B23 Area de Figuras Planas PLANA Áreas de Figuras Planas Definição: É a porão do plano ocupada...

GEOMETRIA PLANA

Aula 23 - Baiano

GEOMETRIA PLANA Áreas de Figuras Planas

Definição: É a porão do plano ocupada por uma figura plana.

r raio da circunferência inscrita R p semiperímetro l lado do triângulo equilátero

Área do Triângulo

raio da circunferência circunscrita


Exemplo 1: Dado um triângulo retângulo de catetos 5 e 12, calcule sua área.

Área do Triângulo b.hA =2

5 12

13

h

Em triângulos retângulos use os catetos como base e altura.

b.hA =2

5.12=2 = 60 u. a.


Exemplo 2: UFSC 98 | Calcule a área de um triângulo de lados 13, 14 e 15.

Área do Triângulo

13 14

15

13+14 +15p =2

42=2

= 21

A = p(p - a)(p -b)(p - c)

A = p(p - a)(p -b)(p - c)

A = 21(21-13)(21-14)(21-15)A = 21(8)(7)(6)

A = 84 u.a.


Exemplo 3: UFSC 98 | Calcule o valor da apótema de um triângulo de lados 13, 14 e 15.

Área do Triângulo

13 14

15

13+14 +15p =2

42=2

= 21

S = p.a

A = 84 u.a.a a

a S = p.a

84 = 21.aa = 4


Exemplo 4: UFSC 98 | Calcule o valor do raio circunscrito a um triângulo de lados 13, 14 e 15.

Área do Triângulo

13 14

15 A = 84 u.a.

R

O

a.b.cA = 4R

a.b.cA = 4R

13.14.1584 = 4R

336R = 2730

R = 8,125


Exemplo 5: Uma pizza de raio 20 cm foi dividida igualmente em 12 fatias (Figura abaixo ilustra uma das fatias). Qual a área da fatia que é comida, ou seja, sem a borda?

Área do Triângulo ˆa.b.senCA = 2

20cm

Área 30°

ˆa.b.senCA = 2O20.20.sen30A = 2

1400.2A = 2

200A = 22A =100 cm


Área do Triângulo Equilátero

h l l

l l/2

ll

22 2= h +

2

3h =

2l

ll 3.

2A =2

2 3A =

4l

ll

22 2= h +

4l

l2

2 2- = h4

=l 2

2 3h

4

b.hA =

2

Exemplo 6: Calcule a área de um triângulo equilátero de lado 2cm.

2 3A =

4l

22 3A =

42A = 3 cm


Área dos Quadriláteros

h

b

Paralelogramo

A = b.h

Quadrado

l l

l

l

S = l²

Retângulo

h

b

A = b.h


Área dos Quadriláteros

Trapézio Losango Trapezóide

b

B

h

(B + b).h2

A =D

d l l

l l

D.dA =2

Divida a figura em dois triângulos

Exemplo 7: MACK | A área do trapézio da figura abaixo é: a. 110 b. 116 c. 122 d. 128 e. 140


h

4

25

10 17

x 4 21 - x

h 17² = h² + (21 - x)²

17² = h² + 21² - 42x + x²

10² = h² + x² 10² - x²= h²

17² = 10² - x² + 21² - 42x + x²

17² - 10² - 21² = - 42x

-252 = - 42x

x = 6

6

8 8

15

(B + b).h2

A = (25 + 4).82

= 116=

Gabarito: b

Exemplo 7: MACK | A área do trapézio da figura abaixo é: a. 110 b. 116 c. 122 d. 128 e. 140


4

25

10 17

A = Atriângulo + Aparalelogramo

10

b.hp(p - a)(p - b)(p - c) =

2

h

21.h24(24 -10)(24 -17)(24 - 21) =

2

21.h7056 =

2

4

21.h84 =

2h = 8

A = 84 + 4.8

A = 84 + 32

A = 116

8

Gabarito: b


Área de Polígonos Regulares

a

l

l

l

l

l

S = p.a


Área de Polígonos Regulares Exemplo 8: FUVEST | Calcule a área de um pentágono regular de lado 6 cm e raio circunscrito 4 cm.

a 6 4

3

4² = 3² + a² 16 - 9 = a² a² = 7

7a =

S = p.a27 cmS =15


Área do Hexágono Regular

l

l

l

l l

l

2 3A = 6.

4l

Área de 6 triângulos equiláteros


Área do Hexágono Regular Exemplo 9: Calcule a área hachurada do hexágono regular abaixo, sabendo que seu lado vale 2 cm.

1

ˆa.b.senCA = 2

1

O.sen120A = 2l.l

1

O.sen60A = 2l.l

1

3. 2A = 2l.l

1

2 3A =

4l

2 3A = 4.

4lA1

120°

22 3A = 4.

42A = 4 3 cm


Área do Círculo

Comprimento da circunferência 2πr

r

S = p.a

S =π.r.r2S =π.r

Ae = π.a.b

2b

2a

Elipse


Área do Setor

α l

O360 - - - -πr 2

setorα - - - - Ar

A =2l.

= α.rl

O360 - - - - 2πr

setorα - - - - l


Área do Setor Exemplo 10: FUVEST | A praça de uma cidade tem o formato de um setor circular de comprimento 20 m e raio 10 m. Nesta praça será realizado um comício referente a eleição municipal da cidade. Quantas pessoas poderão assistir o comício, se cabem 4 pessoas por metro quadrado?

20 m

Praça

10 m

rA =

2l.

20.10A =

22A = 100 m

Pessoas = 100.4

Pessoas = 400


Área do Segmento Circular

ˆsegmento setor trianguloA A - A=


Área da Coroa

r R

2 2A =πR - πr

( )2 2A =π R -r


Lúnulas de Hipócrates

a² = b² + c² A1

A2

A3

A1 = A2 + A3

a b c


Lúnulas de Hipócrates Exemplo 11: UFPR | A figura abaixo representa semicircuferências de diâmetro igual aos lados do triângulo retângulo. O raio da semicicunferência maior vale 10/√π. Quanto vale a soma das áreas das semicircunferências?

10π

2

1 2π.rA =

A1

A2

A3

2

1

10π

2

π.A =

1

100π

2

π.A =

1 50 u.a.A =

A1 = A2 + A3

AS = A1 + A2 + A3

AS = 2.A1

AS = 2.50

AS = 100 u.a.

FIM

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