Avaliao

PAPMEM Julho de 2012

NOME: ________________________________________

1) Um poliedro convexo possui 2012 faces, todas triangulares. Quantas vrtices ele possui?

2) Considere n circunferncias distintas em um plano. Qual o nmero mximo de pontos de interseo entre elas?

3) No tringulo ABC, retngulo em A, tem-se AB = 4 e AC = 3. O ponto V tal que CV perpendicular ao plano de ABC e CV = 2.a) Calcule o volume do tetraedro VABC.b) Explique por que as retas AV e AB so perpendiculares.

4) Uma urna contm 8 bolas, sendo 4 brancas e 4 pretas. Se 4 pessoas, com os olhos vendados, retiram 2 bolas cada uma, qual a probabilidade de todas elas retirarem bolas de cores diferentes (uma branca e uma preta cada uma)?

Solues

1) Os 2012 tringulos possuem um total de

2012 3 = 6036 lados que formaro

60362

= 3018 arestas. Como o poliedro convexo,

V A + F = 2 o que d

V = 3018 2012 + 2 = 1008 .

2) H vrias formas de resolver. Vejamos uma delas.Seja

an o nmero mximo de pontos de interseo entre n circunferncias. Como a circunferncia de ordem

n +1 dever cortar todas as n circunferncias j desenhadas ento, no mximo,

2n pontos sero acrescentados. Como

an+1 an = 2n , a sequncia dos

an uma progresso aritmtica de segunda ordem. Como

a1 = 0,

a2 = 2 e

a3 = 6, encontramos

an = n2

n .

3) a) O tetraedro VABC uma pirmide cuja rea da base igual a 6

234

=

e cuja

altura igual a 2. Logo, seu volume 4

326

=

.b) Como ABC retngulo em A, AB perpendicular a AC. Como VC perpendicular ao plano de ABC, VC ortogonal a AB. Portanto, AB perpendicular ao plano VAC, por ser ortogonal a duas retas no paralelas desse plano. Em conseqncia, AB perpendicular a todas as retas de VAC que passam por A; em particular, AB perpendicular a AV.

4) Cores diferentes. A primeira bola da primeira pessoa pode ser qualquer uma (probabilidade 1). Aps a primeira pessoa retirar a primeira bola, sobram 3 da mesma cor e 4 da cor oposta. Assim, a probabilidade de a segunda bola da segunda pessoa ser de cor diferente da sua primeira bola 4/7. Aps a primeira pessoa retirar essas duas bolas de cores diferentes, a primeira bola da segunda pessoa pode ser qualquer uma (probabilidade 1). Sua segunda bola, aps retirada a primeira, ser diferente desta com probabilidade 3/5. Analogamente, a probabilidade de a terceira pessoa tirar duas bolas diferentes aps o mesmo ter ocorrido com as duas primeiras 2/3 . Ocorrido isso, a quarta pessoa necessariamente retirar duas bolas diferentes.

Assim, a probabilidade pedida

47

35

23

=

835