ALGA 08.10.09

MatrizesTransposta de matriz invertvel

Teorema 1. Se A Mp(K) invertvel ento AT Mp(K) tambm invertvele

(AT )1

= (A1)T

Inversa de matriz invertvel de ordem 2

Proposio 2. Seja

A =

[a bc d

]M2(K).

Se ad bc 6= 0 ento A invertvel e

A1 =1

ad bc[

d bc a

]Matriz elementar

Definio 3. Designa-se por matriz elementar de ordem n sobre K (de tipo I, IIou III) toda a matriz quadrada de ordem n obtida a partir de In efectuando umatransformao elementar nas linhas (de tipo I, II ou III, respectivamente).

Proposio 4. Sejam A Mpn(K) e E matriz elementar de ordem p sobre K.Efectuando sobre A a mesma transformao elementar que transformou Ip em E,obtm-se EA.

Transformaes elementares e suas inversasTransformao elementar Transformao elementar

nas linhas de I nas linhas de Eobtendo E obtendo I

Multiplicar a linha i por 6= 0 Multiplicar a linha i por 1

Trocar a linha i com a linha j Trocar a linha i com a linha j

Somar linha i Somar linha ia linha j multiplicada por a linha j multiplicada por ()

Invertibilidade de uma matriz elementar

Teorema 5. Toda a matriz elementar invertvel e a sua inversa tambm umamatriz elementar (do mesmo tipo)

Observao 6. Se B se obtm de A efectuando um nmero finito de transfor-maes elementares nas linhas, tambm A se obtm deB, efectuando as transfor-maes elementares inversas (por ordem inversa) das que se efectuaram a partirde A.

Uma relao de equivalncia entre matrizes

Definio 7. Diz-se que B equivalente a A esquerda se B se obtm de Aefectuando transformaes elementares nas linhas. Escreve-se B e A.Facto 8. A relao e uma relao de equivalncia (i.e., reflexiva, simtrica,transitiva).

Teorema 9. Seja A Mn(K). As afirmaes seguintes so equivalentes:1. A invertvel.

2. AX = 0 admite apenas a soluo trivial (i.e., nula).

3. Se B e A e B est em forma de escada reduzida, ento B = In.4. A produto de um nmero finito de matrizes elementares.

2

Proposio 10. Sejam A,B Mn(K) tal que A e B. Tem-se que A invertvelse e s se B invertvel.

Observao 11. Seja A Mn(K). Se A est em forma de escada e uma das suasentradas principais 0, ento A tem uma linha nula.

Algoritmo para o clculo de A1Seja A matriz quadrada de ordem n.Se A for invertvel, A1 obtm-se a partir de In efectuando as mesmas transfor-maes elementares que foram efectuadas sobre A para obter In.

Passo 1. Construir a matriz [A|In] Mn2n(K)

a11 a12 . . . a1j . . . a1n 1 0 . . . 0 . . . 0a21 a22 . . . a2j . . . a2n 0 1 . . . 0 . . . 0...

......

......

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain 0 0 . . . 1 . . . 0...

......

......

......

...an1 an2 . . . anj . . . ann 0 0 . . . 0 . . . 1

Passo 2. Executar eliminao de Gauss na matriz [A|In] at obter uma matriz em

forma de escada [B|C].Caso 1. Se as primeiras n entradas da ltima linha forem nulas, B e A, sendo

B uma matriz em forma de escada com uma linha nula. Portanto A no invertvel. Neste caso, o algoritmo pra.

Caso 2. Caso contrrio, B e A, sendo B uma matriz em forma de escada semlinhas nulas. Executar a eliminao de Gauss-Jordan at obter uma matrizem forma de escada reduzida [In|A1].

1 0 . . . 0 . . . 0 a11 a12 . . . a1j . . . a1n0 1 . . . 0 . . . 0 a21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

......

......

...0 0 . . . 1 . . . 0 ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

......

......

...0 0 . . . 0 . . . 1 an1 an2 . . . anj . . . ann

3