Betão armado e pré esforçado
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ESTRUTURAS DE
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS
Coordenação:
ESTRUTURAS DE BETÃO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 1
INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS
DE BETÃO ARMADO
Coordenação: José N. da Camara
Ano Lectivo 2012/2013
INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS
Introdução
Estes apontamentos têm como objectivo facilitar o acompanhamento das aulas e
correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição incluindo, ainda, a
resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta
dos restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia.
Estes apontamentos foram elaborados com base em textos anteriores da disciplina
para os quaiscontribuíram os docentesque têm vindo a leccionar o Betão Estrutural,
muito especialmente o Prof. Júlio Appleton que foi, nesta escola, nos últimos 30 anos,
o responsável por esta área da engenharia de estruturas.
No ano lectivo 2008/2009 adoptaram-se no ensino integralmente as normas europeias
(Eurocódigos), já aprovados na versão definitiva (EN). No entanto, estamos num
período de transição, pois não houve ainda uma aprovação formal, sendo possível
utilizar, no âmbito profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP –
Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação
europeia (Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão).
Deve-se, no entanto, realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a
transmissão do conhecimento sobre as características do comportamento
estrutural e fundamentação dos modelos de cálculo , aspectos que se repercutem
depois, naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações.
Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na área da engenharia de estruturas ,
é fundamental que os alunos tenham uma boa percepção do comportamento das
estruturas, em geral, e, de uma forma “quase imediata”, das estruturas isostáticas.
No ano lectivo 2012/2013 os docentes são:
José Manuel da Camara (Responsável da Disciplina)
João Fernandes de Almeida
João Sérgio Cruz
IST, Setembro de 2012
ÍNDICE
1. COMPORTAMENTO DO BETÃO ESTRUTURAL ................. .............................................. 1
1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS ........................................................ 1
1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO ......................................................................................... 3
1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO .............................................. 4
1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO ............................................................. 8
1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO/ESTRUTURA..................................................... 9
2. CONCEITO DE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTU RAS ................ 10
2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL ............................. 10
2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES
ÚLTIMOS ................................................................................................................................... 12
2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES
DE UTILIZAÇÃO .......................................................................................................................... 14
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.1 .................................................................................................. 18
ALÍNEA A) .................................................................................................................................. 20
ALÍNEA B) .................................................................................................................................. 21
3. MATERIAIS ......................................... ................................................................................ 22
3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES ...................................................................................... 22
3.1.1. Tensões de rotura do betão ................................................................................. 22
3.1.2. Módulo de elasticidade do betão ......................................................................... 23
3.1.3. Valor característico da tensão de rotura do betão à compressãofc ..................... 23
3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS ............................................................................... 23
3.2.1. Classificação das armaduras para betão armado ............................................... 24
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 1
1. Comportamento do Betão Estrutural
Notações:
f – resistência do material
fc – tensão de rotura do betão à compressão
fct - tensão de rotura do betão à tracção
Ec – módulo de elasticidade do betão
fy – tensão de cedência do aço
fu – tensão de rotura do aço
Es – módulo de elasticidade do aço
1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS
Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os
diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a
meio vão.
Como se sabe, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando, na hipótese de
comportamento elástico, esta secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões
normais:
(+)
DEV
DMF
P/2
(+)
(-)
5.00
P/2
P
0.50
0.20
P/2
P/2
PL/4
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 2
Tensões: σ = M × y
Ic ; σmáx =
M Wc
em que Wc = I
ymáx (módulo de flexão)
Para uma secção rectangular, Wc = b h3 12 ×
2 h =
b h2 6
Para um determinado nível de carga P ocorrerá uma fenda, em princípio próximo da
secção de meio vão (por ser a secção mais esforçada) e, na sequência a rotura da
viga.
Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-
deslocamento que ilustram o comportamento desta viga, desde o início do
carregamento até à rotura , verificando-se que esta é frágil .
Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão:
Índice c – “concrete”
fc – tensão de rotura do betão à compressão
fct – tensão de rotura do betão à tracção
Ec – módulo de elasticidade do betão
Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um
material que possui um bom comportamento e resistência à compressão, com uma
resposta “quase linear” para níveis de tensões baixos a médios, e uma baixa
resistência à tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão). Esta
última característica é responsável pela fendilhação do betão armado e, neste caso de
betão simples, pela rotura.
M
σ2
G
h/2
h/2
y σ1
M
1/ R
EI (rigidez de flexão)
P
δ
a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento
ε
σ
fc
fct (2 a 5 MPa)
(20 a 80 MPa)
≈ 3.5‰
Ec (≈30 GPa)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 3
Cálculo do momento de fendilhação
Admite-se fct = 2.0 MPa
σ = M Wc
= M × v
Ic e Wc =
bh2 6 (para uma secção rectangular)
Deste modo, o momento de fendilhação pode ser calculado pela expressão:
Mcr = fct×Wc = 2 × 103× 0.20 × 0.502
6 = 16.7 kNm
A carga P que provoca o início da fendilhação está associada ao momento de
fendilhação podendo ser calculada, para esta estrutura e carregamento, através da
seguinte relação:
Mcr = PL 4 ⇒ P =
4Mcr L =
4 × 16.7 5 = 13.4 kN
Conclusão: Uma viga de betão simples não explora, minimamente, a capacidade
resistente do material em compressão, pois a máxima tensão que se
pode mobilizar é igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistência à
tracção. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa
capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e a
uma rotura frágil.
Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é
necessário, ou seja nas zonas traccionadas das peças ⇒ Ao faltar a
capacidade do betão para resistir à tracção mobilizam-se as armaduras de
aço. Evita-se a rotura frágil e explora-se muito melhor a capacidade
resistente do betão à compressão, pois passa a haver a possibilidade de
equilibrar compressões elevadas com tracção nas armaduras. Tem-se,
assim, o Betão armado (betão +armaduras de aço).
1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO
Armaduras de aço : material dúctil com bom comportamento à tracção, mas
também àcompressão, e que permite, pela sua disposição em varões, um bom
envolvimento pelo betão.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 4
Índice y – “yeld” (cedência)
fy+ ≈ fy
-
Com a introdução destas armaduras no betão obtém-se um comportamento conjunto
com boa ligação entre os materiais e extremamente eficiente em termos da resposta
estrutural. De facto, com o aparecimento das fendas,as tracções passam para as
armaduras o que permite garantir o equilíbrio na secção para cargas muito superiores.
Nas figuras seguintes podem observar-se diagramas tipo, de momentos-curvaturas
médias e carga-deslocamento, respectivamente, para elementos e estruturas de betão
armado, desde o início do carregamento até à rotura. Verifica-se que, com o início das
fendas (1), há alguma perda de rigidez mas que a capacidade resistente máxima só se
atinge para cargas superiores depois de verificada a cedência das armaduras (2) e
explorada, depois, a ductilidade (3).
Ao longo desta disciplina analisar-se-ão estas características do comportamento e o
seu enquadramento nas disposições regulamentares para assegurar os níveis de
segurança e de qualidade de comportamento necessários.
1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO
Para se compreender o comportamento global acima descrito comecemos por analisar
a resposta ao nível de uma secção de betão armado, tomando-se a secção
apresentada.
2.5 a 10%
Es (≈200 GPa)
(200 a 800 MPa)
ε
fu
σ
fy
fy
(1)
(2) (3)
b) Diagrama carga-deslocamentoa) Diagrama momento-curvatura
δ
PM
R/1
III
(1)
(2) (3)(1) - fendilhação do betão
(2) - cedência das armaduras
(3) - rotura
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 5
Admita-se:
As = 10.0 cm2
d = 0.45 m (altura útil da armadura)
Ec = 30 GPa
Es = 200 GPa
(i) Avaliação simplificada da quantidade de armadura mínima necessária para
substituir o papel das tensões de tracção no betão quando se forma uma
fenda.
(Análise em Estado não fendilhado - Estado I – desprezando as
armaduras)
A força de tracção no betão quando se forma a fenda deve, então, ser
menor que a força máxima passível de ser absorvida pelas armaduras, tal
que:
(antes de fendilhar)
Fs≥ Fct⇔ As, min× fy≥ b × h2 ×
12 fct⇔
⇔ As, min≥ 0.2 × 0.5 4 × 2×103×
1 400×103 × 104 = 1.25 cm2
(Refira-se que a armadura admitida é de As = 10cm2>> 1.25cm2)
(ii) Cálculo do estado de tensão na secção imediatamente após a fendilhação
do betão
Hipóteses consideradas paro o denominado Estado II
− O betão não resiste à tracção
− As secções mantêm-se planas após a fendilhação
0.20
0.50d
σ
fct
h/2
b
Fct
Fc
εc
LN
σc
(-)
(+)
εsσs (Fs)
(Fc)
b
x
d z Mcr
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 6
Cálculo da posição da linha neutra
Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada,
x = ∑Ai xi
∑Ai
= bx × x/2 + As× Es/Ec× d
bx + As× Es/Ec ⇔x
bx + As×
Es Ec
= bx × x 2 + As×
Es Ec
× d ⇔
⇔ bx2 + As× Es Ec
× x = bx2 2 + As×
Es Ec
× d ⇔bx 2
2 = As×××× Es Ec
(d - x)
(equação que traduz a igualdade de momentos estáticos)
Para a secção em estudo,
0.2x2 2 = 10×10-4 x
200 30 (0.45 - x) ⇔ 0.1x2 + 6.67×10-3x - 0.03 = 0 ⇒ x = 0.143 m
z(braço das forças resultantes) = d - x 3 = 0.45 -
0.143 3 = 0.40 m
Cálculo da tensão no betão (σc)
Por equilíbrio: Mcr = Fs× z = Fc× z =16.7 kNm ⇔ Fc = Mcr z =
16.7 0.40 = 41.8 kN
Fc = σc× x × b
2 ⇔σc = 2Fc bx =
2 × 41.8 0.20 × 0.143 = 2923 kN/m2≅ 2.9 MPa
Cálculo da tensão nas armaduras (σs)
Fs = σs× As⇔σs = Fs As
= 41.8
10 × 10-4 = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa
Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (εc e εs)
σ = E ×ε⇒
εc =
σc Ec
= 2923
30×106 = 0.097×10-3≅ 0.1‰
εs = σs Es
= 41800
200×106 = 0.2‰
ou εc εs
= x
d - x ⇒εs = d - x
x εc= 0.45 - 0.143
0.143 × 0.097×10-3 = 0.2‰
M = 16.7 kNm
0.143
σ [MPa]
-2.9
εs = 0.2‰
(+)
(-)
εc = 0.1‰
LN
ε
41.8
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 7
Cálculo da curvatura
1 R =
εc + εs d =
0.1×10-3 + 0.2×10-3 0.45 = 6.67×10-4 m-1
Antes da fendilhação,
εc = σc Ec
= 2.0
30×103 = 6.67×10-5
1R =
2 × 6.67×10-5
0.5 =2.67×10-4 m-1
Verifica-se, assim, que, para esta secção e com esta armadura, se verifica uma perda
de rigidez, quando se perde a participação do betão traccionado, de: 1/RII 1/RI
≅ 2.5 .
Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelas
rigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que:
Estado I sem considerar as armaduras: 1Rc
= M
Ec Ic
Estado I com consideração das armaduras: 1RΙ
= M
Ec IΙ
Estado II: 1
RΙΙ =
MEc IΙΙ
Ic, IΙ e IΙΙ, são respectivamente, a inércia de secção só de betão, de betão e armaduras
homogeneizada no betão em situação não fendilhada (valor de IΙ ≈ Ic) e fendilhada (IΙΙ),
sem considerar o betão à tracção.
M = 16.7 kNm
[MPa]
(+)
(-)
εc
εc
σ2.0
2.0
M
R/1
III
Ec IΙ
Ec IΙ Ec IΙΙ
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 8
1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO
Em estado II (secção fendilhada sem participação de betão à tracção) a linha neutra é
invariável, pelo que, a um acréscimo do momento flector irá somente corresponder um
aumento de curvatura com consequente aumento de tensões, i.e., com o braço entre
as resultantes das forças de compressão e tração a se manter constante.
A continuação da aplicação do momento M conduz, portanto, ao aumento das tensões
nas fibras, podendo, para níveis superiores de carga, o betão entrar numa região de
comportamento não linear.
A variação do braço é, no entanto, pouco significativa (z1 ≅ z2), pelo que a avaliação do
momento de cedência se pode fazer tomando para a força F a força correspondente à
cedência das armaduras, tal que:
My ≅ z × Fy com Fy = Asfsy
Cálculo do momento de cedência da secção
σs = fy = 400 MPa⇒Fy = 400×103× 10×10-4 = 400 kN
z = 0.40m ⇒My = 0.4 × 400 = 160 kNm
Verifica-se que, para esta secção, a diferença entre os momentos de fendilhação e de
cedência é significativa, de 16.7 kNm para 160 kNm, o que mostra bem o papel das
armaduras.
M
σs1εs
(+)
(-)
σc1
LN
εc
M1 M2 > M1
σc2
σs2
M1z1
Fc
Fs1
σc1
LN
M2z2
Fs2
Fc
σc2
LN
M1 < M2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 9
1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO /ESTRUTURA
As estruturas são compostas por inúmeras secções sendo que só algumas fendilham.
Nestas secções há uma perda de rigidez brusca (aumento de deformação significativo)
que, como mostra o gráfico a), corresponde à passagem do Estado I ao II. No entanto,
considerando o comportamento médio num elemento estrutural (por exemplo,um troço
de viga, com um comprimento igual à altura), como se ilustra no gráfico b) vai-se
verificar uma diminuição mais gradual da rigidez média. Este efeito de atenuação da
importância da perda de rigidez, a quando da fendilhação, é ainda mais notório,
quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto.
De facto, ao nível da deformação global da estrutura, não se chega a notar um
aumento pontual da deformação. Verifica-se, isso sim, uma diminuição da rigidez para
cargas superiores ás do início do processo de formação de fendas (zona do diagrama
carga-deslocamento de (2) para (3)) – ver figura seguinte.
Para um certo nível de carga a zona da viga passível de ter fendas é aquela em que
os esforços sejam superiores aos de início da fendilhação, como se mostra na figura
seguinte.
a) Secção
IIIσ
b) Elemento
M
R/1
Mcr
III
ε
My
(1)
(2) (3)
Mcr
My(1)
(2) (3)
MM
R
δ
P
(1)
(2) (3)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 10
Refira-se que, como referido anteriormente, à medida que se verifica o incremento de
carga as tensões nos materiais aumentam até que se atinge, em princípio na secção
mais esforçada, a cedência do aço, ou seja o momento de cedência - (ponto (2) dos
diagramas). Este nível de carga corresponde, “grosso modo”, à capacidade máxima da
carga, verificando-se, a partir daí, só um ligeiro aumento de carga, associado a um
grande aumento de deformações. É a zona de comportamento associada ao
comportamento na rotura à flexão do betão armado.
2. Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estrutu ras
2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL
Há dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas para
assegurar, à sociedade em geral, um nível de segurança adequado às construções.
Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cada
um deles, o tipo de verificações em causa.
1) Garantir um bom comportamento das estruturas em sit uação de serviço, ou
seja, na utilização corrente
Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos
Estados Limite de Utilização:
Limitar a deformação (Para as estruturas, em geral, e não só de betão)
DMF
Mmáx
P
Região onde ocorre fendilhação para Pmáx
Mcr
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 11
De acordo com as recomendações mais recentes, e para o caso de pisos de edifícios,
a deformação final ou o incremento de deformação após a execução de paredes de
alvenaria, deve ser limitada, para as acções com carácter de permanência,
respectivamente, a:
δserviço≤δadmissível
≅
L250 ou
L500
Trata-se no primeiro caso de uma questão de aspecto e funcionalidade e no segundo
caso para evitar fendas nas alvenarias.
Limitar o nível de tensões máximas no betão e no aç o
Segundo as disposições regulamentares mais recentes o nível máximo das tensões no
aço e no betão deve ser limitado, em serviço. Estes limites dependem do tipo e nível
das acções, como se verificará no curso.
Controlar as aberturas de fendas (Aspecto claramente específico ás
estruturas de betão armado):
ωserviço≤ωadmissível (0.2 a 0.4mm)
Sendo a existência de fendas uma situação normal no Betão Armado, há que limitar a
sua abertura, em geral, para um nível de acções com carácter de permanência.
Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral)
Este aspecto da verificação do comportamento em serviço das estruturas, só será
analisado na disciplina de uma forma indirecta, devendo ser aprofundado
posteriormente no curso. No fundo trata-se de controlar as frequências próprias de
vibração das estruturas, de tal forma a evitar situações de ressonância com a
frequência das acções.
Exemplo: Nas pontes de peões verificar que a frequência principal de vibração vertical
da estrutura não se aproxima da frequência da excitação, neste caso, as cadências
dos passos dos utilizadores.
2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas
situações de rotura (rotura local ou global da estrutura)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 12
Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos
Estados Limite Últimos
Para além de assegurar um comportamento adequado da estrutura nas condições da
sua utilização, o engenheiro de estruturas tem de, com um nível de confiança
muitíssimo superior, poder garantir que não há possibilidade de qualquer tipo de
rotura, seja localizada , por falta de capacidade resistente, como por exemplo numa
viga, por:
Flexão
Esforço Transverso
Torção
Zonas particulares de apoios e/ou introdução de cargas
Seja global , por perda de equilíbrio conjunto da estrutura, como o derrubamento
de um muro de suporte.
As características de comportamento do betão estrutural e as hipóteses admitidas
para avaliação das capacidades resistentes acima referidas e das estruturas, no seu
conjunto, serão analisadas nos Módulos seguintes.
2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS
LIMITES ÚLTIMOS
Para garantir o objectivo acima enunciado, da não rotura, a regulamentação das
estruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia de
segurança que, tendo em conta a variabilidade das características dos materiais, do
valor das acções eda avaliação da resposta estrutural,assegura uma probabilidade
de rotura de 1x10 -5, ou seja, quase nula.
Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliação de valores
característicos para os materiais e acções, e ainda à adopção de coeficientes parciais
de segurança adequadamente definidos. Vejamos, então, com algum pormenor, essa
valoração.
1) Definição de valores característicos para:
Valores das acções Ssk (95% de probabilidade de não serem excedidos)
Resistências dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 13
2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que:
Majorem as cargas, consoante o tipo de acção:
• Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida
útil da estrutura (ex: peso próprio, equipamentos fixos, etc.)
γg = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável)
• Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga,
vento, sismo, variação de temperatura, etc.)
γq = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável)
• Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a
vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) γa = 1.0
Minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais:
• Armaduras (γs = 1.15)
• Betão (γc = 1.5)
Exemplo: fyd = fyk γs
; fcd = fck γc
3) Estabelecimento de combinações de acções , conforme especificado no RSA
Exemplo: Ssd = γgSg + γq (Sq + Σψ0iSqi) (ψ0i≤1 –coeficiente de combinação da
acção variável i)
Sq – acção variável de base
Sqi – restantes acções variáveis
4) A Avaliação dos efeitos estruturais das acções na estrutura é usualmente realizada
com base numa análise elástica linear da mesma, com eventuais adaptações para ter
em conta o comportamento efectivamente não linear do betão estrutural (como
constatado nos parágrafos anteriores). Para obtenção dos denominados momentos
de cálculo ou dimensionamento, com uma única carga variável,tem-se:
Msd = γg Mg + γqMq
5) Avaliação das capacidades resistentes (forças ou esforços)
Exemplo para o momento resistente: MRd = As×fyk
1.15 ×z
6) Verificação da condição de segurança geral : SSd≤SRd
Exemplo para os momentos: Msd≤MRd
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 14
No caso do exemplo anterior, e considerando só a sobrecarga (γq = 1.5), tem-se:
M = PL 4 ⇒Msd = 1.5 × P ×
5 4 ≤ MRd = 10×10-4×
400 1.15 × 103× 0.40
Donde resulta, como carga que verifica o nível de segurança necessário, em relação à
rotura por flexão (ou seja, verifica a segurança ao Estado Limite Último):
P ≤ 74.2 kN
O procedimento de verificação da segurança acima resumido pode ser ilustrado com
base nos diagramas de distribuição probabilística dos efeitos das acções e da
avaliação das resistências, como indicado na figura seguinte.A partir de valores
característicos, superiores e inferiores, respectivamente para as acções e materiais,
majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurança,
para só depois estabelecer a condição de segurança.
Percebe-se que a margem de segurança disponível que se obtém com este
procedimento é muito grande. Repare-se na diferença entre os valores médios
expectáveis das acções e das resistências. No entanto, a justificação da garantia da
probabilidade de não rotura ser de 1x10-5,como acima referida, está fora do âmbito
destes elementos.
2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO A OS ESTADOS
LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Para assegurar o comportamento adequado nas condições de serviço, pretende-se
avaliar, agora, tão bem quanto possível, a resposta efectiva da estrutura quando em
utilização. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de acções que se esperam
efectivamente actuem a estrutura (e não valores característicos superiores e/ou
majorados) e valores médios para o comportamento dos materiais (certamente que
não valores característicos inferiores e/ou minorados).
Ssm Ssk SRk SRmSsd SRd
Acções ou efeitos das acções Resistência
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 15
Esta formulação conduz a que a probabilidadede serem excedidos os valores
admissíveis seja da ordem de 1x10-1.
Vejamos então, em termos práticos, com que bases se fazem estas verificações:
1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura adoptando, por um lado,
para os pesos próprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentos
utilizados densidades médiase, por outro lado, valores de sobrecargas com
probabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas do
valor característico têm mais probabilidade de ocorrerem).
2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA:
Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração (≥
50% do tempo de vida da estrutura) Scqp = G + Σψ2iQi
Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração (≥ 5% do
tempo de vida da estrutura) Sfreq = G + ψ1 Q + Σψ2iQi
Combinação característica: Estado limite de muito curta duração (algumas
horas no período de vida da estrutura) Sraro = G + Q + Σψ1iQi
(ψ2<ψ1< 1.0)
Q – acção variável de base
Qi – restantes acções variáveis
3) Avaliação dos efeitos estruturais das acções, considerando, em geral, uma análise
elástica linear e as propriedades médias dos materiais por forma a estimar o
comportamento previsível. Em geral, é necessário considerar, de uma forma
simplificada, os efeitos da fendilhação (perda de rigidez) e da fluência do betão nas
características da resposta, como se verá no curso.
4) Posteriormente há que fazer as verificações de segurança, atrás mencionadas,
como a limitação da deformação e o controlo do nível de tensões nos materiais e das
aberturas de fendas. Estas verificações são estabelecidas nos regulamentos, para
certas combinações de acções. Refira-se que um certo limite é dependente da
duração de tempo em que possa subsistir.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 16
Por exemplo, para o caso da deformação, é importante garantir a sua limitação para a
situação quase-permanente, mas não para a eventualidade de, numa ou várias
situações na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim:
δcombinação quase permanente ≤δadmissíve
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 17
EXERCÍCIO 1.1
Considere a estrutura de um piso estrutural, a construir com os materiais indicados e
as acções previstas referidas, representado pela planta seguinte:
Materiais: C25/30, A400
Acções:
Peso próprio
Revestimento=2.0 kN/m2
Sobrecarga = 3.0 kN/m2
Coeficientes de majoração:
γG = γQ = 1.5
Coeficientes de combinação:
ψ1 = 0.4 ;ψ2 = 0.2
Secção da viga: 0.30×0.85 m2
Espessura da laje: 0.15m
a) Determinar, para as secções S1 e S2 da viga, os valores dos esforços, para a
verificação da segurança à rotura.
b) Calcular, para as mesmas secções, os esforços para as combinações em serviço,
rara, frequente e quase-permanente.
4.00 4.00 4.004.00
10.00
3.00
S2
S1
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 18
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.1
1. Modelo de cálculo:
Modelo para o cálculo da viga
Corte transversal à viga
Comentários ao modelo de cálculo, escolhido, com algumas simplificações:
− Consideram-se as vigas como contínuas, i.e., desprezou-se a continuidade
na ligação aos pilares;
− Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.
2. Cálculo das acções na viga
2.1. Carga permanente
• Peso próprio
pp = γbetão× Área = [4 × 0.15 + (0.85 - 0.15) × 0.30] × 25 = 20.3kN/m
• Revestimento
rev = 2.0 × 4.0 = 8.0kN/m
cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m
2.2. Sobrecarga
sc = 3.0 × 4.0 = 12.0kN/m
10.00 3.00
S2 S1
g, qrev, q
0.30
0.15
0.70
4.00
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 19
3. Diagrama de esforços para uma carga unitária (poder-se-ia considerar logo à
partida considerar o valor das cargas)
(i) Cálculo das reacções de apoio
ΣMA = 0 ⇔ 10 × RB- 1.0 × 13 × 13 2 = 0 ⇔ RB = 8.45kN
ΣF = 0 ⇔ RA + RB = 13 ⇒ RA = 13 - 8.45 = 4.55kN
(ii) Cálculo do momento flector a ½ vão
MB = - 1 × 3 × 3 2 = - 4.5kN/m
M½vão = 1 × 102 8 -
4.5 2 = 10.25kNm
(ii) Cálculo do momento flector máximo
4.55 + 5.454.55 =
10.0x ⇒x = 4.55m
Mmáx = 4.55× 4.55
2 = 10.35kNm
⇒M½vão ≅≅≅≅ Mmáx
S1S2
10.00 3.00
p=1 kN/m
RA RB
10.25
4.5
4.55 3.0
DMF[kNm]
(+)
(-)
DEV[kN]
(+)
(-)
(+)
5.45
x
L/2 L/2
pL /82
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 20
ALÍNEA A )
Secção S1 Secção S2
MS1G = – 4.5 × 28.3 = - 127.35 kNm MS2
G = 10.25 × 28.3 = 290.1 kNm
MS1Q = – 4.5 × 12.0 = - 54 kNm MS2
Q = 10.25 × 12.0 = 123.0 kNm
VS1G = –5.45 × 28.3 = 154.2 kN
VS1Q = –5.45 × 12.0 = 65.4 kN
Valores de cálculo dos esforços
MS1sd = 1.5 ×( )MS1
G + MS1Q = 1.5 × (-127.35 - 54) = -272.0 kNm
MS2sd = 1.5 ×( )MS2
G + MS2Q = 1.5 × (290.1 + 123) = 619.7 kNm
VS1Sd = 1.5 ×( )VS1
G + VS1Q = 1.5 × (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN
Consideração de alternância de sobrecarga
A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para
cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável.
Chama-se, desde já a atenção, para que na consola e sobre o apoio adjacente, os
esforços só dependem das cargas na própria consola e, portanto, os valores máximos
são os avaliados anteriormente.
Por outro lado, se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado,
o momento flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado
considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior).
Deste modo,
MS2Q =
12 × 102
8 = 150 kNm ; MS2G = 10.25 × 28.3 = 290.1 kNm
⇒ MS2sd = 1.5 × (290.1 + 150) = 660.2kNm
g
q
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 21
ALÍNEA B )
Secção S1
Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4kNm
Mcfreq = MG + ψ1 MQ = -127.35 - 0.4 × 54 = -149.0kNm
Mcqp = MG + ψ2 MQ = -127.35 - 0.2 × 54 = – 138.2kNm
Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6kN
Vcfreq = VG + ψ1 VQ = 154.2 + 0.4 × 65.4 = 180.36kN
Vcqp = VG + ψ2 VQ = 154.2 + 0.2 × 65.4 = 167.3kN
Secção S2
Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1kNm
Mcfreq = MG + ψ1 MQ = 290.1 + 0.4 × 123 = 339.3kNm
Mcqp = MG + ψ2 MQ = 290.1 + 0.2 × 123 = 314.7kNm
Verifica-se também que o nível de esforços considerados para a verificação da
segurança à rotura são significativamente superiores aos correspondentes das
combinações de acções em serviço, e que estes são tão menores, quão a
probabilidade de ocorrência seja maior.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 22
3. Materiais
3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES
Os betões são, em termos regulamentares, classificados por classes de resistência,
como certamente analisaram na disciplina de materiais.
As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de
tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou
provetes cilíndricos, apesar destes últimos serem aqueles que se consideram como
referência na avaliação da segurança estrutural.
No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os
valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (fck e fcd), bem
como o valor médio da tensão de rotura à tracção (fctm) e módulo de elasticidade aos
28 dias (Ec, 28)
Classe B15
C12/15
B20
C16/20
B25
C20/25
B30
C25/30
B35
C30/37
B40
C35/45
B45
C40/50
B50
C45/55
B55
C50/60
cub. fck
cil. [MPa]
15
12
20
16
25
20
30
25
37
30
45
35
50
40
55
45
60
50 fcd
[MPa] 8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3
fctm
[MPa] 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1
Ec,28
[GPa] 27.0 29 30 31 33 34 35 36 37
3.1.1. Tensões de rotura do betão
A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção,
definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de cálculo à rotura :
fcd = fcil.ck
γc , fctd =
fctk γc
com γc = 1.5(fckcil≈ 0.8 fck
cubos)
O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção pode ser estimado pela
expressão:
fctm = 0.30 fck2/3
Nota: o valor de fcd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são
mais representativos da resistência do betão em peças longas.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 23
3.1.2. Módulo de elasticidade do betão
Na análise de estruturas é usual admitir um comportamento elástico, como atrás já
referido, considerando-se, em geral, o módulo de elasticidade secante do betão aos 28
dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica,
encontra-se definido para σc = 0 e σc = 0.4 fck. Refira-se a propósito, que este tipo de
hipótese é adoptada, na prática da engenharia, com muita frequência, considerando-
se, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em consideração o efectivo
comportamento não linear do betão armado , quer em condições de serviço, quer,
por maioria de razão, próximo da rotura.
3.1.3. Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão f c
A partir de um certo número de resultados de ensaios, é possível avaliar o valor
característico do betão.
Assim:
fck = fcm - λ Sn , Sn – desvio padrão das resistências das amostras
λ – parâmetro que depende do número de ensaios
n 6 10 15
λ 1.87 1.62 1.48
3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS
As armaduras a utilizar no betão estrutural podem dividir-se em:
fcm
σc
εc
Ec
0.4 fck
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 24
armaduras para betão armado
armaduras de pré-esforço
As primeiras são também denominadas de armaduras passivas, pois só são
solicitadas em resposta a acções exteriores.
As armaduras de pré-esforço são compostas por aços com capacidade resistente da
ordem de 3 a 4 vezes superiores às passivas e são chamadas de activas, pois são
traccionadas antes da actuação das solicitações exteriores.
Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pré-esforço é introduzido
na disciplina de Estruturas de Betão II.
3.2.1. Classificação das armaduras para betão armad o
Os aços são classificados tendo em consideração o processo de fabrico, a rugosidade
da superfície e a sua capacidade resistente. Assim temos:
processo de fabrico
• aço natural (laminado a quente) (N)
• aço endurecido a frio (E)
aderência
• alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R)
• aderência normal (superfície lisa) (L)
resistência
• (A235), A400, A500
O aço A235 foi utilizado na construção em Portugal, em geral com varões lisos, mas já
não é produzido actualmente.
As armaduras designam-se, assim, com a seguinte simbologia base:
Designação das armaduras: A500 N R SD
fyk aderência
processo de fabrico ductilidade especial
Os aços de dureza natural A400 NR e A500 NR produzidos em Portugal,
apresentam apenas duas famílias de nervuras – ver figura abaixo. Nos aços A400
Estruturas de Betão I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 25
todas as nervuras de uma família são paralelas ao passo que no A500 as nervuras
têm alternadamente inclinações diferentes, pelo menos de um dos lados.
A diferenciação, entre aços com ductilidade especial (SD), recomendados em zonas
sísmicas , e os correntes, é ilustrada na figura, sendo que, no essencial, os SD tem as
mesmas nervuras nas duas faces.
Tipo A400NR Tipo A500NR
Tipo A400NR SD Tipo A500NR SD
Identificação do tipo de aço
Os aços endurecidos a frio (E) são produzidos por laminagem com impressão de um
perfil nervurado, constituído por três famílias de nervuras dispostas em 3 planos.
As características resistentes dos aços serão referenciadas no Módulo 2.
BETÃO ARMADO E PRÉ
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE
ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL DESPREZÁVEL
BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 2
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE
ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL DESPREZÁVEL
Ano Lectivo 2012/2013
ESFORÇADO I
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE
ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL DESPREZÁVEL
ÍNDICE
1. VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO .. ................................................... 19
1.1. RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS E.L. ÚLTIMOS 19
1.1.1. Betão ................................................................................................................................... 19
1.1.2. Aço ....................................................................................................................................... 20
1.2. ANÁLISE DA SECÇÃO. MÉTODO GERAL ........................................................................................... 21
1.3. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR ........................................................................................... 22
1.3.1. Cálculo de MRd ..................................................................................................................... 22
1.4. RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS .................................................. 31
1.5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS ........................................... 33
1.5.1. Método Geral ....................................................................................................................... 33
1.5.2. Método do Diagrama Rectangular Simplificado .................................................................. 35
1.5.3. Utilização de Tabelas .......................................................................................................... 36
1.6. ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE ......................................................................................... 38
1.7. PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE ............................................. 40
1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS ........................................................................................... 41
1.8.1. Recobrimento das armaduras ............................................................................................. 41
1.8.2. Distância livre mínima entre armaduras (s) ......................................................................... 42
1.8.3. Agrupamentos de armaduras .............................................................................................. 43
1.8.4. Dobragem de varões ........................................................................................................... 44
1.8.5. Posicionamento das armaduras .......................................................................................... 44
1.8.6. Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras ........................................ 45
1.9. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS – ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO .......................... 45
1.9.1. Quantidades mínima e máxima de armadura ..................................................................... 45
1.9.2. Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade ............................................... 46
1.10. DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T” ...................................................................................... 47
1.10.1. Largura efectiva ................................................................................................................. 47
1.10.2. Dimensionamento de secções em “T” por tabelas ............................................................ 49
1.10.3. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples ................. 50
2. INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUT URAS DE BETÃO .............. 56
2.1. - ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS ................................................... 56
2.2. - APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO) ............................................... 60
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
19
1. VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO
Para a avaliação das capacidades resistentes das secções de betão à flexão, no
âmbito da filosofia de segurança em relação à rotura, começa-se por mostrar como se
caracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliação.
Posteriormente, e a partir de hipóteses admitidas para a deformação da secção na
rotura, mostra-se como se avaliam os esforços resistentes de flexão.
1.1. RELAÇÕES TENSÃO -EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA
AOS E.L. ÚLTIMOS
1.1.1. Betão
A partir da relação tensão-extensão característica do betão, apresentada no módulo 1,
é definida uma relação simplificada, com base numa parábola e num rectângulo com
um valor máximo de resistência, o qual é obtido do valor característico, pela aplicação
do correspondente coeficiente parcial de segurança de 1.5.
(Diagrama parábola rectângulo)
fcd = α fck γc
, γc = 1.5 0.8 ≤α≤ 1.0
para0≤εc≤εc2
σc = αfcd para εc2≤εc≤εcu2
Para as classes de resistência até C50/60,
εc2[‰] εcu2[‰] n
2.0 3.5 2.0
Na avaliação do valor de fcd, para além do coeficiente parcial de segurança, aparece o
coeficiente α. Este parâmetro tem em consideração a diminuição da tensão de rotura
do betão quando sujeito a tensões elevadas prolongadas. De facto, se o betão for
solicitado com constância, durante um certo período, a uma tensão um pouco inferior à
máxima (entre 85% a 100% de fc) acaba por atingir a rotura. De acordo, por exemplo,
com o REBAP, a tensão máxima no betão está limitada a 0.85 fcd, ou seja
considerando α = 0.85. No entanto, o EC-2 propõe, para casos correntes, 1.0 fcd, pois
nas condições de carregamento com persistência o betão estará, em geral, solicitado
εc
σc
fcd
εc2
fck
εcu2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
20
a níveis de tensões bem inferiores às acima referidas, tendo-se considerado
demasiado penalizante tomar esse efeito na verificação da segurança à rotura. Na
disciplina, e na prática da engenharia em geral no futuro, tenderá a utilizar-se a
hipótese proposta no EC2. No entanto, e para já, o mais importante é perceber a razão
do sentido físico deste coeficiente.
1.1.2. Aço
Para a verificação da segurança aos E.L. Últimos pode ser considerada uma das duas
relações constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e.,
considerando ou não (hipótese muitas vezes admitida como simplificação) algum
incremento de resistência a partir da cedência, quantificado pelo coeficiente k.
fyd = fyk γs
, γs = 1.15
εud = 0.9 εuk
Classe fyk
[MPa]
fyd
[MPa]
εyd
[×10-3]
A235
A400
A500
235
400
500
205
348
435
1.025
1.74
2.175
O valor da extensão máxima convencional do aço, εud (igual a 90% do valor
característico εuk), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. No
quadro seguinte são indicados os valores característicos das extensões últimas, para
as diferentes classes de ductilidade, que são da ordem dos 25 a 75 ‰, portanto, muito
superiores aos do betão de 3.5 ‰.
Classe de
ductilidade A B C
k ≥1.05 ≥1.08 ≥1.15
<1.35
εuk [%] ≥2.5 ≥5.0 ≥7.5
Refira-se que o REBAP limita a 10‰ a extensão última convencional de
dimensionamento, εud, valor claramente inferior aos acima referidos. No entanto, uma
k fyk
f yd
1
ukyd
ykf
E =200 GPas
2s
sud
k fyd
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
21
vez que para este valor de extensão, o aço se encontra bem na cedência, as
repercursões em termos da avaliação das Capacidades resistentes à flexão, são
praticamente nulas, como se verá no sub-capítulo seguinte.
Em Portugal os aços são denominados por NR, ER ou NR SD, como referido no
módulo 1, onde é explicada a simbologia e a forma como se pode proceder à sua
identificação superficial. Para a construção corrente é normal utilizarem-se ferros NR,
sendo em zonas de maior sismicidade, a utilização de aços SD fundamental. Estas
classificações actuais dos aços em Portugal, correspondem às características de
ductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas.
1.2. ANÁLISE DA SECÇÃO . MÉTODO GERAL
Hipóteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento
1- Apesar da complexidade do estado de deformação do betão armado, próximo da
rotura, a Hipótese de Bernoulli é considerada.
2- A situação última é atingida, quando se verifica uma das extensões últimas
seguintes:
- ε-c = 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)
- εs=εud(Deformação máxima de alongamento nas armaduras)
3- A participação do betão à tracção não é considerada:
- σc = 0 se εc> 0 ⇔o betão à tracção tem tensão nula
Com base nas relações constitutivas dos materiais e das hipóteses anteriores,
estabelecem-se as equações de equilíbrio na secção. Assim, se as expressarmos em
função das resultantes das tensões de tracção e compressão, tem-se:
LN
Fs
z MRd
Fc
x
(+)
(-)
εc ≤ 3.5‰
εs ≤ εud
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
22
Equações de Equilíbrio:
• Equilíbrio axial (Esforço axial nulo): Fs = Fc
• Equilíbrio de momentos: MRd = Fs × z
1.3. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR
Neste método simplifica-se a forma de distribuição das compressões no betão e
despreza-se a participação do aço à compressão, o que permiteresolver as equações
anteriores, de forma simples.
Deste modo,
1.3.1. Cálculo de M Rd
Se forem conhecidos a geometria da secção, a quantidade de armadura e as
resistências dos materiais, a avaliação da capacidade resistente segue os seguintes
passos (trata-se um problema dito de análise pois a secção e armaduras estão
totalmente definidas):
i) Admitir que σs = fyd (εs ≥ εyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência
ii) Determinar posição da linha neutra
Por equilíbrio axial, Fc = Fs ⇔ fcd Ac (x) = As fyd ⇒ x = ?
iii) Calcular o momento resistente
Por equilíbrio de momentos, MRd = As fyd (d - 0.4x)
0.8xx ≅
fcdfcdεc
(-)
α α
fcd
σc
−3.5‰ εc−0.7‰
σ
εs
εc
Fs
z = d - 0.4x
x (-)
(+)
Fc
LNd
fcd
0.8x0.4x
α
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
23
iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εyd
Rotura convencional: εc = 3.5‰ ou εs = εud
A partir da posição da linha neutra anteriormente calculada, se
admitirmos que a rotura se dá pelo betão, obtém-se a
extensão ao nível da armadura.
• Se εs ≥ εyd ⇒ a hipótese considerada inicialmente, de admitir o aço em cedência
está correcta.
• Se εs < εyd ⇒ Fs < As fyd, trata-se de uma situação não desejável pois nem se
estaria a tirar partido da resistência máxima do aço.
A posição da Linha Neutra para essa situação limite pode ser avaliada para os aços
A400 e A500 por:
Posição da LN para εc = 3.5 ‰ e εs = εyd (início da cedência do aço)
A400: εyd = 1.74 ‰
x3.5 =
d3.5 + 1.74⇒x = 0.67 d
A500: εyd = 2.175 ‰
x 3.5 =
d 3.5 + 2.175 ⇒x = 0.62 d
Deste modo, se x ≤ 0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x ≤ 0.62 d no
caso de se utilizar aço A500, pode se concluir logo que o aço está em cedência.
Por outro lado, conhecida a posição da Linha Neutra, é possível confirmar se a rotura
convencional se dá pelo betão. Exemplifica-se, seguidamente, para aços das classes
B (NR) e C (NR SD).
εc = 3.5‰
(+)
(-)
εs
x
dx
εs=εyd
(+)
(-)
c = 3.5‰
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
24
Para um aço de Classe C: Posição da LN para εc = 3.5‰ e εud = 0.9 × 75‰ =
67.5‰
x 3.5 =
d 71⇒ x = 0.05 d
Deste modo,
se x < 0.05 d (situação pouco corrente)⇒εc< 3.5‰
εs = εud (rotura pela armadura)
se x > 0.05 d ⇒εc = 3.5‰
εs < εud (rotura pelo betão)
Se tratasse de um aço de Classe B ter-se-ia para este limite x = 0.072 d
Constata-se, assim, que, para uma grande gama de possíveis posições da Linha
Neutra, a rotura convencional dá-se pelo betão e o aço está em cedência. Esta
diferenciação (rotura convencional pelo aço ou betão), nem é importante pois de
qualquer maneira a capacidade máxima do aço é explorada.
No entanto, é importante no dimensionamento das secções de betão armado controlar
melhor a posição da Linha Neutra por uma razão essencial: Um elemento de betão
armado deve apresentar ductilidade em situação de rotura, i.e., deve poder evidenciar
deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem perda de capacidade
resistente. Esta característica é fundamental nas estruturas e, para tal, é importante
assegurar valores x/d limitados, pois verifica-se, experimentalmente, que aquele é um
parâmetro que influencia directamente a ductilidade do elemento.
A Ductilidade ou Capacidade de Deformação Plástica das Secções é medida pela
relação (1/R)u/(1/R)y, i.e., a relação entre as curvaturas última e de cedência, como
ilustrado na figura seguinte e referido,anteriormente, no Módulo 1.
x
εc = 3.5‰
(-)
(+)
εud
d
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
25
1 R = -
εcx x
Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se
que, pelo menos, x ≤≤≤≤ 0.4 a 0.5 d, portanto com x/d claramente na zona de cedência do
aço.
É importante referir que no dimensionamento à rotura dos elementos estruturais se
deve sempre avaliar as vertentes de resistência e de ductilidade .
A situação mais corrente com que o engenheiro se defronta na prática, depois de ter
feita a análise estrutural, ter avaliado a distribuição de esforços actuantes, ter defenido
uma geometria para a secção e escolhido os materiais, é a de querer avaliar a
quantidade de armadura a considerar para verificar a segurança (trata-se um problema
dito de dimensionamento .
Dimensionamento das armaduras:
Dados: geometria da secção, fcd, fyd, Msd
i) Admitir que σs = fyd (εs ≥ εyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência
ii) Determinar posição da linha neutra
Por equilíbrio de momentos, Msd = Fc × z = αfcd b 0.8 x (d - 0.4x) ⇔ x = ... ⇒ Fc = ...
As2 As3 As4< < <
(εc≈ 3.5‰) ou(εc = εud)
As1
MRd
y( )R/1
(1) As1 (x1;εs1;maior ductilidade)
As2 (x2;εs2)
u1/R( ) ( )R/1
As3 (x3;εs3)As4 (x4;εs4;menor ductilidade)
εs=εsyd
(2)
(1)
(2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimidomenos correntemente, por deformação de armaduras
(+)
(-) x
εcx = -3.5‰
εsAs
1R
0.8x
fcd
d
LN
Fcx
z
Fs
Msd
As
b
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
26
iii) Calcular a área de armadura necessária
Por equilíbrio axial, Fc = Fs ⇔ αfcd b 0.8x = As fyd ⇒ As= ?
iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εy
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
27
Exercício 2.1
Considere a viga representada na figura seguinte e adopte γG = γQ = 1.5
Materiais: C25/30 (fcd = 16.7MPa)
A400 (fyd = 348MPa)
Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga.
Resolução
Método do diagrama rectangular simplificado
1. Cálculo do MRd
Equações de equilíbrio (flexão simples)
ΣF = 0 ⇔ Fc = Fs (1)
ΣM = 0 ⇔ MRd = Fs × z = Fs × (d - 0.4x) (2)
(Este exercício está resolvido com α = 0.85)
Fc = 0.8x × b × 0.85 fcd = 0.8x × 0.30 × 0.85 × 16.7 × 103 = 3406.8x
Fs = As × fyd = 9.42 × 10-4 × 348 × 103 = 327.8kN (As(3φ20) = 9.42cm2)
q
5.00
0.55
0.303φ20
0.4x0.8x
0.85 fcd
d
LN
Fcx
z
Fs
MRd
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axial desprezável (vigas)
28
(1) Fc = Fs⇔ x = 327.8
3406.8 = 0.096m ⇒ z = d – 0.4x = 0.55 – 0.4 × 0.096 = 0.51m
(2) MRd = Fs × z = 327.8 × 0.51 = 167.2kNm
Verificação da hipótese de cedência do aço (εs ≥ εyd)
εs 0.454 =
3.5‰ 0.096 ⇒εs = 16.6‰>>εyd
εyd = fyd εs
= 348
200×103 = 1.74‰
xd =
0.0960.55 = 0.175
Ductilidade da secção (como critério mínimo é desejável que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou,
equivalentemente, εs >~ 4‰ a 5‰,
3. Cálculo da sobrecarga máxima (Msd ≤ MRd)
Msd = psd× L2
8 ≤ 167.7kNm ⇒ psd ≤ 8 × 167.7
52 = 53.7kN/m
psd = 1.5 (g + q) ⇒q = 53.7 1.5 - 0.30 × 0.60 × 25 = 31.3kN/m
0.454
εs
(+)
(-)
c = 3.5‰
0.096
0.55
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
29
Considere a estrutura da figura seguinte:
Materiais: C25/30, A400
Acções:
Peso próprio
Revestimento = 2.0kN/m2
Sobrecarga = 3.0kN/m2
Coeficientes de majoração:
γG = γQ = 1.5
Coeficientes de combinação:
ψ1 = 0.4 ;ψ2 = 0.2
Secção da viga: 0.30 × 0.85m2
Espessura da laje: 0.15m
a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão
da viga (Secções S1 e S2)
a.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado
a.2) Fs × z
a.3) com recurso a tabelas
a.4) pormenorize as armaduras de flexão
4.00 4.00 4.004.00
10.00
3.00
S2
S1
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
30
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.2
ALÍNEA A )
1. Modelo de cálculo:
2. Envolvente do diagrama de esforços
ALÍNEA A .1)
Secção S2 (M +sd = 660.2 kNm)
Resolução com α = 0.85:
Fc = 0.85 fcd × 0.8x × b = 0.85 × 16.7 × 103 × 0.8x × 0.3 = 3406.8x
Fs = As × fyd = As × 348 × 103
Equilíbrio de momentos:
ΣMAS = Msd ⇔ 3406.8x × (0.8 - 0.4x) = 660.2 ⇔ x = 0.282m
⇒Fc = 3406.8 × 0.282 = 960.7kN
Equilíbrio de forças:
Fs = Fc ⇔ As × 348 × 103 = 960.7 ⇔ As = 960.7
348×103 × 104 = 27.6 cm2
10.00 3.00
S2 S1
g, q0.85
0.30
660.2
(+)
DMF[kNm]
(-)
272.0
S2
S1
0.30
As
Msd
Fs
z
Fc
0.85 fcd
0.8xLN
x
0.80
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
31
Verificação da hipótese de cedência do aço
Admitindo que εc = 3.5‰
εc = 3.5‰εs
= 0.2820.518⇒εs = 6.43‰ > εyd = 1.74‰
xd = 0.35
∴ A armadura está em cedência e a secção tem um nível de ductilidade aceitável.
Secção S1 (M -sd = 272.0 kNm)
Equilíbrio de momentos:
ΣMAS=Msd⇔3406.8x×(0.8–0.4x)=272.0⇔x=0.105m⇒Fc=357.7kN
Então x/d = 0.13 ⇒ Bom em termos de ductilidade disponível
Equilíbrio de forças
Fs = Fc ⇔ As × 348 × 103 = 357.7 ⇔ As = 357.7
348×103 × 104 = 10.28cm2
Verificação da hipótese de cedência do aço
Admitindo que εc = 3.5‰ tem-se: εs
3.5‰ = 0.6950.105 ⇒ εs = 23.2‰ >>εyd
1.4. RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS
Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de
betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente).
0.282
0.518
εs
εc = 3.5‰
(-)
(+)
Msd
0.8xFc
FsAs
0.30
0.80
x
LN
0.85 fcd
z
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axial desprezável (vigas)
32
Apresentam-se, em seguida, as relações constitutivas do aço e do betão, com
indicação qualitativa da evolução das tensões e extensões dos dois materiais, com a
variação da armadura.
Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe
proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À
medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação deixa de ser linear, ou
seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos menores de momento
resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do binário
(z) com o aumento da área de armadura, até que a armadura deixa de poder estar em
cedência (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficiência.
x1
MRd
As εs
(+)
(-)
εc
MRd,1
(As muito pequeno) (As maior)
x2
MRd,2
εc
(-)
(+)
εs
< <
(...)
x3
MRd,3
εs
(+)
(-)
εc
(...)
MRd,4
x4
εc
(-)
(+)εs
<
1 2 3 4
α fcd
σc
εsyd εud εs
σs
fsyd
−2‰ −3.5‰ εc
43 e2
1
e1 23
4
321
MRd
As4
M1
M2
M3
M4
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axial desprezável (vigas)
33
1.5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS
1.5.1. Método Geral
Fc = ψfcd b x
Fs2 = σs2 As2
Fs1 = σs1 As1
ψ fcd = ⌡⌠
Ac σc dA
bx ; λx = ⌡⌠ σc y dA
⌡⌠ σc dA
ψ – coeficiente que define a relação da resultante das tensões de compressão no
betão pela força de uma compressão uniforme com fcd, em toda a zona comprimida.
λ – coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no
betão, função de x.
Equações de Equilíbrio
• Equilíbrio axial: Fc = Fs ⇔ ψ fcd bx + σs2 As2 = σs1 As1 (1)
• Equilíbrio de momentos: ΣMAs = M ⇔ M = ψ fcd b x (d - λx) + σs2 As2 (d - d2) (2)
(Equações não lineares)
Cálculo por iterações
i) Fixar εc = 3.5‰ e um valor de x (por exemplo, tal que, xd = 0.5)
ii) Calcular as forças axiais F
• Se |Fc + Fs2| > Fs1 ⇒
(a LN tem de subir para diminuir FC, tendo uma das
extensões, εεεεc ou εεεεs, o valor máximo e, a outra, um
valor igual ou inferior ao limite .
É necessário diminuir o valor de x até que ΣF = 0
εs1
εc
(-)
(+)
xFc
M
Fs1
LN
εs2
As1
As2d2
d
Fs2 λx
b
σc
εs≤εud
d
x
εc ≤ 3.5‰
(-)
(+)
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
34
• Se |Fc + Fs2| < Fs1⇒
(a LN tem de baixar para aumentar Fc)
É necessário aumentar o valor de x até que ΣF = 0.
ii) Calcular MRd
Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calculam-se as tensões e o
valor de MRd
Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de
cálculo automático ou a tabelas de cálculo.
Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais ,
por forma a que sejam aplicáveis a secções com qualquer geometria.
1.5.1.1. Grandezas adimensionais
Equações de Equilíbrio
• ψ fcd bx = σs1 As1 - σs2 As2 (1)
• M = ψ fcd b x (d - λx) + σs2 As2 (d - d2) (2)
Substituindo (1) em (2),
M = σs1 As1 (d - λx) - σs2 As2 (d - λx) + σs2 As2 (d - d2)
= σs1 As1 (d - λx) + σs2 As2 (λx - d2) (3)
Considerando As2 = β As1 e σs = fyd, a equação (3) toma a forma
M = As1fyd d
1 - λ
x d + β As1fyd d
λ
x d -
d2 d
Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por
b d 2fcd), resulta
M b d2 fcd
= As1 fyd b d fcd
1 - λ
x d + β
As1 fyd b d fcd
λ
x d -
d2 d ⇔
⇔ µ = ω (1 – λk) + βω
λ k -
d2 d
x
εs
εc = 3.5‰
(+)
(-)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
35
Definem-se, assim, os parâmetros µ, w e k, de uso corrente na concepção e
dimensionamento de estruturas de betão:
µ = M
b d2 fcd (Momento flector reduzido);
ω = As1 fyd b d fcd
(Percentagem mecânica de armadura)
k = x d (Posição da L. Neutra adimensional)
1.5.2. Método do Diagrama Rectangular Simplificado
1.5.2.1. Grandezas adimensionais
MRd = Fs × z = Fs (d - 0.4x)
Admitindo que o aço está na cedência, MRd = As × fyd (d - 0.4x)
Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta
MRd
b d2 fcd =
As fyd
b d fcd
1 - 0.4
xd =
As
b d fyd
fcd
1 - 0.4
xd ⇔µµµµRd = ωωωω (1 - 0.4k)
µRd = MRd
b d2 fcd (momento flector reduzido); k =
x d
ω = As b d
fyd fcd
(percentagem mecânica de armadura)
Fc = Fs⇔0.8 ⋅ (kd) ⋅ b⋅αfcd=Asfyd⇔k = 1.47 As
b d fyd
αfcd = 1.47 ω(α =0.85)085).85)
Visto que µRd = ω (1 - 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte
expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem
mecânica de armadura:
µRd = ω (1 - 0.588 ω )
α
b
Fc
MRd
Fs
x
(+)
(-)
εc
εs
d
As
LN
0.4x
z
0.8x
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
36
1.5.3. Utilização de Tabelas
As tabelas podem ser utilizadas para:
i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras;
ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante
1.5.3.1. Determinação da capacidade resistente (Análise )
Dado As1 e As2 determina-se ω e βTabelas
→(β,ω)
µ → MRd = µ b d2fcd
1.5.3.2. Dimensionamento de armaduras
Dado Msd determina-se µ=Msd
b d2 fcd
Tabelas →
(µ,β) ω1 → As1 = ω1 bd
fcd
fyd → As2 = β As1
Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para α = 0.85
Notas:
(i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por
forma a que se tenha a garantia de um nível de ductilidade adequado.
Caso isso não aconteça, será conveniente dispor de armaduras de compressão
específicas ou modificar a secção da viga (aumentar a altura é mais eficiente que
adaptar a largura, no entanto, na prática do projecto, a altura está muitas vezes mais
condicionada).
(ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compressão, por
razões construtivas, em geral, com um nível não inferior a β = 0.1.
Directamente através dos valores adimensionais do momento (µ), e não considerando
o papel da armadura de compressão, é possível ter, para uma dada secção, uma
noção do nível de esforço actuante e da potencial ductilidade.
Momento elevado ⇒ k próximo de 0.668 (A400) ⇒ εs próximo de εyd
µ 0.30 (secção pouco dúctil)
Momento médio ⇒ k< 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado)
µ ≅ 0.10 a 0.25
Momento pequeno ⇒ µ ≤ 0.10 (situação aceitável, a secção estará “folgada”)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
37
IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referência para um
dimensionamento adequado e não como imposições regulamentares ou outras. Por
exemplo, é possível ter valores de µ mais elevados e ter-se, ainda, um nível de
ductilidade adequado, com utilização de armadura de compressão .
No quadro seguinte, e para a flexão simples, apresentam-se as relações de
dimensionamento ω - µ relativas à aplicação do REBAP (α = 0.85) e do EC2 (α = 1)
com relações constitutivas dos aços de acordo com as Classes A, B e C.
Verifica-se que as diferenças nos valores resistentes são pouco significativas, sendo a
maior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de aço C com k = 1.35
(linha superior).
As diferenças mais importantes são devidas à consideração do aumento da resistência
do aço para além da cedência (coeficiente k). Refira-se que na prática seria sempre
desajustado tomar para o aço C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo a
possibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor.
O facto de se adoptar para o betão o coeficiente α 0,85 (em vez do 1), só tem
influência relevante para esforços elevados, pois aí começa a ter alguma influência a
diminuição do braço das forças, devido ao aumento da zona das compressões.
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
ωωωω
µµµµ
EC2 - k=1,00EC2 - Classe A - k=1,05EC2 - Classe B - k=1,08EC2 - Classe C - k=1,15EC2 - Classe C - k=1,35REBAP
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
38
1.6. ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE
Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para
secções rectangulares, é razoável admitir, de umas forma simplificada : z ≅≅≅≅ 0.9 d.
M = Fs×z≅ Asfyd 0.9 d ⇒ As = M
0.9 d fyd
De facto, pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9), com β = 0, verifica-
se que:
• para µ = 0.15, z ≅ (1 - 0.4 k) d = (1 - 0.4 x 0.247) d = 0.9 d
• para µ < 0.15, z > 0.9 d, portanto a hipótese anterior é conservadora para o
dimensionamento da armadura.
• para µ > 0.15, z < 0.9 d, então a hipótese referida, com pouca armadura de
compressão, pode ser menos conservadora. No entanto, mesmo para um valor
de µ da ordem de 0.25 e para um β = 0.4 tem-se também k = 0.247, e, por
conseguinte, z ≅ 0.9 d.
CONCLUSÃO IMPORTANTE:
Verifica-se, assim, que dentro da gama de valores de momentos, correntemente
recomendados e utilizados na prática, esta hipótese simplificativa permite uma rápida
e eficiente estimativa dos momentos flectores resistentes.
Para a resolução de problemas em geral e para a prática de projecto, formas simples
de avaliação e controlo de resultados são de inestimável valor.
d
Fc
Mz
FsAs
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
39
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.2 (CONT.)
ALÍNEA A .3)
Secção S2 (M +sd = 660.2 kNm)
µ = Msd
b d2 fcd=
660.20.3×0.82×16.7×103 = 0.206 ⇒ ω = 0.241; k = 0.351
As = ωbd fcd fyd
= 0.241 × 0.30 × 0.80 × 16.7 348 × 104 = 27.76 cm2
Secção S1 (M -sd = 272.0 kNm)
µ = 272.0
0.3 × 0.82× 16.7×103 = 0.085 ⇒ ω = 0.091; k = 0.163
As = ωbd fcd fyd
= 0.091 × 0.30 × 0.80 × 16.7 348 × 104 = 10.48cm2
ALÍNEA A .2)
Fs = As× fyd
z ≅ 0.9d⇒ M ≅ 0.9 d fyd As⇒As =
M 0.9 d fyd
M+sd = 660.2kNm ⇒ As =
660.2 0.9 × 0.8 × 348×103 × 104 = 26.34cm2
M -sd = 272.0kNm ⇒ As =
272.0 0.9 × 0.8 × 348×103 × 104 = 10.86cm2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
40
1.7. PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE
Armadura de tracção
O momento resistente é quase proporcional à área de armadura, para momentos não
muito elevados. Para momentos elevados, a variação é menos significativa.
Armadura de compressão
A influência da armadura de compressão no valor do momento resistente, apenas é
importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, a variação é
pouco significativa.
Largura da secção
A influência da largura da secção no valor do momento resistente, apenas é
importante para esforços elevados. Para esforços habituais, em que geralmente a área
comprimida é limitada, a variação é pouco significativa.
z
As Fs
MRd
Fc
2Fs
< z
2Fc
2As
As1
Fc
z
Fs1
Fc
MRd
Fs1
>z
As1
As2Fs2
FcFc
>z
Fs
z
As Fs
MRd
As
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
41
Classe do betão
A influência do aumento da classe do betão tem uma influência equivalente à dos
parâmetros anteriores, largura da secção e/ou armadura de compressão, portanto só
se torna importante para esforços mais significativos, aliás de uma forma equivalente
ao facto de se considerar ou não o coeficiente α = 0.85.
1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS
Armaduras principais: Asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente à
segurança à rotura (não só de flexão, como vimos neste sub-capítulo, mas também
ao outros efeitos) e contribuem para assegurar um comportamento adequado nas
condições de serviço , como vamos ver noutro Capítulo do curso.
Armaduras secundárias: Têm como função ajudar a rigidificar as malhas de
armaduras , para a sua colocação em obra, assegurando o posicionamento correcto e
estável das armaduras durante a betonagem.
φest = 6 ou 8 mm (o diâmetro de 6 é muito pouco
utilizado em obras de média ou alta dimensão)
10 a 12 mm (para vigas mais importantes)
φlong = 12 a 16 mm (para vigas menos solicitadas)
= 20 a 25 mm (para vigas mais robustas)
c – recobrimento
Obtém-se como estimativa da altura útil:
Altura útil : d = h - c - φest - φlong
2
1.8.1. Recobrimento das armaduras
O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções:
Fc
MRd
FsFsAs
z >z
Fc
As
d
b
h
s c
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
42
(i) mecânica: Destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e
assim garantir a sua aderência por forma a que se verifique uma eficiente transmissão
de forças entre o betão e o aço (c ≥ φ ou φeq)
(ii) durabilidade: protecção contra a entrada dos agentes agressivos e
consequentemente dificultando que o processo de corrosão das armaduras se possa
verificar (recobrimento definido em função da agressividade do ambiente de exposição
e da compacidade do betão)
(Consultar Módulo 6 – Apontamentos Complementares)
1.8.2. Distância livre mínima entre armaduras (s)
A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a
betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e
as necessárias condições de aderência e protecção.
No caso de armaduras para betão armado, temos, em termos regulamentares os
seguintes valores:
smin = φmaior, φeq maior, (dg + 5 mm), 2 cm
onde dg representa a máxima dimensão dos inertes.
No entanto, se estes são valores mínimos, deve-se projectar, pretendendo
espaçamentos com folga em relação a estes.
A distância livre entre uma camada de armaduras longitudinais numa viga, igualmente
espaçadas, pode ser calculada pela expressão:
s = b - 2c - 2φest - n ×φlong
n - 1 , n – número de varões
É necessário, na pormenorização garantir que a distância entre varões assegura o
espaço necessário para introdução do vibrador do be tão (aconselhável: 4 a 5 cm
junto à face inferior e 7 a 10 cm junto à face superior). Nalguns casos, em particular na
face superior é normal que não se adoptem espaçamentos iguais entre ferros para
assegurar este objectivo.
Nas figuras seguintes apresentam-se dois exemplos de pormenorização de uma viga
que dá apoio na parte superior a uma laje, nas zonas mais solicitadas à tracção nas
faces inferiores (vão) e superiores (apoio).
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axial desprezável (vigas)
43
1.8.3. Agrupamentos de armaduras
Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que
prejudicam a aderência aço/betão. No entanto, se essa for a forma de garantir uma
malha muito apertada de ferros é, sem dúvida, uma solução justificável.
Regulamentarmente definem-se algumas restrições aos agrupamentos. Assim:
O agrupamento de varões com diâmetros diferentes pode ser adoptado desde que o
quociente dos diâmetros não exceda o valor 1.7.
Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar, temos:
- Para o caso de armaduras verticais comprimidas ou numa zona de emenda de
varões, n ≤ 4
- Em todos os restantes casos, n ≤≤≤≤ 3
Em qualquer direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto.
O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão
φeq = Σφ2i ≤ 55mm
Exemplos:
(mais indicado)
(aceitável)
(desaconselhável)
Evidentemente que soluções que incluam varões isolados e outros agrupados são
possíveis, tentando sempre seguir as indicações gerais referidas, em especial, não
dificultar a betonagem e o bom envolvimento das armaduras pelo betão.
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axial desprezável (vigas)
44
1.8.4. Dobragem de varões
Em muitas situações as armaduras têm de ser dobradas, como as armaduras
longitudinais nas extremidades das vigas e, em geral, as armaduras transversais.
Condições a satisfazer:
- Não afectar a resistência do aço;
- Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a armadura for
traccionada.
O diâmetro mínimo de dobragem para não afectar a resistência do aço depende, no
essencial, do diâmetro do varão e são indicados no quadro seguinte do EC2. Estes
valores são considerados mínimos havendo que ter precauções complementares no
que diz respeito ao risco de esmagamento e de fendilhação inconveniente do betão,
em particular se as dobragen se verificarem junto à superfície da peça, como indicado
com detalhe, por exemplo, no EC2.
Quadro – Diâmetro mínimo do mandril a fim de evitar danificar a armadura
Diâmetro do varão Diâmetro mínimo do mandril para
cotovelos, ganchos e laços
φ≤ 16 mm 4φ
φ> 16 mm 7φ
1.8.5. Posicionamento das armaduras
O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes
elementos:
Espaçadores – garantem o recobrimento das armaduras
Cavaletes – garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas
lajes
c
h
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MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
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45
Varões construtivos (armaduras secundárias) – Colocados de tantos em tantos
metros (dependente da rigidez do ferro em causa) garantem o espaçamento
vertical dos varões longitudinais principais, durante a betonagem.
1.8.6. Princípios a ter em atenção na pormenorizaçã o das armaduras
A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e
diâmetros a adoptar deve ter em atenção os seguintes factores, que apontam,
eventualmente para opções contraditórias:
- custo da mão de obra ⇒ menor número de varões
- facilidade de betonagem ⇒ menor número de varões
- liberdade de dispensa ⇒ maior número de varões
- mais eficiente limitação da fendilhação ⇒ maior número de varões
Na pormenorização das armaduras longitudinais das vigas só os três primeiros
aspectos são significativos, havendo que ganhar experiência e ter bom senso nas
escolhas, sendo certo que não há que procurar a solução óptima, mas sim uma BOA
SOLUÇÃO.
1.9. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS – ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO
1.9.1. Quantidades mínima e máxima de armadura
A quantidade mínima de armadura a adoptar numa viga, neste caso definida no EC2,
é dada pela seguinte expressão:
As,min = 0.26 fctm
fyk bt⋅ d
onde bt é definida, como sendo a largura média da zona traccionada em flexão.
Esta quantidade de armadura tem a ver com a necessidade de assegurar um mínimo
de robustez aos elementos de betão armado, em especial garantir, com uma certa
reserva, que, ao se dar a fendilhação, a quantidade de armadura é suficiente para
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
46
reter as tracções que se libertam do betão sem cedê ncia do aço , garantindo um
comportamento dúctil.
Chama-se, desde já a atenção para que, numa viga em T, com banzo traccionado é
mais prático separar, por um lado, a alma , com a sua largura, bw, ou, se esta for
variável, com seu valor médio, para aplicar a expressão anterior e, por outro lado, os
banzos , como elementos traccionados, com uma armadura mínima, a distribuir nas
duas faces do banzo, tal que;
As × fsy k > Ac,banzo × fctm, ou seja As,min = Ac,banzo × fctm/fsyk
A questão da armadura mínima, como forma de controlar a fendilhação, em termos do
comportamento em serviço, para situações de efeitos de deformações impostas, será
retomado no Módulo 4.
A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada
em termos regulamentares por:
As,máx = 0.04 Ac
onde Ac representa a área da secção de betão.
No entanto, em termos práticos, esta limitação tem pouca relevâ ncia , pois os
critérios de dimensionamento à rotura atrás apresentados, com limitação dos valores
de momento reduzido e posição da linha neutra (garantia de ductilidade) conduzem a
quantidades de armadura bastante inferiores.
1.9.2. Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade
Sempre que existir ligação monolítica entre uma viga e um pilar de extremidade, e
caso esta ligação não tenha sido considerada no modelo de cálculo, deverá adoptar-
se uma armadura superior dimensionada, pelo menos, para um momento flector igual
a 15% do momento flector máximo no vão.
Deste modo,
As,apoio–
= máx As,min, 0.15 As,vão+
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47
1.10. DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T”
1.10.1. Largura efectiva
1.10.1.1. Definição
No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligação a lajes, pode tirar-se
partido da existência dos banzos, principalmente se se situarem na zona comprimida
da secção.
Neste caso, a distribuição de tensões no banzo não é uniforme: as zonas laterais
deformam-se menos que a zona central da alma (devido à deformação por corte) –
efeito de “shearlag”, tal como se pode observar na planta e corte ilustrados de
seguida.
Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (bef) onde se admite que a
distribuição de tensões é uniforme
b1 b2bw
h f
d0
Fc
ε
M
σx,max
bef
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48
1.10.1.2. Cálculo da largura efectiva
(i) Banzo comprimido
Para o caso genérico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida
através da expressão:
bef = Σbefi + bw≤ b
Temos, assim, a largura da alma e um valor complementar de cada lado, tal que:
befi = 0.2 bi + 0.1 L0 ≤ 0.2 L0, com befi ≤ b
L0 representa a distância entre pontos de momento flector nulo e pode ser
avaliado por:
Evidentemente que, em termos práticos é possível simplificar esta avaliação, desde
que se estime um valor inferior, pois é conservativo e pouco significativo em termos do
resultado.
(ii) Banzo traccionado
No caso de se tratar de um banzo traccionado, é proposto tomar, para além da alma
da viga, uma largura função da espessura do banzo dada por 4hf (hf – espessura do
banzo) em que as armaduras de tracção podem ser distribuídas. No entanto, se for
possível, em termos de pormenorização, uma solução com todas as armaduras de
cálculo na largura da alma é preferível. De qualquer maneira, deve se procurar sempre
ter pelo menos, 50 a 60 % da armadura de cálculo na alma.
bw
hf
bef
bef1 bef2
b1b1 b2 b2
b
0.7 L2
L2
L0 ≈ L1+0.15L2
L1 L3
0.15(L2+L3) 0.85 L3
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49
1.10.2. Dimensionamento de secções em “T” por tabel as
Exemplo:
b bw = 5 ;
hf d = 0.125
b bw = 4
hf/d = 0.10 → ω1
ωa
ω
hf/d = 0.15 → ω2
b bw = 6
hf/d = 0.10 → ω3
ωb
hf/d = 0.15 → ω4
Casos particulares:
Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma
secção em “T” pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção
rectangular nos seguintes casos:
(i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na
generalidade dos casos) – secção rectangular de largura bef;
(ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado – secção
rectangular de largura bw
bef
bw
LN
As
M
Fs
Fc
As
LN
bef
M
Fc
Fs
M
As
LN
bw
bef
Fc
Fs
Fc
bw
Fs
LN
As
M
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
50
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.2 (CONT.)
ALÍNEA B )
Dimensionamento das armaduras considerando a contribuição da laje – Viga em “T”
hf = 0.15 m
h = 0.85m
bw = 0.30m
bef = Σbefi + bw = 1.22 × 2 + 0.30 = 2.74 m
bef1 = 0.2 b1 + 0.1 L0 = 0.2 × 3.72 + 0.1 × 0.85 × 10 = 1.22 m ≤ 1.7m
0.2 L0 = 0.2 × 0.85 × 10 = 1.7 m
Hipóteses para o dimensionamento da secção:
(i) Se a L.N. estiver no banzo da secção, o dimensionamento pode ser efectuado como
se a secção fosse rectangular, de largura bef.
(ii) Se a L.N. estiver na alma da secção, o dimensionamento terá de ser efectuado com
base em tabelas de secção em “T” (ou recorrendo ao método do diagrama rectangular
simplificado).
Para verificar se a L.N. está no banzo,
MSd = 660.2kNm ⇒ µ = 660.2
2.74×0.82×16.7×103 = 0.023 ⇒ k = 0.076
x = k × d = 0.076 × 0.8 = 0.06 m < 0.15 m ⇒ a LN está no banzo
µ = 0.023 ⇒ ω = 0.024 ⇒ As = ω b d fcd
fyd = 0.024 × 2.74 × 0.8 ×
16.7348 × 104 = 24.77cm2
1.10.3. Simplificação de secções para efeitos de di mensionamento à flexão
simples
1) Secção real
bw
bef
h f
h
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MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
51
⇔
2) Secção real
⇔
3) Secção real
⇔
Secções a considerar no dimensionamento à flexão
1)
⇔
(se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo)
Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado
com base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver
comprimido, e desprezando o banzo traccionado)
2) e 3)
b
b'
bw
b
b'
2bw
bw
b b
2bw
bw
b
bw
b
b'
b
2bw
M M
bb'
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
52
⇔
(se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo)
bw
b bw
M
b
M
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
53
Exercício 2.3
Considere a estrutura da figura seguinte:
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
sobrecarga = 40.0 kN/m
Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5
a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão
da viga (secções S1 e S2)
b) Pormenorize as armaduras de flexão.
S1S2
10.00 3.50
cp
3.50
sc
1.00
1.00
0.20 0.20
0.15
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
54
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.3
ALÍNEA A )
1. Esforços de dimensionamento
psd = 1.5 × (20 + 40) = 90 kN/m
MsdS1 = -
psd× L12
2 = - 90 × 3.52
2 = -551.3 kNm
MsdS2 =
psd× L22
8 - MsdS1 =
90 × 102 8 - 551.3 = 573.8 kNm
2. Determinação das armaduras (E.L.U. flexão)
Secção S2 (M +sd = 573.8 kNm)
µ = Msd
bd2 fcd =
573.8 0.40 × 0.952× 13.3×103 = 0.120 ⇒ ω = 0.131
As = ωbd fcd fyd
= 0.131 × 0.40 × 0.95 × 13.3 348.0 × 104 = 19.03 cm2
10.003.50 3.50
psd
DMF[kNm]
(+)
(-) (-)
551.3
573.8
551.3
0.200.20
1.00 Msd
LN LN
1.00
0.40
⇔
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axial desprezável (vigas)
55
Secção S1 (M -sd = 551.3 kNm)
Hipótese: a LN encontra-se no banzo da secção
µ = Msd
bd2 fcd =
551.3 1.0 × 0.952× 13.3×103 = 0.046⇒k = 0.112
k = x d ⇔ x = k ×d = 0.112 × 0.95 = 0.106 ⇒ LN está no banzo
µ = 0.046 ⇒w = 0.048
As = ωbd fcd fyd
= 0.048 × 1. 0 × 0.95 × 13.3 348.0 × 104 = 17.42cm2
⇔Msd
1.00
1.00
LNLN
1.00
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56
2. INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUT URAS
DE BETÃO
Como ilustrado no Módulo I, o comportamento do betão armado é não linear desde o
início da fendilhação, que se verifica para níveis de carga relativamente reduzidos.
Verificou-se que o betão estrutural tem um comportamento dividido, no essencial, em
3 fases, antes da fendilhação, no processo fendilhado antes da cedência do aço e daí
até à rotura. Da hipótese de admitir, na resolução de estruturas hiperstáticas, a
linearidade, resulta, desde logo, uma “aproximação” , para o nível de acções de
serviço, e, por maioria de razão, próximo da rotura.
No entanto, para analisar os efeitos da acção de cargas , o fundamental no
desenvolvimento do projecto de estruturas é considerar uma solução de distribuição
de esforços equilibrada (o que naturalmente a solução elástica respeita). Assim,
pode ter-se como referência a solução de distribuição elástica, mas ao mesmo tempo
ter presente que é natural haver variações (mantendo sempre o equilíbrio). Por
exemplo numa viga contínua de betão armado, mesmo em condições de serviço , é
natural haver, logo devido às perdas de rigidez por fendilhação, variações dos valores
de momentos entre o vão e apoio de mais ou menos 10%, tomando-se, no entanto, no
projecto a distribuição elástica . Por outro lado, na fase próxima do esgotamento
da capacidade resistente , a distribuição de esforços depende directamente da
distribuição das resistências, ou seja das armaduras, adoptadas no projecto, i.e., a
distribuição de esforços tem tendência a se adaptar às resistências disponíveis.
Para os efeitos de deformações impostas , como os resultantes, por exemplo, de
variações de temperatura ou assentamentos diferenciais de apoios, a perda de rigidez
associada à não linearidade do comportamento faz diminuir drasticamente os
esforços, se houver ductilidade disponível, que se poderão praticamente anular.
No que se segue analisa-se, para o caso de cargas verticais , como e quando se
pode ter em conta o comportamento não linear do betão estrutural, na obtenção da
distribuição de esforços para o dimensionamento à rotura.
2.1. - ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS
Como acima referido, a partir da distribuição elástica é possível, e por vezes mesmo
aconselhável, tomar para o dimensionamento uma outra, respeitando, na mesma, o
equilíbrio.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
57
Na figura seguinte esquematiza-se este possível procedimento, que permite “passar”
parte dos esforços do apoio para o vão, respeitando sempre o equilíbrio. Resulta,
neste caso, uma menor necessidade de armaduras sobre o apoio e um aumento no
vão. Esta opção pode muito útil na região do apoio, pois:
• Pode melhorar as condições de ductilidade.
• Pode facilitar a pormenorização de armaduras.
Refira-se que, apesar de ser em geral menos interesante, é também possível
considerar a redistribuição de esforços em sentido contrario, do vão para o apoio.
Em termos regulamentares são referidas, em geral, algunas limitações, tais como:
Para 0.5 ≤ li
li+1 ≤ 2
δ ≥ 0.44 + k2 xu
d para fck ≤ 50 MPa k2 = 1.25
≥ 0.7 para os aços das classes B e C, correspondentes aos aços NR e NR
SD utilizados em Portugal.
Verifica-se, assim, como ilustrado na figura seguinte, que esta possibilidade depende
da posição da Linha Neutra na rotura, que, com vimos, é o parâmetro principal de
medida da ductilidade, ou da capacidade de deformação plástica disponível.
MEL
MELR = δ MEL
∆M = MEL - δ MEL = MEL(1 - δ) − autoequilibrado
Li+1Li
DMF
p
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58
Na figura abaixo ilustra-se, para uma viga contínua, como a redistribuição de esforços
é implementada, sendo equivalente a somar um diagrama de esforços auto-
equilibrado.
Refira-se que para uma viga bi-encastrada, a aplicação de uma redistribuição de δ =
0.75 corresponde a passar os momentos no apoio e vão de, respectivamente, (pl2/12)
e (pl2/24) (metade do anterior), para valores iguais de (pl2/16). Isto mostra o
relativamente largo espectro de possibilidades que são possíveis, para a distribuição
dos momentos de dimensionamento, e com os ajustes correspondentes nos outros
esforços. Dito isto, é importante mencionar que esta possibilidade não é,
evidentemente, obrigatória, constituindo uma opção de projecto, com as eventuais
vantagens anteriormente salientadas.
A justificação e/ou quantificação desta possibilidade pode ser compreendida, de uma
forma simplificada , se se tomar a distribuição elástica e se considerar uma rótula na
secção a partir da qual se quer redistribuir os esforços. Então, aplicando aí o valor do
momento a redistribuir, obtem-se o valor da rotação plástica necessária, θrqd (ver a
figura abaixo).
1.0
δ
xu/d0.208 0.448
MEL
∆M
MELR
(+)
(-)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
+
=
Estruturas de Betão I
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axial desprezável (vigas)
59
θrqd = 2 ∆M3EI
l
Assim, esta rotação tem de ser inferior à capacidade de rotação plástica da zona,
neste caso sobre o apoio, por sua vez dependente, como salientado, princioalmente
da posição da Linha Neutra na rotura:
θrqd < θadm
O valor da capacidade de rotação plástica θadm não é facilmente quantificável. Na
figura do EC2 abaixo representada, são indicados esses valores em função de xu/d, e
das características do aço e betão. Estes valores são em geral conservativos, sendo
essencialmente resultantes das campanhas experimentais realizados ao longo das
últimas décadas.
Os valores de redistribuição possível (coeficiente δ atrás indicado) estão calibrados de
forma a respeitar estes procedimentos de verificação da capacidade de rotação
disponível, pelo que podem ser implementados sem esta avaliação directa.
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axial desprezável (vigas)
60
2.2. - APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO)
A regulamentação de estruturas de betão permite igualmente a utilização directa do
teorema estático da teoria da Plasticidade, que assegura que:
i) considerando uma distribuição de esforços em equilíbrio com as cargas de
dimensionamento;
ii) e que, em nenhuma zona, a capacidade resistente seja ultrapassada, a carga
de rotura é superior à considerada.
Evidentemente que este teorema é extremamente eficiente e útil, mas deve ser usado
com alguma precaução nas estruturas de betão, uma vez que:
a. como anteriormente analisado, a ductilidade das secções de betão armado é
limitada;
b. como se discutirá posteriormente, para afastamentos muito importantes em
relação à solução elástica, é importante verificar o impacto deste procedimento
sobre o comportamento em serviço, em particular o controlo da fendilhação.
No entanto, dentro da gama de variações de momentos analisada, havendo o cuidado
de assegurar no dimensionamento uma boa ductilidade, como vimos neste Módulo, os
princípios baseados na Teoria da Plasticidade podem ser considerados, como se
ilustra nos exemplos que se seguem.
00
5
10
0,05 0,20 0,30 0,40
15
20
25
θpl,d (mrad)
(xu/d)
30
35
0,10 0,15 0,25 0,35 0,45
≤ C 50/60
C 90/105
C 90/105
≤ C 50/60
Classe C Classe B
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61
Exemplo 1: Estrutura analisada com alternância de sobrecargas
A alternância de sobrecargas deve ser considerada na verificação da segurança,
sempre que exista a possibilidade desse tipo de carregamentos. Ora, na sua aplicação
a estruturas hiperstáticas, a consideração do comportamento elástico da estrutura,
implica normalmente aumento dos esforços máximos actuantes e, consequentemente,
de armaduras.
Como ilustrado na figura seguinte, no segundo caso de carga o momento elástico do
vão mais carregado é maior e o do apoio menor, quando comparados com o primeiro
(HC1). No entanto, como indicado na figura, se para o segundo caso de carga se
aplicar uma redistribuição do vão para o apoio, obtém-se uma envolvente de esforços
em que os esforços máximos no vão mais carregado e apoio são coincidentes com os
do 1º caso de carga. Nestas circunstâncias, o facto de se considerar a alternância das
sobrecargas afecta a envolvente de esforços ao longo do vão, mas não os valores
máximos no vão e apoio, valores estes que condicionam as quantidades máximas de
armaduras a adoptar.
De referir dois aspectos em relação a este exemplo:
− Se se considerasse um 3º caso de carga, carregando só o 2º vão com a
sobrecarga, o procedimento seria equivalente obtendo-se uma envolvente
simétrica.
L L
pl /8
cp
sc
DMEL
2
2pl /8
1) Hipótese de carga 1 (HC1)
HC1
DMEL
L L
2) Hipótese de carga 2 (HC2)
sc
cp
∆M
∆M
DMELR
pl /82
HC2EL
PLHC2
HC1, HC2HC2
HC1
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
62
− Haveria, neste exemplo, a possibilidade de, em alternativa, redistribuir os
momentos do 1º caso de carga, ou mesmo, dos dois casos de carga, fixando um
mesmo valor de momento no apoio, por exemplo, um valor intermédio.
A conclusão seria, sempre, que a consideração da al ternância alternância
afectaria a envolvente de esforços mas não os valor es máximos no apoio e no
vão .
Refira-se, por último, que, para cargas verticais, a distribuição de esforços para
verificação da segurança aos Estados Limites de Utilização deve ser a distribuição
elástica. Nestas condições, há que verificar se o nível de tensões nas armaduras em
serviço é aceitável, na zona onde foi aplicada a redistribuição no dimensionamento à
rotura, em termos do controlo da fendilhação, como atrás mencionado e se discute
com mais detalhe no Módulo 4.
Exemplo 2 - Determinação da carga última de uma est rutura existente.
Os princípios da Teoria da Plasticidade são particularmente úteis quando se pretende
avaliar a capacidade resistente de uma estrutura existente. Nesses casos, as
capacidades resistentes e as características de ductilidade são avaliadas com base na
caracterização possível dos materiais e quantidades de armadura presentes. A partir
destes valores pode ser estimada a máxima carga que pode ser suportada pela viga,
como esquematizado na figura seguinte.
Para a avaliação da capacidade última admite-se que na rotura é mobilizada, em cada
tramo, a capacidade resistente máxima das secções de vão e apoio. Então por
simples equilíbrio pode determinar-se a carga última, tal que:
pRd L /82
L
-MRd
L
pRd = ?
MRd+
DMF
(+)
(-)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço
axial desprezável (vigas)
63
PRd l2
8 ≈ M -
Rd
2 + M +Rd
Rigorosamente (porque o momento máximo não ocorre a meio vão) pRd seria obtido
das equações:
x = l2 -
M -Rd
pl
PRd = M +
Rd - M -
Rd xl
Lx2 -
x2
2
Será, evidentemente, necessário estar certo da ductilidade disponível na estrutura
existente.
Apresenta-se, para terminar, um problema semelhante para duas cargas concentradas
aplicadas nos meios vãos das vigas.
Neste caso a carga P resistente de dimensionamento, PRd, seria obtida a partir da
expressão:
PRd × l4 =
M -Rd
2 + M +Rd
-MRd
+MRd
LL
PRdPRd
L/2 L/2
+MRd
(+)
(-)
DMF
BETÃO ARMADO E PRÉ
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ES
ÚLTIMOS DE ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO.
PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS
Ano Lectivo 200
BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 3
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES
ÚLTIMOS DE ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO.
PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS
Ano Lectivo 200 12/2013
ESFORÇADO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
TADOS LIMITES
ÚLTIMOS DE ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO.
PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
71
ÍNDICE
1. ESFORÇO TRANSVERSO ................................................................................................. 73
1.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA ............................ 73
1.2. POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA ............................................................................................ 80
1.2.1. Rotura pelos estribos ................................................................................................ 81
1.2.2. Rotura por compressão na alma ............................................................................... 83
1.2.3. Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão ................ 86
1.2.4. Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade ........ 87
1.2.5. Armadura longitudinal no vão.................................................................................... 89
1.2.6. Apoio de continuidade ............................................................................................... 90
1.2.7. Quantidade mínima de armadura transversal ........................................................... 91
1.2.8. Espaçamento entre estribos e sua pormenorização ................................................. 91
1.3. AMARRAÇÃO DE ARMADURAS .............................................................................................. 96
1.3.1. Comprimento de amarração...................................................................................... 96
1.3.2. Comprimento de emenda .......................................................................................... 99
1.4. ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA ............................................................................... 111
1.5. ARMADURA DE SUSPENSÃO ............................................................................................... 113
1.5.1. Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga ............................................... 113
1.5.2. Apoios indirectos ..................................................................................................... 114
1.6. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO ........................................................................ 120
1.7. ARMADURA INCLINADA ...................................................................................................... 124
1.8. - SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL ................................................................................. 125
1.9. FORÇAS DE DESVIO .......................................................................................................... 125
2. TORÇÃO ............................................................................................................................... 127
2.1.1. Torção de equilíbrio ................................................................................................. 128
2.1.2. Torção de compatibilidade ...................................................................................... 128
2.2. TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO NA LARGURA EFECTIVA DE HEF .............. 129
2.3. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO .......................... 133
2.3.1. Compressão ............................................................................................................ 133
2.3.2. Armadura transversal de torção .............................................................................. 133
2.3.3. Armadura longitudinal de torção ............................................................................. 133
2.4. EFEITO CONJUNTOTORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO......................................................... 137
2.5. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO ................................... 137
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
72
2.5.1. Armadura transversal .............................................................................................. 137
2.5.2. Armadura longitudinal ............................................................................................. 138
2.6. DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO ....................................................................... 138
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
73
1. ESFORÇO TRANSVERSO
Apresenta-se, seguidamente, as principais características do comportamento de vigas
de betão armado quando submetidas, para além da flexão, ao esforço transverso e
depois à torção . Mostra-se, neste capítulo, como se desenvolve o processo de
fendilhação e explica-se o encaminhamento das cargas ao longo das vigas, em
situações próximas à rotura. O modelo base adoptado para o dimensionamento ao
Estado Limite Último é apresentado e são derivadas as expressões que corporizam as
verificações de segurança correspondentes. Os aspectos referentesà pormenorização
das vigas, que derivam desta formulação geral e outros relacionados, como os da
suspensão de cargas, são apresentados neste módulo.
1.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA
Numa viga simplesmente apoiada submetida a duas cargas concentradas, com
comportamento elástico, definem-se trajectórias principais de tensão, de tracção e
compressão, como indicado na figura seguinte.
Elemento A
Quando σt = fct, inicia-se a fendilhação por esforço transverso
Se, na zona de corte junto aos apoios, se tomar um elemento A, verifica-se que o
Estado de tensão é o que está representado, com as direcções principais de
tensão inclinadas.É natural que, ao se atingir, na direcção das tracções principais,
o valor da resistência do betão, fct, surjam fendas inclinadas em relação ao eixo. A
fendilhação que se desenvolve terá um andamento aproximado ao desenhado no
σ σ
+
τ
trajectórias das compressões principais
trajectórias das tracções principais
A
σct
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
esquemaseguintecom as fendas a se formarem
àsdirecções de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte
Com o aumento da carga, a fendilhação desenvolve
próximo da zona comprimida
encaminhamento das tracções
Nestas condições, se forem dispostos
verticais (estribos) as tracções são re
então compreender, neste caso,
carga aplicada e a reacção de apoio, como representado no esquema seguinte.
Verifica-se que se formam dois
leque, ligados por um campo de tracções
entre as carga e a reacção de apoio
compressão à parte inferior da viga, é transferida á parte superior por tracções nos
estribos e, finalmente é encaminhada
concentram, finalmente, na largura do apoio.
Flexão +
Esforço transverso
Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
esquemaseguintecom as fendas a se formarem, no essencial, perpendicular
de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte
a, a fendilhação desenvolve-se, prolongando-se as fendas até
próximo da zona comprimida. Verifica-seque as fendas “cortam” a possibilidade de
encaminhamento das tracções inclinadas de acodo com o comportamento elástico.
se forem dispostos, na zona de corte, armaduras transversais
as tracções são re-encaminhadas nessa direcção. Podemos
, neste caso, a transmissão de tensões ou forças na viga,
carga aplicada e a reacção de apoio, como representado no esquema seguinte.
se que se formam dois campos de tensões de compressão
campo de tracções correspondente aos estribo
entre as carga e a reacção de apoio. A carga aplicada transmite
compressão à parte inferior da viga, é transferida á parte superior por tracções nos
estribos e, finalmente é encaminhada para o apoio por compressões inclinadas que se
na largura do apoio.
Flexão
Esforço transverso
d
Estruturas de Betão I
Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. 74
, no essencial, perpendicularmente
de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte.
se as fendas até
” a possibilidade de
de acodo com o comportamento elástico.
armaduras transversais
encaminhadas nessa direcção. Podemos
ransmissão de tensões ou forças na viga, entre a
carga aplicada e a reacção de apoio, como representado no esquema seguinte.
campos de tensões de compressão , em forma de
os estribos colocados
A carga aplicada transmite-se, assim, por
compressão à parte inferior da viga, é transferida á parte superior por tracções nos
para o apoio por compressões inclinadas que se
Flexão +
Esforço transverso
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
75
É de referirque este tipo de mecanismo de transmissão de carga em elementos de
betão armado submetidos à flexão com esforço transverso havia sido compreendido,
por Ritter e Morsch, desde os primeiros ensaios experimentais com o betão armado,
como identificado nas imagens abaixo reproduzidas, datadas do final e princípio dos
séculos XIX e XX, respectivamente.
Ritter (1899)
Mörsch (1909, 1922)
Na figura que se segue, também dessa época, mostram-se modelos curiosos de
avaliação da distribuição das forças no betão e armaduras (nessa altura lisas e
portanto sempre terminadas em gancho), numa zona fendilhada de betão armado
junto a um apoio. Refira-se que, neste caso, as armaduras transversais não eram
estribos mas sim parte da armadura longitudinal que era dobrada a 45º, quando
deixava de ser necessária para a flexão. Até aos anos 60/70, era corrente repartir as
necessidades de armadura para o esforço transverso entre estribos e armaduras
longitudinal dobrada.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
76
Mörsch (1922)
No caso mais geral de uma viga sujeita a cargas uniformemente distribuídas o
comportamento esquemático numa zona com esforço transverso é mais uniforme.
Se admitirmos, como representado na figuraseguinte (a) que a inclinação das
compressões se mantém constante, podemos interpretar e compreender o esquema
de transmissão das cargas ao longo da viga, com a representação dos campos de
tensões. Notem-se os campos de compressão em leque, atrás referidos, junto ás
reacções dos apoios, e os campos de tensão paralelos, com inclinação θ, no restante
da viga. Saliente-se que os campos de compressões incluem uma zona de betão com
várias fendas e os de tracção um conjunto de estribos, o que se pode compreender ao
analisar em conjunto os dois esquemas (a) e (b).
a)
b)
θ
θ
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
77
Este modelo contínuo de transmissão de tensões poderá assemelhar-se a
ummodelo discreto, equivalente a uma treliça , onde as armaduras transversais e
longitudinais funcionam como tirantes e o betão comprimido entre fendas inclinadas
como escora ou biela , com resultante igual ao campo de compressões que
representa (ver figura seguinte). Neste modelo também as cargas aplicadas nos nós
correspondem à resultante das distribuídas na zona de influência respectiva.
Assim, neste modelo de treliça, cada barra vertical e inclinada representa,
respectivamente, a resultante de um campo de tensões de tracções e compressões,
numa largura de z cotg θ (ver figura seguinte). Por outro lado, refira-se que as barras
longitudinais, inferior e superior, representam, no essencial, os “banzos” traccionados
e comprimidos por flexão.
(1) Campo de tracções verticais
estribos verticais (ou inclinados)
(2) Campo de compressões inclinadas
bielas inclinadas
(1) Campo de tracções e compressões paralelas ao eixo
θz
bielas comprimidas (resultante da zona de compressões correspondente)
tirantes (resultante das forças de tracção nos estribos no comprimentoz cotgθ)
z cotg θ z cotg θ z cotg θ
z cotg θ z cotg θ
compressão
tracção
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
78
Com base nesta modelação ver-se à que é possível relacionar os esforços (M e V)
com as tensões nos diferentes elementos, ou seja, nas armaduras transversais,
armaduras longitudinais e bielas comprimidas (inclinadas ou longitudinais). Antes
porém convém chamar a atenção que este modelo com origem, como se viu, nos
primórdios do betão armado, sendo estáticamente válido e representando as
características principais do comportamento, só corresponde a uma aproximação da
modelação da resposta do betão armado. Ao longo das últimas dezenas de anos têm
sido propostas diferentes adaptações ao modelo base de Ritter/Morsch sujeito a várias
adaptações. A figura seguinte, sintetiza os resultados de inúmeros ensaios
experimentais de medição das capacidades resistentes por esforço transverso obtidos
em diferentes laboratórios. Indica-se a relação experimental entre o valor de esforço
transverso último (apresentado numa forma adimensional, v = Vu
b z fc) e a quantidade de
estribos (representada nas ordenadas pela percentagem mecânica, w = Asw
s b . fy
fc)
verificando-se uma importante dispersão e sem obedecer a uma relação linear.
Estes parâmetros reduzidos são equiparáveis aos da flexão e, como se verá adiante, o
nível de esforço transverso máximo de dimensionamento, para uma dada geometria e
betão, corresponde aproximadamente a vRd = 0.30.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
79
Compreende-se então, que não sendo um problema simples, ao longo destes anos
tenham sido propostos diferentes modelos para umamais fiável avaliação . No
entanto, um bom modelo, para aplicação prática, deve ser sempre simples e de fácil
compreensão física.
Uma das questões relevantes que se coloca é a influência que o corte entre os
agregados ao longo das fendas inclinadas tem na influência na inclinação das
compressões na alma da viga, que não são as mesmas das fendas principais, como
se realça seguidamente. O escorregamento entre o betão nas faces das fendas gera
tensões de corte e compressão, que induzem no betãoentre fendas um estado de
tensão que, sobreposto ao da treliça pura, modifica as inclinações das compressões
principais deste, com tendência para diminuir aquela inclinação e verifica-se assim que
não há coincidência perfeita entre as inclinações das fendas e das compressões
principais.
ATRITO ENTRE AGREGADOS (Décadas de 80 / 90)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
80
A INCLINAÇÃO DO CAMPO DE COMPRESSÕES ( θθθθ ) É INFERIOR À DA “FENDA” ( ββββr )
O modelo proposto presentemente no EC2 baseia-se na treliça dando liberdade ao
projectista de definir o angulo θθθθ de inclinação das compressões, desde que cotg
θθθθ se situe entre 1 ( θθθθ = 45°°°°) e 2.5 (θθθθ = 22°°°°). Uma vez tomada a opção, em todo o
processo de dimensionamento, que se apresenta seguidamente, há que ser
consistente com essa escolha. Esta liberdade baseia-se no método estático da Teoria
da Plasticidade, segundo o qual, se se adoptar uma solução equilibrada em que a
resistência não seja ultrapassada em nenhum elemento a capacidade resistenteda
peça é superior ou igual à considerada. A limitação imposta tem a ver com a maior ou
menor capacidade de adaptação da distribuição de tensões ás resistências
disponíveis. Na disciplina propõe-se que se adopte, em geral, um valor intermédio, por
exemplo 30º. Por outro lado, aconselha-se a tomar valores superiores para níveis
elevados de esforço transverso e/ou em caso da presença de um esforço axial de
tracção e inferiores nas hipótese contrárias (níveis baixos de esforço transverso ou
esforço axial de tracção).
1.2. POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA
Com base no modelo de campos de tensões, com um ângulo de inclinação das
compressões constante, ou do seu modelo simplificado de treliça, vamos analisar,
seguidamente, os modos de rotura possíveis e avaliar as capacidades resistentes
correspondentes.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
81
Nas figuras seguintes ilustra-se:
(i) A rotura do campo de tracções vertical, ou seja dos estribos.
(ii) A rotura por esgotamento da resistência das compressões do campo
comprimido de tensões.
(i) Rotura dos estribos
(ii) Rotura por esmagamento do betão (nas
bielas comprimidas)
Há ainda que considerar, como veremos:
(ii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração
insuficiente) ou rotura da armadura (armadura insuficiente)
O esquema seguinte mostra as zonas onde se pode verificar a rotura, ou seja, as
tracções nas armaduras transversais , as tensões principais de compressão no
betão (é interessante notar também o pormenor do desvio das tensões do banzo
superior para as biela inclinadas da alma) e, ainda, da força necessária na armadura
longitudinal no inferior no apoio .
1.2.1. Rotura pelos estribos
A rotura pelos estribos verifica-se se a capacidade resistente à tracção do conjunto
dos estribos, colocados no comprimento z cotg θ,for o “elo mais fraco”, isto é, se a
força resultante (representada na figura anterior por um traço mais traço forte) for
insuficiente para transmitir a carga do banzo inferior ao superior.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
Ora a força a que este conjunto de estribos está sujeita é igual ao
da viga, avaliado a uma certa distânci
esquemas seguintes, para um apoio de extremidade e outro de continuidade.
θ
z cotg θb
x
DEVsd
zona do diagrama de esforço transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversal
cargas que se transmitemdirectamente para o apoio
Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Ora a força a que este conjunto de estribos está sujeita é igual ao esforço transverso
avaliado a uma certa distância do apoio, Vsd (x), como indicado nos
esquemas seguintes, para um apoio de extremidade e outro de continuidade.
z
Vsd(x)
Vsd(x)
θ
x
z cotg θ
zona do diagrama de esforço transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversal
cargas que se transmitemdirectamente para o apoio
Estruturas de Betão I
Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. 82
esforço transverso
como indicado nos
esquemas seguintes, para um apoio de extremidade e outro de continuidade.
b
cargas que se transmitemdirectamente para o apoio
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
83
Assim, e como claramente apresentado no esquema seguinte, a força de tracção, Fs,
necessária para evitar a rotura pela “fenda” diagonal, é igual ao esforço transverso
avaliado à distância x do apoio. Então, a quantidade de armadura necessária vezes a
tensão de dimensionamento do aço, fyd, terá de ser superior áquela força.Se dividirmos
a área desses estribos pelo comprimento z cotg θ, obtem-se a quantidade de
armadura, Asw, por cada alinhamento de estribos com afastamento s, dada por Asw/s.
Fs≥ Vsd⇔Asw× fyd≥ Vsd (x)⇔
⇔Asw
s fyd≥ Vsd (x)
z cotg θ ⇒Asw
s ≥≥≥≥ Vsd (x)
z cotg θθθθ fyd
x = b 2 + z cotg θ; z ≅ 0.9d
Asw
s - área de aço por unidade de comprimento (armadura distribuída por m).
Vsd (x)z cotg θ - força vertical por unidade de comprimento.
Assim, definido o valor de θ, passa a se poder estabelecer uma relação directa entre o
esforço transverso resistente e a quantidade de armadura transversal, como proposto
no Eurocódigo 2.
EUROCÓDIGO 2:
O valor do esforço transverso resistente, condicionado pelas armaduras transversais é
dado pela expressão (1) tal que:
VRd,s = Asw s z fywd cotg θ⇔
Asw s ≥
Vsd z cotg θ fywd
(1)
onde fywd representa o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de esforço
transverso.
1.2.2. Rotura por compressão na alma
Ora a capacidade resistente deste sistema de transmissão de forças pode, também,
ser condicionado pela capacidade resistente do betão à compressão na zona da alma,
ou seja, no campo de tensões com a inclinação, θ. A avaliação do nível da tensão de
compressão no campo paralelo de tensões pode ser deduzido como se segue, a partir
da força Fc, com componente vertical igual a Vsd.
b z cotg θ
Asw
Vsd (x)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
84
sen θ = Vsd Fc
⇒ Fc = Vsd
sen θ
σc = Fc
bw a
sen θ = a
z cotg θ ⇔ a = (z cotg θ) × sen θ = z cos θ = z cos θ
σc = Vsd
sen θ× bw× z cos θ⇒σσσσc = Vsd (x)
0.9d bw sen θθθθ cos θ θ θ θ
Refira-se que, devido ao efeito bidimensional favorável com concentração das
compressões na zona do apoio, anteriormente referido, a eventual rotura do betão não
se verifica no campo de tensões “em leque”, mas sim no campo de tensões paralelo
adjacente áquele, como indicado no esquema seguinte.
Saliente-se a bem conhecida influência, na resistência do betão à compressão, do
estado de tensão nas direcções perpendiculares.
É o efeito favorável de uma compressão transversal , denominado efeito de
confinamento ou cintagem, que melhora a resistência (e aliás também a ductilidade),
como se verifica nos diagramas das relações tensão-extensão do betão, com e sem
compressão transversal.
b z cotg θ
θ
a
Fc
Fc
Vsd
Fs
θ
z cotg θ
θ
R
Rotura
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
Por outro lado, se existir tracção na direcção transversal
fendilhação como indicado no esquema seguinte, e como se verifica nas almas das
vigas com fendilhação
comprometida. É este outro
armado abaixo indicado e nas relações tensão/extensão do betão, no caso de existir
ou não, a referida tracção transv
neste caso, uma perda significativa de resistência axial.
As tensões de tracção nos estribos originam uma diminuição da resistência à
compressão do betão, da ordem de 50 a 60%, que se quantifica
regulamentares, por uma expressão do tipo:
Assim, definido o modelo de calculo e o ângulo
relação directa entre o esforço transverso resistente e a compressão máxima
admissível na alma, como proposto no Eurocódigo 2.
EUROCÓDIGO 2
O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão
alma, é dado pela expressão (2) tal que:
Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Por outro lado, se existir tracção na direcção transversal às compressões, com
fendilhação como indicado no esquema seguinte, e como se verifica nas almas das
inclinada, a capacidade resistente à compressão fica
outro efeito que está representado no elemento de betão
armado abaixo indicado e nas relações tensão/extensão do betão, no caso de existir
a referida tracção transversal, com fendilhação associada. Verifica
uma perda significativa de resistência axial.
As tensões de tracção nos estribos originam uma diminuição da resistência à
da ordem de 50 a 60%, que se quantifica
por uma expressão do tipo:
σc≤0.6
1 -
fck 250 fcd
Assim, definido o modelo de calculo e o ângulo θ, passa a se poder estabelecer uma
relação directa entre o esforço transverso resistente e a compressão máxima
admissível na alma, como proposto no Eurocódigo 2.
O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão
alma, é dado pela expressão (2) tal que:
Estruturas de Betão I
Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. 85
s compressões, com
fendilhação como indicado no esquema seguinte, e como se verifica nas almas das
inclinada, a capacidade resistente à compressão fica
efeito que está representado no elemento de betão
armado abaixo indicado e nas relações tensão/extensão do betão, no caso de existir
Verifica-se existir,
As tensões de tracção nos estribos originam uma diminuição da resistência à
da ordem de 50 a 60%, que se quantifica, em termos
, passa a se poder estabelecer uma
relação directa entre o esforço transverso resistente e a compressão máxima
O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão na
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
86
VRd,max = αcw bw z ν1 fcd
cotg θ + tg θ (2)
onde αcw = 1 para estruturas sem pré-esforço e ν1 = 0.6
1 -
fck 250
Então, esta expressão pode ser escrita na forma:
VRd,max = bw z 0.6
1 -
fck
250 fcd
cotg θ + tg θ ⇔ VRd,max (cotg θ + tg θ)
z bw = 0.6
1 -
fck
250 fcd
⇔VRd,max
z bw sen θ cos θ = 0.6
1 -
fck
250 fcd, equivalente às deduções acima descritas.
Refira-se que o máximo valor de Vrd se verifica para o caso do ângulo θ ser de 45º, e
que neste caso o valor reduzido de esforço transverso, já atrás referido, é dado por
vrd = Vrd
bwdfcd e toma no máximo um valor de 0.3 .
Este pode então ser considerado como o maior valor de esforço transverso reduzido
que pode ser resistido para uma dada secção e resistência de betão,
independentemente da quantidade de armadura.
Finalmente, na zona do apoio, se este se verificar por uma chapa, haverá que verificar
a adequabilidade das dimensões desta, o que de uma forma simplificada, se consegue
limitando a tensão a fcd.
1.2.3. Influência do esforço transverso nas compres sões e tracções da flexão
Numa zona intermédia da viga, se consideramos a actuar os esforços M e V, a
resultante das tensões axiais têm naturalmente de ser nula, pois não há esforço axial.
Deste modo, para equilibrar a componente horizontal da força inclinada na biela, Fc, e
acima avaliada, têm de se verificar, tracções na direcção longitudinal, nos “banzos”
superior e inferior da viga. Estas provocam, assim, uma variação nas compressões e
tracções devidas ao momento flector, M. Este efeito pode ser compreendido pelo
esquema abaixo indicado.
FVT = Fc cos θ =
Vsen θ cos θ = V cotg θ
Fc
θ θ
Vsd
V2
cotg θ
cotg θ2V
θFT
Vsd
Fc
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
87
A componente horizontal das compressões inclinadas no betãoimpõe, por equilíbrio
axial, a necessidade de uma força de tracção,FVT, que se distribui igualmente pelos
banzos comprimido e traccionado, por forma a não alterar o momento aplicado à
secção.
Considerando a sobreposição dos efeitos de flexão e esforço transverso, verifica-se
então, como abaixo esquematizado, que haverá no banzo traccionado um incremento
de tracção e no comprimido um alívio das compressões. Refira-se que na zona de
momento nulo de uma viga, com esforço transverso diferente de zero, geram-se
tracções superiores e inferiores.
FM = Mz ; FV =
V2 cotg θ
Este efeito deve ser considerado na pormenorização das armaduras, como se verá na
análise da dispensa longitudinal das armaduras de flexão.
1.2.4. Rotura por arrancamento da armadura longitud inal no apoio de
extremidade
Analisemos, agora, o sistema de transmissão de forças junto ao apoio simples,
referindo-nos às figuras seguintes, com representação dos campos de tensões ou só
das suas resultantes. Verifica-se que, por um simples equilíbrio de nó de treliça, se
gera uma tracção na armadura longitudinal, FT, dependente da reacção do apoio e da
inclinação da resultante do campo de tensões em leque, θ1.
VM
FM
MF
VF
FV
+ =
V
VF
F
V M
FM
MF
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
R = Fc sen
FT = Fc
cotg θ1 =
b2 +
z2 cotg θ
z = 0.5
Como FT depende da largura do apoio, pode tomar
1) Apoio pontual (b = 0)
2) cotg θ1 = 0.5 cotg θ⇒
3) z ≅ 2b
θFT
R
1
Fc
Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
sen θ1⇔ Fc = R
sen θ1
cos θ1⇒ FT = R cos θ1
sen θ1 = R cotg θ1
= 0.5 bz + 0.5 cotg θ
depende da largura do apoio, pode tomar-se por simplificação:
(b = 0)
⇒FT = R 2 cotg θ
z
θ
z cotg θb
θ1
b + z2 2 cotg θ
Estruturas de Betão I
Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. 88
se por simplificação:
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
89
cotg θ1 =0.5 b2b+ 0.5 cotg θ = 0.25 + 0.5 cotg θ ⇒FT =R (0.25 + 0.5 cotg θ)
Aproximadamente, e de uma forma conservativa, pode tomar-se:
FT= 1.20 R (θ1≅ 40°)
Refira-se que a área de armadura longitudinal inferior a adoptar nestes apoios sem
continuidade deverá ser sempre, pelo menos, 25% da área de armadura adoptada na
zona do meio vão.
1.2.5. Armadura longitudinal no vão
Considera-se, agora, a análise da situação corrente de uma viga simplesmente
apoiada, como a representada na figura seguinte, e com base no modelo acima
descrito, definem-se os diagramas da força de tracção na armadura longitudinal.
Verifica-se que a variação da força de tracção ao longo do vão tem uma menor
variação ao longo do vão não sendo nula junto ao apoio (ver §1.2.4) e que na zona do
vão não é afectadaem relação à da flexão, no vão central.
Em termos práticos, verifica-se, ser mais conveniente, para determinar a tracção
necessária em vez de somar as duas forças, avaliar a distancia, x (ver esquema a
seguir), segundo o eixo longitudinal, processo que se denomina de translacção do
diagrama de momentos .
MFT
M/z
V/2 cotg θ
VFT
M/z
FTM+V
+ V/2 cotg θ
+
=
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
90
α = d dx
M
z = 1 z
dM dx =
V z
por outro lado, α≅ tg α = V/2 cotg θ
x
⇒V2 cotg θ×
1 x =
Vz ⇒ x =
z2 cotg θ
Refira-se que a análise da dispensa de armadura longitudinal será, na prática,
efectuada, não a partir do diagrama de momentos flectores, mas deste, depois de
efectuada esta translacção, no valor dez/2 cotgθ.
1.2.6. Apoio de continuidade
A análise da zona de um apoio de continuidade é extremamente interessante pois,
trata-se de uma região com momento flector e esforço transverso significativos, à
esquerda e direita.
Geram-se dois campos de tensão em leque a partir do apoio, verificando-se que, com
base no modelo de escoras e tirantes, a tracção superior tem tendência a formar um
patamar constante, com valor dependente só do momento flector (ver figura em baixo).
De facto a influência do esforço transverso, ou seja da inclinação das compressões na
força de tracção, só se faz sentir a uma certa distância do apoio, não influenciando o
valor máximo de força de tracção devida à flexão, mas tão só alargando essa zona.
Define-se assim, também na zona de momento negativos, um diagrama de flexão com
translacção, a partir do qual deve ser definida a dispensa de armaduras.
Asflexão
M/z
x necessáriaAs
V/2 cotg θα
DFT
M/z
V2 cotg θ
M Vz 2 cotg θ+
- cotg θM V2z
z
FT = const.
θ θ1θ
z cotg θ
θ
z cotg θb
θθ1
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
91
1.2.7. Quantidade mínima de armadura transversal
A área mínima de armadura transversal, que se justifica pela mesma razão da flexão,
pode ser quantificada através da imposição de uma percentagem de armadura, dada,
no EC2, por:
ρw,min = 0.08 fck
fyk
A percentagem geométrica de armadura transversal é definida através da expressão:
ρw,min = Asw
s × bw
1.2.8. Espaçamento entre estribos e sua pormenoriza ção
Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaçamento máximo entre
estribos deverá respeitar a condição:
s ≤ 0.75 d (1 + cotg α),
onde d representa a altura útil do elemento e α a eventual inclinação da armadura
transversal.
Usualmente utilizam-se espaçamentos entre 0.075 e 0.30 m (ou, preferencialmente,
para vigas correntes, entre 0.10 e 0.25 m), não devendo ultrapassar-se, em geral, 0.5
d.
A armadura transversal é em geral, formada por um ou mais estribos, cada um com
dois ramos, que deverão em princípio, serem fechados. O EC2 abre, no entanto, a
possibilidade a outras hipóteses.
O espaçamento transversal entre ramos de estribos deve ser tal que:
st≤ 0.75 d ≤ 600 mm
Assim para vigas largas, com mais de 60 cm, ou menos largas mas pouco altas, é, por
razões de eficiência na transmissão das compressões das bielas aos estribos
verticais, necessário ter mais do que um estribo (2 ramos) – ver figura seguinte.
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
92
Verifica-se que as tensões de compressão tendem a se apoiar nos cantos dos estribos
(onde também existem ferros longitudinais) e que, como se percebe, não devem estar
muito afastados para uma maior uniformidade da transmissão de forças.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
93
EXERCÍCIO 2.4
Considere a estrutura da figura seguinte:
Materiais: C25/30, A400NR
Responda ás seguintes questões, tentando compreender e interpretar as implicações
de adoptar diferentes ângulos de inclinação das bielas decompressão:
a) Calcule as armaduras transversais admitindo, para inclinação das bielas de
compressão, ângulos de 30° e 45°.
b) Verifique, para ambas as situações, a tensão máxima de compressão nas bielas.
c) Calcule, para ambas as situações, os efeitos na armadura longitudinal.
d) Pormenorize a armadura longitudinal ao longo da viga.
0.60
5.00
0.30
g = 25kN/m
q = 12kN/m
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
94
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.4
ALÍNEA A )
1. Determinação dos esforços
psd = γg× g + γq× q = 1.5 (12 + 25) = 55.5 kN/m
Msd = pL2 8 =
55.5 × 52 8 = 173.4kNm
Vsd = 55.5 × 5
2 = 138.8 kN
2. Cálculo das armaduras transversais para θ = 30°
z cotg θ = 0.9 d × cotg θ = 0.9 × 0.55 × cotg 30° = 0.87m
Vsd (z cotg θ) = 138.8 – 0.87 × 55.5 = 90.5kN
Asw s ≥
Vsd z cotg θ fyd
= 90.5
0.87 × 348 × 103 × 104 = 3.0 cm2/m
3. Cálculo das armaduras transversais para θ = 45°
z cotg θ = 0.9 × 0.55 × cotg 45° = 0.5m
Vsd (z cotg θ) = 138.8 – 0.5 × 55.5 = 111.1kN
Asw s =
111.1 348 × 103× 0.5 = 6.39cm2/m
ALÍNEA B )
i) θ = 30°
σc = Vsd
0.9 d bw sen θ cos θ= 90.5
0.3×0.5×sen 30°×cos 30° = 1393kN/m2
ii) θ = 45°
σc = 111.1
0.3 × 0.5 × sen 45°× cos 45° = 1481kN/m2
σc≤0.6
1 -
fck 250 fcd = 0.6
1 -
25 250 × 16.7×103 = 9018 kN/m2
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Pormenorização de armaduras
95
ALÍNEA C)
1. Armadura no apoio de extremidade
i) Considerando um apoio pontual
b = 0 ⇒ Fs = R 2 cotg θ
θ = 30°⇒ Fs =
138.8 2 × cotg 30° = 120.2kN
θ = 45°⇒ Fs = 138.8
2 × cotg 45° = 69.4kN
ii) Considerando a largura do apoio
Fs = 1.2 R = 1.2 × 138.8 = 166.6kN
⇒ As≥ Fs fyd
= 166.6
348×103 × 104 = 4.79cm2
Comentário : menor θ ⇒ maior área de armadura nos apoios
2. Cálculo do comprimento de translacção
θ = 30°→ x = z 2 cotg θ =
0.5 2 cotg 30° = 0.43m
θ = 45°→ x = z 2 cotg θ =
0.5 2 cotg 45° = 0.25m
Comentário : menor θ ⇒ maior comprimento de translacção
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96
1.3. AMARRAÇÃO DE ARMADURAS
1.3.1. Comprimento de amarração
Considere-se um varão de aço embebido, num determinado comprimento, no interior
de um bloco de betão, conforme ilustrado na figura seguinte e admita-se uma
tensãode corte entre o betão e o aço, com distribuição constante.
fbd – tensão de aderência de cálculo (b- bond ; d- design)
Nestas condições é possível definir o valor do comprimento necessário lb,rqd para que,
quando o varão for submetido a uma força de tracção, não haja escorregamento entre
os dois materiais. Deste modo,
FRc≥ Fs⇔ Ac× fbd≥ Fs ,
onde Ac = πφ lb e representa a área de betão em contacto com a armadura.
Ac× fbd≥ Fs⇔πφ lb,rqd fbd = Asσsd⇒πφ lb,rqd fbd = πφ2
4 σsd
De onde resulta
lb,rqd = φφφφ 4
σσσσsd fbd
(Comprimento de amarração base)
O valor da tensão de aderência (fbd) pode ser calculado, segundo o EC2, através da seguinte
expressão:
fbd = 2.25 η1η2 fctd
onde,
fctd representa o valor de dimensionamento da resistência do betão à tracção;
η1 é um coeficiente que depende da qualidade da aderência e da posição do varão
durante a betonagem (η1 = 1.0 para boas condições de aderência; η1 = 0.7 para
outras condições de aderência);
η2 é um coeficiente que depende do diâmetro do varão (η2 = 1.0 para φ ≤ 32 mm; η2
= (132 - φ) / 100 para φ ≥ 32 mm).
fbd
lb,rqd
Fs = As σsd
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Pormenorização de armaduras
97
Os varões dizem-se em condições de boa aderência se verificarem uma das
seguintes condições:
formem com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º;
estejam integrados em elementos com espessura (na direcção da betonagem)
inferior ou igual a 25 cm;
quando a espessura excede 25 cm, os varões estão em boas condições de
aderência se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da
sua face superior.
O comprimento de amarração necessário l bd pode ser avaliado através da
expressão:
lbd = αααα1αααα2αααα3αααα4αααα5lb,rqd ≥≥≥≥ lb,min
onde,
α1 é um coeficiente que tem em conta a forma do varãona zona da amarração;
α2 é um coeficiente que tem em conta o recobrimento do varão;
α3 é um coeficiente que tem em consideração o efeito do cintagem das armaduras
transversais à amarração;
α4 é um coeficiente que tem em consideração o efeito de varões transversais
soldados ao longo do comprimento de amarração;
α5 é um coeficiente que tem em consideração o efeito favorável da existência de
tensões de compressão transversais ao plano de escorregamento, ao longo do
comprimento de amarração.
Sendo clara a influência de todos estes factores no comprimento de amarração, na
prática tomam-se, em geral, opções simplificativas que devem ser conservativas.
De qualquer forma, há que assegurar, um comprimento de amarração mínimo l b,min ,
tal que:
varões traccionados: lb,min = máx 0.3 lb,rqd; 10φ; 100 mm
varões comprimidos: lb,min = máx 0.6 lb,rqd; 10φ; 100 mm
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Pormenorização de armaduras
98
Simplificadamente, e para varões traccionados com amarrações curvas tem-se
lb,eq =α1lb,rqd = 0.7 lb,rqd
(α≥ 90°)
ou
Esta redução é válida se a distância livre entre varões e/ou o recobrimento na direcção
perpendicular à amarração forem superiores a 3φ.
Por exemplo para varões comprimidos ou traccionados com barras transversais
soldadas (situação não muito corrente) o EC2 propõe:
lb,eq =α4 lb,rqd= 0.7 lb,rqd
Para se ter uma rápida avaliação dos comprimentos de amarração é extremamente útil
ter o multiplicador do diâmetro tal que: lb = k φ, como expresso na tabela seguinte,
sem considerar os coeficientes α, e admitindo σs = fyd.
VALORES DE k = lb / φ , para σs= fyd
C20/25 C25 C30 C35 C40 C45 C50
A400 η1 = 1
η1 = 0.7
39
55
32
46
29
41
26
38
23
33
22
30
20
28
A500 η1 = 1
η1 = 0.7
48
69
40
57
36
52
33
47
30
43
27
38
25
36
≥ 5φα
lb,eq
lb,eq
lb,eq
≥ 5φ φt ≥ 0.6φ
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
99
EXEMPLO
Calcular o comprimento de amarração necessário de um varão φ16 solicitado por uma
força de 45kN.
Materiais: C25/30
A400NR
RESOLUÇÃO :
fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.8 1.5 = 2.7 MPa
lbd = lb,rqd = φ 4
σsd fbd
= φ 4
223.9 2.7 = 20.7 φ = 0.33 m
Este valor é inferior ao da tabela pois o nível de tensão é menor que fyd.
σsd = 45
2.01×10-4 = 223.9 MPa
1.3.2. Comprimento de emenda
As emendas dos varões das armaduras ordinárias devem, se possível, ser evitadas e
caso sejam necessárias, devem ser efectuadas em zonas em que os varões estejam
sujeitos a tensões pouco elevadas.
As emendas de varões podem ser realizadas por sobreposição, por soldadura, ou por
meio de dispositivos mecânicos especiais (acopladores, por exemplo).
As emendas por sobreposição devem satisfazer os seguintes critérios:
Não localizar as emendas nas zonas de maiores esforços;
Procurar manter a simetria;
A distância livre entre armaduras não deve ser superior a 4φ ou 50 mm, caso
contrário o comprimento de emenda deve ser acrescido de (s – 4φ);
A distância longitudinal entre duas emendas adjacentes não deverá ser inferior a
0.3 l0;
lb,rqd
45 kN
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
100
No caso de duas emendas adjacentes, a distância livre entre varões não deve
ser inferior a 2φ ou 20 mm;
A percentagem de varões a emendar numa mesma secção transversal pode ser
de 100% caso os varões estejam dispostos numa única camada, ou de 50% se os
varões estiverem dispostos em várias camadas.
O comprimento de emenda (l0) deve ser calculado, de acordo com o EC2, com a
expressão:
l0 = αααα1αααα2αααα3αααα5αααα6 lb,rqd ≥≥≥≥ l0,min
onde os coeficientes α, são os definidos anteriormente e α6 é um coeficiente que tem
em conta a relação entre a secção dos varões emendados e a secção total dos varões
existentes na mesma secção transversal.
Normalmente há que considerar valores mínimos do comprimento de emenda , que
o EC2 define como sendo l0,min = max 0.3 α6 lb,rqd;15φ;200mm
Para que duas emendas possam ser consideradas em secções diferentes há que
respeitar as seguintes indicações:
Nas zonas de emendas geram-se tensões de tracção na direcção transversal que
podem recomendar a disposição de armaduras específicas se aquelas forem
elevadas. Nesse sentido as necessidades de reforço na zona da emenda (dispensável
FF
l0
≥0.65 l0≥0.65 l0
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
101
no caso φ ≤ 20 mm ou se a percentagem de varões emendados seja inferior ou igual a
25%) é dada, no EC2, por:
a) Armadura em tracção
b) Armadura em compressão
a) Armaduras em tracção
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
102
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.4 (CONT.)
Materiais: C25/30, A400NR
ALÍNEA D)
1. Cálculo da armadura necessária a meio vão
Msd = 173.4kNm ⇒µ = Msd
bd2 fcd =
173.40.3×0.552×16.7×103 = 0.114 ⇒ω = 0.124
As = ω b d fcd fyd
= 9.84cm2
Adoptam-se 2φ16 + 2φ20 (10.3cm2)
Visto que Aapoios ≥ 4.79cm2 , é possível dispensar 2φ16
2. Cálculo do MRd correspondente a 2φ20 (6.28cm2)
ω = As b d
fyd fcd
= 6.28 × 10-4 0.3 × 0.55 ×
348 16.7 = 0.079 ⇒µ = 0.075
MRd = µ× b d2 fcd = 0.075 × 0.3 × 0.552× 16.7×103 = 113.7kNm
3. Determinação da secção de dispensa de armadura
M(x) = 138.8 × x – 55.5 × x2 2 =
= 138.8 x – 27.75x2
Msd= MRd⇔ 138x -27.75x2 = 113.7 ⇔ x
= 3.97m ∨ x = 1.03m
fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.8 1.5 = 2.7 MPa
0.60
5.00
0.30
g = 25kN/m
q = 12kN/m
M(x)
138.8 kN 138.8 kN
55.5 kN/m
x
DMF
(+)
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
103
σsd=6.2810.3 × 348=212.2MPa⇒lbd=
φ4
σsd
fbd=
0.0164
212.22.7 =19.6φ=0.31m
aL = z 2 cotg θ = 0.43m
Secções de dispensa de armadura:
x1 = 1.03 – aL – Lb.net = 1.03 – 0.43 – 0.31 = 0.29 m
x2 = 3.97 + aL + Lb.net = 3.97 + 0.43 + 0.31 = 4.71m
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
104
EXERCÍCIO 2.5
Para a estrutura já analisada no Exercício 2.1 determine:
a) As armaduras transversais necessárias ao longo da viga
b) A distribuição de armaduras longitudinais ao longo da viga
c) Pormenorize as armaduras na viga
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.5
ALÍNEA A)
1. Determinação do esforço transverso solicitante
Considerando alternância de sobrecarga,
V Asd = 1.5 × (28.25 × 4.55) + 1.5 × (12 × 5) = 282.8kN
10.00 3.00
p=1 kN/m
(+)(+)
5.45
(-)
DEV[kN] 4.55 3.0
5.0DEV[kN]
(+)
(-)
5.0
p=1 kN/m
DEV[kN]
3.0
( )0.45
(+)
p=1 kN/m
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
105
VB.esqsd = 1.5 × (28.25 × 5.45) + 1.5 × (12 × 5.45) = 392.0kN
VB.dirsd = 1.5 × (28.25 + 12) × 3 = 181.1kN
i) Envolvente do diagrama de esforço transverso
ii) Determinação de Vsd (z cotg θ)
Considerando θ = 30°,
d = 0.80m ; z ≅ 0.9 d = 0.72 m
z cotg θ = 0.72 × cotg 30° = 1.25 m
Vsd,A (z cotg θ) = 282.8 – 60.4 × 1.25 = 207.3 kN
Vsd,B esq (z cotg θ) = 329 – 60.4 × 1.25 = 253.5 kN
Vsd,B dir (z cotg θ) = 181.1 – 60.4 × 1.25 = 105.6 kN
2. Verificação das compressões
i) Bielas comprimidas
σcmáx=
Vsd(zcotg θ)zbwsenθcosθ=
253.50.72×0.30×sen 30°×cos30°=2710.3kN/m2≅2.7MPa
σcmáx≤0.6
1 -
fck 250 fcd = 0.6
1 -
25 250 ×16.7×103 = 9018 kN/m2
ii) Apoio
σc = R
Aap ≤ 0.85 fcd
R Bsd = 329.0 + 181.1 = 510.1kN
σc = 510.1
0.3 × 0.3 = 5667.8kN/m2≅ 5.7MPa
0.85 fcd = 0.85 × 16.7 = 14.2MPa
282.8
(+)
181.1
(-)
329.0
(+)
282.8181.1
329.0
⇒
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
106
3. Cálculo da armadura transversal nos apoios
i) Apoio A
Asw
s = Vsd (z cotg θ)z cotg θ fyd
= 207.3
0.72×cotg 30°×348×103 × 104 = 4.78cm2/m
ii) Apoio B (esq.)
Asw
s = 253.5
0.72×cotg 30°×348×103 × 104 = 5.84cm2/m
iii) Apoio B (dir.)
Asw s =
105.6 0.72 × cotg 30°× 348×103 × 104 = 2.43cm2/m
iv) Cálculo da armadura mínima
ρw,min = 0.08 fck
fyk =
0.08 25 400 = 0.001
ρw,min = 0.001 ⇔
Asw
s min×
1bw
= 0.001 ⇔
Asw
s min = 0.0010×0.30×104 = 3.0cm2/m
(adoptam-se estribos φ8//0.25)
4. Determinação da zona da viga em que se adopta (Asw/s)min
i) Cálculo de VRd, min
Estribos φ8//0.25 ⇒ 4.02 cm2/m
VRd=Asw
s ×zcotgθ×fyd=4.02×10-4×0.72×cotg30°×348×103=174.5kN
x1 = 282.8 - 174.5
60.4 = 1.79m ; x2 = 329 - 174.5
60.4 = 2.56m
ALÍNEA B)
Aapoios → 4φ16 + 2φ12; Avão
s → 6φ25
329.0282.8
181.1174.5
x1 x2
160.4
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107
1. Cálculo do comprimento de translacção
aL = z2 cotg θ =
0.722 cotg 30° = 0.62m
2. Armadura inferior
i) Plano de dispensas: 6φ25 → 4φ25 → 2φ25
ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas
Armadura A s [cm 2] ωωωω µµµµ MRd [kNm]
4φ25 19.63 0.170 0.154 493.8
2φ25 9.82 0.085 0.080 256.5
iii) Cálculo das coordenadas x
Carregamento correspondente ao máximo momento no vão
M(x)=282.8×x–60.4×x2
2 =282.8×x–30.2x2
660.2
272.0
493.8256.5 256.5
493.8
x1x2
x3x4
10.00
cp=28.3 kN/m
3.00
sc=12.0 kN/m
282.8 kN
(-)
(+)
DMF[kNm]
x
282.8 kN
M(x)
x
60.4 kN/m
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
108
MSd=493.8kNm⇔282.8 × x – 30.2 × x2=493.8 ⇔ x3=7.04m ∨ x2 = 2.32m
MSd=256.5kNm⇔282.8 × x – 30.2 × x2=256.5⇔x4 = 8.35m ∨ x1 = 1.02m
iv) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura
Dispensa de 6φ25 → 4φ25
x2’ = x2 – aL – Lb.net = 2.32 – 0.62 – 0.54 = 1.16 m
x3’ = x3 + aL + Lb.net = 7.04 + 0.62 + 0.54 = 8.20 m
fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.8 1.5 = 2.7 MPa
σsd = 46 × 348 = 232 MPa ⇒ lbd=
φ4
σsd
fbd=
0.025 4
232 2.7 = 0.54 m
Dispensa de 4φ25 → 2φ25
x1’ = x1 – aL – Lb.net = 1.02 – 0.62 – 0.40 = 0.0 m
x4’ = x4 + aL + Lb.net = 8.35 + 0.62 + 0.40 = 9.37 m
σsd = 24 × 348 = 174 MPa ⇒ lbd=
φ 4
σsd fbd
= 0.025
4 174 2.7 = 0.40m
v) Verificação da armadura no apoio
1) Considerando pilares 0.30 × 0.30 [m2]:
FT=Rcotgθ1=R×
0.5×
bz +0.5cotgθ = 282.8×
0.5×
0.300.72+0.5cotg30° =303.8kN
As = 303.8
348 × 103 × 104 = 8.73cm2< As (4φ25) = 19.63cm2
2) Considerando indirectamente a dimensão do pilar
FT = 1.2 R = 1.2 × 282.8 = 339.4 kN ⇒ As = 9.75cm2 < 19.63cm2
3) Considerando um apoio pontual
FT=R2cotgθ1=
282.82 ×cotg30°=244.9kN⇒As=7.04cm2<19.63cm2
3. Armadura superior
i) Plano de dispensas: 4φ16 + 2φ12 → 4φ16 → 2φ16
ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas
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109
Armadura A s [cm 2] ωωωω µµµµ MRd [kNm]
4φ16 8.04 0.070 0.066 211.6
2φ16 4.02 0.035 0.034 109.0
iii) Cálculo das coordenadas x
Carregamento correspondente ao máximo momento negativo no apoio e no vão à
esquerda do apoio:
pconsolasd = 60.4kN/m
pvãosd = 1.5 × 28.25 = 42.4kN/m
Vdirsd = 3.0 × (12 + 28.25) × 1.5 = 181.1kN
Vesqsd = (5.45 × 28.25 + 0.45 × 12.0) × 1.5 = 239.0kN
Consola
Msd(x) = 60.4 × x × x 2 – 181.1 × x + 272.0 =
30.2x2 – 181.1x + 272.0
Msd = 211.6kNm ⇔ 30.2 x12 – 181.1x1 + 272.0 = 211.6⇔x1 = 0.35m
Msd = 109.0kNm ⇔ 30.2 x32 – 181.1x3 + 272.0 = 109.0⇔x3 = 1.10m
272.0
x1
211.6211.6
109.0 109.0
x2
x4 x3
sc=12.0 kN/m
cp=28.3 kN/m
60.4 kN/m
x
Msd(x)
181.1 kN
272 kNm
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110
Vão
Msd(x) = 42.4 × x × x 2 – 239.0 × x + 272.0 =
21.2x2 – 239x + 272.0
Msd = 211.6kNm ⇔ 21.2 x22 – 239 x2 + 272.0 = 211.6 ⇔ x2 = 0.26m
Msd = 109.0kNm ⇔ 21.2 x42 – 239 x4 + 272.0 = 109.0 ⇔ x4 = 0.73m
Msd = 0 ⇔ 21.2 x52 – 239 x5 + 272.0 = 0 ⇔ x5 = 1.28 m
4) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura
Dispensa de 4φ16 + 2φ12 → 4φ16
x1’ = x1 + aL + Lb.net = 0.35 + 0.62 + 0.43 = 1.40 m
x2’ = x2 + aL + Lb.net = 0.26 + 0.62 + 0.43 = 1.31 m
fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 0.7 × 1.0 × 1.8 1.5 = 1.89 MPa
σsd= 8.04
8.04+2.26 × 348 =271.6MPa⇒lbd= φ4
σsd
fbd=
0.0124
271.61.89 = 0.43m
Dispensa de 4φ16 → 2φ16
x3’ = x3 + aL + Lb.net = 1.10 + 0.62 + 0.36 = 2.08 m
x4’ = x4 + aL + Lb.net = 0.73 + 0.62 + 0.36 = 1.71 m
x5’ = 1.28 + 0.62 + 0.22 = 2.12m
σsd = 2 4 × 348 = 174 MPa ⇒ lbd=
φ 4
σsd fbd
= 0.016
4 174 1.89 = 0.37m
Lb,min = 10 φ = 0.16 m
Msd(x)
239.0 kN
x
272 kNm42.4 kN/m
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Pormenorização de armaduras
111
1.4. ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA
Como referido na flexão de secções em T as compressões no banzo distribuem-se
neste, não ficando limitadas à alma. O sistema base de resistência ao esforço
transverso desenvolve-se na alma, que distribui, então, as compressões (ou tracções
se se tratar de um banzo traccionado) para os banzos.
A compreensão deste mecanismo não é imediata e para a facilitar é fundamental a
representação gráfica como a que se reproduz na figura seguinte, com indicação dos
campos de tensão no plano das almas e dos banzos e respectivas forças resultantes.
Na figura está representado um modelo em que, numa análise a partir da reacção de
apoio, se verifica que as tensões na alma do campo em leque ao atingirem o banzo
dispersam neste, para um e outro lado, gerando tracções de equilíbrio transversais no
banzo, numa zona já mais afastada do apoio. Tal verifica-se, depois, para os restantes
campos paralelos de tensões, obtendo-se a distribuição de compressões no banzo da
zona do vão, prevista na flexão.
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Pormenorização de armaduras
112
Se se definirem dois ângulos para as treliças da alma e do banzo, θ1 e
θ2, respectivamente, é possível avaliar as forças em causa a partir de um campo de
tensões paralelo na alma como apresentado de seguida.
Onde,
fc representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas da alma
fc’ representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas do banzo
Fc e Fc’ representam as resultantes dessas forças distribuídas
Em planta, a avaliação da força FT
pode ser estimada como se apresenta de
seguida:
FT = F 'c × sen θ2 = Fc 2 cos θ1×
sen θ2 cos θ2
=
= Fc 2 × tg θ2× cos θ1
Asf = FT
fsyd ⇒
Asf
s = FT
z cotg θ1 fyd =
Fc sen θ1
2 z cotg θ2 fyd
Como Fc = V
sen θ1 ⇒
Asf s =
V 2 z cotg θθθθ2 fyd
Se se considerar, como é razoável que θ1 = θ2 ⇒ A armadura de ligação banzo-alma
deve ser igual ou superior a metade da armadura de esforço transverso
Asf
s = 1 2
Asw
s .
z cotg θ1
z cotg θ1
z θ1
θ2
fc
Fc
fc'
Fc'
z cotg θ1
Fc cos θ1
θ2
Fc'
FT
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Pormenorização de armaduras
113
Refira-se que, em geral, numa viga pertencente a uma laje vigada, a armadura da laje
é normalmente suficiente para absorver as forças de tracção na ligação banzo-alma,
pelo que não se justifica a determinação de armadura específica, nesses casos.
1.5. ARMADURA DE SUSPENSÃO
Analisámos a transmissão de forças ao longo das vigas de betão armado, em
situações próximas da rotura para as situações em que a carga é transmitida ao banzo
superior da viga, como são as situações correntes. No entanto, há casos em que tal
não se verifica havendo que prevêr mecanismos de transmissão de carga adequados
e dimensionar as armaduras correspondentes.
São, por exemplo, os dois casos que vamos analisar, a saber:
• A situação de uma transmissão contínua da carga à parte inferior da viga, como
por exemplo de uma viga invertida, com a laje apoiada no banzo inferior.
• As situações de apoio de uma viga noutra, denominadas de apoios indirectos,
em que a carga é transmitida pela biela comprimida da viga secundária, à parte
inferior da viga principal.
1.5.1. Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga
Como se esquematiza nas secções transversais abaixo indicadas a laje apoia-se na
parte inferior da viga pelo que tem de ser transmitida para a face superior da através
de uma armadura de suspensão. Este processo de “suspensão” deve ser efectuado ao
longo da viga para a carga distribuída transmitida pela laje, psd/m. No fundo a
armadura deve ser dimensionada para absorver a carga suspensa por metro, tal que:
As/m > psd/m
fyd
Para a aplicação de carga excêntrica é judicioso admitir a suspensão só com um
ramo.
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
114
Naturalmente, que a quantidade de armadura necessária para transmitir a carga ao
banzo superior tem de ser adicionada à de esforço transverso (correspondente ao
processo de transmissão das cargas do banzo superior da viga aos seus apoios).
1.5.2. Apoios indirectos
Denomina-se de apoio indirecto de uma viga à situação desta se apoiar noutra, em
vez de directamente num apoio rígido ou pilar. Nestes casos, numa viga de betão
armada com fendilhação desenvolvida, temos que:
1- A carga da viga I (ver esquemas seguintes) é transmitida pelas bielas
comprimidas à parte inferior da viga principal (viga II neste esquema).
2- A partir daì a carga é suspensa para o banzo superior da viga II, através de
estribos a colocar próximo da zona de ligação das vigas.
3- A carga transmitida de uma viga à outra é encaminhada para os apoios da viga I.
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
115
O modelo de cálculo, para o caso de duas vigas, está abaixo representado, assim
como as zonas de disposição dos estribos. Refira-se que, no caso geral de uma
grelha, a armadura de suspensão é calculada para a diferença de esforço transverso à
esquerda e direita das vigas, havendo que identificar qual é a principal.
A viga transmite as cargas à viga
através das bielas comprimidas.
A carga transmitida à viga principal terá de
ser transmitida para a face superior através
de estribos de suspensao
As =
Vfyd
Nota: A armadura calculada deve ser adicionada à armadura de esforço transverso.
A distribuição dos estribos de suspensão deve ser feita da seguinte forma:
P
2
1
h2h1
21
V
≤ h1/2
1
2
≤ h1/3
≤ h2/2≤ h2/3
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Pormenorização de armaduras
116
EXERCÍCIO 2.6
Considere a estrutura da figura seguinte:
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
sobrecarga = 40.0 kN/m
Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5
a) Para a estrutura já analisada no Exercício 2.3, verifique a segurança ao Estado
Limite Último de Esforço Transverso e pormenorize as armaduras transversais na
secção.
S1S2
10.00 3.50
cp
3.50
sc
1.00
1.00
0.20 0.20
0.15
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
117
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.6
ALÍNEA A)
1. Verificação da segurança ao E.L.U. de Esforço Transverso
i) Determinação de Vsd
psd = 1.5 × (20 + 40) = 90kN/m
θ = 30º ⇒ z cotg θ = 0.9 × 0.95 × cotg 30° = 1.48m
Vsd, dir (z cotg θ) = 450 – 1.48 × 90 = 316.8.5kN
Vsd, esq (z cotg θ) = 315 – 1.48 × 90 = 181.8kN
ii) Verificação das compressões na alma
σc = Vsd (z cotg θ)
z×bw×sen θ×cos θ = 316.8
0.9×0.95×0.40×sen 30°×cos 30° = 2139.2kN/m2
σc≤0.6
1 -
fck 250 fcd = 0.6
1 -
20 250 ×13.3×103 = 7342 kN/m2
iii) Cálculo da armadura transversal junto aos apoios
Asw s =
Vsd (z cotg θ) z fyd cotg θ
Asw
s dir =
316.8 1.48 × 348×103 × 104 = 6.15cm2/m
Asw
s esq =
181.8 1.48 × 348×103 × 104 = 3.53cm2/m
2. Cálculo da armadura de suspensão
Nota: Admite-se que a sobrecarga está a actuar no banzo inferior
450.0
(-)
DET[kN]
(-)(+)
(+)
315.0
315.0
450.0
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
118
cp* = cp–ppalmas= 20 –(0.20×1.0×2)×25=10kN/m
Força de suspensão: Fs = 1.5 (10 + 40) = 75.0kN/m
As
s suspensão =
75.0 348×103 × 104 = 2.16cm2/m
(a adicionar à armadura de esforço transverso)
As
s
dir
TOT =
Asw
s dir +
As
s susp = 6.15 + 2.16 = 8.31cm2/m
As
s
esq
TOT =
Asw
s esq +
As
s susp = 3.53 + 2.16 = 5.69m
3. Cálculo da armadura transversal mínima
ρw,min = 0.08 fck
fyk =
0.08 20 400 = 0.0009
ρw,min=0.0009 ⇔
Asw
s min×
1bw
=0.0009 ⇔
Asw
s min = 0.0009×0.40×104=3.6cm2/m
4. Cálculo da armadura de ligação banzo-alma
Asf s =
Vsd 2 z cotg θ2 fsyd
θ1 = θ2⇒ Asf s =
1 2
Asw
s
As
s
dir
= 6.15
2 = 3.08cm2/m ;
As
s
esq
= 3.53
2 = 1.77cm2/m
5. Armadura transversal de flexão no banzo
cp* + sc = 10 + 40 = 50 kN/m
psd = 1.5 × 50 / 0.6 = 125.0 kN/m2
cp*+sc
0.80
cp*+sc
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Pormenorização de armaduras
119
pL2
12 = 125×0.802
12 = 6.7kN/m
µ=Msd
b d2 fcd=
6.71.0×0.122×13.3×103 = 0.035⇒ω=0.037
As=ωbdfcd
fyd=0.037×1.0×0.12×
13.3348 ×104=1.70cm2/m
(AsTOT/ramo)dir =
3.08
2 + 1.70 = 3.24cm2/m
(AsTOT/ramo)esq =
1.77
2 + 1.70 = 2.59cm2/m
2/12pL
pL/242
0.80
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Pormenorização de armaduras
120
1.6. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO
De acordo com os princípios gerais de comportamento de uma viga de betão armado
fendilhado sujeita a um efeito de corte, é natural que, no caso de uma carga
concentrada próximas do apoio, se verifique a sua transmissão, ou pelo menos de
parte dela, directamente para o apoio, através de uma biela de compressão, isto é,
sem necessidade de armadura transversal. No esquema junto mostra-se como uma
parcela, F1, da carga se transmite directamente para o apoio e a restante, F2, exige
armadura transversal no seu processo de encaminhamento até ao apoio.
Geralmente admite-se, no processo de dimensionamento, que:
As cargas que actuam junto ao apoio podem ser transmitidas directamente para
este, através de uma biela inclinada (a < z/2)
F
F1
T=C
M=F x a
C
F2F
F1F2
C2
C1
a
z
aF
a1
a
F
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Pormenorização de armaduras
121
As cargas afastadas do apoio são transmitidas pelo mecanismo de treliça (a > 2z)
Numa zona intermédia, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e
a outra parte é transmitida pelo mecanismo de treliça.
Em termos de verificação da segurança as orientações do EC2 são as seguintes:
a < z/2
A carga é transmitida directamente para o apoio (não é necessário acréscimo de
armadura transversal).
a > 2 z
A carga é totalmente transmitida pelo mecanismo de treliça (considerar a totalidade do
esforço transverso para o dimensionamento da armadura).
z/2 < a < 2 z
Para o dimensionamento da armadura transversal apenas deve ser considerada a
parcela da carga,
F1 =
2a
z - 1 1 3 F,
que, na sua transmissão ao apoio, requer transferência de carga do banzo inferior ao
superior.
F
a
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Pormenorização de armaduras
122
EXERCÍCIO 2.7
Considere a estrutura seguinte.
Calcule as armaduras transversais necessárias, considerando apenas a actuação da
carga Psd = 300kN.
0.40 0.40 0.40
5.00
0.65
P
0.40
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Pormenorização de armaduras
123
Resolução do Exercício 2.7
Neste caso,
z = 0.9×0.60 = 0.54m e a = 0.8m ⇒z2 = 0.27m < a < 2 z = 1.08m,
pelo que, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é
transmitida pelo mecanismo de treliça.
1. Determinação da parcela da carga considerada para o dimensionamento da
armadura transversal
ΣMA=0 ⇔ -300×0.8 + RB×5.0 = 0
⇔ RB = 48kN
RA = 300 – 48 – 252kN
P1.Sd =
2 × 0.8
0.54 - 1 × 1 3 × Psd = 0.65 Psd
2. Cálculo da armadura transversal
As≥0.65×252348×103 × 104 = 4.7cm2⇒
As s =
4.7 0.40 = 11.75cm2/m
11.75 2 = 5.88cm2/m
3. Cálculo da armadura longitudinal
Rsd,1 = 0.65 × 252 = 163.8 kN
Rsd,2 = 0.35 × 252 = 88.2 kN
Fsd = Rsd,1 cotg θ1 + Rsd,2 cotg θ2 =
= 163.8 ×0.4
0.54 + 88.2 ×0.8
0.54 = 252kN
ASL =
252 348×103× 104 = 7.24cm2
(+)
DEV[kN]
300 kN
RA=252 kN
4.20
RB=48 kN
0.80
A B
(-)
252
48
θ1θ2 Fsd
Rsd,1 Rsd,2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
124
1.7. ARMADURA INCLINADA
Nos casos em que a armadura de esforço transverso for constituída por armadura
inclinada (e não vertical), há que adaptar o modelo de treliça apresentado
anteriormente. Apresenta-se, seguidamente a dedução das expressões de
dimensionamento para esses casos.
Asw× fyd≥ Vsd
sen α ⇔ Asw≥ Vsd
sen α 1 fyd
⇔
⇔ Asw s =
Vsd sen α
1 z (cotg θ + cotg α) ×
1 fyd
⇔
⇔ Asw s =
Vsd z (cotg θθθθ + cotg αααα) sen αααα fyd
Barras horizontais:
FT=Fscosα+Fccosθ=Vsd
sen α cosα + Vsd
sen θ cosθ
⇔FT = Vsd (cotg θθθθ + cotg αααα)
Compressões na alma:
σc = Vsd (1 + cotg2 θ)
bw z (cotg θ + cotg α) ≤ 0.6
1 -
fck
250 fcd
ou
Vmaxrd = bw z 0.6
1 -
fck
250 fcd (cotg θ + cotg α)
(1 + cotg2 θ)
Verifica-se que, naturalmente, estas expressões são equivalentes às deduzidas
anteriormente se α = 90°.
tirantes
bielas comprimidas
z cotg αz cotg θ
z
θ α
z cotg θ + z cotg α
Fs V
α
F
Fs Vsd
Fs
α θFc
Ft
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
125
1.8. - SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL
Nos casos em que as secções apresentam largura variável, bw considera-se, para
efeito da avaliação das compressões nas bielas de compressão, a menor largura
numa zona compreendida entre a armadura traccionada e ¾ da altura útil.
No caso de secções circulares, poderá considerar-se, para efeitos da verificação da
segurança ao esforço transverso, uma secção rectangular equivalente, com as
seguintes características:
de = 0.45D + 0.64
d -
D2 (expressão aferida experimentalmente)
1.9. FORÇAS DE DESVIO
Apresenta-se seguidamente alguns aspectos que são necessários ter em
consideração na pormenorização de armaduras longitudinais em situações de
mudança de direcção das armaduras ou da superfície do betão.
Quando um varão de uma armadura traccionada possui um ponto anguloso, gera-se
uma força de desvio nesse ponto, tal como ilustrado na figura seguinte.
Nestes casos, há que ter em atenção a posição do varão e o valor e sentido da força
de desvio da armadura. Se essa força é no sentido do interior da peça é facilmente
absorvida. Pelo contrário se a força tem o sentido do interior para o exterior da peça,
poderá provocar a rotura local da camada de betão de recobrimento.
d3/4 d
bw
bw
be≈0.9DD
AsL
AsL/2
de⇔
Fs
Fs
FD
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
126
(a) Situação em que não ocorre rotura
(b) Situação em que poderá ocorrer rotura
Para contrariar este efeito há que tomar disposições de pormenorização que a seguir
se referem dependentes da maior ou menor variação angular.
i) α>15° -- Solução muito usual de “amarrar” a armadura de um e outro lado do
desvio angular, evitando-se a força de desvio para o exterior.
ii) α<15° --- Situação possívelde manter a armadura contínua e “suspender” a força de
desvio, amarrando-a na face contrária.
Por outro lado, poderá haver situações em que a força de desvio se verifica do lado
das compressões, gerando-se a tendência para o canto de betão “saltar” devido à
menor resistência do betão à tracção.
αMM
MM
A
A
Secção A-A
ou
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
127
Nestes casos pode-se “agarrar” a força de desvio da zona comprimida do betão
amarrando-a, com estribos, na face oposta.
2. Torção
A torção gera um efeito equivalente ao funcionamento de uma hélice que, em termos
estáticos, pode ser comparada à soma dos momentos devidos às resultantes de corte
que se geram nas faces do contorno vezes os braços ao centro de rigidez (ver o
esquema abaixo). Veremos, neste capítulo, que a torção pode ser considerada, em
termos de dimensionamento, como o efeito de esforços transversos a actuar junto às
faces.
Por outro lado, como se analisa de seguida, em várias situações de dimensionamento
prático verifica-se que é possível equilibrar as cargas sem torção, através de uma
determinada redistribuição de esforços, solução que se adopta correntemente. Para tal
MM
FcFD
Fc
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
128
é importante, desde já, destinguir as situações de torção de equilíbrio e de
compatibilidade.
2.1. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO
A distribuição de esforços tem de incluir a torção para o equilíbrio da estrutura, ou
seja, não é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência
de momentos torsores.
Exemplo simples:
A barra longitudinal tem necessariamente de ter torção, pois trata-se de uma
estruturura isostática.
2.2. TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE
Ao se verificar a fendilhação por torção a perda de rigidez é muito mais significativa do
que por efeito da flexão. No diagrama abaixo constata-se essa importante perda de
rigidez de torção. Na mesma figura verifica-se também como a capacidade resistente
à torção de uma viga cheia ou oca é equivalente.
Se a estrutura é hiperstática a distribuição de esforços depende, como é conhecido, da
relação entre a rigidez de flexão e torção. No caso limite de se considerar uma rigidez
Fs
DMT[kNm]
(-)
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
129
de torção nula é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a
existência de momento torsor na estrutura.
Como se referiu, a redução de rigidez de torção é muito significativa, após a
fendilhação, pelo que a estrutura tende a equilibrar as cargas com poucos esforços de
torção. Assim, nesses casos, em muitas situações admite-se, na verificação da
segurança à rotura, uma distribuição de esforços sem torção, com base na tendência
natural do comportamento e no método estático da Teoria da Plasticidade.
Exemplo:
Como se compreende é possível equilibrar, com ou sem esforços de torção na barra
transversal, as cargas aplicadas a esta estrutura. De facto, se a rigidez de torção da
barra transversal for nula, a barra longitudinal apoia-se na transversal sem transmitir
momento negativo.
2.3. TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO NA LARGURA EFECTIVA DE HEF
No que se segue apresenta-se os mecanismos de funcionamento estrutural de peças
submetidas à torção, próximo da rotura, em elementos de betão armado. Nos
esquemas juntos, e para uma secção fechada, chama-se a atenção para o facto do
momento torsor que se gera nos comprimenntos próximas aos apoios, entre estes e
as cargas aplicadas, ser equivalente a 4 esforços transversos.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
130
Verifica-se, como ilustrado na figura que se segue, que a torção pode ser equiparada,
em termos de dimensionamento a 4 modelos de esforço transverso nas 2 almas e nos
2 banzos com a necessidade de verificar a segurança nos mesmos campos de tensão
correspondentes. Há, assim, necessidade de avaliar a armadura transversal
necessária, verificar a limitação das compressões, e particularmente neste caso,
calcular a armadura longitudinal que se desenvove nas ligaçõe das “paredes” da
secção.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
131
Para a análise de uma secção de betão armado sujeita a um momento torsor, pode
definir-se, então, uma secção oca (secção oca eficaz), conforme ilustrado na figura
que se segue. Refira-se que, mesmo para uma secção compacta, é conhecido, do
comportamento elástico aprendido na disciplina de Resistência de Materiais, que as
zonas do contorno são as mais eficientes na resposta à torção. Tal tendência é
reforçada num elemento de betão armado fendilhado por torção pelo que se propõe,
em geral, na verificação da segurança um mecanismo resistente, desprezando o betão
da zona central da peça.
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
132
2c’ ≤ hef≤ A u
onde,
c’ = c + φestribo
A – área da secção de betão
u – perímetro da secção
Representando a secção oca eficaz pela sua linha média, é possível determinar, de
acordo com o comportamento elástico, as tensões tangenciais, equivalentes ao
momento torsor actuante, nas paredes da secção.
Em secções de parede fina, τ = T
2 Ω e
Ω – área interior à linha média da secção
e – espessura da parede
pelo que, neste caso, ττττ = T
2 hm bm hef
A resultante de cada uma destas tensões tangenciais não é mais que um esforço de
corte em cada parede da secção.
VH = τ× hef× bm = T
2 hm
VV = τ× hef× hm = T
2 bm
Assim podemos dizer que a torção é equivalente a esforços transversos no contorno.
Thm
bm
hef
secção oca eficaz
de torção
Tτ
TVV
VH
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
133
2.4. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO
Considerando, portanto, o modelo de treliça com θ a definir pelo projectista, e partindo
das verificações de esforço transverso temos o seguinte.
2.4.1. Compressão
Tomando uma parede vertical da secção:
σc = Vv
hef hm cos θ sen θ = T
2 bm hm hef cos θ sen θ
⇒σσσσc = Tsd
2 Aef hef cos θθθθ sen θθθθ≤0.6
1 -
fck 250 fcd , Aef = bm× hm
(parede horizontal: conclusão semelhante)
2.4.2. Armadura transversal de torção
numa parede vertical,
Ast s =
Vv hm cotg θ fyd
= T
2 bm hm hef cotg θ fyd⇒
Ast
s = Tsd
2 Aef cotg θθθθ fyd
(área de cada ramo do estribo)
É importante referir que se tomasse uma parede horizontal as expressões de
dimensionamento, dfunção directa do momento torsor seriam as mesmas.
2.4.3. Armadura longitudinal de torção
Como se verificou na verificação de segurança ao esforço transverso o equilíbrio da
treliça só é possível com tracções longitudinais de valor FT = V cotg θ a distribuir
igualmente nos banzos superior e inferior. No caso do esforço transverso com flexão
verificou-se que esse incremento de força no banzo traccionado podia ser resolvido
aravés de uma translacção do diagrama de flexão e que no outro banzo correspondia,
em geral, a um efeito favorável de alívio da compressão. Neste caso da torção tem, no
entanto, de ser considerado explicitamente.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
134
Numa parede vertical, A 'SL = Vv×
cotg θ fyd
Numa parede horizontal, A ''SL = VH×
cotg θfyd
(FT = V cotg θ)
Nas quatro paredes,
ASL = 2 [Vv + VH] cotg θ
fyd = 2
T
2 bm +
T2 hm
cotg θ
fyd =
= T 2 (bm + hm)
2 bm hm cotg θ
fyd = T
uef 2 Aef
cotg θ fyd
⇒ASL = Tsd cotg θθθθ uef
2 Aef fyd , ou
ASL
uef =
Tsd cotg θ 2 Aef fyd
É interessante verificar que para θ igual a 45º as quantidades de armadura transversal
e longitudinal por unidade de comprimento são iguais como seria normal na torção.
bm
hm
VH
VV
H
VV
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
135
EXERCÍCIO 2.8
Determine o momento torsor resistente da secção indicada na figura.
Materiais: C25/30
A400
Recobrimento = 2.5cm
0.40
0.40
4φ20
Est. φ8//0.15
Estruturas de Betão I
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Pormenorização de armaduras
136
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.8
1. Determinação das características da secção oca eficaz
hef≤ A u =
0.42 4 × 0.4 = 0.1 m
hef≥ 2c' = 2 × (2.5 + 0.8) = 6.6 cm
bm = hm = 0.40 – 2 × (0.025 + 0.008 + 0.01) = 0.31m ⇒ hef = 0.09m
Aef = bm× hm = 0.31 × 0.31 = 0.096 m2
uef = 0.31 × 4 = 1.24 m
Ast s = 3.35 cm2/m ; ASL = 12.57 cm2
2. Verificação das compressões
(Adopta-se θ = 30°)
σc = Tsd
2 Aef hef cos θ sen θ≤0.6
1 -
fck 250 fcd⇔
⇔Tsd≤ 0.54 fcd× 2 × Aef× hef× cos θ × sen θ⇔
⇔ Tsd≤ 0.54×16.7×103×2×0.096×0.09×cos 30°×sen 30° = 67.5kNm
3. Armadura transversal
Tsd≤Ast
s ×2×Aef×cotg θ fyd=3.35×10-4×2×0.096×cotg 30°×348×103⇔
⇔ Tsd≤ 38.7kNm
4. Armadura longitudinal
Tsd≤ASL×2×Aef×fsyd
cotg θ uef =
12.57×10-4×2×0.096×348×103
cotg 30°×1.24 = 39.1kNm
⇒ TRd = 38.7kNm
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
137
2.5. EFEITO CONJUNTOTORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO
Quando a torção está associada ao esforço transverso, há que ter em conta o seu
efeito conjunto, como se esquematiza seguidamente.
Em que osesforços de corte totais nas diferentes paredes da secção são dados por:
Q1 = V2 +
T2 bm
; Q2 = V2 -
T2 bm
; Q3 = Q4 = T
2 hm
2.6. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO
Específicamente em relação às disposições de armadura de torção refere-se o
seguinte.
2.6.1. Armadura transversal
O espaçamento máximo da armadura transversal deve ser, de acordo com o EC2, tal
que:
smáx = min
1
8 uef,b,h
A recomendação da figura para que s seja inferior a 12 vezes o diâmetro longitudinal é
também importante.
Evidentemente se houver sobreposição com o esforço transverso as disposições
condicionantes devem prevalecer.
V/2V/2+
T/2bm
T/2hm Q3
=
Q1 Q2
Q4
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
138
A armadura transversal deve ter o fecho dos estribos bem amarrados (ver figura
seguinte), em particular os comprimentos dos ganchos de amarração.
2.6.2. Armadura longitudinal
Devem-se seguir as seguintes orientações:
(i) Espaçamento máximo da armadura longitudinal: smáx = 35 cm
(ii) Disposição da armadura na secção transversal: Armadura disposta ao longo do
contorno interior das cintas. Em cada vértice da secção deverá existir, pelo menos,
1 varão e esses cantos devem ter, se possível, um reforço de armadura em
relação ao restante.
2.7. DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO
Chama-se particularmente a atenção para a consideração, na verificação da
segurança, da sobreposição das compressões, quando se tem presente esforço
transverso e torção, que limita o conjunto dos valores máximos esforço
transverso/momento torsor. Também ao nível da pormenorização das armaduras há
que considerar em conjunto as armaduras transversais de torção e esforço transverso
e de torção e flexão.
Finalmente, apresenta-se, em termos esquemáticos, as dependências, em termos de
quantidades de armadura e/ou verificações das compressões máximas, entre as
diferentes verificações de segurança.
Msd
AsL σc σcAsw
Vsd
saL
Tsd
AsLs
Ast σc
armaduras longitudinais
compressão nas bielas inclinadas
armaduras transversais
compressão no banzo
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
139
EXERCÍCIO 2.9
Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura, na secção dos
apoios.
(os apoios impedem a rotação da viga segundo o seu eixo)
Materiais: C25/30; A400
Recobrimento = 2.5cm
30 kN/m
0.305.00
0.50
1.00
psd
0.15
0.15
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
140
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.9
1. Determinação dos esforços
Msd = pL2
8 = 30 × 52
8 = 93.8kNm
Vsd = pL2 =
30×52 = 75kNm
Tsd = 30×0.15 ×52 = 11.25 kNm
2. Características da secção oca eficaz
bm = 0.20m; hm = 0.40m
Aef = 0.20 × 0.40 = 0.08m2
uef = 2 × (0.2 + 0.4) = 1.2m
hef≤ A u =
0.3 × 0.52 (0.3 + 0.5) = 0.09 m
hef≥ (2.5 + 0.6) × 2 ≅ 6 cm
3. Verificação da compressão (admite-se θ = 30°)
Torção: σc≤Tsd
2Aefhefcosθsenθ=11.25
2×0.08×0.06×cos 30°×sen30°=2706kN/m2
Esf.Transverso:σc= Vsd
z×bw×sen θ cos θ = 75
0.9×0.45×0.30×sen 30°×cos 30°=
= 1425.6 kN/m2
σTOTALc = 2706 + 1425.6 = 4131.6 <0.6
1 -
fck 250 fcd = 9018 kN/m2
4. Cálculo da armadura transversal
Torção: Ast
s ≤Tsd
2 Aef cotg θ fyd =
11.252×0.08×cotg 30°×348×103×104=1.17cm/m2
(+)
DMF[kNm]
30 kN/m
93.8DET[kN]
(+)
(-)
75.0
75.0
(+)
11.25
(-)
11.25
Estruturas de Betão I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção.
Pormenorização de armaduras
141
(por ramo)
Esf.Transverso:Asw
s =Vsd
zcotgθfyd =
750.9×0.45×cotg30°×348×103×104=3.07cm2/m
Ast
s + Asw
s /ramo = 1.17 +
3.072 = 2.71cm2/m
5. Cálculo da armadura longitudinal
(i) Torção
ASL = Tsd× cotg θ× uef
2 Aef× fyd =
11.25 × cotg 30°× 1.2 2 × 0.08 × 348×103 × 104 = 4.20cm2
(Armadura a ser colocada ao longo do perímetro uef)
(ii) Armadura de flexão a ½ vão:
Msd = 93.8kNm ⇒µ = 0.092 ; ω = 0.099 ⇒ As = 6.39cm2
(iii) Armadura no apoio
Esf. Transverso: As = 1.2 Rsd
fyd =
1.2 × 75 348×103 × 104 = 2.59cm2
Torção: ASL = 4.2cm2⇒ ASL/face = 4.24 = 1.05cm2
Face inferior →ATs = 2.59 + 1.05 = 3.64cm2
ESTRUTURAS DE BETÃO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 4
DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO
E PRÉ-ESFORÇADO
Ano Lectivo 2012/2013
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 141
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 142
2. MECANISMOS DE DETERIORAÇÃO ..................... ......................................................... 143
3. MICROAMBIENTE .................................. ........................................................................... 144
4. PERÍODO DE INICIAÇÃO E PERÍODO DE PROPAGAÇÃO ... ....................................... 148
5. DESPASSIVAÇÃO DAS ARMADURAS .................... ....................................................... 150
6. CORROSÃO DAS ARMADURAS ......................... ............................................................ 152
7. EFEITOS DA DETERIORAÇÃO ........................ ............................................................... 154
8. METODOLOGIAS PARA A GARANTIA DA DURABILIDADE ... ..................................... 155
9. OUTROS ASPECTOS IMPORTANTES PARA A GARANTIA DA D URABILIDADE DAS
CONSTRUÇÕES..................................................................................................................... 159
9.1. CONCEPÇÃO E PROJECTO ................................................................................................... 159
9.2. EXECUÇÃO ......................................................................................................................... 159
9.3. MANUTENÇÃO ..................................................................................................................... 160
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 142
1. Introdução
Neste módulo definem-se as principais causas de deterioração das estruturas de
betão armado, explicam-se os respectivos mecanismos de degradação e definem-se
as disposições construtivas e de qualidade de materiais para contrariar o
desenvolvimento desses processos. Estas disposições são enquadradas no que se
denomina de garantia da durabilidade.
Durabilidade de uma Estrutura – Aptidão de uma estrutura para desempenhar as
funções para que havia sido concebida durante o período de vida previsto, sem que
para tal seja necessário dispender custos de manutenção e reparação imprevistos.
Evidentemente que os objectivos requeridos de durabilidade dependem do período de
vida previsto para a estrutura, a sua importância e custos de investimento associados,
definindo-se 5 categorias como apresentado no quadro seguinte
Categorias para
o período de
vida
Valores indicativos
do período de vida
(anos)
Exemplos
1 10 Estruturas temporárias (1)
2 10 a 25 Partes estruturais substituíveis (apoios, ...)
3 15 a 30 Estruturas para agricultura ou similares
4 50 Estruturas de edifícios e outras estruturas comuns
5 100 Monumentos, pontes e outras obras públicas
(1) Estruturas que podem ser desmontadas para serem reutilizadas não são consideradas temporárias
Verifica-se assim que para obras mais correntes a categoria a adoptar é a 4
correspondente a um período de vida de 50 anos.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 143
2. Mecanismo de Deterioração
Referem-se seguidamente as causas principais de deterioração das estruturas de
betão.
Corrosão das armaduras Carbonatação (exemplo na figura)
Cloretos
Ataque químico do betão
Ataque dos sulfatos
Reacções álcalis-agregados (exemplo de um Viaduto)
Ataque dos ácidos, águas puras e sais
de amónio e magnésio
Acção da água do mar
Arco Pilares
Viaduto Duarte Pacheco em Lisboa antes da reparação .
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 144
Outros
Ataque Biológico
Desgaste por erosão, abrasão e cavitação
Ciclos de gelo-degelo
Acção do fogo
Cristalização de sais
Reacções químicas mais significativas:
• Reacção dos sulfatos com os aluminatos da pasta de cimento
Reacção expansiva
• Reacção dos álcalis com os agregados reactivos do betão
Reacção expansiva
• Reacção dos ácidos, sais de magnésio, sais de amónio e águas puras sulfatos
com a pasta de cimento
Perda das propriedades ligantes
3. Ambiente de Exposição
Consoante as condições de exposição dos elementos estruturais, naturalmente que os
riscos de deterioração são diferentes. Em termos regulamentares definem-se então
diferentes classes de exposição como indicado no quadro a seguir apresentado.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 145
CLASSES DE EXPOSIÇÃO
Designação da classe
Descrição do ambiente Exemplos informativos de condi ções em que podem ocorrer as classes de exposição
1 Nenhum risco de corrosão ou ataque
X0
Para betão sem armadura ou elementos metálicos embebidos: todas as exposições excepto em situação de gelo/degelo, abrasão ou ataque químico
Para betão com armadura ou elementos metálicos embebidos: muito seco
Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente muito baixa
2 Corrosão induzida por carbonatação
XC1 Seco ou permanentemente húmido Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente baixa
Betão permanentemente submerso em água
XC2 Húmido, raramente seco Superfícies de betão sujeitas a contacto prolongado com água
Um grande número de fundações
XC3 Humidade moderada Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente moderada ou elevada
Betão exterior protegido da chuva
XC4 Alternadamente húmido e seco Superfícies de betão sujeitas a contacto com água, não incluídas na classe de exposição XC2
3 Corrosão induzida por cloretos
XD1 Humidade moderada Superfícies de betão expostas a cloretos transportados pelo ar
XD2 Húmido, raramente seco Piscinas
Elementos de betão expostos a águas industriais contendo cloretos
XD3 Alternadamente húmido e seco Elementos de pontes expostos a pulverizações contendo cloretos
Pavimentos
Lajes de parques de estacionamento
4 Corrosão induzida por cloretos presentes na água do mar
XS1 Exposto ao sal transportado pelo ar mas não em contacto directo com a água do mar
Estruturas próximas da costa ou na costa
XS2 Permanentemente submerso Elementos de estruturas marítimas
XS3 Zonas sujeitas aos efeitos das marés, da rebentação e da neblina marítima
Elementos de estruturas marítimas
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 146
5. Ataque gelo/degelo
XF1 Saturação moderada em água, sem produto descongelante
Superfícies verticais de betão expostas à chuva e ao gelo
XF2 Saturação moderada em água, com produto descongelante
Superfícies verticais de betão de estruturas rodoviárias expostas ao gelo e a produtos descongelantes transportados pelo ar
XF3 Saturação elevada em água, sem produtos descongelantes
Superfícies horizontais de betão expostas à chuva e ao gelo
XF4 Saturação elevada em água com produtos descongelantes ou com água do mar
Estradas e tabuleiros de pontes expostos a produtos descongelantes
Superfícies de betão expostas a pulverizações directas contendo produtos descongelantes e expostas ao gelo
Zonas sujeitas aos efeitos da rebentação de estruturas marítimas expostas ao gelo
6. Ataque químico
XA1 Ambiente químico ligeiramente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2
Terrenos naturais e água no terreno
XA2 Ambiente químico moderadamente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2
Terrenos naturais e água no terreno
XA3 Ambiente químico altamente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2
Terrenos naturais e água no terreno
Nota: Este quadro é parte integrante da EN1992-1-1 (EC2) – Capítulo 4. A composição do
betão afecta quer a protecção das armaduras quer a resistência do betão aos ataques. O
Anexo E dá classes de resistência indicativas para as diferentes classes de exposição. Tal
pode conduzir à escolha de classes de resistência mais elevadas do que as que seriam
necessárias ao cálculo estrutural. Neste caso, deve adoptar-se o valor de fctm associado à
resistência mais elevada para o cálculo da armadura mínima e para o controlo da largura de
fendas (ver 7.3.2 a 7.3.4).
Apresentam-se seguidamente dois exemplos com a indicação das classes de
exposição consoante os ambientes a que os elementos estruturais estão expostos.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 147
Exemplo 1: Ambiente exterior afastado da orla marítima
Ambiente Exterior – microambientes possíveis
Ambiente XC/XD – Risco de corrosão induzida por carbonatação ou de cloretos de
origem diversa da água do mar, respectivamente
Zonas 1 e 3 – XC4 – Betão sujeito a contacto pouco prolongado com a água
Zona 2 – XC2/XD3 – Betão sujeito a contacto prolongado com a água e com o risco
de pulverizações contendo cloretos
Zona 4 – XC3 – Betão exterior protegido da chuva
Zona 5 – XC2 – Ambiente húmido raramente seco como correntemente nas fundações
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 148
Exemplo 2: Ambiente marítimo
Zona atmosférica
Zona de rebentação
Zona de maré
Zona submersa
Ambientes XS – Corrosão indizida por cloretos na água do mar
XA – Ataque químico
Zona Atmosférica – Corrosão das Armaduras (XS1 – Sal transportado pelo ar mas
sem contacto directo com a água)
Zona de Rebentação – Corrosão das Armaduras (XS3 – Zona das marés)
Erosão do Betão
Zona de Maré – Ataque Químico do betão (XS3, XA)
Corrosão das armaduras
Erosão do Betão
Ataque Biológico
Zona Submersa – Ataque Químico do Betão (XS2 – zona permanentemente
submersos)
Ataque Biológico
4. Período de Iniciação e Período de Propagação
A estrutura pode estar sujeita a um nível de contaminação elevado sem que haja
sinais visíveis de deterioração (fase de iniciação)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 149
INICIAÇÃO PROPAGAÇÃO
VIDA ÚTIL
NÍVEL DE DETERIORAÇÃO
TEMPO
LIMITE ACEITÁVEL
Num problema de corrosão de armaduras o fim do período de iniciação representa a
despassivação das armaduras e o período de propagação corresponde ao
desenvolvimento da corrosão.
Há que programar acções de inspecção, mesmo que não existam sinais de
deterioração visíveis, por forma a permitir realizar operações de manutenção antes
que os mecanismos de deterioração mais severos se desenvolvam.
Os custos de reparação de uma estrutura que se apresente na fase de propagação
são sempre elevados. Uma forma de aumentar o período de iniciação, mesmo em
ambientes agressivos, é através da garantia de um recobrimento eficiente e betão com
boa compacidade, como explicitado nas figuras seguintes.
Influência do recobrimento na profundidade de carbonatação
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 150
Recobrimento mínimo e qualidade (resistência) do betão – Valores de referência
5. Despassivação das Armaduras
No betão não contaminado as armaduras encontram-se protegidas contra a corrosão
devido à elevada alcalinidade do meio.
Hidróxido de cálcio
Hidróxido de sódio e potássio → pH ≈ 12.5 a 13.5
Nestas condições forma-se à superfície da armadura uma barreira de protecção
(película passiva) que impede a sua corrosão.
pH ≥≥≥≥ 12,5
Película passiva
(γγγγ Fe2O3)
Armadura
A corrosão não é possível
Protecção das armaduras no betão
Quando o pH desce para valores inferiores a 10 - 11, ou o teor de cloretos ultrapassa
o valor crítico, ocorre a destruição da película passiva.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 151
A despassivação das armaduras origina o início do mecanismo da corrosão
Dissolução da película passiva
Carbonatação pH <<<< 9
Cloretos
Cl- >>>> valor crítico
A corrosão é possível
Corrosão das armaduras após a dissolução da película passiva
• Profundidade da carbonatação
− Interesse em relacionar a profundidade da carbonatação com o
recobrimento.
− Pode ser realizado em carotes de pequeno diâmetro (ver figura) ou furos
(ensaiando o pó extraído do furo ou o próprio furo em profundidades
crescentes até se deixar de verificar a carbonatação).
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 152
6. Corrosão das Armaduras
O mecanismo da corrosão é um processo electroquímico, i.e. envolve reacções
químicas e correntes eléctricas gerando situações como as ilustradas nas fotografias.
Para que a corrosão se possa desenvolver é necessário a presença dos seguintes
elementos:
Ânodo Zona da armadura despassivada
Cátodo Zona da armadura com acesso ao oxigénio
Conductor eléctrico Armadura
Electrólito Betão
Modelo de uma célula de corrosão
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 153
H2O O2
CÁTODO ÂNODO
Cl- CO2 H2O O2
DISSOLUÇÃO DO AÇO
Fe Fe++ + 2e-
REDUÇÃO DO OXIGÉNIO
1/2 O2 + H2O + 2e- 2OH-
2 e-
OH-
PRODUTOS DA CORROSÃO
Fe++ + 2OH- Fe (OH)2
Fe++
Volume relativo dos produtos da corrosão (Aumento percentual)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 154
Situações em que não ocorre corrosão significativa:
• A armadura não está despassivada ⇒ não existe ânodo
• Em elementos submersos não há disponibilidade de oxigénio ⇒ não existe
cátodo
• Em elementos situados em ambientes secos o betão tem uma condutividade
baixa ⇒ não existe electrólito
7. Efeitos da Deterioração
Efeitos de corrosão das armaduras
• Fendilhação/Delaminação/Descasque do betão de recobrimento
• Perda de aderência aço/betão
• Perda de secção e ductilidade do aço
A figura mostra um muro de umas docas marítimas com um nível de descasque do
betão de recobrimento num estado muito avançado de degradação, essencialmente
devido ao efeito de cloretos.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 155
8. Metodologia para a Garantia da Durabilidade
A garantia da durabilidade é naturalmente um problema estatístico. Os parâmetros
associados à avaliação destes fenómenos (ex: corrosão) têm uma determinada
distribuição.
A avaliação não pode ser feita com base em valores médios. Deve ser feita em termos
de probabilidade de ocorrência. Por exemplo de 10%, para um certo período de vida.
Avaliação da Probabilidade de corrosão:
Z = R – F
R – Distribuição do recobrimento
F – Penetração do teor crítico de
cloretos F (t)
Pf = ∅ [- µz/σz] = ∅ (- β)
µz – valor médio de Z
σz Desvio padrão de Z: ( )σ2R
+ σ2F
1/2
β – índice de fiabilidade
No entanto da dificuldade estatística foi possível definir valores de recobrimentos e
características dos betões de tal forma a assegurar a durabilidade necessária (período
de vida) para as diferentes classes de exposição.
Refira-se que em Portugal e para um período de vida de 50 anos a classe a adoptar é a
S4. Apresentam-se seguidamente os quadros para avaliação daquelas características.
Armadura Ordinária
Requisitos relativos à condição de exposição ambien tal para C min,dur (mm)
Classe
Estrutural
Classe de exposição de acordo com o Quadro
X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3
S1 10 10 10 15 20 25 30
S2 10 10 15 20 25 30 35
S3 10 10 20 25 30 35 40
S4 10 15 25 30 35 40 45
S5 15 20 30 35 40 45 50
S6 20 25 35 40 45 50 55
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 156
Armaduras Pré-Esforçadas
Requisitos relativos à condição de exposição ambien tal para C min,dur (mm)
Classe
Estrutural
Classe de exposição de acordo com o Quadro
X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3
S1 10 15 20 25 30 35 40
S2 10 15 25 30 35 40 45
S3 10 20 30 35 40 45 50
S4 10 25 35 40 45 50 55
S5 15 30 40 45 50 55 60
S6 20 35 45 50 55 60 65
Classe Estrutural
Criterio Condições de exposição de acordo com o quadro
X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1 XD2/XS1 XD3/XS2/ XS3
Período de vida útil
de 100 anos
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar 2
classes
Classe de
resistência
≥ C30/37
reduzir 1
classe
≥ C30/37
reduzir 1
classe
≥ C35/45
reduzir 1
classe
≥ C40/50
reduzir 1
classe
≥C40/50*a
reduzir 1
classe
≥ C40/50
reduzir 1
classe
≥C45/55*b
reduzir 1
classe
Elemento tipo laje
(se a posição das
armaduras não for
afectada pelo
processo construtivo)
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
Controlo de
qualidade especial
para a produção do
betão
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
*a ou C50/60 – CEM I/IIA *b ou C60/75 – CEM I/IIA
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 157
O valor a indicar nos desenhos é o do recobrimento nominal.
Cnom = Cmin + ∆C
∆C – Tolerância (rigor) no posicionamento das armaduras (10mm)
Para além do recobrimento a EN206 estabelece os requisitos da qualidade dos betões
para as várias condições de agressividade ambiental:
Tipo de
cimento CEM I (Referência); CEM II/A (1) CEM II/B (1); CEM III/A (2); CEM IV (2);
CEM V/A (2)
Classe de
exposição
XC1 XC2 XC3 XC4 XC1 XC2 XC3 XC4
Mínimo
recobrimento
nominal (mm)
25 35 35 40 25 35 35 40
Máxima razão
água/cimernto 0.65 0.65 0.60 0.60 0.65 0.65 0.55 0.55
Mínima
dosagem de
cimento, C
(kg/m3)
240 240 280 280 260 260 300 300
Mínima classe
de resistência
C25/30
LC25/28
C25/30
LC25/28
C30/37
LC30/33
C30/37
LC30/33
C25/30
LC25/28
C25/30
LC25/28
C30/37
LC30/33
C30/37
LC30/33
(1) Não aplicável aos cimentos II/A-T e II/A-W e aos cimentos II/B-T e II/B-W, respectivamente
(2) Não aplicável aos cimentos com percentagem inferior a 50% de clínquer portland, em massa
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 158
Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção de cloretos,
para uma vida útil de 50 anos
Tipo de cimento CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM II/B (1); CEM II/A-D
CEM I; CEM II/A (1)
Classe de
exposição
XS1/XD1 XS2/XD2 XS3/XD3 XS1/XD1 XS2/XD1 XS3/XD3
Mínimo
recobrimento
nominal (mm)
45 50 55 45 50 55
Máxima razão
água/cimento 0,55 0,50 0,45 0,45 0,45 0,40
Mínima
dosagem de
cimento, C
(kg/m3)
320 320 340 360 360 380
Mínima classe
de resistência
C30/37
LC30/33
C30/37
LC30/33
C35/45
LC35/38
C40/50
LC40/44
C40/50
LC40/44
C50/60
LC50/55
(1) Não aplicável aos cimentos II –T, II-W, II/B-L e II/B-LL
Limites da composição e da classe de resistência à compressão do betão sob ataque
químico, para uma vida útil de 50 anos
Tipo de cimento CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM II/B (1); CEM II/A-D
CEM I; CEM II/A (1)
Classe de
exposição
XA1 XA2 (2) XA3 (2) XA1 XA2 (2) XA3 (2)
Máxima razão
água/cimento 0,55 0,50 0,45 0,50 0,45 0,45
Mínima
dosagem de
cimento, C
(kg/m3)
320 340 360 340 360 380
Mínima classe
de resistência
C30/37
LC30/33
C35/45
LC35/38
C35/45
LC35/38
C35/45
LC35/38
C40/50
LC40/44
C40/50
LC40/44
(1) Não aplicável aos cimentos II-T, II-W, II/B-L e II/B-LL.
(2) Quando a agressividade resultar da presença de sulfatos, os cimentos devem satisfazer os
requisitos mencionados na secção 5, nomeadamente no Quadro 10, aplicando-se ao betão as exigências
estabelecidas neste quadro para o CEM IV.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 159
9. Outros aspectos importantes para a garantia da dura bilidade das
construções
9.1 Concepção e Projecto
Forma Estrutural
• Adoptar sempre que possível formas simples que minimizem a área de exposição
ao ambiente
• Evitar saliências e cantos
Adoptar formas arredondadas
Dono de Obra
Critério de Projecto
Caderno de Encargos
Projecto
Concepção – Robustez
Pormenorização
Especificações Técnicas
9.2 Execução
Controlo Técnico de Execução
Recobrimentos
Qualidade do Betão
Cura
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 160
9.3 Manutenção, Inspecções e Eventuais Reforços
Inspecção e ensaios
Conservação. Medidas preventivas
Muitas vezes na sequência de avaliação de estruturas durante a sua vida útil pode
resultar a necessidade de uma reparação. Nas figuras seguintes apresenta-se uma tal
situação.
Inspecção (avaliação de uma situação de reacção álc alis-agregados) e início da
reparação/reforço
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado 161
Solução de reparação/reforço (encamisamento e tinta impermeabilizante) e
aspecto final
ESTRUTURAS DE BETÃO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 5
VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO
(ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO – SLS)
Ano Lectivo 2012/2013
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 160
1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO .......................................................... 160
1.2. ACÇÕES ........................................................................................................................... 160
1.3. MATERIAIS ........................................................................................................................ 161
1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de
utilização ............................................................................................................................ 161
1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão ........................................................................ 163
2. ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FENDAS ............ ..................................................... 167
2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO E ABERTURA DE FENDAS .............................................. 168
2.1.1. Determinação do valor máximo da largura de fendas ............................................ 176
2.1.2. Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação ..................... 180
2.2. ARMADURA MÍNIMA............................................................................................................ 185
2.2.1. Tracção .................................................................................................................... 185
2.2.2. Flexão ...................................................................................................................... 187
2.3. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO RELATIVOS AO ASPECTO E À DURABILIDADE ...................... 196
2.4. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2) ............................................... 196
3. ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO .................... ............................................................. 199
3.1. LIMITES DE DEFORMAÇÃO ................................................................................................. 199
3.2. QUESTÕES NA AVALIAÇÃO E NA LIMITAÇÃO DA DEFORMAÇÃO .............................................. 200
3.3. AVALIAÇÃO DIRECTA DA DEFORMAÇÃO ............................................................................... 205
3.3.1. Cálculo da curvatura em estado I............................................................................ 205
3.3.2. Cálculo da curvatura em estado II .......................................................................... 206
3.3.3. Cálculo das deformações ........................................................................................ 207
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 160
1. Introdução
No Módulo I discutiram-se as características fundamentais do comportamento à flexão
do betão armado e foi explicada a fundamentação base das verificações de segurança
das estruturas. Nos Módulos 2 e 3 apresentaram-se e aplicaram-se os modelos para
garantia da segurança à rotura de elementos lineares, sem esforço axial (vigas).
Neste Módulo 4 apresentam-se os princípios e a aplicação para a verificação da
segurança em serviço das estruturas de betão armado, ou seja, da Verificação dos
Estados Limites de Utilização.
1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Como enquadrado anteriormente, na avaliação destes Estados Limites de Utilização,
há que ter como principal objectivo:
Garantir um bom comportamento das estruturas em sit uações correntes de serviço,
assegurando um nível de fendilhação aceitável (através do contolo da abertura
máxima de fendas ), limitar a deformação a valores funcionalmente aceitáveis para
os objectivos da construção em causa e tornar a eventual sensibilidade das estruturas
à vibração , limitada a valores que não gerem desconforto.
Por outro lado, nas verificações da segurança aos Estados Limites de Utilização, e
como discutido no Módulo 1,as acções tomam valores de actuação expectável (não
são majoradas e as sobrecargas podem não actuar com todo o seu valor) e o
comportamento dos materiais é simulado através da u tilização de propriedades
médias (não minoradas).
1.2. ACÇÕES
Como vimos temos, então, nas verificações aos estados limites de utilização,
combinações de acções com diferentes probabilidades de ocorrência:
Combinação rara: Situação de carregamento com pequena probabilidade de
ocorrência apropriada para analisar um estado limite de muito curta duração –
algumas horas no tempo de vida da estrutura.
Gm + Qk + ∑i ψ1i Qik
Combinação frequente: Caso com probabilidade de ocorrência superior ou igual
a 5% do tempo de vida da estrutura, e aplicável a estados limites de curta
duração.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 161
Gm + ψ1 Qk + ∑i ψ2i Qik
Combinação quase-permanente: Situação de solicitação com probabilidade de
ocorrência superior a 50% do tempo de vida da estrutura, portanto adequada
para analisar estados limites definidos como de longa duração.
Gm + ∑i ψ2i Qik
Refira-se que é para este nível de acções que o comportamento em termos de
deformação e controlo da abertura de fendas é, em geral, importante.
Nestas expressões o significado das variáveis é a seguinte:
Gm – valor médio das acções permanentes
Qk – valor característico da acção variável base
Qik – valor característico das restantes acções variáveis
1.3. MATERIAIS
Estes terão naturalmente um comportamento elástico , havendo no entanto que
considerar o facto do betão fendilhar, e ainda, as suas características de
comportamento ao longo do tempo, ou seja a fluência e a retracção .
Referem-se seguidamente estas características de uma forma necessariamente
resumida, havendo que consultar outros elementos para a sua mais correcta
quantificação.
1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados
limites de utilização
Com base no diagrama médio esperado (no desenho referido como “real”) de
comportamento do aço , enquadra-se a resposta característica, de cálculo à rotura e,
indica-se, ainda, a zona esperada em termos do comportamento em serviço.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 162
(i) AÇO
fyd
σs
fyd
εs
Es
0.2%
fyk
curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos
curva realcurva característicacurva de cálculo
E.L. Utilização
Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, temos, portanto,
simplesmente a relação esquematizada, tendo como limite absoluto a tensão de
cedência (ver §2.1.2.2):
Es = 200 GPa
εs
σs
Para o betão as características das relações tensões – extensões do betão são
indicadas na figura seguinte, vendo-se que o módulo de elasticidade é definido,
aproximadamente, com a rigidez secante para uma tensão de 40% do valor resistente
para a curva média do comportamento.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 163
(ii) BETÃO
εc
σc
0.85 fcd
3.5‰2‰
fck
Ec
0.4 fcm
εc
curva real
curva característica
curva simplificada de cálculoaos E.L. Últimos
fcm
Assim, para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, o
comportamento do betão é considerado, para acções de curto prazo, como sendo
elástico e linear, limitado ao valor resistente de tracção e tendo a compressão limites
regulamentares referidas em §2.1.2.2.
Ec
εc
σc
fctm
O betão, ao longo do tempo , por efeito do fenómeno da retracção, ou da fluência, se
estiver submetido a um nível de tensão permanente, aumenta a sua deformação.
Estes efeitos têm implicações nas estruturas ao nível das deformações , mas também
podem causar, ao longo do tempo, em estruturas hiperstáticos, esforços ,
naturalmente auto-equilibrados.
1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão
Analisa-se, então, seguidamente, as características do comportamento do betão no
tempo que depende de dois efeitos:
− Fluência , dependente da actuação de tensões aplicadas com permanência.
− Retracção , que se verifica independentemente de outros efeitos.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 164
1.3.2.1. Fluência
A fluência pode ser definida como sendo o aumento da deformação no tempo, sob a
acção de um estado de tensão constante (resultado, essencialmente, da variação de
volume da pasta de cimento que envolve os agregados).
No esquema seguinte ilustra-se o efeito desta característica do comportamento:
(a) Instante de aplicação da carga (t0)
p
εc(to)
εc (t0) = σc (t0)Ec (t0)
(b) Tempo t∞
p
εc(to)
εcc(t∞,to)
εcc (t∞, t0) = ϕ (t∞, t0) εc (t0)
onde,
εcc (t∞,t0) representa a deformação por fluência
ϕ (t∞,t0) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de
extensão, εcc, no intervalo de tempo [t∞, t0] e a extensão inicial, εc (t0))
A fluência do material betão depende, no entanto, de muitos parâmetros que não são
neste contexto, analisados. São eles:
− idade do carregamento (t0)
− período do carregamento [t, t0]
− humidade relativa do ambiente (> humidade ⇒< fluência)
− temperatura relativa do ambiente (> temperatura ⇒>fluência)
− composição do betão
− consistência do betão
− forma da secção
Para idades de carregamento usuais, a partir dos 14 a 28 dias após betonagem, este
coeficiente toma valores tal que, ϕ (t∞, t0) ≅ 2 a 4. Para casos correntes, e na falta de
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 165
outros dados poderá utilizar-se, como primeira referência, o valor de ϕ ≅ 2.5 e para
avaliações mais detalhadas pode recorrer-se a muitos modelos existentes, em
particular o referido no EC2. Avalia-se, agora, o efeito da fluência, na deformação do
betão e, posteriormente, de uma viga de betão armado não fendilhada.
Determinação da deformação a longo prazo (t∞) tendo em consideração o efeito da
fluência:
t∞ = 10 000 dias (≅ 27 anos)
εc (t∞, t0) = εc (t0) + εcc (t∞, t0) = εc (t0) + ϕ (t∞, t0) εc (t0) = σc (t0)Ec (t0)
+ ϕ (t∞, t0) σc (t0)Ec (t0)
⇔
⇔εc (t∞, t0) = σc (t0)Ec (t0)
(1 + ϕ) = εεεεc (t0) (1 + ϕϕϕϕ)
⇒⇒⇒⇒εεεεc (t∞∞∞∞, t0) = σσσσc
E*c , com E*
c = E c
1 + ϕ
A fluência é linear com o nível de tensão, desde que esta esteja limitada (§2.1.2.2).
Este efeito afecta directamente a deformação de uma estrutura, podendo ser
considerado, de uma forma simplista, como uma perda de rigidez no tempo , devido
ao abaixamento do módulo de elasticidade.
Para o caso de uma viga simplesmente apoiada, não fendilhada, apresenta-se
seguidamente o efeito da fluência na deformação com base no princípio dos trabalhos
virtuais, em que se chama a atenção para a dependência da flecha dos valores e
distribuição das curvaturas na estrutura.
p
δ
δ = f1
R
pelo P.T.V., δ = ⌡⌠
L M .
1 R dx
Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca ao nível da
secção um aumento das extensões do betão e, consequentemente, um aumento da
curvatura.
d
(+)
(-)
εc(to)
εs
εc(to)
(+)
εs
(-)
εcc(t,to)
1R (t) =
|εc (t0)| + |εcc (t, t0)| + εs
d ≅
≅ 2 εc (t0) + |εcc (t, t0)|
h
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 166
Chama-se desde já a atenção para que as armaduras contribuem, um pouco, para
restringir o aumento de deformação por fluência do betão. No entanto, no
comportamento em Estado I, não fendilhado, essa restricção não é muito significativa.
1.3.2.2. Retracção
A retracção do betão impõe uma diminuição da dimensão de uma peça de betão no
tempo, independentemente do estado de tensão da peça, portanto mesmo na
ausência de outras acções, variações de temperatura ou cargas aplicadas.
Seguidamente ilustra-se o efeito da retracção do betão ao nível de um prisma de betão
e, como acção, num tabuleiro contínuo de ponte. Neste exemplo, chama-se a atenção
para que o valor de retracção do betão pode tomar valores diversos, mas que a sua
ordem de grandeza varia entre 0.2 a 0.4‰, podendo ser melhor avaliado recorrendo
às indicações, por exemplo, do EC2.
εcs(t∞,to)
to t∞
εcs (t∞, t0) ≅ - 200×10-6 a - 400×10-6 = - 2.0×10-4 a - 4.0×10-4
100 m
ε = ∆LL ⇒∆L = ε× L
∆L=-4.0×10-4×100m=-0.04m
Para um tabuleiro de uma ponte de 100m seria de esperar, aproximadamente, um
encurtamento ao longo do tempo devido ao efeito da retracção, com um valor da
ordem de 4cm, distribuído em partes iguais pelos dois apoios, se estes forem móveis
longitudinalmente.
A retracção pode ser tratada como o efeito de uma diminuição de temperatura com um
valor equivalente de, ∆Tequivalente, como se pode verificar:
α = 10-5/°C – coeficiente de dilatação térmica do betão
εcs = -2 × 10-4 a -4 × 10-4 ⇒ ∆Tequivalente = -20°C a -40°C
(ε∆T = α × ∆T = 10-5/°C × (-20° a -40°) = -2 × 10-4 a -4 × 10-4)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 167
Refere-se, desde já, que, se a retracção livre for impedida, por restrições ao nível da
secção ou da estrutura, isto é, se houver hipersticidade, produzem-se tensões de
tracção que poderão contribuir para a ocorrência de fendilhação.
A retracção do betão depende de, inúmeros factores, de uma forma semelhante à
fluência, dos quais se podem destacar:
– Humidade e temperatura relativa do ambiente
– Consistência do betão na altura da betonagem
– Forma da secção (espessura fictícia do elemento)
Além de poder afectar o estado de tensão na secção, a retracção pode também
contribuir para um incremento de deformação ao longo do tempo , como se ilustra,
de seguida, para uma viga não fendilhada.
εs
εc
d (-)
Curvatura: 1R =
εc - εs
d
De facto, numa secção de betão de uma viga, com distribuição de armadura não
simétrica, a retracção do betão provoca uma curvatura na peça, por efeito da restrição
à deformação provocada pela armadura. Essa curvatura será assim tendencialmente
positiva na zona do vão e negativa na zona dos apoios, contribuindo, em ambas as
situações, para o aumento da flecha das vigas.
δ
δ = f1
R
pelo P.T.V., δ = ⌡⌠
L –M.
1 R dx
2. Estado Limite de Abertura de Fendas
A análise e compreensão do fenómeno da formação de fendas e da sua evolução até
à sua estabilização, incluindo o processo de transmissão de tensões entre o betão e
as armaduras, e, finalmente, a forma de estimar as aberturas das fendas, não é
simples. Têm sido desenvolvidos inúmeros modelos, mais ou menos sofisticados, para
a sua explicação e avaliação das variáveis em jogo.
No que se segue descreve-se de uma forma simplificada as características principais
do mecanismo de fendilhação, para depois explicar a formulação da avaliação das
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 168
aberturas de fendas e do seu controlo indirecto a partir dos parâmetros mais
condicionantes.
2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO E ABERTURA DE FENDAS
Para a apresentação do processo de fendilhação vamos tomar o elemento estrutural
mais simples que é o de uma barra de betão armado sujeita à tracção.
N
σc
N A s
A c
Antes de fendilhar, Estado I, a distribuição de tensões segue o comportamento elástico
tendo-se, aproximadamente:
σc = N Ac
σs = εsEs ; σc = εcEc
Como εs = εc ⇒ σs σc
= Es Ec
⇔σs = Es Ec
σc ⇔ σσσσs = ασασασασc , com α = Es Ec
Quando se tiver σc = fctm há-de surgir uma fenda numa dada secção, que por uma
razão ou outra esteja mais enfraquecida, passando o esforço axial nessa secção a ser
resistidosó pelo aço. Há assim um brusco aumento de tensão no aço, maior ou menor,
consoante a quantidade de armadura presente.
De facto, com o aparecimento da 1ª fenda, ou seja, na passagem para a secção
fendilhada, o incremento de tensão na armadura, ∆∆∆∆σσσσs, pode ser avaliado por:
NN
σc = fct ⇒ fct Ac = As ∆σs ⇔ ∆σs = Ac As
fct
⇒ ∆∆∆∆σσσσs = 1 ρρρρ fct , com ρ =
As
Ac (% de armadura)
A tensão total, a seguir indicada, é calculada em Estado II, sendo a de Estado I, ααααfct,
em geral muito inferior.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 169
ρ
σs
fyk
ρmin
∆σs
α fct
σσσσs = αααα fct + ∆∆∆∆σσσσs
Refira-se que, como tem sido referido neste curso, ρmin = As
Ac é a % mínima de
armadura para que, quando se forma a 1ª fenda, a armadura não atinja a cedência
(não plastifique). Para quantidades de armadura superiores o nível de tensão instalado
na fenda estará no domínio elástico, havendo, por efeito da aderência aço/betão, na
região adjacente à fenda, uma transferência de tensões do aço para o betão. A uma
distância, s, como indicado na figura, restabelece-se um estado de tensão com
tracções no betão que permitem condições para se poder formar outra fenda.
N N
σc
τm
s
σc = N Ac
= fct ⇔ N = fct Ac
Esta distância, s, é considerada como a distância mínima, para que se possa formar
outra fenda.
Assim, a distância mínima entre fendas (s), para um tirante , pode obter-se através de:
Nmáximobetão = Naderencia ⇔ fct Ac = τm × Acontacto ⇔ fct Ac = τm × u × s ⇒ smin = fct
τm ×
Ac
u
Como, ρ = As
Ac ⇔ Ac =
As
ρ = πφ2
4ρ e u = πφ ⇒ Ac u =
πφ2 4ρ ×
1 πφ =
φ 4ρ
∴∴∴∴ smin = fct
ττττm ×××× φφφφ
4ρ ρ ρ ρ
Caso se trate de um problema de flexão , em particular para vigas com alturas
pequenas e lajes, a zona traccionada de transmissão de tensões entre o aço e o betão
é triangular.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 170
s
τm
fct
M
Dado que nestes casos Nmácximo betão = fct × Ac × 12 , esta distância tem tendência a ser
metade:smin = fct ττττm ××××
1 2 ××××
φφφφ 4ρ ρ ρ ρ
Em geral para peças com uma maior dimensão, a transmissão de tensões do aço para
o betão ocorre apenas numa zona restrita em torno da armadura, como representado
na figura abaixo indicada, definindo-se uma área efectiva, Ac,ef.
hc,ef
d
Ac,ef
Ac,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura hc,ef
definida através de:
hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]
Poderá definir-se então uma percentagem de armadura (ρp,ef) relativa à área de betão
efectiva, calculada de acordo com a expressão
ρp,ef = As
Ac.ef
Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de:
smin = 0.25 k1 k2 φφφφ
ρρρρp,ef
Comparando com a expressão anterior verifica-se que é equivalente sendo que k1
representa a problemática das condições de aderência e k2 a forma do diagrama de
extensões na zona de transmissão de tensões ao betão. De acordo com o EC2, estes
tomam os seguintes valores:
k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que
toma os seguintes valores:
0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos)
1.6 para varões lisos
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 171
k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e
que toma, em geral, os seguintes valores:
1.0 para a tracção
0.5 para a flexão de lajes ou vigas pouco altas
Nos casos de tracção excêntrica ou de flexão de vigas mais altas, valores intermédios
de k2, podem ser avaliados pela expressão:
M
Ac,ef
ε2
ε1
k2 = ε1 + ε2
2 ε1
k2 = 1.0 ⇐ε1 = ε2 (tracção pura)
0.5 ⇐ ε2 = 0
Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros
diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente (φeq), dado por
φeq = n1φ1
2 + n2φ22
n1φ1 + n2φ2
Refira-se que, uma vez estabilizada a formação de fendas na zona traccionada, isto é,
quando não houver condições para a formação de mais fendas, a distância entre elas
deverá ser variável, teoricamente, entre o valor mínimo e duas vezes esse valor.
Na figura seguinte ilustra-se o ensaio de uma viga de secção em I à flexão, em que se
mostram dois pormenores da zona central, um em que se está no processo de
fendilhação de fendas e outro em que o processo de fendilhação estabilizada já se
encontra definido. Refira-se que na viga estão marcados com traços a cores o
andamento das fendas à medida que a carga evoluiu.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 172
Por sua vez o Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas a ser
calculada através da seguinte expressão que corresponde a 1.7 vezes o valor anterior
acrescido do termo complementar 2c, tal que:
sr,max = 1.7
2c + 0.25 k 1 k2
φφφφ ρρρρp,ef
= 3.4c + 0.425 k 1 k2 φφφφ
ρρρρp,ef
E onde c representa o recobrimento das armaduras e o termo 2c contabiliza o facto da
abertura de fendas na superfície ser um pouco maior que junto à armadura.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 173
Escorregamento
Fissura
c
c
φ
Estado I
εc1=εs1
σc1=fct
N=Nf
hef Ac,ef
l
Pode constatar-se da análise da expressão que:
Maior quantidade de armadura ⇒ menor distância entre fendas
Naturalmente que com uma maior densidade de armadura a transmissão de
tensões para o betão é mais eficiente.
Menores φs ⇒ menor distância entre fendas
Fisicamente compreende-se pois, para a mesma quantidade de aço, com
diâmetros menores a relação entre a superfície dos varões e a área de aço é
maior.
Para a avaliação da abertura de fendas é preciso, para além da estimativa da
distância previsível entre fendas, determinar o valor médio da diferença entre a
extensão do aço (que é maior naturalmente) e a extensão do betão, na zona da fenda.
Então vejamos qual seria a abertura de fendas num elemento fendilhado de betão
armado, sem mobilização de aderência aço/betão.
sss
N N
sss Ac
As
w w
w - abertura de fendas
s - distância entre fendas
εs = ∆L
L = w s
⇒w = s εεεεs
εs = σs Es
e σs = N As
As aberturas de fendas seriam avaliadas, naturalmente, pelo produto da extensão do
aço, uma vez que o betão não teria tensões, vezes o comprimento de influência de
cada fenda.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 174
Na realidade o cálculo da abertura de fendas baseia-se neste princípio só que há que
contabilizar, por um lado, a menor extensão do aço fora da secção das fendas e, por
outro lado, a extensão do betão, que contribui um pouco para diminuir a abertura da
fenda.
Há assim necessidade de avaliar a extensão relativa média entre o aço e o betão
que pode ser determinada pela seguinte expressão:
εεεεsrm = εεεεsm – εεεεcm
Na figura seguinte pode compreender-se o sentido desta expressão pois representa-
se, em termos médios, a distribuição de tensões e extensões no aço e no betão ao
longo de um elemento fendilhado de betão armado, com fendilhação estabilizada.
NN
L0
L
srm
σs
σc
εs;εc
εsm
εcm εsr εsrm
Onde,
εsm = ∆LL0
= L - L0
L0 (deformação média da armadura)
εsr – extensão relativa entre o aço e o betão
εsrm – extensão média relativa entre o aço e o betão
(i) Determinação da extensão média do aço
Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço
em função do esforço axial, aquela é inferior à extensão do aço em estado II (εsII), pois
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 175
na zona entre fendas o betão retém parte da força de tracção aplicada. Denomina-se,
em geral, a este efeito a contribuição do betão entre fendas que está
esquematicamente representado na figura seguinte.
Verifica-se que a força média no aço entre fendas, é inferior à avaliada na secção
fendilhada e, por conseguinte, a extensão média do aço é inferior à de Estado II puro.
N
εsm
I
II
εsm
N
Ncr
εsIIεsI
Contribuição do betão entre fendas
Deste modo,
εsm = Fs - Fc Es As
= σs As - kt fct,ef Ac,ef
Es As =
σs Es
- kt fct,ef
Esρp,ef
Onde,
σs representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada;
kt é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a
duração ou a repetição das cargas (kt = 0.6 para acções de curta duração; kt = 0.4
para acções de longa duração);
fct,ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção, em geral
igual fctm;
ρp,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva
As
Ac.ef
(ii) Determinação da extensão média do betão
Ora, a extensão média no betão é dada pela deformação média do betão entre fendas
que é devida precisamente à mesma força retirada ao aço.
εcm = σc Ec
= Fc
Ec Ac =
kt fct,ef Ac Ec Ac
= kt fct,ef Ec
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 176
Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada
pela diferença entre ambos, ou seja:
εsm - εcm = σs Es
- kt fct,ef
Esρp,ef - kt
fct,ef Ec
= σs Es
- kt fct,ef
Esρp,ef
1 +
Esρp,ef Ec
⇒ εεεεsm - εεεεcm = σσσσs Es
- k t fct,ef
Esρρρρp,ef (1 + ααααeρρρρp,ef) com αe =
Es
Ec
2.1.1. Determinação do valor máximo da largura de f endas
O valor máximo da abertura de fendas obtém-se, então, através da expressão:
wk = sr,max×εsrm = sr,max (εεεεsm - εεεεcm)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 177
EXERCÍCIO 3.1
Considere a estrutura representada na figura seguinte.
6.00 3.00
sc = 12 kN/m
cp = 20 kN/m
γg = γq = 1.5
ψ1 = 0.6 ; ψ2 = 0.4
Materiais: C25/30
A400NR
Recobrimento:2.5cm
Secção do tirante: 0.25 × 0.25 m2
a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante.
b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação
frequente de acções.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 178
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.1
ALÍNEA A )
1. Determinação dos esforços
3.006.00
p=1 kN/m
RA RB
ΣMA = 0 ⇔ RB×6 – 1 × 9 × 4.5 = 0
⇔ RB = 6.75kN
(reacção no tirante)
psd = 1.5 × (20 + 12) = 48 kN/m
Nsd.tirante = 6.75 × 48 = 324 kN (tracção pura)
As = Nsd fyd
= 324
348×103 × 104 = 9.31 cm2⇒ Adoptam-se 8φ12
ALÍNEA B )
1. Cálculo da distância máxima entre fendas
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2φ
ρp,ef
(i) Determinação de ρp,ef
ρp,ef = As
Ac.ef =
9.05 × 10-4 0.0583 = 0.0155
0.0925
0.065
h - d = rec + φest + φL
2 = 0.025 + 0.006 + 0.012
2 = 0.037m
2.5 (h - d) = 2.5 × 0.037 = 0.0925 m
Ac.ef = 0.25 × 0.25 - 0.065 × 0.065 = 0.0583 m2
(ii) Cálculo de sr,max
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2φ
ρp,ef = 3.4 × 0.025 + 0.425 × 0.8 × 1.0 ×
0.012 0.0155 = 0.348 m
(k1 = 0.8 – varões nervurados; k2 = 1.0 – tracção simples)
2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 179
εsm – εcm = σs Es
- kt fct,ef
Esρp,ef (1 + αeρp,ef) =
= 202.9×103 200×106 - 0.4
2.6×103 200×106× 0.0155 (1+ 6.56 × 0.0155) = 6.45 × 10-4
Nfr = Ncp + ψ1Nsc = 6.75 (20 + 0.6 × 12) = 183.6kN
σs = Nfr As
= 183.6
9.05×10-4 = 202.9 MPa
kt = 0.4 – acções de longa duração
αe = Es
Ec =
200 30.5 = 6.56
3. Cálculo do valor característico da abertura de fendas
wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.348 × 6.45 × 10-4 = 0.224×10-3m = 0.2 mm
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 180
2.1.2. Cálculo de tensões com base na secção fendil hada e sua limitação
No caso de se tratar de um problema de flexão, para a avaliação da abertura de
fendas na zona traccionada há então que avaliar o nível de tensão nas armaduras
na zona da fenda e aplicar a formulação atrás apresentada.
Se Mactuante > Mcr (= w × fctm) para o cálculo de tensões na secção, é necessário
considerar a secção fendilhada.
No estado II a posição da LN, poderá ser obtida através da igualdade dos momentos
estáticos das zonas comprimidas e traccionadas e, posteriormente, a distribuição de
tensões, como analisado no Módulo 1, ou directamente, através de tabelas.
Refira-se que o valor do módulo de flexão deve ter em consideração de uma forma
indirecta o efeito da fluência pois, como se viu, pode definir-se um módulo de
elasticidade equivalente, tal que: E*c =
E c
1 + ϕ. De facto a diminuição do módulo de
elasticidade aumenta a zona comprimida e, consequentemente, também aumenta um
pouco a tensão no aço por diminuição do braço de forças. Em geral toma-se um valor
de ϕ de 0.5 a 1.5 (α = 10 a 15) para as combinações frequentes de acções e para as
quase-permanentes ϕ de 2 a 2.5 (α = 18 a 22).
2.1.2.1. Cálculo de tensões através de tabelas
As2
As1
d2
d
N
σs2
x
Ms
b
σs1
c
Valores a avaliar: β = As2/As1; d2/d
Parâmetros a calcular:
α = Es Ec
; ρ = AsL
b d ; es = Ms N
Ms – Momento actuante na secção em
relação à armadura As1
– Flexão simples → N = 0 ⇒ es d = ∞
– Flexão composta → N ≠ 0 ⇒ es d =
Ms/Nd
Em função dos parâmetros αρ e es/d ⇒Cs
Cc
σs1 = αCsMs
b d2 ; σs2 = α σc
x (x - 0.1d) ;
σc = - CcMs
b d2 ; x = Cc
(Cc + Cs) d
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 181
2.1.2.2. Limitação das tensões em serviço
Refira-se que as tensões devem ser limitadas em serviço, sendo que as disposições
do EC2 são as seguintes:
•••• No Aço
− Para a acção de cargas e para a combinação característica:
σs ≤ 0.8 fyk
− Para a acção de deformações impostas, a tratar no parágrafo seguinte:
σs ≤ fyk
Estas disposições têm em consideração a garantia da não cedência do aço, pois
nesse caso, a abertura de fendas pode tomar valores grandes e de valor não
controlável. No caso da deformação imposta, e como se verá no próximo parágrafo há
uma maior certeza que o esforço desenvolvido está limitado (neste caso ao de
fendilhação), por isso admite-se fyk que corresponde ainda a uma reserva em relação a
fym.
•••• No Betão
− Para as acções características de acções: σs ≤ 0.6 fck
− Para as acções quase permanentes: σs ≤ 0.45 fck
O 1º limite tem a ver com o risco de se gerar, para este nível de acções alguma
fendilhação transversal e o 1º limite justifica-se para limitar a possibilidade de se poder
ter uma maior fluência, deixando de haver um regime proporcional, tensão-deformação
a longo prazo
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 182
EXERCÍCIO 3.2
Considere a estrutura da figura seguinte (exercício 2.2):
4.00 4.00 4.004.00
10.00
3.00
S2
S1
Materiais: C25/30, A400NR
Acções:
Peso próprio
Revestimento=2.0 kN/m2
Sobrecarga = 3.0 kN/m2
Coeficientes de majoração:
γG = γQ = 1.5
Coeficientes de combinação:
ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2
Secção da viga: 0.30×0.85 m2
Espessura da laje: 0.15m
a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de
acções.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 183
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.2
1. Cálculo dos esforços
pfrequente = cp + ψ1sc = 28.25 + 0.4 × 12 = 33.1kN/m
(+)
DMF(-)
10.00
S2
3.00
S1
pfr
M frS1
MS1fr
= pL2
2 = 33.1 × 32
2 =149kNm
2. Cálculo do momento de fendilhação (Mcr)
σ = M w ⇒ Mcr = w × fctm =
bh2
6 × fctm = 0.30 × 0.852
6 × 2.6×103 = 93.9 kNm < MS1fr
fctm (C25/30) = 2.6MPa
Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada
3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas)
0.30
5φ16
2φ25
d M
As1 = A (5φ16) = 10.05cm2
As2 = A (2φ25) = 9.82cm2
ρ = As1
bd = 10.05 × 10-4
0.3 × 0.8 = 0.0042
β = As2
As1 =
9.8210.05 = 0.98 ≅ 1
d2/d≅ 0.05 ;α = 15
Nota: para ter em conta o efeito de fluência pode tomar-se α ≅ 15 ou 18
α ≅
Es
Ec/(1 + ϕ)
αρ = 15× 0.0042 = 0.063 →(pag.120)
Cs = 17.35
Cc = 6.03
Posição da LN: x = Cc
Cc + Cs d =
6.036.03 + 17.35× 0.8 = 0.21m
Tensão na armadura: M = Mfr⇒σS = αCs Mfr b d2 = 15 × 17.35 ×
1490.3 × 0.82 = 202 MPa
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 184
4. Cálculo da distância máxima entre fendas
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2φ
ρp,ef
(i) Determinação de ρp,ef
ρp,ef = As
Ac.ef =
10.05 × 10-4 0.0375 = 0.027
Ac,ef
hc,ef
hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]
h - d ≈ 0.05 m ⇒ 2.5 (h – d) = 2.5 × 0.05 = 0.125 m
(h - x)/3 = (0.85 - 0.21) / 3 = 0.21 m
h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m
⇒ Ac.ef = 0.30 × 0.125 = 0.0375 m2
(ii) Cálculo de sr,max
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ
ρp,ef = 3.4 × 0.03 + 0.425 × 0.8 × 0.9 ×
0.016 0.027 = 0.283 m
k1 = 0.8 (varões nervurados)
0.125
0.21
ε1
ε2
k2 = ε1 + ε2
2 ε1 =
ε1 + 0.8 ε1
2 ε1 = 0.9
ε1
0.85 - 0.21 = ε2
0.85 - 0.21 - 0.125⇔
⇔ ε2 = 0.515 ε1
0.64 = 0.8 ε1
5. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão
εsm-εcm = σs Es
- kt fct,ef
Esρp,ef (1 + αeρp,ef) =
= 202.0 × 103
200 × 106 - 0.4 2.6 × 103
200 × 106 × 0.027 (1+ 6.56 × 0.027) = 7.8 × 10-4
kt = 0.4 – acções de longa duração
αe = Es
Ec =
200 30.5 = 6.56
6. Cálculo do valor característico da abertura de fendas
wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.283 × 7.8 × 10-4 = 0.22 × 10-3m = 0.22 mm
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 185
2.2. ARMADURA MÍNIMA
Nesta fase do curso já se referiu a necessidade de quantidades de armadura mínima à
tracção, à flexão, ao esforço transverso, etc, com o objectivo de assegurar, no
essencial, que, em caso de rotura, esta não seja frágil.
No que se segue, a problemática é bem diferente, apesar de poder conduzir a
resultados quantitativos que, nalgumas situações, são coincidentes. Neste contexto
pretende-se, principalmente, obter quantidades mínimas de armaduras distribuídas
nos elementos estruturais de tal modo que, se se formarem fendas, por efeitos de
cargas ou de deformações impostas , tais como a própria retracção do betão ou uma
variação de temperatura (em situações de restrição a essa deformação livre), as
aberturas, em condições de serviço se encontrem dentro de limites controlados.
2.2.1. Tracção
Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte, mas agora
submetido ao efeito de uma força ou de uma deformação imposta .
fct
NN
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 186
A diferença principal é a de que num caso se aplica a força e mede a deformação e,
noutro, aplica-se a deformação e mede-se a força. Se em termos de comportamento
elástico são situações equivalentes, nas estruturas de betão armado devido ao seu
comportamento não linear a curto prazo, por fendilhação, e a longo prazo, por fluência
do betão, as respostas podem ter características bem diversas.
Verifica-se que, em ambos os casos, até à formação da 1ª fenda, o comportamento é
elástico e equivalente mas, após a fenda , surgem duas respostas distintas:
1- Para o caso de aplicação da carga verifica-se um aumento da deformação global
do conjunto devido à perda de rigidez na abertura de cada nova fenda.
Assim, se não estiver presente uma quantidade de armadura suficiente para equilibrar
a carga de fendilhação, verifica-se uma rotura frágil do tirante. É com base nesta
situação que se define a armadura mínima devido ao efeito de cargas, como referido
nos Módulos 1 e 2, tal que:
Ncr = Ac × fct ⇒ Ac × fct ≤ As fyk ⇒ As.min = Ac fct
fyk , por tracção
2 - Para o caso da deformação imposta a perda de rigidez por formação de cada
nova fenda faz com que a carga diminua.
Neste enquadramento, a formação da 1ª fenda não é preocupante, pois o esforço
diminui. No entanto, com o crescimento da deformação imposta, se a capacidade das
armaduras é inferior ao esforço necessário para se formar a 2ª fenda o tirante
plastifica na zona da 1ª fenda (ver figura a) seguinte). Assim, não se formam mais
fendas, concentrando-se toda a deformação imposta naquela fenda, que atinge,
rapidamente, valores inaceitáveis.
I
II
ε imp
I
II
ε imp
a) ρ ρmin,y
˜ 0,10
b) ρmin,w = ρmin (wadm) > ρmin,y
σs2
Patamar de cedência
σs2
fy
fy
Fendilhação estabilizadaFormação de fendas
σsr,n
σsr,1σsr,1
w w
w1
wn wn = 1,20 w1
σsr,n = 1,30 a 1,35 σsr,1
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 187
No caso da deformação imposta, permitir a formação de várias fendas, as aberturas
são mais aceitáveis (ver figura b) anterior), chegando-se à conclusão que a quantidade
mínima de armadura para garantir este comportamento é equivalente à necessária de
não fragilidade, por efeito de cargas (situação 1).
2.2.2. Flexão
O caso da flexão é, em parte, equivalente ao da tracção na medida em que a zona
traccionada da secção funciona como um tirante. A diferença é que a distribuição de
tensões antes da fendilhação é triangular e não uniforme, como se mostra
seguidamente, e já referido no Módulo 1.
MMh/2
h
b
(-)
(+)
σc
fct
Área de betão traccionada: Act = b h
2
Força de tracção no betão: FT = 12 fct Act
⇒As.min = 1 2 Act
fct fyk
De acordo com o Eurocódigo 2 , a expressão para o cálculo da área de armadura
mínima, em termos do comportamento em serviço , e tendo como base, as
características da resposta a deformações impostas é dada pela seguinte
expressão:
As.min = kc k Act fct.ef
σσσσs
Em que a quantidade de armadura é avaliada admitindo que, durante o processo de
fendilhação, o esforço máximo mantém-se constante, da ordem de grandeza do
esforço de fendilhação, e se limita o nível de tensão nas armaduras aσσσσs .
Naquela expressão:
As,min representa a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada;
Act representa a área de betão traccionada;
σs representa a tensão que se desenvolve na armadura imediatamente após a
formação da fenda, podendo ser, no limite, igual a fyk.
fct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que
se espera que ocorram as primeiras fendas;
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 188
k é um coeficiente que considera, para deformações impostas em parede
espessas, o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes (diminuição da
resistência efectiva à tracção devido à instalação de estados auto-equilibrados
de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do elemento, de acordo
com o gráfico seguinte:
1.0
h [m]
k
0.65
0.3 0.8
Para fendilhação devida a cargas aplicadas, k = 1.0
kc é um coeficiente que tem em conta quer a forma da distribuição de tensões na
secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força.
Para tracção simples : kc = 1.0
Para flexão simples kc = 0.4
Para banzos traccionados de secções em caixão ou em “T”
kc = 0.9 Fcr
Act fct,ef ≥ 0.5
Em que Fcr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no instante que
antecede a fendilhação, devida ao momento de fendilhação (Mcr calculado utilizando o
valor de fct,ef). Como simplificação é natural considerar para estes casos kc = 0.9 ou
mesmo uma situação de tirante puro, k = 1.0.
Para flexão composta, o EC2 propõe a generalização destes princípio tal
que:
kc = 0.4
1-
σc k1 (h / h*) fct,ef
≤ 1.0
Onde,
σc representa a tensão média actuante no betão, na secção rectangular
ou na alma da secção, se tiver outra forma (σc = NEd / b h), sendo NEd o
esforço normal actuante para a combinação de acções considerada
(compressão com sinal positivo);
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 189
k1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na
distribuição de tensões: k1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão;
k1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção;
h* = min (h; 1.0 m);
A variação de kc da tensão média na secção é a ilustrada para 3 secções no gráfico
seguinte.
Estimativa do coeficiente kc
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
-7500 -6000 -4500 -3000 -1500 0 1500 3000 4500
Tensão média [kN/m2]
Caso 1 - 1,50x0,50
Caso 2 - 1,00x0,40
Caso 3 - 0,20x1,00
Esta é uma forma de aumentar ou diminuir a armadura mínima de flexão consoante
haja um esforço axial, respectivamente, de tracção ou compressão.
Apresenta-se seguidamente a exemplificação de algumas destas disposições.
(i) Armadura mínima para situações de tracção devid as a deformações
impostas restringidas.
Muro de suporte
Nestes casos o encurtamento por retracção ou abaixamento de temperatura
diferencial entre a fundação e a parede vertical do muro geram, na parede , um estado
de tensão de tracção bastante aproximado ao de um tirante especialmente se o muro
for tal que l/h ≥ 4. Assim a armadura mínima de tracção deve ser disposta
longitudinalmente e nas duas faces. Note-se que não interferem com as armaduras
necessárias para suporte das terras, dispostas na vertical.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 190
As.min = kc k Actfct.ef
σs
Em que:
fct,ef = 2.9 MPa ; fyk = 500 MPa
kc = 1.0 (efeito de tracção)
k = 1.0 se h ≤ 0.30 m e k = 0.65 se h ≥ 0.80m (efeito da diminuição do esforço de
fendilhação da parede devido à deformação imposta por causa das tensões auto-
equilibradas)
φ16 / 0.15φ16 / 0.15
h = 0.50
Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata
(betonada anteriormente) constituir um impedimento ao livre
encurtamento do muro por efeito da retracção e temperatura.
É necessário adoptar armadura mínima na direcção
horizontal:
As.min/face = kc k Act fct,ef
σs = 1.0 ×k(h) ×
h2 ×
fct,ef
fyk [cm2/m/face]
k = k(h) (deformação imposta) ≅ 0.85
kc = 1.0 (tracção pura)
Act= 1.0 m 0.52 = 0.25 m
Asmin = 100 ×25×1.0× 0.85 ×2.9500 = 12.3 cm2/m (φ16//0.15)
Varanda (consola)
Um caso semelhante, mas agora devido a uma retracção ou abaixamento de
temperatura diferencial entre o exterior e interior de um edifício, é o de varandas.
h = 0 .2 0
Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje
interior constituir um impedimento ao livre
encurtamento da consola devido a variações de
temperatura e/ou retracção.
É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio:
As.min = kc k Act fct,ef
σs= 1.0 × k(h) × h ×
fct,ef
fyk [cm2/m]
k = k(h) (deformação imposta) = 1.0
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 191
kc = 1.0 (tracção pura)
Act = 1.0 × 0.22 = 0.10 m
As,min = 100 × 1.0× 1.0 × 2.9500 = 5.8cm2/m (φ10//0.125)
(ii) Armadura mínima de flexão simples (considerand o A ct =Ac/2)
Expressão geral: As.min = k kc Act fct.ef
σs
Esta armadura mínima é necessária, por exemplo, para o caso de uma deformação
imposta que gere um efeito de flexão em serviço, como um assentamento diferencial
de apoio numa viga hiperstática. Então temos:
As,min = 1 × 0.4 × Ac
2 × 3
400 = 0.15% Ac
Verifica-se que, como seria de esperar e já foi atrás referido, é da mesma ordem de
grandeza do definido no Módulo 2 para secções rectangulares também de acordo com
o EC2, para assegurar uma rotura dúctil de flexão.
Naquela expressão considerou-se:
k = 1.0 (situação de deformação imposta sem gerar tensão auto-equilibrada)
kc = 0.4
1-
σc k1 (h / h*) fct,ef
= 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal)
fct,ef ≈ 3 MPa
σs = fyk = 400MPa (A400)
(iii) Armadura mínima em banzos traccionados
Quando uma viga de betão armado com banzos traccionados fendilha, aos banzos é
imposta uma deformação, e mesmo que na alma exista armadura suficiente para
garantir a segurança á rotura, as zonas laterais vão fendilhar e precisam de ter uma
armadura mínima (ver figura) para que as fendas sejam repartidas e com aberturas
aceitáveis.
Pode também, em secções em caixão, haver deformações impostas relativas entre
banzos e almas de espessuras diferentes, que geram distribuições de tracções
semelhantes aos das consolas (i). Havendo essa possibilidade é exigido também, por
essa via, a disposição de armadura mínima.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 192
Num caso e noutro a deformação de comportamento entre ter essa quantidade de
armadura ou não está representado na figura seguinte.
Apresenta-se seguidamente a avaliação das armaduras mínimas para este tipo de
elementos no caso da acção de um momento positivo.
h h
M M
(+)
σ(-)
ou
quase tracção pura
As.min = kc k Act fct,ef
σs = 1.0 × 0.9 × Act×
fct,ef
fyk (cm2) ⇒ Asmin/m = 1.0 × 0.9 × 100 ×
h2
fct,ef
fyk (cm2/m/face)
k = 1.0 (efeito de uma carga)
kc = 0.9 Fcr
Act fct,ef ≈ 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o
diagrama de tensões ao longo do banzo é quase constante)
Se h = 0.25 m; fct,ed = 3 MPa e fyk = 500 MPa ⇒ Asmin/m/face = 7.5 cm2/m/face ⇒
φ12//0.15
(iv) Armadura de alma (para vigas com h > 1m)
É conhecido que, nas almas de vigas altas, se se tiver uma distribuição só com
armadura na zona inferior, a fendilhação nesta zona é distribuída, mas com tendência
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 193
a concentrar-se na alma (fenómeno denominado, em geral, por arborescência)
originando aí fendas com aberturas maiores e não aceitáveis (esquema seguinte).
Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima que pode ser
calculada por metro a distribuir nas duas faces da alma. Este é um fenómeno
semelhante ao dos banzos traccionados mas numa zona restringida superior e
inferiormente, respectivamente, pela compressão e armadura principal, sendo,
portanto, mais favorável. O EC2 propõe adoptar uma percentagem de armadura um
pouco inferior, ou seja com k kc = 0.5:
As.min = kc k Act fct,ef
σs = 0.5 × Act ×
bh2 ×
fct,ef
fyk (cm2) ⇒ Asmin/m = 0.5 × 100 ×
b2 ×
fct,ef
fyk (cm2/m/face)
Se h = 0.30 m; fct,ef = 3 MPa e fyk = 500 MPa ⇒ Asmin = 4.5cm2/m/face ⇒ (φ10//0.15)
A armadura calculada, deverá, em princípio e por simplificação, ser extendida a toda a
alma, visto que, numa viga contínua a zona traccionada da alma está em baixo na
zona do vão, e em cima nos apoios.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 194
EXERCÍCIO 3.3
Considere a estrutura da figura seguinte:
S1S2
10.00 3.50
cp
3.50
sc
1.00
1.00
0.20 0.20
0.15
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
sobrecarga = 40.0 kN/m
Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5
a) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e
pormenorize a secção transversal.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 195
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.3
ALÍNEA A )
1. Armadura mínima de flexão
Act
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a
flexão simples)
As.min = kc k Actfct.ef
σs = 0.4 × 1.0 ×
0.20 × 1.02 ×
2.2400 × 104 = 2.2cm2 a colocar junto à face
inferior de cada alma
2. Armadura no banzo
Act
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.9 (para banzos, considerando que o diagrama de
tensões ao longo do banzo é constante)
As.min/m = 0.9 × 1.0 × 1.0 × 0.15
2 × 2.2400 × 104 = 2.23 cm2/m/face ⇒ (φ8/0.20)
4.46 cm2 / 2 faces = 2.23 cm2/face
3. Armadura de alma
Act
h/2
kkc = 0.5 [valor médio proposto no EC2]
As.min/m = kc k Actfct.ef
σs ⇒ Asmin/m = 0.5 ×
0.202 × 1 m ×
2.2400 × 104 = 2.75 cm2/m/face ⇒
(φ8/0.15)
Embora para um momento com um dado sinal a armadura de alma não seja
necessária junto à zona comprimida, sob o ponto de vista prático essa armadura é
disposta em toda a alma sendo mais fácil calculá-la por metro (de altura).
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 196
2.3. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO RELATIVOS AO ASPE CTO E À DURABILIDADE
Na ausência de requisitos específicos (impermeabilização, por exemplo), para
elementos de betão armado, o EC2 estabelece os seguintes limites, de aberturas de
fendas, em função do ambiente envolvente (as classes de exposição estão clarificadas
no Modulo 4):
Classe de exposição Valores recomendados
de wmax [mm]
X0, XC1 0.4
XC2, XC3, XC4
XD1, XD2
XS1, XS2, XS3
0.3
Estes limites resultam dos conhecimentos actuais que apontam para que fendas com
aberturas, não superiores a valores da ordem de 0.3 a 0.4 mm, não são prejudiciais no
processo de contrariar o desenvolvimento de degradação por corrosão das armaduras.
O limite mais folgado de abertura de fendas definido para o caso das classes de
exposição X0 e XC1, é apresentado como um limite, apenas para garantir um
aspecto aceitável do elemento . Por outro lado, para casos especiais de tanques com
necessidades de garantir certos níveis de estanquidade, disposições mais exigentes
são requeridas (ver EC2 – 3).
A abertura máxima de fendas deve ser calculada para a combinação de acções
quase-permanentes, que actuam a estrutura quase constantemente ao longo do
tempo.
2.4. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2)
É possível, em geral, limitar as aberturas das fendas a valores aceitáveis como os
acima referidos, e evitar uma fendilhação com valores de aberturas não controladas,
caso se utilizem as disposições e quantidades mínimas de armadura atrás referidas, e,
ainda, de acordo com o EC2, que:
para fendilhação provocada, essencialmente, por deformações impostas
impedidas, se limitem os diâmetros dos varões a utilizar em função da tensão na
armadura no instante após a fendilhação (Quadro 7.2N);
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 197
para fendilhações causadas principalmente por cargas aplicadas se limitem ou
os diâmetros dos varões (Tabela 7.3N) ou o espaçamento entre varões (Tabela
7.3), ambos função da tensão na armadura, para os esforços correspondentes à
combinação de acções em causa.
Na página seguinte apresentam-se os Quadros do EC2 sobre esta matéria e os
comentários associados.
Para cargas aplicadas poderá estimar-se, numa 1ª aproximação, a tensão nas
armaduras para uma combinação em serviço, considerando que:σs≈ Mcomb.serviço
MRd × fyd.
Está a se admitir para a combinação fundamental de acções, uma tensão fyd, e que o
braço em serviço é o mesmo. Evidentemente que σs deve ser melhor avaliado como
indicado no §2.1.2.1.
Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se, efectivamente,
considerando σs = fyk. No entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o
estabelecido na tabela 7.2N, para assegurar a abertura máxima de fendas requerida
deverá adoptar-se o par (σs, φ) que respeita o controlo indirecto daquele valor. Por
outro lado, a armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de As,min
considerando esse valor de σs.
De notar que os Quadro foram definidos para certas hipóteses de valores dos
parâmetros e que se são referidas duas expressões, para a tracção e flexão, de
correcção para outras condições.
Refira-se, finalmente, que nos casos da restrição à deformação imposta se verificar só
ao longo dos bordos, como no caso do muro e da varanda, atrás exemplificados, a
avaliação de armadura não é um problema tecnicamente resolvido. No entanto,
aconselha-se, neste momento, a sua avaliação, como apresentado nos exemplos.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 198
Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões φ*s para controlo da fendilhação1
Tensão no aço2 [MPa]
Diâmetros máximos dos varões [mm] wk= 0,4 mm wk= 0,3 mm wk= 0,2 mm
160 40 32 25
200 32 25 16
240 20 16 12
280 16 12 8
320 12 10 6
360 10 8 5
400 8 6 4
450 6 5 -
NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses:
c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0;
kt = 0,4
2. Para as combinações de acções apropriadas
Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1
Tensão no aço2 [MPa]
Espaçamento máximo dos varões [mm] wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm
160 300 300 200
200 300 250 150
240 250 200 100
280 200 150 50
320 150 100 -
360 100 50 -
Para as Notas, ver o Quadro 7.2N.
O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir:
Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão):
φs= φ∗s (fct,eff /2,9)
k h
( h - d )
c cr
2
(7.6N)
Tracção (tracção simples):
φs = φ∗s (fct,eff/2,9)hcr/(8(h-d)) (7.7N)
em que:
φs diâmetro modificado máximo dos varões;
φ∗s diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N;
h altura total da secção;
hcr altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores
característicos do pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de
acções;
d altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras;
Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras
à face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas
faces).
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 199
3. Estado Limite de Deformação
As estruturas sob a acção das diferentes solicitações deformam-se havendo
necessidade de limitar essa deformação a limites aceitáveis do ponto de vista do
aspecto, da funcionalidade da estrutura e do controlo de danos em elementos não
estruturais, assentes sobre a estrutura.
Assim, não são facilmente aceitáveis:
- Pelos utilizadores, pavimentos cuja deformação seja visível, em particular em obras
com níveis superiores de exigência.
- Para o bom funcionamento dos sistemas de drenagem das coberturas dos edifícios,
flechas que dificultem ou inviabilizem o esquema previsto.
- Fendas bem visíveis nas alvenarias de fachada ou interiores em edifícios, ou de
danos em caixilharias, acabamentos, etc., sinais de menor qualidade de construção
e, no caso das paredes exteriores, definindo caminhos preferenciais de entrada de
humidades.
3.1. LIMITES DE DEFORMAÇÃO
Os limites a definir para a flecha numa estrutura não são facilmente definíveis pois a
fronteira do que é ou não possível aceitar não é absoluta. Resulta, em muito, do que
tem sido observado, ao longo dos anos, em situações de deficiente e bom
comportamento. A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites
para diferentes tipos de utilização dos pisos. De qualquer maneira, para os casos
correntes de edifícios de escritórios, comerciais ou de habitação, o EC2 (parágrafo
7.4.1), seguindo as recomendações da norma acima referidas, define os seguintes
objectivos máximos de deformação, em função do vão:
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 200
L250 para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes
L500 para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das
divisórias. Este limite pode ser adaptável face à sensibilidade da solução construtiva.
Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e
apoio e o ponto de flecha máxima. Isto é, em particular nos pisos elevados de um
edifício, a deformação dos pilares deve ser descontada, apesar de, em geral, não ser
muito significativa.
Refira-se que, para pontes , os limites usuais, embora não limitados de forma
absoluta, apontam para valores da ordem de L/1000 .
Note-se o facto dos limites de deformação estarem associados à dimensão do vão,
limitando-se, assim, a inclinação da deformada.
Um aspecto importante salientar é que, como estratégia de dimensionamento, se
devem prosseguir objectivos, com alguma folga, em relação aos limites acima
referidos.
3.2. QUESTÕES NA AVALIAÇÃO E NA LIMITAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
Para a avaliação das deformações em estruturas de betão armado há que ter, em
particular atenção as suas características de comportamento em serviço. Ora
enquanto não fendilhadas e para efeitos de comportamento a curto prazo, a
deformação das estruturas de betão dependem do módulo de elasticidade do betão,
com uma pequena influência das armaduras (ver esquema abaixo).
a
p
M
1/r
EI I
curvatura: 1 r =
M EII
deslocamento: a = ⌡⌠
L 1 r
–M dx a =
1 EII
⌡⌠L M –M dx (P.T.V.)
–M − diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 201
No entanto, compreende-se que, a fendilhação , correspondente a uma perda de
rigidez, embora localizada numa zona, afecta a deformação global.
Ora, como já discutido no Módulo 1, coloca-se desde logo a necessidade de:
Avaliar as relações momentos-curvatura das zonas fendilhadas.
Considerar uma distribuição de curvaturas ou, equivalentemente, de
rigidezes, tendo em conta o comportamento ao longo dos elementos.
Na figura que se segue mostra-se como nas zonas fendilhadas (submetidas a esforços
superiores aos de fendilhação) as curvaturas definidas, com base em relações médias,
são maiores do que as esperadas para um comportamento em Estado I.
Mcr
M
Estado II
Estado IM
1/r
EII
EIII
p
McrM
1r
Por forma a se ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma
curvatura média para cada zona do elemento, que os ensaios experimentais
mostraram estar entre os conhecidos Estados I e II. Esta resposta era expectável pois
a participação do betão à tracção entre fendas faz com que a deformação seja inferior
à do Estado II em que se despreza todo o betão à tracção.
Uma constatação interessante dos resultados experimentais é a perda de rigidez muito
significativa logo após a fendilhação, no denominado processo de formação de fendas,
a que se segue uma certa nova rigidificação depois da fendilhação estabilizada até ao
início da cedência do aço.
A curvatura média que é proposta tem um andamento que reproduz,
aproximadamente, as características principais do comportamento experimental.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 202
M
M M
M
(1-τ)s τs
s
I II
IIEIII
1/r
M
Mcr
EII
MI
(1/r)I (1/r)m (1/r)II
Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura
média pode ser calculada através de uma ponderação entre as curvaturas em estado I
e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ):
1 rm = (1 - ττττ)
1 rI
+ ττττ 1
rII
com τ = 1 - β1 β2
σsr
σs 2
Este coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples, pode ser obtido através
da seguinte expressão, devido à relação directa momentos-tensões.
ττττ = 1 - ββββ1 ββββ2
Mcr
M
2
para M > Mcr
onde,
β1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões
(β1 = 1.0 para varões de alta aderência; β1 = 0.5 para varões aderência
normal);
β2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0
para uma única carga de curta duração; β2 = 0.5 para cargas actuando
com permanência ou para vários ciclos de cargas);
σsr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado)
resultante da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;
σs – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado)
resultante da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular
a flecha.
Notar que se M < Mcr ⇒ τ = 0 ⇒ 1
rm = 1
rI
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 203
Verifica-se, então, que a avaliação da deformação de uma estrutura de betão armado
pode se basear na resposta elástica a curto prazo, considerando a secção não
fendilhada de betão, com uma posterior correcção. Esta pode ser conseguida por um
coeficiente, bem calibrado, que tenha em consideração as perdas de rigidez conjunta
por fendilhação e fluência do betão. Essa é uma opção possível e prática, que dá
origem ao denominado método dos coeficientes globais , que temos vindo a propor
na disciplina.
Antes de expor a metodologia para avaliação dos coeficientes globais é interessante
realçar os principais parâmetros que afectam a deformação das estruturas em geral, e
dos sistemas vigados, com ou sem continuidade, em particular. Como se ilustra na
figura seguinte e verifica na expressão base de avaliação das flechas,
ac = K pL4 EI
a defomação depende das condições de fronteira , associada ao parâmetro, k, e tem
uma fortíssima dependência do vão e da inércia, em particular da altura pois, tem-se,
por exemplo, para uma secção rectangular, a seguinte relação flecha/vão:
I = bh3 12 ⇒
ac L = K
12 p b E
L
h
3
p
Lac
Relembre-se que o coeficiente, k, toma os valores de 5/385, 1/184.6 e 1/385,
respectivamente, nos casos de vigas simplesmente apoiadas, apoiadas/encastradas e
bi-encastradas, o que mostra a importância do grau de continuidade de uma viga na
deformação.
Tendo em consideração as condições de fronteira, a esbelteza e, ainda, as influências
da fendilhação, fluência do betão e da sua retracção, foi possível definir, no âmbito do
EC2, e de forma mais ou menos equivalente ao feito noutros códigos, um quadro que
permite o controlo indirecto (sem cálculo explícito) dos limites de deformação atrás
referidos, pela consideração de uma esbelteza, (L/h), mínima .
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 204
Quadro 7.4N – Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão
armado sem esforço normal de compressão
Sistema estrutural
K Betão fortemente solicitado
ρ = 1,5 %
Betão levemente solicitado
ρ = 0,5 %
Viga simplesmente apoiada, laje
simplesmente apoiada armada numa
ou em duas direcções
Vão extremo de uma viga contínua ou
de uma laje contínua armada numa
direcção ou de uma laje armada em
duas direcções contínua ao longo do
lado maior
Vão interior de uma viga ou de uma
laje armada numa ou em duas
direcções
Laje sem vigas apoiada sobre pilares
(laje fungiforme) (em relação ao maior
vão)
Consola
1,0
1,3
1,5
1,2
0,4
14
18
20
17
6
20
26
30
24
8
NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é
possível utilizar elementos mais esbeltos.
NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor
vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.
NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma
limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.
Assim, para um dado vão e condições tipo de continuidade, é possível ter um valor
mínimo de altura para assegurar condições de deformabilidade aceitáveis, desde que,
tenham sido adoptadas quantidades de armadura que verifiquem as condições de
segurança à rotura .
Verifica-se no quadro que para maiores percentagens de armadura (situação usual
nas vigas) o limite de esbelteza é mais exigente (menor) do que nas lajes (menores
percentagens de armadura). Quando na rotura se precisa de mais armadura, a zona
comprimida é maior, e para um nível equivalente de tensões no aço em serviço, a
curvatura é maior e, portanto, mais desfavorável para a deformação.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 205
Naturalmente que os valores resultantes da aplicação do quadro devem ser
conservativos e, portanto, são possíveis, soluções mais esbeltas, desde que a
deformação seja devidamente avaliada.
No entanto realce-se que o limite de esbelteza para controlo da deformabilidade é
muito mais condicionante para as lajes do que das vigas. Para estas, como se pode
ver no Quadro, para valores de l/h correntes em edifícios, entre 8 a 14, e
independentemente das condições de fronteira, está-se na banda de valores
aceitáveis, deste ponto de vista. Conclui-se, então, que as dimensões das vigas são,
por um lado, condicionadas em geral pela verificação da segurança à rotura e, por
outro lado, as vigas são extremamente eficientes como elementos es truturais de
limitação das deformações nos pisos estruturais .
3.3. AVALIAÇÃO DIRECTA DA DEFORMAÇÃO
No que se segue explicar-se-á o essencial para a avaliação explícita da deformação
de uma viga ou de uma laje de betão armado, de acordo com o método dos
coeficientes globais, atrás referido, começando-se por analisar a avaliação das
curvaturas em Estados I e II.
3.3.1. Cálculo da curvatura em estado I
No Estado I a influência das armaduras não é muito significativa na deformação das
estruturas de betão armado, quer a curto prazo, quer no que respeita aos efeitos da
fluência e da retracção. No entanto, na realidade as armaduras rigidificam um pouco a
secção, sob a acção de cargas e, se a sua distribuição não for simétrica, contribuem
para o aumento da deformação por efeito da retracção.
Cada um destes efeitos foi matematicamente expresso e depois representado
graficamente em trabalhos do Comité Europeu do Betão (CEB) nos inícios dos anos
80, estando reproduzidos, em detalhe, no Volume das Tabelas da disciplina.
A curvatura em estado não fendilhado pode ser avaliada através da expressão:
1 rI
= ks1× 1
rc + kϕ1 × ϕ × ks1
1 rc
+ 1
rcs1 ,
Onde,
1 rc
– curvatura base elástica:
1
rc =
M Ec Ic
ks1 – coeficiente que considera, a acção das armaduras, a curto prazo, sendo
naturalmente inferior a 1, e tanto menor quanto maior a % de armadura.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 206
ϕ – coeficiente de fluência que dá o incremento da deformação de curto prazo,
se não houvesse armaduras.
kϕ1 – coeficiente que quantifica o grau de restrição que a armadura oferece ao
incremento de deformação por fluência do betão (efeito equivalente ao ks1,
mas agora ao incremento de deformação a longo prazo)
1rcs1
-
1
rcs1 = kcs1
εcs d
Esta parcela é independente das restantes pois não tem nada a ver com as
cargas, e permite a avaliação da curvatura por retracção, que depende, no
essencial, da maior ou menor simetria na distribuição das armaduras na secção.
3.3.2. Cálculo da curvatura em estado II
Para o Estado II, isto é, secção fendilhada sem considerar o betão à tracção é possível
proceder exactamente ás mesmas hipóteses e definir coeficientes equivalentes. Desta
forma pode escrever-se a equação:
1 rII
= ks2× 1
rc + kϕ2 × ϕ × ks2
1 rc
+ 1
rcs2 ,
Com
1
rcs2 = kcs2
εcs d
De notar que ks2 é, naturalmente maior que 1, pois representa a relação entre a
curvatura da secção do Estado II com a avaliada só com betão (ver gráfico
exemplificativo)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 207
Este gráfico representa a perda de rigidez, que é significativa, função da quantidade
de armadura, do Estado I para o II, sendo tanto maior quanto menor a quantidade de
armadura. Saliente-se que para uma percentagem, ρ, de armadura de flexão principal
de 0.75% (aproximadamente, 5 vezes a mínima), αρ vale 0.052 a que corresponde
uma relação de rigidezes III/Ic da ordem de 1/5.
Os restantes coeficientes têm um significado semelhante sendo que kϕ2 é
necessariamente muito pequeno pois, numa secção fendilhada, a restrição ao
aumento da deformação ao longo do tempo é grande. Repare-se que a zona
traccionada só pode, quando muito, ajustar um pouco a sua deformação, pois é só aço
e este não flui.
3.3.3. Cálculo das deformações
Tendo a distribuição de momentos, para uma dada combinação de acções e podendo
avaliar a curto ou longo prazo a curvatura média em qualquer zona da viga, a
deformação resulta directamente do integral (ver também a figura):
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 208
a = ⌡⌠
L 1 r
–M dx
1
M
p
Mcr
a
M
1r
No entanto, em termos de implementação mais rápida definem-se seguidamente dois
métodos, o método bilinear que é referido no EC2, ou o dos coeficientes globais ,
que resulta daquele e que permite uma avaliação mais directa da deformação,
mediante hipóteses simplificativas que se descrevem.
3.3.3.1 Método Bilinear
Trata-se de avaliar a deformação das vigas, por um lado, como não fendilhadas e, por
outro lado, em Estado II, sem betão à tracção.
Conhecidos os materiais e a distribuição de armaduras é possível determinar os
coeficientes atrás definidos para uma secção determinante .
i) Cálculo dos coeficientes
ks1, kϕ1, kcs1, ϕ e ks2, kϕ2, kcs2
ii) Cálculo do coeficiente de repartição, τ
A hipótese considerada é de tomar um momento intermédio na zona fendilhada para
efeitos da avaliação do coeficiente de repartição, tal que:
M = MD Mcr ⇒ τ = 1 - β1 β2 Mcr MD = constante
onde MD representa o momento na secção determinante , ou seja o maior na zona.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 209
Sabendo que a flecha no vão depende das curvaturas no vão, mas também do que se
passa sobre os apoios, podemos tomar um valor ponderado, tendo em consideração
essas zonas, como se mostra nos seguintes exemplos.
Secções determinantes (secções de momentos máximos)
τ = τvão
τ = τapoio
τ = 2 τvão + τapoio
3
τ = τapoio 1 + 2 τvão + τapoio 2
4
A flecha pode então ser obtida função da dos Estados I e II tomando τ constante.
iii) Cálculo de flechas
τ = constante ⇒ a = ⌡⌠
0
L
1 rm
–M dx =
⌡⌠
0
L
(1 - τ)
1 rI
+ τ 1
rII –M dx = ⇔
⇔ a = (1 – τ) ⌡⌠
0
L 1rI –M dx + τ
⌡⌠
0
L 1rII
–M dx ⇔ a = (1 - ττττ) aI + ττττ aII
com aI = ⌡⌠
0
L
ks1 (1 + kϕ1ϕ) ×
1 rc
+ kcs1 εcs d
–M dx
aII = ⌡⌠
0
L
ks2 (1 + kϕ2ϕ) ×
1 rc
+ kcs2 εcs d
–M dx
Tomando uma secção como determinante , ter-se-iam coeficientes constantes e
portanto:
aI = ks1 (1 + kϕ1ϕ) ⌡⌠
0
L
1 rc
–M dx + kcs1
εcs d
⌡⌠0L
–M dx
aII = ks2 (1 + kϕ2ϕ) ⌡⌠
0
L
1 rc
–M dx + kcs2
εcs d
⌡⌠0L
–M dx
Em que o integral associado à curvatura elástica, corresponde à deformação elástica
da viga, a c.
Este é o método bilinear , que para mais fácil implementação pode ser proposto na
forma do método dos coeficientes globais , como se mostra de seguida.
Assim, desprezando a parcela da retracção tem-se:
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 210
aI = ks1 (1 + kϕϕϕϕ1ϕϕϕϕ) ac e aII = ks2 (1 + kϕϕϕϕ2ϕϕϕϕ) ac
Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a
a = (1 - τ) aI + τaII = (1 - τ) ks1 (1 + kϕ1ϕ) ac + τ ks2 (1 + kϕ2ϕ) ac ⇔
⇔ a = [ ](1 - τ) ks1 (1 + kϕ1ϕ) + τks2 (1 + kϕ2ϕ) ac = k ac
Neste caso define-se, portanto, um coeficiente global, k, que afecta directamente a
deformação elástica, tal que:
a = k ac
Este coeficiente, k, foi avaliado para diferentes valores de armaduras, ρ, e níveis de
fendilhação, Mcr/MD, tendo sido desenvolvidos gráficos de fácil consulta para a
avaliação, como o indicado seguidamente admitindo uma situação de curto prazo e 1º
carregamento, k0, e outra de longo prazo, k t, para um coeficiente de fluência de 3.5.
Para outras situações e para a consideração da retracção, outros gráficos são
disponibilizados nas Tabelas da disciplina.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 211
Então para a aplicação do Método dos Coeficientes Globais temos então que:
a) Cálcular o deslocamento a c considerando um modelo elástico linear e rigidez de
flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.
b) Avaliação de coeficientes K para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a
fluência, para as secções determinantes.
Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 ac (h/d)3 (tabelas pág. 97)
Deslocamento a longo prazo (t = ∞): at = η kt ac (h/d)3 (tabelas págs. 98 e 99)
ac – flecha base (por exemplo tabelas páginas 154 e 155 ou cálculo elástico de
estrutura)
k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da
fendilhação (função de d/h, αρ, Mcr / MD ).
kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da
fendilhação e da fluência (função de ϕ, d/h, αρ, Mcr/MD) em que α é sempre
avaliado com o módulo de elasticidade instantâneo do betão.
η – coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de
compressão (função de ρ’/ρ, αρ, ϕ) – ver volume de tabelas
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 212
c) Definição de um coeficiente global único por uma ponderação equivalente á
definida para o coeficiente de repartição, tal que:
k = kvão
k = kapoio
k = 2 kvão + kapoio
3
k = kapoio 1 + 2 kvão + kapoio 2
4
E, avaliação da deformação, a curto ou a longo prazo, tal que:
a0 = k0 ac e at = k t ac
Refira-se que, para avaliar o incremento de deformação ao longo do tempo, após a
colocação das paredes de alvenaria ou outra solução de comportamento frágil, há que
subtrair à avaliação da deformação total prevista a deformação a curto prazo para o
peso próprio e das cargas actuantes nessa fase. Portanto as verificações
regulamentares serão:
Em geral:
at (g + ψψψψ2 q) = k t ac (g + ψψψψ2 q) ≤≤≤≤ L/250
Com paredes de alvenaria ou outros acabamentos frágeis:
at (g + ψψψψ2 q) = k t (g + ψψψψ2 q) - k 0 ac (pp + par.) ≤≤≤≤ L/500
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 213
EXERCÍCIO 3.4
Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1)
0.55 0.60
5.00
0.30
p
3φ20
Materiais: C25/30
A400 NR
Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 214
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.4
1. Cálculo da flecha elástica
a) Pelo P.T.V.,
DMF[kNm]
(+)
pfr
D 1/R62.5
Mmax = p L2
8 = 20 × 52
8 = 62.5 kNm
1 R =
M EI
1.25m
(+)
1
DMF [m]
Mmax = P L
4 = 5 4 = 1.25 m
a= ⌡⌠
L 1r
–M dx =
⌡⌠
L M
–M
EI dx = 1EI ×
53 × 62.5 × 1.25 ×
1 +
2.52
52 = 9.88 × 10-4m
(tabelas pág. 153)
E = 30.5 × 106 kN/m2
I = 0.3 × 0.63
12 = 0.0054 m4 ⇒ EI = 164700 kNm2
b) Por tabelas (pág. 154)
δ = 5
384 × pL4
EI = 5
384 × 20 × 54
164700 = 9.88 × 10-4 m ⇒ ac = 9.9 × 10-4m
2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais)
(Considera-se ϕ = 2.5)
α = Es
Ec =
200 30.5 = 6.6
ρ = As
bd = 9.42 × 10-4 0.3 × 0.55 = 0.0057
⇒αρ = 0.038
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS) 215
Mcr = W × fctm =
bh2 6 × fctm =
0.30 × 0.602 6 × 2.5 × 103 = 45kNm
Mfr = 62.5kNm > Mcr
⇒ Mcr
Mfr = 0.72
(ϕ = 2.5) ⇒ kt = 3.75
ρ’ = As' bd = 0 ⇒ ρ’/ρ = 0 ⇒ η = 1
at =
h
d
3
η kt ac =
0.60
0.55
3
× 3.75 × 9.9 × 10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm
3. Cálculo da flecha instantânea
αρ = 0.038
Mcr Mfr
= 0.72 (Acções repetidas) ⇒ k0 = 2.3
a0 =
h
d
3
k0 ac =
0.60
0.55
3
× 2.3 × 9.99 × 10-4 = 0.003 m = 3 mm
ESTRUTURAS DE
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES
ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL
ESTRUTURAS DE BETÃO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 6
DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES
ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL
DESPREZÁVEL
Ano Lectivo 2012/2013
DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES
ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO
ÍNDICE
1. FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA ..................... .............................................................. 216
1.1. RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA .................................................................................... 216
1.1.1 DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA ............................................................... 216
1.1.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES .......................................................... 217
1.2. FLEXÃO DESVIADA ............................................................................................................ 221
1.2.1. Rotura convencional ................................................................................................ 221
1.2.2. Determinação dos esforços resistentes .................................................................. 221
1.3. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES .......................................................................... 224
1.3.1. Armadura longitudinal ............................................................................................. 224
1.3.2. Armadura longitudinal ............................................................................................. 225
1.3.3. Armadura transversal .............................................................................................. 225
2. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE
ÚLTIMOS .................................................................................................................................. 232
2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS .................................................................... 232
2.2. ESBELTEZA ....................................................................................................................... 232
2.3. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS ........................................................................................... 233
2.3.1. Excentricidade inicial ............................................................................................... 234
2.4. IMPORTÂNCIA DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM E TIPOS DE ROTURA ASSOCIADOS ........................ 235
2.5. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM ....................................................................... 237
2.5.1. Métodos de análise simplificados............................................................................ 238
2.5.2. Método da curvatura nominal .................................................................................. 240
2.5.3. Método da rigidez nominal ...................................................................................... 246
2.6. DISPENSA DA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ENCURVADURA .... 247
3. ESTRUTURAS EM PÓRTICO .............................................................................................. 257
3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS ..................................................................................... 257
3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA ..................................................................................... 258
3.3. EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM ESTRUTURAS PORTICADAS OU MISTAS ......... 260
3.4. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS ...................................................................... 260
3.4.1. Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de
segunda ordem possam ser desprezados ........................................................................ 261
3.4.2. Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de
segunda ordem não possam ser desprezados ................................................................. 261
3.4.3. Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados ............... 262
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
216
1. Flexão Composta e Desviada
O comportamento do betão armado em flexão composta (flexão + esforço axial) em
seviço e na rotura (como vamos analisar no que se segue) não é mais do que a
generalização da flexão simples. A flexão desviada , por sua vez, corresponde à
situação de se poder verificar a flexão, simultaneamente nas duas direcções
principais.
1.1. RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA
A capacidade resistente de um elemento de betão armado á flexão composta, como
se verá de seguida ou à flexão desviada (flexão em duas direcções, com ou sem
esforço axial) como se analisará posteriormente, é baseada na definição de extensões
máximas para o betão ou para o aço.
Os critérios de deformações limites para a secção são os mesmos da flexão simples,
sendo que, naturalmente, com um esforço axial de compressão, a tendência seja para
que a zona comprimida de betão seja maior. Assim temos:
εs ≤ εud
εc(-) ≤ 3.5‰
Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰
Extensões uniformes
Extensões não uniformes
1.1.1 DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA
Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5
zonas com diagramas associados à rotura:
σc εc
(-)
2‰
(-)
2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰
ou
εc = 3.5‰
(-)
fcd
00
2‰
fcd
εud
εud
As2
As1
MN 1
02‰3.5‰
2‰ εsyd
2
3
45
Compressão Tracção
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
217
Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (εs1 = εud, εs2≤εud)
Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (εs1 = εud, εc(-)≤ 3.5‰)
Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (εyd≤εs1≤ 10‰, εc(-) = 3.5‰)
Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (εs1≤εyd, εc(-) = 3.5‰)
Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤εcmáx≤ 3.5‰)
De uma forma equivalente ao referido para a flexão simples podemos referir que:
Zonas 1, 2 e em parte da zona 3 a rotura tem boas características de ductilidade.
Parte da zona 3 e zonas 4 e 5 com rotura tendencialmente mais frágil. Esta
característica pode ser contrariada, como referiremos mais tarde, com a adopção
de armadura transversal, dita de confinamento. Com bom confinamento, o betão
interior às cintas pode ter deformações bem superiores aos 3.5‰ e, assim, melhora
a ductilidade global.
1.1.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES
Ora, definidos os inúmeros diagramas de extensões a que representam situações
últimas, pode-se, para cada um deles, conhecer a distribuição de tensões e,
posteriormente, determinar o par de esforços (Mrd, Nrd) correspondente.
Esse procedimento para um determinado diagrama de rotura, de uma secção com
dois níveis de armadura (As1 e As2) está representado na figura seguinte.
A coordenada, y, pode ser definida em relação ao centro geométrico da secção ou em
relação ao nível da armadura inferior, sendo mais conveniente adoptar a primeira
hipótese, pois é em relação a esse ponto que são, em geral, referidos os esforços
actuantes.
Equações de Equilíbrio:
• Equilíbrio axial: Fc + Fs2 - Fs1 = NRd
• Equilíbrio de momentos: Fc × yc + Fs2 × ys2 + Fs1 × ys1 = MRd
As1
As2 MRd
NRd
(-)
(+)
εc
εs2
εs1
Fc
Fs1
Fs2
yc ys2
ys1
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218
Assim, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd - MRd
Se generalizar o procedimento, para todos os possíveis diagramas de rotura, obtem-se
(ver figura seguinte):
(i) O diagrama de interacção NRd - MRd (fig. a) para aquela secção e quantidade de
armadura.
(ii) Os diferentes diagramas de capacidade resistente (fig. b), se repetirmos o processo
para várias quantidades de armadura.
a) Diagrama de interacção, NRd - MRd para
uma dada distribuição de armaduras,
b) Diagrama de interacção para várias
quantidades de armadura
Em termos práticos, o diagrama de interacção representa a envolvente resistente da
secção de tal maneira que, para qualquer par de esforços actuantes, Nsd - Msd, no
contorno ou interior a essa envolvente, a segurança está verificada.
Se, de uma forma equivalente ao desenvolvido para a flexão simples, se escreverem
as equações de equilíbrio em termos de grandezas adimensionais obtêm-se as
denominadas curvas de dimensionamento , que são definidas para certas
distribuições tipo de armaduras nas secções.
As grandezas adimensionais que se definem são as seguintes:
− Esforço normal reduzido: ν = NRd
b h fcd
− Momento flector reduzido: µ = MRd
b h2 fcd
NRd
MRd
(-)
As
MRd
(-)NRd
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com esforço axial não desprezável
219
− Percentagem mecânica de armadura: ωtot = Astot b h
fyd fcd
Refira-se que o esforço axial reduzido corresponde à relação entre as tensões
média actuante e de resistência de cálculo do betão. Por outro lado, para o
momento reduzido toma-se agora a altura total, h, e não a altura útil, considerada
na flexão simples.
Na figura da página seguinte apresenta-se um desses diagramas tipo, dito de
dimensionamento, admitindo uma distribuição uniforme de armadura no contorno.
Em termos de avaliação da quantidade de armadura, para verificar a segurança,
para um parde esforços (Nsd, Msd) calculam-se os esforços reduzidos,νsd e µsd, e,
consultando os ditos diagramas de dimensionamento, determina-se a % mecânica
de armadura necessária, ωωωωtot , e de seguida o valor de As,tot . Esta quantidade de
armadura deve ser distribuído na secção de acordo com o admitido no
diagrama de dimensionamento .
É interessante chamar a atenção, desde já, que a máxima capacidade resistente
se verifica para um nível de esforço axial reduzido de 0.4. Para compreender o
efeito de uma compressão moderada na resistência à flexão da secção, considere-
se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de tensão na
rotura para as situações A e B ilustradas.
MRd,A< MRd,B
µ
ν
0.4 B
A
As2
As1
b
h
A Fs2,A
As1 fyd
Fc,A
MRd,A
NRd
MRd,B
B
As1 fyd
Fs2,B
Fc,B
Estruturas de Betão I
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220
Compreende-se que a existência de um esforço axial aumenta as resultantes de
compressão (Fc e Fs2) e, consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de
Fc. Este efeito é verificado até níveis moderados de esforço axial.
Estruturas de Betão I
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221
1.2. FLEXÃO DESVIADA
A flexão desviada corresponde à actuação simultânea de um esforço axial e de flexão
segundo os dois eixos principais.
1.2.1. Rotura convencional
Os critérios de rotura mantêm-se, tal que:
εs ≤ εud
εc(-) ≤ 3.5‰
Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰
A questão que se coloca de diferente neste caso é que a linha neutra na rotura não é
paralela a nenhum eixo principal da secção.
1.2.2. Determinação dos esforços resistentes
Considerada uma dada orientação e posicionamento para a linha neutra de uma
secção de betão armado é definido o diagrama de extensões correspondente à rotura,
como indicado na figura seguinte.
Definido o diagrama de extensões é obtido o de tensões e, consequentemente,
através das equações de equilíbrio, os esforços (NRd, MRd,y, MRd,z).
Ora:
(i) Se para cada orientação da Linha Neutra, se “varrer” a secção com todos os
possíveis diagramas de rotura.
(ii) Se se repetir o trabalho anterior para todas as orientações possíveis da Linha
Neutra.
Obtém-se um diagrama de interacção tridimensional (NRd, MRd,y, MRd,z) – ver figura
seguinte, para aquela quantidade de armadura. Representa-se também um corte para
um dado nível de esforço axial actuante.
σc
Fs1Fs2
Fc
My
Mz
(-)
ε
(+)
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222
Se se repetir o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de
base para o dimensionamento e verificação da segurança. De facto, como na flexão
composta, podem estabelecer-se as equações de equilíbrio através de grandezas
adimensionais:
− Esforço normal reduzido: ν = NRd
b h fcd
− Momentos flectores reduzidos: µy = MRd,y
b h2 fcd ; µz =
MRd,z
b2 h fcd
− Percentagem mecânica de armadura ωtot = Astot b h
fsyd fcd
Nas figuras que se seguem mostra-se como representando a calote tridimensional por
cortes para igual esforço axial, se podem obter valores de quantidades de armaduras
para esforços actuantes, νsd, µy,sd e µz,sd. Poderiam ser realizados, em alternativa,
cortes para determinadas relações µRd,y/µRd,z.
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
223
Simplificadamente, é possível, para um dado esforço axial, Nsd, fazer a verificação da
segurança em flexão desviada, utilizando só o cálculo em flexão composta, em cada
uma das duas direcções, e verificar no final a seguinte condição:
Msd,y
MRd,y
α
+
Msd,z
MRd,z
α
≤ 1.0
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224
onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os
seguintes valores:
• Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2
• Secções transversais rectangulares
Nsd / NRd ≤ 0.1 0.7 1.0
α 1.0 1.5 2.0
Refira-se que NRD corresponde à capacidade resistente da secção submetida
unicamente a esforço axial de compressão.
1.3. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES
As armaduras dos pilares devem seguir disposições que correspondam a soluções
estruturalmente eficientes, económicas e construtivamente viáveis. Os regulamentos,
por sua vez, definem disposições mínimas em termos de quantidades, afastamentos e
diâmetros de armaduras longitudinais e transversais. No que se segue referem-se as
disposições do EC 2, para estruturas em zonas de pouca sismicidade, referindo-se,
que em termos práticos em Portugal, há que ter em atenção, em particular nestas
disposições, as indicações do EC8.
1.3.1. Armadura longitudinal
(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura
As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço
utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte
expressão (EC2):
As, min = 0.10 Nsd
fyd ≥ 0.002 Ac
Trata-se de um valor dependente do valor do esforço axial, que no mínimo pode valer
0.2%. Refira-se que, em zonas de maior sismicidade o EC8 impõe um mínimo
bastante superior de 1%, o que será, em geral, mais adequado.
A quantidade máxima de armadura é dada por sua vez por:
As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de emenda)
Nota: Nas secções de emenda, poderá ter-se uma armadura até 0.08 Ac.
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
225
Valores desta ordem de grandeza devem ser evitados, pois além de serem difíceis de
implementar em termos construtivos, correspondem a soluções potencialmente de
baixa ductilidade.
É importante referir que as emendas das armaduras longitudinais devem ser
preferencialmente, na zona intermédia do pilar, sendo essa disposição obrigatória em
zonas sísmicas (ver pormenor na página seguinte).
(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento
Apresentam-se agora algumas disposições mínimas para as armaduras nos pilares.
1.3.2. Armadura longitudinal
Quanto a disposições mínimas ao longo do perímetro temos:
1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou
4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável
adoptar pelo menos 6 varões)
O diâmetro mínimo dos varões longitudinais, de acordo com o EC2 é de 8 mm, no
entanto, não se deve adoptar em pilares diâmetros inferiores a 12 mm ,
excepcionalmente, 10 mm.
1.3.3. Armadura transversal
É importante referir que a armadura transversal dos pilares têm várias funções que se
salientam seguidamente:
Cintar o betão, em particular nas extremidades, onde se concentram os maiores
efeitos de flexão.
Resistir ao esforço transverso que num pilar é constante ao longo do seu
comprimento.
Contrariar e impedir a encurvadura localizada dos varões longitudinais.
Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e
betonagem;
Refira-se que, em zonas com alguma sismicidade, as cintas devem ser mantidas na
zona dos nós de ligação com as vigas (ver no desenho).
Estruturas de Betão I
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226
Exemplo de disposição de armaduras
longitudinais num pilar
Exemplos de disposição de armaduras com
variação de dimensões do pilar em altura
a) variação pequena < 5 cm
b) variação superior
Espaçamento das cintas de acordo com o EC2:
smáx = min (20 ×φL,menor; bmin; 40 cm)
O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 smáx nos seguintes casos:
- Nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar;
Esta disposição tem em consideração melhorar a cintagem do betão e, portanto a
ductilidade da secção, nas zonas de maiores esforços de flexão.
1 - Varões do pilar inferior fora do
perímetro da secção do pilar superior
2- Varões que não se interrompem no nó
3- Varões do nível superior com amarraçãono pilar inferior
PORMENOR DOS ESTRIBOSESC. 1/10
a)
b)
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com esforço axial não desprezável
227
- Nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões
seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do
comprimento de emenda.
Esta disposição tem a ver com a resistência às tracções que se geram
perpendicularmente às emendas de varões, como apresentado no Módulo 2.
Refira-se que as disposições do EC8 nesta matéria são bastante mais exigentes, em
particular nas zonas junto às extremidades, propondo aí como mínimo, para o
espaçamento de cintas , 8 ×××× φφφφL.
Diâmetro
φcinta = max (6 mm; 0.25 φL,maior) – Recomendável: 8 mm
Forma da armadura / cintagem mínima
As formas das armaduras transversais devem seguir disposições apertadas para
garantirem eficiência de cintagem e de contrariar o risco de encurvadura dos varões
isolados.
Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por
armadura transversal.
Em zonas comprimidas, é necessário cintar todos os varões longitudinais que se
encontrem a mais de 15 cm de varões cintados (ver pormenor das secções
transversais).
Exemplos de disposição de armaduras transversais em secções rectangulares de pilares
8Ø20+4Ø163 Cintas Ø8//0.15
8Ø20+8Ø162 Cintas Ø8//0.15
4Ø20+8Ø162 Cintas Ø8//0.15
12Ø20+12Ø163 Cintas Ø8//0.15
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com esforço axial não desprezável
228
EXERCÍCIO 6.1
Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme
indicado. Dimensione e pormenorize a secção.
Nsd = -1200 kN
Msd = 150 kNm
Materiais: A400NR
C20/25
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6.1
Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)
d1≅ 0.05m
h = 0.50m⇒
d1 h = 0.10 ; A400
Esforço normal reduzido: ν = Nsd
b h fcd =
-1200 0.30 × 0.50 × 13.3 × 103 = -0.60
Momento flector reduzido: µ = Msd
b h2 fcd =
150 0.30 × 0.502 × 13.3 × 103 = 0.15
ωtot = 0.20 ⇒ Astot = ωtot b h fcd fyd
= 0.20 × 0.30 × 0.50 × 13.3 348 × 104 = 11.47cm2
Na rotura εc2 εs1
= -3.5 0 a 1 ⇒
rotura pelo betão
armaduras traccionadas não atingem a cedência
Zona
As/2
As/2
0.30
0.50
M sd
Nsd
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com esforço axial não desprezável
229
EXERCÍCIO 6.2
Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6.2
d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10
ν = Nsd
π r2 fcd =
-1400 π× 0.252 × 16.7 × 103 = -0.427
µ = MSd
2π r3 fcd =
250 2 × π× 0.253 × 16.7 × 103 = 0.152
⇒ ωtot = 0.30
Astot = ωtot×πr2 × fcd
fyd = 0.30 × π× 0.252 ×
16.7 348 × 104 = 28.3cm2
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
230
EXERCÍCIO 6.3
Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo
indicados.
Nsd = -1200 kN
Msd,y = 150 kNm
Msd,z = 100 kNm
Materiais: A400
C20/25
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6.3
Flexão desviada com esforço axial (Tabelas)
ν = Nsd
b h fcd =
-1200 0.30 × 0.50 × 13.3 × 103 = -0.60
µy = Msdy
b h2 fcd =
150 0.30 × 0.502 × 13.3 × 103 = 0.15
µz = Msdz
b2 h fcd =
150 0.302 × 0.50 × 13.3 × 103 = 0.167
Como µz > µy ⇒ µ1 = µz = 0.167 e µ2 = µy = 0.15
ν = -0.6
µ1 = 0.167
µ2 = 0.15
⇒ ωtot = 0.60
⇒ Astot = ωtot b h fcd fsyd
= 0.60 × 0.30 × 0.50 × 13.3 348 × 104 = 34.4cm2
z
0.50
0.30
y
Msdz
Msdy
Astot/4
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
231
EXERCÍCIO 6.4
Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;
Msdy = 200 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6.4
Msd =
1502 + 2002 = 250 kNm ⇒ Flexão composta
d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10
ν = Nsd
π r2 fcd =
-1400 π× 0.252 × 16.7 × 103 = 0.427
µ = MSd
2π r3 fcd =
250 2 ×π× 0.253 × 16.7 × 103 = 0.152
⇒ ωtot = 0.30
Astot = ωtot×πr2 × fcd
fsyd = 0.30 × π× 0.252 ×
16.7 348 × 104 = 28.3cm2
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
232
2. Verificação da segurança de pilares isolados aos es tados limite últimos
A verificação da segurança dos pilares pode não depender só dos efeitos das acções
avaliados com a estrutura não deformada. Neste capítulo analisamos, para os pilares
de betão armado, as recomendações regulamentares para se ter em consideração os
efeitos das deformações estruturais nos esforços actuantes de dimensionamento.
2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS
Nos elementos de betão armado não solicitados por cargas axiais, os esforços são,
em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Nestes
casos a influência da deformação da estrutura nos esforços actuantes é desprezável.
Sempre que as imperfeições geométricas ou as próprias deformações da estrutura
possam ter um efeito importante nos esforços solicitantes (em particular no caso de
pilares esbeltos), as condições de equilíbrio devem ser estabelecidas na estrutura
deformada (Teoria de 2ª ordem).
Vimos, assim que a esbelteza dos pilares é um parâmetro importante para a avaliação
destes efeitos. Revemos seguidamente esse conceito e exemplificamos em casos
simples.
2.2. ESBELTEZA
A esbelteza de um pilar é dada por: λλλλ = l0 i
onde:
l0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de
momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)
i representa o raio de giração da secção
i = I A
É fundamental compreender que o momento de inércia da secção a considerar é o
referente ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura.
Quanto maior for a esbelteza maior é a sensibilidade aos efeitos da influência do
esforço axial nos esforços de flexão, apresentando-se, seguidamente, a avaliação do
comprimento de encurvadura , para casos tipo de condições de fronteira.
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
233
Elementos contraventados
Elementos não contraventados
2.3. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS
O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do
carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento.
Os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser avaliados de forma geral
considerando a estrutura inclinada de um ângulo θi.
Para elementos isolados, estes efeitos poderão ser considerados de forma
simplificada através de uma excentricidade inicial ei ou através de uma força horizontal
equivalente Hi.
= 2L = L = 2Ll0 l0 l0
= L/2 = L l0
l0
l0
= 0.7L
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
234
Hi
NNei
L
a) Elementos não contraventados
b) Elementos contraventados
2.3.1. Excentricidade inicial
Com base na estrutura inclinada de θi a excentricidade inicial poderá ser calculada
através da seguinte expressão
ei = θi l0 / 2
onde l0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.
A inclinação θi pode ser calculada através da seguinte expressão:
θi = θ0⋅αh⋅αm
onde,
θ0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200;
αh representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do
elemento (αh = 2 / l e 2/3 ≤ αh ≤ 1);
αm representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos
verticais existente na estrutura (αm = 0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número
de elementos verticais).
Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerar-
se simplificadamente que ei = l0 / 400.
A análise dos efeitos da imperfeição geométrica podem ser avaliados considerando
uma força horizontal equivalente que deverá actuar na posição em que provoque o
máximo momento flector e pode ser obtida através das seguintes expressões:
(i) Elementos não contraventados: Hi = N θi
(ii) Elementos contraventados: Hi = 2 Nθi
= l0/2
θi θi
≅
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235
Mi = N ei Mi= Hi L
Mi = N ei Mi = Hi L/4
2.4. IMPORTÂNCIA DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM E TIPOS DE ROTURA ASSOCIADOS
No que se segue ilustram-se os efeitos de 2ª ordem mostrando-se que as condições
de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada, depois de aplicadas as
cargas.
H i NNei
L =
θi
Hi L = N ei⇒Hi = N ei/L ⇒Hi = N θi
θi
Hi L/4 = N ei⇒Hi = N (4ei/L) ⇒Hi = 2 N θi ≅ =
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236
Exemplos:
Teoria de 1ª ordem:
M = N × e
Teoria de 2ª ordem:
M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v
N × e – momento de 1ª ordem
N × v – momento de 2ª ordem
Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares, λ = l0i , como se representa
seguidamente.
- λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis
(Teoria de 1ª ordem)
- λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes
(Teoria de 2ª ordem)
Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis
se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e)
A rotura de um pilar terá, em geral, uma rotura por esgotamento da sua capacidade
resistente, com influência ou não de efeitos de 2ª ordem, como exposto, mas poderá
ter, em caso de uma esbelteza elevada, uma instabilidade elasto-plástica antes da
rotura da secção, como se ilustra de seguida.
M
N
Ne
Ne N v
1
2
N
vL
N
L
v
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
237
Relação N - M para e2=0
Elemento pouco esbelto: análise de 1ª ordem - Mu = Nu e1 ⇒ rotura da secção
Relação N - M para e2 ≠ 0
Elemento com esbelteza moderada: análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2) ⇒ rotura da
secção
Relação N - M para e2≠ 0
Elemento com esbelteza elevada análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2) ⇒ rotura por
instabilidade
2.5. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM
O cálculo rigoroso dos efeitos de 2ª ordem obriga a estabelecer as condições de
equilíbrio na estrutura deformada considerando o comportamento não linear do betão
armado. Isto significa a realização de análises não lineares da estrutura tendo em
conta as não linearidades geométricas da deformada e as não linearidades físicas dos
materiais.
Este método é designado por Método Geral sendo válido para qualquer tipo de
elemento estrutural ou estrutura submetida a qualquer tipo de carregamento.
Trata-se de uma metodologia que envolve um esforço de cálculo significativo e a sua
utilização no projecto de estruturas apenas se justifica em algumas situações
particulares.
21
Ne1
N
M
Ne1
N
Ne1 Ne2
Ne2
Nu , Mu 1 1
22Nu ,
u
2 2NC
,
C
Nu , Mu33
NC
,
C
33
N
e 1 e1
N
N
e2
e 2
3 N
N
e1
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
238
Tendo em conta a complexidade deste tipo de análises a regulamentação permite a
utilização de métodos simplificados para quantificar os efeitos de 2ª ordem.
2.5.1. Métodos de análise simplificados
O EC2 contempla a utilização de dois métodos simplificados para calcular os efeitos
de 2ª ordem:
- Método da curvatura nominal
Este método consiste em estimar a curvatura (1/r) na secção mais esforçada para
efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da estrutura a partir da qual é calculado o
momento de 2ª ordem.
- Método da rigidez nominal
O método consiste em estimar a rigidez de flexão EI do elemento estrutural a qual é
utilizada na análise linear de 2ª ordem.
Os dois métodos apresentam a mesma fundamentação conforme se demonstra a
seguir.
Considerando uma coluna bi-articulada sujeita a um esforço axial N e a uma carga
transversal (ou a uma imperfeição geométrica) o momento total actuante incluindo os
efeitos de 2ª ordem é obtido de acordo com a seguinte expressão:
M = M0 + M2 = M0 + N v = M0 + N 1 r
l02
c
em que:
M – momento total
M0 – momento de 1ª ordem
M2 – momento de 2ª ordem
0
rv
M0 M 1/r
M = M + M
2
0 2
N
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
239
v – deslocamento associado à curvatura 1/r
l0 – comprimento do elemento (comprimento de encurvadura)
c – factor que depende da distribuição da curvatura
O deslocamento v pode ser obtido pela integração das curvaturas ao longo da coluna,
admitindo uma distribuição proporcional à dos momentos:
v = ⌡⌠
l0 1r
–M dx =
⌡⌠
l0 M
–M
EI dx = 1 EI ⌡
⌠l0 M
–M dx=
M EI
l02
c = 1 r
l02
c
Em que c tem os seguintes valores função da distribuição do momento flector ao longo
da coluna:
distribuição parabólica: c=9.6
distribuição uniforme (constante): c= 8
distribuição triangular simétrica: c=12
Sendo M e 1/r o momento e a curvatura na secção mais esforçada do pilar.
A diferença entre os dois métodos reside nas hipóteses admitidas para a consideração
de um valor de curvatura ou, o que pode ser equivalente, de um valor para a rigidez
fendilhada. De seguida apresentam-se as hipóteses base consideradas em ambas as
metodologias.
- No método da curvatura nominal a curvatura 1/r é a associada à deformada do
elemento correspondente ao momento de cedência. Admite-se, para a curvatura base,
que as armaduras de compressão entram em cedência simultaneamente com a de
tracção (ver fig. seguinte). De acordo com o EC2 este valor é depois modificado para
poder ter em conta o nível de esforço axial e a fluência do betão, como veremos.
1 r =
εsyd + εsyd 0.9d =
εsyd 0.45d
A razão pela qual a curvatura de cedência é considerada neste cálculo pode ser
compreendida tomando uma relação momento curvatura tipo de uma secção em
flexão composta. Se se representar o crescimento do momento de 2ª ordem com a
curvatura, percebe-se que a máxima resistência disponível para o momento de 1 ª
syd
(-)
(+)
0.9d
εsyd
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
240
ordem deve ser avaliada para a fase de perda significativas de rigidez da secção com
a cedência da armadura (ver figura seguinte).
- No método da rigidez nominal a curvatura 1/r é expressa em termos de rigidez
nominal à flexão:
1 r =
M EI
Nesta proposta de metodologia a rigidez EI é definida como se verá tendo em conta,
explicitamente, a influência da fendilhação e da fluência.
Importa referir que neste tipo de análises o comprimento l0 deve ser considerado como
um comprimento que traduz a forma da deformada final do elemento estrutural.
Dado que os métodos simplificados se baseiam na análise de uma coluna bi-
articulada, o comprimento l0 pode ser considerado como o comprimento de um pilar
simplesmente apoiado cujo comportamento traduz o do pilar em causa e cujas
extremidades coincidem com as secções de momento nulo deste pilar.
2.5.2. Método da curvatura nominal
Método de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª
ordem, corrigindo os esforços actuantes para ter em conta os efeitos de 2ª ordem, ou
seja da própria deformada da estrutura.
1/r
M 2ª ordem = N v (1/r)
M (1ª ordem)Rd,max
M
≅ Myd
v (1/r)
M1ª ordem
N
N
M1ª ordem
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
241
Msd = Nsd (e + e2)
De acordo com o EC2, e como já explicado, a excentricidade 2ª ordem pode ser
calculada com base numa curvatura nominal através da seguinte expressão:
e2 = 1 r
l02
c
onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do
elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem
for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8.
A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão:
1 r = Kr⋅ Kϕ⋅
1 r0
onde,
Kr representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço
axial;
Kϕ representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência;
1 / r0 representa a curvatura base
1
r0 ≅
εyd 0.45d .
O coeficiente Kr destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a maior
perda de rigidez se dá antes da armadura atingir a extensão de cedência, o que
conduz a uma curvatura inferior ao valor base. Este factor de redução pode ser
determinado através de:
Kr = ννννu - νννν
ννννu - ννννbal ≤≤≤≤ 1.0
e N
e
N
v
N
e + e2
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
242
ν representa o valor do esforço normal reduzido;
νbal representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo
momento resistente (em geral, νbal ≈ 0.4);
νu = 1 + ω, com ω = As fyd / (Ac fcd).
O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente Kϕ, que
pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real
devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência. Assim:
Kϕϕϕϕ = 1 + ββββϕϕϕϕef≥≥≥≥ 1.0
ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo
ϕef= ϕ (t∞, t0)
M0cqp M0sd
;
β = 0.35 + fck / 200 - λ / 150;
M0cqp representa o momento de primeira ordem para a combinação quase-
permanente de acções;
M0sd representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental.
O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ϕef = 0, caso
sejam verificadas as três condições seguintes: ϕ (∞, t0) ≤ 2; λ ≤ 75; M0sd / Nsd ≥ h
Os efeitos de 2ª ordem poderão ser considerados, tal como no caso das imperfeições
geométricas, através de uma força horizontal equivalente .
Esta força poderá ser uma força concentrada ou outra força equivalente, que produza
os mesmos esforços que o efeito de 2ª ordem (ver exemplos seguintes).
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
243
- Elementos não contraventados
M2 = N e2 M = ∆H l02
∆H l02 = N e2 ⇒ ∆H = 2N
e2
l0 ⇒ ∆H = N θ2
- Elementos contraventados
M2 = N e2 M = ∆H l04
∆H l04 = N e2 ⇒ ∆H = 4N
e2
l0 ⇒ ∆H = 2N θ2
Procede-se seguidamente à verificação do estado limite último de flexão composta
na secção crítica (secção mais esforçada), tendo em consideração este método.
0
θ 2
e 2 ≡ ∆H
N
L
θ
e 0 2
2
≡
0 2
∆ H
N
N
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
244
Assim tomemos os seguintes esforços:
Nsd
Msd = M0sd + Nsd e2
em que: M0sd = M0e + Nsd ei
Secção crítica:
(i) Elementos contraventados
A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd conforme se pode
observar na figura seguinte. Nesta figura considera-se uma coluna genérica e
representam-se os esforços relativos às cargas actuantes e ao efeito de 2ª ordem.
Verifica-se que, em geral, a secção crítica se localiza numa zona intermédia e que a
sua determinação requeria um certo esforço de cálculo.
O EC2 ultrapassa esta dificuldade indicando uma metodologia simplificada para
estimar o momento máximo. Essa metodologia consiste em tomar para o momento
associado às cargas actuantes um valor constante, avaliado numa zona intermédia do
pilar, o qual é somado directamente aos momentos relativos às imperfeições
geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.
M1M2
M2M1
NM02
M01N
M = M + M1TOT 2
≡ + =
Estruturas de Betão I
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245
M0e = máx 0.6 M02 + 0.4 M01
0.4 M02
com : |M02| ≥ |M01|
Todavia, como é possível verificar na primeira figura, os efeitos da imperfeição
geométrica e de 2ª ordem também se fazem sentir nos nós pelo que o momento
máximo pode, eventualmente, ocorrer numa das extremidades do elemento.
As dificuldades atrás referidas poderiam ser ultrapassadas se os efeitos das
imperfeições geométricas e de 2ª ordem forem considerados através da força
horizontal equivalente de acordo com exposto anteriormente.
(ii) Elementos não contraventados
Nos elementos não contraventados os esforços máximos ocorrem nos nós como se
pode observar na figura seguinte pelo que não se coloca a problemática atrás referida.
M2M1
NM02
M01N
M = M + M1TOT 2
+ =
N
θ2
N
ei
θ i
e2 MSd0
M 0e N ei
=++
N e2 Sd 0eM = M +Nei + N e2
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
246
2.5.3. Método da rigidez nominal
Considerando a coluna bi-articulada definida em 2.5.1 com comprimento l = l0, o
momento de 2ª ordem pode ser calculado da seguinte forma:
M2 = N v = N 1 r
l02
c = N M EI
l02
c = N l0
2 c EI (M0 + M2)
onde M0 é o momento de 1ª ordem e c é um parâmetro que depende da distribuição
da curvatura (assume-se que a distribuição das curvaturas de 1ª e 2ª ordem são
proporcionais ao longo do vão).
Desenvolvendo a expressão anterior em ordem a M2, tem-se:
M2 = M0
N l02
c EI
1 - N l0
2 c EI
= M01
c EI l0
2 / N - 1 = M0
1
NB
N - 1
em que:
NB = c EI l0
2 ≈ π2 EI
l02 (carga crítica do pilar)
O momento total do pilar pode ser calculado, então, da seguinte forma:
M = M0 + M2 = M0
1 +
1
NB
N - 1 ⇒ M =
M0
1 - N
NB
O parâmetro 1
1 - N
NB é o conhecido factor de amplificação do momento de 1ª ordem,
em problemas associados à instabilidade de estruturas.
- Rigidez nominal
A rigidez de flexão EI a usar no cálculo de NB deve ter consideração o efeito da
fendilhação e da fluência. O EC2 considera a seguinte expressão para cálculo da
rigidez nominal:
EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is
em que:
Ecd valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão, Ecd = Ecm/γcE, com γcE = 1.2
Ic momento de inércia da secção transversal de betão
Es módulo de elasticidade do aço das armaduras,
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
247
Is momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área do betão
Kc coeficiente que toma em conta os efeitos da fendilhação e da fluência,
Ks coeficiente que toma em conta a contribuição das armaduras.
- Em geral:
Ks = 1
Kc = k1 k2 / (1 + ϕef)
em que:
ρ =As/Ac
ϕef coeficiente de fluência efectivo;
k1 é um coeficiente que depende da classe de resistência do betão:
k1 = 20ck /f (MPa)
k2 é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza:
k2 = ν . λ
170 ≤ 0,20
- Nos casos em que ρ ≥ 0,01, no EC2 propõe-se, para simplificar:
Ks = 0
Kc = 0,3 / (1 + 0,5ϕef)
Note-se que Kc introduz uma perda de rigidez, muito significativa, da ordem de 4 a 6,
em relação à rigidez de cálculo da secção só de betão. A dificuldade na aplicação
mais precisa desta proposta pode residir no cálculo da rigidez nominal a qual, para ter
em consideração as armaduras, exige um processo iterativo.
2.6. DISPENSA DA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO D E
ENCURVADURA
Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser
desprezados se for satisfeita a condição
λ ≤ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C
ν
onde,
λ = l0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração
da secção transversal não fendilhada);
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
248
A = 1 / (1 + 0.2 ϕef ) (se ϕef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7);
B = 1 + 2 ω (se ω for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1);
C = 1.7 - rm;
ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo;
ω = Asfyd / Acfcd e representa a percentagem mecânica de armadura;
rm = M01 / M02 onde M01 e M02 representam os momentos de primeira ordem nas
extremidades de um elemento, sendo |M02| ≥ |M01|;
ν = Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido
O parâmetro C é o que apresenta, nos casos correntes, uma maior variação (entre
0.7 e 2.7) pelo que é fundamental a sua correcta avaliação, dado ter uma influência
significativa no valor de λλλλlim .
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
249
EXERCÍCIO 6.5
Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços:
Secção transversal
Esforços característicos: Ng = 550 kN; Nq = 250 kN
Hq = 20kN
(ψ1 = 0.6; ψ2 = 0.4)
Materiais: C25/30; A400NR
N
H
3.00
0.30
0.40
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
250
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO6.5
1. Cálculo da esbelteza
λ = L0 i =
2 × 3.0 0.0866 = 69.3
i = I A =
9 × 10-4 0.30 × 0.40 = 0.0866 m; I =
bh3 12 =
0.4 × 0.33 12 = 9 × 10-4 m4
2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas
ei = θi l0 / 2
θi = θ0⋅αh⋅αm
αh = 2 / l = 2 / 3.0 = 1.15 < 1.0 ⇒ αh = 1.0
αm = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0
θi = 1
200
ei = l0
400 = 6.0 400 = 0.015 m
3. Determinação dos esforços de dimensionamento
Nsd = 1.5 × (550 + 250) = 1200 kN; M0sd = 20 × 3 × 1.5 + 0.015 × 1200 = 108.0 kN
3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem
Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar a
condição seguinte:
λ = 69.3 ≤ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C
ν
C = 1.7 - rm = 1.7
rm= M01 / M02= 0
ν = Nsd
Ac fcd =
1200 0.30 × 0.40 × 16.7 × 103 = 0.599
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
251
λlim = 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7
0.599 = 33.8
⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis
3.2. Quantificação dos esforços de cálculo
Nsd = 1200 kN
Msd = M0sd + Nsd e2
(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
e2 = 1 r
L02
c
1 r = Kr⋅ Kϕ⋅
1 r0
1 r0
= εyd
0.45d = 1.74 × 10-3 0.45 × 0.25 = 1.55 × 10-2 m-1
Kr = νu - ν
νu - νbal =
1.5 - 0.6 1.5 - 0.4 = 0.82 ≤ 1.0
ν = Nsd
Ac fcd =
1200 0.30 × 0.40 × 16.7 × 103 = 0.60
νu = 1 + ω≈ 1 + 0.5 = 1.5
Estima-se em 0.5 a percentagem mecânica de armadura. Refira-se que este
parâmetro tem influência reduzida no valor de Kr.
Kϕ = 1 + βϕef ≥ 1
ϕef= ϕ(t∞, t0) M0cqp M0sd
= 2.5 × 33.8 108 = 0.78
M0cqp = 20 × 3 × 0.4 + 0.015 × (550 + 0.4 × 250) = 33.8 kNm
β= 0.35 + fck
200 - λ
150 = 0.35 + 25
200 - 69.3 150 = 0.013
Kϕ = 1 + 0.013 × 0.78 = 1.01 ≥ 1
1 r = Kr⋅ Kϕ⋅
1 r0
= 0.82 × 1.01 × 1.55 × 10-2 = 0.013 m-1
e2 = 1 r
L02
c = 0.013 × 62
10 = 0.047 m
Msd = M0sd + Nsd e2 = 108 + 1200 × 0.047 = 164.4 kNm
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
252
4. Cálculo da armadura (flexão composta)
ν = Nsd
b h fcd =
-1200 0.3 × 0.4 × 16.7 × 103 = -0.60
µ = Msd
b h2 fcd =
164.4 0.4 × 0.32× 16.7 × 103 = 0.273
⇒ωtot = 0.62
d1 h =
0.05 0.3 = 0.167 ≅ 0.15 ; A400
Astot = ωtot × bh × fcd fsyd
= 0.62 × 0.30 × 0.40 × 16.7 348 × 104 = 35.7cm2
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
253
EXERCÍCIO6.6
Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços:
Secção transversal
Esforços característicos: Ng = 380 kN; Nq = 220 kN
(ψ1 = 0.4; ψ2 = 0.2)
Materiais: C20/25; A400NR
5.00
N
0.25
0.25
Estruturas de Betão I
MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
254
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO6.6
1. Cálculo da esbelteza
λ = L0 i =
5 0.0722 = 69.3
i = I A =
3.255 × 10-4 0.252 = 0.0722 m ; I =
b h3 12 =
0.254 12 = 3.255 × 10-4 m4
2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas
ei = θi l0 / 2
θi = θ0⋅αh⋅αm = 1
200 × 0.89 = 0.0045
αh = 2 / l = 2 / 5.0 = 0.89 ; αm = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0
ei = θi l0 / 2 = 0.0045 × 5.0 2 = 0.011 m
3. Esforços de dimensionamento
Nsd = (380 + 220) × 1.5 = 900 kN; M0sd = 0.011 × 900 = 9.9 kNm
3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem
Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar
condição seguinte:
λ = 69.3 ≤/ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C
n =
20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 1.083
= 25.2
C = 1.7 – rm = 1.7
rm= M01 / M02= 0
ν = Nsd
Ac fcd =
900 0.25 × 0.25 × 13.3 × 103 = 1.083
λlim = 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7
1.083 = 25.2
⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
255
3.2. Quantificação dos esforços de cálculo
Nsd = 900 kN; Msd = M0sd + Nsd e2
(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
e2 = 1 r
L02
c
1 r = Kr⋅ Kϕ⋅
1 r0
1 r0
= εyd
0.45d = 1.74 × 10-3 0.45 × 0.20 = 1.93 × 10-2 m-1
Kr = νu - ν
νu - νbal =
1.5 - 1.083 1.5 - 0.4 = 0.38≤ 1.0
ν = Nsd
Ac fcd =
900 0.252 × 13.3 × 103 = 1.083
νu = 1 + ω≈ 1 + 0.5 = 1.5
Kϕ = 1 + βϕef
ϕef= ϕ(t∞, t0) M0cqp M0sd
= 2.5 × 4.7 9.9 = 1.2
M0cqp = 0.011 × (380 + 0.2 × 220) = 4.7 kNm
β= 0.35 + fck
200 - λ
150 = 0.35 + 20
200 - 69.3 150 = -0.012
Kϕ = 1 - 0.012 × 1.2 = 0.99 ⇒ Kϕ = 1
1 r = Kr⋅ Kϕ⋅
1 r0
= 0.38 × 1.0 × 1.93 × 10-2 = 0.0073 m-1
e2 = 1 r
L02
c = 0.0073 × 52
10 = 0.0183 m
Msd = M0sd + Nsd e2 = 9.9 + 900 × 0.0183 = 26.4 kNm
3. Cálculo da armadura (flexão composta)
d1 h =
0.05 0.25 = 0.20 ; A400 → Tabelas pág. 45
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
256
ν = Nsd
b h fcd =
-900 0.252 × 13.3 × 103 = -1.083
µ = Msd
b h2 fcd =
27.9 0.253 × 13.3 × 103 = 0.127
⇒ωtot = 0.65
Astot = ωtot× b h × fcd fsyd
= 0.65 × 0.252 × 13.3 348 × 104 = 15.5cm2
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
257
3. Estruturas em Pórtico
3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Uma vez que os esforços de 2ª ordem dependem da deformabilidade lateral dos
pórticos convém classificar as estruturas relativamente a esta característica.
Estruturas contraventadas : estruturas com elementos verticais de grande rigidez
com capacidade resistente para absorver a maior parte das acções horizontais.
Neste tipo de estruturas a deformação lateral é condicionada pelos elementos de
contraventamento sendo este o tipo estrutural mais comum.
A deformação lateral global da estrutura pode ou não ser desprezável consoante a
rigidez dos elementos de contraventamento e as cargas actuantes.
Embora a deformação global da estrutura possa ter significado, a deformação relativa
entre pisos consecutivos é desprezável. Deste modo para os pilares há apenas que
verificar se há ou não que considerar efeitos locais de 2ª ordem para o
dimensionamento de cada um deles, admitindo a estrutura contraventada. Por outro
lado no dimensionamento dos elementos de contraventamento os efeitos globais de 2ª
ordem devem ou não ser considerados, consoante os deslocamentos laterais são
significativos ou desprezáveis, respectivamente.
Estruturas não contraventadas : estruturas sem elementos de contraventamento
Nestas estruturas, que devem sempre que possível ser evitadas, a deformação lateral
é, em geral, significativa. Os pilares e paredes devem ser dimensionados para os
efeitos globais de 2ª ordem sendo ainda necessário verificar se os efeitos locais são
condicionantes.
paredesou
núcleos
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
258
3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA
O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento
nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado
pela expressão:
l0 = ηl
onde l representa o comprimento livre do elemento e η é um factor que depende das
condições de ligação das extremidades do elemento
Estruturas contraventadas
l0 ≤ l (η ≤ 1)
Estruturas não contraventadas
l0 ≥ l (η ≥ 1)
O comprimento de encurvadura de acordo com o EC2 é obtido pelas seguintes
expressões (calibradas com recurso a análises não lineares):
- Elementos contraventados
l0 = 0,5l⋅
++⋅
++
2
2
1
1
45,01
45,01
kk
kk
- Elementos não contraventados
l0 = l⋅
++⋅
++
+⋅
⋅+ k
kk
k
kkkk
2
21
1
21
21
11
11;101max
k1, k2 são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez
relativa à rotação dos nós:
k = (θ / M)⋅(EΙ / l)
θ / M rigidez à rotação dos elementos que concorrem no nó que restringem a rotação
desse nó;
EΙ rigidez de flexão do pilar;
l l
Estruturas de Betão I
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259
l altura livre do pilar entre ligações de extremidade
A rigidez θ/M pode ser definida aproximadamente por:
θ/M = 1/(4 EI/L) para elementos com ligações de continuidade nas extremidades
θ/M = 1/(3 EI/L) para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em
análise
Nos casos gerais em que apenas as vigas contribuem para a restrição à rotação dos
nós tem-se:
ki = ∑( )EI / L pilares
∑( )αEI / L vigas
nó i:
Em que α toma o valor de 3 ou 4 consoante os casos atrás referidos.
O parâmetro k pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó:
Maior rotação ⇒ maior deformação ⇒ maior l0 ⇒ maiores efeitos de 2ª ordem.
Exemplo de cálculo de l 0:
Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura.
Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada
k1 = ∑( )EI / L pilares
∑( )4EI / L vigas
= ∑( )I / L pilares
∑( )4I / L vigas
=
0.34 12 ×
1 4 +
0.34 12 ×
1 3
0.3 × 0.53 12 ×
4 6 +
0.3 × 0.43 12 ×
4 5
= 0.117
viga
pilar
3.00
3.00
4.00
6.00 5.00
0.3
0.6 0.5
0.3
0.5
0.3 0.3
0.4
0.3
0.3
1
2
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
260
k2 =
0.34 12 ×
1 3 × 2
0.3 × 0.63 12 ×
4 6 +
0.3 × 0.53 12 ×
4 5
= 0.074
l0 = l⋅
++⋅
++
+⋅
⋅+ k
kk
k
kkkk
2
21
1
21
21
11
11;101max
l0 = l . max (1.20; 1.18)
l0 = 3 × 1.2 = 3.60 m
3.3. EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM ESTRUTURAS PORTICADAS OU MIST AS
Em estruturas porticadas ou mistas (com pórticos e paredes) os efeitos das
imperfeições geométricas podem ser avaliados considerando a estrutura inclinada de
um ângulo θi. Uma metodologia alternativa consiste na aplicação de forças horizontais
ao nível dos vários pisos do pórtico que conduzam ao mesmo efeito da inclinação θi.
3.4. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS
Para o caso de estruturas porticadas com elementos de contraventamento (por
exemplo: paredes ou núcleos de betão armado), os efeitos globais de segunda ordem
poderão ser desprezados se for satisfeita a condição
Fv,sd≤ k1 νs
νs + 1.6 ∑Ecd Ic
L2
onde,
Fv,sd representa a carga vertical total;
νs representa o número de pisos;
L representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os
deslocamentos horizontais estão restringidos;
H i
Nθ i
≡
H = Ni θ i
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
261
Ecd representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do
betão (Ecd = Ecm / γcE = Ecm / 1.2);
Ic representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de
contraventamento (em estado não fendilhado);
k1 é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se
verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em
estado limite último.
Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes:
- Estrutura aproximadamente simétrica;
- Deformações globais por corte desprezáveis;
- Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável;
- Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura;
- Cargas verticais semelhantes nos vários pisos.
3.4.1. Verificação da segurança de pórticos contrav entados cujos efeitos globais
de segunda ordem possam ser desprezados
Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados apenas há que
verificar os efeitos locais de 2ª ordem. Assim os pilares devem ser analisados, como
elementos isolados de acordo com o definido em 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2.
Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem.
3.4.2. Verificação da segurança de pórticos contrav entados cujos efeitos globais
de segunda ordem não possam ser desprezados
Nestes casos, embora os deslocamentos globais da estrutura sejam significativos
(deslocamentos entre o topo e a base do edifício), os deslocamentos entre pisos são
desprezáveis dada a elevada rigidez dos elementos de contraventamento, desde que
estes apresentem em planta uma disposição aproximadamente simétrica.
É razoável admitir que os elementos contraventados têm deslocamentos horizontais
limitados, pelo que há apenas que verificar os efeitos locais de 2ª ordem nos pilares,
de acordo com 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2.
Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª
ordem.
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
262
Elementos de contraventamento (paredes)
Os efeitos de 2ª ordem podem ser avaliados por uma metodologia idêntica à referida
para as imperfeições geométricas.
A inclinação θ2 é calculada com base no comprimento de encurvadura e este pode ser
estimado como se apresenta seguidamente.
3.4.3. Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórt icos não contraventados
No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser
considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas:
− A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é
realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos
horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade
de 2ª ordem em todos os pilares.
− Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por
equilíbrio, conduzem a um aumento de esforços nas vigas adjacentes. A análise
de pilares isolados não tem em conta este efeito.
Desde modo, verifica-se que a análise dos pilares isolados não é adequada pelo que a
metodologia a adoptar deve contemplar o comportamento global da estrutura.
∆H
Nθ 2
≡
∆H = N θ2
comprimento de encurvadura doelemento de contraventamento
0
2
Estruturas de Betão I
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263
Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de2ª ordem
1. Análise da estrutura inclinada (deformada)
2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços
provocados pelos efeitos de 2ª ordem.
Esta metodologia em pórticos com muitos pisos perde sentido, por ser muito
desfavorável. No que se segue é ilustrada a análise de um pórtico simples de um piso.
Considere-se o pórtico na posição deformada:
θ
θ
∆H2
∆H1
P
N N
2 e
θ θ
1
1
P2
2
e
L
10 2
0
δ δ
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264
O ângulo θ e o deslocamento δ podem ser determinados com base no comprimento de
encurvadura l0 e na excentricidade e2 da seguinte forma:
θ = e2
l 1 02
= 2 e2
l 1 0 ; δ = Lθ = 2L
e2
l 1 0
O momento global de 2ª ordem é:
MTOTAL2 = (N1 + N2) δ → MTOTAL
2 = (N1 + N2) 2L e2
l 1 0
e2; l0 → parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência
(pilar condicionante)
A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode
ser calculada da seguinte forma:
MTOTAL∆H = ∆HL → ∆HL = (N1 + N2) 2L
e2
l0
→ ∆H = 2 (N1 + N2) e2
l0
l0; e2→parâmetros relativos ao pilar
condicionante
Definição do Pilar Condicionante:
Considerando que o deslocamento horizontal no topo dos pilares é idêntico, as
características que determinam qual o primeiro pilar a atingir a curvatura de cedência
são a altura da secção, as condições de fronteira e o nível de esforço axial actuante.
As duas primeiras características caracterizam a rigidez do pilar, a terceira determina a
extensão máxima na armadura.
Considere-se a seguinte metodologia para definir um único parâmetro que tenha em
consideração as características atrás referidas:
- a excentricidade de 2ª ordem e2 é função da curvatura de cedência do pilar: e2 = 1r
l 2 010
L
∆H
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265
A curvatura base é definida pela seguinte expressão: 1r0
= εyd
0.45d ≅ εyd
0.4h
A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada, a partir da curvatura
base, pela seguinte expressão:
1r =
εyd
0.4h 0.4ν =
εyd
ν h → e2 = εyd
ν h l 2 010 com ν≥ 0.4
sendo: e2 = θ l02 ⇒
θl02 =
εyd
ν h l 2 010 ⇒ θ =
15 εyd
l0ν h ⇒ δ =
15 εyd
l0 Lν h
δ é o deslocamento do pórtico associado ao pilar que atinge primeiro a curvatura de
cedência: ⇒ δ = δi,mínimo
Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação L l0ν h (ν ≥ 0.4)
0.4
h
n
m
n
+ -
1/r
1r0
1r0
0.4n≅1
r
N
2
N
e 0
Estruturas de Betão I
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266
EXERCÍCIO6.7
C25/30 g = 17kN/m ψ0 = 0.4
A500 NR q = 13.5kN/m γG = 1.35
Rec: 3cm G1 = 600kN γQ = 1.5
G2 = 400kN
W = ± 100kN
Dimensionamento dos pilares
— Estrutura não contraventada
Esbeltezas λ = l0i
l0 = 2l = 2 × 5 = 10m
P1: i = 0.612
= 0.115m → λ = 10
0.115 = 87
P2: i = 0.612
= 0.173m → λ = 10
0.173 = 58
5,0
10,0
0.6
0.3 0.3
0.4
W
g, qG2 G1
P 1 P 2
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267
— Efeito das imperfeições geométricas
θi = θ0 αh αm ; θ0 = 1
200
αh = 2l =
25 = 0.894 ; αm = 0.5
1 +
1m = 0.5
1 +
12 = 0.87
θi = 1
200 × 0.894 × 0.87 = 0.0039 ; ei = 0.0039 × 5 = 0.0194m
Força horizontal equivalente:
Hi = Nθi
Combinação que envolve a acção do vento
Sd = 1.35 Sg + 1.5 ψ0 Sq ± 1.5 SW
N = N1 + N2 =1.35 (600 + 400) + 10 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 13.5) = 1660kN
Hi = 1660 × 0.0039 = 6.47kN
R1 =
EI1L3
1
EI1L3
1
+ EI2L3
2
H1 = 0.43
0.43 + 0.63
0.23
6.47 = 1.49kN
R2 = Hi - R1 = 4.98kN
Esforços de 1ª ordem
P1 → W1 = 0.23 × 100 = 23kN
Nsd = 1.35×400 + 102 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 13.5) = 695kN
M0sd = 1.5 × 23 × 5 + 1.49 × 5 = 180kNm
R1
H i = 6.47
R 2
0.0039
0.0194
0.0039
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268
P2 → W2 = 100 - 23 = 77kN
Nsd = 1.35 × 600 + 102 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 15) = 965kN
M0sd = 1.5 × 77 × 5 + 4.98 × 5 = 602,4kNm
- Efeitos de 2ª ordem
Pórtico não contraventado ⇒ necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem
Excentricidade de 2ª ordem
A excentricidade de 2ª ordem é calculada para o pilar que atinge primeiro a curvatura
de cedência (pilar condicionante)
- pilar condicionante: pilar com menor relação l0 Lν h (ν ≥ 0.4)
P1 - ν = 695
0.3 × 0.4 × 16700 = 0.35
P2 - ν = 965
0.3 × 0.6 × 16700 = 0.32
Pilar P1: l0 Lν h = 10× 5 /(0.4 × 0.4) = 312.5 (ν = 0.35)
Pilar P2: l0 Lν h = 10 × 5/(0.4 × 0.6) = 208.5 (ν = 0.32) (condicionante)
O pilar condicionante coincide, em geral, com o pilar mais rígido como é possível
observar na figura seguinte.
δ1 = δ2 = ⌡⌠
1r M
− ⇒
1r1
= 1r2
e2→ 1r =
1r0
⇓
k1 k2
εyd
0.45d
Para um determinado deslocamento horizontal δ o pilar mais rígido (P2) atinge primeiro
a cedência donde se conclui que e2 é condicionada pelo pilar mais rígido.
P2 → e2 = 1r
l 2 010 ;
1r = kr kφ
1r0
; 1r0
= εyd
0.45d
1/r0
P1
P2
ε
δ1 δ2
oo o o o
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com esforço axial não desprezável
269
1r0
= 2.175 × 10-3
0.45 × 0.55 = 8.79 × 10-3/m
kφ= 1 + βφef ≥ 1.0
β = 0.35 + fck
200 - λ
150 = 0.35 + 25200 -
58150 = 0.088
φef = φ M0cqp
M0sd
M0cqp = 4.98 × 5 = 24.9kNmM0sd = 602.4kNm
→ φef = 2.5 24.9602.4 = 0.1
kφ = 1 + 0.088 × 0.1 ≅ 1.0
kr = νn - ν
νn - νbal ≤ 1.0 ; ν =
Nsd
Ac fcd ; νu = 1 + w
ν= 0.32 ; νbal = 0.4 ; w ≈ 0.5 (estimativa)
kr = 1.5 - 0.3431.5 - 0.4 = 1.05 ⇒ kr = 1.0 (ν ≤ 0.4 ⇒ kr = 1.0)
e2 = 8.79 × 10-3 102
10 = 0.0879m
Força horizontal equivalente: ∆H = 2N e2
l0 ; l0 = 2l ⇒ ∆H = N e2/l = (N1 + N2)
e2
l
∆H = 1660 × 0.0879
5 = 29.18kN
Momento de 2ª ordem
P1 → M2 = 0.23 × 29.18 × 5 = 33.56kNm
P2 → M2 = 0.77 × 29.18 × 5 = 112.34kNm
Esforços de dimensionamento
P1 → Nsd = 695kN
Msd = M0sd + M2 = 180 + 33.56 = 213.56kNm
ν = 0.35 ; µ = 213.56
0.3 × 0.42 × 16700 = 0.266 → w = 0.44
Astot = 20.3cm2
Vsd = Msd
l = 213.56
5 = 42.7kN
Asw
s = Vsd
z cotg θ fyd =
42.70.9 × 0.35 × 2 × 43.5 = 1.56cm2/m →
Asw
s min
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
270
4φ20 + 4φ16
Cintas φ6//0.15
(ρ = 1.7%)
P2 → Nsd = 965kN
Msd = 602.4 + 112.34 = 714.74kNm→ν = 0.32
µ = 0.396→ w = 0.76
Astot = 52.5cm2
Vsd = 714.74
5 = 142.9kN Asw
s = 3.32cm2/m
8φ25 + 4φ20
Cintas φ8//0.15
(ρ = 3.1%)
0,3
0,4
0,6
0,3
4φ25
2φ20
2φ16
4φ25
2φ20