Balance Amen To

Prof. Braslio//Dinmica dos Sistemas 2015 - 1/9

BalanceamentoDepois de calcular esforos dinmicos, de perceber que apresentam valores

proporcionais ao quadrado das velocidades angulares, cabe uma pergunta: comoelimin-los. Afinal os esforos dinmicos no criam apenas deformaes e fadiga no eixoe mancais, produzem vibraes que transformam o sistema desbalanceado em fonte devibraes que atingem todos outros sistemas prximos.

Para responder tal pergunta se faz necessrio estabelecer que a grande maioria dosdispositivos que giram, e que so de interesse na engenharia, possuem eixo fixo. Asuposio de que se pode eliminar os esforos dinmicos de um slido, em relao aqualquer eixo que se possa imaginar, falsa, apenas uma esfera homognea tem talcaracterstica. Tambm no possvel eliminar os esforos dinmicos nos casos em queo efeito giroscpico estiver presente, por exemplo, nos casos em que o eixo de rotao forado a mudar de direo.

De posse dos teoremas TCM Teorema do Centro de Massa e TMA Teorema doMomento Angular, e analisando casos em que o slido apresente eixo fixo, pode-sedeterminar as condies para eliminar os esforos dinmicos atravs da redistribuio demassa do slido.

Condies do BalanceamentoConsidere-se a ilustrao anexa, nela est representadoum slido qualquer que apresenta um eixo vertical fixo,ao qual est ligado o sistema de eixos A (x , y , z) .Note-se que o eixo Ay coincide com o eixogeomtrico de rotao, que o vetor velocidade angulardo slido descrito por =yj , que o vetor aceleraoangular descrito por = y j e por no interferir nosesforos dinmicos de um slido balanceado, seradotado NULO.

A acelerao angular resulta de momentos axiais, ouseja, criam possveis tores no eixo fsico de rotaomas no esforos nos mancais. Diante disso, adota-sevelocidade angular constante e acelerao angular nula.

A eliminao dos esforos de origem dinmica podeser obtida com:

TCM - Teorema do Centro de Massa:

Fext .=maCM => Fext .=zero => aCM=zeroConcluso: o Centro de Massa do slido deve pertencer ao eixo geomtrico de rotao.

x

y

z

x

A


TMA Teorema do Momento Angular:

MCM= HCM ou MO= H O... vO=0 e OslidoO Momento Angular:

HO=[ I xx I xy I xzI xy I yy I yzI xz I yz I zz ][ 0y0 ]=I xyyi+I yyyjI xz ykA derivada do momento angular:

HO=yjH O=I xzy2kI yzy

2i

Impondo o TMA:

MO=I xz y2kI yzy2iNota: neste formato fica evidente que os esforos dinmicos so proporcionais aoquadrado da velocidade angular.

Eliminando os esforos dinmicos .

= MO=I xz y2kI yzy2i=zero > I xy=I yz=zeroConcluso: os produtos de inrcia que envolvem o eixo de rotao, no caso o eixo Ay,devem ser nulos.

Resumindo, as condies do balanceamento so:1) o Centro de Massa do slido balanceado deve pertencer ao eixo

geomtrico de rotao.2) os produtos de inrcia do slido balanceado, que envolvem o eixo de

rotao, devem ser nulos.

Caso especial: Balanceamento Esttico.

Considere-se slido assemelhado a um disco,ou seja, a sua espessura pode serdesconsiderada.

Nesse caso, a segunda condio dobalanceamento fica automaticamente respeitada:

I xy= xydm= xzerodm=zero

I yz= zydm= zzerodm=zero

y

z

xA

0,90

0,10

0,100,10

x

y

z

A

Bw


Desta forma basta adicionar (ou retirar) massa do slido (disco) de forma que o centro demassa do sistema disco + massa corretora, passe a ter centro de massa coincidentecom o eixo geomtrico de rotao.

Considere-se que:

a) o eixo (y) do sistema A(x,y,z) ligado ao slido, esteja na direo do eixo fixo derotao;

b) que a massa do slido a ser balanceado estaticamente seja ms ;

c) que o Centro de Massa do mesmo esteja definido por: CMCMs (xCM

s ; yCMs ; zCM

s ) ;

d) que a massa corretora seja mc e ocupe o ponto P do slido, definido por P(x , y , z) .

A primeira condio do balanceamento impe que o centro de massa do sistema pertenaao eixo geomtrico de rotao, ou seja:

xCMsist .=xCM

s ms+xmc=zero

zCMsist .=zCM

s m s+zmc=zero

Balanceamento Dinmico.Neste tipo de caso, o centro de massa no pertence

ao eixo geomtrico de rotao e os produtos de inrciarelacionados com o eixo de rotao ( I xy , I xz) no sonulos.

Nota: no caso ilustrado, o eixo geomtrico de rotao oeixo Ax.

A soluo nesses casos raramente obtida com apenasuma massa corretora, isso s acontece se o slido se assemelha a um disco, ou seja,recai no caso anterior.

Voltando ao caso do balanceamento dinmico, adotam-se dois planos corretores quealojaro duas massas corretoras, uma em cada um dos planos.

No projeto da pea a ser balanceada, tem de haver a previso dos planos corretores e oslocais de alojamento das massas corretoras.

No caso ilustrado pode-se alojar massas (ou retir-las) em dois planos:x=0,10 e x=0,80 .

Sejam m1(x1 , y1, z1) e m2(x2 , y2, z2) as massas corretoras, com suas respectivascoordenadas.

Com a escolha dos planos de correo, restam 6 (seis) incgnitas:

m1(0,10 ; y1; z1) e m2(0,80 ; y2; z2)

0,85 m

CM ysCM

A

B

x

y

z

RAz

RAy

RBy

RBz

zsCM

xCM

aCM


Como a distncia das massas corretoras ao eixo geomtrico de rotao tambm ficadefinida com a escolha dos planos corretores d=0,10m :

y12+ z1

2=0,102 eq.01

y22+ z2

2=0,102 eq.02

Sejam:

a) ms a massa do slido e seu centro de massa definido por: CM s(xCMs ; yCM

s ; zCMs ) ;

b) I xys e I xz

s os produtos de inrcia do slido.

A primeira condio de balanceamento exige:m1y1+m2y2+msyCM

s =0 eq.03

m1z1+m2z2+mszCMs =0 eq.04

A segunda condio de balanceamento exige:m1x1y1+m2x2y2+ I xy

s =0 eq.05

m1x1z1+m2z2y2+ I xzs =0 eq.06

Ressalte-se que mquinas de balanceamento medem os esforos de origem dinmica deforma direta ou indireta, sendo mais comum a forma indireta. Na forma indireta, medem-se propriedades cinemticas dos mancais, tais como, deslocamento, velocidade eacelerao, esta ltima intimamente ligada aos esforos exercidos sobre os mancais.

Cada caso exigir uma abordagem diferente, mas em todos os casos prevalecero asduas condies de balanceamento.

EXEMPLO 01A figura ilustra um slido que apresentamassa m = 30,0 kg, gira em torno de eixofixo mantido por dois mancais A e B.Quando o sistema gira com velocidade

angular constante =50rads

, os esforos

dinmicos nos mancais (desconsiderar opeso prprio) so medidos, e os resultadosexpressos em newton (N), so:

RA=360j+200k e RB=210 j210k .

Pedem-se:

a) os produtos de inrcia que envolvem a direo do eixo de rotao, em relao ao poloA;


b) a ordenada (ysCM) do CM Centro de Massa do slido.

c) a cota (zsCM) do CM Centro de Massa do slido.

d) considerando que os planos aos quais se podem anexar massas, esto a 0,15 m decada mancal, e que as massas estaro distncia de 0,15 m do eixo geomtrico derotao, determinar as massas corretoras.

SOLUO:

Adota-se como sistema de referncia ligado ao slido, o sistema de eixos A(x,y,z).

O vetor posio do CM centro de massa do slido : (CMA )=xCMs i+ yCM

s j+zCMs k , e

descreve trajetria circular com raio R= yCMs 2+zCMs 2 . A acelerao centrpeta do CM aponta para o eixo geomtrico de rotao, ou seja:

aCMs =2Rr=2500R(

zCMs k yCM

s jR

) ou aCMs =2500(zCM

s k yCMs j) .

A resultante das foras aplicadas (desconsiderando o peso prprio) :

F=RA+ RB=150 j10kImpondo o TCM Teorema do Centro de Massa, tem-se:

Fext .s =maCM => 150j10k=302500(zCMs k yCMs j)150j10k=75000zCM

s k75000yCMs j

Impondo a igualdade:

150j=75000yCMs j => yCM

s =0,002

10k=75000zCMk = zCMs =0,00013

Resp. (b) yCMs =0,002m .

Resp. (c) zCMs =0,00013m .

A velocidade angular: =50i

O momento angular na forma matricial: H As=[ I xx

s I xys I xz

s

I xys I yy

s I yzs

I xzs I yz

s I zzs ][5000 ]

O momento angular na forma vetorial: H As =I xx

s 50iI xys 50jI xz

s 50k

Derivando o momento angular em funo do tempo:


H As=H A

s=50iH As =I xy

s 502i jI xzs 502ik=I xy

s 502k+ I xzs502 j

Calculando os momentos das foras em relao ao polo A:

MR A=(AA)R A=zero ; MR B=(BA)RB=0,85i(210j210k )=178,5k+178,5 j

Impondo o TMA Teorema do Momento Angular:

M As = H As => 178,5k+178,5j=I xys 502k+I xzs 502 jImpondo a igualdade entre os vetores:

178,5=I xys 502 => I xy

s =0,071

178,5=I xzs 502 => I xz

s =0,071

Resp. (a) I xys =0,071kgm2 ; I xz

s =0,071kgm2 .

Sejam as massas corretoras: m1(x1 ; y1: z1) e m2(x2 ; y2: z2) .

Recuperando os planos corretores:

x1=0,15 e x2=0,70 => m1(0,15 ; y1: z1) e m2(0,70 ; y2: z2)

d1=d2=0,15 ;as distncias ao eixo geomtrico de rotao.

Primeira condio do balanceamento: o centro de massa do Sistema Balanceado (slido+ massas corretoras) deve pertencer ao eixo geomtrico de rotao.

Traduzindo:

yCMSB =0 => m1y1+m2y2+m sys=0

m1y1+m2y2+300,002=0 => m1y1+m2y2+0,060=0 eq.01

zCMSB =0 => m1z1+m2z2+mszs=0

m1z1+m2z2+300,00013=0 => m1z1+m2z2+0,004=0 eq.02

Segunda condio do balanceamento: os produtos de inrcia do Sistema Balanceado(slido + massas corretoras) que relacionam-se com o eixo de rotao devem ser nulos.

Traduzindo:

I xySB=0 => I xy

s +m1x1y1+m2x2y2=0 => 0,071+m10,15y1+m20,70y2=0 eq.03

I xzSB=0 => I xz

s +m1x1z1+m2x2z2=0 => 0,071+m10,15z1+m20,70z2=0 eq.04

Considerando a distncia das massas corretoras ao eixo geomtrico de rotao:

y12+ z1

2=0,152 eq.05

y22+ z2

2=0,152 eq.06


Nota: essas 6 (seis) equaes possuem um complicador os quadrados nas equaeseq.05 e eq.06; desta forma escolhe-se uma estratgia que ajuda.

Trocando-se de variveis:

A=m1y1 ; B=m2y2 ; C=m1z1 e D=m2z2

Recuperando e substituindo nas 4 primeiras equaes:

eq.01 m1y1+m2y2+0,060=0 => A+B+0,060=0 => A=B0,060 eq.

eq.02 m1z1+m2z2+0,004=0 => C+D+0,004=0 => C=D0,004 eq.

eq.03 0,071+m10,15y1+m20,70y2=0 => 0,071+0,15 A+0,70B=0 eq.

eq.04 0,071+m10,15z1+m20,70z2=0 => 0,071+0,15C+0,70D=0 eq.

Substituindo a eq. na equao eq., tem-se:

0,071+0,15A+0,70B=0 => 0,071+0,15(B0,060)+0,70B=0

0,0710,15B0,150,060+0,70B=0 => 0,55B=0,071+0,009 => B=0,080

Substituindo este resultado na equao eq., tem-se:

A=B0,60 => A=0,0800,060 => A=0,140

Substituindo a equao eq. na equao eq., tem-se:

0,071+0,15C+0,70D=0 => 0,071+0,15(D0,004)+0,70D=0 => D=0,128

Substituindo este resultado na equao eq., tem-se:

C=D0,004 => C=0,1280,004 => C=0,124

Recuperando as trocas de variveis, tem-se:

A=m1y1 ; B=m2y2 ; C=m1z1 e D=m2z2

Dividindo-se a primeira pela terceira:

AC=

y1z1

=>y1z1=0,140

0,124=>

y1z1=1,129 => y1=1,129z1

Dividindo-se a segunda pela quarta:

BD=

y2z2

=>y2z2= 0,080(0,128)

=>y2z2=0,625 => y2=0,625z2

Substituindo y1=1,129z1 na equao eq.05, tem-se:

y12+ z1

2=0,152 => (1,129z1)2+z1

2=0,152 => z1= 0,152(1,1292+1) => z1=0,099Substituindo (z1) na equao y1=1,129z1 , obtm-se: y1=0,112


Substituindo y2=0,625z2 na equao eq.06, tem-se:

y22+ z2

2=0,152 => (0,625z2)2+z2

2=0,152 => z2=0,127

Substituindo (z2) na equao y2=0,625z2 , obtm-se: y2=0,079

Recuperando as 2 primeiras equaes e adotando y1=0,112 ; z1=0,099 :y2=0,079 e z2=0,127 tem-se:

Nota: as equaes y1=1,129z1 y2=0,625z2 , obtidas no desenvolvimento, exigemque y1 e z1 tenham sinais trocados, assim como y2 e z2; escolheu-se arbitrariamente y1positivo e y2 negativo, que a soluo mais usual, as massas so dispostas em ladosopostos ao eixo geomtrico de rotao.

Continuando .

eq.01 m1y1+m2y2+0,060=0 => m10,112+m2(0,079)+0,060=0

m2=1,418m1+0,759

eq.02 m1z1+m2z2+0,004=0 => m1(0,099)+m20,127+0,004=0

m2=0,780m10,0315

Impondo a igualdade aos dois segundos membros, tem-se:

m2=1,418m1+0,759=0,780m10,0315 => m1(1,4180,780)=0,03150,759

m2=1,239

Substituindo na equao m2=0,780m10,0315 , tem-se:

m2=0,780(1,239)0,0315 => m2=0,998

Resumindo:

{ m y z1,239 0,112 0,0990,998 0,079 0,127 } ou {m y z

1,239 0,112 0,0990,998 0,079 0,127}

Nota: pode-se retirar a massa de 1,239 kg do ponto do slido definido por: y1=0,112 ez1=0,099 , ou pode-se acrescentar massa de 1,239 kg no ponto do slido definido por:y1=0,112 e z1=0,099 ; pois so pontos do slido simtricos em relao ao eixo

geomtrico de rotao.


BalanceamentoCondies do BalanceamentoResumindo, as condies do balanceamento so:1) o Centro de Massa do slido balanceado deve pertencer ao eixo geomtrico de rotao.2) os produtos de inrcia do slido balanceado, que envolvem o eixo de rotao, devem ser nulos.

Caso especial: Balanceamento Esttico.Balanceamento Dinmico.A primeira condio de balanceamento exige:A segunda condio de balanceamento exige:EXEMPLO 01

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