AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA DE ENTRADA...malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de...

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

DE ENTRADA

MATERIAL DE APOIO PARA O

PROFESSOR

7o ano do Ensino Fundamental

Prova de Matemática

São Paulo

1o Semestre de 2020

2 Avaliação Diagnóstica de Entrada • Comentários e Recomendações Pedagógicas – 7o ano do Ensino Fundamental

Avaliação Diagnóstica de Entrada

APRESENTAÇÃO

A política educacional da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo explicita

em seu Plano Estratégico 2019-2022 a nossa missão: ”garantir a todos os

estudantes aprendizagem de excelência e a conclusão de todas as etapas da

educação básica na idade certa”.

Para alcançar esse propósito, os processos avaliativos exercem um papel

essencial. As avaliações diagnósticas e formativas se complementam com a

finalidade de apoiar o trabalho dos professores, direcionando-o para as

necessidades de aprendizagem dos estudantes. Aqui se inserem a Avaliação

Diagnóstica de Entrada – ADE - e a Avaliação da Aprendizagem em Processo –

AAP - que neste ano estão planejadas de forma articulada ao Calendário Escolar

2020, em momentos-chave do ano para utilização de seus resultados como apoio

às escolas, oferecendo suporte às Semanas de Estudos Intensivos, às ações

contínuas de recuperação, aprofundamento e replanejamento ao longo dos

bimestres.

O desenho pedagógico das avaliações aplicadas a todos os anos/séries do ensino

fundamental e do ensino médio, que inclui a ADE e a AAP, está articulado ao

currículo, envolvendo ação integrada dos diferentes departamentos da

Coordenadoria Pedagógica. Adota o Currículo Paulista como referencial no

ensino fundamental, e no ensino médio o currículo oficial ainda vigente para esta

etapa.

A Avaliação Diagnóstica de Entrada – ADE – que constitui o conteúdo deste

primeiro documento – aplicada no início do ano letivo, é focada exclusivamente

nas habilidades de anos/séries anteriores essenciais para o percurso

educacional dos estudantes, necessárias à aquisição das habilidades do currículo

previstas para o ano a ser iniciado. Permitirá a identificação, de forma mais

precisa, das reais necessidades de aprendizagem dos estudantes, explicitando

tanto as habilidades que mais dominam como aquelas que necessitam de maior

atenção.

Já as AAP, enquanto avaliações formativas bimestrais, trarão majoritariamente

habilidades previstas no currículo (Currículo Paulista para o ensino fundamental e

currículo oficial ainda vigente no ensino médio) para os respectivos bimestres do

ano em curso e, como inovação, incluirão também algumas habilidades de

percurso - as anteriores que devem ser desenvolvidas ou consolidadas para a

continuidade do processo de aprendizagem.

Além da formulação dos instrumentos de avaliação – Prova do Aluno – foram

elaborados os correspondentes materiais de apoio ao docente, contendo os

Avaliação Diagnóstica de Entrada • Comentários e Recomendações Pedagógicas – 7o ano do Ensino Fundamental 3

quadros de habilidades, questões, gabaritos, orientações para aplicação (no caso

dos anos iniciais do ensino fundamental) e recomendações pedagógicas para

cada prova.

Ao contrário das avaliações de sistema em larga escala, as questões das

avaliações ADE e AAP não são sigilosas. As provas impressas são enviadas para

as Diretorias de Ensino em pacotes abertos, para entrega às escolas, e publicadas

na Intranet ao final da sua aplicação. Isso porque é um material de apoio para o

trabalho pedagógico. Sendo assim, é fundamental que todos os envolvidos no

processo se conscientizem da importância de não divulgar os gabaritos enquanto

durar a aplicação, pois isto apenas prejudica a fidedignidade dos diagnósticos e

consequentemente o trabalho pedagógico a partir das necessidades dos

estudantes.

Os registros resultantes da ADE, das AAP e do Saresp, inseridos na Secretaria

Escolar Digital - SED e apresentados na Plataforma Foco Aprendizagem,

agregados aos que a escola e o professor já possuem a partir de suas avaliações

internas, oferecem informações preciosas para o planejamento, replanejamento

e acompanhamento das ações pedagógicas, sobretudo aquelas relacionadas aos

processos de recuperação e aprofundamento.

Esperamos que as avaliações e orientações pedagógicas sejam efetivamente

subsídios concretos à ação docente para a necessária intervenção pedagógica a

favor da melhoria da aprendizagem de todos os nossos estudantes.

Coordenadoria Pedagógica (COPED)


Avaliação Diagnóstica de Entrada - Matemática

A premissa básica a respeito de um processo avaliativo deve ser considerada

como instrumento que subsidiará tanto o estudante no seu desenvolvimento

cognitivo, quanto ao professor no redimensionamento de sua prática

pedagógica.

Desta forma, a avaliação da aprendizagem passa a ser um instrumento que

auxiliará o educador a atingir os objetivos propostos em sua prática educativa,

neste caso a avaliação sob essa ótica deve ser tomada na perspectiva diagnóstica,

servindo como instrumento para detectar as dificuldades e possibilidades de

desenvolvimento do educando.

Neste sentido, as 12 questões que constam deste caderno, procuram verificar o

nível de desenvolvimento das habilidades descritas para a Avaliação Diagnóstica

de Entrada 2020 de Matemática que subsidiarão o trabalho no ano letivo.

Assim, a avaliação haverá que ser percebida como um processo de mapeamento

e da diagnose do processo de aprendizagem, ou seja, a obtenção de indicadores

qualitativos do processo de ensino-aprendizagem no trabalho docente.

Seguindo esta concepção, o Currículo Paulista destaca que:

[...] a avaliação produz informações valiosas no que diz respeito à aprendizagem

dos estudantes, às necessidades de recuperação e de reforço das aprendizagens,

à própria prática em sala de aula, permitindo adequações e mudanças

metodológicas.

Desta forma, avaliar demanda um olhar atento do professor em relação aos

avanços, assim como pensar em instrumentos pelos quais possa, de fato,

diagnosticar as aprendizagens dos estudantes e seus níveis de proficiência a

respeito do que lhes foi ensinado e planejar ações necessárias para que todos

possam aprender. SÃO PAULO, 2018, p. 42

É importante salientar que as observações que constam nos Comentários e

Recomendações Pedagógicas deste caderno são pressupostos de resolução,

cabendo ao professor analisar os registros dos estudantes.

É importante o professor realizar uma análise de acordo com a realidade do

processo de ensino-aprendizagem desenvolvido em sala de aula.

EQUIPE CURRICULAR DE MATEMÁTICA

COPED – CEFAF e CEM


AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA DE ENTRADA

Matriz de Referência – 7o ano do Ensino Fundamental

Questão Habilidade

1 Comparar perímetros e áreas de figuras planas representadas em

malhas quadriculadas.

2 Determinar área e perímetro de uma figura utilizando composição

ou decomposição de figuras.

3 Determinar área e perímetro de uma figura utilizando composição

ou decomposição de figuras.

4

Estabelecer relações entre números naturais tais como “ser

múltiplo de”, “ser divisor de” e reconhecer números primos e

números compostos.

5 Realizar as operações de adição e subtração de frações com

denominadores diferentes.

6 Resolver situações-problema envolvendo diferentes

representações de números racionais.

7 Efetuar transformações de unidades de medida de comprimento,

massa ou capacidade.

8

Estabelecer relações entre números naturais tais como “ser

múltiplo de”, “ser divisor de” e reconhecer números primos e

números compostos.

9 Resolver situações-problema envolvendo diferentes

representações de números racionais.

10 Efetuar transformações de unidades de medida de comprimento,

massa ou capacidade.

11 Comparar perímetros e áreas de figuras planas representadas em

malhas quadriculadas.

12 Realizar as operações de adição e subtração de frações com

denominadores diferentes.


GABARITO

QUESTÃO A B C D

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X


Habilidade

Comparar perímetros e áreas de figuras planas representadas em malhas quadriculadas.

Questão 01

Seu Mário colocou pisos novos em seu salão de festas. Ele colocou também

rodapé, conforme mostra a figura a seguir.

Considerando que na porta não vai rodapé e que cada lado do quadradinho mede

1 m é correto afirmar que a área revestida pelo piso é de 23 m2 e a medida do

rodapé é:

(A) 23 m.

(B) 22 m.

(C) 21 m.

(D) 20 m.

Comentários e Recomendações Pedagógicas

A questão apresentada requer que o estudante selecione a medida do perímetro

do polígono e subtraia a medida da porta para achar a medida do rodapé. Essa

questão se relaciona em partes com a habilidade EF04MA21 do Currículo Paulista,

que envolve medir, comparar e estimar área de figuras planas desenhadas em

malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de metades de

quadradinho, reconhecendo que duas figuras com formatos diferentes podem ter

a mesma medida de área.

O uso de malhas quadriculadas, ou ferramentas derivadas das malhas

quadriculadas (como as heliogravuras utilizadas na engenharia, na arquitetura e


no urbanismo) para representar projetos arquitetônicos gera muito interesse nos

estudantes pela beleza das representações e grau de tecnicidade envolvido na sua

composição. Utilizar essa referência como motivação contextual da questão é

muito interessante, e encontra respaldo em diversas obras didáticas que

suportam esse tipo de exemplo, conforme analisado por Santana (2006)1.

Exemplo de uma planta heliográfica. Nota-se, ao fundo, a malha quadriculada.

Para resolver a questão, espera-se que o estudante efetue a soma dos lados

externos dos quadradinhos que estão na borda, para isso deve notar que:

• existem 16 quadrados que compõem o perímetro da figura, porém um deles

corresponde à porta, de forma que não será considerado;

• quatro desses quadrados contribuem com dois lados para o perímetro;

• um deles contribui com dois de seus lados;

• os outros dez contribuem com apenas um lado;

1 SANTANA, W. M. G. O uso de recursos didáticos no ensino do conceito de área: uma análise de livros didáticos para as séries finais do ensino fundamental. 189 f. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-Graduação em Educação. Centro de Educação. Universidade Federal de Pernambuco. Recife, 2006. Disponível em: <https://repositorio.ufpe.br/bitstream/123456789/4478/1/arquivo5348_1.pdf>. Acesso em: 23 dez. 2019.


Portanto, como cada lado de cada quadrado representa 1m, o comprimento do

rodapé será dado pela seguinte expressão:

(4 × 2𝑚) + (1 × 3𝑚) + (10 × 1𝑚) = 21𝑚

O que faz com que a alternativa C (21 m) seja a correta.

Outra maneira de resolver a questão é perceber que o cômodo mostrado no

enunciado é um octaedro não-regular, cujo perímetro será equivalente à soma

dos comprimentos de cada lado, determinados por meio da malha quadriculada.

Ainda, deve ser descontado 1m desse valor, equivalente à porta. Dessa maneira,

o comprimento do rodapé do salão será:

7𝑚 + 1𝑚 + 1𝑚 + 3𝑚 + 5𝑚 + 2𝑚 + 1𝑚 + 2𝑚⏞ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜

−1𝑚⏞ 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎

= 21𝑚

Cujo valor, novamente, apresenta-se na alternativa C.

O estudante pode assinalar a alternativa B (22 m) caso esqueça que o

comprimento da porta não é levado em consideração no cálculo da medida do

rodapé. Já a alternativa A (23 m) pode ser assinalada por estudantes que

confundem o perímetro de uma figura com a sua área, ou supondo

incorretamente que essas grandezas têm valores iguais, e contabilizam que a

figura é formada por 23 quadradinhos. Por fim, a alternativa D (20 m) é escolhida

por estudantes que provavelmente contam a quantidade incorreta de quadrados

que de fato compõem o perímetro da figura, ou ainda por aqueles que subtraem

um lado a mais na hora de descontar a medida da porta.

Sugere-se ao professor, quando perceber que os estudantes apresentaram

dificuldade nessa questão, que dedique – da maneira como for possível em seu

planejamento – algum tempo para percorrer a sequência didática de Perímetro e

Superfície2. Nessa atividade, é possível empregar Metodologias Ativas como a

Aprendizagem entre Pares ou Times: os estudantes são divididos em equipes

(procurando aproximar aqueles com níveis de conhecimento próximos) e

resolvem colaborativamente as situações-problema propostas, discutindo entre

si, buscando caminhos próprios para resolução e apresentando uns aos outros

suas descobertas.

2 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%20%5F%20Per%C3%ADmetro%20e%20Superf%C3%ADcie%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1>. Acesso em: 27 dez. 2019.


Alguns materiais que podem ser úteis para a elaboração dessas atividades:

- De perímetros às áreas. Disponível em:

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=976>. Acesso

em: 29 nov. 2019.

- De que forma o cálculo de área pode proporcionar situações que vão muito além

da aplicação de uma fórmula simples? – Coleção de Aulas. Disponível em:

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaColecaoAula.html?id=491>.

Acesso em: 29 nov. 2019.

- Plano de aula - Quadrados e Tangram. Disponível em:

<https://novaescola.org.br/plano-de-aula/1051/quadrados-e-tangram>. Acesso

em: 29 nov. 2019.

Habilidade

Determinar área e perímetro de uma figura utilizando composição ou decomposição de

figuras.

Questão 02

A figura mostra as medidas aproximadas de uma quadra de tênis oficial. Sabe-se

que o formato desta quadra é retangular e que o perímetro é de

aproximadamente 70 m. Com estas informações, Felipe calculou corretamente os

valores das medidas A e B, em metros.

Assim, pode-se dizer que o valor da soma A+B será:

(A) 8 m.

(B) 9,5 m.

(C) 14,5 m.

(D) 16 m.



A questão apresentada requer que o estudante selecione a medida dos lados A e

B da figura utilizando a medida fornecida do perímetro e dos outros lados da

quadra de tênis. Essa questão se enquadra na habilidade EF07MA32 do Novo

Currículo Paulista, que envolve resolver e elaborar situações-problemas de

cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por

quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Na resolução do problema o estudante deve mobilizar o conhecimento de

equivalência entre medidas de lados e áreas de figuras planas. Assim, para

encontrar a medida B, o estudante deve reconhecer que:

𝐵 + 𝐵 + 5,5𝑚 + 5,5𝑚 = 24𝑚

⟺ 2𝐵 + 11𝑚 = 24𝑚

∴ 𝐵 = 6,5𝑚

Encontrando, por fim, o valor de 6,5m para B.

Dessa forma, para calcular o valor de A, o estudante deve então lembrar que o

perímetro é dado pela soma dos lados do polígono que, nesse caso, é um

retângulo. Dessa forma, será dado por:

2 × 24𝑚 + 2(8𝑚 + 2𝐴) = 70𝑚

⇔ 4𝐴 = 70𝑚 − 48𝑚 − 16𝑚 = 6𝑚

∴ 𝐴 = 1,5𝑚

Por fim, determinará o valor da soma A + B, que é de 1,5𝑚 + 6,5𝑚 = 8𝑚,

tornando a alternativa A (8 m) correta.

O estudante que assinala a alternativa B (9,5 m) não reconhece que um dos lados

é dado por 8m + 2A, e considera apenas 8m + A, encontrando o valor de 3m para

A. Já a alternativa C (14,5 m) é assinalada por estudantes que, ao calcularem a

medida de B, consideram erroneamente que o comprimento total do lado maior

é dado por (2 × 5,5𝑚) + 𝐵, chegando a um valor de 13m para B. A combinação

de ambos os erros denotados nas alternativas B e C dá origem à alternativa D

(16 m), ou seja, os estudantes que selecionam essa alternativa consideram o lado

menor como 8𝑚 + 𝐴 e o lado maior como (2 × 5,5𝑚) + 𝐵, encontrando

respectivamente os valores 3m e 13m para A e B, determinada a soma desses

valores como 16m.

Se o professor detectar que um grupo de estudantes apresentou dificuldade com

essa questão, sugere-se que ele trabalhe a sequência didática de Perímetro e


Superfície3, no momento que achar mais adequado durante o ano letivo. Nesse

caso, pode-se utilizar Metodologias Ativas de ensino, como a Aprendizagem

Baseada em Projetos motivada pelo contexto da questão: pode-se propor que os

estudantes projetem quadras de diferentes esportes baseados nas medidas

oficiais e em algumas medidas fornecidas pelo professor. A prática de esportes

geralmente se dá em espaços que seguem regras estritas de dimensionalidade, e

as quadras podem ser decompostas em figuras menores com facilidade (às vezes

por meio das próprias linhas já existentes nesses espaços, como quadras, campos

e pistas).

Os materiais a seguir podem ser úteis para realização das pesquisas pertinentes:

- Medida certa: confira as dimensões de 10 quadras esportivas. Disponível em:

<https://casa.abril.com.br/casas-apartamentos/medida-certa-confira-as-

dimensoes-de-10-quadras-esportivas/>. Acesso em: 29 nov. 2019.

- Matemática em Quadra. Disponível em:

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1687>.


- Plano de aula - Decompondo Áreas de Plantas Baixas. Disponível em:

<https://novaescola.org.br/plano-de-aula/394/decompondo-areas-de-plantas-

baixas>. Acesso em: 29 nov. 2019.

Habilidade

Determinar área e perímetro de uma figura utilizando composição ou decomposição de

figuras.

Questão 03

Rafaela pintou as seguintes figuras na malha quadriculada.

3 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%20%5F%20Per%C3%ADmetro%20e%20Superf%C3%ADcie%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1>. Acesso em: 27 dez. 2019.


Das figuras que Rafaela pintou:

(A) Todas possuem a mesma área, mas apenas cinco delas o mesmo

perímetro.

(B) Todas possuem o mesmo perímetro, mas apenas cinco delas a mesma área.

(C) Todas possuem a mesma área e mesmo perímetro.

(D) Nenhuma possui a mesma área e mesmo perímetro.


Essa questão pede que o estudante selecione a alternativa cuja afirmação acerca

da área e do perímetro das figuras apresentadas esteja correta, de maneira a

avaliar a habilidade de determinar área e perímetro de uma figura utilizando

composição ou decomposição de figuras. No âmbito do Novo Currículo Paulista,

a questão envolve a habilidade EF07MA32, que abrange “Resolver e elaborar

situações-problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem

ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a

equivalência entre áreas”.

De forma a responder adequadamente à questão, o estudante precisa primeiro

relacionar as propriedades área e perímetro à malha quadriculada na qual as

figuras são apresentadas: cada figura é composta por um número inteiro de

quadrados coloridos, de maneira que a área será dada pelo número de quadrados

compreendidos no seu interior; de maneira análoga, o perímetro será dado pelo

número de lados de quadrado que delimitam cada figura, destacados com um

traçado mais espesso. Dessa forma, pode-se determinar a área e o perímetro de

cada figura apresentada nessas unidades:


Figura Área Perímetro

5 quadrados 12 lados de quadrado






Percebe-se que apenas a alternativa A (“Todas possuem a mesma área, mas

apenas cinco delas o mesmo perímetro”) apresenta uma afirmação correta acerca

das figuras, uma vez que, de fato, todas as figuras possuem a mesma área (5

quadrados), mas apenas cinco delas o mesmo perímetro (12 lados de quadrado),

sendo que uma sexta figura possui perímetro de 10 lados de quadrado.

A alternativa B (“Todas possuem o mesmo perímetro, mas apenas cinco delas a

mesma área”) é assinalada por estudantes que provavelmente confundem os

conceitos de área e perímetro, embora determinem corretamente o valor

numérico dessas grandezas – na sua percepção – a partir da malha quadriculada

apresentada. Já a alternativa C (“Todas possuem a mesma área e mesmo

perímetro”) pode ser assinalada por estudantes que determinam incorretamente

o perímetro de uma das figuras apresentadas (colorida em lilás), chegando ao


valor de 12 lados de quadrado ao invés de 10 lados de quadrado. Por fim, a opção

pela alternativa D (“Nenhuma possui a mesma área e mesmo perímetro”)

provavelmente sinaliza problemas na contagem dos elementos pertinentes à

área e ao perímetro, sem excluir também uma possível confusão entre esses

conceitos.

Quando o professor perceber que determinado grupo de estudantes demonstrou

dificuldade nessa questão, ele pode – em um momento adequado do seu

planejamento – propor atividades que trabalhem a sequência didática de

Perímetro e Superfície4. Nesse caso, pode-se utilizar Metodologias Ativas de

ensino, como a Gamificação, motivada pelo contexto da questão. O professor

pode convidar os estudantes a participar de um jogo de construção de poliminós

(tais como aqueles exibidos na figura do enunciado), dividindo-os em equipes e

propondo que desenhem o máximo possível de poliminós diferentes com um

determinado valor de área, atribuindo pontuações maiores conforme mais

respostas corretas forem capazes de produzir. Nessa atividade, tal como

afirmado por Pessoa (2010)5, é muito importante trazer à compreensão dos

estudantes que figuras diferentes podem apresentar a mesma área e o mesmo

perímetro, e que figuras de mesma área podem apresentar perímetros diferentes

e vice-versa.

Os materiais a seguir podem ser aproveitados para construção de planos de aula

e atividades complementares que reforcem a habilidade avaliada na questão

apresentada:



em: 29 nov. 2019.





4 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%20%5F%20Per%C3%ADmetro%20e%20Superf%C3%ADcie%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1>. Acesso em: 27 dez. 2019. 5 PESSOA, G. S. Um estudo diagnóstico sobre o cálculo da área de figuras planas na malha quadriculada:

influência de algumas variáveis. 141f. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Pernambuco. Programa de Pós-Graduação em Educação. Recife, 2010. Disponível em: <https://repositorio.ufpe.br/bitstream/123456789/3944/1/ arquivo61_1.pdf>. Acesso em: 23 dez. 2019.




em: 29 nov. 2019.

Habilidade

Estabelecer relações entre números naturais tais como “ser múltiplo de”, “ser divisor de” e

reconhecer números primos e números compostos.

Questão 04

Carina propôs um desafio a seu amigo: descobrir um número que seja ao mesmo

tempo divisor de 60 e múltiplo de 4.

Entre os números abaixo, o único que satisfaz essas condições é o:

(A) 10.

(B) 12.

(C) 24.

(D) 30.


A questão apresentada requer que o estudante selecione a alternativa que

corresponde ao número que é divisor de 60 e múltiplo de 4. Essa questão se

enquadra na habilidade EF06MA06 do Currículo Paulista, que envolve resolver e

elaborar situações-problema que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor,

reconhecendo os números primos, múltiplos e divisores.

As relações “ser múltiplo de” e “ser divisor de” estão interconectadas, pois podem

ser consideradas inversas uma da outra; dados dois números a e b, dizer que b é

múltiplo de a significa que existe um número natural k tal que seu produto por a

é exatamente b. De forma análoga, se b é múltiplo de a, a é divisor de b, pois a

razão entre b e a – ou o quociente da divisão euclidiana de b por a – é também

número natural, e, no caso, equivale a k. Essas relações valem também para os

números inteiros, que serão introduzidos ao estudante posteriormente no seu

percurso curricular. É possível sumarizar essas relações da seguinte forma:

“b é múltiplo de a” “a é divisor de b”


𝑎 ∙ 𝑘 = 𝑏

𝑎, 𝑏, 𝑘 ∈ ℕ

𝑏

𝑎= 𝑘

𝑎, 𝑏, 𝑘 ∈ ℕ

Portanto, a maneira mais simples de solucionar a questão é verificar ambos os

casos propostos no enunciado: deve-se determinar o conjunto dos números que

é simultaneamente múltiplo de 4 e divisor de 60.

O conjunto dos divisores de 60 é 𝐷(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}.

O conjunto que contém os 16 primeiros múltiplos de 4 é

𝑀(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60}.

Os números que respondem adequadamente ao comando são aqueles que se

encontram na intersecção entre ambos os conjuntos, ou seja, estão presentes

tanto no conjunto D quanto no conjunto M, como pode ser apreciado no

diagrama a seguir:

De modo que o único número que se adequa corretamente a ambas as

proposições é o 12, representado na alternativa B (12). Os estudantes que

selecionam os números contidos nas alternativas A (10) ou D (30) podem ter

dificuldade com o conceito de “ser múltiplo de”, pois os valores escolhidos não

são múltiplos de 4. De forma análoga, ao escolher o valor da alternativa C (24), os

estudantes podem estar indicando problemas com o conceito de “ser divisor de”,

uma vez que o valor apresentado não é divisor de 60.

Sugere-se ao professor, ao perceber que um grupo de estudantes sinalizou

dificuldade nessa questão, que reserve algum momento – conforme as

possibilidades do seu planejamento – para trabalhar a sequência didática de

Múltiplos e Divisores6. Ao fazê-lo, ele pode se valer de Metodologias Ativas de

6 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%5FM%C3%BAltiplos%20e%20Divisores%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF>. Acesso em: 27 dez. 2019.


ensino, como a Aprendizagem entre Pares ou Times. Nesse tipo de abordagem,

os estudantes são divididos em times (respeitando a proximidade entre seus

níveis de conhecimento) e cooperam entre si para resolver as situações-problema

propostas, desenvolvendo seus próprios caminhos para resolução e debatendo

suas conclusões.



apresentada:

- Números Múltiplos. Disponível em:



- Plano de aula - Descobrindo múltiplos. Disponível em:

<https://novaescola.org.br/plano-de-aula/778/descobrindo-multiplos>. Acesso

em: 29 nov. 2019.

- Plano de aula - Estudando os Divisores. Disponível em:

<https://novaescola.org.br/plano-de-aula/895/estudando-os-divisores>. Acesso

em: 29 nov. 2019.

- Plano de aula - Múltiplos e divisores no cotidiano. Disponível em:

<https://novaescola.org.br/plano-de-aula/1142/multiplos-e-divisores-no-

cotidiano>. Acesso em: 29 nov. 2019.

Habilidade

Realizar as operações de adição e subtração de frações com denominadores diferentes.

Questão 05

Uma maneira de representar frações são com pictogramas. Interprete e efetue a

operação a seguir, considerando a fração como sendo a parte pintada de laranja

em relação ao todo:

Qual é a alternativa que corresponde ao resultado da operação?

(A) 5

12


(B) 𝟐𝟗

𝟑𝟓

(C) 41

35

(D) 29

70


A questão apresentada requer que o estudante selecione o valor que corresponde

ao resultado da soma de duas frações representadas por pictogramas. Essa

questão se enquadra na habilidade EF06MA10 do Currículo Paulista, que envolve

resolver e elaborar situações-problema que envolvam adição ou subtração com

números racionais positivos na representação fracionária.

A abordagem geométrica das operações com frações se justifica, segundo Guerra

(2008)7, porque “a caracterização das operações com frações como um processo

de contagem, estrutura já estabelecida no sistema cognitivo da maioria dos

estudantes, estabelece uma relação com os inteiros no sentido em que operar

com elas é similar a operar com os inteiros”. De fato, a questão sugere a

construção das frações ordinais através dos pictogramas dados, em que o número

de divisões é o denominador e o número de partes pintadas é o numerador.

Portanto, no início do desenvolvimento, o estudante deve identificar que o

primeiro pictograma corresponde a 2

5 e o segundo corresponde a

3

7. Para efetuar a

soma de ambas as frações, deve-se equalizar seus denominadores ao Mínimo

Múltiplo Comum entre 5 e 7, equivalente a 35 (ambos são números primos). Dessa

forma, a operação que precisa ser executada é:

2

5+3

7=2

5×7

7+3

7×5

5=14

35+15

35=29

35

De modo que a alternativa B, que exibe o número 29

35, é a correta.

A alternativa C (41

35) é escolhida por estudantes que possivelmente erram ao

interpretar o enunciado, que diz que, nos pictogramas apresentados, a porção em

laranja equivale ao numerador; dessa forma, esses estudantes interpretam as

porções em branco como se fossem os numeradores questionados, encontrando

frações iniciais com valores iguais a 3

5 e 4

7, cuja soma é

3

5+4

7=41

35.

A alternativa D (29

70), por sua vez, é assinalada por estudantes que possivelmente

equalizam corretamente as frações inicialmente apresentadas na forma de

pictograma usando o MMC entre os denominadores; contudo, realizam a soma

7 GUERRA, R. B.; SILVA, F. H. S. As Operações com Frações e o Princípio da Contagem. Boletim de Educação Matemática, v. 21, n. 31, p. 41-54, 2008. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Rio Claro, Brasil. Disponível em: <https://www.redalyc.org/pdf/2912/291221883004.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2020.


também dos denominadores (35 + 35), elegendo como resposta final uma fração

que contém o numerador adequado, mas um denominador equivalente à soma

dos denominadores equalizados.

Já os estudantes que assinalam a alternativa A (5

12) não calculam o MMC e

resolvem a questão apenas somando os numeradores e denominadores iniciais,

em paralelo.

Se o professor perceber que um grupo de estudantes demonstrou dificuldade

com essa questão, sugere-se (dentro das possibilidades do seu planejamento)

trabalhar a sequência didática de Representações Numéricas8. Ao fazê-lo, pode

utilizar Metodologias Ativas de ensino nas atividades elaboradas, como a

Aprendizagem entre Pares ou Times. Ao adotar essa abordagem, dividirá os

estudantes em equipes (aproximando aqueles com níveis de conhecimento

similares) e oferecerá atividades para que realizem em conjunto, discutindo suas

respostas, construindo colaborativamente suas resoluções, apresentando

posteriormente seus resultados e debatendo com a classe suas conclusões.

As referências a seguir podem ajudar a construir ou complementar as atividades

para esse fim:

- Frações, construindo o conceito. Disponível em:



- Plano de aula - Representando frações com números. Disponível em:

<https://novaescola.org.br/plano-de-aula/259/representando-fracoes-com-

numeros>. Acesso em: 29 nov. 2019.

Habilidade

Resolver situações-problema envolvendo diferentes representações de números racionais.

Questão 06 O ar atmosférico é composto por vários gases. Destes os mais abundantes são o

nitrogênio e o oxigênio, gás essencial para a vida. Considerando que o gás

8 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%5FRepresenta%C3%A7%C3%B5es%20num%C3%A9ricas%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1>. Acesso em: 27 dez. 2019.


nitrogênio e o gás oxigênio compõem, respectivamente, 78% e 1

5 do ar

atmosférico, qual é a porcentagem de outros gases no ar?

(A) 0,02%

(B) 2%

(C) 20%

(D) 21,8%


A questão apresentada requer que o estudante calcule a porcentagem de gases

na atmosfera relacionando fração e porcentagem. Essa questão se enquadra na

habilidade EF06MA10 do Currículo Paulista, que envolve resolver e elaborar

situações-problema que envolvam adição ou subtração com números racionais

positivos na representação fracionária.

Na resolução da questão o estudante deve converter ambos os valores fornecidos

à mesma representação, que permita e facilite descobrir qual é a porcentagem

faltante, correspondente aos outros gases e que, combinada às outras frações,

perfaz 100%. Um algoritmo possível é perceber que 1

5 é equivalente a

20

100 que, por

sua vez, corresponde a 20%; dessa forma, somando a porcentagem de nitrogênio

e oxigênio no ar atmosférico (78% + 20%), o estudante perceberá que esses

gases, combinados, respondem por 98% da composição; sendo a porcentagem

total de gases no ar igual a 100%, a porcentagem de outros gases é igual a

100% − 98% = 2%, de modo que a alternativa B (2%) contém o valor correto.

A alternativa A (0,02%) é assinalada por estudantes que reconhecem que 100%

corresponde ao número 1 e, para resolver o problema, transformam

corretamente 78% e 1

5 em números decimais, obtendo 0,78 e 0,2; em seguida,

somam os valores e subtraem de 1, chegando a um valor de 0,02. No entanto, ao

invés de converter adequadamente esse valor para porcentagem, expressam

erroneamente esse numeral como resultado.

Nos casos em que a alternativa C (20%) foi assinalada, os estudantes

possivelmente calcularam corretamente a porcentagem correspondente à fração

de outros gases (2%); entretanto, combinaram esse número ao valor de 78% já

fornecido, obtendo 80% e encontrando 20% como diferença entre essa

porcentagem e 100%.


Para que a alternativa D (21,8%) seja assinalada, o estudante deve, ao mesmo

tempo, chegar ao número decimal que corresponde a 2% (0,02) e somá-lo,

erroneamente e também sem realizar a conversão necessária, a 78%, chegando

ao valor de 78,02%, cujo complemento para 100% aparece nesta alternativa.

Ao perceber que um grupo de estudantes sinalizou dificuldade com essa questão,

sugere-se ao professor – durante o período letivo e dentro das possibilidades do

seu planejamento – trabalhar a sequência didática de Representações

Numéricas9. Ao fazê-lo, pode utilizar Metodologias Ativas de ensino nas

atividades elaboradas, como a Aprendizagem baseada em Problemas. Dessa

maneira, problematizará para os estudantes a determinação de um número

racional a partir de outros números racionais em diferentes notações (como no

contexto da questão apresentada), e construirá em conjunto com os estudantes

as estratégias possíveis para resolver a situação-problema. O objetivo é que, ao

final da atividade, todos tenham compreendido as diferentes estratégias para

resolver situações-problema envolvendo diferentes representações de números

racionais.

As referências a seguir podem ajudar a construir ou complementar as atividades

para esse fim:

- Porcentagens, frações e decimais. Disponível em:



- Calculando porcentagem a partir de situações cotidianas. Disponível em:


Acesso em: 02 dez. 2019.

Habilidade

Efetuar transformações de unidades de medida de comprimento, massa ou capacidade.

Questão 07

Barril é uma unidade usada, com frequência, para medir volume de petróleo. Um

navio carrega 16.000 m3 de petróleo o que equivale a 100.000 barris. O volume de

um barril em litro é de:



(A) 0,16

(B) 1,6

(C) 160

(D) 6,25


Nessa questão, pede-se que o estudante relacione duas unidades de volume para

fazer a conversão de barril para litro, avaliando sua habilidade em efetuar

transformações de unidades de medida de comprimento, massa ou capacidade.

Essa questão se enquadra na habilidade EF06MA24 do Currículo Paulista, que

envolve “resolver e elaborar situações-problema que envolvam as grandezas

comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos),

capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de

fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações

reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.”

O uso da unidade “barril” para se referir ao volume de petróleo, embora não seja

padrão do ponto de vista do Sistema Internacional de Unidades, é usualmente

empregada no campo semântico das finanças internacionais e na bolsa de

valores, quando o petróleo é tratado como commodity. Esse termo permeia as

notícias de jornal, TV e mídias sociais, de modo que sua interpretação é

importante na construção de significados no cotidiano, e saber convertê-lo para

uma unidade-padrão ajuda a elucidar a dimensão e agregar comparabilidade à

grandeza tratada.

Para solucionar o problema, o estudante deve mobilizar o conhecimento de que

1 m³ equivale a 1 000 L. Essa informação, combinada à fornecida no enunciado

(“16.000 m3 de petróleo o que equivale a 100.000 barris”), fornecerá a seguinte

expressão:

1000 𝐿

1 𝑚3×

16 000 𝑚3

100 000 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑠=

16 000 000 𝐿

100 000 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑠= 160

𝐿

𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙

A conclusão é de que o volume de um barril equivale a 160 L, que é dado pela

alternativa C (160).

A alternativa A (0,16) é assinalada por estudantes que provavelmente não fazem

a conversão de m3 para L e apenas dividem o volume de petróleo do navio pelo

número de barris. Por sua vez, os estudantes que assinalam a alternativa B (1,6)

provavelmente associam 1 m3 a 10 L, fazendo a conversão errada da unidade de

volume.


Se, além de não converter adequadamente a unidade de volume, a

proporcionalidade não for bem executada, ou seja, o adequado paralelismo da

regra de três não for observado, os estudantes podem incorrer na alternativa D

(6,25), que equivale à razão: 𝑥 =100 000

16 000.

Ao perceber que algum grupo de estudantes sinalizou dificuldade nessa questão,

o professor pode (durante o período letivo e conforme surgir oportunidade)

trabalhar a sequência didática de Unidades de Medidas10. Nesse caso, será

interessante propor atividades que empreguem Metodologias Ativas de ensino,

como a Aprendizagem entre Pares ou Times. Ao adotar essa abordagem, dividirá

os estudantes em equipes (aproximando aqueles com níveis de conhecimento

similares) e oferecerá atividades para que realizem em conjunto, discutindo suas

respostas, construindo colaborativamente suas resoluções, apresentando

posteriormente seus resultados e debatendo com a classe suas conclusões.



apresentada:

- Porcentagens, frações e decimais. Disponível em:



- Calculando porcentagem a partir de situações cotidianas. Disponível em:


Acesso em: 02 dez. 2019.

Habilidade

Estabelecer relações entre números naturais tais como “ser múltiplo de”, “ser divisor de” e

reconhecer números primos e números compostos.

Questão 08

O número 11 é primo, pois tem como divisores apenas 1 e 11. Entre os números

10 e 25, existem quantos primos?

(A) 4

10 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%5FUnidades%20de%20Medidas%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1>. Acesso em: 27 dez. 2019.


(B) 5

(C) 6

(D) 7


Essa questão comanda que o estudante selecione a quantidade de números

primos entre 10 e 25, mobilizando sua habilidade de estabelecer relações entre

números naturais tais como “ser múltiplo de”, “ser divisor de” e reconhecer

números primos e números compostos. A questão se enquadra na habilidade

EF06MA06 do Currículo Paulista, que se relaciona a resolver e elaborar situações-

problema que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor, reconhecendo os

números primos, múltiplos e divisores.

Chama-se número primo, de acordo com a definição de Gardiner (1997)11, “todo

número natural maior ou igual a 2 que não pode ser fatorado como um produto

de números naturais menores que ele próprio”. Essa definição ajusta-se às

expectativas de aprendizagem de Números Primos nos Anos Finais do Ensino

Fundamental.

Com efeito, é primo todo número que tem como divisores naturais apenas o

número 1 e ele próprio. Utilizando essas duas definições, o estudante deve chegar

à conclusão que, entre 10 e 25, estão presentes cinco números primos (11, 13, 17,

19 e 23), o que torna a alternativa B (5) correta.

Para referência, a decomposição de todos os números entre 10 e 25 (inclusive)

está relacionada a seguir:

10 11 12 13

2 × 5 1 x 11 primo

3 × 4 1 x 13 primo

14 15 16 17

2 × 7 3 × 5 42 1 x 17 primo

18 19 20 21

2 × 32 1 x 19 primo

22 × 5 3 × 7

22 23 24 25

2 × 11 1 x 23 primo

23 × 3 52

11 GARDINER, A. The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965-1996. [s.l.] Oxford University Press, 1997.


O estudante que assinala a alternativa A (4) possivelmente não identifica ou

esquece de contar um número primo, provavelmente o número 11 que já foi

citado no enunciado. No caso das alternativas C (6) e D (7), os estudantes

identificam erroneamente e contam, respectivamente, um ou dois números

primos a mais, provavelmente considerando os números 15 ou 21 como primos,

visto que são ímpares e têm poucos divisores, induzindo a essa consideração.

O professor que porventura perceber que um grupo de estudantes sinalizou

dificuldade nessa questão pode – conforme as possibilidades do seu

planejamento e durante o período letivo – trabalhar a sequência didática de

Múltiplos e Divisores12. Devido ao formalismo na Teoria dos Números, o

professor pode encontrar dificuldades ao motivar os estudantes na participação

de atividades que busquem reforçar os fundamentos desse assunto. No entanto,

isso pode ser contornado pelo emprego de Metodologias Ativas de ensino, como

a Aprendizagem entre Pares ou Times. Nesse tipo de abordagem, os estudantes

são divididos em times (aproximando aqueles com nível de conhecimento similar)

e cooperam entre si para resolver as situações-problema propostas,

desenvolvendo seus próprios caminhos para resolução e debatendo suas

conclusões.



apresentada:

- Números primos e compostos. Disponível em:



- Números primos e o Crivo de Eratóstenes. Disponível em:



- Plano de aula - Identificando Primos. Disponível em:

<https://novaescola.org.br/plano-de-aula/713/identificando-primos>. Acesso em:

29 nov. 2019.

Habilidade

Resolver situações-problema envolvendo diferentes representações de números racionais.

12 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%5FM%C3%BAltiplos%20e%20Divisores%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF>. Acesso em: 27 dez. 2019.


Questão 09

No início do dia, a água ocupava 17

20 de um reservatório e no fim do dia,

1

4. A

quantidade de água que foi consumida nesse dia corresponde a que porcentagem

da capacidade total do reservatório?

(A) 25%

(B) 50%

(C) 60%

(D) 85%


A questão apresentada requer que o estudante efetue a subtração de frações com

diferentes denominadores e selecione a porcentagem equivalente ao resultado

obtido, de maneira a avaliar sua habilidade em resolver situações-problema

envolvendo diferentes representações de números racionais. Dentro do Currículo

Paulista, trabalha-se a habilidade EF06MA10, que envolve resolver e elaborar

situações-problema que envolvam adição ou subtração com números racionais

positivos na representação fracionária.

Para resolver a questão o estudante deve perceber que a fração de água

consumida corresponde à diferença entre o volume inicial e o volume final, e, em

seguida, realizar a subtração das frações dadas. Uma vez que seus

denominadores são diferentes, eles devem ser equalizados por meio do MMC

entre ambos. Dessa forma, sendo 𝑥 o volume consumido:

𝑀𝑀𝐶(4, 20) = 20

𝑥 =17

20−1

4×5

5=17

20−5

20=12

20=3

5

Fração que, ao ser transformada em porcentagem, fornece o valor equivalente de

60%:

3

5× 100% =

300

5% = 60%

Levando ao assinalamento da alternativa C (60%).

Os estudantes que elegem a alternativa A (25%) falham na interpretação do

enunciado, pois consideram a quantidade restante de água no reservatório (1

4)

como a quantidade que foi consumida, convertendo esse valor adequadamente à

porcentagem correspondente, que é 25%. Um problema similar é sinalizado pela


alternativa D (85%), escolhida por estudantes que consideram que a quantidade

inicial de água no reservatório (17

20) é igual a quantidade de água consumida,

convertendo corretamente essa fração para porcentagem, e chegando a um valor

de 85%. A alternativa B (50%), por sua vez, pode ser escolhida pelos estudantes

que identificam que a resposta deve ser um número situado no intervalo entre 1

4

(valor no final do dia) e 17

20 (valor no início do dia), mas não conseguem encadear

as ideias para determinar que devem computar a diferença entre esses dois

valores, escolhendo aleatoriamente uma das duas alternativas situadas no

intervalo mencionado.

Percebendo que alguns estudantes apresentaram dificuldade com essa questão,

o professor pode reservar um momento do seu planejamento (durante o período

letivo) para trabalhar a sequência didática de Representações Numéricas13. Ao

fazê-lo, pode utilizar Metodologias Ativas de ensino nas atividades elaboradas,

como a Aprendizagem entre Pares ou Times. nesse caso, dividirá os estudantes

em equipes, de modo que eles realizem as atividades propostas em conjunto ao

invés de individualmente, debatendo seus mecanismos de resolução e discutindo

suas conclusões. Ao final da atividade, o professor pode mediar a sumarização

dessas respostas e intervir pontualmente caso a caso.

Os materiais listados a seguir podem ajudar na composição de alguns planos de

aula para essa sequência didática:







Habilidade

Efetuar transformações de unidades de medida de comprimento, massa ou capacidade.

Questão 10



Para a festa de aniversário da Rafaela, sua mãe comprou 3,5 litros de refrigerante.

Se a mãe de Rafaela usar copos com capacidade para 250 ml, quantos copos de

refrigerante ela poderá servir?

(A) 0,014

(B) 0,14

(C) 1,4

(D) 14


A questão apresentada requer que o estudante selecione a quantidade de copos

de menor volume que equivalem a um certo volume de refrigerante, para o qual

deve se utilizar da habilidade de efetuar transformações de unidades de medida

de comprimento, massa ou capacidade. Dentro do Currículo Paulista, a questão

está relacionada à habilidade EF06MA24, “resolver e elaborar situações-

problema que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo,

temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos

formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que

possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras

áreas do conhecimento.”

Para responder a questão, o estudante deve realizar a conversão entre a unidade

usual de capacidade “litro” e a unidade “copo” fornecida no enunciado. Essa

conversão será mediada pelo volume fornecido do copo, que deve ser

previamente convertido à unidade litro a partir da unidade mililitro, o que envolve

a divisão por 1000 ou 103, da seguinte forma:

𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜: 1000 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 = 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑒𝑚 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠: 250 𝑚𝐿 ×1 𝐿

1000 𝑚𝐿= 0,25 𝐿

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑟𝑖𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒: 2𝐿 + 1,5𝐿 = 3,5𝐿


𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑜𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠: 3,5𝐿 ×1 𝑐𝑜𝑝𝑜

0,25 𝐿=3,5

0,25𝑐𝑜𝑝𝑜𝑠 = 14 𝑐𝑜𝑝𝑜𝑠

Valor atribuído à alternativa D (14), que responde corretamente à questão.

A alternativa A (0,014) é assinalada pelos estudantes que convertem o volume de

refrigerante em número de copos sem considerar a equalização das unidades,

determinando o valor da fração 3,5

250.

No caso das alternativas B (0,14) e C (1,4), o problema é na operacionalização da

conversão das unidades, visto que apresentam, respectivamente, duas e uma

ordem de grandeza inferiores ao resultado adequado. Isso mostra que o

estudante compreendeu parcialmente o objetivo da questão.

Em todos os três casos de erro, é perceptível que os estudantes não voltam ao

enunciado para interpretar seus resultados. Do contrário, perceberiam que é

ilógico utilizar uma fração tão pequena de copos para servir tantos litros de

refrigerante. Apresenta-se aqui uma oportunidade do professor trabalhar as

estratégias de resolução de problemas de forma bilateral: primeiro, o enunciado

é lido, interpretado e dele se extrai uma informação matemática na forma de

situação-problema, que é desenvolvida e solucionada; em seguida, antes de

declarar o problema resolvido, deve-se retornar ao enunciado, de posse da

solução encontrada, integrá-la a outros conhecimentos (inclusive do cotidiano) e

verificar a viabilidade dessa mesma solução.

Ao perceber que algum grupo de estudantes sinalizou dificuldade nessa questão,

o professor pode (durante o período letivo e conforme surgir oportunidade)

trabalhar a sequência didática de Unidades de Medidas14. Nesse caso, será

interessante propor atividades que empreguem Metodologias Ativas de ensino,

como a Aprendizagem baseada em problemas. O professor pode apresentar uma

situação em que é necessário contabilizar um número de unidades menores que

correspondem a uma unidade maior (copo/garrafa, prato/panela, minuto/hora,

quilograma/tonelada) e problematizar a necessidade de determinar o fator de

equivalência entre as duas unidades e o número de unidades menores que cabe

na unidade maior. Os estudantes devem resolver o problema em conjunto,

debatendo as estratégias escolhidas a cada passo e, por fim, na sua composição

para chegar à resolução.

14 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%5FUnidades%20de%20Medidas%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1>. Acesso em: 27 dez. 2019.




apresentada:

- Água é vida: as medidas de capacidade. Disponível em:



- Plano de aula - Medidas de capacidade e as relações entre litro e mililitro.

Disponível em: <https://novaescola.org.br/plano-de-aula/988/medidas-de-

capacidade-e-as-relacoes-entre-litro-e-mililitro>. Acesso em: 29 nov. 2019.

Habilidade

Comparar perímetros e áreas de figuras planas representadas em malhas quadriculadas.

Questão 11

A área de plantio de uma fazenda está representada na malha quadriculada

abaixo:

Sabendo que a malha quadriculada é formada por quadrados de mesmo lado,

podemos afirmar que:

(A) as plantações de cenoura e pepino possuem mesma área e perímetro.

(B) as plantações de beterraba e tomate possuem mesma área e perímetro.

(C) a plantação de pepino possui o dobro da área da plantação de ervilha.

(D) a plantação de alface possui o dobro do perímetro da plantação de ervilha.



A questão apresentada requer que o estudante se lembre das definições de área

e perímetro e das maneiras de calculá-los, para assim comparar as dimensões de

diversas figuras e selecionar a alternativa que apresenta uma afirmação correta,

mobilizando sua habilidade em comparar perímetros e áreas de figuras planas

representadas em malhas quadriculadas. Essa questão se enquadra na habilidade

EF06MA29 do Currículo Paulista, que envolve analisar e descrever mudanças que

ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem,

igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é

proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

O uso combinado de poliminós (“figuras geométricas planas formadas por

quadrados iguais, conectados entre si de modo que pelo menos um lado de cada

quadrado coincida com um lado de outro quadrado”15) e malhas quadriculadas é

um excelente recurso para trabalhar relações geométricas de maneira anterior

aos formalismos analíticos. Empregando unidades informais de área e perímetro,

essa abordagem permite fixar os aspectos relacionados à medição, comparação

e produção de figuras geométricas sem se estender aos componentes cognitivos

da conversão de unidades ou da operação de potenciação.

Ao resolver a questão, o estudante deve saber diferenciar os conceitos de área e

perímetro, lembrando que área é a medida de uma superfície, e é representada

pelo número de quadrados pintados na malha quadriculada; já o perímetro é a

medida do comprimento que delimita uma figura, e será fornecido pelo número

de lados de quadrado que delimitam cada área de plantio. Dessa maneira, para

calcular as dimensões, deve-se contar a quantidade de elementos

correspondentes a cada propriedade, da seguinte forma:

Figura Cultura

destinada Área Perímetro

Plantação de alface


Plantação de beterraba


Plantação de cenoura


15 GOLOMB, S. W.; SOLOMON W. Polyominoes: puzzles, patterns, problems, and packings. [s.l.] Princeton University Press, 1994.


Plantação de ervilha


Plantação de pepino


Plantação de tomate


É possível, a partir daí, analisar cada alternativa separadamente e chegar à

conclusão de que apenas a alternativa C (“a plantação de pepino possui o dobro

da área da plantação de ervilha”) apresenta uma afirmação correta.

A escolha da alternativa A (“as plantações de cenoura e pepino possuem mesma

área e perímetro”) está incorreta, pois embora as plantações de cenoura e pepino

possuam a mesma área, seus perímetros são diferentes. Ela pode ser assinalada

por estudantes que provavelmente calculam corretamente a área, mas ou não

calculam o perímetro, inferindo incorretamente que áreas iguais implicam em

perímetros iguais, ou se confundem ao calcular o perímetro, alcançando valores

iguais para essas dimensões que são diferentes. Uma situação paralela é

sinalizada pelos estudantes que escolhem a alternativa B (“as plantações de

beterraba e tomate possuem mesma área e perímetro”), visto que as plantações

de beterraba e tomate possuem de fato perímetros iguais, mas áreas diferentes.

O assinalamento da alternativa D (“a plantação de alface possui o dobro do

perímetro da plantação de ervilha”) sinaliza que possivelmente os estudantes que

a escolhem têm dificuldade na conceitualização e diferenciação de área e

perímetro, visto que, na verdade, a plantação de alface possui o dobro da área da

plantação de ervilha, não do perímetro.

Quando o professor perceber que determinado grupo de estudantes demonstrou

dificuldade nessa questão, ele pode – em um momento adequado do seu

planejamento – propor atividades que trabalhem a sequência didática de

Perímetro e Superfície16. Nesse caso, pode-se utilizar Metodologias Ativas de

16 Disponível em: <https://seesp.sharepoint.com/sites/intranet/coordenadorias/COPED/Planejamento2018/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1%2FSD%5FMATEM%C3%81TICA%5F7%C2%BA%20ANO%20EF%20%5F%20Per%C3%ADmetro%20e%20Superf%C3%ADcie%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenad


ensino, como a Gamificação, motivada pelo contexto da questão. O professor

pode convidar os estudantes a participar de um jogo de demarcação de terrenos,

onde, para pontuar, os estudantes terão que resolver vários problemas de divisão

de um mesmo lote de terra em lotes menores de área predeterminadas. Dessa

maneira, os estudantes são engajados e tendem a colaborar entre si para

aumentar os ganhos de sua própria equipe.



apresentada:



em: 29 nov. 2019.







em: 29 nov. 2019.

Habilidade

Realizar as operações de adição e subtração de frações com denominadores diferentes.

Questão 12

A figura cuja parte colorida em azul representa a operação 3

4−1

2 é:

A)

B)

orias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20DE%20MATEM%C3%81TICA%20PARA%20O%207%C2%BA%20ANO%20EF1>. Acesso em: 27 dez. 2019.


C)

D)


A questão apresentada requer que o estudante efetue a subtração de duas

frações com diferentes denominadores e selecione a alternativa que melhor

representa o resultado na forma de pictograma. Para tal, deve utilizar sua

habilidade de realizar as operações de adição e subtração de frações com

denominadores diferentes. Essa questão se enquadra no descritor EF06MA10 do

Currículo Paulista, que envolve resolver e elaborar situações-problema que

envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação

fracionária.

As operações com frações permeiam as Ciências da Natureza, que exploram

amplamente seus múltiplos significados, seja como quociente, razão, relação

entre parte-todo e até mesmo probabilidade. É importante que o estudante seja

capaz não só de realizar operações básicas com números de natureza fracionária,

mas também de comunicar seu resultado por meio de diferentes linguagens (não

só a matemática, mas também a literal e a pictográfica – como demanda a

questão –, em suporte físico ou digital) e essa deve ser uma habilidade priorizada

pelos professores ao longo de seus trabalhos nas etapas intermediárias do Ensino

Fundamental.

Ao desenvolver a questão, o estudante poderá equalizar os denominadores de

ambas as frações apresentadas utilizando o MMC entre seus denominadores, que

é igual a 4. Ao aplicar adequadamente a equalização, o resultado da expressão

será determinado:

3

4−1

2×2

2=3

4−2

4=1

4

Dentre os pictogramas apresentados, é possível determinar a fração

representada, considerando que o denominador será equivalente ao número

total de divisões exibidas, e o numerador equivalerá à quantidade de subdivisões

pintadas. Essa percepção está muito alinhada com os trabalhos de Resnick


(1989)17 sobre a construção de significados para frações ordinais, que pode servir

como referência para aprofundamento nesse assunto.

A análise de cada pictograma apresentado está exposta a seguir:

Alternativa A Alternativa B

1 parcela pintada 1

1 𝑜𝑢 1

1 parcela pintada 1

2

1 parcela total

2 parcelas totais

Alternativa C Alternativa D

1 parcela pintada 1

4

3 parcelas pintadas 3

4

4 parcelas totais

4 parcelas totais

Dessa forma, o pictograma que representa adequadamente a fração 1

4 calculada

é aquele mostrado na alternativa C.

A alternativa A é assinalada por estudantes que possivelmente subtraem as

frações paralelamente (ou seja, subtraindo numeradores e denominadores), sem

equalizar seus denominadores por meio de seu MMC, encontrando um resultado

igual a 2

2, que é equivalente a

1

1 ou um inteiro.

Estudantes que escolhem a alternativa D entendem que a figura deve ser dividida

em 4 partes iguais, porém falham ao compreender o comando, que diz “A figura

cuja parte colorida em azul representa...”, e identificam que o numerador deve ser

representado pelas partes em branco, assinalando o complemento da fração 1

4,

que é 3

4. Outra hipótese que deve ser considerada é que esses estudantes

identifiquem o pictograma correspondente à parcela maior da subtração sugerida

(3

4). A partir dessa hipótese, é possível traçar um paralelo com os estudantes que

assinalam a alternativa B, visto que ou não realizam corretamente a subtração de

frações ou identificam a fração equivalente à parcela menor (1

2).

Se o professor detectar que um grupo de estudantes sinalizou dificuldade com

essa questão, sugere-se (dentro das possibilidades do seu planejamento)

17 RESNICK, L. et al. Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions. Journal for Research in

Mathematics Education, 1989, 20. DOI: 10.2307/749095. Disponível em: <https://www.researchgate.net/publication/245760694_Conceptual_Bases_of_Arithmetic_Errors_The_Case_of_Decimal_Fractions>. Acesso em: 13 jan. 2020.


trabalhar a sequência didática de Representações Numéricas18. Ao fazê-lo, pode

utilizar Metodologias Ativas de ensino nas atividades elaboradas, como a

Aprendizagem entre Pares ou Times. Com esse tipo de metodologia, ao invés de

percorrer individualmente as atividades propostas, os estudantes o fazem em

equipes, discutindo suas respostas construindo em conjunto seus caminhos para

resolução dos problemas, apresentando posteriormente seus resultados e

debatendo com a classe suas conclusões.

As referências a seguir podem oferecer suporte à construção de alguns planos de

aula nesse âmbito:









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0Medidas%2Epdf&parent=%2Fsites%2Fintranet%2Fcoordenadorias%2FCOPED%2FPlanejamento2018%2FMATERIAIS%20D

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2019.


AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO COORDENADORIAS

Coordenadoria Pedagógica - COPED Coordenador: Caetano Pansani Siqueira

Coordenadoria de Informação, Tecnologia, Evidência e Matrícula - CMITE

Coordenador: Thiago Guimarães Cardoso DEPARTAMENTOS

Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gestão Pedagógica - DECEGEP

Diretor: Valéria Arcari Muhi

Centro dos Anos Finais do Ensino Fundamental - CEFAF Diretora: Carolina dos Santos Batista Murauskas

Centro de Ensino Médio - CEM

Diretora: Ana Joaquina Simões Sallares de Mattos Carvalho

Equipe Curricular COPED de Matemática – Leitura crítica e validação do material

Ilana Brawerman, João dos Santos Vitalino, Marcos José Traldi, Otávio Yoshio Yamanaka e Vanderley Aparecido Cornatione

Departamento de Avaliação Educacional - DAVED

Diretora: Patricia de Barros Monteiro Assistente Técnica: Maria Julia Filgueira Ferreira

Centro de Planejamento e Análise de Avaliações - CEPAV

Ademilde Ferreira de Souza, Cristiane Dias Mirisola, Ilton Campos Cavalcanti, Juvenal de Gouveia, Márcia

Soares de Araújo Feitosa, Soraia Calderoni Statonato, Sylvia Russiano Toledo Casari

Centro de Aplicação de Avaliações - CEAPA Diretora: Isabelle Regina de Amorim Mesquita

Amanda Morais Cardoso, Denis Delgado dos Santos, José Guilherme Brauner Filho, Kamila Lopes Candido, Nilson Luiz da Costa Paes, Teresa Miyoko Souza Vilela

Departamento de Tecnologia de Sistemas

Diretor: Marcos Aparecido Barros de Lima

Centro de Planejamento e Integração de Sistemas Diretora: Camila da Silva Alcazar

Viviana Fernandes dos Santos – Analista de Sistemas

AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA DE ENTRADA...malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de...

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