Bioestatística Aula 4 MEDIDAS SEPARATRIZES MEDIDAS DE ... · No quadro abaixo são mostrados...

Bioestatística

Aula 4

MEDIDAS SEPARATRIZESMEDIDAS DE DISPERSÃO

Profa. Alessandra Bussador

Quartis – dados não agrupados

•Dividem os dados ordenados em quatro partes:

Primeiro Quartil (Q1): valor que faz com que 25% das observações sejam menores e 75% sejam maiores que Q1

Segundo Quartil (Q2): é a MEDIANA – 50% das observações são menores que Q2 e 50% são maiores

Terceiro Quartil (Q3): valor que faz com que 75% das observações sejam menores e 25% sejam maiores que Q3

Dados não agrupados

Q1 = valor que corresponde à posição:



Regras usadas para obter os valores da separatriz

Se o ponto de posicionamento for um número inteiro, é só

usar o número correspondente àquela posição

Se o ponto de posicionamento estiver na metade entre 2

números inteiros, a média dos dois números à direita e à

esquerda será a separatriz

Se o ponto de posicionamento não for a metade do caminho

entre dois números inteiros, usamos o que estiver mais próximo.

Quartis•Os salários mensais para uma amostra de 12 administradores são:

•2.350 2.450 2.550 2.380 2.255 2.210•2.390 2.630 2.440 2.825 2.420 2.380

•Determine os três quartis.

Quartis•Os salários mensais para uma amostra de 12 administradores são:

•2.350 2.450 2.550 2.380 2.255 2.210•2.390 2.630 2.440 2.825 2.420 2.380

•Determine os três quartis.

2.210 2.550 2.255 2.350 2.380 2.380 2.390 2.420 2.440 2.450 2.630 2.825

Q1 = (N+1) /4 = (12+1)/4 = 13/4 = 3,25 = 3 -> 2.255Q2 = 2(N+1) /4 = 2*13/4 = 6,5 -> (2.380+2.390) / 2 -> 2.385Q3 = 3(N+1) /4 = 3*13/4 = 9,75 -> 2.450

Chamamos de decis os valores que dividem uma série em dez partes iguais.Portanto, temos nove decis, o primeiro tem 10% dos dados à sua esquerda e 90% à sua direita, o segundo tem 20% dos dados à sua esquerda e 80% à sua direita e assim por diante até o nono decil, que tem 90% dos dados à sua esquerda e 10% à sua direita.

1 decil (D1) P=0,10 (N+1)

2 decil (D2) P=0,20 (N+1)

3 decil (D3) P=0,30 (N+1)

4 decil (D4) P=0,40 (N+1)

5 decil (D5) P=0,50 (N+1)

6 decil (D6) P=0,60 (N+1)

7 decil (D7) P=0,70 (N+1)

8 decil (D8) P=0,80 (N+1)

9 decil (D9) P=0,90 (N+1)

Decis – dados não agrupados

Chamamos de percentis os noventa e nove valores que separam uma série em100 partes iguais. O cálculo dos percentis está relacionado com percentagem.

No quadro abaixo são mostrados alguns percentis:

Percentis – dados não agrupados

5 percentil (P5) P=0,05(n+1)





Para estimar a quantidade de água que seria necessária para abastecer uma cidade na próxima década, a prefeitura precisa descobrir a quantidade de água que uma amostra de famílias utiliza atualmente. As famílias da amostra utilizaram o seguinte volume de água, em milhares de litros:

•11,1 21,5 16,4 19,7 14,6 16,9 32,2 18,2

•13,1 23,8 18,3 15,5 18,8 22,7 14,0

•Encontre os três quartis e o 7 decil .

Exercícios Propostos:

Ache Q1, Q2,Q3 dos conjuntos amostrais:

A= {6,9,7,7,4,3,2,9,10,18}

B= {10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21}

C= {6,9,7,7,4,3,2,9,9,10,18}

D= {10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21,7}

E= {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

Exercícios Propostos:

Para dados em distribuição de frequências em classes, o cálculo é feito daseguinte maneira:

Li – limite inferior da classeh – amplitude da classeFi – frequência absolutaFac – frequência acumulada

Em que:

com k=1, 2, 3 para determinação dos quartis

com k=1, 2, ..., 9 para os calculos de decis, e

com k=1, 2,..., 99 para os percentis.

Medidas separatrizes – para dados em distribuição de frequência em classes

Medidas separatrizes – para dados em distribuição de frequência em classes

Considerando o exemplo da tabela abaixo, calcule o Q3 e D7

Classes Fi Fr % Fac Xi

0,5 – 0,8 4 0,25 25 4 0,65

0,8 – 1,1 4 0,25 25 8 0,95

1,1 – 1,4 7 0,4325 43,25 15 1,25

1,4 – 1,7 1 0,0625 6,25 16 1,55

total 16 1 100

Para o Q3:

P= 16/4 * 3 = 12 Fac>=12 i=3h = (1,4-1,1) = 0,3

Q3 = 1,1 + ((0,3)*(12-8)) / 7 = 1,27

Medidas de dispersão

As medidas de dispersão mostram a variabilidade de um conjunto de observações em relação à região central.

Essas medidas indicam se um conjunto de dados é homogêneo ou heterogêneo.

Além disso, mostram se a medida de tendência central escolhida representa bem o conjunto de dados que está sendo trabalhado pelo pesquisador.


Exemplo:

Considere as idades de três grupos de pessoas A, B, e C

A: 15, 15, 15, 15, 15

B: 13, 14, 15, 16, 17

C: 5, 10, 15, 20, 25

A média aritmética de todos os conjuntos é 15

A média é a mesma, mas o grau de homogeneidade entre eles é diferente, ou seja, a variação dos seus elementos em relação a média é bem distinta.


Exemplo:

Considere as idades de três grupos de pessoas A, B, e C

A: 15, 15, 15, 15, 15

B: 13, 14, 15, 16, 17

C: 5, 10, 15, 20, 25

O conjunto A não tem dispersão

O conjunto B tem certo grau de variabilidade

O conjunto C tem grande variabilidade


Amplitude total:

A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor.

É baseada em somente duas observações, sendo altamente influenciada pelos valores extremos; quanto maior a amplitude, maior a variabilidade

Conjunto A : 15 – 15 = 0

Conjunto B: 17 – 13 = 4

Conjunto C: 25 – 5 = 20


Variância

É uma medida de variabilidade que utiliza todos os dados. É calculada considerando o quadrado dos desvios em relação à média aritmética dos dados em estudo.

Xi = valor do conjunto dos dados

µ = média aritmética

N= número de observações


Variância – para amostra

O uso de (n-1) neste denominador é necessário para que a variância da amostra resultante forneça uma estimativa não induzida da variância da população


Desvio Padrão

O desvio padrão dá a ideia de distribuição dos desvios ao redor do valor da média. Para obtermos o desvio padrão basta que se extraia a raiz quadrada da variância.

Para saber se o desvio padrão está alto ou baixo, vamos compará-lo com o valor da média.Quanto maior o valor do desvio padrão em relação à média, maior então será a variação dos dados e MAIS HETEROGÊNEO é nosso conjunto de observações.


Desvio Padrão:

• quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;

• quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;

• o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.

Medidas de dispersãoCoeficiente de Variação (CV) - (desvio padrão / média

aritmética)

A partir do valor do coeficiente de variação, podemos verificar se o conjunto de dados É HOMOGÊNEO e também conseguimos saber se a média é uma boa medida pra representar o conjunto de dados.

O coeficiente de variação envolve cálculos percentuais, por isso é uma medida relativa:

Medidas de dispersãoCoeficiente de Variação (CV) – coeficiente de Pearson

Quanto à representatividade em relação a média, podemos dizer que quando o coeficiente de variação (CV) é ou está:

- Menor que 10%: significa que é um ótimo representante da média, pois existe uma pequena dispersão (desvio padrão) dos dados em torno da média

- Entre 10 a 20%: é um bom representante da média, pois existe uma boa dispersão dos dados em torno da média

Medidas de dispersãoCoeficiente de Variação (CV) – coeficiente de Pearson

- Entre 20% e 35%: é um razoável representante da média, pois existe uma razoável dispersão dos dados em torno da média

- Entre 35% a 50%: representa fracamente a média, pois existe uma grande dispersão dos dados em torno da média

- Acima de 50%: não representa a média, pois existe uma grandíssima dispersão dos dados em torno da média

Exercício

Calcule as medidas de dispersão para um grupo de indivíduos que tem as seguintes idades:

Calcule:• Média aritmética, a moda e a mediana

• Amplitude total, Variância, desvio padrão

• Coeficiente de variação (interprete)

18 19 20 21 21 22 24 24 25 27 30 33

Exercício

Considere os seguintes diâmetros (mm) dos eixos produzidos em certa fábrica de autopeças:

Calcule:• Média aritmética, a moda e a mediana

• Variância, desvio padrão

• Coeficiente de variação (interprete)• 3 quartil, 6 decil

93 94 96 100 96 102 89 87 105

Referências Bibliográficas• MARTINS, G. A. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Atlas, 2011.• PAGANO, M.. Princípios de Bioestatística. 2.ed. SÃO PAULO: Cengage Learning, 2011. • VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 2010

• BEIGUELMAN. B. Curso prático de bioestatística. Belo Horizonte: Funpec, 2002. • CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatistica: Princípios e Aplicações. PORTO ALEGRE: ARTMED,

2003.• MASSAD, E.; MENEZES, R. X.; SILVEIRA, P. S. P.; ORTEGA, N. R. S. Métodos quantitativos em

medicina. Barueri: Manole, 2004.• MOTTA, V. T., WAGNER, M. B. Bioestatística. Caxias do Sul: Educs, 2003.• RODRIGUES, P. C. Bioestatística. Rio de Janeiro: Eduff, 2003.

• BERQUÓ, E. S; GOTLIEB, S. L.D.; SOUZA, J. M. P. de. Bioestatística. São Paulo: EPU, 1981.• DORIA FILHO, U. Introdução à bioestatística: para simples mortais. São Paulo: Elsevier, 1999.

• __. Matemática e suas Tecnologias. Governo do estado de Pernambuco. Notas de aula. Ensino Fundamental.

• MORILHAS, Leandro. Estatística e Análise de Dados. Notas de aula. Fundação Instituto de Administração.

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