Bioestatística - UFPBulisses/disciplinas/notas_de_aula-2011-1.pdf · Introduçãoaprobabilidade...

Introdução a probabilidadeConceitos de Probabilidade

Variável AleatóriaConceitos básicos de amostragem

Distrbuições AmostraisIntervalo de Confiança

Teste de Hipótese

Bioestatística

Ulisses U. dos Anjos

Departamento de EstatísticaUniversidade Federal da Paraíba

Período 2011.2

Ulisses U. dos Anjos Bioestatística




Teste de Hipótese

Sumário1 Introdução a probabilidade2 Conceitos de Probabilidade

Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos

3 Variável AleatóriaDistribuições de Probabilidade para Variáveis AleatóriasDiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis AleatóriasContínuas

4 Conceitos básicos de amostragemTipos de estudosTipos de AmostragemPrincipais planos de amostragem probabilística

5 Distrbuições AmostraisMédiaProporção

6 Intervalo de ConfiançaMédiaProporção

7 Teste de HipóteseVisão GeralComponentes de um Teste de HipóteseTestes ParamétricosTeste para MédiaTeste para Proporção





Teste de Hipótese

Objetivo da Probabilidade

Fornecer o arcabouço teórico para o estudo dos fenômenos ouexperimentos aleatórios.Criar modelos teóricos que reproduzam de maneira razoável adistribuição de freqüências dos fenômenos ou experimentosaleatórios. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos.





Teste de Hipótese

Experimento aleatório

Definição: Um experimento que pode fornecer diferentesresultados, muito embora seja repetido toda vez da mesmamaneira, é chamado experimento aleatório.Característica de um experimento aleatório:Imprevisibilidade: o resultado do experimento não pode serconhecido a priori, mesmo se repetido sobre iguais condições;





Teste de Hipótese

Espaço amostral e evento

Espaço amostral: é o conjunto de todos os resutados de umexperimento aleatório. Notação: Ω

Evento: É um subconjunto do espaço amostral;Os subconjuntos de Ω serão denotados por letras latinasmaiúsculas (A,B,C,. . . );Diz-se que "‘ocorre o evento A"’ quando o resultado doexperimento aleatório for um elemento de A;O espaço amostral Ω e o conjunto vazio ∅ também sãoeventos, em que Ω é o evento certo e ∅ é o evento impossível.





Teste de Hipótese

Operações básicas entre conjuntos

A ∪ B =ω ∈ Ω : ω ∈ A ou ω ∈ B ou ω ∈ A, ω ∈ B

, é a

união de A e B;

ExemploSuponha que iremos sortear de uma lista de casais que se casaramhá 30 anos atrás e verificar quais deles estão vivos. Considere osseguintes eventos: A =A mulher estar viva e B =O homem estarvivo. Então o evento pelo menos um estar vivo é dado por A ∪ B

A ∩ B =ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω ∈ B

, é a intersecção de A e B;





Teste de Hipótese


ExemploConsiderando o exemplo anterior, então o evento ambos estaremvivos é dado por A ∩ B.

Ac =ω ∈ Ω : ω /∈ A

, deste modo segue que Ac = Ω− A é

o complementar de A, do mesmo modo Bc = Ω− B é ocomplementar de B ;

ExemploConsiderando o exemplo anterior, então o evento o homem estarvivo pode ser representado por Ac , logo nesse caso específicoB = Ac e A = Bc .

A− B =ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω /∈ B

, deste modo segue que

A− B = A ∩ Bc é a diferença entre A e B ;

ExemploConsiderando o exemplo anterior, então o evento apenas a mulherestar viva é dado por A− B. Do mesmo modo, o evento apenas ohomem estar vivo é dado por B − A.





Teste de Hipótese


A∆B =ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω /∈ B ou ω /∈ A, ω ∈ B

, deste

modo segue que A∆B = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) é a diferençasimétrica entre A e B ;

ExemploConsiderando o exemplo anterior, então o evento somente ohomem ou a mulher estar vivo pode ser representado por A∆B.

A e B são disjuntos(mutuamente exclusivos) se e somente seA ∩ B = ∅;

ExemploConsiderando o exemplo anterior, então os eventos A e B não sãodisjuntos pois ambos podem estar vivos.





Teste de Hipótese

Partição de um evento

Seja A um subconjunto de Ω. Então A1, . . . ,An formam umapartição de A se e somente se Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j e∪n

i=1Ai = A.Deste modo, se A = Ω então A1, . . . ,An formam uma partiçãode Ω se e somente se Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j e∪n

i=1Ai = Ω.





Teste de Hipótese


Definição Clássica de Probabilidade

Seja (Ω,F) um espaço finito de eventos equiprováveis. Assim, paratodo A ∈ F tem-se que,

P(A) =#A#Ω

em que # é o número de elementos do conjunto.

ExemploConsidere o experimento aleatório de lançar duas moedas. Nessecaso o espaço amostral é dado porΩ =

(c , c), (c , r), (r , c), (r , r)

. Seja A=Obtenção de faces iguais.

Portanto, A =

(c , c), (r , r). Deste modo,

P(A) =24

= 0, 5.Ulisses U. dos Anjos Bioestatística




Teste de Hipótese


Definição frequentista de Probabilidade

Seja Ω um espaço amostral de um experimento aleatório. Seja nrepetições independentes de um experimento aleatório e nA onúmero de ocorrências do evento A ⊂ Ω. Então, a probabilidade deA é dada por,

P(A) = limn→∞

nA

n= p

ObservaçãoA lei dos grandes números garante a convergência sobre certascondições do limite acima, em que 0 ≤ p ≤ 1.





Teste de Hipótese


Definição axiomática de Probabilidade

Seja (Ω,F) um espaço mensurável. Então uma funçãoP : F → [0, 1] é uma probabilidade se,

(P1) P(Ω) = 1;(P2) Para todo A ∈ F tem-se P(A) ≥ 0;(P3) P é σ-aditiva, isto é, se A1,A2, . . . , são dois a dois

disjuntos então,

P

( ∞⋃n=1

An

)=∞∑

n=1

P(An).

em que⋃∞

n=1 An = A1 ∪ A2 ∪· · ·.

ObservaçãoNote que de um modo geral a medida de probabilidade P nãoprecisa assinalar uma probabilidade para todo evento em Ω, masapenas para os eventos em F . A trinca (Ω,∈ F ,P) é denominadoespaço de probabilidade





Teste de Hipótese


Propriedades

Seja (Ω,F ,P), então para todo A ∈ F e B ∈ F , tem-se que:P(Ac) = 1− P(A);P(∅) = 0;P é uma função não decrescente, isto é, para todo A,B ∈ Ftal que A ⊆ B tem-se que P(A) ≤ P(B);Para todo A,B ∈ F tal que A ⊆ B tem-se queP(B − A) = P(B)− P(A);Para todo A,B ∈ F arbitrários tem-se que:

P(A−B) = P(A)−P(A∩B) e P(B−A) = P(B)−P(A∩B).





Teste de Hipótese


Propriedades

Para todo A ∈ F tem-se que 0 ≤ P(A) ≤ 1;Para todo A,B ∈ F arbitrários tem-se que:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).





Teste de Hipótese


ARANGO, Exemplo 5.5, P. 144

Considere os dados abaixo que mostram 15 indivíduos classificadosquanto às variáveis obesidade e sedentarismo.

Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Obesidade n n s n s s n n n s

Sedentarismo s n s s n s n s s s

Indivíduo 11 12 13 14 15Obesidade n n s n n

Sedentarismo n n s n s





Teste de Hipótese


ARANGO, Exemplo 5.5, P. 144

Considere os seguintes eventos: A=indivíduo obeso e B= indivíduosedentário. Supondo que essa amostra e representativa dapopulação de estudo, calcule(estime) a probabilidade de:

O indivíduo ser obeso; Da Tabela tem-se que P(A) = 5/15O indivíduo ser sedentário; Da Tabela tem-se queP(B) = 9/15O indivíduo ser obeso e sedentário; Da Tabela tem-se queP(A ∩ B) = 4/15O indivíduo ser obeso ou sedentário; Da Tabela tem-se queP(A ∪ B) = 10/15O indivíduo não ser obeso e nem sedentário; Da Tabelatem-se que P(Ac ∩ Bc) = 5/15





Teste de Hipótese


Problema

Seja (Ω,F ,P) o espaço de probabilidade para um determinadoexperimento aleatório. Suponha que tenhamos a priori algumainformação a respeito do resultado do experimento aleatório. Noexemplo anterior, suponha que um indivíduo é sorteadoaleatoriamente e que recebemos a informação que o indíviduo éobeso. Nessas condições qual a probabilidade do indívíduo sersedentário? Tabela





Teste de Hipótese


Definição

Seja (Ω,F ,P) um espaço de probabilidade. Seja B ∈ F um eventotal que P(B) > 0. Então a probabilidade condicional, dado oevento B, é uma função denotada por P(.|B) e definida para todoA ∈ F como segue,

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B). (1)

em que P(A|B) é chamada a probabilidade condicional de A dadoB.





Teste de Hipótese


Testes Diagnósticos

São testes que tem como objetivo identificar um evento deinteresse.Medidas para avaliar um teste: Sensibilidade(s),Especificidade(e), Valor Preditivo Positivo(VPP), ValorPreditivo Negativo(VPN), Falso Positivo(FP) e FalsoNegativo(FN).





Teste de Hipótese


Avaliação do Teste

Resultado do TestePositivo(T+) Negativo(T−)

Ocorrência do EventoSim(D+) a bNão(D−) c d

Consideremos os seguintes eventos:D+=Ocorrência do evento de interesse;D−=Não ocorrência do evento de interesse;T+=Teste positivo;T−=Teste negativo;





Teste de Hipótese


Sensibilidade e Especificidade

Sensibilidade(s): É a probabilidade do teste dar positivo dadoque ocorreu o evento de interesse, isto é,

s = P(T+|D+) =P(T+ ∩ D+)

P(D+)=

aa + b

Especificidade(e): É a probabilidade do teste dar negativodado que não ocorreu o evento de interesse, isto é,

s = P(T−|D−) =P(T− ∩ D−)

P(D−)=

dc + d





Teste de Hipótese


Sensibilidade e Especificidade

Valor Preditivo Positivo(VPP): É a probabilidade do evento deinteresse ocorrer dado que o teste deu positivo, isto é,

VPP = P(D+|T+) =P(T+ ∩ D+)

P(T+)=

p × sp × s + (1− p)× (1− e)

em que p = P(D+) é a prevalência do evento de interesse napopulação aonde o teste está sendo aplicado;Valor Preditivo Negativo(VPN): É a probabilidade do eventode interesse não ocorrer dado que o teste deu negativo, isto é,

VPN = P(D−|T−) =P(T− ∩ D−)

P(T−)=

(1− p)× ep × (1− s) + (1− p)× e





Teste de Hipótese

Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas

Definição: Variável Aleatória

É uma função X : Ω→ R que associa a cada elemento do espaçoamostral um valor na reta(um valor numérico). Assim, para cadaω ∈ Ω tem-se que X (ω) = x ∈ R.

ObservaçãoA função X deve ser unívoca, isto é, para cada ω ∈ Ω deve haverapenas um X (ω) associado. Entretanto, diferentes valores de ωpodem levar a um mesmo valor de X .





Teste de Hipótese


Variável Aleatória: Exemplo

ExemploConsidere o procedimento de selecionar uma amostra de umapopulação U de tamanho N. Considere a variável X=altura, assimpor exemplo, X (ω1) = 1, 79, X (ω17) = 1, 98 em que ω1 e ω17 são oprimeiro e o décimo sétimo elemento da amostra.





Teste de Hipótese


Tipos de Variáveis Aleatórias

Discreta: Uma variável aleatória X é discreta se o número devalores que X possa assumir for enumerável. Ex: número defilhos, faixa etária, etc.Contínua: Uma variável aleatória X é contínua se o número devalores que X possa assumir for não enumerável. Ex: Altura,peso, etc.





Teste de Hipótese


Distribuição Binomial

Seja A um evento de interesse. Então uma variável aleatória X queconta o número de vezes que o evento A ocorre em n repetiçõesindependentes de um experimento de Bernoulli(um experimento quesó possui dois resultados possíveis), possui função de probabilidade,

P(X = x) =

(nx

)px × (1− p)n−x se x = 0, 1, 2, . . . , n

0 caso contrário

Em que p = P(A).





Teste de Hipótese


Distribuição Binomial

Diz-se que tal variável possui distribuição Binomial com parâmetrosn e p e denota-se por:

X ∼ bin(n, p)

Tem-se para essa variável que µ = E (X ) = np eσ2 = Var(X ) = np(1− p).





Teste de Hipótese


Exemplo

A taxa de imunização de uma vacina é 80%. Se um grupo de 20pessoas são vacinadas,

(a) Qual a probabilidade que 15 fiquem imunizadas?(b) Qual o número esperado de pessoas que serão imunizadas?





Teste de Hipótese


Distribuição Normal

Dizemos que uma v.a. X tem distribuição normal com média µ evariância σ2 se sua função densidade de probabilidade é dada por

f (x) =1√2πσ2

exp(−(x − µ)2

2σ2

)para todo x ∈ R, em que E (X ) = µ e Var(X ) = σ2. Notação:X ∼ N(µ, σ2).





Teste de Hipótese


Distribuição Normal: Características

Moda = mediana = média;A função tem dois pontos de inflexão, um em x = µ− σ eoutro em x = µ+ σ, em que σ é o desvio padrão de X ;A curva é simétrica em torno de x = µ, isto implica que dadoum a ∈ R tem-se que f (µ− a) = f (µ+ a), logoF (µ− a) = PX (X ≤ µ− a) = PX (X ≥ µ+ a) = 1− F (µ+ a)se µ = 0 então F (−a) = 1− F (a).





Teste de Hipótese


Distribuição Normal

Problema: Dificuldade no cálculo de PX . Existem tabelas apenaspara X ∼ N(0, 1).Solução: Fazendo a transformação,

Z =X − µσ

⇒ Z ∼ N(0, 1)

Assim,

P(X ≤ x) = P(Z ≤ z) = P(Z ≤ x − µ

σ

)





Teste de Hipótese


Distribuição t-Student “Padrão”

Dizemos que uma v.a. X tem distribuição t com ν graus deliberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por

f (x) =1√νπ

Γ(ν+12

)Γ(ν2

) (1 +

x2

ν

)− ν+12

para todo x ∈ R. Notação: X ∼ tν . Tem-se ainda que E (X ) = 0para ν > 1 e

Var(X ) =ν

ν − 2para ν > 2.





Teste de Hipótese


Distribuição t-Student: Características

Moda = mediana = média = 0;A curva é simétrica em torno do 0, isto implica que dado uma ∈ R tem-se que f (−a) = f (+a), logo P(≤ −a) = P(≥ a);quando os graus de liberdade aumentam a distribuição tν seaproxima da distribuição normal com média zero e variância 1.





Teste de Hipótese

Tipos de estudosTipos de AmostragemPrincipais planos de amostragem probabilística

Objetivo

Amostragem é o procedimento utilizado na obtenção da amostra,que deve ser de tal forma que a amostra obtida seja representativada população de interesse.

ExemploQuando alguém está adoçando uma xícara de café ele primeirocoloca um pouco de açucar, mistura bem e depois prova(coletauma amostra) para verificar se precisa ou não mais açucar. Noteque, o processo de mexer bem antes de provar é umprocedimento(plano) amostral intuítivo.





Teste de Hipótese


População ou População alvo

É o conjunto de todos os seres, objetos ou informações que estãosob investigação.Notação: Um população de tamanho N será denotada porU˜ = (1, . . . ,N).

Exemplo

Um grupo de pesquisadores desejam analisar a influência de fatoressociodemográficos, físicos e mentais sobre a mobilidade de idosos,pessoas com 60 anos ou mais, residentes no município de SantaCruz, Rio Grande do Norte. Neste caso a população são todas aspessoas com 60 anos ou mais residentes no município de SantaCruz.





Teste de Hipótese


População de estudo

É o conjunto de todos os seres, objetos ou informações que podemser incluídas no estudo. Teoricamente, o mesmo que a populaçãoalvo, porém muitas vezes diferente.

ExemploNo Exemplo anterior suponha que a pesquisa tenha sido realizadadurante um determinado mês do ano, e que neste mêspossívelmente algumas das pessoas desta população poderiam nãoestar na cidade e deste modo não poderiam ser incluídas napesquisa. Deste modo, neste caso, a população alvo é diferente dapopulação de estudo.





Teste de Hipótese


Amostra

É o conjunto dos elementos selecionados de uma população.Notação: Uma amostra de tamanho n será denotada pors˜=

(k1, . . . , kn

)para ki ∈ U˜ .





Teste de Hipótese


Unidade amostral

São os elementos alvo da pesquisa. Podem ser pessoas,animais,objetos, domicílios, empresas, etc. Deve ser definida noinício da investigação de acordo com o interesse do estudo. Émuito importante que a unidade elementar seja claramentedefinida, para que o processo de coleta e análise tenha sempre umsignificado preciso e uniforme.





Teste de Hipótese


Variáveis

É uma característica qualitativa ou quantitativa que observamos emcada unidade amostral. Ex.: altura, sexo, peso, idade, classe social,etc.Notação: As variáveis são usualmente denotadas pelas letrasmaiúsculas X ,Y ,Z ,W .

Em um população U˜ = (1, . . . ,N), o conjunto de valores queessas variáveis assumem são denotadas porx˜ = (x1, x2, . . . , xN);Em uma amostra s˜=

(k1, . . . , kn

), os valores que essas

variáveis podem assumir são denotadas porX˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) em que cada Xi pode assumir qualquervalor xu, para u ∈ U˜ e xu ∈ x˜.





Teste de Hipótese


Parâmetro

Uma medida numérica que descreve alguma característica de umapopulação.

ExemploPeso médio ao nascer de crianças na cidade de João Pessoa,proporção de mulheres com câncer de mama na Paraíba.

Notação: Utiliza-se usualmente letras gregas,µ, σ2, τ para sedenotar parâmetros. Entretanto, existem exceções, por exemplo,para o parâmetro proporção utiliza-se p.





Teste de Hipótese


Estimador

É qualquer função dos elementos X1, . . . ,Xn da amostra X˜ , queassume valores em Θ(espaço paramétrico), em que Θ é o conjuntode todos os valores que o parâmetro θ pode assumir.Notação: Usualmente utiliza-se µ, σ2, p para se denotarparâmetros. Entretanto, existem exceções, por exemplo, para oparâmetro µ utiliza-se X .

Exemplo

Seja X˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) uma amostra, então um estimador paraa média populacional µ para essa amostra é dada por:

X =X1 + . . .+ Xn

n.





Teste de Hipótese


Estimativa

É o valor observado de um estimador após a amostra ser coletada.

Exemplo

Considere a seguinte amostra da variável X , X˜ = (5, 3, 4, 2, 6),então

X =5 + 3 + 4 + 2 + 6

5= 4.





Teste de Hipótese


Cadastro amostral

Lista das unidades da população de pesquisa de onde a amostraserá extraída. Nem sempre aplicável.





Teste de Hipótese


Tipos de estudos: Estudos Observacionais

Se caracterizam pela não intervenção do pesquisador sobre osdados do estudo. Dessa maneira, nos estudos observacionaisobservamos e medimos características específicas, mas nãotentamos modificar os elementos objeto do estudo.

ExemploEm uma pesquisa na qual se quer estudar algum aspecto de umgrupo de alcoólatras, não há a possibilidade de induzir um grupo atornar-se alcoólatra, então o estudo é observacional e inclui o grupoque já era alcoólatra e um grupo de não alcoólatras como grupocontrole.





Teste de Hipótese


Tipos de estudos: Estudos Experimentais

Nos estudos experimentais, o pesquisador designa os indivíduos daamostra aos grupos por processo aleatório, aplicamos umtratamento diferente a cada grupo e observamos seu efeito noselementos da amostra.

ExemploNo artigo “Impacto da multimistura no estado nutricional depré-escolares matriculados em creches. Rev. Nutr. [online]. 2006,vol.19, n.2, pp. 169-176.”, coletou-se uma amostra de 135 criançasna faixa etária de um a seis anos. As crianças foram divididasaleatóriamente em três grupos: intervenção 1 (GI1 n=48),intervenção 2 (GI2 n=45) e controle (GC n=42), recebendo 5g e10g de multimistura e placebo, respectivamente. O estadonutricional das crianças em estudo foi avaliado antes e após asuplementação. Ulisses U. dos Anjos Bioestatística




Teste de Hipótese


Tipos de Amostragem: Amostragem Probabilística

É o procedimento pelo qual se utilizam mecanismos aleatórios deseleção dos elementos de uma amostra, atribuindo a cada elementouma probabilidade de pertencer a amostra.





Teste de Hipótese


Tipos de Amostragem: Amostragem não Probabilística

É o procedimento pelo qual se utiliza alguma mecanismo aleatóriode seleção, mas sem conhecer a probabilidade de cada elementofazer parte da amostra ou não se utilizam mecanismos aleatórios deseleção dos elementos de uma amostra, tais como: amostrasintencionais, nas quais os elementos são escolhidos com o auxílio deespecialistas; amostras de voluntários, onde as pessoas é que seapresentam para participar do estudo.

ObservaçãoA grande vantagem da amostra probabilística é medir a precisão daamostra obtida, baseando-se apenas no resultado contido naprópria amostra.





Teste de Hipótese


Amostragem aleatória(AA)

Procedimento pelo qual cada elemento da população tem a mesmachance(probabilidade) de ser selecionada.





Teste de Hipótese


Amostragem aleatória simples(AAS)

Procedimento pelo qual uma amostra de tamanho n é selecionadade tal forma que cada amostra possível de tamanho n tem a mesmachance(probabilidade) de ser selecionada. Esse plano amostralsubdivide-se ainda em dois outros: Amostragem aleatória simplescom reposição(AASCR) e Amostragem aleatória simples semreposição(AASSR).





Teste de Hipótese


Amostragem sistemática

É realizada quando os elementos da população estão ordenados e aseleção dos elementos da amostra é feita periodicamente ousistematicamente.





Teste de Hipótese


Amostragem estratificada

Esse procedimento consiste em dividir a população emsub-populações (estratos). Estratos são divisões de acordo comalgum critério, por exemplo: sexo, faixa etária, estado civil, assimdentro de cada estrato teremos uma maior homogeneidade. Dessaforma, para uma população com N unidades amostrais e d estratoscom tamanhos N1, . . . ,Nd , tem-se que

∑di=1 Ni = N, portanto

teremos os seguinte coeficiente de proporcionalidade ci = NiN .

Deste modo, para uma amostra de tamanho n devemos selecionaruma AAS de tamanho ni = ci × n de cada estrato.





Teste de Hipótese


Amostragem por conglomerado

Neste procedimento cada unidade amostral é um grupo(conglomerado) de elementos. Conglomerados são partesrepresentativas da população, por exemplo, dividimos um bairro emquarteirões. Assim cada quarteirão é uma unidade amostral. Destemodo, selecionamos uma AAS dos quarteirões para depoisproceder-se o levantamento dos dados de todos os elementos doConglomerado.





Teste de Hipótese


Erros de amostragem

Erro amostral(E). é a diferença entre o resultado amostral eo verdadeiro resultado da população. Tais erros resultam dasflutuações amostrais devidas ao acaso.Erro não amostral. ocorre quando os dados amostrais sãocoletados ou registrados incorretamente. Exemplos de errosnão amostrais: seleção de uma amostra por conveniência, usode um instrumento de medida defeituoso, digitação incorretados dados, etc.





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Amostra Aleatória

Uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável aleatória Xcom função distribuição F , é um vetor X˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) emque as componentes Xi são independentes e possuem distribuiçãoF .





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Estatística

É qualquer função dos elementos X1, . . . ,Xn da amostra X˜ cujadistribuição de probabilidade não depende de parâmetrosdesconhecidos.





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Distribuição Amostral: Definição

A Distribuição de todos os valores possíveis que podem serassumidos por uma estatística, calculados a partir de amostras demesmo tamanho selecioanadas aleatóriamente de uma mesmapopualção, é chamada de Distribuição Amostral da estatística.





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Distribuição Amostral: Objetivos

Permitir responder questões probabilisticas sobre estatisticasamostrais;fornecer a teoria necessária para fazer válidos os procedimentosda inferência estatística.





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel

Suponha que temos uma população de cinco crianças que sãopacientes em um centro comunitário de saúde mental e a variávelde interesse é a idade delas, assim,

x˜ = (6, 8, 10, 12, 14).

A média populacional é,

µ =6 + 8 + 10 + 12 + 14

5= 10





Teste de Hipótese

MédiaProporção


e a variância populacional,

σ2 =(6− 10)2 + (8− 10)2 + · · ·+ (14− 10)2

5= 8

Desejamos obter a distribuição amostral da média, baseadoem amostras de tamanho 2, selecionadas dessa populaçaocom reposição.





Teste de Hipótese

MédiaProporção


6 8 10 12 146 (6,6) (6,8) (6,10) (6,12) (6,14)X 6 7 8 9 108 (8,6) (8,8) (8,10) (8,12) (8,14)X 7 8 9 10 1110 (10,6) (10,8) (10,10) (10,12) (10,14)X 8 9 10 11 1112 (12,6) (12,8) (12,10) (12,12) (12,14)X 9 10 11 12 1314 (14,6) (14,8) (14,10) (14,12) (14,14)X 10 11 12 13 14

Table: Todas as posíveis amostras de tamanho 2 da população comreposição Ulisses U. dos Anjos Bioestatística




Teste de Hipótese

MédiaProporção

Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição

X 6 7 8 9 10 11 12 13 14Frequência 1 2 3 4 5 4 3 2 1

Freq. Rel(Prob.) 125

225

325

425

525

425

325

225

125

Distribuição Amostral da Média para n=2

6 7 8 9 10 11 12 13 14

01

23

45





Teste de Hipótese

MédiaProporção


Deste modo, tem-se que o valor esperado de X é

E (X ) =14∑

x=6

xP(X = x) = 6× 125

+7× 225

+· · ·+13× 225

+14× 125

= 10

e a variancia de X é

Var(X ) =14∑

x=6

(x − E (X )

)2P(X = x)

= (6− 10)2 × 125

+ · · ·+ (14− 10)2 × 125

= 4.





Teste de Hipótese

MédiaProporção


Agora note queE (X ) = µ

e

Var(X ) = 4 =82

=σ2

nem que n é o tamanho da amostra.





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição

X 7 8 9 10 11 12 13Frequência 2 2 4 4 4 2 2

Freq. Rel(Prob.) 220

220

420

420

420

220

220

Distribuição Amostral da Média para n=2, sem reposição

7 8 9 10 11 12 13

01

23

4





Teste de Hipótese

MédiaProporção


Deste modo, tem-se que o valor esperado de X é

E (X ) =13∑

x=7

xP(X = x) = 7× 220

+ · · ·+ 13× 220

= 10

e a variancia de X é

Var(X ) =13∑

x=7

(x − E (X )

)2P(X = x)

= (7− 10)2 × 220

+ · · ·+ (13− 10)2 × 220

= 3.





Teste de Hipótese

MédiaProporção


Agora note queE (X ) = µ

e

Var(X ) = 3 =82× 5− 2

5− 1=σ2

n× N − n

N − 1em que n é o tamanho da amostra e N é o tamanho da populacão.





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Distribuição Amostral da Média

Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória da variável X ∼ N(µ, σ2)então,

X ∼ N(µ;σ2

n

).





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Teorema Central do Limite

Seja Xn, n ≥ 1 uma seqüência de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas, com média µ evariancia σ2 <∞. Então, para Sn =

∑ni=1 Xn, tem-se

Sn − E (Sn)√Var (Sn)

=Sn − nµσ√n

d−→ N(0, 1)





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Distribuição Amostral da Média

Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória da variável X , com média µe variância σ2 <∞. Então pelo Teorema Central do Limite(TCL)segue que a distribuição da média amostral será aproximadamentenormal com média µ e variância σ2

n , isto é,

X a∼ N(µ;σ2

n

).





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Exemplo

Suponha que em uma certa população, o tamanho do crânio é umavariável aleatória com distribuição aproximadamente normal commédia 185,6 mm e desvio padrão 12,7 mm. Qual é a probabilidadeque em uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população amédia amostral seja maior que 190 mm?

P(X > 190

)= P

(Z >

190− 185, 612,7√

10

)= P(Z > 1, 1) = 1− Φ(1, 1) = 0, 1357.





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Distribuição Amostral da Proporção

Seja uma amostra aleatória (X1, . . . ,Xn) em que Xi ∼ ber(p). Umestimador para o parâmetro p é dado por,

p =X1 + · · ·+ Xn

n.

Logo, do Teorema Central do Limite, segue que, para n grande, pterá distribuição aproximadamente normal com média p e variânciap(1−p)

n .

ObservaçãoA aproximação será boa se n ×min(p, 1− p) > 5.





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Exemplo

Suponha que em uma determinada população de mulheres grávidasno seu terceiro mês, 90% tiveram algum cuidado pré-natal. Se umaamostra aleatória de 200 mulheres dessa população é selecionada,qual a probabilidade que a proporção amostral das mulheres quetiveram algum cuidado pré-natal seja no máximo 0,85?

P(p ≤ 0, 85) = P

Z ≤ 0, 85− 0, 90√0,9×0,1

200

= P(Z ≤ −2, 36)





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Intervalo de Confiança

Um intervalo de confiança é um intervalo de valores utilizado paraestimar o verdadeiro valor de um parâmetro populacional (θ).

DefiniçãoSeja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra aleatória da variável X ∼ F ec1(X) e c2(X) estatísticas tais que,

P(c1(X) < θ < c2(X)) = 1− α, 0 < α < 1

Então o intervalo aleatório(c1(X), c2(X)

)chama-se Intervalo de

Confiança de 100(1− α)% para (θ).





Teste de Hipótese

MédiaProporção


De um modo geral, estamos interessados em encontrar um intervaloda forma

(θ− E ; θ+ E

), em que θ é o estimador de um parâmetro

de interesse θ e E é a margem de erro ou erro de precisão.Todo intervalo de confiança está associado a um nível de confiança100(1− α)% que é a probabilidade de que o intervalo contenha overdadeiro valor do parâmetro, isto é,

P(θ − E < θ < θ + E

)= 1− α, 0 < α < 1

Logo, α será a probabilidade de que o intervalo não contenha overdadeiro valor do parâmetro.





Teste de Hipótese

MédiaProporção


Em cada caso há o interesse de se construir um uma região deestimação ótima, isto é, fixado um nível de confiança, desejamosencontrar um intervalo que tenha a menor amplitude possível.Observando um grande número de amostras de tamanho n e seuscorrespondentes intervalos espera-se que em média uma proporção100(1− α)% desses intervalos contenham o verdadeiro valor doparâmetro.Notação: IC

(θ ; (1− α)%

)=(c1(X) , c2(X)

)





Teste de Hipótese

MédiaProporção

Intervalo de Confiança para a Média - Caso 1 - Variânciaconhecida

Suposições: Seja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra iid(independentee identicamente distribuída) de um população com distribuiçãonormal com média µ e Variância σ2 conhecida ou temos a umaamostra iid grande n ≥ 30 e a Variância σ2 conhecida ou não.Tem-se que, σX = σ√

n e

X − µσ√n∼ N(0, 1)

assim,

E = zα2

σ√n⇒ IC

(µ ; (1− α)%

)=

(X − zα

2

σ√n

; X + zα2

σ√n

)Ulisses U. dos Anjos Bioestatística




Teste de Hipótese

MédiaProporção

Intervalo de Confiança para a Média - Caso 2 - VariânciaDesconhecida

Suposições: Seja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra iid(independentee identicamente distribuída) de um população com distribuiçãonormal com média µ e Variância σ2 desconhecida;Quando a Variância σ2 é desconhecida, substituímos σ2 por S2,assim,

X − µS√n

∼ tn−1

portanto,

E = t(n−1 , α2 )S√n⇒ IC

(µ ; (1−α)%

)=

(X − t(n−1 , α2 )

S√n

; X + t(n−1 , α2 )S√n

)Ulisses U. dos Anjos Bioestatística




Teste de Hipótese

MédiaProporção

Intervalo de Confiança para a Proporção

Seja uma amostra aleatória (X1, . . . ,Xn) de Xi ∼ ber(p). Então,pelo TCL segue que a margem de erro aproximada é dada por,

E = zα2

√p(1− p)

n

Logo,

IC(p ; (1− α)%

)=

(p − zα

2

√p(1− p)

n; p + zα

2

√p(1− p)

n

)





Teste de Hipótese

Visão GeralComponentes de um Teste de HipóteseTeste para MédiaTeste para Proporção

Motivação

Um Jornal na Cidade St. Paul, Mineápolis, o Star Tribunepatrocinou uma pesquisa destinada a revelar as opiniões sobre o usode câmeras fotográficas para flagrar os motoristas que passam osinal vermelho e depois são notificados pelo correio sobre a infraçãocometida. Os pesquisadores entrevistaram 829 adultos deMinnesota, e verificaram que 51% se opunham à essa novalegislação que aprovará o uso dessas câmeras.Baseado nessas informações, podemos concluir que há evidênciaamostral suficiente para apoiar a afirmativa que a maioria de todosos adultos de Minnesota, isto é, p > 0, 5 são contra a novalegislação?





Teste de Hipótese


Visão Geral

O objetivo de um teste de hipótese é fornecer umametodologia(procedimento) que nos permita verificar se os dadosamostrais trazem evidências que apóiem ou não uma hipóteseestatística formulada. Assim sendo, a formulação de um teste dehipótese estatístico inicia-se com a afirmação de uma hipóteseestatística.

Definição (Hipótese Estatística)

É usualmente uma conjectura a respeito de um parâmetropopulacional.

Para cada situação existem dois tipos de hipótese estatística: ahipótese nula denotada por H0 e a hipótese alternativa denotadapor H1





Teste de Hipótese


Regra do evento raro

Se sob uma dada suposição, a probabilidade de um evento observadofor excepcionalmente pequena, concluímos que a suposição provavel-mente não é verdadeira.

Guiados por esta regra, iremos por a prova as hipóteses estatisticasformuladas e decidir se os dados amostrais podem facilmenteocorrer por acaso ou são altamente improváveis de ocorrer poracaso.





Teste de Hipótese


Teste Paramétrico ou Teste Não Paramétrico

Teste Paramétrico: Exige suposições sobre a distribuição deprobabilidade das variáveis de interesse.Teste Não Paramétrico: Não exige suposições sobre adistribuição de probabilidade das variáveis de interesse. Por estemotivo são em geral chamados de testes livres de distribuição.Principal vantagem do teste Não Paramétrico: Podem seraplicados a uma maior variedade de situações, pois possuemsuposições mais fracas que os testes Paramétricos;Principal desvantagem do teste Não Paramétrico: São menoseficientes que os testes Paramétricos, pois para uma dada situaçãoem que as suposições do teste Paramétrico são satisfeitas, um testeNão Paramétrico equivalente precisaria de uma amostra maior parater um erro tipo I e tipo II equivalentes ao do método Paramétrico.





Teste de Hipótese


Hipótese Nula e Alternativa

Hipótese Média ProporçãoNula(H0) µ = µ0 p = p0

Alternativa(H1) µ 6= µ0 p 6= p0

Nula(H0) µ ≤ µ0 p ≤ p0Alternativa(H1) µ > µ0 p > p0

Nula(H0) µ ≥ µ0 p ≥ p0Alternativa(H1) µ < µ0 p < p0





Teste de Hipótese


Resultados em um Teste de Hipótese

Em um teste de hipótese, existem apenas quatro resultadospossíveis:

H0 é verdadeira H0 é falsaRejeitar H0 Erro tipo I Decisão corretaNão Rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II





Teste de Hipótese


Estatística do Teste

É um valor calculado a partir dos dados amostrais e é usada para setomar a decisão sobre a rejeição da hipótese nula.Note que como seu valor depende da amostra, então pode-seconcluir que ela é uma variável aleatória, logo possui distribuição deprobabilidade.Será essa distribuição de probabilidade que utilizaremos para tomara decisão de rejeitar ou não a hipótese H0.





Teste de Hipótese


Nível de significância e Beta do Teste

Nível de significância: É a probabilidade de se cometer o errotipo I, é denotado por α, isto é,

P(Erro tipo I) = α = P(Rejeitar H0|H0 é verdadeira).

Beta do Teste: É a probabilidade de não rejeitar H0 quando ela éfalsa, isto é,

β = P(Erro tipo II) = P(Não Rejeitar H0|H0 é falsa)





Teste de Hipótese


Poder do teste e p-valor

Poder do teste: É a probabilidade de rejeitar H0 quando ela éfalsa, esta probabilidade é o complentar da probabilidade de secometer o erro tipo II, isto é,

Poder do Teste = 1− P(Não Rejeitar H0|H0 é falsa)

= P(Rejeitar H0|H0 é falsa).

Nível descritivo ou p-valor do teste: É a probabilidade deocorrer valores da Estatística do teste, mais extremos que o valorobservado, sob a hipótese que H0 é verdadeira.





Teste de Hipótese


Cálculo do p-valor

Seja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra aleatória de tamanho n, T (X)uma estatística que possui uma distribuição de probabilidade P eT (x) o valor da estatística dado os valores observadosx = (x1, . . . , xn). Então:

p-valor = P(T (X) > |T (x)|

∣∣∣H0 é verdadeira)





Teste de Hipótese


Cálculo do p-valor - Exemplo

Exemplo 1: Considere que T (X) ∼ N(0, 1) e T (x) = −1, 25então da tabela da distribuição Normal tem-se que:

p-valor = P(T (X) > | − 1, 25|

)= P

(T (X) > 1, 25

)= 0, 1056;

Exemplo 2: Considere que T (X) ∼ t11 e T (x) = 1, 363 então databela da distribuição t tem-se que:

p-valor = P(T (X) > 1, 363

)= 0, 10;





Teste de Hipótese


Região Crítica para Estatística com distribuição Normal

É o conjunto de valores da Estatística do teste para o qual ahipótese deve ser rejeitada, também chamada de região de rejeição.A região crítica dependerá da hipótese alternativa e da distribuiçãode probabilidade de cada Estatística.

Distribuição de probabilidade da Estatística: Z ∼ N(0, 1)

Hipótese Região CríticaH1 : θ 6= θ0

(−∞,−zα

2

]∪[zα

2,∞)

H1 : θ > θ0 [zα,∞)H1 : θ < θ0 (−∞,−zα]





Teste de Hipótese


Região Crítica para Estatística com distribuição t

Distribuição de probabilidade da Estatística: T ∼ tν

Hipótese Região CríticaH1 : θ 6= θ0

(−∞,−tν,α2

]∪[tν,α2 ,∞

)H1 : θ > θ0 [tν,α,∞)H1 : θ < θ0 (−∞,−tν,α]





Teste de Hipótese


Critério de Decisão

Seja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra aleatória de tamanho n eT (X) uma estatística, então o critério de decisão é:

1 Utilizando a Região Crítica: Se T (X) ∈ RC rejeita-se ahipótese H0, caso contrário não rejeita-se a hipótese H0;

2 Utilizando p-valor:Para H1 : θ 6= θ0: se p-valor≤ α

2 rejeita-se a hipótese H0,caso contrário não rejeita-se a hipótese H0.Para H1 : θ > θ0 ou H1 : θ < θ0: se p-valor≤ α rejeita-se ahipótese H0, caso contrário não rejeita-se a hipótese H0.Esta é a regra do evento raro.





Teste de Hipótese


Estatística do Teste com Distribuição Normal

Estatística: Z =X − µ0√

σ2

n

∼ N(0, 1)

Suposição: População Normal e Variância Conhecida

Estatística: Z =X − µ0√

S2

n

ouX − µ0√

σ2

n

∼ N(0, 1)

Suposição: Amostras Maiores que 30 com Variância Conhecida oudesconhecida.





Teste de Hipótese


Exemplo

Considere os seguintes resultados referentes a uma amostraaleatória de população com distribuição Normal:

n = 8; X = 104 σ = 8, 4

Qual o valor da Estatística do Teste? E o p-valor?

n = 80; X = 104 σ = 8, 4






Teste de Hipótese


Estatística do Teste com Distribuição t

Estatística: T =X − µ0√

S2

n

∼ tn−1

Suposição: População Normal e Variância Desconhecida.





Teste de Hipótese


Exemplo

Considere os seguintes resultados referentes a uma amostraaleatória de população com distribuição Normal:

n = 8; X = 104 S = 8, 4






Teste de Hipótese


Estatística para o Teste de Proporção

Suposição: Amostras grandes. Nesse caso,

n1 × p1 ≥ 5 e n1 × (1− p1) ≥ 5

Estatística: Z =p − p0√p0(1−p0)

n1

∼ N(0, 1)


Bioestatística - UFPBulisses/disciplinas/notas_de_aula-2011-1.pdf · Introduçãoaprobabilidade...

Documents

Transcript of Bioestatística - UFPBulisses/disciplinas/notas_de_aula-2011-1.pdf · Introduçãoaprobabilidade...