Bhaskara
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PROFº Edmildo Duarte
BHASKARA
Quem foi Bhaskara
Bhaskara nasceu no ano de 1114 na cidade de Vijayapura, na Índia.
Morreu, em 1895, aos 71 anos, na cidade de Ujjain também na Índia.
Teve sua origem em uma tradicional família de astrólogos.
Quem foi Bhaskara
Foi diretor do observatório astronômico de Ujjain.
O mais importante matemático do século doze.
Trajetória como matemático
Completou algumas lacunas do trabalho de Brahmagupta, encontrando uma solução geral da equação de Pell.
Considerou, pela primeira vez a divisão por zero.
Trouxe um novo simbolismo algébrico e realizou importantes progressos na notação abreviada.
Fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau
No Brasil, aproximadamente desde 1960, chama-se a fórmula utilizada na resolução de equações do segundo grau de Fórmula de Bhaskara.
Ele conhecia a regra para resolver esse tipo de equação, porém, a regra não foi descoberta por ele.
Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara, já conhecia a regra.
Resolução de Equações CompletasFórmula de Bhaskara ou fórmula
resolventePara solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a
Fórmula de Bhaskara ou resolvente.
A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau). Tem esse nome por ter sido divulgada pelo astronómo indiano Bháskara de Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta porém é atribuída aos babilónios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi.
A partir da equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula resolvente.
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. (4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a)
4a²x² + 4abx + 4ac = 0
2º passo: passar 4ac para o 2º membro.4a²x² + 4abx = - 4ac
Fórmula de Bhaskara ou resolvente
3º passo: adicionar b² aos dois membros.4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
4º passo: factorizar o 1º membro.(2ax + b) ² = b² - 4ac
5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros.
√ (2ax + b) ² = ± √ b² - 4ac2ax + b = ± √ b² - 4ac
6º passo: passar b para o 2º membro.2ax = - b ± √ b² - 4ac
Trinômio Quadrado Perfeito
Fórmula de Bhaskara ou resolvente
7º passo: dividir os dois membros por 2a.2ax = - b ± √ b² - 4ac
2a 2a
Assim, encontramos a fórmula resolvente da equação do 2º grau:
x = - b ± √ b² - 4ac 2a
Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac 2a 2a
Obras
Tem seis trabalhos comprovados a sua autoria.
Lilavati – o mais importante, traz problemas simples de aritmética.
O livro tem o nome de sua filha.
Obras
Vija-ganita - traz problemas voltados a Álgebra.
Siddhantasiromani - dedicado a assuntos astronômicos, é dividido em duas partes: Goladhyaya - trata sobre a Esfera Celeste ;
Granaganita - fala sobre a Matemática dos Planetas.
Obras
Vasanabhasya de Mitaksara - comentários pessoais de Bhaskara sobre sua obra Siddhantasiromani.
Karanakutuhala - aborda cálculos astronômicos.
Vivarana - Bhaskara faz comentários sobre todas suas obras anteriores.
Desafios
Linda rapariga de olhos resplandecente, uma vez que entendeis o método do retorno, dize-me, qual é o número que multiplicado por 3, acrescido de deste produto, dividido por 7, diminuído de do quociente, multiplicado por si mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz quadrada, acrescido de 8 e dividido por 10 dá como resultado o número 2?
Resposta: x = 28
Desafios
Diga-me doutores matemáticos, qual é o número que, multiplicado por 5, dividindo o produto por 4, acrescentando 5 unidades ao quociente, multiplicando o resultado por si mesmo e , depois de extrair a raiz quadrada, acrescentar 9 unidades, e dividir por 3, da o próprio número?
Resposta: x = 8
Desafios
Dize-me depressa, amigo: em que parte de um dia poderão quatro fontes abertas ao mesmo tempo, encher uma cisterna se, separadamente elas enchem em um dia, na metade, na terça e na sexta parte, de um dia respectivamente?
Resposta: x = 2