Lei de Bragg e Espaço Recíproco

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1. Cristalização.

2. Coleta de dados de difração de raios X.

3. Interpretação do padrão de

difração de raios X

4. Resolução da estrutura.

5. Análise.

Etapas para resolução da

estrutura 3D de

macromoléculas biológicas por

cristalografia

2

Cristalografia

Considere um conjunto de planos

paralelos de um retículo cristalino, como

mostrado na figura ao lado. A distância

entre os planos consecutivos do retículo

cristalino é chamada distância interplanar

(d). Na figura temos um feixe paralelo de

raios X de comprimento de onda ,

incidindo sobre este conjunto de planos

paralelos. Podemos analisar a difração de

raios X como se fosse resultado da

reflexão dos raios X pelos planos. Para

que ocorra difração num dado ângulo , é

necessário que as ondas difratadas

sofram interferência construtiva. Veja

bem, a reflexão é uma analogia,

fisicamente não ocorre tal reflexão.

d

Raios X incidentes Raios X difratados

3

Lei de Bragg

Analisemos a diferença de caminho

ótico dos feixes 1 e 2, indicados na

figura. O feixe 2 percorre a distância A +

B a mais que o feixe 1. Assim, para que

as ondas dos feixes 1 e 2 sofram

interferência construtiva, a diferença de

caminho ótico entre elas deve ser um

número inteiro de comprimentos de

onda.

A B

A + B = 2.A = 2 d.sen

dd

1

2

1

2

d

d.sen 4

Lei de Bragg

A diferença de caminho ótico (2 d.sen )

tem que ser um número inteiro de

comprimento de ondas (n.), onde n é

inteiro, assim temos:

2 d.sen = n. (Lei de Bragg)

A B

dd

1

2

1

2

d

d.sen 5

Lei de Bragg

Num experimento típico de difração de raios X, temos a fonte de radiação, o cristal e o

detector, como mostrado no diagrama esquemático abaixo. Normalmente os ângulos

de difração são expressos em relação ao feixe incidente, ou seja, 2 .

2

Fonte de raios X

Cristal

6

Aplicação da Lei de Bragg

Ao coletarmos dados de difração de

raios X de um cristal, usando-se uma

geometria como a mostrada no slide

anterior, teremos picos de difração para

todos os ângulos 2 que satisfaçam à lei

de Bragg. Se elaborarmos o gráfico da

intensidade da radiação difratada contra

o ângulo de espalhamento (2), teremos

um gráfico com o aspecto mostrado ao

lado. Toda vez que posicionamos o

nosso detector, num ângulo que satisfaz

à lei de Bragg, teremos um pico no

gráfico.

7

Aplicação da Lei de Bragg

Equipamentos que medem o padrão de difração de raios X, são chamados de

difratômetros. Há uma grande variedade de tipos e formas de difratômetro de raios X,

dependendo do tipo de experimento que se deseja realizar. A figura abaixo mostra um

difratômetro de pó, usado para amostras policristalinas.

8

Aplicação da Lei de Bragg

No caso de colocarmos um filme fotográfico para registrar a imagem de difração de

raios X, como mostrado no diagrama abaixo, teremos um padrão de difração de raios

X bidimensional, quanto mais distante o ponto de difração de raios X do ponto central

da figura (feixe direto) maior o ângulo de espalhamento (2). A foto da direita foi girada

90º com relação ao diagrama de esquerda. No aparato experimental o filme ou placa

de imagem está perpendicular ao plano.

2

Cristal

Filme fotográfico ou placa de imagem

Feixe de raios X

Feixe direto

Film

e f

oto

grá

fico o

u p

laca

de

im

age

m

9

Aplicação da Lei de Bragg

Consideremos uma cela unitária, como

mostrada na figura ao lado, as conclusões

referentes à esta cela unitária, no que

tange às propriedades dos índices de

Miller, valem para os outros sistemas

cristalinos, com exceção do sistema

hexagonal, que não discutiremos aqui. Na

análise do fenômeno de difração de raios

X, uma atenção especial é dada para o

conjunto de planos paralelos que difratam.

Tal conjunto de planos paralelos, num

retículo cristalino, pode ser representado

por um conjunto de inteiros, relacionados

aos interceptos com os eixos x, y e z.

Para simplificar a explicação

consideremos os seguintes exemplos.x

y

z

10

Índices de Miller

(100)

O plano ilustrado ao lado intercepta o eixo

x na posição 1, e é paralelo aos eixos y e

z. Os índices de Miller deste plano obtém-

se com o inverso dos interceptos aos

eixos x, y e z. Os interceptos são 1, , ;

e o inverso é 1, 0, 0, assim o índice de

Miller do plano em cinza mostrado ao lado

é (100). Na verdade estes índices indicam

a família de planos paralelos a ele e que

interceptam o eixo x em a, 2, 3, 4, ....

x

y

z

1

11

Índices de Miller

O plano, mostrado na figura ao lado,

intercepta o eixo x em 1, o eixo y em 1 e é

paralelo ao eixo z. O índice de Miller é

(110).

x

y

z

1

1(110)

12

Índices de Miller

O plano ao lado intercepta o eixo x em 1,

o eixo y em 1 e o eixo z em 1. O índice de

Miller é (111).

x

y

z

1

1

1

(111)

13

Índices de Miller

O plano ao lado intercepta o eixo x em 1,

o eixo z em 1 e é paralelo ao eixo y. O

índice de Miller é (101).

x

y

z

1

1

1

(101)

14

Índices de Miller

O plano ao lado intercepta o eixo y em 1,

o eixo z em 1 e é paralelo ao eixo x. O

índice de Miller é (011).

x

y

z

1

1

1

(011)

15

Índices de Miller

O plano ao lado intercepta o eixo x em

1/2, o eixo y em 1 e é paralelo ao eixo z.

O índice de Miller é (210).

x

y

z

1

½

(210)

16

Índices de Miller

O plano ao lado intercepta o eixo x em

1/4, o eixo y em 1 e é paralelo ao eixo z.

O índice de Miller é (410).

x

y

z

1¼

(410)

17

Índices de Miller

Ao lado temos a indicação dos planos

(100), paralelo ao plano yz, (010) paralelo

ao plano xz e (001) paralelo ao plano xy.

x

y

z

(100)(010)

(001)

18

Índices de Miller

Na figura ao lado temos um plano

interceptando o eixo y em ½ e paralelo ao

plano xz, determinamos os índices de

Miller invertendo-se o intercepto em y,

assim temos (020).

x

y

z

½

(020)

19

Índices de Miller

Na figura ao lado temos um plano

interceptando o eixo y em 1/4 e paralelo

ao plano xz, determinamos os índices de

Miller invertendo-se o intercepto em y,

assim temos (040).

x

y

z

1/4

(040)

20

Índices de Miller

Toda vez que o plano corta a origem,

coordenadas 0,0,0; temos que lembrar

que esta representação refere-se a um

cristal, onde temos repetição da cela

unitária em três dimensões, como

mostrado ao lado.

x

y

z

1

O plano equivalente corta o eixo x em 1 e

o eixo y em -1, sendo paralelo à z, os

índice de Miller são (1 -1 0), a notação

cristalográfica usa uma barra sobre

números negativos: (110) 21

Índices de Miller

A cela unitária ao lado tem parâmetros de

cela unitária a = 4 Å, b = 8 Å e c = 3

Å, consideremos um plano que

intercepta a cela unitária em x = 1 Å, y

= 4 Å e z = 3 Å. Determinaremos o

índices de Miller do plano seguindo-se

o seguinte algoritmo.

1) Tomemos os interceptos nos eixo x, y

e z:

x = 1 Å, y = 4 Å e z = 3

2) Calculemos a fração do eixo de cada

intercepto:

¼, 4/8 e 3/3 ou seja, ¼, ½, 1

3) Invertemos essas frações, como segue:

4, 2, 1. Os índices de Miller desse plano

são (421)x

y

z

a = 4 Å

b = 8 Å

c = 3 Å

1 Å

4 Å

3 Å

22

Índices de Miller

(100)

x

y

z

Vetores perpendiculares a planos

cristalinos de índice de Miller (hkl)

recebem índices da direção [hkl], em

notação cristalográfica, qualquer direção,

indicada por [hkl] representa a direção de

um vetor perpendicular ao plano (hkl). Na

cela unitária ao lado temos as direções

[100], [010] e [001] indicadas, essas

direções são perpendiculares aos planos

(100), (010) e (001), respectivamente.

[100][010]

[001]

(001)

(010)

23

Índices de Miller

O espaço recíproco pode ser definido

como um conjunto de pontos, onde cada

ponto é determinado como segue:

considere normais a todos os planos do

espaço (hkl), saindo de um ponto O,

considerado como origem. Cada normal

aos plano (hkl) finaliza em um ponto, a

uma distância dhkl* = 1/dhkl, onde dhkl é a

distância interplanar dos planos (hkl), este

conjunto de pontos (terminações das

normais) é que formam o espaço

recíproco. Vamos ilustrar em duas

dimensões.

x

y

O

(110)

Ponto do espaço recíproco

Ponto do espaço direto

24

Espaço Recíproco

Consideremos o espaço direto,

representado abaixo, vamos determinar

alguns pontos do espaço recíproco. Seja

o plano (110), representado pela linha

vermelha, consideremos uma origem

arbitrária, indicada por O. Vamos traçar

um vetor de O, perpendicular ao plano

(110), o tamanho deste vetor é d110*,

assim temos um ponto do espaço

recíproco no final deste vetor.

x

y

O

(110)

Ponto do espaço recíproco

Ponto do espaço direto

dhkl*

25

Espaço Recíproco

Para o plano (120) temos o ponto

indicado. Resumindo, aplicando-se

sucessivamente este processo, teremos

um conjunto de pontos dos espaço

recíproco, para cada plano do espaço

direto, ou seja, temos uma

correspondência entre os potenciais

planos refletores e pontos do espaço

recíproco.

x

y

O

110

(110) (120)

120

Ponto do espaço recíproco

Ponto do espaço direto

26

Espaço Recíproco

As propriedades geométricas de um

retículo recíproco são as inversas do

retículo cristalino. Consideremos uma cela

unitária com parâmetros relativamente

grandes (a, b, c), como o parâmetros de

cela unitária de cristais de proteínas. A

cela recíproca (a*, b*, c*) é pequena

(propriedade recíproca).

x

y

z

a

b

c

a*

b*

c*

27

Espaço Recíproco

Agora temos uma cela unitária direta

relativamente pequena (a,b,c) a cela

recíproca é grande (a*, b*, c*).

x

b

a*

b*

c*

a

c

y

z

28

Espaço Recíproco

O espaço recíproco é um artefato matemático criado para auxiliar na interpretação do

processo de difração de raios X. O espaço recíproco, determinado pelos eixos

recíprocos a*, b*, c* e ângulos *, * e * está relacionado com o espaço direto,

representado pelos eixos a, b, c e ângulos , e . A dimensão do espaço recíproco é

o inverso do comprimento, consequentemente suas unidades são inversas das

unidades de comprimento(m-1, cm-1, Å-1 e outras). As equações abaixo relacionam os

eixos diretos com os recíprocos.

a* = bc sen

V

b* = ac sen

V

c* = ab sen

V

V = 1/V* = abc(1 – cos2 - cos2 - cos2 + 2 cos .cos .cos )1/2

V* = 1/V = abc(1 – cos2* - cos2* - cos2* + 2 cos *.cos *.cos * )1/2

29

Espaço Recíproco

Os ângulos *, *, * e , , são dados pelas seguintes equações.

cos * = cos cos - cos

sen sen

cos * = cos cos - cos

sen sen

cos * = cos cos - cos

sen sen

cos = cos * cos * - cos *

sen * sen *

cos * = cos * cos * - cos *

sen * sen *

cos * = cos * cos * - cos *

sen * sen *

30

Espaço Recíproco

Podemos interpretar o fenômeno da difração de raios X por um cristal considerando-se

uma esfera centrada no cristal, de raio 1/, como mostra a figura, essa esfera é

chamada esfera de Ewald.

O

Retículo recíproco

Esfera de Ewald

Cristal

Feixe de raios X

C

P

P’

1/

S (vetor do espaço recíproco)

Feixe difratado

Feixe direto

31

Esfera de Ewald

Toda vez que um ponto do retículo recíproco cruza a esfera de Ewald, temos a

produção de um ponto de difração. Na figura abaixo um ponto do retículo recíproco é

representado por intersecção das linhas.

O

Retículo recíproco

Esfera de Ewald

Cristal

Feixe de raios X

C

P

P’

1/

S (vetor do espaço recíproco)

Feixe difratado

Feixe direto

32

Esfera de Ewald

O ponto P produz um ponto de difração, ao girarmos o cristal giramos o retículo

recíproco, trazendo novos pontos em condição de difração, como o ponto P’.

O

Retículo recíproco

Esfera de Ewald

Cristal

Feixe de raios X

C

P

P’

1/

S (vetor do espaço recíproco)

Feixe difratado

Feixe direto

33

Esfera de Ewald

O resultado líquido de girarmos o cristal é que podemos registra diversos pontos de

difração. Normalmente, em coleta de dados, que usa a geometria da câmara de

oscilação, este recurso é usado para obtenção de diversos pontos por cada imagem

medida.

O

Retículo recíproco

Esfera de Ewald

Cristal

Feixe de raios X

C

P

P’

1/

S (vetor do espaço recíproco)

Feixe difratado

Feixe direto

34

Esfera de Ewald

O módulo de vetor de espalhamento é d (espaçamento interplanar), a partir da análise

da figura podemos determinar a relação entre o ângulo , d e o comprimento de onda

(), como segue.

O

Retículo recíproco

Esfera de Ewald

Cristal

Feixe de raios X

C

P

P’

1/

S (vetor do espaço recíproco)

Feixe difratado

Feixe direto

35

Esfera de Ewald

Considere o triângulo APO, pela

geometria da figura temos que o ângulo

PÂO é , assim temos:

sen = S

2/

O

Retículo recíproco

Esfera de Ewald

CristalC

P

P’

1/

S (vetor do espaço recíproco)

Feixe difratado

Feixe diretoFeixe de raios XA

36

Esfera de Ewald

P é um ponto do espaço recíproco, assim seu comprimento é 1/dhkl, onde hkl são os

índices dos planos relacionados com P. Assim temos:

sen = S

2/= 1/dhkl

2/

O

Retículo recíproco

Esfera de Ewald

CristalC

P

P’

1/

S (vetor do espaço recíproco)

Feixe difratado

Feixe diretoFeixe de raios XA

37

Esfera de Ewald

Ou seja: 2.d sen =

O

Retículo recíproco

Esfera de Ewald

CristalC

P

P’

1/

S (vetor do espaço recíproco)

Feixe difratado

Feixe diretoFeixe de raios XA

38

Esfera de Ewald

Experimentalmente observamos que os

pontos do retículo recíproco apresentam

volume, ou seja, eles ficam em condição

de difração um certo tempo, durante a

rotação do retículo recíproco. Isto deve-se

a fatores como a mosaicidade do cristal,

ou seja, há uma leve desordem, o que

não traz todas as celas unitárias em

condição de difração, para um dado ponto

do retículo, ao mesmo tempo.

000-100-200 100 200

00-1-10-1-20-1 10-1 20-1

001-101-201 101 201

Feixe de

Raios X

Retículo

recíproco

Esfera de

Ewald

39

Esfera de Ewald

Podemos pensar no ponto do retículo

recíproco como um nódulo, que durante a

rotação do retículo recíproco entra em

condição de difração (cruza a esfera de

Ewald), fica um certo tempo nesta

situação, durante a rotação e depois sai

de condição de difração. Na animação ao

lado temos um nódulo do retículo

recíproco que entra em condição de

difração, fica um certa tempo, e depois

cessa a difração. O detector indica o

registro da intensidade difratada por meio

da coloração azul.

Fonte: http://www.science.uva.nl/research/cmp/docs/Goedkoop/

40

Esfera de Ewald

A câmara de oscilação, ou rotação, é o principal instrumento usado para o registro do

padrão de difração de raios X de cristais de macromoléculas biológicas. O diagrama

esquemático abaixo ilustra as principais características da câmara de oscilação.

Fonte de raios X

Cabeça goniométrica

Cristal

Retículo recíproco

Placa de imagem

Padrão registrado

na placa de imagem

41

Esfera de Ewald

As reflexões registradas na imagem de difração podem ser interpretadas como

resultado da reflexão de um plano de índice hkl, onde hkl são os índices de Miller da

família de plano. A distância interplanar é dado pela seguinte equação:

Fonte de raios X

Cabeça goniométrica

Cristal

Retículo recíproco

Placa de imagem

Padrão registrado

na placa de imagem

42

Esfera de Ewald

Uma das características geométricas da família de plano de índice hkl é a distância

interplanar (d), que no caso dos sistemas ortorrômbico, tetragonal e cúbico é dada

pela seguinte equação:

Onde hkl são os índices do plano de reflexão, e a, b e c os parâmetros de cela

unitária.

Para os outros sistemas cristalinos a equação é a seguinte:

Onde V é o volume da cela unitária.

2

2

2

2

2

21

c

l

b

k

a

h

d

2/12

22

222222222222

)]coscos.(cos2

)coscos.(cos2)coscos.(cos2

[

bckla

hkabcchlab

senbalsencaksencbhVd

43

Esfera de Ewald

Feixe de

Raios X

Esfera de

Ewald

2/

1/

000-100-200 100 200

00-1-10-1-20-1 10-1 20-1

001-101-201 101 201

Retículo

recíproco

Ao girarmos o cristal, e

consequentemente o retículo recíproco,

podemos varrer uma ampla região do

espaço recíproco. O número total de

pontos do retículo recíproco, que podem

cruzar a esfera de Ewald, pode ser

determinado a partir da esfera limite. Girar

o retículo recíproco é equivalente a

girarmos a esfera de Ewald, que gera

então uma esfera limite de raio 2/.

Esfera limite

44

Esfera Limite

Feixe de

Raios X

Esfera de

Ewald

2/

1/

000-100-200 100 200

00-1-10-1-20-1 10-1 20-1

001-101-201 101 201

Retículo

recíproco

Os pontos do retículo recíproco dentro do

volume da esfera limite podem ser

trazidos em condição de difração. A

determinação do número total de pontos

que podem gerar padrões de difração de

raios X é determinado dividindo-se o

volume da esfera limite pelo volume da

cela unitária recíproca, considerando-se

que a cela unitária é primitiva.

Esfera limite

45

Esfera Limite

Feixe de

Raios X

Esfera de

Ewald

2/

1/

000-100-200 100 200

00-1-10-1-20-1 10-1 20-1

001-101-201 101 201

Retículo

recíproco

Esfera limite

Seja N o número de reflexões

potencialmente gerados para uma esfera

limite de raios 2/.

N = Vesfera limite

V*

N = 4/3 (2/)3

V*

Sabemos que: V*=1/Vcell , onde Vcell é o

volume da cela unitária, assim temos:

N = 32 Vcell

3 3

46

Esfera Limite

Consideremos uma cela unitária ortorrômbica de dimensões 40 x 60 x 80 Å, que

difrata a 2,5 Å de resolução, o volume da cela unitária é Vcell = 40 . 60 . 80 = 192.000

Å3. Usando-se a equação do número de reflexões temos:

N = 32 V

3 3

= 32 192.000 / 3.(2,5)3 = 411.775 reflexões

Felizmente, por razões de simetria não é necessário coletar todas essas reflexões, 1/8

dos dados de difração de raios X, ou próximo disso normalmente é suficiente para o

grupo espacial ortorrômbico primitivo ou aproximadamente 51.472 reflexões.

47

Número Máximo de Reflexões

1. Num experimento de difração de raios X tivemos 10 picos, registrados nas

seguintes posições angulares:===========================

n 2. () ()

1 11,0 5,5

2 22,4 11,2

3 33,2 16,6

4 45,2 22,6

5 57,0 28,5

6 70,4 35,2

7 84,6 42,3

8 100,6 50,3

9 120,0 60,0

10 148,4 74,2

===========================

Sabendo-se que o cristal é cúbico, determine o parâmetro de cela unitária médio.

O comprimento de onda usado é 1,54 Å.

2. Consideremos um cristal cúbico primitivo com parâmetro de cela unitária a = 4 Å.

Determine a posição angular, das 4 primeiras linhas de difração de raios X desse

cristal, sabendo-se que o comprimento de onda da radiação incidente é 1,54 Å.

Data de entrega: 19/10/2018.

.

48

Lista de Exercícios

Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer-

Verlag.

Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2nd ed.San Diego: Academic

Press.

Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide.

2nd ed. New York: John Wiley & Sons.

Última atualização em 28 de setembro de 2018.

49

Referências