OFICINA DA PESQUISA

DISCIPLINA: LÓGICA MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL

APOSTILA 2 – CONCEITOS BÁSICOS

Autor do Conteúdo: Prof. Msc. Júlio Cesar da Silva

juliocesar@eloquium.com.br

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Alterações eventuais e acréscimos:

Prof. Msc. Carlos José Giudice dos Santos

carlos@oficinadapesquisa.com.br

www.oficinadapesquisa.com.br

O que é lógica?• Lógica é o estudo do pensamento coerente;

• Lógica é a ciência do raciocínio;

• Lógica é a análise de proposições e de seusmembros componentes.

O que é inferência?

Inferência ou ilação é a operação ou ato intelectualem que se conclui que uma proposição é verdadeira emfunção de premissas anteriores já reconhecidas comoverdadeiras.

Classificação das inferências

Inferências

• Dedutivas

• Indutivas

• Abdutivas

Inferências DedutivasA inferência dedutiva é derivada da razão, da lógica. Ométodo dedutivo é derivado do racionalismo, e aformulação de uma inferência dedutiva obedece a umalógica irrefutável, que não admite erros. As principaiscaracterísticas de uma dedução são:

• Parte de uma afirmação comprovadamente verdadeirae de caráter universal;

• Confirma um caso particular a partir da afirmaçãogeral (ou seja, parte do geral para o particular);

• A confirmação geralmente acontece no presente;

• Não existe possibilidade de erro em sua confirmação.

Inferências DedutivasExemplo: Todos os ovos da cesta “A” são de galinha.Este ovo é da cesta “A”. Logo, é um ovo de galinha.

A dedução só acontece se a premissa inicial forverdadeira e de caráter universal. Assim, se eu faloque todos os ovos da cesta “A” são de galinha, foiporque a cesta foi examinada previamente, ovo a ovo.Se alguém pega um ovo desta cesta (no tempopresente), então eu posso dar uma informação sobreesse ovo particular, baseada na afirmação geral: seeste ovo é desta cesta, posso confirmar com certezaque é um ovo de galinha!

Inferências IndutivasA inferência indutiva é derivada da experiência. O método indutivo éderivado do empirismo, e a formulação de uma inferência indutivanão obedece a uma lógica irrefutável, ou seja, a inferência indutivapode não ser confirmada. Isto não quer dizer que nunca seráconfirmada, mas apenas que existe a possibilidade de erro. Asprincipais características de uma indução são:

• Parte de um caso particular;

• Evidencia uma característica deste caso particular;

• A partir dessa característica evidenciada, formula uma regrageral (sempre generaliza);

• Existe possibilidade de erro em sua confirmação, pois essahipótese só pode ser confirmada no futuro, pois depende daexperiência para a sua confirmação.

Inferências IndutivasExemplo: Estes ovos são da cesta “A”. Estes ovos são degalinha. Logo, todos os ovos da cesta “A” são de galinha.

A indução parte de um caso particular (estes ovos, e nãotodos!). Verifica uma característica que é comum a estesovos (são ovos de galinha). A partir dessa constatação,sem olhar os outros ovos da cesta, generaliza, afirmandoque todos os ovos da cesta são de galinha. A possibilidadede erro existe, porque só poderemos confirmar seolharmos todo os ovos da cesta. Esta confirmação só vaiocorrer no futuro. Pode ser que no meio da cesta,encontremos um ovo de pato ou de codorna.

Inferências AbdutivasA inferência abdutiva depende tanto da lógica como daexperiência. A inferência abdutiva se parece muito com adedução, principalmente porque, para que ela possa serformulada, também depende que a premissa inicial sejacomprovadamente verdadeira e de caráter universal.Entretanto, ao contrário da dedução, que confirma umcaso particular a partir da afirmação geral, a abduçãotenta confirmar a afirmação geral a partir do casoparticular. Em outras palavras, a abdução recorre ao casoparticular, e as evidências que podem confirmar se essecaso particular pertence ou não à regra geral estão nopassado. A abdução é uma aposta no passado.

Inferências AbdutivasPara quem gosta de filmes de detetive, em que um crime deve serdesvendado, fica mais fácil entender o que é uma abdução: ocrime já ocorreu, mas as evidências que vão solucionar o crime(fatos) falam do passado (tempo em que ocorreu o crime).

As principais características de uma abdução são:

• Parte de uma afirmação comprovadamente verdadeira e decaráter universal;

• Confirma a afirmação geral a partir de um caso particular;

• A confirmação geralmente acontece no passado (as evidênciasestão no passado);

• Existe possibilidade de erro em sua confirmação (o que nãosignifica que sempre dará erro);

Inferências AbdutivasExemplo: Todos os ovos da cesta “A” são de galinha. Esteovo é de galinha. Logo, este ovo é da cesta “A”.

Neste exemplo, temos certeza que todos os ovos da cesta“A” são de galinha. De repente, aparece um ovo de galinhaque não estava na cesta. Que conclusão pode-se tirarsobre este ovo? Existe a possibilidade que ele seja dacesta “A”, mas existe uma dúvida. Para podermosconfirmar, teremos que levantar a “história” deste ovoque apareceu depois, para sabermos se realmente ele veio(passado) da cesta “A”. Pode ser que ele tenha vindo deuma cesta “B” e não da cesta “A”.

O que é lógica matemática?Lógica matemática é um conjunto de estudostendentes a expressar em linguagem matemática asestruturas e operações do pensamento, deduzindo-asde número reduzido de axiomas, com a intenção decriar uma linguagem rigorosa e adequada aopensamento científico, tal como o concebe a tradiçãoempírico-positivista.

Pergunta: Qual é o significado das palavrassublinhadas?

Proposições

ProposiçõesLeia atentamente a questão de concurso abaixo:

Em uma pequena cidade só há ônibus verdes e amarelos.Considere a seguinte afirmação:

“Qualquer ônibus verde não passa pela prefeitura”

Pode-se concluir que:

a) Todo ônibus amarelo passa pela prefeitura.

b) Todo ônibus que passa pela prefeitura é amarelo.

c) Um ônibus que não passa pela prefeitura é certamenteverde.

d) Alguns ônibus que passam pela prefeitura são verdes.

e) Alguns ônibus verdes passam pela prefeitura.

Proposições• Uma proposição é uma sentença declarativa e afirmativa,

que deve exprimir um pensamento de sentido completo, ouseja, que seja suficiente para atribuir um valor lógico àsentença: verdadeiro ou falso.

• Por exemplo, a sentença “Dez é menor que sete” é umaproposição, que é falsa.

• Algumas sentenças não são proposições, de acordo com alógica matemática clássica, por não terem um valor lógicodefinido. Por exemplo: “Maria é muito gulosa” e “Hoje fezmuito calor”.

• Diz-se que o valor lógico de uma proposição é a verdade (ou1 – um) se a proposição for verdadeira, e a falsidade (0 –zero) se for falsa.

Lógica matemática e as proposiçõesA Lógica matemática adota como regrasfundamentais dois princípios (ou axiomas).

1. PRINCÍPIO DA NÃO NEGAÇÃO: uma proposiçãonão pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

2. PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Todaproposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é,verifica-se sempre um destes casos e nunca umterceiro.

Logo, podemos concluir que a lógica matemática ébivalente!

PROPOSIÇÕES

Definição:

• Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ousímbolos que exprimem um pensamento de sentidocompleto.

• As proposições afirmam fatos ou exprimem juízos.

Exemplos:

• A Lua é um satélite da Terra (verdadeiro ou 1)

• π < 2 (falso ou 0)

• Nafta, Mercosul e Zona do Euro são blocos econômicos(verdadeiro ou 1)

VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES

Definição:

• Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se aproposição é verdadeira e a falsidade se a proposição éfalsa.

• Os valores lógicos verdade e falsidade são abreviadospelas letras V ou F.

• Pelo principio do terceiro excluído: toda a proposiçãotem um, e um só, dos valores V ou F.

EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES

Verifique se os exemplos abaixo são proposições, e seforem, qual o seu valor lógico:

A. A copa do mundo em 2014 foi realizada naAlemanha.

B. 3/5 é um número inteiro.

C. 32 = 9

D. O número π é um número racional.

EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES

Em uma ilha existem 13 palmeiras: 10 palmeiras deram13 cocos, uma outra deu 7 cocos e a outra deu 5cocos. A partir destas informações, questiona-se:

QUANTOS COCOS EXISTEM NESSA ILHA?

CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES

As proposições podem ser classificadas em simples(ou atômicas) e compostas (ou moleculares).

Chama-se proposição simples ou proposição atômicaaquela que não contém nenhuma outra proposiçãocomo parte de si mesma.

Chama-se proposição composta ou proposiçãomolecular aquela formada pela combinação de duas oumais proposições.

PROPOSIÇÕES SIMPLES

As proposições simples são designadas com letrasminúsculas (p, q, r, s) chamadas de letrasproporcionais.

Exemplos:

• p: Carlos é aluno do Pitágoras.

• q: Messi ganhou a bola de ouro em 2015.

• r: O número 25 é quadrado perfeito.

• s: João é gordo.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

As proposições compostas são designadas por letrasmaiúsculas (P, Q, R), também chamadas de letrasproporcionais.

Exemplos:

• P: Carlos é aluno e Júlio é professor

• Q: Dois é um numero par e três é um numero ímpar.

• R: Santos Dumont é o inventor do avião e do relógiode pulso e do chuveiro de água quente.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

As proposições compostas também são chamadas defórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.

Em alguns casos pode-se também dizer que umaproposição composta P é formada pelas proposiçõessimples p, q, r, ... , e escreve-se desta forma:

P (p,q,r,….)

EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES

Classifique as proposições seguintes como simples oucompostas, justifique a sua resposta:

1. p: Pedro é estudante.

2. q: A Mangueira foi a escola de samba campeã nocarnaval do Rio em 2016.

3. Q: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

4. R: O programa é bom e a internet é lenta.

CONECTIVOS

Chama-se de conectivos, palavras que são usadas para formarnovas proposições a partir de outras. Os conectivos maisconhecidos são: e, ou, não, se...então, ...se e somente se...

Exemplos:

1. P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

2. Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isóceles.

3. r: Não está chovendo.

4. S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática.

5. T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se éequiângulo.

CONECTIVOS

Alguns conectivos podem ser expressos por símbolos. Vejamosalguns exemplos:

TABELA-VERDADE

Segundo o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposiçãosimples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem o valor lógico V(verdade) ou o valor lógico F (falsidade).

TABELA-VERDADE

Em se tratando de uma proposição composta, adeterminação do seu valor lógico, conhecidos osvalores lógicos das proposições simples, se faz combase no seguinte princípio:

• O valor lógico de qualquer proposição compostadepende unicamente dos valores lógicos dasproposições simples componentes, ficando por elesunivocamente determinado.

• Para que possamos seguir este principio fazemosuso de um dispositivo chamado tabela-verdade.

TABELA-VERDADE

Seja P uma proposiçãocomposta cujas proposiçõessimples são p e q.

Exemplo:

P = Maria é aluna e ganhouum prêmio.

p = Maria é aluna

q = (Maria) ganhou umprêmio

TABELA-VERDADE

Construa a Tabela-Verdade para as seguintes proposições:

1. p

2. P = (p,q,r)

3. O trem é azul.

4. Q = João é irmão de Maria e é caçador de bruxas.

5. R = Darth Vader é um sith e é pai de Luke Skywalker eé pai da Princesa Leia.

6. S = Um polígono com quatro ângulos retos é umquadrado ou é um retângulo

NOTAÇÃOO Valor Lógico de uma proposição simples é indicado porV(p). Assim exprime-se que uma proposição p é verdadeira(V) escrevendo-se V(p) = V. Caso a proposição p sejafalsa (F), escreve-se V(p) = F.

Classifique as expressões seguintes de acordo com o seuvalor lógico:

1. O Brasil é um país.

2. A raiz da equação x-1 = 0 é 1.

3. Um pentágono tem 10 lados.

NOTAÇÃODe modo análogo, o Valor Lógico de uma proposiçãocomposta é indicado por V(P). Assim exprime-se que umaproposição P é verdadeira (V) escrevendo-se V(P) = V.Caso a proposição P seja falsa (F), escreve-se V(P) = F.

Determine o valor lógico das proposições abaixo:

1. O céu é azul e o mar é vermelho

2. Santos Dumont morreu de velhice

3. O número 144 é um cubo perfeito

4. (3x5) = (20-5)