Apresenta caoApresentacaoA ideia de organizar e divulgar um Banco de Quest oes com problemas propostosemprovas deolimpadas surgiuem2005, por solicita caodealunos eprofessoresqueparticipavamdaOBMEPesentiramfaltadessetipodematerial. Aexcelenteacolhida que teve o Banco de Quest oes-2006, por esses participantes, e tambem porestudantesdecursosdelicenciaturaemMatem atica, nosmotivouacontinuaressetrabalho.Boapartedosproblemasaqui apresentadosforamextradosdeolimpadasdeMatem aticanacionaiseinternacionais. Nessaedi cao, introduzimosalgunsproble-mascomsolu caomaiscomplexa, quen aoconstaramdoBancoQuest oes-2006. Omaisimportanteetentarresolve-los, n aoimportandootempogastoparaissoeadiculdade encontrada. Igualmente importante, e entender a solu cao que apresenta-mos. N aoconseguirresolve-losnaodevesermotivodedes animo. Entendemosqueresolver,outentarresolver,problemasdesaadores, eumadasmaisinteressanteseecientesformasdeaprenderMatem atica.Os problemas est ao separados em tres nveis,de acordo com a classica cao feitapela OBMEP, mas muitos deles podem (e devem) ser resolvidos por todos os alunos.Assimsendo, recomendamos queos alunos passeiempor todos os problemas eselecionemalguns,deoutrosnveis,pararesolver.Desejamos que esse Banco de Quest oes propricie a todos um bom trabalho e umdivertimentointeressante.Dire caoAcademicadaOBMEPOBMEP2007 iLista1 Nvel1Nvel1Lista11. M ultiplosde9(a) Qual eomenor m ultiplo(positivo) de9queeescritoapenas comosalgarismos0e1?(b) Qual eomenor m ultiplo(positivo) de9queeescritoapenas comosalgarismos1e2?2. Aorista- Umaoristacolheu49kgdeoresdocampoquepodemservendidasimediatamenteporR$1, 25oquilo. Aoristapodetambemvende-las desidratadas por 2 reais a mais no quilo. O processo de desidrata cao faz asoresperderem5/7deseupeso. Qualeotipodevendamaislucrativoparaaorista?3. Divisores - SejaNomenor n umeroquetem378divisores eedaforma2a3b5c7d. Quantovalecadaumdessesexpoentes?4. Oprodutodosalgarismos-Denotemos por P(n) o produto dos algarismosdon umeron. Porexemplo: P(58) = 5 8 = 40eP(319) = 3 1 9 = 27.(a) Quaisosn umerosnaturaismenoresque1000cujoprodutodeseusalga-rismos e12,ouseja: osn umerosnaturaisn < 1 000taisqueP(n) = 12?(b) Quantosn umerosnaturaismenoresque199satisfazemP(n)=0? Ouseja: temoprodutodeseusalgarismosiguala0?OBMEP2007 1Nvel1 Lista1(c) Quais n umeros naturais menores que 200 satisfazem a desigualdade 37 0, pois se d = 0 ent ao a+1, b +1 ou c +1 tem dois fatoresmaioresdoque1. Sea + 1 = mncomm n > 1temosque2a= 2mn1= 2m12mnm= 2m1(2m)n1 2m18n1> 2m17n1,4 OBMEP2007Solu coesdaLista1 Nvel1ondenapen ultimadesigualdadeusamos ofatoquem 3. Assim, temosque2a3b5c7d>2m13b5c7n1, logoencontramos umn umerocomamesmaquantidade de divisores, mas menor. A prova e igual no caso em que b +1 temdoisfatoresouc + 1temdoisfatores. Assim, d 1etemosunicamenteasseguintespossibilidadesa b c d (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 37820 2 2 1 21 3 3 213 2 2 2 14 3 3 38 6 2 1 9 7 3 26 5 2 2 7 6 3 3Por ultimo,como220 32 52 71213 32 52 72=277> 1,213 32 52 7228 36 51 71=25 734> 1e28 36 52 7126 35 52 72=22 37> 1,temos que o valor de Ne 26 35 52 72. Portanto, a = 6, b = 5, c = 2 e d = 2.4. Oprodutodosalgarismos(a)Como12=26=43=223, devemosutilizarosalgarismos1 , 2 , 3 , 4e6cujosprodutossejam12. Assimtemos:n umeroscom2algarismos: 26,62,34,43n umeroscom3algarismos:comosalgarismos1,2e6: 126,162,216,261,612,621OBMEP2007 5Nvel1 Solu coesdaLista1comosalgarismos1,3e4: 134,143,314,341,413,431comosalgarismos2,2e3: 223,232,322.(b)SeP(n) = 0,ent aooprodutodeseusalgarismos eigualazero,logopelomenosumdosalgarismosdon umeronezero. Temos19n umeroscomzerosonasunidades, 9n umeroscomzeros onasdezenaseaindaon umero100,totalizando29n umeros:0, 10, 20, . . . , 90, 110, . . . , 190. .. .0sonasunidades, 101, 102, . . . , 109. .. .0sonasdezenas.(c) Queremos encontrar os n umeros menores do que 200, cujo produto de seusalgarismossejamaiordoque37emenordoque45. Porexemplo, 58eumdessesn umerosporque5 8 = 40.Emprimeirolugar,notequen aoexistemn umeroscujoprodutodeseusalga-rismossejam38,39,41,43e44porqueessesn umerosn aopodemserescritoscomo produto de dois ou tres algarismos. Restam, ent ao: 40 e 42. Vejamos aspossibilidades:n umerosmenoresdoque200cujoprodutodosalgarismose40: 58, 85,158e185n umerosmenoresdoque200cujoprodutodosalgarismose42: 67, 76,167e176(d)On umero e249 = 2 4 9 = 72.5. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele vaigastar 6 2, 80 = 16, 80 reais, que e mais caro do que comprar uma caixa comseis. Portanto,eledevecompraramaiorquantidadepossveldecaixas. Paraterpelomenos22garrafas, elepodecomprar4caixasegastar a60reais, ou6 OBMEP2007Solu coesdaLista1 Nvel1comprar3caixase4garrafasindividualmente,casoemquegastar a3 15 +4 2, 80 = 56, 20reais,que eomnimopossvel.6. AcasadaRosa- Comooquartoequadradoetem16m2dearea, ent aosuasdimensoessao4 mpor4 m. Damesmaforma, asdimens oesdoquintalsao2 mpor2 m.Agora, a sala tem24 m2e uma dasdimensoeseamesmaqueadimens aodoquarto, istoe4 m, logoaoutradi-mensaodasalae 6 m. Assim, as di-mensoes totais da casa s ao 10 mpor6 mea areatotal dacasae60metrosquadrados. Logo, a areadacozinhae60 16 24 4 = 16 m2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Sala6QuartoCozinhaQuintal22447. PasseiodoMatias -Primeiroobservamosquetemos12quadrasde100metros entre os 4 quarteir oes. Alem disso, entre os quatro quarteir oes temos 4esquinas nas quais chegam 3 quadras e que est ao marcadas com no desenho.Assim, no momento em que chegamos a uma das ditas esquinas temos que sair,logousamos2dasquadrasemcadapassadae,nomomentoquechegamosdenovo,temosqueparar.Portanto, dentre as ditas 4 esquinas, em todo cami-nho que tracemos tem pelo menos duas esquinas emquen aousamostodasasquadrasquechegam`aesquinamencionada. Assim,ocaminhodecom-primentom aximousanom aximo10quadras. Naguradesenhamosumdostrajetosm aximos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................... ....................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................... ......................................................................................................,P

-6

? 6-OBMEP2007 7Nvel1 Solu coesdaLista18. Oadesivoocial -Comooquadradopintadodacorazul podeestaremqualquer lugar, ent aotemos 6possveis formas deescolher aposi caodessequadrado. Entreos5quadradosrestantesprecisamospintardoisdeamarelo,oque podemos fazer de 10 formas, assimos tres quadrados restantes s aopintadosdeverde. Portanto,oprefeitotem610 = 60formasdiferentesdeescolheroadesivo.8 OBMEP2007Lista2 Nvel1Lista21. Adi caoden umeros-Qual eoalgarismoaema000 + a998 + a999 = 22997 ?2. Cuboperfeitoedivisibilidade-Quais os cubos perfeitos que dividem 94?3. Localizandopontos-Qual eopontoindicadonodiagrama?18 19 204. Calculando porcentagem- Numteste com84 quest oes se voce acerta58/84dasquest oes,entaoqual eoseupercentualdeacertos?5. Comparandoalgarismos- Umn umerosechamaascendentesecadaumdeseusalgarismosemaiordoqueoalgarismoqueest a` asuaesquerda. Porexemplo,2568 eascendentee175nao. Quantosn umerosascendentesexistementre400e600?6. Murocolorido- Omurodaguraeconstrudocom14tijolosnascoresamarelo, azul e vermelhoe tal que dois tijolos que se tocams aode coresdiferentes. Os pre cos dos tijolos s ao dados na tabela. Qual o menor pre co quesegastar anacompradostijolosparaconstruiressemuro?OBMEP2007 9Nvel1 Lista2tijolo R$amarelo 6azul 7vermelho 8.......................................... .......................................... .......................................... .................................................................................... .......................................... .......................................... .......................................... .................................................................................... .......................................... .......................................... .................................................................................... .......................................... .......................................... .......................................... ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Divisoresefatora cao-Decompor96emdoisfatorescujasomadosqua-dradosseja208.8. Brincandocomareas- Lusdesenhouumretangulode6cmpor10cmequer dividi-lo em quatro partes. Cada parte deve ter de area, respectivamente,8cm2,12cm2,16cm2,24cm2. Desenhecomoelepodefazeressadivis ao.10 OBMEP2007Solu coesdaLista2 Nvel1Solu c oesdaLista21. Adi caoden umeros-Efetuandoaadi caoa 000a 998a 999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+9971encontramos 997 = 22997,onde= a + a + a + 1.Logo,22 = a + a + a + 1. Assim,a = 7.2. Cuboperfeitoedivisibilidade-Um cubo perfeito e um n umero da formaa3, onde a e um natural. Como 94= (32)4= 38, os cubos perfeitos que dividem38sao: 33e(32)3= 36.3. Localizandopontos-O ponto indicado est a 4 marcas ` a direita de 19. Entre18e19eentre19e20s aofeitassubdivis oesem10partesiguais, logocadamarcaequivalea0, 1nessaescala. Assim,opontoindicado e19, 4.18 19 204. Calculandoporcentagem-Temos 58 acertos em 84 quest oes, logo a raz aodeacertos e5884. Dividindo58por84encontramos0, 69047comaproxima cao.Logo,opercentual eaproximadamente69, 047%.OBMEP2007 11Nvel1 Solu coesdaLista25. Comparandoalgarismos-Osn umerosqueestamosprocurandos aomai-ores do que 400 e menores do que 600, logo o algarismo das centenas e 4 ou 5.Comos aon umerosascendentes, oalgarismodasdezenastemquesermenordoqueoalgarismodasunidades. Vejamoscomoescolherosalgarismosdasdezenasedascentenas.4

5 65 75 85 9; 4

6 76 86 9; 4

7 87 9; 4

8 95

6 76 86 9; 5

7 87 9; 5

8 9Logo,temos10n umerosascendentescom4comoalgarismodascentenase6n umerosascendentescom5comoalgarismodascentenas; nototal temos16n umerosascendentes.6. Murocolorido- Observamosquenomomentoquexamosacordedoistijolos vizinhos, ent aoacor detodos os tijolos caxa. Assim, os tijolosmarcadosporA,BouCnaguratemqueteramesmacor........................................... .......................................... .......................................... .................................................................................... .......................................... .......................................... .......................................... .................................................................................... .......................................... .......................................... .................................................................................... .......................................... .......................................... .......................................... ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .AAA AA AC BC BB CB CComoamaiorquantidadedetijolosest amarcadacomA, 6nototal, ent aotais tijolos s ao amarelos. Por outro lado, temos a mesma quantidade de tijolos12 OBMEP2007Solu coesdaLista2 Nvel1Be C, 4 de cada tipo, logo temos que pintar 4 tijolos de azul e 4 de vermelho.Assim,omenorpreconacompradostijolos e6 6 + 4 7 + 4 8 = 96reais.7. Divisoresefatora cao- Comooprodutodosdoisn umerose96, elessaodivisores de 96. Decompondo 96 emfatores primos,encontramos 96 = 253,logoseusdivisoress ao:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.Os divisores 96, 48, 32, 24 e 16 n ao servem pois seus quadrados j a s ao maioresdoque208. Sobram1, 2, 3, 4, 6, 8, 12cujosquadradoss ao:1, 4, 9, 16, 36, 64, 144.Agoravemosquea unicapossibilidade e64 + 144 = 208. Como8 12 = 96,osn umeross ao8e12.8. Brincandocomareas- Faremosadivis aocomret angulos. Observamosque24=64e12=62, logoelepodefazerumprimeirocortea4cmno lado de 10cm e outro corte a 2 cm do corte anterior. Depois de tais cortes,camosumacartolinadetamanho6 4. Por ultimo,como16 = 4 4,bastafazerum ultimocortea4cmnoladode6cm. Oscortesest aoilustradosnaseguintegura.864 2 442241216OBMEP2007 13Nvel1 Lista3Lista31. Comparacao de n umeros - Escreva em ordem crescente os n umeros:121,3729e438416.2. Asmoedas- Uma brincadeira come ca com 7 moedas alinhadas em cima deuma mesa, todas com a face coroa virada para cima. Para ganhar a brincadeiraeprecisoviraralgumasmoedasdemodoquenonal duasmoedasvizinhasestejam sempre com faces diferentes viradas para cima. A regra da brincadeirae: emcadajogadatem-sequevirarduasmoedasvizinhas. Quantasjogadas,nomnimo,s aonecess ariasparaganharabrincadeira?.............................................................................. ............................................................................... . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ............................................................................... ............................................................................... . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ............................................................................... ............................................................................... . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ............................................................................... ............................................................................... . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ............................................................................... ............................................................................... . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ............................................................................... ............................................................................... . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ............................................................................... ............................................................................... . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .coroa coroa coroa coroa coroa coroa coroa3. Oprecodofrango-Opre codoquilodefrangoeraR$1, 00emjaneirode2000ecome couatriplicaracada6meses. Quandoeleatingir aR$81, 00?(a)1ano (b)2anos (c)21/2anos (d)13anos (e)131/2anos4. Excurs oes a Foz do Igua cu - Em 2005, uma agencia de turismo programouumaexcurs aoparaaFozdoIgua cu,distribuindoaspessoasemonibusde27lugares, tendosidonecess arioformarum onibusincompletocom19lugares.Em2006, aumentouem53on umerodeparticipantesecontinuouautilizaronibusde27delugares. Quantos onibusamaisforamnecess ariosequantaspessoascaramno onibusincompletoem2006?14 OBMEP2007Lista3 Nvel15. As fra coes de Laura - Laura desenhou 5crculos dentro dos quais ela quer colocar n umeros.Ela coloca os crculos am de formar uma fra cao eseuvalorinteiro.```+ +. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .`= `De quantas maneiras Lauracolocouos n umeros 2,3 , 5 , 6e 11dentrodoscrculosparaqueaigualdadesejaverdadeira?6. C alculodaunidade-Qual eoalgarismodaunidadedoproduto(5 + 1)(53+ 1)(56+ 1)(512+ 1) ?(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 5 (e) 67. N umeroscruzados-Francisco escreveu 28 algarismos numa tabela 6 6 epintoude preto algumas casas,como nas palavras cruzadas. Ele fez uma listadetodososn umerosquepodemserlidoshorizontalmenteouverticalmente,excluindoosn umerosdeums oalgarismo. Vejaalista:28 45 51 57 72 88175 289 632 746 752 805885 5647 5873 7592 8764Preencha a tabela escrevendo os n umeros dados. Um algarismo j a foi colocado.2OBMEP2007 15Nvel1 Lista38. Ovosemacas- Numarmazem, umad uziadeovose10ma castinhamomesmo pre co. Depois de uma semana, o pre co dos ovos caiu 10% e o da ma casubiu2%. Quantosegastar aamaisnacompradeumad uziadeovose10ma cas?(a) 2% (b) 4% (c) 10% (d) 12% (e) 12, 2%16 OBMEP2007Solu coesdaLista3 Nvel1Solu c oesdaLista31. Comparacaoden umeros - Fatorandoosn umeroseextraindoasrazestemos:121 =112= 113729 =393= 9438416 =42474= 2 7 = 14.Logo,emordemcrescentetemos:3729,121,438416.2. As moedas - Sedamosovalorde1` ascoroase 1` ascarasesomamososresultadosdepoisdecadajogada,inicialmenteabrincadeiracome cacom7comosomaetemosquechegaracaraecoroaalternadas, logoabrincadeiraterminaem1ou-1. Observamos queemcadapassodabrincadeiratemosasseguintespossibilidades: trocamosduascoroasporduascaraseovalordasomadiminui em4; trocamosumacaraeumacoroaporumacoroaeumacara e o valor da soma ca inalterado ou trocamos duas caras por duas coroaseovalor dasomaaumentaem4. Portanto, eimpossvel de7comosomainicial chegar a 1, mas e possvel chegar a 1, isto e, 4 caras e 3 coroas. Comoprecisamosobter4carasn aoconsecutivas,ent aoprecisamosdepelomenos4jogadas. As4jogadasseilustramnoseguintedesenho:................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . coroa coroa coroa coroa coroa coroa coroa................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . cara cara coroa coroa coroa coroa coroa................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . cara cara coroa coroa coroa cara cara................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . cara coroa cara coroa coroa cara cara................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .................................................. ....... ....... .................................................. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . cara coroa cara coroa cara coroa caraOBMEP2007 17Nvel1 Solu coesdaLista33. Oprecodofrango- Como81=34, ent aoovalordofrancotriplicou4vezes, o n umero de meses transcorridos foi 4 6 = 24 meses, isto e, 2 anos, ouseja,emjaneirode2002ofrangoatingir aopre coproposto. Aop caocorretae(b).4. Excurs oesaFozdoIgua cu-Temosumonibuscom27 19 = 8lugareslivreseaindaprecisamosacomodaros53 8=45participantesem onibusde27lugares.Eclaroqueum onibusn aoesuciente, logoprecisamosde2onibusevamoster227 45 = 9lugareslivresno ultimo onibus. Ficaram18pessoasno onibusincompleto.5. Asfra coesdeLaura-Comoafra caoeigualaumn umerointeiro, oseunumerador tem que ser um m ultiplo do seu denominador. Vamos testar todasaspossibilidadeseescolherasquesatisfazemascondicoesdoproblema:3 + 5 + 62= 7 ;3 + 11 + 62= 10 ;5 + 11 + 62= 11 n aosatisfazem2 + 5 + 113= 6 satisfaz3 + 6 + 115= 4 n aosatisfaz2 + 5 + 116= 3 satisfaz2 + 3 + 611= 1 n aosatisfaz.Assimtemosduasrespostas:```+ +. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .`= `62 5 113```+ +. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .`= ``32 5 11618 OBMEP2007Solu coesdaLista3 Nvel16. C alculodaunidade-O algarismo da unidade de qualquer potencia de 5 e5, segue que o algarismo da unidade de cada fator do produto e 5+1 = 6. Mas,66=36, ouseja, oprodutodedoisn umerosterminadosem6etambemumn umeroqueterminaem6. Logo,oalgarismodaunidadedesseproduto e6. Aop caocorreta e(e).7. N umeroscruzados-7 5 2 8 88 8 5 05 7 1 7 56 3 2 44 8 7 6 47 5 9 2 58. Ovosemacas-Suponhamos,inicialmente,queumad uziadeovoscustavaR$ 1, 00. Assim, 10 ma cas tambem custavam R$ 1, 00. Como o pre co dos ovossubiu10%,o novo valordos ovos eR$ 1, 10. Opre co das ma cas diminuiu2%,logoonovopre codasma cas eR$ 0, 98.Assim, antes gastava-se 2 reais na compra de 1 d uzia de ovos e 10 ma cas, agoragasta-se1, 10 + 0, 98=2, 08. Da temosqueoaumentofoi deR$ 0, 08, quecorrespondeaopercentual:0, 082= 0, 04 =4100= 4%.Aop caocorreta e(b).OBMEP2007 19Nvel1 Lista4Lista41. Divis aoden umerosdecimais-Sabendo que144177 = 25488podemosconcluirque 254, 88 0, 177eiguala(a) 1440 (b) 14, 4 (c) 1, 44 (d) 0, 144 (e) 1442. C alculodeporcentagem-Num teste com 84 quest oes se voce acerta58/84dasquest oes,entaoqual eoseupercentualdeacertos?3. Almo co dos amigos - J ulio eDenise almo caram num restauranteque oferece tres tipos de prato etres tipos de vitamina, cujos pre cosest aonatabelaaolado. Cadaumescolheu um prato e uma vitamina.J uliogastou6reaisamaisdoqueDenise. QuantoDenisegastou?R$pratosimples 7pratocomcarne 11pratocompeixe 14vitaminadeleite 6vitaminadefrutas 7vitaminaespecial 94. Adi caodeinteirospositivos-Encontre quatro n umeros inteiros distintosemaioresdoque0taisquesomadosdetresemtresdao6, 7, 8e9.5. OpasseiodoJorge - Jorgepasseiapor umcaminhoemformaderet angulo, ondeest aodis-postas doze arvores com5 mdedistanciaentreduas consecutivas. Jorge brincade tocar cadaarvoreduranteseupasseio., , , , ,, , , , ,, ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................PPrimeiro ele toca a arvore do canto, assinalada com P na gura, e percorre 32metros num mesmo sentido; a ele volta 18 metros e depois torna a andar parafrentemais22metros. Emquantas arvoreseletocou?20 OBMEP2007Lista4 Nvel16. Adescobertadoalgarismo-Os quadrados dos n umeros naturais de 1 a 99foramescritosumap osooutro,formandoon umero14916253649 . . .. Qualeo algarismo que ocupa a 100aposi cao?(As posi coes sao contadas da esquerdaparaadireita: a1aposi cao eo1,a2aeo4,etc.)7. OBMEP-Cada um dos 7 discos X, Z, O, B, M, E, P tem um peso diferente,de 1 ga 7 g. Nas interse coes dos discos indicamos a soma dos pesos desses doisdiscos. Qual easomadospesosdoscincodiscosO,B,M,E,P?.............................................................................................................................. ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .XZO BMEP139 668. Prediomisterioso- Asgurasmostramasplantasdo1oe2oandaresdeumpredioqueguardasegredosmuitoperigosos. Os9elevadoresest aorepre-sentadosporletraseemcadaletrapodemospegaroelevadoroucontinuar.Qualocaminhomaiscurtodaentradaateasada?

entrada A B CDJF G HE

sadaA B CDJF G HEOBMEP2007 21Nvel1 Solu coesdaLista4Solu c oesdaLista41. Divis aoden umerosdecimais-Efetuandoadivis aotemos:254, 880, 177=254880177=144 177 10177= 1440.2. C alculodeporcentagem-Adivis aode58por84 e: 58 84 = 0, 69047...Multiplicandopor100temosqueopercentual deacertose0, 69047100=69, 047%,que eaproximadamente69%.3. Almo codosamigos-Ospre cosdeumpratomaisumavitaminas ao:13....7+6, 14....7+7, 16....7+9, 17....11+6, 18....11+7, 20....11+9, 20....14+6, 21....14+7, 23....14+9Dentreesses, osquediferemde6sao: 14e20ou17e23. Logo, temosduassolu coes: Denise pode gastar 7+7 = 14 e J ulio 14+6 = 11+9 = 20 ou Denisegasta11 + 6 = 17eJ ulio14 + 9 = 23.4. Adi caodeinteirospositivos-Solu cao1- Inicialmente observe que se a maior soma de tres desses n umerose9,ent aotodososn umerostemquesermenoresdoque7,ouseja:1, 2, 3, 4, 5, 6 .Poroutrolado, seamenorsomae6, ent aoelestemquesermenoresdoque5,logorestam:1, 2, 3, 4 .22 OBMEP2007Solu coesdaLista4 Nvel1Vericamosqueessess aoosn umeros:1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 3 + 4 = 8, 2 + 3 + 4 = 9 .Solu cao2- Somandodetresemtresquatron umerosa, b, cedtemososn umerosa + b + c,a + b + d,a + c + deb + c + d. Logo,6+7+8+9 = (a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d) = 3(a+b+c+d).Donde,a + b + c + d =303= 10. Portanto,osn umerosprocuradoss ao10 6 = 4 ; 10 7 = 3 ; 10 8 = 2 ; 10 9 = 1.5. OpasseiodoJorge-AsgurasilustramopercursoqueJorgefez:caminhando 32 m no incio, ele toca em 7 arvores e p ara a 2 m da ultimaquetocou;voltando18 m,eletocaem4 arvoresep araa1 mda ultimaquetocou;aoretornaros22 meletocaem5 arvoresep araa1 mda ultimaquetocou., , , , ,, , , , ,, ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................... ..................................................................................................................P- - - -??

, , , , ,, , , , ,, ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................... ..................................................................................................................P66-, , , , ,, , , , ,, ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................... ..................................................................................................................P -??-

Assim,eletocouem7 + 4 + 5 = 16 arvores.6. Adescobertadoalgarismo-Separando os n umeros cujos quadrados tem1,2e3algarismostemos:1algarismo: 1,2,32algarismos: 4,5,6,7,8,93algarismos: 10,11,12,. . . ,31OBMEP2007 23Nvel1 Solu coesdaLista4Ate312aseq uenciatem3 + 12 + 66 = 81algarismos.12, 22, 32....13algs, 42, . . . , 92....26=12algs, 102, . . . , 312. .. .322=66algsAssim, faltam100 81=19algarismosparao100o. Como19=44 + 3,teremosmais4n umerosde4algarismoscadaum,ques ao322, 332, 342e352,emaisos3algarismos(milhar,centena,dezena)don umero: 362= 1296.12, 22, 32....13algs, 42, . . . , 92....26=12algs, 102, . . . , 312. .. .322=66algs, 322, 332, 342, 352. .. .44=16algs, 12 9....100oalg6Logo,on umero e9.7. OBMEP-ComopesodeX + pesodeO = 13 e pesodeZ + pesodeO = 9,seguequepesodeX= pesodeZ + 4.Logo,asop coesparaospesosdeZedeXsao:1e5 , 2e6 , 3e7 .Poroutrolado,temos:pesodeM+ pesodeP= 6 e pesodeB + pesodeE= 6 .Logo,ospesosdeM, P, BeEsaotodosmenoresdoque6,ouseja:1, 2, 3, 4, 5 .Alemdisso,nenhumdelespodeterpeso3 g.ConclumosqueospesosdeZedeXsao3e7, oquenosd aopesodeOiguala6. Assim,temos:pesode O+pesode B+pesode E+pesode M +pesode P= 6+6+6 = 18.24 OBMEP2007Solu coesdaLista4 Nvel18. Prediomisterioso- PrimeiroobservamosqueoselevadoresA, C, D, E,FeHconduzemaquartosfechadosemalgumdosdoisandarese, portanto,n aolevam` asada. Assim,desconsiderandooselevadoresmencionados,nossodesenhodeelevadores uteis eoseguinte

entrada BJG

sadaBJGAssim, o caminho adequado ca evidente: primeiro pegar o elevador B, depoisoJepor ultimooG.OBMEP2007 25Nvel1 Lista5Lista51. Somadefracoes-Qual eovalorde110 1100+11000 110000?2. Biblioteca- Abibliotecadeumaescolacomprou140novoslivros, candocom2725delivros. On umerodelivrosantesdacompra, e:(a) 1750 (b) 2500 (c) 2780 (d) 2140 (e) 11403. Comparacaodefracoes-Quantas fra coes menores do que 1 existem,taisqueonumeradoredenominadors aon umerosnaturaisdeumalgarismo?4. Divis aocomresto- Quantoss aoosn umerosqueaodividir2007deixamresto5?5. Panelas- Umapanelapesa645 geoutra237 g. Josedivide1 kgdecarneentreasduaspanelas,demodoqueasduascomseusconte udoscamcomomesmopeso. Quantoelecolocoudecarneemcadapanela?6. Domin os - Juliana representou uma multiplica cao com 5 domin os. Seu irm aoBrunotrocoudoisdomin osdeposicaoeagoraamultiplica caocouerrada.Troqueaposi caodedoisdomin osparaqueamultiplica caoquecorretano-vamente.26 OBMEP2007Lista5 Nvel1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................... ......................................................................... ........................................................................., , , , ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................... ......................................................................... .........................................................................,,,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................,,,,,,,,,. ................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................ ......................................................................... .........................................................................,, ,, ,,,,,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................ ......................................................................... .........................................................................,, , ,, , ,3 2 1 2 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 6 4 5 67. C odigo secreto - Ant oniotemque descobrir umc odigode 3algarismosdiferentesABC. ElesabequeBemaiorqueA,queAemenordoqueCeainda:....................................... ....................................... ....................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= + + B B A A C C 2 4 2B A C 3 6 0 =....................................... ....................................... ....................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ ....................................... ....................................... ....................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ ....................................... ....................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ ....................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ ....................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ ....................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ ....................................... ....................................... .......................................Qual eoc odigoqueAnt onioprocura?8. Osdozepontos- Dozepontosest aomarcadosnumafolhadepapel qua-driculada,conformemostraagura., ,, , , ,, , , ,, ,Qual o n umero m aximo de quadrados que podem ser formados unindo quatrodessespontos?OBMEP2007 27Nvel1 Solu coesdaLista5Solu c oesdaLista51. Somadefracoes-Solu cao1: Transformandoasfra coesemn umerosdecimaistemos:1101100 +11000110000= 0, 1 0, 01 +0, 001 0, 00001 = 0, 0909 =90910000.Solu cao2: Efetuandotemos:110 1100+11000 110000=1000 100 + 10 110000=90910000.2. Biblioteca-Aocomprar140livrosabibliotecacoucom2725don umerodelivros,logo140correspondea225doslivrosdabiblioteca. Logo,temos:225 140125 140 2 = 702525 70 25 = 1750.Aop caocorreta e(a).3. Comparacaodefracoes - Paraqueumafra caosejamenordoque1, onumeradortemquesermenordoqueodenominador. Asfra coessao:comdenominador2:12comdenominador3:13e23comdenominador4:14,24....1/2e3428 OBMEP2007Solu coesdaLista5 Nvel1comdenominador5:15,25,35,45comdenominador6:16,26....1/3,36....1/2,46....2/3,56comdenominador7:17,27,37,47,57,67comdenominador8:18,28....1/4,38,48....1/2,58,68....3/4,78comdenominador9:19,29,39....1/3,49,59,69....2/3,79,89Temosent ao27fra coes.4. Divis aocomresto- Seumn umeroaodividir2007deixaresto5, ent aoessen umeroeumdivisorde2007 5=2002. Logo, temosquecalcularosdivisoresde2002:........................................................................................................................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................................................................................................................................2002 21001 7143 1113 131127, 1411,22,77,15413,26,91,182,143,286,1001,2002Logo,osn umerosqueaodividirem2007deixamresto5s ao:1, 2, 7, 11, 13, 14, 22, 26, 77, 91, 143, 154, 182, 286, 1001, 20025. Panelas-Convertendo quilo para gramas temos que 1 kg= 1 000 g. As duaspanelasmaisacarnepesamjuntas645 + 237 + 1 000 = 1 882 g.OBMEP2007 29Nvel1 Solu coesdaLista5Logo,cadapanelamaisoseuconte udodecarnedevepesar1882 2 = 941 g.Logo,Josecolocouemcadapanela,respectivamente,941 645 = 296 ge 941 237 = 704 g.6. Domin os- Dadoque23=6, suporemosporenquantoqueosdomin os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ ........................................... ...........................................

e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ ........................................... ...........................................

est aonaposi caocerta. Casoissosejaverdade, dadoque1 3 = 3 temos que o algarismo na dezena do resultado e tres, logo temos quetrocarodomin o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ ........................................... ...........................................

pelodomin o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ ........................................... ...........................................

, detalformaqueo3quenadezena. Dadoquetemosum2nacentenadoresultado,ent aonacentenadoprimeiron umerotemqueterum4. Assim,oprodutocertocadaforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................. .................................................................................. ..................................................................................,, , ,,,, ,,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................. .................................................................................. ..................................................................................,,,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................,,,,,,,,,. .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................. ..................................................................................,, ,,,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................... .................................................................................. ................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................. ..................................................................................,, , ,, , ,5 4 1 2 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 6 2 3 67. C odigo secreto - A unica maneira de obter 360 como produto de tresn umerosdeumalgarismoscadaum e360 = 9 8 5 .Logo, asomaAA + BB + CCeigual a55 + 88 + 99. ComoAemenordoqueBedoqueC,temosqueA = 5. Logo,temosduaspossibilidadesparaocodigo: 589ou598.30 OBMEP2007Solu coesdaLista5 Nvel18. Osdozepontos-Nototal,temos11possveisquadradoscomomostradoaseguir., ,, , , ,, , , ,, ,............................................................................................................................... ................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ ...........................................5 quadrados, ,, , , ,, , , ,, ,4 quadrados............................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................., ,, , , ,, , , ,, ,2 quadrados..................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .OBMEP2007 31Nvel1 Lista6Lista61. Relogio-O grande rel ogio de parede da escola marca a data (dia, mes e ano)e as horas (horas e minutos) como na gura. Que dia, mes e ano esses mesmos10algarismos daguravoltar aoaaparecer juntos norel ogiopelaprimeiravez?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .