AVALIAÇÃO DA VIABILIDADE ESTRUTURAL DA APLICAÇÃO DE …

AVALIAÇÃO DA VIABILIDADE ESTRUTURAL DA APLICAÇÃO DE CABOS DE PRÉ-TENSÃO EM POSTES TUBULARES METÁLICOS SUPORTANO CATENÁRIAS

ANDREIA TOMÉ CRUZ CARDOSO DISSERTAÇÃO DE MESTRADO APRESENTADA À FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO EM ENGENHARIA CIVIL

M 2017

AVALIAÇÃO DA VIABILIDADE

ESTRUTURAL DA APLICAÇÃO DE CABOS

DE PRÉ-TENSÃO EM POSTES

TUBULARES METÁLICOS SUPORTANDO

CATENÁRIAS

ANDREIA TOMÉ CRUZ CARDOSO

Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS

Orientador: Professor Doutor Rui Manuel Menezes Carneiro de Barros

Coorientador: Engenheiro Helder Sepúlveda da Costa

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2016/2017

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil -

2016/2017 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2017.

As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o

ponto de vista do respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer

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Este documento foi produzido a partir de versão eletrónica fornecida pelo respetivo

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Avaliação da Viabilidade Estrutural da Aplicação de Cabos de Pré-tensão em Postes Tubulares Metálicos Suportando Catenárias

À minha avó

“Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited to all we now know and

understand, while imagination embraces the entire world, and all there ever will be to know and

understand.”

― Albert Einstein


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AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Professor Doutor Rui Carneiro de Barros, agradeço por toda a sabedoria, empenho e

disponibilidade na minha orientação.

À empresa Metalogalva – Grupo Metalcon, deixo um grande agradecimento pela oportunidade, e a todos os

profissionais que se disponibilizaram para apoiar esta dissertação. Agradeço em particular aos Engenheiros

Helder Sepúlveda da Costa, Tiago Cunha e Tiago Silva pela disponibilidade que mostraram no decorrer

deste projeto.

Ao vasto e admirável conjunto de docentes da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, pelo seu

papel na minha formação e por todos os conhecimentos transmitidos que me permitiram chegar ao final

desta etapa.

À minha mãe, ao meu irmão Gui e ao Júlio por todo o amor, carinho e apoio incondicional que me deram.

Ao meu avô, às minhas tias e a toda a minha família por serem presença constante na minha vida. À minha

avó por ser a estrela que me guia.

Ao Rui, por toda a paciência e dedicação com que me suportou ao longo de toda esta etapa. A ele agradeço

por me fazer sempre sorrir e acreditar que sou capaz de grandes feitos.

A todos os meus amigos. Àqueles que já me acompanham há muitos anos, que sempre estiverem e sempre

vão estando presentes no meu caminho, pela imensidão de momentos partilhados e pelos incontáveis

sorrisos. E àqueles que fiz durante este percurso, pela enorme força que me deram e pela marca especial que

deixaram na minha vida.


ii


iii

RESUMO

A procura de soluções alternativas no combate contra os problemas causados pelo tráfego rodoviário tem

aumentado cada vez mais nos dias de hoje. Uma das estratégias mais recorrentes é a aposta no transporte

ferroviário. Esta dissertação vem propor uma otimização de uma das estruturas mais importantes na

constituição das vias férreas: os postes de suporte de catenária.

Os postes de suporte de catenária são estruturas tubulares esbeltas que suportam as cargas impostas pelas

catenárias, que são os cabos que permitem o deslocamento do transporte ao longo dos carris. O carregamento

que deve ser considerado para o dimensionamento destas estruturas é constituído pela carga da catenária, o

peso próprio da estrutura e a ação do vento. Inicialmente, a sugestão de otimização destas estruturas passa

pela aplicação de cabos de pré-tensão no interior dos postes.

Neste sentido, o presente trabalho pretende contribuir para um melhor conhecimento acerca do

dimensionamento de estruturas tubulares metálicas de acordo com o Eurocódigo 3, aliando a aplicação de

pré-esforço com o auxílio do Eurocódigo 2 e com recurso a uma metodologia de cálculo desenvolvida em

Excel, com programação em Visual Basic. É importante referir que, além dos Eurocódigos, são utilizadas

também outras normas europeias especificas para este tipo de estruturas e que, por isso mesmo, na obtenção

de alguns parâmetros, sobrepôs-se estas normas aos Eurocódigos.

Para o efeito do estudo da viabilidade estrutural da aplicação dos cabos de pré-tensão, são apresentadas

várias configurações de cabos e as respetivas verificações de aplicabilidade. No decorrer do estudo das

configurações, percebe-se que é inviável conseguir-se resultados satisfatórios aplicando cabos apenas no

interior da secção da estrutura. Por esta razão, decide-se adicionar braços rígidos à estrutura base com o

objetivo de testar configurações em que os cabos já não se encontrem exclusivamente no interior da secção.

Após realizadas todas as verificações, consegue-se chegar a uma configuração que permite diminuir a flecha

do poste em conformidade com o objetivo acordado. Nesta configuração, ao contrário de todas as outras, o

cabo é unicamente exterior à secção.

PALAVRAS-CHAVE: Postes tubulares metálicos, Pré-esforço, Catenária, Eurocódigo 3, Viabilidade

estrutural


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v

ABSTRACT

The search for alternative solutions to combat the problems caused by road traffic has increased more and

more in the current days. One of the most recurrent strategies is the bet on rail transport. This dissertation

proposes the optimization of one of the most important structures in the construction of railways: the

catenary support poles.

The catenary support poles are slender tubular structures that support the loads imposed by the catenary,

which are the cables that allow the transport to move along the rails. The loading that must be considered

for the design of these structures is constituted by the catenary load, the self-weight of the structure and the

wind action. Initially, the optimization suggestion for these structures involves the application of prestressed

cables inside the poles.

Thereby, the present work intends to contribute to a better knowledge about the design of metallic tubular

structures according to Eurocode 3, combining the application of prestress with the aid of Eurocode 2 and

using a calculation methodology developed in Excel, with programming in Visual Basic. It is important to

note that, in addition to the Eurocodes, other specific European standards are also used for this type of

structure, therefore, in obtaining some parameters, these standards were chosen over the Eurocodes.

For the study of the structural viability of the application of prestressed cables, several cable configurations

and their applicability verifications are presented. While studying the configurations, it is realized that it is

unfeasible to achieve satisfactory results by applying cables only within the section of the structure. For this

reason, it is decided to add rigid arms to the base structure to test configurations where the cables are no

longer exclusively within the section. After all the checks have been carried out, a configuration is achieved

that allows the deflection to be lowered in accordance with the agreed purpose. In this configuration, unlike

any other, the cable is only external to the cross-section.

KEY WORDS: Metallic tubular poles, Pre-stress, Catenary, Eurocode 3, Structural viability


vi


vii

ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ................................................................................................................... i

RESUMO ................................................................................................................................. iii

ABSTRACT ............................................................................................................................... v

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1

1.1. MOTIVAÇÃO E ENQUADRAMENTO DO TEMA ........................................................................ 1

1.2. OBJETIVO ........................................................................................................................ 4

1.3. NORMAS REGULAMENTARES ............................................................................................ 4

1.4. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ...................................................................................... 4

2 MATERIAIS .............................................................................................................. 7

2.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 7

2.2. AÇO ESTRUTURAL ............................................................................................................ 7

2.2.1. GENERALIDADES ............................................................................................................................... 7

2.2.2. PROPRIEDADES ................................................................................................................................ 8

2.2.3. DUCTILIDADE .................................................................................................................................... 9

2.2.4. RESISTÊNCIA À ROTURA FRÁGIL (TENACIDADE) ................................................................................ 10

2.2.5. VALORES DE CÁLCULO DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS ............................................................. 10

2.3. AÇO DE PRÉ-ESFORÇO .................................................................................................... 10

2.3.1. GENERALIDADES ............................................................................................................................. 10

2.3.2. PROPRIEDADES .............................................................................................................................. 10

2.3.3. RESISTÊNCIA .................................................................................................................................. 11

2.3.4. DUCTILIDADE .................................................................................................................................. 12

2.3.5. FADIGA ........................................................................................................................................... 12

3 PRÉ-ESFORÇO ................................................................................................... 13

3.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 13

3.2. PRINCIPIO DO PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................ 13

3.3. PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS METÁLICAS .................................................................... 15

3.4. MÉTODOS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................ 16

3.5. PRÉ-ESFORÇO EXTERNO .................................................................................................. 16

3.5.1. VANTAGENS E DESVANTAGENS ........................................................................................................ 16

3.5.2. PRÉ-ESFORÇO EXTERIOR ADERENTE ............................................................................................... 16


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3.5.3. PRÉ-ESFORÇO EXTERIOR NÃO ADERENTE ...................................................................................... 17

3.6. PROTEÇÃO CONTRA CORROSÃO ..................................................................................... 17

3.6.1. REQUISITOS BÁSICOS PARA A PROTEÇÃO CONTRA CORROSÃO ........................................................ 17

3.6.2. MATERIAL DE PROTEÇÃO ................................................................................................................ 18

3.7. ARMADURAS .................................................................................................................. 18

3.7.1. CONCEITOS BÁSICOS ..................................................................................................................... 18

3.7.2. PROPRIEDADES MECÂNICAS ........................................................................................................... 18

3.7.3. FIOS .............................................................................................................................................. 19

3.7.4. CORDÕES ...................................................................................................................................... 19

3.7.5. BARRAS ......................................................................................................................................... 19

3.7.6. CABOS .......................................................................................................................................... 19

3.8. ANCORAGENS ................................................................................................................ 20

3.9. BAINHAS ........................................................................................................................ 21

3.10. DISPOSITIVOS DE UNIÃO................................................................................................ 22

3.11. DESVIADORES .............................................................................................................. 23

3.12. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................ 23

3.12.1. PERDAS NAS ANCORAGENS .......................................................................................................... 24

3.12.2. PERDAS POR ATRITO .................................................................................................................... 24

3.12.3. PERDAS POR RELAXAÇÃO DA ARMADURA ...................................................................................... 25

3.13. MÉTODO DAS CARGAS EQUIVALENTES .......................................................................... 26

3.14. ECONOMIA POR PRÉ-ESFORÇO ...................................................................................... 27

4 DIMENSIONAMENTO DE POSTES TUBULARES METÁLICOS .............................................................................................................. 29

4.1. BASES DE PROJETO ....................................................................................................... 29

4.2. GEOMETRIA .................................................................................................................... 30

4.3. CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ............................................................... 31

4.4. RESISTÊNCIA DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS CIRCULARES ................................................ 33

4.5. RESISTÊNCIA DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS POLIGONAIS ................................................ 33

4.5.1. SECÇÕES TRANSVERSAIS DE CLASSE 3 .......................................................................................... 33

4.5.2. SECÇÕES TRANSVERSAIS DE CLASSE 4 .......................................................................................... 34

4.6. AÇÃO DO VENTO ............................................................................................................ 34

4.6.1. VENTO MÉDIO ................................................................................................................................ 35

4.6.2. PRESSÃO DINÂMICA DE PICO .......................................................................................................... 36


ix

4.6.3. FORÇA EXERCIDA PELO VENTO ....................................................................................................... 37

4.6.4. COEFICIENTE ESTRUTURAL, CSCD ..................................................................................................... 37

4.6.5. COEFICIENTE DE FORÇA PARA ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE SECÇÃO POLIGONAL REGULAR ............ 38

4.7. INFLUÊNCIA DOS CANTOS ARREDONDADOS ...................................................................... 38

4.8. CÁLCULO DO MÓDULO DE FLEXÃO ................................................................................... 40

4.8.1. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS – TEOREMA DE STEINER .............................................................. 40

4.8.2. SECÇÕES TRANSVERSAIS DE CLASSE 3 ........................................................................................... 41

4.8.3. SECÇÕES TRANSVERSAIS DE CLASSE 4 ........................................................................................... 41

4.8.4. SECÇÕES TRANSVERSAIS EFETIVAS ................................................................................................ 42

4.9. CÁLCULO DE TENSÕES .................................................................................................... 44

4.9.1. ESTADO LIMITE PLÁSTICO ............................................................................................................... 44

4.9.1.1. Valores de Cálculo das Tensões .............................................................................................. 44

4.9.1.2. Valores de Cálculo da Resistência ........................................................................................... 45

4.9.1.3. Limites de Tensão ..................................................................................................................... 45

4.9.2. ESTADO LIMITE DE ENCURVADURA .................................................................................................. 45

4.9.2.1. Valores de Cálculo das Tensões .............................................................................................. 45

4.9.2.2. Valores de Cálculo da Resistência ........................................................................................... 45

4.9.2.3. Limites de Tensão ..................................................................................................................... 46

4.9.3. TENSÕES MERIDIONAIS ................................................................................................................... 47

4.9.4. TENSÕES CIRCUNFERENCIAIS .......................................................................................................... 48

4.9.5. TENSÕES TANGENCIAIS ................................................................................................................... 50

4.10. CÁLCULO DE DEFLEXÕES............................................................................................... 51

4.11. MÉTODO DE MENDERA ................................................................................................... 52

5 EXEMPLO DE CÁLCULO ............................................................................. 55

5.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 55

5.2. GEOMETRIA DA CATENÁRIA ............................................................................................. 55

5.3. CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ................................................................ 57

5.4. MÓDULO DE FLEXÃO........................................................................................................ 58

5.5. AÇÃO DO VENTO ............................................................................................................. 60

5.6. ESFORÇOS ...................................................................................................................... 61

5.7. DEFLEXÃO ...................................................................................................................... 64

5.8. VERIFICAÇÃO DOS LIMITES DE DEFLEXÃO E RESISTÊNCIA ................................................. 65

5.9. TENSÕES ........................................................................................................................ 65

5.9.1. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE PLÁSTICO ..................................................................................... 66


x

5.9.2. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE ENCURVADURA ........................................................................ 66

5.10. MÉTODO DE MENDERA .................................................................................................. 69

5.11. CONFIGURAÇÕES DE CABOS DE PRÉ-ESFORÇO .............................................................. 71

5.11.1. CONFIGURAÇÃO 1 ........................................................................................................................ 71

5.11.2. CONFIGURAÇÃO 2 E 3................................................................................................................... 73

5.11.3. CONFIGURAÇÃO 4 ........................................................................................................................ 75

5.11.4. CONFIGURAÇÃO 5 ........................................................................................................................ 76

5.11.5. CONFIGURAÇÃO 6 ........................................................................................................................ 79

5.11.6. CONFIGURAÇÃO 7 ........................................................................................................................ 80

5.11.7. CONFIGURAÇÃO 8 ........................................................................................................................ 82

5.11.8. CONFIGURAÇÃO 9 ........................................................................................................................ 84

5.12. CONFIGURAÇÕES POSSÍVEIS ......................................................................................... 90

5.12.1. CONFIGURAÇÃO 6 ........................................................................................................................ 90

5.12.2. CONFIGURAÇÃO 9 ........................................................................................................................ 94

6 ESTUDO PARAMÉTRICO......................................................................... 99

6.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 99

6.2. CASO SEM PRÉ-ESFORÇO .............................................................................................. 101

6.3. CONFIGURAÇÃO 9 COM PRÉ-ESFORÇO ........................................................................... 103

6.4. COMPARAÇÃO GRÁFICA ................................................................................................ 106

7 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS .................................. 113

7.1. CONCLUSÕES ................................................................................................................ 113

7.2. TRABALHOS FUTUROS ................................................................................................... 114

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................ 117


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ÍNDICE DE FIGURAS

Fig.1 – Postes de suporte de catenárias na estação de metro da Póvoa de Varzim .............................. 2

Fig. 2 – Sistema estrutural representativo da otimização ........................................................................ 3

Fig. 3 – Diagrama tensões-extensões do aço típico de pré-esforço (a tensão de tração e a extensão de

tração são indicadas em valor absoluto) ................................................................................................ 11

Fig. 4 – Tensões de compressão e tração numa viga simplesmente apoiada sujeita a flexão ............. 14

Fig. 5 – Tensões de compressão e tração numa viga simplesmente apoiada após a aplicação das cargas

de compressão ....................................................................................................................................... 14

Fig. 6 – Conjunto de livros, sujeito ao seu peso próprio, a ser “pré-esforçado” .................................... 15

Fig. 7 – Fio e cordão de aço de alta resistência para armadura de pré-esforço ................................... 19

Fig. 8 - Ancoragem para barras Dywidag-Systems ............................................................................... 20

Fig. 9 - Ancoragem monocordão, utilizada tanto como ativa, como passiva, VSL S6-1 Mono ............. 20

Fig. 10 - Ancoragem ativa multi-cordões, VSLab Series (à esquerda) e ancoragem passiva multi-cordões,

VSL P-anchorage ................................................................................................................................... 21

Fig. 11 - Ancoragem multifios BBR ........................................................................................................ 21

Fig. 12 – Bainha metálica corrugada (à esquerda) e bainha metálica lisa (à direita) ............................ 22

Fig. 13 – Bainha de PEAD corrugada (à esquerda) e bainha de PEAD lisa (à direita) ......................... 22

Fig. 14 – Exemplo de soldadura topo a topo (à esquerda) e de caixa de união termoretrátil (à direita)22

Fig. 15 – Exemplo de dispositivo para união electrosoldável (à esquerda) e de abraçadeira mecânica (à

direita) ..................................................................................................................................................... 23

Fig. 16 – Disposição de cabos de pré-esforço externo .......................................................................... 23

Fig. 17 – Desenvolvimento das forças de atrito ..................................................................................... 25

Fig. 18 – Variação do valor da relaxação com a tensão instalada ........................................................ 26

Fig. 19 – Método das cargas equivalentes na zona das ancoragens .................................................... 26

Fig. 20 – Método das cargas equivalentes para exemplo de cabos de traçado retilíneo com desvios . 27

Fig. 21 – Modelo simplificado utilizado no estudo dos postes de suporte de catenária ........................ 30

Fig. 22 – Tipos de secções transversais ................................................................................................ 31

Fig. 23 – Secções transversais circulares .............................................................................................. 32

Fig. 24 – Secções transversais poligonais ............................................................................................. 32

Fig. 25 – Fator redutor ρ ......................................................................................................................... 33

Fig. 26 – Representação do coeficiente de rugosidade, cr(z), para c0(z)=1,0 ....................................... 36

Fig. 27 – Representação do coeficiente de exposição, ce(z), para c0(z)=1,0 e k1=1,0 .......................... 37

Fig. 28 – Representação da largura bp .................................................................................................. 39

Fig. 29 – Teorema de Steiner ................................................................................................................. 40

Fig. 30 – Características das secções efetivas de classe 4 .................................................................. 42


xii

Fig. 31 – Secções transversais efetivas ................................................................................................ 42

Fig. 32 – Distribuição da pressão do vento em torno da casca (à esquerda). Distribuição axissimétrica de

pressão equivalente (à direita) .............................................................................................................. 49

Fig. 33 – (a) Viga simplesmente apoiada sujeita a um certo carregamento (b) Linha elástica da viga

simplesmente apoiada, sujeita a flexão ................................................................................................. 51

Fig. 34 – Viga encastrada ...................................................................................................................... 52

Fig. 35 – Poste de suporte de catenária................................................................................................ 56

Fig. 36 – Divisão da secção transversal em oito troços de igual área (à esquerda) e distâncias consideradas

no cálculo da inércia .............................................................................................................................. 58

Fig. 37 – Retângulo inclinado em relação ao referencial usado ........................................................... 58

Fig. 38 – Gráfico do momento resistente e momento atuante em função da altura do poste .............. 63

Fig. 39 – Esquema das várias configurações de cabos de pré-esforço estudadas nesta dissertação 71

Fig. 40 – Esquema da configuração 1 ................................................................................................... 72

Fig. 41 – Esquema da configuração 2 (à esquerda) e da configuração 3 (à direita) ............................ 73



Fig. 44 – Variação do momento devido ao pré-esforço em função do comprimento do braço ............ 78

Fig. 45 – Variação da componente horizontal do pré-esforço em função do comprimento do braço .. 78




Fig. 49 – Sistema OPS .......................................................................................................................... 84


Fig. 51 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo e diâmetro de base para o caso sem pré-

esforço ................................................................................................................................................. 106

Fig. 52 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo e diâmetro de base para a configuração 9

............................................................................................................................................................. 106

Fig. 53 – Variação da flecha em função do diâmetro de base para os diâmetros de topo 200 e 350 mm

............................................................................................................................................................. 107

Fig. 54 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo para os diâmetros de base 300 e 500 mm

............................................................................................................................................................. 107

Fig. 55 – Variação da flecha em função da altura útil e do “e” para o caso sem pré-esforço ............. 108

Fig. 56 – Variação da flecha em função da altura útil e do “e” para a configuração 9 ........................ 108

Fig. 57 – Variação da flecha em função da altura útil para um e = 0,30 m ......................................... 109

Fig. 58 – Variação da flecha em função da espessura da secção transversal ................................... 109

Fig. 59 – Variação da flecha em função do nº de lados da secção transversal .................................. 110

Fig. 60 – Talhas rápidas “Jaguar” Série 630 ....................................................................................... 115


xiii


xiv

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 a) – Valores nominais da tensão de cedência fy e da tensão última à tração fu para aços estruturais

laminados a quente ................................................................................................................................. 8

Tabela 1 b) – Valores nominais da tensão de cedência fy e da tensão última à tração fu para secções

tubulares .................................................................................................................................................. 9

Tabela 2 – Economia no aço e no custo devido à utilização de pré-esforço ........................................ 28

Tabela 3 – Largura efetiva para elementos comprimidos interiores ..................................................... 43

Tabela 4 – Zona e valor básico da velocidade de referência do vento ................................................. 56

Tabela 5 – Carga da catenária e respetiva altura ................................................................................. 56

Tabela 6 – Classificação das secções transversais .............................................................................. 56

Tabela 7 – Módulo de flexão ................................................................................................................. 58

Tabela 8 – Pressão e força exercida pelo vento ................................................................................... 60

Tabela 9 – Esforços para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço, para a combinação 1.... 61

Tabela 10 – Esforços para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço, para a combinação 2 . 62

Tabela 11 – Curvatura, rotação e flecha para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço ........ 63

Tabela 12 – Verificação dos limites de deflexão e resistência para o poste de suporte de catenária sem pré-

esforço ................................................................................................................................................... 64

Tabela 13 – Tensões para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço...................................... 64

Tabela 14 – Fatores retirado do Anexo D da norma EN 1993-1-6 ....................................................... 66

Tabela 15 – Valores da esbelteza relativa plástica limite ...................................................................... 66

Tabela 16 – Parâmetros de esbelteza relativa ...................................................................................... 66

Tabela 17 – Fatores de redução associados à encurvadura ................................................................ 66

Tabela 18 – Inércia, áreas e módulo de flexão do poste de suporte de catenária ............................... 68

Tabela 19 – Parâmetros relativos à curva de encurvadura [c] .............................................................. 69

Tabela 20 – Verificação de segurança através do método de Mendera para uma carga de 1551 kN . 70

Tabela 21 – Deflexão para a configuração 1......................................................................................... 72




Tabela 25 – Deflexão para a configuração 5 em função do comprimento do braço ............................ 77

Tabela 26 – Momento e componente horizontal devido ao pré-esforço para uma força máxima de 10 kN

............................................................................................................................................................... 77

Tabela 27 – Deflexão para a configuração 6 em função do comprimento do braço ............................ 79

Tabela 28 – Razão entre a flecha e a altura ......................................................................................... 80


xv

Tabela 29 – Deflexão para a configuração 7 em função da altura desde o solo até ao cabo ............... 81

Tabela 30 – Razão entre a flecha e a altura para a configuração 7 em função da altura desde o solo até ao

cabo ........................................................................................................................................................ 82

Tabela 31 – Deflexão para a configuração 8 em função da altura do desvio ........................................ 83

Tabela 32 – Razão entre a flecha e a altura para a configuração 8 em função da altura do desvio .... 83

Tabela 33 – Deflexão para a configuração 9, para um P=10 kN, em função de b1, b2, h1 e h2 ............. 85

Tabela 34 – Razão entre a flecha e a altura para a configuração 9, para um P=10 kN, em função de b1, b2,

h1 e h2 ..................................................................................................................................................... 85



h1 e h2 ..................................................................................................................................................... 86



h1 e h2 ..................................................................................................................................................... 87



h1 e h2 ..................................................................................................................................................... 88



h1 e h2 ..................................................................................................................................................... 89

Tabela 43 – Esforços e Tensão de von-Mises da configuração 6 para a combinação 1 ...................... 90

Tabela 44 – Esforços da configuração 6 para a combinação 2 ............................................................. 91

Tabela 45 – Tensões da configuração 6 para a combinação 2 ............................................................. 92

Tabela 46 – Verificação pelo método de Mendera para a configuração 6 ............................................ 94

Tabela 47 – Esforços e Tensão de von-Mises da configuração 9 para a combinação 1 ...................... 95

Tabela 48 – Esforços da configuração 9 para a combinação 2 ............................................................. 96

Tabela 49 – Tensões da configuração 9 para a combinação 2 ............................................................. 97

Tabela 50 – Verificação pelo método de Mendera para a configuração 9 ............................................ 98

Tabela 51 – Valores de momentos atuante e resistente, tensões de von-Mises e flecha para o caso sem

pré-esforço e configuração 9 ................................................................................................................ 100

Tabela 52 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo e diâmetro de base ........................ 101

Tabela 53 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função do diâmetro de topo e diâmetro de base

.............................................................................................................................................................. 101

Tabela 54 – Variação da flecha em função da altura útil e do “e” ....................................................... 102

Tabela 55 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função da altura útil e do “e” ................. 102

Tabela 56 – Variação da flecha em função da espessura da secção transversal ............................... 102


xvi

Tabela 57 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função da espessura da secção transversal

............................................................................................................................................................. 102

Tabela 58 – Variação da flecha em função do nº de lados da secção transversal ............................. 102

Tabela 59 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função do nº de lados da secção transversal

............................................................................................................................................................. 102

Tabela 60 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo e diâmetro de base ........................ 104

Tabela 61 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função do diâmetro de topo e diâmetro de base

............................................................................................................................................................. 104

Tabela 62 – Variação da flecha em função da altura útil e do “e” ....................................................... 105

Tabela 63 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função da altura útil e do “e” ................ 105

Tabela 64 – Variação da flecha em função da espessura da secção transversal ............................. 105

Tabela 65 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função da espessura da secção transversal

............................................................................................................................................................. 105

Tabela 66 – Variação da flecha em função do nº de lados da secção transversal ............................ 105

Tabela 67 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função do nº de lados da secção transversal

............................................................................................................................................................. 105

Tabela 68 – Variação entre as Tabelas 51 e 59 ................................................................................ 111





xvii


xv

SÍMBOLOS

Letras maiúsculas latinas

A – Área total da secção transversal

A0 – Área inicial da secção transversal

Ae – Área equivalente da secção transversal

Aeff – Área efetiva da secção transversal

Ag – Área da secção transversal considerando o efeito dos cantos arredondados

Ag,sh – Área da secção transversal de arestas vivas

Amax- Área máxima da secção transversal

Amin – Área mínima da secção transversal

Aref – Área de referência

B2 – Coeficiente de resposta quase estática

C – Constante de integração

Cx – Parâmetro dependente dado tipo de cilindro

Cxb – Parâmetro dependente das condições fronteira

Cθ – Parâmetro dependente das condições fronteira

Cθs – Parâmetro dependente das condições fronteira

Cτ – Parâmetro dependente dado tipo de cilindro

E – Módulo de elasticidade; Efeito de uma ação

Et – Módulo de elasticidade do aço de pré-esforço

F – Carga da catenária

Fw – Força resultante exercida pelo vento

G – Módulo de distorção

Gk – Valor característico de uma ação permanente

I – Momento de inércia

Ie – Momento de inércia

Imax – Momento de inércia máximo

Imin – Momento de inércia mínimo

Ieff – Momento de inércia considerando a área efetiva da secção transversal

Ig – Inércia da secção transversal considerando o efeito dos cantos arredondados

Ig,sh – Inércia da secção transversal de arestas vivas


xvi

Iv – Intensidade de turbulência

Iw: constante de empenamento da secção transversal bruta;

Iw,sh: valor da constante de empenamento da secção bruta para a secção de arestas vivas

IΔ – Inércia em relação ao eixo Δ

F – Ação da catenária

Md,II – Momento de 2ª ordem

MEd – Valor de cálculo do momento fletor atuante

MRd – Valor de cálculo do momento fletor resistente

Ncr – Carga de instabilidade

Nd – Carga limite de projeto

NEd – Valor de cálculo do esforço normal atuante

Npl – Valor característico resistente plástico

NRb – Valor da capacidade resistente à encurvadura

NRc – Valor da resistência de cálculo à compressão

NRd – Valor de cálculo do esforço normal resistente

P0 – Valor do pré-esforço inicial na extremidade ativa da armadura de pré-esforço, imediatamente após a

aplicação do pré-esforço

Q – Parâmetro dependente da qualidade de fabrico

R2 – Coeficiente de resposta em ressonância

ReH – Tensão de cedência de acordo com as normas dos produtos

Rm – Tensão de rotura de acordo com as normas dos produtos

SΔ – Momento estático

VRd – Valor de cálculo do esforço transverso resistente

W – Módulo de flexão

Weff – Módulo de flexão efetivo de uma secção transversal

Wel – Módulo de flexão elástico de uma secção transversal

Letras minúsculas latinas

bp – Largura do lado do polígono regular entre os pontos de interseção dos eixos médios

bp,i – Largura bp do elemento i para a secção transversal de arestas vivas

c – Distância do eixo neutro à fibra mais extrema do eixo médio


xvii

c0 – Coeficiente de orografia

cdir – Coeficiente de direção

ce – Coeficiente de exposição

cf – Coeficiente de força

cf,0 – Coeficiente de força para elementos estruturais sem livre escoamento em torna das extremidades

cr – Coeficiente de rugosidade

cscd – Coeficiente estrutural

cseason – Coeficiente de sazão

d - Diâmetro

e – Distância entre o topo do poste e a carga da catenária ou excentricidade de uma força

e0d – Valor da amplitude das imperfeições

feq,Rd – Tensão resistente de von-Mises

fpk – Valor característico da tensão de rotura à tração do aço das armaduras de pré-esforço

fp0,1k – Valor característico da tensão convencional de proporcionalidade a 0,1 % à tração do aço das

armaduras de pré-esforço

fu – Tensão última

fy – Tensão de cedência

fyd – Valor de cálculo da tensão de cedência à tração do aço ou do aço

fyk – Valor característico da tensão de cedência do aço

f0 – Tensão admissível

h – Altura do poste de suporte de catenária

k – Coeficiente; fator

kp – Fator de pico

kσ – Fator de encurvadura de uma placa

lt – Comprimento da armadura de pré-esforço

m – Número de elementos retos

n – Número de elementos curvos; Número de lados polígono

nx,Ed – Tensão meridional resultante da membrana

nxθ,Ed – Tensão circunferencial resultante da membrana

nθ,Ed – Tensão tangencial resultante da membrana

p – Parâmetro dependente do tipo de mastro


xviii

P – Pré-esforço

qb – Pressão dinâmica de referência

qeq – Pressão equivalente do vento

qp – Pressão dinâmica de pico

qw,max – Pressão máxima do vento

r - Raio

rj – Raio interno do elemento curvo j

rm – Raio médio

t - Espessura

vb,0 – Valor básico da velocidade de referência do vento

vb – Valor de referência da velocidade do vento

VEd - Valor de cálculo do esforço transverso atuante

vm – Velocidade media do vento

z – Altura acima do solo

ze – Altura de referência para a pressão exterior exercida pelo vento

zs – Altura de referência para a determinação do coeficiente estrutural

Letras gregas

α – Coeficiente de dilatação térmica linear; Fator redutor de imperfeição

β – Ângulo de desvio; Fator de interação plástico

γM0 – Coeficiente parcial de segurança para resistência de seções transversais de qualquer classe

γM1 – Coeficiente parcial de segurança para a resistência dos elementos em relação a fenómenos de

encurvadura, avaliada através de verificações individuais de cada elemento

δ – Valor do primeiro modo de instabilidade

Δa – Quantidade de escorregamento da armadura de pré-esforço

Δx – Flecha

Δwk – Amplitude característica de imperfeição

Ε – Extensão

εu – Extensão última

εuk – Valor característico da extensão

εy – Extensão de cedência


xix

η – Expoente de interação de encurvadura

θ - Ângulo

λ – Esbelteza relativa

λ0 – Esbelteza relativa plástica limite

λp – Esbelteza normalizada

μ – Coeficiente de atrito entre cabos e bainhas

ν – Coeficiente de Poisson

ρ – Massa volúmica do ar; Fator redutor

σcr – Tensão critica

σeq,Ed – Valor da tensão de cálculo equivalente de von-Mises

σp – Tensão do aço de pré-esforço

σpuk – Valor característico da tensão de pré-esforço

σx,Ed – Valor de cálculo da tensão meridional atuante

σx,Rd – Valor de cálculo da tensão meridional resistente

σx,Rk – Valor característico da tensão meridional

σθ,Ed – Valor de cálculo da tensão circunferencial atuante

σθ,Rd – Valor de cálculo da tensão circunferencial atuante

σθ,Rk - Valor característico da tensão circunferencial

τxθ,Ed – Valor de cálculo da tensão tangencial atuante

τxθ,Rd – Valor de cálculo da tensão tangencial resistente

τθn,Ed – Valor característico da tensão tangencial

Φ: ângulo entre dois elementos retos

χ – Coeficiente de redução associado ao modo de encurvadura considerado

ψ – Relação entre tensões ou extensões

Ψλ – Coeficiente de defeitos de extremidade

ω – Comprimento da casca


xx


1

1 INTRODUÇÃO

1.1. MOTIVAÇÃO E ENQUADRAMENTO DO TEMA

“O setor dos transportes desempenha um papel fundamental na economia dos países, assegurando o

transporte de pessoas e mercadorias numa sociedade que se caracteriza por ser cada vez mais globalizada.”

[1]

Apesar dos conhecidos problemas gerados pelos transportes rodoviários, o número de viaturas continua a

crescer de forma considerável causando assim mais ruído e poluição atmosférica e outros fatores que

contribuem para a redução da qualidade de vida da população.

Há quem coloque a questão de o crescimento do número de automóveis incentivar a expansão urbana e

vice-versa. Isto explica-se pelo aumento das distâncias que as pessoas têm que percorrer entre os sítios que

normalmente frequentam. Como tal, dá-se resposta a isto com o crescimento das estradas.

A estratégia para combater os tais problemas causados pelo tráfego rodoviário e evoluir para um

desenvolvimento sustentável, passa cada vez mais pela otimização do sistema de transportes públicos.

Dentro do setor dos transportes terrestres, o transporte ferroviário assume especial destaque ao garantir uma

elevada capacidade de carga e uma eficiência energética superior à maioria.

As estruturas que serão estudadas nesta dissertação, os postes de suporte de catenária, são um elemento

essencial na constituição das vias férreas, sendo, como o próprio nome diz, os postes que suportam as

catenárias que permitem a deslocação do transporte ao longo dos carris.


2

Fig. 1 – Postes de suporte de catenárias na estação de metro da Póvoa de Varzim

A otimização consiste numa procura por melhores soluções, que atendam melhor os requisitos. Para uma

estrutura moderna de engenharia, os principais requisitos são: capacidade de carga resistente (segurança),

produção e economia. Estes requisitos podem ser cumpridos por um sistema estrutural, no qual a função de

custo é minimizada considerando as restrições de projeto e de fabrico.

O sistema pode ser representado por uma estrutura espacial simples, como representado na Fig. 2. Esta

representação mostra também dois aspetos importantes. Primeiro, que na ausência de um requisito, o

sistema não funciona tão bem, nem oferece as melhores soluções. Segundo, mostra que deve ser realizada

uma cooperação harmoniosa entre os aspetos principais, uma vez que se afetam mutuamente de forma

significativa. [2]


3

Fig. 2 – Sistema estrutural representativo da otimização, adaptado de [3]

O dimensionamento da solução otimizada permite aos engenheiros obter uma redução significativa do peso

da estrutura e economizar custos através da utilização de métodos matemáticos e da sistematização do

processo de conceção.

Há que ter em consideração o facto de que a melhor forma de diminuir o peso de uma estrutura constituída

por chapas é diminuir a espessura das chapas. No dimensionamento de estruturas de paredes finas surgem

vários problemas, [3]:

• Dificuldades no fabrico causadas por tensões residuais de soldagem e distorções;

• Problemas de estabilidade: fenómenos de encurvadura global e local e a sua interação;

• Elevadas tensões adicionais devido ao empenamento por torção;

• Altas concentrações de tensões nas juntas: perigo de rotura por fadiga no caso de cargas

variáveis;

• Vibrações devido a baixas frequências próprias de uma estrutura de paredes finas: é necessário

o estudo dos métodos de amortecimento de vibrações;

• Para evitar a encurvadura e a vibração, deve-se usar reforços e dimensionar chapas e cascas

rígidas;

• Determinação da medida suficiente de diminuição da espessura para a solução ótima.

Nesta dissertação irá ser utilizada a tecnologia do pré-esforço na tentativa de se otimizar as soluções dos

postes de suporte de catenária já existentes.


4

1.2. OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO

Esta dissertação visa a aplicação de cabos tensionados no interior de postes metálicos tubulares de forma a

controlar a deformação após a aplicação da carga e durante o período de utilização. Tenciona-se que o estudo

a ser desenvolvido neste projeto tenha por base o dimensionamento de estruturas metálicas pelo Eurocódigo

3.

De forma a auxiliar e automatizar o cálculo envolvido na realização desta dissertação, pretende-se o

desenvolvimento de software afim através de folhas Excel e macros em Visual Basic.

O objetivo principal é analisar a viabilidade estrutural da aplicação dos cabos nos postes tubulares metálicos,

focando-se nos postes de suporte de catenária. A implementação desta solução visa a diminuição da

espessura de aço das seções tubulares, permitindo otimizar custos.

1.3. NORMAS REGULAMENTARES

A realização desta dissertação teve por base os Eurocódigos Estruturais que “constituem um conjunto de

Normas Europeias (EN) relativas ao projeto de estruturas de edifícios e de outras obras de engenharia civil,

realizadas com diferentes materiais.” [4]

De entre todos os Eurocódigos existentes, foram utilizados os seguintes:

• NP EN 1990: Bases para o projeto de estruturas;

• NP EN 1991: Ações em estruturas - Parte 1-4: Ações do vento;

• NP EN 1992: Projeto de estruturas de betão - Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios;

• NP EN 1993: Projeto de estruturas de aço - Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios;

• EN 1993: Design of steel structures - Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-

formed members and sheeting;

• NP EN 1993: Projeto de estruturas de aço - Parte 1-5: Elementos estruturais constituídos por

placas;

• EN 1993: Design of steel structures - Part 1-6: Strength and stability of shell structures.

Adicionalmente foram ainda utilizadas as seguintes normas:

• prEN 10138-1: Prestressing steels – Part 1: General requirements;

• BS EN 50119: Railway applications – Fixed installations – Electric traction overhead contact

lines;

• EN 50341-1: Overhead electrical lines exceeding AC 1kV – Part 1: General requirements –

Common specifications.

Estas duas últimas normas são específicas para as estruturas envolvidas na constituição de vias férreas. Por

esta razão, houve situações em que foram escolhidos valores destas normas em detrimento de valores dados

pelos Eurocódigos.

1.4. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

O presente trabalho está dividido em sete capítulos.


5

O capítulo inicial corresponde à introdução, a qual tem o objetivo de clarificar as motivações que levaram

à escolha do tema, bem como o seu enquadramento. Neste capítulo, são ainda descritos os objetivos da

presente dissertação, as normas regulamentares utilizadas e uma breve descrição da estrutura da dissertação.

No capítulo 2 é apresentada uma breve descrição dos materiais a serem utilizados nesta dissertação: o aço

estrutural e o aço de alta resistência utilizado no pré-esforço.

No capítulo 3 são abordados os conceitos teóricos associados à tecnologia do pré-esforço.

No capítulo 4 são apresentadas as disposições normativas associadas ao dimensionamento de estruturas

tubulares metálicas. Este dimensionamento é focado no caso em estudo: postes de suporte de catenárias.

O capítulo 5 é dedicado à apresentação de um exemplo de cálculo de um determinado poste fornecido pela

empresa Metalogalva – Grupo Metalcon. Os cálculos apresentados foram obtidos a partir de uma folha de

cálculo em Excel desenvolvida pelo autor da presente dissertação, seguindo os pressupostos apresentados

no capítulo 4.

No capítulo 6 é realizado um estudo paramétrico com o objetivo de adquirir sensibilidade em relação ao

grau de influência das diversas variáveis relativas à geometria do poste de suporte de catenária. Este estudo

divide-se em três partes:

i. Estudo do poste sem pré-esforço;

ii. Estudo do poste com pré-esforço;

iii. Comparação entre o poste sem e com pré-esforço.

Por fim, no capítulo 7, são apresentadas as conclusões finais referentes ao trabalho desenvolvido e sugestões

de trabalhos futuros que possam vir a ser realizados na sequência da presente dissertação.


6


7

2 MATERIAIS

2.1. INTRODUÇÃO

O aço é um material muito utilizado pela sua distinta resistência aos esforços de tração, propriedade que lhe

é conferida pela presença de uma certa quantidade de carbono na sua constituição. Este material é produzido

numa grande variedade de tipos e formas, que permitem máxima flexibilidade no dimensionamento. É

relativamente barato de produzir e é o material mais forte, mais versátil e económico disponível na indústria

da construção. [5]

Este material é uniforme em qualidade, é dimensionalmente estável e a sua durabilidade não é afetada pelo

congelamento e descongelamento alternado. Adicionando pequenas quantidades de cobre ou de outros

elementos de liga, a sua resistência à corrosão pode ser melhorada.

O aço tem ainda várias qualidades únicas que o tornam especialmente adaptável aos requisitos exigentes da

construção. Pode ser termicamente tratado com o objetivo de obter dureza, ductilidade e força, conforme a

exigência de serviço, e ainda assim, consegue ser vendido pronto em lojas de equipamento convencional.

2.2. AÇO ESTRUTURAL

2.2.1. GENERALIDADES

O aço estrutural é utilizado em forma de perfis, podendo estes ser pré-fabricados ou efetuados com recurso

a soldaduras. A sua constituição é predominantemente ferro, sendo que pequenas proporções de outros

elementos, particularmente carbono e magnésio, também deverão estar presentes para proporcionar força e

ductilidade. Ao aumentar o teor em carbono consegue-se tornar o aço mais forte e mais furo. Por outro lado,

ao diminuir o teor de carbono torna-se o aço mais macio ou mais dúctil, mas sacrificando alguma da sua

força.

As disposições apresentadas no Eurocódigo 3 aplicam-se a aço estrutural com resistência S235 a S460. O S

no inicio da designação do aço significa estrutural e vem do inglês structural. O número refere-se à tensão

de cedência e, em seguida, podem ainda existir outras indicações relacionadas com o tipo de aço, o seu

processo de fabrico e as suas caraterísticas.


8

2.2.2. PROPRIEDADES

Os valores nominais da tensão de cedência fy, e da tensão ultima, fu, para o aço estrutural deve ser obtido

através de um dos seguintes procedimentos:

• Adotando os valores fy = ReH e fu = Rm obtidos diretamente da norma do produto;

• Utilizando o escalonamento simplificado da tabela 1 a) e b).

Tabela 1a) - Valores nominais da tensão de cedência fy e da tensão última à tração fu para aços estruturais

laminados a quente [6]


9

Tabela 1b) - Valores nominais da tensão de cedência fy e da tensão última à tração fu para secções tubulares [6]

2.2.3. DUCTILIDADE

A ductilidade é a capacidade de um aço se deformar plasticamente sem romper, depois de ultrapassado o

limite plástico.

Para o aço estrutural é exigida uma ductilidade mínima que deverá ser expressa em termos de limites para

os valores das seguintes grandezas:

• Relação fu / fy entre os valores mínimos especificados da tensão última à tração fu e da tensão

de cedência fy;

• Extensão após rotura, determinada com base num comprimento inicial entre referências de

5,65√𝐴0, em que A0 é a área inicial da secção transversal;

• Extensão última εu, correspondente à tensão última fu.

Os aços que estejam em conformidade com alguma das classes presentes na Tabela 1 a) e b) deverão

considerar-se como satisfazendo estas condições.


10

2.2.4. RESISTÊNCIA À ROTURA FRÁGIL (TENACIDADE)

A tenacidade é a capacidade do material se deformar plasticamente e absorver energia antes da rotura.

O material deve possuir uma tenacidade suficiente para evitar rotura frágil dos elementos tracionados

sujeitos ao valor da temperatura mínima de serviço que possa ocorrer durante o tempo de vida útil previsto

para a estrutura.

2.2.5. VALORES DE CÁLCULO DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

No caso dos aços estruturais abrangidos pela norma NP EN 1993-1-1 [6], as propriedades a adotar nos

cálculos deverão ser as seguintes:

• Módulo de elasticidade: E = 210 000 N/mm2;

• Módulo de distorção: G = E/[2(1+ν)] ≈ 81 000 N/mm2;

• Coeficiente de Poisson em regime elástico: ν = 0,3;

• Coeficiente de dilatação térmica linear: α = 12x10-6 por K (para T ≤ 100°C).

2.3. AÇO DE PRÉ-ESFORÇO

2.3.1. GENERALIDADES

Entende-se por aço de pré-esforço “os produtos em aço de alta resistência e baixa relaxação, destinados a

serem utilizados como armaduras”. [7]

O aço de pré-esforço é, normalmente, obtido por trefilagem a frio de fios de aço laminado a quente de

elevado teor de carbono. Este aço pode ser fabricado por qualquer processo exceto o de conversor com sopro

de fundo (ar ou ar + oxigénio).

O produto acabado deve estar isento de defeitos que possam prejudicar o seu adequado desempenho como

armadura de pré-esforço. Os aços não deverão apresentar quaisquer sinais de oxidação, a menos que seja

uma película superficial de óxido. A superfície do aço deve ter um aspeto liso a olho nu.

Os revestimentos ou tratamentos da superfície para fins específicos podem ser aplicados apenas se

previamente acordado entre o comprador e o fabricante.

2.3.2. PROPRIEDADES

As propriedades dos aços de pré-esforço estão descritas na norma prEN 10138 [8], Parte 2 a 4, dependendo

do tipo de armadura, ou numa Aprovação Técnica Europeia.

As armaduras de pré-esforço devem ser classificadas em função das seguintes características:

• Resistência, indicando o valor característico da tensão limite convencional de

proporcionalidade a 0,1% (fpk/fp0,1k) e a extensão na carga máxima (εuk);

• Classe, indicando o comportamento em relação à relaxação;

• Secção;

• Características da superfície.


11

As propriedades mecânicas relevantes e os valores específicos devem ser obtidos conforme especificado

nas Partes 2 a 4 na norma prEN 10138 [8].

Devem ser estabelecidas curvas para a relaxação da força, a uma temperatura nominal de 20°C, durante um

período de 1000 horas, a partir de uma força inicial de 70% da força máxima real das amostras de aço de

pré-esforço ensaiadas à tração.

As armaduras de pré-esforço devem apresentar uma suscetibilidade à corrosão sob tensão suficientemente

baixa. Poderá admitir-se que o grau de suscetibilidade à corrosão sob tensão é suficientemente baixo se as

armaduras obedecerem aos seguintes critérios especificados nas Partes 2 a 4 da norma prEN 10138 [8].

2.3.3. RESISTÊNCIA

A tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,1% (fp0,1k) e a resistência à tração (fpk) são definidas,

respetivamente, como o valor característico da força correspondente à extensão limite convencional de

proporcionalidade a 0,1% e o valor característico da força máxima em tração simples, dividido pela área

nominal da secção transversal, conforme representado na Fig. 3.

Fig. 3 – Diagrama tensões-extensões do aço típico de pré-esforço (a tensão de tração e a extensão de tração são

indicadas em valor absoluto) [9]

2.3.4. DUCTILIDADE

O aço de pré-esforço deve apresentar uma ductilidade adequada por meio de flexão e/ou compressão, de

acordo com o especificado nas Partes 2 a 4 na norma prEN 10138 [8].


12

Os diagramas tensões-extensões dar armaduras, baseados nos dados da sua produção, devem ser preparados

e fornecidos pelo fabricante e anexos ao certificado que acompanha o fornecimento.

Poderá admitir-se que a ductilidade em tração das armaduras de pré-esforço é adequada se fpk/fp0,1k ≥ k. O

valor de k a utilizar deverá ser indicado no Anexo Nacional de cada país.

2.3.5. FADIGA

As armaduras devem suportar, sem falhar, dois milhões de ciclos de carga em condições estáveis superiores

e frequência, onde a força é definida por 70% da força máxima de rotura, determinada em ensaio de tração.


13

3 PRÉ-ESFORÇO

3.1. INTRODUÇÃO

O desenvolvimento da tecnologia de pré-esforço foi um grande marco no domínio da engenharia estrutural

e da construção, uma vez que abriu a possibilidade de melhorar os aspetos económico, estrutural e estético

de uma solução, normalmente de betão. Não obstante, tem sido um conceito aplicado ao longo da história,

não só ao betão, mas à maioria dos materiais de construção, incluindo madeira, alvenaria e metais, sendo

utilizado tanto para objetos comuns de pequena escala como para grandes estruturas.

No entanto, apesar da simplicidade adjacente aos conceitos do pré-esforço e das suas várias vantagens, a

sua aplicação ainda não é igualmente estendida a todas as diferentes áreas estruturais. Em diversos casos

em que o pós-tensionamento proporcionaria uma solução visivelmente superior, acontece que, apesar disso,

é escolhida muitas vezes a solução mais convencional (solução sem pré-esforço).[10]

3.2. PRINCIPIO DO PRÉ-ESFORÇO

A aplicação de pré-esforço consiste na introdução de uma ação autoequilibrada que contraria as ações

externas.

O pré-esforço é a imposição de um estado de tensão sobre uma estrutura antes de esta ser colocada em

serviço. Pode permitir que a estrutura resista a quaisquer cargas que lhe seja imposta durante o serviço.

Segundo Gasparini[11], o pré-esforço pode ser essencial na funcionalidade e/ou estabilidade da estrutura,

pois pode simplificar as conexões e melhorar o desempenho da estrutura ao aumentar a sua rigidez ou ao

limitar a fendilhação. O pré-esforço pode ainda impedir inversão de tensões em condições de carga normais

e, portanto, permite o uso de elementos sujeitos apenas a esforços de compressão ou tração. É um método

bastante útil na reabilitação e na estabilização de uma estrutura pois providencia forças de confinamento.

Um elemento estrutural submetido a flexão, por exemplo uma viga simplesmente apoiada, irá absorver o

carregamento através de esforços internos de compressão e tração. [10]


14

Fig. 4 – Tensões de compressão e tração numa viga simplesmente apoiada sujeita a flexão (adaptado de [10])

Se o material tiver uma baixa resistência à tração, por exemplo no caso da alvenaria e do betão, a capacidade

de carga será baixa. Uma maneira de compensar este problema é aplicar forças de compressão ao elemento,

o que irá fazer com que as tensões no lado comprimido aumentem e as tensões no lado tracionado diminuam

ou sejam eliminadas.

Fig. 5 – Tensões de compressão e tração numa viga simplesmente apoiada após a aplicação das cargas de

compressão (adaptado de [10])

Assim, uma “estrutura” sem qualquer resistência à tração pode atuar como uma viga simplesmente apoiada,

por exemplo um conjunto de livros pode ser levantado de uma prateleira, se os livros forem pressionados

todos juntos, ou seja, forem pré-esforçados através de compressão longitudinal.


15

Fig. 6 – Conjunto de livros, sujeito ao seu peso próprio, a ser “pré-esforçado” [12]

O conceito de pré-esforço pode ser resumido da seguinte forma, [12]:

• A introdução controlada de tensão numa parte em toda a estrutura, que está sob a influência de

uma carga externa, de modo a que sejam produzidas tensões opostas àquelas originadas pelo

seu peso próprio e pela carga externa;

• Regulação da magnitude de pré-esforço na estrutura conforme solicitado pelo

dimensionamento.

3.3. PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS METÁLICAS

Em estruturas ou em elementos estruturais de aço pré-esforçado, as tensões são criadas artificialmente e

geralmente de sinal oposto às tensões devido às cargas exteriores. Ao longo do século passado têm vindo a

ser encontrados alguns exemplos de estruturas de aço pré-esforçado, mas apenas durante a última década é

que este método tem vindo a ter uma maior aplicação no campo das estruturas metálicas.

O efeito de pré-tensão estrutural do metal, é, em primeiro lugar, a substituição parcial de aço requerido para

a estrutura por aço de alta resistência sob a forma de armadura. Em segundo lugar, com o pré-esforço é

possível criar uma redistribuição conveniente de forças na estrutura. Isto reduz a quantidade de aço

necessária na estrutura, mas dificulta o seu fabrico e construção.

Quando numa estrutura introduzimos o pré-esforço P0, é desenvolvida uma tensão de sinal contrário àquela

gerada pela carga exterior e a extensão do trabalho elástico do material aumenta. Inicialmente, é criada uma

tensão preliminar, f0, depois uma carga, P, é aplicada para conduzir a tensão na barra a um valor de tensão

admissível, f. A força de tração na barra de pré-esforço é maior f0A do que a força na mesma barra sem o

pré-esforço.

É possível aumentar ainda mais a capacidade de carga aplicando o pré-esforço por fases, sendo que a pré-

tensão e a carga necessária são alcançadas após alguns ciclos.

O pré-esforço está sempre relacionado a deformações, as quais podem também ser de sinal inverso em

comparação com as deformações devido à carga aplicada. Em certos casos, estas deformações podem limitar

o pré-esforço devido à possibilidade de perda de estabilidade. [12]


16

3.4. MÉTODOS DE PRÉ-ESFORÇO

Atualmente, são usados dois métodos de aplicação de pré-esforço: pré-esforço através de armadura feita

de aço de alta resistência, e introdução de pré-esforço sem armadura. O método que utiliza armadura é

bastante aplicado em engenharia de pontes e é geralmente considerado o método clássico. O método sem

armadura é um pouco limitado e é considerado um método secundário.

Método Clássico

Antes de mais, é importante referir que neste caso, ao contrário do pré-esforço nas estruturas de betão que

tanto pode ser pré-esforço interno, quando a armadura está embebida no betão, como pré-esforço externo,

quando a armadura não está embebida no betão, nas estruturas metálicas temos apenas pré-esforço externo.

As estruturas que são pré-esforçadas através de armadura são constituídas por três elementos: a estrutura

que originalmente não é pré-esforçada, a armadura de aço de alta resistência e as ancoragens que suportam

as armaduras. Para a introdução de tensões nas armaduras, utilizam-se equipamentos auxiliares como por

exemplo os macacos ou torniquetes.

Após as armaduras estarem ligadas às ancoragens, que são fixas à estrutura, a tensão é aplicada à estrutura

inteira ou a parte dela. Uma das condições básicas para o pré-esforço é fixar com segurança os cabos às

ancoragens e assegurar que a ligação à estrutura é imóvel. As forças do pré-esforço mantêm a estrutura em

equilíbrio e, consequentemente, não surgem reações verticais. [12]

3.5. PRÉ-ESFORÇO EXTERNO

3.5.1. VANTAGENS E DESVANTAGENS

Segundo Burdet, Badoux, Picard, Massicotte, Bastien e Shupack [13-15], as principais vantagens do pré-

esforço externo consistem na fácil instalação e substituição dos cabos, na possibilidade de inspeção, menos

perdas por atrito, adequada proteção contra a corrosão, menos peso próprio devido à esbelteza da estrutura

e na possibilidade de voltar a tensionar ou distensionar os cabos.

Esta última vantagem e a substituição dos cabos apenas é possível quando previsto em projeto. A técnica

de pré-esforço externo tem sido bastante aplicada na ligação de tabuleiros de pontes pré-fabricados, o que

resulta ainda em menores custos de instalação.

No que diz respeito às desvantagens, como os cabos de pré-esforço são exteriores à secção, os seus traçados

são exclusivamente retos, exceto nas zonas de desvio. Resulta assim uma baixa eficiência comparativamente

àquela que se pode obter com o pré-esforço interior de traçado parabólico. Existe ainda os custos adicionais

devido aos diversos componentes que integram o sistema, como as uniões de bainhas, selas de desvio e, por

vezes, ancoragens especiais.

No caso das estruturas de betão, a concentração de tensões devido às forças de pré-esforço, leva ao aumento

das armaduras adicionais nos pontos de desvio dos cabos.


17

3.5.2. PRÉ-ESFORÇO EXTERIOR ADERENTE

No pré-esforço aderente, todos os elementos funcionam em conjunto por aderência. A aderência é conferida

pela injeção de calda de cimento, não permitindo assim a variação de comprimento da armadura sem o

fissuramento do material envolvente. Deste modo, não é possível voltar a tensionar ou distensionar o cabo,

a não ser que se faça uma substituição total, utilizando meios destrutivos para o efeito.

3.5.3. PRÉ-ESFORÇO EXTERIOR NÃO ADERENTE

Neste sistema é permitido o deslocamento da armadura dentro da bainha de pré-esforço. No entanto, o

deslocamento da armadura não é permito nas ancoragens, de maneira a assegurar o tensionamento e

ancoragem da mesma. Na zona dos desviadores é permitido movimento.

3.6. PROTEÇÃO CONTRA CORROSÃO

Devido à possibilidade de corrosão, as estruturas de aço pré-esforçadas não devem ser usadas em ambientes

de grande humidade. Os elementos rígidos são protegidos contra a corrosão de uma maneira semelhante à

usada nas estruturas não pré-esforçadas. O revestimento contra a corrosão pode ser aplicado antes ou após

o pré-esforço. Primeiro, o aço é revestido por um primário, e depois por uma dou duas camadas de cobertura

final.

Note-se que se deve evitar que a corrosão enfraqueça as seções transversais das armaduras.

As partes internas da armadura são cobertas por chumbo vermelho e a proteção externa é executada

aplicando uma cobertura correspondente. A cobertura é aplicada sobre a armadura de forma a evitar fissuras

após grandes deformações. De modo a melhorar a proteção contra a corrosão, é possível cobrir a armadura

de zinco e, simultaneamente, usar um revestimento cromado de zinco sobre o primário. A armadura pode

ser ainda protegida através da aplicação de uma camada plástica ou pelo envolvimento do cabo numa

película plástica resistente à água. No caso desta solução, é conveniente inserir, no interior, vedantes que

absorvam a humidade que possa penetrar no espaço protegido.

Existem tipos especiais de fios de aço cobertos de zinco que não necessitam de proteção adicional contra a

corrosão. No entanto, a utilização de zinco diminui a resistência do fio. [12]

3.6.1. REQUISITOS BÁSICOS PARA A PROTEÇÃO CONTRA CORROSÃO

Tendo em conta a investigação realizada por Shupack, Shinko Wire e The Netherlands Committe for

Corrosion Protection of Unbonded Tendons[16-18], os requisitos básicos para a proteção das armaduras

são:

• A principal causa de corrosão é a penetração de humidade na armadura, quer através da bainha

e revestimento, quer pela ancoragem. Assim sendo, o revestimento deve ser contínuo ao longo

do comprimento da armadura, impermeável, sem furos e altamente resistente ao vapor de água;

• A armadura deve ser protegida durante o processo de revestimento, por graxa que contenha

inibidores de corrosão;


18

• A parte mais vulnerável da armadura, relativamente à corrosão, está, provavelmente, nas

ancoragens. Devem ser tomadas medidas especiais para que a humidade não penetre através

destas.

3.6.2. MATERIAL DE PROTEÇÃO

A armadura de pré-esforço deve ser protegida contra a corrosão de forma permanente, sendo recomendado

que essa proteção seja aplicada em forma de uma graxa, que auxilie ainda a sua livre circulação durante o

tensionamento.

Dos tipos de graxa existentes, vários não são impermeáveis à humidade, e por isso, elementos nocivos

podem penetrar a graxa e chegar à armadura, a não ser que a cobertura externa seja completamente

impermeável. No entanto, na maioria das situações, as graxas mais comuns conseguem fornecer proteção

suficiente, se satisfizerem os seguintes requisitos:

• O revestimento deve ser completamente à prova de água e contínuo em todo o comprimento

da armadura;

• O material do revestimento deve ser contínuo ao longo de todo o comprimento e deve encher

totalmente o revestimento sem bolsas de ar;

• O revestimento deve permanecer dúctil, livre de fissuras e sem nunca se tornar fluido;

• O material de revestimento não deve conter impurezas nocivas, como cloretos, sulfetos e

nitratos.

As graxas especiais de proteção contra corrosão fornecem ainda as seguintes propriedades: barreira contra

a humidade e o ar; membrana autorregeneradora e que repela a água; alcalinidade de reserva para a

neutralização da acidez a longo prazo. [12]

3.7. ARMADURAS

3.7.1. CONCEITOS BÁSICOS

O pré-esforço de estruturas metálicas é geralmente realizado por armaduras ligadas a ambas as extremidades

através de ancoragens que são fixas aos membros que estão a ser pré-esforçados. As armaduras de pré-

esforço são elementos tracionados ou esticados que são usados para criar compressão na estrutura.

Geralmente, as armaduras de aço de alta resistência são tracionadas entres duas ancoragens e conduzidas a

cerca de três quartos da sua resistência máxima.

As armaduras de aço de alta resistência que são utilizadas para o pré-esforço, geralmente assumem uma das

seguintes formas: fios, cordões, cabos ou barras.

As armaduras são normalmente ligadas a diafragmas ao longo do comprimento de um elemento estrutural

principal. Os diafragmas asseguram a estabilidade dos membros durante a aplicação do pré-esforço, no

entanto, a sua conceção deve assegurar o deslocamento livre na direção longitudinal durante o

tensionamento da armadura. [12]


19

3.7.2. PROPRIEDADE MECÂNICAS

• Ductilidade: as armaduras devem ter ductilidade a fim de evitar rotura frágil durante a

instalação e serviço. A ductilidade é medida por testes de flexão e extensão. A extensão deve

no mínimo de 2%;

• Tensão de relaxação: trata-se de um fluxo de aço plástico irreversível que ocorre sob altas

tensões e cargas que causam uma redução na tensão da armadura, que pode variar de 6 a 13%;

• Corrosão: as armaduras devem ser protegidas contra a corrosão, que pode afetar a ductilidade

e a resistência à fadiga e reduzir a secção transversal. A proteção pode ser fornecida por

galvanização e revestimento epóxi, que deve ser continuo;

• Fadiga: com a variação da sobrecarga, as armaduras pré-esforçadas sofrem apenas uma gama

muito pequena de variação de tensão. Portanto, a fadiga geralmente não é um problema;

• Variação de temperatura: as armaduras não são substancialmente afetadas por temperaturas

muito baixas, exceto para aumentar o módulo de elasticidade e diminuir a ductilidade. A

temperatura elevada, a taxa de relaxação de tensão, bem como a ductilidade aumentam

substancialmente.

3.7.3. FIOS

Os fios de aço a serem utilizados em armaduras para pré-esforço são extraídos de uma haste fria de

comprimento contínuo simples e produzidos com diâmetros até 12mm.

3.7.4. CORDÕES

Os cordões para pré-esforço consistem em conjuntos de fios enrolados em hélice com eixo longitudinal

comum.

Fig. 7 – Fio e cordão de aço de alta resistência para armadura de pré-esforço

3.7.5. BARRAS

As barras de aço de alta resistência são usadas principalmente para pré-esforço e são produzidas a partir de

aço com teor médio em carbono e adição de vários elementos de liga. Devido à baixa ductilidade deste aço,

é necessária uma ligeira flexão para o fabrico de reforços pré-esforçados, os quais devem ser realizados

com muito cuidado para evitar a rutura do aço.

3.7.6. CABOS

Os cabos de aço são associações de fios ou cordões paralelos no caso de cabos em feixe e associações de

fios ou cordões dispostos em hélice no caso de cabos em cordão.


20

3.8. ANCORAGENS

O sistema de pré-esforço compreende essencialmente num método de tensão do aço combinado com um

método de ancoragem das armaduras à estrutura. As ancoragens são dispositivos mecânicos utilizados para

transmitir a força da armadura à estrutura e incluem os meios de agarrar e fixar a instalação da armadura ao

elemento.

Existem diferentes sistemas para tensionamento e ancoragem. É necessário o conhecimento pormenorizado

das ancoragens de extremidade e dos elementos de tensionamento para conceber ou especificar um sistema,

incluindo o dimensionamento das extremidades dos elementos de pós-tensão.

As ancoragens podem ser ativas quando localizadas na extremidade da armadura que é tensionada, de

continuidade quando localizadas ao longo do comprimento da armadura e que podem ter a função de

intercalar o tensionamento, e passivas quando localizadas na extremidade da armadura que não está a ser

tensionada.

As ancoragens podem ser dividas em três tipos, em função do tipo de armadura a ancorar:

• Ancoragens para barras;

• Ancoragens para cordões;

• Ancoragens para fios.

Fig. 8 – Ancoragem para barras Dywidag-Systems [19]

Fig. 9 – Ancoragem monocordão, utilizada tanto como ativa, como passiva, VSL S6-1 Mono [20]


21

Fig. 10 – Ancoragem ativa multi-cordões, VSLab Series (à esquerda) e ancoragem passiva multi-cordões, VSL P-

anchorage [20]

Fig. 11 – Ancoragem multifios BBR [19]

3.9. BAINHAS

A bainha é um dos elementos que impede a corrosão dos cordões e assegura a instalação dos mesmos. Pode

ser fabricada a partir de vários materiais e configurações, sendo as mais usuais de aço e plástico. No pré-

esforço exterior as mais utilizadas são as bainhas em PEAD.

As bainhas metálicas são bastante utilizadas no pré-esforço interior, uma vez que são de fácil fabrico, preço

relativamente baixo e tem grande capacidade de adaptação a várias situações. Podem ser lisas ou corrugadas

dependendo da exigência estipulada e, em casos especiais, podem ser galvanizadas. Porém, este tipo de

bainha não é adequado ao pré-esforço exterior, pois normalmente estão expostas às condições ambientais.


22

Fig. 12 – Bainha metálica corrugada (à esquerda) e bainha metálica lisa (à direita)

As bainhas plásticas, em polietileno ou polipropileno, têm sido cada vez mais empregues nos sistemas de

pré-esforço pois são bastante eficientes contra a corrosão e a fadiga. O seu custo tem vindo a decrescer com

o aumento da sua utilização. Estas bainhas podem também ser lisas ou corrugadas.

Fig. 13 – Bainha de PEAD corrugada (à esquerda) e bainha de PEAD lisa (à direita)

3.10. DISPOSITIVOS DE UNIÃO

Dispositivos de união são dispositivos de ligação de bainhas e têm grande importância, dado que tem direto

impacto na durabilidade do sistema de pré-esforço exterior. Portanto, foram desenvolvidos um conjunto de

dispositivos que permitam a ligação entre bainhas e que preservem a estanquidade dos cabos.

Exemplos destes dispositivos são: soldadura topo a topo, união termoretráctil, união electrosoldável,

abraçadeira mecânica.

Fig. 14 – Exemplo de soldadura topo a topo (à esquerda) e de caixa de união termoretrátil (à direita) [21]


23

Fig. 15 – Exemplo de dispositivo para união electrosoldável (à esquerda) [22] e de abraçadeira mecânica (à direita)

[23]

3.11. DESVIADORES

Os desviadores são mecanismos ligados à estrutura que, com a sua geometria e posicionamento, transmitem

as forças de desvio de pré-esforço à estrutura. Estes dispositivos são constituídos por tubos metálicos, de

plástico ou tubos que combinem os dois materiais. Devem cumprir raios mínimos de acordo com o número

de cordões e o respetivo diâmetro nominal do cordão utilizado, de forma a que possam assegurar com

segurança as tensões radiais introduzidas por esses elementos na estrutura.

Fig. 16 – Disposição de cabos de pré-esforço externo (adaptado de [24])

3.12. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO

As perdas de pré-esforço relativas a estruturas metálicas podem ser agrupadas em duas categorias:

i. Perdas instantâneas: perdas que ocorrem logo durante o processo de pré-esforço e que podem

ser devido ao atrito e ao deslocamento da armadura nos dispositivos de ancoragem;

ii. Perdas diferidas: perdas dependentes do tempo, sendo provocadas principalmente por

relaxação.

Em geral, as perdas afetam tanto o carregamento em serviço como a deflexão ou curvatura, como ainda

quaisquer deformações que ocorram durante a construção.


24

3.12.1. PERDAS NAS ANCORAGENS

Estas perdas correspondem a um escorregamento das armaduras de pré-esforço nas cunhas e das cunhas nas

placas de ancoragem.

Nos membros pré-esforçados, após a aplicação da força de pré-esforço, a tensão do aço é transferida para a

estrutura através de uma ancoragem. Inevitavelmente, existe um pequeno deslizamento da armadura na

ancoragem durante essa transferência, à medida que as cunhas assentam mais firmemente na armadura ou

que o suporte da ancoragem se deforma.

Estas perdas podem ser compensadas ao serem antecipadas impondo um excesso de tensão. Dada a

quantidade de escorregamento característico que é fornecido nos documentos técnicos do sistema de pré-

esforço, esta perda pode ser calculada pela seguinte expressão:

𝛥𝑠 = 𝛥𝑎

𝐸𝑡

𝑙𝑡 (3.1)

Onde:

• Δa: quantidade de escorregamento;

• lt: comprimento da armadura;

• Et: módulo de elasticidade do aço de pré-esforço.

Analisando a equação, percebe-se que a importância da perda por escorregamento na ancoragem depende

do comprimento da armadura, isto é, para armaduras muito curtas, a perda calculada será elevada e para

armaduras muito compridas, a perda será insignificante. [12]

3.12.2. PERDAS POR ATRITO

As ligações entre as armaduras e as estruturas, além das ancoragens, incluem outros dispositivos que

permitem minimizar a perda por atrito entre pontos da armadura que estão desviados. Para elementos de

aço pré-esforçados, a armadura está normalmente ancorada a uma extremidade e é tensionada na outra

extremidade. Nos sítios onde a armadura é desviada, a resistência ao atrito é desenvolvida durante a

aplicação do pré-esforço, como consequência, a tensão na ancoragem passiva será menos que a tensão na

ancoragem ativa.

Considerando como exemplo um cabo com traçado curvo, [25]:


25

Fig. 17 – Desenvolvimento das forças de atrito [25]

Estabelecendo a equação de equilíbrio na direção tangente, t, e integrando-a obtêm-se a força de pré-esforço

na secção, x, em função da força de pré-esforço na origem:

𝑃(𝑥) = 𝑃0𝑒−𝜇𝛽(𝑥) (3.2)

Onde

• μ: coeficiente de atrito entre as duas superfícies de contato;

• β(x): é o ângulo de desvio da secção x em relação à secção de aplicação do pré-esforço. Obtém-

se β(x) somando todas as variações do ângulo de ponto de inflexão a ponto de inflexão.

A perda de pré-esforço por atrito será então dada pela expressão:

𝛥𝑃𝑓𝑟 = 𝑃0 − 𝑃(𝑥) = 𝑃0(1 − 𝑒−𝜇𝛽(𝑥)) (3.3)

3.12.3. PERDAS POR RELAXAÇÃO DA ARMADURA

A armadura de pré-esforço é forçada a um comprimento essencialmente constante durante a vida útil de um

elemento ou estrutura. A relaxação do aço é a perda de tensão, Δσpt,r, que se verifica na armadura tracionada

sob elongamento constante.

Admitindo σp0 ≈ 0.7σpuk:

• Aços de relaxação normal – Δσp∞,r ≈ 15%σp0;

• Aços de baixa relação – Δσp∞,r ≈ 6%σp0;

• Aços de muito baixa relaxação – Δσp∞,r ≈ 3%σp0.

A perda de tensão por relaxação varia linearmente com o valor da tensão inicial tendo por base o valor para

uma tensão inicial igual a 0.7 σpuk e considerando nula a relaxação para uma tensão inicial de 0.5 σpuk. [25]


26

Fig. 18 – Variação do valor da relaxação com a tensão instalada [25]

3.13. MÉTODO DAS CARGAS EQUIVALENTES

No método das cargas equivalentes o cabo de pré-esforço é substituído por um sistema de forças (forças de

ancoragem e forças de desvio), introduzidas como forças exteriores designadas de cargas equivalentes. O

método das cargas equivalentes, simplifica significativamente o projeto de estruturas pré-esforçadas

complicadas.

As cargas equivalentes podem ser determinadas da seguinte maneira:

• Zona das Ancoragens:

Fig. 19 – Método das cargas equivalentes na zona das ancoragens (adaptado de [26])


27

• Traçado retilíneo com desvios:

Fig. 20 – Método das cargas equivalentes para exemplo de cabos de traçado retilíneo com desvios

3.14. ECONOMIA POR PRÉ-ESFORÇO

Em vários casos, a aplicação de pré-esforço em estruturas de aço permite reduzir a quantidade de aço e

consequentemente o custo. Usando cabos de aço de alta resistência pode-se obter os seguintes benefícios:

• A utilização de aço convencional para os membros estruturais aumenta o limite de deformação

elástica sob cargas maiores, de modo que a quantidade de aço é reduzida;

• Os cabos participam no carregamento.

Os fatores que influenciam o custo total de uma estrutura de aço pré-esforçada:

• O peso da estrutura, ancoragens e cabos;

• Construção da estrutura na fábrica;

• Transporte e custo de carregamento;

• Custo de montagem, incluindo o pré-esforço;

• Custo da proteção contra corrosão.

Nos países onde já foram construídas, as estruturas de aço pré-esforçadas mostram-se económicas em

relação ao aço e ao custo. De acordo com os dados fornecidos por Brodka Klobukowski em 1969, as

vantagens económicas das estruturas pré-esforçadas em comparação com as correspondentes estruturas não

pré-esforçadas são as apresentadas na tabela:


28

Tabela 2 – Economia no aço e no custo devido à utilização de pré-esforço [12]

Estruturas Economia no aço [%] Economia no custo [%]

Viga de alma cheia 10-12 8-12

Treliças com vão de 30 m 5-10 2-5

Treliças de cobertura com vão de 30-40 m 10-20 5-10

Treliças de cobertura com vão de 40-60 m 10-45 7-20

Pórticos e arcos com vão de 30-60 m 20-50 10-30

Os valores na tabela foram obtidos para estruturas de aço pré-esforçadas, sem considerar os casos de

deficiências devido à falta de experiência no projeto e construção. É também assumido que os dados

fornecidos pela tabela podem ser aplicados no dimensionamento de estruturas que não foram investigadas

anteriormente. A economia do aço aumenta à medida que aumenta a diferença entre as tensões admissíveis

do aço usado na estrutura e as do aço de alta resistência usado nos cabos.

Quando os cabos são pré-esforçados de modo a obter membros em tração num único estado, pode obter-se

uma capacidade de carga duas vezes maior para o membro. No entanto, considerando a possibilidade de

encurvadura sob pré-esforço, a capacidade de carga pode, na verdade, ser apenas de 70-80%. Se a estrutura

for tensionada por fases, então a capacidade de carga dos membros tracionados deverá aumentar de três a

cinco vezes, e as forças de carga da secção transversal principal serão transferidas para os cabos. Note-se

que, uma vez que o tempo de construção é mais lento, haverá um aumento do custo. A racionalização deste

método está ainda em fase de desenvolvimento. [12]


29

4 DIMENSIONAMENTO DE POSTES

TUBULARES METÁLICOS

4.1. BASES DE PROJETO

De acordo com a norma NP EN 1993-1-1 [6], o projeto de estruturas de aço deve ser realizado com as regras

gerais indicadas na norma NP EN 1990 [27], assim como devem ser também respeitadas as disposições

suplementares relativas a estruturas de aço indicadas na secção 2 da norma NP EN 1993-1-1 [6].

Deverá ser considerado que os requisitos gerais da secção 2 da norma NP EN 1990 [27] são satisfeitos

quando a verificação da segurança em relação aos estados limites é realizada, em conjunto com o método

dos coeficientes parciais, para as combinações de ações indicadas na norma NP EN 1990 [27] e as ações

indicadas na norma NP EN 1991-1-4 [28].

Deverão ainda ser aplicadas as regras indicadas nas várias partes da EN 1993 para a determinação das

resistências e para a verificação das condições de utilização e durabilidade.

Recorrendo também à norma EN 50341-1 [29] para complementar as normas utilizadas acima, sabe-se que,

a menos que seja especificado, não é necessário considerar efeitos sísmicos, fadiga ou resistência ao fogo.

Se for necessária uma análise dinâmica, esta deve ser efetuada considerando os diferentes fatores que

influenciam o comportamento do poste, tais como: condutores, amortecedores e fundações. Quando

apropriados, os efeitos dinâmicos podem ser considerados aplicando fatores dinâmicos ao carregamento e

adotando uma abordagem de dimensionamento quase estática.

Os esforços e momentos internos em qualquer secção transversal da estrutura devem ser determinados

recorrendo a uma análise global elástica. Esta deve ser baseada no pressuposto de que o comportamento

tensão-deformação do material é linear, independentemente do nível de tensão.

Focando no caso em estudo, os postes de suporte de catenária, são efetuadas verificações a duas condições:

i. Limite de deformação:


30

Fig. 21 – Modelo simplificado utilizado no estudo dos postes de suporte de catenária

No limite de deflexão é necessário verificar que a flecha no topo do poste de suporte de catenária é igual

ou inferior a 1,5% da altura do poste, equação (4.1). Esta verificação é feita para a combinação 1, equação

(4.2).

𝛥𝑥 ≤ 1,5%ℎ (4.1)

𝐸𝑑 = 1,0 ∙ 𝐺𝑘 + 1,0 ∙ 𝐹𝑤 + 1,0 ∙ 𝐹 (4.2)

ii. Limite de resistência

A verificação do limite de resistência é feita para a combinação 2, equação (4.4) sendo que o momento

atuante deve ser igual ou inferior ao momento resistente, equação (4.3).

𝑀𝐸𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 (4.3)

𝐸𝑑 = 1,3 ∙ 𝐺𝑘 + 1,3 ∙ 𝐹𝑤 + 1,3 ∙ 𝐹 (4.4)

As combinações 1 e 2 são as combinações usadas pela empresa nas suas notas de cálculo.

4.2. GEOMETRIA

Os postes de suporte de catenária são estruturas tubulares de secção variável, de alturas que normalmente

variam entre os 9 e 15 metros e com as seguintes características:


31

• Espessura da secção: 6 – 25 mm;

• Diâmetros de topo: 200 – 350 mm;

• Diâmetros de base: 300 – 500 mm;

• Secções transversais: circulares e polígonos regulares de 6, 8, 12, 16 e 18 lados.

Fig. 22 – Tipos de secções transversais

Note-se que é importante ter em conta que, caso sejam necessários, os reforços verticais nas zonas de

abertura, devem ser concebidos para resistir à encurvadura, a fim de satisfazer os requisitos gerais da NP

EN 1993 1-1, incluindo as ligações (cordões de soldadura, parafusos, etc.).

A fundação dos postes metálicos pode ser feita incorporando o poste diretamente em betão ou através uma

placa base e chumbadouros. No primeiro caso, a ligação deve ser feita, preferencialmente, por encaixe direto

da parte inferior do poste de aço no betão. O comprimento da secção do poste que ficará embutido no betão

deverá ser calculado utilizando uma distribuição de cargas lineares, em conformidade com os requisitos na

norma EN 50341-1 [29]. No segundo caso, a placa base e os chumbadouros devem ser adequados para

resistir a cargas desenvolvidas na ligação entre a estrutura e a base. O dimensionamento do comprimento

dos chumbadouros é descrito no anexo K da norma EN 50341-1 [29]. Entre a placa e a parte superior da

fundação de betão, deve ser aplicado um material apropriado para garantir a transferência da força de corte.

Na ausência deste material, deve ser verificado o método de transferência de carga pelos chumbadouros.

Devem ser fornecidos meios eficazes de drenagem e/ou ventilação para evitar a acumulação de água no

interior dos postes.

4.3. CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

“A classificação das secções transversais tem como objetivo identificar em que medida a sua resistência e

a sua capacidade de rotação são limitadas pela ocorrência de encurvadura local.” [6]

Segundo a norma NP EN 1993-1-1 [6] são definidas quatro classes de secções transversais tendo por base

a distribuição de tensões e a esbelteza dos elementos constituintes:

• Classe 1: secções nas quais se pode formar uma rótula plástica e que tem uma capacidade de

rotação superior à mínima exigida para a utilização de métodos de análise plásticos, sem

redução da sua resistência;

• Classe 2: secções que podem atingir o momento resistente plástico, mas que tem capacidade

de rotação limitada pela encurvadura local;

• Classe 3: secções em que a tensão da fibra extrema comprimida pode atingir a tensão de

cedência, sendo calculada com base numa análise elástica, no entanto nestas secções, a

encurvadura local pode impedir que se atinja o momento resistente plástico;

Circular 6 lados 8 lados 12 lados 16 lados 18 lados


32

• Classe 4: secções em que a encurvadura local não permite que se atinja a tensão de cedência

nas fibras mais comprimidas.

A classificação se uma secção tubular é feita com base na relação entre a largura e a espessura das paredes

constituintes.

Para postes metálicos devem ser apenas consideradas secções transversais de classe 3 e classe 4 e a análise

deve ser limitada ao comportamento elástico. As secções transversais devem ser consideradas de classe 3

se a espessura da parede permitir que a tensão calculada na fibra extrema em compressão atinja a sua tensão

de cedência. Todas as outras seções, nas quais são necessárias verificações específicas para os efeitos de

encurvadura local quando determinado o seu momento resistente ou resistência à compressão, devem ser

consideradas de classe 4, de acordo com os seguintes critérios, [6]:

• Secções circulares: 𝑑/𝑡 > 176 휀2

Fig. 23 – Secções transversais circulares [29]

• Para secções poligonais, com n igual a 6 até 18 lados: 𝑏/𝑡 > 42 휀

Fig. 24 – Secções transversais poligonais [29]


33

Onde 휀 = (235/𝑓𝑦)0,5 e fy é o valor nominal da tensão de cedência em N/mm2.

4.4. RESISTÊNCIA DE SECÇÕES TRANSVERSAIS CIRCULARES

A resistência de uma secção transversal circular, sem abertura, sujeita predominantemente a um momento

fletor, é assegurada se a tensão longitudinal máxima, σx,Ed (incluindo o esforço axial simultâneo), calculada

na secção bruta, satisfizer o seguinte critério:

𝜎𝑥,𝐸𝑑 ≤ 𝜌 ∙ 𝑓𝑦/𝛾𝑀1 (4.5)

Onde:

• Para classe 3: 𝜌 = 1,0;

• Para classe 4: 𝜌 = 0,70 +53𝜀2

𝑑/𝑡≤ 1,0;

• O parâmetro ρ, pode também ser dado diretamente através do rácio d/t.

Fig. 25 – Fator redutor ρ [29]

4.5. RESISTÊNCIA DE SECÇÕES TRANSVERSAIS POLIGONAIS

4.5.1. SECÇÕES TRANSVERSAIS DE CLASSE 3

Para secções transversais poligonais de classe 3, a resistência será satisfatória se a tensão longitudinal

máxima, σx,Ed, calculada na secção bruta, sujeita predominantemente a momento fletor e esforço axial

simultaneamente, satisfizer o critério:

𝜎𝑥,𝐸𝑑 ≤ 𝑓𝑦/𝛾𝑀1 (4.6)

Para secções transversais sem abertura, o critério fica:


34

𝑁𝑆𝑑

𝐴+

𝑀𝑆𝑑

𝑊𝑒𝑙≤

𝑓𝑦

𝛾𝑀1 (4.7)

Onde:

• A: área bruta da secção transversal;

• Wel: módulo elástico da secção.


No caso de secções transversais poligonais de classe 4, sem abertura, a resistência será satisfatória se a

tensão longitudinal máxima, σx,Ed, calculada sobre as larguras efetivas dos elementos em compressão,

sujeitos predominantemente a momento fletor e a esforço axial simultaneamente, satisfizer o critério:

𝜎𝑥,𝐸𝑑 ≤ 𝑓𝑦/𝛾𝑀1 (4.8)

Para secções sem abertura, o critério fica:

𝑁𝑆𝑑

𝐴𝑒𝑓𝑓+

𝑀𝑆𝑑

𝑊𝑒𝑓𝑓≤

𝑓𝑦

𝛾𝑀1 (4.9)

Onde:

• Aeff: área efetiva da secção transversal quando sujeita a compressão uniforme;

• Weff: módulo efetivo da secção quando sujeito apenas a momento sobre o eixo principal.

4.6. AÇÃO DO VENTO

Segundo a norma BS EN 50119 [30]: Railway applications – Fixed installations – Electric traction

overhead contact lines, ao calcular a pressão do vento, devem ser levados em consideração aspetos como a

direção dominante, condições locais, edifícios e alturas relevantes. A pressão do vento é uma ação variável

que depende da velocidade do vento e da forma da superfície do elemento em questão. Os valores padrão

para as velocidades do vento e/ou a pressão do vento devem ser derivados dos anexos nacionais do país ou

região. Para calcular a ação do vento recorreu-se então à norma NP EN 1991-1-4 [28]. [31-37]

O valor de referência da velocidade do vento, vb, determinado em função da direção do vento e da época

do ano, a uma altura de 10 metros acima da superfície de um terreno de categoria II, deve ser calculado pela

seguinte expressão:

𝑣𝑏 = 𝑐𝑑𝑖𝑟 ∙ 𝑐𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 ∙ 𝑣𝑏,0 (4.10)

Onde


35

• vb,0; valor básico de referência do vento, que corresponde ao valor característico da velocidade

média do vento relativa a períodos de 10 minutos, independentemente da época do ano e da

direção do vento, a uma altura de 10 metros acima do nível do solo em terreno do tipo aberto,

com vegetação rasteira e obstáculos isolados com separações entre si de, pelo menos, 20 vezes

a sua altura;

• cdir: coeficiente de direção;

• cseason: coeficiente de sazão.

De acordo com o Anexo Nacional, o valor recomendado para o coeficiente de direção para diferentes

direções do vento e para o coeficiente de sazão é 1,0. Então:

𝑣𝑏 = 𝑣𝑏,0 (4.11)

Para quantificar o valor básico da velocidade de referência do vento, considerasse o País dividido nas duas

zonas seguintes:

• Zona A: generalidade do território, exceto as regiões pertencentes à zona B - vb,0 = 27 m/s;

• Zona B: os arquipélagos dos Açores e da Madeira e as regiões do continente situadas numa

faixa costeira com 5 km de largura ou a altitudes superiores a 600m - vb,0 = 30 m/s.

4.6.1. VENTO MÉDIO

A velocidade média do vento a uma dada altura z acima do solo, vm(z), depende da rugosidade do terreno,

da orografia e do valor de referência da velocidade do vento, vb, deverá ser calculada através da seguinte

expressão:

𝑣𝑚(𝑧) = 𝑐𝑟(𝑧) ∙ 𝑐0(𝑧) ∙ 𝑣𝑏 (4.12)

Onde:

• cr(z): coeficiente de rugosidade;

• c0(z): coeficiente de orografia, considerado igual a 1,0, exceto se especificado.

Nas situações em que o coeficiente de orografia, c0(z)=1,0, o coeficiente de rugosidade, cr(z), é representado

na seguinte figura:


36

Fig. 26 – Representação do coeficiente de rugosidade, cr(z), para c0(z)=1,0 [28]

4.6.2. PRESSÃO DINÂMICA DE PICO

A pressão dinâmica de pico à altura z, qp(z), resulta da velocidade média e das flutuações de curta duração

da velocidade do vento.

A expressão recomendada para o cálculo da pressão dinâmica de pico é a seguinte:

𝑞𝑝(𝑧) = [1 + 7 ∙ 𝐼𝑣(𝑧)] ∙

1

2∙ 𝜌 ∙ 𝑣𝑚

2 (𝑧) = 𝑐𝑒(𝑧) ∙ 𝑞𝑏 (4.13)

Onde:

• ρ: massa volúmica do ar, que depende da altitude, da temperatura e da pressão atmosférica

previstas para a região durante situações de vento intenso; no Anexo Nacional, o valor

recomendado é 1,25 kg/m3;

• ce(z): coeficiente de exposição, calculado pela expressão: 𝑐𝑒(𝑧) =𝑞𝑝(𝑧)

𝑞𝑏 ;

• qb: pressão dinâmica de referência, calculada pela expressão: 𝑞𝑏 =1

2∙ 𝜌 ∙ 𝑣𝑏

2 .

Nos casos em que o coeficiente de orografia, c0(z), é igual a 1,0, o coeficiente de exposição, ce(z) é dado

pela seguinte representação:


37

Fig. 27 – Representação do coeficiente de exposição, ce(z), para c0(z)=1,0 e k1=1,0 [28]

4.6.3. FORÇA EXERCIDA PELO VENTO

A força do vento exercida sobre uma construção ou apenas um dos seus componentes, pode ser determinada

diretamente a partir da expressão:

𝐹𝑤 = 𝑐𝑠𝑐𝑑 ∙ 𝑐𝑓 ∙ 𝑞𝑝(𝑧𝑒) ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑓 (4.14)

Onde:

• cscd: coeficiente estrutural;

• cf: coeficiente de força relativo à construção ou ao elemento;

• qp(ze): pressão dinâmica de pico à altura de referência ze;

• Aref: área de referência da construção ou do elemento.

4.6.4. COEFICIENTE ESTRUTURAL, CSCD

O coeficiente estrutural poderá ser:

i. Para edifícios com altura inferior a 15 m; elementos de fachada e de cobertura cuja frequência

própria seja superior a 5 Hz; edifícios de estrutura porticada que contenham paredes resistentes

e cuja altura seja inferior a 100 m e a 4 vezes a dimensão do edifício na direção do vento;

chaminés de secções transversais circulares e altura inferior a 60 m e a 6,5 vezes o seu

diâmetro; o valor do coeficiente estrutural poderá ser considerado igual a 1,0;

ii. Em alternativa aos casos acima, os valores do coeficiente estrutural poderão ser calculados a

partir de:


38

𝑐𝑠𝑐𝑑 =

1 + 2 ∙ 𝑘𝑝 ∙ 𝐼𝑣(𝑧𝑠) ∙ √𝐵2 + 𝑅2

1 + 7 ∙ 𝐼𝑣(𝑧𝑠) (4.15)

Onde

▪ zs: altura de referência para a determinação do coeficiente estrutural;

▪ kp: fator de pico, definido como o quociente entre o valor máximo de parte flutuante da

resposta e o desvio padrão desta;

▪ Iv: intensidade de turbulência;

▪ B2: coeficiente de resposta quase-estática, que tem em conta a falta de total correlação

das pressões sobre a superfície de construção;

▪ R2: coeficiente de resposta em ressonância, que tem em conta o efeito da turbulência em

ressonância com o modo de vibração.

iii. Para outras obras de engenharia civil (que não pontes) e para chaminés e edifícios não

abrangidos pelos limites referidos acima, o coeficiente estrutural poderá ser determinado a

partir da expressão anterior ou pelo Anexo D na norma NP EN 1991-1-4 [28].

4.6.5. COEFICIENTE DE FORÇA PARA ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE SECÇÃO POLIGONAL REGULAR

O coeficiente de força, cf, no caso de elementos estruturais de secção poligonal regular, com cinco ou mais

lados, deverá ser determinado por:

𝑐𝑓 = 𝑐𝑓,0 ∙ 𝛹𝜆 (4.16)

Onde:

• Ψλ: coeficiente de defeitos de extremidade;

• cf,0: coeficiente de força para elementos estruturais sem livre escoamento em torno das

extremidades.

4.7. INFLUÊNCIA DOS CANTOS ARREDONDADOS

Em secções transversais com cantos arredondados, o cálculo das propriedades da secção deve basear-se na

geometria nominal da secção transversal, e a largura bp, dos elementos planos deve ser medida a partir dos

pontos médios de cantos adjacentes. [38]


39

Fig. 28 – Representação da largura bp [38]

Na Fig. 28, X é a interseção dos eixos médios, P é o ponto médio do canto e gr é dado pela seguinte

expressão:

𝑔𝑟 = 𝑟𝑚 (tan

𝜙

2− sin

𝜙

2) (4.17)

A não ser que métodos mais apropriados sejam utilizados para determinar as propriedades da secção, deve

ser aplicado o seguinte procedimento: a influência dos cantos arredondados sobre a resistência da secção

transversal pode ser desprezada se o raio interno r ≤ 5 e r ≤ 0,10 bp. Para efeitos de propriedades de rigidez

da secção transversal, a influência dos cantos arredondados deve ser sempre tida em consideração.

A influência dos cantos arredondados deve ser tida em consideração reduzindo as propriedades calculadas

para uma secção transversal semelhante de arestas vivas:

𝐴𝑔 ≈ 𝐴𝑔,𝑠ℎ(1 − 𝛿) (4.18)

𝐼𝑔 ≈ 𝐼𝑔,𝑠ℎ(1 − 2𝛿) (4.19)

𝐼𝑤 ≈ 𝐼𝑤,𝑠ℎ(1 − 4𝛿) (4.20)

Onde:

𝛿 = 0,43∑ 𝑟𝑗

𝜙𝑗

90°𝑛𝑗=1

∑ 𝑏𝑝,𝑖𝑚𝑖=1

(4.21)


40

Onde:

• Ag – área da secção transversal considerando o efeito dos cantos arredondados;

• Ag,sh – área da secção transversal de arestas vivas;

• bp,i: largura bp do elemento i para secção transversal de arestas vivas;

• Ig: inércia da secção transversal considerando o efeito dos cantos arredondados;

• Ig,sh: inércia da área bruta da secção transversal de arestas vivas;

• Iw: constante de empenamento da secção transversal bruta;

• Iw,sh: valor da constante de empenamento da secção bruta para a secção de arestas vivas

• Φ: ângulo entre dois elementos retos;

• m: número de elementos retos;

• n: número de elementos curvos;

• rj: raio interno do elemento curvo j.

4.8. CÁLCULO DO MÓDULO DE FLEXÃO

4.8.1. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS – TEOREMA DE STEINER

Para ser possível verificar-se a resistência das secções transversais 4, recorreu-se ao Teorema de Steiner

para o cálculo das inércias das secções transversais.

O teorema dos eixos paralelos, relaciona os momentos de inércia relativos a dois quaisquer eixos paralelos.

[39]

Considere-se uma superfície qualquer, A, e os eixos paralelos Δ e Δ’:

Fig. 29 – Teorema de Steiner

Os momentos de inércia da superfície relativamente a esses eixos estão relacionados por:

𝐼𝛥 = ∫ 𝑙2𝑑𝑎

𝐴

(4.22)

Como 𝑙′ = 𝑙 + 𝑑, então:


41

𝐼𝛥 = ∫ (𝑙′ + 𝑑)2𝑑𝑎

𝐴

⇒ 𝐼𝛥 = ∫ 𝑙′𝐴

𝑑𝑎 + ∫ 𝑑2

𝐴

𝑑𝑎 + 2 ∙ ∫ 𝑙′ ∙ 𝑑𝐴

𝑑𝑎 (4.23)

Sabendo que o momento estático é dado por:

𝑆∆′ = ∫ 𝑙′

𝐴

𝑑𝑎 = 𝐴 ∙ 𝑑′𝐺 (4.24)

Obtém-se:

𝐼∆ = 𝐼∆′ + 𝐴 ∙ 𝑑2 + 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝐺′ (4.25)

Quando o eixo Δ’ é baricêntrico, ou seja, quando Δ’ ≡ ΔG // Δ, o teorema dos eixos paralelos designa-se por

Teorema de Steiner, e, sendo Δ’ ≡ ΔG ⇒ d’G = 0, então:

𝐼∆ = 𝐼∆𝐺 + 𝐴 ∙ 𝑑2 (4.26)


O módulo de flexão adequado para secções transversais de classe 3 é o módulo de flexão elástico, Wel:

𝑊𝑒𝑙 =

𝐼

𝑐 (4.27)

Onde:

• I: momento de inércia considerando a área bruta da secção, e, se necessário, a influência dos

cantos arredondados;

• c: distância do eixo neutro à fibra mais extrema do eixo médio da secção.


No caso das secções transversais de classe 4, o módulo de flexão adequado é o módulo de flexão efetivo,

Weff:

𝑊𝑒𝑓𝑓 =

𝐼𝑒𝑓𝑓

𝑐 (4.28)

𝐼∆′ 𝑑2 ∙ 𝐴 2𝑑 𝑙′

⬚

𝐴𝑑𝑎 = 2𝑑𝑆∆′


42

Onde:

• Ieff: momento de inércia considerando a área efetiva da secção, e, se necessário, a influência

dos cantos arredondados.

No entanto, em classe 4, apenas se calcula o módulo de flexão efetivo para as secções transversais

poligonais, pois no caso das secções transversais circulares, a verificação da resistência não é feita

considerando áreas e módulos de flexão efetivos, mas sim considerando um fator de redução ρ de tensão,

como indicado em cima em 4.4. Resistência de Secções Transversais Circulares.

4.8.4. SECÇÕES TRANSVERSAIS EFETIVAS

Segundo a norma EN 50341-1 [29], as propriedades efetivas das secções transversais de classe 4, devem

basear-se nas larguras efetivas (áreas a preto) dos elementos em compressão, como ilustra a figura:

Fig. 30 – Características das secções efetivas de classe 4 [29]

As secções efetivas dos vários tipos de secção transversal que se pode ter num poste de suporte de catenária

terão, aproximadamente, o seguinte aspeto:

Fig. 31 – Secções transversais efetivas


43

Para o cálculo das larguras efetivas, seguiu-se a norma NP EN 1993-1-5 [40]:

Tabela 3 – Largura efetiva para elementos comprimidos interiores. [40]

Analisando a Fig. 31 e a Tabela 3, percebe-se que nas secções transversais ter-se-á uma distribuição de

tensões do primeiro tipo, em que a tensão é de compressão e constante, no caso das fibras extremas, ou uma

distribuição de tensões do segundo tipo, em que a tensão é linearmente variável, mas sempre de compressão.

As larguras efetivas são calculadas através de um fator de redução, ρ, que é definido em função da esbelteza

normalizada da chapa, 𝜆𝑝 , e é calculo da seguinte forma:

• Para elementos comprimidos externos:

𝜌 = (

(𝜆𝑝 ) − 0.188

(𝜆𝑝 )

2 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆𝑝 > 0,748 (4.29)

𝜌 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆𝑝 ≤ 0,748 (4.30)

• Para elementos comprimidos internos:

𝜌 = (

(𝜆𝑝 ) − 0,055(3 + 𝜓)

(𝜆𝑝 )

2 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆𝑝 > 0,748 (4.31)

Em secções transversais tubulares, os elementos são apenas internos e, por isso, neste caso o fator de redução

será calculado pela equação (4.31).


44

A esbelteza normalizada depende da distribuição de tensões e das condições fronteira e é obtido através da

seguinte expressão:

𝜆𝑝 = (

𝑓𝑦

𝜎𝑐𝑟)

0,5

= (��/𝑡

28,4휀√𝑘𝜎

) (4.32)

4.9. CÁLCULO DE TENSÕES

De acordo com a norma NP EN 1993-1-1 [6], secções tubulares de classe 4 devem ser estudadas segundo a

norma EN 1993-1-6 [41], devido à possibilidade da ocorrência de fenómenos de encurvadura local. Note-

se que se pode realizar o dimensionamento para toda as classes de secções transversais considerando esta

norma. Os postes cuja variação de secção não é muito brusca, isto é, postes cujo ângulo que a geratriz faz

com o eixo vertical seja superior a 65°, podem ser dimensionados como cilindros. A verificação da

segurança deve ser efetuada para dois estados limites últimos: estado limite plástico e estado limite à

encurvadura. Para estas verificações é necessário o cálculo das tensões meridionais, circunferenciais e

tangenciais, garantindo que as respetivas tensões resistentes sejam superiores às tensões atuantes. Por

norma, os esforços de flexão meridionais e circunferenciais são desprezados.

4.9.1. ESTADO LIMITE PLÁSTICO

4.9.1.1. Valores de Cálculo das Tensões

Ainda que o cálculo das tensões seja baseado numa análise elástica e, por isso, não preveja com total

precisão o estado limite plástico, pode ser utilizado, com base no teorema do limite inferior, para fornecer

uma avaliação conservativa da resistência plástica ao colapso, usada para representar o estado limite

plástico.

O critério de cedência de Ilyushin pode ser usado conforme a equação (4.34), aproximando-se mais do

verdadeiro estado plástico de colapso do que de uma simples avaliação elástica de tensões.

A cada ponto da estrutura, o valor de cálculo da tensão, σeq,Ed, deve ser considerado como a maior tensão

primária determinada numa análise estrutural que considera as leis de equilíbrio entre a carga de projeto

imposta e os esforços e momentos internos.

A tensão primária pode ser considerada como o valor máximo das tensões necessárias ao equilíbrio com as

cargas aplicadas num ponto ou ao longo da linha axissimétrica na estrutura de casca.

Quando a análise da teoria da membrana é utilizada, o campo bidimensional das tensões resultantes, nx,Ed,

nθ,Ed e nxθ,Ed, pode ser representado pela tensão de cálculo equivalente, σeq,Ed, obtida a partir de:

𝜎𝑒𝑞,𝐸𝑑 =

1

𝑡√𝑛𝑥,𝐸𝑑

2 + 𝑛𝜃,𝐸𝑑2 − 𝑛𝑥,𝐸𝑑 ∙ 𝑛𝜃,𝐸𝑑 + 3𝑛𝑥𝜃,𝐸𝑑

2 (4.33)

Quando é feita uma análise linear ou uma análise global numérica, o campo bidimensional de tensões

primárias pode ser representado pela tensão de cálculo equivalente de von-Mises:


45

𝜎𝑒𝑞,𝐸𝑑 = √𝜎𝑥,𝐸𝑑

2 + 𝜎𝜃,𝐸𝑑2 − 𝜎𝑥,𝐸𝑑 ∙ 𝜎𝜃,𝐸𝑑 + 3(𝜏𝑥,𝜃,𝐸𝑑

2 + 𝜏𝑥𝑛,𝐸𝑑2 + 𝜏𝜃𝑛,𝐸𝑑

2 ) (4.34)

Onde:

𝜎𝑥,𝐸𝑑 =𝑛𝑥,𝐸𝑑

𝑡±

𝑚𝑥,𝐸𝑑

(𝑡2/4); 𝜎𝜃,𝐸𝑑 =

𝑛𝜃,𝐸𝑑

𝑡±

𝑚𝜃,𝐸𝑑

(𝑡2/4) (4.35)

𝜏𝑥𝜃,𝐸𝑑 =𝑛𝑥𝜃,𝐸𝑑

𝑡±

𝑚𝑥𝜃,𝐸𝑑

(𝑡2/4); 𝜏𝑥𝑛,𝐸𝑑 =

𝑞𝑥𝑛,𝐸𝑑

𝑡; 𝜏𝜃𝑛,𝐸𝑑 =

𝑞𝜃𝑛,𝐸𝑑

𝑡 (4.36)

4.9.1.2. Valores de Cálculo da Resistência

A tensão resistente de von-Mises deve ser tirada de:

𝑓𝑒𝑞,𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 = 𝑓𝑦𝑘/𝛾𝑀0 (4.37)

O valor recomendado do coeficiente parcial de segurança γM0 deve ser consultado na norma EN 1993 Parte

2 a Parte 6. Quando a estrutura não é abrangida pela EN 1993 Parte 2 a Parte 6, o Anexo Nacional poderá

definir os coeficientes parciais de segurança.

4.9.1.3. Limite de Tensão

Em cada verificação deste estado limite, a tensão de cálculo deve satisfazer a seguinte condição:

𝜎𝑒𝑞,𝐸𝑑 ≤ 𝑓𝑒𝑞,𝑅𝑑 (4.38)

4.9.2. ESTADO LIMITE DE ENCURVADURA

4.9.2.1. Valores de Cálculo das Tensões

Os valores de cálculo das tensões σx,Ed, σθ,Ed e τxθ,Ed devem se considerados valores chave, obtidos a partir

da análise linear. Em condições axissimétricas de carga e apoios, bem como noutros casos simples de carga,

pode ser utilizada a teoria da membrana.

4.9.2.2. Valores de Cálculo da Resistência

As tensões resistentes de cálculo à encurvadura devem ser obtidas conforme as seguintes expressões:

𝜎𝑥,𝑅𝑑 = 𝜎𝑥,𝑅𝑘/𝛾𝑀1; 𝜎𝜃,𝑅𝑑 = 𝜎𝜃,𝑅𝑘/𝛾𝑀1; 𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑑 = 𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑘/𝛾𝑀1 (4.39)

O coeficiente parcial de segurança à encurvadura, γM1, deve ser obtido da mesma forma que γM0.

Recomenda-se que neste caso, γM1 não seja inferior a γM1=1,1.


46

Os valores característicos das tensões de encurvadura devem ser obtidos multiplicando a tensão

característica de cedência pelo coeficiente de redução associado à encurvadura, χ:

𝜎𝑥,𝑅𝑘 = 𝜒𝑥𝑓𝑦𝑘; 𝜎𝜃,𝑅𝑘 = 𝜒𝜃𝑓𝑦𝑘; 𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑘 = 𝜒𝜏𝑓𝑦𝑘/√3 (4.40)

Os fatores de redução associados à encurvadura χX, χθ, χτ, devem ser determinados em função da esbelteza

��:

𝜒 = 1 quando �� ≤ ��0 (4.41)

𝜒 = 1 − 𝛽 (

��−𝜆0

𝜆𝑝 −𝜆0

)𝜂

quando ��0 < �� < ��𝑝 (4.42)

𝜒 =𝛼

𝜆2 quando ��𝑝 ≤ �� (4.43)

Onde:

• α: fator redutor de imperfeição;

• β: fator de interação plástico;

• η: expoente de interação de encurvadura;

• 𝜆0 : esbelteza relativa plástica limite.

Os valores destes parâmetros devem ser tirados do Anexo D da norma EN 1993-1-6 [41]. Quando o Anexo

D não define estes parâmetros, estes devem ser dados pelo Anexo Nacional.

O valor da esbelteza relativa plástica limite deve ser dado por:

𝜆𝑝 = √

𝛼

1 − 𝛽 (4.44)

Os parâmetros de esbelteza relativa para as diferentes componentes da tensão devem ser determinados por:

𝜆𝑥 = √𝑓𝑦𝑘/𝜎𝑥,𝑅𝑐𝑟; 𝜆𝜃

= √𝑓𝑦𝑘/𝜎𝜃,𝑅𝑐𝑟; 𝜆�� = √(𝑓𝑦𝑘/√3)/𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑐𝑟 (4.45)

4.9.2.3. Limite de Tensão

Embora a encurvadura não seja um fenómeno diretamente originário do excesso de tensão, o estado limite

à encurvadura deve ser representado limitando as tensões de cálculo. A influência dos efeitos da flexão

sobre a resistência à encurvadura pode ser desprezada, desde que sejam cumpridos os requisitos de

compatibilidade de limites. Tensões provocadas por cargas locais ou mudanças térmicas, devem ser tidas

em especial consideração.


47

Dependendo da situação de carregamento e tensão, devem ser realizadas uma ou mais das seguintes

verificações:

𝜎𝑥,𝐸𝑑 ≤ 𝜎𝑥,𝑅𝑑; 𝜎𝜃,𝐸𝑑 ≤ 𝜎𝜃,𝑅𝑑; 𝜏𝑥𝜃,𝐸𝑑 ≤ 𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑑 (4.46)

No caso de mais de uma das três componentes de tensão relevantes à encurvadura estiverem presentes nas

ações em consideração, deve ser feita a seguinte verificação de interação para o estado de tensão da

membrana:

(

𝜎𝑥,𝐸𝑑

𝜎𝑥,𝑅𝑑)

𝑘𝜒

− 𝑘𝑖 (𝜎𝑥,𝐸𝑑

𝜎𝑥,𝑅𝑑) (

𝜎𝜃,𝐸𝑑

𝜎𝜃,𝑅𝑑) + (

𝜎𝜃,𝐸𝑑

𝜎𝜃,𝑅𝑑)

𝑘𝜃

+ (𝜏𝑥𝜃,𝐸𝑑

𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑑)

𝑘𝜏

≤ 1 (4.47)

Os valores dos parâmetros kX, kθ e kτ são dados pelos Anexo D. Quando as condições de encurvadura da

membrana não estão incluídas no Anexo D, os parâmetros podem ser estimados, de forma conservativa,

por:

𝑘𝑋 = 1,0 + 𝜒𝑋2 (4.48)

𝑘𝜃 = 1,0 + 𝜒𝜃2 (4.49)

𝑘𝜏 = 1,5 + 0,5𝜒𝜏2 (4.50)

𝑘𝑖 = (𝜒𝑋𝜒𝜃)2 (4.51)

4.9.3. TENSÕES MERIDIONAIS

A tensão meridional devido ao esforço axial e ao momento fletor é dada por:

𝜎𝑥,𝐸𝑑 =

𝑁𝐸𝑑

𝐴±

𝑀𝐸𝑑

𝑊 (4.52)

A tensão meridional critica deve ser calculada da seguinte forma:

𝜎𝑥,𝑅𝑐𝑟 = 0,605 ∙ 𝐸 ∙ 𝐶𝑥

𝑡

𝑟 (4.53)

Onde:

• Para cilindros curtos, definidos por 𝜔 ≤ 1,7, o fator Cx deve ser:

𝐶𝑥 = 1,36 −

1,83

𝜔+

2,07

𝜔2 (4.54)


48

• Para cilindros médios, definidos por: 1,7 ≤ 𝜔 ≤ 0,5𝑟

𝑡 , o fator Cx deve ser:

𝐶𝑥 = 1,0 (4.55)

• Para cilindros longos, definidos por: 𝜔 > 0,5𝑟

𝑡 , o fator Cx deve ser:

𝐶𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 {1,0 +

0,2

𝐶𝑥𝑏[1,0 − 2𝜔

𝑡

𝑟] ; 0,6} (4.56)

O parâmetro Cxb depende das condições fronteira.

O parâmetro de imperfeição meridional elástico deve ser obtido a partir de:

𝛼𝑥 =

0,62

1 + 1,91(𝛥𝑤𝑘/𝑡)ª1,44 (4.57)

Onde Δwk é a amplitude característica de imperfeição, calculada por:

∆𝑤𝑘 =

1

𝑄√

𝑟

𝑡∙ 𝑡 (4.58)

Onde Q é o parâmetro de qualidade de fabrico.

A verificação da tensão meridional no estado limite de encurvadura pode ser desprezada se:

𝑟

𝑡≤ 0,03

𝐸

𝑓𝑦𝑘 (4.59)

4.9.4. TENSÕES CIRCUNFERENCIAIS

A tensão circunferencial tem em conta a pressão do vento exercida na casca e é dada por:

𝜎𝜃,𝐸𝑑 = 𝑞𝑒𝑞

𝑟

𝑡 (4.60)


49

Fig. 32 – Distribuição da pressão do vento em torno da casca (à esquerda). Distribuição axissimétrica de pressão

equivalente (à direita) [41]

Tendo em conta que a pressão do vento não é constante ao longo do perímetro da casca, deve ser calculada

uma pressão equivalente e constante:

𝑞𝑒𝑞 = 𝑘𝑤 ∙ 𝑞𝑤,𝑚𝑎𝑥 (4.61)

Onde qw,max é a pressão máxima do vento e kw é dado por:

𝑘𝑤 = 0,46 (1 + 0,1√𝐶𝜃

𝜔∙

𝑟

𝑡) (4.62)

A tensão circunferencial critica deve ser obtida por:

• Para cilindros curtos, definidos por: 𝜔

𝐶𝜃≤ 1,7:

𝜎𝜃,𝑅𝑐𝑟 = 0,92 ∙ 𝐸 (

𝐶𝜃

𝜔) (

𝑡

𝑟) (4.63)

• Para cilindros médios, definidos por: 20 ≤𝜔

𝐶𝜃≤ 1,63

𝑟

𝑡 :

𝜎𝜃,𝑅𝑐𝑟 = 0,92 ∙ 𝐸 (

𝐶𝜃𝑠

𝜔) (

𝑡

𝑟) (4.64)

• Para cilindros longos, definidos por: 𝜔

𝐶𝜃> 1,63

𝑟

𝑡 :


50

𝜎𝜃,𝑅𝑐𝑟 = 𝐸 (

𝑡

𝑟)

2

[0,275 + 2,03 (𝐶𝜃

𝜔∙

𝑟

𝑡)

4

] (4.65)

Os parâmetros Cθ e Cθs dependem das condições fronteira.

A verificação da tensão circunferencial no estado limite de encurvadura pode ser desprezada se:

𝑟

𝑡≤ 0,21√

𝐸

𝑓𝑦𝑘 (4.66)

4.9.5. TENSÕES TANGENCIAIS

A tensão tangencial tem conta o esforço transverso, e é dada por:

𝜏𝑥𝜃,𝐸𝑑 =

𝑉𝐸𝑑

𝜋𝑟𝑡 (4.67)

A tensão tangencial critica deve ser calculada através da seguinte expressão:

𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑐𝑟 = 0,75 ∙ 𝐸 ∙ 𝐶𝜏√1

𝜔∙

𝑡

𝑟 (4.68)

Onde:

• Para cilindros curtos, definidos por: 𝜔 ≤ 10, o fator Cτ deve ser:

𝐶𝜏 = √1 +42

𝜔3 (4.69)

• Para cilindros médios, definidos por: 10 ≤ 𝜔 ≤ 8,7𝑟

𝑡 , o fator Cτ deve ser:

𝐶𝑥 = 1,0 (4.70)

• Para cilindros longos, definidos por: 𝜔 > 8,7𝑟

𝑡 , o fator Cτ deve ser:

𝐶𝜏 =1

3√𝜔

𝑡

𝑟 (4.71)

A verificação da tensão meridional no estado limite de encurvadura pode ser desprezada se:


51

𝑟

𝑡≤ 0,16 (

𝐸

𝑓𝑦𝑘)

0.67

(4.72)

4.10. CÁLCULO DE DEFLEXÕES

O cálculo de deflexões será realizado através do método da integração elástica.

O tipo de poste em questão pode ser tratado como se de uma viga encastrada se tratasse. Assim, recorrendo

à nomenclatura habitualmente utilizada no estudo de vigas sujeitas à flexão, chama-se linha elástica à

deformada do eixo da viga. [42]

Considere-se, por exemplo, a viga simplesmente apoiada ilustrada na Fig. 33 a), solicitada por um conjunto

de cargas concentradas, Pi, e forças distribuídas, q(x). Como consequência da deformação provocada pelo

carregamento a que a viga está sujeita, o eixo da viga, inicialmente uma linha reta, assuma a forma

representa na Fig. 33 b).

Fig. 33 – (a) Viga simplesmente apoiada sujeita a um certo carregamento (b) Linha elástica da viga simplesmente

apoiada, sujeita a flexão [42]

Para um ponto qualquer ao longo do eixo, o deslocamento vertical ou deflexão, δ, e a rotação, θ, da secção

reta da viga são numericamente iguais à ordenada da linha elástica, y, e ao declive, dy/dx, da tangente à

curva no ponto considerado, respetivamente.

Para analisar este problema existem vários métodos. Nesta dissertação irá ser utilizado o método da

integração elástica.

O método da integração elástica diz que “no caso duma flexão plana, a relação entre a curvatura, 1/R, o

momento fletor, M, o módulo de Young do material, E, e o momento de inércia, Iz, da secção reta em

relação ao eixo neutro é dada pela equação seguinte”:

1

𝑅= −

𝑀

𝐸𝐼𝑧 (4.73)


52

Segundo as fórmulas gerais da geometria analítica, e para pequenas inclinações da tangente à deformada,

dy/dx, pode dizer-se que a curvatura é também, aproximadamente, igual a:

1

𝑅=

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 (4.74)

Combinando as equações (4.73) e (4.74), obtemos a chamada equação da linha elástica, que integrada duas

vezes sucessivamente, conduz à rotação em cada secção (θ = dy/dx), e à deformada do eixo da viga (y =

δ(x)).

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −

𝑀

𝐸𝐼𝑧 (4.75)

A primeira integração da equação (4.75) resulta em:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝜃(𝑥) = −

1

𝐸𝐼∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶1 (4.76)

A segunda integração da equação (4.75),Erro! A origem da referência não foi encontrada. resulta em:

𝑦(𝑥) = −

1

𝐸𝐼∬ 𝑀𝑑𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (4.77)

Onde C1 é uma constante resultante da primeira integração e C2 é uma constante da segunda integração. As

duas constantes deverão ser determinadas de acordo com as condições fronteira do problema, em particular

para este caso, as condições de apoio. Num encastramento, as condições de apoio são:

Fig. 34 – Viga encastrada

𝜃(𝑥 = 0) = 0; 𝑦(𝑥 = 0) = 0 (4.78)

Então, para este caso, as constantes C1 e C2 serão iguais a zero.

4.11. MÉTODO DE MENDERA

Para aplicação das diretivas do EC3 a mastros e colunas de inércia variável irá ser utilizado um modelo de

análise, desenvolvido por Mendera, válido em regimes elástico e elasto-plástico. Na aplicação deste método

são admitidos os seguintes pressupostos: um adelgaçamento linear dos mastros ou colunas de secção


53

retangular ou circular, a partir da secção intermédia do comprimento de encurvadura; a não-ocorrência de

encurvadura lateral por flexo-torção; e, contraventamento da secção extrema de menor inércia da secção

extrema de menor inércia, evitando instabilidades locais. [43]

Neste método a carga crítica de instabilidade é calculada a partir de um momento de inércia equivalente e

do fator de comprimento efetivo de encurvadura:

𝑁𝑐𝑟 =

𝜋2𝐸𝐼𝑒

(2ℎ)2 (4.79)

Onde Ie é o momento de inércia equivalente calculado através de:

𝐼𝑒 = [𝑝√𝐼𝑚𝑖𝑛/𝐼𝑚𝑎𝑥 + (1 − 𝑝)√𝐼𝑚𝑖𝑛/𝐼𝑚𝑎𝑥 + (1 − 𝑝)]𝐼𝑚𝑎𝑥 (4.80)

Onde p depende do tipo de mastro:

• p =0,10 para mastros de inércia variável, mas secção constante;

• p = 0,15 para mastros de secção em I de inércia e áreas variáveis;

• p = 0,25 para mastros tubulares de área e inércia variáveis.

A área da secção equivalente é determinada por:

𝐴𝑒 = (𝐴𝑚𝑖𝑛 + 𝐴𝑚𝑎𝑥)/2 (4.81)

A capacidade resistente à encurvadura é determinada por:

𝑁𝑅𝑏 = 𝜒𝐴𝑒𝑓𝑦/𝛾𝑀1 ≤ 𝐴𝑚𝑖𝑛𝑓𝑦/𝛾𝑀1 (4.82)

Onde χ é um fator de encurvadura dependente do parâmetro de esbelteza:

��𝑒 = √(𝑁𝑝𝑙/𝑁𝑐𝑟) (4.83)

E Npl é o valor característico resistente plástico do mastro ou coluna equivalente:

𝑁𝑝𝑙 = 𝐴𝑒𝑓𝑦 (4.84)

A carga limite de projeto do mastro ou coluna à encurvadura, Nd, incluindo os efeitos P-Δ de 2ª ordem, o

peso próprio e as caraterísticas de inércia variável, deverá ser calculada tendo em conta a interação entre o

esforço axial e os momentos fletores secundários. A fórmula de interação utilizada por Mendera para

calcular por tentativas a carga limite, para determinada secção do mastro ou coluna, é:

𝑁𝑑

𝑁𝑅𝑐(𝑥)+

𝑀𝑑,𝐼𝐼(𝑥)

𝑀𝑅(𝑥)≤ 1 (4.85)


54

Onde:

𝑁𝑅𝑐(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑓𝑦/𝛾𝑀1 (4.86)

𝑀𝑅(𝑥) = 𝑊(𝑥)𝑓𝑦/𝛾𝑀1 (4.87)

𝑀𝑑,𝐼𝐼(𝑥) = 𝑁𝑑𝑒𝑑𝛿(𝑥) = 𝑁𝑑

𝑒0𝑑

1 −𝑁𝑑𝑁𝑐𝑟

𝛿(𝑥) (4.88)

Na equação (4.88), δ(x) corresponde ao primeiro modo de instabilidade e e0d é a amplitude das imperfeições

iniciais, determinada de acordo com o EC3:

𝑒0𝑑 = 𝛼(��𝑒 − 0,2)

𝑊𝑚𝑎𝑥

𝐴𝑚𝑎𝑥 (4.89)


55

5 EXEMPLO DE CÁLCULO

5.1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo pretende-se dimensionar um poste de suporte de catenária de 11,50 metros de altura. Para

tal, foi desenvolvida uma folha de cálculo em Excel, que permita a análise estática (esforços e deformações)

deste tipo de estruturas. Note-se que esta folha de cálculo abrange qualquer tipo de secção transversal, desde

circular a poligonal com 18 lados, e quer sejam de classe 3 ou classe 4.

Para um cálculo mais exato, dividiu-se a estrutura em fatias de 10 centímetros; no entanto, para efeitos de

uma visualização mais simplificada ao longo desta dissertação, apenas se irá mostrar resultados de 50 em

50 centímetros.

Note-se que na primeira parte do capítulo ainda não é considerado o efeito de qualquer pré-esforço.

5.2. GEOMETRIA DO POSTE

• Altura total: 11,50 m

• Diâmetro de topo: 270 mm

• Diâmetro de base: 408 mm

• Fundação: 1,95 m

• Classe de aço: S235

• Coeficiente parcial do material, γM: 1,1

• Número de lados: 8

• Espessura: 16 mm

• e: 0,25 m


56

Fig. 35 – Poste de suporte de catenária

Tabela 4 – Zona e valor básico da velocidade de referência do vento

Zona1 Vb,0 [m/s]

2 25,0

Tabela 5 – Carga da catenária e respetiva altura

F – Carga da catenária [kN] Altura da carga [m]

28 9,30

Os valores apresentados neste subcapítulo foram fornecidos pela empresa.

1 Note-se que este exemplo é de um poste de catenária situado na Alemanha, e, por isso, as zonas e as respetivas velocidades são

diferentes daquelas descritas no Anexo Nacional português.


57

5.3. CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

Tabela 6 – Classificação das secções transversais

Altura2

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

b

[mm]

Classificação da

Secção

9,55 270,00 16 105,210 b/t=7 - Classe 3

9,05 276,00 16 108,193 b/t=7 - Classe 3

8,55 282,00 16 110,678 b/t=7 - Classe 3

8,05 288,00 16 113,163 b/t=7 - Classe 3

7,55 294,00 16 115,648 b/t=7 - Classe 3

7,05 300,00 16 118,134 b/t=7 - Classe 3

6,55 306,00 16 120,619 b/t=7 - Classe 3

6,05 312,00 16 123,104 b/t=7 - Classe 3

5,55 318,00 16 125,590 b/t=7 - Classe 3

5,05 324,00 16 128,075 b/t=7 - Classe 3

4,55 330,00 16 130,560 b/t=7 - Classe 3

4,05 336,00 16 133,045 b/t=7 - Classe 3

3,55 342,00 16 135,531 b/t=7 - Classe 3

3,05 348,00 16 138,016 b/t=7 - Classe 3

2,55 354,00 16 140,501 b/t=7 - Classe 3

2,05 360,00 16 142,987 b/t=7 - Classe 3

1,55 366,00 16 145,472 b/t=7 - Classe 3

1,05 372,00 16 147,957 b/t=7 - Classe 3

0,55 378,00 16 150,442 b/t=7 - Classe 3

0,05 384,00 16 152,679 b/t=7 - Classe 3

0,00 384,60 16 152,679 b/t=7 - Classe 3

2 Diferença entre a altura total e a fundação.


58

5.4. MÓDULO DE FLEXÃO

Analisando a tabela acima, percebe-se que ao longo do poste todas as secções transversais são de classe 3,

e por isso, irá calcular-se o módulo de flexão elástico recorrendo-se ao teorema de Steiner para o cálculo

da inércia.

Neste caso, em que a forma da secção transversal do poste de suporte de catenária é um polígono regular

de oito lados, dividiu-se, simplificadamente, a figura em oito troços de igual área.

Fig. 36 – Divisão da secção transversal em oito troços de igual área (à esquerda) e distâncias consideradas no

cálculo da inércia

Note-se que certos troços não possuem eixos baricêntricos paralelos ao referencial usado, nessas situações,

antes de se aplicar o teorema de Steiner, procedeu-se da seguinte maneira:

Fig. 37 – Retângulo inclinado em relação ao referencial usado


59

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥′ ∙ 𝑐𝑜𝑠2∅ + 𝐼𝑦′ ∙ 𝑠𝑒𝑛2∅ (5.1)

𝐼𝑦 = 𝐼𝑥′ ∙ 𝑠𝑒𝑛2∅ + 𝐼𝑦′ ∙ 𝑐𝑜𝑠2∅ (5.2)

Tabela 7 – Módulo de flexão

Altura

[m]

bmédio

[mm]

r

[mm]

I

[cm4]

c

[mm]

Wel

[cm3]

9,55 105,210 32,00 11495,872 138,123 709,565

9,05 108,193 32,00 12500,597 141,370 757,240

8,55 110,678 32,00 13381,285 144,617 795,749

8,05 113,163 32,00 14302,410 147,864 835,188

7,55 115,648 32,00 15264,882 151,112 875,556

7,05 118,134 32,00 16269,607 154,359 916,855

6,55 120,619 32,00 17317,494 157,606 959,084

6,05 123,104 32,00 18409,451 160,853 1002,244

5,55 125,590 32,00 19546,387 164,100 1046,334

5,05 128,075 32,00 20729,208 167,348 1091,355

4,55 130,560 32,00 21958,823 170,595 1137,306

4,05 133,045 32,00 23236,141 173,842 1184,189

3,55 135,531 32,00 24562,068 177,089 1232,002

3,05 138,016 32,00 25937,514 180,336 1280,746

2,55 140,501 32,00 27363,386 183,583 1330,421

2,05 142,987 32,00 28840,592 186,831 1381,028

1,55 145,472 32,00 30370,041 190,078 1432,565

1,05 147,957 32,00 31952,640 193,325 1485,034

0,55 150,442 32,00 33589,297 196,572 1538,434

0,05 152,679 32,00 35109,259 199,819 1585,016

0,00 152,679 32,00 35109,259 200,144 1582,747


60

No caso de haver secções transversais de classe 4, preparou-se a folha de cálculo para calcular as áreas não

úteis das secções transversais efetivas. De seguida, calcula a inércia das áreas não úteis pelo teorema de

Steiner e subtrai a inércia de uma secção transversal bruta pela inércia de uma secção transversal efetiva.

5.5. AÇÃO DO VENTO

Considerando a equação (4.13) do cálculo da pressão dinâmica do vento e, substituindo nela, a pressão

dinâmica de referência, qb, obtém-se:

𝑞𝑝(𝑧) = 𝑐𝑒(𝑧) ∙

1

2∙ 𝜌 ∙ 𝑣𝑏

2 (5.3)

Onde ce(z) = 1,0, segundo a BS EN 50119 [30]; ρ = 1,25 kg/m3; vb = vb,0 = 25 m/s.

Para o cálculo da força exercida pelo vento, segundo a equação (5.4):

𝐹𝑤 = 𝑐𝑠𝑐𝑑 ∙ 𝑐𝑓 ∙ 𝑞𝑝(𝑧𝑒) ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑓 (5.4)

A força exercida pelo vento é considerada horizontal é considerada horizontal e no sentido da força da

catenária, pois este será o cenário mais gravoso.

Onde cscd = 1,0, segundo a norma BS EN 50119 [30]; cf = 1,0, segundo a BS EN 50119 [30]3.

Tabela 8 – Pressão e força exercida pelo vento

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

cf qp

[N/m2]

Fw

[N]

9,55 270,00 1,00 785 0,00

9,05 276,00 1,00 785 107,12

8,55 282,00 1,00 785 216,60

8,05 288,00 1,00 785 328,42

7,55 294,00 1,00 785 442,61

7,05 300,00 1,00 785 559,15

6,55 306,00 1,00 785 678,04

6,05 312,00 1,00 785 799,28

5,55 318,00 1,00 785 922,88

3 Nos coeficientes: ce(z), cscd e cf, optou-se pela norma BS EN 50119 por ser uma norma direcionada para este tipo de estruturas.


61

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

cf qp

[N/m2]

Fw

[N]

5,05 324,00 1,00 785 1048,84

4,55 330,00 1,00 785 1177,15

4,05 336,00 1,00 785 1307,81

3,55 342,00 1,00 785 1440,83

3,50 348,00 1,00 785 1576,20

2,55 354,00 1,00 785 1713,93

2,05 360,00 1,00 785 1854,01

1,55 366,00 1,00 785 1996,44

1,05 372,00 1,00 785 2141,23

0,55 378,00 1,00 785 2288,38

0,05 384,00 1,00 785 2437,87

0,00 384,60 1,00 785 2452,95

5.6. ESFORÇOS

Note.se que, sem pré-esforço, o poste apenas tem esforço axial devido ao seu peso próprio.

• Combinação 1:

Tabela 9 – Esforços para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço, para a combinação 1

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

9,55 270,00 16 164,839 0,000 0,000 0,000

9,05 276,00 16 174,748 28,129 0,608 9,838

8,55 282,00 16 183,224 28,239 1,129 23,930

8,05 288,00 16 191,900 28,351 1,661 38,078

7,55 294,00 16 200,774 28,466 2,206 52,282

7,05 300,00 16 209,847 28,583 2,763 66,544

6,55 306,00 16 219,120 28,702 3,333 80,865

6,05 312,00 16 228,591 28,824 3,915 95,246

5,55 318,00 16 238,261 28,948 4,509 109,689


62

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

5,05 324,00 16 248,131 29,074 5,115 124,195

4,55 330,00 16 258,199 29,203 5,733 138,764

4,05 336,00 16 268,467 29,334 6,364 153,398

3,55 342,00 16 278,933 29,468 7,007 168,098

3,05 348,00 16 289,599 29,604 7,663 182,866

2,55 354,00 16 300,463 29,742 8,331 197,702

2,05 360,00 16 311,527 29,882 9,010 212,608

1,55 366,00 16 322,789 30,025 9,703 227,585

1,05 372,00 16 334,251 30,170 10,407 242,634

0,55 378,00 16 345,912 30,318 11,124 257,756

0,05 384,00 16 356,577 30,453 11,779 271,429

0,00 384,60 16 356,577 30,453 11,779 271,429

• Combinação 2:

Tabela 10 – Esforços para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço, para a combinação 2

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

9,55 270,00 16 164,839 0,000 0,000 0,000

9,05 276,00 16 174,748 36,567 0,791 12,790

8,55 282,00 16 183,224 36,710 1,467 31,109

8,05 288,00 16 191,900 36,856 2,160 49,501

7,55 294,00 16 200,774 37,005 2,868 67,966

7,05 300,00 16 209,847 37,158 3,592 86,507

6,55 306,00 16 219,120 37,313 4,333 105,124

6,05 312,00 16 228,591 37,471 5,089 123,820

5,55 318,00 16 238,261 37,632 5,861 142,596

5,05 324,00 16 248,131 37,797 6,649 161,453

4,55 330,00 16 258,199 37,964 7,454 180,393


63

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

4,05 336,00 16 268,467 38,134 8,274 199,417

3,55 342,00 16 278,933 38,308 9,110 218,528

3,05 348,00 16 289,599 38,485 9,962 237,726

2,55 354,00 16 300,463 38,664 10,830 257,013

2,05 360,00 16 311,527 38,847 11,714 276,391

1,55 366,00 16 322,789 39,033 12,613 295,861

1,05 372,00 16 334,251 39,222 13,529 315,424

0,55 378,00 16 345,912 39,414 14,461 335,083

0,05 384,00 16 356,577 39,589 15,313 352,858

0,00 384,60 16 356,577 39,589 15,313 352,858

Fig. 38 – Gráfico do momento resistente e momento atuante em função da altura do poste

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

0,000 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000 350,000 400,000

H [m]

Momento resistente (MRd)

Momento atuante (MEd)

M [kN.m]


64

5.7. DEFLEXÃO

A deflexão é calculada para a combinação 1.

Tabela 11 – Curvatura, rotação e flecha para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço

Altura

[m]

I(z)

[cm4]

M(z)

[kN∙m]

Curvatura

[m-1]

Rotação

[rad]

Flecha

[cm]

9,55 11495,872 0,000 2,1820E-08 2,4154E-02 14,36

9,05 12500,597 9,838 4,2544E-04 2,4085E-02 12,91

8,55 13381,285 23,930 8,9580E-04 2,3776E-02 11,71

8,05 14302,410 38,078 1,3064E-03 2,3244E-02 10,54

7,55 15264,882 52,282 1,6646E-03 2,2517E-02 9,39

7,05 16269,607 66,544 1,9770E-03 2,1621E-02 8,28

6,55 17317,494 80,865 2,2491E-03 2,0576E-02 7,22

6,05 18409,451 95,246 2,4859E-03 1,9403E-02 6,21

5,55 19546,387 109,689 2,6915E-03 1,8118E-02 5,27

5,05 20729,208 124,195 2,8696E-03 1,6735E-02 4,39

4,55 21958,823 138,764 3,0235E-03 1,5269E-02 3,58

4,05 23236,141 153,398 3,1560E-03 1,3730E-02 2,85

3,55 24562,068 168,098 3,2695E-03 1,2128E-02 2,19

3,05 25937,514 182,866 3,3662E-03 1,0474E-02 1,62

2,55 27363,386 197,702 3,4480E-03 8,7736E-03 1,13

1,55 30370,041 227,585 3,5736E-03 5,2652E-03 0,41

1,05 31952,640 242,634 3,6202E-03 3,4686E-03 0,18

0,55 33589,297 257,756 3,6575E-03 1,6507E-03 0,04

0,05 35109,259 271,429 3,6801E-03 1,8400E-04 0,00

0,00 35109,259 271,429 0,0000E+00 0,0000E+00 0,00

A máxima flecha obtida foi de 14,36 cm.


65

5.8. VERIFICAÇÃO DOS LIMITES DE DEFLEXÃO E RESISTÊNCIA

Tabela 12 – Verificação dos limites de deflexão e resistência para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço

Tipo de limite Máxima deflexão Máxima razão

entre momentos

Verificação

Combinação 1 Deflexão 1.50% - OK

Combinação 2 Resistência - 98.96% OK

5.9. TENSÕES

Para verificação dos estados limites utilizou-se a combinação 2.

Tabela 13 – Tensões para o poste de suporte de catenária sem pré-esforço

Altura

[m]

σθ,Ed

[MPa]

σx,Ed+

[MPa]

σx,Ed–

[MPa]

τxθ,Ed

[MPa]

σeq,Ed

[MPa]

9,55 0,022 16,372 -6,360 -0,321 0

9,05 0,017 29,647 -19,803 4,811 18

8,55 0,018 48,499 -38,786 4,723 37

8,05 0,018 65,701 -56,110 4,639 56

7,55 0,019 81,415 -71,939 4,559 73

7,05 0,019 95,788 -86,420 4,483 89

6,55 0,020 108,948 -99,682 4,411 103

6,05 0,021 121,011 -111,839 4,342 116

5,55 0,022 132,079 -122,995 4,275 128

5,05 0,022 142,242 -133,241 4,212 140

4,55 0,023 151,582 -142,659 4,152 150

4,05 0,024 160,172 -151,322 4,094 159

3,55 0,024 168,078 -159,296 4,039 168

3,05 0,025 175,359 -166,641 3,986 176

2,55 0,026 182,068 -173,409 3,935 183

2,05 0,027 188,253 -179,650 3,886 190

1,55 0,027 193,958 -185,407 3,839 197

1,05 0,028 199,222 -190,719 3,794 202


66

Altura

[m]

σθ,Ed

[MPa]

σx,Ed+

[MPa]

σx,Ed–

[MPa]

τxθ,Ed

[MPa]

σeq,Ed

[MPa]

0,55 0,029 204,080 -195,623 3,751 208

0,05 0,040 208,134 -199,714 3,714 212

0,00 0,040 208,134 -199,714 3,714 212

5.9.1. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE PLÁSTICO

Como visto na equação, para o estado limite plástico ser verificado é necessário que a tensão equivalente

atuante de von-Mises sejas igual ou inferior à tensão equivalente resistente.

Neste exemplo, a máxima tensão atuante ao longo do fuste tem o valor de 212MPa. A tensão resistente

equivale à tensão de cedência do aço em questão e tem o valor de 235MPa. Logo o estado limite plástico é

verificado.

5.9.2. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE ENCURVADURA

As tensões resistentes de cálculo à encurvadura são calculadas pela razão entre as tensões caraterísticas de

encurvadura e o coeficiente parcial de segurança à encurvadura. Como visto anteriormente, o coeficiente

parcial de segurança à encurvadura não deve ser inferior a γM1=1,1. Será então utilizado esse mesmo valor.

Os valores característicos das tensões de encurvadura são obtidos através da multiplicação da tensão

característica de cedência pelo respetivo fator de redução associado à encurvadura: χX, χθ ou χτ. Estes fatores

são determinados em função da esbelteza.

Posto isto, começou por se calcular os valores das esbeltezas relativas plásticas limite:

Pelo Anexo D da norma EN 1993-1-6 [41] sabe-se que:

Tabela 14 – Fatores retirado do Anexo D da norma EN 1993-1-6 [41]

Tensões meridionais Tensões circunferenciais Tensões tangenciais

4αx = 0,56 (4.57) αθ = 0,65 ατ = 0,65

��𝒙𝟎= 0,2 𝜆𝜃0= 0,2 𝜆

𝜏0= 0,2

β = 0,6 β = 0,6 β = 0,6

η = 1,0 η = 1,0 η = 1,0

4 Nos parâmetros dependentes da qualidade de fabrico, considerou-se a classe intermédia, classe B, que corresponde a qualidade

alta.


67

Pela equação (4.44):

Tabela 15 – Valores da esbelteza relativa plástica limite


��𝒙𝒑 = 1,18 𝜆𝜃𝑝 = 1,28 𝜆

𝜏𝑝 = 1,28

Os parâmetros de esbelteza relativos para as diferentes componentes da tensão devem ser determinados

segundo a equação (4.45). Para isso é necessário o cálculo das tensões criticas pelas equações (4.53), (4.65)

e (4.68).

Tabela 16 – Parâmetros de esbelteza relativa


Cx = 0,6 Cθ = 0,6 Cτ = 1,34

σx,Rcr = 8291,665MPa σθ,Rcr = 298,98 MPa τxθ,Rcr = 1425,241 MPa

��𝒙 = 0,17 𝜆𝜃 = 0,71 𝜆

𝜏 = 0,41

Os fatores de redução associados à encurvadura são:

Tabela 17 – Fatores de redução associados à encurvadura


��𝒙 ≤ ��𝒙𝟎 𝜆𝜃0 < 𝜆

𝜃 < 𝜆𝜃𝑝 𝜆

𝑥 ≤ 𝜆𝜏0

χX = 1,0 χθ = 0,946 χτ = 1,0

Os valores característicos das tensões de encurvadura são então:

𝜎𝑥,𝑅𝑘 = 1 ∙ 235 = 235 𝑀𝑃𝑎 (5.5)

𝜎𝜃,𝑅𝑘 = 0,946 ∙ 235 = 222 𝑀𝑃𝑎 (5.6)

𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑘 = 1 ∙ 235/√3 = 136 𝑀𝑃𝑎 (5.7)

Dividindo estes valores pelo coeficiente parcial de segurança, obtém-se finalmente as tensões resistentes de

cálculo à encurvadura:

𝜎𝑥,𝑅𝑑 = 235/1,1 = 214 𝑀𝑃𝑎 (5.8)

𝜎𝜃,𝑅𝑑 = 222/1,1 = 202 𝑀𝑃𝑎 (5.9)


68

𝜏𝑥𝜃,𝑅𝑑 = 136/1,1 = 123 𝑀𝑃𝑎 (5.10)

Pelas equações (4.48), (4.49), (4.50) e (4.51), são obtidos os valores dos parâmetros k:

𝑘𝑋 = 1,0 + 1,02 = 2,0 (5.11)

𝑘𝜃 = 1,0 + 0,9462 = 1,89 (5.12)

𝑘𝜏 = 1,5 + 0,5 ∗ 12 = 2,0 (5.13)

𝑘𝑖 = (1 ∗ 0,946)2 = 0,89 (5.14)

Substituindo todos os valores na equação (4.47):

(

208,134

214)

2,0

− 0,89 (208,134

214) (

0,040

202) + (

0,040

202)

1,89

+ (3,714

123)

2,0

= 0,95 (5.15)

0,95 ≤ 1 𝑂𝐾 (5.16)

Resta ainda averiguar a necessidade da verificação das tensões meridionais, circunferenciais e tangenciais

isoladamente. A verificação de cada uma das tensões isoladamente é necessária se a razão entre o raio

médio e a espessura for inferior a determinada condição, dependente da tensão em questão. O valor mais

alto da razão entre raio médio e a espessura é de 13. Assim:

• Tensão meridional:

0.03 ∗

210000

235= 26,8 > 13 𝑂𝐾 (5.17)

• Tensão circunferencial:

0.21√210000

235= 6,3 < 13 𝑂𝐾 (5.18)

• Tensão tangencial:

0.16 (

210000

235)

0.67

= 15,2 < 13 𝐾𝑂 (5.19)


69

5.10. MÉTODO DE MENDERA

Como descrito no capitulo anterior, foi considerado o método de Mendera para verificação da estabilidade

do poste.

Tabela 18 – Inércia, áreas e módulo de flexão do poste de suporte de catenária

Imin

[cm4]

Imáx

[cm4]

Ie

[cm4]

Amin

[mm2]

Amáx

[mm2]

Ae

[mm2]

Wmáx

[cm3]

11495,9 35109,3 51273,3 13466,9 19542,9 16504,9 1669,1

O parâmetro p necessário ao cálculo da inércia equivalente foi considerado 0,25, pois trata-se de um poste

tubular de área e inércia variável.

Um valor aproximado da carga crítica por der calculado pela equação (4.79):

𝑁𝑐𝑟 =

𝜋2 ∙ 210 ∗ 109 ∙ 51273,3 ∗ 10−8

(2 ∙ 9,55)2∗ 10−3 = 2913 𝑘𝑁 (5.20)

O parâmetro de esbeltez, dado pela equação (4.83):

��𝑒 = √𝑁𝑝𝑙

𝑁𝑐𝑟= √

(235 ∙ 16504,9) ∗ 10−3

2913= 1,154 (5.21)

Recorrendo à curva de encurvadura [c] do EC3, obtém-se:

Tabela 19 – Parâmetros relativos à curva de encurvadura [c]

α φ χ

0,49 1,399 0,456

A amplitude das imperfeições iniciais será então:

𝑒0𝑑 = 0,49 ∙ (1,154 − 0,2) ∙

1669,1

19542,9= 0,058 𝑚 (5.22)

A carga limite à encurvadura, Nd, foi obtida iterando sucessivamente a fórmula de interação utilizada por

Mendera, equação (4.85). A carga limite de projeto obtida de modo a verificar a segurança foi de 1551 kN.

O modo de instabilidade da estrutura, δ, foi considerado proporcional a 𝑐𝑜𝑠 (𝜋∙𝑥

2ℎ), onde h é a altura da

estrutura e x a cota de cada secção transversal. [44]


70

Tabela 20 – Verificação de segurança através do método de Mendera para uma carga de 1551 kN

Altura δ(x) NRc(x) Md,II(x) MR(x) Nd/NRc(x) + Md,II(x)/MR(x) = < 1

9,55 0,000 2877,022 0,000 164,839 0,539 + 0,000 = 0,539

9,05 0,099 2958,575 18,921 174,748 0,524 + 0,108 = 0,632

8,55 0,180 3026,536 34,557 183,224 0,512 + 0,189 = 0,701

8,05 0,260 3094,498 49,958 191,900 0,501 + 0,260 = 0,761

7,55 0,339 3162,459 65,022 200,774 0,490 + 0,324 = 0,814

7,05 0,415 3230,420 79,646 209,847 0,480 + 0,380 = 0,860

6,55 0,488 3298,381 93,732 219,120 0,470 + 0,428 = 0,898

6,05 0,558 3366,342 107,184 228,591 0,461 + 0,469 = 0,929

5,55 0,624 3434,303 119,912 238,261 0,451 + 0,503 = 0,955

5,05 0,686 3502,265 131,829 248,131 0,443 + 0,531 = 0,974

4,55 0,744 3570,226 142,855 258,199 0,434 + 0,553 = 0,988

4,05 0,796 3638,187 152,915 268,467 0,426 + 0,570 = 0,996

3,55 0,843 3706,148 161,942 278,933 0,418 + 0,581 = 0,999

3,05 0,885 3774,109 169,874 289,599 0,411 + 0,587 = 0,997

2,55 0,920 3842,070 176,657 300,463 0,404 + 0,588 = 0,992

2,05 0,949 3910,031 182,247 311,527 0,397 + 0,585 = 0,982

1,55 0,972 3977,993 186,605 322,789 0,390 + 0,578 = 0,968

1,05 0,988 4045,954 189,701 334,251 0,383 + 0,568 = 0,951

0,55 0,997 4113,915 191,515 345,912 0,377 + 0,554 = 0,931

0,05 1,000 4175,080 192,041 356,577 0,371 + 0,539 = 0,910

0,00 1,000 4175,080 192,041 356,577 0,371 + 0,539 = 0,910

Esta verificação da interceção entre o esforço axial e os momentos fletores secundários será essencialmente

necessária após a aplicação do pré-esforço. Isto porque com a introdução do pré-esforço, o poste de suporte

de catenária vai estar sujeito a um esforço axial muito superior.


71

5.11. CONFIGURAÇÕES DE CABOS DE PRÉ-ESFORÇO

As configurações de cabos de pré-esforço estudadas foram também programadas na folha de cálculo

desenvolvida pelo autor desta dissertação, de forma a que os cálculos fossem necessários fossem

automatizados.

Fig. 39 – Esquema das várias configurações de cabos de pré-esforço estudadas nesta dissertação

Note-se que estes desenhos não estão feitos à escala para se poder ter uma melhor perceção da configuração

que o cabo de pré-esforço irá tomar em casa um dos casos.

5.11.1. CONFIGURAÇÃO 1

A configuração 1 consiste na introdução de um cabo de pré-esforço que vai diretamente do topo até à base

do poste de suporte de catenária.

Sem pré-esforço Configuração 1 Configuração 2

Configuração 1

Configuração 3 Configuração 4

Configuração 5 Configuração 6 Configuração 7 Configuração 8 Configuração 9


72

Fig. 40 – Esquema da configuração 1

Começou por se calcular as forças equivalentes para uma força de pré-esforço máxima de 1kN e de seguida

foi-se aumentando essa força até 100kN, máximo de força que se conseguirá aplicar. Tendo em conta que

o objetivo principal é a diminuição da flecha máxima, foi a estes valores que se tomou principal atenção

inicialmente.

Tabela 21 –Flecha para a configuração 1

P [kN] Flecha [cm] %h

1 14,36 1,50

2 14,35 1,50

3 14,35 1,50

4 14,34 1,50

5 14,33 1,50

10 14,31 1,50

20 14,25 1,49

30 14,20 1,49

40 14,14 1,48

50 14,08 1,47

60 14,03 1,47

70 13,97 1,46

80 13,92 1,46

90 13,86 1,45

100 13,80 1,45


73

Analisando a Tabela 21, percebe-se que a diminuição da flecha por esta configuração é basicamente nula.

A justificação para isto é muito simples, deve-se ao facto de estarmos perante uma estrutura muito esbelta,

ou seja, com uma razão muito grande entre a altura e a espessura. Consequentemente, o ângulo θ,

representado na Fig. 40 é muito pequeno e daí resulta uma componente horizontal de pré-esforço muito

baixa. Esta componente horizontal seria aquela que contribuiria para diminuir a flecha provocada pelas

cargas exteriores, impondo uma deformação oposta à deformação provocada por essas cargas.

Assim, em ordem a esta configuração poder ter algum resultado significativo, teria de ser aplicado uma

grande quantidade de pré-esforço. Esta solução seria inviável, pois não haveria maneira de se aplicar esse

pré-esforço e, em principio, a estrutura podia nem conseguir aguentar o esforço axial resultante dessa

aplicação sem encurvar.

5.11.2. CONFIGURAÇÃO 2 E 3

A configuração dois consiste num cabo de pré-esforço com um desvio a meia altura do poste de suporte de

catenária e a configuração três num cabo com dois desvios, um a um terço e outro a dois terços da altura.

Como visto anteriormente, entendeu-se que, numa estrutura muita esbelta, a componente horizontal que

resultaria da aplicação de um cabo de pré-esforço que iria de cima a baixo do poste seria muito baixa. Ao

impor desvios no cabo, aumentar-se-ia o ângulo θ, e consequentemente a componente horizontal do pré-

esforço.

Fig. 41 – Esquema da configuração 2 (à esquerda) e da configuração 3 (à direita)

• Configuração 2

Tabela 22 – Flecha para a configuração 2


1 14,36 1,50

2 14,36 1,50


74


3 14,35 1,50

4 14,35 1,50

5 14,35 1,50

10 14,34 1,50

20 14,31 1,50

30 14,28 1,50

40 14,25 1,49

50 14,23 1,49

60 14,20 1,49

70 14,17 1,48

80 14,14 1,48

90 14,12 1,48

100 14,09 1,48

• Configuração 3



1 14,36 1,50

2 14,36 1,50

3 14,36 1,50

4 14,36 1,50

5 14,35 1,50

10 14,35 1,50

20 14,33 1,50

30 14,31 1,50

40 14,29 1,49

50 14,28 1,49

60 14,26 1,49

70 14,24 1,48

80 14,22 1,48

90 14,21 1,48

100 14,19 1,48


75

Apesar de se ter consigo aumentar o ângulo do cabo de pré-esforço, os resultados de ambas as configurações

foram piores, quando comparados com a primeira configuração.

Analisando as forças equivalentes do pré-esforço para estas duas configurações, observa-se que são gerados

momentos ao longo do fuste devidos às excentricidades das componentes verticais do pré-esforço. Estes

momentos forçam o poste a deformar-se no sentido contrário ao pretendido, isto é, em vez de ajudarem as

componentes horizontais a contradizerem a flecha provocada pelas cargas exteriores, agravam-na.


A configuração quatro consiste num cabo com oito desvios. O primeiro desvio a um nono da altura, o

segundo desvio a dois nonos da altura, o terceiro desvio a três nonos da altura e assim sucessivamente.




1 14,36 1,50

2 14,36 1,50

3 14,36 1,50

4 14,36 1,50

5 14,36 1,50

10 14,36 1,50

20 14,36 1,50

30 14,36 1,50


76


40 14,36 1,50

50 14,36 1,50

60 14,36 1,50

70 14,36 1,50

80 14,36 1,50

90 14,36 1,50

100 14,36 1,50

O objetivo desta configuração seria reproduzir o comportamento de uma treliça. Treliça é um sistema

estrutural linear formado por barras unidas entre si de modo a formar uma rede de triângulos, e é

basicamente solicitada à tração e à compressão. O problema desta configuração reside neste último ponto.

Enquanto a treliça é solicitada tanto à tração como à compressão, o cabo de pré-esforço está tracionado ao

longo de todo o seu comprimento e, a acrescentar a isto, provoca momentos ao longo do fuste consequentes

das excentricidades.


Esta configuração consiste em adicionar um braço rígido no topo do poste de suporte de catenária. Como se

pode concluir das configurações 1, 2, 3 e 4, quantos mais desvios no cabo se fizer, menor irá ser a influência

do pré-esforço na diminuição da flecha no topo do poste de suporte de catenária. Então, aproveitando a

melhor destas configurações, a 1, que consiste num cabo de pré-esforço desde o topo à base do poste, sem

desvios, testou-se esta mesma configuração adicionando um braço rígido que permitirá aumentar a

componente horizontal do pré-esforço sem gerar momentos ao longo do fuste.

Pela análise das configurações anteriores para vários valores da força máxima de pré-esforço, compreende-

se que para valores abaixo dos 10 kN, a flecha mantém-se igual. Posto isto, apenas se irá analisar a

configuração sujeita a forças iguais e superiores a 10 kN.

Por questões arquitetónicas, arbitrou-se que o máximo comprimento do braço que seria admissível seria 3

m.


77


Tabela 25 – Flecha para a configuração 5 em função do comprimento do braço [cm]

Apenas se analisou os casos de um braço com 0,10 m até a 0,50 m para uma força máxima de pré-esforço

de 10, 20 e 30 kN, pois como se pode comprovar pela Tabela 25 a tendência desta configuração é o

agravamento da flecha à medida que se aumenta o comprimento do braço e o valor da força máxima de pré-

esforço.

O agravamento da flecha por esta configuração deve-se ao facto de o momento gerado pela excentricidade

no topo do poste de suporte de catenária variar mais rapidamente em função do comprimento do braço que

a componente horizontal devido ao pré-esforço. Para uma força máxima de pré-esforço de 10 kN, por

exemplo:

Tabela 26 – Momento e componente horizontal devido ao pré-esforço para uma força máxima de 10 kN

Comprimento do braço [m]

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

M1 [kN∙m] 2,348 3,344 4,341 5,335 6,326

H1 [kN] 0,447 0,551 0,655 0,759 0,863


P [kN

]

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

10 14,34 14,38 14,42 14,45 14,49

20 14,32 14,40 14,47 14,54 14,61

30 14,30 14,41 14,52 14,63 14,74


78

Fig. 44 – Variação do momento devido ao pré-esforço em função do comprimento do braço

Fig. 45 – Variação da componente horizontal do pré-esforço em função do comprimento do braço

Como o momento e a componente horizontal devido ao pré-esforço são de diferentes grandezas, não é

possível comparar diretamente um com o outro. Olhando para as equações das retas de regressão

representadas nas Fig. 44 e Fig. 45, podemos comprovar que a reta correspondente à variação do momento

em função do comprimento do braço tem um declive muito mais acentuado que o da reta relativa à variação

da componente horizontal em função do comprimento do braço.

Assim, desta configuração, conclui-se que a deformação provocada pelo momento gerado pela

excentricidade da componente vertical do pré-esforço é dominante em relação à deformação provocada pela

componente horizontal do pré-esforço.

y = 0,9947x + 1,3547

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5


M1 [kN∙m]


y = 0,104x + 0,3432

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5


H1 [kN]



79


Em função da conclusão tirada na configuração 5, chegou-se à configuração 6. Esta configuração é

semelhante à anterior, no entanto, o braço, em vez de ser no sentido da força, encontra-se no sentido oposto

à força.


• Flecha no topo do poste [cm]

Tabela 27 – Deflexão para a configuração 6 em função do comprimento do braço


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 1,5 2 2,5 3

P [kN

]

10 14,38 14,35 14,31 14,27 14,24 14,06 13,88 13,71 13,54 13,39

20 14,40 14,33 14,26 14,18 14,11 13,75 13,40 13,06 12,73 12,41

30 14,42 14,31 14,20 14,09 13,99 13,45 12,92 12,41 11,91 11,43

40 14,44 14,30 14,15 14,01 13,86 1314 12,44 11,75 11,09 10,46

50 14,46 14,28 14,10 13,92 13,74 12,84 11,96 11,10 10,27 9,48

60 14,48 14,26 14,04 13,83 13,61 12,53 11,48 10,45 9,46 8,50

70 14,50 14,24 13,99 13,74 13,48 12,23 11,00 9,80 8,64 7,52

80 14,52 14,23 13,94 13,65 13,36 11,93 10,52 9,15 7,82 6,55

90 14,54 14,21 13,88 13,56 13,23 11,62 10,04 8,50 7,00 5,57

100 14,56 14,19 13,83 13,47 13,11 11,32 09,56 7,84 6,19 4,59


80

• Razão entre a flecha e a altura [%]

Tabela 28 – Razão entre a flecha e a altura


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 1,5 2 2,5 3

P [kN

]

10 1,51 1,50 1,50 1,49 1,49 1,47 1,45 1,44 1,42 1,40

20 1,51 1,50 1,49 1,49 1,48 1,44 1,40 1,37 1,33 1,30

30 1,51 1,50 1,49 1,48 1,46 1,41 1,35 1,30 1,25 1,20

40 1,51 1,50 1,48 1,47 1,45 1,38 1,30 1,23 1,16 1,09

50 1,51 1,50 1,48 1,46 1,44 1,34 1,25 1,16 1,08 0,99

60 1,52 1,49 1,47 1,45 1,43 1,31 1,20 1,09 0,99 0,89

70 1,52 1,49 1,47 1,44 1,41 1,28 1,15 1,03 0,90 0,79

80 1,52 1,49 1,46 1,43 1,40 1,25 1,10 0,96 0,82 0,69

90 1,52 1,49 1,45 1,42 1,39 1,22 1,05 0,89 0,73 0,58

100 1,52 1,49 1,45 1,41 1,37 1,18 1,00 0,82 0,65 0,48

Esta configuração vem verificar o concluído anteriormente, possibilitando chegar até uma deflexão de

0,48% da altura do poste para um braço de 3 m e uma força máxima de pré-esforço de 100 kN.


A configuração 7 é semelhante à configuração 6, sendo que a diferença é que em vez de o cabo ir desde o

topo até à base, pararia a uma certa altura do solo. Esta variante da configuração 6 foi estudada com o

objetivo de se diminuir o cabo de pré-esforço.


81


Para um braço de 1,5 m, primeiro comprimento em que na configuração 6 houve uma flecha menor ou igual

a 1% da altura.


Tabela 29 – Deflexão para a configuração 7 em função da altura desde o solo até ao cabo

Altura desde o solo até ao cabo [m]

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

P [kN

]

10 13,88 13,90 13,92 13,94 13,96 13,98 13,99

20 13,40 13,44 13,48 13,52 13,55 13,59 13,63

30 12,92 12,98 13,03 13,09 13,15 13,21 13,26

40 12,44 12,52 12,59 12,67 12,74 12,82 12,89

50 11,96 12,06 12,15 12,25 12,34 12,43 12,52


82


Tabela 30 – Razão entre a flecha e a altura para a configuração 7 em função da altura desde o solo até ao cabo

Altura desde o solo até ao cabo [m]

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

P [kN

]

10 1,45 1,46 1,46 1,46 1,46 1,46 1,47

20 1,40 1,41 1,41 1,42 1,42 1,42 1,43

30 1,35 1,36 1,36 1,37 1,38 1,38 1,39

40 1,30 1,31 1,32 1,33 1,33 1,34 1,35

50 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31

Analisando as Tabelas 29 e 30 pode ser concluído que desta configuração resultam valores de flecha e de

razão entre flecha e altura mais altos que na configuração 6. À medida que a distância entre o solo e o inicio

do cabo aumenta, o efeito do pré-esforço sobre a deformada final diminui. Isto porque à medida que esta

distância aumenta, o ângulo θ aumenta e, consequentemente a componente horizontal do pré-esforço

também aumenta, ao passo que a componente vertical diminui e por isso também o momento causado pela

excentricidade desta componente diminui. Como visto nas configurações anteriores, a força equivalente do

pré-esforço que auxilia a diminuição da flecha é o momento.


Na configuração 8, o cabo não pararia a uma certa altura do solo, mas faria um desvio, vindo terminar à

base do poste.




83

Tabela 31 – Deflexão para a configuração 8 em função da altura do desvio

Altura do desvio [m]

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

P [kN

]

10 13,88 13,75 13,86 13,91 13,94 13,97 13,99

20 13,40 13,15 13,36 13,46 13,53 13,58 13,62

30 12,92 12,54 12,86 13,01 13,11 13,18 13,25

40 12,44 11,93 12,35 12,56 12,69 12,79 12,88

50 11,96 11,33 11,85 12,11 12,27 12,40 12,51


Tabela 32 – Razão entre a flecha e a altura para a configuração 8 em função da altura do desvio

Altura do desvio [m]

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

P [kN

]

10 1,45 1,44 1,45 1,46 1,46 1,46 1,47

20 1,40 1,38 1,40 1,41 1,42 1,42 1,43

30 1,35 1,31 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39

40 1,30 1,25 1,29 1,32 1,33 1,34 1,35

50 1,25 1,19 1,24 1,27 1,28 1,30 1,31

As diferenças de valores entre esta combinação e a cominação anterior são quase nulas. A justificação para

esta configuração não fornecer melhores resultado que a configuração 6 é idêntica à justificação da

configuração anterior. No entanto, comparando as duas, percebe-se que até uma altura do desvio de 1,25 m,

os valores resultantes da configuração 8 são ligeiramente melhores que os da configuração 7, ainda que esta

melhoria seja insignificante. Este facto ocorre porque no ponto em que se dá o desvio, irá haver uma adição

de duas componentes horizontais resultantes do pré-esforço. A resultante desta adição tem o sentido oposto

da força da catenária, ou seja, contribui para a diminuição da deformada final. Na configuração 7, a

componente horizontal devido ao pré-esforço no ponto de inicio do cabo tem também o sentido oposto à

força da catenária, no entanto tem um valor menor quando comparado com a resultante da adição da

configuração 8.


A configuração 9 é uma configuração de pré-esforço externa ao fuste e é baseada na configuração dos cabos

de pré-esforço utilizada no sistema OPS.


84

Fig. 49 – Sistema OPS [45]

Como nesta configuração ter-se-ia que adicionar ao poste de suporte de catenária dois braços rígidos, sendo

que um destes seria perto do solo, arbitrou-se que o máximo comprimento seria 1,5 m.



85

• Flecha no topo do poste [cm], para P = 10 kN

Tabela 33 – Deflexão para a configuração 9, para um P = 10 kN, em função de b1, b2, h1 e h2

h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 13,81 13,81 13,81 13,81 13,82 13,82

0,60 13,72 13,73 13,73 13,73 13,74 13,74

0,70 13,64 13,64 13,65 13,65 13,65 13,66

0,80 13,55 13,56 13,57 13,57 13,58 13,58

0,90 13,47 13,48 13,48 13,49 13,50 13,50

1,00 13,39 13,40 13,40 13,41 13,42 13,42

1,10 13,30 13,31 13,32 13,33 13,34 13,35

1,20 13,22 13,23 13,24 13,25 13,26 13,27

1,30 13,14 13,15 13,16 13,17 13,18 13,19

1,40 13,05 13,07 13,08 13,09 13,10 13,12

1,50 12,97 12,99 13,00 13,01 13,03 13,04

• Razão entre a flecha e a altura [%], para P = 10 kN

Tabela 34 –Razão entre a flecha e a altura para a configuração 9, para um P = 10 kN, em função de b1, b2, h1 e h2

h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 1,45 1,45 1,45 1,45 1,45 1,45

0,60 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44

0,70 1,43 1,43 1,43 1,43 1,43 1,43

0,80 1,42 1,42 1,42 1,42 1,42 1,42

0,90 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41

1,00 1,40 1,40 1,40 1,40 1,40 1,41

1,10 1,39 1,39 1,40 1,40 1,40 1,40

1,20 1,38 1,39 1,39 1,39 1,39 1,39

1,30 1,38 1,38 1,38 1,38 1,38 1,38

1,40 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37

1,50 1,36 1,36 1,36 1,36 1,36 1,37


86



h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 13,25 13,25 13,26 13,26 13,27 13,27

0,60 13,08 13,09 13,09 13,10 13,11 13,11

0,70 12,91 12,92 12,93 12,94 12,95 12,96

0,80 12,75 12,76 12,77 12,78 12,79 12,80

0,90 12,58 12,59 12,61 12,62 12,63 12,64

1,00 12,41 12,43 12,44 12,46 12,47 12,49

1,10 12,25 12,26 12,28 12,30 12,31 12,33

1,20 12,08 12,10 12,12 12,14 12,16 12,18

1,30 11,91 11,94 11,96 11,98 12,00 12,02

1,40 11,74 11,77 11,80 11,82 11,85 11,87

1,50 11,58 11,61 11,64 11,66 11,69 11,72

,



h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 1,39 1,39 1,39 1,39 1,39 1,39

0,60 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37

0,70 1,35 1,35 1,35 1,35 1,36 1,36

0,80 1,33 1,34 1,34 1,34 1,34 1,34

0,90 1,32 1,32 1,32 1,32 1,32 1,32

1,00 1,30 1,30 1,30 1,30 1,31 1,31

1,10 1,28 1,28 1,29 1,29 1,29 1,29

1,20 1,26 1,27 1,27 1,27 1,27 1,27

1,30 1,25 1,25 1,25 1,25 1,26 1,26

1,40 1,23 1,23 1,24 1,24 1,24 1,24

1,50 1,21 1,22 1,22 1,22 1,22 1,23


87



h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 12,69 12,70 12,71 12,72 12,72 12,73

0,60 12,44 12,45 12,46 12,47 12,48 12,49

0,70 12,19 12,20 12,22 12,23 12,24 12,25

0,80 11,94 11,96 11,97 11,99 12,00 12,01

0,90 11,69 11,71 11,73 11,75 11,76 11,78

1,00 11,44 11,46 11,48 11,51 11,53 11,55

1,10 11,19 11,22 11,24 11,27 11,29 11,31

1,20 10,94 10,97 11,00 11,03 11,06 11,08

1,30 10,69 10,72 10,76 10,79 10,82 10,85

1,40 10,44 10,48 10,52 10,55 10,59 10,62

1,50 10,18 10,23 10,27 10,32 10,36 10,39



h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 1,33 1,33 1,33 1,33 1,33 1,33

0,60 1,30 1,30 1,30 1,31 1,31 1,31

0,70 1,28 1,28 1,28 1,28 1,28 1,28

0,80 1,25 1,25 1,25 1,26 1,26 1,26

0,90 1,22 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23

1,00 1,20 1,20 1,20 1,20 1,21 1,21

1,10 1,17 1,17 1,18 1,18 1,18 1,18

1,20 1,15 1,15 1,15 1,15 1,16 1,16

1,30 1,12 1,12 1,13 1,13 1,13 1,14

1,40 1,09 1,10 1,10 1,11 1,11 1,11

1,50 1,07 1,07 1,08 1,08 1,08 1,09


88



h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 12,14 12,15 12,16 12,17 12,18 12,19

0,60 11,80 11,81 11,83 11,84 11,85 11,87

0,70 11,47 11,48 11,50 11,52 11,53 11,55

0,80 11,13 11,15 11,17 11,19 11,21 11,23

0,90 10,80 10,82 10,85 10,87 10,90 10,92

1,00 10,46 10,49 10,52 10,55 10,58 10,61

1,10 10,13 10,17 10,20 10,23 10,27 10,30

1,20 9,79 9,84 9,88 9,92 9,95 9,99

1,30 9,46 9,51 9,56 9,60 9,64 9,68

1,40 9,13 9,18 9,23 9,28 9,33 9,38

1,50 8,79 8,85 8,91 8,97 9,02 9,07



h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 1,27 1,27 1,27 1,27 1,28 1,28

0,60 1,24 1,24 1,24 1,24 1,24 1,24

0,70 1,20 1,20 1,20 1,21 1,21 1,21

0,80 1,17 1,17 1,17 1,17 1,17 1,18

0,90 1,13 1,13 1,14 1,14 1,14 1,14

1,00 1,10 1,10 1,10 1,11 1,11 1,11

1,10 1,06 1,06 1,07 1,07 1,08 1,08

1,20 1,03 1,03 1,03 1,04 1,04 1,05

1,30 0,99 1,00 1,00 1,01 1,01 1,01

1,40 0,96 0,96 0,97 0,97 0,98 0,98

1,50 0,92 0,93 0,93 0,94 0,94 0,95


89



h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de b

1)

[m]

0,50 11,58 11,59 11,60 11,62 11,63 11,64

0,60 11,16 11,18 11,19 11,21 11,23 11,24

0,70 10,74 10,76 10,78 10,80 10,82 10,84

0,80 10,32 10,35 10,38 10,40 10,43 10,45

0,90 9,91 9,94 9,97 10,00 10,03 10,06

1,00 9,49 9,53 9,57 9,60 9,64 9,67

1,10 9,07 9,12 9,16 9,20 9,24 9,28

1,20 8,65 8,71 8,76 8,81 8,85 8,90

1,30 8,23 8,30 8,35 8,41 8,46 8,51

1,40 7,82 7,89 7,95 8,01 8,07 8,13

1,50 7,40 7,48 7,55 7,62 7,68 7,75



h1=h2 [m]

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

b1 (

b2 é

depe

nde

nte

de

b1

) [m

]

0,50 1,21 1,21 1,22 1,22 1,22 1,22

0,60 1,17 1,17 1,17 1,17 1,18 1,18

0,70 1,12 1,13 1,13 1,13 1,13 1,14

0,80 1,08 1,08 1,09 1,09 1,09 1,09

0,90 1,04 1,04 1,04 1,05 1,05 1,05

1,00 0,99 1,00 1,00 1,01 1,01 1,01

1,10 0,95 0,95 0,96 0,96 0,97 0,97

1,20 0,91 0,91 0,92 0,92 0,93 0,93

1,30 0,86 0,87 0,87 0,88 0,89 0,89

1,40 0,82 0,83 0,83 0,84 0,85 0,85

1,50 0,77 0,78 0,79 0,80 0,80 0,81


90

Para uma força de 50 kN e um braço de 1,50 m já se consegue atingir uma deflexão de 0,77% da altura do

poste de suporte de catenária. Das tabelas de dupla entrada apresentadas, pode-se concluir que se obtém

melhores resultados para alturas h menores e para comprimentos de braços maiores. Isto pode justificar-se

pelo facto de, na zona mais ativa do poste, quanto maior for o comprimento do braço e menor a altura, h1,

maior será o ângulo, θ1. O aumento deste ângulo resulta numa maior componente horizontal do pré-esforço

aplicada no topo do poste, com sentido contrário ao da força aplicada pela catenária, ou seja, maior será a

influência da deformação provocada pela componente horizontal. Por outro lado, quanto maior for o braço,

maior será a excentricidade relativa à componente vertical do pré-esforço na secção do braço, e,

consequentemente, maior será o valor do momento resultante dessa excentricidade. Este momento fará

também provocar uma deformação contrária àquela provocada pelas forças exteriores.

5.12. CONFIGURAÇÕES POSSÍVEIS

As configurações em que se conseguiu atingir o objetivo de reduzir a deflexão de 1,5% da altura para, pelo

menos, 1% da altura, foram as configurações 6 e 9.

Até este ponto, estudou-se várias configurações de pré-esforço tendo apenas em vista o objetivo que se

pretendia atingir. É agora necessário estudar o limite de resistência, combinação 2, e os estados limites

plástico e de encurvadura após a aplicação do pré-esforço.


Para a configuração 6, o mínimo pré-esforço que é necessário aplicar para se conseguir chegar ao objetivo

pretendido é 50 kN. Para este valor, é preciso um comprimento de braço de 3 m.

• Combinação 1

Tabela 43 – Esforços e Tensão de von-Mises da configuração 6 para a combinação 1

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espesura

[mm]

W

[cm3]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

σvon-Mises

[MPa]

9,55 270,00 16 771,585 164,839 16,451 47,216 -148,023 196

9,05 276,00 16 817,968 174,748 44,579 47,824 -128,314 161

8,55 282,00 16 857,645 183,224 44,689 48,345 -105,997 128

8,05 288,00 16 898,253 191,900 44,802 48,877 -83,625 97

7,55 294,00 16 939,793 200,774 44,916 49,422 -61,195 69

7,05 300,00 16 982,264 209,847 45,033 49,980 -38,708 44

6,55 306,00 16 1025,666 219,120 45,153 50,549 -16,162 22

6,05 312,00 16 1070,000 228,591 45,274 51,131 6,445 13

5,55 318,00 16 1115,266 238,261 45,398 51,725 29,113 31


91

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espesura

[mm]

W

[cm3]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

σvon-Mises

[MPa]

5,05 324,00 16 1161,463 248,131 45,525 52,331 51,844 49

4,55 330,00 16 1208,591 258,199 45,654 52,950 74,639 66

4,05 336,00 16 1256,652 268,467 45,785 53,581 97,498 81

3,55 342,00 16 1305,644 278,933 45,918 54,224 120,424 96

3,05 348,00 16 1355,568 289,599 46,054 54,879 143,417 109

2,55 354,00 16 1406,423 300,463 46,192 55,547 166,478 122

2,05 360,00 16 1458,210 311,527 46,333 56,227 189,609 133

1,55 366,00 16 1510,929 322,789 46,476 56,919 212,811 144

1,05 372,00 16 1564,580 334,251 46,621 57,623 236,086 154

0,55 378,00 16 1619,162 345,912 46,769 58,340 259,433 164

0,05 384,00 16 1669,084 356,577 46,904 58,996 280,509 171

0,00 384,60 16 1669,084 356,577 46,904 58,996 280,509 171

• Combinação 2

Tabela 44– Esforços da configuração 6 para a combinação 2

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

W

[cm3]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

9,55 270,00 16 771,585 164,839 21,386 61,381 -192,430

9,05 276,00 16 817,968 174,748 57,953 62,172 -166,809

8,55 282,00 16 857,645 183,224 58,096 62,848 -137,796

8,05 288,00 16 898,253 191,900 58,242 63,541 -108,712

7,55 294,00 16 939,793 200,774 58,391 64,249 -79,554

7,05 300,00 16 982,264 209,847 58,543 64,973 -50,320

6,55 306,00 16 1025,666 219,120 58,698 65,714 -21,010

6,05 312,00 16 1070,000 228,591 58,857 66,470 8,379

5,55 318,00 16 1115,266 238,261 59,018 67,242 37,847

5,05 324,00 16 1161,463 248,131 59,182 68,031 67,397

4,55 330,00 16 1208,591 258,199 59,350 68,835 97,030


92

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

W

[cm3]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

4,05 336,00 16 1256,652 268,467 59,520 69,655 126,747

3,55 342,00 16 1305,644 278,933 59,694 70,491 156,551

3,05 348,00 16 1355,568 289,599 59,870 71,343 186,442

2,55 354,00 16 1406,423 300,463 60,050 72,211 216,422

2,05 360,00 16 1458,210 311,527 60,233 73,095 246,492

1,55 366,00 16 1510,929 322,789 60,418 73,995 276,655

1,05 372,00 16 1564,580 334,251 60,607 74,910 306,911

0,55 378,00 16 1619,162 345,912 60,799 75,842 337,263

0,05 384,00 16 1669,084 356,577 60,975 76,694 364,662

0,00 384,60 16 1669,084 356,577 60,975 76,694 364,662

Tabela 45 – Tensões da configuração 6 para a combinação 2

Altura

[m]

σθ,Ed

[MPa]

σx,Ed+

[MPa]

σx,Ed-

[MPa]

τxθ,Ed

[MPa]

σvon-Mises

[MPa]

9,55 0,022 -244,665 254,126 3,080 254,171

9,05 0,017 -199,276 208,584 8,118 209,049

8,55 0,018 -156,074 165,263 7,956 165,828

8,05 0,018 -116,487 125,565 7,802 126,281

7,55 0,019 -80,163 89,138 7,655 90,109

7,05 0,019 -46,790 55,668 7,514 57,160

6,55 0,020 -16,090 24,878 7,379 27,960

6,05 0,021 12,182 -3,479 7,250 17,489

5,55 0,022 38,248 -29,623 7,127 40,180

5,05 0,022 62,303 -53,753 7,008 63,464

4,55 0,023 84,524 -76,043 6,895 85,353

4,05 0,024 105,070 -96,653 6,786 105,714

3,55 0,024 124,082 -115,724 6,682 124,608

3,05 0,025 141,688 -133,387 6,581 142,134


93

Altura

[m]

σθ,Ed

[MPa]

σx,Ed+

[MPa]

σx,Ed-

[MPa]

τxθ,Ed

[MPa]

σvon-Mises

[MPa]

2,55 0,026 158,006 -149,756 6,484 158,391

2,05 0,027 173,138 -164,937 6,392 173,478

1,55 0,027 187,181 -179,024 6,302 187,485

1,05 0,028 200,219 -192,105 6,216 200,495

0,55 0,029 212,333 -204,257 6,133 212,584

0,05 0,040 222,502 -214,458 6,061 222,730

0,00 0,040 222,502 -214,458 6,061 222,730

Note-se que a tensão meridional não depende nem do esforço axial, nem do esforço transverso, nem do

momento fletor. Quer isto dizer que os valores são iguais aos valores calculados para o poste sem qualquer

pré-esforço.

O limite de resistência não é verificado, pois o momento atuante é superior ao momento resistente.

O valor máximo calculado para a tensão de von-Mises é de 254 MPa, valor que é superior ao valor da tensão

de cedência, 235 MPa. O estado limite plástico também não é verificado.

Verificou-se o estado limite de encurvadura para a secção do topo do poste, pois é a secção onde a tensão

circunferencial é máxima e, analisando a Tabela 44, consegue-se perceber que a tensão circunferencial é,

de longe, a que mais influencia a tensão equivalente atuante.

(

254,126

214)

2,0

− 0,89 (254,126

214) (

0,022

202) + (

0,022

202)

1,89

+ (3,080

123)

2,0

= 1,41 (5.23)

1,41 ≥ 1 𝐾𝑂 (5.24)

O estado limite de encurvadura não verifica. Por análise da equação (5.23), percebe-se também que a

condição da tensão circunferencial também não verificaria, pois:

254,126 ≥ 214 𝐾𝑂 (5.25)


94

Verificação pelo método de Mendera:

Tabela 46 – Verificação pelo método de Mendera para a configuração 6

Altura δ(x) Nd(x) NRc(x) Md,II(x) MR(x) Nd/NRc(x) + Md,II(x)/MR(x) = < 1

9,55 0,000 61,381 2877,022 0,000 164,839 0,021 + 0,000 = 0,021

9,05 0,099 62,172 2958,575 0,363 174,748 0,021 + 0,002 = 0,023

8,55 0,180 62,848 3026,536 0,670 183,224 0,021 + 0,004 = 0,024

8,05 0,260 63,541 3094,498 0,979 191,900 0,021 + 0,005 = 0,026

7,55 0,339 64,249 3162,459 1,289 2w00,774 0,020 + 0,006 = 0,027

7,05 0,415 64,973 3230,420 1,597 209,847 0,020 + 0,008 = 0,028

6,55 0,488 65,714 3298,381 1,901 219,120 0,020 + 0,009 = 0,029

6,05 0,558 66,470 3366,342 2,199 228,591 0,020 + 0,010 = 0,029

5,55 0,624 67,242 3434,303 2,490 238,261 0,020 + 0,010 = 0,030

5,05 0,686 68,031 3502,265 2,770 248,131 0,019 + 0,011 = 0,031

4,55 0,744 68,835 3570,226 3,038 258,199 0,019 + 0,012 = 0,031

4,05 0,796 69,655 3638,187 3,292 268,467 0,019 + 0,012 = 0,031

3,55 0,843 70,491 3706,148 3,529 278,933 0,019 + 0,013 = 0,032

3,05 0,885 71,343 3774,109 3,748 289,599 0,019 + 0,013 = 0,032

2,55 0,920 72,211 3842,070 3,946 300,463 0,019 + 0,013 = 0,032

2,05 0,949 73,095 3910,031 4,122 311,527 0,019 + 0,013 = 0,032

1,55 0,972 73,995 3977,993 4,274 322,789 0,019 + 0,013 = 0,032

1,05 0,988 74,910 4045,954 4,400 334,251 0,019 + 0,013 = 0,032

0,55 0,997 75,842 4113,915 4,499 345,912 0,018 + 0,013 = 0,031

0,05 1,000 76,694 4175,080 4,563 356,577 0,018 + 0,013 = 0,031

0,00 1,000 76,694 4175,080 4,563 356,577 0,018 + 0,013 = 0,031


Na configuração 9, o mínimo pré-esforço que é necessário aplicar é de 40 kN, para um braço (o maior deles)

de 1,30 m e alturas h1 = h2 = 0,5 m.

• Combinação 1


95

Tabela 47 – Esforços e Tensão de von-Mises da configuração 9 para a combinação 1

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

W

[cm3]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

σvon-Mises

[MPa]

9,55 270,00 16 771,585 164,839 -37,345 14,330 -1,935 10

9,05 276,00 16 817,968 174,748 28,129 40,608 -47,682 62

8,55 282,00 16 857,645 183,224 28,239 41,129 -33,590 43

8,05 288,00 16 898,253 191,900 28,351 41,661 -19,442 25

7,55 294,00 16 939,793 200,774 28,466 42,206 -5,238 11

7,05 300,00 16 982,264 209,847 28,583 42,763 9,024 14

6,55 306,00 16 1025,666 219,120 28,702 43,333 23,345 26

6,05 312,00 16 1070,000 228,591 28,824 43,915 37,726 39

5,55 318,00 16 1115,266 238,261 28,948 44,509 52,169 50

5,05 324,00 16 1161,463 248,131 29,074 45,115 66,675 61

4,55 330,00 16 1208,591 258,199 29,203 45,733 81,244 70

4,05 336,00 16 1256,652 268,467 29,334 46,364 95,878 79

3,55 342,00 16 1305,644 278,933 29,468 47,007 110,578 88

3,05 348,00 16 1355,568 289,599 29,604 47,663 125,346 95

2,55 354,00 16 1406,423 300,463 29,742 48,331 140,182 103

2,05 360,00 16 1458,210 311,527 29,882 49,010 155,088 109

1,55 366,00 16 1510,929 322,789 30,025 49,703 170,065 115

1,05 372,00 16 1564,580 334,251 30,170 50,407 185,114 121

0,55 378,00 16 1619,162 345,912 67,439 26,024 238,186 149

0,05 384,00 16 1669,084 356,577 67,574 26,679 268,564 163

0,00 384,60 16 1669,084 356,577 67,574 26,679 268,564 163


96

• Combinação 2

Tabela 48 – Esforços da configuração 9 para a combinação 2

Altura

[m]

Diâmetro

[mm]

Espessura

[mm]

W

[cm3]

MRd

[kN∙m]

VEd

[kN]

NEd

[kN]

MEd

[kN∙m]

9,55 270,00 16 771,585 164,839 -48,548 18,629 -2,515

9,05 276,00 16 817,968 174,748 36,567 52,791 -61,986

8,55 282,00 16 857,645 183,224 36,710 53,467 -43,667

8,05 288,00 16 898,253 191,900 36,856 54,160 -25,275

7,55 294,00 16 939,793 200,774 37,005 54,868 -6,810

7,05 300,00 16 982,264 209,847 37,158 55,592 11,731

6,55 306,00 16 1025,666 219,120 37,313 56,333 30,348

6,05 312,00 16 1070,000 228,591 37,471 57,089 49,044

5,55 318,00 16 1115,266 238,261 37,632 57,861 67,820

5,05 324,00 16 1161,463 248,131 37,797 58,649 86,677

4,55 330,00 16 1208,591 258,199 37,964 59,454 105,617

4,05 336,00 16 1256,652 268,467 38,134 60,274 124,641

3,55 342,00 16 1305,644 278,933 38,308 61,110 143,752

3,05 348,00 16 1355,568 289,599 38,485 61,962 162,950

2,55 354,00 16 1406,423 300,463 38,664 62,830 182,237

2,05 360,00 16 1458,210 311,527 38,847 63,714 201,615

1,55 366,00 16 1510,929 322,789 39,033 64,613 221,085

1,05 372,00 16 1564,580 334,251 39,222 65,529 240,648

0,55 378,00 16 1619,162 345,912 87,671 33,831 309,642

0,05 384,00 16 1669,084 356,577 87,847 34,683 349,133

0,00 384,60 16 1669,084 356,577 87,847 34,683 349,133


97

Tabela 49 – Tensões da configuração 9 para a combinação 2

Altura

[m]

σθ,Ed

[MPa]

σx,Ed+

[MPa]

σx,Ed-

[MPa]

τxθ,Ed

[MPa]

σvon-Mises

[MPa]

9,55 0,022 -1,824 4,695 -6,993 12,986

9,05 0,017 -71,829 79,732 5,122 80,216

8,55 0,018 -47,006 54,823 5,028 55,502

8,05 0,018 -24,269 32,007 4,937 33,121

7,55 0,019 -3,414 11,078 4,851 13,897

7,05 0,019 15,741 -8,144 4,769 17,768

6,55 0,020 33,356 -25,822 4,691 34,321

6,05 0,021 49,573 -42,098 4,616 50,203

5,55 0,022 64,521 -57,100 4,544 64,989

5,05 0,022 78,313 -70,942 4,476 78,685

4,55 0,023 91,051 -83,726 4,410 91,360

4,05 0,024 102,827 -95,543 4,348 103,091

3,55 0,024 113,723 -106,478 4,288 113,953

3,05 0,025 123,813 -116,603 4,230 124,017

2,55 0,026 133,164 -125,986 4,175 133,347

2,05 0,027 141,836 -134,688 4,122 142,002

1,55 0,027 149,885 -142,763 4,071 150,037

1,05 0,028 157,359 -150,261 4,023 157,499

0,55 0,029 193,037 -189,435 8,844 193,629

0,05 0,040 210,995 -207,358 8,732 211,517

0,00 0,040 210,995 -207,358 8,732 211,517

Com esta configuração é verificado tanto o limite de resistência como o estado limite plástico.

(

210,995

214)

2,0

− 0,89 (210,995

214) (

0,040

202) + (

0,040

202)

1,89

+ (8,732

123)

2,0

= 0,98 (5.27)

0,98 ≤ 1 𝑂𝐾 (5.28)


98

Esta configuração verifica também o estado limite de encurvadura.

Verificação pelo método de Mendera:

Tabela 50 – Verificação pelo método de Mendera para a configuração 9

Altura δ(x) Nd(x) NRc(x) Md,II(x) MR(x) Nd/NRc(x) + Md,II(x)/MR(x) = < 1

9,55 0,000 23,287 2877,022 0,000 164,839 0,008 + 0,000 = 0,008

9,05 0,099 65,791 2958,575 0,384 174,748 0,022 + 0,002 = 0,024

8,55 0,180 66,467 3026,536 0,709 183,224 0,022 + 0,004 = 0,026

8,05 0,260 67,160 3094,498 1,036 191,900 0,022 + 0,005 = 0,027

7,55 0,339 67,868 3162,459 1,363 200,774 0,021 + 0,007 = 0,028

7,05 0,415 68,592 3230,420 1,688 209,847 0,021 + 0,008 = 0,029

6,55 0,488 69,333 3298,381 2,008 219,120 0,021 + 0,009 = 0,030

6,05 0,558 70,089 3366,342 2,322 228,591 0,021 + 0,010 = 0,031

5,55 0,624 70,861 3434,303 2,627 238,261 0,021 + 0,011 = 0,032

5,05 0,686 71,649 3502,265 2,921 248,131 0,020 + 0,012 = 0,032

4,55 0,744 72,454 3570,226 3,202 258,199 0,020 + 0,012 = 0,033

4,05 0,796 73,274 3638,187 3,467 268,467 0,020 + 0,013 = 0,033

3,55 0,843 74,110 3706,148 3,715 278,933 0,020 + 0,013 = 0,033

3,05 0,885 74,962 3774,109 3,943 289,599 0,020 + 0,014 = 0,033

2,55 0,920 75,830 3842,070 4,149 300,463 0,020 + 0,014 = 0,034

2,05 0,949 76,714 3910,031 4,332 311,527 0,020 + 0,014 = 0,034

1,55 0,972 77,613 3977,993 4,489 322,789 0,020 + 0,014 = 0,033

1,05 0,988 78,529 4045,954 4,618 334,251 0,019 + 0,014 = 0,033

0,55 0,997 38,673 4113,915 2,264 345,912 0,009 + 0,007 = 0,016

0,05 1,000 39,525 4175,080 2,321 356,577 0,009 + 0,007 = 0,016

0,00 1,000 39,525 4175,080 2,321 356,577 0,009 + 0,007 = 0,016


99

6 ESTUDO PARAMÉTRICO

6.1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo será feito um estudo paramétrico de possíveis soluções de projeto do poste sob análise. O

objetivo deste estudo é compreender a influência das várias variáveis relativas à geometria do poste de

suporte de catenária na flecha máxima, para a combinação 1, relacionando os resultados para o poste com

e sem cabo de pré-esforço.

De acordo com o capítulo anterior apenas a configuração 9 obteve resultados satisfatórios de deflexão,

satisfazendo simultaneamente todas as condições necessárias. Para esta configuração, o mínimo de pré-

esforço que é necessário aplicar é de 40 kN, para um braço (o maior deles) de 1,30m e alturas h1=h2=0,5m.

As características geométricas do poste de suporte de catenária, como visto anteriormente, são as seguintes:

• Altura total;

• Diâmetro de topo;

• Diâmetro de base;

• Fundação – Altura do poste que se encontra enterrada;

• Classe de aço;

• Número de lados;

• Espessura;

• e - Comprimento entre a altura do poste e a carga da catenária.

O comprimento da fundação costuma variar entre os 1,50 e os 2,00 m. A diferença entre a altura total e o

comprimento da fundação, dá a altura útil. Será esta altura útil que será considerada como uma variável.

Como os postes de suporte de catenária têm uma altura entre os 9,00 e os 15,00 m, irá considerar-se uma

altura útil entre os 9,00 e os 13,50 m. Note-se que não se irá considerar a altura útil a variar desde os 7

metros. Isto porque os postes com altura total de 9,00 m, por norma, são encastrados numa fundação em

betão através de chumbadouros, ou seja, a altura útil é igual à altura total.

A classe de aço não será considerada uma variável para no estudo paramétrico do valor da flecha porque o

módulo de elasticidade mantém-se constante para as diferentes classes. Por outras palavras, a rigidez não é

afetada pela classe de resistência e, consequentemente, o valor da flecha também não será afetado.

Os valores para os momentos fletores atuante e resistente, as tensões de von-Mises e as flechas, para o caso

sem pré-esforço e para a configuração 9 dos cabos de pré-esforço são apresentados na Tabela 51.


100

Tabela 51 – Valores de momentos atuante e resistente, tensões de von-Mises e flecha para o caso sem pré-esforço

e configuração 9

Altura

[m]

W

[cm3]

MRd

[kN∙m]

MEd

[kN∙m]

MEdC9

[kN∙m]

σvon-Mises

[MPa]

σvon-MisesC9

[MPa]

Flecha

[cm]

FlechaC9

[cm]

9,55 771,585 164,839 0,000 -1,935 0 10 14,36 9,46

9,05 817,968 174,748 9,838 -47,682 14 62 12,91 8,72

8,55 857,645 183,224 23,930 -33,590 29 43 11,71 8,08

8,05 898,253 191,900 38,078 -19,442 43 25 10,54 7,41

7,55 939,793 200,774 52,282 -5,238 56 11 9,39 6,71

7,05 982,264 209,847 66,544 9,024 68 14 8,28 6,02

6,55 1025,666 219,120 80,865 23,345 79 26 7,22 5,33

6,05 1070,000 228,591 95,246 37,726 89 39 6,21 4,65

5,55 1115,266 238,261 109,689 52,169 99 50 5,27 4,00

5,05 1161,463 248,131 124,195 66,675 107 61 4,39 3,37

4,55 1208,591 258,199 138,764 81,244 115 70 3,58 2,79

4,05 1256,652 268,467 153,398 95,878 123 79 2,85 2,25

3,55 1305,644 278,933 168,098 110,578 129 88 2,19 1,76

3,05 1355,568 289,599 182,866 125,346 135 95 1,62 1,32

2,55 1406,423 300,463 197,702 140,182 141 103 1,13 0,94

2,05 1458,210 311,527 212,608 155,088 146 109 0,73 0,61

1,55 1510,929 322,789 227,585 170,065 151 115 0,41 0,36

1,05 1564,580 334,251 242,634 185,114 156 121 0,18 0,17

0,55 1619,162 345,912 257,756 238,186 160 149 0,04 0,04

0,05 1669,084 356,577 271,429 268,564 163 163 0,00 0,00

0,00 1669,084 356,577 271,429 268,564 163 163 0,00 0,00


101

6.2. CASO SEM PRÉ-ESFORÇO

Para o caso sem pré-esforço, sintetizou-se nas Tabelas 52 a 59 algumas características dos postes

condicionadas pelo dimensionamento elegido de algumas variáveis.

Tabela 52 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo e diâmetro de base [cm]

Diâmetro de topo [m]

200 225 250 275 300 325 350

Diâ

me

tro d

e b

ase

[m

]

300 37,46 33,12 29,55 26,58 24,06 - -

325 31,53 27,97 25,05 22,60 20,52 18,73 -

350 26,84 23,89 21,45 19,41 17,67 16,17 14,87

375 23,07 20,60 18,55 16,82 15,35 14,08 12,98

400 20,01 17,91 16,17 14,70 13,44 12,36 11,41

425 17,49 15,69 14,20 12,94 11,85 10,92 10,10

450 15,39 13,84 12,55 11,46 10,52 9,70 8,99

475 13,63 12,28 11,16 10,20 9,38 8,67 8,05

500 12,14 10,96 9,98 9,14 8,42 7,79 7,24

Tabela 53 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função do diâmetro de topo e diâmetro de base [%]


200 225 250 275 300 325 350

Diâ

me

tro d

e b

ase

[m

]

300 3,92 3,47 3,09 2,78 2,52 - -

325 3,30 2,93 2,62 2,37 2,15 1,96 -

350 2,81 2,50 2,25 2,03 1,85 1,69 1,56

375 2,42 2,16 1,94 1,76 1,61 1,47 1,36

400 2,10 1,88 1,69 1,54 1,41 1,29 1,19

425 1,83 1,64 1,49 1,35 1,24 1,14 1,06

450 1,61 1,45 1,31 1,20 1,10 1,02 0,94

475 1,43 1,29 1,17 1,07 0,98 0,91 0,84

500 1,27 1,15 1,04 0,96 0,88 0,82 0,76


102

Tabela 54 – Variação da flecha em função da altura útil e do “e” [cm]

Altura útil [m]

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 13,50

e [m

]

0,20 12,18 16,59 21,96 28,38 35,96 40,22

0,25 12,06 16,45 21,79 28,19 35,74 39,97

0,30 11,95 16,31 21,62 27,99 35,51 39,73

Tabela 55 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função da altura útil e do “e” [%]

Altura útil [m]

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 13,50

e [m

]

0,20 1,28 1,74 2,30 2,97 3,77 4,21

0,25 1,26 1,72 2,28 2,95 3,74 4,19

0,30 1,25 1,71 2,26 2,93 3,72 4,16

Tabela 56 – Variação da flecha em função da espessura da secção transversal [cm]

Espessura 6 8 10 12 14 16 18 20

Flecha 35,08 26,77 21,79 18,48 16,13 14,36 13,00 11,91

Tabela 57 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função da espessura da secção transversal [%]

Espessura 6 8 10 12 14 16 18 20

Variação 3,67 2,80 2,28 1,94 1,69 1,50 1,36 1,25

Tabela 58 – Variação da flecha em função do nº de lados da secção transversal [cm]

Nº de lados Circular 6 8 12 16 18

Flecha 15,85 13,07 14,36 15,28 15,60 15,72

Tabela 59 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função do nº de lados da secção transversal [%]


Variação 1,66 1,37 1,50 1,60 1,63 1,65


103

Analisando as tabelas acima, pode-se concluir que:

• à medida que se aumenta o diâmetro, tanto o do topo como o da base, consegue-se alcançar

menores valores de flecha. Conclusão que seria de se esperar pois com maiores diâmetros,

consegue-se maiores inércias. (Tabelas 52 e 53);

• o valor da flecha será tanto menor, quanto menor for a altura útil e quanto maior for o

comprimento entre a altura do poste e a carga da catenária, porque para uma certa secção

transversal, uma estrutura será mais flexível quanto maior for a sua altura. No entanto, note-se

que comprimento entre a altura do poste e a carga da catenária tem uma influência residual na

variação dos valores da flecha. (Tabelas 54 e 55);

• quanto maior for a espessura da secção transversal, menor será o valor da flecha. Isto justifica-

se porque quanto maior for a espessura, mais rígida será a estrutura. (Tabelas 56 e 57);

• o caso mais gravoso na variação dos valores da flecha em função do nº de lados da secção

transversal será a secção transversal circular, e o menos gravoso será o polígono de 6 lados.

Isto deve-se ao facto de a inércia diminuir à medida que o número de lados aumenta. Conforme

se varia o número de lados desde 6 até 18, a secção transversal aproxima-se de um circulo,

então como seria de esperar, o comportamento da secção de 18 lados é o mais próximo do

comportamento da secção circular. (Tabelas 58 e 59);

• a maior variação da razão entre a flecha e a altura é conseguida fazendo variar os diâmetros de

topo e de base, sendo que o menor valor desta variação dá-se para os maiores diâmetros.

(Tabela 53)

6.3. CONFIGURAÇÃO 9 COM PRÉ-ESFORÇO

Para o caso com pré-esforço correspondente à configuração 9, sintetizou-se nas Tabelas 60 a 67, de forma

semelhante ao caso sem pré-esforço, algumas características dos postes condicionadas pelo

dimensionamento elegido de algumas variáveis.


104

Tabela 60 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo e diâmetro de base [cm]


200 225 250 275 300 325 350

Diâ

me

tro d

e b

ase

[m

]

300 24,91 22,39 20,24 18,40 16,81 - -

325 20,67 18,67 16,95 15,47 14,18 13,05 -

350 17,35 15,74 14,35 13,14 12,08 11,15 10,33

375 14,72 13,40 12,26 11,27 10,39 9,62 8,93

400 12,60 11,51 10,57 9,74 9,01 8,36 7,78

425 10,86 9,97 9,18 8,48 7,87 7,32 6,83

450 9,44 8,69 8,02 7,43 6,91 6,44 6,02

475 8,25 7,62 7,06 6,56 6,11 5,71 5,34

500 7,26 6,72 6,24 5,81 5,43 5,08 4,77

Tabela 61 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função do diâmetro de topo e diâmetro de base [%]


200 225 250 275 300 325 350

Diâ

me

tro d

e b

ase

[m

]

300 2,61 2,34 2,12 1,93 1,76 - -

325 2,16 1,95 1,77 1,62 1,48 1,37 -

350 1,82 1,65 1,50 1,38 1,27 1,17 1,08

375 1,54 1,40 1,28 1,18 1,09 1,01 0,94

400 1,32 1,21 1,11 1,02 0,94 0,88 0,81

425 1,14 1,04 0,96 0,89 0,82 0,77 0,71

450 0,99 0,91 0,84 0,78 0,72 0,67 0,63

475 0,86 0,80 0,74 0,69 0,64 0,60 0,56

500 0,76 0,70 0,65 0,61 0,57 0,53 0,50


105

Tabela 62 – Variação da flecha em função da altura útil e do “e” [cm]

Altura útil [m]

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 13,50

e [m

]

0,20 7,79 11,20 15,47 20,69 26,97 30,54

0,25 7,68 11,06 15,30 20,50 26,74 30,29

0,30 7,56 10,92 15,14 20,30 26,52 30,05

Tabela 63 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função da altura útil e do “e” [%]

Altura útil [m]

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 13,50

e [m

]

0,20 0,82 1,17 1,62 2,17 2,82 3,20

0,25 0,80 1,16 1,60 2,15 2,80 3,17

0,30 0,79 1,14 1,58 2,13 2,78 3,15

Tabela 64 – Variação da flecha em função da espessura da secção transversal [cm]

Espessura 6 8 10 12 14 16 18

Flecha 23,16 17,66 14,37 12,19 10,63 9,46 8,56

Tabela 65 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função da espessura da secção transversal [%]

Espessura 6 8 10 12 14 16 18

Variação 2,42 1,85 1,51 1,28 1,11 0,99 0,90

Tabela 66 – Variação da flecha em função do nº de lados da secção transversal [cm]


Flecha 10,40 8,61 9,46 10,07 10,28 10,36

Tabela 67 – Variação da razão entre a flecha e a altura em função do nº de lados da secção transversal [%]


Variação 1,09 0,90 0,99 1,05 1,08 1,08


106

No caso da configuração 9, as conclusões obtidas a partir das tabelas analisadas são semelhantes às

conclusões alcançadas no caso sem pré-esforço.

6.4. COMPARAÇÃO GRÁFICA

Fig. 51 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo e diâmetro de base para o caso sem pré-esforço

Fig. 52 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo e diâmetro de base para a configuração 9

200

250

300

350

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

300 325 350 375 400 425 450 475 500

Diâ

me

tro

s d

e t

op

o [

mm

]

Fle

cha

[cm

]

Diâmetros de base [mm]

0,00-10,00 10,00-20,00 20,00-30,00 30,00-40,00

200

250

300

350

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

300 325 350 375 400 425 450 475 500

Diâ

me

tro

s d

e t

op

o [

mm

]

Fle

hca

[cm

]

Diâmetros de base [mm]

0,00-10,00 10,00-20,00 20,00-30,00 30,00-40,00


107

Fig. 53 – Variação da flecha em função do diâmetro de base para os diâmetros de topo 200 e 350 mm

Fig. 54 – Variação da flecha em função do diâmetro de topo para os diâmetros de base 300 e 500 mm

Nas Fig. 51 e 52 são representados os gráficos 3D que traduzem, respetivamente, as Tabelas 52 e 60. Pode-

se observar nas figuras que existe uma descontinuidade nas superfícies representadas. Esta descontinuidade

é consequência da ausência de valores na tabela que não teriam significado estrutural. Dado que esta

descontinuidade torna a interpretação do gráfico mais complicada, são apresentadas nas Fig. 53 e 54, as

variações dos valores da flecha em função do diâmetro de base ou do diâmetro de topo, para os diâmetros

de base ou diâmetros de topo extremos.

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

300 350 400 450 500

Fle

cha

[cm

]

Diâmetro de base[mm]

200

350

200

350

C9

C9

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

200 250 300 350

Fle

cha

[cm

]

Diâmetro de topo [mm]

300

500

300

500

C9

C9


108

Fig. 55 – Variação da flecha em função da altura útil e do “e” para o caso sem pré-esforço

Fig. 56 – Variação da flecha em função da altura útil e do “e” para a configuração 9

0,20

0,25

0,300,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

9,0010,00

11,0012,00

13,0013,50

e [

m]

Fle

cha

[cm

]

Altura útil [m]

0,00-10,00 10,00-20,00 20,00-30,00 30,00-40,00 40,00-50,00

0,20

0,25

0,300,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

9,0010,00

11,0012,00

13,0013,50

e [

m]

Fle

cha

[cm

]

Altura útil [m]

0,00-10,00 10,00-20,00 20,00-30,00 30,00-40,00 40,00-50,00


109

Fig. 57 – Variação da flecha em função da altura útil para um e = 0,30 m

Tendo em conta que se concluiu que a influência da variação do comprimento entre a altura do poste e a

altura da carga era residual, de forma a complementar as Fig. 55 e 56 e a fornecer uma interpretação mais

clara destas, desenvolveu-se a Fig. 57. Esta figura representa a variação da flecha em função da altura útil,

fixando o comprimento entre a altura do poste e a altura da carga em 0,30 m, comprimento máximo.

Fig. 58 – Variação da flecha em função da espessura da secção transversal

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00

Fle

cha

[cm

]

Altura útil [m]

0,30

0,30C9

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

6 11 16 21

Fle

cha

[cm

]

Espessura [mm]

Sem Pré-esforço

Configuração 9


110

Fig. 59 – Variação da flecha em função do nº de lados da secção transversal

Na Fig. 59, optou-se por apenas se representar um gráfico de dispersão sem linhas suaves como no resto

dos casos, porque o intervalo de variação do nº de lados de uma secção transversal é discreto e não contínuo,

ou seja, é irreal ter valores de flecha para um caso em que o número de lados seja, por exemplo, 9.

Pela análise das figuras acima pode-se concluir que:

• à exceção do caso da variação dos valores da flecha em função do nº de lados da secção

transversal, a configuração 9 tende a obter menores variações que a do caso sem pré-esforço;

• no caso da variação de valores da flecha em função dos diâmetros de topo e base, a maior

variação é conseguida fazendo-se variar o diâmetro de base para um diâmetro de topo mínimo,

200 mm, e o máximo dessa variação é obtido para o maior diâmetro de base, 500 mm. (Fig. 53

e 54);

• de todos os casos, a variável que mais influência a variação dos valores da flecha é a altura

útil;

• a aplicação de cabos de pré-tensão tem maior influência nos valores da flecha, em postes que

tenham uma maior inclinação do fuste e altura útil mínima.

De forma a complementar e a confirmar as conclusões tiradas, apresentam-se ainda as seguintes tabelas que

representam a variação entre o caso sem pré-esforço e a configuração 9.

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

-2 3 8 13 18

Fle

cha

[cm

]

Nº de lados

Sem Pré-esforço

Configuração 9


111

Tabela 68 – Variação entre as Tabelas 51 e 59 [%]


200 225 250 275 300 325 350

Diâ

me

tro d

e b

ase

[m

]

300 50% 48% 46% 44% 43% - -

325 53% 50% 48% 46% 45% 44% -

350 55% 52% 50% 48% 46% 45% 44%

375 57% 54% 51% 49% 48% 46% 45%

400 59% 56% 53% 51% 49% 48% 47%

425 61% 57% 55% 53% 51% 49% 48%

450 63% 59% 56% 54% 52% 51% 49%

475 65% 61% 58% 56% 54% 52% 51%

500 67% 63% 60% 57% 55% 53% 52%


Altura útil [m]

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 13,50

e [m

]

0,20 56% 48% 42% 37% 33% 32%

0,25 57% 49% 42% 38% 34% 32%

0,30 58% 49% 43% 38% 34% 32%


Espessura 6 8 10 12 14 16 18

Variação 51% 52% 52% 52% 52% 52% 52%



Variação 52% 52% 52% 52% 52% 52%

Estas tabelas finais validam o concluído anteriormente.

Através da análise das Tabelas 68 e 69 observam-se maiores variações para os dados de variáveis

correspondentes nos cantos inferiores esquerdos. Estes máximos traduzem as maiores variações entre o caso


112

sem pré-esforço e a configuração 9. No caso da Tabela 68, à maior variação corresponde um diâmetro de

topo de 200 mm e um diâmetro de base de 500 mm, ou seja, à maior variação entre os dois casos,

corresponde a maior inclinação do fuste. No caso da Tabela 69 à maior variação corresponde a menor altura

útil e o maior valor de “e”.

As Tabelas 70 e 71 demonstram que a espessura da secção transversal e o seu número de lados não possuem

influência na variação entre o caso sem e com pré-esforço.

A partir de custos unitários de referência, fornecíeis pela empresa, facilmente se realizariam tabelas de

custos totais de soluções destes postes, para as variabilidades dimensionais consideradas.


113

7 CONCLUSÕES E TRABALHOS

FUTUROS

7.1. CONCLUSÕES

Com esta dissertação pretendeu-se estudar a viabilidade estrutural da aplicação de cabos de pré-tensão em

postes tubulares metálicos, com o objetivo de se otimizar estas estruturas diminuindo a sua espessura.

Considerando que as normas EN 50341-1 e BS EN 50119 são normas especificas para o tipo de estruturas

estudado, optou-se por utilizar certos valores extraídos destas normas em detrimento de valores do

Eurocódigo.

Para o cálculo necessário ao desenvolvimento desta dissertação foi desenvolvida uma folha de cálculo em

Excel com programação em Visual Basic que, com a introdução das características geométricas e de

localização do poste, fornece os esforços, as tensões e deflexão, para o poste sem pré-esforço e com as

diferentes configurações de cabos. Esta folha de cálculo tornou-se muito útil pela facilidade com que

permitiu estudar vários casos de configurações, valores de pré-esforço e características geométricas dos

postes.

A ideia inicial a ser estudada seria uma configuração de cabos que fosse interior ao poste, de forma a obter-

se uma solução otimizada e que ao mesmo tempo tivesse um aspeto estético semelhante ao do poste de

suporte de catenária tradicional. Com o estudo de quatro configurações diferentes concluiu-se que a

aplicação de um cabo de pré-esforço no interior do fuste do poste tinha uma influência residual na sua

deformada. Esta conclusão é consequência da esbeltez da estrutura. Sendo a estrutura muito esbelta, não se

consegue um ângulo suficientemente grande entre o cabo e um plano vertical que resulte numa componente

horizontal devido ao pré-esforço considerável.

Após o estudo das configurações com cabo no interior do fuste, optou-se por adicionar à estrutura base um

braço rígido de maneira a que o ângulo entre o cabo e um plano vertical aumentasse. Destas configurações

conclui-se que o braço rígido a adicionar teria que ser disposto no lado oposto à catenária, pois a variação

dos momentos causados pela excentricidade da componente vertical do pré-esforço em função do

comprimento do braço é mais acentuada que a variação da componente horizontal do pré-esforço em função

do comprimento do braço.


114

Por fim, em termos de configurações de cabos de pré-esforço considerou-se uma configuração em que o

cabo é exclusivamente externo. Esta configuração provou ser aquela com melhores resultado e a única que

verificou todas as exigências.

Com o objetivo de adquirir alguma sensibilidade e de estudar a variação entre o caso sem pré-esforço e a

configuração estruturalmente viável, procedeu-se a um estudo paramétrico. Este estudo paramétrico

permitiu concluir que os valores da flecha para o caso sem pré-esforço e a configuração 9 variam de forma

semelhante, sendo que se obtém menores valores para as seguintes situações:

• maior diâmetro de base e maior diâmetro de topo;

• menor altura útil e maior comprimento entre a altura do poste e a carga da catenária;

• maior espessura da secção transversal;

• menor número de lados da secção transversal.

Por outro lado, comparando entre si o caso sem pré-esforço e a configuração 9, foi possível concluir que a

variação entre estes dois casos não depende da espessura ou do número de lados da secção transversal. No

entanto, quanto maior for a inclinação do fuste, menor a altura útil e maior o comprimento entre a altura do

poste e a carga da catenária, maior será a variação da razão entre a flecha e a altura.

7.2. TRABALHOS FUTUROS

Após as conclusões conseguidas com o desenvolvimento desta dissertação e de algumas questões que

surgiram durante o seu desenvolvimento, a título de contribuição de estudos posteriores, sugerem-se alguns

trabalhos futuros:

• Validação dos resultados obtidos por análise numérica através de ensaios à escala real;

• Estudo da viabilidade económica da configuração que verificou todos os requisitos;

• Estudo mais aprofundado das possíveis diferenças comportamentais de secções de classe 3 e

de classe 4;

• Estudo de métodos de aplicação de pré-esforço para este tipo de estruturas, a partir da

utilização de talhas conforme a Fig. 60 e 61;


115

Fig. 60 a) – Talhas rápidas “Jaguar” Série 630

Fig. 60 b) – Talhas rápidas “Jaguar” Série 630

• Estudo da aplicação de cabos de pré-tensão noutros tipo de postes tubulares metálicos e em

mastros de maiores dimensões;

• Seguindo a temática da otimização dos transportes ferroviários, sugere-se o estudo da

otimização de outras estruturas ou elementos estruturais constituintes da via férrea e suas

estruturas envolventes.


116


117

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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regulamentacao/normalizacao/ct-115-eurocodigos-estruturais/. 2017 [cited 2017. 5. American Institute of Steel Construction, I., Structural Steel Detailing. 1971. 6. NP-EN-1993-1-1, Eurocódigo 3: Projecto de estruturas de aço - Parte 1-1: Regras gerais e regras

para edifícios. Comité Europeu de Normalização (CEN): Bruxelas, 2010. 7. Inovação, M.d.E.e.d., Decreto-Lei nº 28/2007. Diário da República, 2007. 8. prEN-10138-1, Prestressing steels - Part 1: General requirements. European Committee for

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14. Picard, A., B. Massicotte, and J. Bastien, Relative efficiency of external prestressing. Journal of structural engineering, 1995. 121(12): p. 1832-1841.

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