Bases de Gröbner e Aplicações em Otimização
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(M, +)
M
+
M
(M, +)
a,b,c
M
a + (b + c) = (a + b) + c
id+ ∈ M id+ + m = m
m + id+ = m m M
(M, +)
u
M
y
M
y + u = id+ u + y = id+ U (M )
M
U (M ) = M
(M, +)
(M, +)
a + b = b + a
a, b
M
(M, +)
+
x ∈ M
−x
(M, +, ·)
+
·
M
• (M, +)
• (M, ·)
•
a,b,c ∈ M a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c
(M, ·)
(M, ·)
a · b = id+ ⇒ a = id+ b = id+ (M \ {0}, ·)
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+
·
0
1
k ∈ N
Nk := {1, 2, . . . , k}
M
S ⊂ M
S
S = ∅
a, b ∈ M
a − b ∈ M
ab ∈ M
A
n
K
(K[x1, . . . , xn], +, ·) n
K
n
A
n
A
A[x1, . . . , xn]
A[n]
ri=0 aix
αi
r ∈ N αi =
(αi1, . . . , αin) xαi =
n j=1 x j
αij
αi j ∈ N ∪ {0}
f
∈ A[x1, . . . , xn] ai
∈ A
f
xαi
f ai · xαi ai = 0 f M(f )
f
m ∈ M(f ) deg(m) =
rk=0 αk m f ∈ A[x1, . . . , xn]
deg(f ) := max{deg(m) | m ∈ M(f )}
deg(f ) = 1
f
A[x1, . . . , xn]
α
A[x1, . . . , xn] ∩ A
f ∈ A[n]
deg(f ) < 1
f ∈ A
f
(A, +, ·)
(A[x], +, ·)
f + g =max{n,m}i=0 cix
i
ci = ai + bi n m bm+1 = bm+2 = · · · = bn = 0
n m
f · g = n+mi=0 cixi ci = j+k=i a jbk
(A[x1, . . . , xn], +, ·)
A[x1, . . . , xn] = A[x1, . . . , xn−1][xn] n ∈ N n ≥ 2
n = 1
A[x1, . . . , xn−1]
xn A[x1, . . . , xn−1]
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A[x1, . . . , xn] = A[x1, . . . , xn−1][xn] f ∈ A[x1, . . . , xn]
f =mi=1
aixαi11 . . . x
αinn , ai ∈ A αij ∈ N ∪ {0},
i ∈ Nm j ∈ Nn bi = aixαi11 . . . xαi n−1n−1 ∈ A[x1, . . . , xn−1]
f =
mi=1 bix
αinn ∈ A[x1, . . . , xn−1][xn]
(A, +, ·)
A[x1, . . . , xn]
A[x1, . . . , xn] = A[x1, . . . , xn−1][xn] n ≥ 2
n = 1
f =r1
i=0 aixi1 =
0 g =
r2i=0 bix
i1 = 0 r1, r2 ∈ N ai, bi ∈ A ar1 , br2 = 0 f · g = 0
ar1br2 = 0
(A, +,
·)
A[x
1, . . . , x
n]
A
A ⊂ A[x1, . . . , xn] A
A[x1, . . . , xn] n = 1 f ∈ A[x1]
f /∈ A
deg(f ) ≥ 1
g ∈ A[x1] f · g = 1 A[x1] deg(1) = deg(f ) + deg(g) 1 deg(f ) 1 deg(g) 0
deg(1) < 1
A[x1, . . . , xn−1]
A
f ∈ A[x1, . . . , xn] \ A f ∈ A[x1, . . . , xn] \ A[x1, . . . , xn−1]
A[x1, . . . , xn−1] deg(1) 1
A[x1, . . . , xn] A
(A, +1, ·1) (B, +2, ·2) ψ : A → B
a, b ∈ A
ψ(a ·1 b) = ψ(a) ·2 ψ(b)
ψ(a +1 b) = ψ(a) +2 ψ(b) ψ(1A) = 1B Im(ψ) = {b ∈ B |
ψ(a) = b
a ∈ A}
ψ Ker(ψ) = {a ∈ A | ψ(a) = 0}
ψ
ψ
A
B
ψ : A → B Im(ψ) Ker(ψ)
B A
Ker(ψ)
A
c, d ∈ I m(ψ)
a, b ∈ A
ψ(a) = c
ψ(b) = d
cd = ψ(a)ψ(b) = ψ(ab) c − d = ψ(a) − ψ(b) = ψ(a − b),
ab ∈ A
a − b ∈ A
ψ(ab) = cd ∈ I m(ψ)
ψ(a − b) = a − b ∈ I m(ψ)
Im(ψ)
B
e, f ∈ K er(ψ)
ψ(e) = ψ(f ) = 0
ψ(e − f ) = ψ(e) − ψ(f ) = 0 ψ(ef ) = ψ(e)ψ(f ) = 0,
e − f,ef ∈ K er(ψ) Ker(ψ) A
a ∈ A b ∈ Ker(ψ)
ψ(ab) = ψ(a)ψ(b) = ψ(a)0 = 0
ab ∈ Ker(ψ)
Ker(ψ)
Ker(ψ)
A
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A
I ⊂ A
A
I
A/I = {a + I | a ∈ A}
a + I = {a + i | i ∈ I }
a ∈ A
R
I ⊂ R
π : R → R/I
π(a) = a + I
a ∈ R
I
A
B
ψ : A → B
A/Ker(ψ)
Im(ψ)
ψ : A/Ker(ψ) → I m(ψ)
ψ(x + Ker(ψ)) = ψ(x)
∀ x ∈ A
ψ
a + Ker(ψ) = b + Ker(ψ), a , b ∈ A
a − b ∈ Ker(ψ)
ψ(a − b) = ψ(a) − ψ(b) = 0
ψ(a) = ψ(b)
ψ(a + Ker(ψ)) = ψ(b + K er(ψ))
b ∈ I m(ψ)
a ∈ A
a ∈ A
ψ(a) = b
b = ψ(a + Ker(ψ))
ψ(a + K er(ψ)) = ψ(b + K er(ψ))
ψ(a) = ψ(b)
a − b ∈ Ker(ψ)
a + Ker(ψ) = b + Ker(ψ)
K[n]
K
M = ∅
a a, ∀a ∈ M
a, b ∈ M
a b
b a
a = b
a,b,c ∈ M
a b
b c
a c
a ≺ b
a
b
b ≺ a
a = b
a, b ∈ M
a b
a
b
a,b, ∈ M
M
K[x1, . . . , xn]
M
M
a, b ∈ M
a b
a · c b · c, ∀c ∈ M
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M
M
m, n ∈ M
m =
ni=0 xi
αi
n =n
j=0 x jβj
m L n m n γ = β − α
k ∈ N
γ p = 0 p < k γ k > 0
m LR n k ∈ N γ p = 0 k < p n γ k > 0
f ∈ K[x1, . . . , xn]
f
ml(f ) := max{m|m ∈ M(f )} f
cl(f )
ml(f )
f tl(f ) := ml(f ) · cl(f )
p, q ∈ K[x1, . . . , xn] p q q
p
p|q
t ∈ K[x1, . . . , xn] q = p · t
p, q ∈ M
p = x1a1 . . . xn
an
q =x1
b1 . . . xnbn
ai, bi 0 i ∈ Nn p q t ∈ M
t = x1c1 . . . xn
cn
ci = bi − ai 0 i ∈ Nn
f, g ∈ K[n]
g = 0
q, r ∈ K[n]
f = q · g + r ml(g) ml(r)
ml(g) ml(f )
q = 0
r = f f r = q = 0 ml(g) | ml(f ) f 1 = f q 1 = tl(f 1)/tl(g) f 2 = f 1 − q 1 · g tl(f 1)
f 2 ml(f 2) ml(f 1) (f n) f i+1 = f i − q i · g q i = tl(f i)/tl(g) q i ml(g) | ml(f i) f i = 0
f m
f m = f m−1−q m−1 ·g ml(g) ml(f m)
f m−1
f m = f m−1 − q m−1 · g = f m−2 − q m−2 · g − q m−1 · g
f m
−2, f m
−3, . . . , f 2 f = f 1 = (q 1+q 2+
· · ·+q m
−1)
·g +f m
q = (q 1 + q 2 + · · · + q m−1) r = f m f = q · g + r
q 1, q 2, r1, r2 ∈ K[n] f = q 1 · g + r1
f = q 2 · g + r2 ml(g) ml(r1) ml(g) ml(r2) ml(g) ml(r1)
ml(g) m
m ∈ M(r1) r2 q 1 · g + r1 = q 2 · g + r2 (q 1 − q 2) · g = r2 − r1 r2 = r1 tl(g) | tl(r2 − r1)
M(r2 − r1) ⊆ M(r1) ∪M(r2) r2 = r1 q 2 = q 1
r
f
g
rg(f ) q f g
f 1, . . . , f k ∈ K[n] f ∈ K[n]
a1, a2, . . . , ak r ∈ K[n] f = a1 · f 1 + ... + ak · f k + r ml(r) ml(f i)
i ∈ Nk
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f ∈ K[n]
a1, r1 ∈ K[n]
f = f 1 · a1 + r1 tl(f 1) tl(r1) a2, r2 ∈ K[n] r1 = f 2 · a2 + r2 f = f 1 · a1 + f 2 · a2 + r2
ri f i
m > 0
tl(f k) tl(rm) k ∈ Nn f f = a1 · f 1 + a2 · f 2 + · · · + ak · f k + rm
r
f
G = {f 1, . . . , f k} rG(f )
f = xy2 − x, g1 = xy − y g2 = y2 − x ∈ K[x, y]
y ≺ x
f
g1 g2
f = yg1 + g2 g2 g1
f = xg2 + 0.g1 + x2 − x
x2 − x = 0
K[x1, . . . , xn]
(A, +, ·)
I ⊂ A
I
A
0
∈ I
a, b ∈ I
a + b ∈ I
a ∈ I
b ∈ A
a · b ∈ I
A
{0}
A
A
a1, . . . , as ⊂ A
A
a1, . . . , as
a1, a2, . . . , ak ∈ A a1, a2, . . . , ak
{a1 · b1 + a2 · b2 + · · · + ak · bk | b1, b2, . . . , bk ∈ A},
a1, a2, . . . , ak a1, a2, . . . , ak
a1, a2, . . . , ak
f 1, . . . , f k ∈ A f 1, . . . , f k A
0 = a1 · 0 + · · · + f k · 0 ∈ f 1, . . . , f k 0 ∈ A
a, b ∈ f 1, . . . , f k a1, . . . , ak, b1, . . . , bk
a = f 1 · a1 + · · · + f k · ak
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b = f 1 · b1 + · · · + f k · bk.
a + b = f 1 · (a1 + b1) + · · · + f k · (ak + bk),
a + b ∈ f 1, . . . , f k c ∈ A
a · c = f 1 · a1 · c + · · · + f k · ak · c
ai · c ∈ A i ∈ Nk a · c ∈ f 1, . . . , f k f 1, . . . , f k A
I ∩ J
I
J
I + J
I, J
A
I ∩ J
I + J
A
I + J = {a + b | a ∈ I , b ∈ J }
I, J
0 ∈ I
0 ∈ J
0 ∈ I ∩ J
a, b ∈ I ∩ J a + b ∈ I a + b ∈ J a, b ∈ I a, b ∈ J I J a + b ∈ I ∩ J
c ∈ A
a · c ∈ I
a · c ∈ J
a · c ∈ I ∩ J
I ∩ J
a, b ∈ I + J
a1, b1 ∈ I a2, b2 ∈ J a = a1 + a2 b = b1 + b2 a + b = (a1 + a2) + (b1 + b2) = (a1 + b1) + (a2 + b2)
I
J
a1 + b1 ∈ I a2 + b2 ∈ J a + b ∈ I + J
a ∈ I + J
b ∈ A
a · b ∈ I + J
S ⊂ I
S = I
S
I
I
I
K[x1, . . . , xn]
I
A
L ⊂ I
L ⊂ I
L ⊂ M ⊂ A
L ⊂ M
a ∈ L a L
I
L ⊂ I
a ∈ I
L ⊂ I
p ∈ L
p
L
M
p ∈ M
L ⊂ M
I
A
S
I
S
I
I
G ={g1, . . . , gs} gi ∈ I, ∀i ∈ Ns S
gi S S i ⊂ S
gi X = ∪si=1S i G
I
X ⊂ S
I
-
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K[x]
I = {0}
I = K[x]
f ∈ I
deg(f )
{deg(g) | g ∈ I }
g ∈ I
q g, rg ∈ K[x]
g = f · q g + rg tl(g) tl(rg) deg(f ) > deg(rg) rg ∈ I f, q g · g ∈ I
deg(f )
I
=
{0
} I
= K[x]
rg = 0 g
∈ f
K[n]
I ⊂ K[n]
I = {0}
I = {0}
K[x]
K[n
−1]
f 1 ∈ I f 1 = g1 · xa1n g1 ∈ K[n−1] a1 ∈ N
f 1 xn I = f 1
f 2 ∈ I \ f 1
f 2 = g2 ·xa2n g2 ∈ K[n−1] a2 ∈ N I = f 1, f 2
f r = grxarn ∈ I \ f 1, f 2 . . . , f r−1
r ∈ N
ar f r
u ∈ N
I = f 1, . . . , f u
G =
{g1, g2, . . .
}
J =
G
⊂ K[n−1]
M = {m1, . . . , ms} ⊂ J J = M
G
M
G
M
M
G
i ∈ N
j ∈ N
pi ∈ K[n−1]
gi = pi · m j j k ∈ N q j ∈ K[n−1] m j = q j · gk
gi = pi · q j · gk i = k i = k pi · q j = 1
pi ∈ K M G
M
G
M
f
G i > k
f i = gi · xain = pi · q j · gk · xain = pi · q j · gk · xai−akn · xakn = pi · q j · xai−akn · f k.
f i f k i > k f i
f 1, . . . , f k, . . . , f i−1 i < k
I
K[n]
f ∈ K[n]
I = m1, . . . , ms
M(f ) ⊂ I
-
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f
I
f
f ∈ I
q 1, . . . , q s ∈ K[n] f = m1 · q 1 + · · · + ms · q s
ml(f ) = ml(m1 · q 1 + · · · + ms · q s) = m1 · q 1 ml(f ) ∈ I f 1 = f − tl(f ) f 1 ∈ I
f 1 f f
I
M(f ) ⊂ I
-
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ml(I ) = {ml(f ) | f ∈ I }
I
I
in(I )
ml(I )
in(I ) = ml(I )
K[n]
I
K[n]
G
I
v ∈ ml(I )
u ∈ ml(G)
v
u
I ⊆ K[n]
G =
{g1, . . . , g p} ⊂ I
G
I
in(I ) = ml(G)
f ∈ I
rG(f ) = 0
f ∈ I
f =
si=1 q i · gi ml(f ) = max1is{ml(q i) ·
ml(gi)}
1 ⇒ 2
g ∈ ml(I )
m1, . . . , ms ∈
ml(I )
g = si=1 mi i ∈ Ns f i ∈ I hi ∈ K[n] mi = hi · ml(f i) G I
f i ∈ I u ∈ G ml(f i) ml(u) f i ∈ ml(G) g ∈ ml(G)
ml(I ) ⊂ ml(G)
G ⊂ I
ml(G) ⊂ ml(I )
ml(G) ⊂ ml(I )
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2 ⇒ 3
f ∈ I
q 1, q 2, . . . q s, rG(f ) ∈ K[n]
f =
si=1 gi · q i + rG(f ) ml(rG(f )) ml(gi) i ∈ Ns
q =
si=1 gi · q i q G ⊂ I q ∈ I
f ∈ I
rG(f ) = f − q ∈ I ml(rG(f )) ∈ ml(I ) ⊂ ml(I ) = ml(G)
ml(rG(f )) gi rG(f ) = 0
rG(f ) = 0 f G I
3 ⇒ 4
f ∈ I
rG(f ) = 0
f
G
q 1, q 2 . . . , q s ∈ K[n] f = si=1 q i · gi ml(f ) = ml(si=1 q i · gi) =
max1is{ml(q i) · ml(gi)} 4 ⇒ 1
f ∈ I
ml(f ) = max1is{ml(q i) · ml(gi)}
ml(G)
G
I
K[n]
I
⊂K[n]
G =
{g1, . . . , gs
} I in(I ) = in(G) = ml(G)
G
I
in(I ) = ml(I ) = ml(G) = in(G) ⊂ in(G),
ml(G) ⊂ ml(G)
J = G J ⊂ I
G ⊂ I
ml(J ) ⊂ ml(I )
in(J ) ⊂ in(I )
in(G) = in(I )
G ⊂ G
ml(G) ⊂ ml(G)
ml(G)
⊂ ml(
G
)
= in(G
).
f ∈ in(G)
f
ml(G)
ml(I )
G ⊂ I
f
ml(I )
ml(I )
ml(G)
G
f
ml(G)
f ∈ ml(G)
in(G) = ml(G)
K[n]
I, J ⊆ K[n]
J ⊂ I
in(I ) = in(J )
I = J
I = J
I \ J = ∅
I \ J
f ∈ I \ J
tl(f )
f ∈ I ml(f ) ∈ ml(I )
ml(f ) ∈ in(I ) = in(J )
f ∈ J
in(I ) = in(J )
g ∈ J
tl(g) = tl(f )
tl(f − g) ≺ tl(f )
f
I \ J
f − g ∈ J
g ∈ J
(f − g) + g = f ∈ J
I = J
I ⊂ K[n]
G
I
G
I
G ⊂ I J = G ⊂ I in(I ) =ml(G) = in(J )
I = J
G
I
K[n]
-
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K[n]
I ⊂ K[n]
J = in(I )
m1, . . . , ms ∈ J J = m1, . . . , ms
f ∈ I
ml(f ) ∈ ml(I ) ⊂ J
ml(f )
mi
G =
{f 1, . . . , f s
}
f i ml(f i) = mi, i
∈ Ns G
I
K[n]
G
I
m1 =
ni=1 x
aii , m2 =
ni=1 x
bii ∈
M
m1 m2 mmc(m1, m2) = ni=1 x
cii ci = max
{ai, bi
}
i ∈ Nn
M
f, g ∈ K[n]
f
g
S (f, g)
S (f, g) := mmc(ml(f ), ml(g)) · f tl(f )
− mmc(ml(f ), ml(g)) · gtl(g)
K[x, y]
y ≺ x
g1 =
xy − y g2 = y
2 − x
S (g1, g2) = (xy2) xy − y
xy − (xy2)y2 − x
y2 = y(xy − y) − x(y2 − x) = x2 − y2.
K[x1, . . . , xn]
f, g ∈ K[x1, . . . , xn]
S (f, g) = −S (g, f )
m1, m2 ∈ M S (m1, m2) = 0
ml(mmc(ml(f ), ml(g)) f tl(f )
) = mmc(ml(f ), ml(g))
ml(S (f, g)) ≺ mmc(ml(f ), ml(g))
-
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S (f, g) = mmc(ml(f ), ml(g)) · ( f
tl(f ) − g
tl(g)) = −mmc(ml(f ), ml(g)) · ( g
tl(g) − f
tl(f )) = −S (g, f )
S (m1, m2) = mmc(ml(f ), ml(g)) · ( m1tl(m1) − m2tl(m2)) = mmc(ml(f ), ml(g)) · (m1m1 − m2m2 ) = 0
q = mmc(ml(f ),ml(g))
tl(f ) ml(f ) =
pi=1 xi
ai ml(g) =
pi=1 xi
bi
mmc(ml(f ), ml(g)) =
pi=1
ximax{ai,bi}.
ml(q · f ) = q · ml(f ) = pi=1 xiγ i γ i = (ci − ai) + ai = ci ml(q · f ) =
mmc(ml(f ), ml(g))
ml(S (f, g)) = ml(mmc(ml(f ), ml(g)) f
tl(f ) − mmc(ml(f ), ml(g)) g
tl(g)) ≺
≺ max{ml(f ), ml(g)} mmc(ml(f ), ml(g))
S (f, g)
ml(S (f, g))
ml(f )
ml(g)
K[n]
G = {g1, . . . , gs} I
rG(S (gi, g j)) = 0 gi, g j ∈ G
G
I
I
g1, g2
∈G S (g1, g2) ∈ I rG(S (g1, g2)) = 0
f ∈ I
G
G
g ∈ G
ml(g) | ml(f )
h1, h2, . . . , hs ∈ K[n] f = h1 · g1 + ... + hs · gs L = hl · gl = max(ml(hi · gi) |
i ∈ Ns) f L
L = ml(f )
gl | ml(f )
L = ml(f )
ml(f ) ≺ L
k ∈ Ns ml(hk · gk) = ml(f ) L H
f
L
H =
{i
| ml(hi
·gi) = L
}
f
H H L = ml(f )
f
H
h1 · g1 h2 · g2
h1 · g1 + h2 · g2 = tl(h1) · g1 + tl(h2) · g2 + (h1 − tl(h1)) · g1 + (h2 − tl(h2)) · g2
tl(h1 · g1) = tl(tl(h1) · g1) ml((h1 − tl(h1)) · g1) = ml(h1 · g1 − tl(h1) · g1) ≺ L,
tl(h1) · g1 + tl(h2) · g2 = tl(h1 · g1) · (tl(h1) · g1tl(h1 · g1) +
tl(h2) · g2tl(h2 · g2)).
tl(h1 · g1) = −tl(h2 · g2)
-
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18/48
tl(h1) · g1 + tl(h2) · g2 = tl(h1 · g1) · ( tl(h1)·g1tl(h1·g1) + tl(h2)·g2tl(h2·g2)) =
= tl(h1 · g1) · ( g1tl(g1) + g2tl(g2)
) = tl(h1·g1)mmc(ml(g1),ml(g2))
· S (g1, g2).
rG(S (g1, g2)) = 0 S (g1, g2)
G
p1, . . . , ps ∈ K[n] f
G
f = tl(h1 · g1)
mmc(ml(g1), ml(g2))
si=1
pi · gi + (h1 − tl(h1)) · g1 + (h2 − tl(h2)) · g2 +s
i=3
hi · gi.
ml((h1 − tl(h1)) · g1) ≺ L ml((h2 − tl(h2)) · g2) ≺ L
ml(S (g1, g2) · ml(h1g1)mmc(ml(g1), ml(g2))
) ≺ L
L
h j ·g j f ml(h j ·g j) = L
ml(f ) ≺ L H
H
f
H
ml(f ) = L
G
I
G
G
G
G
I
K[n]
S ⊂ I
S = I
G
S
G = S
P = {(g, g) | g, g ∈ G, g = g }
P = ∅
(g, g) ∈ P
P
r = rG(S (g, g))
r = 0
G = G ∪ {r}
P = P ∪ {(g, r) | g ∈ G}
G
P = ∅
(g, g) ∈ G
G
G
K[n]
I i ⊂ K[n], i ∈N I i ⊆ I i+1, ∀i ∈
N
m ∈ N
I m = I m+ j j ∈ N
-
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I = ∪i∈NI i 0 ∈ I i ⊆ I i 0 ∈ I f, g ∈ I
i
j
N
f ∈ I i g ∈ I j i = j I i
f + g ∈ I i ⇒ f + g ∈ I i = j i > j f ∈ I j I i ⊆ I j f + g ∈ I j ⊆ I f ∈ I a ∈ K[n]
i
f ∈ I i af ∈ I i ⊆ I I
f 1, . . . , f r ∈ I
f 1, . . . , f r
= I
f k I j f 1
∈ I j1, . . . , f r
∈ I jr
m = max{ jk | k ∈ Nr} {f 1, . . . , f r} ⊂ I m
f 1, . . . , f r = I ⊆ I m ⊆ I ,
j
I ⊆ I m ⊆ I m+ j ⊆ I I m = I m+ j j ∈ N
G
G
r1, r2, . . .
G1 = G Gi+1 = Gi ∪ {ri} i ∈ N I i = Gi I i ⊂ I i+1 Gi ⊂ Gi+1
i ∈ N
d ∈ N
j ∈ N
I j = I j+d G j = G j+d
G j G j I
P = ∅
P
y ≺ x
K[x, y]
S = {g1 = xy−y, g2 =
y2 − x}
I = S
f = xy2 − x ∈ I
rS (f ) S
I
S (g1, g2) = (xy2) xy − yxy − (xy2)y2
− xy2 = y(xy − y) − x(y2 − x) = x2 − y2,
rS (S (g1, g2)) = x
2 + x = 0
g3 = x2 + x
G = {g1, g2, g3} G
• S (g1, g2) = g3 rG(S (g1, g2)) = 0 • S (g1, g3) = (x2y)xy−yxy −(x2y)x
2−xx2
= x(xy−y)−y(x2−x) = −xy+yx = 0
rG(S (g1, g3)) = 0
• S (g2, g3) = (x2y2)x2−xx2 − (x2y2)y2−xy2
= y2(x2 − x) − x2(y2 − x) = x3 − xy2 = xg3 − xg2 rG(S (g2, g3)) = 0
G
I
G
I ⊂ K[n]
G ⊂ I
I
g, h ∈ G
ml(g) | ml(h)
H = G \ {h}
I
-
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f ∈ I
g, h ∈ G
ml(g) | ml(h)
G
p ∈ G
ml( p) | ml(f )
p ∈ H
p = h
ml(g) | ml(h)
ml( p) = ml(h) | ml(f )
ml(g) | ml(f )
g ∈ H
H
I
I ⊂ K[n]
G ⊂ I
I
G
G
g1, g2 ∈ G ml(g1) ml(g2)
G = {g1 = x · y − y, g2 = y2 − x, g3 = x2 + x}
I = g1, g2 g1, g2 g3 tl(g1) = x · y
tl(g2) = x
2
tl(g3) = x2
G
I ⊂ K[n]
G ⊂ I
H ⊂ I
I
G
H
G
H
ml(hi) = ml(gi) i = 1, . . . , #G
G
H
#G = s < t = #H
g1 ∈ ml(G) h1 h2 ml(H )
h3 ml(H ) g1 h1 h2
h3 = h1 = h2 #G = #H
g1 ∈ G h1 ∈ H ml(g1) | ml(h1) H
ml(h1) | ml(g1) h ∈ H
ml(g1) g ∈ G
ml(g) | ml(h) | ml(g1) ml(g1) = ml(h1)
g2 ∈ G g2 = g1
G
H
I ⊂ K[n]
G ⊂ I
I
G
G
g ∈ G
h ∈ G \ {g}
rh(g) = g
G
G
G \ {g}
-
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I
K[n]
G
I
P = {ml(g) + rG(g − ml(g)) | g ∈ G}
I
G
G \ {g}
g ∈ G
g
H = G \ {g}
G
g
rH (g) G m
∈N
H
m
−1
g1, g2, . . . , gm
−1
q 1, . . . , q m−1 ∈ K[n]
g =m−1i=1
gi · q i + rH (g),
rH (g) = ml(g) +rH (g −ml(g))
g
rH (g) = g −m−1i=1
giq i = ml(g) + rH (g − ml(g)),
I
H
H
rH (g −ml(g)) G
ml(g)
Q = {ml(g) + rH (g − ml(g)) | g ∈ H },
Q
I
g rH (g − ml(g)) Q = P
P
I
G = {g1 = x ·y −y, g2 = y2−x, g3 = x2+x}
I = g1, g2
gi G gi
K[n]
I ⊂ K[n]
I
G = {g1, . . . , gk} H =
{h1, . . . , hk}
ml(hi) = ml(gi), i ∈ Nk
gi ∈ G gi G gi
hi H gi = hi
gi ≺ hi rH (gi) = 0 M(gi) ml(H )
H
ml(hi) gi ≺ hi
ml(h p) ml(g j) ml(gi) rgj (gi) = gi j = i G j = i
ml(g j) = ml(gi) | ml(h p) | ml(gi) ⇒ ml(hi) = ml(gi) = ml(h p),
ml(h p) = ml(hi) i ∈ Nk
gi = hi H = G
K[n]
-
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I, J ⊆ K[n]
G
J = G = I
C[x,y,z ]
z ≺ y ≺ x
x2 − yz = 3,y2 − xz = 4,z 2 − xy − 5.
S = {x2 − yz − 3, y2 − xz − 4, z 2 − xy − 5}
13x + 11z = 0,13y − z = 0,36z 2 = 169.
z
f ∈ K[n]
f : Kn → K
p ∈Kn
f
f ( p) = 0
q ∈ Kn
C
C[z ]
C
C[n]
f ∈ C[x1, . . . , xn] degxn(f ) > 1 f xn)
x1, . . . , xn−1 xn C
x1, . . . , xn−1
C[n]
p ∈ C[n]
q ∈ C[n]
p · q = 1
-
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p
deg( p) < 1
p ∈ C
q = 1
p
q · p = 1
p
p
C
p
q
p · q = 1
p
u ∈ Cn
p(u) = 0
p(z ) · q (z ) = 1
z ∈ Cn
C[n]
z ∈ Cn, p(z ) = 0
q (z ) = 0
u
p
C[n]
p1, p2, . . . , pm ∈ C[n] q 1, . . . , q m ∈ C[n] p1 · q 1 + · · · + pm · q m = 1
S p
s1, . . . , sr ∈ K[n] I = s1, . . . , sr G = {g1, . . . , gt}
G
G p S p
z ∈ Kn
si(z ) = 0 i ∈ Nr S p g
I
g =
ri=1 ai · si ai ∈ K[n] g(z ) =
ri=1 ai(z ) · si(z ) = 0
z
G p G p
S p
I ⊂ K[x1, . . . , xn] G I
I j = I ∩K[x1, . . . , xn− j], j ∈ N
I
G j = G ∩K[x1, . . . , xn− j]
I j
K[x, y]
y ≺ x
G = {g1 = x · y − y, g2 = y2 − x, g3 = x2 − x} g1, g2
{g1, g2} g3 = 0 x = 0
x = 1
g2 (0, 0), (1, −1) (1, 1)
g1
S = {x2 −
yz − 3, y2 − xz − 4, z 2 − xy − 5}
C[x,y,z ]
z ≺ y ≺ x
13x + 11z = 0,13y − z = 0,36z 2 = 169.
-
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z
z = 13
6 z = −13
6
13x = −11 · (±13
6 ),
13y = ±136 .
(−
11
6
, 1
6
, 13
6
) (11
6
,−
1
6
,−
13
6
)
C
R
C
f, f 1, f 2, . . . , f m ∈ C[x1, . . . , xn] f 1, . . . , f m
f
s ∈ N \ {0}
f s ∈ I = f 1, . . . , f m
y
g = 1 − yf ∈ C[x1, . . . , xn, y] J =
f 1, . . . , f m, g C[x1, . . . , xn] ⊂C[x1, . . . , xn, y] f
C = {f 1, . . . , f m} T = C ∪ {g}
α = (α1, . . . , αn, αy) ∈ Cn+1 f 1(α) = f 2(α) =
· · · = f m(α) = g(α) = 0 f (α) = 0 1 − αyf (α) = g(α) = 1
1 ∈ T
h, h1, . . . , hm ∈ C[x1, . . . , xn, y]
1 = h(1 − yf ) + h1f 1 + · · · + hmf m
y = 1/f
1 =mi=1
hi(x1, . . . , xn, 1/f )f i(x1, . . . , xn, 1/f ).
s ∈ N \ 0
f s
g1, . . . , gm ∈ C[x1, . . . , xn]
f s =
mi=1
gi(x1, . . . , xn)f i(x1, . . . , xn),
f s ∈ I
f 1, . . . , f m f
s
f
f
f 1, . . . , f m
1 ∈ f 1, . . . , f m, 1 − yf
C[x1, . . . , xn] xn ≺ · · · ≺ x1 f 1, . . . , f m ∈
C[x1, . . . , xn]
γ i ∈ N \ {0} xγ ii ∈ ml(I ) i ∈ Nn I = f 1, . . . , f m
-
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i ∈ Nn γ i ∈ N \ {0} xγ ii ∈ ml(I )
gn ∈ I ml(gn) = xγ nn gn ∈ C[xn]
gn = 0 degxn(gn) = γ n
gn xn gn−1 ∈ I ml(gn−1) = xγ n−1n−1
gn−1 ∈ C[xn−1, xn] xn ≺ xn−1 z n gn = 0 gn−1(xn−1, z n) = 0 γ n−1 gn = gn−1 = 0
γ nγ n−1 i = 1, 2, . . . , n
−2
g1 = g2 = · · · = gn = 0 γ 1γ 2 . . . γ n
f 1 = f 2 = · · · = f m = 0 g1 = g2 = · · · = gn = 0
f 1, . . . , f m
l1 = (z 11, . . . , z n1), . . . , lk =(z 1k, . . . , z nk) hi =
k j=1(xi − z ij) ∈ C[xi] ⊂ C[x1, . . . , xn] i ∈ Nn k ∈ N
ml(hi) = x
ki i l1, . . . , lk hi i ∈ Nn
s1, . . . , sn {hs11 , . . . , hsnn } ⊂ I ml(hi) = xksii ∈ ml(I )
i ∈ Nn
K
n ∈ N
Kn = {(a1, . . . , an) |
ai ∈ K, i ∈ Nn} n
f 1, . . . , f n ∈ K[n] I ⊆ K[n]
I
V (I ) = {a ∈ Kn | f (a) = 0, ∀f ∈ I }
I ⊂ K[n]
Kn
I
V (I )
I
W
I (W ) = {f ∈ K[n] | f (a) = 0, ∀a ∈ W }
I ⊆ I (V (I ))
I (V (I )) = I
I (V (I ))
I
I
G
J
G
x1, x2, . . . , xn B
J = G
C[x1, . . . , xn]
G = 0
G
G
V (J )
f
G
x1, x2, . . . , xn
-
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R[n]
f, g1, g2, . . . , g p, h1, . . . , hq ∈ R[n] n,p,q ∈ N
f : Rn → R
gi : Rn → R
i ∈ N p h j : Rn → R j ∈ Nq
f (x1, . . . , xn)
gi 0, i ∈ N ph j = 0, j ∈ Nq.
gi hi
I ⊂ R
f : I → R
z ∈ I
L ∈ R
f (x)
x
z
ε > 0
δ > 0
0
-
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I ⊂ R
f : I → R
z ∈ I
f
z
limx→z
f (x) − f (z )x − z .
f
z
f (z )
∂f (z)∂x
f : I
→R
I f f
∂ ∂x
f
f
∂ 2f ∂x2
n
f (n)
∂ nf ∂xn
∂ ∂x
f, g : I ⊂ R → R
a, b ∈ R
∂ (a · f + b · g)
∂x
= a
·
∂f
∂x
+ b
·
∂g
∂x
.
f (x) = xn
f (x) =
nxn−1 ∀n ∈ N
f (x) = an · xn + · · · + a1 · x + a0 f (x)
f (x) = n · an · xn−1 + · · · + 2 · a2 · x + a1.
f, g : R → R
Im(g) ⊆Dom(f )
(f (g(x))) = f (g(x)) · g(x)
f : I ⊂ R → R
a ∈ I
f
V
a
f (a) f (x)
x ∈ V
x = a
a
I
f : I ⊂ R → R
f
a ∈ I
∂f (a)∂x
= 0
a
f : I ⊂ R → R
∂ 2f (a)∂x2
> 0
a
∂ 2f (a)∂x2
< 0
∂ 2f (a)∂x2
= 0