Biografia Thevenin

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  • Captulo 1

    TEOREMAS SOBRE REDES

    Portada del Captulo 3

    1

  • 2 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    1.1 INTRODUCCION

    Los teoremas de redes complementan los metodos de analisis de circuitoselectricos explicados en captulos anteriores. El primer teorema es el llamadoteorema de Superposicion de Fuentes, el cual nos dice en breves palabras queel voltaje o la corriente sobre un elemento es igual a la suma de cada una de lasrespuestas obtenidas de cada fuente independiente; actuando separadamentede las otras fuentes. El teorema de Thevenin y el de Norton nos dicen quedesde el punto de vista de un par de nodos un circuito puede ser sustituidopor una fuente de tension y una resistencia serie equivalente, o, en una fuentede corriente y una resistencia en paralelo equivalente. Los demas teoremaspresentan formas de manipular los circuitos para poder simplificar el analisis.

    Antes de iniciar con los teoremas sobre redes debemos tener en claro que lamayora de los teoremas solos son utilizables cuando la red es lineal; hastaahora los circuitos que se han analizado tienen como caracterstica que secomponen de resistencias, fuentes independientes y dependientes de voltajey fuentes independientes y dependientes de corriente; y que estos elementossolo se han trabajado con caractersticas lineales de la forma:

    y = kx (1.1)

    Esto implica que podemos expresar una cantidad dentro de un circuito comouna funcion lineal de las demas, es facil comprobar que la ley de Ohm eslineal, as como las LVK y LCK , que son ecuaciones descriptivas de circuitosen este caso en particular circuitos lineales. En definitiva podemos considerarun circuito lineal como aquel que se compone de elementos lineales.

    1.1.1 LINEALIDAD y SUPERPOSICION

    Se puede decir que linealidad y superposicion son conceptos iguales; soloque linealidad es un concepto mas matematico y superposicion es mas fsico.Normalmente se define superposicion como:

  • 1.1. INTRODUCCION 3

    La respuesta de un sistema lineal a varios estmulos es la suma de lasrespuestas a cada uno de los estmulos.

    Esto se puede ver mas claro con el siguiente diagrama de bloques:

    Figura 1.1: Eliminacion de Fuentes

    En la parte (a) de la figura, se tiene un sistema lineal al que se le aplican dosestmulos diferentes (E1yE2) y se obtiene una respuesta (R1), el resultadoseria de la forma:

  • 4 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    R1 = f1(E1) + f2(E2)

    Donde f1(E1) y f2(E2) son funciones lineales de E1 y E2 respectivamente, enla parte (b) se tiene el mismo sistema lineal pero aplicando otro dos estmulos(Ea y Eb) y se obtiene como resultado una respuesta (R2) , de la forma:

    R2 = f1(Ea) + f2(Eb)

    La respuesta total(R) del sistema lineal seria de la forma:

    R = R1 +R2 = f1(E1 + Ea) + f2(E2 + Eb)

    R = f1(E1) + f1(Ea) + f2(Ea) + f2(Eb)

    Es de notar que para sumar dos estmulos, estos deben tener las mismascaractersticas y ser del mismo tipo. Este concepto se aplica a los circuitoselectricos, por medio del teorema de superposicion.

  • 1.2. BIOGRAFIA 5

    1.2 BIOGRAFIA

    Leon-Charles Thevenin: (Meaux 1857 - Pars 1927) Aunque participoen el estudio y el diseno de los sistemas telegraficos (incluyendo latransmision subterranea), los condensadores cilndricos (capacitores) yel electromagnetismo, es mejor conocido por un teorema que presentoprimero en el French Journal of Physics-Theory and Applications, en1883. Aparecio con el encabezado de Sur un nouveau theoreme delectricite`dynamique (Acerca de un nuevo teorema de la electricidad dinamica)y originalmente se le conoca como el teorema generador equivalente.

    Existe cierta evidencia de que Hermann von Helmholtz presento unteorema similar en 1853. Sin embargo, el profesor Helmholtz aplico elteorema a la fisiologa animal y no a los sistemas de comunicacion o gen-eradores y, por tanto, no recibio el credito que mereca en este campo.A principios de la decada de los veinte, AT & T efectuo ciertos tra-bajos pioneros usando el circuito equivalente y tal vez haya empezadoa referirse al teorema como sencillamente el teorema de The`venin. Dehecho, Edward L. Norton, en esa epoca ingeniero en AT & T presentoun equivalente de la fuente de corriente del equivalente de The`veninque en la actualidad se conoce como el circuito equivalente de Norton.Como dato curioso, el comandante Thevenin fue un avido esquiador y

  • 6 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    de hecho fue comisionado en una competencia internacional de ski enCharrionix, Francia.

    1.3 TEOREMA DE SUPERPOSICION

    El teorema de superposicion dice formalmente que:

    En cualquier circuito resistivo lineal que contenga dos o mas fuentes inde-pendientes, cualquier voltaje o corriente del circuito puede calcularse comola suma algebraica de todos los voltajes o corrientes individuales originadospor cada fuente independiente actuando por s sola, es decir, con todas lasdemas fuentes independientes eliminadas.

    Hasta ahora todos los circuitos que se han manejado son lineales, por lo tantoeste teorema puede ser aplicado a cualquier circuito anteriormente explicado.

    El termino eliminarlas fuentes es lo mismo que decir llevarlas a cero, segunesto al eliminar una fuente de voltaje se esta diciendo que la diferencia depotencial o voltaje entre las dos terminales del elemento, es igual a cero lo queseria dicho de otra forma un cortocircuito, como se muestra en la siguientefigura:

    Figura 1.2: Eliminacion de Fuentes

    As mismo el termino eliminaruna fuente independiente de corriente es lomismo que decir, que entre los terminales de esta pasa una corriente electricaigual a cero, en otras palabras se tendra un circuito abierto.

  • 1.3. TEOREMA DE SUPERPOSICION 7

    El siguiente ejemplo explica como se utiliza el metodo de superposicion parael analisis de circuitos.

    Ejemplo.

    Figura 1.3: Circuito Ejemplo

    En este circuito se tiene dos fuentes independientes de voltaje (V1 y V2) y unared de tres resistencias (R1, R2 y R3), el objetivo del ejercicio es encontrarel valor del voltaje sobre la resistencia R3, el cual se llamara Vx.

    Ahora bien, utilizando el principio de superposicion de fuentes se realizara losiguiente, Como primer paso se analizara el circuito solo utilizando la fuenteV1 y la fuente V2 seria eliminada o igualada a cero (corto-circuito) como enla siguiente figura:

    Figura 1.4: Sin V2

    Como se observa R3y R2 se encuentran en paralelo y al mismo valor devoltaje, por lo tanto Vx seria igual al divisor de tension entre R1 y el paralelo

  • 8 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    entre R2 y R3, de la siguiente manera:

    RPV1 =R2R3

    R2 +R3(1.2)

    Este es el valor de la resistencia equivalente entre el paralelo de R2 y R3,despues hacemos el divisor de voltaje, para hallar Vx,

    Vx =RPV1

    RPV1 +R1V1 (1.3)

    Ahora realizamos el mismo procedimiento, pero con la fuente de voltaje V2prendida y la fuente V1 en cero,

    Figura 1.5: Sin V1

    Como se puede observar la topologa del circuito es parecida a la que se teniaen el paso anterior, los unicos cambios son que el paralelo se tiene ahora entrelas resistencias R1 y R3 y el divisor entre R2 y la resistencia equivalente.

    RPV2 =R1R3

    R1 +R3(1.4)

    Vx =RPV2

    RPV2 +R2V2 (1.5)

  • 1.4. TEOREMA DE THEVENIN Y NORTHON 9

    luego la solucion al problema es la suma de:

    Vx = Vx + Vx (1.6)

    Como se pudo observar en el metodo de analisis de superposicion de fuentes,no es necesario plantear las ecuaciones de malla o de nodos, las cuales setienen que resolver mediante metodos para la solucion de ecuaciones linealessimultaneas, los cuales llevan tiempo y esfuerzo.

    En el ejercicio realizado con el metodo de superposicion se hicieron dos par-alelos, dos divisores de tension y una suma para hallar el resultado, esto haceque este metodo sea util en una gran cantidad de casos, por ser este masdirecto al no tener que encontrar valores diferentes o innecesarios para poderhallar la respuesta pedida.

    Aunque este metodo puede facilitar la solucion de algunos circuitos, en otrospuede acarrear mayor trabajo, por lo tanto, hay que intentar siempre primeroinferir si el uso de este metodo facilita el analisis. Un ejemplo tpico de comoel metodo de superposicion puede acarrear mas trabajo es el siguiente:

    Figura 1.6: Ejemplo 3.1

    1.4 TEOREMADE THEVENIN YNORTHON

    En captulos anteriores se presento el concepto de redes de 2 terminales equiv-alentes, esto ocurre cuando al aplicar una tension identica sobre estos termi-

  • 10 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    Figura 1.7: Ejemplo 3.1

    Figura 1.8: Ejemplo 3.1

    Figura 1.9: Ejemplo 3.1

    nales, obtenemos una corriente identica a traves de ellos. La simplificacionde circuitos en paralelo y serie, con resistencias equivalentes son ejemplossencillos de este concepto.

  • 1.4. TEOREMA DE THEVENIN Y NORTHON 11

    Figura 1.10: Ejemplo 3.1

    ??

    Los teoremas de Thevenin y Norton pueden ser considerados generalizacionesde estos conceptos, ellos demostraron que cualquier circuito lineal tiene uncircuito equivalente, compuesto de una resistencia equivalente y una fuenteindependiente; como se muestra en la figura ??:

  • 12 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    Figura 1.11: Circuito Abierto

    El circuito lineal como el mostrado en la figura ??puede tener cualquiernumero de resistencias y fuentes, no importa si son dependientes o inde-pendientes, lo importante es que si a cualquiera de los tres circuitos se leconecta la misma carga (resistencia de carga o un circuito cualquiera), tantoel voltaje entre sus terminales como la corriente que circule por estos debenser identicos.

    El problema radica en encontrar los valores apropiados de V th,Rth, INyRN ,para poder resolver este problema se utilizan los dos circuitos equivalentesmostrados en la figura 1.11, y se le aplica a cada uno de ellos una resistenciainfinita entre terminales o un circuito abierto que es lo mismo.

    Ahora analizando el circuito 1.11(a) se puede decir que:

    Vth = Rth Ith + Vab (1.7)

    dado que por R no puede pasar ninguna corriente, entonces se tiene:

    Vth = Vab = Voc (1.8)

    El termino Voc es el llamado voltaje de circuito abierto(open circuit), de lafigura 1.11(b) se observa

    Vab = RN IN (1.9)

  • 1.4. TEOREMA DE THEVENIN Y NORTHON 13

    Dado que por R no puede pasar ninguna corriente entonces toda pasa porRN , entonces en conclusion se puede decir:

    Vth = Vab = Voc = RN IN (1.10)

    Esto significa que la fuente de tension en el circuito equivalente Thevenintiene el valor de voltaje de la tension de circuito abierto.

    Ahora colocamos en los circuitos equivalentes una resistencia de valor cero,o un corto circuito

    Figura 1.12: Corto Circuito

    En el circuito (a) de la figura 1.12 se tiene que

    Isc =VthRth

    donde Isc es la llamada corriente de corto circuito (short circuit), en el circuito1.12(b) se observa que toda la corriente suministrada por la fuente se va porel corto circuito, entonces:

    Isc = IN =VthRth

    Vth = IN RN(1.11)

  • 14 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    Se concluye que la fuente de corriente en el circuito equivalente Norton, tienela corriente de corto circuito, si igualamos la ultima ecuacion que se obtuvocon la ecuacion (1), se tiene:

    Vth = IN Rth = IN RNRth = RN

    (1.12)

    De lo cual se puede decir que: la resistencia en serie del circuito equiv-alente Thevenin es identica a la resistencia en paralelo del circuitoNorton. Para poder hallar el valor de la resistencia equivalente se puedenseguir los siguientes pasos:

    1. Igualar a cero todas las fuentes independientes internas de la red susti-tuyendolas por corto circuitos o circuitos abiertos segun corresponda.

    2. Determinar la resistencia equivalente vista desde los terminales, paraello utilizamos metodos de reduccion de circuitos sencillos.

    3. Si existen fuentes dependientes, se dejan invariables y se conecta entrelos terminales una fuente independiente de corriente (Io) de valor 1 Ay se halla el valor de voltaje (Vo) sobre estos terminales, luego se hallala resistencia equivalente a partir de la siguiente ecuacion.

    Rth =VoIo

    =Vo1

    Se puede observar que tambien se puede utilizar una fuente independientede voltaje de valor 1 V , y que despues se halla el valor de la resistenciaequivalente simplemente hallando el inverso del valor de la corriente obtenida.

    Se concluye que el valor de la fuente de tension en el circuito equivalente deThevenin tiene la tension de circuito abierto y la fuente de corriente en elcircuito equivalente de Norton tiene la corriente de corto circuito.

    En la siguiente figura se muestra un circuito lineal con una fuente de corrienteindependiente y una fuente de voltaje controlada por voltaje.

  • 1.4. TEOREMA DE THEVENIN Y NORTHON 15

    Figura 1.13: Ejemplo 3.3

    Lo primero que se hace es calcular el voltaje Thevenin, para esto se encuentrael voltaje de circuito abierto VAB, por lo tanto la corriente IAB es igual acero, como se ve en la siguiente figura:

    Figura 1.14: Ejemplo 3.3

    De aqu se tienen las siguientes ecuaciones:

    vCB = 4 A 10 = 40 V.vAB = 5VCB + vCB = 240 V

    vAB = Vth = 240 V

    Se observa que los 4 A, pasan totalmente por la resistencia de 10 W y quesobre la resistencia de 20 W no cae ningun voltaje. El resultado final es queel voltaje Thevenin es igual ha 240 V.

    vg = 4 A 10 = 40 V.

  • 16 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    El siguiente paso es encontrar el valor de la corriente de circuito abierto,para esto realizamos una transformacion de fuente, para cambiar la fuentede corriente ha una de voltaje.

    Por lo tanto el circuito queda de la siguiente forma:

    Figura 1.15: Ejemplo 3.3

    Como se puede observar la corriente de corto es igual a la corriente de malla,por lo tanto podemos escribir las siguientes ecuaciones:

    40 + 5VCB = IAB(10 + 20)

    vCB = 40 10IAB

    despejando estas ecuaciones, se encuentra que el valor de IAB = 3 A.

    Se tiene entonces los valores de el voltaje Thevenin y la corriente de Norton, por lo tanto el valor de la resistencia equivalente es de:

    Rth =vthIN

    =240

    3= 80

    A continuacion se muestra los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton.

    Otro ejemplo del uso del Teorema de Thevenin y Norton es:

  • 1.4. TEOREMA DE THEVENIN Y NORTHON 17

    Figura 1.16: Ejemplo 3.3

    Figura 1.17: Ejemplo 3.2

    Figura 1.18: Ejemplo 3.2

  • 18 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    Figura 1.19: Ejemplo 3.2

    1.5 TEOREMA DEMAXIMA TRANSFER-

    ENCIA DE POTENCIA

    En muchas aplicaciones de teora de circuitos se desea encontrar la potenciamaxima suministrada, por un circuito. Para esto se utiliza el concepto detransferencia de maxima potencia.

    En general se tiene un circuito lineal al cual se le desea obtener la maxima po-tencia posible, para esto se coloca una resistencia de carga RL. Normalmentela carga puede ser una resistencia o un circuito que se desea alimentar

    El objetivo es encontrar el correcto valor de RL con el cual se puede maxi-mizar la potencia , para encontrar este valor se hace lo siguiente:

    Como primer paso se reemplaza el circuito lineal por su equivalente Thevenin.

    Luego se encuentra el valor de la funcion de potencia disipada para RL. Para

  • 1.5. TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA 19

    esto se encuentra el valor de V0 por division de voltaje:

    Vo = VTh =RL

    RTh +RL(1.13)

    La potencia disipada entonces es igual a:

    PRL =V 2oRL

    PRL =V 2ThRL

    R2L

    (RTh +RL)2

    PRL =RL

    (RTh +RL)2 V 2Th

    (1.14)

    Para hallar el valor maximo de PRL se tiene que encontrar su derivada conrespecto a RL e igualarla a cero.

    PRLRL

    = V 2Th [(RTh +RL)

    2 2 RL (RTh +RL)(RTh +RL)4

    ] = 0 (1.15)

    Como ni el voltaje Thevenin, ni el termino que se encuentra dividiendo

  • 20 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    pueden ser iguales a cero, entonces:

    0 = (RTh +RL)2 2 RL (RTh +RL)

    0 = R2Th + 2RLRTh +R2L 2RLRTh 2R2L

    0 = R2Th R2LR2Th = R

    2L

    (1.16)

    De esta igualdad se concluye, que para obtener la maxima transferencia depotencia de un circuito o fuente, el valor de la resistencia de carga debe serigual a la resistencia equivalente o resistencia Thevenin del circuito interno.

    1.6 TRANSFORMACION DE FUENTES

    En el capitulo 1 se definio las fuentes independientes y se hizo la salvedad deque eran ideales, una batera de 12V ideal suministra estos 12V independi-entemente de la carga que se encuentra conectada entre sus terminales, sinembargo, una fuente real de 12V suministra 12V cuando sus terminales se en-cuentran en circuito abierto y menos de 12V cuando entre estos se encuentrapasando una corriente. Esto revela que la fuente de voltaje tiene una cadade voltaje interna, y esta cada disminuye el voltaje entre los terminales. Serepresenta esta fuente practica por medio de un modelo como el presentadoen la siguiente figura 1.20(puede ver en detalle el modelo resaltado en verde,conectado a una resistencia de carga RL):

    Basandose en este modelo se ve que la fuente de voltaje real esta conformadapor una fuente (vg) ideal en serie con una resistencia interna (Rg), el voltajev visto por la resistencia de carga es igual a:

    v = vg +Rgi (1.17)

    Como se puede observar en el caso de circuito abierto (i = 0) se tiene quev = vg, y bajo condiciones de corto circuito i = vg/Rg. Teniendo en cuenta

  • 1.6. TRANSFORMACION DE FUENTES 21

    Figura 1.20: Modelo Fuente de Voltaje

    que Rg siempre es mayor que cero en una fuente verdadera, la fuente nuncapodra entregar una corriente infinita.

    En una fuente dada, con los valores vg y Rg seleccionados, la resistencia decarga RL es la que determina el flujo de corriente entre las terminales, debidoa:

    i =vg

    Rg +RL(1.18)

    y aplicando un divisor de voltaje se tiene:

    v =RLvg

    Rg +RL(1.19)

    Por lo tanto cuando se variaRLtanto i como v varan a continuacion mostraremosla relacion de v vs RL.

    En la grafica 1.21 se puede observar cual es la diferencia entre el compor-tamiento de una fuente ideal y una fuente real de voltaje, como se puede veral aumentar el valor de RL, el valor de v se acerca al valor de vg y cuandose presenta el caso de que RL sea infinita, un circuito abierto, el valor de ves igual al de vg.

  • 22 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    Figura 1.21: Grafica de comparacion

    Se puede reemplazar la fuente real de voltaje por una fuente real de corriente,escribiendo:

    i =vgRg

    vRg

    (1.20)

    si se hace:

    ig =vgRg

    (1.21)

    Entonces se tiene:

    i = ig vRg

    (1.22)

    Ahora el circuito escrito por la anterior ecuacion, seria de la forma:

    Las figuras tanto de la fuente real de voltaje como la de la fuente real decorriente son equivalentes entre terminales, si Rg es igual en ambos casos y

  • 1.6. TRANSFORMACION DE FUENTES 23

    Figura 1.22: Modelo Fuente de Corriente

    se cumple que:

    i =vgRg

    (1.23)

    Si se hace un divisor de corriente para obtener i se encuentra la siguienteecuacion:

    i =igRg

    Rg +RL(1.24)

    Si se varia RL con respecto a la corriente se puede obtener la siguiente grafica1.23 del comportamiento de la fuente real de corriente.:

    Como se puede observar la fuente ideal a medida que la resistencia de cargaaumenta, disminuye la cantidad de corriente que puede suministrar.

    A continuacion se muestra un ejemplo de como poder utilizar el metodo dela transformacion de fuentes para simplificar un ejercicio.

  • 24 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    Figura 1.23: Grafica de comparacion

    1.6.1 EJEMPLO DE TRANSFORMACION DE FUENTES

    En el siguiente ejemplo, se tiene un circuito y se debe encontrar el valorde una corriente, para solucionar este ejemplo se utilizara un metodo detransformacion sucesiva de fuentes.

    Figura 1.24: Ejemplo de Transformacion de Fuentes

    El objetivo de este ejercicio es encontrar el valor de la corriente i que seencuentra senalada en el ejercicio por la flecha roja, para esto lo primero quese hace es, transformar la fuente de voltaje de 10v y la resistencia con la quese encuentra en serie en una fuente de corriente con una resistencia en serie.

  • 1.6. TRANSFORMACION DE FUENTES 25

    Para esto se utiliza la siguiente ecuacion:

    ig =vgRg

    (1.25)

    Donde ig y vg son respectivamente los valores de las fuentes y Rg es el valorde la resistencia interna, con base en lo anterior se tiene, que el valor de lafuente de corriente esta dado por:

    10 v

    4 =

    10

    4A (1.26)

    Figura 1.25: Ejemplo de Transformacion de Fuentes

    Ahora se hace el paralelo entre las resistencias de 4 , obteniendo, ver figura1.26 :

    Figura 1.26: Ejemplo de Transformacion de Fuentes

    Ahora se transforma la fuente de corriente en una fuente de voltaje, para estose multiplica el valor de la fuente de corriente por el valor de la resistencia,

  • 26 CAPITULO 1. TEOREMAS SOBRE REDES

    obteniendo el valor de la fuente de voltaje, adicionalmente sumando las dosresistencias en serie:

    10

    4A 2 = 5 V

    2 + 6 = 8(1.27)

    Esto da como resultado, ver figura 1.27:

    Figura 1.27: Ejemplo de Transformacion de Fuentes

    Si ahora se repite la transformacion de fuentes se tiene entonces ver figura1.28:

    Figura 1.28: Ejemplo de Transformacion de Fuentes

    En este momento se puede solucionar facilmente el ejercicio a traves de undivisor de corriente.

    i =4

    4 + 5 58v =

    5

    18A = 0.277 A. (1.28)

  • 1.6. TRANSFORMACION DE FUENTES 27

    Obteniendo la solucion pedida, es de observar que aunque el metodo parecelargo la mayora de las operaciones son sencillas y en algunos casos se puedendesarrollar mentalmente.

    TEOREMAS SOBRE REDESINTRODUCCINLINEALIDAD y SUPERPOSICIN

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