajuda a entender a influecircncia que

esse fenocircmeno o da autoinduccedilatildeo tem sobre o comportamento dos

circuitos eleacutetricos Na Figura 7 ao lado mostramos um circuito com = 0 Repetindo os caacutelculos que fizemos acima obtemos minus ( ) + ℇ =

Portanto a corrente ( ) obedece agrave seguinte equaccedilatildeo algeacutebrica (com

a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = 0) ( ) = ℇ A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo eacute ( ) = = ℇ

A corrente eacute constante e natildeo haacute FEM autoinduzida no circuito pois = 0 Os graacuteficos abaixo mostram as

curvas de ( ) e de ℇ ( ) em funccedilatildeo do tempo Nesse caso vale ℇ ( ) = 0 Vemos que no instante em que a

chave S eacute fechada a corrente assume instantaneamente o valor constante = ℇ imposto pela FEM da

0( )

ℇ ( )minusℇ

Figura 7 um circuito R conectado a uma bateria ( = 0)

( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

bateria e limitado apenas pela resistecircncia do circuito No instante = 0 haacute uma descontinuidade em ( ) que

salta do valor ( = 0) = 0 para o valor ( gt 0) = = ℇ Fica

claro aqui que as massas dos portadores de carga (ineacutercia mecacircnica)

satildeo irrelevantes para o comportamento de um circuito eleacutetrico

Comparando os graacuteficos de ( ) nos circuitos com ne 0 e

com = 0 vemos que a autoinduccedilatildeo impotildee no circuito uma espeacutecie

de ineacutercia eletromagneacutetica fazendo com que sua resposta ao

estiacutemulo da bateria seja lenta De fato vemos que o fator exponencial dita as evoluccedilotildees temporais da

corrente e da FEM autoinduzida no circuito e que o fator tem que possuir unidade de tempo ou seja

eacute um tempo caracteriacutestico da resposta do circuito ao estiacutemulo agrave circulaccedilatildeo da corrente De fato [[ = Ω = = ( )( ) = =

Definimos entatildeo =

como sendo o tempo caracteriacutestico do circuito RL seacuterie Exatamente no instante a corrente no circuito jaacute

atingiu o valor ( = ) = ℇ 1 minus = ℇ (1 minus ) = ℇ 1 minus 1 cong 063 ℇ

Portanto no instante a corrente jaacute atingiu cerca de 63 de seu valor maacuteximo (note que cong 2718)

No graacutefico ao lado mostramos o comportamento de ( ) para circuitos com diferentes valores de autoindutacircncia

(e mesmos valores de ℇ e ) Na curva verde mostramos o

instante = em que ( ) atinge 63 de seu valor maacuteximo

Esse valor maacuteximo eacute o mesmo para as trecircs curvas (pois ℇ e

satildeo iguais nos trecircs casos) A curva vermelha corresponde a

um valor de (e de ) menor que a curva verde e a curva azul a um valor menor ainda Vemos que agrave medida

que vai diminuindo o circuito vai ficando mais raacutepido ele vai perdendo a ineacutercia produzida pela

autoinduccedilatildeo No limite rarr 0 recuperamos a curva de ( ) para o caso = 0 mostrada anteriormente em

que o circuito tem uma resposta instantacircnea pois = rarr 0

O tempo desempenha no circuito RL seacuterie um papel similar ao tempo caracteriacutestico =

definido para o circuito RC seacuterie Fazendo uma analogia entre os dois circuitos chamamos esse processo que

estamos discutindo de processo de carga do circuito RL No circuito RC o processo de carga consiste em um

0

( )ℇ ( )

0

( )063 ℇ

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

acuacutemulo crescente de cargas eleacutetricas nas placas do capacitor No circuito RL o processo de carga corresponde

a uma passagem crescente de corrente atraveacutes do circuito

Imagine agora que a chave S no circuito seja uma chave

comutadora conforme mostrado na Figura 8 ao lado

Conectando a chave em A recuperamos o circuito que discutimos

anteriormente em que a corrente ( ) no circuito vai crescendo

com o tempo Note que mudamos a seta de ( ) do lugar apenas

porque queremos considerar agora o comportamento do circuito

com a chave em B quando natildeo circula mais corrente pelo ramo

da bateria Estamos imaginando aqui que a mesma ineacutercia que faz com que a corrente cresccedila lentamente no

circuito vai fazer com que a corrente decaia lentamente quando a bateria for retirada do circuito Para

verificar isso imaginamos que em um certo instante gt 0 qualquer quando a corrente jaacute atingiu um valor ( ) = a chave eacute comutada instantaneamente de A para B

Supondo entatildeo que a chave eacute conectada a B em = 0 quando a corrente no indutor era ( = 0) = com o sentido mostrado na Figura se partirmos do ponto A e percorrermos a malha que conteacutem apenas R

e L no sentido horaacuterio a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo minus ( ) minus ( ) =

Portanto a corrente ( ) obedece agrave seguinte equaccedilatildeo diferencial (com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = ) ( ) + ( ) = 0

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo eacute ( ) =

Para entender melhor o comportamento do circuito podemos calcular a FEM autoinduzida no indutor (no

sentido da corrente) ℇ ( ) = minus ( ) = minus =

O fato de valer sempre ℇ gt 0 significa agora que essa FEM estaacute sempre no mesmo sentido da corrente posto

que a corrente eacute decrescente no tempo e que ela estaacute sendo criada no circuito exatamente por ℇ ( ) (agora a

FEM eacute ldquomotrizrdquo mesmo e natildeo ldquocontramotrizrdquo) Natildeo havendo mais bateria no circuito a FEM ℇ ( ) eacute

responsaacutevel pela circulaccedilatildeo da corrente ( ) no circuito

Os graacuteficos abaixo juntam todos os comportamentos que obtivemos para o circuito RL seacuterie Em = 0

a chave S eacute conectada ao ponto A e a corrente no circuito comeccedila a crescer impulsionada pela bateria Se

deixaacutessemos a chave em A por muito tempo a corrente atingiria seu valor assintoacutetico ℇ Entendemos

ℇFigura 8 um circuito RL seacuterie conectado a uma bateria

( ) A

B

436

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

esse comportamento quando olhamos o graacutefico da FEM

autoinduzida ℇ ( ) No instante em que a chave eacute ligada em A o

indutor se autoinduz uma FEM oposta agrave corrente (por isso ela eacute

negativa no graacutefico) retardando o crescimento da corrente no

circuito (enquanto ela cresce) Em um dado instante qualquer

comutamos instantaneamente a chave S de A para B Nesse

instante a corrente no circuito era por hipoacutetese Vemos no

graacutefico que quando retiramos a bateria do circuito a corrente

eleacutetrica natildeo se anula ela continua circulando a partir do valor

e vai caindo lentamente a zero Entendemos esse

comportamento quando olhamos o graacutefico da FEM autoinduzida ℇ ( ) No instante em que a chave eacute comutada de A para B o

indutor se autoinduz uma FEM no mesmo sentido da corrente

(por isso ela eacute positiva no graacutefico) retardando o decaimento da corrente no circuito Em resumo vemos aqui a

induccedilatildeo eletromagneacutetica atuando de forma marcante em um circuito eleacutetrico introduzindo nele uma lentidatildeo

em sua resposta a variaccedilotildees de corrente Quando a chave eacute comutada em A o indutor se opotildee ao

estabelecimento da corrente e quando a chave eacute comutada para B ele se opotildee ao desaparecimento da

corrente no circuito Essa eacute a ideia expressa na lei de Lenz de que a induccedilatildeo sempre se opotildee agrave sua causa

Para um circuito com = 0 como na Figura 7 a ineacutercia desaparece do circuito e a corrente vai

imediatamente para o valor ℇ quando conectamos a chave S em A e vai imediatamente para zero

quando comutamos a chave S para B

Chamamos de processo de carga aquele que se daacute enquanto a chave S estaacute em A e a corrente no

circuito estaacute aumentando no tempo Analogamente chamamos

de processo de descarga o que se daacute quando a chave S eacute

conectada ao ponto B e a corrente eleacutetrica vai decaindo

exponencialmente para zero

Se ficarmos comutando a chave S alternadamente entre

A e B vamos gerar uma corrente eleacutetrica pulsante no circuito

Nos graacuteficos ao lado mostramos essas correntes para o caso = 0 (curva verde) e ne 0 (curva vermelha) A comutar a

chave entre A e B continuamente geramos no circuito sem

autoinduccedilatildeo (curva verde) uma corrente que eacute comumente

chamada de ldquoonda quadradardquo Essa eacute a forma por exemplo do

0

( )ℇ

0ℇ ( )

minusℇ rarr

0

( )0

( )

437

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

pulso de clock em um computador (uma sequecircncia de 0s e 1s) que dita o ritmo de todas as operaccedilotildees que

ocorrem nos circuitos eletrocircnicos dessa maacutequina A presenccedila da autoindutacircncia distorce esse pulso (curva

vermelha) introduzindo nele uma ineacutercia e curvaturas que natildeo faziam parte da onda quadrada original Esse

seria um exemplo em que a autoindutacircncia tem um efeito indesejaacutevel mas inevitaacutevel no circuito Os valores

correspondentes aos 0s e 1s se tornam mais parecidos e isso pode confundir a resposta dos dispositivos ao

pulso de clock Podemos ver nesses graacuteficos que o indutor funciona como um filtro de frequumlecircncia pois ele natildeo

deixa que a corrente no circuito varie abruptamente Portanto esse efeito pode ser desejaacutevel em um circuito

em que queremos nos livrar de ruiacutedos eleacutetricos que satildeo pulsos de variaccedilatildeo raacutepida na corrente produzidos por

algum elemento do circuito como por exemplo um motor eleacutetrico com escovas (motor CC) Esses ruiacutedos

eleacutetricos que podem produzir interferecircncia em aparelhos eleacutetricos que

compartilham o mesmo circuito satildeo arredondadosatenuados pela accedilatildeo da

autoinduccedilatildeo A Figura ao lado mostra um filtro de ruiacutedo (eleacutetrico) cujo

funcionamento se baseia na induccedilatildeo eletromagneacutetica Esse filtro eacute comumente

encontrado em cabos de dispositivos eletrocircnicos Trata-se de uma simples espira de

ferrite que ldquoabraccedilardquo o cabo e produz uma FEM ldquocontramotrizrdquo quando tenta

circular pelo cabo algum pulso de corrente de variaccedilatildeo raacutepida (um surto ou algum ruiacutedo eleacutetrico)

104 A energia magneacutetica

Energia eacute capacidade de realizar trabalho A energia potencial gravitacional de um corpo por

exemplo eacute a capacidade que o peso desse corpo tem de realizar trabalho (no corpo) Quando um corpo cai

seu peso realiza (no corpo) um trabalho positivo e a capacidade dessa forccedila realizar trabalho diminui Por isso

sua energia potencial gravitacional diminui Quando um corpo sobe seu peso realiza (no corpo) um trabalho

negativo e a capacidade dessa forccedila realizar trabalho aumenta Por isso sua energia potencial gravitacional

aumenta Quando a energia potencial gravitacional do corpo muda ela eacute convertida em outra forma de

energia (eacute sempre bom lembrar que o termo ldquoenergia potencial do corpordquo eacute um(a) atalho(simplificaccedilatildeo) da

linguagem pois trata-se de fato de uma energia de interaccedilatildeo corpoTerra corpoLua ou corpooutro corpo)

Se apenas o peso atua no corpo sua energia potencial gravitacional eacute convertida em energia cineacutetica do

proacuteprio corpo ( rarr ) Se haacute outras forccedilas atuando no corpo sua energia potencial gravitacional pode ser

transferida para outros corpos como quando um bloco desce um plano inclinado com atrito cineacutetico

mantendo sua velocidade constante ( rarr energia interna do corpo e do plano inclinado rarr calor)

Forccedila eletromotriz (FEM) eacute trabalho (e natildeo forccedila) e essa capacidade de realizar trabalho estaacute associada

a uma energia Uma bateria ideal por exemplo possui uma energia interna associada a uma reaccedilatildeo quiacutemica

pois ela tem capacidade de realizar trabalho positivo sobre os portadores de carga que fluem por ela O

trabalho em um portador de carga gt 0 eacute ℇ Apoacutes essa realizaccedilatildeo de trabalho esse portador de carga

438

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

fluiu de um potencial menor para um potencial maior de tal forma que ∆ = minus = ℇ Esse

portador ganhou a energia potencial eleacutetrica ∆ = ℇ Portanto atraveacutes de sua realizaccedilatildeo de trabalho a

bateria converte a energia liberada em sua reaccedilatildeo quiacutemica em energia potencial eleacutetrica dos portadores de

carga no circuito

Vimos que no circuito RL o indutor possui capacidade de realizar trabalho sobre os portadores de

carga atraveacutes de sua FEM autoinduzida Portanto um indutor possui uma energia associada a ele

Quando dizemos que o indutor possui energia ou faz isso ou faz aquilo devemos estar cientes de que

este eacute apenas (mais um) um viacutecio (ou uma simplificaccedilatildeo) de linguagem Quem possui energia eacute quem tem

capacidade de fazer forccedila (e realizar trabalho) e um indutor natildeo faz forccedila Essa eacute uma propriedade das cargas

eleacutetricas que estatildeo concentradas e fluindo no indutor Os portadores de carga se aceleram ou se freiam

mutuamente (frear natildeo deixa de ser acelerar tambeacutem mas estamos usando aqui uma linguagem comum na

fiacutesica e no dia-a-dia) atraveacutes de seu campo eleacutetrico induzido O que estamos concluindo aqui eacute que o circuito

RL que analisamos estaacute revelando que esse conjunto de portadores que constitui a corrente ( ) ou

resumidamente a proacutepria corrente ( ) possui uma energia associada a ela A corrente ( ) possui uma

capacidade de realizar trabalha na proacutepria corrente ( ) lutando para que ela natildeo cresccedila e lutando para que

ela natildeo desapareccedila A essa capacidade de realizar trabalho associamos uma energia que chamamos de

energia magneacutetica Este nome vem do fato de que essa energia soacute existe em circuitos que possuem

autoindutacircncia ou seja autofluxo magneacutetico =

A FEM induzida eacute o trabalho do campo eleacutetrico induzido e a energia magneacutetica eacute a capacidade de

realizar trabalho desse campo eleacutetrico induzido Quem cria esse campo eleacutetrico no espaccedilo satildeo os portadores

de carga que estatildeo fluindo no circuito constituindo a corrente ( ) Portanto a FEM induzida atuando no

circuito eacute uma accedilatildeo dos portadores de carga neles mesmos (como uma multidatildeo em que as pessoas se

empurram mutuamente convertendo suas energias internas em energia cineacutetica) e a energia magneacutetica eacute

uma energia da corrente eleacutetrica (ou dos portadores de carga que constituem essa corrente) Quando a

corrente ( ) estaacute crescendo os portadores de carga estatildeo acelerando e criam um campo eleacutetrico induzido no

espaccedilo Esse campo eacute tal que eacute oposto agrave velocidade de deriva desses portadores e atua nos proacuteprios

portadores se opondo a essa aceleraccedilatildeo Quando a corrente ( ) estaacute diminuindo os portadores de carga

estatildeo freando e criam um campo eleacutetrico induzido no espaccedilo Esse campo eacute tal que eacute paralelo agrave velocidade de

deriva desses portadores e atua nos proacuteprios portadores empurrando eles para a frente se opondo ao

processo de frenagem A capacidade de fazer isso eacute a energia magneacutetica da corrente eleacutetrica no indutor

Podemos enxergar essa energia (capacidade de realizar trabalho) atuando no circuito RL atraveacutes da

anaacutelise da lei das malhas que natildeo deixa de ser uma afirmaccedilatildeo da conservaccedilatildeo da energia (no sentido de que

439

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

uma energia natildeo desaparece ela se transforma em outra energia) Vamos comeccedilar pelo caso = 0 mostrado

na Figura 7 A lei das malhas diz que ( ) = = ℇ

Multiplicando essa equaccedilatildeo por dos dois lados obtemos = ℇ

A interpretaccedilatildeo dessa equaccedilatildeo eacute simples e ela estava impliacutecita na lei das malhas Vemos que a taxa com que o

resistor transforma energia potencial eleacutetrica em calor ( ) eacute igual agrave taxa com que a bateria fornece energia

potencial eleacutetrica para os portadores de carga no circuito (ℇ ) Resumindo no resistor os portadores de

carga fluem sob accedilatildeo de duas forccedilas produzido por acuacutemulos de carga na superfiacutecie e o arraste

produzido pelo meio condutor O trabalho de sobre os portadores eacute positivo e reflete uma perda de

energia potencial eleacutetrica e o trabalho de eacute negativo refletindo uma transferecircncia de energia dos

portadores para o meio condutor (efeito Joule) Na bateria ideal os portadores de carga fluem sob accedilatildeo de

duas forccedilas produzido por acuacutemulos de carga nos terminais + e - e a forccedila (de reaccedilatildeodifusatildeo) que faz

os portadores (positivos) fluiacuterem do terminal ndash para o + O trabalho de sobre os portadores eacute negativo e

reflete um ganho de energia potencial eleacutetrica dos portadores e o trabalho de eacute positivo refletindo uma

transferecircncia de energia dos reagentes para os portadores

Vamos considerar agora o processo de carga no circuito RL seacuterie A lei das malhas diz que

( ) + ( ) = ℇ

Multiplicando por ( ) dos dois lados obtemos [ ( ) + ( ) ( ) = ℇ ( ) Reconhecemos os termos [ ( ) a taxa com que o resistor transforma energia potencial eleacutetrica em calor e ℇ ( ) a taxa com que a bateria fornece energia potencial eleacutetrica para os portadores de carga no circuito

Ateacute aiacute natildeo haacute nada de novo Apenas aqui as taxas satildeo instantacircneas posto que a corrente eacute uma funccedilatildeo do

tempo A conservaccedilatildeo da energia eacute verdadeira em cada instante de tempo Mas vemos que haacute um termo

novo ( ) ( ) Note que esse termo eacute positivo posto que nesse processo a corrente eacute crescente no

tempo ( ( ) gt 0) A equaccedilatildeo acima estaacute dizendo que a energia fornecida pela bateria aos portadores no

circuito estaacute sendo compartilhada entre o resistor e o indutor O resistor dissipa uma parte e a outra parte eacute

fornecida ao indutor e acumula nele O indutor estaacute pegando uma parte da energia potencial eleacutetrica

fornecida pela bateria e estaacute convertendo em outra forma de energia que estaacute ficando acumulada nele Ela

estaacute acumulando porque um indutor (ideal) natildeo dissipa energia (natildeo emite energia para fora do circuito)

440

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

Na Figura ao lado relembramos os dois campos eleacutetricos

induzido e de acuacutemulos de cargas para o indutor ideal no processo de

carga (corrente de A para B crescendo no tempo) No indutor os

portadores de carga fluem de A para B sob accedilatildeo de duas forccedilas

produzido por acuacutemulos de carga na superfiacutecie e o campo eleacutetrico induzido pelos proacuteprios portadores ou

seja por ( ) O trabalho de sobre os portadores eacute positivo e reflete uma perda de energia potencial

eleacutetrica e o trabalho de eacute negativo refletindo um ganho de energia magneacutetica Note que como aponta

de A para B segue que ∆ = ( ) minus ( ) lt 0 Vemos entatildeo que um portador de carga que flui atraveacutes do

indutor perde a energia potencial eleacutetrica ∆ = ∆ = minus ( ) Essa energia eleacutetrica natildeo eacute dissipada

para o ambiente pois o indutor eacute ideal e portanto essa energia eleacutetrica tem que estar sendo convertida em

outra forma de energia que estaacute acumulando no circuito especificamente nas cargas eleacutetricas na regiatildeo do

indutor (mais especificamente nos portadores de carga que constituem ( )) Eacute o que mostrou a lei das malhas

que escrevemos acima uma parte da energia fornecida pela bateria eacute dissipada no resistor e a outra parte

permanece acumulada no (ou na corrente no) indutor

Analisando o processo de descarga vamos ter mais uma pista acerca da energia magneacutetica No

processo de descarga do circuito RL a lei das malhas diz que

( ) + ( ) = 0

Multiplicando por ( ) dos dois lados e passando um termo para o outro lado obtemos [ ( ) = minus ( ) ( )

Reconhecemos o termo [ ( ) a taxa com que o resistor transforma energia potencial eleacutetrica em

calor e vemos que ele eacute igual a minus ( ) ( ) que eacute positivo nesse caso pois a corrente estaacute decaindo no

tempo ( ( ) lt 0) A energia que estaacute sendo dissipada no resistor soacute pode estar vindo do indutor ou seja

essa energia estava acumulada nele na forma magneacutetica

Na Figura ao lado mostramos os dois campos eleacutetricos induzido

e de acuacutemulos de cargas para o indutor ideal no processo de descarga

(corrente de A para B diminuindo no tempo) No indutor os portadores

de carga fluem de A para B sob accedilatildeo de duas forccedilas produzido por

acuacutemulos de carga na superfiacutecie e o campo eleacutetrico induzido pelos proacuteprios portadores ou seja por ( ) Agora o trabalho de sobre os portadores eacute negativo e reflete um ganho de energia potencial eleacutetrica e o

trabalho de eacute positivo refletindo uma perda de energia magneacutetica Vemos que como aponta de B para

A segue que ∆ = ( ) minus ( ) gt 0 Um portador de carga que flui atraveacutes do indutor ganha energia

( )

+ -A B

( )

+- A B

441

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

potencial eleacutetrica ∆ = ∆ = minus ( ) Essa energia eleacutetrica natildeo pode vir do nada ela tem que estar

vindo da conversatildeo de outra forma de energia que estaacute acumulada no circuito especificamente nas cargas

eleacutetricas na regiatildeo do indutor Eacute o que mostrou a lei das malhas que escrevemos acima a energia dissipada no

resistor estaacute associada agrave autoinduccedilatildeo no indutor

Assim como eacute a capacidade de realizar trabalho de a energia magneacutetica eacute a capacidade

de realizar trabalho de Enquanto realiza trabalho muda (a capacidade de realizar trabalho desse

campo muda) Enquanto realiza trabalho muda (a capacidade de realizar trabalho desse campo

muda)

Resumindo no processo de carga o indutor (ou o conjunto todo de portadores de carga ou seja a

corrente) acumula energia magneacutetica (que vem da bateria) na taxa

∆ = minus∆ = ( ) rArr = ( ) ( )

que eacute positiva No processo de descarga o indutor (ou a proacutepria corrente) perde energia magneacutetica nessa

mesma taxa que passa a ser negativa apenas refletindo o fato de que essa energia estaacute diminuindo com o

tempo ela estaacute sendo convertida em energia potencial eleacutetrica e posteriormente dissipada no resistor

Resumindo a lei das malhas estaacute dizendo que

( ) = ( ) ( )

Integrando essa equaccedilatildeo dos dois lados e usando o fato de que = 0 se = 0 obtemos finalmente

( ) = 2 [ ( )

Resumindo um circuito com autoindutacircncia em que circula uma corrente eleacutetrica possui uma

energia magneacutetica = 2

No caso do circuito RL seacuterie durante o processo de carga a energia magneacutetica cresce de acordo com

( ) = 2 [ ( ) = 2 ℇ 1 minus

Essa energia eacute fornecida aos portadores de carga pela bateria Analogamente durante o processo de descarga

a energia magneacutetica decai de acordo com

( ) = 2 [ ( ) = 2

442

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

Essa energia eacute dissipada no resistor

Olhando para a expressatildeo da energia magneacutetica

= 2

podemos concluir que essa eacute uma forma de energia cineacutetica pois ela envolve a corrente eleacutetrica que envolve

as velocidades de deriva dos portadores de carga Mas trata-se de uma energia de movimento diferente da

energia cineacutetica que estudamos na mecacircnica ( = 2) pois ela natildeo envolve as massas dos portadores de

carga que satildeo de fato despreziacuteveis nesse contexto Essa energia cineacuteticamagneacutetica muda de valor quando a

corrente eleacutetrica muda que corresponde exatamente ao momento em que haacute accedilatildeo de campo eleacutetrico

induzido A energia magneacutetica eacute uma energia cineacutetica que se modifica pela accedilatildeo do campo eleacutetrico induzido

sobre os portadores de carga campo eleacutetrico produzido pelos proacuteprios portadores de carga

O nome ldquoenergia magneacuteticardquo dado a estaacute ligado ao fato de que somente sistemas capazes de

armazenar fluxo magneacutetico = satildeo capazes de armazenarfornecer essa energia posto que ne 0

pressupotildee ne 0 Um circuito sem autoindutacircncia como o circuito RC natildeo armazenafornece energia

magneacutetica A relaccedilatildeo dessa energia com o campo magneacutetico fica mais clara quando escrevemos

explicitamente em termos de (o moacutedulo do campo ) Considere o exemplo de um solenoacuteide helicoidal

muito longo de espiras comprimento e aacuterea de seccedilatildeo transversal Mostramos que a autoindutacircncia

desse solenoacuteide eacute =

Portanto se uma corrente estaacute circulando nesse solenoacuteide segue que

= 2 = 12

Sabemos tambeacutem que o campo magneacutetico desse solenoacuteide estaacute confinado no volume dentro dele

(basicamente um cilindro de aacuterea da base e altura ) eacute axial e tem magnitude = ( ) Portanto

= 12 = 12 = 2 ( ) Vemos que = sendo o volume dentro do solenoacuteide onde estaacute confinado o campo magneacutetico

Concluindo = 2

Essa expressatildeo tem validade geral e estaacute mostrando que a grandeza 2 tem unidade de densidade de

energia magneacutetica por unidade de volume Ela estaacute sugerindo a ideia de que podemos associar a energia

443

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

magneacutetica natildeo apenas agrave movimentaccedilatildeo dos portadores de carga (agrave corrente eleacutetrica) mas tambeacutem ao proacuteprio

campo magneacutetico produzido por essa corrente eleacutetrica A energia deixa de estar nas partiacuteculas e passa a estar

no espaccedilo onde existe o campo magneacutetico Uma vantagem dessa interpretaccedilatildeo eacute que ela mostra que onde

tem campo magneacutetico tem energia magneacutetica disponiacutevel e que se o campo magneacutetico se propagar no espaccedilo

como ocorre em uma onda eletromagneacutetica a energia magneacutetica se propagaraacute tambeacutem Vimos uma ideia

similar quando estudamos a energia potencial eleacutetrica dada em termos da densidade de energia 2

Atraveacutes dessas densidades de energia entendemos como uma onda eletromagneacutetica que satildeo campos ( ) e ( ) que viajam atraveacutes do espaccedilo transporta energia eletromagneacutetica com ela No caso de um

transformador de voltagem por exemplo como a energia flui do solenoacuteide primaacuterio para o solenoacuteide

secundaacuterio Imagine que ligamos o primaacuterio desse transformador em uma tomada comum de parede e no

secundaacuterio conectamos uma lacircmpada que acende A lacircmpada estaacute dissipando energia e essa energia soacute pode

estar vindo da rede eleacutetrica atraveacutes da tomada na parede A energia flui portanto do primaacuterio para o

secundaacuterio atraveacutes do espaccedilo A energia flui na forma eletromagneacutetica transportada atraveacutes do espaccedilo pelo

campo eletromagneacutetico que acopla os solenoacuteides primaacuterio e secundaacuterio

Resumindo conseguimos entender o comportamento de um circuito que possui autoindutacircncia

atraveacutes da accedilatildeo da forccedila eletromotriz induzida que sempre se opotildee agrave variaccedilatildeo na corrente que circula nesse

circuito Analisando esse circuito atraveacutes de conceitos de energia vemos que precisamos introduzir uma nova

forma de energia a energia magneacutetica Enquanto a corrente no circuito estaacute aumentando ele estaacute

acumulando energia magneacutetica (posto que ele estaacute acumulando autofluxo e concomitante capacidade de

autoinduccedilatildeo) Enquanto a corrente no circuito estaacute diminuindo ele estaacute perdendo energia magneacutetica (posto

que o autofluxo e sua capacidade de autoinduccedilatildeo estatildeo diminuindo)

104 O circuito LC

Vimos no circuito RL que o indutor (atraveacutes de sua autoindutacircncia) tem a capacidade de acumular

energia e fornecer energia para o circuito Ele acumula energia quando acumula fluxo magneacutetico que fornece

a ele uma capacidade de autoinduccedilatildeo e ele fornece energia quando ele vai perdendo seu fluxo magneacutetico se

autoinduzindo e realizando um trabalho positivo sobre os portadores de carga no circuito O capacitor eacute um

dispositivo que tambeacutem possui essas capacidades Quando o

capacitor acumula cargas eleacutetricas em suas placas ele acumula

energia potencial eleacutetrica Quando ele descarrega ele produz

corrente no circuito ou seja realiza um trabalho positivo sobre os

portadores de carga e perde sua energia potencial eleacutetrica O que

acontece quando conectamos um indutor a um capacitor Figura 9 um circuito LC A corrente vai circular apoacutes a chave S ser fechada

( )

+ +

- -

( )

444

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

construindo um circuito LC A Figura 9 ao lado ilustra esse circuito A ideia eacute que a chave S vai ser fechada em = 0 dando iniacutecio agrave circulaccedilatildeo de corrente ( ) no circuito Para isso imaginamos que uma carga eleacutetrica

inicial positiva (0) foi depositada na placa superior do capacitor Essa carga estaacute estaacutetica esperando o

fechamento do circuito

Uma coisa que fica clara aqui eacute que esse circuito eacute conservativo pois natildeo haacute nada nele que dissipe

energia para o ambiente como um resistor por exemplo Portanto o que quer que aconteccedila nesse circuito

apoacutes fecharmos a chave S a energia potencial eleacutetrica inicial depositada no capacitor natildeo pode desaparecer

ela pode apenas mudar de natureza se tornando por exemplo energia magneacutetica no indutor A energia inicial

armazenada no circuito (especificamente no capacitor) eacute (0) = (0) = (0)2

Portanto em um instante gt 0 qualquer tem que valer

( ) = ( ) + ( ) = ( )2 + 2 ( ) = (0) = (0)2

Derivando essa equaccedilatildeo acima em relaccedilatildeo ao tempo obtemos ( )2 + 2 ( ) = (0)2 rArr minus ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 rArr ( ) minus ( ) = 0

Note que utilizamos a igualdade ( ) = minus ( ) que eacute a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica Essa uacuteltima

equaccedilatildeo eacute exatamente a equaccedilatildeo que obtemos atraveacutes da lei das malhas aplicada ao circuito Concluindo a

conservaccedilatildeo da energia leva agrave seguinte equaccedilatildeo para a evoluccedilatildeo do circuito ( ) minus ( ) = 0

Utilizando novamente a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica obtemos finalmente uma equaccedilatildeo para ( ) apenas

(com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = (0) gt 0) ( ) minus minus ( ) = 0 rArr ( ) = minus 1 ( ) Soacute haacute duas funccedilotildees reais que quando derivadas duas vezes resultam nelas mesmas multiplicadas por uma

constante negativa o seno e o cosseno Portanto a soluccedilatildeo mais geral para ( ) eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria que

eacute uma combinaccedilatildeo de senos e cossenos podendo ser escrita na forma compacta ( ) = cos( + ) sendo gt 0 a amplitude de ( ) (seu valor maacuteximo) isin [02 ) (2 eacute o periacuteodo da funccedilatildeo cosseno) o acircngulo

de fase e = 1radic a frequumlecircncia angular natural das oscilaccedilotildees da funccedilatildeo ( )

445

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

A corrente eleacutetrica no circuito tambeacutem eacute oscilatoacuteria e eacute dada por

( ) = minus ( ) = minus [ cos( + ) = sen( + ) Os valores de e nas equaccedilotildees acima satildeo aqueles que selecionam a soluccedilatildeo particular que se adeacutequa a uma

determinada condiccedilatildeo inicial para ( ) e ( ) Em geral para as condiccedilotildees iniciais arbitraacuterias = (0) e = (0) obtemos = cos( ) = sen( ) Portanto obtemos para essas condiccedilotildees iniciais os valores particulares

= + ( ) tan( ) = ( )

No caso simples que imaginamos acima em que (0) gt 0 e (0) = 0 obtemos = tan( ) = 0 rArr = 0

Portanto para essa condiccedilatildeo inicial particular a carga e a corrente no circuito evoluem no tempo de

acordo com as equaccedilotildees ( ) = (0) cos( ) ( ) = (0) sen( ) Notamos que o uacutenico paracircmetro que natildeo eacute afetado pelas condiccedilotildees iniciais eacute a frequumlecircncia natural

pois ela fica determinada agrave priori pelos valores de e que fazem parte do circuito = 1radic Essa eacute a

mesma propriedade do movimento harmocircnico simples que estudamos na mecacircnica e eacute chamada de isocronia

O circuito LC eacute isoacutecrono pois a corrente e a carga oscilam nele com uma frequumlecircncia determinada apenas pelos

paracircmetros do circuito ( e ) sem influecircncia das condiccedilotildees iniciais arbitraacuterias que podem ser impostas ao

circuito Portanto atraveacutes dessa propriedade podemos imaginar a possibilidade de fabricar um reloacutegio

eletrocircnico cujo ritmo de TIC TAC eacute ditado pela frequecircncia que pode ser determinada e fixada agrave priori

assim que fabricamos o circuito LC

Os graacuteficos ao lado (obtidos no Maple) mostram as funccedilotildees ( ) (curva vermelha) e ( ) (curva verde) em funccedilatildeo do tempo

para os valores numeacutericos (0) = 1 C e = 10 rads A carga

oscila com amplitude = (0) = 1 C e a corrente oscila com

amplitude (0) = 10 A As duas funccedilotildees possuem periacuteodo de

oscilaccedilatildeo = 2 cong 063 s conforme podemos ver nos

graacuteficos Vemos que o capacitor inicia seu processo de descarga e

a carga ( ) decai enquanto a corrente ( ) cresce Nesse processo o indutor estaacute se opondo a esse

crescimento Em = 4 cong 016 s o capacitor estaacute totalmente descarregado e a corrente eacute maacutexima Apoacutes

446

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

esse instante a corrente comeccedila a decair e o capacitor comeccedila a carregar com a polaridade invertida ou seja ( ) lt 0 Nesse processo o indutor se opotildee a esse decaimento eacute ele que estaacute carregando o capacitor Esse

processo se repete indefinidamente As inversotildees de sinais representam apenas inversotildees na polaridade do

capacitor (placa de cima + e de baixo ndash e vice-versa) e no sentido da corrente (horaacuterio e anti-horaacuterio) A

corrente no circuito eacute alternada posto que ela alterna continuamente de sentido horaacuterioanti-horaacuterio

No graacutefico que abaixo mostramos as curvas das energias

( ) = ( )2 = (0)2 cos ( ) em vermelho e ( ) = 2 ( ) = 2 ( (0)) sen ( ) = (0)2 sen ( ) em verde Vemos nesses graacuteficos que as energias oscilam no tempo com frequecircncia 2 (pois cos ( ) =[1 + cos(2 ) 2 e sen ( ) = [1 minus cos(2 ) 2) A energia potencial eleacutetrica no capacitor oscila

enquanto ele carrega e descarrega e a energia magneacutetica no indutor oscila enquanto ele se opotildee ou favorece a

circulaccedilatildeo da corrente no circuito (a corrente aumenta ou diminui)

Note a alternacircncia na energia quando o capacitor estaacute com energia

maacutexima = plusmn e = 0 o indutor estaacute sem energia

Analogamente quando o indutor estaacute com energia maacutexima = 0

e = plusmn o capacitor estaacute sem energia Haacute momentos quando

as curvas se cruzam em que a energia estaacute igualmente distribuiacuteda

entre o capacitor e o indutor Esses momentos satildeo dados

portanto por

( ) = ( )2 = ( ) = 2 ( ) rArr ( ) = plusmn ( ) rArr sen( + ) = plusmn cos( + ) Logo tan( + ) = plusmn1

Circuitos reais sempre possuem alguma resistecircncia eleacutetrica e por isso os comportamentos discutidos

acima constituem uma idealizaccedilatildeo Adicionando uma resistecircncia ao circuito na Figura 9 a equaccedilatildeo obtida da

lei das malhas fica ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

Nesse caso a energia eletromagneacutetica ( ) = ( ) + ( ) deixa de ser constante e passa a ser

dissipada na taxa ( ) Como consequumlecircncia todas as funccedilotildees ( ) ( ) ( ) e ( ) passam a

447

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

apresentar um decaimento no tempo Esse sistema eacute anaacutelogo ao oscilador harmocircnico amortecido estudado na

mecacircnica

Nas Figuras ao lado ilustramos os decaimentos dessas funccedilotildees

supondo que o sistema eacute subamortecido ou seja que a resistecircncia

no circuito eacute pequena Outros amortecimentos mais draacutesticos podem

ser apresentados pelo circuito No primeiro graacutefico ( ) (curva

vermelha) e ( ) (curva verde) oscilam no tempo e vatildeo decaindo

lentamente a zero No segundo graacutefico ( ) (curva vermelha) e ( ) (curva verde) tambeacutem oscilam e decaem refletindo a

dissipaccedilatildeo da energia eletromagneacutetica no sistema que estaacute sendo

transformada em energia interna no resistor e sendo dissipada para o

ambiente na forma de calor

Se quisermos fabricar um reloacutegio utilizando um circuito LC

como fonte para o ritmo dos ponteiros devemos ter em mente que o

circuito real eacute um circuito RLC e que precisaremos portanto fornecer

energia para esse circuito continuamente se quisermos que ele funcione por um longo tempo Basicamente

esta eacute a ideia de um circuito de corrente alternada que estudaremos no proacuteximo capiacutetulo

105 Aplicaccedilotildees

1) Jaacute comentamos mais de uma vez que o caacutelculo do campo magneacutetico de uma espira circular (de fio fino)

onde circula uma corrente eleacutetrica eacute bastante complicado No capiacutetulo 8 nos contentamos em calcular esse

campo atraveacutes da lei de Biot-Savart apenas em pontos sobre o eixo (z) de simetria da espira Mostramos que

exatamente no centro da espira (de raio R) o campo magneacutetico vale

(0) = 2 A Figura ao lado mostra o vetor (0) (seta verde) O resultado analiacutetico para esse

campo e resultados experimentais (ver o artigo An investigation of the magnetic field in the

plane of a circular current loop H G Gnanatilaka e P C B Fernando American Journal of Physics 55 (1987))

mostram que no plano da espira na regiatildeo com raios lt (ver a Figura ao lado para relembrar a definiccedilatildeo

do raio ciliacutendrico s) o campo eacute razoavelmente uniforme em uma regiatildeo proacutexima ao centro da espira e

aumenta rapidamente quando nos aproximamos do fio ( ≲ ) divergindo em = (para uma espira de fio

filamentar) Baseado nessa ideia vamos propor aqui uma expressatildeo aproximada para o campo ( ) no plano

da espira (plano z=0) com lt (dentro do disco delimitado pela espira) Nosso modelo eacute

z

s

R

448

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

( ) = 2 1 + sendo gt 0 uma constante O graacutefico ao lado ilustra o comportamento de ( ) versus a razatildeo = Notamos que no nosso modelo

( = 0) = 2 e ( = ) = 2 (1 + ) Note que natildeo haacute divergecircncia de ( ) em = ou seja estamos

considerando um caso mais realista em que o fio na espira possui uma

espessura pequena mas natildeo nula

a) Com base nesse modelo para ( ) vamos calcular a autoindutacircncia dessa espira circular Da definiccedilatildeo o

autofluxo eacute

( ) = ∙ =

sendo nesse caso ldquo1rdquo a espira circular = e = ( ) Note que para calcular o autofluxo precisamos

conhecer apenas o campo magneacutetico da espira no proacuteprio plano da espira ao longo da superfiacutecie do disco de

raio R delimitado pela espira Esse campo eacute exatamente o que nosso modelo fornece Concluindo tomando = e definindo o elemento de aacuterea = 2 (um ldquoarordquo de raio e largura ) obtemos para o

autofluxo

( ) = ∙ = 2 1 + ∙ 2 = +

Concluindo

( ) = 2 + 6 = 2 1 + 3

Portanto a autoindutacircncia dessa espira circular (nesse modelo) eacute ( ( ) = )

= 2 1 + 3

Aqui podemos imaginar que o valor numeacuterico de poderia ser obtido atraveacutes de resultados experimentais

para o campo adequando o modelo (se isso for possiacutevel) agrave realidade

b) Imagine agora que a corrente nessa espira varie no tempo de acordo com ( ) = +

449

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

sendo gt 0 uma constante A corrente na espira cresce linearmente no tempo partindo do valor inicial

Vamos calcular a FEM autoinduzida ℰ( ) nessa espira magnitude e sentido

Da regra do fluxo

ℰ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus 2 1 + 3

Vemos que se = 0 ou seja se a corrente eacute constante entatildeo ℰ( ) = 0 e que quanto

mais rapidamente a corrente cresce (maior ) maior ℰ( ) ℰ( ) lt 0 significa que ℰ( ) estaacute no sentido (seta azul na Figura) oposto ao da corrente na espira (seta

vermelha)

c) Vamos considerar agora que haacute uma segunda espira circular menor de raio lt

coaxial e coplanar com a espira anterior conforme a Figura ao lado Vamos calcular a

indutacircncia muacutetua entre essas duas espiras

Da definiccedilatildeo o fluxo muacutetuo eacute

( ) = ∙ =

sendo nesse caso ldquo1rdquo a espira circular de raio (vermelha) = e = ( ) e a integral deve ser realizada

na aacuterea do disco delimitado pela espira ldquo2rdquo de raio (azul) Dessa forma estaremos calculando o fluxo

magneacutetico que a espira vermelha produz atraveacutes da espira azul Tomando = no disco delimitado pela

espira menor e definindo o elemento de aacuterea = 2 (um ldquoarordquo de raio e largura ) obtemos para

o fluxo muacutetuo

( ) = ∙ = 2 1 + ∙ 2 = +

Note que a integral agora varre os raios apenas ateacute o raio maacuteximo = do disco delimitado pela espira

menor Concluindo

( ) = 2 + 6 = 2 1 + 3

Note que nosso resultado anterior para o auto-fluxo eacute ( ) = ( )( = ) Portanto a indutacircncia muacutetua entre essas espiras circulares (nesse nosso modelo) eacute ( ( ) = )

= 2 1 + 3

z

s

R

z

s

R

450

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

b) Imagine agora que a corrente na espira maior varie no tempo de acordo com ( ) = +

sendo gt 0 uma constante A corrente na espira cresce linearmente no tempo partindo do valor inicial

Vamos calcular a FEM induzida na espira menor magnitude e sentido

Da regra do fluxo

ℰ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus 2 1 + 3

Vemos que se = 0 ou seja se a corrente eacute constate entatildeo ℰ( ) = 0 e quanto mais rapidamente a

corrente cresce (maior ) maior ℰ( ) Para determinar o sentido de ℰ( ) podemos usar a regra da matildeo direita associada agrave regra do fluxo Adotamos = e portanto se colocarmos o polegar da matildeo direita ao longo de z vemos que o

sentido positivo das FEMs eacute o sentido indicado pela seta roxa na Figura ao lado

Como obtivemos ℰ( ) lt 0 segue que ℰ( ) estaacute no sentido oposto a essa seta

roxa ou seja ℰ( ) tem na espira menor o sentido oposto ao sentido da corrente

na espira maior Esse seraacute o sentido da corrente induzida na espira menor

Natildeo devemos nos surpreender com esse resultado pois o mesmo campo eleacutetrico

induzido que produz a FEM auto-induzida ℰ( ) na espira maior produz a FEM induzida ℰ( ) na espira menor A Figura ao lado esboccedila (em roxo) uma linha de forccedila desse campo

eleacutetrico induzido que eacute produzido pela corrente ( ) crescente que circula na espira

maior Enquanto ( ) cresce ela produz um campo eleacutetrico induzido no espaccedilo (aleacutem do

campo magneacutetico que adotamos nesse modelo) Esse campo eleacutetrico com o sentido mostrado na Figura tenta

frear os portadores de carga na espira maior (que estatildeo se movendo cada vez mais rapidamente pois ( ) estaacute

crescendo) e ao mesmo tempo movimenta os portadores de carga na espira menor com o mesmo sentido do

campo pois no material condutor dessa espira vale = Portanto a corrente induzida na espira menor

tem o sentido oposto agrave corrente (crescente) na espira maior

2) Uma lacircmpada de tubo fluorescente emite luz atraveacutes da circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica em um tubo de gaacutes

ionizado Com a passagem da corrente eleacutetrica os aacutetomos e iacuteons do gaacutes sofrem colisotildees e se excitam emitindo

luz no processo de decaimento de volta ao estado fundamental Na lacircmpada desligada o gaacutes eacute um isolante

eleacutetrico posto que natildeo haacute iacuteons Para que a corrente circule atraveacutes do gaacutes eacute necessaacuterio um ldquopontapeacute inicialrdquo

em que o gaacutes eacute ionizado e se torna condutor de eletricidade Esse pontapeacute inicial eacute um campo eleacutetrico intenso

aplicado ao gaacutes e que ioniza suas moleacuteculas Nas lacircmpadas de tubo fluorescente mais antigas isso era obtido

z

s

R

z

s

R

451

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

atraveacutes de um solenoacuteide (o reator) e um starter (as lacircmpadas mais modernas possuem reatores eletrocircnicos)

Vamos discutir aqui o funcionamento dessas lacircmpadas que utilizam solenoacuteides

A Figura ao lado ilustra um circuito com uma dessas

lacircmpadas A lacircmpada eacute um tubo de gaacutes que conteacutem dois filamentos

em suas extremidades Ao ligar a lacircmpada a corrente circula pelo

reator (electrical choke) pelo filamento da esquerda passa pelo

starter pelo filamento da direita e retorna agrave tomada O gaacutes ainda

estaacute natildeo-ionizado O starter eacute apenas um contato que estava

fechado e abre alguns instantes apoacutes a passagem da corrente

iniciar Com a abertura do starter ocorre uma auto-induccedilatildeo no

solenoacuteide do reator o gaacutes se ioniza e a lacircmpada acende

A Figura ao lado eacute um modelo para esse

sistema A bateria alimenta o circuito que eacute

formado pela indutacircncia e a resistecircncia do

solenoacuteide do reator pela resistecircncia inicial muito

alta do gaacutes ainda natildeo ionizado e pelo starter O

starter se resume a uma chave ligadesliga que estaacute

inicialmente fechada e depois de alguns instantes abre Estamos desprezando as resistecircncias eleacutetricas dos

filamentos Apoacutes o gaacutes ionizar a resistecircncia do gaacutes se torna muito pequena e a corrente se estabiliza

sendo limitada basicamente pela resistecircncia do reator Faremos o raciociacutenio aqui supondo que o gaacutes ainda

natildeo estaacute ionizado ou seja ≫ Nosso interesse eacute calcular a DDP minus entre os terminais da lacircmpada

(que satildeo os dois filamentos)

Com o starter fechado tudo se resume a um circuito RL seacuterie com resistecircncia posto que a

resistecircncia estaacute curto-circuitada pelo starter Portanto a corrente ( ) obedece agrave seguinte equaccedilatildeo

diferencial (com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = 0) ( ) + ( ) = ℇ

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo (com essa condiccedilatildeo inicial) eacute ( ) = ℇ 1 minus

A corrente simplesmente comeccedila a crescer com o tempo caracteriacutestico = Note que a DDP entre A e B

eacute basicamente nula pois a resistecircncia eleacutetrica do starter eacute despreziacutevel Em um dado instante em que a

corrente jaacute tenha atingido um valor cong ℇ o starter abre e a resistecircncia eleacutetrica do circuito passa a ser

ℇ ( ) starter

B

A

452

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

+ Portanto a corrente ( ) passa a obedecer agrave seguinte equaccedilatildeo diferencial (com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = ) ( + ) ( ) + ( ) = ℇ

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo (com essa condiccedilatildeo inicial) eacute ( ) = ℇ+ + minus ℇ+ ( )

Sendo muito grande podemos aproximar essa corrente por ( ) cong ( )

A corrente comeccedila a decair lentamente com um tempo caracteriacutestico = ( + ) O que eacute importante aqui eacute notar que antes do starter abrir a DDP entre os terminais da lacircmpada era

basicamente nula e que no instante em que o starter abre o indutor se auto-induz mantendo a corrente em

seu valor Como a resistecircncia do circuito tem um aumento suacutebito para manter essa corrente no circuito o

indutor deve se auto-induzir uma FEM elevada A FEM auto-induzida apoacutes o starter abrir eacute

ℇ = minus ℇ+ + minus ℇ+ ( ) = ( + ) minus ℇ+ ( )

ℇ cong ( + ) ( )

No instante = 0 a FEM auto-induzida eacute ℇ (0) = ( + ) minus ℇ cong

Sendo uma resistecircncia muito alta segue que ℇ (0) eacute muito grande A DDP entre os terminais da lacircmpada eacute minus cong

Logo apoacutes a ionizaccedilatildeo do gaacutes que acontece em um tempo muito curto a resistecircncia entre A e B volta a

se tornar despreziacutevel e a corrente no circuito obedece novamente agrave equaccedilatildeo diferencial (com a condiccedilatildeo

inicial ( = 0) = pois natildeo houve tempo para um decaimento importante da corrente)

( ) + ( ) = ℇ

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo (com essa condiccedilatildeo inicial) eacute ( ) = ℇ + minus ℇ

A corrente volta a crescer e assumir o valor constante ℇ

Resumindo ao ligar o sistema a corrente cresce para o valor cong ℇ abre o starter o indutor se

auto-induz uma FEM muito alta (um campo eleacutetrico induzido muito alto) para manter circulando atraveacutes da

453

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

resistecircncia alta do gaacutes natildeo-ionizado o gaacutes ioniza e

finalmente a corrente se estabiliza no valor atraveacutes do gaacutes

ionizado Os graacuteficos ao lado ilustram os comportamentos de ( ) e da DDP Δ ( ) entre os terminais da lacircmpada em funccedilatildeo

do tempo A ionizaccedilatildeo da lacircmpada se daacute no intervalo de tempo ( ) Na praacutetica tudo acontece muito rapidamente e

portanto esses tempos satildeo muito pequenos

( )

Δ ( )

454

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

11 Circuitos de corrente alternada

Os circuitos de corrente alternada estatildeo em toda parte e seu estudo nos daacute oportunidade de abordar

sistemas que envolvem simultaneamente vaacuterios dos conceitos que estudamos nesse curso Os sistemas

eleacutetricos de potecircncia como as instalaccedilotildees residenciais e industriais satildeo circuitos de corrente alternada (CA) e

natildeo de corrente contiacutenua (CC) basicamente porque a geraccedilatildeo e a transmissatildeo de correntes alternadas satildeo

mais simples e mais baratas Espiras mergulhadas em campos magneacuteticos sendo giradas por turbinas em

quedas drsquoaacutegua produzem FEMs alternadas senoidais e transformadores de voltagem modificam livremente os

niacuteveis destas DDPs ao longo das redes de transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica

Os conceitos utilizados na descriccedilatildeo de circuitos CA satildeo basicamente os mesmos utilizados em

circuitos CC FEM DDP e corrente eleacutetrica Mas circuitos CA tecircm um comportamento mais rico do que as

correntes constantes em circuitos de baterias e resistores ou os simples transientes de carga e descarga em

circuitos com baterias capacitores e indutores Por isso sua anaacutelise envolve alguns conceitos proacuteprios como o

de impedacircncia diferenccedila de fase fator de potecircncia e ressonacircncia Uma particularidade na linguagem (ou do

jargatildeo das engenharias) de circuitos CA eacute que usamos comumente o termo ldquovoltagemrdquo no lugar de DDP

Assim podemos nos referir agrave voltagem entre os terminais de uma fonte CA (basicamente um gerador de FEM

senoidal) ou agrave voltagem entre os terminais de um resistor indutor ou capacitor

As leis que governam os circuitos CA satildeo as mesmas dos circuitos CC as leis de Kirchhoff A lei dos noacutes

estabelece a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica em cada instante de tempo e a lei das malhas estabelece a

conservaccedilatildeo da energia em cada instante de tempo

Aqui vamos estudar circuitos alimentados (ou forccedilados) por voltagens (ou FEMs) senoidais

455

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

( ) = cos( + ) No caso de uma fonte ou gerador CA usamos os termos ldquoFEMrdquo e ldquovoltagemrdquo como sendo equivalentes posto

que a voltagem (DDP) entre os terminais desses dispositivos eacute uma consequumlecircncia de sua FEM e as duas

grandezas possuem o mesmo valor (desprezando-se a resistecircncia interna) Apesar de ser representada aqui

por uma funccedilatildeo cosseno apenas por conveniecircncia essa funccedilatildeo poderia ser representada tambeacutem por um

seno pois cos( + ) = sen( + + 2) ou mesmo por uma combinaccedilatildeo de senos e cossenos pois cos( + ) = cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) Resumidamente chamamos essas funccedilotildees de

senoidais Essa funccedilatildeo expressa a ideia de que a voltagem entre os terminais da fonte CA oscila no tempo

como uma funccedilatildeo cosseno com amplitude gt 0 (valor maacuteximo) frequumlecircncia angular e acircngulo de fase isin [02 ) A alternacircncia de sinal reflete a alternacircncia na polaridade de ( ) Funccedilotildees senoidais satildeo funccedilotildees

perioacutedicas ou seja funccedilotildees que repetem indefinidamente um ciclo O ciclo se repete a cada intervalo de

tempo que chamamos de periacuteodo ou seja eacute o tempo que dura um ciclo A frequumlecircncia da funccedilatildeo senoidal

eacute a taxa de repeticcedilatildeo de ciclos =nuacutemero de ciclostempo=1 A frequumlecircncia angular associa a cada ciclo

uma rotaccedilatildeo completa de 2 rad ou seja =quantidade de radianostempo=2 = 2

Ao conectarmos essa fonte CA (que poderia ser uma simples tomada de parede ou um gerador de

energia eleacutetrica) em um circuito haveraacute uma corrente eleacutetrica alternada fluindo nesse circuito A voltagem eacute o

estiacutemulo e a corrente eacute a resposta do circuito Essa corrente tem a mesma forma da voltagem aplicada ( ) = cos( + ) ou seja a corrente CA eacute senoidal ela oscila no tempo como uma funccedilatildeo cosseno com amplitude gt 0 (valor

maacuteximo) mesma frequumlecircncia angular da voltagem da fonte e acircngulo de fase isin [02 ) Resolver um circuito CA consiste basicamente em calcular e (a resposta do circuito) em termos

de e (o estiacutemulo no circuito) O fato de haver dois acircngulos de fase diferentes e significa que

vamos observar que em circuitos CA a voltagem da fonte natildeo estaacute necessariamente em fase com a corrente

que circula no circuito Essa diferenccedila de fase = minus tem vaacuterias consequumlecircncias para o funcionamento

do circuito como veremos em breve Por enquanto para facilitar

nossas vidas vamos fixar = 0 e deixar a diferenccedila de fase aparecer

explicitamente na expressatildeo de ( ) (essa natildeo eacute uma escolha uacutenica eacute

apenas conveniente) Assim ficamos com ( ) = cos( + ) ( ) = cos( ) Na Figura 1 ao lado estatildeo representados os graacuteficos de uma

voltagem senoidal com amplitude = 5 V (curva verde) e de uma

corrente eleacutetrica senoidal com amplitude = 10 A (curva vermelha)

Figura 1 graacuteficos de uma voltagem (em verde) e uma corrente senoidais com uma diferenccedila de fase = 4

456

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

em funccedilatildeo do tempo Fixamos uma diferenccedila de fase = 4 entre as duas funccedilotildees que possuem a mesma

frequumlecircncia = 10 rads (periacuteodo cong 063 s) A alternacircncia de sinal em ( ) representa uma alternacircncia na

polaridade dessa voltagem Em uma tomada de parede por exemplo natildeo existe um terminal positivo e outro

negativo Essa polaridade alterna constantemente Na corrente eleacutetrica a alternacircncia de sinal representa uma

alternacircncia de sentido A corrente vai e volta e os portadores de carga nos fios natildeo avanccedilam eles apenas

oscilam em torno de suas posiccedilotildees de equiliacutebrio Vemos claramente o significado da diferenccedila de fase as

curvas estatildeo deslocadas ao longo do eixo do tempo Vemos nesse exemplo que a voltagem se anula pela

primeira vez antes da corrente fazer a mesma coisa Dizemos entatildeo que a voltagem estaacute adiantada em relaccedilatildeo

agrave corrente Esse adiantamento eacute representado por um valor positivo de De fato a corrente atinge o valor

zero pela primeira vez no instante tal que

( ) = cos( ) = 0 rArr = 2 rArr 2 = 2 rArr = 4

A voltagem da fonte por sua vez atinge o valor zero pela primeira vez no instante anterior tal que

( ) = cos( + ) = 0 rArr + = 2 rArr 2 + = 2 rArr = 4 minus = minus

No exemplo mostrado nos graacuteficos o intervalo de tempo entre a voltagem zerar e a corrente zerar pela

primeira vez eacute minus = = 410 cong 0078

111 Valor RMS efetivo ou eficaz de uma grandeza senoidal

Uma tomada de parede possui entre seus terminais uma voltagem ( ) senoidal que foi gerada em

alguma usina hidreleacutetrica termeleacutetrica eoacutelica nuclear ou o que quer que seja Todas essas usinas funcionam

da mesma forma o que muda eacute apenas o agente que movimenta as turbinas conectadas aos geradores de

energia eleacutetrica (FEM de movimento) Se vocecirc conectar um voltiacutemetro CA aos dois terminais da tomada (fase e

neutro) ele vai indicar (no Brasil) algo proacuteximo de 127 V Um valor constante de 127 V Sendo a voltagem

senoidal qual o significado dessa constante Seria a amplitude de ( ) Natildeo A amplitude de ( ) estaacute

proacutexima de 180 V ou seja (em volts) ( ) = 180 cos( ) Fixamos por conveniecircncia = 0 A frequumlecircncia de ( ) eacute = 60 Hz ou

seja cada ciclo de ( ) tem a duraccedilatildeo = 160 s e a fequecircncia angular

eacute = 2 = 2 cong 377 rads A Figura ao lado mostra um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo Podemos ver nesse graacutefico dois ciclos

457

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

completos de ( ) em uma janela de tempo de duraccedilatildeo 2 = 260 cong 0033 s

Natildeo haacute nada nesse graacutefico que nos decirc uma dica acerca do significado dos 127 V indicados pelo

voltiacutemetro CA Vemos por exemplo que o valor meacutedio temporal de ( ) eacute zero

lang ( )rang = 1 ( ) = 1 180 cos( ) = 1 180 sen( ) = 1802 (sen(2 ) minus sen(0)) = 0

Essa eacute uma propriedade simples de qualquer funccedilatildeo que oscile simetricamente em torno do zero

Para entender o significado dos 127 V medidos pelo voltiacutemetro podemos considerar a potecircncia

dissipada por um resistor que esteja conectada a essa voltagem

( ) = ( )

O graacutefico ao lado mostra a curva de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 1Ω Vemos que haacute instantes em que o resistor dissipa muito calor

assim com haacute instantes em que ele natildeo dissipa nada Se natildeo fosse o fato

dessa oscilaccedilatildeo ser muito raacutepida se colocaacutessemos a matildeo nesse resistor

sentiriacuteamos ele esquentando e esfriando continuamente Mas na praacutetica

percebemos uma temperatura constante no resistor como ocorre com a

temperatura da aacutegua quando tomamos banho com um chuveiro eleacutetrico

Analogamente se a frequumlecircncia fosse baixa veriacuteamos uma lacircmpada conectada a essa voltagem

piscando continuamente Na praacutetica observamos um brilho meacutedio constante Sentimos uma temperatura

meacutedia e vemos um brilho meacutedio associados a uma potecircncia meacutedia dissipada A potecircncia meacutedia (temporal) eacute

lang ( )rang = 1 ( ) = 1 ( ) = 1 1 ( ) = lang ( ) rang

Note que a expressatildeo de lang ( )rang eacute igual agrave da potecircncia instantacircnea ( ) apenas trocando o valor instantacircneo ( ) pelo valor meacutedio constante lang ( ) rang Se esse mesmo resistor estivesse ligado a uma DDP constante de

valor fornecida por exemplo por uma bateria ele estaria dissipando calor com a potecircncia constante =

Portanto concluiacutemos que haacute uma equivalecircncia entre o valor meacutedio lang ( ) rang e o valor contiacutenuo A

equivalecircncia eacute um resistor conectado a uma voltagem senoidal ( ) dissipa em meacutedia a mesma potecircncia

que ele dissiparia constantemente se ele estivesse conectado a uma DDP contiacutenua desde que lang ( ) rang =

458

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Concluindo a raiz quadrada do valor meacutedio lang ( ) rang que vamos abreviar por valor RMS (do inglecircs

root mean square) da voltagem eacute um valor equivalente contiacutenuo de ( ) Equivalente no sentido da

potecircncia uacutetil Outros nomes para lang ( ) rang satildeo ldquovalor eficazrdquo ou ldquovalor efetivordquo de ( ) Eficaz ou efetivo no

sentido de que para o que interessa mesmo que eacute por exemplo o calor produzido em um chuveiro o que

conta eacute lang ( ) rang e natildeo as oscilaccedilotildees interminaacuteveis de ( ) Para qualquer grandeza senoidal de amplitude ( ) = cos( + ) o valor meacutedio lang ( ) rang eacute

lang ( ) rang = 1 [ ( )] = 1 [ cos( + )] = 2

Portanto = lang ( ) rang = radic2

Voltando ao nosso exemplo em que ( ) = 180 cos( ) (volts) a amplitude eacute 180 V e portanto

= 180radic2 cong 1273

Conclusatildeo o voltiacutemetro CA mede o valor RMS efetivo ou eficaz das voltagens Conectado a uma

tomada com voltagem senoidal de amplitude 180 V ele vai indicar um valor RMS de 127 V Isso significa que

um chuveiro eleacutetrico por exemplo ligado nessa voltagem senoidal com amplitude de 180 V vai produzir na

aacutegua a mesma temperatura (meacutedia) que seria produzida se esse mesmo chuveiro fosse conectado a uma

bateria de DDP constante 127 V (nesse caso a temperatura seria constante) Da mesma forma uma lacircmpada

incandescente conectada em uma voltagem senoidal com valor RMS de 127 V vai apresentar o mesmo brilho

(meacutedio) que ela apresentaria se estivesse conectada a uma bateria de DDP constante 127 V (nesse caso o

brilho seria constante)

Voltiacutemetros e amperiacutemetros CA mede valores RMS de voltagens e correntes Esses valores RMS satildeo

aqueles que vem escritos nos aparelhos eleacutetricos como os 110 V ou 220 V especificando suas voltagens de

operaccedilatildeo (valores nominais) Os valores RMS satildeo os mais importantes de serem conhecidos pois a partir deles

podemos calcular diretamente a energia consumida por um aparelho e qual o valor da conta que vamos ter

que pagar para usar esse aparelho

Concluindo para as funccedilotildees senoidais ( ) = cos( + ) ( ) = cos( ) os valores RMS (ou eficazes) satildeo = radic2 e = radic2 Note que 1radic2 cong 0707

459

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

112 Representaccedilatildeo fasorial de grandezas senoidais

Antes de partirmos para a anaacutelise de um circuito de corrente alternada que eacute o objetivo desse

capiacutetulo vamos introduzir o conceito de fasor e da representaccedilatildeo fasorial de uma grandeza senoidal Mais

adiante usaremos essa ideia na anaacutelise de circuitos CA

A ideia eacute simples Considere a funccedilatildeo senoidal ( ) = cos( ) de

amplitude e frequumlecircncia angular Para um tempo fixo essa funccedilatildeo pode ser

pensada como a componente digamos x de um vetor de moacutedulo A Figura

ao lado ilustra essa ideia Considere que o tamanho da seta vermelha o vetor eacute

e que esse vetor faccedila um acircngulo = com o eixo x

Agora devemos considerar que agrave medida que o tempo passa a funccedilatildeo ( ) muda de valor e passa a

ser a projeccedilatildeo ao longo de x natildeo de um vetor mas de uma seta que gira no plano

xy A seta gira como o ponteiro de um reloacutegio soacute que girando no sentido anti-

horaacuterio em torno da origem com velocidade angular Essa seta girante eacute o que

chamamos de fasor Um fasor eacute uma seta que gira em um plano com velocidade

angular constante Ele gira como um ponteiro de reloacutegio soacute que no sentido anti-

horaacuterio A projeccedilatildeo de um fasor de tamanho no eixo horizontal eacute

uma funccedilatildeo senoidal ( ) = cos( + ) Usaremos aqui essa

notaccedilatildeo de colocar um tracinho em cima do siacutembolo de uma

grandeza fasorial algo parecido com a setinha usada nas grandezas

vetoriais A Figura ao lado ilustra essa ideia para um instante

particular A Figura que segue mostra quatro instantes diferentes em

que o fasor passa pela posiccedilatildeo + = 0 e ( ) = (pois a

projeccedilatildeo de ao longo do eixo horizontal eacute ) depois + =2 e ( ) = 0 (pois a projeccedilatildeo de ao longo do eixo horizontal eacute

nula) em seguida + = e ( ) = minus (pois a projeccedilatildeo de ao

longo do eixo horizontal eacute ndash ) e finalmente + = 3 2 e ( ) = 0

(pois a projeccedilatildeo de ao longo do eixo horizontal eacute nula) Portanto

enquanto o fasor gira a funccedilatildeo ( ) vai percorrendo seus valores

conforme a funccedilatildeo ( ) = cos( + ) Na Figura ao lado tentamos ilustrar melhor esse mapeamento

de uma funccedilatildeo senoidal no caso ( ) = cos( ) em um fasor (seta

verde) girando com velocidade angular Considere que as bolinhas

=

x cos( )

( ) = +

( ) = 0( ) = 2

( ) =

( ) = 32

460

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

azuis indicam instantes particulares na curva de ( ) que correspondem agrave posiccedilatildeo do fasor ilustrada pelo

diagrama fasorial mais proacuteximo de cada bolinha

No estudo de circuitos de corrente alternada podemos definir fasores para as voltagens e para as

correntes no circuito Por exemplo o fasor correspondente agrave voltagem da fonte ( ) = cos( + ) e

o fasor correspondente agrave corrente no circuito ( ) = cos( ) Ao representarmos esses dois fasores em

um diagrama fasorial a diferenccedila de fase entre as funccedilotildees senoidais fica

evidente conforme a Figura ao lado para gt 0 Dizemos que nesse caso a

voltagem estaacute adiantada em relaccedilatildeo agrave corrente de um acircngulo pois o fasor

segue girando na frente do fasor

O conceito de fasor nos permite abordar a soluccedilatildeo de circuitos CA de

uma forma geomeacutetrica A ideia eacute que nessa abordagem vamos usar as leis das malhas e dos noacutes que envolvem

somas de funccedilotildees senoidais Imagine por exemplo que em um noacute de um circuito se juntem trecircs fios e que

conhecemos as correntes em dois deles e queremos usar a lei dos noacutes para calcular a corrente no terceiro fio

Por exemplo ( ) = cos( ) ( ) = sen( ) A pergunta eacute quanto vale ( ) = ( ) + ( ) ou seja se ( ) = cos( + ) (como tem que ser em

um circuito CA qualquer) entatildeo quais os valores de e

A soluccedilatildeo algeacutebrica desse problema eacute ( ) = ( ) + ( ) rArr cos( + ) = cos( ) + sen( ) Note que cos( + ) = cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) Portanto a lei dos noacutes estaacute dizendo

que cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) = cos( ) + sen( ) Essa equaccedilatildeo tem que valer para todos os tempos e portanto fazendo = 0 obtemos cos( ) =

Analogamente fazendo = 2 resulta em minus sen( ) =

Elevando essas duas equaccedilotildees ao quadrado e somando obtemos ( cos( )) + (minus sen( )) = = +

Portanto = + Finamente dividindo a segunda equaccedilatildeo pela primeira obtemos

461

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

sen( )cos( ) = tan( ) = minus

Concluindo ( ) = cos( + ) com = + e tan( ) = minus

Essa eacute a soluccedilatildeo algeacutebrica do caacutelculo de ( ) e podemos imaginar que para um circuito com muitas

correntes e voltagens vamos ser levados a equaccedilotildees bem mais complicadas

Vamos apresentar agora esse mesmo caacutelculo atraveacutes do diagrama fasorial A ideia de resolver uma

equaccedilatildeo como a fornecida pela lei dos noacutes ( ( ) = ( ) + ( )) atraveacutes de fasores se baseia no fato de que

fasores obedecem agrave mesma regra do paralelogramo que eacute obedecida pelos vetores Essa regra leva agrave seguinte

propriedade simples se = + entatildeo = + ou seja a componente x da soma eacute a soma das

componentes x Portanto se ( ) ( ) e ( ) satildeo ldquocomponentes xrdquo dos fasores e e ( ) = ( ) +( ) segue que = + O fasor eacute a soma (atraveacutes da regra do paralelogramo) do fasor com o fasor

Portanto tudo que temos que fazer para calcular ( ) eacute calcular o fasor atraveacutes da regra do paralelogramo e em seguida calcular a projetaccedilatildeo desse

fasor no eixo horizontal A Figura ao lado ilustra essa ideia Note que ( ) =sen( ) = cos( minus 2) Os trecircs fasores estatildeo representados em um

instante particular eles estatildeo de fato girando todos juntos no sentido anti-horaacuterio

Note que estaacute atrasada de 90deg em relaccedilatildeo agrave e que estaacute atrasada de em

relaccedilatildeo agrave Natildeo devemos nos esquecer que os fasores tecircm tamanhos e

Considerando o triacircngulo retacircngulo (destacado na Figura) que tem lados de

tamanhos e e hipotenusa obtemos

Do teorema de Pitaacutegoras = +

Do acircngulo tan( ) = minus

Note que o sinal negativo em tan( ) vai nos fornecer um lt 0 compatiacutevel com uma ( ) =cos( + ) atrasada em relaccedilatildeo agrave ( ) = cos( ) O fato de valer lt 0 se reflete no diagrama

fasorial em um acircngulo medido no sentido horaacuterio em relaccedilatildeo agrave sua referecircncia que eacute sempre o acircngulo

Acircngulos medidos no sentido anti-horaacuterio satildeo positivos e acircngulos medidos no sentido horaacuterio satildeo negativos

(partindo sempre do fasor que estaacute na posiccedilatildeo )

Esperamos que esse exemplo simples evidencie a vantagem da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fornecida pela lei

dos noacutes atraveacutes do diagrama fasorial quando comparada agrave soluccedilatildeo algeacutebrica

462

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Por essa razatildeo usaremos essa teacutecnica no estudo de circuitos de corrente alternada e em particular do circuito

RLC seacuterie

Antes de estudar um circuito contendo vaacuterios componentes vamos analisar individualmente o

comportamento de cada um dos componentes do circuito resistores capacitores e indutores quando eles satildeo

conectados a uma fonte CA senoidal

113 Comportamento de resistores capacitores e indutores em CA

1131 Resistores

A Figura 2 ao lado mostra um circuito CA puramente resistivo Esse

circuito poderia ser por exemplo um chuveiro eleacutetrico ligado a uma tomada

Uma fonte CA senoidal (sem resistecircncia interna) aplica uma voltagem ( ) = cos( + ) e uma corrente senoidal de mesma frequumlecircncia

circula atraveacutes do circuito ( ) = cos( ) Note que a corrente eacute alternada

e a seta mostrada na Figura seria apenas o sentido da corrente em um instante

qualquer Uma ( ) gt 0 significa uma corrente no sentido escolhido na Figura e

uma ( ) lt 0 significa uma corrente no sentido oposto Analogamente ( ) alterna de polaridade e natildeo existe um terminal + ou ndash na fonte Vamos arbitrar aqui que nesse instante

mostrado na Figura o terminal superior da fonte eacute o terminal + Essa polaridade seraacute portanto representada

por um ( ) gt 0 Nossa ideia aqui eacute supor que conhecemos e e que queremos determinar e A

fonte forccedila o circuito com uma voltagem senoidal de amplitude e frequecircncia e o circuito responde a esse

estiacutemulo com uma corrente senoidal de mesma frequumlecircncia de amplitude e defasada de em relaccedilatildeo ( ) Queremos conhecer a resposta do circuito ( e ) a esse estiacutemulo senoidal ( e )

O resistor apenas oferece um arraste ao movimento dos portadores de carga no circuito um

comportamento que se reflete na validade lei de Ohm para esse dispositivo = Em um circuito CA natildeo

faz diferenccedila o arraste atua igualmente nos dois sentidos da corrente e a lei de Ohm continua valendo ( ) = ( ) Aplicando a lei das malhas (no sentido horaacuterio) ao circuito na Figura 2 obtemos ( ) minus ( ) = 0 rArr ( ) = ( ) = ( ) Concluindo se a corrente no circuito eacute ( ) = cos( ) a voltagem na fonte eacute ( ) = ( ) = cos( ) Comparando essa expressatildeo com a nossa hipoacutetese geral sobre o comportamento de ( ) que eacute ( ) = cos( + )

Figura 2 um circuito CA puramente resistivo

( )( )

463

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Concluiacutemos que para o circuito puramente resistivo vale

= = 0

Vemos que as amplitudes e satisfazem elas mesmas agrave lei de Ohm e que a corrente estaacute em fase com a

voltagem Olhando no diagrama fasorial para esse circuito vemos explicitamente que natildeo haacute diferenccedila de fase

entre a voltagem da fonte (que eacute a mesma voltagem no resistor) e a corrente no circuito Devemos

representar no diagrama os dois fasores correspondentes agraves funccedilotildees

( ) = cos( ) ( ) = cos( ) Na Figura 3 abaixo mostramos os graacuteficos das funccedilotildees ( ) e ( ) e o diagrama fasorial do circuito puramente

resistivo Nesses graacuteficos fixamos = 10 V = 2Ω = 5 A e = 10 rads

O fato de ( ) estar em fase com ( ) ( = 0) significa que nesse circuito os portadores de carga

obedecem fielmente ao estiacutemulo da fonte Nos instantes em que ( ) = 0 a fonte natildeo estaacute estimulando a

corrente no circuito e observamos que nesses instantes vale ( ) = 0 Nos instantes em que ( ) gt 0 a fonte

estaacute estimulando os portadores a fluir no sentido horaacuterio (na Figura 2 pois o poacutelo superior eacute o poacutelo +) e nesses

instantes vale ( ) gt 0 ou seja a corrente flui no sentido horaacuterio Analogamente ( ) lt 0 quando ( ) lt 0

No diagrama fasorial os fasores de ( ) e ( ) giram juntos

um sobreposto ao outro Quando um fasor estaacute deitado o outro estaacute

deitado quando um estaacute em peacute o outro estaacute em peacute e assim por diante

Na Figura 4 ao lado mostramos um graacutefico da potecircncia

instantacircnea com que a fonte entrega energia potencial eleacutetrica para o

circuito em funccedilatildeo do tempo

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = cos ( )

Figura 3 Graacuteficos de ( ) (curva vermelha) e ( ) (curva verde) em funccedilatildeo do tempo e diagrama fasorial para um circuito puramente resistivo

Figura 4 Graacutefico da potecircncia dissipada pelo resistor em um circuito CA Potecircncia meacutedia em verde

464

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

(basicamente = = ( )( ) = ) Essa potecircncia eacute exatamente a mesma que eacute

dissipada no resistor na forma de calor (efeito Joule) Vemos que a potecircncia eacute oscilatoacuteria e sempre positiva o

resistor sempre recebe energia da fonte e emite para fora do circuito ele natildeo tem capacidade de fornecer

energia para os portadores de carga no circuito Essa poderia ser por exemplo a energia teacutermica que o

resistor de um chuveiro eleacutetrico transfere para a aacutegua A potecircncia meacutedia com que a fonte entrega energia para

o circuito (o resistor) eacute lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = lang cos ( )rang = 1 2 = 1 radic2 = 1

Para o exemplo mostrado na Figura 4 com = 10 V = 2Ω obtemos lang ( )rang = 25 W que eacute mostrado no

graacutefico atraveacutes da reta verde Vemos que agraves vezes o resistor dissipa calor com potecircncia maacutexima (50 W

no graacutefico) e agraves vezes ele natildeo dissipa nada Em meacutedia ele dissipa (25 W) Note que a corrente RMS

(eficaz ou efetiva) no circuito eacute = radic2 = e que portanto valem as mesmas expressotildees de

potecircncia dissipada em um resistor que obtivemos em circuitos CC mas com os valores RMS de e

lang ( )rang = lang ( )rang = = =

1132 Capacitores

A Figura 5 ao lado mostra um circuito CA puramente capacitivo

Uma fonte CA senoidal (sem resistecircncia interna) aplica uma voltagem ( ) = cos( + ) e uma corrente senoidal de mesma frequumlecircncia

circula atraveacutes do circuito ( ) = cos( ) Note que a corrente nunca

flui atraveacutes das placas do capacitor ela flui da fonte para as placas e das

placas para a fonte A corrente eacute alternada e a seta mostrada na Figura

seria apenas o sentido da corrente em um instante qualquer em que ( ) gt 0 Uma ( ) lt 0 significa uma corrente no sentido oposto

Analogamente ( ) alterna de polaridade e natildeo existe um terminal + ou ndash na fonte Vamos arbitrar aqui que

nesse instante mostrado na Figura o terminal superior da fonte eacute o terminal + (a fonte estaacute fornecendo energia

para o capacitor) Essa polaridade seraacute portanto representada por um ( ) gt 0 A mesma ideia vale para a

polaridade do capacitor As placas alternam de polaridade Aqui vamos supor que no instante mostrado na

Figura a placa superior do capacitor eacute a placa + (o capacitor estaacute carregando)

Nossa ideia aqui eacute a mesma da seccedilatildeo anterior vamos supor que conhecemos e e que queremos

determinar e

Figura 5 um circuito CA puramente capacitivo

( )( )

465

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

O capacitor apenas carrega e descarrega uma carga e nisso surge uma DDP entre suas placas que

estaacute relacionada com de acordo com sua capacitacircncia = Em um circuito CA natildeo faz diferenccedila o

capacitor carrega e descarrega periodicamente e continua valendo ( ) = ( ) Aplicando a lei das

malhas (no sentido horaacuterio) ao circuito na Figura 5 obtemos

( ) minus ( ) = 0 rArr ( ) = ( ) = ( )

Portanto a carga no capacitor oscila no tempo de acordo com ( ) = ( ) Estamos mais interessados na

corrente no circuito e a corrente se relaciona com a carga por

( ) = ( )

Pois a taxa com que a carga flui no fio eacute a taxa com que a carga acumula na placa positiva do capacitor

Portanto se a corrente no circuito eacute ( ) = cos( ) a carga na placa superior do capacitor varia de acordo

com

( ) = ( ) rArr ( ) = ( ) = cos( ) = sen( ) Na integral acima desprezamos a constante arbitraacuteria de integraccedilatildeo pois natildeo esperamos que existam cargas

constantes depositadas nas placas do capacitor

Concluindo a voltagem na fonte (que eacute a voltagem no capacitor) eacute

( ) = ( ) = sen( ) = cos minus 2

Comparando essa expressatildeo com a nossa hipoacutetese geral sobre o comportamento de ( ) que eacute ( ) = cos( + ) Concluiacutemos que para o circuito puramente capacitivo vale

= = minus 2

Vemos que as amplitudes e satisfazem para uma frequumlecircncia fixa uma relaccedilatildeo de proporcionalidade

anaacuteloga agrave lei de Ohm mas com 1( ) no lugar de e que a corrente estaacute defasada da voltagem A

voltagem estaacute atrasada de 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente No diagrama fasorial para esse circuito vamos

representar os dois fasores correspondentes agraves funccedilotildees

( ) = cos minus 2 = sen( ) ( ) = 1( ) cos( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Na Figura 6 abaixo mostramos os graacuteficos das funccedilotildees ( ) e ( ) e o diagrama fasorial do circuito puramente

capacitivo Nesses graacuteficos fixamos = 10 V 1( ) = 2Ω = 5 A e = 10 rads

O fato de ( ) natildeo estar em fase com ( ) ( = minus90deg) significa que nesse circuito os portadores de

carga natildeo obedecem fielmente ao estiacutemulo da fonte pelo contraacuterio Nos instantes em que ( ) = 0 a fonte

natildeo estaacute estimulando a corrente no circuito e observamos que nesses instantes ( ) = plusmn ou seja a corrente

eacute maacutexima Nos instantes em que ( ) gt 0 a fonte estaacute estimulando os portadores a fluir no sentido horaacuterio

(na Figura 5 pois o poacutelo superior eacute o poacutelo +) e nesses instantes vale tanto ( ) gt 0 quanto ( ) lt 0 ou seja a

corrente flui tanto no sentido horaacuterio quanto no anti-horaacuterio Analogamente ( ) lt 0 ou ( ) lt 0 quando ( ) lt 0 No diagrama fasorial os fasores de ( ) e ( ) giram juntos mas o fasor estaacute sempre correndo

atraacutes do fasor Quando um fasor estaacute deitado o outro estaacute em peacute ou de cabeccedila para baixo e assim por diante

Esse descompasso entre fonte e corrente estaacute relacionado agrave capacidade que o capacitor tem de descarregar e

produzir ele mesmo corrente eleacutetrica no circuito A corrente eleacutetrica no circuito natildeo depende apenas do

estiacutemulo da fonte

Na Figura 7 abaixo mostramos um graacutefico da potecircncia instantacircnea com que a fonte entrega energia

potencial eleacutetrica para o circuito em funccedilatildeo do tempo

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

Essa potecircncia eacute exatamente a mesma com que energia potencial

eleacutetrica eacute absorvida pelo capacitor De fato

( ) = 2 ( ) rArr ( ) = ( ) [ ( )] = ( ) ( )

Vemos que a potecircncia eacute oscilatoacuteria e assume valores positivos e

negativos Uma potecircncia positiva significa que a fonte estaacute

entregando energia para o circuito e que o capacitor estaacute carregando

Figura 6 Graacuteficos de ( ) (curva vermelha) e ( )(curva verde) em funccedilatildeo do tempo e diagrama fasorial para um circuito puramente capacitivo

Figura 7 Graacutefico da potecircncia absorvida por um capacitor em um circuito CA

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

e acumulando essa energia na forma potencial eleacutetrica Uma potecircncia negativa significa que a fonte estaacute

recebendo energia do circuito e que o capacitor estaacute descarregando e entregando energia (para a fonte) na

forma potencial eleacutetrica O capacitor carrega e descarrega absorvendo e entregando energia alternadamente

No caso da fonte que alimenta o circuito ser um gerador de energia eleacutetrica quando ele recebe energia ele

funciona como um motor e ao inveacutes de ser girado por um agente externo eacute ele que gira esse agente

A potecircncia meacutedia com que a fonte entrega energia para o circuito eacute lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = lang1( ) sen( ) cos( )rang = 1( ) 0 = 0

O capacitor absorve e entrega energia simetricamente sem nenhuma perda ou ganho de energia

(para o ambiente externo ao circuito) e portanto em meacutedia ele entrega ou absorve zero

1133 Indutores

Finalmente a Figura 8 ao lado mostra um circuito CA puramente

indutivo Uma fonte CA senoidal (sem resistecircncia interna) aplica uma

voltagem ( ) = cos( + ) e uma corrente senoidal de mesma

frequumlecircncia circula atraveacutes do circuito ( ) = cos( ) A corrente eacute

alternada e a seta mostrada na Figura seria apenas o sentido da corrente em

um instante qualquer em que ( ) gt 0 Uma ( ) lt 0 significa uma corrente

no sentido oposto Analogamente ( ) alterna de polaridade e natildeo existe

um terminal + ou ndash na fonte Vamos arbitrar aqui que nesse instante mostrado na Figura o terminal superior

da fonte eacute o terminal + Essa polaridade seraacute portanto representada por um ( ) gt 0

Nossa ideia aqui eacute a mesma dos casos anteriores vamos supor que conhecemos e e que

queremos determinar e

O indutor apenas se autoinduz de acordo com a lei de Faraday (ou regra do fluxo) e nisso surge uma

DDP entre seus terminais que estaacute relacionada com de acordo com ( ) = ( ) Aplicando a lei das

malhas (no sentido horaacuterio) ao circuito na Figura 8 obtemos

( ) minus ( ) = 0 rArr ( ) = ( ) = ( ) Portanto se a corrente no circuito eacute ( ) = cos( ) voltagem na fonte eacute

( ) = ( ) = minus sen( ) = cos + 2

Comparando essa expressatildeo com a nossa hipoacutetese geral sobre o comportamento de ( ) que eacute ( ) = cos( + )

Figura 8 um circuito CA puramente indutivo

( )( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Concluiacutemos que para o circuito puramente indutivo vale

= = 2

Vemos que as amplitudes e satisfazem para uma frequumlecircncia fixa uma relaccedilatildeo de proporcionalidade

anaacuteloga agrave lei de Ohm mas com no lugar de e que a corrente estaacute defasada da voltagem A voltagem

estaacute adiantada de 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente No diagrama fasorial para esse circuito vamos representar os

dois fasores correspondentes agraves funccedilotildees

( ) = cos + 2 = minus sen( ) ( ) = cos( ) Na Figura 9 abaixo mostramos os graacuteficos das funccedilotildees ( ) e ( ) e o diagrama fasorial do circuito puramente

indutivo Nesses graacuteficos fixamos = 10 V = 2Ω = 5 A e = 10 rads

O fato de ( ) natildeo estar em fase com ( ) ( = 90deg) significa que nesse circuito os portadores de

carga natildeo obedecem fielmente ao estiacutemulo da fonte pelo contraacuterio Nos instantes em que ( ) = 0 a fonte

natildeo estaacute estimulando a corrente no circuito e observamos que nesses instantes ( ) = plusmn ou seja a corrente

eacute maacutexima Nos instantes em que ( ) gt 0 a fonte estaacute estimulando os portadores a fluir no sentido horaacuterio

(na Figura 8 pois o poacutelo superior eacute o poacutelo +) e nesses instantes vale tanto ( ) gt 0 quanto ( ) lt 0 ou seja a

corrente flui tanto no sentido horaacuterio quanto no anti-horaacuterio Analogamente ( ) lt 0 ou ( ) lt 0 quando ( ) lt 0 A corrente no circuito natildeo depende apenas do estiacutemulo da fonte

No diagrama fasorial os fasores de ( ) e ( ) giram juntos mas o fasor estaacute sempre correndo na

frente do fasor Quando um fasor estaacute deitado o outro estaacute em peacute ou de cabeccedila para baixo e assim por

diante Esse descompasso entre fonte e corrente estaacute relacionado agrave capacidade que o indutor tem de se

autoinduzir e produzir ele mesmo corrente eleacutetrica no circuito

Figura 9 Graacuteficos de ( ) (curva vermelha) e ( ) (curva verde) em funccedilatildeo do tempo e diagrama fasorial para um circuito puramente indutivo

469

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Na Figura 10 ao lado mostramos um graacutefico da potecircncia

instantacircnea com que a fonte entrega energia potencial eleacutetrica

para o circuito em funccedilatildeo do tempo ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

Essa potecircncia eacute exatamente a mesma com que energia magneacutetica eacute

absorvida pelo indutor De fato

( ) = 2 ( ) rArr ( ) = ( ) ( )

Vemos que a potecircncia eacute oscilatoacuteria e assume valores positivos e

negativos Uma potecircncia positiva significa que a fonte estaacute entregando energia para o circuito e que o indutor

estaacute carregando e acumulando essa energia na forma magneacutetica Uma potecircncia negativa significa que a fonte

estaacute recebendo energia do circuito e que o indutor estaacute descarregando e entregando energia (para a fonte) na

forma potencial eleacutetrica O indutor carrega e descarrega absorvendo e entregando energia alternadamente

A potecircncia meacutedia com que a fonte entrega energia para o circuito eacute

lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = langminus sen( ) cos( )rang = minus 0 = 0

O indutor absorve e entrega energia simetricamente sem nenhuma perda ou ganho de energia (para

o ambiente externo ao circuito) e portanto em meacutedia ele entrega ou absorve zero

1134 Resumo dos comportamentos CA de R C e L

Nas seccedilotildees anteriores analisamos os comportamentos de resistores capacitores e indutores quando

estes satildeo estimulados por uma fonte CA senoidal Aqui vamos ressaltar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os

comportamentos desses componentes Sempre estaremos supondo que a fonte CA aplica no circuito uma

voltagem senoidal (estiacutemulo) ( ) = cos( + ) resultando no circuito em uma corrente senoidal

(resposta) ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor que conhecemos e (o estiacutemulo) e que queremos

determinar e (a resposta do circuito)

Concluiacutemos que sempre vale uma espeacutecie de lei de Ohm para as amplitudes

=

em que o denominador eacute chamado em geral de impedacircncia do circuito A tabela 1 abaixo mostra os

resultados que obtivemos para as impedacircncias de cada componente R C e L

Figura 10 Graacutefico da potecircncia absorvida por um indutor em um circuito CA

470

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Componente Impedacircncia ( ) Nome especiacutefico da impedacircncia

Resistor = Resistecircncia eleacutetrica ( )

Capacitor = ( ) = ( ) = 1 Reatacircncia capacitiva ( )

Indutor = ( ) = ( ) = Reatacircncia indutiva ( )

Tabela 1 impedacircncias de um resistor um capacitor e um indutor

O conceito de impedacircncia basicamente generaliza a ideia de resistecircncia eleacutetrica A impedacircncia de um

circuito eacute a oposiccedilatildeo (impedimento) que ele oferece agrave passagem da corrente eleacutetrica A impedacircncia do resistor

eacute sua proacutepria resistecircncia eleacutetrica pois vimos que =

Quanto maior a resistecircncia do resistor menor a amplitude da corrente senoidal que flui por ele

A impedacircncia do capacitor eacute a chamada reatacircncia capacitiva = 1 pois vimos que

= = = 1

Quanto maior a reatacircncia do capacitor menor a amplitude da corrente senoidal que flui para suas placas

Note que a reatacircncia capacitiva natildeo eacute uma propriedade intriacutenseca de um capacitor pois ela depende da

frequumlecircncia com que a fonte estimula a corrente no circuito ( ) = 1 Quanto maior a frequumlecircncia da

voltagem na fonte e da corrente no capacitor menor a reatacircncia capacitiva e maior a amplitude da corrente

no circuito Capacitores se opotildeem mais agrave passagem de correntes de baixas frequumlecircncias De fato para = 0

que eacute um circuito CC (capiacutetulo 6) um capacitor tem um transiente de carga e a corrente vai rapidamente a

zero ou seja em corrente contiacutenua o capacitor funciona quando atinge o regime estacionaacuterio (apoacutes um breve

transiente) como um circuito aberto

A impedacircncia do indutor eacute a chamada reatacircncia indutiva = pois vimos que

= =

Quanto maior a reatacircncia do indutor menor a amplitude da corrente senoidal atraveacutes dele Note que a

reatacircncia indutiva natildeo eacute uma propriedade intriacutenseca de um indutor pois ela depende da frequumlecircncia com que a

fonte estimula a corrente no circuito ( ) = Quanto maior a frequumlecircncia da voltagem na fonte e da

corrente no indutor maior a reatacircncia indutiva e menor a amplitude da corrente no circuito Indutores se

opotildeem mais agrave passagem de correntes de altas frequumlecircncias De fato para = 0 que eacute um circuito CC (capiacutetulo

471

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

10) um indutor tem um transiente e logo passa a se comportar como um curto-circuito ao passo que durante

variaccedilotildees raacutepidas de ( ) ele se autoinduz fortemente e funciona como um circuito aberto

Eacute sempre bom frisar que as reatacircncias satildeo definidas em termos de razotildees de amplitudes e natildeo de

grandezas senoidais Eacute verdade que para o resistor vale = e ainda

( ) = ( )

pois ( ) e ( ) estatildeo em fase (satildeo ambos cossenos ou ambos senos ou o que for) Por outro lado para o

capacitor vale = mas natildeo eacute verdade que ( ) = ( )

pois ( ) e ( ) estatildeo fora de fase (se um eacute um cosseno o outro eacute um seno e vice-versa) Analogamente para

o indutor vale = mas natildeo eacute verdade que ( ) = ( )

pois ( ) e ( ) estatildeo fora de fase (se um eacute um cosseno o outro eacute um seno e vice-versa)

No graacutefico ao lado ilustramos os comportamentos de e em funccedilatildeo da frequecircncia da

voltagem na fonte (e da corrente) A resistecircncia eleacutetrica eacute independente de

(se desprezarmos efeitos importantes apenas em frequumlecircncia muito altas

como o efeito pele) O capacitor e o indutor possuem comportamentos

complementares A reatacircncia capacitiva diverge quando rarr 0 e se anula

quando rarr infin (capacitores natildeo ldquogostamrdquo de baixas frequumlecircncias) ao passo

que a reatacircncia indutiva diverge quando rarr infin e se anula quando rarr 0

(indutores natildeo ldquogostamrdquo de altas frequumlecircncias)

Esses comportamentos das reatacircncias nos permitem ver o capacitor e o indutor como filtros de

frequecircncias O capacitor eacute um dispositivo que deixa passar preferencialmente sinais de altas frequumlecircncias ao

passo que o indutor eacute um dispositivo que deixa passar preferencialmente sinais de baixas frequumlecircncias

Considerando o teorema de Fourier que diz basicamente que toda funccedilatildeo pode ser escrita como uma seacuterie

de senos e cossenos de diferentes frequecircncias isso significa que (levando tambeacutem em conta a linearidade

desses dispositivos) quando confrontados com uma corrente qualquer os capacitores e os indutores vatildeo

selecionar ou seja filtrar os sinais de altas ou de baixas frequumlecircncias

0

472

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

A Figura 11 abaixo ilustra uma aplicaccedilatildeo de um capacitor e um indutor como filtros de frequumlecircncia em

uma caixa de som que conteacutem dois alto-falantes um tweeter e um woofer O amplificador de aacuteudio funciona

como a fonte para esse circuito alimentando a caixa de som com uma voltagem ( ) que eacute o sinal eleacutetrico

que vai produzir a corrente ( ) e o sinal sonoro na caixa de som (atraveacutes da forccedila magneacutetica)

A ideia eacute que o amplificador estimula a caixa de som simultaneamente com correntes eleacutetricas de

vaacuterias frequumlecircncias diferentes Sons agudos correspondem a correntes de altas frequumlecircncias e sons graves

correspondem a correntes de baixas frequumlecircncias Na caixa de som um alto falante o tweeter estaacute construiacutedo

de tal forma a otimizar a criaccedilatildeo de ondas sonoras correspondentes aos sons agudos e o woofer por sua vez

para os sons graves Mostramos entatildeo o que seria uma composiccedilatildeo (simples) de um sinal eleacutetrico

correspondente a um som grave com um correspondente a um som agudo ambos senoidais constituindo

juntos a corrente ( ) que flui pelo circuito Na caixa de som essa corrente se divide ( ) vai para o tweeter

e ( ) vai para o woofer (eles estatildeo em paralelo) Para evitar que esses alto-falantes tenham que reproduzir

todo o espectro sonoro posto que eles natildeo estatildeo otimizados para isso conecta-se um capacitor em seacuterie com

o tweeter e um indutor em seacuterie com o woofer

tweeter woofer

+ = ( ) =

( ) ( ) ( )

( ) = ( ) =

som grave

som agudo

som agudo

som grave

Figura 11 ilustraccedilatildeo dos efeitos de um capacitor e um indutor usados como filtros de frequumlecircncia em uma caixa de som

473

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

O capacitor atraveacutes de sua reatacircncia atenua principalmente as baixas frequumlecircncias e portanto as

correntes que correspondem aos sons graves Dessa forma ( ) eacute uma corrente em que predominam os

sinais de alta frequumlecircncia (agudos)

O indutor por sua vez atraveacutes de sua reatacircncia atenua preferencialmente as altas frequumlecircncias que

correspondem aos sons agudos Dessa forma ( ) eacute uma corrente em que predominam os sinais de baixas

frequumlecircncia (graves)

Concluindo atraveacutes desses filtros otimizamos a reproduccedilatildeo do som em cada um dos alto-falantes na

caixa de som

A diferenccedila de fase entre a voltagem aplicada ( ) e acorrente ( ) no circuito eacute definida atraveacutes do

acircngulo de fase isin [minus ] da voltagem ( ) = cos( + ) assumindo que a corrente possui = 0 ( ) = cos( ) A tabela 2 abaixo mostra os resultados que obtivemos para a defasagem provocada por

cada componente R C e L

A diferenccedila de fase entre ( ) e ( ) tem relaccedilatildeo com a capacidade do dispositivo de desobedecer ao

estiacutemulo produzido pela fonte CA que forccedila a corrente no circuito Essa capacidade estaacute diretamente ligada agrave

capacidade do dispositivo de produzir ele mesmo corrente eleacutetrica no circuito e para isso ele precisa ter a

capacidade de acumular energia

Componente Defasagem Significado

Resistor 0 ( ) em fase com ( ) Capacitor minus 2 ( ) atrasada

Indutor 2 ( ) adiantada

Tabela 2 defasagens produzidas por um resistor um capacitor e um indutor

Um resistor natildeo possui essa capacidade e por isso a corrente que passa em um resistor estaacute sempre

em fase com a voltagem no resistor De fato a lei de Ohm estabelece que ( ) = ( ) Portanto ( ) e ( ) satildeo basicamente a mesma funccedilatildeo (um seno um cosseno ou o que for)

O capacitor acumula energia potencial eleacutetrica e atraveacutes de seus processos de carga e descarga produz

uma defasagem = minus 2 entre ( ) e ( ) A voltagem fica atrasada A origem dessa defasagem fica clara

quando observamos que ( ) = ( ) e ( ) = ( ) (haacute uma operaccedilatildeo de derivaccedilatildeo entre as funccedilotildees ( ) e ( )) O indutor acumula energia magneacutetica e atraveacutes de seus processos de carga e descarga (de energia

magneacutetica) produz uma defasagem = 2 entre ( ) e ( ) A voltagem fica adiantada A origem dessa

474

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

defasagem fica clara quando observamos que ( ) = ( ) (haacute uma operaccedilatildeo de derivaccedilatildeo entre as

funccedilotildees ( ) e ( )) Com relaccedilatildeo agraves potecircncias para o resistor obtemos ( ) = ( ) ( ) = ( )

Essa eacute a taxa com que o resistor absorve energia potencial eleacutetrica do circuito Essa energia eacute transformada em

energia interna pelas colisotildees dos portadores aumenta a temperatura do resistor e acaba sendo dissipada

para o ambiente externo ao circuito na forma de calor Note que vale sempre ( ) gt 0 ou seja o resistor soacute

absorve energia potencial eleacutetrica do circuito (e dissipa) Sendo ( ) = cos( ) segue que ( ) = ( ) = cos ( ) A potecircncia eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria e tem valor meacutedio temporal

lang ( )rang = langcos ( )rang = 12 =

O resistor dissipa a mesma potecircncia (em meacutedia) que ele dissiparia se estivesse passando por ele uma corrente

contiacutenua (constante) de valor Essa ldquoequivalecircnciardquo eacute a razatildeo de definirmos esses valores RMS

Para o capacitor obtemos ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) Essa eacute a taxa com que o capacitor absorve energia potencial eleacutetrica do circuito Essa energia eacute acumulada no

capacitor Note que vale ( ) gt 0 e ( ) lt 0 ou seja o capacitor tanto absorve quanto fornece energia

potencial eleacutetrica para o circuito Sendo ( ) = ( ) segue que

( ) = ( ) ( )

A potecircncia eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria em torno do zero e como natildeo poderia deixar de ser tem valor meacutedio

temporal nulo De fato

lang ( )rang = 1 lang ( ) ( )rang = 1 1 ( ) ( ) = 1 1 = 1 1 ( )2 minus (0)2 = 0

posto que ( ) eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria de periacuteodo ( (0) = ( )) O capacitor apenas carrega e descarrega (energia potencial eleacutetrica) e natildeo dissipa a energia do circuito

Para o indutor obtemos ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

475

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Essa eacute a taxa com que o indutor absorve energia potencial eleacutetrica do circuito Essa energia eacute acumulada no

indutor na forma magneacutetica Note que vale ( ) gt 0 e ( ) lt 0 ou seja o indutor tanto absorve quanto

fornece energia potencial eleacutetrica para o circuito A potecircncia eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria em torno do zero e

como natildeo poderia deixar de ser tem valor meacutedio temporal nulo De fato

lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = 1 ( ) ( ) = 1 = 1 ( )2 minus (0)2 = 0

posto que ( ) eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria de periacuteodo ( (0) = ( )) O indutor apenas carrega e descarrega (energia magneacutetica) e natildeo dissipa a energia do circuito

Em geral para um circuito CA qualquer a potecircncia entregue ao circuito pela fonte eacute

( ) = ( ) ( ) = cos( + ) cos( ) = cos( + ) cos( ) Note que cos( + ) = cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) e que portanto

( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] A meacutedia temporal dessa potecircncia eacute

lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = langcos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )rang Levando em conta que

langcos ( )rang cos( ) minus langcos( ) sen( )rang sen( ) = langcos ( )rang cos( ) minus 0 = 12 cos( ) Concluiacutemos que lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) = cos( ) Esses satildeo resultados gerais que valem para qualquer circuito CA O termo cos( ) eacute chamado de fator

de potecircncia que abreviaremos para Em um diagrama fasorial podemos ver que

= cos( ) =

Agora podemos entender que para o circuito puramente resistivo vale

= 0 e = 1 (jaacute que = ) lang ( )rang = cos(0) = 2 = 2 = =

Para o circuito puramente capacitivo vale

476

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

= minus 2 e = 0 (jaacute que = 0) lang ( )rang = cos minus 2 = 0

Analogamente para o circuito puramente indutivo vale

= 2 e = 0 (jaacute que = 0) lang ( )rang = cos 2 = 0

A potecircncia meacutedia lang ( )rang = cos( ) representa a potecircncia utilizada no circuito ou seja a

energia do circuito que eacute convertida em outra forma de energia e enviada para fora do circuito No caso de um

resistor ela eacute dissipada para o ambiente na forma de calor como ocorre em um chuveiro eleacutetrico Circuitos

puramente capacitivos ou indutivos possuem lang ( )rang = 0 pois eles natildeo fazem nada a energia estaacute restrita ao

circuito e fica apenas oscilando entre a fonte e esses dispositivos natildeo realizando nada de uacutetil Se vocecirc tentar

imaginar um chuveiro eleacutetrico puramente indutivo ou capacitivo vai concluir que ele seria inuacutetil pois ele natildeo

esquentaria a aacutegua Para o chuveiro esquentar a aacutegua eacute necessaacuterio que a energia saia do circuito e passe para

a aacutegua Nesse sentido o fator de potecircncia = cos( ) expressa uma eficiecircncia do circuito em produzir

energia uacutetil (que sai do circuito sendo convertida em outras formas de energia) Mais adiante discutiremos

mais um pouco sobre isso

114 Alguns circuitos CA

Na sequecircncia discutiremos alguns circuitos simples que combinam resistores capacitores e indutores

1141 Circuito RC seacuterie

A Figura 12 ao lado mostra um circuito RC seacuterie alimentado por

uma fonte CA senoidal que aplica no circuito uma voltagem ( ) =cos( + ) resultando em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor que conhecemos e (o estiacutemulo) e que queremos

determinar e (a resposta do circuito) Para isso utilizaremos a teacutecnica

de fasores Relembrando a ideia eacute que a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

Que pode ser escrita como ( ) = ( ) + ( ) e que se traduz na forma

fasorial em = +

Essa uacuteltima equaccedilatildeo estaacute dizendo que podemos determinar ( ) a

partir da regra do paralelogramo Basta construir o diagrama fasorial como na

Figura ao lado Como o circuito possui apenas uma corrente comeccedilamos pelo

Figura 12 um circuito RC seacuterie

( )( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

fasor que serviraacute de referecircncia para os outros fasores Sendo ( ) = cos( ) esse fasor tem tamanho

e faz um acircngulo com o eixo horizontal Depois desenhamos o fasor de tamanho e em fase com a

corrente e o fasor de tamanho e atrasado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente Em seguida desenhamos um

paralelogramo de lados e cuja diagonal nascendo na origem comum eacute o fasor O teorema de

Pitaacutegoras diz que o tamanho dessa diagonal ( ) eacute

= ( ) + ( ) = +

Portanto a impedacircncia do circuito RC seacuterie eacute (lembrando que = ) = + = + (1 )

O acircngulo de fase eacute tal que tan( ) = minus = minus = minus 1

o sinal negativo foi introduzido acima porque vemos no diagrama fasorial que a voltagem da fonte estaacute

atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente ( lt 0 medido no sentido horaacuterio)

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da amplitude da

corrente = em funccedilatildeo da frequumlecircncia da fonte (fixamos = 10Ω = 1000 μF e = 1 V) Para rarr 0 a corrente se anula

pois a reatacircncia do capacitor diverge e para rarr infin o capacitor se

comporta como um curto-circuito e rarr Note que o circuito

funciona como um filtro de frequumlecircncia Para esses valores numeacutericos

frequecircncias ≲ 400 rads ( cong 64 Hz) satildeo bastante atenuadas

Quanto agrave potecircncia entregue ao circuito pela fonte jaacute vimos que para um circuito CA qualquer valem

( ) = ( ) ( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) =

sendo FP = cos( ) = o fator de potecircncia do circuito

Para o circuito RC vemos no diagrama fasorial que cos( ) = e sen( ) = minus (note que eacute

um acircngulo negativo no quarto quadrante minus le le 0) e segue que

( ) = [ cos ( ) + cos( ) sen( )]

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 10 rads fixa Notamos que a funccedilatildeo eacute oscilatoacuteria mas natildeo oscila em

torno do zero A fonte entrega ( gt 0) mais energia ao circuito do que

recebe ( lt 0) Isso ocorre porque o circuito estaacute dissipando energia

atraveacutes do resistor A fonte entrega energia para o circuito o resistor

recebe uma parte e dissipa e o capacitor recebe outra parte e depois

devolve para a fonte

A potecircncia meacutedia entregue ao circuito pela fonte eacute

lang ( )rang = cos( ) = + (1 )

Essa eacute a potecircncia dissipada no resistor pois o capacitor apenas carrega e descarrega

Ao lado mostramos um graacutefico de lang ( )rang em funccedilatildeo da

frequumlecircncia da fonte Notamos que o circuito dissipa mais calor no

regime de altas frequumlecircncias que eacute o regime em que a amplitude da

corrente eacute maior

1142 Circuito RL seacuterie

A Figura 13 ao lado mostra um circuito RL seacuterie alimentado por uma

fonte CA senoidal que aplica no circuito uma voltagem ( ) = cos( + ) resultando em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor

que conhecemos e (o estiacutemulo) e que queremos determinar e (a

resposta do circuito) Para isso utilizaremos a teacutecnica de fasores Relembrando a

ideia eacute que a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

Que pode ser escrita como ( ) = ( ) + ( ) que se traduz na forma fasorial em = +

Essa uacuteltima equaccedilatildeo estaacute dizendo que podemos determinar ( ) a partir da regra do paralelogramo

Basta construir o diagrama fasorial como na Figura ao lado Comeccedilamos pelo

fasor que tem tamanho e faz um acircngulo com o eixo horizontal Depois

desenhamos o fasor de tamanho e em fase com a corrente e o fasor

de tamanho e adiantado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente Em seguida

desenhamos um paralelogramo de lados e cuja diagonal nascendo na

Figura 13 um circuito RL seacuterie

( )( )

479

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

origem comum eacute o fasor O teorema de Pitaacutegoras diz que o tamanho dessa diagonal ( ) eacute = ( ) + ( ) = +

Portanto a impedacircncia do circuito RL seacuterie eacute = + = + ( )

O acircngulo de fase eacute tal que tan( ) = = =

o sinal positivo reflete o que vemos no diagrama fasorial que a voltagem da fonte estaacute adiantada em relaccedilatildeo agrave

corrente ( gt 0 medido no sentido anti-horaacuterio)

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da amplitude da

corrente = em funccedilatildeo da frequumlecircncia da fonte (fixamos = 10Ω = 01 H e = 1 V Para rarr 0 a corrente tem seu valor

maacuteximo ( rarr ) pois a reatacircncia do indutor se anula nesse limite

(curto-circuito) e para rarr infin o indutor se comporta como um circuito

aberto e rarr 0 Note que o circuito funciona como um filtro de

frequumlecircncia Para esses valores numeacutericos frequecircncias ≲ 200 rads

( cong 32 Hz) satildeo menos atenuadas

Quanto agrave potecircncia entregue ao circuito pela fonte jaacute vimos que para um circuito CA qualquer valem

( ) = ( ) ( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) =

sendo FP = cos( ) = o fator de potecircncia do circuito

No circuito RL vemos no diagrama fasorial que cos( ) = e sen( ) = (note que eacute um

acircngulo positivo no primeiro quadrante 0 le le ) e segue que

( ) = [ cos ( ) minus cos( ) sen( )] Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 500 rads fixa Notamos que a funccedilatildeo eacute oscilatoacuteria mas natildeo oscila em

torno do zero A fonte entrega ( gt 0) mais energia ao circuito do que

recebe ( lt 0) Isso ocorre porque o circuito estaacute dissipando energia

atraveacutes do resistor

480

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

A potecircncia meacutedia eacute lang ( )rang = cos( ) = + ( )

Essa eacute a potecircncia dissipada no resistor pois o indutor apenas carrega e descarrega

Ao lado mostramos um graacutefico de lang ( )rang em funccedilatildeo da

frequumlecircncia da fonte Notamos que o circuito dissipa mais calor no

regime de baixas frequumlecircncias que eacute o regime em que a amplitude da

corrente eacute maior

1143 Circuito LC seacuterie

A Figura 14 ao lado mostra um circuito LC seacuterie alimentado por uma

fonte CA senoidal que aplica no circuito uma voltagem ( ) =cos( + ) resultando em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor que conhecemos e (o estiacutemulo) e que queremos

determinar e (a resposta do circuito) Para isso utilizaremos a teacutecnica de

fasores Relembrando a ideia eacute que a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

Que pode ser escrita como ( ) = ( ) + ( ) que se traduz na forma fasorial em = +

Construimos o diagrama fasorial como na Figura ao lado Comeccedilamos pelo fasor que tem tamanho

e faz um acircngulo com o eixo horizontal Depois desenhamos o fasor

de tamanho e adiantado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente e o fasor

de tamanho e atrasado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente Natildeo haacute

paralelogramo nesse caso Apenas fizemos a hipoacutetese que de que gt

e que portanto o fasor eacute maior que o fasor Chamamos esse caso de

circuito predominantemente indutivo A soma + fica virada para o

lado de e nesse caso vale gt 0 Se o circuito fosse predominantemente

capacitivo ( gt ) a soma + ficaria virada para o lado de e

valeria lt 0

O tamanho do fasor ( ) eacute simplesmente = minus = ( minus )

Para o caso geral do circuito LC podemos escrever = | minus |

Figura 14 um circuito LC seacuterie

( )( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Portanto a impedacircncia do circuito RL seacuterie eacute = minus = minus 1 Para o caso geral vale = | minus | Podemos ver que o acircngulo de fase eacute = 2 Para o circuito predominantemente capacitivo valeria = minus 2 Em geral poderiacuteamos pensar que (para = 0)

tan( ) rarr minus0 rarr plusmninfin

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da amplitude da

corrente = em funccedilatildeo da frequumlecircncia da fonte (fixamos = 1000μF = 01 H e = 1 V Para rarr 0 e rarr infin a corrente se

anula pois uma das reatacircncias diverge nesse limite e elas estatildeo em seacuterie

Note que o circuito funciona como um filtro de frequumlecircncia Para esses

valores numeacutericos frequecircncias cong 100 rads ( cong 16 Hz) satildeo menos

atenuadas O que estamos vendo aqui eacute exatamente o privileacutegio que o

circuito daacute para a frequumlecircncia natural de oscilaccedilotildees do circuito LC que eacute dada por (conforme vimos no capiacutetulo

10) = 1radic

De fato para = 1000μF e = 01 H obtemos = 100 rads Esse fenocircmeno de privileacutegio de

uma frequumlecircncia natural de oscilaccedilotildees eacute chamado de ressonacircncia Aqui estamos vendo que a ressonacircncia se

reflete em um pico na amplitude da corrente quando rarr (de fato nesse caso ideal = 0 estamos vendo

uma divergecircncia da corrente) A ideia da ressonacircncia eacute que quando o circuito eacute

forccedilado por uma voltagem ( ) de baixas frequumlecircncias que eacute o caso em que o

circuito eacute predominantemente capacitivo pois gt a corrente circula no

circuito com baixa amplitude Analogamente quando o circuito eacute forccedilado por

uma voltagem ( ) de altas frequumlecircncias que eacute o caso em que o circuito eacute

predominantemente indutivo pois gt a corrente circula no circuito com

baixa amplitude Quando o circuito eacute forccedilado por uma voltagem ( ) de

frequumlecircncia exatamente igual agrave frequumlecircncia natural de oscilaccedilotildees do circuito LC ou seja quando = a

corrente eleacutetrica no circuito circula com amplitude maacutexima e o acircngulo de fase eacute = 0 De fato na ressonacircncia

o diagrama fasorial do circuito fica como mostrado ao lado Note que quando = as reatacircncias ficam

iguais pois (para = )

= = 1radic = = 1 =

482

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Logo os fasores e tecircm o mesmo tamanho e obtemos um fasor resultante de tamanho nulo Trata-se de

um resultado espuacuterio pois devemos ter em mente que nesse caso especial = deveriacuteamos tambeacutem

desenhar o fasor vermelho de com tamanho infinito de tal forma que ao final = | minus | rarr 0infin

Enfim devemos ter cuidado com esse caso especial pois ele envolve grandezas divergentes As coisas se

tornam mais ldquorealistasrdquo quando incluiacutemos uma resistecircncia nesse circuito (circuito RLC discutido abaixo)

Quanto agrave potecircncia entregue ao circuito pela fonte jaacute vimos que para um circuito CA qualquer valem

( ) = ( ) ( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) =

sendo FP = cos( ) = o fator de potecircncia do circuito

No circuito LC como = 0 cos( ) = 0 e sen( ) = plusmn1 (pois = plusmn 2) obtemos

( ) = [0 ∓ cos( ) sen( )] = ∓ | minus | cos( ) sen( ) Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 500 rads fixa (circuito indutivo) Notamos que a funccedilatildeo eacute oscilatoacuteria e

oscila em torno do zero A fonte entrega ( gt 0) energia ao circuito e

recebe ( lt 0) de volta Note que na ressonacircncia a amplitude da potecircncia

(artificialmente) diverge

A potecircncia meacutedia eacute lang ( )rang = 0 O que a fonte entrega ao circuito

ela recebe de volta

A potecircncia ( ) eacute entregue ao indutor e ao capacitor que tambeacutem trocam energia entre si

exatamente como eles fazem quando estatildeo ligados sozinhos como no circuito LC que estudamos no capiacutetulo

10 Mas quando L e C estatildeo sozinhos a troca de energia se daacute com a frequumlecircncia natural e aqui essa troca

estaacute sendo forccedilada com a frequecircncia da fonte

O capacitor carregadescarrega energia potencial eleacutetrica com a potecircncia

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) sendo ( ) = cos( ) = ( ) segue que ( ) = ( ) sen( ) e ( ) = sen( ) cos( )

O indutor por sua vez carregadescarrega energia potencial magneacutetica com a potecircncia

483

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) sendo ( ) = cos( ) segue que ( ) = minus sen( ) cos( ) Note que ( ) = ( ) + ( ) O graacutefico ao lado ilustra os comportamentos de ( ) e ( ) em

funccedilatildeo do tempo para o caso predominantemente indutivo com = 2 Vemos que as potecircncias apenas oscilam em torno do zero ou

seja possuem meacutedia nula Vemos que nesse caso indutivo o circuito

possui maior pico de energia armazenada no indutor na forma magneacutetica

que no capacitor na forma eleacutetrica Vemos tambeacutem que ( ) e ( ) possuem sempre sinais opostos ou seja quando o capacitor estaacute

fornecendo energia para o circuito o indutor estaacute absorvendo energia e vice-versa O saldo ou seja a

diferenccedila entre as energias fica por conta da fonte de alimentaccedilatildeo Na ressonacircncia vale = e as

potecircncias possuem amplitudes iguais ou seja o capacitor e o indutor se bastam e a fonte natildeo precisa fornecer

ou absorver energia do circuito

Note tambeacutem que

( ) = ( ) = sen( ) ( ) = ( ) = minus sen( ) Portanto ( ) e ( ) estatildeo sempre em oposiccedilatildeo com polaridades opostas Na ressonacircncia vale ( ) + ( ) = 0 Mas a lei das malhas diz que ( ) = ( ) + ( ) Portanto na ressonacircncia a fonte fica

curto-circuitada e por isso a corrente no circuito (artificialmente) diverge A presenccedila de uma resistecircncia em

seacuterie no circuito elimina essas divergecircncias desse sistema tornando-o mais realista conforme veremos a

seguir

1144 Circuito RLC seacuterie

Finalmente a Figura 15 ao lado mostra um circuito RLC seacuterie

alimentado por uma fonte CA senoidal que aplica no circuito uma

voltagem ( ) = cos( + ) resultando em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor que conhecemos e (o

estiacutemulo) e que queremos determinar e (a resposta do circuito) Para

isso utilizaremos a teacutecnica de fasores Relembrando a ideia eacute que a lei das

malhas fornece a equaccedilatildeo ( ) minus ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

ou seja ( ) = ( ) + ( ) + ( ) que se traduz na forma fasorial em = + +

Figura 15 um circuito RLC seacuterie

( )( )

484

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Construiacutemos o diagrama fasorial como na Figura ao lado

Comeccedilamos pelo fasor que tem tamanho e faz um acircngulo com o

eixo horizontal Depois desenhamos o fasor de tamanho em fase

com a corrente Em seguida desenhamos o fasor de tamanho e

adiantado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente e o fasor de tamanho e

atrasado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente Fizemos novamente a hipoacutetese que

de que gt e que portanto o fasor eacute maior que o fasor

Chamamos esse caso de circuito predominantemente indutivo A soma + fica virada para o lado de e vale gt 0 Se o circuito fosse predominantemente capacitivo ( gt) a soma + ficaria virada para o lado de e valeria lt 0

Do teorema de Pitaacutegoras o tamanho do fasor ( ) eacute simplesmente = ( ) + ( minus ) = + ( minus )

Portanto a impedacircncia do circuito RLC seacuterie eacute = + ( minus )

O acircngulo de fase eacute tal que tan( ) = minus

Vemos que se gt (circuito predominantemente indutivo) obtemos gt 0 e se lt (circuito

predominantemente capacitivo) obtemos lt 0

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da amplitude da

corrente = em funccedilatildeo da frequumlecircncia da fonte (fixamos = 10Ω = 1000μF = 01 H e = 1 V) Para rarr 0 e rarr infin a

corrente se anula pois uma das reatacircncias diverge nesse limite e elas

estatildeo em seacuterie Note que trata-se aqui basicamente de uma regularizaccedilatildeo

do circuito LC estudado anteriormente em que a divergecircncia na corrente

deixou de existir O circuito funciona como um filtro de frequumlecircncia Para

esses valores numeacutericos frequecircncias cong 100 rads ( cong 16 Hz) satildeo menos atenuadas Vemos aqui o

privileacutegio que o circuito daacute para a frequumlecircncia natural de oscilaccedilotildees do circuito LC ou seja a ressonacircncia do

circuito na frequumlecircncia natural = 1radic

+

485

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Para = 1000μF e = 01 H resulta = 100 rads Em geral para =

a impedacircncia = + ( minus ) eacute miacutenima pois = e a amplitude

da corrente eacute maacutexima

Na ressonacircncia o diagrama fasorial do circuito fica como mostrado ao

lado Quando = as reatacircncias ficam iguais e os fasores e coincidem

pois os fasores e se anulam mutuamente Portanto na ressonacircncia vale = = que eacute o valor de pico de e = 0 O circuito se comporta como um circuito puramente

resistivo

Quanto agrave potecircncia entregue ao circuito pela fonte jaacute vimos que para um circuito CA qualquer valem

( ) = ( ) ( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) =

sendo FP = cos( ) = o fator de potecircncia do circuito

No circuito RLC cos( ) = e sen( ) = ( minus ) e obtemos

( ) = + ( minus ) [ cos ( ) minus ( minus )cos( ) sen( )] Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 500 rads fixa (circuito indutivo) Notamos que a funccedilatildeo eacute oscilatoacuteria e

que natildeo oscila em torno do zero A fonte entrega ( gt 0) mais energia ao

circuito do que recebe ( lt 0) de volta pois o resistor estaacute dissipando

energia

A potecircncia meacutedia eacute lang ( )rang = + ( minus )

Ao lado mostramos um graacutefico de lang ( )rang em funccedilatildeo da

frequumlecircncia da fonte O pico na dissipaccedilatildeo de calor estaacute na frequumlecircncia de

ressonacircncia que para os valores numeacutericos no graacutefico eacute = 100 rads

Conforme jaacute comentamos para o circuito LC as potecircncias ( ) e ( ) do capacitor e do indutor satildeo funccedilotildees oscilantes em torno do zero e

possuem sempre sinais opostos ou seja quando o capacitor estaacute

fornecendo energia para o circuito o indutor estaacute absorvendo energia e vice-versa O saldo ou seja a

=

486

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

diferenccedila entre as energias fica por conta da fonte de alimentaccedilatildeo e do resistor que estaacute o tempo todo

dissipando energia Na ressonacircncia vale = e as potecircncias ( ) e ( ) possuem amplitudes iguais ou

seja o capacitor e o indutor se bastam e a fonte natildeo precisa trocar (fornecer ou absorver) energia com o par

capacitorindutor ela precisa apenas de se ocupar com a energia dissipada no resistor

Note tambeacutem que

( ) = ( ) = sen( ) ( ) = ( ) = minus sen( ) Portanto ( ) e ( ) estatildeo sempre em oposiccedilatildeo com polaridades opostas Na ressonacircncia vale ( ) + ( ) = 0 Mas a lei das malhas diz que ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Portanto na ressonacircncia o

par capacitorindutor fica curto-circuitado ( ) = ( ) e por isso a corrente no circuito possui amplitude = (pois = ) e acircngulo de fase = 0

115 Aplicaccedilotildees do circuito RLC seacuterie

O circuito RLC seacuterie pode ser pensado como um modelo para vaacuterios circuitos que possuem resistecircncia

eleacutetrica capacitacircncia e indutacircncia Uma casa uma induacutestria ou mesmo uma cidade satildeo basicamente circuitos

RLC Mas eacute verdade que esses circuitos reais podem ser mais complicados pois podem apresentar tambeacutem

associaccedilotildees em paralelo indutacircncias muacutetuas emissatildeo de ondas eletromagneacuteticas (radiaccedilatildeo) e outros

fenocircmenos Nesse sentido o circuito RLC seacuterie eacute um protoacutetipo para alguns circuitos natildeo todos Ele serve para

a introduccedilatildeo das ideacuteias baacutesicas acerca do funcionamento dos circuitos de corrente alternada O fenocircmeno

mais interessante que esse circuito exibe em corrente alternada eacute o da ressonacircncia

Circuitos ressonantes possuem diversas aplicaccedilotildees como em filtros de frequecircncia detectores de

metais e na sintonia de raacutedios Aqui vamos discutir um pouco sobre esses trecircs exemplos sem a preocupaccedilatildeo

ou a pretensatildeo de que eles sejam os melhores circuitos para desempenhar essas funccedilotildees

O graacutefico da amplitude da corrente em funccedilatildeo da frequumlecircncia da

corrente deixa evidente a capacidade do circuito RLC de atuar como filtro de

frequumlecircncia Esse graacutefico estaacute esboccedilado ao lado Voltando ao exemplo da caixa

de som vimos que essa caixa pode conter um woofer e um tweeter que satildeo

alto-falantes dedicados agrave reproduccedilatildeo de sons graves (20 - 200 Hz) e agudos (2 ndash

20 kHz) respectivamente Podemos incrementar essa caixa acrescentando um

mid-range que eacute um alto-falante otimizado para a reproduccedilatildeo de sons de frequumlecircncias meacutedias (200 ndash 2k Hz)

Precisamos apenas ligar esse mid-range em seacuterie com um circuito RLC cuja frequumlecircncia de ressonacircncia esteja

por exemplo em cong 1 kHz ou seja cong 6300 rads Para isso devemos selecionar um indutor e um

capacitor tais que 1radic cong 6300 rads Dessa forma os sinais sonoros com cong seratildeo pouco atenuados e

0

487

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

passaratildeo pelo mid-range produzindo nesse alto-falante sons meacutedios de maior intensidade que os sons graves

e agudos

Considere agora o circuito para um detector de metais como esses que ficam instalados nas portas de

lojas e de bancos Trata-se do circuito RLC em que a indutacircncia eacute um solenoacuteide grande que fica instalado no

caminho de passagem dos usuaacuterios da loja ou do banco Natildeo havendo ningueacutem proacuteximo do solenoacuteide o uacutenico

meio material proacuteximo eacute o ar que possui permeabilidade magneacutetica proacutexima da do vaacutecuo Portanto a

autoindutacircncia desse solenoacuteide eacute = times (qualquer coisa) sendo ldquoqualquer coisardquo uma funccedilatildeo do nuacutemero

de espiras e da forma do solenoacuteide que natildeo importa o que seja pois estaacute fixa Se algueacutem se aproxima desse

solenoacuteide algueacutem carregando um objeto de tamanho razoaacutevel composto de metais ferromagneacuteticos o meio

material no espaccedilo proacuteximo ao solenoacuteide muda assim como sua autoindutacircncia Vamos supor que com essa

aproximaccedilatildeo rarr = times(qualquer coisa) sendo gt 1 a permeabilidade relativa dessa nova

composiccedilatildeo de materiais ar + material ferromagneacutetico (o espaccedilo natildeo estaacute totalmente preenchido pelo

material ferromagneacutetico e por isso natildeo eacute exatamente a permeabilidade relativa desse material) Na

praacutetica pode aumentar bastante a autoindutacircncia do solenoacuteide proacuteximo modificando a frequecircncia de

ressonacircncia do circuito RLC permitindo a detecccedilatildeo desse metal

Imagine que construiacutemos um circuito RLC seacuterie e colocamos um

pequeno alto-falante conectado em seacuterie com os demais componentes

como na Figura ao lado A fonte senoidal eacute tal que possui frequumlecircncia de

oscilaccedilatildeo dada por = 1 = 1 1radic

ou seja a fonte tem a frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo igual agrave frequumlecircncia de ressonacircncia do circuito com um metal

ferromagneacutetico proacuteximo Podemos chamar essa frequumlecircncia de ( ) Portanto se ( ) eacute a frequecircncia de

ressonacircncia do circuito com apenas ar em sua vizinhanccedila segue que

( ) = 1 ( ) ≪ ( ) Conclusatildeo enquanto natildeo houver nenhum metal proacuteximo o circuito vai possuir frequumlecircncia de ressonacircncia ( ) mas vai estar sendo forccedilado por uma voltagem senoidal de

frequecircncia ( ) Portanto o circuito estaraacute fora da ressonacircncia e a

corrente no circuito teraacute baixa amplitude ( na Figura ao lado) Ao

aproximar um metal ferromagneacutetico do solenoacuteide a frequecircncia da fonte

natildeo muda continua sendo ( ) mas a frequecircncia de ressonacircncia do

( ) ( )

( ) 0 ( )

488

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

circuito muda passa a ser ( ) (na Figura acima a curva de times do circuito deixa de ser a curva azul e

passa a ser a curva vermelha) Conclusatildeo o circuito entra em ressonacircncia e a amplitude da corrente cresce (

na Figura ao lado) produzindo um som intenso no alto-falante o alarme Essa mesma ideia pode se aplicada a

um detector de metais de um ldquocaccedilador de tesourosrdquo

Considere agora um circuito de um raacutedio simples

Trata-se do circuito RLC em que a fonte eacute uma antena ou seja

um simples pedaccedilo de fio pendurado no espaccedilo Na Figura ao

lado a antena eacute representada pelo segmento de fio em

vermelho O capacitor possui uma seta porque ele eacute um

capacitor ajustaacutevel Podemos modificar seu valor de

capacitacircncia dentro de uma faixa ampla le le

Podemos por exemplo girar um botatildeo (de sintonia) e variar a

distacircncia entre as placas desse capacitor O alto-falante nos permite ldquoouvir a corrente eleacutetrica fluindo no

circuitordquo Ondas eletromagneacuteticas incidem no fio da antena e fazem forccedila nos portadores de carga que estatildeo

dentro dele Em particular o campo eleacutetrico oscilatoacuterio ( ) dessas ondas faz com que os portadores de

carga oscilem com a mesma frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo do campo eleacutetrico Portanto a antena funciona como

uma ou de fato vaacuterias fontes de voltagens oscilatoacuterias que produzem no circuito vaacuterias correntes oscilatoacuterias

superpostas cada uma com uma frequumlecircncia diferente A Figura ilustra (apenas) duas ondas incidindo

simultaneamente na antena uma de frequecircncia e outra de frequecircncia A corrente no circuito seraacute a

superposiccedilatildeo + Agora podemos usar a ressonacircncia do circuito para sintonizar ou seja escolher qual das

ondas queremos ouvir (1 ou 2)

A Figura ao lado ilustra essa ideia sintonizando a onda 2 Ajustando a capacitacircncia variamos a

frequumlecircncia de ressonacircncia do circuito = 1radic Na Figura

podemos pensar que a curva azul se move para os lados quando

ajustamos Dessa forma estando e fixos no eixo de

podemos variar ateacute que a frequecircncia (que eacute a posiccedilatildeo do pico da

curva azul) coincida com por exemplo que eacute o caso mostrado na

Figura Dessa forma a corrente teraacute grande amplitude pois eacute

ressonante enquanto que a corrente teraacute baixa amplitude O alto-

falante reproduziraacute um som baixo correspondente agrave onda 1 e um som alto correspondente agrave onda 2

Ouviremos a onda 2

Esse eacute o princiacutepio de funcionamento da sintonia de qualquer sistema de telecomunicaccedilatildeo seja ele um

raacutedio uma TV um sateacutelite ou um telefone celular

( )

antena

0

489

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

116 Correccedilatildeo do fator de potecircncia

Nos exemplos que discutimos anteriormente mostramos que a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte ao

circuito eacute lang ( )rang = cos( ) sendo a voltagem eficaz da fonte a corrente eficaz no circuito e cos( ) o chamado fator de

potecircncia eacute o acircngulo de defasagem entre a voltagem da fonte e a corrente no circuito Se pensarmos que um

circuito eleacutetrico eacute construiacutedo para realizar alguma tarefa alguma tarefa que requer o dispecircndio de energia

podemos chamar essa potecircncia de potecircncia uacutetil = lang ( )rang = cos( ) Considere o exemplo do circuito LC seacuterie que estudamos na seccedilatildeo 1143 Vimos que nesse caso vale = plusmn 2 conforme o circuito seja predominantemente indutivo ou capacitivo (natildeo consideraremos o caso

em que = porque ele eacute divergente) Portanto cos( ) = 0 e = 0 Nesse circuito a energia fica

apenas transitando entre a fonte e o indutor e o capacitor como um pingue-pongue A energia eacute conservada

nenhuma energia sai do circuito (para o ambiente externo) e portanto ele natildeo pode estar realizando nada

uacutetil Esse circuito natildeo pode estar aquecendo aacutegua (mesmo porque = 0) nem movimentando um motor ou

seja realizando trabalho ou fazendo uma lacircmpada brilhar (emitindo ondas eletromagneacuteticas que transportam

energia) Ele eacute inuacutetil

Considere agora o exemplo do sistema puramente resistivo que estudamos na seccedilatildeo 1131 Nesse

caso = 0 cos( ) = 1 e = Este seria o melhor caso pois toda a energia que a fonte

entrega ao circuito eacute enviada para fora do circuito pelo resistor Essa energia poderia estar aquecendo aacutegua

por exemplo A fonte natildeo ldquoperde tempordquo com pingue-pongue de energia A energia flui apenas em um

sentido da fonte para a aacutegua atraveacutes do resistor Esse tambeacutem eacute o caso do circuito RLC que estudamos na

seccedilatildeo 1144 desde que ele esteja em ressonacircncia que pressupotildee =

Aqui chegamos em um ponto em que podemos entender a importacircncia do fator de potecircncia e da

necessidade de manter seu valor proacuteximo de 1 Os circuitos reais satildeo geralmente indutivos tendo em vista a

profusatildeo de motores e transformadores nos circuitos eleacutetricos Esses dispositivos satildeo compostos de solenoacuteides

que introduzem no sistema eleacutetrico a autoindutacircncia Portanto circuitos reais principalmente os de grandes

induacutestrias geralmente apresentam fatores de potecircncia distantes do valor 1 que seria o ideal Um sistema de

baixo fator de potecircncia vai requerer uma maior corrente eficaz para obter uma dada potecircncia uacutetil De fato

sendo = cos( ) vemos que quanto menor o cos( ) maior deve ser para que uma

seja alcanccedilada (estamos supondo que o valor de estaacute fixo eacute a voltagem eficaz da rede eleacutetrica 127

490

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

V por exemplo) Um sistema eleacutetrico que funcione com maior corrente produz mais perdas por efeito Joule e

eacute portanto menos eficiente

A Figura 16 abaixo ilustra essa ideia com dois casos extremos

Em (a) imaginamos um consumidor que seja puramente indutivo (autoindutacircncia ) conectado a uma

fonte CA atraveacutes de um fio que possui resistecircncia eleacutetrica O consumidor eacute o que estaacute contido dentro da

caixa tracejada em vermelho Esse consumidor poderia ter em sua casa apenas um eletroiacutematilde em sua casa (de

resistecircncia nula ou despreziacutevel) um eletroiacutematilde que fica apenas ligado na tomada talvez grudado na porta da

geladeira Em (b) imaginamos um consumidor puramente resistivo (resistecircncia ) tambeacutem conectado a uma

fonte CA atraveacutes de um fio que possui resistecircncia eleacutetrica Esse consumidor poderia ter em sua casa apenas

um chuveiro e um forno eleacutetricos que satildeo dispositivos puramente resistivos

Consideramos aqui que a potecircncia dissipada em (nos fios da rede de transmissatildeodistribuiccedilatildeo) eacute

energia perdida desperdiccedilada apenas dissipada para o ar circundante Note que estamos considerando que

eacute uma resistecircncia externa ao consumidor ou seja eacute a resistecircncia eleacutetrica das linhas de distribuiccedilatildeo e

transmissatildeo que transportam energia desde a geraccedilatildeo ateacute esse consumidor final Portanto o consumidor natildeo

paga em princiacutepio por essa energia perdida pois ela natildeo fica registrada em seu medidor de energia (o

popular ldquoreloacutegiordquo de energia) Nos dois casos vamos supor que os circuitos satildeo alimentados por uma fonte CA

senoidal de voltagem ( ) = cos( + ) que resulta em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) No caso (a) que eacute um circuito RL a impedacircncia eacute = + e a corrente eficaz no circuito eacute

= = +

Portanto e potecircncia meacutedia perdida em eacute = lang ( )rang = lang ( ) rang = = +

(a)

( ) ( )

(b)

( ) ( )

Figura 16 dois circuitos consumidores (dentro da caixa tracejada) com fatores de potecircncia bem diferentes em (a) cos( ) = 0 e em (b) cos( ) = 1

491

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Por outro lado a potecircncia meacutedia utilizada pelo consumidor eacute = lang ( )rang = 0 O consumidor natildeo

consome nada mas produz uma perda no sistema de distribuiccedilatildeo de energia O medidor de energia desse

consumidor (o ldquoreloacutegio de energiardquo) giraria para a frente e para traacutes e natildeo registraria nenhum consumo de

energia

Esse eacute um caso em que o fator de potecircncia do consumidor eacute cos( ) = 0 pois no consumidor a

voltagem estaacute adiantada de 2 em relaccedilatildeo agrave corrente O fator de potecircncia do circuito como um todo eacute

cos( ) = = + lt 1

Note portanto que a potecircncia meacutedia entregue pela fonte eacute

= cos( ) = = + =

ou seja a fonte fornece ao circuito apenas a energia que eacute desperdiccedilada Esse consumidor leva a um

desperdiacutecio de energia no sistema eleacutetrico e natildeo paga por ele

No caso (b) que eacute um circuito puramente resistivo a impedacircncia eacute = + e a corrente eficaz no

circuito eacute = = +

Portanto e potecircncia meacutedia perdida em eacute = lang ( )rang = lang ( ) rang = = ( + )

Por outro lado a potecircncia meacutedia utilizada pelo consumidor eacute

= lang ( )rang = lang ( ) rang = = ( + )

O consumidor consome e produz uma perda inevitaacutevel de energia no sistema de distribuiccedilatildeo Supondo ≪ eacute claro que ≪

Esse eacute um caso em que o fator de potecircncia do consumidor eacute cos( ) = 1 pois no consumidor a

voltagem estaacute em fase com a corrente O fator de potecircncia do circuito como um todo tambeacutem eacute 1 pois

cos( ) = + = ++ = 1

A potecircncia meacutedia entregue pela fonte como natildeo poderia deixar de ser eacute

= cos( ) = + = 1+ = + cong

492

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Esses exemplos simples tentam mostrar que consumidores com fator de potecircncia baixo muito menor

que 1 demandam do sistema eleacutetrica muita energia sendo grande parte desperdiccedilada na transmissatildeo na

distribuiccedilatildeo e dentro do circuito do proacuteprio consumidor (nos fios) Consumidores com fator de potecircncia igual a

1 satildeo os mais eficientes pois eles apenas produzem perdas que natildeo podem ser evitadas

O processo de correccedilatildeo do fator de potecircncia consiste exatamente em modificar o circuito de um

consumidor com fator de potecircncia baixo fazendo com que este paracircmetro se aproxime de 1 Para fazer isso

natildeo podemos nos livrar das reatacircncias indutivas pois elas satildeo intriacutensecas aos motores e transformadores O

que podemos fazer eacute tornar o circuito ressonante pois vimos que na ressonacircncia vale = 0 e cos( ) = 1 A

condiccedilatildeo de ressonacircncia eacute = Portanto para um circuito indutivo

que eacute o caso mais comum devemos acrescentar ao circuito uma

reatacircncia capacitiva Isso eacute feito geralmente atraveacutes da conexatildeo de

capacitores em paralelo com o circuito consumidor de tal forma a natildeo

alterar sua voltagem de alimentaccedilatildeo Para o caso da Figura 16(a) o

circuito ldquocorrigidordquo ficaria como mostrado ao lado

Natildeo estudamos circuitos em paralelo mas natildeo eacute difiacutecil mostrar (ver abaixo) que se o circuito LC ao

lado estiver em ressonacircncia a corrente na fonte se anula e = rarr 0 A corrente fica oscilando

apenas na malha que conteacutem L e C Portanto o consumidor fica satisfeito pois seu eletroiacutematilde continua

funcionando como antes mas agora de maneira mais eficiente pois ele natildeo produz mais nenhuma perda de

energia no sistema Agora o medidor de energia desse consumidor (o ldquoreloacutegio de energiardquo) fica simplesmente

parado e continua registrando nenhum consumo de energia A concessionaacuteria de energia fica satisfeita pois

esse consumidor continua sem pagar nada com a vantagem de tambeacutem natildeo produzir perdas de energia no

sistema

Para mostrar que no circuito LC em paralelo ( ) = 0 na ressonacircncia basta considerar que estaacute em

paralelo com e que portanto ( ) = ( ) Mas sabemos que ( ) = ( )

e ( ) = ( ) rArr ( ) = ( )

sendo ( ) a corrente no ramo do indutor e ( ) a corrente no ramo do capacitor Note que ( ) = ( ) +( ) (lei dos noacutes) Dessas expressotildees podemos deduzir uma relaccedilatildeo entre as correntes

( ) = ( ) rArr ( ) = ( ) rArr ( ) = ( )

Portanto suponha que ( ) = cos( + ) segue que

( ) ( )

493

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = minus cos( + ) = minus ( ) Vemos que as correntes nos ramos do indutor e do capacitor satildeo sempre opostas Na ressonacircncia = ( ) = minus ( ) e ( ) = 0

Na ressonacircncia o indutor e o capacitor em paralelo trocam energia entre eles sem a participaccedilatildeo da

fonte O circuito funciona como se estivesse aberto e deixa de dissipar calor

A Figura 17 abaixo ilustra o processo de correccedilatildeo do fator de potecircncia desse circuito atraveacutes do

diagrama fasorial

Antes da correccedilatildeo haacute no circuito consumidor somente a corrente ( ) = ( ) que estaacute atrasada de 2 em relaccedilatildeo agrave voltagem ( ) fornecida pela concessionaacuteria de energia ao consumidor (nesse caso ( ) = ( )) Essa corrente estaacute passando tambeacutem pelo resistor na rede externa de

transmissatildeodistribuiccedilatildeo que dissipa calor com a potecircncia = Na outra Figura vemos o efeito

da adiccedilatildeo de uma reatacircncia capacitiva em paralelo com o indutor Acrescenta-se ao circuito a corrente ( ) que estaacute adiantada de 2 em relaccedilatildeo agrave voltagem no consumidor ( ) = ( ) = ( ) Agora no circuito

externo circula a corrente ( ) = ( ) + ( ) Se eacute a amplitude de ( ) (que eacute o tamanho do fasor )

segue que amplitude de ( ) eacute (que eacute o tamanho do fasor ) e que a amplitude de ( ) eacute

(que eacute o tamanho do fasor ) Portanto ( ) tem amplitude minus que eacute o tamanho do fasor

Na ressonacircncia = e ( ) = 0

117 Aplicaccedilotildees

1) No Brasil e em muitos outros paiacuteses a geraccedilatildeo transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica se fazem

atraveacutes de um sistema trifaacutesico Nesse sistema haacute trecircs fios as fases cada uma com uma voltagem senoidal

proacutepria ( ) ( ) e ( ) Essas trecircs voltagens satildeo produzidas pela rotaccedilatildeo de um conjunto de trecircs

solenoacuteides em um campo magneacutetico estaacutetico FEM de movimento Os trecircs solenoacuteides estatildeo

deslocadosgirados um do outro por um acircngulo de 120deg (2 3 rad) de tal forma que ( ) = cos( ) ( ) = cos( + 2 3) ( ) = cos( + 4 3)

antes depois Figura 17 no processo de correccedilatildeo do fator de potecircncia do circuito puramente indutivo acrescenta-se reatacircncia capacitiva ao circuito ateacute que = ( ) = minus ( ) e ( ) = 0

494

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

sendo a amplitude das voltagens nas fases medida em relaccedilatildeo agrave terra ou ao quarto fio do sistema

chamado de neutro (que eacute aterrado) e a frequecircncia angular No Brasil na

rede domeacutestica distribuiacuteda atraveacutes dos postes vale cong 180 V = radic2 cong 127 V e = 2 = 2 (60) cong 377 rads A imagem

ao lado mostra os trecircs fios correspondentes agraves trecircs fases em uma rede de

distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica Nos trecircs fios superiores da rede a voltagem

eacute alta cong 10 kV Essa voltagem eacute reduzida atraveacutes de transformadores

para o niacutevel da rede domeacutestica (quatro fios inferiores 3 fases+neutro) cong 180 V

Um sistema bifaacutesico eacute conectado simultaneamente a duas fases Vamos calcular a amplitude da

voltagem entre duas fases por exemplo ∆ ( ) = ( ) minus ( ) A soluccedilatildeo algeacutebrica desse problema eacute ∆ ( ) = cos( + ) = ( ) minus ( ) = cos( + 2 3) minus cos( )

eacute a amplitude que estamos procurando eacute o acircngulo de fase de ∆ ( ) Tendo em vista a identidade cos( + ) = cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) segue que cos( + 2 3) = cos( ) cos(2 3) minus sen( ) sen(2 3) Portanto cos( + 2 3) = cos( ) (minus12) minus sen( ) radic32

Concluindo cos( + 2 3) = minus 2 cos( ) + radic3 sen( )

Segue que

∆ ( ) = minus 2 cos( ) + radic3 sen( ) minus cos( ) = minus 2 3 cos( ) + radic3 sen( )

Colocando o fator radic3 em evidecircncia obtemos

∆ ( ) = minus 2 radic3 radic3 cos( ) + sen( ) = radic3 minusradic32 cos( ) minus 12 sen( )

Como cos( 2 + 3) = minusradic32 e sen( 2 + 3) = 12 obtemos finalmente ∆ ( ) = radic3 cos( + 2 + 3) Portanto concluiacutemos que = radic3 e = 2 + 3 Na rede domeacutestica cong 180 V e cong 312 V

O valor eficaz da voltagem entre duas fases eacute ∆ = radic2 = radic3radic2 cong 220 V

495

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Os aparelhos bifaacutesicos conectados simultaneamente a duas fases da rede eleacutetrica satildeo alimentados

com uma DDP efetiva de 220 V Os aparelhos monofaacutesicos conectados a uma fase (qualquer) e ao neutro satildeo

alimentados com uma DDP efetiva de 127 V Como 220127 cong 173 podemos obter a mesma potecircncia no

sistema bifaacutesico com uma corrente 173 vezes menor que no sistema monofaacutesico Com isso reduzimos as

perdas por efeito Joule por um fator (173) cong 3 e podemos fazer instalaccedilotildees com fios mais finos

Agora para comparaccedilatildeo calcularemos novamente a amplitude utilizando o meacutetodo dos fasores A

Figura abaixo mostra o diagrama fasorial com os fasores correspondentes agraves voltagens ( ) ( ) e ( ) ( e ) em um instante particular em que ( ) = (e ( ) = ( ) = minus sen(30deg) = minus 2 note que ( ) + ( ) + ( ) = 0) Na segunda Figura mostramos o fasor ∆ correspondente agrave voltagem fase-fase ∆ ( ) = ( ) minus ( ) nesse mesmo instante determinado atraveacutes da regra do paralelogramo

Note que metade desse paralelogramo

eacute um triacircngulo isoacutesceles com dois lados de

tamanho e base de tamanho Os dois

acircngulos iguais desse triacircngulo valem 30deg Portanto obtemos novamente

cos(30deg) = radic32 = 2 rArr = radic3

Vemos tambeacutem nesse diagrama fasorial

que = 2 + 3 rad (150deg) ou seja o fasor ∆ estaraacute sempre adiantado

em relaccedilatildeo ao fasor por um acircngulo de 150deg Na Figura ao lado mostramos o fasor soma + cuja amplitude

vamos chamar de Note o triacircngulo isoacuteceles (metade do paralelogramo) que

tem dois lados de tamanho base de tamanho e dois acircngulos iguais que

valem 60deg Desse triacircngulo obtemos

cos(60deg) = 12 = 2 rArr =

Portanto mostramos que as trecircs voltagens se anulam mutuamente (para todos os instantes ) ( ) + ( ) + ( ) = 0

Concluiacutemos que em um sistema eleacutetrico trifaacutesico equilibrado ou seja em que as trecircs fases estatildeo

conectadas a circuitos iguais (de mesma impedacircncia) as correntes nas trecircs fases tambeacutem se anulam

mutuamente (natildeo haacute necessidade de um fio neutro nas redes de transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de alta voltagem) ( ) + ( ) + ( ) = 0

30deg

30deg minus

∆ 30deg

30deg

30deg +

496

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

2) Considere um circuito RLC seacuterie A frequumlecircncia de ressonacircncia desse circuito eacute = 1radic A fonte senoidal

que alimenta esse circuito possui amplitude e frequumlecircncia = 100 Vamos discutir um pouco sobre esse

circuito

A reatacircncia indutiva eacute

= = 100 = 100radic = 100

A reatacircncia capacitiva eacute

= 1 = 1100 = 1100radic = 1100

Vemos que o circuito eacute (muito) predominantemente indutivo pois = 10

A impedacircncia do circuito eacute

= + ( minus ) = + (10 minus ) cong +

O acircngulo de fase eacute tan( ) = minus = 10 minus cong

Mesmo sendo (muito) predominantemente indutivo e estando muito longe da ressonacircncia este circuito pode

ainda apresentar um comportamento resistivo se ≫ pois nesse caso valem

cong + rarr tan( ) cong rarr 0

Esse seria o caso por exemplo de um chuveiro eleacutetrico Por isso para um chuveiro eleacutetrico podemos usar que

lang ( )rang = =

A Figura ao lado ilustra o diagrama fasorial para esse circuito Nele

observamos que o fasor eacute muito maior que o fasor (deveria ser 10 vezes

maior) mas mesmo assim eacute muito menor que pois a resistecircncia eacute por

hipoacutetese muito maior que A ideia eacute simples mesmo estando longe da

ressonacircncia posto que = 100 o circuito ainda possui um comportamento

basicamente resistivo pois sua resistecircncia eleacutetrica eacute muito maior que suas

reatacircncias Esse eacute o caso de muitos aparelhos cujo funcionamento se baseia no efeito Joule como chuveiros

eleacutetricos ferros de passar roupa secadores de cabelo etc

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  • ch1Fpdf
  • ch2Bpdf
  • ch3Bpdf
  • ch4Apdf
  • ch5Dpdf
  • ch6Apdf
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  • ch8Bpdf
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  • ch11Bpdf
Page 2: AULAS DE - UFV

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash versatildeo 31

O texto que segue nasceu principalmente do objetivo de registrar as minhas aulas de FIS 203 Trata-

se basicamente de uma transcriccedilatildeo de minhas aulas com algumas (talvez muitas muitas mesmo)

extensotildees que o tempo curto de aula proiacutebe mas que o papelPDF permite O conteuacutedo eacute basicamente

aquele apresentado nos livros jaacute consagrados no segmento como as coleccedilotildees Halliday amp Resnick e

Young amp Freedman e que faz parte da disciplina FIS 203 na UFV Apenas a forma de apresentar esse

conteuacutedo eacute original eacute a forma que encontreiconstruiacute ao longo dos anos levando em conta minha visatildeo

proacutepria do tema e a resposta vinda dos estudantes que percebi nas aulas e nas muitas (muitas mesmo)

avaliaccedilotildees (provas e testes) que elaborei e corrigi

Uma coisa que aprendi nesses anos eacute que nada eacute trivial nada eacute oacutebvio nada eacute simples Nesse

sentido eacute melhor pecar pelo excesso do que pela falta o que muitas vezes infelizmente o tempo

restrito de aula natildeo permite Natildeo havendo essa restriccedilatildeo aqui deixei de lado a pretensatildeo de escrever

um texto sinteacutetico enxuto e elegante (jaacute haacute vaacuterios deles por aiacute) e preferi um texto mais longo e algumas

vezes repetitivo enfatizando os pontos que acredito dada minha experiecircncia serem merecedores de

mais atenccedilatildeo por parte dos alunos Os exemplos exibidos no texto pretendem convencer o estudante de

que a fiacutesica em particular o eletromagnetismo estaacute (muito) presente em nossas vidas e de que vale a

pena portanto o esforccedilo para compreendecirc-la

Procurei combater a ideia muitas vezes disseminada de que a fiacutesica eacute uma espeacutecie de jogo de

adivinhaccedilatildeo um quebra-cabeccedilas um teste de QI em que cada problema proposto requer uma espeacutecie

de truque de atalho de toque de gecircnio de foacutermula maacutegica para ser resolvido Enfatizo o contraacuterio a

fiacutesica trata do mundo real (muitas vezes complexo) e todos os problemas propostos podem ser

resolvidos com a aplicaccedilatildeo sistemaacutetica dos conceitos e do formalismo Um pouco de bom-senso sempre

ajuda

Natildeo houve nenhuma revisatildeo do texto ou sugestatildeo por parte de terceiros Os errosdeslizes

seratildeo corrigidos pelo autor com o passar dos anos (o arquivo PDF eacute atualizado com frequumlecircncia

corrigindo alguns erros e melhorandocompletando o texto) Esta eacute a que estou chamando de 3ordf ediccedilatildeo

ou versatildeo 31 revisada em 2021

Original disponiacutevel em httpftpufvbrdpf203textohtm

Prefaacutecio

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash versatildeo 31

Iacutendice de Capiacutetulos

1 Carga eleacutetrica - forccedila - campo eleacutetrico 1

2 Lei de Gauss 69

3 Potencial eletrostaacutetico 134

4 Capacitores e dieleacutetricos 175

5 Correntes eleacutetricas 214

6 Circuitos eleacutetricos 261

7 Forccedila magneacutetica 294

8 O campo magneacutetico 335

9 Induccedilatildeo eletromagneacutetica 379

10 Indutacircncia 418

11 Circuitos de corrente alternada 454

1

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

1 Carga eleacutetrica ndash Forccedila ndash Campo eleacutetrico

11 Carga eleacutetrica e lei de Coulomb

O eletromagnetismo se concentra na descriccedilatildeo de uma interaccedilatildeoforccedila fundamental da natureza a

interaccedilatildeo eletromagneacutetica Atraveacutes dessa interaccedilatildeo uma porccedilatildeo de mateacuteria eacute capaz de exercer forccedila sobre

outra porccedilatildeo de mateacuteria que estaacute distante dela a interaccedilatildeo se propaga atraveacutes do espaccedilo

Jaacute estamos habituados a conviver com uma interaccedilatildeoforccedila que possui essas caracteriacutesticas a

interaccedilatildeo gravitacional ou seja a forccedila peso O planeta Terra atrai todas as massas que estatildeo na sua

vizinhanccedila desde uma simples folha de aacutervore ateacute a Lua e o Sol Assim conseguimos compreender os

movimentos desses corpos a queda das folhas e as oacuterbitas dos planetas e das luas Dessa forma a gravidade

explica uma grande classe de fenocircmenos que ocorrem na natureza e nos permite construir maacutequinas que

funcionam graccedilas a ela (ou apesar dela) Entendemos as oacuterbitas as mareacutes a formaccedilatildeo dos planetas das

estrelas e das galaacutexias Outros fenocircmenos natildeo podem ser descritos pela gravidade e ficam aguardando uma

descriccedilatildeoexplicaccedilatildeo Para que avancemos precisamos entender que haacute outras interaccedilotildeesforccedilas na natureza

Como explicar a coesatildeo de um aacutetomo O que manteacutem os eleacutetrons viajando em torno do nuacutecleo O que

manteacutem os aacutetomos unidos dentro de um bloco de mateacuteria Por que a agulha de uma buacutessola aponta sempre

na mesma direccedilatildeo norte-sul Como explicar o funcionamento de um motor eleacutetrico de um chuveiro eleacutetrico

de um telefone celular A gravidade se cala quanto a isso satildeo fenocircmenos no domiacutenio de outra

interaccedilatildeoforccedila Essa interaccedilatildeoforccedila eacute o tema do eletromagnetismo

Podemos comeccedilar especulando sobre o que eacute mateacuteria Para responder essa pergunta devemos agir

como uma crianccedila que desmonta e estraccedilalha um brinquedo para ver o que tem dentro do que ele eacute feito

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Pode ser que a crianccedila natildeo tenha forccedila suficiente para desmembrar as peccedilas menores e tenha que pedir ajuda

aos pais que tem mais forccedila para ajudaacute-lo na tarefa Essa eacute basicamente a ideia do que a fiacutesica de partiacuteculas

faz quebrar a mateacuteria para ver do que ela eacute feita Para isso satildeo construiacutedos os aceleradores de partiacuteculas

onde a mateacuteria eacute bombardeada por feixes de partiacuteculas (mateacuteria) e se quebra revelando seu interior Para

quebrar as partes menores precisamos de mais forccedila e por isso essa eacute uma ciecircncia que avanccedila agrave medida que

novos aceleradores (maiores e mais caros) vatildeo ficando acessiacuteveis O primeiro experimento desse tipo foi feito

por Rutherford (cong1911) ele bombardeou uma folha fina de ouro com um feixe de partiacuteculas (gaacutes Heacutelio

ionizado) e viu o que saiu laacute de dentro Ele descobriu a existecircncia dos nuacutecleos atocircmicos Se quebrarmos o

nuacutecleo descobrimos que eles satildeo feitos de proacutetons e necircutrons Se quebrarmos os proacutetons e os necircutrons

Enfim vamos ficar por aqui por que essa histoacuteria eacute longa e eacute o tema da fiacutesica de partiacuteculas Para o que vai nos

interessar nesse curso podemos nos contentar com a ideia baacutesica de que a mateacuteria eacute feita de partiacuteculas

minuacutesculas (mas de tamanho natildeo nulo) eleacutetrons proacutetons e necircutrons Os proacutetons e necircutrons se aglomeram

para formar os nuacutecleos atocircmicos e esses nuacutecleos se juntam aos eleacutetrons para formar os aacutetomos que se juntam

para formar as moleacuteculas que se juntam para formar o que entendemos como mateacuteria em um niacutevel

macroscoacutepico Essas partiacuteculas possuem massa mostradas na Tabela 1 e portanto se atraem mutuamente

pela gravidade Note que o proacuteton possui basicamente a mesma massa que o necircutron ( cong mas de fato lt ) e que ambos satildeo muito mais massivos que o eleacutetron ( cong 1840 )

Tabela 1 Massas das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria

Considere que dentro de um aacutetomo de Hidrogecircnio (nuacutemero atocircmico Z=1) haacute um eleacutetron viajando em

torno de um proacuteton a uma distacircncia (raio) meacutedia de cong 05 times 10 m ou seja cong 05Å (Å = angstrom)

Vamos usar a lei de gravitaccedilatildeo de Newton para estimar a forccedila de atraccedilatildeo gravitacional muacutetua entre o

proacuteton e o eleacutetron dentro do aacutetomo (considerando que cong 667 times10 Nm2kg2)

= cong 41 times 10

Analogamente a energia potencial gravitacional do aacutetomo seria

= minus cong minus20 times10

partiacutecula massa (kg)

eleacutetron cong 9109 times 10

proacuteton cong 1673 times 10

necircutron cong 1674 times 10

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Essa eacute a energia que eacute liberada (na forma de energia cineacutetica) quando essas duas massas e se

aproximam a partir de uma separaccedilatildeo inicial infinita (partindo do repouso) Para separar novamente essas

duas massas devemos fornecerdevolver a esse sistema a energia minus (vencendo a atraccedilatildeo entre elas)

Estamos desprezando aqui as energias cineacuteticas orbitais das duas massas afinal elas natildeo estatildeo estaacuteticas

dentro do aacutetomo Se considerarmos essas energias cineacuteticas que satildeo positivas concluiremos que a energia

necessaacuteria para separardesligar as duas massas seraacute ainda menor que minus = | | Se esse aacutetomo faz parte de um gaacutes de Hidrogecircnio na temperatura ambiente ( cong 300 K) a energia

cineacutetica dos aacutetomos nesse gaacutes eacute da ordem de sendo a constante de Boltzmann ( cong 1381 times 10

JK) ou seja cong 41 times 10

Vemos portanto que | | cong 20 times10

Dessa razatildeo gigantesca concluiacutemos que se dependesse da atraccedilatildeo gravitacional para garantir a coesatildeo

dos aacutetomos seria impossiacutevel a existecircncia do gaacutes Hidrogecircnio na temperatura ambiente pois as colisotildees entre

os aacutetomos teriam energias muito muito mesmo mais que suficientes para ionizaacute-los separando eleacutetrons e

proacutetons No entanto sabemos que o gaacutes Hidrogecircnio pode existir sem dificuldades na temperatura ambiente

Concluindo esse exemplo simples e muitos outros que poderiacuteamos descrever mostram que a

gravidade natildeo deve ter papel relevante na explicaccedilatildeo da estabilidade dos aacutetomos e da mateacuteria em geral

soacutelidos liacutequidos e gases A gravidade eacute muito fraca nesse contexto Outra forccedila e outra energia devem estar

associadas a essa estabilidade A gravidade eacute importante em sistemas que envolvem massas (pelo menos uma

delas) gigantescas como no caso da interaccedilatildeo entre o planeta Terra e uma folha de aacutervore que resulta no

peso da folha (mas a atraccedilatildeo gravitacional entre duas folhas de aacutervore por sua vez eacute despreziacutevel)

Experimentos com as partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria como o experimento da gota de oacuteleo de

Millikan mostram que aleacutem da massa elas possuem outra propriedade a carga eleacutetrica e que cargas eleacutetricas

podem exercer forccedilas umas sobre as outras uma forccedila eletromagneacutetica Na Tabela 2 mostramos os valores

das cargas eleacutetricas das partiacuteculas constituintes da mateacuteria A carga eleacutetrica da mateacuteria em geral em um niacutevel

macroscoacutepico eacute apenas um reflexo da carga eleacutetrica intriacutenseca de seus constituintes microscoacutepicos

A unidade de carga eleacutetrica eacute o coulomb (siacutembolo C) em homenagem ao cientista pioneiro Charles

Augustin de Coulomb Depois podemos entender melhor essa unidade mas agora basta entender que ela

expressa a quantidade de carga eleacutetrica de um corpo qualquer assim como o kg (quilograma) expressa a

quantidade de massa

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Partiacutecula massa (kg) carga eleacutetrica (C)

eleacutetron cong 9109 times 10 cong minus1602 times 10

proacuteton cong 1673 times 10 = minus

necircutron cong 1674 times 10 = 0

Tabela 2 Massas e cargas eleacutetricas das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria

O proacuteton e o eleacutetron possuem cargas eleacutetricas (exatamente) de mesmo moacutedulo mas de sinais

contraacuterios O necircutron natildeo possui carga eleacutetrica ele eacute eletricamente neutro Partiacuteculas que possuem carga

eleacutetrica exercem forccedilas entre si forccedilas eleacutetricas e magneacuteticas O necircutron natildeo fazsofre forccedilas eleacutetricas (mas

fazsofre forccedilas magneacuteticas pois ele eacute um imatilde microscoacutepico) A mateacuteria eacute composta dessas partiacuteculas que

possuem carga eleacutetrica e portanto podemos esperar que essa forccedila seja observada em um niacutevel

macroscoacutepico uma porccedilatildeo de mateacuteria pode exercer forccedila eletromagneacutetica em outra porccedilatildeo de mateacuteria Essa

forccedila eacute independente da gravidade e descreveexplica fenocircmenos que a gravidade natildeo descreveexplica

Agora podemos comeccedilar a entender a coesatildeo em um aacutetomo proacutetons e eleacutetrons se atraem

mutuamente atraveacutes de forccedilas eleacutetricas porque possuem cargas eleacutetricas de sinais opostos Imagine entatildeo

um eleacutetron livre na vizinhanccedila de um proacuteton Eles vatildeo se atrair mutuamente e se aproximar podendo formar

um objeto eletricamente neutro uma espeacutecie (mas natildeo exatamente) de sistema planetaacuterio em miniatura um

aacutetomo de Hidrogecircnio (nuacutemero atocircmico Z=1) Esse aacutetomo por ser eletricamente neutro natildeo exerceraacute mais

forccedila eleacutetrica significativa sobre outras partiacuteculas carregadas em sua vizinhanccedila e seraacute estaacutevel (mas forccedilas

eleacutetricas residuais ainda poderatildeo formar por exemplo o Hidrogecircnio molecular H2 e outros compostos

quiacutemicos conforme discutiremos mais adiante) Imagine dois proacutetons juntos formando um nuacutecleo com Z=2

Esse nuacutecleo vai atrair eleacutetrons em sua vizinhanccedila e quando ele ldquocapturarrdquo dois eleacutetrons vai se tornar

eletricamente neutro um aacutetomo de Heacutelio (Z=2) Esse aacutetomo natildeo exerceraacute mais forccedila eleacutetrica significativa

sobre outras partiacuteculas carregadas em sua vizinhanccedila e seraacute estaacutevel (um gaacutes nobre muito pouco reativo)

Assim podemos entender a formaccedilatildeo dos aacutetomos Z eleacutetrons viajando em torno de um nuacutecleo com Z proacutetons

produzindo uma estrutura minuacutescula (com tamanho da ordem de 1Å) eletricamente neutra e estaacutevel Resta

calcular a intensidade da forccedila e da energia associadas a essa ligaccedilatildeo eleacutetronnuacutecleo para mostrar que ela eacute

forte e estaacutevel diferentemente do que concluiacutemos anteriormente sobre a ligaccedilatildeo gravitacional que eacute fraca e

instaacutevel frente agraves perturbaccedilotildees teacutermicas em um gaacutes Faremos isso em breve apoacutes termos conhecimento da lei

de forccedila entre proacutetons e eleacutetrons a lei de Coulomb

Vocecirc poderia se perguntar sobre a estabilidade do nuacutecleo como explicar que proacutetons que se repelem

mutuamente podem ficar estaacuteveis dentro de uma regiatildeo minuacutescula (com tamanho da ordem de 10 Å) A

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

gravidade Natildeo A gravidade entre as partiacuteculas constituintes da mateacuteria eacute despreziacutevel Esse questionamento

vai levar agrave descoberta de outra forccedila da natureza a chamada forccedila forte ou forccedila nuclear Proacutetons e necircutrons

se atraem mutuamente por accedilatildeo dessa forccedila e ela eacute capaz de equilibrar a repulsatildeo eleacutetrica entre os proacutetons

Agora podemos entender o papel dos necircutrons dentro do nuacutecleo Eles natildeo participam da interaccedilatildeo eleacutetrica

natildeo se atraem nem se repelem e nem atraem ou repelem os proacutetons Mas pela interaccedilatildeo forte eles atraem os

proacutetons e se atraem mutuamente Os proacutetons por sua vez atraem os necircutrons e tambeacutem se atraem

mutuamente pela accedilatildeo da forccedila forte Os necircutrons conferem entatildeo estabilidade ao nuacutecleo funcionando como

uma espeacutecie de cola Grosso modo um nuacutecleo com Z proacutetons conteacutem aproximadamente Z necircutrons A

natureza permite uma pequena variaccedilatildeo nesse nuacutemero de necircutrons dando origem aos diferentes isoacutetopos de

um mesmo elemento quiacutemico O carbono (C) Z=6 por exemplo possui dois isoacutetopos estaacuteveis 12C6 e 13C6 com

6 e 7 necircutrons no nuacutecleo respectivamente Haacute ainda um isoacutetopo natural instaacutevel (radioativo) o 14C6 com 8

necircutrons O 14C6 vai decaindo (se transformando) em Nitrogecircnio (Z=7) 14N7 com o passar do tempo emitindo

eleacutetrons que satildeo chamados nesse contexto de radiaccedilatildeo beta Esse decaimento daacute origem a um processo de

dataccedilatildeo de materiais orgacircnicos (foacutesseis) Deixaremos essa discussatildeo por aqui porque o estudo da forccedila forte eacute

tema da fiacutesica nuclear

A mateacuteria sendo composta de aacutetomos eletricamente neutros conteacutem em seu interior proacutetons e

eleacutetrons em iguais quantidades formando uma estrutura macroscoacutepica eletricamente neutra A neutralidade

eleacutetrica se daacute globalmente pois a carga eleacutetrica total em um corpo eacute nula e localmente pois a neutralidade

ocorre em todos os pontos do corpo O processo de eletrizaccedilatildeo de um corpo eacute a quebra dessa neutralidade

eleacutetrica atraveacutes da adiccedilatildeoremoccedilatildeo de cargas eleacutetricas (proacutetons eou eleacutetrons) ou do simples rearranjo das

cargas eleacutetricas no corpo como ocorre nos processos de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Onde haacute quebra de

neutralidade eleacutetrica dizemos que haacute um excesso de cargas eleacutetricas (um excesso de proacutetons ou de eleacutetrons)

Estando os proacutetons confinados aos nuacutecleos atocircmicos os processos de eletrizaccedilatildeo se datildeo comumente pela

adiccedilatildeosubtraccedilatildeomovimentaccedilatildeo de eleacutetrons no corpo inicialmente neutro Dessa forma podemos arrancar

eleacutetrons de um corpo e tornaacute-lo carregado positivamente (pelo excesso de proacutetons que sobrou) ou depositar

eleacutetrons nesse corpo e tornaacute-lo carregado negativamente Podemos tambeacutem deslocar eleacutetrons para uma

regiatildeo do corpo tornando essa regiatildeo carregada negativamente e outra regiatildeo oposta carregada

positivamente (pelo deacuteficit de eleacutetrons) Eletrizaccedilatildeo eacute portanto a criaccedilatildeo de qualquer distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas diferente do que seria a neutralidade eleacutetrica em todos os pontos do corpo

Nessa discussatildeo eacute interessante distinguir os dois principais tipos de materiais que existem na natureza

com relaccedilatildeo agrave forma como as cargas eleacutetricas podem ou natildeo se movimentar dentro desses materiais Nos

materiais condutores de eletricidade existem partiacuteculas com carga eleacutetrica que podem se mover livremente

dentro deles Um exemplo simples eacute o de uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal (NaCl) O sal dissolvido se dissocia em iacuteons

Na+ e Cl- e esses iacuteons podem fluir dentro da soluccedilatildeo Chamamos essas partiacuteculas carregadas que possuem

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

mobilidade de ldquoportadores de carga eleacutetricardquo Na soluccedilatildeo de aacutegua e sal os portadores de carga satildeo os iacuteons Na+

e Cl- Nos metais que satildeo condutores de eletricidade por excelecircncia os portadores de carga satildeo eleacutetrons A

aacutegua pura por outro lado eacute um isolante eleacutetrico pois ela natildeo possui portadores de carga Se natildeo haacute

portadores de carga natildeo haacute movimentaccedilatildeofluxo de cargas e o material eacute um isolante eleacutetrico Um gaacutes por

exemplo pode se converter de isolante (posto que os aacutetomos satildeo eletricamente neutros) em condutor se os

aacutetomos que compotildeem esse gaacutes forem ionizados Isso ocorre por exemplo em uma lacircmpada fluorescente que

emite luz pela ionizaccedilatildeo de um gaacutes e tambeacutem em uma tempestade em que o ar inicialmente isolante eacute

ionizado e conduz um raio (cargas eleacutetricas) entre as nuvens e a terra

Nos materiais soacutelidos isolantes os proacutetons e eleacutetrons estatildeo todos bem localizados em suas posiccedilotildees no

interior dos aacutetomos que compotildeem o material Um eleacutetron pertence a um uacutenico aacutetomo ou eacute compartilhado por

dois aacutetomos vizinhos e natildeo possui nenhuma mobilidade ou seja esse eleacutetron natildeo pode migrar para outro

aacutetomo mais distante Ele pode apenas se deslocar um pouco na vizinhanccedila do(s) aacutetomo(s) a(aos) qual(quais)

ele pertence Exemplos de materiais soacutelidos isolantes satildeo o plaacutestico o vidro e a madeira seca Nos materiais

soacutelidos condutores como os metais os proacutetons continuam fixos dentro dos nuacutecleos atocircmicos circundados

pelos eleacutetrons das camadas mais proacuteximas desses nuacutecleos formando um iacuteon Os eleacutetrons das camadas mais

externas nos aacutetomos por sua vez possuem mobilidade ou seja eles podem migrar de um aacutetomo para outro

aacutetomo vizinho fluindo no material Nos metais como o cobre e o alumiacutenio existe portanto uma estrutura

razoavelmente riacutegida de iacuteons positivos (um cristal) imersa em uma nuvem (ou um gaacutes) de eleacutetrons livres (a

carga eleacutetrica total eacute zero) Essa eacute a chamada ligaccedilatildeo metaacutelica

Os processos de eletrizaccedilatildeo acontecem ou iniciam nas superfiacutecies dos corpos e por isso satildeo

processos de difiacutecil descriccedilatildeo ou previsatildeo A superfiacutecie de um bloco de vidro por exemplo natildeo eacute composta

apenas de vidro Nessa superfiacutecie encontram-se vaacuterias impurezas depositadas aleacutem de umidade Por isso

mesmo que o vidro seja um isolante as cargas eleacutetricas em sua superfiacutecie podem ter alguma mobilidade Mas

cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie limpa de um isolante ficam em geral no mesmo lugar onde elas satildeo

depositadas e por isso satildeo chamadas de cargas estaacuteticas No caso dos condutores eacute diferente Cargas eleacutetricas

depositadas na superfiacutecie de um condutor podem fluir nessa superfiacutecie e tambeacutem fluir para dentro do volume

do condutor Os excessos de carga eleacutetrica podem mudar livremente de lugar buscando eles mesmos suas

proacuteprias posiccedilotildees de equiliacutebrio na superfiacutecie e dentro do material condutor

Sendo os eleacutetrons as partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica e de mais faacutecil movimentaccedilatildeo dentro da

mateacuteria (soacutelida) os processos de eletrizaccedilatildeo (quebra da neutralidade eleacutetrica) se datildeo geralmente atraveacutes de

transporte de eleacutetrons dentro do proacuteprio corpo ou de um corpo A para outro corpo B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A eletrizaccedilatildeo por contato se daacute como o proacuteprio nome jaacute diz pelo simples contato entre as superfiacutecies

dos corpos A e B O processo de atritar uma superfiacutecie na outra intensifica o contato e aumenta o transporte

de eleacutetrons Por isso esse processo eacute muitas vezes chamado de eletrizaccedilatildeo por atrito Mas trata-se de fato de

eletrizaccedilatildeo por contato (tambeacutem chamado de triboeletrificaccedilatildeo) Esse processo ocorre por exemplo quando

esfregamos um pente no cabelo e observamos que este passa a atrair pequenos pedacinhos de papel O pente

recebe eleacutetrons ou doa eleacutetrons (eacute difiacutecil prever o que vai ocorrer) dopara o cabelo e se torna eletrizado A

partir daiacute o pente eletricamente carregado (em sua superfiacutecie) passa a exercer forccedila sobre pedacinhos de

papel conforme discutiremos mais adiante O processo de triboeletrificaccedilatildeo eacute bastante complexo mas

basicamente ele se daacute porque os eleacutetrons em um corpo A estatildeo em um potencial quiacutemico diferente dos

eleacutetrons em outro corpo B e daiacute havendo o contato entre esses dois corpos o transporte de eleacutetrons se

estabelece e continua ateacute que os dois potenciais quiacutemicos se igualem (o

potencial quiacutemico eacute o anaacutelogo da temperatura se pensamos na troca de

ldquopartiacuteculasrdquo ao inveacutes de ldquocalorrdquo) A triboeletrificaccedilatildeo pode ter efeitos

indesejados como no caso de aviotildees que acumulam grandes quantidades

de carga devido ao seu arraste com o ar circundante Esses acuacutemulos de

carga eleacutetrica podem interferir nas telecomunicaccedilotildees e causar a queima de

equipamentos eletrocircnicos incecircndios e explosotildees devido a uma descarga

eleacutetrica que porventura possa ser produzida

O gerador de Van de Graaff eacute um equipamento de laboratoacuterio que

usa a eletrizaccedilatildeo por atrito para construir grandes concentraccedilotildees de cargas

estaacuteticas acumuladas em uma casca esfeacuterica metaacutelica A Figura 1 ao lado

mostra um pequeno gerador desses usado em laboratoacuterios de ensino

Basicamente um motor move uma correia de material isolante que eacute

eletrizada por atrito e deposita cargas eleacutetricas em uma casca esfeacuterica

metaacutelica Deixando o aparelho ligado por um bom tempo pode-se

acumular grandes quantidades de carga e observar os efeitos disso como

centelhas que saltam da esfera metaacutelica para objetos proacuteximos ou mesmo

para o ar Na Figura 1 podemos ver tambeacutem o proacuteprio Van de Graaff

demonstrando seu protoacutetipo de gerador que podia produzir ateacute um milhatildeo de volts (imagem retirada do

artigo A history of the Van de Graaff generator F A Furfari ieeexploreieeeorgdocument1380320) Esse

gerador tem muitas aplicaccedilotildees praacuteticas como na aceleraccedilatildeo de partiacuteculas para produccedilatildeo de raios X e no teste

de isoladores eleacutetricos de alta voltagem

Outro processo de eletrizaccedilatildeo eacute o de induccedilatildeo A palavra induccedilatildeo eacute usada aqui com o sentido de um

efeito que eacute causado a certa distacircncia sem contato fiacutesico entre objetos (no cotidiano tambeacutem usamos esse

Figura 1 geradores de Van de Graaff

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

termo com esse sentido como na frase ldquoele me induziu ao errordquo) A ideia eacute que se aproximarmos um objeto A

que jaacute possui um excesso de cargas eleacutetricas (positivas ou negativas) de outro objeto B as forccedilas de

atraccedilatildeorepulsatildeo das cargas eleacutetricas de A nas cargas eleacutetricas em B vatildeo produzir em B uma distribuiccedilatildeo de

cargas eleacutetricas uma eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Se B for um corpo isolante a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo eacute causada

pela polarizaccedilatildeo dos aacutetomosmoleacuteculas conforme discutiremos no capiacutetulo 4 quando estudarmos capacitores

e dieleacutetricos Se B for um condutor a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo eacute causada pela migraccedilatildeomovimentaccedilatildeo de

eleacutetrons dentro do corpo B que estaacute sendo eletrizado

Podemos usar a eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo para carregar eletricamente o objeto condutor B se

utilizarmos essa movimentaccedilatildeo das cargas eleacutetricas em B para nos livrarmos de algumas cargas nele

tornando-o eletricamente carregado

A Figura 2 abaixo ilustra esse processo de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo em que um pente jaacute carregado

positivamente em sua superfiacutecie (talvez porque ele foi atritado no cabelo de algueacutem e perdeu alguns eleacutetrons)

eacute usado para eletrizar e carregar eletricamente duas esferas metaacutelicas que eram eletricamente neutras (note

que natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas)

A Figura 2 mostra uma sequecircncia temporal com as seguintes etapas i) O pente carregado

positivamente (em sua superfiacutecie) se aproxima de uma esfera metaacutelica e polariza essa esfera (forma dois

poacutelos duas regiotildees com cargas de sinais opostos) pois eleacutetrons no metal satildeo atraiacutedos pelo pente se movem e

se concentram em uma face da esfera que fica carregada negativamente (minus ) (lembre-se que nos metais haacute

um manancial de eleacutetrons que podem fluir livremente dentro deles) Na face oposta criou-se um deacuteficit de

eleacutetrons e ela se tornou positivamente carregada ( ) A esfera (azul) sofreu um processo de eletrizaccedilatildeo por

induccedilatildeo (sem nenhum contato superfiacuteciesuperfiacutecie com o pente) Note que natildeo houve quebra na

neutralidade eleacutetrica da esfera azul ela continua tendo carga eleacutetrica total nula mas ela foi eletrizada pois

apresenta regiotildees (faces) que natildeo satildeo eletricamente neutras ii) Uma segunda esfera metaacutelica (verde) se

Figura 2 Um pente carregado eletricamente eacute usado para carregar duas esferas metaacutelicas atraveacutes da eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo (agrave distacircncia) Note satildeo esferas e natildeo ciacuterculos

+ +

+

+ + +

+ - - -

+ +

+

+ + +

+ - - -

+ +

- -

+ +

+

+

+

- - -

+ +

+ -

-

-

+ +

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

aproxima da primeira esfera (azul) e se polariza tambeacutem devido agrave eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo causada pela esfera

azul (minus e ) e pelo pente mais distante iii) As duas esferas se tocam e estabelece-se o contato eleacutetrico

entre elas As duas esferas satildeo agora um soacute corpo metaacutelico e os eleacutetrons fluem livremente nesse corpo

neutralizando algumas cargas positivas e o restante se posicionando nas superfiacutecies opostas devido agrave

atraccedilatildeorepulsatildeo das cargas do pente exatamente como acontecia com uma esfera apenas iv) Finalmente as

esferas metaacutelicas satildeo separadas e o pente eacute afastado pois natildeo precisamos mais dele Restam ao final duas

esferas carregadas uma positiva e outra negativa Elas foram carregadas atraveacutes da eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo

Note que a carga total nas duas esferas eacute sempre nula pois natildeo houve nenhum transporte de cargas eleacutetricas

do pente para elas

Esses corpos carregados podem natildeo se manter assim por muito tempo porque ao possuiacuterem um

excesso de carga eleacutetrica eles passam a atrair fortemente impurezas e umidade do ar circundante Ao final

esse processo de descarga que pode ser raacutepido vai levaacute-los de volta agrave neutralidade eleacutetrica Experimentos

realizados no vaacutecuo ou mesmo em um tempo mais seco evitariamretardariam essa descarga

No processo ilustrado na Figura 2 fazemos alusatildeo ao fato de que quando dois objetos metaacutelicos A e B

se tocam os excessos de carga que existem em um fluem para o outro e se dividem entre os dois cada um

ficando com uma porccedilatildeo da carga eleacutetrica total Isso ocorre basicamente porque dois condutores que se tocam

tornam-se de fato apenas um condutor e natildeo haacute razatildeo para que nesse novo condutor (A+B) qualquer excesso

de cargas eleacutetricas fique concentrado em um dos condutores apenas (A ou B) As cargas de mesmo sinal por

exemplo sempre se repelem mutuamente e elas acabam fluindo dentro do condutor e se espalhando por toda

a superfiacutecie dele (de onde elas natildeo podem escapar pois elas estatildeo ligadas a essa porccedilatildeo de mateacuteria) A Figura

3 abaixo ilustra essa ideia Um condutor A (azul) possuiacutea inicialmente um excesso de carga eleacutetrica (positiva

deacuteficit de eleacutetrons) distribuiacuteda em sua superfiacutecie (basicamente porque essas cargas se repelem mutuamente)

e outro condutor B (verde) estava eletricamente neutro No instante em que A e B se tocam as cargas que

estavam em A ldquoenxergamrdquo um novo espaccedilo onde elas podem fluir livremente e as forccedilas de repulsatildeo muacutetuas

redistribuem as cargas agora nas superfiacutecies de A e de B A carga foi dividida uma parte permaneceu em

A e uma parte ficou concentrada em B de tal forma que + =

Figura 3 No equiliacutebrio eletrostaacutetico de dois condutores em contato eleacutetrico o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior da carga eleacutetrica em excesso

+

+ + + +

+ +

+ +

+

+

+

A AB B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Fato eacute que (como em quase tudo na vida) no equiliacutebrio o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior

da carga total Provaremos isso depois usando o conceito de potencial eleacutetrico que veremos no capiacutetulo 3

Um acuacutemulo de cargas eleacutetricas em um objeto pode ser perigoso pois ao tocarmos esse objeto noacutes

vamos funcionar como sendo o condutor B (verde) ilustrado na Figura 3 e vamos receber uma descarga

eleacutetrica (se estivermos em contato eleacutetrico com a terra essa descarga seraacute ainda maior) Essa descarga um

choque eleacutetrico pode produzir vaacuterios danos ao organismo desde queimaduras associadas ao fluxo de cargas

eleacutetricas dentro da carne (ou tecidos) ateacute a morte por parada cardiacuteaca Assim sendo eacute bom que esses

acuacutemulos sejam evitados O aterramento eacute feito com esse objetivo Substitua na Figura 3 o condutor B pelo

planeta Terra e vocecirc vai entender logo como funciona um aterramento Se conectarmos o condutor A agrave terra

atraveacutes de fios e hastes condutoras enfiadas na terra (hastes de cobre enterradas) as cargas em excesso em A

vatildeo se redistribuir entre A e o planeta Terra que eacute uma bola gigantesca condutora Quem eacute maior fica com

mais carga eleacutetrica Resultado todas as cargas que estavam em A fluem para a Terra e o perigo que havia se

tocaacutessemos em A foi eliminado A Figura 4 abaixo ilustra o aterramento do corpo A que estava inicialmente

com um excesso de carga eleacutetrica positiva Ao fechar a chave S o condutor A e a Terra se tornam um condutor

apenas e o processo ilustrado na Figura 3 de redistribuiccedilatildeo dos excessos de cargas eleacutetricas se daacute Ao final no

novo equiliacutebrio eletrostaacutetico o condutor A estaacute para todos os efeitos praacuteticos descarregado

Na Figura 4 nem nos demos ao trabalho de representar as cargas eleacutetricas depositadas no

planeta Terra pois se vocecirc procuraacute-las natildeo vai encontrar O siacutembolo padratildeo para o

aterramento eacute mostrado ao lado

A carga eleacutetrica possui duas propriedades baacutesicas quantizaccedilatildeo e conservaccedilatildeo

A palavra quantizaccedilatildeo pode ser entendida aqui como se referindo a uma variaccedilatildeo natildeo-contiacutenua da

carga eleacutetrica Quacircntico eacute o oposto de contiacutenuo Uma grandeza contiacutenua eacute uma grandeza que pode assumir

qualquer valor real dentro de seu intervalo de variaccedilatildeo Por exemplo considere a distacircncia (em metros)

entre dois pontos quaisquer no espaccedilo Podemos dizer que = 1 m ou = 0123459 m ou ainda que =

m e assim por diante Podemos chutar qualquer valor representado por um nuacutemero real para eacute uma

Figura 4 Ao fechar a chave S o bloco condutor (azul) fica aterrado e seu excesso inicial de cargas eleacutetricas se esvai para a Terra

+

+ + + +

+

S S

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grandeza que varia continuamente eacute uma variaacutevel contiacutenua A carga eleacutetrica natildeo eacute assim A carga eleacutetrica eacute

quantizada ou seja soacute pode assumir valores que satildeo muacuteltiplos inteiros de um quantum ∆ Resumindo = ∆ com = ⋯ minus3minus2minus1 0 1 2 3 hellip( isin ℤ) O quantum de carga eacute exatamente a carga do proacuteton ∆= cong 1602 times10 C Portanto para um

proacuteton vale = 1 para um eleacutetron vale = minus1 e para um necircutron vale = 0 Para qualquer objeto

macroscoacutepico carregado eletricamente vale que a carga eleacutetrica dele eacute = para algum inteiro Essa

propriedade eacute facilmente entendida se aceitamos o simples fato de que a mateacuteria eacute um aglomerado de

proacutetons necircutrons e eleacutetrons Entatildeo a carga eleacutetrica de uma porccedilatildeo de mateacuteria qualquer eacute sempre = + + 0 = minus = sendo o nuacutemero total de proacutetons o nuacutemero total de eleacutetrons e o nuacutemero total de necircutrons que

compotildeem essa porccedilatildeo de mateacuteria Resumindo = minus Se a porccedilatildeo de mateacuteria possui a mesma

quantidade de proacutetons e eleacutetrons como em um aacutetomo ela eacute eletricamente neutra e = 0 Se a porccedilatildeo de

mateacuteria possui um excesso de proacutetons entatildeo = minus eacute positivo como em um iacuteon Na+ (soacutedio ionizado)

em que = 1 Se a porccedilatildeo de mateacuteria possui um excesso de eleacutetrons entatildeo = minus eacute negativo como

em um iacuteon SO4- - (iacuteon sulfato) em que = minus2

Suponha que algueacutem diga que a carga eleacutetrica acumulada em uma placa metaacutelica eacute exatamente = 0561501 times 10 C Vocecirc pode afirmar baseando-se apenas na propriedade de quantizaccedilatildeo da carga

eleacutetrica que isso eacute impossiacutevel pois a razatildeo cong 3505

estaacute longe se ser um nuacutemero inteiro (natildeo haacute meio proacuteton ou meio eleacutetron) Os fenocircmenos macroscoacutepicos

envolvem muitas vezes uma quantidade tatildeo grande de carga eleacutetrica que a quantizaccedilatildeogranulaccedilatildeo dessa

grandeza se torna imperceptiacutevel Nesse contexto a carga eleacutetrica pode ser descrita por funccedilotildees contiacutenuas ( ) ( ) e ( ) que representam sua distribuiccedilatildeo no espaccedilo Essa ideia seraacute discutida mais adiante

A outra propriedade baacutesica da carga eleacutetrica eacute que ela se conserva em um sistema isolado Carga

eleacutetrica natildeo pode ser criada e nem destruiacuteda Se em um sistema isolado haacute hoje uma carga eleacutetrica natildeo

importa o que aconteccedila com esse sistema desde que ele se mantenha isolado apoacutes mil anos a carga eleacutetrica

desse sistema seraacute A uacutenica maneira da carga eleacutetrica desse sistema mudar de valor eacute ele deixar de ser

isolado e trocar partiacuteculas eletricamente carregadas com a sua vizinhanccedila Suponha que algueacutem diga que um

necircutron ( ) pode se transformar em um proacuteton ( ) apenas Essa pessoa estaacute dizendo que a seguinte reaccedilatildeo

nuclear pode acontecer rarr

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Chamamos essa reaccedilatildeo de ldquonuclearrdquo porque e satildeo constituintes dos nuacutecleos atocircmicos e nesse sentido satildeo

eles mesmos nuacutecleos com Z=0 e A=1 e com Z=1 a A=1 (A eacute o nuacutemero de massa)

Vocecirc pode afirmar baseando-se apenas na propriedade de conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica que essa

reaccedilatildeo acima eacute impossiacutevel Isso porque a carga eleacutetrica do sistema natildeo se conservou Antes o sistema era um

necircutron e entatildeo = 0 Depois aconteceu algo com esse sistema (isolado por hipoacutetese) e ele passou a ser um

proacuteton ou seja = Absurdo pois a carga eleacutetrica do sistema aumentou Essa reaccedilatildeo natildeo pode ocorrer

Ela viola a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica Considere agora a seguinte reaccedilatildeo nuclear rarr +

Um necircutron se transforma em (ou daacute origem agrave) um proacuteton mais um eleacutetron ( ) Essa reaccedilatildeo conserva

a carga eleacutetrica pois = 0 tanto antes quanto depois da reaccedilatildeo Ela pode acontecer e acontece na natureza

Trata-se do decaimento beta do necircutron (haacute de fato mais um produto da reaccedilatildeo um neutrino que eacute

eletricamente neutro) Eacute atraveacutes dessa reaccedilatildeo que o 14C6 (Carbono 14 Z=6 e A=14) se transforma em 14N7

(Nitrogecircnio 14 Z=7 e A=14) Note que o nuacutemero atocircmico Z aumenta de uma unidade pois um necircutron no

nuacutecleo de Carbono deu origem a um proacuteton e daiacute ocorreu a transmutaccedilatildeo do Carbono em Nitrogecircnio (o

nuacutemero A permanece constante) Um eleacutetron eacute emitido pelo nuacutecleo saindo com alta velocidade Essa chuva

de eleacutetrons emitida por uma porccedilatildeo de Carbono radioativo eacute chamada de radiaccedilatildeo beta A longa exposiccedilatildeo a

esse tipo de radiaccedilatildeo pode ser perigosa pode causar queimaduras na pele cegueira e cacircncer Um processo de

determinaccedilatildeo da idade de foacutesseis se baseia nesse decaimento do 14C6 que se daacute com uma taxa bem precisa

como um reloacutegio Basicamente se sabemos a quantidade de 14C6 (ou a proporccedilatildeo 14C612C6) que havia em um

organismo hoje um foacutessil no instante em que ele morreu e medimos a quantidade de 14C6 que ele possui hoje

podemos inferir sua idade (desde quando ele morreu ateacute hoje) atraveacutes da taxa de decaimento beta do 14C6 A

quantidade de 14C6 (ou a proporccedilatildeo 14C612C6) no organismo no instante em que ele morreu eacute definida por essa

quantidade (proporccedilatildeo) na atmosfera em que ele vivia (respirava)

Partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica exercem forccedila uma sobre a outra Considere a situaccedilatildeo mais

simples a eletrostaacutetica (cargas paradas) duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas e estatildeo paradas fixadas em

suas posiccedilotildees a uma distacircncia r uma da outra (ver a Figura 5 abaixo) Qual a forccedila eleacutetrica entre elas Essa

pergunta eacute respondida pela lei de Coulomb A forccedila eleacutetrica que a partiacutecula 1 faz na partiacutecula 2 eacute

=

sendo uma constante (que depende do sistema de unidades utilizado) e um vetor unitaacuterio ao longo do eixo

que eacute o eixo que passa por e com sentido apontando de 1 para 2 A forccedila eleacutetrica que 2 faz em 1 eacute a

reaccedilatildeo

= minus

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Os experimentos mostram que se gt 0 as forccedilas estaratildeo como mostradas na Figura 5 e as

partiacuteculas se repelem mutuamente eacute o caso de dois proacutetons Se lt 0 o sinal negativo vai inverter os

sentidos das duas setas de forccedila e as partiacuteculas se atraem mutuamente eacute o caso de um proacuteton e um eleacutetron

Se pelo menos uma das partiacuteculas for eletricamente neutra entatildeo = 0 e natildeo haacute forccedila eleacutetrica entre

essas partiacuteculas eacute o caso de um proacuteton e um necircutron

No sistema internacional de unidades (SI) que eacute usado no Brasil forccedilas satildeo dadas em newtons (N)

distacircncias em metros (m) e cargas eleacutetricas satildeo dadas em coulombs (C) Dessa forma tendo definido essas trecircs

unidades podemos determinar experimentalmente o valor numeacuterico da constante na lei de Coulomb

Obteacutem-se cong 9 times 10 Nm C

Por razatildeo de conveniecircncia (natildeo tatildeo evidente) escrevemos = 14

sendo cong 8854 times 10 a chamada permissividade eleacutetrica do vaacutecuo A ideia baacutesica de se

introduzir jaacute na lei de Coulomb esse fator 4 no denominador eacute que futuramente quando aplicarmos essa lei

e outras derivadas dela a objetos de formas circulares ou esfeacutericas que satildeo formas comuns de objetos

utilizadas em sistemas eletromagneacuteticos esse fator vai desaparecer porque por exemplo a aacuterea superficial

de uma esfera de raio eacute 4 Ficamos entatildeo com a constante (permissividade eleacutetrica do vaacutecuo) que eacute

uma propriedade da interaccedilatildeo eleacutetrica que se daacute no vaacutecuo A ideia baacutesica aqui eacute que a forccedila eleacutetrica que eacute

dada por

= 14

eacute a forccedila eleacutetrica entre duas partiacuteculas que estatildeo localizadas no vaacutecuo ou seja natildeo haacute outras partiacuteculas no

espaccedilo apenas as partiacuteculas 1 e 2 Essa eacute a forccedila eleacutetrica na partiacutecula 2 Mais adiante no capiacutetulo 4 veremos

que se esse espaccedilo em que as partiacuteculas 1 e 2 estatildeo for preenchido por um meio material o ar por exemplo a

forccedila eleacutetrica na partiacutecula 2 deixa de ser dada pela expressatildeo acima Isso ocorre natildeo porque a forccedila muda

Figura 5 Duas partiacuteculas fixas em suas posiccedilotildees separadas por uma distacircncia r se atraem ou se repelem mutuamente de acordo com a lei de Coulomb Se gt 0 elas se repelem Se lt 0 elas se atraem Se = 0 natildeo haacute forccedila

14

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mas porque a partiacutecula 2 passa a sofrer outras forccedilas eleacutetricas geradas pelas partiacuteculas que compotildeem esse

meio material circundante Basicamente a forccedila eleacutetrica resultante em passa a ser

= + = 14 +

Nessa equaccedilatildeo eacute a forccedila eleacutetrica que as cargas eleacutetricas que compotildeem o meio material que ocupa o

espaccedilo (aacutetomos e moleacuteculas) fazem na partiacutecula de carga Veremos que para muitos meios materiais

simples ocupando o espaccedilo os dois termos na expressatildeo acima podem se juntar e a forccedila pode ser escrita

como na forma original da lei de Coulomb = 14

sendo a permissividade eleacutetrica desse meio material Por exemplo se e estatildeo fixas debaixo drsquoaacutegua

segue que = + Aacute = 14 + Aacute = 14 Aacute

sendo Aacute cong 80 Portanto a forccedila em embaixo da aacutegua eacute cerca de 80 vezes menor que a forccedila em

no vaacutecuo Isso ocorre por causa da polarizaccedilatildeo da aacutegua e da blindagem que ela confere agraves cargas eleacutetricas

mergulhadas nela Por isso a aacutegua eacute o solvente universal e pode por exemplo dissolver o sal de cozinha (iacuteons

Na+ e Cl-) misturado nela

Resumindo ao trocar por na lei de Coulomb a forccedila definida acima deixa de ser (apenas) a

forccedila que a partiacutecula 1 faz na partiacutecula 2 ( ) e passa a ser a forccedila (resultante) na partiacutecula 2 devido agrave

presenccedila da partiacutecula 1 (que afeta tambeacutem as cargas eleacutetricas no meio circundante) Veremos um pouco mais

desse assunto no capiacutetulo 4

Vamos voltar ao aacutetomo de Hidrogecircnio e estimar a forccedila eleacutetrica que o proacuteton faz no eleacutetron dentro

desse aacutetomo Da lei de Coulomb com cong 05Å obtemos

= 14 cong 92 times10

Comparando essa forccedila com a forccedila gravitacional que calculamos anteriormente obtemos

cong 92 times10 41 times 10 cong 22 times10

A forccedila eleacutetrica entre partiacuteculas elementares eacute muito muito mesmo maior que a forccedila gravitacional

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Dada a similaridade entre a lei de Coulomb e a lei da gravitaccedilatildeo de Newton natildeo eacute muito difiacutecil

acreditar (como seraacute mostrado no capiacutetulo 3) que a energia potencial eleacutetrica associada agrave interaccedilatildeo entre o

proacuteton e o eleacutetron no aacutetomo de Hidrogecircnio eacute

= 14 cong minus46 times10

Se quisermos (apenas) separar esse eleacutetron desse proacuteton partindo da distacircncia (e do repouso) vamos gastar

uma energia minus (e com isso o aacutetomo seraacute ionizadodesfeito)

Portanto a razatildeo entre essa energia de ligaccedilatildeo eleacutetrica e a energia cineacutetica de um aacutetomo em um gaacutes

de Hidrogecircnio agrave temperatura ambiente ( ) eacute | | cong 90 times10

Vemos que a energia teacutermica disponiacutevel no gaacutes eacute muito menor que a energia de ligaccedilatildeo eletrostaacutetica No caso

da energia potencial gravitacional tiacutenhamos obtido a razatildeo cong 20 times10 Concluindo notamos

que a forccedila eleacutetrica e a energia potencial de ligaccedilatildeo eleacutetrica satildeo muito muito mesmo maiores que a forccedila

gravitacional e a energia potencial de ligaccedilatildeo gravitacional e que portanto elas podem dar conta da

estabilidade do aacutetomo de Hidrogecircnio e tambeacutem de toda a mateacuteria As partiacuteculas na mateacuteria se ligam atraveacutes

da forccedila eleacutetrica que eacute suficientemente forte para garantir a estabilidade da mateacuteria diferentemente da

gravidade que eacute despreziacutevel nesse contexto

A forccedila eleacutetrica dada pela lei de Coulomb eacute tambeacutem chamada de forccedila eletrostaacutetica pois ela eacute a uacutenica

forccedila de origem eleacutetrica entre partiacuteculas carregadas que estatildeo estaacuteticas fixas em suas posiccedilotildees Se essas

partiacuteculas estiverem se movendo veremos mais adiante que haveraacute outras forccedilas entre essas partiacuteculas como

a forccedila magneacutetica e a forccedila associada ao campo eleacutetrico induzido A lei de Coulomb eacute portanto a base da

eletrostaacutetica o estudo de sistemas de partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica e que estatildeo fixas no espaccedilo

depositadasacumuladas em algum corpoobjeto eletrizado

Na natureza nada estaacute de fato estaacutetico e a eletrostaacutetica eacute a todo rigor uma idealizaccedilatildeo As partiacuteculas

que compotildeem a mateacuteria estatildeo sempre em agitaccedilatildeo vibrando com intensidades que dependem da

temperatura local Mas essas vibraccedilotildees satildeo muito raacutepidas de baixa amplitude e natildeo produzem nenhum

deslocamento efetivo das partiacuteculas pois elas vatildeo tanto para laacute quanto para caacute de tal forma que ao final a

interaccedilatildeo eleacutetrica entre elas se daacute como se elas estivessem de fato estaacuteticas em suas posiccedilotildees centrais de

equiliacutebrio Por isso conseguimos observar no mundo real comportamentos que satildeo previstos pela

eletrostaacutetica Aleacutem disso podemos muitas vezes considerar que os efeitos do movimento das partiacuteculas

carregadas satildeo despreziacuteveis ou que eles apenas seratildeo deixados para uma etapa posterior do estudo que

estamos realizando e assim utilizar a lei de Coulomb como uma primeira aproximaccedilatildeo para calcular a forccedila

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entre partiacuteculas que estatildeo se movendo Fazemos isso por exemplo quando usamos a lei de Coulomb para

calcular a forccedila eleacutetrica entre o eleacutetron e o proacuteton no interior de um aacutetomo de Hidrogecircnio (onde certamente

os proacutetons e eleacutetrons natildeo estatildeo estaacuteticos pois essa configuraccedilatildeo estaacutetica natildeo seria estaacutevel o eleacutetron e o

proacuteton acabariam por se fundir talvez formando um necircutron)

A Figura ao lado ilustra um modelo do que seria a visatildeo microscoacutepica da

estrutura do sal de cozinha (cloreto de soacutedio NaCl) Nessa estrutura os aacutetomos de

soacutedio (bolinhas roxas) e os aacutetomos de cloro (bolinhas verdes) se aproximam muito

de tal forma que um eleacutetron eacute transferido de um aacutetomo de soacutedio que se torna um

iacuteon Na+ para um aacutetomo de cloro que se torna um iacuteon Cl- (a mecacircnica quacircntica

explica porque isso ocorre) Esses iacuteons se atraem mutuamente pela forccedila

eletrostaacutetica de Coulomb e formam uma estrutura regular razoavelmente riacutegida e estaacutevel Nessa rede

cristalina cada iacuteon eacute circundado por seis outros iacuteons de carga oposta e se manteacutem em equiliacutebrio sob accedilatildeo

dessas vaacuterias forccedilas eletrostaacuteticas apenas balanccedilando para caacute e para laacute Toda a mateacuteria que existe aacutetomos

moleacuteculas soacutelidos liacutequidos e gases possuem propriedades micromacroscoacutepicas marcantes advindas da

interaccedilatildeo eletrostaacutetica entre seus constituintes

Podemos usar a lei de Coulomb para calcular a forccedila que uma porccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas A faz

em outra porccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas B Para isso utilizamos o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que a

forccedila resultante de vaacuterias cargas em outra carga eacute simplesmente a soma (vetorial) das forccedilas individuais

que cada uma das cargas faz em como se as outras cargas natildeo existissem Resumindo

= = 14 = 4

sendo a distacircncia entre e e um vetor unitaacuterio que aponta de para (em breve passaremos a

chamar esse vetor de no lugar de )

Considere o exemplo mostrado na Figura 6 abaixo que mostra um objeto dipolar (uma moleacutecula

polar) proacuteximo de uma carga pontual (um iacuteon)

Daqui para diante vamos adotar essa praacutetica de chamar de as cargas eleacutetricas que estamos supondo

positivas e minus as cargas eleacutetricas que estamos supondo negativas Entatildeo na Figura 6 estamos supondo gt

Figura 6 Uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) estaacute proacutexima de um iacuteon de carga

x

y

minus

d

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0 minus lt 0 e gt 0 Essa hipoacutetese sobre os sinais eacute importante apenas para que desenhemos as setas das

forccedilas atraccedilotildees e repulsotildees mas os resultados algeacutebricos obtidos satildeo vaacutelidos para quaisquer sinais das cargas

Em uma distribuiccedilatildeo dipolar (como a da moleacutecula na Figura 6 acima) duas cargas pontuais e minus

estatildeo separadas por uma distacircncia formando uma espeacutecie de haltere de cargas eleacutetricas Essa distribuiccedilatildeo

dipolar eacute muito comum na natureza em moleacuteculas que possuem centros de cargas positivo e negativo

separados entre si Eacute o caso da moleacutecula de aacutegua (H2O) cuja estrutura molecular eacute ilustrada na Figura 7 abaixo

juntamente com seu modelo de dipolo eleacutetrico

Na moleacutecula de aacutegua um aacutetomo de Oxigecircnio (Z=8) se liga com dois aacutetomos de Hidrogecircnio (Z=1)

formando uma estrutura eletricamente neutra e estaacutevel com a forma da letra V As ligaccedilotildees satildeo covalentes

significando que o Oxigecircnio e um Hidrogecircnio compartilham dois eleacutetrons entre si eleacutetrons que ficam viajando

na regiatildeo entre esses dois aacutetomos (regiatildeo indicada pelas linhas ligando os aacutetomos na estrutura molecular

mostrada na Figura 7) A interaccedilatildeo eleacutetrica (repulsatildeo) entre os quatro eleacutetrons das duas ligaccedilotildees covalentes e

os demais eleacutetrons no aacutetomo de Oxigecircnio leva finalmente a uma estrutura molecular dobrada em forma de V

(soacute a mecacircnica quacircntica pode explicar isso) Os eleacutetrons compartilhados nas ligaccedilotildees covalentes satildeo mais

atraiacutedos e passam mais tempo proacuteximos ao Oxigecircnio e essa regiatildeo fica carregada negativamente A regiatildeo

proacutexima dos Hidrogecircnios fica com excesso de proacutetons e portanto carregada positivamente (trata-se do

caraacuteter iocircnico dessa ligaccedilatildeo covalente) O resultado final eacute uma estrutura eleacutetrica dipolar como representado

na Figura 7 Dois centros de carga ( e minus ) estatildeo separados no espaccedilo por uma distacircncia A moleacutecula de

aacutegua eacute polar Em uma moleacutecula de aacutegua poderiacuteamos estimar os valores numeacutericos cong 10 C e cong 1Å

Dizemos que a moleacutecula de aacutegua eacute polar pois ela possui uma dipolaridade eleacutetrica intriacutenseca

Apenas para comparaccedilatildeo ilustramos na Figura 8 abaixo as estruturas de uma moleacutecula de CO2 (dioacutexido

de carbono) que natildeo possui dipolaridade eleacutetrica (eacute apolar) e de uma moleacutecula de CO (monoacutexido de carbono)

que assim como a moleacutecula de aacutegua possui dipolaridade eleacutetrica (eacute polar)

Figura 7 ilustraccedilotildees da forma em V de uma moleacutecula de aacutegua e do modelo dipolar de distribuiccedilatildeo de carga eleacutetrica nessa moleacutecula

O

H H

minus

1045o

Figura 8 ilustraccedilatildeo da forma retiliacutenea de uma moleacutecula de dioacutexido de carbono (CO2) Essa moleacutecula natildeo possui dipolaridade eleacutetrica (eacute apolar) A moleacutecula de monoacutexido de carbono (CO) eacute polar pois possui uma ponta + e uma ponta -

O C O

C O

+ -

+ + - -

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No CO2 assim como na aacutegua haacute duas ligaccedilotildees covalentes dessa vez entre um aacutetomo de Carbono

(Z=6) e dois aacutetomos de Oxigecircnio (Z=8) A estrutura final estaacutevel eacute linear e simeacutetrica natildeo havendo duas

regiotildeesextremidades distintas na moleacutecula com cargas opostas Natildeo haacute nesse caso a formaccedilatildeo de um dipolo

eleacutetrico A moleacutecula de CO2 eacute apolar Podemos considerar que na moleacutecula de CO2 haacute duas dipolaridades

opostas que se cancelam mutuamente ou equivalentemente que o centro das duas cargas negativas (anaacutelogo

ao centro de massa) estaacute por simetria exatamente no ponto meacutedio entre essas cargas ou seja no aacutetomo C

onde estaacute tambeacutem o centro das cargas positivas Natildeo haacute portanto dois centros de cargas opostas separados

no espaccedilo Quanto ao monoacutexido de carbono (CO) ele possui uma dipolaridade eleacutetrica eacute uma moleacutecula polar

Por isso ele eacute mais reativo que o CO2 Os processos naturais de respiraccedilatildeo e a combustatildeo completa de

combustiacuteveis por exemplo produzem CO2 Em contraste a combustatildeo incompleta produz CO que funciona

como um veneno no ar pois ele se ligaconecta ao oxigecircnio no sangue bloqueando a absorccedilatildeo desse oxigecircnio

na respiraccedilatildeo

Voltando ao exemplo na Figura 6 mostrado novamente na Figura 9 abaixo queremos calcular a forccedila

eleacutetrica que a moleacutecula polar faz no iacuteon de carga eleacutetrica (positiva) interaccedilatildeo dipolo-monopolo (o iacuteon eacute um

monopolo eleacutetrico) A moleacutecula polar tem a forma de um haltere com comprimento e cargas gt 0 e minus

localizadas em suas extremidades A outra partiacutecula eacute um iacuteon de carga eleacutetrica (um monopolo) A distacircncia

(ou uma distacircncia) entre esses dois objetos (dipolo e iacuteon) eacute Jaacute adotamos nessa figura um referencial xy para

podermos representar apropriadamente os vetores forccedila Apenas como exemplo podemos considerar que

estamos calculando a forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula de aacutegua faz em um iacuteon Na+ que estaacute colocado em sua

vizinhanccedila como mostrado na Figura 9 Note que a moleacutecula de aacutegua eacute eletricamente neutra mas mesmo

assim ela faz forccedila eleacutetrica em outros objetos eletricamente carregados em sua vizinhanccedila graccedilas agrave sua

dipolaridade eleacutetrica intriacutenseca

De acordo com nossa discussatildeo anterior da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo sabemos

que a forccedila que o dipolo (D) faz no iacuteon (I) eacute

= +

Calculamos a forccedila que cada poacutelo de D faz no iacuteon I e somamos vetorialmente

minus

Figura 9 Forccedilas que os polos de uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) fazem em um iacuteon de carga

x

y

d

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Considere o poacutelo minus inferior A forccedila que esse poacutelo faz no iacuteon eacute representada pela seta azul na Figura

9 acima A forccedila (atrativa) que esse poacutelo faz no iacuteon eacute

= 14 (minus ) A forccedila (repulsiva) que o poacutelo de carga faz no iacuteon (seta verde) eacute

= 14 + [cos( ) minus sen( ) ] sendo o acircngulo mostrado na Figura 9

Vemos na Figura que cos( ) = radic + e sen( ) = radic +

Portanto

= 4 ( + ) minus 1 minus ( + )

Note que radic = Na Figura 10 abaixo limpamos um pouco a Figura anterior e mostramos a forccedila eleacutetrica

resultante que a moleacutecula polar faz no iacuteon (a seta de eacute a soma da seta verde com a seta azul

mostradas na Figura 9 de acordo com a regra do paralelogramo)

A Figura 10 sugere que o iacuteon positivo estaacute sendo puxado para proacuteximo do poacutelo negativo da moleacutecula

polar Se pensarmos que a moleacutecula polar estaacute fixa e que o iacuteon pode ser mover a Figura sugere que o iacuteon vai

percorrer uma curva no espaccedilo e finalmente terminar aderindo agrave moleacutecula formando uma estrutura de cargas

mais complexa uma nova moleacutecula Toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e a moleacutecula dipolar tambeacutem estaacute sendo atraiacuteda

pelo iacuteon com uma forccedila = minus Essa interaccedilatildeo dipoloiacuteon faz com que o sal de mesa se torne molhado

pelo fato dele atrair moleacuteculas de aacutegua que se encontram dissolvidas no ar circundante O sal de mesa (um

aglomerado de iacuteons Na+ e Cl-) eacute higroscoacutepico e vai atraindo e aglutinando as moleacuteculas do vapor de aacutegua

atmosfeacuterico Ao final a aacutegua condensa (forma gotiacuteculas) e se torna liacutequida deixando o sal molhado

Figura 10 Forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula polar (duas cargas e minus ) faz em um iacuteon de carga

x

y

d

minus

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A expressatildeo que obtivemos para a forccedila da moleacutecula polar no iacuteon natildeo traacutes nenhuma hipoacutetese

sobre as distacircncias e Na praacutetica sempre podemos considerar que uma moleacutecula real eacute um objeto muito

pequeno com cong 1Å (10 m) Portanto se fizermos a hipoacutetese de que ≪ podemos simplificar a

expressatildeo da forccedila e obter uma expressatildeo mais apropriadarealistasimples para moleacuteculas interagindo com

iacuteons em sua vizinhanccedila Para obter essa simplificaccedilatildeo poderiacuteamos fazer simplesmente + = mas essa

poderia ser uma aproximaccedilatildeo muito grosseira Preferimos ateacute como um exerciacutecio ir mais devagar

comeccedilando pela expansatildeo binomial truncada (1 + ) = 1 + se cong 0

Por exemplo para = 2 sabemos que (1 + ) = 1 + 2 + = 1 + 2 na hipoacutetese de valer cong 0

Primeiramente definimos = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de vemos que

esse (cong 0 por hipoacutetese) aparece explicitamente

= 4 ( + ) minus 1 minus ( + ) = 4 1(1 + ( ) ) minus 1 minus (1 + ( ) ) == 4 1(1 + ) minus 1 minus (1 + )

Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus32 = (1 + ) = 1 + (minus )

Portanto

= 4 1 minus 32 minus 1 minus 1 minus 32

Concluindo (desprezando logo e levando em conta que = cong 0)

= 4 minus Finalmente

= 14 (minus ) (no final das contas deu o mesmo resultado que a mera simplificaccedilatildeo + = )

Note que se o dipolo eleacutetrico eacute pequeno ( ≪ e = cong 0) basicamente um objeto pontual a

forccedila natildeo fica na direccedilatildeo mostrada na Figura 10 mas sim na direccedilatildeo minus (a componente x da forccedila eacute nula

nesse limite) conforme ilustrado na Figura 11 abaixo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Percebemos acima que a forccedila moleacuteculaiacuteon decai com o cubo da distacircncia entre essas duas

partiacuteculas e depende do produto que reuacutene a carga do iacuteon e a carga deslocada (ou carga do poacutelo) da

moleacutecula polar multiplicada pela distacircncia desse deslocamento (basicamente o tamanho da moleacutecula

polar)

Esse produto caracteriza a dipolaridade da moleacutecula (se valesse = 0 eou = 0 natildeo haveria

dipolaridade) as magnitudes das cargas nos poacutelos e a separaccedilatildeo espacial desses poacutelos

Nesse sentido definimos o ldquomomento de dipolo eleacutetricordquo dessa moleacutecula como sendo o vetor =

ou seja o vetor possui moacutedulo direccedilatildeo que passa pelos dois poacutelos da moleacutecula e sentido que aponta do

poacutelo negativo para o poacutelo positivo (essa escolha de sentido eacute arbitraacuteria mas conforme veremos vantajosa)

Para o caso de uma moleacutecula de aacutegua por exemplo o momento de dipolo estaacute ilustrado na Figura 12 abaixo

A ideia do momento de dipolo eleacutetrico eacute que essa grandeza resume as propriedades eleacutetricas de um

objeto dipolar pequeno (pontual para todos os efeitos) como uma moleacutecula polar cuja carga total eacute nula

Nesse sentido podemos resumir a configuraccedilatildeo de uma moleacutecula polar interagindo com um iacuteon mostrada na

Figura 10 pela configuraccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico de intensidade interagindo com um monopolo ou iacuteon de

carga A Figura 11 ilustra essa ideia Note que estamos ao final representando nessa Figura a moleacutecula

dipolar apenas por uma bolinha pois ela eacute pontual nesse limite ≪

Figura 12 ilustraccedilotildees da forma em V de uma moleacutecula de aacutegua de seu modelo de dipolo eleacutetrico e de seu momento de dipolo eleacutetrico intriacutenseco

O

H H

minus

Figura 11 Uma moleacutecula polar (duas cargas e minus separadas por um deslocamento ) pode ser caracterizada apenas por seu momento de dipolo = Para ≪ a moleacutecula se torna um dipolo pontual e a forccedila no iacuteon fica na direccedilatildeo ndashy

x

y

minus

d

x

y

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

O termo ldquomomentordquo eacute usado em estatiacutestica para representar propriedades de distribuiccedilotildees O produto

da quantidade distribuiacuteda por uma distacircncia eacute o primeiro momento dessa distribuiccedilatildeo Alguns exemplos satildeo o

torque (distribuiccedilatildeo de forccedilas) o centro de massa (distribuiccedilatildeo de massas) e o momento de dipolo eleacutetrico

(distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas)

A forccedila que a moleacutecula polar de momento de dipolo faz no iacuteon de carga posicionado conforme a

Figura 11 eacute

= minus4

A forccedila seraacute a mesma se a moleacutecula polar tiver poacutelos de cargas plusmn distanciados de ou poacutelos de

cargas plusmn2 distanciados de 2 ou enfim qualquer combinaccedilatildeo dessas duas grandezas que resulte no

mesmo produto (se insistirmos em pensar em rarr 0 (dipolo pontual) devemos pensar em rarr infin) Nesse

sentido a grandeza = caracterizaresume a dipolaridade da moleacutecula e sua interaccedilatildeo eleacutetrica com

outras partiacuteculas em sua vizinhanccedila

Note que o iacuteon tambeacutem faz forccedila no dipolo (accedilatildeo e reaccedilatildeo) e

= 4

Portanto enquanto a moleacutecula polar empurra o iacuteon para baixo (ao longo de ndashy) o iacuteon empurra a

moleacutecula para cima (ao longo de +y que eacute o sentido de na configuraccedilatildeo que estamos considerando)

Veremos mais adiante que a interaccedilatildeo iacuteonmoleacutecula vai afetar tambeacutem a orientaccedilatildeo da seta de que gira no

espaccedilo apontando sua ponta negativa para o iacuteon positivo Essa interaccedilatildeo eleacutetrica entre essas duas partiacuteculas

vai dar origem a uma ldquodanccedilardquo em que uma partiacutecula vai circundando a outra podendo ocorrer ao final a

formaccedilatildeo de uma moleacutecula mais complicada (se essa nova moleacutecula vai se formar como um sistema estaacutevel

ou natildeo vai depender de outros fatores que natildeo estamos estudando aqui afinal esses fenocircmenos

microscoacutepicos como a formaccedilatildeo de aacutetomos moleacuteculas e materiais em geral satildeo regidos pela mecacircnica

quacircntica) Essa forccedila dipoloiacuteon eacute a responsaacutevel pela dissoluccedilatildeo do sal de cozinha (Na+ + Cl-) na aacutegua

Nesse exemplo discutimos a interaccedilatildeo eleacutetrica entre uma moleacutecula polar e um iacuteon Haveria interaccedilatildeo

eleacutetrica (forccedila) entre um iacuteon e uma moleacutecula natildeo polar (apolar) Equivalentemente haveria interaccedilatildeo eleacutetrica

entre um iacuteon e um aacutetomo isolado (que eacute sempre apolar por simetria) Sim porque o iacuteon induz na moleacutecula

apolar (ou no aacutetomo) um momento de dipolo eleacutetrico (momento de dipolo induzido) e a partir daiacute tudo

funciona como o que jaacute discutimos trocando por De fato considere que uma moleacutecula ou mesmo um

aacutetomo natildeo satildeo objetos riacutegidos eles podem se deformar quando submetidos a forccedilas eleacutetricas (atraccedilotildees e

repulsotildees) externas Ao se deformarem eles adquirem um momento de dipolo eleacutetrico induzido A Figura

13 abaixo ilustra essa ideia

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Um iacuteon positivo de carga foi colocado (em = 0) ao lado de um aacutetomomoleacutecula apolar que

inicialmente natildeo possuiacutea nenhuma dipolaridade eleacutetrica (ambos natildeo possuem poacutelos eleacutetricos intriacutensecos os

aacutetomos porque satildeo esfericamente simeacutetricos e as moleacuteculas apolares por causa de suas geometrias

particulares simeacutetricas como no caso do CO2) Representamos esse aacutetomomoleacutecula apolar como uma esfera

deformaacutevel ou seja um objeto simeacutetrico em que o centro de carga positiva (proacutetons) coincide com o centro

de carga negativa (eleacutetrons) Em um segundo momento ( ≳ 0) o iacuteon positivo vai atrair o centro de carga

negativa do aacutetomomoleacutecula apolar (os eleacutetrons) e repelir o centro positivo (os proacutetons nos nuacutecleos)

Esses centros vatildeo se separar um pouco (lembre-se que esses dois centros estatildeo tambeacutem se atraindo

mutuamente dentro do aacutetomomoleacutecula apolar e por isso haveraacute um equiliacutebrio atraccedilatildeorepulsatildeo) e ao final

o aacutetomomoleacutecula apolar vai adquirir uma dipolaridade uma dipolaridade eleacutetrica induzida (basicamente

a esfera se deforma em um elipsoacuteide) No caso da moleacutecula de aacutegua a dipolaridade eleacutetrica eacute intriacutenseca pois

ela natildeo depende de fatores externos para existir Nesse caso que estamos discutindo agora a dipolaridade

eleacutetrica eacute induzida ela soacute existe no aacutetomomoleacutecula apolar enquanto este estaacute na vizinhanccedila do iacuteon Se

afastarmos muito o iacuteon ( rarr infin) entatildeo as deformaccedilotildees desaparecem e rarr 0

Note que no caso do dipolo eleacutetrico induzido natildeo temos liberdade em escolher a direccedilatildeo de

como fizemos com na Figura 11 A interaccedilatildeo do iacuteon com o aacutetomomoleacutecula apolar (atraccedilatildeo e repulsatildeo) vai

produzir obrigatoriamente um esticamento desse aacutetomomoleacutecula na direccedilatildeo x (que passa pelo iacuteon) e induzir

um momento de dipolo induzido nessa direccedilatildeo e nesse sentido = minus

Vamos calcular a forccedila que o iacuteon faz no aacutetomomoleacutecula polarizado Da lei de Coulomb e do princiacutepio

da superposiccedilatildeo

= +

Supondo (arbitrariamente) que a distacircncia seja medida em relaccedilatildeo ao centro do dipolo obtemos

Figura 13 Um aacutetomomoleacutecula apolar (bolinha laranja) foi colocado na vizinhanccedila de um iacuteon positivo e adquiriu uma dipolaridade eleacutetrica induzida (duas cargas e minus separadas por um

deslocamento minus ) = = minus

= 0

x

y

minus d

x

y

≳ 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

= 4 minus 1( + 2) + 1( minus 2)

Essa eacute a expressatildeo da forccedila Mas com o objetivo de obter uma expressatildeo mais simples vamos

considerar como jaacute fizemos anteriormente que o aacutetomomoleacutecula polarizado eacute um objeto bem pequeno com

dimensotildees da ordem de 1 Å Vamos tomar o limite ≫ Natildeo podemos simplesmente desprezar na

expressatildeo acima pois obtemos uma forccedila nula significando que exageramos na aproximaccedilatildeo A forccedila entre

esse objetos minuacutesculos eacute pequena mas natildeo-nula Devemos ir mais devagar utilizando a expansatildeo binomial

truncada (1 + ) = 1 + se cong 0

Primeiramente definimos = 2 Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de vemos que

esse (cong 0 por hipoacutetese) aparece explicitamente

= 4 minus 1( + 2) + 1( minus 2) = 4 minus 1(1 + 2 ) + 1(1 minus 2 ) = 4 minus 1(1 + ) + 1(1 minus )

Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) = 1 minus 2 = minus2 = minus (1 minus ) = (1 + (minus )) = 1 + (minus2)(minus ) = 1 + 2

Portanto

= 4 [minus(1 minus 2 ) + (1 + 2 )]

Concluindo

= 4 (4 ) = 2 = minus 12 (minus ) = minus 12

Note que trata-se de uma forccedila atrativa pois o aacutetomomoleacutecula polarizado sofre uma forccedila na direccedilatildeo

+x ( = minus aponta no sentido de ndashx) O iacuteon atrai o aacutetomomoleacutecula apolar atraveacutes de um processo que

envolve a etapa intermediaacuteria de criaccedilatildeo de um momento de dipolo induzido nesse aacutetomomoleacutecula apolar A

forccedila seraacute sempre atrativa

Percebemos que a expressatildeo da forccedila que obtivemos aqui eacute bem parecida com a anterior que

deduzimos para um iacuteon e uma moleacutecula polar basicamente trocando por (mas haacute um fator 2 porque a

direccedilatildeo de aqui eacute diferente) A forccedila parece decair com o cubo da distacircncia Mas note que aqui o proacuteprio

momento de dipolo induzido eacute um efeito da interaccedilatildeo entre o aacutetomomoleacutecula apolar e o iacuteon e portanto

deve depender tambeacutem da distacircncia (diferentemente de um momento de dipolo intriacutenseco como no

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

caso da moleacutecula de aacutegua) De fato podemos definir uma ldquopolarizabilidaderdquo para qualquer aacutetomomoleacutecula

apolar de tal forma que (note que prop eacute o siacutembolo de proporcionalidade natildeo confundir com a letra (alfa))

= prop

ou seja o momento de dipolo induzido eacute funccedilatildeo proporcional da forccedila (por unidade de carga) que estaacute

produzindo essa polarizaccedilatildeo no aacutetomomoleacutecula apolar a forccedila do iacuteon positivo em qualquer um de seus

centros de carga Quanto maior a polarizabilidade mais polarizaacutevel (deformaacutevel) eacute o aacutetomomoleacutecula apolar

e maior deve ser a forccedila de atraccedilatildeo Concluindo (usando a lei de Coulomb para )

= minus 12 = minus 12 4 (minus ) 1 = 18 1 A forccedila eleacutetrica entre um iacuteon e um aacutetomomoleacutecula apolar depende da polarizabilidade desse

aacutetomomoleacutecula (se valesse = 0 (aacutetomomoleacutecula riacutegido) natildeo haveria forccedila) e decai com a quinta potecircncia

da distacircncia entre essas duas partiacuteculas Trata-se de uma forccedila sempre atrativa e bem fraca em geral Essa eacute a

forccedila responsaacutevel pela atraccedilatildeo que um pente eletricamente carregado exerce sobre pedacinhos de papel As

cargas eleacutetricas na superfiacutecie do pente polarizam as moleacuteculas do papel e atraem esses pedacinhos

Mesmo as moleacuteculas polares como a aacutegua possuem alguma polarizabilidade (pois elas natildeo satildeo

riacutegidas) e seus momentos de dipolos intriacutensecos se modificam um pouco quando essas moleacuteculas estatildeo na

presenccedila de um objeto eletricamente carregado Na hipoacutetese de que ≪ (polarizabilidade pequena)

podemos desprezar esse efeito e considerar que os momentos de dipolo intriacutensecos das moleacuteculas polares satildeo

riacutegidos (de magnitude constante independente da interaccedilatildeo dessas moleacuteculas com outras cargas eleacutetricas)

Continuando nossa investigaccedilatildeo sobre as interaccedilotildees eleacutetricas entre partiacuteculas podemos nos perguntar

se uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre outra moleacutecula polar A resposta eacute sim e essa forccedila deve depender

fortemente das orientaccedilotildees desses dois dipolos eleacutetricos no espaccedilo Como exemplo vamos considerar a

interaccedilatildeo entre duas moleacuteculas dipolares posicionadas no espaccedilo com seus momentos de dipolo eleacutetrico e

paralelos entre si conforme a Figura 14 abaixo As moleacuteculas estatildeo distanciadas de

Podemos considerar que estamos calculando a forccedila eleacutetrica entre duas moleacuteculas de aacutegua mas

preferimos supor o caso mais geral em que as moleacuteculas satildeo em princiacutepio diferentes e que possuem portanto

momentos de dipolo eleacutetrico intriacutensecos diferentes e

Figura 14 Duas moleacuteculas dipolares (pontuais) com momentos de dipolo eleacutetrico e paralelos entre si e sobre um eixo comum distanciadas de Elas vatildeo se atrair

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Na Figura 15 abaixo detalhamos as estruturas de carga eleacutetrica microscoacutepicas correspondentes agraves

orientaccedilotildees dos dipolos mostradas na Figura 14 (lembre-se que aponta sempre por definiccedilatildeo da carga ndash

para a carga +) Nossa ideia eacute calcular a forccedila entre essas duas distribuiccedilotildees de carga mais especificamente a

forccedila da moleacutecula 1 na moleacutecula 2 e ao final considerar os limites ≪ e ≪ (moleacuteculas realistas

pequenas) Do princiacutepio da superposiccedilatildeo obtemos

= + + +

Note que a distacircncia foi arbitrada como sendo a distacircncia entre os poacutelos negativos das moleacuteculas

Portanto da lei de Coulomb

= 14 (minus )(minus ) + (minus )( + ) + (minus )( minus ) + ( + minus )

Note que haacute duas forccedilas de repulsatildeo ao longo de + e duas forccedilas de atraccedilatildeo ao longo de minus Simplificando

= 4 1 + 1( + minus ) minus 1( + ) minus 1( minus )

Agora considerando que moleacuteculas satildeo objetos bem pequenos com dimensotildees da ordem de 1 Å

vamos considerar os limites ≪ e ≪ (dipolos pontuais) Como jaacute fizemos vamos utilizar a expansatildeo

binomial truncada mas agora mantendo o termo (1 + ) = 1 + + ( ) se cong 0

Primeiramente definimos = e = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de

vemos que esses (cong 0 por hipoacutetese) aparecem explicitamente

= 4 1 + 1(1 + minus ) minus 1(1 + ) minus 1(1 minus )

Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = minus (1 + minus ) = 1 + (minus2) ( minus ) + 3( minus )

minus minus

x

Figura 15 Detalhamento das distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica das duas moleacuteculas correspondentes aos momentos de dipolo eleacutetrico

e Por hipoacutetese = e =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

= minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) + 3 = minus2 = minus (1 minus ) = (1 + (minus )) = 1 + (minus2)(minus ) + 3(minus )

Note que aqui tivemos que considerar uma expansatildeo binomial que vai ateacute o termo basicamente

porque se consideraacutessemos termos somente ateacute obteriacuteamos = 0 Natildeo haveria nada de errado com esse

resultado ele apenas estaria mostrando que nesse niacutevel de aproximaccedilatildeo (grosseiro) natildeo haacute nenhuma forccedila

entre as moleacuteculas dipolares De fato a forccedila que estamos calculando aqui eacute bem fraca e soacute conseguimos

calcular sua magnitude natildeo nula se avanccedilamos um pouco mais na expansatildeo binomial Foi o que fizemos

Portanto substituindo as expansotildees binomiais obtemos

= 4 1 + [1 minus 2( minus ) + 3( minus ) ] minus [1 minus 2 + 3 ] minus [1 + 2 + 3 ]

Concluindo (sendo = e = os moacutedulos dos momentos de dipolo)

= 4 (minus6 ) = minus32 = minus 32

Vemos que a moleacutecula 2 eacute atraiacuteda pela moleacutecula 1 que a forccedila intermolecular eacute proporcional ao

produto dos dois momentos de dipolo eleacutetrico e decai com a quarta potecircncia da distacircncia entre as moleacuteculas

Em geral devemos esperar tambeacutem que a forccedila entre dois objetos dipolares dependa da orientaccedilatildeo relativa

entre os momentos de dipolo eleacutetricos Se e forem antiparalelos entre si (poacutelos de mesma polaridade

face a face) por exemplo a forccedila intermolecular seraacute repulsiva

Note que as moleacuteculas polares satildeo objetos eletricamente neutros mas que exercem forccedilas eleacutetricas

entre elas porque possuem poacutelos eleacutetricos Satildeo forccedilas minuacutesculas porque satildeo proporcionais a e decaem

rapidamente com a distacircncia Mesmo assim satildeo forccedilas capazes de produzir efeitos macroscoacutepicos

influenciando nos comportamentos fiacutesicos e quiacutemicos das substacircncias

Moleacuteculas de aacutegua podem se aglutinar ligando seus poacutelos de polaridades opostas (formando as pontes

de hidrogecircnio) o que eleva a temperatura de solidificaccedilatildeo da aacutegua (eacute mais faacutecil formar gelo devido a essa

atraccedilatildeo eleacutetrica entre as moleacuteculas de aacutegua) e eleva sua temperatura de evaporaccedilatildeo (eacute mais difiacutecil separar as

moleacuteculas e formar o vapor devido a essa atraccedilatildeo eleacutetrica entre as moleacuteculas de aacutegua) A organizaccedilatildeo espacial

das moleacuteculas (cristalizaccedilatildeo) conectando seus poacutelos eleacutetricos de sinais opostos tambeacutem leva a um aumento

do volume do gelo em relaccedilatildeo agrave aacutegua e agrave flutuaccedilatildeo do gelo na aacutegua (o gelo eacute menos denso que a aacutegua) De

fato o maacuteximo na densidade da aacutegua ocorre proacuteximo de 4oC e eacute igual a 1 gcm3 Baixando a temperatura a

organizaccedilatildeo espacial dos dipolos eleacutetricos faz com que a densidade da aacutegua vaacute diminuindo pois os dipolos

eleacutetricos organizados no espaccedilo ocupam um volume maior que os dipolos simplesmente misturados ao acaso

O fato do gelo flutuar na aacutegua impede que toda a aacutegua de um lago congele no inverno preservando a vida Eacute

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

sempre bom lembrar que a formaccedilatildeo de pontes de hidrogecircnio eacute um fenocircmeno quacircntico mas isso natildeo invalida

a ideia de que este eacute um fenocircmeno que ocorre graccedilas agrave forccedila dipolo-dipolo discutida aqui

Continuando nossa pesquisa podemos perguntar se uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre outra

moleacutecula apolar Equivalentemente uma moleacutecula polar exerce forccedila sobre um aacutetomo isolado (que eacute sempre

apolar por simetria) Sim basicamente porque como jaacute vimos uma carga eleacutetrica externa exerce forccedila sobre

as cargas dentro de um aacutetomomoleacutecula apolar induzindo um momento de dipolo eleacutetrico nesse

aacutetomomoleacutecula apolar Para discutir esse caso basta considerarmos que na Figura 14 o dipolo representa

uma moleacutecula polar (como a aacutegua) e que o dipolo representa o momento de dipolo induzido em um

aacutetomomoleacutecula apolar ou seja = Note que as atraccedilotildees e repulsotildees que a moleacutecula polar vai

produzir sobre os nuacutecleos e eleacutetrons no aacutetomomoleacutecula apolar devem finalmente levar a um momento de

dipolo induzido com a orientaccedilatildeo que adotamos na Figura 14 ou seja as partiacuteculas vatildeo sempre se atrair Para

dois dipolos como na Figura 14 obtivemos

= minus 32

Quanto ao momento de dipolo induzido devemos considerar aqui que eacute resultado da forccedila que o

dipolo intriacutenseco faz nos centros de carga + e - da moleacutecula apolar deformando-a No caso que jaacute

discutimos anteriormente da induccedilatildeo de dipolo pela presenccedila de um iacuteon utilizamos a lei de Coulomb para a

forccedila iacuteoncentro de carga resultando em = prop

sendo a polarizabilidade do aacutetomomoleacutecula apolar (prop eacute o siacutembolo de proporcionalidade) Aqui devemos

considerar que quem faz a forccedila nos centros de carga + e - da moleacutecula apolar eacute um dipolo pontual intriacutenseco

e que essa forccedila conforme jaacute mostramos atraveacutes do caacutelculo da forccedila dipoloiacuteon decai com o cubo da

distacircncia ou seja

= minus4

Portanto para a interaccedilatildeo dipolo intriacutensecodipolo induzido obtemos

= prop

Concluindo fazendo apenas uma estimativa sem entrar em muito detalhe nos caacutelculos a magnitude da forccedila

atrativa entre essas duas partiacuteculas polar e apolar deve se comportar como

prop prop =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A forccedila (chamada de forccedila de Debye) decai com a seacutetima potecircncia da distacircncia e eacute proporcional agrave capacidade

que o aacutetomomoleacutecula apolar tem de ser deformadopolarizado por um agente externo (a moleacutecula polar

nesse caso) Podemos imaginar essa forccedila provocandofacilitando a reaccedilatildeo CO+Orarr CO2

Finalmente poderiacuteamos nos perguntar se uma moleacutecula apolar (ou um aacutetomo isolado) exerce forccedila

sobre outra moleacutecula apolar (ou sobre outro aacutetomo isolado) Nesse caso natildeo haacute nenhum excesso de carga ou

polaridade eleacutetrica inicial A resposta eacute sim pois essa eacute a forccedila que explica a condensaccedilatildeo de um gaacutes a baixas

temperaturas Essa forccedila eacute chamada de forccedila de dispersatildeo (ou forccedila de London) No entanto somente as leis

do eletromagnetismo claacutessico que estamos estudando aqui natildeo satildeo capazes de demonstrar a existecircncia dessa

forccedila ou mesmo de calcular sua magnitude (se simplesmente aplicarmos a lei de Coulomb para duas

partiacuteculas neutras e apolares vamos obter uma forccedila nula) Precisamos apelar para a mecacircnica quacircntica

Basicamente a mecacircnica quacircntica mostra que quando essas duas moleacuteculas apolares (ou aacutetomos) se

aproximarem as flutuaccedilotildees em suas dipolaridades eleacutetricas (advindas dos movimentos dos eleacutetrons no

interior das moleacuteculasaacutetomos) ficam sincronizadas entre si e produzem momentos de dipolos induzidos em

ambas as moleacuteculas momentos de dipolo paralelos entre si (pois as cargas dos polos induzidos de sinais

opostos se atraem) Portanto as moleacuteculas se atraem mutuamente como mostramos para a configuraccedilatildeo na

Figura 14 Apenas para fazer uma estimativa (grosseira) podemos partir da expressatildeo da forccedila entre dois

dipolos que obtivemos no caso da Figura 14 qual seja

= minus 32

e considerar que e satildeo ambos momentos de dipolo induzidos ou seja

prop

sendo eacute a polarizabilidade da moleacutecula 1 Analogamente para Portanto a magnitude da forccedila (de

dispersatildeo) entre aacutetomosmoleacuteculas apolares se comportaria como

prop prop

(o resultado da mecacircnica quacircntica fornece uma forccedila que eacute proporcional a 1 ) Trata-se de uma forccedila bem

fraca proporcional ao produto das polarizabilidades e que decai rapidamente com a distacircncia Essa forccedila estaacute

presente na adesatildeo que pode ocorrer entre dois corpos eletricamente neutros como de uma fita adesiva no

papel e da pata de um inseto ou de uma lagartixa na parede As superfiacutecies desses objetos eletricamente

neutros se aproximam muito no contato entre eles e o surgimento de forccedilas de dispersatildeo (entre outras) vai

produzir a atraccedilatildeo muacutetuaadesatildeo entre as duas superfiacutecies Enfim as forccedilas de dispersatildeo entre duas partiacuteculas

satildeo bem fracas mas elas estatildeo em toda parte e participam de muitos fenocircmenos macroscoacutepicos aleacutem da

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

adesatildeo entre superfiacutecies jaacute citada como o atrito de contato entre superfiacutecies a capilaridade e o transporte de

moleacuteculas atraveacutes de membranas celulares

12 Campo Eleacutetrico

121 O campo eletrostaacutetico intermediaacuterio da forccedila de Coulomb

Poderiacuteamos continuar aqui calculando a forccedila eleacutetrica entre diversas configuraccedilotildees de cargas

diferentes posto que esse eacute basicamente o objetivo da eletrostaacutetica e tambeacutem do eletromagnetismo em

geral No entanto logo perceberemos que esse caacutelculo vai se tornar proibitivo devido agrave dificuldade

matemaacutetica envolvida Por isso avanccedilamos no formalismo indo aleacutem do conceito primitivo de forccedila e

construiacutemos novas ferramentas para a abordagem de problemas de eletromagnetismo Um desses conceitos

crucial para o entendimento da natureza e da tecnologia eacute o de campo eleacutetrico O campo eleacutetrico eacute um campo

de forccedila assim como o campo gravitacional ao qual jaacute estamos mais habituados Imagine que desejemos

saber qual seraacute o peso de um corpo de massa = 1 kg que for levado para a Lua Para responder a essa

pergunta devemos conhecer o valor do campo gravitacional laacute na Lua o campo de forccedila gravitacional que a

Lua cria na sua vizinhanccedila Este campo estaacute laacute agora (um campo eacute simplesmente uma funccedilatildeo definida no

espaccedilo e no tempo) e ele depende de propriedades da Lua apenas O nome que damos a esse campo eacute

aceleraccedilatildeo da gravidade na (ou da) Lua e seu siacutembolo eacute Se soubermos quanto vale nas proximidades da

superfiacutecie da Lua podemos afirmar que o peso do corpo de massa (qualquer) que for colocado laacute nessa

superfiacutecie seraacute = A ideia eacute que a Lua faz forccedila nesse corpo puxando ele para baixo mas essa forccedila eacute

intermediada pelo campo gravitacional da Lua que permeia todo o espaccedilo graccedilas agrave simples existecircncia da Lua

(e de sua propriedade de possuir massa) A mesma ideia vale para o campo gravitacional da Terra ou do Sol A

Terra orbita o Sol porque ela estaacute na regiatildeo de forte influecircncia do campo de gravidade do Sol Isso vale para

todos os planetas do sistema solar O campo gravitacional do Sol estaacute definido em todo o espaccedilo e eacute mais

intenso na regiatildeo mais proacutexima do Sol (decai com o quadrado da distacircncia) Tudo que entra nessa vizinhanccedila

do Sol sofre como consequumlecircncia uma forccedila a forccedila gravitacional do Sol O campo de forccedila eacute portanto o

mensageiro da forccedila ele intermedeia a interaccedilatildeo (a forccedila) entre os corpos

Vimos que existe uma forccedila entre objetos carregados eletricamente a forccedila de Coulomb O campo

eleacutetrico eacute o campo de forccedila que transmite essa forccedila atraveacutes do espaccedilo Cargas eleacutetricas estaacuteticas produzem

no espaccedilo um campo eletrostaacutetico (que natildeo muda com o tempo) Cargas eleacutetricas podem se mover e produzir

ondas de variaccedilatildeo de seu campo eleacutetrico ondas que se propagam no espaccedilo Chamamos essas ondas de ondas

eletromagneacuteticas Atraveacutes dessas ondas podemos transmitir vibraccedilotildees atraveacutes de grandes distacircncias que

fazem com que cargas eleacutetricas vibrem sob accedilatildeo de uma forccedila vibratoacuteria Essa eacute a base das telecomunicaccedilotildees

Vamos introduzir a ideia de campo de forccedila atraveacutes de uma (simples) analogia mecacircnica

31

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Imagine dois pequenos objetos (A e B) flutuando na superfiacutecie calma da aacutegua de uma lagoa Suponha

que o objeto A comece a balanccedilar para cima e para baixo (uma mosca pode ter pousado nele) Ele cria na

superfiacutecie da aacutegua uma perturbaccedilatildeo (ondas concecircntricas) que se propaga por essa superfiacutecie e que

finalmente apoacutes um intervalo de tempo atinge o objeto B em sua vizinhanccedila que passa a balanccedilar para cima

e para baixo tambeacutem Podemos dizer que A exerceu influecircncia sobre B uma influecircncia que foi intermediada

pela aacutegua A Figura 16 abaixo ilustra essa ideia

Note que a existecircncia das ondas na superfiacutecie da aacutegua natildeo tem relaccedilatildeo com a existecircncia do objeto B

elas existiriam e se propagariam mesmo que o objeto B natildeo estivesse laacute A perturbaccedilatildeo na superfiacutecie da aacutegua eacute

criada pelo objeto A independentemente da existecircncia de B Mas estando B em sua posiccedilatildeo ele sofre

influecircncia de A pela accedilatildeo das ondulaccedilotildees da aacutegua na posiccedilatildeo em que B estaacute B fica sabendo que A existe

atraveacutes das ondas que A cria na superfiacutecie da aacutegua Se natildeo fosse a aacutegua natildeo haveria influecircncia de A sobre B

Aqui podemos fazer uma analogia com a interaccedilatildeo eleacutetrica entre dois objetos distantes um do outro (A

e B) e que possuem carga eleacutetrica Considere a situaccedilatildeo acima e apenas troque os objetos A e B pelos objetos

carregados eletricamente A e B Troque a superfiacutecie da aacutegua pelo simples espaccedilo entre esses objetos e troque

as perturbaccedilotildees na aacutegua pelo campo eleacutetrico Essa eacute a ideia do campo eleacutetrico o campo de forccedila que

intermedeia a interaccedilatildeo eleacutetrica a forccedila entre objetos eletricamente carregados Essa eacute a forma como

entendemos a interaccedilatildeo eleacutetrica entre os corpos Basicamente um objeto eletricamente carregado A cria no

espaccedilo ao seu redor um campo de forccedila um campo eleacutetrico que denotamos por ( ) sendo uma posiccedilatildeo

qualquer no espaccedilo Outro objeto eletricamente carregado B que porventura esteja na vizinhanccedila de A na

posiccedilatildeo vai sofrer uma forccedila exercida por A uma forccedila definida pelo valor do campo ( ) na posiccedilatildeo em

que B estaacute O campo eleacutetrico ( ) eacute o intermediaacuterio da forccedila eleacutetrica dada pela lei de Coulomb

Note que a analogia com os objetos flutuando na aacutegua natildeo deve ser (como toda analogia) levada ao peacute

da letra Natildeo estamos definindo aqui algo como ondas eleacutetricas ou mesmo ondas eletromagneacuteticas sobre as

quais todos jaacute ouvimos falar Estamos dizendo que uma carga fixa no espaccedilo vai criar em sua vizinhanccedila um

campo eleacutetrico estaacutetico ( ) e que se outra partiacutecula eletricamente carregada estiver nessa vizinhanccedila ela vai

A

B

Figura 16 Um objeto A exerce influecircncia sobre outro objeto B distante atraveacutes das perturbaccedilotildees (ondas) que se propagam em um meio a aacutegua

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

sentir o efeito desse campo uma forccedila eletrostaacutetica O efeito de ( ) sobre uma carga eleacutetrica eacute uma forccedila

eleacutetrica a forccedila de Coulomb Dessa forma deixamos de ver a interaccedilatildeo eleacutetrica entre duas cargas e

como uma interaccedilatildeo direta entre essas cargas e passamos a ver essa interaccedilatildeo intermediada pelos campos

eleacutetricos que essas cargas geram no espaccedilo Mas eacute verdade que em situaccedilotildees mais gerais em que as cargas

eleacutetricas tecircm movimentos arbitraacuterios no espaccedilo o campo eleacutetrico dessas cargas varia no tempo e no espaccedilo e

pode constituir o que chamamos de uma onda eletromagneacutetica que viaja atraveacutes do espaccedilo com a velocidade

da luz (algo mais parecido com as ondulaccedilotildees na aacutegua) A proacutepria luz eacute uma onda eletromagneacutetica que oscila

no tempo e que pode ser detectada por nossos olhos Aqui estamos perto dessa ideia mas estamos ainda

apenas engatinhando Estamos ainda no caso estaacutetico

Houve um tempo na histoacuteria do eletromagnetismo em que se atribuiacutea ao campo eleacutetrico uma

realidade mecacircnica como se o campo eleacutetrico fosse a propriedade de um fluido que permeia o espaccedilo todo o

eacuteter Nesse sentido as interaccedilotildees eleacutetricas seriam similares agrave situaccedilatildeo mostrada na Figura 16 em que o eacuteter

faria o papel da aacutegua Hoje essa ideia foi abandonada pois chegou-se agrave conclusatildeo de que natildeo existe esse eacuteter

e que o campo eleacutetrico natildeo eacute propriedade de nada ele tem realidade proacutepria Portanto assim como aceitamos

a existecircncia na natureza de eleacutetrons e proacutetons devemos aceitar a simples existecircncia do campo eleacutetrico Ele

existe e se manifesta atraveacutes de uma forccedila Explicar a existecircncia do campo eleacutetrico em termos de outras

coisas seria como explicar uma banana em termos de melancias

No estudo da mecacircnica temos oportunidade de discutir sobre o campo gravitacional de um planeta ou

estrela e a ideia eacute a mesma que temos aqui para o campo eleacutetrico A Terra por exemplo cria no espaccedilo ao seu

redor um campo gravitacional ( ) (a aceleraccedilatildeo da gravidade na posiccedilatildeo ) Uma partiacutecula de massa que

ocupar a posiccedilatildeo vai sofrer a influecircncia desse campo gravitacional da Terra e essa influecircncia se traduz na

forccedila gravitacional na partiacutecula o peso da partiacutecula = ( ) A ideia baacutesica aqui eacute que uma carga eleacutetrica fixa no espaccedilo vai criar em sua vizinhanccedila um campo de

forccedila o campo eleacutetrico ( ) Uma segunda partiacutecula de carga eleacutetrica que esteja na posiccedilatildeo vai sofrer

uma forccedila eleacutetrica pela accedilatildeo do campo ( ) sobre ela Dessa forma a partiacutecula de carga interage

eletricamente com a partiacutecula de carga Toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e claramente a partiacutecula de carga

tambeacutem cria em sua vizinhanccedila um campo eleacutetrico ( ) A partiacutecula de carga vai interagir com esse

campo eleacutetrico laacute onde ela estaacute e assim a partiacutecula de carga interage eletricamente com a partiacutecula de

carga As cargas e interagem entre si atraveacutes de seus campos eleacutetricos proacuteprios

O campo eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo eacute definido como a densidade de forccedila por unidade

de carga nesse ponto Note que natildeo faz sentido em se falar em forccedila em um ponto e por isso temos que

explicar melhor esse conceito Para definir o valor de ( ) em um ponto colocamos (ou pelo menos

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

imaginamos que colocamos) nesse ponto uma partiacutecula eletricamente carregada que vamos chamar de carga

de prova e medimos a forccedila eleacutetrica ( ) nessa partiacutecula digamos de carga gt 0 (podemos sempre

considerar positiva mas isso natildeo faz diferenccedila) O campo eleacutetrico em eacute definido por

( ) = ( )

Fica claro agora que natildeo estamos associando uma forccedila a um ponto do espaccedilo mas uma densidade de forccedila

a uma partiacutecula que porventura ocupe esse ponto no espaccedilo natildeo eacute forccedila mas uma capacidade de exercer

forccedila Eacute uma ideia anaacuteloga agrave da aceleraccedilatildeo da gravidade ( ) Natildeo podemos associar aceleraccedilatildeo a um ponto

do espaccedilo Fica claro que ( ) eacute a aceleraccedilatildeo de queda livre de uma partiacutecula (uma massa de prova) que

porventura seja colocada na posiccedilatildeo Analogamente podemos dizer que ( ) eacute a densidade de forccedila

gravitacional por unidade de massa pois a forccedila (peso) de uma partiacutecula de massa que porventura seja

colocada na posiccedilatildeo seraacute = ( ) e portanto =

A carga de prova eacute uma espeacutecie de ldquodetectorrdquo e ldquomedidorrdquo de campo eleacutetrico O campo eleacutetrico no

espaccedilo natildeo depende de mas precisamos dessa partiacutecula para definir formalmente o campo eleacutetrico no

espaccedilo Aqui podemos fazer uma analogia com um termocircmetro Se quisermos medirdefinir a temperatura ( ) em um ponto do espaccedilo devemos colocar nesse ponto um termocircmetro esperar que ele atinja o

equiliacutebrio teacutermico com o ambiente e finalmente fazer a leitura da temperatura Depois disso podemos jogar o

termocircmetro fora pois ( ) natildeo eacute uma propriedade do termocircmetro ( ) eacute uma propriedade do ambiente em

que a posiccedilatildeo estaacute (uma sala por exemplo) Eacute interessante que o termocircmetro seja pequeno para que ele

natildeo modifique muito a proacutepria temperatura que queremos medir (natildeo troque muito calor com o ambiente)

Analogamente para medirdefinir o campo eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo devemos colocar nesse

ponto uma partiacutecula de carga eleacutetrica de prova em repouso e eacute bom que seja um valor pequeno de

carga para natildeo influenciar (atraveacutes de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo por exemplo) as outras cargas eleacutetricas que

estatildeo no espaccedilo cujo campo eleacutetrico queremos medirdefinir Colocamos em (em repouso) e medimos a

forccedila eleacutetrica ( ) nela (ou a aceleraccedilatildeo dela e usamos a segunda lei de Newton para obter a forccedila) Fazemos

a razatildeo ( ) e definimos entatildeo o valor de ( ) Depois disso jogamos a carga de prova fora pois ela natildeo

eacute mais uacutetil O valor do campo eleacutetrico ( ) no ponto jaacute estaacute definido e continua laacute ele natildeo tem relaccedilatildeo com

a carga de prova ( ) eacute o campo eleacutetrico produzido por outras cargas eleacutetricas que por hipoacutetese existem e

estatildeo fixas nessa regiatildeo do espaccedilo

Equivalentemente se conhecemos o campo eleacutetrico ( ) e colocamos nesse ponto uma partiacutecula de

carga eleacutetrica qualquer a forccedila eleacutetrica nessa partiacutecula seraacute = ( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A carga de prova eacute um ldquoaparelhordquo que pode ser usado para definir experimentalmente o valor do

campo eleacutetrico em um ponto qualquer do espaccedilo Aqui estaremos mais interessados em calcular

analiticamente o campo eleacutetrico produzido por distribuiccedilotildees de carga simples como uma moleacutecula dipolar

por exemplo Como podemos calcular o campo eleacutetrico no espaccedilo O campo eleacutetrico no espaccedilo depende da

distribuiccedilatildeo de cargas que cria ele Vamos entatildeo comeccedilar pelo caso mais simples considere a distribuiccedilatildeo de

cargas mais simples possiacutevel uma uacutenica carga pontual fixa no espaccedilo Qual o campo eleacutetrico (ou campo

eletrostaacutetico) que essa carga estaacutetica cria no espaccedilo ao seu redor Mais especificamente qual o valor de ( ) no ponto mostrado na Figura 17(a) abaixo

Note que estamos usando por conveniecircncia o proacuteprio ponto onde estaacute fixa como origem do nosso

sistema de coordenadas ou seja a seta de nasce em

Primeiramente colocamos uma carga de prova gt 0 (bolinha azul) estaacutetica na posiccedilatildeo como na

Figura 17(b) Depois medimos a forccedila eleacutetrica que sofre ou seja a forccedila que faz em Essa forccedila

seria a seta vermelha na Figura 17 se gt 0 ( seria repelida) caso contraacuterio apenas inverteriacuteamos o sentido

dessa seta ( seria atraiacuteda) Apoacutes medirmos a forccedila podemos nos livrar da carga de prova

Depois fazemos a razatildeo e o resultado dessa conta eacute o valor de ( ) que seria representado pela

seta verde na Figura se gt 0 caso contraacuterio apenas inverteriacuteamos o sentido dessa seta A todo rigor

deveriacuteamos desenhar a seta verde de um tamanho diferente da seta vermelha a natildeo ser que valesse = 1 C

o que natildeo seria aconselhaacutevel pois 1 coulomb eacute um valor grande de carga eleacutetrica para uma carga de prova O

mais realista seria que a carga de prova fosse um proacuteton e que cong 16 times10 C Portanto na Figura 17 a

seta verde deveria ser cerca de 10 vezes maior que a seta vermelha Como isso eacute impraticaacutevel uma seta

desse tamanho simplesmente natildeo caberia no desenho preferimos deixar as setas com os tamanhos que estatildeo

e entender que a Figura estaacute fora de escala (as partiacuteculas tambeacutem natildeo satildeo bolinhas com os tamanhos

mostrados na Figura elas satildeo idealmente pontuais) Enfim jaacute conhecemos a forccedila entre duas cargas

pontuais ela eacute dada pela lei de Coulomb e portanto

( ) = ( ) = 1 14 = 14 = 14

( a )

( b ) ( c )

( ) Figura 17 Ilustraccedilatildeo do processo de definirmedir o campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual atraveacutes de uma carga de prova

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

sendo um vetor unitaacuterio na direccedilatildeo (radial) e sentido do vetor mostrado na Figura 17 (na uacuteltima igualdade

preferimos escrever a razatildeo no lugar de o que daacute no mesmo pois = Usaremos uma forma ou

a outra conforme a conveniecircncia) Note entatildeo que a carga de prova natildeo aparece na expressatildeo do campo

eleacutetrico de O campo eletrostaacutetico de depende apenas de da distacircncia (raio) ateacute e da direccedilatildeo radial tomando como centro ( ) = 14

Trata-se de um campo radial cuja intensidade decai com o quadrado da distacircncia ateacute a carga que

estaacute gerando esse campo O nome mais apropriado para ( ) eacute ldquocampo eletrostaacuteticordquo mas muitas vezes

usamos o termo mais simples ldquocampo eleacutetricordquo Sendo essa lei do campo eleacutetrico uma consequumlecircncia direta da

lei de Coulomb para a forccedila entre partiacuteculas carregadas vamos chamaacute-la simplesmente de lei de Coulomb A

lei de Coulomb para a forccedila implica na lei de Coulomb para o campo de forccedila da carga pontual elas satildeo

equivalentes Se quisermos ter uma ideia de como eacute esse campo eleacutetrico basta que desenhemos vaacuterias setas

representando o valor de ( ) em diferentes pontos do espaccedilo como na Figura 18 abaixo para uma carga

positiva e para uma carga negativa

Considere nessa Figura que o ponto onde a seta de ( ) se inicia eacute o ponto onde esse campo estaacute

sendo definido Notamos que agrave medida que nos afastamos das cargas as setas se tornam menores porque a

magnitude do campo eleacutetrico de uma carga pontual decai com o quadrado da distacircncia ateacute ela

Para uma carga positiva as setas apontam para fora na direccedilatildeo de enquanto que para uma carga

negativa as setas apontam para dentro na direccedilatildeo de minus (lembre-se que sempre aponta no sentido do

crescimento da variaacutevel raio ( ) tomando a carga como centro

Deve-se fazer um esforccedilo para entender que a Figura 18 ilustra apenas um corte no plano da paacutegina

mas que as setas de ( ) existem no espaccedilo todo tambeacutem fora do plano do papel A Figura 19 obtida no

programa Maple de computaccedilatildeo algeacutebrica (httpswwwmaplesoftcom) ilustra melhor a ideia de um campo

radial no espaccedilo tridimensional

Figura 18 Algumas setas do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual positiva e negativa Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees lt 0 gt 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Com relaccedilatildeo agrave constante na expressatildeo do campo eleacutetrico vale a mesma observaccedilatildeo que fizemos laacute

atraacutes quando estudamos a lei de Coulomb A ideia baacutesica aqui eacute que o campo eleacutetrico que eacute dado por

( ) = 14 eacute o campo eleacutetrico medido no espaccedilo na posiccedilatildeo criado pela partiacutecula de carga eleacutetrica que estaacute

localizada no vaacutecuo ou seja natildeo haacute outras partiacuteculas no espaccedilo apenas a partiacutecula de carga Se esse espaccedilo

em que essa partiacutecula estaacute for preenchido por um meio material o ar por exemplo o campo eleacutetrico na

posiccedilatildeo deixa de ser dado pela expressatildeo acima (que vamos chamar de ( )) Isso ocorre natildeo porque o

campo eleacutetrico de ( ( )) muda mas porque as outras partiacuteculas no espaccedilo partiacuteculas que compotildeem esse

meio material circundante tambeacutem geram campo eleacutetrico em (elas podem se polarizar por exemplo devido

agrave influecircncia de ) Basicamente o campo eleacutetrico resultante em se torna

( ) = ( ) + ( ) = 14 + ( ) Constatamos que para muitos meios materiais simples ocupando o espaccedilo os dois termos na

expressatildeo acima podem se juntar e o campo eleacutetrico resultante em pode ser escrito como

( ) = 14 sendo a permissividade eleacutetrica do meio material Por exemplo se estaacute fixa debaixo drsquoaacutegua obtemos

( ) = ( ) + Aacute ( ) = 14 Aacute sendo Aacute cong 80 Portanto o campo eleacutetrico devido agrave embaixo da aacutegua eacute cerca de 80 vezes menor que

o campo que essa mesma partiacutecula produziria no vaacutecuo (na mesma posiccedilatildeo) Isso ocorre por causa da

Figura 19 Ilustraccedilatildeo do campo eleacutetrico radial produzido por uma carga pontual As pontas das setas (azuis) natildeo satildeo visiacuteveis nessa escala mas estariam apontando para fora do centro no caso de uma carga positiva e para dentro no caso de uma carga negativa

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

polarizaccedilatildeo eleacutetrica da aacutegua e da blindagem que ela confere agraves cargas eleacutetricas mergulhadas nela Por isso a

aacutegua eacute o solvente universal e pode por exemplo dissolver o sal de cozinha (iacuteons Na+ e Cl-) misturado nela

Resumindo ao trocar por na expressatildeo do campo eleacutetrico da carga pontual o campo

eleacutetrico ( ) deixa de ser o campo que a partiacutecula de carga faz (sozinha) no espaccedilo ( ( )) e passa a ser o

campo eleacutetrico no espaccedilo devido agrave presenccedila da partiacutecula de carga No caso do ar vale cong 10006 e

basicamente facilitamos as coisas fazendo =

Daqui para diante faremos uma pausa no caacutelculo de forccedilas e passaremos a nos concentrar no caacutelculo

de campos eleacutetricos pois se conhecemos o campo de forccedila podemos posteriormente conhecer a forccedila (= ( )) Consideraremos diversas distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas e calcularemos o campo eleacutetrico que

elas geram no espaccedilo

Para comeccedilar se natildeo quisermos ter muito trabalho podemos aproveitar a situaccedilatildeo da moleacutecula polar

interagindo com um iacuteon de carga positiva que jaacute discutimos anteriormente cuja configuraccedilatildeo de cargas

repetimos na Figura 20 que segue

Nessa Figura mostramos tambeacutem a forccedila que a moleacutecula polar faz no iacuteon de carga na

aproximaccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico pequenopontual ( ≪ )

Deduzimos que a forccedila nessa aproximaccedilatildeo de um dipolo eleacutetrico pequeno ( ≪ ) eacute dada por

= minus4

com sendo o momento de dipolo eleacutetrico da moleacutecula polar Note que estaacute ao longo de minus

Portanto vamos considerar agora que eacute apenas uma carga de prova que foi colocada nessa

posiccedilatildeo para avaliar o campo eleacutetrico que a moleacutecula polar produz nesse ponto onde estaacute (que vamos

chamar de ponto P) Concluiacutemos que esse campo eleacutetrico em P eacute dado por

( ) = = 1 minus4 = minus4

Figura 20 Forccedila eleacutetrica que uma moleacutecula polar pontual com momento de dipolo faz em um iacuteon de carga

x

y

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A Figura 21 abaixo mostra a seta do campo ( ) (seta verde) produzido pela moleacutecula polar no

ponto P onde estava a carga de prova Natildeo precisamos mais da carga de prova e natildeo representamos ela na

Figura 21 pois ( ) eacute uma propriedade apenas da moleacutecula polar (e do ponto P)

O momento de dipolo define o campo eleacutetrico de uma moleacutecula polar campo que decai com o cubo

da distacircncia

Se realizarmos esse mesmo procedimento de colocar uma carga de prova calcular a forccedila que a

moleacutecula polar produz nela e dividir pelo valor da carga de prova para muitos pontos no espaccedilo teremos

entatildeo uma visatildeo mais geral de como eacute o campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula polar A Figura 22 que

segue ilustra algumas setas (em verde) do campo eleacutetrico produzido pelo dipolo eleacutetrico em sua

vizinhanccedila Note a simetria entre direita e esquerda e o fato de que as setas vatildeo ficando menores quando nos

afastamos do dipolo Tente imaginar essas setas definidas no espaccedilo tridimensional basicamente girando o

dipolo (a seta vermelha) em torno dele mesmo de tal forma que as setas saem do plano da paacutegina As setas

do campo basicamente apontam para fora do poacutelo positivo e para dentro do poacutelo negativo do dipolo (lembre-

se que aponta do poacutelo negativo para o poacutelo positivo)

Note que o dipolo eacute pontual e o tamanho da seta de natildeo

tem relaccedilatildeo com o tamanho do objeto dipolar (a moleacutecula) mas sim

com a intensidade da dipolaridade dessa moleacutecula Moleacuteculas com

dipolaridade mais intensa como a moleacutecula de aacutegua teratildeo um maior

e portanto uma seta de maior Note tambeacutem que a expressatildeo do

campo ( ) que obtivemos acima soacute vale no ponto P e natildeo expressa

portanto o valor de em outros pontos do espaccedilo Para esses outros

pontos temos que calcular novamente como fizemos para ( ) Daqui para diante simplesmente ignoraremos o processo de se

colocarposicionar uma carga de prova para avaliar o campo eleacutetrico e

partiremos diretamente do resultado anterior para o campo eleacutetrico

de uma carga pontual e do princiacutepio da superposiccedilatildeo para calcular o

( ) P

Figura 21 Campo eleacutetrico que uma moleacutecula polar produz em um ponto P na sua vizinhanccedila

x

y

Figura 22 Algumas setas do campo eleacutetrico que uma moleacutecula polar produz na sua vizinhanccedila

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

campo eleacutetrico de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas arbitraacuterias

O princiacutepio da superposiccedilatildeo para o campo eleacutetrico expressa basicamente a mesma ideia do princiacutepio

da superposiccedilatildeo para as forccedilas ele diz que o campo eleacutetrico resultante de vaacuterias cargas em um ponto do

espaccedilo eacute simplesmente a soma (vetorial) dos campos eleacutetricos individuais que cada uma das cargas produz

em como se as outras cargas natildeo existissem Resumindo

( ) = ( ) = 14 = 14 = 14

sendo a distacircncia entre e o ponto e um vetor unitaacuterio que aponta de

para esse ponto A Figura ao lado ilustra esses vetores para um sistema de trecircs

cargas eleacutetricas ldquoOrdquo eacute a origem (qualquer) onde nasce Os vetores nascem

nas cargas

Como exemplo do caacutelculo de campo eleacutetrico via princiacutepio da superposiccedilatildeo vamos considerar um

objeto triangular (uma moleacutecula) com trecircs cargas eleacutetricas fixadas em seus veacutertices conforme a Figura 23

abaixo

Uma moleacutecula de aacutegua possui uma estrutura triangular de cargas parecida com

a que estamos modelando aqui mas no caso da aacutegua o triacircngulo eacute isoacutesceles e natildeo

retacircngulo (ver a Figura ao lado)

Vemos na Figura 23 que a carga minus (negativa por hipoacutetese) produz no ponto P um campo eleacutetrico

dado por (usando o resultado que jaacute obtivemos para o campo de uma carga pontual a lei de Coulomb)

( ) = 14 (minus ) Analogamente a carga (positiva por hipoacutetese) produz em P o campo eleacutetrico

( ) = 14 ( + )

Finalmente a carga produz em P o campo eleacutetrico (obliacutequo) dado por

Figura 23 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e

x

y

minus

0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( ) = 14 ( + ) + [cos( ) minus sen( ) ] O acircngulo estaacute definido na Figura 24 abaixo onde ilustramos tambeacutem as setas dos campos eleacutetricos ( ) ( ) e ( ) em P Podemos ver nessa Figura que

cos( ) = +( + ) + e sen( ) = ( + ) +

Portanto ( ) = 14 [( + ) + ] [( + ) minus ] Note que radic =

Finalmente podemos usar o princiacutepio da superposiccedilatildeo para calcular o campo eleacutetrico ( ) que a

moleacutecula triangular produz na posiccedilatildeo P em sua vizinhanccedila ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Obtemos ( ) = 14 ( + )[( + ) + ] + ( + ) minus + minus[( + ) + ] Imagine agora que um iacuteon de carga seja colocado no ponto P em repouso Qual a forccedila eleacutetrica que a

moleacutecula triangular vai fazer nesse iacuteon Sabendo o campo eleacutetrico ( ) que a moleacutecula produz em P a

resposta a essa pergunta eacute simples

= ( ) Da mesma forma o iacuteon faraacute na moleacutecula triangular uma forccedila = minus

Podemos simplificar a expressatildeo de ( ) supondo que o objeto triangular representa uma moleacutecula

bem pequena e tomar os limites cong 0 e cong 0 Simplesmente desprezando e obtemos para

uma moleacutecula pontual ( ) = 14 ( + minus )

Figura 24 Campos eleacutetricos criados pelas trecircs cargas da moleacutecula triangular na posiccedilatildeo P

x

y

minus

( )( )( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Mas note que para uma moleacutecula eletricamente neutra esperamos que + minus = 0 o que leva

a ( ) = 0 Portanto estamos exagerando em nossa aproximaccedilatildeo que eacute muito grosseira Sabemos que ( ) eacute pequeno para uma moleacutecula pequena mas natildeo nulo Portanto vamos ter que apelar para a expansatildeo

binomial truncada (1 + ) = 1 + se cong 0

Primeiramente definimos = e = Se colocarmos em evidecircncia na expressatildeo de ( ) vemos que esses (cong 0 por hipoacutetese) aparecem explicitamente

( ) = 14 (1 + )[(1 + ) + ( ) ] + (1 + ) minus+ minus [(1 + ) + ( ) ]

Portanto

( ) = 14 (1 + )[(1 + ) + ] + (1 + ) minus + minus[(1 + ) + ]

Desprezando desde jaacute os termos obtemos uma expressatildeo mais simples

( ) = 14 (1 + ) + (1 + ) minus + minus(1 + )

Note que ( ) =

Escolhendo e convenientemente na expansatildeo binomial obtemos = minus2 = (1 + ) = 1 + (minus2) = minus3 = (1 + ) = 1 + (minus3)

Portanto ( ) = 14 ( + )(1 minus 2 ) minus minus (1 minus 3 )

Impondo a neutralidade da moleacutecula ( + minus = 0) obtemos (desprezando o produto )

( ) = 14 [minus2( + ) minus ] = 14 [minus2 minus ] Trata-se de um campo dipolar pois decai com 1 (um campo monopolar decai com 1 mas o monopolo

aqui eacute nulo pois a moleacutecula eacute eletricamente neutra) A Figura 25 abaixo ilustra esse campo (seta verde) jaacute

considerando que a moleacutecula triangular (M) se tornou pontual

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Note que natildeo haacute nada em P trata-se de um ponto no vaacutecuo (a bolinha preta representa apenas um

ponto no espaccedilo) Todas as cargas eleacutetricas estatildeo concentradas em M (bolinha vermelha) e produzem em P o

campo eleacutetrico resultante ( ) Se um iacuteon de carga eleacutetrica for colocado no ponto P em repouso ele vai

sofrer a forccedila eleacutetrica dada por

= ( ) Vemos na Figura que se valer gt 0 esse iacuteon vai ser empurrado para baixo em uma direccedilatildeo obliacutequa

em relaccedilatildeo aos eixos x e y Esse iacuteon vai comeccedilar a orbitar a moleacutecula M O que resultaria disso no mundo real

natildeo sabemos

122 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico

Um campo eleacutetrico eacute um campo vetorial e associa portanto a cada posiccedilatildeo no espaccedilo uma seta

representada pela funccedilatildeo ( ) Se quisermos ter uma ideia do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula

de aacutegua podemos dar uma olhada na Figura 22 que mostra algumas setas do campo eleacutetrico de um objeto

pequeno dipolar

Podemos imaginar uma forma mais agradaacutevel de visualizar e representar a configuraccedilatildeo do campo

eleacutetrico no espaccedilo na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo de cargas Para isso definimos o conceito de linha de

forccedila que foi introduzido por Michael Faraday um dos gecircnios fundadores do eletromagnetismo Basicamente

uma linha de forccedila eacute uma linha contiacutenua orientada que eacute tangente ao campo eleacutetrico em todos os pontos do

espaccedilo orientada no mesmo sentido do campo eleacutetrico em cada ponto Ao representar diagramas de linhas de

forccedila devemos obedecer a duas regras baacutesicas

1) Duas linhas de forccedila natildeo podem se cruzar em um ponto pois nesse ponto a direccedilatildeo do campo

eleacutetrico natildeo estaria definida (mas uma linha de forccedila pode mudar sua orientaccedilatildeo em um ponto do

espaccedilo onde o campo eleacutetrico se anula)

2) Uma linha de forccedila natildeo pode comeccedilar no nada ou terminar no nada pois nessa extremidade da

linha a direccedilatildeo do campo eleacutetrico natildeo estaria definida Linhas de forccedila nascem em cargas pontuais

positivas terminam em cargas pontuais negativas ou se estendem ateacute o infinito

P

Figura 25 Campo eleacutetrico criado pela moleacutecula pontual M (triangular) na posiccedilatildeo P

x

y

M ( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Jaacute conhecemos o campo eleacutetrico radial de uma carga pontual Portanto as linhas de forccedila na

vizinhanccedila de uma carga pontual satildeo radiais nascem na carga e se estendem ateacute o infinito se ela for positiva

ou nascem no infinito e terminam na carga se ela for negativa A ideia estaacute ilustrada na Figura 26 abaixo

Nessa Figura devemos entender que as linhas de forccedila se estendem ateacute o infinito pois uma linha de

forccedila natildeo pode comeccedilar ou terminar em um ponto no vaacutecuo onde natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica

Desenhamos oito linhas em cada carga mas poderiacuteamos desenhar mais ou menos linhas Apenas escolhemos

um nuacutemero de linhas que eacute suficiente para ilustrar a configuraccedilatildeo de campo eleacutetrico nessas regiotildees do espaccedilo

Devemos fazer um esforccedilo e imaginar essas figuras em trecircs dimensotildees com linhas de forccedila irradiando

em todas as direccedilotildees Comparando as Figuras 26 e 18 fica clara a vantagem da representaccedilatildeo graacutefica do campo

eleacutetrico atraveacutes de linhas de forccedila Devemos enfatizar que linhas de forccedila natildeo satildeo objetos reais que existem

no espaccedilo e que fluem daqui para laacute ou de laacute para caacute Linhas de forccedila satildeo apenas objetos matemaacuteticos que

representam graficamente a configuraccedilatildeo do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de cargas eleacutetricas

Agora podemos tentar representar as linhas de forccedila na vizinhanccedila de um dipolo eleacutetrico Podemos

nos basear na Figura 22 e sair traccedilando linhas que tangenciam as setas do campo eleacutetrico em todos os pontos

sem nunca se cruzarem nascendo na carga positiva e terminando na carga negativa Como eacute muito difiacutecil fazer

essa figura na matildeo preferimos aqui recorrer a uma figura jaacute pronta A Figura 27 abaixo foi copiada do livro

(claacutessico) Static and Dynamic Electricity de W R Smythe (1950) Apenas algumas linhas estatildeo orientadas elas

satildeo orientadas da carga (poacutelo) positiva para a carga (poacutelo) negativa com exceccedilatildeo das duas linhas retas que se

estendem ateacute o infinito O dipolo pontual estaacute no centro dessa Figura com seu momento de dipolo

orientado para cima (poacutelo positivo acima do negativo) Essa eacute a configuraccedilatildeo das linhas de forccedila do campo

eleacutetrico na vizinhanccedila de uma moleacutecula de aacutegua

-+

Figura 26 Configuraccedilotildees das linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga eleacutetrica pontual positiva e de uma carga pontual negativa As linhas satildeo radiais e se estendem ateacute o infinito

Figura 27 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de um dipolo eleacutetrico pontual localizado no centro da Figura com orientado para cima

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Nesse mesmo livro encontramos a configuraccedilatildeo de linhas de forccedila mostrada na Figura 28 abaixo

proacuteximo de duas cargas pontuais iguais de mesmo sinal (esqueccedila as linhas tracejadas) Devemos sempre fazer

um esforccedilo para enxergar essas configuraccedilotildees de linhas de forccedila no espaccedilo tridimensional

Enfim podemos sair procurando na internet e vamos encontrar algumas Figuras mais modernas e mais

agradaacuteveis que representam essas configuraccedilotildees de linhas de forccedila Na Figura 29 que segue mostramos

Figuras retiradas do site academoorg onde encontramos um applet (um programaaplicativo) que nos

permite definir livremente os valores das duas cargas eleacutetricas fixas no espaccedilo uma ao lado da outra

Na Figura 29(a) que eacute um dipolo eleacutetrico vemos que quando as cargas tecircm sinais opostos as linhas de

forccedila nascem no poacutelo + e morrem no poacutelo ndash (a exceccedilatildeo seriam duas linhas retas que se estendem ateacute o

infinito mostradas claramente na Figura 27 mas que o applet natildeo desenhou) No caso da Figura 29(b) com

cargas iguais (positivas) as linhas de forccedila satildeo todas abertas e se estendem ateacute o infinito elas morrem no

infinito As linhas natildeo podem se cruzar e por isso temos a impressatildeo nessa Figura que elas se repelem

mutuamente na regiatildeo entre as cargas Se na Figura 29(a) as cargas natildeo tivessem o mesmo moacutedulo algumas

linhas de forccedila iriam se estender ateacute o infinito (aleacutem das duas linhas que jaacute estatildeo representadas na Figura 27)

Figura 29 (a) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo dipolar de cargas eleacutetricas Duas cargas +q (vermelha) e ndashq (azul)

(b) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo formada por duas cargas eleacutetricas iguais (ambas positivas)

Figura 28 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de duas cargas pontuais de mesma magnitude e de mesmo sinal As linhas natildeo foram orientadas as cargas podem ser ambas positivas ou negativas (esqueccedila as linhas tracejadas)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Isso porque devemos respeitar mais uma regra quando representamos diagramas de linhas de forccedila

aleacutem das duas que jaacute mencionamos Essa regra nos permite ldquovisualizarrdquo a magnitude (intensidade) do campo

eleacutetrico no espaccedilo

Em um diagrama de linhas de forccedila do campo eleacutetrico a direccedilatildeo e o sentido do campo eleacutetrico em um

ponto qualquer do espaccedilo satildeo evidentes a seta do campo eleacutetrico eacute tangente agrave linha de forccedila que passa por

esse ponto orientada no mesmo sentido da linha de forccedila Mas e quanto agrave magnitude do campo eleacutetrico ou

seja o tamanho da seta de Podemos obter informaccedilatildeo sobre essa magnitude em um diagrama de linhas de

forccedila Podemos ldquoenxergarrdquo a magnitude do campo eleacutetrico em uma configuraccedilatildeo de linhas forccedila atraveacutes da

densidade de linhas no espaccedilo nas regiotildees onde a densidade de linhas eacute alta o campo eleacutetrico eacute mais intenso

Eacute o caso da regiatildeo entre as cargas na Figura 29(a) Na regiatildeo onde a densidade de linhas eacute baixa o campo

eleacutetrico eacute mais fraco Eacute o caso da regiatildeo entre as cargas na Figura 29(b) Notamos claramente que agrave medida

que nos afastamos da distribuiccedilatildeo de cargas as linhas de forccedila vatildeo ficando mais afastadas entre si refletindo

o decaimento do campo eleacutetrico com a distacircncia agraves cargas Isso eacute evidente quando olhamos na configuraccedilatildeo

de linhas de forccedila de uma carga pontual apenas como na Figura 26 Nesse caso mais simples podemos ser

mais especiacuteficos quanto a essa densidade de linhas de forccedila Considere o nuacutemero de linhas de forccedila por

unidade de aacuterea ortogonal a essas linhas ou seja por unidade de aacuterea de superfiacutecie esfeacuterica centrada na carga

pontual Estando fixa a quantidade de linhas representadas na Figura que se estendem ateacute o infinito essa

densidade de linhas de forccedila por unidade de aacuterea decai com 1 pois a aacuterea da esfera cresce com ( eacute o

raio que nasce na carga pontual) Esse (1 ) eacute exatamente o decaimento da magnitude do campo eleacutetrico de

uma carga pontual

Para que essa ideia funcione devemos entatildeo respeitar a seguinte regra ao representar as linhas de

forccedila se desenhamos N linhas de forccedila saindo ou entrando de uma carga pontual devemos desenhar 2N

linhas de forccedila saindo ou entrando de uma carga pontual 2 e assim por diante Somente assim poderemos

ldquoenxergarrdquo que na vizinhanccedila da carga 2 haacute o dobro de linhas de forccedila e portanto o campo eleacutetrico eacute o

dobro do campo eleacutetrico na vizinhanccedila da carga Nas Figuras 29(a) e 29(b) vemos que o applet optou por

desenhar 10 linhas de forccedila entrando ou saindo de cada uma das cargas pontuais (esse nuacutemero eacute arbitraacuterio)

Na Figura 30(a) abaixo mostramos uma distribuiccedilatildeo de cargas dipolar assimeacutetrica formada por uma

carga 2 na vizinhanccedila de uma carga minus Vemos que infelizmente o applet falhou nesse caso Por isso

tivemos que acrescentar mais uma linha de forccedila (agrave direita da Figura) ldquona matildeordquo

Note que ldquoemanamrdquo 20 linhas de forccedila da carga 2 e ldquoentramrdquo apenas 9 linhas de forccedila na carga minus

(deveriam ser 10) Para dar um jeito nisso acrescentamos uma linha na matildeo a linha ldquohorizontalrdquo mais agrave direita

que entra em minus e tambeacutem se estende ateacute o infinito Note que sobre essa linha haacute um ponto em que o campo

eleacutetrico se anula e portanto a linha de forccedila muda de orientaccedilatildeo (o campo muda de sinal) nesse ponto Essa

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

deve ter sido a dificuldade do applet nesse caso Portanto 12 linhas de forccedila ldquonascemrdquo nesse objeto dipolar e

se estendem ateacute o infinito Vemos que na regiatildeo mais agrave esquerda da carga 2 o campo eleacutetrico eacute mais intenso

que na regiatildeo mais agrave direita da carga minus pois a densidade de linhas de forccedila aiacute (mais agrave esquerda de 2 ) eacute

maior Tente imaginar essa Figura no espaccedilo tridimensional

Na Figura 30(b) mostramos uma distribuiccedilatildeo de duas cargas positivas formada por uma carga na

vizinhanccedila de uma carga 3 Aqui o applet acertou ldquoEmanamrdquo 10 linhas de forccedila da carga e 30 linhas de

forccedila da carga 3 Portanto 40 linhas de forccedila ldquonascemrdquo nessas cargas e se estendem ateacute o infinito Vemos

que na regiatildeo mais agrave esquerda da carga o campo eleacutetrico eacute mais fraco que na regiatildeo mais agrave direita da carga 3 pois a densidade de linhas de forccedila aiacute (mais agrave esquerda de ) eacute menor Vemos um ldquoburacordquo na regiatildeo entre

as cargas de onde as linhas de forccedila parecem ser repelidas Haacute um ponto no meio desse buraco onde o campo

eleacutetrico se anula e se desenharmos uma linha de forccedila reta unindo as duas cargas a orientaccedilatildeo dessa linha

mudaria nesse ponto Na vizinhanccedila desse ponto o campo eleacutetrico eacute fraco e daiacute vem a presenccedila desse

ldquoburacordquo (o applet parece evitar desenhar essas linhas de forccedila com mudanccedila de orientaccedilatildeo elas satildeo mais

difiacuteceis de se calcular e aleacutem disso a presenccedila do buraco vazio acaba ilustrando melhor a ldquofraquezardquo do

campo eleacutetrico nessa regiatildeo)

Enfim poderiacuteamos passar horas representando as configuraccedilotildees de linhas de forccedila para diferentes

configuraccedilotildees de cargas eleacutetricas Esperamos que os exemplos que jaacute demos convenccedilam que a representaccedilatildeo

de campos eleacutetricos atraveacutes de linhas de forccedila eacute mais interessante e agradaacutevel aos olhos que a representaccedilatildeo

desses campos atraveacutes de setas de vetores Apenas para finalizar representamos na Figura 31 abaixo algumas

Figura 30 (a) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo dipolar de cargas eleacutetricas em que o polo positivo eacute mais intenso +2q e ndashq

(b) Linhas de forccedila do campo eleacutetrico na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo formada por duas cargas eleacutetricas (positivas) de valores diferentes +q e +3q

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

linhas de forccedila (em azul) do campo eleacutetrico produzido pela moleacutecula

triangular que jaacute discutimos no texto (Figura 24) Nessa Figura fizemos

a hipoacutetese de que = 03 e = 07 (moleacutecula eletricamente

neutra) Todas as linhas de forccedila que nascem em e em morrem

na carga minus (nenhuma linha se estende ateacute o infinito) Essa Figura foi

gerada atraveacutes do simulador que pode ser encontrado em

httpsdemonstrationswolframcomElectricFieldsForThreePointChar

ges Podemos imaginar iacuteons ou outras moleacuteculas colocados nessa

vizinhanccedila e fluindo sob accedilatildeo de forccedilas eleacutetricas tangentes a essas

linhas de forccedila

13 Forccedila e torque em uma partiacutecula dipolar em um campo eleacutetrico externo

Jaacute tivemos oportunidade de calcular a forccedila sobre partiacuteculas dipolares ou seja partiacuteculas que possuem

momento de dipolo eleacutetrico Calculamos essa forccedila utilizando a lei de Coulomb na hipoacutetese de que o dipolo

eleacutetrico estava na vizinhanccedila de um iacuteon ou de outra partiacutecula dipolar Agora calcularemos essa forccedila de uma

forma mais geral supondo que a partiacutecula dipolar esteja simplesmente em uma regiatildeo onde existe um campo

eleacutetrico um campo eleacutetrico criado por outros objetos estaacuteticos carregados na vizinhanccedila desse dipolo

eleacutetrico Por exemplo se esse objeto for um iacuteon como jaacute discutimos anteriormente entatildeo seria o campo

eleacutetrico que o iacuteon produz na regiatildeo onde se encontra o dipolo eleacutetrico Aqui ao inveacutes de utilizarmos a lei de

Coulomb vamos partir da lei = que daacute a forccedila sobre uma partiacutecula de carga eleacutetrica que estaacute em um

ponto do espaccedilo onde existe um campo eleacutetrico Jaacute sabemos que a estrutura interna de um objeto dipolar eacute

formada por dois poacutelos + e ndash separados por uma distacircncia d conforme ilustrado na Figura 32 abaixo

Figura 32 Uma moleacutecula dipolar (duas cargas e minus separadas por um deslocamento ) caracterizada

apenas por seu momento de dipolo = estaacute em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo eleacutetrico

produzido por outras cargas eleacutetricas (natildeo mostradas) Note que (e ) aponta ao longo de d com o sentido da carga ndash para a carga +

y

minus

d

minus

d

Figura 31 linhas de forccedila de na vizinhanccedila de uma moleacutecula triangular como na Fig 24

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

A Figura 32 mostra o dipolo eleacutetrico em uma regiatildeo onde existe um campo eleacutetrico externo (setas

azuis) produzido por outros objetos carregados que natildeo estatildeo mostrados na Figura O campo estaacute definido

em todos os pontos do espaccedilo mas para o caacutelculo da forccedila sobre o objeto dipolar soacute interessam os valores de

nos pontos onde as cargas (dos poacutelos) plusmn estatildeo

Sejam entatildeo o valor do campo no ponto onde estaacute a carga + e o valor do campo no ponto

onde estaacute a carga ndash Na segunda Figura mostramos as forccedilas e sobre os poacutelos do dipolo Note que eacute

oposta ao campo Do princiacutepio da superposiccedilatildeo a forccedila resultante no dipolo eacute = + = + (minus ) = minus = ∆

Vemos que a forccedila no dipolo eleacutetrico eacute dada pela variaccedilatildeo ∆ = minus do campo eleacutetrico dentro do dipolo

Esperamos que na praacutetica para uma moleacutecula por exemplo essa forccedila seja em geral minuacutescula porque ∆

seraacute a variaccedilatildeo do campo eleacutetrico dentro de uma distacircncia da ordem de 10 metros Em particular para um

campo eleacutetrico uniforme ou seja um campo eleacutetrico que possui o mesmo valor em todos os pontos do

espaccedilo vale ∆ = minus = 0 pois = = =constante Nesse caso natildeo haacute forccedila resultante no dipolo

e seu centro de massa (CM) possui aceleraccedilatildeo nula (desprezando outras forccedilas como a gravidade) Se o CM da

moleacutecula dipolar estava em repouso ele vai continuar em repouso mesmo estando a moleacutecula em uma regiatildeo

com campo eleacutetrico natildeo nulo (mas uniforme)

Note que nos casos que discutimos anteriormente em que calculamos a forccedila eleacutetrica sobre uma

moleacutecula dipolar produzida por um iacuteon ou por outro objeto dipolar o campo eleacutetrico no espaccedilo produzido por

esses objetos era natildeo uniforme e por isso obtivemos uma forccedila natildeo nula De fato para a forccedila atrativa que

um iacuteon de carga positiva faz em um dipolo pontual com seu momento de dipolo paralelo a um raio que

passa pelo iacuteon (ver Figura 13) obtivemos a forccedila do iacuteon no dipolo (sendo a distacircncia iacuteondipolo)

= minus 12

Podemos obter novamente esse resultado com base no que deduzimos aqui Considere que o campo eleacutetrico

do iacuteon de carga eacute dado pela lei de Coulomb ( ) = 14 e que portanto dentro de um dipolo de tamanho infinitesimal = obtemos a variaccedilatildeo em

∆ = = = minus12 = minus12

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Nesse exemplo tiramos vantagem de que se o dipolo estaacute deitado na direccedilatildeo radial entatildeo a variaccedilatildeo ∆ eacute a

variaccedilatildeo de apenas na direccedilatildeo radial e que = = Para um dipolo com uma orientaccedilatildeo mais geral a

conta seria mais complicada (envolveria as trecircs derivadas de em x em y e em z) Note que ( ) =minus2 Note tambeacutem que nesse caso = e assim a expressatildeo ∆ recupera aquela acima para

Resumindo sendo a carga no poacutelo positivo do dipolo obtemos a forccedila iacuteondipolo

= ∆ = minus12 = minus12

sendo = o momento de dipolo eleacutetrico desse dipolo

Estando o dipolo eleacutetrico em uma regiatildeo com campo eleacutetrico uniforme natildeo acontece nada com ele

Acontece ele sofre um torque Um torque que depende da orientaccedilatildeo de relativa a Vamos usar a Figura

32 para calcular esse torque fazendo jaacute a simplificaccedilatildeo em que = = Lembramos que o torque de

uma forccedila eacute dado por = times

sendo a posiccedilatildeo de aplicaccedilatildeo da forccedila Sendo posiccedilatildeo um conceito relativo segue que o torque tambeacutem eacute O

torque depende em princiacutepio da origem que escolhemos para o caacutelculo das posiccedilotildees Mas no caso

especiacutefico em que a resultante das forccedilas eacute nula segue que o torque resultante dessas forccedilas independe da

referecircncia que usamos para definir Portanto podemos escolher essa origem de acordo com nossa

conveniecircncia (fazemos isso o tempo todo em problemas de equiliacutebrio estaacutetico de corpos riacutegidos) Aqui vamos

escolher por conveniecircncia a origem exatamente na posiccedilatildeo da carga ndash Nesse caso segue que = 0 e = Portanto o torque resultante sobre o dipolo eacute = + = times + times = times + 0

Concluindo como natildeo poderia deixar de ser o torque sobre o dipolo depende intrinsecamente de seu

momento de dipolo = pois = times = times = times

Esse resultado vale para um objeto dipolar de tamanho arbitraacuterio pois natildeo fizemos nenhuma hipoacutetese

sobre Mas eacute verdade que para um objeto microscoacutepico como uma moleacutecula fica mais faacutecil justificar a

hipoacutetese de uniformidade do campo De fato mesmo que fosse natildeo uniforme sua variaccedilatildeo dentro de

uma distacircncia microscoacutepica (como o tamanho de uma moleacutecula) seria basicamente despreziacutevel (usamos essa

mesma ideacuteia quando consideramos que a aceleraccedilatildeo da gravidade eacute uniforme proacuteximo agrave superfiacutecie da Terra)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Portanto um dipolo eleacutetrico inicialmente em repouso na presenccedila de um campo eleacutetrico externo

uniforme natildeo sai do lugar (pois a resultante das forccedilas eacute nula) mas sofre um torque e gira em torno de um

eixo que passa por seu CM O moacutedulo desse torque eacute dado por = times = sen( ) sendo o (menor) acircngulo entre os vetores e conforme a Figura ao lado Na Figura ao lado o

torque estaacute para dentro do plano da paacutegina (de acordo com a regra da matildeo direita do produto

vetorial movimento dos dedos da matildeo direita indo de para atraveacutes de implica no polegar

no sentido de times ) e portanto ele produz um giro do vetor no sentido horaacuterio alinhando o

vetor momento de dipolo eleacutetrico da moleacutecula com o vetor campo eleacutetrico externo que existe na regiatildeo

onde essa moleacutecula estaacute A posiccedilatildeo = 0 eacute uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel pois nela vale = 0 (se o

dipolo jaacute estiver nessa posiccedilatildeo ele permanece nela) e para ne ne 0 o torque gira a moleacutecula e leva o

momento de dipolo ateacute ela A posiccedilatildeo oposta = eacute uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel pois nela vale = 0 (se o dipolo jaacute estiver nessa posiccedilatildeo ele permanece nela) e para ne ne 0 o torque gira a

moleacutecula e leva o momento de dipolo para longe dela (leva para = 0)

Concluindo estamos vendo aqui um mecanismo em que podemos transferir energia cineacutetica de

rotaccedilatildeo = 2 para partiacuteculas (moleacuteculas) que possuem momento de dipolo eleacutetrico intriacutenseco como

as moleacuteculas de aacutegua Note que a moleacutecula que estiver em uma orientaccedilatildeo qualquer ne ne 0 vai sofrer um

torque que vai levaacute-la para a posiccedilatildeo = 0 de tal forma que a moleacutecula vai oscilar em torno dessa posiccedilatildeo

em um movimento pendular pois o torque natildeo eacute constante durante esse giro da moleacutecula ele alterna de

sinal conforme a moleacutecula passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio = 0 Havendo algum mecanismo de dissipaccedilatildeo

como um arraste atuando nessa moleacutecula ela vai oscilar para laacute e para caacute em torno de = 0 ateacute que vai

finalmente atingir o repouso (como um pecircndulo amortecido) A energia cineacutetica vai ser transferida para

o meio em que a moleacutecula dipolar estaacute imersa Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do forno de microondas

O forno de microondas eacute basicamente uma cavidade dentro da qual eacute gerado um campo eleacutetrico

intenso um campo eleacutetrico que muda com o tempo um campo oscilatoacuterio (de fato uma onda

eletromagneacutetica) O campo eleacutetrico oscila no tempo com uma frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo ( cong 25 GHz sendo G =

giga = 109 e comprimento de onda cong 12 cm) que estaacute na chamada faixa de microondas dentro do espectro

eletromagneacutetico daiacute o nome ldquoforno de microondasrdquo Vamos chamar esse campo de ( ) ( eacute o tempo)

Dentro do forno essas ondas eletromagneacuteticas refletem nas paredes e formam ondas estacionaacuterias com

regiotildees em que ( ) eacute mais intenso e regiotildees em que ele eacute menos intenso (daiacute a necessidade do prato

giratoacuterio) ou seja de fato ( ) = ( ) (assim como o campo magneacutetico que tambeacutem existe no forno)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Portanto imagine um pedaccedilo de alimento colocado dentro dessa cavidade e considere que esse

alimento conteacutem dentro dele aacutegua (um pedaccedilo de carne por exemplo) O alimento eacute basicamente um

substrato (carboidratos+proteiacutenas+lipiacutedeos) permeado por moleacuteculas de aacutegua (cerca de 75) As moleacuteculas de

aacutegua estatildeo laacute com seus momentos de dipolo eleacutetrico orientados ao acaso Ao ligar o forno liga-se o campo

eleacutetrico ( ) e esse campo penetra dentro do alimento atingindo as posiccedilotildees onde estatildeo as moleacuteculas de

aacutegua Cada moleacutecula sofre um torque = times ( ) e comeccedila a girar buscando a posiccedilatildeo = 0 de

alinhamento dos vetores e ( ) Em um proacuteximo instante o campo ( ) jaacute mudou jaacute estaacute em outra direccedilatildeo

e a moleacutecula de aacutegua inicia um novo giro buscando a nova posiccedilatildeo = 0 de alinhamento dos vetores e ( ) Enfim vocecirc deve ter entendido que um campo eleacutetrico vibratoacuterio vai produzir um movimento vibratoacuterio

permanente das moleacuteculas de aacutegua no interior do alimento ou seja uma produccedilatildeo permanente de

Havendo a interaccedilatildeo da aacutegua com o restante do alimento (o substrato) essa energia cineacutetica vai sendo

transferida para todo o alimento sua energia interna vai aumentando e ele vai esquentando No forno

convencional a energia teacutermica flui de fora para dentro do alimento No forno de microondas a energia

teacutermica eacute produzida dentro do proacuteprio alimento atraveacutes de e Cada moleacutecula de aacutegua eacute uma fonte

minuacutescula de calor Fornos de microondas satildeo seguros ldquovazamrdquo pouquiacutessima radiaccedilatildeo eletromagneacutetica para o

ambiente e natildeo alteram quimicamente os alimentos pois a radiaccedilatildeo utilizada natildeo tem energia suficiente para

fazecirc-lo (se vocecirc tiver interesse em mais informaccedilotildees veja o artigo Physics of the microwave oven M Vollmer

Physics Education 39 2004)

14 Distribuiccedilotildees contiacutenuas de cargas eleacutetricas

Em princiacutepio chegamos em um ponto em que podemos calcular o campo eleacutetrico (ou eletrostaacutetico) de

qualquer distribuiccedilatildeo de N cargas estaacuteticas Basta utilizar a lei de Coulomb e o princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = ( ) = 14 = 14 = 14

Essa expressatildeo para o campo eleacutetrico resultante pode ser usada para calcular o campo de qualquer

distribuiccedilatildeo microscoacutepica de cargas estaacuteticas como aacutetomos e moleacuteculas Podemos usaacute-la tambeacutem para o

caacutelculo do campo eleacutetrico de objetos macroscoacutepicos eletrizados como um pente que foi atritado no cabelo

Mas nesses casos haacute um fato importante que em princiacutepio pode ser visto como uma dificuldade mas que no

final das contas acaba por se tornar uma facilidade O fato eacute que nessas distribuiccedilotildees de cargas macroscoacutepicas

a quantidade N de cargas eleacutetricas (eleacutetrons proacutetons ou iacuteons) eacute muito grande da ordem do nuacutemero de

Avogadro (cong 10 ) e o somatoacuterio dado na expressatildeo acima se torna impraticaacutevel Imagine que atritemos uma

superfiacutecie de plaacutestico com um tecido criando nessa superfiacutecie uma eletrizaccedilatildeo ou seja arrancando ou

depositando um monte de eleacutetrons nessa superfiacutecie Esse ldquomonterdquo eacute o N que eacute da ordem do nuacutemero de

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Avogadro Aleacutem disso esse monte de cargas eleacutetricas fica concentrado em uma mancha uma mancha

localizada na superfiacutecie de plaacutestico composta de cong 10 partiacuteculas de carga eleacutetrica cong 10 C separadas

entre si por distacircncias cong 10 m Esses nuacutemeros mostram que essa mancha se aproxima muito do que

entendemos como uma distribuiccedilatildeo contiacutenua de cargas eleacutetricas em contraste com um conjunto pequeno de

cargas eleacutetricas separadas no espaccedilo que podemos chamar de uma distribuiccedilatildeo discreta de cargas

Sabemos que a mateacuteria natildeo eacute contiacutenua ela eacute discreta formada por partiacuteculas

separadas pelo vaacutecuo Mas em um niacutevel macroscoacutepico essa discretizaccedilatildeo muito fina natildeo

eacute perceptiacutevel e ldquoenxergamosrdquo a mateacuteria como se ela fosse contiacutenua Ningueacutem olha para

um copo drsquoaacutegua e vecirc um monte de bolinhas dentro do copo vemos um fluido um

contiacutenuo de aacutegua As duas imagens ao lado mostram o mesmo material (mica) visto em

duas escalas de comprimento diferentes Na primeira imagem podemos estimar o

comprimento como sendo da ordem de 1 cm (10 m) enquanto que na segunda

imagem eacute da ordem de 50 angstroms (50 times 10 m) (imagem de microscoacutepio de

forccedila atocircmica httpwwwcnsgatechedu) Na escala macroscoacutepica temos a ldquoilusatildeordquo

de que a mateacuteria ocupa continuamente uma regiatildeo do espaccedilo como uma mancha

enquanto que na escala microscoacutepica a granulaccedilatildeodiscretizaccedilatildeo (e o vazio) da mateacuteria se revela

Basicamente o que vamos fazer aqui eacute tratar as distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica em objetos

macroscoacutepicos eletrizados como distribuiccedilotildees contiacutenuas de carga na esperanccedila de que os aparelhos de

medida que vatildeo ser usados para comparar os campos eleacutetricos calculados com os campos eleacutetricos

determinados experimentalmente atuam em uma escala macroscoacutepica em que a granulaccedilatildeo da mateacuteria eacute

imperceptiacutevel ou seja natildeo tem nenhum efeito praacutetico Nossos olhos satildeo eles mesmos exemplos desses

aparelhos detectores de campos eleacutetricos e eles natildeo tecircm a capacidade de discernir a discretizaccedilatildeo da mateacuteria

Encaramos a mateacuteria como contiacutenua em outros contextos como quando definimos a temperatura

termodinacircmica ou a simples densidade de massa de um gaacutes que satildeo grandezas meacutedias bem definidas apenas

se o gaacutes possui uma quantidade muito grande de partiacuteculas ou seja se o gaacutes pode ser tratado como um fluido

Qual a vantagem desse processo de limite Eacute que com ele ganhamos todas as ferramentas do caacutelculo

diferencial e integral Basicamente quando rarr infin (de fato cong 10 ) rarr 0 (de fato cong 10 C) e rarr 0

(de fato cong 10 m) que vamos chamar resumidamente de limite do contiacutenuo (LC) o somatoacuterio no campo

eleacutetrico que expressa o princiacutepio da superposiccedilatildeo se torna uma integral

( ) = lim 14 = 14 sendo a regiatildeo do espaccedilo onde estaacute definida a mancha de cargas eleacutetricas e uma porccedilatildeo infinitesimal de

carga eleacutetrica nessa mancha (uma grandeza infinitesimal eacute basicamente uma quantidade tatildeo pequena quanto

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

vocecirc queira uma espeacutecie de 1infin mas diferente de zero) A Figura 33 abaixo ilustra as grandezas envolvidas

nessa integral

A Figura 33 expressa a ideia de que esse conjunto muito grande e denso de cargas eleacutetricas pontuais

minuacutesculas separadas por distacircncias minuacutesculas vai se comportar para efeito de criaccedilatildeo de campo eleacutetrico

no espaccedilo como uma mancha contiacutenua de carga eleacutetrica definida em uma regiatildeo R do espaccedilo

Essa mancha de carga eleacutetrica eacute descrita atraveacutes de uma funccedilatildeo ( ) que daacute a densidade de carga

eleacutetrica em cada ponto da regiatildeo R Onde tem muita carga concentrada ( ) tem um valor grande onde

tem pouca carga ( ) tem um valor pequeno onde tem carga positiva ( ) tem valor positivo onde tem

carga negativa ( ) tem valor negativo e finalmente onde natildeo tem carga eleacutetrica ( ) eacute nula

Em resumo o limite do contiacutenuo transforma somatoacuterios em integrais

( ) = ( ) ( ) = 14

LC rarr infin rarr 0 rarr rarr 0

( ) =

( ) = 14 Imagine uma placa plana retangular em que atritamos uma

flanela e criamos atraveacutes de eletrizaccedilatildeo por atrito uma distribuiccedilatildeo

uma mancha de cargas eleacutetricas Trata-se para todos os efeitos de

uma distribuiccedilatildeo de cargas em uma superfiacutecie ou seja uma

distribuiccedilatildeo bidimensional (2D) de cargas eleacutetricas Na Figura ao lado

mostramos uma possibilidade para a funccedilatildeo densidade de carga

eleacutetrica ( ) que descreve essa mancha Na placa definimos um

referencial xy com origem no centro da placa e portanto

Figura 33 Ilustraccedilatildeo do limite do contiacutenuo (LC) e sua consequumlecircncia no caacutelculo do campo eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas soma rarr integral

LC rarr infinrarr 0rarr rarr 0

54

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) Ao longo de x a placa possui comprimento 628 cm (cong 2 ) e ao longo de y o comprimento eacute 2

cm Note que um lado da placa estaacute carregado positivamente foram arrancados eleacutetrons desse lado e o outro

lado estaacute carregado negativamente foram depositados eleacutetrons nesse lado A

linha central = 0 e as bordas = plusmn314 satildeo eletricamente neutras Esse eacute

simplesmente o graacutefico da funccedilatildeo ( ) = sen( ) A Figura ao lado ilustra

algumas cargas eleacutetricas distribuiacutedas nessa placa retangular mas note que nossa

hipoacutetese aqui eacute que satildeo muitas muitas mesmo cargas eleacutetricas distribuiacutedas ao

longo da placa formando uma distribuiccedilatildeo contiacutenua de cargas eleacutetricas na placa A funccedilatildeo ( ) daacute a densidade

de carga eleacutetrica no posiccedilatildeo da placa de tal forma que a carga eleacutetrica depositada em um pedacinho de

placa de aacuterea infinitesimal = eacute = ( ) = ( )

O campo eleacutetrico que essa placa produz em um ponto P qualquer do espaccedilo eacute dado por (de acordo

com a lei de Coulomb o princiacutepio da superposiccedilatildeo e o limite do contiacutenuo)

( ) = 14 = 14 ( ) = 14 ( )

sendo a distacircncia desde o ponto (xy) da placa ateacute o ponto P e um vetor unitaacuterio

que aponta do ponto (xy) da placa para o ponto P ou seja = eacute o vetor posiccedilatildeo

de P tomando o ponto (xy) na placa como origem A Figura ao lado ilustra essa ideacuteia

Na sequecircncia vamos dar alguns exemplos de aplicaccedilatildeo dessas ideacuteias para o

caacutelculo de campos eleacutetricos Eacute comum para simplificar os caacutelculos considerar que

objetos (suportes) onde satildeo depositados excessos de carga eleacutetrica podem ser

unidimensionais bidimensionais ou tridimensionais Tudo na natureza eacute tridimensional (3D) mas eacute verdade

que podemos considerar corpos que satildeo essencialmente unidimensionais (1D) como uma linha longa de nylon

(linha de pesca) ou essencialmente bidimensionais (2D) como uma folha de papel O termo ldquoessencialmenterdquo

significa aqui que se vocecirc considerar a espessura da linha de nylon ou da folha de papel natildeo faraacute diferenccedila Um

objeto essencialmente unidimensional eacute aquele em que uma das suas trecircs dimensotildees eacute bem maior que as

outras duas algo como ≫ Por exemplo uma haste de comprimento 1 metro e seccedilatildeo transversal

circular de raio 1 mm Um objeto essencialmente bidimensional eacute aquele em que duas das trecircs dimensotildees satildeo

bem maiores que a terceira algo como ≫ Por exemplo uma folha de papel de lados 20 cm 10 cm e

espessura 01 mm Um objeto tridimensional (de fato) eacute aquele em que suas trecircs dimensotildees satildeo basicamente

da mesma ordem de grandeza algo como cong cong Por exemplo uma bola de sinuca Eacute padratildeo que

densidades de carga eleacutetrica definidas em objetos 1D sejam representadas pela letra (lambda) ou seja ( ) = ( ) Da mesma forma densidades de carga definidas em objetos 2D satildeo representadas pela letra

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

+ +

+ +

P

55

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

(sigma) ou seja ( ) = ( ) Finalmente densidades de carga definidas em objetos (de fato) 3D satildeo

representadas pela letra (rocirc) ou seja ( ) = ( ) Consideremos um exemplo 1D um aro circular fino de raio como na

Figura 34 ao lado Imagine que atritemos esse aro com uma flanela e criemos

nele uma densidade de cargas eleacutetricas ( prime) sendo prime um ponto no aro

Vamos calcular o campo eleacutetrico que as cargas nesse aro (o ldquocampo do arordquo)

produzem em um ponto P no espaccedilo o ponto P mostrado na Figura 34

Segundo Steven Strogatz (Infinite Powers how calculus reveals the

secrets of the universe 2019) o caacutelculo integral se baseia em uma grande ideia

que ele chama de ldquoprinciacutepio do infinitordquo ldquopara desvendar uma forma objeto

movimento processo ou fenocircmeno contiacutenuo natildeo importa o quatildeo louco ou

complicado ele possa parecer imagine ele como uma seacuterie infinita de pequenas partes mais simples analise

essas partes e entatildeo somejunte os resultados novamente para entender o todordquo Seguindo essa ideia

considere um pequeno pedaccedilo de aro na posiccedilatildeo arbitraacuteria prime do aro um segmento infinitesimal de aro de

comprimento que conteacutem por hipoacutetese uma quantidade infinitesimal de carga eleacutetrica = ( prime)

Esse pedacinho de aro eletrizado produz campo eleacutetrico em P Sim ele eacute infinitesimal ( ) e eacute dado pela lei de

Coulomb estando representado pela seta roxa na Figura 34 (se gt 0) Portanto

= 14 = 14 ( prime) Pronto jaacute analisamos a parte e para chegar ao todo apenas somamos os efeitos das partes que eacute

essencialmente o que diz o princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = isin = 14 ( prime) isin

Agora devemos realizar a integral ou seja somar sobre todos os pedacinhos infinitesimais localizados ao longo

de todo o aro ( prime isin ) e estaraacute determinado o campo eleacutetrico produzido pelo aro (de fato pelas cargas em

excesso no aro) em P Note que a variaacutevel de integraccedilatildeo eacute prime ou seja a

posiccedilatildeo ao longo do aro O problema aqui estaacute exatamente em realizar essa

integral Na linguagem popular poderiacuteamos dizer que jaacute podemos comprar

uma Ferrari 0 km soacute falta o dinheiro

A integral acima que fornece ( ) pode ser realizada natildeo haacute nada de

errado com ela mas seu resultado natildeo ajuda muito pois eacute dado em termos

de integrais eliacutepticas Portanto para simplificar vamos particularizar aqui o

Figura 34 um aro fino eletrizado

z

P

Figura 35 um aro fino eletrizado

z

P

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

ponto P e a densidade de carga no aro ( prime) Vamos imaginar que P eacute um ponto sobre o eixo de simetria do

aro eixo z e que ( prime) = =constante ou seja que o aro possui uma densidade de carga uniforme ao longo

de sua extensatildeo A Figura 35 acima eacute basicamente a Figura 34 com essas hipoacuteteses incorporadas A forma mais

simples de somar vetores eacute decompocirc-los em componentes e somar cada uma das componentes

separadamente As componentes se somam como escalares pois satildeo colineares entre si Assim sendo jaacute

aproveitando o eixo z e o acircngulo na Figura 35 ficamos com

( ) = isin = +isin perpisin = cos( ) +isin isin sen( ) perp

Nessa expressatildeo acima inventamos um vetor unitaacuterio perp ortogonal ao eixo z (seria uma combinaccedilatildeo de e

ver Figura 36 adiante) Note que eacute o moacutedulo de ou seja = 14 = 14

Note tambeacutem na Figura 35 que (sendo z a distacircncia fixa de P ateacute o centro do aro) sen( ) = e cos( ) =

Portanto

( ) = 14 +isin14

isin perp

Antes de realizarmos qualquer integral devemos retirar de dentro do siacutembolo de integraccedilatildeo tudo que eacute

constante ou seja tudo que natildeo muda enquanto prime percorre o aro Vendo que = radic + eacute constante

chegamos finalmente a (lembre-se que radic = )

( ) = 4 ( + ) isin + 4 ( + ) isin perp

Note entatildeo que sobraram apenas o infiniteacutesimo de comprimento e o vetor

unitaacuterio perp dentro das integrais Na Figura 36 ao lado vemos que agrave medida que

varre o aro o vetor perp (seta vermelha) vai mudando de direccedilatildeo como o

ponteiro de um reloacutegio Assim sendo natildeo eacute difiacutecil acreditar que a integral

(soma) de perp sobre toda a extensatildeo do aro eacute nula Se vocecirc quiser provar isso

apenas projete perp no plano xy perp= cos( ) + sen( ) reconheccedila que eacute um

comprimento de arco nesse plano ou seja que = realize a integral em isin [02 ] para varrer o aro todo e conclua que as integrais satildeo nulas

Figura 36 um aro fino eletrizado perp eacute como um ponteiro de reloacutegio

z

P perp

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Conclusatildeo sendo 2 o comprimento total do aro (a integral em ) obtemos

( ) = 4 ( + ) isin = ( ) = 4 ( + ) 2

Simplificando

Como natildeo poderia deixar de ser dada a simetria da situaccedilatildeo ao longo do eixo

do aro o campo eleacutetrico eacute axial A Figura 37 ilustra algumas setas desse campo

eleacutetrico nesse eixo supondo que a carga no aro eacute positiva Note que agrave medida

que nos afastamos do aro a seta vai ficando menor pois o campo eleacutetrico decai

a zero no infinito Note tambeacutem que a expressatildeo acima se aplica para os dois

lados do aro pois deve valer (minus ) = minus ( ) (por simetria) e se trocarmos

por ndash obtemos

(minus ) = minus 2 ( + ) Para lt 0 a expressatildeo de apenas muda de sinal ( inverte de sentido)

Note tambeacutem que no centro do aro vale ( = 0) = 0 por simetria

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da magnitude ( ) versus

z supondo gt 0 ( ( ) natildeo eacute o moacutedulo do campo pois o moacutedulo eacute sempre

positivo) A inversatildeo de sinal reflete a inversatildeo de sentido dos dois lados do

aro Vemos que o campo eleacutetrico inicialmente cresce quando nos afastamos

do centro do aro atinge um pico e depois comeccedila a decair a zero Uma

partiacutecula de carga eleacutetrica negativa colocada em repouso no centro desse aro continuaria em repouso pois ( = 0) = 0 e retornaria agrave origem se fosse deslocada um pouco desse ponto sobre o eixo z (mas note que o

centro do aro eacute de fato uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel) Se nos afastarmos muito do aro ( ≫ ) obtemos

o comportamento assintoacutetico do campo eleacutetrico

( ) = 2 ( + ) rarr 2 (0 + ) = 2 = 2 4 = 4 sendo = (2 ) o excesso de carga eleacutetrica total depositado no aro Trata-se do campo eleacutetrico de uma

carga pontual localizada em z=0 Visto de longe o aro se parece com um objeto pontual e seu campo

eleacutetrico reflete esse fato se comportando assintoticamente como o campo eleacutetrico de uma carga pontual (o

campo eleacutetrico de uma carga pontual se caracteriza pelo decaimento com o quadrado da distacircncia)

Figura 37 Campo eleacutetrico sobre o eixo de um aro fino eletrizado com carga positiva

( ) = ( ) = 2 ( + )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Considere agora um exemplo 2D Vamos calcular o campo eleacutetrico

de um disco eletrizado feito de material isolante (plaacutestico) de raio R com

uma densidade de cargas eleacutetricas superficial uniforme ( prime) ==constante ( prime isin ) Novamente para simplificar vamos calcular o

campo somente em um ponto P que estaacute no eixo de simetria do disco (eixo

z) conforme a Figura 38 ao lado

Aqui o elemento infinitesimal de carga ocupa uma aacuterea

infinitesimal do disco (um retacircngulo) e deve varrer toda a superfiacutecie do

disco ou seja seu raio ateacute a origem deve varrer o intervalo isin [0 ] enquanto que para cada raio fixo varre ainda um acircngulo (digamos )

no intervalo isin [02 ] Trata-se de uma situaccedilatildeo similar agrave do aro carregado que estudamos anteriormente

em que o disco pode ser pensado como uma sucessatildeo de aros com diferentes raios (no caso do aro soacute havia

um valor possiacutevel para = )

Os caacutelculos aqui satildeo parecidos com aqueles para o aro carregado A forma mais simples de somar

vetores eacute decompocirc-los em componentes e somar cada uma das componentes separadamente Assim sendo jaacute

aproveitando o eixo z e o acircngulo na Figura 38 ficamos com

( ) = isin = +isin perpisin = cos( ) +isin isin sen( ) perp

em que inventamos como no caso do aro um vetor unitaacuterio perp ortogonal ao eixo z (seria uma combinaccedilatildeo de

e ) Nessa expressatildeo eacute o moacutedulo de ou seja (note que = )

= 14 = 14

Note tambeacutem na Figura 38 que (sendo gt 0 a distacircncia fixa de P ateacute o centro do disco) sen( ) = e cos( ) =

Portanto

( ) = 14 +isin14

isin perp

Antes de realizarmos qualquer integral devemos retirar de dentro do siacutembolo de integraccedilatildeo tudo que eacute

constante ou seja tudo que natildeo muda enquanto prime percorre o disco Vendo que = radic + chegamos

finalmente a

z

Figura 38 um disco fino eletrizado

z

P s

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( ) = 4 ( + ) + 4 isin ( + ) isin perp

Novamente vamos apelar para a simetria do disco em relaccedilatildeo ao ponto P Notamos na Figura 38 que agrave medida

que varre o disco o vetor perp vai mudando de direccedilatildeo como o ponteiro de um reloacutegio Assim sendo natildeo eacute

difiacutecil acreditar que a integral (soma) de perp sobre toda a extensatildeo do disco (com isin [02 ]) eacute nula como jaacute

acontecia para o aro carregado (isso soacute ocorre aqui porque a parte escalar do integrando natildeo depende do

acircngulo de giro ) Portanto

( ) = 4 ( + ) isin

Para realizar essa integral soacute falta escolhermos o infiniteacutesimo de aacuterea conveniente em termos de variaacuteveis

capazes de percorrer toda a aacuterea do disco Basicamente jaacute definimos essas variaacuteveis anteriormente e natildeo eacute

difiacutecil de acreditar que elas natildeo satildeo as uacutenicas mas que satildeo as mais simples o raio ateacute a origem que deve

varrer o intervalo isin [0 ] e para cada raio fixo o acircngulo no plano do disco que

deve varrer o intervalo isin [02 ] (essas satildeo as coordenadas polares ou ciliacutendricas) A

Figura ao lado tenta ilustrar essa aacuterea infinitesimal (em cinza) que eacute basicamente

(apesar de natildeo parecer) um retacircngulo de lados e cuja aacuterea infinitesimal eacute = Substituindo na integral e explicitando os limites de integraccedilatildeo obtemos ( ) = 4 ( + )

A integral em eacute a mais simples pois soacute haacute um a integrar resultando em 2

( ) = 4 2 ( + )

Note que essa integral tem uma interpretaccedilatildeo simples em termos do campo eleacutetrico de vaacuterios aros

Lembramos que para um aro de raio R e carga eleacutetrica total obtivemos o campo eleacutetrico

( ) = 4 ( + ) Considere entatildeo que o disco eacute composto de vaacuterios (infinitos) aros de raios isin [0 ] que unidos um dentro

do outro formam o disco completo Cada um desses aros possui raio e espessura ou seja aacuterea

infinitesimal 2 e carga eleacutetrica infinitesimal = 2 Portanto vemos que

60

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) Voltando ao caacutelculo do campo eleacutetrico do disco buscando o resultado para a integral em em uma tabela de

integrais (ou no Maple) obtemos ( ) = ( gt 0) = 2 1 minus 1radic + = 2 1 minus radic + Vemos que essa expressatildeo natildeo se aplica para lt 0 pois deve valer (minus ) = minus ( ) (por simetria) e se

trocarmos por ndash obtemos (minus ) = 2 1 + radic + ne minus ( ) = minus 2 1 minus radic + Portanto vamos definir o campo sobre o eixo z negativo separadamente

( lt 0) = minus 2 1 + radic + O graacutefico ao lado ilustra o comportamento da magnitude ( ) versus

A inversatildeo de sinal reflete a inversatildeo de sentido nos dois lados do disco

Notamos claramente que o campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja

exatamente sobre o disco Isso eacute um comportamento comum do campo

eleacutetrico quando atravessamos uma densidade de cargas eleacutetricas superficial

qualquer Essa descontinuidade eacute apenas um artefato de nosso modelo da

realidade em que consideramos um disco que eacute infinitamente fino ou seja

uma superfiacutecie um objeto bidimensional

Sabemos que na natureza tudo eacute tridimensional tudo tem uma

espessura natildeo nula Se eletrizarmos a superfiacutecie de um disco de plaacutestico real

as cargas eleacutetricas se distribuiratildeo sobre a superfiacutecie desse disco mas

penetraratildeo tambeacutem para dentro do volume do disco por uma distacircncia de

alguns poucos angstroms A densidade de carga seraacute de fato uma e natildeo

uma O que estamos fazendo aqui em nosso modelo da realidade eacute

desprezar esses poucos angstroms e nesse contexto obtemos o campo

eleacutetrico que eacute descontiacutenuo sobre o disco O valor exato de natildeo estaacute

definido em = 0 pois ele eacute descontiacutenuo aiacute No graacutefico ao lado ilustramos

com seria o graacutefico da magnitude ( ) versus em um modelo mais realista em que o disco

possui de fato uma espessura diferente de zero (como na Figura ao lado) e em cujo volume se

distribuem uniformemente as cargas eleacutetricas depositadas nele Nesse modelo mais realista o

z

( )

z

( )

61

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

campo eleacutetrico varia abruptamente mas eacute contiacutenuo dentro do disco e se anula exatamente no centro dele

(por simetria) No limite rarr 0 esse graacutefico converge para o graacutefico anterior em que ( ) eacute descontiacutenuo (uma

convergecircncia natildeo uniforme) Nosso modelo bidimensional de distribuiccedilatildeo de cargas ( ) eacute uacutetil quando estamos

interessados apenas no campo eleacutetrico na regiatildeo fora do disco natildeo nos interessando o que acontece dentro

dos poucos angstroms de espessura do disco

Voltando ao disco fino para gt 0 quando nos aproximamos infinitamente do centro do disco

obtemos ( rarr 0) = 2 Analogamente quando nos afastamos muito do disco ( ≫ ) obtemos o comportamento assintoacutetico

(usando a expansatildeo binomial (1 + ) = 1 minus (12) sendo = cong 0)

( ≫ ) = 2 1 minus 1 + ( ) = 2 1 minus 1 minus 12 = 2 12 Concluindo definindo = a carga eleacutetrica total depositada no disco vemos que como natildeo poderia

deixar de ser ( ≫ ) = 4 Visto de longe o disco ldquoparecerdquo uma carga pontual na origem = 0

Uma uacuteltima observaccedilatildeo que podemos fazer acerca do campo eleacutetrico do disco eacute que o resultado que

obtivemos no limite rarr 0 qual seja ( rarr 0) = 2 tambeacutem pode ser obtido se ao inveacutes de fazermos rarr 0 fizermos rarr infin (para qualquer gt 0 finito) ou

seja ( rarr infin) = 2 Nesse limite o disco se torna uma superfiacutecie plana infinita carregada com densidade de carga eleacutetrica

uniforme Portanto concluiacutemos que um plano infinito com

densidade de carga eleacutetrica uniforme produz em todo o

espaccedilo um campo eleacutetrico uniforme no lado com gt 0 e um

campo uniforme de mesma magnitude mas com sentido

oposto no lado com lt 0 A Figura ao lado ilustra essa

situaccedilatildeo (para gt 0) com as setas vermelhas representando o

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

campo Note que natildeo haacute decaimento do campo com a distacircncia ao plano infinito (as setas de natildeo

diminuem e as linhas de forccedila natildeo se afastam mutuamente) Natildeo conseguimos nos afastar de um plano

infinito ele eacute sempre igualmente infinito mesmo visto de muito longe Note tambeacutem que o resultado que

obtivemos para o campo eleacutetrico do disco soacute vale para pontos sobre o eixo z central do disco enquanto que o

campo do plano infinito vale para qualquer ponto do espaccedilo pois para um plano infinito qualquer eixo eacute

igualmente distante de suas bordas (infinitamente distante) Sabemos que natildeo existem planos infinitos (trata-

se de um modelo) mas o resultado obtido acima pode ser encarado com uma boa aproximaccedilatildeo para o campo

eleacutetrico proacuteximo do centro de uma placa plana grande com densidade de carga eleacutetrica uniforme em sua

superfiacutecie

Considere o caso de uma nuvem de

tempestade como mostrado na Figura abaixo A

nuvem conteacutem acuacutemulos de cargas eleacutetricas em suas

faces superior e inferior Aleacutem disso o terreno

(condutor) logo abaixo da nuvem tambeacutem apresenta

uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas graccedilas a uma

eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo Trata-se basicamente de

um sistema de planos carregados paralelos entre si e

o campo eleacutetrico no espaccedilo entre a nuvem e o

terreno eacute em uma primeira aproximaccedilatildeo a

superposiccedilatildeo de campos eleacutetricos de planos infinitos

(linhas de forccedila em amarelo na Figura ao lado) Esse

campo eleacutetrico pode ionizar o ar criando uma sopa

de iacuteons e eleacutetrons tornando o ar um condutor de

eletricidade Atraveacutes desse meio condutor cargas

eleacutetricas podem fluir entre a nuvem e a terra

constituindo um raio

A presenccedila de um objeto pontudo no

terreno como uma aacutervore um preacutedio ou um paacutera-raios poderia concentrar cargas eleacutetricas e intensificar o

campo eleacutetrico nessa regiatildeo conforme ilustrado na Figura ao lado em que percebemos uma concentraccedilatildeo de

linhas de forccedila em torno do objeto pontudo Isso poderia acarretar maior ionizaccedilatildeo do ar nessa regiatildeo e

direcionar os raios proacuteximos para o objeto pontudo Esse eacute o princiacutepio de funcionamento de um paacutera-raios

63

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

15 Aplicaccedilotildees

1) Considere uma haste fina de comprimento L que possui uma

densidade de carga linear uniforme Vamos calcular o campo

eleacutetrico que as cargas nessa haste produzem no ponto P mostrado

na Figura 39 O ponto P estaacute a uma altura H da extremidade direita

da haste Note que estamos desprezando aqui a espessura da

haste trata-se do modelo de um objeto unidimensional

Utilizaremos o princiacutepio da superposiccedilatildeo e o caacutelculo integral

Destacamos um segmento infinitesimal de haste de comprimento

que possui carga eleacutetrica = e que produz em P um campo eleacutetrico infinitesimal como o de uma

carga pontual

= 14 = 14 = 14

sendo (o raio) definido na Figura ao lado Em seguida decompomos o

vetor em componentes x e y utilizando o acircngulo definido nessa

mesma Figura Tudo que temos que fazer eacute somar essas componentes

de enquanto a carga infinitesimal varre a haste de uma

extremidade a outra Imaginamos que isso pode ser realizado atraveacutes

de uma integral na variaacutevel prime que eacute a posiccedilatildeo de na haste desde = 0 ateacute = Resumindo

( ) = = 4

Note na Figura que sen( ) = cos( ) = ( minus ) = + ( minus )

Portanto = cos( ) + sen( ) = ( minus ) +

Finalmente considerando ainda que = prime o vetor campo eleacutetrico em P possui as componentes (note que radic = )

( ) = 4 = 4 ( minus ) prime( + ( minus ) ) + 4 prime( + ( minus ) )

Figura 39 uma haste fina eletrizada uniformemente

x

P

y

H

x

P

y

H

prime

minus

64

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) concluiacutemos que

( ) = 4 1 minus 1radic + + radic +

Podemos fazer apenas mais uma pequena simplificaccedilatildeo

( ) = 4 1 minus radic + + radic +

Alguns casos particulares interessantes satildeo

i) rarr 0 que significa uma haste muito pequena eou uma haste vista de uma distacircncia muito grande

Nesse caso obtemos

( ) rarr 4 0 + = 4 = 4

sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste Trata-se do resultado esperado

um campo radial que decai com o quadrado da distacircncia tiacutepico de uma carga pontual

ii) rarr infin que eacute o caso de uma haste semi-infinita ou seja que se estenderia de = minusinfin ateacute = Obtemos

( ) rarr 4 [1 + 1 ] = 4 ( + ) Note que esse campo faz um acircngulo de 45deg com o eixo x para qualquer valor de

Considere agora o caacutelculo do campo eleacutetrico no ponto Prsquo

mostrado na Figura 40 ao lado Prsquo eacute um ponto que estaacute equumlidistante

das extremidades da haste Podemos calcular ( prime) utilizando nosso

resultado anterior para ( ) e o princiacutepio da superposiccedilatildeo A ideia

estaacute ilustrada na Figura que segue logo abaixo (supondo gt 0)

Dividimos a haste ao meio cada metade eacute uma haste de

comprimento L2 e mesma densidade de carga Vemos que por

simetria as componentes x das duas hastes se cancelam em Prsquo

enquanto que as componentes y se somam Conclusatildeo ( prime) = 2 ( prime)

Note que nessa expressatildeo ( prime) eacute a componente y do campo

eleacutetrico calculado anteriormente em um ponto P que estaacute a uma

altura H da extremidade direita da haste mas para uma haste de

comprimento L2 Conclusatildeo

Figura 40 uma haste fina eletrizada uniformemente

x

Prsquo

y H

x

Prsquo

y H

1 2

( prime)( prime)

65

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

( prime) = 2 4 2+ ( 2)

Finalmente ( prime) = 4 + ( 2) = 4 1+ ( 2)

sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste

Novamente fazendo rarr infin que agora corresponde ao caso de uma haste infinita obtemos

( prime) rarr 2

Esse resultado poderaacute ser obtido de maneira mais raacutepida e simples no proacuteximo capiacutetulo atraveacutes da lei de

Gauss Note que no caso da haste finita o ( prime) que calculamos soacute eacute vaacutelido para pontos Prsquo equumlidistantes das

extremidades da haste enquanto que no caso da haste infinita o ( prime) obtido vale para todos os pontos no

espaccedilo (no plano xy) pois qualquer ponto eacute equumlidistante das extremidades

de uma haste infinita (infinitamente distante)

Finalmente vamos utilizar o resultado do campo eleacutetrico da haste

finita para calcular o campo eleacutetrico no ponto P mostrado na Figura ao lado

O ponto P estaacute a uma distacircncia da quina direita superior de uma placa

plana (fina ou seja bidimensional) quadrada de lado L que possui uma

densidade de carga eleacutetrica superficial uniforme Jaacute adotamos na Figura um

referencial para facilitar as coisas

A Figura ao lado ilustra a ideia que vamos utilizar para o caacutelculo de ( ) (supondo gt 0) Vamos considerar que a placa fina eacute uma ldquocolagemrdquo

de vaacuterias hastes uma ao lado da outra cada uma (em vermelho) de

comprimento L e aacuterea infinitesimal = prime A carga eleacutetrica distribuiacuteda em

uma dessas hastes eacute = = prime e o ponto P funciona como no

nosso primeiro exemplo abordado acima Se prime eacute a posiccedilatildeo em x de uma

dessas hastes vemos na Figura que a altura do ponto P jaacute definida

anteriormente fica = + minus prime com isin [0 ] Vimos que o campo eleacutetrico de uma haste de carga eleacutetrica =

no ponto P eacute

( ) = 4 1 minus radic + + radic + = 4 1 1 minus radic + + 1radic +

= + minus prime

P

x

y

P

x

y

66

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

Portanto para uma haste de carga = prime localizada na posiccedilatildeo prime obtemos

( ) = prime4 1 1 minus radic + + 1radic + = prime4 1 minus 1radic + + radic +

com = + minus prime Agora precisamos apenas integrar na placa ou seja com = 0 ateacute = Portanto

( ) = 4 1( + minus prime) minus 1( + minus prime) + + ( + minus prime) ( + minus prime) +acute prime Consultando uma tabela de integrais (ou o Maple) obtemos

( ) = 4 ln 1 + + ln ( + ) + minus minusradic + minus+ arctanh radic + minusarctanh ( + ) +

sendo ln a funccedilatildeo logaritmo natural e arctanh a funccedilatildeo arco tangente hiperboacutelica

Apenas podemos nos arriscar a dizer (e natildeo eacute impossiacutevel provar) que no limite rarr 0 (muito longe

da placa eou para uma placa muito pequena) vamos obter

( ) rarr 4 + 0 = 4

sendo = a carga eleacutetrica total armazenada na placa quadrada

2) Vamos considerar agora o caacutelculo da forccedila eleacutetrica entre duas hastes

finas carregadas como mostrado na Figura ao lado A haste de tamanho

A possui densidade de carga uniforme enquanto que a haste de

tamanho B possui densidade de carga uniforme Vamos calcular a

forccedila eleacutetrica que a haste A produz na haste B Para obter essa forccedila

vamos inicialmente esquecer a haste B e calcular o campo eleacutetrico que a

haste A produz em um ponto qualquer do espaccedilo que seraacute ocupado

posteriormente pela haste B

A Figura ao lado resume as ideacuteias que precisamos para

calcular ( ) o campo eleacutetrico que a haste A produz em um ponto

P que seraacute ocupado depois pela haste B Mostramos um segmento

infinitesimal da haste A de carga = prime na posiccedilatildeo isin [0 ]

x

y A

B

L

x

y

A P

L

prime

67

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

da haste A O ponto P possui coordenada arbitraacuteria (mas constante)

Do princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = = 14 = 4 prime Decompondo o vetor em componentes obtemos = cos( ) + sen( )

Na Figura vemos que = ( minus prime) + cos( ) = sen( ) = ( minus )

Portanto

( ) = 4 cos( ) + sen( ) = 4 + ( minus )( minus prime) + prime Concluindo ( ) = 4 minus( minus ) + + + minus 1+ minus 1( minus ) +

Apenas para conferir note que se fizermos = 0 obtemos

( = 0) = 4 radic + minus 1 minus radic +

Se fizermos = obtemos

( = ) = 4 radic + + 1 minus radic +

Se fizermos = 2 obtemos

( = 2) = 4 ( 2) + + 0

Note que todos esses resultados apenas confirmam os jaacute obtidos no iniacutecio dessa seccedilatildeo

Agora vamos posicionar a haste B em sua posiccedilatildeo original e

calcular a forccedila A Figura ao lado ilustra a ideia supondo que as

hastes tenham cargas de mesmo sinal Um segmento infinitesimal da

haste B de carga = e localizado na posiccedilatildeo com isin [0 ] sofre a forccedila infinitesimal = ( ) = ( )

y

A

L

68

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 1 ndash versatildeo 31

O que temos que fazer eacute integrar esse em toda a extensatildeo da haste B

= = ( )

Substituindo a expressatildeo acima de ( ) integrando e definido ∆= minus obtemos

= 4 1 + + + minus ∆ + minus + ln radic∆ + + ∆radic + + radic + minus

Vamos analisar alguns casos particulares interessantes Para = ∆= 0 obtemos

ln radic∆ + + ∆radic + + radic + minus rarr ln radic + minus = ln(1) = 0

Portanto confirmando a simetria da configuraccedilatildeo vemos que a forccedila entre duas hastes de tamanhos iguais

(A) estaacute ao longo de x e eacute dada por (jaacute substituindo as cargas = e = )

= 2 1 + minus 1

No caso limite cong 0 obtemos 1 + = 1 + (12) e portanto

rarr 2 1 + 12 minus 1 = 4

Como natildeo poderia deixar de ser obtivemos a forccedila entre duas cargas eleacutetricas pontuais distanciadas de L

69

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

2 Lei de Gauss

21 Fluxo de um campo vetorial

Agraves vezes temos que dar uma pausa no caacutelculo de campos eleacutetricos para tentar encontrar propriedades

gerais desse campo que nos permitam entendecirc-lo melhor entender melhor o eletromagnetismo e a natureza

Ao fazer isso pode ocorrer de encontrarmos uma nova ferramenta para o proacuteprio caacutelculo do campo eleacutetrico

Uma ferramenta mais sofisticada e de aplicaccedilatildeo mais simples em alguns casos quando comparada com a

simples aplicaccedilatildeo da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo (que poderiacuteamos chamar de ldquoforccedila

brutardquo) A lei de Gauss estabelece uma relaccedilatildeo vaacutelida para o campo eleacutetrico expressa por

∙ =

O que vamos fazer nesse capiacutetulo eacute estudar essa lei esboccedilar sua deduccedilatildeo (sem muito rigor) a partir da

lei de Coulomb e analisar suas consequumlecircncias e aplicaccedilotildees como uma ferramenta para o caacutelculo do campo

eleacutetrico de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas

Comeccedilamos pela interpretaccedilatildeo da integral de que aparece na lei de Gauss que eacute chamada de ldquofluxo

do campo eleacutetrico na superfiacutecie fechada SG (superfiacutecie gaussiana)rdquo

Jaacute fizemos uma analogia entre a interaccedilatildeo entre cargas eleacutetricas e a interaccedilatildeo entre bloquinhos

flutuando na aacutegua e aqui vamos apelar novamente para uma analogia semelhante O termo ldquofluxordquo eacute de faacutecil

entendimento quando nos referimos a um fluido aacutegua por exemplo que flui em uma regiatildeo ou tubulaccedilatildeo

Considere entatildeo um tubo grande onde flui aacutegua Consideraremos aqui que a aacutegua eacute um fluido incompressiacutevel

o que natildeo estaacute muito longe da realidade Com isso queremos dizer que se vocecirc apertar um pistatildeo cheio de

aacutegua a variaccedilatildeo de volume (compressatildeo) seraacute despreziacutevel Analogamente a aacutegua natildeo aumenta de volume

Resumindo sua densidade eacute constante enquanto ela flui Em cada ponto dentro do tubo a aacutegua possui uma

velocidade ( ) Se a aacutegua estivesse estagnada como em um tubo fechado entatildeo valeria ( ) = 0 para todo

70

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Note que se a aacutegua fosse compressiacutevel como um gaacutes rarefeito ela poderia estar fluindo mesmo com o tubo

fechado apenas se comprimindo contra uma parede da tubulaccedilatildeo Daiacute percebemos a importacircncia da hipoacutetese

de incompressibilidade ela simplifica a interpretaccedilatildeo do fenocircmeno Vamos iniciar com o caso mais simples a

aacutegua estaacute fluindo com a mesma velocidade em todos os pontos dentro do tubo ou seja ( ) = para todo

A Figura 1 abaixo ilustra os dois casos a aacutegua fluindo de forma arbitraacuteria (a) e a aacutegua fluindo com velocidade

uniforme (b) Note que ( ) eacute um campo definido no espaccedilo fora do tubo vale ( ) = 0 (ou o campo ( ) natildeo estaacute nem definido posto que nessa regiatildeo natildeo haacute fluido) e dentro do tubo vale ( ) ne 0 Satildeo mostradas

(em vermelho) algumas setas do campo ( )

Suponha agora que mergulhemos uma peneira ou seja uma superfiacutecie permeaacutevel agrave aacutegua retangular

de lados e e nos perguntemos qual o fluxo de aacutegua atraveacutes da peneira ou seja quantos metros cuacutebicos de

aacutegua atravessam essa peneira a cada segundo Essa grandeza tambeacutem eacute

chamada nesse contexto de vazatildeo A Figura ao lado ilustra essa ideia (imagine

que a peneira em cinza estaacute obliacutequa e natildeo no plano da paacutegina) Natildeo eacute difiacutecil de

acreditar que o fluxo de aacutegua atraveacutes dessa peneira que vamos chamar de

(fi) depende da magnitude da velocidade da aacutegua ( ) maior velocidade maior

fluxo depende da aacuterea da peneira ( = ) maior aacuterea maior fluxo mas

depende tambeacutem de um acircngulo de inclinaccedilatildeo entre a peneira e o campo (digamos ) Algo como o acircngulo

entre as linhas tracejadas verde a azul na Figura Se essas linhas forem paralelas entre si por exemplo natildeo

haveraacute fluxo pois a aacutegua vai tangenciar a peneira sem atravessaacute-la Concluindo = ( ) Agora vamos obter essa funccedilatildeo Para isso vamos construir um paralelepiacutepedo mergulhado na aacutegua

cuja uma das faces eacute a peneira de aacuterea A Figura 2 abaixo ilustra essa construccedilatildeo Note que trata-se de um

paralelepiacutepedo obliacutequo por causa do acircngulo ou definido na Figura 2 arbitraacuterio Nessa Figura definimos

um vetor que eacute ortogonal (normal) agrave peneira e que forma portanto um acircngulo com a direccedilatildeo da

Figura 1 (a) aacutegua fluindo em um tubo ciliacutendrico com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) natildeo uniforme

Figura 1 (b) aacutegua fluindo em um tubo ciliacutendrico com campo de velocidades ( ) = (setas vermelhas) uniforme

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

velocidade da aacutegua Note que tambeacutem eacute o acircngulo de obliquumlidade do paralelepiacutepedo e que portanto o

volume desse paralelepiacutepedo eacute Δ = cos( )

O comprimento eacute arbitraacuterio Agora podemos partir para o caacutelculo do fluxo ou seja a quantidade

(volume) de aacutegua que passa pela peneira a cada segundo A ideia eacute simples toda a aacutegua que estaacute no

paralelepiacutepedo vai passar pela peneira em um tempo Δ = Estando a

peneira fixa podemos imaginar o paralelepiacutepedo fluindo junto com a aacutegua

como se fosse uma gaveta que desliza na direccedilatildeo de A ideia estaacute ilustrada ao

lado O volume da gaveta eacute Δ e o tempo que demora para a gaveta passar para

o outro lado da peneira eacute Δt Portanto concluiacutemos que = Δ Δt ou seja

= ΔΔt = cos( ) = cos( ) Essa eacute a funccedilatildeo = ( ou ) que estaacutevamos procurando Podemos escrever esse fluxo de uma forma

mais compacta e elegante se definirmos o vetor aacuterea = e reconhecermos que eacute o acircngulo entre os

vetores e (ou e ) Segue que = cos( ) = ∙ = ∙

sendo que o ponto (∙) nessa equaccedilatildeo representa a operaccedilatildeo de produto escalar entre os vetores e Vemos

entatildeo que o fluxo de aacutegua atraveacutes da peneira eacute maacuteximo se a peneira estiver com seu plano ortogonal agrave direccedilatildeo

de (caso = 0 e cos( ) = 1) e eacute nulo se a peneira estiver colocada paralelamente agrave direccedilatildeo de (caso = 90 e cos( ) = 0) Note que o fluxo pode ser negativo se orientarmos a normal no sentido oposto ao

mostrado na Figura 2 De fato para uma superfiacutecie aberta como essa peneira haacute sempre duas normais

possiacuteveis e minus e a escolha eacute arbitraacuteria Um fluxo negativo significa apenas que a aacutegua estaacute fluindo em um

sentido oposto ao que adotamos para Eacute importante frisar que o fluxo pode ser positivo negativo ou

nulo dependendo da orientaccedilatildeo da peneira e do sentido que escolhemos para Se na Figura 2 obtiveacutessemos

um fluxo = minus10 m3s concluiriacuteamos que como a normal adotada nos caacutelculos estaacute apontando para a

direita entatildeo a aacutegua estaria fluindo para a esquerda com uma vazatildeo de 10 m3s ou seja o campo de

velocidades estaria de fato no sentido oposto ao representado nessa Figura

Figura 2 Partindo de uma peneira retangular mergulhada em um tubo em que flui aacutegua construiacutemos um paralelepiacutepedo obliacutequo que tem a peneira com base (seta verde) eacute um vetor ortogonal agrave peneira

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A lei de Gauss envolve o fluxo do campo eleacutetrico no lugar de e natildeo podemos interpretar esse fluxo

como a vazatildeo de alguma substacircncia no espaccedilo Trata-se do fluxo desse campo de forccedila Aleacutem disso a lei de

Gauss envolve apenas fluxos em superfiacutecies fechadas ou seja superfiacutecies sem buracos ou bordas Por isso jaacute

vamos introduzir essa ideia aqui

A Figura 3 abaixo mostra a mesma aacutegua fluindo com velocidade mas agora queremos calcular o

fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie fechada formada pelas seis faces do paralelepiacutepedo que vamos chamar de

superfiacutecie S Em cada face definimos um vetor ortogonal apontando para fora do paralelepiacutepedo (por

convenccedilatildeo) ou seja eacute um campo vetorial que assume um valor diferente em cada uma das faces ( ) eacute o

valor do campo na face do paralelepiacutepedo Note que agora vamos supor que essa superfiacutecie fechada que eacute

a peneira estaacute parada e que a aacutegua passa por ela entrando por um lado e saindo pelo outro

O fluxo de aacutegua atraveacutes de S eacute (tendo em vista nosso resultado anterior para apenas uma face = ∙ )

= = ∙ ( ) ( ) sendo ( ) a aacuterea da face cujo valor natildeo importa muito agora Vemos na Figura que na face 1 vale = cos( ) (fluxo positivo porque a aacutegua sai de S atraveacutes dessa face) na face 3 vale (note que ( ) = minus ( )) = minus cos( ) ((fluxo negativo porque a aacutegua entra em S atraveacutes dessa face)) e nas outras

faces vale = 0 (a aacutegua tangencia essas faces) pois nelas o campo eacute ortogonal agrave ( ) Portanto concluiacutemos

que = 0 O significado desse resultado eacute simples ele estaacute dizendo que a aacutegua que entra em S sai e vice-

versa Podemos afirmar aqui que isso eacute verdade para qualquer movimentaccedilatildeo da aacutegua ou seja qualquer

campo de velocidades ( ) e qualquer superfiacutecie S Isso porque estamos supondo que a aacutegua eacute

incompressiacutevel De fato considere que estando apontando para fora dessa superfiacutecie fechada S qualquer

entatildeo o fluxo atraveacutes de S eacute a vazatildeo de aacutegua que atravessa a superfiacutecie S no sentido para fora ou seja a

vazatildeo que sai do volume dentro de S e vai para a regiatildeo exterior agrave S Portanto um fluxo positivo significaria

que tem mais aacutegua saindo do que entrando em S Analogamente um fluxo negativo significaria que tem

Figura 3 Agora queremos calcular o fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie fechada do paralelepiacutepedo (que vamos chamar de S) (setas verdes) eacute um vetor ortogonal a cada face do paralelepiacutepedo apontando para fora dele = ( ) eacute ele mesmo um campo de vetores definido em S

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

mais aacutegua entrando do que saindo de S Um fluxo nulo significa que o que entra sai que eacute o que tem que valer

para um fluido incompressiacutevel Considere por exemplo que valesse lt 0 entatildeo entraria mais aacutegua em S do

que sairia de onde concluiriacuteamos que a aacutegua estaria comprimindo dentro de S pois aacutegua natildeo pode

simplesmente desaparecer Note que o resultado = 0 portanto natildeo significa que natildeo flui aacutegua atraveacutes da

superfiacutecie fechada S significa apenas que o mesmo que flui para dentro flui para fora de S

Agora podemos generalizar o conceito de fluxo para uma superfiacutecie qualquer aberta ou fechada A

Figura 4 abaixo ilustra uma superfiacutecie aberta de forma arbitraacuteria Aproveitamos para abandonar a hipoacutetese de

que a aacutegua flui com velocidade uniforme ( ) = e vamos supor que a aacutegua flui com velocidade arbitraacuteria

dada pela funccedilatildeo ( ) qualquer

A ideia eacute basicamente aquela (do caacutelculo integral) que mencionamos no capiacutetulo 1 toma-se uma parte

infinitesimal de S calcula-se o fluxo de aacutegua nessa parte e depois faz-se a soma sobre toda a superfiacutecie S

Fato eacute que sendo infinitesimal tudo funciona como na Figura 2 para ou seja os campos ( ) e ( ) satildeo localmente uniformes em uma aacuterea infinitesimal Portanto o fluxo em eacute infinitesimal e eacute dado por = ( ) ∙ ( ) = ( ) cos ( )

Nessa expressatildeo podemos ser mais especiacuteficos e enfatizar que tudo depende do ponto da superfiacutecie S

escrevendo explicitamente ( ) = ( ) ∙ ( ) ( ) = ( ) cos ( ) ( ) Mas por conveniecircncia vamos fazer o contraacuterio e deixar todas as dependecircncias em impliacutecitas e escrever = ∙ = cos( )

que eacute basicamente o que todo mundo faz

Concluindo o fluxo de aacutegua atraveacutes da superfiacutecie S na Figura 4 eacute

= = ∙ = cos( )

Figura 4 Uma superfiacutecie S aberta de forma arbitraacuteria eacuteatravessada por aacutegua que flui de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea

e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto

( )

( ) ( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Para aplicar essa mesma ideia a superfiacutecies fechadas simplesmente colocaremos uma bolinha no

siacutembolo de integral e convencionaremos que nesse caso o campo deve apontar obrigatoriamente para fora

de S A Figura 5 abaixo mostra uma superfiacutecie S fechada de forma ciliacutendrica como uma lata de cerveja

Escolhemos essa superfiacutecie apenas por conveniecircncia mas estamos considerando aqui que S pode ter qualquer

forma como se fosse um balatildeo de gaacutes qualquer Mas note S eacute de fato uma superfiacutecie imaginaacuteria um objeto

matemaacutetico S natildeo eacute feita de nada ela eacute um objeto abstrato O fluxo de aacutegua na superfiacutecie S da Figura 5 eacute

(deixando as dependecircncias em impliacutecitas)

= = ∙ = cos( )

Podemos afirmar sem nenhum caacutelculo que sendo a aacutegua incompressiacutevel e estando ela fluindo de

forma arbitraacuteria vale = 0 para qualquer superfiacutecie fechada

Agora vamos direcionar as ideacuteias para finalmente fazermos uma analogia entre o fluxo de aacutegua que

estamos estudando aqui e a lei de Gauss Para isso precisamos aumentar um pouco o niacutevel de abstraccedilatildeo

Vamos definir ldquofontesrdquo e ldquosumidourosrdquo de aacutegua Considere uma torneira e um ralo ideais como mostrados na

Figura 6 abaixo

A diferenccedila da torneira ideal mostrada na Figura 6 (a) para a torneira real eacute que na torneira real a aacutegua

apenas passa por ela chegando por um cano e saindo pelo bico da torneira Na torneira ideal natildeo haacute cano a

aacutegua nasce nela ela eacute uma fonte de aacutegua Analogamente a diferenccedila do ralo ideal mostrado na Figura 6(b)

Figura 5 Uma superfiacutecie S fechada de forma ciliacutendrica eacuteatravessada por aacutegua que flui de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto

( )

( ) ( )

( )

( )

Figura 6 (a) Uma torneira ideal eacute uma ldquofonterdquo de aacutegua ou seja a aacutegua nasce na torneira

6 (b) Um ralo ideal eacute um ldquosumidourordquo de aacutegua ou seja a aacutegua desaparece no ralo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

para o ralo real eacute que no ralo real a aacutegua apenas passa por ele chegando na abertura do ralo e saindo pelo

cano No ralo ideal natildeo haacute cano a aacutegua desaparece nele ele eacute um sumidouro de aacutegua Na Figura 6 para

simplificar substituiacutemos os vetores do campo de velocidades ( ) pelas linhas de fluxo (em vermelho) que

satildeo anaacutelogas agraves linhas de forccedila para um campo de forccedila Note que jaacute adiantando a analogia que queremos

fazer aqui a torneira eacute anaacuteloga a uma carga eleacutetrica positiva enquanto que o ralo eacute anaacutelogo a uma carga

eleacutetrica negativa Podemos atribuir a essas torneiras e ralos ideais uma intensidade uma vazatildeo proacutepria Por

exemplo suponha que da torneira saiam litros de aacutegua por segundo eou que no ralo entrem litros de

aacutegua por segundo e satildeo propriedades desses objetos assim como as cargas eleacutetricas satildeo propriedades de

partiacuteculas

Na Figura 7 (a) mostramos uma superfiacutecie fechada qualquer S que tem dentro dela uma torneira de

vazatildeo Qual o fluxo de aacutegua atraveacutes de S Devemos nos esforccedilar para entender que na Figura 7 a superfiacutecie

S eacute representada por uma curva azul mas que se trata de fato de uma superfiacutecie no espaccedilo 3D como um

balatildeo cheio de gaacutes mas apenas uma superfiacutecie imaginaacuteria

Podemos afirmar sem nenhuma duacutevida que

= ∙ =

Analogamente na Figura 7 (b) em que S engloba um ralo ideal de vazatildeo podemos afirmar que o fluxo de

aacutegua atraveacutes de S eacute

= ∙ = minus

Para entender esses resultados basta lembrar que eacute o saldo de aacutegua que sai da superfiacutecie S Se natildeo

houvesse a torneira ou o ralo dentro de S entatildeo a aacutegua apenas passaria por S entrando por um lado ( lt 0) e

Figura 7 (a) Uma torneira ideal de vazatildeo estaacute dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

S S

7 (b) Um ralo ideal de vazatildeo estaacute dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

saindo pelo outro ( gt 0) e valeria = 0 Se haacute uma torneira dentro de S o saldo de aacutegua que sai de S eacute a

vazatildeo dessa torneira Havendo um ralo o saldo eacute negativo porque a aacutegua entra e natildeo sai ( eacute oposto a nesse caso) e o fluxo atraveacutes de S eacute o que entra no ralo com o sinal trocado = minus

Na Figura 8 abaixo tentamos convencer o leitor de que

= ∙ = = = ∙

Com essa igualdade queremos dizer que a aacutegua que sai da torneira ideal tem que passar por S1 e por

S2 caso contraacuterio a aacutegua estaria comprimindo ou expandindo dentro do volume delimitado entre essas duas

superfiacutecies Enfim para qualquer superfiacutecie fechada que engloba essa torneira vale = A mesma ideia vale

para um ralo com vazatildeo apenas lembrando que nesse caso = minus (aacutegua entrando em S)

Finalmente a Figura 9 sintetiza todas as ideias que queriacuteamos discutir aqui Uma superfiacutecie fechada S

engloba uma torneira de vazatildeo e um ralo de vazatildeo Aleacutem disso representamos uma linha de corrente que

apenas passa por S Essa linha representa aacutegua que vem de outro lugar de outras torneiras e que vai para

outros ralos distantes de S Qual o fluxo de aacutegua atraveacutes de S

Figura 9 Uma torneira ideal de vazatildeo e um ralo ideal de vazatildeo estatildeo

dentro de uma superfiacutecie fechada S Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

S

Figura 8 Uma torneira ideal de vazatildeo estaacute dentro de superfiacutecies fechadas S1 e S2 Note S1 e S2 natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies no espaccedilo 3D

S2

S1

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A resposta eacute simples

= ∙ = minus

Concluindo a quantidade de aacutegua que sai de S eacute o saldo do que sai da torneira e entra no ralo que

estatildeo contidos em S O que sobrar ou faltar desse saldo teraacute que necessariamente passar por S Por exemplo

imagine que saia da torneira = 10 m3s de aacutegua e que entre no ralo apenas = 6 m3s Entatildeo a diferenccedila minus = 4 m3s teraacute que sair atraveacutes de S sair e procurar outros ralos fora de S ou fluir para o infinito

Analogamente imagine que saia da torneira apenas = 7 m3s de aacutegua e que entre no ralo = 20 m3s

Entatildeo a diferenccedila minus = minus13 m3s teraacute que entrar atraveacutes de S vindo de outras torneiras fora de S ou do

infinito Para um ldquodipolordquo por exemplo que seria formado por uma torneira de vazatildeo e um ralo de vazatildeo = vale = 0 pois natildeo sobra ou falta nada para passar obrigatoriamente atraveacutes de S A aacutegua que

estiver entrando em S vai ter que sair e vice-versa pois a torneira e o ralo se completam

Poderiacuteamos apenas dar um uacuteltimo passo nesse formalismo e considerar que torneiras possuem vazotildees

positivas e ralos possuem vazotildees negativas (por exemplo para uma torneira pode valer = 10 m3s e

para um ralo = minus10 m3s) Portanto para uma superfiacutecie fechada S que engloba torneiras e ralos o

fluxo de aacutegua eacute

= ∙ = + =

sendo o saldo total de vazatildeo das torneiras e ralos internos ( ) agrave superfiacutecie S Para um ldquodipolordquo por

exemplo (uma torneira e um ralo de mesma vazatildeo em moacutedulo) = + (minus ) = 0 O subindice INT

significa que torneiras e ralos externos agrave S natildeo contribuem para o fluxo atraveacutes de S A aacutegua que vem dessas

torneiras ou que vai para esses ralos externos agrave S apenas passa por S entra por um lado e sai pelo outro

Concluindo chegamos agrave seguinte lei que daacute o fluxo em superfiacutecies fechadas S desse fluido

incompressiacutevel hipoteacutetico que nasce em torneiras ideais e desaparece em ralos ideais

= ∙ =

sendo a vazatildeo interna agrave S ou seja eacute a soma algeacutebrica das vazotildees das torneiras e ralos ideacuteias que

estatildeo englobados pela superfiacutecie S As torneiras e ralos que estatildeo fora de S natildeo interessam Por maior que seja

a quantidade de fluido que saia eou entre nessas torneiras e ralos externos eles natildeo contribuem para

Agora podemos voltar agrave lei de Gauss do eletromagnetismo

78

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

22 Lei de Gauss

A ideia expressa acima para o fluxo de aacutegua eacute a mesma ideia da lei de Gauss Trocando por

(linhas de fluxovelocidade por linhas de forccedila) torneiras por cargas eleacutetricas positivas e ralos por cargas

eleacutetricas negativas (vazotildees em torneiras e ralos por ) obtemos

= ∙ =

Na Figura 10 abaixo ilustramos a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss para o caso em que haacute apenas uma carga

pontual gt 0 no espaccedilo As linhas de forccedila de satildeo radiais (tomando como centro) e atravessam S Se

estiver fora de S as linhas de forccedila entram ( lt 0) e saem ( gt 0) de S e o saldo eacute = 0 Se estiver dentro

de S as linhas de forccedila apenas saem de S e o saldo eacute = gt 0 Nesse uacuteltimo caso se fosse negativa as

linhas de forccedila apenas entrariam em S e o saldo seria = lt 0

Natildeo pretendemos provar a lei de Gauss rigorosamente

Apenas mostraremos que o resultado eacute razoaacutevel para uma carga

pontual e depois apelaremos para o princiacutepio da superposiccedilatildeo

Considere a Figura 11 que mostra uma carga pontual englobada

por uma superfiacutecie fechada qualquer S (em azul) Queremos

calcular o fluxo de atraveacutes de S que chamaremos de Natildeo

pretendemos calcular esse fluxo atraveacutes de uma integral de em

S mesmo porque a superfiacutecie S nem foi especificada

S

S

Figura 10 (a) Uma carga pontual externa a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana) Nesse caso = 0 Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

(b) Uma carga pontual interna a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana) Nesse caso = Note S natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie no espaccedilo 3D

Figura 11 Uma carga pontual interna a uma superfiacutecie fechada S (superfiacutecie gaussiana em azul) Outra superfiacutecie esfeacuterica SE (em roxo) tambeacutem engloba Note S e SE natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas no espaccedilo 3D

S

SE

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Entatildeo apelamos para uma propriedade importante das linhas de forccedila de Primeiramente definimos

uma nova superfiacutecie esfeacuterica SE (em roxo) que eacute especificamente uma superfiacutecie esfeacuterica centrada em Seja

o fluxo de atraveacutes de SE Tudo que precisamos para provar validade da lei de Gauss nesse contexto eacute

acreditar que =

ou seja precisamos acreditar que as linhas de forccedila de que nascem em tem que atravessar a superfiacutecie S e

antes disso elas tem que ter atravessado a superfiacutecie SE Isso porque linhas de forccedila natildeo podem simplesmente

terminar no espaccedilo vazio que eacute o que existe na vizinhanccedila de por hipoacutetese A analogia entre cargas

eleacutetricas e torneirasralos ideais nos ajuda a acreditar que essa igualdade acima eacute razoaacutevel Vamos partir dela

O caacutelculo de eacute imediato pois nesse caso = e na superfiacutecie SE o raio ateacute a carga eacute

constante Portanto tendo em vista a lei de Coulomb para o campo eleacutetrico de uma carga pontual

= ∙ = 4 ∙ = 4 = 4 = 4 4 =

Usamos nessa equaccedilatildeo que a aacuterea de uma superfiacutecie esfeacuterica de raio eacute = 4 Concluindo tendo em

vista a igualdade entre os fluxos em S e em SE deduzimos que qualquer que seja a forma da superfiacutecie S que

passaremos a chamar de superfiacutecie gaussiana SG vale a igualdade

= ∙ =

se a carga eleacutetrica estiver em qualquer lugar dentro de SG Se estiver fora de SG entatildeo = 0 (toda linha

de forccedila que entrasai emde SG saientra e o saldo eacute zero)

Para finalizar apelamos para o princiacutepio da superposiccedilatildeo todos os campos eleacutetricos estaacuteticos satildeo

campos resultantes de um conjunto de cargas pontuais estaacuteticas Entatildeo se a lei de Gauss vale para uma carga

pontual segue que ela vale para uma quantidade arbitraacuteria de cargas Dessa quantidade de cargas

somente as que satildeo internas a uma superfiacutecie fechada SG contribuem para Chamaremos esse (saldo)

total de cargas eleacutetricas internas de Portanto a lei de Gauss diz que

= ∙ =

Para as cinco cargas eleacutetricas e as duas superfiacutecies fechadas mostradas na Figura 12 abaixo por

exemplo a lei de Gauss diz que

80

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ = + + = ∙ = +

Note que nas duas expressotildees acima eacute o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo ou seja o campo

eleacutetrico das cinco cargas eleacutetricas mostrada na Figura 12 que eacute dado por

= 4 somado ainda ao campo eleacutetrico de outras cargas que porventura existam fora de SG1 e SG2 e que natildeo estatildeo

mostradas nessa Figura Por mais complicado que seja esse campo a lei de Gauss fornece imediatamente a

resposta para o caacutelculo do fluxo desse campo eleacutetrico em qualquer superfiacutecie fechada que imaginarmos Basta

olhar o saldo de cargas eleacutetricas englobado por essa superfiacutecie

Na Figura 13 abaixo mostramos mais um exemplo em que uma superfiacutecie gaussiana SG qualquer

engloba um objeto dipolar (eletricamente neutro) bem pequeno que poderia ser uma moleacutecula de aacutegua

Nesse caso vale = 0 pois = 0 Toda linha de forccedila de que sai da superfiacutecie SG volta e entra nessa

superfiacutecie resultando em um fluxo nulo Eacute o que afirma a lei de Gauss

Note esse exemplo simples mostra que = 0 natildeo significa que natildeo haacute linhas de campo eleacutetrico

atravessando a superfiacutecie SG = 0 significa apenas que o que entra sai e vice-versa

Figura 13 Uma superfiacutecie gaussiana SG (em vermelho) engloba um dipolo eleacutetrico pontual Note SG natildeo eacute uma curva eacute uma superfiacutecie fechada no espaccedilo 3D

SG

Figura 12 Cinco cargas pontuais fixas e duas superfiacutecies gaussianas fechadas SG1 (em azul) e SG2 (em vermelho) Note SG1 e SG2 natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas no espaccedilo 3D

SG2

SG1

81

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

23 Aplicaccedilotildees da Lei de Gauss

Daqui para diante partiremos da validade da lei de Gauss que seraacute usada como uma ferramenta para

abordarmos problemas de eletrostaacutetica

231 Comportamento eletrostaacutetico dos condutores

Vamos comeccedilar discutindo propriedades gerais que satildeo satisfeitas por condutores isolados no

contexto da eletrostaacutetica

Um condutor (mais especificamente um condutor perfeito) eacute um material que possui um manancial

ilimitado de partiacuteculas com carga eleacutetrica que podem se mover livremente dentro de seu volume Essas

partiacuteculas livres satildeo chamadas de portadores de carga e vamos falar um pouco mais sobre elas quando

estudarmos correntes eleacutetricas Nos metais por exemplo os portadores de carga satildeo eleacutetrons Nesses

materiais as cargas positivas fixadas nos nuacutecleos atocircmicos natildeo se movem Um excesso de carga eleacutetrica

positiva em um metal eacute de fato um deacuteficit de eleacutetrons (agrave medida que os eleacutetrons vatildeo fluindo e preenchendo

esses deacuteficits podemos ter a impressatildeo de que satildeo as cargas positivas que estatildeo se movendo) Em uma

soluccedilatildeo eletroliacutetica como a mistura aacutegua+sal os portadores de carga podem ser iacuteons positivos e negativos

Aqui vamos admitir para simplificar que estamos tratando de condutores idealmente perfeitos (ou seja que

possuem um manancial infinito de portadores de carga eleacutetrica) Os metais como a prata e o cobre estatildeo

razoavelmente proacuteximos desse ideal Na natureza haacute tambeacutem os materiais isolantes em cujo volume natildeo haacute

portadores de carga eleacutetrica pois nenhuma das suas partiacuteculas constituintes possui mobilidade Podemos

mencionar tambeacutem os materiais semicondutores que possuem uma capacidade de conduccedilatildeo de cargas

eleacutetricas intermediaacuteria entre a dos condutores e a dos isolantes Toda a tecnologia eletrocircnica moderna se

baseia nesse comportamento intermediaacuterio e por isso controlaacutevel da conduccedilatildeo eleacutetrica dos semicondutores

Nas Figuras 14 (a) e (b) abaixo ilustramos a diferenccedila essencial entre um condutor soacutelido um metal

por exemplo e um isolante Mostramos o que seriam trecircs aacutetomos na vizinhanccedila da superfiacutecie do material ou

seja na fronteira materialvaacutecuo No isolante os eleacutetrons estatildeo atrelados aos nuacutecleos sendo no maacuteximo

compartilhados entre aacutetomos primeiros vizinhos no material como em uma ligaccedilatildeo covalente Esses eleacutetrons

podem apenas circular em uma regiatildeo restrita em torno de seu aacutetomo de origem Nos metais os eleacutetrons mais

externos nos aacutetomos possuem mobilidade ou seja eles fluem atraveacutes de todo o volume do condutor saltando

de um aacutetomo para outro Esses eleacutetrons satildeo os portadores de carga eleacutetrica Para que eles fluam basta que

atue sobre eles um campo de forccedila ou seja um campo eleacutetrico (mais adiante veremos que esse campo de

forccedila pode ser tambeacutem um campo magneacutetico) Nos condutores perfeitos existe um manancial ilimitado de

portadores de carga eleacutetrica (nos metais eles satildeo cong1024) Note que todos os materiais satildeo em princiacutepio

82

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

eletricamente neutros Os portadores de carga nos metais natildeo constituem um excesso de carga eleacutetrica nesses

materiais eles satildeo eleacutetrons do proacuteprio material

A presenccedila dessa mobilidade para as cargas eleacutetricas nos condutores os torna especiais mesmo no

contexto simples da eletrostaacutetica Resumidamente podemos adiantar que os condutores possuem a

capacidade de blindar algumas regiotildees do espaccedilo da influecircncia de campos eleacutetricos que eacute o princiacutepio de

funcionamento da gaiola de Faraday

Considere que no contexto da eletrostaacutetica todas as partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica devem

estar estaacuteticas paradas em suas posiccedilotildees de equiliacutebrio Em um isolante essa situaccedilatildeo natildeo parece muito difiacutecil

de ser atingida posto que os eleacutetrons e proacutetons natildeo possuem mobilidade nesses materiais (eles podem

apenas se deslocar um pouco em torno de suas posiccedilotildees de equiliacutebrio) A situaccedilatildeo eacute mais interessante quando

consideramos um material condutor um metal por exemplo Dentro do volume desse metal haacute eleacutetrons que

podem se mover e fluir para laacute e para caacute nas trecircs dimensotildees do espaccedilo Na superfiacutecie dos metais a mobilidade

desses eleacutetrons livres eacute mais restrita eles podem se moverfluir livremente apenas nas duas direccedilotildees paralelas

agrave superfiacutecie Na direccedilatildeo ortogonal agrave superfiacutecie os eleacutetrons natildeo podem se mover para fora do metal (para o

vaacutecuo) posto que eles estatildeo ligados a essa estrutura de partiacuteculas (atraveacutes da ligaccedilatildeo metaacutelica) Na ausecircncia

de uma forccedila resultante sobre esses eleacutetrons livres eles estaratildeo naturalmente estaacuteticos em alguma posiccedilatildeo

de equiliacutebrio Eacute o que acontece em um metal isolado e em repouso (sem gradientes de temperatura etc)

Sendo a gravidade despreziacutevel a forccedila resultante que poderia atuar sobre esses eleacutetrons em um bloco de

metal em repouso seria um campo eleacutetrico produzido por exemplo por cargas eleacutetricas estaacuteticas

colocadas proacuteximas desse metal Esse campo eleacutetrico existe dentro do volume do metal e vai colocar os

portadores de carga para fluir sob accedilatildeo da forccedila = sendo a carga de um portador Admitindo que a

eletrostaacutetica eacute possiacutevel na presenccedila de materiais condutores temos que concluir que esse fluxo de portadores

- + - - -+ -

- - + - -

- -

- - + -

- -+ -- - + -

-

Figura 14 (a) Em um isolante eleacutetrico como a madeira seca os proacutetons estatildeo fixos nos nuacutecleos atocircmicos e os eleacutetrons circulam na vizinhanccedila proacutexima desses nuacutecleos sem poderem se afastar muito deles A quantidade de eleacutetrons eacute igual agrave quantidade de proacutetons

(b) Em um condutor eleacutetrico como o cobre os proacutetons estatildeo fixos nos nuacutecleos atocircmicos e os eleacutetrons das camadas mais internas nesses aacutetomos circulam na vizinhanccedila proacutexima desses nuacutecleos sem poderem se afastar muito deles (como nos isolantes) Os eleacutetrons mais externos (em roxo) podem circular livremente saltando de um aacutetomo para o outro A quantidade de eleacutetrons eacute igual agrave quantidade de proacutetons

vaacutecuo

vaacutecuo

isolante

metal

83

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

teraacute que terminar em algum momento e que os portadores de carga teratildeo que enfim encontrar suas posiccedilotildees

de equiliacutebrio Qualquer que seja o processo que leve a esse equiliacutebrio ao final ele vai levar agrave condiccedilatildeo

( ) = 0 Em todos os pontos dentro do volume do condutor (onde os

portadores de carga possuem mobilidade irrestrita)

eacute o campo eleacutetrico resultante dentro do volume do condutor ou seja no equiliacutebrio eletrostaacutetico deve valer = = 0 em todos os portadores de carga dentro do condutor

A Figura ao lado ilustra essa ideia Um bloco de metal estaacute

parado e vaacuterias cargas eleacutetricas estatildeo fixas na vizinhanccedila desse

condutor Se essa Figura representa uma situaccedilatildeo eletrostaacutetica entatildeo

temos que admitir que vale = 0 no volume do condutor (regiatildeo

cinza) Se isso natildeo fosse verdade ou seja se valesse ne 0 no volume

do condutor natildeo haveria nada de errado com isso mas natildeo seria eletrostaacutetica Os portadores de carga

estariam fluindo dentro do metal (correntes eleacutetricas) e estariacuteamos no contexto da eletrodinacircmica que vamos

estudar mais adiante

Concluindo

Equiliacutebrio eletrostaacutetico hArr ( ) = 0 Em todos os pontos dentro do volume dos condutores

(onde os portadores de carga possuem mobilidade irrestrita)

Portanto tomamos a condiccedilatildeo = 0 dentro do volume dos condutores como sinocircnimo de equiliacutebrio

eletrostaacutetico na presenccedila desses materiais Nesse sentido nunca precisamos calcular o campo eleacutetrico dentro

do volume de um condutor que estaacute por hipoacutetese em equiliacutebrio eletrostaacutetico podemos sempre admitir que

vale = 0 nessas regiotildees sem a necessidade de demonstraccedilatildeo

A primeira pergunta que queremos responder aqui eacute como um material condutor consegue satisfazer

essa condiccedilatildeo = 0 em seu interior Considere o exemplo mostrado na Figura 15 abaixo Um bloco condutor

maciccedilo eletricamente neutro um bloco de metal para simplificar estaacute parado diante de uma carga pontual

fixa em sua posiccedilatildeo Considere o ponto P dentro do volume desse metal

Vamos supor que o metal esteja em equiliacutebrio eletrostaacutetico Sabemos entatildeo que ( ) = 0 Pergunta

a carga pontual gera campo eleacutetrico em P Sim Esse campo estaacute mostrado na Figura 15 (seta verde) e vale

de acordo com a lei de Coulomb ( ) = 4

= 0

84

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

sendo a distacircncia de P ateacute Como pode entatildeo valer ( ) = 0 Haacute outras cargas eleacutetricas Que cargas se o

metal estaacute eletricamente neutro Cargas eleacutetricas do proacuteprio metal que acumulam em sua superfiacutecie graccedilas agrave

accedilatildeo de sobre elas uma eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo A Figura 15 (b) ilustra essas cargas supondo gt 0

Considere esse processo ao longo do tempo Em um primeiro instante o campo eleacutetrico dentro do

metal (e fora tambeacutem) eacute = ele natildeo estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Esse campo (supondo que gt 0)

atrai eleacutetrons de conduccedilatildeo no metal (assim como esses eleacutetrons tambeacutem atraem que estamos supondo fixa)

e eles fluem para a superfiacutecie externa do metal mais proacutexima de formando aiacute uma densidade de cargas

eleacutetricas superficial uma lt 0 (E de externa) Ao mesmo tempo a superfiacutecie oposta do metal mais afastada

de fica com densidade de carga eleacutetrica gt 0 pois haacute aiacute um deacuteficit de eleacutetrons Essa densidade de carga

superficial produz campo eleacutetrico dentro do metal (e fora tambeacutem) e o campo eleacutetrico nessas regiotildees passa

a ser = + Portadores de carga eleacutetrica continuam fluindo sob accedilatildeo de = + e a densidade

de carga vai aumentando assim como o campo eleacutetrico Esse processo (transiente) vai acabar quando

valer = + = 0 em todos os pontos dentro do volume do metal em particular no ponto P Sabemos

que esse equiliacutebrio vai ocorrer caso contraacuterio a eletrostaacutetica seria impossiacutevel na presenccedila de materiais

condutores Note que nesse caso a densidade de carga induzida na superfiacutecie S do condutor seraacute tal que

= 0

pois a presenccedila de cargas eleacutetricas proacuteximas do condutor induzem mas natildeo alteram a neutralidade eleacutetrica

do condutor (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) Esses processos transientes satildeo muito raacutepidos para os bons condutores

(algo como 10 s para um metal) basicamente instantacircneos para os nossos sentidos

Daqui para diante assumiremos a validade desse fato natildeo importa o que existe fora de um bloco

condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) no equiliacutebrio eletrostaacutetico haveraacute na

superfiacutecie externa desse condutor uma densidade de cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico dentro

P ( )metal

P ( ) metal ++

+ +

--

- - ( )Figura 15 (a) um bloco maciccedilo de metal eletricamente neutro estaacute diante de uma carga eleacutetrica pontual gt 0 A carga produz campo eleacutetrico em P ( ) Como pode ser ( ) = 0

(b) nas paredes do bloco de metal acumulam-se cargas eleacutetricas atraiacutedas e repelidas por (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) Essas cargas produzem em P o campo eleacutetrico ( ) Tente imaginar essas Figuras em trecircs dimensotildees

85

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

do condutor de tal forma que vale = 0 nessa regiatildeo Note que esses argumentos natildeo valem para um bloco

isolante (ou mesmo para o vaacutecuo) pois ele natildeo pode contar com esse manancial de portadores de carga

eleacutetrica para blindar (atraveacutes de ) seu interior de influecircncias externas Mais adiante quando estudarmos os

capacitores e os dieleacutetricos veremos que os isolantes ateacute tentam blindar seu interior mas natildeo conseguem

Natildeo se engane o fato de valer = 0 no volume de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico natildeo eacute

consequumlecircncia da lei de Gauss = 0 (em ) eacute uma condiccedilatildeo para a eletrostaacutetica na presenccedila de condutores

mesmo em um universo em que natildeo houvesse lei de Gauss A frase abaixo

retirada do livro texto Physics for Scientists and Engineers de Debora M Katz (Ed Cengage Learning) parece

mostrar que essa confusatildeo natildeo estaacute restrita apenas aos estudantes que estatildeo iniciando no estudo da lei de

Gauss

Discutiremos em seguida alguns fatos interessantes ligados a esse comportamento (de blindagem) dos

materiais condutores alguns deles consequumlecircncia da validade da lei de Gauss

1) Todos os excessos de carga eleacutetrica depositados em um condutor vatildeo se localizar no equiliacutebrio

eletrostaacutetico na superfiacutecie desse condutor No exemplo da Figura 15 denotamos esses excessos de carga

superficiais por

Jaacute fizemos alusatildeo vaacuterias vezes a esse fato sem justificar sempre desenhando os excessos de cargas

nas superfiacutecies dos condutores Agora poderemos entender por que eacute assim

No caso de um excesso de carga de mesmo sinal gt 0 por exemplo costumamos apelar para a

ideia de que as cargas eleacutetricas em excesso se repelem mutuamente e que ao se afastarem umas das outras

vatildeo parar na superfiacutecie externa do condutor De fato as coisas natildeo satildeo tatildeo simples assim A Figura 16 abaixo

tenta convencer o leitor dessa constataccedilatildeo

Note que essa repulsatildeo muacutetua natildeo ocorre com os eleacutetrons de conduccedilatildeo de um metal pois esses

eleacutetrons se encontram em um meio eletricamente neutro devido agrave presenccedila da quantidade igual de cargas

eleacutetricas positivas A repulsatildeo muacutetua ocorre apenas para as cargas em excesso positivas ou negativas

Enfim queremos provar que a situaccedilatildeo correta para o equiliacutebrio eletrostaacutetico de um condutor isolado

com um excesso de cargas eleacutetricas (positivo por exemplo) eacute aquela mostrada na Figura 16 (a) em que todo o

excesso de cargas se encontra concentrado na superfiacutecie externa do bloco condutor

86

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Vamos pensar aqui no caso de um bloco de metal em repouso Primeiramente eacute interessante notar

que se depositarmos eleacutetrons extras nesse metal estes eleacutetrons natildeo pertenceratildeo a nenhum aacutetomo em

particular e possuiratildeo portanto mobilidade dentro do volume desse condutor assim como os proacuteprios

eleacutetrons de conduccedilatildeo Se arrancarmos eleacutetrons do metal este ficaraacute com um excesso de cargas eleacutetricas

positivas que satildeo de fato vacacircncias no ldquomarrdquo de cargas negativas Essas vacacircncias exibindo um excesso de

carga positiva vatildeo atrair os eleacutetrons de conduccedilatildeo o que vai produzir uma movimentaccedilatildeo da proacutepria vacacircncia

que vai sendo preenchida por eleacutetrons ou seja os excessos de carga positiva tambeacutem possuem mobilidade no

volume do condutor Queremos provar que esses excessos de carga se movimentam ateacute finalmente

encontrarem o equiliacutebrio na superfiacutecie exterior do bloco de metal Para isso vamos repetir abaixo na Figura

17 a Figura 16 (b) e vamos mostrar que aquela carga eleacutetrica desenhada no interior do volume do bloco

condutor natildeo pode existir A lei de Gauss natildeo deixa

Para provar isso construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana (SG) que abraccedila o volume do condutor (em

azul) mas que estaacute sempre localizada por dentro da proacutepria superfiacutecie S do condutor (em verde) Vamos

considerar o limite em que SG tende agrave superfiacutecie externa S do condutor por dentro dela ou seja vamos tomar

o limite rarr 0

Aplicando a lei de Gauss para a superfiacutecie SG obtemos

+ ++

+

+ ++

++ +

++

+++

+

Figura 16 Em qual caso a distacircncia muacutetua entre as cargas eacute em meacutedia maior Essas duas Figuras tentam convencer o leitor de que estaacute longe de ser evidente que no equiliacutebrio eletrostaacutetico em condutores para que as cargas eleacutetricas em excesso se afastem ao maacuteximo umas das outras devido agrave simples repulsatildeo muacutetua entre elas elas devem necessariamente se posicionar todas na superfiacutecie do condutor A Figura (a) estaacute correta porque as cargas eleacutetricas se repelem com uma forccedila que decai com o quadrado da distacircncia (levando agrave validade da lei de Gauss) Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees

(a) (b)

Figura 17 Um bloco de metal possui um excesso de cargas eleacutetricas positivas e estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana SG (em azul) toda contida no volume do metal e que se aproxima da superfiacutecie externa S (em verde) do bloco de metal Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas

S

+ + +

+

+ + +

+ SG

87

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ =

sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG por exemplo a carga + isolada mostrada na

Figura 17 quase que no centro da SG Agora vamos apelar para a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0

no volume do metal Sabemos que = 0 em todos os pontos da superfiacutecie SG pois ela estaacute por construccedilatildeo

toda contida nesse volume Portanto na lei de Gauss

= ∙ = 0 ∙ = 0 =

Conclusatildeo = 0 e natildeo pode existir aquela carga + em excesso desenhada dentro da SG na Figura 17 (mas

note os proacutetons e eleacutetrons do proacuteprio condutor estatildeo dentro dessa SG formando uma massa eletricamente

neutra) Ateacute onde podemos estender esse argumento Podemos tomar a distacircncia tatildeo pequena quanto

quisermos soacute natildeo podemos fazer = 0 pois nesse caso natildeo poderiacuteamos usar a condiccedilatildeo = 0 sobre a SG (

geralmente eacute descontiacutenuo na superfiacutecie de um condutor onde existe uma densidade de carga superficial

como mostramos no caso similar de um disco e de um plano infinito com densidades de carga ) Concluiacutemos

que o excesso de carga eleacutetrica depositado no bloco de metal soacute pode ter encontrado o equiliacutebrio na superfiacutecie

externa do bloco de metal que eacute onde nosso argumento natildeo vale Esse excesso de cargas constitui uma

densidade de carga eleacutetrica superficial definida em S (de fato a distribuiccedilatildeo superficial de cargas possui uma

espessura que se estende por alguns poucos angstrons que estamos desprezando aqui) A Figura correta para

essa situaccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico de um bloco de metal com um excesso de cargas positivas eacute a 16 (a)

Vemos entatildeo que o fato dos excessos de carga eleacutetrica de mesmo sinal se localizarem apenas na

superfiacutecie de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico natildeo eacute consequumlecircncia apenas da repulsatildeo entre as

partiacuteculas carregadas que constituem esse excesso O fato de precisarmos da lei de Gauss para provar que isso

ocorre jaacute eacute uma dica de que as coisas natildeo satildeo tatildeo simples assim Os excessos de carga eleacutetrica se localizam

apenas na superfiacutecie de um condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico porque a forccedila eletrostaacutetica de repulsatildeo

muacutetua entre as cargas eleacutetricas que constituem esse excesso decai com o quadrado da distacircncia (o que leva agrave

validade da lei de Gauss) Pode-se provar que se natildeo fosse esse o caso se a forccedila decaiacutesse por exemplo com o

cubo da distacircncia (entatildeo a lei de Gauss natildeo valeria) os excessos de carga nos condutores em equiliacutebrio

eletrostaacutetico natildeo se concentrariam todos na superfiacutecie eles se distribuiriam tambeacutem ao longo do volume do

condutor como na Figura 16(b) (ver o artigo The charge distribution on a conductor for non-Coulombic

potentials D J Griffiths e D Z Uvanovic American Journal of Physics 69 (2001))

Se voltarmos na Figura 15 em que mostramos um bloco condutor maciccedilo eletricamente neutro

diante de uma carga pontual fixa podemos entender agora porque representamos todos os excessos de

88

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

carga positiva e negativa nas faces do condutor Nenhum excesso de carga eleacutetrica por menor que seja pode

ficar localizada no volume do condutor quebrando a neutralidade eleacutetrica nessa regiatildeo O volume de um

condutor em equiliacutebrio eletrostaacutetico eacute sempre uma mistura eletricamente neutra de proacutetons e eleacutetrons

Proacutetons e eleacutetrons deslocados de suas posiccedilotildees pela accedilatildeo de agentes externos (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo) como

a carga na Figura 15 ou depositados em excesso em um condutor vatildeo vagar por alguns instantes e

finalmente encontrar equiliacutebrio na superfiacutecie do condutor constituindo aiacute uma densidade de carga superficial

Essa densidade de carga superficial eacute o agente que garante a validade da condiccedilatildeo = 0 no volume do

condutor e do equiliacutebrio eletrostaacutetico sob quaisquer circunstacircncias

2) Em um condutor com uma cavidade vazia (sem cargas eleacutetricas dentro dela) natildeo haacute campo eleacutetrico dentro

da cavidade e nem excesso de cargas eleacutetricas na superfiacutecie dela Esse eacute o princiacutepio da gaiola de Faraday

Isso deve valer em qualquer situaccedilatildeo (no equiliacutebrio eletrostaacutetico) natildeo importando o que existe fora do

bloco condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) ou qual o excesso de cargas que

porventura exista no condutor Essa propriedade eacute simples de ser provada utilizando-se o conceito de

potencial eleacutetrico que estudaremos no capiacutetulo 3 Como natildeo temos esse conceito definido ainda vamos

tentar mostrar aqui apenas a razoabilidade dessa propriedade A Figura 18 ilustra um bloco de metal com uma

cavidade vazia em seu interior e um excesso de cargas positivas concentradas em sua superfiacutecie externa P

eacute um ponto no volume do metal e Prsquo eacute um ponto no interior da cavidade vazia

Poderiacuteamos nos perguntar se natildeo seria o caso de uma fraccedilatildeo desse excesso de cargas se depositar na

superfiacutecie da cavidade afinal essa tambeacutem eacute uma superfiacutecie do metal assim como a superfiacutecie externa

Aqui apelamos para um argumento parecido com o que jaacute usamos

anteriormente baseado na lei de Gauss Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana

(SG) que abraccedila a cavidade mas que estaacute sempre localizada por fora da proacutepria

superfiacutecie da cavidade dentro do metal Essa superfiacutecie SG eacute ilustrada em azul

na Figura ao lado (imagine essa Figura em trecircs dimensotildees) Vamos considerar o

limite em que SG tende agrave superfiacutecie da cavidade por fora dela Aplicando a lei

de Gauss para a superfiacutecie SG (azul) obtemos

Figura 18 Um bloco de metal possui um excesso de cargas eleacutetricas positivas e estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico Dentro dele haacute uma cavidade vazia uma bolha Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas

SG

+ +

+

+ + +

+

++

+

P Prsquo

P Prsquo SG

++

+

+ ++

+

++

+

89

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ =

sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG que poderia estar por exemplo depositada

na superfiacutecie da cavidade

Agora vamos apelar para a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0 no volume do metal Entatildeo = 0 em todos os pontos da superfiacutecie SG pois ela estaacute por construccedilatildeo toda contida nesse volume

Portanto na lei de Gauss

= ∙ = 0 ∙ = 0 =

Conclusatildeo = 0 e natildeo podem existir excessos de cargas eleacutetricas dentro dessa SG Concluiacutemos que natildeo haacute

excessos de cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie da cavidade (pois no volume do metal jaacute sabemos que

natildeo haacute)

Poderiacuteamos especular que soacute provamos que natildeo haacute excessos de cargas de mesmo sinal mas poderia

ainda haver cargas positivas e negativas espalhadas nessa superfiacutecie formando

uma densidade de carga superficial (I de interna) de tal forma que a carga total

fosse nula como ilustrado (em azul) ao lado Mostramos acima que deve valer = 0

sendo a superfiacutecie da cavidade Podemos ateacute cogitar a existecircncia dessa mas soacute poderiacuteamos entender

sua existecircncia como sendo consequumlecircncia de uma influecircncia de cargas eleacutetricas externas sobre as cargas

eleacutetricas na superfiacutecie da cavidade separando as cargas positivas das negativas (pois dentro da cavidade natildeo

haacute nada por hipoacutetese) Portanto vamos apelar aqui para a propriedade que mostramos anteriormente natildeo

importa o que existe fora do bloco condutor (distribuiccedilotildees arbitraacuterias de cargas eleacutetricas estaacuteticas) no

equiliacutebrio eletrostaacutetico haveraacute na superfiacutecie externa desse condutor uma densidade de cargas eleacutetricas (E

de externa) que ldquomatardquo o campo eleacutetrico dentro do condutor de tal forma que vale sempre = 0 nessa

regiatildeo Portanto natildeo podemos conceber uma influecircncia externa que penetra dentro do condutor e atinge a

cavidade em seu interior Tambeacutem por isso fica claro que vale ( ) = ( prime) = 0 ou seja natildeo haacute campo

eleacutetrico dentro do condutor e nem dentro da cavidade pois natildeo distingue o ponto P do ponto Prsquo ambos

estatildeo dentro da superfiacutecie S do condutor Como jaacute dissemos esses fatos satildeo provados de forma simples

atraveacutes do conceito de potencial eleacutetrico como veremos em breve Aqui estamos apresentando uma prova

rigorosa apenas do fato de que se haacute uma distribuiccedilatildeo de cargas na superfiacutecie de cavidade entatildeo

P Prsquo

SG

++

+

+ ++

+

++

+

++

+- - -

90

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= 0

mas vamos assumir que de fato vale = 0 (se a cavidade estaacute vazia)

Aqui estamos discutindo a ideia de uma gaiola de Faraday uma regiatildeo vazia dentro de um condutor

que estaacute blindada de influecircncias (estaacuteticas) de quaisquer excessos de cargas depositados no proacuteprio condutor

e de outras cargas eleacutetricas estaacuteticas no seu exterior As cargas que constituem blindam esse interior elas

estatildeo laacute e existem para isso Enquanto natildeo desempenhar essa funccedilatildeo de blindar o interior do condutor

ainda natildeo eacute eletrostaacutetica eacute eletrodinacircmica Uma pessoa que estivesse colocada dentro dessa cavidade natildeo

teria condiccedilotildees de afirmar se existem excessos de cargas eleacutetricas depositados no condutor ou se existem

cargas eleacutetricas posicionadas laacute fora na regiatildeo exterior ao condutor Essa pessoa estaria blindada das possiacuteveis

influecircncias dessas cargas eleacutetricas (graccedilas agrave accedilatildeo de ) Essa pessoa (eletricamente neutra por hipoacutetese)

dentro da cavidade natildeo mede nenhum campo eleacutetrico dentro da cavidade e nenhuma carga eleacutetrica

depositada na superfiacutecie dessa cavidade

Agraves vezes vemos esse argumento ser usado para por exemplo aconselhar uma pessoa a permanecer

dentro de um automoacutevel durante uma tempestade com raios pois o automoacutevel sendo basicamente uma

casca de metal funcionaria razoavelmente como uma gaiola de Faraday De fato um raio estaacute longe de ser um

objeto da eletrostaacutetica pois trata-se de um jato de cargas eleacutetricas fluindo para laacute e para caacute e natildeo devemos

levar essa extrapolaccedilatildeo muito a seacuterio Para estudar a possiacutevel blindagem produzida por um condutor em um

contexto mais geral devemos levar em conta a induccedilatildeo de cargas eleacutetricas e

tambeacutem de correntes eleacutetricas na superfiacutecie do condutor e apelar para

conceitos mais gerais da eletrodinacircmica Esse efeito de blindagem (natildeo-

eletrostaacutetica) existe e possui aplicaccedilotildees importantes Ele eacute utilizado por

exemplo para impedir que a radiaccedilatildeo produzida dentro de um forno de

microondas saia para o ambiente externo A Figura ao lado mostra uma

pessoa que estaacute dentro de uma gaiola de metal (uma gaiola de

Faraday) tocando com uma matildeo a superfiacutecie interna dessa gaiola No

lado externo da gaiola haacute uma descarga eleacutetrica intensa que atinge a

superfiacutecie exterior da gaiola Essa descarga eleacutetrica transporta cargas

eleacutetricas para o metal da gaiola e essas cargas natildeo atingem a matildeo da

pessoa em seu interior caso contraacuterio ela sentiria um choque

eleacutetrico O que esse experimento estaacute mostrando eacute que as condiccedilotildees

de equiliacutebrio eletrostaacutetico que estamos estudando aqui devem ser

atingidas rapidamente de tal forma que as cargas eleacutetricas atingem o

++

+

+ ++

+

++

+

91

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

metal da gaiola e em um tempo muito curto se depositam na superfiacutecie exterior da gaiola sem terem tempo

de atravessarem a espessura do metal e atingir a superfiacutecie interior da gaiola e a matildeo da pessoa A Figura

acima ilustra esse processo supondo que a descarga eleacutetrica arranca eleacutetrons da gaiola metaacutelica Essas cargas

fluem rapidamente no metal e natildeo chegam a atravessar a espessura que separa a superfiacutecie exterior da

superfiacutecie interior Esses fatos satildeo demonstrados rigorosamente atraveacutes das leis mais gerais da eletrodinacircmica

e experimentos como esse ilustrado na fotografia acima demonstram isso na praacutetica

3) Em um condutor com uma cavidade ocupada (por cargas eleacutetricas) haacute campo eleacutetrico dentro da cavidade e

cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie dela

A figura 19 abaixo ilustra essa ideia Agora fixamos uma carga eleacutetrica pontual (+) dentro da

cavidade para ver o que acontece Representamos densidades de carga eleacutetrica superficiais e para

discutir a existecircncia ou natildeo dessas densidades

Os argumentos aqui satildeo similares aos dos itens anteriores mas com conclusotildees um tanto diferentes

Haacute excesso de cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie da cavidade Tem que haver senatildeo natildeo seria

possiacutevel valer = 0 dentro do volume do condutor Imagine que gt 0 Essa carga vai produzir campo

eleacutetrico dentro do condutor (metal) e atrair eleacutetrons para a superfiacutecie da cavidade formando aiacute uma

densidade de carga superficial negativa Eleacutetrons vatildeo sendo atraiacutedos e vai aumentando e produzindo

tambeacutem campo eleacutetrico dentro do metal (e dentro da cavidade e fora do metal) um campo cada vez maior

No equiliacutebrio eletrostaacutetico eacute tal que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de dentro do volume do metal O que

podemos concluir sobre a magnitude de Aqui apelamos para um argumento parecido com o que jaacute usamos

anteriormente baseado na lei de Gauss Construiacutemos uma superfiacutecie gaussiana (SG) que abraccedila a cavidade

mas que estaacute sempre localizada por fora da proacutepria superfiacutecie da cavidade dentro do metal Aplicando a lei de

Gauss para a superfiacutecie SG obtemos

= ∙ =

sendo a carga eleacutetrica total contida dentro da superfiacutecie SG Agora apelamos para a condiccedilatildeo de

equiliacutebrio eletrostaacutetico = 0 no volume do metal e em todos os pontos da superfiacutecie SG Da lei de Gauss

obtemos

P Prsquo

Figura 19 Um bloco de metal possui uma cavidade dentro da qual estaacute fixada uma carga pontual Tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees Natildeo satildeo curvas satildeo superfiacutecies fechadas

SG

+

92

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ = 0 ∙ = 0 =

Conclusatildeo = 0 e natildeo podem existir excessos de cargas eleacutetricas dentro dessa SG Mas podemos ver na

Figura 19 que a carga estaacute laacute Conclusatildeo tem que haver uma carga total ndash depositada na superfiacutecie da

cavidade ou seja a densidade de carga superficial existe e eacute tal que

= minus

sendo a superfiacutecie da cavidade (nos levando a concluir que = 0 = + (minus )) Isso eacute tudo que

podemos afirmar sobre

Note que existe tambeacutem mesmo que o objeto colocado dentro da

cavidade seja eletricamente neutro desde que ele produza campo eleacutetrico no

espaccedilo Teraacute que haver uma densidade de carga na parede da cavidade para

blindar o campo eleacutetrico desse objeto colocado dentro da cavidade produzindo o

resultado = 0 no volume do condutor Por exemplo se colocarmos um dipolo no

interior da cavidade como na Figura ao lado haveraacute na parede da cavidade uma

densidade de carga que eacute positiva proacutexima ao poacutelo negativo e negativa proacutexima ao poacutelo positivo do dipolo

Nesse caso a carga total induzida na superfiacutecie da cavidade seraacute

= 0

jaacute que o dipolo eacute eletricamente neutro ( = 0 + 0 = 0)

Haacute cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie externa do condutor Em princiacutepio sim pois se haacute um

excesso de cargas no condutor por hipoacutetese entatildeo tem que haver uma carga total prime nessa superfiacutecie

externa na forma de uma densidade de carga superficial tal que

+ (minus ) = minus =

sendo a superfiacutecie externa do condutor Essa igualdade estaacute dizendo que se somarmos a carga eleacutetrica total

depositada na superfiacutecie externa (SE) do condutor ( ) com a carga eleacutetrica total depositada na superfiacutecie (SC)

da cavidade (minus ) temos que obter o excesso de carga total no condutor ( ) Por exemplo se o condutor for

eletricamente neutro ( = 0) e fixarmos uma carga dentro da cavidade na superfiacutecie da cavidade vai se

concentrar uma carga ndash enquanto que na superfiacutecie externa do condutor vai se concentrar uma carga de

tal forma que + (minus ) = = 0

P Prsquo

+-+

++

- --

93

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Juntando esse resultado com os que jaacute obtivemos anteriormente podemos resumir tudo da seguinte

forma considere um bloco de metal em repouso com um excesso de cargas eleacutetricas e com uma cavidade

em seu interior Dentro da cavidade haacute um excesso de cargas fixas Na regiatildeo exterior do condutor haacute uma

distribuiccedilatildeo arbitraacuteria de cargas eleacutetricas fixas O condutor jaacute estaacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico

i) Na superfiacutecie exterior do condutor concentra-se uma densidade de carga superficial que blinda o interior

desse condutor das influecircncias externas (princiacutepio da gaiola de Faraday) Interior = volume do condutor +

volume da cavidade

ii) Na superfiacutecie da cavidade concentra-se uma densidade de carga superficial que blinda o exterior dessa

cavidade das influecircncias externas da carga dentro da cavidade Exterior = volume do condutor + volume

exterior ao condutor

iii) eacute tal que sua soma (integral de superfiacutecie) eacute exatamente ndash

iv) eacute tal que sua soma (integral de superfiacutecie) eacute exatamente +

O que podemos falar sobre o campo eleacutetrico no espaccedilo Considere que vale o princiacutepio da

superposiccedilatildeo e que haacute quatro campos eleacutetricos aqui

Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas que estatildeo colocadas no espaccedilo fora do condutor

Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas concentradas na superfiacutecie exterior do condutor

Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas concentradas na superfiacutecie da cavidade

Campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas que estatildeo colocadas dentro da cavidade

Portanto em qualquer ponto do espaccedilo vale = + + +

Vamos analisar agora as trecircs regiotildees do espaccedilo

i) Dentro do material condutor (regiatildeo ldquohabitadardquo pelos portadores de carga eleacutetrica) = + ++ = 0 Eacute para isso que essas densidades de carga e existem Sem elas natildeo haveria o equiliacutebrio

eletrostaacutetico desse condutor Mas note que mais especificamente = + + + = 0 +0 = 0 Cada distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial daacute conta de uma blindagem (esses dois fenocircmenos satildeo

independentes entre si) blinda o condutor da influecircncia das cargas eleacutetricas externas e blinda o

condutor da influecircncia das cargas eleacutetricas dentro da cavidade (essa independecircncia vem do fato de que essas

duas superfiacutecies podem estar tatildeo distantes uma da outra quanto queiramos)

94

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

ii) Regiatildeo exterior do condutor = + + + = + + 0 = + Laacute fora existe

o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas externas e o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas depositadas na superfiacutecie

externa do condutor Os campos eleacutetricos de e de se aniquilaram nessa regiatildeo

iii) Regiatildeo dentro da cavidade = + + + = 0 + + = + Dentro da cavidade

haacute o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas que foram colocadas laacute dentro e o campo eleacutetrico das cargas eleacutetricas

na superfiacutecie da cavidade Os campos eleacutetricos das cargas externas e de se aniquilaram nessa regiatildeo

Se natildeo houver cargas eleacutetricas externas ao condutor ( = 0) e se aterrarmos a superfiacutecie externa

do condutor podemos fazer com que o excesso de cargas eleacutetricas depositado nela se esvaia para a Terra

tornando essa superfiacutecie eletricamente neutra ou seja = 0 Nesse caso valeria = 0 nessa regiatildeo

exterior + = 0 + 0 = 0 Somente um condutor aterrado consegue blindar o mundo exterior das

influecircncias das cargas eleacutetricas depositadas em uma cavidade dentro dele No entanto qualquer condutor

(aterrado ou natildeo) consegue blindar o interior de uma cavidade dentro dele da influecircncia das cargas eleacutetricas

externas a ele (princiacutepio da gaiola de Faraday)

4) Na regiatildeo externa do condutor o campo eleacutetrico eacute ortogonal agrave superfiacutecie do condutor

Essa eacute outra propriedade que eacute simples de ser provada utilizando-se o conceito de potencial eleacutetrico

que estudaremos no proacuteximo capiacutetulo Como natildeo temos esse conceito definido ainda vamos tentar mostrar

aqui apenas a razoabilidade dessa propriedade

Jaacute sabemos com base nos resultados para o campo eleacutetrico de um disco eletrizado que o campo

eleacutetrico eacute descontiacutenuo em superfiacutecies que possuem uma densidade de carga eleacutetrica qualquer Portanto natildeo

podemos fazer alusatildeo ao campo eleacutetrico exatamente na superfiacutecie de um condutor (superfiacutecie externa ou

superfiacutecie de uma cavidade) onde por hipoacutetese estaacute depositada uma densidade de carga eleacutetrica pois natildeo

estaacute definido nesses pontos do espaccedilo O que jaacute sabemos eacute que na regiatildeo interna do condutor incluindo aiacute

pontos tatildeo proacuteximo quanto vocecirc queira da superfiacutecie desse condutor (que vamos chamar de S) vale = 0 O

que pretendemos mostrar agora eacute que na regiatildeo exterior do condutor tatildeo proacuteximo quanto vocecirc queira da

superfiacutecie S o campo eleacutetrico eacute ortogonal a essa superfiacutecie ou seja a componente de paralela agrave superfiacutecie

do condutor eacute nula

Basicamente vamos apelar para o fato de que um excesso de cargas nessa superfiacutecie possui

mobilidade nas direccedilotildees paralelas agrave superfiacutecie mas na direccedilatildeo ortogonal soacute haacute mobilidade no sentido para

dentro do condutor pois no lado de fora haacute o vaacutecuo Portanto esse excesso de carga natildeo pode sofrer forccedilas

eleacutetricas paralelas agrave superfiacutecie do condutor Daiacute segue a ortogonalidade do campo eleacutetrico na regiatildeo exterior

proacutexima agrave superfiacutecie do condutor

95

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A Figura ao lado ilustra essa situaccedilatildeo Eacute mostrado um pedaccedilo da superfiacutecie

S (linha vermelha) que separa uma regiatildeo condutora do vaacutecuo exterior Nela estaacute

depositada uma densidade de cargas eleacutetricas por hipoacutetese Dentro do condutor

vale = 0 e no vaacutecuo para pontos tatildeo proacuteximos da superfiacutecie quanto se queira

eacute ortogonal agrave superfiacutecie (setas verdes) Exatamente sobre a superfiacutecie natildeo estaacute

definido pois ele sofre uma descontinuidade aiacute Nosso argumento abaixo natildeo eacute

muito rigoroso mas tenta convencer o leitor da razoabilidade da ortogonalidade de na vizinhanccedila externa

do condutor

Na Figura ao lado mostramos uma ampliaccedilatildeo de uma regiatildeo pequena dessa

superfiacutecie S (linha vermelha) O ponto eacute um ponto dessa superfiacutecie que separa o

condutor do vaacutecuo O ponto eacute um ponto no vaacutecuo tatildeo proacuteximo de quanto se

queira ou seja estamos imaginando o limite rarr 0 Considere um pedacinho de

excesso de carga eleacutetrica que estaacute localizado em algo como = ( ) sendo uma aacuterea

infinitesimal em Esse pedacinho de carga estaacute sofrendo uma forccedila devido ao campo eleacutetrico de todas as

cargas eleacutetricas nessa regiatildeo cujo campo eleacutetrico que vamos chamar de (OC de ldquooutras cargasrdquo) somado

ao campo eleacutetrico da proacutepria que vamos chamar de eacute esse campo eleacutetrico resultante cujas

propriedades estamos discutindo ( = + ) Fato eacute que as outras cargas diferentes de natildeo

poderiam exercer forccedila em que tivesse componente paralela agrave superfiacutecie S Se isso ocorresse fluiria e

isso natildeo pode ocorrer no equiliacutebrio eletrostaacutetico Conclusatildeo o campo eleacutetrico das outras cargas

diferentes de em eacute ortogonal agrave superfiacutecie S A carga deve estar (e soacute pode estar) sendo empurrada

para fora de S para onde ela natildeo pode fluir Essa ortogonalidade deve ser verdade tambeacutem no ponto

quando rarr 0 tendo em vista a continuidade do campo eleacutetrico (o campo eleacutetrico distante das cargas eacute

sempre contiacutenuo ele soacute eacute descontiacutenuo sobre as cargas ou seja soacute eacute descontiacutenuo sobre as outras cargas e

natildeo sobre ) Sendo infinitesimal segue que produz em um campo radial ou seja tambeacutem

ortogonal a S Portanto a resultante = + eacute

ortogonal agrave S em (quando rarr 0)

Na Figura 20 ao lado ilustramos um bloco de metal

com uma carga eleacutetrica pontual gt 0 fora dele e uma carga minus lt 0 dentro de uma cavidade nesse bloco Esboccedilamos

algumas linhas de forccedila do campo eleacutetrico (resultante) que

existe na vizinhanccedila desse bloco respeitando as propriedades

que mostramos acima quando as linhas de forccedila do campo

= 0

condutorvaacutecuo

vaacutecuo condutor

Figura 20

96

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

eleacutetrico se aproximam de superfiacutecies condutoras elas se aproximam ortogonalmente a essas superfiacutecies Note

tambeacutem que natildeo haacute linhas de forccedila dentro do condutor pois natildeo haacute campo eleacutetrico aiacute Estamos supondo gt e por isso desenhamos mais linhas de forccedila saindo de do que entrando em

Nessa Figura desenhamos linhas de forccedila tais que i)

satildeo radiais proacuteximas das cargas eleacutetricas pontuais pois nessas

regiotildees os campos eleacutetricos dessas cargas dominam (eles satildeo

divergentes aiacute) ii) se aproximam das superfiacutecies do condutor

ortogonalmente Todas as linhas de forccedila que ldquomorremrdquo na

carga minus lt 0 dentro da cavidade nascem nas cargas

eleacutetricas distribuiacutedas na superfiacutecie da cavidade ( ) Algumas

linhas de forccedila que nascem em gt 0 ldquomorremrdquo na superfiacutecie

exterior do condutor onde foi induzida uma densidade de

carga eleacutetrica ( ) e tal que sua soma eacute e tal que sua

soma eacute minus supondo que o condutor seja eletricamente neutro Na Figura 21 esboccedilamos algumas cargas

eleacutetricas das distribuiccedilotildees superficiais e Note que morrem 7 linhas de forccedila em minus e morrem 7 linhas

de forccedila na superfiacutecie externa do condutor pois a carga aiacute tambeacutem eacute minus Tente imaginar essas Figuras em

trecircs dimensotildees Natildeo haacute linhas de forccedila conectando a regiatildeo dentro da cavidade com a regiatildeo exterior ao

condutor Por isso entendemos que natildeo haacute influecircncias

eleacutetricas entre essas duas regiotildees se ocupa de ldquomatarrdquo

o campo eleacutetrico de minus dentro do condutor como se

mais nada existisse enquanto que se ocupa de ldquomatarrdquo

o campo eleacutetrico de dentro do condutor como se mais

nada existisse

Na Figura 22 esboccedilamos a mesma ideia mas

supondo agora que o condutor possui um excesso de carga

eleacutetrica Agora e tal que sua soma eacute e e tal que

sua soma eacute 0 (o excesso de carga no condutor foi todo

para a superfiacutecie da cavidade) Nascem 5 linhas e morrem

5 linhas de forccedila na superfiacutecie externa do condutor

Um exemplo simples da blindagem entre o interior e o exterior de um condutor eacute o caso em que a

superfiacutecie exterior do condutor eacute esfeacuterica como na Figura abaixo Uma carga gt 0 eacute colocada no interior da

cavidade que possui forma arbitraacuteria Se natildeo houvesse cavidade e nem dentro dela e colocaacutessemos um

excesso de carga nessa esfera maciccedila ela se distribuiria por simetria uniformemente na superfiacutecie exterior

Figura 21

+ +

+

+ +

+ +

-- ---

-

-

Figura 22

+ +

+

+ +

++

-- - -

++

+ +

-

+

97

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

da esfera constituindo uma densidade de carga uniforme Havendo a cavidade e

dentro dela isso continua sendo verdade graccedilas agrave blindagem que produz dos

efeitos externos de Suponha que a esfera esteja eletricamente neutra e que ela

possua uma cavidade com uma carga dentro dela Uma carga ndash vai se depositar

na parede da cavidade constituindo uma densidade de carga que blinda os efeitos

de fora da cavidade Portanto a carga que se concentra na superfiacutecie externa do

condutor se distribui uniformemente nessa superfiacutecie como se natildeo houvesse

cavidade e A cavidade e natildeo exercem influecircncia sobre mas eacute verdade que

soacute existe porque haacute uma carga no interior da cavidade Nesse sentido a presenccedila

desse condutor em volta de natildeo elimina o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior mas

cria aiacute um campo eleacutetrico que eacute independente da forma da cavidade ou da posiccedilatildeo de

dentro dessa cavidade O teorema da cascas que discutiremos em breve mostra que o campo eleacutetrico na

regiatildeo exterior dessa esfera eacute o mesmo que seria criado por uma carga pontual no centro da esfera Para

eliminar o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior da esfera blindando totalmente os efeitos de devemos

desaparecer com as cargas na superfiacutecie externa da esfera Haacute duas maneiras de fazer isso ou introduzimos na

esfera um excesso de carga ndash ou aterramos a esfera (Figura ao lado) e deixamos que a Terra se encarregue

se fornecer agrave esfera essa carga ndash neutralizando as cargas na superfiacutecie externa do condutor ou seja fazendo rarr 0

5) Na regiatildeo externa do condutor (no vaacutecuo) em um ponto muito proacuteximo da superfiacutecie desse condutor o

campo eleacutetrico eacute ( ) = ( ) ( ) sendo um ponto da superfiacutecie do condutor tatildeo proacuteximo de quanto vocecirc queira ( ) eacute a densidade de

carga eleacutetrica nesse ponto da superfiacutecie e ( ) eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie

no ponto A Figura ao lado ilustra esses objetos (curva vermelha=superfiacutecie do

condutor) Estamos pensando aqui no limite rarr 0 Esse resultado vale para qualquer

superfiacutecie do condutor tanto sua superfiacutecie externa quanto a superfiacutecie de uma

cavidade que porventura exista dentro desse condutor Na vizinhanccedila da superfiacutecie de

fora do condutor o campo eleacutetrico estaacute relacionado com enquanto que na vizinhanccedila da superfiacutecie da

cavidade o campo eleacutetrico estaacute relacionado com

De fato jaacute vimos que na regiatildeo exterior do condutor vale = + + + = ++ 0 = + e o que estamos dizendo aqui eacute que se nos aproximarmos muito da superfiacutecie do

condutor o campo domina essa superposiccedilatildeo e vale = + rarr Da mesma forma vimos que

vaacutecuocondutor

( )

-

- - -

+

+ +

+

-

- - -

98

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

dentro da cavidade vale = + + + = 0 + + = + e o que estamos dizendo

aqui eacute que se nos aproximarmos muito da superfiacutecie do condutor nessa regiatildeo o campo domina essa

superposiccedilatildeo e vale = + rarr

Finalmente precisamos apenas acreditar que quando nos aproximamos muito de uma superfiacutecie

carregada ela se comporta como um plano carregado com a ressalva que no presente contexto o campo

eleacutetrico eacute nulo em um dos lados desse plano que corresponde ao interior do condutor Daiacute podemos mostrar

facilmente atraveacutes da lei de Gauss que o campo eleacutetrico na vizinhanccedila desse plano no lado que corresponde

ao vaacutecuo eacute dado por =

Deixaremos essa demonstraccedilatildeo para a proacutexima seccedilatildeo em que trataremos do caacutelculo do campo eleacutetrico

atraveacutes da lei de Gauss

A Figura ao lado ilustra um raio incidindo em um paacutera-raios e poderiacuteamos nos perguntar por que esse

raio atingiu exatamente essa ponta metaacutelica O que haacute de especial nessa ponta que ldquoguiardquo

o raio para ela A resposta a essa pergunta tem relaccedilatildeo com o que estamos discutindo

aqui Considere que o paacutera-raios eacute uma haste metaacutelica aterrada e que uma nuvem acima

dessa haste atrai cargas eleacutetricas da Terra e concentra na extremidade dela uma

densidade de cargas eleacutetricas gigantesca Portanto da relaccedilatildeo acima vemos que na

vizinhanccedila exterior dessa ponta haveraacute um campo eleacutetrico muito intenso de magnitude Esse campo eleacutetrico atua sobre o ar atmosfeacuterico e ioniza o ar formando uma sopa

de iacuteons e eleacutetrons na vizinhanccedila da ponta do paacutera-raios Concluindo uma descarga

eleacutetrica que se forma na vizinhanccedila dessa haste eletrizada flui pelo caminho ldquomais faacutecilrdquo

na atmosfera e esse caminho converge para a regiatildeo ionizada pelo paacutera-raios

direcionando as cargas eleacutetricas do raio para a Terra

232 Caacutelculo do campo eleacutetrico via lei de Gauss

Aqui vamos discutir a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss como ferramenta de caacutelculo de campos eleacutetricos A

ideia baacutesica eacute que queremos transformar a equaccedilatildeo (lei de Gauss)

= ∙ =

em uma equaccedilatildeo para a funccedilatildeo ( ) = ( )

De fato a equaccedilatildeo acima envolve basicamente a magnitude de pois haacute um produto escalar nela

Se quisermos podemos deixar isso expliacutecito reescrevendo a lei de Gauss como

99

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= cos( ) =

sendo o acircngulo entre os vetores e (nesse ponto a lei de Gauss considera a direccedilatildeo de ) A ideia seria

entatildeo que se conhecermos agrave priori a direccedilatildeo de (ou seja o cos( )) a equaccedilatildeo acima poderia ser

transformada em uma equaccedilatildeo para e daiacute juntando essas duas coisas conheceriacuteamos o vetor Como

transformar a equaccedilatildeo que envolve uma integral de em uma equaccedilatildeo que envolve explicitamente fora do

siacutembolo de integral Basta retirar de dentro da integral Mas somente constantes podem sair de dentro do

siacutembolo de integral e natildeo esperamos que valha necessariamente que seja uma constante em geral Pelo

contraacuterio em geral o moacutedulo do campo eleacutetrico depende das coordenadas no espaccedilo uma funccedilatildeo ( ) Aqui eacute interessante definirmos melhor o que queremos dizer com uma ldquoconstanterdquo Considere por

exemplo a integral

= ( ) ( )

Nessa integral a funccedilatildeo ( ) eacute uma constante mesmo dependendo da variaacutevel (suposta independente da

variaacutevel ) Conclusatildeo se algo eacute constante ou natildeo para uma integral depende das variaacuteveis de integraccedilatildeo

Portanto nesse exemplo a funccedilatildeo ( ) sai de dentro do siacutembolo de integral

= ( ) ( ) = ( ) ( )

Voltando na lei de Gauss queremos retirar de dentro do siacutembolo de integral mas natildeo podemos

assumir que eacute (absolutamente) constante pois estamos exatamente querendo calcular a funccedilatildeo ( ) A

estrateacutegia entatildeo reside em usar a liberdade que temos na escolha da superfiacutecie gaussiana SG em que vamos

aplicar a lei de Gauss pois para que saia de dentro do siacutembolo da integral basta que ele seja constante

sobre essa superfiacutecie SG Como vamos saber qual superfiacutecie escolher Primeiro devemos saber de que

variaacuteveis depende Por exemplo se sabemos que = ( ) entatildeo para uma superfiacutecie que varre o plano xy

eacute constante pois natildeo depende nem de e nem de

Em resumo a possibilidade de transformar a lei de Gauss em uma equaccedilatildeo para depende

basicamente da simetria que conseguimos prever para o campo eleacutetrico no espaccedilo Abaixo vamos discutir as

trecircs simetrias baacutesicas para as distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas e para os campos eleacutetricos que elas produzem

no espaccedilo A ideia baacutesica que permeia essa discussatildeo eacute a de que o campo eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de

cargas eleacutetricas herda suas simetrias das simetrias presentes nessa distribuiccedilatildeo de cargas

100

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

2321 Simetria esfeacuterica

Vamos comeccedilar com o exemplo mais simples Imagine que natildeo soubeacutessemos que o campo eleacutetrico de

uma uacutenica carga pontual em um ponto de posiccedilatildeo eacute (ver a Figura abaixo)

( ) = 4

Vamos mostrar que a lei de Gauss diz que eacute Nesse sentido estariacuteamos mostrando

que a lei de Coulomb eacute consequumlecircncia da lei de Gauss ou que a lei de Coulomb e a

lei de Gauss satildeo irmatildes siamesas Queremos calcular ( ) ou ( ) para tornar a

notaccedilatildeo mais expliacutecita Jaacute vimos que a lei de Gauss eacute uma equaccedilatildeo para o moacutedulo ( ) = ( ) por causa

do produto escalar

= cos( ) =

A ideia seria entatildeo que se conhecermos agrave priori a direccedilatildeo de (ou seja o cos( )) temos a esperanccedila de

obter No caso da carga pontual qual poderia ser a direccedilatildeo de ( ) Imagine que tentaacutessemos esboccedilar a

seta de ( ) como na Figura ao lado (seta verde supondo gt 0) em que ( ) faz um acircngulo com a direccedilatildeo radial ou seja com Isso seria muito

esquisito pois estariacuteamos dizendo que a carga eleacutetrica diferencia o lado de

cima da Figura do lado de baixo pois ( ) estaacute ldquopreferindordquo apontar para

cima e natildeo para baixo Existem objetos que criam campos eleacutetricos assim por exemplo um dipolo eleacutetrico

Portanto natildeo haacute nada de absurdo em geral nessa ldquopreferecircnciardquo mas para a carga pontual haacute Lembremos que

o dipolo eleacutetrico eacute um objeto que privilegia uma direccedilatildeo no espaccedilo a direccedilatildeo de seu momento de dipolo

Uma carga pontual natildeo pode fazer isso ela eacute esfericamente simeacutetrica pois natildeo tem

forma Conclusatildeo = 0 e ( ) = ( ) Demos um passo importante rumo ao

conhecimento de ( ) O que podemos afirmar com certeza absoluta sobre o

moacutedulo ( ) Imagine que tentaacutessemos esboccedilar as setas de ( ) em dois pontos

diferentes 1 e 2 ambos a uma mesma distacircncia de | | = | | = A Figura ao

lado ilustra essa tentativa jaacute respeitando o fato de que o campo eacute radial (supondo gt 0) Os pontos 1 e 2 estatildeo separados por um acircngulo Desenhamos propositalmente a seta de ( ) maior em 1 que em 2 ou seja ( ) gt ( ) Novamente estamos vendo a carga diferenciando direccedilotildees

no espaccedilo pois a uacutenica diferenccedila entre 1 e 2 estaacute na direccedilatildeo atraveacutes de Ou seja estamos representando

nessa Figura uma dependecircncia de ( ) no acircngulo Outro absurdo Tem que valer ( ) = ( ) ou seja

( )

( )( )

101

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

natildeo pode depender de ou qualquer outro acircngulo de giro em torno de Entatildeo = ( ) e portanto ( ) = ( ) Demos um grande passo rumo ao conhecimento de ( ) Soacute falta calcular a funccedilatildeo ( ) Essas funccedilotildees do tipo = ( ) satildeo ditas esfericamente simeacutetricas Elas soacute dependem de uma variaacutevel raio

medido em relaccedilatildeo a um ponto (no caso a posiccedilatildeo de ) Mas note que isso natildeo eacute verdade para o campo

vetorial ( ) = ( ) pois o depende da direccedilatildeo no espaccedilo ou seja natildeo eacute verdade que = ( ) pois = ( ) tendo em vista que = ( ) Vamos substituir essa expressatildeo particular de ( ) na expressatildeo

geral do fluxo que aparece na lei de Gauss e ver o que daacute

= ∙ = ( ) ∙

Nossa uacuteltima esperanccedila agora eacute poder retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo de integral Ao

fazer isso a lei de Gauss se tornaraacute uma equaccedilatildeo expliacutecita para ( ) Soacute constantes saem de dentro de

integrais ( ) eacute constante (no espaccedilo) Natildeo pois eacute funccedilatildeo do raio Refazendo a pergunta ( ) eacute

constante sobre a superfiacutecie SG Depende da SG Se a superfiacutecie SG for uma superfiacutecie em

que o raio eacute constante entatildeo ( ) seraacute constante sobre ela e sairaacute da integral Qual seria

a superfiacutecie = em que eacute uma constante Seria uma superfiacutecie equumlidistante de

pois eacute o raio tomando como centro Seria entatildeo uma superfiacutecie esfeacuterica com centro

em Uma casca esfeacuterica de raio = A Figura ao lado ilustra uma superfiacutecie SG que eacute

uma superfiacutecie esfeacuterica centrada em e de raio qualquer (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma

casca esfeacuterica como uma bola de pingue-pongue mas imaginaacuteria e de espessura nula) Note que nessa

superfiacutecie a direccedilatildeo normal eacute a direccedilatildeo radial ou seja = Portanto o fluxo do campo eleacutetrico atraveacutes

dessa SG especiacutefica eacute dado por

= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4

sendo 4 a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica de raio Note que natildeo estamos calculando ( ) em um ponto

especiacutefico sobre a SG pois o campo eleacutetrico tem o mesmo moacutedulo ( ) em todos os pontos dessa SG

Estamos portanto calculando ( ) em qualquer ponto sobre a SG esfeacuterica

Para terminar lembrando que a lei de Gauss diz que

= ∙ =

e que para a SG que escolhemos vale = concluiacutemos que

( ) =

102

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

( )4 = rArr ( ) = 4 rArr ( ) = 4 que eacute o que diz a lei de Coulomb para o campo eleacutetrico de uma carga pontual

Essa simetria do campo eleacutetrico tal que ( ) = ( ) eacute comum a todas as distribuiccedilotildees de cargas

eleacutetricas com simetria esfeacuterica ou seja distribuiccedilotildees de carga que natildeo privilegiam nenhuma direccedilatildeo no

espaccedilo

Partindo dessa simetria para o campo o ldquoteorema das cascasrdquo pode ser demonstrado facilmente

atraveacutes da lei de Gauss Considere uma casca esfeacuterica de raio R (um objeto bidimensional)

sobre a qual estaacute definida uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial uniforme de

densidade e carga total = 4 A casca eacute oca (como uma bola de pingue-pongue)

e tem portanto duas regiotildees dentro ( lt ) e fora ( gt ) A Figura ao lado ilustra essa

casca (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera) Queremos calcular os campos e Tendo em vista

o que jaacute discutimos para a simetria da carga pontual segue que ( ) = ( ) tanto dentro quanto fora da

casca Portanto para qualquer superfiacutecie SG segue que

= ∙ = ( ) ∙

Queremos calcular a funccedilatildeo ( ) mas note que deve haver duas funccedilotildees ( ) e ( ) A

SG conveniente que nos permite retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro da integral eacute a casca esfeacuterica de raio

qualquer concecircntrica agrave casca sobre a qual vale = Portanto

= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4

Considere agora que vale lt como mostrado para a SG ao lado (em verde note natildeo

satildeo ciacuterculos satildeo esferas) Nesse caso segue que = 0 e portanto pela lei de Gauss ( )4 = 0 rArr ( ) = 0

Natildeo haacute campo eleacutetrico dentro da casca

Considere agora que vale gt como mostrado para a SG ao lado (em verde

note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas) Nesse caso segue que = e portanto pela lei

de Gauss ( )4 = rArr ( ) = 4

O campo eleacutetrico fora da casca eacute o mesmo que seria gerado por uma carga pontual fixada no centro da

casca Esses dois resultados compotildeem juntos o teorema das cascas

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

O resultado para o campo eleacutetrico dentro da casca esfeacuterica = 0 eacute muitas vezes creditado

unicamente ao fato de natildeo haver cargas eleacutetricas dentro da casca ( = 0) sem que se decirc a importacircncia

devida agrave simetria requerida para o campo eleacutetrico que porventura houvesse nessa regiatildeo O que noacutes

mostramos aqui natildeo eacute que = 0 rArr = 0 O que noacutes mostramos eacute que se houvesse um

entatildeo esse teria que ter dada a simetria da distribuiccedilatildeo de cargas na casca esfeacuterica a forma simples = ( ) Tendo em vista esse fato e o fato de que = 0 na SG esfeacuterica com lt

segue que = 0 Jaacute que o campo eleacutetrico dentro da casca esfeacuterica vazia teria que ter essa simetria

entatildeo natildeo haacute campo eleacutetrico nessa regiatildeo A natureza natildeo consegue produzir esse campo entatildeo ele eacute nulo

Apenas para ilustrar considere uma situaccedilatildeo anaacuteloga mas com uma simetria

totalmente diferente Considere uma caixa cuacutebica oca cujas paredes (quadradas) feitas

de um material isolante possuem todas a mesma densidade de carga eleacutetrica superficial

uniforme (ver Figura ao lado) A caixa estaacute vazia natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica no

interior da casca assim como natildeo havia no interior da casca esfeacuterica com a mesma

densidade de carga Qual o campo eleacutetrico Seraacute que vale = 0 Natildeo Haacute campo eleacutetrico

dentro dessa caixa gerado pelas cargas eleacutetricas nas suas faces e trata-se de um campo eleacutetrico bem

complicado Este problema estaacute discutido com detalhes no artigo The electric field of a uniformly charged

cubic shell K McCreery e H Greenside American Journal of Physics 86 (2018)

Considere por exemplo uma superfiacutecie gaussiana esfeacuterica SG que envolve o

centro dessa caixa e que estaacute toda contida dentro da caixa (em azul na Figura ao lado

Note que natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera) Se eacute o campo eleacutetrico dentro dessa caixa a

lei de Gauss diz que

= ∙ = 0

pois natildeo haacute nenhuma carga eleacutetrica dentro da caixa e nem dentro da SG escolhida Podemos concluir que = 0 dentro da caixa Natildeo porque a equaccedilatildeo acima natildeo eacute uma equaccedilatildeo que determina ou mesmo = Essa equaccedilatildeo determina apenas o fluxo de atraveacutes dessa SG Esse fluxo eacute nulo Isso indica apenas

que as linhas de forccedila de nessa regiatildeo entram na superfiacutecie SG e saem produzindo um saldo nulo de fluxo

No caso da casca esfeacuterica foi possiacutevel graccedilas agrave simetria simples de basicamente = ( ) transformar a

lei de Gauss em uma equaccedilatildeo expliacutecita para = e provar entatildeo que = 0 Com relaccedilatildeo agrave simetria de

dentro dessa caixa cuacutebica natildeo temos a menor ideacuteia de como pode ser e por isso natildeo podemos fazer nenhuma

hipoacutetese sobre ela agrave priori Supor por exemplo que dentro dessa casca cuacutebica vale = ( ) seria uma

hipoacutetese totalmente injustificaacutevel Por que o moacutedulo do campo eleacutetrico proacuteximo de um veacutertice do cubo teria o

= 0

SG

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

mesmo moacutedulo do campo eleacutetrico proacuteximo ao centro de uma face do cubo supondo que eles estatildeo

igualmente proacuteximos da origem no centro do cubo (mesmo )

Enfim vocecirc pode quebrar a cabeccedila e natildeo vai encontrar nenhuma condiccedilatildeo simples de simetria que

deve ser satisfeita por esse campo no interior da caixa Eacute verdade que haacute algumas simetrias como por

exemplo o fato de todos os veacutertices ou faces serem equivalentes Natildeo haveria porque o moacutedulo do campo

eleacutetrico proacuteximo do centro de face superior ser diferente por

exemplo desse moacutedulo proacuteximo ao centro da face esquerda na

Figura Mas enfim isso natildeo ajuda muito e fato eacute que existe

campo eleacutetrico no interior dessa caixa e ele tem um

comportamento bem complicado no espaccedilo Na Figura ao lado

ilustramos (em vermelho) algumas (poucas) linhas de forccedila de

nesse plano central (em verde) que divide o cubo em duas metades iguais (supomos gt 0) Note que as

linhas de forccedila nascem basicamente ortogonais aos centros das faces (como no plano infin) e depois se curvam

tangenciando as diagonais desse plano central e convergindo para as arestas (quinas) do cubo Note que

exatamente no centro do cubo vale = 0 por simetria e o afastamento muacutetuo (vazio) das linhas de forccedila

nessa regiatildeo jaacute estaacute sugerindo isso Mas = 0 somente em um ponto do espaccedilo

Na Figura ao lado incluiacutemos o ciacuterculo produzido pela interseccedilatildeo da superfiacutecie

esfeacuterica SG considerada anteriormente com esse plano que divide o cubo ao meio

Note que as linhas de forccedila entram no ciacuterculo se curvam e depois saem Se

conseguirmos enxergar isso acontecendo no espaccedilo tridimensional vamos entender

por que = 0 mesmo com ne 0

Lembre-se que a caixa eacute feita de material isolante com uniforme em suas

faces Se a caixa cuacutebica fosse metaacutelica tendo nela depositado um excesso de carga eleacutetrica poderiacuteamos

mostrar (natildeo atraveacutes da lei de Gauss mas sim atraveacutes do conceito de potencial eleacutetrico) que valeria = 0 no

interior da caixa Sendo a caixa metaacutelica a carga se moveria nas faces da caixa procurando ela mesma sua

distribuiccedilatildeo de equiliacutebrio No equiliacutebrio eletrostaacutetico haveria uma distribuiccedilatildeo ( ) natildeo uniforme nessas faces

produzindo dentro da caixa metaacutelica um campo eleacutetrico nulo Se a caixa fosse metaacutelica esta seria exatamente

a situaccedilatildeo do condutor com uma cavidade vazia que jaacute discutimos anteriormente (a gaiola de Faraday)

Se a caixa cuacutebica fosse metaacutelica seu interior seria uma cavidade vazia e valeria = 0 nessa regiatildeo

natildeo importando quanto de carga eleacutetrica depositaacutessemos nas paredes da caixa e nem que outras cargas

houvesse na regiatildeo exterior agrave caixa Nesse caso os excessos de cargas eleacutetricas se moveriam livremente nas

faces da superfiacutecie cuacutebica ateacute que o campo eleacutetrico no interior fosse nulo Ao final no equiliacutebrio eletrostaacutetico

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

haveria uma densidade de carga ( ) natildeo-uniforme nessas faces Olhando para a Figura acima que mostra as

linhas de forccedila de dentro da caixa com paredes isolantes e uniforme podemos ver que se essas paredes

fossem condutoras deveria haver um acuacutemulo maior de cargas nas arestas da caixa que eacute para onde

convergem todas as linhas de forccedila de que nascem nas faces Assim para anular esse campo dentro da

caixa que eacute mais intenso proacuteximo agraves arestas o condutor acumularia mais cargas nessas arestas Trata-se de

um efeito de borda que afeta natildeo soacute as linhas de forccedila de mas tambeacutem a distribuiccedilatildeo de cargas ( ) na

superfiacutecie do condutor Em geral as cargas eleacutetricas em condutores se concentram mais nas regiotildees pontudas

arestas e quinas desses corpos Por isso os paacutera-raios tecircm a forma de lanccedilas pontudas

2322 Simetria ciliacutendrica

Considere um objeto linear muito longo uma linha infinita para todos os

efeitos como uma linha de varal longa e reta (um objeto unidimensional)

Depositamos nessa linha cargas eleacutetricas definindo nela uma densidade de cargas

eleacutetricas linear uniforme Esse objeto eacute basicamente um cilindro de raio nulo e

ele privilegia uma direccedilatildeo no espaccedilo a direccedilatildeo dele A Figura ao lado ilustra um pedaccedilo desse cilindro mas

aqui estamos desprezando sua espessura (eacute uma linha) Chamamos de z o eixo paralelo e ao longo da linha e

de s o raio medido em relaccedilatildeo a esse eixo (z e s satildeo coordenadas ciliacutendricas)

Queremos calcular o campo eleacutetrico que essa linha eletrizada produz no espaccedilo

ao seu redor Para isso pretendemos usar a lei de Gauss Vamos comeccedilar entatildeo

especulando sobre a simetria da funccedilatildeo ( ) O que podemos dizer sobre a

direccedilatildeo de Se natildeo pode privilegiar direita ou esquerda segue que ( ) = ( ) Eacute o que a Figura ao lado tenta mostrar A seta de mostrada (em

verde) claramente privilegia um dos lados da linha apontando para o lado direito Sendo a linha infinita tanto

no lado direito quanto no lado esquerdo essa escolha de direccedilatildeo para se torna inaceitaacutevel Conclusatildeo

deve ficar ldquono meiordquo nem apontando para a direita nem apontando para a esquerda (e nem para a frente e

nem para traacutes) Soacute resta entatildeo para apontar na direccedilatildeo do raio s que passa pelo ponto considerado ou

seja ( ) = ( ) Quanto agrave magnitude ( ) o que podemos afirmar Soacute pode depender da distacircncia ateacute a

linha ou seja ( ) = ( ) Conclusatildeo ( ) = ( ) Falta apenas calcular a funccedilatildeo ( ) Vamos substituir

essa forma de ( ) na expressatildeo do fluxo envolvido na lei de Gauss para ver o que daacute = ∙ = ( ) ∙

z

s

z

s

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Nossa esperanccedila reside em retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo de integral Soacute se ( ) fosse uma

constante Melhor dizendo soacute se ( ) fosse uma constante na superfiacutecie SG Soacute

se a superfiacutecie SG fosse uma superfiacutecie s constante algo como = sendo gt 0 uma constante qualquer A SG deveria ser equumlidistante da linha carregada

Existe essa superfiacutecie eacute uma superfiacutecie ciliacutendrica coaxial agrave linha A Figura ao lado

ilustra essa SG (em verde) O problema aqui eacute que essa casca ciliacutendrica eacute uma

superfiacutecie aberta e a lei de Gauss soacute admite superfiacutecies fechadas Vamos fechar ela

entatildeo Considere duas tampas dois discos que satildeo unidos agraves bocas da casca

ciliacutendrica formando uma superfiacutecie ciliacutendrica fechada algo parecido com uma

lata Na Figura ao lado mostramos entatildeo a tampa 1 (T1) onde vale = minus (em

azul) a tampa 2 (T2) onde vale = e a casca ciliacutendrica (CC) onde vale = Desmembrando a integral do fluxo em trecircs integrais vemos que em T1 ∙ = ( ) ∙ (minus ) = 0 analogamente em T2 Na CC ∙ = ( ) ∙ =( ) Portanto desmembrando a integral do fluxo obtemos

= ∙ = + + ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( ) = ( )2

sendo = 2 a aacuterea de uma casca ciliacutendrica de raio e comprimento (trata-se da aacuterea de um retacircngulo

de lados 2 e )

As Figuras ao lado ilustram a ideia da superfiacutecie fechada SG formada

pela ldquocolagemrdquo de trecircs superfiacutecies abertas dois discos T1 e T2 e uma casca

ciliacutendrica lateral (CC) Estando o campo eleacutetrico da linha carregada na

direccedilatildeo radial ( ) = ( ) segue que soacute haacute fluxo do campo eleacutetrico na

casca ciliacutendrica que eacute dado por = ( )2

Em princiacutepio poderiacuteamos pensar que as tampas T1 e T2 satildeo

irrelevantes pois natildeo contribuem para o fluxo e que poderiam portanto

ser simplesmente ignoradas Mas veremos abaixo que essas tampas satildeo

cruciais para determinar a carga interna agrave superfiacutecie gaussiana Uma

superfiacutecie aberta natildeo possui interior e exterior e portanto a ideia de carga

interna natildeo se aplicaria nesse caso

Voltando agrave lei de Gauss temos que computar a carga eleacutetrica ldquoguardadardquo dentro dessa SG a carga

eleacutetrica interna Eacute a carga eleacutetrica acumulada em um segmento de linha de comprimento ou seja = De fato as tampas T1 e T2 seccionam a linha carregada delimitando um segmento de linha de

z

s

L

z

s

L

T1 T2 CC

L

T1 T2

CC

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

comprimento que fica interno agrave superfiacutecie SG que estamos considerando Esse

segmento estaacute ilustrado ao lado em cinza Aqui podemos ver a importacircncia das

tampas T1 e T2 que fecham a superfiacutecie SG tornando bem definidas a regiatildeo

interior e a carga interna a essa superfiacutecie SG

Concluindo a lei de Gauss diz que

= ( )2 = = rArr ( ) = 2

Na Figura 23 abaixo ilustramos as linhas de forccedila desse campo (em verde supondo gt 0) Mostramos

uma visatildeo lateral da linha e uma visatildeo frontal onde podemos ver o afastamento muacutetuo das linhas de forccedila de

refletindo o decaimento desse campo com 1

Na Figura 24 abaixo apenas ilustramos para comparaccedilatildeo as linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma

linha reta finita de comprimento L carregada com densidade de carga eleacutetrica uniforme gt 0 Notamos que

o campo passa a ter uma componente ao longo do eixo z e tambeacutem uma dependecircncia na coordenada z ou

seja ( ) = ( ) + ( ) A simetria em z foi quebrada Mas ainda foi mantida a simetria de rotaccedilatildeo

em torno de z (a Figura das linhas de forccedila com visatildeo frontal aqui eacute igual a da linha infinita na Figura 23)

Comparando essa Figura com a anterior para uma linha infinita vemos que no centro da linha finita as

coisas se parecem com o que ocorre na linha infinita ou seja longe das bordas da linha finita ldquoparecerdquo que

essa linha eacute infinita Quando nos aproximamos das extremidades (bordas) da linha finita as linhas de forccedila de

vatildeo se curvando cada vez mais ateacute que elas deixam de ser ortogonais agrave linha e passam a ser paralelas

Vemos tambeacutem que se nos afastamos das bordas ao longo de z (eixo da linha) as linhas de forccedila vatildeo ficando

Figura 23 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma linha reta infinita carregada com densidade de carga eleacutetrica gt 0 uniforme Visatildeo lateral e visatildeo frontal

Figura 24 Linhas de forccedila do campo eleacutetrico de uma linha reta finita de comprimento L carregada com densidade de carga eleacutetrica gt 0 uniforme

L

z

s

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

mais afastadas entre si refletindo um decaimento do campo com z que natildeo pode ocorrer e natildeo ocorre na

linha infinita Chamamos esses efeitos distorccedilatildeo e afastamento das linhas de forccedila de proacuteximo das bordas

de ldquoefeitos de bordardquo No caso da linha infinita natildeo haacute efeitos de borda porque ela natildeo tem bordas (as bordas

estatildeo no infinito) Note finalmente que se olharmos essa linha finita de muito longe vamos ver linhas de forccedila

se afastando radialmente do centro da linha que vai se tornar pontual O campo eleacutetrico vai finalmente decair

com 1 sendo a distacircncia radial ateacute o centro da linha Eacute o campo eleacutetrico da carga pontual

2323 Simetria plana

Considere agora uma placa plana fina e muito extensa ou seja uma superfiacutecie plana (um objeto

bidimensional) infinita em extensatildeo onde foram depositadas cargas eleacutetricas com uma densidade de carga

uniforme Queremos calcular o campo eleacutetrico ( ) que essa placa produz no espaccedilo

De fato jaacute mencionamos qual o valor desse campo quando discutimos o campo eleacutetrico

de um disco eletrizado Tomando o limite rarr infin para o raio do disco obtivemos o

campo eleacutetrico do plano infinito Aqui vamos calcular novamente esse campo via lei de

Gauss A Figura ao lado ilustra um pedaccedilo dessa placa ela eacute infinita (natildeo tem bordas e

nem efeitos de borda) Adotamos um eixo z ortogonal agrave placa e posicionamos por

conveniecircncia a placa em z=0 Portanto gt 0 eacute a regiatildeo agrave direita da placa (nessa Figura) e lt 0 eacute a regiatildeo agrave

esquerda da placa Nessas duas regiotildees o campo tem a mesma magnitude a uma mesma distacircncia da placa

por simetria mas sentidos opostos

Vamos especular sobre a simetria da funccedilatildeo ( ) O que podemos dizer sobre a direccedilatildeo de Se

natildeo pode privilegiar nenhuma direccedilatildeo no espaccedilo paralela ao plano carregado (x e y) segue que ( ) =( ) Quanto agrave magnitude de ( ) o que podemos afirmar Soacute pode depender da distacircncia ateacute a placa

plana ou seja ( ) = (| |) Conclusatildeo ( ) = (| |)(plusmn ) sendo que a direccedilatildeo + se aplica agrave regiatildeo agrave

direita da placa e a direccedilatildeo minus se aplica agrave regiatildeo agrave esquerda da placa Falta apenas calcular a funccedilatildeo (| |) Vamos substituir essa forma de ( ) na expressatildeo do fluxo na lei de Gauss para ver o que daacute

= ∙ = (| |)(plusmn ) ∙

Como sempre nossa esperanccedila reside em retirar a funccedilatildeo (| |) de dentro do siacutembolo de integral Soacute se a

superfiacutecie SG for uma superfiacutecie z constante onde (| |) eacute constante algo como = sendo uma

constante qualquer A SG deveria ser equumlidistante do plano carregado Existe essa superfiacutecie eacute uma superfiacutecie

plana paralela agrave placa carregada O problema eacute que planos satildeo superfiacutecies abertas e a lei de Gauss soacute admite

superfiacutecies fechadas Entatildeo vamos juntar tudo isso e definir uma superfiacutecie SG apropriada para essa simetria

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

espacial Considere duas tampas planas dois discos que satildeo unidos agraves bocas de uma casca ciliacutendrica formando

uma superfiacutecie ciliacutendrica fechada algo parecido

com uma lata Na Figura ao lado mostramos

entatildeo a tampa 1 (T1) onde vale = minus (em azul)

a tampa 2 (T2) onde vale = e a casca

ciliacutendrica (CC) onde vale = (s eacute o raio

ciliacutendrico) As duas tampas estatildeo equumlidistantes da

lata ou seja | | tem o mesmo valor nessas

tampas assim como a funccedilatildeo (| |) Mostramos

tambeacutem uma visatildeo de perfil em que as coisas parecem mais simples de visualizar Nessa visatildeo a SG tem um

corte retangular de largura 2| | As setas de dos dois lados do plano satildeo mostradas em roxo (supondo gt0) Vamos chamar de a aacuterea de cada uma das tampas T1 e T2 Desmembrando a integral do fluxo em trecircs

integrais vemos que em T1 ∙ = (| |)(minus ) ∙ (minus ) = (| |) em T2 ∙ = (| |) ∙ = (| |) e na

CC ∙ = (| |) ∙ = 0

Portanto

= ∙ = + + (| |)(plusmn ) ∙ = (| |) + (| |) = 2 (| |)

A Figura ao lado ilustra a superfiacutecie ciliacutendrica SG (em roxo) que

atravessa a placa carregada (em amarelo) Estando o campo eleacutetrico na direccedilatildeo

ortogonal agrave placa soacute haacute fluxo nas duas tampas da SG que satildeo dois discos de

aacuterea Os fluxos nessas tampas satildeo iguais pois elas estatildeo equumlidistantes da

placa e = (| |) Aqui podemos ter a impressatildeo de que a casca ciliacutendrica

lateral (CC) eacute irrelevante e que ela poderia ser simplesmente ignorada Mas sua

importacircncia se mostra no caacutelculo de

Voltando agrave lei de Gauss temos que computar a carga eleacutetrica ldquoguardadardquo dentro dessa SG a carga

eleacutetrica interna Eacute a carga eleacutetrica acumulada em um ldquopedaccediloldquo do plano que eacute um disco de aacuterea ou seja = Esse pedaccedilo de placa na forma de um disco de aacuterea eacute seccionado pela casca lateral CC que

atravessa a placa carregada Concluindo a lei de Gauss diz que

= 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =

z T1

T2

CC

2| |

T1 T2 CC

2| | z

perfil

110

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Concluiacutemos que diferentemente do que fomos

obrigados a supor pois natildeo tiacutenhamos razatildeo para natildeo fazecirc-lo o

campo eleacutetrico natildeo depende nem da distacircncia | | do ponto ao

plano (o que mostra que natildeo conseguimos nos afastar de um

plano infinito) O campo eleacutetrico em cada lado do plano

carregado eacute uniforme ortogonal ao plano havendo apenas uma

inversatildeo de sentido quando vamos de um lado para outro A

Figura ao lado ilustra algumas setas desse campo (para gt 0) (as linhas de

forccedila de nem se afastam e nem se aproximam mutuamente agrave medida que

nos afastamos do plano) O eixo z eacute ortogonal agrave placa Note que eacute o mesmo

resultado que obtivemos quando tomamos o limite em que o raio de um

disco com uniforme se torna infinito O campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja sobre o plano carregado e portanto natildeo estaacute definido

exatamente em = 0 Esse eacute um artefato desse modelo em que

desprezamos a espessura da placa plana carregada Uma placa realista teria

alguma espessura natildeo nula por menor que fosse (mesmo que fosse de

apenas alguns angstrons) e dentro dessa espessura o campo eleacutetrico variaria

abruptamente mas seria contiacutenuo As Figuras ao lado ilustram graacuteficos de ( ) versus para uma placa plana bidimensional (de espessura nula) em

que ( ) eacute descontiacutenuo em = 0 ou seja na placa e para uma placa

grossa de espessura em que ( ) varia abruptamente dentro da placa

mas eacute contiacutenuo Nesse caso por simetria ( = 0) = 0 O graacutefico de cima eacute

obtido no limite rarr 0 (uma convergecircncia natildeo uniforme)

Considere agora a situaccedilatildeo em que haacute duas placas planas

infinitas carregadas e paralelas entre si separados por uma

distacircncia Uma placa estaacute carregada com uma densidade de

carga gt 0 uniforme e a outra com uma densidade ndash lt 0

Queremos calcular o campo eleacutetrico que essas duas placas

produzem no espaccedilo Essa eacute uma configuraccedilatildeo que

consideraremos quando estudarmos os capacitores Basta usar

nosso resultado anterior e o princiacutepio da superposiccedilatildeo A Figura ao

lado ilustra a ideacuteia A placa positiva (bordas vermelhas) produz um campo apontando para fora dela ou seja 2 (minus ) agrave esquerda dela e 2 ( ) agrave direita dela (setas vermelhas) A placa negativa (bordas verdes)

produz um campo apontando para ela ou seja 2 ( ) agrave esquerda dela e 2 (minus ) agrave direita dela (setas

z

2 minus2

z

( )

minus2

2

z

( )

z

minus

111

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

verdes) Somando essas setas em cada uma das trecircs regiotildees distintas vemos que os campos eleacutetricos se

cancelam nas regiotildees agrave esquerda e agrave direita de ambas as placas e se adicionam na regiatildeo entre as placas

Concluindo o campo eleacutetrico eacute ( ) na regiatildeo entre as placas e nulo nas outras regiotildees Soacute haacute campo

eleacutetrico (resultante) na regiatildeo entre as placas Essas placas confinam o campo eleacutetrico no espaccedilo

A lei de Gauss eacute surpreendente e poderosa reforccedilando a ideia de que o campo eleacutetrico de uma

distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas deve refletir as simetrias que essa distribuiccedilatildeo de cargas possui De certa

forma mesmo no contexto menos sofisticado da lei de Coulomb nos beneficiamos de argumentos de

simetria por exemplo quando ganhamos tempo natildeo calculando a componente do campo eleacutetrico fora do eixo

de simetria (eixo z) de um aro ou de um disco eletrizado uniformemente No contexto da lei de Gauss esses

argumentos de simetria se tornam cruciais e sem eles natildeo podemos avanccedilar no caacutelculo de campos eleacutetricos

Vimos que a lei de Gauss implica na validade da lei de Coulomb como um caso particular de simetria esfeacuterica

Mas a lei de Gauss eacute mais geral que a lei de Coulomb que soacute vale mesmo no contexto da eletrostaacutetica A lei

de Gauss tem validade geral no eletromagnetismo vale na eletrostaacutetica e na eletrodinacircmica Podemos usaacute-la

para analisar os campos eleacutetricos de cargas eleacutetricas estaacuteticas e de ondas eletromagneacuteticas

2324 Resumo das simetrias mais simples para o campo eleacutetrico

Nas seccedilotildees anteriores vimos que para realizar a tarefa de calcular o campo eleacutetrico de uma dada

distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas via lei de Gauss devemos ter a capacidade de antever as simetrias que esse

campo eleacutetrico deve apresentar Ao introduzir essas simetrias na lei de Gauss somos levados quase que

automaticamente agrave escolha de uma superfiacutecie gaussiana que nos permite finalizar o caacutelculo do campo eleacutetrico

na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de cargas As simetrias do campo eleacutetrico refletem as simetrias da distribuiccedilatildeo

de cargas a qual ele estaacute associado

Essa ideia pode ser colocada em termos da forccedila eleacutetrica = que a distribuiccedilatildeo de cargas pode

produzir em uma carga de prova colocada em um ponto qualquer na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de

cargas cujo campo eleacutetrico queremos calcular Imagine que a distribuiccedilatildeo de cargas seja tal que natildeo haja

distinccedilatildeo entre as direccedilotildees positiva ou negativa Nada na distribuiccedilatildeo de cargas nos permite dizer que o

sentido positivo possui um privileacutegio em relaccedilatildeo ao sentido negativo e vice-versa Entatildeo a carga de prova

colocada na vizinhanccedila dessa distribuiccedilatildeo de cargas vai estar sujeita a essa mesma ambiguumlidade ldquosofro

forccedila e me desloco no sentido de positivo ou de negativordquo Se a ambiguumlidade existe ela natildeo pode ser

quebrada pelo acaso Portanto deve valer = = 0 ou seja = 0 eliminando a ambiguumlidade que

antevimos tendo em vista a simetria da distribuiccedilatildeo de cargas Analogamente se natildeo haacute distinccedilatildeo entre os

diferentes valores da coordenada entatildeo nenhuma componente de deveria depender de

112

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A tabela abaixo resume algumas simetrias simples das distribuiccedilotildees de cargas e as conclusotildees que

inferimos sobre o campo eleacutetrico Nos casos (menos simples) marcados com a lei de Gauss natildeo resolve

Distribuiccedilatildeo de cargas

Coordenadas com sentido ambiacuteguo

Coordenadas sem ambiguidade

Direccedilatildeo e dependecircncia do campo eleacutetrico

Carga pontual (esfera com = ( ))

Os acircngulos de giro

em torno da carga e

A direccedilatildeo radial (se afasta ou se

aproxima da carga) = ( )

Linha finita com uniforme (cilindro

finito com = ( ))

O acircngulo de giro em torno da

carga

A direccedilatildeo radial e a direccedilatildeo axial (se

afastam ou se aproximam da

carga)

= ( ) + ( ) Linha infinita com uniforme (cilindro

infinito com = ( ))

O acircngulo de giro em torno da carga

( ) e a coordenada axial

( )

A direccedilatildeo radial (se afasta ou se

aproxima da carga) = ( )

Aro com uniforme

O acircngulo de giro em torno da

carga = cilindro finito

A direccedilatildeo radial e a direccedilatildeo axial (se

afastam ou se aproximam da

carga)

= ( ) + ( ) Plano fino infinito com uniforme

(plano grosso infinito com = ( )) As direccedilotildees e

paralelas ao plano

A direccedilatildeo axial (se afasta ou se

aproxima da carga) = ( )

2325 Dificuldades com a lei de Gauss

A lei de Gauss eacute considerada um toacutepico difiacutecil no eletromagnetismo baacutesico tendo em vista seu grau de

abstraccedilatildeo e de sofisticaccedilatildeo matemaacutetica (haacute vaacuterios artigos que discutem esse tema como por exemplo

Student understanding of symmetry and Gaussrsquos law of electricity Chandralekha S Am J Phys 74 (2006))

Uma duacutevida que percebemos como recorrente na interpretaccedilatildeo da lei de Gauss diz respeito agraves cargas

eleacutetricas que datildeo origem ao campo eleacutetrico que estaacute dentro da integral do fluxo

= ∙ =

Esse campo eacute o campo eleacutetrico (somente) das cargas eleacutetricas que compotildeem ou ele eacute o campo eleacutetrico

de todas as cargas o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo (avaliado na SG) A resposta eacute sim e natildeo De fato de

acordo com o princiacutepio da superposiccedilatildeo podemos escrever

113

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= +

sendo o campo das cargas internas agrave SG ( ) e o campo das cargas externas agrave SG ( ) Entatildeo eacute

verdade que

= ∙ = ∙ =

posto que

∙ = 0

Considere como exemplo o problema da placa plana infinita carregada

com densidade de carga eleacutetrica uniforme que jaacute abordamos A Figura ao lado

repete a superfiacutecie SG (em verde) que utilizamos na lei de Gauss para calcular a

magnitude do campo eleacutetrico dessa placa uma lata ciliacutendrica com tampas (T1 e

T2) que satildeo discos de aacuterea e uma casca ciliacutendrica lateral Destacamos nessa

Figura a carga eleacutetrica interna agrave SG (em amarelo) que eacute a carga eleacutetrica

concentrada em um pedaccedilo da placa que eacute um disco de aacuterea e carga eleacutetrica

Esse disco foi seccionado pela intercessatildeo da SG com a placa Enfim aplicando a

lei de Gauss a essa SG mostramos que = 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =

A questatildeo que queremos discutir aqui eacute esse campo = 2 eacute o campo eleacutetrico produzido no espaccedilo

apenas pelas cargas eleacutetricas destacadas em amarelo na Figura ( ) ou esse eacute o campo eleacutetrico produzido

por todas todas as cargas eleacutetricas depositadas na placa infinita Trata-se de uma pergunta que pode surgir

tendo em vista que a aplicaccedilatildeo da lei de Gauss se concentra em um pequeno pedaccedilo do plano infinito o disco

de aacuterea (em amarelo) A resposta a essa pergunta eacute que = 2 eacute o campo eleacutetrico gerado no espaccedilo

por todas as cargas eleacutetricas concentradas na placa infinita Em que momento a lei de Gauss leva em conta que

existem outras cargas eleacutetricas aleacutem de = as infinitas cargas eleacutetricas concentradas na placa plana

infinita No momento em que assumimos a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) para o campo eleacutetrico no espaccedilo

Essa eacute a simetria do campo eleacutetrico de uma placa infinita com densidade de carga uniforme e natildeo de um

pequeno disco de carga uniforme

Enfim se eacute o campo eleacutetrico das cargas em toda a placa e eacute o campo eleacutetrico apenas das cargas

do disco de aacuterea (em amarelo) e carga = eacute verdade que para SG mostrada na Figura acima vale

z T1

T2

CC

=

114

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= ∙ = ∙ =

Mas partindo dessas igualdades podemos calcular apenas pois somente possui uma simetria simples

conhecida O campo que seria o campo de um disco de aacuterea e carga uniforme natildeo possui simetria

simples conhecida e natildeo pode ser obtido dessa igualdade acima Resumindo a lei de Gauss para nos leva ao

caacutelculo de graccedilas a sua simetria enquanto que a lei de Gauss para fica como estaacute pois natildeo podemos

avanccedilar aleacutem disso

Natildeo por acaso muitos estudantes que persistem no

pensamento errocircneo de que o campo = 2 obtido via lei de

Gauss eacute o campo eleacutetrico apenas das cargas no disco (amarelo)

erram no caacutelculo do campo eleacutetrico ao longo de eixo (z) de um disco de

raio com densidade de carga eleacutetrica uniforme A Figura ao lado

ilustra esse disco (em amarelo) e uma superfiacutecie gaussiana SG (em

verde) com a forma de uma lata com duas tampas que satildeo discos de

aacuterea Em vermelho estaacute destacada a porccedilatildeo do disco (um disco

menor) que fica dentro dessa SG que possui carga eleacutetrica = O raciociacutenio errado segue Suponha

que a aacuterea seja suficientemente pequena de tal forma que o campo do disco possa ser considerado

uniforme nas tampas T1 e T2 da SG (parece razoaacutevel) Assumindo a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) proacutexima ao

eixo z (parece razoaacutevel) e aplicando a lei de Gauss a essa SG obtemos para o campo eleacutetrico em pontos sobre

o eixo z do disco = 2 (| |) = = rArr (| |) = 2 =

Esse eacute o campo eleacutetrico do plano infinito e natildeo pode ser portanto o campo eleacutetrico do disco de raio Jaacute

vimos no capiacutetulo 1 que o campo eleacutetrico em pontos sobre o eixo z desse disco eacute dado por

( gt 0) = 2 1 minus radic + Esse campo tem propriedades que o campo eleacutetrico da placa infinita natildeo tem ele depende de z e se

tomarmos ≫ vamos ver que ele decai com 1 (o disco se torna uma carga eleacutetrica pontual) Aleacutem disso

se fizermos = 0 ou seja se sumirmos com o disco vemos que rarr 0

Onde estaacute a falha no caacutelculo acima em que utilizamos a lei de Gauss Estaacute em assumir a simetria ( ) = (| |)(plusmn ) para o campo do disco em pontos distantes do centro com coordenada z arbitraacuteria Natildeo eacute

verdade que longe do centro do disco o campo eleacutetrico do disco tem a direccedilatildeo z apenas Existem efeitos de

T1 T2

=z

CC

115

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

borda e o campo eleacutetrico possui componente fora do eixo z e portanto haacute um

fluxo dessa componente natildeo axial de na superfiacutecie ciliacutendrica lateral CC de nossa

SG fluxo que natildeo foi levado em conta nos caacutelculos A Figura ao lado ilustra

algumas linhas de forccedila (em vermelho) do campo eleacutetrico desse disco (supondo gt 0) Quanto maior z maior essa superfiacutecie CC na SG e maior o erro que

cometemos ao desprezar o fluxo de nessa superfiacutecie CC Vemos aqui que as bordas do disco que podem

estar bem distantes do eixo z estatildeo afetando nosso caacutelculo do campo eleacutetrico em pontos sobre esse eixo Isso

porque o campo eleacutetrico que estamos tentando calcular eacute o campo eleacutetrico do disco e natildeo o campo eleacutetrico

apenas das cargas eleacutetricas proacuteximas do centro do disco = Eacute verdade que se tomarmos a hipoacutetese de

que cong 0 o que equivale a tomarmos rarr infin os argumentos que eram errocircneos se tornam vaacutelidos pois a

aacuterea da superfiacutecie ciliacutendrica CC vai a zero e o erro que estaacutevamos cometendo ao desprezar o fluxo de nessa

superfiacutecie se torna despreziacutevel Esse limite leva automaticamente ao resultado correto = 2 para pontos

muito proacuteximos do centro de um disco de raio (ou seja para um plano infinito)

Jaacute mencionamos anteriormente que o campo eleacutetrico na regiatildeo proacutexima (externa) da superfiacutecie de um

condutor que vamos chamar de estaacute na direccedilatildeo normal a essa superfiacutecie e que sua magnitude eacute

dada pela densidade de carga eleacutetrica que estaacute distribuiacuteda nessa superfiacutecie =

Podemos usar as ideacuteias discutidas anteriormente para mostrar esse resultado ou seja para calcular a

magnitude do campo eleacutetrico em um ponto no vaacutecuo muito proacuteximo agrave superfiacutecie de um condutor que possui

uma densidade de cargas eleacutetricas superficial ( ) A ideia eacute

usar a lei de Gauss para o caacutelculo desse campo

As Figuras ao lado ilustram a superfiacutecie do condutor

(em vermelho) e o ponto (no vaacutecuo) onde queremos

calcular a magnitude do campo eleacutetrico eacute um ponto da

superfiacutecie do condutor tatildeo proacuteximo de quanto vocecirc

queira ( ) eacute a densidade de carga eleacutetrica nesse ponto da

superfiacutecie e ( ) eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie no ponto

Estamos pensando aqui no limite rarr 0 ou seja eacute um ponto muito

proacuteximo da superfiacutecie do condutor Jaacute sabemos que esse campo eacute dado

por ( ) = ( ) ( ) sendo a distacircncia de ateacute a superfiacutecie do

condutor ou seja a distacircncia entre e A Figura sugere que esse

caacutelculo se resume ao caacutelculo do campo eleacutetrico proacuteximo de um disco com

densidade de carga uniforme ( ) com a ressalva que no lado

correspondente ao volume do condutor o campo eleacutetrico eacute nulo As Figuras mostram entatildeo a superfiacutecie

tampa 1

tampa 2

casca ciliacutendrica lateral

vaacutecuo condutor

( )

116

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

gaussiana a ser utilizada nessas condiccedilotildees uma superfiacutecie ciliacutendrica muito pequena (infinitesimal) formada

pela junccedilatildeo de duas tampas que satildeo discos (T1 e T2) e uma casca ciliacutendrica lateral (CC) Note que usaremos o

tempo todo aqui o fato de que essa superfiacutecie eacute bem pequena pois estamos interessados apenas no campo

em um ponto tal que rarr 0 A lei de Gauss aplicada a essa SG diz que = ∙ =

Primeiro desmembramos a integral na SG em trecircs integrais nas superfiacutecies abertas T1 T2 e CC

∙ = ∙ + ∙ + ∙

Agora lembramos que = 0 em T2 pois ela estaacute dentro do volume do condutor e que ∙ = 0 em CC pois

eacute (por construccedilatildeo) paralelo agrave superfiacutecie do condutor nessa casca Conclusatildeo lembrando que = ( ) =( ) ( ) em T1 obtemos

∙ = ∙ = ( ) ( ) ∙

Pensando no limite rarr 0 em T1 segue que = ( ) ou seja ( ) ∙ = 1 Sendo a SG infinitesimal segue

que eacute constante em T1 tal que = ( ) Portanto

( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )

sendo a aacuterea da tampa T1 (a aacuterea desse disco)

Para concluir devemos calcular a carga dentro da SG Vemos que a superfiacutecie ciliacutendrica guarda

dentro dela um pedacinho da superfiacutecie do condutor onde haacute por hipoacutetese uma densidade de cargas

eleacutetricas Sendo a SG infinitesimal segue que dentro dela a densidade de carga eacute uniforme e vale ( ) Portanto a carga na superfiacutecie do condutor que ficou guardada dentro de SG eacute = ( )

Concluindo a lei de Gauss diz que devemos igualar essas coisas tal que

∙ = ( ) = = ( ) rArr ( ) = ( )

Concluindo ao atravessar a superfiacutecie de um condutor o campo eleacutetrico sofre uma descontinuidade

saltando abruptamente no ponto do valor = 0 (dentro) para o valor ( ) = [ ( ) ] ( ) (fora)

Note que esse resultado soacute eacute vaacutelido para um ponto muito proacuteximo da superfiacutecie do condutor ( rarr 0 ou rarr ) na regiatildeo externa a ele Com relaccedilatildeo aos outros pontos mais afastados da superfiacutecie do condutor

117

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

nada podemos afirmar cada caso eacute um caso Essa descontinuidade no campo eleacutetrico eacute um artefato do

modelo em que a distribuiccedilatildeo de cargas na superfiacutecie de um condutor eacute bidimensional Em um condutor real

essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas superficial possui uma espessura de alguns angstrons e o campo eleacutetrico

estaacute bem definido em todos os pontos do espaccedilo Ele apenas varia abruptamente quando caminhamos de

dentro para fora do condutor

Jaacute comentamos que nos condutores as cargas eleacutetricas superficiais acumulam mais intensamente nas

regiotildees pontudas e cortantes como quinas e arestas Portanto nas regiotildees do espaccedilo fora do condutor

proacuteximas dessas pontas quinas e arestas o campo eleacutetrico eacute mais intenso posto que ele eacute dado por

( ) = ( ) ( ) sendo um ponto do espaccedilo exterior proacuteximo ao ponto da superfiacutecie do condutor Nos lugares da

superfiacutecie do condutor onde ( ) eacute mais intenso o campo externo proacuteximo ( ) eacute mais intenso Por

essa razatildeo os para-raios satildeo pontudos como lanccedilas apontando para o ceacuteu A ideia do para-raios eacute ionizar o ar

ao seu redor fornecendo um caminho mais faacutecil para um raio que porventura caia em sua vizinhanccedila Para

ionizar o ar quebrando sua rigidez dieleacutetrica precisamos de um campo eleacutetrico intenso aplicado no ar Esse

campo vai polarizar moleacuteculas que constituem o ar fazendo com que algumas

sejam ionizadas pelo excesso de separaccedilatildeo dos poacutelos positivos e negativos Sendo

o para-raios pontudo ele tem mais chance de desenvolver grandes

concentraccedilotildees de cargas eleacutetricas (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo produzida pelas cargas

eleacutetricas nas nuvens) em suas pontas e ionizar o ar em sua vizinhanccedila A Figura ao

lado mostra um para-raios fixado em uma antena sendo atingido exatamente em

sua regiatildeo mais pontuda onde ( ) e ( ) satildeo mais intensos O raio flui serpenteando pelo ar sendo

conduzido ateacute a ponta do para-raios O para-raios natildeo induz a formaccedilatildeo do raio ele apenas conduz um raio

que jaacute se formou em sua vizinhanccedila

24 Aplicaccedilotildees

1) Jaacute tivemos oportunidade de mencionar o artigo ldquoStudent understanding of symmetry and Gaussrsquos law of

electricity Chandralekha S Am J Phys 74 (2006)rdquo em que eacute feito um estudo sobre as dificuldades dos

estudantes na compreensatildeo e aplicaccedilatildeo da lei de Gauss Nesse estudo o autor aplica um teste para avaliar o

conhecimento de um grupo de estudantes sobre a lei de Gauss Esse teste foi aplicado para vaacuterios estudantes

de graduaccedilatildeo e tambeacutem estudantes de poacutes-graduaccedilatildeo em fiacutesica na Universidade de Pittsburgh (apenas dois

alunos chineses de poacutes-graduaccedilatildeo obtiveram 100 de acerto) Abaixo reproduzimos algumas das questotildees

desse teste (as que achamos mais diretamente relacionadas agrave lei de Gauss) seguidas de uma discussatildeo

118

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Quais grandezas satildeo escalaresvetores o campo

eleacutetrico o fluxo de a carga eleacutetrica Somente o

campo eleacutetrico eacute uma grandeza vetorial O fluxo do

campo eleacutetrico ( ) eacute uma integral de um produto escalar ∙ e soacute pode portanto ser um escalar A lei de Gauss

iguala fluxo de agrave carga eleacutetrica (dividida por uma

constante a permissividade eleacutetrica do vaacutecuo) Portanto a lei de Gauss iguala dois escalares =

Para que a lei de Gauss possa ser aplicada a uma

superfiacutecie S ou seja para que S possa ser chamada

propriamente de uma superfiacutecie gaussiana ela deve ser

apenas fechada S natildeo tem que ser simeacutetrica esfeacuterica

ciliacutendrica ou o que quer que seja Poderiacuteamos acrescentar

apenas que S natildeo pode incluir entre seus pontos aqueles em que o campo natildeo estaacute bem definido afinal a

lei de Gauss envolve uma integral da funccedilatildeo ( ) Por exemplo suponha que exatamente sobre a superfiacutecie S

esteja localizada uma carga pontual Essa carga eacute interna ou externa agrave S Nenhum dos dois e natildeo faz sentido

se aplicar a lei de Gauss para essa superfiacutecie De fato olhando pelo lado do caacutelculo do fluxo a funccedilatildeo ( ) diverge sobre a carga e essa divergecircncia vai entrar no caacutelculo de Portanto a lei de Gauss se torna

indeterminada dos dois lados da igualdade = Outro exemplo improacuteprio seria uma superfiacutecie

gaussiana S que coincide pelo menos em parte com uma superfiacutecie carregada com uma densidade

de carga (a superfiacutecie de um metal por exemplo) Jaacute sabemos que eacute descontiacutenuo e natildeo estaacute

definido nessas superfiacutecies carregadas o que torna o caacutelculo de ambiacuteguo assim com o caacutelculo de

A Figura ao lado ilustra um exemplo desses em que uma face da superf gaussiana S (em verde) coincide

com a superfiacutecie de um disco carregado (em cinza) A carga na face de S que coincide com o disco carregado eacute

interna ou externa agrave S

No problema 6 abaixo se aborda algo similar ao problema 5 mas que agora se refere natildeo agrave validade da

lei de Gauss mas agrave sua utilidadeconveniecircncia para o caacutelculo de Enfim para que possamos avanccedilar no lado

esquerdo da lei de Gauss = devemos conhecer a simetria de algo como = ( ecirc) ccedilatilde O ldquodepende de quecircrdquo vai definir a forma da superfiacutecie S em que eacute

constante e a direccedilatildeo vai nos permitir realizar o produto escalar de com o vetor Note que a alternativa (iii)

diz que natildeo importa na escolha de S como as cargas estatildeo distribuiacutedas no objeto eletrizado Jaacute chamamos

atenccedilatildeo para o fato de que o campo reflete as simetrias da distribuiccedilatildeo de cargas que cria esse campo Natildeo

importa a simetria do objeto suporte das cargas mas sim a simetria da forma como as cargas estatildeo

119

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

distribuiacutedas nesse suporte Podemos considerar um suporte

esfeacuterico uma bola de sinuca por exemplo com uma

distribuiccedilatildeo de cargas maluca (cargas acumuladas somente

em um lado da bola por exemplo) e natildeo termos como

imaginar a simetria que o campo criado por essas cargas

depositadas na bola vai ter Natildeo seria uma simetria simples

Isso porque o campo natildeo eacute criado pela bola mas sim

pelas cargas eleacutetricas distribuiacutedas na bola Portanto

somente (i) e (ii) satildeo verdadeiras Podemos acrescentar

tambeacutem que a superfiacutecie S pode englobar apenas uma parte

de um objeto eletrizado e natildeo eacute somente a simetria da

distribuiccedilatildeo de cargas dessa parte englobada que interessa A simetria de eacute ditada por todas as cargas que

criam tanto as que estatildeo dentro de S quanto as que estatildeo fora de S Abordamos essa questatildeo na seccedilatildeo

2325

O campo eleacutetrico em P eacute de acordo com o princiacutepio da

superposiccedilatildeo ( ) = ( ) + ( ) As duas cargas contribuem para ( ) campos dados pela lei de

Coulomb Quanto ao fluxo atraveacutes de S somente contribui

pois somente conta como carga interna agrave S = A

alternativa (c) eacute correta No problema 5 comentamos que natildeo

pode haver uma carga pontual em P que eacute um ponto de S Essa

carga natildeo seria nem interna nem externa Ela criaria uma

ambiguumlidade na lei de Gauss impedindo sua aplicaccedilatildeo

120

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

De acordo com a lei de Gauss =

Portanto se o fluxo eacute mais intenso em S eacute porque

tem mais carga interna (em moacutedulo) em S Eacute o caso

da superfiacutecie (3) O fluxo eacute tambeacutem

= ∙

Mas olhando para essa integral e para o valor final

de natildeo podemos concluir nada sobre o tamanho

de S ou sobre se o campo eleacutetrico eacute mais fraco ou

mais intenso em uma superfiacutecie ou em outra Como natildeo sabemos nada sobre as trecircs superfiacutecies natildeo sabemos

nada sobre o campo nessas superfiacutecies Pode haver uma superfiacutecie maior onde eacute mais intenso mas a

direccedilatildeo de eacute tal que ∙ eacute pequeno e que portanto eacute pequeno Enfim tudo eacute possiacutevel Natildeo podemos

nos esquecer que eacute uma integral e que uma integral eacute uma soma Imagine as duas somas definidas abaixo

= e =

Suponha que lt Vocecirc pode concluir que lt Vocecirc pode concluir que lt Concluindo somente

podemos inferir a validade de (ii)

A lei de Gauss diz que = Portanto = =

e = ( minus ) = 0 Natildeo importa a localizaccedilatildeo

especiacutefica das cargas eleacutetricas importa apenas se elas

estatildeo dentro ou fora de cada superfiacutecie S As cargas

pontuais (ou densidades de cargas superficiais ) soacute natildeo

podem estar sobre a superfiacutecie gaussiana

121

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A simetria do campo eacute ditada pela simetria da

distribuiccedilatildeo de cargas que cria esse campo Uma

distribuiccedilatildeo de cargas com simetria esfeacuterica (que

natildeo distingue direccedilotildees no espaccedilo) cria um campo

tal que = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo

ao centro da distribuiccedilatildeo de cargas Esse eacute um

caso facilmente abordado pela lei de Gauss Se

encaixam nesse caso as distribuiccedilotildees de cargas

em (i) e (iii) somente Quanto ao campo das

cargas no haltere (ii) natildeo podemos prever uma

simetria simples para esse campo Note que (iii)

tambeacutem eacute um suporte com forma de haltere mas

o que importa satildeo as cargas e natildeo o suporte

delas Soacute haacute cargas em uma parte esfeacuterica do

haltere e o campo em (iii) eacute o mesmo campo

em (i)

Se eacute um eixo ortogonal agrave placa carregada as cargas

nessa placa criam um campo tal que = (| |) Portanto na lei de Gauss eacute importante que a superfiacutecie

gaussiana seja (pelo menos em parte) uma superfiacutecie

onde z eacute constante Somente o cubo e o cilindro

apresentam porccedilotildees (faces) que coincidem com planos

z=constante= e que permitem portanto o caacutelculo de

no ponto A As porccedilotildees dessas superfiacutecies que satildeo

ortogonais ao plano carregado natildeo contribuem para o

fluxo por causa do produto escalar ∙

122

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Da lei de Gauss concluiacutemos que

= =

Pronto natildeo haacute mais o que concluir Note que em

geral

= ∙ ne

Somente nos casos especiais em que a simetria

(simples) de eacute aproveitada pela superfiacutecie S ocorre

de sair de dentro do siacutembolo de integral e resultar

em = Esse natildeo eacute o caso aqui pois o campo

de uma haste carregada natildeo possui simetria esfeacuterica

(a direccedilatildeo da haste eacute privilegiada) e uma superfiacutecie

gaussiana esfeacuterica natildeo eacute apropriada para o caacutelculo

desse campo Aliaacutes o campo de uma haste

carregada de tamanho finito natildeo possui simetria

simples e natildeo pode ser calculado via lei de Gauss (pode ser calculado pela lei de

Coulomb)

Jaacute discutimos esse caso na seccedilatildeo 2321 Haacute campo

eleacutetrico dentro da caixa cuacutebica carregada com

densidade de carga uniforme e esse campo eacute bem

complicado Ele natildeo e uniforme (constante no

espaccedilo) ele natildeo eacute radial (por que seria) e natildeo tem

que ser perpendicular a um dos lados da caixa

(qual lado) Enfim a alternativa correta eacute a (e)

123

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Apenas o campo da casca esfeacuterica carregada

possui uma simetria simples = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo ao centro da casca

As distribuiccedilotildees de cargas cuacutebica e ciliacutendrica

finita (comprimento L) produzem campos

eleacutetricos complicados que natildeo podem ser

obtidos via lei de Gauss No caso do cilindro

somente no limite rarr infin haveria uma

simetria previsiacutevel simples = ( ) sendo o raio em relaccedilatildeo ao eixo do cilindro

Nesse caso especiacutefico a lei de Gauss eacute uacutetil no

caacutelculo da funccedilatildeo ( )

O fluxo do campo eleacutetrico em S eacute dado por

= ∙

Portanto se vale = 0 em todos os pontos de

S entatildeo

= 0 ∙ = 0

(da mesma forma que sum0 = 0) Se = 0

em S entatildeo = 0 em S pois a lei de Gauss diz

que = Isso natildeo implica que = 0 em todos os pontos de S (assim como sum = 0 natildeo implica que = 0 para todo ) = 0 pode significar que o integrando ∙ assume valores positivos e negativos em S

de tal forma que a soma eacute nula Se = 0 entatildeo = 0 (e vice-versa) e isso natildeo significa que = 0 em

todos os pontos de S Somente (i) eacute verdadeira sem exceccedilotildees

124

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Um campo eleacutetrico uniforme em uma regiatildeo do

espaccedilo eacute um campo constante ou seja um campo

que assume o mesmo valor (moacutedulo direccedilatildeo e

sentido) em todos os pontos dessa regiatildeo Na Figura

12 ao lado se chamarmos de a direccedilatildeo de

poderiacuteamos escrever = com = 20 NC uma constante (isso significa que

uma carga pontual = 1 C nessa regiatildeo vai sofrer

uma forccedila eleacutetrica de 20 N na direccedilatildeo z)

Se A e B satildeo dois pontos dessa regiatildeo entatildeo = = Alternativa (d)

O fluxo de atraveacutes da superfiacutecie cuacutebica S eacute = ∙ = + +⋯

sendo o fluxo de na face (de lado L) = ∙

Na face superior = ∙ = Na face

inferior = ∙ (minus ) = minus Nas outras faces = 0 pois ∙ = 0 Portanto = 0 (i) e (ii) satildeo

verdadeiras (note que = 1 m2) Um campo eleacutetrico uniforme natildeo produz fluxo em nenhuma superfiacutecie S

fechada de qualquer formato pois se natildeo depende de nenhuma coordenada espacial (ele sai da integral)

= ∙ = = ∙ = ∙ 0 = 0

125

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

A lei de Gauss diz que = Portanto para

as trecircs superfiacutecies fechadas mostradas na Figura

podemos ver que haacute um segmento de linha de

tamanho embutido dentro de cada superfiacutecie ou

seja = Concluiacutemos que = para

essas trecircs superfiacutecies Para uma superfiacutecie aberta

natildeo podemos aplicar a lei de Gauss mas a

definiccedilatildeo de fluxo de pode ser aplicada a

qualquer superfiacutecie aberta ou fechada Para uma

superfiacutecie aberta basta tirar a ldquobolinhardquo do

siacutembolo de integral

= ∙

Podemos usar essa ideia para avaliar na

superfiacutecie quadrada mostrada na Figura Se

chamarmos de z o eixo da linha carregada

apontando para a direita podemos ver que nessa

superfiacutecie aberta vale = plusmn (podemos escolher o

sinal) Sabemos tambeacutem que o campo produzido

por uma linha infinita com densidade de carga

uniforme eacute ortogonal agrave linha (ele eacute radial) ou seja ∙ = ∙ (plusmn ) = 0 em Portanto = 0 em

Chamando de o raio das coordenadas ciliacutendricas com eixo z sobre a linha carregada sabemos que o campo

eleacutetrico dessa linha tem a simetria = ( ) O campo eacute radial e soacute depende da distacircncia ateacute a linha (em

moacutedulo) Portanto a superfiacutecie gaussiana conveniente para o caacutelculo da funccedilatildeo ( ) eacute uma superfiacutecie

constante ou seja uma superfiacutecie ciliacutendrica Essa superfiacutecie eacute aberta mas podemos fechaacute-la com discos nas

tampas e nada muda no caacutelculo do fluxo de posto que nas tampas = plusmn Essa eacute a superfiacutecie (i) somente

126

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Tomando uma superfiacutecie gaussiana S toda contida

na regiatildeo D tatildeo proacutexima quanto se queira da

fronteira dessa regiatildeo com o espaccedilo exterior

obtemos

= ∙ = = 0 ∙ = 0

posto que = 0 na regiatildeo D A lei de Gauss diz que = portanto = 0 dentro de S ou

seja a carga eleacutetrica total na regiatildeo abraccedilada por S

a regiatildeo A+B+C+D eacute nula Tomando uma superfiacutecie

gaussiana S1 na regiatildeo A e que engloba o centro da

regiatildeo A obtemos tambeacutem = 0 posto que = 0 na regiatildeo A Essa superfiacutecie S1 pode ser tatildeo

pequena quanto desejarmos sempre envolvendo o

centro da regiatildeo A Concluiacutemos que natildeo pode haver

um excesso de carga eleacutetrica nesse centro pois = 0 = Vemos claramente que as setas

de apontam para a superfiacutecie que eacute fronteira

entre as regiotildees B e C Portanto tem que haver

carga eleacutetrica negativa depositada nessa fronteira

entre B e C Vemos tambeacutem que haacute cargas positivas

depositadas nas fronteiras entre A e B e entre C e D

A carga total eacute nula conforme jaacute vimos Todas as afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras Com relaccedilatildeo agrave afirmaccedilatildeo (iii)

podemos utilizar a lei de Gauss para provaacute-la Tomando uma superfiacutecie gaussiana SC na regiatildeo C e que engloba

a fronteira CB obtemos lt 0 posto que aponta na direccedilatildeo minus na regiatildeo C (e a normal agrave SC estaacute para

fora) Portanto da lei de Gauss concluiacutemos que a carga eleacutetrica dentro de SC eacute negativa digamos ndash (com gt 0) Analogamente tomando uma superfiacutecie gaussiana SB na regiatildeo B e que engloba a regiatildeo A obtemos gt 0 posto que aponta na direccedilatildeo + na regiatildeo B (e a normal agrave SB estaacute para fora) Portanto da lei de

Gauss concluiacutemos que a carga eleacutetrica dentro de SB eacute positiva digamos Essas duas superfiacutecies SB e SC

podem ser tatildeo proacuteximas quanto se queira da fronteira entre as regiotildees B e C Note que tambeacutem estaacute

dentro de SC ou seja ndash = + Portanto a carga na fronteira entre B e C eacute

= minus minus lt 0

127

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

2) Considere uma bola maciccedila (como uma bola de sinuca) de raio que possui uma densidade de carga

eleacutetrica distribuiacuteda em todo o seu volume A carga se distribui natildeo-uniformemente mas com simetria

esfeacuterica ou seja a densidade de carga eacute funccedilatildeo apenas do raio em relaccedilatildeo ao centro da bola Portanto de

qualquer direccedilatildeo que olhamos a bola vemos a mesma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas Vamos assumir aqui a

seguinte distribuiccedilatildeo de cargas ( ) = 1 minus

sendo e constantes positivas Para gt vale = 0 ou seja haacute o vaacutecuo

Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) versus para os valores

numeacutericos = 1 = 2 e = 3 Vemos que a bola possui carga positiva na

regiatildeo mais central ( cong 0) e carga negativa na regiatildeo mais perifeacuterica ( cong ) A

densidade de carga muda de sinal no raio = que eacute onde vale = 0

Vamos calcular o campo eleacutetrico que essa bola produz no espaccedilo

Trata-se de uma distribuiccedilatildeo de cargas com simetria esfeacuterica e sabemos (tendo em vista nossa

discussatildeo sobre a carga pontual) sem a necessidade de nenhum caacutelculo que o campo eleacutetrico que essa

distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo herda essa simetria ou seja ( ) = ( ) sendo uma posiccedilatildeo qualquer no espaccedilo posiccedilatildeo medida em relaccedilatildeo ao centro da bola Essa simetria do

campo eleacutetrico eacute comum a todas as distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas com simetria esfeacuterica ou seja

distribuiccedilotildees de carga que natildeo privilegiam nenhuma direccedilatildeo no espaccedilo

Dessa forma esse eacute um problema em que a lei de Gauss pode mostrar seu poder de simplificaccedilatildeo no

caacutelculo de campos eleacutetricos Vamos substituir essa expressatildeo particular de ( ) na expressatildeo geral do fluxo

que aparece na lei de Gauss e ver o que daacute

= ∙ = ( ) ∙

Nossa uacuteltima esperanccedila agora eacute poder retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo

de integral Ao fazer isso a lei de Gauss se tornaraacute uma equaccedilatildeo expliacutecita para ( ) Se a

superfiacutecie SG for uma superfiacutecie em que o raio eacute constante entatildeo ( ) seraacute constante

sobre ela e sairaacute da integral Essa superfiacutecie deve ser entatildeo uma superfiacutecie esfeacuterica

concecircntrica agrave bola Uma casca esfeacuterica de raio arbitraacuterio como mostrado na Figura ao

lado (em verde) Na Figura mostramos a bola eletrizada em cinza e a superfiacutecie gaussiana

em verde nesse caso com gt (note natildeo satildeo ciacuterculos eacute uma casca esfeacuterica imaginaacuteria como uma bola de

( ) =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

pingue-pongue concecircntrica a uma bola maciccedila como uma bola de sinuca) Nessa superfiacutecie a direccedilatildeo normal

eacute a direccedilatildeo radial ou seja = Portanto o fluxo do campo eleacutetrico atraveacutes dessa SG especiacutefica eacute dado por

= ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )4

sendo 4 a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica de raio

Para terminar lembrando que a lei de Gauss diz que

= ∙ =

obtemos ( )4 = rArr ( ) = 4

Falta agora calcular a carga interna agrave SG Para calcular devemos especificar em qual regiatildeo do

espaccedilo estamos calculando o campo eleacutetrico dentro da bola ( lt ) ou fora da bola ( gt )

Dentro da bola ( lt ) obtemos

= ( ) = 1 minus

sendo o volume interno agrave superfiacutecie SG que eacute o volume de uma esfera de raio lt O elemento

infinitesimal de volume mais apropriado para a realizaccedilatildeo dessa integral eacute a casca esfeacuterica de espessura ou

seja = 4 Portanto

= 1 minus 4 = 4 4 minus 9 = 4 14 minus 9

Concluindo a magnitude do campo eleacutetrico na regiatildeo interior dessa bola eletrizada de raio eacute

( ) = 4 = 14 minus 9

Fora da bola ( gt ) obtemos

= ( ) = 1 minus

sendo o volume interno agrave superfiacutecie SG que eacute o volume de uma esfera de raio gt mas note que soacute haacute

carga eleacutetrica no interior da bola ou seja para le Por isso a integral se estende apenas ateacute a superfiacutecie da

bola Portanto

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= 1 minus 4 = 4 4 minus 9 = 4 14 minus 9 =

sendo a carga eleacutetrica total armazenada na bola eletrizada

Concluindo a magnitude do campo eleacutetrico na regiatildeo exterior a essa bola eletrizada de raio eacute

( ) = 4 = 4 = 14 minus 9

Note que esse eacute o mesmo campo de uma carga pontual de carga localizada no centro da bola que eacute o

resultado esperado de acordo com o teorema das cascas

Na Figura ao lado esboccedilamos um graacutefico de ( ) versus

Inicialmente o campo eleacutetrico cresce atinge um maacuteximo e

depois comeccedila a cair Em = na superfiacutecie da bola o campo

eleacutetrico muda de comportamento (mas eacute contiacutenuo pois natildeo haacute uma )

e passa a decair a zero com 1 Na origem o campo eacute nulo por

simetria

Um caso particular interessante eacute aquele em que a bola eacute

eletricamente neutra ou seja = 4 14 minus 9 = 0 rArr = 94

Nesse caso a bola natildeo produz nenhum campo eleacutetrico em seu exterior e o graacutefico do campo eleacutetrico

fica como na Figura ao lado Dentro da bola o campo eleacutetrico sempre

tem a direccedilatildeo radial e aponta para fora da bola inicialmente

aumentando de magnitude e depois decaindo a zero na superfiacutecie da

bola

Um exemplo que se encaixaria nesse caso eacute aquele em que

essa bola fosse um modelo para um aacutetomo que eacute eletricamente

neutro Como a densidade de carga muda de sinal no raio =

esse seria nesse modelo o raio do nuacutecleo (com = 94)

Portanto a regiatildeo onde ( ) gt 0 lt representaria o nuacutecleo e a regiatildeo

onde ( ) lt 0 lt lt representaria a nuvem eletrocircnica desse aacutetomo

Essa ideia estaacute ilustrada ao lado em um graacutefico de ( ) versus

( )

( )

( ) = cong 085

130

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Natildeo se trata de um modelo muito bom para um aacutetomo porque sabemos que o nuacutecleo de um aacutetomo eacute

de fato bem menor que o proacuteprio aacutetomo algo como cong 10

Portanto a densidade de carga positiva no aacutetomo estaacute muito muito mesmo concentrada na regiatildeo proacutexima

de = 0 enquanto que a nuvem eletrocircnica onde a densidade de carga eacute negativa se distribui de forma natildeo

uniforme no intervalo 0 lt lt

3) Considere agora uma esfera metaacutelica maciccedila de raio e eletricamente neutra que

possui duas cavidades esfeacutericas em seu interior conforme a Figura ao lado No centro

da cavidade de raio estaacute fixa uma carga eleacutetrica pontual e no centro da outra

cavidade de raio estaacute fixa uma carga eleacutetrica pontual Note natildeo satildeo ciacuterculos

satildeo esferas

Vamos comeccedilar discutindo as densidades de carga eleacutetrica que se formam nas

superfiacutecies dessa esfera metaacutelica Aqui eacute importante levar em conta que o objeto metaacutelico e as cavidades satildeo

esfeacutericas e tambeacutem que as cargas pontuais estatildeo exatamente nos centros das cavidades Essas condiccedilotildees

impotildeem simetrias que determinam muitas das propriedades das distribuiccedilotildees de carga e de seus respectivos

campos eleacutetricos

Primeiramente entendemos que natildeo haacute influecircncia muacutetua entre as cavidades cada uma cuida da sua

vida e o que acontece em uma eacute basicamente o mesmo que acontece na outra Na superfiacutecie da cavidade 1

forma-se uma densidade de cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de em todo o espaccedilo exterior agrave

essa cavidade Esse espaccedilo exterior inclui o metal da esfera metaacutelica a cavidade 2 e o espaccedilo exterior agrave esfera

metaacutelica A lei de Gauss mostra que ( 1 eacute a superfiacutecie da cavidade 1)

= minus

Como estaacute no centro da cavidade 1 a simetria eacute tal que eacute uniforme Portanto

= = 4 = minus rArr = minus4

Tudo isso vale tambeacutem para a cavidade 2 Na superfiacutecie da cavidade 2 forma-se uma densidade de

cargas eleacutetricas que ldquomatardquo o campo eleacutetrico de em todo o espaccedilo exterior agrave essa cavidade Esse espaccedilo

exterior inclui o metal da esfera metaacutelica a cavidade 1 e o espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica A lei de Gauss

mostra que ( 2 eacute a superfiacutecie da cavidade 2)

131

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

= minus

Como estaacute no centro da cavidade 2 a simetria eacute tal que eacute uniforme Portanto

= = 4 = minus rArr = minus4

Sendo a esfera eletricamente neutra ( = 0) segue que a carga eleacutetrica prime na superfiacutecie exterior dessa

esfera eacute tal que

= + + = 0 rArr = +

Portanto nas superfiacutecies das cavidades haacute minus e minus e na superfiacutecie exterior da esfera metaacutelica haacute = + de tal forma que + (minus ) + (minus ) = 0

Como natildeo haacute influecircncia das cargas e sobre o que acontece na superfiacutecie exterior da esfera

metaacutelica segue que a carga se distribui uniformemente nessa superfiacutecie com uma densidade de carga

uniforme dada por ( eacute a superfiacutecie exterior da esfera metaacutelica de aacuterea 4 )

= 4 = + rArr = +4

Agora vamos discutir o campo eleacutetrico no espaccedilo Haacute 4 regiotildees bem distintas O espaccedilo ocupado pelo

metal da esfera metaacutelica o interior da cavidade 1 o interior da cavidade 2 e o espaccedilo exterior agrave esfera

metaacutelica Haacute 5 distribuiccedilotildees de cargas e cada uma produz seu campo eleacutetrico proacuteprio Seja o campo

eleacutetrico da carga o campo eleacutetrico da carga o campo eleacutetrico de o campo eleacutetrico de

e o campo eleacutetrico de Em qualquer ponto do espaccedilo vale o princiacutepio da superposiccedilatildeo = + + + +

1 No espaccedilo ocupado pelo metal da esfera metaacutelica vale = + + + + = 0 Mais

especificamente cada distribuiccedilatildeo de cargas daacute conta de uma blindagem = + + + + = 0 + 0 + 0

Note que = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme em uma superfiacutecie esfeacuterica e de

acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo geram campo eleacutetrico dentro da esfera metaacutelica

2 No interior da cavidade 1 = + + + + = + 0 + 0 + 0

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

Nessa regiatildeo natildeo haacute blindagem de mas vale = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme

em uma superfiacutecie esfeacuterica e de acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo produzem campo

eleacutetrico dentro da cavidade 1 Vale tambeacutem = 0 como no item 1 Dentro da cavidade 1 haacute apenas

o campo eleacutetrico radial da carga pontual Note que nesse caso a carga natildeo sofre nenhuma forccedila

3 Analogamente no interior da cavidade 2 = + + + + = 0 + + 0 + 0

Nessa regiatildeo natildeo haacute blindagem de mas vale = 0 pois eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme

em uma superfiacutecie esfeacuterica e de acordo com o teorema das cascas essas cargas natildeo produzem campo

eleacutetrico dentro da cavidade 2 Vale tambeacutem = 0 como no item 1 Dentro da cavidade 2 haacute apenas

o campo eleacutetrico radial da carga pontual Note que nesse caso a carga natildeo sofre nenhuma forccedila

4 No espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica = + + + + = 0 + 0 +

Sendo eacute uma distribuiccedilatildeo de cargas uniforme em uma superfiacutecie esfeacuterica de acordo com o teorema

das cascas nessa regiatildeo o campo eleacutetrico eacute o mesmo que seria produzido por uma carga pontual de

valor + localizada no centro da esfera metaacutelica O metal em volta das cavidades natildeo anula o

campo eleacutetrico exterior mas o torna independente dos detalhes internos Somente o aterramento da

esfera metaacutelica seria capaz de anular o campo eleacutetrico nessa regiatildeo exterior Resumindo na regiatildeo

fora da esfera metaacutelica vale (de acordo com o teorema das cascas) = = +4 sendo o raio medido em relaccedilatildeo ao centro da esfera metaacutelica

Considere agora que nada mais eacute esfeacuterico nem o condutor e nem as

cavidades conforme a Figura ao lado O que muda e o que permanece igual ao caso

anterior As densidades de carga nas superfiacutecies deixam de ser uniformes mas

continua valendo (de acordo com a lei de Gauss e o equiliacutebrio eletrostaacutetico)

= minus = minus = +

No espaccedilo ocupado pelo metal continua valendo = + + + + = 0 + 0 + 0

No interior da cavidade 1 = + + + + = + + 0 + 0 e a carga passa a

sofrer uma forccedila (o condutor faz forccedila em e vice-versa) No interior da cavidade 2 = + + + + = 0 + + + 0 e a carga passa a sofrer uma forccedila (o

condutor faz forccedila em e vice-versa) No espaccedilo exterior agrave esfera metaacutelica = + + +

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 2 ndash versatildeo 31

+ = 0 + 0 + O campo passa a ser complicado (cada caso eacute um caso) sem simetria esfeacuterica

(por que haveria simetria esfeacuterica) produzido por uma natildeo uniforme mas ainda um campo independente

das formas das cavidades e das posiccedilotildees de e dentro dessas cavidades (graccedilas agraves blindagens produzidas

por e

134

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

3 Potencial eletrostaacutetico

Jaacute comentamos que agraves vezes temos que dar uma pausa no caacutelculo de campos eleacutetricos para tentar

encontrar propriedades gerais desse campo que nos permitam entendecirc-lo melhor entender melhor o

eletromagnetismo e a natureza Ao fazer isso pode ocorrer de encontrarmos uma nova ferramenta para a

abordagem de sistemas no eletromagnetismo e ateacute para o proacuteprio caacutelculo do campo eleacutetrico Nesse sentido jaacute

encontramos a lei de Gauss uma ferramenta mais sofisticada e de aplicaccedilatildeo mais simples em alguns casos

quando comparada com a aplicaccedilatildeo direta da lei de Coulomb e do princiacutepio da superposiccedilatildeo (que poderiacuteamos

chamar de ldquoforccedila brutardquo) Aqui vamos estudar o conceito de potencial eleacutetrico ou mais especificamente de

potencial eletrostaacutetico Esse conceito nos permitiraacute estudar problemas de eletrostaacutetica utilizando o teorema

do trabalho energia A aplicaccedilatildeo do conceito de potencial eleacutetrico eacute crucial para o entendimento e a descriccedilatildeo

de circuitos eleacutetricos A ideia de potencial eletrostaacutetico nasce quando constatamos que o campo eleacutetrico

produzido por uma distribuiccedilatildeo qualquer de cargas eleacutetricas estaacuteticas eacute conservativo

31 O campo eletrostaacutetico eacute conservativo

311 Forccedilas conservativas

Laacute na mecacircnica estudamos o conceito de forccedila conservativa o peso por exemplo Um campo de forccedila

conservativo eacute basicamente um campo de forccedila intermediaacuterio de uma forccedila conservativa o campo

gravitacional por exemplo

Uma forccedila conservativa eacute aquela cujo trabalho entre dois pontos quaisquer A e B no espaccedilo eacute

independente da trajetoacuteria que eacute percorrida (pelo corpo que sofre ) para partir de A e chegar em B

Equivalentemente uma forccedila conservativa eacute aquela cujo trabalho em uma trajetoacuteria fechada (percorrida

pelo corpo que sofre ) eacute nulo Finalmente podemos dizer que uma forccedila conservativa eacute aquela cujo

trabalho entre dois pontos quaisquer A e B no espaccedilo depende apenas de A e de B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Considere apenas para ilustrar o caso simples da forccedila peso de um corpo de massa = na

aproximaccedilatildeo em que eacute uniforme no espaccedilo ( eacute independente de quaisquer coordenadas espaciais) Para

simplificar adotando um referencial com eixo vertical apontando para cima podemos escrever =minus Considere agora que esse corpo viaje nessa regiatildeo do espaccedilo partindo do ponto A e chegando no

ponto B Ele faz isso percorrendo uma trajetoacuteria que eacute uma curva orientada no espaccedilo que nasce em A e

morre em B O trabalho da forccedila nesse percurso eacute

( rarr ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙

sendo vetores deslocamento ( = eacute um comprimento) infinitesimais tangentes agrave trajetoacuteria em

todos os pontos orientados de A para B A Figura 1 abaixo ilustra essa ideia Satildeo mostrados dois caminhos

diferentes conectando A e B as curvas (azul) e prime (roxa)

Lembrando que o produto escalar opera uma projeccedilatildeo de um vetor sobre o outro fica claro que ∙ = (a componente y de ) sendo um deslocamento infinitesimal ao longo do eixo vertical y

Portanto

( rarr ) = minus ∙ = minus = minus ] = ( minus ) Uma coordenada vertical que cresce no sentido para cima eacute o que costumamos chamar de altura que

geralmente representamos por ℎ Portanto mostramos que ( rarr ) = ℎ minus ℎ

Note que do lado direito dessa equaccedilatildeo natildeo haacute nenhuma alusatildeo agrave curva percorrida pelo corpo ou seja ( rarr ) = ( rarr ) = ℎ minus ℎ

O trabalho do peso = entre A e B soacute depende de A e de B natildeo depende da trajetoacuteria ( ou prime) que

conecta A e B O peso eacute uma forccedila conservativa

Figura 1 Duas trajetoacuterias possiacuteveis e primeconectando dois pontos A e B no espaccedilo Um corpo vai de A ateacute B atraveacutes de (curva azul) sob accedilatildeo de seu proacuteprio peso e de outras forccedilas natildeo mostradas (atrito normal etc)

A

B

prime

y

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Definindo entatildeo a funccedilatildeo = ℎ que chamamos de energia potencial gravitacional do corpo de massa

fica claro que mostramos que existe uma funccedilatildeo tal que

( rarr ) = ∙ = ℎ minus ℎ = ( ) minus ( ) e que essa funccedilatildeo (da altura) eacute = (ℎ) = ℎ para um corpo de massa na gravidade De fato

poderiacuteamos concluir que haacute uma soluccedilatildeo mais geral para a equaccedilatildeo acima em que (ℎ) = ℎ +

sendo uma constante de valor natildeo determinado por essa equaccedilatildeo Vemos logo que = (ℎ = 0) ou seja

eacute o valor da funccedilatildeo no que poderiacuteamos chamar de altura nula (a referecircncia de alturas) Como essa ldquoaltura

de referecircnciardquo eacute arbitraacuteria segue que o valor de tambeacutem eacute e para simplificar arbitramos desde jaacute = 0

O resultado para mostrado acima independe da curva Nesse sentido o trabalho do peso eacute

independente da trajetoacuteria ele soacute depende do proacuteprio peso do corpo e do desniacutevel de altura ∆ℎ entre os

pontos A e B Se esse corpo tivesse percorrido a trajetoacuteria prime na Figura 1 teriacuteamos obtido o mesmo resultado

para o trabalho do peso Isso porque e rsquo partem do mesmo ponto A e chegam no mesmo ponto B Para um

caminho fechado que parte de A passeia pelo espaccedilo e retorna para o mesmo ponto A vale (B=A e ℎ = ℎ ) ( rarr = ) = 0 Essas satildeo propriedades natildeo triviais da forccedila que a definem como sendo uma forccedila

conservativa Para entender esse nome devemos recorrer ao teorema do trabalho-energia cineacutetica (TTEC)

O TTEC diz que se uma partiacutecula parte de A e chega em B atraveacutes de um caminho entatildeo vale minus = ( rarr ) Esse resultado pode ser estendido para corpos riacutegidos mas vamos ficar aqui com a versatildeo do TTEC para

partiacuteculas apenas que eacute o nosso contexto Nessa expressatildeo = 2 eacute a energia cineacutetica da partiacutecula e

eacute o trabalho da forccedila resultante que atua nessa partiacutecula enquanto ela viaja de A ateacute B Nessa viagem uma

das forccedilas eacute o peso do corpo e podemos fatorar a forccedila resultante tornando o peso expliacutecito = +

sendo um siacutembolo que usamos para representar a resultante de todas as outras forccedilas que atuam nesse

corpo diferentes do peso (ou seja normal atrito etc) O trabalho de tambeacutem fatora e fica ( rarr ) = ( rarr ) + ( rarr ) = ℎ minus ℎ + ( rarr ) Substituindo essa expressatildeo no TTEC obtemos uma nova forma para esse teorema minus = ( rarr ) rArr + ( ) minus + ( ) = ( rarr ) Definindo entatildeo a energia mecacircnica = + obtemos o teorema do trabalho-energia minus = ( rarr )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Considere por exemplo uma partiacutecula submetida ao seu proacuteprio peso e a outras forccedilas que natildeo realizam

trabalho (como a forccedila normal em uma partiacutecula que desliza para baixo de um tobogatilde) Para essa partiacutecula a

energia mecacircnica se conserva pois minus = 0 rArr =

Daiacute vem o nome forccedila conservativa Em particular se uma partiacutecula se move sob accedilatildeo somente de forccedilas

conservativas (mas note que poderia haver outras forccedilas desde que elas natildeo realizassem trabalho) entatildeo sua

energia mecacircnica se conserva a energia mecacircnica na partida (A) eacute exatamente igual agrave energia mecacircnica na

chegada (B) Isso eacute verdade para qualquer trajetoacuteria que a partiacutecula percorra entre A e B Encarando os

fatos podemos dizer que eacute uma forma (posicional) de energia porque pode ser convertida em energia

cineacutetica Uma folha de aacutervore que cai ganha energia cineacutetica graccedilas agrave sua energia potencial gravitacional

Energia vem de energia

312 O campo eletrostaacutetico eacute conservativo

Vamos repetir agora todo esse raciociacutenio apenas trocando o peso (e a massa) pela forccedila eleacutetrica (e a

carga eleacutetrica)

Considere agora uma partiacutecula de carga eleacutetrica que viaja em uma regiatildeo do espaccedilo em que existe

um campo eleacutetrico criado por outras cargas eleacutetricas quaisquer estaacuteticas A partiacutecula parte do ponto A e

chega no ponto B Ela faz isso percorrendo uma trajetoacuteria que eacute uma curva orientada no espaccedilo que nasce

em A e morre em B A Figura 2 abaixo ilustra essa ideia que eacute anaacuteloga agrave da Figura 1 trocando o campo

gravitacional pelo campo eleacutetrico que tem direccedilatildeo arbitraacuteria Satildeo mostrados dois caminhos diferentes

conectando A e B as curvas (azul) e prime (roxa)

O trabalho da forccedila eleacutetrica que atua nessa partiacutecula = nesse percurso eacute

( rarr ) = ∙ = ∙

Figura 2 Duas trajetoacuterias possiacuteveis e prime conectando dois pontos A e B no espaccedilo Uma partiacutecula de carga eleacutetrica vai de A ateacute B atraveacutes de (curva azul) sob accedilatildeo de uma forccedila

eleacutetrica = produzida pelo campo eleacutetrico que existe nessa regiatildeo do espaccedilo Outras forccedilas natildeo

satildeo mostradas (peso atrito normal etc)

=

A

B

prime

138

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

sendo vetores deslocamento ( = eacute um comprimento) infinitesimais tangentes agrave trajetoacuteria em

todos os pontos orientados de A para B A pergunta que queremos responder aqui eacute fazendo analogia com a

forccedila peso se existe uma funccedilatildeo (da posiccedilatildeo) tal que

∙ = ( ) minus ( ) Se essa funccedilatildeo existir vai ser chamada de energia potencial eleacutetrica vai poder ser convertida em e

em e vice-versa Sendo uma constante podemos simplificar essa pergunta definindo a funccedilatildeo =

que eacute chamada de potencial eleacutetrico sendo simplesmente a energia potencial eleacutetrica de uma partiacutecula por

unidade de carga Nesses termos a pergunta que queremos responder eacute se existe uma funccedilatildeo (da posiccedilatildeo)

tal que

∙ = ( ) minus ( ) Essa equaccedilatildeo acima define o campo eleacutetrico com sendo um campo de forccedila conservativo pois se

existe essa funccedilatildeo potencial eleacutetrico entatildeo a integral de caminho de entre A e B independe do caminho

que conecta esses dois pontos Essa integral soacute depende do campo eleacutetrico que existe no espaccedilo e de A e de

B Para responder essa pergunta se existe uma funccedilatildeo o potencial eleacutetrico que se relaciona com o campo

eleacutetrico atraveacutes da equaccedilatildeo acima vamos comeccedilar discutindo o caso de apenas uma carga pontual A lei de

Coulomb daacute o campo eleacutetrico da carga pontual ( ) = 4

Vamos mostrar que eacute conservativo ou seja que existe uma funccedilatildeo como definida acima Depois vamos

partir do fato de que todo campo eletrostaacutetico eacute uma superposiccedilatildeo (soma vetorial) de ( = sum ) e que

portanto eacute conservativo ou seja existe uma funccedilatildeo como definida acima (que eacute simplesmente = sum )

Vamos portanto calcular a integral

∙ = 4 ∙

Essa integral pressupotildee um caminho conectando A e B de tal forma que eacute tangente a esse caminho Mas

jaacute sabemos que o produto escalar opera uma projeccedilatildeo de um vetor sobre o outro de onde segue que ∙ = (a componente radial de ) sendo um deslocamento infinitesimal ao longo do raio que nasce

em Portanto

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

∙ = 4 = minus4 1 = 4 1 minus 1

Olhando para a expressatildeo acima vemos logo que existe uma funccedilatildeo (funccedilatildeo do raio) para o campo

= ( ) = 4

de tal forma que

∙ = ( ) minus ( ) Mais precisamente = 4 +

sendo uma constante cujo valor natildeo estaacute determinado pela equaccedilatildeo acima Vemos logo que = ( rarr infin) ou seja eacute o valor da funccedilatildeo a uma distacircncia infinita da carga onde ela natildeo exerce mais influecircncia Essa

simples constataccedilatildeo natildeo define o valor de e por conveniecircncia arbitramos desde jaacute = 0 Sendo o potencial = sua unidade no SI eacute o joulecoulomb que chamamos de volt (siacutembolo V) em homenagem ao

cientista italiano Alessandro Volta eacute uma representaccedilatildeo da influecircncia (eleacutetrica) que a carga exerce no

espaccedilo ao seu redor e a escolha ( rarr infin) = 0 eacute uma escolha natural e razoaacutevel (mesmo que arbitraacuteria)

Como interpretamos a funccedilatildeo ( ) Jaacute sabiacuteamos que na vizinhanccedila de uma carga pontual estaacute

definido um campo de forccedila ( ) o campo eleacutetrico produzido por Agora mostramos que nessa vizinhanccedila

tambeacutem estaacute definido um campo escalar ( ) o potencial eleacutetrico associado a essa carga Sabemos que ( ) natildeo define a forccedila em um ponto do espaccedilo (pontos natildeo sofrem forccedila) ( ) define uma forccedila por

unidade de carga em de tal forma que se uma carga pontual (que vocecirc poderia chamar de carga de

prova mas natildeo eacute necessaacuterio) passar algum dia por esse ponto ela vai sofrer uma forccedila eleacutetrica ( ) =( ) Nesse sentido ( ) eacute uma capacidade que a carga tem de exercer forccedila (atraccedilatildeo ou repulsatildeo)

sobre outras cargas que porventura passem na sua vizinhanccedila Analogamente ( ) natildeo define a energia em

um ponto do espaccedilo (pontos natildeo possuem energia) ( ) define uma energia por unidade de carga em de

tal forma que se uma carga pontual (que vocecirc poderia chamar de carga de prova mas natildeo eacute necessaacuterio)

passar algum dia por esse ponto ela vai possuir a energia potencial eleacutetrica ( ) = ( ) Nesse sentido ( ) eacute uma energia potencial de interaccedilatildeo eleacutetrica por unidade de carga que a carga estabelece no espaccedilo

ao seu redor

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

O mais correto natildeo eacute chamar ( ) = ( ) de energia potencial eleacutetrica da carga mas sim de

energia potencial eleacutetrica do par de cargas e De fato substituindo a expressatildeo de ( ) que obtivemos

anteriormente segue que ( ) = ( ) = 4

Vemos que na expressatildeo de ( ) natildeo haacute nenhuma distinccedilatildeo entre e eacute simplesmente a distacircncia entre

essas cargas pontuais ( ) eacute a energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre as cargas e Mas ocorre que

agraves vezes podemos supor que por exemplo a carga estaacute fixa e que queremos estudar o movimento da carga

sob influecircncia da carga Nesse contexto para simplificar as ideacuteias chamamos ( ) = ( ) de energia

potencial eleacutetrica da carga Mas devemos ter em mente que toda interaccedilatildeo eacute muacutetua e que ( ) eacute sempre a

energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre cargas eleacutetricas nesse caso e Adotamos um procedimento

similar quando muitas vezes chamamos = ℎ de energia potencial gravitacional da partiacutecula de massa

De fato eacute a energia potencial gravitacional do par Terrapartiacutecula pois sem a presenccedila da Terra natildeo

haveria e nem Fazemos isso porque geralmente estamos estudando apenas o movimento da partiacutecula

em um referencial em que a Terra estaacute fixa Devemos ter em mente que trata-se apenas de uma simplificaccedilatildeo

(um atalho) na linguagem

Voltando ao exemplo das duas partiacuteculas considere duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas e fixas no

espaccedilo separadas por uma distacircncia A energia potencial eleacutetrica desse par de cargas eacute

( ) = ( ) = 4

Essa energia tem uma interpretaccedilatildeo simples Considere que inicialmente as partiacuteculas estavam em

repouso separadas por uma distacircncia muito grande ( rarr infin) situaccedilatildeo em que elas nem interagiam entre si

( ( rarr infin) = 0) Agora um agente externo vai pegar essas partiacuteculas e transportaacute-las no espaccedilo

construindo a configuraccedilatildeo estaacutetica em que e estatildeo fixas no espaccedilo separadas por uma distacircncia A

Figura 3 abaixo ilustra essa ideia Qual o trabalho que esse agente externo deve fazer para conseguir esse

feito de construir essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacutetica ( e separadas por uma distacircncia )

infin

Figura 3 um agente externo constroacutei a configuraccedilatildeo de duas cargas e fixas no espaccedilo separadas por uma distacircncia partindo da situaccedilatildeo em que essas cargas natildeo interagiam entre si ( rarr infin)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Seja a forccedila que esse agente externo aplica nas cargas enquanto as desloca no espaccedilo Seja (infin rarr ) o trabalho desse agente externo ou seja dessa forccedila nesse percurso em que as partiacuteculas

satildeo aproximadas O teorema do trabalho energia diz que minus = (infin rarr ) As partiacuteculas estavam em repouso (no infin) e foram fixadas em repouso ou seja = = 0 Segue que

(infin rarr ) = ( ) minus (infin) = ( ) = 4

(note que (infin) = 0) Conclusatildeo ( ) eacute a energia de formaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de duas cargas e fixas no

espaccedilo separadas por uma distacircncia Eacute o que noacutes (agentes externos) gastariacuteamos para construir essa

configuraccedilatildeo estaacutetica de cargas eleacutetricas partindo do espaccedilo vazio

Quanto gastamos para construir um aacutetomo de Hidrogecircnio Trata-se de um proacuteton (de carga eleacutetrica cong 1602 times 10 C) separado de um eleacutetron (de carga eleacutetrica = minus ) pela distacircncia cong 053Å Entatildeo

(infin rarr ) = 4 = minus4 cong minus27 times (1602 times 10 )

Escrevemos esse valor numeacuterico dessa forma porque sendo ele um valor minuacutesculo de energia (em joules)

definimos uma nova unidade de energia o eleacutetron-volt (siacutembolo eV) que eacute mais conveniente para esse

contexto de tal forma que 1 eV cong 1602 times 10 Portanto segue que (infin rarr ) cong minus27 eV (o plural

de eleacutetron-volt eacute eleacutetron-volts) O primeiro fato que notamos eacute que essa energia de formaccedilatildeo eacute negativa Isso

significa que natildeo ldquogastamosrdquo de fato energia para construir um aacutetomo H (partindo de um eleacutetron e um proacuteton

infinitamente afastados) mas sim ldquoganhamosrdquo energia Um gasto negativo eacute um ganho De fato o eleacutetron e o

proacuteton se atraem mutuamente e natildeo precisamos nos esforccedilar para que eles se unam pelo contraacuterio devemos

ir freando essas partiacuteculas enquanto elas transferem energia para noacutes

A natureza eacute o ldquoagente externordquo que fabrica hidrogecircnio a partir de proacutetons e eleacutetrons separados e isso

ocorre espontaneamente com liberaccedilatildeo de energia (foacutetons=luz e energia cineacutetica=calor) Logo apoacutes o Big Bang

(haacute cong 137 bilhotildees de anos) quando o universo jaacute havia esfriado (e expandido) o suficiente eleacutetrons e proacutetons

conseguiram se unir e se manterem estaacuteveis formando grande parte do hidrogecircnio (nome que significa

ldquocriador da aacuteguardquo) que existe na natureza na qual ele eacute o elemento mais abundante Por volta dessa eacutepoca

outros elementos leves tambeacutem se formaram como o heacutelio e o liacutetio Natildeo havia energia suficiente para formar

elementosnuacutecleos mais pesados (aglomerando mais proacutetons que se repelem mutuamente) o que soacute foi

possiacutevel apoacutes o surgimento das estrelas que satildeo basicamente bolas de hidrogecircnio e usinas de produccedilatildeo de

elementos quiacutemicos mais pesados

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Eacute verdade que um aacutetomo de hidrogecircnio natildeo eacute uma estrutura estaacutetica de cargas eleacutetricas pois isso nem

seria estaacutevel (o eleacutetron e o proacuteton natildeo permaneceriam estaacuteticos um ao lado do outro eles se atraem) O

eleacutetron ldquoorbitardquo o nuacutecleo e portanto essa configuraccedilatildeo de cargas possui energia potencial eleacutetrica que

calculamos acima e tambeacutem energia cineacutetica Isso significa que ao ldquofabricarrdquo um aacutetomo H a natureza natildeo

ganha cong 27 eV mas ganha menos porque uma parte da energia que seria liberada fica ldquopresardquo dentro do

aacutetomo na forma de energia cineacutetica do proacuteton e do eleacutetron Levando essa energia cineacutetica em conta o

teorema do trabalho energia fica (infin rarr ) = ( ) + ( ) minus (infin) = ( ) + ( ) Um caacutelculo de ( ) mostra que ( ) cong 136 eV e que portanto (infin rarr ) = ( ) + ( ) cong minus27 + 136 cong 136eV

Podemos conferir esse resultado medindo a energia de ionizaccedilatildeo do hidrogecircnio Ionizar um aacutetomo eacute

arrancar um eleacutetron dele Se ionizamos um aacutetomo H destruiacutemos a configuraccedilatildeo de cargas e voltamos ao

estado inicial em que o eleacutetron e o proacuteton estavam muito separados no espaccedilo Experimentos mostram que a

energia de ionizaccedilatildeo do H eacute cong 136 eV e natildeo cong 27 eV pois a energia cineacutetica interna do aacutetomo jaacute daacute uma

ajuda no processo de ionizaccedilatildeo Ganhamos cong 136 eV quando construiacutemos um aacutetomo de H (infin rarr ) e

devemos gastar cong 136 eV se quisermos destruiacute-lo ( rarr infin) ou seja ionizaacute-lo

Essa interpretaccedilatildeo da energia potencial eleacutetrica como sendo a energia necessaacuteria para a construccedilatildeo

de uma configuraccedilatildeo de cargas estaacuteticas pode ser estendida para distribuiccedilotildees com vaacuterias partiacuteculas

carregadas Imagine um sistema de partiacuteculas de cargas eleacutetricas ( = 12 hellip ) fixas no espaccedilo Seja a

distacircncia entre a partiacutecula e a partiacutecula A energia potencial eleacutetrica armazenada nessa configuraccedilatildeo de

cargas ou seja a energia necessaacuteria para construir essa configuraccedilatildeo estaacutetica de cargas eacute

= 4 = 12 4

Vemos que eacute simplesmente a soma das energias potenciais eleacutetricas de todos os pares ( ) de cargas

eleacutetricas Na uacuteltima expressatildeo para evitar o

termo ( ) que produziria = 0 colocamos

um ne no segundo somatoacuterio O fator 12

desconta a contagem dupla pois o par ( )

aparece duas vezes no somatoacuterio duplo no

termo ( ) e no termo ( ) Considere o

exemplo mostrado na Figura 4 ao lado uma

Figura 4 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

espeacutecie de moleacutecula triangular (estaacutetica) que jaacute consideramos no capiacutetulo 1 Haacute trecircs pares de partiacuteculas (12)

(13) e (23) A energia potencial eleacutetrica dessa configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute a soma das energias

potenciais desses trecircs pares = 14 + + +

Imagine que retiremos dessa moleacutecula a carga removendo-a e afastando-a para o infinito Quanto de

energia devemos gastar (no miacutenimo ou seja com (infin) = 0) para fazer isso Na configuraccedilatildeo final sobraratildeo

apenas e separados por uma distacircncia com energia potencial eleacutetrica final

= 14

Portanto a energia gasta para remover dessa moleacutecula a partiacutecula de carga seria

minus = minus4 + +

A energia potencial eleacutetrica desempenha um papel central nas reaccedilotildees quiacutemicas e formaccedilatildeo dos

compostos quiacutemicos Juntamente com a energia cineacutetica ela compotildee o que chamamos de energia interna de

um sistema de partiacuteculas = + Durante uma reaccedilatildeo quiacutemica o sistema de partiacuteculas formado pelos

reagentes ( ) que participam da reaccedilatildeo se rearranja no espaccedilo modificando e tambeacutem natildeo podemos nos

esquecer Comparando a energia interna dos reagentes com a dos produtos ( ) podemos ter

uma ideia sobre as condiccedilotildees para que essa reaccedilatildeo rarr ocorra ou natildeo

Considere a formaccedilatildeo da moleacutecula ionizada H2+ (caacutetion di-hidrogecircnio a

moleacutecula mais simples) composta de dois proacutetons (separados por uma distacircncia cong 1Å) e um eleacutetron localizado em meacutedia na posiccedilatildeo central entre esses proacutetons

Quanto de energia a natureza ldquogastardquo para construir essa moleacutecula Considere a Figura

ao lado Inicialmente devemos juntar os dois proacutetons ( bolinhas vermelhas) e para

isso gastamos energia pois eles se repelem mutuamente e relutam em se aproximar A energia ldquogastardquo para

colocar os dois proacutetons separados por uma distacircncia eacute

( ) = 14 = 14 gt 0

Agora vamos trazer o eleacutetron de rarr infin ateacute a posiccedilatildeo central = 0 (a

trajetoacuteria do eleacutetron eacute irrelevante pois a forccedila eleacutetrica eacute conservativa) Ao

fazer isso vemos que a energia potencial do conjunto de trecircs cargas vai

diminuindo conforme ilustrado no graacutefico ao lado Essa energia eacute dada por

= minus

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( )( ) = ( ) + ( )( ) = 14 + 2 14 ( 2) + = 4 1 minus 2( 2) +

Vemos no graacutefico de ( )( ) times acima que agrave medida que o eleacutetron vai se posicionando entre os

proacutetons ( rarr 0) a energia potencial eleacutetrica do sistema de trecircs cargas vai reduzindo ateacute que ela atinge um

miacutenimo na posiccedilatildeo central de equiliacutebrio do eleacutetron A energia potencial eleacutetrica final do iacuteon molecular eacute

( )( = 0) = 4 1 minus 4 = minus34

Esse eacute o ldquogastordquo de energia para a construccedilatildeo desse iacuteon Note que ele eacute negativo o que significa que esse iacuteon

pode se formar espontaneamente na natureza liberando energia na forma cineacutetica (calor) A forma mais

comum de formaccedilatildeo do iacuteon H2+ na natureza eacute atraveacutes da simples ionizaccedilatildeo da moleacutecula H2 Note que

moleacuteculas natildeo satildeo objetos estaacuteticos pois o equiliacutebrio estaacutetico da configuraccedilatildeo

de cargas que estamos analisando aqui eacute impossiacutevel Trata-se apenas de um

modelo De fato olhando para a Figura ao lado vemos que o eleacutetron estaacute em

uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio pois a forccedila eleacutetrica resultante nele eacute

= 4 ( 2) + 4 ( 2) (minus ) = 0

mas trata-se de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio instaacutevel pois se o eleacutetron se deslocar um pouco para a direita ou

para a esquerda ele natildeo retorna mais para a posiccedilatildeo central Os proacutetons por outro lado estatildeo sujeitos a uma

forccedila eleacutetrica resultante natildeo-nula (para o proacuteton da direita)

= 4 + 4 ( 2) = minus 34

Concluindo esse modelo estaacutetico de moleacutecula natildeo eacute estaacutevel As partiacuteculas natildeo conseguem permanecer

em equiliacutebrio estaacutetico nessas posiccedilotildees Eacute necessaacuterio que haja um equiliacutebrio dinacircmico em que o eleacutetron vibre

para laacute e para caacute agraves vezes se aproximando e agraves vezes se afastando de cada um dos proacutetons mantendo eles em

suas posiccedilotildees Portanto deve haver tambeacutem aleacutem da energia potencial eleacutetrica energia cineacutetica na moleacutecula

Esse mundo microscoacutepico eacute o domiacutenio da mecacircnica quacircntica em que as partiacuteculas satildeo descritas natildeo por suas

posiccedilotildees mas por suas funccedilotildees de onda A Figura ao lado (Ref Attosecond

photoelectron microscopy of H2+ S X Hu et al Phys Rev A 80 (2009))

mostra a probabilidade (calculada) de se encontrar o eleacutetron em uma dada

posiccedilatildeo na vizinhanccedila dos dois proacutetons na moleacutecula H2+ (vermelho (maior

probabilidade) amarelo verde azul (menor)) Podemos imaginar o eleacutetron

viajando em torno desses proacutetons (em meacutedia ele fica no centro) atraindo

para laacute e para caacute enquanto eles se repelem mutuamente Ao final um

y

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

equiliacutebrio dinacircmico eacute produzido em que uma nuvem eletrocircnica envolve os proacutetons

Concluiacutemos que na formaccedilatildeo do iacuteon H2+ a energia liberada seraacute menor que nossa estimativa anterior

para o modelo estaacutetico ( ( )( = 0)) pois uma parte dessa energia que seria liberada ficaraacute armazenada

na moleacutecula na forma cineacutetica do eleacutetron e dos proacutetons

O nuacutecleo de um aacutetomo eacute um reservatoacuterio de energia potencial eleacutetrica Quanto gastamos para

construir um nuacutecleo de heacutelio Trata-se de dois proacutetons (de carga eleacutetrica ) separados pela distacircncia

minuacutescula cong 10 Å Entatildeo (infin rarr ) = ( ) minus (infin) = 4 cong 14 times 10 times (1602 times 10 )

Em termos da unidade de energia eleacutetron-volt (siacutembolo eV) (infin rarr ) cong 14 times 10 eV Aqui a energia de

formaccedilatildeo eacute positiva ou seja ldquogastamosrdquo de fato energia para construir um nuacutecleo de heacutelio H (partindo de dois

proacutetons infinitamente afastados) Esses proacutetons se repelem mutuamente e precisamos nos esforccedilar para que

eles se unam realizando um trabalho positivo sobre os proacutetons Ao final eles se conectam via forccedila forte (com

a participaccedilatildeo dos necircutrons) e a energia potencial eleacutetrica ( ) = (infin rarr ) fica armazenda na

configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas do nuacutecleo (como ocorre com a energia elaacutestica quando comprimimos uma

mola) O dia em que esse nuacutecleo se desfizer (a mola relaxar) e os proacutetons forem se afastando cada vez mais

rapidamente essa energia potencial eleacutetrica vai ser liberada na forma de energia cineacutetica dos proacutetons Essa eacute a

forma como a energia eacute liberada dos nuacutecleos nos processos de fissatildeo nuclear em que nuacutecleos grandes se

quebram em fragmentos menores que se afastam mutuamente com altas velocidades Note que assim como

os aacutetomos e moleacuteculas o nuacutecleo atocircmico natildeo eacute uma estrutura estaacutetica de proacutetons e necircutrons Aleacutem da energia

potencial eleacutetrica essas partiacuteculas que compotildeem os nuacutecleos possuem tambeacutem energia cineacutetica

Esses exemplos simples evidenciam a grande diferenccedila de escala de energia entre os fenocircmenos

quiacutemicos (ou eletrocircnicos) e os fenocircmenos nucleares Enquanto as reaccedilotildees quiacutemicas envolvem basicamente o

rearranjo espacial de eleacutetrons nos aacutetomosmoleacuteculas e energias da ordem de 1 eV as reaccedilotildees nucleares

envolvem o rearranjo de proacutetons nos nuacutecleos e energias da ordem de 10 eV Essa disparidade nos permite

entender o poder incriacutevel de uma bomba nuclear em que a energia de fissatildeo de nuacutecleos atocircmicos (de uracircnio-

235 por exemplo) eacute liberada (basicamente na forma de energia cineacutetica da explosatildeo) Tipicamente a explosatildeo

de uma bomba nuclear pode liberar cerca de 1 quiloton ldquoqueimandordquo uma massa de aproximadamente 1 kg

Um quiloton eacute a energia liberada na ldquoqueimardquo de 1000 toneladas (10 kg) de dinamite (TNT) Essa queima de

TNT eacute uma reaccedilatildeo quiacutemica Portanto vemos que a reaccedilatildeo nuclear de uma massa 1 kg produz uma energia

equivalente agrave reaccedilatildeo quiacutemica de uma massa de 10 kg Esse fator 10 eacute basicamente o fator que

encontramos anteriormente comparando as energias potenciais eleacutetricas no aacutetomo de hidrogecircnio e no nuacutecleo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

de heacutelio A mesma energia potencial eleacutetrica liberada na explosatildeo de uma bomba nuclear eacute utilizada em uma

usina nuclear para aquecer a aacutegua e mover turbinas e geradores que produzem energia eleacutetrica

32 O potencial eletrostaacutetico V

Daqui para diante vamos assumir o fato de que o campo eleacutetrico criado por uma distribuiccedilatildeo qualquer de

cargas eleacutetricas estaacuteticas (o campo eletrostaacutetico) eacute conservativo e que existe portanto uma funccedilatildeo potencial

eleacutetrico ( ) como definimos anteriormente atraveacutes de uma integral do campo eleacutetrico Isso porque esses

fatos estatildeo provados para a carga eleacutetrica pontual e podem ser estendidos para distribuiccedilotildees de cargas

arbitraacuterias atraveacutes do princiacutepio da superposiccedilatildeo

Para mostrar mais claramente a importacircncia do conceito de potencial eleacutetrico considere o seguinte

problema uma partiacutecula de carga eleacutetrica e massa estaacute na vizinhanccedila de uma distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas fixas no espaccedilo A partiacutecula estava em repouso no ponto A

e eacute repelida pelas outras cargas descrevendo uma trajetoacuteria no

espaccedilo que passa pelo ponto B Qual a velocidade dessa partiacutecula

no instante em que ela passa por B A Figura 5 ao lado ilustra essa

ideia A trajetoacuteria hipoteacuteticaarbitraacuteria da partiacutecula estaacute

representada em verde

Sabemos que a distribuiccedilatildeo de outras cargas eleacutetricas que

vamos abreviar por OC gera no espaccedilo um campo eleacutetrico ( ) e que a forccedila (de repulsatildeo) na partiacutecula de carga quando ela estiver na posiccedilatildeo eacute = ( ) Portanto supondo que podemos conhecer o campo eleacutetrico ( ) com as ferramentas que jaacute temos para o

caacutelculo de campos eleacutetricos (lei de Coulomb princiacutepio da superposiccedilatildeo e lei de Gauss) podemos conhecer essa

forccedila e apelar para a segunda lei de Newton que diz que a velocidade da partiacutecula de carga varia no tempo

de acordo com a equaccedilatildeo diferencial (supondo que natildeo haacute outras forccedilas em ) = ( ) Se pudermos resolver essa equaccedilatildeo com a condiccedilatildeo inicial = 0 podemos obter Natildeo eacute muito difiacutecil de

perceber que essa abordagem pode ser bem trabalhosa pois requer o caacutelculo do campo vetorial ( ) no

espaccedilo e a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial vetorial acima Aqui entra o teorema do trabalho-energia e o

conceito de potencial eleacutetrico Estamos vendo que associado ao campo eleacutetrico ( ) existe a funccedilatildeo

potencial eleacutetrico ( ) A ideia eacute que a distribuiccedilatildeo de outras cargas eleacutetricas (OC) gera no espaccedilo um campo

escalar ( ) que define a energia potencial eleacutetrica de uma partiacutecula qualquer de carga eleacutetrica quando

ela estiver na posiccedilatildeo = ( ) (apenas para lembrar vamos chamar essa energia de ldquoenergia

A

B

outras cargas

Figura 5 uma partiacutecula de carga eleacutetrica eacute repelida por outras cargas eleacutetricas

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potencial da partiacutecula de carga rdquo porque estamos interessados apenas no movimento dessa partiacutecula

estando as outras cargas fixas no espaccedilo eacute de fato uma energia de interaccedilatildeo eleacutetrica OC ) Portanto

supondo que podemos conhecer essa funccedilatildeo escalar ( ) associada agraves outras cargas o teorema do trabalho

energia fornece a seguinte equaccedilatildeo algeacutebrica (supondo que natildeo haacute outras forccedilas em )

( ) = ( ) rArr 12 + ( ) = 0 + ( ) rArr 12 = ( ) minus ( )

Vemos que a velocidade (em moacutedulo) estaacute determinada pela simples diferenccedila de potencial (DDP) entre os

pontos A e B diferenccedila de potencial produzida no espaccedilo pela presenccedila das outras cargas eleacutetricas que

repelem Com esse exemplo tentamos deixar claro que a abordagem desse problema atraveacutes do conceito de

potencial eleacutetrico eacute muito mais simples basicamente porque eacute uma funccedilatildeo escalar enquanto que eacute uma

funccedilatildeo vetorial e tambeacutem porque a segunda lei de Newton produz nesses casos equaccedilotildees diferenciais

vetoriais enquanto que o teorema do trabalho-energia produz equaccedilotildees escalares algeacutebricas

A questatildeo que fica eacute como obter o potencial eleacutetrico ( ) de uma dada distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas Jaacute temos a resposta para essa pergunta no caso em que essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute

apenas uma carga pontual ( ) = ( ) = 4

Note que esse potencial eacute esfericamente simeacutetrico ( ) = ( ) Portanto voltando ao problema proposto

considere uma partiacutecula de carga eleacutetrica e massa que estaacute na vizinhanccedila de uma outra carga eleacutetrica

pontual fixa no espaccedilo A partiacutecula de carga estava em repouso no ponto A e eacute repelida pela outra carga

( gt 0) descrevendo uma trajetoacuteria no espaccedilo que passa pelo ponto B Qual a velocidade dessa partiacutecula de

carga no instante em que ela passa por B Jaacute vimos que a resposta eacute de acordo com o teorema do trabalho-

energia cineacutetica (note que Δ = Δ )

Δ + Δ = 0 rArr 12 minus 0 = ( ) minus ( ) = 4 minus 4 = 4 1 minus 1

Note que sendo a partiacutecula repelida ( gt 0) segue que necessariamente vale gt Por exemplo se dois

proacutetons (de carga ) se repelem a partir de uma distacircncia inicial um deles estando fixo o proacuteton livre

chega a uma distacircncia do proacuteton fixo com velocidade ( ) dada por ( eacute a massa do proacuteton) 12 [ ( )] minus 0 = 4 1 minus 1

Vemos que agrave medida que o proacuteton livre se afasta ( rarr infin) a energia potencial eleacutetrica vai sendo convertida

em energia cineacutetica ateacute que para um afastamento infinito a velocidade do proacuteton livre seraacute

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

12 [ (infin)] = 4 = ( = ) O graacutefico ao lado mostra as curvas de ( ) (curva vermelha) que eacute dada

por ( ) = 4

e de ( ) (curva verde) que eacute dada por ( ) = 4 1 minus 1

em funccedilatildeo da distacircncia A energia potencial eleacutetrica estaacute sendo convertida em energia cineacutetica Trata-se de

uma situaccedilatildeo anaacuteloga agrave de um corpo que cai e converte sua energia potencial gravitacional ( ) em energia

cineacutetica ( )

A questatildeo agora eacute como resolver esse mesmo problema se as outras cargas forem mais complicadas

como um dipolo eleacutetrico ou um disco eletrizado Precisamos saber calcular o potencial eleacutetrico ( ) que esses

objetos produzem no espaccedilo Haacute duas maneiras de se obter o potencial eleacutetrico para uma distribuiccedilatildeo

qualquer de cargas eleacutetricas estaacuteticas Uma parte do princiacutepio da superposiccedilatildeo e a outra parte do (nem

sempre factiacutevel) conhecimento do campo eleacutetrico que essa distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo

321 Caacutelculo do potencial eletrostaacutetico via campo eleacutetrico

Vamos considerar uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas estaacuteticas no espaccedilo cujo campo eleacutetrico eacute

conhecido Segue que podemos calcular a diferenccedila de potencial entre quaisquer dois pontos no espaccedilo

atraveacutes da relaccedilatildeo

( ) minus ( ) = ∙

que eacute a proacutepria definiccedilatildeo primitiva do potencial eleacutetrico Vale lembrar que a integral acima pode ser

realizada em qualquer caminho que nasce em A e morre em B Note entatildeo que as coisas podem ser mais

simples Para calcular ( ) minus ( ) para dois pontos A e B particulares natildeo precisamos conhecer o campo

eleacutetrico em todo o espaccedilo basta que conheccedilamos esse campo em um (e apenas um) caminho qualquer que

conecta A e B

Consideremos um exemplo que jaacute discutimos anteriormente Um aro circular fino de raio e

densidade de carga eleacutetrica uniforme ao longo de todo o seu comprimento No capiacutetulo 1 calculamos o

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

campo eleacutetrico produzido por esse aro mas natildeo o campo eleacutetrico ( ) em um ponto qualquer do espaccedilo

Calculamos o campo eleacutetrico apenas sobre o eixo de simetria do aro (eixo z) Obtivemos o resultado

( ) = 2 ( + ) sendo = 0 a posiccedilatildeo do centro do aro

Considere agora o seguinte problema calcule a diferenccedila de potencial ( ) minus ( ) para dois pontos

A e B sobre o eixo do aro ambos no lado com gt 0 conforme a Figura ao lado

Basta que escolhamos um caminho que conecta A e B e sobre o qual

conheccedilamos (em todos os seus pontos) o campo eleacutetrico que o aro produz no

espaccedilo A Figura 6 sugere dois caminhos O caminho em verde vai pelo espaccedilo

por fora do eixo O caminho em vermelho estaacute restrito ao eixo ele percorre o

eixo de A ateacute B Podemos usar qualquer caminho para o caacutelculo de ( ) minus ( ) pois o campo eleacutetrico eacute conservativo Mas tendo em vista que soacute

conhecemos o campo eleacutetrico do aro sobre o eixo z soacute nos resta a opccedilatildeo de

usar o caminho em vermelho Para usar o caminho em verde teriacuteamos que ter

conhecimento sobre a funccedilatildeo ( ) no espaccedilo e natildeo apenas sobre o campo ( ) restrito aos pontos sobre o

eixo Concluindo no caminho vermelho fica claro que = e que portanto

( ) minus ( ) = ∙ = 2 ( + ) ∙ = 2 ( + )

Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) obtemos

( ) minus ( ) = 2 1+ minus 1+

sendo e as distacircncias de A e B ateacute a origem Note que se gt 0 e lt (como na Figura 6) segue que ( ) gt ( ) ou seja o potencial eleacutetrico produzido pelo aro decai agrave medida que nos afastamos dele Essa eacute

uma propriedade baacutesica do potencial eleacutetrico (e que vale a pena ser memorizada) ele decai quando

caminhamos no mesmo sentido do campo eleacutetrico no espaccedilo (se gt 0 o campo eleacutetrico do aro aponta de A

para B) Note que a expressatildeo de ( ) que utilizamos vale sobre todo o eixo z ou seja para gt 0 e le 0

Portanto isso tambeacutem eacute verdadeiro para a expressatildeo da diferenccedila de potencial que obtivemos A e B satildeo dois

pontos quaisquer sobre o eixo z Por exemplo se na Figura 6 o ponto A estiver agrave esquerda do centro do aro e o

ponto B agrave direita ambos a uma mesma distacircncia do centro do aro entatildeo = minus e vemos acima que ( ) = ( ) (uma simetria de ) O potencial eacute o mesmo em dois pontos opostos equumlidistantes do aro

Figura 6 um aro fino eletrizado com densidade de carga uniforme

zA B

150

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Muitas vezes nos referimos ao potencial eleacutetrico ( ) em um ponto do espaccedilo mas podemos ver

que a definiccedilatildeo acima para o potencial define a diferenccedila ( ) minus ( ) mas natildeo define nem ( ) e nem ( ) Por exemplo suponha que determinemos que ( ) minus ( ) = 100 volts quanto vale ( ) Natildeo

podemos saber esse valor natildeo estaacute determinado pelo formalismo do potencial eleacutetrico Tanto faz sentido

dizermos que ( ) = 900 volts e ( ) = 800 volts quanto ( ) = minus103 volts e ( ) = minus203 volts Soacute

sabemos que o potencial em A eacute 100 volts acima do potencial em B Isso eacute suficiente para abordarmos

problemas atraveacutes do teorema do trabalho-energia pois este soacute envolve variaccedilotildees de energia e portanto

variaccedilotildees de potencial eleacutetrico Mas enfim apenas por conveniecircncia podemos ldquocalibrarrdquo o formalismo

fixando uma referecircncia de potencial no espaccedilo onde = 0 digamos e nos referirmos entatildeo ao potencial

eleacutetrico ( ) em um ponto qualquer Se vocecirc se recordar fizemos isso quando dissemos que o potencial

eleacutetrico na vizinhanccedila de uma carga pontual eacute ( ) = 4

e natildeo ( ) = 4 +

Para simplificar nossa expressatildeo de ( ) fixamos = 0 ou seja fixamos (infin) = = 0

No exemplo do aro se fixarmos B como sendo a referecircncia de potencial e arbitrarmos ( ) = 0

segue que automaticamente ( ) = 100 volts porque sabemos que ( ) minus ( ) = 100 volts Ao fixar uma

referecircncia de potencial eleacutetrico fixamos automaticamente o valor do potencial eleacutetrico em todos os pontos do

espaccedilo Natildeo haacute muita novidade nisso pois essa mesma ideia vale para o conceito simples de altura Qual a

altura ℎ de um determinado ponto do espaccedilo Natildeo haacute resposta para essa pergunta pois altura eacute um conceito

relativo Devemos escolher uma referecircncia de altura um piso onde normalmente fixamos o valor ℎ = 0 A

partir daiacute as alturas de todos os pontos do espaccedilo ficam bem definidas A mesma ideia vale para o potencial

eleacutetrico Podemos escolher uma posiccedilatildeo de referecircncia e fixar o potencial eleacutetrico nessa posiccedilatildeo como

sendo zero ( ( ) = 0) e com isso fixar o valor do potencial em todos os pontos do espaccedilo Uma escolha

comum eacute rarr infin que foi o que fizemos para o potencial de uma uacutenica carga eleacutetrica pontual Mas outras

escolhas podem ser mais convenientes Em circuitos eleacutetricos por exemplo eacute comum se fixar a referecircncia =0 no poacutelo negativo da bateria ou da fonte de alimentaccedilatildeo ou mesmo no terminal ldquoterrardquo do circuito O

potencial eleacutetrico assim como o campo eleacutetrico expressa uma influecircncia que uma distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas exerce no espaccedilo ao seu redor Assim sendo a escolha ( rarr infin) = 0 pressupotildee que essa

influecircncia desaparece rapidamente no infinito o que eacute sempre verdade para distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas

de tamanho finito (limitadas no espaccedilo) Esse eacute sempre o caso para corpos eletrizados realistas Haacute

basicamente dois casos em que essa escolha de referecircncia natildeo funciona o plano infinito e o cilindro infinito

151

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

com densidades de carga uniformes Esses objetos de tamanho infinito (modelos artificiais para corpos muito

grandes) exercem influecircncia marcante mesmo a uma distacircncia infinita deles o que faz com que a escolha ( rarr infin) = 0 se torne absurda e natildeo factiacutevel Sendo a escolha de arbitraacuteria esse fato natildeo tem

nenhuma consequecircncia relevante para esses casos Mas enfim fica aqui o registro de que a escolha ( rarr infin) = 0 eacute conveniente mas nem sempre eacute possiacutevel Voltaremos a discutir esse detalhe mais

adiante

Para o aro eletrizado poderiacuteamos escolher o centro do aro ( = 0) como referecircncia e fixar ( = 0) =0 Tomando entatildeo o ponto A no centro do aro e fazendo ( ) = (0) = 0 na expressatildeo da diferenccedila de

potencial obtemos a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) dada por (o ponto B eacute um ponto de coordenada z

qualquer ou seja faremos = ) (0) minus ( ) = 2 1radic + 0 minus 1+ rArr ( ) = 2 1radic + minus 1

A funccedilatildeo ( ) daacute o valor do potencial eleacutetrico em qualquer ponto sobre o eixo z do aro Por exemplo

( = 0) = 2 1radic + 0 minus 1 = 0 ( rarr infin) = 2 1radic +infin minus 1 = minus2

O primeiro resultado eacute apenas uma verificaccedilatildeo de nossa referecircncia pois noacutes forccedilamos ( = 0) = 0

O segundo resultado mostra que para gt 0 o potencial deve decair quando nos afastamos do aro (ele

sempre decai quando caminhamos no sentido de ) e portanto se ele eacute nulo em = 0 ele tem que se tornar

negativo no infinito (para lt 0 o campo eleacutetrico inverte de sentido e o potencial diminui quando nos

aproximamos do aro pois ele era positivo no infinito e eacute nulo no centro do aro)

Outra pessoa poderia achar mais conveniente escolher um ponto no infinito ( rarr infin) como referecircncia

e fixar (infin) = 0 Tomando entatildeo o ponto A no infinito e fazendo ( ) = (infin) = 0 na expressatildeo da

diferenccedila de potencial obtemos a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) dada por (o ponto B eacute um ponto de

coordenada z qualquer ou seja faremos = ) (infin) minus ( ) = 2 1radic + infin minus 1+ rArr ( ) = 2 radic +

A funccedilatildeo ( ) daacute o valor do potencial eleacutetrico em qualquer ponto sobre o eixo z do aro Por exemplo

( = 0) = 2 ( rarr infin) = 2 1radic +infin = 0

Agora o segundo resultado eacute apenas uma verificaccedilatildeo de nossa referecircncia pois noacutes forccedilamos a validade de ( rarr infin) = 0 O primeiro resultado mostra que para gt 0 o potencial deve decair quando nos afastamos

do aro (ele sempre decai quando caminhamos no sentido de ) e portanto se ele eacute nulo no infinito ele tem

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

que se tornar positivo no centro do aro (para lt 0 o campo eleacutetrico inverte de sentido e o potencial diminui

quando nos aproximamos do aro ele se torna negativo)

Os graacuteficos na Figura 7 abaixo mostram as duas funccedilotildees ( ) (para o caso gt 0) que obtivemos com

essas escolhas diferentes de referecircncia para o piso = 0 A curva verde eacute o caso ( rarr infin) = 0 em que

vemos que o potencial tem um pico positivo no centro do aro e vai decaindo a zero suavemente A curva

vermelha eacute o caso ( = 0) = 0 em que vemos que o potencial tem um pico no centro do aro e vai decaindo

suavemente para um valor assintoacutetico negativo no infinito As duas curvas apresentam o mesmo

comportamento

Olhando para essas duas curvas fica claro que elas estatildeo apenas deslocadas ao longo do eixo vertical e

que portanto as diferenccedilas de potencial natildeo satildeo afetadas por esses deslocamentos Qualquer escolha de

referecircncia eacute vaacutelida Mas utilizando um criteacuterio de simplicidade vemos que a escolha ( rarr infin) = 0 eacute mais

interessante pois leva a uma funccedilatildeo ( ) um pouco mais simples e compacta Ficaremos com essa escolha

ou seja podemos afirmar que o potencial ao longo do eixo z de um aro eletrizado eacute

( ) = 2 radic +

Note que essa funccedilatildeo soacute eacute vaacutelida para pontos sobre o eixo z do aro Sobre os outros pontos no espaccedilo fora

desse eixo natildeo temos ideia do valor do potencial Essa expressatildeo vale para ge 0 e lt 0 Note a simetria (minus ) = ( ) Vamos considerar agora o exemplo de uma casca

esfeacuterica de raio eletrizada com uma densidade de carga

eleacutetrica uniforme A Figura 8 ao lado mostra essa casca

(em azul) e dois pontos A e B para os quais queremos

calcular ( ) minus ( ) O ponto A estaacute dentro da casca

( lt ) e o ponto B estaacute fora ( gt ) Da definiccedilatildeo

Figura 7 potencial eleacutetrico ao longo do eixo z de um aro eletrizado tomando duas referecircncias diferentes ( rarr infin) = 0 (curva verde) e ( = 0) = 0 (curva vermelha)

A

B Figura 8 Dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma casca esfeacuterica eletrizada (note natildeo eacute um ciacuterculo eacute uma esfera)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) minus ( ) = ∙

De acordo com o teorema das cascas o campo eleacutetrico que essa casca esfeacuterica eletrizada produz no espaccedilo eacute

( ) = 0 se lt ( ) = 4 se gt

sendo = 4 a carga eleacutetrica total acumulada na casca esfeacuterica Portanto devemos levar em conta que

no caminho que conecta A e B qualquer que seja ele o campo eleacutetrico muda ao longo desse caminho

conforme estamos caminhando dentro ou fora da casca esfeacuterica Como de praxe qualquer caminho de A ateacute B

pode ser utilizado nesse caacutelculo mas sempre haacute um caminho mais apropriado

Aqui antes de prosseguirmos podemos introduzir a ideia de ldquosuperfiacutecie equipotencialrdquo Uma

superfiacutecie equipotencial eacute aquela na qual o potencial eleacutetrico assume um valor constante Dessa forma se e

satildeo dois pontos quaisquer que pertencem a uma superfiacutecie equipotencial entatildeo ( ) = ( ) Como

sabemos quais satildeo as superfiacutecies equipotenciais para uma distribuiccedilatildeo de cargas particular Em princiacutepio

devemos olhar a funccedilatildeo potencial eleacutetrico ( ) analisar sua dependecircncia das coordenadas espaciais e

descobrir a partir daiacute em quais superfiacutecies no espaccedilo vale a equaccedilatildeo ( ) =constante Mas as superfiacutecies

equipotenciais possuem uma propriedade simples que nos permite muitas vezes descobrir quem elas satildeo

antes mesmo de conhecermos a funccedilatildeo ( ) A propriedade marcante de uma superfiacutecie equipotencial eacute o

campo eleacutetrico eacute ortogonal a todos os pontos de uma superfiacutecie equipotencial e analogamente uma

superfiacutecie equipotencial eacute ortogonal ao campo eleacutetrico em todos os seus pontos Haacute vaacuterias maneiras de

demonstrar isso Aqui vamos partir da ideia simples de que para A e B quaisquer vale

( ) minus ( ) = ∙

Portanto para dois pontos A e B separados por uma distacircncia infinitesimal vale = minus ∙ pois

= + minus ( ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙

(a integral dentro de um intervalo infinitesimal eacute igual ao proacuteprio integrando) A diferenccedila infinitesimal de

potencial eleacutetrico ( ) entre dois pontos quaisquer do espaccedilo separados por um deslocamento infinitesimal

eacute dada pelo produto escalar minus ∙ Conclusatildeo i) para quaisquer dois pontos de uma superfiacutecie

equipotencial vale = 0 e portanto ∙ = 0 de onde concluiacutemos que estando na superfiacutecie (pois A e

B tambeacutem estatildeo) segue que estaacute ortogonal a essa superfiacutecie (porque o produto escalar entre vetores

ortogonais entre si eacute nulo) ii) se haacute uma superfiacutecie que eacute ortogonal a em todos os seus pontos entatildeo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

∙ = 0 para quaisquer dois pontos proacuteximos nessa superfiacutecie separados por de onde concluiacutemos que = 0 para esses dois pontos e que portanto ( ) =constante nessa superfiacutecie

Voltamos agora ao problema da casca esfeacuterica Vemos que o campo eleacutetrico na regiatildeo exterior da

casca eacute radial e que portanto eacute ortogonal

agraves superfiacutecies esfeacutericas concecircntricas agrave casca

Segue que essas superfiacutecies esfeacutericas de

raio qualquer gt satildeo superfiacutecies

equipotenciais Isso vale tambeacutem para a

proacutepria superfiacutecie da casca esfeacuterica

eletrizada ou seja = Na Figura 9 ao

lado mostramos (em vermelho) uma

superfiacutecie equipotencial que conteacutem o ponto B ou seja todos os pontos dessa superfiacutecie esfeacuterica possuem o

mesmo potencial eleacutetrico ( ) inclusive o ponto C mostrado que se conecta com A atraveacutes de um caminho

estritamente radial (em verde) Nossa ideia aqui eacute entatildeo calcular ( ) minus ( ) sabendo que ( ) = ( ) O ponto X faz parte do caminho radial AC e estaacute exatamente sobre a casca eletrizada ( = )

marcando a posiccedilatildeo em que o campo eleacutetrico muda de comportamento

Conclusatildeo desmembrando o caminho AC em AX + XC obtemos

( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ + ∙

Substituindo as funccedilotildees em cada regiatildeo e considerando que em um caminho radial vale = obtemos

( ) minus ( ) = 0 ∙ + 4 ∙ = 4 1

Concluindo (usando = e = ) ( ) minus ( ) = 4 minus 1 = 4 1 minus 1

Vemos que se = vale ( ) = ( ) qualquer que seja o ponto A dentro da casca eletrizada De fato em

toda essa regiatildeo interior vale ( ) = 0 e portanto todo o volume dentro da casca esfeacuterica eacute equipotencial e

possui o mesmo potencial da superfiacutecie = O valor desse potencial natildeo estaacute definido agrave priori pois

conforme jaacute discutimos somente diferenccedilas de potencial eleacutetrico satildeo definidas por esse formalismo Para

definir ldquoo potencialrdquo em cada ponto devemos fixar uma referecircncia onde = 0 Se tomarmos um ponto B no

infinito vemos que

Figura 9 Dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma casca esfeacuterica eletrizada Uma superfiacutecie equipotencial (em vermelho) de raio

onde vale ( ) = ( ) C eacute um ponto dessa superfiacutecie (note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas)

( ) = ( )

A

B

C

X

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) minus (infin) = 4 1 minus 1infin = 4 rArr ( ) = (infin) + 4 Essa equaccedilatildeo mostra que se fixarmos um valor para (infin) automaticamente fixamos um valor para o

potencial em qualquer ponto (A) no interior da casca eletrizada Se arbitrarmos (infin) = 0 segue que valor do

potencial eleacutetrico nessa regiatildeo interior da casca fica dado por

( le ) = 4 Na regiatildeo exterior agrave casca ( gt ) obtemos (fixamos o ponto B em um raio qualquer = gt )

( ) = ( ) = ( ) minus 4 1 minus 1 rArr ( ) = 4 minus 4 1 minus 1 rArr ( gt ) = 4 que eacute o potencial de uma carga pontual localizada na origem (teorema das cascas)

Os graacuteficos ao lado ilustram os comportamentos do moacutedulo do campo

eleacutetrico e do potencial eleacutetrico em funccedilatildeo do raio supondo gt 0 Vemos

que o campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo na casca eletrizada ( = ) um artifiacutecio

do modelo de distribuiccedilatildeo de carga bidimensional mas o potencial eleacutetrico eacute

contiacutenuo No interior da casca o campo eleacutetrico eacute nulo e o potencial eacute

constante No exterior da casca tudo se daacute como se houvesse uma carga

pontual no centro da casca o campo eleacutetrico decai com 1 e o potencial

eleacutetrico decai com 1 (teorema das cascas)

Suponha um gerador de Van de Graaff que vai acumulando

progressivamente cargas eleacutetricas em uma casca esfeacuterica metaacutelica de raio = 10 cm Sabemos que a quebra de rigidez dieleacutetrica do ar ocorre quando a magnitude do campo eleacutetrico

na vizinhanccedila dessa esfera atinge o valor =30 kVcm (isso significa que se houver uma diferenccedila de

potencial de 30000 volts entre dois pontos separados pela distacircncia de 1 cm no ar vai haver conduccedilatildeo de

cargas eleacutetricas entre esses dois pontos atraveacutes do ar) Qual o potencial e a carga eleacutetrica maacuteximos que

podem ser atingidos nesse gerador As cargas eleacutetricas vatildeo sendo depositadas nessa casca metaacutelica e se

concentrando em uma densidade de cargas superficial uniforme Enquanto isso o campo eleacutetrico nas

proximidades da casca vai crescendo pois ele eacute dado por = No instante em que = o

ar proacuteximo agrave casca deixa de ser isolante e passa a conduzir cargas eleacutetricas para o proacuteprio ar circundante e

centelhas passam a saltar da casca para o ar circundante A carga eleacutetrica acumulada na casca metaacutelica para de

crescer Nesse instante vale = Portanto a carga eleacutetrica maacutexima acumulada na casca eacute = 4 ou seja = 4 e o potencial maacuteximo na casca esfeacuterica metaacutelica eacute (com (infin) = 0)

( )

( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

= 4 = 4 4 =

Com os valores numeacutericos obtemos cong 33 times 10 C e cong 300 kV Natildeo se deve brincar com um

gerador de Van de Graaff

Antes de continuar vamos dar uma olhada nas superfiacutecies equipotenciais de algumas distribuiccedilotildees de

cargas simples

A Figura ao lado mostra um dipolo eleacutetrico (Figura retirada

do livro claacutessico Static and Dynamic Electricity W R Smythe) as

linhas de forccedila de (linhas cheias) e as linhas equipotenciais (linhas

tracejadas) que satildeo cortes no plano do dipolo das superfiacutecies

equipotenciais (essas superfiacutecies podem ser ldquovisualizadasrdquo girando

a Figura em torno do eixo horizontal) Note que as linhas cheias e

as linhas tracejadas se interceptam ortogonalmente pois as

superfiacutecies equipotenciais satildeo ortogonais a em todos os seus

pontos A linha reta central tracejada eacute a interseccedilatildeo do plano = 0

com o plano do dipolo Como esse plano se estende ateacute o infin entatildeo

o potencial nele eacute o mesmo potencial no infin que eacute (infin) = 0 Se o

poacutelo + estaacute agrave direita na Figura entatildeo nesse lado vale gt 0 e no lado esquerdo vale lt 0 O plano = 0

separa essas duas regiotildees A Figura ao lado

(httpswwwwolframcommathematica) representa essas superfiacutecies em

3D Plano = 0 em verde e superfiacutecies gt 0 em azul Um iacuteon viajando na

vizinhanccedila desse dipolo vai atravessando essas superfiacutecies modificando sua

energia cineacutetica

A Figura ao lado mostra um esboccedilo que fizemos para o caso de uma

haste fina de tamanho L com densidade de carga

uniforme gt 0 As linhas de forccedila de satildeo as linhas

orientadas e as linhas azul verde e vermelha satildeo

cortes no plano da haste de trecircs superfiacutecies

equipotenciais (essas superfiacutecies que satildeo elipsoacuteides

podem ser ldquovisualizadasrdquo girando a Figura em torno

do eixo horizontal) Note que as linhas de forccedila e as

linhas equipotenciais se interceptam (ou pelo menos

157

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

deveriam se interceptar mas esse eacute apenas um esboccedilo ldquona matildeordquo) ortogonalmente pois as superfiacutecies

equipotenciais satildeo ortogonais a em todos os seus pontos

A Figura ao lado tenta passar a ideia de uma dessas superfiacutecies

equipotenciais no espaccedilo 3D A haste eletrizada estaacute sobre o eixo

maior do elipsoacuteide em uma posiccedilatildeo central os focos do elipsoacuteide

estatildeo nas extremidades da haste Em todos os pontos desse elipsoacuteide

vale ( ) =constante

No capiacutetulo 2 tivemos oportunidade de discutir as propriedades gerais de condutores em equiliacutebrio

eletrostaacutetico Laacute mencionamos que algumas dessas propriedades podem ser demonstradas facilmente usando

o conceito de potencial eleacutetrico Portanto vamos voltar a discuti-las aqui

Apenas para lembrar os materiais condutores (perfeitos) possuem um manancial ilimitado de

portadores de carga em seu interior que se movimentam e assumem posiccedilotildees de equiliacutebrio (nas superfiacutecies)

ao sabor das influecircncias de outras cargas eleacutetricas colocadas na vizinhanccedila do condutor (tanto fora quanto

dentro de uma cavidade)

Concluiacutemos daiacute que no equiliacutebrio eletrostaacutetico de um condutor deve valer a condiccedilatildeo ( ) = 0 em

todo o seu interior (senatildeo natildeo seria eletrostaacutetica) Portanto com base no que vimos aqui concluiacutemos que o

volume de um condutor e toda a sua superfiacutecie exterior e interior (se houver uma cavidade) possuem o

mesmo potencial eleacutetrico ou seja constituem uma regiatildeo equipotencial Em particular as superfiacutecies do

condutor (exterior e interior no caso de haver uma cavidade) satildeo superfiacutecies equipotenciais

Tentamos argumentar no capiacutetulo 2 que o campo eleacutetrico exterior ao condutor tatildeo proacuteximo de sua

superfiacutecie quanto queiramos (superfiacutecies exterior e interior no caso de haver uma cavidade) eacute ortogonal a

essa superfiacutecie Vemos agora que essa eacute uma propriedade geral das superfiacutecies equipotenciais

Podemos entender tambeacutem porque natildeo pode haver campo eleacutetrico dentro de

uma cavidade vazia (sem cargas eleacutetricas) em um condutor Estando a cavidade vazia as

linhas de forccedila de um hipoteacutetico que houvesse dentro dessa cavidade deveriam nascer

e morrer na superfiacutecie da cavidade (elas natildeo podem nascer ou morrer no nada dentro da

cavidade) Portanto tomando uma linha de forccedila desse campo que conecta dois

pontos A e B na superfiacutecie da cavidade e utilizando essa linha de forccedila como caminho de

integraccedilatildeo obtemos (ver Figura ao lado)

( ) minus ( ) = ∙

A

B

+

-

+++++++++++++

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Essa linha de forccedila (hipoteacutetica) possui somente uma orientaccedilatildeo (digamos de A para B) assim como

(ver a Figura acima) Segue que o sinal de ∙ estaacute fixo em todo o percurso AB Portanto segue que ( ) ne ( ) o que eacute um absurdo pois sabemos que a superfiacutecie da cavidade eacute equipotencial Conclusatildeo natildeo

pode haver nenhum campo dentro da cavidade vazia

Mostramos tambeacutem que a carga eleacutetrica total na superfiacutecie da cavidade eacute nula caso contraacuterio a lei de

Gauss natildeo valeria Mas especulamos que poderia haver uma densidade de carga nessa superfiacutecie que fosse

positiva em uma regiatildeo e negativa em outra de tal forma que = 0 O mesmo raciociacutenio acima mostra

que essa ideia eacute absurda pois se houvesse essas cargas positivas e negativas na superfiacutecie da cavidade ( ne 0)

haveria campo eleacutetrico dentro da cavidade vazia (dado por proacuteximo agrave superfiacutecie dentro da cavidade) e jaacute

sabemos que natildeo haacute esse campo

Esses dois uacuteltimos argumentos acima natildeo se aplicam a cavidades com cargas eleacutetricas dentro delas

pois nesse caso as linhas de forccedila do campo eleacutetrico dentro da cavidade podem (e vatildeo fazer isso)

nascermorrer na superfiacutecie da cavidade e morrernascer nas cargas dentro da cavidade Nenhuma linha de

forccedila vai nascer e morrer na superfiacutecie da cavidade A Figura ao lado ilustra o caso de um dipolo colocado

dentro de uma cavidade no interior de um condutor O dipolo induz na superfiacutecie da cavidade uma densidade

de carga que eacute positiva em uma regiatildeo e negativa em outra de tal forma que = 0 As linhas de forccedila de conectam os poacutelos do dipolo agraves cargas na superfiacutecie

da cavidade Haacute cargas eleacutetricas na superfiacutecie da cavidade e haacute campo eleacutetrico no

interior da cavidade Nada disso contradiz o fato de que a superfiacutecie da cavidade eacute

equipotencial (como tem que ser no equiliacutebrio eletrostaacutetico) Note que as linhas de forccedila

de se aproximam da superfiacutecie da cavidade ortogonalmente

No capiacutetulo 1 discutimos tambeacutem a troca de cargas eleacutetricas entre dois condutores que se tocam e

comentamos que o condutor maior fica com uma fraccedilatildeo maior das cargas Aqui podemos tornar essa ideia

mais quantitativa Imagine uma esfera metaacutelica de raio que possui inicialmente um excesso de carga

eleacutetrica Uma segunda esfera metaacutelica de raio e eletricamente neutra eacute colocada em contato eleacutetrico

com a primeira esfera Sabemos que cargas eleacutetricas vatildeo fluir da esfera 1 para a esfera 2 (pois elas formam um

condutor soacute) e um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico vai se estabelecer Como seraacute a divisatildeo da carga entre as

duas esferas Ao se tocarem as duas esferas se tornam um condutor apenas e portanto uma equipotencial

apenas No equiliacutebrio eletrostaacutetico vai valer a igualdade entre os potenciais eleacutetricos nas superfiacutecies das duas

esferas (e nos volumes tambeacutem) Desprezando a influecircncia de uma esfera sobre a outra (eletrizaccedilatildeo por

induccedilatildeo) supondo que elas satildeo mantidas a uma distacircncia razoaacutevel uma da outra podemos utilizar a expressatildeo

para o potencial em uma esfera isolada e afirmar que no equiliacutebrio (com as esferas conectadas) vale

+

- +

+ +

- - -

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

= rArr4 = 4 rArr = valendo ainda + = Concluindo a carga eacute partilhada entre as duas esferas de acordo com

= 1 + = 1 +

Se as esferas forem iguais ( = ) entatildeo a carga seraacute partilhada frac12 a frac12 = = 2 Caso contraacuterio a

esfera maior vai ficar com mais carga eleacutetrica Se vocecirc considerar que a esfera 2 eacute o planeta Terra entatildeo = cong 6400000 m e em geral cong 0 o que torna faacutecil entender por que um aterramento escoa

todos os acuacutemulos de cargas eleacutetricas para a Terra = (1 + 0) = e = (1 +infin) = 0

Como uacuteltimo exemplo de caacutelculo de diferenccedila de

potencial eleacutetrico via campo eleacutetrico vamos considerar um

plano infinito carregado com uma densidade de carga

eleacutetrica superficial uniforme Considere dois pontos A e B

na vizinhanccedila desse plano no mesmo lado do plano

conforme a Figura 10 ao lado Queremos calcular a

diferenccedila de potencial

( ) minus ( ) = ∙

e jaacute sabemos que nesse lado do plano o campo eacute dado por

= 2 sendo z a direccedilatildeo ortogonal ao plano carregado Qual

curva vamos utilizar nessa integraccedilatildeo Considere que as

superfiacutecies equipotenciais para essa configuraccedilatildeo de

cargas eleacutetricas satildeo planos paralelos ao plano

carregado ou seja superfiacutecies z=constante Essas

superfiacutecies satildeo ortogonais ao campo eleacutetrico do plano em todos os pontos do espaccedilo A Figura 11 mostra uma

dessas superfiacutecies equipotenciais (bordas em azul) que conteacutem o ponto B e o ponto C ( ( ) = ( )) que

estaacute na mesma linha de A ao longo de um eixo paralelo ao eixo z O caminho vermelho que conecta A e C eacute

portanto um caminho paralelo ao eixo z Assim sendo nesse caminho vale = e segue que

( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = 2 ∙ = 2 = 2 ( minus )

z

A

B

Figura 10 dois pontos A e B na vizinhanccedila de uma superfiacutecie plana infinita com densidade de carga uniforme

z

A

B

Figura 11 o ponto C possui o mesmo potencial do ponto B pois eles estatildeo em um plano z=constante

C

160

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

sendo e as coordenadas z dos pontos A e B (note que = ) A diferenccedila de potencial depende

essencialmente da distacircncia entre A e B mas a distacircncia apenas ao longo do eixo z (uma espeacutecie de altura)

Vamos pensar agora em uma referecircncia onde poderiacuteamos fixar = 0 e definir entatildeo o valor do

potencial eleacutetrico em todos os pontos do espaccedilo nesse lado do plano Note que aqui natildeo faz sentido em se

pensar em uma referecircncia no infin (se fizermos rarr infin obtemos ( ) minus (infin) rarr infin para todo ponto A) pois

isso tornaria o potencial infinito em todos os pontos do espaccedilo Isso ocorre porque o campo eleacutetrico do plano

carregado eacute uniforme e portanto natildeo diminui de valor no infin Assim sendo natildeo faz sentido em se dizer que o

potencial eleacutetrico (a influecircncia) do plano carregado se anula no infin Uma alternativa razoaacutevel eacute tomar como

referecircncia o potencial no proacuteprio plano carregado ou seja fixar (0) = 0 (colocando o plano carregado na

origem do eixo z) Tomando o ponto A sobre o plano carregado ( = 0) e fazendo ( ) = 0 obtemos ( ) minus ( ) = (0) minus ( ) = 2 ( minus 0) rArr ( ) = minus2

O ponto B eacute um ponto de coordenada = qualquer Para gt 0 quando andamos ao longo do eixo z

positivo indo para rarr infin o potencial deve diminuir (pois o campo eleacutetrico do plano carregado aponta nesse

sentido) Se ele eacute nulo sobre o plano carregado entatildeo ele tem que se tornar negativo para gt 0 Tendo em

vista a simetria do plano esperamos que a mesma ideia valha quando andamos ao longo do eixo z negativo

indo para rarr minusinfin Portanto para lt 0 deve valer ( ) = minus2 | | Concluindo como para gt 0 vale | | = segue que a expressatildeo acima vale dos dois

lados do plano carregado (uma simetria (minus ) = ( )) Os graacuteficos ao lado mostram

os comportamentos do campo eleacutetrico e do potencial eleacutetrico em funccedilatildeo da

coordenada z ortogonal ao plano carregado (para gt 0) Um valor negativo do

campo eleacutetrico significa um campo ao longo de ndashz O campo eleacutetrico eacute descontiacutenuo no

plano carregado mas o potencial eleacutetrico eacute contiacutenuo No infinito o potencial diverge

vai para minusinfin Por essa razatildeo se tentamos zerar o potencial no infinito (onde ele de

fato diverge) o potencial passa a divergir em todos os pontos do espaccedilo

Vemos portanto que o plano infinito com densidade de carga uniforme eacute

um exemplo em que natildeo podemos tomar a referecircncia (infin) = 0 Ela natildeo funciona pois leva a uma

divergecircncia na funccedilatildeo ( ) De fato o potencial eleacutetrico assim como o campo eleacutetrico eacute uma grandeza que

representa uma influecircncia que uma distribuiccedilatildeo de cargas produz no espaccedilo ao seu redor Dizer que (infin) = 0 equivale portanto a dizer que essa influecircncia deixou de existir a uma distacircncia infinita da

distribuiccedilatildeo de cargas Isso eacute sempre verdade para uma distribuiccedilatildeo de cargas limitada em uma regiatildeo finita do

espaccedilo quando nos afastamos dela ela vai se tornando cada vez menor ateacute que deixamos de sentir sua

( )

( )

161

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

influecircncia ( rarr 0 e rarr = 0) No caso do plano infinito essa ideia natildeo funciona natildeo conseguimos nos

afastar de um plano infinito ele natildeo fica menor Por essa razatildeo o campo eleacutetrico de um plano infinito eacute

uniforme ou seja natildeo decai a zero quando nos afastamos dele = 2 qualquer que seja o valor da

coordenada z medida em relaccedilatildeo ao plano carregado O mesmo problema ocorre com um cilindro infinito

com densidade de carga linear uniforme O campo eleacutetrico desse cilindro decai a zero no infinito mas de

uma forma muito lenta ( ) = 2 sendo o raio medido em relaccedilatildeo ao cilindro carregado Por essa

razatildeo tambeacutem natildeo conseguimos adotar a referecircncia (infin) = 0 para o cilindro carregado com densidade de

carga uniforme

Para tornar essa ideia mais quantitativa imagine que a uma distacircncia muito grande de uma

distribuiccedilatildeo de cargas o campo eleacutetrico dessa distribuiccedilatildeo tenha o seguinte comportamento assintoacutetico ( ≫ 1) = sendo gt 0 uma constante e ge 0 um expoente de decaimento Para o caso de uma carga pontual (ou um

aro ou um disco com cargas uniformes conforme jaacute vimos) vale = 2 para um dipolo eleacutetrico pontual vale = 3 e assim por diante Mas para o cilindro infinito com densidade de carga uniforme vale = 1 e para o

plano infinito com densidade de carga uniforme vale = 0 (campo independente da distacircncia) Portanto

vamos calcular a diferenccedila de potencial entre um ponto A (distante) em um raio ≫ 1 e um ponto no infinito

(atraveacutes de um caminho radial)

( ) minus (infin) = ∙ = = 1 minus (infin minus ) Agora tomando (infin) = 0 obtemos ( ) = ( ) = 1 minus (infin minus ) Vemos que para ge 2 natildeo haacute nenhum problema nessa expressatildeo pois infin rarr 0 Mas para o plano infinito

fica claro que ( ) diverge (infin = infin rarr infin) ou seja natildeo podemos tomar (infin) = 0 Para o cilindro infinito

as coisas satildeo mais estranhas pois obtemos uma indeterminaccedilatildeo (infin = infin rarr) Com um pouco de

paciecircncia podemos concluir que nesse caso ( ) tambeacutem diverge mas mais lentamente do que no caso do

plano infinito Natildeo podemos tomar (infin) = 0 para o cilindro com uniforme

Sendo esses objetos infinitos apenas idealizaccedilotildees apropriadas para descrever objetos reais que satildeo

grandes mas de fato finitos concluiacutemos que essa limitaccedilatildeo na escolha de (infin) eacute apenas um artefato desses

modelos Em geral para objetos reais sempre podemos admitir que (infin) = 0 eacute uma escolha conveniente de

referecircncia para o potencial eleacutetrico Note que a limitaccedilatildeo a que nos referimos aqui estaacute na distribuiccedilatildeo de

cargas eleacutetricas e natildeo no objeto suporte dessas cargas Poderiacuteamos imaginar distribuiccedilotildees de cargas

162

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

suficientemente limitadas definidas em planos e cilindros infinitos de tal forma que a escolha (infin) = 0 seria

perfeitamente possiacutevel Um caso simples seria uma mancha de carga natildeo uniforme definida em um plano

infinito como por exemplo ( ) = sendo uma constante e um raio medido paralelamente ao

plano partindo de um ponto central qualquer nesse plano Essa mancha de carga se estende por todo o plano

infinito mais decai a zero agrave medida que nos afastamos do centro do plano estando basicamente

concentradalimitada proacuteximo a esse centro Trata-se portanto de uma distribuiccedilatildeo de cargas limitada cuja

influecircncia se anula rapidamente no infinito e que admite a escolha de referecircncia (infin) = 0

322 Caacutelculo do potencial eletrostaacutetico via princiacutepio da superposiccedilatildeo

Pode ocorrer de desejarmos calcular o potencial eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas cujo

campo eleacutetrico natildeo conhecemos agrave priori e portanto o formalismo que discutimos na seccedilatildeo anterior se torna

inuacutetil Nesses casos calcular primeiro o campo eleacutetrico para calcular depois o potencial eleacutetrico natildeo eacute

necessariamente uma boa estrateacutegia Um meacutetodo mais eficiente eacute calcular diretamente o potencial eleacutetrico

utilizando o resultado jaacute conhecido para o potencial de uma uacutenica carga eleacutetrica pontual qual seja ( ) = 4 e o princiacutepio da superposiccedilatildeo Para um conjunto discreto de cargas pontuais ( = 1hellip ) basta fazer o

somatoacuterio

( ) = 4 sendo a distacircncia da carga ateacute o ponto onde o potencial estaacute sendo avaliado

Considere o exemplo de um objeto dipolar ( = 2) como

mostrado na Figura 12 Duas partiacuteculas de cargas eleacutetricas plusmn

estatildeo separadas no espaccedilo por uma distacircncia formando o que

chamamos de dipolo eleacutetrico Utilizando o referencial na Figura

vamos calcular o potencial que esse dipolo produz no ponto

mostrado cujo raio a partir da origem faz um acircngulo com o eixo

do dipolo (eixo z) Depois vamos estar interessados no limite desse potencial quando o dipolo se torna muito

pequeno como uma moleacutecula de aacutegua O princiacutepio da superposiccedilatildeo diz que

( ) = 4 prime + (minus )4 = 4 1prime minus 1

Esse eacute o potencial eleacutetrico em P estabelecido pelo dipolo eleacutetrico mostrado na Figura 12 Note que jaacute haacute uma

referecircncia previamente adotada para o potencial que eacute (infin) = 0 Essa referecircncia foi herdada de

minusprime

Figura 12 Um dipolo eleacutetrico e um ponto P em sua vizinhanccedila

163

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Podemos ver na expressatildeo acima que isso eacute verdade quando rarr infin e prime rarr infin ou seja rarr infin Podemos

especificar melhor o potencial em termos das coordenadas e que determinam o ponto Basta ver que prime = + minus 2 cos( ) Portanto

( ) = ( ) = 4 1+ minus 2 cos( ) minus 1

Agora como temos feito no contexto do campo eleacutetrico queremos especializar essa expressatildeo de ( ) para o caso de um dipolo pequeno ou seja para cong 0 Jaacute estamos habituados a executar esse

caacutelculo Basta colocar em evidecircncia que a razatildeo = fica expliacutecita e utilizar a expansatildeo binomial

truncada (com = minus12) Portanto ( ) = 4 11 + minus 2 cos( ) minus 1

Jaacute desprezando o obtemos

( ) = 4 11 minus 2 cos( ) minus 1 = 4 1 + minus12 (minus2 cos( )) minus 1

Concluindo ( ) = 4 cos( ) = cos( )4 em que substituiacutemos como de haacutebito = para o moacutedulo do momento de dipolo eleacutetrico = desse

dipolo Se considerarmos um iacuteon de carga eleacutetrica na vizinhanccedila dessa ldquomoleacuteculardquo dipolar fixa no espaccedilo

exatamente nesse ponto especificado pelas coordenadas e a energia potencial eleacutetrica desse iacuteon seraacute

= ( ) = cos( )4 Enquanto esse iacuteon viaja pelo espaccedilo (varrendo e ) sob accedilatildeo das forccedilas de atraccedilatildeorepulsatildeo produzidas pela

moleacutecula dipolar nele sua energia potencial eleacutetrica vai mudando e sendo convertida em outras formas de

energia (cineacutetica por exemplo)

Jaacute discutimos o caso de distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas macroscoacutepicas densamente distribuiacutedas em

uma certa regiatildeo do espaccedilo (manchas de carga) Aqui usaremos a mesma ideia e tomaremos o limite do

contiacutenuo (LC) para calcular o potencial eleacutetrico produzido por essas distribuiccedilotildees de cargas Assim sendo nesse

limite

( ) = 4 4

164

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

sendo uma regiatildeo do espaccedilo onde estaacute definida a mancha de cargas eleacutetricas a carga eleacutetrica

infinitesimal de um fragmento infinitesimal dessa mancha e a distacircncia desse fragmento ateacute o ponto onde

o potencial eleacutetrico estaacute sendo avaliado

Vamos ilustrar essa ideia calculando novamente o potencial eleacutetrico em um ponto P no eixo (z) de um

aro eletrizado com uma densidade de carga eleacutetrica uniforme Jaacute calculamos

esse potencial atraveacutes da integral do campo eleacutetrico do aro e agora

ignoraremos o conhecimento desse campo A Figura 13 ao lado ilustra o aro

(em zul) e o ponto P que estaacute a uma distacircncia z do centro do aro Obtemos ( ) = 4 = 14

Na integral acima consideramos que enquanto percorremos o aro realizando a

soma o raio eacute constante e pode sair de dentro do siacutembolo de integral

Portanto sendo = 2 a carga eleacutetrica total acumulada no aro e = radic + obtemos ( ) = ( ) = 4 = 2 4 radic + = 2 radic + Note que obtivemos aqui o mesmo resultado anterior em que utilizamos o campo eleacutetrico do aro para

calcular ( ) mas jaacute com a referecircncia ( rarr infin) = 0 Isso porque essa referecircncia jaacute estaacute impliacutecita no

potencial da carga pontual Mas se desejarmos podemos mudar livremente a referecircncia pois podemos

usar a expressatildeo acima e voltar para a expressatildeo da diferenccedila de potencial

( ) minus ( ) = 2 1+ minus 1+

Agora podemos redefinir a referecircncia que acharmos mais conveniente Mas natildeo ganharemos nada com isso

Esse meacutetodo de caacutelculo do potencial eleacutetrico eacute geralmente mais vantajoso que o primeiro baseado em

uma integral do campo eleacutetrico Isso porque ele natildeo requer o conhecimento preacutevio do campo eleacutetrico e

envolve apenas uma integral de uma funccedilatildeo escalar Haacute poucos casos em que esse meacutetodo natildeo se aplica

diretamente pelo fato de ele pressupor a referecircncia (infin) = 0 Satildeo aqueles casos que jaacute discutimos de

distribuiccedilotildees de carga eleacutetrica infinitas e uniformes como o plano e o cilindro infinitos em que essa referecircncia

para o potencial eleacutetrico natildeo funciona Considere por exemplo o caso do plano infinito eletrizado com uma

densidade de carga eleacutetrica uniforme Jaacute obtivemos o potencial eleacutetrico desse plano e vimos que natildeo eacute

possiacutevel tomar (infin) = 0 basicamente porque mesmo no infinito a influecircncia do plano eletrizado eacute ainda

intensa Vamos tentar calcular o potencial eleacutetrico desse plano atraveacutes do meacutetodo baseado no princiacutepio da

Figura 13 um aro fino eletrizado O ponto P estaacute a uma distacircncia z do centro do aro

z

P

z

165

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

superposiccedilatildeo Para isso vamos tomar um atalho e aproveitar o potencial que jaacute

obtivemos para o aro pensando no plano infinito como uma sucessatildeo de aros

um dentro do outro formando um disco infinito A Figura 14 ao lado ilustra

essa ideia Considere um aro de raio e espessura Esse aro possui aacuterea = 2 e carga eleacutetrica = = 2 O potencial eleacutetrico

que esse aro de raio e carga eleacutetrica produz em P eacute de acordo com nosso

resultado acima (substituindo por por e por )

Portanto superpondo os potenciais eleacutetricos de infinitos aros com raios

variando de = 0 ateacute rarr infin obtemos

( ) = = 14 radic + = 14 2 radic + = 2 radic + Vamos fazer uma pausa aqui (pois jaacute podemos ver que a integral diverge) e ao inveacutes de integrarmos

ateacute infin vamos integrar ateacute um raio finito = para obter o potencial sobre o eixo (z) de um disco eletrizado

com uma densidade de carga eleacutetrica uniforme Esse potencial eacute (note que radic = | |) ( ) = ( ) = 2 radic + = 2 + minus | |

O graacutefico ao lado ilustra o comportamento desse potencial eleacutetrico (para gt0) No centro do disco o potencial vale (0) = 2

e no infinito ele decai a zero como jaacute estava programado para ser

Agora podemos retornar ao problema do plano infinito Em princiacutepio

basta fazer rarr infin na expressatildeo do potencial do disco Mas se fizermos isso obtemos ( ) rarr infin ou seja o

potencial diverge em todos os pontos na vizinhanccedila do plano infinito Concluiacutemos novamente que o potencial

do plano infinito natildeo eacute compatiacutevel com a escolha de referecircncia (infin) = 0 que estaacute impliacutecita nesse meacutetodo de

caacutelculo do potencial eleacutetrico Nesse caso poderiacuteamos apelar para o meacutetodo que se baseia no conhecimento

preacutevio do campo eleacutetrico que fornece ( ) minus ( ) e nos permite escolher a referecircncia conveniente e

possiacutevel de ser realizada para essa distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas

Mas ainda podemos aproveitar o resultado do potencial do disco para obter o potencial do plano

infinito Primeiramente nos livramos da referecircncia (infin) = 0 Fazemos isso voltando agrave expressatildeo da diferenccedila

Figura 14 um plano infinito pode ser pensado com uma superposiccedilatildeo de infinitos aros

z

P

z

( ) = 4 radic + rArr = 14 radic +

166

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

de potencial entre dois pontos que eacute independente de qualquer referecircncia Calculando entatildeo a diferenccedila de

potencial entre dois pontos sobre o eixo z do disco de raio dois pontos com coordenadas e prime obtemos ( ) minus ( ) = 2 + minus | | minus 2 + prime minus | prime|

Agora considerando que o raio eacute muito grande podemos fazer radic + = radic + prime =

Portanto para um disco grande ( ) minus ( ) = 2 (| prime| minus | |) Como natildeo haacute mais na expressatildeo de podemos fazer rarr infin que o resultado continua valendo Essa

eacute a diferenccedila de potencial entre dois pontos na vizinhanccedila de um plano infinito com densidade de carga

uniforme

Agora podemos escolher se desejarmos uma referecircncia adequada para esse potencial (que

obviamente natildeo eacute prime rarr infin) Por exemplo tomando ( = 0) = 0 obtemos um resultado jaacute conhecido ( ) = minus2 | | 33 A energia potencial eletrostaacutetica de um dipolo eleacutetrico

Considere uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas que estaacute na

vizinhanccedila de outra distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas conforme ilustrado

ao lado Seja ( ) o potencial eleacutetrico que as cargas produzem no

espaccedilo A energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre essas duas

distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas eacute

= ( ) sendo a posiccedilatildeo da carga

Como caso particular considere que eacute simplesmente um

dipolo eleacutetrico duas cargas eleacutetricas plusmn separadas por um deslocamento

(e momento de dipolo eleacutetrico = ) conforme a Figura ao lado A

energia potencial de interaccedilatildeo desse dipolo com as outras cargas eleacutetricas

eacute = + + (minus ) ( ) = + minus ( )

sendo a posiccedilatildeo da partiacutecula de carga minus A partiacutecula de carga estaacute na posiccedilatildeo + sendo o

deslocamento de em relaccedilatildeo a ndash (basicamente o tamanho e orientaccedilatildeo do dipolo) Vemos que a energia

minus

0

167

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

potencial que vamos chamar (para simplificar a linguagem) de energia potencial eleacutetrica do dipolo eacute dada

pela diferenccedila de potencial que existe entre as posiccedilotildees de seus dois poacutelos eleacutetricos (potencial criado no

espaccedilo pelas cargas )

A Figura ao lado ilustra um dipolo em uma regiatildeo em que existe um campo

eleacutetrico uniforme = Poderiacuteamos considerar aqui que as cargas satildeo

cargas eleacutetricas depositadas uniformemente em uma placa plana infinita com eixo

z ortogonal a essa placa pois jaacute vimos que essa placa produz um campo eleacutetrico

uniforme em cada um de seus lados Poderiacuteamos considerar tambeacutem que para um

dipolo pequeno como uma moleacutecula de aacutegua a aproximaccedilatildeo de que o campo eleacutetrico eacute uniforme ldquodentro do

dipolordquo eacute razoaacutevel Jaacute vimos que nesse caso a forccedila eleacutetrica resultante nesse dipolo eacute nula mas que haacute um

torque ( times ) que gira o momento de dipolo no sentido do alinhamento de com Na Figura acima o

dipolo eleacutetrico executaraacute um movimento pendular em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel em que estaacute

paralelo a (eixo z) a posiccedilatildeo = 0 Aqui queremos descrever essa interaccedilatildeo entre o campo = e o

dipolo atraveacutes de conceitos de energia Se calcularmos a energia potencial eleacutetrica do dipolo na presenccedila

desse campo = a posiccedilatildeo em que estaacute paralelo a deve ser a posiccedilatildeo de mais baixa energia

Jaacute vimos que o potencial eleacutetrico nesse caso eacute (com a referecircncia conveniente (0) = 0) ( ) = minus

Portanto = + minus ( ) = ( + cos( )) minus ( ) = minus ( + cos( )) minus [minus ]

Note que cos( ) eacute a projeccedilatildeo de ao longo do eixo z conforme a Figura ao lado

Concluindo = minus cos( ) = minus cos( ) = minus ∙

O graacutefico ao lado ilustra o comportamento de em funccedilatildeo do acircngulo entre os vetores e Vemos que a

posiccedilatildeo de alinhamento ( = 0) corresponde agrave menor energia potencial

eleacutetrica (= minus ) e que a posiccedilatildeo anticolinear ( = ) eacute a posiccedilatildeo de

mais alta energia (= ) No meio haacute a posiccedilatildeo de energia nula que

corresponde a = 2 (ortogonalidade entre os vetores e )

Esse conceito de energia potencial eleacutetrica orientacional

(dependente de ) para o dipolo eleacutetrico pode ser inserido no teorema do trabalho-energia Imagine a

situaccedilatildeo em que um dipolo eleacutetrico eacute solto do repouso da orientaccedilatildeo inicial = 2 Esse dipolo vai sofrer

minus

( )

cos( )

z

168

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

um torque times que vai giraacute-lo fornecendo a ele energia cineacutetica de rotaccedilatildeo Quando o dipolo passar

pela posiccedilatildeo alinhada = 0 sua energia cineacutetica de rotaccedilatildeo seraacute (desprezando outras forccedilastorques) ( 2) + ( 2) = (0) + (0) rArr 0 + 0 = (0) + (0) Portanto 0 = minus + (0) rArr (0) =

Vemos que enquanto o dipolo eleacutetrico gira sua energia potencial eleacutetrica orientacional vai sendo convertida

em energia cineacutetica Esse eacute basicamente o processo pelo qual um forno de microondas produz energia teacutermica

nos alimentos

34 Aplicaccedilotildees

Vamos repetir aqui alguns exemplos que demos no capiacutetulo 1 para o caacutelculo de campo eleacutetrico via

princiacutepio da superposiccedilatildeo Agora vamos calcular o potencial eleacutetrico

1) Considere uma haste fina de comprimento L que possui uma densidade de carga linear uniforme Vamos

calcular o potencial eleacutetrico que essa haste produz no ponto P mostrado na Figura abaixo

O ponto P estaacute a uma altura H da extremidade direita da haste

Note que estamos desprezando aqui a espessura da haste trata-se do

modelo de um objeto unidimensional Utilizaremos o princiacutepio da

superposiccedilatildeo e o caacutelculo integral

Destacamos em vermelho um segmento infinitesimal de haste

de comprimento que possui carga eleacutetrica = e que produz

em P um potencial eleacutetrico infinitesimal do tipo carga pontual

= 14 = 14 sendo = | | (o raio) definido na Figura Tudo que temos que fazer eacute somar esses s enquanto a carga

infinitesimal varre a haste de uma extremidade a outra Imaginamos que isso pode ser realizado atraveacutes de

uma integral na variaacutevel prime que eacute a posiccedilatildeo de na haste desde = 0 ateacute = Resumindo ( ) = = 4 Note na Figura que = + ( minus )

Finalmente considerando ainda que = prime obtemos

x

P

y

H

prime

minus

169

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) = 4 = 4 prime+ ( minus ) Utilizando uma tabela de integrais (ou o Maple) concluiacutemos que

( ) = 4 ln radic + minus

ln eacute a funccedilatildeo logaritmo natural

Note que se rarr 0 que significa uma haste muito pequena eou uma haste vista de uma distacircncia

muito grande obtemos

( ) rarr 4 ln minus = minus 4 ln minus = minus 4 ln 1 minus = minus 4 minus = 4

sendo = a carga eleacutetrica total concentrada (uniformemente) na haste Trata-se do resultado esperado

um potencial que decai com a distacircncia como no caso da carga pontual

Considere agora o caacutelculo do potencial no ponto Prsquo mostrado na Figura

15 ao lado Prsquo eacute um ponto que estaacute equumlidistante das extremidades da haste

Podemos calcular ( prime) utilizando nosso resultado acima para ( ) e o

princiacutepio da superposiccedilatildeo A ideia estaacute ilustrada na Figura abaixo Dividimos a

haste ao meio cada metade eacute uma haste de comprimento L2 e mesma

densidade de carga Vemos que o potencial em Prsquo eacute a soma dos potenciais

das duas hastes Conclusatildeo ( prime) = 2 ( prime) Note que nessa expressatildeo ( prime) eacute o potencial eleacutetrico calculado

anteriormente em um ponto P que estaacute a uma altura H da extremidade direita da

haste mas para uma haste de comprimento L2 Conclusatildeo

( prime) = 2 4 ln + ( 2) minus 2

Simplificando ( prime) = ( ) = 2 ln 2radic4 + minus

O graacutefico ao lado ilustra o comportamento de ( prime) em funccedilatildeo da altura

do ponto prime (para gt 0)

Figura 15 uma haste finaeletrizada uniformemente

Prsquo

H

Prsquo

H

1 2

170

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

Aqui natildeo podemos tomar o limite rarr infin por causa da referecircncia (infin) = 0 impliacutecita nessa expressatildeo

de potencial De fato fazendo rarr infin na expressatildeo acima obtemos ( prime) rarr 2 ln(infin) Para calcular o potencial da haste infinita com uniforme primeiramente calculamos a diferenccedila de

potencial entre dois pontos a uma altura e prime a uma altura prime ao longo do eixo central dessa haste

( ) minus ( prime) = 2 ln 2radic4 + minus minus ln 2 primeradic4 prime + minus

Juntando os termos similares obtemos ( ) minus ( prime) = 2 ln minus ln radic4 + minusradic4 prime + minus

Tomando agora o limite rarr infin vemos que o segundo termo resulta em

ln radic4 + minusradic4 prime + minus = ln 1 + 4( ) minus 11 + 4( ) minus 1 rarr ln 1 + 2( ) minus 11 + 2( prime ) minus 1 = ln prime = 2 ln prime

Usamos a expansatildeo binomial truncada radic1 + = 1 + (12) se cong 0 Portanto

( ) minus ( prime) = 2 ln minus 2ln prime

Concluindo (usando que ln(1 ) = ln( ) = minusln( )) ( ) minus ( prime) = 2 ln prime

Podemos fixar agora ( prime) = 0 desde que natildeo escolhamos prime rarr infin ou = 0 que seriam casos em

que a expressatildeo acima divergiria Dessa forma obtemos ( ) = ( ) = 2 ln prime

sendo prime uma constante onde vale = 0 Uma escolha conveniente eacute fazer = 1 m De tal forma que para

em metros vale ( ) = minus( 2 ) ln( ) 2) Vamos considerar agora o potencial no centro de uma casca ciliacutendrica de raio

interno raio externo e comprimento que possui uma densidade de carga

eleacutetrica volumeacutetrica uniforme A Figura ao lado ilustra o ponto P no centro dessa

casca Como natildeo conhecemos o campo eleacutetrico que essa casca ciliacutendrica produz no

espaccedilo (ou pelo menos sobre seu eixo de simetria) vamos apelar para o princiacutepio da superposiccedilatildeo

L

P

171

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) =

sendo o potencial infinitesimal produzido em P por um pedaccedilo infinitesimal

da casca e a integral percorrendo toda a casca ciliacutendrica Devemos comeccedilar

escolhendo uma particcedilatildeo dessa casca imaginando que ela eacute uma ldquocolagemrdquo de

infinitos pedaccedilos infinitesimais Como jaacute temos o potencial do aro com carga

uniforme nossa ideia eacute pensar a casca como uma superposiccedilatildeo de infinitos aros

de espessuras infinitesimais A Figura ao lado ilustra essa ideia O aro (em

vermelho) de raio le le estaacute em uma posiccedilatildeo qualquer prime e a integral na

casca eacute uma integral no raio desde = ateacute = e em desde = 0 ateacute = Vemos que a posiccedilatildeo do

ponto P em relaccedilatildeo ao centro desse aro eacute 2 minus prime Nosso resultado para o potencial de um aro de raio com densidade de carga superficial uniforme

em um ponto de coordenada em relaccedilatildeo ao centro desse aro foi

( ) = 4 radic + sendo = 2 a carga eleacutetrica total distribuiacuteda no aro Aqui vamos considerar aros que satildeo fatias da casca

ciliacutendrica fatias de espessuras prime ao longo de prime ao longo do raio volume = 2 prime e carga

eleacutetrica = = 2 prime Portanto essa fatia da casca produz em P o potencial infinitesimal

= 4 radic + = prime2 radic + com = 2 minus prime Concluindo o potencial no ponto P eacute

( ) = = prime2 radic + = 2 + ( 2 minus prime) prime Utilizando o Maple obtemos

( ) = 4 4 + minus 4 + + 2 ln radic4 + +radic4 + minus minus 2 ln radic4 + +radic4 + minus

Para um cilindro maciccedilo = 0 obtemos

( ) = 4 4 + minus + 2 ln radic4 + +radic4 + minus

Para um cilindro estreito ≫ obtemos

x

L

P

0 x

L2 - xrsquo

172

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

( ) rarr 2 ( minus ) + 2 ln(1) minus 2 ln(1) = ( minus )2

Se aleacutem de estreito o cilindro eacute fino ou seja cong recuperamos o resultado para o potencial no

centro do aro com densidade de carga uniforme ( ) = 2

se entendermos que para a casca ciliacutendrica estreita e fina vale = 2 sendo a carga total no cilindro = ( minus )

Portanto (se = + com cong 0) = 2 = ( minus )2 = (2 )2 = = ( minus )

3) Vamos calcular a energia potencial eleacutetrica de interaccedilatildeo entre uma

haste finas carregada e uma partiacutecula de carga como mostrado na

Figura ao lado A haste possui tamanho H e densidade de carga

uniforme Para obter essa energia de interaccedilatildeo vamos inicialmente

esquecer a carga pontual e calcular o potencial eleacutetrico ( ) que a

haste A produz em um ponto qualquer no plano da haste (plano xy)

ponto que seraacute ocupado posteriormente pela carga

A Figura ao lado resume as ideacuteias que precisamos para

calcular ( ) o potencial eleacutetrico que a haste produz em um ponto

P que seraacute ocupado depois pela carga Mostramos um segmento

infinitesimal da haste de carga = prime na posiccedilatildeo isin [0 ] da haste O ponto P possui coordenadas e arbitraacuterias (mas

constantes)

Do princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = = 14 = 4 1 prime Na Figura vemos que = ( minus prime) + Portanto

( ) = 4 1 = 4 1( minus prime) + prime Concluindo (usando o Maple)

x

y H

x

y

A P

prime

173

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( ) = ( ) = 4 ln ( minus ) + + minus+ minus

A Figura ao lado mostra o graacutefico de ( ) times (supondo gt 0) com a

distacircncia fixa = 2 (curva vermelha) e = 10 (curva verde) para uma

haste de tamanho = 10 (haste em azul na Figura) Note a simetria em

torno do centro da haste ( = 5)

O proacuteximo graacutefico mostra ( ) times (supondo gt 0) com a distacircncia

fixa = 5 (altura do meio da haste) para uma haste de tamanho = 10 Note que o potencial diverge exatamente sobre a haste ( =0)

O uacuteltimo graacutefico mostra duas curvas de ( ) times (supondo gt 0)

com a distacircncia fixa = 15 (curva verde) e = 20 (curva vermelha)

(alturas maiores que a da haste) para uma haste de tamanho = 10

Aqui natildeo haacute mais divergecircncia porque a varredura em natildeo atravessa a

haste em = 0 Note a simetria esquerda-direita

Enfim abaixo mostramos algumas superfiacutecies que representam a funccedilatildeo ( ) para = 10 e gt 0 A haste estaacute localizada sobre o eixo y no

intervalo isin [0 10] O ldquorasgordquo na superfiacutecie eacute um artifiacutecio causado pela

divergecircncia da funccedilatildeo sobre a haste

Agora podemos imaginar a partiacutecula de carga viajando na vizinhanccedila dessa haste sofrendo forccedila e

modificando sua energia Supondo gt 0 (e gt 0) podemos imaginar que a partiacutecula enxerga a haste como

uma montanha quando ela se aproxima da haste ela ganha energia potencial ( ) = ( ) e perde

energia cineacutetica Quando ela se afasta da haste ela desce a montanha perde energia potencial eleacutetrica e ganha

energia cineacutetica Se a carga fosse negativa ( lt 0) seria o oposto a partiacutecula seria atraiacuteda pela haste e a

174

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 3 ndash versatildeo 31

energia potencial da partiacutecula multiplicaria as superfiacutecie mostradas acima por minus1 (lembre-se que ( ) = ( )) a partiacutecula enxergaria a haste como um precipiacutecio Ao ldquocairrdquo em direccedilatildeo agrave haste a partiacutecula

perderia energia potencial e ganharia energia cineacutetica Ao se afastar do precipiacutecio a partiacutecula ganharia energia

potencial e perderia energia cineacutetica

Supondo por exemplo que a partiacutecula com gt 0 parta do repouso da posiccedilatildeo ( = 2) e seja

repelida pela haste sua energia cineacutetica ( ) seraacute dada por (de acordo com o teorema do trabalho-energia

cineacutetica) Δ + Δ = 0 rArr [ ( ) minus 0] + [ ( = 2) minus ( = 2)] = 0

A partiacutecula seguiria uma trajetoacuteria reta ao longo de x mantendo fixo = 2 (por simetria) Portanto ( ) = ( = 2) minus ( = 2) = [ ( = 2) minus ( = 2)] ( ) = 4 ln + 2 ++ 2 minus minus ln radic + 2 +radic + 2 minus

O graacutefico ao lado mostra a curva de ( ) times supondo = 1 e = 10

A partiacutecula parte do repouso vai ldquodescendo a montanhardquo e ganhando

energia cineacutetica No infinito sua energia cineacutetica converge para

( rarr infin) = 4 ln + 2 ++ 2 minus

Toda a energia potencial eleacutetrica inicial eacute convertida em energia cineacutetica

175

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

4 Capacitores e dieleacutetricos

Nesse capiacutetulo daremos uma pausa no desenvolvimento do formalismo para discutir um dispositivo o

capacitor que eacute capaz de acumular cargas eleacutetricas e energia potencial eletrostaacutetica Essa carga e essa

energia podem ser acumuladas para vaacuterios fins como por exemplo armazenar informaccedilotildees binaacuterias (0s e 1s)

em uma memoacuteria de computador ou fazer brilhar intensamente uma lacircmpada de flash em uma fraccedilatildeo de

segundo Aproveitaremos a oportunidade para discutir um pouco sobre a influecircncia que a presenccedila de um

meio material isolante permeando o espaccedilo (como o ar ou outro isolante qualquer) tem sobre campos e

potenciais eleacutetricos O estudo do capacitor nessa altura do curso nos daacute oportunidade de aplicar todos os

conceitos que jaacute estudamos ateacute agora carga eleacutetrica campo eleacutetrico energia potencial eleacutetrica e potencial

eleacutetrico

41 Relembrando a energia potencial eleacutetrica

Vimos no capiacutetulo 3 que uma configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas eacute capaz de acumular energia potencial

eleacutetrica Essa energia eacute uma capacidade de realizar trabalho das forccedilas eleacutetricas muacutetuas entre as cargas

eleacutetricas dessa distribuiccedilatildeo

A energia potencial eleacutetrica tem uma interpretaccedilatildeo simples como sendo a energia necessaacuteria para

a construccedilatildeo (aglomeraccedilatildeo) de uma configuraccedilatildeo de cargas estaacuteticas Da mesma forma eacute a energia que

obtemos de volta quando essa configuraccedilatildeo de cargas se desfaz atraveacutes da desaglomeraccedilatildeo de suas cargas

eleacutetricas Para um sistema de partiacuteculas de cargas eleacutetricas ( = 12 hellip ) fixas no espaccedilo separadas

entre si por distacircncias a energia potencial eleacutetrica eacute

= 4 ( )

eacute simplesmente a soma das energias potenciais eleacutetricas de todos os pares ( ) de cargas eleacutetricas

176

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Um exemplo que jaacute discutimos no capiacutetulo 2 eacute mostrado novamente na Figura 1 abaixo Trata-se de

uma espeacutecie de moleacutecula triangular cuja energia potencial eleacutetrica eacute

= 14 + + +

Para simplificar podemos imaginar que as

trecircs cargas satildeo positivas e que portanto gt 0 ou seja gastamos (mesmo) energia

para vencer as repulsotildees muacutetuas entre as

partiacuteculas e aglomeraacute-las nessa

configuraccedilatildeo Analogamente se soltarmos

as partiacuteculas e permitirmos que as repulsotildees

muacutetuas afastem essas partiacuteculas essas forccedilas de repulsatildeo vatildeo realizar um trabalho positivo e as partiacuteculas vatildeo

ganhar energia cineacutetica de tal forma que + + = Essa energia estaacute acumulada (potencial) na

configuraccedilatildeo de cargas eleacutetricas e poderaacute ser convertida em outras formas de energia se essa configuraccedilatildeo se

desfizer Natildeo discutiremos aqui casos em que lt 0 como o aacutetomo de Hidrogecircnio Nesses casos temos que

gastar energia para separar as cargas eleacutetricas ao inveacutes de ganhar

42 Capacitores e capacitacircncia

Um capacitor eacute um dispositivo capaz de acumular cargas eleacutetricas e energia potencial eleacutetrica gt 0

Esses acuacutemulos se datildeo em placas metaacutelicas onde as cargas eleacutetricas (os eleacutetrons) podem ser depositadas

(adicionando energia potencial) e retiradas (subtraindo energia potencial) facilmente atraveacutes de um circuito

externo

Para acumular uma quantidade macroscoacutepica de energia precisamos acumular uma quantidade

macroscoacutepica de cargas eleacutetricas Poderiacuteamos usar por exemplo um uacutenico bloco de metal e depositar nele

muitos eleacutetrons constituindo uma densidade de carga eleacutetrica estaacutetica superficial Esse simples bloco de

metal eacute o que chamamos de capacitor um capacitor com apenas uma placa (condutor = placa) Estaremos

tratando aqui especificamente dos capacitores utilizados na praacutetica em circuitos eleacutetricos e eletrocircnicos

Portanto imaginaremos sempre que esses capacitores satildeo carregados (eletrizados) atraveacutes de um circuito

externo tipicamente uma bateria Discutiremos um pouco sobre as baterias no proacuteximo capiacutetulo Agora eacute

suficiente aceitarmos o fato de que uma bateria manteacutem pequenos acuacutemulos de cargas eleacutetricas em seus

terminais que podem ser transferidos para outros dispositivos conectados a elas No terminal + da bateria haacute

um deacuteficit de eleacutetrons e no terminal ndash haacute um excesso de eleacutetrons A bateria produz tambeacutem um campo eleacutetrico

em sua vizinhanccedila (algo parecido com o campo de um dipolo eleacutetrico) e manteacutem entre seus terminais uma

Figura 1 Uma distribuiccedilatildeo de cargas triangular formada por trecircs cargas eleacutetricas fixas nos veacutertices de um triacircngulo retacircngulo de lados e

177

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

diferenccedila de potencial (DDP) eleacutetrico A capacidade de fazer tudo isso eacute o que chamamos de ldquoforccedila

eletromotrizrdquo da bateria um conceito que estudaremos no proacuteximo capiacutetulo

Conforme discutimos nos capiacutetulos anteriores o simples contato eleacutetrico entre um bloco de metal (a

placa desse capacitor) e um dos terminais da bateria (que tambeacutem eacute de metal) implicaraacute em uma

transferecircncia de cargas eleacutetricas da bateria para o bloco de metal (eleacutetrons vatildeo fluir de um para o outro) ateacute

que um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico se estabeleccedila Esse equiliacutebrio vai ocorrer quando o potencial eleacutetrico da

placa se igualar ao potencial do terminal da bateria a que ela estaacute conectada (pois = 0 dentro de um

condutor em equiliacutebrio) Trata-se de um processo de eletrizaccedilatildeo por contato Apoacutes essa transferecircncia

podemos separar a placa e a bateria e teremos depositada nela (na placa) uma certa quantidade de cargas

eleacutetricas e portanto teremos uma certa energia potencial eleacutetrica disponiacutevel Se quisermos podemos depois

conectar essa placa agrave terra atraveacutes de uma lacircmpada incandescente e poderemos ver a lacircmpada brilhar por

alguns instantes como um flash enquanto as cargas na placa (que se repelem mutuamente) se esvaem para a

Terra passando pelo filamento da lacircmpada Assim teremos recuperado a energia potencial eleacutetrica acumulada

no capacitor que vai ser convertida em outras formas de energia como a proacutepria luminosidade da lacircmpada A

Figura 2 abaixo ilustra esse processo de carga e descarga desse capacitor

Nessa Figura ilustramos o processo de carga do capacitor em que cargas eleacutetricas + fluem do terminal

+ da bateria para a placa do capacitor (de fato satildeo eleacutetrons de conduccedilatildeo da placa que satildeo atraiacutedos pelo

terminal + da bateria mas no final das contas daacute no mesmo) A placa fica carregada acumulando cargas

eleacutetricas e energia potencial eleacutetrica gt 0 Natildeo haacute nada de misterioso em ela apenas expressa de sua

forma particular a repulsatildeo muacutetua entre as cargas + na placa e a capacidade que essas cargas tecircm portanto

de se repelirem e se separarem enquanto as forccedilas eleacutetricas entre elas as empurram e realizam um trabalho

positivo Sendo exatamente a capacidade dessas forccedilas realizarem trabalho enquanto elas realizam um

placa

placa + + + + +

placa ++

++ + placa

+

+ +

+

+

Figura 2 um capacitor de apenas uma placa eacute carregado atraveacutes de uma bateria e depois descarrega para a Terra atraveacutes de uma lacircmpada A energia potencial eleacutetrica eacute acumulada no capacitor e depois utilizada para acender uma lacircmpada por alguns poucos instantes

178

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

trabalho positivo diminui Enfim se conectarmos a placa agrave Terra essa distribuiccedilatildeo de cargas e ao mesmo

tempo vatildeo ldquodesaparecerrdquo (a repulsatildeo muacutetua vai escoaacute-las para a Terra) Uma lacircmpada no meio do caminho

pode nos permitir utilizar uma parte dessa energia potencial eleacutetrica acumulada no capacitor Fazendo uma

analogia gravitacional o capacitor carregado eacute anaacutelogo a um balde cheio de aacutegua colocado a uma certa altura

sobre uma prateleira por exemplo O processo de descarga do capacitor poderia ser comparado agrave situaccedilatildeo em

que abrimos um pequeno buraco nesse balde permitindo que a aacutegua caia e mova uma pequena roda drsquoaacutegua

fixada proacutexima ao chatildeo Nesse processo a energia potencial gravitacional da aacutegua eacute convertida em energia

cineacutetica de rotaccedilatildeo da roda drsquoaacutegua

Podemos tornar as coisas mais eficientes acumulando mais carga eleacutetrica e mais energia potencial e

nos livrando da necessidade do aterramento se construirmos um capacitor com duas placas que eacute de fato o

caso mais comum para os capacitores de uso comercial Considere entatildeo um capacitor que eacute constituiacutedo de

duas placas metaacutelicas isoladas eletricamente uma da outra Esse isolamento pode ser obtido mantendo-se o

vaacutecuo no espaccedilo entre as placas ou preenchendo esse espaccedilo com algum meio isolante como um plaacutestico

Mais adiante veremos que a presenccedila desse material isolante (dieleacutetrico) entre as placas tem consequumlecircncia

sobre o comportamento do capacitor (basicamente porque um material adiciona outras cargas eleacutetricas ao

sistema) Por enquanto podemos supor que as placas estatildeo separadas pelo vaacutecuo

A Figura 3 abaixo eacute similar agrave Figura 2 mas agora para um capacitor comum de duas placas

Nessa Figura 3 ilustramos o processo de carga do capacitor de duas placas em que cargas eleacutetricas +

fluem do terminal + da bateria para uma placa do capacitor e as cargas ndash fluem para a outra placa (de fato satildeo

sempre eleacutetrons de conduccedilatildeo que fluem entre as placas e os terminais da bateria mas no final das contas daacute

placas

Figura 3 um capacitor comum de duas placas eacute carregado atraveacutes de uma bateria e depois descarrega atraveacutes de uma lacircmpada A energia potencial eleacutetrica eacute acumulada no capacitor e depois utilizada para acender uma lacircmpada por alguns poucos instantes

placas

+

placas

+ + + + + +

- -----

+ +++++

- -----

-

placas

+ + + + +

- ----

179

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

no mesmo) As placas ficam carregadas uma placa fica positiva e a outra negativa (a soma das cargas nas duas

placas eacute zero) e o capacitor acumula energia potencial eleacutetrica gt 0 Se conectarmos as placas entre si as

forccedilas muacutetuas entre as cargas de repulsatildeo dentro das placas e de atraccedilatildeo entre placas produziratildeo uma

redistribuiccedilatildeo das cargas que se recombinaratildeo levando agrave neutralidade eleacutetrica das placas ao mesmo tempo

em que ldquodesaparecerdquo (as cargas fluiratildeo ateacute que as duas placas estejam no mesmo potencial eleacutetrico o que

vai ocorrer quando elas estiverem eletricamente neutras) Uma lacircmpada no meio do caminho pode nos

permitir utilizar uma parte dessa energia potencial eleacutetrica acumulada no capacitor Note que a proximidade

das placas acrescenta um efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo ao capacitor de duas placas As cargas em uma

placa atraem cargas na outra placa proacutexima dela fazendo com que mais carga eleacutetrica seja transferida da

bateria para as placas O capacitor de duas placas proacuteximas uma da outra possui mais capacidade de acumular

cargas eleacutetricas em suas placas quando comparado ao capacitor com apenas uma placa isolada

Na bateria nas Figuras 2 e 3 podemos ver que estaacute escrito 9 V que eacute a DDP (daqui para diante

usaremos muito esse atalho DDP = diferenccedila de potencial) que existe entre os terminais + e ndash dessa bateria

Vocecirc vai perceber que daqui para diante nos referiremos frequentemente agrave grandeza DDP pois ela eacute uma

grandeza comum que faz parte do cotidiano Todos os aparelhos eleacutetricos possuem uma DDP nominal de

funcionamento (comumente 110 ou 220 V) tomadas na parede pilhas e baterias possuem suas DDPs entre

seus terminais Existe um aparelho simples e barato o voltiacutemetro que mede DDPs Portanto na aplicaccedilatildeo do

formalismo do eletromagnetismo eacute natural que falemos muitas vezes mais de DDP do que de campo eleacutetrico

apesar do campo eleacutetrico ser uma grandeza mais fundamental que a DDP Quando estudarmos circuitos

eleacutetricos veremos que o conceito de DDP se torna crucial na descriccedilatildeo quantitativa (escalar) desses sistemas

Uma aplicaccedilatildeo de capacitores estaacute em sua simples capacidade de acumular cargas eleacutetricas mesmo

que minuacutesculas Em uma memoacuteria RAM de computador usada para armazenar informaccedilotildees temporaacuterias

enquanto o computador estaacute em funcionamento haacute bilhotildees de capacitores minuacutesculos cada um

armazenando um bit de informaccedilatildeo (0 = descarregado ou 1 = carregado) Capacitores maiores podem

armazenar muita carga eleacutetrica e muita energia potencial desempenhando muitas funccedilotildees em circuitos

eleacutetricos e eletrocircnicos Os capacitores podem constituir simples depoacutesitos de cargas eleacutetricas e energia

potencial mas tambeacutem circuitos osciladores filtros de frequumlecircncia filtros de fontes CACC temporizadores

corretores de fator de potecircncia etc Algumas dessas aplicaccedilotildees seratildeo discutidas ao longo desse curso

O capacitor eacute o primeiro dispositivo eleacutetrico (ou eletrocircnico) passivo que vamos estudar Depois

estudaremos ainda os resistores e os indutores ideais Os dispositivos passivos satildeo os mais simples eles

possuem apenas dois terminais por onde as cargas eleacutetricas entram e saem (corrente eleacutetrica) Os dispositivos

passivos sempre satildeo caracterizados por alguma propriedade baacutesica que no caso dos capacitores eacute sua

capacidade de acumular cargas eleacutetricas (e concomitantemente energia potencial eleacutetrica) Um capacitor eacute

180

Aulas de elet

caracterizad

pela DDP ∆princiacutepio m

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181

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

43 Exemplos de caacutelculo de capacitacircncia

Aqui vamos dar alguns poucos exemplos de caacutelculo de capacitacircncia para geometrias simples A ideia

baacutesica eacute usar a definiccedilatildeo primitiva = ∆

Considere o exemplo de um capacitor esfeacuterico As duas placas satildeo esfeacutericas e concecircntricas Uma placa

eacute uma esfera metaacutelica de raio e a outra placa eacute uma casca esfeacuterica metaacutelica de raio interno e espessura

A Figura 4 ao lado ilustra esse capacitor Note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo objetos esfeacutericos no espaccedilo

tridimensional Vamos supor que as placas estejam

separadas por uma camada de vaacutecuo ou seja que natildeo haacute

nenhum material no espaccedilo entre as placas Podemos

imaginar dois terminais um terminal conectado agrave esfera

interna e outro terminal conectado agrave casca esfeacuterica

externa Atraveacutes desses dois terminais (que satildeo fios finos

metaacutelicos) esse capacitor poderia ser carregado e descarregado facilmente Note que natildeo falamos nada de

carga eleacutetrica ou de DDP porque essas natildeo satildeo propriedades que definem a capacitacircncia de um capacitor Elas

natildeo satildeo ldquocausasrdquo mas sim ldquoefeitosrdquo da capacitacircncia O que vai definir a capacitacircncia desse capacitor eacute o que jaacute

definimos aqui geometria dimensotildees e vaacutecuo Como calculamos a capacitacircncia desse capacitor Usamos a

definiccedilatildeo Primeiro supomos que em uma das placas haacute uma carga eleacutetrica Depois calculamos a DDP ∆

entre as placas tendo em vista essa carga Fazemos a razatildeo ∆ O que resultar dessa razatildeo eacute a expressatildeo de

Haacute ainda uma etapa intermediaacuteria pois para calcular ∆ devemos conhecer o campo eleacutetrico entre as

placas

Voltando ao capacitor esfeacuterico aplicamos essas ideacuteias em etapas

1 Suponha uma carga eleacutetrica na esfera menor de raio e uma carga ndash na casca de raio Jaacute

sabemos que a carga vai se distribuir na superfiacutecie da esfera de raio e que a carga ndash vai se

distribuir na superfiacutecie interior (de raio ) da casca metaacutelica (essas cargas e ndash se atraem

mutuamente) De fato esse eacute basicamente o problema de um condutor (a casca) com uma

cavidade e uma carga dentro dessa cavidade Por simetria todas as cargas se distribuiratildeo

uniformemente nas superfiacutecies

2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo com raios lt lt Da

lei de Gauss ou do teorema das cascas sabemos que esse campo eacute = 4

Figura 4 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute o vaacutecuo Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas

vaacutecuo

182

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Isso porque as cargas na esfera criam fora dela o mesmo campo eleacutetrico de uma carga

localizada no centro da esfera e as cargas na casca natildeo criam campo eleacutetrico dentro da casca Note

que soacute haacute campo eleacutetrico na regiatildeo entre as placas ( lt lt ) Dentro do material da esfera

menor ( lt ) e dentro do material da casca ( lt lt + ) natildeo haacute campo eleacutetrico pois satildeo

regiotildees ocupadas por materiais condutores Na regiatildeo exterior ao capacitor ( gt + ) natildeo haacute

campo eleacutetrico porque os campos de e ndash se cancelam (conforme podemos ver do teorema das

cascas)

3 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas

( ) minus ( ) = ∙ = 4 ∙ = 4 1 = 4 1 minus 1

Note que a DDP positiva eacute sempre a DDP (+) minus (minus) Na expressatildeo acima considere que usamos um

caminho de integraccedilatildeo radial que parte da superfiacutecie equipotencial de raio (na placa +) e termina na

superfiacutecie equipotencial de raio (na placa -) Nesse caminho = 4 Faccedila a razatildeo = ∆ = 4 1 minus 1 = 4 1 minus 1 = 4 minus

Essa eacute a capacitacircncia desse capacitor esfeacuterico De que depende Primeiro da geometria que no caso

eacute esfeacuterica Depois das dimensotildees ou seja e Depende tambeacutem do vaacutecuo pois o na expressatildeo acima

identifica o vaacutecuo como aquilo que existe no espaccedilo entre as placas do capacitor Note que depende

explicitamente da distacircncia radial = minus entre as placas (a espessura da camada de vaacutecuo) Quanto

menor mais proacuteximas as placas e maior o efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo entre elas (as cargas e ndash nas

placas se atraem mutuamente) maior a capacidade de acuacutemulo de cargas eleacutetricas e maior a capacitacircncia

Note que a capacitacircncia independe da espessura da casca esfeacuterica externa pois as cargas eleacutetricas nas

placas concentram-se nas superfiacutecies delas na superfiacutecie da esfera de raio e na superfiacutecie interna da casca

de raio Na haacute cargas eleacutetricas acumuladas nos volumes das placas ou na superfiacutecie externa de raio +

da casca esfeacuterica Por isso sua espessura eacute irrelevante

Um caso particular interessante eacute o caso rarr infin em que vamos obter a capacitacircncia apenas da

esfera de raio (um capacitor com apenas uma placa esfeacuterica) = 4

Essa eacute a capacitacircncia de um capacitor com apenas uma placa esfeacuterica de raio ∆ nesse caso eacute a diferenccedila

de potencial entre a esfera e um ponto no infinito A capacitacircncia do planeta Terra ( cong 6370 km) eacute

183

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

cong 00007

A Terra eacute eletricamente neutra Para aumentar seu potencial eleacutetrico em 1 V (em relaccedilatildeo ao infinito) a Terra

deveria acumular uma carga eleacutetrica = ∆ cong 00007 C Trata-se de um valor gigantesco de carga tendo

em vista que a carga eleacutetrica de eleacutetrons e proacutetons possui magnitude cong 16 times 10 C

Como segundo e uacuteltimo exemplo de caacutelculo de capacitacircncia

considere um capacitor formado por duas placas metaacutelicas planas cada uma

de aacuterea e espessura separadas em suas faces internas por uma

distacircncia (em que haacute vaacutecuo) A Figura ao lado ilustra esse dispositivo

Considere que os dois terminais do capacitor estatildeo conectados cada um a

uma das placas metaacutelicas Atraveacutes desses terminais as cargas eleacutetricas podem fluir das e para as placas indo e

vindo de um circuito externo uma bateria por exemplo Aqui para calcular a capacitacircncia vamos usar a

mesma sequecircncia de etapas que usamos para o capacitor esfeacuterico Mas no meio do caminho encontraremos

um problema que chamamos de ldquoefeitos de bordardquo Esse problema natildeo surgiu no capacitor esfeacuterico porque

ele natildeo possui bordas Aqui vemos claramente que uma placa termina em suas quatro faces laterais que satildeo

as bordas da placa plana Esperamos que essas bordas quebrem simetrias que haveria nas placas sem bordas

(placas planas infinitas) e modifiquem as distribuiccedilotildees de carga nas placas distorcendo o campo eleacutetrico nas

vizinhanccedilas dessas regiotildees

A Figura ao lado (encontrada na internet Ref

Harold M Waage Princeton University) ilustra uma visatildeo

de perfil de um capacitor de placas planas paralelas com

placas pequenas onde podemos ver claramente a

distorccedilatildeo das linhas de forccedila de nas vizinhanccedilas das

bordas Trata-se de um resultado experimental em que o

campo atua sobre um liacutequido no qual o capacitor estaacute

mergulhado ldquomaterializandordquo suas linhas de forccedila Note

que o campo eacute basicamente dipolar e que as linhas de

forccedila satildeo ortogonais agraves superfiacutecies das placas pois elas (as placas) satildeo equipotenciais No centro do capacitor

o campo eleacutetrico eacute razoavelmente uniforme porque essa regiatildeo estaacute longe das bordas Proacuteximo agraves bordas as

linhas de forccedila se curvam e se tornam menos densas refletindo uma reduccedilatildeo na magnitude de Eacute

interessante frisar que o campo eacute criado pelas cargas eleacutetricas distribuiacutedas nas placas e que o efeito de

borda se daacute tambeacutem nessa distribuiccedilatildeo de cargas que se torna natildeo uniforme nas bordas das placas (jaacute

comentamos que eacute comum que nos condutores as cargas eleacutetricas acumulem mais nas regiotildees de arestas e

184

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

pontas) A distorccedilatildeo no campo eacute causada pelas quebras de simetria geomeacutetricas (mais carga eleacutetrica de um

lado do que de outro) e pela natildeo-uniformidade na distribuiccedilatildeo de cargas nas placas

Concluindo a dificuldade de calcular analiticamente a capacitacircncia do capacitor de placas planas

paralelas estaacute em se prever essa distribuiccedilatildeo natildeo uniforme de cargas nas placas e o campo eleacutetrico que elas

criariam no espaccedilo levando em conta os efeitos de borda Sendo assim partimos para uma aproximaccedilatildeo em

que os efeitos de borda podem ser desprezados Por exemplo podemos simplesmente supor que as placas do

capacitor satildeo infinitas e que portanto natildeo haacute efeitos de bordas O resultado para que vamos obter seria

uma boa aproximaccedilatildeo para um capacitor de placas grandes Mas nada eacute absolutamente grande (a natildeo ser que

seja infinito) e vemos que outra dimensatildeo importante eacute a distacircncia entre as faces internas das placas

Quanto mais proacuteximas as placas menor a distorccedilatildeo de e menores os efeitos de borda Nesse sentido a

razatildeo de proporccedilatildeo radic sendo a aacuterea das placas seria o fator importante para determinar a magnitude

dos efeitos de borda radic cong 0 significa placas grandes eou muito proacuteximas o que levaria a efeitos de borda

pequenos e talvez despreziacuteveis (dependendo do seu niacutevel de exigecircncia)

Na praacutetica desprezar os efeitos de borda no capacitor de placas planas

paralelas significa considerar que a distribuiccedilatildeo superficial de cargas nas

placas que vamos chamar de eacute uniforme em toda a extensatildeo das placas e

que o campo eleacutetrico eacute em todos os pontos do espaccedilo entre as placas igual ao

campo eleacutetrico no centro das placas (onde haacute simetria) A Figura ao lado ilustra

essa ideia Note que as cargas em uma placa atraem as cargas na outra placa e

que portanto as cargas se concentram apenas nas faces internas das placas na

placa positiva e ndash na placa negativa Jaacute estudamos o campo eleacutetrico criado por uma

placa plana infinita com densidade de carga uniforme O campo eacute ortogonal agrave placa

(eixo z) e de magnitude = 2 A Figura ao lado ilustra (visatildeo de perfil) as cargas

eleacutetricas depositadas nas superfiacutecies internas das placas e algumas linhas de forccedila de

(em verde) no espaccedilo (de vaacutecuo) entre as placas (desprezando efeitos de borda)

Vamos aplicar aqui a mesma sequecircncia de passos que usamos para determinar a capacitacircncia do

capacitor esfeacuterico

1 Suponha uma carga eleacutetrica na placa superior e uma carga ndash na placa inferior ambas de aacuterea

Essas cargas ficam distribuiacutedas uniformemente nas faces internas das placas (elas se atraem

mutuamente) constituindo densidades de carga eleacutetrica uniformes plusmn = plusmn = plusmn

z

+ + + + + + + + +

- - - - - - - - -

z

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo entre as faces mais proacuteximas

das placas (nas outras regiotildees o campo eacute nulo) Da lei de Gauss e superpondo os campos das duas

placas (infinitas para todos os efeitos) com densidade de carga uniforme obtemos = 3 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas

(+) minus (minus) = ∙ = ∙ = =

Na expressatildeo acima considere que usamos um caminho de integraccedilatildeo ao longo do eixo z que parte da

face inferior da placa superior (z=0) e termina na face superior da placa inferior (z=d) Essas duas faces satildeo

superfiacutecies equipotenciais uma com potencial (+) e a outra com potencial (minus) Nesse caminho ao longo

do eixo z vale = 4 Faccedila a razatildeo = ∆ = =

Note que = eacute a carga eleacutetrica total depositada na placa positiva Essa eacute a capacitacircncia desse capacitor

de placas planas paralelas sem efeitos de borda De que depende Primeiro da geometria que no caso eacute

plana Depois das dimensotildees ou seja e Depende tambeacutem do vaacutecuo pois o na expressatildeo acima

identifica o vaacutecuo como aquilo que existe no espaccedilo entre as placas do capacitor Note que depende

explicitamente da distacircncia entre as faces internas das placas (a espessura da camada de vaacutecuo) Quanto

menor mais proacuteximas as placas e maior o efeito de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo entre elas maior a capacidade

de acuacutemulo de cargas eleacutetricas e maior a capacitacircncia Note que a capacitacircncia independe da espessura das

placas pois as cargas eleacutetricas concentram-se apenas nas faces internas das placas (as cargas e minus nas

placas se atraem mutuamente) Na haacute cargas eleacutetricas acumuladas nos volumes das placas ou nas superfiacutecies

externas Por isso suas espessuras satildeo irrelevantes

Na literatura podemos encontrar vaacuterios meacutetodos aproximados para levar em conta os efeitos de borda

no capacitor de placas paralelas Para placas quadradas de lado radic encontramos a foacutermula aproximada (ver

Electrodynamics of continuous media Landau e Lifschitz)

= + radic2 ln radic

Vemos que a capacitacircncia com efeitos de borda (ou seja mais realista) eacute maior que a capacitacircncia

ideal sem nenhum efeito de borda Isso ocorre porque as bordas concentram mais carga eleacutetrica do que a

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

porccedilatildeo plana das placas Esse eacute um efeito que ocorre sempre que um condutor possui alguma regiatildeo pontuda

ou uma simples aresta cortante conforme jaacute vimos no capiacutetulo 2 quando discutimos o campo eleacutetrico na

regiatildeo externa proacutexima agrave superfiacutecie de um condutor Essas regiotildees de grandes curvaturas acumulam maior

densidade de cargas eleacutetricas do que as regiotildees mais planas e suaves de pequenas curvaturas Trata-se de

um efeito da repulsatildeo muacutetua entre as cargas superficiais que compotildeem Conforme jaacute discutimos sendo

maior a densidade de cargas maior eacute o campo eleacutetrico externo nas regiotildees do espaccedilo proacuteximas dessas

pontas e arestas metaacutelicas (um efeito de borda) Por isso essas regiotildees estatildeo mais propensas agrave quebra de

rigidez dieleacutetrica do ar o que justifica a geometria pontuda de um para-raios

44 Associaccedilotildees de capacitores (seacuterie e paralelo)

Na Figura 5 ao lado mostramos uma porccedilatildeo do esquema

do circuito de um raacutedio AM Podemos ver a antena (o triacircngulo

invertido) um transistor Q1 (amplificaccedilatildeo) alguns resistores e

alguns capacitores O siacutembolo do capacitor eacute formado por dois

tracinhos paralelos representando as duas placas Note que natildeo

haacute transporte de carga de uma placa para a outra por dentro do

capacitor mas as placas estatildeo acopladas entre si atraveacutes do

campo eleacutetrico que leva ao processo de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo

Vemos que o capacitor C1 por exemplo tem o valor especificado

de 47 pF (p=pico=10 ) Haacute um capacitor ajustaacutevel VC (com

valor maacuteximo de 300 pF) representado pelos dois tracinhos

cortados por uma seta Esse capacitor eacute usado na sintonia das

estaccedilotildees de raacutedio Haacute um capacitor de 1 F em que um dos tracinhos eacute curvo Esse eacute um capacitor que possui

polaridade ou seja o terminal esquerdo no esquema marcado com um + deve ser ligado ao potencial maior

no circuito Essa polaridade eacute ditada pelas propriedades do material isolante que existe entre as placas O

capacitor C1 natildeo possui polaridade seus dois terminais satildeo iguais

Suponha que vocecirc esteja montando esse circuito construindo seu proacuteprio raacutedio AM Vocecirc vai agrave loja de

material eletrocircnico comprar os componentes indicados no esquema e natildeo encontra o capacitor de 1 F mas eacute

informado de que haacute capacitores de 2 F disponiacuteveis Entatildeo vocecirc pode comprar dois capacitores de 2 F

conectaacute-los em seacuterie e ligar essa associaccedilatildeo dos dois capacitores ao circuito Ele vai funcionar perfeitamente

Isso porque a associaccedilatildeo em seacuterie de dois capacitores de 2 F possui uma capacitacircncia equivalente de 1 F

Essas associaccedilotildees de capacitores eacute o que vamos discutir agora

Figura 5 Uma porccedilatildeo do circuito de um raacutedio AM Podemos ver a presenccedila de quatro capacitores sendo um deles ajustaacutevel (de sintonia)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

441 Associaccedilatildeo de capacitores em seacuterie

Considere dois capacitores de capacitacircncias e conectados em seacuterie A conexatildeo em seacuterie se daacute

quando pegamos um terminal de cada capacitor e conectamos eletricamente formando um noacute Nesse noacute natildeo

haacute mais nada conectado nada aleacutem desses dois terminais A Figura 6 abaixo ilustra essa ideia

Nessa Figura ilustramos esquematicamente o processo em que dois capacitores em seacuterie satildeo

reduzidos a um soacute Os terminais A e B e as placas mais externas satildeo mantidos intactos nesse processo (as duas

placas internas (azuis) ldquose fundemrdquo e funcionam como uma placa apenas) A e B satildeo os terminais que seratildeo

conectados ao circuito externo Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B

um uacutenico capacitor de capacitacircncia Quanto vale

Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆

Considere que a carga eleacutetrica na placa positiva do capacitor eacute digamos a placa conectada ao

terminal A Entatildeo na placa direita de haacute uma carga minus As duas placas conectadas pelo noacute estatildeo

eletricamente isoladas do universo e portanto a carga total nessas duas placas deve ser constante ou seja

deve ser nula Concluiacutemos que na placa esquerda de a carga eacute de tal forma que + (minus ) = 0

Concluindo as cargas eleacutetricas nos dois capacitores satildeo iguais = =

Note que na reduccedilatildeo dos dois capacitores a um soacute as placas conectadas a A e a B se preservam

constituindo as placas do capacitor equivalente Assim sendo eacute a carga eleacutetrica no capacitor equivalente eacute a

carga que fluiu do circuito externo para o capacitor ldquototalrdquo atraveacutes do terminal A =

Por outro lado se ∆ = ( ) minus ( ) eacute dada por uma integral de caminho do campo eleacutetrico indo

de A ateacute B fica claro que nesse caminho vamos atravessar a regiatildeo entre as placas de e obter ∆ e na

sequecircncia vamos atravessar a regiatildeo entre as placas de e obter ∆ de tal forma que

Figura 6 dois capacitores associados em seacuterie Natildeo haacute nada mais conectado ao noacute apenas os dois terminais dos dois capacitores Dois capacitores reais de 10 F ligados em seacuterie Eles equivalem a um capacitor de 5 F

A A B B

A BA

noacute

B

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∆ = ∙ = ∙ + ∙ =∆ + ∆

Portanto ∆ = ∆ + ∆

Dividindo essa uacuteltima equaccedilatildeo por obtemos ∆ = ∆ + ∆ rArr 1 = 1 + 1 rArr = +

Por exemplo se associarmos em seacuterie um capacitor de 2 F com outro capacitor de 3 F essa

associaccedilatildeo seraacute equivalente a um uacutenico capacitor de capacitacircncia

= + = 2 times 32 + 3 = 65 cong 12

Note que obtemos uma capacitacircncia equivalente menor que e (ldquodistacircncia entre as placas maior mesma

aacuterea da placas capacitacircncia menorrdquo) De fato

= + = + lt e = + = + lt

Para vaacuterios capacitores em seacuterie obtemos 1 = 1 + 1 + 1 +⋯

Note que isso natildeo equivale a

Resumindo a tabela 1 abaixo lista as propriedades que observamos para capacitores quaisquer

ligados em seacuterie

Propriedades de N capacitores em seacuterie = = = ⋯ = ∆ = ∆ + ∆ +⋯+ ∆ 1 = ∆ = 1 + 1 + 1 +⋯+ 1

Tabela 1 Propriedades de capacitores associados em seacuterie

= hellip+ + +⋯

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442 Associaccedilatildeo de capacitores em paralelo

Considere agora dois capacitores de capacitacircncias e conectados em paralelo A conexatildeo em

paralelo se daacute quando conectamos os terminais dos capacitores dois a dois A Figura 7 abaixo ilustra essa

ideia

Nessa Figura ilustramos esquematicamente o processo em que dois capacitores em paralelo satildeo

reduzidos a um soacute Os terminais A e B satildeo mantidos intactos nesse processo As placas se juntam duas a duas

para formarem as placas do capacitor equivalente A e B satildeo os terminais que seratildeo conectados ao circuito

externo Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B um uacutenico capacitor de

capacitacircncia Quanto vale

Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆

Considere que a carga eleacutetrica na placa positiva do capacitor eacute digamos a placa conectada ao

terminal A Analogamente seja a carga eleacutetrica na placa positiva de tambeacutem conectada a A (essas

cargas natildeo tem que ser iguais) Entatildeo nas duas placas da esquerda haacute uma carga eleacutetrica total + Essa eacute

a carga na placa positiva do capacitor equivalente entre A e B que eacute a uniatildeo das duas placas positivas de e

+ eacute a carga que fluiu para o capacitor ldquototalrdquo atraveacutes do terminal A Concluindo a carga eleacutetrica

(total) na placa positiva do capacitor equivalente eacute = +

Note que na reduccedilatildeo dos dois capacitores a um soacute as placas conectadas a A se juntam e a mesma

coisa ocorre com as placas conectadas a B Essas placas juntas constituem as placas do capacitor equivalente

Por outro lado se ∆ = ( ) minus ( ) eacute dada por uma integral de caminho do campo eleacutetrico desde

A ateacute B fica claro que esse caminho pode atravessar a regiatildeo entre as placas de e fornecer ∆ ou

atravessar a regiatildeo entre as placas de e fornecer ∆ Como a integral que fornece ∆ independe do

caminho temos que obter o mesmo resultado para esses dois caminhos ou seja ∆ = ∆ = ∆

Figura 7 dois capacitores associados em paralelo Dois capacitores reais de 10 F ligados em paralelo Eles equivalem a um capacitor de 20 F

A B

A B

A B

A B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Dividindo a primeira equaccedilatildeo por ∆ obtemos

∆ = ∆ + ∆ rArr = +

Por exemplo se associarmos em paralelo um capacitor de 2 F com outro capacitor de 3 F essa

associaccedilatildeo seraacute equivalente a um uacutenico capacitor de capacitacircncia = 3 + 2 = 5

Note que obtemos uma capacitacircncia equivalente maior que e (ldquoaacuterea das placas maior capacitacircncia

maiorrdquo) posto que + gt e + gt

Para vaacuterios capacitores em paralelo obtemos = + + +⋯

Resumindo a tabela 2 abaixo lista as propriedades que observamos para capacitores quaisquer

ligados em paralelo

Propriedades de N capacitores em paralelo = + +⋯+ ∆ = ∆ = ∆ = ⋯ = ∆

= ∆ = + + +⋯+

Tabela 2 Propriedades de capacitores associados em paralelo

443 Exemplo de aplicaccedilatildeo da associaccedilatildeo de capacitores

Apenas para ilustrar a aplicaccedilatildeo dessas ideacuteias de associaccedilotildees

de capacitores vamos considerar a situaccedilatildeo em que queremos

calcular a carga eleacutetrica depositada na placa esquerda de

(destacada em vermelho) no circuito mostrado na Figura 8 ao lado

Os dados do problema satildeo a DDP ( ) minus ( ) = gt 0 e as

capacitacircncias Nesse circuito jaacute demos nome a alguns noacutes para

facilitar a anaacutelise Eacute bom frisar que os ldquofiosrdquo metaacutelicos que conectam

as placas dos capacitores satildeo equipotenciais e portanto podemos

ver na Figura que por exemplo ( ) = ( prime) ( ) = ( prime) = ( ) Podemos afirmar tambeacutem que o potencial na placa esquerda de eacute igual

ao potencial na placa esquerda de e na placa direita de sendo

Figura 8 Dado que ( ) minus ( ) = gt0 calcule a carga eleacutetrica depositada na placa destacada em vermelho

A Bx y

Arsquo Brsquo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

todos iguais a ( ) Nossa esperanccedila aqui eacute obter ( ) minus ( ) e concluir que = ∆ = [ ( ) minus ( )] Vamos

comeccedilar entatildeo a trilhar um caminho que nos leve a esse resultado Note que haacute vaacuterios caminhos possiacuteveis e nossa

escolha eacute basicamente uma questatildeo de gosto e um tanto aleatoacuteria A experiecircncia que adquirimos ao resolver vaacuterios

problemas desse tipo amplia o leque de abordagens e facilita as coisas

1 Jaacute podemos conhecer = ∆ = [ ( ) minus ( )] =

2 Se conhecermos a capacitacircncia equivalente entre A e B poderemos conhecer pois a carga total no

capacitor equivalente entre A e B eacute + (as placas da esquerda de e se juntam para formar a placa

esquerda do capacitor equivalente entre A e B) Mas note que e natildeo estatildeo em paralelo Vamos calcular

essa capacitacircncia equivalente ( ) Vemos que e estatildeo em paralelo e a capacitacircncia

equivalente entre x e y eacute ( ) = 2 + 3

Esse ( ) estaacute em seacuterie com e a capacitacircncia equivalente nesse ramo superior entre Alsquo e Brsquo eacute ( prime prime) = 1 ( )1 + ( ) = 1( 2 + 3)1 + 2 + 3

Finalmente ( prime prime) estaacute em paralelo com e a capacitacircncia equivalente entre A e B eacute ( ) = ( prime prime) + 4 = 1( 2 + 3)1 + 2 + 3 + 4

Portanto a carga total no capacitor equivalente entre A e B eacute = ( ) 0 Como jaacute dissemos

podemos determinar pois = ( ) 0 = + = + Conclusatildeo = ( ) minus = ( prime prime) = ( + )+ +

Nosso resultado mostra que poderiacuteamos ter raciocinado atraveacutes apenas da capacitacircncia equivalente entre Arsquo

e Brsquo mas agora jaacute era

3 Agora podemos conhecer ∆ =

4 Jaacute vimos que ( ) estaacute em seacuterie com e portanto ( ) minus ( ) = = ∆ + ( ) minus ( ) Sendo ( ) minus ( ) a DDP entre os terminais de ( ) Portanto essa DDP vale ( ) minus ( ) = minus ∆

5 Concluindo ( ) minus ( ) = ∆ e portanto = ∆ = ( minus ∆ ) = minus = 1 minus ( + )+ + = + +

Vemos que o resultado independe de pois no ramo superior ArsquoBrsquo a DDP define as cargas em cada

capacitor desse ramo incluindo Nem precisaacutevamos envolver nos caacutelculos

Vamos analisar alguns casos particulares Se quisermos desprezar a presenccedila de devemos juntar suas placas

(o que chamamos de curto-circuito) e considerar portanto rarr infin (pensando em um capacitor de placas paralelas

vemos que se rarr 0 = 0 rarr infin) Nesse caso obtemos

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

= + + rarr =

O que eacute compatiacutevel com o fato de que nesse limite vale ∆ =

Se quisermos desprezar a presenccedila de devemos separar suas placas (abrir o circuito em ) e considerar

portanto rarr 0 (pensando em um capacitor de placas paralelas vemos que se rarr infin = 0 rarr 0) Nesse caso

obtemos = + + rarr +

O que eacute compatiacutevel com o fato de que nesse limite restam apenas e em seacuterie no ramo ArsquoBrsquo

Enfim agora que jaacute terminamos podemos resumir essa soluccedilatildeo acima da seguinte forma

1 Calculamos 1 = ( prime prime) 0 = 1( 2+ 3)1+ 2+ 3 0 pois a placa esquerda de eacute a placa do capacitor

equivalente entre Arsquo e Brsquo

2 Vemos que + = pois a carga total nas trecircs placas que se conectam em x eacute nula

3 e estatildeo em paralelo e entatildeo ∆ = ∆ o que leva a =

4 Concluindo = minus = minus e portanto

5 = = ( ) =

45 A energia potencial eleacutetrica armazenada em um capacitor

Considere um capacitor de capacitacircncia que estaacute carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa

positiva (e com uma DDP ∆ = entre suas placas) Quantos joules de energia potencial eleacutetrica estatildeo

armazenados nesse capacitor

Para responder essa pergunta podemos imaginar um processo iterativo em que as cargas eleacutetricas vatildeo

chegando aos poucos nas placas e o potencial eleacutetrico vai se ajustando aumentando de magnitude

concomitantemente ao aumento da carga obedecendo agrave relaccedilatildeo ∆ prime = prime Em cada instante o capacitor

recebe uma carga eleacutetrica em sua placa positiva (e simultaneamente ndash em sua placa negativa) e nesse

instante ele acumula um acreacutescimo de energia potencial eleacutetrica dada por = + (minus ) = ( minus ) = ∆

Nessa expressatildeo ∆ = minus eacute a DDP entre as placas nesse instante em que plusmn acumula nas placas

Imaginemos entatildeo esse processo iterativo Inicialmente as placas estatildeo vazias = 0 e ∆ = 0 Os

primeiros incrementos de carga plusmn satildeo depositados nessas placas vazias e isso natildeo custa (e nem armazena)

nada

193

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

(0) = ∆ = 0 = 0

Os segundos incrementos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo depositados plusmn

e haacute um ∆ prime = Portanto (1) = ∆ prime = = ( )

Os terceiros incrementos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo depositados plusmn2

e haacute um ∆ prime = 2 Portanto (2) = ∆ prime = 2 = 2 ( )

Os quartos pedacinhos de carga plusmn satildeo depositados nas placas em que jaacute estatildeo plusmn3 e haacute um ∆ prime = 3 Portanto (3) = ∆ prime = 3 = 3 ( )

Enfim se a carga eleacutetrica final depositada nas placas eacute = com ≫ 1 segue que a energia total

armazenada nesse capacitor eacute

= (0) + (1) + ⋯+ ( minus 1) = ( ) = ( ) = ( )

Fazendo o somatoacuterio acima obtemos finalmente

= ( ) = ( ) ( minus 1)2 = ( ) 2 = 12 ( ) = 12

Note que usamos que para ≫ 1 vale minus 1 = (considere que cong 10 )

Concluindo a energia potencial eleacutetrica armazenada em um capacitor de capacitacircncia que estaacute

carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa positiva (e com uma DDP ∆ = entre suas placas) eacute

= 12 = 12 (∆ ) = 12 ∆

A ideia acima eacute ilustrativa do processo de acuacutemulo de cargas e energia potencial eleacutetrica em um

capacitor Se quisermos podemos simplificar as coisas afirmando que o acuacutemulo de um incremento

infinitesimal de cargas plusmn no instante acrescenta a energia potencial infinitesimal ( ) ao capacitor de

tal forma que ( ) = ∆ ( )

Note que eacute a mesma ideia anterior ( ) estaacute definido pela DDP ∆ ( ) que existe no instante e natildeo pela

DDP final no capacitor ∆ Utilizando a relaccedilatildeo entre ∆ ( ) e ( ) obtemos

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

( ) = ∆ ( ) = ( ) rArr = rArr = = 12

Nesse resultado acima usamos a condiccedilatildeo inicial (0) = (0) = 0

Considere o capacitor mostrado na Figura ao lado fabricado para uso em

unidades de flash de maacutequinas fotograacuteficas (httpwwwrubyconcojp) Vemos

que = 100 F Vamos supor que sua DDP de operaccedilatildeo seja ∆ cong 400 V (abaixo

dos 450 V de DDP limite) Estando plenamente carregado esse capacitor vai

acumular a energia potencial eleacutetrica (em joules) = 12 (∆ ) cong 8

Ao pressionar o botatildeo de acionamento da maacutequina fotograacutefica o capacitor vai descarregar e esses 8 joules de

energia seratildeo entregues a uma lacircmpada que vai emitir um brilho intenso o flash Esse brilho vai depender

tambeacutem da eficiecircncia da lacircmpada ou seja do percentual desses 8 J que a lacircmpada eacute capaz de converter em

energia luminosa (radiaccedilatildeo visiacutevel) Se o flash tiver um tempo de duraccedilatildeo ∆ cong 11000 s e se a eficiecircncia da

lacircmpada for proacutexima de 100 (apenas uma estimativa) a potecircncia luminosa emitida pela lacircmpada seraacute

= ∆ cong 8000

Com certeza eacute um brilho intenso Ao desmontar uma maacutequina fotograacutefica cuidado com o capacitor de flash

ele pode te dar um susto inesqueciacutevel

Energia eacute capacidade de realizar trabalho Na mecacircnica associamos energia potencial elaacutestica = a uma mola deformada de porque entendemos que essa mola tem capacidade de puxar ou

empurrar atraveacutes da forccedila de mola corpos que estejam em contato com ela A mola deformada possui uma

capacidade de realizar trabalho igual a Realizar trabalho eacute aplicar forccedila e deslocar transferindo portanto

energia O campo eleacutetrico eacute ele mesmo uma capacidade que uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas possui de

realizar forccedila sobre outros objetos carregados distantes dele Assim sendo natildeo devemos nos surpreender com

a ideia de que a capacidade de realizar trabalho de uma distribuiccedilatildeo de cargas se estende no espaccedilo

juntamente com seu campo eleacutetrico Dito de outra forma onde haacute campo eleacutetrico haacute capacidade de realizaccedilatildeo

de trabalho e haacute portanto energia potencial eleacutetrica A luz eacute um campo eletromagneacutetico ou seja eacute a

superposiccedilatildeo de um campo eleacutetrico e um campo magneacutetico acoplados entre si oscilando no tempo e no

espaccedilo Quando nos expomos agrave luz do Sol sentimos o aquecimento da pele ou seja a produccedilatildeo de energia

teacutermica De onde vem essa energia Ela vem do Sol No Sol ocorrem reaccedilotildees nucleares que produzem luz

(aleacutem de outras radiaccedilotildees invisiacuteveis e tambeacutem energia cineacutetica calor etc) e essa luz se propaga no espaccedilo

chegando na Terra A luz eacute um campo eleacutetrico oscilatoacuterio e quando ela atinge a pele ela exerce uma forccedila

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

oscilatoacuteria sobre cargas eleacutetricas que compotildeem a pele agitando-as Daiacute sentimos o aquecimento da pele

Aonde a luz do Sol vai a energia do Sol vai junto

Cargas eleacutetricas satildeo diferentes de molas porque a capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho da mola estaacute

localizada em sua extremidade livre que exerce a forccedila de mola enquanto que a capacidade de realizaccedilatildeo de

trabalho de cargas eleacutetricas se estende por todo o espaccedilo onde o campo eleacutetrico produzido por essa

distribuiccedilatildeo de cargas vai Sendo assim deve ser possiacutevel computar a energia potencial de uma distribuiccedilatildeo de

cargas atraveacutes do campo eleacutetrico que ela produz no espaccedilo

Por exemplo no caso do capacitor computamos sua energia potencial eleacutetrica atraveacutes de sua

capacitacircncia e da carga eleacutetrica que ele acumula = 12

Deve ser possiacutevel expressar essa em termos do campo eleacutetrico que a distribuiccedilatildeo de cargas no capacitor

produz no espaccedilo

Considere o caso mais simples do capacitor de placas paralelas sem efeitos de borda Nesse caso

sabemos que o campo eleacutetrico eacute uniforme entre as placas e vale

= =

sendo a aacuterea das placas Sabemos tambeacutem que = sendo a distacircncia entre as faces internas das

placas Portanto podemos expressar em termo de Basta fazer

= 12 = 12 ( ) = 12

Note que eacute exatamente o volume entre as placas do capacitor onde existe

campo eleacutetrico (nas outras regiotildees o campo eacute nulo) O campo eleacutetrico entre as

placas eacute uniforme e vale = preenchendo todo o volume do

paralelepiacutepedo de aacuterea da base e altura conforme ilustrado na Figura ao lado

(linhas de forccedila em vermelho) Note que a grandeza = 12

tem unidade de densidade de energia potencial eleacutetrica por unidade de volume Concluindo mostramos que

para o capacitor de placas paralelas vale =

z

196

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

sendo = o volume do espaccedilo por onde se estende o campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas no

capacitor Esse exemplo estaacute confirmando quantitativamente as ideacuteias que discutimos anteriormente

Concluiacutemos que se existe no ponto do espaccedilo um campo eleacutetrico ( ) entatildeo nesse ponto haacute uma

capacidade de exercer forccedila sobre uma carga eleacutetrica que porventura passe por aiacute e haacute tambeacutem uma

capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho ou seja uma densidade de energia potencial eleacutetrica ( ) dada por

( ) = 12 [ ( )]

Tendo em vista o nosso resultado acima ( = ) podemos afirmar que para uma configuraccedilatildeo qualquer

de cargas eleacutetricas deve valer

= ( ) = 2 [ ( )]

sendo um elemento infinitesimal de volume e ET significa que devemos realizar a integral no espaccedilo todo

em que o campo eleacutetrico ( ) eacute natildeo-nulo Essa capacidade de realizaccedilatildeo de trabalho ou seja essa energia

potencial eleacutetrica eacute um atributo das cargas eleacutetricas que estatildeo produzindo no espaccedilo esse campo ( ) No contexto da eletrostaacutetica natildeo haacute nenhuma vantagem em se calcular a energia eletrostaacutetica atraveacutes

de uma integral espacial da densidade ( ) ao inveacutes de se usar o conceito mais simples de potencial eleacutetrico

que eacute o que temos feito No entanto essa eacute uma primeira oportunidade que temos para introduzir essa ideia

de que onde haacute campo eleacutetrico haacute energia e que portanto uma onda eletromagneacutetica transporta energia

potencial eleacutetrica atraveacutes de sua propagaccedilatildeo no espaccedilo Eacute atraveacutes dessa propagaccedilatildeo de energia que o Sol

mesmo estando a milhotildees de quilocircmetros de distacircncia da Terra eacute capaz de realizar vaacuterias ldquotarefasrdquo aqui na

Terra como aquecer os oceanos e mover a maacutequina atmosfeacuterica realizar a fotossiacutentese nas plantas aquecer a

aacutegua em placas de aquecimento solar gerar energia eleacutetrica em paineacuteis solares etc

Como a luz do Sol aquece a aacutegua nos oceanos O campo eleacutetrico oscilatoacuterio potildee cargas eleacutetricas na

aacutegua do mar para vibrar (anaacutelogo a um forno de micro-ondas) Ele realiza trabalho sobre elas Da mesma

forma a luz do Sol aquece o ar e cria os ventos e aquece um tubo de cobre por onde passa aacutegua em uma placa

de aquecimento solar Como a luz do Sol produz a fotossiacutentese Por mais complicado que seja esse processo

ele se resume ao campo eleacutetrico forccedilando a reaccedilatildeo de CO2 e aacutegua produzindo

carboidratos e oxigecircnio Como a luz do Sol produz energia eleacutetrica em um painel solar

(fotovoltaico) O campo eleacutetrico produz separaccedilatildeo de cargas em um material

semicondutor atraveacutes do transporte de eleacutetrons Separaccedilatildeo de cargas implica em

energia potencial eleacutetrica Um painel solar pode ser usado para carregar uma bateria

como a que alimenta o holofote mostrado na Figura ao lado

197

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

46 O efeito de um dieleacutetrico sobre a capacitacircncia

Capacitores com vaacutecuo entre as placas possuem geralmente baixa capacitacircncia e alta rigidez dieleacutetrica

(da ordem de kV) Capacitores de uso comum com altas capacitacircncias tendo em vista suas dimensotildees

pequenas possuem geralmente um material isolante entre as placas Esses materiais isolantes satildeo tambeacutem

chamados de materiais dieleacutetricos ou simplesmente dieleacutetricos (dieleacutetrico = isolante eleacutetrico) A presenccedila de

um dieleacutetrico entre as placas modifica a capacitacircncia do capacitor quando comparado com a situaccedilatildeo de

vaacutecuo entre as placas Vamos discutir aqui por que isso acontece

Basicamente a capacitacircncia de um capacitor de duas placas eacute fortemente influenciada pelo

acoplamento eleacutetrico entre as placas a capacidade de eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo de uma placa na outra Vemos

isso explicitamente na expressatildeo da capacitacircncia de um capacitor de placas planas paralelas = pois

aumentando reduzimos o acoplamento eleacutetrico entre as placas e diminui Dessa forma podemos

entender que a inserccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas de um capacitor vai modificar o acoplamento eleacutetrico

entre suas placas e modificar sua capacitacircncia

Mais especificamente a propriedade central de um dieleacutetrico que faz com que ele modifique a

capacitacircncia de um capacitor estaacute em sua polarizaccedilatildeo eleacutetrica Jaacute vimos que moleacuteculas

apolares e aacutetomos na presenccedila de campos eleacutetricos externos se polarizam se tornam

pequenos dipolos eleacutetricos Moleacuteculas polares por sua vez jaacute satildeo pequenos dipolos

eleacutetricos por natureza Esses dipolos eleacutetricos (intriacutensecos ou induzidos) se orientam

paralelamente ao campo eleacutetrico externo conforme a Figura ao lado (a seta verde

eacute a seta de o momento de dipolo eleacutetrico do dipolo) Um dipolo eleacutetrico produz ele

mesmo campo eleacutetrico no espaccedilo um campo (linhas de forccedila azuis) Considere

entatildeo que eacute o campo eleacutetrico produzido pelas cargas eleacutetricas nas placas de um capacitor Se

preenchermos o espaccedilo entre as placas com um dieleacutetrico esperamos que surja no espaccedilo entre as placas um

campo (ou a resultante macroscoacutepica desse campo para vaacuterios aacutetomos ou moleacuteculas) e que esse campo

afete a capacitacircncia desse capacitor Seria surpreendente se isso natildeo acontecesse Para capacitores com vaacutecuo

entre as placas vale = 0

Observamos que a inserccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas de um capacitor sempre aumenta a

capacitacircncia quando comparada com a capacitacircncia com vaacutecuo entre as placas Definimos entatildeo a constante

dieleacutetrica gt 1 de um dieleacutetrico como sendo a constante de proporcionalidade na relaccedilatildeo

( ) = ( )

+-

198

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

sendo ( ) a capacitacircncia de um capacitor com esse dieleacutetrico entre as placas e ( ) a capacitacircncia desse

mesmo capacitor (mesma geometria e mesmas dimensotildees) com vaacutecuo entre as placas Esse aumento na

capacitacircncia estaacute associado ao campo e agraves cargas de polarizaccedilatildeo que definiremos em seguida

Aqui vale a pena considerarmos duas situaccedilotildees que levam agrave mesma conclusatildeo final do aumento da

capacitacircncia com a inserccedilatildeo do dieleacutetrico entre as placas Na primeira situaccedilatildeo consideramos um capacitor

que estaacute carregado com uma carga eleacutetrica em sua placa positiva e que estaacute com suas placas desconectadas

do mundo exterior (capacitor isolado) Na segunda situaccedilatildeo consideramos um capacitor permanentemente

conectado a uma bateria Imaginaremos um processo em que o capacitor inicialmente com vaacutecuo entre as

placas tem o espaccedilo entre as placas (todo) preenchido por um meio dieleacutetrico qualquer

461 Inserccedilatildeo de um dieleacutetrico em um capacitor isolado

Vamos ilustrar as coisas usando um capacitor de placas paralelas mas nossas conclusotildees valem para

qualquer capacitor A Figura 9 compara um capacitor isolado (visatildeo de perfil) sem e com dieleacutetrico entre as

placas (desprezando efeitos de borda)

Inicialmente haacute por hipoacutetese uma carga eleacutetrica depositada nas placas concentrada em densidades

de carga uniformes plusmn em cada uma das faces internas das placas Essas cargas produzem no espaccedilo entre as

placas o campo eleacutetrico (PL de placas) Esse campo existe independentemente da presenccedila do dieleacutetrico e

por isso ele eacute tambeacutem representado nas Figuras (b) e (c) Estando o capacitor desconectado as cargas nas

placas e o campo natildeo mudam ou seja natildeo satildeo afetados pela presenccedila ou natildeo do dieleacutetrico entre as

placas Em (b) estamos supondo que haacute um dieleacutetrico entre as placas e mostramos o efeito de (que age

como um campo eleacutetrico externo) nas moleacuteculas (ou aacutetomos) do dieleacutetrico (exagerando bastante seus

tamanhos) Os momentos de dipolo eleacutetrico (intriacutensecos ou induzidos) se orientam paralelamente ao campo

+ + + + +

- - - - -

++++ +

---- -

+++ + +

--- - -

+ -

+ - +

-

+- +

- - - - -

+ + ++

+++ + +

--- - -

(a) vaacutecuo (b) dieleacutetrico (c) dieleacutetrico (d) dieleacutetrico

Figura 9 Visatildeo de perfil de um capacitor de placas planas paralelas (a) com vaacutecuo entre as placas (b) com dieleacutetrico entre as placas moleacuteculas polarizadas (c) cargas de polarizaccedilatildeo e seu campo eleacutetrico (d) campo eleacutetrico resultante entre as placas A seta azul eacute menor que a seta vermelha

199

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Note que isso produz uma organizaccedilatildeo nas cargas eleacutetricas concentradas nos poacutelos dos

aacutetomosmoleacuteculas cujo resultado final se resume agrave formaccedilatildeo de densidades superficiais de carga eleacutetrica nas

superfiacutecies do dieleacutetrico que faceiam as placas metaacutelicas Chamamos essas cargas eleacutetricas de cargas de

polarizaccedilatildeo pois elas satildeo fruto desse processo de organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos do dieleacutetrico Na regiatildeo

interior do dieleacutetrico vemos basicamente uma mistura homogecircnea de poacutelos positivos e negativos ou seja a

neutralidade eleacutetrica eacute mantida (em cada ponto) nessa regiatildeo Em (c) mostramos o campo eleacutetrico (POL

de polarizaccedilatildeo) criado por essas densidades de carga de polarizaccedilatildeo plusmn concentradas nas faces superior e

inferior do dieleacutetrico Note que eacute oposto a Mostramos uma seta pequena de comparada agrave seta

de porque devemos ter em mente que eacute um efeito de sem natildeo haacute e que esse efeito eacute

normalmente pequeno Na Figura 9(d) mostramos finalmente o resultado disso tudo o campo eleacutetrico

resultante entre as placas qual seja = + tem magnitude menor que o campo eleacutetrico original

quando havia somente o vaacutecuo entre as placas Conclusatildeo se as cargas eleacutetricas depositadas nas placas

estatildeo constantes (pois o capacitor estaacute isolado) a inserccedilatildeo do dieleacutetrico reduz o campo eleacutetrico entre as placas

(quando comparado ao vaacutecuo) A DDP entre as placas eacute

∆ = (+) minus (minus) = ∙

Portanto

∆ ( ) = ∙ ∆ ( ) = + ∙

Segue que ∆ diminui com a inserccedilatildeo do dieleacutetrico (lembre-se que + lt ) Como esse

capacitor com dieleacutetrico estaacute acumulando a mesma quantidade de carga eleacutetrica que o capacitor com vaacutecuo

mas com menor DDP entre as placas concluiacutemos que sendo = ∆

( ) gt ( ) A presenccedila do dieleacutetrico entre as placas aumenta a capacitacircncia do capacitor

Resumindo nosso raciociacutenio

Se ( ) = ( ) e ∆ ( ) lt ∆ ( ) segue que ( ) gt ( ) 462 Inserccedilatildeo de um dieleacutetrico em um capacitor conectado a uma bateria

A Figura 10 abaixo compara um capacitor (visatildeo de perfil) que estaacute constantemente conectado a uma

bateria sem e com dieleacutetrico entre as placas O raciociacutenio aqui eacute parecido com o anterior Mas haacute uma etapa

intermediaacuteria em que as coisas se datildeo de uma forma diferente Nossa conclusatildeo quanto ao aumento da

capacitacircncia eacute a mesma

200

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Inicialmente haacute uma carga eleacutetrica depositada nas placas concentrada em densidades de carga plusmn em

cada uma das faces internas das placas Essas cargas produzem no espaccedilo entre as placas o campo eleacutetrico

(PL de placas) Esse campo existe independentemente da presenccedila do dieleacutetrico e por isso ele eacute representado

nas Figuras (b) e (c) Em (b) estamos supondo um dieleacutetrico entre as placas e mostramos o efeito de (que

age como um campo eleacutetrico externo) nas moleacuteculas (ou aacutetomos) do dieleacutetrico (exagerando bastante seus

tamanhos)

Os momentos de dipolo eleacutetrico se orientam paralelamente ao campo Note que isso produz

uma organizaccedilatildeo nas cargas eleacutetricas concentradas nos poacutelos dos aacutetomosmoleacuteculas cujo resultado final eacute a

formaccedilatildeo de densidades superficiais de carga eleacutetrica nas superfiacutecies do dieleacutetrico que faceiam as placas

metaacutelicas As coisas aqui acontecem da mesma forma que no nosso exemplo anterior

Chamamos essas cargas eleacutetricas de cargas de polarizaccedilatildeo pois elas satildeo fruto desse processo de

organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos do dieleacutetrico Na regiatildeo interior do dieleacutetrico vemos basicamente uma

mistura homogecircnea de poacutelos positivos e negativos ou seja a neutralidade eleacutetrica eacute mantida (em cada ponto)

nessa regiatildeo Na Figura 10(c) mostramos o campo eleacutetrico (POL de polarizaccedilatildeo) criado por essas

densidades de carga de polarizaccedilatildeo plusmn nas faces do dieleacutetrico Note que eacute oposto a Mostramos

uma seta pequena de comparada agrave seta de porque devemos ter em mente que eacute um efeito de

sem natildeo haacute e que esse efeito eacute normalmente pequeno Na Figura 10(d) mostramos finalmente o

resultado final disso tudo o campo eleacutetrico resultante entre as placas qual seja = + tem a

mesma magnitude que o campo eleacutetrico original Por quecirc Aqui a presenccedila constante da bateria manteacutem

o valor de ∆ constante igual agrave DDP entre os terminais da bateria Se por exemplo a bateria for uma bateria

de 9 V entatildeo ∆ = 9 V com vaacutecuo entre as placas e com dieleacutetrico entre as placas (tanto em (a) quanto em

(d)) Portanto como vale a relaccedilatildeo

+ + + + +

- - - - -

+++ + +

--- - -

+ -

+ - +

-

+- +

- - - - -

+ + ++

+++ + +

--- - -

(a) vaacutecuo (b) dieleacutetrico (c) dieleacutetrico (d) dieleacutetrico

Figura 10 Visatildeo de perfil de um capacitor de placas planas paralelas (a) com vaacutecuo entre as placas (b) com dieleacutetrico entre as placas moleacuteculas polarizadas (c) cargas de polarizaccedilatildeo e seu campo eleacutetrico (d) campo eleacutetrico resultante entre as placas A seta azul tem o mesmo tamanho da seta vermelha em (a)

++++ +

---- -

+ ++ + + + ++

-- - - - - - -

201

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

∆ = (+) minus (minus) = ∙ = ∙

segue que = Mas existe o campo eleacutetrico oposto e portanto como pode ser mantido o valor

do campo resultante Eacute simples a inserccedilatildeo do dieleacutetrico aumenta a magnitude de Como Aumentando a

carga eleacutetrica depositada nas placas graccedilas agrave accedilatildeo da bateria que fornece cargas eleacutetricas para o capacitor

enquanto o dieleacutetrico eacute inserido entre suas placas Basicamente as cargas de polarizaccedilatildeo nas faces superior e

inferior dos dieleacutetricos atraem mais cargas de sinais opostos para as placas metaacutelicas (eletrizaccedilatildeo por induccedilatildeo)

No capacitor isolado isso natildeo produz nenhum efeito mas aqui essa atraccedilatildeo faz com que a bateria forneccedila mais

cargas eleacutetricas para as placas do capacitor aumentando a magnitude de

Conclusatildeo se a carga eleacutetrica depositada nas placas aumenta (pela accedilatildeo da bateria) ao mesmo tempo

em que a DDP entre as placas se manteacutem (pela accedilatildeo da bateria) segue que como = ∆

( ) gt ( ) A presenccedila do dieleacutetrico entre as placas aumenta a capacitacircncia do capacitor

Resumindo nosso raciociacutenio

Se ( ) gt ( ) e ∆ ( ) = ∆ ( ) segue que ( ) gt ( ) Juntando os resultados de nossas duas anaacutelises anteriores podemos dizer que um capacitor com

dieleacutetrico tem maior capacitacircncia que o mesmo capacitor com vaacutecuo entre as placas porque ele acumula a

mesma quantidade de carga eleacutetrica com uma DDP menor entre as placas eou porque ele acumula mais carga

eleacutetrica com a mesma DDP entre as placas Enfim em qualquer caso a polarizaccedilatildeo do material dieleacutetrico faz

com que um capacitor tenha capacitacircncia maior do que ele teria se houvesse vaacutecuo entre as placas

A razatildeo entre as capacitacircncias (para um mesmo capacitor mesma geometria e mesmas dimensotildees)

com e sem dieleacutetrico define a constante dieleacutetrica do material dieleacutetrico inserido entre as placas

= ( )( )

Voltando agraves anaacutelises que fizemos considerando o caso especiacutefico de um capacitor de placas paralelas

obtemos que no caso do capacitor isolado (carga eleacutetrica constante Figura 9)

= ( )( ) = ∆ ( )∆ ( ) = ∆ ( )∆ ( ) = rArr ( ) = ( )

sendo a distacircncia entre as faces internas das placas (por isso ∆ = ) Concluiacutemos que na presenccedila do

dieleacutetrico o campo eleacutetrico entre as placas ( ( )) diminui (por causa do campo eleacutetrico de polarizaccedilatildeo) ele

eacute vezes menor do que o campo eleacutetrico que haveria se houvesse vaacutecuo entre as placas ( ( )) com a

202

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

mesma carga eleacutetrica depositada nas placas Lembrando que o campo eleacutetrico entre as placas que obtivemos

para o capacitor de placas planas paralelas com vaacutecuo entre as placas eacute

( ) =

Concluiacutemos que o campo eleacutetrico entre as placas com o espaccedilo preenchido por dieleacutetrico e a mesma

densidade de carga nas placas eacute ( ) =

Aqui eacute interessante introduzirmos a permissividade dieleacutetrica do meio dieleacutetrico = de tal

forma que o campo eleacutetrico manteacutem a mesma forma original mas com no lugar de ou seja

( ) =

Aqui chegamos a uma conclusatildeo importante se acreditarmos que tudo que dissemos anteriormente

natildeo eacute restrito ao contexto do capacitor de placas paralelas mas sim um resultado geral apenas descoberto

nesse contexto Esse eacute o caso Concluiacutemos que se jaacute conhecemos o campo eleacutetrico ( )( ) de uma

distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas fixas no vaacutecuo o campo eleacutetrico produzido pela mesma distribuiccedilatildeo de cargas

eleacutetricas mas agora fixas no espaccedilo que eacute (todo) preenchido por um meio material dieleacutetrico eacute dado pela

mesma expressatildeo do campo ( )( ) mas com o substituiacutedo por = sendo a constante

dieleacutetrica desse material que permeia o espaccedilo Jaacute haviacuteamos adiantado esse resultado quando discutimos a lei

de Coulomb no capiacutetulo 1

Resumindo uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas produz no espaccedilo vazio o campo eleacutetrico ( )( ) Havendo um meio material permeando o espaccedilo o campo ( )( ) organiza os dipolos eleacutetricos (intriacutensecos

ou induzidos) desse meio que passa a produzir no espaccedilo o campo ( )( ) O campo eleacutetrico (resultante)

no espaccedilo passa a ser ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) Estamos descobrindo aqui que a expressatildeo de ( )( ) eacute a mesma expressatildeo de ( )( ) apenas trocando por

Por exemplo vimos que o campo eleacutetrico de uma carga pontual fixa no espaccedilo vazio eacute

( )( ) = 4 Portanto se essa mesma carga eleacutetrica estiver fixa em uma regiatildeo do espaccedilo permeado por um meio material

de permissividade eleacutetrica o campo eleacutetrico no mesmo ponto do espaccedilo seraacute dado por

( )( ) = 4

203

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

Esse resultado natildeo mostra que a presenccedila do meio material modifica o campo eleacutetrico que a carga gera no

espaccedilo Mesmo na presenccedila do meio material a carga continua gerando em o campo eleacutetrico ( )( ) mas o campo eleacutetrico resultante no espaccedilo muda deixa de ser ( )( ) e passa a ser ( )( ) + ( )( ) Assim o campo eleacutetrico resultante em passa a ser dado por

( )( ) = ( )( ) + ( )( ) rArr 4 = 4 + ( )( ) Por isso eacute mais correto nesse contexto chamar ( )( ) de campo eleacutetrico em devido agrave presenccedila

da carga eleacutetrica do que chamar esse campo de campo eleacutetrico em gerado pela carga eleacutetrica (que eacute de

fato sempre ( )( )) Se considerarmos que o meio material eacute o ar temos que cong 10006 e portanto natildeo faz muita

diferenccedila considerar ou Um capacitor com ar entre as placas eacute basicamente um capacitor com vaacutecuo

Da mesma forma a forccedila em uma carga pontual prime devido agrave presenccedila de uma carga eleacutetrica pontual ambas

no ar eacute

( )( ) = ( )( ) = prime4 sendo a distacircncia entre as cargas Essa eacute basicamente a mesma forccedila que atuaria se as cargas estivessem no

vaacutecuo

Por outro lado se considerarmos que o meio material eacute a aacutegua segue que cong 80 ( cong 80) e

portanto faz muita diferenccedila considerar Um capacitor com aacutegua entre as placas possui capacitacircncia 80

vezes maior que o mesmo capacitor com vaacutecuo Portanto podemos reduzir a aacuterea de um capacitor de placas

paralelas em 80 vezes e obter a mesma capacitacircncia se preenchermos o espaccedilo entre as placas com aacutegua

Essa propriedade dos dieleacutetricos nos permite miniaturizar os capacitores A aacutegua natildeo eacute propriamente uma boa

opccedilatildeo para isolar as placas de capacitores Existem materiais dieleacutetricos soacutelidos com constantes dieleacutetricas da

ordem de 1000 e que portanto permitem uma grande miniaturizaccedilatildeo dos capacitores

Voltando ao caso da aacutegua a forccedila em uma carga pontual prime devido agrave presenccedila de uma carga eleacutetrica

pontual ambas mergulhadas na aacutegua eacute

( )( ) = ( )( ) = prime4 cong 180 prime4 sendo a distacircncia entre as cargas A forccedila na presenccedila da aacutegua eacute 80 vezes menor do que a que atuaria se as

cargas estivessem no vaacutecuo (ou no ar) A Figura que segue (tente imaginar essa Figura em trecircs dimensotildees)

ilustra o processo de organizaccedilatildeo dos dipolos eleacutetricos das moleacuteculas de aacutegua por um iacuteon positivo que nos

permite entender por que o campo eleacutetrico devido agrave presenccedila do iacuteon sofre uma reduccedilatildeo quando ele estaacute

mergulhado na aacutegua O campo eleacutetrico radial do iacuteon ( )( ) atua nos dipolos eleacutetricos e gira os momentos

204

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

de dipolo das moleacuteculas de aacutegua orientando-os na direccedilatildeo radial O iacuteon

positivo fica circundado por uma camada de poacutelos negativos das moleacuteculas de

aacutegua Essa camada de cargas eleacutetricas (de polarizaccedilatildeo) negativas envolvendo o

iacuteon blinda o campo do iacuteon ou seja essas cargas produzem um campo eleacutetrico

radial oposto ao campo do iacuteon produzindo um campo resultante ( )( ) que

eacute menor que o campo que haveria no vaacutecuo (nesse caso 80 vezes menor)

Essa reduccedilatildeo draacutestica na forccedila de interaccedilatildeo eleacutetrica produzida pela presenccedila da aacutegua permeando o

espaccedilo nos permite entender por que a aacutegua possui a capacidade de dissolver as substacircncias diluiacutedas nela

Considere por exemplo o sal de cozinha que eacute basicamente o composto NaCl A forccedila que produz a coesatildeo

entre os iacuteons Na+ e Cl- nessa substacircncia eacute a forccedila eleacutetrica de atraccedilatildeo muacutetua entre eles a forccedila de Coulomb

Quando o sal eacute mergulhado na aacutegua essa forccedila de atraccedilatildeo fica cerca de 80 vezes menor facilitando a

separaccedilatildeo dos iacuteons e a dissoluccedilatildeo do sal

Concluiacutemos que se haacute um meio dieleacutetrico permeando todo o espaccedilo basta substituir na expressatildeo de ( )( ) o pelo que obtemos o ( )( ) Eacute interessante frisar que essa afirmaccedilatildeo vale para uma

classe de dieleacutetricos aqueles que podem ser caracterizados por uma constante dieleacutetrica e por uma

permissividade eleacutetrica = Esses dieleacutetricos satildeo ditos ldquolinearesrdquo A natureza eacute rica e complexa e

existem dieleacutetricos natildeo-lineares ou seja dieleacutetricos para os quais as definiccedilotildees de e dadas acima natildeo

se aplicam Para os casos em que o espaccedilo eacute preenchido por um dieleacutetrico natildeo-linear a situaccedilatildeo eacute mais

complicada e cada caso eacute um caso

Apenas para concluir mostramos que no caso do capacitor com carga constante (Figura 9) vale

( ) = ( )

Portanto como ( ) = ( ) minus ( ) (campos opostos) segue que

( ) = ( ) minus ( ) = ( ) minus ( ) = ( ) 1 minus 1 = minus 1 ( ) lt ( ) Estamos apenas confirmando aqui que na Figura 9 a seta de (que tem moacutedulo ( )) eacute sempre menor

que a seta de (que tem moacutedulo ( )) Para a aacutegua por exemplo cong 80 e vale

( )( ) = minus 1 cong 7980 cong 0988

ou seja o campo eleacutetrico produzido pelas cargas de polarizaccedilatildeo concentradas nas interfaces dieleacutetricometal

tem moacutedulo que eacute basicamente 99 do moacutedulo do campo eleacutetrico produzido pelas cargas nas placas do

+

+

+ +

++

++

+

--

-

- --

-

-

205

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

capacitor Isso significa que as densidades de carga de polarizaccedilatildeo ( ) possuem magnitude que eacute 99 da

magnitude das densidades de carga nas placas ( ) Para o ar vale ( ) cong 00006 ( ) Se fizeacutessemos esse experimento de preencher com aacutegua o espaccedilo entre as placas de um capacitor

isolado com carga fixa veriacuteamos a DDP entre as placas cair muito Se imaginarmos que um voltiacutemetro estaacute

conectado agraves placas desse capacitor e que ele indica inicialmente uma DDP de 80 V ao inserir aacutegua entre as

placas vamos ver o ponteiro do voltiacutemetro descer ateacute indicar a leitura

∆ ( ) = ∆ ( ) cong 1

Por isso a capacitacircncia desse capacitor com aacutegua seria 80 vezes maior do que com vaacutecuo (ou ar) entre as

placas Ele acumula a mesma carga eleacutetrica mas com uma DDP 80 vezes menor (que o caso com vaacutecuo)

Na Figura 11 abaixo mostramos alguns capacitores feitos de diferentes materiais dieleacutetricos

polieacutester ceracircmica tacircntalo mica

Figura 11 capacitores feitos de diversos materiais dieleacutetricos

Considere que cada material dieleacutetrico eacute selecionado natildeo apenas por sua constante dieleacutetrica K mas

tambeacutem por sua rigidez dieleacutetrica e por outras propriedades que podem ser importantes para cada aplicaccedilatildeo

Na Figura ao lado mostramos um capacitor de 1000 F (50 V) que abrimos para

ver o que tem dentro A proacutexima Figura mostra que haacute duas placas que satildeo folhas de

alumiacutenio separadas por uma folha de papel muito fina impregnada com um liacutequido Haacute

ainda um oacutexido nas folhas de alumiacutenio que eacute o dieleacutetrico entre as placas (de espessura

minuacutescula) Esse tipo de capacitor eacute chamado de eletroliacutetico

As folhas satildeo enroladas formando um sanduiacuteche alumiacuteniopapelalumiacutenio

(ainda tem o oacutexido)

A Figura ao lado mostra que se desenrolarmos as folhas

de alumiacutenio vemos que elas possuem basicamente 32 cm de

206

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

comprimento por 2 cm de largura Portanto a aacuterea de cada placa eacute cong 032 times 002 = 00064 m2

Finalmente a Figura ao lado (httpwwwelnacojp) mostra que haacute

ainda um recurso para o aumento da capacitacircncia As folhas de alumiacutenio

possuem superfiacutecies rugosas o que aumenta bastante a aacuterea efetiva das

placas A Figura mostra um corte lateral do capacitor mostrando os perfis das

duas placas em uma escala microscoacutepica

Juntando tudo geometria aacuterea efetiva das placas distacircncia minuacutescula entre as placas ( m) e

constante dieleacutetrica resulta em uma capacitacircncia de 1000 F = 1 mF em um capacitor minuacutesculo

463 Caacutelculo de capacitacircncia com dieleacutetricos

Aqui vamos dar um uacuteltimo exemplo de caacutelculo de capacitacircncia no caso em que haacute uma combinaccedilatildeo de

vaacuterios dieleacutetricos entre as placas de um capacitor Vamos voltar no exemplo do capacitor esfeacuterico que jaacute

discutimos no iniacutecio desse capiacutetulo As duas placas satildeo esfeacutericas e concecircntricas Uma placa eacute uma esfera

metaacutelica de raio e a outra placa eacute uma casca esfeacuterica

metaacutelica de raio interno e espessura A Figura 12 ao

lado ilustra esse capacitor Note natildeo satildeo ciacuterculos satildeo

objetos esfeacutericos no espaccedilo tridimensional Supondo que

as placas estatildeo separadas por uma camada de vaacutecuo

mostramos que a capacitacircncia desse capacitor eacute

( ) = 4 1 minus 1 = 4 minus

Agora vamos supor que o espaccedilo entre as placas estaacute preenchido por dieleacutetricos Suponha que a

camada (em amarelo) com raios tais que lt lt

estaacute preenchida com um dieleacutetrico de constante dieleacutetrica

e que a camada (em verde) com raios tais que lt lt estaacute preenchida com um dieleacutetrico de

constante dieleacutetrica A Figura 13 ao lado ilustra esse

capacitor

Vamos calcular a capacitacircncia desse capacitor Primeiro supomos que em uma das placas haacute uma

carga eleacutetrica Depois calculamos a DDP ∆ entre as placas tendo em vista essa carga Fazemos a razatildeo ∆ O que resultar dessa razatildeo eacute a expressatildeo de Haacute ainda uma etapa intermediaacuteria pois para calcular ∆

devemos conhecer o campo eleacutetrico entre as placas Aplicando essas ideacuteias em etapas obtemos o algoritmo

abaixo

Figura 12 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute o vaacutecuo Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas

Figura 13 um capacitor esfeacuterico Entre as placas concecircntricas haacute dois dieleacutetricos diferentes Natildeo satildeo ciacuterculos satildeo esferas

1 2

207

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

1 Suponha uma carga eleacutetrica na esfera menor de raio e uma carga ndash na casca de raio Jaacute

sabemos que a carga vai se distribuir na superfiacutecie da esfera de raio e que a carga ndash vai se

distribuir na superfiacutecie interior (de raio ) da casca metaacutelica (essas cargas e ndash se atraem) De

fato esse eacute basicamente o problema de um condutor (a casca) com uma cavidade e uma carga

dentro dessa cavidade Por simetria todas as cargas se distribuiratildeo uniformemente nas

superfiacutecies

2 Calcule o campo eleacutetrico no espaccedilo entre as placas ou seja na regiatildeo com raios lt lt

Vamos imaginar primeiramente que haacute vaacutecuo entre as placas Da lei de Gauss ou do teorema das

cascas sabemos que o campo eleacutetrico entre as placas seria nesse caso dado por = 4 Isso porque as cargas na esfera criam fora dela o mesmo campo eleacutetrico de uma carga

localizada no centro da esfera e as cargas na casca natildeo criam campo eleacutetrico dentro da casca Note

que soacute haacute campo eleacutetrico na regiatildeo entre as placas ( lt lt ) Dentro do material da esfera

menor ( lt ) e dentro do material da casca ( lt lt + ) natildeo haacute campo eleacutetrico pois satildeo

regiotildees ocupadas por materiais condutores Na regiatildeo exterior ao capacitor ( gt + ) natildeo haacute

campo eleacutetrico porque os campos de e ndash se cancelam (conforme podemos ver do teorema das

cascas)

3 Agora vamos levar em conta a presenccedila dos dieleacutetricos entre as placas conforme nossa discussatildeo

anterior Na regiatildeo (amarela) com raios tais que lt lt que estaacute preenchida com um

dieleacutetrico de constante dieleacutetrica o campo eleacutetrico seraacute o mesmo que haveria se fosse vaacutecuo

mas com substituiacutedo por Portanto = 4 Na regiatildeo (verde) com raios tais que lt lt que estaacute preenchida com um dieleacutetrico de

constante dieleacutetrica o campo eleacutetrico seraacute o mesmo que haveria se fosse vaacutecuo mas com

substituiacutedo por Portanto = 4 4 Calcule a diferenccedila de potencial (DDP) positiva entre as placas

Considere um caminho radial ( = ) que parte da superfiacutecie equipotencial de raio (na

placa +) e termina na superfiacutecie equipotencial de raio (na placa -) Ao percorrer esse caminho o

campo eleacutetrico muda de valor quando passamos por = Levamos isso em conta dividindo a

integral que daacute a DDP em duas integrais

208

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

∆ = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ + ∙

Substituindo as expressotildees dos campos obtemos (usando ∙ = )

∆ = 4 + 4 = 4 1 minus 1 + 4 1 minus 1

5 Faccedila a razatildeo (aqui preferimos calcular 1 ) 1 = ∆ = 14 1 minus 1 + 14 1 minus 1

Note que obtivemos o resultado de uma associaccedilatildeo seacuterie de dois capacitores um capacitor esfeacuterico

com raios e com o espaccedilo entre as placas preenchido pelo dieleacutetrico de constante dieleacutetrica cuja

capacitacircncia eacute 1 = 14 1 minus 1 rArr = 4 1 minus 1 = 4 minus

e outro um capacitor esfeacuterico com raios e com o espaccedilo entre as placas preenchido pelo dieleacutetrico de

constante dieleacutetrica cuja capacitacircncia eacute 1 = 14 1 minus 1 rArr = 4 1 minus 1 = 4 minus

Portanto mostramos que 1 = 1 + 1

Os dois ldquocapacitoresrdquo estatildeo em seacuterie porque quando caminhamos de um terminal (na esfera menor)

ateacute o outro (na casca maior) passamos primeiramente pelo capacitor e depois passamos pelo capacitor

Portanto e estatildeo ligados um na sequecircncia do outro como em qualquer associaccedilatildeo seacuterie de capacitores

A superfiacutecie esfeacuterica de raio que eacute compartilhada pelos dois capacitores funciona como a conexatildeo (o noacute)

entre esses dois capacitores esfeacutericos

47 Aplicaccedilotildees

1) a) Um capacitor estaacute inicialmente carregado e a DDP entre suas placas eacute

Em um dado instante uma chave S eacute fechada e esse capacitor eacute conectado a outro

capacitor inicialmente descarregado conforme a Figura ao lado Vamos calcular

as cargas finais e nos capacitores

+ -

209

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

A ideia eacute que o fechamento da chave vai produzir um novo equiliacutebrio eletrostaacutetico em que as cargas

iniciais plusmn em vatildeo se distribuir nas placas metaacutelicas que foram unidas entre si Na placa positiva de

havia o excesso de cargas Ao fechar a chave essa carga se redistribui uma parte ficando em e outra

parte ficando em Analogamente nas placas inferiores negativas O transiente termina quando as placas

unidas se encontram no mesmo potencial (jaacute que elas formam um condutor soacute em equiliacutebrio eletrostaacutetico) Os

princiacutepios que definem os valores de e e as equaccedilotildees associadas a esse princiacutepios satildeo

Conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica (nas duas placas positivas) + =

Paralelismo entre os dois capacitores Δ = Δ

Note que natildeo estamos afirmando aqui que Δ = Δ = Natildeo haacute essa ldquoconservaccedilatildeo da DDPrdquo pelo

contraacuterio as cargas nos capacitores mudam os campos eleacutetricos entre as placas mudam e as DDPs mudam

mas sempre vale Δ = Δ posto que as placas dos capacitores estatildeo conectadas duas a duas Concluindo

Δ = Δ rArr = rArr =

Portanto + = rArr + = rArr = 1 +

e ainda = (1 + ) Note que o capacitor de maior capacitacircncia fica com a fraccedilatildeo maior das cargas

De fato se gt ( gt 1) vale = 1 + 1 + ( ) gt 1

A nova DDP entre as placas (que era ) eacute Δ = = = +

Note que pensando em termos de um capacitor equivalente de capacitacircncia = + segue que a

carga total nesse capacitor equivalente eacute e portanto Δ = = ( + ) 1) b) Um capacitor estaacute inicialmente carregado e a DDP entre suas

placas eacute mantida por uma bateria conectada aos seus terminais Em um

dado instante uma chave S eacute fechada e esse capacitor eacute conectado a outro

capacitor inicialmente descarregado conforme a Figura ao lado Vamos

calcular as cargas finais e nos capacitores

+ -

210

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

A ideia eacute anaacuteloga agrave do item anterior o fechamento da chave vai produzir um novo equiliacutebrio

eletrostaacutetico em que as cargas iniciais plusmn em vatildeo se distribuir nas placas metaacutelicas que foram unidas

entre si Na placa positiva de havia o excesso de cargas Ao fechar a chave essa carga se redistribui uma

parte ficando em e outra parte ficando em Analogamente nas placas inferiores negativas Mas agora haacute

a presenccedila da bateria que pode fornecer ou absorver cargas no sistema de dois capacitores O transiente

termina quando as placas unidas se encontram no mesmo potencial (jaacute que elas formam um condutor soacute em

equiliacutebrio eletrostaacutetico) O princiacutepio que define os valores de e e a equaccedilatildeo associada a esse princiacutepio eacute

Conservaccedilatildeo da DDP entre as placas mantida pela bateria e

paralelismo entre os capacitores Δ = Δ =

Note que agora estamos afirmando que Δ = Δ = Haacute uma ldquoconservaccedilatildeo da DDPrdquo pois essa eacute a funccedilatildeo

da bateria em um circuito estabelecer uma DDP fixa entre os terminais a que ela eacute conectada Portanto a

carga no capacitor natildeo muda o campo eleacutetrico entre suas placas natildeo muda e a DDP natildeo muda continua

No capacitor natildeo havia carga nem campo eleacutetrico e nem DDP Com o fechamento da chave a bateria teraacute

que transferir cargas para esse capacitor estabelecendo um campo eleacutetrico entre as placas e uma DDP igual a

Concluindo V = Δ = Δ rArr = =

Portanto = =

e ainda = Note que o capacitor de maior capacitacircncia fica com mais cargas

A carga que havia no circuito era = Apoacutes fechar a chave a carga total no circuito passa a ser = + = + = ( + )

Note que pensando em termos de um capacitor equivalente de capacitacircncia = + segue que a

carga total nesse capacitor eacute =

2) A Figura ao lado mostra a associaccedilatildeo de N capacitores iguais

em paralelo cada um de capacitacircncia Vamos supor que esses

capacitores possuam inicialmente vaacutecuo entre as placas

a) Suponha agora que um dos capacitores tenha o espaccedilo entre as placas preenchido por um dieleacutetrico de

constante dieleacutetrica K Calcule a razatildeo entre as capacitacircncias equivalentes dessa associaccedilatildeo de

capacitores depois ( ) e antes ( ) da inserccedilatildeo desse dieleacutetrico

Para capacitores em paralelo vale

211

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

= + +⋯

Portanto no caso do item (a) obtemos = e = ( minus 1) + = ( minus 1 + ) Segue que

= minus 1 + = 1 + minus 1

Note que no caso particular = 1 (ou seja nada foi alterado de fato o ldquodieleacutetricordquo eacute o vaacutecuo) vale = 1 Esse resultado vale tambeacutem se rarr infin pois nesse caso o uacutenico capacitor ldquodiferenterdquo de tornaria

irrelevante

b) Suponha agora que um nuacutemero de capacitores tenha o espaccedilo entre as placas preenchido por um

dieleacutetrico de constante dieleacutetrica K Calcule para que valha a razatildeo = 2

Para essa situaccedilatildeo obtemos = ( minus ) + = [ + ( minus 1)] Segue que

= + ( minus 1) = 1 + ( minus 1) Note que no caso particular = 1 (ou seja nada foi alterado de fato o ldquodieleacutetricordquo eacute o vaacutecuo) vale = 1 Por outro lado se = seque que = pois todo o espaccedilo entre as placas foi

preenchido pelo dieleacutetrico Para que valha = 2 deve ser tal que

1 + ( minus 1) = 2 rArr = minus 1

Caso o dieleacutetrico fosse a aacutegua por exemplo com cong 80 deveria valer = 79 ou seja a situaccedilatildeo

( = 2) soacute seria possiacutevel se valesse ge 79 Se valesse exatamente = 79 apenas um capacitor

deveria ter o espaccedilo entre suas placas preenchido com aacutegua Os outros 78 continuariam com vaacutecuo entre as

placas Haveria entatildeo ao final 78 capacitores de capacitacircncia e 1 capacitor de capacitacircncia 80 A

capacitacircncia final seria = 78 + 80 = 2 times 79 = 2

3) Considere um capacitor de placas paralelas (com placas de aacuterea = e

distacircncia entre as faces internas das placas) que possui um dieleacutetrico entre as

placas cuja ldquoconstanterdquo dieleacutetrica eacute natildeo homogecircnea ou seja natildeo eacute uma

constante mas sim uma funccedilatildeo ( ) com a coordenada definida na Figura ao

lado A Figura mostra um referencial xy paralelo ao plano das placas com a

coordenada x variando no intervalo isin [0 ] e a variaacutevel y variando no intervalo isin [0 ] A origem (00) estaacute na quina esquerda frontal da placa inferior Calcule

a capacitacircncia desse capacitor Despreze efeitos de borda

Se a constante dieleacutetrica fosse constante a resposta seria simples

212

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

= =

Sendo a ldquoconstanterdquo dieleacutetrica variaacutevel ao longo da direccedilatildeo x fica claro que natildeo faz sentido dizermos que

= ( )

pois essa expressatildeo natildeo especifica o valor de que pode assumir qualquer valor no intervalo [0 ] Portanto

essa resposta ldquoapressadardquo natildeo especifica de fato o valor de Ela natildeo faz o menor sentido

Nossa ideia aqui seraacute considerar que esse capacitor eacute uma sucessatildeo de

capacitores em paralelo cada um com uma constante dieleacutetrica proacutepria ( ) A

Figura ao lado ilustra essa ideia (visatildeo de perfil) Cada cor representa um valor

diferente para ( ) dentro da fatia de dieleacutetrico de espessura ∆ (e

profundidade ) A capacitacircncia de um capacitor que tem essa fatia como

dieleacutetrico entre suas placas eacute

( ) = ∆ = ( ) ∆

Em resumo esse ldquocapacitor fatiardquo possui aacuterea de placas Δ = Δ distacircncia entre as placas e dieleacutetrico

com constante dieleacutetrica ( ) Portanto se eacute a quantidade de fatias de dieleacutetrico segue que a capacitacircncia dessa ldquoassociaccedilatildeordquo de

capacitores em paralelo eacute

= = ( ) ∆ = ( )∆

Nesse caso vemos que haacute = ∆ fatias ou seja capacitores em paralelo Os capacitores estatildeo em

paralelo pois estatildeo todos com suas placas conectadas duas a duas (de fato soacute haacute duas placas metaacutelicas que

fatiamos mentalmente)

Fica claro que esse raciociacutenio deve ser estendido para o limite do contiacutenuo em que ∆ rarr 0 e = ∆ rarr infin Nesse limite o somatoacuterio se torna uma integral e obtemos

= ( )

Esse resultado pode ser expresso em termos de uma constante dieleacutetrica meacutedia definida por

= 1 ( )

x ∆

213

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 4 ndash versatildeo 31

eacute uma meacutedia espacial de ( ) dentro do intervalo [0 ] Obtemos em termos de

= ( ) = 1 ( ) =

Para produzir um resultado mais concreto podemos fazer uma hipoacutetese simples sobre a funccedilatildeo ( ) por exemplo ( ) = com gt 0 e ge 0 constantes (e ainda ( ) ge 1 para todo x) Note que a

constante possui uma unidade que depende de De fato como eacute adimensional segue que a unidade de

eacute ( aqui representa uma unidade qualquer de comprimento por exemplo o metro) [ ] = 1

Nesse caso especiacutefico de ( ) obtemos finalmente

= = + 1 = + 1

Vemos que nesse caso vale = ( + 1) Para o caso particular = 0 recuperamos ( ) = = constante (adimensional) e = Obtemos

tambeacutem = ( + 1) = (0 + 1) = A meacutedia de uma constante eacute a proacutepria constante

Para o caso particular = 1 em que ( ) = varia linearmente obtemos

= 2

Obtemos tambeacutem = ( + 1) = (1 + 1) = 2 O eacute o valor de ( ) no ponto meacutedio = 2 do intervalo [0 ] Note que nesse capacitor a distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas nas placas seria natildeo uniforme Se por

exemplo a DDP entre as placas for ∆ a densidade de carga eleacutetrica superficial na posiccedilatildeo da placa seraacute

∆ = = ( )( ) rArr ( ) = ∆ ( ) Na regiatildeo onde ( ) eacute maior ocorre mais polarizaccedilatildeo do dieleacutetrico concentram-se mais cargas de polarizaccedilatildeo

levando a uma maior concentraccedilatildeo de cargas eleacutetricas nas placas Por exemplo no caso ( ) = a carga

na placa positiva se distribui ao longo de x como ( ) = ∆

A carga eleacutetrica total depositada na placa positiva para essa DDP seria

= ( ) = ( ) = ∆ = ∆ + 1 = + 1∆ = ∆

214

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

5 Correntes eleacutetricas

Daqui para diante vamos abandonar o contexto da eletrostaacutetica A partir desse capiacutetulo

consideraremos situaccedilotildees em que partiacuteculas com carga eleacutetrica estatildeo se movendo no espaccedilo Chamamos essas

partiacuteculas de ldquoportadores de carga eleacutetricardquo Portadores de carga eleacutetrica podem fluir no vaacutecuo ou dentro de

um meio condutor como um metal Chamamos de corrente eleacutetrica esses conjuntos de portadores de carga

se movendo no espaccedilo transportando carga eleacutetrica Estabelecer uma corrente eleacutetrica consiste em

movimentar um conjunto de portadores de carga eleacutetrica que podem ser eleacutetrons proacutetons ou iacuteons Podemos

fazer isso atraveacutes de um campo de forccedila um campo eleacutetrico por

exemplo que empurra os portadores de carga em uma dada direccedilatildeo

A Figura ao lado ilustra trecircs portadores de carga de carga eleacutetrica

fluindo cada um com sua velocidade A eletrostaacutetica eacute o caso

particular = 0 para todo Nesse capiacutetulo vamos iniciar

caracterizando as correntes eleacutetricas definindo suas magnitudes e

propriedades baacutesicas Em seguida estudaremos os conceitos de

resistividade resistecircncia eleacutetrica e forccedila eletromotriz Esses conceitos

seratildeo utilizados depois quando estudarmos os circuitos eleacutetricos que

satildeo uma aplicaccedilatildeo praacutetica comum das correntes eleacutetricas que fluem

nesses circuitos transportando energia potencial eleacutetrica Nos proacuteximos capiacutetulos discutiremos sobre as forccedilas

que essas correntes eleacutetricas exercem em outras cargas eleacutetricas Veremos que a lei de Coulomb e o campo

eleacutetrico conservativo associado a ela natildeo satildeo suficientes para abordar esse contexto mais geral Veremos que

correntes eleacutetricas produzem campos magneacuteticos e ainda campos eleacutetricos induzidos (natildeo conservativos) nos

permitindo entender uma nova classe muito ampla de fenocircmenos da natureza e da tecnologia

Figura 1 Uma corrente eleacutetrica no espaccedilo portadores de carga eleacutetrica fluindo

215

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

51 Quantificando correntes eleacutetricas

Uma corrente eleacutetrica eacute basicamente definida atraveacutes de um conjunto que determina as cargas

eleacutetricas e as velocidades de movimentaccedilatildeo de um conjunto de portadores de carga ( = 12 hellip ) que fluem

em uma regiatildeo do espaccedilo Se = 0 para todo entatildeo natildeo haacute corrente eleacutetrica como no caso de necircutrons ou

aacutetomos fluindo no espaccedilo (haveria nesse caso uma corrente ou um transporte de massa) Se = 0 para

todo entatildeo natildeo haacute corrente eleacutetrica trata-se do contexto da eletrostaacutetica Jaacute comentamos que no mundo

real as partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria estatildeo sempre em agitaccedilatildeo e que portanto sempre haacute uma

velocidade associada a uma partiacutecula com carga eleacutetrica Mas essas velocidades associadas agrave agitaccedilatildeo

teacutermica satildeo geralmente aleatoacuterias (a natildeo ser no caso especial que estamos excluindo aqui em que haja um

gradiente de temperatura estabelecido no espaccedilo que daacute origem a uma corrente termoeleacutetrica) e natildeo levam a

nenhum deslocamento efetivo das partiacuteculas ou seja o valor meacutedio temporal de eacute nulo Aqui estamos

imaginando um fluxo de portadores em que eles se deslocam no espaccedilo de uma regiatildeo para a outra ou seja

em que haacute um transporte efetivo de carga eleacutetrica no espaccedilo Nesse sentido eacute mais interessante pensarmos

desde jaacute que eacute uma velocidade meacutedia (temporal e espacial) dos portadores de carga eleacutetrica Essa

velocidade eacute chamada de velocidade de arraste ou de deriva por razotildees que discutiremos mais adiante

Passaremos entatildeo a representar a velocidade (meacutedia) de qualquer portador por (d de deriva) de tal

forma que para uma partiacutecula que possui somente um movimento teacutermico aleatoacuterio vale = 0

A corrente eleacutetrica implica em um transporte de carga eleacutetrica no espaccedilo um fluxo de cargas eleacutetricas

Como tal a corrente eleacutetrica possui uma magnitude (um moacutedulo) e um sentido (um sinal) O sentido da

corrente indica o sentido em que o transporte de carga eleacutetrica se daacute Mas haacute dois sinais possiacuteveis de carga

eleacutetrica e isso gera uma ambiguumlidade na definiccedilatildeo do sentido do transporte de carga eleacutetrica ambiguumlidade

que tem que ser resolvida por uma convenccedilatildeo de sinal No caso de correntetransporte de massa essa

ambiguumlidade natildeo existe pois soacute haacute massas positivas Imagine que aacutegua (com cong 25degC) esteja fluindo em um

tubo com uma vazatildeo de 1 m3s indo no sentido de A para B Ningueacutem teria duacutevida de dizer que a corrente de

massa nesse tubo (a vazatildeo) tem a magnitude de 1 m3s (ou 997 kgs) e o sentido de A para B

Imagine agora corrente eleacutetrica fluindo em uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal O sal dissolvido na aacutegua (uma

soluccedilatildeo eletroliacutetica) se dissocia em iacuteons Na+ (caacutetion) e Cl- (acircnion) que satildeo os

portadores de carga nesse caso e fluem atraveacutes da soluccedilatildeo (em sentidos

opostos) sob accedilatildeo de um campo eleacutetrico aplicado A Figura ao lado ilustra um

container com essa aacutegua salgada e duas placas + (anodo) e ndash (catodo) gerando

um campo eleacutetrico na aacutegua (como as placas de um capacitor) e movimentando

os iacuteons + para a direita e os iacuteons ndash para a esquerda (considere que haacute um

+

+

+

+ -

-

- -

anodo catodo

216

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

circuito externo natildeo mostrado) Haacute duas correntes eleacutetricas nessa soluccedilatildeo que poderiacuteamos chamar de e

e a corrente total na soluccedilatildeo eacute = + Fica claro entatildeo que qualquer que seja a regra que inventemos

para atribuir sentido (e sinal) para as correntes eleacutetricas nesse caso especiacutefico essa regra deve atribuir o

mesmo sentido para e Isso porque os efeitos de transporte de carga eleacutetrica de e se somam

ambas tornam (ou pelo menos tentam tornar) a placa + mais negativa e a placa ndash mais positiva faz isso

porque deposita cargas + na placa ndash faz isso porque deposita cargas ndash na placa + e devem ter o

mesmo sentido e se somar efetivamente para resultar na corrente total = + na soluccedilatildeo Considere

outro exemplo Dentro de uma mangueira de aacutegua fluem moleacuteculas de aacutegua que satildeo eletricamente neutras

Portanto natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro de uma mangueira onde flui aacutegua (natildeo haacute portadores de carga

eleacutetrica) Mas podemos pensar que haacute duas correntes eleacutetricas nessa mangueira pois a moleacutecula de aacutegua eacute

um agregado de proacutetons e eleacutetrons Entatildeo dentro da mangueira haacute tambeacutem (corrente de proacutetons) e

(corrente de eleacutetrons) e a corrente eleacutetrica na mangueira eacute = + Agora a nossa regra de sentido para a

corrente deve resultar em = 0 pois qualquer coisa diferente disso seria absurda A diferenccedila da mangueira

para o container de aacutegua salgada eacute que na mangueira as cargas + e as cargas ndash fluem no mesmo sentido (elas

natildeo fluem por causa de um campo eleacutetrico e sim por causa de um gradiente de pressatildeo)

Enfim a convenccedilatildeo que define o sentido da corrente eleacutetrica eacute o sentido da corrente eleacutetrica eacute o

sentido da velocidade do portador se sua carga eleacutetrica for positiva Se a carga eleacutetrica do portador for

negativa o sentido da corrente eacute o de minus

No caso do container de aacutegua salgada na Figura acima essa regra implica que estaacute para a direita

pois estaacute para a direita e tambeacutem estaacute para a direita porque estaacute para a esquerda Portanto = + estaacute para a direita No caso da mangueira de aacutegua essa regra implica que estaacute oposta a pois

estaacute paralela a Portanto = + = 0 na mangueira de aacutegua

Essa equivalecircncia entre as movimentaccedilotildees em sentidos opostos de cargas eleacutetricas positivas e

negativas do ponto de vista do transporte de carga nos permite muitas vezes considerar que os portadores

de carga possuem carga eleacutetrica positiva e se movem no sentido da corrente Esse procedimento simplifica as

ideacuteias e as contas e seraacute adotado muitas vezes nesse curso Por exemplo nos metais sabemos que os

portadores de carga eleacutetrica satildeo os eleacutetrons (de conduccedilatildeo) mas eacute mais simples pensarmos que esses

portadores possuem carga positiva e fluem no sentido da corrente (os eleacutetrons fluem de fato no sentido

oposto agrave corrente) Havendo simultaneamente portadores de carga de diferentes sinais como no caso da aacutegua

salgada natildeo haacute muita vantagem em aplicar essa simplificaccedilatildeo eacute melhor considerar os verdadeiros sinas das

cargas dos diferentes portadores

Agora vamos pensar na magnitude da corrente eleacutetrica Muitas vezes negligenciamos esse fato mas a

corrente eleacutetrica eacute um fluxo Um fluxo ou vazatildeo de carga eleacutetrica Uma ideia que jaacute discutimos laacute no contexto

217

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

da lei de Gauss Assim sendo sempre haacute uma superfiacutecie impliacutecita na atribuiccedilatildeo de um valor para a corrente

eleacutetrica Quando dizemos que a corrente eleacutetrica em um fio eacute 10 A (A=ampere = unidade de corrente eleacutetrica)

estamos dizendo que a cada segundo 10 coulombs atravessam a seccedilatildeo transversal desse fio de um lado para

o outro (no sentido da corrente) Para um fio ciliacutendrico essa seccedilatildeo transversal seria uma superfiacutecie aberta com

a forma de um disco Assim sendo seja S uma superfiacutecie (imaginaacuteria) que eacute atravessada por portadores de

carga eleacutetrica que fluem no espaccedilo A corrente eleacutetrica atraveacutes de S eacute

=

ou seja eacute a taxa no tempo ( ) em coulombsegundo com que carga eleacutetrica atravessa a superfiacutecie S Essa

unidade coulombsegundo eacute o que chamamos de ampere (Cs = A) em homenagem a um pioneiro do

eletromagnetismo Andreacute-Marie Ampegravere Portanto uma corrente de 10 A atraveacutes de S significa que a cada

segundo 10 coulombs de carga eleacutetrica atravessam S indo de um lado para o outro (atraveacutes de S)

Vamos entatildeo rememorar o conteuacutedo do capiacutetulo 2 quando discutimos o fluxo ou vazatildeo de um fluido

no contexto da introduccedilatildeo agrave lei de Gauss O conceito de fluxovazatildeo aqui eacute exatamente o mesmo basta

apenas que troquemos a ideia de transporte de massa pela de transporte de carga eleacutetrica Abaixo repetimos

entatildeo as ideacuteias do capiacutetulo 2 adaptando-as para o contexto de correntes eleacutetricas Trata-se basicamente de

uma coacutepia do que estaacute laacute

Vamos iniciar com o caso mais simples os portadores de carga todos de carga eleacutetrica estatildeo fluindo

em uma regiatildeo do espaccedilo com a mesma velocidade ou seja ( ) = para todo

Suponha que mergulhemos nessa regiatildeo uma peneira (que vamos

chamar de superfiacutecie S) ou seja uma superfiacutecie permeaacutevel aos portadores

retangular de aacuterea e nos perguntemos qual o fluxo de carga eleacutetrica atraveacutes

da peneira ou seja quantos coulombs atravessam essa peneira a cada segundo

(enfim a corrente eleacutetrica atraveacutes da peneira) A Figura ao lado ilustra essa

ideia (imagine que a peneira estaacute obliacutequa e natildeo no plano da paacutegina) Natildeo eacute difiacutecil de acreditar que o fluxo de

carga atraveacutes dessa peneira ( ) depende de carga eleacutetrica dos portadores (maior carga maior corrente) da

magnitude da velocidade dos portadores (maior velocidade maior corrente) da aacuterea da peneira (maior

aacuterea maior corrente) e depende tambeacutem de um acircngulo de inclinaccedilatildeo entre a peneira e o campo (digamos

) Algo como o acircngulo entre as linhas tracejadas verde a azul na Figura Se essas linhas forem paralelas entre

si por exemplo natildeo haveraacute corrente pois os portadores vatildeo tangenciar a peneira sem atravessaacute-la

Concluindo = ( )

218

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Agora vamos obter essa funccedilatildeo Para isso vamos construir um paralelepiacutepedo mergulhado nesse

espaccedilo onde os portadores fluem cuja uma das faces eacute a peneira S Note que trata-se de um paralelepiacutepedo

obliacutequo por causa do acircngulo arbitraacuterio A Figura 2 abaixo ilustra essa construccedilatildeo

Na Figura 2 definimos um vetor que eacute ortogonal (normal) agrave peneira e que forma portanto um

acircngulo com a direccedilatildeo da velocidade dos portadores Note que tambeacutem eacute o acircngulo de obliquumlidade do

paralelepiacutepedo e que portanto o volume desse paralelepiacutepedo eacute Δ = cos( ) O comprimento eacute

arbitraacuterio Agora podemos partir para o caacutelculo da corrente eleacutetrica ou seja a quantidade de carga eleacutetrica

que passa pela superfiacutecie S a cada segundo

Mas antes precisamos definir uma propriedade desse sistema ou dessa regiatildeo do espaccedilo que eacute a

densidade de portadores de carga por unidade de volume que vamos chamar de A ideia agora eacute simples

toda a carga eleacutetrica que estaacute no interior do paralelepiacutepedo vai passar pela peneira em um tempo Δ =

(o paralelepiacutepedo desliza como uma gaveta atraveacutes da peneira juntamente com os portadores de carga

enquanto que a peneira fica fixa) Portanto = ∆Δt = cos( ) = cos( )

Note que ∆ = cos( ) eacute a quantidade total de portadores dentro do paralelepiacutepedo ( Δ = cos( )) multiplicada pela carga eleacutetrica de um portador Podemos escrever a corrente eleacutetrica atraveacutes de

S de uma forma mais compacta e elegante se definirmos o vetor aacuterea = e reconhecermos que eacute o

acircngulo entre os vetores e (ou e ) Segue que = ∙ = ∙

sendo que o ponto (∙) nessa equaccedilatildeo representa a operaccedilatildeo de produto escalar entre os vetores e

Vemos entatildeo que a corrente eleacutetrica atraveacutes de S eacute maacutexima se S estiver com seu plano ortogonal agrave direccedilatildeo de

(caso = 0 e cos( ) = 1) e eacute nula se S estiver colocada paralelamente agrave direccedilatildeo de (caso = 90 e cos( ) = 0) Note que o vetor tem o sentido da corrente Vamos chamar esse vetor de ou seja = De fato o sentido de eacute o sentido de se for positiva Caso contraacuterio se for negativa o

Figura 2 Partindo de uma peneira retangular mergulhada em uma regiatildeo em que fluem portadores de carga eleacutetrica construiacutemos um paralelepiacutepedo obliacutequo que tem a peneira com base

(seta verde) eacute um vetor ortogonal agrave peneira

219

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

sentido de eacute o sentido de minus Conclusatildeo o vetor = tem o mesmo sentido da corrente que ele

representa

Note que a corrente como qualquer fluxo pode ser positiva ou negativa (ou mesmo nula)

dependendo da nossa escolha de sentido para que eacute arbitraacuterio (para uma superfiacutecie aberta sempre haacute dois

sentidos ldquonormaisrdquo possiacuteveis e minus ) Como jaacute vimos que = tem o sentido da corrente se adotarmos

paralelo a obteremos um gt 0 Caso contraacuterio se adotarmos oposto a obteremos um lt 0 O sinal

negativo estaacute apenas indicando que a corrente atraveacutes de S tem de fato o sentido oposto ao que atribuiacutemos a

Por exemplo se adotarmos apontando de A para B e obtivermos = minus10 A concluiacutemos que a corrente

atraveacutes de S eacute de 10 A fluindo de B para A

Agora podemos generalizar o conceito de corrente eleacutetrica para uma superfiacutecie (imaginaacuteria) S

qualquer aberta ou fechada A Figura 3 abaixo ilustra uma superfiacutecie aberta de forma arbitraacuteria Aproveitamos

para abandonar a hipoacutetese de que os portadores de carga fluem com velocidade uniforme ( ) = e vamos

supor que eles fluem com velocidades arbitraacuterias dadas pela funccedilatildeo ( ) (na posiccedilatildeo de S os portadores

estatildeo fluindo com velocidade ( ))

A ideia eacute basicamente aquela (do caacutelculo integral) que mencionamos no capiacutetulo 1 toma-se uma parte

infinitesimal de S calcula-se a corrente eleacutetrica nessa parte e depois faz-se a soma sobre toda a superfiacutecie

S Fato eacute que sendo infinitesimal tudo funciona como na Figura 2 para ou seja os campos ( ) e ( ) satildeo localmente uniformes em uma aacuterea infinitesimal que eacute plana Portanto a corrente eleacutetrica em eacute

infinitesimal e eacute dada por = ( ) ∙ ( ) = ( ) cos ( )

Nessa expressatildeo deveriacuteamos ser mais especiacuteficos e enfatizar que tudo depende do ponto (pertencente agrave

superfiacutecie S) e escrever explicitamente ( ) = ( ) ( ) ( ) ∙ ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) Mas por conveniecircncia vamos fazer o contraacuterio e deixar todas as dependecircncias em impliacutecitas escrevendo

Figura 3 Uma superfiacutecie S aberta de forma arbitraacuteria eacuteatravessada por portadores de carga que fluem de forma arbitraacuteria no espaccedilo com campo de velocidades ( ) (setas vermelhas) Em cada ponto de S definimos um elemento infinitesimal de aacuterea e um vetor normal agrave S nesse ponto ( ) (setas verdes) Note que ( ) eacute o acircngulo entre ( ) e ( ) no ponto

( ) ( )

220

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

= ∙ = cos( )

que eacute basicamente o que todo mundo faz

Concluindo a corrente eleacutetrica atraveacutes da superfiacutecie S na Figura 3 eacute

= = ∙ = ∙

Podemos aplicar essa mesma ideia a superfiacutecies fechadas e para isso simplesmente colocaremos uma bolinha

no siacutembolo de integral e convencionaremos que nesse caso o campo deve apontar obrigatoriamente para

fora de S (como na lei de Gauss) A corrente eleacutetrica atraveacutes de uma superfiacutecie fechada S eacute (deixando as

dependecircncias em impliacutecitas)

= = ∙ = ∙

Note que estando para fora de S as correntes que entram nessa superfiacutecie fechada contribuem com lt 0 e as correntes que saem dessa superfiacutecie fechada contribuem com gt 0 Portanto eacute o saldo de

cargas eleacutetricas positivas que saem (corrente para fora) do volume delimitado por S atraveacutes de S Em sistemas

estacionaacuterios em que nada depende do tempo sempre vai valer = 0 qualquer que seja a superfiacutecie

fechada S De fato se admitirmos que gt 0 isso significa que haacute um saldo de corrente saindo de S e que

entatildeo a carga eleacutetrica total armazenada no interior de S estaacute diminuindo com o passar do tempo Se nada

depende do tempo por hipoacutetese vemos que natildeo pode valer gt 0 e nem lt 0 Entatildeo = 0 Essa eacute a

propriedade de conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica a que nos referimos no capiacutetulo 1 Se a carga eleacutetrica

armazenada no volume delimitado por S natildeo pode sumir ou surgir do nada entatildeo ela soacute pode variar seu valor

atravessando a superfiacutecie S ou seja atraveacutes da corrente Se essa carga natildeo puder variar no tempo (sistemas

estacionaacuterios) entatildeo = 0 Se ela puder variar (sistemas natildeo-estacionaacuterios) entatildeo = minus (corrente

positiva (saindo de S) rArr (dentro de S) diminuindo no tempo e lt 0)

Vemos que a corrente eleacutetrica eacute um fluxo um fluxo atraveacutes de uma superfiacutecie S qualquer O vetor = eacute chamado ldquovetor densidade de corrente eleacutetricardquo pois ele daacute a corrente eleacutetrica por unidade de

aacuterea (Am2) em cada ponto do espaccedilo Integrando essa densidade de corrente em toda uma superfiacutecie

encontramos a corrente eleacutetrica atraveacutes dessa superfiacutecie Nesse sentido eacute uma grandeza local que nos

permite descrever com detalhes a movimentaccedilatildeo dos portadores de carga no espaccedilo enquanto que eacute uma

grandeza global que daacute o fluxo total de portadores atraveacutes de uma superfiacutecie qualquer

Em sistemas que conduzem correntes eleacutetricas oscilatoacuterias de alta frequumlecircncia observa-se que a

corrente se concentra mais na regiatildeo proacutexima das superfiacutecies dos fios condutores Esse eacute o chamado ldquoefeito

221

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

pelerdquo (porque a corrente eleacutetrica se concentra na pele dos fios) Em contraste em sistemas que conduzem

correntes constantes no tempo a corrente se distribui uniformemente nas seccedilotildees transversais dos fios

condutores Note entatildeo que natildeo se trata de um efeito de repulsatildeo entre cargas eleacutetricas mas sim de um efeito

de induccedilatildeo eletromagneacutetica que estudaremos em um proacuteximo capiacutetulo De fato os portadores de carga natildeo

constituem um excesso de cargas eleacutetricas em um condutor e a ideia de repulsatildeo muacutetua entre eles eacute absurda

Imagine um fio condutor de forma ciliacutendrica conduzindo uma corrente eleacutetrica axial A Figura 4 abaixo ilustra

os dois casos sem efeito pele e com efeito pele A Figura mostra uma seccedilatildeo transversal do fio ciliacutendrico e o

valor de = em cada ponto dessa seccedilatildeo transversal eacute representado atraveacutes de um coacutedigo de cores

Na Figura 4(b) imaginamos que eacute uma corrente constante no tempo e que portanto natildeo haacute efeito

pele A corrente se distribui uniformemente na seccedilatildeo transversal do fio e = eacute representado por uma cor

apenas Na Figura 4(c) (emprestada da internet httpswwwmathworkscom) imaginamos que = ( ) eacute

uma corrente oscilatoacuteria de variaccedilatildeo raacutepida no tempo (MHz) e que portanto haacute um efeito pele intenso A

corrente se distribui natildeo uniformemente na seccedilatildeo transversal do fio e eacute representado por um coacutedigo de

cores A cor azul representa um valor pequeno de e a cor vermelha intensa um valor grande Vemos entatildeo

que a corrente estaacute mais concentrada na superfiacutecie do fio e daiacute vem o nome ldquoefeito pelerdquo No caso da Figura

4(b) podemos dizer que a funccedilatildeo eacute uma constante (natildeo depende de nenhuma coordenada espacial) e que

= ∙ = ∙ = ∙ = = =

sendo S a superfiacutecie da seccedilatildeo transversal do fio que eacute um disco de raio Note que o vetor normal a esse

disco eacute exatamente o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo axial do fio (z) ou seja = No caso da Figura 4(c) podemos dizer que eacute uma funccedilatildeo crescente do raio = ( ) e que

z

(a) (b) (c)

Figura 4 (a) Um fio ciliacutendrico transporta uma corrente eleacutetrica axial (b) seccedilatildeo transversal do fio

para correntes constantes no tempo sem efeito pele axial e uniforme (c) seccedilatildeo transversal do

fio para correntes oscilatoacuterias de variaccedilatildeo raacutepida no tempo com efeito pele axial e natildeo-uniforme (cor vermelha = corrente mais intensa)

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

= ∙ = ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( )

sendo S a mesma superfiacutecie da seccedilatildeo transversal do fio que eacute um disco de raio Aqui natildeo podemos fazer a

integral a natildeo ser que conheccedilamos a funccedilatildeo ( ) Apenas como exemplo poderiacuteamos supor ( ) =

sendo gt 0 uma constante e obter uma relaccedilatildeo entre e

= ∙ = ( ) = = 2 = 12

Nessa integral acima escolhemos = 2 ou seja eacute a aacuterea de um aro de raio e largura (radial)

Em circuitos com correntes de frequumlecircncias muito altas o efeito pele pode ser tatildeo intenso que a

substituiccedilatildeo dos fios condutores maciccedilos por tubos condutores ocos natildeo leva a nenhuma diferenccedila importante

no funcionamento do circuito Condutores ocos como tubos de cobre economizam material satildeo mais leves e

permitem facilmente a dissipaccedilatildeo de calor pela circulaccedilatildeo de aacutegua ou um gaacutes por dentro deles

52 Resistividade e Resistecircncia eleacutetricas

Aqui vamos considerar o caso mais comum em que os portadores de carga eleacutetrica (a corrente

eleacutetrica) fluem dentro de um meio material um meio condutor Esse meio pode ser por exemplo um metal

ou uma soluccedilatildeo de aacutegua e sal A ideia baacutesica que vamos discutir nessa seccedilatildeo eacute que enquanto a corrente

eleacutetrica flui em um meio material ela encontra uma oposiccedilatildeo a esse fluxo basicamente devido a colisotildees dos

portadores de carga com as partiacuteculas desse meio material Daiacute nascem os conceitos de resistividade e de

resistecircncia eleacutetrica Eacute interessante frisar que a conduccedilatildeo eleacutetrica eacute um fenocircmeno microscoacutepico e como tal soacute

pode ser corretamente descrito atraveacutes da mecacircnica quacircntica No entanto isso natildeo invalida as ideacuteias baacutesicas

do fenocircmeno que vamos discutir aqui

521 Resistividade eleacutetrica de um material condutor

Considere que uma corrente eleacutetrica eacute estabelecida em um meio condutor o cobre por exemplo

Imagine um portador de carga eleacutetrica de carga e massa que estaacute fluindo nesse meio fazendo parte

dessa corrente No cobre esse portador seria um eleacutetron de conduccedilatildeo A corrente eleacutetrica eacute estabelecida

atraveacutes de uma forccedila que impulsiona os portadores de carga na direccedilatildeo da corrente No caso mais comum

essa forccedila eacute um campo eleacutetrico (depois veremos que essa forccedila pode ser tambeacutem magneacutetica) Esse campo eacute

estabelecido dentro do meio condutor e atua sobre os portadores de carga que existem dentro dele Os

portadores de carga possuem mobilidade por definiccedilatildeo e portanto se movem sob a accedilatildeo de

223

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

A afirmaccedilatildeo de que existe um campo eleacutetrico dentro ou seja no volume de um condutor pode

parecer contraditoacuteria com a conclusatildeo que chegamos laacute no capiacutetulo 2 de que = 0 no volume de condutores

em equiliacutebrio eletrostaacutetico A aparente contradiccedilatildeo desaparece quando atentamos para a condiccedilatildeo de

ldquoequiliacutebrio eletrostaacuteticordquo Condutores onde fluem correntes eleacutetricas natildeo estatildeo em equiliacutebrio eletrostaacutetico e

portanto a condiccedilatildeo = 0 natildeo vale para eles Equiliacutebrio eletrostaacutetico significa isso que estaacute dito cargas

eleacutetricas estaacuteticas Correntes eleacutetricas satildeo cargas eleacutetricas que fluem no espaccedilo ou seja natildeo-estaacuteticas Como

afirmamos logo no iniacutecio desse capiacutetulo ao abordar correntes eleacutetricas abandonamos o contexto da

eletrostaacutetica e as condiccedilotildees que valiam laacute Condutores onde fluem correntes eleacutetricas estatildeo geralmente

conectados a outros corpos ou dispositivos como baterias por exemplo e satildeo mantidos portanto fora do

equiliacutebrio eletrostaacutetico Uma bateria tem a capacidade de retirar um condutor de seu equiliacutebrio eletrostaacutetico

produzindo nele

1 Uma distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas diferente daquela imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico

2 Um campo eleacutetrico interno diferente daquele imposto pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico ( = 0)

3 Uma distribuiccedilatildeo de potencial eleacutetrico ( ) diferente daquela imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico

( ( ) =constante)

4 Uma movimentaccedilatildeovelocidade ( ) de cargas eleacutetricas (portadores de carga) diferente daquela

imposta pelo equiliacutebrio eletrostaacutetico ( = 0 para todas as cargas eleacutetricas)

Mais adiante discutiremos sobre essa capacidade da bateria de fazer tudo isso a forccedila eletromotriz

Voltando ao um portador de carga eleacutetrica de carga e massa que estaacute fluindo no meio condutor

impulsionado por um campo eleacutetrico a segunda lei de Newton aplicada a esse portador diz que

=

sendo a velocidade de deriva desse portador Supondo que seja constante chegamos agrave conclusatildeo de que

a velocidade do portador vai crescer indefinidamente Portanto = e vatildeo crescer

indefinidamente Trata-se de uma conclusatildeo absurda Correntes eleacutetricas finitas satildeo facilmente estabelecidas

em condutores comuns A conclusatildeo que chegamos eacute que falta uma forccedila na segunda lei de Newton uma

forccedila de arraste que se opotildee ao aumento desenfreado de Qual a origem dessa forccedila de arraste nos

portadores de carga Temos que considerar que os portadores de carga viajam atraveacutes de um amontoado de

partiacuteculas dentro de um meio material e que essas partiacuteculas servem de obstaacuteculo ao fluxo de portadores

Mesmo em materiais cristalinos como os metais em que essas partiacuteculas do meio (iacuteons) estatildeo dispostas de

forma bastante regular no espaccedilo a presenccedila de impurezas e defeitos nessa regularidade oferece forte

oposiccedilatildeo agrave propagaccedilatildeo dos portadores de carga (os eleacutetrons nesse caso) Aleacutem disso haacute uma forte influecircncia

224

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

da temperatura pois a agitaccedilatildeo teacutermica desloca aleatoriamente as partiacuteculas do meio condutor de suas

posiccedilotildees de equiliacutebrio atrapalhando ainda mais a conduccedilatildeo eleacutetrica Nesse sentido um portador de carga se

deslocando em um meio condutor pode ser comparado a uma pessoa que tenta caminhar em meio a uma

multidatildeo agitada No final das contas essa interaccedilatildeo portador de carga eleacutetricapartiacuteculas agitadas do meio

condutordefeitosimpurezas resulta em uma forccedila de arraste ( ) em cada portador forccedila que eacute

dependente da velocidade de deriva do portador apontando sempre no sentido oposto ao vetor (com um

atrito cineacutetico) e de magnitude crescente com a magnitude ( = 0 = 0)

Portanto levando esse efeito em conta a segunda lei de Newton aplicada a um portador de carga

eleacutetrica que flui em um meio condutor fica = + ( ) Assumindo um arraste proporcional agrave velocidade ( ) = minus ( ) sendo ( ) uma constante (no

sentido de que independe de ) de arraste que depende do material condutor (MAT) e da temperatura ( )

obtemos finalmente = minus ( )

Agora podemos entender que a velocidade de arraste natildeo cresce indefinidamente porque agrave medida que o

campo acelera os portadores de carga a forccedila de arraste aumenta de magnitude se opondo ao proacuteprio

aumento de No caso estacionaacuterio constante obtemos a velocidade de equiliacutebrio

minus ( ) = 0 rArr = ( )

Considerando a relaccedilatildeo entre e a densidade de corrente dentro do meio condutor obtemos

= rArr = ( )

Esse modelo mecacircnico da conduccedilatildeo eleacutetrica apesar de simples nos permite prever muitas

propriedades dos materiais condutores eleacutetricos principalmente dos materiais de comportamento mais

simples como os metais Enfim considere que exista um campo eleacutetrico aplicado dentro de um material

Tendo em vista a expressatildeo de que obtivemos acima concluiacutemos que (tendo em vista outras informaccedilotildees

relevantes que vamos assumir como verdadeiras aqui)

i) se = 0 natildeo haacute portadores de carga dentro desse material ele eacute de fato um isolante eleacutetrico perfeito

e = 0 ou seja um campo natildeo eacute capaz de estabelecer uma corrente eleacutetrica nesse material

225

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

ii) Quanto maior a densidade de portadores de carga eleacutetrica no material condutor maior seraacute a

resposta do material ao estiacutemulo de e maior seraacute o valor de Nos metais esse nuacutemero eacute da ordem de 10 eleacutetrons de conduccedilatildeocm3 e eacute independente da temperatura Por isso os metais em geral satildeo oacutetimos

condutores de eletricidade e a influecircncia da temperatura na conduccedilatildeo eleacutetrica se daacute basicamente pela

influecircncia que a temperatura tem na taxa de colisotildees dos portadores (ou seja via ( )) iii) Os materiais semicondutores tecircm um fortemente dependente da temperatura = ( ) e a

conduccedilatildeo eleacutetrica melhora com o aumento da temperatura do material porque ( ) cresce com

iv) A constante de arraste ( ) deve ser uma funccedilatildeo crescente da temperatura e da quantidade de

defeitos e impurezas presentes no material condutor Por isso a conduccedilatildeo eleacutetrica nos metais piora com

o aumento da temperatura e das quantidadesproporccedilotildees de defeitos e impurezas

Essa relaccedilatildeo linear entre (a resposta do material condutor) e (o estiacutemulo) que descobrimos atraveacutes

de um modelo bem simples para a conduccedilatildeo eleacutetrica foi descoberta experimentalmente pelo cientista

pioneiro Georg Simon Ohm Por isso essa lei eacute chamada de lei de Ohm A lei de Ohm pode ser sintetizada na

forma =

sendo a constante (no sentido de que natildeo depende nem de e nem de ) de proporcionalidade entre esses

dois campos A constante eacute chamada de condutividade eleacutetrica do material material que eacute chamado de

ldquoocirchmicordquo pelo fato dele obedecer a essa lei de linearidade A natureza eacute rica em comportamentos e existem os

materiais natildeo ocirchmicos que natildeo obedecem agrave lei de Ohm ou seja em que natildeo tem relaccedilatildeo linear com Os

metais satildeo por excelecircncia exemplos de materiais ocirchmicos Do nosso simples modelo mecacircnico para a

conduccedilatildeo eleacutetrica deduzimos que = ( ) Portanto eacute dependente do material atraveacutes de e e eacute dependente da temperatura atraveacutes de e

de ou seja da taxa de colisotildees dos portadores Nos metais como jaacute dissemos depende da

temperatura somente atraveacutes de ou seja um aumento de leva a um aumento de (mais colisotildees)

e a uma diminuiccedilatildeo na condutividade eleacutetrica

Vemos que vale a proporcionalidade prop maior

concentraccedilatildeo de portadores de carga maior a condutividade

do material Um experimento simples pode demonstrar a

validade desse resultado variando-se a concentraccedilatildeo de iacuteons

em uma soluccedilatildeo aquosa O graacutefico ao lado mostra um graacutefico

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

de versus obtido em um experimento didaacutetico com uma simples soluccedilatildeo de NaCl em aacutegua

(httpswwwwardscicomwwwwardscicomimagesLiquid_Conductivitypdf) Quanto mais dissolvemos sal

na aacutegua maior a concentraccedilatildeo de portadores de carga (iacuteons livres) Na+ e Cl- na soluccedilatildeo e melhor a conduccedilatildeo

de eletricidade atraveacutes da soluccedilatildeo maior sua condutividade Como jaacute mencionamos nos metais a

concentraccedilatildeo de portadores de carga (eleacutetrons) eacute gigantesca e basicamente constante enquanto que nos

materiais semicondutores (siliacutecio por exemplo) essa concentraccedilatildeo cresce com o aumento da temperatura = ( ) Muitas vezes por conveniecircncia nos referimos ao inverso de a resistividade eleacutetrica

= 1

Baseado em tudo que jaacute discutimos esperamos que o aumento da temperatura de um metal leve a

um concomitante aumento em sua resistividade eleacutetrica Para os metais por exemplo tem um

crescimento basicamente linear com Soluccedilotildees eletroliacuteticas tecircm um comportamento oposto o aumento da

temperatura diminui a resistividade (aumenta a mobilidade dos iacuteons) Por esse motivo eacute mais difiacutecil dar a

partida em um carro no inverno Olhando para a lei de Ohm = vemos que a unidade de eacute

(Am2)(Vm)=(AV)m A unidade VA eacute chamada de ohm (siacutembolo Ω (omega)) e portanto a unidade de eacute o

simples produto Ω m Os metais comuns como o cobre e o alumiacutenio possuem cong 10 Ω m sendo o cobre

um condutor um pouco melhor que o alumiacutenio ( cong 172 times 10 Ω m contra cong 2 75 times 10 Ω m)

Esses dois materiais satildeo muito utilizados na confecccedilatildeo de fios condutores de eletricidade No outro extremo o

vidro possui na faixa 10 minus 10 Ω m e a madeira seca na faixa 10 minus 10 Ω m Esses satildeo materiais muito

utilizados no isolamento de linhas de distribuiccedilatildeo e transmissatildeo de energia eleacutetrica

A Figura ao lado mostra uma combinaccedilatildeo de materiais de diferentes

propriedades eleacutetricas cada um cumprindo seu papel em uma rede de

distribuiccedilatildeo de eletricidade O metal no fio permite a conduccedilatildeo faacutecil de

portadores de carga atraveacutes do espaccedilo transportando energia potencial eleacutetrica

com poucas perdas O vidro nos isoladores e a madeira no poste isolam esse fio

eletricamente de tal forma que os portadores de carga sigam seu caminho ao longo da linha sem

desviosfugas Natildeo podemos ver mas haacute tambeacutem o ar circundante que tambeacutem eacute um isolante eleacutetrico

Sendo = em geral e = para um material condutor ocirchmico deduzimos que a velocidade

de derivaarraste nesses materiais eacute = = rArr =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Para o cobre por exemplo cong 6 times 10 1Ω m cong 85 times 10 eleacutetronsm3 e cong minus16 times 10 C

Portanto cong minus00044

(o sinal de menos significa apenas que os portadores de carga que satildeo eleacutetrons se movem no sentido oposto

ao sentido do campo )

Suponha um fio ciliacutendrico de cobre de raio = 2 mm transportando uma corrente eleacutetrica constante = 10 A A densidade de corrente no cobre eacute uniforme e vale

= cong 8 times 10 Am

Portanto o campo eleacutetrico no cobre necessaacuterio para estabelecer essa corrente eacute

= cong 0013Vm

Trata-se de um campo eleacutetrico bem pequeno que levaria a um DDP de 0013 V entre as extremidades

de um metro de fio Analogamente seriam necessaacuterios 100 m de fio para se medir uma DDP de 13 V entre

suas extremidades

Conclusatildeo a velocidade de deriva dos eleacutetrons dentro do cobre que compotildee esse fio que estaacute

transportando essa corrente tem o valor minuacutesculo

= cong 00044 cong 006mms

Os eleacutetrons literalmente ldquose arrastamrdquo dentro do cobre sob accedilatildeo de um campo de forccedila de impulsatildeo

minuacutesculo cong 0013Vm uma forccedila minuacutescula = cong 2 times 10 N e um arraste de igual valor atuando

no sentido oposto agrave velocidade A velocidade de arraste eacute similar agrave velocidade terminal de um para-

quedista que cai na atmosfera No para-quedista a gravidade o impulsiona para baixo e o arraste do para-

quedas com o ar produz uma forccedila para cima que cresce ateacute equilibrar com o peso em uma velocidade

terminal constante de queda No portador de carga o campo eleacutetrico o impulsiona para a frente e o arraste

com o meio condutor que o empurra para traacutes cresce ateacute que equilibra com a forccedila eleacutetrica em uma

velocidade de arrastederiva minuacutescula

Esse valor pequeno de velocidade de deriva surpreende aqueles que acreditam que os portadores de

carga os eleacutetrons por exemplo devem ser emitidos por uma bateria e atravessar metros de fio condutor ateacute

chegar a uma lacircmpada e fazer com que ela acenda Com essa velocidade de 006 mms um eleacutetron demoraria

quase cinco horas para percorrer 1 metro de fio Devemos esperar 5 horas entre o apertar de um botatildeo e o

acendimento de uma lacircmpada Natildeo porque um circuito eleacutetrico jaacute estaacute cheio de eleacutetrons livres soacute esperando

uma forccedila que os faccedila fluir Na lacircmpada jaacute haacute eleacutetrons livres eles estatildeo laacute esperando a forccedila que vai

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

estabelecer a corrente na lacircmpada Ao ligar a bateria no circuito da lacircmpada ocorre uma propagaccedilatildeo de

eletrizaccedilatildeo nos fios e um campo eleacutetrico no espaccedilo e essa propagaccedilatildeo se daacute na velocidade da luz cerca de

300000 kms No instante em que esse campo eleacutetrico atinge a lacircmpada os eleacutetrons de conduccedilatildeo que jaacute

estavam laacute fazendo parte da lacircmpada comeccedilam a fluir e a lacircmpada acende Natildeo percebemos nenhum

retardo dada a velocidade incriacutevel da luz

Podemos fazer aqui uma analogia com uma mangueira de aacutegua ligada a uma torneira inicialmente

fechada Imagine que a mangueira esteja inicialmente vazia sem aacutegua dentro dela Ao ligarmos a torneira

teremos que esperar que a aacutegua vaacute ocupando o volume da mangueira ateacute que ela jorre em sua extremidade

Se a mangueira for muito longa isso pode demorar bastante Um circuito eleacutetrico natildeo funciona assim O

circuito eleacutetrico eacute similar agrave situaccedilatildeo em que a mangueira jaacute estaacute cheia de aacutegua aacutegua inicialmente parada Ao

ligarmos a torneira propaga-se na aacutegua uma onde de pressatildeo com a velocidade do som na aacutegua cerca de

1500 ms e rapidamente a aacutegua que jaacute estava na sua extremidade comeccedila a jorrar Da mesma forma

condutores eleacutetricos estatildeo repletos de portadores de carga (que natildeo constituem excessos de carga pois satildeo

partiacuteculas constituintes do material) apenas esperando uma forccedila de impulsatildeo (um campo eleacutetrico) para

comeccedilarem a se mover

522 Resistecircncia eleacutetrica lei de Ohm

Na seccedilatildeo anterior definimos a resistividade eleacutetrica como sendo uma caracteriacutestica dos materiais

condutores que quantifica o quanto esse material se opotildee agrave passagem da corrente eleacutetrica atraveacutes dele Essa

oposiccedilatildeo se daacute atraveacutes de um arraste que eacute resultado das colisotildees dos portadores de carga eleacutetrica com as

demais partiacuteculas que compotildeem o material Aqui vamos considerar um dispositivo eleacutetrico de dois terminais A

e B tal que ao conectarmos esse dispositivo a um circuito a corrente eleacutetrica vai fluir (ou tentar fluir) de A para

B (ou de B para A) atraveacutes desse dispositivo Estamos chamando de dispositivo eleacutetrico um aparelho qualquer

que eacute conectado a um circuito atraveacutes de seus dois terminais como uma lacircmpada uma geladeira um

aparelho de TV etc Obviamente a dificuldade que a corrente teraacute de atravessar esse dispositivo vai depender

do material ou dos materiais de que ele eacute feito mais especificamente das resistividades desses materiais

Mas essa oposiccedilatildeo agrave passagem da corrente eleacutetrica que chamamos de resistecircncia eleacutetrica do dispositivo

vai depender tambeacutem de outras caracteriacutesticas do dispositivo como de sua formageometria suas dimensotildees

etc A resistecircncia eleacutetrica eacute a grandeza que mede a oposiccedilatildeo que um dispositivo oferece agrave passagem da

corrente eleacutetrica atraveacutes de seus dois terminais

Mais adiante vamos estudar correntes alternadas (CA) ou seja correntes ( ) que variam de

intensidade no tempo de forma perioacutedica diferentemente da corrente contiacutenua (CC) que tem um valor

constante no tempo Correntes alternadas satildeo produzidas por DDPs alternadas ∆ ( ) (como a produzida por

uma tomada de parede) e correntes contiacutenuas satildeo produzidas por DDPs contiacutenuas ∆ (como a produzida por

229

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

uma bateria) Aqui estamos pensando no conceito de resistecircncia eleacutetrica estritamente no caso mais simples de

correntes contiacutenuas correntes constantes produzidas por DDPs constantes Para correntes alternadas

podemos generalizar o conceito de resistecircncia atraveacutes do conceito de impedacircncia que veremos mais adiante

Para os resistores que satildeo dispositivos caracterizados apenas por sua resistecircncia eleacutetrica o conceito de

resistecircncia se aplica tambeacutem no regime CA (basicamente porque a DDP e a corrente nesses dispositivos

oscilam em fase)

Enfim se quisermos medirdefinir a resistecircncia de um dispositivo de dois terminais A e B noacutes

ligamos esses terminais aos terminais de uma bateria que estabelece uma DDP constante ∆ no dispositivo e

medimos a corrente constante que flui de A para B ou de B para A dependendo da polaridade da bateria A

resistecircncia eleacutetrica desse dispositivo eacute definida pela razatildeo

= ∆

Interpretamos nessa expressatildeo o ∆ gt 0 como sendo o estiacutemulo constante agrave passagem da corrente eleacutetrica

entre A e B e a corrente gt 0 como sendo a resposta constante a esse estiacutemulo Um dispositivo de resistecircncia

eleacutetrica grande eacute aquele em que estabelecemos uma ∆ grande entre seus terminais e isso resulta em uma

corrente pequena Por outro lado um dispositivo de resistecircncia eleacutetrica pequena eacute aquele em que

estabelecemos uma ∆ pequena entre seus terminais e isso resulta em uma corrente grande A unidade de

eacute o VA que jaacute definimos anteriormente como sendo o ohm (siacutembolo Ω)

A relaccedilatildeo inversa (resposta) = ∆ (estiacutemuloa )(oposiccedilatildeoa )

deixa mais evidente o papel desempenhado por em um dispositivo eleacutetrico eacute a oposiccedilatildeo a atraveacutes de

um dispositivo assim como em um material condutor eacute a oposiccedilatildeo a Maior menor para uma mesma ∆ aplicada aos terminais A e B

Eacute interessante frisar que na definiccedilatildeo = ∆ ou de outra forma ∆ = natildeo estamos afirmando

que eacute uma ldquoconstanterdquo independente de ∆ e de Pelo contraacuterio aqui podemos supor os mais variados

comportamentos para ou seja pode ele mesmo ser funccedilatildeo de ∆ e de = (∆ )

Um exemplo tiacutepico desse comportamento mais geral da resistecircncia eleacutetrica eacute o do diodo retificador

que eacute mostrado na Figura ao lado O diodo eacute um dispositivo passivo de dois terminais

caso tiacutepico do que estamos discutindo aqui Note na Figura que um dos terminais estaacute

marcado com uma faixa prateada Isso ocorre porque o diodo possui polaridade ou seja seus dois terminais

natildeo satildeo equivalentes Na Figura que segue mostramos o siacutembolo utilizado para o diodo em esquemas

eleacutetricos em que fica evidente a assimetria entre os seus terminais A e B

230

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

O diodo retificador possui uma resistecircncia eleacutetrica seletiva Se a corrente eacute

estimulada a fluir de A para B ou seja se Δ = minus gt 0 entatildeo a corrente flui

facilmente e cong 0 Caso contraacuterio se a corrente eacute estimulada a fluir de B

para A ou seja se Δ = minus lt 0 entatildeo a corrente praticamente natildeo flui e rarr infin

O diodo eacute um dispositivo feito de materiais semicondutores e nesse sentido ele faz parte da

revoluccedilatildeo tecnoloacutegica que substituiu as vaacutelvulas eletrocircnicas por dispositivos semicondutores

Uma vaacutelvula diodo ver Figura ao lado eacute um tubo com vaacutecuo que possui dentro dele um

filamento como o filamento de uma lacircmpada incandescente e uma placa metaacutelica Os dois

terminais da vaacutelvula diodo correspondentes aos terminais A e B definidos no siacutembolo do diodo

na Figura acima satildeo ligados ao filamento (terminal B) e agrave placa (terminal A) Durante a operaccedilatildeo

da vaacutelvula o filamento deve ser alimentado externamente e permanecer incandescente (por isso a vaacutelvula

parece uma lacircmpada e emite luz) Portanto se a polarizaccedilatildeo da vaacutelvula for gt eleacutetrons deveratildeo fluir do

filamento aquecido para a placa metaacutelica (porque o campo aponta da placa para o filamento e a carga do

eleacutetron eacute negativa) e eles fazem isso facilmente porque em volta do filamento haacute uma nuvem de eleacutetrons

(emissatildeo termiocircnica) Caso contraacuterio se a polarizaccedilatildeo da vaacutelvula for lt eleacutetrons deveratildeo fluir da placa

(fria) para o filamento aquecido (porque o campo aponta do filamento para a placa) e isso natildeo vai ocorrer

Eleacutetrons natildeo vatildeo simplesmente saltar da placa Daiacute vem a capacidade de retificaccedilatildeo da vaacutelvula diodo A

corrente eleacutetrica flui da placa para o filamento ndash de A para B (os eleacutetrons voam do filamento para a placa) ndash

mas o contraacuterio natildeo acontece O diodo retificador desempenha essa mesma funccedilatildeo sem nenhum tubo de

vidro sem filamento sem vaacutecuo com muito menos dissipaccedilatildeo de calor e ocupando um volume muito muito

mesmo menor (note que nessa discussatildeo o sentido da corrente eacute oposto ao sentido do movimento dos

eleacutetrons porque a carga do eleacutetron eacute negativa)

Se conectarmos um diodo a uma fonte de DDP contiacutenua com Δ ajustaacutevel ou seja cujo valor e

polaridade de Δ podemos variar livremente vamos obter o graacutefico times Δ como mostrado na Figura 5(a)

abaixo A Figura 5(a) mostra que com a polaridade direta ( gt Δ gt 0) o diodo retificador conduz

facilmente (porque sua resistecircncia eleacutetrica eacute muito baixa) apoacutes um valor pequeno de limiar Δ (na praacutetica

esse limiar eacute da ordem de 03 a 07 V dependendo do diodo) Abaixo desse limiar e para polaridades reversas

( lt Δ lt 0) a corrente no diodo eacute minuacutescula (porque sua resistecircncia eleacutetrica eacute muito alta)

A B

231

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Note que uma corrente positiva representa uma corrente de A para B e vice-versa Na Figura 5(b)

mostramos o resultado da razatildeo = ∆ que daacute a resistecircncia eleacutetrica do diodo Vemos claramente que = (∆ ) ou seja eacute uma funccedilatildeo da DDP ∆ Vemos que eacute fortemente dependente do sinal de ∆ Para ∆ lt 0 vale rarr infin (por isso natildeo haacute curva representada no lado esquerdo do graacutefico na Figura 5(b) a

resistecircncia do diodo diverge nesse lado do graacutefico (o lado em que ∆ lt 0))

As Figuras 5(c) e 5(d) mostram as curvas times Δ e times Δ para um dispositivo mais simples em que a

resposta eacute simeacutetrica ou seja um dispositivo sem polaridade e linear pois a curva times Δ eacute uma reta que

passa pela origem A curva de times Δ eacute uma reta horizontal porque a inclinaccedilatildeo da reta times Δ que eacute

exatamente 1 = ∆ eacute uma constante Portanto esse dispositivo obedece a uma relaccedilatildeo

= ∆ = constante

em que eacute uma constante ou seja natildeo depende nem de ∆ e nem de eacute portanto um propriedade do

dispositivo

Essa relaccedilatildeo de linearidade eacute chamada de lei de Ohm Podemos chamar essa lei de lei de Ohm

macroscoacutepica para diferenciaacute-la da outra relaccedilatildeo de linearidade = que poderiacuteamos chamar de lei de

Ohm microscoacutepica Mas para simplificar natildeo havendo chance de confusatildeo vamos simplesmente chamar essa

Δ

Δ

Δ

= Δ

Δ

(b) = Δ (a)

(c) (d)

Figura 5 Comparaccedilatildeo entre as curvas times Δ e as resistecircncias eleacutetricas = ∆ para um diodo (a) e (b) e para um resistor (c) e (d) O diodo eacute um dispositivo natildeo ocirchmico e o resistor eacute um dispositivo ocirchmico

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

lei de lei de Ohm A lei de Ohm diz simplesmente que existe essa classe de dispositivos para os quais a

resistecircncia eleacutetrica eacute uma grandeza intriacutenseca que independe do estiacutemulo ∆ ou da resposta Esses

dispositivos satildeo tipicamente chamados de resistores pois estatildeo definidos atraveacutes da resistecircncia eleacutetrica que

possuem A resistecircncia de um resistor pode vir escrita nele diferentemente de um diodo retificador por

exemplo cuja resistecircncia estaacute definida por sua conexatildeo ao circuito externo (pelo

valor de ∆ que pode ser diferente para cada circuito) A Figura ao lado mostra um

resistor de resistecircncia eleacutetrica =22 Ω com erro de 5 (ou seja 209Ω le le231Ω) e potecircncia maacutexima de 5W Essa potecircncia maacutexima limita a corrente maacutexima

que pode passar no resistor garantindo que ele vai atingir uma temperatura maacutexima que natildeo danifica sua

estrutura

Resistores satildeo usados em circuitos eleacutetricos e eletrocircnicos cumprindo diversas funccedilotildees como a simples

modificaccedilatildeo de um valor de DDP (divisor de tensatildeo) e a produccedilatildeo de calor por efeito

Joule A Figura ao lado mostra o siacutembolo de um resistor usado em esquemas de

circuitos eleacutetricos um resistor de resistecircncia eleacutetrica e terminais A e B (o serrilhado

passa uma ideia de aspereza e atritoarraste) Diferentemente do diodo o resistor natildeo possui polaridade Seus

dois terminais satildeo equivalentes a corrente eleacutetrica enfrenta a mesma dificuldade (resistecircncia) quando flui de

A para B ou de B para A

523 A resistecircncia eleacutetrica de um cilindro feito de material ocirchmico

O resistor de resistecircncia = 22Ω mostrado na Figura acima eacute um

simples cilindro maciccedilo feito de um material ocirchmico ou seja de um

material que obedece agrave lei de Ohm = Podemos mostrar que um

cilindro como esse obedece ele mesmo a lei de Ohm macroscoacutepica = ∆ com uma constante

A Figura ao lado ilustra esse dispositivo condutor um cilindro maciccedilo de comprimento e aacuterea de

seccedilatildeo transversal = feito de um material condutor ocirchmico de resistividade = 1 Os terminais do

resistor satildeo os pontos A e B Por hipoacutetese conectamos esse dispositivo a uma bateria que estabelece uma DDP

constante ∆ gt 0 entre os terminais A e B A essa DDP estaacute associado o campo eleacutetrico uniforme = no

interior do volume do resistor (seta verde) que empurra os portadores de carga eleacutetrica nessa regiatildeo

estabelecendo uma densidade de corrente = = (seta vermelha) Note que estamos assumindo e

uniformes porque natildeo haacute efeito pele em circuitos CC Esse eacute o caso mais simples de distribuiccedilatildeo radial de

corrente eleacutetrica no condutor (mas vocecirc jaacute pode desconfiar que o efeito pele modifica a resistecircncia eleacutetrica de

B A

A B

z

L

R

233

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

um dispositivo a resistecircncia aumenta com a frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo) Agora vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆ para determinar a resistecircncia entre os terminais A e B

Primeiramente determinamos a DDP entre os terminais A e B (o estiacutemulo agrave corrente)

∆ = ( ) minus ( ) = ∙ = ∙ = = ∆ =

Agora determinamos a corrente que flui de A para B ( eacute a seccedilatildeo transversal do cilindro = disco de raio )

= ∙ = ∙ = ∙ = =

eacute a resposta do dispositivo ao estiacutemulo Δ

Concluindo a resistecircncia eleacutetrica desse cilindro condutor eacute (lembrando que = )

= ∆ = = = =

Vemos que independe de ∆ e de depende do material de que o cilindro condutor eacute feito do

comprimento e da aacuterea da seccedilatildeo transversal do cilindro Esse cilindro condutor eacute um resistor ele obedece agrave lei

de Ohm (que diz que a razatildeo ∆ eacute uma constante) Note que havendo uma dependecircncia de com a

temperatura segue que a resistecircncia eleacutetrica herda essa dependecircncia Para um cilindro de metal por

exemplo como um simples fio de cobre esperamos que seja uma funccedilatildeo crescente de assim como

Veremos na proacutexima seccedilatildeo que a passagem de corrente eleacutetrica atraveacutes de um material resistivo resulta em

aumento da energia internaagitaccedilatildeo teacutermica desse material e concomitante elevaccedilatildeo na sua temperatura

Assim sendo como depende de que depende de que depende de ∆ segue que observa-se ao final

uma dependecircncia = (∆ ) ou seja uma (aparente) pequena violaccedilatildeo na validade da lei de Ohm mesmo

para um simples cilindro condutor feito de material ocirchmico Para situaccedilotildees em que a temperatura do cilindro

condutor natildeo varia muito observa-se a validade da lei de Ohm ou seja eacute uma caracteriacutestica intriacutenseca do

cilindro Portanto esperamos que na praacutetica a validade da lei de Ohm seja observada apenas quando os

eventuais efeitos da temperatura sobre a conduccedilatildeo eleacutetrica forem devidamente eliminados (por exemplo

atraveacutes de um experimento com temperatura fixa controlada)

Os metais mais usados em fios de instalaccedilotildees eleacutetricas satildeo o cobre e o alumiacutenio O cobre eacute um

condutor mais nobre pois possui resistividade um pouco menor que o alumiacutenio cong 172 times 10 Ω m e cong 275 times 10 Ω m em cong 20degC Mesmo assim o alumiacutenio por ser mais leve e mais barato que o cobre eacute

muito usado em fios de linhas de transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica (onde os fios ficam pendurados

em postes ou torres) que podem ter centenas de quilocircmetros de comprimento

234

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Com relaccedilatildeo a esses dois materiais considere a seguinte questatildeo qual deveria ser a relaccedilatildeo entre as

aacutereas das seccedilotildees transversais de dois fios de mesmo comprimento um de cobre e outro de alumiacutenio para

que eles tivessem a mesma resistecircncia eleacutetrica As resistecircncias eleacutetricas esses fios (ciliacutendricos) satildeo

= =

Portanto assumindo resistecircncias iguais = rArr = rArr = cong 16

O fio de alumiacutenio deve ser cong 16 vezes mais grosso que o fio de cobre Qual a relaccedilatildeo entre os pesos =

desses fios Sejam cong 896 gcm3 e cong 270 gcm3 as densidades de massa do cobre e do alumiacutenio Entatildeo

= = = cong 030 times 16 cong 048

Nesse caacutelculo usamos que o peso eacute = a massa eacute = e o volume do cilindro eacute =

Vemos que o fio de alumiacutenio de mesma resistecircncia eleacutetrica mesmo sendo mais grosso ainda possui

basicamente a metade do peso do fio de cobre (trata-se apenas de uma estimativa razoaacutevel pois existem

vaacuterios alumiacutenios e vaacuterios cobres ligeiramente diferentes) Essa pode ser uma vantagem importante para um fio

que fica pendurado em um poste ou em uma torre

Eacute importante registrar que os conceitos que estamos discutindo aqui possuem aplicaccedilatildeo ampla natildeo se

restringindo somente aos circuitos eleacutetricos Por exemplo os conceitos de resistividade e resistecircncia eleacutetricas

satildeo amplamente utilizados na identificaccedilatildeo de diferentes materiais atraveacutes de sondagem por eletrodos de

corrente Em geologia por exemplo a mediccedilatildeo da resistecircncia e da resistividade do solo pode ajudar na

identificaccedilatildeo de sua composiccedilatildeo e na caracterizaccedilatildeo de diferentes camadas geoloacutegicas (ver o artigo An

introduction to electrical resistivity in geophysics Rhett Herman American Journal of Physics 69 (2001))

Resumidamente essa teacutecnica se baseia na introduccedilatildeo de dois eletrodos (hastes condutoras) no solo

separados entre si por uma certa distacircncia Aplica-se uma DDP ∆ nesses eletrodos e mede-se a corrente

que flui de um eletrodo para o outro atraveacutes do solo A resistividade eleacutetrica do solo seraacute dada por

= ∆ = rArr = ∆

O fator geomeacutetrico que depende de natildeo eacute tatildeo simples de ser determinado como no caso de uma

corrente que flui em um cilindro condutor mas ele pode ser calculado para essa geometria utilizando-se as

ferramentas do eletromagnetismo Um fato interessante eacute que quanto mais espaccedilados os eletrodos mais

profundamente a corrente flui atraveacutes do solo Portanto um graacutefico de versus pode mostrar uma variaccedilatildeo

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

abrupta quando a corrente atinge uma camada de solo mais profunda com composiccedilatildeo diferente da camada

superior ou um lenccedilol freaacutetico (solo + aacutegua)

Uma ideia parecida pode ser utilizada para se medir a composiccedilatildeo de gordura ou

massa oacutessea do corpo humano Sabe-se por exemplo que a gordura eacute basicamente um

isolante eleacutetrico e que a corrente eleacutetrica flui no corpo humano principalmente atraveacutes da

ldquomassa livre de gordurardquo Na chamada ldquoanaacutelise de bioimpedacircnciardquo divide-se o corpo

humano em cinco regiotildees ciliacutendricas (braccedilos pernas e tronco) como na Figura ao lado

Eletrodos satildeo colocados na pele nas extremidades dessas regiotildees Aplica-se uma DDP ∆

(pequena para natildeo produzir choques eleacutetricos) nesses eletrodos e mede-se a corrente que

flui de um eletrodo para o outro A resistividade eleacutetrica do material do cilindro seraacute dada por

= ∆

Atraveacutes dessa medida de pode-se inferir o percentual de gordura em cada parte do corpo A mesma ideia

funciona para se estimar a massa oacutessea (a bioimpedacircncia eacute melhor avaliada utilizando os conceitos de circuitos

de corrente alternada que estudaremos mais adiante Se vocecirc quiser ver uma introduccedilatildeo ao tema pode

recorrer ao artigo Bioelectrical impedance analysis as a laboratory activity At the interface of physics and the

body de Elliot Mylotta et al American Journal of Physics 82 (2014))

524 A potecircncia dissipada na forma de calor por um resistor efeito Joule

A passagem de corrente eleacutetrica atraveacutes de um meio condutor resistivo ( ne 0) faz com que a energia

interna desse meio aumente Esse eacute o chamado efeito Joule descrito em 1839 por James P Joule A ideia eacute

simples A resistecircncia eleacutetrica de um condutor resistivo estaacute associada agraves colisotildees entre os portadores de carga

eleacutetrica que constituem a corrente e as demais partiacuteculas que compotildeem juntas o meio condutor (aacutetomos iacuteons

etc) As colisotildees transferem portanto energia dos portadores de carga para o meio condutor que ganha

energia de agitaccedilatildeo teacutermica (energia cineacutetica) Natildeo havendo inicialmente uma dissipaccedilatildeo total dessa energia

teacutermica espera-se uma elevaccedilatildeo na temperatura desse meio condutor Sua temperatura aumenta ateacute que o

equiliacutebrio entre a energia teacutermica produzida e o calor dissipado se estabeleccedila Trata-se de um efeito de faacutecil

realizaccedilatildeo servindo de base para o funcionamento de uma grande quantidade de aparelhos eleacutetricos A Figura

6 mostra alguns desses aparelhos Seu princiacutepio de funcionamento estaacute no efeito Joule Esquematicamente + rArr calor Na relaccedilatildeo esquemaacutetica acima enfatizamos o papel de no efeito Joule

Podemos conceber materiais com = 0 chamados de condutores perfeitos nos quais a passagem de

corrente eleacutetrica natildeo implica em produccedilatildeo de calor De fato Heike K Onnes ganhou o precircmio Nobel em 1913

236

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

por ter descoberto que existem materiais ditos supercondutores que exibem o comportamento de

condutores perfeitos a temperaturas muito baixas Onnes fez sua descoberta utilizando o Mercuacuterio como

metal condutor e observou que para ≲ 42 K a resistividade desse material caia abruptamente a zero Ele se

tornava um supercondutor e portanto um condutor perfeito (um supercondutor tem outras propriedades

aleacutem da conduccedilatildeo perfeita) Correntes eleacutetricas circulando em condutores perfeitos natildeo dissipam energia

Secador de cabelos

Air fryer

Chuveiro eleacutetrico

Lacircmpada incandescente

Misteira eleacutetrica

Ferro de passar roupa

Olhando para a lei de Ohm = = entendemos que os portadores de carga podem fluir

dentro de um condutor perfeito sem nenhuma forccedila de impulsatildeo posto que natildeo haacute nenhuma forccedila de

oposiccedilatildeoarraste ao fluxo de portadores basicamente para um condutor perfeito vale = = infin0 = = 00 Notamos tambeacutem que os condutores perfeitos em circuitos de corrente contiacutenua satildeo geralmente

equipotenciais mesmo fora do contexto da eletrostaacutetica posto que ∆ eacute uma integral de caminho de e = 0 dentro deles Para simplificar a anaacutelise de circuitos eleacutetricos utilizamos essa ideia quando consideramos

que os pequenos segmentos de fio ( cong 0) que conectam os componentes eleacutetricos de um circuito (resistores

baterias etc) satildeo equipotenciais

Suponha um resistor de resistecircncia em que circula um acorrente como

ilustrado ao lado Qual a taxa de produccedilatildeo de energia internateacutermica nesse

resistor Em um resistor circula corrente porque haacute dentro dele um campo eleacutetrico

impulsionando os portadores de carga vencendo o arrasteresistecircncia Se a

Figura 6 Alguns exemplos de aparelhos eleacutetricos cujo funcionamento se baseia no efeito Joule

B A

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

corrente no resistor flui de A para B entatildeo esse campo eleacutetrico estaacute dentro do resistor apontando de A para

B Eacute o que diz a lei de Ohm = ( eacute paralelo a pois gt 0) Segue que ∆ = minus gt 0 ( sempre

aponta no sentido do decaimento de ) Em um resistor a corrente sempre flui no sentido do decaimento do

potencial eleacutetrico (pois eacute paralelo a ) Considere um portador de carga de carga eleacutetrica gt 0 Esse

portador se desloca de A para B dentro do resistor Quando ele estava em A sua energia potencial eleacutetrica era = Ao chegar em B sua energia potencial eleacutetrica passa a ser = Portanto nessa viagem

dentro do resistor um uacutenico portador de carga perde a energia potencial eleacutetrica ∆ = ( minus ) =minus ∆ lt 0 Aonde vai parar essa energia Considere o teorema do trabalho-energia aplicado a esse portador

no percurso AB ∆ + ∆ = ( rarr ) Quais as outras forccedilas ( ou seja diferentes de ) que atuam no portador de carga que flui dentro do

resistor A forccedila de arraste produzida pelo meio condutor Note que o portador entra e sai do resistor com a

mesma velocidade de arraste a corrente que entra em A eacute a mesma corrente que sai em B Logo ∆ = 0 e ( rarr ) = ( rarr ) = ∆ = minus ∆

O trabalho do arraste eacute negativo porque trata-se de uma forccedila oposta ao deslocamento do portador Trabalho

eacute transferecircncia de energia Essa energia que o portador de carga estaacute perdendo estaacute sendo transferida para o

agente que exerce a forccedila de arraste nele o meio condutor Ou seja para cada portador de carga que

atravessa de A para B o meio condutor ganha a energia cineacutetica (teacutermica) ∆ gt 0 Um resistor eacute um

dispositivo que converte energia potencial eleacutetrica dos portadores de carga em energia teacutermica do meio

condutor

A Figura ao lado sugere uma analogia mecacircnica entre um resistor e um

sistema mecacircnico em que um bloco escorrega para baixo com velocidade

constante (a resultante das forccedilas no bloco eacute nula) em um plano inclinado com

atrito cineacutetico Nesse percurso de queda de A ateacute B o bloco perde energia

potencial gravitacional mantendo sua energia cineacutetica constante (ou seja∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) lt 0) A energia potencial eacute

convertida em energia teacutermica do bloco e do plano inclinado graccedilas agrave accedilatildeo do

atrito cineacutetico entre as superfiacutecies desses corpos Reescrevendo essa uacuteltima frase

adaptando-a para o caso da corrente no resistor obtemos um portador de carga

eleacutetrica flui dentro do resistor com velocidade de deriva constante em um material com arraste Nesse

percurso de A ateacute B o portador perde energia potencial eleacutetrica mantendo sua energia cineacutetica constante

(ou seja ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) lt 0) A energia potencial eacute convertida em

energia teacutermica do meio resistivo graccedilas agrave accedilatildeo do arraste entre o meio e os portadores de carga

calorA

B

B A

238

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Finalmente a taxa no tempo com que os portadores de carga atravessam de A para B eacute exatamente

e portanto a taxa no tempo (potecircncia) com que o meio condutor ganha energia teacutermica (efeito Joule) eacute

= ( ∆ ) = ∆ = ∆ = ( ) = = ∆ = (∆ )

Acima jaacute escrevemos essa potecircncia de geraccedilatildeo de energia teacutermica em um resistor em trecircs formas diferentes

tendo em vista a validade da lei de Ohm ∆ = A unidade de potecircncia eacute Js que chamamos de watt

(siacutembolo W) Uma lacircmpada de 100 W por exemplo consome 100 J de energia eleacutetrica a cada segundo

(convertendo essa energia em luz e calor quanto maior a eficiecircncia da lacircmpada mais luz e menos calor)

Considere que um chuveiro eleacutetrico deve dissipar uma potecircncia = 5000 W para aquecer a aacutegua

Esse chuveiro estaacute ligado a uma DDP de 127 V Qual deve ser a resistecircncia eleacutetrica interna do chuveiro

= (∆ ) rArr = (∆ ) cong 323Ω

Agora comutamos esse mesmo chuveiro para a posiccedilatildeo inverno em que ele dissipa mais calor prime = 7000 W

para poder aquecer mais a aacutegua circulante Qual a nova resistecircncia desse chuveiro (obtida pela comutaccedilatildeo de

seu circuito interno atraveacutes de uma chave) prime = (∆ )prime cong 230Ω

Alguns estudantes estranham esse resultado pois eles esperam que para se obter mais calor (na

posiccedilatildeo inverno) deveriacuteamos aumentar a resistecircncia e natildeo diminuir que foi o que obtivemos Esses

estudantes geralmente se fixam na relaccedilatildeo = e se esquecem que as correntes eleacutetricas nas posiccedilotildees

veratildeo e inverno do chuveiro natildeo satildeo iguais O que se manteacutem constante aqui eacute a DDP fornecida pela tomada a

qual o chuveiro estaacute conectado e por isso a anaacutelise eacute mais simples se utilizarmos a relaccedilatildeo = (∆ ) que

nos leva a concluir que para uma mesma ∆ menor leva a maior Vemos claramente que na posiccedilatildeo

veratildeo a corrente seraacute = ∆ cong 393 A enquanto que na posiccedilatildeo inverno a corrente no chuveiro seraacute prime = ∆ prime cong 552 A Mais corrente implica nesse caso em mais calor mesmo com menor Essas seriam

correntes muito altas que requereriam fios condutores razoavelmente grossos conectando o chuveiro agrave rede

eleacutetrica Para minimizar esse problema poderiacuteamos comprar um chuveiro com essas mesmas potecircncias mas

que funcionasse em ∆ = 220 V (em duas fases ao inveacutes de fase e neutro) Nesse caso teriacuteamos cong 968Ω cong 691Ω e as correntes seriam cong 227 A e prime cong 318 A Note que o banho natildeo sairia mais barato pois a

potecircncia eacute a mesma mas a corrente nos fios seria menor com o chuveiro de 220 V Isso permitiria uma

instalaccedilatildeo eleacutetrica com fios de cobre mais finos e portanto mais barata mais eficiente e segura

Os valores de resistecircncia eleacutetrica do chuveiro calculados anteriormente satildeo os valores que seriam

observados durante a operaccedilatildeo do chuveiro enquanto ele estaacute esquentando a aacutegua Se medirmos as

239

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

resistecircncias desses resistores com um ohmiacutemetro com o chuveiro desligado podemos observar valores bem

diferentes dos calculados

Imagine que vocecirc pegue uma lacircmpada incandescente GE cristal 60 W 127 V e meccedila a resistecircncia

eleacutetrica do filamento dessa lacircmpada com um ohmiacutemetro (lacircmpada desligada) Vocecirc vai obter cong 17Ω

Daiacute vocecirc calcula a potecircncia da lacircmpada e obteacutem = (Δ ) = (127) 17 cong 949 W Na lacircmpada estaacute

escrito 60 W e vocecirc obteacutem 949 W Qual a origem desse disparate Devemos nos lembrar que enquanto a

lacircmpada estaacute em operaccedilatildeo a temperatura do filamento (feito de Tungstecircnio) supera os 1500 oC e a

resistecircncia do filamento natildeo eacute que seria o valor da resistecircncia do filamento na temperatura ambiente

Enquanto estaacute em operaccedilatildeo o metal do filamento apresenta uma resistividade maior e o filamento apresenta

uma resistecircncia eleacutetrica maior levando a uma potecircncia menor A resistecircncia do filamento no regime de

operaccedilatildeo da lacircmpada eacute = (Δ ) = (127) 60 cong 269Ω Portanto quando ligamos a lacircmpada a

resistecircncia eleacutetrica de seu filamento cresce rapidamente desde o valor cong 17Ω ateacute o valor final cong269Ω A corrente eleacutetrica que circula na lacircmpada tem um pico inicial enquanto o filamento estaacute frio de = Δ = 12717 cong 75 A e decai rapidamente para seu valor de operaccedilatildeo que eacute = Δ =127269 cong 05 A Concluiacutemos que se ficarmos ligando e desligando uma lacircmpada vamos pagar mais

A resistecircncia eleacutetrica natildeo deve ser vista como uma propriedade exclusiva de resistores mas sim como

uma propriedade de todos os dispositivos eleacutetricos Um aparelho de TV um pedaccedilo de fio de cobre uma

lacircmpada uma geladeira todos os dispositivos eleacutetricos reais possuem resistecircncia eleacutetrica e essa resistecircncia

implica em aquecimento e dissipaccedilatildeo de energia na forma de calor Para os dispositivos mostrados na Figura 6

essa dissipaccedilatildeo de calor eacute importante e uacutetil pois essa eacute basicamente a funccedilatildeo deles esquentar Para outros

dispositivos como uma geladeira um computador um fio de cobre de uma instalaccedilatildeo eleacutetrica ou um cabo de

uma linha de transmissatildeo de energia eleacutetrica essa dissipaccedilatildeo de calor eacute indesejaacutevel e inuacutetil devendo ser

minimizada Nos diagramas de circuitos eleacutetricos que representam todos esses dispositivos

vamos representar um siacutembolo de resistor como na Figura ao lado Apesar de nos referirmos

muitas vezes para simplificar a linguagem a um resistor esse siacutembolo natildeo representa necessariamente um

resistor mas sim a propriedade de resistecircncia eleacutetrica de um dispositivo qualquer Esses resistores satildeo

conectados a outros dispositivos no circuito atraveacutes de pequenos segmentos de fio condutor cuja resistecircncia

eleacutetrica desprezamos ou porque ela eacute despreziacutevel mesmo ou porque ela jaacute foi incluiacuteda em um siacutembolo de

resistor no circuito Esses segmentos de ldquocondutor perfeitordquo (equipotenciais) satildeo representados por uma linha

reta nos diagramas de circuitos Uma linha reta no diagrama de um circuito representa uma conexatildeo entre

dois pontos que natildeo apresenta nenhuma propriedade eleacutetrica importante resistecircncia capacitacircncia e (como

veremos em breve) indutacircncia Um serrilhado representa a resistecircncia eleacutetrica de um dispositivo

Nas proacuteximas seccedilotildees comeccedilaremos a discutir a anaacutelise de circuitos eleacutetricos

240

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

53 Forccedila eletromotriz baterias

Na Figura 7 abaixo comparamos um circuito mecacircnico com um circuito eleacutetrico No circuito mecacircnico

um bloco circula no percurso ABCDA com velocidade de moacutedulo constante Vamos imaginar que o bloco sai de

A desce o plano inclinado (com atrito) com velocidade constante perde energia potencial gravitacional

que eacute convertida em calor (pela accedilatildeo do atrito cineacutetico) chega em B desliza ateacute C pela superfiacutecie horizontal

(verde) sem atrito sobe o segundo plano inclinado sem atrito ganhando energia potencial gravitacional O

bloco chega em D desliza ateacute A em um plano horizontal sem atrito e comeccedila tudo outra vez

Esse circuito mecacircnico natildeo esclarece como o bloco vai subir o plano inclinado CD ganhando energia

potencial gravitacional com energia cineacutetica constante Se imaginarmos que natildeo haacute nenhuma outra

forccedila atuando no bloco enquanto ele sobe (aleacutem do peso) o teorema do trabalho energia aplicado ao bloco no

percurso CD fica ∆ + ∆ = 0 rArr ∆ = 0

o que eacute um absurdo completo Fica evidente entatildeo que no percurso CD tem que atuar no bloco uma forccedila

externa que fornece ao bloco energia potencial gravitacional

Poderiacuteamos imaginar por exemplo uma pessoa que fica ali parada e que quando o bloco chega em C

aplica no bloco uma forccedila paralela ao plano inclinado e leva o bloco ateacute D com o mesmo moacutedulo de

velocidade Dessa forma o teorema do trabalho-energia aplicado ao bloco no percurso CD fica ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( rarr ) gt 0

Essa pessoa representada por na equaccedilatildeo acima gasta sua energia interna atraveacutes de seu

metabolismo para realizar trabalho sobre o bloco e fornecer a ele energia potencial gravitacional Na

sequecircncia o bloco desce o plano inclinado AB com atrito e converte energia potencial gravitacional em calor

Podemos imaginar entatildeo esse circuito funcionando em regime estacionaacuterio em que a energia interna da

pessoa vai sendo convertida continuamente em calor no plano inclinado AB Concluindo natildeo podemos

calorA

B

prime C

D

C

B A

D

Figura 7 comparaccedilatildeo entre um circuito mecacircnico ABCDA em que um bloco circula e um circuito eleacutetrico ABCDA em que portadores de carga circulam

241

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

imaginar esse circuito mecacircnico funcionando em regime estacionaacuterio sem a presenccedila dessa ldquofonte de energiardquo

que fornece ao bloco energia potencial Sem essa fonte poderiacuteamos imaginar apenas um comportamento

transiente em que o bloco se movesse um pouco ao longo do circuito e fosse perdendo velocidade (pela accedilatildeo

do atrito) ateacute finalmente parar (∆ ne 0)

Aqui por analogia comeccedilamos e entender que para que um circuito eleacutetrico funcione em regime

estacionaacuterio eacute necessaacuterio que exista no circuito um dispositivo que forneccedila energia potencial eleacutetrica aos

portadores de carga Esse dispositivo estaacute marcado com um sinal no circuito na Figura 7

Vemos nessa Figura que se a corrente no resistor flui de A para B segue que minus gt 0 Em um

resistor a corrente sempre flui no sentido do decaimento do potencial eleacutetrico (pois eacute paralelo a e a

dentro dele = e sempre aponta no sentido do decaimento de ) Portanto como = e =

(condutores perfeitos = equipotenciais) segue que gt ou seja os portadores

de carga ganham energia potencial eleacutetrica quando atravessam esse dispositivo

entre C e D Esse dispositivo eacute uma fonte de energia potencial eleacutetrica Chamamos

de ldquoforccedila eletromotrizrdquo (FEM) essa capacidade que um dispositivo tem de fornecer

energia potencial eleacutetrica aos portadores de carga em um circuito O dispositivo

entre C e D eacute uma fonte de FEM como ilustrado na Figura ao lado O nome ldquoforccedila

eletromotrizrdquo permanece no eletromagnetismo pela forccedila do haacutebito mas eacute um tanto impreciso pois a FEM

natildeo eacute propriamente uma forccedila mas sim uma taxa de realizaccedilatildeo de trabalho Definimos a FEM ℇ de um

dispositivo como sendo a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho (positivo) sobre os portadores de carga por unidade

de carga realizada por esse dispositivo ℇ =

Note que a unidade de ℇ eacute o JC que jaacute apelidamos de volt (V) Agora entendemos que enquanto um portador

de carga vai de A para B vale (sempre com ∆ = 0 corrente que chega = corrente que sai) ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( minus ) = ( rarr ) lt 0

sendo o trabalho da forccedila de arraste (que eacute negativo pois o arraste eacute oposto ao deslocamento)

Depois enquanto esse mesmo portador de carga vai de C ateacute D vale ∆ + ∆ = ( rarr ) rArr ∆ = ( minus ) = ( minus ) = ( rarr ) gt 0

sendo o trabalho (positivo) que a fonte de FEM faz nesse portador para levaacute-lo de C ateacute D

Portanto para que esse circuito funcione em regime estacionaacuterio deve valer

ℇ = = ( rarr ) = ∆ = ( minus ) = minus

C

B A

D ℇ

242

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Conclusatildeo um dispositivo ideal de FEM deve ser capaz de manter entre seus terminais uma diferenccedila de

potencial cujo valor eacute exatamente o valor de sua FEM ℇ (note que estamos considerando um dispositivo de

FEM ideal ou seja sem resistecircncia eleacutetrica interna)

Resumindo um dispositivo ideal de FEM eacute aquele que eacute capaz de i) realizar trabalho positivo sobre os

portadores de carga e fornecer energia potencial eleacutetrica para esses portadores que passam por ele ii) manter

uma diferenccedila de potencial fixa entre seus terminais A FEM ℇ do dispositivo resumequantifica essas

capacidades Veremos mais adiante que uma bateria eacute um dispositivo que tem essas capacidades

Os conceitos de trabalho e energia satildeo os mais adequados para se descrever o funcionamento de

circuitos eleacutetricos No entanto afirmaccedilotildees do tipo ldquoa corrente flui em um resistor porque haacute uma DDP entre

seus terminaisrdquo que satildeo comumente encontradas em livros texto natildeo ajudam muito no entendimento do

fenocircmeno Na Figura do circuito acima representamos uma corrente circulando no sentido horaacuterio Por que

essa corrente circula Portadores de carga fluem em um circuito porque haacute uma forccedila que nos casos que

estamos discutindo aqui eacute um campo eleacutetrico que existe no interior dos condutores e que impulsiona esses

portadores fazendo com que eles circulem ao longo do circuito Dentro de um resistor em que circula

corrente haacute um campo eleacutetrico impulsionando os portadores de carga vencendo o arrasteresistecircncia de tal

forma que dentro desse resistor vale a lei de Ohm =

Em um circuito de corrente constante (CC) deve haver portanto um campo constante ou seja

eletrostaacutetico atuando nos portadores dentro do resistor Qual a origem desse

campo Campos eleacutetricos estaacuteticos satildeo produzidos por acuacutemulos de cargas

eleacutetricas estaacuteticas Onde estatildeo acumuladas essas cargas A Figura ao lado responde

essa pergunta Em um resistor por onde circula uma corrente eleacutetrica constante

haacute um acuacutemulo de cargas eleacutetricas estaacuteticas em sua superfiacutecie principalmente em

suas extremidades (A e B) Por que as cargas eleacutetricas acumulam nessas

extremidades Por causa da diferenccedila entre as resistividades nas regiotildees de conexotildees do resistor com o

restante do circuito

Considere a Figura ao lado que representa o

resistor como sendo simplesmente uma regiatildeo ciliacutendrica

com ne 0 conectada em A e B a regiotildees ciliacutendricas

condutoras perfeitas (a regiatildeo cinza representa o resistor) No lado esquerdo do terminal A haacute um condutor

perfeito ( = 0 em branco) e no lado direito haacute o material resistivo do resistor ( ne 0 em cinza) Imagine que

acabamos de ligar o circuito e que os portadores de carga positiva (sinais + em vermelho na Figura) estatildeo

comeccedilando a se mover indo de A para B No lado esquerdo do ponto A os portadores se movem livremente e

mais rapidamente enquanto que no lado direito eles enfrentam o arraste e se movem mais lentamente

C

B A

D ℇ+ +

--

++

++ +

+ + + +---

A B

243

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Conclusatildeo chegam mais cargas positivas (pela esquerda) ao terminal A do que saem (pela direita) O terminal

A estaacute acumulando carga eleacutetrica positiva como mostrado na Figura (cargas azuis) No terminal B ocorre algo

parecido mas saem mais portadores (pela direita) do que chegam (pela esquerda) e esse terminal vai se

tornando negativo Agrave medida que isso acontece vai nascendo o campo (seta azul) que vai crescendo e

acelerando os portadores de carga dentro do resistor eliminando aos poucos o processo de acuacutemulo de

cargas eleacutetricas nos terminais A e B Vecirc-se entatildeo um mecanismo regenerativo que dura o tempo de um

transiente muito raacutepido em que o primeiro surto de corrente no circuito eacute irregular maior onde eacute menor e

menor onde eacute maior e que vai criando acuacutemulos de cargas eleacutetricas nas conexotildees dos diferentes

dispositivos Esses acuacutemulos de carga (superficiais) vatildeo estabelecendo um campo eleacutetrico ao longo do

circuito que vai modificando a corrente eleacutetrica que vai modificando os acuacutemulos de carga etc Ao final desse

transiente raacutepido (cuja existecircncia geralmente nem conseguimos perceber) o circuito entra em regime

estacionaacuterio a corrente eacute a mesma e constante em toda extensatildeo do circuito os acuacutemulos de carga e o campo

satildeo constantes nas diferentes partes do circuito produzindo mais forccedila (maior ) onde eacute maior

Na praacutetica o campo eleacutetrico dentro de um dispositivo eleacutetrico eacute bem pequeno e os acuacutemulos de

carga eleacutetrica necessaacuterios para produzir esse campo tambeacutem Por essa razatildeo essas densidades de carga

eleacutetrica satildeo geralmente ignoradas nas discussotildees sobre circuitos eleacutetricos como se elas natildeo existissem A

discussatildeo do tema em termos de conceitos de energia no lugar do conceito de forccedila contribui para essa

situaccedilatildeo Mas enfim para entendermos mesmo o funcionamento de qualquer circuito eleacutetrico devemos ter

ciecircncia de que esse campo estaacute laacute tanto dentro dos fios onde ele eacute pequeno mas crucial para impulsionar

os portadores de carga quanto no espaccedilo exterior onde ele eacute pequeno e basicamente irrelevante pois trata-

se de uma regiatildeo isolante (ar por exemplo) Apenas no interior dos condutores perfeitos ( = 0) natildeo haacute

campo eleacutetrico pois ele natildeo eacute necessaacuterio (natildeo haacute arraste) Nas superfiacutecies desses condutores perfeitos os

acuacutemulos de carga satildeo tais que produzem campo nulo dentro deles (como se fosse eletrostaacutetica) Esses

acuacutemulos de cargas nas superfiacutecies dos fios natildeo ocorrem apenas nas regiotildees onde haacute mudanccedila abrupta na

resistividade do condutor mas tambeacutem nas

curvas e dobras dos fios A Figura ao lado tenta

ilustrar essa ideia A corrente (seta azul) entra

pela direita e sai por baixo em um segmento de

fio dobrado em L No iniacutecio os portadores de

carga (sinais + vermelhos) nem sabem que essa

curva existe e a corrente no fio eacute irregular Alguns portadores colidem com a parede do fio na dobra e

acumulam aiacute (cargas azuis) A regiatildeo oposta da dobra vai ficando negativa pois os portadores que estavam aiacute

foram embora Os proacuteximos portadores que chegam na dobra jaacute sentem o campo eleacutetrico (seta laranja) desse

+ +

+

+ +

+

++

--

+

+++

---

+ +

++

+

244

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

acuacutemulo de cargas e jaacute fazem a curva com mais habilidade sem colidir e acumular Apoacutes um breve transiente

a corrente flui regularmente ao longo do fio guiado pelo campo os acuacutemulos de carga se estabilizam e tudo

fica estacionaacuterio (se vocecirc tiver interesse pode ver figuras melhores no artigo A semiquantitative treatment of

surface charges in DC circuits Rainer Muller American Journal of Physics 80 (2012))

Voltando ao conceito de FEM talvez seja mais faacutecil entender a ideia se considerarmos antes um

circuito em que natildeo haacute nenhum dispositivo com essa propriedade Por exemplo considere um circuito

contendo apenas um capacitor inicialmente carregado e um resistor Na Figura 8 abaixo ilustramos esse

processo de descarga do capacitor atraveacutes do resistor Chamamos esse processo de transiente porque ele dura

um tempo curto em que a corrente depende do tempo = ( ) e vai decaindo a zero ateacute o capacitor se

descarregar totalmente No proacuteximo capiacutetulo estudaremos esse circuito de forma quantitativa Aqui vamos

apenas dar uma olhada no que acontece no processo de descarga do capacitor

Na sequecircncia (1)-(6) mostrada na Figura 8 esboccedilamos um transiente em que um capacitor inicialmente

carregado eacute conectado a um resistor formando um circuito fechado e descarrega agrave medida que as cargas

eleacutetricas fluem entre as placas passando pelo resistor Na Figura 8(1) o capacitor estaacute inicialmente carregado e

o resistor estaacute afastado As cargas nas placas do capacitor produzem um campo eleacutetrico no espaccedilo (linhas de

forccedila em roxo) Na Figura 8(2) conectamos o resistor ao capacitor e o campo comeccedila a mover as cargas nos

Figura 8 Um circuito que natildeo conteacutem um dispositivo de FEM apenas um capacitor inicialmente carregado conectado a um resistor A corrente circula por um breve transiente

(1)

+

+

-

+ +

- -

+ + + +

+

- - - - -

+ + + + + + +

+

-- - - - - -

+ +

+

-- -

-

+

-

(2)

(3) (4)

(5) (6)

+ + + +

- - - -

+ + + +

- - - -

+ + + +

- - - -

+ + + +

- - - -

A

B

C

R

C

D

R

C

D

A

B

C

R

C

D

A

B

C R

C

D

A

B

C

R

C

D

A

B

C

R

C

D

A

B

C

245

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

fios condutores Sabemos que nos metais satildeo os eleacutetrons que se movem mas aqui para simplificar vamos

pensar que satildeo as cargas + que se movem no sentido da corrente eleacutetrica As cargas ndash estatildeo fixas mas agrave

medida que elas vatildeo sendo ldquoneutralizadasrdquo pelas cargas + deixam um deacuteficit ndash para traacutes e temos a impressatildeo

que elas tambeacutem se movem Portanto na Figura 8(2) no ramo de cima conectado agrave placa + as cargas +

comeccedilam a fluir para a direita No ramo de baixo conectado agrave placa ndash as cargas + dos fios fluem para essa

placa (porque satildeo atraiacutedas) e deixam um ndash para traacutes A corrente eleacutetrica comeccedila a fluir no sentido horaacuterio Na

Figura 8(3) mostramos uma situaccedilatildeo mais avanccedilada em que o surto de corrente estaacute chegando ao resistor

Eacute interessante frisar que o campo eleacutetrico existe em todo o espaccedilo e esperamos que essa

movimentaccedilatildeo de cargas se estabeleccedila rapidamente em todo o circuito de forma irregular sendo

inicialmente mais intensa na regiatildeo proacutexima das placas Nossas Figuras satildeo uma simplificaccedilatildeo desse processo

e apenas ilustram essas regiotildees em que a corrente eacute mais intensa

Na Figura 8(4) ilustramos a formaccedilatildeo de acuacutemulos de carga nas extremidades do resistor que vatildeo

produzir um campo eleacutetrico mais intenso nessa regiatildeo onde a resistividade eleacutetrica eacute maior (os outros

condutores satildeo perfeitos por hipoacutetese) Esses acuacutemulos produzem um campo dentro do material do resistor

de tal forma que valha a lei de Ohm = Nas superfiacutecies dos condutores perfeitos os acuacutemulos de carga

devem ser tais que = 0 dentro deles ( = infin0) Na Figura 8(5) queremos dar a ideia de que as cargas

acumuladas nas placas estatildeo acabando afinal elas estavam diminuindo desde que o circuito foi fechado

Finalmente na Figura 8(6) mostramos o fim do transiente todas as cargas + que estavam na placa positiva do

capacitor fluiacuteram para a placa negativa e neutralizaram as cargas ndash que estavam laacute Os cuacutemulos de carga nas

superfiacutecies dos fios e nas extremidades do resistor desaparecem e tudo volta agrave neutralidade eleacutetrica Note que

enquanto o capacitor possui carga vale gt e que enquanto o circuito estaacute fechado vale = e = e portanto gt Os portadores de carga que fluem de C para D atraveacutes do resistor perdem

energia potencial eleacutetrica que eacute convertida em energia teacutermica (efeito Joule) Essa energia potencial eleacutetrica

estava acumulada no capacitor Nesse transiente de descarga do capacitor a energia potencial eleacutetrica

acumulada nele eacute convertida em calor

Queremos introduzir agora nesse circuito a ideia de forccedila eletromotriz (FEM) que eacute uma propriedade

que o capacitor natildeo tem pois ele natildeo eacute capaz de manter a corrente eleacutetrica circulando constantemente no

circuito O capacitor produz apenas um raacutepido transiente Um dispositivo de FEM deve ser capaz de manter a

corrente fluindo no circuito e para isso ele deve manter as cargas em suas placas ou seja ele natildeo deve

descarregar com o tempo Ao manter essas cargas em suas placas o dispositivo de FEM vai manter a DDP entre

seus terminais a eletrizaccedilatildeo ao longo do circuito e o campo de forccedila necessaacuterio para que a corrente flua

nesse circuito Diferentemente do capacitor em que as placas estatildeo isoladas entre si o dispositivo de FEM

deve conduzir atraveacutes dele os portadores de carga + que chegam agrave placa negativa para a placa positiva

246

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

mantendo constantes as cargas depositadas nas placas Sendo gt fica claro que esse dispositivo de FEM

deve ser capaz de fornecer energia potencial aos portadores de carga pois um portador de carga gt 0 que eacute

transportado atraveacutes desse dispositivo de B ateacute A ganha a energia potencial eleacutetrica ∆ = ( minus ) gt 0

Conforme a definiccedilatildeo que jaacute demos para a forccedila eletromotriz ℰ a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho sobre os

portadores por unidade de carga obtemos

ℰ = = ∆ = minus

Vemos portanto que a FEM ℰ de um dispositivo ideal de FEM eacute exatamente a DDP que esse dispositivo eacute

capaz de manter entre seus terminais

Na Figura ao lado apenas substituiacutemos no circuito da Figura 8 o capacitor

por esse dispositivo de FEM ℰ sendo que estamos usando aqui o siacutembolo para a

bateria que definiremos mais adiante O siacutembolo para a fonte de FEM lembra

um capacitor Mas um capacitor apenas acumula cargas eleacutetricas que satildeo

colocadas nas suas placas por um agente externo uma bateria por exemplo A

fonte de FEM acumula cargas eleacutetricas em seus terminais produzidas por ela

mesma atraveacutes de sua FEM Ela natildeo depende de agentes externos

Representamos nesse circuito uma forccedila interna (seta verde) ao dispositivo de FEM que modela sua

capacidade de transportar os portadores de carga + que chegam agrave placa negativa de volta para a placa

positiva Ao chegar em B o portador de carga (positiva) enxerga um campo eleacutetrico apontando de A para B (do

+ para o ndash na fonte) ou seja ele natildeo pode seguir de B para A sozinho (com velocidade constante) Nesse ponto

entra a capacidade da fonte de exercer a forccedila (forccedila por unidade de carga) no portador levando ele com

velocidade de deriva constante ateacute A A forccedila deve ser tal que

ℇ = = ∙

Note que definimos como sendo forccedila por unidade de carga para economizar uma divisatildeo por Dentro da

fonte o portador de carga se move sob efeito de duas forccedilas opostas apontando de B para A e apontando

de A para B A lei de Ohm dentro da fonte fica = +

+

+ + + + + + +

- - - - ---

+ + + +

- - - - R

C

D

A

B

247

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Sendo a fonte ideal ou seja sem resistecircncia segue que rarr infin dentro dela e deve valer = minus ( = infin0) O

portador de carga desliza dentro da fonte sem arraste e portanto sem forccedila resultante de impulsatildeo

Portanto a DDP estabelecida entre os terminais A e B da fonte eacute

minus = ∙ = minus ∙ = minus ∙ = ∙ = ℇ

Chegamos aqui agrave mesma conclusatildeo que haviacuteamos chegado atraveacutes unicamente de conceitos de

trabalhoenergia

Resumindo um dispositivo ideal de FEM eacute aquele que eacute capaz de i) realizar trabalho positivo sobre os

portadores de carga e fornecer energia potencial eleacutetrica para esses portadores que passam por ele ii) manter

uma diferenccedila de potencial fixa entre seus terminais iii) manter uma separaccedilatildeo de cargas fixa em seus

terminais e ao longo do circuito A FEM ℇ do dispositivo resumequantifica essas capacidades De fato todas

essas propriedades estatildeo ligadas entre si e satildeo basicamente equivalentes Natildeo haacute muito como estabelecer

uma ordem entre elas

Na Figura 9 acima comparamos a corrente em funccedilatildeo do tempo em um circuito como o da Figura 8

circuito RC (a) em que natildeo haacute FEM com o circuito ℇ + resistor (b) em que apenas substituiacutemos o capacitor por

uma fonte de FEM ℇ O capacitor natildeo eacute capaz de manter as cargas acumuladas em suas placas e nem a DDP

entre elas pois ele apenas acumula cargas e energia potencial eleacutetrica A corrente flui apenas por um breve

transiente A fonte de FEM manteacutem as cargas e a DDP entre seus terminais mantendo uma corrente

constante fluindo no circuito

531 Baterias

Um exemplo tiacutepico de dispositivo de FEM constante eacute uma bateria ou uma pilha cujo

siacutembolo em esquemas de circuitos eleacutetricos estaacute mostrado na Figura ao lado Lembra um

pouco o siacutembolo de um capacitor satildeo duas placas sendo a placa maior o terminal positivo A

seta mostra o sentido da FEM ou seja o sentido em que essa bateria impulsiona a corrente

atraveacutes dela Na praacutetica o siacutembolo pode ser simplificado sem a necessidade do siacutembolo + e da seta do sentido

da FEM

+

t

( ) t

( )

(a) (b)

Figura 9 (a) corrente em um circuito sem FEM como o circuito RC da Figura 8 A corrente flui apenas por um breve transiente (b) corrente em um circuito com FEM uma bateria e um resistor por exemplo A corrente atinge um valor estacionaacuterio

248

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Uma bateria graccedilas agrave sua FEM ou seja agrave sua capacidade de separar e acumular cargas eleacutetricas no

espaccedilo eacute capaz de produzir e manter uma DDP entre seus terminais Uma bateria de 9 volts por exemplo

separa as cargas eleacutetricas depositando-as em seus terminais + e ndash mantendo entre eles uma DDP de 9 volts

Um capacitor por sua vez tambeacutem possui uma DDP entre seus terminais mas natildeo possui FEM As cargas que

estatildeo depositadas nas placas do capacitor natildeo foram depositadas laacute pelo proacuteprio capacitor ele natildeo tem essa

capacidade ele natildeo tem FEM Elas foram depositadas por algum outro dispositivo que foi conectado a ele

talvez uma bateria (ou um gerador ou uma fotoceacutelula) Ao conectarmos um capacitor a um circuito de

resistores rapidamente ele descarrega e a DDP entre suas placas decai a zero porque ele natildeo possui

capacidade de manter essas cargas e essa DDP ou seja ele natildeo possui FEM

Uma bateria possui uma forccedila eletromotriz (FEM) porque uma reaccedilatildeo quiacutemica dentro dela resulta no

transporte de eleacutetrons (de carga minus ) do terminal positivo para o terminal negativo Esse transporte requer

energia porque os eleacutetrons ganham energia potencial eleacutetrica quando viajam atraveacutes do interior da bateria

do + para o ndash (lembre-se que = que = minus eacute negativa nesse caso e que o potencial do terminal + eacute

maior que o potencial do terminal -) A energia requerida para o transporte de um uacutenico eleacutetron por

unidade de carga ( ) eacute exatamente o valor da FEM da bateria ( = ) Essa energia vem da reaccedilatildeo

quiacutemica

Haacute tipicamente trecircs materiais envolvidos nessa reaccedilatildeo o material do catodo (+) o material do anodo

(ndash) e o material da soluccedilatildeo eletroliacutetica que permeia o espaccedilo entre o catodo e o anodo (o eletroacutelito) Dessa

forma a soluccedilatildeo eletroliacutetica reage com o material do catodo (+) e arranca eleacutetrons dele tornando-o carregado

positivamente Analogamente a soluccedilatildeo eletroliacutetica reage com o material do anodo (-) e deposita eleacutetrons

nele tornando-o carregado negativamente No final das contas podemos resumir a ideacuteia como se fosse de

fato um simples transporte de eleacutetrons do catodo para o anodo Enfim dentro da bateria a FEM impulsiona a

corrente do anodo para o catodo (sentido do movimento dos portadores de carga positivos) Esse eacute o sentido

da FEM da bateria de seu terminal ndash (anodo) para seu terminal + (catodo) A polarizaccedilatildeo do anodo e do

catodo produz um campo eleacutetrico dentro (e fora) da bateria apontando do

+ para o ndash ou seja oposto agrave FEM na regiatildeo do eletroacutelito A Figura ao lado

ilustra essa ideacuteia Sendo a bateria ideal ou seja natildeo havendo resistecircncia

eleacutetrica nos materiais da bateria segue que a diferenccedila de potencial entre

os terminais da bateria eacute igual agrave sua FEM Esse equiliacutebrio existe se a bateria

estaacute desconectada ou conectada fornecendo corrente para o circuito

desde que seus materiais reagentes ainda sejam capazes de manter a reaccedilatildeo quiacutemica necessaacuteria para o

transporte de eleacutetrons do catodo (+) para o anodo (ndash) Quando isso natildeo for mais possiacutevel porque a bateria

esgotou seus reagentes ela se torna inuacutetil Na Figura acima representamos esse equiliacutebrio desenhando as duas

+ + + +

- - - -

catodo

anodo

249

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

setas de e da FEM do mesmo tamanho (e opostas) mas note essa eacute apenas uma representaccedilatildeo pictoacuterica

dessas grandezas eacute uma forccedila e a FEM eacute um trabalho (ambos por unidade de carga) Estando a bateria

desconectadaisolada o equiliacutebrio entre as accedilotildees do campo e da FEM estanca a reaccedilatildeo mantendo fixa a

polarizaccedilatildeo dos terminais da bateria (mantendo a diferenccedila de potencial ∆ ) Uma bateria desconectada natildeo

consome (idealmente) seus reagentes (na praacutetica consome lentamente)

Para tornar essa discussatildeo mais concreta podemos tomar o exemplo da bateria de chumboaacutecido que

eacute geralmente utilizada em automoacuteveis Vamos deixar de lado quais satildeo os compostos especiacuteficos que

compotildeem essa bateria (chumbo dioacutexido de chumbo e soluccedilatildeo de aacutecido sulfuacuterico em aacutegua) e imaginar que o

anodo (ndash) eacute uma placa soacutelida condutora feita de um material O catodo (+) eacute uma placa soacutelida condutora de

material O eletroacutelito por sua vez eacute uma soluccedilatildeo que conteacutem os iacuteons (positivo) e (negativo)

dissolvidos em aacutegua O iacuteon possui um deacuteficit de um eleacutetron e carga eleacutetrica + O iacuteon por sua vez

possui um eleacutetron sobrando e carga eleacutetrica ndash Durante o processo de descarga ocorrem as seguintes reaccedilotildees

na bateria

No anodo (ndash) + rarr + Ou seja iacuteons chegam (colidem) na (com a) placa ndash e o produto

vai se formando (e se depositando) no anodo e eleacutetrons ( ) livres vatildeo sendo liberados e acumulando

nessa placa condutora que era neutra mas se torna negativa Esses eleacutetrons satildeo eleacutetrons de conduccedilatildeo (livres)

No catodo (+) + + rarr Ou seja iacuteons chegam (colidem) na (com a) placa + e o produto

vai se formando (e se depositando) no catodo e eleacutetrons livres ( ) vatildeo sendo consumidos nessa placa que

vai se tornando positiva Imagine que o jaacute estava na placa que eacute condutora e inicialmente eletricamente

neutra mas com muitos eleacutetrons livres em seu volume (eleacutetrons de conduccedilatildeo) Com a chegada de nessa

placa esse eleacutetron livre participa da reaccedilatildeo que produz resultando em um deacuteficit de um eleacutetron A placa

que era neutra fica positiva

As duas reaccedilotildees satildeo espontacircneas e liberam energia (quiacutemica) que estaacute sendo armazenada na bateria

na forma de energia potencial eleacutetrica Ao final as reaccedilotildees no catodo e no anodo resultam no

ldquodesaparecimentordquo de um eleacutetron no catodo que tinha energia potencial eleacutetrica ndash e no ldquosurgimentordquo de

um eleacutetron no anodo com energia potencial eleacutetrica ndash A energia potencial ldquocriadardquo eacute = ∆ =minus ( minus ) = ∆ sendo ∆ = minus a diferenccedila de potencial positiva entre catodo e anodo De onde

veio essa energia Soacute pode ter vindo das energias liberadas nas reaccedilotildees quiacutemicas nas placas

Na bateria de chumboaacutecido curiosamente os produtos e satildeo de fato o mesmo composto

( = ) os iacuteons que participam da reaccedilatildeo satildeo divalentes (conteacutem carga eleacutetrica plusmn2 ) e a aacutegua da soluccedilatildeo

tambeacutem eacute parte ativa nas reaccedilotildees Aqui estamos tentando simplificar a ideacuteia Se vocecirc quiser saber mais sobre

isso pode consultar um livro de eletroquiacutemica

250

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Durante essas reaccedilotildees quiacutemicas acontecem dois fenocircmenos que competem entre si e levam

finalmente ao equiliacutebrio e ao fim das proacuteprias reaccedilotildees (supondo que a bateria natildeo esteja conectada a nada)

Primeiramente o consumo de iacuteons na vizinhanccedila das placas (devido agraves reaccedilotildees) diminui as concentraccedilotildees

desses iacuteons nessas regiotildees e produzem fluxos de iacuteons em direccedilatildeo agraves placas por difusatildeo Essa difusatildeo alimenta

a reaccedilatildeo Iacuteons satildeo sugados (devido agrave diferenccedila de concentraccedilatildeo) e migram da soluccedilatildeo para as superfiacutecies das

placas onde reagem e ldquodesaparecemrdquo Mas essas mesmas reaccedilotildees quiacutemicas acumulam cargas eleacutetricas nas

placas e fazem surgir um campo eleacutetrico dentro do eletroacutelito apontando da placa + para a placa ndash Esse campo

repele os iacuteons que se difundiriam para o anodo e os iacuteons que iriam para o catodo Essa repulsatildeo se

opotildee e freia a reaccedilatildeo Agrave medida que a reaccedilatildeo ocorre e as cargas vatildeo acumulando nas placas o campo eleacutetrico

entre as placas vai crescendo ateacute que ele finalmente equilibra a difusatildeo de iacuteons para as placas e a reaccedilatildeo eacute

interrompida As placas ficam carregadas e uma diferenccedila de potencial eleacutetrico constante fica estabelecida

entre elas

A Figura ao lado ilustra essas ideacuteias A regiatildeo cinza eacute o eletroacutelito

entre as placas + (vermelha) e ndash (azul) A regiatildeo cinza mais clara representa o

eletroacutelito nas vizinhanccedilas das placas onde houve depleccedilatildeo nas

concentraccedilotildees de iacuteons devido agraves reaccedilotildees que acontecem nessas interfaces

placaseletroacutelito que consomem esses iacuteons Essas diferenccedilas de concentraccedilatildeo produzem difusatildeo de iacuteons e

em direccedilatildeo agraves placas (setas verdes) O campo eleacutetrico = minus vai se estabelecendo e freia as difusotildees

pois a forccedila eleacutetrica nos iacuteons estaacute ao longo de ndashx ( = ) e a forccedila nos iacuteons estaacute ao longo de +x

( = minus ) As placas repelem os iacuteons que reagem nelas No equiliacutebrio a difusatildeo e a reaccedilatildeo cessam

Ao conectar a bateria a um circuito externo uma lacircmpada por exemplo as cargas nas placas fluem

pelos condutores desse circuito externo imediatamente o campo eleacutetrico entre as placas diminui (de uma

quantidade miacutenima) e a difusatildeo de iacuteons para as placas se restabelece ligando novamente as reaccedilotildees quiacutemicas

nas placas Agora a lacircmpada brilha pela passagem da corrente e as reaccedilotildees quiacutemicas nas interfaces

placaseletroacutelito mantecircm as cargas depositadas nas placas e a diferenccedila de potencial ∆ entre elas A energia

quiacutemica ldquodesaparecerdquo enquanto a lacircmpada brilha

Essa diferenccedila de potencial ∆ estaacute definida basicamente pela capacidade de reaccedilatildeo desses

compostos pois a reaccedilatildeo produz a difusatildeo de iacuteons que deve ser freada pelo campo eleacutetrico entre as placas

que define a diferenccedila de potencial entre os terminais da bateria No caso da bateria de chumboaacutecido a

diferenccedila de potencial estabelecida entre as duas placas eacute de aproximadamente 2 volts (uma bateria de 12

volts conteacutem 6 dessas ldquoceacutelulas galvacircnicasrdquo ligadas em seacuterie)

Resumindo uma bateria possui uma FEM porque ela eacute capaz de i) fornecer energia potencial eleacutetrica

para os portadores de carga (positiva) que passam por dentro dela do terminal ndash para o terminal + ii) manter

+--

-

+

+

x

251

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

uma diferenccedila de potencial fixa entre seus terminais iii) manter uma separaccedilatildeo de cargas fixa em seus

terminais A FEM ℇ da bateria resumequantifica essas capacidades

A Figura ao lado mostra uma bateria de chumboaacutecido de FEM = 12 V comumente utilizada em aparelhos de no-break para

computadores Nela tambeacutem estaacute escrito 72 Ah Isso significa que essa

bateria estando totalmente carregada eacute capaz de fornecer uma corrente

constante de 72 A ao longo de uma hora ou 072 A ao longo de 10 horas

etc Essa informaccedilatildeo daacute a carga eleacutetrica total que a reaccedilatildeo quiacutemica na bateria

eacute capaz de gerardepositar em suas placas e fazer circular pelo circuito externo Essa carga eacute

= 72Ah = 72 Cs times 3600s = 25920C

Trata-se da movimentaccedilatildeo de 1023 eleacutetrons depende basicamente do tamanho da bateria ou seja da

quantidade de reagentes que ela possui Vaacuterias baterias conectadas em paralelo produzem a mesma FEM mas

podem funcionar por mais tempo porque satildeo capazes de gerar mais carga eleacutetrica

Baterias reais possuem uma resistecircncia interna definida pelas propriedades

dos materiais usados em sua construccedilatildeo A Figura ao lado ilustra o esquema eleacutetrico

de uma bateria real uma bateria ideal + um resistor de resistecircncia O resistor

representa a resistecircncia total que os portadores de carga enfrentam ao atravessar a

bateria de A para B A DDP entre os terminais A e B da bateria real natildeo eacute necessariamente igual a sua FEM

Essas duas grandezas satildeo iguais apenas se a bateria natildeo estiver conectada a nada Se houver corrente eleacutetrica

fluindo pela bateria a resistecircncia modifica o valor da DDP entre A e B (pois causa o que eacute comumente

chamado de ldquoqueda de tensatildeordquo) fazendo com que ela seja diferente de ℰ De fato suponha uma corrente

fluindo de A para B na bateria e seguindo por um circuito externo qualquer A bateria ideal manteacutem seu

terminal + em um potencial ℰ acima do potencial do terminal ndash Portanto se C eacute o ponto de conexatildeo da

bateria ideal com o resistor na Figura acima segue que minus = ℰ

No resistor a corrente soacute flui do potencial maior para o potencial menor no caso gt Da lei de

Ohm sabemos que minus =

Portanto a DDP entre os terminais A e B da bateria real eacute minus = ( minus ) minus ( minus ) = ℰ minus

+

A B

C

252

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Haacute uma queda de DDP (ou queda de tensatildeo) de dentro da bateria Uma bateria de ℰ = 12 V pode

apresentar uma DDP de 115 V (queda de 05 V) entre seus terminais se ela estiver alimentando algum circuito

externo Isso natildeo significa que ela estaacute com defeito Trata-se apenas do efeito (indesejado) de sua resistecircncia

interna

Continuando com essa mesma bateria real vamos calcular a taxa com que ela entrega energia

potencial eleacutetrica para os portadores que circulam nesse circuito A taxa com que os portadores passam por

essa bateria eacute Portanto a taxa com a bateria ideal entrega energia potencial eleacutetrica para os portadores de

carga que circulam nesse circuito eacute

= = = ℰ = ℰ

Essa eacute a potecircncia para uma baterial ideal Se considerarmos que a resistecircncia interna da bateria dissipa

uma parte dessa energia uma parte dada por segue que uma bateria real entrega energia aos portadores

de carga no (restante do) circuito com a potecircncia = ℰ minus

Podemos notar que uma bateria em uso aquece pois uma parte da energia produzida na reaccedilatildeo

quiacutemica eacute perdida na forma de calor devido a sua resistecircncia interna O restante da energia vai para o circuito

externo conectado agrave bateria Concluindo uma bateria real de FEM ℰ em que circula uma corrente consome

sua energia interna na taxa ℰ sendo a parte que ela consome com sua proacutepria resistecircncia interna

(perdas por efeito Joule) e ℰ minus a parte (o restante) que ela entrega para o circuito externo

54 Um circuito eleacutetrico simples bateria + resistor

Finalmente podemos comeccedilar a discutir o funcionamento de circuitos simples formados basicamente

pela conexatildeo de resistores e baterias O resistor representa nesse circuito uma saiacuteda de energia potencial

eleacutetrica do circuito para o mundo exterior na forma de calor A bateria representa uma entrada de energia

potencial eleacutetrica no circuito vinda de um processo de conversatildeo de energia quiacutemica em energia potencial

eleacutetrica O circuito portanto acaba por cumprir seu papel de converter energia quiacutemica em calor A energia

potencial eleacutetrica eacute apenas uma intermediaacuteria nesse processo Esquematicamente rarr rarr

Mas enfim essa eacute a ideia baacutesica de um circuito eleacutetrico transferir energia atraveacutes do espaccedilo de forma

eficiente A energia eleacutetrica pode ser transmitida tambeacutem atraveacutes do espaccedilo sem a necessidade de fios

condutores Os fornos de microondas e os telefones celulares estatildeo aiacute para mostrar isso No entanto para a

transmissatildeo de energia em grande quantidade com o miacutenimo de perdas no caminho a melhor soluccedilatildeo ainda eacute

o circuito eleacutetrico Por isso vemos as instalaccedilotildees eleacutetricas residenciais por dentro das paredes das casas as

253

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

linhas de distribuiccedilatildeo nos postes nas ruas e as linhas de transmissatildeo nas torres ao longo das estradas Elas

estatildeo desempenhando seu papel de levar a energia potencial eleacutetrica de um lugar para o outro de uma forma

economicamente viaacutevel

Analisar um circuito eleacutetrico consiste basicamente em determinar os

valores das correntes que circulam por ele tendo em vista os paracircmetros

conhecidos como as resistecircncias e as FEMs Vamos comeccedilar pelo caso mais

simples um resistor conectado a uma bateria ideal como ilustrado na Figura ao

lado A bateria eacute ideal (sem resistecircncia interna) de FEM ℰ e o resistor possui

resistecircncia R Qual a corrente que circula nesse circuito No proacuteximo capiacutetulo estudaremos as leis de Kirchhoff

que basicamente automatizam a anaacutelise de circuitos e que se aplicam de uma forma bem simples a esse

circuito em particular Por enquanto vamos analisar esse circuito do ponto de vista da energia ou potecircncia de

seus componentes A ideia eacute simples A bateria ideal fornece energia potencial eleacutetrica aos portadores de

carga na taxa = ℰ No resistor os portadores de carga perdem energia potencial eleacutetrica na taxa = Essas ideacuteias jaacute foram discutidas anteriormente mas apenas para resumir a bateria consome

seus compostos quiacutemicos para transportar os portadores de carga positiva de B ateacute A fornecendo a um

portador de carga gt 0 a energia potencial eleacutetrica = ( minus ) No resistor um portador de carga

enfrenta um arraste e perde energia potencial eleacutetrica quando ele vai de C ateacute D Ele perde a energia = ( minus ) = ( minus ) = minus Vemos que se natildeo haacute outras entradas ou saiacutedas de energia potencial

eleacutetrica do circuito segue que = ℰ = =

Portanto a corrente nesse circuito vale = ℰ

Considere a lacircmpada de farol automotivo Magneti Marelli H7 de 55 W mostrada na

Figura ao lado Qual a resistecircncia eleacutetrica e qual a corrente que circula nessa lacircmpada

Devemos saber que nos automoacuteveis de passeio os circuitos eleacutetricos satildeo tipicamente

alimentados por uma bateria de FEM ℰ = 12 V Essa bateria deve ter uma resistecircncia

interna pois todas tecircm mas vamos desconsideraacute-la aqui Qual a resistecircncia do filamento dessa lacircmpada

Sabemos que para um resistor vale = (∆ ) e que nesse caso vale = 55 W e ∆ = 12 V Portanto cong 262Ω (resistecircncia do filamento em funcionamento) A corrente na lacircmpada eacute

= ℰ cong 12262 cong 46A

-

R

C

D

A

B

254

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Estando o automoacutevel com o motor desligado a bateria de 12 V alimenta essa lacircmpada Enquanto o

automoacutevel roda com essa lacircmpada acesa ela eacute alimentada por um gerador o alternador do automoacutevel e natildeo

pela bateria Nesse caso de onde vem a energia da lacircmpada Segundo o fabricante essa lacircmpada acarreta um

consumo de 007 litros de gasolina a cada 100 km rodados Como a lacircmpada faz para consumir gasolina O

alternador estaacute acoplado ao motor de combustatildeo atraveacutes de uma correia O motor de combustatildeo do

automoacutevel gira o rotor do alternador Ao ligarmos a lacircmpada a corrente na lacircmpada e no gerador produz uma

forccedila magneacutetica no rotor do gerador uma forccedila de freio O motor de combustatildeo sente esse esforccedilo extra

atraveacutes da correia e aumenta o consumo de combustiacutevel Quando estudarmos o princiacutepio de funcionamento

de um gerador de energia eleacutetrica entenderemos melhor essa ideia

55 Aplicaccedilotildees

1) Considere a questatildeo mostrada na Figura 10 abaixo que pode ser encontrada em um livro considerado

ldquoclaacutessicordquo nesse assunto

Primeiramente poderiacuteamos nos perguntar o que seria um resistor ldquorealrdquo De fato a questatildeo se refere

ao comportamento da curva times ∆ em uma situaccedilatildeo ldquorealistardquo ou praacutetica em que a temperatura do resistor

varia livremente Eacute o que ocorre por exemplo com os fios condutores que transportam corrente eleacutetrica em

circuitos eleacutetricos comuns Enquanto eles transportam corrente eles aquecem devido ao efeito Joule Mas eacute

claro que poderiacuteamos imaginar um caso em que a temperatura do resistor estaacute fixa por exemplo atraveacutes de

um sistema de refrigeraccedilatildeo Natildeo haacute nada de absurdo nisso Mas enfim essa natildeo seria uma situaccedilatildeo muito

ldquocomumrdquo Essa deve ser a ideia que a questatildeo acima quer passar com o termo ldquoresistor realrdquo

Sabemos que a resistecircncia de um resistor eacute dada por

= ∆ rArr = 1 ∆

Portanto vemos que o comportamento da curva times ∆ seraacute afetado pelo comportamento da resistecircncia

enquanto varremosvariamos o valor de ∆ (e de )

Figura 10 uma questatildeo de um livro claacutessico de eletromagnetismo

255

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Em um experimento com temperatura fixa natildeo varia e portanto a curva times ∆ eacute a curva mostrada

na alternativa (a) acima Trata-se de uma reta que passa pela origem (∆ = 0 rArr = 0)

Mas a questatildeo aqui se refere a um ldquoresistor realrdquo e jaacute traduzimos essa ideia como sendo o caso em

que a temperatura (de equiliacutebrio teacutermico) do resistor vai aumentando agrave medida que a corrente que passa por

ele vai aumentando Conclusatildeo agrave medida que ∆ (e ) aumenta aumenta (porque aumenta) e a curva times ∆ vai se tornando horizontal porque 1 diminui (lembre-se que uma retacurva de inclinaccedilatildeo

(derivada) zero eacute uma retacurva paralela ao eixo das abscissas que seria o eixo de ∆ nesse caso) Trata-se

portanto da alternativa (d) na questatildeo Note que a curva em (c) tambeacutem apresenta esse comportamento de

se tornar progressivamente horizontal mas devemos levar em conta tambeacutem que a curva times ∆ deve passar

pela origem (se natildeo haacute estiacutemulo (∆ ) natildeo haacute resposta ( ))

2) Considere agora o problema mostrado na Figura 11 abaixo Uma bateria (real) de FEM ℰ e resistecircncia

interna eacute conectada a um resistor ajustaacutevel ou seja um resistor cuja resistecircncia eleacutetrica pode ser ajustada

livremente dentro da faixa isin [0infin) Esse resistor poderia ser algo como mostrado na Figura 12 abaixo

Variando a distacircncia entre os terminais A e B vamos variando o comprimento de um fio resistivo e a

resistecircncia eleacutetrica entre A e B (maior comprimento maior resistecircncia)

O amperiacutemetro (ideal) e o voltiacutemetro (ideal) medem a corrente eleacutetrica no circuito e a DDP entre os

terminais da bateria respectivamente Discutiremos um pouco mais sobre esses

instrumentos de medida no proacuteximo capiacutetulo Fato eacute que podemos analisar o

circuito como se o amperiacutemetro e o voltiacutemetro natildeo existissem fato que eacute

consequumlecircncia da hipoacutetese deles serem ideais

Na Figura ao lado mostramos um esquema eleacutetrico desse circuito Note que

natildeo haacute corrente passando pelo voltiacutemetro ideal Vamos comeccedilar calculando a

Figura 11 uma bateria ldquorealrdquo conectada a um resistor ajustaacutevel

A B

Figura 12 um resistor ajustaacutevel

R C D

ℰA B

r

A

V

256

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

corrente eleacutetrica que circula no circuito Como natildeo temos ainda as leis de Kirchhoff que governam o

funcionamento dos circuitos eleacutetricos usaremos aqui a ideia da conservaccedilatildeo da energia ou da potecircncia A

bateria real entrega energia potencial eleacutetrica para os portadores de carga no circuito na taxa = ℰ minus

Estaacute claro que eacute a potecircncia com que energia eacute perdida na forma de calor na proacutepria bateria Por outro

lado os portadores de carga perdem energia potencial eleacutetrica no resistor transformada em calor (efeito

Joule) na taxa

=

Se a energia natildeo tem outro lugar para ir ou de onde vir segue que

= rArr ℰ minus = rArr = ℰ+

Essa eacute a leitura indicada pelo amperiacutemetro pois vemos que essa corrente passa por dentro do

amperiacutemetro

A leitura do voltiacutemetro eacute ∆ = minus pois os dois terminais do voltiacutemetro estatildeo ligados a A e a B

(sabemos que gt ) Jaacute vimos que A bateria ideal manteacutem seu terminal + em um potencial ℰ acima do

potencial do terminal - Portanto se P eacute o ponto de conexatildeo da bateria ideal com o resistor r na Figura acima

segue que minus = ℰ

Em um resistor a corrente soacute flui do potencial maior para o potencial menor no caso gt Da lei

de Ohm sabemos que minus =

Portanto (como jaacute vimos) a DDP entre os terminais A e B da bateria real eacute minus = ( minus ) minus ( minus ) = ℰ minus

Haacute uma queda de DDP (ou queda de tensatildeo) de dentro da bateria Concluindo a leitura do

voltiacutemetro eacute ∆ = ℰ minus = ℰ minus ℰ+ = + ℰ

Se a bateria fosse ideal ( = 0) valeria ∆ = ℰ

Agora vamos analisar os comportamentos de e ∆ quando ajustamos livremente O caso extremo = 0 eacute o que podemos chamar de curto-circuito dos terminais da bateria Nesse caso obtemos

257

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

= ℰ+ rarr ℰ

Corrente de curto-circuito da bateria Eacute a corrente

maacutexima que uma bateria pode fornecer (perigo de

incecircndio)

∆ = + ℰ rarr 0 A fonte curto-circuitada apresenta DDP nula entre seus

terminais pois a queda de tensatildeo se torna = ℰ

O outro extremo rarr infin eacute o que podemos chamar de circuito aberto Nesse caso obtemos

= ℰ+ rarr 0 Natildeo circula corrente em um circuito aberto

∆ = + ℰ rarr ℰ

A DDP entre os terminais de uma bateria aberta em

que natildeo circula corrente eacute igual a sua FEM pois a

queda de tensatildeo se torna = 0

Enfim os graacuteficos abaixo ilustram os comportamentos de (curva vermelha) e ∆ (curva verde)

quando ajustamos livremente entre esses dois extremos curto-circuito e circuito aberto Note que as

escalas verticais satildeo diferentes para cada curva A escala de ∆ eacute dada em volts e a escala de eacute dada em

ampegraveres

Um valor tiacutepico para uma bateria de chumbo-aacutecido (ℰ = 12 V) eacute cong 01Ω o que implica em uma

corrente de curto circuito ℰ cong 120 A Com essa corrente a taxa de produccedilatildeo de calor na bateria eacute cong 14

W Eacute melhor sair de perto pois a temperatura da bateria vai subir muito e provavelmente ela vai explodir Esse

curto-circuito da bateria eacute responsaacutevel pela explosatildeo de aparelhos de telefone celular

3) Um cilindro maciccedilo de raio e comprimento eacute formado pela uniatildeo de dois

cilindros de materiais ocirchmicos diferentes um de comprimento e resistividade

eleacutetrica e o outro de comprimento = minus e resistividade A Figura ao

lado ilustra essa ideia Suponha que uma corrente esteja fluindo

uniformemente na seccedilatildeo transversal desse cilindro Vamos calcular a resistecircncia

R 0

ℰℰ

bateria em curto-circuito rarr infin

bateria em um circuito aberto

z

258

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

eleacutetrica desse cilindro

A resistecircncia eleacutetrica eacute dada pela razatildeo = Δ Portanto devemos calcular a DDP Δ entre as

extremidades (os terminais) A (esquerda) e B (direita) desse cilindro A DDP eacute dada por

Δ = ∙

Portanto devemos conhecer primeiro o campo eleacutetrico que existe dentro do material do cilindro onde a

corrente flui Para isso usamos a lei de Ohm

No cilindro 1 = No cilindro 2 =

sendo = a densidade de corrente uniforme que existe no material condutor do cilindro (z eacute o eixo do cilindro ao longo

de ) A densidade de corrente eacute a mesma nos dois cilindros Portanto nos materiais condutores desses

cilindros existem os campos eleacutetricos uniformes (responsaacuteveis pela corrente )

No cilindro 1 = No cilindro 2 = Note que se gt entatildeo vale gt no material mais resistivo deve haver um campo eleacutetrico mais

intenso para vencer o arraste maior e estabelecer a mesma corrente nos dois cilindros

Agora devemos integrar o campo eleacutetrico ao longo de um caminho qualquer que une os terminais

desse cilindro O caminho mais simples eacute aquele que vai ao longo do eixo z desde A ateacute B Mas ao longo desse

caminho o campo eleacutetrico muda de valor digamos no ponto C quando passamos de um cilindro para o outro

Portanto devemos separar a integral que fornece Δ em duas partes

Δ = ∙ = ∙ + ∙

Considerando que nesse caminho particular vale = e que os campos eleacutetricos satildeo uniformes obtemos

Δ = ∙ + ∙ = ∙ + ∙ = +

Conclusatildeo a resistecircncia eleacutetrica desse cilindro eacute

= Δ = + = +

259

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

Vemos que a resistecircncia eleacutetrica do cilindro eacute simplesmente a soma das resistecircncias eleacutetricas e de cada

um dos cilindros que estatildeo unidos um apoacutes o outro formando o cilindro maior de resistecircncia Esse

resultado demonstra a regra de resistecircncia equivalente para uma associaccedilatildeo em seacuterie de dois resistores que

abordaremos novamente no proacuteximo capiacutetulo = +

O campo eleacutetrico muda de valor quando passamos de um material para o outro Quem eacute responsaacutevel

por essa mudanccedila no campo eleacutetrico O campo eleacutetrico dentro de fios condutores de eletricidade eacute produzido

por distribuiccedilotildees de cargas eleacutetricas acumuladas em suas superfiacutecies e em regiotildees de interface entre diferentes

materiais No presente caso haacute um acuacutemulo superficial de cargas eleacutetricas (uma )

no disco de raio que eacute a interface entre os dois cilindros de materiais diferentes

A Figura ao lado ilustra esse discointerface em vermelho onde existe uma

densidade de carga superficial

A proacutexima Figura destaca esse discointerface e mostra uma

superfiacutecie gaussiana do tipo ldquolatardquo ciliacutendrica que pode ser usada na lei de

Gauss para determinar a magnitude da densidade de carga superficial

uniforme que deve haver nessa interface entre esses dois meios

condutores Note que soacute haacute fluxo do campo eleacutetrico nas tampas da ldquolatardquo de

aacuterea e que a carga interna eacute simplesmente = Portanto levando

em conta que a normal nas tampas eacute = plusmn obtemos da lei de Gauss

∙ = minus + = =

Concluindo a densidade de carga na interface responsaacutevel pela mudanccedila abrupta na magnitude do campo

eleacutetrico nos diferentes materiais eacute = ( minus ) = minus = ( minus ) Note que se os dois materiais fossem de fato iguais natildeo haveria (nem interface) Se valer gt entatildeo gt 0 haacute um acuacutemulo de cargas positivas na interface Caso contraacuterio o acuacutemulo de cargas seria negativo

Esse acuacutemulo de cargas se forma durante um transiente raacutepido logo que o circuito eacute ligado e a

corrente eleacutetrica comeccedila a se estabelecer Ainda supondo gt durante o transiente inicial haveria uma

corrente maior no material 1 (menos resistivo) do que no material 2 Portanto chegariam mais cargas

positivas na interface do que sairiam resultando em um acuacutemulo de cargas positivas nessa interface Com

isso nasceria o campo eleacutetrico de gt 0 que frearia os portadores de carga no material 1 e aceleraria os

portadores de carga no material 2 (note o sentido do campo eleacutetrico devido a gt 0 nos dois lados da

interface) Esse acuacutemulo iria evoluindo ateacute que as duas correntes se igualassem nos dois materiais

z

260

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 5 ndash versatildeo 31

diferentes Com isso a densidade atingiria um valor estacionaacuterio assim como a corrente no condutor e o

transiente terminaria A densidade de carga fica laacute estaacutetica cumprindo seu papel de promover um salto no

valor do campo na interface

261

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

6 Circuitos eleacutetricos

No capiacutetulo anterior jaacute iniciamos a anaacutelise de circuitos eleacutetricos Aqui vamos avanccedilar um pouco mais

nesse estudo analisando circuitos de baterias e resistores circuitos de corrente contiacutenua (CC) Estudaremos as

leis de Kirchhoff que nos permitem construir um algoritmo que leva do circuito a um conjunto de equaccedilotildees

lineares relacionando as FEMs as resistecircncias e as correntes no circuito Estudaremos tambeacutem o

comportamento da corrente no circuito RC seacuterie que jaacute discutimos qualitativamente no capiacutetulo 5

Basicamente um circuito eleacutetrico eacute um sistema de transmissatildeo de energia potencial eleacutetrica atraveacutes do

espaccedilo A Figura 1 abaixo faz uma analogia de um circuito eleacutetrico com um circuito mecacircnico Imagine que

uma pessoa queira girar uma roda drsquoaacutegua que estaacute muito distante dela algumas centenas de metros A roda

drsquoaacutegua pode por exemplo mover um moinho que moacutei gratildeos de trigo Essa pessoa monta o seguinte sistema

vaacuterias bolas de massa M vatildeo sendo erguidas em sequecircncia As bolas rolam por uma rampa longa que as

transporta ateacute o local onde estaacute a roda drsquoaacutegua As bolas caem e colidem com as paacutes da roda fazendo ela girar

Depois disso as bolas rolam de volta por uma rampa mais baixa e satildeo erguidas novamente pela pessoa Dessa

forma enquanto essa pessoa tiver disposiccedilatildeo a roda drsquoaacutegua vai rodar e moer o trigo

Figura 1 um circuito mecacircnico de transporte de energia potencial gravitacional

262

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

O sistema de rampas eacute um sistema de transmissatildeo de energia potencial gravitacional A pessoa eacute a

fonte de energia potencial gravitacional Ela produz a partir de sua energia interna ou seja de seu

metabolismo Note que uma pequena parte da energia potencial eacute perdida na transmissatildeo pois as rampas

possuem uma pequena inclinaccedilatildeo para compensar o atrito que atua nas bolas enquanto elas rolam Considere

que as bolas circulam todo o circuito com velocidade de moacutedulo constante ou seja que a resultante das

forccedilas em uma bola eacute sempre nula Fazendo analogia com um circuito eleacutetrico as bolas representam os

portadores de carga que fluem com velocidade de derivaarraste constante ao longo do circuito a pessoa faz

o papel da bateria que fornece energia potencial eleacutetrica aos portadores de carga as duas rampas fazem o

papel de fios condutores com resistecircncia eleacutetrica e que produzem portanto uma perda de energia eleacutetrica

(efeito Joule) com a circulaccedilatildeo da corrente A roda drsquoaacutegua poderia

representar um motor eleacutetrico sobre cujo funcionamento

discutiremos mais adiante O motor eleacutetrico converte energia eleacutetrica

em energia mecacircnica de rotaccedilatildeo assim como a roda drsquoaacutegua converte

a energia potencial gravitacional das bolas em energia cineacutetica de

rotaccedilatildeo A Figura ao lado ilustra esse circuito eleacutetrico que seria anaacutelogo ao circuito mecacircnico na Figura 1

Sendo o campo gravitacional conservativo uma equaccedilatildeo que poderiacuteamos escrever para esse circuito

mecacircnico eacute

∆ = 0

Com essa equaccedilatildeo queremos dizer que se somarmos as perdas e ganhos de de uma bola ao longo

de todo o circuito ou seja em um percurso fechado o saldo eacute zero Resumindo ao passar da rampa de baixo

para a rampa de cima uma bola recebe uma ∆ gt 0 graccedilas ao trabalho da pessoa que ergue as bolas Ao

descer pela rampa superior uma bola perde uma ∆ lt 0 que eacute convertida em calor pela accedilatildeo do atrito Ao

cair e bater na roda drsquoaacutegua uma bola perde um ∆ lt 0 que eacute convertida em energia cineacutetica de rotaccedilatildeo da

roda Ao rolar pela rampa inferior uma bola perde mais uma ∆ lt 0 que eacute convertida em calor pelo atrito

Somando todos esses ∆ s obtemos um saldo zero Isso porque o campo gravitacional eacute conservativo

Mais adiante veremos que a lei das malhas de Kirchhoff corresponde a um raciociacutenio anaacutelogo utilizado

em circuitos eleacutetricos apenas trocando por Isso porque o campo eletrostaacutetico eacute conservativo

61 As leis de Kirchhoff para circuitos eleacutetricos

A Figura 2 abaixo ilustra um circuito eleacutetrico formado por trecircs resistores e trecircs baterias Eacute importante

termos em mente que esse diagrama apenas pretende ilustrar as conexotildees eleacutetricas entre esses componentes

e natildeo traacutes nenhuma hipoacutetese sobre a geometria do circuito (se ele eacute quadrado redondo etc) ou sobre as

R1

R2

ℰ motor

263

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

dimensotildees e distacircncias envolvidas se o circuito eacute

grande ou pequeno nesse circuito pode estar

representando a resistecircncia interna da bateria de FEM ℰ ou a resistecircncia eleacutetrica de um fio de cobre de 200

km de comprimento ou de uma lacircmpada ou tudo isso

junto Analogamente as baterias de FEM ℰ e ℰ natildeo

estatildeo necessariamente uma ao lado da outra elas

podem estar distantes 400 km uma da outra

conectadas por fios longos Nesse caso poderia

modelar a resistecircncia eleacutetrica desses fios Enfim natildeo

devemos nos prender aos detalhes desse desenho O uacutenico criteacuterio utilizado na sua elaboraccedilatildeo (aleacutem das

conexotildees envolvidas) foi o esteacutetico Devemos atentar para as conexotildees entre os diferentes componentes do

circuito

A ideia baacutesica eacute que queremos determinar as correntes que circulam nesse circuito em funccedilatildeo dos

valores conhecidos das resistecircncias e das FEMs Identificamos nesse circuito o que chamamos de noacutes A B C

Um noacute eacute um ponto no circuito em que vaacuterios condutores (perfeitos por hipoacutetese) se conectam Os noacutes A e C

por exemplo satildeo apenas dobras do mesmo condutor (que vamos chamar de fio) mas mesmo assim estamos

chamando esses pontos de noacutes (triviais) Nos noacutes B e D por exemplo trecircs fios se conectam e nesses noacutes a

corrente se divide (com em um entroncamento em uma estrada) Um ramo eacute um caminho atraveacutes do circuito

que vai de um noacute ateacute outro subsequente (noacutes natildeo triviais onde a corrente se divide) Por exemplo no ramo

BAGH estatildeo o resistor R1 e a bateria de FEM ℰ e no ramo DEFH estatildeo o resistor R2 e a bateria de FEM ℰ Uma

malha eacute um caminho fechado ao longo do circuito partindo de um noacute e voltando a esse mesmo noacute Uma

malha eacute um conjunto fechado de ramos Por exemplo ao percorrer a malha ABJHGA vamos passar pelo

resistor R1 pela bateria de FEM ℰ e pela bateria de FEM ℰ O circuito na Figura 1 eacute dito de trecircs malhas

porque ele possui trecircs malhas independentes ABJHGA BCDJB e DEFHJD (por exemplo) Qualquer outro

caminho fechado que percorrermos nesse circuito seraacute uma composiccedilatildeo desses trecircs caminhos fechados Por

exemplo a malha BCDEFHJB eacute uma composiccedilatildeo de BCDJB com DEFHJD Note que o ramo JD eacute percorrido em

sentidos opostos nas malhas BCDJB e DEFHJD e quando combinamos as duas malhas esse ramo se cancela

formando a malha maior BCDEFHJB Finalmente em cada ramo do circuito definimos uma corrente circulando

em um sentido arbitraacuterio ateacute A ideia baacutesica de se resolver um circuito consiste em se determinar em

funccedilatildeo de e ℰ Para isso vamos fazer uso das duas leis de Kirchhoff

Eacute bom frisar que os ldquofiosrdquo metaacutelicos que conectam os componentes do circuito (representados pelas

linhas retas conectando os diferentes noacutes) satildeo por hipoacutetese condutores perfeitos e portanto equipotenciais

Assim sendo podemos ver na Figura 1 que por exemplo = = = e = = Se algum desses

R2

A ℰR1

R3 ℰ

B C

D

E F

G H

J

Figura 2 um circuito de trecircs malhas

264

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

condutores natildeo fosse perfeito sua resistecircncia eleacutetrica estaria representada no circuito atraveacutes de um resistor Se natildeo haacute

um siacutembolo de resistor representado a resistecircncia de um fio condutor entatildeo ele deve ser considerado perfeito

(equipotencial)

Havendo ramos no circuito haveraacute correntes independentes a serem determinadas ou seja o

conjunto possui elementos Portanto precisaremos de um conjunto de equaccedilotildees independentes

para resolver esse circuito Para o circuito da Figura 1 = 6 e devemos obter 6 equaccedilotildees independentes

para as correntes Essas equaccedilotildees satildeo obtidas da lei dos noacutes e da lei das malhas que discutiremos abaixo

Basicamente contamos no circuito o nuacutemero de noacutes natildeo triviais ou seja noacutes em que trecircs ou mais fios se

conectam (noacutes que natildeo satildeo apenas dobras) Para o circuito da Figura 1 = 4 (noacutes H B J e D) Ao aplicar a lei

dos noacutes a minus 1 desses noacutes obtemos minus 1 equaccedilotildees independentes (o uacuteltimo noacute daria uma equaccedilatildeo

redundante) Ainda faltam minus ( minus 1) equaccedilotildees que para o circuito da Figura 1 seriam minus + 1 =6 minus 4 + 1 = 3 equaccedilotildees Aplicamos a lei das malhas para minus + 1 malhas diferentes no circuito e pronto

construiacutemos com certeza um conjunto de equaccedilotildees independentes para as correntes Daiacute em diante

tudo se resume a resolver esse sistema linear de equaccedilotildees o que pode ser feito de vaacuterias maneiras diferentes

As leis de Kirchhoff se aplicam em um circuito funcionando em regime estacionaacuterio basicamente o

regime em que a corrente eacute a mesma ao longo de toda e extensatildeo de um ramo ou seja a corrente que entra

no ramo (por um noacute) eacute a mesma que sai desse ramo (por outro noacute) Essa condiccedilatildeo estaacute relacionada ao

tamanho linear do circuito (o comprimento tiacutepico ℒ dos ramos do circuito) e ao comprimento de onda (λ) das

oscilaccedilotildees espaciais da corrente Basicamente as leis de Kirchhoff valem se o circuito eacute compacto comparado

com λ ℒ ≪ Trata-se de uma condiccedilatildeo facilmente satisfeita em circuitos de baixa frequumlecircncia Por exemplo

para correntes alternadas oscilando com frequumlecircncia = 60 Hz que eacute o caso das instalaccedilotildees eleacutetricas

residenciais o comprimento de onda eacute = cong5000 km ( eacute a velocidade da luz no vaacutecuo cong300000

kms) Portanto mesmo uma linha de transmissatildeo de Itaipu ligando Foz do Iguaccedilu a Satildeo Paulo com

comprimento ℒ cong 900 km eacute pequena comparada com esse comprimento de onda No caso de circuitos de

corrente contiacutenua que estamos estudando aqui a corrente natildeo oscila ou seja rarr infin e as leis de Kirchhoff

satildeo exatas Vimos no capiacutetulo 5 que os circuitos eleacutetricos apresentam um transiente muito raacutepido

(basicamente imperceptiacutevel) em que a corrente flui de forma irregular acumulando cargas eleacutetricas

minuacutesculas em regiotildees estrateacutegias ao longo do circuito (por exemplo nas regiotildees de fronteiras entre materiais

de diferentes resistividades) Esse transiente muito raacutepido natildeo estaacute descrito pelas leis de Kirchhoff

No capiacutetulo 5 esboccedilamos algumas ideacuteias sobre a descriccedilatildeo de circuitos eleacutetricos em termos de forccedila

ou seja em termos das cargas eleacutetricas acumuladas nas superfiacutecies dos fios e do campo eleacutetrico que essas

cargas produzem dentro dos fios Essas ideacuteias nos ajudam a entender o funcionamento dos circuitos mas eacute

padratildeo que a descriccedilatildeo quantitativa de circuitos eacute realizada atraveacutes do conceito de potencial eleacutetrico e energia

(ou potecircncia) Essa eacute a descriccedilatildeo que discutiremos aqui Qualquer outra tentativa eacute muito complicada

265

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

611 Leis de Kirchhoff lei dos noacutes (ou lei das correntes)

A lei dos noacutes eacute consequumlecircncia da conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica Ela afirma que a soma das correntes

que chegam a um noacute eacute igual agrave soma das correntes que saem desse mesmo noacute Matematicamente

=

Trata-se do princiacutepio da conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica em qualquer instante a taxa com que

carga eleacutetrica chega a um noacute eacute igual agrave taxa com que carga sai desse noacute Trata-se de uma propriedade do estado

estacionaacuterio em um circuito CC Se nada depende do tempo tudo eacute constante entatildeo a carga eleacutetrica total que

eventualmente se deposite em um noacute qualquer deve ser constante e para isso a corrente que chega a esse noacute

deve ser igual agrave corrente que sai De fato um noacute eacute apenas uma junccedilatildeo de vaacuterios condutores sem nenhuma

outra propriedade importante que natildeo seja sua capacidade de simplesmente conduzir as cargas eleacutetricas

(condutor perfeito) entre os diferentes ramos do circuito Portanto mesmo em um regime natildeo constante no

tempo (circuitos de corrente alternada por exemplo) a carga eleacutetrica que eventualmente se deposite nesse noacute

eacute para todos os efeitos despreziacutevel

Podemos generalizar essa equaccedilatildeo da conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica para circuitos com

correntes natildeo constantes e pontospartes do circuito que acumulam quantidades importantes de carga ( ) como por exemplo placas de capacitores Nesse caso a ldquolei dos noacutesrdquo se torna

minus = ( )

sendo ( ) a carga eleacutetrica que estaacute acumulando nesse pontoparte do circuito onde chegamsaem essas

correntes Essa equaccedilatildeo estaacute dizendo que as cargas que chegam menos as cargas que saem eacute igual ao saldo de

cargas que ficam acumuladas A lei dos noacutes propriamente dita corresponde ao caso particular ( ) = 0

(nada depende do tempo (circuitos CC) ou cargas despreziacuteveis nos noacutes (circuitos CA))

Olhando para essa uacuteltima equaccedilatildeo soacute conseguimos conceber uma violaccedilatildeo da validade da lei dos noacutes

em circuitos com correntes oscilatoacuterias de altas frequumlecircncias de tal forma que a derivada ( ) tenha um

valor natildeo despreziacutevel em um simples noacute do circuito Natildeo eacute uma situaccedilatildeo muito comum Enfim se a lei dos noacutes

natildeo vale para um dado noacute particular no circuito entatildeo concluiacutemos que nesse contexto esse ldquonoacuterdquo natildeo deveria

ter sido chamado de ldquonoacuterdquo Talvez teria sido melhor chamaacute-lo de ldquoplaca de capacitorrdquo

Resumindo para qualquer circuito de corrente contiacutenua ou de corrente alternada de baixa frequumlecircncia

(que estudaremos mais adiante) a lei dos noacutes diz que

=

266

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Aplicando a lei dos noacutes aos noacutes do circuito mostrado na Figura 1 obtemos as equaccedilotildees que estatildeo

elencadas na tabela 1 abaixo

Note que as equaccedilotildees obtidas nos noacutes D e H estatildeo dizendo que algumas correntes devem ser

negativas Isso significa que algumas correntes devem ter sentidos reais diferentes daqueles que arbitramos na

Figura 1 Natildeo entendemos isso como um erro os sinais das correntes fazem parte da soluccedilatildeo e juntamente

com o desenho onde arbitramos os sentidos das correntes nos informam sobre os sentidos reais das

correntes no circuito

A equaccedilatildeo obtida no noacute J eacute redundante ela pode ser obtida da combinaccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas nos

noacutes H B e D Portanto confirmamos aqui a regra de que a lei dos noacutes fornece minus 1 equaccedilotildees

independentes sendo o nuacutemero de noacutes natildeo triviais no circuito Obtivemos trecircs equaccedilotildees independentes

para o circuito da Figura 1 Satildeo seis incoacutegnitas e faltam portanto mais trecircs equaccedilotildees que viratildeo de uma outra

lei independente da lei dos noacutes

noacute equaccedilatildeo

A = (trivial)

B = + (1)

C = (trivial)

D + + = 0 (2)

E = (trivial)

F = (trivial)

G = (trivial)

H 0 = + + (3)

J + = (jaacute foi H+B+D))

Concluiacutemos tambeacutem que os noacutes triviais (apenas dobras) natildeo servem para nada e podem ser

dispensados Eles servem apenas como referecircncia no circuito e nesse sentido tecircm sua utilidade

612 Leis de Kirchhoff lei das malhas (ou lei das voltagens)

A lei das malhas eacute apenas uma afirmaccedilatildeo da conservaccedilatildeo da energia No caso em questatildeo da

conservaccedilatildeo da energia potencial eleacutetrica (depois acrescentaremos a energia magneacutetica a essa lei) Jaacute vimos

que as baterias ideias satildeo dispositivos de FEM ℰ que fornecem energia potencial eleacutetrica aos portadores de

carga Ao atravessar uma bateria ideal de seu terminal ndash para seu terminal + um portador de carga gt 0

Tabela 1 equaccedilotildees obtidas via lei dos noacutes para o circuito na Figura 1

267

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

ganha a energia potencial eleacutetrica ∆ = ∆ = ℰ Por outro lado um resistor de resistecircncia eacute um

dispositivo em que os portadores de carga perdem energia potencial eleacutetrica (que eacute transformada em energia

teacutermica efeito Joule) Ao fluir atraveacutes de um resistor um portador de carga perde a energia potencial

eleacutetrica ∆ = ∆ =

A lei das malhas diz que em um caminho fechado no circuito ou seja em uma malha qualquer no

estado estacionaacuterio a energia potencial eleacutetrica que um portador de carga ganha ele perde Se natildeo fosse

assim a energia do portador estaria variando continuamente no tempo enquanto ele ldquodesse voltasrdquo nessa

malha e o circuito natildeo estaria em estado estacionaacuterio Natildeo haacute nada de absurdo na ideia de que um portador

de carga vai perdendo ou ganhando energia ao circular em um caminho fechado no circuito mas isso natildeo

pode ocorrer em um regime estacionaacuterio de funcionamento do circuito (poderia ocorrer durante o transiente

em que um circuito que estaacute desligando por exemplo)

Portanto ao aplicar a lei das malhas a uma malha especiacutefica computando as energias ganhas e as

energias perdidas por um portador de carga hipoteacutetico vamos produzir uma equaccedilatildeo para as correntes que

circulam nessa malha em termos das FEMs e das resistecircncias Algo como

∆ = 0

Eliminando que eacute constante obtemos finalmente a lei das malhas de Kirchhoff

∆ = 0

Considere as seguintes regras de computaccedilatildeo das DDPs ∆ entre os terminais dos dispositivos que

vamos encontrando agrave medida que vamos caminhando ao longo de uma malha

Portanto fazendo uma analogia com a energia potencial gravitacional

podemos comparar um resistor com um degrau de uma escada como na

Figura ao lado se atravessamos de A para B (mesmo sentido de )

descemos um degrau de altura (∆ = minus ) Se vamos de B para A

subimos esse degrau (∆ = + )

R

A B

Regra do resistor em um resistor os portadores de carga sempre fluem no sentido em que eles estatildeo perdendo energia potencial eleacutetrica Portanto na Figura ao lado concluiacutemos que se estaacute fluindo em de A para B entatildeo gt Conclusatildeo ao atravessar um resistor no mesmo sentido da corrente que flui por ele (de A para B) devemos acrescentar na lei das malhas um ∆ = minus Caso contraacuterio ao atravessar um resistor no sentido oposto ao da corrente que flui por ele (de B para A) devemos acrescentar na lei das malhas um ∆ =

A B

ΔV

268

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Portanto fazendo uma analogia com a energia potencial

gravitacional podemos comparar uma bateria com um degrau de uma

escada como na Figura ao lado se vamos do ndash para o + subimos um

degrau de altura ℰ (∆ = ℰ) Se vamos do + para o ndash descemos esse

degrau (∆ = minusℰ)

Nessa analogia o portador de carga hipoteacutetico que percorre a malha vai subindo e descendo degraus

ateacute que ao completar a malha ele retorna ao mesmo niacutevel (de potencial eleacutetrico) em que estava

Aplicando a lei das malhas a trecircs malhas independentes do circuito mostrado na Figura 2 obtemos as

equaccedilotildees mostradas na Tabela 2 baixo

Note que temos o haacutebito de sempre comeccedilar a equaccedilatildeo da lei das malhas com o potencial do noacute

onde comeccedilamos a caminhar atraveacutes da malha Assim vamos encarando os ∆ como ldquodegrausrdquo que vamos

subindo e descendo ateacute voltarmos para o mesmo niacutevel de potencial Essa forma de escrever a lei das malhas

natildeo tem nenhuma consequumlecircncia para o caacutelculo das correntes afinal o corta dos dois lados da equaccedilatildeo Mas

veremos mais adiante que essa forma de encarar as coisas facilita o caacutelculo de DDPs ao longo do circuito

Agora que jaacute construiacutemos nosso conjunto de seis equaccedilotildees para as correntes no circuito mostrado

na Figura 2 podemos terminar a anaacutelise desse circuito e computar as correntes fluindo nele Para nossa sorte

malha equaccedilatildeo

ABJHGA minus minus ℰ + ℰ = rArr minus minus ℰ + ℰ = 0 (4)

BCDJB + + ℰ = rArr + ℰ = 0 (5)

HJDEFH minus minus ℰ + = rArr minus minus ℰ + = 0 (6)

Tabela 2 equaccedilotildees obtidas via lei das malhas para o circuito na Figura 1

A B

Regra da bateria uma bateria ideal eacute capaz de manter seu terminal + em um potencial maior do que seu terminal ndash A diferenccedila de potencial mantida eacute exatamente a FEM ℰ da bateria Esse fato natildeo tem relaccedilatildeo com o sentido da corrente na bateria ou seja com o fato dela estar descarregando ou carregando Conclusatildeo ao atravessar a bateria de seu terminal ndash para seu terminal + (de A para B) devemos acrescentar na lei das malhas um ∆ = ℰ Caso contraacuterio ao atravessar a bateria de seu terminal + para seu terminal ndash (de B para A) devemos acrescentar na lei das malhas um ∆ = minusℰ Enfatizamos que esses fatos natildeo tecircm relaccedilatildeo com o sentido da corrente na bateria (se ela estaacute carregando ou descarregando)

A B

ΔV

269

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

o sistema de equaccedilotildees eacute simples Natildeo existe apenas uma maneira de se resolver um sistema de equaccedilotildees

lineares Cada um faz do seu jeito No presente caso vemos logo da Eq (4) que

minus minus ℰ + ℰ = 0 rArr = ℰ minus ℰ

O sentido de seraacute aquele mostrado na Figura 2 se ℰ gt ℰ e gt 0 Se valer ℰ = ℰ entatildeo natildeo haveraacute

corrente nesse ramo Se ℰ lt ℰ e lt 0 entatildeo estaraacute circulando de fato no sentido oposto agravequele que

desenhamos na Figura 2 Nesse caso natildeo vale a pena ir laacute na Figura do circuito e modificar o sentido da seta

de O melhor eacute deixar o desenho como estaacute e fornecer a resposta de com o seu sinal positivo ou negativo

Aqui como temos um problema algeacutebrico o sinal e o sentido de ficam indeterminados

Da Eq (5) obtemos + ℰ = 0 rArr = minus ℰ

A corrente tem com certeza o sentido oposto ao indicado na Figura 2 Deixamos a Figura como estaacute e

mantemos o sinal ndash em com estaacute escrito acima Da Eq (6) obtemos

minus minus ℰ + = 0 rArr = ℰ + minusℰ rArr = ℰ minus ℰ

O sentido de seraacute aquele mostrado na Figura 2 se ℰ gt ℰ e gt 0 Se valer ℰ = ℰ entatildeo natildeo haveraacute

corrente nesse ramo Se ℰ lt ℰ e lt 0 entatildeo estaraacute circulando no sentido oposto ao da Figura 2

Da eq (2) + + = 0 rArr = minus minusℰ minus ℰ minus ℰ rArr = ℰ 1 + 1 minus ℰ

Da Eq (1)

= + rArr = ℰ minus ℰ minus ℰ 1 + 1 minus ℰ rArr = ℰ + ℰ minus ℰ 1 + 1 + 1

Finalmente da Eq (3)

0 = + + rArr = minus ℰ minus ℰ minus ℰ minus ℰ rArr = ℰ 1 + 1 minus ℰ minus ℰ

Concluindo as leis de Kirchhoff mostram que as correntes que circulam em cada um dos ramos no

circuito mostrado na Figura 2 satildeo dadas por

= ℰ minus ℰ = ℰ 1 + 1 minus ℰ

= minus ℰ

270

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

= ℰ + ℰ minus ℰ 1 + 1 + 1 = ℰ 1 + 1 minus ℰ minus ℰ

= ℰ minus ℰ

Para conferir nossas respostas podemos

considerar alguns casos limites simples Para facilitar as

coisas mostramos o circuito na Figura ao lado Por

exemplo imagine que rarr infin Isso significa que natildeo

passa corrente no ramo HGAB pois uma resistecircncia

infinita corresponde a um circuito aberto Podemos ver na

Figura que nesse limite devemos ter = 0 = minus e = minus o que eacute verdade para nossas soluccedilotildees Imagine

agora que rarr infin Isso significa que natildeo passa corrente

no ramo JD Podemos ver na Figura que nesse limite devemos ter = 0 = minus e = minus o que eacute verdade

para nossas soluccedilotildees Finalmente se rarr infin natildeo passa corrente no ramo DEFH e devemos ter = 0 = minus e = minus o que eacute verdade para nossas soluccedilotildees Essas verificaccedilotildees nos datildeo confianccedila de que

nossas respostas para o problema estatildeo corretas Eacute muito faacutecil se errar um siacutembolo ou um sinal durante a

soluccedilatildeo de um sistema de vaacuterias equaccedilotildees Conferir as unidades das grandezas e alguns casos limites simples eacute

uma boa estrateacutegia para evitar esses erros

62 Associaccedilotildees de resistores (seacuterie e paralelo)

Na Figura 3 ao lado mostramos uma porccedilatildeo do esquema do circuito de um raacutedio AM (amplitude

modulada) Podemos ver a antena (o triacircngulo invertido) um

transistor Q1 (amplificaccedilatildeo) alguns resistores e alguns

capacitores Vemos por exemplo um resistor que deve ter

resistecircncia = 1 Ω ( Ω=mega-ohm=106 ohms) Suponha que

vocecirc esteja montando esse circuito construindo seu proacuteprio

raacutedio AM Vocecirc vai na loja de material eletrocircnico comprar os

componentes indicados no esquema e natildeo encontra o resistor de 1 Ω mas eacute informado de que haacute resistores de 500 Ω

disponiacuteveis ( =quilo=103) Entatildeo vocecirc pode comprar dois

resistores de 500 Ω conectaacute-los em seacuterie e ligar essa conexatildeo

dos dois resistores ao circuito Ele vai funcionar perfeitamente

Isso porque a associaccedilatildeo em seacuterie de dois resistores de 500 Ω

possui uma resistecircncia equivalente de 1 Ω Essas associaccedilotildees eacute o que vamos discutir agora

R2

A ℰR1

R3 ℰ

B C

D

E F

G H

J

Figura 3 Uma porccedilatildeo do circuito de um raacutedio AM Podemos ver a presenccedila de trecircs resistores

271

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

621 Associaccedilatildeo de resistores em seacuterie

Considere dois resistores de resistecircncias e conectados em seacuterie A conexatildeo em seacuterie se daacute

quando pegamos um terminal de cada resistor e conectamos eletricamente formando um noacute Nesse noacute natildeo

haacute mais nada conectado nada aleacutem desses dois terminais A Figura 4 abaixo ilustra essa ideia

Na Figura 4 ilustramos o processo em que dois resistores em seacuterie satildeo reduzidos a um soacute Os terminais

A e B satildeo mantidos intactos nesse processo A e B satildeo os terminais que seratildeo conectados ao circuito externo

Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B um uacutenico resistor de resistecircncia

Quanto vale

Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆

sendo ∆ = minus e a corrente que flui entre A e B

Considere que uma corrente esteja circulando atraveacutes dos dois resistores de A para B Vamos

calcular a DDP ∆ = minus Aqui usamos a mesma regra dos resistores que definimos quando estudamos a

lei das malhas Partindo de A e indo para B obtemos a equaccedilatildeo minus minus = rArr ∆ = ( + )

Concluindo = ∆ = ( + ) = +

Por exemplo se associarmos em seacuterie um resistor de 5 Ω com outro resistor de 3 Ω essa associaccedilatildeo

seraacute equivalente a um uacutenico resistor de resistecircncia = + = 5 + 3 = 8 Ω

Note que obtemos uma resistecircncia equivalente maior que e (comprimento entre A e B maior

resistecircncia maior)

Para vaacuterios resistores em seacuterie obtemos

Figura 4 dois resistores associados em seacuterie Natildeo haacute nada mais conectado ao noacute apenas os dois terminais dos dois resistores Dois resistores reais de 1 Ω ligados em seacuterie Eles equivalem a um resistor de 2 Ω

A BA B

A

noacute

B

A

B

272

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

= + + +⋯

Resumindo a tabela 3 abaixo lista as propriedades que observamos para resistores quaisquer

ligados em seacuterie

Propriedades de N resistores em seacuterie = = = ⋯ = ∆ = ∆ + ∆ +⋯+ ∆

= ∆ = + + +⋯

Tabela 3 Propriedades de resistores associados em seacuterie

622 Associaccedilatildeo de resistores em paralelo

Considere agora dois resistores de resistecircncias e conectados em paralelo A conexatildeo em

paralelo se daacute quando conectamos os terminais dos resistores dois a dois A Figura 5 abaixo ilustra essa ideia

Na Figura 5 ilustramos o processo em que dois resistores em paralelo satildeo reduzidos a um soacute Os

terminais A e B satildeo mantidos intactos nesse processo A e B satildeo os terminais que seratildeo conectados ao circuito

externo Esse circuito vai ldquoentenderrdquo que tudo funciona com se houvesse entre A e B um uacutenico resistor de

resistecircncia Quanto vale

Vamos aplicar a definiccedilatildeo = ∆

sendo ∆ = minus e a corrente total que flui entre A e B

Considere que uma corrente flua de A para B atraveacutes de e que uma corrente flua de A para B

atraveacutes de

A DDP ∆ = minus pode ser obtida se partirmos de A e irmos ateacute B atraveacutes de Obtemos minus = rArr ∆ =

Figura 5 dois resistores associados em paralelo Dois resistores reais de 1 Ω ligados em paralelo Eles equivalem a um resistor de 05 Ω

B A BA

A

A B B

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Da mesma forma essa DDP ∆ pode ser obtida se partirmos de A e irmos ateacute B atraveacutes de (a DDP

independe do caminho) Obtemos minus = rArr ∆ =

Concluindo como ∆ independe do caminho segue que ∆ = ∆ = = ∆ =

A corrente total que flui de A para B ou seja a corrente atraveacutes do resistor equivalente eacute da lei dos

noacutes aplicada ao noacute A = +

Dividindo essa equaccedilatildeo por ∆ obtemos

∆ = ∆ + ∆ rArr ∆ = ∆ + ∆

Concluindo 1 = 1 + 1 rArr = +

Por exemplo se associarmos em paralelo um resistor de 5 Ω com outro resistor de 3 Ω essa

associaccedilatildeo seraacute equivalente a um uacutenico resistor de resistecircncia

= + = 3 times 53 + 5 = 158 cong 188 Ω

Note que obtemos uma resistecircncia equivalente menor que e (maior aacuterea resistecircncia menor)

Para vaacuterios resistores em paralelo obtemos 1 = 1 + 1 + 1 +⋯

Note que isso natildeo equivale a

Resumindo a tabela 4 abaixo lista as propriedades que observamos para resistores quaisquer

ligados em paralelo

= hellip+ + +⋯

274

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Propriedades de N resistores em paralelo = + +⋯+ ∆ = ∆ = ∆ = ⋯ = ∆ 1 = ∆ = 1 + 1 + 1 +⋯

Tabela 4 Propriedades de resistores associados em paralelo

623 Exemplo de aplicaccedilatildeo da associaccedilatildeo de resistores

Apenas para ilustrar a aplicaccedilatildeo dessas ideacuteias de associaccedilotildees de resistores vamos considerar a

situaccedilatildeo em que queremos calcular a corrente que circula na bateria no circuito mostrado na Figura 6

abaixo Note que haacute apenas uma bateria e vaacuterios resistores conectados entre si Nossa esperanccedila eacute reduzir

esse conjunto de oito resistores a um resistor equivalente apenas de resistecircncia Se conseguirmos fazer

isso (nem sempre isso eacute possiacutevel apenas com as regras de associaccedilotildees seacuterie e paralelo) a corrente que

estamos procurando seraacute

Essa estrateacutegia nos livraraacute do trabalho de arbitrar 8 correntes

no circuito e calculaacute-las atraveacutes das leis de Kirchhoff

Basicamente vamos analisando o circuito da direita para a

esquerda na direccedilatildeo da bateria tentando reduzir a

associaccedilatildeo a associaccedilotildees de resistores seacuterie e paralelo e

usando as regras que jaacute vimos na seccedilatildeo anterior Esse

processo estaacute ilustrado abaixo

Figura 6 Calcule a corrente eleacutetrica que circula na bateria desse circuito de resistores

R5

R1

R2

R7

ℰR4

R6

R3

R8

= ℰ

275

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Finalmente vemos que todos os resistores estatildeo em seacuterie e portanto a resistecircncia equivalente do

circuito mostrado na Figura 6 eacute = + + +

1) Circuito original

= +

2) Vemos que estaacute em paralelo com e substituiacutemos esses dois resistores por um apenas com resistecircncia equivalente

= +

3) Vemos duas oportunidades aqui estaacute em seacuterie com e substituiacutemos os dois por um apenas com resistecircncia = + Vemos tambeacutem que estaacute em paralelo com

e substituiacutemos os dois por um apenas com resistecircncia

= +

4) Vemos que estaacute em paralelo com e substituiacutemos esses dois resistores por um apenas com resistecircncia

R1

R2

R456 R3

R78

R1

R2

R3456

R78

R1

R2

R7

R4

R56

R3

R8

R5

R1

R2

R7

R4

R6

R3

R8

276

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

A corrente que circula na bateria eacute = ℰ+ + +

Qual a DDP entre os terminais de Com um pouco de paciecircncia vamos seguindo a histoacuteria dos noacutes

no circuito no processo ilustrado acima e chegamos agrave conclusatildeo de que a DDP entre os terminais de eacute a

DDP entre os terminais do resistor equivalente Para chegar a essa conclusatildeo acompanhamos os noacutes

marcados pelas bolinhas vermelha e azul na Figuras acima Vemos tambeacutem que a corrente que passa por

eacute exatamente (pois estaacute em seacuterie com a bateria) Portanto da lei de Ohm a DDP em eacute

∆ = = + + + ℰ Qual a corrente eleacutetrica que flui atraveacutes de Da lei de Ohm

= ∆ =

Qual a corrente eleacutetrica que flui atraveacutes de Aplicando a lei dos noacutes ao noacute marcado em vermelho

nas Figuras acima concluiacutemos que = + Portanto

= minus = 1 minus = 1 minus ℰ+ + +

Enfim tentamos mostrar com esse exemplo o poder de simplificaccedilatildeo que as regras seacuterieparalelo tecircm

sobre circuitos de resistores Temos que ter apenas o cuidado de identificar corretamente quais resistores

estatildeo em seacuterie e quais estatildeo em paralelo A praacutetica leva agrave perfeiccedilatildeo

63 Aparelhos de medidas eleacutetricas amperiacutemetro e voltiacutemetro

As grandezas baacutesicas que caracterizam o funcionamento de um circuito satildeo as FEMs as DDPs e as

correntes eleacutetricas que circulam nele Componentes eleacutetricos e eletrocircnicos possuem suas DDPs e correntes

especiacuteficas de funcionamento (valores nominais) e muitas vezes devemos averiguar na praacutetica os valores

dessas grandezas para verificar o bom funcionamento do circuito Para isso existem os instrumentos de

medidas eleacutetricas Os dois instrumentos baacutesicos de medidas eleacutetricas satildeo o amperiacutemetro que mede correntes

eleacutetricas e o voltiacutemetro que mede DDPs Outro instrumento de medida eleacutetrica talvez o mais comum no

cotidiano das pessoas eacute o medidor de energia eleacutetrica que encontramos nas entradas de todas as casas e

preacutedios (comumente chamado de ldquoreloacutegio de luzrdquo) Esse medidor informa agrave empresa fornecedora de energia a

energia eleacutetrica consumida pelo usuaacuterio durante um periacuteodo de tempo Sendo energia o produto potecircncia x

tempo e potecircncia o produto DDP x corrente segue que o medidor de energia eacute basicamente uma combinaccedilatildeo

277

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

de um voltiacutemetro e um amperiacutemetro Essa ideia vale tambeacutem para o ohmiacutemetro um instrumento medidor de

resistecircncia eleacutetrica Sendo a resistecircncia eleacutetrica a razatildeo DDPcorrente segue que este tambeacutem combina as

ideacuteias do voltiacutemetro e do amperiacutemetro Assim sendo vamos nos limitar a discutir aqui o amperiacutemetro e o

voltiacutemetro

Os instrumentos de medidas eleacutetricas podem ser analoacutegicos ou digitais Um instrumento analoacutegico

indica um valor contiacutenuo para a grandeza medida geralmente atraveacutes de um ponteiro e uma escala Um

instrumento digital acaba quantizando a grandeza medida que eacute geralmente indicada atraveacutes de um display

numeacuterico Natildeo importa se o instrumento eacute analoacutegico ou digital esses instrumentos de medida possuem um

componente comum que eacute o galvanocircmetro O galvanocircmetro eacute um instrumento sensiacutevel capaz de indicar um

valor de corrente ou DDP bem pequeno por exemplo A e V ( =micro=10 ) ou A e V ( =mili=10 )

Um galvanocircmetro analoacutegico tiacutepico eacute um pequeno motor eleacutetrico com seu eixo travado por uma mola espiral

Ao conectarmos esse motor a uma DDP circula uma corrente pelo motor que comeccedila a girar A mola espiral

torce e equilibra o eixo do motor em algum acircngulo de deflexatildeo Uma agulha

fixada ao eixo do motor gira com ele e indica essa deflexatildeo em uma escala A

Figura ao lado mostra um galvanocircmetro para uso didaacutetico que pode ser

comprado na internet Trata-se de um galvanocircmetro com zero central ou seja

capaz de indicar o sentido da corrente atraveacutes dele (o motor eleacutetrico pode girar

nos dois sentidos) que aceita uma corrente maacutexima ( ) = 50 A e de resistecircncia interna igual a = 1000Ω Isso significa que se passar atraveacutes desse galvanocircmetro uma corrente ( ) = 50 A o

ponteiro vai indicar o fim da escala (ou o fundo de escala) Analogamente se a DDP entre os terminais desse

galvanocircmetro for Δ ( ) = ( ) = 50 V o ponteiro indicaraacute o fundo de escala Portanto podemos

dizer que esse galvanocircmetro eacute um microamperiacutemetro com escala de 50 A ou um milivoltiacutemetro com escala

de 50 V

A Figura ao lado mostra um galvanocircmetro digital que tambeacutem pode ser

adquirido na internet A ideia eacute a mesma do aparelho analoacutegico apenas

substituindo o motor eleacutetrico por um circuito eletrocircnico que converte um valor

analoacutegico de DDP em um valor digital uma sequecircncia de bits Nesse caso ( ) ou Δ ( ) levariam ao fundo de escala que para esse galvanocircmetro seria o valor

999 unidades ( A V A ou V) O que haacute de comum entre todos os galvanocircmetros eacute que satildeo instrumentos

muito sensiacuteveis que natildeo aceitam correntes ou DDPs acima desses valores maacuteximos minuacutesculos ( ) e Δ ( ) = ( ) As correntes e DDPs em circuitos eleacutetricos satildeo geralmente bem maiores que esses

limites maacuteximos satildeo da ordem de A e V Assim sendo ao fabricar um amperiacutemetro ou um voltiacutemetro

278

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

devemos apenas ter o cuidado de proteger o galvanocircmetro para que ele natildeo fique submetido agrave corrente total

ou agrave DDP total que estaacute sendo lida pelo aparelho Fazemos isso conectando resistores em paralelo e em seacuterie

com o galvanocircmetro

Amperiacutemetro

Na Figura ao lado mostramos o siacutembolo do

amperiacutemetro um ciacuterculo com um A e seu esquema interno

com um galvanocircmetro (um ciacuterculo com um G) e um resistor

paralelo de valor A ideia eacute que para medir a corrente que

circula em um fio por exemplo devemos cortar esse fio e conectar as duas pontas aos terminais + e ndash do

amperiacutemetro Dessa forma a corrente que estava passando no fio seraacute obrigada a passar pelo amperiacutemetro e

seu valor seraacute indicado por ele Mas devemos proteger o galvanocircmetro

natildeo podemos permitir que uma corrente de 1 A por exemplo atravesse o

galvanocircmetro ele queimaria instantaneamente pelo excesso de calor

gerado por efeito Joule Para isso dividimos a corrente conforme a Figura

ao lado Uma pequena parte passa pelo galvanocircmetro ( ) e a maior parte

passa pelo resistor paralelo ( ) Assim se eacute a corrente que passa pelo

amperiacutemetro do + para o ndash a lei dos noacutes diz que = +

Agora devemos calcular o valor de para manter a corrente dentro de sua margem de seguranccedila ou seja le ( ) Lembramos que ( ) eacute exatamente o valor de corrente que ao passar pelo galvanocircmetro leva

seu indicador ao fundo de escala Portanto o valor de estaraacute determinado pelo amperiacutemetro que

queremos produzir com esse galvanocircmetro Suponha que queiramos fabricar um amperiacutemetro que seja capaz

de medir correntes ateacute um valor maacuteximo ( ) Por exemplo eacute comum encontrarmos amperiacutemetros com ( ) = 10 A Assim sendo quando passar pelo amperiacutemetro a corrente ( ) queremos que seu indicador

esteja no fundo de escala Para isso ocorrer basta que quando valer = ( ) valha simultaneamente = ( ) Concluindo nessa situaccedilatildeo de fundo de escala deveraacute passar pelo resistor paralelo a corrente = minus = ( ) minus ( ) Ao mesmo tempo estando o resistor em paralelo com o galvanocircmetro a DDP entre os terminais de eacute a

mesma que existe entre os terminais do galvanocircmetro ou seja Δ = Δ = Δ ( ) Portanto obtemos para o valor

A G

+ - + -

G + -

279

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

= Δ = Δ ( )( ) minus ( ) = ( )( ) minus ( ) = ( ) ( ) minus 1

Como exemplo vamos imaginar que pretendemos produzir um amperiacutemetro que mede correntes

eleacutetricas CC ateacute 10 A ( ( ) = 10 A) com o galvanocircmetro que jaacute mostramos acima que possui uma corrente

maacutexima ( ) = 50 A e resistecircncia interna igual a = 1000Ω Portanto basta conectar em paralelo

como esse galvanocircmetro um resistor de resistecircncia

= ( )( ) minus ( ) = 1000 times 50 times 1010 minus 50 times 10 cong 1000 times 50 times 1010 = 5 times 10 Ω

Nesse exemplo ao entrar no amperiacutemetro uma corrente ( ) = 10 A passaraacute pelo galvanocircmetro a corrente ( ) = 50 A e passaraacute pelo resistor paralelo a corrente ( ) = ( ) minus ( ) = (10 minus 50 times 10 ) A A

parte mais difiacutecil de se construir esse amperiacutemetro eacute obter esse resistor Para produzirmos um amperiacutemetro

preciso e confiaacutevel devemos utilizar componentes nobres de valores precisos (os resistores comerciais

comuns possuem erros da ordem de 5 a 10) Teremos que fabricar esse resistor de 5 times 10 Ω na matildeo

utilizando um comprimento calculado de fio resistivo especial ( = ) Natildeo eacute uma tarefa faacutecil

Voltiacutemetro

Na Figura ao lado mostramos o siacutembolo do

voltiacutemetro um ciacuterculo com um V e seu esquema interno

com um galvanocircmetro (um ciacuterculo com um G) e um resistor

seacuterie de valor A ideia eacute que para medir a DDP entre dois

pontos A e B em um circuito devemos conectar esses dois pontos aos terminais + e ndash do voltiacutemetro Dessa

forma a DDP entre esses dois pontos A e B seraacute a DDP entre os terminais do voltiacutemetro e seu valor seraacute

indicado por ele Mas devemos proteger o galvanocircmetro natildeo podemos permitir que uma DDP de 100 V por

exemplo seja aplicada aos terminais do galvanocircmetro ele queimaria instantaneamente pelo excesso de calor

gerado por efeito Joule Para isso dividimos a DDP uma pequena parte fica no galvanocircmetro (Δ ) e a maior

parte fica no resistor seacuterie (Δ ) Assim como o resistor e o galvanocircmetro estatildeo em seacuterie se Δ eacute a DDP

entre os terminais + e ndash do voltiacutemetro obtemos Δ = Δ + Δ

Agora devemos calcular o valor de para manter a DDP Δ dentro de sua margem de seguranccedila ou seja Δ le ∆ ( ) Lembramos que ∆ ( ) eacute exatamente o valor de DDP que estando aplicado aos terminais

do galvanocircmetro leva seu indicador ao fundo de escala Portanto o valor de estaraacute determinado pelo

voltiacutemetro que queremos produzir com esse galvanocircmetro Suponha que queiramos fabricar um voltiacutemetro

V G + - + -

280

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

que seja capaz de medir DDPs ateacute um valor maacuteximo ∆ ( ) Por exemplo eacute comum encontrarmos

voltiacutemetros com ∆ ( ) = 1000 V Assim sendo quando aplicarmos no voltiacutemetro a DDP ∆ ( ) queremos que seu indicador esteja no fundo de escala Para isso ocorrer basta que quando valer Δ =∆ ( ) valha simultaneamente = ( ) e Δ = ( ) = ∆ ( ) Concluindo nessa situaccedilatildeo de

fundo de escala deveraacute existir entre os terminais do resistor seacuterie a DDP Δ = Δ minus Δ = ∆ ( ) minus ∆ ( ) Ao mesmo tempo estando o resistor em seacuterie com o galvanocircmetro vale = = ( ) sendo a corrente que passa por

Portanto obtemos para o valor

= Δ = ∆ ( ) minus ∆ ( )( ) = ∆ ( ) minus ( )( ) = ∆ ( )( ) minus Como exemplo vamos imaginar que pretendemos produzir um voltiacutemetro que mede DDPs CC ateacute 500 V

(∆ ( ) = 500 V) com o galvanocircmetro que jaacute mostramos acima que possui uma corrente maacutexima ( ) = 50 A e resistecircncia interna igual a = 1000Ω Portanto basta conectar em seacuterie como esse

galvanocircmetro um resistor de resistecircncia

= ∆ ( )( ) minus = 50050 times 10 minus 1000 cong 50050 times 10 = 10 Ω

Novamente a parte mais difiacutecil eacute obter esse resistor pois para produzirmos um voltiacutemetro preciso e confiaacutevel

devemos utilizar componentes nobres de valores precisos

Uma coisa que notamos nos exemplos numeacutericos que demos acima eacute que um amperiacutemetro possui

uma resistecircncia interna muito baixa (1000 Ω em paralelo com 5 times 10 Ω eacute basicamente 5 times 10 Ω)

= + cong 0 + =

Por outro lado um voltiacutemetro possui uma resistecircncia interna muito alta (1000 Ω em seacuterie com 10 Ω eacute

basicamente 10 Ω) = + cong

Muitas vezes nos referimos aos dispositivos de medida ideais o amperiacutemetro ideal com resistecircncia interna

nula ( = 0) e o voltiacutemetro ideal com resistecircncia interna infinita ( rarr infin) Os dispositivos de medida ideais

natildeo alteram os valores das grandezas que eles pretendem medir Isso porque um amperiacutemetro ideal natildeo

281

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

acrescenta nenhuma resistecircncia ao circuito original e o voltiacutemetro ideal natildeo desvia nenhuma corrente no

circuito original Os aparelhos de medida mais caros satildeo os que se aproximam mais desse ideal

Na Figura 7 ao lado repetimos o circuito que

estudamos no iniacutecio desse capiacutetulo (Figura 2)

acrescentando um amperiacutemetro e um voltiacutemetro ideais

Vemos logo que o amperiacutemetro estaacute medindo a

corrente pois essa eacute a corrente que estaacute passando

por ele Portanto a leitura do amperiacutemetro eacute

= = ℰ 1 + 1 minus ℰ minus ℰ

O voltiacutemetro estaacute medindo a DDP minus (ou minus

natildeo importa) Seguindo pelo caminho AGHF obtemos

minus ℰ minus = rArr = minus = ℰ + = ℰ + ℰ minus ℰ = ℰ + ℰ minus ℰ

Note que esse resultado pode ser confirmado facilmente se seguirmos o caminho tortuoso AGJBCDEF que

atravessa apenas as trecircs baterias de FEMs ℰ ℰ e ℰ

Se o amperiacutemetro eou o voltiacutemetro acima natildeo fossem ideais teriacuteamos que refazer todos os caacutelculos

das correntes porque o circuito seria outro O amperiacutemetro acrescentaria uma resistecircncia (pequena) ao

ramo HJ e o voltiacutemetro acrescentaria mais um ramo entre os noacutes A e F um ramo com uma resistecircncia grande

e acrescentaria tambeacutem mais uma corrente (pequena) ao circuito fluindo nesse ramo Sendo os aparelhos

ideais a resistecircncia pequena no ramo HJ eacute nula a resistecircncia grande entre os noacutes A e F eacute infinita e a corrente

pequena eacute nula no ramo do voltiacutemetro Aparelhos ideais natildeo alteram as correntes e DDPs que havia no circuito

antes deles serem conectados ao circuito

64 O circuito RC seacuterie (resistor + capacitor)

Para finalizar esse capiacutetulo podemos usar a lei das malhas para analisar o circuito RC seacuterie formado

por um resistor de resistecircncia conectado em seacuterie com um capacitor de capacitacircncia alimentado por uma

bateria de FEM ℰ Vamos observar que estando a bateria conectada

o capacitor acumula carga eleacutetrica durante um certo transiente

Depois se conectarmos o capacitor carregado diretamente ao

resistor o capacitor descarrega durante um transiente Portanto

nesse circuito flui uma corrente que eacute funccedilatildeo do tempo = ( ) A

Figura 8 ao lado mostra o circuito RC pronto para ser carregado pela

R2

A ℰR1

R3 ℰ

B C

D

E F

G H

J

Figura 7 um circuito de trecircs malhas

A V

Figura 8 um circuito RC seacuterie em processo de carga do capacitor

R

( ) A ℰ

E F

B

C

S

282

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

accedilatildeo da bateria Precisamos apenas fechar o interruptor S para dar iniacutecio agrave circulaccedilatildeo de corrente no circuito e

o acuacutemulo de carga (e energia potencial) nas placas do capacitor Note que a corrente nunca flui entre as

placas do capacitor ou seja natildeo haacute corrente entre os noacutes B e E atraveacutes do capacitor A bateria vai somente

retirar cargas eleacutetricas positivas da placa inferior que vai se tornar negativa e depositar essas cargas na placa

superior que vai se tornar positiva (de fato jaacute sabemos que satildeo os eleacutetrons que se movem nesse circuito mas

no final das contas daacute no mesmo) Queremos obter o comportamento de ( ) com a condiccedilatildeo inicial de que

no instante em que fechamos a chave o capacitor estava descarregado ( = 0) = 0

A lei dos noacutes natildeo acrescenta nada aqui pois todos os noacutes satildeo triviais satildeo apenas dobras (o circuito soacute

possui um ramo fechado = uma malha) A lei das malhas no percurso ABEFA supondo a chave jaacute fechada gt 0 diz que (utilizando que para um capacitor vale ∆ = minus = minus = )

minus ( ) minus ( ) + ℰ =

Note que essa equaccedilatildeo envolve duas incoacutegnitas ( ) e ( ) Precisamos de mais uma equaccedilatildeo para obter ( ) Essa segunda equaccedilatildeo eacute uma afirmaccedilatildeo da continuidade da carga eleacutetrica Note ( ) eacute a taxa com que

carga eleacutetrica estaacute chegando na placa positiva do capacitor e ( ) eacute o excesso de carga eleacutetrica acumulada

nessa placa Entatildeo tem que valer ( ) = ( ) ( ) eacute a taxa com que ( ) estaacute aumentando no tempo Note essa eacute exatamente a lei da

conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica que jaacute mencionamos anteriormente

minus = ( )

Trata-se de uma generalizaccedilatildeo da lei dos noacutes para regiotildees do circuito em que haacute acuacutemulos de carga

em situaccedilotildees de correntes natildeo constantes Aplicando essa lei agrave placa superior do capacitor fazemos sum = ( ) e sum = 0 para obter a equaccedilatildeo ( ) = ( )

Substituindo ( ) na lei das malhas obtemos a equaccedilatildeo diferencial

minus ( ) minus ( ) + ℰ = 0

Natildeo vamos entrar em detalhes aqui sobre como resolver essa equaccedilatildeo diferencial Trata-se de um caso

simples de equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de primeira ordem A soluccedilatildeo com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = 0 eacute ( ) = ℰ 1 minus

A corrente no circuito se comporta como

283

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = ℰ 1 minus = ℰ

A Figura ao lado eacute um esboccedilo dos comportamentos da carga (curva vermelha) e da corrente (curva

verde) durante o transiente de carga do capacitor (note que as

escalas verticais satildeo diferentes para as duas curvas) O capacitor inicia

carregando rapidamente pois a corrente eacute maacutexima (=ℰ ) nos

primeiros instantes Agrave medida que ele vai carregando o processo vai

estabilizando a carga vai para o valor assintoacutetico maacuteximo ℰ e a

corrente vai para o valor assintoacutetico nulo

Aqui podemos relembrar algumas ideacuteias que jaacute discutimos

sobre o equiliacutebrio eletrostaacutetico em condutores Quando fechamos a chave S conectamos eletricamente o

terminal + da bateria agrave placa superior do capacitor atraveacutes de um meio condutor resistivo (o resistor ) Todos

esses objetos se tornam um condutor soacute um condutor fora do equiliacutebrio De fato esse condutor natildeo eacute

equipotencial pois minus = ( ) ou seja o potencial no terminal + da bateria natildeo eacute igual ao potencial na

placa superior do capacitor Assim que a chave eacute ligada vale minus = (0) = ℰ Estabelece-se entatildeo um

fluxo de cargas entre as extremidades desse condutor (terminal + e placa) esse fluxo eacute a corrente ( ) Agrave

medida que o tempo passa esse condutor vai se tornando equipotencial ou seja ele vai atingindo o equiliacutebrio

eletrostaacutetico Isso vai ocorrer ao final do processo de carga quando valer minus = ( rarr infin) = 0

Note que o expoente tem que ser adimensional (caso contraacuterio a exponencial = 1 +(minus ) + (minus ) 2 + (minus ) 6 + ⋯ natildeo teria dimensatildeo bem definida) Portanto o produto tem

unidade de tempo ou seja eacute um tempo De fato = Ω = = = =

Que tempo seria esse Vamos chamaacute-lo de = e calcular (levando em conta que cong 2718)

( ) = ℰ 1 minus = ℰ 1 minus 1 cong ℰ (0632) ( ) = ℰ = ℰ 1 cong ℰ 0368

Conclusatildeo o tempo = eacute um tempo caracteriacutestico do transiente de carga do capacitor Exatamente em = a carga no capacitor jaacute atingiu cong 63 de seu valor maacuteximo e a corrente jaacute caiu a apenas cong 37 de seu

valor maacuteximo inicial Se aumentarmos o valor de aumentando o valor de eou de o circuito fica mais

lento demora mais para carregar o capacitor Vemos portanto que o circuito RC pode ser usado como um

definidor de um intervalo de tempo um temporizador eleacutetrico A Figura 9(a) abaixo mostra a posiccedilatildeo do

instante = nos graacuteficos de ( ) e ( ) versus Na Figura 9(b) mostramos os comportamentos de ( )

( )ℰ

0 ( )ℰ

284

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

para dois circuitos com mesma bateria (mesmo ℰ) mesmo capacitor (mesmo ) mas diferentes valores de

resistecircncia gt Portanto esses dois circuitos apresentam o mesmo valor maacuteximo de carga ℰ mas o

circuito 2 eacute mais lento pois ( ) = gt ( ) =

A Figura 10 abaixo ilustra os dois extremos no comportamento do capacitor durante o processo de

carga no circuito RC No instante = 0 o capacitor estaacute vazio e a corrente flui com o valor maacuteximo ℰ que

seria a mesma corrente que fluiria se natildeo houvesse capacitor entre os pontos B e E e sim uma resistecircncia

nula ou seja um curto-circuito Portanto nesse instante o capacitor se comporta como um curto-circuito

entre os pontos B e E No outro extremo rarr infin o capacitor estaacute atingindo a carga plena ( ℰ) e a corrente

estaacute se anulando ou seja assintoticamente o circuito vai se comportar como um circuito aberto na porccedilatildeo

entre B e E um circuito em que natildeo circula corrente

Portanto durante o processo de carga o capacitor muda de comportamento indo de um curto-

circuito a um circuito aberto entre os pontos B e E conectados aos seus terminais

( ) ℰ

0

( ) ℰ

063 ℰ

037 ℰ

( )

063 ℰ

( )ℰ

0( )

( ) Figura 9 (a) comportamentos de ( ) e ( ) em funccedilatildeo do tempo para o processo de carga no circuito RC seacuterie (b) Comportamentos de ( ) para dois circuitos com diferentes de e portanto de = Quanto maior mais lento eacute o processo de carga

(a) (b)

Figura 10 transiccedilatildeo do capacitor durante o processo de carga de curto-circuito a circuito aberto

( rarr infin) rarr 0

infin

C = circuito aberto

( )ℰ

0

( )ℰ

E

B ℰ R B

E ( = 0) = ℰ

C = curto-circuito

R

285

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Agora vamos imaginar que o capacitor jaacute possui uma carga eleacutetrica

depositada em suas placas e vamos simplesmente conectaacute-lo ao resistor

para que ele descarregue A Figura 11 ao lado ilustra esse circuito Natildeo haacute

mais bateria Note que a corrente vai circular no sentido oposto agravequele do

processo de carga do capacitor As cargas + vatildeo sair da placa positiva e

fluir para a placa negativa neutralizando as placas

Precisamos apenas fechar o interruptor S para dar iniacutecio agrave

circulaccedilatildeo de corrente no circuito e agrave descarga do capacitor Queremos obter o comportamento de ( ) com a

condiccedilatildeo inicial de que no instante em que fechamos a chave o capacitor estava carregado com ( = 0) =ne 0 uma carga qualquer natildeo-nula

A lei das malhas no percurso BAFEB supondo a chave jaacute fechada gt 0 diz que

minus ( ) + ( ) =

Novamente a equaccedilatildeo envolve duas incoacutegnitas ( ) e ( ) Precisamos de mais uma equaccedilatildeo para obter ( ) Essa segunda equaccedilatildeo eacute uma afirmaccedilatildeo da conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica Note ( ) eacute a taxa

com que carga eleacutetrica estaacute saindo da placa positiva do capacitor e ( ) eacute o excesso de carga eleacutetrica

acumulada nessa placa Entatildeo tem que valer ( ) = minus ( ) ( ) eacute a taxa com que ( ) estaacute diminuindo no tempo Mas note que o sinal de ndash na equaccedilatildeo compatibiliza o

fato de que ( ) gt 0 ( ( ) estaacute no seu sentido correto) e que ( ) lt 0 Essa eacute exatamente a equaccedilatildeo da

conservaccedilatildeocontinuidade da carga eleacutetrica que conforme jaacute discutimos tem a lei dos noacutes como caso

particular (para um noacute a carga ( ) eacute despreziacutevel)

minus = ( )

Aplicando essa lei agrave placa superior do capacitor fazemos sum = 0 e sum = ( ) para obter a

equaccedilatildeo ( ) = minus ( )

Substituindo ( ) na lei das malhas obtemos a equaccedilatildeo diferencial

( ) + ( ) = 0

Trata-se de um caso simples de equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de primeira ordem A soluccedilatildeo com a

condiccedilatildeo inicial ( = 0) = eacute

Figura 11 um circuito RC seacuterie em processo de descarga do capacitor

R ( ) A

E F

B

C

S

+ + - -

286

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

( ) =

A corrente no circuito se comporta como

( ) = minus ( ) = minus =

A Figura ao lado eacute um esboccedilo dos comportamentos da carga

(curva vermelha) e da corrente (curva verde) durante o transiente de

descarga do capacitor (note que as escalas verticais satildeo diferentes para

as duas curvas) O capacitor descarrega aos poucos e a corrente

juntamente com a carga na placa positiva vai exponencialmente para o

valor assintoacutetico nulo

Relembrando novamente algumas ideacuteias que jaacute discutimos

sobre o equiliacutebrio eletrostaacutetico em condutores vemos que quando fechamos a chave S conectamos

eletricamente a placa superior (+) do capacitor agrave placa inferior (-) atraveacutes de um meio condutor resistivo (o

resistor ) Todos esses objetos de tornam um condutor soacute um condutor fora do equiliacutebrio De fato esse

condutor natildeo eacute equipotencial pois minus = ( ) ou seja o potencial na placa + do capacitor natildeo eacute igual

ao potencial na placa - Assim que a chave eacute ligada vale minus = (0) = Estabelece-se entatildeo um

fluxo de cargas entre as placas do capacitor esse fluxo eacute a corrente ( ) Agrave medida que o tempo passa esse

condutor vai se tornando equipotencial ou seja ele vai atingindo o equiliacutebrio eletrostaacutetico Isso vai ocorrer ao

final do processo de descarga quando valer minus = ( rarr infin) = 0

O tempo = eacute caracteriacutestico desse processo de descarga De fato

( ) = = 1 cong 0368

( ) = = 1 cong 0368 Conclusatildeo o tempo = eacute tambeacutem o tempo caracteriacutestico do transiente de descarga do

capacitor Exatamente em = a carga no capacitor caiu a apenas cong 37 de seu valor inicial maacuteximo e a

corrente jaacute caiu a apenas cong 37 de seu valor inicial maacuteximo Se aumentarmos o valor de

aumentando o valor de eou de o circuito fica mais lento demora mais tempo para descarregar o

capacitor

Com esses resultados pudemos caracterizar quantitativamente os transientes de carga e descarga de

um circuito RC seacuterie Fizemos isso atraveacutes da lei das malhas e da generalizaccedilatildeo da lei dos noacutes Podemos

analisar esses transientes tambeacutem do ponto de vista das energias e potecircncias Sabemos que

( ) 0 ( )

287

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

A bateria fornece para os portadores de carga no

circuito energia potencial eleacutetrica na taxa ( ) = ℰ ( )

O resistor dissipa energia potencial eleacutetrica (transforma

em energia teacutermica) na taxa ( ) = ( )

O capacitor acumula energia potencial eleacutetrica na taxa ( ) = ( )2 = 1 ( ) ( )

Para o processo de carga a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo

( ) + ( ) = ℰ

Multiplicando essa equaccedilatildeo por ( ) (lembrando que ( ) = ( )) vemos que conforme jaacute

discutimos a lei das malhas eacute apenas uma afirmaccedilatildeo da conservaccedilatildeo da energia ( ) + ( ) = ( ) A energia potencial eleacutetrica fornecida pela bateria eacute dividida uma parte acumula no capacitor e outra parte eacute

ldquoperdidardquo no resistor (essa energia sai do circuito e vai para o ambiente atraveacutes do resistor)

Para o processo de descarga a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo

( ) = ( )

Multiplicando essa equaccedilatildeo por ( ) (lembrando que ( ) = minus ( )) vemos que ( ) = minus ( ) A energia potencial eleacutetrica que sai do capacitor (em moacutedulo) eacute dissipada no resistor Note que no processo de

descarga vale ( ) lt 0 pois o capacitor estaacute perdendo energia potencial eleacutetrica ( ) lt 0 rArr ( ) = ( )2 = 1 ( ) ( ) lt 0

Se quisermos ver as expressotildees dessas potecircncias em funccedilatildeo do tempo podemos utilizar nossas

soluccedilotildees para a carga eleacutetrica e corrente no circuito

Para o processo de carga obtemos (note que ( ) + ( ) = ( )) ( ) = ℰ ( ) = ℰ

( ) = ( ) = ℰ ( ) = 1 ( ) ( ) = ℰ 1 minus

288

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

O graacutefico ao lado mostra as curvas de ( ) (curva

verde) ( ) (curva azul) e ( ) (curva vermelha) em funccedilatildeo

do tempo para o processo de carga do capacitor (ℰ = 1 e = 1) A curva verde eacute a soma da curva azul com a curva

vermelha No iniacutecio a corrente eacute alta e o capacitor estaacute

descarregado O resistor dissipa muito calor Depois a situaccedilatildeo

se inverte e o capacitor passa a cumular energia mais

rapidamente que a dissipaccedilatildeo no resistor As curvas de ( ) e ( ) se cruzam no instante tal que

( ) = ( ) rArr ℰ = ℰ 1 minus rArr = 12 rArr = ln(2) cong 0693

sendo ln() a funccedilatildeo logaritmo natural

65 Aplicaccedilotildees

1) Considere o circuito mostrado ao lado Uma bateria ideal de FEM ℰ estaacute conectada a cinco resistores iguais

cada um de resistecircncia Queremos calcular a corrente eleacutetrica que circula

atraveacutes da bateria

Nosso primeiro iacutempeto eacute tentar reduzir esses cinco resistores a um resistor

apenas de resistecircncia equivalente Mas percebemos que nenhum resistor

estaacute em seacuterie ou em paralelo com outro resistor e portanto essa primeira

tentativa eacute frustrada Esse circuito eacute chamado de ponte de Wheatstone e poderia

ser definido em um caso mais geral com 5 resistores diferentes entre si

Entatildeo nos convencemos de que teremos que arbitrar correntes em

cada um dos ramos do circuito e calcular essas correntes utilizando as leis de

Kirchhoff A Figura ao lado mostra as 6 correntes que arbitramos Agora

podemos partir para a construccedilatildeo de um conjunto de 6 equaccedilotildees lineares com

6 incoacutegnitas A lei dos noacutes em A por exemplo leva agrave equaccedilatildeo = +

Mas antes de continuarmos percebemos que esse circuito eacute razoavelmente simples pelo fato de

todos os resistores serem iguais Percebemos que natildeo haacute razatildeo para supormos que ne e que ne Haacute

uma clara simetria no circuito estabelecida pela igualdade de todos os resistores Note entatildeo que se =

segue que da lei dos noacutes = = 2

A

B

289

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Analogamente (no noacute oposto) = = 2

Segue que = = = = 2 No noacute A = + logo = minus = 0 Concluiacutemos que natildeo

passa corrente pelo ramo central Se natildeo passa corrente por esse ramo podemos

apagaacute-lo do circuito como fizemos na Figura ao lado Tudo funciona como se o ramo

entre A e B estivesse aberto pois natildeo passa corrente por ele Agora vemos

claramente que a resistecircncia equivalente desse circuito eacute

= 2 22 + 2 =

e a corrente na bateria eacute = ℰ = ℰ

Note que essa simetria seria mantida mesmo que o resistor entre A e B por onde circula fosse

diferente dos outros 4 resistores nos ramos laterais Para uma ponte de Wheatstone com resistores

diferentes entre si nos ramos laterais temos que resolver o sistema de 6 equaccedilotildees para encontrar as correntes

nos ramos do circuito

2) Considere agora o circuito ao lado contendo dois resistores e dois

capacitores O circuito eacute alimentado por uma DDP e os capacitores

estavam inicialmente descarregados a) Fixando = 0 no terminal ndash de

(uma bateria ideal de FEM ) calcule ( ) enquanto a chave S estaacute

aberta

Com a chave S aberta e estatildeo em seacuterie e a corrente que passa

(descendo) por esse ramo dos dois resistores eacute = +

Portanto partindo do noacute ldquoardquo em direccedilatildeo ao terminal ndash passando por obtemos ( ) minus = (minus) = 0

Concluindo ( ) = = +

Note que obteriacuteamos esse mesmo resultado qualquer que fosse o caminho que escolhecircssemos atraveacutes

do circuito Por exemplo se partirmos de ldquoardquo e subirmos por ateacute o terminal + obtemos ( ) + =(+) = Portanto ( ) = minus = minus + = +

b) Calcule ( ) enquanto a chave S estaacute aberta supondo que os capacitores jaacute atingiram suas cargas maacuteximas

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

Partindo do noacute ldquobrdquo em direccedilatildeo ao terminal ndash passando por obtemos ( ) minus (infin) = (minus) =0 sendo (infin) a carga acumulada na placa + de apoacutes esperarmos um tempo muito longo e os capacitores

carregarem totalmente Portanto ( ) = (infin)

Falta apenas determinarmos o valor de (infin) Note que e estatildeo em seacuterie (com a chave S aberta) e que a

capacitacircncia equivalente no ramo desses capacitores eacute = +

Para capacitores em seacuterie sabemos que vale = = sendo a carga acumulada na placa positiva do

capacitor equivalente (que eacute a placa positiva de nesse caso) Portanto (infin) = Concluindo

( ) = (infin) = = +

Apenas para exercitar escolhendo um caminho diferente que parte do noacute ldquobrdquo em direccedilatildeo ao terminal

+ passando por obtemos ( ) + (infin) = (+) = sendo (infin) a carga acumulada na placa + de

apoacutes esperarmos um tempo muito longo e os capacitores carregarem totalmente Portanto

( ) = minus (infin)

Jaacute sabemos que e estatildeo em seacuterie (com a chave S aberta) e que = = = Concluindo

( ) = minus + = +

c) A chave S eacute fechada e esperamos um novo equiliacutebrio se estabelecer Qual o potencial em ldquobrdquo

Fato eacute que antes da chave S ser fechada havia uma DDP entre ldquoardquo e ldquobrdquo dada por

( ) minus ( ) = + minus + = minus ( + )( + )

Sabemos tambeacutem que quando fecharmos essa chave vai haver um fluxo de carga entre esses noacutes passando

por S Ao final quando o sistema atingir um novo equiliacutebrio vai valer ( ) = ( ) pois esses noacutes estatildeo

conectados entre si pelo ramo da chave S (esses dois noacutes foram curto-circuitados) Note que quando a chave

S for fechada os resistores e deixam de estar em seacuterie e as correntes nesse ramo mudam com o tempo

enquanto os capacitores mudam suas cargas Mas se esperarmos muito tempo que eacute a hipoacutetese aqui os

capacitores vatildeo se carregar totalmente (de novo mas com cargas diferentes) e a corrente atraveacutes dos

capacitores e atraveacutes de S vai voltar a valer zero Daiacute para diante nada muda no ramo dos resistores eles

291

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

ficam em seacuterie novamente como se a chave S estivesse aberta Portanto ( ) volta a ter o mesmo valor

obtido no item (a) e segue que ( ) = ( ) = +

d) Quanto de carga eleacutetrica flui atraveacutes de S considerando o intervalo de tempo entre o item (a) e o item (c)

Antes da chave S ser fechada a carga eleacutetrica total nas duas placas dos capacitores que se conectam

atraveacutes do noacute ldquobrdquo era zero Na placa inferior de havia a carga minus (infin) = minus e na placa superior de

havia a carga (infin) = de tal forma que (infin) + (infin) = 0 Isso ocorre porque essas duas placas

estavam isoladas do universo (e os capacitores estavam em seacuterie) Apoacutes fecharmos a chave S e deixam

de estar em seacuterie (assim como e ) e essa condiccedilatildeo (infin) + (infin) = 0 deixa de valer pois agora essas

duas placas natildeo estatildeo mais isoladas do universo Agora pode haver um excesso de carga nessas duas placas

que fluiu para elas atraveacutes de S Para calcular esse excesso de carga basta calcular a carga final em cada um

dos capacitores com a chave S fechada e subtrair

Olhando o circuito vemos que a DDP entre as placas de eacute

∆ = (+) minus ( ) = minus + = +

que eacute a DDP entre os terminais de pois e estatildeo em paralelo (com a chave S fechada) Portanto a

carga eleacutetrica na placa + de eacute = ∆ = +

Analogamente olhando o circuito vemos que a DDP entre as placas de eacute

∆ = ( ) minus (minus) = ( ) = +

que eacute a DDP entre os terminais de pois e estatildeo em paralelo (com a chave S fechada) Portanto a

carga eleacutetrica na placa + de eacute = ∆ = +

Concluindo na placa inferior de haacute a carga minus e na placa superior de haacute a carga de tal forma que o

excesso de carga nessas duas placas que se conectam no noacute ldquobrdquo eacute

∆ = minus = + minus + = minus+

Essa carga ∆ fluiu atraveacutes de S para estabelecer um novo equiliacutebrio no circuito produzido pelo fechamento

de S

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

3) Vamos ao supermercado e compramos duas lacircmpadas

incandescentes mostradas na Figura ao lado Uma lacircmpada eacute

especificada por ∆ = 127 V = 40 W e a outra por ∆ = 127 V = 60 W Esses valores satildeo os valores nominais

indicados pelo fabricante Quando ligadas em suas DDPs

nominais essas lacircmpadas iratildeo dissipar suas potecircncias nominais

Mas podemos ligar essas lacircmpadas da forma que quisermos

Podemos por exemplo ligar a lacircmpada 1 em uma DDP de 220V

Mas se fizermos isso ela vai queimar instantaneamente pelo excesso de produccedilatildeo de calor

(aproximadamente quatro vezes mais que o valor nominal) Podemos tambeacutem ligar a lacircmpada 2 na bateria de

um automoacutevel com DDP de apenas 12 V Mas se fizermos isso ela natildeo vai emitir luz pois estaraacute produzindo

pouco calor (aproximadamente 110 vezes menos que o valor nominal) e seu filamento natildeo se tornaraacute

incandescente Enfim os valores reais de ∆ e de podem ser arbitraacuterios muito diferentes dos valores

nominais dependendo de comoonde ligamos essas lacircmpadas Suponha que liguemos essas duas lacircmpadas

em seacuterie e liguemos essa associaccedilatildeo a uma DDP de 220 V Qual lacircmpada brilha mais

A ideia aqui eacute considerar que as lacircmpadas satildeo simples resistores cujas resistecircncias eleacutetricas podem ser

determinadas atraveacutes de seus valores nominais de ∆ e de = (∆ ) Ao fazer isso cometeremos um

erro pois sabemos que a resistecircncia de uma lacircmpada depende da temperatura e para diferentes valores de ∆ e de a temperatura do filamento da lacircmpada e sua resistecircncia eleacutetrica seratildeo diferentes De qualquer

forma esse erro natildeo vai mudar a nossa conclusatildeo sobre qual lacircmpada brilha mais

A lacircmpada 1 possui resistecircncia eleacutetrica = (∆ ) cong 403Ω A lacircmpada 2 possui resistecircncia

eleacutetrica = (∆ ) cong 269Ω Note que essas satildeo as resistecircncias que as lacircmpadas apresentam quando

atingem as temperaturas correspondentes agraves suas potecircncias nominais

Estando as lacircmpadas em seacuterie a resistecircncia equivalente do circuito seraacute = + cong 672Ω

Portanto ao ligarmos essa associaccedilatildeo em uma DDP ∆ = 220 V a corrente que passaraacute por cada uma das

lacircmpadas seraacute = = = ∆ cong 033

Assim sendo a lacircmpada 1 estaraacute dissipando a potecircncia real = cong 43 cong

enquanto que a lacircmpada 2 estaraacute dissipando a potecircncia real

293

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 6 ndash versatildeo 31

= cong 29 cong 2

Concluindo a lacircmpada de menor potecircncia nominal (40 W) estaraacute brilhando mais e estaraacute apresentando

basicamente o mesmo brilho que ela apresentaria com seus valores nominais (ligada em ∆ = 127 V)

A influecircncia da temperatura nas resistecircncias eleacutetricas das lacircmpadas poderia mudar nossa conclusatildeo

Note que a lacircmpada 1 deve estar apresentando nesse circuito uma resistecircncia proacutexima de sua resistecircncia

nominal de 403Ω No caso da lacircmpada 2 ela estaacute funcionando em uma temperatura menor que seu valor

nominal e por isso eacute provaacutevel que sua resistecircncia eleacutetrica real seja menor que o valor nominal cong 267Ω

Por isso pode ser ainda menor que o valor calculado de 29 (note que a corrente tambeacutem vai

mudar um pouco)

Enfim em qualquer situaccedilatildeo em que essas duas lacircmpadas estejam ligadas em seacuteria (em qualquer

DDP) a lacircmpada 1 (de menor potecircncia nominal) vai brilhar mais se valer gt pois nesse caso gt

Assumindo uma variaccedilatildeo linear da resistividade dos filamentos (que satildeo feitos do mesmo material)

podemos dizer que = (1 + ∆ ) sendo o valor da resistecircncia do filamento na temperatura ambiente (lacircmpada desligada) o coeficiente

de temperatura para a resistividade do material dos filamentos (tungstecircnio cong 00045(deg ) ) e ∆ a

diferenccedila entre a temperatura real de funcionamento da lacircmpada (ligada) e a temperatura ambiente (para ∆ = 0 = ) Portanto sabendo que gt sempre vai valer gt pois a

uacutenica maneira disso natildeo acontecer seria a temperatura do filamento 2 ser muito maior que a temperatura do

filamento 1 invertendo esse sinal de desigualdade Mas isso eacute impossiacutevel pois a lacircmpada 2 estaacute produzindo

menos calor que a lacircmpada 1

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

7 Forccedila magneacutetica

Quem jaacute teve a curiosidade de brincar com dois imatildes percebendo como eles se atraem ou se repelem

mutuamente teve oportunidade de experimentar a forccedila magneacutetica que discutiremos nesse capiacutetulo Natildeo haacute

nenhum excesso de cargas eleacutetricas ou polarizaccedilatildeo eleacutetrica nos imatildes e portanto natildeo podemos explicar essa

forccedila em termos dos conceitos que estudamos nos capiacutetulos anteriores Trata-se de uma nova forccedila da

natureza No iniacutecio haacute cerca de dois mil anos quando essa forccedila foi descoberta por acaso em pequenos

fragmentos de mineacuterio de ferro (Fe3O4 - magnetita) na regiatildeo da Magneacutesia (Turquia) tudo era misteacuterio Aos

imatildes eram atribuiacutedos poderes medicinais e perturbaccedilotildees da mente (nem precisamos voltar no tempo ainda

hoje podemos comprar travesseiros magneacuteticos com o alegado poder de ldquorestabelecer o equiliacutebrio natural do

corpo e revigorar a energia vitalrdquo) A buacutessola inventada pelos chineses foi uma das primeiras aplicaccedilotildees

tecnoloacutegicas da forccedila magneacutetica tendo sido levada para a Europa pelos navegadores aacuterabes

Enfim a histoacuteria da ciecircncia eacute longa e tortuosa e hoje

compreendemos que a forccedila magneacutetica nasce em um niacutevel microscoacutepico

Trata-se de uma forccedila entre partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica assim

como a forccedila eleacutetrica mas que eacute crucialmente dependente das

velocidades das partiacuteculas A Figura 1 ao lado ilustra duas partiacuteculas com

cargas eleacutetricas e partiacuteculas que estatildeo se movendo com

velocidades e Poderiacuteamos chamar esse sistema mais

especificamente de duas correntes eleacutetricas pontuais

Jaacute vimos que haacute uma forccedila eleacutetrica entre essas partiacuteculas dada

pela lei de Coulomb

Figura 1 Duas correntes eleacutetricas pontuais

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = 14 sendo ( ) a forccedila eleacutetrica que a partiacutecula 1 faz na 2 e ( ) o campo eleacutetrico criado pela partiacutecula 1 na

posiccedilatildeo da partiacutecula 2 Analogamente para ( ) De fato a lei de Coulomb vale apenas no caso estaacutetico ou seja = 0 e nesse caso mais geral em

que estaacute se movendo a forccedila eleacutetrica ( ) se modifica pois o campo eleacutetrico passa a depender da

velocidade e da aceleraccedilatildeo = ( ) Analogamente para ( ) e Natildeo discutiremos essas

correccedilotildees do campo eleacutetrico agora Mais adiante quando discutirmos o campo eleacutetrico induzido teremos

oportunidade de voltar nesse assunto Fato eacute que mesmo no caso estaacutetico a forccedila eleacutetrica continua existindo

dada por ( ) = = 0 = 0 = ( ) ou seja a forccedila eleacutetrica eacute uma forccedila entre partiacuteculas que

possuem carga eleacutetrica independentemente delas estarem se movendo ou natildeo Mas na situaccedilatildeo da Figura 1

observamos que haacute outra forccedila entre as partiacuteculas uma nova forccedila que soacute existe se e forem ambas natildeo

nulas Essa eacute portanto uma forccedila entre correntes eleacutetricas Chamamos essa forccedila de forccedila magneacutetica

Resumindo na situaccedilatildeo da Figura 1

= ( ) + ( )( ) No caso em que pelo menos uma das partiacuteculas estaacute estaacutetica ( = 0 ou = 0) a forccedila magneacutetica

entre elas desaparece

( ) = 0 = 0 = ( ) = 0 = 0

Por essa razatildeo natildeo discutimos essa forccedila na eletrostaacutetica A forccedila magneacutetica natildeo existe no contexto da

eletrostaacutetica

A forccedila magneacutetica eacute uma forccedila entre duas correntes eleacutetricas

O primeiro a observar essa conexatildeo entre magnetismo e correntes

eleacutetricas foi Hans Oersted que teve a ideia de colocar uma buacutessola

proacutexima de um fio em que passava corrente eleacutetrica Ao ligar a

corrente a agulha da buacutessola girava e assumia uma nova posiccedilatildeo

diferente da norte-sul Oersted descobriu que uma corrente eleacutetrica

produz em sua vizinhanccedila um campo magneacutetico como um imatilde A

Figura 2 ao lado ilustra duas correntes eleacutetricas se atraindo

mutuamente pela accedilatildeo da forccedila magneacutetica A buacutessola o motor

eleacutetrico o gerador de energia eleacutetrica e a fechadura eleacutetrica satildeo aplicaccedilotildees simples dessa forccedila magneacutetica

Figura 2 Duas correntes eleacutetricas interagindo entre si atraveacutes da forccedila magneacutetica Elas estatildeo se atraindo

( )( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Poderiacuteamos nos perguntar entatildeo quais satildeo as correntes eleacutetricas envolvidas na forccedila magneacutetica entre

dois imatildes que se atraem ou se repelem e na forccedila que faz com que a agulha de uma bussola gire e se oriente

de acordo com os poacutelos terrestres Inicialmente se acreditava que existia no nuacutecleo da Terra um

grande imatilde permanente Outros atribuiacuteam a orientaccedilatildeo da buacutessola a uma propriedade misteriosa

de atraccedilatildeo produzida pela estrela polar ou por montanhas imantadas localizadas no poacutelo norte da

Terra um lugar que ningueacutem jamais havia ousado visitar Enfim houve um tempo em que todo o

magnetismo era um fenocircmeno de forccedila entre esses minerais especiais de que satildeo compostos os

imatildes e natildeo havia conexatildeo nenhuma entre magnetismo e correntes eleacutetricas Ao longo da histoacuteria

por analogia com os fenocircmenos eleacutetricos imaginou-se a existecircncia de poacutelos norte (N) e sul (S) microscoacutepicos

que se acumulariam no espaccedilo como cargas eleacutetricas positivas e negativas Assim um imatilde em forma de barra

possuiria um excesso de poacutelos N em seu poacutelo norte e um excesso de poacutelos S em seu poacutelo sul exatamente

como se fossem cargas eleacutetricas acumuladas nas extremidades de uma haste A Figura ao lado ilustra essa

ideacuteia Hoje sabemos que isso natildeo corresponde agrave realidade e que a origem da forccedila magneacutetica e do campo

magneacutetico estaacute nas correntes eleacutetricas Natildeo existem esses poacutelos N e S microscoacutepicos que poderiam ser

chamados de monopolos magneacuteticos anaacutelogos aos monopolos eleacutetricos + e ndash Por essa razatildeo quando

dividimos um imatilde ao meio obtemos dois novos imatildes e natildeo dois poacutelos N e S separados no espaccedilo

As respostas agraves perguntas que fizemos anteriormente satildeo i) quando dois imatildes se atraem ou se

repelem satildeo as correntes eleacutetricas microscoacutepicas dentro dos aacutetomos que compotildeem os imatildes que se atraem ou

se repelem de acordo com a forccedila ( ) discutida acima Satildeo as correntes associadas agrave movimentaccedilatildeo dos

eleacutetrons dentro da mateacuteria (ldquooacuterbitasrdquo) e tambeacutem ao spin do eleacutetron ou seja ao giro do eleacutetron em torno dele

mesmo como um pequeno piatildeo Dois imatildes se atraem ou se repelem porque as correntes eleacutetricas atocircmicas

que existem dentro dos imatildes interagem entre si A interaccedilatildeo magneacutetica eacute uma interaccedilatildeo entre cargas eleacutetricas

que se movem ii) No caso da buacutessola as correntes eleacutetricas estatildeo dentro da agulha (ldquooacuterbitasrdquo + spin dos

eleacutetrons) que eacute um imatilde e tambeacutem no nuacutecleo da Terra Hoje sabemos que a origem do campo magneacutetico da

Terra estaacute ligada ao seu nuacutecleo composto basicamente de ferro a altas temperaturas e altas pressotildees Esse

nuacutecleo se originou na formaccedilatildeo da Terra haacute cong45 bilhotildees de anos enquanto ela avanccedilava no seu processo de

esfriamento e solidificaccedilatildeo Correntes eleacutetricas circulando nesse nuacutecleo satildeo responsaacuteveis pelo campo

magneacutetico da Terra e pela forccedila magneacutetica que a Terra faz na agulha de uma buacutessola

A interaccedilatildeo magneacutetica assim como a eleacutetrica eacute intermediada por um campo de forccedila o campo

magneacutetico Dessa forma entendemos que uma corrente eleacutetrica 1 faz forccedila em outra corrente eleacutetrica 2

porque a corrente 1 produz em sua vizinhanccedila um campo magneacutetico ( ) que permeia todo o espaccedilo

Estando a corrente 2 na vizinhanccedila da corrente 1 ela vai sofrer uma forccedila uma forccedila magneacutetica ( ) A

S

N NN N

SSS

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

forccedila magneacutetica ( ) teraacute sua magnitude definida pelo campo magneacutetico ( ) criado pela corrente 1 na

posiccedilatildeo em que a corrente 2 estaacute e pela proacutepria magnitude da corrente 2 Analogamente para ( ) Nesse iniacutecio de nosso estudo das interaccedilotildees magneacuteticas vamos nos concentrar na forccedila ( ) que

uma corrente eleacutetrica 2 sofre pelo fato de estar em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo

magneacutetico ( ) criado por outras correntes eleacutetricas que existem no espaccedilo No proacuteximo capiacutetulo

completaremos o estudo dessa interaccedilatildeo aprendendo a calcular o campo magneacutetico ( ) criado por uma

corrente eleacutetrica qualquer Vamos considerar apenas o caso em que ( ) natildeo depende do tempo ou seja ( ) eacute o campo magneacutetico produzido por uma corrente estacionaacuteria (uma corrente independente do

tempo) O contexto de campos magneacuteticos estacionaacuterios eacute chamado de magnetostaacutetica em analogia com a

eletrostaacutetica que eacute o contexto de campos eleacutetricos estaacuteticosestacionaacuterios

No nosso estudo da eletrostaacutetica vimos que o objeto mais simples que possui a propriedade de carga

eleacutetrica eacute o monopolo eleacutetrico uma partiacutecula que possui um excesso de carga eleacutetrica Com esse bloco

baacutesico podemos construir outras distribuiccedilotildees de carga mais complexas como os dipolos que satildeo objetos

compostos de uma partiacutecula de carga proacutexima de outra de carga ndash A magnetostaacutetica se diferencia desse

contexto pela inexistecircncia de monopolos magneacuteticos poacutelos N e S isolados O magnetismo eacute uma interaccedilatildeo

entre correntes eleacutetricas ou seja entre fluxos de monopolos eleacutetricos Natildeo se trata portanto de uma

interaccedilatildeo associada a uma nova propriedade da mateacuteria o que poderiacuteamos chamar de ldquocarga magneacuteticardquo (N e

S) mas sim de uma interaccedilatildeo entre correntes eleacutetricas

Eacute interessante notar que a ausecircncia de monopolos magneacuteticos na natureza ou seja de poacutelos N e S

microscoacutepicos isolados faz com que o anaacutelogo da lei de Gauss no contexto da magnetostaacutetica fique

= ∙ = 0

para qualquer superfiacutecie fechada SG Essa lei deve ser comparada com a lei de Gauss da eletrostaacutetica

= ∙ =

O que a lei de Gauss da magnetostaacutetica estaacute dizendo eacute que natildeo existem as ldquocargas magneacuteticasrdquo N e S anaacutelogas

agraves cargas eleacutetricas + e ndash que estatildeo computadassomadas em na lei de Gauss da eletrostaacutetica Como jaacute

discutimos no capiacutetulo 2 eacute uma medida do saldo de linhas do campo que saem da superfiacutecie fechada SG

Esse saldo soacute poderia ser natildeo nulo se a superfiacutecie SG englobasse mais poacutelos N do que poacutelos S ou vice-versa o

que natildeo pode ocorrer pois natildeo existem esses poacutelos isolados Dito de outra forma a lei de Gauss da

magnetostaacutetica afirma que as linhas de satildeo sempre fechadas ou se estendem de um infinito a outro

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Na Figura ao lado ilustramos algumas linhas do campo magneacutetico gerado pela corrente que circula

em um segmento de um fio fino e reto As linhas de satildeo ciacuterculos centrados no fio ou seja em qualquer

ponto do espaccedilo na vizinhanccedila desse fio o campo eacute tangente a um ciacuterculo que passa

por esse ponto e eacute centrado no fio Depois vamos discutir um pouco mais sobre esse

campo O importante a ressaltar aqui eacute que as linhas de satildeo fechadas e para

qualquer superfiacutecie imaginaacuteria fechada vale = 0 (as linhas que entram saem) Natildeo

haacute nenhum ponto no espaccedilo onde as linhas de nascem ou morrem (que seriam os

locais dos monopolos N e S) Note que as linhas de diferentemente das linhas de natildeo satildeo tangentes agrave

forccedila magneacutetica ( ) mas sim ao campo Por isso evitamos chamar essas linhas de ldquolinhas de forccedilardquo de

No caso eleacutetrico como a forccedila eleacutetrica eacute ( ) = as linhas de satildeo tambeacutem linhas de forccedila pois satildeo

tambeacutem paralelas a ( ) Em contraste veremos em breve que a forccedila magneacutetica ( ) natildeo eacute paralela a

(eacute ortogonal)

Na Figura ao lado ilustramos em azul algumas linhas de produzidas pela

corrente que circula em um fio fino com a forma de um ciacuterculo (um fio formando

uma curva fechada eacute chamado de espira nesse caso eacute uma espira circular) Note

que com exceccedilatildeo de uma linha reta central que se estende de um infinito ao

outro todas as outras linhas de satildeo curvas fechadas descendentes diretas das

linhas circulares mostradas acima para o fio reto De um lado da espira (direito na

Figura) proacuteximo de seu centro as linhas de emanam da espira essa regiatildeo eacute

chamada de poacutelo norte por analogia com o campo de um imatilde Na face oposta da espira as linhas de

entram na espira essa regiatildeo eacute chamada de poacutelo sul Mas note natildeo satildeo poacutelos isolados satildeo apenas regiotildees do

espaccedilo onde as linhas de satildeo mais concentradas e eacute mais intenso

Comparando as linhas de da espira com as linhas de para um imatilde mostradas

ao lado podemos entender a ideia desses nomes No caso do imatilde os nomes

norte e sul para suas extremidades foram herdados dos nomes dos poacutelos

geograacuteficos da Terra graccedilas agrave accedilatildeo de uma buacutessola O campo magneacutetico do imatilde

eacute gerado pelas correntes eleacutetricas microscoacutepicas que circulam nos aacutetomos que

compotildeem o imatilde Por essa razatildeo se partirmos um imatilde ao meio vamos obter dois novos imatildes e natildeo um poacutelo

norte separado de um poacutelo sul Note que como no caso da espira circular as linhas de natildeo nascem no poacutelo

N do imatilde elas apenas emergem do imatilde dessa regiatildeo Dentro do imatilde vemos que as linhas de chegam ao

poacutelo N Nesse sentido fica claro que quando nos referimos aos poacutelos N e S magneacuteticos estamos apenas

fazendo uma analogia com os poacutelos + e ndash eleacutetricos onde as linhas de nascem e morrem respectivamente

299

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Se vocecirc olhar para a Figura ao lado que mostra as linhas de forccedila de para

um dipolo eleacutetrico vai entender que essa analogia eacute razoaacutevel Mas note que as

linhas de forccedila de nascem no poacutelo + enquanto que as linhas de no imatilde apenas

passam pelo poacutelo N emergindo dele nessa regiatildeo O poacutelo N natildeo eacute um poacutelo

magneacutetico isolado como uma carga eleacutetrica positiva por exemplo O poacutelo N do imatilde

eacute apenas uma regiatildeo de onde as linhas de emanam mais intensamente de dentro do imatilde

A Figura ao lado ilustra algumas linhas de geradas por um solenoacuteide helicoidal que eacute basicamente

uma sucessatildeo de espiras (circulares nesse caso) conectadas entre si A corrente entra por uma extremidade do

fio daacute vaacuterias voltas em torno de um eixo ciliacutendrico comum e sai pela outra

extremidade do fio Eacute evidente a semelhanccedila entre os campos magneacuteticos

do solenoacuteide e do imatilde Natildeo por acaso o solenoacuteide eacute chamado de eletroiacutematilde

A vantagem do eletroiacutematilde em relaccedilatildeo ao imatilde eacute que seu campo magneacutetico eacute

controlaacutevel podendo ser ligado e desligado agrave vontade Basta controlar a

corrente que circula pelo solenoacuteide Essa eacute a ideia por exemplo de uma

fechadura eletrocircnica ao apertar um botatildeo ligamos a corrente no solenoacuteide que produz um campo que

produz uma forccedila magneacutetica e puxa o trinco da fechadura

Finalmente acrescentamos a essa galeria a Figura ao lado que mostra

algumas linhas do campo da Terra Note que o poacutelo sul geograacutefico (agrave direita na

Figura) eacute um poacutelo norte magneacutetico (por isso o poacutelo N da buacutessola aponta para o poacutelo

norte geograacutefico da Terra porque laacute haacute um poacutelo S magneacutetico e poacutelos opostos se

atraem) Comparando o campo magneacutetico da Terra ao de um solenoacuteide podemos

ter uma ideia de como devem ser as correntes eleacutetricas no nuacutecleo da Terra que datildeo

origem a esse campo A Figura natildeo mostra mas as linhas do campo da Terra satildeo

fechadas elas natildeo nascem ou morrem nos poacutelos magneacuteticos da Terra As linhas de se estendem para dentro

da Terra e se fecham apenas emergindo da Terra predominantemente em seus poacutelos magneacuteticos Trata-se da

mesma situaccedilatildeo ilustrada acima para uma espira um solenoacuteide e um imatilde linhas de fechadas emergindo da

Terra no poacutelo N (poacutelo sul geograacutefico) e mergulhando para dentro da Terra no poacutelo S (poacutelo norte geograacutefico)

71 Forccedila magneacutetica sobre uma corrente pontual em um campo magneacutetico ( ) Conforme jaacute enfatizamos a forccedila magneacutetica eacute uma forccedila entre correntes eleacutetricas Vamos comeccedilar

nosso estudo da forccedila magneacutetica ( ) considerando que a corrente que estaacute sofrendo essa forccedila eacute a

corrente eleacutetrica mais simples possiacutevel uma corrente eleacutetrica pontual Uma corrente eleacutetrica pontual consiste

simplesmente em uma carga pontual se movendo no espaccedilo com uma velocidade A Figura 2 abaixo ilustra

300

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

a situaccedilatildeo que estamos imaginando As linhas orientadas azuis satildeo esboccedilos das linhas do campo produzido

por correntes eleacutetricas que natildeo estatildeo mostradas na Figura pode ser o campo magneacutetico de um imatilde de um

fio com corrente eleacutetrica de um solenoacuteide ou mesmo o campo magneacutetico da Terra A partiacutecula de carga e

velocidade estaacute se movendo nessa regiatildeo Observamos que essa

partiacutecula sofre um desvio em sua trajetoacuteria livre porque ela sofre

uma forccedila magneacutetica A forccedila magneacutetica nessa partiacutecula eacute

( ) = times

sendo times o siacutembolo da operaccedilatildeo de produto vetorial (entre e )

Dessa relaccedilatildeo jaacute podemos ver que a unidade de campo

magneacutetico no SI eacute N(Cms) que eacute abreviado por tesla (siacutembolo T)

em homenagem ao cientistainventor pioneiro Nikola Tesla O

campo magneacutetico da Terra por exemplo eacute da ordem de 10 T

Um campo magneacutetico intenso criado em laboratoacuterio eacute algo da ordem de 1 T Eacute interessante notar que uma

corrente eleacutetrica pontual conforme definida acima natildeo eacute o que poderiacuteamos chamar de uma corrente eleacutetrica

estacionaacuteria Uma corrente pontual eacute de fato uma ( ) um pulso de corrente que viaja no espaccedilo pois soacute haacute

corrente natildeo nula (transporte de carga eleacutetrica) na posiccedilatildeo instantacircnea ocupada pela partiacutecula Nos outros

pontos do espaccedilo a corrente eacute nula Mas isso natildeo invalida nossa hipoacutetese inicial estamos supondo que o

campo magneacutetico no espaccedilo ( ) atuando sobre a corrente pontual eacute um campo estacionaacuterio ou seja um

campo magneacutetico produzido por uma corrente eleacutetrica estacionaacuteria Se esse natildeo fosse o caso teriacuteamos que

supor que = ( ) Deixaremos esse caso mais geral para depois

Note se quisermos explicitar as dependecircncias na equaccedilatildeo da forccedila devemos escrever

( )( ) = ( ) times ( ) ou seja quando a partiacutecula estiver passando pela posiccedilatildeo com velocidade ( ) onde o campo magneacutetico

(produzido por outras correntes eleacutetricas proacuteximas) tem o valor ( ) ela vai sofrer a forccedila magneacutetica ( )( ) Mas para simplificar a notaccedilatildeo deixaremos essas dependecircncias impliacutecitas na equaccedilatildeo da forccedila

As propriedades mais estranhas de ( ) vecircm todas das propriedades da operaccedilatildeo de produto

vetorial As propriedades de ( ) satildeo

1 ( ) eacute proporcional agrave carga eleacutetrica Uma partiacutecula eletricamente neutra natildeo sofre essa forccedila

2 ( ) soacute atua em partiacuteculas que estatildeo se movendo ( ne 0) ou seja em correntes eleacutetricas

3 ( ) = sen( ) sendo o (menor) acircngulo entre os vetores e

Figura 2 Uma corrente eleacutetrica pontual em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico ( ) produzido por outras correntes eleacutetricas

( )

0

301

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

4 ( ) eacute ortogonal ao plano formado pelos vetores e

5 ( ) tem o sentido dado pela regra da matildeo direita fazendo um movimento de giro com os dedos

da matildeo direita atraveacutes do indo de para o polegar dessa matildeo aponta no sentido do vetor times

O sentido de ( ) eacute o sentido de times se gt 0 e o sentido oposto ao de times se lt 0

A Figura 3 ao lado ilustra essas ideacuteias Desenhamos nessa

Figura as arestas tracejadas de um cubo apenas para servir de

referecircncia dando a ideacuteia de vetores no espaccedilo 3D e foram

desenhados no plano da face inferior desse cubo e ( ) tem

portanto a direccedilatildeo de uma aresta do cubo que eacute ortogonal a essa

face Nessa Figura estamos supondo gt 0 (um proacuteton por

exemplo) e por isso ( ) tem o sentido de times dado pela

regra da matildeo direita Essa partiacutecula estaacute sendo empurrada para

cima e vai descrever uma trajetoacuteria curva

A forma mais faacutecil de calcular o vetor ( ) eacute adotar um

referencial xyz escrever cada um dos vetores e nesse

referencial e realizar o produto vetorial Na Figura que segue

adotamos um referencial na situaccedilatildeo jaacute mostrada na Figura 3 note

que eacute um referencial direito ou seja a ordem dos eixos eacute tal que times = Nesse referencial vale = e = sen( ) + cos( )

Portanto

( ) = times = sen( ) + cos( ) times

Usando a propriedade distributiva

( ) = sen( ) times + cos( ) times

Sabendo que times = e que times = 0 obtemos finalmente

( ) = sen( ) Nessa Figura a linha roxa pontilhada esboccedila como seria a trajetoacuteria dessa partiacutecula a partir da posiccedilatildeo

inicial mostrada Ela vai sair do plano da face inferior do cubo sendo empurrada para cima

Natildeo importa qual seja a trajetoacuteria dessa partiacutecula uma coisa que podemos afirmar em geral eacute que na

ausecircncia de outras forccedilas ela seraacute percorrida com moacutedulo de velocidade constante Isso porque a forccedila

( )

Figura 3 a forccedila magneacutetica ( ) sobre uma partiacutecula de carga eleacutetrica gt 0 e velocidade em uma posiccedilatildeo em que o campo magneacutetico eacute

( )

x

y

z

302

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

magneacutetica eacute sempre ortogonal agrave velocidade da partiacutecula ela natildeo realiza trabalho De fato para uma partiacutecula

submetida somente agrave forccedila magneacutetica o teorema do trabalho energia cineacutetica diz que

∆ = ( ) = ( ) ∙ = times ∙ =0

sendo e dois pontos quaisquer da trajetoacuteria da partiacutecula A uacuteltima igualdade vale porque eacute paralelo a

(de fato = ) enquanto que times eacute ortogonal a e ainda cos(90deg) = 0 ou seja o produto escalar de times com eacute sempre nulo Podemos escrever tambeacutem times ∙ = times ∙ = 0 Sendo = 2

constante segue que o moacutedulo da velocidade da partiacutecula eacute constante A velocidade varia apenas em

direccedilatildeo e sentido

O caso mais simples de movimento de uma partiacutecula em um campo magneacutetico eacute aquele em que o

campo magneacutetico eacute uniforme no espaccedilo digamos = sendo gt 0 uma constante (um campo uniforme

eacute um campo que natildeo depende de nenhuma coordenada espacial ele eacute constante no espaccedilo) Isso vale por

exemplo para o campo magneacutetico da Terra em uma regiatildeo pequena como dentro de uma sala Suponha que

em um instante qualquer a partiacutecula de carga possua a velocidade ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Nesse instante essa partiacutecula estaraacute sofrendo a forccedila magneacutetica

( )( ) = ( ) times = ( ) + ( ) + ( ) times = ( ( ) minus ( ) ) A primeira coisa que notamos eacute que natildeo haacute forccedila na direccedilatildeo de (direccedilatildeo y) porque ( ) eacute sempre

ortogonal a Portanto da segunda lei de Newton obtemos (se eacute a massa da partiacutecula) ( ) = ( ) = 0

Concluiacutemos que vale = constante = sendo o valor inicial de A partiacutecula se move na direccedilatildeo de

(direccedilatildeo y) como se nada estivesse acontecendo ou seja com movimento retiliacuteneo uniforme (MRU) de

velocidade Se valer = 0 entatildeo a partiacutecula vai se mover apenas no plano xz que eacute o plano ortogonal a

Veremos mais adiante que a trajetoacuteria da partiacutecula nesse plano seraacute um ciacuterculo

No plano xz que eacute o plano ortogonal a a partiacutecula descreve uma curva pois ela sofre uma forccedila que

eacute (sempre) ortogonal a Assim sendo as coisas ficam mais simples se nos concentrarmos nesse plano

ortogonal a (plano xz) e no final superpormos ao movimento nesse plano o MRU ao longo de y Vamos

iniciar definindo a componente ortogonal (ortogonal a ) da velocidade ( ) = ( ) + ( ) de tal

303

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

forma que ( ) = ( ) + (note que = natildeo depende do tempo) Como jaacute vimos a forccedila

magneacutetica eacute dada apenas por ( ) ( )( ) = ( ) times = ( ) + times = perp ( )

sendo perp ( ) um vetor no plano xz que eacute ortogonal a Note que natildeo depende do tempo pois a energia

cineacutetica da partiacutecula eacute constante assim como = 12 ( + ) As componentes ( ) e ( ) natildeo

satildeo constantes mas o moacutedulo = ( ) + ( ) eacute constante O vetor ( ) por sua vez depende do

tempo pois a partiacutecula descreve uma curva no espaccedilo mantendo o moacutedulo = constante A forccedila

magneacutetica eacute uma forccedila de moacutedulo constante que se manteacutem continuamente na direccedilatildeo ortogonal agrave

direccedilatildeo de Esse eacute o significado de perp ( ) na equaccedilatildeo acima um vetor unitaacuterio que em qualquer instante eacute

ortogonal a ( ) A equaccedilatildeo de movimento da partiacutecula no plano xz eacute ( ) = perp ( ) Na mecacircnica estudamos o movimento produzido por uma forccedila de magnitude

constante e direccedilatildeo ortogonal agrave velocidade o movimento circular uniforme

(MCU) A Figura ao lado ilustra os vetores velocidade e unitaacuterio centriacutepeto (perp ( )) em um MCU Considere que a partiacutecula esteja girando na trajetoacuteria circular com

velocidade angular constante ou seja ( ) = Olhando na Figura

decompomos os vetores (verde e azul) de acordo com os eixos e ( ) e obtemos

( ) = minussen( ) + cos( ) e perp ( ) = minus cos( ) minus sen( ) A Figura ao lado ilustra essas decomposiccedilotildees Note que ( ) = minuscos( 2 minus ) + sen( 2 minus ) = minussen( ) + cos( )

Portanto esses dois vetores satisfazem agrave equaccedilatildeo diferencial ( ) = perp ( ) De fato ( ) = minussen( ) + cos( ) = minuscos( ) minus sen( ) = perp ( )

Vemos que a dinacircmica do MCU eacute a mesma dinacircmica que obtivemos acima para a partiacutecula se

movendo no plano xz ortogonal a Comparando as duas equaccedilotildees para ( ) concluiacutemos que a

partiacutecula descreve no plano xz um MCU com velocidadefrequecircncia angular =

perp ( ) ( )( )

x

z

θ 90o - θ

x

z

304

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

que eacute chamada de rdquofrequumlecircncia ciacuteclotronrdquo Sabemos que no MCU = sendo o raio da trajetoacuteria

circular portanto =

que eacute chamada de rdquoraio ciacuteclotronrdquo (o nome ldquociacuteclotronrdquo se refere

a um acelerador de partiacuteculas onde um feixe de partiacuteculas

descreve uma oacuterbita circular como a que estamos discutindo

aqui sob accedilatildeo de um campo magneacutetico)

A Figura 4 ao lado ilustra a trajetoacuteria para essa partiacutecula

com carga eleacutetrica gt 0 em uma regiatildeo onde existe um campo

magneacutetico uniforme A trajetoacuteria eacute a superposiccedilatildeo de um

MRU ao longo de y com um MCU no plano xz o que resulta em

uma heacutelice que se estende paralelamente agrave direccedilatildeo de

Na Figura 4 representamos vaacuterios ciacuterculos de diferentes

cores mas devemos imaginar que a partiacutecula vai percorrendo

esses ciacuterculos no plano xz e ao mesmo tempo vai avanccedilando na

direccedilatildeo de com velocidade Ao final a trajetoacuteria se parece com uma mola helicoidal

A Figura ao lado (da internet) pode ajudar a visualizar essa trajetoacuteria um MCU no

plano ortogonal a superposto a um MRU na direccedilatildeo de O resultado eacute uma heacutelice

(curva laranja)

No caso particular = 0 a trajetoacuteria da partiacutecula seria apenas um ciacuterculo no

plano (xz) ortogonal a um ciacuterculo de raio =

Para cargas negativas apenas substitua por | | Quanto mais intenso o campo maior a forccedila centriacutepeta na

partiacutecula menor o seu raio de giro e maior sua velocidade angular

= | |

Voltando na Figura 4 se imaginarmos que = ( ) e que vai ficando mais

intenso com o aumento de y podemos deduzir que a partiacutecula vai percorrer ciacuterculos de

raios cada vez menores ( decresce) e girando cada vez mais rapidamente ( cresce)

ou seja ela vai percorrer uma espiral Isso ocorre por exemplo quando partiacuteculas do

vento solar penetram no campo magneacutetico da Terra proacuteximo aos poacutelos A Figura ao

y

Figura 4 trajetoacuteria de uma partiacutecula de carga gt 0 em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme

305

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

lado tenta ilustrar algumas linhas do campo magneacutetico da Terra em que notamos que essas linhas se

concentram e convergem nas regiotildees dos poacutelos onde o campo eacute mais intenso Na vizinhanccedila da Terra o Sol

emite para o espaccedilo energia radiante e tambeacutem partiacuteculas em altas velocidades como proacutetons e eleacutetrons que

constituem o vento solar Quando esse vento solar chega a Terra ele interage com o campo magneacutetico

terrestre e essas partiacuteculas descrevem trajetoacuterias complexas rodopiando para laacute e para caacute Nas regiotildees

proacuteximas aos poacutelos as partiacuteculas do vento solar espiralam em direccedilatildeo aos poacutelos girando cada vez mais

rapidamente Partiacuteculas com carga eleacutetrica e com grandes aceleraccedilotildees (centriacutepetas

nesse caso) emitem radiaccedilatildeo eletromagneacutetica e essas emissotildees de luz pelo vento solar

nas regiotildees polares satildeo chamadas de auroras boreal (N) e austral (S) Algo como

mostrado na Figura ao lado Ao emitir radiaccedilatildeo (luz) as partiacuteculas do vento solar

perdem energia e velocidade e assim o campo magneacutetico da Terra produz um efeito protetor evitando que os

seres vivos e a proacutepria atmosfera aqui na Terra sejam fuzilados pelo vento solar

Trajetoacuterias espirais de partiacuteculas raacutepidas em um campo magneacutetico

podem ser observadas em laboratoacuterio utilizando uma cacircmara de bolhas A

Figura ao lado ilustra uma fotografia obtida em uma cacircmara de bolhas no

laboratoacuterio CERN A cacircmara de bolhas eacute basicamente um reservatoacuterio cheio de

hidrogecircnio onde estaacute aplicado um campo magneacutetico uniforme e intenso Na

Figura ao lado o campo estaacute apontando para fora da paacutegina e as partiacuteculas entram na cacircmara vindo do lado

esquerdo Quando uma partiacutecula com carga eleacutetrica passa por dentro dessa cacircmara ela ioniza o hidrogecircnio e

deixa um rastro de bolhas ou seja suas trajetoacuterias podem ser observadas Observamos na Figura algumas

trajetoacuterias espirais que satildeo basicamente as trajetoacuterias circulares discutidas aqui adicionando a elas uma

dissipaccedilatildeo de energia pela emissatildeo de radiaccedilatildeo Sendo o raio proporcional agrave velocidade da partiacutecula agrave

medida que ela irradia e perde energia ela perde velocidade e espirala em direccedilatildeo ao centro do que seria a

trajetoacuteria circular inicial As duas trajetoacuterias espirais em destaque correspondem agrave criaccedilatildeo de um par eleacutetron

(curva vermelha) poacutesitron (curva azul) induzida por alguma partiacutecula que veio da esquerda e penetrou na

cacircmara de bolhas

Uma aplicaccedilatildeo baacutesica da forccedila magneacutetica estaacute sugerida na equaccedilatildeo para o raio ciacuteclotron

= rArr =

em que eacute o moacutedulo da velocidade da partiacutecula que eacute lanccedilada na regiatildeo com campo magneacutetico uniforme

Vamos supor aqui o caso particular mais simples em que a partiacutecula eacute lanccedilada nessa regiatildeo com velocidade no

plano ortogonal a caso em que a trajetoacuteria da partiacutecula eacute simplesmente circular ( = 0 na discussatildeo

acima) Essa equaccedilatildeo para o raio da trajetoacuteria circular estaacute sugerindo que podemos medir a massa de

306

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

partiacuteculas eletricamente carregadas mais especificamente a razatildeo atraveacutes da mediccedilatildeo de raios de

trajetoacuterias circulares Isso eacute feito em cacircmaras de bolhas e eacute o que faz um espectrocircmetro de massa uma

ferramenta analiacutetica muito utilizada na quiacutemica na farmacologia e na medicina

Um espectrocircmetro de massa eacute um instrumento analiacutetico que cria um feixe de iacuteons a partir do vapor de

um composto a ser analisado Esse feixe de iacuteons eacute introduzido em uma regiatildeo com campo magneacutetico

uniforme originando vaacuterias trajetoacuterias circulares conforme a razatildeo de cada iacuteon Analisando os raios e as

intensidades dos feixes em cada raio podem-se inferir as razotildees e as abundacircncias de cada espeacutecie de iacuteon

no composto original Natildeo vamos entrar em detalhe acerca de cada etapa de funcionamento do

espectrocircmetro de massa Vamos nos concentrar nas trajetoacuterias circulares produzidas pelo campo magneacutetico

Mas basicamente o espectrocircmetro vaporiza o composto cuja composiccedilatildeo quiacutemica deve ser analisada ioniza

as partiacuteculas desse vapor geralmente uma vez apenas arrancando um eleacutetron de cada partiacutecula do vapor Em

seguida esses iacuteons satildeo acelerados atraveacutes de um campo eleacutetrico criando um feixe Um filtro de velocidades daacute

origem a um feixe em que todos os iacuteons possuem uma mesma velocidade conhecida Finalmente na etapa

que nos interessa mais esse feixe eacute introduzido em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme

Nessa regiatildeo as partiacuteculas do feixe descrevem trajetoacuterias (semi) circulares cujos raios fornecem as massas dos

iacuteons que fazem parte do composto analisado e cuja intensidade (dos feixes) fornece a abundacircncia desse iacuteon no

composto Basicamente =

sendo a carga eleacutetrica de um proacuteton apenas

A Figura 5 abaixo ilustra um diagrama esquemaacutetico simplificado de um espectrocircmetro de massa Note

que o campo magneacutetico atua no feixe de partiacuteculas de forma anaacuteloga agrave atuaccedilatildeo de um prisma em um feixe de

luz branca Assim como o prisma revela o espectro de cores contidas na luz branca separando o feixe de luz

em uma espeacutecie de arco-iacuteris o campo magneacutetico revela o espectro de massas das partiacuteculas constituintes do

feixe e portanto do composto analisado

vaporizador ionizador

filtro de velocidade

detector gt

Figura 5 diagrama esquemaacutetico simplificado de um espectrocircmetro de massa Um composto a ser analisado eacute vaporizado ionizado e acelerado por um campo eleacutetrico Apoacutes passar por um filtro de velocidade o feixe entra em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme para fora da paacutegina na Figura Nessa regiatildeo o feixe original se desmembra em vaacuterios feixes de acordo com as massas dos iacuteons

307

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Na Figura 5 acima estamos imaginando que haacute apenas dois iacuteons de massas diferentes no feixe original

Na Figura 6 abaixo ilustramos o resultado obtido no detector (basicamente detectores de corrente

eleacutetrica) quando o vaporizador eacute abastecido com uma simples amostra de dioacutexido de carbono CO2

(httpswebbooknistgov) Note que o eixo das massas (ou dos raios) eacute na verdade um eixo de sendo

a quantidade de ionizaccedilotildees do iacuteon (valecircncia) Geralmente vale = 1 mas outros valores de podem ocorrer

Iacuteons com = 2 por exemplo teratildeo um raio de trajetoacuteria que eacute a metade do raio do mesmo iacuteon com = 1 pois para esses iacuteons vale = 2 = 2

Notamos que haacute um pico principal com = 1 = 44 correspondente agrave massa do iacuteon CO2+ com o

isoacutetopo mais comum (cong 989) do carbono o 12C6 ( 1 = 12 + 2(16) = 44) Eacute o feixe de maior intensidade

tendo em vista que este eacute o iacuteon mais abundante no feixe original Haacute tambeacutem picos correspondentes aos iacuteons

CO2+ com os isoacutetopos mais raros 13C6 ( 1 = 45) e 14C6 ( 1 = 46) do carbono Notamos tambeacutem um pico

pequeno em 1 = 12 correspondente ao iacuteon 12C6+ um pico pequeno em 1 = 16 correspondente ao iacuteon

O+ e um pico pequeno em 1 = 28 correspondente ao iacuteon CO+ com o isoacutetopo 12C6 (haacute um pico tambeacutem com 1 = 29) Finalmente haacute um pico em 2 = 22 correspondente ao iacuteon duplamente ionizado CO2++ com o

isoacutetopo 12C6 Quanto aos isoacutetopos do Oxigecircnio somente haacute registro do 16O8 que possui abundacircncia cong 998

Eacute comum a necessidade de criaccedilatildeo de um feixe de partiacuteculas em que todas as partiacuteculas possuem a

mesma velocidade Isso ocorre por exemplo no espectrocircmetro de massa em que devemos conhecer a

velocidade das partiacuteculas que entram na regiatildeo com campo magneacutetico A mesma ideia se aplica ao feixe de

eleacutetrons em um microscoacutepio eletrocircnico Em analogia com a oacuteptica poderiacuteamos chamar esses feixes de

ldquomonocromaacuteticosrdquo Como podemos fazer para criar um feixe monocromaacutetico de partiacuteculas a partir de um feixe

original em que as partiacuteculas possuem velocidades de magnitudes aleatoacuterias (policromaacutetico) Basta combinar

as accedilotildees de um campo eleacutetrico e de um campo magneacutetico ambos uniformes Com esses dois campos

Figura 6 espectro de massa do dioacutexido de carbono CO2 Basicamente intensidade do feixe versus a razatildeo massavalecircncia do iacuteon

308

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

combinados podemos criar um filtro de velocidades de partiacuteculas em

que entra por um lado um feixe policromaacutetico e sai pelo outro lado

um feixe monocromaacutetico

A Figura ao lado ilustra essa ideia Em uma regiatildeo do espaccedilo

(em que haacute vaacutecuo) haacute um campo magneacutetico uniforme = minus

(setas azuis) Nessa mesma regiatildeo haacute um campo eleacutetrico uniforme = minus (setas roxas) Uma partiacutecula de carga eleacutetrica gt 0 entra

nessa regiatildeo com uma velocidade de magnitude qualquer =

Essa partiacutecula faz parte de um feixe de partiacuteculas com velocidades de

magnitudes arbitraacuterias (mas todas ao longo de y) Ao entrar nessa

regiatildeo a partiacutecula sofre uma forccedila magneacutetica dada por

( ) = times = times (minus ) = Ao mesmo tempo a partiacutecula sofre uma forccedila eleacutetrica oposta

( ) = = (minus ) = minus A segunda lei de Newton diz que essa partiacutecula (de massa ) vai entrar nessa regiatildeo obedecendo agrave dinacircmica ( ) = ( minus ) com a condiccedilatildeo inicial (0) = Note que essa equaccedilatildeo soacute vale nos primeiros instantes em que a partiacutecula

entra na regiatildeo com os campos e pois com o passar do tempo a velocidade da partiacutecula vai mudar e a

forccedila nela vai deixar de ser o caso particular ( minus ) (essa forccedila eacute dada sempre por ( ) times +

com ( ) no plano yz posto que estando ao longo de x ( ) nunca adquire uma componente x)

Conclusatildeo a partiacutecula jaacute entra na regiatildeo em que atuam os campos e sendo desviada na direccedilatildeo z

Partiacuteculas de altas velocidades ou seja para as quais minus gt 0 aceleram e sobem ao longo do eixo z e

partiacuteculas de baixas velocidades ou seja para as quais minus lt 0 aceleram e descem ao longo do eixo z

Somente as partiacuteculas para as quais minus = 0 continuam suas trajetoacuterias retiliacuteneas ao longo de y sem

subir nem descer Conclusatildeo havendo um anteparo diante desse feixe em uma posiccedilatildeo com algum y gt 0 e

havendo um buraco nesse anteparo alinhado com a entrada do feixe original de partiacuteculas somente

emergiratildeo do outro lado do anteparo atraveacutes do buraco as partiacuteculas do feixe original que possuem a

velocidade especiacutefica minus = 0 rArr =

( )

( ) x

y

z

buraco

309

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

A Figura 7 abaixo ilustra a construccedilatildeo de um filtro de velocidades para um feixe de partiacuteculas

carregadas (iacuteonseleacutetronsproacutetons) A fonte de partiacuteculas carregadas basicamente um forno e um campo

eleacutetrico que acelera as partiacuteculas ionizadas na direccedilatildeo do feixe cria um feixe com partiacuteculas carregadas de

velocidades arbitraacuterias O feixe entra em uma regiatildeo onde haacute um capacitor e um solenoacuteide O capacitor de

placas paralelas produz um campo eleacutetrico uniforme longe das bordas das placas e o solenoacuteide helicoidal

produz um campo magneacutetico uniforme em sua regiatildeo axial A accedilatildeo simultacircnea desses dois campos sobre o

feixe de partiacuteculas carregadas ramifica o feixe separando as partiacuteculas conforme suas velocidades (e cargas e

massas)

As partiacuteculas para as quais vale = (independentemente de suas cargas e massas) sendo a

magnitude de e a magnitude de seguem suas trajetoacuterias sem nenhum desvio e emergem atraveacutes do

buraco do anteparo formando um feixe monocromaacutetico de partiacuteculas Ajustando a corrente no solenoacuteide

eou a carga eleacutetrica depositada no capacitor podemos selecionar livremente a velocidade que queremos

para o feixe monocromaacutetico que emerge do anteparo

72 Forccedila magneacutetica sobre um fio transportando corrente

Na seccedilatildeo anterior aprendemos que uma partiacutecula com carga eleacutetrica que se move em uma regiatildeo onde

existe um campo magneacutetico sofre uma forccedila magneacutetica ( ) = times produzindo uma trajetoacuteria curva

Vimos algumas aplicaccedilotildees para essa forccedila e para essas trajetoacuterias Um fio transportando corrente eleacutetrica eacute

basicamente uma fila de partiacuteculas carregadas se movendo juntas com velocidade de deriva Se

colocarmos esse fio em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico cada um desses portadores de carga vai

sofrer uma forccedila minuacutescula ( ) = times puxando ele na direccedilatildeo ortogonal agrave e portanto ortogonal

ao fio (jaacute que eacute paralela ao fio) Conclusatildeo o fio como um todo vai sofrer uma forccedila magneacutetica dada pela

soma vetorial das forccedilas minuacutesculas sobre cada portador de carga se movendo no fio

+ + + +

- -

- - -

=

anteparo

capacitor

solenoacuteide

fonte de iacuteons

Figura 7 um filtroseletor de velocidade usando campos eleacutetrico e magneacutetico ortogonais entre si

310

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = times

Sendo o nuacutemero de portadores de carga da ordem de 1024 esperamos que essa forccedila seja intensa uma

forccedila macroscoacutepica A Figura ao lado mostra uma

das aplicaccedilotildees mais comuns dessa forccedila magneacutetica ( ) o motor eleacutetrico Basicamente no motor haacute

dois conjuntos de solenoacuteides (enrolamentos de fio de

cobre) os solenoacuteides na parte estaacutetica do motor o

estator e os solenoacuteides na parte giratoacuteria do motor

o rotor Passando corrente eleacutetrica pelos solenoacuteides

do estator cria-se um campo magneacutetico intenso

na regiatildeo do rotor Passando corrente eleacutetrica pelos

solenoacuteides do rotor estes sofrem a forccedila magneacutetica

( ) = times

Se a geometria for ajustada corretamente e ela eacute essa forccedila daraacute origem a um torque no rotor e ele comeccedilaraacute

a girar Dependendo do motor um desses dois conjuntos de solenoacuteides pode ser substituiacutedo por imatildes

permanentes Note os fios transportando corrente eleacutetrica satildeo eletricamente neutros (com exceccedilatildeo das

pequenas densidades de carga superficiais que jaacute discutimos no capiacutetulo 6) eles satildeo compostos de eleacutetrons

fluindo em um meio material de iacuteons positivos e natildeo haacute nenhuma forccedila eleacutetrica fazendo o rotor girar O motor

eleacutetrico funciona graccedilas agrave forccedila magneacutetica Com a disseminaccedilatildeo crescente dos veiacuteculos eleacutetricos substituindo

os movidos a combustiacuteveis foacutesseis e dos drones os motores eleacutetricos estatildeo ganhando uma nova onda de

interesse em seu desenvolvimento ganho de performance e otimizaccedilatildeo Haacute muito trabalho ainda a ser feito

pela forccedila ( ) 721 Forccedila magneacutetica sobre um fio reto com corrente em um campo uniforme

Vamos comeccedilar pelo caso mais simples um fio reto onde circula uma corrente eleacutetrica Olhando

dentro desse fio em um niacutevel microscoacutepico vamos encontrar os portadores de carga cada um com sua carga

eleacutetrica gt 0 e se movendo com a velocidade (meacutedia) de derivaarraste Trata-se basicamente (apoacutes

fazermos algumas meacutedias espaciais e temporais) de um tubo com filas paralelas de portadores um atraacutes do

outro A Figura 8 abaixo ilustra essa ideia O fio estaacute fixo em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico

uniforme

solenoacuteidesdo rotor

solenoacuteidesdo estator

311

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Na Figura 8 representamos apontando para fora da paacutegina e o

fio estaacute por hipoacutetese paralelo ao plano da paacutegina A ideia eacute calcular a

forccedila magneacutetica no fio atraveacutes do princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = ( ) = times

sendo ( ) = times a forccedila magneacutetica microscoacutepica sobre um

uacutenico portador de carga gt 0 que faz parte da corrente Usando a

regra da matildeo direita na situaccedilatildeo da Figura 8 vemos que ( ) estaria

apontando para a direita paralelamente ao plano do papel ( ( ) eacute

ortogonal a e a ) Cada um dos portadores eacute empurrado para a

direita e consequentemente o fio como um todo eacute empurrado para a

direita Sendo o campo magneacutetico uniforme e todos os portadores de

carga iguais segue que somar sobre os portadores se resume a

multiplicar ( ) pelo nuacutemero total de portadores dentro do fio

( ) = times = times Para tornar essa expressatildeo mais simples e amigaacutevel podemos escrever = sendo a

densidade de portadores por unidade de volume uma caracteriacutestica do material de que eacute feito o fio a aacuterea

da seccedilatildeo transversal do fio e o comprimento (altura) do fio ( eacute o volume do fio) Portanto

( ) = times

Lembrando que = eacute o vetor densidade de corrente no fio obtemos

( ) = times = times

Sabemos que a corrente no fio eacute dada por

= ∙ =

admitindo que eacute uniforme na seccedilatildeo transversal do fio (o que razoaacutevel para correntes CC ou CA de baixas

frequumlecircncias)

Vemos portanto que a forccedila no fio envolve explicitamente o produto que estaacute bem proacuteximo da

relaccedilatildeo = De fato eacute um vetor que tem moacutedulo = direccedilatildeo paralela a ou seja paralela ao fio

( )

( )

Figura 8 um fio reto de comprimento L transporta uma corrente e estaacute em uma regiatildeo onde existe um campo

magneacutetico uniforme O fio vai sofrer uma forccedila magneacutetica

312

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

e o sentido da corrente (paralelo a para o caso gt 0) Entatildeo para explicitar na expressatildeo da forccedila

definimos um vetor unitaacuterio paralelo ao fio e orientado no sentido da corrente de tal forma que = =

Substituindo na expressatildeo da forccedila magneacutetica obtemos finalmente

( ) = times = times = times = times

Em que definimos o vetor comprimento = ou seja eacute um vetor paralelo ao fio reto de moacutedulo igual

ao comprimento do fio e orientado no sentido da corrente no fio Esse vetor estaacute mostrado na Figura 8

Concluindo para um fio reto em um campo magneacutetico uniforme vale

( ) = times

Note que natildeo haveraacute forccedila magneacutetica em um fio reto que esteja colocado paralelamente ao campo magneacutetico

no espaccedilo pois nesse caso vai valer

( ) = times = sen(0) = 0

A Figura ao lado eacute uma simples demonstraccedilatildeo dessa forccedila apesar das

condiccedilotildees de fio retiliacuteneo e campo uniforme natildeo serem exatamente

satisfeitas (ver o artigo Force on a current-carrying wire S Stewart The Physics

Teacher 44 (2006)) Um pequeno pedaccedilo de fio eacute dobrado na forma de C e eacute

conectado aos terminais de uma pilha O fio apenas abraccedila a pilha e se fixa

graccedilas a sua proacutepria elasticidade Uma corrente intensa circula pelo fio pois a

resistecircncia eleacutetrica dele eacute muito pequena e a bateria estaacute praticamente em

curto-circuito Um pequeno imatilde eacute posicionado de tal forma que o fio natildeo cai

ele fica equilibrado pelo peso e pela forccedila magneacutetica Qual deve ser o poacutelo do

imatilde voltado para o fio A Figura ao lado mostra que deve ser um poacutelo S De

fato a corrente flui do + para o ndash da bateria e portanto estaacute paralelo ao fio

(ou ao segmento do fio paralelo agrave bateria que estaacute na regiatildeo com mais

intenso) meio que entrando no plano da paacutegina (seta vermelha) Entatildeo deve

apontar para dentro do imatilde (seta azul) para que ( ) (seta verde) possua uma componente vertical para

cima e consiga equilibrar o peso do fio A Figura abaixo especifica melhor os vetores envolvidos no caacutelculo da

forccedila magneacutetica no segmento de fio (em vermelho na Figura) No referencial mostrado vale = minus e = minus minus

( )

313

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

com gt 0 e gt 0 Portanto

( ) = times = (minus ) times minus minus

( ) = minus

Para que o segmento de fio fique em equiliacutebrio a componente vertical (z) de ( ) deve equilibrar o peso do fio ou seja =

Portanto a corrente eleacutetrica necessaacuteria para que isso ocorra eacute

=

No experimento mostrado a corrente eacute constante assim com e mas eacute natildeo-uniforme Assim sendo o

segmento de fio deve ir caindo ateacute que seja atingido um valor de que satisfaz a igualdade acima Nesse

instante o segmento de fio entra em equiliacutebrio nessa posiccedilatildeo especiacutefica

722 Forccedila magneacutetica sobre um fio fino qualquer com corrente em um campo qualquer

A Figura ao lado ilustra um fio fino (em verde) de forma arbitraacuteria

transportando uma corrente eleacutetrica e parado em uma regiatildeo onde existe um

campo magneacutetico arbitraacuterio ( ) A hipoacutetese de fio fino (unidimensional) serve

apenas para simplificar as ideacuteias e os caacutelculos Qual a forccedila magneacutetica nesse fio

Aqui utilizamos a ideia baacutesica do caacutelculo integral Consideramos primeiramente

um pedaccedilo infinitesimal de fio na posiccedilatildeo do fio de comprimento Esse

pedaccedilo infinitesimal de fio eacute reto mesmo que o fio seja curvo Definimos o vetor paralelo ao fio e orientado

no sentido da corrente Nessa regiatildeo infinitesimal o campo magneacutetico natildeo varia muito e pode portanto ser

considerado uniforme e igual a ( ) (aqui a hipoacutetese de um fio fino eacute importante) Portanto a forccedila

magneacutetica nesse segmento infinitesimal de fio eacute

( ) = times

Agora somamos sobre toda a extensatildeo do fio

( ) = ( ) = times = times

Note que se quisermos deixar expliacutecitas as dependecircncias das funccedilotildees devemos escrever

( )

( )

y

z

x

314

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) timesisin ( ) Mas para simplificar a notaccedilatildeo preferimos deixar essas dependecircncias impliacutecitas

Como caso particular para um fio fino arbitraacuterio em um campo magneacutetico uniforme ( ( ) = ) vale

( ) = ( ) timesisin = ( )isin times = times

Note que nessa expressatildeo tem um significado diferente daquele na expressatildeo da

forccedila no fio reto que deduzimos anteriormente Aqui eacute o vetor ldquodeslocamentordquo

ou seja o vetor que nasce em uma ponta do fio fino (onde entra a corrente) e

ldquomorrerdquo na outra ponta do fio (onde sai a corrente) A Figura ao lado ilustra o vetor

(em vermelho) para o fio (em verde) que tem uma forma arbitraacuteria (uma curva)

Note que essa uacuteltima expressatildeo da forccedila soacute vale para campos magneacuteticos

uniformes ou seja campos magneacuteticos que natildeo dependem de nenhuma

coordenada espacial

Considere o exemplo na Figura ao lado um segmento de fio fino (em

vermelho) onde circula uma corrente eacute curvado na forma de um

semiciacuterculo de raio O fio estaacute em uma regiatildeo onde existe um campo

magneacutetico uniforme que eacute ortogonal ao plano do fio (seta azul) conforme a

Figura Calcule a forccedila magneacutetica nesse segmento de fio Na Figura jaacute

adotamos um referencial xyz e portanto = 2 e =

Segue que ( ) = times = 2 times = minus2 Esse segmento de fio eacute puxado para baixo pela accedilatildeo do campo magneacutetico Trata-se da mesma forccedila que

sofreria um fio fino reto com corrente e comprimento 2 na direccedilatildeo de

Essa equaccedilatildeo simplificada para a forccedila em um fio qualquer em um campo magneacutetico uniforme nos

poupou de realizar a integral

( ) = times

( )

y

z

x

315

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

que nos levaria ao mesmo resultado com muito mais trabalho De fato

apenas como exerciacutecio note na Figura ao lado que = sen( ) +cos( ) e que = Portanto (notando que = )

( ) = times = minussen( ) + cos( )

Note que cada pequeno segmento de fio sofre uma forccedila magneacutetica radial ( ) pois eacute tangente ao semiciacuterculo e ( ) eacute ortogonal a

Concluindo

( ) = times = ( ) = minussen( ) + cos( )

( ) = cos( ) + sen( ) = (minus2 ) Se o campo fosse natildeo-uniforme natildeo poderiacuteamos escapar da necessidade de realizar uma integral da

forccedila sobre cada pequeno segmento de fio Vamos supor por exemplo

que o campo magneacutetico na regiatildeo desse fio em forma de arco fique mais

intenso agrave medida que nos deslocamos ao longo do eixo y Mais

especificamente vamos supor que = ( ) = ( + ) sendo gt 0

e gt 0 constantes A Figura ao lado ilustra a situaccedilatildeo supondo que o

segmento de fio inicia na origem A seta (em azul) vai ficando maior agrave

medida que avanccedilamos na direccedilatildeo y de Agora para o caacutelculo da forccedila soacute

nos resta resolver a integral

( ) = times

(aqui natildeo vale a expressatildeo ( ) = times porque natildeo eacute uniforme = ( )) A integral deve varrer

toda a extensatildeo do fio e jaacute definimos na Figura uma variaacutevel que eacute conveniente para esse fim 0 le le (a

mesma ideia do exemplo anterior mas agora faremos a integral com mais detalhes) A integral seraacute uma

integral na variaacutevel e devemos escrever todos os vetoresfunccedilotildees que estatildeo dentro dessa integral em

termos dessa variaacutevel angular O segmento infinitesimal de fio eacute tangente ao fio ou seja ortogonal ao raio

do semiciacuterculo Portanto decompondo nos eixos y e z obtemos = cos(90 minus ) + sen(90 minus ) = sen( ) + cos( ) Lembrando que = eacute um pequeno comprimento de arco obtemos = Portanto

( )y

z

x

( )

y

z

x

316

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

= sen( ) + cos( )

Falta ainda escrever o campo magneacutetico ( ) = ( + ) em termos de Para isso vemos que a

coordenada y pode ser escrita como = minus cos( ) = 1 minus cos( )

(note que para = 0 o segmento de fio estaacute na posiccedilatildeo = 0 e que para = o segmento de fio estaacute

na posiccedilatildeo = 2 ) Portanto ( ) = ( + ) = ( ) = + 1 minus cos( )

Conclusatildeo ( ) = times = sen( ) + cos( ) times + 1 minus cos( )

( ) = + 1 minus cos( ) minussen( ) + cos( ) (cada pequeno segmento de fio sofre uma forccedila magneacutetica infinitesimal radial ortogonal a )

Finalmente

( ) = times = + 1 minus cos( ) minussen( ) + cos( )

( ) = minus + 1 minus cos( ) sen( ) + + 1 minus cos( ) cos( )

( ) = minus (2 + 2 ) + (minus 2)

Apenas rearranjando ( ) = minus 2 + 2( + ) Para = 0 recuperamos o resultado anterior em que eacute uniforme e ( ) = minus2

A Figura ao lado ilustra a seta de ( ) Agora vemos que a espira

continua sendo puxada para baixo mas eacute puxada tambeacutem para a esquerda

Isso porque a dependecircncia do campo com y quebrou a simetria da

configuraccedilatildeo quando comparada com o caso em que eacute uniforme Agora o

campo eacute mais intenso no lado direito da espira do que no lado esquerdo e

isso produz uma resultante da forccedila magneacutetica na direccedilatildeo y

( )y

z

x

( )

317

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Voltando ao caso em que eacute uniforme no espaccedilo vemos logo que uma consequumlecircncia imediata do

nosso resultado para a forccedila magneacutetica nesse contexto eacute que natildeo haacute forccedila em uma espira qualquer em um

campo magneacutetico uniforme pois para uma espira (uma curva de fio fechada) vale = 0 (se eacute uniforme ( ) = times = 0 times = 0)

Considere o exemplo de um alto-falante O alto-falante se propotildee a traduzir uma corrente variaacutevel no

tempo ( ) em uma onda sonora cujas vibraccedilotildees de pressatildeo refletem as oscilaccedilotildees em ( ) Para isso

construiacutemos o seguinte aparato que eacute o alto-falante uma espira circular eacute colada em um (tronco de) cone de

papel O cone tem sua boca maior fixa em um aro metaacutelico mas com alguma flexibilidade de movimentaccedilatildeo

na direccedilatildeo axial para frente e para traacutes As Figuras abaixo ilustram essa ideia

A espira (em vermelho) eacute posicionada no campo magneacutetico de um imatilde permanente imatilde fixo

Passando uma corrente ( ) na espira esta vai sofrer uma forccedila magneacutetica se deslocar para frente para traacutes e

arrastar o cone de papel com ela Nesse movimento o cone desloca uma coluna de ar e produz uma onda

sonora Note se o campo magneacutetico do imatilde fosse uniforme na regiatildeo da espira ou seja se o campo

magneacutetico do imatilde tivesse o mesmo valor (moacutedulo direccedilatildeo e sentido) em todos os pontos da espira entatildeo

valeria ( ) = 0 e o alto-falante natildeo funcionaria A corrente ( ) poderia variar do jeito que ela quisesse a

espira e o cone permaneceriam estaacuteticos Mas vemos na

Figura acima que as linhas de (linhas azuis) se espalham a

partir do poacutelo N do imatilde refletindo um decaimento do

campo magneacutetico quando nos afastamos do imatilde ao longo

de seu eixo Portanto a espira do alto-falante estaacute em uma

regiatildeo onde existe um campo magneacutetico natildeo uniforme e ela

sofre uma forccedila magneacutetica resultante natildeo nula Na Figura

ao lado destacamos a espira (visatildeo obliacutequa e de perfil) e representamos duas setas de em duas posiccedilotildees

diametralmente opostas na espira Os segmentos de fio nessas posiccedilotildees estatildeo sofrendo as forccedilas magneacuteticas

z ( )

N ( )

imatilde

cone de papel

318

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

representadas pelas setas verdes Vemos que as componentes dessas duas forccedilas no plano da espira (radiais)

se cancelam e as componentes ao longo do eixo da espira (eixo z) se somam

De fato decompondo o campo magneacutetico do imatilde como (ver setas roxas na Figura acima) = + sendo a componente ao longo do eixo z e a componente ao longo do raio da espira circular obtemos times = (minus ) times ( + ) = ( minus )

sendo a direccedilatildeo tangente agrave espira circular no sentido oposto ao sentido de ( ) Esses vetores e satildeo

os vetores unitaacuterios em um sistema de coordenadas ciliacutendricas com o eixo z mostrado na Figura acima A forccedila

magneacutetica na espira eacute

( ) = ( ) times = ( ) ( minus )

A integral de ao longo de um ciacuterculo eacute nula pois eacute como o ponteiro de um reloacutegio Finalmente

( ) = ( ) = ( ) 2 sendo o raio da espira (estamos supondo e constantes (uniformes) ao longo da espira por simetria)

Vemos que ( ) eacute uma funccedilatildeo do tempo proporcional a ( ) e axial Dessa forma enquanto ( ) oscila no

tempo de acordo com o sinal eleacutetrico que eacute produzido por um amplificador de aacuteudio a forccedila magneacutetica oscila

no tempo e faz o cone do alto-falante vibrar para frente e para traacutes em sintonia com a corrente produzindo a

onda sonora correspondente

Esse exemplo do alto-falante pode servir de inspiraccedilatildeo para discutirmos qualitativamente a forccedila

magneacutetica em outros contextos Devemos apenas partir da hipoacutetese que

poderemos comprovar no proacuteximo capiacutetulo de que uma espira em que circula uma

corrente eleacutetrica produz em sua vizinhanccedila um campo magneacutetico cujas linhas de

campo satildeo como mostradas na Figura ao lado (em azul) Haacute uma linha de campo reta

axial que se estende de um infinito a outro As outras linhas de campo satildeo fechadas

passando por dentro da espira emergindo no lado chamado de N (polo norte) e

mergulhando para dentro da espira no lado chamado de S (polo sul) Portanto duas

espiras coaxiais proacuteximas com correntes eleacutetricas paralelas entre si vatildeo se atrair A

Figura ao lado ilustra a ideia Em uma espira (vermelha) circula a corrente e ela cria um

campo magneacutetico em que estaacute mergulhada a corrente na segunda espira (verde)

Duas linhas de estatildeo ilustradas em azul e as forccedilas em dois segmentos pequenos e

z

N S

319

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

diametralmente opostos da espira 2 estatildeo ilustradas em roxo Vemos que as componentes axiais (z) dessas

forccedilas se somam e a espira 2 eacute atraiacuteda na direccedilatildeo da espira 1 Analogamente a espira 1 eacute atraiacuteda pela espira 2

ou seja as espiras se atraem mutuamente Note que o poacutelo N da espira 1 estaacute faceando o poacutelo S da espira 2

Essa eacute a configuraccedilatildeo de correntes que explica porque dois imatildes se atraem quando eles estatildeo com seus poacutelos

opostos proacuteximos Se invertermos a corrente na espira 2 (ou na espira 1) as forccedilas invertem de sentido e as

espiras se repelem dois imatildes se repelem quando eles estatildeo com poacutelos iguais proacuteximos

Para pensar nas forccedilas entre imatildes basta considerar que as correntes nas espiras satildeo as correntes

microscoacutepicas nos aacutetomos que compotildeem os imatildes Na mateacuteria em geral essas correntes atocircmicas estatildeo

normalmente orientadas ao acaso mas no caso dos imatildes um processo de fabricaccedilatildeo consegue organizaacute-las

de tal forma que elas se sobrepotildeem funcionando como um solenoacuteide ou seja como uma sequecircncia de vaacuterias

espiras coaxiais Na Figura 9 abaixo tentamos ilustrar essa ideia A cada aacutetomo associamos uma corrente

atocircmica que eacute resultado dos movimentos (oacuterbita+spin) de todos os eleacutetrons constituintes desse aacutetomo Em um

material comum natildeo magnetizado essas correntes estatildeo orientadas ao acaso e mais do que isso elas estatildeo

constantemente mudando de direccedilatildeo vibrando pelo movimento teacutermico Em um imatilde as correntes atocircmicas

satildeo organizadas e permanecem nessa organizaccedilatildeo ou seja a agitaccedilatildeo teacutermica ambiente natildeo eacute capaz de

desorganizar as correntes e desmagnetizar o imatilde Satildeo materiais especiais capazes de manter

permanentemente um estado de organizaccedilatildeo espacial de suas correntes atocircmicas

Para ter uma ideia de quais satildeo esses materiais podemos dar uma olhada em um sitio de um

fabricante de imatildes (httpswwwduramagcommaterials) Vemos que (hoje) os materiais tiacutepicos para

fabricaccedilatildeo de imatildes satildeo Alnico (uma liga de alumiacutenio+ferro+cobalto+niacutequel) SmCo (samaacuterio+cobalto) e NdFeB

(neodiacutemio+ferro+boro)

Figura 9 em um material comum (a) natildeo magnetizado as correntes eleacutetricas atocircmicas estatildeo orientadas ao acaso e termicamente agitadas Elas se cancelam mutuamente e equivalem a natildeo haver corrente nenhuma Em um imatilde (b) essas correntes estatildeo em grande parte organizadas paralelas entre si funcionando como uma grande corrente eleacutetrica macroscoacutepica uma espeacutecie de solenoacuteide A agitaccedilatildeo teacutermica ambiente natildeo eacute capaz de desorganizar essas correntes ou seja de desmagnetizar o imatilde

= =

(a) (b)

320

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Por que um imatilde eacute capaz de atrair um prego de ferro Inicialmente as correntes eleacutetricas atocircmicas

dentro do imatilde estatildeo organizadas como na Figura 9(b) enquanto que as correntes atocircmicas dentro do prego

estatildeo orientadas ao acaso como na Figura 9(a) O imatilde produz um campo magneacutetico intenso na sua vizinhanccedila

Quando o prego eacute colocado nessa vizinhanccedila e submetido a esse campo magneacutetico suas correntes atocircmicas

mudam de orientaccedilatildeo (giram como pequenas agulhas de buacutessolas) e se organizam de tal forma que poacutelos

opostos no imatilde e no prego ficam faceados e eles se atraem mutuamente Mais adiante

discutiremos sobre o torque que daacute origem a essa orientaccedilatildeo nas correntes atocircmicas no

prego basicamente o mesmo torque que faz um motor eleacutetrico girar e a agulha de uma

buacutessola apontar para os poacutelos da Terra Fato eacute que o imatilde magnetiza o prego e o transforma

momentaneamente em um imatilde capaz de atrair outro prego etc A Figura ao lado ilustra essa

ideia Logo apoacutes retirarmos o imatilde de perto do primeiro prego podemos notar que os pregos

continuam ainda se atraindo mutuamente por alguns instantes ateacute que esse efeito

desaparece Isso ocorre porque o material dos pregos manteacutem sua magnetizaccedilatildeo ou seja o

ordenamento de suas correntes atocircmicas por alguns instantes mas esse ordenamento vai

sendo destruiacutedo pela agitaccedilatildeo teacutermica e os pregos voltam para o estado desmagnetizado

mostrado na Figura 9(a) O material dos pregos natildeo serve para a fabricaccedilatildeo de imatildes porque

ele natildeo eacute capaz de manter o estado magnetizado por muito tempo na temperatura ambiente

(um imatilde permanente pode manter esse estado de organizaccedilatildeo das correntes atocircmicas por milhares de anos

mas pode tambeacutem ser destruiacutedo em instantes se colocado no fogo)

Porque um imatilde natildeo eacute capaz de atrair um prego de alumiacutenio Ele atrai de fato mas muito pouco de tal

forma que nem conseguimos perceber Somente em um experimento a baixas temperaturas em um

laboratoacuterio poderemos observar a atraccedilatildeo que um imatilde produz sobre um objeto de alumiacutenio O magnetismo

como todos os fenocircmenos microscoacutepicos eacute governado e descrito pela mecacircnica quacircntica Por isso nem

sempre eacute simples entendermos por que um material se comporta de uma forma ou de outra do ponto de

vista de suas propriedades magneacuteticas Essas propriedades dependem de vaacuterias caracteriacutesticas dos materiais

como as valecircncias dos aacutetomos a camada especiacutefica de valecircncia a geometria com que os aacutetomos estatildeo

dispostos no espaccedilo o espaccedilamento interatocircmico etc Resumidamente as propriedades magneacuteticas de um

material estatildeo definidas por trecircs fatores a proacutepria existecircncia de uma corrente microscoacutepica associada aos

aacutetomos do material e uma competiccedilatildeo entre um efeito ordenador e um efeito desordenador dessas correntes

microscoacutepicas caso elas existam

Um aacutetomo de cobre (na composiccedilatildeo da forma metaacutelica) por exemplo possui um arranjo de eleacutetrons

(oacuterbitas e spins) que resulta em uma corrente atocircmica nula (em um aacutetomo de cobre isolado haacute um eleacutetron

desemparelhado que eacute liberado na ligaccedilatildeo metaacutelica) Para cada eleacutetron girando digamos no sentido horaacuterio

haacute outro eleacutetron girando no sentido anti-horaacuterio No final das contas a corrente eleacutetrica ldquoresultanterdquo no aacutetomo

321

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

de cobre eacute nula Portanto natildeo podemos associar ao cobre aquelas correntes atocircmicas que representamos na

Figura 9 Um imatilde natildeo atrai um objeto de cobre (de fato ele repele com uma forccedila muito fraca que nem

percebemos) No caso do alumiacutenio as correntes microscoacutepicas associadas aos aacutetomos existem pois natildeo ocorre

esse cancelamento total das correntes dentro dos aacutetomos como no caso do cobre metaacutelico Portanto para

explicar porque um imatilde natildeo atrai um objeto de alumiacutenio temos que recorrer aos ditos efeitos ordenador e

desordenador sobre essas correntes atocircmicas O efeito desordenador eacute a agitaccedilatildeo teacutermica que estaacute sempre

chacoalhando os aacutetomos e suas correntes atocircmicas Esse efeito estaacute em tudo chacoalhando as correntes

atocircmicas em um imatilde no ferro e no alumiacutenio A diferenccedila entre o ferro e o alumiacutenio estaacute no efeito ordenador

das correntes microscoacutepicas No ferro e nos demais materiais ditos ldquomagneacuteticosrdquo ou mais especificamente

ferromagneacuteticos (basicamente aqueles atraiacutedos fortemente por imatildes) as correntes atocircmicas interagem entre

si de tal forma que o paralelismo entra elas eacute por si soacute energeticamente favoraacutevel Podemos dizer que nesses

materiais as correntes atocircmicas ldquoqueremrdquo ficar paralelas entre si e estatildeo apenas esperando um ldquocomandordquo

externo para fazer isso A Figura abaixo ao lado como seria a visatildeo microscoacutepica das

correntes atocircmicas dentro de um material ferromagneacutetico como uma liga de ferro

Observa-se uma estrutura de ldquodomiacuteniosrdquo sendo cada domiacutenio uma regiatildeo dentro da

qual as (muitas) correntes atocircmicas jaacute estatildeo paralelas entre si porque isso eacute

energeticamente favoraacutevel Em outro domiacutenio ocorre a mesma coisa mas em cada

domiacutenio as correntes assumem uma orientaccedilatildeo diferente (basicamente porque o efeito

ordenador eacute de curto alcance e soacute define uma direccedilatildeo privilegiada no espaccedilo dentro de um domiacutenio)

No alumiacutenio natildeo haacute essa interaccedilatildeo entre as correntes atocircmicas (chamada de interaccedilatildeo de troca) e

portanto natildeo haacute esse efeito ordenador e nem uma estrutura de domiacutenios magneacuteticos Entatildeo basicamente o

que vai diferenciar o efeito que um imatilde teraacute sobre um prego de ferro ou sobre um prego de alumiacutenio eacute a

intensidade da resposta dessas correntes atocircmicas ao estiacutemulo de ordenamento produzido pelo imatilde ou mais

especificamente pelo campo magneacutetico do imatilde

No alumiacutenio o campo magneacutetico do imatilde vai incentivar o ordenamento das correntes atocircmicas mas o

efeito desordenador da agitaccedilatildeo teacutermica eacute tatildeo grande que essa competiccedilatildeo ao final produz um ordenamento

muito fraco das correntes atocircmicas e uma forccedila muito fraca de atraccedilatildeo pelo imatilde Nem percebemos essa forccedila

a natildeo ser que baixemos bastante a temperatura do alumiacutenio Isso pode ser feito em um experimento de

laboratoacuterio

Na liga de ferro o campo magneacutetico do imatilde vai incentivar o ordenamento das correntes atocircmicas que

vai se somar agrave interaccedilatildeo entre essas correntes que favorece o paralelismo entre elas e esses dois estiacutemulos ao

paralelismo vatildeo suplantar juntos o efeito desordenador da agitaccedilatildeo teacutermica produzindo ao final um

322

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

ordenamento muito intenso das correntes atocircmicas e uma forccedila muito forte de atraccedilatildeo pelo imatilde A Figura 10

abaixo ilustra essas ideacuteias

Resumindo a interaccedilatildeo de troca entre as correntes atocircmicas favorece o paralelismo entre elas e

ldquoamplificardquo o efeito de ordenamento sobre essas correntes produzido por um imatilde proacuteximo Esses materiais

que apresentam esse efeito satildeo chamados de ferromagneacuteticos e eles satildeo os candidatos naturais para a

produccedilatildeo de imatildes permanentes Um bom material para produccedilatildeo de imatildes deve ser capaz de por sua proacutepria

conta graccedilas agrave interaccedilatildeo de troca manter o ordenamento das correntes atocircmicas ou seja sua magnetizaccedilatildeo

Ele deve ser capaz de manter esse estado magnetizado apesar da temperatura que pode ser bem maior que a

ambiente e da presenccedila de outros imatildes ou eletroimatildes proacuteximos como acontece muitas vezes em maacutequinas

eleacutetricas Esses materiais capazes de manter seu estado magnetizado satildeo chamados de ferromagneacuteticos

ldquodurosrdquo e satildeo usados comumente na fabricaccedilatildeo de imatildes e tambeacutem em discos riacutegidos de computadores (HDs)

Em um HD as informaccedilotildees binaacuterias (zeros e uns) satildeo armazenadas em um disco magnetizaacutevel de tal

forma que em uma face do disco pode estar gravada

permanentemente uma sequecircncia de polaridades magneacuteticas

NSSNSNN que poderia corresponder agrave sequecircncia de bits

1001011 Na Figura ao lado podemos ver o disco de um HD onde

satildeo gravadas de forma magneacutetica as sequecircncias de bits Na

(alumiacutenio) (liga de ferro)

Figura 10 comparaccedilatildeo entre o efeito de um imatilde sobre um objeto de alumiacutenio e outro de uma liga de ferro No alumiacutenio antes de aproximarmos o imatilde as correntes atocircmicas estavam orientadas ao acaso A presenccedila do imatilde muda pouco isso Na liga de ferro antes de aproximarmos o imatilde as correntes atocircmicas jaacute haviam se organizado em uma estrutura de domiacutenios magneacuteticos A presenccedila do imatilde funciona como a ldquogota drsquoaacutegua que faltavardquo para que a grande maioria das correntes atocircmicas se oriente paralelamente entre si seguindo a orientaccedilatildeo do campo magneacutetico do imatilde

323

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

extremidade do braccedilo de gravaccedilatildeo haacute um solenoacuteide minuacutesculo em que circula uma corrente eleacutetrica pulsante

que vai gravando a sequecircncia de polaridades no disco enquanto ele gira No processo de leitura ocorre o

inverso esse mesmo solenoacuteide sofre a induccedilatildeo de uma corrente eleacutetrica pulsante agrave media que os poacutelos

magneacuteticos vatildeo passando por ele que traduz a sequecircncia de polaridades em uma sequecircncia de bits No

capiacutetulo 9 estudaremos o fenocircmeno de induccedilatildeo eletromagneacutetica Apoacutes aprender que a induccedilatildeo estaacute ligada agrave

variaccedilatildeo de fluxo magneacutetico vocecirc vai poder entender que para armazenar um bit (0 ou 1) precisamos de dois

poacutelos magneacuteticos (NS SN SS ou NN) e natildeo apenas um

73 Torque sobre uma espira de corrente em um campo magneacutetico uniforme

Uma espira eacute um fio condutor fechado onde a corrente eleacutetrica pode circular Aqui vamos imaginar

uma espira em que circula uma corrente eleacutetrica e que estaacute em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico

uniforme Jaacute vimos que a forccedila magneacutetica resultante sobre essa espira eacute nula pois

( ) = ( ) timesisin = ( )isin times = times

e = 0 (curva fechada) Isso significa que essa espira natildeo vai sair do lugar ou seja seu centro de massa

permaneceraacute estaacutetico se ele jaacute estava estaacutetico Mostraremos agora que essa espira poderaacute sofrer um torque e

girar sob accedilatildeo das forccedilas magneacuteticas Com isso poderemos entender o princiacutepio de funcionamento de um

motor eleacutetrico de uma buacutessola e ao mesmo tempo as mudanccedilas de orientaccedilatildeo nas correntes atocircmicas sob

accedilatildeo do campo magneacutetico de um imatilde que discutimos na seccedilatildeo anterior

O resultado para o torque que vamos mostrar se aplica a qualquer

espira de forma arbitraacuteria imersa em um campo magneacutetico uniforme No

entanto a demonstraccedilatildeo eacute mais simples se nos concentrarmos em uma

espira retangular como mostrado na Figura ao lado

A espira eacute um retacircngulo de lados e (em vermelho) e nela circula

uma corrente eleacutetrica O campo magneacutetico uniforme eacute representado pelas

setas azuis A espira estaacute em uma posiccedilatildeo obliacutequa inclinada de em relaccedilatildeo

ao eixo z Em cada um dos lados da espira atua uma forccedila magneacutetica

(representadas pelas setas verdes) dada por

( ) = times = times = ( ) = times = (minus ) times = minus ( ) = times = (ndash sen( ) + cos( ) ) times = minus cos( )

( )

y

z

x

( )

( )

( )

324

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = times = ( sen( ) minus cos( ) ) times = cos( )

Conclusatildeo como natildeo poderia deixar de ser

( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0

A espira permanece no mesmo lugar mas podemos ver que ela vai girar pois haacute um binaacuterio de forccedilas

formado por ( ) e ( ) = minus ( ) que produz um torque na espira ao longo da linha tracejada roxa na

Figura (que seraacute o eixo de rotaccedilatildeo da espira) As outras duas forccedilas ( ) e ( ) apenas tentam esticar a

espira na direccedilatildeo dessa linha tracejada Portanto a espira vai permanecer no

mesmo lugar e vai girar no sentido horaacuterio Limpando um pouco a Figura

podemos ver ao lado que a forccedila ( ) possui posiccedilatildeo de aplicaccedilatildeo (em

relaccedilatildeo ao centro da espira ndash seta preta) dada por =ndash sen( ) + cos( ) Analogamente a forccedila ( ) possui posiccedilatildeo se aplicaccedilatildeo dada por = minus

(seta azul claro) Portanto o torque resultante sobre a espira eacute = + = times ( ) + times ( ) = 2 times ( ) Conclusatildeo = 2 ndash2 sen( ) + 2 cos( ) times = minus sen( )

Note que = eacute a aacuterea da espira

O torque na espira depende de duas propriedades baacutesicas da proacutepria

espira sua aacuterea e a corrente que circula nela O torque depende tambeacutem

do campo magneacutetico e da orientaccedilatildeo da espira Jaacute estamos acostumados

(tendo em vista a lei de Gauss) agrave ideia de um vetor aacuterea = em que eacute

um vetor unitaacuterio ortogonal (normal) agrave aacuterea Na Figura ao lado definimos

um vetor ortogonal agrave aacuterea plana de nossa espira retangular Natildeo eacute difiacutecil ver que o

acircngulo entre e o campo eacute exatamente (ver Figura ao lado) e que portanto

De fato haacute duas normais agrave superfiacutecie retangular delimitada pela espira e minus e precisamos de uma regra que nos permita fazer sempre a escolha correta ou seja aquela que vai levar agrave

validade da equaccedilatildeo acima para o torque Essa ambiguumlidade eacute quebrada pela regra da matildeo direita circulando

( )

y

z

x

( )

22

x

( )

y

z

( )

= minus sen( ) = ( ) times

325

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

a espira com os dedos da matildeo direita no sentido da corrente o polegar vai

apontar no sentido do vetor normal ldquocorretordquo A Figura ao lado ilustra a

aplicaccedilatildeo dessa regra

Aqui podemos relembrar nosso resultado para o torque sobre um dipolo

eleacutetrico em uma regiatildeo em que existe um campo eleacutetrico uniforme O dipolo

eleacutetrico eacute composto de duas cargas eleacutetricas plusmn (dois poacutelos eleacutetricos) separadas

por uma distacircncia O resultado para o torque que obtivemos foi = ( ) times

Sendo o deslocamento da carga em relaccedilatildeo agrave carga ndash Vimos que o produto caracteriza a

dipolaridade do dipolo eleacutetrico magnitude dos poacutelos separaccedilatildeo entre eles (tamanho) e orientaccedilatildeo no espaccedilo

e demos o nome de ldquomomento de dipolo eleacutetricordquo para a grandeza = Dessa forma o torque no dipolo

eleacutetrico fica = times

Quando avanccedilamos no formalismo da eletrostaacutetica vimos que define tambeacutem o campo eleacutetrico e a energia

potencial eleacutetrica do dipolo ou seja eacute uma grandeza fundamental para caracterizar as propriedades

eleacutetricas de um objeto eleacutetrico dipolar

Voltando agrave nossa espira natildeo podemos deixar de notar a similaridade entre a expressatildeo = ( ) times

e a expressatildeo acima para Aqui vemos que a grandeza caracteriza a espira atraveacutes de sua

intensidade de corrente de sua aacuterea (basicamente o tamanho) e de sua orientaccedilatildeo no espaccedilo Seguindo entatildeo

essa analogia batizamos a grandeza = de ldquomomento de dipolo magneacuteticordquo da espira Jaacute discutimos

um pouco sobre essas ideacuteias quando ilustramos o campo magneacutetico produzido por uma espira Vimos

que haacute uma regiatildeo uma face da espira onde as linhas de emergem da espira que chamamos de poacutelo

norte (N) e que eacute anaacuteloga ao poacutelo + de um dipolo eleacutetrico Na face oposta da espira as linhas de

mergulham para dentro da espira face que chamamos de poacutelos sul (S) da espira anaacuteloga ao polo ndash de um

dipolo eleacutetrico (trata-se apenas de uma analogia pois a linhas de forccedila de emanam de um polo + enquanto

que as linhas de apenas passam pelo polo N) Haacute portanto uma similaridade entre o comportamento de

uma espira de corrente em um campo e o comportamento de um dipolo eleacutetrico em um campo Essa

similaridade aparece aqui na expressatildeo do torque Uma espira de corrente mergulhada em um campo

magneacutetico uniforme sofre um torque que orienta seu momento de dipolo magneacutetico paralelamente a

326

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

= times

Obtivemos esse resultado para uma espira retangular mas essa hipoacutetese

natildeo eacute importante ela apenas simplifica os caacutelculos O torque foi calculado

em relaccedilatildeo ao centro da espira mas ele poderia ser calculado em relaccedilatildeo a

qualquer outro ponto de referecircncia que levaria ao mesmo resultado Isso

porque a forccedila magneacutetica resultante sobre a espira eacute nula Qualquer espira

de corrente de forma arbitraacuteria (mesmo natildeo planar) possui um momento

de dipolo magneacutetico de tal forma que na presenccedila de um campo

magneacutetico externo ela vai sofrer o torque dado pela expressatildeo acima Para

o caso de uma espira de corrente planar o momento magneacutetico eacute dado por = sendo a aacuterea da figura plana delimitada pela espira Por

exemplo na Figura ao lado mostramos uma espira circular onde circula uma corrente Essa espira estaacute em

uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme = (setas azuis) O momento magneacutetico dessa

espira eacute = = (cos( ) + sen( ) ) Essa espira estaacute sofrendo um torque = times = (cos( ) + sen( ) ) times = minus sen( )

Se essa espira puder girar ela vai girar no sentido horaacuterio no sentido de orientar seu momento magneacutetico

(seta verde) paralelamente a (note que a espira natildeo sai do lugar pois a forccedila magneacutetica resultante eacute nula) A

espira vai assumir um movimento pendular oscilando para cima e para baixo em torno da posiccedilatildeo = 0 que

eacute uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel De fato ao passar pela posiccedilatildeo = 0 o torque inverte de sentido e a

espira comeccedila a girar no sentido anti-horaacuterio Havendo um mecanismo de dissipaccedilatildeo de energia a espira vai

descrever oscilaccedilotildees amortecidas ateacute parar na posiccedilatildeo = 0 Daqui a pouco discutiremos esse torque no

contexto dos motores eleacutetricos

Agora jaacute podemos entender melhor o funcionamento de

uma buacutessola conforme ilustrado na Figura ao lado A agulha da

buacutessola eacute um imatilde que pode girar em torno de um eixo central

vertical Dentro da agulha haacute correntes eleacutetricas atocircmicas

organizadas espacialmente funcionando como uma corrente

eleacutetrica macroscoacutepica ou seja como uma espira de corrente (curva

vermelha orientada) De acordo com a regra da matildeo direita o

momento magneacutetico da agulha estaacute orientado como na Figura apontando do poacutelo S para o polo N da

y

z

x

S

N

N S sul

geograacutefico norte

geograacutefico

327

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

agulha (assim como o momento de dipolo eleacutetrico aponta do poacutelo ndash para o polo +) A agulha estaacute no campo

magneacutetico da Terra que aponta do poacutelo sul geograacutefico (que eacute um polo N magneacutetico) para o poacutelo norte

geograacutefico (que eacute um polo S magneacutetico) Portanto a agulha sofre um torque = times e gira

oscilando por alguns instantes em torno da posiccedilatildeo com o polo N da agulha apontando para o norte geograacutefico

da Terra O atrito no eixo da agulha amortece as oscilaccedilotildees e a agulha finalmente para alinhada com seu polo

N faceando o polo N geograacutefico da Terra Se vocecirc levar uma buacutessola para o poacutelo norte geograacutefico da Terra a

agulha da buacutessola vai ficar na vertical com seu polo N apontando para dentro de Terra

Podemos voltar aqui na discussatildeo que jaacute fizemos sobre o porquecirc de um imatilde atrair um prego de ferro

Agora podemos entender que o campo magneacutetico do imatilde Atilde produz um torque sobre as correntes

atocircmicas dentro do prego e orienta essas correntes como se fossem milhotildees e milhotildees de pequenas agulhas

de buacutessolas A Figura 11 abaixo ilustra essa ideia

A cada aacutetomo podemos associar um momento magneacutetico que sofre um torque =times Atilde e gira de tal forma que ao final o poacutelo do imatilde que estaacute proacuteximo ao prego estaraacute face a face

com milhotildees de poacutelos opostos nos aacutetomos que constituem o prego Nesse instante nasce uma forccedila magneacutetica

de atraccedilatildeo macroscoacutepica entre o imatilde e o prego (note que nesse caso haacute forccedila magneacutetica tambeacutem aleacutem de

torque porque o campo magneacutetico do imatilde eacute natildeo uniforme)

74 O motor eleacutetrico de corrente contiacutenua (CC)

O motor eleacutetrico eacute basicamente um dispositivo que converte energia potencial eleacutetrica em energia

mecacircnica (e tambeacutem sem querer em calor) Haacute vaacuterios tipos de motores eleacutetricos de corrente contiacutenua de

corrente alternada de induccedilatildeo etc Natildeo importa qual seja o motor eleacutetrico a ideia central para seu

funcionamento estaacute contida na equaccedilatildeo

Figura 11 Efeito de um imatilde sobre um objeto feito de uma liga de ferro Antes de aproximarmos o imatilde as correntes atocircmicas e seus momentos de dipolo magneacuteticos (setas azuis) jaacute haviam se organizado em uma estrutura de domiacutenios magneacuteticos A presenccedila do imatilde faz com que os momentos magneacuteticos sofram um torque e girem orientando-se de tal forma que seus polos S fiquem face a face com o polo N do imatilde Daiacute nasce a forccedila de atraccedilatildeo imatildeobjeto

328

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

= times

Como jaacute vimos essa equaccedilatildeo daacute o torque sobre uma espira de corrente de momento magneacutetico que

estaacute em uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme As caracteriacutesticas da espira que satildeo

relevantes nesse contexto estatildeo todas contidas na grandeza o momento de dipolo magneacutetico da espira

Para uma espira que eacute uma curva plana vale = sendo a corrente na espira a aacuterea plana delimitada

pela espira e um vetor normal a essa aacuterea plana orientado de acordo com a regra da matildeo direita

Nos motores haacute geralmente solenoacuteides que satildeo conjuntos de digamos espiras paralelas entre si

onde circula a corrente Nesse caso a ideia eacute a mesma mas o torque se multiplica = times sendo o

momento de dipolo magneacutetico de uma espira Portanto podemos dizer que a ideia baacutesica do motor de

corrente contiacutenua (CC) jaacute foi discutida na seccedilatildeo anterior Haacute apenas um detalhe acerca da comutaccedilatildeo da

corrente que vale a pena mencionar Esse ldquodetalherdquo estaacute ilustrado na Figura 12 abaixo

Essa Figura mostra que se a corrente na espira circular sempre no mesmo sentido entatildeo o torque

ficaraacute mudando periodicamente de sentido e natildeo produziraacute um movimento rotatoacuterio mas sim oscilatoacuterio

da espira em torno de seu eixo de rotaccedilatildeo (eixo z) O torque eacute restaurador nesse caso tornando a posiccedilatildeo = 0 da espira (posiccedilatildeo (b) na Figura 12) uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel (como ocorre com a agulha de

uma buacutessola) A soluccedilatildeo para este problema estaacute em adicionar ao motor um sistema de comutaccedilatildeo da

corrente no rotor de tal forma que quando a espira passa pela posiccedilatildeo = 0 a corrente inverte de sentido

(a) (c) (b)

Figura 12 Um ldquoprojetordquo de motor eleacutetrico CC composto de apenas uma espira em um campo magneacutetico(setas azuis) uniforme (produzido por outras espiras por um solenoacuteide ou por um imatilde) O problema desse motor eacute que ele natildeo gira em torno do eixo z pois o torque eacute restaurador sempre levando o momento magneacutetico para a posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel = 0 (posiccedilatildeo (b)) Estamos supondo que a corrente sempre entra no terminal marcado pela bolinha verde e sai pelo outro terminal da espira

z

z

z

329

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

invertendo o sentido de na configuraccedilatildeo (c) na Figura 12 e mantendo o sentido do torque e o sentido de giro

da espira ou seja do rotor

A soluccedilatildeo eacute relativamente simples Basta introduzir os contatos

comutadores deslizantes entre os dois terminais da espira do rotor e os dois

terminais da fontepilhabateria que alimenta o rotor A Figura ao lado

ilustra a ideia Imagine que as duas extremidades da espira apenas tocam os

fios (em verde) conectados agrave pilha e que esses terminais da espira deslizam

fechando contato eleacutetrico com os fios conectados agrave bateria Note entatildeo que

ao passar proacuteximo agrave posiccedilatildeo = 0 a corrente desconecta

momentaneamente o que natildeo faz diferenccedila pois nessa posiccedilatildeo natildeo haacute

torque na espira mesmo que esteja passando corrente por ela (ver Figura

12 (b)) Ao passar pela posiccedilatildeo = 0 a espira continua girando por ineacutercia

e na sequecircncia a corrente na espira reverte seu sentido assim como

quando comparamos a Figura atual com a Figura 12 (c) Dessa forma essa espira estaraacute submetida

constantemente a um torque na direccedilatildeo minus e giraraacute continuamente no sentido horaacuterio

Concluindo se z eacute o eixo de rotaccedilatildeo desse motor orientado no sentido de na Figura acima

entatildeo ( ) = sen( ) Vemos entatildeo que na ausecircncia de comutaccedilatildeo da corrente a cada giro de 180deg o torque inverte de

sentido pois ( + ) = sen( + ) = minus sen( ) A ideia da comutaccedilatildeo eacute fazer com que a corrente e tambeacutem invertam de sentido a cada giro de 180deg ou seja ( + ) = minus ( ) De tal forma que o torque e o giro do rotor mantenham seus sentidos constantes ( + ) = ( + ) sen( + ) = (minus ) minus sen( ) = sen( ) A Figura 13 abaixo mostra um rotor real de um motor CC Podemos ver vaacuterias espiras conectadas a

pequenas placas de cobre que satildeo os contatos do comutador A presenccedila de vaacuterios solenoacuteides em diferentes

posiccedilotildees no rotor apenas multiplica o torque Natildeo haacute nenhuma posiccedilatildeo do rotor em que o torque eacute nulo

(como ocorre em = 0 no motor da Figura 12 e da Figura acima) Por isso esse motor pode iniciar sua

rotaccedilatildeo a partir do repouso em uma posiccedilatildeo qualquer O motor da Figura 12 acima com apenas uma espira no

+

330

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

rotor natildeo conseguiria dar partida e comeccedilar a girar se ele estivesse parado por azar exatamente na posiccedilatildeo = 0

No motor real os solenoacuteides do rotor satildeo alimentados atraveacutes dos contatos do comutador que

deslizam em contatos de grafite as escovas A Figura 13 mostra tambeacutem o detalhe de vaacuterios contatos do

comutador e as duas escovas de grafite atraveacutes das quais a corrente eleacutetrica chega nas espiras do rotor A

presenccedila de comutadores e escovas nos motores CC natildeo deixa de ser uma desvantagem pois esse contato

eleacutetrico deslizante produz centelhamento (faiacutescas) e ruiacutedos (eleacutetrico e eletromagneacutetico) aleacutem de exigir

manutenccedilatildeo permanente pelo desgaste das escovas Existem motores CC sem comutadores e escovas que

utilizam imatildes permanentes no rotor ao inveacutes de solenoacuteides Cada tipo de motor apresenta suas vantagens e

desvantagens

75 Aplicaccedilotildees

1) A Figura ao lado mostra uma espira (em vermelho) plana de fio fino e

forma arbitraacuteria onde circula uma corrente eleacutetrica com o sentido

indicado Essa espira estaacute parcialmente dentro de uma regiatildeo do espaccedilo

onde existe um campo magneacutetico uniforme (saindo ortogonalmente da

paacutegina na Figura) Fora dessa regiatildeo (acima da linha tracejada) natildeo haacute

campo magneacutetico Os pontos A e B distanciados entre si por marcam a

interseccedilatildeo da espira com a linha tracejada Vamos calcular a forccedila

magneacutetica nessa espira

Note que trata-se de uma espira plana em um campo magneacutetico natildeo uniforme pois o valor de muda

nos pontos do espaccedilo ocupados pela espira Dividindo a integral da forccedila na espira em duas partes obtemos

Figura 13 um rotor de um motor eleacutetrico CC Podemos ver os contatos do comutador conectados aos terminais das espiras do rotor A corrente eleacutetrica vem pelo circuito externo passa por dois contatos de grafite (escovas) que deslizam nos contatos do comutador e conduzem corrente para as espiras do rotor

BA

y

x

331

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = times = times + times = times + 0

A ideia expressa acima eacute que calculamos a forccedila magneacutetica na porccedilatildeo inferior da espira que inicia em A e vai

ateacute B submetida ao campo magneacutetico e somamos com a forccedila

magneacutetica na porccedilatildeo superior da espira que inicia em B e vai ateacute A Essa

porccedilatildeo superior estaacute em uma regiatildeo sem campo magneacutetico e portanto natildeo

sofre forccedila

Tudo que temos que fazer eacute calcular a forccedila no fio fino inferior que

comeccedila em A e termina em B transportando uma corrente Sendo o

campo magneacutetico uniforme na regiatildeo em que se encontra esse fio

obtemos

( ) = times = times

sendo o vetor ldquodeslocamentordquo mostrado na Figura acima (em azul) No nosso referencial obtemos = e = Portanto

( ) = times = ( times ) = (minus ) A espira eacute puxada para baixo para dentro da regiatildeo com campo magneacutetico A forccedila magneacutetica independe da

forma da espira Quando a espira estiver toda contida na regiatildeo com campo vai valer = 0 e ( ) = 0

Considere agora uma espira circular de fio fino e raio R onde

circula uma corrente eleacutetrica com o sentido indicado Essa espira estaacute

em uma regiatildeo do espaccedilo onde o campo magneacutetico muda de valor

conforme a Figura ao lado Acima da linha tracejada o campo

magneacutetico possui magnitude e aponta ortogonalmente para dentro

da paacutegina Abaixo da linha tracejada o campo magneacutetico possui

magnitude e aponta ortogonalmente para fora da paacutegina Os pontos

A e B distanciados entre si por marcam a interseccedilatildeo da espira com a

linha tracejada A altura ℎ eacute a porccedilatildeo do diacircmetro da espira que estaacute na regiatildeo acima da linha tracejada

Vamos calcular a forccedila magneacutetica nessa espira

Novamente trata-se de uma espira plana em um campo magneacutetico natildeo uniforme pois o valor de

muda nos pontos do espaccedilo ocupados pela espira Analogamente ao que fizemos no exemplo anterior

dividindo a integral da forccedila na espira em duas partes (arco inferior e arco superior) obtemos

x

y

A B

B A

y

x

times times times

times times times ℎ

332

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

( ) = times = times + times

Tudo que temos que fazer eacute calcular a forccedila em cada fio fino com a forma de arco de ciacuterculo com

extremidades em A e B transportando uma corrente Sendo o campo magneacutetico uniforme nas regiotildees em

que se encontram cada um desses fiosarcos obtemos

( ) = times + times

Lembrando que eacute o vetor ldquodeslocamentordquo que nasce em A e termina em B (para o arco inferior) Como = minus segue que ( eacute o vetor ldquodeslocamentordquo para o arco superior)

( ) = times minus

Se valesse = o campo magneacutetico seria uniforme sobre a espira e natildeo haveria forccedila

O comprimento da corda que conecta A e B eacute dado por = 2 ℎ(2 minus ℎ) Essa corda estaacute ilustrada em azul na Figura abaixo O comprimento da corda eacute simplesmente a distacircncia

entre os pontos A e B Note que | | =

Portanto no nosso referencial vale = = minus e = A forccedila magneacutetica na espira

eacute dada por

( ) = times minus = ( + )( times ) = 2 ℎ(2 minus ℎ)( + )(minus ) A espira seraacute empurrada para baixo qualquer que seja o valor de 0 lt ℎ lt 2 No caso ℎ = 0 a espira estaacute em um campo uniforme ( ) e

natildeo haacute forccedila A mesma coisa vale para o caso ℎ = 2 em que a espira

estaacute em um campo uniforme Enfim se a espira natildeo estiver

interceptando a fronteira entre as duas regiotildees com campos magneacuteticos

diferentes ela natildeo sofre forccedila magneacutetica (nesses dois casos vale = 0)

Uma espira soacute sofre forccedila magneacutetica se ela estiver em uma regiatildeo de

campo magneacutetico natildeo uniforme

2) A Figura abaixo mostra um segmento de fio fino dobrado na forma de um L (em vermelho) onde circula uma

corrente Esse fio estaacute na vizinhanccedila de outro fio reto muito longo onde circula uma corrente Os dois fios

BA

y

x

times times times

times times times ℎ

333

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

estatildeo no mesmo plano da tela Vamos calcular a forccedila magneacutetica que

a corrente no fio longo faz na corrente no fio com forma de L

O fio em forma de L estaacute mergulhado no campo magneacutetico do

fio longo Ainda natildeo conhecemos esse campo e por isso vamos

adiantar aqui a expressatildeo do campo magneacutetico que esse fio longo

produz no espaccedilo (esse campo seraacute calculado no proacuteximo capiacutetulo)

Na regiatildeo onde se encontra o fio em forma de L o campo magneacutetico

do fio longo aponta para dentro da tela ou seja tem a direccedilatildeo ndashz no

nosso referencial A magnitude desse campo decai com a distacircncia ao fio longo o raio mostrado na Figura

(em verde) de acordo com ( ) =

sendo uma constante positiva O raio eacute o raio do sistema de coordenadas ciliacutendricas a distacircncia ateacute um

eixo fixo nesse caso o fio longo

Portanto jaacute partindo do conhecimento desse campo magneacutetico podemos calcular a forccedila magneacutetica

no fio em L atraveacutes da expressatildeo geral da forccedila

( ) = times

Para simplificar as coisas podemos dividir o fio em L em dois segmentos de fio retos um paralelo ao fio longo

de comprimento e outro ortogonal de comprimento A forccedila magneacutetica no fio em L seraacute

( ) = ( ) + ( ) Note que o segmento paralelo ao fio longo estaacute equidistante do fio longo no raio = e portanto

este segmento de fio estaacute submetido a um campo magneacutetico uniforme dado por

= ( = ) = ( = )(minus ) = minus Para um fio reto em um campo magneacutetico uniforme natildeo precisamos fazer nenhuma integral a forccedila

magneacutetica eacute dada por ( ) = times

sendo que nesse caso = e = Portanto

( ) = times ( = ) = times minus = (minus ) Esse segmento de fio eacute atraiacutedo pelo fio longo (correntes paralelas se atraem)

x

y

334

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 7 ndash versatildeo 31

Quanto ao segmento de fio ortogonal ele estaacute submetido a um campo magneacutetico natildeo uniforme pois

enquanto varremos a coordenada ao longo desse segmento de fio o campo magneacutetico do fio longo vai

mudando de valor = ( ) Portanto nesse caso devemos integrar a forccedila em cada pequeno segmento

infinitesimal desse segmento de fio que eacute dada por

( ) = times

com = Portanto

( ) = times minus =

Como esse segmento de fio ortogonal se estende desde = ateacute = + obtemos

( ) = = = ln 1 +

Esse segmento de fio eacute empurrado para cima ao longo de y

Concluindo a forccedila magneacutetica no fio em forma de L eacute

( ) = minus + ln 1 +

O fio em L eacute atraiacutedo (ao longo de ndashx) e ao mesmo tempo empurrado para cima (ao longo de +y) Ele sofre

uma forccedila obliacutequa

No caso cong 0 que pode ser interpretado como o fio em L estando muito distante do fio reto

obtemos uma expressatildeo mais simples para a forccedila (tendo em vista que ln(1 + ) = se cong 0)

( ) = minus + = minus +

Note que essa eacute a forccedila em um fio reto obliacutequo com = + a

uma distacircncia (grande) do fio longo conforme ilustrado na Figura ao

lado ( ) = times ( = )

Longe do fio longo tudo se passa como se o campo fosse uniforme e

assumisse o valor constante ( = ) Nesse caso retornamos agrave

expressatildeo da forccedila em um fio fino qualquer em um campo magneacutetico

uniforme ( ) = times

sendo o vetor ldquodeslocamentordquo para o fio em L

x

y

335

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

8 O campo magneacutetico

No capiacutetulo 1 estudamos a interaccedilatildeo eleacutetrica entre objetos eletrizados

Vimos que uma carga pontual na vizinhanccedila de um conjunto de outras N cargas

pontuais estaacuteticas (Figura ao lado) sofre uma forccedila dada por

( ) = ( ) sendo ( ) o campo eleacutetrico (eletrostaacutetico) produzido pelas N cargas na posiccedilatildeo em que a carga

estaacute Quanto ao campo ( ) vimos que ele pode ser obtido a partir da lei de Coulomb e do princiacutepio da

superposiccedilatildeo ou seja

( ) = 14 sendo a distacircncia entre e o ponto no espaccedilo e um vetor unitaacuterio que aponta de para esse ponto

Depois avanccedilamos na ideia de distribuiccedilotildees de cargas muito densas (limite do contiacutenuo) etc Fato eacute que essas

duas expressotildees acima compotildeem juntas a base da descriccedilatildeo da interaccedilatildeo eletrostaacutetica entre cargas eleacutetricas

Analogamente no capiacutetulo 7 comeccedilamos a estudar a

magnetostaacutetica ou seja a interaccedilatildeo entre correntes eleacutetricas atraveacutes

de campos magneacuteticos estacionaacuterios (independentes do tempo) A

Figura 1 ao lado ilustra a ideia baacutesica uma corrente pontual ou seja

uma carga pontual se movendo com velocidade e uma corrente

estatildeo na vizinhanccedila de uma corrente estacionaacuteria Jaacute vimos que a

forccedila magneacutetica que faz em eacute dada por

( )

Figura 1 Uma carga pontual e uma corrente eleacutetrica interagem com outra corrente eleacutetrica Qual a forccedila magneacutetica entre esses objetos

336

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

( ) = times ( ) sendo ( ) campo magneacutetico (magnetostaacutetico) produzido pela corrente na posiccedilatildeo em que a carga

estaacute Analogamente a forccedila magneacutetica que faz na corrente eacute (omitindo as dependecircncias em )

( ) = times

sendo um vetor comprimento infinitesimal tangente ao fio 2 orientado no sentido de eacute o campo

magneacutetico do fio 1 avaliado nos pontos do espaccedilo ocupados pelo fio 2 A integral percorre o fio 2

Portanto para completar a descriccedilatildeo das interaccedilotildees magneacuteticas entre correntes eleacutetricas estaacute faltando

obtermos uma lei que nos permita calcular o campo magneacutetico produzido por uma corrente estacionaacuteria No

caso da Figura 1 e das forccedilas que queremos calcular ( ( ) e ( )) fica faltando conhecermos a

expressatildeo de ( ) Precisamos de uma espeacutecie de ldquolei de Coulombrdquo para a magnetostaacutetica Essa eacute a ideia que

vamos discutir nesse capiacutetulo

Aqui vamos aprender a calcular o campo magneacutetico produzido por uma corrente eleacutetrica qualquer De

fato vamos nos restringir ao caso mais simples de correntes estacionaacuterias ou seja correntes que natildeo variam

no tempo ( ) = ( ) Esse eacute o contexto da magnetostaacutetica Quanto agrave corrente que estaacute sofrendo a forccedila

magneacutetica natildeo importa se ela eacute variaacutevel no tempo ou natildeo pois o que nos interessa aqui eacute o caacutelculo do campo

magnetostaacutetico da corrente que estaacute exercendo a forccedila Enfim deixaremos um pouco de lado essa questatildeo do

caacutelculo da forccedila magneacutetica pois jaacute sabemos como fazecirc-lo se conhecemos o campo no espaccedilo e vamos nos

concentrar agora no caacutelculo do campo magneacutetico ( ) de uma corrente estacionaacuteria

No nosso estudo de campos eleacutetricos comeccedilamos pela distribuiccedilatildeo de cargas eleacutetricas mais simples

uma uacutenica carga eleacutetrica pontual fixa no espaccedilo Atraveacutes da lei de Coulomb deduzimos a expressatildeo do campo

eleacutetrico dessa carga pontual Em seguida dado o princiacutepio da superposiccedilatildeo obtivemos uma expressatildeo para o

campo eleacutetrico de uma distribuiccedilatildeo de cargas qualquer

No nosso estudo do caacutelculo de campos magneacuteticos temos a pretensatildeo de trilhar um caminho anaacutelogo

A corrente eleacutetrica estacionaacuteria mais simples deve ser aquela que produz no espaccedilo o campo

magnetostaacutetico mais simples Esse deveria ser portanto nosso ponto de partida Comentamos no capiacutetulo 7

que a corrente eleacutetrica mais simples eacute a corrente eleacutetrica pontual apenas uma carga pontual se movendo

com velocidade Mas surge um problema aqui Jaacute comentamos tambeacutem que uma corrente eleacutetrica pontual

natildeo eacute o que poderiacuteamos chamar de uma corrente eleacutetrica estacionaacuteria Uma corrente pontual eacute de fato uma ( ) um pulso de corrente que viaja no espaccedilo pois soacute haacute corrente natildeo nula (transporte de carga eleacutetrica)

na posiccedilatildeo instantacircnea ocupada pela partiacutecula Nos outros pontos do espaccedilo a corrente eacute nula Uma corrente

337

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

pontual eacute portanto um pulso de corrente que viaja no espaccedilo (onde a partiacutecula estaacute o pulso de corrente

estaacute) Conclusatildeo a corrente pontual natildeo eacute um objeto da magnetostaacutetica Uma corrente pontual produz no

espaccedilo um campo magneacutetico complicado e dependente do tempo = ( ) Concluiacutemos entatildeo que natildeo

faz muito sentido comeccedilarmos o estudo da magnetostaacutetica discutindo o campo magneacutetico de uma corrente

natildeo estacionaacuteria Mas enfim haacute livros texto de eletromagnetismo que fazem assim assumindo algumas

hipoacuteteses de aproximaccedilatildeo Por isso vamos introduzir essa discussatildeo aqui do campo magneacutetico de uma

corrente pontual Mas eacute verdade que essa discussatildeo poderia ser simplesmente ignorada como ocorre em

alguns (muitos) livros textos que jaacute partem do resultado experimental para o campo magneacutetico de um fio fino

(lei de Biot-Savart) onde flui uma corrente constante No entanto devemos reconhecer que tomar como ponto

de partida o campo magneacutetico da corrente pontual tem seu valor didaacutetico estabelecendo um paralelo mais

evidente entre o campo magneacutetico e o campo eleacutetrico Eacute o que faremos em seguida

81 O Campo magneacutetico de uma corrente pontual com velocidade constante

Considere a corrente pontual mostrada na Figura 2 Uma

carga pontual se movendo com velocidade ao longo da

trajetoacuteria tracejada em verde O vetor eacute a posiccedilatildeo do ponto P em

relaccedilatildeo a Queremos comeccedilar entendendo por que essa corrente

pontual produz no ponto P um ( ) ou seja um campo natildeo

magnetostaacutetico

Se vocecirc pensar no campo eleacutetrico que jaacute estudamos vai

entender logo que o campo eleacutetrico que a carga cria em P natildeo eacute

um campo eletrostaacutetico Sabemos que o campo eleacutetrico depende da distacircncia e portanto um medidor de

campo eleacutetrico fixo em P mediria um campo natildeo eletrostaacutetico ( ) produzido por Se esse medidor

tivesse um ponteiro veriacuteamos esse ponteiro se mexer enquanto passeia por sua trajetoacuteria Enquanto se

aproxima de P o campo ( ) fica mais intenso enquanto se afasta o campo fica mais fraco Aleacutem disso a

direccedilatildeo (radial) de ( ) tambeacutem vai mudando com o tempo Trata-se de um campo natildeo eletrostaacutetico

Em princiacutepio poderiacuteamos imaginar que o campo eleacutetrico da carga moacutevel eacute simples que temos apenas

que considerar que no caso estaacutetico o vetor eacute constante e no caso da partiacutecula moacutevel essa posiccedilatildeo passa a

ser uma funccedilatildeo do tempo = ( ) e portanto ( ) = 4 rArr ( ) = 4 ( ) ( ) Mas essa natildeo eacute a expressatildeo correta para o campo eleacutetrico ( ) de uma partiacutecula que se move Isso fica

evidente quando levamos em conta que as mudanccedilas no campo eleacutetrico se propagam no espaccedilo com a

Figura 2 Uma carga pontual se move na trajetoacuteria em verde Qual o campo magneacutetico que ela produz em P

P

338

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

velocidade da luz que eacute grande mas eacute finita ( cong 300000 kms) A expressatildeo exata de ( ) deve ser tal

que leva em conta o efeito de retardamento ou seja ( ) deve estar definido por ( prime) sendo lt Isso

significa que o valor de ( ) estaacute definido pela posiccedilatildeo da partiacutecula no passado (em lt )

Esse mesmo fenocircmeno de retardamento acontece com as ondas sonoras Imagine que vocecirc esteja

ouvindo a fala de uma pessoa que estaacute parada a uma distacircncia = 100 m de vocecirc O som viaja no ar com uma

velocidade cong 340 ms Portanto o som que vocecirc estaacute ouvindo no instante foi emitido por essa pessoa no

instante = minus cong minus 029 s Esse retardamento de 029 s eacute fruto da velocidade finita de propagaccedilatildeo

do som no ar No instante vocecirc estaacute ouvindo o que a pessoa falou no passado em = minus Um

retardamento anaacutelogo mas com no lugar de caracteriza a propagaccedilatildeo no espaccedilo das mudanccedilas nos

campos eleacutetrico e magneacutetico Para = 100 m o retardamento eletromagneacutetico seria cong 3 times 10 s

Portanto para uma partiacutecula que se move lentamente podemos esperar que a mudanccedila em ( ) seja lenta

e que o efeito de retardamento seja muito pequeno nos permitindo utilizar a expressatildeo acima para ( ) como uma boa aproximaccedilatildeo para o campo eleacutetrico que a carga moacutevel gera em P

A Figura ao lado ilustra uma partiacutecula se deslocando ao longo de sua

trajetoacuteria (curva verde) com velocidade No instante o campo eleacutetrico ( ) no ponto P estaacute definido por ( ) com lt Se o movimento da

partiacutecula eacute suficientemente lento ( ≪ ) podemos dizer que prime cong que ( ) cong ( ) (a partiacutecula natildeo se desloca muito) e que vale portanto a

aproximaccedilatildeo ( ) = 4 ( ) ( ) ou seja ( ) eacute dado pela lei do campo eletrostaacutetico (lei de Coulomb) com ( ) no lugar da constante A

ldquoqualidaderdquo dessa aproximaccedilatildeo depende da condiccedilatildeo ≪ e tambeacutem do niacutevel de exigecircncia de quem a utiliza

Por exemplo quando aplicamos esse campo eleacutetrico aproximado ( ) dado acima (ou seu potencial eleacutetrico

associado) ao estudo dos niacuteveis de energia de um aacutetomo seja atraveacutes de um modelo simples de Bohr ou da

mecacircnica quacircntica de Schrodinger obtemos um resultado aproximado para esses niacuteveis de energia pois os

eleacutetrons estatildeo se movendo nos aacutetomos viajando em torno do nuacutecleo Sendo essas velocidades baixas

(comparadas com a velocidade da luz) os resultados obtidos para os niacuteveis de energia atocircmicos dentro dessa

aproximaccedilatildeo satildeo bastante satisfatoacuterios quando comparados aos resultados experimentais da espectroscopia

Para se obter resultados mais precisos no caacutelculo desses niacuteveis de energia devemos levar em conta correccedilotildees

relativiacutesticas ao campo ( ) (e ao seu potencial associado)

( )P

( prime)

339

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Tudo isso que discutimos para o campo ( ) acontece tambeacutem com o campo magneacutetico da

corrente pontual ( ) em P

Devemos desconfiar que o campo magneacutetico assim como os campos eleacutetrico e gravitacional depende

tambeacutem da distacircncia e que portanto um medidor de campo magneacutetico (uma buacutessola por exemplo) fixo em P

vai medirindicar um campo natildeo magnetostaacutetico ( ) produzido pela corrente pontual ( ) Uma corrente

pontual natildeo eacute uma corrente estacionaacuteria pois correntes estacionaacuterias produzem campos magnetostaacuteticos

(independentes do tempo) ( ) A expressatildeo de ( ) para uma corrente pontual qualquer eacute bastante complicada e com certeza

envolve o efeito de retardamento que jaacute discutimos anteriormente Apenas quando a velocidade de eacute

constante e suficientemente baixa ( ≪ ) haacute uma expressatildeo simples para ( ) Essa expressatildeo pode

portanto ser usada como ponto de partida para o estudo da magnetostaacutetica Apenas deve ficar claro que o

campo para a corrente pontual ( ) que estaremos estudando aqui eacute uma expressatildeo aproximada assim

como a expressatildeo de ( ) em termos da lei de Coulomb (eletrostaacutetica) que escrevemos acima

Aqui vamos encarar de forma praacutetica que existe um regime de baixas velocidades (em relaccedilatildeo agrave

velocidade da luz ) no qual o campo magneacutetico ( ) de uma corrente pontual ( ) com constante tem

uma expressatildeo simples ( ) Essa expressatildeo eacute ( ) = ( ) = 4 times

sendo o vetor que vai de ateacute o ponto P eacute a posiccedilatildeo do ponto

onde o campo magneacutetico estaacute sendo avaliado posiccedilatildeo medida em

relaccedilatildeo agrave carga conforme a Figura 3 ao lado Note que tendo em

conta que = podemos escrever esse campo na forma

( ) = 4 times

que deixa evidente o fato de que esse campo decai com o quadrado

da distacircncia ateacute a carga exatamente como ocorre com o campo

eleacutetrico de uma carga pontual (lei de Coulomb) Agraves vezes preferimos a primeira expressatildeo com no lugar de porque ela nos livra da ideia de que para calcular ( ) devemos calcular um vetor unitaacuterio A expressatildeo

para ( ) acima eacute o anaacutelogo da expressatildeo do campo eleacutetrico da carga pontual (lei de Coulomb) que usamos

como ponto de partida para nosso estudo da eletrostaacutetica ( ) eacute proporcional agrave carga da partiacutecula e decai

com o quadrado da distacircncia ateacute ela Mas note que se = 0 entatildeo ( ) = 0 uma partiacutecula estaacutetica produz

campo eleacutetrico mas natildeo produz campo magneacutetico

Figura 3 Uma carga pontual se move na trajetoacuteria em verde (MRU) Qual o campo magneacutetico que ela produz em P supondo de = | | eacute constante e pequeno

P

340

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Olhando na Figura 3 fica claro que se a partiacutecula de carga estaacute se movendo entatildeo = ( ) e que

portanto o campo ( ) depende do tempo pois ( ) = ( ( )) = 4 times ( )[ ( )]

( ) eacute um campo natildeo magnetostaacutetico Conforme jaacute discutimos ( ) natildeo leva em conta efeitos de

retardamento e apenas no regime constante e ≪ podemos considerar que essa expressatildeo eacute uma

aproximaccedilatildeo boa para o campo magneacutetico de uma corrente pontual

A constante na expressatildeo de ( ) eacute chamada de permeabilidade magneacutetica do vaacutecuo possuindo

um valor numeacuterico exato = 4 times 10 TmA A ideia aqui eacute similar agrave da constante na expressatildeo do

campo eleacutetrico Esse eacute o campo magneacutetico criado no espaccedilo na posiccedilatildeo pela partiacutecula de carga eleacutetrica

que estaacute se movendo no vaacutecuo ou seja natildeo haacute outras partiacuteculas carregadas se movendo no espaccedilo apenas a

partiacutecula de carga Se esse espaccedilo em que essa partiacutecula estaacute for preenchido por um meio material o ar por

exemplo o campo magneacutetico na posiccedilatildeo deixa de ser dado pela expressatildeo acima (que vamos chamar de ( )) Isso ocorre natildeo porque o campo magneacutetico de ( ( )) muda mas porque as outras partiacuteculas no

espaccedilo partiacuteculas que compotildeem esse meio material circundante tambeacutem geram campo magneacutetico em (elas

podem se magnetizar por exemplo devido agrave influecircncia de ( )) Basicamente na presenccedila de um meio

material o campo magneacutetico resultante em se torna ( ) = ( ) + ( ) = 4 times + ( ) Constatamos que para muitos meios materiais simples ocupando o espaccedilo os dois termos na

expressatildeo acima podem se juntar e o campo magneacutetico resultante em pode ser escrito como

( ) = 4 times

sendo a permeabilidade magneacutetica desse meio material Por exemplo se estaacute se movendo debaixo

drsquoaacutegua segue que ( ) = ( ) + Aacute ( ) = Aacute4 times

Resumindo ao trocar por na expressatildeo do campo magneacutetico da corrente pontual o campo

magneacutetico ( ) deixa de ser o campo que a corrente pontual faz no espaccedilo ( ( )) e passa a ser o campo

magneacutetico no espaccedilo devido agrave presenccedila da corrente pontual No caso do ar e da aacutegua vale cong (meios

com propriedades magneacuteticas despreziacuteveis) e basicamente facilitamos as coisas fazendo = Aacute =

Alguns materiais especiais como ligas de ferro cobalto e niacutequel podem apresentar permeabilidades

magneacuteticas bem maiores que o vaacutecuo algo como cong 10 Definindo a permeabilidade magneacutetica

341

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

relativa = podemos dizer que para esses materiais ≫ 1 Essa propriedade de

amplificaccedilatildeo do campo magneacutetico aplicado que no contexto atual seria algo como = + ≫

eacute fruto das propriedades magneacuteticas das partiacuteculas que compotildeem esses materiais conforme jaacute discutimos no

capiacutetulo anterior Basicamente ( ) orienta os momentos magneacuteticos intriacutensecos dos aacutetomos que compotildeem

o material e estes passam a criar eles mesmos um campo magneacutetico intenso ( ) que vai se juntar ao

campo ( ) para dar um campo magneacutetico resultante ( ) intenso Esses materiais com ≫ 1 ditos

materiais ferromagneacuteticos ldquomolesrdquo (os materiais ferromagneacuteticos ldquodurosrdquo satildeo usados na fabricaccedilatildeo de imatildes)

satildeo utilizados em muitas aplicaccedilotildees em que se necessita de campos magneacuteticos intensos produzidos por

solenoacuteides como em motores eleacutetricos transformadores chaves magneacuteticas (releacutes) etc

Voltando ao campo magneacutetico de uma corrente pontual (lenta) qual seja ( ) = 4 times

vamos considerar como exerciacutecio a situaccedilatildeo mostrado na Figura ao

lado Vamos calcular o campo magneacutetico produzido pela partiacutecula de

carga eleacutetrica gt 0 nos sete veacutertices do cubo de referecircncia que possui

lados de comprimento No nosso referencial vale = Portanto

( ) = 4 times

Para o veacutertice A vale = ( = ) e portanto

( ) = 4 times = 4 times = 4

Para o veacutertice C vale = + ( = radic2 ) e portanto

( ) = 4 times ( + )(radic2 ) = 12radic2 4

Note que (sendo o acircngulo entre e conforme a Figura 4)

( ) = 4 sen( )

Portanto obtemos os resultados acima se fizermos = 2 para o veacutertice A e = 4 para o veacutertice C

Para o veacutertice D vale = ( = 0) e segue que

( ) = 4 times = 0

x

y

z

A

D

C

E F

G H

342

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Natildeo haacute campo magneacutetico em nenhum ponto ao longo da linha de (eixo y nesse caso onde = 0)

Para o veacutertice E vale = + e obtemos

( ) = 4 times ( + )(radic2 ) = 12radic2 4 (minus ) Para o veacutertice F vale = e portanto

( ) = 4 times = 4 (minus ) Para o veacutertice G vale = + e obtemos

( ) = 4 times ( + )(radic2 ) = 12radic2 4 (minus + ) Finalmente para o veacutertice H vale = + + ( = radic3 ) e portanto

( ) = 4 times ( + + )(radic3 ) = 13radic3 4 (minus + ) Na Figura ao lado ilustramos (em azul) as setas do

campo magneacutetico nesses veacutertices Se insistirmos nessa

ideia e calcularmos o campo magneacutetico para vaacuterios outros

pontos no espaccedilo vamos nos convencer de que as setas de

estatildeo sempre tangentes aos ciacuterculos contidos no plano xz

(plano ortogonal a pois conteacutem um produto times )

centrados no eixo y (eixo de ) e orientadas no sentido

dado pela regra da matildeo direita (ilustrada na Figura)

apontado o polegar da matildeo direita no sentido de os

outros dedos dessa matildeo vatildeo girar no sentido das setas de

(para gt 0 no caso de lt 0 basta inverter as setas)

Portanto as linhas de campo de satildeo esses ciacuterculos

orientados nesse sentido

Na Figura ao lado ilustramos trecircs linhas de campo

para o campo magneacutetico produzido por uma corrente

pontual com gt 0 No caso lt 0 todas as setas de

invertem de sentido assim como as linhas de campo A matildeo

na Figura mostra a regra da matildeo direita para o sentido de

H

x

y

z

A

D

C

E F

G

343

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Finalmente podemos calcular a forccedila magneacutetica que uma corrente pontual faz em outra corrente

pontual Por exemplo vamos calcular a forccedila magneacutetica que um proacuteton de carga gt 0 faz em um eleacutetron de

carga ndash ambos se movendo conforme mostrado na Figura 4 abaixo (duas correntes pontuais) Note que no

instante mostrado nessa Figura o eleacutetron estaacute passando exatamente pelo veacutertice que chamamos de C no

exemplo anterior Portanto

( ) = (minus ) times ( ) com = (minus ) Tendo em vista nosso resultado anterior

para o campo magneacutetico em C obtemos

( ) = (minus ) (minus ) times 12radic2 4 = 12radic2 4 times= 12radic2 4

O proacuteton vai desviar a trajetoacuteria do eleacutetron empurrando ele na

direccedilatildeo do eixo y conforme ilustrado ao lado A forccedila magneacutetica

entre as correntes pontuais eacute proporcional ao produto das

cargas e decai com o quadrado da distacircncia entre elas como na

lei de Coulomb Se ou forem nulos entatildeo natildeo haacute forccedila magneacutetica mas

continua havendo forccedila eleacutetrica De fato a forccedila eleacutetrica atrativa entre esse

proacuteton e esse eleacutetron possui magnitude (da lei de Coulomb)

( ) = 14 radic2

Jaacute comentamos que a lei de Coulomb soacute vale mesmo se = = 0 (eletrostaacutetica) mas para baixas

velocidades a aproximaccedilatildeo eacute razoaacutevel A razatildeo entre a forccedila magneacutetica e a forccedila eleacutetrica eacute

( )( ) = 1radic2

Vemos que o produto ( ) tem que ter unidade de velocidade ao quadrado pois a razatildeo entre as

forccedilas eacute adimensional De fato eacute possiacutevel mostrar que = 1 sendo a velocidade da luz no vaacutecuo

( cong 300000 kms) Portanto vemos que no regime de baixas velocidades das partiacuteculas vale

( )( ) = 1radic2 cong 0

minus ( ) ( )

x

y

z

minus

Figura 4 duas correntes pontuais um eleacutetron e um proacuteton interagindo entre si

344

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Esse fato que estamos observando aqui eacute verdade em geral as forccedilas magneacuteticas entre partiacuteculas

carregadas satildeo em geral muito menores que as forccedilas eleacutetricas No entanto no contexto da interaccedilatildeo entre

correntes eleacutetricas fluindo em fios eletricamente neutros natildeo haacute forccedila eleacutetrica e a forccedila magneacutetica se torna a

uacutenica forccedila uma forccedila importante e uacutetil como no caso dos motores eleacutetricos

Para finalizar esse exemplo vamos calcular agora a forccedila magneacutetica que o eleacutetron faz no proacuteton

( ) = times 0

sendo = a velocidade do proacuteton e 0 o campo magneacutetico que o eleacutetron produz na origem onde

estaacute passando nesse instante o proacuteton

O eleacutetron estaacute no veacutertice que chamamos de C e vimos que a posiccedilatildeo de C em relaccedilatildeo agrave origem eacute = + ( = radic2 ) Portanto a posiccedilatildeo da origem em relaccedilatildeo ao veacutertice C eacute = minus = minus minus O campo magneacutetico que o eleacutetron gera nessa posiccedilatildeo onde estaacute o proacuteton eacute

0 = 4 (minus ) times

sendo = (minus ) a velocidade do eleacutetron Portanto (lembrando que times = minus )

0 = 4 (minus ) (minus ) times (minus )( + )radic2 = 12radic2 4

Concluindo (lembrando que times = minus ) ( ) = times 0 = times 12radic2 4 = 12radic2 4 (minus )

O eleacutetron vai desviar a trajetoacuteria do proacuteton empurrando ele na direccedilatildeo e sentido de ndashz

Notamos nesse exemplo que as forccedilas magneacuteticas entre partiacuteculas natildeo obedecem agrave terceira Lei de

Newton pois natildeo eacute verdade que ( ) = minus ( ) Uma forccedila ( ( )) estaacute ao longo de +y enquanto que a

outra forccedila ( ( )) estaacute ao longo de ndashz Portanto a forccedila magneacutetica resultante muacutetua nesse sistema de duas

partiacuteculas ( ( ) = ( ) + ( )) natildeo eacute nula Essa propriedade tem relaccedilatildeo com o fato dessas correntes

pontuais natildeo serem de fato estacionaacuterias

82 Campo magneacutetico de uma corrente constante em um fio fino qualquer

Agora vamos direcionar o formalismo para o caacutelculo de correntes estacionaacuterias fluindo em fios

condutores quaisquer que eacute um contexto de aplicaccedilatildeo mais comum Vamos utilizar a ideia fundamental do

caacutelculo integral e considerar que um fio fino transportando corrente eleacutetrica pode ser pensado como uma

345

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

sucessatildeo de segmentos infinitesimais de fio agrupados em uma fila ao longo do fio

Dessa forma de acordo com o princiacutepio da superposiccedilatildeo obteremos o campo

magneacutetico da corrente no fio atraveacutes da superposiccedilatildeo (da integral) dos campos

magneacuteticos dos infinitos segmentos infinitesimais que compotildeem o fio A Figura ao lado

ilustra essa ideia Queremos calcular o campo magneacutetico que a corrente eleacutetrica

constante no fio fino (em vermelho) produz no ponto P Para isso vamos obter primeiro um resultado mais

simples qual seja o campo magneacutetico infinitesimal ( ) que a corrente em um segmento infinitesimal

desse fio produz em P O vetor representa esse segmento infinitesimal de fio ele possui moacutedulo um

comprimento infinitesimal ao longo do fio eacute paralelo ao fio e possui o sentido da corrente no fio O vetor eacute a

posiccedilatildeo de P em relaccedilatildeo a

A ideia baacutesica eacute que um segmento infinitesimal de fio eacute um cilindro

reto de altura infinitesimal e aacuterea de seccedilatildeo transversal cong 0 O raciociacutenio

aqui lembra muito o que jaacute fizemos para calcular a forccedila magneacutetica sobre um

fio reto A Figura ao lado ilustra esse segmento de fio estaacutetico Dentro dele haacute

muitos ( ) portadores de carga gt 0 se movendo com velocidade de deriva

constituindo uma corrente eleacutetrica estacionaacuteria Cada portador de carga

produz no ponto (ou P daacute no mesmo) um campo magneacutetico ( ) A ideia eacute

calcular o campo magneacutetico infinitesimal ( ) produzido pela corrente no segmento infinitesimal de fio

atraveacutes do princiacutepio da superposiccedilatildeo

( ) = ( ) Sendo o segmento de fio infinitesimal e fino segue que a posiccedilatildeo do ponto em relaccedilatildeo ao segmento de fio eacute

a mesma posiccedilatildeo desse ponto em relaccedilatildeo a qualquer portador de carga dentro dele Portanto somar sobre os

portadores se resume a multiplicar pelo nuacutemero total de portadores dentro do segmento de fio

( ) = ( ) = ( ) Para tornar essa expressatildeo mais simples e amigaacutevel podemos escrever = sendo a densidade de

portadores por unidade de volume uma caracteriacutestica do material de que eacute feito o fio a aacuterea (pequena) da

seccedilatildeo transversal do fio e o comprimento infinitesimal (altura) do fio ( eacute o volume infinitesimal do

segmento de fio) Portanto ( ) = ( ) = 4 times

P

P

346

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Utilizamos aqui o campo magneacutetico aproximado para uma corrente pontual com baixa velocidade Essa

hipoacutetese eacute perfeitamente satisfeita para portadores de carga se movendo com velocidade de deriva dentro de

um fio Lembrando que = eacute o vetor densidade de corrente no fio obtemos

( ) = 4 times

A corrente no fio eacute dada por

= ∙ =

admitindo que eacute uniforme na seccedilatildeo transversal do fio (o que razoaacutevel para correntes CC ou CA de baixas

frequumlecircncias e ainda para um fio fino)

Vemos portanto que o campo magneacutetico do segmento de fio envolve explicitamente o produto

que estaacute bem proacuteximo da relaccedilatildeo = De fato eacute um vetor que tem moacutedulo direccedilatildeo paralela a

ou seja paralela ao fio e o sentido da corrente (paralelo a para o caso gt 0) Entatildeo para explicitar na

expressatildeo do campo definimos um vetor unitaacuterio paralelo ao segmento de fio e orientado no sentido da

corrente de tal forma que = =

Substituindo na expressatildeo do campo magneacutetico obtemos finalmente

( ) = 4 times = 4 times = 4 times

Nessa expressatildeo definimos o vetor comprimento = ou seja eacute um vetor paralelo ao segmento

infinitesimal de fio de moacutedulo igual ao comprimento do segmento de fio e orientado no sentido da corrente

no fio Concluindo a corrente eleacutetrica constante fluindo em um segmento infinitesimal de fio fino produz

em sua vizinhanccedila o campo magneacutetico infinitesimal ( ) = 4 times

Note que a hipoacutetese de que o fio eacute fino (basicamente um objeto unidimensional uma curva no espaccedilo) torna o

vetor assim com a distacircncia bem definidos na expressatildeo acima A mesma coisa acontece com o vetor

que eacute paralelo ao fio Para um fio grosso todas essas grandezas se tornariam ambiacuteguas e precisariacuteamos

expressar ( ) em termos de e de um volume infinitesimal Na praacutetica a hipoacutetese de um fio fino ou

filamentar natildeo eacute absurda ou irrealista Muitos fios condutores possuem seccedilotildees transversais pequenas com

raios de poucos miliacutemetros e considerar que esses fios satildeo apenas um filamento uma curva que se estende

no espaccedilo eacute perfeitamente razoaacutevel Vamos nos limitar a esse caso mais simples aqui

347

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

A Figura ao lado ilustra (em azul) o vetor em trecircs posiccedilotildees

diferentes na vizinhanccedila de um segmento de fio onde circula uma

corrente constante eacute sempre ortogonal ao plano formado por

e e tem moacutedulo dado por

= 4 sen( )

sendo o acircngulo entre os vetores e Ao longo da linha reta que

passa por por exemplo = 0 pois para pontos nessa linha vale = 0deg ou = 180deg Essas propriedades de foram herdadas do

campo magneacutetico da corrente pontual

As linhas de campo de ( ) satildeo ciacuterculos no plano ortogonal ao vetor

( times eacute ortogonal a ) centrados na linha reta que passa por e orientados de

acordo com a regra da matildeo direita apontado o polegar da matildeo direita

paralelamente ao segmento de fio no sentido de os outros dedos dessa matildeo

vatildeo girar no sentido das linhas do campo A Figura ao lado ilustra essa ideia

(linhas de em azul) Essas propriedades de foram herdadas do campo magneacutetico da corrente pontual

Note que a corrente constante fluindo em um segmento infinitesimal de fio estaacutetico constitui uma

corrente estacionaacuteria A corrente eleacutetrica eacute constantemente sobre o segmento infinitesimal de fio que estaacute

estaacutetico e constantemente nula fora dele A corrente nesse segmento infinitesimal de fio fino contribui para

o campo magneacutetico no espaccedilo com um campo magneacutetico infinitesimal dado por

( ) = 4 times

sendo uma posiccedilatildeo qualquer no espaccedilo posiccedilatildeo fixa (constante no tempo) medida em relaccedilatildeo ao segmento

infinitesimal de fio Nada na expressatildeo acima eacute dependente do tempo Essa eacute a chamada lei de Biot-Savart

Diferentemente do raciociacutenio dedutivo que estamos fazendo aqui basicamente um recurso didaacutetico a

lei de Biot-Savart foi extraiacuteda de resultados experimentais para a forccedila entre segmentos de fios transportando

correntes obtidos por Jean Baptiste Biot e Felix Savart (e outros) e possui portanto dentro da

magnetostaacutetica um status comparaacutevel ao da lei de Coulomb na eletrostaacutetica A lei de Biot-Savart eacute um fato

experimental de onde poderiacuteamos ter comeccedilado nosso estudo da magnetostaacutetica (muitos livros didaacuteticos

utilizam esse caminho)

P

348

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Assumindo a validade da lei de Biot-Savart como um fato experimental poderiacuteamos inverter agora a

ordem de raciociacutenio e deduzirmos a expressatildeo do campo magneacutetico de uma corrente pontual Basicamente

temos que voltar nosso raciociacutenio no sentido inverso e considerar que = = = ( ) = =

ou seja para = 1 portador apenas vale = Obtemos portanto o campo magneacutetico de uma

corrente pontual (fazendo = uma velocidade qualquer)

( ) = ( ) = 4 times

Apesar de ser um raciociacutenio razoaacutevel natildeo podemos nos esquecer que uma corrente pontual natildeo eacute

uma corrente constante no tempo como jaacute discutimos anteriormente Uma corrente pontual eacute de fato um

pulso (muito concentrado) de corrente que viaja no espaccedilo uma ( ) Portanto no raciociacutenio acima deve

ficar claro que enquanto ( ) eacute exato pois uma corrente constante fluindo em um segmento infinitesimal

de fio estaacutetico constitui de fato uma corrente estacionaacuteria o resultado obtido acima para o campo magneacutetico ( ) de uma corrente pontual eacute apenas uma aproximaccedilatildeo para baixas velocidades caso em que o pulso de

corrente (a partiacutecula) viaja lentamente no espaccedilo

Finalmente repetimos ao lado a primeira Figura que apresentamos nessa seccedilatildeo a

de um fio fino de forma arbitraacuteria (curva vermelha) transportando uma corrente eleacutetrica

constante Queremos calcular o campo magneacutetico que essa corrente produz no ponto P

mostrado De acordo com nosso resultado anterior e o princiacutepio da superposiccedilatildeo esse

campo eacute dado por

( ) = ( ) = 4 times = 4 times

que tambeacutem chamamos de lei de Biot-Savart (historicamente a expressatildeo acima para foi a primeira a ser

descoberta antes de e a partir de medidas da forccedila magneacutetica produzida por fios transportando

correntes eleacutetricas) A integral deve varrer toda a extensatildeo do fio ou seja devemos imaginar o vetor

percorrendo a curva descrita pelo fio filamentar enquanto avaliamos os vetores e as distacircncias e vamos

realizando a soma representada pela integral

Um exemplo simples de aplicaccedilatildeo da lei de Biot-Savart eacute o caacutelculo do campo

magneacutetico produzido pela corrente constante que flui em uma espira circular A

Figura ao lado ilustra essa ideia O fio eacute fino e tem a forma de um ciacuterculo de raio R

Para simplificar vamos calcular o campo apenas no ponto P mostrado que eacute um

P

z

P

R

349

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

ponto qualquer sobre o eixo de simetria (z) da espira Vamos chamar de a

distacircncia de P ateacute o centro da espira Primeiramente destacamos um elemento

infinitesimal ao longo da espira que nesse caso seraacute tangente ao ciacuterculo e

portanto ortogonal ao raio da espira A Figura ao lado resume todas as

informaccedilotildees que precisamos para calcular ( ) Primeiro vamos calcular a

contribuiccedilatildeo da corrente em um segmento de espira ( ) = 4 times

eacute representado pela seta verde na Figura Fato eacute que e satildeo sempre ortogonais entre si e portanto times = sen(90deg) = Segue que (o tamanho da seta verde na Figura eacute)

( ) = 4 times = 4 = 4

O vetor ( ) tem esse moacutedulo e a direccedilatildeo mostrada na Figura formando sempre um acircngulo com o eixo z

Se imaginarmos o vetor percorrendo a espira circular podemos enxergar o vetor

percorrendo a superfiacutecie de um cone em torno do eixo z conforme a Figura ao

lado Natildeo eacute difiacutecil acreditar que por simetria ao somarmos todos os sobre esse

cone soacute restaratildeo somadas as componentes z desses vetores As componentes fora

do eixo z se cancelam mutuamente Portanto se escrevermos ( ) = ( ) cos( ) + ⋯ Vemos que

( ) = ( ) = ( ) cos( ) + ⋯ = ( ) cos( ) Para aqueles que estatildeo familiarizados com o sistema de coordenadas ciliacutendricas esse resultado pode

ser demonstrado facilmente se notarmos que = minus sendo um vetor unitaacuterio na direccedilatildeo do raio

ciliacutendrico e que = sendo um vetor unitaacuterio tangente aos ciacuterculos no plano ortogonal ao eixo z e

centrados no eixo z Portanto times = times ( minus ) = ( + ) Logo o vetor tem as

componentes

= 4 times = 4 [ + ]

Agora podemos mostrar facilmente que tem integral nula se integramos os s ao longo de toda a espira

circular De fato sendo = cos( ) + sen( ) e = segue que a integral (em de 0 a 2 ) de eacute

nula restando apenas a componente z de a ser integrada

z P

R

z P

R

350

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Continuando entatildeo o caacutelculo de ( ) como vale que cos( ) = obtemos

( ) = 4

Agora vamos retirar do siacutembolo de integral todas as grandezas que permanecem constantes enquanto

o percorre a espira circular De fato vemos que tudo e constante e que portanto

( ) = 4 = 4 2 = 2 levando em conta que a soma de eacute o comprimento do ciacuterculo de raio Finamente podemos ver que = radic + Logo (lembrando que (radic ) = ) ( ) = ( ) = 2 ( + )

Natildeo podemos deixar de reparar que lembra a aacuterea do disco delimitado pela espira circular e que jaacute

definimos na seccedilatildeo 73 o momento de dipolo magneacutetico de uma espira plana qualquer como sendo =

sendo a corrente na espira a aacuterea plana delimitada pela espira e um vetor normal a essa aacuterea plana

orientado de acordo com a regra da matildeo direita apropriada (dedos no sentido de polegar no sentido de )

Portanto para a espira circular mostrada nas Figuras acima vale = = Logo o campo magneacutetico axial da espira circular pode ser expresso como

( ) = 2 ( + ) Juntando esse resultado com o obtido na seccedilatildeo 73 para o torque sobre uma espira em um campo

magneacutetico uniforme entendemos que o momento de dipolo magneacutetico eacute uma grandeza crucial para definir

as propriedades magneacuteticas de um circuito qualquer define a intensidade da reaccedilatildeo do circuito a um

estiacutemulo externo (o torque nele) e define tambeacutem a accedilatildeo que o proacuteprio circuito tem (o campo magneacutetico dele)

sobre outros circuitos proacuteximos

No graacutefico ao lado ilustramos o comportamento de ( ) versus

Note que a expressatildeo que obtivemos vale tambeacutem para lt 0 O campo

magneacutetico tem um maacuteximo no centro da espira onde ele assume o valor

( = 0) = 2

351

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

e depois decai a zero rapidamente quando nos afastamos da espira Para ≫ o decaimento se daacute com 1 que eacute o mesmo comportamento do campo eleacutetrico de um dipolo eleacutetrico

A corrente na espira circular produz campo magneacutetico no espaccedilo todo

e a Figura ao lado ilustra como seriam algumas linhas de campo para esse caso

Noacutes calculamos aqui o campo no caso mais simples apenas sobre o eixo de

simetria da espira correspondente agrave linha de campo axial que vai de um

infinito a outro passando pelo centro da espira O caacutelculo de em pontos fora

do eixo z eacute bastante complicado e preferimos nem tentar fazer isso aqui Note

na Figura a regra da matildeo direita para determinar o sentido do campo

magneacutetico na regiatildeo central de uma espira qualquer dedos no sentido de

polegar no sentido de (o polegar aponta no sentido do polo S para o polo N da espira que eacute o sentido de )

Imagine que uma partiacutecula de carga eleacutetrica gt 0 esteja passando pelo

centro dessa espira circular com velocidade radial conforme a Figura ao lado

Vamos calcular a forccedila magneacutetica que a corrente na espira faz nessa partiacutecula Jaacute

adotamos um referencial direito xyz para ajudar nos caacutelculos A velocidade da

partiacutecula eacute = e o campo magneacutetico na posiccedilatildeo em que ela estaacute eacute

(0) = 2 = 2 Portanto a forccedila magneacutetica na partiacutecula eacute

( ) = times (0) = times 2 = 2 times = 2 (minus ) Essa partiacutecula vai ser empurrada na direccedilatildeo ndashy conforme a Figura ao lado e vai

descrever uma trajetoacuteria curva a partir dessa posiccedilatildeo Quando a partiacutecula sair da

origem o campo magneacutetico jaacute vai ser outro e a forccedila magneacutetica vai mudar Portanto

eacute difiacutecil prever qual vai ser exatamente a trajetoacuteria dessa partiacutecula Sabemos apenas

que ela vai sair da origem sendo puxada na direccedilatildeo de ndashy Note que nesse caso natildeo

haacute forccedila eleacutetrica entre a espira e a partiacutecula pois a espira eacute por hipoacutetese

eletricamente neutra

Jaacute comentamos no capiacutetulo anterior que as linhas de campo magneacutetico da

corrente constante em um fio reto satildeo ciacuterculos no plano ortogonal ao fio e

centradas no fio conforme ilustrado na Figura ao lado Isso parece razoaacutevel tendo

em vista que essa eacute uma propriedade do campo magneacutetico de uma corrente

z

x

y

z

z

x

y

(0)( )

352

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

pontual e tambeacutem da corrente em um segmento infinitesimal (reto) de fio

De fato imagine que o fio se estende ao longo do eixo z Entatildeo = e

( ) = 4 times = 4 times

Portanto vemos logo que ( ) (e ( )) estaacute no plano ortogonal ao fio pois times eacute

ortogonal ao eixo z Na Figura ao lado o ( ) (seta azul) estaacute apontando para fora

do plano da paacutegina supondo que e o eixo z (o fio) estatildeo no plano da paacutegina O raio

eacute a distacircncia do fio ao ponto onde estaacute sendo avaliado

Para aqueles familiarizados com o sistema de coordenadas ciliacutendricas basta

decompor = + sendo o raio das coordenadas ciliacutendricas (a distacircncia do

ponto de coordenada ao eixo z) e notar que times = times ( + ) = sendo

um vetor unitaacuterio tangente aos ciacuterculos no plano ortogonal ao eixo z e centrados

no eixo z A Figura ao lado ilustra essas ideiais que satildeo basicamente as de um

sistema de coordenadas ciliacutendricas que eacute mais apropriado para descrever essa

situaccedilatildeo Em um sistema de coordenadas cartesianas podemos nos referir agrave Figura

ao lado e obter = + times = times ( + ) =

( ) = 4 ( + )

Apenas devemos notar que eacute a distacircncia de P ao fio ou seja

eacute o mesmo que o raio ciliacutendrico definido anteriormente e que eacute a

direccedilatildeo tangente a um ciacuterculo de raio centrado no fio e que passa por

P ou seja que = para o ponto P

Vamos considerar agora o problema especiacutefico de calcular o

campo magneacutetico em um ponto central P equumlidistante das duas

extremidades de um fio reto de comprimento L onde circula uma

corrente constante A Figura ao lado ilustra essa ideia em que

adotamos um referencial com o eixo z ao longo do fio que se estende

desde = minus 2 ateacute = 2

y

z

x

P

z

P

s

= minus2 = 2 = 0

353

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Na Figura ao lado definimos um segmento de fio localizado em uma

posiccedilatildeo ao longo do fio ( le le ) O vetor posiccedilatildeo de P faz um acircngulo

com o eixo z ou seja com Na Figura representamos o vetor saindo do plano

da paacutegina atraveacutes do siacutembolo ⨀ Como times = sen( ) segue que

= 4 sen( )

e que = 4 sen( ) ⨀

Nessa uacuteltima expressatildeo definimos o vetor unitaacuterio ⨀ que sai ortogonalmente do plano da paacutegina em P

Notamos ainda na Figura que

= + e sen( ) =

Portanto ( ) = 4 times = 4 ( + ) ⨀

Note que radic = e que vale = Tudo que temos que fazer agora eacute considerar que varre toda a

extensatildeo desse fio reto ou seja que sua posiccedilatildeo varia desde ateacute que satildeo as posiccedilotildees das extremidades

do fio no eixo z

Obtemos

( ) = ( ) = 4 times = 4 ⨀ ( + ) = 4

1+ ( 2) ⨀ Para um fio muito longo infinito para todos os efeitos obtemos o campo magneacutetico em P

( ) = limrarr 4 + ( 2) ⨀ = 4 2⨀ = 2 ⨀ Note que o resultado para ( ) no caso do fio de tamanho soacute vale para pontos equumlidistantes das

duas extremidades do fio No caso do fio infinito a expressatildeo de ( ) acima vale para qualquer ponto no

espaccedilo pois qualquer ponto estaacute infinitamente equumlidistante das duas extremidades de um fio infinito Note

tambeacutem que a direccedilatildeo especiacutefica ⨀ se refere em geral agrave direccedilatildeo tangente aos ciacuterculos centrados no fio (o

das coordenadas ciliacutendricas)

P ⨀

354

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Como aplicaccedilatildeo desse resultado vamos calcular a forccedila

magneacutetica que uma corrente fluindo em um fio reto infinito (em

verde) faz em outra corrente que flui em um fio reto paralelo a ele

de comprimento (em vermelho) A distacircncia entre os fios eacute

conforme a Figura ao lado O cubo tracejado serviraacute de referecircncia

A forccedila magneacutetica na corrente no fio 2 eacute

( ) = times

eacute o campo magneacutetico da corrente no fio longo que eacute avaliado nos

pontos P do espaccedilo ocupados pelo fio 2 Vimos acima que nos

pontos P ocupados pelo fio 2 eacute dado em geral por ( ) = 2 (minus ) com o raio = que eacute a distacircncia entre os fios A direccedilatildeo minus eacute a direccedilatildeo tangente aos ciacuterculos centrados no

fio 1 e que passam pelo fio 2 ciacuterculos orientados de acordo com a regra da matildeo direita par o fio reto (polegar

no sentido de outros dedos no sentido de )

Substituindo essa expressatildeo na integral da forccedila obtemos

( ) = times 2 (minus )

Enfim podemos notar que apesar de natildeo ser um campo uniforme no espaccedilo eacute um campo uniforme sobre

o fio 2 Portanto podemos interromper o caacutelculo dessa integral e passar diretamente para a expressatildeo da

forccedila sobre um fio reto que estaacute em um campo magneacutetico uniforme

( ) = times

com = Concluindo

( ) = times = times 2 (minus ) = 2 (minus ) Note que o fio 2 vai ser atraiacutedo pelo fio 1 De fato os fios vatildeo se atrair mutuamente Se as correntes

tivessem sentidos opostos elas se repeliriam mutuamente

Essas satildeo basicamente as forccedilas que produzem os torques responsaacuteveis pelo giro de um motor

eleacutetrico forccedilas das correntes nos solenoacuteides do estator nas correntes nos solenoacuteides do rotor Os solenoacuteides

apenas multiplicam o nuacutemero de fios digamos e multiplicam portanto as forccedilas por Havendo um

x

y

z

355

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

material magneacutetico nos nuacutecleos dos solenoacuteides uma liga de ferro por exemplo haveraacute ainda uma

multiplicaccedilatildeo da forccedila pela permeabilidade relativa desse material de tal forma que seraacute substituiacutedo

por = na expressatildeo da forccedila Sendo ≫ 1 essa tecnologia nos permite produzir motores

eleacutetricos com torques bastante intensos

83 A lei de Ampegravere

O formalismo desenvolvido acima para a magnetostaacutetica forccedilas e campos magneacuteticos possui uma

similaridade evidente com o formalismo da eletrostaacutetica forccedilas e campos eleacutetricos Mas eacute verdade que o

formalismo da magnetostaacutetica eacute matematicamente menos amigaacutevel pois envolve muitos produtos vetoriais e

suas regras da matildeo direita associadas O contraste mais evidente entre os formalismos eacute a ausecircncia de

monopolos magneacuteticos os poacutelos N e S isolados que seriam os anaacutelogos das cargas eleacutetricas + e ndash isoladas

como os proacutetons e os eleacutetrons Esse contraste estaacute estabelecido formalmente nas duas leis de Gauss

= ∙ = = ∙ = 0

Na eletrostaacutetica a lei de Gauss diz que o fluxo do campo eleacutetrico em uma superfiacutecie fechada

qualquer (superfiacutecie gaussiana) orientada por um campo de vetores normais apontando para fora dela eacute igual

ao saldo de carga eleacutetrica dentro dessa superfiacutecie dividido por Na magnetostaacutetica a lei de Gauss diz que o

fluxo do campo magneacutetico em uma superfiacutecie gaussiana qualquer eacute nulo As linhas de forccedila de nascem e

morrem nas cargas eleacutetricas ou seja nos monopolos eleacutetricos e essas linhas podem atravessar uma superfiacutecie

fechada em um sentido apenas contribuindo para se essas cargas estiverem englobadas pela superfiacutecie

fechada No caso magneacutetico natildeo haacute monopolos magneacuteticos e as linhas de satildeo sempre fechadas (ou se

estendem de um infinito a outro) Toda linha de que entra em uma SG sai natildeo contribuindo para

A lei de Ampegravere que estudaremos agora estabelece outro contraste marcante entre a eletrostaacutetica e a

magnetostaacutetica Na eletrostaacutetica vimos que o campo eleacutetrico eacute conservativo ou seja

∙ = 0

para qualquer curva (ou caminho) fechada Os vetores satildeo deslocamentos infinitesimais paralelos a essa

curva Sendo a forccedila eleacutetrica dada por a interpretaccedilatildeo dessa integral eacute simples O campo eletrostaacutetico natildeo

realiza trabalho (o saldo eacute nulo) em uma partiacutecula que descreve um percurso fechado Isso ocorre tambeacutem

com a forccedila gravitacional e essas forccedilas satildeo ditas conservativas Na magnetostaacutetica a lei de Ampegravere diz que a

integral anaacuteloga

356

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

pode ser natildeo nula Note que natildeo estamos discutindo aqui sobre o fato de ser conservativo ou natildeo pois a

forccedila magneacutetica natildeo eacute paralela a pelo contraacuterio ( ) = times eacute sempre ortogonal a Portanto a

integral acima natildeo eacute o trabalho da forccedila magneacutetica (jaacute vimos que o trabalho da forccedila magneacutetica eacute sempre nulo

em qualquer caminho aberto ou fechado posto que ( ) eacute sempre ortogonal a e a ) Chamamos essa

integral acima de circulaccedilatildeo de no caminho fechado Fato eacute que vimos que as linhas de satildeo sempre

fechadas envolvendo as correntes eleacutetricas que produzem esse Portanto o que a lei de Ampegravere afirma eacute

que se realizarmos a integral acima em um caminho que envolve uma corrente eleacutetrica essa integral seraacute natildeo

nula pois vai circular juntamente com

Enfim aqui vamos assumir a lei de Ampegravere como sendo um fato experimental e vamos nos concentrar

mais em discutir o que podemos extrair da validade dessa lei da natureza

A lei de Ampegravere diz que

∙ =

Sendo

eacute o campo magneacutetico no espaccedilo qualquer campo magneacutetico estaacutetico

eacute uma curva fechada qualquer orientada em um dado sentido arbitraacuterio (curva amperiana)

eacute um campo de vetores comprimento infinitesimais tangentes agrave curva e orientados no sentido

(arbitraacuterio) da orientaccedilatildeo de

eacute a corrente que passa por dentro da curva atravessando uma superfiacutecie aberta que tem essa

curva como borda

A integral eacute uma soma do produto escalar ∙ (uma projeccedilatildeo) ao

longo de toda a extensatildeo da curva fechada (essa integral eacute chamada de

circulaccedilatildeo de na curva ) A bolinha no siacutembolo de integral serve para nos

lembrar que a lei de Ampegravere soacute se aplica a curvas fechadas Esqueccedila a lei de

Ampegravere para curvas abertas ela natildeo faz sentido

A Figura 5 ao lado ilustra essas ideacuteias Considere que haacute no espaccedilo

quatro fios onde circulam as correntes eleacutetricas e Nesse espaccedilo haacute

Figura 5 Uma curva fechada qualquer engloba algumas

correntes e outras natildeo

357

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

um campo magneacutetico complicado que eacute a superposiccedilatildeo dos campos magneacuteticos dessas quatro correntes ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) As linhas de devem ser tambeacutem linhas complicadas e nem vamos tentar representaacute-las mas

sabemos que elas satildeo fechadas Imaginamos uma curva fechada (em roxo) nessa regiatildeo do espaccedilo Uma

curva qualquer plana ou natildeo mas fechada Orientamos essa curva em um sentido arbitraacuterio o sentido da

setinha na curva eacute um campo de vetores comprimento infinitesimais tangentes agrave curva com o sentido da

orientaccedilatildeo da curva Aconteceu dessa curva arbitraacuteria englobar as correntes eleacutetricas e ou seja os fios

que transportam essas correntes passam por dentro da curva A corrente ficou passando por fora da

curva Nesse sentido chamamos e de correntes internas agrave curva Nesse caso a lei de Ampegravere diz

que

∙ = = ( minus + ) Note entatildeo o poder da lei de Ampegravere Natildeo sabemos quase nada sobre e pode ter certeza que ele eacute

um campo bem complicado Sabemos apenas que as linhas de satildeo fechadas ou seja sabemos que eacute um

campo magnetostaacutetico conforme jaacute estudado Natildeo sabemos nada tambeacutem sobre a curva apenas que ela eacute

fechada orientada no sentido mostrado na Figura 6 e que ela engloba e Mesmo com todas essas

liberdades que ainda sobraram a lei de Ampegravere diz que se integrarmos ∙ ao longo de no final dessa

conta vamos obter o resultado simples ( minus + ) Mais adiante usaremos essa liberdade para

transformar a lei de Ampegravere em uma ferramenta para o caacutelculo de

campos magneacuteticos

Ainda falta justificar os sinais das correntes em = minus + Esses sinais satildeo dados pela regra da matildeo direita ilustrada na Figura 6

ao lado Circulando com os dedos da matildeo direita no sentido da

orientaccedilatildeo da curva o polegar apontaraacute no sentido das correntes que

devem ser computadas como positivas Vemos que e estatildeo no

mesmo sentido do polegar e devem receber o sinal + no caacutelculo de

A corrente estaacute oposta ao polegar e deve receber um sinal negativo

Natildeo eacute muito difiacutecil demonstrar a validade da lei de Ampegravere a

partir da lei de Biot-Savart (apenas adicionando uma hipoacutetese de que as correntes satildeo fechadas ou seja que

satisfazem a lei dos noacutes = em qualquer ponto do espaccedilo) mas vamos deixar essa demonstraccedilatildeo de

lado e nos concentrarmos mais em entender essa lei da magnetostaacutetica Existe apenas um caso particular

Figura 6 Regra da matildeo direita para a lei de Ampegravere

358

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

simples em que podemos verificar a validade da lei de Ampegravere Considere um fio reto e longo (infinito) onde

circula uma corrente constante O campo magneacutetico da corrente nesse fio eacute

( ) = 2

sendo um ponto qualquer do espaccedilo a uma distacircncia do fio eacute um vetor

unitaacuterio tangente a um ciacuterculo que passa por e que estaacute em um plano

ortogonal ao fio e centrado no fio eacute orientado no sentido da regra da matildeo

direita para o fio reto polegar no sentido de outros dedos no sentido de

( e satildeo as duas coordenadas ciliacutendricas aleacutem da coordenada z se o fio

estaacute ao longo do eixo z) A Figura ao lado ilustra uma parte desse fio (em azul)

e duas curvas fechadas e orientadas que englobam o fio A curva (em

verde) eacute uma curva qualquer e a curva eacute um ciacuterculo centrado no fio em um plano ortogonal ao fio A regra

da matildeo direita estaacute ilustrada na Figura ou seja o polegar estaacute no sentido de e os outros dedos estatildeo no

sentido do campo magneacutetico da corrente no fio reto A lei de Ampegravere diz que (aproveitando a mesma matildeo

direita da Figura para ver que tendo em vista os sentidos de orientaccedilatildeo das duas curvas = + )

∙ = ∙ =

Quanto agrave integral na curva preferimos deixar para laacute Para a curva podemos provar que esse resultado

eacute verdadeiro De fato sabemos que as linhas de forccedila de satildeo ciacuterculos como a proacutepria curva e que

portanto sobre esse ciacuterculo de raio vale

( ) ∙ = ( ) ∙ cos(0deg) = ( = ) = 2 Concluindo

∙ = 2 = 2 = 2 2 = Ou seja a circulaccedilatildeo de na curva amperiana circular eacute Para a curva amperiana arbitraacuteria vamos

assumir aqui que esse resultado tambeacutem eacute verdadeiro

Aqui vamos estar interessados em utilizar a lei de Ampegravere para calcular o campo magneacutetico de

algumas distribuiccedilotildees de correntes eleacutetricas com simetrias simples A ideia eacute similar agravequela que utilizamos para

a lei de Gauss

Recapitulando a lei de Ampegravere diz que

359

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

∙ =

sendo C uma curva fechada qualquer (curva amperiana) orientada vetores comprimento infinitesimal

tangentes agrave curva C com sentido ao longo da orientaccedilatildeo de C e a corrente interna agrave essa curva ou seja o

saldo de corrente que atravessa uma superfiacutecie aberta delimitada pela curva C Essa corrente possui um sinal

de acordo com a orientaccedilatildeo de C Orientando os dedos da matildeo direita no sentido da orientaccedilatildeo de C o

polegar dessa matildeo vai definir o sentido positivo das correntes que contribuem para Para transformar

essa equaccedilatildeo em uma equaccedilatildeo para ou mais especificamente para = pois a integral envolve um

produto escalar de devemos ser capazes de retirar a funccedilatildeo de dentro do siacutembolo de integral Mas

apenas constantes podem sair do siacutembolo de integral constantes que seratildeo definidas pelas variaacuteveis de

integraccedilatildeo contidas em ou mais especificamente em = O ldquopulo do gatordquo consiste entatildeo em se

utilizar a liberdade que temos na escolha da curva de tal forma que a funccedilatildeo saia de dentro da integral na

lei de Ampegravere Devemos escolher a curva tal que natildeo dependa da variaacutevel de integraccedilatildeo ao longo da

curva Para fazer essa escolha devemos saber agrave priori de quais variaacuteveis a funccedilatildeo depende (e a direccedilatildeo de

) ou seja devemos conhecer a simetria do campo para a corrente eleacutetrica particular que estamos

estudando Vemos entatildeo que a ideia aqui eacute muito parecida com a que utilizamos na aplicaccedilatildeo da lei de Gauss

para o caacutelculo de campos eleacutetricos

O exemplo mais simples que podemos dar de aplicaccedilatildeo dessa ideacuteia eacute novamente o fio reto infinito

transportando uma corrente constante Suponha que natildeo soubeacutessemos o campo magneacutetico dessa

corrente Como podemos usar a lei de Ampegravere para calcular esse campo Primeiramente teremos que

descobrir de que conjunto de variaacuteveis depende e qual a direccedilatildeo que deve ter no espaccedilo (para podermos

realizar o produto escalar na lei de Ampegravere) O raciociacutenio que leva ao conhecimento da simetria de natildeo eacute

simples mas com um pouco de experiecircncia vamos nos acostumando com a ideia

Para o fio reto (que eacute um cilindro) o sistema de coordenadas mais conveniente

eacute o ciliacutendrico ilustrado na Figura ao lado O fio estaacute deitado ao longo do eixo z A

coordenada z eacute a distacircncia ao longo desse eixo e o vetor unitaacuterio aponta ao longo de z

O raio medido em relaccedilatildeo ao eixo z eacute a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo desse

raio (no sentido crescente dele) eacute O acircngulo de giro em torno do eixo z eacute a coordenada

e o vetor unitaacuterio ao longo do aumento dessa coordenada eacute O sentido de eacute dado pela regra da matildeo

direita polegar no sentido de z os outros dedos apontam no sentido de Se vocecirc olhar o eixo z de frente vai

ver o no sentido anti-horaacuterio Nesse sistema de coordenadas o campo magneacutetico do fio reto infinito pode

ser escrito como (na pior das hipoacuteteses)

z

360

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = ( ) + ( ) + ( )

Essas trecircs componentes de estatildeo ilustradas na Figura ao lado Note agora que variar

a coordenada z eacute andar ao longo do fio e sendo ele infinito nada muda quando

fazemos isso Portanto ( ) em um ponto qualquer eacute igual ao ( ) em outro ponto

com coordenada z (apenas) diferente pois esses pontos tecircm diante deles a mesma

distribuiccedilatildeo de corrente (infinita para os dois lados ao longo de z) Concluindo

nenhuma componente de ( ) pode depender de z ou seja ( ) = ( ) = ( ) + ( ) + ( )

Note tambeacutem que variar a coordenada eacute girar em torno do fio e sendo ele ciliacutendrico nada muda quando

fazemos isso Portanto nenhuma componente de ( ) pode depender de ( ) = ( ) + ( ) + ( )

Mas note que e dependem de

Agora vamos ver que algumas dessas componentes de devem ser nulas

Note que o campo magneacutetico deve obedecer agrave propriedade (minus ) = minus ( ) ou seja se conhecemos

o campo magneacutetico de uma dada corrente e consideramos a mesma situaccedilatildeo com a corrente apenas invertida

de sentido entatildeo o campo magneacutetico eacute o mesmo apenas com seu sentido invertido Portanto note que se

virarmos a Figura anterior ao contraacuterio a corrente no fio reto inverte de sentido mas a componente de

natildeo faz a mesma coisa ela continua intacta Conclusatildeo = 0 e ( ) = ( ) + ( )

A Figura ao lado ilustra essa operaccedilatildeo de virar o fio e tudo que estaacute ligado a

ele (a seta de e suas componentes) ao contraacuterio invertendo o sentido da corrente

Note que natildeo muda quando fazemos essa operaccedilatildeo Entatildeo = 0

Finalmente poderiacuteamos apelar para um conhecimento baacutesico de que o campo

magneacutetico de uma corrente eacute sempre ortogonal a essa corrente (aqui isso eacute verdade

para e mas jaacute descartamos ) Essa informaccedilatildeo estaacute contida por exemplo na

lei de Biot-Savart Conclusatildeo = 0 e ( ) = ( ) = ( )

Concluindo o campo magneacutetico de um fio fino reto e infinito transportando

uma corrente deve ter a forma = ( )

z

z

z minus

minus minus

361

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Para reforccedilar essa ideacuteia podemos fazer aqui um raciociacutenio anaacutelogo ao que fizemos quando analisamos

a simetria do campo eleacutetrico no contexto de aplicaccedilatildeo da lei de Gauss Laacute analisamos o efeito ou seja a forccedila ( ) = que a distribuiccedilatildeo de cargas cujo campo eleacutetrico queremos determinar podia fazer em uma

carga de prova na sua vizinhanccedila A ideia central eacute que se haacute uma ambiguumlidade no sentido da forccedila ao longo

de uma coordenada espacial entatildeo a componente do campo eleacutetrico ao longo dessa coordenada (assim como

a forccedila) deve ser nula

Portanto fazendo um raciociacutenio anaacutelogo aqui podemos concluir sobre a direccedilatildeo de considerando o

efeito que o campo magneacutetico desse fio reto poderia ter sobre uma partiacutecula de carga eleacutetrica e

velocidade arbitraacuteria que estivesse passando em sua vizinhanccedila Essa partiacutecula sofreria a forccedila magneacutetica

( ) = times

Agora devemos pensar no sentido que essa forccedila poderia ter tendo em vista a simetria da distribuiccedilatildeo de

corrente que estaacute fazendo essa forccedila sobre a partiacutecula de carga Se concluirmos que em uma dada direccedilatildeo

do espaccedilo o sentido da forccedila eacute ambiacuteguo segue que a componente da forccedila nessa direccedilatildeo deve ser nula Com

esse raciociacutenio conseguimos concluir sobre a direccedilatildeo de

Rememorando jaacute concluiacutemos que para o fio reto (que eacute um cilindro) o

sistema de coordenadas mais conveniente eacute o ciliacutendrico ilustrado na Figura ao lado

O fio estaacute deitado ao longo do eixo z A coordenada z eacute a distacircncia ao longo desse

eixo e o vetor unitaacuterio aponta ao longo de z O raio medido em relaccedilatildeo ao eixo z eacute

a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo desse raio (no sentido crescente dele) eacute O acircngulo de giro em torno do eixo z eacute a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo

do aumento dessa coordenada eacute

Note que a distribuiccedilatildeo de corrente no fio seleciona um sentido ao longo de z pois ela aponta no

sentido de z crescente Portanto natildeo vemos nenhum problema em ( ) possuir uma componente z ( ) que seleciona um sentido para a direita ou para a esquerda ao longo desse eixo Natildeo haacute simetria

entre os dois sentidos ao longo de z A mesma coisa podemos dizer sobre a componente radial ( ) Vemos

claramente que natildeo haacute simetria nessa direccedilatildeo pois se andamos no sentido de s crescente nos afastamos do

fio e se andamos no sentido de s decrescente nos aproximamos do fio A coordenada

onde natildeo haacute quebra de simetria eacute a coordenada Se considerarmos que essa

partiacutecula (com velocidade qualquer) sofre uma forccedila ao longo da direccedilatildeo conforme

ilustrado na Figura ao lado natildeo conseguimos decidir se essa forccedila deveria estar no

sentido dado por ou tendo em vista a simetria da corrente no fio Conclusatildeo ( ) = 0 Como ( ) = times a uacutenica possibilidade para que valha sempre

z

z

362

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

( ) = 0 qualquer que seja eacute que esteja ao longo da direccedilatildeo De fato considere a velocidade

qualquer para a partiacutecula de carga = + +

Entatildeo times = + + times + + = minus + minus + ( minus )

Portanto (para e arbitraacuterios)

( ) = 0 hArr = hArr = 0e = 0

Conclusatildeo = ( ) Quanto ao sentido de este seraacute determinado pela lei de Ampegravere

Na tabela 81 abaixo resumimos as conclusotildees que tiramos atraveacutes desse mesmo raciociacutenio sobre a

simetria do campo magneacutetico para algumas distribuiccedilotildees de correntes eleacutetricas de simetrias simples

Basicamente a ideia eacute que se natildeo pode haver forccedila ao longo de uma coordenada pois o sentido eacute ambiacuteguo

entatildeo o campo magneacutetico estaacute exatamente ao longo desse coordenada e sua magnitude depende (apenas) da

distacircncia ateacute a corrente

Distribuiccedilatildeo de corrente

Coordenadas com sentido ambiacuteguo

Coordenadas sem ambiguidade

Direccedilatildeo e dependecircncia do campo magneacutetico

Solenoacuteide helicoidal infinito (corrente ao

longo de )

A coordenada axial ( )

O acircngulo de giro em torno da carga ( ) e

o raio = ( )

Solenoacuteide toroidal (corrente ao longo

de )

O acircngulo de giro ao longo do solenoacuteide

Os acircngulos de giro em torno do

solenoacuteide ( ) e o raio

= ( )

Placa plana infinita

com corrente uniforme (corrente

ao longo de )

A direccedilatildeo

paralela ao plano e ortogonal agrave

corrente

A direccedilatildeo paralela ao plano e

agrave corrente e a direccedilatildeo z ortogonal

ao plano

= ( )

Fio infinito com = ( ) ao longo de

O acircngulo de giro em torno do fio

A direccedilatildeo radial e a direccedilatildeo axial = ( )

Tabela 81 algumas simetrias do campo magneacutetico para distribuiccedilotildees de correntes de simetrias simples

363

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Voltando ao fio reto apoacutes esse longo raciociacutenio de simetria resta ainda calcular a funccedilatildeo ( ) Agora

chegou a hora da lei de Ampegravere mostrar seu poder de simplificaccedilatildeo no caacutelculo de campos magneacuteticos

Substituindo a expressatildeo de na lei de Ampegravere obtemos

( ) ∙ =

Conclusatildeo para que ( ) saia de dentro do siacutembolo de integral e obtenhamos uma

equaccedilatildeo para ( ) a curva deve ser tal que ( ) seja constante sobre ela Portanto

a curva deve ser uma curva em que o raio eacute constante ou seja uma curva

equumlidistante do fio reto Soacute haacute uma curva fechada equumlidistante do fio reto um ciacuterculo

Concluindo seja um ciacuterculo de raio qualquer centrado no fio em um plano

ortogonal ao fio conforme a Figura ao lado Vamos orientar essa curva no sentido de

Entatildeo ( ) ∙ = ( ) ∙ = ( ) Concluindo

( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )2

A corrente interna a essa curva eacute = (ver matildeo direita na Figura) e portanto

( )2 = rArr ( ) = 2 rArr ( ) = 2

que eacute o mesmo resultado que obtivemos atraveacutes da lei de Biot-Savart Apenas para recordar o caacutelculo do

campo magneacutetico do fio reto infinito atraveacutes da lei de Biot-Savart envolve a soluccedilatildeo da integral

( ) = 4 ( + )

A soluccedilatildeo desse mesmo problema via lei de Ampegravere nos exigiu apenas o conhecimento do

comprimento da circunferecircncia Enfim a lei de Ampegravere estabelece uma propriedade do campo

magnetostaacutetico e pode ser utilizada agraves vezes para o proacuteprio caacutelculo do campo magneacutetico de determinadas

distribuiccedilotildees de correntes eleacutetricas de simetrias simples (tabela 81) Nesse sentido a lei de Ampegravere tem na

magnetostaacutetica um papel similar ao da lei de Gauss na eletrostaacutetica

Seguindo essa similaridade a lei de Ampegravere assim como a lei de Gauss possui tambeacutem suas

armadilhas Muitas vezes vemos estudantes apelando para a lei de Ampegravere no caacutelculo do campo magneacutetico

em um ponto central de um segmento finito de fio fino e reto que transporta uma corrente eleacutetrica A Figura

364

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

ao lado mostra o ponto P em uma posiccedilatildeo central em relaccedilatildeo a um

fio reto de comprimento L Jaacute calculamos o campo magneacutetico em P

utilizando a lei de Biot-Savart Nosso resultado foi

( ) = 4 1+ ( 2) sendo a distacircncia ao fio e eacute um vetor unitaacuterio tangente a um ciacuterculo que passa por e que estaacute em um

plano ortogonal ao fio e centrado no fio eacute orientado no sentido da regra da matildeo direita para o fio reto

polegar no sentido de outros dedos no sentido de No caso especiacutefico da Figura podemos ver que em P

estaacute orientado ortogonalmente para fora do plano da paacutegina (se o fio estaacute no plano da paacutegina)

Mas parece razoaacutevel imaginarmos que para pontos como o ponto P ou seja sobre o plano que divide

o fio ao meio haacute uma simetria no campo pois esses pontos estatildeo equumlidistantes das extremidades do fio

Entatildeo repetimos todo o raciociacutenio que fizemos acima para o fio reto infinito e concluiacutemos que tanto em P

quanto em todos os pontos nesse plano de simetria vale = ( )

Natildeo haacute nada de errado com isso Olhando para a soluccedilatildeo do problema via lei de Biot-Savart vemos que isso eacute

verdade ou seja natildeo eacute um ( ) ele natildeo depende em sua magnitude nem de (de fato todos os

pontos nesse plano de simetria possuem = 0 e natildeo teria como a variaacutevel aparecer na expressatildeo de ) e

nem do acircngulo (mas note que depende de ) Vemos que tambeacutem natildeo tem componentes e Fora

desse plano de simetria podemos ter certeza que ocorrem efeitos de borda e a simetria em eacute quebrada (= ( ) ) ou seja passa a depender de (de tal forma que por exemplo ( rarr plusmninfin) rarr 0)

Mas enfim estamos calculando apenas no plano de simetria e tudo que dissemos sobre a

simplicidade de eacute verdade para pontos nesse plano Conclusatildeo tudo segue como no caacutelculo que fizemos

para o fio reto infinito ou seja adotamos uma curva amperiana que eacute um ciacuterculo de raio centrado no fio e

contido nesse plano de simetria e obtemos

( ) ∙ = ( ) = ( ) = ( )2 = rArr ( ) = 2 rArr ( ) = 2

que como natildeo poderia deixar de ser eacute o campo magneacutetico em um ponto qualquer do espaccedilo para um fio reto

infinito transportando uma corrente

Ficamos entatildeo com as duas respostas diferentes para o campo no ponto P na vizinhanccedila de um fio reto

de comprimento L transportando uma corrente (um ponto no plano equumlidistante das extremidades do fio)

z

P

s

= minus2 = 2

365

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Biot - Savart Ampegravere

( ) = 4 1+ ( 2) ( ) = 2

Qual estaacute correta Imagine por exemplo que rarr 0 ou seja que o fio desapareccedila A lei de Biot-Savart diz que ( ) rarr 0 enquanto que a lei de Ampegravere diz que nada muda o comprimento L do fio natildeo tem influecircncia

sobre o campo magneacutetico da corrente em um fio de comprimento L Vemos claramente que a lei de Ampegravere

forneceu uma resposta errada para esse problema O erro existe natildeo porque a lei de Ampegravere estaacute errada mas

porque ela foi utilizada fora de seu domiacutenio de aplicaccedilatildeo Esse eacute um ponto crucial no entendimento da lei de

Ampegravere suas possibilidades de aplicaccedilatildeo e suas limitaccedilotildees

Para entender a origem desse erro devemos voltar na definiccedilatildeo de corrente eleacutetrica e lembrar que

essa definiccedilatildeo sempre pressupotildee uma superfiacutecie atraveacutes da qual os portadores de carga fluem Essa relaccedilatildeo

corrente eleacutetricasuperfiacutecie fica evidente quando olhamos para a relaccedilatildeo entre e o vetor densidade de

corrente

= ∙

sendo uma superfiacutecie aberta eacute uma aacuterea infinitesimal dessa superfiacutecie e eacute um vetor ortogonal a essa

aacuterea eacute a corrente eleacutetrica ( ) que atravessa a superfiacutecie no sentido de Assim quando nos

referimos agrave corrente em um fio por exemplo pressupotildee-se que estamos nos referindo agrave corrente atraveacutes de

uma superfiacutecie aberta que eacute a seccedilatildeo transversal do fio um disco por exemplo

A lei de Ampegravere envolve o conceito de corrente interna a corrente que ldquopassa por dentrordquo da

curva amperiana

∙ =

Esse ldquopassar por dentrordquo soacute fica bem definido quando definimos precisamente a superfiacutecie que vai

ser utilizada no caacutelculo de

Dada uma curva amperiana fechada qualquer orientada em um sentido arbitraacuterio qual deve ser a

superfiacutecie aberta que devemos utilizar no caacutelculo de Note que o lado esquerdo da lei de Ampegravere faz

referecircncia apenas agrave curva Natildeo haacute nesse lado da equaccedilatildeo nenhuma dica de qual deve ser a superfiacutecie que

deve ser usada no lado direito da equaccedilatildeo Conclusatildeo no caacutelculo de podemos usar qualquer superfiacutecie

aberta que tem como borda a curva Natildeo faz diferenccedila todas as superfiacutecies definidas acima tecircm que levar

ao mesmo resultado final senatildeo a equaccedilatildeo natildeo faria o menor sentido Qual deve ser a orientaccedilatildeo do campo

366

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

de vetores normais em tem o sentido dado pela regra da matildeo direita dedos da matildeo direita no sentido

da orientaccedilatildeo de polegar no sentido de Essa regra da matildeo direita leva ao mesmo resultado da regra da

matildeo direita que define os sinais das correntes em jaacute discutida anteriormente

A Figura 7 abaixo ilustra trecircs superfiacutecies possiacuteveis para uma curva amperiana que eacute um ciacuterculo (em

vermelho) Mas note haacute infinitas possibilidades de superfiacutecies que tem como borda esse ciacuterculo

Na Figura 7 mostramos apenas trecircs superfiacutecies que tem como ldquobocardquo o ciacuterculo mas podemos imaginar

infinitas ldquosacolasrdquo que tem essa propriedade Nada nos impediria por exemplo de desenhar na Figura 7

algumas dessas ldquosacolasrdquo viradas para o lado esquerdo de mas natildeo fizemos isso para natildeo tornar a Figura

mais confusa

Considere que esses objetos (que satildeo de fato imaginaacuterios) estatildeo em uma regiatildeo do espaccedilo onde flui

corrente eleacutetrica e onde existe portanto um campo magneacutetico Pode haver por exemplo vaacuterios fios

transportando corrente e passando por essa regiatildeo Enfim se quisermos descrever a situaccedilatildeo mais geral

possiacutevel podemos simplesmente dizer que nessa regiatildeo do espaccedilo existe uma distribuiccedilatildeo de corrente dada

pelo campo (de fato ( ) mas preferimos simplificar a notaccedilatildeo)

Portanto a corrente que ldquopassa por dentroldquo da curva ou seja a corrente interna a essa curva eacute

= ∙ = ∙ = ∙ = ⋯

Essa eacute apenas uma afirmaccedilatildeo da continuidade da corrente eleacutetrica corrente eleacutetrica natildeo pode desaparecer ou

ser criada no meio do caminho entre por exemplo e e entatildeo a corrente que atravessa tem que ser a

mesma que atravessa Para um conjunto de fios condutores essa afirmaccedilatildeo acima eacute apenas a lei dos noacutes

Figura 7 dada uma curva amperiana existem infinitas superfiacutecies abertas que tem como borda a curva Se eacute um ciacuterculo entatildeo pode ser um disco ou qualquer outra ldquosacolardquo que tem como boca a curva

= ciacuterculo em vermelho)

= disco (em cinza) = ldquocoadorldquo

(em verde) = ldquosacola

amassadardquo (em rosa)

367

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

A Figura ao lado ilustra essa ideia para apenas um

fio com corrente que ldquopassa por dentrordquo de A

corrente atravessa o disco daacute uma volta e atravessa

a superfiacutecie daacute mais uma volta e atravessa a

superfiacutecie e assim por diante Fato eacute que o fio que

transporta a corrente natildeo pode terminar ou comeccedilar

no nada pois isso violaria tudo que estamos discutindo

aqui e a lei de Ampegravere perderia o sentido e deixaria

portanto de valer

Conclusatildeo a lei de Ampegravere soacute faz sentido para correntes que satisfazem agrave lei dos noacutes ou seja ( ) = ( ) para qualquer ponto no espaccedilo (mais precisamente para qualquer superfiacutecie no

espaccedilo) Se aplicarmos a lei de Ampegravere fora desse contexto vamos obter resultados absurdos

Enfim essa eacute exatamente a situaccedilatildeo do segmento de fio de

comprimento L transportando uma corrente que discutimos

anteriormente O fio comeccedila em e termina em Portanto a lei de

Ampegravere natildeo se aplica para o caacutelculo do campo magneacutetico da corrente

nesse segmento de fio A lei de Ampegravere natildeo vale para essa distribuiccedilatildeo de

corrente eleacutetrica A Figura ao lado ilustra a ideia Queremos calcular o campo em atraveacutes da lei de Ampegravere

e para isso escolhemos uma curva que eacute um ciacuterculo que passa por Calculamos a circulaccedilatildeo de em e

ateacute aiacute natildeo vemos nenhum problema (apoacutes as consideraccedilotildees de simetria)

∙ = ( ) = ( ) = ( )2

Mas quando vamos calcular a corrente interna agrave curva encontramos um problema A lei de Ampegravere

natildeo especifica a superfiacutecie em que vamos avaliar Qualquer superfiacutecie deveria servir Mas se usamos a

superfiacutecie (em azul) obtemos = Se usamos a superfiacutecie (em roxo) obtemos = 0 (o fio acabou

no meio do caminho em ) Chegamos em uma ambiguumlidade Conclusatildeo esqueccedila a lei de Ampegravere para o

caacutelculo desse campo Contente-se com o resultado da lei de Biot-Savart que natildeo possui essa limitaccedilatildeo ela se

aplica para correntes constantes em fios infinitesimais fios finitos ou infinitos (e ateacute para partiacuteculas com

velocidades constantes e suficientemente baixas)

Estamos vendo aqui uma limitaccedilatildeo da lei de Ampegravere que soacute fica evidente quando analisamos a

deduccedilatildeo dessa lei a partir da lei de Biot-Savart Como natildeo fizemos isso aqui estamos descobrindo essa

limitaccedilatildeo agora ao tentar aplicar a lei de Ampegravere para o caacutelculo do campo magneacutetico da corrente em um

= ciacuterculo em vermelho)

z

P

s

368

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

segmento finito de fio Basicamente podemos resumir tudo isso que discutimos na afirmaccedilatildeo a lei de Ampegravere

soacute eacute verdadeira para correntes estacionaacuterias (independentes do tempo) que satisfazem a lei dos noacutes Nesse

sentido o domiacutenio de aplicaccedilatildeo da lei de Ampegravere eacute mais restrito do que o da lei de Biot-Savart Se vocecirc quiser

mais detalhes sobre os regimes de validade dessas leis pode ler o artigo Time-dependent generalizations of

the Biot-Savart and Coulomb laws D J Griffiths e M A Heald American Journal of Physics 59 (1991)

Mais adiante veremos que essa limitaccedilatildeo da lei de Ampegravere eacute eliminada quando incluiacutemos nessa lei a

chamada corrente de deslocamento e passamos a chamaacute-la de lei de Ampegravere-Maxwell Apoacutes isso as coisas se

invertem e a lei de Ampegravere-Maxwell se torna mais geral do que a lei de Biot-Savart Essa discussatildeo ficaraacute para

o proacuteximo capiacutetulo

Toda essa discussatildeo sobre a validade da lei de Ampegravere estaacute relacionada agrave definiccedilatildeo precisa do que eacute

um sistema de correntes estacionaacuterias Em princiacutepio poderiacuteamos imaginar que apenas a hipoacutetese de que as

correntes eleacutetricas nesse sistema satildeo constantes independentes do tempo bastaria Mas estamos vendo aqui

que isso natildeo eacute verdade

Devemos reconhecer que um segmento de fio finito com corrente isolado no espaccedilo natildeo eacute de fato

um sistema estacionaacuterio Mesmo que seja constante haveraacute acuacutemulos de cargas eleacutetricas crescentes nas

extremidades desse segmento de fio cargas variaacuteveis no tempo plusmn ( ) e portanto o sistema natildeo eacute

independente do tempo Ele natildeo eacute estacionaacuterio Sistemas estacionaacuterios natildeo podem acumular

progressivamente cargas eleacutetricas no espaccedilo e portanto devem ser sistemas de correntes fechadas que

satisfazem agrave lei dos noacutes (a carga eleacutetrica que chega em um ponto eacute a mesma que sai) A Figura ao lado ilustra

um segmento de fio finito com corrente constante isolado no

espaccedilo onde destacamos as cargas eleacutetricas opostas plusmn ( ) que

acumulam em suas extremidades A taxa de acuacutemulo de cargas na

extremidade positiva eacute ( ) = Essas cargas acumuladas vatildeo produzir no espaccedilo um campo eleacutetrico

variaacutevel no tempo ( ) Esse segmento de fio natildeo eacute um sistema estacionaacuterio

Portanto se entendemos a magnetostaacutetica como sendo o contexto restrito de sistemas estacionaacuterios

de correntes eleacutetricas fica claro que nesse contexto valem a lei de Biot-Savart e a lei de Ampegravere

O segmento de fio finito com corrente isolado no espaccedilo estaacute fora desse contexto (assim como a

corrente pontual que faz parte da magnetostaacutetica apenas como uma aproximaccedilatildeo) No contexto que inclui

correntes constantes nesses segmentos abertos de fios a lei de Biot-Savart fornece o resultado correto para o

campo magneacutetico mas a lei de Ampegravere natildeo vale (essa lei eacute de aplicaccedilatildeo mais restrita)

Na magnetostaacutetica sempre podemos supor que um segmento de fio finito com corrente natildeo eacute de

fato isolado no espaccedilo mas apenas um ldquopedaccedilordquo de um circuito maior em que a corrente eleacutetrica circula Por

( )minus ( )

369

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

algum motivo estamos interessados apenas no campo magneacutetico produzido pela corrente nesse segmento

finito de fio (talvez porque ele esteja mais proacuteximo do ponto onde estamos avaliando o campo magneacutetico do

circuito completo e o restante do circuito produza nesse ponto um campo despreziacutevel) Ao fazer isso assumir

que todas as correntes constantes satildeo ldquofechadasrdquo ( ( ) = ( ) para qualquer ponto no espaccedilo)

podemos assumir a validade das leis de Biot-Savart e Ampegravere

Por exemplo considere uma espira quadrada de lado L onde circula uma corrente

eleacutetrica Trata-se de uma corrente fechada Queremos calcular o campo magneacutetico que

essa corrente produz no centro da espira A lei de Ampegravere eacute perfeitamente vaacutelida nesse caso

mas inuacutetil pois natildeo conseguimos imaginar uma simetria simples para o campo magneacutetico

que a corrente nessa espira quadrada produz no espaccedilo Portanto podemos apelar para a lei

de Biot-Savart aplicada a cada um dos quatro lados da espira um de cada vez como se eles estivessem

isolados Depois superpomos os quatro campos magneacuteticos uma para cada lado e obtemos o campo

magneacutetico da corrente na espira quadrada no centro dessa espira

Tendo em vista nosso resultado para o campo magneacutetico da corrente em um segmento de fio de

comprimento L o campo magneacutetico no centro da espira quadrada eacute

(0) = 4 4 1+ ( 2) ⨂

com o raio = 2 e ⨂ um vetor unitaacuterio apontando para dentro da paacutegina Concluindo

(0) = 4 4 ( 2) 1( 2) + ( 2) ⨂ = 4radic2 ⨂ cong 09 ⨂

Se cometermos o erro de aplicar a lei de Ampegravere no caacutelculo do campo magneacutetico de um segmento

finito de fio obtemos (0) = 4 2 ⨂ = 4 2 ( 2) ⨂ = 4 ⨂ cong 127 ⨂

Um erro maior que 40 na magnitude de

84 Aplicaccedilotildees

1) Considere um solenoacuteide toroidal como o mostrado na Figura ao lado

em meio a outros componentes de um circuito eletrocircnico O solenoacuteide eacute

composto de espiras enroladas em torno de um nuacutecleo que tem a

forma de um toroacuteide Diferentemente do solenoacuteide ciliacutendrico o solenoacuteide

toroidal natildeo possui bordas A proacutexima Figura mostra o solenoacuteide toroidal

370

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

e um referencial ciliacutendrico conveniente para descrever o campo magneacutetico criado por esse solenoacuteide O eixo z

eacute o eixo de simetria do toroacuteide O raio medido em relaccedilatildeo a esse eixo eacute a coordenada s Finalmente o acircngulo

ϕ eacute o acircngulo de giro em torno do eixo z

Queremos calcular o campo magneacutetico produzido pela

corrente eleacutetrica que por hipoacutetese circula nas N espiras desse

solenoacuteide Para isso consideraremos que natildeo haacute nenhuma

irregularidade na distribuiccedilatildeo da corrente ao longo do solenoacuteide ou

seja vamos supor que as espiras estatildeo enroladas regularmente em

toda e extensatildeo do solenoacuteide sem nenhum espaccedilo livre entre elas (o

solenoacuteide da Figura acima apresenta vaacuterias irregularidades em suas

espiras principalmente no espaccedilamento entre elas que vamos

desprezar aqui) Essa hipoacutetese garante uma simetria simples para a corrente e concomitantemente para o

campo magneacutetico no espaccedilo Tendo em vista essa simetria podemos assumir que o campo magneacutetico na

vizinhanccedila desse solenoacuteide eacute dado por ( ) = ( )

ou seja o campo magneacutetico circula em torno do eixo z e sua magnitude natildeo depende do acircngulo ϕ pois o

solenoacuteide e a distribuiccedilatildeo de corrente nele eacute a mesma quando vista de qualquer acircngulo ϕ

Conforme jaacute fizemos para o fio reto e mostramos na Tabela 81 uma maneira de concluir sobre a

direccedilatildeo de eacute considerar o efeito que o campo magneacutetico desse solenoacuteide poderia ter sobre uma partiacutecula

de carga eleacutetrica e velocidade arbitraacuteria que estivesse passando em sua vizinhanccedila Essa partiacutecula sofreria

a forccedila magneacutetica ( ) = times

Agora devemos pensar no sentido que essa forccedila poderia ter tendo em vista a simetria da distribuiccedilatildeo de

corrente que estaacute fazendo essa forccedila sobre a partiacutecula de carga Se concluirmos que em uma dada direccedilatildeo

do espaccedilo o sentido da forccedila eacute ambiacuteguo segue que a componente da forccedila nessa direccedilatildeo deve ser nula

Jaacute concluiacutemos que para esse solenoacuteide o sistema de coordenadas mais conveniente eacute o ciliacutendrico

ilustrado na Figura acima

Note que a distribuiccedilatildeo de corrente no solenoacuteide seleciona um sentido ao longo de z pois ela flui ao

longo de z com um determinado sentido (de fato com sentidos opostos nas porccedilotildees ao longo de z mais

internas e mais externas das espiras) Portanto natildeo vemos nenhum problema em ( ) possuir uma

componente z ( ) que seleciona um sentido para cima ou para baixo ao longo desse eixo Natildeo haacute

simetria entre os dois sentidos ao longo de z A mesma coisa podemos dizer sobre a componente radial

z

s ϕ

371

Aulas de elet

( ) Vem

aproximam

quebra de s

uma forccedila a

decrescente( ) =esteja ao lo

Ten

calcular a fu

Nos

constante n

siacutembolo de

constante e

constante

centrado no

lado mostra

em um pla

solenoacuteide P

Pre

solenoacuteide t

desde =no centro d

solenoacuteide s

Figura ao la

Se

constante t

nenhuma co

tromagnetism

mos clarame

os ou nos a

simetria eacute a

ao longo da d

e de ten times segu

ngo de

ndo em vista

unccedilatildeo ( ssa esperanccedil

nessa curva

integral Pa

e tambeacutem

Essa curva e

o eixo z que

a uma dessa

ano z=consta

Para qualque

cisamos faze

oroidal Conminus ateacute =do solenoacuteide

se estende d

do ilustra es

considerarm

al que lt minusorrente e a l

mo ndash Joseacute Arna

ente que natildeo

afastamos do

coordenada

direccedilatildeo n

ndo em vist

ue que a uacuten= ( )a essa simet) Substituin

ccedila eacute encontr

e que port

ara isso bas

z eacute constan

existe eacute um

e eacute o eixo d

curvas em

ante Nessa

er um desses

( er agora um

nsidere que a= ou seja

e e ele possu

desde um ra

ssas dimensotilde

mos que a minus ou gtei de Ampegraver

∙ = (

aldo Redinz ndash

o haacute simetria

o solenoacuteide

a Se cons

atildeo consegui

ta a simetri

ica maneira

tria aparent

ndo a express

rar uma curv

anto essa f

sta que C se

nte Nessa c

m ciacuterculo em

e simetria d

azul um ciacuter

Figura faze

s ciacuterculos val

) ∙ =ma hipoacutetese

ao longo de

a a origem d

ui altura =aio menor

otildees

curva C est

fica claro

re fica

( ) ∙

Capiacutetulo 8 ndash v

a nessa direccedil

e ficamos t

siderarmos q

mos decidir

ia da corren

de valer (temente sim

satildeo de ( )va C tal que

funccedilatildeo saia d

eja um curva

curva ( um plano z

do solenoacuteide

rculo orienta

mos tambeacutem

e (note que

= ( ) sobre as d

z o solenoacuteid

de nosso ref2 Na dir

ateacute um rai

taacute em um p

que essa cu

=

versatildeo 31

ccedilatildeo pois se a

tambeacutem den

que essa par

se essa forccedila

nte no sole) = 0 pa

mples prete

na lei de Am

e ( ) sej

de dentro d

a em que s ) seraacute um

z constante

e A Figura a

do de raio s

m uma hipoacute

nesses ciacutercu

∙ =imensotildees d

de se estend

ferencial est

reccedilatildeo radial

o maior A

plano com

urva natildeo abra

andamos no

ntro dele A

rtiacutecula (com

a deveria est

enoacuteide Conc

ara qualquer

ndemos util

mpegravere obtem

a

o

eacute

a

e

o

s

oacutetese sobre

los = ( )2

o

a

taacute

o

A

z

accedila o solenoacute

sentido de

A coordenad

velocidade q

tar no sentid

clusatildeo (r eacute a cond

lizar a lei de

mos

o sentido d

)

oacuteide e portan

z

ϕ

z

s crescente n

a onde natildeo

qualquer) so

do crescente) = 0 Co

diccedilatildeo de que

e Ampegravere p

da corrente

nto natildeo abr

z

s

nos

haacute

ofre

e ou

omo

e

para

no

accedila

= 2

372

Aulas de elet

(A Figura a

Conclusatildeo

Vam

estaacute abraccedila

amperianas

delimitado

que sobe

lateral de

mesma conlt Ness

nenhuma co

Con

fato o sole

campo mag

raio lt ltPor

e raio ltconforme a

sentido tal

lateral exte

Por

Ape

mostramos

plano com

sendo que

que sobem

paacutegina nas

solenoacuteide c

tromagnetism

)2 =o lado mos= 0 nessa

mos consider

ando o solen

s com raio

por essa cur

pela latera

raio Port

nclusatildeo se co

se caso fica

orrente

ncluiacutemos que

noacuteide toroid

gneacutetico no selt

tanto para lt ou s

a Figura ao l

que sobe pe

rna de raio

tanto o cam

enas para d

na Figura aminus lt lta corrente

pela face in

s seccedilotildees tra

com raio =mo ndash Joseacute Arna

= 0stra uma d

as duas regiotilde

rar agora qu

noacuteide A Figugt Fica

rva para calc

l interna do

tanto novam

onsiderarmo

claro que a

e vale = 0dal assim co

eu interior o

finalizar con

seja que pa

ado Consid

ela lateral in

concluiacutemo

mpo magneacuteti

( deixar mais

o lado um c

Para si

sai do plan

nterna do so

ansversais d= As curv

aldo Redinz ndash

essas curva

otildees do espaccedil

ue minus lt ltura que segu

a claro que

cular v

o solenoacuteide

mente vale

s uma curva

curva ampe

0 em toda a

mo o solenoacute

ou seja no e

nsideramos

assa por de

erando que

nterna do so

os que para e=

co no interio

)2 = claro o c

corte transve

mplificar m

no da paacutegin

lenoacuteide com

dos fios que

as azuis satildeo

Capiacutetulo 8 ndash v

s amperiana

ccedilo gt e lt ou sej

ue mostra um

e se conside

emos que a

de raio d= 0 e

a com minus lteriana natildeo ab

a regiatildeo for

oacuteide ciliacutendric

espaccedilo que

uma curva C

entro das es

a corrente

olenoacuteide de

essa curva am

or desse sole

=aacutelculo da c

ersal do sole

mostramos a

a nas seccedilotildee

m raio =e descem p

o curvas amp

versatildeo 31

as com gtlt minus

a que a cur

ma dessas cu

erarmos o d

mesma corr

desce pela o= 0 Cheglt lt e co

braccedila o sole

a do solenoacute

o infinito co

passa por de

C com minus ltspiras do so

no solenoacuteid

raio e de

mperiana val

enoacuteide toroid

rArr =corrente int

enoacuteide toroid

apenas =s transversa

e entram no

pela face e

perianas Pa

gt

rva C

urvas

disco

rente

outra

gamos agrave

om raio

noacuteide e

oacuteide De

onfina o

entro de sua

lt lt

olenoacuteide

e tem o

sce pela

e

dal eacute dado po 2

terna

dal em um 4 espiras

ais dos fios

o plano da

externa do

ra a curva

as espiras minus

or

z

z

x

x

minus lt lt

z

z

x

x

e

373

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

com lt vemos claramente que nenhuma corrente atravessa o disco delimitado por essa curva ou seja = 0 Para a curva com gt vemos que = 4 minus 4 = 0 Para a curva que passa por dentro do

solenoacuteide ou seja com lt lt vemos que = 4 No caso geral =

2) Vamos considerar agora um solenoacuteide helicoidal em que circula uma corrente constante Considere um

solenoacuteide helicoidal composto de espiras circulares de raio O solenoacuteide eacute muito longo e possui

comprimento (infinito para todos os efeitos) A densidade de espiras por unidade de comprimento eacute = Suas espiras satildeo compostas de um fio fino e enroladas de forma compacta sem irregularidades A

Figura abaixo ilustra esse solenoacuteide O eixo z eacute o eixo de simetria do solenoacuteide e as espiras satildeo ciacuterculos ao

longo da direccedilatildeo de um sistema de coordenadas

ciliacutendricas

Queremos calcular o campo magneacutetico que

esse solenoacuteide produz no espaccedilo Para isso vamos usar

a lei de Ampegravere Note que a hipoacutetese rarr infin elimina

efeitos de borda e simplifica a simetria do sistema

Primeiramente devemos pensar na simetria de ( ) como jaacute

abordamos nesse capiacutetulo Aqui o sistema de coordenadas mais

conveniente eacute o ciliacutendrico ilustrado na Figura ao lado O eixo do

solenoacuteide estaacute ao longo de z A coordenada z eacute a distacircncia ao longo

desse eixo e o vetor unitaacuterio aponta ao longo de z O raio medido em

relaccedilatildeo ao eixo z eacute a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo desse

raio (no sentido crescente dele) eacute O acircngulo de giro em torno do eixo

z eacute a coordenada e o vetor unitaacuterio ao longo do aumento dessa coordenada eacute As espiras do solenoacuteide satildeo

ciacuterculos em planos z=constante

Vamos pensar agora no efeito que o campo magneacutetico desse solenoacuteide poderia ter sobre uma

partiacutecula de carga eleacutetrica e velocidade arbitraacuteria que estivesse passando em sua vizinhanccedila Essa partiacutecula

sofreria a forccedila magneacutetica ( ) = times

Em seguida devemos pensar no sentido que essa forccedila poderia ter tendo em vista a simetria da

distribuiccedilatildeo de corrente que estaacute fazendo essa forccedila sobre a partiacutecula de carga Se concluirmos que em uma

dada direccedilatildeo do espaccedilo o sentido da forccedila eacute ambiacuteguo segue que a componente da forccedila nessa direccedilatildeo deve

ser nula

rarr infin

z

374

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Note que a distribuiccedilatildeo de corrente no solenoacuteide seleciona um sentido ao longo de pois ela gira no

sentido de crescente (por hipoacutetese) Portanto natildeo vemos nenhum problema em ( ) possuir uma

componente ( ) Natildeo haacute simetria entre os dois sentidos ao longo de A mesma coisa podemos dizer

sobre a componente radial ( ) Vemos claramente que natildeo haacute simetria nessa direccedilatildeo pois se andamos no

sentido de s crescente nos aproximamos (na regiatildeo interior) e depois nos afastamos (na regiatildeo exterior) do

solenoacuteide A coordenada onde natildeo haacute quebra de simetria eacute a coordenada Se considerarmos que essa

partiacutecula (com velocidade qualquer) sofre uma forccedila ao longo da direccedilatildeo natildeo conseguimos decidir se essa

forccedila deveria estar no sentido de +z ou ndashz Conclusatildeo ( ) = 0 Como ( ) = times concluiacutemos que

se ( ) nunca pode ter componente ao longo de z (para qualquer ) entatildeo deve estar na direccedilatildeo

Quando ao sentido de este seraacute determinado pela lei de Ampegravere Concluindo = ( ) Note que dada a simetria do solenoacuteide esperamos tambeacutem que natildeo haja dependecircncia da magnitude

nas coordenadas z e ou seja resta calcular a funccedilatildeo ( ) Agora chegou a hora da lei de Ampegravere mostrar

seu poder de simplificaccedilatildeo no caacutelculo de campos magneacuteticos Substituindo a expressatildeo de na lei de Ampegravere

obtemos

( ) ∙ =

Conclusatildeo para que ( ) saia de dentro do siacutembolo de integral e obtenhamos uma equaccedilatildeo para ( ) a

curva deve ser tal que ( ) seja constante sobre ela Portanto a curva deve ser uma curva em que o raio

eacute constante ou seja uma curva equumlidistante do fio reto Um candidato

natural a essa curva eacute um ciacuterculo de raio qualquer centrado no fio em

um plano ortogonal ao fio Mas vemos que nessa curva vale = e

que portanto ( ) ∙ = 0 Natildeo haacute nada de errado com esse

resultado pois fica claro que tambeacutem se estende na direccedilatildeo e que = 0 para essa curva Concluiacutemos que 0 = 0 e que essa curva circular

natildeo serve para o caacutelculo de Portanto devemos procurar outra curva pois esse ciacuterculo eacute inuacutetil Uma reta

s=constante ao longo do eixo z tambeacutem parece uma boa candidata pois ao longo dessa reta vale ( ) =constante Mas uma reta eacute uma curva aberta e a lei de Ampegravere pressupotildee que C eacute uma curva fechada

Concluindo adotamos a curva retangular mostrada na Figura ao lado em verde C eacute um retacircngulo com dois

lados de comprimento ao longo do eixo z e dois lados de comprimento ao longo da direccedilatildeo radial s A

orientaccedilatildeo de C eacute mostrada na Figura Vamos supor que o lado inferior do retacircngulo estaacute no raio (portanto o

z

375

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

lado superior estaacute no raio + ) A seta preta vertical mostra o sentido de nas espiras Concluindo podemos

desmembrar a integral de ( ) em C em quatro interais cada uma em um lado de C

( ) ∙ = ( ) ∙ (minus ) + ( ) ∙ + ( ) ∙ (minus ) + ( ) ∙

H1 eacute o lado horizontal no raio + e H2 eacute o lado horizontal no raio V1 e V2 satildeo os lados verticais onde o

produto escalar ∙ se anula Portanto retirando ( ) de dentro dos siacutembolos de integrais e lembrando que a

integral de vai resultar no comprimento do lado de C onde a integral se realiza obtemos

( ) ∙ = minus ( + ) + ( ) + 0 + 0 = ( ) minus ( + )

Agora podemos considerar o caacutelculo do campo magneacutetico nas duas regiotildees distintas do espaccedilo dentro

do solenoacuteide ( lt ) e fora do solenoacuteide ( gt )

Se fixarmos a curva C em uma posiccedilatildeo tal que gt ou seja totalmente fora do solenoacuteide fica claro

que natildeo flui corrente atraveacutes da superfiacutecie retangular delimitada por C ou seja = 0 Portanto a lei de

Ampegravere diz que para quaisquer valores de gt e de vale ( ) minus ( + ) = 0 rArr ( ) = ( + ) Em particular tomando rarr infin obtemos para qualquer gt ( ) = (infin) Admitindo que a influecircncia do solenoacuteide se anule no infinito segue que na regiatildeo exterior do solenoacuteide longo

vale = 0

Isso significa que o solenoacuteide longo confina o campo magneacutetico agrave regiatildeo interior (como ocorre com o

solenoacuteide toroidal)

Tomando agora lt e + gt (que eacute a situaccedilatildeo ilustrada na Figura acima) obtemos

( ) minus ( + ) = ( ( ) minus 0) = ( ) = =

Na Figura notamos que algumas espiras do solenoacuteide (cinco no caso da Figura) atravessam a superfiacutecie

retangular delimitada pela curva C Cada espira que faz isso contribui com para Para calcular a

quantidade de espiras que atravessa a superfiacutecie retangular delimitada pela curva C em geral basta multiplicar

a densidade de espiras por unidade de comprimento no solenoacuteide pelo comprimento de C ao longo do

eixo do solenoacuteide Foi o que fizemos acima

Concluindo obtemos para qualquer lt

376

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

= = Resumindo nossos resultados concluiacutemos que a corrente no solenoacuteide muito longo cria campo

magneacutetico apenas na regiatildeo ciliacutendrica interior agrave suas espiras e que o campo magneacutetico nessa regiatildeo eacute

uniforme e axial tendo magnitude O sentido de eacute dado pela regra da matildeo direita dedos no sentido

de polegar no sentido de

A Figura ao lado ilustra um experimento em que uma corrente circula

por um solenoacuteide curto e o campo magneacutetico atua sobre partiacuteculas de uma

liga de ferro (itservicescasuntedu~klittler) Podemos ver que na regiatildeo

interior do solenoacuteide haacute uma forte organizaccedilatildeo das partiacuteculas que se

aglomeram e ldquomaterializamrdquo as linhas de nessa regiatildeo Podemos ver

tambeacutem o efeito de ldquodivergecircnciardquo das linhas de nas regiotildees das bordas

refletindo um campo magneacutetico mais fraco nesses locais Para um solenoacuteide

muito longo com espiras bem compactadas e uniformes o campo magneacutetico eacute

aquele que calculamos atraveacutes da lei de Ampegravere = na regiatildeo

ciliacutendrica no interior das espiras (e longe das bordas)

3) Considere uma espira retangular de lados e onde circula uma corrente

eleacutetrica Vamos calcular o campo magneacutetico no ponto mostrado na Figura um

ponto no mesmo plano da espira

Note que tendo em vista o princiacutepio da superposiccedilatildeo tudo se resume ao

caacutelculo do campo magneacutetico no ponto na vizinhanccedila de um segmento reto de fio

de comprimento mostrado na Figura abaixo O ponto estaacute a uma distacircncia do

fio e a uma distacircncia da extremidade direita do fio

Na Figura abaixo definimos um segmento infinitesimal de fio localizado em uma posiccedilatildeo ao longo do fio

(0 le le ) O vetor posiccedilatildeo de P faz um acircngulo com o eixo z ou seja com Na Figura representamos o

vetor saindo do plano da paacutegina atraveacutes do siacutembolo ⨀ Como times = sen( ) segue que

= 4 sen( )

377

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

e que = 4 sen( ) ⨀

Nessa uacuteltima expressatildeo definimos o vetor unitaacuterio ⨀ que sai

ortogonalmente do plano da paacutegina em P

Notamos ainda na Figura que

= ( minus minus ) + e sen( ) =

Portanto ( ) = 4 times = 4 (( minus minus ) + ) ⨀

Note que radic = e que vale = Tudo que temos que fazer agora eacute considerar que varre toda a

extensatildeo desse fio reto ou seja que sua posiccedilatildeo varia desde = 0 ateacute = que satildeo as posiccedilotildees das

extremidades do fio no eixo z

Obtemos

( ) = ( ) = 4 times = 4 ⨀ (( minus minus ) + ) Portanto ( ) = 4 + + minus( minus ) + ⨀ Note que para = = e = 2 recuperamos um resultado que jaacute haviacuteamos obtido para um ponto

central em uma altura ( ) = 4 1+ ( 2) ⨀

Voltando agora agrave espira retangular que reproduzimos ao lado tudo que temos que fazer eacute adaptar a

expressatildeo que obtivemos para ( ) em um ponto em ( ) para o ponto especiacutefico

dentro da espira

Para o lado (1) da esquerda devemos fazer = = e = minus

Portanto ( ) = 4 minus( minus ) + + radic + ⨀

minus minus

378

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 8 ndash versatildeo 31

Para o lado (2) da direta devemos fazer = = minus e = Portanto

( ) = 4 ( minus ) + ( minus ) + minus( minus ) + ( minus ) ⨀

Para o lado (3) superior devemos fazer = = e = Portanto

( ) = 4 radic + + minus( minus ) + ⨀

Para o lado (4) inferior devemos fazer = = minus e = minus Portanto

( ) = 4 ( minus ) minus( minus ) + ( minus ) + + ( minus ) ⨀

Notamos claramente que se = (espira quadrada) e = = 2 (ponto central) os quatro campos satildeo

iguais

Como natildeo haacute chance de simplificaccedilatildeo preferimos deixar como estaacute ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) O graacutefico ao lado ilustra o comportamento do moacutedulo de ( ) em

funccedilatildeo das coordenadas isin [0 ] e isin [0 ] (para os valores

numeacutericos = 3 e = 2) Note que o campo diverge exatamente sobre

os fios ( = 0 = = 0 e = ) o que eacute um artefato do modelo de

fios filamentares de espessura nula Para fios realistas de espessura natildeo

nula o campo atinge apenas um maacuteximo quando nos aproximamos dos

lados da espira

379

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

9 Induccedilatildeo eletromagneacutetica

Os campos eletrostaacutetico e magnetostaacutetico possuem existecircncias independentes um do outro e por

isso natildeo vimos ateacute agora nenhuma lei que envolve simultaneamente o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico

As leis de Coulomb e Gauss envolvem o campo eletrostaacutetico apenas e as leis de Biot-Savart e Ampegravere

envolvem o campo magnetostaacutetico apenas Apesar de terem em comum a origem nas partiacuteculas que possuem

cargas eleacutetricas ateacute aqui os campos ( ) e ( ) permanecem independentes entre si Essa situaccedilatildeo muda

quando passamos a analisar situaccedilotildees natildeo estacionaacuterias ou seja em que os campos dependem do tempo ( ) e ( ) Nessas situaccedilotildees os campos e se tornam inseparaacuteveis se um existe o outro

necessariamente existe tambeacutem eles passam a constituir um campo eletromagneacutetico O fato deles serem

inseparaacuteveis se revela atraveacutes de leis que relacionamligamacoplam e no espaccedilo e no tempo A lei de

induccedilatildeo de Faraday eacute uma dessas leis

Michael Faraday (por volta de 1830) estava intrigado com a relaccedilatildeo entre corrente eleacutetrica e campo

magneacutetico Oersted jaacute havia mostrado que corrente eleacutetrica produz no espaccedilo um campo magneacutetico Faraday

queria descobrir se podia ocorrer o contraacuterio produzir correntes eleacutetricas a partir de campos magneacuteticos Se

isso fosse possiacutevel Faraday estaria inventandodescobrindo o gerador de energia eleacutetrica que substituiria as

bateriaspilhas como uacutenica fonte que havia na eacutepoca capaz de produzir corrente eleacutetrica constante em um

circuito Foi o que ele fez

Na sequecircncia de experimentos que fez para tentar descobrir o que procurava Faraday acabou por

descobrir um fenocircmeno da natureza a induccedilatildeo eletromagneacutetica A regra do fluxo e a lei de Faraday

quantificamrelacionam as grandezas envolvidas nesse fenocircmeno

Na sequecircncia vamos discutir um pouco sobre os experimentos de Faraday que o levaram agrave descoberta

da induccedilatildeo eletromagneacutetica

380

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

91 Os experimentos de Faraday que levaram agrave descoberta da induccedilatildeo eletromagneacutetica

Faraday estava interessado em produzir corrente eleacutetrica em um circuito utilizando apenas um campo

magneacutetico Para ver se isso era possiacutevel ele fez vaacuterias tentativas com imatildes e solenoacuteides Apoacutes muitas

tentativas ele obteve sucesso Vamos descrever aqui as ideacuteias baacutesicas desses experimentos sem muita

preocupaccedilatildeo com a fidelidade ao que realmente aconteceu por volta de 1830

Primeiramente Faraday construiu uma espira (ou um solenoacuteide natildeo faz diferenccedila) e conectou essa

espira a um galvanocircmetro de zero central O galvanocircmetro eacute basicamente um amperiacutemetro muito sensiacutevel e

ele serviria entatildeo para detectar qualquer corrente eleacutetrica que porventura fluiacutesse nessa espira O fato de o

galvanocircmetro possuir zero central permitiria determinar o sentido da eventual corrente Se o ponteiro virasse

para um lado seria porque a corrente estaria fluindo em um certo sentido Se o ponteiro virasse para o outro

lado entatildeo a corrente teria o sentido inverso ao anterior Se o ponteiro ficasse permanentemente no zero da

escala natildeo haveria esse capiacutetulo que vocecirc estaacute lendo agora Talvez nem a humanidade existisse

Faraday queria produzir corrente nessa espira usando um campo magneacutetico Se houvesse corrente

ela seria produzida agrave distacircncia atraveacutes de um campo de forccedila que ocupa todo o espaccedilo daiacute o nome ldquoinduccedilatildeordquo

Essa corrente poderia ser chamada de ldquocorrente induzidardquo e o fenocircmeno de ldquoinduccedilatildeordquo ou como veremos de

ldquoinduccedilatildeo eletromagneacuteticardquo

Experimento 1 um imatilde eacute colocado diante da espira

A Figura ao lado ilustra o que poderia ser a montagem de

Faraday para esse experimento Uma espira estaacute simplesmente

mergulhada no campo magneacutetico de um imatilde Resultado nada o

galvanocircmetro indica o zero da escala Fracasso total campos

magneacuteticos natildeo satildeo capazes de por si soacutes produzirem correntes

eleacutetricas em um circuito apesar de o contraacuterio acontecer correntes

eleacutetricas satildeo capazes de por si soacutes produzirem campos magneacuteticos

Mas nem tudo estava perdido Faraday observou que se o imatilde se

movesse com o circuito parado a agulha do galvanocircmetro saltava do

zero Se o poacutelo N se aproximava da espira a agulha defletia para um

lado se o poacutelo N se afastava a agulha defletia para o lado oposto

Resultado final haacute corrente eleacutetrica (induzida) na espira somente

enquanto o imatilde estaacute se movendo Faraday havia acabado de inventar o gerador de energia eleacutetrica Substitua

o galvanocircmetro por uma lacircmpada e faccedila com que o imatilde se mova constantemente girando por exemplo A

Figura 1 um imatilde tenta produzir corrente eleacutetrica em um circuito distante

381

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

lacircmpada permaneceraacute acesa enquanto o imatilde gira Adapte o eixo de rotaccedilatildeo do imatilde a uma roda drsquoaacutegua e estaacute

criada a primeira usina hidreleacutetrica O movimento especificamente do imatilde eacute crucial para esse resultado Natildeo

Faraday moveu o circuito mantendo o imatilde parado e funcionou da mesma forma fluiu corrente na espira

Somente o movimento relativo imatildecircuito interessa Conclusatildeo final desse experimento enquanto (e

somente se) haacute movimento relativo entre o imatilde e o circuito haacute corrente induzida no circuito O sentido da

corrente induzida depende do sentido do movimento (aproximaccedilatildeo ou afastamento relativo) Aleacutem da

descoberta do fenocircmeno de induccedilatildeo (produccedilatildeo de corrente eleacutetrica atraveacutes de campos magneacuteticos) este

experimento de Faraday mostrou de forma marcante que natildeo existe na natureza o movimento absoluto De

fato se o movimento do imatilde produzisse um resultado diferente do movimento do circuito Faraday estaria

mostrando que o movimento eacute absoluto ou seja poderiacuteamos dizer que o imatilde ou o circuito se movem e

ponto final Mas eles se moveriam em relaccedilatildeo a quecirc Haveria uma referecircncia absoluta de movimento O

laboratoacuterio onde o experimento se daacute O espaccedilo O eacuteter Faraday mostrou que natildeo Quando dizemos que o

imatilde se move queremos dizer que ele se move em relaccedilatildeo agrave espira Isso eacute tanto verdade que se deixamos o

imatilde parado e movemos a espira daacute no mesmo Mais ainda se movemos os dois simultaneamente com a

mesma velocidade o galvanocircmetro marca zero A natureza soacute ldquoacusardquo o movimento relativo imatildeespira

Somente esse movimento faz sentido Anos depois Einstein se disse inspirado por esse experimento na

criaccedilatildeo da ldquoteoria da relatividade especialrdquo Nessa teoria a relatividade do movimento (uniforme) tem o status

de um princiacutepio da natureza

Experimento 2 um solenoacuteide ligado a uma bateria eacute colocado diante da espira

A Figura 2 ao lado ilustra o que poderia ser a

montagem de Faraday para esse experimento Uma espira estaacute

simplesmente mergulhada no campo magneacutetico de um

solenoacuteide A chave S (um interruptor) controla a corrente no

solenoacuteide Note que com a chave S fechada podemos repetir o

experimento 1 com o solenoacuteide no lugar do imatilde e obteremos

os mesmos resultados O imatilde natildeo eacute importante o importante eacute

o campo magneacutetico natildeo importando sua origem Mas com

esse experimento Faraday pretendia mostrar a importacircncia do

movimento para o fenocircmeno da induccedilatildeo Ele mostrou que o

movimento natildeo eacute importante pois nesse experimento o

solenoacuteide e o circuito da espira permaneceram ambos parados

Resultado se a chave S estaacute aberta nada acontece o que natildeo eacute surpreendente pois nesse caso natildeo haacute campo

magneacutetico no espaccedilo Se a chave S estaacute fechada ainda assim nada acontece o ponteiro indica o zero da

escala Mas nos instantes em que ocorrem os chaveamentos de S o ponteiro do galvanocircmetro daacute um salto

S

Figura 2 um solenoacuteide tenta produzir corrente eleacutetrica em um circuito distante

382

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

acusando um pulso de corrente induzida no circuito Enquanto a chave estaacute fechando nesse instante o

ponteiro do galvanocircmetro deflete para um lado e logo em seguida retorna ao zero Enquanto a chave estaacute

abrindo nesse instante o ponteiro deflete para o lado oposto e logo em seguida retorna ao zero Conclusatildeo

final desse experimento enquanto (e somente se) a chave estaacute mudando de estado (abrindo ou fechando) haacute

corrente induzida no circuito Com esse experimento Faraday acabava de inventar o transformador de

voltagem

92 A interpretaccedilatildeo dos resultados dos experimentos de Faraday

Resta agora interpretar os resultados desses experimentos Faraday mostrou que eacute possiacutevel produzir

corrente eleacutetrica em um circuito atraveacutes da accedilatildeo de um campo magneacutetico uma descoberta que levou

imediatamente ao desenvolvimento de vaacuterias invenccedilotildees que se baseiam nesse fenocircmeno como o teleacutegrafo

os geradores de energia eleacutetrica e os transformadores de voltagem Hoje todas as telecomunicaccedilotildees se

baseiam nessa possibilidade de se produzir correntes eleacutetricas em um circuito distante Eacute assim que raacutedios

TVs sateacutelites wifi Bluetooth 3G e telefones celulares funcionam Uma coisa que ficou clara nos experimentos

de Faraday eacute a importacircncia da variaccedilatildeo da mudanccedila para o fenocircmeno da induccedilatildeo Se tudo estiver estaacutetico

natildeo haacute induccedilatildeo Natildeo haacute induccedilatildeo nos contextos da eletrostaacutetica e da magnetostaacutetica Podemos esperar entatildeo

que a lei que governa esse fenocircmeno envolva a derivada temporal de alguma grandeza fiacutesica Resta saber a

derivada de quecirc

Podemos interpretar os resultados de Faraday em dois niacuteveis Primeiramente podemos interpretar em

termos de conceitos de circuitos eleacutetricos que satildeo mais simples e experimentalmente mais acessiacuteveis Mas se

nos aprofundarmos no estudo do fenocircmeno vamos descobrir que dependendo do contexto o proacuteprio

circuito eacute ele mesmo irrelevante para o fenocircmeno da induccedilatildeo O fenocircmeno da induccedilatildeo se daacute entre os

campos de forccedila magneacutetico e eleacutetrico que existem no espaccedilo independentemente da existecircncia do circuito

Nesse sentido o circuito eacute apenas um ldquodetectorrdquo do fenocircmeno de induccedilatildeo eletromagneacutetica que estaacute

ocorrendo no espaccedilo na relaccedilatildeo e no acoplamento entre os campos e

921 Interpretaccedilatildeo em termos de conceitos de circuitos eleacutetricos

No capiacutetulo 5 vimos que para que um circuito eleacutetrico funcione em regime estacionaacuterio (ou seja para

que natildeo haja nele apenas um transiente raacutepido) deve haver nesse circuito em alguma parte dele uma fonte

de forccedila eletromotriz (FEM) As baterias satildeo um exemplo dessas fontes de FEM A ideia baacutesica eacute que ao fluir no

circuito os portadores de carga perdem energia por exemplo devido ao efeito Joule (produccedilatildeo de calor)

Entatildeo para que a corrente eleacutetrica se mantenha fluindo em algum lugar do circuito os portadores teratildeo que

ganhar energia Na bateria essa energia (potencial eleacutetrica) eacute obtida a partir de reaccedilotildees quiacutemicas internas

383

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Definimos a FEM ℇ de um dispositivo (como uma bateria) como sendo a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho

(positivo) sobre os portadores de carga por unidade de carga ou seja

ℇ =

A unidade de ℇ eacute o JC que chamamos de volt (V) eacute o trabalho positivo em um portador de carga que

atravessa esse dispositivo de FEM

Faraday podia criar correntes estacionaacuterias na espira ligada ao galvanocircmetro Substituindo o

galvanocircmetro por uma lacircmpada ele poderia manter essa lacircmpada acesa pelo tempo que ele quisesse desde

que as condiccedilotildees necessaacuterias para a induccedilatildeo fossem mantidas (movimento ou chaveamento) Portanto

durante o fenocircmeno da induccedilatildeo eletromagneacutetica haacute a produccedilatildeoinduccedilatildeo de uma FEM no circuito da espira

que podemos chamar de FEM induzida ℇ Os portadores na espira estatildeo ganhando energia enquanto a

induccedilatildeo ocorre Analisando os resultados dos experimentos vemos que a produccedilatildeo de ℇ estaacute associada agrave

variaccedilatildeo Variaccedilatildeo da posiccedilatildeo relativa imatildeespira ou da posiccedilatildeo da chave no circuito do solenoacuteide Se a

variaccedilatildeo cessa segue que ℇ rarr 0 e a lacircmpada apaga Resta descobrir em todos os experimentos qual

grandeza comum a eles estaacute variando e ldquocausandordquo a induccedilatildeo na espira Imatildes solenoacuteides chaves nada disso eacute

importante Faraday descobriu que a induccedilatildeo soacute corre se o fluxo magneacutetico atraveacutes da espira ligada ao

galvanocircmetro varia no tempo Esse fluxo eacute dado por

= ∙

sendo o campo magneacutetico no espaccedilo produzido pelo imatilde pelo solenoacuteide ou o que quer que seja eacute uma

superfiacutecie aberta delimitada pelo circuito da espira que estaacute ldquosofrendordquo a induccedilatildeo De fato eacute qualquer

superfiacutecie aberta que tem como borda esse circuito fechado da espira Para uma simples espira circular por

exemplo poderia ser o disco delimitado por esse ciacuterculo eacute um campo de vetores normais (ortogonais) em

cada ponto de e eacute uma aacuterea infinitesimal em Mais adiante discutiremos sobre o

sentido de Na Figura ao lado mostramos uma superfiacutecie possiacutevel aacuterea hachurada

para o circuito que representamos na Figura 1 Os experimentos de Faraday mostraram

uma relaccedilatildeo direta ℇ harr

No primeiro experimento se o imatilde natildeo se move em relaccedilatildeo ao circuito entatildeo

eacute constante e o galvanocircmetro marca = 0 porque ℇ = 0 Se o imatilde se aproxima ou se

afasta do circuito entatildeo muda na superfiacutecie e ne 0 rArr ℇ ne 0 rArr ne 0 No

segundo experimento se a chave estaacute aberta ou fechada entatildeo eacute constante e o

384

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

galvanocircmetro marca = 0 porque ℇ = 0 Nos instantes em que a chave fecha ou abre muda na superfiacutecie

e ne 0 rArr ℇ ne 0 rArr ne 0

Qual a relaccedilatildeo entre ℇ e A relaccedilatildeo mais simples possiacutevel

ℇ = minus = minus ∙

Essa eacute a lei que governa a induccedilatildeo eletromagneacutetica ou seja a produccedilatildeo de FEM induzida e concomitante

corrente eleacutetrica induzida em um circuito qualquer Alguns autores chamam essa lei de ldquolei de Faradayrdquo e

outros chamam de ldquoregra universal do fluxordquo Preferimos ficar com o segundo nome por motivos (simples)

que discutiremos depois Fato eacute que a regra universal do fluxo diz que natildeo importa o motivo (nesse sentido eacute

universal) porque o fluxo magneacutetico atraveacutes de um circuito varia a FEM induzida nesse circuito eacute a derivada

desse fluxo com o sinal trocado Esse sinal tem a ver com o sentido da FEM induzida e da corrente induzida

que seraacute produzida no circuito Mais adiante discutiremos sobre ele e sua relaccedilatildeo com o sentido de

O que pode causar variaccedilatildeo de fluxo magneacutetico em um circuito Vamos dar uma olhada na expressatildeo

de

= ∙

Vemos que pode variar por diversos motivos (a regra do fluxo natildeo diferencia esses diferentes motivos) que

podem ocorrer separadamente ou todos ao mesmo tempo

1 Se varia na regiatildeo onde estaacute a superfiacutecie ou seja onde estaacute o circuito que estaacute sofrendo a

induccedilatildeo entatildeo varia Eacute o que ocorre nos experimentos de Faraday em que aproximamos ou

afastamos o imatilde e abrimos ou fechamos a chave Esse eacute o caso dos transformadores de voltagem

2 Se o circuito se move em regiotildees onde eacute natildeo uniforme ou seja onde muda no espaccedilo entatildeo

varia Isso ocorre quando movemos o circuito afastando-o ou aproximando-o do imatilde

3 Se a aacuterea do circuito varia entatildeo varia Isso ocorre por exemplo em um circuito

flexiacuteveldeformaacutevel em que podemos mudar sua forma e mudar a aacuterea livremente

4 Se o acircngulo entre o campo e o vetor varia entatildeo varia pois ∙ = cos( ) Isso ocorre

quando giramos o circuito e eacute a situaccedilatildeo mais comum em geradores de energia eleacutetrica

A forccedila eletromotriz induzida (assim como a corrente induzida) possui um sentido ou seja uma

polaridade A regra do fluxo determina esse sentido atraveacutes de uma regra da matildeo direita Primeiro escolhemos

o sentido de Se escolhermos de tal forma que eacute paralelo a por exemplo entatildeo valeraacute ∙ gt 0 Caso

385

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

contraacuterio valeraacute ∙ lt 0 Natildeo faz diferenccedila podemos escolher qualquer um dos dois sentidos possiacuteveis para

Agora aplicamos a regra da matildeo direita apontando o polegar dessa matildeo no sentido de os outros dedos

apontaratildeo no sentido positivo da FEM induzida Se calcularmos ℇ e obtivermos um valor negativo significa

que ℇ tem o sentido oposto a esse indicado como positivo pela regra da matildeo direita

Considere o exemplo mostrado a Figura 3 ao lado Uma espira circular de raio

estaacute fixa um uma regiatildeo onde existe um campo magneacutetico uniforme cujo moacutedulo

aumenta no tempo de tal forma que ( ) =

sendo gt 0 uma constante A direccedilatildeo do vetor eacute fixa no tempo e faz sempre um

acircngulo com o plano da espira Na praacutetica poderiacuteamos obter esse efeito ou algo

parecido se focircssemos aproximando lentamente da espira o poacutelo norte de um imatilde

grande ou atraveacutes de um solenoacuteide fixo em que circulasse uma corrente eleacutetrica

crescente no tempo Vamos calcular a magnitude e o sentido da FEM induzida nessa

espira Primeiro escolhemos uma normal ao disco delimitado pela espira circular

Podemos escolher para a direita ou para a esquerda Eacute mais simples escolher para a

direita conforme a Figura ao lado Note que o acircngulo entre e eacute 90 minus Sendo o

campo magneacutetico uniforme natildeo haacute o que integrar nas coordenadas espaciais ( ) ou seja

(considerando que a aacuterea do disco delimitado pela espira eacute )

= ∙ = cos( 2 minus ) = cos( 2 minus ) = sen( ) = sen( )

Portanto da regra do fluxo a FEM induzida nessa espira eacute

ℇ = minus = minus [ sen( ) ] = minus sen( ) Qual o sentido dessa FEM cuja magnitude em volts eacute sen( ) Agora vamos apelar para a regra da matildeo direita A Figura

ao lado mostra a matildeo direita com o polegar ao longo do escolhido A

curva roxa indica qual seria o sentido de ℇ se ℇ fosse positiva Mas

obtivemos uma ℇ negativa e portanto o sentido de ℇ nessa espira eacute o

oposto ao indicado pela curva roxa A Figura ao lado ilustra entatildeo (em

vermelho) nossa conclusatildeo sobre o sentido de ℇ Se a resistecircncia eleacutetrica

do fio que compotildee essa espira for a corrente induzida que vai circular na espira no sentido indicado na

Figura acima (pela setinha vermelha) seraacute

( )

Figura 3 uma espira estaacute em um campo magneacutetico variaacutevel no tempo

( )

sentido positivo de ℇ

( )

90deg minus

386

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

= ℇ = sen( )

Essa forccedila eletromotriz teria o mesmo efeito de uma bateria de FEM ℇ = ℇ conectada agrave espira

conectada com a polaridade que produzisse a corrente no sentido que obtivemos Se cortarmos o fio da espira

e conectarmos uma lacircmpada nesses dois terminais a lacircmpada vai brilhar enquanto o campo magneacutetico variar

no tempo Ela vai ter um brilho constante porque a FEM induzida (e a corrente) no circuito eacute constante

(corrente contiacutenua)

A regra do fluxo eacute suficiente para a determinaccedilatildeo da magnitude e do sentido da FEM induzida em um

circuito qualquer Mas para a determinaccedilatildeo do sentido de ℇ apenas temos a opccedilatildeo de usar a lei de Lenz Natildeo

precisamos da lei de Lenz mas podemos utilizaacute-la para conferir nosso resultado obtido via regra do fluxo A lei

de Lenz faz uma afirmaccedilatildeo sobre o sentido de ℇ mais especificamente da corrente induzida produzida por ℇ

Trata-se de uma afirmaccedilatildeo apenas qualitativa e um tanto imprecisa nos seus termos mas que funciona A lei

de Lenz diz que a corrente induzida (e a FEM induzida) tem um sentido tal que se opotildee agrave sua causa

Independentemente de sua eficiecircncia na determinaccedilatildeo do sentido de ℇ nos parece claro que a lei de Lenz

natildeo deve ser levada ao peacute da letra Dizer ou sugerir que a causa da induccedilatildeo eletromagneacutetica eacute a variaccedilatildeo de

fluxo magneacutetico eacute uma simplificaccedilatildeo grosseira baseada em uma leitura equivocada da regra do fluxo A regra

do fluxo natildeo eacute uma relaccedilatildeo de causa e efeito ℇ eacute uma taxa de realizaccedilatildeo de trabalho sobre os portadores de

carga (uma composiccedilatildeo de forccedila e deslocamento) e natildeo podemos dizer que uma variaccedilatildeo de fluxo magneacutetico

causa uma realizaccedilatildeo de trabalho Mas enfim encontramos frequentemente na literatura frases equivocadas

como ldquoa variaccedilatildeo do fluxo magneacutetico produz no circuito uma FEM induzidardquo Trata-se no miacutenimo de um

abuso de linguagem Mais adiante discutiremos o fenocircmeno da induccedilatildeo do ponto de vista dos campos e e

poderemos voltar nessa discussatildeo

Fato eacute que para a espira circular que discutimos anteriormente a lei de Lenz

funcionaria assim o fluxo magneacutetico na espira estaacute para a direita (porque atravessa

a espira para a direita) e estaacute tambeacutem aumentando no tempo porque ( ) estaacute

aumentando no tempo por hipoacutetese (ver Figura ao lado) Entatildeo a corrente induzida

na espira vai se opor a isso a essa variaccedilatildeo de fluxo magneacutetico A corrente induzida

teraacute o sentido tal que vai produzir ela mesma um fluxo magneacutetico na espira que

tenta anular esse aumento de fluxo produzido por Portanto a corrente induzida

deveraacute produzir um campo magneacutetico apontando para a esquerda e pela regra da

matildeo direita da espira a corrente deveraacute circular exatamente no sentido que jaacute

haviacuteamos determinado pela regra do fluxo A Figura ao lado relembra essa regra da

matildeo direita da espira O polegar aponta no sentido do campo magneacutetico que a

( )

( )

387

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

corrente induzida deve produzir para se opor agrave sua ldquocausardquo (o aumento do fluxo de ) Os outros dedos

apontam no sentido da corrente que deve fluir na espira para produzir um campo magneacutetico nesse sentido

Note natildeo estamos dizendo aqui que o campo magneacutetico produzido pela corrente induzida deve ser

sempre oposto ao campo como ocorreu nesse exemplo Natildeo satildeo os campos que interessam mas sim a

variaccedilatildeo do fluxo magneacutetico Se nessa mesma situaccedilatildeo o campo magneacutetico tivesse sua magnitude

diminuindo no tempo (e o restante fosse tudo igual) a regra do fluxo produziria uma derivada

negativa e obteriacuteamos uma ℇ gt 0 ou seja com o sentido indicado pela curva roxa na Figura que mostra a

regra da matildeo direita da regra do fluxo Nesse caso a FEM ℇ teria o sentido oposto ao obtido com um campo

crescente A lei de Lenz diria que a corrente induzida deveria se opor a essa diminuiccedilatildeo no fluxo de para a

direita Para isso a corrente induzida deveria produzir ela mesma um fluxo magneacutetico tambeacutem para a direita

Portanto o campo magneacutetico produzido pela corrente induzida seria nesse caso paralelo ao campo Como

natildeo pode deixar de ser a regra da matildeo direita da espira daria um sentido para ℇ igual ao obtido via regra do

fluxo oposto ao determinado para um campo crescente Esse exemplo nos permite entender por que o

galvanocircmetro nos experimentos de Faraday ficava indicando correntes induzidas em sentidos opostos

conforme o imatilde se aproximava ou se afastava da espira

A lei de Lenz eacute apenas qualitativa e natildeo precisamos dela pois a regra do fluxo jaacute cumpre seu objetivo

Em sua simplicidade a lei de Lenz apenas reflete uma verdade profunda da natureza a conservaccedilatildeo da

energia Imagine que no exemplo anterior da espira circular o aumento de na regiatildeo da espira esteja sendo

produzido pela aproximaccedilatildeo de um poacutelo N de um imatilde Entatildeo a aproximaccedilatildeo do imatilde induz corrente na espira e

faz com que haja produccedilatildeo de calor por efeito Joule = De onde vem esse calor Eacute verdade basta

aproximar um imatilde de uma espira e obtemos uma fonte de calor A questatildeo eacute que na natureza uma energia soacute

pode vir de outra energia A lei de Lenz (assim como a regra do fluxo) nos ajuda a entender isso A corrente

induzida na espira com o sentido dado pela lei de Lenz vai dar origem ela mesma a um campo magneacutetico

com poacutelo N faceando o poacutelo N do imatilde que se aproxima O imatilde seraacute repelido pela espira Conclusatildeo se o imatilde

estava voando livremente no espaccedilo ele vai parar por efeito dessa forccedila de repulsatildeo Onde foi parar a energia

cineacutetica do imatilde Eacute o calor na espira Se o imatilde estaacute sendo empurrado por um agente externo esse agente vai

sentir essa forccedila de ldquofreio magneacuteticordquo e vai ter que trabalhar para que o imatilde se aproxime da espira Enquanto

esse agente externo trabalha a corrente induzida circula e haacute produccedilatildeo de calor No momento que o agente

externo para o imatilde a corrente induzida cessa e a produccedilatildeo de calor cessa tambeacutem Se o agente externo

resolver afastar o poacutelo N do imatilde a corrente induzida inverte de sentido e a espira produz um poacutelo S faceando o

poacutelo N do imatilde Agora o imatilde eacute atraiacutedo pela espira e chegamos agraves mesmas conclusotildees Eacute assim que a natureza

funciona Discutiremos mais um pouco sobre essa forccedila de freio magneacutetico mais adiante

388

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

922 Interpretaccedilatildeo em termos de campos de forccedila

Agora podemos partir para a interpretaccedilatildeo dos resultados dos experimentos de Faraday em termos de

campos de forccedila Fazendo isso vamos entender que a descoberta de Faraday eacute muito mais profunda que a

simples produccedilatildeo de FEMs induzidas em circuitos atraveacutes de campos magneacuteticos

Para fazer isso devemos nos lembrar da definiccedilatildeo primitiva de FEM Os portadores de carga em um

circuito perdem energia potencial eleacutetrica por exemplo pela accedilatildeo de uma forccedila de arraste embutida no

conceito de resistecircncia eleacutetrica Para que o circuito funcione em regime estacionaacuterio os portadores de carga

devem ganhar energia em alguma parte do circuito Podemos fazer aqui uma analogia com a energia potencial

gravitacional como fazemos para que uma pedra inicialmente no chatildeo ganhe energia potencial gravitacional

Devemos aplicar nela uma forccedila vertical para cima vencendo seu peso fazendo com que ela ganhe altura ℎ

Devemos aplicar uma forccedila e realizar trabalho sobre a pedra Analogamente um portador de carga em um

circuito ganha energia atraveacutes de uma forccedila Essa forccedila desloca o portador de carga e realiza trabalho sobre

ele Se eacute essa forccedila (por unidade de carga) entatildeo a FEM eacute (primitivamente) definida por

ℇ = = ∙

A FEM ℇ eacute a taxa de realizaccedilatildeo de trabalho positivo da forccedila sobre os portadores de carga (trabalho

por unidade de carga) A integral deve ser realizada ao longo do circuito ( eacute um deslocamento infinitesimal

paralelo ao circuito) que eacute a direccedilatildeo ao longo da qual os portadores se deslocam pela accedilatildeo de A integral

deve ser realizada no circuito todo para que o trabalho de e a FEM sejam devidamente computados Para

deixar isso expliacutecito na equaccedilatildeo podemos reescrevecirc-la na forma

ℇ = = ∙

O ciacuterculo no siacutembolo de integral serve para indicar que o caminho em que eacute integrada eacute fechado ou

seja eacute o circuito completo Na praacutetica pode ocorrer da forccedila estar restrita apenas a uma porccedilatildeo do circuito e

a integral acima se dar apenas nessa regiatildeo posto que no restante do circuito ela eacute nula Por exemplo para

um circuito ligado a uma bateria a integral de se limita ao espaccedilo interno entre os terminais da bateria A

forccedila eacute nesse caso uma forccedila de difusatildeo (de iacuteons) e ela soacute existe dentro da bateria onde ocorre uma reaccedilatildeo

quiacutemica

Aqui chegamos a um ponto crucial na interpretaccedilatildeo dos experimentos de Faraday Qual eacute a forccedila

responsaacutevel pelo trabalho nesses experimentos Haacute duas respostas a primeira eacute um caso mais simples e

a segunda eacute a que leva agrave grande descoberta de Faraday

389

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

O caso mais simples eacute aquele do experimento 1 em que o

circuito se move na presenccedila de um imatilde fixo A Figura 4 ao lado ilustra

essa ideia (imagine que o ponteiro do galvanocircmetro esteja fora do

zero) Nesse caso a espira estaacute se movendo com velocidade na

presenccedila do campo magneacutetico estaacutetico ( ) do imatilde que estaacute parado

Note que cada portador de carga dentro do circuito de carga eleacutetrica

adquire solidariamente a velocidade da espira e passa a sofrer

uma forccedila magneacutetica

( ) = times

Se essa forccedila possuir componente ao longo do circuito ela vai produzir

uma movimentaccedilatildeo dos portadores de carga ao longo dele ou seja

uma corrente eleacutetrica no circuito Essa eacute exatamente a corrente

eleacutetrica induzida medida por Faraday ou seja nesse caso vale

ℇ = ℇ( ) = minus = minus ∙ = ∙ = times ∙

Nesse contexto a FEM induzida eacute chamada de FEM de movimento ℇ( ) A equaccedilatildeo acima estaacute dizendo que

podemos calcular ℇ( ) de duas maneiras diferentes Vamos obter ao final o mesmo resultado Podemos

calcular ℇ( ) atraveacutes da regra do fluxo sem nem nos preocuparmos sobre qual a forccedila que estaacute realizando

trabalho sobre os portadores de carga Foi o que jaacute fizemos Essa eacute basicamente a atitude pragmaacutetica em que

a regra do fluxo eacute apenas uma ferramenta para obtermos a FEM induzida Ou podemos raciocinar em termos

da forccedila magneacutetica sobre os portadores de carga integrar essa forccedila ao longo do circuito e obter a FEM

induzida no circuito Essa segunda soluccedilatildeo daacute uma visatildeo mais detalhada do mecanismo da FEM de movimento

mas enfim a aplicaccedilatildeo da regra do fluxo eacute um atalho para o caacutelculo da FEM induzida nesse caso

Um exemplo simples em que podemos mostrar a validade

da equaccedilatildeo acima para as duas formas equivalentes de calcular ℇ( ) eacute o de uma haste condutora que desliza com velocidade

constante fechando um circuito atraveacutes de dois trilhos

condutores A Figura 5 ao lado ilustra esse sistema que poderia ser

chamado de gerador de energia eleacutetrica (natildeo muito praacutetico) A

haste deslizante (em vermelho) fecha o circuito da lacircmpada atraveacutes

de contatos eleacutetricos deslizantes O circuito estaacute em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo magneacutetico

uniforme e constante apontando para dentro do plano da paacutegina

Figura 5 um exemplo simples de FEM de movimento

Figura 4 um circuito de move em um campo magneacutetico estacionaacuterio

imatilde parado

390

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

A ideia eacute que enquanto a haste se move a lacircmpada

permanece acesa Vamos ver por que isso ocorre Do ponto de

vista da regra do fluxo a ldquoexplicaccedilatildeordquo eacute simples o fluxo magneacutetico

atraveacutes do circuito da lacircmpada varia no tempo e isso leva a uma

FEM induzida e a uma concomitante corrente induzida Na Figura

ao lado indicamos o que eacute necessaacuterio para aplicar a regra do fluxo a

esse sistema O circuito da lacircmpada eacute um circuito retangular que

tem um lado de tamanho fixo e o outro lado ao longo da direccedilatildeo em que a haste desliza de comprimento

variaacutevel que vamos chamar de ( ) Esse circuito eacute a borda de uma superfiacutecie retangular de aacuterea ( ) = ( ) Vemos que esse eacute um exemplo de um circuito deformaacutevel Ele se estica na direccedilatildeo de ( ) Adotando uma normal para dentro da paacutegina o fluxo magneacutetico atraveacutes dessa superfiacutecie eacute

= ∙ = = ( ) = ( ) Portanto a FEM de movimento nesse circuito eacute de acordo com a regra do fluxo

ℇ = ℇ( ) = minus = minus ( ) = minus ( ) = minus

Note que = Vemos na Figura acima que de acordo com a regra da matildeo direita como adotamos

para dentro da paacutegina (paralelo a ) a FEM positiva estaria no sentido horaacuterio Como obtivemos uma FEM

negativa segue que ela estaacute de fato no sentido anti-horaacuterio Podemos conferir esse sentido atraveacutes da lei de

Lenz O fluxo magneacutetico no circuito estaacute para dentro da paacutegina e aumentando com o tempo Portanto a

corrente induzida na espira vai ter que circular em um sentido tal que produz ela mesma um campo

magneacutetico para fora da paacutegina A regra da matildeo direita para o campo magneacutetico da espira diz entatildeo que a

corrente nela deve ter o sentido anti-horaacuterio

Em princiacutepio o problema estaacute resolvido e entendemos agora por que a lacircmpada acende Mas dizer

que a lacircmpada acende porque o fluxo magneacutetico no circuito varia natildeo explica nada apenas descreve Se

pensarmos em um niacutevel mais fundamental vamos querer saber qual

forccedila estaacute impulsionando os portadores de carga nesse circuito

fazendo com que a corrente flua atraveacutes da lacircmpada Para isso

podemos apelar para a definiccedilatildeo primitiva de FEM em termos do

trabalho de uma forccedila A Figura ao lado destaca um portador de

carga gt 0 (bolinha azul) que estaacute dentro da haste condutora deslizante Esse portador tambeacutem eacute puxado

com a velocidade e passa a sofrer uma forccedila magneacutetica (seta roxa) dada por

( )

( )

391

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

( ) = times

A forccedila magneacutetica por unidade de carga eacute = times Note que a forccedila impulsiona o portador paralelamente agrave

haste fazendo ele fluir no sentido anti-horaacuterio no circuito da lacircmpada (densidades de carga superficiais no

circuito vatildeo ajudar isso a acontecer) Soacute haacute forccedila magneacutetica nos portadores de carga que estatildeo na haste

deslizante pois no restante do circuito vale = 0 Portanto a magnitude da FEM no circuito (em volts) eacute

ℇ = ℇ( ) = ∙ = times ∙ = = =

Quanto ao sentido de ℇ( ) eacute o sentido em que ( ) impulsiona os portadores de carga positiva ou seja

anti-horaacuterio Se puxarmos a haste com velocidade constante vamos obter uma FEM constante

Aqui entendemos porque temos preferecircncia por chamar a relaccedilatildeo ℇ = minus de regra do fluxo

ao inveacutes de lei de Faraday De fato apesar de com esse experimento especiacutefico Faraday ter inventado o

gerador de energia eleacutetrica natildeo houve nele a descoberta de nenhuma nova lei da natureza ou do

eletromagnetismo Trata-se apenas da velha forccedila magneacutetica ( ) = times posta para trabalhar de uma

forma e com um efeito que ningueacutem tinha feito antes Vocecirc pode estranhar essa uacuteltima frase se vocecirc se

lembrar que a forccedila magneacutetica natildeo realiza trabalho Mas note o trabalho de uma forccedila sobre uma partiacutecula

que percorre uma curva eacute

em que eacute o deslocamento infinitesimal da partiacutecula ao longo de Nesse sentido podemos ter certeza

que

times ∙ = 0

para qualquer caminho percorrido por uma partiacutecula que sofre essa forccedila magneacutetica Mas na expressatildeo da

FEM de movimento natildeo eacute o deslocamento do portador de carga eacute um vetor deslocamento paralelo ao

circuito Devemos nos lembrar que no contexto da FEM de movimento o portador de carga se desloca ao

longo do circuito ou seja ao logo desse e tambeacutem ao longo de que eacute a velocidade de movimentaccedilatildeo do

circuito Para um intervalo de tempo infinitesimal poderiacuteamos dizer que = +

392

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

ou seja nesse tempo o portador de carga se desloca um pouco ao longo do circuito ( ) e ao mesmo

tempo se desloca um pouco juntamente com o circuito ( ) Tendo isso em vista natildeo haacute contradiccedilatildeo

quando entendemos que a FEM de movimento ℇ( ) eacute o trabalho da forccedila magneacutetica (sobre um portador de

carga) ao longo do circuito (e natildeo o trabalho da forccedila magneacutetica)

Para o sistema discutido acima devemos nos lembrar que enquanto haacute corrente induzida os

portadores de carga adquirem aleacutem da velocidade fornecida por um agente externo que puxa a haste (que

poderia ser uma roda drsquoaacutegua) a velocidade de deriva ao longo da haste (e ao longo de todo o circuito)

Portanto enquanto a haste desliza a forccedila magneacutetica em um portador de carga eacute

( ) = times + times

Note que isso natildeo altera em nada nosso resultado anterior para ℇ( ) pois times eacute ortogonal agrave haste jaacute

que eacute paralela agrave haste ou seja times ∙ = 0 Portanto o trabalho da forccedila magneacutetica em um portador

enquanto ele se desloca em um tempo eacute

( ) = ( ) ∙ = times + times ∙ +

Lembrando que nesse intervalo de tempo o deslocamento do portador ao longo da haste eacute =

obtemos finalmente

( ) = times + times ∙ ( + ) = ( + ) times ∙ ( + ) = 0

(levando em conta que o produto escalar entre dois vetores ortogonais entre si eacute nulo)

A Figura ao lado ilustra as vaacuterias grandezas vetoriais envolvidas na

expressatildeo de ( ) acima ( ) eacute a forccedila magneacutetica atuante no

portador de carga enquanto ele se move com velocidade + ao longo da

linha tracejada amarela Note que ( ) eacute ortogonal agrave trajetoacuteria do portador

e por isso ( ) = 0 Natildeo haacute trabalho da forccedila magneacutetica Quem realiza

trabalho e faz a lacircmpada acender O agente externo que puxa a haste Se ele parar de puxar a haste para

devido agrave accedilatildeo da forccedila magneacutetica times que aponta no sentido oposto agrave velocidade Resumindo o

agente externo puxa a haste e o portador com velocidade Nasce uma forccedila times que empurra o portador

para cima ao longo da haste O portador adquire a velocidade de deriva e nasce nele outra forccedila times

que o empurra no sentido oposto a O agente externo sente essa forccedila ele sente que a haste resiste a ser

puxada como se houvesse nela um arrasteatrito Se o agente externo desiste de puxar a haste desliza por

poucos segundos e para sob accedilatildeo dessa forccedila de ldquofreio magneacuteticordquo (a energia cineacutetica da haste eacute dissipada

atraveacutes do efeito Joule no circuito) Se o agente externo persiste ele sente que tem que manter uma forccedila

puxando a haste ele sente que tem que trabalhar para que a lacircmpada acenda A forccedila que ele tem que

times

times

( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

manter na haste para que ela continue com velocidade constante eacute a forccedila que vence a forccedila de freio

magneacutetico que para o total de portadores na haste vale

( ) = times = times = times

sendo a densidade de portadores no material da haste e a aacuterea da seccedilatildeo e o comprimento da haste e

o vetor comprimento ao qual jaacute estamos habituados Nesse caso especiacutefico e satildeo ortogonais entre si e essa

forccedila de freio possui moacutedulo e puxa a haste para traacutes O agente externo deveraacute aplicar na haste uma

forccedila de moacutedulo puxando a haste para a frente A taxa com que o agente externo deveraacute realizar

trabalho sobre a haste (a potecircncia mecacircnica) eacute = ( ) = ( ) = ℇ( )

Essa uacuteltima expressatildeo quantifica a afirmaccedilatildeo o responsaacutevel pelo brilho da lacircmpada eacute o agente externo

que estaacute puxando a haste imprimindo nela a velocidade Analogamente em uma usina hidreleacutetrica a

energia eleacutetrica vem da queda drsquoaacutegua que empurra as hastes das turbinas e movimenta o rotor do gerador de

energia eleacutetrica Nesse rotor haacute solenoacuteides que giram em um campo magneacutetico estaacutetico

Em um gerador de energia eleacutetrica o campo magneacutetico natildeo realiza trabalho Quem realiza trabalho eacute o

agente externo que movimenta o gerador O que faz o campo magneacutetico entatildeo Ele movimenta os portadores

de carga ao longo do circuito ou seja ele cria a corrente induzida Natildeo haacute muita novidade nisso Na mecacircnica

encontramos situaccedilotildees parecidas Para que uma pessoa caminhe ela precisa da forccedila de atrito estaacutetico entre

seus peacutes e o chatildeo eacute essa forccedila que a impulsiona para frente Mas a forccedila de atrito estaacutetico natildeo realiza

trabalho A pessoa caminha graccedilas agrave sua energia interna ao seu metabolismo

Esse exemplo mostra a coerecircncia da conservaccedilatildeo da energia em um gerador de energia eleacutetrica Para

entendermos isso devemos enxergar a existecircncia de uma forccedila de freio magneacutetico no circuito que resiste agrave

movimentaccedilatildeo do gerador Essa forccedila de freio magneacutetico tem aplicaccedilotildees praacuteticas ela eacute utilizada na frenagem

de trens de alta velocidade substituindo os sistemas convencionais de freio pela accedilatildeo do atrito cineacutetico Se

vocecirc quiser saber um pouco mais sobre essa forccedila de freio magneacutetico pode dar uma olhada no artigo

Analytical results for rotating and linear magnetic brakes J A Redinz Advanced Electromagnetics 7 (2018)

Estamos respondendo aqui agrave pergunta sobre qual a forccedila responsaacutevel pela corrente induzida nos

experimentos de Faraday No caso mais simples de FEM de movimento essa forccedila eacute a forccedila magneacutetica

produzida pela movimentaccedilatildeo do circuito em um campo magneacutetico estaacutetico Basicamente um agente externo

move o circuito com velocidade e nasce nos portadores de carga uma forccedila magneacutetica times responsaacutevel

pela FEM induzida A grande descoberta de Faraday veio da resposta a essa pergunta nos casos em que o

circuito estaacute parado No experimento 1 quando deixamos o circuito parado e movimentamos o imatilde ou no

394

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

experimento 2 quando mudamos o estado da chave S Nesses casos vale = 0 e ( ) = times = 0 Natildeo

podemos dizer que nesses sistemas haacute uma forccedila magneacutetica impulsionando os portadores de carga no circuito

ligado ao galvanocircmetro Mas sendo a FEM induzida dada por

ℇ = ∙

devemos encontrar uma forccedila nesses sistemas Os portadores de carga natildeo fluem por conta proacutepria

Natildeo restam muitas opccedilotildees Se natildeo eacute uma forccedila magneacutetica eacute uma forccedila eleacutetrica = = A

questatildeo eacute que jaacute estudamos campos eleacutetricos e sabemos que eles satildeo produzidos por acuacutemulos de cargas

eleacutetricas e natildeo haacute nenhum acuacutemulo de cargas eleacutetricas devido agrave movimentaccedilatildeo do imatilde ou ao chaveamento de

S Aleacutem disso sabemos que o campo eleacutetrico eacute conservativo e que se considerarmos a integral de no circuito

completo vamos obter um resultado nulo A energia que o campo daacute na ida ele retira na volta como faz o

campo gravitacional Enfim com esses experimentos Faraday descobriu duas coisas 1) haacute outra forma de

produzir campo eleacutetrico atraveacutes de correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo (natildeo estacionaacuterias) 2) esse campo

eleacutetrico natildeo sendo produzido por acuacutemulos de cargas eleacutetricas natildeo satisfaz agrave lei de Coulomb e portanto natildeo

tem que ser e natildeo eacute conservativo

Faraday descobriu que a movimentaccedilatildeo de um imatilde produz no espaccedilo um campo eletromagneacutetico ou

seja um campo magneacutetico (conforme jaacute estudamos) e um campo eleacutetrico O circuito ligado ao galvanocircmetro

estaacute mergulhado nesse campo eletromagneacutetico e mesmo que valha ( ) = times = 0 pois = 0 existe

uma forccedila eleacutetrica nos portadores de carga nesse circuito e portanto uma FEM induzida dada por

ℇ = ∙

Analogamente Faraday descobriu que a variaccedilatildeo da corrente eleacutetrica em um solenoacuteide faz com que

ele produza no espaccedilo um campo eletromagneacutetico ou seja um campo magneacutetico (conforme jaacute estudamos) e

um campo eleacutetrico O circuito ligado ao galvanocircmetro estaacute mergulhado nesse campo eletromagneacutetico e

mesmo que valha ( ) = times = 0 pois = 0 existe uma forccedila eleacutetrica nos portadores de carga nesse

circuito e portanto uma FEM induzida dada por

ℇ = ∙

Esses dois casos imatilde se movendo e chave S mudando de estado correspondem ao caso de sistemas

com correntes eleacutetricas que variam no tempo No caso do solenoacuteide isso eacute mais evidente pois o chaveamento

da chave S liga e desliga a corrente no solenoacuteide ou seja cria uma ( ) circulando no solenoacuteide No caso do

395

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

imatilde se movendo isso natildeo eacute tatildeo evidente mas note que conforme jaacute discutimos dentro do imatilde existem

correntes eleacutetricas microscoacutepicas (organizadas espacialmente) responsaacuteveis por seu campo magneacutetico e que

quando movemos o imatilde a corrente eleacutetrica ldquono espaccedilordquo passa a variar no tempo De fato seja A um ponto

qualquer do espaccedilo na vizinhanccedila do imatilde Enquanto o imatilde natildeo estiver passando por A vale ( ) = 0

Quando o imatilde estiver passando por A vai valer ( ) ne 0 Conclusatildeo a movimentaccedilatildeo do imatilde produz no

espaccedilo uma ( ) uma espeacutecie de pulso de corrente que acompanha o imatilde Aonde o imatilde vai a corrente vai

junto e em cada ponto do espaccedilo ela muda no tempo conforme a posiccedilatildeo do imatilde muda no tempo Apenas

para enfatizar essa ideia a movimentaccedilatildeo do imatilde natildeo modifica as correntes atocircmicas dentro do imatilde mas cria

no espaccedilo uma ( ) Resumindo Faraday descobriu que em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe uma corrente eleacutetrica

variaacutevel no tempo existe um campo magneacutetico (conforme jaacute haviacuteamos concluiacutedo para correntes estacionaacuterias)

e tambeacutem um campo eleacutetrico natildeo-coulombiano ambos em geral variaacuteveis no tempo ( ) e ( ) O

termo ldquonatildeo-coulombianordquo quer dizer que o a que estamos nos referindo aqui natildeo eacute aquele que

estudamos na eletrostaacutetica O campo coulombiano eacute criado por acuacutemulos de cargas eleacutetricas obedece agrave lei

de Coulomb e eacute conservativo O campo descoberto por Faraday tambeacutem chamado de campo eleacutetrico

induzido eacute produzido por correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo natildeo obedece agrave lei de Coulomb e natildeo eacute

conservativo

A Figura 6 ao lado ilustra a situaccedilatildeo do imatilde se

aproximando da espira ligada ao galvanocircmetro O imatilde cria

no espaccedilo um campo eletromagneacutetico Esboccedilamos

algumas linhas de (em verde) emanando do poacutelo N do

imatilde e algumas linhas de forccedila de (em azul) que satildeo

linhas fechadas orientadas como natildeo poderia deixar de

ser no mesmo sentido da FEM induzida na espira nesse

caso (imagine que o ponteiro do galvanocircmetro esteja fora

do zero) Quando dizemos que esse campo eleacutetrico natildeo eacute

conservativo queremos dizer basicamente o que essa

Figura ilustra se integrarmos o campo eleacutetrico ao longo

de qualquer uma dessas curvas que satildeo as proacuteprias

linhas de forccedila de vamos obter

∙ ne 0

imatilde se movendo

Figura 6 um imatilde se movendo cria no espaccedilo um campo eletromagneacutetico

396

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

ao passo que para o campo (coulombiano) eletrostaacutetico vale sempre

∙ = 0

Jaacute discutimos no capiacutetulo 6 que os circuitos eleacutetricos geralmente envolvem acuacutemulos de cargas

eleacutetricas nas extremidades de dispositivos como nos resistores e ao longo dos fios guiando os portadores de

carga e a corrente eleacutetrica ao longo do circuito Portanto em geral os circuitos eleacutetricos envolvem a accedilatildeo de

um campo eleacutetrico coulombiano Mas sendo esse campo conservativo ele natildeo pode ser o uacutenico responsaacutevel

pelo funcionamento de um circuito em regime estacionaacuterio O campo eletrostaacutetico pode no maacuteximo produzir

transientes em circuitos como no caso da descarga em um circuito RC Para que um circuito funcione em

regime estacionaacuterio mantendo uma lacircmpada acesa por exemplo tem que haver nele um outro campo de

forccedila com integral (circulaccedilatildeo) natildeo nula e positiva ao longo do circuito ou seja que realiza trabalho positivo e

fornece energia para os portadores de carga eleacutetrica No circuito da Figura 6 Faraday descobriu que esse outro

campo de forccedila eacute o campo eleacutetrico induzido

Na Figura 7 ilustramos a situaccedilatildeo em que

ficamos ligando e desligando continuamente a

chave S e criamos no solenoacuteide uma corrente

pulsante ( ) Mesmo que o solenoacuteide esteja

parado ele cria no espaccedilo um campo

eletromagneacutetico Esboccedilamos algumas linhas de

(em verde) emanando do que seria o poacutelo N do

solenoacuteide (se esse poacutelo eacute N ou S depende do

sentido da corrente no solenoacuteide) e algumas

linhas de forccedila de (em azul) que satildeo linhas

fechadas orientadas Estamos imaginando aqui

que ( ) estaacute crescendo nesse instante (a chave S acabou de ser fechada) o que equivaleria no caso da Figura

6 agrave aproximaccedilatildeo do imatilde (imagine que o ponteiro do galvanocircmetro estaacute fora do zero)

Um campo eletromagneacutetico eacute basicamente o que jaacute discutimos um par ( ) e ( ) definido em

todos os pontos de espaccedilo e em cada instante de tempo Um par ( ) e ( ) natildeo constitui um campo

eletromagneacutetico porque os campos estacionaacuterios possuem existecircncias independentes um do outro Natildeo haacute

uma lei que relacione em geral um com o outro As leis de Coulomb e Gauss governamdescrevem os campos ( ) e as leis de Biot-Savart e Ampegravere governamdescrevem os campos ( ) No caso dos campos

eletromagneacuteticos os campos ( ) e ( ) satildeo inseparaacuteveis um natildeo existe sem o outro Dizemos que os

S

Figura 7 uma corrente eleacutetrica pulsante em um solenoacuteide cria no espaccedilo um campo eletromagneacutetico

chave pulsando

397

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

campos estatildeo acoplados entre si Foi o que Faraday descobriu De fato tendo em vista que nesse contexto de

circuitos (que estatildeo sofrendo a induccedilatildeo) parados vale

ℇ = ∙

e considerando que a regra universal do fluxo vale sempre (por isso ela eacute universal) obtemos finalmente a lei

de induccedilatildeo de Faraday

minus = minus ∙ = ℇ = ∙

ou seja

∙ = minus ∙

sendo um circuito fechado (estaacutetico) qualquer e uma superfiacutecie aberta qualquer que tem como borda

esse circuito Essa equaccedilatildeo integral acopla uma propriedade espacial de (uma integral de caminho que

chamamos de circulaccedilatildeo) com uma propriedade espaccedilotemporal de (a derivada do fluxo) Chamamos esse

acoplamento entre e de induccedilatildeo eletromagneacutetica (a ideia de que e se induzem mutuamente)

Olhando para essa equaccedilatildeo acima vemos que ela natildeo envolve nenhuma caracteriacutestica do circuito que

natildeo seja simplesmente sua forma geomeacutetrica Natildeo haacute por exemplo menccedilatildeo ao material de que o circuito eacute

feito Enfim esse raciociacutenio estaacute nos indicando que o fenocircmeno da induccedilatildeo eletromagneacutetica estaacute revelando

um acoplamento que acontece entre os campos ( ) e ( ) independentemente da existecircncia ou natildeo de

um circuito e na expressatildeo acima satildeo os campos no espaccedilo que existem mesmo que retiremos o circuito

dessa regiatildeo onde ele estaacute (esses campos estatildeo sendo produzidos pela movimentaccedilatildeo do imatilde ou da chave no

solenoacuteide nos casos das Figuras 6 e 7) Nesse sentido podemos escrever a lei de induccedilatildeo de Faraday na forma

mais geral (e mais abstrata)

∙ = minus ∙

sendo uma curva (imaginaacuteria) fechada qualquer e uma superfiacutecie (imaginaacuteria) aberta qualquer que tem

como borda essa curva No caso estacionaacuterio se por exemplo paramos de mover o imatilde ou paramos de

chavear a chave S a corrente eleacutetrica no espaccedilo se torna estacionaacuteria o campo magneacutetico no espaccedilo se torna

um campo magnetostaacutetico e obtemos

∙ = minus ∙ = 0

398

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

ou seja se houver um campo eleacutetrico nessa regiatildeo do espaccedilo ele seraacute o velho campo eleacutetrico conservativo

produzido por algum acuacutemulo de cargas que porventura exista em algum lugar Voltamos ao caso estacionaacuterio

com campos e independentes entre si O campo volta a ser conservativo se ele existir e o

galvanocircmetro indica corrente nula na espira Se voltamos a mover o imatilde ou voltamos a chavear a chave S

comeccedila tudo outra vez a corrente eleacutetrica no espaccedilo se torna variaacutevel no tempo e produz campos e

acoplados entre si pela lei de Faraday O campo eleacutetrico deixa de ser conservativo e o galvanocircmetro acusa

uma corrente circulando na espira

Muitas vezes encontramos em textos de eletromagnetismo a ideia de que a lei de Faraday estaacute

mostrando que um campo magneacutetico variaacutevel no tempo induz um campo eleacutetrico no espaccedilo (daiacute o nome

campo eleacutetrico induzido) Mas natildeo eacute isso que estaacute descrito na lei de Faraday Aqui encontramos uma situaccedilatildeo

parecida com a do ovo e da galinha Quem nasceu primeiro A ideia de que o campo magneacutetico variaacutevel no

tempo induz campo eleacutetrico ou seja que o campo eleacutetrico (induzido) eacute um efeito do campo magneacutetico traacutes

embutida nela a ideia de que o campo eleacutetrico vem depois do campo magneacutetico com em uma relaccedilatildeo

qualquer de causa e efeito o efeito soacute pode vir depois da causa Mas o que vimos aqui foi apenas que

correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo produzem ( ) e ( ) Natildeo vimos que correntes eleacutetricas variaacuteveis

no tempo produzem um campo ( ) e que depois esse ( ) induz um ( ) Natildeo haacute essa sequecircncia de

eventos descrita na lei de Faraday A Lei de induccedilatildeo de Faraday apenas diz que havendo um ( ) haacute

tambeacutem um ( ) pois eles estatildeo acoplados entre si Natildeo haacute nessa lei nenhuma afirmaccedilatildeo sobre causa e

efeito De fato vale tambeacutem a ideia de que se haacute um ( ) natildeo conservativo no espaccedilo entatildeo haacute tambeacutem

um ( ) conforme veremos na lei de Ampegravere-Maxwell A causa comum de ( ) e ( ) eacute a corrente

eleacutetrica variaacutevel no tempo Eacute a corrente eleacutetrica variaacutevel no tempo que produz um campo eletromagneacutetico no

espaccedilo Nesse campo ( ) e ( ) nascem ou morrem simultaneamente acoplados entre si pela lei de

Faraday

Dizer que a causa de ( ) e ( ) eacute uma corrente eleacutetrica variaacutevel no tempo eacute uma visatildeo

macroscoacutepica do fenocircmeno da induccedilatildeo eletromagneacutetica Pensando em um niacutevel microscoacutepico o que estamos

descobrindo aqui eacute que partiacuteculas com carga eleacutetrica dependendo de como elas se movem produzem no

espaccedilo aleacutem dos campos eletrostaacutetico e magnetostaacutetico campos eleacutetricos natildeo conservativos Dependendo do

estado de movimento da partiacutecula com carga eleacutetrica podemos observar em sua vizinhanccedila apenas um campo

eletrostaacutetico tambeacutem um campo magnetostaacutetico e ainda um campo eleacutetrico natildeo conservativo Se vocecirc quiser

dar uma conferida nessa ideia pode olhar o artigo Faraday induction from point-charge fields J A Redinz

American Journal of Physics 87 (2019)

399

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Natildeo deixa de ser curioso que a FEM de movimento que natildeo envolve campo eleacutetrico induzido mas sim

a forccedila magneacutetica ( ) = times seja descrita pela mesma regra do fluxo que descreve as situaccedilotildees em

que ocorre a induccedilatildeo eletromagneacutetica descoberta por Faraday Por exemplo no experimento 1 se movemos o

circuito e deixamos o imatilde fixo natildeo haacute induccedilatildeo eletromagneacutetica (natildeo existe campo eleacutetrico induzido no espaccedilo)

mas ocorre induccedilatildeo de FEM e corrente no circuito com ℇ = ℇ( ) = minus Nesse mesmo experimento

se movemos o imatilde e deixamos o circuito fixo haacute induccedilatildeo eletromagneacutetica surge um campo eleacutetrico induzido

no espaccedilo e ocorre induccedilatildeo de FEM e corrente no circuito com ℇ = minus Natildeo se trata de uma

coincidecircncia incriacutevel mas sim da manifestaccedilatildeo da relatividade do movimento Natildeo importa quem estaacute se

movendo se eacute o imatilde ou a espira estes dois casos se encaixam no mesmo experimento visto por dois

observadores diferentes um em repouso em relaccedilatildeo agrave espira e outro em relaccedilatildeo ao imatilde Mesmo que as forccedilas

envolvidas na FEM sejam diferentes para esses dois observadores a regra do fluxo resume a ideia de que

havendo movimento relativo vocecirc mede a mesma FEM induzida no circuito da espira Vocecirc poderia se

perguntar mas haacute ou natildeo haacute campo eleacutetrico induzido no espaccedilo A resposta a essa pergunta vai depender de

a qual observador ela eacute dirigida Se vocecirc fizer essa pergunta a um observador que vecirc o imatilde parado (e o circuito

se movendo) ele vai responder que natildeo haacute campo eleacutetrico induzido no espaccedilo e ele pode provar isso atraveacutes

de medidas eleacutetricas Se por outro lado vocecirc fizer essa pergunta a um observador que vecirc o imatilde se movendo

(e o circuito parado) ele vai responder que haacute sim um campo eleacutetrico induzido no espaccedilo e ele pode provar

isso atraveacutes de medidas eleacutetricas Conclusatildeo a realidade eacute uma soacute mas a descriccedilatildeo da realidade depende do

observador A existecircncia de campos eleacutetricos e magneacuteticos eacute relativa

A lei de Faraday pode tambeacutem ser escrita na forma (para uma curva C estacionaacuteria)

∙ = minus ∙ rArr ∙ = minus ∙

sendo a derivada parcial de ( ) em relaccedilatildeo ao tempo Natildeo podemos deixar de notar uma

similaridade entre essa forma da lei de Faraday e a lei de Ampegravere

∙ = ∙ =

que estudamos no capiacutetulo 8 Se trocarmos por e por minus na lei Ampegravere obtemos a lei de Faraday

Assim sendo eacute de se esperar que o campo eleacutetrico induzido presente na lei de Faraday se relacione no espaccedilo

com o campo de uma forma similar agrave relaccedilatildeo que existe entre o campo magnetostaacutetico e o vetor

densidade de corrente na lei de Ampegravere Vimos que a lei de Biot-Savart leva geralmente a um campo

magneacutetico que eacute ortogonal agrave corrente que estaacute produzindo esse campo pois essa lei envolve um produto times sendo paralelo agrave corrente Portanto essa relaccedilatildeo entre e tambeacutem deve estar expressa na lei de

400

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Ampegravere o campo eleacutetrico induzido eacute ortogonal ao campo Eacute comum a situaccedilatildeo em que eacute

paralelo a (o campo muda apenas de intensidade sem mudar de direccedilatildeo) e que portanto o campo eleacutetrico

induzido tenha a mesma direccedilatildeo da corrente eleacutetrica que estaacute produzindo ele posto que ele eacute ortogonal a

que por sua vez eacute ortogonal a Usamos essa ideia nas Figuras 6 e 7 quando esboccedilamos as linhas de forccedila do

campo eleacutetrico induzido como sendo circulares paralelas agrave corrente nas espiras do solenoacuteide ou agraves correntes

microscoacutepicas no imatilde que estatildeo produzindo esse campo

93 Aplicaccedilotildees praacuteticas da induccedilatildeo eletromagneacutetica

Nessa seccedilatildeo vamos discutir algumas poucas aplicaccedilotildees praacuteticas desse fenocircmeno de induccedilatildeo FEM de

movimento e induccedilatildeo eletromagneacutetica Poderiacuteamos dizer que a aplicaccedilatildeo mais ldquoatualrdquo estaacute nas

telecomunicaccedilotildees pois as ondas eletromagneacuteticas que ldquotransportamrdquo os sinais de

raacutedioTVinternetsateacuteliteetc satildeo simplesmente campos eletromagneacuteticos que se propagam no espaccedilo na

velocidade da luz Essas ondas viajam na velocidade da luz porque a proacutepria luz eacute uma onda eletromagneacutetica e

todas viajam na mesma velocidade (dentro de um meio especiacutefico) Campos eletromagneacuteticos e portanto

ondas eletromagneacuteticas satisfazem a lei de Faraday e natildeo deixam de ser nesse sentido aplicaccedilotildees praacuteticas

dessa lei pois elas estatildeo em toda parte Mas a discussatildeo de ondas eletromagneacuteticas natildeo faz parte do contexto

desse curso e vamos ficar aqui com aplicaccedilotildees mais simples da induccedilatildeo

931 O gerador de energia eleacutetrica

Um gerador de energia eleacutetrica converte energia mecacircnica em

energia eleacutetrica Faraday inventou um gerador simples chamado de

disco de Faraday composto de apenas um disco metaacutelico (de alumiacutenio

ou cobre) que eacute posto a girar (por um agente externo) com velocidade

angular em um campo magneacutetico estacionaacuterio Contatos

deslizantes (escovas) conduzem a corrente induzida no disco para um

dispositivo externo uma lacircmpada por exemplo A ideia estaacute ilustrada

na Figura 8 ao lado Trata-se de uma simples aplicaccedilatildeo de FEM de

movimento Os portadores de carga no disco satildeo postos a girar com velocidade tangencial = sendo os

raios de suas posiccedilotildees no disco e passam a sofrer a forccedila magneacutetica ( ) = times Daiacute eles passam a fluir

no disco na direccedilatildeo radial Se o circuito externo estiver aberto os portadores de carga apenas acumulam na

periferia ou no centro do disco (depende do sentido de ( )) Daiacute nasce um campo eletrostaacutetico devido a

esses acuacutemulos de carga ateacute que se estabeleccedila o equiliacutebrio entre as forccedilas ( ) e ( ) = Ao final haacute

uma DDP entre o eixo e a periferia do disco Se vocecirc colocar a matildeo nesses lugares do disco pode levar um

Figura 8 o disco de Faraday

401

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

choque Fechando o circuito externo a corrente induzida passa a fluir Natildeo vamos entrar em detalhe aqui

sobre os caacutelculos dessas grandezas Se vocecirc quiser ter uma ideia pode olhar o artigo Faradays first dynamo

An alternate analysis J A Redinz American Journal of Physics 83 (2015)

Os geradores de uso mais comum consistem em solenoacuteides girando em uma regiatildeo onde existe um

campo magneacutetico estacionaacuterio criado por imatildes ou por outros solenoacuteides A Figura 9 abaixo ilustra a ideia para

apenas uma espira circular Imagine que a espira gire constantemente com velocidade angular Trata-se

novamente de um exemplo simples de FEM de movimento Se eacute o raio da espira a regra do fluxo diz que a

FEM induzida na espira eacute ℇ = ℇ( ) = minus

com = cos( ( )) = cos( ) posto que ( ) = Portanto ℇ( ) = sen( ) Note que a FEM na espira alterna de sinal ou seja alterna de polaridade No instante mostrado na

Figura 9 a FEM eacute positiva (porque 0 lt lt ) e tem o sentido

mostrado pela setinha vermelha Note que nesse instante o fluxo

magneacutetico estaacute diminuindo no tempo pois a espira estaacute se tornando

rasante em relaccedilatildeo ao campo Apoacutes passar pela posiccedilatildeo =

(quando a FEM eacute nula) a FEM se torna negativa ou seja circula no

sentido oposto na espira Trata-se de uma FEM alternada exatamente

como as que existem nas tomadas das instalaccedilotildees eleacutetricas

residenciais (porque essas tomadas estatildeo conectadas a geradores

como esse) Se a resistecircncia eleacutetrica da espira for a corrente eleacutetrica

induzida que vai circular nela seraacute

Note que enquanto essa corrente circula na espira nascem forccedilas

magneacuteticas que produzem um torque que freia a espira (o freio

magneacutetico a que jaacute nos referimos) e o agente externo sente que ele tem

que fazer forccedila na manivela para que a espira gire A potecircncia com que o

agente externo realiza trabalho eacute exatamente a potecircncia dissipada

na espira por efeito Joule (desprezando o atrito nos mancais)

Como ldquoretirarrdquo a corrente induzida desse circuito Podemos usar

aneacuteis e contatos deslizantes como na Figura ao lado Considere que os aneacuteis metaacutelicos estatildeo soldados aos

Figura 9 um gerador com uma espira

= ℇ( ) = sen( )

402

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

terminais da espira e giram com ela Os contatos deslizantes (escovas de grafite em roxo) fecham o circuito

externamente atraveacutes da lacircmpada Note que na lacircmpada circula uma corrente alternada

Adaptando o eixo de rotaccedilatildeo da espira a uma roda drsquoaacutegua produzimos uma usina hidreleacutetrica

932 O motor de induccedilatildeo

O motor eleacutetrico faz o oposto do gerador ele converte energia eleacutetrica em energia mecacircnica Jaacute

discutimos o motor eleacutetrico CC no capiacutetulo 7 e vimos que seu funcionamento de baseia na accedilatildeo da forccedila

magneacutetica e no torque magneacutetico no rotor dado por (para uma espira) = times

eacute o campo magneacutetico estacionaacuterio produzido pelo estator na regiatildeo do rotor Ele pode ser produzido por

imatildes ou por solenoacuteides eacute o momento de dipolo magneacutetico de uma espira no rotor Para uma espira que eacute

uma curva plana vale = sendo a corrente na espira a aacuterea plana delimitada pela espira e um

vetor normal a essa aacuterea plana orientado de acordo com a regra da matildeo direita Em um motor CC vimos que a

corrente eleacutetrica eacute levada ateacute as espiras do rotor atraveacutes de contatos comutadores e escovas deslizantes Em

um motor de induccedilatildeo o princiacutepio de funcionamento continua sendo a accedilatildeo do torque mas a corrente eacute

uma corrente induzida Natildeo haacute comutadores ou escovas A corrente eacute produzida no rotor atraveacutes de induccedilatildeo

eletromagneacutetica O motor de induccedilatildeo soacute funciona em correntes alternadas pois a ideia eacute que essas correntes

alternadas no estator vatildeo produzir um campo eletromagneacutetico na regiatildeo

do rotor e induzir correntes nesse rotor As correntes circulantes

produzem forccedilas magneacuteticas e o torque A Figura ao lado mostra o

rotor de um motor de induccedilatildeo Natildeo haacute contatos eleacutetricos e nem espiras

trata-se de um bloco metaacutelico ciliacutendrico maciccedilo e a corrente eleacutetrica no rotor eacute uma corrente induzida

Devido a sua simplicidade e baixa manutenccedilatildeo (ausecircncia de escovas) motores de induccedilatildeo tecircm sido

utilizados em veiacuteculos eleacutetricos (por serem alimentados por baterias exigem um circuito de conversatildeo CC em

CA) como os produzidos pela Tesla Motors

Se vocecirc quiser ver uma discussatildeo mais quantitativa do motor de induccedilatildeo pode olhar o artigo The

induction motor J A Redinz European Journal of Physics 36 (2015)

933 O transformador de voltagem

Considere que em diferentes situaccedilotildees precisamos de diferentes valores de DDP Por exemplo na

transmissatildeo de energia eleacutetrica por longas distacircncias como a que ocorre de uma usina hidreleacutetrica ateacute uma

cidade consumidora atraveacutes de linhas de transmissatildeo eacute interessante que o niacutevel de DDP seja bastante

elevado Encontramos exemplos de linhas de transmissatildeo em que a DDP entre dois de seus fios condutores eacute

403

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

da ordem de 500 kV Nesse caso a vantagem na elevaccedilatildeo da DDP estaacute na concomitante reduccedilatildeo na corrente

que circula nos fios da linha de transmissatildeo e portanto na reduccedilatildeo na perda de energia por efeito Joule

Considere que eacute a resistecircncia de um desses fios que pode ter centenas de quilocircmetros de comprimento Se

eacute a corrente circulando no fio a perda de energia nesse fio por efeito Joule se daacute com a potecircncia Natildeo

haacute muito como mudar o valor de dado basicamente pela foacutermula = sendo a resistividade do

material do fio seu comprimento e sua aacuterea de seccedilatildeo transversal Fatores como custo de material peso e

resistecircncia mecacircnica limitam bastante as opccedilotildees Geralmente os fios dessas linhas de transmissatildeo satildeo feitos

de uma trama de alumiacutenio e accedilo conferindo a ele baixo custo baixa resistecircncia eleacutetrica baixo peso e alta

resistecircncia mecacircnica Resta entatildeo para reduzir as perdas reduzir a corrente Mas a potecircncia com que a

usina hidreleacutetrica entrega energia a seus consumidores eacute funccedilatildeo de eacute dada basicamente por ∆ sendo ∆

a DDP entre dois fios da linha (por onde a corrente vai e volta) Vemos que a uacutenica forma de reduzir

mantendo a capacidade energeacutetica da usina eacute aumentar ∆ Se aumentamos ∆ por um fator 1000 por

exemplo reduzimos por esse mesmo fator e reduzimos a perda de energia por um fator 1000000 Natildeo eacute

pouca coisa Natildeo eacute difiacutecil imaginar que uma DDP de 500 kV traacutes muitos perigos para aqueles obrigados a lidar

com ela Assim sendo devemos reduzir o niacutevel de DDP em etapas ateacute que o consumidor final possa lidar com

um niacutevel de DDP menos letal

Essas mudanccedilas no niacutevel de DDP elevaccedilotildees e reduccedilotildees

satildeo realizadas facilmente pelos transformadores de voltagem

Um transformador de voltagem eacute basicamente o aparato

montado por Faraday em seu experimento 2 que discutimos

no iniacutecio desse capiacutetulo Ele funciona graccedilas agrave induccedilatildeo

eletromagneacutetica A Figura 9 ao lado ilustra o que seria um

simples transformador de voltagem dois solenoacuteides que

compartilham o mesmo fluxo magneacutetico Os solenoacuteides satildeo

isolados espacialmente e eletricamente mas estatildeo acoplados

entre si atraveacutes de um campo eletromagneacutetico Se pensarmos bem esse eacute o princiacutepio de funcionamento de

uma telecomunicaccedilatildeo transmissor e receptor A Figura 9 tenta dar uma ideia (eacute soacute um esboccedilo) de como

seriam as linhas dos campos ( ) (em verde) e ( ) (em azul) supondo que correntes variaacuteveis no tempo

circulam pelos solenoacuteides Considere que um dos solenoacuteides o primaacuterio possui espiras e o outro

solenoacuteide o secundaacuterio possui espiras Em um transformador ideal o fluxo magneacutetico em cada uma

das espiras do primaacuterio eacute exatamente o mesmo que flui atraveacutes de cada uma das espiras do secundaacuterio (natildeo

haacute ldquovazamentordquo de linhas de ) Sendo = o fluxo magneacutetico total atraveacutes do solenoacuteide primaacuterio e = o fluxo magneacutetico total atraveacutes do solenoacuteide secundaacuterio segue que

Figura 9 dois solenoacuteides compotildeem um transformador de voltagem

404

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

= = rArr =

Portanto da regra do fluxo para as FEMs em cada um dos solenoacuteides obtemos

= rArr minus = minus rArr ℇ = ℇ

Essa eacute a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo de ldquovoltagemrdquo do transformador Se no primaacuterio houver 10 vezes

mais espiras que no secundaacuterio entatildeo ℇ = 10ℇ Esse seria um transformador redutor de voltagem Se no

secundaacuterio houver 10 vezes mais espiras que no primaacuterio entatildeo ℇ = ℇ 10 Esse seria um transformador

elevador de voltagem

Os transformadores de uso comercial satildeo geralmente conectados a DDPs no primaacuterio que oscilam

senoidalmente no tempo algo como ℇ ( ) = ℇ( ) cos( + ) que satildeo as DDPs produzidas pelos geradores

de energia eleacutetrica que jaacute discutimos No secundaacuterio obtemos uma DDP tambeacutem senoidal ℇ ( ) =ℇ( ) cos( + prime) e a relaccedilatildeo entre as amplitudes ℇ( ) e ℇ( ) eacute a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo deduzida acima

Se vocecirc quiser ver uma discussatildeo mais detalhada sobre o funcionamento dos transformadores pode

olhar o artigo The role of the magnetic core in transformers J A Redinz European Journal of Physics 34

(2013)

933 O fogatildeo de induccedilatildeo

Eacute interessante notar que jaacute tivemos oportunidade de discutir nesse

curso o funcionamento de dois tipos de fornosfogotildees O forno ou o fogatildeo

de resistecircncia eleacutetrica se baseia apenas no efeito Joule Passa-se corrente

por um fio resistivo e ele esquenta dissipando calor na taxa

Mencionamos tambeacutem o forno de microondas como uma aplicaccedilatildeo da accedilatildeo

de um campo eleacutetrico sobre dipolos eleacutetricos moleculares Um campo

eleacutetrico oscilatoacuterio no tempo produz um torque oscilatoacuterio = times nas

moleacuteculas dipolares (aacutegua) produzindo intensa agitaccedilatildeo molecular e calor

Aqui vamos mencionar mais um fogatildeo cujo funcionamento se baseia no

eletromagnetismo A Figura ao lado mostra um fogatildeo de induccedilatildeo com

apenas uma ldquobocardquo Logo abaixo vemos que dentro do fogatildeo haacute um solenoacuteide (que eacute a ldquobocardquo) conectado a

alguns circuitos eletrocircnicos Natildeo haacute muita novidade aqui No solenoacuteide passa uma corrente variaacutevel no tempo

Este cria na sua vizinhanccedila um campo eletromagneacutetico com linhas de forccedila de circulares Coloca-se a panela

de metal nessa regiatildeo sobre a ldquobocardquo (sobre uma placa de vidro) onde o campo eletromagneacutetico eacute mais

intenso Dentro do metal da panela (de condutividade eleacutetrica ) vale a lei de Ohm microscoacutepica

405

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

=

Concluindo o campo eleacutetrico circulante no espaccedilo atua sobre os portadores de carga dentro do metal

da panela e produz aiacute uma corrente eleacutetrica intensa que circula no fundo da

panela algo como esboccedilado na Figura ao lado O resto eacute efeito Joule e

dissipaccedilatildeo de calor na taxa Fazendo uma analogia com um transformador

de voltagem no fogatildeo de induccedilatildeo a panela eacute o secundaacuterio (em curto-circuito)

Se vocecirc colocar sua matildeo na ldquobocardquo do fogatildeo ligado natildeo haveraacute nenhum

efeito Natildeo haacute perigo de queimadura pois a corrente induzida na sua matildeo eacute despreziacutevel

934 Quando as correntes induzidas satildeo indesejaacuteveis (correntes parasitas)

O fogatildeo de induccedilatildeo eacute um exemplo simples que mostra que um objeto metaacutelico qualquer (a panela no

caso) que eacute colocado em uma regiatildeo onde existe um campo eletromagneacutetico intenso se torna um circuito

onde circulam correntes eleacutetricas e ocorre a concomitante dissipaccedilatildeo de calor No caso do fogatildeo de induccedilatildeo

esse calor eacute uacutetil Podemos mencionar casos em que essas correntes induzidas

e sua dissipaccedilatildeo de energia satildeo indesejaacuteveis Nesses casos as correntes

induzidas em objetos metaacutelicos satildeo chamadas de correntes parasitas pois elas

ldquoroubamrdquo energia do sistema

Um caso simples de correntes parasitas ocorre (ou ocorreria) nos

transformadores de voltagem Nesses transformadores satildeo utilizados nuacutecleos

de materiais ferromagneacuteticos (moles) com o objetivo baacutesico de guiar e

intensificar o fluxo magneacutetico nos solenoacuteides A Figura ao lado ilustra um transformador pequeno em que

podemos ver que os dois solenoacuteides primaacuterio e secundaacuterio estatildeo enrolados um sobre o outro no centro de

um nuacutecleo metaacutelico Podemos ver que o nuacutecleo natildeo eacute maciccedilo ele eacute laminado

Cada lacircmina metaacutelica eacute eletricamente isolada das lacircminas adjacentes por uma

camada fina de verniz As lacircminas tem a forma das letras E e I e satildeo empilhadas

como as cartas de um baralho formando um ldquocircuito magneacutetico fechadordquo

(com a forma de um 8) Sem a laminaccedilatildeo circulariam correntes induzidas nesse

nuacutecleo correntes parasitas que produziriam inutilmente calor no nuacutecleo

desperdiccedilando a energia eletromagneacutetica que eacute transmitida atraveacutes do

transformador A Figura ao lado ilustra (em vermelho) como seria uma ldquoespirardquo de corrente induzida (parasita)

nesse nuacutecleo se ele fosse maciccedilo Note como a laminaccedilatildeo do nuacutecleo interrompe essa ldquoespirardquo e impede que

ela ocorra de fato A corrente deve ser induzida apenas nas espiras dos solenoacuteides

406

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

94 A lei de Ampegravere-Maxwell

Uma onda eletromagneacutetica eacute basicamente um campo eletromagneacutetico que viaja atraveacutes do espaccedilo

com a velocidade da luz Ao viajar no espaccedilo esses campos desacoplam das cargas eleacutetricascorrentes

eleacutetricas que produziram eles ou seja em uma onda eletromagneacutetica os campos e passam a depender

apenas deles proacuteprios e natildeo mais dessas cargas e correntes que foram deixadas para traacutes Considere a luz

emitida por uma estrela distante Essa luz eacute uma onda eletromagneacutetica que foi emitida pelas partiacuteculas que

compotildeem a estrela em algum tempo no passado No caso do Sol a estrela mais proacutexima a luz emitida demora

cerca de 8 minutos para chegar na Terra A luz emitida por uma estrela distante pode levar milhares de anos

ateacute chegar na Terra e pode ser que agora quando olhamos para ela ela nem exista mais No entanto a luz

emitida por ela continua se propagando no espaccedilo por sua proacutepria conta Os campos e dessa onda

eletromagneacutetica devem se alimentar mutuamente atraveacutes de seu acoplamento

Voltando aos campos eletromagneacuteticos vimos que a lei de Faraday estabelece um desses

acoplamentos entre os campos e em um campo eletromagneacutetico

∙ = minus ∙

sendo uma curva fechada qualquer e uma superfiacutecie aberta qualquer que tem como borda essa curva Essa

equaccedilatildeo integral acopla uma propriedade espacial de (uma integral de caminho que chamamos de

circulaccedilatildeo) com uma propriedade espaccedilotemporal de (a derivada do fluxo)

Se os campos e devem se alimentar e cooperar entre si parece natural esperar que houvesse uma

simetriaequivalecircncia entre esses campos em um campo eletromagneacutetico Haveria entatildeo uma lei simeacutetrica da

lei de Faraday Uma lei que fosse dada por

∙ = minus ∙

Com a ressalva de uma incompatibilidade nas unidades nos dois lados da equaccedilatildeo acima que pode ser

corrigida facilmente por uma constante a resposta eacute sim existe essa lei na natureza e graccedilas a isso existem

as ondas eletromagneacuteticas na natureza

Olhando a equaccedilatildeo acima podemos nos lembrar que jaacute vimos uma lei que envolve a ldquocirculaccedilatildeordquo do

campo em uma curva fechada Eacute a lei de Ampegravere que diz que

∙ =

407

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

sendo o campo magneacutetico no espaccedilo uma curva fechada qualquer orientada em um dado sentido

arbitraacuterio (curva amperiana) um campo de vetores comprimento infinitesimais tangentes agrave curva e

orientados no sentido da orientaccedilatildeo de e a corrente que passa por dentro da curva atravessando

qualquer superfiacutecie aberta que tem essa curva como borda

A lei sobre cuja existecircncia estamos especulando eacute a lei de

Ampegravere-Maxwell ou seja a velha lei de Ampegravere generalizada por

Maxwell (James Clerk Maxwell cientista britacircnico) Generalizada em que

sentido Vimos no capiacutetulo anterior que a lei de Ampegravere tem aplicaccedilatildeo

limitada a correntes constantes (estacionaacuterias) que satisfazem a lei dos

noacutes Para mostrar isso tentamos aplicar a lei de Ampegravere para calcular o

campo magneacutetico em um ponto simeacutetrico em relaccedilatildeo agraves extremidades de um segmento de fio reto de

comprimento L que transporta uma corrente A Figura ao lado ilustra a ideia Queremos calcular ( ) e para

isso escolhemos a curva amperiana em vermelho que eacute um ciacuterculo de raio s que passa por P Ateacute aiacute natildeo haacute

nada de mais O problema aparece quando tentamos calcular pois nesse caacutelculo podemos usar qualquer

superfiacutecie aberta que tem como borda esse ciacuterculo Olhando na Figura vemos que se usarmos a superfiacutecie

(em azul) obtemos = Se usarmos a superfiacutecie (em roxo) obtemos = 0 pois o fio jaacute acabou no

meio do caminho em Conclusatildeo a lei de Ampegravere natildeo se aplica nesse caso Concluiacutemos que a lei de Ampegravere

soacute faz sentido se houver uma continuaccedilatildeo da corrente eleacutetrica o que ocorreria se por exemplo esse fio reto

fosse infinito Daiacute a necessidade de validade da lei dos noacutes

Esse exemplo estaacute mostrando que a lei de Ampegravere tem aplicaccedilatildeo restrita a sistemas de cargas e

correntes eleacutetricas estacionaacuterios Um segmento de fio finito transportando uma corrente constante natildeo eacute um

sistema estacionaacuterio de fato Para concluir isso basta pensar na continuidade da carga eleacutetrica Na Figura

acima se corrente eleacutetrica estaacute chegando constantemente agrave extremidade direita do segmento de fio entatildeo

tem que haver nessa extremidade um acuacutemulo constante de carga eleacutetrica ou seja uma ( ) Na extremidade

esquerda haacute uma carga eleacutetrica minus ( ) A corrente transporta carga de uma extremidade do fio ateacute a outra

Portanto o sistema natildeo eacute estacionaacuterio A lei de Ampegravere soacute se aplica a sistemas estacionaacuterios em que as

correntes e os acuacutemulos de cargas eleacutetricas que porventura existam sejam necessariamente constantes no

tempo

Maxwell foi o cientista que teve a capacidade de sintetizar (cong 1870) todo o conhecimento jaacute

estabelecido acerca dos fenocircmenos eletromagneacuteticos estabelecido atraveacutes de experimentos realizados por

outros cientistas como Coulomb Ampegravere e Faraday e de reconhecer essa limitaccedilatildeo na lei de Ampegravere

propondo uma generalizaccedilatildeo para essa lei para que ela valha mesmo em regimes natildeo estacionaacuterios

z

P

s

408

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Natildeo vamos discutir aqui o raciociacutenio puramente teoacuterico desenvolvido por Maxwell para chegar na sua

generalizaccedilatildeo da lei de Ampegravere Fato eacute que ao generalizar a lei de Ampegravere Maxwell estabeleceu a simetria

entre os campos e sobre a qual jaacute comentamos Ao fazer isso Maxwell fez nascer dentro do formalismo

do eletromagnetismo a possibilidade de se prever a existecircncia na natureza das ondas eletromagneacuteticas

Maxwell propocircs entatildeo a existecircncia dessas ondas e mostrou que de acordo com seus caacutelculos elas viajariam

com uma velocidade numericamente muito proacutexima da velocidade da luz cujo valor jaacute era conhecido

experimentalmente na eacutepoca Daiacute Maxwell pode dar um salto incriacutevel de unificaccedilatildeo de descriccedilotildees de

diferentes fenocircmenos da natureza especulando que a proacutepria luz poderia ser uma onda eletromagneacutetica Natildeo

demorou muito para que novos experimentos mostrassem que Maxwell estava correto Enfim a lei de

Ampegravere-Maxwell diz que

∙ = + ∙

Apenas para ilustrar na Figura ao lado tentamos mostrar como

a lei de Ampegravere-Maxwell natildeo apresenta a mesma contradiccedilatildeo que a lei

de Ampegravere apresenta no caso do segmento de fio reto se usarmos a

superfiacutecie obtemos = Se usarmos a superfiacutecie obtemos = 0 Na Figura acrescentamos as cargas ( ) (bolinha vermelha) e minus ( ) (bolinha azul) que estatildeo acumulando nas extremidades do

segmento de fio Note que haacute portanto um campo eleacutetrico natildeo

estacionaacuterio no espaccedilo um campo eleacutetrico dipolar Esboccedilamos quatro

linhas de forccedila de que nascem na carga positiva e vatildeo morrer na carga negativa Note que mesmo que natildeo

haja fluxo de corrente atraveacutes de pois = 0 haacute fluxo de campo eleacutetrico e podemos ter certeza que se

compararmos com vamos obter

∙ = + ∙ = ∙

Podemos usar qualquer superfiacutecie S que tem como borda a curva C ao final vamos obter a mesma

resposta para o campo ( ) que nesse caso eacute aquela fornecida pela lei de Biot-Savart Conforme nossa

discussatildeo no capiacutetulo anterior vimos que a simples aplicaccedilatildeo da lei de Ampegravere no caacutelculo de ( ) qual seja

∙ =

z

P

s

409

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

vai levar a um resultado errado para ( ) O termo de Maxwell generaliza a lei de Ampegravere para sistemas natildeo

estacionaacuterios e fornece o resultado correto para ( ) o mesmo fornecido pela lei de Biot-Savart que requer

apenas a condiccedilatildeo de que a corrente que circula no fio seja constante no tempo

Maxwell chamou de ldquocorrente de deslocamentordquo o segundo termo no lado direito da lei de Ampegravere-

Maxwell de tal forma que

∙ = + ( ) sendo

( ) = ∙

a corrente de deslocamento interna agrave curva C ou equivalentemente a corrente de deslocamento que

atravessa a superfiacutecie aberta S (qualquer) que tem como borda a curva C O nome ldquocorrente de deslocamentordquo

se originou da maneira como Maxwell interpretava o fenocircmeno na eacutepoca (deslocamento de cargas no eacuteter)

que eacute diferente de como interpretamos hoje (apenas a derivada do fluxo de um termo de acoplamento

entre e )

Muitas vezes encontramos em textos de eletromagnetismo uma interpretaccedilatildeo dessa lei que sugere

que a corrente de deslocamento ( ) estaacute gerando o campo juntamente com a corrente eleacutetrica Trata-

se de um raciociacutenio anaacutelogo ao que diz que o campo magneacutetico estaacute gerando o campo eleacutetrico no fenocircmeno

da induccedilatildeo eletromagneacutetica descrito pela lei de Faraday Campos magneacuteticos satildeo gerados por correntes

eleacutetricas O que a lei de Ampegravere-Maxwell estabelece eacute um acoplamento entre os campos e que deve ser

levado em conta no caacutelculo da circulaccedilatildeo do campo Esse termo envolve uma derivada no tempo e

portanto natildeo afeta os regimes estacionaacuterios em que e satildeo independentes do tempo Nesses regimes

estacionaacuterios as leis de Coulomb e Biot-Savart datildeo conta de fornecer os campos e que existem no espaccedilo

As lei de Gauss e Ampegravere complementamgeneralizam esse formalismo

Seria interessante nos perguntarmos quais satildeo as leis mais gerais do eletromagnetismo que se

aplicam em regimes estacionaacuterios ou natildeo-estacionaacuterios Essas leis foram reunidas por Maxwell em seu tratado

de eletromagnetismo e satildeo chamadas portanto de equaccedilotildees de Maxwell Da eletrostaacutetica sobrevivem apenas

as leis de Gauss para e para (inexistecircncia de monopolos magneacuteticos) As leis de Coulomb e Ampegravere natildeo

valem em geral e devem ser substituiacutedas Essas leis gerais do eletromagnetismo estatildeo mostradas na Tabela 1

abaixo

410

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Equaccedilotildees de Maxwell na forma integral

Lei de Gauss para ( ) ∙ =

Lei de Gauss para ( ) ∙ = 0

Lei de Faraday ( ) ∙ = minus ( ) ∙

Lei de Ampegravere-Maxwell ( ) ∙ = + ( ) ∙

Tabela 1 Equaccedilotildees de Maxwell

As equaccedilotildees de Maxwell descrevem os comportamentos dos campos e no espaccedilo e no tempo e

como eles se acoplam entre si e com suas fontes as cargas eleacutetricas e as correntes eleacutetricas Em todas essas

equaccedilotildees C eacute uma curva fechada qualquer no espaccedilo (imaginaacuteria) Nas leis de Gauss S eacute uma superfiacutecie

fechada qualquer no espaccedilo (imaginaacuteria) e nas leis de Faraday e Ampegravere-Maxwell S eacute uma superfiacutecie aberta

qualquer (imaginaacuteria) que tem como borda a curva C que estaacute pressuposta do lado esquerdo dessas

equaccedilotildees As equaccedilotildees de Maxwell descrevem desde os casos mais simples estacionaacuterios (ver tabela 2 abaixo)

em que ( ) e ( ) se tornam apenas dois campos ( ) e ( ) desacoplados ateacute as ondas

eletromagneacuteticas em que ( ) e ( ) podem se desprender da mateacuteria e percorrer juntos o espaccedilo vazio

Equaccedilotildees de Maxwell na forma integral (caso estacionaacuterio)

Lei de Gauss para ( ) ∙ =

Lei de Gauss para ( ) ∙ = 0

Lei de Faraday ( ) ∙ = 0

Lei de Ampegravere-Maxwell ( ) ∙ =

Tabela 2 Equaccedilotildees de Maxwell no caso estacionaacuterio (nada depende do tempo)

411

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Aacutetomos e moleacuteculas satildeo compostos de partiacuteculas que possuem carga eleacutetrica e por isso produzem

campos eletromagneacuteticos oscilatoacuterios ( ) e ( ) e tambeacutem sofrem forccedilas e torques quando expostos a

campos eletromagneacuteticos A diversidade de fenocircmenos eletromagneacuteticos na natureza e na tecnologia estaacute

ligada agrave frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo desses campos eletromagneacuteticos ( ) e ( ) que tem uma forte

influecircncia na maneira como esses campos afetam a mateacuteria Olhando o espectro eletromagneacutetico (Tabela 3

abaixo) ou seja a ampla faixa de frequumlecircncias (e comprimentos de onda) desses campos eletromagneacuteticos

oscilatoacuterios podemos ver algumas faixas de frequumlecircncia especiacuteficas definidas basicamente pelas propriedades

de interaccedilatildeo dos campos eletromagneacuteticos com a mateacuteria

Raios-x eleacutetrons satildeo acelerados e colidem sofrendo grandes aceleraccedilotildees e emitindo campos eletromagneacuteticos (raios-x) que se propagam no espaccedilo atravessam o corpo do paciente e incidem sobre um filme fotograacutefico

Luz aacutetomos no filamento da lacircmpada satildeo chacoalhados pela alta temperatura e emitem campos eletromagneacuteticos que se propagam no espaccedilo (a luz) Ceacutelulas fotoreceptoras nos olhos quando expostas agrave luz produzem impulsos nervosos (correntes eleacutetricas) que satildeo transmitidos para o ceacuterebro

Raacutedio Correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo circulam na antena do raacutedio transmissor e emitem campos eletromagneacuteticos que se propagam no espaccedilo (as ondas de raacutedio) Esses campos de forccedila incidem sobre a antena do raacutedio receptor e produzem correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo Assim a informaccedilatildeo se propaga no espaccedilo

Tabela 3 Espectro eletromagneacutetico e algumas aplicaccedilotildees

Na regiatildeo de baixas frequumlecircncias encontramos as ondas de radio e TV Correntes eleacutetricas variaacuteveis no

tempo (oscilatoacuterias) percorrem as antenas transmissoras desses aparelhos e emitem campos eletromagneacuteticos

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

412

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

oscilatoacuterios ( ) e ( ) nessa faixa de frequumlecircncias Esses campos se propagam no espaccedilo governados

pelas equaccedilotildees de Maxwell sendo refletidos transmitidos e absorvidos pela mateacuteria Para os nossos olhos

esses campos satildeo invisiacuteveis Ao atingir uma antena receptora os campos ( ) e ( ) produzem forccedilas

( = + times ) nos portadores de carga e induzem correntes na antena Dessa forma a informaccedilatildeo eacute

transmitida atraveacutes do espaccedilo de uma antena ateacute a outra

Em uma regiatildeo intermediaacuteria do espectro estatildeo localizados os campos eletromagneacuteticos ( ) e ( ) oscilatoacuterios que podemos ver que chamamos comumente de luz Nossos olhos satildeo antenas para esses

campos eletromagneacuteticos O Sol emite campos eletromagneacuteticos em todo o espectro mas emite mais na faixa

visiacutevel e nossos olhos evoluiacuteram adaptando-se a esse fato Alguns insetos e paacutessaros tambeacutem podem enxergar

o ultravioleta (UV) e ver o mundo de uma forma bem diferente da nossa As plantas tambeacutem se adaptaram ao

espectro solar realizando a fotossiacutentese atraveacutes da radiaccedilatildeo na faixa visiacutevel Frequentemente elas aproveitam

(absorvem) mais a radiaccedilatildeo nas cores azul e vermelha e por isso satildeo verdes

Na regiatildeo de mais alta frequumlecircncia estatildeo os raios-x que podem ser produzidos atraveacutes da

colisatildeofrenagem de eleacutetrons e por nuacutecleos de materiais radioativos (radiaccedilatildeo gama) Natildeo podemos ver esses

campos eletromagneacuteticos mas eles podem atravessar a mateacuteria e sensibilizar um filme fotograacutefico Por isso

possuem ampla aplicaccedilatildeo na medicina

95 Aplicaccedilotildees

1) Considere um solenoacuteide (P) helicoidal composto de espiras circulares de raio O solenoacuteide eacute muito

longo e possui comprimento (infinito para todos os efeitos) Suas espiras satildeo compostas de um fio fino e

enroladas de forma compacta sem irregularidades (a densidade de espiras por unidade de comprimento eacute = = infininfin) Esse solenoacuteide eacute circundado por um

segundo solenoacuteide (S) composto por espiras circulares de raio gt coaxiais ao solenoacuteide P Nesse segundo solenoacuteide as

espiras tambeacutem satildeo compostas de um fio fino e enroladas de

forma compacta sem irregularidades A Figura ao lado ilustra esse

sistema Nessa Figura para melhor visualizaccedilatildeo natildeo nos

preocupamos em mostrar as espiras enroladas de forma

compacta etc O solenoacuteide P de fio vermelho e raio deve ser

considerado muito longo (sem efeitos de borda) e o solenoacuteide S

de raio eacute o de fio azul Trata-se basicamente da configuraccedilatildeo de um transformador de voltagem (P eacute o

primaacuterio e S o secundaacuterio) Chamamos de z o eixo comum de simetria dos dois solenoacuteides A hipoacutetese de fio

fino e enrolamento compacto nos leva a considerar que as espiras se estendem ao longo da direccedilatildeo de um

z

413

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

sistema de coordenadas ciliacutendricas ou seja as espiras satildeo ciacuterculos coaxiais em planos ortogonais ao eixo z

Nosso objetivo aqui eacute calcular a FEM induzida no solenoacuteide S supondo que esteja circulando no solenoacuteide P

uma corrente eleacutetrica variaacutevel no tempo ( ) De acordo com a lei de Faraday (ou regra do fluxo) essa FEM induzida eacute dada por

ℇ = minus ( )

sendo ( ) o fluxo magneacutetico atraveacutes do solenoacuteide S produzido pelo campo magneacutetico do solenoacuteide P

( ) = ( ) ∙

sendo ( ) o campo magneacutetico produzido no espaccedilo pela corrente ( ) a superfiacutecie delimitada pelo

solenoacuteide S um campo de vetores normais a S e uma aacuterea infinitesimal em S

Nosso ponto de partida deve ser o caacutelculo de ( ) o campo magneacutetico da corrente ( ) que

circula em um solenoacuteide helicoidal muito longo

Aqui encontramos um primeiro obstaacuteculo pois nossa primeira ideia eacute utilizar a lei de Biot-Savart ou a

lei de Ampegravere para o caacutelculo de ( ) mas essas lei soacute valem para correntes estacionaacuterias Para a corrente ( ) nos restaria apelar para a lei de Ampegravere-Maxwell que generaliza a lei de Ampegravere para correntes natildeo

estacionaacuterias

( ) ∙ = + ( ) ∙

Fica claro nessa equaccedilatildeo que os campos ( ) e ( ) satildeo acoplados entre si e que para conhecer ( ) natildeo basta conhecer ( ) teriacuteamos que conhecer tambeacutem ( ) ou seja o campo eleacutetrico induzido

na vizinhanccedila do solenoacuteide P Mas esse campo eleacutetrico eacute exatamente o que queremos calcular pois eacute ele que

vai produzir a FEM induzida no solenoacuteide S Conclusatildeo vemos que se insistirmos em dar a esse problema uma

abordagem analiacutetica exata vamos enfrentar seacuterias dificuldades Resta entatildeo partir para uma abordagem

aproximada Essa situaccedilatildeo eacute comum em problemas de eletromagnetismo As equaccedilotildees de Maxwell satildeo muito

difiacuteceis de serem resolvidas analiticamente sem nenhuma aproximaccedilatildeo Por isso meacutetodos numeacutericos e

computacionais satildeo bastante comuns e bem-vindos

Aqui vamos recorrer a uma aproximaccedilatildeo simples Tudo comeccedila pela hipoacutetese de que a corrente ( ) varia lentamente no tempo de tal forma que o caacutelculo de ( ) atraveacutes da lei de Ampegravere fornece um

resultado aproximado satisfatoacuterio (o grau desse ldquosatisfatoacuteriordquo vai ser definido pela exigecircncia de precisatildeo na

aproximaccedilatildeo) Portanto partimos da aproximaccedilatildeo

414

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

( ) ∙ = ( ) que se resume ao caacutelculo do campo magneacutetico de uma corrente constante como fizemos no capiacutetulo 8 mas

trocando na resposta ao final por ( ) no presente caso por ( ) Enfim para um solenoacuteide muito longo

com = espiras por unidade de comprimento em que circula uma corrente constante obtemos = na regiatildeo interior do solenoacuteide Na regiatildeo fora do solenoacuteide o campo magneacutetico eacute nulo Portanto voltando ao

contexto o campo magneacutetico que procuramos eacute para lt (dentro do solenoacuteide P) ( ) = ( ) Fora do solenoacuteide P o campo magneacutetico eacute nulo Esse eacute o campo magneacutetico gerado no espaccedilo pelo solenoacuteide P

e que vai produzir fluxo magneacutetico atraveacutes do solenoacuteide S

Resumindo nossos resultados concluiacutemos que a corrente ( ) no solenoacuteide muito longo de raio cria

campo magneacutetico apenas na regiatildeo ciliacutendrica interior agrave suas espiras e que o campo magneacutetico nessa regiatildeo eacute

uniforme e axial tendo magnitude ( ) O sentido de eacute dado pela regra da matildeo direita dedos no

sentido de ( ) polegar no sentido de Devemos ter em mente que esse resultado para o campo magneacutetico

seria exato somente se fosse constante no tempo (mas nesse caso natildeo haveria induccedilatildeo) Aqui estamos

supondo que = ( ) e esse resultado eacute apenas uma aproximaccedilatildeo Para o caso natildeo-estacionaacuterio =( ) o resultado exato para ( ) deveria conter efeitos de retardamento e aleacutem disso natildeo seria verdade

que o campo magneacutetico na regiatildeo fora do solenoacuteide eacute nulo

Seguindo nosso raciociacutenio vamos partir para o caacutelculo de ( ) o fluxo magneacutetico atraveacutes do solenoacuteide

S produzido pelo campo magneacutetico do solenoacuteide P

( ) = ( ) ∙

Note que o solenoacuteide S eacute apenas uma sequecircncia de espiras circulares de raio gt cada espira

delimitando um disco de aacuterea = Note tambeacutem que = para essas espiras (poderia ser tambeacutem = minus ) e que portanto

( ) = ( ) ∙ = ( ) = ( )[ ]

415

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Note que a aacuterea que aparece na expressatildeo de ( ) eacute e natildeo pois o campo magneacutetico estaacute

confinado agrave regiatildeo interior do solenoacuteide ou seja agrave regiatildeo com raios lt Portanto na integral acima

devemos entender que o valor ( ) para soacute eacute vaacutelido na regiatildeo com lt e que soacute haacute fluxo

portanto nos discos de aacuterea que satildeo atravessados pelas linhas do campo A aacuterea total desses

discos atravessados pelo campo eacute

Da regra do fluxo obtemos finalmente

ℇ = minus ( ) = minus ( )

Para interpretar o sinal devemos levar em conta que adotamos a normal = no caacutelculo de ( ) e

que portanto da regra da matildeo direita sabemos que ℇ gt 0 estaraacute no sentido crescente da coordenada

Esse seraacute o caso se ( ) lt 0 (corrente eleacutetrica diminuindo no tempo)

2) Considere uma espira retangular de lados e que estaacute mergulhada no

campo magneacutetico de um solenoacuteide helicoidal A Figura ao lado ilustra a espira no

plano xy (eixo z para fora da paacutegina) A espira estaacute centrada na origem de um

referencial xy e sendo atravessada por um campo magneacutetico (produzido pelo

solenoacuteide) cujo moacutedulo ( ) depende do tempo e do raio mostrado na

Figura ( ) = ( )

sendo ( ) uma funccedilatildeo qualquer do tempo (com unidade teslametro) O campo magneacutetico estaacute saindo

ortogonalmente da paacutegina ou seja estaacute ao longo do eixo z Vamos calcular a FEM induzida nessa espira

De acordo com a lei de Faraday (ou regra do fluxo) essa FEM induzida eacute dada por

ℇ = minus ( )

sendo ( ) o fluxo magneacutetico atraveacutes da espira retangular produzido pelo campo magneacutetico do solenoacuteide

( ) = ( ) ∙

eacute a superfiacutecie delimitada pela espira retangular eacute um campo de vetores normais a S e uma aacuterea

infinitesimal em S Portanto (adotando = ) ( ) = ( ) ∙ = ( )

x

y

416

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

Para realizar a integral devemos escrever o integrando em termos das variaacuteveis de integraccedilatildeo e = +

Portanto

( ) = ( ) +

Obtemos

( ) = ( ) 6 + 24 ln +minus + 24 ln +minus

sendo = radic + o comprimento da diagonal da espira retangular

Para uma espira quadrada de lado obtemos o resultado mais simples

( ) = ( ) radic2 + 12 ln radic2 + 1radic2 minus 1 6 cong 038 ( )

A FEM induzida na espira retangular eacute

ℇ = minus ( ) = minus 6 + 24 ln +minus + 24 ln +minus ( )

Da regra da matildeo direita (com a normal para fora) uma FEM positiva seria uma FEM no sentido anti-horaacuterio

Qual o campo de forccedila responsaacutevel por essa FEM induzida na espira retangular Eacute o campo eleacutetrico

que o solenoacuteide helicoidal produz na sua vizinhanccedila Esse campo eleacutetrico ( ) estaacute acoplado ao campo

magneacutetico do solenoacuteide ( ) = ( ) conforme descrito pela lei de induccedilatildeo de Faraday

( ) ∙ = minus ( ) ∙ = minus ( ) ∙

Qual seria a expressatildeo desse campo eleacutetrico Apoacutes um breve raciociacutenio de simetria levando em conta a

similaridade entre a lei de Faraday e a lei de Ampegravere podemos concluir que a simetria de ( ) eacute tal que ( ) = ( )

sendo e as coordenadas ciliacutendricas que tem o eixo z conforme jaacute definimos acima Portanto

( ) ∙ = ( ) ∙ = minus ( ) ∙

Resta agora utilizar a equaccedilatildeo acima para determinar a funccedilatildeo ( ) Jaacute estamos acostumados com essa

ideia de retirar a funccedilatildeo ( ) de dentro do siacutembolo de integral Para isso devemos adotar uma curva que

417

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 9 ndash versatildeo 31

eacute um ciacuterculo de raio centrado na origem e orientado no sentido de A direccedilatildeo normal (com o sentido dado

pela regra da matildeo direita da regra do fluxo) ao disco delimitado por esse ciacuterculo eacute = Portanto usando

ainda que no ciacuterculo = e no disco = 2 obtemos finalmente

( ) ∙ = ( ) = minus ( ) 2 Concluindo ( )2 = minus ( ) 2 3

Portanto o campo eleacutetrico gerado pelo solenoacuteide eacute

( ) = minus ( ) 3

A Figura ao lado ilustra a espira retangular na presenccedila desse campo

eleacutetrico do solenoacuteide Mostramos algumas setas (em azul) do campo ( ) para o caso ( ) gt 0 e campo eleacutetrico ao longo de minus (FEM ℇ

negativa) Note que os tamanhos das setas vatildeo aumentando com o aumento

do raio pois ( ) prop As setas de ( ) satildeo tangentes aos ciacuterculos

centrados na origem

Partindo do conhecimento desse campo eleacutetrico poderiacuteamos

recalcular a FEM induzida na espira atraveacutes da definiccedilatildeo primitiva de FEM

ℇ = ∙ = ( ) ∙

sendo um vetor comprimento infinitesimal que eacute tangente aos lados da espira orientado no sentido anti-

horaacuterio (o sentido de ) Com essa escolha de sentido para os vetores obteremos o mesmo resultado jaacute

obtido via regra do fluxo uma FEM positiva estaacute no sentido anti-horaacuterio A integral acima pode ser dividida em

quatro integrais cada uma em um lado da espira Note que nesses lados vale = plusmn (lados horizontais)

ou = plusmn (lados verticais) Portanto (partindo do veacutertice direito inferior da espira)

ℇ = ( ) ∙ + ( ) ∙

+ ( ) ∙ + ( ) ∙

Enfim natildeo pretendemos insistir nesse caacutelculo pois jaacute deve ter ficado evidente a vantagem do uso da

regra do fluxo no caacutelculo de FEMs induzidas

x

y

418

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

10 Indutacircncia

Com seus experimentos de induccedilatildeo Faraday buscava descobrir se era possiacutevel produzir correntes

eleacutetricas atraveacutes de campos magneacuteticos Ele descobriu que sim Se nos concentrarmos apenas em situaccedilotildees

com circuitos riacutegidos e estaacuteticos (ou seja deixando de lado as FEMs de movimento) o que Faraday descobriu

mesmo foi que eacute possiacutevel criar correntes eleacutetricas atraveacutes de outras correntes eleacutetricas Esse foi o caso no

experimento 2 de Faraday analisado no capiacutetulo anterior em que uma corrente eleacutetrica ( ) circulava em um

solenoacuteide e induzia corrente em uma espira proacutexima A explicaccedilatildeo para essa induccedilatildeo estaacute no campo

eletromagneacutetico ( ) e ( ) criado pela corrente eleacutetrica variaacutevel no tempo O campo eleacutetrico (induzido)

especificamente incide nos portadores de carga na espira e potildee esses portadores para se mover dando

origem agrave FEM induzida e agrave corrente induzida na espira

Qualquer circuito que esteja em uma regiatildeo do espaccedilo onde existe um campo eletromagneacutetico estaacute

sujeito a sofrer a induccedilatildeo de FEMs e correntes induzidas Para que haja FEM induzida basta que a integral

ℇ = ∙

seja natildeo nula ( eacute a curva no espaccedilo definida pelo circuito) Em termos da regra do fluxo haveraacute FEM

induzida se a derivada

ℇ = minus = minus ∙

for natildeo nula (S eacute qualquer superfiacutecie aberta que tem como borda a curva ) De fato de acordo com a lei

de Faraday essas satildeo duas formas equivalentes de computar a FEM ℇ Para que haja corrente induzida basta

419

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

que valha ℇ ne 0 e que o circuito esteja fechado para permitir a circulaccedilatildeo de portadores de carga atraveacutes

dele

Como jaacute mencionamos aqui vamos nos concentrar em campos eletromagneacuteticos produzidos por

circuitos eleacutetricos estaacuteticos e riacutegidos (deixando de lado FEMs de movimento que natildeo envolvem a induccedilatildeo de

correntes por outras correntes) Nesses circuitos circulam por hipoacutetese correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo ( ) que produzem no espaccedilo esses campos eletromagneacuteticos Portanto um circuito em que circula uma

corrente eleacutetrica ( ) possui ele mesmo a capacidade de induzir FEMs (e correntes) em outros circuitos que

estejam na vizinhanccedila dele Chamamos esse fenocircmeno de induccedilatildeo muacutetua Mais do que isso um circuito em

que circula uma corrente eleacutetrica ( ) possui capacidade de induzir FEMs (e correntes) nele mesmo

Chamamos esse fenocircmeno de autoinduccedilatildeo

As indutacircncias muacutetua e auto quantificam essas capacidades de induccedilatildeo e caracterizam portanto os

circuitos eleacutetricos quanto a essas capacidades Veremos que um circuito que possui uma autoindutacircncia alta

apresenta um comportamento eleacutetrico especial uma espeacutecie de ineacutercia eletromagneacutetica Dois circuitos que

possuem indutacircncias muacutetuas altas estatildeo fortemente acoplados atraveacutes de seus campos eletromagneacuteticos

como acontece com os solenoacuteides primaacuterio e secundaacuterio em um transformador de voltagem e com o rotor e o

estator em um motor de induccedilatildeo

101 Indutacircncia muacutetua

A Figura 1 ao lado esboccedila a ideia da induccedilatildeo muacutetua

Dois solenoacuteides 1 e 2 onde circulam correntes eleacutetricas

variaacuteveis no tempo ( ) e ( ) estatildeo mergulhados em seus

campos eletromagneacuteticos A induccedilatildeo muacutetua eacute consequumlecircncia do

fato de que o solenoacuteide 1 estaacute mergulhado no campo

eletromagneacutetico ( ) e ( ) criado no espaccedilo pelo

solenoacuteide 2 Analogamente o solenoacuteide 2 estaacute mergulhado no

campo eletromagneacutetico ( ) e ( ) criado no espaccedilo

pelo solenoacuteide 1 Eles se induzem mutuamente De acordo com

a regra do fluxo a FEM induzida no solenoacuteide 1 pelo solenoacuteide

2 eacute dada por

ℇ( ) = minus ( ) = minus ∙

ou seja calculamos o fluxo magneacutetico ( ) do campo atraveacutes do circuito 1 (o fluxo muacutetuo) e derivamos

no tempo Analogamente a FEM induzida no solenoacuteide 2 pelo solenoacuteide 1 eacute dada por

1 2

( ) ( )Figura 1 Esquema da induccedilatildeo muacutetua entre dois solenoacuteides como ocorre em um transformador de voltagem

420

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

ℇ( ) = minus ( ) = minus ∙

As expressotildees acima mostram que a grandeza crucial para determinar a capacidade que um circuito

tem de induzir no outro eacute o fluxo muacutetuo Se o fluxo muacutetuo eacute grande como ocorre com solenoacuteides com muitas

espiras e muito proacuteximos entre si entatildeo a capacidade de induccedilatildeo muacutetua eacute alta e as FEMs induzidas seratildeo altas

Por outro lado para solenoacuteides com poucas espiras e muito afastados entre si esperamos que a capacidade

de induccedilatildeo muacutetua seja fraca e que as FEMs induzidas sejam pequenas ou mesmo despreziacuteveis

Esses exemplos acima ilustram o fato de que o fluxo muacutetuo ( ) (ou ( )) depende

intrinsecamente da geometria dos circuitos envolvidos no fenocircmeno mas depende tambeacutem da corrente

eleacutetrica que circula nesses circuitos Enfim o solenoacuteide 1 soacute vai produzir fluxo ( ) se ne 0 Podemos dizer

entatildeo que ( ) eacute funccedilatildeo de e da geometria dos circuitos que eacute uma caracteriacutestica intriacutenseca desse

sistema (jaacute que o sistema eacute riacutegido sem movimento) Em um transformador de voltagem por exemplo a

geometria estaacute fixa forma tamanho e nuacutemero de espiras nos solenoacuteides e posiccedilatildeo relativa dos solenoacuteides no

espaccedilo Tambeacutem estatildeo fixos os materiais que ocupam o espaccedilo como por exemplo a liga de ferro que serve

de nuacutecleo para os solenoacuteides Essas ligas de materiais ferromagneacuteticos incrementam e guiam o campo

eletromagneacutetico no espaccedilo influenciando nos fluxos muacutetuos A indutacircncia muacutetua eacute a grandeza que engloba

em sua definiccedilatildeo a influecircncia que todas essas caracteriacutesticas intriacutensecas geometria nuacutemeros de espiras e

materiais exercem sobre a capacidade de induccedilatildeo muacutetua entre dois circuitos A indutacircncia muacutetua entre os

circuitos 1 e 2 quaisquer eacute definida por ( ) =

A inspiraccedilatildeo nessa definiccedilatildeo vem basicamente da definiccedilatildeo de fluxo magneacutetico e da lei de Biot-Savart

( ) = ∙ = 4 times ∙ = 4 times ∙

Note que na expressatildeo acima o termo que sobrou entre chaves que eacute a indutacircncia muacutetua soacute depende da

geometria do circuito 1 (atraveacutes da integral na curva 1) da geometria do circuito 2 (atraveacutes da integral na

superfiacutecie 2) da distacircncia e posiccedilatildeo relativa desses circuitos (atraveacutes de ) e dos materiais que permeiam o

espaccedilo que no presente caso eacute o vaacutecuo ou seja o espaccedilo vazio (atraveacutes do que poderia ser um )

Da definiccedilatildeo ( ) = vemos que a unidade de indutacircncia eacute fluxocorrente ou seja T m2A que

abreviamos para Henry (siacutembolo H) em homenagem a Joseph Henry um pioneiro no eletromagnetismo

Analogamente devido agrave simetria (natildeo trivial) da induccedilatildeo muacutetua vale tambeacutem

421

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

( ) =

Essa simetria na indutacircncia muacutetua estaacute mostrando que se passarmos uma corrente pelo circuito 1 o

fluxo magneacutetico que ele produziraacute no circuito 2 seraacute ( ) e que se essa mesma corrente circular pelo

circuito 2 o fluxo magneacutetico que ele produziraacute no circuito 1 seraacute ( ) = ( ) Enfim estamos dizendo

aqui sem provar que vale a igualdade (apenas permutando 1 com 2 nas integrais)

4 times ∙ = 4 times ∙

Apesar de inspirada na lei de Biot-Savart uma lei da magnetostaacutetica a definiccedilatildeo acima para a

indutacircncia mutua continua valendo mesmo em regimes em que a lei de Biot-Savart natildeo vale como o

regime de correntes eleacutetricas oscilantes de alta frequumlecircncia Mas em casos extremos de altas frequumlecircncias a

indutacircncia muacutetua passa a ser dependente tambeacutem da frequumlecircncia dessas oscilaccedilotildees

Considere o exemplo de um solenoacuteide

helicoidal longo (infinito para todos os efeitos) com

espiras por unidade de comprimento e raio

envolvido por uma uacutenica espira coaxial circular de raio gt (em verde) Suponha uma corrente

circulando na espira Qual o fluxo magneacutetico que a

espira produz no solenoacuteide A ideia estaacute ilustrada na

Figura 2 ao lado Em princiacutepio parece que natildeo haacute

muita dificuldade Calculamos via Biot-Savart o

campo magneacutetico ( ) que a espira cria no espaccedilo

e integramos nas infinitas espiras do solenoacuteide longo

( ) = ∙

Mas haacute uma dificuldade nessa abordagem O campo magneacutetico que uma espira

apenas produz no espaccedilo eacute bastante complicado (algo como esboccedilado na Figura ao lado) e

preferimos natildeo calculaacute-lo quando estudamos a lei de Biot-Savart Calculamos apenas o

campo magneacutetico sobre o eixo da espira mas aqui precisamos conhecer o campo magneacutetico

no espaccedilo para calcular o fluxo magneacutetico atraveacutes das espiras do solenoacuteide longo Resta-

nos entatildeo apelar para a simetria na indutacircncia muacutetua O fluxo que queremos calcular eacute

( ) =

z

Figura 2 a corrente em uma espira circular cria fluxo magneacutetico em um solenoacuteide longo

422

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

que eacute o mesmo fluxo que o solenoacuteide longo vai produzir na espira circular se passar por ele a mesma corrente

ou seja ( ) = = ( ) A vantagem nessa ldquocomutaccedilatildeordquo estaacute no fato de que o campo magneacutetico de um solenoacuteide longo (infinito) eacute

simples eacute nulo fora do solenoacuteide e uniforme dentro do solenoacuteide assumindo aiacute o valor constante = Portanto (adotando uma normal = na superfiacutecie do disco delimitado pela espira)

( ) = ( ) = ∙ = ∙ =

Nesse ponto percebemos que muitos estudantes se confundem pois eles esperavam que sendo o fluxo

calculado atraveacutes da espira a aacuterea que aparece ao final do caacutelculo deveria ser a

da espira e natildeo que eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal do solenoacuteide A

Figura ao lado tenta esclarecer essa questatildeo Algumas linhas de satildeo

mostradas em azul Note entatildeo que o fluxo ( ) eacute calculado atraveacutes da

aacuterea da espira mas que soacute haacute campo magneacutetico na porccedilatildeo de aacuterea

posto que o campo magneacutetico do solenoacuteide estaacute confinado ao seu interior

Portanto na integral que fornece ( ) o integrando ∙ =

soacute eacute natildeo nulo no disco de aacuterea No restante da aacuterea do disco delimitado pela espira ( minus ) o

integrando eacute nulo

Concluindo ao passar a corrente na espira o fluxo magneacutetico no solenoacuteide longo eacute

( ) =

Note que natildeo haacute de fato nenhuma caracteriacutestica da espira nessa expressatildeo Ela vale para qualquer espira com

raio gt coaxial ao solenoacuteide longo

A indutacircncia muacutetua entre o solenoacuteide e a espira (ou entre a espira e o solenoacuteide natildeo importa) eacute

( ) = = rArr =

Vemos nesse exemplo simples que a indutacircncia muacutetua envolve nuacutemero de espiras e geometria ( e ) e

tambeacutem (potencialmente) material ( vaacutecuo nesse caso)

A utilidade do conceito de indutacircncia natildeo reside no caacutelculo de fluxo magneacutetico mas sim de FEM

induzida Da regra do fluxo

z

423

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

ℇ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus ( )

Portanto voltando ao exemplo da espira circular de raio e do solenoacuteide longo se na espira fluir uma

corrente eleacutetrica alternada senoidal de frequumlecircncia e amplitude dada por ( ) = cos( ) a FEM induzida no solenoacuteide seraacute

ℇ( ) = minus ( ) = minus [ cos( ) = sen( ) Conclusatildeo no solenoacuteide haveraacute uma FEM induzida alternada senoidal de mesma frequumlecircncia e com

amplitude Quanto maior a densidade de espiras no solenoacuteide maior a amplitude ( )

da FEM induzida nele Esse eacute basicamente o princiacutepio de funcionamento de um transformador de voltagem

em que a espira eacute o primaacuterio onde conectamos uma FEM e o solenoacuteide longo eacute o secundaacuterio onde obtemos

uma FEM transformada (a amplitude no primaacuterio eacute transformada na amplitude no secundaacuterio)

102 Autoindutacircncia

A indutacircncia eacute uma medida da capacidade que um circuito tem de induzir FEMs Um circuito 1 em que

circula uma corrente eleacutetrica ( ) produz no espaccedilo um campo eletromagneacutetico ( ) e ( ) Um

circuito 2 que estaacute na vizinhanccedila de 1 pode entatildeo sofrer induccedilatildeo desde que valha ne 0 para esses dois

circuitos Mas o proacuteprio circuito 1 estaacute mergulhado em seu campo eletromagneacutetico e pode tambeacutem se

autoinduzir A autoindutacircncia quantifica a capacidade que um circuito tem de induzir FEM nele mesmo

A ideia eacute similar agrave da indutacircncia muacutetua A FEM autoinduzida pelo circuito 1 eacute

ℇ( ) = minus ( ) = minus ∙

A expressatildeo acima mostra que a grandeza crucial para determinar a capacidade que um circuito tem

de se autoinduzir eacute o autofluxo ( ) Se o autofluxo eacute grande como ocorre com solenoacuteides com muitas

espiras entatildeo a capacidade de autoinduccedilatildeo eacute alta e a FEM autoinduzida seraacute alta Por outro lado para

solenoacuteides com poucas espiras esperamos que a capacidade de autoinduccedilatildeo seja fraca e que a FEM

autoinduzida seja pequena ou mesmo despreziacutevel

O autofluxo ( ) (ou ( )) depende intrinsecamente da geometria do circuito envolvido no

fenocircmeno mas depende tambeacutem da corrente eleacutetrica que circula nesse circuito Enfim o solenoacuteide 1 soacute vai

produzir autofluxo ( ) se ne 0 Podemos dizer entatildeo que ( ) eacute funccedilatildeo de da geometria do circuito

1 e dos materiais que ocupam o espaccedilo e que podem modificar o campo eletromagneacutetico A autoindutacircncia

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

eacute a grandeza que engloba em sua definiccedilatildeo a influecircncia que todas essas caracteriacutesticas intriacutensecas - geometria

nuacutemeros de espiras e materiais que permeiam o espaccedilo - exercem sobre a capacidade de autoinduccedilatildeo de um

circuito A autoindutacircncia eacute definida por ( ) =

A inspiraccedilatildeo nessa definiccedilatildeo vem basicamente da definiccedilatildeo de fluxo magneacutetico e da lei de Biot-Savart

( ) = ∙ = 4 times ∙ = 4 times ∙

Note que na expressatildeo acima o termo que sobrou entre chaves que eacute a autoindutacircncia do circuito 1 soacute

depende da geometria do circuito 1 (atraveacutes da integral na curva 1 e da integral na superfiacutecie 1) e do

que permeia o espaccedilo que no presente caso eacute o vaacutecuo (atraveacutes do que poderia passar a ser um )

Essa definiccedilatildeo para a autoindutacircncia continua valendo mesmo em regimes em que a lei de Biot-Savart natildeo

vale como o regime de correntes eleacutetricas oscilantes de alta frequumlecircncia Mas nesses casos pode ser

tambeacutem dependente da frequumlecircncia Note que a unidade de eacute a mesma de o henry (H)

Como exerciacutecio vamos calcular a autoindutacircncia de um solenoacuteide helicoidal longo (infinito para todos

os efeitos) com espiras por unidade de comprimento e raio Vamos assumir que esse solenoacuteide possui

espiras e comprimento ou seja = Sabemos que o campo magneacutetico de um solenoacuteide longo (infinito)

eacute simples eacute nulo fora do solenoacuteide e uniforme e axial (eixo z) dentro do solenoacuteide assumindo aiacute o valor = sendo a corrente eleacutetrica que circula no solenoacuteide (z eacute o eixo de simetria do solenoacuteide) Portanto (adotando

uma normal = na superfiacutecie do disco que eacute a seccedilatildeo transversal do solenoacuteide)

( ) = ∙ = ∙ = = ( ) Note que eacute o (auto) fluxo magneacutetico atraveacutes de uma espira apenas do solenoacuteide e que para

espiras devemos multiplicar esse fluxo por (a aacuterea onde ocorre o fluxo magneacutetico eacute a aacuterea de espiras ou

seja = ) Conclusatildeo a autoindutacircncia desse solenoacuteide eacute

( ) = ( ) = rArr = =

Vemos nesse exemplo simples que a autoindutacircncia envolve nuacutemero de espiras e geometria ( e ) e

tambeacutem (potencialmente) material ( vaacutecuo nesse caso ou seja nenhum material) Natildeo existem solenoacuteides

infinitos e portanto devemos encarar essa expressatildeo para como uma aproximaccedilatildeo razoaacutevel para a

autoindutacircncia de um solenoacuteide longo (para um solenoacuteide infinito valeria rarr infin mas rarr )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

Suponha que nesse solenoacuteide esteja circulando uma corrente eleacutetrica que cresce no tempo ( ) =

com gt 0 uma constante A FEM autoinduzida no solenoacuteide eacute (da regra do fluxo)

ℇ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus ( )

Portanto nesse caso especiacutefico

ℇ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus

Obtivemos uma FEM autoinduzida negativa Qual o significado desse sinal Vimos que o sinal da FEM induzida

na lei de Faraday estaacute relacionado ao sentido da FEM induzida e que ele pode ser determinado atraveacutes de uma

regra da matildeo direita apontando o polegar no sentido de utilizado no caacutelculo de os outros dedos

apontam no sentido da FEM induzida positiva Dessa forma podemos escolher livremente sempre

obteremos o sentido correto da FEM

Mas eacute verdade que no presente contexto se escolhermos livremente vamos permitir dois sinais

possiacuteveis para o produto escalar ∙ na expressatildeo de e obteremos gt 0 ou lt 0 de acordo com

nossa escolha No entanto sendo a autoindutacircncia estritamente positiva segue que ao escrevermos ( ) = jaacute estamos fazendo uma escolha de sentido para pois estamos fixando que ( ) gt 0

Resumindo ao escrevermos a FEM autoinduzida em termos da autoindutacircncia fazemos uma escolha do

sentido de utilizado no caacutelculo de de tal forma que gt 0 Essa escolha eacute ∙ gt 0 ou seja adotamos

paralelo a Essa escolha nos permite uma interpretaccedilatildeo simples para o sinal da FEM autoinduzida

A Figura 3 abaixo resume a ideia Se adotarmos sempre paralelo a (para que valha sempre gt 0

compatiacutevel com gt 0) entatildeo ℇ( ) gt 0 eacute uma FEM paralela agrave corrente (na Figura 3 o sentido da seta curva

verde coincide com o sentido da seta curva vermelha) Analogamente ℇ( ) lt 0 eacute uma FEM antiparalela agrave

corrente Resumindo a expressatildeo ℇ( ) = minus ( )

fornece a FEM autoinduzida no sentido da corrente Vemos claramente que uma corrente eleacutetrica ( ) crescente no tempo (de derivada positiva) vai implicar em uma FEM autoinduzida negativa ou seja oposta agrave

corrente Por outro lado uma corrente eleacutetrica ( ) decrescente no tempo (de derivada negativa) vai implicar

em uma FEM autoinduzida positiva ou seja paralela agrave corrente

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

Esses resultados satildeo compatiacuteveis com a lei de Lenz quando a corrente eleacutetrica em um circuito cresce

ele se autoinduz uma FEM oposta agrave corrente que se opotildee a esse crescimento A corrente cresce assim

mesmo mas enfrentando uma oposiccedilatildeo Analogamente quando a corrente eleacutetrica em um circuito decresce

ele se autoinduz uma FEM paralela agrave corrente que se opotildee a esse decaimento A corrente decresce assim

mesmo mas enfrentando uma oposiccedilatildeo Eacute o que diz a lei de Lenz a induccedilatildeo tem um sentido tal que se opotildee agrave

sua causa

No exemplo discutido acima do solenoacuteide longo obtivemos

ℇ( ) = minus

se a corrente no solenoacuteide cresce de acordo com ( ) = (sendo gt 0) Isso significa que ℇ( ) tem o

sentido oposto ao de ( ) (qualquer que seja ele) Pensando em termos do campo eleacutetrico induzido ℇ( ) lt 0 significa que o campo eleacutetrico induzido produzido pela proacutepria corrente no solenoacuteide tem no

espaccedilo o sentido oposto ao movimento dos portadores de carga (de carga eleacutetrica positiva) e realiza

portanto um trabalho negativo nesses portadores tentando freaacute-los (posto que eles estatildeo acelerando) Se a

corrente no solenoacuteide estivesse diminuindo no tempo obteriacuteamos ℇ( ) gt 0 significando que o campo

eleacutetrico induzido produzido pela proacutepria corrente no solenoacuteide teria no espaccedilo o sentido paralelo ao

movimento dos portadores de carga e realizaria portanto um trabalho positivo nesses portadores tentando

empurraacute-los para a frente (posto que eles estariam freando)

Essa escolha de ∙ gt 0 ou seja paralelo a pode ser utilizada tambeacutem na definiccedilatildeo da

indutacircncia muacutetua e isso vai levar a indutacircncias muacutetuas positivas e negativas Considere o exemplo de dois

solenoacuteides No solenoacuteide 1 flui a corrente ( ) e ele produz no espaccedilo o campo magneacutetico ( ) Analogamente para o solenoacuteide 2 No solenoacuteide 1 adotamos paralelo a e isso vai levar a uma

(a) Regra da matildeo direita da lei de Faraday polegar no sentido de (usado no calculo de

) dedos no sentido de ℇ gt 0

(b) Regra da matildeo direita da espira polegar no sentido de dedos no sentido de

ℇ gt 0

Figura 3 duas regras da matildeo direita que se juntam definindo o sentido da FEM autoinduzida Uma FEM positiva eacute uma FEM no mesmo sentido da corrente se eacute paralelo a entatildeo ℇ gt 0 eacute paralelo a

427

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

autoindutacircncia gt 0 (como deve ser) Analogamente para o solenoacuteide 2 Agora vamos calcular o fluxo

muacutetuo

( ) = ∙

Vemos claramente que conforme nossa escolha de sentido para (que levou em conta apenas o )

podemos obter fluxos muacutetuos positivos (se for paralelo a ) ou negativos (se for antiparalelo a )

Sendo a indutacircncia muacutetua definida por

( ) =

segue que podemos obter gt 0 ou lt 0

Considere os exemplos simples mostrados na Figura 4 abaixo Dois solenoacuteides (1 e 2) estatildeo ligados em

seacuterie e dispostos lado a lado no espaccedilo proacuteximos um do outro como mostrado na Figura A corrente ( ) entra pelo terminal A passa pelo solenoacuteide 1 passa pelo solenoacuteide 2 e sai pelo terminal B Vemos duas formas

de conectar os solenoacuteides Em (a) a corrente flui no mesmo sentido nos dois solenoacuteides e portanto os campos

magneacuteticos e seratildeo paralelos entre si Portanto adotando paralelo a fatalmente vai ocorrer que

eacute paralelo a e ∙ gt 0 Portanto nesse caso o fluxo muacutetuo eacute positivo e segue que gt 0 Em (b) a

corrente flui em sentidos opostos nos dois solenoacuteides e portanto os campos magneacuteticos e seratildeo

antiparalelos entre si Portanto adotando paralelo a fatalmente vai ocorrer que eacute antiparalelo a e ∙ lt 0 Portanto nesse caso o fluxo muacutetuo eacute negativo e segue que lt 0

Enfim esses resultados significam que no caso do circuito (a) supondo que a corrente ( ) esteja

aumentando os solenoacuteides 1 e 2 vatildeo ambos se autoinduzir de tal forma a se opor a esse aumento Ao mesmo

A

A

B

B

Figura 4 dois solenoacuteides (1 e 2) ligados em seacuterie No caso (a) vale gt 0 e no caso (b) vale lt 0

(a)

(b)

428

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

tempo o acoplamento eletromagneacutetico entre eles com gt 0 vai reforccedilar essa oposiccedilatildeo o solenoacuteide 1 vai se

opor ao crescimento da corrente no solenoacuteide 2 e vice-versa no caso do circuito (b) os solenoacuteides 1 e 2 vatildeo

tambeacutem se autoinduzir de tal forma a se opor a esse aumento em ( ) Ao mesmo tempo o acoplamento

eletromagneacutetico entre eles com lt 0 vai ser oposto a essas oposiccedilotildees o solenoacuteide 1 vai tentar reforccedilar o

crescimento da corrente no solenoacuteide 2 e vice-versa Haveraacute portanto nesse caso uma competiccedilatildeo entre os

efeitos das autoinduccedilotildees e da induccedilatildeo muacutetua

A Figura 5 abaixo ilustra essa situaccedilatildeo atraveacutes dos sentidos dos campos eleacutetricos induzidos pelos

solenoacuteides e

Ainda supondo que a corrente ( ) esteja aumentando no tempo vemos na Figura 5 que para a

conexatildeo (a) dos solenoacuteides no solenoacuteide 1 os dois campos induzidos e satildeo antiparalelos agrave corrente

ambos se opondo ao aumento da corrente nesse solenoacuteide (para entender isso fique atento aos sentidos de

giro das correntes nos solenoacuteides comparando-os aos sentidos de giro das linhas de forccedila dos campos

eleacutetricos) Analogamente para o solenoacuteide 2 Na conexatildeo (b) entre os solenoacuteides e satildeo antiparalelos

entre si Vemos que no solenoacuteide 1 eacute oposto agrave corrente mas eacute paralelo se opotildee ao aumento da

corrente mas estaacute colaborando com esse aumento no solenoacuteide 1 Olhando para o solenoacuteide 2 vemos que

estaacute se opondo ao aumento da corrente no solenoacuteide 2 mas ao fazer isso ele acaba por contribuir para o

aumento da corrente no solenoacuteide 1 Esse eacute o significado de uma indutacircncia muacutetua negativa o efeito da

induccedilatildeo muacutetua eacute oposto ao da autoinduccedilatildeo

A

A

B

B

Figura 5 dois solenoacuteides (1 e 2) ligados em seacuterie No caso (a) vale gt 0 e no caso (b) vale lt 0Considere que ( ) esteja aumentando no tempo Linhas de forccedila dos campos eleacutetricos induzidos

(a)

(b)

( )

( )

429

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

103 O circuito RL

Podemos dizer que todo dispositivo eleacutetrico desde um simples segmento de fio ateacute uma cidade

inteira possui uma autoindutacircncia Se essa autoindutacircncia tiver um valor muito pequeno pode ser que seus

efeitos sejam despreziacuteveis Foi o que fizemos por exemplo quando estudamos o comportamento do circuito

RC no capiacutetulo 6 Nem mencionamos laacute a autoindutacircncia do circuito porque entendemos implicitamente que

ela era despreziacutevel Caso contraacuterio a autoindutacircncia vai exercer uma influecircncia marcante no comportamento

de um circuito Eacute o que vamos discutir aqui atraveacutes de um simples circuito composto de um resistor um

indutor e uma bateria Entendemos um resistor como sendo um dispositivo ideal cuja uacutenica propriedade

eleacutetrica eacute sua resistecircncia Nesse sentido a autoindutacircncia de um resistor eacute identicamente nula Um indutor

tambeacutem eacute um dispositivo ideal cuja uacutenica propriedade eleacutetrica eacute sua autoindutacircncia A resistecircncia eleacutetrica de

um indutor ideal eacute identicamente nula A mesma ideia vale para um capacitor um dispositivo ideal que possui

apenas uma capacitacircncia e = = 0 O resistor e o indutor (ideais) natildeo possuem capacitacircncia Dessa

forma com associaccedilotildees desses dispositivos ideais em seacuterie e em paralelo podemos representar as

propriedades eleacutetricas de vaacuterios dispositivos diferentes Um solenoacuteide (real) por exemplo pode ser

representado por um indutor em seacuterie com um resistor Nessa associaccedilatildeo o resistor representa a resistecircncia

eleacutetrica do fio que compotildee o solenoacuteide e o indutor representa sua capacidade de se

autoinduzir O siacutembolo para um indutor ideal em esquemas de circuitos eleacutetricos eacute

mostrado na Figura ao lado O siacutembolo faz referecircncia clara a um solenoacuteide mas ele

representa de fato uma propriedade a autoindutacircncia de um dispositivo eleacutetrico qualquer

Queremos discutir aqui o comportamento de circuitos eleacutetricos que possuem autoindutacircncia Para

fazer isso devemos incorporar uma nova regra agraves regras que jaacute conhecemos para aplicaccedilatildeo da lei das malhas

(de Kirchhoff) Sabemos por exemplo que ao atravessarmos um resistor no mesmo sentido da corrente o

potencial eleacutetrico cai de ∆ = sendo a corrente que estaacute passando no resistor A nova regra que

queremos conhecer eacute a que nos permite computar o ∆ que eacute adicionado agrave lei das malhas quando

atravessamos um indutor Enfim precisamos definir a DDP entre os terminais de um indutor

Vimos no capiacutetulo 3 que a diferenccedila de potencial eleacutetrico entre dois pontos A e B no espaccedilo eacute dada

por

( ) minus ( ) = ∙

sendo o campo eletrostaacutetico que existe nessa regiatildeo do espaccedilo Eacute importante recordar que essa expressatildeo

soacute faz sentido para campos conservativos (eletrostaacuteticos) Mas vimos no capiacutetulo 9 que circuitos com

correntes variaacuteveis no tempo produzem no espaccedilo campos eleacutetricos natildeo conservativos comumente

430

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

chamados de campos eleacutetricos induzidos (mas que natildeo deixam de ser apenas campos eleacutetricos) Portanto

antes de discutirmos a DDP ∆ em um indutor devemos ter o cuidado aqui de definir precisamente o potencial

eleacutetrico nessas situaccedilotildees natildeo eletrostaacuteticas pois o que aparece na integral que fornece ∆ natildeo pode incluir

o campo eleacutetrico induzido Nessa discussatildeo (e apenas nela) seraacute melhor definirmos entatildeo o campo eleacutetrico

como sendo aquele produzido por acuacutemulos de cargas eleacutetricas que satisfaz a lei de Coulomb e eacute

conservativo Analogamente definimos o campo eleacutetrico como sendo o campo eleacutetrico induzido produzido

por correntes eleacutetricas variaacuteveis no tempo que natildeo satisfaz a lei de Coulomb mas sim a lei de Faraday e natildeo eacute

conservativo Em situaccedilotildees mais gerais que envolvem acuacutemulos de cargas eleacutetricas e correntes eleacutetricas

variaacuteveis no tempo o campo eleacutetrico no espaccedilo eacute (de acordo com o princiacutepio da superposiccedilatildeo) = +

Portanto devemos definir a DDP entre dois pontos A e B com sendo

( ) minus ( ) = ∙

Somente essa definiccedilatildeo de DDP faz sentido pois somente eacute um campo conservativo

Assim sendo vimos que um resistor possui um pequeno acuacutemulo de cargas eleacutetricas em seus

terminais que produzem dentro dele um campo eleacutetrico Dentro desse resistor de resistecircncia os

portadores de carga fluem pois vale a lei de Ohm = Deduzimos entatildeo que nesse caso vale ∆ = plusmn Analogamente entre as placas de um capacitor de capacitacircncia carregado haacute um campo

eleacutetrico e nesse caso vale ∆ = plusmn Finalmente entre os terminais de uma bateria ideal de FEM ℇ

onde se acumulam pequenas quantidades de cargas eleacutetricas haacute um campo eleacutetrico e vale ∆ = plusmnℇ

Aqui chegamos a um ponto em que jaacute podemos calcular a DDP ∆ para um indutor ideal Tudo que

temos que fazer eacute reconhecer que dentro do indutor no material condutor onde fluem os portadores de carga

e a corrente ( ) tem que valer = + = 0 ou seja = minus Isso deve ocorrer porque um indutor eacute

um dispositivo ideal com = 0 ou seja a condutividade eleacutetrica desse material do indutor deve ser rarr infin

Portanto dentro desse material vale = = + = infin0 Qualquer outro valor para vai resultar

em uma corrente infinita pois o indutor ideal eacute composto de um condutor

perfeito (por hipoacutetese caso contraacuterio o indutor natildeo seria ideal) A Figura ao

lado ilustra de forma bastante simplificada como seriam e na vizinhanccedila

de um solenoacuteide que eacute um indutor tiacutepico em que passa uma corrente ( ) crescente no tempo eacute basicamente antiparalelo agrave corrente ele eacute produzido

por ( ) eacute basicamente axial ele eacute produzido por acuacutemulos de carga ao

longo da superfiacutecie do solenoacuteide (a superfiacutecie do fio) Note na Figura que a

( )

431

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

igualdade = minus natildeo vale no espaccedilo ao redor do solenoacuteide (estaacute longe disso) posto que essa igualdade

deve valer apenas ao longo e no interior do fio do solenoacuteide onde rarr infin e vale a lei de Ohm com = += 0 Na regiatildeo fora do fio do solenoacuteide (vaacutecuo) vale = 0 e = = 0 + = 0 O campo

resultante + natildeo tem que ser nulo na regiatildeo exterior ao fio que compotildee o solenoacuteide

Portanto sejam A e B os terminais de um indutor de indutacircncia por onde flui uma corrente eleacutetrica ( ) de A para B A definiccedilatildeo de DDP e a regra do fluxo levam a

( ) minus ( ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙ = minus minus ( ) = ( )

Na expressatildeo acima ndash ( ) eacute a FEM autoinduzida no indutor no sentido da corrente e por isso fizemos a

hipoacutetese de que a corrente estaacute fluindo de A para B Conclusatildeo na lei das malhas a regra do indutor eacute (note

que ∆ = ( ) minus ( ) e que a corrente ( ) estaacute fluindo de A para B)

Se atravessarmos um indutor no mesmo sentido da

corrente ( ) que circula nele ∆ = minus ( )

Se atravessarmos o indutor no sentido oposto agrave

corrente ( ) que circula nele ∆ = ( )

A regra do fluxo se aplica apenas a circuitos fechados e na expressatildeo de ( ) minus ( ) acima os pontos

A e B satildeo pontos diferentes no espaccedilo satildeo os terminais do indutor ideal Por isso podemos estranhar a

aplicaccedilatildeo dessa regra nesse caso como fizemos acima Detalhando um

pouco mais a ideia aqui eacute que podemos fechar o caminho que vai de A

para B por dentro do fio do indutor com um outro caminho externo que

vai de volta de B para A e onde vale ∙ = 0 A Figura ao lado ilustra

essa ideia Partimos de A e caminhamos por dentro do fio do solenoacuteide ateacute

chegar em B Nessa porccedilatildeo do caminho vale = minus Depois retornamos

de B para A pelo caminho externo axial azul que eacute ortogonal agrave e onde portanto ∙ = 0 Conclusatildeo

repetindo o caacutelculo que fizemos acima com um pouco mais de detalhe obtemos

( ) minus ( ) = ∙ = minus ∙ = minus ∙ = minus ∙ + ∙ = ( )

Nessa expressatildeo a primeira integral de dentro dos colchetes eacute realizada de A ateacute B por dentro do fio do

solenoacuteide e a segunda integral que eacute nula eacute realizada de B ateacute A pelo caminho externo azul No final das

( )A B

432

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

contas estamos integrando em um caminho fechado e podemos usar a regra do fluxo O resultado eacute o

mesmo

A Figura ao lado resume nosso resultado (de uma forma apenas

pictoacuterica) para um indutor em que circula uma corrente que estaacute crescendo

no tempo Se a corrente de A para B estaacute crescendo entatildeo aponta de B

para A pois esse campo se opotildee a esse crescimento Como + = 0

dentro do indutor segue que aponta de A para B e que portanto o

terminal A possui um pequeno acuacutemulo de cargas eleacutetricas positivas Segue que ( ) minus ( ) gt 0 pois

sempre aponta no sentido do decaimento do potencial eleacutetrico (do + para o -) Portanto ao atravessarmos o

indutor no sentido de A para B (sentido da corrente) o potencial cai ele cai de ( ) Daiacute concluiacutemos que Δ = minus ( ) (se percorremos o indutor no mesmo sentido da corrente) A mesma ideia funciona se a

corrente de A para B estaacute diminuindo aponta de A para B se opondo a esse decaimento e (como + = 0 dentro do indutor) aponta de B para A O terminal B possui um pequeno acuacutemulo de cargas

eleacutetricas positivas implicando que ( ) minus ( ) lt 0 (Δ = minus ( ) gt 0 posto que ( ) lt 0)

Agora estamos prontos para considerar o circuito RL

seacuterie ligado a uma bateria mostrado na Figura 6 ao lado A

chave S vai fechar o circuito e ligar a corrente no instante = 0

Queremos saber como se comporta a corrente eleacutetrica ( ) nesse circuito Qual o efeito da indutacircncia muacutetua sobre a

corrente Supondo que a chave S jaacute estaacute fechada partindo do

poacutelo + da bateria e percorrendo o circuito no sentido horaacuterio a

lei das malhas fornece a equaccedilatildeo minus ( ) minus ( ) + ℇ =

Portanto a corrente ( ) obedece agrave seguinte equaccedilatildeo diferencial (com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = 0) ( ) + ( ) = ℇ

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo (com essa condiccedilatildeo inicial) eacute ( ) = ℇ 1 minus

Para entendermos melhor o comportamento do circuito podemos calcular a FEM autoinduzida no

indutor (no sentido da corrente) ℇ ( ) = minus ( ) = minus ℇ 1 minus = minusℇ

( )

ℇFigura 6 um circuito RL seacuterie conectado a uma bateria

( )

+ -A B

433

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

O fato de valer sempre ℇ lt 0 significa apenas que essa FEM estaacute sempre se opondo agrave corrente posto que a

corrente eacute crescente no tempo Por essa razatildeo pela FEM induzida se opor ao estabelecimento da corrente no

circuito ela eacute muitas vezes chamada de forccedila contra-eletromotriz Mas enfim este eacute apenas mais um nome e ℇ ( ) natildeo deixa de ser uma forccedila eletromotriz soacute que de fato trabalhando contra o movimento dos

portadores de carga no circuito (nesse sentido ela natildeo eacute ldquomotrizrdquo eacute ldquocontramotrizrdquo)

No graacutefico ao lado esboccedilamos as curvas de ( ) e de ℇ ( ) em funccedilatildeo do tempo Vemos que no instante em que a chave S eacute

fechada a corrente tem um iacutempeto de comeccedilar a circular no

circuito mas a FEM induzida no indutor vale exatamente minusℇ

se opondo agrave FEM da bateria Essa oposiccedilatildeo retarda mas natildeo

impede o crescimento da corrente (algo parecido com a accedilatildeo do

atrito cineacutetico que se opotildee ao movimento enquanto ele ocorre)

A corrente no circuito vai crescendo lentamente sofrendo uma oposiccedilatildeo contiacutenua de ℇ ( ) que compete com

o estiacutemulo produzido por ℇ Com o passar do tempo a corrente no circuito vai estabilizando em seu valor

assintoacutetico ( rarr infin) = ℇ e o indutor vai relaxando deixando de se autoinduzir (ℇ ( rarr infin) = 0)

Comparando o comportamento do indutor com o de um resistor podemos dizer que nesse circuito o indutor

inicia se comportando como uma resistecircncia infinita (circuito aberto) natildeo deixando passar corrente no

circuito e termina se comportando como uma resistecircncia nula (curto-circuito) deixando de influenciar a

corrente no circuito

A comparaccedilatildeo do comportamento desse circuito com o de

um circuito sem indutacircncia nos ajuda a entender a influecircncia que

esse fenocircmeno o da autoinduccedilatildeo tem sobre o comportamento dos

circuitos eleacutetricos Na Figura 7 ao lado mostramos um circuito com = 0 Repetindo os caacutelculos que fizemos acima obtemos minus ( ) + ℇ =

Portanto a corrente ( ) obedece agrave seguinte equaccedilatildeo algeacutebrica (com

a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = 0) ( ) = ℇ A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo eacute ( ) = = ℇ

A corrente eacute constante e natildeo haacute FEM autoinduzida no circuito pois = 0 Os graacuteficos abaixo mostram as

curvas de ( ) e de ℇ ( ) em funccedilatildeo do tempo Nesse caso vale ℇ ( ) = 0 Vemos que no instante em que a

chave S eacute fechada a corrente assume instantaneamente o valor constante = ℇ imposto pela FEM da

0( )

ℇ ( )minusℇ

Figura 7 um circuito R conectado a uma bateria ( = 0)

( )

434

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

bateria e limitado apenas pela resistecircncia do circuito No instante = 0 haacute uma descontinuidade em ( ) que

salta do valor ( = 0) = 0 para o valor ( gt 0) = = ℇ Fica

claro aqui que as massas dos portadores de carga (ineacutercia mecacircnica)

satildeo irrelevantes para o comportamento de um circuito eleacutetrico

Comparando os graacuteficos de ( ) nos circuitos com ne 0 e

com = 0 vemos que a autoinduccedilatildeo impotildee no circuito uma espeacutecie

de ineacutercia eletromagneacutetica fazendo com que sua resposta ao

estiacutemulo da bateria seja lenta De fato vemos que o fator exponencial dita as evoluccedilotildees temporais da

corrente e da FEM autoinduzida no circuito e que o fator tem que possuir unidade de tempo ou seja

eacute um tempo caracteriacutestico da resposta do circuito ao estiacutemulo agrave circulaccedilatildeo da corrente De fato [[ = Ω = = ( )( ) = =

Definimos entatildeo =

como sendo o tempo caracteriacutestico do circuito RL seacuterie Exatamente no instante a corrente no circuito jaacute

atingiu o valor ( = ) = ℇ 1 minus = ℇ (1 minus ) = ℇ 1 minus 1 cong 063 ℇ

Portanto no instante a corrente jaacute atingiu cerca de 63 de seu valor maacuteximo (note que cong 2718)

No graacutefico ao lado mostramos o comportamento de ( ) para circuitos com diferentes valores de autoindutacircncia

(e mesmos valores de ℇ e ) Na curva verde mostramos o

instante = em que ( ) atinge 63 de seu valor maacuteximo

Esse valor maacuteximo eacute o mesmo para as trecircs curvas (pois ℇ e

satildeo iguais nos trecircs casos) A curva vermelha corresponde a

um valor de (e de ) menor que a curva verde e a curva azul a um valor menor ainda Vemos que agrave medida

que vai diminuindo o circuito vai ficando mais raacutepido ele vai perdendo a ineacutercia produzida pela

autoinduccedilatildeo No limite rarr 0 recuperamos a curva de ( ) para o caso = 0 mostrada anteriormente em

que o circuito tem uma resposta instantacircnea pois = rarr 0

O tempo desempenha no circuito RL seacuterie um papel similar ao tempo caracteriacutestico =

definido para o circuito RC seacuterie Fazendo uma analogia entre os dois circuitos chamamos esse processo que

estamos discutindo de processo de carga do circuito RL No circuito RC o processo de carga consiste em um

0

( )ℇ ( )

0

( )063 ℇ

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

acuacutemulo crescente de cargas eleacutetricas nas placas do capacitor No circuito RL o processo de carga corresponde

a uma passagem crescente de corrente atraveacutes do circuito

Imagine agora que a chave S no circuito seja uma chave

comutadora conforme mostrado na Figura 8 ao lado

Conectando a chave em A recuperamos o circuito que discutimos

anteriormente em que a corrente ( ) no circuito vai crescendo

com o tempo Note que mudamos a seta de ( ) do lugar apenas

porque queremos considerar agora o comportamento do circuito

com a chave em B quando natildeo circula mais corrente pelo ramo

da bateria Estamos imaginando aqui que a mesma ineacutercia que faz com que a corrente cresccedila lentamente no

circuito vai fazer com que a corrente decaia lentamente quando a bateria for retirada do circuito Para

verificar isso imaginamos que em um certo instante gt 0 qualquer quando a corrente jaacute atingiu um valor ( ) = a chave eacute comutada instantaneamente de A para B

Supondo entatildeo que a chave eacute conectada a B em = 0 quando a corrente no indutor era ( = 0) = com o sentido mostrado na Figura se partirmos do ponto A e percorrermos a malha que conteacutem apenas R

e L no sentido horaacuterio a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo minus ( ) minus ( ) =

Portanto a corrente ( ) obedece agrave seguinte equaccedilatildeo diferencial (com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = ) ( ) + ( ) = 0

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo eacute ( ) =

Para entender melhor o comportamento do circuito podemos calcular a FEM autoinduzida no indutor (no

sentido da corrente) ℇ ( ) = minus ( ) = minus =

O fato de valer sempre ℇ gt 0 significa agora que essa FEM estaacute sempre no mesmo sentido da corrente posto

que a corrente eacute decrescente no tempo e que ela estaacute sendo criada no circuito exatamente por ℇ ( ) (agora a

FEM eacute ldquomotrizrdquo mesmo e natildeo ldquocontramotrizrdquo) Natildeo havendo mais bateria no circuito a FEM ℇ ( ) eacute

responsaacutevel pela circulaccedilatildeo da corrente ( ) no circuito

Os graacuteficos abaixo juntam todos os comportamentos que obtivemos para o circuito RL seacuterie Em = 0

a chave S eacute conectada ao ponto A e a corrente no circuito comeccedila a crescer impulsionada pela bateria Se

deixaacutessemos a chave em A por muito tempo a corrente atingiria seu valor assintoacutetico ℇ Entendemos

ℇFigura 8 um circuito RL seacuterie conectado a uma bateria

( ) A

B

436

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

esse comportamento quando olhamos o graacutefico da FEM

autoinduzida ℇ ( ) No instante em que a chave eacute ligada em A o

indutor se autoinduz uma FEM oposta agrave corrente (por isso ela eacute

negativa no graacutefico) retardando o crescimento da corrente no

circuito (enquanto ela cresce) Em um dado instante qualquer

comutamos instantaneamente a chave S de A para B Nesse

instante a corrente no circuito era por hipoacutetese Vemos no

graacutefico que quando retiramos a bateria do circuito a corrente

eleacutetrica natildeo se anula ela continua circulando a partir do valor

e vai caindo lentamente a zero Entendemos esse

comportamento quando olhamos o graacutefico da FEM autoinduzida ℇ ( ) No instante em que a chave eacute comutada de A para B o

indutor se autoinduz uma FEM no mesmo sentido da corrente

(por isso ela eacute positiva no graacutefico) retardando o decaimento da corrente no circuito Em resumo vemos aqui a

induccedilatildeo eletromagneacutetica atuando de forma marcante em um circuito eleacutetrico introduzindo nele uma lentidatildeo

em sua resposta a variaccedilotildees de corrente Quando a chave eacute comutada em A o indutor se opotildee ao

estabelecimento da corrente e quando a chave eacute comutada para B ele se opotildee ao desaparecimento da

corrente no circuito Essa eacute a ideia expressa na lei de Lenz de que a induccedilatildeo sempre se opotildee agrave sua causa

Para um circuito com = 0 como na Figura 7 a ineacutercia desaparece do circuito e a corrente vai

imediatamente para o valor ℇ quando conectamos a chave S em A e vai imediatamente para zero

quando comutamos a chave S para B

Chamamos de processo de carga aquele que se daacute enquanto a chave S estaacute em A e a corrente no

circuito estaacute aumentando no tempo Analogamente chamamos

de processo de descarga o que se daacute quando a chave S eacute

conectada ao ponto B e a corrente eleacutetrica vai decaindo

exponencialmente para zero

Se ficarmos comutando a chave S alternadamente entre

A e B vamos gerar uma corrente eleacutetrica pulsante no circuito

Nos graacuteficos ao lado mostramos essas correntes para o caso = 0 (curva verde) e ne 0 (curva vermelha) A comutar a

chave entre A e B continuamente geramos no circuito sem

autoinduccedilatildeo (curva verde) uma corrente que eacute comumente

chamada de ldquoonda quadradardquo Essa eacute a forma por exemplo do

0

( )ℇ

0ℇ ( )

minusℇ rarr

0

( )0

( )

437

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

pulso de clock em um computador (uma sequecircncia de 0s e 1s) que dita o ritmo de todas as operaccedilotildees que

ocorrem nos circuitos eletrocircnicos dessa maacutequina A presenccedila da autoindutacircncia distorce esse pulso (curva

vermelha) introduzindo nele uma ineacutercia e curvaturas que natildeo faziam parte da onda quadrada original Esse

seria um exemplo em que a autoindutacircncia tem um efeito indesejaacutevel mas inevitaacutevel no circuito Os valores

correspondentes aos 0s e 1s se tornam mais parecidos e isso pode confundir a resposta dos dispositivos ao

pulso de clock Podemos ver nesses graacuteficos que o indutor funciona como um filtro de frequumlecircncia pois ele natildeo

deixa que a corrente no circuito varie abruptamente Portanto esse efeito pode ser desejaacutevel em um circuito

em que queremos nos livrar de ruiacutedos eleacutetricos que satildeo pulsos de variaccedilatildeo raacutepida na corrente produzidos por

algum elemento do circuito como por exemplo um motor eleacutetrico com escovas (motor CC) Esses ruiacutedos

eleacutetricos que podem produzir interferecircncia em aparelhos eleacutetricos que

compartilham o mesmo circuito satildeo arredondadosatenuados pela accedilatildeo da

autoinduccedilatildeo A Figura ao lado mostra um filtro de ruiacutedo (eleacutetrico) cujo

funcionamento se baseia na induccedilatildeo eletromagneacutetica Esse filtro eacute comumente

encontrado em cabos de dispositivos eletrocircnicos Trata-se de uma simples espira de

ferrite que ldquoabraccedilardquo o cabo e produz uma FEM ldquocontramotrizrdquo quando tenta

circular pelo cabo algum pulso de corrente de variaccedilatildeo raacutepida (um surto ou algum ruiacutedo eleacutetrico)

104 A energia magneacutetica

Energia eacute capacidade de realizar trabalho A energia potencial gravitacional de um corpo por

exemplo eacute a capacidade que o peso desse corpo tem de realizar trabalho (no corpo) Quando um corpo cai

seu peso realiza (no corpo) um trabalho positivo e a capacidade dessa forccedila realizar trabalho diminui Por isso

sua energia potencial gravitacional diminui Quando um corpo sobe seu peso realiza (no corpo) um trabalho

negativo e a capacidade dessa forccedila realizar trabalho aumenta Por isso sua energia potencial gravitacional

aumenta Quando a energia potencial gravitacional do corpo muda ela eacute convertida em outra forma de

energia (eacute sempre bom lembrar que o termo ldquoenergia potencial do corpordquo eacute um(a) atalho(simplificaccedilatildeo) da

linguagem pois trata-se de fato de uma energia de interaccedilatildeo corpoTerra corpoLua ou corpooutro corpo)

Se apenas o peso atua no corpo sua energia potencial gravitacional eacute convertida em energia cineacutetica do

proacuteprio corpo ( rarr ) Se haacute outras forccedilas atuando no corpo sua energia potencial gravitacional pode ser

transferida para outros corpos como quando um bloco desce um plano inclinado com atrito cineacutetico

mantendo sua velocidade constante ( rarr energia interna do corpo e do plano inclinado rarr calor)

Forccedila eletromotriz (FEM) eacute trabalho (e natildeo forccedila) e essa capacidade de realizar trabalho estaacute associada

a uma energia Uma bateria ideal por exemplo possui uma energia interna associada a uma reaccedilatildeo quiacutemica

pois ela tem capacidade de realizar trabalho positivo sobre os portadores de carga que fluem por ela O

trabalho em um portador de carga gt 0 eacute ℇ Apoacutes essa realizaccedilatildeo de trabalho esse portador de carga

438

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

fluiu de um potencial menor para um potencial maior de tal forma que ∆ = minus = ℇ Esse

portador ganhou a energia potencial eleacutetrica ∆ = ℇ Portanto atraveacutes de sua realizaccedilatildeo de trabalho a

bateria converte a energia liberada em sua reaccedilatildeo quiacutemica em energia potencial eleacutetrica dos portadores de

carga no circuito

Vimos que no circuito RL o indutor possui capacidade de realizar trabalho sobre os portadores de

carga atraveacutes de sua FEM autoinduzida Portanto um indutor possui uma energia associada a ele

Quando dizemos que o indutor possui energia ou faz isso ou faz aquilo devemos estar cientes de que

este eacute apenas (mais um) um viacutecio (ou uma simplificaccedilatildeo) de linguagem Quem possui energia eacute quem tem

capacidade de fazer forccedila (e realizar trabalho) e um indutor natildeo faz forccedila Essa eacute uma propriedade das cargas

eleacutetricas que estatildeo concentradas e fluindo no indutor Os portadores de carga se aceleram ou se freiam

mutuamente (frear natildeo deixa de ser acelerar tambeacutem mas estamos usando aqui uma linguagem comum na

fiacutesica e no dia-a-dia) atraveacutes de seu campo eleacutetrico induzido O que estamos concluindo aqui eacute que o circuito

RL que analisamos estaacute revelando que esse conjunto de portadores que constitui a corrente ( ) ou

resumidamente a proacutepria corrente ( ) possui uma energia associada a ela A corrente ( ) possui uma

capacidade de realizar trabalha na proacutepria corrente ( ) lutando para que ela natildeo cresccedila e lutando para que

ela natildeo desapareccedila A essa capacidade de realizar trabalho associamos uma energia que chamamos de

energia magneacutetica Este nome vem do fato de que essa energia soacute existe em circuitos que possuem

autoindutacircncia ou seja autofluxo magneacutetico =

A FEM induzida eacute o trabalho do campo eleacutetrico induzido e a energia magneacutetica eacute a capacidade de

realizar trabalho desse campo eleacutetrico induzido Quem cria esse campo eleacutetrico no espaccedilo satildeo os portadores

de carga que estatildeo fluindo no circuito constituindo a corrente ( ) Portanto a FEM induzida atuando no

circuito eacute uma accedilatildeo dos portadores de carga neles mesmos (como uma multidatildeo em que as pessoas se

empurram mutuamente convertendo suas energias internas em energia cineacutetica) e a energia magneacutetica eacute

uma energia da corrente eleacutetrica (ou dos portadores de carga que constituem essa corrente) Quando a

corrente ( ) estaacute crescendo os portadores de carga estatildeo acelerando e criam um campo eleacutetrico induzido no

espaccedilo Esse campo eacute tal que eacute oposto agrave velocidade de deriva desses portadores e atua nos proacuteprios

portadores se opondo a essa aceleraccedilatildeo Quando a corrente ( ) estaacute diminuindo os portadores de carga

estatildeo freando e criam um campo eleacutetrico induzido no espaccedilo Esse campo eacute tal que eacute paralelo agrave velocidade de

deriva desses portadores e atua nos proacuteprios portadores empurrando eles para a frente se opondo ao

processo de frenagem A capacidade de fazer isso eacute a energia magneacutetica da corrente eleacutetrica no indutor

Podemos enxergar essa energia (capacidade de realizar trabalho) atuando no circuito RL atraveacutes da

anaacutelise da lei das malhas que natildeo deixa de ser uma afirmaccedilatildeo da conservaccedilatildeo da energia (no sentido de que

439

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

uma energia natildeo desaparece ela se transforma em outra energia) Vamos comeccedilar pelo caso = 0 mostrado

na Figura 7 A lei das malhas diz que ( ) = = ℇ

Multiplicando essa equaccedilatildeo por dos dois lados obtemos = ℇ

A interpretaccedilatildeo dessa equaccedilatildeo eacute simples e ela estava impliacutecita na lei das malhas Vemos que a taxa com que o

resistor transforma energia potencial eleacutetrica em calor ( ) eacute igual agrave taxa com que a bateria fornece energia

potencial eleacutetrica para os portadores de carga no circuito (ℇ ) Resumindo no resistor os portadores de

carga fluem sob accedilatildeo de duas forccedilas produzido por acuacutemulos de carga na superfiacutecie e o arraste

produzido pelo meio condutor O trabalho de sobre os portadores eacute positivo e reflete uma perda de

energia potencial eleacutetrica e o trabalho de eacute negativo refletindo uma transferecircncia de energia dos

portadores para o meio condutor (efeito Joule) Na bateria ideal os portadores de carga fluem sob accedilatildeo de

duas forccedilas produzido por acuacutemulos de carga nos terminais + e - e a forccedila (de reaccedilatildeodifusatildeo) que faz

os portadores (positivos) fluiacuterem do terminal ndash para o + O trabalho de sobre os portadores eacute negativo e

reflete um ganho de energia potencial eleacutetrica dos portadores e o trabalho de eacute positivo refletindo uma

transferecircncia de energia dos reagentes para os portadores

Vamos considerar agora o processo de carga no circuito RL seacuterie A lei das malhas diz que

( ) + ( ) = ℇ

Multiplicando por ( ) dos dois lados obtemos [ ( ) + ( ) ( ) = ℇ ( ) Reconhecemos os termos [ ( ) a taxa com que o resistor transforma energia potencial eleacutetrica em calor e ℇ ( ) a taxa com que a bateria fornece energia potencial eleacutetrica para os portadores de carga no circuito

Ateacute aiacute natildeo haacute nada de novo Apenas aqui as taxas satildeo instantacircneas posto que a corrente eacute uma funccedilatildeo do

tempo A conservaccedilatildeo da energia eacute verdadeira em cada instante de tempo Mas vemos que haacute um termo

novo ( ) ( ) Note que esse termo eacute positivo posto que nesse processo a corrente eacute crescente no

tempo ( ( ) gt 0) A equaccedilatildeo acima estaacute dizendo que a energia fornecida pela bateria aos portadores no

circuito estaacute sendo compartilhada entre o resistor e o indutor O resistor dissipa uma parte e a outra parte eacute

fornecida ao indutor e acumula nele O indutor estaacute pegando uma parte da energia potencial eleacutetrica

fornecida pela bateria e estaacute convertendo em outra forma de energia que estaacute ficando acumulada nele Ela

estaacute acumulando porque um indutor (ideal) natildeo dissipa energia (natildeo emite energia para fora do circuito)

440

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

Na Figura ao lado relembramos os dois campos eleacutetricos

induzido e de acuacutemulos de cargas para o indutor ideal no processo de

carga (corrente de A para B crescendo no tempo) No indutor os

portadores de carga fluem de A para B sob accedilatildeo de duas forccedilas

produzido por acuacutemulos de carga na superfiacutecie e o campo eleacutetrico induzido pelos proacuteprios portadores ou

seja por ( ) O trabalho de sobre os portadores eacute positivo e reflete uma perda de energia potencial

eleacutetrica e o trabalho de eacute negativo refletindo um ganho de energia magneacutetica Note que como aponta

de A para B segue que ∆ = ( ) minus ( ) lt 0 Vemos entatildeo que um portador de carga que flui atraveacutes do

indutor perde a energia potencial eleacutetrica ∆ = ∆ = minus ( ) Essa energia eleacutetrica natildeo eacute dissipada

para o ambiente pois o indutor eacute ideal e portanto essa energia eleacutetrica tem que estar sendo convertida em

outra forma de energia que estaacute acumulando no circuito especificamente nas cargas eleacutetricas na regiatildeo do

indutor (mais especificamente nos portadores de carga que constituem ( )) Eacute o que mostrou a lei das malhas

que escrevemos acima uma parte da energia fornecida pela bateria eacute dissipada no resistor e a outra parte

permanece acumulada no (ou na corrente no) indutor

Analisando o processo de descarga vamos ter mais uma pista acerca da energia magneacutetica No

processo de descarga do circuito RL a lei das malhas diz que

( ) + ( ) = 0

Multiplicando por ( ) dos dois lados e passando um termo para o outro lado obtemos [ ( ) = minus ( ) ( )

Reconhecemos o termo [ ( ) a taxa com que o resistor transforma energia potencial eleacutetrica em

calor e vemos que ele eacute igual a minus ( ) ( ) que eacute positivo nesse caso pois a corrente estaacute decaindo no

tempo ( ( ) lt 0) A energia que estaacute sendo dissipada no resistor soacute pode estar vindo do indutor ou seja

essa energia estava acumulada nele na forma magneacutetica

Na Figura ao lado mostramos os dois campos eleacutetricos induzido

e de acuacutemulos de cargas para o indutor ideal no processo de descarga

(corrente de A para B diminuindo no tempo) No indutor os portadores

de carga fluem de A para B sob accedilatildeo de duas forccedilas produzido por

acuacutemulos de carga na superfiacutecie e o campo eleacutetrico induzido pelos proacuteprios portadores ou seja por ( ) Agora o trabalho de sobre os portadores eacute negativo e reflete um ganho de energia potencial eleacutetrica e o

trabalho de eacute positivo refletindo uma perda de energia magneacutetica Vemos que como aponta de B para

A segue que ∆ = ( ) minus ( ) gt 0 Um portador de carga que flui atraveacutes do indutor ganha energia

( )

+ -A B

( )

+- A B

441

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

potencial eleacutetrica ∆ = ∆ = minus ( ) Essa energia eleacutetrica natildeo pode vir do nada ela tem que estar

vindo da conversatildeo de outra forma de energia que estaacute acumulada no circuito especificamente nas cargas

eleacutetricas na regiatildeo do indutor Eacute o que mostrou a lei das malhas que escrevemos acima a energia dissipada no

resistor estaacute associada agrave autoinduccedilatildeo no indutor

Assim como eacute a capacidade de realizar trabalho de a energia magneacutetica eacute a capacidade

de realizar trabalho de Enquanto realiza trabalho muda (a capacidade de realizar trabalho desse

campo muda) Enquanto realiza trabalho muda (a capacidade de realizar trabalho desse campo

muda)

Resumindo no processo de carga o indutor (ou o conjunto todo de portadores de carga ou seja a

corrente) acumula energia magneacutetica (que vem da bateria) na taxa

∆ = minus∆ = ( ) rArr = ( ) ( )

que eacute positiva No processo de descarga o indutor (ou a proacutepria corrente) perde energia magneacutetica nessa

mesma taxa que passa a ser negativa apenas refletindo o fato de que essa energia estaacute diminuindo com o

tempo ela estaacute sendo convertida em energia potencial eleacutetrica e posteriormente dissipada no resistor

Resumindo a lei das malhas estaacute dizendo que

( ) = ( ) ( )

Integrando essa equaccedilatildeo dos dois lados e usando o fato de que = 0 se = 0 obtemos finalmente

( ) = 2 [ ( )

Resumindo um circuito com autoindutacircncia em que circula uma corrente eleacutetrica possui uma

energia magneacutetica = 2

No caso do circuito RL seacuterie durante o processo de carga a energia magneacutetica cresce de acordo com

( ) = 2 [ ( ) = 2 ℇ 1 minus

Essa energia eacute fornecida aos portadores de carga pela bateria Analogamente durante o processo de descarga

a energia magneacutetica decai de acordo com

( ) = 2 [ ( ) = 2

442

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

Essa energia eacute dissipada no resistor

Olhando para a expressatildeo da energia magneacutetica

= 2

podemos concluir que essa eacute uma forma de energia cineacutetica pois ela envolve a corrente eleacutetrica que envolve

as velocidades de deriva dos portadores de carga Mas trata-se de uma energia de movimento diferente da

energia cineacutetica que estudamos na mecacircnica ( = 2) pois ela natildeo envolve as massas dos portadores de

carga que satildeo de fato despreziacuteveis nesse contexto Essa energia cineacuteticamagneacutetica muda de valor quando a

corrente eleacutetrica muda que corresponde exatamente ao momento em que haacute accedilatildeo de campo eleacutetrico

induzido A energia magneacutetica eacute uma energia cineacutetica que se modifica pela accedilatildeo do campo eleacutetrico induzido

sobre os portadores de carga campo eleacutetrico produzido pelos proacuteprios portadores de carga

O nome ldquoenergia magneacuteticardquo dado a estaacute ligado ao fato de que somente sistemas capazes de

armazenar fluxo magneacutetico = satildeo capazes de armazenarfornecer essa energia posto que ne 0

pressupotildee ne 0 Um circuito sem autoindutacircncia como o circuito RC natildeo armazenafornece energia

magneacutetica A relaccedilatildeo dessa energia com o campo magneacutetico fica mais clara quando escrevemos

explicitamente em termos de (o moacutedulo do campo ) Considere o exemplo de um solenoacuteide helicoidal

muito longo de espiras comprimento e aacuterea de seccedilatildeo transversal Mostramos que a autoindutacircncia

desse solenoacuteide eacute =

Portanto se uma corrente estaacute circulando nesse solenoacuteide segue que

= 2 = 12

Sabemos tambeacutem que o campo magneacutetico desse solenoacuteide estaacute confinado no volume dentro dele

(basicamente um cilindro de aacuterea da base e altura ) eacute axial e tem magnitude = ( ) Portanto

= 12 = 12 = 2 ( ) Vemos que = sendo o volume dentro do solenoacuteide onde estaacute confinado o campo magneacutetico

Concluindo = 2

Essa expressatildeo tem validade geral e estaacute mostrando que a grandeza 2 tem unidade de densidade de

energia magneacutetica por unidade de volume Ela estaacute sugerindo a ideia de que podemos associar a energia

443

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

magneacutetica natildeo apenas agrave movimentaccedilatildeo dos portadores de carga (agrave corrente eleacutetrica) mas tambeacutem ao proacuteprio

campo magneacutetico produzido por essa corrente eleacutetrica A energia deixa de estar nas partiacuteculas e passa a estar

no espaccedilo onde existe o campo magneacutetico Uma vantagem dessa interpretaccedilatildeo eacute que ela mostra que onde

tem campo magneacutetico tem energia magneacutetica disponiacutevel e que se o campo magneacutetico se propagar no espaccedilo

como ocorre em uma onda eletromagneacutetica a energia magneacutetica se propagaraacute tambeacutem Vimos uma ideia

similar quando estudamos a energia potencial eleacutetrica dada em termos da densidade de energia 2

Atraveacutes dessas densidades de energia entendemos como uma onda eletromagneacutetica que satildeo campos ( ) e ( ) que viajam atraveacutes do espaccedilo transporta energia eletromagneacutetica com ela No caso de um

transformador de voltagem por exemplo como a energia flui do solenoacuteide primaacuterio para o solenoacuteide

secundaacuterio Imagine que ligamos o primaacuterio desse transformador em uma tomada comum de parede e no

secundaacuterio conectamos uma lacircmpada que acende A lacircmpada estaacute dissipando energia e essa energia soacute pode

estar vindo da rede eleacutetrica atraveacutes da tomada na parede A energia flui portanto do primaacuterio para o

secundaacuterio atraveacutes do espaccedilo A energia flui na forma eletromagneacutetica transportada atraveacutes do espaccedilo pelo

campo eletromagneacutetico que acopla os solenoacuteides primaacuterio e secundaacuterio

Resumindo conseguimos entender o comportamento de um circuito que possui autoindutacircncia

atraveacutes da accedilatildeo da forccedila eletromotriz induzida que sempre se opotildee agrave variaccedilatildeo na corrente que circula nesse

circuito Analisando esse circuito atraveacutes de conceitos de energia vemos que precisamos introduzir uma nova

forma de energia a energia magneacutetica Enquanto a corrente no circuito estaacute aumentando ele estaacute

acumulando energia magneacutetica (posto que ele estaacute acumulando autofluxo e concomitante capacidade de

autoinduccedilatildeo) Enquanto a corrente no circuito estaacute diminuindo ele estaacute perdendo energia magneacutetica (posto

que o autofluxo e sua capacidade de autoinduccedilatildeo estatildeo diminuindo)

104 O circuito LC

Vimos no circuito RL que o indutor (atraveacutes de sua autoindutacircncia) tem a capacidade de acumular

energia e fornecer energia para o circuito Ele acumula energia quando acumula fluxo magneacutetico que fornece

a ele uma capacidade de autoinduccedilatildeo e ele fornece energia quando ele vai perdendo seu fluxo magneacutetico se

autoinduzindo e realizando um trabalho positivo sobre os portadores de carga no circuito O capacitor eacute um

dispositivo que tambeacutem possui essas capacidades Quando o

capacitor acumula cargas eleacutetricas em suas placas ele acumula

energia potencial eleacutetrica Quando ele descarrega ele produz

corrente no circuito ou seja realiza um trabalho positivo sobre os

portadores de carga e perde sua energia potencial eleacutetrica O que

acontece quando conectamos um indutor a um capacitor Figura 9 um circuito LC A corrente vai circular apoacutes a chave S ser fechada

( )

+ +

- -

( )

444

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

construindo um circuito LC A Figura 9 ao lado ilustra esse circuito A ideia eacute que a chave S vai ser fechada em = 0 dando iniacutecio agrave circulaccedilatildeo de corrente ( ) no circuito Para isso imaginamos que uma carga eleacutetrica

inicial positiva (0) foi depositada na placa superior do capacitor Essa carga estaacute estaacutetica esperando o

fechamento do circuito

Uma coisa que fica clara aqui eacute que esse circuito eacute conservativo pois natildeo haacute nada nele que dissipe

energia para o ambiente como um resistor por exemplo Portanto o que quer que aconteccedila nesse circuito

apoacutes fecharmos a chave S a energia potencial eleacutetrica inicial depositada no capacitor natildeo pode desaparecer

ela pode apenas mudar de natureza se tornando por exemplo energia magneacutetica no indutor A energia inicial

armazenada no circuito (especificamente no capacitor) eacute (0) = (0) = (0)2

Portanto em um instante gt 0 qualquer tem que valer

( ) = ( ) + ( ) = ( )2 + 2 ( ) = (0) = (0)2

Derivando essa equaccedilatildeo acima em relaccedilatildeo ao tempo obtemos ( )2 + 2 ( ) = (0)2 rArr minus ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 rArr ( ) minus ( ) = 0

Note que utilizamos a igualdade ( ) = minus ( ) que eacute a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica Essa uacuteltima

equaccedilatildeo eacute exatamente a equaccedilatildeo que obtemos atraveacutes da lei das malhas aplicada ao circuito Concluindo a

conservaccedilatildeo da energia leva agrave seguinte equaccedilatildeo para a evoluccedilatildeo do circuito ( ) minus ( ) = 0

Utilizando novamente a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica obtemos finalmente uma equaccedilatildeo para ( ) apenas

(com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = (0) gt 0) ( ) minus minus ( ) = 0 rArr ( ) = minus 1 ( ) Soacute haacute duas funccedilotildees reais que quando derivadas duas vezes resultam nelas mesmas multiplicadas por uma

constante negativa o seno e o cosseno Portanto a soluccedilatildeo mais geral para ( ) eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria que

eacute uma combinaccedilatildeo de senos e cossenos podendo ser escrita na forma compacta ( ) = cos( + ) sendo gt 0 a amplitude de ( ) (seu valor maacuteximo) isin [02 ) (2 eacute o periacuteodo da funccedilatildeo cosseno) o acircngulo

de fase e = 1radic a frequumlecircncia angular natural das oscilaccedilotildees da funccedilatildeo ( )

445

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

A corrente eleacutetrica no circuito tambeacutem eacute oscilatoacuteria e eacute dada por

( ) = minus ( ) = minus [ cos( + ) = sen( + ) Os valores de e nas equaccedilotildees acima satildeo aqueles que selecionam a soluccedilatildeo particular que se adeacutequa a uma

determinada condiccedilatildeo inicial para ( ) e ( ) Em geral para as condiccedilotildees iniciais arbitraacuterias = (0) e = (0) obtemos = cos( ) = sen( ) Portanto obtemos para essas condiccedilotildees iniciais os valores particulares

= + ( ) tan( ) = ( )

No caso simples que imaginamos acima em que (0) gt 0 e (0) = 0 obtemos = tan( ) = 0 rArr = 0

Portanto para essa condiccedilatildeo inicial particular a carga e a corrente no circuito evoluem no tempo de

acordo com as equaccedilotildees ( ) = (0) cos( ) ( ) = (0) sen( ) Notamos que o uacutenico paracircmetro que natildeo eacute afetado pelas condiccedilotildees iniciais eacute a frequumlecircncia natural

pois ela fica determinada agrave priori pelos valores de e que fazem parte do circuito = 1radic Essa eacute a

mesma propriedade do movimento harmocircnico simples que estudamos na mecacircnica e eacute chamada de isocronia

O circuito LC eacute isoacutecrono pois a corrente e a carga oscilam nele com uma frequumlecircncia determinada apenas pelos

paracircmetros do circuito ( e ) sem influecircncia das condiccedilotildees iniciais arbitraacuterias que podem ser impostas ao

circuito Portanto atraveacutes dessa propriedade podemos imaginar a possibilidade de fabricar um reloacutegio

eletrocircnico cujo ritmo de TIC TAC eacute ditado pela frequecircncia que pode ser determinada e fixada agrave priori

assim que fabricamos o circuito LC

Os graacuteficos ao lado (obtidos no Maple) mostram as funccedilotildees ( ) (curva vermelha) e ( ) (curva verde) em funccedilatildeo do tempo

para os valores numeacutericos (0) = 1 C e = 10 rads A carga

oscila com amplitude = (0) = 1 C e a corrente oscila com

amplitude (0) = 10 A As duas funccedilotildees possuem periacuteodo de

oscilaccedilatildeo = 2 cong 063 s conforme podemos ver nos

graacuteficos Vemos que o capacitor inicia seu processo de descarga e

a carga ( ) decai enquanto a corrente ( ) cresce Nesse processo o indutor estaacute se opondo a esse

crescimento Em = 4 cong 016 s o capacitor estaacute totalmente descarregado e a corrente eacute maacutexima Apoacutes

446

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

esse instante a corrente comeccedila a decair e o capacitor comeccedila a carregar com a polaridade invertida ou seja ( ) lt 0 Nesse processo o indutor se opotildee a esse decaimento eacute ele que estaacute carregando o capacitor Esse

processo se repete indefinidamente As inversotildees de sinais representam apenas inversotildees na polaridade do

capacitor (placa de cima + e de baixo ndash e vice-versa) e no sentido da corrente (horaacuterio e anti-horaacuterio) A

corrente no circuito eacute alternada posto que ela alterna continuamente de sentido horaacuterioanti-horaacuterio

No graacutefico que abaixo mostramos as curvas das energias

( ) = ( )2 = (0)2 cos ( ) em vermelho e ( ) = 2 ( ) = 2 ( (0)) sen ( ) = (0)2 sen ( ) em verde Vemos nesses graacuteficos que as energias oscilam no tempo com frequecircncia 2 (pois cos ( ) =[1 + cos(2 ) 2 e sen ( ) = [1 minus cos(2 ) 2) A energia potencial eleacutetrica no capacitor oscila

enquanto ele carrega e descarrega e a energia magneacutetica no indutor oscila enquanto ele se opotildee ou favorece a

circulaccedilatildeo da corrente no circuito (a corrente aumenta ou diminui)

Note a alternacircncia na energia quando o capacitor estaacute com energia

maacutexima = plusmn e = 0 o indutor estaacute sem energia

Analogamente quando o indutor estaacute com energia maacutexima = 0

e = plusmn o capacitor estaacute sem energia Haacute momentos quando

as curvas se cruzam em que a energia estaacute igualmente distribuiacuteda

entre o capacitor e o indutor Esses momentos satildeo dados

portanto por

( ) = ( )2 = ( ) = 2 ( ) rArr ( ) = plusmn ( ) rArr sen( + ) = plusmn cos( + ) Logo tan( + ) = plusmn1

Circuitos reais sempre possuem alguma resistecircncia eleacutetrica e por isso os comportamentos discutidos

acima constituem uma idealizaccedilatildeo Adicionando uma resistecircncia ao circuito na Figura 9 a equaccedilatildeo obtida da

lei das malhas fica ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

Nesse caso a energia eletromagneacutetica ( ) = ( ) + ( ) deixa de ser constante e passa a ser

dissipada na taxa ( ) Como consequumlecircncia todas as funccedilotildees ( ) ( ) ( ) e ( ) passam a

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

apresentar um decaimento no tempo Esse sistema eacute anaacutelogo ao oscilador harmocircnico amortecido estudado na

mecacircnica

Nas Figuras ao lado ilustramos os decaimentos dessas funccedilotildees

supondo que o sistema eacute subamortecido ou seja que a resistecircncia

no circuito eacute pequena Outros amortecimentos mais draacutesticos podem

ser apresentados pelo circuito No primeiro graacutefico ( ) (curva

vermelha) e ( ) (curva verde) oscilam no tempo e vatildeo decaindo

lentamente a zero No segundo graacutefico ( ) (curva vermelha) e ( ) (curva verde) tambeacutem oscilam e decaem refletindo a

dissipaccedilatildeo da energia eletromagneacutetica no sistema que estaacute sendo

transformada em energia interna no resistor e sendo dissipada para o

ambiente na forma de calor

Se quisermos fabricar um reloacutegio utilizando um circuito LC

como fonte para o ritmo dos ponteiros devemos ter em mente que o

circuito real eacute um circuito RLC e que precisaremos portanto fornecer

energia para esse circuito continuamente se quisermos que ele funcione por um longo tempo Basicamente

esta eacute a ideia de um circuito de corrente alternada que estudaremos no proacuteximo capiacutetulo

105 Aplicaccedilotildees

1) Jaacute comentamos mais de uma vez que o caacutelculo do campo magneacutetico de uma espira circular (de fio fino)

onde circula uma corrente eleacutetrica eacute bastante complicado No capiacutetulo 8 nos contentamos em calcular esse

campo atraveacutes da lei de Biot-Savart apenas em pontos sobre o eixo (z) de simetria da espira Mostramos que

exatamente no centro da espira (de raio R) o campo magneacutetico vale

(0) = 2 A Figura ao lado mostra o vetor (0) (seta verde) O resultado analiacutetico para esse

campo e resultados experimentais (ver o artigo An investigation of the magnetic field in the

plane of a circular current loop H G Gnanatilaka e P C B Fernando American Journal of Physics 55 (1987))

mostram que no plano da espira na regiatildeo com raios lt (ver a Figura ao lado para relembrar a definiccedilatildeo

do raio ciliacutendrico s) o campo eacute razoavelmente uniforme em uma regiatildeo proacutexima ao centro da espira e

aumenta rapidamente quando nos aproximamos do fio ( ≲ ) divergindo em = (para uma espira de fio

filamentar) Baseado nessa ideia vamos propor aqui uma expressatildeo aproximada para o campo ( ) no plano

da espira (plano z=0) com lt (dentro do disco delimitado pela espira) Nosso modelo eacute

z

s

R

448

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

( ) = 2 1 + sendo gt 0 uma constante O graacutefico ao lado ilustra o comportamento de ( ) versus a razatildeo = Notamos que no nosso modelo

( = 0) = 2 e ( = ) = 2 (1 + ) Note que natildeo haacute divergecircncia de ( ) em = ou seja estamos

considerando um caso mais realista em que o fio na espira possui uma

espessura pequena mas natildeo nula

a) Com base nesse modelo para ( ) vamos calcular a autoindutacircncia dessa espira circular Da definiccedilatildeo o

autofluxo eacute

( ) = ∙ =

sendo nesse caso ldquo1rdquo a espira circular = e = ( ) Note que para calcular o autofluxo precisamos

conhecer apenas o campo magneacutetico da espira no proacuteprio plano da espira ao longo da superfiacutecie do disco de

raio R delimitado pela espira Esse campo eacute exatamente o que nosso modelo fornece Concluindo tomando = e definindo o elemento de aacuterea = 2 (um ldquoarordquo de raio e largura ) obtemos para o

autofluxo

( ) = ∙ = 2 1 + ∙ 2 = +

Concluindo

( ) = 2 + 6 = 2 1 + 3

Portanto a autoindutacircncia dessa espira circular (nesse modelo) eacute ( ( ) = )

= 2 1 + 3

Aqui podemos imaginar que o valor numeacuterico de poderia ser obtido atraveacutes de resultados experimentais

para o campo adequando o modelo (se isso for possiacutevel) agrave realidade

b) Imagine agora que a corrente nessa espira varie no tempo de acordo com ( ) = +

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

sendo gt 0 uma constante A corrente na espira cresce linearmente no tempo partindo do valor inicial

Vamos calcular a FEM autoinduzida ℰ( ) nessa espira magnitude e sentido

Da regra do fluxo

ℰ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus 2 1 + 3

Vemos que se = 0 ou seja se a corrente eacute constante entatildeo ℰ( ) = 0 e que quanto

mais rapidamente a corrente cresce (maior ) maior ℰ( ) ℰ( ) lt 0 significa que ℰ( ) estaacute no sentido (seta azul na Figura) oposto ao da corrente na espira (seta

vermelha)

c) Vamos considerar agora que haacute uma segunda espira circular menor de raio lt

coaxial e coplanar com a espira anterior conforme a Figura ao lado Vamos calcular a

indutacircncia muacutetua entre essas duas espiras

Da definiccedilatildeo o fluxo muacutetuo eacute

( ) = ∙ =

sendo nesse caso ldquo1rdquo a espira circular de raio (vermelha) = e = ( ) e a integral deve ser realizada

na aacuterea do disco delimitado pela espira ldquo2rdquo de raio (azul) Dessa forma estaremos calculando o fluxo

magneacutetico que a espira vermelha produz atraveacutes da espira azul Tomando = no disco delimitado pela

espira menor e definindo o elemento de aacuterea = 2 (um ldquoarordquo de raio e largura ) obtemos para

o fluxo muacutetuo

( ) = ∙ = 2 1 + ∙ 2 = +

Note que a integral agora varre os raios apenas ateacute o raio maacuteximo = do disco delimitado pela espira

menor Concluindo

( ) = 2 + 6 = 2 1 + 3

Note que nosso resultado anterior para o auto-fluxo eacute ( ) = ( )( = ) Portanto a indutacircncia muacutetua entre essas espiras circulares (nesse nosso modelo) eacute ( ( ) = )

= 2 1 + 3

z

s

R

z

s

R

450

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

b) Imagine agora que a corrente na espira maior varie no tempo de acordo com ( ) = +

sendo gt 0 uma constante A corrente na espira cresce linearmente no tempo partindo do valor inicial

Vamos calcular a FEM induzida na espira menor magnitude e sentido

Da regra do fluxo

ℰ( ) = minus ( ) = minus ( ) = minus 2 1 + 3

Vemos que se = 0 ou seja se a corrente eacute constate entatildeo ℰ( ) = 0 e quanto mais rapidamente a

corrente cresce (maior ) maior ℰ( ) Para determinar o sentido de ℰ( ) podemos usar a regra da matildeo direita associada agrave regra do fluxo Adotamos = e portanto se colocarmos o polegar da matildeo direita ao longo de z vemos que o

sentido positivo das FEMs eacute o sentido indicado pela seta roxa na Figura ao lado

Como obtivemos ℰ( ) lt 0 segue que ℰ( ) estaacute no sentido oposto a essa seta

roxa ou seja ℰ( ) tem na espira menor o sentido oposto ao sentido da corrente

na espira maior Esse seraacute o sentido da corrente induzida na espira menor

Natildeo devemos nos surpreender com esse resultado pois o mesmo campo eleacutetrico

induzido que produz a FEM auto-induzida ℰ( ) na espira maior produz a FEM induzida ℰ( ) na espira menor A Figura ao lado esboccedila (em roxo) uma linha de forccedila desse campo

eleacutetrico induzido que eacute produzido pela corrente ( ) crescente que circula na espira

maior Enquanto ( ) cresce ela produz um campo eleacutetrico induzido no espaccedilo (aleacutem do

campo magneacutetico que adotamos nesse modelo) Esse campo eleacutetrico com o sentido mostrado na Figura tenta

frear os portadores de carga na espira maior (que estatildeo se movendo cada vez mais rapidamente pois ( ) estaacute

crescendo) e ao mesmo tempo movimenta os portadores de carga na espira menor com o mesmo sentido do

campo pois no material condutor dessa espira vale = Portanto a corrente induzida na espira menor

tem o sentido oposto agrave corrente (crescente) na espira maior

2) Uma lacircmpada de tubo fluorescente emite luz atraveacutes da circulaccedilatildeo de corrente eleacutetrica em um tubo de gaacutes

ionizado Com a passagem da corrente eleacutetrica os aacutetomos e iacuteons do gaacutes sofrem colisotildees e se excitam emitindo

luz no processo de decaimento de volta ao estado fundamental Na lacircmpada desligada o gaacutes eacute um isolante

eleacutetrico posto que natildeo haacute iacuteons Para que a corrente circule atraveacutes do gaacutes eacute necessaacuterio um ldquopontapeacute inicialrdquo

em que o gaacutes eacute ionizado e se torna condutor de eletricidade Esse pontapeacute inicial eacute um campo eleacutetrico intenso

aplicado ao gaacutes e que ioniza suas moleacuteculas Nas lacircmpadas de tubo fluorescente mais antigas isso era obtido

z

s

R

z

s

R

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

atraveacutes de um solenoacuteide (o reator) e um starter (as lacircmpadas mais modernas possuem reatores eletrocircnicos)

Vamos discutir aqui o funcionamento dessas lacircmpadas que utilizam solenoacuteides

A Figura ao lado ilustra um circuito com uma dessas

lacircmpadas A lacircmpada eacute um tubo de gaacutes que conteacutem dois filamentos

em suas extremidades Ao ligar a lacircmpada a corrente circula pelo

reator (electrical choke) pelo filamento da esquerda passa pelo

starter pelo filamento da direita e retorna agrave tomada O gaacutes ainda

estaacute natildeo-ionizado O starter eacute apenas um contato que estava

fechado e abre alguns instantes apoacutes a passagem da corrente

iniciar Com a abertura do starter ocorre uma auto-induccedilatildeo no

solenoacuteide do reator o gaacutes se ioniza e a lacircmpada acende

A Figura ao lado eacute um modelo para esse

sistema A bateria alimenta o circuito que eacute

formado pela indutacircncia e a resistecircncia do

solenoacuteide do reator pela resistecircncia inicial muito

alta do gaacutes ainda natildeo ionizado e pelo starter O

starter se resume a uma chave ligadesliga que estaacute

inicialmente fechada e depois de alguns instantes abre Estamos desprezando as resistecircncias eleacutetricas dos

filamentos Apoacutes o gaacutes ionizar a resistecircncia do gaacutes se torna muito pequena e a corrente se estabiliza

sendo limitada basicamente pela resistecircncia do reator Faremos o raciociacutenio aqui supondo que o gaacutes ainda

natildeo estaacute ionizado ou seja ≫ Nosso interesse eacute calcular a DDP minus entre os terminais da lacircmpada

(que satildeo os dois filamentos)

Com o starter fechado tudo se resume a um circuito RL seacuterie com resistecircncia posto que a

resistecircncia estaacute curto-circuitada pelo starter Portanto a corrente ( ) obedece agrave seguinte equaccedilatildeo

diferencial (com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = 0) ( ) + ( ) = ℇ

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo (com essa condiccedilatildeo inicial) eacute ( ) = ℇ 1 minus

A corrente simplesmente comeccedila a crescer com o tempo caracteriacutestico = Note que a DDP entre A e B

eacute basicamente nula pois a resistecircncia eleacutetrica do starter eacute despreziacutevel Em um dado instante em que a

corrente jaacute tenha atingido um valor cong ℇ o starter abre e a resistecircncia eleacutetrica do circuito passa a ser

ℇ ( ) starter

B

A

452

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

+ Portanto a corrente ( ) passa a obedecer agrave seguinte equaccedilatildeo diferencial (com a condiccedilatildeo inicial ( = 0) = ) ( + ) ( ) + ( ) = ℇ

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo (com essa condiccedilatildeo inicial) eacute ( ) = ℇ+ + minus ℇ+ ( )

Sendo muito grande podemos aproximar essa corrente por ( ) cong ( )

A corrente comeccedila a decair lentamente com um tempo caracteriacutestico = ( + ) O que eacute importante aqui eacute notar que antes do starter abrir a DDP entre os terminais da lacircmpada era

basicamente nula e que no instante em que o starter abre o indutor se auto-induz mantendo a corrente em

seu valor Como a resistecircncia do circuito tem um aumento suacutebito para manter essa corrente no circuito o

indutor deve se auto-induzir uma FEM elevada A FEM auto-induzida apoacutes o starter abrir eacute

ℇ = minus ℇ+ + minus ℇ+ ( ) = ( + ) minus ℇ+ ( )

ℇ cong ( + ) ( )

No instante = 0 a FEM auto-induzida eacute ℇ (0) = ( + ) minus ℇ cong

Sendo uma resistecircncia muito alta segue que ℇ (0) eacute muito grande A DDP entre os terminais da lacircmpada eacute minus cong

Logo apoacutes a ionizaccedilatildeo do gaacutes que acontece em um tempo muito curto a resistecircncia entre A e B volta a

se tornar despreziacutevel e a corrente no circuito obedece novamente agrave equaccedilatildeo diferencial (com a condiccedilatildeo

inicial ( = 0) = pois natildeo houve tempo para um decaimento importante da corrente)

( ) + ( ) = ℇ

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo (com essa condiccedilatildeo inicial) eacute ( ) = ℇ + minus ℇ

A corrente volta a crescer e assumir o valor constante ℇ

Resumindo ao ligar o sistema a corrente cresce para o valor cong ℇ abre o starter o indutor se

auto-induz uma FEM muito alta (um campo eleacutetrico induzido muito alto) para manter circulando atraveacutes da

453

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 10 ndash versatildeo 31

resistecircncia alta do gaacutes natildeo-ionizado o gaacutes ioniza e

finalmente a corrente se estabiliza no valor atraveacutes do gaacutes

ionizado Os graacuteficos ao lado ilustram os comportamentos de ( ) e da DDP Δ ( ) entre os terminais da lacircmpada em funccedilatildeo

do tempo A ionizaccedilatildeo da lacircmpada se daacute no intervalo de tempo ( ) Na praacutetica tudo acontece muito rapidamente e

portanto esses tempos satildeo muito pequenos

( )

Δ ( )

454

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

11 Circuitos de corrente alternada

Os circuitos de corrente alternada estatildeo em toda parte e seu estudo nos daacute oportunidade de abordar

sistemas que envolvem simultaneamente vaacuterios dos conceitos que estudamos nesse curso Os sistemas

eleacutetricos de potecircncia como as instalaccedilotildees residenciais e industriais satildeo circuitos de corrente alternada (CA) e

natildeo de corrente contiacutenua (CC) basicamente porque a geraccedilatildeo e a transmissatildeo de correntes alternadas satildeo

mais simples e mais baratas Espiras mergulhadas em campos magneacuteticos sendo giradas por turbinas em

quedas drsquoaacutegua produzem FEMs alternadas senoidais e transformadores de voltagem modificam livremente os

niacuteveis destas DDPs ao longo das redes de transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica

Os conceitos utilizados na descriccedilatildeo de circuitos CA satildeo basicamente os mesmos utilizados em

circuitos CC FEM DDP e corrente eleacutetrica Mas circuitos CA tecircm um comportamento mais rico do que as

correntes constantes em circuitos de baterias e resistores ou os simples transientes de carga e descarga em

circuitos com baterias capacitores e indutores Por isso sua anaacutelise envolve alguns conceitos proacuteprios como o

de impedacircncia diferenccedila de fase fator de potecircncia e ressonacircncia Uma particularidade na linguagem (ou do

jargatildeo das engenharias) de circuitos CA eacute que usamos comumente o termo ldquovoltagemrdquo no lugar de DDP

Assim podemos nos referir agrave voltagem entre os terminais de uma fonte CA (basicamente um gerador de FEM

senoidal) ou agrave voltagem entre os terminais de um resistor indutor ou capacitor

As leis que governam os circuitos CA satildeo as mesmas dos circuitos CC as leis de Kirchhoff A lei dos noacutes

estabelece a conservaccedilatildeo da carga eleacutetrica em cada instante de tempo e a lei das malhas estabelece a

conservaccedilatildeo da energia em cada instante de tempo

Aqui vamos estudar circuitos alimentados (ou forccedilados) por voltagens (ou FEMs) senoidais

455

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

( ) = cos( + ) No caso de uma fonte ou gerador CA usamos os termos ldquoFEMrdquo e ldquovoltagemrdquo como sendo equivalentes posto

que a voltagem (DDP) entre os terminais desses dispositivos eacute uma consequumlecircncia de sua FEM e as duas

grandezas possuem o mesmo valor (desprezando-se a resistecircncia interna) Apesar de ser representada aqui

por uma funccedilatildeo cosseno apenas por conveniecircncia essa funccedilatildeo poderia ser representada tambeacutem por um

seno pois cos( + ) = sen( + + 2) ou mesmo por uma combinaccedilatildeo de senos e cossenos pois cos( + ) = cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) Resumidamente chamamos essas funccedilotildees de

senoidais Essa funccedilatildeo expressa a ideia de que a voltagem entre os terminais da fonte CA oscila no tempo

como uma funccedilatildeo cosseno com amplitude gt 0 (valor maacuteximo) frequumlecircncia angular e acircngulo de fase isin [02 ) A alternacircncia de sinal reflete a alternacircncia na polaridade de ( ) Funccedilotildees senoidais satildeo funccedilotildees

perioacutedicas ou seja funccedilotildees que repetem indefinidamente um ciclo O ciclo se repete a cada intervalo de

tempo que chamamos de periacuteodo ou seja eacute o tempo que dura um ciclo A frequumlecircncia da funccedilatildeo senoidal

eacute a taxa de repeticcedilatildeo de ciclos =nuacutemero de ciclostempo=1 A frequumlecircncia angular associa a cada ciclo

uma rotaccedilatildeo completa de 2 rad ou seja =quantidade de radianostempo=2 = 2

Ao conectarmos essa fonte CA (que poderia ser uma simples tomada de parede ou um gerador de

energia eleacutetrica) em um circuito haveraacute uma corrente eleacutetrica alternada fluindo nesse circuito A voltagem eacute o

estiacutemulo e a corrente eacute a resposta do circuito Essa corrente tem a mesma forma da voltagem aplicada ( ) = cos( + ) ou seja a corrente CA eacute senoidal ela oscila no tempo como uma funccedilatildeo cosseno com amplitude gt 0 (valor

maacuteximo) mesma frequumlecircncia angular da voltagem da fonte e acircngulo de fase isin [02 ) Resolver um circuito CA consiste basicamente em calcular e (a resposta do circuito) em termos

de e (o estiacutemulo no circuito) O fato de haver dois acircngulos de fase diferentes e significa que

vamos observar que em circuitos CA a voltagem da fonte natildeo estaacute necessariamente em fase com a corrente

que circula no circuito Essa diferenccedila de fase = minus tem vaacuterias consequumlecircncias para o funcionamento

do circuito como veremos em breve Por enquanto para facilitar

nossas vidas vamos fixar = 0 e deixar a diferenccedila de fase aparecer

explicitamente na expressatildeo de ( ) (essa natildeo eacute uma escolha uacutenica eacute

apenas conveniente) Assim ficamos com ( ) = cos( + ) ( ) = cos( ) Na Figura 1 ao lado estatildeo representados os graacuteficos de uma

voltagem senoidal com amplitude = 5 V (curva verde) e de uma

corrente eleacutetrica senoidal com amplitude = 10 A (curva vermelha)

Figura 1 graacuteficos de uma voltagem (em verde) e uma corrente senoidais com uma diferenccedila de fase = 4

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

em funccedilatildeo do tempo Fixamos uma diferenccedila de fase = 4 entre as duas funccedilotildees que possuem a mesma

frequumlecircncia = 10 rads (periacuteodo cong 063 s) A alternacircncia de sinal em ( ) representa uma alternacircncia na

polaridade dessa voltagem Em uma tomada de parede por exemplo natildeo existe um terminal positivo e outro

negativo Essa polaridade alterna constantemente Na corrente eleacutetrica a alternacircncia de sinal representa uma

alternacircncia de sentido A corrente vai e volta e os portadores de carga nos fios natildeo avanccedilam eles apenas

oscilam em torno de suas posiccedilotildees de equiliacutebrio Vemos claramente o significado da diferenccedila de fase as

curvas estatildeo deslocadas ao longo do eixo do tempo Vemos nesse exemplo que a voltagem se anula pela

primeira vez antes da corrente fazer a mesma coisa Dizemos entatildeo que a voltagem estaacute adiantada em relaccedilatildeo

agrave corrente Esse adiantamento eacute representado por um valor positivo de De fato a corrente atinge o valor

zero pela primeira vez no instante tal que

( ) = cos( ) = 0 rArr = 2 rArr 2 = 2 rArr = 4

A voltagem da fonte por sua vez atinge o valor zero pela primeira vez no instante anterior tal que

( ) = cos( + ) = 0 rArr + = 2 rArr 2 + = 2 rArr = 4 minus = minus

No exemplo mostrado nos graacuteficos o intervalo de tempo entre a voltagem zerar e a corrente zerar pela

primeira vez eacute minus = = 410 cong 0078

111 Valor RMS efetivo ou eficaz de uma grandeza senoidal

Uma tomada de parede possui entre seus terminais uma voltagem ( ) senoidal que foi gerada em

alguma usina hidreleacutetrica termeleacutetrica eoacutelica nuclear ou o que quer que seja Todas essas usinas funcionam

da mesma forma o que muda eacute apenas o agente que movimenta as turbinas conectadas aos geradores de

energia eleacutetrica (FEM de movimento) Se vocecirc conectar um voltiacutemetro CA aos dois terminais da tomada (fase e

neutro) ele vai indicar (no Brasil) algo proacuteximo de 127 V Um valor constante de 127 V Sendo a voltagem

senoidal qual o significado dessa constante Seria a amplitude de ( ) Natildeo A amplitude de ( ) estaacute

proacutexima de 180 V ou seja (em volts) ( ) = 180 cos( ) Fixamos por conveniecircncia = 0 A frequumlecircncia de ( ) eacute = 60 Hz ou

seja cada ciclo de ( ) tem a duraccedilatildeo = 160 s e a fequecircncia angular

eacute = 2 = 2 cong 377 rads A Figura ao lado mostra um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo Podemos ver nesse graacutefico dois ciclos

457

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

completos de ( ) em uma janela de tempo de duraccedilatildeo 2 = 260 cong 0033 s

Natildeo haacute nada nesse graacutefico que nos decirc uma dica acerca do significado dos 127 V indicados pelo

voltiacutemetro CA Vemos por exemplo que o valor meacutedio temporal de ( ) eacute zero

lang ( )rang = 1 ( ) = 1 180 cos( ) = 1 180 sen( ) = 1802 (sen(2 ) minus sen(0)) = 0

Essa eacute uma propriedade simples de qualquer funccedilatildeo que oscile simetricamente em torno do zero

Para entender o significado dos 127 V medidos pelo voltiacutemetro podemos considerar a potecircncia

dissipada por um resistor que esteja conectada a essa voltagem

( ) = ( )

O graacutefico ao lado mostra a curva de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 1Ω Vemos que haacute instantes em que o resistor dissipa muito calor

assim com haacute instantes em que ele natildeo dissipa nada Se natildeo fosse o fato

dessa oscilaccedilatildeo ser muito raacutepida se colocaacutessemos a matildeo nesse resistor

sentiriacuteamos ele esquentando e esfriando continuamente Mas na praacutetica

percebemos uma temperatura constante no resistor como ocorre com a

temperatura da aacutegua quando tomamos banho com um chuveiro eleacutetrico

Analogamente se a frequumlecircncia fosse baixa veriacuteamos uma lacircmpada conectada a essa voltagem

piscando continuamente Na praacutetica observamos um brilho meacutedio constante Sentimos uma temperatura

meacutedia e vemos um brilho meacutedio associados a uma potecircncia meacutedia dissipada A potecircncia meacutedia (temporal) eacute

lang ( )rang = 1 ( ) = 1 ( ) = 1 1 ( ) = lang ( ) rang

Note que a expressatildeo de lang ( )rang eacute igual agrave da potecircncia instantacircnea ( ) apenas trocando o valor instantacircneo ( ) pelo valor meacutedio constante lang ( ) rang Se esse mesmo resistor estivesse ligado a uma DDP constante de

valor fornecida por exemplo por uma bateria ele estaria dissipando calor com a potecircncia constante =

Portanto concluiacutemos que haacute uma equivalecircncia entre o valor meacutedio lang ( ) rang e o valor contiacutenuo A

equivalecircncia eacute um resistor conectado a uma voltagem senoidal ( ) dissipa em meacutedia a mesma potecircncia

que ele dissiparia constantemente se ele estivesse conectado a uma DDP contiacutenua desde que lang ( ) rang =

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Concluindo a raiz quadrada do valor meacutedio lang ( ) rang que vamos abreviar por valor RMS (do inglecircs

root mean square) da voltagem eacute um valor equivalente contiacutenuo de ( ) Equivalente no sentido da

potecircncia uacutetil Outros nomes para lang ( ) rang satildeo ldquovalor eficazrdquo ou ldquovalor efetivordquo de ( ) Eficaz ou efetivo no

sentido de que para o que interessa mesmo que eacute por exemplo o calor produzido em um chuveiro o que

conta eacute lang ( ) rang e natildeo as oscilaccedilotildees interminaacuteveis de ( ) Para qualquer grandeza senoidal de amplitude ( ) = cos( + ) o valor meacutedio lang ( ) rang eacute

lang ( ) rang = 1 [ ( )] = 1 [ cos( + )] = 2

Portanto = lang ( ) rang = radic2

Voltando ao nosso exemplo em que ( ) = 180 cos( ) (volts) a amplitude eacute 180 V e portanto

= 180radic2 cong 1273

Conclusatildeo o voltiacutemetro CA mede o valor RMS efetivo ou eficaz das voltagens Conectado a uma

tomada com voltagem senoidal de amplitude 180 V ele vai indicar um valor RMS de 127 V Isso significa que

um chuveiro eleacutetrico por exemplo ligado nessa voltagem senoidal com amplitude de 180 V vai produzir na

aacutegua a mesma temperatura (meacutedia) que seria produzida se esse mesmo chuveiro fosse conectado a uma

bateria de DDP constante 127 V (nesse caso a temperatura seria constante) Da mesma forma uma lacircmpada

incandescente conectada em uma voltagem senoidal com valor RMS de 127 V vai apresentar o mesmo brilho

(meacutedio) que ela apresentaria se estivesse conectada a uma bateria de DDP constante 127 V (nesse caso o

brilho seria constante)

Voltiacutemetros e amperiacutemetros CA mede valores RMS de voltagens e correntes Esses valores RMS satildeo

aqueles que vem escritos nos aparelhos eleacutetricos como os 110 V ou 220 V especificando suas voltagens de

operaccedilatildeo (valores nominais) Os valores RMS satildeo os mais importantes de serem conhecidos pois a partir deles

podemos calcular diretamente a energia consumida por um aparelho e qual o valor da conta que vamos ter

que pagar para usar esse aparelho

Concluindo para as funccedilotildees senoidais ( ) = cos( + ) ( ) = cos( ) os valores RMS (ou eficazes) satildeo = radic2 e = radic2 Note que 1radic2 cong 0707

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

112 Representaccedilatildeo fasorial de grandezas senoidais

Antes de partirmos para a anaacutelise de um circuito de corrente alternada que eacute o objetivo desse

capiacutetulo vamos introduzir o conceito de fasor e da representaccedilatildeo fasorial de uma grandeza senoidal Mais

adiante usaremos essa ideia na anaacutelise de circuitos CA

A ideia eacute simples Considere a funccedilatildeo senoidal ( ) = cos( ) de

amplitude e frequumlecircncia angular Para um tempo fixo essa funccedilatildeo pode ser

pensada como a componente digamos x de um vetor de moacutedulo A Figura

ao lado ilustra essa ideia Considere que o tamanho da seta vermelha o vetor eacute

e que esse vetor faccedila um acircngulo = com o eixo x

Agora devemos considerar que agrave medida que o tempo passa a funccedilatildeo ( ) muda de valor e passa a

ser a projeccedilatildeo ao longo de x natildeo de um vetor mas de uma seta que gira no plano

xy A seta gira como o ponteiro de um reloacutegio soacute que girando no sentido anti-

horaacuterio em torno da origem com velocidade angular Essa seta girante eacute o que

chamamos de fasor Um fasor eacute uma seta que gira em um plano com velocidade

angular constante Ele gira como um ponteiro de reloacutegio soacute que no sentido anti-

horaacuterio A projeccedilatildeo de um fasor de tamanho no eixo horizontal eacute

uma funccedilatildeo senoidal ( ) = cos( + ) Usaremos aqui essa

notaccedilatildeo de colocar um tracinho em cima do siacutembolo de uma

grandeza fasorial algo parecido com a setinha usada nas grandezas

vetoriais A Figura ao lado ilustra essa ideia para um instante

particular A Figura que segue mostra quatro instantes diferentes em

que o fasor passa pela posiccedilatildeo + = 0 e ( ) = (pois a

projeccedilatildeo de ao longo do eixo horizontal eacute ) depois + =2 e ( ) = 0 (pois a projeccedilatildeo de ao longo do eixo horizontal eacute

nula) em seguida + = e ( ) = minus (pois a projeccedilatildeo de ao

longo do eixo horizontal eacute ndash ) e finalmente + = 3 2 e ( ) = 0

(pois a projeccedilatildeo de ao longo do eixo horizontal eacute nula) Portanto

enquanto o fasor gira a funccedilatildeo ( ) vai percorrendo seus valores

conforme a funccedilatildeo ( ) = cos( + ) Na Figura ao lado tentamos ilustrar melhor esse mapeamento

de uma funccedilatildeo senoidal no caso ( ) = cos( ) em um fasor (seta

verde) girando com velocidade angular Considere que as bolinhas

=

x cos( )

( ) = +

( ) = 0( ) = 2

( ) =

( ) = 32

460

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

azuis indicam instantes particulares na curva de ( ) que correspondem agrave posiccedilatildeo do fasor ilustrada pelo

diagrama fasorial mais proacuteximo de cada bolinha

No estudo de circuitos de corrente alternada podemos definir fasores para as voltagens e para as

correntes no circuito Por exemplo o fasor correspondente agrave voltagem da fonte ( ) = cos( + ) e

o fasor correspondente agrave corrente no circuito ( ) = cos( ) Ao representarmos esses dois fasores em

um diagrama fasorial a diferenccedila de fase entre as funccedilotildees senoidais fica

evidente conforme a Figura ao lado para gt 0 Dizemos que nesse caso a

voltagem estaacute adiantada em relaccedilatildeo agrave corrente de um acircngulo pois o fasor

segue girando na frente do fasor

O conceito de fasor nos permite abordar a soluccedilatildeo de circuitos CA de

uma forma geomeacutetrica A ideia eacute que nessa abordagem vamos usar as leis das malhas e dos noacutes que envolvem

somas de funccedilotildees senoidais Imagine por exemplo que em um noacute de um circuito se juntem trecircs fios e que

conhecemos as correntes em dois deles e queremos usar a lei dos noacutes para calcular a corrente no terceiro fio

Por exemplo ( ) = cos( ) ( ) = sen( ) A pergunta eacute quanto vale ( ) = ( ) + ( ) ou seja se ( ) = cos( + ) (como tem que ser em

um circuito CA qualquer) entatildeo quais os valores de e

A soluccedilatildeo algeacutebrica desse problema eacute ( ) = ( ) + ( ) rArr cos( + ) = cos( ) + sen( ) Note que cos( + ) = cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) Portanto a lei dos noacutes estaacute dizendo

que cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) = cos( ) + sen( ) Essa equaccedilatildeo tem que valer para todos os tempos e portanto fazendo = 0 obtemos cos( ) =

Analogamente fazendo = 2 resulta em minus sen( ) =

Elevando essas duas equaccedilotildees ao quadrado e somando obtemos ( cos( )) + (minus sen( )) = = +

Portanto = + Finamente dividindo a segunda equaccedilatildeo pela primeira obtemos

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

sen( )cos( ) = tan( ) = minus

Concluindo ( ) = cos( + ) com = + e tan( ) = minus

Essa eacute a soluccedilatildeo algeacutebrica do caacutelculo de ( ) e podemos imaginar que para um circuito com muitas

correntes e voltagens vamos ser levados a equaccedilotildees bem mais complicadas

Vamos apresentar agora esse mesmo caacutelculo atraveacutes do diagrama fasorial A ideia de resolver uma

equaccedilatildeo como a fornecida pela lei dos noacutes ( ( ) = ( ) + ( )) atraveacutes de fasores se baseia no fato de que

fasores obedecem agrave mesma regra do paralelogramo que eacute obedecida pelos vetores Essa regra leva agrave seguinte

propriedade simples se = + entatildeo = + ou seja a componente x da soma eacute a soma das

componentes x Portanto se ( ) ( ) e ( ) satildeo ldquocomponentes xrdquo dos fasores e e ( ) = ( ) +( ) segue que = + O fasor eacute a soma (atraveacutes da regra do paralelogramo) do fasor com o fasor

Portanto tudo que temos que fazer para calcular ( ) eacute calcular o fasor atraveacutes da regra do paralelogramo e em seguida calcular a projetaccedilatildeo desse

fasor no eixo horizontal A Figura ao lado ilustra essa ideia Note que ( ) =sen( ) = cos( minus 2) Os trecircs fasores estatildeo representados em um

instante particular eles estatildeo de fato girando todos juntos no sentido anti-horaacuterio

Note que estaacute atrasada de 90deg em relaccedilatildeo agrave e que estaacute atrasada de em

relaccedilatildeo agrave Natildeo devemos nos esquecer que os fasores tecircm tamanhos e

Considerando o triacircngulo retacircngulo (destacado na Figura) que tem lados de

tamanhos e e hipotenusa obtemos

Do teorema de Pitaacutegoras = +

Do acircngulo tan( ) = minus

Note que o sinal negativo em tan( ) vai nos fornecer um lt 0 compatiacutevel com uma ( ) =cos( + ) atrasada em relaccedilatildeo agrave ( ) = cos( ) O fato de valer lt 0 se reflete no diagrama

fasorial em um acircngulo medido no sentido horaacuterio em relaccedilatildeo agrave sua referecircncia que eacute sempre o acircngulo

Acircngulos medidos no sentido anti-horaacuterio satildeo positivos e acircngulos medidos no sentido horaacuterio satildeo negativos

(partindo sempre do fasor que estaacute na posiccedilatildeo )

Esperamos que esse exemplo simples evidencie a vantagem da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fornecida pela lei

dos noacutes atraveacutes do diagrama fasorial quando comparada agrave soluccedilatildeo algeacutebrica

462

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Por essa razatildeo usaremos essa teacutecnica no estudo de circuitos de corrente alternada e em particular do circuito

RLC seacuterie

Antes de estudar um circuito contendo vaacuterios componentes vamos analisar individualmente o

comportamento de cada um dos componentes do circuito resistores capacitores e indutores quando eles satildeo

conectados a uma fonte CA senoidal

113 Comportamento de resistores capacitores e indutores em CA

1131 Resistores

A Figura 2 ao lado mostra um circuito CA puramente resistivo Esse

circuito poderia ser por exemplo um chuveiro eleacutetrico ligado a uma tomada

Uma fonte CA senoidal (sem resistecircncia interna) aplica uma voltagem ( ) = cos( + ) e uma corrente senoidal de mesma frequumlecircncia

circula atraveacutes do circuito ( ) = cos( ) Note que a corrente eacute alternada

e a seta mostrada na Figura seria apenas o sentido da corrente em um instante

qualquer Uma ( ) gt 0 significa uma corrente no sentido escolhido na Figura e

uma ( ) lt 0 significa uma corrente no sentido oposto Analogamente ( ) alterna de polaridade e natildeo existe um terminal + ou ndash na fonte Vamos arbitrar aqui que nesse instante

mostrado na Figura o terminal superior da fonte eacute o terminal + Essa polaridade seraacute portanto representada

por um ( ) gt 0 Nossa ideia aqui eacute supor que conhecemos e e que queremos determinar e A

fonte forccedila o circuito com uma voltagem senoidal de amplitude e frequecircncia e o circuito responde a esse

estiacutemulo com uma corrente senoidal de mesma frequumlecircncia de amplitude e defasada de em relaccedilatildeo ( ) Queremos conhecer a resposta do circuito ( e ) a esse estiacutemulo senoidal ( e )

O resistor apenas oferece um arraste ao movimento dos portadores de carga no circuito um

comportamento que se reflete na validade lei de Ohm para esse dispositivo = Em um circuito CA natildeo

faz diferenccedila o arraste atua igualmente nos dois sentidos da corrente e a lei de Ohm continua valendo ( ) = ( ) Aplicando a lei das malhas (no sentido horaacuterio) ao circuito na Figura 2 obtemos ( ) minus ( ) = 0 rArr ( ) = ( ) = ( ) Concluindo se a corrente no circuito eacute ( ) = cos( ) a voltagem na fonte eacute ( ) = ( ) = cos( ) Comparando essa expressatildeo com a nossa hipoacutetese geral sobre o comportamento de ( ) que eacute ( ) = cos( + )

Figura 2 um circuito CA puramente resistivo

( )( )

463

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Concluiacutemos que para o circuito puramente resistivo vale

= = 0

Vemos que as amplitudes e satisfazem elas mesmas agrave lei de Ohm e que a corrente estaacute em fase com a

voltagem Olhando no diagrama fasorial para esse circuito vemos explicitamente que natildeo haacute diferenccedila de fase

entre a voltagem da fonte (que eacute a mesma voltagem no resistor) e a corrente no circuito Devemos

representar no diagrama os dois fasores correspondentes agraves funccedilotildees

( ) = cos( ) ( ) = cos( ) Na Figura 3 abaixo mostramos os graacuteficos das funccedilotildees ( ) e ( ) e o diagrama fasorial do circuito puramente

resistivo Nesses graacuteficos fixamos = 10 V = 2Ω = 5 A e = 10 rads

O fato de ( ) estar em fase com ( ) ( = 0) significa que nesse circuito os portadores de carga

obedecem fielmente ao estiacutemulo da fonte Nos instantes em que ( ) = 0 a fonte natildeo estaacute estimulando a

corrente no circuito e observamos que nesses instantes vale ( ) = 0 Nos instantes em que ( ) gt 0 a fonte

estaacute estimulando os portadores a fluir no sentido horaacuterio (na Figura 2 pois o poacutelo superior eacute o poacutelo +) e nesses

instantes vale ( ) gt 0 ou seja a corrente flui no sentido horaacuterio Analogamente ( ) lt 0 quando ( ) lt 0

No diagrama fasorial os fasores de ( ) e ( ) giram juntos

um sobreposto ao outro Quando um fasor estaacute deitado o outro estaacute

deitado quando um estaacute em peacute o outro estaacute em peacute e assim por diante

Na Figura 4 ao lado mostramos um graacutefico da potecircncia

instantacircnea com que a fonte entrega energia potencial eleacutetrica para o

circuito em funccedilatildeo do tempo

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = cos ( )

Figura 3 Graacuteficos de ( ) (curva vermelha) e ( ) (curva verde) em funccedilatildeo do tempo e diagrama fasorial para um circuito puramente resistivo

Figura 4 Graacutefico da potecircncia dissipada pelo resistor em um circuito CA Potecircncia meacutedia em verde

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

(basicamente = = ( )( ) = ) Essa potecircncia eacute exatamente a mesma que eacute

dissipada no resistor na forma de calor (efeito Joule) Vemos que a potecircncia eacute oscilatoacuteria e sempre positiva o

resistor sempre recebe energia da fonte e emite para fora do circuito ele natildeo tem capacidade de fornecer

energia para os portadores de carga no circuito Essa poderia ser por exemplo a energia teacutermica que o

resistor de um chuveiro eleacutetrico transfere para a aacutegua A potecircncia meacutedia com que a fonte entrega energia para

o circuito (o resistor) eacute lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = lang cos ( )rang = 1 2 = 1 radic2 = 1

Para o exemplo mostrado na Figura 4 com = 10 V = 2Ω obtemos lang ( )rang = 25 W que eacute mostrado no

graacutefico atraveacutes da reta verde Vemos que agraves vezes o resistor dissipa calor com potecircncia maacutexima (50 W

no graacutefico) e agraves vezes ele natildeo dissipa nada Em meacutedia ele dissipa (25 W) Note que a corrente RMS

(eficaz ou efetiva) no circuito eacute = radic2 = e que portanto valem as mesmas expressotildees de

potecircncia dissipada em um resistor que obtivemos em circuitos CC mas com os valores RMS de e

lang ( )rang = lang ( )rang = = =

1132 Capacitores

A Figura 5 ao lado mostra um circuito CA puramente capacitivo

Uma fonte CA senoidal (sem resistecircncia interna) aplica uma voltagem ( ) = cos( + ) e uma corrente senoidal de mesma frequumlecircncia

circula atraveacutes do circuito ( ) = cos( ) Note que a corrente nunca

flui atraveacutes das placas do capacitor ela flui da fonte para as placas e das

placas para a fonte A corrente eacute alternada e a seta mostrada na Figura

seria apenas o sentido da corrente em um instante qualquer em que ( ) gt 0 Uma ( ) lt 0 significa uma corrente no sentido oposto

Analogamente ( ) alterna de polaridade e natildeo existe um terminal + ou ndash na fonte Vamos arbitrar aqui que

nesse instante mostrado na Figura o terminal superior da fonte eacute o terminal + (a fonte estaacute fornecendo energia

para o capacitor) Essa polaridade seraacute portanto representada por um ( ) gt 0 A mesma ideia vale para a

polaridade do capacitor As placas alternam de polaridade Aqui vamos supor que no instante mostrado na

Figura a placa superior do capacitor eacute a placa + (o capacitor estaacute carregando)

Nossa ideia aqui eacute a mesma da seccedilatildeo anterior vamos supor que conhecemos e e que queremos

determinar e

Figura 5 um circuito CA puramente capacitivo

( )( )

465

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

O capacitor apenas carrega e descarrega uma carga e nisso surge uma DDP entre suas placas que

estaacute relacionada com de acordo com sua capacitacircncia = Em um circuito CA natildeo faz diferenccedila o

capacitor carrega e descarrega periodicamente e continua valendo ( ) = ( ) Aplicando a lei das

malhas (no sentido horaacuterio) ao circuito na Figura 5 obtemos

( ) minus ( ) = 0 rArr ( ) = ( ) = ( )

Portanto a carga no capacitor oscila no tempo de acordo com ( ) = ( ) Estamos mais interessados na

corrente no circuito e a corrente se relaciona com a carga por

( ) = ( )

Pois a taxa com que a carga flui no fio eacute a taxa com que a carga acumula na placa positiva do capacitor

Portanto se a corrente no circuito eacute ( ) = cos( ) a carga na placa superior do capacitor varia de acordo

com

( ) = ( ) rArr ( ) = ( ) = cos( ) = sen( ) Na integral acima desprezamos a constante arbitraacuteria de integraccedilatildeo pois natildeo esperamos que existam cargas

constantes depositadas nas placas do capacitor

Concluindo a voltagem na fonte (que eacute a voltagem no capacitor) eacute

( ) = ( ) = sen( ) = cos minus 2

Comparando essa expressatildeo com a nossa hipoacutetese geral sobre o comportamento de ( ) que eacute ( ) = cos( + ) Concluiacutemos que para o circuito puramente capacitivo vale

= = minus 2

Vemos que as amplitudes e satisfazem para uma frequumlecircncia fixa uma relaccedilatildeo de proporcionalidade

anaacuteloga agrave lei de Ohm mas com 1( ) no lugar de e que a corrente estaacute defasada da voltagem A

voltagem estaacute atrasada de 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente No diagrama fasorial para esse circuito vamos

representar os dois fasores correspondentes agraves funccedilotildees

( ) = cos minus 2 = sen( ) ( ) = 1( ) cos( )

466

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Na Figura 6 abaixo mostramos os graacuteficos das funccedilotildees ( ) e ( ) e o diagrama fasorial do circuito puramente

capacitivo Nesses graacuteficos fixamos = 10 V 1( ) = 2Ω = 5 A e = 10 rads

O fato de ( ) natildeo estar em fase com ( ) ( = minus90deg) significa que nesse circuito os portadores de

carga natildeo obedecem fielmente ao estiacutemulo da fonte pelo contraacuterio Nos instantes em que ( ) = 0 a fonte

natildeo estaacute estimulando a corrente no circuito e observamos que nesses instantes ( ) = plusmn ou seja a corrente

eacute maacutexima Nos instantes em que ( ) gt 0 a fonte estaacute estimulando os portadores a fluir no sentido horaacuterio

(na Figura 5 pois o poacutelo superior eacute o poacutelo +) e nesses instantes vale tanto ( ) gt 0 quanto ( ) lt 0 ou seja a

corrente flui tanto no sentido horaacuterio quanto no anti-horaacuterio Analogamente ( ) lt 0 ou ( ) lt 0 quando ( ) lt 0 No diagrama fasorial os fasores de ( ) e ( ) giram juntos mas o fasor estaacute sempre correndo

atraacutes do fasor Quando um fasor estaacute deitado o outro estaacute em peacute ou de cabeccedila para baixo e assim por diante

Esse descompasso entre fonte e corrente estaacute relacionado agrave capacidade que o capacitor tem de descarregar e

produzir ele mesmo corrente eleacutetrica no circuito A corrente eleacutetrica no circuito natildeo depende apenas do

estiacutemulo da fonte

Na Figura 7 abaixo mostramos um graacutefico da potecircncia instantacircnea com que a fonte entrega energia

potencial eleacutetrica para o circuito em funccedilatildeo do tempo

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

Essa potecircncia eacute exatamente a mesma com que energia potencial

eleacutetrica eacute absorvida pelo capacitor De fato

( ) = 2 ( ) rArr ( ) = ( ) [ ( )] = ( ) ( )

Vemos que a potecircncia eacute oscilatoacuteria e assume valores positivos e

negativos Uma potecircncia positiva significa que a fonte estaacute

entregando energia para o circuito e que o capacitor estaacute carregando

Figura 6 Graacuteficos de ( ) (curva vermelha) e ( )(curva verde) em funccedilatildeo do tempo e diagrama fasorial para um circuito puramente capacitivo

Figura 7 Graacutefico da potecircncia absorvida por um capacitor em um circuito CA

467

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

e acumulando essa energia na forma potencial eleacutetrica Uma potecircncia negativa significa que a fonte estaacute

recebendo energia do circuito e que o capacitor estaacute descarregando e entregando energia (para a fonte) na

forma potencial eleacutetrica O capacitor carrega e descarrega absorvendo e entregando energia alternadamente

No caso da fonte que alimenta o circuito ser um gerador de energia eleacutetrica quando ele recebe energia ele

funciona como um motor e ao inveacutes de ser girado por um agente externo eacute ele que gira esse agente

A potecircncia meacutedia com que a fonte entrega energia para o circuito eacute lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = lang1( ) sen( ) cos( )rang = 1( ) 0 = 0

O capacitor absorve e entrega energia simetricamente sem nenhuma perda ou ganho de energia

(para o ambiente externo ao circuito) e portanto em meacutedia ele entrega ou absorve zero

1133 Indutores

Finalmente a Figura 8 ao lado mostra um circuito CA puramente

indutivo Uma fonte CA senoidal (sem resistecircncia interna) aplica uma

voltagem ( ) = cos( + ) e uma corrente senoidal de mesma

frequumlecircncia circula atraveacutes do circuito ( ) = cos( ) A corrente eacute

alternada e a seta mostrada na Figura seria apenas o sentido da corrente em

um instante qualquer em que ( ) gt 0 Uma ( ) lt 0 significa uma corrente

no sentido oposto Analogamente ( ) alterna de polaridade e natildeo existe

um terminal + ou ndash na fonte Vamos arbitrar aqui que nesse instante mostrado na Figura o terminal superior

da fonte eacute o terminal + Essa polaridade seraacute portanto representada por um ( ) gt 0

Nossa ideia aqui eacute a mesma dos casos anteriores vamos supor que conhecemos e e que

queremos determinar e

O indutor apenas se autoinduz de acordo com a lei de Faraday (ou regra do fluxo) e nisso surge uma

DDP entre seus terminais que estaacute relacionada com de acordo com ( ) = ( ) Aplicando a lei das

malhas (no sentido horaacuterio) ao circuito na Figura 8 obtemos

( ) minus ( ) = 0 rArr ( ) = ( ) = ( ) Portanto se a corrente no circuito eacute ( ) = cos( ) voltagem na fonte eacute

( ) = ( ) = minus sen( ) = cos + 2

Comparando essa expressatildeo com a nossa hipoacutetese geral sobre o comportamento de ( ) que eacute ( ) = cos( + )

Figura 8 um circuito CA puramente indutivo

( )( )

468

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Concluiacutemos que para o circuito puramente indutivo vale

= = 2

Vemos que as amplitudes e satisfazem para uma frequumlecircncia fixa uma relaccedilatildeo de proporcionalidade

anaacuteloga agrave lei de Ohm mas com no lugar de e que a corrente estaacute defasada da voltagem A voltagem

estaacute adiantada de 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente No diagrama fasorial para esse circuito vamos representar os

dois fasores correspondentes agraves funccedilotildees

( ) = cos + 2 = minus sen( ) ( ) = cos( ) Na Figura 9 abaixo mostramos os graacuteficos das funccedilotildees ( ) e ( ) e o diagrama fasorial do circuito puramente

indutivo Nesses graacuteficos fixamos = 10 V = 2Ω = 5 A e = 10 rads

O fato de ( ) natildeo estar em fase com ( ) ( = 90deg) significa que nesse circuito os portadores de

carga natildeo obedecem fielmente ao estiacutemulo da fonte pelo contraacuterio Nos instantes em que ( ) = 0 a fonte

natildeo estaacute estimulando a corrente no circuito e observamos que nesses instantes ( ) = plusmn ou seja a corrente

eacute maacutexima Nos instantes em que ( ) gt 0 a fonte estaacute estimulando os portadores a fluir no sentido horaacuterio

(na Figura 8 pois o poacutelo superior eacute o poacutelo +) e nesses instantes vale tanto ( ) gt 0 quanto ( ) lt 0 ou seja a

corrente flui tanto no sentido horaacuterio quanto no anti-horaacuterio Analogamente ( ) lt 0 ou ( ) lt 0 quando ( ) lt 0 A corrente no circuito natildeo depende apenas do estiacutemulo da fonte

No diagrama fasorial os fasores de ( ) e ( ) giram juntos mas o fasor estaacute sempre correndo na

frente do fasor Quando um fasor estaacute deitado o outro estaacute em peacute ou de cabeccedila para baixo e assim por

diante Esse descompasso entre fonte e corrente estaacute relacionado agrave capacidade que o indutor tem de se

autoinduzir e produzir ele mesmo corrente eleacutetrica no circuito

Figura 9 Graacuteficos de ( ) (curva vermelha) e ( ) (curva verde) em funccedilatildeo do tempo e diagrama fasorial para um circuito puramente indutivo

469

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Na Figura 10 ao lado mostramos um graacutefico da potecircncia

instantacircnea com que a fonte entrega energia potencial eleacutetrica

para o circuito em funccedilatildeo do tempo ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

Essa potecircncia eacute exatamente a mesma com que energia magneacutetica eacute

absorvida pelo indutor De fato

( ) = 2 ( ) rArr ( ) = ( ) ( )

Vemos que a potecircncia eacute oscilatoacuteria e assume valores positivos e

negativos Uma potecircncia positiva significa que a fonte estaacute entregando energia para o circuito e que o indutor

estaacute carregando e acumulando essa energia na forma magneacutetica Uma potecircncia negativa significa que a fonte

estaacute recebendo energia do circuito e que o indutor estaacute descarregando e entregando energia (para a fonte) na

forma potencial eleacutetrica O indutor carrega e descarrega absorvendo e entregando energia alternadamente

A potecircncia meacutedia com que a fonte entrega energia para o circuito eacute

lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = langminus sen( ) cos( )rang = minus 0 = 0

O indutor absorve e entrega energia simetricamente sem nenhuma perda ou ganho de energia (para

o ambiente externo ao circuito) e portanto em meacutedia ele entrega ou absorve zero

1134 Resumo dos comportamentos CA de R C e L

Nas seccedilotildees anteriores analisamos os comportamentos de resistores capacitores e indutores quando

estes satildeo estimulados por uma fonte CA senoidal Aqui vamos ressaltar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os

comportamentos desses componentes Sempre estaremos supondo que a fonte CA aplica no circuito uma

voltagem senoidal (estiacutemulo) ( ) = cos( + ) resultando no circuito em uma corrente senoidal

(resposta) ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor que conhecemos e (o estiacutemulo) e que queremos

determinar e (a resposta do circuito)

Concluiacutemos que sempre vale uma espeacutecie de lei de Ohm para as amplitudes

=

em que o denominador eacute chamado em geral de impedacircncia do circuito A tabela 1 abaixo mostra os

resultados que obtivemos para as impedacircncias de cada componente R C e L

Figura 10 Graacutefico da potecircncia absorvida por um indutor em um circuito CA

470

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Componente Impedacircncia ( ) Nome especiacutefico da impedacircncia

Resistor = Resistecircncia eleacutetrica ( )

Capacitor = ( ) = ( ) = 1 Reatacircncia capacitiva ( )

Indutor = ( ) = ( ) = Reatacircncia indutiva ( )

Tabela 1 impedacircncias de um resistor um capacitor e um indutor

O conceito de impedacircncia basicamente generaliza a ideia de resistecircncia eleacutetrica A impedacircncia de um

circuito eacute a oposiccedilatildeo (impedimento) que ele oferece agrave passagem da corrente eleacutetrica A impedacircncia do resistor

eacute sua proacutepria resistecircncia eleacutetrica pois vimos que =

Quanto maior a resistecircncia do resistor menor a amplitude da corrente senoidal que flui por ele

A impedacircncia do capacitor eacute a chamada reatacircncia capacitiva = 1 pois vimos que

= = = 1

Quanto maior a reatacircncia do capacitor menor a amplitude da corrente senoidal que flui para suas placas

Note que a reatacircncia capacitiva natildeo eacute uma propriedade intriacutenseca de um capacitor pois ela depende da

frequumlecircncia com que a fonte estimula a corrente no circuito ( ) = 1 Quanto maior a frequumlecircncia da

voltagem na fonte e da corrente no capacitor menor a reatacircncia capacitiva e maior a amplitude da corrente

no circuito Capacitores se opotildeem mais agrave passagem de correntes de baixas frequumlecircncias De fato para = 0

que eacute um circuito CC (capiacutetulo 6) um capacitor tem um transiente de carga e a corrente vai rapidamente a

zero ou seja em corrente contiacutenua o capacitor funciona quando atinge o regime estacionaacuterio (apoacutes um breve

transiente) como um circuito aberto

A impedacircncia do indutor eacute a chamada reatacircncia indutiva = pois vimos que

= =

Quanto maior a reatacircncia do indutor menor a amplitude da corrente senoidal atraveacutes dele Note que a

reatacircncia indutiva natildeo eacute uma propriedade intriacutenseca de um indutor pois ela depende da frequumlecircncia com que a

fonte estimula a corrente no circuito ( ) = Quanto maior a frequumlecircncia da voltagem na fonte e da

corrente no indutor maior a reatacircncia indutiva e menor a amplitude da corrente no circuito Indutores se

opotildeem mais agrave passagem de correntes de altas frequumlecircncias De fato para = 0 que eacute um circuito CC (capiacutetulo

471

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

10) um indutor tem um transiente e logo passa a se comportar como um curto-circuito ao passo que durante

variaccedilotildees raacutepidas de ( ) ele se autoinduz fortemente e funciona como um circuito aberto

Eacute sempre bom frisar que as reatacircncias satildeo definidas em termos de razotildees de amplitudes e natildeo de

grandezas senoidais Eacute verdade que para o resistor vale = e ainda

( ) = ( )

pois ( ) e ( ) estatildeo em fase (satildeo ambos cossenos ou ambos senos ou o que for) Por outro lado para o

capacitor vale = mas natildeo eacute verdade que ( ) = ( )

pois ( ) e ( ) estatildeo fora de fase (se um eacute um cosseno o outro eacute um seno e vice-versa) Analogamente para

o indutor vale = mas natildeo eacute verdade que ( ) = ( )

pois ( ) e ( ) estatildeo fora de fase (se um eacute um cosseno o outro eacute um seno e vice-versa)

No graacutefico ao lado ilustramos os comportamentos de e em funccedilatildeo da frequecircncia da

voltagem na fonte (e da corrente) A resistecircncia eleacutetrica eacute independente de

(se desprezarmos efeitos importantes apenas em frequumlecircncia muito altas

como o efeito pele) O capacitor e o indutor possuem comportamentos

complementares A reatacircncia capacitiva diverge quando rarr 0 e se anula

quando rarr infin (capacitores natildeo ldquogostamrdquo de baixas frequumlecircncias) ao passo

que a reatacircncia indutiva diverge quando rarr infin e se anula quando rarr 0

(indutores natildeo ldquogostamrdquo de altas frequumlecircncias)

Esses comportamentos das reatacircncias nos permitem ver o capacitor e o indutor como filtros de

frequecircncias O capacitor eacute um dispositivo que deixa passar preferencialmente sinais de altas frequumlecircncias ao

passo que o indutor eacute um dispositivo que deixa passar preferencialmente sinais de baixas frequumlecircncias

Considerando o teorema de Fourier que diz basicamente que toda funccedilatildeo pode ser escrita como uma seacuterie

de senos e cossenos de diferentes frequecircncias isso significa que (levando tambeacutem em conta a linearidade

desses dispositivos) quando confrontados com uma corrente qualquer os capacitores e os indutores vatildeo

selecionar ou seja filtrar os sinais de altas ou de baixas frequumlecircncias

0

472

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

A Figura 11 abaixo ilustra uma aplicaccedilatildeo de um capacitor e um indutor como filtros de frequumlecircncia em

uma caixa de som que conteacutem dois alto-falantes um tweeter e um woofer O amplificador de aacuteudio funciona

como a fonte para esse circuito alimentando a caixa de som com uma voltagem ( ) que eacute o sinal eleacutetrico

que vai produzir a corrente ( ) e o sinal sonoro na caixa de som (atraveacutes da forccedila magneacutetica)

A ideia eacute que o amplificador estimula a caixa de som simultaneamente com correntes eleacutetricas de

vaacuterias frequumlecircncias diferentes Sons agudos correspondem a correntes de altas frequumlecircncias e sons graves

correspondem a correntes de baixas frequumlecircncias Na caixa de som um alto falante o tweeter estaacute construiacutedo

de tal forma a otimizar a criaccedilatildeo de ondas sonoras correspondentes aos sons agudos e o woofer por sua vez

para os sons graves Mostramos entatildeo o que seria uma composiccedilatildeo (simples) de um sinal eleacutetrico

correspondente a um som grave com um correspondente a um som agudo ambos senoidais constituindo

juntos a corrente ( ) que flui pelo circuito Na caixa de som essa corrente se divide ( ) vai para o tweeter

e ( ) vai para o woofer (eles estatildeo em paralelo) Para evitar que esses alto-falantes tenham que reproduzir

todo o espectro sonoro posto que eles natildeo estatildeo otimizados para isso conecta-se um capacitor em seacuterie com

o tweeter e um indutor em seacuterie com o woofer

tweeter woofer

+ = ( ) =

( ) ( ) ( )

( ) = ( ) =

som grave

som agudo

som agudo

som grave

Figura 11 ilustraccedilatildeo dos efeitos de um capacitor e um indutor usados como filtros de frequumlecircncia em uma caixa de som

473

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

O capacitor atraveacutes de sua reatacircncia atenua principalmente as baixas frequumlecircncias e portanto as

correntes que correspondem aos sons graves Dessa forma ( ) eacute uma corrente em que predominam os

sinais de alta frequumlecircncia (agudos)

O indutor por sua vez atraveacutes de sua reatacircncia atenua preferencialmente as altas frequumlecircncias que

correspondem aos sons agudos Dessa forma ( ) eacute uma corrente em que predominam os sinais de baixas

frequumlecircncia (graves)

Concluindo atraveacutes desses filtros otimizamos a reproduccedilatildeo do som em cada um dos alto-falantes na

caixa de som

A diferenccedila de fase entre a voltagem aplicada ( ) e acorrente ( ) no circuito eacute definida atraveacutes do

acircngulo de fase isin [minus ] da voltagem ( ) = cos( + ) assumindo que a corrente possui = 0 ( ) = cos( ) A tabela 2 abaixo mostra os resultados que obtivemos para a defasagem provocada por

cada componente R C e L

A diferenccedila de fase entre ( ) e ( ) tem relaccedilatildeo com a capacidade do dispositivo de desobedecer ao

estiacutemulo produzido pela fonte CA que forccedila a corrente no circuito Essa capacidade estaacute diretamente ligada agrave

capacidade do dispositivo de produzir ele mesmo corrente eleacutetrica no circuito e para isso ele precisa ter a

capacidade de acumular energia

Componente Defasagem Significado

Resistor 0 ( ) em fase com ( ) Capacitor minus 2 ( ) atrasada

Indutor 2 ( ) adiantada

Tabela 2 defasagens produzidas por um resistor um capacitor e um indutor

Um resistor natildeo possui essa capacidade e por isso a corrente que passa em um resistor estaacute sempre

em fase com a voltagem no resistor De fato a lei de Ohm estabelece que ( ) = ( ) Portanto ( ) e ( ) satildeo basicamente a mesma funccedilatildeo (um seno um cosseno ou o que for)

O capacitor acumula energia potencial eleacutetrica e atraveacutes de seus processos de carga e descarga produz

uma defasagem = minus 2 entre ( ) e ( ) A voltagem fica atrasada A origem dessa defasagem fica clara

quando observamos que ( ) = ( ) e ( ) = ( ) (haacute uma operaccedilatildeo de derivaccedilatildeo entre as funccedilotildees ( ) e ( )) O indutor acumula energia magneacutetica e atraveacutes de seus processos de carga e descarga (de energia

magneacutetica) produz uma defasagem = 2 entre ( ) e ( ) A voltagem fica adiantada A origem dessa

474

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

defasagem fica clara quando observamos que ( ) = ( ) (haacute uma operaccedilatildeo de derivaccedilatildeo entre as

funccedilotildees ( ) e ( )) Com relaccedilatildeo agraves potecircncias para o resistor obtemos ( ) = ( ) ( ) = ( )

Essa eacute a taxa com que o resistor absorve energia potencial eleacutetrica do circuito Essa energia eacute transformada em

energia interna pelas colisotildees dos portadores aumenta a temperatura do resistor e acaba sendo dissipada

para o ambiente externo ao circuito na forma de calor Note que vale sempre ( ) gt 0 ou seja o resistor soacute

absorve energia potencial eleacutetrica do circuito (e dissipa) Sendo ( ) = cos( ) segue que ( ) = ( ) = cos ( ) A potecircncia eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria e tem valor meacutedio temporal

lang ( )rang = langcos ( )rang = 12 =

O resistor dissipa a mesma potecircncia (em meacutedia) que ele dissiparia se estivesse passando por ele uma corrente

contiacutenua (constante) de valor Essa ldquoequivalecircnciardquo eacute a razatildeo de definirmos esses valores RMS

Para o capacitor obtemos ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) Essa eacute a taxa com que o capacitor absorve energia potencial eleacutetrica do circuito Essa energia eacute acumulada no

capacitor Note que vale ( ) gt 0 e ( ) lt 0 ou seja o capacitor tanto absorve quanto fornece energia

potencial eleacutetrica para o circuito Sendo ( ) = ( ) segue que

( ) = ( ) ( )

A potecircncia eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria em torno do zero e como natildeo poderia deixar de ser tem valor meacutedio

temporal nulo De fato

lang ( )rang = 1 lang ( ) ( )rang = 1 1 ( ) ( ) = 1 1 = 1 1 ( )2 minus (0)2 = 0

posto que ( ) eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria de periacuteodo ( (0) = ( )) O capacitor apenas carrega e descarrega (energia potencial eleacutetrica) e natildeo dissipa a energia do circuito

Para o indutor obtemos ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

475

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Essa eacute a taxa com que o indutor absorve energia potencial eleacutetrica do circuito Essa energia eacute acumulada no

indutor na forma magneacutetica Note que vale ( ) gt 0 e ( ) lt 0 ou seja o indutor tanto absorve quanto

fornece energia potencial eleacutetrica para o circuito A potecircncia eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria em torno do zero e

como natildeo poderia deixar de ser tem valor meacutedio temporal nulo De fato

lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = 1 ( ) ( ) = 1 = 1 ( )2 minus (0)2 = 0

posto que ( ) eacute uma funccedilatildeo oscilatoacuteria de periacuteodo ( (0) = ( )) O indutor apenas carrega e descarrega (energia magneacutetica) e natildeo dissipa a energia do circuito

Em geral para um circuito CA qualquer a potecircncia entregue ao circuito pela fonte eacute

( ) = ( ) ( ) = cos( + ) cos( ) = cos( + ) cos( ) Note que cos( + ) = cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) e que portanto

( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] A meacutedia temporal dessa potecircncia eacute

lang ( )rang = lang ( ) ( )rang = langcos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )rang Levando em conta que

langcos ( )rang cos( ) minus langcos( ) sen( )rang sen( ) = langcos ( )rang cos( ) minus 0 = 12 cos( ) Concluiacutemos que lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) = cos( ) Esses satildeo resultados gerais que valem para qualquer circuito CA O termo cos( ) eacute chamado de fator

de potecircncia que abreviaremos para Em um diagrama fasorial podemos ver que

= cos( ) =

Agora podemos entender que para o circuito puramente resistivo vale

= 0 e = 1 (jaacute que = ) lang ( )rang = cos(0) = 2 = 2 = =

Para o circuito puramente capacitivo vale

476

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

= minus 2 e = 0 (jaacute que = 0) lang ( )rang = cos minus 2 = 0

Analogamente para o circuito puramente indutivo vale

= 2 e = 0 (jaacute que = 0) lang ( )rang = cos 2 = 0

A potecircncia meacutedia lang ( )rang = cos( ) representa a potecircncia utilizada no circuito ou seja a

energia do circuito que eacute convertida em outra forma de energia e enviada para fora do circuito No caso de um

resistor ela eacute dissipada para o ambiente na forma de calor como ocorre em um chuveiro eleacutetrico Circuitos

puramente capacitivos ou indutivos possuem lang ( )rang = 0 pois eles natildeo fazem nada a energia estaacute restrita ao

circuito e fica apenas oscilando entre a fonte e esses dispositivos natildeo realizando nada de uacutetil Se vocecirc tentar

imaginar um chuveiro eleacutetrico puramente indutivo ou capacitivo vai concluir que ele seria inuacutetil pois ele natildeo

esquentaria a aacutegua Para o chuveiro esquentar a aacutegua eacute necessaacuterio que a energia saia do circuito e passe para

a aacutegua Nesse sentido o fator de potecircncia = cos( ) expressa uma eficiecircncia do circuito em produzir

energia uacutetil (que sai do circuito sendo convertida em outras formas de energia) Mais adiante discutiremos

mais um pouco sobre isso

114 Alguns circuitos CA

Na sequecircncia discutiremos alguns circuitos simples que combinam resistores capacitores e indutores

1141 Circuito RC seacuterie

A Figura 12 ao lado mostra um circuito RC seacuterie alimentado por

uma fonte CA senoidal que aplica no circuito uma voltagem ( ) =cos( + ) resultando em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor que conhecemos e (o estiacutemulo) e que queremos

determinar e (a resposta do circuito) Para isso utilizaremos a teacutecnica

de fasores Relembrando a ideia eacute que a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

Que pode ser escrita como ( ) = ( ) + ( ) e que se traduz na forma

fasorial em = +

Essa uacuteltima equaccedilatildeo estaacute dizendo que podemos determinar ( ) a

partir da regra do paralelogramo Basta construir o diagrama fasorial como na

Figura ao lado Como o circuito possui apenas uma corrente comeccedilamos pelo

Figura 12 um circuito RC seacuterie

( )( )

477

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

fasor que serviraacute de referecircncia para os outros fasores Sendo ( ) = cos( ) esse fasor tem tamanho

e faz um acircngulo com o eixo horizontal Depois desenhamos o fasor de tamanho e em fase com a

corrente e o fasor de tamanho e atrasado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente Em seguida desenhamos um

paralelogramo de lados e cuja diagonal nascendo na origem comum eacute o fasor O teorema de

Pitaacutegoras diz que o tamanho dessa diagonal ( ) eacute

= ( ) + ( ) = +

Portanto a impedacircncia do circuito RC seacuterie eacute (lembrando que = ) = + = + (1 )

O acircngulo de fase eacute tal que tan( ) = minus = minus = minus 1

o sinal negativo foi introduzido acima porque vemos no diagrama fasorial que a voltagem da fonte estaacute

atrasada em relaccedilatildeo agrave corrente ( lt 0 medido no sentido horaacuterio)

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da amplitude da

corrente = em funccedilatildeo da frequumlecircncia da fonte (fixamos = 10Ω = 1000 μF e = 1 V) Para rarr 0 a corrente se anula

pois a reatacircncia do capacitor diverge e para rarr infin o capacitor se

comporta como um curto-circuito e rarr Note que o circuito

funciona como um filtro de frequumlecircncia Para esses valores numeacutericos

frequecircncias ≲ 400 rads ( cong 64 Hz) satildeo bastante atenuadas

Quanto agrave potecircncia entregue ao circuito pela fonte jaacute vimos que para um circuito CA qualquer valem

( ) = ( ) ( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) =

sendo FP = cos( ) = o fator de potecircncia do circuito

Para o circuito RC vemos no diagrama fasorial que cos( ) = e sen( ) = minus (note que eacute

um acircngulo negativo no quarto quadrante minus le le 0) e segue que

( ) = [ cos ( ) + cos( ) sen( )]

478

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 10 rads fixa Notamos que a funccedilatildeo eacute oscilatoacuteria mas natildeo oscila em

torno do zero A fonte entrega ( gt 0) mais energia ao circuito do que

recebe ( lt 0) Isso ocorre porque o circuito estaacute dissipando energia

atraveacutes do resistor A fonte entrega energia para o circuito o resistor

recebe uma parte e dissipa e o capacitor recebe outra parte e depois

devolve para a fonte

A potecircncia meacutedia entregue ao circuito pela fonte eacute

lang ( )rang = cos( ) = + (1 )

Essa eacute a potecircncia dissipada no resistor pois o capacitor apenas carrega e descarrega

Ao lado mostramos um graacutefico de lang ( )rang em funccedilatildeo da

frequumlecircncia da fonte Notamos que o circuito dissipa mais calor no

regime de altas frequumlecircncias que eacute o regime em que a amplitude da

corrente eacute maior

1142 Circuito RL seacuterie

A Figura 13 ao lado mostra um circuito RL seacuterie alimentado por uma

fonte CA senoidal que aplica no circuito uma voltagem ( ) = cos( + ) resultando em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor

que conhecemos e (o estiacutemulo) e que queremos determinar e (a

resposta do circuito) Para isso utilizaremos a teacutecnica de fasores Relembrando a

ideia eacute que a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

Que pode ser escrita como ( ) = ( ) + ( ) que se traduz na forma fasorial em = +

Essa uacuteltima equaccedilatildeo estaacute dizendo que podemos determinar ( ) a partir da regra do paralelogramo

Basta construir o diagrama fasorial como na Figura ao lado Comeccedilamos pelo

fasor que tem tamanho e faz um acircngulo com o eixo horizontal Depois

desenhamos o fasor de tamanho e em fase com a corrente e o fasor

de tamanho e adiantado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente Em seguida

desenhamos um paralelogramo de lados e cuja diagonal nascendo na

Figura 13 um circuito RL seacuterie

( )( )

479

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

origem comum eacute o fasor O teorema de Pitaacutegoras diz que o tamanho dessa diagonal ( ) eacute = ( ) + ( ) = +

Portanto a impedacircncia do circuito RL seacuterie eacute = + = + ( )

O acircngulo de fase eacute tal que tan( ) = = =

o sinal positivo reflete o que vemos no diagrama fasorial que a voltagem da fonte estaacute adiantada em relaccedilatildeo agrave

corrente ( gt 0 medido no sentido anti-horaacuterio)

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da amplitude da

corrente = em funccedilatildeo da frequumlecircncia da fonte (fixamos = 10Ω = 01 H e = 1 V Para rarr 0 a corrente tem seu valor

maacuteximo ( rarr ) pois a reatacircncia do indutor se anula nesse limite

(curto-circuito) e para rarr infin o indutor se comporta como um circuito

aberto e rarr 0 Note que o circuito funciona como um filtro de

frequumlecircncia Para esses valores numeacutericos frequecircncias ≲ 200 rads

( cong 32 Hz) satildeo menos atenuadas

Quanto agrave potecircncia entregue ao circuito pela fonte jaacute vimos que para um circuito CA qualquer valem

( ) = ( ) ( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) =

sendo FP = cos( ) = o fator de potecircncia do circuito

No circuito RL vemos no diagrama fasorial que cos( ) = e sen( ) = (note que eacute um

acircngulo positivo no primeiro quadrante 0 le le ) e segue que

( ) = [ cos ( ) minus cos( ) sen( )] Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 500 rads fixa Notamos que a funccedilatildeo eacute oscilatoacuteria mas natildeo oscila em

torno do zero A fonte entrega ( gt 0) mais energia ao circuito do que

recebe ( lt 0) Isso ocorre porque o circuito estaacute dissipando energia

atraveacutes do resistor

480

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

A potecircncia meacutedia eacute lang ( )rang = cos( ) = + ( )

Essa eacute a potecircncia dissipada no resistor pois o indutor apenas carrega e descarrega

Ao lado mostramos um graacutefico de lang ( )rang em funccedilatildeo da

frequumlecircncia da fonte Notamos que o circuito dissipa mais calor no

regime de baixas frequumlecircncias que eacute o regime em que a amplitude da

corrente eacute maior

1143 Circuito LC seacuterie

A Figura 14 ao lado mostra um circuito LC seacuterie alimentado por uma

fonte CA senoidal que aplica no circuito uma voltagem ( ) =cos( + ) resultando em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor que conhecemos e (o estiacutemulo) e que queremos

determinar e (a resposta do circuito) Para isso utilizaremos a teacutecnica de

fasores Relembrando a ideia eacute que a lei das malhas fornece a equaccedilatildeo ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

Que pode ser escrita como ( ) = ( ) + ( ) que se traduz na forma fasorial em = +

Construimos o diagrama fasorial como na Figura ao lado Comeccedilamos pelo fasor que tem tamanho

e faz um acircngulo com o eixo horizontal Depois desenhamos o fasor

de tamanho e adiantado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente e o fasor

de tamanho e atrasado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente Natildeo haacute

paralelogramo nesse caso Apenas fizemos a hipoacutetese que de que gt

e que portanto o fasor eacute maior que o fasor Chamamos esse caso de

circuito predominantemente indutivo A soma + fica virada para o

lado de e nesse caso vale gt 0 Se o circuito fosse predominantemente

capacitivo ( gt ) a soma + ficaria virada para o lado de e

valeria lt 0

O tamanho do fasor ( ) eacute simplesmente = minus = ( minus )

Para o caso geral do circuito LC podemos escrever = | minus |

Figura 14 um circuito LC seacuterie

( )( )

481

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Portanto a impedacircncia do circuito RL seacuterie eacute = minus = minus 1 Para o caso geral vale = | minus | Podemos ver que o acircngulo de fase eacute = 2 Para o circuito predominantemente capacitivo valeria = minus 2 Em geral poderiacuteamos pensar que (para = 0)

tan( ) rarr minus0 rarr plusmninfin

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da amplitude da

corrente = em funccedilatildeo da frequumlecircncia da fonte (fixamos = 1000μF = 01 H e = 1 V Para rarr 0 e rarr infin a corrente se

anula pois uma das reatacircncias diverge nesse limite e elas estatildeo em seacuterie

Note que o circuito funciona como um filtro de frequumlecircncia Para esses

valores numeacutericos frequecircncias cong 100 rads ( cong 16 Hz) satildeo menos

atenuadas O que estamos vendo aqui eacute exatamente o privileacutegio que o

circuito daacute para a frequumlecircncia natural de oscilaccedilotildees do circuito LC que eacute dada por (conforme vimos no capiacutetulo

10) = 1radic

De fato para = 1000μF e = 01 H obtemos = 100 rads Esse fenocircmeno de privileacutegio de

uma frequumlecircncia natural de oscilaccedilotildees eacute chamado de ressonacircncia Aqui estamos vendo que a ressonacircncia se

reflete em um pico na amplitude da corrente quando rarr (de fato nesse caso ideal = 0 estamos vendo

uma divergecircncia da corrente) A ideia da ressonacircncia eacute que quando o circuito eacute

forccedilado por uma voltagem ( ) de baixas frequumlecircncias que eacute o caso em que o

circuito eacute predominantemente capacitivo pois gt a corrente circula no

circuito com baixa amplitude Analogamente quando o circuito eacute forccedilado por

uma voltagem ( ) de altas frequumlecircncias que eacute o caso em que o circuito eacute

predominantemente indutivo pois gt a corrente circula no circuito com

baixa amplitude Quando o circuito eacute forccedilado por uma voltagem ( ) de

frequumlecircncia exatamente igual agrave frequumlecircncia natural de oscilaccedilotildees do circuito LC ou seja quando = a

corrente eleacutetrica no circuito circula com amplitude maacutexima e o acircngulo de fase eacute = 0 De fato na ressonacircncia

o diagrama fasorial do circuito fica como mostrado ao lado Note que quando = as reatacircncias ficam

iguais pois (para = )

= = 1radic = = 1 =

482

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Logo os fasores e tecircm o mesmo tamanho e obtemos um fasor resultante de tamanho nulo Trata-se de

um resultado espuacuterio pois devemos ter em mente que nesse caso especial = deveriacuteamos tambeacutem

desenhar o fasor vermelho de com tamanho infinito de tal forma que ao final = | minus | rarr 0infin

Enfim devemos ter cuidado com esse caso especial pois ele envolve grandezas divergentes As coisas se

tornam mais ldquorealistasrdquo quando incluiacutemos uma resistecircncia nesse circuito (circuito RLC discutido abaixo)

Quanto agrave potecircncia entregue ao circuito pela fonte jaacute vimos que para um circuito CA qualquer valem

( ) = ( ) ( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) =

sendo FP = cos( ) = o fator de potecircncia do circuito

No circuito LC como = 0 cos( ) = 0 e sen( ) = plusmn1 (pois = plusmn 2) obtemos

( ) = [0 ∓ cos( ) sen( )] = ∓ | minus | cos( ) sen( ) Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 500 rads fixa (circuito indutivo) Notamos que a funccedilatildeo eacute oscilatoacuteria e

oscila em torno do zero A fonte entrega ( gt 0) energia ao circuito e

recebe ( lt 0) de volta Note que na ressonacircncia a amplitude da potecircncia

(artificialmente) diverge

A potecircncia meacutedia eacute lang ( )rang = 0 O que a fonte entrega ao circuito

ela recebe de volta

A potecircncia ( ) eacute entregue ao indutor e ao capacitor que tambeacutem trocam energia entre si

exatamente como eles fazem quando estatildeo ligados sozinhos como no circuito LC que estudamos no capiacutetulo

10 Mas quando L e C estatildeo sozinhos a troca de energia se daacute com a frequumlecircncia natural e aqui essa troca

estaacute sendo forccedilada com a frequecircncia da fonte

O capacitor carregadescarrega energia potencial eleacutetrica com a potecircncia

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) sendo ( ) = cos( ) = ( ) segue que ( ) = ( ) sen( ) e ( ) = sen( ) cos( )

O indutor por sua vez carregadescarrega energia potencial magneacutetica com a potecircncia

483

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) sendo ( ) = cos( ) segue que ( ) = minus sen( ) cos( ) Note que ( ) = ( ) + ( ) O graacutefico ao lado ilustra os comportamentos de ( ) e ( ) em

funccedilatildeo do tempo para o caso predominantemente indutivo com = 2 Vemos que as potecircncias apenas oscilam em torno do zero ou

seja possuem meacutedia nula Vemos que nesse caso indutivo o circuito

possui maior pico de energia armazenada no indutor na forma magneacutetica

que no capacitor na forma eleacutetrica Vemos tambeacutem que ( ) e ( ) possuem sempre sinais opostos ou seja quando o capacitor estaacute

fornecendo energia para o circuito o indutor estaacute absorvendo energia e vice-versa O saldo ou seja a

diferenccedila entre as energias fica por conta da fonte de alimentaccedilatildeo Na ressonacircncia vale = e as

potecircncias possuem amplitudes iguais ou seja o capacitor e o indutor se bastam e a fonte natildeo precisa fornecer

ou absorver energia do circuito

Note tambeacutem que

( ) = ( ) = sen( ) ( ) = ( ) = minus sen( ) Portanto ( ) e ( ) estatildeo sempre em oposiccedilatildeo com polaridades opostas Na ressonacircncia vale ( ) + ( ) = 0 Mas a lei das malhas diz que ( ) = ( ) + ( ) Portanto na ressonacircncia a fonte fica

curto-circuitada e por isso a corrente no circuito (artificialmente) diverge A presenccedila de uma resistecircncia em

seacuterie no circuito elimina essas divergecircncias desse sistema tornando-o mais realista conforme veremos a

seguir

1144 Circuito RLC seacuterie

Finalmente a Figura 15 ao lado mostra um circuito RLC seacuterie

alimentado por uma fonte CA senoidal que aplica no circuito uma

voltagem ( ) = cos( + ) resultando em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) Nossa ideia eacute supor que conhecemos e (o

estiacutemulo) e que queremos determinar e (a resposta do circuito) Para

isso utilizaremos a teacutecnica de fasores Relembrando a ideia eacute que a lei das

malhas fornece a equaccedilatildeo ( ) minus ( ) minus ( ) minus ( ) = 0

ou seja ( ) = ( ) + ( ) + ( ) que se traduz na forma fasorial em = + +

Figura 15 um circuito RLC seacuterie

( )( )

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Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Construiacutemos o diagrama fasorial como na Figura ao lado

Comeccedilamos pelo fasor que tem tamanho e faz um acircngulo com o

eixo horizontal Depois desenhamos o fasor de tamanho em fase

com a corrente Em seguida desenhamos o fasor de tamanho e

adiantado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente e o fasor de tamanho e

atrasado 90deg em relaccedilatildeo agrave corrente Fizemos novamente a hipoacutetese que

de que gt e que portanto o fasor eacute maior que o fasor

Chamamos esse caso de circuito predominantemente indutivo A soma + fica virada para o lado de e vale gt 0 Se o circuito fosse predominantemente capacitivo ( gt) a soma + ficaria virada para o lado de e valeria lt 0

Do teorema de Pitaacutegoras o tamanho do fasor ( ) eacute simplesmente = ( ) + ( minus ) = + ( minus )

Portanto a impedacircncia do circuito RLC seacuterie eacute = + ( minus )

O acircngulo de fase eacute tal que tan( ) = minus

Vemos que se gt (circuito predominantemente indutivo) obtemos gt 0 e se lt (circuito

predominantemente capacitivo) obtemos lt 0

O graacutefico ao lado mostra o comportamento da amplitude da

corrente = em funccedilatildeo da frequumlecircncia da fonte (fixamos = 10Ω = 1000μF = 01 H e = 1 V) Para rarr 0 e rarr infin a

corrente se anula pois uma das reatacircncias diverge nesse limite e elas

estatildeo em seacuterie Note que trata-se aqui basicamente de uma regularizaccedilatildeo

do circuito LC estudado anteriormente em que a divergecircncia na corrente

deixou de existir O circuito funciona como um filtro de frequumlecircncia Para

esses valores numeacutericos frequecircncias cong 100 rads ( cong 16 Hz) satildeo menos atenuadas Vemos aqui o

privileacutegio que o circuito daacute para a frequumlecircncia natural de oscilaccedilotildees do circuito LC ou seja a ressonacircncia do

circuito na frequumlecircncia natural = 1radic

+

485

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Para = 1000μF e = 01 H resulta = 100 rads Em geral para =

a impedacircncia = + ( minus ) eacute miacutenima pois = e a amplitude

da corrente eacute maacutexima

Na ressonacircncia o diagrama fasorial do circuito fica como mostrado ao

lado Quando = as reatacircncias ficam iguais e os fasores e coincidem

pois os fasores e se anulam mutuamente Portanto na ressonacircncia vale = = que eacute o valor de pico de e = 0 O circuito se comporta como um circuito puramente

resistivo

Quanto agrave potecircncia entregue ao circuito pela fonte jaacute vimos que para um circuito CA qualquer valem

( ) = ( ) ( ) = [cos ( ) cos( ) minus cos( ) sen( ) sen( )] lang ( )rang = 12 cos( ) = 2 cos( ) =

sendo FP = cos( ) = o fator de potecircncia do circuito

No circuito RLC cos( ) = e sen( ) = ( minus ) e obtemos

( ) = + ( minus ) [ cos ( ) minus ( minus )cos( ) sen( )] Ao lado mostramos um graacutefico de ( ) em funccedilatildeo do tempo para = 500 rads fixa (circuito indutivo) Notamos que a funccedilatildeo eacute oscilatoacuteria e

que natildeo oscila em torno do zero A fonte entrega ( gt 0) mais energia ao

circuito do que recebe ( lt 0) de volta pois o resistor estaacute dissipando

energia

A potecircncia meacutedia eacute lang ( )rang = + ( minus )

Ao lado mostramos um graacutefico de lang ( )rang em funccedilatildeo da

frequumlecircncia da fonte O pico na dissipaccedilatildeo de calor estaacute na frequumlecircncia de

ressonacircncia que para os valores numeacutericos no graacutefico eacute = 100 rads

Conforme jaacute comentamos para o circuito LC as potecircncias ( ) e ( ) do capacitor e do indutor satildeo funccedilotildees oscilantes em torno do zero e

possuem sempre sinais opostos ou seja quando o capacitor estaacute

fornecendo energia para o circuito o indutor estaacute absorvendo energia e vice-versa O saldo ou seja a

=

486

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

diferenccedila entre as energias fica por conta da fonte de alimentaccedilatildeo e do resistor que estaacute o tempo todo

dissipando energia Na ressonacircncia vale = e as potecircncias ( ) e ( ) possuem amplitudes iguais ou

seja o capacitor e o indutor se bastam e a fonte natildeo precisa trocar (fornecer ou absorver) energia com o par

capacitorindutor ela precisa apenas de se ocupar com a energia dissipada no resistor

Note tambeacutem que

( ) = ( ) = sen( ) ( ) = ( ) = minus sen( ) Portanto ( ) e ( ) estatildeo sempre em oposiccedilatildeo com polaridades opostas Na ressonacircncia vale ( ) + ( ) = 0 Mas a lei das malhas diz que ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Portanto na ressonacircncia o

par capacitorindutor fica curto-circuitado ( ) = ( ) e por isso a corrente no circuito possui amplitude = (pois = ) e acircngulo de fase = 0

115 Aplicaccedilotildees do circuito RLC seacuterie

O circuito RLC seacuterie pode ser pensado como um modelo para vaacuterios circuitos que possuem resistecircncia

eleacutetrica capacitacircncia e indutacircncia Uma casa uma induacutestria ou mesmo uma cidade satildeo basicamente circuitos

RLC Mas eacute verdade que esses circuitos reais podem ser mais complicados pois podem apresentar tambeacutem

associaccedilotildees em paralelo indutacircncias muacutetuas emissatildeo de ondas eletromagneacuteticas (radiaccedilatildeo) e outros

fenocircmenos Nesse sentido o circuito RLC seacuterie eacute um protoacutetipo para alguns circuitos natildeo todos Ele serve para

a introduccedilatildeo das ideacuteias baacutesicas acerca do funcionamento dos circuitos de corrente alternada O fenocircmeno

mais interessante que esse circuito exibe em corrente alternada eacute o da ressonacircncia

Circuitos ressonantes possuem diversas aplicaccedilotildees como em filtros de frequecircncia detectores de

metais e na sintonia de raacutedios Aqui vamos discutir um pouco sobre esses trecircs exemplos sem a preocupaccedilatildeo

ou a pretensatildeo de que eles sejam os melhores circuitos para desempenhar essas funccedilotildees

O graacutefico da amplitude da corrente em funccedilatildeo da frequumlecircncia da

corrente deixa evidente a capacidade do circuito RLC de atuar como filtro de

frequumlecircncia Esse graacutefico estaacute esboccedilado ao lado Voltando ao exemplo da caixa

de som vimos que essa caixa pode conter um woofer e um tweeter que satildeo

alto-falantes dedicados agrave reproduccedilatildeo de sons graves (20 - 200 Hz) e agudos (2 ndash

20 kHz) respectivamente Podemos incrementar essa caixa acrescentando um

mid-range que eacute um alto-falante otimizado para a reproduccedilatildeo de sons de frequumlecircncias meacutedias (200 ndash 2k Hz)

Precisamos apenas ligar esse mid-range em seacuterie com um circuito RLC cuja frequumlecircncia de ressonacircncia esteja

por exemplo em cong 1 kHz ou seja cong 6300 rads Para isso devemos selecionar um indutor e um

capacitor tais que 1radic cong 6300 rads Dessa forma os sinais sonoros com cong seratildeo pouco atenuados e

0

487

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

passaratildeo pelo mid-range produzindo nesse alto-falante sons meacutedios de maior intensidade que os sons graves

e agudos

Considere agora o circuito para um detector de metais como esses que ficam instalados nas portas de

lojas e de bancos Trata-se do circuito RLC em que a indutacircncia eacute um solenoacuteide grande que fica instalado no

caminho de passagem dos usuaacuterios da loja ou do banco Natildeo havendo ningueacutem proacuteximo do solenoacuteide o uacutenico

meio material proacuteximo eacute o ar que possui permeabilidade magneacutetica proacutexima da do vaacutecuo Portanto a

autoindutacircncia desse solenoacuteide eacute = times (qualquer coisa) sendo ldquoqualquer coisardquo uma funccedilatildeo do nuacutemero

de espiras e da forma do solenoacuteide que natildeo importa o que seja pois estaacute fixa Se algueacutem se aproxima desse

solenoacuteide algueacutem carregando um objeto de tamanho razoaacutevel composto de metais ferromagneacuteticos o meio

material no espaccedilo proacuteximo ao solenoacuteide muda assim como sua autoindutacircncia Vamos supor que com essa

aproximaccedilatildeo rarr = times(qualquer coisa) sendo gt 1 a permeabilidade relativa dessa nova

composiccedilatildeo de materiais ar + material ferromagneacutetico (o espaccedilo natildeo estaacute totalmente preenchido pelo

material ferromagneacutetico e por isso natildeo eacute exatamente a permeabilidade relativa desse material) Na

praacutetica pode aumentar bastante a autoindutacircncia do solenoacuteide proacuteximo modificando a frequecircncia de

ressonacircncia do circuito RLC permitindo a detecccedilatildeo desse metal

Imagine que construiacutemos um circuito RLC seacuterie e colocamos um

pequeno alto-falante conectado em seacuterie com os demais componentes

como na Figura ao lado A fonte senoidal eacute tal que possui frequumlecircncia de

oscilaccedilatildeo dada por = 1 = 1 1radic

ou seja a fonte tem a frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo igual agrave frequumlecircncia de ressonacircncia do circuito com um metal

ferromagneacutetico proacuteximo Podemos chamar essa frequumlecircncia de ( ) Portanto se ( ) eacute a frequecircncia de

ressonacircncia do circuito com apenas ar em sua vizinhanccedila segue que

( ) = 1 ( ) ≪ ( ) Conclusatildeo enquanto natildeo houver nenhum metal proacuteximo o circuito vai possuir frequumlecircncia de ressonacircncia ( ) mas vai estar sendo forccedilado por uma voltagem senoidal de

frequecircncia ( ) Portanto o circuito estaraacute fora da ressonacircncia e a

corrente no circuito teraacute baixa amplitude ( na Figura ao lado) Ao

aproximar um metal ferromagneacutetico do solenoacuteide a frequecircncia da fonte

natildeo muda continua sendo ( ) mas a frequecircncia de ressonacircncia do

( ) ( )

( ) 0 ( )

488

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

circuito muda passa a ser ( ) (na Figura acima a curva de times do circuito deixa de ser a curva azul e

passa a ser a curva vermelha) Conclusatildeo o circuito entra em ressonacircncia e a amplitude da corrente cresce (

na Figura ao lado) produzindo um som intenso no alto-falante o alarme Essa mesma ideia pode se aplicada a

um detector de metais de um ldquocaccedilador de tesourosrdquo

Considere agora um circuito de um raacutedio simples

Trata-se do circuito RLC em que a fonte eacute uma antena ou seja

um simples pedaccedilo de fio pendurado no espaccedilo Na Figura ao

lado a antena eacute representada pelo segmento de fio em

vermelho O capacitor possui uma seta porque ele eacute um

capacitor ajustaacutevel Podemos modificar seu valor de

capacitacircncia dentro de uma faixa ampla le le

Podemos por exemplo girar um botatildeo (de sintonia) e variar a

distacircncia entre as placas desse capacitor O alto-falante nos permite ldquoouvir a corrente eleacutetrica fluindo no

circuitordquo Ondas eletromagneacuteticas incidem no fio da antena e fazem forccedila nos portadores de carga que estatildeo

dentro dele Em particular o campo eleacutetrico oscilatoacuterio ( ) dessas ondas faz com que os portadores de

carga oscilem com a mesma frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo do campo eleacutetrico Portanto a antena funciona como

uma ou de fato vaacuterias fontes de voltagens oscilatoacuterias que produzem no circuito vaacuterias correntes oscilatoacuterias

superpostas cada uma com uma frequumlecircncia diferente A Figura ilustra (apenas) duas ondas incidindo

simultaneamente na antena uma de frequecircncia e outra de frequecircncia A corrente no circuito seraacute a

superposiccedilatildeo + Agora podemos usar a ressonacircncia do circuito para sintonizar ou seja escolher qual das

ondas queremos ouvir (1 ou 2)

A Figura ao lado ilustra essa ideia sintonizando a onda 2 Ajustando a capacitacircncia variamos a

frequumlecircncia de ressonacircncia do circuito = 1radic Na Figura

podemos pensar que a curva azul se move para os lados quando

ajustamos Dessa forma estando e fixos no eixo de

podemos variar ateacute que a frequecircncia (que eacute a posiccedilatildeo do pico da

curva azul) coincida com por exemplo que eacute o caso mostrado na

Figura Dessa forma a corrente teraacute grande amplitude pois eacute

ressonante enquanto que a corrente teraacute baixa amplitude O alto-

falante reproduziraacute um som baixo correspondente agrave onda 1 e um som alto correspondente agrave onda 2

Ouviremos a onda 2

Esse eacute o princiacutepio de funcionamento da sintonia de qualquer sistema de telecomunicaccedilatildeo seja ele um

raacutedio uma TV um sateacutelite ou um telefone celular

( )

antena

0

489

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

116 Correccedilatildeo do fator de potecircncia

Nos exemplos que discutimos anteriormente mostramos que a potecircncia meacutedia fornecida pela fonte ao

circuito eacute lang ( )rang = cos( ) sendo a voltagem eficaz da fonte a corrente eficaz no circuito e cos( ) o chamado fator de

potecircncia eacute o acircngulo de defasagem entre a voltagem da fonte e a corrente no circuito Se pensarmos que um

circuito eleacutetrico eacute construiacutedo para realizar alguma tarefa alguma tarefa que requer o dispecircndio de energia

podemos chamar essa potecircncia de potecircncia uacutetil = lang ( )rang = cos( ) Considere o exemplo do circuito LC seacuterie que estudamos na seccedilatildeo 1143 Vimos que nesse caso vale = plusmn 2 conforme o circuito seja predominantemente indutivo ou capacitivo (natildeo consideraremos o caso

em que = porque ele eacute divergente) Portanto cos( ) = 0 e = 0 Nesse circuito a energia fica

apenas transitando entre a fonte e o indutor e o capacitor como um pingue-pongue A energia eacute conservada

nenhuma energia sai do circuito (para o ambiente externo) e portanto ele natildeo pode estar realizando nada

uacutetil Esse circuito natildeo pode estar aquecendo aacutegua (mesmo porque = 0) nem movimentando um motor ou

seja realizando trabalho ou fazendo uma lacircmpada brilhar (emitindo ondas eletromagneacuteticas que transportam

energia) Ele eacute inuacutetil

Considere agora o exemplo do sistema puramente resistivo que estudamos na seccedilatildeo 1131 Nesse

caso = 0 cos( ) = 1 e = Este seria o melhor caso pois toda a energia que a fonte

entrega ao circuito eacute enviada para fora do circuito pelo resistor Essa energia poderia estar aquecendo aacutegua

por exemplo A fonte natildeo ldquoperde tempordquo com pingue-pongue de energia A energia flui apenas em um

sentido da fonte para a aacutegua atraveacutes do resistor Esse tambeacutem eacute o caso do circuito RLC que estudamos na

seccedilatildeo 1144 desde que ele esteja em ressonacircncia que pressupotildee =

Aqui chegamos em um ponto em que podemos entender a importacircncia do fator de potecircncia e da

necessidade de manter seu valor proacuteximo de 1 Os circuitos reais satildeo geralmente indutivos tendo em vista a

profusatildeo de motores e transformadores nos circuitos eleacutetricos Esses dispositivos satildeo compostos de solenoacuteides

que introduzem no sistema eleacutetrico a autoindutacircncia Portanto circuitos reais principalmente os de grandes

induacutestrias geralmente apresentam fatores de potecircncia distantes do valor 1 que seria o ideal Um sistema de

baixo fator de potecircncia vai requerer uma maior corrente eficaz para obter uma dada potecircncia uacutetil De fato

sendo = cos( ) vemos que quanto menor o cos( ) maior deve ser para que uma

seja alcanccedilada (estamos supondo que o valor de estaacute fixo eacute a voltagem eficaz da rede eleacutetrica 127

490

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

V por exemplo) Um sistema eleacutetrico que funcione com maior corrente produz mais perdas por efeito Joule e

eacute portanto menos eficiente

A Figura 16 abaixo ilustra essa ideia com dois casos extremos

Em (a) imaginamos um consumidor que seja puramente indutivo (autoindutacircncia ) conectado a uma

fonte CA atraveacutes de um fio que possui resistecircncia eleacutetrica O consumidor eacute o que estaacute contido dentro da

caixa tracejada em vermelho Esse consumidor poderia ter em sua casa apenas um eletroiacutematilde em sua casa (de

resistecircncia nula ou despreziacutevel) um eletroiacutematilde que fica apenas ligado na tomada talvez grudado na porta da

geladeira Em (b) imaginamos um consumidor puramente resistivo (resistecircncia ) tambeacutem conectado a uma

fonte CA atraveacutes de um fio que possui resistecircncia eleacutetrica Esse consumidor poderia ter em sua casa apenas

um chuveiro e um forno eleacutetricos que satildeo dispositivos puramente resistivos

Consideramos aqui que a potecircncia dissipada em (nos fios da rede de transmissatildeodistribuiccedilatildeo) eacute

energia perdida desperdiccedilada apenas dissipada para o ar circundante Note que estamos considerando que

eacute uma resistecircncia externa ao consumidor ou seja eacute a resistecircncia eleacutetrica das linhas de distribuiccedilatildeo e

transmissatildeo que transportam energia desde a geraccedilatildeo ateacute esse consumidor final Portanto o consumidor natildeo

paga em princiacutepio por essa energia perdida pois ela natildeo fica registrada em seu medidor de energia (o

popular ldquoreloacutegiordquo de energia) Nos dois casos vamos supor que os circuitos satildeo alimentados por uma fonte CA

senoidal de voltagem ( ) = cos( + ) que resulta em uma corrente senoidal ( ) = cos( ) No caso (a) que eacute um circuito RL a impedacircncia eacute = + e a corrente eficaz no circuito eacute

= = +

Portanto e potecircncia meacutedia perdida em eacute = lang ( )rang = lang ( ) rang = = +

(a)

( ) ( )

(b)

( ) ( )

Figura 16 dois circuitos consumidores (dentro da caixa tracejada) com fatores de potecircncia bem diferentes em (a) cos( ) = 0 e em (b) cos( ) = 1

491

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Por outro lado a potecircncia meacutedia utilizada pelo consumidor eacute = lang ( )rang = 0 O consumidor natildeo

consome nada mas produz uma perda no sistema de distribuiccedilatildeo de energia O medidor de energia desse

consumidor (o ldquoreloacutegio de energiardquo) giraria para a frente e para traacutes e natildeo registraria nenhum consumo de

energia

Esse eacute um caso em que o fator de potecircncia do consumidor eacute cos( ) = 0 pois no consumidor a

voltagem estaacute adiantada de 2 em relaccedilatildeo agrave corrente O fator de potecircncia do circuito como um todo eacute

cos( ) = = + lt 1

Note portanto que a potecircncia meacutedia entregue pela fonte eacute

= cos( ) = = + =

ou seja a fonte fornece ao circuito apenas a energia que eacute desperdiccedilada Esse consumidor leva a um

desperdiacutecio de energia no sistema eleacutetrico e natildeo paga por ele

No caso (b) que eacute um circuito puramente resistivo a impedacircncia eacute = + e a corrente eficaz no

circuito eacute = = +

Portanto e potecircncia meacutedia perdida em eacute = lang ( )rang = lang ( ) rang = = ( + )

Por outro lado a potecircncia meacutedia utilizada pelo consumidor eacute

= lang ( )rang = lang ( ) rang = = ( + )

O consumidor consome e produz uma perda inevitaacutevel de energia no sistema de distribuiccedilatildeo Supondo ≪ eacute claro que ≪

Esse eacute um caso em que o fator de potecircncia do consumidor eacute cos( ) = 1 pois no consumidor a

voltagem estaacute em fase com a corrente O fator de potecircncia do circuito como um todo tambeacutem eacute 1 pois

cos( ) = + = ++ = 1

A potecircncia meacutedia entregue pela fonte como natildeo poderia deixar de ser eacute

= cos( ) = + = 1+ = + cong

492

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Esses exemplos simples tentam mostrar que consumidores com fator de potecircncia baixo muito menor

que 1 demandam do sistema eleacutetrica muita energia sendo grande parte desperdiccedilada na transmissatildeo na

distribuiccedilatildeo e dentro do circuito do proacuteprio consumidor (nos fios) Consumidores com fator de potecircncia igual a

1 satildeo os mais eficientes pois eles apenas produzem perdas que natildeo podem ser evitadas

O processo de correccedilatildeo do fator de potecircncia consiste exatamente em modificar o circuito de um

consumidor com fator de potecircncia baixo fazendo com que este paracircmetro se aproxime de 1 Para fazer isso

natildeo podemos nos livrar das reatacircncias indutivas pois elas satildeo intriacutensecas aos motores e transformadores O

que podemos fazer eacute tornar o circuito ressonante pois vimos que na ressonacircncia vale = 0 e cos( ) = 1 A

condiccedilatildeo de ressonacircncia eacute = Portanto para um circuito indutivo

que eacute o caso mais comum devemos acrescentar ao circuito uma

reatacircncia capacitiva Isso eacute feito geralmente atraveacutes da conexatildeo de

capacitores em paralelo com o circuito consumidor de tal forma a natildeo

alterar sua voltagem de alimentaccedilatildeo Para o caso da Figura 16(a) o

circuito ldquocorrigidordquo ficaria como mostrado ao lado

Natildeo estudamos circuitos em paralelo mas natildeo eacute difiacutecil mostrar (ver abaixo) que se o circuito LC ao

lado estiver em ressonacircncia a corrente na fonte se anula e = rarr 0 A corrente fica oscilando

apenas na malha que conteacutem L e C Portanto o consumidor fica satisfeito pois seu eletroiacutematilde continua

funcionando como antes mas agora de maneira mais eficiente pois ele natildeo produz mais nenhuma perda de

energia no sistema Agora o medidor de energia desse consumidor (o ldquoreloacutegio de energiardquo) fica simplesmente

parado e continua registrando nenhum consumo de energia A concessionaacuteria de energia fica satisfeita pois

esse consumidor continua sem pagar nada com a vantagem de tambeacutem natildeo produzir perdas de energia no

sistema

Para mostrar que no circuito LC em paralelo ( ) = 0 na ressonacircncia basta considerar que estaacute em

paralelo com e que portanto ( ) = ( ) Mas sabemos que ( ) = ( )

e ( ) = ( ) rArr ( ) = ( )

sendo ( ) a corrente no ramo do indutor e ( ) a corrente no ramo do capacitor Note que ( ) = ( ) +( ) (lei dos noacutes) Dessas expressotildees podemos deduzir uma relaccedilatildeo entre as correntes

( ) = ( ) rArr ( ) = ( ) rArr ( ) = ( )

Portanto suponha que ( ) = cos( + ) segue que

( ) ( )

493

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

( ) = ( ) = minus cos( + ) = minus ( ) Vemos que as correntes nos ramos do indutor e do capacitor satildeo sempre opostas Na ressonacircncia = ( ) = minus ( ) e ( ) = 0

Na ressonacircncia o indutor e o capacitor em paralelo trocam energia entre eles sem a participaccedilatildeo da

fonte O circuito funciona como se estivesse aberto e deixa de dissipar calor

A Figura 17 abaixo ilustra o processo de correccedilatildeo do fator de potecircncia desse circuito atraveacutes do

diagrama fasorial

Antes da correccedilatildeo haacute no circuito consumidor somente a corrente ( ) = ( ) que estaacute atrasada de 2 em relaccedilatildeo agrave voltagem ( ) fornecida pela concessionaacuteria de energia ao consumidor (nesse caso ( ) = ( )) Essa corrente estaacute passando tambeacutem pelo resistor na rede externa de

transmissatildeodistribuiccedilatildeo que dissipa calor com a potecircncia = Na outra Figura vemos o efeito

da adiccedilatildeo de uma reatacircncia capacitiva em paralelo com o indutor Acrescenta-se ao circuito a corrente ( ) que estaacute adiantada de 2 em relaccedilatildeo agrave voltagem no consumidor ( ) = ( ) = ( ) Agora no circuito

externo circula a corrente ( ) = ( ) + ( ) Se eacute a amplitude de ( ) (que eacute o tamanho do fasor )

segue que amplitude de ( ) eacute (que eacute o tamanho do fasor ) e que a amplitude de ( ) eacute

(que eacute o tamanho do fasor ) Portanto ( ) tem amplitude minus que eacute o tamanho do fasor

Na ressonacircncia = e ( ) = 0

117 Aplicaccedilotildees

1) No Brasil e em muitos outros paiacuteses a geraccedilatildeo transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica se fazem

atraveacutes de um sistema trifaacutesico Nesse sistema haacute trecircs fios as fases cada uma com uma voltagem senoidal

proacutepria ( ) ( ) e ( ) Essas trecircs voltagens satildeo produzidas pela rotaccedilatildeo de um conjunto de trecircs

solenoacuteides em um campo magneacutetico estaacutetico FEM de movimento Os trecircs solenoacuteides estatildeo

deslocadosgirados um do outro por um acircngulo de 120deg (2 3 rad) de tal forma que ( ) = cos( ) ( ) = cos( + 2 3) ( ) = cos( + 4 3)

antes depois Figura 17 no processo de correccedilatildeo do fator de potecircncia do circuito puramente indutivo acrescenta-se reatacircncia capacitiva ao circuito ateacute que = ( ) = minus ( ) e ( ) = 0

494

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

sendo a amplitude das voltagens nas fases medida em relaccedilatildeo agrave terra ou ao quarto fio do sistema

chamado de neutro (que eacute aterrado) e a frequecircncia angular No Brasil na

rede domeacutestica distribuiacuteda atraveacutes dos postes vale cong 180 V = radic2 cong 127 V e = 2 = 2 (60) cong 377 rads A imagem

ao lado mostra os trecircs fios correspondentes agraves trecircs fases em uma rede de

distribuiccedilatildeo de energia eleacutetrica Nos trecircs fios superiores da rede a voltagem

eacute alta cong 10 kV Essa voltagem eacute reduzida atraveacutes de transformadores

para o niacutevel da rede domeacutestica (quatro fios inferiores 3 fases+neutro) cong 180 V

Um sistema bifaacutesico eacute conectado simultaneamente a duas fases Vamos calcular a amplitude da

voltagem entre duas fases por exemplo ∆ ( ) = ( ) minus ( ) A soluccedilatildeo algeacutebrica desse problema eacute ∆ ( ) = cos( + ) = ( ) minus ( ) = cos( + 2 3) minus cos( )

eacute a amplitude que estamos procurando eacute o acircngulo de fase de ∆ ( ) Tendo em vista a identidade cos( + ) = cos( ) cos( ) minus sen( ) sen( ) segue que cos( + 2 3) = cos( ) cos(2 3) minus sen( ) sen(2 3) Portanto cos( + 2 3) = cos( ) (minus12) minus sen( ) radic32

Concluindo cos( + 2 3) = minus 2 cos( ) + radic3 sen( )

Segue que

∆ ( ) = minus 2 cos( ) + radic3 sen( ) minus cos( ) = minus 2 3 cos( ) + radic3 sen( )

Colocando o fator radic3 em evidecircncia obtemos

∆ ( ) = minus 2 radic3 radic3 cos( ) + sen( ) = radic3 minusradic32 cos( ) minus 12 sen( )

Como cos( 2 + 3) = minusradic32 e sen( 2 + 3) = 12 obtemos finalmente ∆ ( ) = radic3 cos( + 2 + 3) Portanto concluiacutemos que = radic3 e = 2 + 3 Na rede domeacutestica cong 180 V e cong 312 V

O valor eficaz da voltagem entre duas fases eacute ∆ = radic2 = radic3radic2 cong 220 V

495

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

Os aparelhos bifaacutesicos conectados simultaneamente a duas fases da rede eleacutetrica satildeo alimentados

com uma DDP efetiva de 220 V Os aparelhos monofaacutesicos conectados a uma fase (qualquer) e ao neutro satildeo

alimentados com uma DDP efetiva de 127 V Como 220127 cong 173 podemos obter a mesma potecircncia no

sistema bifaacutesico com uma corrente 173 vezes menor que no sistema monofaacutesico Com isso reduzimos as

perdas por efeito Joule por um fator (173) cong 3 e podemos fazer instalaccedilotildees com fios mais finos

Agora para comparaccedilatildeo calcularemos novamente a amplitude utilizando o meacutetodo dos fasores A

Figura abaixo mostra o diagrama fasorial com os fasores correspondentes agraves voltagens ( ) ( ) e ( ) ( e ) em um instante particular em que ( ) = (e ( ) = ( ) = minus sen(30deg) = minus 2 note que ( ) + ( ) + ( ) = 0) Na segunda Figura mostramos o fasor ∆ correspondente agrave voltagem fase-fase ∆ ( ) = ( ) minus ( ) nesse mesmo instante determinado atraveacutes da regra do paralelogramo

Note que metade desse paralelogramo

eacute um triacircngulo isoacutesceles com dois lados de

tamanho e base de tamanho Os dois

acircngulos iguais desse triacircngulo valem 30deg Portanto obtemos novamente

cos(30deg) = radic32 = 2 rArr = radic3

Vemos tambeacutem nesse diagrama fasorial

que = 2 + 3 rad (150deg) ou seja o fasor ∆ estaraacute sempre adiantado

em relaccedilatildeo ao fasor por um acircngulo de 150deg Na Figura ao lado mostramos o fasor soma + cuja amplitude

vamos chamar de Note o triacircngulo isoacuteceles (metade do paralelogramo) que

tem dois lados de tamanho base de tamanho e dois acircngulos iguais que

valem 60deg Desse triacircngulo obtemos

cos(60deg) = 12 = 2 rArr =

Portanto mostramos que as trecircs voltagens se anulam mutuamente (para todos os instantes ) ( ) + ( ) + ( ) = 0

Concluiacutemos que em um sistema eleacutetrico trifaacutesico equilibrado ou seja em que as trecircs fases estatildeo

conectadas a circuitos iguais (de mesma impedacircncia) as correntes nas trecircs fases tambeacutem se anulam

mutuamente (natildeo haacute necessidade de um fio neutro nas redes de transmissatildeo e distribuiccedilatildeo de alta voltagem) ( ) + ( ) + ( ) = 0

30deg

30deg minus

∆ 30deg

30deg

30deg +

496

Aulas de eletromagnetismo ndash Joseacute Arnaldo Redinz ndash Capiacutetulo 11 ndash versatildeo 31

2) Considere um circuito RLC seacuterie A frequumlecircncia de ressonacircncia desse circuito eacute = 1radic A fonte senoidal

que alimenta esse circuito possui amplitude e frequumlecircncia = 100 Vamos discutir um pouco sobre esse

circuito

A reatacircncia indutiva eacute

= = 100 = 100radic = 100

A reatacircncia capacitiva eacute

= 1 = 1100 = 1100radic = 1100

Vemos que o circuito eacute (muito) predominantemente indutivo pois = 10

A impedacircncia do circuito eacute

= + ( minus ) = + (10 minus ) cong +

O acircngulo de fase eacute tan( ) = minus = 10 minus cong

Mesmo sendo (muito) predominantemente indutivo e estando muito longe da ressonacircncia este circuito pode

ainda apresentar um comportamento resistivo se ≫ pois nesse caso valem

cong + rarr tan( ) cong rarr 0

Esse seria o caso por exemplo de um chuveiro eleacutetrico Por isso para um chuveiro eleacutetrico podemos usar que

lang ( )rang = =

A Figura ao lado ilustra o diagrama fasorial para esse circuito Nele

observamos que o fasor eacute muito maior que o fasor (deveria ser 10 vezes

maior) mas mesmo assim eacute muito menor que pois a resistecircncia eacute por

hipoacutetese muito maior que A ideia eacute simples mesmo estando longe da

ressonacircncia posto que = 100 o circuito ainda possui um comportamento

basicamente resistivo pois sua resistecircncia eleacutetrica eacute muito maior que suas

reatacircncias Esse eacute o caso de muitos aparelhos cujo funcionamento se baseia no efeito Joule como chuveiros

eleacutetricos ferros de passar roupa secadores de cabelo etc

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