b) Variáveis Aleatórias Contínuas - vac.pdfSeja X a variável aleatória quantidade diária...
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b) Variáveis Aleatórias Contínuas Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar Disciplina: 221171 1
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b) Variáveis Aleatórias
Contínuas
Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros
DTAiSeR-Ar
Disciplina: 221171
1
Uma variável aleatória é contínua (v.a.c.) se seu conjunto de valores é
qualquer intervalo dos números reais, isto é, um conjunto não
enumerável.
Exemplos:
altura de um adulto;
custo do sinistro de um carro;
temperatura mínima diária;
saldo em aplicações financeiras;
ganho de peso após dieta;
distância percorrida;
Comprimento de uma folha, etc...
2
Função densidade de probabilidade
Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função
densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória contínua X, se
satisfaz duas condições:
1) f(x) 0, para todo x (– , );
2) A área definida por f(x) é igual a 1, ou seja:
1)( dxxf
3
Exemplo 1
Arqueólogos estudaram uma certa região e mediram o comprimento de fósseis
encontrados (em cm). Seja C a v.a.c. comprimento de fósseis, cuja sua função é
dada como:
.,0
;200,40040
1
)(
contráriocaso
csec
cf
4
a) f(c) é uma função densidade de probabilidade?
b) Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso nessa região,
apresentar comprimento inferior a 8 cm?
Função de distribuição acumulada
Dada uma v.a.c. X com função densidade de probabilidade f(x), podemos
definir a sua função de distribuição acumulada, F(x), como:
x
dttfxXPxF )()()(
5
Exemplo 1
Considere o exemplo anterior, cuja função densidade de probabilidade é dada por:
Obtenha a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.
.,0
;200,40040
1
)(
contráriocaso
csec
cf
Valor esperado ()
Dada a variável aleatória X contínua, com função densidade dada por f(x),
chamamos de valor médio ou esperança matemática de X ao valor:
Variância (2)
A variância da variável aleatória X contínua, com f.d.p. f(x), é definida por:
O desvio padrão () de X é definido como a
raiz quadrada da variância.
dxxfxXE )()(
2222 )()()(
XEdxxfx
6
Mediana (MdX) A mediana de uma v.a. X contínua, com f.d.p. f(x), é o valor que satisfaz
às seguintes condições:
Ou
Percentil:
P100p é o valor de t tal que: F(t) = p
MdX = P50 é o valor de t tal que: F(t) = 0,50
2
1)(
2
1)( XX MdXPeMdXP
7
Moda
A moda é valor da variável que tem maior probabilidade de ocorrência
)(max)( xfMoXPX
Exercício 1
Suponha que a função f(x) possa ser utilizada como um modelo teórico para
representar as densidades de frequência para a variável X (rendimento mensal).
10,0
100,02,02,0
0,0
)(
xpara
xparax
xpara
xf
1) Faça o gráfico desta função.
8
2) Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.).
3) Qual é a probabilidade esperada da população com rendimento mensal entre 3 e 5 salários
mínimos?
4) Qual é a probabilidade esperada da população com rendimento mensal maior do que 10
salários mínimos?
5) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.
6) Calcule o valor médio de X ( = E(X)).
7) Calcule E(X2) e obtenha a variância e o desvio padrão da v.a.c. X.
8) Calcule a mediana.
Tarefa 1
Seja X a variável aleatória quantidade diária vendida de arroz em um
supermercado, em centenas de quilos (x = 1 equivale a 100kg), com função
densidade de probabilidade dada por:
30
31,13
1
10,3
2
0,0
)(
xse
xsex
xsex
xse
xf
a) Faça o gráfico desta função
b) Verifique se f(x) é uma f.d.p.
c) Calcular a probabilidade de, em um dia escolhido ao acaso, se vender entre 50 e
200kg.
d) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.
e) Calcule o valor médio de X ( = E(X)).
f) A variância e o desvio padrão de X. 9
10
plot(c(-1,4), c(0,1), type="n")
curve(0*x , -1, 0, col="blue", lwd=4, add=T)
curve(2/3*x , 0, 1, col="red", lwd=4, add=T)
curve(-1/3*x+1, 1, 3, col="darkgreen“, lwd=4, add=T)
curve(0*x , 3, 4, col="purple", lwd=4, add=T)
abline(v=1, lty=2)
Para conferir: Tarefa 1
No software R:
Tarefa 2
Suponha que a função f(x) possa ser utilizada como um modelo teórico para
representar as densidades de frequência para a variável:
X= rendimento mensal:
0
10,0
10,3,006,0003,0
0,0
)( 2
xpara
xparaxx
xpara
xf
a) Faça o gráfico desta função
b) Verifique se f(x) é uma f.d.p.
Supondo este modelo, calcular as probabilidades esperadas da população com
rendimento mensal:
b.1) Entre 5 e 10 salários mínimos;
b.2) Entre 0 e 10 salários mínimos;
b.3) Mais do que 10.
c) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.
d) Calcule o valor médio de X ( = E(X)). e) Calcule E(X2).
f) A variância e o desvio padrão de X. g) Calcule a mediana;
h) Calcule o CV. 11
“Não se preocupe muito com as suas dificuldades em
Matemática, posso assegurar-lhe que as minhas são
ainda maiores”.
(Albert Einstein)
Principais modelos contínuos
Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência em situações
práticas. Em geral nesses casos, a distribuição de probabilidade pode
ser escrita de uma maneira mais compacta, isto é, existe uma lei
para atribuir as probabilidades.
Para caracterizar completamente uma v.a.c., precisamos fornecer sua
função densidade de probabilidade, segundo sua definição, é :
_ uma função positiva; e
_ com integral igual a 1.
13
Modelos Contínuos
a) Distribuição uniforme contínuo
b) Distribuição Exponencial
c) Distribuição Normal
14
15
a) Distribuição Uniforme
Contínua
a) Modelo uniforme contínuo
Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua no intervalo [a,b] ,
a < b, se sua função densidade de probabilidade é dada por:
Var(X) = E(X) =
Notação: X ~ Uc[a, b]
Tarefa 3: Demonstre a fórmula da Var(X).
contráriocaso
bxaabxf
,0
1
)(
16
Função densidade de
probabilidade
Função de distribuição
acumulada
0 , se x < a
F(x) = x – a , se a x < b
b – a
1 , se x b
A função de distribuição pode ser
calculada através da integral da densidade.
A expressão resultante é dada por:
OBS: Devido à natureza contínua da variável, não faz diferença na
definição do modelo se o intervalo de valores for aberto ou semi-aberto.
Tarefa 4: Verifique que a expressão da
densidade do modelo Uc[a,b] satisfaz
as propriedades de densidade.
17
1333,0)20( XP
Exemplo 1:
A distância percorrida pela água do hidrômetro
até a caixa é de 15m. Qual a probabilidade que
exista um vazamento até 2m do tubo?
18
Resposta:
19
b) Distribuição Exponencial
b) Modelo Exponencial
Utilizado para descrever variáveis como, vida útil de equipamentos, tempos de
falha e tempos de sobrevivência de espécies.
Uma v.a. contínua X, assumindo valores positivos, segue o modelo Exponencial
com parâmetro > 0 se sua densidade é:
Notação: X ~ Exp()
E(X) = Var(X) = 2
O parâmetro indica a taxa de
ocorrência por unidade de medida, que
pode ser tempo, distância, volume, etc.
Cuidado com a
parametrização
considerada!!!
)(.1
)( ),0( xIexf
x
20
Tarefa 5: Verifique que a expressão da
densidade do modelo exponencial
satisfaz as propriedades de f.d.p.
Função densidade de
probabilidade
Função de distribuição
acumulada F(x) = 1 – e–x/. I(0,)(x)
Para calcular probabilidades com a Exponencial, precisamos resolver a integral,
pois não teremos as figuras geométricas simples do exemplo anterior. Assim,
21
1/
Exemplo 1:
Um fusível te duração de vida média de 100h.
Qual a probabilidade de durar mais de 150horas?
Resposta:
22
P(X > 150) = 0,2231
23
c) Distribuição Gaussiana
ou
Normal
História:
O modelo Fundamental: “Distribuição Normal”
A distribuição Normal é também conhecida como “distribuição
Gaussiana” como homenagem a Karl F. Gauss (1777 - 1855),
brilhante matemático e físico alemão, que desenvolveu-a no início do
século XIX.
Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827), famoso
matemático e físico francês, a redescobriu na mesma época que
Gauss. Para evitar “uma questão internacional de originalidade”
o famoso estatístico inglês Karl Pearson passou a chamá-la de
distribuição “Normal” em 1920.
Entretanto, Abraham de Moivre (1667 - 1754) foi o
primeiro a anunciar a equação da distribuição em 1733
e
24
Modelo fundamental em probabilidade e inferência estatística.
Representa grande parte das variáveis aleatórias contínuas.
Alguns motivos:
a) Muitos testes e modelos estatísticos têm como pressuposição a “normalidade dos
dados”, isto é, que os dados seguem uma distribuição Normal;
b) Muitas variáveis biométricas tendem a ter distribuição Normal;
c) A distribuição das médias amostrais de uma variável aleatória qualquer tendem a ter
distribuição Normal, mesmo que a variável em si não tenha distribuição Normal.
c) Modelo Normal
Dizemos que a v.a. X tem distribuição Normal com parâmetros e 2,
se sua função densidade é dada por:
Notação: X ~ N( , 2) E(X) = Var(X) = 2
xparaexf
x
,2
1)(
2
2
2
)(
2
25
x
f(x)
26
1) f(x) tem forma de sino: unimodal e simétrica
em relação à ;
2) Não possui limite inferior ou superior:
f(x) → 0 quando x→ ;
3) O valor máximo de f(x) se dá quando x = .
Propriedades do modelo Normal
Propriedades da Distribuição Normal
4) Dois parâmetros: média () e desvio padrão ()
1 2 3
1
2
3
b) O desvio padrão () controla a
dispersão da curva ao redor da média.
1 < 2 < 3
a) A média () controla a localização do
centro da distribuição, é o ponto de simetria.
1 < 2 < 3
xparaexf
x
,2
1)(
2
2
2
)(
2
-3
-2
-
+3
+2
+
Propriedades da Distribuição Normal
5) Unidade padrões: o desvio padrão define “unidades padrões” na distribuição a
partir da média, isto é, a dispersão dos dados é controlada pelas “unidades de
desvio padrão”.
68%
95%
99,7%
28
Como calcular a probabilidade, por exemplo, de um
intervalo (a, b) qualquer de uma v.a.c. X que segue
uma distribuição normal?
b
a
x
dxebXaP2
2
2
)(
22
1)(
Muita
CALMA
nessa
hora!!!
Precisamos resolver a integral:
Esta integral só pode ser resolvida de modo aproximado.
Então essas probabilidades podem ser calculadas através do
uso de tabelas ou pelo computador.
SÓ QUE para cada valor de e 2 diferentes, obtemos uma
distribuição (função) diferente, ou seja, teremos
INFINITAS TABELAS!!!! 29
Padronização
xs
xxz
Considere X uma variável aleatória de interesse. Fazendo:
Dizemos que a variável Zx é a variável padronizada da variável X.
Consequências:
11
0
2
zz ss
z
Exemplo:
X: altura de 15 alunos (em cm)
161 165 179 182 175
162 180 175 160 170
163 171 178 163 176
a) Calcule a média e o desvio padrão desta amostra.
b) Obtenha Z e calcule a média e o desvio. 30
Calcular probabilidades no modelo Normal
Para calcular probabilidades precisamos resolver a integral:
Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se uma transformação da variável
X que conduz sempre ao cálculo de probabilidades com uma variável normal
com parâmetros (0,1), isto é, média igual a 0 e variância igual a 1.
Essa variável Z transformada terá
distribuição N(0,1) e será denominada
de distribuição Normal Padrão.
Notação: Z ~ N(0 , 1)
b
a
x
dxebXaP2
2
2
)(
22
1)(
XZ
31
Para determinar a probabilidade X [a. b], procedemos da seguinte forma:
E então olhamos na tabela e obtemos as
probabilidades da Distribuição Normal Padrão (Z)
)( bXaP
32
bZ
aP
bXaP
bXaP )(
Tabela da Normal Padrão
Como a distribuição Normal é simétrica, apresenta-se na tabela
apenas os valore de P(0 Z z). A probabilidade de estar acima
(ou abaixo) de zero é 0,5.
33
SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zc
0,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,1 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,2 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,3 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,4 0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224 0,5 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,6 0,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,7 0,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,8 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,9 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,0 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,1 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 1,2 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,3 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,4 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,5 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,6 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,7 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,8 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,9 2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,0 2,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857 2,1 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489 2,2 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,3 2,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,4 2,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,5 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,6 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,7 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981 2,8 2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,9 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,0 3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,1 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,2 3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,3 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,4 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,5 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,6 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,8 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,9 4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0
34
Corpo da tabela
dá a probabilidade
p, tal que :
p = P(0 < Z < Zc)
Tabela – Distribuição
Normal Padrão
Z ~ N(0,1)
Tabela da distribuição normal padrão (Z).
35
Exemplo 1:
Seja X ~ N(2,9), a probabilidade P(2 < X < 5) é?
0,3413
36
Exemplo 2:
Para obter P(0 X < 2), usamos a simetria da Normal
0,2486
37
A tabela também pode ser usada no sentido inverso, dado uma
probabilidade, desejamos obter o valor que a originou.
Exemplo 3: Quanto vale c tal que P(0 < Z < c) = 0,4 ?
Resposta: c = 1,28.
38
Exemplo 4:
Suponha, agora, que queremos encontrar d, tal que P(Z > d) = 0,8.
Resposta: d = – 0,84
39
40
Sabendo-se que Z ~ N(0,1), calcule:
Exercício 1
a) P(0 < Z < 2,14) =
b) P(0 < Z < 1,5) =
c) P(–3,01 < Z < 0) =
d) P(–2,17 < Z < 1,5) =
e) P(Z > 0) =
f) P(Z > –1) =
g) P(Z < 1) =
h) P(Z > 1) =
i) P(Z < –1) =
Seja X uma v.a.c. peso com média 59,6 kg e variância 16 kg2. Calcule a
probabilidade:
Exercício 2
a) P(X 70) =
b) P(50 X < 65) =
c) P(X > 68) =
SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zc
0,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,1 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,2 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,3 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,4 0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224 0,5 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,6 0,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,7 0,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,8 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,9 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,0 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,1 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 1,2 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,3 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,4 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,5 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,6 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,7 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,8 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,9 2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,0 2,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857 2,1 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489 2,2 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,3 2,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,4 2,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,5 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,6 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,7 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981 2,8 2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,9 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,0 3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,1 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,2 3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,3 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,4 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,5 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,6 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,8 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,9 4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0
41
Corpo da tabela
dá a probabilidade
p, tal que :
p = P(0 < Z < Zc)
Tabela – Distribuição
Normal Padrão
Z ~ N(0,1)
SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z
0,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,00,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,10,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,20,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,30,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,40,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224 0,50,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,60,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,70,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,80,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,91,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,01,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,11,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 1,21,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,31,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,41,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,51,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,61,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,71,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,81,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,92,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,02,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857 2,12,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489 2,22,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,32,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,42,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,52,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,62,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,72,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981 2,82,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,93,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,03,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,13,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,23,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,33,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,43,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,53,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,63,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,73,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,83,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,94,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0
Exercício 3
O peso bruto de latas de conserva é
uma v.a. normal, com média 1000g
e desvio padrão 20g.
a) Qual a probabilidade de uma
lata pesar menos de 980g?
b) Qual a probabilidade de uma
lata pesar mais de 1010g?
= 0,15866
= 0,30854 42
Exercício 4
Seja uma v.a.c. X ~ N(100, 100), calcule:
a) O valor a, tal que :
P(100 – a X 100 + a) = 0,95
b) P(X < 115)
c) P(X 80)
Resposta:
a)
b)
c)
0,93319
0,97725
a = 19,6
SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z
0,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,00,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,10,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,20,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,30,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,40,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224 0,50,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,60,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,70,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,80,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,91,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,01,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,11,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 1,21,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,31,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,41,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,51,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,61,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,71,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,81,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,92,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,02,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857 2,12,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489 2,22,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,32,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,42,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,52,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,62,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,72,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981 2,82,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,93,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,03,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,13,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,23,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,33,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,43,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,53,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,63,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,73,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,83,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,94,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0
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