Aurora Pozo. É um dos mais conhecidos e poderosos para obtenção de raízes de equações...
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Aurora Pozo
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É um dos mais conhecidos e poderosos para obtenção de raízes de equações não-lineares.
Considere uma função f(x) continua e diferençável no intervalo [a,b].
A função possui, portanto, tangente única em cada ponto do intervalo.
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Teorema: Se f(a) * f(b) < 0 e f’ e f’’ forem não nulas e
preservarem o sinal em [a; b], então partindo-se de uma aproximação inicial x0 2 [a; b] tal que f(x0) £ f00(x0) > 0 é possível gerar, pelo Método de Newton, uma sequência de aproximações xk que converge para a raiz de f(x) = 0.
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O Método de Newton-Raphson tem convergência muito boa (quadrática).
Entretanto, apresenta as seguintes desvantagens:(i) Exige o cálculo e a análise do sinal de f’ e f’’(ii) Se f’(xk) for muito elevado a convergência será lenta(iii) Se f’(xk) for próximo de zero pode ocorrer overflow
Para contornar o item (i), o qual é necessário para a escolha da aproximação inicial, é comum apenas calcular-se o valor da função e o de sua derivada segunda nos extremos a e b, considerando para x0 o extremo que satisfazer a condição f’(x0)f’’(x0) > 0.
Para tanto, é importante que o intervalo [a; b] considerado seja sucientemente pequeno, de forma a minimizar a possibilidade de variação de sinal de f’ e f’’.
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Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson Um grande inconveniente é a necessidade
da obtenção de f’(x)f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração
Forma de desvio do inconveniente
Substituição da derivada f’(xf’(xkk)) pelo
quociente das diferenças
f’(xf’(xkk) ≈ [f(x) ≈ [f(x
kk) - f(x) - f(xk-1k-1)]/(x)]/(x
kk - x - xk-1k-1))
onde xxk-1k-1 e xxkk são duas aproximações para a raiz
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A função de iteração será
g(x) g(x) = x= xkk - f(x - f(x
kk)/)/[(f(x[(f(xkk) - f(x) - f(x
k-1k-1))/(x))/(xkk - x - x
k-1k-1)])]
= = (x(xkk - x - xk-1k-1)) . f(x . f(x
kk)/)/[f(x[f(xkk) - f(x) - f(x
k-1k-1)])]
= [x= [xk-1 k-1 .f(x.f(x
kk) – ) – xxk k .f(x.f(xk-1k-1)])]//[f(x[f(x
kk) - f(x) - f(xk-1k-1)])]
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)]x()x([)]x(.x)x(.[x
=g(x)1 - kk
1 - kkk1 - k
ffff
-
-
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A partir de duas aproximações xxk-1k-1 e xxkk
Obtém-se o ponto xxk+1k+1 como sendo a abscissa do ponto
de intersecção do eixo oxox e da reta que passa pelos pontos (xxk-1 k-1 , f(x, f(x
k-1k-1)) ) e (xxk k , f(x, f(xkk)) ) (secante à curva da
função)
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Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada.
Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada.
x
1a iteração
2a iteração
3a iteração4a iteração
f(x)
x1xx00 x2
x3 x4
x5
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Testes de Parada A cada iteração, testa-se se a
aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.
||f(xf(xkk))||
||((x((xk+1k+1 – x – x
kk)/x)/xk+1k+1 ) )||
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Algoritmok := 0; x0 := X0; x1 := X1
while critério de interrupção não satisfeito and k k L Lk := k +1;
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1)) endwhile
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Vantagens:Vantagens: Rapidez processo de convergência; Cálculos mais convenientes que do método
de Newton; Desempenho elevado.
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Desvantagens:Desvantagens: Se o cálculo f’(x)f’(x) não for difícil, então o
método logo será substituído pelo de Newton-Raphson;
Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante Secante ;
Difícil implementação.
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