I

P SOBRE A EQUIVAL~NCIA DOS MODELOS ANTIFERROMAGNtTICO DILUIDO

E FERROMAGNtTICO EM CAMPO ALEAToacuteRIO VERSAtildeO HIERAacuteRQUICA

(

Tese apresen~ada ao Ins~~uto de

Fiacutesica da Universidade de Sfto

Pau10 para ob~nccedilo dotilde T1~ulo de

Doutor em Ciecircncias SBI-IFUSP

11111111111111111 11111111111111111111111

LUIZ FRANCISCO PONTIN

bull Slo Paul o 1990

r ~V (079 o

- - -- _

c

~~) o ~3

P( i6 lgt

) et

FICHA CATALOGRAacuteFICA

Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Pontin Luiz Francisco Sobre a equivalecircncia dos modelos antifershy

romagnatico diluiacutedo e ferromagnctico em camshypo aleatoacuterio versatildeo hleraacuterquica satildeo Paushylo 1990~

Tese (Doutopado) - Universidade de satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica Departamento de Fiacutesica e Matemaacutetica

Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica de Partiacutecushylas Elementares

Orientador Prof9 Dr Joseacute Fernando Ferez

Uni termos ~Mecacircnica estatiacutestica 2Siacutesshytemas aleatoacuterios

USPJFsRr - 2990

o ~ meUbullbullancoro Qo O$pocia1 ltr$tlUUumlXllAQnto ao Prol ])rbull

Jeseacute Fernando Pett11Z pela excelente ortentaccediltc que recebi e peta

compreensatildeo e a)uda nos momentos diices dUlante este trablttlM

Heus aeradSc~mentos agrave senhora Maria Re8ina Br~o

Soares e agrave senhcri ta Cliacutest ina Silva pelo dedicado e paciente

trabaho db dt6Iacute taccedilztltgt

JI~o t_ ao Prof Joseacute JI6Sto _ta Se~

~1Q$ disc~s~s sobre o trabalho que tanto ajudaram a sua

comprlfensaacuteo e a EscoLa Federal de EntIenhar-ia de 1 taivbaacute PEta

opor t Wi lt1adM bull

c

~~) o ~3

P( i6 lgt

) et

FICHA CATALOGRAacuteFICA

Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Pontin Luiz Francisco Sobre a equivalecircncia dos modelos antifershy

romagnatico diluiacutedo e ferromagnctico em camshypo aleatoacuterio versatildeo hleraacuterquica satildeo Paushylo 1990~

Tese (Doutopado) - Universidade de satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica Departamento de Fiacutesica e Matemaacutetica

Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica de Partiacutecushylas Elementares

Orientador Prof9 Dr Joseacute Fernando Ferez

Uni termos ~Mecacircnica estatiacutestica 2Siacutesshytemas aleatoacuterios

USPJFsRr - 2990

o ~ meUbullbullancoro Qo O$pocia1 ltr$tlUUumlXllAQnto ao Prol ])rbull

Jeseacute Fernando Pett11Z pela excelente ortentaccediltc que recebi e peta

compreensatildeo e a)uda nos momentos diices dUlante este trablttlM

Heus aeradSc~mentos agrave senhora Maria Re8ina Br~o

Soares e agrave senhcri ta Cliacutest ina Silva pelo dedicado e paciente

trabaho db dt6Iacute taccedilztltgt

JI~o t_ ao Prof Joseacute JI6Sto _ta Se~

~1Q$ disc~s~s sobre o trabalho que tanto ajudaram a sua

comprlfensaacuteo e a EscoLa Federal de EntIenhar-ia de 1 taivbaacute PEta

opor t Wi lt1adM bull

o ~ meUbullbullancoro Qo O$pocia1 ltr$tlUUumlXllAQnto ao Prol ])rbull

Jeseacute Fernando Pett11Z pela excelente ortentaccediltc que recebi e peta

compreensatildeo e a)uda nos momentos diices dUlante este trablttlM

Heus aeradSc~mentos agrave senhora Maria Re8ina Br~o

Soares e agrave senhcri ta Cliacutest ina Silva pelo dedicado e paciente

trabaho db dt6Iacute taccedilztltgt

JI~o t_ ao Prof Joseacute JI6Sto _ta Se~

~1Q$ disc~s~s sobre o trabalho que tanto ajudaram a sua

comprlfensaacuteo e a EscoLa Federal de EntIenhar-ia de 1 taivbaacute PEta

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i

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I

I ~ I

i

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)

I

RESUMO

Aprsmtamos uma verslro hieraacuterqtJica do modelo de Ising

para JlQStrar a aquivalecircncia entre os modelos ferromagneacutet1eo em

campo aleatoacuterio 6 an~ifeacute~romagneacuteticcedilo dilu1do em campo un1rorme A

equivaleacutencia 9Staacute basampada no rato de que transformaccedileses do grupo

de Tenormalizaccedilro quando aplicadas ao modelo antiferromagneacutetico

diluiacutedo prodlJzam como Ggtf9ito combinado do campo externo G da

diluiccedilfo um campo externo aleatoacuterio na nova escala Verificamos

tambeacutem que quando nSo SEI leva em conta eontornos dentro de

con~ornos os modQlos analisados apresentam transiccedilo de fase para

dimens~o d maior ou igual a dois~ O meacutetodo usado roi a

eombi naccedilio dos argumentos d Peierls Imry Ma as ~ransformaccediles da Teoria do Grupo de Rnor~lizaccedil~o que na versgo

hieraacuterquica tornam-se um processo exato

)

J

i

)

I

RESUMO

Aprsmtamos uma verslro hieraacuterqtJica do modelo de Ising

para JlQStrar a aquivalecircncia entre os modelos ferromagneacutet1eo em

campo aleatoacuterio 6 an~ifeacute~romagneacuteticcedilo dilu1do em campo un1rorme A

equivaleacutencia 9Staacute basampada no rato de que transformaccedileses do grupo

de Tenormalizaccedilro quando aplicadas ao modelo antiferromagneacutetico

diluiacutedo prodlJzam como Ggtf9ito combinado do campo externo G da

diluiccedilfo um campo externo aleatoacuterio na nova escala Verificamos

tambeacutem que quando nSo SEI leva em conta eontornos dentro de

con~ornos os modQlos analisados apresentam transiccedilo de fase para

dimens~o d maior ou igual a dois~ O meacutetodo usado roi a

eombi naccedilio dos argumentos d Peierls Imry Ma as ~ransformaccediles da Teoria do Grupo de Rnor~lizaccedil~o que na versgo

hieraacuterquica tornam-se um processo exato

)

J

I bull

ABSTRACT

gt

Wfiacuteii are prasenting a hierarchical varsion of lSin9 modal

to show ao equivalence b9~ween ~he ~arromagneliccedil medel ih a random

magntic field and dilute antiferromagne-tic modal in a unitorJn

magnetic rield Iha aqui valence is baseei on lhe fact that

a dilute anti1erromampgnet 1n amp uniform magnetlc field generatls

under a rnormal i zation group transformation a random

magnatie field WEP alsQ verify that whall we do not take into

account contours inside contours t-h models analized show phase

transi tion 1or dimension d greateT than OI equal to two The

mEtthod used consists of combination oi Peierls~ Imry and Ma

ar9~nts and Lhe Renormalization Group Transformation~ which in

th hierarchieagravel approach becomes ao exact processo

I

I

I I

z

1NDICE

Introduccedilllo

paacutegJna

1

~ptulo I

O Papol da MecAnica E$tat1~tiea 7

Instabilidade Macroscoacutepica 9

Condiccedil~ do Conto~ho 11

Contorno 12

Aplieaccedil~o Transiccedil~o de Fase 13

Capitulo 11

Campo Meacutedio 19

Sistemas Aleacuteacirct6rios 19

O Meacutetodo de van Hemmen 21

Modelo Ferroma9n~1co com Campo Alea~6rio 22

renOmenos CTlticos as Teoria de Grupo de Renormali2accedil~o aQ

Modelo An~i~erromagneacutetlco Diluido com Campo Uniforme 22

Capitulo III

Argumento de Imry G Ma 24

Capl lula IV

A Aproximaccedilllo Hieraacuterquica aa

Ferromagneacutetico em Campo Aleatoacuterio 30

Ferromagneacutetico sem ~ Magn~ico 46

Antl~erromagneacutetico Diluiacutedo em Campo Uni~orme 48

gt Cap1lulo V

Estudo dos Modelos CIFU Q CIADgt~ Saro Contofno

Dentre de Contorno 60

z

1NDICE

Introduccedilllo

paacutegJna

1

~ptulo I

O Papol da MecAnica E$tat1~tiea 7

Instabilidade Macroscoacutepica 9

Condiccedil~ do Conto~ho 11

Contorno 12

Aplieaccedil~o Transiccedil~o de Fase 13

Capitulo 11

Campo Meacutedio 19

Sistemas Aleacuteacirct6rios 19

O Meacutetodo de van Hemmen 21

Modelo Ferroma9n~1co com Campo Alea~6rio 22

renOmenos CTlticos as Teoria de Grupo de Renormali2accedil~o aQ

Modelo An~i~erromagneacutetlco Diluido com Campo Uniforme 22

Capitulo III

Argumento de Imry G Ma 24

Capl lula IV

A Aproximaccedilllo Hieraacuterquica aa

Ferromagneacutetico em Campo Aleatoacuterio 30

Ferromagneacutetico sem ~ Magn~ico 46

Antl~erromagneacutetico Diluiacutedo em Campo Uni~orme 48

gt Cap1lulo V

Estudo dos Modelos CIFU Q CIADgt~ Saro Contofno

Dentre de Contorno 60

seTJu918J8ecirc

SOlJYluewogt

I IA o 11rdJ

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QJlUO otJ10ltJo) Ule middott8~ (middotV) 0tePQH op opnS3

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69 OltL coV n o tPOK

99 O lt L CV I 1) or_ 09 O ~ L CV I D degtPOK

II

1

SOBRE A EQUlVAUmCIA DOS MODELOS AlITIFERROMAGNiTlCO DILUtOO

E FERROKAGNiTICO EM CAMPO ALEAToacuteRIO VERSAtildeO HIERAacuteRQUICA

I NTRODuccedilllO

Nos Uacuteltimos vi nte anos os chamados sistemas

aleatoacuterios tem sido motivo de eacutestlJdo tanto do ponto de vista

t$Ocircrco como experimental Os primeiros trabalhos e~~imntais de

Matthias (1958) Ief (1 J com substAneias rerromagneacutetieas

aleacuteatoriamentotilde disp$rsas em substacircncias natildeo magneacuteticas forneceram

novos resultados agrave investigaccedil~o de ~teacuteriais magneacuteticos O

trabalho tCgtOacuterieo d Brout C10ss0 rl cal conseguiu dar

expl i eaccedilCSas r azoaacutevei s agraves obser vaccedilfSes exper1 menta s- de Matthi as

Por outro lado os trabAlhos teoacutericos de Laoour-Gayet e Toulouse

(1Q74) ro [3J t Imrye Ma (lQ76) reto (4J~ Grinste1n C1Q76) rer

[53 Aharony et al (1976 reto U31 Young C197n reto [73 e

AharQny (1Q790 reto ca) MOStraram que as propriedadas cr1~icas d~

sistemas onde o par4metro de ordem esiaacute acoplado a um campo

magneacutetico aleatoacuterio satildeo drastic8mEinte di ter entes de outros

sistmas com campo magneacutetico uniforme Por exemplo na rel r41

Imry amp Ma mostraram que a ordem de longo alcance deve desaparecer

para dimensional1dade == d$ 4 para sislemas com simetria

cont1nua e d S 2 para sistemas com sirnetr1a discreta tipo Ising

Tamb$m o comportamento tricr1tico e bicritico se desvia da teoria

de campo meacutedio de Curie-W91ss (1948) para d lt 5 e d lt 6 em vez de

d lt S amp d lt 4 respectivamente rer [81 Entretanto os expoentes

crltico$ para 4 lt d lt e s~o esperados serem os mesmos de sistemas

puros em d - 2 dimans~s rer (6871

1

SOBRE A EQUlVAUmCIA DOS MODELOS AlITIFERROMAGNiTlCO DILUtOO

E FERROKAGNiTICO EM CAMPO ALEAToacuteRIO VERSAtildeO HIERAacuteRQUICA

I NTRODuccedilllO

Nos Uacuteltimos vi nte anos os chamados sistemas

aleatoacuterios tem sido motivo de eacutestlJdo tanto do ponto de vista

t$Ocircrco como experimental Os primeiros trabalhos e~~imntais de

Matthias (1958) Ief (1 J com substAneias rerromagneacutetieas

aleacuteatoriamentotilde disp$rsas em substacircncias natildeo magneacuteticas forneceram

novos resultados agrave investigaccedil~o de ~teacuteriais magneacuteticos O

trabalho tCgtOacuterieo d Brout C10ss0 rl cal conseguiu dar

expl i eaccedilCSas r azoaacutevei s agraves obser vaccedilfSes exper1 menta s- de Matthi as

Por outro lado os trabAlhos teoacutericos de Laoour-Gayet e Toulouse

(1Q74) ro [3J t Imrye Ma (lQ76) reto (4J~ Grinste1n C1Q76) rer

[53 Aharony et al (1976 reto U31 Young C197n reto [73 e

AharQny (1Q790 reto ca) MOStraram que as propriedadas cr1~icas d~

sistemas onde o par4metro de ordem esiaacute acoplado a um campo

magneacutetico aleatoacuterio satildeo drastic8mEinte di ter entes de outros

sistmas com campo magneacutetico uniforme Por exemplo na rel r41

Imry amp Ma mostraram que a ordem de longo alcance deve desaparecer

para dimensional1dade == d$ 4 para sislemas com simetria

cont1nua e d S 2 para sistemas com sirnetr1a discreta tipo Ising

Tamb$m o comportamento tricr1tico e bicritico se desvia da teoria

de campo meacutedio de Curie-W91ss (1948) para d lt 5 e d lt 6 em vez de

d lt S amp d lt 4 respectivamente rer [81 Entretanto os expoentes

crltico$ para 4 lt d lt e s~o esperados serem os mesmos de sistemas

puros em d - 2 dimans~s rer (6871

e

No trabalhe da ref [93 Perez Wresdnski e van HelfUllEto

C1QS4 mostraraacutetrt eret1vaJn(tnte que o modelo esfeacuterico Csirnetria

continua em campo magneacutetico aleat6rio nl(o apresenta trans1ccedillro )

de fase para d ~ 4~

No trabalho da rei tl01 Fishman e Aharony C1Q7g)

mostraram que sistemas antiflifrromagfuIHbullieos dil uidos e em campo

magneacutetico uniforme s~o capazes de ger-ar campos magneacuteticos

) alea~6rios Os ~rabalhos de Cardy (1994) re~ (11l e Galam (1Q66)

reacutef [ial tambeacute-m mostraram que campos magneacuteticos pequenos sito

capazes de gerar campos aleat6rios em sistemas antiferromagneacuteticos

diluiacutedos

Uma demonstraccedillo exata 101 obtida por Perez Pontln e

Sa~ta C1gee) reto [131 mas a niacutevel de campo meacutedio onde 101

mostrado que o modele de 1s1og antiferromagnecirct1eo diluiacutedo em campo

) magneacutetico unitorme eacute equivalente ao modelo de 1sin9 ferromagneacutetico

em campo magneacutetico aleataacute~io

Por outro lado oS trabalhos experirnentais de Yoshizawa

e~ al C1QS2) ror [141 Jaacute haviam confirmado a obtenccedil~o de campos

aleatoacuterios aplicando um campo magneacutetico uniforme em substacircncias

com impurozas magneacuteticas

Do que ricou exposto acima podemos concluir que as

preocupaccedil~es com sistemas aleat6rios satildeo basicamente duas A

primeira seria a determinaccedil~o das dlmans3es criticas du~rior

Cisto eacute a dimens~o acima da qual o sistema eacute gaussiano na

cri tical1dade) e dinrior

Cisto eacute a dimensatildeo acima da qual o

sistema apresenta transiccedil~o de rase A segunda preacuteocupaccedil~O seria

a equival4-ncia dos modelos como sugerido nas rei r10111213J

Com respei~o a dimQns~o critica d ~ houve muita

3

con~roveacutersia sobre o seu valor pois o argumento de Imry e Ma re~

[4J mostrava que d ~ = ia para sistemas decirc Ising e () argumento da 11 bull

reduccedil~o dimensional obtinha di~ = 3 ret [16163 que era

consis~en~e com O truquo das reacuteplicas raC [15J EsLa si~uaccedil~o se

esclareceu um pouco com dois resultados importantes Primeiro

Frohlich Fisher Spencer C19B4) feacutef as) trataJam

rigorosament () argumento de Imry 9 Ma e mostraram acirc eacute~$~neia de

uma magnampti2accedil~o espont~nea para () modelo de ls10g tridimensional

com um campo aleat6rio ~raeo para modelos sem con~ornos internos

Acirc provaacute funciona para qualquer dimanso cima de~ dando suporte

para a conjectura que 8 eacute a dimensatildeo critica inferior Num

trabalho anterior a eacuteS1e da ref t163 acima Chalkof (1093) rel

(17) ta~m hilvia concluido que o modelo de Ising tridimensional

com um campo a1eaLoacuterio fraco apreS(fl)tava uma magnetizaccedil~o

sporrtAnea t=ala baixas temperaturasw A tt1ocnica usada por- Chalker

~oi a combinaccedil~o do argumanto do Poierls com uma ~ransformaccedil~o de

reescala segundo um resultado o~ido por Imbrie (19860 rer [183

mostrou que o mesmo modelo Jatilde citado acima estaacute ordenado a

~emperatura zero Toda esta controveacutersia sobre a dimens~oacute

critica estaacute finalmente resolvida em dois trabalhos primeiramente

Sr1cmont e Kupiainen C100s roi [1Ql provaram que para d = 3 e

pequena variAncia do campo aloatoacuterio o modelo de I51ng

rEtlromagneacutetico estaacute ordenado o que estabelece d f lt 3 poreacutem

roeeotemente o trabalho de Aizenrnan e Wehr (1999) ref [20]

atatgtlcu dei oi ti vamante que d r 2

Quanto a aqui valecircnci a entre os modelos

an~i~Qrromagneacute~ico diluiacutedo ecirc ~er-romagneacute~ico em campo a19a~6rio haacute

certa controveacutersia pois n~o foi obtido ainda uma ElqUi valecircncia

oxata Por exemplo os resultados do trabalho da ror [43l est~o em

3

con~roveacutersia sobre o seu valor pois o argumento de Imry e Ma re~

[4J mostrava que d ~ = ia para sistemas decirc Ising e () argumento da 11 bull

reduccedil~o dimensional obtinha di~ = 3 ret [16163 que era

consis~en~e com O truquo das reacuteplicas raC [15J EsLa si~uaccedil~o se

esclareceu um pouco com dois resultados importantes Primeiro

Frohlich Fisher Spencer C19B4) feacutef as) trataJam

rigorosament () argumento de Imry 9 Ma e mostraram acirc eacute~$~neia de

uma magnampti2accedil~o espont~nea para () modelo de ls10g tridimensional

com um campo aleat6rio ~raeo para modelos sem con~ornos internos

Acirc provaacute funciona para qualquer dimanso cima de~ dando suporte

para a conjectura que 8 eacute a dimensatildeo critica inferior Num

trabalho anterior a eacuteS1e da ref t163 acima Chalkof (1093) rel

(17) ta~m hilvia concluido que o modelo de Ising tridimensional

com um campo a1eaLoacuterio fraco apreS(fl)tava uma magnetizaccedil~o

sporrtAnea t=ala baixas temperaturasw A tt1ocnica usada por- Chalker

~oi a combinaccedil~o do argumanto do Poierls com uma ~ransformaccedil~o de

reescala segundo um resultado o~ido por Imbrie (19860 rer [183

mostrou que o mesmo modelo Jatilde citado acima estaacute ordenado a

~emperatura zero Toda esta controveacutersia sobre a dimens~oacute

critica estaacute finalmente resolvida em dois trabalhos primeiramente

Sr1cmont e Kupiainen C100s roi [1Ql provaram que para d = 3 e

pequena variAncia do campo aloatoacuterio o modelo de I51ng

rEtlromagneacutetico estaacute ordenado o que estabelece d f lt 3 poreacutem

roeeotemente o trabalho de Aizenrnan e Wehr (1999) ref [20]

atatgtlcu dei oi ti vamante que d r 2

Quanto a aqui valecircnci a entre os modelos

an~i~Qrromagneacute~ico diluiacutedo ecirc ~er-romagneacute~ico em campo a19a~6rio haacute

certa controveacutersia pois n~o foi obtido ainda uma ElqUi valecircncia

oxata Por exemplo os resultados do trabalho da ror [43l est~o em

desacordo com as previseseacutes de Fishman e Aharony amp1 C101 Em

nosso trabalho apreseacutentamos um modelo a favor das previsltSes de

Fishman 9 Aharony entretan~o contlnuaraacute aqui ainda um problema em

aberto a qui~14ncia ampXa~a

Mostraremos na aproximaccedil~o hieraacuterquica que

tranforma9~ do grupo ela rnormal1zaccedil~o quando aplicadas ao

moctolo do 1s119 antiferr-onQgn40tico diludo 10m C-ampo un1fcrmillll

(IAD descrito pela hamiltoniana

- HC) = - J t ~O ampamp h 1 (I i) ltijgt I J- J-

Conde amp 01 s[o variaacuteveis alampatoacuterias responsaacuteveis pela di 1 ui ccedillo d si ti os bull tY=+1 bull 1gtO h o campo externo) ntapGiam no modlo de Ising forromagneacutetieo em campo aleatoacutero

CIFA) descrito pela harniltoniana

- HCOacute) = J 00 1 h u CI 2)t lti jgt L

Conde h eacute o campo aleat6tio = 1 e J gt O) A importAncia de$sa equi val~necircia reside tambeacutem no 1ato

que os Jnodelos antiCerromagneacutetico diluido sem campo externo e

antirerromagneacuteLico sem diluiccedil~o em campo externo pequeno raro [41J

tecircm transiccedil~o do tase para d ~ 2 Como o modelo rerromagneacute~ico em

campo aleatoacuterio ~em lransiccedil~o de rase para d gt a a equivalecircncia

mostra enL~oacute que a combinaccedil~ot da diluiccedil~o com campo 9xLerno no

modelo antiferromagneacutetico n~o prodtJ2 transiccedillo de fase para

d = 2 Mostraremos tambeacutem primeiro na aproximaccedil~o hieraacuterquica e

depois argUmeacuteht-os para oacute modelo real que quando n~o se leva em

6

eon~A con~ornos don~ro d Con~orhos Q modolo d 181ng

ferromagneacutetieo em campo alea~6rio apresenta transiccedil~o de fase

para d ~ 2 m vez de draquo 2 como ficou provado na feacutel

120J

A relevacircncia de tratarmos a equivalecircncia dos modelos acima

descritos na aproximaccedil~o hieraacuterquica reside no fato que

acredita-se qUecirc tudo que eacute verdadeiromiddot dentro desta aproxirnaccedil~o

tambeacuteID seja verdadeiro no modelo real pois uma equivalncia

direta nUa foi possiacutevel ainda Seacutegundo Gallavc~~f et aI ref [213

o entendimento do modelo hieraacuterquico eacute um passo preliMinar

essencial na soluccedil~o de diversos proble~s de Mecacircnica

Estatistca pois a perda de detalhes para entender o modelo real

n~o eacute ~~o importante e preciso deixar claro que a nossa

aproximaccedil~o hieacuteraacuterquica caracteriza correacuteLamecircnte a diJlleacutenS~O

lisica com reacutelaccedilatildeo acircs suas p~opriedades de escala e n~o deve se~

confundido com rfoldGs hieraacuter-quicaso tipo Bampthe r f t 44] que

CQrrespondem a modelos de campo meacutedio e suas varian~es

o esquema da dQJnOns-traccedil~o estA baseacuteaagraveo na aplicaccedilatildeo da

teor i a do gr upo de Tenor mal i zaccedil~o combi nado com o a~ gumento de

Peierls e o argumento de Imry e Na Para isso organiZamos o

trabalho na seguinte forma no cap1 tulo I recordamos o modelo de

Ising o cri teacutero da nstabilidade macrosc6pica ~ o conee to de

contorno de Peierls eurom seguida tazecircmos uma apliecircaccedil~o desses

conceitO$ para mostrAI que o modelo de Isiog dQtalmin1stico

apresenta transiccedil~o de fase em duas dimensotildees No capitulo II

definimos os sistemas aleatoacuterios e apreseacutefitamos a equivalecircncia da

~ef f1a1 para obse~varmos algumas mudanccedilas que os sis~~mas

alea~oacute~ios apresen~am eacuteM ~elaccedil~o aos s1s~emas da~ermin1s~ico~~ No

6

eon~A con~ornos don~ro d Con~orhos Q modolo d 181ng

ferromagneacutetieo em campo alea~6rio apresenta transiccedil~o de fase

para d ~ 2 m vez de draquo 2 como ficou provado na feacutel

120J

A relevacircncia de tratarmos a equivalecircncia dos modelos acima

descritos na aproximaccedil~o hieraacuterquica reside no fato que

acredita-se qUecirc tudo que eacute verdadeiromiddot dentro desta aproxirnaccedil~o

tambeacuteID seja verdadeiro no modelo real pois uma equivalncia

direta nUa foi possiacutevel ainda Seacutegundo Gallavc~~f et aI ref [213

o entendimento do modelo hieraacuterquico eacute um passo preliMinar

essencial na soluccedil~o de diversos proble~s de Mecacircnica

Estatistca pois a perda de detalhes para entender o modelo real

n~o eacute ~~o importante e preciso deixar claro que a nossa

aproximaccedil~o hieacuteraacuterquica caracteriza correacuteLamecircnte a diJlleacutenS~O

lisica com reacutelaccedilatildeo acircs suas p~opriedades de escala e n~o deve se~

confundido com rfoldGs hieraacuter-quicaso tipo Bampthe r f t 44] que

CQrrespondem a modelos de campo meacutedio e suas varian~es

o esquema da dQJnOns-traccedil~o estA baseacuteaagraveo na aplicaccedilatildeo da

teor i a do gr upo de Tenor mal i zaccedil~o combi nado com o a~ gumento de

Peierls e o argumento de Imry e Na Para isso organiZamos o

trabalho na seguinte forma no cap1 tulo I recordamos o modelo de

Ising o cri teacutero da nstabilidade macrosc6pica ~ o conee to de

contorno de Peierls eurom seguida tazecircmos uma apliecircaccedil~o desses

conceitO$ para mostrAI que o modelo de Isiog dQtalmin1stico

apresenta transiccedil~o de fase em duas dimensotildees No capitulo II

definimos os sistemas aleatoacuterios e apreseacutefitamos a equivalecircncia da

~ef f1a1 para obse~varmos algumas mudanccedilas que os sis~~mas

alea~oacute~ios apresen~am eacuteM ~elaccedil~o aos s1s~emas da~ermin1s~ico~~ No

6

ccediloacuteilpit-ulQ 111 Apr$SOonLaJnOs o argtt1flliiJnto do Imry lIiIt Ma e a teacutecnicQ do

grupo de renormalizaccedillo para obtermos no capitulo IV dentro da

apr-oxi maccedili(o hioraacuterquica qui va14nei a dos modoloS antiterromagneacutetico diluJdo em campo uniforme a lerromagneacutetico em

campo aleatoacuterio No capitulo V mostraramprnos~ na aproximaccedilro

hlraacuterquiea~ quo o modolo de Ising lerromagneacutetico em campo

eloat6rio apr81iilonta t naiccedili(o do iacuteaGo para d ~ a qUAndo n2(o CIO

leacuteVA em conta contornos dentro de contornos No cap1 tulo VI

propomos um esquema para mostrar que o lesultado do capitulo V

pode sor estndido para o modelo real quando n~o so leva tmbeacutem em

conta con~ornos dentro de contornos O capl~ulo VII seraacute deacutedicado

a comemtaacuterios gerais

1

l

CAP1TULO I

o PAPEL DA MECANICA ESTATtSrICA

o estudo de tlm sistema fisico em Mecacircnica Estat1stica

ccedilon~i~te em estabelecer um vinculo entre as leis microscoacutepicas da

mateacuteria~ gQralmante descritas pela hamiltoniacuteana H do sistema e

as grandazas macrosc6picas da Termodinacircmica como por exemplo a

enargi a 1 i vre f do si stama

Naste ~raba1ho trataremos apenas de sistemas ~gnticos

numa rooe A de dimensilo d com um total d9 H IA I si tios

isto eacute A c zd onde Z eacute o conJunto dos 1nteiros

Consideremos um sistema magneacutetico de N part1culas na

rede A descrito peacutela seguinte hamiltoniana (Modelo de lsing)

1 - I1 CaJ I J UCY + I hO BAC et) (11)

A ~ J J iampA i-iiGA lo

onda 0 ~ S t 1 satildeo chamadas variatildeveis de spin de cada

par li cuIa 0 CO ltgt ) N

J J descreVEl a interaccedil~o enlia as partiacuteculas em j J J

Ctarnbeacutem chamada integral de exchange) euroi h eacute um campo magneacutetico local agindo sobrG a partlcula e h E Ch ~ bullbullbull hgt N

O termo BA~q) dfilscrampVG a intampiacuteaccedilt1o do sistema com o

resto do universo q~e eacute um ~an~o arbitraacuteria e depende do sistema

em considqraccedil~o

EntrGtzmto iremos impor sempre que

lim ma IAI- bull IBAltO) I = O lt1 agt Aoo Q

e

isto eacute a ccmtribuiccedilro de BACq) bull fJm tEtfmo de sUpGrficcediliq ii eacute

chamado de condiccedilo de contorno

Os sistemas descri tos por Cl1) acima sro chamados de

fGlrrollotildeilgnocircticos quando J gt O ~ antifGrromagneacutelico quando J lt O ~J ~J

para -todo 1 j e A

Se o sistema eacute mantido a uma temperatura T e f ACO) eacute a

~nQrgi_ livre por VQl~me a ~~nica Estatistica estabolqc ~ na

dascriccedil~o de Gibbs~

fA

(1) = laquo(1I AI-1 ln ZAB lt(1h) lt13) A

onde

(3-1

= kT C k a constante de Sol tzmann) (1 4)

ZAB laquo(1h) = E P [-(1 HA(ltraquo l (15) A D

eacute chamada a ~unccedil~o da particcedil~o do sistema

A somat6lia eacute afetuada sobra o conjunto O da todas as

conriguraccedilOtildeeacuteS ~ possiacuteveis isto eacute O = plusmn 1)N

Entretanto as propriedades usuais da energi~ li Yre soacute

silo obtidas no limite termodinacircmico isto eacute~

IC(1) lim f A C(1) (16) A

Este limita em garal existe para certas hamiltohianas no

s~ntido de van Hove rer real

Agora se gegt lecirc uma grandeza f1sica associada ao

si$~$ma a sua meacutedia ~eacuternUca ou valor esperado seraacute

ltggtAB = Z~ C(1h) E gC) P [-(1 MA)] C1 7) A A D

g

nuas grand$zas de

magnet zaccedilXo local

tn((IhJ =

4( (IJ

M

in~erQSse em s1s~mas magneacuteLicos sko a

(18)

1

)

a magne~izaccedilo meacutedia dada po~~

m((IJ = 11-middot t ampAgrave

mC~h) L

O quo car_e~eri2~ do um modo geral

(19)

em Mecacircni ca

Estat1stJca~ o que chamamos de tlans1ccedil~o de fase 6gt detectaJ

alguma singularidade na energia livtamp C(1) para alguma temper-atura

Te chamada teacutempeacuteratura crit1ca

INSrABILIDADE l4Aarosc6PlCA

Para nossos prop6sitos nos pr6ximos eap1tulos vamos

caracterizar uma transiccedilatildeo de fase naseguinte forma

Considermos novamento a hami 1 toni ana C1 ~ 1) na sua verso mai s

simples mas ~o a mais taacutec11 de se resolver

1 H() = a J 1

lti jgt 17ltt -+

L J h tO

+ BCct) C110)

ando ltijgt $i9ni~ica um

1-1=1 Uma maneira

par de vizinhos

alternatva de

mais pr6ximos isto

estudarmos um s1stema

eacute

eacute

cons1deacuterar as Cunccedil~ de correlaccedil~oacute definidas por

lt0 bull a ~ Oi gtA a ~2 n A

= ZAB C~ h)

Assim magnetizaccedilllo local

E a a a exp-O s 2 n

[shy

aacute nagnetiay~o

(jHCa) l

(111)

meacutedia satildeO

r-espect-i vamente

bull bull

10

mC(ih fi (Ogt ASA (112)

-1

mAC(D = IAI-t 1 gtAB (113gt ampA A

R$Cerimos agrave Camiacutelia de Cunccedil5es de eorrelaccedil~o Cl11) como

estados de equllibrl0 do sistema no volume A Chamamos decirc

estado de equilibr i do sistema inCinito qualquer fam11ia

) laquoC C C raquo de funccedill5es tal que para uma poss1vel escolha n degt BlCcl) tenhamos

ltO o u gt l1li 11m ltO t1 bullbullbull o gtAS C114gt 2 Ato 2 Airaquol n

simultaneamente para todo n i 1 e todo i-t t i 2 amp An bull

A definiccedillro que adotaremos para tTansiccedil~o de fase estaacute

baseada na detecccedil~o de insLabilidade macroscoacutepica refC23l

Dizemos que OCOfre uma transiccedil~o de fase para um valol (~h) dos

par-4metros termodinAndcos se o sisLema eacute lnsUVeacutel eacuteom respeito a

per turbaccedil5es nas condiccedilele de contorno

Isto eacute se existe ao menos duas sequumlecircncias BACeacuteY) e BAacutea) de

eondiccedilC5es de cont01flO tal que

11m ltO CY gt pd 11m lt0 ()I_ gtH (116gt ~A A ~A-tOgt t n -tCOl nA

para uma escolha convemente de i i Vamos deixar claro porque se CL 15) se verificil

tomos urna instabilidado maeacuteroscoacutep1ca Observamos que mudanccedilas

da cond1ccedil~o de conLorno n~o mudam as p~opriedades extensivas como )

~

11

por exemplo ao 4IImergia livre pois de C11 e (16) ttJmos

ZAB C~h) ZAB C~h) s xp r max I BACa) I + I BAcircCa)IJ C116) A A qtD

bull de (lCO implica que

11 IAI- ~ 2 Ctih) lO lim IAI-lt ~ 2 AB tihgt C117gtABA A A A

Por outro lado se Cl5) se veririca quantidades

i ntenslvas como QSiI tunccedilf5es de eorlaccedilllo sko sens1vals as

eacuteondlccedil~s de contorno Por exemplo Seacute

11M ltlt1gtAB JC 11m ltOgt~ (118) A A A A- a magneti zaccedilto local muda como uma conseqO~c1a da condi ccedil~o de

eacuteon~o~no~ mesmo para uma fron~e1ra muito disLante

CONDICcedil(lES DE CONTORIIO

As condiccedilotildees d eontorno mais importantes s~o as

seguintes

i) CondiccedilirQ de contorllO livre lttaJnl4m chamada parede per-leita) ecirc

dada porBA(amp) = O para todo amp D

21 Condiccedil~o de contorno per-ioacutedica consisteacute em acoplar os SpihS

das faees OpostAs de A com a mesma i nteraccedil~o J ~

i

1e

3) Condiccedil~o de contorno Camp~ SeJam CLbullbull 2 bullbullbull gt os 2dACd-1gtd

pontos da rede adjacentEil a ~ronteira DA de A_ seja

c CC - bullbullbull gt com lt1 plusmn fixo k

i bull bull A eondiccedil$o deacute contorno C~) bull ent=o d9~in1da por

9ACO) = - J tu Oj com ik e ij vizinhos mais pr6ximos(

ik lt aA ~

j A Os casos ccedil = C +1 J +1 bullbullbull 9 = C-1) -1 bullbullbullbull gt s~o chamados

lEtSJ)ElCtivamente condiccedilamps de contorno C) e (-

)

CONTORNO

- Para d=2 dada uma coniguras~o a podemos representaacute-Ia

atribuindo a cada sitio i amp A apenas um sinal raspo (-) de

acordo com o valor de 0 = 1 lnp Cu = -1) t faacutecil concluir + shyagora que t19mlt1S uma regi~o desconexa A lesp CA da sinais +

resp(-J tal que A+

u A -

= A A reg1~o A+

tem uma fronteira nat~al

com a regilo A- qU$ eacute construiacuteda da sElguinte forma Traccedilamos um

segmento d comprimento 1 t pGrpend1cular ao centro da linha que

un~ dois sinais contraacuterios mais proacuteximos Fazemos agora uma

sequumlecircncia fechada r d~sses segmentos chamada contorno de modo a

+ - separar as r~i3amps A $ A sem QmbigUidad~ O comprim9n~o Irl d9

ccedilada contorno r s~raacute exatamente o nuacutemGro de segmentos que comp3em

y Cada contorno li uma linha poligonal fechada Fixada agora uma

condiccedil~o do contorno C+) ou (-) temos lma fam11ia r - lt1) de

contornos associada univocamen~eacute a cada ccnr1guraccedil~o a~

Podemos calcular agora para cada conf1guraccedil~o 7 a parte da

hamiltomiana relati va agrave 1 E CIOj em runccedil~o da familia r associada (t j)

bull bull

13

a

00 total de n pillr-es UiOj A temos bull pas que

contri bUQft posi ti vament semptO que = e pares que j contr1 b tJem negativarneotG sempro que a = - 0 tal que h == n + n bull

J + bull

Assim teacutelnOS J ~ Ult1 = J(ft n JCn - m) Poreacutem spins de ltgt bull J raquo J

um mesJlt() sinal ocorrem lora ou dampntro de um contorno assim de

acordo com a d ~in1ccedil~o de 111 temos que n = ~ 111 e f1nalmente rcr

temos

1 J l 0 Ocirc = J r~ - ~ Ir I) (1 1 gt raquo

( iiiacute U rampr

o conceito de contorno pode ser Gstenddo sem

dificuldades para o caso tridimensional t onde cada segmento de

comprimento 1 eacute substituldo por uma syperf1cie quadrada de aacuter-eamp 1

e o contorno passa ser uma supe~ffc1amp polieacutedrica fechada r de aacuterea

Irl Em ambos os casos a energia seraacute dada por 119) acima

APLICACcedilAtildeO TRANSICcedilAtildeO DE FASE

Vejamos agora como as condi ccedileses de contorno C+) e (-)

produzem diferentes estados de aquil1brio para ~eacutempera~u~as

su~icien~ementeacute baixas rett241 Ou mais preeisamanLe que se h=O

o P aacute a~icin~9mQn~O grQndo n~~o

1im ltOgtA+ plusmn m CiDt O (1 aO) Aw+oo shy

o indica ~ rofere-se agraves condiccedileiacuteas de eontorno (t

14 I

Por def i niccedil~o

-i laquo(1igtA+ = ZA+C(f) t ampgtlt1 [-f3IlACa)] = C121)

D

- Z-laquo(f) 1= ZA+C(f) 1 xp [-f3IlACa)] - exp[-f3Il CcgtO ] I))o1) t A+ Dlt7bull _i A

Cl22)

Definindo agora PAC+) resp CPA C- como a probabilidade de i

ser resp (- ~emos exatamente que

-1 PA+ plusmn) = ZA+((1) 1 gtlt1 [- f3IlACQ)) (123gt

0gt0lt =plusmn

PA+C+) + PAC-) =1 Cl24)

portanto

ltgtA+ = 1 - 2PA+C-) (126)

Agora Seacutegt i estaacute ooupado por um si na ent~o

necessariamente temos sempre um contorno yCi) rodeando i is~o por

causa da condiccedilatildeo de contorno Ser (+) Se pCrC)) eacute a

probabilidad~ do conLorno rei) en~~o

PA+C-) r P(rCi)) (126) Y(i)

16

-

Vamos estimar agora pCrCigt Se r ~ (y ~ ~ ygt eacute uma conflgur-accedilXo e se o siacutembolo r comp yCi) significa que o cont-olno

rltD oacute disjunto de y bull Y isto eacute se ltrei) u rgt eacute urna nova eonrguraccedil~o ent~o

E exp [- 8iJ E 111]r yer perCi)) = ~ I [- iJ E Irl ]

r~ampr

I xp [ - 2iJ I Ir I]r oompre) ycr=exp t- aiJIrlti)11

~ exp [- iJ Ercr

111]

lt1 aTgt

o qUamp fizemos acima consistiu no seguinte se r ltrCi) y r ) ent~o r1 = Cy r bullbull r) eacute obtida de- r revertendo os sinais

bull 2

dentro de r(i)~ Acirc uacuteltima raz~o em (127) natildeo excede de 1 assim

pCrlti) S exp (- 2iJ rei)l] C1as)

Chamando p = IrC) I e observando que haacute no tnaacuteximo sFgt diferentes

for-mas de rei) com periacutemetro p e no maacuteximo p2 congruentes yCigt

contrulo i em seu i ntGt i OI d (1 26) e lt 1 28) tecircmos

2PAC-D I p 3 P (- aiJpl (1 2Q)

p=4

Assim se ~ co (isto eacute T O) esta probabilidade poda

ser t~o pequena quanto se queira portanto ltCgtA tonde a 1 para ~ bull +

sufic entemente grande ~vemos observar um tato i mportante que

ltCgtA tende a 1 ufUacuteforJnemente em 1 e A Usando condiccedilatildeo de bull +

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

g

nuas grand$zas de

magnet zaccedilXo local

tn((IhJ =

4( (IJ

M

in~erQSse em s1s~mas magneacuteLicos sko a

(18)

1

)

a magne~izaccedilo meacutedia dada po~~

m((IJ = 11-middot t ampAgrave

mC~h) L

O quo car_e~eri2~ do um modo geral

(19)

em Mecacircni ca

Estat1stJca~ o que chamamos de tlans1ccedil~o de fase 6gt detectaJ

alguma singularidade na energia livtamp C(1) para alguma temper-atura

Te chamada teacutempeacuteratura crit1ca

INSrABILIDADE l4Aarosc6PlCA

Para nossos prop6sitos nos pr6ximos eap1tulos vamos

caracterizar uma transiccedilatildeo de fase naseguinte forma

Considermos novamento a hami 1 toni ana C1 ~ 1) na sua verso mai s

simples mas ~o a mais taacutec11 de se resolver

1 H() = a J 1

lti jgt 17ltt -+

L J h tO

+ BCct) C110)

ando ltijgt $i9ni~ica um

1-1=1 Uma maneira

par de vizinhos

alternatva de

mais pr6ximos isto

estudarmos um s1stema

eacute

eacute

cons1deacuterar as Cunccedil~ de correlaccedil~oacute definidas por

lt0 bull a ~ Oi gtA a ~2 n A

= ZAB C~ h)

Assim magnetizaccedilllo local

E a a a exp-O s 2 n

[shy

aacute nagnetiay~o

(jHCa) l

(111)

meacutedia satildeO

r-espect-i vamente

bull bull

10

mC(ih fi (Ogt ASA (112)

-1

mAC(D = IAI-t 1 gtAB (113gt ampA A

R$Cerimos agrave Camiacutelia de Cunccedil5es de eorrelaccedil~o Cl11) como

estados de equllibrl0 do sistema no volume A Chamamos decirc

estado de equilibr i do sistema inCinito qualquer fam11ia

) laquoC C C raquo de funccedill5es tal que para uma poss1vel escolha n degt BlCcl) tenhamos

ltO o u gt l1li 11m ltO t1 bullbullbull o gtAS C114gt 2 Ato 2 Airaquol n

simultaneamente para todo n i 1 e todo i-t t i 2 amp An bull

A definiccedillro que adotaremos para tTansiccedil~o de fase estaacute

baseada na detecccedil~o de insLabilidade macroscoacutepica refC23l

Dizemos que OCOfre uma transiccedil~o de fase para um valol (~h) dos

par-4metros termodinAndcos se o sisLema eacute lnsUVeacutel eacuteom respeito a

per turbaccedil5es nas condiccedilele de contorno

Isto eacute se existe ao menos duas sequumlecircncias BACeacuteY) e BAacutea) de

eondiccedilC5es de cont01flO tal que

11m ltO CY gt pd 11m lt0 ()I_ gtH (116gt ~A A ~A-tOgt t n -tCOl nA

para uma escolha convemente de i i Vamos deixar claro porque se CL 15) se verificil

tomos urna instabilidado maeacuteroscoacutep1ca Observamos que mudanccedilas

da cond1ccedil~o de conLorno n~o mudam as p~opriedades extensivas como )

~

11

por exemplo ao 4IImergia livre pois de C11 e (16) ttJmos

ZAB C~h) ZAB C~h) s xp r max I BACa) I + I BAcircCa)IJ C116) A A qtD

bull de (lCO implica que

11 IAI- ~ 2 Ctih) lO lim IAI-lt ~ 2 AB tihgt C117gtABA A A A

Por outro lado se Cl5) se veririca quantidades

i ntenslvas como QSiI tunccedilf5es de eorlaccedilllo sko sens1vals as

eacuteondlccedil~s de contorno Por exemplo Seacute

11M ltlt1gtAB JC 11m ltOgt~ (118) A A A A- a magneti zaccedilto local muda como uma conseqO~c1a da condi ccedil~o de

eacuteon~o~no~ mesmo para uma fron~e1ra muito disLante

CONDICcedil(lES DE CONTORIIO

As condiccedilotildees d eontorno mais importantes s~o as

seguintes

i) CondiccedilirQ de contorllO livre lttaJnl4m chamada parede per-leita) ecirc

dada porBA(amp) = O para todo amp D

21 Condiccedil~o de contorno per-ioacutedica consisteacute em acoplar os SpihS

das faees OpostAs de A com a mesma i nteraccedil~o J ~

i

1e

3) Condiccedil~o de contorno Camp~ SeJam CLbullbull 2 bullbullbull gt os 2dACd-1gtd

pontos da rede adjacentEil a ~ronteira DA de A_ seja

c CC - bullbullbull gt com lt1 plusmn fixo k

i bull bull A eondiccedil$o deacute contorno C~) bull ent=o d9~in1da por

9ACO) = - J tu Oj com ik e ij vizinhos mais pr6ximos(

ik lt aA ~

j A Os casos ccedil = C +1 J +1 bullbullbull 9 = C-1) -1 bullbullbullbull gt s~o chamados

lEtSJ)ElCtivamente condiccedilamps de contorno C) e (-

)

CONTORNO

- Para d=2 dada uma coniguras~o a podemos representaacute-Ia

atribuindo a cada sitio i amp A apenas um sinal raspo (-) de

acordo com o valor de 0 = 1 lnp Cu = -1) t faacutecil concluir + shyagora que t19mlt1S uma regi~o desconexa A lesp CA da sinais +

resp(-J tal que A+

u A -

= A A reg1~o A+

tem uma fronteira nat~al

com a regilo A- qU$ eacute construiacuteda da sElguinte forma Traccedilamos um

segmento d comprimento 1 t pGrpend1cular ao centro da linha que

un~ dois sinais contraacuterios mais proacuteximos Fazemos agora uma

sequumlecircncia fechada r d~sses segmentos chamada contorno de modo a

+ - separar as r~i3amps A $ A sem QmbigUidad~ O comprim9n~o Irl d9

ccedilada contorno r s~raacute exatamente o nuacutemGro de segmentos que comp3em

y Cada contorno li uma linha poligonal fechada Fixada agora uma

condiccedil~o do contorno C+) ou (-) temos lma fam11ia r - lt1) de

contornos associada univocamen~eacute a cada ccnr1guraccedil~o a~

Podemos calcular agora para cada conf1guraccedil~o 7 a parte da

hamiltomiana relati va agrave 1 E CIOj em runccedil~o da familia r associada (t j)

bull bull

13

a

00 total de n pillr-es UiOj A temos bull pas que

contri bUQft posi ti vament semptO que = e pares que j contr1 b tJem negativarneotG sempro que a = - 0 tal que h == n + n bull

J + bull

Assim teacutelnOS J ~ Ult1 = J(ft n JCn - m) Poreacutem spins de ltgt bull J raquo J

um mesJlt() sinal ocorrem lora ou dampntro de um contorno assim de

acordo com a d ~in1ccedil~o de 111 temos que n = ~ 111 e f1nalmente rcr

temos

1 J l 0 Ocirc = J r~ - ~ Ir I) (1 1 gt raquo

( iiiacute U rampr

o conceito de contorno pode ser Gstenddo sem

dificuldades para o caso tridimensional t onde cada segmento de

comprimento 1 eacute substituldo por uma syperf1cie quadrada de aacuter-eamp 1

e o contorno passa ser uma supe~ffc1amp polieacutedrica fechada r de aacuterea

Irl Em ambos os casos a energia seraacute dada por 119) acima

APLICACcedilAtildeO TRANSICcedilAtildeO DE FASE

Vejamos agora como as condi ccedileses de contorno C+) e (-)

produzem diferentes estados de aquil1brio para ~eacutempera~u~as

su~icien~ementeacute baixas rett241 Ou mais preeisamanLe que se h=O

o P aacute a~icin~9mQn~O grQndo n~~o

1im ltOgtA+ plusmn m CiDt O (1 aO) Aw+oo shy

o indica ~ rofere-se agraves condiccedileiacuteas de eontorno (t

14 I

Por def i niccedil~o

-i laquo(1igtA+ = ZA+C(f) t ampgtlt1 [-f3IlACa)] = C121)

D

- Z-laquo(f) 1= ZA+C(f) 1 xp [-f3IlACa)] - exp[-f3Il CcgtO ] I))o1) t A+ Dlt7bull _i A

Cl22)

Definindo agora PAC+) resp CPA C- como a probabilidade de i

ser resp (- ~emos exatamente que

-1 PA+ plusmn) = ZA+((1) 1 gtlt1 [- f3IlACQ)) (123gt

0gt0lt =plusmn

PA+C+) + PAC-) =1 Cl24)

portanto

ltgtA+ = 1 - 2PA+C-) (126)

Agora Seacutegt i estaacute ooupado por um si na ent~o

necessariamente temos sempre um contorno yCi) rodeando i is~o por

causa da condiccedilatildeo de contorno Ser (+) Se pCrC)) eacute a

probabilidad~ do conLorno rei) en~~o

PA+C-) r P(rCi)) (126) Y(i)

16

-

Vamos estimar agora pCrCigt Se r ~ (y ~ ~ ygt eacute uma conflgur-accedilXo e se o siacutembolo r comp yCi) significa que o cont-olno

rltD oacute disjunto de y bull Y isto eacute se ltrei) u rgt eacute urna nova eonrguraccedil~o ent~o

E exp [- 8iJ E 111]r yer perCi)) = ~ I [- iJ E Irl ]

r~ampr

I xp [ - 2iJ I Ir I]r oompre) ycr=exp t- aiJIrlti)11

~ exp [- iJ Ercr

111]

lt1 aTgt

o qUamp fizemos acima consistiu no seguinte se r ltrCi) y r ) ent~o r1 = Cy r bullbull r) eacute obtida de- r revertendo os sinais

bull 2

dentro de r(i)~ Acirc uacuteltima raz~o em (127) natildeo excede de 1 assim

pCrlti) S exp (- 2iJ rei)l] C1as)

Chamando p = IrC) I e observando que haacute no tnaacuteximo sFgt diferentes

for-mas de rei) com periacutemetro p e no maacuteximo p2 congruentes yCigt

contrulo i em seu i ntGt i OI d (1 26) e lt 1 28) tecircmos

2PAC-D I p 3 P (- aiJpl (1 2Q)

p=4

Assim se ~ co (isto eacute T O) esta probabilidade poda

ser t~o pequena quanto se queira portanto ltCgtA tonde a 1 para ~ bull +

sufic entemente grande ~vemos observar um tato i mportante que

ltCgtA tende a 1 ufUacuteforJnemente em 1 e A Usando condiccedilatildeo de bull +

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

bull bull

10

mC(ih fi (Ogt ASA (112)

-1

mAC(D = IAI-t 1 gtAB (113gt ampA A

R$Cerimos agrave Camiacutelia de Cunccedil5es de eorrelaccedil~o Cl11) como

estados de equllibrl0 do sistema no volume A Chamamos decirc

estado de equilibr i do sistema inCinito qualquer fam11ia

) laquoC C C raquo de funccedill5es tal que para uma poss1vel escolha n degt BlCcl) tenhamos

ltO o u gt l1li 11m ltO t1 bullbullbull o gtAS C114gt 2 Ato 2 Airaquol n

simultaneamente para todo n i 1 e todo i-t t i 2 amp An bull

A definiccedillro que adotaremos para tTansiccedil~o de fase estaacute

baseada na detecccedil~o de insLabilidade macroscoacutepica refC23l

Dizemos que OCOfre uma transiccedil~o de fase para um valol (~h) dos

par-4metros termodinAndcos se o sisLema eacute lnsUVeacutel eacuteom respeito a

per turbaccedil5es nas condiccedilele de contorno

Isto eacute se existe ao menos duas sequumlecircncias BACeacuteY) e BAacutea) de

eondiccedilC5es de cont01flO tal que

11m ltO CY gt pd 11m lt0 ()I_ gtH (116gt ~A A ~A-tOgt t n -tCOl nA

para uma escolha convemente de i i Vamos deixar claro porque se CL 15) se verificil

tomos urna instabilidado maeacuteroscoacutep1ca Observamos que mudanccedilas

da cond1ccedil~o de conLorno n~o mudam as p~opriedades extensivas como )

~

11

por exemplo ao 4IImergia livre pois de C11 e (16) ttJmos

ZAB C~h) ZAB C~h) s xp r max I BACa) I + I BAcircCa)IJ C116) A A qtD

bull de (lCO implica que

11 IAI- ~ 2 Ctih) lO lim IAI-lt ~ 2 AB tihgt C117gtABA A A A

Por outro lado se Cl5) se veririca quantidades

i ntenslvas como QSiI tunccedilf5es de eorlaccedilllo sko sens1vals as

eacuteondlccedil~s de contorno Por exemplo Seacute

11M ltlt1gtAB JC 11m ltOgt~ (118) A A A A- a magneti zaccedilto local muda como uma conseqO~c1a da condi ccedil~o de

eacuteon~o~no~ mesmo para uma fron~e1ra muito disLante

CONDICcedil(lES DE CONTORIIO

As condiccedilotildees d eontorno mais importantes s~o as

seguintes

i) CondiccedilirQ de contorllO livre lttaJnl4m chamada parede per-leita) ecirc

dada porBA(amp) = O para todo amp D

21 Condiccedil~o de contorno per-ioacutedica consisteacute em acoplar os SpihS

das faees OpostAs de A com a mesma i nteraccedil~o J ~

i

1e

3) Condiccedil~o de contorno Camp~ SeJam CLbullbull 2 bullbullbull gt os 2dACd-1gtd

pontos da rede adjacentEil a ~ronteira DA de A_ seja

c CC - bullbullbull gt com lt1 plusmn fixo k

i bull bull A eondiccedil$o deacute contorno C~) bull ent=o d9~in1da por

9ACO) = - J tu Oj com ik e ij vizinhos mais pr6ximos(

ik lt aA ~

j A Os casos ccedil = C +1 J +1 bullbullbull 9 = C-1) -1 bullbullbullbull gt s~o chamados

lEtSJ)ElCtivamente condiccedilamps de contorno C) e (-

)

CONTORNO

- Para d=2 dada uma coniguras~o a podemos representaacute-Ia

atribuindo a cada sitio i amp A apenas um sinal raspo (-) de

acordo com o valor de 0 = 1 lnp Cu = -1) t faacutecil concluir + shyagora que t19mlt1S uma regi~o desconexa A lesp CA da sinais +

resp(-J tal que A+

u A -

= A A reg1~o A+

tem uma fronteira nat~al

com a regilo A- qU$ eacute construiacuteda da sElguinte forma Traccedilamos um

segmento d comprimento 1 t pGrpend1cular ao centro da linha que

un~ dois sinais contraacuterios mais proacuteximos Fazemos agora uma

sequumlecircncia fechada r d~sses segmentos chamada contorno de modo a

+ - separar as r~i3amps A $ A sem QmbigUidad~ O comprim9n~o Irl d9

ccedilada contorno r s~raacute exatamente o nuacutemGro de segmentos que comp3em

y Cada contorno li uma linha poligonal fechada Fixada agora uma

condiccedil~o do contorno C+) ou (-) temos lma fam11ia r - lt1) de

contornos associada univocamen~eacute a cada ccnr1guraccedil~o a~

Podemos calcular agora para cada conf1guraccedil~o 7 a parte da

hamiltomiana relati va agrave 1 E CIOj em runccedil~o da familia r associada (t j)

bull bull

13

a

00 total de n pillr-es UiOj A temos bull pas que

contri bUQft posi ti vament semptO que = e pares que j contr1 b tJem negativarneotG sempro que a = - 0 tal que h == n + n bull

J + bull

Assim teacutelnOS J ~ Ult1 = J(ft n JCn - m) Poreacutem spins de ltgt bull J raquo J

um mesJlt() sinal ocorrem lora ou dampntro de um contorno assim de

acordo com a d ~in1ccedil~o de 111 temos que n = ~ 111 e f1nalmente rcr

temos

1 J l 0 Ocirc = J r~ - ~ Ir I) (1 1 gt raquo

( iiiacute U rampr

o conceito de contorno pode ser Gstenddo sem

dificuldades para o caso tridimensional t onde cada segmento de

comprimento 1 eacute substituldo por uma syperf1cie quadrada de aacuter-eamp 1

e o contorno passa ser uma supe~ffc1amp polieacutedrica fechada r de aacuterea

Irl Em ambos os casos a energia seraacute dada por 119) acima

APLICACcedilAtildeO TRANSICcedilAtildeO DE FASE

Vejamos agora como as condi ccedileses de contorno C+) e (-)

produzem diferentes estados de aquil1brio para ~eacutempera~u~as

su~icien~ementeacute baixas rett241 Ou mais preeisamanLe que se h=O

o P aacute a~icin~9mQn~O grQndo n~~o

1im ltOgtA+ plusmn m CiDt O (1 aO) Aw+oo shy

o indica ~ rofere-se agraves condiccedileiacuteas de eontorno (t

14 I

Por def i niccedil~o

-i laquo(1igtA+ = ZA+C(f) t ampgtlt1 [-f3IlACa)] = C121)

D

- Z-laquo(f) 1= ZA+C(f) 1 xp [-f3IlACa)] - exp[-f3Il CcgtO ] I))o1) t A+ Dlt7bull _i A

Cl22)

Definindo agora PAC+) resp CPA C- como a probabilidade de i

ser resp (- ~emos exatamente que

-1 PA+ plusmn) = ZA+((1) 1 gtlt1 [- f3IlACQ)) (123gt

0gt0lt =plusmn

PA+C+) + PAC-) =1 Cl24)

portanto

ltgtA+ = 1 - 2PA+C-) (126)

Agora Seacutegt i estaacute ooupado por um si na ent~o

necessariamente temos sempre um contorno yCi) rodeando i is~o por

causa da condiccedilatildeo de contorno Ser (+) Se pCrC)) eacute a

probabilidad~ do conLorno rei) en~~o

PA+C-) r P(rCi)) (126) Y(i)

16

-

Vamos estimar agora pCrCigt Se r ~ (y ~ ~ ygt eacute uma conflgur-accedilXo e se o siacutembolo r comp yCi) significa que o cont-olno

rltD oacute disjunto de y bull Y isto eacute se ltrei) u rgt eacute urna nova eonrguraccedil~o ent~o

E exp [- 8iJ E 111]r yer perCi)) = ~ I [- iJ E Irl ]

r~ampr

I xp [ - 2iJ I Ir I]r oompre) ycr=exp t- aiJIrlti)11

~ exp [- iJ Ercr

111]

lt1 aTgt

o qUamp fizemos acima consistiu no seguinte se r ltrCi) y r ) ent~o r1 = Cy r bullbull r) eacute obtida de- r revertendo os sinais

bull 2

dentro de r(i)~ Acirc uacuteltima raz~o em (127) natildeo excede de 1 assim

pCrlti) S exp (- 2iJ rei)l] C1as)

Chamando p = IrC) I e observando que haacute no tnaacuteximo sFgt diferentes

for-mas de rei) com periacutemetro p e no maacuteximo p2 congruentes yCigt

contrulo i em seu i ntGt i OI d (1 26) e lt 1 28) tecircmos

2PAC-D I p 3 P (- aiJpl (1 2Q)

p=4

Assim se ~ co (isto eacute T O) esta probabilidade poda

ser t~o pequena quanto se queira portanto ltCgtA tonde a 1 para ~ bull +

sufic entemente grande ~vemos observar um tato i mportante que

ltCgtA tende a 1 ufUacuteforJnemente em 1 e A Usando condiccedilatildeo de bull +

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

~

11

por exemplo ao 4IImergia livre pois de C11 e (16) ttJmos

ZAB C~h) ZAB C~h) s xp r max I BACa) I + I BAcircCa)IJ C116) A A qtD

bull de (lCO implica que

11 IAI- ~ 2 Ctih) lO lim IAI-lt ~ 2 AB tihgt C117gtABA A A A

Por outro lado se Cl5) se veririca quantidades

i ntenslvas como QSiI tunccedilf5es de eorlaccedilllo sko sens1vals as

eacuteondlccedil~s de contorno Por exemplo Seacute

11M ltlt1gtAB JC 11m ltOgt~ (118) A A A A- a magneti zaccedilto local muda como uma conseqO~c1a da condi ccedil~o de

eacuteon~o~no~ mesmo para uma fron~e1ra muito disLante

CONDICcedil(lES DE CONTORIIO

As condiccedilotildees d eontorno mais importantes s~o as

seguintes

i) CondiccedilirQ de contorllO livre lttaJnl4m chamada parede per-leita) ecirc

dada porBA(amp) = O para todo amp D

21 Condiccedil~o de contorno per-ioacutedica consisteacute em acoplar os SpihS

das faees OpostAs de A com a mesma i nteraccedil~o J ~

i

1e

3) Condiccedil~o de contorno Camp~ SeJam CLbullbull 2 bullbullbull gt os 2dACd-1gtd

pontos da rede adjacentEil a ~ronteira DA de A_ seja

c CC - bullbullbull gt com lt1 plusmn fixo k

i bull bull A eondiccedil$o deacute contorno C~) bull ent=o d9~in1da por

9ACO) = - J tu Oj com ik e ij vizinhos mais pr6ximos(

ik lt aA ~

j A Os casos ccedil = C +1 J +1 bullbullbull 9 = C-1) -1 bullbullbullbull gt s~o chamados

lEtSJ)ElCtivamente condiccedilamps de contorno C) e (-

)

CONTORNO

- Para d=2 dada uma coniguras~o a podemos representaacute-Ia

atribuindo a cada sitio i amp A apenas um sinal raspo (-) de

acordo com o valor de 0 = 1 lnp Cu = -1) t faacutecil concluir + shyagora que t19mlt1S uma regi~o desconexa A lesp CA da sinais +

resp(-J tal que A+

u A -

= A A reg1~o A+

tem uma fronteira nat~al

com a regilo A- qU$ eacute construiacuteda da sElguinte forma Traccedilamos um

segmento d comprimento 1 t pGrpend1cular ao centro da linha que

un~ dois sinais contraacuterios mais proacuteximos Fazemos agora uma

sequumlecircncia fechada r d~sses segmentos chamada contorno de modo a

+ - separar as r~i3amps A $ A sem QmbigUidad~ O comprim9n~o Irl d9

ccedilada contorno r s~raacute exatamente o nuacutemGro de segmentos que comp3em

y Cada contorno li uma linha poligonal fechada Fixada agora uma

condiccedil~o do contorno C+) ou (-) temos lma fam11ia r - lt1) de

contornos associada univocamen~eacute a cada ccnr1guraccedil~o a~

Podemos calcular agora para cada conf1guraccedil~o 7 a parte da

hamiltomiana relati va agrave 1 E CIOj em runccedil~o da familia r associada (t j)

bull bull

13

a

00 total de n pillr-es UiOj A temos bull pas que

contri bUQft posi ti vament semptO que = e pares que j contr1 b tJem negativarneotG sempro que a = - 0 tal que h == n + n bull

J + bull

Assim teacutelnOS J ~ Ult1 = J(ft n JCn - m) Poreacutem spins de ltgt bull J raquo J

um mesJlt() sinal ocorrem lora ou dampntro de um contorno assim de

acordo com a d ~in1ccedil~o de 111 temos que n = ~ 111 e f1nalmente rcr

temos

1 J l 0 Ocirc = J r~ - ~ Ir I) (1 1 gt raquo

( iiiacute U rampr

o conceito de contorno pode ser Gstenddo sem

dificuldades para o caso tridimensional t onde cada segmento de

comprimento 1 eacute substituldo por uma syperf1cie quadrada de aacuter-eamp 1

e o contorno passa ser uma supe~ffc1amp polieacutedrica fechada r de aacuterea

Irl Em ambos os casos a energia seraacute dada por 119) acima

APLICACcedilAtildeO TRANSICcedilAtildeO DE FASE

Vejamos agora como as condi ccedileses de contorno C+) e (-)

produzem diferentes estados de aquil1brio para ~eacutempera~u~as

su~icien~ementeacute baixas rett241 Ou mais preeisamanLe que se h=O

o P aacute a~icin~9mQn~O grQndo n~~o

1im ltOgtA+ plusmn m CiDt O (1 aO) Aw+oo shy

o indica ~ rofere-se agraves condiccedileiacuteas de eontorno (t

14 I

Por def i niccedil~o

-i laquo(1igtA+ = ZA+C(f) t ampgtlt1 [-f3IlACa)] = C121)

D

- Z-laquo(f) 1= ZA+C(f) 1 xp [-f3IlACa)] - exp[-f3Il CcgtO ] I))o1) t A+ Dlt7bull _i A

Cl22)

Definindo agora PAC+) resp CPA C- como a probabilidade de i

ser resp (- ~emos exatamente que

-1 PA+ plusmn) = ZA+((1) 1 gtlt1 [- f3IlACQ)) (123gt

0gt0lt =plusmn

PA+C+) + PAC-) =1 Cl24)

portanto

ltgtA+ = 1 - 2PA+C-) (126)

Agora Seacutegt i estaacute ooupado por um si na ent~o

necessariamente temos sempre um contorno yCi) rodeando i is~o por

causa da condiccedilatildeo de contorno Ser (+) Se pCrC)) eacute a

probabilidad~ do conLorno rei) en~~o

PA+C-) r P(rCi)) (126) Y(i)

16

-

Vamos estimar agora pCrCigt Se r ~ (y ~ ~ ygt eacute uma conflgur-accedilXo e se o siacutembolo r comp yCi) significa que o cont-olno

rltD oacute disjunto de y bull Y isto eacute se ltrei) u rgt eacute urna nova eonrguraccedil~o ent~o

E exp [- 8iJ E 111]r yer perCi)) = ~ I [- iJ E Irl ]

r~ampr

I xp [ - 2iJ I Ir I]r oompre) ycr=exp t- aiJIrlti)11

~ exp [- iJ Ercr

111]

lt1 aTgt

o qUamp fizemos acima consistiu no seguinte se r ltrCi) y r ) ent~o r1 = Cy r bullbull r) eacute obtida de- r revertendo os sinais

bull 2

dentro de r(i)~ Acirc uacuteltima raz~o em (127) natildeo excede de 1 assim

pCrlti) S exp (- 2iJ rei)l] C1as)

Chamando p = IrC) I e observando que haacute no tnaacuteximo sFgt diferentes

for-mas de rei) com periacutemetro p e no maacuteximo p2 congruentes yCigt

contrulo i em seu i ntGt i OI d (1 26) e lt 1 28) tecircmos

2PAC-D I p 3 P (- aiJpl (1 2Q)

p=4

Assim se ~ co (isto eacute T O) esta probabilidade poda

ser t~o pequena quanto se queira portanto ltCgtA tonde a 1 para ~ bull +

sufic entemente grande ~vemos observar um tato i mportante que

ltCgtA tende a 1 ufUacuteforJnemente em 1 e A Usando condiccedilatildeo de bull +

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

i

1e

3) Condiccedil~o de contorno Camp~ SeJam CLbullbull 2 bullbullbull gt os 2dACd-1gtd

pontos da rede adjacentEil a ~ronteira DA de A_ seja

c CC - bullbullbull gt com lt1 plusmn fixo k

i bull bull A eondiccedil$o deacute contorno C~) bull ent=o d9~in1da por

9ACO) = - J tu Oj com ik e ij vizinhos mais pr6ximos(

ik lt aA ~

j A Os casos ccedil = C +1 J +1 bullbullbull 9 = C-1) -1 bullbullbullbull gt s~o chamados

lEtSJ)ElCtivamente condiccedilamps de contorno C) e (-

)

CONTORNO

- Para d=2 dada uma coniguras~o a podemos representaacute-Ia

atribuindo a cada sitio i amp A apenas um sinal raspo (-) de

acordo com o valor de 0 = 1 lnp Cu = -1) t faacutecil concluir + shyagora que t19mlt1S uma regi~o desconexa A lesp CA da sinais +

resp(-J tal que A+

u A -

= A A reg1~o A+

tem uma fronteira nat~al

com a regilo A- qU$ eacute construiacuteda da sElguinte forma Traccedilamos um

segmento d comprimento 1 t pGrpend1cular ao centro da linha que

un~ dois sinais contraacuterios mais proacuteximos Fazemos agora uma

sequumlecircncia fechada r d~sses segmentos chamada contorno de modo a

+ - separar as r~i3amps A $ A sem QmbigUidad~ O comprim9n~o Irl d9

ccedilada contorno r s~raacute exatamente o nuacutemGro de segmentos que comp3em

y Cada contorno li uma linha poligonal fechada Fixada agora uma

condiccedil~o do contorno C+) ou (-) temos lma fam11ia r - lt1) de

contornos associada univocamen~eacute a cada ccnr1guraccedil~o a~

Podemos calcular agora para cada conf1guraccedil~o 7 a parte da

hamiltomiana relati va agrave 1 E CIOj em runccedil~o da familia r associada (t j)

bull bull

13

a

00 total de n pillr-es UiOj A temos bull pas que

contri bUQft posi ti vament semptO que = e pares que j contr1 b tJem negativarneotG sempro que a = - 0 tal que h == n + n bull

J + bull

Assim teacutelnOS J ~ Ult1 = J(ft n JCn - m) Poreacutem spins de ltgt bull J raquo J

um mesJlt() sinal ocorrem lora ou dampntro de um contorno assim de

acordo com a d ~in1ccedil~o de 111 temos que n = ~ 111 e f1nalmente rcr

temos

1 J l 0 Ocirc = J r~ - ~ Ir I) (1 1 gt raquo

( iiiacute U rampr

o conceito de contorno pode ser Gstenddo sem

dificuldades para o caso tridimensional t onde cada segmento de

comprimento 1 eacute substituldo por uma syperf1cie quadrada de aacuter-eamp 1

e o contorno passa ser uma supe~ffc1amp polieacutedrica fechada r de aacuterea

Irl Em ambos os casos a energia seraacute dada por 119) acima

APLICACcedilAtildeO TRANSICcedilAtildeO DE FASE

Vejamos agora como as condi ccedileses de contorno C+) e (-)

produzem diferentes estados de aquil1brio para ~eacutempera~u~as

su~icien~ementeacute baixas rett241 Ou mais preeisamanLe que se h=O

o P aacute a~icin~9mQn~O grQndo n~~o

1im ltOgtA+ plusmn m CiDt O (1 aO) Aw+oo shy

o indica ~ rofere-se agraves condiccedileiacuteas de eontorno (t

14 I

Por def i niccedil~o

-i laquo(1igtA+ = ZA+C(f) t ampgtlt1 [-f3IlACa)] = C121)

D

- Z-laquo(f) 1= ZA+C(f) 1 xp [-f3IlACa)] - exp[-f3Il CcgtO ] I))o1) t A+ Dlt7bull _i A

Cl22)

Definindo agora PAC+) resp CPA C- como a probabilidade de i

ser resp (- ~emos exatamente que

-1 PA+ plusmn) = ZA+((1) 1 gtlt1 [- f3IlACQ)) (123gt

0gt0lt =plusmn

PA+C+) + PAC-) =1 Cl24)

portanto

ltgtA+ = 1 - 2PA+C-) (126)

Agora Seacutegt i estaacute ooupado por um si na ent~o

necessariamente temos sempre um contorno yCi) rodeando i is~o por

causa da condiccedilatildeo de contorno Ser (+) Se pCrC)) eacute a

probabilidad~ do conLorno rei) en~~o

PA+C-) r P(rCi)) (126) Y(i)

16

-

Vamos estimar agora pCrCigt Se r ~ (y ~ ~ ygt eacute uma conflgur-accedilXo e se o siacutembolo r comp yCi) significa que o cont-olno

rltD oacute disjunto de y bull Y isto eacute se ltrei) u rgt eacute urna nova eonrguraccedil~o ent~o

E exp [- 8iJ E 111]r yer perCi)) = ~ I [- iJ E Irl ]

r~ampr

I xp [ - 2iJ I Ir I]r oompre) ycr=exp t- aiJIrlti)11

~ exp [- iJ Ercr

111]

lt1 aTgt

o qUamp fizemos acima consistiu no seguinte se r ltrCi) y r ) ent~o r1 = Cy r bullbull r) eacute obtida de- r revertendo os sinais

bull 2

dentro de r(i)~ Acirc uacuteltima raz~o em (127) natildeo excede de 1 assim

pCrlti) S exp (- 2iJ rei)l] C1as)

Chamando p = IrC) I e observando que haacute no tnaacuteximo sFgt diferentes

for-mas de rei) com periacutemetro p e no maacuteximo p2 congruentes yCigt

contrulo i em seu i ntGt i OI d (1 26) e lt 1 28) tecircmos

2PAC-D I p 3 P (- aiJpl (1 2Q)

p=4

Assim se ~ co (isto eacute T O) esta probabilidade poda

ser t~o pequena quanto se queira portanto ltCgtA tonde a 1 para ~ bull +

sufic entemente grande ~vemos observar um tato i mportante que

ltCgtA tende a 1 ufUacuteforJnemente em 1 e A Usando condiccedilatildeo de bull +

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

bull bull

13

a

00 total de n pillr-es UiOj A temos bull pas que

contri bUQft posi ti vament semptO que = e pares que j contr1 b tJem negativarneotG sempro que a = - 0 tal que h == n + n bull

J + bull

Assim teacutelnOS J ~ Ult1 = J(ft n JCn - m) Poreacutem spins de ltgt bull J raquo J

um mesJlt() sinal ocorrem lora ou dampntro de um contorno assim de

acordo com a d ~in1ccedil~o de 111 temos que n = ~ 111 e f1nalmente rcr

temos

1 J l 0 Ocirc = J r~ - ~ Ir I) (1 1 gt raquo

( iiiacute U rampr

o conceito de contorno pode ser Gstenddo sem

dificuldades para o caso tridimensional t onde cada segmento de

comprimento 1 eacute substituldo por uma syperf1cie quadrada de aacuter-eamp 1

e o contorno passa ser uma supe~ffc1amp polieacutedrica fechada r de aacuterea

Irl Em ambos os casos a energia seraacute dada por 119) acima

APLICACcedilAtildeO TRANSICcedilAtildeO DE FASE

Vejamos agora como as condi ccedileses de contorno C+) e (-)

produzem diferentes estados de aquil1brio para ~eacutempera~u~as

su~icien~ementeacute baixas rett241 Ou mais preeisamanLe que se h=O

o P aacute a~icin~9mQn~O grQndo n~~o

1im ltOgtA+ plusmn m CiDt O (1 aO) Aw+oo shy

o indica ~ rofere-se agraves condiccedileiacuteas de eontorno (t

14 I

Por def i niccedil~o

-i laquo(1igtA+ = ZA+C(f) t ampgtlt1 [-f3IlACa)] = C121)

D

- Z-laquo(f) 1= ZA+C(f) 1 xp [-f3IlACa)] - exp[-f3Il CcgtO ] I))o1) t A+ Dlt7bull _i A

Cl22)

Definindo agora PAC+) resp CPA C- como a probabilidade de i

ser resp (- ~emos exatamente que

-1 PA+ plusmn) = ZA+((1) 1 gtlt1 [- f3IlACQ)) (123gt

0gt0lt =plusmn

PA+C+) + PAC-) =1 Cl24)

portanto

ltgtA+ = 1 - 2PA+C-) (126)

Agora Seacutegt i estaacute ooupado por um si na ent~o

necessariamente temos sempre um contorno yCi) rodeando i is~o por

causa da condiccedilatildeo de contorno Ser (+) Se pCrC)) eacute a

probabilidad~ do conLorno rei) en~~o

PA+C-) r P(rCi)) (126) Y(i)

16

-

Vamos estimar agora pCrCigt Se r ~ (y ~ ~ ygt eacute uma conflgur-accedilXo e se o siacutembolo r comp yCi) significa que o cont-olno

rltD oacute disjunto de y bull Y isto eacute se ltrei) u rgt eacute urna nova eonrguraccedil~o ent~o

E exp [- 8iJ E 111]r yer perCi)) = ~ I [- iJ E Irl ]

r~ampr

I xp [ - 2iJ I Ir I]r oompre) ycr=exp t- aiJIrlti)11

~ exp [- iJ Ercr

111]

lt1 aTgt

o qUamp fizemos acima consistiu no seguinte se r ltrCi) y r ) ent~o r1 = Cy r bullbull r) eacute obtida de- r revertendo os sinais

bull 2

dentro de r(i)~ Acirc uacuteltima raz~o em (127) natildeo excede de 1 assim

pCrlti) S exp (- 2iJ rei)l] C1as)

Chamando p = IrC) I e observando que haacute no tnaacuteximo sFgt diferentes

for-mas de rei) com periacutemetro p e no maacuteximo p2 congruentes yCigt

contrulo i em seu i ntGt i OI d (1 26) e lt 1 28) tecircmos

2PAC-D I p 3 P (- aiJpl (1 2Q)

p=4

Assim se ~ co (isto eacute T O) esta probabilidade poda

ser t~o pequena quanto se queira portanto ltCgtA tonde a 1 para ~ bull +

sufic entemente grande ~vemos observar um tato i mportante que

ltCgtA tende a 1 ufUacuteforJnemente em 1 e A Usando condiccedilatildeo de bull +

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

14 I

Por def i niccedil~o

-i laquo(1igtA+ = ZA+C(f) t ampgtlt1 [-f3IlACa)] = C121)

D

- Z-laquo(f) 1= ZA+C(f) 1 xp [-f3IlACa)] - exp[-f3Il CcgtO ] I))o1) t A+ Dlt7bull _i A

Cl22)

Definindo agora PAC+) resp CPA C- como a probabilidade de i

ser resp (- ~emos exatamente que

-1 PA+ plusmn) = ZA+((1) 1 gtlt1 [- f3IlACQ)) (123gt

0gt0lt =plusmn

PA+C+) + PAC-) =1 Cl24)

portanto

ltgtA+ = 1 - 2PA+C-) (126)

Agora Seacutegt i estaacute ooupado por um si na ent~o

necessariamente temos sempre um contorno yCi) rodeando i is~o por

causa da condiccedilatildeo de contorno Ser (+) Se pCrC)) eacute a

probabilidad~ do conLorno rei) en~~o

PA+C-) r P(rCi)) (126) Y(i)

16

-

Vamos estimar agora pCrCigt Se r ~ (y ~ ~ ygt eacute uma conflgur-accedilXo e se o siacutembolo r comp yCi) significa que o cont-olno

rltD oacute disjunto de y bull Y isto eacute se ltrei) u rgt eacute urna nova eonrguraccedil~o ent~o

E exp [- 8iJ E 111]r yer perCi)) = ~ I [- iJ E Irl ]

r~ampr

I xp [ - 2iJ I Ir I]r oompre) ycr=exp t- aiJIrlti)11

~ exp [- iJ Ercr

111]

lt1 aTgt

o qUamp fizemos acima consistiu no seguinte se r ltrCi) y r ) ent~o r1 = Cy r bullbull r) eacute obtida de- r revertendo os sinais

bull 2

dentro de r(i)~ Acirc uacuteltima raz~o em (127) natildeo excede de 1 assim

pCrlti) S exp (- 2iJ rei)l] C1as)

Chamando p = IrC) I e observando que haacute no tnaacuteximo sFgt diferentes

for-mas de rei) com periacutemetro p e no maacuteximo p2 congruentes yCigt

contrulo i em seu i ntGt i OI d (1 26) e lt 1 28) tecircmos

2PAC-D I p 3 P (- aiJpl (1 2Q)

p=4

Assim se ~ co (isto eacute T O) esta probabilidade poda

ser t~o pequena quanto se queira portanto ltCgtA tonde a 1 para ~ bull +

sufic entemente grande ~vemos observar um tato i mportante que

ltCgtA tende a 1 ufUacuteforJnemente em 1 e A Usando condiccedilatildeo de bull +

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

16

-

Vamos estimar agora pCrCigt Se r ~ (y ~ ~ ygt eacute uma conflgur-accedilXo e se o siacutembolo r comp yCi) significa que o cont-olno

rltD oacute disjunto de y bull Y isto eacute se ltrei) u rgt eacute urna nova eonrguraccedil~o ent~o

E exp [- 8iJ E 111]r yer perCi)) = ~ I [- iJ E Irl ]

r~ampr

I xp [ - 2iJ I Ir I]r oompre) ycr=exp t- aiJIrlti)11

~ exp [- iJ Ercr

111]

lt1 aTgt

o qUamp fizemos acima consistiu no seguinte se r ltrCi) y r ) ent~o r1 = Cy r bullbull r) eacute obtida de- r revertendo os sinais

bull 2

dentro de r(i)~ Acirc uacuteltima raz~o em (127) natildeo excede de 1 assim

pCrlti) S exp (- 2iJ rei)l] C1as)

Chamando p = IrC) I e observando que haacute no tnaacuteximo sFgt diferentes

for-mas de rei) com periacutemetro p e no maacuteximo p2 congruentes yCigt

contrulo i em seu i ntGt i OI d (1 26) e lt 1 28) tecircmos

2PAC-D I p 3 P (- aiJpl (1 2Q)

p=4

Assim se ~ co (isto eacute T O) esta probabilidade poda

ser t~o pequena quanto se queira portanto ltCgtA tonde a 1 para ~ bull +

sufic entemente grande ~vemos observar um tato i mportante que

ltCgtA tende a 1 ufUacuteforJnemente em 1 e A Usando condiccedilatildeo de bull +

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

16

con~orno (-~ eacute faacutecil observar que (ugt = - (0gt o que permite Il-

conclui r que ltogt ti lt0gt para ~ grande Assim este sistema t S- 1 S~+

apresenta uma instabilidade com respeito as condiccedilotildees de contorno

Ao fato acima dizemos qUecirc hOUVecirc quebra espontAnoa da

-oi simamptria spin + 9 spin- A hamiltoniana (110) eacute simeacutetrica na

) ausecircncia de campo com respei Lo a troca de spin + por spin - e

quando se despreza o ~ermo d9 rronteira A transiccedil~o de rase se

maniiacuteesta no rato que existem estados de equi11brio no qual a

simetria eacute violada somente na fr-onteira e a qual nWo eacute simeacutetrica

mesmo no limite quando a ~r-onteira se afasta inrin1tament-e

Uma interpretaccedil~o heuristica do efeito da fronteira

sobre a transiccedilatildeo de fase consiste em observar que fixada por

exemplo a condiccedil~o de contorno C+ par~indo en~~ da ~ron~ei~a em

direccedil~ ao meio do sistema se quizermos eliminar um primeir-o

contorno que aparece~ devemEgts trocar os sinais C-) dentro do

con~orno por sinais (+) que s~o os da ~ron~eira Assim a

eliminaccedilCo dos con~ornos se daacute por imposiccedil~o da tron~eira agor-a

precisamos saber qual o custo energeacutetico pa~a se eliminar um

contorno Ss~e cus~o energeacutetico ~em que ser balanceado pelo termo

entroacutepico que favorece exatamen~e a construccedilZlo de contornos para

A ro

o que ~oi mos~~ado acima foi que a baixas temperaturas o

sisLema pre~ere eliminar con~ornos do qua eonstrui~ porque eacute

energeticamente mais baralo ou em outras palavras o sistema de

spins prefere se orienLar segundo a iacuterolrt-oir-acirc Ilieacute$imo qU$ 9Sgtta

esteacutej a i nfi nitamen~9 di stant-e

Portanto este sistema apresenta uma instabilidade

macroscoacutepica porque S9 mudarmos a rronteira ele iracirc seguir a nova

orienLaccedil~o conseqUen~emen~e temos uma tIansi ccedil~o de rase Este

)

CAPiTULO II

CAMPO MIlDIO

Como vimos um dos objeti vos da Mecacircnica Estatiacutestica eacute

calcular a energia livre f AC(D e a magnetizaccedillo meacutedia mAC(1) de um

sistema Este caacutelculo de um modo geral ~o aacute simples Entretanto

existem di versas aproximaccedilees que paimi tem calcular exatamente a

energia livre como PQiacute ~mpl0 oacute modelo gaussianc1 iacuteef (26] o

modelo esfeacuterico ref te71 e o modelo de campo meacutedio rei [281 A

) relevaacutencia de caacutelculos exatos eacute para comparar a teor i a com os

valores EgtX))GrilJlntais O modelo de campo meacutedio tambeacutem chamado

modelo de Curie-Weiss consistamp em aproximar a i ntaraccedillIo J da J

hamiltoniana Cl1 por uma interaccedil~o de longo alcance do tipo JN

ond~ J ~ G todos os spins intaragam entra si igualmenteJ

Este modelo aacute nilo fisico no sentido que J dava ir

diminuindo a medida que aumenta a distacircncia I~ - li e tambeacutem ao

fa~o que JN depende do volume do sis~ema En~re~an~o Gs~e mod91o )

1oi capaz de prever uma tlansiccedil~o da- fasw para uma tElmpe1atura

cri tica Te (ponto de Curie) a uma magnetizaccedilao espontacircnea para

sistemas rerromagn~ticos que concordam razoavelmente bem com a

egtqraquoi91 i eacutenei a

Na aproximaccedil~ de campo meacutedio li hamiltoniana (11) fica

ent~o com condiccedilatildeo de contorno livre e num campo uniforme~

J - liAO) I Ci()j h I 0 e21)

2N ijampAgrave iampA

Usando o meacutetodo de Laplace pode-se mostrar que no

limite termodinacircmico a magnetizaccedilatildeo meacutedia mCh) obedece a

19

seguint-Q relaccedil=o

m ~ gh((Jm + h CE EJ

o objE1ti vo desta S(iccedil~O raacutepida sobre campo meacutedio foi

escrever apenas a relaccedil~o C22) acima para podermos comparar logo

mais adian~e com sis~~mas aleacutea~oacuteriQS e va~mos algumas ruudanccedilas que

-) ocorram

SISTEMAS ALEAT6RIOS

Vejamos agora como proceder com a Mecacircnica Estat1stjca

em sistemas que tem algum paracircmetro aleatoacuterio na sua hanuacuteltoniana

HACo) como por exGmplo J G h da relaccedil~o C11) Quando apenas J eacute uma variaacutevel aleatoacuteria temos um sistema com interaccedilXo

J

aleatoacuteria em campo uniforme la quando apEmas h eacute uma variaacutevel aleatoacuteria temos um sistema com campo aleat6rio

Com respeito a asses sistemas aleatoacuterios segundo Broul

f-f Ca) temos dois pontos da vista a considerar Noacutes temos os

sistamas aleatoacuterios chamados recozidos temperados Para

facili~ar a compreensatildeo dessa diferenccedila imaginemos um bloco de um

material puro Vamos supor agora que de alguma torma trocamos

aleatoriamente alguns aacutetomos desse matElrial por aacutetomos de outro

ma~erial que considElramos por impurezas O sistema recozido

consiste em aqu$Cer es~e bloco de modo a permi ti r que as

impurezas adquiram um novo estado de equilibrio segundo Gibbs EIt

depois de resfriado o sistema~ razemos o seu estudo ~ermodinacircnuacuteco

o sistema temperado consiste em manter congelado em suas

posiccedil8es as impurezas e fazermos Uma meacutedia sobre a alGa~oriedademiddot

20

apoacutes a meacutedia ~eacutermica do sistama segundo Gibbs

quandQ S9

Esta caracter i zaccedillo

est-uda uma amostra

eacute de fundamental

num laboratoacuterio eacute

i mportacircnci a pos

mantido iacuteixo as

1

impurezas y assim devemos

nas palavras de Anderson

considerar os sistemas

ref reg] Nenhum aacutetomo

temperados pois

eacute uma meacutedia dos

outros aacutetomos

Assim em sistemas recozidos a Tarmodinacircmica t segundo o

que ficou exposto acima eacute obtida calculando primeiramente a meacutedia

sobra

isto eacute

os paracircmGtros

ZAS C1h) e

aleat6rios

em seguida

na funccedilrlo de

calculamos a

particcedili(o ZABlt~~h)

A

energia livr~ por

fAC(1)

livr~

= Cf1IAP-

AC(D eacute

ln ZAB ecircifi5 A

obtida ~azendo

Em sistemas temperados a energia

a meacutedia sobre os paracircmetros

alQAt6riOS da enqrgia livre FA(~) _ C~IAI)l In ZABACIh) isto eacute

f AC(1) = FAltiacute5

o argumento heur1stico para tal procedimento aacute o

seguinte considere um sistema A mui to grande Ccom impurezas)

dividido em um nuacutemero n mui~o grandG de subunidadas A~ semslhan~es

tais que A = U A como eacute mui 10 grande tambeacutem o nuacutemero de aacute~omos 1=1 t

em cada subunidade podemos desprezar a interaccedil~o entre as

subunidades CES~9 procGdimen~o eacute semelhante ao usado na obtenccedil~o

do limi te termodinAmico Tef (22J)

Agora no sistema recozido todas as ccmfiguraccedil3es da

aleatoridade slto comuumlderados em cada subunidade assim a energia

livre eacute a mesma pois

1 n ~n Zeacute(lh) 1 n

= n ln n ZA C~h) =1

n~ fi)= 1 1 ln ZA n 1=1 lt

= ln ZA(h) C23gt

21

Para o si5tm~ tQmp~ado tQmos

-

n n1 ~ zAlt(3h) ~ 1 ~ n ZA Cf1h) ~

1 E ~ Zltf1h) lt24) n n n

i =1 i=t

ccedilomo em cada subunidade eacute dif~rente a aleatoriedade es~a uacuteltima

soma m ea4) 9 a mQdia sobrG Q al4iilatori-xlad~

Esto arg~IDeacutento h9ur1s~iecirco ~oi n~re~an~o demonstrado por

van Hammem C1981) rer [301 onde prova-se que a energia liacutevre de um

sis aleat6rio Imprado ltlo I AltID ~ lt(3IAP- liacutei ZAiacuteh) 2S)

com probabilidade um O elqmen~o ehavQ ds~a dQmon$~ra9~o bull a 10i

forte dos grandes nuacutemeros raf (31l Como ccmsaacuteqUeacutencia de (25 a

magnti~accedililo local d um sistema LempQrado dlitvraacute ser dada por

~m1Ct1~hi) lt26)lt Q gtABA

o MtTOOO DE VAN HEMMEH

Para sistemas aleatoacuterios~ mas com interaccedil5es de campo

meacutedio van Hamman rei [38] 101 capaz de desenvolver Uma teacutecnica

para calcular a energia livre para modelos de vidro de spin

genoralizando o meacutetodo de Laplace

o meacutetodo dl9 van HJampJlUll$n elimina o trabalho extra que

tl9InOS com siStamas aleatoacuterios tempeacuterados que eacute tomar a meacutedia

aleatoacuteria apoacutes a meacutedia teacutermica os sistemas aleatoacuterios que iremos

tratar em todo este trabalho seratildeo apenas os temperados

I

ee

MODELO FERROMAGM~TICO COM CAMPO ALEAToacuteRIO

o modelo ierroJnagneacutetico com ccedilampo aleacuteatoacuterio na

aprQximaccedilgo d~ c~ meacutedio eacute descri~o pela seguint~ hamiltoniana

com condiccedil5Gs d~ con~orno livr~

J - HAltgt ~ iFi E + 1 hO lt27)

-jsAcirc J iAtilde 1

ond~ J gt o~ 05 campos magnlitlticos h sIo variagravevlilis al4iiatoacutefias indepr1ndentas idanticamen~~ distribuiacutedos com meacutedi a zero e

variacircncia crbull finita

FaZ9ndo uso da ~eacutecniea de van He~n Salinas e

WrliSzinski reto [33J obtiveram aspecialmEtnte para o caso h = plusmn h

Ch gt O) com probabilidad le seguinte relaccedililo para

magnetizaccedil3o mC(3hJ

em ~ -ghICJm h) + gh(lCJm - h) C2 S)

Comparando ce2) com ee ID podemos observar uma mudanccedila

no comportamento da magnetizaccediliIo pois (a Bgt apresenta um pontO

cri~ico e ceS) um ponto tricrilico

MODELO ANTIFERROMAGNtTICO DILlJUlO COM CAMPO 1JMIFORME

o modelo antiferromagneacutetico diluiacutedo com campo uniforme

da r~r[13J ~ dagravescrito pela hamiltoniana

J - H A (gt ~ + iFi 1 8 ampCICI ~ I ampampqq + ampAP $ J 1 J bullbull A J J J~J

J Ep 70 h E s OI lt8 O)

N 1 J 1 iGA ccedilA jeA

i e3

onde j gt o ~ = 1 com probabilidade p amp amp = O com probabilidade

ip descrevv a diluiccedilatildeo Afi EJ Ai referem-s as duas sfbredes

interpeneirantes respGctivamente par $ impamprshy lQis qUeacute Ai V AP A

o sistema interage antiferromagneticamente en~re subredes e )

fQrromagn~ticcedilamnte nas ~ma5 subredes h ~ o campo magneacuteticQ

unitorm9

Novamente fazendo uso da teacutecnica de van Hemmen obtem-se

para a magne~izaccedil~o mC~~hj desse modelo a seguinte relaccedilo

2m = p~gh~Jm + h) + ~gh~Jm - h) C810)

As relaccedil8es C8S) e lta 10) podem ser mapeadas e dizemos

que estes dois modelos fornecem uma equivalecircncia exata Poreacutem uma

anaacutelise simples das Tamplaccedil5es C8S) 8 (810) mostra que para p 1

(ausecircncia da diluiccedil~o estas relaccedil3as se tornam idecircnticas

~tr9tanto foi djilmonstrado na 1 [ltlia) q~ SQmEmtfotildeocirc para p lt 1 nos

GX]I09ntes crilicos (ver FGhOacutemtmO$ Cr1ticos capul s~o idecircnticos

nos dois modelos 9 para p = 1 s~o direrentes de p lt 1

J

84

CAPITULO III

N9Ste capi tlJl0 vamos aprasentar o argunwnlQ de Imry e Ma

para modelos aleat6rios e o procedimento da teoria do grupo ds

renormalizaccedil~o de Wilson para o estudo da criticalidade Estes

doi s assuntos estarOCo combi nados no capi tul o I V par a obt1r uma

equivalecircncia entre os modelos rerromagnaacutelico em campo aleatoacuterio

e antiferromagnaacutetico dilu1do

ARGUMENTODEIMRYEKA

Como vimos no final do capitulo 11 quando introduzimos

algum paracircmetro aleat6rio J_ ou h isto provoca mudanccedilas no J

comportamento dos sistemas mesmo no modelo de campo meacutedio que n~o

Q Lro 11sico

Vamos explorar agora outro detalhe dos sistemas com

paracircmetros aleat6rios que s o papel da dimens~o d da rede A para

a transiccedillOCo da fase Para mod~los de campo meacutedio a dimens~o n~o

desempenha um papal significante uma vez que todos os spins

in~erag0m entre si igualmente ~ ~atildecil en~ender porque a diacutem9ns~o

deve dampSGmp9nhar algum papal S~ a interaccedillIo entre- os spi ns eacute

apenas de vi zi nhos mai s pr6xi mos Considera novamant9 a

hamil toniana Cll0) com interasiacuteo apenas 09 vizinhos mais

proacuteximos Comeccedilando com d = 1 ratilde faacutecil observar que um spin i

longa da fronteira tem dois vizinhos mais proacuteximos assim ele estaacute

sujei to li dois acoplamentos mas atua sobre ele apenas um campo

magneacutetico h Para d = e3 v eacute faacutecil calcular que o

20

apoacutes a meacutedia ~eacutermica do sistama segundo Gibbs

quandQ S9

Esta caracter i zaccedillo

est-uda uma amostra

eacute de fundamental

num laboratoacuterio eacute

i mportacircnci a pos

mantido iacuteixo as

1

impurezas y assim devemos

nas palavras de Anderson

considerar os sistemas

ref reg] Nenhum aacutetomo

temperados pois

eacute uma meacutedia dos

outros aacutetomos

Assim em sistemas recozidos a Tarmodinacircmica t segundo o

que ficou exposto acima eacute obtida calculando primeiramente a meacutedia

sobra

isto eacute

os paracircmGtros

ZAS C1h) e

aleat6rios

em seguida

na funccedilrlo de

calculamos a

particcedili(o ZABlt~~h)

A

energia livr~ por

fAC(1)

livr~

= Cf1IAP-

AC(D eacute

ln ZAB ecircifi5 A

obtida ~azendo

Em sistemas temperados a energia

a meacutedia sobre os paracircmetros

alQAt6riOS da enqrgia livre FA(~) _ C~IAI)l In ZABACIh) isto eacute

f AC(1) = FAltiacute5

o argumento heur1stico para tal procedimento aacute o

seguinte considere um sistema A mui to grande Ccom impurezas)

dividido em um nuacutemero n mui~o grandG de subunidadas A~ semslhan~es

tais que A = U A como eacute mui 10 grande tambeacutem o nuacutemero de aacute~omos 1=1 t

em cada subunidade podemos desprezar a interaccedil~o entre as

subunidades CES~9 procGdimen~o eacute semelhante ao usado na obtenccedil~o

do limi te termodinAmico Tef (22J)

Agora no sistema recozido todas as ccmfiguraccedil3es da

aleatoridade slto comuumlderados em cada subunidade assim a energia

livre eacute a mesma pois

1 n ~n Zeacute(lh) 1 n

= n ln n ZA C~h) =1

n~ fi)= 1 1 ln ZA n 1=1 lt

= ln ZA(h) C23gt

21

Para o si5tm~ tQmp~ado tQmos

-

n n1 ~ zAlt(3h) ~ 1 ~ n ZA Cf1h) ~

1 E ~ Zltf1h) lt24) n n n

i =1 i=t

ccedilomo em cada subunidade eacute dif~rente a aleatoriedade es~a uacuteltima

soma m ea4) 9 a mQdia sobrG Q al4iilatori-xlad~

Esto arg~IDeacutento h9ur1s~iecirco ~oi n~re~an~o demonstrado por

van Hammem C1981) rer [301 onde prova-se que a energia liacutevre de um

sis aleat6rio Imprado ltlo I AltID ~ lt(3IAP- liacutei ZAiacuteh) 2S)

com probabilidade um O elqmen~o ehavQ ds~a dQmon$~ra9~o bull a 10i

forte dos grandes nuacutemeros raf (31l Como ccmsaacuteqUeacutencia de (25 a

magnti~accedililo local d um sistema LempQrado dlitvraacute ser dada por

~m1Ct1~hi) lt26)lt Q gtABA

o MtTOOO DE VAN HEMMEH

Para sistemas aleatoacuterios~ mas com interaccedil5es de campo

meacutedio van Hamman rei [38] 101 capaz de desenvolver Uma teacutecnica

para calcular a energia livre para modelos de vidro de spin

genoralizando o meacutetodo de Laplace

o meacutetodo dl9 van HJampJlUll$n elimina o trabalho extra que

tl9InOS com siStamas aleatoacuterios tempeacuterados que eacute tomar a meacutedia

aleatoacuteria apoacutes a meacutedia teacutermica os sistemas aleatoacuterios que iremos

tratar em todo este trabalho seratildeo apenas os temperados

I

ee

MODELO FERROMAGM~TICO COM CAMPO ALEAToacuteRIO

o modelo ierroJnagneacutetico com ccedilampo aleacuteatoacuterio na

aprQximaccedilgo d~ c~ meacutedio eacute descri~o pela seguint~ hamiltoniana

com condiccedil5Gs d~ con~orno livr~

J - HAltgt ~ iFi E + 1 hO lt27)

-jsAcirc J iAtilde 1

ond~ J gt o~ 05 campos magnlitlticos h sIo variagravevlilis al4iiatoacutefias indepr1ndentas idanticamen~~ distribuiacutedos com meacutedi a zero e

variacircncia crbull finita

FaZ9ndo uso da ~eacutecniea de van He~n Salinas e

WrliSzinski reto [33J obtiveram aspecialmEtnte para o caso h = plusmn h

Ch gt O) com probabilidad le seguinte relaccedililo para

magnetizaccedil3o mC(3hJ

em ~ -ghICJm h) + gh(lCJm - h) C2 S)

Comparando ce2) com ee ID podemos observar uma mudanccedila

no comportamento da magnetizaccediliIo pois (a Bgt apresenta um pontO

cri~ico e ceS) um ponto tricrilico

MODELO ANTIFERROMAGNtTICO DILlJUlO COM CAMPO 1JMIFORME

o modelo antiferromagneacutetico diluiacutedo com campo uniforme

da r~r[13J ~ dagravescrito pela hamiltoniana

J - H A (gt ~ + iFi 1 8 ampCICI ~ I ampampqq + ampAP $ J 1 J bullbull A J J J~J

J Ep 70 h E s OI lt8 O)

N 1 J 1 iGA ccedilA jeA

i e3

onde j gt o ~ = 1 com probabilidade p amp amp = O com probabilidade

ip descrevv a diluiccedilatildeo Afi EJ Ai referem-s as duas sfbredes

interpeneirantes respGctivamente par $ impamprshy lQis qUeacute Ai V AP A

o sistema interage antiferromagneticamente en~re subredes e )

fQrromagn~ticcedilamnte nas ~ma5 subredes h ~ o campo magneacuteticQ

unitorm9

Novamente fazendo uso da teacutecnica de van Hemmen obtem-se

para a magne~izaccedil~o mC~~hj desse modelo a seguinte relaccedilo

2m = p~gh~Jm + h) + ~gh~Jm - h) C810)

As relaccedil8es C8S) e lta 10) podem ser mapeadas e dizemos

que estes dois modelos fornecem uma equivalecircncia exata Poreacutem uma

anaacutelise simples das Tamplaccedil5es C8S) 8 (810) mostra que para p 1

(ausecircncia da diluiccedil~o estas relaccedil3as se tornam idecircnticas

~tr9tanto foi djilmonstrado na 1 [ltlia) q~ SQmEmtfotildeocirc para p lt 1 nos

GX]I09ntes crilicos (ver FGhOacutemtmO$ Cr1ticos capul s~o idecircnticos

nos dois modelos 9 para p = 1 s~o direrentes de p lt 1

J

84

CAPITULO III

N9Ste capi tlJl0 vamos aprasentar o argunwnlQ de Imry e Ma

para modelos aleat6rios e o procedimento da teoria do grupo ds

renormalizaccedil~o de Wilson para o estudo da criticalidade Estes

doi s assuntos estarOCo combi nados no capi tul o I V par a obt1r uma

equivalecircncia entre os modelos rerromagnaacutelico em campo aleatoacuterio

e antiferromagnaacutetico dilu1do

ARGUMENTODEIMRYEKA

Como vimos no final do capitulo 11 quando introduzimos

algum paracircmetro aleat6rio J_ ou h isto provoca mudanccedilas no J

comportamento dos sistemas mesmo no modelo de campo meacutedio que n~o

Q Lro 11sico

Vamos explorar agora outro detalhe dos sistemas com

paracircmetros aleat6rios que s o papel da dimens~o d da rede A para

a transiccedillOCo da fase Para mod~los de campo meacutedio a dimens~o n~o

desempenha um papal significante uma vez que todos os spins

in~erag0m entre si igualmente ~ ~atildecil en~ender porque a diacutem9ns~o

deve dampSGmp9nhar algum papal S~ a interaccedillIo entre- os spi ns eacute

apenas de vi zi nhos mai s pr6xi mos Considera novamant9 a

hamil toniana Cll0) com interasiacuteo apenas 09 vizinhos mais

proacuteximos Comeccedilando com d = 1 ratilde faacutecil observar que um spin i

longa da fronteira tem dois vizinhos mais proacuteximos assim ele estaacute

sujei to li dois acoplamentos mas atua sobre ele apenas um campo

magneacutetico h Para d = e3 v eacute faacutecil calcular que o

21

Para o si5tm~ tQmp~ado tQmos

-

n n1 ~ zAlt(3h) ~ 1 ~ n ZA Cf1h) ~

1 E ~ Zltf1h) lt24) n n n

i =1 i=t

ccedilomo em cada subunidade eacute dif~rente a aleatoriedade es~a uacuteltima

soma m ea4) 9 a mQdia sobrG Q al4iilatori-xlad~

Esto arg~IDeacutento h9ur1s~iecirco ~oi n~re~an~o demonstrado por

van Hammem C1981) rer [301 onde prova-se que a energia liacutevre de um

sis aleat6rio Imprado ltlo I AltID ~ lt(3IAP- liacutei ZAiacuteh) 2S)

com probabilidade um O elqmen~o ehavQ ds~a dQmon$~ra9~o bull a 10i

forte dos grandes nuacutemeros raf (31l Como ccmsaacuteqUeacutencia de (25 a

magnti~accedililo local d um sistema LempQrado dlitvraacute ser dada por

~m1Ct1~hi) lt26)lt Q gtABA

o MtTOOO DE VAN HEMMEH

Para sistemas aleatoacuterios~ mas com interaccedil5es de campo

meacutedio van Hamman rei [38] 101 capaz de desenvolver Uma teacutecnica

para calcular a energia livre para modelos de vidro de spin

genoralizando o meacutetodo de Laplace

o meacutetodo dl9 van HJampJlUll$n elimina o trabalho extra que

tl9InOS com siStamas aleatoacuterios tempeacuterados que eacute tomar a meacutedia

aleatoacuteria apoacutes a meacutedia teacutermica os sistemas aleatoacuterios que iremos

tratar em todo este trabalho seratildeo apenas os temperados

I

ee

MODELO FERROMAGM~TICO COM CAMPO ALEAToacuteRIO

o modelo ierroJnagneacutetico com ccedilampo aleacuteatoacuterio na

aprQximaccedilgo d~ c~ meacutedio eacute descri~o pela seguint~ hamiltoniana

com condiccedil5Gs d~ con~orno livr~

J - HAltgt ~ iFi E + 1 hO lt27)

-jsAcirc J iAtilde 1

ond~ J gt o~ 05 campos magnlitlticos h sIo variagravevlilis al4iiatoacutefias indepr1ndentas idanticamen~~ distribuiacutedos com meacutedi a zero e

variacircncia crbull finita

FaZ9ndo uso da ~eacutecniea de van He~n Salinas e

WrliSzinski reto [33J obtiveram aspecialmEtnte para o caso h = plusmn h

Ch gt O) com probabilidad le seguinte relaccedililo para

magnetizaccedil3o mC(3hJ

em ~ -ghICJm h) + gh(lCJm - h) C2 S)

Comparando ce2) com ee ID podemos observar uma mudanccedila

no comportamento da magnetizaccediliIo pois (a Bgt apresenta um pontO

cri~ico e ceS) um ponto tricrilico

MODELO ANTIFERROMAGNtTICO DILlJUlO COM CAMPO 1JMIFORME

o modelo antiferromagneacutetico diluiacutedo com campo uniforme

da r~r[13J ~ dagravescrito pela hamiltoniana

J - H A (gt ~ + iFi 1 8 ampCICI ~ I ampampqq + ampAP $ J 1 J bullbull A J J J~J

J Ep 70 h E s OI lt8 O)

N 1 J 1 iGA ccedilA jeA

i e3

onde j gt o ~ = 1 com probabilidade p amp amp = O com probabilidade

ip descrevv a diluiccedilatildeo Afi EJ Ai referem-s as duas sfbredes

interpeneirantes respGctivamente par $ impamprshy lQis qUeacute Ai V AP A

o sistema interage antiferromagneticamente en~re subredes e )

fQrromagn~ticcedilamnte nas ~ma5 subredes h ~ o campo magneacuteticQ

unitorm9

Novamente fazendo uso da teacutecnica de van Hemmen obtem-se

para a magne~izaccedil~o mC~~hj desse modelo a seguinte relaccedilo

2m = p~gh~Jm + h) + ~gh~Jm - h) C810)

As relaccedil8es C8S) e lta 10) podem ser mapeadas e dizemos

que estes dois modelos fornecem uma equivalecircncia exata Poreacutem uma

anaacutelise simples das Tamplaccedil5es C8S) 8 (810) mostra que para p 1

(ausecircncia da diluiccedil~o estas relaccedil3as se tornam idecircnticas

~tr9tanto foi djilmonstrado na 1 [ltlia) q~ SQmEmtfotildeocirc para p lt 1 nos

GX]I09ntes crilicos (ver FGhOacutemtmO$ Cr1ticos capul s~o idecircnticos

nos dois modelos 9 para p = 1 s~o direrentes de p lt 1

J

84

CAPITULO III

N9Ste capi tlJl0 vamos aprasentar o argunwnlQ de Imry e Ma

para modelos aleat6rios e o procedimento da teoria do grupo ds

renormalizaccedil~o de Wilson para o estudo da criticalidade Estes

doi s assuntos estarOCo combi nados no capi tul o I V par a obt1r uma

equivalecircncia entre os modelos rerromagnaacutelico em campo aleatoacuterio

e antiferromagnaacutetico dilu1do

ARGUMENTODEIMRYEKA

Como vimos no final do capitulo 11 quando introduzimos

algum paracircmetro aleat6rio J_ ou h isto provoca mudanccedilas no J

comportamento dos sistemas mesmo no modelo de campo meacutedio que n~o

Q Lro 11sico

Vamos explorar agora outro detalhe dos sistemas com

paracircmetros aleat6rios que s o papel da dimens~o d da rede A para

a transiccedillOCo da fase Para mod~los de campo meacutedio a dimens~o n~o

desempenha um papal significante uma vez que todos os spins

in~erag0m entre si igualmente ~ ~atildecil en~ender porque a diacutem9ns~o

deve dampSGmp9nhar algum papal S~ a interaccedillIo entre- os spi ns eacute

apenas de vi zi nhos mai s pr6xi mos Considera novamant9 a

hamil toniana Cll0) com interasiacuteo apenas 09 vizinhos mais

proacuteximos Comeccedilando com d = 1 ratilde faacutecil observar que um spin i

longa da fronteira tem dois vizinhos mais proacuteximos assim ele estaacute

sujei to li dois acoplamentos mas atua sobre ele apenas um campo

magneacutetico h Para d = e3 v eacute faacutecil calcular que o

I

ee

MODELO FERROMAGM~TICO COM CAMPO ALEAToacuteRIO

o modelo ierroJnagneacutetico com ccedilampo aleacuteatoacuterio na

aprQximaccedilgo d~ c~ meacutedio eacute descri~o pela seguint~ hamiltoniana

com condiccedil5Gs d~ con~orno livr~

J - HAltgt ~ iFi E + 1 hO lt27)

-jsAcirc J iAtilde 1

ond~ J gt o~ 05 campos magnlitlticos h sIo variagravevlilis al4iiatoacutefias indepr1ndentas idanticamen~~ distribuiacutedos com meacutedi a zero e

variacircncia crbull finita

FaZ9ndo uso da ~eacutecniea de van He~n Salinas e

WrliSzinski reto [33J obtiveram aspecialmEtnte para o caso h = plusmn h

Ch gt O) com probabilidad le seguinte relaccedililo para

magnetizaccedil3o mC(3hJ

em ~ -ghICJm h) + gh(lCJm - h) C2 S)

Comparando ce2) com ee ID podemos observar uma mudanccedila

no comportamento da magnetizaccediliIo pois (a Bgt apresenta um pontO

cri~ico e ceS) um ponto tricrilico

MODELO ANTIFERROMAGNtTICO DILlJUlO COM CAMPO 1JMIFORME

o modelo antiferromagneacutetico diluiacutedo com campo uniforme

da r~r[13J ~ dagravescrito pela hamiltoniana

J - H A (gt ~ + iFi 1 8 ampCICI ~ I ampampqq + ampAP $ J 1 J bullbull A J J J~J

J Ep 70 h E s OI lt8 O)

N 1 J 1 iGA ccedilA jeA

i e3

onde j gt o ~ = 1 com probabilidade p amp amp = O com probabilidade

ip descrevv a diluiccedilatildeo Afi EJ Ai referem-s as duas sfbredes

interpeneirantes respGctivamente par $ impamprshy lQis qUeacute Ai V AP A

o sistema interage antiferromagneticamente en~re subredes e )

fQrromagn~ticcedilamnte nas ~ma5 subredes h ~ o campo magneacuteticQ

unitorm9

Novamente fazendo uso da teacutecnica de van Hemmen obtem-se

para a magne~izaccedil~o mC~~hj desse modelo a seguinte relaccedilo

2m = p~gh~Jm + h) + ~gh~Jm - h) C810)

As relaccedil8es C8S) e lta 10) podem ser mapeadas e dizemos

que estes dois modelos fornecem uma equivalecircncia exata Poreacutem uma

anaacutelise simples das Tamplaccedil5es C8S) 8 (810) mostra que para p 1

(ausecircncia da diluiccedil~o estas relaccedil3as se tornam idecircnticas

~tr9tanto foi djilmonstrado na 1 [ltlia) q~ SQmEmtfotildeocirc para p lt 1 nos

GX]I09ntes crilicos (ver FGhOacutemtmO$ Cr1ticos capul s~o idecircnticos

nos dois modelos 9 para p = 1 s~o direrentes de p lt 1

J

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CAPITULO III

N9Ste capi tlJl0 vamos aprasentar o argunwnlQ de Imry e Ma

para modelos aleat6rios e o procedimento da teoria do grupo ds

renormalizaccedil~o de Wilson para o estudo da criticalidade Estes

doi s assuntos estarOCo combi nados no capi tul o I V par a obt1r uma

equivalecircncia entre os modelos rerromagnaacutelico em campo aleatoacuterio

e antiferromagnaacutetico dilu1do

ARGUMENTODEIMRYEKA

Como vimos no final do capitulo 11 quando introduzimos

algum paracircmetro aleat6rio J_ ou h isto provoca mudanccedilas no J

comportamento dos sistemas mesmo no modelo de campo meacutedio que n~o

Q Lro 11sico

Vamos explorar agora outro detalhe dos sistemas com

paracircmetros aleat6rios que s o papel da dimens~o d da rede A para

a transiccedillOCo da fase Para mod~los de campo meacutedio a dimens~o n~o

desempenha um papal significante uma vez que todos os spins

in~erag0m entre si igualmente ~ ~atildecil en~ender porque a diacutem9ns~o

deve dampSGmp9nhar algum papal S~ a interaccedillIo entre- os spi ns eacute

apenas de vi zi nhos mai s pr6xi mos Considera novamant9 a

hamil toniana Cll0) com interasiacuteo apenas 09 vizinhos mais

proacuteximos Comeccedilando com d = 1 ratilde faacutecil observar que um spin i

longa da fronteira tem dois vizinhos mais proacuteximos assim ele estaacute

sujei to li dois acoplamentos mas atua sobre ele apenas um campo

magneacutetico h Para d = e3 v eacute faacutecil calcular que o

i e3

onde j gt o ~ = 1 com probabilidade p amp amp = O com probabilidade

ip descrevv a diluiccedilatildeo Afi EJ Ai referem-s as duas sfbredes

interpeneirantes respGctivamente par $ impamprshy lQis qUeacute Ai V AP A

o sistema interage antiferromagneticamente en~re subredes e )

fQrromagn~ticcedilamnte nas ~ma5 subredes h ~ o campo magneacuteticQ

unitorm9

Novamente fazendo uso da teacutecnica de van Hemmen obtem-se

para a magne~izaccedil~o mC~~hj desse modelo a seguinte relaccedilo

2m = p~gh~Jm + h) + ~gh~Jm - h) C810)

As relaccedil8es C8S) e lta 10) podem ser mapeadas e dizemos

que estes dois modelos fornecem uma equivalecircncia exata Poreacutem uma

anaacutelise simples das Tamplaccedil5es C8S) 8 (810) mostra que para p 1

(ausecircncia da diluiccedil~o estas relaccedil3as se tornam idecircnticas

~tr9tanto foi djilmonstrado na 1 [ltlia) q~ SQmEmtfotildeocirc para p lt 1 nos

GX]I09ntes crilicos (ver FGhOacutemtmO$ Cr1ticos capul s~o idecircnticos

nos dois modelos 9 para p = 1 s~o direrentes de p lt 1

J

84

CAPITULO III

N9Ste capi tlJl0 vamos aprasentar o argunwnlQ de Imry e Ma

para modelos aleat6rios e o procedimento da teoria do grupo ds

renormalizaccedil~o de Wilson para o estudo da criticalidade Estes

doi s assuntos estarOCo combi nados no capi tul o I V par a obt1r uma

equivalecircncia entre os modelos rerromagnaacutelico em campo aleatoacuterio

e antiferromagnaacutetico dilu1do

ARGUMENTODEIMRYEKA

Como vimos no final do capitulo 11 quando introduzimos

algum paracircmetro aleat6rio J_ ou h isto provoca mudanccedilas no J

comportamento dos sistemas mesmo no modelo de campo meacutedio que n~o

Q Lro 11sico

Vamos explorar agora outro detalhe dos sistemas com

paracircmetros aleat6rios que s o papel da dimens~o d da rede A para

a transiccedillOCo da fase Para mod~los de campo meacutedio a dimens~o n~o

desempenha um papal significante uma vez que todos os spins

in~erag0m entre si igualmente ~ ~atildecil en~ender porque a diacutem9ns~o

deve dampSGmp9nhar algum papal S~ a interaccedillIo entre- os spi ns eacute

apenas de vi zi nhos mai s pr6xi mos Considera novamant9 a

hamil toniana Cll0) com interasiacuteo apenas 09 vizinhos mais

proacuteximos Comeccedilando com d = 1 ratilde faacutecil observar que um spin i

longa da fronteira tem dois vizinhos mais proacuteximos assim ele estaacute

sujei to li dois acoplamentos mas atua sobre ele apenas um campo

magneacutetico h Para d = e3 v eacute faacutecil calcular que o

84

CAPITULO III

N9Ste capi tlJl0 vamos aprasentar o argunwnlQ de Imry e Ma

para modelos aleat6rios e o procedimento da teoria do grupo ds

renormalizaccedil~o de Wilson para o estudo da criticalidade Estes

doi s assuntos estarOCo combi nados no capi tul o I V par a obt1r uma

equivalecircncia entre os modelos rerromagnaacutelico em campo aleatoacuterio

e antiferromagnaacutetico dilu1do

ARGUMENTODEIMRYEKA

Como vimos no final do capitulo 11 quando introduzimos

algum paracircmetro aleat6rio J_ ou h isto provoca mudanccedilas no J

comportamento dos sistemas mesmo no modelo de campo meacutedio que n~o

Q Lro 11sico

Vamos explorar agora outro detalhe dos sistemas com

paracircmetros aleat6rios que s o papel da dimens~o d da rede A para

a transiccedillOCo da fase Para mod~los de campo meacutedio a dimens~o n~o

desempenha um papal significante uma vez que todos os spins

in~erag0m entre si igualmente ~ ~atildecil en~ender porque a diacutem9ns~o

deve dampSGmp9nhar algum papal S~ a interaccedillIo entre- os spi ns eacute

apenas de vi zi nhos mai s pr6xi mos Considera novamant9 a

hamil toniana Cll0) com interasiacuteo apenas 09 vizinhos mais

proacuteximos Comeccedilando com d = 1 ratilde faacutecil observar que um spin i

longa da fronteira tem dois vizinhos mais proacuteximos assim ele estaacute

sujei to li dois acoplamentos mas atua sobre ele apenas um campo

magneacutetico h Para d = e3 v eacute faacutecil calcular que o

26

)

sopin i o no entanto apenas um Jnesmo eampo h agindo lu 110

depende da dimens~o

Espec1almente para modelos com interaccedilamps de vizinhos

apenas e um campo aleat6rio Imry e Ma ref C4l propuserem um

argument-o para preacuteVeacutel a di-mtifn$~ crl tica 1llferior == d abaixo nt

da qual o sistema n~o apresen~a transiccedil~o de fase O argumentocirc de

Imry e Ma eOhsi~tamp em estimar o cus~o energeacuteLico para a formaccedilXo

de domnios de spins com uma mesma orientaccedil~o Para um modelo onde

o spin apresenta uma simetria discreta + em - como o modelo de

Is1og o argullQnto eacute o seSru1nt~ Suponha primeiro um modelo sem

campo se temos dois domirlios prOacuteXimos de spins com dimens~o

linear L o custo energeacutetico para reverteacuter tados os spins de um

dos donuacutehios depende apenas dos spins da fronteira uma vez que a

troca u -+ -17 s6 eacute afetada na tronteira para a hami 1 toni ana - HACa) = J E 00 C31aj

J lt i ~ jgt

d-ltAssim o custo energeacutetico eacute da ordem de L bull portanto

para d S 1 poderemos ter um custo Qnelgeacutetico suticient-e1lente

pequeno para domiacutenios grandes isto eacute L grande O ~avorecimnt-o agrave

existecircncia de grand$s domiacutenios com spins dierentes eacute um retlexo

da falta de ordem de longo alcance o que implica na ausecircncia de

magnetizaccedil~o ou ausecircncia de transiccediliro de iacutease para d 1 como

vimos no capltula lI

Se temos um campo aleat6rio hi (S la) assume a forma

- HACaj = J E (C + E hi Oi (311raquo ltijgt J l

Com um campo aleatoacuterio h com meacutedia zero e var1Ancia

26

)

fini ta o custo energeacutetico para reverter os sp1ns tem que ser

balanceado ~la energia do campo h dentro do dominio Ainda que a contr1buiccedil~o meacutedia de cada h eacute zero noacutes temos que levar em conta que esle campo 1lulua a contribuiccedil~o da flutuaccedil~o para um

dominio com dimens~o linear L eacute tipicamente Ah2 ~ Latilde Assim temos

que para construir um dom1nio de lado L o sistema tem ganho ou

perda energeacutetica da ordem de Ld2 por dominio eacute uma perda da ordem

de ld-t por superficie Portanto sempre que d2 gt d-1 ou d lt 2

existiraacute um L suficientemente grande que eacute energet1camente

favoraacutevel agrave consruccedil-ito de dom1nios isto eacute o sistema segue a

orientaccedil~o do campo aleat6rio o que impede por sua vez uma

magnetizaccedilatildeo do sistema~ o caso d = 2 eacute natildeo conclusivo Assim

ser-iacircmOs tentado a estabeacutelOcircecirceacutef que a dimampns~o critica inferior

seacuteria dinf S 2 poreacutem uma seacuterie de outros resultados contr-ar-ia

este valor Toda a controveacutersia sobre a dimensatildeo cr-1tica infer-ior

s6 foi resolvida nos trabalhos da reacute [19) e reto (20J onde ficou

definitivamGmt estabelecido respectivamente middotque dinf = 2 e que

para d ~ 3 o modelo de Ising apr-osenta transiccedil~o de fase como jaacute

dissemos

igtara sistemas onde os spins tem uma simetria continua

como no modelo es~eacuterico o argumen~o de Imry e Ma prevecirc d t = 4 o n

que eacute confirmado no tr-aba1ho da ret ~ (Ql

o ar-gurnento de Imry eacute Ma foi reje tado por algum tempo

porque este natildeo levava em conta a possibilidade de dominios dentr-o

de dominios ou contornos dentro de eontornos Para o sistema

ferromagneacutetco com campo aleat6rio este fato n~o altera as

conelusotildees a respei to de d r bull como Yelemos no capitulo IV nan

seccedilio middotFerromagnocirctieo em Campo Aleat6rio En-tretanto para eertos

sistemas antiferro1Mgneacuteticos diluidos o argumento eacute inaplicaacutevel

bull bull

J

a7

como veremos agora

Consideremos a seguinte hamil toniana para modelos

ant1ferromagneacuteticos d11u1dos

-HCet) = - E J Cf Cf + E hCf (31e) j J ltiigt LEAtilde

que podecirc ser mapeada num modelo 1ellomagneacutetlco dilu1do em campo

APaI ternado com a troea q - (7 para todo i amp (sub Jeacutede

par) assim temos

-HCO) = E JJ Oi 0 + 1 I h o (31dJh Cfltijgt eA t ilCAP

Para Q modelo diluiccedilito de s1tios onde = bullJlCampJJ ij

h = hamp com amp definido como eM (a g) o argtJmento da Imry e Ma fornece o mesmo resultado que o campo aleat6rio Para reverteacuter

os spins deacutentro de UM domuacutenio d$ d1mens~o linear L o custo

l~-J bull O$ner 9$011 co meacutedi o do t$rmo J Eeiampl()Ij eacute da ordem d$

custo meacutedi o do termo h I amp01 h L amp0 eacute da ordem de tampA ieAP lo

zero poreacutem a ~lutuaccedil~o ou a variAncia bull da ordem de L~ o que

coincide com a anaacute1ise de campo aleatoacuterio

No modelo middotmiddotd11ui ccedilSo d 1osmiddot onde J __ == 01 com J

pJobabilidade 1 - p p respectivamente bull h h Cconstantet bullbull

par-a rOVOIter os spins dentro de um dom1nio d dimensto linear

o custo energeacutetico meacutedi o do termo t J 0 C eacute da ordem de J lo J

Ld- Por- outro lado o trmo to t to r 0 temOi cAl iellP

cont1buiccedillCo da ordom d z o tanto na meacutedia eoltiQ na ~lJtuaccedilllo

~s eacute uma constante~ Assim ser1amos induzidos a conclu1~

erradamente para o modelo diluiccedilatildeo de elos que haveria transiccedilatildeo

L

88

de rase para d gt 1 Poreacutem como ver amos no cap1~ulo IV na seccedil~o

tAntifar-roJnagneacuteti co Dilu1do Em Campo Unlfor-me na vers~o

hieraacuterquica este modelo eacute equivalente ao modelo ferromagneacutetico em

campo aleat6rio e s6 apresenta transiccedil~o de ~ase para d gt 2 O

fato importante para eacutessa equivalecircncia eacute que seja levado em conta

eontOfnO$iotilde dentro do cOlltOJno~

FENOMENOS CRlTIOOS

A teoria do grupo de renormalizaccedil~o de Wilson

reFrS4 aS taVD sua origem nas explieaccedil~s de Kadano~f re~(36]

para ten6meacutenos cr1ticos A hlpoacutetese de Xadanorf estaacute baseada na

hipoacutetese de escala que consiste em propor para T proacuteximo da

temperatura cri tica Te (ponto de Curte) que a parts s1n9u11 da

energia liVleacute por- unidade de vaI ume I Ath) seja uma 1unccedil~o

homog~neacuteagrave generalizada re1[371 de t e h isto eacute

ICt-h) - Agrave-d (Agrave t Agrave h) cSe) -

para todo valor de Agravet onde d eacute di mens(o da rede A~ h eacute o campo

magneacutetico ecirc t- a temperatura reacuteduzida dlinida por

t CT Tc)Tc (a S)

A partir de C32) acima podemos mostrar que para h = O

e t O o calor especificQ a magheacuteti2accedililo e a suscet-ibilidade

isoteacutermica tem um comportamento assint6tico dado respecti vamente

lt9

L por

(34gtC I~I m 1t113 (34b)

X Itl-r (34c) onde os expo9n~ampS cr-iticos 0 ( y e~tko relacionados a 1amp a

t h

por

= CEa - d)a (35c) ~ = Cd - agrave a (3 Sb) r == C2a - da (36e)

Das relaccedileies C35) acima tiramos que a + 2~ + r -= 2

Inrortunadamampn~e a teoria ~enomenol6g1ca de Kadanort n~o

permite prever valor-es para os expoentes crlticos a (1 e Y e tlo

I pouco justi~car essas ideacuteias

TEORIA DO GRUPO DE RENORMALIZACcedilAtildeO

o papal da teoria do grupo de renormalizaccedil~o eacute dar um

apoio matemaacutetico agrave pr-oposta de Kadanoff Os obJetivos da teoria

seriam determinar os expoentes cri~icos em ~unccedil~o dos parAmetros

essenciais do sistema justificar fatoles de escala e determinarshy

explicitamente a parte singular da energia livre

As i decirci as gerai s dessa tGOr i a f ormul ada por Wi 1 son $~O

as sfitguintes

a) A hamiltoniana inicial HNCagrave) feacute transtormada ou

renormalizada de modo a obter uma nova hamiltoniana

H lt(7) que escrevemos formal mente

H (36)H = R CHJ

lt9

L por

(34gtC I~I m 1t113 (34b)

X Itl-r (34c) onde os expo9n~ampS cr-iticos 0 ( y e~tko relacionados a 1amp a

t h

por

= CEa - d)a (35c) ~ = Cd - agrave a (3 Sb) r == C2a - da (36e)

Das relaccedileies C35) acima tiramos que a + 2~ + r -= 2

Inrortunadamampn~e a teoria ~enomenol6g1ca de Kadanort n~o

permite prever valor-es para os expoentes crlticos a (1 e Y e tlo

I pouco justi~car essas ideacuteias

TEORIA DO GRUPO DE RENORMALIZACcedilAtildeO

o papal da teoria do grupo de renormalizaccedil~o eacute dar um

apoio matemaacutetico agrave pr-oposta de Kadanoff Os obJetivos da teoria

seriam determinar os expoentes cri~icos em ~unccedil~o dos parAmetros

essenciais do sistema justificar fatoles de escala e determinarshy

explicitamente a parte singular da energia livre

As i decirci as gerai s dessa tGOr i a f ormul ada por Wi 1 son $~O

as sfitguintes

a) A hamiltoniana inicial HNCagrave) feacute transtormada ou

renormalizada de modo a obter uma nova hamiltoniana

H lt(7) que escrevemos formal mente

H (36)H = R CHJ

30

b) A accedil~o do operador de grupo de renormalizaccedil~o R eacute

reduzir o nuacutemoro dQ apios de N para N Nbd (37)

onda d eacute _ dimens~o e b um ~aLor de reescalonamento

espacial~ GeraI mentamp o operadot R consi ste em

reali2ar uma soma parcial $Obreacute as configuraccedilees dos cu - N~) spins cY que simboliceacuteJnampnte esCrevemos

expC H ) = Tr [exp (11 )] (38)

N~ H-H N

c) A condiccedilro bAsica qUecirc R deve Satisfazeacuter eacute que a

funccedil~o de particcedil~o obedeccedila a relaccedil~o

= (3Q)ZN [HH) Z [li)

d) Para preservar a densidade espacial de spins

reescalonamo$ AS distAncias ontro spins por

i i ~ ib (310)-

e) Finalmente os spins s~o reescalonados por

lt7 C Cte (311)lo 1 ~ 1

onde e depende de H bull N

A exata coostruccedilatildeo do um grupo de renorrnalizaccedil1to eacute em

geral dificil Em seu trabalho original Wilson dElScmvol VGU uma

aproximaccedil~o para fazer alguns caacutelculos En~re~an~o Baker e Golner

reIacute [S93 mos~raram que a aproximaccedilatildeo era exaLa para um modelo

unidimensional com intQraccedilatildeo hloraacuterquica introduzido por Oyson em

100S rf e3S)

Ap6s a construccedil~o do gr~po d renormalizaccedil~o R o

processo dave sal iterado sucessivamen~e H~ = R [HJ H = R EMmiddotl

Um ponto fixo bull para R isto eacute bullbullJateacute eortcontrarmos H H = R IH

31

(312) isto porque o fator de escala b natildeo deve ser relevante

pra rnOmenos crl1icos Pois sGgundo Kadanoff perto do

eriLicalidadeacute os spins devem S9 compor~ar em estruturas de blocos

e esses blocos devem se repetir em todas as escalas

_A

--

aa

CAPiTULO IV

A APROXIMACcedilAtildeO HIERAacuteRQUICA

1 Neste capitulo noacutes iremos tratar do problema da

oqui valeacutenccedilia entre o modelO de Ising ferromagneacutetieo em campo

alea~6rio e o modelo de Ising an~iCerromagnaacute~ieo dilqido em campo

uniforme na aproximaccedil~o hieraacuterquica~

Ant9$ de es~abeleeermos o significado exato da

equivalecircncia acima vamos aplicar primeiramente a ~eoria do grupo

de renormalizaccedillo ao modele de Ising ferromagneacutetico em um campo

a1a~ocircrio bull deixando a posteriori a justificativa porque o uso da

estrateacutegia do grupo da renormalizaccedilfQ re 401

Consideremos a hamil toniana do mcxlelo da ISing

rerromagneacute~ico em campo _l~atoacuterio na seguinte rorma

1 (41)- HA+Cu) -= ~ E 00 + 1 h ltidgt J 1$1 1 1

onde os campos lthgt s~o variatildeveis aleat6ri as indamppendentssbull

identicament distribudas com meacutedia zer-o lth = Ogt ecirc variacircncia ampz (h~ = ampz) O acoplamento J entre vizinhos mais pr6ximos 101 normalizado para um 9 a eondiccedil~o de contorno C+) es~aacute incluiacuteda na

primeira socircmat6ria

No eapitulo I vimos que la en~rgia do modelo de Ising

rerromagnocircLieo sem campo e~erno poderia ser expressa em termos de )

ccedilontornos~ relaccedilllo (119) Quando temos um campo aleatoacuterio hi

J pres~nte eacute faacutecil eslend$T aqu6lle- resultado para a hamil toniana

C41 acima Dada uma lamilia r clG contornos r temos as regiamps

31

(312) isto porque o fator de escala b natildeo deve ser relevante

pra rnOmenos crl1icos Pois sGgundo Kadanoff perto do

eriLicalidadeacute os spins devem S9 compor~ar em estruturas de blocos

e esses blocos devem se repetir em todas as escalas

_A

--

aa

CAPiTULO IV

A APROXIMACcedilAtildeO HIERAacuteRQUICA

1 Neste capitulo noacutes iremos tratar do problema da

oqui valeacutenccedilia entre o modelO de Ising ferromagneacutetieo em campo

alea~6rio e o modelo de Ising an~iCerromagnaacute~ieo dilqido em campo

uniforme na aproximaccedil~o hieraacuterquica~

Ant9$ de es~abeleeermos o significado exato da

equivalecircncia acima vamos aplicar primeiramente a ~eoria do grupo

de renormalizaccedillo ao modele de Ising ferromagneacutetico em um campo

a1a~ocircrio bull deixando a posteriori a justificativa porque o uso da

estrateacutegia do grupo da renormalizaccedilfQ re 401

Consideremos a hamil toniana do mcxlelo da ISing

rerromagneacute~ico em campo _l~atoacuterio na seguinte rorma

1 (41)- HA+Cu) -= ~ E 00 + 1 h ltidgt J 1$1 1 1

onde os campos lthgt s~o variatildeveis aleat6ri as indamppendentssbull

identicament distribudas com meacutedia zer-o lth = Ogt ecirc variacircncia ampz (h~ = ampz) O acoplamento J entre vizinhos mais pr6ximos 101 normalizado para um 9 a eondiccedil~o de contorno C+) es~aacute incluiacuteda na

primeira socircmat6ria

No eapitulo I vimos que la en~rgia do modelo de Ising

rerromagnocircLieo sem campo e~erno poderia ser expressa em termos de )

ccedilontornos~ relaccedilllo (119) Quando temos um campo aleatoacuterio hi

J pres~nte eacute faacutecil eslend$T aqu6lle- resultado para a hamil toniana

C41 acima Dada uma lamilia r clG contornos r temos as regiamps

aa

CAPiTULO IV

A APROXIMACcedilAtildeO HIERAacuteRQUICA

1 Neste capitulo noacutes iremos tratar do problema da

oqui valeacutenccedilia entre o modelO de Ising ferromagneacutetieo em campo

alea~6rio e o modelo de Ising an~iCerromagnaacute~ieo dilqido em campo

uniforme na aproximaccedil~o hieraacuterquica~

Ant9$ de es~abeleeermos o significado exato da

equivalecircncia acima vamos aplicar primeiramente a ~eoria do grupo

de renormalizaccedillo ao modele de Ising ferromagneacutetico em um campo

a1a~ocircrio bull deixando a posteriori a justificativa porque o uso da

estrateacutegia do grupo da renormalizaccedilfQ re 401

Consideremos a hamil toniana do mcxlelo da ISing

rerromagneacute~ico em campo _l~atoacuterio na seguinte rorma

1 (41)- HA+Cu) -= ~ E 00 + 1 h ltidgt J 1$1 1 1

onde os campos lthgt s~o variatildeveis aleat6ri as indamppendentssbull

identicament distribudas com meacutedia zer-o lth = Ogt ecirc variacircncia ampz (h~ = ampz) O acoplamento J entre vizinhos mais pr6ximos 101 normalizado para um 9 a eondiccedil~o de contorno C+) es~aacute incluiacuteda na

primeira socircmat6ria

No eapitulo I vimos que la en~rgia do modelo de Ising

rerromagnocircLieo sem campo e~erno poderia ser expressa em termos de )

ccedilontornos~ relaccedilllo (119) Quando temos um campo aleatoacuterio hi

J pres~nte eacute faacutecil eslend$T aqu6lle- resultado para a hamil toniana

C41 acima Dada uma lamilia r clG contornos r temos as regiamps

middot1 33

A+CI A-(r) como descritO nO capltu1o I tais q

+ - +A Cf U A cr Atilde onde ~ = + 1 rsp~ C-1) para i amp A Cf resp

c-Ccedilcrn assim tlIIOS para C41)

n - NAltcO = i E Ir + E + h - E _ h (421)

yr ~Atilde cr) _A C[)

onde n eacute o nUacuternGro ds par~ ij dg vizinho~ mais pr~mos

A respectiva fvnccedil30 de particcedil~o poderaacute entXo ser escrita

na forma~

-1911 I tICh A+C-Ch A-C 1ZA+laquo(lh) = E xp[ -(lHA cO) 1 = E n D bull r ref

lt43)

onde

Ch1V E h A

o termo (lnZ foi e1 i mi nade por ser i rre1 evante no

1imi te telmodi nami co

No ~inal do capitulo 111 esboccedilamos algumas ideacuteias gerais

do grupo de renormalizaccedil~e e vimos que o primeiro passo era tomar

um traccedilo parcial ou somar sobramp alguns spins A runccedil~Q de partiy~o

quandO escrita em tiiiHmos d$ll ccedilontornos a so~ sobre alguns spins

se traduz em uma soma sob alguns ccntornos Esta soma deve ser

realizada sistWhlacircticamEinte de forma a manter a ampstrulwa da soma

sobre cQntornOamp para podermos re~ir c processo vaacuterias ~~es ataacute

mcontrar um ponto fixo para os paracircmetros Televantes A ideacuteia

batildesi ca do que queremos exatamente laacute a segui nte gostar i amos de

estudar o nosso sislema na rsxle A com os parametros C~(hraquo)

atravGils dw um sistQl1Iacirc equivalente ntJJna rwe- A com IA) lt tAl mas

isto tem um preccedilo pois na nova rede cr~teacute daacutevamos ter um novo

34

conjunto d paracircmetros C(3 (h~) tal forma que d

(44)ZACIlhJ == ZACPh)

Seja enlIo 111 = dN ond lt11 um noacutemero i nteiro

positivo e arbitraacuterio mas ~ixo e estabelece uma escala de

compr-iJnQnto d a diJllGns~o d A 8 N tamlleacutem um intfiiro posi ti vo e

fixado

Seja agora n = O~12 ~N um indice para escalas

Chililrarquias) Para n = O dividimos a regUlo A ~m blocos Do d

lado lo = LO = 1 e volume Vo = (Lo)d = 1 cada bloco conteacutem um

sit1o da rede- de tal forma que lenhamos no = L dN blocos Para

n c 1 dividimos roguro A -em blocos ei do lado tt = l = L e

volume V = (Lmiddotd = Ld contendo cada bloco Ld sities da rede e um

LdCNtotal d~ nt ~ - 1) tuumlocos Faem05 isso sucessivam$nte para as

vaacuterias ~calas n = 2 bull H ~ faacutecil ver que para n = N temos apenas

L N um bloeQ CnJ4 1) de lado lN o volul1eacute V = CLNd = IAI As figuras (1 B 3 Ii 4) abaixo exempliiacuteiccedilam as -escalas

para o caso

L = 2 d = 2 e N = 3

DD DGJ DD DD DD DD DD DD

DD DD CID D[]middotDO DO DO DO DD DD DD DO DO DO DO DO DO DO DO DDi

DO DO DO OD DO DO DO DO DO DO DO DO A

n = O figl n = 1 fig2

li

35

Aacute

- Aacute

L-______________________~IA L-______________________-lIA

n = 2 fig n = fig4

Agora para cada escala n dizemos que um contorno y eacute

) pequemo se o seu diAmetro bull menor que Ln casQ contraacuterio

dizemos quQ Y Oacute grande o primeiro passo do grupo d~

renormalizaccedilXo ConSisteacute em explicitar na funccedil~o de particcedil~o C4~3)

os contorno na escala n = 1 e transformaacute-los em novos campos Acirc

eada ponto x QU9 eacute eeacuteh~ro de blocos e definimos um novo sitio

1 assim podemos indexar os blocos 81 por aii~bullbull

Se a soma de peqtJenos contornos pudasse ser fei ta de uma

forma independente eacute~ cada bloco BU entto poderiacuteamos associar a

cada sitio ~ um campo i-agrave

h L ( E h + h J C45)ti iccedilBis il

onde

XIgt C[1h ) -~I11 E n r yril

ou

1 n -13 111 E Emergi a 1 i vre de contornos pequenoshit E= In ril rccedilnl lt46)

o iacutendice i1 em n significa somar sobre a familia de contornos

r-estri 1 ao 1gt1oeo Bi4 o fator Li-d eM (46) seraacute explicado

adiantbull

34

conjunto d paracircmetros C(3 (h~) tal forma que d

(44)ZACIlhJ == ZACPh)

Seja enlIo 111 = dN ond lt11 um noacutemero i nteiro

positivo e arbitraacuterio mas ~ixo e estabelece uma escala de

compr-iJnQnto d a diJllGns~o d A 8 N tamlleacutem um intfiiro posi ti vo e

fixado

Seja agora n = O~12 ~N um indice para escalas

Chililrarquias) Para n = O dividimos a regUlo A ~m blocos Do d

lado lo = LO = 1 e volume Vo = (Lo)d = 1 cada bloco conteacutem um

sit1o da rede- de tal forma que lenhamos no = L dN blocos Para

n c 1 dividimos roguro A -em blocos ei do lado tt = l = L e

volume V = (Lmiddotd = Ld contendo cada bloco Ld sities da rede e um

LdCNtotal d~ nt ~ - 1) tuumlocos Faem05 isso sucessivam$nte para as

vaacuterias ~calas n = 2 bull H ~ faacutecil ver que para n = N temos apenas

L N um bloeQ CnJ4 1) de lado lN o volul1eacute V = CLNd = IAI As figuras (1 B 3 Ii 4) abaixo exempliiacuteiccedilam as -escalas

para o caso

L = 2 d = 2 e N = 3

DD DGJ DD DD DD DD DD DD

DD DD CID D[]middotDO DO DO DO DD DD DD DO DO DO DO DO DO DO DO DDi

DO DO DO OD DO DO DO DO DO DO DO DO A

n = O figl n = 1 fig2

li

35

Aacute

- Aacute

L-______________________~IA L-______________________-lIA

n = 2 fig n = fig4

Agora para cada escala n dizemos que um contorno y eacute

) pequemo se o seu diAmetro bull menor que Ln casQ contraacuterio

dizemos quQ Y Oacute grande o primeiro passo do grupo d~

renormalizaccedilXo ConSisteacute em explicitar na funccedil~o de particcedil~o C4~3)

os contorno na escala n = 1 e transformaacute-los em novos campos Acirc

eada ponto x QU9 eacute eeacuteh~ro de blocos e definimos um novo sitio

1 assim podemos indexar os blocos 81 por aii~bullbull

Se a soma de peqtJenos contornos pudasse ser fei ta de uma

forma independente eacute~ cada bloco BU entto poderiacuteamos associar a

cada sitio ~ um campo i-agrave

h L ( E h + h J C45)ti iccedilBis il

onde

XIgt C[1h ) -~I11 E n r yril

ou

1 n -13 111 E Emergi a 1 i vre de contornos pequenoshit E= In ril rccedilnl lt46)

o iacutendice i1 em n significa somar sobre a familia de contornos

r-estri 1 ao 1gt1oeo Bi4 o fator Li-d eM (46) seraacute explicado

adiantbull

35

Aacute

- Aacute

L-______________________~IA L-______________________-lIA

n = 2 fig n = fig4

Agora para cada escala n dizemos que um contorno y eacute

) pequemo se o seu diAmetro bull menor que Ln casQ contraacuterio

dizemos quQ Y Oacute grande o primeiro passo do grupo d~

renormalizaccedilXo ConSisteacute em explicitar na funccedil~o de particcedil~o C4~3)

os contorno na escala n = 1 e transformaacute-los em novos campos Acirc

eada ponto x QU9 eacute eeacuteh~ro de blocos e definimos um novo sitio

1 assim podemos indexar os blocos 81 por aii~bullbull

Se a soma de peqtJenos contornos pudasse ser fei ta de uma

forma independente eacute~ cada bloco BU entto poderiacuteamos associar a

cada sitio ~ um campo i-agrave

h L ( E h + h J C45)ti iccedilBis il

onde

XIgt C[1h ) -~I11 E n r yril

ou

1 n -13 111 E Emergi a 1 i vre de contornos pequenoshit E= In ril rccedilnl lt46)

o iacutendice i1 em n significa somar sobre a familia de contornos

r-estri 1 ao 1gt1oeo Bi4 o fator Li-d eM (46) seraacute explicado

adiantbull

bullbull

i

l

36

Assim t~r1amos ~r_ a tunccedilO d_ particcedilO

= E n -~Irl -mChA+ - ChA-l bullZA(~h) r r r - -Ir -I [(h Amiddot) - (h A-))E n (47)

r rer

onde o lndic9 na segunda soma~oacuteriamp signi~ica somar apenas ~~ ~

contornos grandes das escalas n c 1 f e bullbull li a rede A eacute formada

pelos si lios il depois de escalonada as distacircncias em A pelo fator

1- (l~ = Ld-1(3 (48)

Para que a segunda $Olna em lt47) contmha novatnlimtbull

bull w) contornos pequenos eacute preciso escalonar os contornos y por IrJ 1 dIr 1 -lt1 isto porque rl eacute um trmo de super11ci L -gt eacute

aacuteJomiddota dfif um bloco 91 Para manter inalterado I) produto I1lr I em

(47) devemos ~er O Irl assim podemos escrever J

-f3middotly l Q 1i~[Ch~ A+ - Ch A-)]ZAC~h) = E n ZAlt~middot h~

r lr (4 g)

isto recu~a a forma da funccedilo de pariccedilliacuteo (43) e explica o

fator Lt em C4 6)

Poreacutem os contornos nlIo so independentes nos di versos

blocos em qualquer das escalas bull assim a soma sobre contornos

ptquonos rG$ul ta na real i dada um novo campo h da forma

h = Lt- ( E h ~ termos lineares e n~o locaiS) C410) d

amp91

37

Est-e campo aleacutem da ccmter jjjrfJll)S ~o linearGs n=o s=o

independentes para sitios diretentes (H rt ji) quebrando assim a

)

condiccedillo inicial de independecircncia dos campos h

~o Qssas ~ficcediluldaacircs qu impedGm gGralmGnt~ dG aplicar

o grupo de renormalizaccedilXo especialmente para d =3 este problema

taacute tratado na rer [19J

A ap~oximaccedilao hir~rquica consist~ ~xatamen~ em de~inir

o modelo onde os ltmicos contornos poss1veis

as frontairas dos blocos Sn das diversas

ind~il~tmdentGs dentro de uma mesma escala

outra lsta aproximaccedillo pod6 S(iT vista como

onQQ uma con1iguraccedil~o de $ipins eacute novamente )

dando-se O conJunto r dI comornos onde

so os que d$erminam

escalas e eles $11(0

e de uma escala para

tJm gacircs de contornos

deFinida uni vocament

qualquer contorno da

qtJalquer escala pode ocorrer de uma maneira ind9pendEmte

Fixado por exemplo condccedil3es d contorno c+)

determinamos facilmente o sina de um spin i qualquer da segwnt~

forma partindo da fronteira contamos quantas fron~iras de

contornos ultrapassamos at6 atingir o spin se EJSte nuacutemero for

par o sinal do apin $er- C ccedilaso contririo seraacute C- Se AS

condiccedilfSas de contorno fossem (-) teriacuteamos respectivamente os

sinais (-) $- (+) para CI spin i~ Para Se determinar o sinal de um

oro _pih t r~PCcedilItiJnQ o procecUtnIiimto a par-tir da frontllatildeJri ou a

partir do conhecimento do sinal da um spin qUalquer As figuras 6

e e abaixo ilustram o modelo hieraacuterquico ou gaacutes de contorno

respectivarrumte para as condlccedilfSes de contorno Clt C- eom lC+ $oguintamp escolha dos paracircmetros L = N = d =2

I ga

middot Ir~JI ~ + ~D ElEl ~D

LI_-El--El-_+--- middotbull fig e fig6

Vamos es~abel9Ccedil~r agora xa~am0n~e o significado da

equivalecircncia entre os modelos de Ising Ferromagneacutetico em Campo

Magneacutetico Aleatoacuterio (IFA e AntiferromagnaacuteticCl Diluiacutedo Ccedilm Campo

Unirorme eIAD No ~rab~lho da rer t401 Bricmon~ G Kupiain9n

mostraram que na aproximaccedil~o hieracircrquica o modelo eIFA)

apresonta uma JlIagnetizaccedilllo espontatildenIi~a para d C 3 para d = 2 a

rnagnetizaccedil~o ti zero mas vai muito lentamante a zero no limite

termodi n~mi co Este uacuteltimo 1alo acredita-se que seja uma

earacteristicd apenas da aproximaccedil~o hieraacuterquicilb A 9qUivalOncia

qu~ obtem05 entrG os modelos (IFA e eIAO eacute no sentido que

esLe uacutelLimo eacute capaz de gerar campos magneacuteLicos aleaLoacuterios

semGlhantes -os do modlo CI F A) G apresenta tunb40m uma

magn~~izaccedilo espontAnea para d ~ g 9 ~ magn~izaccedilo nula para d

c 8 com as mesmas carac~eris~icas do modelo CIFAJ

o que faremos daqui para frente neste capltulQ Seraacute ltI

$$guinte na seccedillilo Frromagn~iccedilo m Campo Al Gat6r i (I

apresentar(7IDOS os resultadas da ref~ [40l na sIIo

AntiforroInagn6tico Di luidomiddotmiddot QQfi ni remos o nosso modelo lIiI

mostraremos com a ajuda da estrateacutegia do grupo de renormalizaccedil3o

que este gera campos aleatoacuterios

~

39

FERROMAGNfTICO EM CAMPO ALEAT6RIO

Va~ nesta seccedil~o aprll3lsentar os resul tados da rer [40)

para Q modEllo (IFA na aproximaccedillo hiiIPracircrqu1ca Ct ao mesmo tompo

ver como sw aplicA a $Oria do grupo d~ rvnormalizaccedilDo~

A hamil toni na do modelo C1 F A CQm condi ele de

eontorno C+) na proximaccedilIo hicnaacuterquica podQ novatncJnt9 ser dada

por

- H (n = 1 - 1 h (411)A+ 111 + xhrr i amp1 Cf)

shyonde h eacute o campo aleat6rio como em (41gt A Cr) Acn sllobull d~Qrminados como d~scrito no capi~ulo I sendo que agora a Emilia

r dG contor nos compat1 vei s eacute dada por ~

r ltr t l S$j fronteira de alguM blocO Bn para n 01 bullbullbull N )

A funCcedilllo de partiCcedilllo seraacute

ZltNh(D = 1 n -(llrl(lChA+)-(lChA (4 lagt r rr

~ acordo com a teoria do grupo dEt rnormaJizaccedil~o 0 do

que ~iccedilou estabelscido no inicio deste capitulo devamos iniciar o

procQSso de Iwnormalizaccedillo somando sobr~ os pGquenos contornos ligt

basta iniciarmos o primeiro passo pois o proeesso se repete Assim

tomos

bull n -(llr I (lCh+Oacuteh+A+)-flCh6o AZltNhl1 = E (413) r rer

+ onde 6h- eacute dado por

+ plusmn(lCh+6h-Lx) = n Cplusmn(lhy -(lbull+(lhy (414)

ysLx

40

Em lt414) acima estamos repr-e59nando os blQCcedilO$ B~ por 1bullbull o

contornos ~unos isoo 50 os contornos que s~o fronteiras dos

blocos aO i varam a sua aacutereamiddot normalizada para 1 A linha na

somatoacuteria lt413) significa qUIiii deV8JnQS somar sobre os contQrnos

grandes isto 4 das 9Scalas n = 12 N Em cada si t10 yampLx

~ podemos ter ou nlo um contorno que inverte o spin eJn Yt estes

o -f3 e =+f3hy fhyfatos implicam rspoccediltiva~ntQ nos termos Para termos novamente contornos pequenos em (413 eacute que

definimos

(n = 1d-1 bull 1 (416)

+ 1-d 1-d -1 jlehyfhbullbull- ~ L (h+6h 1gtlt) = 1 bull E hy llnC1+ )

yamp1 i1 (41S)

o f1iJtor- 1d-l em (416) eacute porque Ir I bull um termo dfif

Ld-lsUQrf1cie quo na GScala n 1 tem tiroa assi m podemos

escrever

+ = E bull n -(nlrl 1(h+Ab - 1lth-II1)ZCNh1) = ZCN-ltu-(n) r rampr

C417)

Depois de iter~r n ~ZampS teremos

+ 2(NhD = ZCN-nhnflV (4 lagt

com

1n = 1nC d-1) 1 C419)

j

bull bullbull bull bull

bull bull bull bull

41

h~ samptis~az a svguin~ rla9~ d~ recorrecircncia +

hn+x L1 - d E fh~yt 1 ln [1 -(Ih eplusmn(lhCb~ + h~Y)J C420) ysLxt 7fh

para n = 01 ~ bullbullbull H-1 hox s hxbull

As figuras (7 8 t O~ 10) abaixo mostram os passos para

1- I d = B~ N = 3~ os pontos X5 dQ li transiacuteOlWltn-StOt em sitiQSi (ltiJ

~ bull assim sucessivamGntbullbull

bullx x ~

)

middot M bull

x2 bull 0x Az DAa

1g10) t iacuteig g

f1g6 ~__~____-L____~____~A

11g7

Com ajuda das relaccedilefes acima obtidas atraveacutes do grupo de )

renormalizaccedilatildeQ podemos agora investigar o problqma da transiccedil~o d )

~as com base no que foi v1s~o no capitulo I sobre ins~ilidad$

i macroscoacutepiccedila Assim devemos Gs~udar a runccedil~o de cQrrGlaccedil~o de um gt ) ponto ou simpl Gsment a magneti zaccedilao local lt(7igt AS bull Vamos usar amp

notaccediliQ lt0gtH9 por $~r mais conveniente neste capitulo e no

prOacuteXimo

Sej 9n110 ltOogtN+ a magnetizaccedil~o local na origem de A

com condiccedileGs de con~orho C+) assim tvmos

-1 (1111 ~[CbI)-CbA-)) ltG7 gtN+ = Z CNhD ~ 1 n O CrJ

o or yampr I~)1 _ lt) ~~~lt-

C4eDs-r ) ~ (~ )G LI t )

j I (Uiji 5 I Q gt(gt---_--~-

rUi-C J~) shy

)

42

ondQ

+ q+~ +1 s ocA

O(D = ~ ltY ~ -1 0amp A- (400)

O

Q indice zero em O (I signifiea a origem d9 A $ em (7-+

o pamp$soo o

zero de um proeagravesso iterativo dado por

Oplusmn = -~ +tmHno)rl -(3n tmHno (42S)(Oplusmn ~ On-Jn n

ondliamp

+IIn = hn hn (424)

Com ajuda de lt4 23J obtta1nOS

lt gt + = O + (o) (426)

o H

De acordo com (26) do ccedilapi ttll0 11 elevemos tQ1NlU a

meacutedia sobre os c~mpos em (426) para obtermos a magnetizaccedilfiacuteo local

de sistmas t~adQSl para isso precisamos dos sGguintes

resul tados

Com a ajuda da relaccedilf1o (424) e (420) obtemos~

Hm+iX Ll-d bull 1 gnCllny) (426) ysLx

orul

gnClO = x + fnelO (42n

lO

fnCxl = 1 (nU + e-tmC1 +)Cl + e-ffnC1 -) C428) ~

J

43

)

NJo bull dificil mostrar atraveacutes d~ uma anaacutelis6f de C427

lU

Ix fnCgtO I S ti CX(lYhJ Ixl C429)

Agora para d gt 2 assuma que

lt tHn gt~eacutet amp2 (430) bull

~do qUQ Htny siro indepenctntO$ para dlferentes y bullbull e ln uma

funccedil(o 1 mpar temos

lt tHn+i gt = lt imiddotCHn fn) gtLd

cv _ t11 -ltlgt d

= lt eosh t(Hn fn) )L S lt cosh t[1 OC~-)lHn 1lt1 gt

ltusando lt429raquo d z z

L ~ (tampbullbull t 2- lt expltvt1 + CX3n-lHn) lt4 $1)gt

om

Z ampn = L2 -d [1 + CX~-lJamp C4 se)

Neste momento com as relaccedilamps lt4 Ui) e lt432) acima

V$JnOS nQvamenta as concl us6es do argumento de Imry e Ma visto nQ

iniacutecio do capitulo III A temperatura (419) e a desordem (432)

sDo irrlvantes para d gt 2 G portanto o fjproma90atismo deve

persistir Entretanto para d = a a desordem persiste em todas as

escalas e a temperatura vai a ZetQt assim niIo devemos esperar

ordrrm 1rromagneacuteticA ostQvvl contra est PCcedillrturbaccedilfrQ aleat6ria

Para confirmar estas conelus6es temos que J

44

)

A relaccedil~o (430) implica que

z zProbC IHnl gt x) 5 2 exp( -x 8ampn ) (433)

a qual combinada com (483) resul~a

bull gt 1 _ -o~ campz - (434)UH

onde a barra em 0+ significa como em (26) a meacutedia sobre hy e cH

uma cons~an~~ convqni$n~e

A relaccedilatildeo (434) acima mos~ra que o sistema es~aacute

ordenado para d gt 2 ou equivalentemente que o sistema apresenta

uma magnetizQccedil~o espontAnea para d gt 2 De acordo com o criteacuterio

de instabilidade macrosc6pica do capilulo I o sistema apresenta

bulluma transiccedil~o de fase pois eacute faacutecil verificar _que Cf = UHN

Para d = 2 desde que (3n --+ co r api damenle podemos

tomar (3 = 00 Co erro eacute 0lt(3n-I)) assim

x gt 1 x + fco (x) = ~ xe[-111 (435)

-1 x lt -1

Com (439) mostra-se que

N -bull xp [-0(1) E (n ln n) ] = (lo N)-P (436)UH n_

para aI gum p gt O De onde conel ui mos que a magnetizaccedil~o vai a

zero muito lentamente com o vollnne portanto nlo temos uma

magnetizaccedilatildeo di~eren~e de zero para d = 2

Nes~a momen~o podemos jus~i~icar porque o uso da ~eoria

do grupo de renormalizaccedil~o numa si~uaccedilUo ~ora da cri~icalidade A

45

j

j

1

taz~o eacute que um campo aleatoacuterio induz mesmo nullUl fase ordenada

grandGS r-egi~s com 1ml magnetizaccedilSo invorsa da fase ordenada

Poreacutem estes eventos ainda que raros ocorrem em todas as escalas

e como a tIiOria do grupo d renormalizaccedil~o eacute caracterizada ptitla

invariAncia da hamiltonana nas diversas ~sca1as a sua aplicaccedilo

S~ torna natural rctr C19L o uso da teoria do grupo de

renormalizaccedilUo lIInD 51stmas com campo altr-atoacuterio tambeacutem poderaacute ser

encontrado na rer [451

FERROMAGHlTICO SEM CAMPO ~CO

Como uma segunda pli 91[0 da reI accedillro C4 23) podemos

JnQStrar qutgt o modlo rerromagn6iccedilo 5lIiIm ccedilampo magnQtico GxtEtrno

na aproxi maccedilto hillPraacuterquiccedilal esU sempre magnetizado pela

influecircncia da condiccedilJo de contorno para qualquer temperatura~

Assim de ac~do com o nosso criteacuterio de instabilidade macroscoacutepica

do capitulo I este modelo n~o apresen~a transiccedil~o de fase

Da r-elaccedil3o (420gt podemos vrar Que SEI Q ccedilampo aleat6rio

inic1al h for zero enUlo seraacute zero em todas as hierarquias ~ assim da relaccedilatildeo (423) temos

+ + (11 = c- 0+ e -fIn(1 bull -rm (437gt

n n-t n-ct

Com ajuda da relaccedil~o lt4 segt e (4 3T) temos agora que

+(f c_q (438)

48

~

assim

bull Cf

n =

bull (7 -- C1 - e -~Cl + -rm C439)

)

OCo

I terando 9Sta I 91 accedillro lt4 gg)

N n lt1 amp-1)(1 + (J-rm

n=1

tEJmOS

C440)

)

Pod~()S obt-er agora

assi m tWlJlO$ocirc tomando C) 1 ogariacute tmo

um limite

dQ (4 40) bull

inferior para (440) bull

j +ln ON(O) =

r

_ I (erm

L (3n + 1 C441)

Da relaccedil~o C41g para d

muacuteltiplo intampiro de ~ assim podemos

gt 1 JXXi$ffiQS

escrever

vvr qlJlit t1n eacute vm

(S = n

com

m n

=

L rnd-1)

rnd-VL

bull (1

e Z

= 3m n

C44a

C443

1

H [(3ml In ~n n=1 (mt

n ~] L

H

- [ltgt m + ltl I m_

1

1 ] lt r L

1gtlt+1 dxHlaquoI r ]

gtlt - 1 o

C444

A integral em lt444 eacute uma funccedilatildelo

limite superior assim podliiacutetJnOS estimaacute-la por uma

crescente do seu

int9gTaJ infinita

47

filt l~mbrando qu~

[eY 1] dy _~

bull Y

(446)L

In e 1

c

temos

In (fx ~ (446)~] dx c liblt 411

Levando C446) em C44D temos q e )

zlrt Cf Co) gt shy 4~

ou

Z (JNCO gt n hP lt447)

Da r~layaQ C4~2GO ~emos que a magn~izaccedilo do sis~Gma eacute

bulldada por ltltgt gt = (JIN(O) portanto

ltO gt gt - tr fi (448) z

de onde vamos que lt(7 gt eacute positivo para qualquer temperatura e qual quer di~nsio d gt 1 fiI como ltO gt = -(O gt para qual quero N- o N

tEmtpElratura n~o temos uma instabilidade macroscoacutepica ocorrendo

para um dado T

Um argu~n~o hGur1stico para este ~ato consiste em

obslvar que no capi tu1o I pariicularmentw para d = 2 mostramos

49 bull

que o mod91o de 15ing sem ccedilampo exLernQ apresenLa uma ~ransiccedilo de

fase e o arguMeacutenLo heuris~icQ ra que havia uma competiccedil~o entre a

entropia do sistema causada pelos contlrnos e a energia Na

aproximaccedilCo hieraacuterquica GSte mesmo modelo nio conteacute-m o termo

entroacutepieo porque aparee~ soacute um ~ipo de contorno assim a condiccedil~o

de contorno impere uma magntizaccedillro para qualqur tmpltgtratura

ANTIFERROMAGIItlTICO DILutOO EM CAMPO UNIFORME

Nesta Sf1C~O definiremrgtS ltgt modelo de Ising

antiFerromagneacutet1co diluido em campo magnQtico uniforme (IAD na

versto hieraacuterquica Veremos que basta realizar o primeiro passo da

locircK)tia do grupo Q ronQTmallz8ccedilUo par-a gorar um campo al bull toacuterio

s9U11alhante ao da rlaccedillo (426) Em seacuteguida veremos que amps$e

modelo apresenta uma magnertizaccedillo espontacircnea rtao zer-o para d gt Z

e zero para d 2

Para o modelo usual de 1s109 antiferromagneacutetieo em campo

uniforme sabemos que este ecirc aqui valente ao modelo ferromagneacutetico

em campo al~ernado Por ouLro lado vimos na penuacuteltima seccedilgo que a

hamiltoniana do modelo (I~FA na aproximaccedil~o hiQr~rquica poderia

ser escrita usando eontornos de Peierls como no modelo usu~l t

sendo a Onica restriccedil~o quanto agrave ~am11ia r de contornos

compat1 veis

Se agora cada contorno em qualquer hierarquia ti ver uma

probabilidad a priori de estar presente ou n~~ ~erGmOS um modelQ

dilu1do ou uma diloiccedil~Q d~ con~ornos Assim o nosso modelo

(IAD com condiccedil3es de contorno C+) seraacute definido pela seguinte

h mi I toni anA

- HAacuteC) ~ E Irl~ + E h C449)i~A_hiGAmiddot y

49

~

onde h~ eacute o campo magneacute~ico al~ernado eacute uma variaacutevel alea~6ria

responsaacutevel pela diluiccedil~o de cada con~orno de cada escala ~ r nx

eacute um contorno da escala n com centro em x ent~o de~inimos

com probabilidade pJ n~nx c to com probabilidade 1 - Pn

( ~ uma varill~l aleatoacuteria indQ~ndQnt$ para diferentes X5 da nx

mesma escala e identicamente distribuiacuteda e independente d9 uma

escala para outra

A figura 11 abaixo ilustra a situaccedil~o para L = N = d = 2 com

condiccedil~es de contorno (+)

+ + + + ~ B 0++

+ ~ ~ B + rig 11 ~

+ + - middot+ + - + B - - D

+ + + +

A funccedil~o de particcedilatildeo seraacute

__-l1lrl e(Kh+) - (Kh-)ZCN( h(D = E n C460) r rr

Realizando o primeiro passo da teoria do grupo de renormalizaccedilllo

como em C413) temos

-l1lrl (Kh+6h) - (Kh+6h--)ZCNh(1) = E n e9 C461) r rampr

50

t

onde 6h~ bull dado por

t(1(h+6hplusmnbull Lx) = n ( oplusmn~y bull -~oybullbull+(ohy ) (462) yeLx

1ltshySejam ld os blocos interpenetrantes par e shyiacutempar rospcxti vamont9 tai quo Lx v Lx = ld com hy = lh y

amp Lxplusmn ass1 m tomos

plusmnfKh+6hplusmnLx) = n ( e plusmn~h + e -~oy$+(oh ) n ( +(oh -~o plusmn~) yamp~ yampL

plusmn t-d plusmnDefinindo htx = L ~ Ch + 6h Lx) tmos

hiXl = L-d I + (ht ~ (n (1 + -~OY e+fl2h) + yamp1x

L1-d I (-Igt plusmn ~ (n (1 -~ltgty plusmn32h) (463 yamp~

Vamos anal sar com dotal h este campo h~K NOVQJJlQot

dofin1mos

Msx hJx+ rux ~ H 2h f- assim temos

Hsx bull (11 (n (1 + ~1oy + H)Li-d I bull ~ 1 (laquooy - R5 ) ) )amp1x

d_ LS- I (11 + (n (ecirc ~Ioy +ID (4643 ~oy Il5 ))

ysLx

48

~

assim

bull Cf

n =

bull (7 -- C1 - e -~Cl + -rm C439)

)

OCo

I terando 9Sta I 91 accedillro lt4 gg)

N n lt1 amp-1)(1 + (J-rm

n=1

tEJmOS

C440)

)

Pod~()S obt-er agora

assi m tWlJlO$ocirc tomando C) 1 ogariacute tmo

um limite

dQ (4 40) bull

inferior para (440) bull

j +ln ON(O) =

r

_ I (erm

L (3n + 1 C441)

Da relaccedil~o C41g para d

muacuteltiplo intampiro de ~ assim podemos

gt 1 JXXi$ffiQS

escrever

vvr qlJlit t1n eacute vm

(S = n

com

m n

=

L rnd-1)

rnd-VL

bull (1

e Z

= 3m n

C44a

C443

1

H [(3ml In ~n n=1 (mt

n ~] L

H

- [ltgt m + ltl I m_

1

1 ] lt r L

1gtlt+1 dxHlaquoI r ]

gtlt - 1 o

C444

A integral em lt444 eacute uma funccedilatildelo

limite superior assim podliiacutetJnOS estimaacute-la por uma

crescente do seu

int9gTaJ infinita

47

filt l~mbrando qu~

[eY 1] dy _~

bull Y

(446)L

In e 1

c

temos

In (fx ~ (446)~] dx c liblt 411

Levando C446) em C44D temos q e )

zlrt Cf Co) gt shy 4~

ou

Z (JNCO gt n hP lt447)

Da r~layaQ C4~2GO ~emos que a magn~izaccedilo do sis~Gma eacute

bulldada por ltltgt gt = (JIN(O) portanto

ltO gt gt - tr fi (448) z

de onde vamos que lt(7 gt eacute positivo para qualquer temperatura e qual quer di~nsio d gt 1 fiI como ltO gt = -(O gt para qual quero N- o N

tEmtpElratura n~o temos uma instabilidade macroscoacutepica ocorrendo

para um dado T

Um argu~n~o hGur1stico para este ~ato consiste em

obslvar que no capi tu1o I pariicularmentw para d = 2 mostramos

49 bull

que o mod91o de 15ing sem ccedilampo exLernQ apresenLa uma ~ransiccedilo de

fase e o arguMeacutenLo heuris~icQ ra que havia uma competiccedil~o entre a

entropia do sistema causada pelos contlrnos e a energia Na

aproximaccedilCo hieraacuterquica GSte mesmo modelo nio conteacute-m o termo

entroacutepieo porque aparee~ soacute um ~ipo de contorno assim a condiccedil~o

de contorno impere uma magntizaccedillro para qualqur tmpltgtratura

ANTIFERROMAGIItlTICO DILutOO EM CAMPO UNIFORME

Nesta Sf1C~O definiremrgtS ltgt modelo de Ising

antiFerromagneacutet1co diluido em campo magnQtico uniforme (IAD na

versto hieraacuterquica Veremos que basta realizar o primeiro passo da

locircK)tia do grupo Q ronQTmallz8ccedilUo par-a gorar um campo al bull toacuterio

s9U11alhante ao da rlaccedillo (426) Em seacuteguida veremos que amps$e

modelo apresenta uma magnertizaccedillo espontacircnea rtao zer-o para d gt Z

e zero para d 2

Para o modelo usual de 1s109 antiferromagneacutetieo em campo

uniforme sabemos que este ecirc aqui valente ao modelo ferromagneacutetico

em campo al~ernado Por ouLro lado vimos na penuacuteltima seccedilgo que a

hamiltoniana do modelo (I~FA na aproximaccedil~o hiQr~rquica poderia

ser escrita usando eontornos de Peierls como no modelo usu~l t

sendo a Onica restriccedil~o quanto agrave ~am11ia r de contornos

compat1 veis

Se agora cada contorno em qualquer hierarquia ti ver uma

probabilidad a priori de estar presente ou n~~ ~erGmOS um modelQ

dilu1do ou uma diloiccedil~Q d~ con~ornos Assim o nosso modelo

(IAD com condiccedil3es de contorno C+) seraacute definido pela seguinte

h mi I toni anA

- HAacuteC) ~ E Irl~ + E h C449)i~A_hiGAmiddot y

49

~

onde h~ eacute o campo magneacute~ico al~ernado eacute uma variaacutevel alea~6ria

responsaacutevel pela diluiccedil~o de cada con~orno de cada escala ~ r nx

eacute um contorno da escala n com centro em x ent~o de~inimos

com probabilidade pJ n~nx c to com probabilidade 1 - Pn

( ~ uma varill~l aleatoacuteria indQ~ndQnt$ para diferentes X5 da nx

mesma escala e identicamente distribuiacuteda e independente d9 uma

escala para outra

A figura 11 abaixo ilustra a situaccedil~o para L = N = d = 2 com

condiccedil~es de contorno (+)

+ + + + ~ B 0++

+ ~ ~ B + rig 11 ~

+ + - middot+ + - + B - - D

+ + + +

A funccedil~o de particcedilatildeo seraacute

__-l1lrl e(Kh+) - (Kh-)ZCN( h(D = E n C460) r rr

Realizando o primeiro passo da teoria do grupo de renormalizaccedilllo

como em C413) temos

-l1lrl (Kh+6h) - (Kh+6h--)ZCNh(1) = E n e9 C461) r rampr

50

t

onde 6h~ bull dado por

t(1(h+6hplusmnbull Lx) = n ( oplusmn~y bull -~oybullbull+(ohy ) (462) yeLx

1ltshySejam ld os blocos interpenetrantes par e shyiacutempar rospcxti vamont9 tai quo Lx v Lx = ld com hy = lh y

amp Lxplusmn ass1 m tomos

plusmnfKh+6hplusmnLx) = n ( e plusmn~h + e -~oy$+(oh ) n ( +(oh -~o plusmn~) yamp~ yampL

plusmn t-d plusmnDefinindo htx = L ~ Ch + 6h Lx) tmos

hiXl = L-d I + (ht ~ (n (1 + -~OY e+fl2h) + yamp1x

L1-d I (-Igt plusmn ~ (n (1 -~ltgty plusmn32h) (463 yamp~

Vamos anal sar com dotal h este campo h~K NOVQJJlQot

dofin1mos

Msx hJx+ rux ~ H 2h f- assim temos

Hsx bull (11 (n (1 + ~1oy + H)Li-d I bull ~ 1 (laquooy - R5 ) ) )amp1x

d_ LS- I (11 + (n (ecirc ~Ioy +ID (4643 ~oy Il5 ))

ysLx

47

filt l~mbrando qu~

[eY 1] dy _~

bull Y

(446)L

In e 1

c

temos

In (fx ~ (446)~] dx c liblt 411

Levando C446) em C44D temos q e )

zlrt Cf Co) gt shy 4~

ou

Z (JNCO gt n hP lt447)

Da r~layaQ C4~2GO ~emos que a magn~izaccedilo do sis~Gma eacute

bulldada por ltltgt gt = (JIN(O) portanto

ltO gt gt - tr fi (448) z

de onde vamos que lt(7 gt eacute positivo para qualquer temperatura e qual quer di~nsio d gt 1 fiI como ltO gt = -(O gt para qual quero N- o N

tEmtpElratura n~o temos uma instabilidade macroscoacutepica ocorrendo

para um dado T

Um argu~n~o hGur1stico para este ~ato consiste em

obslvar que no capi tu1o I pariicularmentw para d = 2 mostramos

49 bull

que o mod91o de 15ing sem ccedilampo exLernQ apresenLa uma ~ransiccedilo de

fase e o arguMeacutenLo heuris~icQ ra que havia uma competiccedil~o entre a

entropia do sistema causada pelos contlrnos e a energia Na

aproximaccedilCo hieraacuterquica GSte mesmo modelo nio conteacute-m o termo

entroacutepieo porque aparee~ soacute um ~ipo de contorno assim a condiccedil~o

de contorno impere uma magntizaccedillro para qualqur tmpltgtratura

ANTIFERROMAGIItlTICO DILutOO EM CAMPO UNIFORME

Nesta Sf1C~O definiremrgtS ltgt modelo de Ising

antiFerromagneacutet1co diluido em campo magnQtico uniforme (IAD na

versto hieraacuterquica Veremos que basta realizar o primeiro passo da

locircK)tia do grupo Q ronQTmallz8ccedilUo par-a gorar um campo al bull toacuterio

s9U11alhante ao da rlaccedillo (426) Em seacuteguida veremos que amps$e

modelo apresenta uma magnertizaccedillo espontacircnea rtao zer-o para d gt Z

e zero para d 2

Para o modelo usual de 1s109 antiferromagneacutetieo em campo

uniforme sabemos que este ecirc aqui valente ao modelo ferromagneacutetico

em campo al~ernado Por ouLro lado vimos na penuacuteltima seccedilgo que a

hamiltoniana do modelo (I~FA na aproximaccedil~o hiQr~rquica poderia

ser escrita usando eontornos de Peierls como no modelo usu~l t

sendo a Onica restriccedil~o quanto agrave ~am11ia r de contornos

compat1 veis

Se agora cada contorno em qualquer hierarquia ti ver uma

probabilidad a priori de estar presente ou n~~ ~erGmOS um modelQ

dilu1do ou uma diloiccedil~Q d~ con~ornos Assim o nosso modelo

(IAD com condiccedil3es de contorno C+) seraacute definido pela seguinte

h mi I toni anA

- HAacuteC) ~ E Irl~ + E h C449)i~A_hiGAmiddot y

49

~

onde h~ eacute o campo magneacute~ico al~ernado eacute uma variaacutevel alea~6ria

responsaacutevel pela diluiccedil~o de cada con~orno de cada escala ~ r nx

eacute um contorno da escala n com centro em x ent~o de~inimos

com probabilidade pJ n~nx c to com probabilidade 1 - Pn

( ~ uma varill~l aleatoacuteria indQ~ndQnt$ para diferentes X5 da nx

mesma escala e identicamente distribuiacuteda e independente d9 uma

escala para outra

A figura 11 abaixo ilustra a situaccedil~o para L = N = d = 2 com

condiccedil~es de contorno (+)

+ + + + ~ B 0++

+ ~ ~ B + rig 11 ~

+ + - middot+ + - + B - - D

+ + + +

A funccedil~o de particcedilatildeo seraacute

__-l1lrl e(Kh+) - (Kh-)ZCN( h(D = E n C460) r rr

Realizando o primeiro passo da teoria do grupo de renormalizaccedilllo

como em C413) temos

-l1lrl (Kh+6h) - (Kh+6h--)ZCNh(1) = E n e9 C461) r rampr

50

t

onde 6h~ bull dado por

t(1(h+6hplusmnbull Lx) = n ( oplusmn~y bull -~oybullbull+(ohy ) (462) yeLx

1ltshySejam ld os blocos interpenetrantes par e shyiacutempar rospcxti vamont9 tai quo Lx v Lx = ld com hy = lh y

amp Lxplusmn ass1 m tomos

plusmnfKh+6hplusmnLx) = n ( e plusmn~h + e -~oy$+(oh ) n ( +(oh -~o plusmn~) yamp~ yampL

plusmn t-d plusmnDefinindo htx = L ~ Ch + 6h Lx) tmos

hiXl = L-d I + (ht ~ (n (1 + -~OY e+fl2h) + yamp1x

L1-d I (-Igt plusmn ~ (n (1 -~ltgty plusmn32h) (463 yamp~

Vamos anal sar com dotal h este campo h~K NOVQJJlQot

dofin1mos

Msx hJx+ rux ~ H 2h f- assim temos

Hsx bull (11 (n (1 + ~1oy + H)Li-d I bull ~ 1 (laquooy - R5 ) ) )amp1x

d_ LS- I (11 + (n (ecirc ~Ioy +ID (4643 ~oy Il5 ))

ysLx

49 bull

que o mod91o de 15ing sem ccedilampo exLernQ apresenLa uma ~ransiccedilo de

fase e o arguMeacutenLo heuris~icQ ra que havia uma competiccedil~o entre a

entropia do sistema causada pelos contlrnos e a energia Na

aproximaccedilCo hieraacuterquica GSte mesmo modelo nio conteacute-m o termo

entroacutepieo porque aparee~ soacute um ~ipo de contorno assim a condiccedil~o

de contorno impere uma magntizaccedillro para qualqur tmpltgtratura

ANTIFERROMAGIItlTICO DILutOO EM CAMPO UNIFORME

Nesta Sf1C~O definiremrgtS ltgt modelo de Ising

antiFerromagneacutet1co diluido em campo magnQtico uniforme (IAD na

versto hieraacuterquica Veremos que basta realizar o primeiro passo da

locircK)tia do grupo Q ronQTmallz8ccedilUo par-a gorar um campo al bull toacuterio

s9U11alhante ao da rlaccedillo (426) Em seacuteguida veremos que amps$e

modelo apresenta uma magnertizaccedillo espontacircnea rtao zer-o para d gt Z

e zero para d 2

Para o modelo usual de 1s109 antiferromagneacutetieo em campo

uniforme sabemos que este ecirc aqui valente ao modelo ferromagneacutetico

em campo al~ernado Por ouLro lado vimos na penuacuteltima seccedilgo que a

hamiltoniana do modelo (I~FA na aproximaccedil~o hiQr~rquica poderia

ser escrita usando eontornos de Peierls como no modelo usu~l t

sendo a Onica restriccedil~o quanto agrave ~am11ia r de contornos

compat1 veis

Se agora cada contorno em qualquer hierarquia ti ver uma

probabilidad a priori de estar presente ou n~~ ~erGmOS um modelQ

dilu1do ou uma diloiccedil~Q d~ con~ornos Assim o nosso modelo

(IAD com condiccedil3es de contorno C+) seraacute definido pela seguinte

h mi I toni anA

- HAacuteC) ~ E Irl~ + E h C449)i~A_hiGAmiddot y

49

~

onde h~ eacute o campo magneacute~ico al~ernado eacute uma variaacutevel alea~6ria

responsaacutevel pela diluiccedil~o de cada con~orno de cada escala ~ r nx

eacute um contorno da escala n com centro em x ent~o de~inimos

com probabilidade pJ n~nx c to com probabilidade 1 - Pn

( ~ uma varill~l aleatoacuteria indQ~ndQnt$ para diferentes X5 da nx

mesma escala e identicamente distribuiacuteda e independente d9 uma

escala para outra

A figura 11 abaixo ilustra a situaccedil~o para L = N = d = 2 com

condiccedil~es de contorno (+)

+ + + + ~ B 0++

+ ~ ~ B + rig 11 ~

+ + - middot+ + - + B - - D

+ + + +

A funccedil~o de particcedilatildeo seraacute

__-l1lrl e(Kh+) - (Kh-)ZCN( h(D = E n C460) r rr

Realizando o primeiro passo da teoria do grupo de renormalizaccedilllo

como em C413) temos

-l1lrl (Kh+6h) - (Kh+6h--)ZCNh(1) = E n e9 C461) r rampr

50

t

onde 6h~ bull dado por

t(1(h+6hplusmnbull Lx) = n ( oplusmn~y bull -~oybullbull+(ohy ) (462) yeLx

1ltshySejam ld os blocos interpenetrantes par e shyiacutempar rospcxti vamont9 tai quo Lx v Lx = ld com hy = lh y

amp Lxplusmn ass1 m tomos

plusmnfKh+6hplusmnLx) = n ( e plusmn~h + e -~oy$+(oh ) n ( +(oh -~o plusmn~) yamp~ yampL

plusmn t-d plusmnDefinindo htx = L ~ Ch + 6h Lx) tmos

hiXl = L-d I + (ht ~ (n (1 + -~OY e+fl2h) + yamp1x

L1-d I (-Igt plusmn ~ (n (1 -~ltgty plusmn32h) (463 yamp~

Vamos anal sar com dotal h este campo h~K NOVQJJlQot

dofin1mos

Msx hJx+ rux ~ H 2h f- assim temos

Hsx bull (11 (n (1 + ~1oy + H)Li-d I bull ~ 1 (laquooy - R5 ) ) )amp1x

d_ LS- I (11 + (n (ecirc ~Ioy +ID (4643 ~oy Il5 ))

ysLx

49

~

onde h~ eacute o campo magneacute~ico al~ernado eacute uma variaacutevel alea~6ria

responsaacutevel pela diluiccedil~o de cada con~orno de cada escala ~ r nx

eacute um contorno da escala n com centro em x ent~o de~inimos

com probabilidade pJ n~nx c to com probabilidade 1 - Pn

( ~ uma varill~l aleatoacuteria indQ~ndQnt$ para diferentes X5 da nx

mesma escala e identicamente distribuiacuteda e independente d9 uma

escala para outra

A figura 11 abaixo ilustra a situaccedil~o para L = N = d = 2 com

condiccedil~es de contorno (+)

+ + + + ~ B 0++

+ ~ ~ B + rig 11 ~

+ + - middot+ + - + B - - D

+ + + +

A funccedil~o de particcedilatildeo seraacute

__-l1lrl e(Kh+) - (Kh-)ZCN( h(D = E n C460) r rr

Realizando o primeiro passo da teoria do grupo de renormalizaccedilllo

como em C413) temos

-l1lrl (Kh+6h) - (Kh+6h--)ZCNh(1) = E n e9 C461) r rampr

50

t

onde 6h~ bull dado por

t(1(h+6hplusmnbull Lx) = n ( oplusmn~y bull -~oybullbull+(ohy ) (462) yeLx

1ltshySejam ld os blocos interpenetrantes par e shyiacutempar rospcxti vamont9 tai quo Lx v Lx = ld com hy = lh y

amp Lxplusmn ass1 m tomos

plusmnfKh+6hplusmnLx) = n ( e plusmn~h + e -~oy$+(oh ) n ( +(oh -~o plusmn~) yamp~ yampL

plusmn t-d plusmnDefinindo htx = L ~ Ch + 6h Lx) tmos

hiXl = L-d I + (ht ~ (n (1 + -~OY e+fl2h) + yamp1x

L1-d I (-Igt plusmn ~ (n (1 -~ltgty plusmn32h) (463 yamp~

Vamos anal sar com dotal h este campo h~K NOVQJJlQot

dofin1mos

Msx hJx+ rux ~ H 2h f- assim temos

Hsx bull (11 (n (1 + ~1oy + H)Li-d I bull ~ 1 (laquooy - R5 ) ) )amp1x

d_ LS- I (11 + (n (ecirc ~Ioy +ID (4643 ~oy Il5 ))

ysLx

50

t

onde 6h~ bull dado por

t(1(h+6hplusmnbull Lx) = n ( oplusmn~y bull -~oybullbull+(ohy ) (462) yeLx

1ltshySejam ld os blocos interpenetrantes par e shyiacutempar rospcxti vamont9 tai quo Lx v Lx = ld com hy = lh y

amp Lxplusmn ass1 m tomos

plusmnfKh+6hplusmnLx) = n ( e plusmn~h + e -~oy$+(oh ) n ( +(oh -~o plusmn~) yamp~ yampL

plusmn t-d plusmnDefinindo htx = L ~ Ch + 6h Lx) tmos

hiXl = L-d I + (ht ~ (n (1 + -~OY e+fl2h) + yamp1x

L1-d I (-Igt plusmn ~ (n (1 -~ltgty plusmn32h) (463 yamp~

Vamos anal sar com dotal h este campo h~K NOVQJJlQot

dofin1mos

Msx hJx+ rux ~ H 2h f- assim temos

Hsx bull (11 (n (1 + ~1oy + H)Li-d I bull ~ 1 (laquooy - R5 ) ) )amp1x

d_ LS- I (11 + (n (ecirc ~Ioy +ID (4643 ~oy Il5 ))

ysLx

61

middot

Uma vez quo a variacircval alva~6r1a t ssume em qualquor

hierarquia apeacutenas os valores O ou 1 raquoOdemos escrever

(n (1 + -(S(Oy H) e -(S(1 + H) )) = oy (n (1 + e-iacuteReoy - R5 1 + e-iacuteRi =-Il5

+ e -~ )

+ C1 - oy) (n [ ~ (455gt

por sua vez

lo(l+e-~) (466) lI =-pH

-1 Combinando as relaccedilamps (456) e (456) t-emos

-(3C~oy lO e-i3C1 +H)1H+jj lo ( e iXiL a) [H ~ (n [ )]Oy

1 1 -iacutelt l-H)

C 457gt

que combinada com 464) teremos

(t + OY)1-d oy t gtH) (46S)HD( = L yampLx ycLx

ondlto

gtH) = 11 rCH) (4 Sggt

lO-pc1 ID ]reli) = 1 ( (460)

(n

1 + -pc 1 =-Il5

Analisando o campo Htx em C4~ 68) obaservamos que este eacute

um c~ aloatOacutefio com di$tribuiccedil~o par para tmIa escolha par do

paracircmatro 1 A rneacutedi a e a var i acircnel a de Hsx s~o dados por

i 62

Ir L1

-d ( l + roy I oy ) gCH -yccedilLx yampL

= t-dI bull C +11shy1 - 1-1 po bull gCH) C461

ond

po = foy (462)

G para uma esccedilQlha par de L ~eremoG

III - 111 - Id-a (463

portanto

Rax = O (464)

Para _ variAncia ~emoe

J

Vare H) 2-zd = L

= L2-2lt1

bull

( r + Vrqoy)

yampl

I V(~oy ysLx

+ r varC(oyt) gCH)

yampLK

g CH) - LZ- d pcgt qQ bull

=

gCID

C400)

ondCiJ

po qo = VarCoy) (465)

63

As relaccedile50s C48e lt484) mostra-nos QU9 4IiISt campo

HIx tem as mlinmas caracteristicas do caDlpo Hlx do modamplo CIFA

que bastou apcocircloas o priDl9iro passo do grupo de renormalizaccedilto

para obter um campo aleatoacuterio t importante notar que a Gliminaccedilao

do campo ~orno h ou a ausecircncia da diluiccedil~o anula a~tomaticcedilament9

--i este campo aleatoacuterio

A rlaccedil~Q (453) pod9 ser i terada agora normalmtmi COJn()

no modelo (IFA- assim no n-eacutesimo passo tereln01h

-- +plusmn plusmn l1-d 1 In C1 + -~~y +F~hny + hnY)

hn+~x = bull l (hny plusmn lfnyamp1

C4 (7)

) com

~ _ (11-lt1 (I C468

Observe agora que para uma escolha par do paracircmetro L

nro eacute mais preciso separar o bloco L em L+ L pois ecircStG

campo hnx+ em qualquer h1erarquia ~ 1 natildeo seraacute ma1 s

al ternado seraacute apenas aleatoacuterio

Da relaylo lt467) temos

r In (1 + -(1nC Iny + Hny) )]In+tx a L- L nv C469)

+ (In 1 -flnC(ny - HhY)yampLx

onde

)

) + H = hn + hn

54 )

)

gt

)

A expressilo dentro do somatoacuterio em (469) novamente

podaraacute ser sccedilri~a como em C4B7t assim ~emos

Hn+tx = LI-do I gnCHny) (ny (470) yGL

onde

gnC Hnyj JO Hny fnC Hny (471)

-(lnCl + Hnygt )fnCHny 1 (472)DI

(In In (~ -(lnCl - Hny)

As relaccedil3Egts C471) (472) satildeo semelhantes

ril9Spec~ivament9 agraves relaccedilamps C42TJ e (488)

Atilde magnoti ~accedilDo local ltO gt o N

eacute dada agora por

-(llrl (1(hAmiddot - ChA-] cn(qgt li Z CN( h(J) E

ltgt N+ i orGr lt473)

onde q Cf) eacute dafinido por (422)o

Com ajuda da C467) o anaacutelogo de C423) eacute dado por

IJplusmn = ()plusmn + c+ ~ e -(3hC~no plusmn Hno Cl + 8-PnCno plusmn Hno) n n-S n-J

C474)

no que resul ta pala (473)

= (Y

C476)lt ogt+ N

55

) )

Usando (474) i~ra~ivamen~e ~emos qUecirc

N E e -pq~ + H) C1 e -(lnC(nc H~)Cgt1-2 (476J shy=0

Tomando a meacutedia em ~ temos

N r -f3nC 1 + Hno)+ -f3nHno )] 1 - 2 ampltgt Lr[ 1 e-~flCl Hnotilde5 ) qn[ 1 -iacute3iiflno0 (477)

Para d gt e seja agora

~ZE~Zltet-H) e (47S) Como ( = O ou 1 ~~ qUecirc

ltetHn( f lte~Hngt (479)

assim novamen~e ~erampmO$ que

L2 d~A = ~ lt1 + O-sC(hiJ) - (4 SO)

e

frob C11 11 ) 2 exp C_o 2 ~ (4SD

Agora temos

ao-(irae 1 Hno) 1 para IHnol gt 12 = C482)1 + e pn(l + Hno) -(mo para IH_I 12

00

iacute

e -pnMno

par a todo Hno (483)1 e -(1nHno 1

V~mos usar a notaccediltlo ECA) = A para a meacutediamp em Hno

assim temos rlampSptlCt1 vamentamp em 4 8Z) e (483)

E( -1nC1 H) C1 -1nC1 H s a e-ienbull + e -(hv2

C484)

EC-fnH (1 -nH 1 (486gt

Ass1 m teremos par a 7n

-- H HE pn ce-t~ e -fn a 1 In (488)lt Cf gt1 1 - 4

0 n=Oo

Para a uacuteltima somat6ria em (486) convergir quando n ~ m

dampvemos ter- qn ~ O OU que p f 1 3ss1 In podel1()$ Ca2er

ltI

-i8enbull -fn2 I Ce-t8ampnbull e-tnn) (4117)I ( )n=O 0

agt Iagt a qn 18 (488)1 lt n=O

Agora ex t eonstant-a c tal que

-eCoE (e-V8~ -~ 2 e-C~ C488)

n=O

67

)

ondeacute

amp0bull e Var CH~) = po qo C400)

e rinalmen~e temos

+

1 -cc~ -0(3lt H gt( 18 401)

que corresponde a (434)

Para d a desde que ~ ~ ~ ramppidamen~e podemos por

~ = ro e ~eremos para C471)

para 11 gt 1

11 jOJCIl) = ~ par 1I[-11l 492l

-1 par 11 lt -1

SUbsU ~uindo 4 g2) em C470) temos

Hn+b = t-J 1 CHny + 100 (Hny)) ~ny C4gs) ylx

Esta relaccedilatildeo permi te analisar a v4luiecircncia ri de Hn

assi m tEtJnl)S

amp~ = lt~v = lt (lIn + fco (Hn))bull~nbull gt

Uma ve que (n eacute independente ~eacute Hh podsJnC)S escrever

amp~1 = pn (CHn foo CHr0)a gt (494)

i 62

Ir L1

-d ( l + roy I oy ) gCH -yccedilLx yampL

= t-dI bull C +11shy1 - 1-1 po bull gCH) C461

ond

po = foy (462)

G para uma esccedilQlha par de L ~eremoG

III - 111 - Id-a (463

portanto

Rax = O (464)

Para _ variAncia ~emoe

J

Vare H) 2-zd = L

= L2-2lt1

bull

( r + Vrqoy)

yampl

I V(~oy ysLx

+ r varC(oyt) gCH)

yampLK

g CH) - LZ- d pcgt qQ bull

=

gCID

C400)

ondCiJ

po qo = VarCoy) (465)

63

As relaccedile50s C48e lt484) mostra-nos QU9 4IiISt campo

HIx tem as mlinmas caracteristicas do caDlpo Hlx do modamplo CIFA

que bastou apcocircloas o priDl9iro passo do grupo de renormalizaccedilto

para obter um campo aleatoacuterio t importante notar que a Gliminaccedilao

do campo ~orno h ou a ausecircncia da diluiccedil~o anula a~tomaticcedilament9

--i este campo aleatoacuterio

A rlaccedil~Q (453) pod9 ser i terada agora normalmtmi COJn()

no modelo (IFA- assim no n-eacutesimo passo tereln01h

-- +plusmn plusmn l1-d 1 In C1 + -~~y +F~hny + hnY)

hn+~x = bull l (hny plusmn lfnyamp1

C4 (7)

) com

~ _ (11-lt1 (I C468

Observe agora que para uma escolha par do paracircmetro L

nro eacute mais preciso separar o bloco L em L+ L pois ecircStG

campo hnx+ em qualquer h1erarquia ~ 1 natildeo seraacute ma1 s

al ternado seraacute apenas aleatoacuterio

Da relaylo lt467) temos

r In (1 + -(1nC Iny + Hny) )]In+tx a L- L nv C469)

+ (In 1 -flnC(ny - HhY)yampLx

onde

)

) + H = hn + hn

54 )

)

gt

)

A expressilo dentro do somatoacuterio em (469) novamente

podaraacute ser sccedilri~a como em C4B7t assim ~emos

Hn+tx = LI-do I gnCHny) (ny (470) yGL

onde

gnC Hnyj JO Hny fnC Hny (471)

-(lnCl + Hnygt )fnCHny 1 (472)DI

(In In (~ -(lnCl - Hny)

As relaccedil3Egts C471) (472) satildeo semelhantes

ril9Spec~ivament9 agraves relaccedilamps C42TJ e (488)

Atilde magnoti ~accedilDo local ltO gt o N

eacute dada agora por

-(llrl (1(hAmiddot - ChA-] cn(qgt li Z CN( h(J) E

ltgt N+ i orGr lt473)

onde q Cf) eacute dafinido por (422)o

Com ajuda da C467) o anaacutelogo de C423) eacute dado por

IJplusmn = ()plusmn + c+ ~ e -(3hC~no plusmn Hno Cl + 8-PnCno plusmn Hno) n n-S n-J

C474)

no que resul ta pala (473)

= (Y

C476)lt ogt+ N

55

) )

Usando (474) i~ra~ivamen~e ~emos qUecirc

N E e -pq~ + H) C1 e -(lnC(nc H~)Cgt1-2 (476J shy=0

Tomando a meacutedia em ~ temos

N r -f3nC 1 + Hno)+ -f3nHno )] 1 - 2 ampltgt Lr[ 1 e-~flCl Hnotilde5 ) qn[ 1 -iacute3iiflno0 (477)

Para d gt e seja agora

~ZE~Zltet-H) e (47S) Como ( = O ou 1 ~~ qUecirc

ltetHn( f lte~Hngt (479)

assim novamen~e ~erampmO$ que

L2 d~A = ~ lt1 + O-sC(hiJ) - (4 SO)

e

frob C11 11 ) 2 exp C_o 2 ~ (4SD

Agora temos

ao-(irae 1 Hno) 1 para IHnol gt 12 = C482)1 + e pn(l + Hno) -(mo para IH_I 12

00

iacute

e -pnMno

par a todo Hno (483)1 e -(1nHno 1

V~mos usar a notaccediltlo ECA) = A para a meacutediamp em Hno

assim temos rlampSptlCt1 vamentamp em 4 8Z) e (483)

E( -1nC1 H) C1 -1nC1 H s a e-ienbull + e -(hv2

C484)

EC-fnH (1 -nH 1 (486gt

Ass1 m teremos par a 7n

-- H HE pn ce-t~ e -fn a 1 In (488)lt Cf gt1 1 - 4

0 n=Oo

Para a uacuteltima somat6ria em (486) convergir quando n ~ m

dampvemos ter- qn ~ O OU que p f 1 3ss1 In podel1()$ Ca2er

ltI

-i8enbull -fn2 I Ce-t8ampnbull e-tnn) (4117)I ( )n=O 0

agt Iagt a qn 18 (488)1 lt n=O

Agora ex t eonstant-a c tal que

-eCoE (e-V8~ -~ 2 e-C~ C488)

n=O

67

)

ondeacute

amp0bull e Var CH~) = po qo C400)

e rinalmen~e temos

+

1 -cc~ -0(3lt H gt( 18 401)

que corresponde a (434)

Para d a desde que ~ ~ ~ ramppidamen~e podemos por

~ = ro e ~eremos para C471)

para 11 gt 1

11 jOJCIl) = ~ par 1I[-11l 492l

-1 par 11 lt -1

SUbsU ~uindo 4 g2) em C470) temos

Hn+b = t-J 1 CHny + 100 (Hny)) ~ny C4gs) ylx

Esta relaccedilatildeo permi te analisar a v4luiecircncia ri de Hn

assi m tEtJnl)S

amp~ = lt~v = lt (lIn + fco (Hn))bull~nbull gt

Uma ve que (n eacute independente ~eacute Hh podsJnC)S escrever

amp~1 = pn (CHn foo CHr0)a gt (494)

63

As relaccedile50s C48e lt484) mostra-nos QU9 4IiISt campo

HIx tem as mlinmas caracteristicas do caDlpo Hlx do modamplo CIFA

que bastou apcocircloas o priDl9iro passo do grupo de renormalizaccedilto

para obter um campo aleatoacuterio t importante notar que a Gliminaccedilao

do campo ~orno h ou a ausecircncia da diluiccedil~o anula a~tomaticcedilament9

--i este campo aleatoacuterio

A rlaccedil~Q (453) pod9 ser i terada agora normalmtmi COJn()

no modelo (IFA- assim no n-eacutesimo passo tereln01h

-- +plusmn plusmn l1-d 1 In C1 + -~~y +F~hny + hnY)

hn+~x = bull l (hny plusmn lfnyamp1

C4 (7)

) com

~ _ (11-lt1 (I C468

Observe agora que para uma escolha par do paracircmetro L

nro eacute mais preciso separar o bloco L em L+ L pois ecircStG

campo hnx+ em qualquer h1erarquia ~ 1 natildeo seraacute ma1 s

al ternado seraacute apenas aleatoacuterio

Da relaylo lt467) temos

r In (1 + -(1nC Iny + Hny) )]In+tx a L- L nv C469)

+ (In 1 -flnC(ny - HhY)yampLx

onde

)

) + H = hn + hn

54 )

)

gt

)

A expressilo dentro do somatoacuterio em (469) novamente

podaraacute ser sccedilri~a como em C4B7t assim ~emos

Hn+tx = LI-do I gnCHny) (ny (470) yGL

onde

gnC Hnyj JO Hny fnC Hny (471)

-(lnCl + Hnygt )fnCHny 1 (472)DI

(In In (~ -(lnCl - Hny)

As relaccedil3Egts C471) (472) satildeo semelhantes

ril9Spec~ivament9 agraves relaccedilamps C42TJ e (488)

Atilde magnoti ~accedilDo local ltO gt o N

eacute dada agora por

-(llrl (1(hAmiddot - ChA-] cn(qgt li Z CN( h(J) E

ltgt N+ i orGr lt473)

onde q Cf) eacute dafinido por (422)o

Com ajuda da C467) o anaacutelogo de C423) eacute dado por

IJplusmn = ()plusmn + c+ ~ e -(3hC~no plusmn Hno Cl + 8-PnCno plusmn Hno) n n-S n-J

C474)

no que resul ta pala (473)

= (Y

C476)lt ogt+ N

55

) )

Usando (474) i~ra~ivamen~e ~emos qUecirc

N E e -pq~ + H) C1 e -(lnC(nc H~)Cgt1-2 (476J shy=0

Tomando a meacutedia em ~ temos

N r -f3nC 1 + Hno)+ -f3nHno )] 1 - 2 ampltgt Lr[ 1 e-~flCl Hnotilde5 ) qn[ 1 -iacute3iiflno0 (477)

Para d gt e seja agora

~ZE~Zltet-H) e (47S) Como ( = O ou 1 ~~ qUecirc

ltetHn( f lte~Hngt (479)

assim novamen~e ~erampmO$ que

L2 d~A = ~ lt1 + O-sC(hiJ) - (4 SO)

e

frob C11 11 ) 2 exp C_o 2 ~ (4SD

Agora temos

ao-(irae 1 Hno) 1 para IHnol gt 12 = C482)1 + e pn(l + Hno) -(mo para IH_I 12

00

iacute

e -pnMno

par a todo Hno (483)1 e -(1nHno 1

V~mos usar a notaccediltlo ECA) = A para a meacutediamp em Hno

assim temos rlampSptlCt1 vamentamp em 4 8Z) e (483)

E( -1nC1 H) C1 -1nC1 H s a e-ienbull + e -(hv2

C484)

EC-fnH (1 -nH 1 (486gt

Ass1 m teremos par a 7n

-- H HE pn ce-t~ e -fn a 1 In (488)lt Cf gt1 1 - 4

0 n=Oo

Para a uacuteltima somat6ria em (486) convergir quando n ~ m

dampvemos ter- qn ~ O OU que p f 1 3ss1 In podel1()$ Ca2er

ltI

-i8enbull -fn2 I Ce-t8ampnbull e-tnn) (4117)I ( )n=O 0

agt Iagt a qn 18 (488)1 lt n=O

Agora ex t eonstant-a c tal que

-eCoE (e-V8~ -~ 2 e-C~ C488)

n=O

67

)

ondeacute

amp0bull e Var CH~) = po qo C400)

e rinalmen~e temos

+

1 -cc~ -0(3lt H gt( 18 401)

que corresponde a (434)

Para d a desde que ~ ~ ~ ramppidamen~e podemos por

~ = ro e ~eremos para C471)

para 11 gt 1

11 jOJCIl) = ~ par 1I[-11l 492l

-1 par 11 lt -1

SUbsU ~uindo 4 g2) em C470) temos

Hn+b = t-J 1 CHny + 100 (Hny)) ~ny C4gs) ylx

Esta relaccedilatildeo permi te analisar a v4luiecircncia ri de Hn

assi m tEtJnl)S

amp~ = lt~v = lt (lIn + fco (Hn))bull~nbull gt

Uma ve que (n eacute independente ~eacute Hh podsJnC)S escrever

amp~1 = pn (CHn foo CHr0)a gt (494)

54 )

)

gt

)

A expressilo dentro do somatoacuterio em (469) novamente

podaraacute ser sccedilri~a como em C4B7t assim ~emos

Hn+tx = LI-do I gnCHny) (ny (470) yGL

onde

gnC Hnyj JO Hny fnC Hny (471)

-(lnCl + Hnygt )fnCHny 1 (472)DI

(In In (~ -(lnCl - Hny)

As relaccedil3Egts C471) (472) satildeo semelhantes

ril9Spec~ivament9 agraves relaccedilamps C42TJ e (488)

Atilde magnoti ~accedilDo local ltO gt o N

eacute dada agora por

-(llrl (1(hAmiddot - ChA-] cn(qgt li Z CN( h(J) E

ltgt N+ i orGr lt473)

onde q Cf) eacute dafinido por (422)o

Com ajuda da C467) o anaacutelogo de C423) eacute dado por

IJplusmn = ()plusmn + c+ ~ e -(3hC~no plusmn Hno Cl + 8-PnCno plusmn Hno) n n-S n-J

C474)

no que resul ta pala (473)

= (Y

C476)lt ogt+ N

55

) )

Usando (474) i~ra~ivamen~e ~emos qUecirc

N E e -pq~ + H) C1 e -(lnC(nc H~)Cgt1-2 (476J shy=0

Tomando a meacutedia em ~ temos

N r -f3nC 1 + Hno)+ -f3nHno )] 1 - 2 ampltgt Lr[ 1 e-~flCl Hnotilde5 ) qn[ 1 -iacute3iiflno0 (477)

Para d gt e seja agora

~ZE~Zltet-H) e (47S) Como ( = O ou 1 ~~ qUecirc

ltetHn( f lte~Hngt (479)

assim novamen~e ~erampmO$ que

L2 d~A = ~ lt1 + O-sC(hiJ) - (4 SO)

e

frob C11 11 ) 2 exp C_o 2 ~ (4SD

Agora temos

ao-(irae 1 Hno) 1 para IHnol gt 12 = C482)1 + e pn(l + Hno) -(mo para IH_I 12

00

iacute

e -pnMno

par a todo Hno (483)1 e -(1nHno 1

V~mos usar a notaccediltlo ECA) = A para a meacutediamp em Hno

assim temos rlampSptlCt1 vamentamp em 4 8Z) e (483)

E( -1nC1 H) C1 -1nC1 H s a e-ienbull + e -(hv2

C484)

EC-fnH (1 -nH 1 (486gt

Ass1 m teremos par a 7n

-- H HE pn ce-t~ e -fn a 1 In (488)lt Cf gt1 1 - 4

0 n=Oo

Para a uacuteltima somat6ria em (486) convergir quando n ~ m

dampvemos ter- qn ~ O OU que p f 1 3ss1 In podel1()$ Ca2er

ltI

-i8enbull -fn2 I Ce-t8ampnbull e-tnn) (4117)I ( )n=O 0

agt Iagt a qn 18 (488)1 lt n=O

Agora ex t eonstant-a c tal que

-eCoE (e-V8~ -~ 2 e-C~ C488)

n=O

67

)

ondeacute

amp0bull e Var CH~) = po qo C400)

e rinalmen~e temos

+

1 -cc~ -0(3lt H gt( 18 401)

que corresponde a (434)

Para d a desde que ~ ~ ~ ramppidamen~e podemos por

~ = ro e ~eremos para C471)

para 11 gt 1

11 jOJCIl) = ~ par 1I[-11l 492l

-1 par 11 lt -1

SUbsU ~uindo 4 g2) em C470) temos

Hn+b = t-J 1 CHny + 100 (Hny)) ~ny C4gs) ylx

Esta relaccedilatildeo permi te analisar a v4luiecircncia ri de Hn

assi m tEtJnl)S

amp~ = lt~v = lt (lIn + fco (Hn))bull~nbull gt

Uma ve que (n eacute independente ~eacute Hh podsJnC)S escrever

amp~1 = pn (CHn foo CHr0)a gt (494)

55

) )

Usando (474) i~ra~ivamen~e ~emos qUecirc

N E e -pq~ + H) C1 e -(lnC(nc H~)Cgt1-2 (476J shy=0

Tomando a meacutedia em ~ temos

N r -f3nC 1 + Hno)+ -f3nHno )] 1 - 2 ampltgt Lr[ 1 e-~flCl Hnotilde5 ) qn[ 1 -iacute3iiflno0 (477)

Para d gt e seja agora

~ZE~Zltet-H) e (47S) Como ( = O ou 1 ~~ qUecirc

ltetHn( f lte~Hngt (479)

assim novamen~e ~erampmO$ que

L2 d~A = ~ lt1 + O-sC(hiJ) - (4 SO)

e

frob C11 11 ) 2 exp C_o 2 ~ (4SD

Agora temos

ao-(irae 1 Hno) 1 para IHnol gt 12 = C482)1 + e pn(l + Hno) -(mo para IH_I 12

00

iacute

e -pnMno

par a todo Hno (483)1 e -(1nHno 1

V~mos usar a notaccediltlo ECA) = A para a meacutediamp em Hno

assim temos rlampSptlCt1 vamentamp em 4 8Z) e (483)

E( -1nC1 H) C1 -1nC1 H s a e-ienbull + e -(hv2

C484)

EC-fnH (1 -nH 1 (486gt

Ass1 m teremos par a 7n

-- H HE pn ce-t~ e -fn a 1 In (488)lt Cf gt1 1 - 4

0 n=Oo

Para a uacuteltima somat6ria em (486) convergir quando n ~ m

dampvemos ter- qn ~ O OU que p f 1 3ss1 In podel1()$ Ca2er

ltI

-i8enbull -fn2 I Ce-t8ampnbull e-tnn) (4117)I ( )n=O 0

agt Iagt a qn 18 (488)1 lt n=O

Agora ex t eonstant-a c tal que

-eCoE (e-V8~ -~ 2 e-C~ C488)

n=O

67

)

ondeacute

amp0bull e Var CH~) = po qo C400)

e rinalmen~e temos

+

1 -cc~ -0(3lt H gt( 18 401)

que corresponde a (434)

Para d a desde que ~ ~ ~ ramppidamen~e podemos por

~ = ro e ~eremos para C471)

para 11 gt 1

11 jOJCIl) = ~ par 1I[-11l 492l

-1 par 11 lt -1

SUbsU ~uindo 4 g2) em C470) temos

Hn+b = t-J 1 CHny + 100 (Hny)) ~ny C4gs) ylx

Esta relaccedilatildeo permi te analisar a v4luiecircncia ri de Hn

assi m tEtJnl)S

amp~ = lt~v = lt (lIn + fco (Hn))bull~nbull gt

Uma ve que (n eacute independente ~eacute Hh podsJnC)S escrever

amp~1 = pn (CHn foo CHr0)a gt (494)

00

iacute

e -pnMno

par a todo Hno (483)1 e -(1nHno 1

V~mos usar a notaccediltlo ECA) = A para a meacutediamp em Hno

assim temos rlampSptlCt1 vamentamp em 4 8Z) e (483)

E( -1nC1 H) C1 -1nC1 H s a e-ienbull + e -(hv2

C484)

EC-fnH (1 -nH 1 (486gt

Ass1 m teremos par a 7n

-- H HE pn ce-t~ e -fn a 1 In (488)lt Cf gt1 1 - 4

0 n=Oo

Para a uacuteltima somat6ria em (486) convergir quando n ~ m

dampvemos ter- qn ~ O OU que p f 1 3ss1 In podel1()$ Ca2er

ltI

-i8enbull -fn2 I Ce-t8ampnbull e-tnn) (4117)I ( )n=O 0

agt Iagt a qn 18 (488)1 lt n=O

Agora ex t eonstant-a c tal que

-eCoE (e-V8~ -~ 2 e-C~ C488)

n=O

67

)

ondeacute

amp0bull e Var CH~) = po qo C400)

e rinalmen~e temos

+

1 -cc~ -0(3lt H gt( 18 401)

que corresponde a (434)

Para d a desde que ~ ~ ~ ramppidamen~e podemos por

~ = ro e ~eremos para C471)

para 11 gt 1

11 jOJCIl) = ~ par 1I[-11l 492l

-1 par 11 lt -1

SUbsU ~uindo 4 g2) em C470) temos

Hn+b = t-J 1 CHny + 100 (Hny)) ~ny C4gs) ylx

Esta relaccedilatildeo permi te analisar a v4luiecircncia ri de Hn

assi m tEtJnl)S

amp~ = lt~v = lt (lIn + fco (Hn))bull~nbull gt

Uma ve que (n eacute independente ~eacute Hh podsJnC)S escrever

amp~1 = pn (CHn foo CHr0)a gt (494)

67

)

ondeacute

amp0bull e Var CH~) = po qo C400)

e rinalmen~e temos

+

1 -cc~ -0(3lt H gt( 18 401)

que corresponde a (434)

Para d a desde que ~ ~ ~ ramppidamen~e podemos por

~ = ro e ~eremos para C471)

para 11 gt 1

11 jOJCIl) = ~ par 1I[-11l 492l

-1 par 11 lt -1

SUbsU ~uindo 4 g2) em C470) temos

Hn+b = t-J 1 CHny + 100 (Hny)) ~ny C4gs) ylx

Esta relaccedilatildeo permi te analisar a v4luiecircncia ri de Hn

assi m tEtJnl)S

amp~ = lt~v = lt (lIn + fco (Hn))bull~nbull gt

Uma ve que (n eacute independente ~eacute Hh podsJnC)S escrever

amp~1 = pn (CHn foo CHr0)a gt (494)

58

~

onde

pn = E qfu = E (tn) (495)

De1inindo

e~t lt C Hn + ft) eM)z ) (400)

~emos que (496) eacute 1decircn~ico a ~elaccedil~o (232) da ~er~ r401 e onde

2~oi mos~rado que ampn o da forma Cm n) -lo

Fazemos entiCo

e bull = pn ampnol-1bull (497)

A relaccedil~o (474) pode ser escri~a agora na forma

-+

= FgtO (0- -fln(1 Hrn0) (1 e -finei plusmn Hno) +

n n n (1 - 1rn0 ct cf e (lnHno)C1 e+PnHTWraquo lt498)n n-

Fazendo ~ laquogt em (4 Q8) tecircremos para magneU zaccedill(o

N ( gt = u = n CC1 - t nogt aoOlno) + (no cue HnoJ) C4Q9)

~ N+ N n~O

onde

-i se Hno lt O (4100 a)aoCHnogt = +1 se Hno gt O

-1 IH I gt 1 cuCHno) = (4100 b)

+1 Seacute IH I lt 1

I

50

Tomando a meacutediA em bull lembrando que n eacute

independente de uma hierarquia para ou~ra ~remos

l

N

I n (qn oto (HhO) pn as (Hnoraquo (4101gtlt gt~ n=O

e a meacutedia em H temos primeiramente que

~--Hno) = O (4102)

assim lt gt D

N n

n_O pncu CHItC) s

N n

JI_O 0It no) (4103)

o lUtimo termo em (41()3) eacute ideacutentico agrave laccedill(o (236) da

reacutef [401 bull onde Co mostrado que

N n lt H [ -O(1) 1 (n m n) -lt] = (m N)-P

n=O n=S

(4104)

para algum p

Assim vemos que + o quando N Q) ~ lt gt

Vamos ~ina112a~ ~~eacute capitulo enfatizando os resul~ados

desa seccedilJo A relaccedili(o (45S) e (469) mostram que bastaria uma

diluiccedilatildeo nos contornos da primeira hierarquia e apenas uma

tlansformaccedilSo do grupo de ronormalizaccedil$o para tef~ um campo

aleatoacuterio e a equivalecircncia com o modelo (IFA) s~ia exata se

tiveacutessemos tambeacutem uma dilu1ccedil~o ateacute utna hierarquia n lt N tambeacutem

ter1amos uma equivalecircncia exata Entretanto lendo diluiccedilUo em

todas as hierarquias obtemos uma equivaltncia apenas no limi te

com PN bull 1 quando N + m _

J

ao CAP1TVLQ V

ESTIIOO DOS MODELOS (l F A ) E (l A D) SEM CONTORNO

DENTRO DE CONTORNO

No capitulo 111 vimos qu para a dimeacutellsilo d bull 2 o

arg~nto heurist-ico d$ Imry Et Ma nlo era conclusiVO para o estWQ

da diacute~n5~o critica inf~riQr~ O fato desfavoraacutevel ao argumento de

Imry e Ma Q qtJQ CcediltSftt niro lova m cont conto no dontro do

contornos

Nl1ste ccedilap1 tJlo mostrarmos que quando nf(o se leva em

conta explicitamente contQrnos dentfQ de contornos os modelos

eIFA) e (IAD) apresentam transiccedil~o d9 fasEgt para d ~ 2

ccedilontrariam9nt~ aQ que vimos no ccedilapitulQ ant-erior onde s6 ocorre

transiccedillo de rasE palra d gt 2 em ambos os modelos uma vez que

estes s(Q ampqui val ratntes

PrilMttiramvnt faremos o estudo para T= O C~stado

fundafOOntaJ) e T gt O do mtgtdelo e1 F A) e em sampguida I) ~ttJdo do

modelo e A O) par T L O

MODELO ltIFA) T O

o nosso argumento para mostrar qUfI o modEtlo (I ~ F A )

estA magnetizado para T = O baseia-se no fa~Q q~ ainda qqq as

probabilidades dG ocorrer eontornos em qJalqu9r hivrarquia seja

cUfrcmt de zerQ omiddot sistema prefere- com grande probabilidade

trocar contorno da hierarquia para todo n por contornos da

hirarqwa z9fo No estado fundamental o sistcaoma SEmpre escolhe ai

ccedilonfiguraccedilXo d menor energia

50

Tomando a meacutediA em bull lembrando que n eacute

independente de uma hierarquia para ou~ra ~remos

l

N

I n (qn oto (HhO) pn as (Hnoraquo (4101gtlt gt~ n=O

e a meacutedia em H temos primeiramente que

~--Hno) = O (4102)

assim lt gt D

N n

n_O pncu CHItC) s

N n

JI_O 0It no) (4103)

o lUtimo termo em (41()3) eacute ideacutentico agrave laccedill(o (236) da

reacutef [401 bull onde Co mostrado que

N n lt H [ -O(1) 1 (n m n) -lt] = (m N)-P

n=O n=S

(4104)

para algum p

Assim vemos que + o quando N Q) ~ lt gt

Vamos ~ina112a~ ~~eacute capitulo enfatizando os resul~ados

desa seccedilJo A relaccedili(o (45S) e (469) mostram que bastaria uma

diluiccedilatildeo nos contornos da primeira hierarquia e apenas uma

tlansformaccedilSo do grupo de ronormalizaccedil$o para tef~ um campo

aleatoacuterio e a equivalecircncia com o modelo (IFA) s~ia exata se

tiveacutessemos tambeacutem uma dilu1ccedil~o ateacute utna hierarquia n lt N tambeacutem

ter1amos uma equivalecircncia exata Entretanto lendo diluiccedilUo em

todas as hierarquias obtemos uma equivaltncia apenas no limi te

com PN bull 1 quando N + m _

J

ao CAP1TVLQ V

ESTIIOO DOS MODELOS (l F A ) E (l A D) SEM CONTORNO

DENTRO DE CONTORNO

No capitulo 111 vimos qu para a dimeacutellsilo d bull 2 o

arg~nto heurist-ico d$ Imry Et Ma nlo era conclusiVO para o estWQ

da diacute~n5~o critica inf~riQr~ O fato desfavoraacutevel ao argumento de

Imry e Ma Q qtJQ CcediltSftt niro lova m cont conto no dontro do

contornos

Nl1ste ccedilap1 tJlo mostrarmos que quando nf(o se leva em

conta explicitamente contQrnos dentfQ de contornos os modelos

eIFA) e (IAD) apresentam transiccedil~o d9 fasEgt para d ~ 2

ccedilontrariam9nt~ aQ que vimos no ccedilapitulQ ant-erior onde s6 ocorre

transiccedillo de rasE palra d gt 2 em ambos os modelos uma vez que

estes s(Q ampqui val ratntes

PrilMttiramvnt faremos o estudo para T= O C~stado

fundafOOntaJ) e T gt O do mtgtdelo e1 F A) e em sampguida I) ~ttJdo do

modelo e A O) par T L O

MODELO ltIFA) T O

o nosso argumento para mostrar qUfI o modEtlo (I ~ F A )

estA magnetizado para T = O baseia-se no fa~Q q~ ainda qqq as

probabilidades dG ocorrer eontornos em qJalqu9r hivrarquia seja

cUfrcmt de zerQ omiddot sistema prefere- com grande probabilidade

trocar contorno da hierarquia para todo n por contornos da

hirarqwa z9fo No estado fundamental o sistcaoma SEmpre escolhe ai

ccedilonfiguraccedilXo d menor energia

J

ao CAP1TVLQ V

ESTIIOO DOS MODELOS (l F A ) E (l A D) SEM CONTORNO

DENTRO DE CONTORNO

No capitulo 111 vimos qu para a dimeacutellsilo d bull 2 o

arg~nto heurist-ico d$ Imry Et Ma nlo era conclusiVO para o estWQ

da diacute~n5~o critica inf~riQr~ O fato desfavoraacutevel ao argumento de

Imry e Ma Q qtJQ CcediltSftt niro lova m cont conto no dontro do

contornos

Nl1ste ccedilap1 tJlo mostrarmos que quando nf(o se leva em

conta explicitamente contQrnos dentfQ de contornos os modelos

eIFA) e (IAD) apresentam transiccedil~o d9 fasEgt para d ~ 2

ccedilontrariam9nt~ aQ que vimos no ccedilapitulQ ant-erior onde s6 ocorre

transiccedillo de rasE palra d gt 2 em ambos os modelos uma vez que

estes s(Q ampqui val ratntes

PrilMttiramvnt faremos o estudo para T= O C~stado

fundafOOntaJ) e T gt O do mtgtdelo e1 F A) e em sampguida I) ~ttJdo do

modelo e A O) par T L O

MODELO ltIFA) T O

o nosso argumento para mostrar qUfI o modEtlo (I ~ F A )

estA magnetizado para T = O baseia-se no fa~Q q~ ainda qqq as

probabilidades dG ocorrer eontornos em qJalqu9r hivrarquia seja

cUfrcmt de zerQ omiddot sistema prefere- com grande probabilidade

trocar contorno da hierarquia para todo n por contornos da

hirarqwa z9fo No estado fundamental o sistcaoma SEmpre escolhe ai

ccedilonfiguraccedilXo d menor energia

61

hieraacuterquica G com a res~riccedilUo que nXo podarA haver contorno dentro

de contorno Seja (To o spin na origem de A 10 o conlorno do

-nhierarquia n contrado na origem e yo o conJun~ dos s1~ios

di4amptntro dll9 r~ com n = O 1 H

Na temperatura T= O tixada uma coruacuteiguraccedilllo

h I lt hx x f A gt do camPQ aleatoacuterio a magnGtizay~Q local

(UO)N+ eacute dada pelo valor de (To que minimiza a hamiltoniana

HNC 00) do sistema Poreacutem como vimos no capitulo II devemos

tomar a meacutedi a em h i sto eacute ~ (To gtN-+

Por outr o 1 ado temos que 00 = -1 se ocorrer Uni

contorno 10n com n = O 1 bull H e (To -= + 1 caso contrArio Se

bull a probabilidade do QCorror o con~orno )0 -temos~ lU

N nlt tJo )N+ = 1 - 2 1 p C51)

n=O

N Assim devemos mostrar que 1 ~ converge quando N 00

n = o

e tal que ( (0) JoH gt 111

-nSeja agora V bull 10 E CV) energia que minimiza o

osistema quando ocorr~ con~ornos r~ da hierarquia zero para todo

x f V e E (r~) a energia que minimize o sistema qttando ocorre

n o contorno 10

Para uma configtJraccedilllo fixa de ho eontorno ocorreraacutern

s E Cytb E (v) assim a IrobalgtHidad n ocorrer olt pc d

n n ncontorno 10 seraacute dada por pc Prolgt CE (10) lt E CV))

Para estimar ta probabilidade vamos iacutentroduzir

pr1~iramen~ as segu1n~8S variaacute~is alea~oacuterias

Hr = HCrl) + 2 j rq + ~ n h (52) xero

62

middot

Hv = HCre) + 2 I IY~I ~ + I hx ~x I hc1-~) (63)

- n - n - n Xampyo x1O )1amp10

c bull nonde Hey) lt6 a energia do gistema restrita agrave rgi2[o -yO e Hy

e Hv 510 respectivamente as energias do sistema quando ocorre o

n o contorno yo e os contornos y em v

se hx s -IY~I para lodo x amp 10 11 (64)~x =

se hx gt -IY~I

A deriniccedil~o C54) eacute a condiccedil~o para existir um contorno da

-hierarquia 2ero em 10n bull ass m lemos que

o -IY~I com probabilidade =f dhX)

-Olt) (66)~x = com probabilidade 1 - p

Vamos usar a notaccedilLo ECA) para a esperanccedila ou a meacutedia de

uma variaacutevel aleat6ria A e calcular a Cunccedil~o geratriz da variaacutevel

Hn m onde

HnsHv-Hy=2 I IY~I x 2 Iyq - 2 I_ nh (1-X) -n

cyo xampro

(66)

m= E(Hn) = 21yonl (Iygl po - ao - Iygllronl) (67)

-IyglaO = - J ho dl-l Cho) (68)

-Olt)

t ~aacutecl1 veriCicar que de um modo geral

Iygl po S ao (6 Q)

pois para ho ~ -Irgl

--63

-Ir~q lrgllr1ao = -J no dl Cno dI- Cho) ~ Ir~1 po ) -shy

Para d gt e a condiccedilllo I9) Illlo seraacute importante como

-) vremos por-qfn para d 2 bull fundaJn9ntal que tnhalnOlii ir po lt 0 1

para a nossa proacuteVa IacuteUIlcionar

)

Assim seja

2 1_ nl Irq~~-ncl-~-I~lpx+alt )

EC cHn-mgt L = E[e xcro ]= 1

)

= 2Iron lltao-lrglpoL E [ IIrl~o-hoCl-~oJltnalionl

(610)

)

A ul li ma passagem se deve- ao faLo de hx e hy serem

ind9pendnt$$ para x ~ y bull

Agora temos ~

) E (al1rg l0-hoCl-o)lt) + I Irlo-hoC1-o)lt dlltho)= f e = -Irgl Irgl t dllthoJ f +

e - hot dJl (hO)= f + -laquogt -111

por Qutro ladO para ho S -I rgI temos que

-Irgl 1~lt dIlChO) -I rq -hotdIlt no)J S J -) -

portanto

+agtE(1 IrI0-hoC1-o)lt) S f -hoLdlltno) = ECehot lt611)-

)

Agora vamos

aleat6rio hx

fazer a seguinte hipoacutetese sobre o campo

64

)

)

bull

E Cehxt)

ond$

E(hx) = O

S ccedil2tZ2

bull = E(he amp para todo x amp bull

(512)

- )

)

Assi m temos

E (e(Hn-nLlt) s e[ -( 1ro 1po-ao)t+izampmiddottzl 2 1ron 1

A r aI accedilao C6 13) i mpl i ca na seguinte

probabilidade

(513)

desigual dada para

prob[IHn - ml 6m] S

2exp - [(6-DCao-lrglpo) amp

+ 6lr~klronpZ Ironl (514)

onde 6gt1

Agora temos que

Ironl = CLn)d (B1Sa)

Ir~1 = const n d-l

CL ) C515b)

nlzIro 1-1yo = constz CLn)d-z C615c)

66

Analisando o ~nt no lado direi to de (614) e

combinando com C515c) vemos que se ao Jrgpo para d 2

Prob [I Hn - ml ~ 6m 1 ltgtr uma constante para qualqUltn

n = 01 N PortantQ nlro haveraacute possibilidadGl dGl (51gt

convergir assim para d gt 8 (51) converge em qualquer hipoacutetese

e temos transiccedilg(o de fase como haveria de Seacute ampSperar

Para d = 2 antr~anto precisamos que

Irqpo lt (616)

1

esta condiccedilBo n3o eacute muito (ott pois a des1gualdad19 frfpo ao

como vimos eacute veri~ieada sempre Para hx com duumlStTib~iccedil~o

1CIgtgt I ~1 - hx ~e-e ( onde

21

a = Elthx) a cOhdiccedillIo C61tD Ocirc

verificada tri vialnwmte para qualquer amp Para uma distribuiySo

gaussiana de hx (616) deve ser Vlampriticado para natildeo muitc

pequeno pc Si tomos sempre a s$g1Ji nte 1 i m1 taccedilllo bull

po Pr-ob Ch lt -Ir~ I) Irgl~

bull exp ( shy I~r) (617gt

Vamos terminar a nossa anatilde1 i se paramp d = 2 notando que

e6 - 1) (ao - Ir~lpo) + 6111 Irol lt C6 - 1) eao - Irlpo)

portanto fazendo

J

P

onde

Prob I IH - ml lt 6m 1

b = ( - 11110) ampgtCp [shy

e6-1)~ b

a I zn

] e51egt

temrs que 1 p converge quando N 00 O para uma escolhanO

1eonveniente de amp e 6 teremos lt qo gtN+ gt atilde

66

i

MODELO CX F A) T gt O

o estudo rei to para T bull O fornece um caminho para

mostrar a transiccedil~o de fase do moctelo (I~rA para r o e

d ~ 2 O primeiro passo eacute construir um argumento semelhante ao da

) replaccedili(o C6~ 1gt ltargulll0nto de PGi rls sGndo qu agora para T gt O

temos o fator de Gibbs (ver cal I)

Fixada uma configuraccedil~o h do campo aleat6rio t~mos

lt 00 gtN+ = 1 - a I po (6111gt

n=O

onde agora

pl = (amp-2jlrlI+~ronhx ) ZN (62())

ZN eacute a runccedil~o de par~iccedil~Q dada por (47) com a condiccedilgo que n~o

poderaacute haver contorno dentro de contorno

o argutoonto de PeiGrls usual consisto em estimar p~

consid~rando em 2N para cada n as coniacuteiguraccedillSes que trocam o

-nsinal do spin dentro de cada contorne ro Esta estimativa sempre

falha para d 2 porque assim temos

Pl S eP ( -ap Ir~1 + aI_ hx)xampyo

e da hipoacutetese (Sle) comJlinada com C61tX) tar1all1Oiotilde

_ Ir~ IZ ]

Prob [I I_ n hmiddot1 ~ Ir~IJ S aeP [ = 10 $ z Ironl

eonstZ (Ln)d-z ]= a ampP [- (621)

$ 2

1

middot ~

do onde vemos que para d 2 (621 $ uma ccns~ampn~bull PQrtanto

n~o converge pata ZerO quando n 4 w

Assim a seccedil~o an~rior sobre o QS~ado ~undamn~ampl sugQre

que devemos comii derar bull em ZN para cada n de lt6 ao) alguns

contornos da hierarquia n - 1 afim de obter uma convergeacutenci a

para lt52J)

Seja entatildeo para cada n c 1 ta H a subrede Ln-1 bull Zd

Ar Ln-bullbull zU -h oI a regiatildeo ro ~ vn um subconjunto arbi traacuterion

- hn-o vazio de 20 bull com volume a determnar onde est1Co localizados

alguns contornos yn- ~ o complemento de Vn em An com

dIVhl 1if1 ~ L lt52agt

AsJora temos para cada n = 1 a ~ N9 bull

-ap E Irxn-I +~ E lt E_ h_hy-~ E (E_ n_hy) ZN ~ )(ccedilVn J(CcedilVn yampyx xamp~ yampyx lte 23)

Combinando lte 23) cem lte 20) temcs

pn S P rap E ( E_ n-hy) - 2~ IY~I - IVnllrlil] (624) [ xeFn yqx

Vamos impor agora que

111 - IVnllrnl gt O (525)

e ccedilombinando com (622 t~mos seguintes vincules

o lt IVnl lt Ld- (525a)

ld _ ld- lt IV~I lt ld (526bgt

68

r

A hipoacutetese C612) rei ta na seccedillo anterior paim te

estabelecer agora a seguinte estimativa

~ = Pr-ob (I C _hy) I ~ltlrI-IVnllr-I)) s Xamp~ yccediltx

(Ir1 - IVnllri ~]ltS l [- (627) oacute c IV 11r~-1

Da relaccedilSo C622) e (6161raquo temos

c Ir~1 - IVnllrn-pz = const Lnltd-U lt529)

IVlIr~-1 2CaL -l)

ond~ fizemos a escolha

Lecirc Ld-2IV~I = C529agt

L lt1-12IVnl = lt52Sb)

Assi m tJnOS

n( d j) o a exp (_ const L z ] lt530)S

16 ca - 1)

A rlaccedil~o (630) implica que Qno O quando n (O

para d ~ 2

Da relaccedilito lt6429a) e C615b temos que

p S ltgtP a( [ - ~ cJr~ I Ivnllri1I] =

~ const Lnfd-n )=eP(- a lt53D

ocorre com probabilidade S 1 - ano

69

Seja agora Q o sguin~ evento

1Q c hl I I~ (I __bull h Y) I li atilde (Ir~1 IVnllr~-I) bull xC n ycyx

para todo n ~ 1ebullbull N

De (eSOJ lemos que Q ocorre com probabilidade

1 xp ( _ const~ ) C6 3a)Z

C

bull da C61g) amp (631) temos que

ltltgtogt gt 1 - gtCp C-D e6 33) + shy

1 - exp ( _ const )oco~re com probabilidade S amp2

Combinando ent~o C5 sro com (63e) temos finalmante que

para 8 sufieienteacutement grande G amp2 peacutequeno (UogtNgt+ gt 1 atilde

MODELO CI 1) TiO

Para o modelo eI A O) mostraremos a t-ransiccedil~o dG fasEr

facilmente com um argumento de Pei6rls usual e nro preeisamos

fazer um estudo do estado fundamental

Fixada uma configuraccedillo e da di 1 uiccedil~o de ccedilontornos

lemos

N

lt00gt N+ = 1 I CcedilDo e6 36)

n

66

Analisando o ~nt no lado direi to de (614) e

combinando com C515c) vemos que se ao Jrgpo para d 2

Prob [I Hn - ml ~ 6m 1 ltgtr uma constante para qualqUltn

n = 01 N PortantQ nlro haveraacute possibilidadGl dGl (51gt

convergir assim para d gt 8 (51) converge em qualquer hipoacutetese

e temos transiccedilg(o de fase como haveria de Seacute ampSperar

Para d = 2 antr~anto precisamos que

Irqpo lt (616)

1

esta condiccedilBo n3o eacute muito (ott pois a des1gualdad19 frfpo ao

como vimos eacute veri~ieada sempre Para hx com duumlStTib~iccedil~o

1CIgtgt I ~1 - hx ~e-e ( onde

21

a = Elthx) a cOhdiccedillIo C61tD Ocirc

verificada tri vialnwmte para qualquer amp Para uma distribuiySo

gaussiana de hx (616) deve ser Vlampriticado para natildeo muitc

pequeno pc Si tomos sempre a s$g1Ji nte 1 i m1 taccedilllo bull

po Pr-ob Ch lt -Ir~ I) Irgl~

bull exp ( shy I~r) (617gt

Vamos terminar a nossa anatilde1 i se paramp d = 2 notando que

e6 - 1) (ao - Ir~lpo) + 6111 Irol lt C6 - 1) eao - Irlpo)

portanto fazendo

J

P

onde

Prob I IH - ml lt 6m 1

b = ( - 11110) ampgtCp [shy

e6-1)~ b

a I zn

] e51egt

temrs que 1 p converge quando N 00 O para uma escolhanO

1eonveniente de amp e 6 teremos lt qo gtN+ gt atilde

66

i

MODELO CX F A) T gt O

o estudo rei to para T bull O fornece um caminho para

mostrar a transiccedil~o de fase do moctelo (I~rA para r o e

d ~ 2 O primeiro passo eacute construir um argumento semelhante ao da

) replaccedili(o C6~ 1gt ltargulll0nto de PGi rls sGndo qu agora para T gt O

temos o fator de Gibbs (ver cal I)

Fixada uma configuraccedil~o h do campo aleat6rio t~mos

lt 00 gtN+ = 1 - a I po (6111gt

n=O

onde agora

pl = (amp-2jlrlI+~ronhx ) ZN (62())

ZN eacute a runccedil~o de par~iccedil~Q dada por (47) com a condiccedilgo que n~o

poderaacute haver contorno dentro de contorno

o argutoonto de PeiGrls usual consisto em estimar p~

consid~rando em 2N para cada n as coniacuteiguraccedillSes que trocam o

-nsinal do spin dentro de cada contorne ro Esta estimativa sempre

falha para d 2 porque assim temos

Pl S eP ( -ap Ir~1 + aI_ hx)xampyo

e da hipoacutetese (Sle) comJlinada com C61tX) tar1all1Oiotilde

_ Ir~ IZ ]

Prob [I I_ n hmiddot1 ~ Ir~IJ S aeP [ = 10 $ z Ironl

eonstZ (Ln)d-z ]= a ampP [- (621)

$ 2

1

middot ~

do onde vemos que para d 2 (621 $ uma ccns~ampn~bull PQrtanto

n~o converge pata ZerO quando n 4 w

Assim a seccedil~o an~rior sobre o QS~ado ~undamn~ampl sugQre

que devemos comii derar bull em ZN para cada n de lt6 ao) alguns

contornos da hierarquia n - 1 afim de obter uma convergeacutenci a

para lt52J)

Seja entatildeo para cada n c 1 ta H a subrede Ln-1 bull Zd

Ar Ln-bullbull zU -h oI a regiatildeo ro ~ vn um subconjunto arbi traacuterion

- hn-o vazio de 20 bull com volume a determnar onde est1Co localizados

alguns contornos yn- ~ o complemento de Vn em An com

dIVhl 1if1 ~ L lt52agt

AsJora temos para cada n = 1 a ~ N9 bull

-ap E Irxn-I +~ E lt E_ h_hy-~ E (E_ n_hy) ZN ~ )(ccedilVn J(CcedilVn yampyx xamp~ yampyx lte 23)

Combinando lte 23) cem lte 20) temcs

pn S P rap E ( E_ n-hy) - 2~ IY~I - IVnllrlil] (624) [ xeFn yqx

Vamos impor agora que

111 - IVnllrnl gt O (525)

e ccedilombinando com (622 t~mos seguintes vincules

o lt IVnl lt Ld- (525a)

ld _ ld- lt IV~I lt ld (526bgt

68

r

A hipoacutetese C612) rei ta na seccedillo anterior paim te

estabelecer agora a seguinte estimativa

~ = Pr-ob (I C _hy) I ~ltlrI-IVnllr-I)) s Xamp~ yccediltx

(Ir1 - IVnllri ~]ltS l [- (627) oacute c IV 11r~-1

Da relaccedilSo C622) e (6161raquo temos

c Ir~1 - IVnllrn-pz = const Lnltd-U lt529)

IVlIr~-1 2CaL -l)

ond~ fizemos a escolha

Lecirc Ld-2IV~I = C529agt

L lt1-12IVnl = lt52Sb)

Assi m tJnOS

n( d j) o a exp (_ const L z ] lt530)S

16 ca - 1)

A rlaccedil~o (630) implica que Qno O quando n (O

para d ~ 2

Da relaccedilito lt6429a) e C615b temos que

p S ltgtP a( [ - ~ cJr~ I Ivnllri1I] =

~ const Lnfd-n )=eP(- a lt53D

ocorre com probabilidade S 1 - ano

69

Seja agora Q o sguin~ evento

1Q c hl I I~ (I __bull h Y) I li atilde (Ir~1 IVnllr~-I) bull xC n ycyx

para todo n ~ 1ebullbull N

De (eSOJ lemos que Q ocorre com probabilidade

1 xp ( _ const~ ) C6 3a)Z

C

bull da C61g) amp (631) temos que

ltltgtogt gt 1 - gtCp C-D e6 33) + shy

1 - exp ( _ const )oco~re com probabilidade S amp2

Combinando ent~o C5 sro com (63e) temos finalmante que

para 8 sufieienteacutement grande G amp2 peacutequeno (UogtNgt+ gt 1 atilde

MODELO CI 1) TiO

Para o modelo eI A O) mostraremos a t-ransiccedil~o dG fasEr

facilmente com um argumento de Pei6rls usual e nro preeisamos

fazer um estudo do estado fundamental

Fixada uma configuraccedillo e da di 1 uiccedil~o de ccedilontornos

lemos

N

lt00gt N+ = 1 I CcedilDo e6 36)

n

66

i

MODELO CX F A) T gt O

o estudo rei to para T bull O fornece um caminho para

mostrar a transiccedil~o de fase do moctelo (I~rA para r o e

d ~ 2 O primeiro passo eacute construir um argumento semelhante ao da

) replaccedili(o C6~ 1gt ltargulll0nto de PGi rls sGndo qu agora para T gt O

temos o fator de Gibbs (ver cal I)

Fixada uma configuraccedil~o h do campo aleat6rio t~mos

lt 00 gtN+ = 1 - a I po (6111gt

n=O

onde agora

pl = (amp-2jlrlI+~ronhx ) ZN (62())

ZN eacute a runccedil~o de par~iccedil~Q dada por (47) com a condiccedilgo que n~o

poderaacute haver contorno dentro de contorno

o argutoonto de PeiGrls usual consisto em estimar p~

consid~rando em 2N para cada n as coniacuteiguraccedillSes que trocam o

-nsinal do spin dentro de cada contorne ro Esta estimativa sempre

falha para d 2 porque assim temos

Pl S eP ( -ap Ir~1 + aI_ hx)xampyo

e da hipoacutetese (Sle) comJlinada com C61tX) tar1all1Oiotilde

_ Ir~ IZ ]

Prob [I I_ n hmiddot1 ~ Ir~IJ S aeP [ = 10 $ z Ironl

eonstZ (Ln)d-z ]= a ampP [- (621)

$ 2

1

middot ~

do onde vemos que para d 2 (621 $ uma ccns~ampn~bull PQrtanto

n~o converge pata ZerO quando n 4 w

Assim a seccedil~o an~rior sobre o QS~ado ~undamn~ampl sugQre

que devemos comii derar bull em ZN para cada n de lt6 ao) alguns

contornos da hierarquia n - 1 afim de obter uma convergeacutenci a

para lt52J)

Seja entatildeo para cada n c 1 ta H a subrede Ln-1 bull Zd

Ar Ln-bullbull zU -h oI a regiatildeo ro ~ vn um subconjunto arbi traacuterion

- hn-o vazio de 20 bull com volume a determnar onde est1Co localizados

alguns contornos yn- ~ o complemento de Vn em An com

dIVhl 1if1 ~ L lt52agt

AsJora temos para cada n = 1 a ~ N9 bull

-ap E Irxn-I +~ E lt E_ h_hy-~ E (E_ n_hy) ZN ~ )(ccedilVn J(CcedilVn yampyx xamp~ yampyx lte 23)

Combinando lte 23) cem lte 20) temcs

pn S P rap E ( E_ n-hy) - 2~ IY~I - IVnllrlil] (624) [ xeFn yqx

Vamos impor agora que

111 - IVnllrnl gt O (525)

e ccedilombinando com (622 t~mos seguintes vincules

o lt IVnl lt Ld- (525a)

ld _ ld- lt IV~I lt ld (526bgt

68

r

A hipoacutetese C612) rei ta na seccedillo anterior paim te

estabelecer agora a seguinte estimativa

~ = Pr-ob (I C _hy) I ~ltlrI-IVnllr-I)) s Xamp~ yccediltx

(Ir1 - IVnllri ~]ltS l [- (627) oacute c IV 11r~-1

Da relaccedilSo C622) e (6161raquo temos

c Ir~1 - IVnllrn-pz = const Lnltd-U lt529)

IVlIr~-1 2CaL -l)

ond~ fizemos a escolha

Lecirc Ld-2IV~I = C529agt

L lt1-12IVnl = lt52Sb)

Assi m tJnOS

n( d j) o a exp (_ const L z ] lt530)S

16 ca - 1)

A rlaccedil~o (630) implica que Qno O quando n (O

para d ~ 2

Da relaccedilito lt6429a) e C615b temos que

p S ltgtP a( [ - ~ cJr~ I Ivnllri1I] =

~ const Lnfd-n )=eP(- a lt53D

ocorre com probabilidade S 1 - ano

69

Seja agora Q o sguin~ evento

1Q c hl I I~ (I __bull h Y) I li atilde (Ir~1 IVnllr~-I) bull xC n ycyx

para todo n ~ 1ebullbull N

De (eSOJ lemos que Q ocorre com probabilidade

1 xp ( _ const~ ) C6 3a)Z

C

bull da C61g) amp (631) temos que

ltltgtogt gt 1 - gtCp C-D e6 33) + shy

1 - exp ( _ const )oco~re com probabilidade S amp2

Combinando ent~o C5 sro com (63e) temos finalmante que

para 8 sufieienteacutement grande G amp2 peacutequeno (UogtNgt+ gt 1 atilde

MODELO CI 1) TiO

Para o modelo eI A O) mostraremos a t-ransiccedil~o dG fasEr

facilmente com um argumento de Pei6rls usual e nro preeisamos

fazer um estudo do estado fundamental

Fixada uma configuraccedillo e da di 1 uiccedil~o de ccedilontornos

lemos

N

lt00gt N+ = 1 I CcedilDo e6 36)

n

1

middot ~

do onde vemos que para d 2 (621 $ uma ccns~ampn~bull PQrtanto

n~o converge pata ZerO quando n 4 w

Assim a seccedil~o an~rior sobre o QS~ado ~undamn~ampl sugQre

que devemos comii derar bull em ZN para cada n de lt6 ao) alguns

contornos da hierarquia n - 1 afim de obter uma convergeacutenci a

para lt52J)

Seja entatildeo para cada n c 1 ta H a subrede Ln-1 bull Zd

Ar Ln-bullbull zU -h oI a regiatildeo ro ~ vn um subconjunto arbi traacuterion

- hn-o vazio de 20 bull com volume a determnar onde est1Co localizados

alguns contornos yn- ~ o complemento de Vn em An com

dIVhl 1if1 ~ L lt52agt

AsJora temos para cada n = 1 a ~ N9 bull

-ap E Irxn-I +~ E lt E_ h_hy-~ E (E_ n_hy) ZN ~ )(ccedilVn J(CcedilVn yampyx xamp~ yampyx lte 23)

Combinando lte 23) cem lte 20) temcs

pn S P rap E ( E_ n-hy) - 2~ IY~I - IVnllrlil] (624) [ xeFn yqx

Vamos impor agora que

111 - IVnllrnl gt O (525)

e ccedilombinando com (622 t~mos seguintes vincules

o lt IVnl lt Ld- (525a)

ld _ ld- lt IV~I lt ld (526bgt

68

r

A hipoacutetese C612) rei ta na seccedillo anterior paim te

estabelecer agora a seguinte estimativa

~ = Pr-ob (I C _hy) I ~ltlrI-IVnllr-I)) s Xamp~ yccediltx

(Ir1 - IVnllri ~]ltS l [- (627) oacute c IV 11r~-1

Da relaccedilSo C622) e (6161raquo temos

c Ir~1 - IVnllrn-pz = const Lnltd-U lt529)

IVlIr~-1 2CaL -l)

ond~ fizemos a escolha

Lecirc Ld-2IV~I = C529agt

L lt1-12IVnl = lt52Sb)

Assi m tJnOS

n( d j) o a exp (_ const L z ] lt530)S

16 ca - 1)

A rlaccedil~o (630) implica que Qno O quando n (O

para d ~ 2

Da relaccedilito lt6429a) e C615b temos que

p S ltgtP a( [ - ~ cJr~ I Ivnllri1I] =

~ const Lnfd-n )=eP(- a lt53D

ocorre com probabilidade S 1 - ano

69

Seja agora Q o sguin~ evento

1Q c hl I I~ (I __bull h Y) I li atilde (Ir~1 IVnllr~-I) bull xC n ycyx

para todo n ~ 1ebullbull N

De (eSOJ lemos que Q ocorre com probabilidade

1 xp ( _ const~ ) C6 3a)Z

C

bull da C61g) amp (631) temos que

ltltgtogt gt 1 - gtCp C-D e6 33) + shy

1 - exp ( _ const )oco~re com probabilidade S amp2

Combinando ent~o C5 sro com (63e) temos finalmante que

para 8 sufieienteacutement grande G amp2 peacutequeno (UogtNgt+ gt 1 atilde

MODELO CI 1) TiO

Para o modelo eI A O) mostraremos a t-ransiccedil~o dG fasEr

facilmente com um argumento de Pei6rls usual e nro preeisamos

fazer um estudo do estado fundamental

Fixada uma configuraccedillo e da di 1 uiccedil~o de ccedilontornos

lemos

N

lt00gt N+ = 1 I CcedilDo e6 36)

n

68

r

A hipoacutetese C612) rei ta na seccedillo anterior paim te

estabelecer agora a seguinte estimativa

~ = Pr-ob (I C _hy) I ~ltlrI-IVnllr-I)) s Xamp~ yccediltx

(Ir1 - IVnllri ~]ltS l [- (627) oacute c IV 11r~-1

Da relaccedilSo C622) e (6161raquo temos

c Ir~1 - IVnllrn-pz = const Lnltd-U lt529)

IVlIr~-1 2CaL -l)

ond~ fizemos a escolha

Lecirc Ld-2IV~I = C529agt

L lt1-12IVnl = lt52Sb)

Assi m tJnOS

n( d j) o a exp (_ const L z ] lt530)S

16 ca - 1)

A rlaccedil~o (630) implica que Qno O quando n (O

para d ~ 2

Da relaccedilito lt6429a) e C615b temos que

p S ltgtP a( [ - ~ cJr~ I Ivnllri1I] =

~ const Lnfd-n )=eP(- a lt53D

ocorre com probabilidade S 1 - ano

69

Seja agora Q o sguin~ evento

1Q c hl I I~ (I __bull h Y) I li atilde (Ir~1 IVnllr~-I) bull xC n ycyx

para todo n ~ 1ebullbull N

De (eSOJ lemos que Q ocorre com probabilidade

1 xp ( _ const~ ) C6 3a)Z

C

bull da C61g) amp (631) temos que

ltltgtogt gt 1 - gtCp C-D e6 33) + shy

1 - exp ( _ const )oco~re com probabilidade S amp2

Combinando ent~o C5 sro com (63e) temos finalmante que

para 8 sufieienteacutement grande G amp2 peacutequeno (UogtNgt+ gt 1 atilde

MODELO CI 1) TiO

Para o modelo eI A O) mostraremos a t-ransiccedil~o dG fasEr

facilmente com um argumento de Pei6rls usual e nro preeisamos

fazer um estudo do estado fundamental

Fixada uma configuraccedillo e da di 1 uiccedil~o de ccedilontornos

lemos

N

lt00gt N+ = 1 I CcedilDo e6 36)

n

69

Seja agora Q o sguin~ evento

1Q c hl I I~ (I __bull h Y) I li atilde (Ir~1 IVnllr~-I) bull xC n ycyx

para todo n ~ 1ebullbull N

De (eSOJ lemos que Q ocorre com probabilidade

1 xp ( _ const~ ) C6 3a)Z

C

bull da C61g) amp (631) temos que

ltltgtogt gt 1 - gtCp C-D e6 33) + shy

1 - exp ( _ const )oco~re com probabilidade S amp2

Combinando ent~o C5 sro com (63e) temos finalmante que

para 8 sufieienteacutement grande G amp2 peacutequeno (UogtNgt+ gt 1 atilde

MODELO CI 1) TiO

Para o modelo eI A O) mostraremos a t-ransiccedil~o dG fasEr

facilmente com um argumento de Pei6rls usual e nro preeisamos

fazer um estudo do estado fundamental

Fixada uma configuraccedillo e da di 1 uiccedil~o de ccedilontornos

lemos

N

lt00gt N+ = 1 I CcedilDo e6 36)

n

70

r

onde

nQno E -eflyI ~ Z lt638)

M

_-0) Z eacute a funccedil~o de particcedil~o dada por (460) com a condiccedil~oN

d9 n~o haver con~orno dn~ro dQ con~Q~no

Foi ~eito uma escolha par para o paracircmetro L por isso

n8o temtls o campo amp~erno h prGSenteacuteJ no expoente de (6 3fO 1

nlmbrando que h aacute al~ernado dGn~ro da eada contorno 10

Para este modelo podamos estimar para todoZM

n =Ol bull N por ~ 1 bull assi m temosZf -ef Ir I ~lt 00gt H+ e 1 - 2 E (6 Sn

n=O

Tomando agrave meacutedi a em ~ bull lembrando que ~ independente de uma hiGrarquia para outra e que

com probabilidade p~ =

n

com p~obabilidade qn =1 _ pn

temos

N

lt00gtN+ 2 1 - e E ( qh + pn bull bull -2i Ir I ] = -o

N N n = 1 - li E q e E p e-eflr1 (538)

=0 n=O

Agora dvemos tEtr qn O quando n ~ eonvenienshy

~emente para que

li E q s 1 (539)n_ ir

f (

+H (Qc) ordft lt

wrssy 3 lt1 P M ~ N (

~~suo) owoo = I~tl ~

(J-PU

o=u d co middotS) I u

J

72

CAPiacuteTULO VI

)

ESTUDO DO MODELO CI f lu 3 REM SEM CONTORNO DENTRO DE

CONTORNO

NGS~ capitulo qsquematizar9mos Ymamp possiVQl prova para

mostrar a transiccedillo de- fas~ para Q modelo (IFA TEia isto eacute

onde os contornos s(o de todos os tipos e ~o apenas como no

modelo hieraacuterquiacuteco Baseado em nossos Ti9Sultados do capitulo

anttiilJict de que o mtldelo eI F Agt na aproximaccedilSto hieraacuterquica

quando n~o se lava em conta contornos dentro de contornos

apresenta transiccedil~Q de fase para d ~ a~ a nos~a conjectura eacute queshy

i o modelo (IFA rqal tambeacutem apresenta transiccedil~ de fase para

d ~ 2 quando n~o se leva em conta contornos dentro de contornos

) Esfa conjectura estacirc baseada no fato coroo jaacute salientamos no final

da Introduccedil-o deste tr~balho que tudo que eacute verdadeiro para a

apToxi~ccedil~o hieraacuterquica seraacute verdadeiro para o modelo real

Para o modelo e1 F Agt real temos novamente por Um

argumentQ d$ plCcedillj 9l1 $ que

-~llO I + ~ I hx lt00gt A+ = 1 - 2 1 e JtIiYo Z C5)

yoampr

onde Z a funccedillio dEgt particcedillio dado por (43) lembrando q tanto em ZA como na soma em C61gt natildeo poderaacute haver contornos

d9n~ro da con~ornos Poreacutem os contornos 10 s~o de ~odos os ~1pos

possiacuteveis como no argumento usual de Peierls (ver capitulo I) e o

indice O significa que a origem estaacute contida em yo

)

i

79

)

)

I

I -

Seja entto

-2311deg1 + (3~_hx amp)oPCyo) e Z (8 agt

Uma esUmat va para (62) seracirc obtida agora decompondo

- ncada reg1~o YOJ numa unDo de reg~ dO tipo y de modelo

hieraacuterquico com n gt 1 e estimar oacute eorrespondente COlltorno yo

npelos respectivos contornos y ~ Em seguida comparamos a energia

de yn com a energia de alguns contorno$ rn-S como fizemos no

modelo hierArquico

Seja ent~o um dado yo decomposto na ~orma

-n10 = U rmiddot (631

Ao

sendo Ao o conjunto dos sitios x de yQ onde devemos centrar -n

as regi~ rmiddot Vamos supor agora que exista uma constante k para todo

yo tal que

110 1 k I Irnl (64)Ao

nSe os contornos yx percorressem apenas os lados de

Yo isto eacute Se n~o houvesse contornos rxn no interior de o

nento k = 12d isto porque pecirclo menos um lado de rx faz par-te

de )0

Como eacute posslyel haver contornos no inierior de rOl o

procedimento deve ser outro tal come feito no trabalho da

ref [163 onde um mesmo contorno ro eacute aproximado por todas as

)

74

I

I

hi e1arquias at uma hierarquia maacutexima que depende do yo

Poreacutem nlo segui remos este procedi mento aqui pc1 s 1$o

envolve um complicado problema geomeacutet-rico que n~o conseguimos

resol ver ai nda Agora para cada yo est1mamos ZA por

210 o n Igt -ap E Iry- I +(11 (I - ~ h)shy

xelto yeVnx ycV SampYY

+ ( E ( E _~ hJ C65) yevenx eyy

Os conJuntos Vrue e ~nx mito como em (528) com apenas

um d8talhe Vnx deve ser um subconjunto de Anx coras deranelo

apenas os si ti os que esUto na subrede par ou Impar de Jn)(~ Isto

porque contrariamente ao lfIOdelo h1eraacuterquico nilo podtttmos ter

no modelo real um contorno adJacente a outro Esta condiccedil~ imptSe

naturalmente um vinculo ao volume de V~ que eacute

IVI S Ld2 (66)

Poreacutem (66) eacute automaticamente satis~e1Lo devido ao vinculo

(5 26a)

Combinando entSo (62 com C54) e (66) temos

PCyo) s n Pnx ro) C67) xJIlt

onde

meC)o) = Xl ap E ~~

(I -

h) 2f3 Ck Illll - IVII~Pn-~yampvnx atyy

(68)

Vamos impo~ agora que

k Irlll IV~llrr1 gt O (611)

amp combinando com (622J temos os seguintes vinculos

f (

+H (Qc) ordft lt

wrssy 3 lt1 P M ~ N (

~~suo) owoo = I~tl ~

(J-PU

o=u d co middotS) I u

J

72

CAPiacuteTULO VI

)

ESTUDO DO MODELO CI f lu 3 REM SEM CONTORNO DENTRO DE

CONTORNO

NGS~ capitulo qsquematizar9mos Ymamp possiVQl prova para

mostrar a transiccedillo de- fas~ para Q modelo (IFA TEia isto eacute

onde os contornos s(o de todos os tipos e ~o apenas como no

modelo hieraacuterquiacuteco Baseado em nossos Ti9Sultados do capitulo

anttiilJict de que o mtldelo eI F Agt na aproximaccedilSto hieraacuterquica

quando n~o se lava em conta contornos dentro de contornos

apresenta transiccedil~Q de fase para d ~ a~ a nos~a conjectura eacute queshy

i o modelo (IFA rqal tambeacutem apresenta transiccedil~ de fase para

d ~ 2 quando n~o se leva em conta contornos dentro de contornos

) Esfa conjectura estacirc baseada no fato coroo jaacute salientamos no final

da Introduccedil-o deste tr~balho que tudo que eacute verdadeiro para a

apToxi~ccedil~o hieraacuterquica seraacute verdadeiro para o modelo real

Para o modelo e1 F Agt real temos novamente por Um

argumentQ d$ plCcedillj 9l1 $ que

-~llO I + ~ I hx lt00gt A+ = 1 - 2 1 e JtIiYo Z C5)

yoampr

onde Z a funccedillio dEgt particcedillio dado por (43) lembrando q tanto em ZA como na soma em C61gt natildeo poderaacute haver contornos

d9n~ro da con~ornos Poreacutem os contornos 10 s~o de ~odos os ~1pos

possiacuteveis como no argumento usual de Peierls (ver capitulo I) e o

indice O significa que a origem estaacute contida em yo

)

i

79

)

)

I

I -

Seja entto

-2311deg1 + (3~_hx amp)oPCyo) e Z (8 agt

Uma esUmat va para (62) seracirc obtida agora decompondo

- ncada reg1~o YOJ numa unDo de reg~ dO tipo y de modelo

hieraacuterquico com n gt 1 e estimar oacute eorrespondente COlltorno yo

npelos respectivos contornos y ~ Em seguida comparamos a energia

de yn com a energia de alguns contorno$ rn-S como fizemos no

modelo hierArquico

Seja ent~o um dado yo decomposto na ~orma

-n10 = U rmiddot (631

Ao

sendo Ao o conjunto dos sitios x de yQ onde devemos centrar -n

as regi~ rmiddot Vamos supor agora que exista uma constante k para todo

yo tal que

110 1 k I Irnl (64)Ao

nSe os contornos yx percorressem apenas os lados de

Yo isto eacute Se n~o houvesse contornos rxn no interior de o

nento k = 12d isto porque pecirclo menos um lado de rx faz par-te

de )0

Como eacute posslyel haver contornos no inierior de rOl o

procedimento deve ser outro tal come feito no trabalho da

ref [163 onde um mesmo contorno ro eacute aproximado por todas as

)

74

I

I

hi e1arquias at uma hierarquia maacutexima que depende do yo

Poreacutem nlo segui remos este procedi mento aqui pc1 s 1$o

envolve um complicado problema geomeacutet-rico que n~o conseguimos

resol ver ai nda Agora para cada yo est1mamos ZA por

210 o n Igt -ap E Iry- I +(11 (I - ~ h)shy

xelto yeVnx ycV SampYY

+ ( E ( E _~ hJ C65) yevenx eyy

Os conJuntos Vrue e ~nx mito como em (528) com apenas

um d8talhe Vnx deve ser um subconjunto de Anx coras deranelo

apenas os si ti os que esUto na subrede par ou Impar de Jn)(~ Isto

porque contrariamente ao lfIOdelo h1eraacuterquico nilo podtttmos ter

no modelo real um contorno adJacente a outro Esta condiccedil~ imptSe

naturalmente um vinculo ao volume de V~ que eacute

IVI S Ld2 (66)

Poreacutem (66) eacute automaticamente satis~e1Lo devido ao vinculo

(5 26a)

Combinando entSo (62 com C54) e (66) temos

PCyo) s n Pnx ro) C67) xJIlt

onde

meC)o) = Xl ap E ~~

(I -

h) 2f3 Ck Illll - IVII~Pn-~yampvnx atyy

(68)

Vamos impo~ agora que

k Irlll IV~llrr1 gt O (611)

amp combinando com (622J temos os seguintes vinculos

72

CAPiacuteTULO VI

)

ESTUDO DO MODELO CI f lu 3 REM SEM CONTORNO DENTRO DE

CONTORNO

NGS~ capitulo qsquematizar9mos Ymamp possiVQl prova para

mostrar a transiccedillo de- fas~ para Q modelo (IFA TEia isto eacute

onde os contornos s(o de todos os tipos e ~o apenas como no

modelo hieraacuterquiacuteco Baseado em nossos Ti9Sultados do capitulo

anttiilJict de que o mtldelo eI F Agt na aproximaccedilSto hieraacuterquica

quando n~o se lava em conta contornos dentro de contornos

apresenta transiccedil~Q de fase para d ~ a~ a nos~a conjectura eacute queshy

i o modelo (IFA rqal tambeacutem apresenta transiccedil~ de fase para

d ~ 2 quando n~o se leva em conta contornos dentro de contornos

) Esfa conjectura estacirc baseada no fato coroo jaacute salientamos no final

da Introduccedil-o deste tr~balho que tudo que eacute verdadeiro para a

apToxi~ccedil~o hieraacuterquica seraacute verdadeiro para o modelo real

Para o modelo e1 F Agt real temos novamente por Um

argumentQ d$ plCcedillj 9l1 $ que

-~llO I + ~ I hx lt00gt A+ = 1 - 2 1 e JtIiYo Z C5)

yoampr

onde Z a funccedillio dEgt particcedillio dado por (43) lembrando q tanto em ZA como na soma em C61gt natildeo poderaacute haver contornos

d9n~ro da con~ornos Poreacutem os contornos 10 s~o de ~odos os ~1pos

possiacuteveis como no argumento usual de Peierls (ver capitulo I) e o

indice O significa que a origem estaacute contida em yo

)

i

79

)

)

I

I -

Seja entto

-2311deg1 + (3~_hx amp)oPCyo) e Z (8 agt

Uma esUmat va para (62) seracirc obtida agora decompondo

- ncada reg1~o YOJ numa unDo de reg~ dO tipo y de modelo

hieraacuterquico com n gt 1 e estimar oacute eorrespondente COlltorno yo

npelos respectivos contornos y ~ Em seguida comparamos a energia

de yn com a energia de alguns contorno$ rn-S como fizemos no

modelo hierArquico

Seja ent~o um dado yo decomposto na ~orma

-n10 = U rmiddot (631

Ao

sendo Ao o conjunto dos sitios x de yQ onde devemos centrar -n

as regi~ rmiddot Vamos supor agora que exista uma constante k para todo

yo tal que

110 1 k I Irnl (64)Ao

nSe os contornos yx percorressem apenas os lados de

Yo isto eacute Se n~o houvesse contornos rxn no interior de o

nento k = 12d isto porque pecirclo menos um lado de rx faz par-te

de )0

Como eacute posslyel haver contornos no inierior de rOl o

procedimento deve ser outro tal come feito no trabalho da

ref [163 onde um mesmo contorno ro eacute aproximado por todas as

)

74

I

I

hi e1arquias at uma hierarquia maacutexima que depende do yo

Poreacutem nlo segui remos este procedi mento aqui pc1 s 1$o

envolve um complicado problema geomeacutet-rico que n~o conseguimos

resol ver ai nda Agora para cada yo est1mamos ZA por

210 o n Igt -ap E Iry- I +(11 (I - ~ h)shy

xelto yeVnx ycV SampYY

+ ( E ( E _~ hJ C65) yevenx eyy

Os conJuntos Vrue e ~nx mito como em (528) com apenas

um d8talhe Vnx deve ser um subconjunto de Anx coras deranelo

apenas os si ti os que esUto na subrede par ou Impar de Jn)(~ Isto

porque contrariamente ao lfIOdelo h1eraacuterquico nilo podtttmos ter

no modelo real um contorno adJacente a outro Esta condiccedil~ imptSe

naturalmente um vinculo ao volume de V~ que eacute

IVI S Ld2 (66)

Poreacutem (66) eacute automaticamente satis~e1Lo devido ao vinculo

(5 26a)

Combinando entSo (62 com C54) e (66) temos

PCyo) s n Pnx ro) C67) xJIlt

onde

meC)o) = Xl ap E ~~

(I -

h) 2f3 Ck Illll - IVII~Pn-~yampvnx atyy

(68)

Vamos impo~ agora que

k Irlll IV~llrr1 gt O (611)

amp combinando com (622J temos os seguintes vinculos

i

79

)

)

I

I -

Seja entto

-2311deg1 + (3~_hx amp)oPCyo) e Z (8 agt

Uma esUmat va para (62) seracirc obtida agora decompondo

- ncada reg1~o YOJ numa unDo de reg~ dO tipo y de modelo

hieraacuterquico com n gt 1 e estimar oacute eorrespondente COlltorno yo

npelos respectivos contornos y ~ Em seguida comparamos a energia

de yn com a energia de alguns contorno$ rn-S como fizemos no

modelo hierArquico

Seja ent~o um dado yo decomposto na ~orma

-n10 = U rmiddot (631

Ao

sendo Ao o conjunto dos sitios x de yQ onde devemos centrar -n

as regi~ rmiddot Vamos supor agora que exista uma constante k para todo

yo tal que

110 1 k I Irnl (64)Ao

nSe os contornos yx percorressem apenas os lados de

Yo isto eacute Se n~o houvesse contornos rxn no interior de o

nento k = 12d isto porque pecirclo menos um lado de rx faz par-te

de )0

Como eacute posslyel haver contornos no inierior de rOl o

procedimento deve ser outro tal come feito no trabalho da

ref [163 onde um mesmo contorno ro eacute aproximado por todas as

)

74

I

I

hi e1arquias at uma hierarquia maacutexima que depende do yo

Poreacutem nlo segui remos este procedi mento aqui pc1 s 1$o

envolve um complicado problema geomeacutet-rico que n~o conseguimos

resol ver ai nda Agora para cada yo est1mamos ZA por

210 o n Igt -ap E Iry- I +(11 (I - ~ h)shy

xelto yeVnx ycV SampYY

+ ( E ( E _~ hJ C65) yevenx eyy

Os conJuntos Vrue e ~nx mito como em (528) com apenas

um d8talhe Vnx deve ser um subconjunto de Anx coras deranelo

apenas os si ti os que esUto na subrede par ou Impar de Jn)(~ Isto

porque contrariamente ao lfIOdelo h1eraacuterquico nilo podtttmos ter

no modelo real um contorno adJacente a outro Esta condiccedil~ imptSe

naturalmente um vinculo ao volume de V~ que eacute

IVI S Ld2 (66)

Poreacutem (66) eacute automaticamente satis~e1Lo devido ao vinculo

(5 26a)

Combinando entSo (62 com C54) e (66) temos

PCyo) s n Pnx ro) C67) xJIlt

onde

meC)o) = Xl ap E ~~

(I -

h) 2f3 Ck Illll - IVII~Pn-~yampvnx atyy

(68)

Vamos impo~ agora que

k Irlll IV~llrr1 gt O (611)

amp combinando com (622J temos os seguintes vinculos

74

I

I

hi e1arquias at uma hierarquia maacutexima que depende do yo

Poreacutem nlo segui remos este procedi mento aqui pc1 s 1$o

envolve um complicado problema geomeacutet-rico que n~o conseguimos

resol ver ai nda Agora para cada yo est1mamos ZA por

210 o n Igt -ap E Iry- I +(11 (I - ~ h)shy

xelto yeVnx ycV SampYY

+ ( E ( E _~ hJ C65) yevenx eyy

Os conJuntos Vrue e ~nx mito como em (528) com apenas

um d8talhe Vnx deve ser um subconjunto de Anx coras deranelo

apenas os si ti os que esUto na subrede par ou Impar de Jn)(~ Isto

porque contrariamente ao lfIOdelo h1eraacuterquico nilo podtttmos ter

no modelo real um contorno adJacente a outro Esta condiccedil~ imptSe

naturalmente um vinculo ao volume de V~ que eacute

IVI S Ld2 (66)

Poreacutem (66) eacute automaticamente satis~e1Lo devido ao vinculo

(5 26a)

Combinando entSo (62 com C54) e (66) temos

PCyo) s n Pnx ro) C67) xJIlt

onde

meC)o) = Xl ap E ~~

(I -

h) 2f3 Ck Illll - IVII~Pn-~yampvnx atyy

(68)

Vamos impo~ agora que

k Irlll IV~llrr1 gt O (611)

amp combinando com (622J temos os seguintes vinculos

76

)

)

)

d-o lt IVnxl lt k L C610a)

Ld k L lt IV~ I lt L d C610bJ

seja agora Q o evento

1Q = h lI ltI _ n- h) I s 2 Ckll~1 IVnxll~P bull

yamp~X yy

para todo x amp110 todo n = 1 a bull lt611)

Se Q ocorl1lt com probabilidade 1 - exp C- const amp2)

Cref [le)) entatildeo teremos para Cel) que

e-PltCo) A+ i 1 lt6 1 i)

ocor~e com p~obab11idade

P = 1 ~xp (- const tl ce13gt

com p sut1cien~emente grande e amp pequeno

Combinando (612) com (613) teriamos finalmeacutente

lt00gtA+ gt 18 lte 14)

Par-a obtr (612) lazemos com a escolha

dIV~I = L kLd-J 2 C516a1

76

Iv~1 = kLd-t2 lt61ebgt

se ocorre o evento Q entUo combinando (6 8J (61amp) e

(6 15b)

PnxCyoJ

temos

~ exp (-ts constk Lnd-S)-a) = exp (-11 Ln(Otilde-O2)

(6l6)

uma vez que de (515)))

- j const = 2d C617)

Por outro lado Lemos que

IAoI IrolLnltoacute- (618)

assim teremos para C67J

Pltro) s n PnxCyo xeAo

i P [-13 1101 2] (619)

que combinando com lt61) resllta em (612)

Para obter (613) de~1nimos o evenLo cQnxCyo)

c 1O)laquoYltgt = h h 1 Ck r~ Iv~lr~-llmiddot 1 1 c lt1 - n-f- atilde

yeVnx ery

para n fixadOS (680)

77

novamon~o da h1p6to~ lt612) ~mos que

Prolgt c(llgtlaquororaquo) ~ 2 exp [_ (k 1-1 I a amp2

- IVxllr1t p2 ] IV~x I Iryn- I

C621)

bull com a eacuteSeacuteolha (B1Sa) C5~ 16b) bull lt6 i 7) temos

)

Prob (~(yo)) ~ amp exp [ Ic bull Led-1) ]

16CampL - k)z

onde vemos que ~Cro) ~ O quando n 00 para d ~ 2

Com esta das gualdada lt 6 22) esperamos obter

S1S) bullbullntrtan~o n~o conseguimos ainda

a

(6=

relaccedil~o

79

C4PITULO VII

COMEHTAacuteRIOS

-i

NIiPSt tr ilbiill hQ ti VtilIIItOS a opor tuni dad de rzer uma

revislo sobre sistemas aleatoacuterios desde a sua orig~m com os

trabalhos d Brout~ atq o recen~ ~rabalho do Briemont Q Ku~ainon

sobre o modelo de I5ing Cerromagneacutetico em campo aleatoacuterio

Os sistemas aleat6rios apresentam uma quantidade enor~

de resultados novos e deixa novos caminhos para questeses 01(0

reacuteSol vidas ainda ou natildeo estudadas Virnos tambeacutelD como deVQ Seacutei

estendido o formalismo de Gihbs da Mecacircnica Estat1stica em

sistEtmas alccedila16rios ttiilmpirados O objetivo final dest trabalho

que era mostrar que o modelo anti~erromagntico dil~do em campo

uni~orme eacute capaz de gerar campos aleat6rios na aproximaccedil~o

hieraacuterqqica tampVEl todo tm1 encadeamento cle conceios preliminares

ateacute podermos aplicar a Teoria do Grupoc dO Renormali zaccedil3o NGStw

encadeamento tivemos o conceito de contornos de Peierls seguido da

~vQria de grupo de r~normalizaccedil~o O argumenlo de Imry e Ma surgiu

naLuralmenle denLro desLe oacuteltimo passo

Wa nossa proposta para oblnccedil~o da equivalecircncia enlre Q$

~91~ fwrrcmagnticos wm campo alfiJat6rio e antifOtildeOtildelrromagneacutetico

diluido em campo unitorJMI observamos que bastou dar o primeiro

passo para gerar um campo aleatoacuterio em funccedilatildeo do campo uni rorme

pois nas hierarquias seacutegUint9s o campo aleat6rio S-egU9

textualmcm~ o que Jaacute havia sido obtido para () modelo

ferrQmagneacutetico com campo alea~oacuterio Observamos tambeacutem que a

rGtirada do campo unitorms ou da dil~iccedil~o deslroe l~almenle o

e~po aleatoacuterio gerado

I

70

A aprQximay~o hioracircrquiccedil~ ~rmi~iu ~ amppliccedil9~o xa~a do

grupo de renormalizaccedil$itQ a relevAncia dessa aproxiJllotildeilCcedilao eacute

justificada pelo fato que acredita-se que tudo que eacute Vardadeiro

~ sobrQ modqlO$ ntraacuterquicos Lamb$m sJa ~rdadQiro sem Q~~a

aproximaccedil~o Poreacutem eacute um problema ainda em aberto a equivalecircncia

completa dos mod~los tratados aqui

Ti vemos a oportunidad tallb4m dQ ampsttldar o 11 to d

contornos d9ntro d con~ornos Onde vimos que esse ra~o eacute

importante para la dimenso critica inferior PQis ambos os modelos

CIFA bull eIAD na V8rs5Jo hhtr4rquica apresentam transiccedilo

do fase para d ~ 2 ~fn voz d d 2

Para o modelo elo F A) real propomos um esquema baseado

na verso hlracircrquica~ para mostrar que este apresenta transiccedil~o

de Case para d ~ 2 quando n~o $ leva em conta contornos dentro

de contornos Entretanto complicadO$ problemas geomeacutetricos que

QS~amo$ 8S~udando ~o permi~iram ainda a conclus~o rinal

QO

(-shy

REFE~NCIAS

[1J Mallhias Suhl Corenzwil (1968) Phys Rev Letl I se

[2] Brou~ R C195Q) Phys Rev Vol 116 4 824

[3] Lacour-Gayet P bull Toulouse G (1974) J Physique 35 426

[4J Imry Y Ma S-K (1975) Phys Rev Lell Vol 35 21 1399

[6] Grins~ein G (1976) Phys Rev Le~~ 37 944

[6J Aharony A Imry Y Ma S-K (1976) Phys Rev Lelt 37 1364

[7J Youn9 AP (1977) J Phys C Solid $l Phys 10 L257

[81 Aharony A (1978) Phys Rev B 18 3318

[91 Peraz JF j WreszinsJci WF Van Hemmen JL C1QB4) J

$lal Phys 35 89

[10] Aharony A Fishman S (1979) J Phys C Solid ~ Phys

Vol 12 L729

[11] Cardybull IL (1984) Phys Rev B Vol 29 ~ 505

[12] Galam S (19aS) Phys Rev B Vol 31 11 7274

[13] Peraz J F Ponti n L F Baecircta Segundo J A (1986) Phys

Rev A Vol 116 6 287

[14] Yoshizaa Hbull Cowley RA Shirana G (lQ82) Phys Rev

Lett Vol 48 6 438

[151 Pytte E Imry Y Mukamel O (1981) Phys Rev Lelt 46

1173

[16] Fi sher D Frohl i ch J Spencer T (1994) J Stat Phys

Vol 34 66 863

[171 Chalker J C1Q83) J Phys C 16 ~6

[181 Imbrie J C1Q86) Commun Math Phys Q8 146

[19] Bricmont J Kupiai nen A Cl988) Commun Math Phys 116

639

[20] Ai2enman M Wehr J C1Q8Q) Commun Math Phys

I )

I ) a1I

I [213 Benf~tto G Gallavotti G C1gae) Commun Math~ Pb)i~ 106

277

[221 Ruelle D (1969) Stat1stical Meehanlcs Rigorous Resul ts

W A Bonjamin

(231 Gallavotti G C16172gt Revi a del Nu Ci no 2 133

(84J Pe1erls R (1936) Prolt Gambr1dge fh11 Soe 3Ei 477

[as] Brush S G (1Q67) Rampv Mod Phys ~ aa3

[261 Kaccedil M C11ocircl64) Phys Toei Vol 10 17 40

) [27J Berlim TH Kae M (1952) Phys Rev 86 821

~ [293 WeisSotilde PR C1Q4S) Phys Rev Valo 741403 -)

I2QJ Andern P W (16179) Rv Mod Phys 2 100

1301 van Hemmen IL Palmar RG (1982gt1 Phys A Math Gan 15

3991

(31] Breiman L frbabi1 iy (Addison-Wl y Reading 196a)

32) van Henunen J 1 van Enter A C D Canisi us J C1993) Z

) Phys B 60 311

(l3] Salinas SR Wreszlnski WF (1985) J Sa Phys

(a41 Wilson XG (1071) Phys Rev B 4 3174

(351 Wilson XS Kogut J (1074) Phys Rept 12 C 76

[31S) Kadanoii L P et al CIQ67) Rev Mod Phys 39 396

(37) stanley HE (1971) Intro to phase transition and criticaI

phenomena COxiacuteord Univorsity PrtiU~~ Lolidongt

[sel Bakeacuter Jr bull GA ~nGr GR (lQ73) Phys Rev Le~~~ 31 aB

r391 Dyson FI (1969) Commun MaLh Phys 1Ei 91

(~O] ~iemon~ J Kuplainen t A C1QS8) J ~a~ Phys Val 61 66 1021

1411 Frohlieh J MaLbe_til Aspects oi The Physics oi

Oisordered Systems teQ Houches 1Q94

(42] Baeacuteta Segundobull 1 A Tese de Doutoramento (1 F U S P) 1911O

[43J Moss da Olivoi~a S M Tese de Dou~O~Amento CUFFRJ)

1Q9Q Mos de Oliveira S M~ Oliveira P M

Conti nent1 no M A C19SS) Physica A 152 477

144l Bruinsma Rbull (1984) bull Phys Rev B Vol 30 1 290

[463 Quoi~oz bull S L A Santos R R C1QB7) Pr print

P U C R J

(

• 1
• 2
• 3
• 4

76

Iv~1 = kLd-t2 lt61ebgt

se ocorre o evento Q entUo combinando (6 8J (61amp) e

(6 15b)

PnxCyoJ

temos

~ exp (-ts constk Lnd-S)-a) = exp (-11 Ln(Otilde-O2)

(6l6)

uma vez que de (515)))

- j const = 2d C617)

Por outro lado Lemos que

IAoI IrolLnltoacute- (618)

assim teremos para C67J

Pltro) s n PnxCyo xeAo

i P [-13 1101 2] (619)

que combinando com lt61) resllta em (612)

Para obter (613) de~1nimos o evenLo cQnxCyo)

c 1O)laquoYltgt = h h 1 Ck r~ Iv~lr~-llmiddot 1 1 c lt1 - n-f- atilde

yeVnx ery

para n fixadOS (680)

77

novamon~o da h1p6to~ lt612) ~mos que

Prolgt c(llgtlaquororaquo) ~ 2 exp [_ (k 1-1 I a amp2

- IVxllr1t p2 ] IV~x I Iryn- I

C621)

bull com a eacuteSeacuteolha (B1Sa) C5~ 16b) bull lt6 i 7) temos

)

Prob (~(yo)) ~ amp exp [ Ic bull Led-1) ]

16CampL - k)z

onde vemos que ~Cro) ~ O quando n 00 para d ~ 2

Com esta das gualdada lt 6 22) esperamos obter

S1S) bullbullntrtan~o n~o conseguimos ainda

a

(6=

relaccedil~o

79

C4PITULO VII

COMEHTAacuteRIOS

-i

NIiPSt tr ilbiill hQ ti VtilIIItOS a opor tuni dad de rzer uma

revislo sobre sistemas aleatoacuterios desde a sua orig~m com os

trabalhos d Brout~ atq o recen~ ~rabalho do Briemont Q Ku~ainon

sobre o modelo de I5ing Cerromagneacutetico em campo aleatoacuterio

Os sistemas aleat6rios apresentam uma quantidade enor~

de resultados novos e deixa novos caminhos para questeses 01(0

reacuteSol vidas ainda ou natildeo estudadas Virnos tambeacutelD como deVQ Seacutei

estendido o formalismo de Gihbs da Mecacircnica Estat1stica em

sistEtmas alccedila16rios ttiilmpirados O objetivo final dest trabalho

que era mostrar que o modelo anti~erromagntico dil~do em campo

uni~orme eacute capaz de gerar campos aleat6rios na aproximaccedil~o

hieraacuterqqica tampVEl todo tm1 encadeamento cle conceios preliminares

ateacute podermos aplicar a Teoria do Grupoc dO Renormali zaccedil3o NGStw

encadeamento tivemos o conceito de contornos de Peierls seguido da

~vQria de grupo de r~normalizaccedil~o O argumenlo de Imry e Ma surgiu

naLuralmenle denLro desLe oacuteltimo passo

Wa nossa proposta para oblnccedil~o da equivalecircncia enlre Q$

~91~ fwrrcmagnticos wm campo alfiJat6rio e antifOtildeOtildelrromagneacutetico

diluido em campo unitorJMI observamos que bastou dar o primeiro

passo para gerar um campo aleatoacuterio em funccedilatildeo do campo uni rorme

pois nas hierarquias seacutegUint9s o campo aleat6rio S-egU9

textualmcm~ o que Jaacute havia sido obtido para () modelo

ferrQmagneacutetico com campo alea~oacuterio Observamos tambeacutem que a

rGtirada do campo unitorms ou da dil~iccedil~o deslroe l~almenle o

e~po aleatoacuterio gerado

I

70

A aprQximay~o hioracircrquiccedil~ ~rmi~iu ~ amppliccedil9~o xa~a do

grupo de renormalizaccedil$itQ a relevAncia dessa aproxiJllotildeilCcedilao eacute

justificada pelo fato que acredita-se que tudo que eacute Vardadeiro

~ sobrQ modqlO$ ntraacuterquicos Lamb$m sJa ~rdadQiro sem Q~~a

aproximaccedil~o Poreacutem eacute um problema ainda em aberto a equivalecircncia

completa dos mod~los tratados aqui

Ti vemos a oportunidad tallb4m dQ ampsttldar o 11 to d

contornos d9ntro d con~ornos Onde vimos que esse ra~o eacute

importante para la dimenso critica inferior PQis ambos os modelos

CIFA bull eIAD na V8rs5Jo hhtr4rquica apresentam transiccedilo

do fase para d ~ 2 ~fn voz d d 2

Para o modelo elo F A) real propomos um esquema baseado

na verso hlracircrquica~ para mostrar que este apresenta transiccedil~o

de Case para d ~ 2 quando n~o $ leva em conta contornos dentro

de contornos Entretanto complicadO$ problemas geomeacutetricos que

QS~amo$ 8S~udando ~o permi~iram ainda a conclus~o rinal

QO

(-shy

REFE~NCIAS

[1J Mallhias Suhl Corenzwil (1968) Phys Rev Letl I se

[2] Brou~ R C195Q) Phys Rev Vol 116 4 824

[3] Lacour-Gayet P bull Toulouse G (1974) J Physique 35 426

[4J Imry Y Ma S-K (1975) Phys Rev Lell Vol 35 21 1399

[6] Grins~ein G (1976) Phys Rev Le~~ 37 944

[6J Aharony A Imry Y Ma S-K (1976) Phys Rev Lelt 37 1364

[7J Youn9 AP (1977) J Phys C Solid $l Phys 10 L257

[81 Aharony A (1978) Phys Rev B 18 3318

[91 Peraz JF j WreszinsJci WF Van Hemmen JL C1QB4) J

$lal Phys 35 89

[10] Aharony A Fishman S (1979) J Phys C Solid ~ Phys

Vol 12 L729

[11] Cardybull IL (1984) Phys Rev B Vol 29 ~ 505

[12] Galam S (19aS) Phys Rev B Vol 31 11 7274

[13] Peraz J F Ponti n L F Baecircta Segundo J A (1986) Phys

Rev A Vol 116 6 287

[14] Yoshizaa Hbull Cowley RA Shirana G (lQ82) Phys Rev

Lett Vol 48 6 438

[151 Pytte E Imry Y Mukamel O (1981) Phys Rev Lelt 46

1173

[16] Fi sher D Frohl i ch J Spencer T (1994) J Stat Phys

Vol 34 66 863

[171 Chalker J C1Q83) J Phys C 16 ~6

[181 Imbrie J C1Q86) Commun Math Phys Q8 146

[19] Bricmont J Kupiai nen A Cl988) Commun Math Phys 116

639

[20] Ai2enman M Wehr J C1Q8Q) Commun Math Phys

I )

I ) a1I

I [213 Benf~tto G Gallavotti G C1gae) Commun Math~ Pb)i~ 106

277

[221 Ruelle D (1969) Stat1stical Meehanlcs Rigorous Resul ts

W A Bonjamin

(231 Gallavotti G C16172gt Revi a del Nu Ci no 2 133

(84J Pe1erls R (1936) Prolt Gambr1dge fh11 Soe 3Ei 477

[as] Brush S G (1Q67) Rampv Mod Phys ~ aa3

[261 Kaccedil M C11ocircl64) Phys Toei Vol 10 17 40

) [27J Berlim TH Kae M (1952) Phys Rev 86 821

~ [293 WeisSotilde PR C1Q4S) Phys Rev Valo 741403 -)

I2QJ Andern P W (16179) Rv Mod Phys 2 100

1301 van Hemmen IL Palmar RG (1982gt1 Phys A Math Gan 15

3991

(31] Breiman L frbabi1 iy (Addison-Wl y Reading 196a)

32) van Henunen J 1 van Enter A C D Canisi us J C1993) Z

) Phys B 60 311

(l3] Salinas SR Wreszlnski WF (1985) J Sa Phys

(a41 Wilson XG (1071) Phys Rev B 4 3174

(351 Wilson XS Kogut J (1074) Phys Rept 12 C 76

[31S) Kadanoii L P et al CIQ67) Rev Mod Phys 39 396

(37) stanley HE (1971) Intro to phase transition and criticaI

phenomena COxiacuteord Univorsity PrtiU~~ Lolidongt

[sel Bakeacuter Jr bull GA ~nGr GR (lQ73) Phys Rev Le~~~ 31 aB

r391 Dyson FI (1969) Commun MaLh Phys 1Ei 91

(~O] ~iemon~ J Kuplainen t A C1QS8) J ~a~ Phys Val 61 66 1021

1411 Frohlieh J MaLbe_til Aspects oi The Physics oi

Oisordered Systems teQ Houches 1Q94

(42] Baeacuteta Segundobull 1 A Tese de Doutoramento (1 F U S P) 1911O

[43J Moss da Olivoi~a S M Tese de Dou~O~Amento CUFFRJ)

1Q9Q Mos de Oliveira S M~ Oliveira P M

Conti nent1 no M A C19SS) Physica A 152 477

144l Bruinsma Rbull (1984) bull Phys Rev B Vol 30 1 290

[463 Quoi~oz bull S L A Santos R R C1QB7) Pr print

P U C R J

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• 1
• 2
• 3
• 4

77

novamon~o da h1p6to~ lt612) ~mos que

Prolgt c(llgtlaquororaquo) ~ 2 exp [_ (k 1-1 I a amp2

- IVxllr1t p2 ] IV~x I Iryn- I

C621)

bull com a eacuteSeacuteolha (B1Sa) C5~ 16b) bull lt6 i 7) temos

)

Prob (~(yo)) ~ amp exp [ Ic bull Led-1) ]

16CampL - k)z

onde vemos que ~Cro) ~ O quando n 00 para d ~ 2

Com esta das gualdada lt 6 22) esperamos obter

S1S) bullbullntrtan~o n~o conseguimos ainda

a

(6=

relaccedil~o

79

C4PITULO VII

COMEHTAacuteRIOS

-i

NIiPSt tr ilbiill hQ ti VtilIIItOS a opor tuni dad de rzer uma

revislo sobre sistemas aleatoacuterios desde a sua orig~m com os

trabalhos d Brout~ atq o recen~ ~rabalho do Briemont Q Ku~ainon

sobre o modelo de I5ing Cerromagneacutetico em campo aleatoacuterio

Os sistemas aleat6rios apresentam uma quantidade enor~

de resultados novos e deixa novos caminhos para questeses 01(0

reacuteSol vidas ainda ou natildeo estudadas Virnos tambeacutelD como deVQ Seacutei

estendido o formalismo de Gihbs da Mecacircnica Estat1stica em

sistEtmas alccedila16rios ttiilmpirados O objetivo final dest trabalho

que era mostrar que o modelo anti~erromagntico dil~do em campo

uni~orme eacute capaz de gerar campos aleat6rios na aproximaccedil~o

hieraacuterqqica tampVEl todo tm1 encadeamento cle conceios preliminares

ateacute podermos aplicar a Teoria do Grupoc dO Renormali zaccedil3o NGStw

encadeamento tivemos o conceito de contornos de Peierls seguido da

~vQria de grupo de r~normalizaccedil~o O argumenlo de Imry e Ma surgiu

naLuralmenle denLro desLe oacuteltimo passo

Wa nossa proposta para oblnccedil~o da equivalecircncia enlre Q$

~91~ fwrrcmagnticos wm campo alfiJat6rio e antifOtildeOtildelrromagneacutetico

diluido em campo unitorJMI observamos que bastou dar o primeiro

passo para gerar um campo aleatoacuterio em funccedilatildeo do campo uni rorme

pois nas hierarquias seacutegUint9s o campo aleat6rio S-egU9

textualmcm~ o que Jaacute havia sido obtido para () modelo

ferrQmagneacutetico com campo alea~oacuterio Observamos tambeacutem que a

rGtirada do campo unitorms ou da dil~iccedil~o deslroe l~almenle o

e~po aleatoacuterio gerado

I

70

A aprQximay~o hioracircrquiccedil~ ~rmi~iu ~ amppliccedil9~o xa~a do

grupo de renormalizaccedil$itQ a relevAncia dessa aproxiJllotildeilCcedilao eacute

justificada pelo fato que acredita-se que tudo que eacute Vardadeiro

~ sobrQ modqlO$ ntraacuterquicos Lamb$m sJa ~rdadQiro sem Q~~a

aproximaccedil~o Poreacutem eacute um problema ainda em aberto a equivalecircncia

completa dos mod~los tratados aqui

Ti vemos a oportunidad tallb4m dQ ampsttldar o 11 to d

contornos d9ntro d con~ornos Onde vimos que esse ra~o eacute

importante para la dimenso critica inferior PQis ambos os modelos

CIFA bull eIAD na V8rs5Jo hhtr4rquica apresentam transiccedilo

do fase para d ~ 2 ~fn voz d d 2

Para o modelo elo F A) real propomos um esquema baseado

na verso hlracircrquica~ para mostrar que este apresenta transiccedil~o

de Case para d ~ 2 quando n~o $ leva em conta contornos dentro

de contornos Entretanto complicadO$ problemas geomeacutetricos que

QS~amo$ 8S~udando ~o permi~iram ainda a conclus~o rinal

QO

(-shy

REFE~NCIAS

[1J Mallhias Suhl Corenzwil (1968) Phys Rev Letl I se

[2] Brou~ R C195Q) Phys Rev Vol 116 4 824

[3] Lacour-Gayet P bull Toulouse G (1974) J Physique 35 426

[4J Imry Y Ma S-K (1975) Phys Rev Lell Vol 35 21 1399

[6] Grins~ein G (1976) Phys Rev Le~~ 37 944

[6J Aharony A Imry Y Ma S-K (1976) Phys Rev Lelt 37 1364

[7J Youn9 AP (1977) J Phys C Solid $l Phys 10 L257

[81 Aharony A (1978) Phys Rev B 18 3318

[91 Peraz JF j WreszinsJci WF Van Hemmen JL C1QB4) J

$lal Phys 35 89

[10] Aharony A Fishman S (1979) J Phys C Solid ~ Phys

Vol 12 L729

[11] Cardybull IL (1984) Phys Rev B Vol 29 ~ 505

[12] Galam S (19aS) Phys Rev B Vol 31 11 7274

[13] Peraz J F Ponti n L F Baecircta Segundo J A (1986) Phys

Rev A Vol 116 6 287

[14] Yoshizaa Hbull Cowley RA Shirana G (lQ82) Phys Rev

Lett Vol 48 6 438

[151 Pytte E Imry Y Mukamel O (1981) Phys Rev Lelt 46

1173

[16] Fi sher D Frohl i ch J Spencer T (1994) J Stat Phys

Vol 34 66 863

[171 Chalker J C1Q83) J Phys C 16 ~6

[181 Imbrie J C1Q86) Commun Math Phys Q8 146

[19] Bricmont J Kupiai nen A Cl988) Commun Math Phys 116

639

[20] Ai2enman M Wehr J C1Q8Q) Commun Math Phys

I )

I ) a1I

I [213 Benf~tto G Gallavotti G C1gae) Commun Math~ Pb)i~ 106

277

[221 Ruelle D (1969) Stat1stical Meehanlcs Rigorous Resul ts

W A Bonjamin

(231 Gallavotti G C16172gt Revi a del Nu Ci no 2 133

(84J Pe1erls R (1936) Prolt Gambr1dge fh11 Soe 3Ei 477

[as] Brush S G (1Q67) Rampv Mod Phys ~ aa3

[261 Kaccedil M C11ocircl64) Phys Toei Vol 10 17 40

) [27J Berlim TH Kae M (1952) Phys Rev 86 821

~ [293 WeisSotilde PR C1Q4S) Phys Rev Valo 741403 -)

I2QJ Andern P W (16179) Rv Mod Phys 2 100

1301 van Hemmen IL Palmar RG (1982gt1 Phys A Math Gan 15

3991

(31] Breiman L frbabi1 iy (Addison-Wl y Reading 196a)

32) van Henunen J 1 van Enter A C D Canisi us J C1993) Z

) Phys B 60 311

(l3] Salinas SR Wreszlnski WF (1985) J Sa Phys

(a41 Wilson XG (1071) Phys Rev B 4 3174

(351 Wilson XS Kogut J (1074) Phys Rept 12 C 76

[31S) Kadanoii L P et al CIQ67) Rev Mod Phys 39 396

(37) stanley HE (1971) Intro to phase transition and criticaI

phenomena COxiacuteord Univorsity PrtiU~~ Lolidongt

[sel Bakeacuter Jr bull GA ~nGr GR (lQ73) Phys Rev Le~~~ 31 aB

r391 Dyson FI (1969) Commun MaLh Phys 1Ei 91

(~O] ~iemon~ J Kuplainen t A C1QS8) J ~a~ Phys Val 61 66 1021

1411 Frohlieh J MaLbe_til Aspects oi The Physics oi

Oisordered Systems teQ Houches 1Q94

(42] Baeacuteta Segundobull 1 A Tese de Doutoramento (1 F U S P) 1911O

[43J Moss da Olivoi~a S M Tese de Dou~O~Amento CUFFRJ)

1Q9Q Mos de Oliveira S M~ Oliveira P M

Conti nent1 no M A C19SS) Physica A 152 477

144l Bruinsma Rbull (1984) bull Phys Rev B Vol 30 1 290

[463 Quoi~oz bull S L A Santos R R C1QB7) Pr print

P U C R J

(

• 1
• 2
• 3
• 4

79

C4PITULO VII

COMEHTAacuteRIOS

-i

NIiPSt tr ilbiill hQ ti VtilIIItOS a opor tuni dad de rzer uma

revislo sobre sistemas aleatoacuterios desde a sua orig~m com os

trabalhos d Brout~ atq o recen~ ~rabalho do Briemont Q Ku~ainon

sobre o modelo de I5ing Cerromagneacutetico em campo aleatoacuterio

Os sistemas aleat6rios apresentam uma quantidade enor~

de resultados novos e deixa novos caminhos para questeses 01(0

reacuteSol vidas ainda ou natildeo estudadas Virnos tambeacutelD como deVQ Seacutei

estendido o formalismo de Gihbs da Mecacircnica Estat1stica em

sistEtmas alccedila16rios ttiilmpirados O objetivo final dest trabalho

que era mostrar que o modelo anti~erromagntico dil~do em campo

uni~orme eacute capaz de gerar campos aleat6rios na aproximaccedil~o

hieraacuterqqica tampVEl todo tm1 encadeamento cle conceios preliminares

ateacute podermos aplicar a Teoria do Grupoc dO Renormali zaccedil3o NGStw

encadeamento tivemos o conceito de contornos de Peierls seguido da

~vQria de grupo de r~normalizaccedil~o O argumenlo de Imry e Ma surgiu

naLuralmenle denLro desLe oacuteltimo passo

Wa nossa proposta para oblnccedil~o da equivalecircncia enlre Q$

~91~ fwrrcmagnticos wm campo alfiJat6rio e antifOtildeOtildelrromagneacutetico

diluido em campo unitorJMI observamos que bastou dar o primeiro

passo para gerar um campo aleatoacuterio em funccedilatildeo do campo uni rorme

pois nas hierarquias seacutegUint9s o campo aleat6rio S-egU9

textualmcm~ o que Jaacute havia sido obtido para () modelo

ferrQmagneacutetico com campo alea~oacuterio Observamos tambeacutem que a

rGtirada do campo unitorms ou da dil~iccedil~o deslroe l~almenle o

e~po aleatoacuterio gerado

I

70

A aprQximay~o hioracircrquiccedil~ ~rmi~iu ~ amppliccedil9~o xa~a do

grupo de renormalizaccedil$itQ a relevAncia dessa aproxiJllotildeilCcedilao eacute

justificada pelo fato que acredita-se que tudo que eacute Vardadeiro

~ sobrQ modqlO$ ntraacuterquicos Lamb$m sJa ~rdadQiro sem Q~~a

aproximaccedil~o Poreacutem eacute um problema ainda em aberto a equivalecircncia

completa dos mod~los tratados aqui

Ti vemos a oportunidad tallb4m dQ ampsttldar o 11 to d

contornos d9ntro d con~ornos Onde vimos que esse ra~o eacute

importante para la dimenso critica inferior PQis ambos os modelos

CIFA bull eIAD na V8rs5Jo hhtr4rquica apresentam transiccedilo

do fase para d ~ 2 ~fn voz d d 2

Para o modelo elo F A) real propomos um esquema baseado

na verso hlracircrquica~ para mostrar que este apresenta transiccedil~o

de Case para d ~ 2 quando n~o $ leva em conta contornos dentro

de contornos Entretanto complicadO$ problemas geomeacutetricos que

QS~amo$ 8S~udando ~o permi~iram ainda a conclus~o rinal

QO

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REFE~NCIAS

[1J Mallhias Suhl Corenzwil (1968) Phys Rev Letl I se

[2] Brou~ R C195Q) Phys Rev Vol 116 4 824

[3] Lacour-Gayet P bull Toulouse G (1974) J Physique 35 426

[4J Imry Y Ma S-K (1975) Phys Rev Lell Vol 35 21 1399

[6] Grins~ein G (1976) Phys Rev Le~~ 37 944

[6J Aharony A Imry Y Ma S-K (1976) Phys Rev Lelt 37 1364

[7J Youn9 AP (1977) J Phys C Solid $l Phys 10 L257

[81 Aharony A (1978) Phys Rev B 18 3318

[91 Peraz JF j WreszinsJci WF Van Hemmen JL C1QB4) J

$lal Phys 35 89

[10] Aharony A Fishman S (1979) J Phys C Solid ~ Phys

Vol 12 L729

[11] Cardybull IL (1984) Phys Rev B Vol 29 ~ 505

[12] Galam S (19aS) Phys Rev B Vol 31 11 7274

[13] Peraz J F Ponti n L F Baecircta Segundo J A (1986) Phys

Rev A Vol 116 6 287

[14] Yoshizaa Hbull Cowley RA Shirana G (lQ82) Phys Rev

Lett Vol 48 6 438

[151 Pytte E Imry Y Mukamel O (1981) Phys Rev Lelt 46

1173

[16] Fi sher D Frohl i ch J Spencer T (1994) J Stat Phys

Vol 34 66 863

[171 Chalker J C1Q83) J Phys C 16 ~6

[181 Imbrie J C1Q86) Commun Math Phys Q8 146

[19] Bricmont J Kupiai nen A Cl988) Commun Math Phys 116

639

[20] Ai2enman M Wehr J C1Q8Q) Commun Math Phys

I )

I ) a1I

I [213 Benf~tto G Gallavotti G C1gae) Commun Math~ Pb)i~ 106

277

[221 Ruelle D (1969) Stat1stical Meehanlcs Rigorous Resul ts

W A Bonjamin

(231 Gallavotti G C16172gt Revi a del Nu Ci no 2 133

(84J Pe1erls R (1936) Prolt Gambr1dge fh11 Soe 3Ei 477

[as] Brush S G (1Q67) Rampv Mod Phys ~ aa3

[261 Kaccedil M C11ocircl64) Phys Toei Vol 10 17 40

) [27J Berlim TH Kae M (1952) Phys Rev 86 821

~ [293 WeisSotilde PR C1Q4S) Phys Rev Valo 741403 -)

I2QJ Andern P W (16179) Rv Mod Phys 2 100

1301 van Hemmen IL Palmar RG (1982gt1 Phys A Math Gan 15

3991

(31] Breiman L frbabi1 iy (Addison-Wl y Reading 196a)

32) van Henunen J 1 van Enter A C D Canisi us J C1993) Z

) Phys B 60 311

(l3] Salinas SR Wreszlnski WF (1985) J Sa Phys

(a41 Wilson XG (1071) Phys Rev B 4 3174

(351 Wilson XS Kogut J (1074) Phys Rept 12 C 76

[31S) Kadanoii L P et al CIQ67) Rev Mod Phys 39 396

(37) stanley HE (1971) Intro to phase transition and criticaI

phenomena COxiacuteord Univorsity PrtiU~~ Lolidongt

[sel Bakeacuter Jr bull GA ~nGr GR (lQ73) Phys Rev Le~~~ 31 aB

r391 Dyson FI (1969) Commun MaLh Phys 1Ei 91

(~O] ~iemon~ J Kuplainen t A C1QS8) J ~a~ Phys Val 61 66 1021

1411 Frohlieh J MaLbe_til Aspects oi The Physics oi

Oisordered Systems teQ Houches 1Q94

(42] Baeacuteta Segundobull 1 A Tese de Doutoramento (1 F U S P) 1911O

[43J Moss da Olivoi~a S M Tese de Dou~O~Amento CUFFRJ)

1Q9Q Mos de Oliveira S M~ Oliveira P M

Conti nent1 no M A C19SS) Physica A 152 477

144l Bruinsma Rbull (1984) bull Phys Rev B Vol 30 1 290

[463 Quoi~oz bull S L A Santos R R C1QB7) Pr print

P U C R J

(

• 1
• 2
• 3
• 4

70

A aprQximay~o hioracircrquiccedil~ ~rmi~iu ~ amppliccedil9~o xa~a do

grupo de renormalizaccedil$itQ a relevAncia dessa aproxiJllotildeilCcedilao eacute

justificada pelo fato que acredita-se que tudo que eacute Vardadeiro

~ sobrQ modqlO$ ntraacuterquicos Lamb$m sJa ~rdadQiro sem Q~~a

aproximaccedil~o Poreacutem eacute um problema ainda em aberto a equivalecircncia

completa dos mod~los tratados aqui

Ti vemos a oportunidad tallb4m dQ ampsttldar o 11 to d

contornos d9ntro d con~ornos Onde vimos que esse ra~o eacute

importante para la dimenso critica inferior PQis ambos os modelos

CIFA bull eIAD na V8rs5Jo hhtr4rquica apresentam transiccedilo

do fase para d ~ 2 ~fn voz d d 2

Para o modelo elo F A) real propomos um esquema baseado

na verso hlracircrquica~ para mostrar que este apresenta transiccedil~o

de Case para d ~ 2 quando n~o $ leva em conta contornos dentro

de contornos Entretanto complicadO$ problemas geomeacutetricos que

QS~amo$ 8S~udando ~o permi~iram ainda a conclus~o rinal

QO

(-shy

REFE~NCIAS

[1J Mallhias Suhl Corenzwil (1968) Phys Rev Letl I se

[2] Brou~ R C195Q) Phys Rev Vol 116 4 824

[3] Lacour-Gayet P bull Toulouse G (1974) J Physique 35 426

[4J Imry Y Ma S-K (1975) Phys Rev Lell Vol 35 21 1399

[6] Grins~ein G (1976) Phys Rev Le~~ 37 944

[6J Aharony A Imry Y Ma S-K (1976) Phys Rev Lelt 37 1364

[7J Youn9 AP (1977) J Phys C Solid $l Phys 10 L257

[81 Aharony A (1978) Phys Rev B 18 3318

[91 Peraz JF j WreszinsJci WF Van Hemmen JL C1QB4) J

$lal Phys 35 89

[10] Aharony A Fishman S (1979) J Phys C Solid ~ Phys

Vol 12 L729

[11] Cardybull IL (1984) Phys Rev B Vol 29 ~ 505

[12] Galam S (19aS) Phys Rev B Vol 31 11 7274

[13] Peraz J F Ponti n L F Baecircta Segundo J A (1986) Phys

Rev A Vol 116 6 287

[14] Yoshizaa Hbull Cowley RA Shirana G (lQ82) Phys Rev

Lett Vol 48 6 438

[151 Pytte E Imry Y Mukamel O (1981) Phys Rev Lelt 46

1173

[16] Fi sher D Frohl i ch J Spencer T (1994) J Stat Phys

Vol 34 66 863

[171 Chalker J C1Q83) J Phys C 16 ~6

[181 Imbrie J C1Q86) Commun Math Phys Q8 146

[19] Bricmont J Kupiai nen A Cl988) Commun Math Phys 116

639

[20] Ai2enman M Wehr J C1Q8Q) Commun Math Phys

I )

I ) a1I

I [213 Benf~tto G Gallavotti G C1gae) Commun Math~ Pb)i~ 106

277

[221 Ruelle D (1969) Stat1stical Meehanlcs Rigorous Resul ts

W A Bonjamin

(231 Gallavotti G C16172gt Revi a del Nu Ci no 2 133

(84J Pe1erls R (1936) Prolt Gambr1dge fh11 Soe 3Ei 477

[as] Brush S G (1Q67) Rampv Mod Phys ~ aa3

[261 Kaccedil M C11ocircl64) Phys Toei Vol 10 17 40

) [27J Berlim TH Kae M (1952) Phys Rev 86 821

~ [293 WeisSotilde PR C1Q4S) Phys Rev Valo 741403 -)

I2QJ Andern P W (16179) Rv Mod Phys 2 100

1301 van Hemmen IL Palmar RG (1982gt1 Phys A Math Gan 15

3991

(31] Breiman L frbabi1 iy (Addison-Wl y Reading 196a)

32) van Henunen J 1 van Enter A C D Canisi us J C1993) Z

) Phys B 60 311

(l3] Salinas SR Wreszlnski WF (1985) J Sa Phys

(a41 Wilson XG (1071) Phys Rev B 4 3174

(351 Wilson XS Kogut J (1074) Phys Rept 12 C 76

[31S) Kadanoii L P et al CIQ67) Rev Mod Phys 39 396

(37) stanley HE (1971) Intro to phase transition and criticaI

phenomena COxiacuteord Univorsity PrtiU~~ Lolidongt

[sel Bakeacuter Jr bull GA ~nGr GR (lQ73) Phys Rev Le~~~ 31 aB

r391 Dyson FI (1969) Commun MaLh Phys 1Ei 91

(~O] ~iemon~ J Kuplainen t A C1QS8) J ~a~ Phys Val 61 66 1021

1411 Frohlieh J MaLbe_til Aspects oi The Physics oi

Oisordered Systems teQ Houches 1Q94

(42] Baeacuteta Segundobull 1 A Tese de Doutoramento (1 F U S P) 1911O

[43J Moss da Olivoi~a S M Tese de Dou~O~Amento CUFFRJ)

1Q9Q Mos de Oliveira S M~ Oliveira P M

Conti nent1 no M A C19SS) Physica A 152 477

144l Bruinsma Rbull (1984) bull Phys Rev B Vol 30 1 290

[463 Quoi~oz bull S L A Santos R R C1QB7) Pr print

P U C R J

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QO

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REFE~NCIAS

[1J Mallhias Suhl Corenzwil (1968) Phys Rev Letl I se

[2] Brou~ R C195Q) Phys Rev Vol 116 4 824

[3] Lacour-Gayet P bull Toulouse G (1974) J Physique 35 426

[4J Imry Y Ma S-K (1975) Phys Rev Lell Vol 35 21 1399

[6] Grins~ein G (1976) Phys Rev Le~~ 37 944

[6J Aharony A Imry Y Ma S-K (1976) Phys Rev Lelt 37 1364

[7J Youn9 AP (1977) J Phys C Solid $l Phys 10 L257

[81 Aharony A (1978) Phys Rev B 18 3318

[91 Peraz JF j WreszinsJci WF Van Hemmen JL C1QB4) J

$lal Phys 35 89

[10] Aharony A Fishman S (1979) J Phys C Solid ~ Phys

Vol 12 L729

[11] Cardybull IL (1984) Phys Rev B Vol 29 ~ 505

[12] Galam S (19aS) Phys Rev B Vol 31 11 7274

[13] Peraz J F Ponti n L F Baecircta Segundo J A (1986) Phys

Rev A Vol 116 6 287

[14] Yoshizaa Hbull Cowley RA Shirana G (lQ82) Phys Rev

Lett Vol 48 6 438

[151 Pytte E Imry Y Mukamel O (1981) Phys Rev Lelt 46

1173

[16] Fi sher D Frohl i ch J Spencer T (1994) J Stat Phys

Vol 34 66 863

[171 Chalker J C1Q83) J Phys C 16 ~6

[181 Imbrie J C1Q86) Commun Math Phys Q8 146

[19] Bricmont J Kupiai nen A Cl988) Commun Math Phys 116

639

[20] Ai2enman M Wehr J C1Q8Q) Commun Math Phys

I )

I ) a1I

I [213 Benf~tto G Gallavotti G C1gae) Commun Math~ Pb)i~ 106

277

[221 Ruelle D (1969) Stat1stical Meehanlcs Rigorous Resul ts

W A Bonjamin

(231 Gallavotti G C16172gt Revi a del Nu Ci no 2 133

(84J Pe1erls R (1936) Prolt Gambr1dge fh11 Soe 3Ei 477

[as] Brush S G (1Q67) Rampv Mod Phys ~ aa3

[261 Kaccedil M C11ocircl64) Phys Toei Vol 10 17 40

) [27J Berlim TH Kae M (1952) Phys Rev 86 821

~ [293 WeisSotilde PR C1Q4S) Phys Rev Valo 741403 -)

I2QJ Andern P W (16179) Rv Mod Phys 2 100

1301 van Hemmen IL Palmar RG (1982gt1 Phys A Math Gan 15

3991

(31] Breiman L frbabi1 iy (Addison-Wl y Reading 196a)

32) van Henunen J 1 van Enter A C D Canisi us J C1993) Z

) Phys B 60 311

(l3] Salinas SR Wreszlnski WF (1985) J Sa Phys

(a41 Wilson XG (1071) Phys Rev B 4 3174

(351 Wilson XS Kogut J (1074) Phys Rept 12 C 76

[31S) Kadanoii L P et al CIQ67) Rev Mod Phys 39 396

(37) stanley HE (1971) Intro to phase transition and criticaI

phenomena COxiacuteord Univorsity PrtiU~~ Lolidongt

[sel Bakeacuter Jr bull GA ~nGr GR (lQ73) Phys Rev Le~~~ 31 aB

r391 Dyson FI (1969) Commun MaLh Phys 1Ei 91

(~O] ~iemon~ J Kuplainen t A C1QS8) J ~a~ Phys Val 61 66 1021

1411 Frohlieh J MaLbe_til Aspects oi The Physics oi

Oisordered Systems teQ Houches 1Q94

(42] Baeacuteta Segundobull 1 A Tese de Doutoramento (1 F U S P) 1911O

[43J Moss da Olivoi~a S M Tese de Dou~O~Amento CUFFRJ)

1Q9Q Mos de Oliveira S M~ Oliveira P M

Conti nent1 no M A C19SS) Physica A 152 477

144l Bruinsma Rbull (1984) bull Phys Rev B Vol 30 1 290

[463 Quoi~oz bull S L A Santos R R C1QB7) Pr print

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I ) a1I

I [213 Benf~tto G Gallavotti G C1gae) Commun Math~ Pb)i~ 106

277

[221 Ruelle D (1969) Stat1stical Meehanlcs Rigorous Resul ts

W A Bonjamin

(231 Gallavotti G C16172gt Revi a del Nu Ci no 2 133

(84J Pe1erls R (1936) Prolt Gambr1dge fh11 Soe 3Ei 477

[as] Brush S G (1Q67) Rampv Mod Phys ~ aa3

[261 Kaccedil M C11ocircl64) Phys Toei Vol 10 17 40

) [27J Berlim TH Kae M (1952) Phys Rev 86 821

~ [293 WeisSotilde PR C1Q4S) Phys Rev Valo 741403 -)

I2QJ Andern P W (16179) Rv Mod Phys 2 100

1301 van Hemmen IL Palmar RG (1982gt1 Phys A Math Gan 15

3991

(31] Breiman L frbabi1 iy (Addison-Wl y Reading 196a)

32) van Henunen J 1 van Enter A C D Canisi us J C1993) Z

) Phys B 60 311

(l3] Salinas SR Wreszlnski WF (1985) J Sa Phys

(a41 Wilson XG (1071) Phys Rev B 4 3174

(351 Wilson XS Kogut J (1074) Phys Rept 12 C 76

[31S) Kadanoii L P et al CIQ67) Rev Mod Phys 39 396

(37) stanley HE (1971) Intro to phase transition and criticaI

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[sel Bakeacuter Jr bull GA ~nGr GR (lQ73) Phys Rev Le~~~ 31 aB

r391 Dyson FI (1969) Commun MaLh Phys 1Ei 91

(~O] ~iemon~ J Kuplainen t A C1QS8) J ~a~ Phys Val 61 66 1021

1411 Frohlieh J MaLbe_til Aspects oi The Physics oi

Oisordered Systems teQ Houches 1Q94

(42] Baeacuteta Segundobull 1 A Tese de Doutoramento (1 F U S P) 1911O

[43J Moss da Olivoi~a S M Tese de Dou~O~Amento CUFFRJ)

1Q9Q Mos de Oliveira S M~ Oliveira P M

Conti nent1 no M A C19SS) Physica A 152 477

144l Bruinsma Rbull (1984) bull Phys Rev B Vol 30 1 290

[463 Quoi~oz bull S L A Santos R R C1QB7) Pr print

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144l Bruinsma Rbull (1984) bull Phys Rev B Vol 30 1 290

[463 Quoi~oz bull S L A Santos R R C1QB7) Pr print

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