BIANCA FREITAS DOS SANTOS EDIR DO SOCORRO AMARAL DA...

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Curso de Licenciatura em Matemática

BIANCA FREITAS DOS SANTOS EDIR DO SOCORRO AMARAL DA SILVA JUNIOR

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS TEORIA E APLICAÇÕES

Belém 2014



Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do titulo de Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado do Pará. Orientador: Profº. Dr. Miguel Chaquiam.

BELÉM 2014

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)

Biblioteca do CCSE/UEPA

Santos, Bianca Freitas dos

Equações diferenciais ordinárias: teoria e aplicações /Bianca Freitas

dos Santos, Edir do Socorro Amaral da Silva Junior; orientador Miguel

Chaquiam, 2014.

Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) –

Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.

1. Equações diferenciais ordinárias. 2. Matemática – Estudo e ensino. I.

Silva Junior, Edir do Socorro Amaral da. II. Chaquiam, Miguel. III. Título.

CDD 23 ed. 515. .352



Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do titulo de Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado do Pará. Orientador: Profº. Dr. Miguel Chaquiam.

Data de aprovação: 22 / 01 / 2014

Banca Examinadora:

_______________________________________ - Orientador

Miguel Chaquiam Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará Universidade da Amazônia

__________________________________________

Francisco Martins de Oliveira Junior Mestre em Matemática Universidade do Estado do Pará Instituto de Estudos Superiores da Amazônia

_______________________________________

Gilberto Emanuel Reis Vogado Mestre em Geofísica Universidade do Estado do Pará

A Cláudia Freitas, minha mãe,

pela educação recebida.

Para Edir Amaral e Maria

Roseane pela criação e educação

recebida e a Erickson do Carmo

irmão caçula querido.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço a Deus por me conferir todas as oportunidades

de crescimento que tive até hoje.

Agradeço aos meus pais por sempre me conscientizarem de que a

educação é o bem mais precioso que podemos adquirir nesta vida e por serem a

principal razão da minha persistência em momentos difíceis. Á minha mãe, pelo

apoio durante esse tempo e durante toda a minha vida.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Miguel Chaquiam, por ter aceitado ajudar-me no

desenvolvimento desse tema que contribuiu para complementação dos meus

conhecimentos adquiridos na universidade.

Agradeço aos meus colegas de turma, que partilharam os bons e maus

momentos no percurso de formação até aqui. A minha amiga, Pallas Athena, pelo

apoio e companheirismo nesse último ano de graduação.

E agradeço também a minha amiga, Andreza Mesquita, por estar sempre

disposta a ajudar em minha caminhada no decorrer de todo o curso e principalmente

pelo companheirismo em vários momentos, sem ela não teria sido possível.

A todos os meus amigos que, de alguma forma estiveram presentes comigo

nesta longa caminhada em busca de minha formação.

Agradeço aos meus professores da graduação, por todos os ensinamentos

transmitidos. Aos professores Francisco Junior e Gilberto Vogado, meus

orientadores na monitoria, com quem aprendi muito e que puderam ajudar a formar

o caráter profissional que levo comigo.

A todos que trabalham na coordenação do curso de matemática, agradeço a

Roseani Souza, Débora Samara e Tatiana Dias, que conviveram comigo e se

tornaram grandes amigas, obrigada por estarem sempre dispostas a me ajudar.

E por fim agradeço a UEPA como instituição de ensino e aos seus

funcionários, que foram de essencial importância nessa vitória.

Bianca Freitas dos Santos

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço a Deus, pois sem ele as vitórias não são

possíveis, por ter me proferido a oportunidade de trilhar um caminho em busca de

minhas convicções, tentando sempre alcançar objetivos e vitórias, sem para isso

pisar em alguém.

Agradeço aos meus pais, por sempre terem tentado me educar com

princípios honestos e éticos, me mostrando que a educação é o maior dos

investimentos que uma pessoa pode fazer, e por todo amor conferido a mim apesar

dos pesares, juntamente com meu querido irmão que sempre esteve ao meu lado e

a minha tia Odilia Amaral, minha segunda mãe.

Agradeço aos meus colegas de turma que em algum momento nesses

quatro anos conviveram comigo e compartilharam de bons e maus momentos.

Especialmente as minhas amigas Bianca Freitas, parceira de convivência, trabalhos,

provas, em boa parte do curso, inclusive neste TCC e Hanrryetth C. F. de Oliveira,

ou simplesmente Chris, que infelizmente faleceu no último ano do curso, por ter me

proporcionado momentos de alegria, parceria e de consolo quando precisei de um

ombro amigo.

Agradeço também a minha grande amiga Terezinha Gonçalves, que conheci

durante o período da graduação e que se tornou uma pessoa especial na minha

vida, me apoiando nos bons e nos maus momentos, sempre torcendo pelo meu

sucesso, me incentivando e espelhando a sempre levantar a cabeça e seguir em

frente.

Agradeço aos meus professores da graduação, sem exceção, pelo convívio

sadio na maior parte do curso, pelas experiências trocadas e ensinamentos

repassados.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Miguel Chaquiam, pela paciência, experiência

repassada e por ter me guiado nesse trabalho, que realça e complementa de forma

significativa os meus estudos na universidade.

Edir do Socorro Amaral da Silva Junior

A mente não é um recipiente a ser preenchido,

mas sim uma chama para ser acesa.

Plutarco

O único homem que está isento de erros, é

aquele que não arrisca acertar.

Albert Einstein

RESUMO

SANTOS, B. F.; SILVA JUNIOR, E. S. A. Equações Diferenciais Ordinárias: teorias e aplicações. 2014. 83 folhas. Trabalho de Conclusão de Curso, Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.

Neste trabalho apresentamos equações diferenciais ordinárias, exemplos e aplicações. Nosso interesse por equações diferenciais surgiu durante o desenvolvimento da disciplina de Cálculo II, ministrada em 2012, no curso de Licenciatura em Matemática da UEPA, quando foi possível observar a sua importância e suas aplicações nas diversas áreas do conhecimento. Este trabalho foi desenvolvido a partir de levantamento bibliográfico a respeito do tema, onde identificamos as equações foram apresentadas, bem como, suas aplicações. Inicialmente tomamos por base o referencial teórico utilizado durante o curso de graduação, com a inclusão da bibliografia selecionada no decorrer da pesquisa. Efetuamos uma coleta exaustiva de fontes, seguida de uma hierarquização, com o intuito de identificar fontes que possam ser confrontáveis e comparáveis, possibilitando a análise destas, assim como, o direcionamento de novas buscas para produzir novos agrupamentos de informações. Optamos pela pesquisa qualitativa visto que é indicada para situações que envolvem revisão e análise bibliográfica, dando possibilidade de considerar dados coletados em diferentes momentos, situações diversas e com variedade de informantes. Este trabalho foi organizado com o objetivo de apresentar equações diferenciais ordinárias, as demonstrações generalizadas das soluções e aplicações em área de conhecimento, visando a estruturação de um material que venha a servir de apoio aos alunos da graduação que fazem um primeiro curso de equações diferenciais. Inicialmente inserimos recortes históricos a respeito da origem das equações diferenciais de modo a nos situar no tempo e no espaço, além de citar alguns personagens que efetivamente contribuíram para o seu desenvolvimento. Para cada uma das equações selecionadas será proposto uma forma algébrica de sua resolução, acompanhada de exemplo para consolidação do conteúdo em estudo. Finalizamos com a apresentação de atividades resolvidas e a resolver, considerando que estas são pertinentes em função do campo de aplicação. Este trabalho, além de contribuir para a consolidação dos nossos conhecimentos sobre equações diferenciais ordinárias, pode servir de apoio aos alunos do curso de licenciatura em Matemática, bem como, aos alunos que tiverem que fazer um curso introdutório de equações diferenciais ordinárias, observado que procuramos apresentar as demonstrações de forma clara e elucidativa.

Palavras-chave: Equações Diferenciais Ordinárias, Aplicações de Equações Diferencias, Atividades Complementares de EDO.

RÉSUMÉ

SANTOS, B. F.; SILVA JUNIOR, E. S. A. Equações Diferenciais Ordinárias: teorias e aplicações. 2014. 83 folhas. Trabalho de Conclusão de Curso, Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.

Nous présentons des équations différentielles ordinaires, des exemples et des applications. Notre intérêt pour les équations différentielles surgi au cours du développement de la discipline de calcul II, enseigné en 2012 dans le diplôme de baccalauréat en mathématiques de l'UEPA, quand il a été possible d'observer leur importance et de leurs applications dans divers domaines de la connaissance. Ce travail a été élaboré à partir d'une revue de la littérature sur le sujet, où nous identifions les équations ont été présentés, ainsi que leurs applications. Au départ, nous prenons sur la base du cadre théorique utilisé au cours de premier cycle, avec l'inclusion de sélectionné lors de la littérature de recherche. Nous avons effectué une analyse approfondie des sources, suivie d'une hiérarchie, afin d'identifier les sources qui peuvent être confrontáveis et comparable, permettant l'analyse de ceux-ci, ainsi que le ciblage de nouvelles recherches pour produire de nouveaux groupes d'information. Nous avons choisi la recherche qualitative comme il est indiqué dans les situations impliquant analyse documentaire, en donnant la possibilité de considérer les données recueillies à des moments différents et avec différents informateurs variété de situations. Ce travail a été organisée avec l'objectif de présenter des équations différentielles ordinaires, des déclarations générales de solutions et d'applications dans les domaines de la connaissance, visant à la structuration d'un matériau qui sera de soutien aux étudiants des cycles supérieurs qui font un premier cours dans les équations différentielles. Insérer d'abord historique sur l'origine des équations différentielles pour nous situer dans le temps et l'espace découpes, ainsi que quelques personnages qui ont contribué à son développement. Pour chacune des équations algébriques sélectionnés seront proposées dans une résolution avec un exemple pour consolider le contenu à l'étude. Nous terminons avec la présentation des activités et résoudre résolu, estimant que ceux-ci sont pertinents en fonction de la portée. Ce travail, en plus de contribuer à la consolidation de notre connaissance des équations différentielles ordinaires, peut être de l'aide aux étudiants du baccalauréat en mathématiques, ainsi que les étudiants qui ont à faire un cours d'introduction dans les équations différentielles ordinaires, observés qui cherchent soumettre des déclarations d'une manière claire et informative.

Mots-clés: Equations différentielles ordinaires, Applications de équations différentielles, les activités supplémentaires EDO.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Isaac Newton (1642 – 1727) 18

Figura 2 – Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 19

Figura 3 – Jakob Bernoulli (1654 – 1705) 19

Figura 4 – Johann Bernoulli (1667 – 1748) 19

Figura 5 – Daniel Bernoulli (1700 – 1782) 20

Figura 6 – Jacopo Riccati (1676 – 1754) 21

Figura 7 – Leonhard Euler (1707 – 1783) 22

Figura 8 – Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) 22

Tabela 1 – Ordem e Grau de EDO 26

Figura 9 – Família de funções 29

Figura 10 – no caso 55

Figura 11 – no caso 55

Tabela 2 – Crescimento de Capital à uma Taxa de Rendimento de

para Diversas Composições de Juros

58

Figura 12 – Circuito em Série L-R 61

Figura 13 – Circuito em Série R-C 61

Figura 14 – Corpo em queda livre 64

Figura 15 – Corpo em queda 65

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 15

1 RECORTES HISTÓRICOS ................................................................................... 18

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................................... 24

O QUE É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ...................................................... 24 2.1

2.1.1 Tipo .............................................................................................................. 25

2.1.2 Ordem e Grau .............................................................................................. 25

2.1.3 Linearidade ................................................................................................. 26

2.1.4 O que é uma solução .................................................................................. 27

2.1.5 Curvas integrais.......................................................................................... 28

2.1.6 Problema de Valor Inicial ........................................................................... 29

3 TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ...................................... 30

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS SEPARÁVEIS ............................. 30 3.1

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS HOMOGÊNEAS ......................... 32 3.2

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª ORDEM ......... 38 3.3

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EXATAS ..................................... 41 3.4

EQUAÇÕES DE BERNOULLI .......................................................................... 44 3.5

4 APLICAÇÕES ....................................................................................................... 48

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO ............................................................ 48 4.1

4.1.1 Tempo de meia-vida ................................................................................... 51

4.1.2 Eliminação de droga ................................................................................... 54

4.1.3 Juros Compostos ....................................................................................... 56

CIRCUITOS EM SÉRIE .................................................................................... 60 4.2

QUEDA DE CORPOS COM RESISTÊNCIA DO AR ........................................ 62 4.3

VARIAÇÃO DE TEMPERATURA ..................................................................... 66 4.4

EQUAÇÃO LOGÍSTICA .................................................................................... 69 4.5

5 ATIVIDADES COMPLEMENTARES DE EDO ..................................................... 73

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 81

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA .............................................................................. 83

SANTOS, B. F.; SILVA JUNIOR, E. S. A. Equações Diferenciais Ordinárias: teoria e aplicações 15

INTRODUÇÃO

O interesse pelas equações diferenciais surgiu durante o desenvolvimento

da disciplina de Cálculo II, ministrada em 2012, quando foi possível observar a sua

importância e suas aplicações nas diversas áreas do conhecimento.

Outro fato que contribui para a seleção do tema foi que as equações

diferenciais são interessantes tanto para os matemáticos quanto para os não-

matemáticos, principalmente devido à possibilidade de serem usadas para investigar

uma ampla gama de problemas nas ciências físicas, biológicas e sociais.

O trabalho foi desenvolvido a partir do levantamento bibliográfico a respeito

do tema, onde identificamos as equações que serão apresentadas nas próximas

seções, bem como, suas aplicações. Tomamos por base o referencial teórico

utilizado durante o curso de graduação, com a inclusão da bibliografia indicada pelo

orientador.

Para cada uma das equações selecionadas será proposto uma forma

algébrica de sua resolução, acompanhada de exemplo para consolidação do

conteúdo em estudo. Finalizamos com a apresentação de atividades resolvidas e a

resolver, considerando que estas são pertinentes em função do campo de aplicação.

Este trabalho foi elaborado tendo-se em vista o seguinte objetivo:

Apresentar um conjunto equações diferenciais ordinárias, as demonstrações

generalizadas das soluções e aplicações em área de conhecimento, visando a

estruturação de um material que venha a servir de apoio aos alunos da graduação

que fazem um primeiro curso de equações diferenciais.

Sem um conhecimento preciso sobre equações diferenciais e métodos de

resolvê-las, torna-se difícil discutir a história e o desenvolvimento deste importante

ramo da matemática. Além disso, o desenvolvimento da teoria das equações

diferenciais está intimamente relacionado ao desenvolvimento geral da matemática e

não pode ser dissociado dele.


As linhas que seguem têm a finalidade de apresentar nossos interesses e

escolhas, visando estabelecer metas, recortes e fronteiras, considerando as fontes

disponíveis e restrições pertinentes ao domínio teórico de iniciantes.

Foi efetuada uma coleta exaustiva de fontes, seguida de uma

hierarquização, com o intuito de identificar fontes que possam ser confrontáveis e

comparáveis, possibilitando a análise destas, assim como, o direcionamento de

novas buscas para produzir novos agrupamentos de informações.

Optamos pela pesquisa qualitativa visto que é indicada para situações que

envolvem revisão e análise bibliográfica, dando possibilidade de considerar dados

coletados em diferentes momentos, situações diversas e com variedade de

informantes.

Ressaltamos que, embora não tenhamos abordado a história das equações

com a devida profundidade, entendemos que não podemos abordar a história do

conhecimento científico, em especial, a matemática que se firmou como uma ciência

no século passado, sem fazermos uma reflexão sobre o próprio sentido de historia.

Somente através do conhecimento aprofundado e global do passado é que podemos

entender nossa situação no presente e a partir disso ativar nossa imaginação e

nossa criatividade com propostas que oferecem ao mundo um futuro melhor.

Nas seções seguintes apresentamos, primeiramente, uma inserção histórica

a respeito da origem das equações diferenciais de modo que possamos nos situar

no tempo e no espaço, além de citar alguns personagens que efetivamente

contribuíram para o seu desenvolvimento. Após isso, apresentamos parte da teoria

relativa às equações diferenciais, de modo a situar o leitor quanto a classificação,

ordem, grau e tipo. Em seguida, descrevemos algumas equações ordinárias objeto

de estudo nesse trabalho, com a apresentação de sua resolução algébrica.

Na quarta seção apresentamos aplicações das equações diferenciais

ordinárias descritas na seção anterior tendo em vista consolidar a importâncias

desse conteúdo nos diversos campos do conhecimento.

Tomando por base a teoria sobre equações diferenciais apresentada neste

trabalho e as atividades resolvidas, apresentamos uma coletânea de atividades

destinadas ao leitor de modo que possa consolidar o tema em estudo.


Finalizamos apresentando nossas conclusões a respeito deste trabalho, sua

importância para a formação do licenciado em matemática e tecendo comentário

sobre sua aplicabilidade nos diversos ramos do conhecimento.


1 RECORTES HISTÓRICOS

A teoria das equações tem suas origens no início do cálculo com Isaac

Newton (1642 - 1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716).

Apesar de Newton ter trabalhado pouco na teoria das equações diferenciais,

sua contribuição ao desenvolvimento do cálculo e elucidações dos princípios básicos

da mecânica constituem as bases para o desenvolvimento das aplicações

diferenciais.

Leibniz chegou aos resultados fundamentais do cálculo independente,

embora um pouco mais tarde do que Newton. A notação moderna para derivada

(

) e o sinal da integral são contribuições de Leibniz. Além disso, descobriu o

método da separação das variáveis, o método para resolver equações de primeira

ordem homogênea e as equações de primeira ordem lineares.

Figura 1 – Isaac Newton (1642 - 1727) Fonte: Stillwell, 1989. p. 113


Após Newton e Leibniz, apareceram os irmãos Bernoulli, Jakob (1654 -

1705) e Johann (1667 - 1748) e depois Daniel (1700 - 1782), filho de Johann.

Figura 2 – Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) Fonte: Boyer, 1989. p. 293

Figura 3 – Jakob Bernoulli (1654 - 1705) Fonte: Eves, 2004. p. 464

Figura 4 – Johann Bernoulli (1667 - 1748) Fonte: Eves, 2004. p. 466


Esses são apenas três dos oito membros da família Bernoulli que na sua

época foram matemáticos e cientistas proeminentes. Com auxílio do cálculo, eles

formularam e resolveram como equações diferenciais muitos problemas de

mecânica.

A maioria dos métodos elementares de resolução das equações diferenciais

ordinárias de primeira ordem já eram conhecidos no fim do século dezessete; as

equações diferenciais ordinárias de ordem superior e as equações parciais

passaram a ser alvo das atenções. Jacopo Riccati (1676 - 1754), um matemático

italiano, estudou as equações da forma . Ele também estudou uma

importante equação não-linear, conhecida como equação de Riccati,

, embora não em forma tão geral.

Figura 5 – Daniel Bernoulli (1700 - 1782) Fonte: Smith, 1958. 431


Leonhard Euler (1707 - 1783), um dos maiores matemáticos de todos os

tempos, continuou a trabalhar sem interrupções, apesar da cegueira que o vitimou

durante os últimos dezessete anos de vida; seus trabalhos coligidos ocupam mais

de setenta volumes. Dentre tantos trabalhos, Euler estudou problemas como o da

redução de equações de Segunda ordem a equações de primeira ordem por meio

de mudanças convenientes de variáveis; introduziu o conceito de fator integrante;

formulou um tratamento geral para as equações diferenciais lineares ordinárias a

coeficientes constantes; contribuiu para o método de solução em séries de potências

e descreveu um processo numérico para solução de equações diferenciais e, além

disso, fez importantes contribuições à teoria das séries de Fourier e apresentou a

primeira discussão sistemática do cálculo das variações.

Figura 6 – Jacopo Riccati (1676 - 1754) Fonte: Smith, 1958. 513


No século dezoito, os grandes matemáticos franceses Joseph-Louis

Lagrange (1736 - 1813) trouxeram importantes contribuições à teoria das equações

diferenciais ordinárias e apresentaram pela primeira vez, um trabalho científico para

as equações diferenciais parciais.

Figura 7 – Leonhard Euler (1707 - 1783) Fonte: Stillwell, 1989. p. 133

Figura 8 – Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) Fonte: Stillwell, 1989. p. 233


Estes dois homens foram responsáveis por importantíssimos avanços tanto

na teoria quanto nas aplicações de matemática.

Nos últimos anos, parte dos esforços dos matemáticos nas áreas de

equações diferenciais ordinárias e parciais foi dirigida ao desenvolvimento de uma

teoria sistemática e rigorosa com o objetivo de desenvolver técnicas adequadas para

tratar classes de equações.


2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Nesta seção apresentaremos uma introdução aos conceitos fundamentais

das equações diferenciais, apresentando uma construção lógico-formal de modo que

possa prover o estudante com uma base que lhe permita a ampliação de seus

conhecimentos matemáticos nos diversos campos do conhecimento e expressar-se

de forma oral e escrita, com correção e clareza tanto na língua materna como na

linguagem matemática, usando a terminologia correta para relatar experiências,

formular dúvidas, apresentar conclusões, interpretar dados, elaborar modelos e

resolver problemas, integrando os vários campos da Matemática.

O QUE É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 2.1

Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita

e suas derivadas.

Para ilustrar a definição acima apresentamos os exemplos a seguir que

envolvem a função incógnita :

i)

;

ii)

(

)

;

iii)

.

Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo; a ordem e o

grau; e a linearidade.


2.1.1 Tipo

Uma equação diferencial é chamada ordinária (EDO) se a função incógnita

depende de apenas uma variável independente. Por exemplo,

são equações diferenciais ordinárias. Se a função incógnita depende de mais de

uma variável independente, temos uma equação diferencial parcial (EDP), ou

equação de derivadas parciais. Por exemplo,

são equações diferenciais parciais.

Neste trabalho, abordaremos apenas as equações diferenciais ordinárias.

2.1.2 Ordem e Grau

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que

nela comparece.

O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita como um polinômio

na função incógnita e suas derivadas, é a potência a que se acha elevada a

derivada de ordem mais alta.


Vejamos alguns exemplos na tabela abaixo:

Tabela – Ordem e Grau de EDO

Equação Ordem Grau

(

)

Segunda Ordem Grau um

(

)

(

)

(

)

Segunda Ordem Grau três

Primeira Ordem Grau um

(

)

(

)

Terceira Ordem Grau dois

Fonte: Os autores

2.1.3 Linearidade

Uma equação diferencial se diz linear quando a variável dependente (função

incógnita) e as suas derivadas são todas do grau e não figuram produtos destas

na equação.

Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na

forma:

Observe que as equações diferenciais lineares possuem duas

características:

i) A variável dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é,

a potência de cada termo envolvendo é ;

ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .


Uma equação que não é linear é chamada de não-linear.

As equações

são equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e terceira ordens,

respectivamente. Por outro lado

são equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e terceira ordens,

respectivamente.

2.1.4 O que é uma solução

Resolver ou integrar uma equação diferencial significa achar todas as

funções que introduzidas conjuntamente com as suas derivadas na equação

diferencial dada, a verificam identicamente para todo valor da variável independente

pelo menos em um certo intervalo . Tais funções dizem-se soluções,

primitivas ou integrais da equação diferencial dada.

Para exemplificar o que foi dito acima, temos:

i) A equação tem como solução a função

;

ii) E a equação tem como solução a função .

Deve-se advertir que nem sempre a solução de uma equação diferencial

pode ser expressa de forma explícita mediante funções elementares conhecidas.


Neste caso nos limitamos a determinar as propriedades ou características das

soluções da equação proposta sem efetuar a sua integração.

Existem vários tipos de soluções de uma equação diferencial, a saber:

i) Solução Geral: É a solução da equação que contém tantas constantes

arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação;

ii) Solução Particular: É a solução da equação deduzida da solução geral,

atribuindo-se valores às constantes arbitrárias.

2.1.5 Curvas integrais

Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial representa

uma família de curvas que recebem o nome de curvas integrais. Essa solução

denomina-se primitiva ou integral da equação diferencial.

Vejamos o exemplo a seguir:

A equação tem como solução geral a função que

representa os diversos membros desta família, conforme Figura 9.

Cada curva integral é a representação geométrica da solução

correspondente da equação diferencial. Especificar uma solução particular é

equivalente a escolher uma curva integral particular da família uni paramétrica. É

conveniente fazer-se isto prefixando um ponto através do qual a curva

integral deva passar; isto é, procuramos uma solução particular tal que .

Essa condição é denominada de condição inicial.


Uma equação diferencial juntamente com uma condição inicial constitui um

problema valor inicial.

2.1.6 Problema de Valor Inicial

Um problema de valor inicial (PVI) consiste em uma equação diferencial,

juntamente com condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas

– tudo dado para um mesmo valor da variável independente.

Temos como exemplo a equação e a condição inicial

que constituem um problema de valor inicial. A solução que satisfaz essa condição

inicial é obtida substituindo-se e na solução geral , donde

obtém-se .

Figura 9 – Família de funções. Fonte: Os autores


3 TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Nesta seção apresentamos cinco tipos de equações diferencias ordinárias

com suas respectivas resoluções algébricas.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS SEPARÁVEIS 3.1

Uma equação do tipo , em que e podem ser:

i) Funções de apenas uma variável;

ii) Produtos com fatores de uma só variável ou

iii) Constantes

é denominada de equação de variáveis separáveis.

Vejamos os seguintes exemplos:

a)

Para achar a solução desta Equação Diferencial, faz-se:

∫ ∫


b)

e

A solução desta Equação Diferencial será dada por:

∫

∫

Como é uma constante arbitrária, então podemos admitir que , isto é,

(

)

Substituindo a condição inicial na solução geral, temos:

Assim:


EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS HOMOGÊNEAS 3.2

Antes de definir o conceito de equação diferencial homogênea de primeira

ordem e seu método de solução, precisamos primeiro examinar de perto a natureza

de uma função homogênea.

Se uma função satisfaz

para algum número real , então dizemos que a função é uma função homogênea

de grau .

Vejamos a seguir os seguintes exemplos:

[ ]

Logo, a função é homogênea de grau dois.

√

√

⁄ √

⁄

Logo, a função é homogênea de grau ⁄

Pois . Logo a função não é homogênea.

Ainda, muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida

examinando o grau de cada termo.


Vejamos os exemplos a seguir:

O primeiro termo é de grau , uma vez que é do grau e do grau . O

segundo termo também é de grau , uma vez que é do grau e também do

grau . Portanto a função é homogênea de grau .

O primeiro termo é de grau e o segundo termo é de grau . Portanto a

função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes.

Se for uma função homogênea de grau , note que poderemos

escrever

(

) (

)

em que

⁄ e ⁄ ) são ambas homogêneas de grau zero.

Uma equação diferencial homogênea de primeira ordem é definida em

termos das funções homogêneas.

Uma equação diferencial da forma

é chamada de homogênea se ambos os coeficientes e são funções

homogêneas do mesmo grau.

Em outras palavras, é homogênea se

e .

Descrevemos a seguir um Método de solução para esta equação.

Uma equação diferencial homogênea pode ser

resolvida por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição

ou , em que e são as novas variáveis independentes, transformará

a equação em uma equação diferencial de primeira ordem separável. Para ver isso,

seja ; então, sua diferencial . Substituindo em , temos:


[ ]

Agora, pela propriedade de homogeneidade dada em , podemos escrever:

[ ]

Como , então . Assim, escrevemos da seguinte forma:

[ ]

Agora usando a propriedade distributiva, temos:

[ ]

Logo,

[ ]

Assim, chegamos em uma equação diferencial separável na forma:

Apresentamos a seguir dois exemplos que entendemos que irão elucidar a

teoria apresentada acima.

Consideremos a equação:

Para solucionar o problema acima devemos verificar que tanto

quanto são homogêneas de grau dois. Se fizermos , segue-se que:

[ ]


Usando divisão de polinômios, temos:

[

]

Depois de integrar a última linha, obtemos:

| | | | | |

|

| | | | |

|

| | | | |

Usando a propriedade da subtração de logaritmo, temos:

|

| |

|

Segunda a propriedade da constante, obtemos assim:

|(

)

| |

|

Agora usando a propriedade da soma de logaritmo, tem-se:

|(

)

(

)|

|(

)

(

)|

|

(

)|


|

|

A definição de um logaritmo implica que:

⁄

⁄

Vejamos outro exemplo a seguir:

√

Para resolver esta equação devemos observar que a mesma é homogênea

de grau . Dividindo tudo por , temos:

√ (

)

Fazendo ⁄ ou e assim:

Substituindo em estes valores, vem:

√

√

√

∫

√ ∫

Integrando, obtemos:

( √ )

Usando propriedades de logaritmo no segundo membro, obtemos:


( √ )

Aplicando antilog, temos:

√

Substituindo pelo seu valor ⁄ , temos:

√ (

)

Multiplicando tudo por :

√

Esta equação ainda pode ser racionalizada; isolando o radical e elevando ambos os

membros ao quadrado, obtém-se:

Dividindo ambos os membros por :


EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª ORDEM 3.3

O modelo de equação que será discutido a seguir é um dos modelos mais

utilizados nas aplicações do cálculo noutras áreas de conhecimento, cuja resolução

consiste na determinação de um fator que transformará o primeiro membro da

equação numa derivada do produto.

Em primeiro lugar, consideremos a equação linear geral de ordem:

onde e são funções contínuas num intervalo .

Vamos supor que exista uma função tal que, quando multiplicarmos

a equação por , o primeiro membro da equação resultante pode ser

escrito como a derivada da função única . Isto é:

onde deve satisfazer . Assim, a equação , transforma-se

em:

[ ]

∫

[ ] ∫

∫

∫

A equação fornece uma fórmula explícita para a solução da equação

linear geral de primeira ordem, onde e são funções contínuas dadas.

No entanto, falta ainda determinarmos de modo explícito a função .

Retornando ao fato de que


∫

∫

( ) ∫

∫

∫

∫

Admitindo , pois necessitamos apenas de uma função , temos:

∫

A função é denominada de fator integrante da equação diferencial.

Apresentamos uma sequência de passos que deve ser seguido para

resolver a equação , ou outras que se enquadrem no modelo

apresentado e observa-se que:

i) O coeficiente de é , ou seja, para iniciar o processo de resolução deve-se

ter o coeficiente de igual a ;

ii) Comparando com a forma inicial tem-se e ;

iii) Na sequência faz-se o cálculo do fator integrante:

∫

∫

iv) Substituindo o valor do fator integrante e o valor referente a na

fórmula explícita da solução, temos:

∫


∫

v) Resolvendo a integral

∫

Pelo método da substituição:

{

∫ (

)

∫

vi) Voltando pra solução explícita:

∫

(

)

Logo, a solução geral desta equação diferencial é

.

Outro exemplo que podemos verificar sobre equações diferenciais lineares é

o que o veremos a seguir:


(

)

Para resolver esta equação diferencial linear, devemos observar que

e . Neste caso,

∫ ∫

| |

de forma que:

∫

Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante, obtemos:

ou

Integrando ambos os membros da última equação em relação a , temos:

∫

∫

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EXATAS 3.4

Se tivermos uma função , sua diferencial será

onde

é a derivada parcial de em relação a (considerando constante) e

é a

derivada parcial de em relação a (considerando constante). Sendo


e

podemos observar que

pois

(

)

e

(

)

.

Assim uma equação diferencial da forma onde

é chamada de equação diferencial exata e sua solução consiste em achar a

função tal que

e

.

Para encontrar , calcula-se ∫ considerando constante,

lembrando que a constante de integração resultante será uma função de , ou

calcula-se ∫ considerando constante, lembrando que a

constante de integração será uma função de

Desta forma, é calculada igualando a derivada parcial de em

relação a com

e integrando a equação resultante.

De modo análogo, a função pode ser obtida pela integração de:

.

Vejamos alguns exemplos para haver um melhor entendimento de equações

diferenciais exatas.

Dada a equação

verificar se é uma equação diferencial

exata e ache a sua solução.

i) Verificar se é uma diferencial exata:

ii) ∫

iii)


que resulta em:

e que integrado resulta a função:

iv) Assim, a solução geral da equação:

[ ]

é dada por:

Outro exemplo que caracteriza a teoria abordada pode ser aplicado na

resolução da seguinte equação diferencial:

Para solucionar esta equação, primeiramente, devemos verificar se a

mesma é exata.

Agora, integrando ⁄ em relação à , obtemos:

∫

Então diferenciamos em relação a e fazemos ⁄ igual a N. Isto fornece:

e segue – se que . Assim,


∫

e, portanto,

Sendo assim, uma solução geral da equação diferencial dada, com a absorção de

por , fica definida implicitamente pela equação:

EQUAÇÕES DE BERNOULLI 3.5

Problemas de movimento de corpos sujeitos a forças de resistência

dependentes da velocidade são regidos por:

e resultam numa equação do movimento da forma:

ou

De uma forma geral uma equação da forma

onde e são funções contínuas de ou constantes e e é

chamada de equação de Bernoulli. Esta equação pode ser reduzida a uma equação

linear pelas seguintes transformações:

Dividindo todos os termos por obtendo:


Efetuando a substituição , temos que:

Desta forma, da equação resulta que:

que é uma equação linear de primeira ordem em .

Para exemplificar esses procedimentos, consideremos a equação:

Para resolver essa equação dividimos todos os termos por e obtemos:

Introduzindo a nova função temos que:

Efetuando as devidas substituições, resulta que:

que é uma equação linear.

Resolvendo essa equação, temos:

∫ ∫

e

∫

ou


∫

A integral ∫ pode ser feita por partes com

e

∫

∫

∫

Portanto,

e

ou

√

Vejamos mais um exemplo:

É evidente que a equação:

⁄

não é separável, nem linear e nem homogênea, mas é uma equação de Bernoulli

com

.

Efetuando as substituições abaixo:


⁄

a equação transforma-se em:

Dividindo a equação por , obtém-se a equação linear:

com o fator de integração ∫ ⁄ . Isto fornece:

e finalmente,

Nesta seção apresentamos as equações selecionadas ao longo da pesquisa

bibliográfica, acompanhada das demonstrações de suas respectivas soluções e

exemplo. Entendemos que as demonstrações apresentadas são bastante

elucidativas e podem contribuir para um melhor entendimento desse conteúdo,

principalmente pelo fato de termos detalhado cada uma das passagens ao longo do

processo.


4 APLICAÇÕES

Equações diferenciais são interessantes devido à possibilidade de serem

usadas para investigar uma ampla gama de problemas nos diversos campos da

ciência. Uma razão para isso é que os modelos matemáticos e suas soluções levam

a equações que relacionam as variáveis e parâmetros do problema. As equações

permitem muitas vezes, que se façam previsões sobre o comportamento do

processo natural em circunstâncias diversas. É fácil, com frequência, fazer com que

os parâmetros no modelo matemático variem em intervalos grandes, mas isso pode

ser um processo muito longo e caro, ou até impossível, em um contexto

experimental.

É evidente que a modelagem matemática e a experimentação ou

observação têm, ambas, uma importância crítica e um papel complementar nas

investigações científicas. Modelos matemáticos são válidos comparando-se suas

previsões com os resultados experimentais. Por outro lado, análises matemáticas

podem sugerir as direções mais promissoras a serem exploradas experimentalmente

e podem indicar, com precisão razoável, que dados experimentais serão mais uteis.

Nesta seção apresentamos atividades que envolvem equações diferenciais

ordinárias de 1ª ordem, esclarecendo o modelo envolvido nas mesmas.

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 4.1

O problema de valor inicial

em que é uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias físicas

envolvendo crescimento e decrescimento. Por exemplo, em biologia, é

frequentemente observado que a taxa de crescimento de certas bactérias é

proporcional ao número de bactérias presentes no dado instante. Durante um curto

intervalo de tempo, a população de pequenos animais, tais como roedores, pode ser


vista com alto grau de precisão pela solução para . Em física um problema de

valor inicial como proporciona um modelo para o cálculo aproximado da

quantidade remanescente de uma substância que está sendo desintegrada através

de radioatividade. A equação diferencial em pode ainda determinar a

temperatura de um corpo em resfriamento. Em química, a quantidade remanescente

de uma substância durante certas reações também pode ser descrita por .

A constante de proporcionalidade em é positiva ou negativa e pode

ser determinada pela solução para o problema usando um valor subsequente de

em um instante .

Temos como exemplo a seguinte situação:

Em uma cultura, há inicialmente bactérias. Uma hora depois, , o

número de bactérias passa a ser . Se a taxa de crescimento é proporcional

ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o

número de bactérias triplique.

Para solucionamos esse problema, primeiro, resolvemos a equação

diferencial

sujeita a . Então, usamos a condição empírica (3/2) para

determinar a constante de proporcionalidade k.

Agora, é separável e linear. Quando colocada na forma

Vemos, por inspeção, que o fator integrante é . Multiplicando ambos os lados da

equação por esse termo, obtemos imediatamente:

[ ]

Integrando ambos os lados dessa última equação, temos:


ou

Em , concluímos que ; assim, . Em , temos

ou

Logo, (

) com quatro casas decimais. A expressão para é,

portanto,

Para encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias seja triplicado,

resolvemos:

Segue- se dessa equação que:

e daí,

Qualquer fenômeno que tenha como modelo a equação diferencial

possui crescimento ou decrescimento exponencial. O crescimento

da população P de bactérias, insetos ou mesmo seres humanos pode ser previsto

durante pequenos períodos de tempo pela solução exponencial . O

estudo de substâncias que se desintegram pela radioatividade levou a descoberta

da cronologia do carbono, que é um meio de datar fósseis ou mesmo uma múmia,

uma contribuição de grande importância para a histografia no mundo.


4.1.1 Tempo de meia-vida

Em física, meia vida é uma medida de estabilidade de uma substância

radiativa. A meia-vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de

uma quantidade inicial se desintegrar ou transmutar em átomos de outro

elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é. Por

exemplo, a meia-vida do ultra radioativo rádio, , é cerca de anos. Em

anos, metade de uma dada quantidade de é transmutada em

radônio, . O isótopo de urânio mais comum, , tem uma meia-vida de

aproximadamente de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade

de é transmutada em chumbo, .

Essa propriedade física pode ser aplicada a várias situações, como por

exemplo, a situação a seguir:

Um reator converte Urânio em isótopo de Plutônio . Após anos,

foi detectado que da quantidade inicial de plutônio se desintegrou.

Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à

quantidade remanescente.

Para solucionar o problema acima denote por a quantidade de plutônio

remanescente no instante . Como vimos anteriormente no problema de crescimento

e decrescimento, a solução para o problema de valor inicial.

é

Se dos átomos de se desintegrou, então da substância

permaneceu. Para calcular , usamos ; isto é,

.

Resolvendo, , ou


Logo,

Agora, a meia-vida é o tempo no qual

⁄ . Calculando o valor de nessa

equação, temos:

ou

(

)

Para melhor elucidar questões pertinentes de desintegração radioativa e

ilustrar o método para determinação da idade de fósseis, apresentamos a cronologia

do carbono.

Por volta de , o químico Willard Linny inventou um método para

determinar a idade de fósseis usando o carbono radioativo. A teoria da cronologia do

carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono é produzido na atmosfera

pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a quantidade de

para carbono ordinário na atmosfera parece uma constante e, como

conseqüência, a proporção da quantidade de isótopo presente em todos os

organismos vivos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera. Quando um

organismo morre, a absorção de , através da respiração ou alimentação,

cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de presente, digamos

em um fóssil, com a razão constante encontrada na atmosfera, é possível obter uma

razoável estimativa da idade do fóssil. O método se baseia no conhecimento da


meia-vida do carbono radioativo , cerca de anos. Por esse trabalho

Libby ganhou o Prêmio Nobel de química em . O método de Libby tem sido

usado para datar mobílias de madeira nos túmulos egípcios e os pergaminhos do

Mar Morto.

A seguir, apresentamos um exemplo da aplicabilidade da cronologia descrita

acima.

Um osso fossilizado contém ⁄ da quantidade original do .

Determine a idade do fóssil.

Para solucionar esse problema, devemos observar que estarmos

trabalhando com a meia-vida do carbono o ponto de início é . Para

determinar o valor de , usamos o fato de que

⁄ , ou

⁄ .

Temos então:

(

)

Logo,

Quando temos

⁄ , temos:

(

)

O resultado obtido está no limite da precisão deste método. A técnica do

carbono é limitada a meia-vidas do isótopo, ou seja, cerca de anos. Uma


razão é que a análise química necessária para obter uma medida acurada do

remanescente se torna muito sofisticada além do ponto

⁄ . Também, essa

análise exige a destruição de uma grande quantidade de amostra do espécimen. Se

essa medida fosse feita indiretamente, baseada na radiatividade real do espécimen,

seria muito difícil distinguir a radiação e da radiação normal de fundo. Atualmente, o

uso de um acelerador de partículas tem possibilitado aos cientistas separa o

do estável diretamente. Calculando o valor preciso da razão de e

, a precisão desse método pode ser estendida a anos.

Outras técnicas isotópicas, como potássio e argônio , podem fornecer datas de

vários milhões de anos. Métodos não isotópicos, baseados no uso de aminoácidos,

algumas vezes também são possíveis.

4.1.2 Eliminação de droga

Em muitos casos a quantidade de certa droga na corrente sanguínea,

medida pelo excesso acima do nível natural da droga, declinará a uma taxa

proporcional a este mesmo excesso neste instante. Ou seja,

Onde . O parâmetro é chamado a constante de eliminação da droga.

A equação diferencial protótipo dessa situação é com e

constante (seja positiva ou negativa), e é prontamente resolvida separando-se as

variáveis e integrando-se:

∫

∫

Então, resolvemos para :


Como é constante, também o . É claro ainda que , de

forma que a solução particular da Equação

, onde é uma constante, com a

condição inicial é simplesmente

Por causa da presença da função exponencial natural em sua solução, a

equação diferencial

É frequentemente chamada de equação de crescimento natural ou

exponencial. A figura 10 mostra um gráfico típico de no caso ; o caso

está ilustrado na figura 11.

Podemos exemplificar o abordado acima na seguinte situação:

Em março de a população mundial atingiu cinco bilhões, e estava

crescendo à taxa de mil pessoas por dia. Assumindo-se taxas de natalidade e

mortalidade constantes, para quando se deve esperar uma população mundial de

bilhões de pessoas?

y

x

𝑦

𝑒 𝑥

Figura 10 – 𝑥 𝑡 no caso 𝑘 Fonte: Edwards Jr, 1995. p. 31

y

x

𝑦

𝑒 𝑥

Figura 11 – 𝑥 𝑡 no caso 𝑘 Fonte: Edwards Jr, 1995. p. 31


Soluciona-se tal problema a partir da equação com no lugar de ,

sabemos que . Medimos a população mundial em bilhões e em

anos. Devemos tomar correspondendo a , de modo que . O fato de

que estava crescendo de mil, ou bilhões de pessoas por dia no tempo

significa que:

Da equação

, obtemos agora:

[

]

Assim a população estava crescendo a taxa de algo ao ano em .

Para encontrarmos quando a população será de milhões, precisamos

apenas resolver a equação:

Para chegarmos a

⁄

que correspondente ao ano 2012. Se as taxas de natalidade e mortalidade

permanecem constantes, a população mundial daí em diante continuaria a duplicar a

cada quarto de século.

4.1.3 Juros Compostos

Suponha que certa quantidade de dinheiro é depositada em um banco ou

fundo de investimento que paga juros a uma taxa anual . O valor do

investimento em qualquer instante depende da freqüência na qual os juros são

compostos, bem como da taxa de juros. Instituições financeiras têm políticas

diferentes sobre a composição dos juros: algumas calculam os juros mensalmente,

outras semanalmente, outras até diariamente. Se supusermos que os juros são


calculados continuamente, podemos escrever um problema de valor inicial que

descreve o problema do investimento.

A taxa de variação do valor do investimento é ⁄ e essa quantidade é

igual a taxa segundo o qual o investimento aumenta, que é a taxa de juros vezes

o valor corrente do investimento . Assim,

⁄

é a equação diferencial que governa o processo. Suponha que sabemos, também, o

valor do investimento em um instante particular, por exemplo,

Então, a solução do problema de valor inicial , nos dá o saldo na conta

em qualquer instante . Esse problema de valor inicial pode ser resolvido facilmente,

já que a equação diferencial é linear e separável. Logo, resolvendo as

equações e , encontramos:

Portanto, uma conta bancária onde os juros são compostos continuamente cresce

exponencialmente.

Vamos comparar, agora, os resultados desse modelo contínuo com a

situação onde os juros são compostos em intervalos finitos. Se os juros são

calculados uma vez por ano, então após anos,

Se os juros são calculados duas vezes ao ano, então ao final de meses, o valor do

investimento é, [ ( ⁄ )] e, ao final de ano, é [ ⁄ ] . Assim ao final de

ano temos

(

)

Em geral, se os juros são calculados vezes ao ano, então:


(

)

A relação entre as fórmulas e fica mais clara se lembrarmos, do cálculo,

que:

(

)

Esse mesmo modelo pode ser aplicado da mesma forma a investimentos em

geral, onde se pode acumular dividendos e até ganhos de capital, além de juros.

Devido a isso, vamos nos referir agora em diante a como sendo a taxa de

rendimento.

A tabela mostra o efeito do aumento da freqüência de cálculo para uma

taxa de rendimento de .

Tabela – Crescimento de Capital á uma Taxa de Rendimento de para Diversas Composições dos Juros.

Anos

da equação

Fonte: BOYCE; DIPRIMA, 2006. p. 31.

As segundas e terceiras colunas calculadas usando-se a equação para

o cálculo trimestral e a diário, respectivamente, e a quarta coluna é calculada pela

equação para o cálculo contínuo. Os resultados mostram que a frequência de

cálculo não é particularmente importante na maioria dos casos. Por exemplo,

durante um período de anos, a diferença entre o cálculo trimestral e o contínuo é

de por investidos, ou menos de por ano.


A diferença seria um pouco maior para as taxas de rendimento maiores e

seria um pouco menor para as taxas de rendimento menores. Pela primeira linha da

tabela, vemos que, para a taxa de rendimento , os juros compostos anuais

calculados trimestralmente correspondem a e os calculados diariamente ou

continuamente correspondem a .

Voltando ao caso da composição contínua, vamos supor que podem existir

depósitos e saques além do acréscimo de juros, dividendos ou ganhos de capital. Se

supusermos que os depósitos ou saques são feitos a uma taxa constante , então a

equação é substituída por:

ou, em forma padrão,

onde a constante é positiva para depósitos e negativa para saques.

A equação é claramente linear com fator integrante , logo sua

solução geral é:

( ⁄ )

onde é uma constante arbitrária. Para satisfazer a condição inicial , é

( ⁄ )

A primeira parcela na fórmula é a parte de devida ao rendimento

acumulado sobre o investimento inicial e a segunda parcela é a parte devida à

taxa de depósito ou saque.

A vantagem de enunciar o problema dessa forma geral, sem valores

específicos para , ou , é a generalidade da fórmula resultante, para .

Com essa fórmula, podemos comparar, facilmente, os resultados de programas de

investimento diferentes de rendimento.


Por exemplo, suponha que uma pessoa abre uma conta (PREV) para

complementar sua aposentadoria com anos e faz investimentos anuais de

daí para frente de um modo contínuo. Supondo uma taxa de rendimento

de ao ano, qual será o saldo na conta PREV quando a pessoa tiver anos?

Temos . , e queremos determinar (40). Da equação

, temos:

É interessante observar que a quantia total investida total é de , de

modo que a quantia a mais, , resulta do rendimento acumulado sobre o

investimento. O saldo depois de anos é bastante sensível á taxa suposta. Por

exemplo, se se .

Vamos examinar, agora, as hipóteses que usamos no modelo. Primeiro,

supusemos que o rendimento é composto continuamente e que o capital adicional é

investido continuamente. Nenhum desses fatos é verdadeiro em uma situação

financeira real. Supusermos, também, que a taxa de rendimento é constante

durante todo o período em questão, enquanto, de fato, ela provavelmente flutuará

bastante. Embora não possamos prever taxas futuras de maneira confiável,

podemos usar a fórmula para determinar os efeitos aproximados das projeções

de taxas diferentes. É possível, também, considerar e na equação como

funções de , em vez de constantes; é claro que, nesse caso, a solução pode ser

muito mais complicada do que a equação .

O problema de valor inicial , e a solução também podem ser

usados para analisar outras diversas situações financeiras, incluindo pensões,

hipotecas, financiamentos de imóveis e financiamentos de carros.

CIRCUITOS EM SÉRIE 4.2

Em um circuito em série contendo somente um resistor, a segunda lei de

Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor ( ( ⁄ )) e da queda de

tensão no resistor igual à voltagem no circuito. Veja a Figura 12.


Logo, obtemos a equação diferencial linear para a corrente ,

Em que e são constantes conhecidas como a indutância e a resistência,

respectivamente. A corrente é algumas vezes chamada de resposta do sistema.

A queda do potencial em um capacitor com capacitância é dada por

⁄ , em que é a carga no capacitor. Então, para o circuito em série mostrado na

Figura 13, a segunda lei de KIrchhoff nos dá

Mas a corrente e a carga estão relacionadas por

⁄ , logo,

torna-se a equação diferencial linear:


Uma bateria de volts é conectada a um circuito em série no qual a

indutância é de ⁄ henry e a resistência, ohms. Determine a corrente se a

corrente inicial é zero.

Para solucionar esse problema, de , vemos que devemos resolver:

E

L

R C

E

R

Figura 12 – Circuito em Série L-R Fonte: Zill; Cullen, 2001. p. 109

Figura 13 – Circuito em Série R-C Fonte: Zill; Cullen, 2001. p. 109


Sujeita a . Primeiro, multiplicamos a equação diferencial por tiramos o

fator de integração . Obtemos então:

[ ]

Agora, , implica ⁄ , ou

⁄ . Logo, a resposta é:

Podemos escrever uma solução geral para :

⁄

∫ ( ⁄ )

( ⁄ )

Em particular, quando é uma constante, torna-se:

( ⁄ )

QUEDA DE CORPOS COM RESISTÊNCIA DO AR 4.3

Consideremos um corpo de massa em queda vertical influenciada apenas

pela gravidade e pela resistência do ar proporcional à velocidade do corpo.

Admitamos que tanto a gravidade como a massa permaneçam constantes e, por

conveniência, escolhamos o sentido “para baixo” como sentido positivo.

De acordo com a segunda lei de Newton do movimento: A força resultante

que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento do

corpo; ou, para uma massa constante.


onde é a força resultante que atua sobre o corpo e a velocidade do corpo,

ambas consideradas no instante .

No problema em foco, há duas forças atuando sobre o corpo:

i) a força devida à gravidade, dada pelo peso , e que é igual a ;

ii) a força devida à resistência do ar, dada por – , onde é uma constante

de proporcionalidade.

O sinal negativo se torna necessário porque esta força se opõe à velocidade;

isto é, atua no sentido “pra cima”, ou seja, no sentido negativo (Ver figura 14). A

força resultante é, pois, . Levando este resultado em obtemos

ou

como equação do movimento do corpo.

Figura ?

v mg

kv

Corpo em queda

Solo

Direção 𝑥 positiva

Figura 14 – Corpo em queda livre Fonte: Bronson; Costa, 2008. p. 65


Se a resistência do ar é desprezível, ou não existente, então e se

simplifica para:

Quando , a velocidade é definida por:

Podemos exemplificar pela situação a seguir:

Um corpo de cai de uma altura de com velocidade zero.

Admitindo que não haja resistência do ar, determine (a) a expressão da velocidade

do corpo no instante , (b) a expressão para a posição do corpo no instante e (c) o

tempo necessário para o corpo atingir o solo.

Corpo em queda

𝑥

Solo 𝑥

Direção 𝑥 positiva

Figura 15 – Corpo em queda Fonte: Bronson; Costa, 2008. p. 74


Como não há resistência do ar, use ⁄ que é uma equação

diferencial linear separável, cuja solução é . Depois substitua os valores

indicados.

a) Escolhamos o sistema de coordenadas da Figura 15. Como não há resistência

do ar, aplica-se :

Trata-se de uma equação diferencial linear separável, cuja solução é:

Quando , (inicialmente, a velocidade do corpo é zero), logo:

ou

Assim, , assumindo , que resulta em:

b) Lembremos que a velocidade é a taxa de variação de deslocamento de em

relação ao tempo. Logo,

E se escreve:

Essa também é uma equação diferencial linear separável, cuja solução é dada por:

Mas em , (ver Figura 15). Logo,


ou

Substituindo esse valor em , temos:

c) Devemos determinar quando . De ,

√

VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 4.4

A lei de variação de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura

de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio

ambiente. Seja a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é

, e a lei de Newton relativa à

variação de temperatura pode ser formulada como

, ou como:

onde é uma constante positiva de proporcionalidade. Escolhendo-se para um

valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton a fim de tornar

⁄ negativa em um processo de resfriamento. Note-se que, em tal processo, é

maior do que ; assim, – é positiva.


Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de em um quarto com

temperatura constante de . Se, após minutos a temperatura da barra é de


, determine (a) o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de e

(b) a temperatura da barra após minutos.

Solucionaremos esse problema aplicando , com . O meio aqui é

o quarto mantido à temperatura constante de . Temos aqui

. Uma

equação linear cuja solução é:

Como quando (a temperatura inicial da barra é ), segue-se de

que ou . Levando este valor em , obtemos:

Para , sabemos que ; logo, de ,

Donde:

Levando este valor em , obtemos a temperatura da barra no tempo arbitrário :

Desejamos determinar quando . Fazendo em temos:

ou

Resolvendo, obtemos:

Desejamos quando . Fazendo em e resolvendo em relação a ,

obtemos:


Devemos notar que, como a Lei de Newton é válida apenas para pequenas

diferenças de temperatura, os cálculos acima representam apenas uma primeira

aproximação da situação física.

Vejamos outro exemplo:

Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de . Três

minutos depois, sua temperatura passa para . Quando tempo levará para sua

temperatura chegar a graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi

colocado for de exatamente ?

Para solução utilizamos

fazemos a identificação . E devemos então resolver o problema de valor

inicial

E determinar o valor de para que

A equação diferencial

é linear e separável. Separando as variáveis, temos:

Integrando, temos:

∫

∫


| |

Aplicando antilog, tem-se:

Quando , , temos:

Logo,

De , encontramos:

Então, notamos que não fornece nenhuma solução finita

pata , pois . Intuitivamente, esperamos que o bolo atinja a

temperatura de seu meio ambiente após um longo período de tempo.

EQUAÇÃO LOGÍSTICA 4.5

Se uma população é descrita por

então apresenta um crescimento exponencial não limitado. Em muitas

circunstâncias, essa equação diferencial proporciona um modelo irreal de


crescimento de uma população, isto é, o que se observa de fato difere

substancialmente do previsto pela equação.

Por volta de 1840, o matemático-biólogo P. F. Verhulst preocupou–se com

as formulações matemáticas para a previsão de populações humanas de vários

países. Uma das equações estudadas por ele foi:

em que e são constantes positivas. A equação ficou conhecida como a

equação logística, e sua solução é chamada de função logística.

A equação não representa o modelo acurado para o crescimento

populacional quando esta [e muito grande. Condições de super população com as

consequentes deteriorações do meio ambiente, tais como poluição e excessiva e

competitiva demanda por alimento e combustível, podem ter um efeito inibidor no

crescimento populacional. Se , , é uma taxa média de nascimento, vamos

supor que a taxa média de óbito seja proporcional à população no instante .

Logo, se ( ⁄ ) ⁄ é a taxa de crescimento por indivíduo em uma população,

então:

em que é uma constante positiva de proporcionalidade. Multiplicando por ,

obtemos imediatamente .

Como veremos, a solução para é limitada quando . Se

escrevermos como ⁄ , , pode ser interpretado como um

“inibidor”. Ainda, na maioria das aplicações, a constante positiva é muito maior que

a constante .

Curvas logísticas são modelos bem acurados para previsão de crescimento

populacional, em um espaço limitado, de certos tipos de bactérias, protozoários,

pulgas d’água e moscas das frutas. A equação na forma ⁄

, proporciona um modelo razoável para descrever a disseminação de uma


epidemia trazida inicialmente pela introdução de um indivíduo infectado em uma

população estática. A solução representa o número de indivíduos infectados em

qualquer tempo . Sociólogos e mesmo analistas financeiros têm usado este último

modelo para estudar a propagação de informações e o impacto de anúncios em

certos centros populacionais.

Um método para resolver a equação é a separação de variáveis.

Usando frações parciais, podemos escrever:

[

⁄

⁄

]

| |

| |

|

|

Segue-se da última equação que:

Agora, se for dada um condição inicial:

⁄

a equação implica:

Substituindo, obtemos:


Para exemplificar vejamos abaixo:

Suponha que um estudante infectado com um vírus da gripe retorne a uma

faculdade isolada no campus onde se encontram estudantes. Presumindo que

a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente a quantidade de

alunos infectados após dias se ainda é observado que depois de dias .

Para solucionar o problema suponhamos que ninguém saia do campus

enquanto durar a epidemia, devemos resolver o problema de valor inicial:

Fazendo as identificações e , concluímos imediatamente de

que:

Agora usando a informação , determine através da equação:

Encontramos,

Logo, torna – se:

Finalmente,

Apresentamos uma gama de exemplos visando a consolidação da teoria

apresentada na seção anterior. Esses exemplos foram selecionados de acordo com

o grau de dificuldade ou aplicabilidade noutras áreas do conhecimento.


5 ATIVIDADES COMPLEMENTARES DE EDO

Nesta seção foram inseridas atividades que irão contribuir par a

consolidação dos conteúdos analisados ao longo do texto, bem como, o

entendimento de diversas situações reais. Em alguns casos, apresentamos, além

da solução, dicas que podem contribuir para a resolução das mesmas.

Atividade 1:

Uma pessoa deposita em uma poupança que paga de juros

ao ano, compostos continuamente. Determine (a) o saldo da conta após três anos e

(b) o tempo necessário para que a quantia inicial duplique, admitindo que não tenha

havido retiradas ou depósitos adicionais.

Dica para solução: Use a equação de Crescimento e Decaimento

que é

uma equação diferencial linear e separável que resulta em e substituir

os valores.

Solução: (a) e (b)

Fonte: BRONSON, Richard. Equações Diferenciais / Richard Bronson, Gabriel Costa; tradução:

Fernando Henrique Silveira. 3º edição. Porto legre: Bookman, 2008.

Atividade 2:

Uma pessoa deposita em uma conta que paga juros compostos

continuamente. Admitindo que não haja depósitos adicionais nem retiradas, qual

será o saldo da conta após anos, se a taxa de juros for de durante os quatro

primeiros anos e durante os últimos três anos?

Solução:




Atividade 3:

Uma conta rende juros compostos continuamente; qual é a taxa de juros

necessária para que um depósito feito na conta duplique em seis anos?

Solução: A taxa de juros deve ser de ao ano.



Atividade 4:

Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à

quantidade presente, Após uma hora, observam-se fileiras de bactérias na

cultura, e, após quatro horas, observam-se fileiras. Determine (a) a expressão

do número aproximado de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante e

(b) o número aproximado de fileiras de bactérias no início da cultura.

Dica para solução: Use a equação linear e separável

que tem como solução

, e adiante é só substituir os valores.

Solução: (a): e (b):



Atividade 5:

Sabes-se que a população de certo país, aumenta a uma taxa proporcional

ao número de habitantes do país. Se após dois anos a população duplicou, e, após

três anos, a população é de habitantes, estime o número inicial de habitantes.

Solução:




Atividade 6:

Certo material radiativo decai a uma taxa proporcional à quantidade

presente. Se existem inicialmente miligramas de material, e se, após duas horas,

o material perdeu de sua massa original, determine (a) a expressão da massa

remanescente em um instante , (b) a massa do material após quatro horas e (c) o

tempo para qual o material perde metade de sua massa original.

Dica para solução: Use a equação de Crescimento e Decaimento para resolver esse

tipo de questão.

Solução: (a): (b): (c): .



Atividade 7:

Cinco ratos em uma população estável de são intencionalmente

infectados com uma doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação de

epidemia, segundo a qual a taxa de variação da população infectada é proporcional

ao produto entre o número de ratos infectados e o número de ratos sem a doença.

Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para que a metade

da população contraia a doença?

Solução: ⁄



Atividade 8:

Uma barra de metal à temperatura de é colocada em um quarto a

temperatura de . Se após minutos a temperatura da barra for de ,


determine (a) o tempo necessário para a barra atingir a temperatura de e (b) a

temperatura da barra após minutos.

Dica para solução: Use

cuja solução é .

Solução: (a): (b):



Atividade 9:

Um corpo à temperatura de é colocado ao ar livre onde a temperatura é

de , Se após minutos a temperatura do corpo for de , determine (a) o

tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de e (b) a temperatura do

corpo após minutos.

Solução: (a): (b):



Atividade 10:

Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é

mantido a uma temperatura constante de . Se após minutos a temperatura

do corpo for de e após minutos a temperatura do corpo for de , determine

a temperatura inicial desconhecida.

Solução:




Atividade 11:

Uma certa cidade tinha uma população de em 1960 e uma população

de em 1970. Assuma que a sua população continuará a crescer

exponencialmente a uma taxa constante. Que população podem seus planejadores

urbanos esperar para o ano 2000.

Solução: Perto de .

Fonte: EDWARDS JR. C.H. Equações Diferenciais Elementeres: Com Problemas de Contorno/C.H.

Edwards Jr., David E. Penny. Tradução: Celso Wilmer 3° edição. Rio de Janeiro. Prentice-Hall do

Brasil – PHB, 1995.

Atividade 12:

Carbono extraído de um crânio antigo continha apenas um sexto do 14C

radioativo do que o carbono extraído de um osso atual. Qual a idade do crânio?

Solução: Perto de anos.




Atividade 13:

Na ocasião do nascimento de um primeiro bebê, um casal depositou

numa caderneta de poupança que rende (ao ano) de juros continuamente

compostos. Permite-se acumular os pagamentos de juros. Quanto terá a caderneta

no décimo oitavo aniversário da criança?

Solução:





Atividade 14:

Suponha que o sódio pentobarbital é usado para anestesiar um cachorro. O

cachorro esta anestesiado quando a concentração de sua corrente sanguínea

contém pelo menos miligramas (mg) de sódio pentobarbitol por quilo de peso do

cachorro. Suponha também que o sódio pentobarbitol é eliminado exponencialmente

da corrente sanguínea do cachorro com uma meia-vida de horas. Que dose única

deveria ser administrada de modo a anestesiar um cachorro de quilos por uma

hora?

Solução:




Atividade 15:

Um corpo com massa de cai sem velocidade inicial e encontra uma

resistência do ar proporcional ao quadrado de sua velocidade. Determine uma

expressão para a velocidade do corpo no instante .

Dica para solução: A força devido à resistência do ar é , assim a segunda lei de

Newton se escreve

, depois substitua os valores indicados. Obs:

sem informação adicional, não podemos obter o valor da constante .

Solução:

√ √



Atividade 16:

Um circuito RL tem uma de , uma resistência de , uma

indutância de e não tem corrente inicial. Determine a corrente no circuito no

instante de tempo .


Dica para solução: Considere

, depois resolva essa equação diferencia

linear.

Solução:



Atividade 17:

Um circuito RL tem uma (em ) de , uma resistência de

, uma indutância de e uma corrente inicial de .

Determine a corrente no circuito no instante de tempo arbitrário .

Solução:



Atividade 18:

Suponha que um corpo mineral formado num cataclisma antigo – talvez a

formação da própria terra – continha originalmente o isótopo do Urânio (que

tem uma meia-vida de anos), mas nenhum chumbo, que é o produto final

do decaimento radioativo de – . Se hoje a razão de átomos de átomos de

– para átomos de chumbo no corpo mineral é de , quando teria ocorrido o

cataclisma?

Solução: Perto de bilhões de anos.





Atividade 19:

Um jarro de leite inicialmente a é deixado para resfriar na varanda onde

a temperatura é de . Suponha que a temperatura do leite tenha caído para

após min. Quando ela será de ?

Solução: Após um total de .




Atividade 20:

Um circuito RC tem uma (em ) de , uma resistência de

, e uma capacitância de . Inicialmente, não existe carga no

capacitor. Determine a corrente no circuito no instante de tempo .

Solução:

.

As atividades selecionadas e apresentadas nesta seção têm por finalidade

proporcionar uma maior consolidação do tema abordado, bem como, apresentar

outras situações que entendemos que são importantes devido sua aplicabilidade

noutras áreas de conhecimento ou por envolver novos desdobramentos sob o ponto

de vista algébrico do cálculo diferencial ou integral.


CONSIDERAÇÕES FINAIS

Entendemos que as anotações, fichamentos e definição dos textos que

fundamentaram o trabalho, foram essenciais para gerar a versão preliminar do texto

que, após revisão, procuramos eliminar lacunas e contradições, culminando com a

conclusão do texto final.

Este trabalho pode servir de apoio aos alunos do curso de licenciatura em

Matemática, bem como, aos alunos que tiverem que fazer um curso introdutório de

equações diferenciais ordinárias, observado que procuramos apresentar as

demonstrações de forma clara e elucidativa, bem como, os exemplos e atividades

propostas.

Quanto aos exemplos e atividades complementares, entendemos que estas

são importante devido esclarecer e consolidar os conteúdos abordados, bem como,

apresentar as aplicações das equações diferenciais ordinárias em outros campos do

conhecimento, além de trazer em seu bojo outros desdobramentos envolvendo

álgebra ou cálculo.

Este trabalho também pode contribuir com aqueles que fizeram um curso de

equações diferenciais ordinárias e necessitam efetuar uma revisão das mesmas,

bem como suas aplicações, ou até mesmo, ao professor que venha ministrar um

primeiro curso de equações diferencias ordinárias.

Reconhecemos as limitações do presente trabalho e refletindo sobre as

questões aqui discutidas, entendemos que o recorte histórico apresentado serviu

apenas para situar o desenvolvimento do tema abordado e apresentar alguns

personagens que contribuíram para seu desenvolvimento ao longo do tempo. Neste

sentido, fica em aberto para outros interessados em história da matemática dar

continuidade e complementar os dados históricos aqui apresentados.

Este trabalho, além de contribuir para a consolidação dos nossos

conhecimentos sobre equações diferenciais ordinárias, veio também contribuir

positivamente tendo-se em vista que estamos participando do curso de verão da

UFPA para seleção dos alunos do Programa de Mestrado em Matemática.


Ao concluirmos este trabalho, ressaltamos dois pontos, primeiro, não

tínhamos a intenção de produzir um trabalho exaustivo e completo, apenas

selecionamos um leque de equações e apresentamos um tratamento diferenciado e,

segundo, entendemos que o objetivo elencado inicialmente foi atingido.


BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. (1930). Equações elementares e problemas de valores de contorno. Tradução de Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2006. BRONSON, Richard. Moderna introdução às equações diferenciais; tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão técnica Roberto Romano. São Paulo, McGraw-Hill, 1977. BRONSON, Richard. Equações Diferenciais / Richard Bronson, Gabriel Costa; tradução: Fernando Henrique Silveira. 3º edição. Porto legre: Bookman, 2008. BOYER, Carl B.. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1989. EDWARDS JR. C.H. Equações Diferenciais Elementeres: Com Problemas de Contorno/C.H. Edwards Jr., David E. Penny. Tradução: Celso Wilmer 3° edição. Rio de Janeiro. Prentice-Hall do Brasil – PHB. EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004. MAURER, Alfredo Maurer. Curso de Cálculo Diferencial e Integral: Equações Diferenciais. São Paulo: Edgar Blücher Ltda, 1975. NAGLE, R. Kent. Equações diferenciais/R. Kent nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider; tradução Daniel Vieira. – 8 ed. – São Pulo: Person Education do Brasil, 2012. SMITH, D. E. History of Mathematics. Toronto: General Publishing Company, 1958. STILLWELL, J. Mathematics and its History. New York: Springer, 1989. ZILL, Dennis G.. Equações Diferenciais, volume 1/ Dennis G. Zill, Michael R. Cullen; tradução Antonio Zumpano, revisão técnica: Antônio pertence Jr. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.

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