BCC204 - Teoria dos GrafosBCC204 - Teoria dos Grafos MarcoAntonioM.Carvalho (baseado nas notas de...

BCC204 - Teoria dos Grafos

Marco Antonio M. Carvalho

(baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos)Departamento de Computação

Instituto de Ciências Exatas e BiológicasUniversidade Federal de Ouro Preto

26 de agosto de 2019

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 26 de agosto de 2019 1 / 63

Avisos

Site da disciplina:I http://www.decom.ufop.br/marco/

Lista de e-mails:I [email protected]

Para solicitar acesso:I http://groups.google.com/group/bcc204


http://www.decom.ufop.br/marco/

[email protected]

http://groups.google.com/group/bcc204

Conteúdo

1 Busca em Grafos

2 Busca em Profundidade

3 Busca em Largura


Busca em Grafos

DefiniçãoA Busca em Grafos (ou Percurso em Grafos) é a examinação de vértices e arestasde um grafo.

O projeto de bons algoritmos para determinação de estruturas ou propriedades degrafos depende fortemente do domínio destas técnicas.

TerminologiaEm uma busca:

I Uma aresta ou vértice ainda não examinados são marcados como nãoexplorados ou não visitados;

I Inicialmente, todos os vértices e arestas são marcados como não explorados;

I Após terem sido examinados, os mesmos são marcados como explorados ouvisitados;

I Ao final, todos os vértices e arestas são marcados como explorados (no casode uma busca completa).


Busca Genérica

Entrada: Grafo G=(V, A)1 enquanto existir j ∈ V com uma aresta {j ,k} não visitada faça2 Escolha o vértice j e visite a aresta {j , k};3 se j não é marcado então4 marque j como visitado;5 fim6 se k não é marcado então7 marque k como visitado;8 fim9 fim


Atravessando Labirintos


Como escapar?

Método do século XIX - Algoritmo de TrémauxPierre Trémaux (20 de Julho 1818 - 12 Março de 1895);I Francês arquiteto, fotógrafo e orientalista;I Autor de várias publicações científicas e etnografias;I Segunda pessoa a ganhar o Prix de Romea.

aBolsa de estudo destinada a estudantes das artes e atribuída pelo governofrancês a jovens artistas que se distinguissem na pintura, escultura earquitetura, criada em 1663 durante o reinado de Luís XIV de França.


Como escapar?

Método do século XIX - Algoritmo de TrémauxO algoritmo de Trémaux requer que para encontrar a saída de um labirintoseja riscada uma linha no chão para marcar os caminhos percorridos:I Um caminho pode ser não visitado, visitado uma vez ou visitado duas

vezes;I A cada escolha de direção, é riscada uma linha no chão indicando o

caminho.


Como escapar?

Método do século XIX - Algoritmo de TrémauxI Inicialmente, uma direção aleatória é escolhida;I Ao chegar em uma junção não visitada (ou seja, sem nenhuma linha),

escolha uma direção aleatória e risque o caminho;I Ao chegar em uma junção já marcada, vire-se e caminhe de volta,

marcando o caminho pela segunda vez;I Se este não for o caso, escolha o caminho com menos linhas e

marque-o novamente.I Quando finalmente chegar à saída do labirinto, os caminhos marcados

com apenas uma linha indicarão o caminho direto até o ponto inicial;I Se não houver saída, você voltará ao ponto inicial, no qual todos os

caminhos possuem duas linhas.



Exemplo de execução do Algoritmo de Trémaux.



Um labirinto. Considera-se que a circulação neste labirinto é feitamargeando alguma parede.



Pontos de entrada, saída e mudança de direção do labirinto.



Grafo no labirinto.



Grafo do labirinto.



IdéiaUma forma de encontrar a saída do labirinto sem nunca percorrer mais deuma vez o mesmo caminho consiste em realizar uma busca no grafo demodo a nunca repetir arestas, marcando-as.

A busca se inicia no vértice que representa a entrada e termina no vérticeque representa a saída.



Busca Genérica no grafo de exemplo (1).



Busca Genérica no grafo de exemplo (2).


Buscas em Grafos

Buscas em GrafosDependendo do critério utilizado para escolha dos vértices e arestas aserem visitados, diferentes tipos de buscas são desenvolvidos a partir dabusca genérica.

Basicamente, duas buscas completas em grafos são essenciais:

I Busca em Profundidade (ou DFS – Depth-First Search); eI Busca em Largura (ou BFS – Breadth-First Search).


Busca em Profundidade - DFS

CaracterísticasA Busca em Profundidade visita todos os vértices de um grafo, usandocomo critério os vizinhos do vértice visitado mais recentemente.

Característica Principal: utiliza uma pilha explícita ou recursividade paraguiar a busca.



Entrada: Grafo G=(V, A), vértice inicial v1 Marque o vértice v como visitado;2 enquanto existir w vizinho de v faça3 se w é marcado como não visitado então4 Visite a aresta {v , w};5 Marque w como visitado;6 BP(G ,w);//chamada recursiva da função7 fim8 senão9 se {v ,w} não foi visitada ainda então

10 Visite {v ,w};11 fim12 fim13 fim



Classificação de ArestasAo explorar um grafo G conexo usando a DFS, podemos categorizar asarestas:I Arestas de Árvore: Satisfazem ao primeiro se do algoritmo (linha 3),

ou seja, levam à visitação de vértices ainda não visitados;I Arestas de Retorno: Demais arestas. Formam ciclos, pois levam a

vértices já visitados.

Árvore de ProfundidadeA subárvore de G formada pelas arestas de árvore é chamada de Árvore deProfundidade de G .


DFS - Exemplo

Grafo de exemplo.


DFS - Exemplo

(1) Aresta {1,2}.


DFS - Exemplo

(2) Aresta {2,3}.


DFS - Exemplo

(3) Aresta {3, 1}.


DFS - Exemplo

(4) Aresta {3, 4}.


DFS - Exemplo

(5) Aresta {4, 5}.


DFS - Exemplo

(6) Aresta {5, 3}.


DFS - Exemplo

(7) Aresta {3, 6}.


DFS - Exemplo

(8) Aresta {3, 7}.


DFS - Exemplo

Grafo original e correspondente árvore de profundidade.


DFS

ComplexidadePara cada vértice do grafo, a DFS percorre todos os seus vizinhos. Cadaaresta é visitada duas vezes.

Se representarmos o grafo por uma lista de adjacências, a DFS temcomplexidade O(n + m).


DFS-Grafos Direcionados

Atenção!A aplicação da DFS em grafos direcionados é essencialmente igual àaplicação em grafos não direcionados.

No entanto, mesmo o grafo direcionado sendo conexo, a DFS pode precisarser chamada repetidas vezes enquanto houver vértices não visitados,retornando uma floresta.

Este é o mesmo caso quando a DFS é aplicada a um GND desconexo.


Busca em Profundidade - Reinício

Entrada: Grafo G=(V , A)1 enquanto existir v ∈ V não visitado faça2 BP(G , v);3 fim



Classificação de ArestasAo explorar um grafo G direcionado usando a DFS, podemos categorizar asarestas. Sejam o vértice v a origem da aresta e o vértice w o destino damesma:

I Arcos de Avanço: Caso w seja descendente de v na floresta;I Arcos de Retorno: Caso v seja descendente de w na floresta;I Arcos de Cruzamento: Caso w não seja descendente de v e v não seja

descendente de w .


DFS - Exemplo

Grafo de exemplo.


DFS - Exemplo

(1) Arco (1,2).


DFS - Exemplo

(2) Arco (2,3).


DFS - Exemplo

(3) Arco (3, 6).


DFS - Exemplo

(4) Arco (6, 2).


DFS - Exemplo

(5) Arco (1, 3).


DFS - Exemplo

(6) Arco (4, 3).


DFS - Exemplo

(7) Arco (4, 5).


DFS - Exemplo

(8) Arco (5, 3).


DFS - Exemplo

Grafo original e respectiva floresta de profundidade.


Busca em Largura

CaracterísticasA Busca em Largura visita todos os vértices de um grafo, usando comocritério o vértice visitado menos recentemente e cuja vizinhançaainda não foi explorada.

Característica Principal: utiliza uma fila guiar a busca.

Atuação em camadas:

I Inicialmente são considerados os vértices com distância 0 do vértice inicial;

I Na iteração 1 são visitados os vértices com distância 1; prosseguindo, demodo genérico, na iteração d será adicionada uma camada com todos osvértices com distância d do vértice inicial;

I Cada novo vértice visitado é adicionado no final de uma fila Q;

I Cada vértice da fila é removido depois que toda a vizinhança for visitada;

I A busca termina quando a fila se torna vazia.


Busca em Largura - BFS

Entrada: Grafo G=(V, A), vértice inicial v1 Crie uma fila Q vazia;2 Marque v como visitado;3 Insira v em Q;4 enquanto Q 6= ∅ faça5 v ← remove elemento de Q;6 para todo vértice w vizinho de v faça7 se w é marcado como não visitado então8 Visite a aresta {v , w};9 Insira w em Q;

10 Marque w como visitado;11 fim12 senão13 se {v ,w} não foi visitada ainda então14 Visite {v ,w};15 fim16 fim17 fim18 fim


BFS - Exemplo

(1) Inclusão de 1Q = {1}


BFS - Exemplo

(2) ArestaAresta{1, 2}Q = {2}


BFS - Exemplo

(3) Aresta{1, 3}Q = {2, 3}


BFS - Exemplo

(4) Aresta{2, 3}Q = {3}


BFS - Exemplo

(5) Aresta{3, 4}Q = {4}


BFS - Exemplo

(6) Aresta{3, 5}Q = {4, 5}


BFS - Exemplo

(7) Aresta{3, 6}Q = {4, 5, 6}


BFS - Exemplo

(8) Aresta{3, 7}Q = {4, 5, 6, 7}


BFS - Exemplo

(9) Aresta{4, 5}Q = {5, 6, 7}


BFS - Exemplo

Grafo original e respectiva árvore.


BFS

ComplexidadeCada vértice só entra na fila uma vez.

Inserir e remover na fila possuem complexidade constante, realizadas |V |vezes cada.

A lista de adjacências de cada vértice é examinada apenas uma vez, e asoma dos comprimentos de todas as listas é Θ(m).

Logo, se representarmos o grafo por uma lista de adjacências, a BFS temcomplexidade O(n + m).


Aplicações

Algumas aplicações incluem:I Detectar grafos desconectados;I Detectar se o grafo possui ciclos;I Encontrar componentes biconexas;I Classificar arestas;I Encontrar componentes fortemente conexas;I Flood Fill ;I Determinar o menor caminho em grafos não ponderados.

Algumas aplicações requerem que seja retornada uma lista com a ordemem que os vértices foram visitados.


DFS × BFS

DFS - Busca em ProfundidadeI Incursões profundas no grafo, voltando somente quando não existem mais vértices

desconhecidos pela frente;I Marca o vértice antes de visitar toda sua vizinhança;I Uso de pilha.

BFS - Busca em Largura

I Busca progride em “largura”: certifica-se de quevizinhos próximos sejam visitados primeiro;partir de v ;

I Marca o vértice depois de visitar toda suavizinhança;

I Uso de fila.


Avisos

Verifiquem a visualização de algoritmos!

I https://visualgo.net/


https://visualgo.net/

Visualizações

Flood Fill 4 direçõesI https://en.wikipedia.org/wiki/File:

Recursive_Flood_Fill_4_(aka).gif

Flood Fill 8 direçõesI https://en.wikipedia.org/wiki/File:

Recursive_Flood_Fill_8_(aka).gif

Flood Fill Busca em Largura:I https://en.wikipedia.org/wiki/File:

Wfm_floodfill_animation_queue.gif

Flood Fill Busca em Profundidade:I https://en.wikipedia.org/wiki/File:

Wfm_floodfill_animation_stack.gif


https://en.wikipedia.org/wiki/File:Recursive_Flood_Fill_4_(aka).gif




https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wfm_floodfill_animation_queue.gif

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wfm_floodfill_animation_queue.gif

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wfm_floodfill_animation_stack.gif

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wfm_floodfill_animation_stack.gif

Dúvidas?


BCC204 - Teoria dos GrafosBCC204 - Teoria dos Grafos MarcoAntonioM.Carvalho (baseado nas notas de...

Documents

Transcript of BCC204 - Teoria dos GrafosBCC204 - Teoria dos Grafos MarcoAntonioM.Carvalho (baseado nas notas de...