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Contedo Captulo 3 ...................................................................................................................................2

Funes ...................................................................................................................................2

Funo de 1 grau.................................................................................................................2

Exerccios ............................................................................................................................6

Gabarito ............................................................................................................................. 13

Funo quadrtica ou funo do 2 grau ............................................................................. 15

Exerccios .......................................................................................................................... 22

Gabarito ............................................................................................................................. 29

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Captulo 3

Funes

Funo de 1 grau Chama-se funo polinomial do 1 grau, oufuno afim, a qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0.

Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente de x e o nmero b chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 1 grau, y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy. Por exemplo, vamos construir o grfico da funo y = 3x - 1:

Como o grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los com o auxlio de uma rgua:

a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

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x y

0 -1

0

J vimos que o grfico da funo afim y = ax + b uma reta.

O coeficiente de x, a, chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, est ligado inclinao da reta em relao ao eixo Ox.

O termo constante, b, chamado coeficiente linear da reta.

Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Chama-se zero ou raiz da funo polinomial do 1 grau f(x) = ax + b, a 0, o nmero real xtal que f(x) = 0. Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos:

Obteno do zero da funo f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0

Clculo da raiz da funo g(x) = 3x + 6: g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

Clculo da abscissa do ponto em que o grfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas:

O ponto em que o grfico corta o eixo dos x aquele em que h(x) = 0; ento: h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Funo crescente ou decrescente

Consideremos a funo do 1 grau y=3x-1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

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x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Perceba que, quando aumentamos o valor de x, os valores correspondentes de y tambm aumentam. Dizemos ento que a funo y = 3x - 1 crescente. Observe o seu grfico:

Regra geral:

- a funo do 1 grau f(x) = ax + b crescente quando o coeficiente de x positivo (a > 0); - a funo do 1 grau f(x) = ax + b decrescente quando o coeficiente de x negativo (a < 0);

Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, ento ax1 < ax2. Da, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

para a < 0: se x1 < x2, ento ax1 > ax2. Da, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Sinal da funo do 1 grau

Estudar o sinal de qualquer funo y = f(x) determinar os valor de x para os quais y positivo, os valores de x para os quais y zero e os valores de x para os quais y negativo.

Considerando uma funo afim y = f(x) = ax + b, vamos estudar seu sinal. J

vimos que essa funo se anula pra raiz . H dois casos possveis: 1) a > 0 (a funo crescente)

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y > 0 ax + b > 0 x >

y < 0 ax + b < 0 x < Concluso: y positivo para valores de x maiores que a raiz; y negativo para

valores de x menores que a raiz

2) a < 0 (a funo decrescente)

y > 0 ax + b > 0 x <

y < 0 ax + b < 0 x > Concluso: y positivo para valores de x menores que a raiz; y negativo para

valores de x maiores que a raiz.

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Exerccios

1) Dada a funo f(x) = 4x + 5, determine x tal que f(x) = 7.

2) O preo a pagar por uma corrida de txi depende da distncia percorrida. A tarifa P composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte varivel que depende do nmero d de quilmetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilmetro rodado, R$ 1,20.

a) Expresse o preo P em funo da distncia d percorrida.

b) Quanto se pagar por uma corrida em que o txi rodou 10 km?

c) Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distncia percorrida pelo txi.

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3) Em uma corrida de txi, o usurio ou cliente deve pagar R$ 5,00 de "bandeirada" (valor inicial que se paga fixado no taxmetro) e R$ 2,00 por cada quilmetro rodado. Seja x a distncia percorrida por um txi e y o preo a ser pago pela corrida; responda:

a) Que funo matemtica representa essa situao?

b) Quanto pagaria um cliente ou usurio de um txi, se fizesse uma corrida de 3,5 km ?

4) Dada a funo f(x) = -2x + 3, determine f(1).

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5) Determine a lei da funo cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique:

a) Se a funo crescente ou decrescente

b) A raiz da funo

c) o grfico da funo

d) Calcule f(-1).

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6) Classifique cada uma das funes seguintes em crescente ou decrescente e justifique sua responsta:

a) y = 4x + 6

b) f(x) = - x + 10

7) Estude a variao de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funes do 1 grau:

a) f(x) = x + 5

b) f(x) = -3x + 9

c) f(x) = 2 - 3x

d) f(x) = -2x + 10

e) f(x) = - 5x

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8) Em determinada regio, apenas atuam as empresas A e B de telefonia celular. Para os servios bsicos, a tarifa mensal cobrada pela empresa A composta de um valor fixo de R$ 64,00 mais R$ 2,00 para cada chamada efetuada. Na empresa B, esses valores so R$ 56,00 e R$ 2,40, respectivamente. Com relao a essas empresas, julgue a afirmao que se segue.

Se o usurio souber que far mais de 20 chamadas por ms, para ele ser mais vantajoso ser cliente da empresa A.

9) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final L ser dado em funo das x unidades vendidas. Responda:

a) Qual a lei dessa funo f ?

b) Para que valores de x tm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso?

c) Para que valores de x haver um lucro de R$ 315,00?

d) Para que valores de x o lucro ser maior que R$280,00?

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10) Examinando a grfico da funo do 1 grau f(x) , da figura abaixo, classifique cada afirmativa em verdadeira ( V ) ou em falsa ( F ) :

a) ( ) Se x > 2 , ento f(x) < 0

b) ( ) Se x < 0 , ento f(x) < 0

c) ( ) Se x = 0 , ento f(x) = 1

d) ( ) Se x > 0 , ento f(x) < 0

e) ( ) Se x < 0 , ento f(x) > 1

f) ( ) Se x < 2 , ento f(x) > 0

11) Em uma determinada loja, o salrio mensal fixo de um vendedor de R$ 240,00. Alm disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.

a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em funo do nmero (u) de unidades vendidas.

b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salrio de R$ 696,00?

c) Determine o domnio e a imagem desta funo.

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12) Um vendedor recebe mensalmente um salrio composto de duas partes: R$ 1.000 a parte fixa, e uma parte varivel que corresponde a uma com comisso de 18% do total de vendas que ele fez durante o ms.

a) Expressar a funo que representa seu salrio mensal.

b) calcular o salrio do vendedor durante um ms, sabendo-se que vendeu R$ 10.000 em produtos.

13) Na produo de peas, uma indstria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo varivel de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o nmero de unidades produzidas:

a) escreva a lei da funo que fornece o custo total de x peas.

b) calcule o custo para 100 peas.

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14) A reta, grfico de uma funo afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa funo e calcule f(16).

Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

a v

b v

c v

d v

e v

f v

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1) S = { 1/2}

2) a) P = 1,2d + 6 b) R$ 18,00 c) 11,66 km

3) a) y = 2x + 5 b) Pagaria R$ 12,00

4) f(1) = 1

5) a) funo crescente b) x = -8 d) f(-1) = 7/2

6) a) Crescente b) Decrescente

7)

8) Correto

9) a) L(x) = 5x - 230 b) x < 46 c) x = 109 d) x = 102

11) a) S = 12q + 240 b) 38 unidades c) D = {q R / q > 0} I = {S R / s > 240}

12) a) S = 1000 + 0,18V b) S = R$ 2800,00

13) a) C(x) = 0,5x + 8 b) R$ 58,00

14) f(x) = 9x - 45 f(16) = 99

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Funo quadrtica ou funo do 2 grau

Chama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so nmeros reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funes quadrticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, uma curva chamada parbola.

Por exemplo, vamos construir o grfico da funo y = x2 + x:

Primeiro atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

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Observao:

Ao construir o grfico de uma funo quadrtica y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo;

Zeros ou razes da funo do 2 grau

hamam-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os nmeros reais x tais que f(x) = 0.

Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as solues da equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula de Bhaskara:

Temos:

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Observao:

A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando positivo, h duas razes reais e distintas; quando zero, h s uma raiz real (para ser mais preciso, h duas razes

iguais); quando negativo, no h raiz real.

Coordenadas do vrtice da parbola

Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo V; quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V so . Veja os grficos:

Imagem

O conjunto-imagem Im da funo y = ax2 + bx + c, a 0, o conjunto dos valores que y pode assumir. H duas possibilidades:

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1 - quando a > 0,

a > 0

2 quando a < 0,

a < 0

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Construo da parbola

possvel construir o grfico de uma funo do 2 grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observao seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parbola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dos x;

3. O vrtice V indica o ponto de mnimo (se a > 0), ou mximo (se a<

0);

4. A reta que passa por V e paralela ao eixo dos y o eixo de simetria da

parbola;

5. Para x=0 , temos y = a02 + b0 + c = c; ento (0, c) o ponto em que a

parbola corta o eixo dos y.

Sinal da funo quadrtica

Considere uma funo quadrtica y = f(x) = ax2 + bx + c. Vamos determinar os valores de x para os quais y negativo e os valores de x para os quais y positivo.

Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1 - > 0 Nesse caso a funo quadrtica admite dois zeros reais distintos (x1 x2). A parbola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da funo o indicado nos grficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2) y < 0 x1 < x < x2

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quando a < 0

y > 0 x1 < x < x2 y < 0 (x < x1 ou x > x2)

2 - = 0

quando a > 0

quando a < 0

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3 - < 0

quando a > 0

quando a < 0

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Exerccios 1) Qual o valor de m para que f(x) = (2m + 4)x2 - 5x + 17 tenha por grfico uma parbola com concavidade voltada para cima?

2) O nmero de ocorrncias registradas das 12 s 18 horas em um dia do ms de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, dado por f(t) = - t2 + 30t - 216, em que 12 < t < 18 a hora desse dia. Pode-se afirmar que o nmero mximo de ocorrncias nesse perodo do dia foi?

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3) D o valor de p, de modo que y = x2 + 2x + p tenha raizes iguais

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4) Esboce o grfico das funes:

a) y = x2 - 6x + 9 b) y = x2 + x + 1

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5) Dada a funo quadrtica f(x) = -2.x2 + 4.x - 9, as coordenadas do vrtice do grfico da parbola definida por f(x), :

6) (UFPE) A rea mxima de um retngulo de 12 m de permetro

a) 3 m

b) 6 m

c) 9 m

d) 12 m

e) nda

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7) (UFSE) O grfico de y = -2x2 - x uma parbola com vrtice em

a)

b)

c)

d)

e)

8) (UF-AM) Um goleiro chuta uma bola e a trajetria obedece a lei y = -4x2 + 24x. A altura mxima

a) 36

b) 34

c) 30

d) 28

e) 24

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9) (PUC) A trajetria de um projtil se d por , unidades em km, a altura mxima atingida pelo projtil

a) 40 m

b) 64 m

c) 16,5 m

d) 32 m

e) 62,5 m

10) (Fumarc) O Sr. Joo um economista aposentado que resolveu melhorar sua qualidade de vida comprando uma pousada com 40 sutes em uma bela regio praiana. Com base em dados do proprietrio anterior, ele deduziu duas funes para gerenciar seu negcio: a funo do preo (p) por diria da sute (x) e a da receita (R). As funes foram definidas, respectivamente, por:

P(x) = - 5x + 350 e R(x) = - 5x2 + 350x.

Considerando essas funes, o preo que o Sr. Joo deve cobrar para maximizar a receita

a) R$ 150,00

b) R$ 175,00

c) R$ 190,00

d) R$ 200,00

e) R$ 225,00

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11) A funo f definida por f(x) = - x2 + ax + b tem valor mximo igual a 4 para x = 1. Ento, os valores dos parmetros reais a e b so:

a) a = 2 e b = 4

b) a = 1 e b = 5

c) a = -1 e b = 5

d) a = -2 e b = 4

e) a = -2 e b = -4

12) Qual o valor de k no grfico a seguir, considerando que o mesmo de uma funo do 2 grau?

a) 5

b) 7

c) 10

d) 9

e) 8

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13) (Cesgranrio) A raiz da funo f(x) = 2x - 8 tambm raiz da funo quadrtica g(x) = ax2 + bx + c. Se o vrtice da parbola, grfico da funo g(x), o ponto V(-1, -25), a soma a + b + c igual a

a) -25

b) -24

c) -23

d) -22

e) -21

Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

a x

b x

c x

d

e x x x x

1) m > - 2

2) 9 ocorrncias

3) p = 1

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4)

5) V(1, -7)