Basiconumcomplex (1)
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Anotacoes sobre numeros complexos.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
‡
1
Sumario
1 Numeros complexos 3
1.1 Numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Forma algebrica de um numero complexo . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Conjugado e valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Condicoes para quez
wseja real ou imaginario puro . . . . . . . . . 14
1.2.2 Conjugado de um numero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Condicao de raızes conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Valor absoluto-modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5 Uso de conjugado na divisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.6 Conjugado e valor absoluto da divisao . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.7 Desigualdade de Cauchy Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.8 Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Plano de Argand-Gauss e forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2
Capıtulo 1
Numeros complexos
1.1 Numeros complexos
m Definicao 1 (Conjunto dos numeros complexos). Definimos a estrutura dos numeros
complexos, como o conjunto1
C = {(x, y) x, y ∈ R}
munido de duas operacoes, uma adicao definida como
z + w = (x1, y1)︸ ︷︷ ︸z
+(x2, y2)︸ ︷︷ ︸w
:= (x1 + x2, y1 + y2)
e uma multiplicacao, definida como
z.w = (x1.x2 − y1.y2, x1.y2 + y1.x2).
Denotamos (1, 0) = 1 e (0, 0) = 0. Para z = (x1, y1) definimos
−z = (−x1,−y1)
e
z−1 =1
z=
(x1
x21 + y21
,−y1
x21 + y21
).
Denotamos tal estrutura como (C,+×) ou apenas C.1Perceba que e feita associacao de C com o plano R2.
3
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 4
m Definicao 2 (Igualdade). Dois numeros complexos (x, y) e (z, w) sao iguais quando
x = z e w = y.
b Propriedade 1. (C,+,×) e um corpo, chamado de corpo dos numeros complexos.
ê Demonstracao. A adicao e comutativa, associativa , possui elemento neutro e
inverso aditivo. (Provado para o Rn no texto sobre espacos vetoriais) entao, em relacao a
adicao temos uma estrutura de grupo abeliano (C,+).
Temos que mostrar agora que a multiplicacao tambem e um grupo abeliano .
� O elemento neutro da multiplicacao e (1, 0), pois
(1, 0)(x, y) = (1.x− 0.y, 0.x+ 1.y) = (x, y).
� A multiplicacao e comutativa, pois
(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)
e
(x2, y2)(x1, y1) = (x2.x1 − y2.y1, y2.x1 + x2.y1)
sao iguais.
Perceba tambem que
(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0).
� A multiplicacao e associativa, pois
[(x1, y1)(x2, y2)](x3, y3) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)(x3, y3) =
= (x1x2x3︸ ︷︷ ︸A1
−A2︷ ︸︸ ︷
y1y2x3− y1x2y3︸ ︷︷ ︸A3
−A4︷ ︸︸ ︷
x1y2y3 , y1x2x3︸ ︷︷ ︸B1
+
B2︷ ︸︸ ︷x1y2x3+x1x2y3︸ ︷︷ ︸
B3
−B4︷ ︸︸ ︷
y1y2y3)
e
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 5
(x1, y1)[(x2, y2)(x3, y3)] = (x1, y1)(x2x3 − y2y3, y2x3 + x2y3) =
= (x1x2x3︸ ︷︷ ︸A1
−A4︷ ︸︸ ︷
x1y2y3− y1y2x3︸ ︷︷ ︸A2
−A3︷ ︸︸ ︷
y1x2y3 ,
B1︷ ︸︸ ︷y1x2x3− y1y2y3︸ ︷︷ ︸
B4
+
B2︷ ︸︸ ︷x1y2x3 +x1x2y3︸ ︷︷ ︸
B3
)
sao iguais .
� Para cada elemento nao nulo z = (x1, y1) existe um inverso z−1, tal que z.z−1 = 1,
pois
(x1, y1)
(x1
x21 + y21
,−y1
x21 + y21
)=
(x21 + y21
x21 + y21
,y1x1
x21 + y21
− y1x1
x21 + y21
)= (1, 0) = 1.
� Falta mostrar apenas a propriedade distributiva. Sendo z = (x1, y1), w = (x2, y2) e
v = (x3, y3) temos w + v = (x2 + x3, y2 + y3) e
z(w + v) = (x1x2 + x1x3 − y1y2 − y1y3 , y1x2 + y1x3 + x1y2 + x1y3)
porem temos tambem zw = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2) e
zv = (x1.x3 − y1y3, y1x3 + x1y3)
entao
zw + zv = (x1x2 + x1.x3 − y1y3 − y1y2, y1x3 + x1y3 + y1x2 + x1y2) = z(w + v)
entao vale a distributividade.
Tem-se entao que (C,+,×) e um corpo, chamado de corpo dos numeros complexos.
m Definicao 3 (Subtracao). Definimos a subtracao z1 − z2 como z1 + (−z2).
1.1.1 Forma algebrica de um numero complexo
O corpo dos numeros complexos pode ser visto como uma extensao do corpo dos
numero reais.
b Propriedade 2. R e o conjunto A = {(a, 0) ∈ C} sao isomorfos como espacos
vetoriais.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 6
ê Demonstracao. Definimos σ : R → A tal que σ(a) = (a, 0). Tal aplicacao e
injetora e sobrejetora, alem disso e linear
σ(a) + σ(b) = (a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0) = σ(a+ b)
σ(ca) = (ca, 0) = c(a, 0) = cσ(a), c ∈ R.
b Propriedade 3. R e o conjunto A = {(a, 0) ∈ C} sao isomorfos como corpos.
ê Demonstracao. Ja vimos que a adicao e respeitada pela funcao σ, agora vejamos
o produto
σ(a)σ(b) = (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) = σ(a)σ(b).
Alem disso envia unidade de R em unidade de C
σ(1) = (1, 0)
e neutro da adicao de R em neutro da adicao em C
σ(0) = (0, 0).
Entao temos uma aplicacao bijetora entre R e um subcorpo de C que preserva adicao
e multiplicacao. Entao temos uma imersao natural de R em C.
m Definicao 4. Associamos a cada numero real x o numero complexo (x, 0),
(x, 0) = x.
b Propriedade 4. A soma e produto de numeros complexos e compatıvel com a soma
e produto de numeros reais.
ê Demonstracao. Sejam numeros reais x = (x, 0) e y = (y, 0), entao a soma
x+ y = (x, 0) + (y, 0) = (x+ y, 0) = x+ y
, logo e compatıvel.
O produto x.y = (x, 0)(y, 0) = (xy − 0, 0.y + x.0) = (xy, 0) = xy.
m Definicao 5. Definimos i = (0, 1).
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 7
$ Corolario 1. Tem-se que
(0, 1)(0, 1) = (0− 1, 1.0 + 0.1) = (−1, 0) daı i2 = −1.
$ Corolario 2 (Forma algebrica). Um numero complexo z = (x, y) pode ser escrito
como
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x+ yi.
Esse modo de escrever pode ser considerado mais pratico em se denotar um numero
complexo e facilitar as operacoes.
Nos reais nao existe x tal que x2 = −1 nos complexos temos solucao dessa equacao.
$ Corolario 3. Vejamos como ficam as operacoes usando a forma algebrica. A formula
da multiplicacao de dois numeros complexos pode ser escrita como
(x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 − y1y2 + (x1y2 + x2y1)i
podemos efetuar as contas com as propriedades conhecidas de binomios reais e subs-
tituir i2 = −1.
A adicao pode ser feita como
a+ bi+ c+ di = a+ c+ (b+ d)i
e a igualdade
a+ bi = c+ di ⇔ a = c e b = d.
Z Exemplo 1. Vale i4p+1 = (i2)2pi = (−1)2p.i = i. Seja
n∑k=0
ik =in+1 − 1
i− 1
por divisao Euclidiana de n por 4 tem-se n = 4p+ r daı
n∑k=0
ik =i4p+r+1 − 1
i− 1=
ir+1 − 1
i− 1=
ir+1 − 1
(−2)(i+ 1)
se r = 0 entao 4|n en∑
k=0
ik = 1, se r = 1 tem-sen∑
k=0
ik = i + 1, se r = 2,n∑
k=0
ik = i,
finalmente se r = 3 tem-sen∑
k=0
ik = 0.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 8
b Propriedade 5. Sejam a e b complexos se a+b e a.b sao reais com a+b < 0 e a.b < 0
entao a e b sao reais.
ê Demonstracao. Tomando a = x1 + y1i e b = x2 + y2i tem-se a + b = x1 + x2 +
i(y1+y2) como e real devemos ter y1+y2 = 0 e x1+x2 < 0 pela segunda condicao. Com o
produto temos a.b = (x1x2−y1y2)+ i(x2y1+x1y2) logo x2y1+x1y2 = 0 e x1x2−y1y2 < 0.
� (2) x1x2 < y1y2, (1) x1 + x2 < 0.
� (3) x2y1 + x1y2 = 0 e (4) y1 + y2 = 0.
Da relacao (1) temos que x1 ou x2, devem ser negativos, suponha que seja x1. Se x2 = 0
concluımos por (2) que 0 < y1y2, daı ambos sao nao nulos e de (3) tem-se x1y2 = 0 o que
e absurdo. Se x2 < 0 entao 0 < x1x2 < y1y2 implicando que y1 e y2 tem o mesmo sinal e
entao nao pode valer y1 + y2 = 0. Como nao vale x2 ≤ 0 entao vale x2 > 0 e x1 < 0, logo
x1 e x2 sao distintos. Do sistema (3) , (4) concluımos que (x1
x2
− 1)y2 = 0, daı y2 = 0 pois
se nao x1 = x2, de y2 = 0 segue de (4) que y1 = 0, logo ambos numeros sao reais.
b Propriedade 6. Seja
A = {
a b
−b a
a, b ∈ R}
entao (A,+,×) onde + e × sao adicao e multiplicacao de matrizes e um corpo isomorfo
ao corpo dos complexos (C,+×).
ê Demonstracao. Por propriedade de matrizes (A,+,×) e um anel comutativo
com unidade. Todo elemento nao nulo e invertıvel pois Det(A) = a2 + b2 = 0 se a ou b e
zero, entao todo elemento nao nulo e invertıvel logo (A,+,×) e um corpo.
Definimos a funcao f : C → A tal que para qualquer z = a+ bi ∈ C associamos
f(z) =
(a b
−b a
)
tal funcao e um isomorfismo de corpos, pois dados z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, tem-se
f(z1 + z2) =
(a1 + a2 b1 + b2
−b1 − b2 a1 + a2
)=
(a1 b1
−b1 a1
)+
(a2 b2
−b2 a2
)= f(z1) + f(z2)
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 9
logo preserva a adicao.
f(z1z2) =
(a1a2 − b1b2 a1b2 + b1a2
−a1b2 − b1a2 a1a2 − b1b2
)=
(a1 b1
−b1 a1
).
(a2 b2
−b2 a2
)= f(z1)f(z2)
logo o produto e preservado, seguindo entao que temos um isomorfismo.
Z Exemplo 2. Seja
A =
cos(a) −sen(a)
sen(a) cos(a)
pelo resultado anterior e isomorfo ao elemento z = cos(a)−isen(a) = cos(−a)+isen(−a) =
e−ia, por isso elevando tal numero a k, da o mesmo resultado que elevar a matriz, sendo
zk = e−ika = cos(−ka) + isen(−ka),
que por sua vez da o resultado de Ak,
Ak =
cos(ka) −sen(ka)
sen(ka) cos(ka)
.
Z Exemplo 3. O inverso de um numero complexo nao nulo z = x+ iy, x, y ∈ R e
x
x2 + y2− iy
x2 + y2= z−1.
Z Exemplo 4. Calcule (a+ bi)2. Temos (a+ bi)2 = a2 +2abi+ (bi)2 = a2 +2abi− b2.
Z Exemplo 5. Qual a condicao para que o produto de dois numeros complexos (a+bi)
e (c+ di) seja real?
Multiplicando temos
(a+ bi)(c+ di) = ac− bd+ i(ad+ bc)
a parte complexa deve ser nula entao ad+ bc = 0.
Z Exemplo 6. Qual deve ser a condicao para que o numero (a+bi)4 seja estritamente
negativo, sendo a e b reais.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 10
Expandimos por binomio de Newton
(a+ bi)4 = b4 − 4ab3i− 6a2b2 + 4a3bi+ a4
perceba que a nem b podem ser nulos, caso b seja nulo a4 e nao negativo o mesmo para
a = 0 implica (bi)4 = b4. Temos que ter a parte complexa nula, logo 4a3b = 4ab3 ⇒ a2 =
b2 ⇒ a = ±b. Agora a parte real deve ser negativa, mas ela e realmente negativa pois
a4 + a4 − 6a2a2 < 0 ⇔ 2a4 < 6a4
que vale, onde acima substituımos a = ±b.
Entao os valores sao a± b, a = 0.
Z Exemplo 7. Quais os possıveis valores o numero complexo
(1 + i
1− i)n
pode assumir? ( n inteiro) .
Se n e par ele e da forma 2t, temos (1+i)2 = 1+2i−1 = 2i e (1−i)2 = 1−2i−1 = −2i,
portanto o numero e da forma
(1 + i
1− i)2t =
(2i)t
(−1)t(2i)t= (−1)t.
Se n e ımpar ele e da forma 2t+ 1, substituindo tem-se
(1 + i
1− i)2t+1 = (−1)t
1 + i
1− i
simplificando
1 + i
1− i=
1 + i
1− i
1 + i
1 + i=
2i
2= i
entao
(1 + i
1− i)2t+1 = (−1)ti
os valores que (1 + i
1− i)n assumem sao i, −i, 1 e −1 .
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 11
1.2 Conjugado e valor absoluto
Seja um numero complexo z = a+ bi. Quando escrevermos dessa forma, geralmente (
a nao ser que citado explicitamente o contrario), estaremos considerando a, b ∈ R.
m Definicao 6 (Parte real). Definimos a parte real de z como
Re(z) := a.
m Definicao 7 (Parte complexa). Definimos a parte imaginaria de z por
Im(z) := b.
Tambem podemos chamar de parte complexa.
Z Exemplo 8. Calcule a parte real e a parte imaginaria de1
z, onde z = x+ iy.
Sabemos que1
z=
x
x2 + y2− iy
x2 + y2, logo
Re(1
z) =
x
x2 + y2
Im(1
z) = − y
x2 + y2.
Z Exemplo 9. Calcular a parte real e imaginaria dez − a
z + a, onde a ∈ R e z = x+ iy.
Escrevemos
z − a
z + a= 1− 2a
z + a= 1− 2a
(x+ a
(x+ a)2 + y2− iy
(x+ a)2 + y2
)=
1 +(x+ a)(−2a)
(x+ a)2 + y2+
2ay
(x+ a)2 + y2i
logo
Re(z − a
z + a) = 1 +
(x+ a)(−2a)
(x+ a)2 + y2
Im(z − a
z + a) =
2ay
(x+ a)2 + y2.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 12
Z Exemplo 10. Dado z = x+ yi Calcular Re(zn) e Im(zn).
(x+ yi)n =n∑
k=0
(n
k
)(yi)kxn−k
separamos os ındices em pares e ımpares
=n∑
k=0
(n
2k + 1
)(yi)2k+1xn−2k−1 +
n∑k=0
(n
2k
)(yi)2kxn−2k =
= i
n∑k=0
(n
2k + 1
)(y)2k+1(i)2kxn−2k−1 +
n∑k=0
(n
2k
)(y)2k(i)2kxn−2k =
= in∑
k=0
(n
2k + 1
)(y)2k+1(−1)kxn−2k−1
︸ ︷︷ ︸b∈R
+n∑
k=0
(n
2k
)(y)2k(−1)kxn−2k
︸ ︷︷ ︸a∈R
= a+ bi
logo
Re(zn) =n∑
k=0
(n
2k
)(y)2k(−1)kxn−2k
Im(zn) =n∑
k=0
(n
2k + 1
)(y)2k+1(−1)kxn−2k−1.
Como exemplo, para n = 3 temos
Re(z3) =n∑
k=0
(3
2k
)(y)2k(−1)kx3−2k = x3 − 3(y)2x
Im(z3) =n∑
k=0
(3
2k + 1
)(y)2k+1(−1)kx3−2k−1 = 3yx2 − (y)3.
b Propriedade 7 (Linearidade de Re e Im). Sejam zk = xk + iyk numeros complexos,
entao valem
Re
( n∑k=1
zk
)=
n∑k=1
Re(zk)
Im
( n∑k=1
zk
)=
n∑k=1
Im(zk).
ê Demonstracao. Tomando z =n∑
k=1
zk tem-se
z =n∑
k=1
zk =n∑
k=1
(xk + iyk) =n∑
k=1
(xk)︸ ︷︷ ︸a
+i
n∑k=1
(yk)︸ ︷︷ ︸b
= a+ bi
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 13
daı Re(z) = a, Im(z) = b tem-se tambem Re(zk) = xk e Im(zk) = yk logo
n∑k=1
Re(zk) =n∑
k=1
xk = a
n∑k=1
Im(zk) =n∑
k=1
yk = b
logo valem
Re
( n∑k=1
zk
)=
n∑k=1
Re(zk)
Im
( n∑k=1
zk
)=
n∑k=1
Im(zk)
isto e Re e Im comutam com o somatorio.
Z Exemplo 11. Calcule a parte real e imaginaria de
(−1 +
√3i
2)3.
Escrevemos o numero na forma polar
−1 +√3i
2= (−1)(cos(−π
3) + isen(−π
3))
elevando ao cubo e usando a formula de Moivre tem-se
−(cos(−π) + isen(−π)) = (−1)(−1) = 1.
De maneira similar podemos calcular
(−1−
√3i
2)6 = (
1 +√3i
2)6 = cos(2π) + isen(2π)) = 1.
Z Exemplo 12. Calcule a parte real e imaginaria de in para n natural. Tomamos a
divisao euclidiana de n por 4, n = 4q + r e daı
in = i4q+r = ir
onde r = 0, 1, 2, 3. Temos como exemplos
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i
i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i
i8 = 1, · · ·
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 14
Z Exemplo 13. Calcular a parte real e complexa de (1√2+
i√2)n
Escrevemos
(1√2+
i√2)n = cos(
nπ
4) + isen(
nπ
4)
logo a parte real e cos(nπ
4) e a parte complexa e sen(
nπ
4).
m Definicao 8 (Imaginario puro). z e imaginario puro ⇔ Re(z) = 0, nesse caso temos
z = bi.
Z Exemplo 14. O numero 0 e um imaginario puro, pois Re(0) = 0. Alguns autores
tomam o numero 0 como nao sendo imaginario puro, tomando os imaginarios puros da
forma bi, b = 0.
m Definicao 9 (Real ). z e real ⇔ Im(z) = 0, nesse caso temos z = a, nesse caso
podemos dizer tambem que z e real puro .
Z Exemplo 15. 0 e o unico numero que e imaginario puro e real puro. Se z = a+ bi
e imaginario puro entao a = 0 se e real puro entao b = 0, daı z = 0.
Z Exemplo 16. Nao vale em geral que Re(a.b) = Re(a)Re(b) o mesmo em geral
tambem nao vale para parte imaginaria, pois
Re(i2) = Re(−1) = −1 = Re(i)Re(i) = 0.
Im(i2) = Im(−1) = 0 = Im(i)Im(i) = 1.
1.2.1 Condicoes para quez
wseja real ou imaginario puro
Z Exemplo 17. Calcule a parte real e imaginaria dea+ bi
x+ yi.
Escrevemos
a+ bi
x+ yi= (a+ bi)(
x
x2 + y2− yi
x2 + y2) =
=ax+ by
x2 + y2+
(bx− ay)
x2 + y2i.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 15
Logo temos
Re(a+ bi
x+ yi) =
ax+ by
x2 + y2, Im(
a+ bi
x+ yi) =
(bx− ay)
x2 + y2.
Como exemplo numerico considere z =3 + 5i
1 + 7i
Re(z) =38
50, Im(z) =
−16
50.
Para quea+ bi
x+ yiseja real temos que terbx−ay = 0 e para ser imaginario puro ax+by =
0.
Para o produto, temos
(a+ bi)(c+ di) = ac− bd+ i(ad+ bc)
a parte imaginaria e ad+ bc e a parte real ac− bd para ser imaginario puro ac− bd = 0 e
para ser real ad+ bc = 0.
Z Exemplo 18. Quais as condicoes para que z +1
zseja real ou imaginario puro ,
respectivamente?
Seja z = x+ iy entao
z +1
z=
(x2 + y2 + 1)x+ iy(x2 + y2 − 1)
x2 + y2
para que seja real e necessario que x2 + y2 = 1 entao o numero complexo possui modulo
1. Para que fosse imaginario puro seria necessario ter x2 + y2 = −1 o que nao e possıvel
com x, y ∈ R entao devemos ter x = 0
1.2.2 Conjugado de um numero complexo
m Definicao 10 (Conjugado). Definimos o conjugado de z = a+ bi como
z = a− bi.
Z Exemplo 19. Se z1, z2 ∈ C e z1 + z2, z1.z2 sao reais entao z1 = z2 ou z1, z2 ∈ R.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 16
Sendo z1 = x+ iy e z2 = a+ bi entao z1 + z2 = a+ x+ i(y + b), o produto e
z1z2 = ax− by + i(ax+ by)
para que ambos sejam reais e necessario que y + b = 0 e ay + bx = 0, substituindo a
primeira na segunda tem-se b(x− a) = 0, temos duas possibilidades b = 0 daı y = 0 que
implicam z2, z1 ∈ R ou x = a ainda com y + b = 0 nesse caso z1 e z2 sao conjugados.
Z Exemplo 20. Resolver a equacao
z = tzi.
z = a+ bi, entao a equacao fica como
a− bi = ati− bt
por isso temos o sistema −bt = a e at = −b, substituindo a primeira na segunda,
supondo b = 0 tem-se t2 = 1, por isso t = 1 ou t = −1. Se t = 1, −b = a. Se t = −1,
b = a . Caso b = 0 entao a = 0 e caso a = 0 , b = 0 entao temos todas solucoes.
b Propriedade 8 (Idempotencia).
z = z.
ê Demonstracao. Vale que z = a− bi = v daı v = a+ bi = z, entao
z = z.
b Propriedade 9. z + z = 2Re(z).
ê Demonstracao. z + z = a+ bi+ a− bi = 2a = 2Re(z).
b Propriedade 10. z − z = 2i Im(z).
ê Demonstracao. a+ bi− (a− bi) = a+ bi− a+ bi = 2bi = 2i Im(z).
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 17
b Propriedade 11. Sejam zk = ak + bki, numeros complexos, entao( n∑k=1
zk
)=
( n∑k=1
zk
)ê Demonstracao.
( n∑k=1
zk
)=
( n∑k=1
ak
)+
( n∑k=1
bk
)i =
( n∑k=1
ak
)−( n∑
k=1
bk
)i =
n∑k=1
(ak−bki) =
( n∑k=1
zk
).
b Propriedade 12.
z.w = z.w.
ê Demonstracao. Sejam z = (a+bi) e w = (c+di) entao z.w = (ac−bd)+(bc+ad)i
, daı
z.w = (ac− bd)− (bc+ ad)i
, z = (a− bi), w = (c− di),
z.w = (ac− bd)− (bc+ ad)i
entao vale a igualdade.
b Propriedade 13. Valen∏
k=1
zk =n∏
k=1
zk.
ê Demonstracao. Por inducao sobre n, para n = 1 vale. Supondo a validade para
nn∏
k=1
zk =n∏
k=1
zk
vamos provar para n+ 1n+1∏k=1
zk =n+1∏k=1
zk.
Temos que
n+1∏k=1
zk =
( n∏k=1
zk
).zn+1 =
n∏k=1
zk .zn+1 =n∏
k=1
zk zn+1 =n+1∏k=1
zk .
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 18
$ Corolario 4. Sendo n ∈ N , vale zn = zn, pois
zn =n∏
k=1
z =n∏
k=1
z = zn.
b Propriedade 14. z ∈ R ⇔ z = z.
ê Demonstracao.
⇒). Se z ∈ R entao z = a+ 0i logo z = a− 0i = a.
⇐). Se z = z entao z − z = 0 = 2iImz daı Imz = 0 implicando que z ∈ R.
1.2.3 Condicao de raızes conjugadas
b Propriedade 15 (Raızes conjugadas). Se um polinomio p(z) =n∑
k=0
ckzk tem coefici-
entes reais ck e z ∈ C e uma raiz, entao z tambem e uma raiz de p(z). Se um polinomio
de coeficientes reais, possui raiz compleza z, entao o conjugado de z tambem e raiz.
ê Demonstracao. Se p(z) =n∑
k=0
ckzk = 0 , podemos tomar o conjugado de 0 = 0
n∑k=0
ckzk =n∑
k=0
ckzk =n∑
k=0
ckzk =n∑
k=0
ckzk =n∑
k=0
ckzk = 0.
b Propriedade 16. Vale que (1
z) =
1
z
ê Demonstracao.
1
z=
x
x2 + y2− y
x2 + y2i ⇒ (
1
z) =
x
x2 + y2+
y
x2 + y2i
1
z=
x
x2 + y2+
y
x2 + y2i
logo temos a igualdade.
b Propriedade 17. Se P (z) e uma funcao racional com coeficientes em R, entao vale
P (z) = P (z).
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 19
ê Demonstracao.
P (z) =
n∑k=0
akzk
m∑k=0
bkzk
aplicando o conjugado
P (z) =
n∑k=0
akzk
m∑k=0
bkzk=
n∑k=0
akzk
m∑k=0
bkzk
= P (z).
b Propriedade 18. z e imaginario puro ⇔ z = −z.
ê Demonstracao. Se z e imaginario puro entao z = bi, logo z = −bi = −z. Se
z = −z entao z + z = 0, logo 2Rez = 0 implicando que Rez = 0 e z imaginario puro.
1.2.4 Valor absoluto-modulo
m Definicao 11 (Valor absoluto-modulo). Definimos o valor absoluto ou modulo de
um numero complexo z = x+ yi como
|z| =√
x2 + y2.
$ Corolario 5. O modulo de numeros complexos abrange o de numeros reais, pois se
z = a+ 0.i entao |z| =√a2 + 02 =
√a2 = |a| = |z|.
$ Corolario 6. Sendo z = a+ bi entao |iz| = |z| pois |i.z| = |ia− b| =√
a2 + (−b)2 =√a2 + (b)2 = |z|. Vale tambem que |−iz| = |z| pois |−i.z| = |−ia+b| =
√(−a)2 + (b)2 =√
a2 + (b)2 = |z|. Em especial |i| = | − i| = 1.
$ Corolario 7. Vale tambem | − z| = |z| pois z = a + bi, −z = −a − bi e daı | − z| =√(−a)2 + (−b)2 =
√a2 + b2.
b Propriedade 19 (Idempotencia).
||z|| = |z|.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 20
ê Demonstracao.
|z| =√a2 + b2
e como√a2 + b2 e positivo real, entao |
√a2 + b2| =
√a2 + b2
|√a2 + b2| =
√(√a2 + b2)2 =
√a2 + b2.
b Propriedade 20. Valem as propriedades
Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z|.
Seja z = a + bi, valem as desigualdades a2 < b2 + a2 e b2 < a2 + b2, tomando a raiz de
ambos lados segue |a| <√b2 + a2 e |b| <
√b2 + a2 , entao
Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z|
pois Rez = a Imz = b e as desigualdades Rez ≤ |Rez| e Imz ≤ |Imz| sao igualdade
conhecidas de modulo de um numero real.
1.2.5 Uso de conjugado na divisao
b Propriedade 21.
|z|2 = z.z.
$ Corolario 8. Se z = 0 entao1
z=
z
|z|2.
Entao para calcular a divisao dew
zbasta calcular
wz
|z|2.
ê Demonstracao. |z|2 = a2 + b2 e z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2, entao vale a
igualdade.
b Propriedade 22.
|z| = |z|.
ê Demonstracao. z = a + bi entao |z| =√a2 + b2 e z = a − bi implica |z| =√
a2 + (−b)2 =√a2 + b2 .
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 21
b Propriedade 23. |z.w| = |z| |w|
ê Demonstracao. Sendo z = a+ bi, w = x+ yi entao z.w = (ax− by) + (ay+ bx)i
daı |zw| =√(ax− by)2 + (ay + bx)2 =
√a2x2 − 2axby + b2y2 + a2y2 + 2aybx+ b2x2 =√
a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 e
|z||w| =√a2 + b2
√x2 + y2 =
√(a2 + b2)(x2 + y2) =
√a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
logo |z||w| = |zw|.
$ Corolario 9. Se z = 0 entao |1| = 1 = |zz| = |z|.|1
z| daı |1
z| = 1
|z|. O mesmo valendo
para z, essas propriedades implicam que
|w||z|
= |wz|
w
z=
w
z.
b Propriedade 24.n∏
k=1
|zk| = |n∏
k=1
zk|.
ê Demonstracao. Por inducao sobre n. Para n = 1 vale, supondo para n, vamos
provar para n+ 1.
|n∏
k=1
zk| = | (n∏
k=1
zk)zn+1| = |n∏
k=1
zk||zn+1| =n∏
k=1
|zk|.|zn+1| = |n+1∏k=1
zk|.
$ Corolario 10. wz = wz pois wz = w z = wz.
$ Corolario 11. 2Re z.w = z.w + z.w = z.w + wz.
$ Corolario 12. |z + w|2 = |z|2 + 2Re z.w + |w|2 pois
|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = z.z + z.w + zw + w.w =
= |z|2 + 2Re z.w + |w|2.
$ Corolario 13. |z − w|2 = |z|2 − 2Re z.w + |w|2 e
|z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2|w|2).
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 22
$ Corolario 14 (Desigualdade triangular). Como Re z.w ≤ |z.w| entao
|z|2 + 2Re z.w + |w|2 ≤ |z|2 + 2|z.w|+ |w|2 = |z|2 + 2|z|.|w|+ |w|2 = (|z|+ |w|)2.
Entao tem-se
|z + w|2 ≤ (|z|+ |w|)2
implicando |z + w| ≤ |z|+ |w|.
$ Corolario 15. |z − w| ≤ |z| + |w| pois | − w| = |w| daı aplicamos a desigualdade
triangular.
b Propriedade 25. Se z = x+ yi e w = a+ bi entao
z
w=
ax+ by
a2 + b2+ i
ay − bx
a2 + b2.
ê Demonstracao.
z
w= z
1
w=
z.w
|w|2=
ax+ by
a2 + b2+ i
ay − bx
a2 + b2.
b Propriedade 26. |z| = 0 ⇔ z = 0.
ê Demonstracao. Se z = 0 entao |z| =√0 = 0, se |z| = 0 entao |z|2 = 0 e daı
a2 + b2 = 0, que so acontece quando a = b = 0.
b Propriedade 27. Se z = cosx+ isenx para algum x entao |z| = 1.
ê Demonstracao. |z| = cos2x+ sen2x = 1.
b Propriedade 28. Vale a desigualdade
||zn| − |z|| ≤ |zn − z|.
ê Demonstracao. Por desigualdade triangular valem as desigualdades
|zn| − |z| ≤ |zn − z| e − |zn|+ |z| ≤ |zn − z|
entao
||zn| − |z|| ≤ |zn − z|.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 23
Z Exemplo 21. Se z = reiθ entao |eiz| = e−rsen(θ). Vale
iz = ir(cos(θ) + isen(θ)) = ircos(θ)− rsen(θ)
entao
eiz = eircos(θ)e−rsen(θ)
tomando o modulo
|eiz| = |eircos(θ)|︸ ︷︷ ︸=1
| e−rsen(θ)︸ ︷︷ ︸>0
| = e−rsen(θ).
Z Exemplo 22. Calcule o valor absoluto e conjugado dos numeros −2 + i , −3,
(2 + i)(4 + 3i).
−2 + i = −2− i
−3 = −3.
(2 + i)(4 + 3i) = 5 + 10i = 5− 10i.
| − 2 + i| =√4 + 1 = 5
| − 3| =√9 = 3.
|(2 + i)(4 + 3i)| = |5 + 10i| = 5.√5
Z Exemplo 23 (ITA -questao 5- 1990- Solucao). Suponha z ∈ C com 1+ |z| = |z+1|,
z = a+ bi, entao
1 +√a2 + b2 =
√(a+ 1)2 + b2
elevando ao quadrado implica
1 + 2√a2 + b2 + a2 + b2 = (a+ 1)2 + b2 = a2 + 2a+ 1 + b2 ⇒
√a2 + b2 = a
logo a ≥ 0, elevando ao quadrado novamente a2 + b2 = a2, portanto b = 0.
Disso temos que Im(z) = 0 e Re(z) ≥ 0.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 24
1.2.6 Conjugado e valor absoluto da divisao
Z Exemplo 24. Se z = x+ yi e w = a+ bi entao
z
w=
ax+ by
a2 + b2+ i
ay − bx
a2 + b2.
Com isso, podemos calcular o conjugado e o valor absoluto
(z
w) =
ax+ by
a2 + b2− i
ay − bx
a2 + b2
| zw| =
√(ax+ by
a2 + b2)2 + (
ay − bx
a2 + b2)2 =
1
a2 + b2
√(ax+ by)2 + (ay − bx)2.
Como exemplo numerico vamos calcular o valor absoluto e o conjugado dos numeros
3− i√2 + 3i
ei
i+ 3.
No primeiro caso
z
w=
3(√2− 1)
11+ i
(9 +√2)
11.
| zw| = 1
11
√(3(
√2− 1))2 + (9 +
√2)2.
No segundo caso
z
w=
1
10− i
3
10.
| zw| = 1
10
√10.
Z Exemplo 25. Sem−1∑k=0
xkam−1−k = z = 0 e xm − am = t calcule x− a.
Temos quem−1∑k=0
xkam−1−k = z, usamos a identidade
(xm − am) = (x− a)m−1∑k=0
xkam−1−k
logo
x− a =t
z.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 25
Z Exemplo 26. Calcule a parte real e imaginaria de (1 + i)n, temos
(1 + i√
2)n = cos(
nπ
4) + isen((
nπ
4))
logo
(1 + i)n =√2ncos(
nπ
4) +
√2nisen((
nπ
4)
portanto a parte real e√2ncos(
nπ
4) e a parte imaginaria e
√2nsen((
nπ
4). o conjugado
do numero e√2ncos(
nπ
4)−
√2nsen((
nπ
4)i. O modulo do numero e
√2n.
Z Exemplo 27. Calcule o modulo e valor absoluto de in para n ∈ N.
Temos que in = ir onde r e o resto da divisao de n por 4, entao temos as possibilidades
1, i, −1, −i
conforme o resto seja 0, 1, 2 ou 3 respectivamente que implica conjugado 1, −i, −1, i.
Agora o valor absoluto e 1.
Como um exemplo numerico consideramos i17, 17 deixa resto 1 na divisao por 4 entao
o numero e i e seu conjugado e −i.
1.2.7 Desigualdade de Cauchy Schwarz
b Propriedade 29. Vale a desigualdade
|n∑
k=1
xkyk| ≤
√√√√ n∑k=1
|yk|2
√√√√ n∑k=1
|xk|2
para elementos xk, yk ∈ C.
ê Demonstracao. Seja
f(t) =n∑
k=1
(|xk|+ t|yk|)2 =n∑
k=1
(|xk|2 + t2n∑
k=1
|xk||yk|+n∑
k=1
t2|yk|)2
vale f(t) ≥ 0, sendo uma equacao do segundo grau o discriminante e sempre negativo,
logo podemos chegar em
(n∑
k=1
|xk||yk|)2 ≤n∑
k=1
|xk|2n∑
k=1
|yk|2
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 26
que implican∑
k=1
|xk||yk| ≤
√√√√ n∑k=1
|yk|2
√√√√ n∑k=1
|xk|2
como vale
|n∑
k=1
xkyk| ≤n∑
k=1
|xk| |yk|︸︷︷︸=|yk|
entao segue a desigualdade
|n∑
k=1
xkyk| ≤
√√√√ n∑k=1
|yk|2
√√√√ n∑k=1
|xk|2.
1.2.8 Distancia
m Definicao 12 (Distancia). Definimos a distancia entre dois numeros complexos z1 e
z2 por
d(z1, z2) = |z1 − z2|.
b Propriedade 30. A distancia define uma metrica em C pois temos as seguintes
propriedades:
� Simetria
d(z1, z2) = d(z2, z1).
� Desigualdade triangular
d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z3, z2)
� Positividade
d(z1, z2) ≥ 0, d(z1, z2) = 0 ⇔ z1 = z2.
Tais propriedades seguem das propriedades de R2.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 27
Figura 1.1: Plano de Argand-Gauss
1.3 Plano de Argand-Gauss e forma polar
m Definicao 13 (Forma polar e argumento de um numero complexo).
Como podemos representar um numero complexo z = a + bi pelo ponto P = (a, b)
no plano cartesiano, a parte real a representada sobre o eixo x e a parte imaginaria b
representada sobre o eixo y. A distancia da origem ate o ponto P e
|z| = r =√a2 + b2.
a + bi, pode ser representado por r(cos(θ) + isen(θ) onde sen(θ) =b√
a2 + b2e cos(θ) =
a√a2 + b2
logo tg(θ) =b
a.. o angulo θ se chama argumento do numero complexo a + bi
e essa representacao se chama forma trigonometrica ou polar. Lembrando da relacao
cosθ + isenθ = eiθ
z = a+ bi = r(cosθ + isenθ) = r.eiθ
se elevarmos a n temos
zn = (a+ bi)n = rn(cosθ + isenθ)n = rneinθ
como temos einθ = cos(nθ) + isen(nθ) temos assim
b Propriedade 31. O conjunto dos pontos z tais que |z − z0| = r > 0 e uma circun-
ferencia de raio r e centro em z0.
ê Demonstracao. Denotando z0 = (x0, y0) e z = (zx, zy)
|z − z0| = r ⇔ (zx − x0)2 + (zy − y0)
2 = r2
que sao exatamente os pontos da circunferencia de raio r e centro em z0 = (x0, y0).
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 28
b Propriedade 32. arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2).
ê Demonstracao. z1 = r1eiθ1 , z2 = r2e
iθ2 , multiplicando tem-se
z1.z2 = r1.r2ei(θ1+θ2)
logo arg(z1.z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2).
b Propriedade 33. arg(z1z2) = arg(z1)− arg(z2).
ê Demonstracao.
z1 = r1eiθ1 , z2 = r2e
iθ2 , dividindo tem-se
z1z2
=r1r2ei(θ1−θ2)
daı arg(z1z2) = arg(z1)− arg(z2).
Z Exemplo 28. Determine z ∈ C tal que arg(z + i) =π
4e |z| = 2.
Seja z = a+ bi, entao |z| =√a2 + b2 = 2 implicando a2 + b2 = 4. z + i = a+ (b+ 1)i
o argumento nos da
a2
a2 + (b+ 1)2=
1
2=
(b+ 1)2
a2 + (b+ 1)2=
(b+ 1)2
5 + 2b
pois a2 + b2 = 4 , segue que a2 = (b + 1)2 e daı (b + 1)2 + b2 = 4, de onde tiramos
as solucoes b =−1 +
√7
2e por conseguinte a =
1 +√7
2como uma das solucoes z =
1 +√7
2+
−1 +√7
2i.
b Propriedade 34 (Primeira formula de Moivre). Sendo z = (cos(θ) + isen(θ) entao
zn = rn [(cos(nθ) + isen(nθ)]
porem vamos provar esse resultado por inducao.
ê Demonstracao.
Para n = 0 temos
(a+ bi)0 = 1 = r0 [(cos(0θ) + isen(0θ)] = [1 + i0] = 1
tomando agora o resultado valido para n
zn = rn [(cos(nθ) + isen(nθ)]
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 29
vamos provar para n+ 1
zn+1 = rn+1 [(cos((n+ 1)θ) + isen((n+ 1)θ)]
como zn+1 = zn.z temos
zn+1 = rn [(cos(nθ) + isen(nθ)] r [(cos(θ) + isen(θ)] =
rn+1[cosnθ.cosθ − sennθ.senθ + i(senθcosnθ + sennθ.cosθ)]
lembrando que cos(n + 1)θ = cos(nθ + θ) = cosnθ.cosθ − sennθ.senθ e sen(n + 1)θ =
sen(nθ + θ) = sennθcosθ + senθ.cosnθ substituindo temos
= rn+1[cos(n+ 1)θ + isen(n+ 1)θ].
$ Corolario 16. Em geral emn∏
k=1
zk
com zk = rkeiθk , tem-se
n∏k=1
zk = (n∏
k=1
rk)(n∏
k=1
eiθk) = (n∏
k=1
rk)(ei(
n∑k=1
θk)).
Isso implica que arg(n∏
k=1
zk) =n∑
k=1
arg(zk). Em especial
arg(n∏
k=1
z) = arg(zn) =n∑
k=1
arg(z) = narg(z).
Tomando z = reiθ, temos
n∏k=1
z = zn = (n∏
k=1
r)(ei(
n∑k=1
θ)) = rn(ei(nθ)) = rn(cos(nθ) + isen(nθ))
provando a formula de De Moivre.
$ Corolario 17.
|cosx+ iseny| =√cos2x+ sen2x =
√1 = 1.
Z Exemplo 29. z = 1 + i, tem-se cos(θ) =1√2=
√2
2= sen(θ), logo arg(z) =
π
4.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 30
Z Exemplo 30 (ITA 2009- Questao 4- Solucao). Se a = cos(π
5) e b = sen(
π
5) entao
calcule [cos(π
5) + sen(
π
5)]54.
Pela formula de de Moivre, temos
[cos(π
5) + sen(
π
5)]54 = [cos(
54π
5) + sen(
54π
5)] =
= [cos(55π
5− π
5) + sen(
55π
5− π
5)] =
= cos(11π)︸ ︷︷ ︸−1
cos(π
5)︸ ︷︷ ︸
a
+ sen(11π)︸ ︷︷ ︸0
sen(π
5) + i sen(11π)︸ ︷︷ ︸
0
cos(π
5)− icos(11π) sen(
π
5)︸ ︷︷ ︸
b
= −a+ bi.
b Propriedade 35. O ponto z e a reflexao do ponto z em torno do ponto x. (fazer
figura).
ê Demonstracao.
1.4 Raızes
b Propriedade 36 (Raızes complexas n-esimas). Todo numero complexo
z = r(cos(θ) + isen(θ)) = 0
possui exatamente n raızes complexas n-esimas w, que satisfazem wn = z para cada
numero natural n ≥ 1, dadas por
zk = r1n [cos(
θ + 2kπ
n) + isen(
θ + 2kπ
n)]
k ∈ [0, n− 1]N .
ê Demonstracao. Queremos determinar os valores de w = p(cos(φ)+ isen(φ)) tais
que z = wn. Tem-se
wn = pn(cos(nφ) + isen(nφ)) = z = r(cos(θ) + isen(θ))
daı pn = r, p = r1n , cos(nφ) = cos(θ) , sen(nφ) = sen(θ), ⇔ nφ = θ+2kπ, φ =
θ + 2kπ
n,
k ∈ Z. De k = 0 ate n − 1 temos argumentos distintos e numeros complexos distintos ,
pois os argumentos estao entre [θ
n,θ
n+ 2π), para outros valores de k se recaımos nestes
ja citados pois k = nq + r onde 0 ≤ r < n pela divisao euclidiana
θ + 2kπ
n=
θ + 2rπ
n+ 2qπ.
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 31
Z Exemplo 31. Em especial temos as raızes da unidade , que sao raızes da equacao
zn = 1, dadas por
cos(2kπ
n) + isen(
2kπ
n), k ∈ [0, n− 1]N .
Z Exemplo 32. Calcule as raızes da equacao z4 − p = 0 onde p > 0.
As raızes serao dadas por zk = 4√p(cos
(2kπ)
4+ isen
(2kπ)
4).
z0 = 4√p
z1 = 4√p(cos
(2π)
4+ isen
(2π)
4) = i 4
√p
z2 = 4√p(cos
(4π)
4+ isen
(4π)
4) = − 4
√p
z3 = 4√p(cos
(2.3π)
4+ isen
(2.3π)
4) = −i 4
√p.
Z Exemplo 33. Calcule as raızes da equacao z4 − 3 = 0.
As raızes serao dadas por zk =4√3(cos
(2kπ)
4+ isen
(2kπ)
4).
z0 =4√3
z1 = i4√3
z2 = − 4√3
z3 = −i4√3.
Z Exemplo 34. Calcule as raızes da equacao z8 − 14z4 + 48 = 0. Tomamos w = z4 e
daı a equacao fica w2 − 14w + 48 = 0 cujas raızes sao w1 = 8 e w2 = 6. As raızes sao
z0 =4√8
z1 = i4√8
z2 = − 4√8
z3 = −i4√8
z4 =4√6
CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEXOS 32
z5 = i4√6
z6 = − 4√6
z7 = −i4√6.
Z Exemplo 35. Calcule as raızes da equacao
z2 + (1− 2i)z + (1 + 5i) = 0.
Temos ∆ = (1− 2i)2 − 4(1− 5i) = −3− 4i− 4+ 20i = −7+ 16i logo os valores sao dados
por
z =−(1− 2i)±
√−7 + 16i
2.
b Propriedade 37. Se ez = 0 e α ∈ C tal que ez+α = ez entao α = 2kπi,∀ k ∈ Z.
ê Demonstracao. α = a+ bi, daı
ez+α = ezeα = ez ⇒ eα = 1
pois ez = 0 e invertıvel. Entao segue
eaebi = 1
como a funcao de lei ex e injetora, segue que a = 0, daı
ebi = cos(b) + isen(b) = 1
implicando que cos(b) = 1 e sen(b) = 0 que implica b = 2kπ, entao α = 2kπ.i.