BIOESTATÍSTICA

Curso de Graduação em Psicologia

Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Graduação em Odontologia - UFSC

Graduação em Administração - ESAG/UDESC Especialização em Odontologia em Saúde Coletiva - ABO/SCDoutorado e Mestrado em Engenharia de Produção - UFSC

Material Didático da Estácio

http://portal.estacio.br/

http://ebookpress.files.wordpress.com/2011/02/estacio-tablet-20110201185724.jpg

- SUMÁRIO -

Conceitos Básicos

Conhecendo os Dados

Medidas de Tendência Central

Medidas de Ordenamento

Medidas de Dispersão

Tabelas e Gráficos

Amostragem

Distribuição Normal

Correlação Linear

Teste de Diferença entre Médias

Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar

Conceitos Básicos

BIOESTATÍSTICA

O primeiro uso da palavra ESTATÍSTICA parece datar de 1589 e apareceu em um trabalho do historiador Girolomo Ghilini, quando se referiu a uma “ciência civil, política, estatística e militar”.

(Berquó, 1981)

ESTATÍSTICA

Origem no latim status (estado) + isticum (contar)

Informações referentes ao estadoColeta, Organização, Descrição, Análise e Interpretação de Dados

Para Sir Ronald A. Fisher (1890-1962):

Estatística é o estudo das populações, das variações e dos métodos de redução de dados.

O Que é Estatística?

BIOESTATÍSTICA

BIOESTATÍSTICA

“Eu gosto de pensar na Estatística como a ciência de aprendizagem a partir dos dados...”

Jon KettenringPresidente da American Statistical Association, 1997

O Que é Estatística?

http://www.niss.org/photogallery/jrkconf2005/Jon1-C.jpg

BIOESTATÍSTICA

Elaborando a Definição de Estatística

Coletar dados

Obter informaç

õesTomar

decisões

BIOESTATÍSTICA

O Que é Estatística (definição)? “Estatística é um conjunto de

técnicas e métodos que nos auxiliam no processo de tomada de decisão na presença de incerteza.”

BIOESTATÍSTICA

Psicologia

Tomada de decisões

Comparação de resultados

Identificar relações

BIOESTATÍSTICA

LIVROS DE ESTATÍSTICA

BIOESTATÍSTICA

As diferenças são atribuídas a causas erradas; As coincidências ocorrem frequentemente; As pessoas têm dificuldades com probabilidades; Acrescentam polimento às publicações; Faz conhecer o “grau de confiança” das

conclusões.

POR QUE A ESTATÍSTICA É IMPORTANTE?

BIOESTATÍSTICA

Indicadores Sociais Diferentes

1o Mundo 3o Mundo

Alta Expectativa de VidaBoas Condições Sanitárias

Hábitos de ConsumoAssistência em Saúde

Doenças InfecciosasAlta Mortalidade Infantil

Baixa EscolaridadeIniquidades em Saúde

As variabilidades mostram que existem diferenças

EXPECTATIVA DE VIDA – Diferenças entre os países

BIOESTATÍSTICA

BIOESTATÍSTICA

RENDA PER CAPITA NO BRASIL (PNUD, 2000)

BIOESTATÍSTICA

RENDA PER CAPITA EM SANTA CATARINA (PNUD, 2000)

BIOESTATÍSTICA

ACESSO AO ENSINO SUPERIOR NO BRASIL (PNUD, 2000)

BIOESTATÍSTICA

ACESSO AO ENSINO SUPERIOR EM SANTA CATARINA (PNUD, 2000)

BIOESTATÍSTICA

GRÁFICO DE DISPERSÃO – RENDA x EDUCAÇÃO (PNUD, 2000)

BIOESTATÍSTICA

FONTES DEMOGRÁFICAS

Bancos de Dados (OMS, OPAS, MS, IBGE, etc)

Indicadores Sociais (IDH, GINI, QV)

Pesquisas de Mercado (Hábitos de Consumo)

Censos Demográficos

Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD)

Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (PNUD)

BIOESTATÍSTICA

POPULAÇÃO: Conjunto de elementos que se deseja estudar

AMOSTRA: Subconjunto da população

Nem sempre o Censo é viável (questões econômicas)

É mais barato coletar dados de amostras

POPULAÇÃO E AMOSTRA

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POPULAÇÃO: Também chamada de Universo

AMOSTRA: Parte da população

População

Amostra

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POPULAÇÃO (N): Todos os estudantes da Estácio

AMOSTRA (n): Parte dos estudantes da Estácio

POPULAÇÃO E AMOSTRA

Plano de Amostragem

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REQUISITOS DE UMA AMOSTRA:

1) Ter um tamanho adequado (previamente calculado) Existem fórmulas para o cálculo do adequado tamanho da amostra

2) Constituintes selecionados ao acaso (sorteio)

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CLASSIFICAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA:

Amostras Grandes: n > 100

Amostras Médias: n > 30 (30 < n < 100)

Amostras Pequenas: n < 30 (12 < n < 30)

Amostras Muito Pequenas: n < 12

Observação: As amostras com n > 30 geram melhores resultados. O tamanho adequado deve ser pré-calculado.

BIOESTATÍSTICA

Amostragem e Planejamento de Experimentos(coleta dos dados)

Estatística Descritiva(organização, apresentação e sintetização dos dados)

Estatística Inferencial(testes de hipóteses, estimativas, probabilidades)

Áreas da Estatística

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Amostragem e Planejamento de Experimentos(coleta dos dados)

- É o processo de escolha da amostra

- É o início de qualquer estudo estatístico- Consiste na escolha criteriosa dos elementos a serem submetidos ao estudo

Exemplos: Pesquisa sobre tendência de votação Cuidado: Perfil da Amostra = Perfil da População

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Estatística Descritiva(organização, apresentação e sintetização dos dados)

- É a parte mais conhecida- Diariamente veiculada na mídia (jornais, televisão, rádio)- Distribuições de frequência, médias, tabelas, gráficos

Exemplos: % de Analfabetos em uma comunidade Índice de Mortalidade Infantil (por mil nascimentos) Índice de Desenvolvimento Humano

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Estatística Inferencial, Indutiva ou Analítica(testes de hipóteses, estimativas)

- Auxilia o processo de tomada de decisões- Responde uma dúvida, compara grupos com o uso de Testes Estatísticos- Testam-se 2 hipóteses (hipótese nula e hipótese alternativa), sendo que

uma delas será aceita mediante a aplicação de um teste estatístico baseado na teoria das probabilidades.

Exemplo: O tabagismo está associado à doença pulmonar? Hipóteses: Nula (não há associação), Alternativa (há associação)

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• SPSS• Epidata• Bioestat• Excel• STATA• SAS• Epi Info

Ferramentas para Análise de Dados

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EXERCÍCIO No 1

Em uma cidade de 500.000 habitantes onde 45% das pessoas tem título de eleitor, realizou-se uma pesquisa eleitoral com 2000 pessoas. Qual o tamanho da população de estudo e da amostra?

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIO No 2

Uma amostra de apenas 3000 eleitores pode fornecer um perfil confiável sobre a preferência de todo o eleitorado, na véspera de uma eleição presidencial? Por que?

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIO No 3

Você considera a pesquisa proposta no exercício anterior como experimental ou de levantamento? Por quê?

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIO No 4

Elabore uma situação em que a estatística possa ser empregada em benefício de uma organização.


Conhecendo os Dados

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Dados Nominais (Sexo, Raça, Cor dos Olhos) Dados Ordinais (Grau de Satisfação) Dados Numéricos Contínuos (Altura, Peso) Dados Numéricos Discretos (Número de Filiais)

“Estatísticas aplicadas em alguns tipos de dadosnão podem ser aplicadas a outros .”

TIPOS DE DADOS

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Dados Intervalares (Temperatura oC)

Quando se referem a valores obtidos mediante a aplicação de uma unidade de medida arbitrária, porém constante e onde o zero é relativo. Este tipo de dado tem restrições a cálculos.

30oC não é três vezes mais quente que 10oCPara cálculos se utiliza a escala Kelvin

TIPOS DE DADOS

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Fonte: http://www.bocamaldita.com/1119733943/nova-charge-no-ar-contra-corrupcao/

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1ª Regra: Arredondar para o número mais próximo

2ª Regra: Arredondar para o par mais próximo

5,0 5,5 6,0

6,0 6,5 7,0

ARREDONDAMENTO DE DADOS CONTÍNUOS

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIO No 1

Faça os seguintes arredondamentos:

38,648 para o centésimo mais próximo 38,6554,76 para o décimo mais próximo 54,827,465 para o centésimo mais próximo 27,4642,455 para o centésimo mais próximo 42,464,5 para o inteiro mais próximo 4

BIOESTATÍSTICA

AGRUPAMENTO DE DADOS POR VALORES DISTINTOS

8 2 5 6 5 6 5 4 3 7 5 6 5 4 7 2 5 4 6 5 3 6 5 4 2 5 3 6

x f (frequência) 2 3 3 3 4 4 5 9 6 6 7 2 8 1Total 28

BIOESTATÍSTICA

AGRUPAMENTO DE DADOS POR CLASSES

Classes f (frequência) Ponto Médio

39 50 4 44,550 61 5 55,5 61 72 5 66,572 83 6 77,583 94 5 88,5

BIOESTATÍSTICA

AGRUPAMENTO DE DADOS POR CLASSES

BIOESTATÍSTICA

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA

x f 2 3 3 3 4 4 5 9 6 6 7 2 8 1Total 28

f

x

10

8

6

4

2

2 3 4 5 6 7 8

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIO No 2Em uma amostra de estudantes foram coletadas as seguintes alturas em metros: 1,70 1,58 1,67 1,72 1,70 1,71 1,75 1,58 1,64 1,66 1,72 1,70 1,73 1,82 1,79 1,77 1,76 1,75 1,73 1,65 1,64 1,63 1,62 1,66 1,71 1,68 1,69 1,70 1,59 1,61 1,64 1,76 1,64 1,70 1,64 1,65 1,7 1,79 1,8 1,70 1,67 1,71 1,72 1,63 1,70

a) Qual foi o tamanho da amostra (n)?b) Qual é a altura do sujeito mais alto e a do mais baixo?c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos.d) Faça o agrupamento por 6 classes.

BIOESTATÍSTICA

Apresentam-se os valores absolutos e as porcentagensPodem ser usadas tabelas ou gráficos

DESCRIÇÃO DE DADOS NOMINAIS E ORDINAIS

05

10152025303540

1° Trim. 2° Trim.

20,4

30,6

45,9

Gráfico de Barras Gráfico Circular

BIOESTATÍSTICA

DESCRIÇÃO DE DADOS NOMINAIS E ORDINAIS

05

1015202530354045

1° Trim. 2° Trim.

20,4

30,6

45,9

0 10 20 30 40 50

Gráfico de Linhas(não é usado; restrito a dados contínuos)

Gráfico de Barras Horizontal

BIOESTATÍSTICA

Trazem informações que expressam a tendência central e a dispersão dos dados.

Tendência Central: Média ( x ), Mediana ( Md ), Moda ( Mo )

Medidas de Dispersão: Desvio Padrão, Variância, Amplitude, Coeficiente de Variação,

Valor Máximo, Valor Mínimo

DESCRIÇÃO DOS DADOS CONTÍNUOS

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EXERCÍCIO No 3Em uma pesquisa com jogadoras de basquete foram coletados os seguintes pesos corporais em quilogramas: 65 66 62 66 63 61 67 63 64 62 68 67 65 64 65 66 63 64 65 66 64 63 64 66 65 63 64 65 64 63 64 63 64 68 69 70

a) Qual foi o tamanho da amostra (n)?b) Qual é o maior peso e o menor?c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos.d) Faça o agrupamento em 3 classes.


Medidas de Tendência

Central

Nos dão uma ideia de onde se localiza o centro, o ponto médio de um determinado conjunto de dados.

Medidas: Média, Moda e Mediana.

BIOESTATÍSTICA

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

f

x

BIOESTATÍSTICA

Fonte: renovadoresudf.wordpress.com

BIOESTATÍSTICA

MÉDIA

- É um valor típico representativo de um conjunto de dados. - Fisicamente representa o ponto de equilíbrio da distribuição.

Média Aritmética Média Ponderada Média Geométrica Média Harmônica

BIOESTATÍSTICA

É um valor típico representativo de um conjunto de dados. Fisicamente representa o ponto de equilíbrio da distribuição.

Modos de calcular

1) para dados simples

2) para valores distintos

3) para agrupamentos em classes

MÉDIA

x = S x / n

x = S fx / n

x = S fx / n

BIOESTATÍSTICA

1) Cálculo para dados simples

MÉDIA

x = S x / n

S x = Soma dos valoresn = tamanho da amostra

x = (16+18+23+21+17+16+19+20)8

x = 18,75

16 18 23 21 17 16 19 20

BIOESTATÍSTICA

2) Cálculo para valores distintos x f fx 2 3 6 3 3 9 4 4 16 5 9 45 6 6 36 7 2 14 8 1 8 Total 28 134

MÉDIA

x = S fx / n

S fx = Soma dos produtos dos valores distintos

com a frequêncian = tamanho da amostra

x = 134 x = 4,7857 28

BIOESTATÍSTICA

3) Cálculo para agrupamentos em classes Classes f x fx 39 50 4 44,5 178 50 61 5 55,5 277,5 61 72 5 66,5 332,5 72 83 6 77,5 465 83 94 5 88,5 442,5 Total 25 - 1695,5

MÉDIA

x = S fx / n

S fx = Soma dos produtos dos valores distintos

com a frequêncian = tamanho da amostra

x = 1695,5 x = 67,82 25

BIOESTATÍSTICA

MEDIANA

Fonte: http://guiacemtiradentes.blogspot.com.br/2013/03/moda-mediana-media-matematica.html

BIOESTATÍSTICA

É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados.

Para um número par de termos a mediana é obtida através da média aritmética dos dois valores intermediários.

Interpretação:50% dos valores estão abaixo ou coincidem com a mediana e 50% estão acima ou coincidem com a mediana.

MEDIANA

BIOESTATÍSTICA

Roteiro para o Cálculo do Valor da Mediana:

Fazer a disposição em rol Calcular a posição da mediana Encontrar o valor

BIOESTATÍSTICA

1) Cálculo da posição da mediana para dados simples

MEDIANA

2 3 4 5 67 8 9 10

PMd =(n+1) / 2PMd = (9+1) / 2PMd = 5o Termo

Mediana (Md) = 6

BIOESTATÍSTICA

2) Cálculo da posição da mediana para valores distintos x f fa 2 3 3o

3 3 6o

4 4 10o

5 9 19o

6 6 25o

7 2 27o

8 1 28o

Total 28 -

MEDIANA

PMd =(n+1) / 2PMd = (28+1) / 2

PMd = 14,5

x entre 14o e 15o Termo

Mediana (Md) = 5

BIOESTATÍSTICA

3) Cálculo da PMd para agrupamentos em classes Classes f x fa 39 50 4 44,5 4o

50 61 5 55,5 9o

61 72 5 66,5 14o

72 83 6 77,5 20o

83 94 5 88,5 25o Total 25 - -

MEDIANA

PMd =(n+1) / 2PMd = (25+1) / 2

PMd = 13o Termo

Classe Mediana61 72

Mediana (Md) = 66,5 (estimativa)

BIOESTATÍSTICA

3) Cálculo da PMd para agrupamentos em classes Pode-se fazer a interpolação da classe mediana

MEDIANA

Classe Mediana61 72

Md = Li + ((PMd - faa) / f ) . A

Li = limite inferior da classe medianaPMd = posição da medianafaa = frequência acumulada da classe anteriorf = frequência da classe medianaA = amplitude da classe mediana

BIOESTATÍSTICA

3) Cálculo da PMd para agrupamentos em classes Interpolação da classe mediana

MEDIANA

Md = Li + ((PMd - faa) / f ) . A

Md = 61 + ((13 - 9) / 5) . 11

Mediana (Md) = 69,8

Classe Mediana61 72

BIOESTATÍSTICA

É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Símbolo = Mo

MODA

1) Moda para dados simples

Exemplos: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 AMODAL2, 3, 3, 4, 5, 6 ,7 MODA = 32, 3, 3, 4, 5, 5, 6 BIMODAL (Mo = 3 e Mo = 5)

BIOESTATÍSTICA

2) Moda para valores distintos x f 2 3 3 3 4 4 5 9 6 6 7 2 8 1 Total 28

MODA

O valor 5 tem o maior número de ocorrências (9)

Mo = 5

BIOESTATÍSTICA

3) Moda para agrupamentos em classes Classes f x fa 39 50 4 44,5 4o

50 61 5 55,5 9o

61 72 5 66,5 14o

72 83 6 77,5 20o

83 94 5 88,5 25o Total 25 - -

MODA

Moda Bruta Ponto médio da classe de maior frequência

Mo = 77,5

É uma estimativa

BIOESTATÍSTICA

3) Moda para agrupamentos em classes

MODA

Moda de King

Mo = Li + (A . f2 / (f1 + f2))Li = limite inferior da classe modal A = amplitude do intervalo da classe modalf1 = frequência da classe anterior a modalf2 = frequência da classe posterior a modal

Mo = 72 + (11 . 5) 5 + 5 Mo = 77,5

BIOESTATÍSTICA

MÉDIA: Dados Numéricos e Intervalares

É a medida mais utilizada.

MODA: Dados Nominais

MEDIANA: Dados Ordinais

USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

EXERCÍCIO No 1

Determine a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados

BIOESTATÍSTICA

6 5 8 4 7 6 9 7 3

EXERCÍCIO No 2

Determine o menor valor, o maior valor, a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados

BIOESTATÍSTICA

12 32 54 17 82 99 51 11 44 22

22 33 44 52 76 41 37 10 5 87

EXERCÍCIO No 3

Dado o seguinte agrupamento em classes determine:

BIOESTATÍSTICA

Classes f 1,60 1,65 101,65 1,70 151,70 1,75 221,75 1,80 181,80 1,85 3 Total 68

a) os pontos médios de cada classeb) a classe modalc) a moda brutad) a moda de Kinge) a classe medianaf) a mediana por agrupamento de classesg) a média por agrupamento de classes


Medidas de Ordenamento

BIOESTATÍSTICA

MEDIDAS DE ORDENAMENTO

A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central, mas também separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.

Assim, além das medidas de posição, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica. Essas medidas - os quartis, os percentis e os decis - são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes (medidas de ordenamento).

79

MEDIDAS DE ORDENAMENTORoteiro de Cálculo:

Fazer a disposição em rol Calcular a posição da medida de ordenamento Encontrar o valor

BIOESTATÍSTICA

80

Dr. William MendenhallNorth Carolina State University

Dr. Terry SincichUniversity of South Florida


BIOESTATÍSTICA

81

4

1

nqrtilPosiçãoQua q

10

1

ndilPosiçãoDec d

100

1

nctilPosiçãoCen c

Cálculo de posições pela definição de Mendenhall e Sincich

BIOESTATÍSTICA

BIOESTATÍSTICA

São os valores que subdividem uma disposição em rol

Medidas: QUARTIS, DECIS E PERCENTIS

Os Quartis dividem a disposição em 4 partes iguaisQ1, Q2, Q3

Os Decis dividem a disposição em 10 partes iguaisD1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9

Os Percentis dividem a disposição em 100 partes iguaisP1, P2, P3, P4, P5, P6, ... , P99


BIOESTATÍSTICA


Entre cada quartil há 25% dos dados da disposição

Posição do Primeiro Quartil (Q1) = (n + 1) / 4Posição do Segundo Quartil (Q2) = 2.(n + 1) / 4Posição do Terceiro Quartil (Q3) = 3.(n + 1) / 4

O segundo quartil coincide com a Mediana (Q2 = Md)

QUARTIS

BIOESTATÍSTICA


1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9

QUARTIS

Q1 Q2 Q37o termo 14o termo 21o termo

n = 27

BIOESTATÍSTICA

Os Decis dividem a disposição em 10 partes iguaisD1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9

Entre cada decil há 10% dos dados da disposição

Posição do Primeiro Decil (D1) = (n + 1) / 10Posição do Segundo Decil (D2) = 2.(n + 1) / 10

Posição do Nono Decil (D9) = 9.(n + 1) / 10

O Quinto Decil coincide com a Mediana (D5 = Md)

DECIS

BIOESTATÍSTICA

Os percentis dividem a disposição em 100 partes iguaisP1, P2, P3, P4, P5, P6, ... , P99

Entre cada percentil há 1% dos dados da disposição

Posição do Primeiro Percentil (P1) = (n + 1) / 100Posição do Segundo Percentil (P2) = 2.(n + 1) / 100

Posição do Nonagésimo Nono Percentil (P99) = 99.(n + 1) / 100

P50 = Md P25 = Q1 P75 = Q3

PERCENTIS

BIOESTATÍSTICA

1) Dado o conjunto de dados:a) apresente a disposição em rol; b) o Percentil 50, c) o Primeiro Quartil, d) a Média, e) a Moda e f) a Mediana

EXERCíCIOS

10 13 24 45 66 77 11 14 26 33 65 21 57

BIOESTATÍSTICA

2) Em uma amostra com 2789 valores qual é a posição do oitavo decil, da mediana, do segundo decil, do terceiro quartil e do segundo quartil?


Medidas de Dispersão

BIOESTATÍSTICA

Tudo é incerto e derradeiro. Tudo é disperso, nada é

inteiro.

(Fernando Pessoa)

BIOESTATÍSTICA

DISPERSÃO DOS DADOS

Vimos que um conjunto de valores pode ser convenientemente sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores representativos - média aritmética, mediana e moda.

Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade.

Amplitude, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação

BIOESTATÍSTICA

Fonte: http://jesseantenado.blogspot.com.br/2012_01_01_archive.html

BIOESTATÍSTICA

Fonte: http://politikei.blogspot.com.br/2011_01_01_archive.html

BIOESTATÍSTICA

É frequentemente chamada de variabilidade.

Medidas mais comuns: Variância, Desvio Padrão, Amplitude

DISPERSÃO DOS DADOS

f

x

Dispersão dos dados na população

Dispersão dos dadosna amostra

BIOESTATÍSTICA

É uma forma de se ver o quanto os dados se afastam da média.Exemplo: Vilarejo com apenas 11 pessoas

135cm 152cm 136cm 152cm 138cm 157cm 141cm 163cm 143cm 170cm 152cm

Dispersão na População

Média = 149cmMediana e Moda = 152cm

Valor Máximo = 170cmValor Mínimo = 135cm

Amplitude = 35cm

Alturas de 11 pessoas

BIOESTATÍSTICA

Alturas (N=11) x - x (x - x)2 135cm 135-149 -14 196136cm 136-149 -13 169138cm 138-149 -11 121141cm 141-149 -8 64143cm 143-149 -6 36152cm 152-149 3 9152cm 152-149 3 9152cm 152-149 3 9157cm 157-149 8 64163cm 163-149 14 196170cm 170-149 21 441Total 1314

Dispersão na População

s2 Variância= 1314 / 11

= 119,454 cm2

s Desvio Padrão

= 119,454= 10,92 cm

Soma dos desvios quadráticos

BIOESTATÍSTICA

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA POPULAÇÃO

Variância da população

s2 = S ( x - x )2 / N

Desvio Padrão da população = Raiz quadrada da variância

s s2

Como a dispersão nas amostras é menor do que na população, se faz um ajuste matemático.

BIOESTATÍSTICA

Variância da Amostra ( s2 ou v )

s2 = S ( x - x )2 / ( n -1 )

Desvio Padrão da amostra ( s ou DP ) = Raiz quadrada da variância

s s2

A dispersão nas amostras é menor do que na população, por isso é que se faz este ajuste matemático

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA AMOSTRA

BIOESTATÍSTICA

SIGNIFICADO:É um modo de representar a dispersão dos dados ao redor da média.

DESVIO PADRÃO

f

xMédia

BIOESTATÍSTICA

A curva A mostra uma dispersão dos dados maior do que a curva B, logo o desvio padrão de A é maior do que o de B.

DESVIO PADRÃO

f

xMédia

Curva A Curva B

x

f

Média

BIOESTATÍSTICA

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

O desvio padrão depende da unidade de medida usada, assim um desvio medido em dias será maior do que um medido em meses.

O coeficiente de variação expressa o desvio-padrão como porcentagem do valor da média.

COEF. VARIAÇÃO = 100 . DESVIO PADRÃO MÉDIA

Quanto menor for este coeficiente mais homogênea é a amostra.

BIOESTATÍSTICA

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Classificação da proporção que o desvio padrão apresenta sobre a média.GRAU DE HOMOGENEIDADE DOS DADOS

até 10% ÓTIMO de 10% a 20% BOM de 20% a 30% REGULAR acima de 30% RUIM

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS

1) Determine a média, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:

4 5 5 6 6 7 7 8

BIOESTATÍSTICA

2) Determine o valor de n, a amplitude, a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:

22 32 45 22 46 76 24 21 78 43 21 58 92 11 16 28 33 73 11 29 22 47 28 24 21 53 36 88 99 18 Como essa amostra tem

muitos valores é mais prático fazer a análise no

Microsoft Excel


Amostragem

BIOESTATÍSTICA

Pesquisa Mercadológica (Índice de satisfação na população)Pesquisa Eleitoral (Percentagem de votos para cada candidato)Perfil Socioeconômico da População (Grau de escolaridade, Renda)

APLICAÇÕES DE AMOSTRAGEM

População

Amostra

Na População ParâmetrosNa Amostra Estatísticas

Inferência Estatística

BIOESTATÍSTICA

Economia (É mais barato levantar dados de uma parcela da população)Tempo (É mais rápido)

Quando a população for pequena (n > 0,8.N)Quando a característica for de fácil mensuração (Sim ou Não) Quando houver a necessidade de alta precisão (Censo IBGE)

POR QUE USAR A AMOSTRAGEM?

QUANDO NÃO USAR A AMOSTRAGEM?

BIOESTATÍSTICA

AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES (Tem que obedecer a propriedade de qualquer elemento da população ter a mesma chance de pertencer à amostra. Pode-se utilizar uma tabela de números aleatórios ou sorteios)AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SISTEMÁTICA(Após obter-se a lista dos elementos da população, sorteia-se a entrada e segue-se a relação N/n.)AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ESTRATIFICADA(Elabora-se a amostra através do perfil conhecido da população. Exemplo: Se na UFSC 70% são alunos e 30% Funcionários, a amostra é confeccionada obedecendo-se estes parâmetros.)

TIPOS DE AMOSTRAGEM

BIOESTATÍSTICA

AMOSTRAGEM NÃO ALEATÓRIA(De fácil obtenção.)AMOSTRAGEM PARA ESTUDOS COMPARATIVOS(Não visa a descrição de uma população, mas a comparação entre grupos diferentes. Exemplos: Comparar as taxas de tabagismo em indivíduos com câncer de pulmão e sadios.)

OUTROS TIPOS DE AMOSTRAGEM

Procure respeitar o Plano de Amostragem para que seja alcançada uma amostra representativa da população.

BIOESTATÍSTICA

Sejam: n0 = Primeira aproximação para o tamanho da amostra E0 = Erro Amostral Tolerável n = Tamanho da Amostra N = Tamanho da População

DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n)

n0 = 1 / (Eo)2 n = (N . n0) / (N + no)

BIOESTATÍSTICA

Populações Finitas com Parâmetros de Prevalência Conhecidos

DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n)

(N . z2 . p . (1-p)) (E0

2 . (N-1) + z2 . p . (1-p))

Onde: N = Tamanho da Populaçãoz = Nível de confiança expresso em desvio padrão (95%) = 1,96E0 = Erro Amostral Tolerávelp = Prevalência do evento na População

n =

BIOESTATÍSTICA

Relação entre o tamanho da população e o tamanho da amostra

RELAÇÃO ENTRE (n) E (N)

n

N

600

500400300

200100

0

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS

1) Determine o tamanho da amostra para uma pesquisa eleitoral em uma cidade com 200.000 eleitores, adotando uma margem de erro de 2 pontos percentuais.


Tabelas e Gráficos

BIOESTATÍSTICA

Tabela é a forma não discursiva de apresentar informações, das quais o dado numérico se destaca como informação central.

Uma tabela estatística conterá necessariamente uma série ou uma distribuição de frequência.

Vantagens:- Permitem a síntese dos resultados;- Auxiliam o pesquisador na análise dos dados e- Facilitam a compreensão das conclusões do autor.

TABELAS

BIOESTATÍSTICA

NORMAS PARA A CONFECÇÃO DE TABELAS

São numeradas consecutivamente com algarismos arábicos;Os números são precedidos da palavra “Tabela”;No topo deve estar o título que indica a natureza e as abrangências geográficas e temporal dos dados numéricos;O centro da tabela é representado por uma série de colunas e subcolunas onde são alocados os dados;No rodapé deve-se colocar a fonte (o responsável pelos dados) e opcionalmente uma nota geral ou uma nota específica;A moldura deve conter no mínimo 3 traços horizontais;Não se deve fechar uma tabela com traços verticais em suas extremidades.

BIOESTATÍSTICA

CLASSIFICAÇÃO DAS TABELAS

Séries Cronológicas (temporais ou históricas);Variável: Tempo Constantes: Lugar e Espécie

Séries Geográficas (territoriais);Variável: Lugar Constantes: Tempo e Espécie

Séries Especificativas;Variável: Espécie Constantes: Tempo e Lugar

Séries Mistas;Quando há mais de uma variável.

Distribuição de Frequência

BIOESTATÍSTICA

Séries Cronológicas (Temporais ou Históricas)

Anos Percentual 2005 25,742006 26,852007 27,942008 32,45

Fonte: Hipotética

Tabela 1: Proporções de doentes X na Cidade Y

BIOESTATÍSTICA

Séries Geográficas (Territoriais)

Cidades PercentualItajaí 10,44Lages 29,45Florianópolis 8,66Blumenau 9,82

Fonte: Hipotética

Tabela 2: Proporção de doentes X no Ano de 2008

BIOESTATÍSTICA

Séries Especificativas

Segmento populacional PercentualInfantil 60,25Juvenil 20,72Adulto 2,753a Idade 5,82

Fonte: Hipotética

Tabela 3: Proporção de doentes X no Ano de 2008 em Florianópolis

BIOESTATÍSTICA

Séries Mistas (Ex: Especificativa-Cronológica-Geográfica)

Doenças 2007 2008 Fpolis Lages Fpolis Lages

Pulmonares 24,24 9,34 25,95 9.98Infecciosas 112,72 27,45 111,75 29,48Cardíacas 86,75 18,45 79,37 19,57Outras 1,95 0,85 2,01 0,84

Fonte: Hipotética

Tabela 4: Volume de internações hospitalares por ano e cidade (valores em milhares)

BIOESTATÍSTICA

Distribuições de Frequência

Pesos Frequência Frequência Acumulada 64 51 51 65 100 151 66 22 173 67 14 187Total 187 -

Fonte: Hipotética

Tabela 5: Distribuição de frequência dos pesos corporais de uma amostra (valores em quilogramas)

BIOESTATÍSTICA

Gráfico é a forma geométrica de apresentação dos dados e respectivos resultados de sua análise.

A escolha do modelo ideal de representação gráfica depende das preferências e do senso estético do elaborador.

Vantagens: - Permitem a síntese dos resultados; - Auxiliam o pesquisador na análise dos dados e - Facilitam a compreensão das conclusões do autor.

GRÁFICOS

BIOESTATÍSTICA

NORMAS PARA A CONFECÇÃO DE GRÁFICOS

Deve facilitar a interpretação dos dados para um leigo;Não há a necessidade de se colocar título se estiver na mesma página da tabela correspondente;Há a necessidade de se colocar o título se a tabela correspondente não estiver na mesma página.O senso estético individual determina o espaço do gráfico (L x A);As colunas, barras, linhas e áreas gráficas devem ser ordenadas de modo crescente ou decrescente, mas a ordem cronológica prevalece;

BIOESTATÍSTICA

ORIGEM DOS GRÁFICOS

O diagrama cartesiano é a figura geométrica que deu origem à técnica de construção de gráficos estatísticos.

Utiliza-se o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais.

1o QuadranteAbscissas (eixo x)

Ordenadas (eixo y)

Eixo y FrequênciasEixo x Valores da Variável

BIOESTATÍSTICA

GRÁFICO EM COLUNAS OU DE BARRAS

0

5000

10000

15000

20000

25000

Hemat Bioq Imunol Parasit

Figura 1: Gráfico em colunas do número de exames em um determinado laboratório em 2003.

Tabela 1: Quantidade de exames realizados em um determinado laboratório em 2003.

Exames Quantidade Hematologia 9824 Bioquímica 21534 Imunologia 15432 Parasitologia 4310

Fonte: Hipotética

BIOESTATÍSTICA

GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTAL

0 5000 10000 15000 20000 25000

Hemat

Bioq

Imunol

Parasit

Figura 2: Gráfico em barras horizontais do número de exames realizados em um determinado laboratório no ano de 2003.



Fonte: Hipotética

BIOESTATÍSTICA

GRÁFICO DE SETORES OU CIRCULAR

Hemat

Bioq

Imunol

Parasit

Figura 3: Gráfico circular do número de exames realizados em um determinado laboratório no ano de 2003.



Fonte: Hipotética

BIOESTATÍSTICA

HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA

0

2

4

6

8

10

12

0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10

Figura 4: Histograma das notas dos alunos

Tabela 4: Notas dos alunos na disciplina de Estatística no curso de Administração (ano x)

Notas Frequência

0 2 2

2 4 7

4 6 11

6 8 10

8 10 5

Fonte: Dados Fictícios

BIOESTATÍSTICA

HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA

5,7

20

31,428,6

14,3

0

5

10

15

20

25

30

35

0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10

Figura 5: Histograma dos percentuais das notas dos alunos

• A área do histograma é proporcional à soma das frequências;

• Para comparar duas distribuições, o ideal é utilizar números percentuais;

BIOESTATÍSTICA

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA

28,6

14,3

31,4

5,7

20

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10 11

Figura 6: Polígono de Frequência percentual de das notas dos alunos

• É um Gráfico em Linha de uma distribuição de frequência;

• Para se obter um polígono (linha fechada), deve-se completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e posterior à última, da distribuição.

BIOESTATÍSTICA

POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS ACUMULADAS

100

85,7

57,1

25,7

5,7

0

20

40

60

80

100

120

0 0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10

Figura 7: Polígono de frequências acumuladas das notas dos alunos

Tabela 5: Notas dos alunos na disciplina de estatística no ano x

Notas Frequência F. Acumulada %

0 2 2 5,7

2 4 7 25,7

4 6 11 57,1

6 8 10 85,7

8 10 5 100,0

Fonte: Dados Fictícios

(Sinônimo: Ogiva)

GRÁFICO STEM AND LEAF (TRONCO E FOLHAS)

BIOESTATÍSTICA

Figura 8: Gráfico Stem-Leaf onde o primeiro dígito é o tronco e o segundo é a folha

13 14 15 1522 23 28 2933 35 36 37 39 3945 4753 57 58 58 5962 63 65 71 72

Conjunto de Dados

Tronco (Stem) Folha (Leaf) 1 3455 2 2389 3 356799 4 57 5 37889 6 235 7 12

GRÁFICO DE BARRAS COM DESVIO PADRÃO

BIOESTATÍSTICA

Figura 9: Gráfico de barras com os valores médios e o desvio padrão das alturas de estudantes da faculdade x (valores fictícios).

1,551,6

1,651,7

1,751,8

1,851,9

1,95

Medicina Odontologia Farmacia Nutrição

GRÁFICO BOX AND WISKER (Caixa e Fio de Bigode)

BIOESTATÍSTICA

Figura 10: Gráfico Box and Wisker das alturas dos estudantes de medicina (valores fictícios).

1,95m1,90m1,85m1,80m1,75m1,70m1,65m1,60m1,55m

Valor MáximoPercentil 75

Percentil 50Percentil 25

Valor Mínimo

GRÁFICO POLAR

BIOESTATÍSTICA

É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas

CARTOGRAMA

BIOESTATÍSTICA

Cartograma é a representação sobre uma carta geográfica.

CARTOGRAMA

BIOESTATÍSTICA

PICTOGRAMA

BIOESTATÍSTICA

O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva.

A representação gráfica consta de figuras.

PICTOGRAMA

BIOESTATÍSTICA

Nº de habitantes de 8 províncias de Andaluzia

BIOESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS

1) Construa uma série cronológica com os dados da mortalidade infantil de uma determinada região.

BIOESTATÍSTICA

2) Construa o Gráfico de Barras com os dados do exercício anterior.

BIOESTATÍSTICA

3) Construa o Gráfico em Setores do seguinte agrupamento em classes:

Pesos (Kg) f40 60 1560 80 2680 100 38100 120 9

Total 88


Distribuição Normal

BIOESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Fonte: http://www.ciencias.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=1887&evento=1

BIOESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

JOHAN CARL FRIEDRICH GAUSS(1777-1855)

princeps mathematicorum

Matemático, Astrônomo e Físico Alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência,

dentre elas a teoria dos números, estatística, análise

matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, eletroestática, astronomia e óp

tica.

BIOESTATÍSTICA

CURVA NORMAL

É descrita pela média e pelo desvio padrão.

A mediana, a média e a moda coincidem.

A curva é simétrica ao redor da média.

A curva é mesocúrtica.Média, Moda e

Medianax

y

BIOESTATÍSTICA

CURVA NORMAL

As inferências em pesquisas em saúde estão baseadas em dados, cuja distribuição é normal.

A curva normal (Gauss) é simétrica, unimodal e tem forma de sino.

É assintótica em relação ao eixo horizontal (eixo x). Média, Moda e

Medianax

y

BIOESTATÍSTICA

A ESTATÍSTICA Z

0 x

y

1 DP 1 DP

2 DP2 DP

3 DP 3 DP

-1 +1-2 +2 +3-3

A estatística Z – standard score, baseia-se na curva normal.

Mede o afastamento de um valor em relação a média em unidades de desvios padrão.

Z = x - x s

BIOESTATÍSTICA

A ESTATÍSTICA Z

0

x

y

-1 +1-2 +2 +3-3

Exemplo: A altura média dos estudantes da ESTÁCIO é de 1,70m com desvio padrão de 10cm

Z = x - x s

z

170160 180150140 190 200

BIOESTATÍSTICA

ÁREAS DA CURVA NORMAL

Áreas

-1DP a +1DP 68,27% -2DP a +2DP 95,45%-3DP a +3DP 99,73%

-1,96DP a +1,96DP 95%

Média a 1DP 34,13%Média a 2 DP 47,72%Média a 3DP 49,86%

Média, Moda e Mediana x

y

1 DP 1 DP

2 DP2 DP

3 DP 3 DP

-1 DP +1 DP-2 DP +2 DP +3 DP-3 DP

BIOESTATÍSTICA


0

x

y

-1 +1-2 +2 +3-3 z

34,13%

47,72%

49,86%

BIOESTATÍSTICA


0

x

y

-1 +1-2 +2 +3-3 z

68,27%

95,45%

99,73%

BIOESTATÍSTICA

BIOESTATÍSTICA

TABELA Z

BIOESTATÍSTICA

Média, Moda e Mediana

(continuação)

BIOESTATÍSTICA

Média, Moda e Mediana

No Microsoft Excel 2010

=DIST.NORM.N(x;média;desvio-padrão;VERDADEIRO) - 1

=DIST.NORMP.N(z;VERDADEIRO) - 1

Fornece o valor da área entre x e a cauda.

Fornece o valor da área entre z e a cauda.

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS

100 102

0 ?

x

z

Z = (x - média) / desvio padrão = (102 - 100) / 1,5 = 1,33

na tabela qdo z = 1,33 a área é de 50% - 9,18% = 40,82%

?

1) Um determinado estudo populacional apresentou a média dos pesos corporais igual a 100kg e desvio padrão de 1,5kg. Qual é a proporção de pessoas entre 100kg e 102kg?

BIOESTATÍSTICA

2) Calcule as seguintes proporções de pessoas:

(a) com peso entre 98 e 102kg(b) abaixo de 98kg

(c) acima de 102kg(d) abaixo de 100kg

(e) abaixo de 96,5kg


Correlação Linear

BIOESTATÍSTICA

DIAGRAMA DE DISPERSÃO

Mostra o comportamento de duas variáveis quantitativas (com dados numéricos).

a aa

b bb

BIOESTATÍSTICA

CORRELAÇÃO LINEAR POSITIVA

Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com valores pequenos de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar relacionados com valores grandes de b.

a

b

Exemplos:

Peso x AlturaNível socioeconômico x Volume de vendasConsumo de Álcool x Preval. Cirrose Hepática

BIOESTATÍSTICA

CORRELAÇÃO LINEAR NEGATIVA

Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com valores grandes de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar relacionados com valores pequenos de b.

a

b

Exemplos:

Renda Familiar x Número de FilhosEscolaridade x AbsenteísmoVolume de vendas x Passivo circulante

BIOESTATÍSTICA

CORRELAÇÃO NÃO LINEAR

O diagrama de dispersão mostra um conjunto de pontos aproximando-se mais de uma parábola do que de uma reta.

aExemplos:

Coef. de Letalidade (a) x Dose do Medicamento (b)

Custo (a) x Lote Econômico de Compra (b)

b

BIOESTATÍSTICA

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON

r = n . S (X.Y) - S X . S Y

n . S X2 - (S X)2 . n . S Y2 - (S Y)2

S(X.Y) = Fazem-se os produtos X.Y p/ cada par e depois efetua-se a somaSX = Somatório dos valores da variável XSY = Somatório dos valores da variável YSX2 = Elevam-se ao quadrado cada valor de X e depois efetua-se a somaSY2 = Elevam-se ao quadrado cada valor de Y e depois efetua-se a soma

BIOESTATÍSTICA

Cálculo do coeficiente de correlação para os dados das variáveis X = população residente e Y = taxa de cresc. populacional, em 12 vilarejos.

X Y X2 Y2 X . Y

101 3,2 10201 10,24 323,2193 4,6 37249 21,16 887,8 . . . . . . . . . .

. . . . .

42 2,8 1764 7,84 117,6 1452 39,3 251538 153,55 5706,2

EXEMPLO

BIOESTATÍSTICA

r = n . S (X.Y) - S X . S Y

n . S X2 - (S X)2 . n . S Y2 - (S Y)2

r = 12 . 5706,2 - 1452 . 39,3

12 . 251538 - (1452)2 . 12 . 153,55 - (39,3)2

r = 0,69 (Correlação Linear Positiva r > 0)

BIOESTATÍSTICA

INTERPRETAÇÃO

• O Valor de r (Correlação Linear de Pearson) varia de -1 a +1.• O sinal indica o sentido (correlação positiva ou negativa).• O valor indica a força da correlação (Fraca ou Forte)

valor de r

0- 1 + 1

AusênciaMuito Fraca

Muito Fraca

Relativa FracaForte Forte

Relativa Fraca

- 0,6 - 0,3 + 0,3 + 0,6

BIOESTATÍSTICA

COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO

Positiva Positiva Perfeita

Negativa Negativa perfeita

r > 0 r = 1

r < 0 r = -1

BIOESTATÍSTICA

COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO

r = 0

Ausência de Correlação

BIOESTATÍSTICA

1) Coloque V (Verdadeiro ou F (Falso):

( ) Quando o valor de r for maior que 0,7 ou menor que -0,7 a correlação entre as duas variáveis em estudo é forte

( ) O sinal negativo de r indica que as variáveis em estudo são inversamente proporcionais

( ) Ao se encontrar um valor de r = 0,6 não se pode afirmar que as variáveis sejam diretamente proporcionais.

( ) O coeficiente de correlação de Pearson pode ser aplicado em dados nominais

EXERCÍCIO


Teste de Diferença

entre as Médias

TEST T

Serve para comparar as médias de dois grupos amostrais

Duas hipóteses possíveis:

As médias são iguais

As médias são diferentes

BIOESTATÍSTICA

H0: ma - mb = zero

H1: ma - mb ≠ zero

Testes de duas amostras

As médias das duas amostras são iguais?

BIOESTATÍSTICA

Analisando duas amostras

xm

xm≠

≠

?

BIOESTATÍSTICA

Teste da diferença!

H0: ma-mb=zeroH1: ma-mb≠zero

diferença = 0Médias iguais

BIOESTATÍSTICA

Teste da diferença!

H0: ma-mb=zeroH1: ma-mb≠zero

diferença = 0

Médias iguais

BIOESTATÍSTICA

Cuidado!!!

Antes do emprego do Teste T deve ser testada a homogeneidade das variâncias.

Roteiro do Teste da diferença entre médias1) Testar a homogeneidade das variâncias: Quando p>0,05 temos variâncias homogêneas

Quando p<0,05 temos variâncias diferentes2) Se as variâncias forem homogêneas realizar o Teste T para homogeneidade das variâncias.3) Se as variâncias forem diferentes realizar o Teste T para variâncias diferentes.4) Quando o Teste T apresentar:

p>0,05 As médias são iguais p<0,05 As médias são diferentes

BIOESTATÍSTICA

Comparando as médias no Microsoft ExcelBIOESTATÍSTICA

Comparando as médias no SPSS

BIOESTATÍSTICA

p<0,05: Diferentes!

Output do SPSS

BIOESTATÍSTICA

Como p>0,05 as variâncias são semelhantes

Como p<0,05 as médias são diferentes

Fonte Bibliográfica

BARBETA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 5.ed. Florianópolis: UFSC, 2006.

DAWSON, B.; TRAPP, R.G. Basic & Clinical Biostatistical. 3.ed. New York: Lange Medical Books/McGraw-Hill, 2006.

LEVIN, J. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. 7.ed. São Paulo: Harbra, 2007.

SPIEGEL, M. R. Estatística. 8.ed. São Paulo: Makron Books, 2006.

STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 2007.

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