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DEMEC/UFSJ Resistência dos Materiais I Prof. André Luís Christoforo Barras Carregadas Axialmente:
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DEMEC/UFSJ
Resistência dos Materiais I
Prof. André Luís Christoforo
Barras Carregadas Axialmente:
Barras Carregadas Axialmente:
;
;
;
.
Esforços
Tensões
Deformações
Deslocamentos
Objetivos:
Determinar :
Hipóteses:
• Material:
• Estrutura;
• Pequenos Deslocamentos;
• Válida a Hipótese da Superposição de Efeitos.
;
;
.
Homogêneo
Isotrópico
Elástico Linear
Esforços e Tensões:
• Os esforços que surgem nas seções transversais
são ditos “normais” e, conseqüentemente, as
tensões são também normais ou perpendiculares
às seções, não existindo neste modelo a
componente de tensão cisalhante e de momento
fletor.
• Seja a barra da figura a seguir:
Neste curso será utilizada a representação
ilustrada na figura (3). Por convenção da
Resistência dos Materiais, forças que provocam
tração nas fibras longitudinais das barras são
tomadas como positivas.
Exercícios:
1) Dada a viga da figura abaixo, determinar a
variação do esforço normal.
0 10 0 10
0 Re !!!!!!!
0 Re !!!!!!!
x HA HA
y
F R R kN
F dundante
M dundante
Determinação dos esforços normais:
• Trecho (0 ≤ x ≤ 1,0 m):AB
0 10 0 10x AB ABF N x N x kN T
A
Observação: é constante em todo o trecho.
Representação Gráfica:
Tensões:
ABN
2
2
10( )5 /
2
ABAB
AB
N kNkN cm T
A cm
Outra forma de resolução do problema:
Esta segunda forma de resolução permitiu determinar o
esforço normal sem a necessidade do calculo da reação
horizontal no vínculo A.
0 10x BAF N x kN T
2)
Para a determinação dos esforços normais neste
problema são necessários “3 cortes” hipotéticos na
estrutura.
Esforços Solicitantes:
Trecho :
0 30 30x DC DCF N x N x kN T
Trecho :
0 20 30 0 10x CB CBF N x N x kN T
Trecho :
0 10 20 30 20x BA BAF N x N x kN T
Diagrama de Esforços Normais:
Observação:
Os pontos “B” e “C” o diagrama de esforços
normais apresenta descontinuidade. Se nos pontos
de descontinuidade os esforços forem de mesmo
sinal a diferença entre eles, em módulo, deve ser
igual a força pontual aí aplicada. Caso os esforços
sejam de sinais diferentes, a soma de módulo de
cada uma deve ser igual ao valor da força nele
aplicada.
Método da Superposição de Efeitos:
Exemplos:
1)
1,0
0
0 0 0 0
1, 0 1, 0 40 40
40 /
40 20eq eq
x ax b
x p b
x p a
p x x kN m
F xdx F kN
• Trecho :
0 10 20 20 0 10x A AF R R kN
0 10 0
10
x AB
AB
F N x
N x kN
• Trecho :
• Trecho :
0 10 10 0
0
x BC
BC
F N x
N x kN
2
2
0
10 10 20 20 0
20 20
x
CD
CD
F
x N x
N x x
Diagrama de Esforços Normais:
Deformações e Deslocamentos:
Seja a barra da figura abaixo:
x x
x
E
dx
dx
N
A
Combinando-se as equações (I), (II) e
(III), chega-se a equação diferencial que permite
encontrar os deslocamentos longitudinais para
quaisquer pontos da barra:
A função deslocamento é determinante mediante a
integração da última equação.
x xE
N dx NE dx dx
A dx A E
0 0
0
L x x
x
Ndx dx
E A
N NL x dx L x x
E A E A
, , te te teN c E c A c
admitindo:
esboço diagrama
50 (0 x 200cm)
1000 10
100 0,50 (deslocamento absoluto = )
200 1,00 (deslocamento absoluto = )
0,50 (deslocamento relatio do ponto C em
AB AB B
AC AC C
BC AC AB
NL x x
E A
L x x
L cm L cm L L
L cm L cm L L
L L L cm relação a A)
BC AC AB AC AB BCL L L L L L
Exemplo (Deslocamento
Relativo e Absoluto):
500,50 (absoluto - = )
1000 10
500,50 (relativo - )
1000 10
0,50 0,50 1,00 (absoluto - = )
A construção do diagrama da função deslocamento
AB AB B
BC BC
AC B BC AC C
NL x x
E A
L cm L L
L cm L
L L L cm L L
100
100
por trechos é feita utilizando-se
as medidas de deslocamentos absolutas, calculadas sempre com referência
a um ponto fixo
Para uma barra com seção transversal variando
ao longo de x, sendo a força F pontual constante ,
temos que a função deslocamento é expressa por:
Observação: Em todos os problemas aqui estudados aplica-se
o Princípio de Saint-Venant, afirmando
que a “perturbação” do campo das
tensões tende a se uniformizar
à medida em que se afasta
da região de perturbação.
0
1x
N xl x dx
E A x
tec
Exercícios:
1) Determinar os deslocamentos na viga da figura abaixo.
Dados: A=1cm 2 e E=1000 kN/ cm2.
• Determinação do Diagrama de Esforços Normais:
:
10 1001,0
1000 1
( 20) 1002,0
1000 1
AB ABAB
BC BCBC
NDeslocamentos L x x
E A
N LL cm
E A
N LL cm
E A
A=1c m 2
E=1000 kN/ cm2
Observação: ΔLAB significa o quanto os pontos da
seção “B” foram deslocados em relação aos da seção “A”
(Deslocamento Relativo).
1,0
1,0 2,0 1,0
B AB
C AB BC
L L cm
L L L cm
Os valores de ΔLB e ΔLc são utilizados na construção do gráfico
dos deslocamentos axiais.
*1,0 1,0100 50
100x x x cm
x x
2)
Dados: , .
Determinamos possíveis valores de “F” de maneira que as
tensões não ultrapassem as admissíveis.
Neste caso, considerar ou
não o sentido de “F”
no problema.
Diagrama:
: / 59 11Solução F kN F kN
2
2
2
AB
AB
1,0 ( )1,0 ( / )
1,0 1,0
1,0
1,0 10 1,0 10 11 (N >0)
1,0 60 1,0 60 1,0 60 59 (N <0)
AB
AB
BC
BC
AB
N F kNF kN cm
N kNcm
A cm
F F F kN
F F F F kN
Variação de Temperatura:
x
x x x
x x
L L T
LT T
L
E E T
NN A N E A T
A
(dilatação linear)
Peso Próprio:
Seja a barra constituída por um material de peso específico γ .
O peso da barra é determinado da seguinte forma:
( g)
( V)
ou = ( = peso específico)
(volume da barra)
(peso da barra)
P
mm V
V
m g V g P V g
P Pg
V V
V A L
PP A L
A L
A reação no apoio é obtida de seguinte forma:
0 0 0x VA VA
VA
F R P R A L
R A L
Determinada a reação no apoio, podemos traçar
o gráfico de esforço solicitante. A força normal N
é o único esforço solicitante não-nulo na estrutura.
Corte I (0 ≤ x ≤ L):
0 0xF N x A x A L
N x A L x
VAR
Pela expressão, observamos que esforço varia ao
longo de x. Para traçarmos o diagrama,
dois valores são suficientes.
0 0 0
0
x N x A L N A L
x L N x L A L L N
Diagrama do Esforço Normal:
N x A L x
Como a seção transversal A é constante e a força peso
varia linearmente, o cálculo da tensão normal fica:
A L xNL x
A A
Para traçarmos o diagrama, dois valores de x são suficientes.
0 0 0
0
x x L L
x L x L L L
A deformação ao longo da barra fica:
xx x x xE L x
E E
Para determinação do deslocamento longitudinal, temos:
0 0 0 0
2
2
L x x L x x
Ndx dx
E A
A L xNdx dx dx dx
E A E A
xL x L x
E
N x A L x
Sendo quadrática a função dos deslocamento,
utiliza-se três valores para o desenho do diagrama
2
2
2
2 2
00 0 0 0
2
322 2 2 2 8
2 2
x L x L L xE
LL LL Lx L x L L x
E E
L Lx L L x L L L L x
E E
2
2
xL x L x
E
Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Nos estudos anteriores, foram avaliadas apenas as
estruturas como isostáticas, ou seja, com o número de
equações igual ao número de incógnitas. Para tanto,
era suficiente trabalhar com as equações de equilíbrio.
Nos problemas da engenharia, é comum depararmos
com problemas hiperestáticos. Para a resolução destes
problemas, fazemos uso também das Equações
Constitutivas e das Equações de Compatibilidade,
compatibilizando-se deslocamentos.
(equação constitutiva)x xE
Exemplos:
Determinar as Tensões e Deformações na viga.
Determinação dos Esforços:
0 10 0 10
0 (Re !)
0 (Re !)
x A C A C
y
F R R R R
F dundante
M dundante
• Trecho (0≤ x ≤100cm):
0 0x A AB AB AF R N x N x R
• Trecho (0≤ x ≤100cm):
Equação de Compatibilidade:
0 10 0
10
x A BC
BC A
F R N x
N x R
0 0
0
10 1001000 10 0 5,0
10000 10 10000 10
5,0
5,0
AC AB BC
AB AB BC BC
AAA A A
AB
BC
L L L
N L N L
E A E A
RRR R R kN
N kN T
N kN CAB AN x R 10BC AN x R
Deslocamentos:
3
3
3 3
5,0 100 5005,0 10
10000 10 100000
5,0 1005,0 10
10000 10
5,0 10 5,0 10 0
AB ABB AB
BC BCBC
C AC AB BC
N LL L cm
E A
N LL cm
E A
L L L L cm
Tensões:
2 2
2 2
5,00,5 / ou 0,5 / (T)
10
5,00,5 / ou 0,5 / (C)
10
ABAB
AB
BCBC
BC
NkN cm kN cm
A
NkN cm kN cm
A
Deformações:
35
35
5,0 105,0 10
100
5,0 105,0 10
100
ABAB
AB
BCBC
BC
L
L
L
L
4)
vínculo liberado
(situação hipotética)
(deslocamento hipotético)
(força hipotética)
(deslocamento hipotético)
Determinar esforço normal na viga da figura abaixo.
0
0 0
T F
T
F
T F
L L
L L T
F LL Compressão
E A
F LL L L T
E A
FT F E A T
E A
O deslocamento total é a soma do deslocamento
devido à ação do aumento da temperatura e
do deslocamento devido a imposição da força axial. Como
precisamos descobrir F, de modo que o deslocamento seja
nulo, utilizamos a seguinte equação de compatibilidade:
5) Determinar as tensões normais
que surgem em ambos os materiais.
Esforços:
• Trecho (0≤ x ≤100cm):
Equação de Compatibilidade:
1 2
0 10 0 10
10
x BA BAF N x N x kN
N N kN
1 2
1 2 11 2
1 2 2
1 2 1 2
100000,5
20000
L L
N L N L EN N
E A E A E
N N N N
Substituindo (II) em (I):
2 2 2 2
2
1
200,5 10 1,5 10
3
20
3
10
3
N N N N kN
N kN
N kN
Tensões:
2 211
1
2 222
2
1013 / /
10 3
2023 / /
10 3
NkN cm kN cm
A
NkN cm kN cm
A
6) Determinar o deslocamento vertical no
ponto “α” da estrutura.
Dados: E=10.000 kN/cm2 e A=10 cm2 .
0 0
0 1,0 0 1,0
0 100 1,0 200 0 2,0
0
1,0 ou 1,0 kN ( )
2,0 (T)
x HA
y VA VA
A
HA
VA
F R kN
F R N R N
M N N kN
R kN
R kN
N kN
estrutura isostática
Por semelhança de triângulos:
3
1,5100 150
2,0 1001,5 1,5
10.000 10
3003,0 10
100000
LL
N Lcm
E A
cm cm
Eq. de Compatibilidade:
7) Determinar o deslocamento vertical no
ponto “B”:
1 2 1 2
2 2
1 1
0 Re !!!!!!
0 1,0 0 1,0
20 1,0 200 300 0
3
2 11,0
3 3
x
y
A
F dundante
F N N N N
M N N kN
N N kN
estrutura isostática
Equação de Compatibilidade:
231 1
1 1 5
1 1
232 2
2 2 5
2 2
1 100 1,0 10 13 1010000 10 3,0 10 3
2 100 2,0 10 23 1010000 10 3,0 10 3
N LL L cm
E A
N LL L cm
E A
Por semelhança de triângulos:
2 1 1
2 1 1
3 3 3
3 3
3 3
300 200
1,5
2 1 110 10 1,5 10
3 3 3
1 1,510 1,5 10
3 3
2,5 510 1,5 10
3 9
B
B
B
B
B B
L L L L
L L L L
L
L
L L cm
Equação de compatibilidade:
8) Determinar o deslocamento vertical no
ponto “C”.
24 4
5
0 0
0 1,0 0 1,0
0 1,0 1,0 2,0 0 2,0 ou N=2,0kN
:
2,0 1,0 102,0 10 ou 2,0 10 (encurtamento)
1,0 10 10
x HB
y VB VB
B
F R kN
F N R N R
M N N kN C
Deslocamento
N LL L cm L cm
E A
Equação de Compatibilidade:
Por semelhança de triângulos:
4
4
2,01,0 2,0
2,0 2,0 10
4,0 10
L cc L
c cm
c cmObs: Medidas dos lados do
triângulo são sempre positivas,
ou seja, desconsidera-se o sinal
negativo de .L
9) Determinar os esforços normais
nas barras da treliça:
0 0
1 3 1 3
0 0
1 2 3
0
1 2 1 2
0 cos 45 cos 45 0
0 45 45 0
2 45 2
x
y
F N N N N
F N sen N N sen F
N sen N F N N F
Nota-se que as barras I, II e III encontram-se
em tração. Sabemos que haverá deslocamento
na direção “y” e que este atinge as três barras. Considerando
pequenos deslocamentos, admite-se que o ângulo entre as
barras pouco varia, por isso é conveniente preservá-lo.
Equação de Compatibilidade:
Analisando a estrutura antes da deformação:
(III) em (II):
1 1 2 2 2
2
N L N L
E A E A
2 2
1 3 2L L L L L
1 22 1
2 22
2
N L N LN N
E A E A
Em (I):
1 2
1 1 1
1
2
2 2 2 2
2 2
N N F
N N F N F
FN
1
2
3
2 2
2
2 2
2 2
FN T
FN T
FN T
Concentração de Tensões:
Em barras carregadas axialmente a mudança brusca
da geometria e a existência de superfícies angulosas
acarretam em um regiões em que as tensões
apresentam distribuição não uniforme (não-linear).
Seja a figura abaixo:
A tensão máxima (σmáx) pode ser obtida através de ábacos,
conhecendo-se para tanto o fator de concentração de tensões “k” e a
tensão normal ou nominal média “σméd”, calculada na seção do furo.
( 2 )méd nom
N F
A w r t
máx médk
( 2 )máx
k F
w r t
Desde que k seja conhecido e a tensão normal
média tenha sido calculada por σméd = F/A, onde A é a menor
área da seção transversal (veja nas figuras IV), então pela
equação anterior, a tensão máxima na seção transversal é:
máx
Fk
A
Valores específicos de K são obtidos graficamente, com base
em carregamento estático, sob a hipótese de que a tensão no
material não exceda o limite de proporcionalidade, sendo que
K independe das propriedades do material, apenas da
geometria da barra e do tipo de descontinuidade.
Se uma barra (figura abaixo) requer mudança brusca
na seção transversal, foi determinado teoricamente
que um canto vivo produz fator de concentração
maior que 3, ou seja, a tensão normal máxima será
três vezes maior que a tensão normal média na seção
menor.
Entretanto, essa tensão se
reduzirá a digamos, 1,5,
caso seja introduzida uma
curva de concordância e,
adicionalmente, por meio
de furos ou sulcos. Estes
ajudam na redução da
rigidez do material, de
modo que a deformação e a
tensão sejam mais bem
distribuídas na barra.
curva de concordância:
Exercícios:
1) Supondo que a tensão
normal admissível para a
barra seja σadm =16,2 ksi,
determinar a força axial
máxima P que pode ser
aplicada à barra.
A tensão normal máxima ocorre na menor
seção transversal, na curva de concordância. O fator de
concentração é determinado a partir dos gráfico para barras com
curvas de concordância, onde:
22
11,4
0,50,5
1
w pol
h polk
r pol
h pol
21 0,5
méd
P PP
h t pol pol
Calculando a tensão normal média na
menor seção transversal:
A tensão máxima é, portanto:
16,2 1,4 2
5,79
máx méd
adm máx méd
k
k
ksi P
P kip
2) A tira de aço mostrada na figura abaixo
está submetida a uma carga axial de 80 kN.
Determinar a tensão normal máxima desenvolvida
na tira e o deslocamento de uma das extremidades
em relação à outra. O aço tem limite de escoamento
σE = 700MPa e Eaço = 200 GPa.
Por inspeção, a tensão normal máxima
ocorre na menor seção transversal, onde
a curva de concordância começa em B ou C. O fator de concentração é
determinado a partir do gráfico para barras com curva de
concordância, onde:
402
201,6
60,3
20
w mm
h mmk
r mm
h mm
380 101,6 640
0,02 0,01
méd
máxmáx
méd
P
h t P Nk MPa
h t m mk
A tensão máxima e o deslocamento ΔLAD
são, portanto:
3 3
9 2 9 2
80 10 0,3 80 10 0,82
200 10 / 0,04 0,01 200 10 / 0,02 0,01
2,20
AD AB BC CD
BC CDABAD
AB BC CD
AD
AD
L L L L
P L P LP LL
E A E A E A
N m N mL
N m m m N m m m
L mm
Material Elastoplástico Perfeito:
São modelos idealizados.
Para níveis de tensões superiores ao da
tensão de escoamento, o material se deforma sem que hajam
novos incrementos de força.
A
F dA
Para níveis de força superiores a F* a seção do furo começa a ser
plastificada.*F F *F F
* *
1F F limp iteF F
Essa carga de plastiticação FP é determinada pela condição
de equilíbrio:
p e e
A
F dA A
Sendo:
• σe é a tensão de escoamento;
• A, a área da seção transversal da barra.
Obs: Para um nível de força levemente superior a FP , a barra deforma-se
indefinidamente, ou seja, FP é o valor de força limite que o elemento estrutural
suporta.
Exercícios:
1) A barra da figura é feita de aço e supõe-se seja
perfeitamente elástica, com σe = 250 Mpa.
Determinar:
(a) o valor máximo da carga P que pode ser aplicada
sem provocar escoamento do aço;
(b) o valor máximo de P que a barra pode suportar.
(a) Determinando K,com o auxílio do gráfico
para barras com curvas de concordância:
40,125
40 81,75
401,25
40 8
r mm
h mmk
w mm
h mm
A carga máxima, sem provocar
escoamento, ocorre quando σmáx = σe.
(b)
6250 100,002 0,032
16,0
Pe
P
P
P
A
PPa
m m
P kN
6250 10 1,750,002 0,032
9,14
e méd
ee
P
p
k
Pk
A
PPa
m m
P kN
2) O peso está suspenso por arames de aço e
alumínio de mesmo comprimento inicial, 3 m, e
área de seção transversal de 4 mm2. Supondo que os
materiais sejam elásticos, com (σe)aço=120 MPa e
(σe)alumínio=70 MPa, determinar a força em cada arame se o
peso for (a) 600 N e (b) 720 N. Sabe-se que Ealumínio=70 GPa e
Eaço=200 GPa.
0 0y alumínio aço
alumínio aço
F F F W
F F W
a) 600 600
0,3570 200
alumínio aço
alumínio aço
aço açoalumínio alumínioalumínio aço
alumínio aço
W N F F
L L
F L FF L FF F
E A E A
(II) em (I):
444,450,35 600
155,55
aço
aço aço
alumínio
F NF F
F N
Como a tensão em ambos os fios é menor do que a tensão
elástica máxima admissível, os fios permanecem deformados
elasticamente. Portanto, Faço = 444,45 N e Falumínio = 155,55N.
6
6
155,5538,88 70
4 10
444,45111,11 120
4 10
alumínioalumínio alumínio e alumínio
aço
aço aço e aço
FMPa MPa MPa
A
FMPa MPa MPa
A
b) 720 720
0,3570 200
720 186,67
533,330,35
alumínio aço
alumínio aço
aço açoalumínio alumínioalumínio aço
alumínio aço
alumínio aço alumínio
açoalumínio aço
alumí
W N F F
L L
F L FF L FF F
E A E A
F F F N
F NF F
6
6
186,6746,67 70
4 10
533,33133,33 120
4 10
alumínionio e alumínio
aço
aço e aço
FMPa MPa MPa
A
FMPa MPa MPa
A
A tensão no fio de alumínio é menor que
Sua tensão de escoamento, assim para a
carga de 186,67 N ele permanece deformado
elasticamente. Porém o fio de aço, a tensão é maior
do que a tensão de escoamento, se deformando
plasticamente. Para o aço calculamos uma nova
carga F a partir da sua tensão de escoamento.
Assim:
6 6120 10 4 10 480
aço e aço
aço
F A
F N
Substituindo na equação (I):
Portanto para um peso de 720 N, Faço = 480 N e
Falumínio = 240N.
6 6
6
120 10 4 10 480
480 720 240
24060 70
4 10
aço aço
alumínio alumínio
alumínioalumínio e alumínio
F F N
F F N
FMPa MPa
A
