Bases-Conversao-1

APOSTILA 1 – CONVERSÃO DE BASES Prof. Murilo Parreira Leal, M.Sc.

Arquitetura e Organização de Computadores Circuitos Digitais

10/09/07 – Pág. 1

1 – HISTÓRICO

1.1 – Dispositivos Mecânicos

� ÁBACO (Mesopotâmia – 3.500 A.C.)

O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical. Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se contar nos dedos. Cada bastão contém dez bolas móveis, que podem ser movidas para cima e para baixo. Assim, de acordo com o número de bolas na posição inferior, temos um valor representado. Pode haver variações, como na figura ao lado, onde se fazem divisões na moldura e o número de bolas é alterado. Observe que na figura temos o número 6302715408 (por exemplo 8=5+3, com a parte superior representando múltiplos de 5, neste caso 0,5 e 10). IMPORTANTE: Utilização da Notação Posicional.

� MÁQUINA DE PASCAL (1642) - França

Contador mecânico (soma e subtração) através de rodas e seis engrenagens com dez dentes. Ao realizar uma volta completa em uma engrenagem, ela voltava a zero e provocava um deslocamento na engrenagem adjacente à esquerda (odômetro). Utilizava, portanto, dois “registradores”, onde eram introduzidos os valores a serem operados. Um destes recebia o resultado final (soma ou subtração), sendo por isso denominado “acumulador”. Utilizava, portanto o “vai um” e a subtração por “complemento”. IMPORTANTE: Conceito de Registrador e Acumulador. Complemento à base 10 para subtração.



10/09/07 – Pág. 2

� CALCULADOR DE LEIBNIZ (1671) - Alemanha

Semelhante ao de PASCAL, acrescido de dois conjuntos adicionais de rodas que permitiam a realização de mais duas operações (multiplicação e divisão). IMPORTANTE: Multiplicação: Somas sucessivas. Divisão: Subtrações sucessivas.

� JOSEPH JACQUARD (1802) - França

Em 1802 - na França, Joseph Marie Jacquard passou a utilizar Cartões Perfurados para controlar suas máquinas de tear e automatizá-las. IMPORTANTE: Dispositivo de entrada de dados: Utilização de cartões perfurados para programar tear (tecelagem).



10/09/07 – Pág. 3

� CHARLES BABBAGE (1822) – Inglaterra

A Máquina das Diferenças (método matemático das diferenças finitas) foi inventada por BABBAGE para a Marinha Real com o objetivo de gerar tabelas de navegação. A sua máquina realizava sucessivas adições e subtrações através de uma espécie de “Máquina de Pascal a vapor”, imprimindo os resultados (tabelas) em placas de cobre que serviam de matriz para a impressão final em papel. Estas tabelas anteriormente eram calculadas e escritas à mão, uma a uma, gerando diversos erros.

Projetou também a Maquina Analítica, capaz de executar diferentes cálculos a partir de um programa que podia modificar o funcionamento da máquina. Apesar de mecânico, é considerado o primeiro computador por possuir os componentes: memória, processador e saída (perfurador de cartões, baseado na idéia de Jacquard). IMPORTANTE: Dispositivo de saída (impressora).

� HOLLERITH (1889) – U.S.A

Usava cartão perfurado para guardar dados e uma máquina tabuladora mecânica acionada por motor elétrico, que contava, classificava e ordenava informações. Utilizada no censo de 1890. O censo de 1880 consumiu 10 anos de trabalho manual em tabulação dos resultados, enquanto o de 1890 demorou apenas 2 anos e meio, apesar do aumento da população de 50 para 63 milhões de pessoas. O nome inicial da empresa de Hollerith era Tabulating Machine Company, e foi mudado posteriormente para IBM – International Business Machines em 1924. IMPORTANTE: Integração entre calculadora e dispositivos de entrada (cartão) e saída (impressora).

1.2 – Dispositivos Eletromecânicos

� KONRAD ZUSE (1935) - Alemanha

Primeira calculadora (Z1): usava relés eletro-mecânicos para armazenamento, teclado para entrada e lâmpadas para saída. Era um dispositivo binário. O último computador de Zuse foi o Z4, já controlado por programa e foi utilizado pelos alemães no desenvolvimento de aviões a jato e mísseis na Segunda Guerra Mundial. Seu trabalho foi perdido por causa dos bombardeios aliados. IMPORTANTE: Já usava dispositivo binário.



10/09/07 – Pág. 4

� HOWARD AIKEN (1944) – U.S.A

Baseado na máquina de Babbage. O Mark I era uma calculadora eletromecânica muito grande (NÃO ERA COMPUTADOR), que utilizava engrenagens decimais acionadas por relés. IMPORTANTE: Era uma calculadora decimal e não binária. Como o Z4 de Zuse foi destruído, o Mark I representou o ponto de partida da computação moderna.

1.3 – Computadores de Primeira Geração

Já no século XX, um grande número de projetos foram implementados, baseados na utilização de

relés e válvulas eletrônicas, para a realização de cálculos automaticamente. Uma das grandes vantagens das máquinas a relé sobre as máquinas de calcular mecânicas era, sem dúvida, a maior velocidade de processamento. Ainda, um outro aspecto positivo era a possibilidade de funcionamento contínuo, apresentando poucos erros de cálculo e pequeno tempo de manutenção.

RELÉ E VÁLVULA

� Relés são eletroímãs cuja função é abrir ou fechar contatos elétricos com o intuito de interromper ou estabelecer circuitos.

� Válvula é um dispositivo que conduz a corrente elétrica num só sentido, interrompendo ou estabelecendo circuitos semelhantemente ao relé.

Os computadores da primeira geração são todos baseados em tecnologias de válvulas

eletrônicas. Normalmente quebravam após não muitas horas de uso. Tinham dispositivos de entrada/saída primitivos e calculavam com uma velocidade de milissegundos (milésimos de segundo). Os cartões perfurados foram o principal meio usado para armazenar os arquivos de dados e para ingressá-los ao computador. A grande utilidade dessas máquinas era no processamento de dados. No entanto tinham uma série de desvantagens como:

� Custo elevado, � Relativa lentidão, � Pouca confiabilidade, � Grande quantidade de energia consumida � Necessitavam de grandes instalações de ar condicionado para dissipar o calor gerado

por um grande número de válvulas (cerca de 20 mil).

� JOHN V. ATANASOFF – Inglaterra O ABC (Atanasoff Berry Computer) foi criado em 1939. Foi o primeiro a usar válvulas para circuitos lógicos e o primeiro a ter memória para armazenar dados, princípio no qual se baseiam os computadores digitais. (NÃO ERA COMPUTADOR)



10/09/07 – Pág. 5

� JOHN MAUCHLY e JOHN P. ECKERT (1946) – U.S.A.

Desenvolveram o ENIAC (Electronic Numeric Integrator and Calculator). Primeiro computador digital. Este computador decimal (NÃO ERA BINÁRIO) foi criado para auxiliar o exército americano na confecção de tabelas balísticas (artilharia). Foi empregado também nos complexos cálculos em relação à bomba-H. Não usava um programa de armazenamento interno. Os programas eram introduzidos por meio de conexões de cabos (800 km), como as antigas centrais telefônicas, o que fazia sua preparação para cálculos demorar semanas. Ocupava 170 m², pesava 30 toneladas, funcionava com 18 mil válvulas e 10 mil capacitores, além de milhares de resistores a relé, consumindo uma potência de 150 kW. Como tinha vários componentes discretos, não funcionava por muitos minutos seguidos sem que um deles quebrasse. Chega a ser, em algumas operações, mil vezes mais rápido que o MARK I. Utilizava 20 registradores de 10 dígitos. A entrada de dados no ENIAC era baseada na tecnologia de cartões perfurados e os programas eram modificados através de reconfigurações no circuito. Apesar das dúvidas com relação à sua confiabilidade, o ENIAC permaneceu operacional por mais de 10 anos.

Seus idealizadores fundaram a UNIVAC, que se uniu recentemente à BURROUGHS constituindo a UNISYS CORPORATION.



10/09/07 – Pág. 6

� JOHN VON NEUMANN (1945)

Publicou um relatório (NEUM 45) sobre o EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer), que seria o sucessor do ENIAC. Este relatório sugeria a utilização:

� Do mesmo tipo de componente eletrônico de armazenamento dos dados para registro do programa, o que evitaria a dificuldade da programação pelas conexões.

� Da base binária, o que reduziria custos e melhoria a confiabilidade (representar dois níveis de tensão é mais fácil do que dez).

Suas idéias foram utilizadas no IBM 650 (o primeiro computador da IBM), e no UNIVAC (Universal Automatic Computer), que foi o primeiro computador a ser fabricado em linha. Em 1961 chegou o primeiro computador no Brasil: um UNIVAC 1105, ainda com válvulas, para o IBGE.

1.4 – Computadores de Segunda Geração

Em 1947, cientistas da BELL LABORATORIES produziram o efeito transistor em diodo

semicondutor com terceiro elemento. O transistor pôde substituir a válvula com as vantagens:

� Redução da dissipação de calor e do consumo de energia � Redução do espaço físico necessário para a instalação � Redução do custo do empreendimento � Aumento do desempenho (mais rápido) � Aumento da confiabilidade (válvulas queimam com

freqüência devido ao calor ou se quebram pela fragilidade do vidro)

Exemplos de computadores dessa geração são o IBM 1401 e o Honeywell 800. O IBM 1401

apareceu na década de 60 e com ele a IBM assumiu uma posição dominante na indústria de computadores.

A Digital Equipment Corporation tinha então uma posição proeminente no setor com sua linha

PDP. O primeiro minicomputador foi o PDP-1, criado em 1959 e instalado em 1961. O primeiro produzido comercialmente foi o PDP-5.

Um dos computadores mais comercializados nesta época foi o IBM 7090, que eram

comercializados a um custo de três milhões de dólares. Já no início dos anos 60, a IBM passou a produzir os computadores da linha IBM 7040, que eram menos poderosos que seus predecessores, mas de custo bastante inferior. parecimento das primeiras linguagens de alto nível (FORTRAN, COBOL).



10/09/07 – Pág. 7

1.5 – Computadores de Terceira Geração

Em 1958, cientistas da TEXAS INSTRUMENTS colocaram dois transistores em uma peça de

germânio. A tecnologia dos circuitos integrados, que permitiu a substituição de dezenas de transistores numa única peça de silício, permitiu o surgimento de computadores de menores dimensões, mais rápidos e menos caros. Com esses circuitos integrados o tempo passou a ser medido em nanossegundos (bilionésimos de segundos). A integração permitiu o aparecimento de uma nova geração de máquinas mais poderosas e menores.

Estas tecnologias permitiam a integração de até

65.000 transístores em uma pastilha. Com isso os computadores eram menores, mais confiáveis, com maior velocidade de operação e um custo bem mais baixo do que as máquinas das gerações anteriores.

Nível de Integração Número de Portas

Pequena Escala (SSI) Menos de 12 Média Escala (MSI) 12 a 90 Grande Escala (LSI) 100 a 9.999

Os grandes computadores (“Main-frames”) surgiram inicialmente para funções muito especiais,

devido ao seu alto custo (isso ainda acontece hoje com os supercomputadores, cuja utilização é muito restrita a fins científicos). Gradativamente foram sendo vendidos para grandes empresas, diminuindo o seu custo e se popularizando.

O exemplo típico dessa geração foi o IBM 360, série que introduziu o conceito de família de

computadores compatíveis, facilitando a migração dos sistemas quando é necessário mudar para um computador mais potente.



10/09/07 – Pág. 8

1.6 – Computadores de Quarta Geração

A integração em VLSI (Very Large Scale Integration) caracteriza dispositivos eletrônicos

capazes de armazenar em um único invólucro milhões de diminutos componentes. Permitiu o aparecimento dos computadores pessoais (PC), menores e mais rápidos que seus antecessores. O maior número de transistores integrados aumenta a capacidade de um processador, porém aumenta a energia dissipada (calor). Este problema tem sido um dos grandes obstáculos à integração cada vez maior dos processadores.

Nível de Integração Número de Portas Muito Grande Escala (VLSI) 10.000 a 99.999 Ultra Grande Escala (ULSI) Maior que 100.000

Em 1971 a INTEL CORPORATION (Califórnia) produziu a primeira UCP em uma só pastilha

de circuito integrado – o INTEL 4004, para ser utilizada em uma calculadora. Possuía palavra de 4 bits e 2.300 transistores. Tinha a mesma capacidade do ENIAC. O seu sucessor, o 8008, que possuía palavra de 8 bits e podia endereçar 16 KB de memória. Devido ao sucesso inesperado do 8008, que se destinava a controladores de vídeo, a INTEL lançou em 1973 o 8080, com 5.000 transistores, palavra de 8 bits e podia endereçar 64 KB de memória. Só para ter uma idéia, o Pentium I possui 3,5 milhões de transistores, palavra de 32 bits, e pode endereçar 4GB de memória.

O primeiro microcomputador foi o Altair, projetado e construído pela empresa MITS, baseado

no processador 8080 e utilizando um interpretador da linguagem BASIC, desenvolvido por Bill Gates e Paul Allen (Microsoft).

Sthephen Wozniak e Steve Jobs formaram em 1976 uma pequena empresa, a Apple, onde

construíram, numa garagem de fundo de quintal, o Apple I. Um ano depois, com um novo e melhor projeto, surge o Apple II, primeiro microcomputador com grande sucesso comercial e, mais tarde, o Apple III. Em 1983 entra no mercado o Lisa e em 1984 o Macintosh, com tecnologia de 32 bits.

O mercado de computadores pessoais se constituiu de equipamentos fabricados em torno dos

microprocessadores. Inicialmente, a disputa era entre a Intel, Motorola e Zilog (processadores de 8 bits). Os dois primeiros prevaleceram na arquitetura de 16 bits, estabelecendo os dois tipos de computadores pessoais utilizados ate hoje, ou seja, o padrão PC (Intel) e o Macintosh (Motorola).



10/09/07 – Pág. 9

� Modelo: TK-82 � Fabricante: Microdigital Eletrônica Ltda � Ano: 1981 � Processador: Z-80A (ZILOG) � Clock: 3.25 MHz � RAM: 16 KB � Vídeo: Televisão � Resolução (texto): 22 linhas X 32 colunas � Resolução (gráfico): 44 linhas X 64 colunas � Linguagem: Basic

� Modelo: CP 500 � Fabricante: Prológica Ind. Com. Micro. Ltda � Ano: 1982 � Processador: Z80A (ZILOG) � Clock: 2 MHz � RAM: 48 KB � Vídeo: Monitor � Resolução: 16 linhas X 64 colunas � Sistema Operacional: CP/M, DOS 500 � Linguagem: Basic

� Modelo: Apple II � Fabricante: Apple Computer Inc. � Ano: 1983 � Processador: 65C02 (MOTOROLA) � Clock: 1.4 MHz � RAM: 128 KB � Vídeo: Monitor � Resolução (texto): 24 linhas X 80 colunas � Resolução (gráfico): 560 linhas X 192 colunas � Sistema Operacional: DOS 3.3 � Linguagem: Basic

� Modelo: IBM PC � Fabricante: International Business Machines � Ano: 1981 � Processador: 8088 (INTEL) � Clock: 4.77 MHz � RAM: 256 KB � Vídeo: Monitor. � Sistema Operacional: DOS 3.3 � Linguagem: Basic



10/09/07 – Pág. 10

Alguns fabricantes (Cyrix, AMD, Texas) copiavam os processadores da Intel, conquistando

mercado pelo seu preço mais baixo. A AMD (Duron, Athlon) hoje já compete com a Intel em qualidade, chegando até a comandar as tendências de desenvolvimento em algumas áreas (não é mais um “clone”). A Zilog abandonou o mercado de microcomputadores, se especializando em microprocessadores para controle de processos (microcontroladores).

MICROPROCESSADOR DATA PALAVRA ENDEREÇAMENTO

INTEL 4004 1971 4 1 KB INTEL 8080 1973 8 64 KB ZILOG Z-80 1974 8 64 KB MOTOROLA 6800 1974 8 64 KB ZILOG Z-8000 1979 16 1 MB MOTOROLA 68000 1979 32 16 MB INTEL 8088 1980 16 1 MB INTEL 80286 1982 16 16 MB MOTOROLA 68010 1983 32 16 MB MOTOROLA 68020 1984 32 4 GB INTEL 80386 1985 32 4 GB MOTOROLA 68030 1987 32 4 GB MOTOROLA 68040 1989 32 4 GB INTEL 80486 1989 32 4 GB INTEL PENTIUM I 1993 32 4 GB INTEL PENTIUM PRO 1995 32 64 GB INTEL PENTIUM II 1997 32 64 GB AMD K6 1997 32 4 GB AMD K6-2 1998 32 4 GB INTEL PENTIUM III 1999 32 64 GB AMD ATHLON 1999 32 64 GB

2 – CONCEITOS BÁSICOS O computador é dividido em duas partes:

� Hardware: Dispositivos e equipamentos. Parte física, palpável. � Software: Programas. Parte lógica, não palpável.

Desde o relatório de Von Neumann (NEUM 45) utiliza-se a representação binária nos

computadores, pelos vários motivos citados anteriormente. Utiliza-se então a “Álgebra Booleana”, baseada em dois estados (SIM/NÃO, ABERTO/FECHADO, LIGADO/DESLIGADO, etc.) como a base matemática dos computadores digitais (binários). A menor unidade de informação é o “bit” ou binary digit (b) que pode ter apenas dois valores: 0 ou 1 (0 V ou 5 V, respectivamente).

A primeira definição formal atribuída a um grupo ordenado de bits foi instituída pela IBM: o

“byte” (B) possui 8 bits, tratados de forma individual. Em grandezas métricas utiliza-se o K para representar mil vezes. Como os computadores

binários referem-se à potência de 2, temos: � 1 B = 8 b � 1 KB = 210 B ou 1024 B ou 8192 b � 1 MB = 220 B ou 1024 KB ou 1.048.576 B ou 8.388.608 b � 1 GB = 230 B ou 1024 MB ou 1.073.741.824 B ou 8.589.934.592 b � 1 TB = 240 B ou 1024 GB � 1 PB = 250 ou 1024 TB



10/09/07 – Pág. 11

Por costume omitiu-se a palavra byte da abreviatura, assim 50GB são representados por 50G (deve-se tomar cuidado para não confundir com o K (103), M (106), ou G (109), decimais).

No entanto, o menor grupo de bits representando uma informação útil e inteligível para o ser

humano é o “caractere”. Cada caractere armazenado em um sistema de computação é convertido em um conjunto de bits previamente definido por um código de representação de caracteres (exemplo: tabela ASCII). Cada código define quantos bits serão utilizados para representar os caracteres.

O mesmo relatório de Von Neumann sugeriu que os dados e programas deveriam ser

armazenados no mesmo meio físico (memória). A “Arquitetura Harvard” separa a memória de programa da memória de dados, sendo mais utilizada em microcontroladores e obtendo uma maior rapidez na execução das instruções.

“Processamento” consiste na interpretação e execução de instruções (conjunto de bits) pelo

microprocessador. “Programa” ou “software” é portanto, uma seqüência de instruções que são interpretadas e executadas pelo processador. Estas instruções (ou seja, os programas) são trazidas da memória RAM ao processador para que possam ser executadas.

Cada processador possui uma lista de instruções que ele é capaz de executar, chamada

“Conjunto de Instruções”. Dois processadores que tenham “Conjuntos de Instruções” diferentes são incompatíveis, pois um processador não conseguirá entender as instruções contidas em um programa escrito para um outro conjunto (por exemplo, um PC e um MacIntosh).

O número de bits em uma instrução é denominado “tamanho da palavra” ou simplesmente

“palavra”. Quanto maior a “palavra”, maior é o “Conjunto de Instruções” e, portanto, maior a complexidade do processador. Se um processador trabalha com “palavras” de 32 bits, ele será mais rápido do que um de 16 bits.

DADO

PROCESSAMENTO

INFORMAÇÃO

��

��

��

��

��

��

��

!��

"��

!��#"��



10/09/07 – Pág. 12

3 – NOTAÇÃO POSICIONAL

Notação Posicional: Os algarismos componentes de um número assumem valores diferentes,

dependendo de sua posição relativa no número. O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo.

A notação posicional é uma conseqüência da utilização dos numerais hindu-arábicos. Os

números romanos, por exemplo, não utilizam a notação posicional. Desejando efetuar uma operação de soma ou subtração, basta colocar um número acima do outro e efetuar a operação desejada entre os numerais, obedecendo a sua ordem. A civilização ocidental adotou um sistema de numeração que possui dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), chamado sistema decimal.

A quantidade de algarismos de um dado sistema é chamada de base; portanto, no sistema

decimal a base é 10. O sistema binário possui apenas dois algarismos (0 e 1), sendo que sua base é 2. Exemplos: 432510 = 5 X 100 + 2 X 101 + 3 X 102 + 4 X 103

10112 = 1 X 20 + 1 X 21 + 0 X 22 + 1 X 23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 1110 36218 = 1 X 80 + 2 X 81 + 6 X 82 + 3 X 83 = 193710

Generalizando, num sistema de numeração posicional qualquer, um número N é expresso da

seguinte forma:

N = dn-1 X bn-1 + dn-2 X bn-2 + ... + d1 X b1 + d0 X b0

� d indica cada algarismo do número; � n-1, n-2, n-3, 1, 0 indicam a posição (ordem) de cada algarismo; � b indica a base de numeração; � n indica o número de dígitos (ordens).

Observações importantes: � O número de algarismos diferentes em uma base é igual à própria base. � Em uma base “b” e utilizando “n” ordens temos bn números diferentes.

4 – CONVERSÃO DE BASES

A tabela a seguir mostra a equivalência entre as bases decimal, binária, octal e hexadecimal:

DECIMAL BINÁRIO HEXADECIMAL OCTAL 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 8 10 9 1001 9 11

10 1010 A 12 11 1011 B 13 12 1100 C 14 13 1101 D 15 14 1110 E 16 15 1111 F 17



10/09/07 – Pág. 13

4.1 – Base binária para base Octal ou Hexadecimal

Devemos observar que os dígitos octais e hexadecimais correspondem a combinações de 3

(octais) e 4 (hexadecimais) bits (ou seja, da representação binária), permitindo a fácil conversão entre estes sistemas.

1011110111012 = 57358 1011110111012 = BDD16

4.2 – Base Octal ou Hexadecimal para base binária

A conversão inversa, ou seja de octal ou hexadecimal para binário deve ser feita a partir da

representação binária de cada algarismo do número, seja octal ou hexadecimal.

4.3 – Base Octal para base Hexadecimal (e vice-e-versa) Uma vez que a representação binária de um número octal é idêntica à representação binária de

um número hexadecimal, a conversão de um número octal para hexadecimal consiste simplesmente em agrupar os bits não mais de três em três (octal), mas sim de quatro em quatro bits (hexadecimal), e vice-e-versa.

4.4 – Base B (qualquer) para base Decimal

Utilizamos a definição de Notação Posicional: 1011012 = ?10 b = 2, n = 6: 1 X 25 + 0 X 24 + 1 X 23 + 1 X 22 + 0 X 21 + 1 X 20 = 32 + 8 + 4 + 1 = 4510

278 = ?10 b = 8, n = 2: 2 X 81 + 7 X 80 = 2310

2A516 = ?10 b = 16, n = 3: 2 X 162 + 10 X 161 + 5 X 160 = 512 + 160 + 5 = 67710

4.5 – Base Decimal para base B (qualquer)

Consiste no processo inverso do item 2.4, ou seja, temos que efetuar divisões sucessivas do

número decimal pela base desejada, até que o quociente seja menor que a referida base. Utilizamos os restos e o último quociente para formação do número desejado:

396410 = ?8 2510 = ?2 275410 = ?16 3964 : 8 = 495 (resto 4) 25 : 2 = 12 (resto 1) 2754 : 16 = 172 (resto 2) 495 : 8 = 61 (resto 7) 12 : 2 = 6 (resto 0) 172 : 16 = 10 (resto 12) 61 : 8 = 7 (resto 5) 6 :2 = 3 (resto 0) Logo: 275410 = AC216 Logo: 75748 3: 2 = 1 (resto 1) Logo: 110012



10/09/07 – Pág. 14

5 – ARITMÉTICA BINÁRIA, OCTAL E HEXADECIMAL

5.1 – Soma e Subtração Binária

Existem apenas dois caracteres na base 2, ou seja, “0” e “1”. Percebemos que ao efetuarmos a

soma “1 + 1”, não existe um algarismo maior do que “1” para representar o resultado. Assim sendo, utilizamos a Notação Posicional, atribuindo “0” naquela ordem e enviando “1” para a ordem à esquerda (ou seja, o conhecido “vai 1”). Efetuando a subtração “0 – 1”, o processo é inverso, ou seja, tomamos “1 emprestado” da ordem à esquerda formando o número “10” (210), sendo então possível a operação. As seguintes expressões resumem todas as operações binárias possíveis:

0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 1 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 + 1 = 10 (0 vai 1) 0 – 1 = 1 (toma emprestado da ordem à esquerda) 1 + 1 + 1 = 11 (1 vai 1)

Exemplos: 1011012 1011012 + 1010112 – 1001112 10110002 0001102

Macetes: Na soma, quando o número superar 1, basta diminuir 2 e acrescentar um na ordem da esquerda (vai um). Na subtração, lembrar que ao pedirmos emprestado da ordem à esquerda estamos somando 2 e não 10 como acontece na base 10.

1001100012 – 0101011012 0100001002 Da direita para a esquerda: a) 1 – 1 = 0 b) 0 – 0 = 0 c) 0 – 1 não é possível. Retira-se uma unidade da 4ª ordem, restando –1 nesta ordem. Somamos

a unidade retirada (vale 2) mais o 0 do minuendo menos o 1 do subtraendo: 2 + 0 – 1 = 1. d) –1 – 1 não é possível. Retira-se uma unidade da 5ª ordem, restando 0 nesta ordem. Somamos

a unidade retirada (10=2) mais o –1 do minuendo menos o 1 do subtraendo: 2 + (–1 ) –1 = 0. e) 0 – 0 = 0. f) 1 – 1 = 0. g) 0 – 0 = 0. h) 0 – 1 não é possível. Retira-se uma unidade da 9ª ordem, restando 0 nesta ordem. Somamos

a unidade retirada (vale 2) mais 0 do minuendo menos o 1 dos subtraendo: 2 + 0 – 1 = 1. i) 0 – 0 = 0.

5.2 – Soma e Subtração Octal

Semelhantemente à soma e à subtração decimais, estas operações devem ser realizadas levando-

se em conta a existência de apenas 8 caracteres. Macetes: Na soma, quando o número superar 7, basta diminuir 8 e acrescentar um na ordem da

esquerda (vai um). Na subtração, lembrar que ao pedirmos emprestado da ordem à esquerda estamos somando 8 e não 10.

4438 73128

+ 6538 – 34658 13168 36258



10/09/07 – Pág. 15

5.3 – Soma e Subtração Hexadecimal

Semelhantemente à soma e à subtração octal, estas operações devem ser realizadas levando-se

em conta a existência de 16 caracteres (0 a F). Macetes: Na soma, quando o número superar 15, basta diminuir 16 e acrescentar um na ordem da

esquerda (vai um). Na subtração, lembrar que ao pedirmos emprestado da ordem à esquerda estamos somando 16 e não 10.

3A943B16 4C7BE816

+ 23B7D516 – 1E927A16 5E4C1016 2DE96E16 5.4 – Multiplicação e Divisão por 2 (Binários)

Os números binários apresentam a facilidade na multiplicação e divisão por 2. A multiplicação

por 2 consiste no simples deslocamento dos bits para a esquerda, no espaço de um bit:

110012 = 2510 1100102 = 5010 A divisão por 2, logicamente, segue o caminho inverso, consistindo no simples deslocamento

dos bits para a direita, no espaço de um bit. O primeiro bit da direita, se diferente de zero, é colocado à direita da vírgula.

1100102 = 5010 110012 = 2510 1100,12 = 12,510



10/09/07 – Pág. 16

LISTA DE EXERCÍCIOS

1) Converter os seguintes valores decimais em valores binários, octais e hexadecimais: a) 32910 b) 28410 c) 47310 d) 6910 e) 13510 Respostas: a) 1010010012 b) 1000111002 c) 1110110012 d) 10001012 e) 100001112 5118 4348 7318 1058 2078

14916 11C16 1D916 4516 8716 2) Converter os seguintes valores binários em valores decimais, octais e hexadecimais: a) 110111010102 b) 110011011012 c) 10000011112 d) 111011000102 e)1110011010012 Respostas: a) 177010 b) 164510 c) 52710 d) 189010 e) 368910 33528 31558 10178 35428 71518

6EA16 66D16 20F16 76216 E6916 3) Converter os seguintes valores octais em valores decimais, binários e hexadecimais: a) 4058 b) 4778 c) 2378 d) 468 e) 7058 Respostas: a) 26110 b) 31910 c) 15910 d) 3810 e) 45310 1000001012 1001111112 100111112 1001102 1110001012

10516 13F16 9F16 2616 1C516 4) Converter os seguintes valores hexadecimais em valores decimais, binários e octais:

a) 3A216 b) 33B16 c) 62116 d) 9916 e) 1ED416 Respostas:

a) 93010 b) 82710 c) 156910 d) 15310 e) 789210 11101000102 11001110112 110001000012 100110012 11110110101002

16428 14738 30418 2318 173248 5) Efetuar as seguintes operações binárias:

a) 11001111012 + 1011101102 b) 1100111102 + 110111112

c) l0001l010002 — 1011011012 d) 1000102 – 111012 = Respostas: a) 100101100112 b) 10011111012 c) 10111110112 d) 1012

6) Efetuar as seguintes operações octais:

a) 3l7528 + 67358 b) 377428 + 265738 c) 23518 — 17638 d) 53468 – 34578

Respostas: a) 407078 b) 665358 c) 3668 d) 16678

7) Efetuar as seguintes operações hexadecimais:

a) 2A5BEF16 + 9C82916 b) 2EC3BA16 + 7C35EA16

c) 64B2E16 — 27EBA16 d) 43DAB16 — 3EFFA16 Respostas: a) 34241816 b) AAF9A416 c) 3CC7416 d) 4DB116 8) Quantos números podem ser representados nas bases 2, 8, 10 e 16 utilizando 2 dígitos?:

Bases-Conversao-1

Documents

Transcript of Bases-Conversao-1