BOOK MAT-SPFE-2014 7s CP vol1 · argumento apresentado para a obtenção das geratrizes, ......

7a SÉRIE 8oANOENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAISCaderno do ProfessorVolume 1

MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO PROFESSOR

MATEMÁTICAENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS

7a SÉRIE/8o ANOVOLUME 1

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Senhoras e senhores docentes,

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-

radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que

permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula

de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com

os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-

dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação

— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste

programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização

dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações

de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca

por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso

do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.

Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-

tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São

Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades

ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,

dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade

da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas

aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam

a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-

ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a

diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.

Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu

trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar

e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.

Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.

Bom trabalho!

Herman VoorwaldSecretário da Educação do Estado de São Paulo

SUMÁRIO

Orientação geral sobre os Cadernos 5

Situações de Aprendizagem 10

Situação de Aprendizagem 1 – Os racionais como mostruário das frações 10

Situação de Aprendizagem 2 – As dízimas periódicas são previsíveis... 19

Situação de Aprendizagem 3 – Do googol ao angstrom, um caminho para as potências 27

Situação de Aprendizagem 4 – As potências e a memória do computador 35

Situação de Aprendizagem 5 – Aritmética com álgebra: as letras como números 44

Situação de Aprendizagem 6 – Produtos notáveis: significados geométricos 52

Situação de Aprendizagem 7 – Álgebra: fatoração e equações 67

Situação de Aprendizagem 8 – Aritmética e Geometria: expressões algébricas de algumas ideias fundamentais 76

Orientações para recuperação 82

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 83

Considerações finais 85

Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 86

5

Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1

ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS

Os temas escolhidos para compor o conteú-

do disciplinar de cada volume não se afastam, de

maneira geral, do que é usualmente ensinado nas

escolas, ou do que é apresentado pelos livros di-

dáticos. As inovações aqui pretendidas referem-se

à abordagem desses assuntos, sugerida ao longo

de cada Caderno. Em tal abordagem, busca-se

evidenciar os princípios norteadores desse Cur-

rículo, destacando-se a contextualização dos

conteúdos, as competências pessoais envolvidas,

especialmente as relacionadas com a leitura e a

escrita matemática, bem como os elementos cul-

turais internos e externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos es-

tão organizados em 16 unidades de extensões

aproximadamente iguais. De acordo com o

número de aulas disponíveis por semana, o

professor explorará cada assunto com maior

ou menor aprofundamento, ou seja, escolhe-

rá uma escala adequada para o tratamento de

cada um desses assuntos. A critério do pro-

fessor, em cada situação específica, o tema

correspondente a uma das unidades pode ser

estendido para mais de uma semana, ao passo

que o de outra unidade pode ser tratado de

modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente con-

templar todas as 16 unidades, uma vez que,

juntas, elas compõem um panorama do con-

teúdo do volume e, muitas vezes, uma das

unidades contribui para a compreensão das

outras. Insistimos, no entanto, no fato de que

somente o professor, em sua circunstância

particular e levando em consideração seu in-

teresse e o dos alunos pelos temas apresenta-

dos, pode determinar adequadamente quan-

to tempo dedicará a cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos, são apresenta-

das, além de uma visão panorâmica de seu

conteúdo, oito Situações de Aprendizagem,

que pretendem ilustrar a abordagem sugeri-

da, orientando o professor em sala de aula.

As atividades são independentes e podem ser

exploradas pelos professores com maior ou

menor intensidade, segundo seu interesse e de

sua turma. Naturalmente, em razão das limi-

tações de espaço dos Cadernos, nem todas as

unidades foram contempladas com Situações

de Aprendizagem, mas a expectativa é de que

a abordagem dos temas seja explicitada nas

atividades oferecidas.

São apresentados também, em cada Ca-

derno e sempre que possível, materiais como

textos, softwares, sites e vídeos, entre outros,

em sintonia com a abordagem proposta, que

podem ser utilizados pelo professor para o en-

riquecimento de suas aulas.

Compõem o Caderno, ainda, algumas con-

siderações sobre a avaliação a ser realizada,

bem como o conteúdo considerado indispen-

sável ao desenvolvimento das competências

enunciadas no presente volume.

6

Conteúdos básicos do volume

Os dois primeiros temas do volume 1 da

7a série/8o ano são as frações e as potências.

Com relação ao estudo das frações, além

da construção da ideia de número racional e da

determinação de frações geratrizes, temas

normalmente tratados nesta série, a natureza

desses assuntos permite que sejam exploradas

também duas importantes noções matemáti-

cas: a do infinito e a de classes de equivalência.

Concepções relacionadas ao infinito po-

dem ser exploradas por meio de discussões

sobre as dízimas periódicas. Quando, por

exemplo, chamamos de x a dízima periódica

0,333... para, em seguida, multiplicar os dois

lados da igualdade x = 0,333... por 10, produ-

zindo a nova igualdade 10x = 3,333..., temos a

intenção de usar o seguinte artifício algébrico

na sequência: 10x − x = 3,333... − 0,333...

9x = 3 x = 3

9 1

3. Ocorre que o uso de

tal artifício para a determinação da geratriz

exige que se compreenda um fato importante so-

bre os conjuntos infinitos, o de que “um elemento

a menos em um conjunto de infinitos elementos

ainda assim produz um conjunto de infinitos ele-

mentos”. Esse fato foi usado quando concluímos

que 3,333... − 0,333... é igual a 3. Note que o pri-

meiro fator tem infinitos algarismos 3 à direita da

vírgula, ao passo que o segundo tem um algaris-

mo 3 a menos, o que, ainda assim, garante infini-

tos algarismos 3 à direita da vírgula.

Outra questão que também deve ser explo-

rada no contexto das dízimas periódicas é o

da dupla representação com vírgula das fra-

ções decimais finitas, uma vez que “toda fra-

ção decimal finita pode ser escrita na forma de

uma dízima periódica”. Utilizando o mesmo

argumento apresentado para a obtenção das

geratrizes, podemos mostrar que todo decimal

finito pode ser transformado em uma dízima

periódica (exemplos: 0,43 = 0,42999...; −28,91=

= −28,90999...; 7 = 6,999...).

Com relação à discussão sobre classes de

equivalência, o desafio proposto será o de com-

preender o conjunto dos números racionais

como uma forma particular de organização

das frações, em que cada número racional será

um representante de uma classe de frações

equivalentes. A compreensão dos racionais

nesse contexto explora diretamente duas habi-

lidades muitas vezes utilizadas no pensamento

matemático, a de organizar e a de classificar

elementos em conjuntos de acordo com certa

propriedade estabelecida.

No que diz respeito ao estudo das po-

tências, na 5a série/6o ano os alunos foram

apresentados ao assunto por meio das potên-

cias de base inteira e expoente natural. No

volume 1 da 7a série/8o ano, a ideia de potên-

cia deve ser ampliada pelo uso de expoentes

inteiros negativos e pela discussão das princi-

pais propriedades operatórias das potências.

A opção de não apresentar neste Caderno

uma Situação de Aprendizagem específica

para o estudo das propriedades operatórias

das potências não significa que o assunto não

seja importante. Espera-se que um aluno de

7a série/8o ano seja capaz, ao longo do ano, de

7


trabalhar com as propriedades operatórias das

potências com razoável destreza e agilidade.

As propostas de trabalho nas atividades des-

te Caderno exploram a ideia do uso das po-

tências na representação de números muito

grandes ou muito pequenos em situações

práticas e aplicadas, como a de investigar-

mos o significado das unidades de medida

frequentemente usadas na informática (bits,

bytes, megabytes etc.).

O estudo formal da Álgebra começa no

final da 6a série/7o ano, por meio do uso de

letras para representar situações e da resolu-

ção de equações simples, e tem continuidade

na 7a série/8o ano, quando o enfoque volta-se

para as regras de manipulação dos símbolos

algébricos. Essa organização curricular não

interfere diretamente na ordem tradicional

de abordagem dos temas da Álgebra, porém,

sugere uma forma diferente de tratá-los, espe-

cialmente no que diz respeito ao cálculo algé-

brico abordado na 7a série/8o ano.

Normalmente, atribuímos ao estudo da

Álgebra as funções de generalizar a aritmé-

tica, de possibilitar um processo para a reso-

lução de problemas, de permitir a represen-

tação da variação de grandezas e, ainda, de

formalizar estruturas matemáticas. Entende-

mos que essas quatro funções devem ser ex-

ploradas de forma relacionada, e não como

blocos isolados dentro do planejamento.

Dessa forma, as atividades propostas devem

ser interpretadas como uma forma de estabe-

lecer a relação entre duas ou mais funções do

estudo da Álgebra.

Na Situação de Aprendizagem 1, o obje-

to de estudo são as semelhanças e diferenças

envolvendo as ideias de fração, razão entre

números quaisquer e números racionais. Com

relação ao conjunto dos números racionais, a

Situação de Aprendizagem sugere a explora-

ção do tema por meio da ideia de classes de

equivalência, o que precederia a formalização

tradicional apresentada na maioria dos livros.

As “classes de equivalência” são apresenta-

das em situações de contexto e de forma intui-

tiva, para então serem aplicadas nas frações.

Em seguida, a localização das frações na reta

numérica está combinada à discussão sobre o

caráter de densidade dos números racionais,

isto é, o fato de que entre dois números racio-

nais existem uma infinidade de outros núme-

ros racionais. Essa propriedade marcará um

passo entre o caráter discreto ou não contínuo

dos números inteiros para a continuidade re-

presentada pelos números reais.

Na Situação de Aprendizagem 2, o tema

central são as dízimas periódicas. Nela, discuti-

mos que toda fração irredutível possui uma re-

presentação decimal, a qual pode ser finita ou

infinita e periódica. Nessa Situação de Apren-

dizagem, além da discussão sobre a obtenção

das frações geratrizes, também será explorado

o ponto de vista da “previsão” do tipo de repre-

sentação decimal de uma fração irredutível por

meio de análises e estratégias de fatoração do

seu denominador. Nesse processo, serão apro-

fundados tanto os conceitos relacionados às

noções de múltiplos e divisores de um número

natural como as regras de divisibilidade.

8

Partindo da motivação de que números

muito grandes ou muito pequenos encon-

tram nas potências um caminho adequado

e prático de representação, na Situação de

Aprendizagem 3 procura-se motivar o estudo

das potências a partir de situações práticas e

desafiadoras, envolvendo notações como as

do googol e do angstrom. A atividade tam-

bém apresenta uma proposta de uso da cal-

culadora no estudo das potências.

Na Situação de Aprendizagem 4, explora-

mos a relação entre o uso das potências e a

memória do computador. Termos como bits,

bytes, megabyte, gigabyte e, mais recentemen-

te, terabyte, de uso corrente na informática,

geram contexto e significado, pois se referem a

unidades de memória dos computadores cuja

compreensão e uso estão diretamente relacio-

nados ao estudo das potências, fato que será

explorado nessa Situação de Aprendizagem.

Na Situação de Aprendizagem 5 abordam-se

os padrões e as regularidades em sequências

numéricas sob o ponto de vista da diversidade

de representações com letras. A estratégia uti-

lizada para que a diversidade de representa-

ções possa ser trabalhada por meio da investi-

gação dos alunos é a de associar as sequências

numéricas ao arranjo geométrico de bolinhas,

arranjo este que poderá ser identificado pelo

aluno de diferentes maneiras (por linhas, co-

lunas, reagrupando bolinhas e completando

bolinhas). Com base na diversidade de ex-

pressões com letras que podem ser obtidas de

cada uma das sequências, o professor poderá

trabalhar, por meio da ideia de equivalência, a

generalização de algumas propriedades, como

a distributiva no produto, a comutativa e a as-

sociativa, iniciadas na 6a série/7o ano com os

números naturais.

Na Situação de Aprendizagem 6, o tema

central a ser desenvolvido são os produtos

notáveis, cuja estratégia baseia-se no uso da

Geometria. Muitos alunos enfrentam difi-

culdades no desenvolvimento dos produtos

notáveis provavelmente porque aprendem o

assunto como mera técnica algébrica, sem

compreender o seu sentido, e porque veem o

assunto de forma desvinculada de sua aplica-

ção. O uso diversificado de linguagens – em

particular da linguagem geométrica no caso

dos produtos notáveis – assume papel muito

importante na apropriação de significados no

contexto da Álgebra.

Na sequência, a proposta da Situação de

Aprendizagem 7 é trabalhar fatoração, produ-

tos notáveis e frações algébricas, e simplificações

de forma contextualizada. Nesse sentido, é em-

pregada a tradução de problemas enunciados

na língua materna para a linguagem da Álgebra

como pontapé inicial da atividade. Também será

apresentada nessa Situação de Aprendizagem a

distinção entre as ideias de igual dade e identida-

de, o que representa um importante passo para

a compreensão do uso de letras no sentido de

incógnita ou de variável.

Na Situação de Aprendizagem 8, propõem-

-se atividades nas quais, mais uma vez, o uso

da linguagem escrita e das linguagens aritméti-

ca, algébrica e geométrica aparecem de forma

9


integrada. Problemas aritméticos e algébricos

que normalmente são tratados em séries/anos

posteriores, como o do número de diagonais

de um polígono ou da soma dos n primeiros

números ímpares, serão apresentados de forma

simples para o desenvolvimento de habilidades

relacionadas ao cálculo algébrico.

É importante lembrar que as Situações

de Aprendizagem 5, 6, 7 e 8 não esgotam

nem os temas nem as possibilidades de abor-

dagem do tema “expressões algébricas” na

7a série/8o ano. No entanto, a metodologia

proposta consiste na apresentação de uma

forma integrada de exploração das diversas

funções da Álgebra e na valorização do uso

da diversidade de linguagens como estraté-

gia para a aprendizagem com significado, e

não como simples regra. É possível que a

sistematização de alguns temas do volume

também tenha de ser trabalhada por exer-

cícios disponíveis na maioria dos livros di-

dáticos, cabendo ao professor adequar esse

trabalho às necessidades dos seus alunos.

Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental

Unidade 1 – Frações e números racionais.

Unidade 2 – Decimais finitos e dízimas periódicas.

Unidade 3 – Fração geratriz de uma dízima; reconhecimento de dízimas a partir da fração irredutível.

Unidade 4 – Potências: definição e contextos.

Unidade 5 – Potências: aplicações práticas.

Unidade 6 – Potências: aplicações práticas e propriedades operatórias.

Unidade 7 – Propriedades operatórias das potências.

Unidade 8 – Potências e problemas de contagem.

Unidade 9 – Expressões algébricas: equivalência e transformações.

Unidade 10 – Expressões algébricas: operações.

Unidade 11 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem geométrica.

Unidade 12 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica.

Unidade 13 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica.

Unidade 14 – Fatoração e simplificação de frações algébricas.

Unidade 15 – Fatoração e simplificação de frações algébricas.

Unidade 16 – Expressão algébrica de algumas ideias fundamentais da Aritmética e da Álgebra.

10

SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES

Conteúdos e temas: classes de equivalência; frações equivalentes; razões entre dois números; números racionais.

Competências e habilidades: organizar um conjunto de elementos em classes de equivalên-cia, por meio de uma propriedade dada; comparar distintos significados da ideia de fração, compreen dendo suas semelhanças e diferenças; compreender o conjunto dos números racio-nais reconhecendo cada número racional como um representante de uma classe de frações equivalentes; localizar números racionais na reta.

Sugestão de estratégias: identificar propriedades comuns entre objetos ou números; construir classes de equivalência.

Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem 1

Nosso objetivo, nesta Situação de Apren-

dizagem, é esclarecer as seguintes questões:

Qual é a diferença entre uma fração e

a razão entre dois números quaisquer?

Qual é a diferença entre uma fração e

um número racional?

A primeira questão é mais simples. É

muito comum associarmos a representação

a/b ao resultado da divisão de a por b e cha-

marmos o símbolo a

b de fração, mesmo que

a e b não sejam inteiros. Por definição, uma

fração é a razão entre dois números intei-

ros. No entanto, quando falamos de frações

como 1, 2

3, 5, ou, então, x

y, em que x e y

representam grandezas quaisquer, estamos

usando a palavra “fração” em sentido figu-

rado, assim como falamos “dente” de um

serrote ou “pé” de uma cadeira, sendo tal

uso perfeitamente compreensível.

A segunda questão exige uma discussão

mais completa. Existe uma diferença con-

ceitual importante entre uma fração e um

número racional. Para esclarecer tal pon-

to, vamos precisar da noção de relação de

equivalência, apresentada no texto a seguir.

11


Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão entre dois números inteiros, ou seja, é um número racional. Mas qual é a diferença entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença

entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas pergun-tas está a noção de relação de equivalência.

Quando temos diante de nós um conjunto muito “bagunçado” de elementos e queremos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência.

O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um conjunto “bagunçado”; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério.

Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se preferir-mos, considerando a cor deste. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratando como equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim por diante. A definição da relação de equivalência – dois automóveis são equivalentes se, e so-mente se, têm a mesma cor – conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência – ou seja, ter o mesmo fabricante –, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto.

O mostruário representará, então, o conjunto das cores:

PRETO

AZUL

BRANCO

VERDE

CINZA

PRATA

OUTROS

Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, considerando equi-valentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as frações que

Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores

Branco

Azul

Preto

Prata

Cinza

Verde

Outros

© C

onex

ão E

dito

rial

12

representarem a mesma parte da unidade, como 1

2;

3

6;

5

10; 0,5; 13

26; –7

(–14);

232

464; ... (todas representam a metade da unidade), ou, então, 5

3; 10

6; 1,666...; 500

300;

300

180; ... (todas representam um inteiro mais dois terços).

Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em

uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é

o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum

entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade.

430

215; 2; 6

3 1

7; 0,142857...; 3

212

5; 4

10; 0,4; –6

–15; 400

1000

...; ...; ...

7

3; 2,333...; –35

–15

1,666... 5

3; –15

–9; 15

9

1

2; 3

6; 0,5; 13

26; 231

462; –7

–14; 45

90

1

3; –3

–9; 7

21; 15

45; 2

6; 111

333

Mostruário das frações: conjunto dos números racionais

1

2

1

3

1

72

7

35

3...

Resumindo, podemos dizer que um número

racional sempre representa uma classe de fra-

ções equivalentes. Assim como o número natu-

ral 5 representa o que há de comum entre todos

os conjuntos que podem ser colocados em cor-

respondência biunívoca com os dedos de uma

mão, um número racional representa o que há

de comum entre todas as frações que represen-

tam a mesma parte da unidade. As frações 3

5,

0,6 e 9

15 são diferentes, embora equivalentes; os

números 3

5; 0,6 e

9

15 são diferentes representa-

ções do mesmo número racional.

13


Para explorar um pouco mais a ideia de

relação de equivalência, vamos resolver as se-

guintes atividades.

1. Podemos organizar o con-

junto de todos os polígonos

que existem em classes de equi-

valência segundo o critério do número de

lados. Nesse caso:

a) quais seriam as classes de equivalência?

As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos,

o conjunto dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o

conjunto dos hexágonos etc.

hexágonos

quadriláteros

pentágonos ...

triângulos

b) qual seria o mostruário do conjunto dos

polígonos?

O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triân-

gulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos etc.} ou

{ , , , etc.}

2. Considere o conjunto dos números inteiros

não nulos representados na reta numerada

e a relação de equivalência: dois números

inteiros são equivalentes se, e somente se,

estiverem à mesma distância da origem,

onde está o número zero.

– 4 – 3 – 2 – 1 43210

Nesse caso:


As classes de equivalência seriam: {1, –1}, {2, –2}, {3, –3},

{4, –4}, {5, –5}, e assim por diante.

– 4 – 3 – 2 – 1 43210

b) qual seria o mostruário?

O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um

inteiro na reta até a origem, ou seja, seria o conjunto {1, 2, 3,

4, 5, ...}. Em outras palavras, estamos escrevendo o conjunto

do módulo dos números inteiros.

3. Considere o conjunto de todas as frações

positivas. Para organizá-lo em classes, con-

sideremos equivalentes todas as frações

cuja soma do numerador com o denomina-

dor resulte sempre no mesmo número. Por

exemplo, 2

5 estaria na mesma classe de 1

6 e

de 3

4; 24

13 estaria na mesma classe de

1

36 e de

7

30, e assim por diante. Nesse caso:


Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha

a tabela a seguir, escrevendo na coluna

à direita as frações cuja soma do nume-

rador e denominador vem indicada na

coluna da esquerda:

14

Soma igual a 2

Soma igual a 3

Soma igual a 4

Soma igual a 5

Soma igual a 6

As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja

soma do numerador com o denominador fosse constante,

começando pelo menor valor possível, que é 2, depois 3, 4,

e assim por diante:

soma igual a 2: 1

1 ;

soma igual a 3: 2

1 ; 1

2 ;

soma igual a 4: 3

1 ; 2

2 ; 1

3 ;

soma igual a 5: 4

1 ; 3

2 ; 2

3 ; 1

4 ;

...

Soma igual a 13: 12

1 ; 11

2 ; 10

3 ; 8

5 ; 7

6 ; 6

7 ; 5

8 ; 4

9 ;

3

10 ; 2

11 ; 1

12 ;

... e assim por diante.

Dessa forma, podemos representar as classes de equivalência

por meio do seguinte conjunto:

Soma igual a 13

Soma ig

ual a 2

Soma igual a 3 Soma igual a 5

Soma

igual a 4

1

1

1

2, 2

1 1

4,

2

3,

3

2,

4

1

1

3,

2

2,

3

1

...

1

12,

2

11,

3

10,

5

8,

6

7,

7

6,

8

5,

9

4,

10

3,

11

2,

12

1

Professor, se preferir, você também pode propor a constru-

ção da seguinte tabela:

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1...

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

2...

1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

6

3...

1

4

2

4

3

4

4

4

5

4

6

4...

1

5

2

5

3

5

4

5

5

5

6

5...

1

6

2

6

3

6

4

6

5

6

6

6...

... ... ... ... ... ... ...

b) qual seria o mostruário?

O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a

soma numerador + denominador: {2, 3, 4, 5, 6, ..., 13, 14, ...}.

Localização dos números racionais na reta

A criação dos números racionais repre-

senta um momento importante do curso de

Matemática no Ensino Fundamental, pois

trata de noções que servirão de base para a

construção do conjunto dos números irracio-

nais e, portanto, dos reais, objeto de estudo

da 8a série/9o ano.

O fato fundamental do conjunto dos nú-

meros reais é a equivalência com os pontos da

reta, isto é, a associação de cada número real a

um ponto da reta e a sua recíproca, sendo cada

ponto da reta associado a um número real. Essa

equivalência entre pontos da reta e número real

representa um passo muito importante na cons-

trução de noções geométricas e numéricas com

aplicações na Matemática e nas ciências em ge-

ral, particularmente na Física.

15


Na 6a série /7o ano, os alunos representa-

ram os números inteiros, positivos e negati-

vos por pontos equidistantes sobre a reta,

respectiva mente à direita e à esquerda em

relação ao zero. Essa representação permite

compreender os números inteiros como uma

ampliação dos números naturais na medida

em que a escala, a partir de então, necessi-

tava, além da medida do comprimento de

segmento unitário, ser orientada para a es-

querda do zero negativa e para a direita do

zero positiva:

– 4 – 3 – 2 – 1 43210

Agora, para representar na reta um núme-

ro racional com denominador n, devemos di-

vidir cada segmento de comprimento unitário

em n partes iguais; os pontos da subdivisão

representarão as frações na forma m

n.

Por exemplo, a representação na reta de to-

dos os números racionais cujo denominador é 4

será, portanto, da seguinte forma:

– 2 – 1 210

... – 8

4 –

7

4 –

6

4 –

5

4 –

4

4 –

3

4 –

2

4 –

1

4

1

4

2

4

3

4

4

4

5

4

6

4

7

4

8

4 ...

Embora cada número racional esteja as-

sociado a um ponto da reta, a recíproca aqui

não é verdadeira, isto é, os pontos da reta não

se esgotam com os números racionais. Como

sabemos, existem pontos da reta que serão

associados aos números irracionais, dando

ao conjunto real a qualidade de continuidade

que é atribuída à reta.

A localização dos números racionais

na reta permite que se façam algumas

considerações lógicas sobre propriedades

fundamentais que diferenciam os campos

numéricos. Uma dessas ideias se refere à

possibilidade da determinação do sucessor

de um número.

Assim, cada fração de denominador 4 es-

tará associada a um ponto da reta.

Repetindo essa operação para todo deno-

minador n inteiro, teremos, para cada classe

de equivalência de frações, um ponto corres-

pondente na reta:

1– 1 0

– 4

4

– 3

3

– 2

2

– 4

8

– 2

4

– 1

2

4

8

2

4

1

2

9

12

6

8

3

4

4

4

3

3

2

2

16

A todo número inteiro, seja positivo, nega-

tivo ou zero, podemos determinar seu suces-

sor e antecessor. Mas pensemos agora nos nú-

meros racionais: quem é o sucessor de 1

2 ou

de 0,53? Como vemos, não existem sucessores

de números racionais.

Outra ideia simples que pode ser discutida é

a de que, dados dois números inteiros, podemos

determinar que a quantidade de números in-

teiros entre eles é sempre finita e determinada.

Por exemplo, entre –5 e 3 existem sete núme-

ros inteiros: {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}. E com

os racionais, como isso se dá? Considere os

números racionais 1

3 e

1

2: quantos racionais

existem entre eles? Sabemos que pelo menos

um existe: o número médio entre eles, isto é: 1

3 +

1

2

2 =

5

6

2 =

5

12.

Com relação aos números 1

3 e

5

12 , pode-

mos novamente determinar o número que está

entre eles:

1

3 +

5

12

2 =

9

12

2 = 9

24 = 3

8. Logo,

o número encontrado também está entre 1

3 e 1

2.

Pensando dessa forma, podemos admitir

que sempre haverá um número racional entre

dois racionais, e que a esse será associado um

ponto na reta. Esse fato permite dizer que, en-

tre dois números racionais, existem infinitos

números racionais.

Todo conjunto no qual exista uma infinida-

de de elementos do mesmo conjunto entre dois

quaisquer de seus elementos é chamado de

conjunto denso.

É curioso notar que o conjunto dos núme-

ros racionais é denso sem ser contínuo. Como

dissemos, embora entre dois números racio-

nais quaisquer sempre haja uma infinidade de

números racionais, uma vez que ele é denso, o

conjunto dos números racionais não completa

a reta, isto é, ele não é contínuo. A continuidade

é uma qualidade exclusiva do conjunto dos nú-

meros reais, quando cada ponto da reta – ima-

gem associada à continuidade – corresponderá

a um número real, seja racional ou irracional.

A seguir, propomos algumas atividades que

representam uma possibilidade ao professor de

discutir com os alunos as ideias anteriormente

desenvolvidas. Neste momento, não é necessário

se deter em aspectos e termos relativos à densi-

dade ou à continuidade. O interessante é que os

alunos percebam que, com os números racionais,

muitos mais pontos da reta serão associados do

que os associados com os números naturais.

As noções aqui iniciadas poderão ser ex-

ploradas mais detalhadamente na Situação de

Aprendizagem seguinte, cujo tema, dízimas

periódicas, oferece uma oportunidade de re-

presentação de números racionais na reta.

17


4. Localize na reta a seguir os números racio-

nais: 1, –2, 1

3,

5

2, – 3

4 e –0,5.

2– 2 1

– 0,5

– 4

3 0

– 1

3

1

2

5

5. Responda às seguintes perguntas:

a) Qual é o número natural sucessor de 15?

16.

b) Qual é o número inteiro sucessor de –7?

–6.

c) Qual é o número racional consecutivo de 1

3 ?

Não existe.

d) Quantos números inteiros existem entre

–6 e 0?

5.

e) Quantos números racionais existem

entre –6 e 0?

Infinitos.

f) Quantos números racionais existem en-

tre 0,1 e 0,2?

Infinitos.

6. Na atividade anterior, você observou que,

diferentemente dos números naturais e in-

teiros, não existe sucessor de um número

racional e que entre dois números racionais

sempre existe uma infinidade de outros nú-

meros racionais. Os conjuntos que possuem

essas propriedades são chamados de con-

juntos densos. Sendo assim, encontre um

número racional que esteja entre:

a) 1

2 e

3

4

2

+2

1

4

3

=2

4

5

8

5=

b) 1 e 5

4

2

+14

5

=2

4

9

8

9=

c) 0,88 e 0,8890,881.

d) 1,010010001000011 e 1,010010001000012

1,01001000100001132.

Para resolver essas atividades, os alunos podem tirar a média

aritmética entre os números dados.

Observação: como exemplo, determinamos a média arit-

mética entre os valores. Destacamos, no entanto, a possibili-

dade de infinitas respostas para cada item.

7. Desenhe uma reta e localize nela

os números 1

8 e 1

10. Identifique

três números fracionários que este-

jam entre ambos.

0 1

8

1

10

1

Algumas soluções possíveis são: 80

9 , 160

19 e 160

17 .

18

8. Em que intervalo há mais números racio-

nais: entre 0 e 1 ou entre 0 e 0,1?

Nos dois intervalos há uma infinidade de números racionais.

É isso que caracteriza um conjunto denso.

9. Em nossa vida, lidamos com conjuntos

que têm a qualidade de serem densos. Um

exemplo disso é o tempo: qual é o instante

sucessor das 10 horas? É impossível definir,

assim como percebemos que entre dois ins-

tantes de tempo há uma infinidade de ins-

tantes. Pense em outras duas situações que

envolvam conjuntos densos.

Alguns exemplos podem ser referentes às medidas de tem-

peratura, de massa, de volume, de comprimento etc.

Considerações sobre a avaliação

A apresentação dos racionais como o

mostruário das frações, baseada na ideia de

classificações, é fundamental para a com-

preensão do conceito em questão e pode ser

muito esclarecedora a respeito do significado

que as relações de equivalência têm na Ma-

temática. Uma vez compreen dida, tal apre-

sentação pode servir de base para uma reor-

ganização conceitual dos outros conjuntos

numéricos já estudados ou por estudar. Na

resolução das atividades propostas, a aquisi-

ção de uma linguagem mais adequada para

o tratamento de tais temas é mais importan-

te do que os inúmeros cálculos que podem

ser associados a ela.

A expectativa ao final desta Situação de

Aprendizagem é a de que os alunos tenham

ampliado suas noções sobre as frações, condi-

ção essencial para a compreensão do conjunto

dos números racionais. Essa ampliação está

baseada, substancialmente, no conceito de

classes de equivalência, sendo, portanto, um

conceito importante para o professor avaliar,

utilizando classes que envolvem equivalências

contextualizadas ou numéricas.

Outra noção desenvolvida nesta unidade

está associada à localização de números ra-

cionais na reta. Nesse caso, o professor pode

sugerir algumas atividades cujo denominador

seja 10, preparando, de certa forma, a discus-

são sobre frações decimais e periódicas, obje-

to da próxima Situação de Aprendizagem.

19


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS...

Conteúdos e temas: dízimas periódicas.

Competências e habilidades: compreender o campo dos números racionais como composto por números cuja representação decimal pode ser finita ou infinita e periódica; reconhecer as condições que fazem que uma razão entre inteiros expresse uma dízima periódica; prever o tipo de representação decimal de uma fração irredutível a partir de análises e estratégias de fatoração do seu denominador.

Sugestão de estratégias: análise de dados; construção e análise de tabelas e gráficos; uso de calculadora.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2

As frações representam a razão ou a di-

visão entre dois números inteiros. Quando

nos dispomos a efetuar tal divisão, às vezes

o quociente obtido é um número decimal

“bem-comportado”, com um número fi-

nito de casas decimais, como o número

0,25, que corresponde à fração 1

4; outras

vezes, o resultado da divisão é um número

com uma infinidade de casas decimais, com

um grupo que se repete periodicamente, ou

seja, é uma dízima periódica, como na fração

1

3, que corresponde ao número 0,3333...

As frações do primeiro tipo podem ser es-

critas com seus denominadores em potências

de 10:

1

4 =

25

100,

1

5 =

2

10,

7

40 =

175

1 000 .

Nessa situação, as frações são transfor-

madas, de modo que seus denominadores se

convertam em potências de 10, e isso é possí-

vel quando observamos que o denominador

divide alguma potência de 10. Frações como

essas representam uma grande vantagem prá-

tica, pois, além de serem de fácil comparação,

permitem, em sua forma decimal, a aplicação

dos mesmos algoritmos usados para efetuar

as operações aritméticas.

No caso de frações que geram dízimas pe-

riódicas, como 1

3 ou

5

70, as frações não serão

propriamente decimais no sentido de ter um de-

nominador que seja potência de 10, pois, como

não existe um último algarismo no desenvolvi-

mento decimal, não existirá uma potência ade-

quada de 10. Assim, essas frações terão repre-

sentação decimal ilimitada ou infinita.

Esta primeira atividade pretende auxiliar os

alunos a reconhecer, com razoável grau de certe-

za, quando uma fração qualquer gerará uma dí-

20

zima periódica no caso de ser efetuada a divisão

entre numerador e denominador. Para responder

a tal questão, basta observar o seguinte: se espe-

ramos que uma fração qualquer a

b seja equiva-

lente a uma fração decimal, ou seja, a um número

decimal finito, então devemos ter a

b equivalente

a uma fração com denominador igual a uma

potência de 10, ou seja, do tipo c

10n para algum

valor de n. Logo, partindo de uma fração a

b já

reduzida à sua forma mais simples, para termos

a

b =

c

10n devemos multiplicar o numerador e o

denominador de a

b pelos mesmos fatores, de

modo a atingir uma potência de 10 no denomi-

nador. Isso significa que não podem existir em

b fatores que não existam na potência de 10, ou

seja, b não pode ter fatores que não sejam 2 ou 5.

No caso de qualquer fator primo diferente de 2

ou 5, é certo que o resultado da divisão será uma

dízima periódica.

Desafio!

Cada “casa” da tabela corresponde a uma fração cujos numerador e denomina-dor são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a “casa” assi-

nalada na tabela com a letra E corresponde

à fração 3

4, enquanto a “casa” assinalada

com a letra M corresponde à fração 6

7. As-

sinale com um X as “casas” correspondentes

às frações geratrizes de dízimas periódicas.

NumeradorD

enom

inad

or

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4 E

5

6

7 M

8

9

Professor, com a realização da ativida-

de, espera-se que os alunos consigam pre-

ver se a divisão entre numerador e denomi-

nador de uma fração irredutível gerará ou

não uma dízima periódica.

Numerador

Den

omin

ador

1 2 3 4 5 6 7 8 9123 X X X X X X456 X X X X X X7 X X X X X X X X89 X X X X X X X X

21


1. Analisando a tabela da se-

ção Desafio!, identifique quan-

do uma fração irredutível não

gera uma dízima ao ser dividido o numera-

dor pelo denominador.

É esperado que eles constatem que frações irredutíveis, em

que o denominador é formado apenas pelos fatores primos

2 e 5, geram decimais exatos quando o numerador é dividido

pelo denominador.

Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida por

meio da tabela, é conveniente que sejam consideradas fra-

ções com numerador e denominador maiores do que 9, por

exemplo, 160

27 ou 125

124 .

Na sequência, os alunos devem ser moti-

vados a refletir sobre os casos de frações irre-

dutíveis em que a divisão entre numerador e

denominador gera dízimas periódicas.

2. Quando uma fração com denominador

igual a 3 não gera uma dízima?

Quando for possível simplificar os termos da fração, elimi-

nando o fator 3 do denominador, como em 6

9 = 2

3 = 1,5.

3. Todas as frações irredutíveis com denomi-

nador contendo apenas fator primo igual a

3 geram dízimas periódicas? Dê exemplos

para justificar sua resposta.

Os dados observados na tabela indicam que os denominado-

res 3 geram dízimas periódicas quando o numerador não é

múltiplo de 3. De modo geral, frações irredutíveis com deno-

minador 3n, n ≥ 1, gerarão dízimas periódicas.

4. Escreva a sequência dos números primos

menores do que 30.

Esses números compõem o seguinte conjunto: {29, 23, 19, 17,

13, 11, 7, 5, 3, 2}.

5. Quais dos números primos que você escreveu

na atividade anterior podem ser combinados

para formar o denominador de uma fração ir-

redutível e geradora de uma dízima periódica?Analisando os valores desse conjunto com os dados da tabe-

la, observa-se que, excetuando-se os fatores 2 e 5, todos os

outros gerarão uma dízima periódica. Dessa forma, podemos

concluir que, se o denominador tiver um fator diferente des-

ses, dois, a fração irredutível gerará uma dízima.

6. Escreva cinco exemplos de frações, diferen-

tes das vistas em sala de aula, nas quais a

divisão entre numerador e denominador

gerará uma dízima periódica.

Neste caso, espera-se que o aluno escreva frações cujo de-

nominador seja um número primo diferente de 2 e 5, e o

numerador não seja um múltiplo deste. Algumas possíveis

soluções seriam: 11

1 , 29

1 , 11

3 , 29

5 , 17

23 ...

7. Em que situação a divisão entre

numerador e denominador de

uma fração irredutível gera uma

dízima periódica?No caso de o denominador ter fatores primos que sejam di-

ferentes de 2 e 5.

8. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes

das vistas em sala de aula, nas quais, com cer-

teza, a divisão entre numerador e denomina-

dor não resultará em uma dízima periódica.

Algumas soluções possíveis seriam: 5

1 , 4

7 , 10

9 , 25

3 …

O encerramento desta parte da atividade

pode envolver a socialização de todas as res-

postas e a escrita de uma conclusão geral da

classe, sob a coordenação do professor. Em

seguida, o próximo passo pode ser discutir

pelo menos um processo de obtenção da fra-

ção geratriz de uma dízima periódica dada.

22

Dízimas periódicas e cíclicas

Quando uma fração corres-ponde a uma dízima periódica,

podemos notar que é possível uma estima-tiva do tamanho máximo do seu período, isto é, do número de casas decimais que se repetirão.

Observe a divisão de 1 por 7:

Nessa divisão, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, observamos que as divisões parciais não são exatas e que os restos possíveis são menores do que 7, ou seja, serão 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 – o resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presen-ça indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na sétima casa decimal, certamente ocorrerá a repetição de um resto e, a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima pe-riódica. Poderíamos prever que, nesse caso, a dízima resultante da divisão teria um pe-ríodo de, no máximo, seis casas decimais, o que efetivamente ocorreu.

Na tabela construída, colocamos em or-dem os quocientes decimais e os restos pro-duzidos por eles.

Observe o desenvolvimento decimal

de 2

7:

Comparando os períodos gerados pe-las duas frações, podemos observar que elas possuem os mesmos algarismos, porém ordenados de forma diferente e respeitando um movimento cíclico. Ob-

servando que a divisão de 2

7 começa

com resto 2, que também aparece como

resto na divisão de 1

7, os restos, a par-

tir desse ponto, também vão coincidir

em ambas as divisões, uma vez que o

desenvolvimento de 1

7 tem período de

comprimento “máximo”:

1

01

03

02

06

04

05

restos

0,142857...

7

quocientes

Quocientes

1

1

32645

014285

Restos

quocientes

2

02

06

04

05

01

03

restos

0,285714

7Quocientes

2

2

64513

028571

Restos

7

4

1

7 = 0,14285714...

2

7 = 0,285714...

iníciodo ciclo

Quocientes

resto inicial

1

1

32645

014285

Restos

7

23


9. Considere a seguinte fração

1

13 = 0,0769230769...

quocientes

1

0 01

09

012

03

04

restos

0,076923...

13 Quocientes

1

1

109

1234

007692

Restos

Aplicando o método discutido anterior-

mente, escreva as frações a seguir na sua

forma decimal periódica:

a) 10

13 = 0,769230...

b) 9

13 = 0,692307...

c) 3

13 = 0,23076...

d) 4

13 = 0,307692...

10. Observando a tabela de quocientes e res-

tos, é possível encontrar o desenvolvimen-

to decimal de 2

13? Justifique sua resposta e

tente encontrá-lo.Observando na tabela a coluna dos restos, como ela não

apresenta resto igual a 2, não permite prever o desenvolvi-

mento de 13

2 a partir de

13

1 . Portanto, é necessário efetuar

a divisão 13

2 .

quocientes

2

02

07

011

05

06

08

r

e

s

t

o

s

0,153846...

13 Quocientes

2

2

75

11

6

8

0

1

5

3

8

4

Restos

Nessa divisão, além do resto 2, aparecem outros restos que

não estavam presentes na primeira tabela: {2, 5, 6, 7, 8, 11}.

Agora, com base nesse novo desenvolvimento, podemos

escrever as frações 13

7 , 13

11 e 13

8 , observando o caráter

cíclico dos quocientes:

13

7 = 0,538461... 13

11 = 0,846153... ou 13

8 = 0,6153846...

As tabelas juntas formam todos os restos que podem ser nu-

meradores ou frações irredutíveis de denominador 13: {1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Diferente da fração 7

1, em que

todos os possíveis restos apareceram na primeira tabela, na

fração 13

1 houve a necessidade de se construir duas tabelas.

Desafio!

Sem efetuar a divisão, e apoiado na

tabela da seção anterior referente à divi-

são de 1

7, encontre o desenvolvimento

decimal de 5

7.

Seguindo o processo discutido, podemos deduzir

que em 7

5 , como o primeiro resto é 5, seu desen-

volvimento será: 7

5 = 0,714285…

3

6

24

Professor, nessa discussão você pode uti-

lizar calculadoras ou planilhas eletrônicas,

explorando outras frações, como 1

21. Nesse

caso, também serão necessárias duas tabelas,

que darão como restos os valores do conjun-

to {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}.

O interessante será perceber que a quantidade

de restos igual a 12 não é máxima como

com os denominadores 7 e 13. Os números

{3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18} não estarão na ta-

bela dos restos, pois podem ser simplificados

com o denominador 21, isto é, não represen-

tam frações irredutíveis.

Professor, como você pode observar, o tra-

balho com dízimas, além da abordagem co-

mum, pode ser feito sob forma investigativa,

que envolva conceitos simples de divisão e de-

composição em fatores primos.

Encontrando a geratriz de uma dízima periódica

Todo número racional escrito na forma de-

cimal finita se transforma facilmente em uma

fração: 1,25 = 125

100 =

5

4. Mas e se o número

racional for escrito na forma decimal periódi-

ca infinita?

Combinado à análise das frações que ge-

ram dízimas, um trabalho complementar que

permite o aprofundamento desse tema é o

de operação recíproca, isto é, parte-se de um

número decimal escrito na forma de dízima

perió dica para encontrar sua fração geratriz.

Existem vários métodos para a obtenção da

fração geratriz de uma dízima periódica, mas,

para o nível de conhecimento dos alunos de

7a série/8o ano, propomos o seguinte:

Obtenção da geratriz de uma dízima

a) simples

Em uma dízima periódica simples, o perío-

do se apresenta imediatamente após a vírgula,

por exemplo, 0,4444... ou 2,5555... ou, ainda,

2,343434...

Para obter a fração geratriz de uma dízi-

ma periódica simples, podemos tratá-la como

uma incógnita, como y.

y = 0,4444...

Em seguida, multiplicamos os dois termos

da igualdade por uma potência de 10, cujo ex-

poente é igual à quantidade de numerais do

período da dízima.

y = 0,4444...

10y = (0,444...) 10

10y = 4,444...

Subtraindo uma expressão da outra:

(10y – y) = 4,444... – 0,444...

obtemos:

9y = 4 y = 4

9

Assim, a geratriz da dízima 0,444... é a

fração 4

9.

25


Vamos obter, em outro exemplo, a geratriz

da dízima 2,343434...

y = 2,343434... (Multiplicaremos os dois

termos por 102 = 100.)

100y = 234,343434... (Subtrairemos uma

expressão da outra.)

99y = 232 y = 232

99

Assim, a geratriz da dízima 2,343434... é a

fração 232

99.

b) composta

Em uma dízima periódica composta, entre

o período e a vírgula há um ou mais numerais

que não fazem parte do período, por exemplo,

0,23333... ou 1,03242424...

De modo semelhante ao que foi feito ante-

riormente, nomearemos a dízima de y.

y = 0,2333...

Visto que o período é formado apenas por

um algarismo, multiplicaremos toda a expres-

são por 101.

y = 0,2333

10y = 2,333...

Subtraindo uma expressão da outra,

teremos:

9y = 2,1 y = 2,1

9 =

21

90

Dessa forma, a geratriz da dízima 0,2333...

é a fração 21

90.

Observe, a seguir, o processo de determina-

ção da geratriz de 0,235454...

x = 0,23545454...

10x = 2,3545454...

100x = 23, 545454...

1 000x = 235,454545...

10 000x = 2354, 545454...

10 000x – 100x 9 900x

2 354,5454... – 23,5454... 2 331

9 900x = 2 331

x = 2 3319 900 x =

2591 100

10 000x – 100x = 2 354,5 454... – 23,5454...

Observe que é importante destacar que

o produto por potências de 10 deve ser de-

senvolvido até que seja encontrada a parte

decimal periódica igual. Nesse caso, isso

foi feito para os produtos obtidos por 100

e 10 000.

26

Neste momento do trabalho, a capacidade

do aluno de aplicar os processos desenvolvi-

dos até aqui para encontrar a geratriz da dí-

zima é desafiada.

Caso o professor considere adequado, su-

gerimos o uso da calculadora para a verifica-

ção do resultado.

No Ensino Médio, esse assunto será reto-

mado quando o objeto de estudo for a soma

de termos infinitos de uma progressão geomé-

trica. Neste momento, por exemplo, a dízima

2,3333... será interpretada como a soma infi-

nita das parcelas: 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ...

11. Determine a fração geratriz de cada uma

das seguintes dízimas periódicas:

a) 2,7777...

9

25

b) 0,454545...

99

45

c) 1,2343434...

990

1 222

d) 3,1672867286728...

99 990

316 697

12. Escreva o número racional

7

60,33333

na forma a

b , sendo

a

b

uma fração irredutível.

Resposta: 2

7

O decimal 0,333… corresponde à fração 3

1 . Assim, temos

6

7

3

1

= 6

7 1

3 = 2

7

13. Encontre o valor de x que é solução da

equação: 3x + 0,1x + 0,05x + 0,005x +

+ 0,0005x + ... = 4.

Inicialmente, coloca-se o x em evidência: x(3 + 0,1 + 0,05 +

+ 0,005 + 0,0005 + ...) = 4. Observamos, então, que o coeficien-

te de x é uma dízima periódica: (3,15555…)x = 4. Encontrando

sua geratriz, podemos resolver o problema:

y = 3,1555

10y = 31,5555

10y - y=28,4

y = 9

28,4 = 90

284

Então: 90

284 x = 4 x = 71

90

S = 71

90


Ao final desta Situação de Aprendizagem,

a expectativa é de que os alunos tenham com-

preendido o campo dos números racionais

como compostos por números cuja represen-

tação decimal pode ser finita ou perió dica e

infinita. Tal definição dos números racionais é

importante, pois será retomada na discussão

sobre outro tipo de número, os irracionais.

No caso das dízimas periódicas, a explora-

ção das primeiras experiências com represen-

tações infinitas serviu de base para uma série

27


de atividades com um sentido de investigação

e pesquisa. Na avaliação, a exploração da

curiosidade dos alunos, a prática de uma re-

flexão crítica diante de situações insólitas ou

curiosas na escrita dos números, como são as

dízimas, é muito mais relevante do que a mera

fixação de regras operatórias para determinar

as geratrizes.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS

Conteúdos e temas: potenciação; propriedades de potenciação; conversões de unidades de medidas.

Competências e habilidades: compreender a utilidade das potências na representação de nú-meros muito grandes ou muito pequenos; analisar e interpretar dados escritos na forma de potências de 10; relacionar a representação decimal com a notação científica de grandezas.

Sugestão de estratégias: uso de calculadora; construção e leitura de tabelas; interpretação de dados.

Considerando os números 210, 103 e 107, qual deles é escrito com maior número

de dígitos?

Essa é uma pergunta desafiadora que, além de permitir a retomada da discussão sobre o cálculo de potências a partir do seu significado, também possibilita a compreensão de que contar o número de algarismos necessários para a escrita de uma potência de base 10 é muito simples, bastando para isso olhar para o expoente da potência. Isso ocorre porque nosso siste-ma de numeração é de base 10 (decimal), o que foi discutido em detalhes nas atividades sobre sistemas de numeração propostas na 6a série/7o ano.

Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou mui-to pequenos utilizam amplamente a linguagem das potências na representação desses núme-ros. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é de aproximadamente 300 000 km/s ou 300 000 000 m/s, pode ser escrita como 3 105 km/s ou 3 108 m/s.


O uso de potências na Matemática é um

recurso útil para a representação de números

muito grandes ou muito pequenos, e esse será

o fator motivador desta atividade. No início

da 7a série/8o ano, o aluno já terá conhecimen-

tos básicos sobre as potências, sendo neces-

sário apenas uma retomada do assunto que

inclua discussões sobre significados, notações

e linguagem.

Em seguida, a expectativa é a de que possa

ser desenvolvido um trabalho para investigar

a importância das potências na representação

de números muito grandes ou muito peque-

nos, o que servirá de justificativa para o estu-

do mais detalhado das propriedades operató-

rias das potências na sequência do curso.

28

A atividade a seguir utiliza a informação da

velocidade da luz em cálculos aplicados. O que

se deseja mostrar com esta e outras atividades

apresentadas na sequência são algumas possi-

bilidades de cruzamento de dados contextua-

lizados e o trabalho com potências. Tais pos-

sibilidades não devem ser interpretadas como

atividades acabadas sobre o assunto, mas sim

como suporte didático ao trabalho do profes-

sor. Cabe, portanto, ao professor articulá-las da

maneira mais conveniente, de acordo com os co-

nhecimentos dos alunos sobre potências.

1. Em Astronomia, a distância que

a luz percorre em um ano é chama-

da ano-luz. Sendo assim, responda:

a) quantos metros tem 1 ano-luz, sabendo

que a velocidade da luz é 3 108 m/s?

Considerando-se o ano com 365 dias de 24 horas, a resposta

exigirá o seguinte cálculo:

365 24 60 60 3 108 = 9 460 800 000 000 000 m =

= 9,4608 1015 metros

b) qual é a distância entre a Terra e o Sol em

anos-luz, sabendo-se que essa distância é de

aproximadamente 150 000 000 000 metros?

© N

asa

and

The

Hub

ble

Her

itag

e T

eam

(S

TSc

l/AU

RA

)

Para responder a esta pergunta, basta escrevermos os valores

em notação científica:

9,4608 1015

1,5 1011

1,58 10–5 = 0,0000158 anos-luz.

c) quanto tempo, aproximadamente, um

feixe de luz leva para chegar do Sol

até a Terra? Como a distância da Terra ao Sol é de aproximadamente

1,5 1011 metros e a velocidade da luz é de 3 108 m/s, um fei-

xe de luz demorará 3 108

1,5 1011

= 500 segundos para atingir a

Terra, aproximadamente 8 minutos e 20 segundos. Para efeito

de comparação, o professor pode comentar que um feixe de

luz, em 1 segundo, dá aproximadamente 7 voltas e meia em

torno da Terra.

2. O diâmetro da Via Láctea é de

aproximadamente 100 000 anos-luz.

Por que os astrônomos utilizam uma unida-

de “tão grande” como o ano-luz para indi-

car distâncias?

Para medir distâncias grandes, é mais prático usar uma uni-

dade grande; na Astronomia, existem unidades menores que

o ano-luz, como a “unidade astronômica”, que é a distância

média entre a Terra e o Sol, ou seja, 150 000 000 km. O parsec,

que corresponde a cerca de 3,26 anos-luz, é usado normal-

mente para distâncias entre estrelas ou galáxias.

Nos filmes de ficção, muitas

vezes as personagens indi-

cam distâncias entre estrelas

utilizando as unidades anos-luz e parsec.

Faça uma pesquisa sobre unidades de me-

didas astronômicas e registre alguns

exemplos de sua aplicação.

29


Números muito grandes ou muito peque-

nos envolvendo medidas reais podem ser uti-

lizados em diversas atividades com potências.

A seguir, apresentamos uma tabela com dados

reais aproximados que podem servir de refe-

rência para que o professor elabore atividades

com potências, proporcionalidade e conversões

de unidades de medidas.

Notação científica

3. A tabela a seguir apresenta

dados reais aproximados en-

volvendo potências:

Número de moléculas em 1 grama de água

3 1022

moléculas

Número de átomos do corpo humano 1028 átomos

Raio da Terra 6 106 m

Distância entre a Terra e a Lua 4 108 m

Distância entre a Terra e o Sol 1,5 1011 m

Massa da Terra 6 1024 kg

Idade da Terra 4,5 109 anos

Idade do Universo 1,5 1010 anos

Número de habitantes da Terra (estimativa em 2011) 7 bilhões

Expectativa de vida dos brasileiros em 2011 73,4 anos

PIB* (Produto Interno Bru-to) brasileiro em 2012

4,4 trilhões de reais

Número de células do corpo humano

100 bilhões = = 1011

Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena

50 milhões = = 5 107

Analisando os dados dessa tabela, escreva

cada um dos números a seguir em notação

científica, ou seja, na forma m 10n, com

1 ≤ m < 10.

a) número de habitantes da Terra em 2011;

7,0 109 pessoas.

b) expectativa de vida dos brasileiros em

2011 (em segundos);

2,3 109 segundos.

c) PIB brasileiro em 2012.4,4 1012 reais.

Vale a pena observar que, apesar da pratici-

dade relacionada ao uso de potências para a re-

presentação de números muito grandes, quando

temos a possibilidade de nos referir a um número

dessa natureza por palavras, a compreensão do

significado concreto da ordem da grandeza será

favorecida. Por exemplo, dizer que o número de

habitantes estimado da Terra em 2011 foi de 7 109

pessoas é muito menos esclarecedor do que falar

em 7 bilhões de pessoas. Por esse motivo, os exer-

cícios que estabelecem a correspondência entre o

uso de potências e as palavras da nossa língua que

as representam devem sempre ser incentivados.

Veremos a seguir uma atividade que possibi-

lita a introdução da ideia de notação científica.

Quando falamos em números grandes para trabalhar potências, uma contextualização inte-ressante que pode ser feita é a do número googol (lê-se “gugol”). Há, inclusive, um conhecido site de buscas na internet cujo nome foi inspirado no número googol de Edward Kasner, provavelmen-te porque esse site traz uma quantidade “muito grande” de informações.

*PIB: Produto Interno Bruto – o conjunto de bens e serviços produzidos no ano.

30

Em certa ocasião, o matemático estadunidense Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pequeno Milton – algo parecido com "guuugol" – não foi muito

animadora, mas, na mente criativa de Kasner, isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número 10100.

Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão grande quanto 1 googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que 1 googol. O número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro também é menor que 1 googol, assim como é menor que 1 googol o número de elétrons em todo o Universo.

Para não dizer que 1 googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo inteiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima--se o número dessas partículas ( 10110 partículas) em um número maior que 1 googol.

Vencida a barreira do googol, imagine um número ainda maior: “10 elevado a 1 googol” (Kas-ner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros de 1 googolplex? A resposta exige apenas alguns cálculos. Dizer que 1 googolplex é 10googol = 1010100 é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a 1 seguido de 1 googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, le-varíamos 0,5 10100 segundos para escrever por extenso o número de zeros de 1 googolplex. Como a idade estimada do Universo é 1,5 · 1010 anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a 4,7 · 1017 segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex.

4. Cerca de 70% da superfície da

Terra encontra-se coberta por

água, o que corres ponde a um vo-

lume de aproximadamente 1 385 984 610 km3

(desse total, 97,5% é de água salgada e 2,5%

de água doce). Sabendo que em cada cm3 te-

mos 1 g de água (a densidade da água é

1 g/cm3) e consultando a tabela apresentada

anteriormente, calcule o número de molécu-

las de água na superfície da Terra. Em segui-

da, compare esse dado com 1 googol. Nesta

atividade, desconsidere o fato de a densidade

da água salgada ser maior que 1 g/cm3.

Para resolver esta atividade, primeiro temos de conver-

ter km³ em cm³, o que indicará a massa de água na Terra

( 1,4 1024 gramas). Dado que 1 g de água tem 3 1022

moléculas, então, o número de moléculas do total de água

na superfície da Terra é de aproximadamente 4,2 1046. Apro-

ximando-se grosseiramente esse número para 1050, pode-se

discutir com os alunos que esse número é muito menor

que 1 googol. Muitos alunos poderão pensar, à primeira vis-

ta, que 1050 é metade de 1 googol, o que não é verdade. Se

dividirmos 1 googol por 1050, o resultado será 1050, que é o

número de vezes que o número de moléculas de água na

superfície da Terra caberia dentro de 1 googol.

31


Usando a calculadora

Nas calculadoras simples, com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente

a conta 370 000 2 100 000, contudo, com o conhecimento de potências e notação científica,

esse cálculo pode ser feito na calculadora. Sabendo-se que 370 000 = 3,7 105 e 2 100 000 =

= 2,1 106, o produto procurado é 2,1 3,7 1011. A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 3,7 =

= 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por

1011 será igual a 777 000 000 000.

Entretanto, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação científica automaticamente.

Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes for-mas, dependendo do fabricante:

7.7711 7.77 E11 7.77 E + 11ou ou

Em todos os casos apresentados, o número 11 representa um expoente de uma potên-cia de base 10 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três outros detalhes também devem ser observados.

Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, em que a vírgula tem a função do nosso ponto, e vice-versa. Assim, o número 38.490,25 no nosso siste-ma aparece representado na calculadora como 38,490.25

A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 10.

As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para as potências, o que facilita

o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por xy ou, em alguns casos, uma tecla in-

dicando o sinal de acento circunflexo ^ é a que deve ser usada para elevar uma base a

um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para calcular 35:

3 5 =I.

3 5 =II.

xy

^

O resultado que aparecerá no visor será 243

32

Um dos fatores fundamentais sobre potên-

cias com expoentes inteiros pode ser discuti-

do com os alunos com base em uma situação

contextualizada:

5. Faça algumas experiências

com sua calculadora, registrando

a seguir os valores encontrados.

Resposta pessoal.

6. Suponhamos que, em determinado país, a

produção de um material tenha sido igual

a 1 tonelada no ano 2000 e, em razão do

desenvolvimento tecnológico, passou a tri-

plicar anualmente a partir daí. Uma tabela

com as quantidades produzidas ao final de

cada ano é apresentada a seguir. Complete

os espaços em branco utilizando, quando

possível e se necessário, uma calculadora:

AnoProdução

P (toneladas)Potência

correspondente

2000 1 30

2001 3 31

2002 9 32

2003 27 33

2004 81 34

2005 243 35

2006 729 36

2007 2 187 37

2008 6 561 38

2009 19 683 39

... ... ...

2015 14 348 907 315

2000 + n ... 3n

A regularidade da multiplicação pelo fator 3 a cada ano conduz

naturalmente à representação da produção correspondente

de modo simplificado, por meio de uma potência de 3 ÷ n

anos após o ano 2000, o valor da produção P será 3n toneladas.

As atividades desta etapa permitirão justi-

ficar as potências de expoente negativo. Para

tanto, pode-se partir das propriedades:

am · an = am+n

am

an = am – n (a ≠ 0)

Para compreendê-las, basta que se conte

o número de fatores resultantes ao efetuar as

operações indicadas. Por exemplo:

3 números 2 5 números 2

23 25 = 2 2 2 2 2 2 2 2 = 28

Uma vez trabalhada a propriedade

am ∙ an = am+n, os expoentes negativos podem

ser apresentados da seguinte forma:

5 1

5 = 1 (o produto de um número dife-

rente de zero pelo seu inverso é 1).

5 1

5 = 50 (qualquer número diferente de

zero, quando elevado a zero, resulta 1).

51 5x = 50 (substituímos 1

5 por 5x para po-

der usar a propriedade am an = am + n).

51+x = 50 (para que a igualdade seja verda-

deira, necessariamente x = 1).

Conclusão: a notação adequada para 1

5

como potência de base 5 é 5–1.

Posteriormente, pode-se discutir com

os alunos que, excluindo-se o caso em que

33


a = 0, a notação an pode ser estendida para

o expoen te 0, uma vez que: a0 = an

an = 1 ou,

partindo da propriedade am an = am + n, pode-

mos apresentar o cálculo:

a0 an = a0 + n = an, o que indica que a0 = 1.

Outro recurso que pode ser explorado na

apresentação de expoentes inteiros é o referen-

te à regularidade observada no quadro do Sis-

tema Decimal Posicional. Uma vez construída

a tabela, podem-se associar as potências com

expoentes negativos à sua parte decimal, de

modo que o Sistema Decimal possa ser inter-

pretado em toda a sua generalidade.

8. A tabela a seguir indica uma série de repre-

sentações com potências de expoente nega-

tivo. Pesquise sobre as unidades relaciona-

das, faça a conversão entre as unidades e

complete a coluna.

1 centímetro 10–2 metros

1 milímetro 10–3 metros

1 micrômetro 10–6 metros

1 nanômetro 10–9 metros

1 angstrom 10–10 metros

7. O nosso sistema de numeração – Siste-

ma Decimal Posicional – é formado se-

gundo certa regularidade com relação

às potências de base 10. Interprete essa

característica completando a tabela a

seguir:

Milhar Centena Dezena Unidade1 000 100 10 1

103 102 101 100

Décimos Centésimos Milésimos

0,1 0,01 0,001

10

1

101

1=

= 10–1 10–2

100

1

103

1=

= 10–3

A tabela “Radiação eletromagnética - com-

primento de onda em metros”, que permite

trabalhar potências de forma interdisciplinar

com a área de Ciências, é aquela referente

ao comprimento de ondas eletromagnéticas,

como as ondas de rádio, TV, micro-ondas, ra-

diação infravermelha, luz visível, ultravioleta,

raios X e raios gama. Essas radiações diferem

entre si pela sua frequência e pelo seu compri-

mento de onda. As ondas eletromagnéticas se

propagam no vácuo com velocidade constante,

igual a 300 000 km/s (velocidade da luz).

Faça uma pesquisa em jornais e revistas, e selecione uma notícia que apresente nú-

meros muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e apre-

sente os mesmos números em notação científica.

Professor, você pode discutir com os alunos que os expoentes negativos nos permitem representar números muito peque-

nos com potências.

34

9. O comprimento de um cordão de

DNA na célula é de aproximada-

mente 10–7 m, o que corresponde a

aproximadamente 1 000 angstroms. Com

base nesse dado, calcule a equivalência en-

tre angstrom e metro.

1 angstrom corresponde a 10–10 m.

10. O diâmetro de um fio de cabelo huma-

no é de aproximadamente 2,54 10–5 m.

Quantos fios de cabelo humano teriam

de ser colocados lado a lado para for-

mar 1 m?

Para determinar a quantidade de fios de cabelo que

correspondem a 1 metro, basta que façamos a divisão:

2,54 10-5

1 = 39 370 fios. Você também pode discutir com

os alunos que o ser humano tem em média 100 000 fios de

cabelo, podemos concluir, portanto, que todos os fios de ca-

belo de um indivíduo, quando alinhados por seus diâmetros,

resultariam em cerca de 2,54 metros (2,54 10 –5 100 000).

11. Nossos fios de cabelo crescem à taxa de,

aproximadamente, 1,6 10–5 m por hora.

Um caracol de jardim se locomove no ritmo

de, aproximadamente, 3 10–2 m por hora.

Quanto tempo nossos fios de cabelo demo-

rariam para crescer o equivalente à distância

que um caracol de jardim percorre em 1 hora?A solução deste problema exige que efetuemos os seguin-

tes cálculos:

1,6 10-5

3 10-2

= 1,875 103 horas, o que cor responde a

24

1,875 103

= 78,125 dias, ou seja, 78 dias e 3 horas.


Como dito inicialmente, a opção de não

apresentar atividades específicas sobre as opera-

ções com potências não significa que tal assunto

seja irrelevante, mas apenas que o tratamento

usualmente dado a esse assunto costuma ser

suficiente. Dessa forma, o foco desta Situação

10–18 10–15 10–12 10–9 10–6 10–3 100 103 106 109

Raios cósmicos Raios X Luz visível

Radar

Rádio VLF

Raios gama Infravermelho TV

Micro-ondas

Ultravioleta

Radiação eletromagnética – comprimento de onda em metros

Raios cósmicos

Raios gama

Raios X UltravioletaLuz

visívelInfra-

vermelhoMicro-ondas

Ondas de rádio

Energia de corrente

alternadaAlta frequência(Comprimento da onda: curto)

Baixa frequência(Comprimento da onda: longo)

© C

entr

o de

Ene

rgia

Nuc

lear

na

Agr

icul

tura

/USP

Encontrado em: Princípios da Irradiação. Texto: Adriano Costa de Camargo. Orientação: Prof. Dr. Júlio Marcos Melges Walder. Laboratório de Irradiação de Alimentos e Radioentomologia.

Disponível em: <http://www.cena.usp.br/irradiacao/principios.htm>. Acesso em: 1 nov. 2013.

35


de Aprendizagem recai sobre a exploração de

potências por meio de sua utilização na repre-

sentação do googol e do angstrom. Na próxima

Situa ção de Aprendizagem, veremos especial-

mente a família dos bytes: giga, mega, tera etc.

O significado dos números contidos nas

tabelas apresentadas pode servir de base

para a formulação de grande quantidade de

problemas interessantes, bem como para a

proposição de trabalhos extraclasse. O fun-

damental é que o trabalho com potências

seja desenvolvido com base em problemas

contextualizados. Tais problemas podem

ser tanto os aqui apresentados como alguns

criados pelos próprios alunos.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR

Conteúdos e temas: potências; propriedades de potências.

Competências e habilidades: conhecer e operar com as propriedades das operações com potên-cias de expoentes inteiros; reconhecer a potenciação em situações contextualizadas; transfor-mação de unidades.

Sugestão de estratégias: construção de tabelas e árvores de possibilidades; construção e análise de gráficos e tabelas; uso de calculadora.


As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em

dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de

memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilo-

grama para se referir à massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em pen drives

de 8 gigabytes, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas

especificações fazem parte do cotidiano no mundo da informática. Contudo, o significado do ter-

mo byte e de seus múltiplos ainda é alvo de muitas confusões.

Na Ciência da Computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é de-terminado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor, que armazena energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de

36

forma binária em um computador, assumindo somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado), e 1, quando está ligado (ou carregado). Por essa razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal.

Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas

dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas in-

terpretações distintas. Segundo o Sistema Internacional de Medidas (SI), o prefixo quilo (k)

corresponde a 1 000 unidades. Assim, 1 quilobyte (1 KB), segundo o SI, corresponderia a 1 000

ou 103 bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento

de informação no computador, 1 quilobyte corresponderia a 210 bytes, ou seja, 1 024 bytes. A

diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de 1 quilobyte (2,4%) era pequena,

não ocasionado maiores problemas na época.

Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unida-

des de medida tiveram de ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Atualmente,

já se fala em computadores com capacidade de memória medida em petabytes. A diferença relativa

entre o sistema binário e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepância significa-

tiva no valor dessas unidades. Um gigabyte, no Sistema Internacional, corresponde a 1 000 000 000

ou 109 bytes. No sistema binário, um gigabyte corresponde a 230 bytes, ou 1 073 741 824 bytes, um

número 7,4% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa discrepância chega

a aproximadamente 10%.

Hoje em dia há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes

adotam a base decimal na configuração de suas memórias, por causa da facilidade de compre-

ensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema

binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante

e as medidas registradas nos sistemas operacionais.

O Escritório Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poids et Mesures –

BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do SI, declara que os prefixos do Sistema In-

ternacional de Medidas referem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados

para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comissão Eletrotécnica

Internacional (International Electrotech nical Commission – IEC) criou um sistema de unidades

específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo

como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das uni-

dades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 220 bytes passam

a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representa 106 bytes no SI. O

prefixo mega foi substituído por mebi, onde bi é a abreviação de binário.

37


Na tabela a seguir, é possível comparar as unidades do sistema decimal com as do sistema binário.

Base decimal(SI)

Quantidade de bytes

Base binária(IEC)

Quantidade de bytes

Diferença(%)

quilobyte (KB) 103 = 1 000 quibibyte (KiB) 210 = 1 024 2,4%

megabyte (MB) 106 = 1 000 000 mebibyte (MiB) 220 = 1 048 576 4,9%

gigabyte (GB) 109 = 1 000 000 000 gibibyte (GiB) 230 = 1 073 741 824 7,4%

terabyte (TB)1012 =

= 1 000 000 000 000tebibyte (TiB)

240 = = 1 099 511 627 776

9,9%

Tendo como base esse contexto, podem-se ex-

plorar diversas situações em que as potências são

usadas para designar a capacidade de memória

ou a quantidade de informações que podem ser

codificadas usando-se os bits em um computador.

Bits, bytes e as potências de dois

Uma informação pode ser codificada por

meio de uma combinação de bits. A tabela a

seguir mostra a codificação dos algarismos

de 0 a 7 com base na combinação de 3 bits.

Nas duas primeiras colunas da tabela estão

representados os estados dos capacitores da

seguinte forma: o símbolo para desligado

(ou não magnetizado) e o símbolo para li-

gado (ou magnetizado). Na terceira coluna,

o número binário correspondente à configu-

ração dos capacitores: 0 para desligado e 1

para ligado. Por se tratar de 3 bits, o número

binário terá no máximo três casas. Na quarta

coluna, encontra-se o número correspondente

no sistema decimal associado à configuração

dos capacitores e ao número binário.

Configuração dos capacitores

Estado:D – desligado

L – ligado

Número binário(3 bits)

Número correspondente no sistema decimal

D – D – D 000 0

D – D – L 001 1

D – L – D 010 2

D – L – L 011 3

L – D – D 100 4

L – D – L 101 5

L – L – D 110 6

L – L – L 111 7

38

Utilizando 3 bits, foi possível armaze-

nar oito informações diferentes. Na tabe-

la, foram representados os oito números

de 0 a 7. O número 5, por exemplo, foi

representado por 101, ao passo que o 7

foi representado por 111. Utilizando ape-

nas os algarismos 0 e 1, e três casas, não

é possível representar nenhuma outra in-

formação. Para representar mais números,

seriam necessários mais bits.

Se cada bit só pode assumir dois valores, o

número total de informações que podem ser

armazenadas com 3 bits é dado por 2 2 2 =

= 23. Portanto, com 4 bits é possível armaze-

nar 24 ou 16 informações. Com 5 bits, 25 ou

32, e assim por diante. Com n bits, é possível

armazenar 2n informações. Em uma tabela,

essa situação pode ser representada da se-

guinte forma:

Número de bits 1 2 3 4 5 ... n

Quantidade de informação armazenada

21 22 23 24 25 ... 2n

Total 2 4 8 16 32 ... 2n

A mesma situação pode ser descrita apli-

cando-se um método denominado diagrama

de árvore:

capacitor 3

8 possibilidades

capacitor 2

capacitor 1

L

L

L

LL

L

L

D

D

D

D

D

D

D

Esse tipo de diagrama é uma representa-

ção do raciocínio multiplicativo aplicado em

várias situações que envolvem contagens, por

exemplo, de quantos modos diferentes pode-

mos vestir uma camiseta e uma calça dispon-

do, para isso, de 3 camisetas e 2 calças.

1. Complete a tabela a seguir

com todas as configurações pos-

síveis envolvendo quatro capaci-

tores e responda:

a) Se cada configuração corresponder a

uma letra do alfabeto, qual será a últi-

ma letra que pode ser representada com

4 bits (em ordem alfabética)?

Como podemos observar, a última letra do alfabeto que

pode ser representada com 4 bits é a letra P. Daí para a frente

temos de acrescentar outros bits.

b) Qual é a letra associada ao número bi-

nário 0111?Sendo assim, concluímos que a letra representada pelo nú-

mero binário 0111 é a letra H.

39


A tabela preenchida ficará como indicado a seguir.

Configuração dos capacitores

Estado:D – desligado

L – ligado

Número binário

(4 casas)Letra

D –D – D –D 0000 A

D – D – D – L 0001 B

D – D – L – D 0010 C

D – D – L – L 0011 D

D – L – D – D 0100 E

D – L –D – L 0101 F

D – L – L – D 0110 G

D – L – L – L 0111 H

L – D – D – D 1000 I

L – D – D – L 1001 J

L – D – L – D 1010 K

L – D – L – L 1011 L

L – L – D – D 1100 M

L – L – D – L 1101 N

L – L – L – D 1110 O

L – L – L – L 1111 P

2. Um byte é composto por 8 bits. Quantas

informações podem ser armazenadas em

um byte?

28 ou 256 informações.

3. Quantos bits seriam necessários para ar-

mazenar 1 000 informações?

Neste item, o aluno deve aplicar não só o raciocínio in-

verso, como também trabalhar com a estimativa. Seriam

necessários ao menos 10 bits, pois 29 é igual a 512 e 210 é

igual a 1 024.

Múltiplos de byte

4. No Sistema Internacional, os prefixos qui-

lo, mega e giga expressam diferentes potên-

cias de 10. Assim, 1 quilobyte (KB) equivale

a 103 bytes, 1 megabyte (MB) a 106 bytes,

1 gigabyte (GB) a 109 bytes, e assim por dian-

te. Com base no Sistema Internacional, faça

as transformações solicitadas e apresente as

respostas na forma de potência de 10.

a) 10 megabytes em bytes;

10 106 = 107 bytes.

b) 1 gigabyte em quilobytes;

103

109

= 106 quilobytes.

c) 100 quilobytes em gigabytes;

109

102 103

= 10–4 gigabytes.

d) 20 terabytes em megabytes;

106

2 10 1012

= 2 107 megabytes.

e) 1 megabyte em terabytes.

1012

106

= 10–6 terabytes.

5. Já no sistema binário, os prefixos usados ex-

pressam potências de 2. Um quibibyte (KiB)

equivale a 210 bytes; 1 mebibyte (MiB) a

220 bytes; 1 gibibyte (GiB) a 230 bytes, e as-

sim por diante. Faça as transformações a

seguir e apresente as respostas na forma de

potência de 2.

a) 2 mebibytes em quibibytes;

210

21 220

= 211 quibibytes.

40

b) 16 gibibytes em bytes;

24 230 = 234 bytes.

c) 1 quibibyte em mebibytes;

220

210

= 2–10 mebibytes.

d) 10 tebibytes em bytes;

5 21 240 = 5 241 bytes.

e) 32 quibibytes em gibibytes.

230

25 210

= 2–15 gibibytes.

Quando um mebibyte é um megabyte?

6. A capacidade de armazenamento de da-

dos de um CD-ROM está baseada no sis-

tema binário, apesar de ser expressa com

os prefixos do sistema decimal (SI). Por

exemplo: um CD-ROM de 700 MB (me-

gabytes) tem, efetivamente, uma capaci-

dade real de 700 MiB (mebibytes). Dife-

rentemente, a capacidade real dos DVDs

é calculada com potências de 10. Ou seja,

um DVD de 4,7 GB (gigabytes) tem efe-

tivamente uma capacidade de armazena-

mento de 4,7 gigabytes. Com base nessas

informações, responda:

a) Qual é a capacidade real em megabytes

de um CD-ROM de 700 MiB?

Basta transformar 700 mebibytes em megabytes.

106

(7 102) 220

= 104

7 220

= 10 000

7 1 048 576 = 734 megabytes

Portanto, a capacidade efetiva do CD-ROM é de 734 MB.

b) Qual é a capacidade real em gibibytes de

um DVD de 4,7 gigabytes?

Basta transformar 4,7 gigabytes em gibibytes.

230

(47 10-1) 109

= 230

47 108

= 1 073 741 824

4 700 000 000 4,4 gibibytes

Portanto, a capacidade em base binária do disco de DVD é

de 4,4 gibibytes.

Usando potências para contagem

7. Suponha que você tenha em seu

estojo: um lápis, uma borracha e

uma caneta. De quantas maneiras

diferentes você poderá selecionar elemen-

tos dessa lista?

Repare que para responder a esta questão,

você pode pensar em utilizar conjuntos de um

só elemento, dois elementos e três elementos.

Coloque esses objetos em uma tabela:

Lápis Borracha Caneta

Estabeleça então a seguinte regra: o nú-

mero 1 colocado na casa abaixo do obje-

to significará que ele foi selecionado; caso

contrário, será colocado o zero.

Assim, a tabela numerada com 111 signi-

ficará que você escolheu os três objetos,

enquanto a disposição 101 significa que

foram escolhidos o lápis e a caneta. Dessa

forma, cada casa em que se escreve 0 ou 1

representará uma única maneira de selecio-

nar os objetos. Com base nas ideias desen-

volvidas sobre bits, responda à pergunta

feita (7). Atenção: a tabela com 000 deve

ser excluída, uma vez que mostraria que

não foi feita nenhuma escolha.

23 – 1 = 7.

41


Lápis Borracha Caneta1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 0

1 0 1

0 1 1

1 1 1

8. Aplique o mesmo raciocínio para 5 objetos.

25 – 1 = 31.

Quantos algarismos usamos para escrever as potências de 2?

9. A tabela a seguir relaciona os expoentes natu-

rais de 0 a 26, das potências de 2, com o núme-

ro de casas (algarismos) do resultado da po-

tência escrito por extenso. Observe o exemplo

na tabela a seguir e complete-a, calculando o

valor das potências. Se necessário, utilize uma

calculadora ou uma planilha eletrônica.

n2 elevado

a nNúmero de algarismos

1 2 1

2 4 1

3 8 1

4 16 2

5 32 2

6 64 2

7 128 3

8 256 3

9 512 3

10 1 024 411 2 048 4

12 4 096 4

13 8 192 4

14 16 384 5

15 32 768 5

16 65 536 5

17 131 072 6

18 262 144 6

19 524 288 6

20 1 048 576 7

21 2 097 152 7

22 4 194 304 7

23 8 388 608 7

24 16 777 216 8

25 33 554 432 8

26 67 108 864 8

10. Construa um gráfico no plano cartesiano,

relacionando o expoente das potências

de 2 da atividade anterior com o número

de algarismos da escrita do resultado das

potências. Lance no eixo vertical a quan-

tidade de algarismos do número e no eixo

horizontal o expoente de base 2.

Da mesma forma, o professor pode utilizar o recurso gráfico

das planilhas eletrônicas, encontrando, assim, um gráfico se-

melhante a este:

Número de algarismos das potências de 2

Expoente

Núm

ero

de a

lgar

ism

os

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

42

11. Caso tenha à sua disposição computadores

com uma planilha eletrônica ou calculado-

ras científicas, construa uma tabela, como

a apresentada a seguir, para potências de 2

com expoentes maiores que 26 e complete os

valores que faltam:

n2 elevado

a nNúmero de algarismos

27 134 217 728 9

28 268 435 456 9

29 536 870 912 9

30 1 073 741 824 10

31 2 147 483 648 10

32 4 294 967 296 10

33 8 589 934 592 10

34 17 179 869 184 11

35 34 359 738 368 11

36 68 719 476 736 11

37 1.374E+11 12

38 2.749E+11 12

39 5.498E+11 12

40 1.100E+12 13

41 2.199E+12 13

42 4.398E+12 13

43 8.796E+12 13

44 1.759E+13 14

Com esses valores, observamos que, a partir do

expoente 37, aparece a notação E+n, sendo que

n representa o expoente da potência de base 10.

Nesses casos, a contagem de algarismos da po-

tência de 2 é facilitada, pois basta que somemos

1 (referente à casa da unidade) a cada expoente

de 10 para determinarmos a quantidade de al-

garismos da potência de base 2. O mesmo deve

ocorrer com o uso de calculadoras científicas.

Vale observar a presença de determinado

padrão nessa sequência, o que torna a ativida-

de promotora de outras investigações, como a

que propomos a seguir.

12. A tabela e a construção do gráfico nas ativida-

des anteriores nos permitem observar deter-

minado padrão na relação entre o expoente

e o número de algarismos da potência na

base 2 para expoentes de 0 a 26. Sabendo

que esse padrão se repete pelo menos até o

expoente 100, determine a quantidade de al-

garismos do número que representa 2100.

Para responder a essa pergunta, o aluno pode utilizar algumas

estratégias próprias, por exemplo, contar a quantidade de alga-

rismos com base nos dados da tabela na sequência: 4, 3, 3, 4, ...

Outra possibilidade consiste em utilizar o gráfico dos cole-

gas, pelo menos quatro deles, e ajustar, fazendo coincidir os

pontos iniciais e finais, até encontrar o valor corresponden-

te ao expoente 100.

O professor pode, ainda, estimular os alunos a buscar uma forma

mais simples para chegar à solução do problema. Para isso, pode

sugerir que eles investiguem no gráfico uma correspondên-

cia entre a variação de algarismo e do expoente. A ideia é que

eles percebam que, a cada variação de 10 no expoente, há um

acréscimo de 3 algarismos na escrita por extenso da potência de

2, isto é, há uma variação de 3 no número de algarismos. Basta,

portanto, fazer a relação 10 para 3. Contudo, como a sequên cia

parte do 1, devemos acrescentar uma unidade no resultado dessa

relação. Assim, para encontrarmos o número de algarismos do

43


desenvolvimento de 2100, devemos fazer a seguinte relação: se

a cada 10 no expoente acrescentamos 3 no número de algaris-

mos, quando o expoente for 100, teremos acrescentado 30 alga-

rismos. Como a sequência da quantidade de algarismos partiu do

1, teremos como solução 31 algarismos, ou seja:

10

100 = 10; 10 3 = 30; 30+1 = 31 algarismos

Agora, vamos observar o que acontece quando o expoente

não é múltiplo de 10, como é o caso de 36 e 37.

10

36 = 3,6 3,6 3 = 10,8

10 + 1 = 11 algarismos

10

37 = 3,7 3,7 3 = 11,1

11 + 1 = 12 algarismos

Assim, a casa decimal resultante do produto por 3 é ignora-

da na determinação do número de algarismos da escrita por

extenso; é o que percebemos quando ligamos os pontos do

gráfico por um traço.


Nesta Situação de Aprendizagem, as

unidades de medida da quantidade de in-

formação guardada nas memórias dos

computadores constituem um exemplo con-

textualizado do significado das potências e

de sua função primordial na linguagem e no

registro de números muito grandes. As ativi-

dades apresentadas abrem algumas perspec-

tivas de abordagens, mas os caminhos para

a exploração do tema são variados e espe-

cialmente fecundos. Sendo assim, o professor

poderá propor diversos trabalhos comple-

mentares às avaliações formais, envolvendo

pesquisas na internet ou pequenos projetos

de investigação.

Neste volume, são explícitas a conveniên cia

e a vantagem na utilização de múltiplos instru-

mentos de avaliação, entre eles, além das provas,

pequenos trabalhos e pequenas tarefas de pes-

quisa sobre temas sugeridos pelas temáticas das

atividades desta Situação de Aprendizagem.

Cabe ao professor, em função do equacio-

namento de seu tempo disponível, efetivar

tais práticas avaliativas tendo em vista a ex-

ploração do interesse despertado nos alunos

pelas atividades.

Para saber mais

Você pode ainda pesquisar na inter-

net vários sites que tratam das unidades

de medidas exploradas neste Caderno.

Algumas palavras-chave que podem ser

utilizadas e sites de busca são:

bits;

angstrom;

parsec;

anos-luz.

44

expresse o total de bolinhas em função do

número da figura. (Observação: chame o

número da figura de n.)

1 2 3 4 5...

Propondo um problema como esse aos alunos, é possível

que eles apresentem mais de uma solução, o que deve ser

usado como recurso para se verificar a equivalência entre ex-

pressões. Uma possível solução é a seguinte:

1 2 3 4 5...

Nesse caso, note que na primeira linha sempre teremos o

número de bolinhas igual ao número que representa a figura

e, na segunda linha, o total de bolinhas será sempre um a

menos que o número da figura. Usando a letra n para re-

presentar o número da figura, o total de bolinhas pode ser

representado por n + (n – 1).

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS

Conteúdos e temas: uso de letras representando números; operações com letras representativas de números; expressões algébricas; propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição e à subtração.

Competências e habilidades: compreender o uso de letras representativas de números; genera-lizar padrões em sequências por meio de expressões algébricas; reconhecer equivalências entre expressões algébricas; realizar operações simples com polinômios.

Sugestão de estratégias: proposição de sequências com diferentes padrões para serem anali-sadas por estratégias diversificadas de contagem, na busca da identificação de equivalências; atividades individuais e em grupo; resolução de situações-problema.


A introdução ao uso de letras na represen-

tação de problemas normalmente é feita na

6a série/7o ano como preparação para o estudo

das equações. Na 7a série/8o ano, o desenvolvi-

mento de novas habilidades para o cálculo algé-

brico pode ser iniciado por meio de uma ativi-

dade que possibilite a discussão de propriedades

das operações algébricas com base na equivalên-

cia entre expressões. Nesse sentido, a equivalên-

cia entre expressões como 2(x + 3) e (x + 3) +

+ (x + 3) e 2x + 6, ou entre (x + 2) (x + 3)

e x2 + 5x + 6, ou, ainda, entre x2 – 4 e

(x + 2) (x – 2) pode ser trabalhada por meio

de alguns recursos geométricos, como apre-

sentado na atividade a seguir:

1. Observe a sequência de boli-

nhas e crie uma fórmula que

45

Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1

2. Utilizando a mesma sequência da atividade

anterior, escreva uma fórmula diferente, po-

rém equivalente à que você encontrou.

1 2 3 4 5...

Agora, o número de colunas é igual ao número da figura e

temos duas bolinhas em cada coluna, exceto em uma delas

(última coluna), que terá apenas uma bolinha. Se preencher-

mos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma

bolinha, podemos calcular o total de bolinhas multiplicando

o número de colunas pelo de linhas e subtraindo a bolinha

adicional ao final da conta. Usando letras, o total de bolinhas

da figura n será 2n – 1.

3. Como as fórmulas obtidas nas atividades

anteriores são equivalentes, pois represen-

tam a mesma sequência de figuras, apre-

sente uma propriedade algébrica decorren-

te dessa equivalência.

Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes,

n + (n – 1) tem de ser idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que

ambas as expressões devem ser válidas para qualquer n. Decor-

re, portanto, que n + n tem de ser igual a 2n.

4. Observe a sequência de bolinhas e crie duas

fórmulas que expressem o total de bolinhas

em função do número da figura. (Observa-ção: chame o número da figura de n.)

1 2 3 4 5

...

Resolução 1

Fechando retângulos de n linhas e 3 colunas, devemos acres-

centar ainda n – 1 bolinhas.

1 2 3 4 5

...

Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).

Resolução 2

Completando a figura com uma bolinha, fechamos retângu-

los de n linhas por 4 colunas.

1 2 3 4 5

...

Cada retângulo de ordem n contém 4n bolinhas menos

1 bolinha. Assim, a fórmula pode ser 4n – 1.

5. Apresente uma propriedade algébrica que

decorre da equivalência entre as fórmulas

encontradas na atividade anterior.

A fórmula, que agora seria 4n – 1, pode ser comparada com a

anterior, de onde se conclui que 3n + n tem de ser igual a 4n.

6. Observe a sequência de bolinhas e construa

duas fórmulas que expressem o total de bo-

linhas em função do número da figura. (Ob-servação: chame o número da figura de n.)

1 2 3 4

...

46

Resolução 1

Organizamos a figura em n linhas por n + 2 colunas

1 linha e 3 colunas

12

2 linhas e 4 colunas

3


4

...


Com isso, chegamos a n(n + 2).

Resolução 2

Agora, nesta resolução, organizamos a figura da se-

guinte forma: quadrados com n bolinhas e mais o do-

bro de n bolinhas.

1

1 + 2 1

2

22 + 2 2

3

32 + 3 2

4

...

42 + 4 2

Assim, a expressão geral será: n2 + 2n.

7. Apresente uma propriedade algébrica que

decorre da equivalência entre as fórmulas

encontradas na atividade anterior.

Como n(n+ 2) é equivalente a n2 + 2n, concluímos que

n n = n2 e que n 2 = 2n.

A riqueza dessa atividade como instrumen-

to didático está na busca de representações

distintas, porém equivalentes, para indicar

a quantidade de bolinhas em função do nú-

mero da figura. Assim, é importante que o

professor incentive seus alunos a buscar mais

de uma expressão e a mostrar a equivalência

entre as expressões obtidas. A seguir, apre-

sentamos outros exemplos de atividades que

permitem esse tipo de exploração, bem como

algumas possíveis es tratégias de soluções.

8. Cada figura da sequência está

indicada por um número. Deter-

mine quatro fórmulas diferentes (e

equivalentes) para o total de bolinhas de

uma figura genérica n dessa sequência.

1 2 3 4 5

...

Para esta atividade, apresentamos quatro soluções:

47


Solução 1

2

4(n + 1)

São contadas quatro filas

com uma bolinha a mais

que o número da figura.

2

– 4

Contudo, as bolinhas do

canto são contadas duas

vezes, por tanto, devemos

subtrair quatro do total.

4(n + 1) – 4 Expressão final.

Solução 2

3

4(n – 1)

São contados quatro gru-

pos com uma bolinha a

menos que o número da

figura.

3

+ 4

Sobram quatro bolinhas

no canto, portanto, deve-

mos acrescentar quatro ao

total.

4(n – 1) + 4 Expressão final.

Solução 3

4

4n

São contados quatro gru-

pos com o número de bo-

linhas igual ao número da

figura.

4n Expressão final.

Solução 4

5

(n + 1)2

Completa-se a figura

fechando um quadra-

do com a quantidade

de linhas e colunas

igual ao número da

figura acrescido de 1.

A quantidade de boli-

nhas nesse quadrado

será, portanto, igual ao

quadrado do número

da figura acrescido de

uma unidade.

5

(n – 1)2

Devemos, contudo,

subtrair do total de

bolinhas as que foram

acrescentadas anterior-

mente. Estas formam

um segundo quadrado

que tem a quantidade

de linhas e colunas igual

ao número da figura,

menos 1. Portanto, a

quantidade de bolinhas

no quadrado menor é

igual ao quadrado do

número da figura me-

nos uma unidade.

(n + 1)2 – (n – 1)2 Expressão final.

48

De forma resumida, obtemos o seguinte:

Vamos agora estudar um formato que posteriormente se tornará muito familiar aos alunos. O enunciado será o mesmo das atividades anteriores.

1 3 542

4 (n + 1) – 4 4 + 4 (n – 1) 4 n (n + 1)2 – (n – 1)2

...

Desafio!

9. Cada figura da sequência de bolinhas a seguir está indicada por um número. Encontre duas fórmulas diferentes (e equivalentes) para determinar o total de bolinhas de uma figu-ra genérica n dessa sequência.

n = 1 n = 3 n = 5n = 4n = 2

Solução 1: numericamente, é possível observar que a cada número n da figura corresponde um qua drado de n + 1 linhas e

n + 1 colunas. A fórmula será (n + 1)2.

1 3 542

Numericamente, é possível observar a validade desta fórmula: 1) (1 + 1)2; 2) (2 + 1)2; 3) (3 + 1)2; 4) (4 + 1)2; ...; n) (n + 1)2

Solução 2: nesse caso, formamos um quadrado de n linhas por n colunas, dois retân gulos de n por 1, e devemos acrescentar

ainda 1 bolinha. Temos, portanto, a fórmula: n2 + 2n + 1.

1 3 542

Assim, estabelecemos a equivalência entre (n + 1)2 e n2 + 2n + 1.

49


Outros exemplos podem ser utilizados como forma de motivar a busca de uma reorgani-

zação da figura que facilite a identificação de uma fórmula, como o exemplo apresentado a

seguir, que trabalha com a soma dos termos de uma sequência que, no Ensino Médio, identi-

ficarão por uma progressão aritmética.

10. Encontre uma fórmula que expresse o número de bolinhas de uma figura genérica n da

sequência.

1 3 542

Para resolver o problema, vamos reagrupar as bolinhas de forma diferente:

1 3 542

Completando os quadrados, obteremos o seguinte:

1 3 4 52

Observe que, para formar esse último quadro, necessitamos:

acrescentar a diagonal, indicada em vermelho, que possui uma bolinha a mais que o número da figura;

acrescentar uma quantidade de bolinhas igual à que queremos contar em uma forma espelhada, com relação à diagonal,

indicada na cor verde.

Portanto, temos quadrados de n + 1 linhas por n + 1 colunas, formados pelos acréscimos das n + 1 bolinhas (diagonal) e da ima-

gem espelhada de bolinhas que queremos contar.

Assim, o total de bolinhas da figura n será dado por 2

(n + 1)2 – (n + 1) .

Utilizando as regras de cálculo algébrico que foram discutidas nos outros exemplos, o aluno poderá reescrever essa fórmula

como 2

n2 + n , ou, ainda,

2

n (n + 1) .

50

Na atividade a seguir, propomos mais al-

gumas situações que permitem a construção

de equivalências entre diferentes expressões

algébricas. Para realizar esta atividade, o

professor pode dividir a sala em pequenos

grupos e sugerir que encontrem três formas

equivalentes em cada item. Realizando as

operações simples aprendidas até o momen-

to, os alunos podem verificar a equivalência

entre as expressões encontradas.

11. Determine fórmulas para o

cálculo do número de bolinhas

de cada figura das sequências a

seguir em função do número da figura. (Ob-servação: chame o número da figura de n.)

Para cada caso, apresentamos três soluções equivalentes.

a) 1 3 42

...

2(n + 1) + (n – 1)3(n + 1) – 23(n – 1) + 4

1 3 42

b) 1 3 42

...

n + (n + 1) + 13 + 2n – 12(n + 1)

1 2 3 4

c) 1 32

...

1 2 3

...

2(n + 2) + 2(n + 1)

2(n + 2) + 2(n + 3) – 4(n + 3)(n + 2) – n(n + 1)

Professor, agora proponha um trabalho

diferente. Apresente aos alunos uma expressão e

peça a eles que façam a representação em bolinhas.

12. Dada a fórmula para o cálculo do número

de bolinhas em função do número n da fi-

gura, faça um desenho representativo para

n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4.

a) n + (n + 1) + (n + 2)

Uma possível solução:

1 3 42

1 2 3

23

4

1 + 2 +3 2 + 3 +4 3 + 4 +5

34

5

b) (n + 2)2

Esta é uma possível solução para o problema:

(1 + 2)2

1 3 42

(2 + 2)2 (3 + 2)2 (4 = 2)2

45

6

4 + 5 +6

51


13. Encontre outras fórmulas equivalentes para

cada um dos itens apresentados na ativida-

de anterior. (Dica: faça figuras para auxiliar

a resolução da atividade.)

É possível que os alunos apresentem as seguintes soluções:

Figuras Fórmula

1)

3 1 + 3 3 2 + 3

3 4 + 33 3 + 3

1

3

2

4

3n + 3

2) 1

3

2

4

12

4

22

4 14 2

n2 + 4n + 4


Com relação ao processo de avaliação, o pro-

fessor deve escolher os tipos de instrumentos

adequados que sejam compatíveis com as carac-

terísticas do conteúdo específico ensinado e com

as condições e características da turma, ou seja,

a avaliação deve ter a autoria do professor, pois

ele é o responsável pela formação dos alunos na

disciplina que ministra. Contudo, consideramos

importante a reflexão sobre alguns princípios

norteadores da ação avaliativa:

os instrumentos devem ser diversifi cados

de forma a contemplar não apenas a di-

versidade de competências entre os alu-

nos, mas também as várias dimensões do

conhecimento estudado;

a prova é um instrumento importante no

processo de avaliação, mas não pode ser

o único. É possível realizar uma prova de

diferentes maneiras. Por exemplo: com ou

sem consulta; no tempo de uma aula

ou em um tempo maior; na sala de aula,

na biblioteca ou em casa; individual-

mente ou em grupo etc. O formato da

prova deve estar atrelado aos objetivos

de aprendi zagem determinados pelo

professor;

os momentos que antecedem uma pro-

va (estudo) e os que a sucedem (cor-

reção e recuperação) devem ser valo-

rizados e contemplados no processo

de avaliação. A elaboração de roteiros

de estudo, incluindo listas de exercí-

cios e questões norteadoras, ajuda o

aluno a sistematizar seu conhecimento.

O professor pode avaliar como esse

estudo foi feito e também analisar as

anotações e os exercícios resolvidos pe-

los alunos. A correção da prova pode

ser feita pelos próprios alunos, com

algumas orientações de caráter geral

dadas pelo professor. Alguns alunos

podem atuar como monitores sob a

supervisão do professor. Esse processo,

assim como o resultado da reelabora-

ção da prova, pode ser avaliado;

4

52

a autoavaliação constitui uma ferra-

menta essencial na formação do aluno

e deve ser considerada dentro do pro-

cesso de avaliação. É preciso ter muito

cuidado para não banalizar esse instru-

mento. O professor deve discutir com

os alunos o significado da autoavalia-

ção e como ela pode servir como ins-

trumento de autoconhecimento para

o aluno.

Ao final desta Situação de Aprendizagem,

a expectativa é de que o aluno tenha se fami-

liarizado com a possibilidade de expressão

de um movimento quantitativo por meio de

uma fórmula ou de uma expressão algébrica.

Recuperando a noção de equivalência trata-

da anteriormente, o foco é a equivalência en-

tre expressões com letras, que representam a

generalização de determinado padrão. Nas

atividades apresentadas, a colaboração entre

Álgebra e Geometria pode ser notada e será

aprofundada no decorrer das Situações de

Aprendizagem seguintes.

Consideramos que o desenvolvimento desta

Situação de Aprendizagem foi satisfatório se

os alunos estiverem motivados a encontrar as

expressões equivalentes e se eles conse guirem

generalizar algumas propriedades como a co-

mutativa, a associativa e a distributiva da mul-

tiplicação em relação à adição e à subtração.

O professor pode observar que as ati-

vidades propostas permitem um trabalho

cooperativo. À medida que alguns alunos

vão encontrando soluções, o professor pode

propor que estes as exponham para os outros

colegas, permitindo maior interação entre

os alunos. Muitas vezes, as linguagens que os

alunos utilizam em suas explicações tornam-

-se mais significativas, permitindo maior

compreensão por parte dos alunos que ainda

não haviam chegado à solução do problema.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS

Conteúdos e temas: produtos notáveis; trinômio quadrado perfeito; diferença de quadrados; área e perímetro de figuras planas.

Competências e habilidades: compreender a demonstração geométrica de um produto notável, de um trinômio quadrado perfeito e da diferença de dois quadrados; utilizar a linguagem algébrica para representar a área e o perímetro de uma figura plana; interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à Álgebra para a Geometria; generalizar e organizar dados a partir de certa propriedade.

Sugestão de estratégias: apresentação de um conjunto de exercícios exemplares que explo-ram diferentes contextos.

53


geométricas básicas, como o quadrado, o re-

tângulo e o triângulo.

Para aprofundar as ideias relativas às

propriedades comutativa e distributiva, por

exemplo, você pode sugerir aos alunos que

encontrem expressões equivalentes às relati-

vas ao cálculo de áreas de retângulos.

Para discutir a igualdade x(a + 4) = xa + x4 =

= ax + 4x , pode-se interpretar a área do re-

tângulo com dimensões x e a + 4:

x

a + 4

4a

Decompondo o comprimento nas medidas

a e 4, obtemos dois retângulos cujas áreas têm

soma igual à área do retângulo anterior:

x

a + 4

4a

ax 4x

Podemos, portanto, concluir que x(a + 4) =

= ax + 4x.

A seguir, apresentamos algumas atividades

que podem ser propostas aos alunos para que

estabeleçam expressões algébricas com base

em situa ções geométricas:


É importante que o aluno entenda que

a igualdade a + b = a +2ab+ b2 2 2( ) é uma

for ma simplificada de calcular o produto

a b a b+ +( ) ( ). sem que seja necessário desen-

volvê-la completamente. Contudo, a simples

memorização dessas expressões, desprovida

de significado, não constitui o melhor ca-

minho para o aprendizado da Álgebra pe-

los alunos. Nesse sentido, propomos que o

professor explore o significado geométrico

dos produtos notáveis e sua relação com o

trinômio qua drado perfeito.

O uso de letras para representar as medi-

das dos lados de uma figura geométrica é um

recurso importante na formação algébrica dos

alunos. É o passo para a generalização de de-

terminadas propriedades relacionadas ao pe-

rímetro ou à área dessas figuras. A área de um

quadrado de lado 5 é igual a 5 5 = 52 = 25.

A área de um quadrado de lado 10 equivale a

102 = 100. Então, a área de um quadrado ge-

nérico de lado a vale a2. Do mesmo modo,

o perímetro de um quadrado de lado a pode

ser escrito como 4a. Essas noções serão apli-

cadas no volume 2 da 7a série/8o ano, quando

serão estudadas demonstrações geométricas

envolvendo os teoremas de Tales e de Pitágo-

ras, além das deduções das fórmulas de áreas

de outros polígonos.

Para que os alunos possam fazer uso desse

procedimento, é necessário que eles conheçam

as fórmulas da área e do perímetro das figuras

54

1. Observe as figuras a seguir e

represente a área de cada re-

tângulo por duas expressões

algébricas equivalentes:

a) x

a + 7 + y

7 ya

O primeiro retângulo pode ser decomposto da seguinte forma:

x

a + 7 + y

x (a + 7 + y)

7 ya

x

a + 7 + y

ax + 7x + yx

7 ya

ax 7x yx

Assim, essa situação nos permite escrever que

x (a + 7 + y) = ax + 7x + yx

b) x

y

2

5

(2 + y)(x + 5) = 2x + 10 + xy + 5y

x

y

2

5

x + 5

2 + yxy 5y

102x

2. A expressão 3a + 3b refere-se à área de um

re tângulo. Represente geometricamente essa

expressão e encontre uma expressão equiva-

lente a ela.

É preciso observar que, como o 3 é um fator comum em am-

bas as parcelas, uma das dimensões do retângulo deve ser 3 e

outra, a soma de a com b. Portanto:

3

a + b

ba

3a 3b

Uma expressão equivalente à dada na atividade é 3(a + b).

Com isso, observamos que 3(a + b) = 3a + 3b, o que eviden-

cia a propriedade distributiva da multiplicação com relação

à adição.

3. A expressão x(y – 3) refere-se à área de um

retângulo. Represente geometricamente essa

55


expressão e encontre uma expressão equiva-

lente a ela.

Nesse caso, o fator comum é o x, portanto, ele será a medida

do lado comum na construção do retângulo; a outra medida

deve ser (y – 3). Essa situação pode ser interpretada geome-

tricamente como:

x

y

y – 33

x(y – 3)

Com base na área do retângulo de lados x e y, podemos

observar que:

3

3x

y

xy – 3x

Portanto, x(y – 3) = xy – 3x, o que evidencia a propriedade

distributiva da multiplicação com relação à subtração.

A partir deste momento, o professor pode

explorar a compreensão dessas propriedades

utilizando outras situações como essas ou

propondo aos alunos muitas das situações

que encontramos em livros didáticos.

Produtos notáveis

O desenvolvimento do produto da soma de

dois números como (x + a) (x + b) refere-se

a uma situação geral que permite, além de sua

posterior interpretação no desenvolvimento

especí fico dos produtos notáveis como (a + b)2

e (a – b)2, a construção de noções fundamentais

aplicadas tanto à fatoração de trinômios quanto

à resolução de equações de 2o grau pelo método

conhecido como “soma e produto das raí zes”.

Nas atividades a seguir, propomos uma explora-

ção sobre esse produto, mais uma vez usando a

interpretação geométrica. Vale ressaltar que essa

estratégia será retomada na Situação de Apren-

dizagem 7, quando abordaremos a fatoração e a

resolução de equações por cálculo mental.

4. Represente geometricamente o produto

(x + a) (x + b) e encontre uma expressão

equivalente a ele.

Para resolver essa situação, discuta com a turma que esse pro-

duto pode ser interpretado como a área de um retângulo de

medidas de lados (x + a) e (x + b). Decompondo a figura pelas

medidas x, a e b, encontramos um quadrado de lado x, um

retângulo de lados x e a, um retângulo de lados x e b e, por

fim, um retângulo de lados a e b.

x + a x + a

x +

b

x +

b

b b

x x

x xa a

x2 xa

xb ab

Dessa forma, podemos escrever:

(x + a) (x + b) = x2 + xa + xb + ab

56

A presença, nessa expressão, da soma xa + xb pode ser inter-

pretada como (a + b)x, pois, conforme o que foi discutido

anteriormente, podemos realocar os retângulos da seguin-

te forma:

xb

xa

xb

xa

xb

xa

a + b

x

Obtendo a seguinte configuração:

x2 ab

soma dos termosproduto

dos termos

++ (a + b)x

Portanto, (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Nessa expressão,

identificamos que, no desenvolvimento de (x + a) (x + b),

a quantidade de x, isto é, o coeficiente de x, é a soma dos

números (a + b), e o termo independente é o produto dos

mesmos termos a b.

Outra situação a ser estudada é a que en-

volve o produto da diferença de dois números,

isto é: (x – a) (x – b).

5. Represente geometricamente o produto

(x – a) (x – b) e depois encontre uma ex-

pressão equivalente.

Pensando nesse produto como a área de um retângulo, a medida

de um lado será (x – a) e do outro, (x – b). Isso pode ser formado a

partir de um quadrado de lado x, como mostra a figura:

x

bx

– b

x

x – a a

(x – a) (x – b)

A área do quadrado inteiro corresponde a x2, para chegarmos ao

valor de (x – a) (x – b), devemos retirar os retângulos de áreas

ax e bx, e acrescentar uma vez a área do retângulo de lado ab,

que foi retirada duas vezes (uma na área ax e outra na área bx).

Geometricamente, temos:

=

(x – a) (x – b)

x x

x

x2 –ax

a

– –

ax

57


b b

–bx +ab

– +

x a

bx ab

Chegamos, então, à expressão (x – a) (x – b) = x2 – xa – xb + ab.

Vale observar que essa expressão é equivalente à (x – a) (x – b) =

= x2 – (a + b)x + ab, o que, mais uma vez, permite-nos concluir

que o coeficiente de x, embora negativo, refere-se à soma

(a + b) e o termo independente, ao produto a b.

A partir dessas situações propostas, o

professor pode destacar para o grupo de

alunos as semelhanças e diferenças pre-

sentes no desenvolvimento algébrico de

(x + a) (x + b) e de (x – a) (x – b). Como

vimos, o termo comum x é elevado ao qua-

drado; se o produto for entre a soma de dois

números, o coeficiente de x, isto é, o “segundo

termo”, será positivo, caso seja a diferença de

dois números, ele será negativo.

O professor poderá ampliar esse tipo de

exploração propondo atividades como a re-

presentação de produtos (x + 2) (x + 5) ou de

(x – 3) (x – 1). Uma vez dominadas as ideias rela-

tivas às interpretações geométricas de fatos algé-

bricos desses produtos notáveis, o professor pode

recorrer às situações que envolvem a utilização da

propriedade sem que seja feito o uso da proprie-

dade distributiva ou do recurso geométrico. Isso é

o que propomos na atividade seguinte.

6. Desenvolva os produtos a seguir sem aplicar

a propriedade distributiva ou a repre-

sentação geométrica:

a) (x + 3) (x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 5 = x2 + 8x + 15

b) (x – 7) (x – 10) = x2 – (7 + 10)x + 7 10 = x2 – 17x + 70

c) (x + 1) (x + 1) = x2 + (1 + 1)x + 1 1 = x2 + 2x + 1

d) (x – 4) (x – 6) = x2 – (4 + 6)x + 4 6 = x2 – 10x + 24

Os quadrados perfeitos

A igualdade (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 será

dis cutida como um caso particular da situação

estudada anteriormente. Essa particularidade

reside no fato de a figura correspondente ser

um quadrado. A importância desses desenvolvi-

mentos algébricos na Matemática e em outras si-

tuações devem permitir que os alunos atribuam

significado à expressão algébrica decorrente do

produto ou da potência em questão. Para isso,

retomamos a demonstração geométrica a partir

da decomposição de um quadrado de lado a + + b, que tem área igual a (a + b)2. Ele pode ser

decomposto em quatro figuras: um quadrado de

área a2, outro quadrado de área b2 e dois retân-

gulos de área a b. A soma das áreas das quatro

figuras é igual à área do quadrado maior, como

mostra a figura da atividade a seguir.

7. Observe a figura apresentada a seguir e

complete os quadros em branco com le-

tras, indicando as medidas dos lados no

1o membro e as áreas no 2o membro.

58

Convém salientar aos alunos que, com base

nessa demonstração, qualquer trinômio qua-

drado perfeito pode ser representado geome-

tricamente por um quadrado.

8. Represente geometricamente o trinômio

quadrado perfeito x2 + 4x + 4.

x + 2x + 2

x2

2x

2x

4

2

2

x

x

Contudo, um trinômio como x2 – 4x – 4

não será um quadrado perfeito, pois o terceiro

termo (– 4) está precedido do sinal de menos (–).

9. Faça a representação geométrica dos se-

guintes trinômios quadrados perfeitos:

a) a2 + 6a + 9 b) 4x2 + 4x + 1

a + 3 2x + 1

a2a

3a

3a

9 3

3

a + 3

4x2

2x + 1

2x

2x

2x

1 1

1

+ +=

(a + b)2 a22ab b2= + +

a + b

a + b

aa b

a b

a2b2

bb

a

Desafio!

10. Demonstre geometricamente a igualdade (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, partindo de um quadrado de lado a, conforme mostra a figura.

b

a

b

a

(a – b)2

a –

b

A área do quadrado interno de lado (a – b) vale (a – b)2. Ela equivale à área do quadrado maior (a2), subtraída das áreas dos

retângulos de lados a e b (a b). Contudo, é preciso adicionar a área do quadrado de lado b (b2), pois ele foi retirado duas vezes ao sub-

trairmos os retângulos do quadrado maior. Essa operação pode ser visualizada geometricamente na figura a seguir:

59


(a – b)2 a2 2ab b2= – +

(a – b)2

a b

a b

a2

b2

= – +

11. Mostre geometricamente que a igualdade (x – 5)2 = x2 – 10x + 25 é válida.

O produto notável (x – 5)2 pode ser representado geometricamente da seguinte forma:

(x – 5)2 x2= +– 525x

5x 52 52

(x – 5)2

x –

5 x

x

5

5

12. Represente geometricamente os seguintes produtos notáveis:

a) a a2 6 9

a

a

(a – 3)2

3

3

(a – 3)2 =a2

–

3a

3a + 32

(a – 3)2 = a2 – 6a +9

60

b) 9 6 12x x

(3x – 1)2 = (3x)2 –

3x

3x + 12

3x

3x

(3x – 1)2

1

1

(3x – 1)2 = 9x2 – 6x + 1

Outra igualdade importante na Álgebra

é a diferença de dois quadrados. Algebri-

camente, essa igualdade significa que a di-

ferença entre o quadrado de dois números

é igual ao produto da soma pela diferen-

ça entre esses dois números, isto é, a2 – b2 =

= (a + b) (a – b).

Para apresentar esse produto notável, o

professor pode propor uma atividade aos

alunos pedindo que cada um construa seu

modelo com uma medida para a e outra me-

dida para b, podendo verificar a validade da

afirmação para qualquer um desses valores,

generalizando, portanto, para medidas a e b.

Geometricamente, será construído um

quadrado de lado a, do qual será subtraído

um quadrado de lado b, conforme a figura

a seguir:

a

a

a2 – b2

a – b

b

a

b

A figura resultante pode ser dividida ao

meio e suas partes, realocadas da seguinte

forma:

61


b

b

a

a – b

a –

b

a

Obtemos, assim, um retângulo cuja área

equivale a (a + b) (a – b). Podemos concluir

assim que: a2 – b2 = (a + b) (a – b).

a + b

a – b

Com base no conhecimento desses produ-

tos notáveis, podemos explorar situações mais

complexas, como as que sugerimos a seguir.

13. Represente geometricamente a expressão

algébrica 9 – x2 e, em seguida, construa

uma expressão equivalente a ela, indicando

o produto de dois termos.3

3 – x

3 + x

3

x

x

9 – x2 = (3 + x) · (3 – x)

14. Represente geometricamente a expressão

algébrica 16x2 – 9y2 e, depois, encontre

uma expressão equivalente a ela, como o

produto de dois números.

1a Solução

Agora, o aluno pode pensar que temos a “diferença de dois

quadrados”, um com área 16x2 e outro com área 9y2. Portanto,

deve concluir que o lado do quadrado maior é 4x e do qua-

drado menor, 3y. Procedendo conforme o modelo, podemos

encontrar como solução:

4x

4x – 3y

4x – 3y

4x + 3y

4x –

3y

4x – 3y

4 x

4 x

4 x

16x2 – 9y2

3y

3y

3y

4x

3y

Assim, concluímos que

16x2 – 9y2 = (4x + 3y) (4x – 3y)

2a Solução

O aluno pode considerar um quadrado de lado 4x e, em seu

interior, um quadrado de lado 3y.

62

4x

4x –

3y

4x

3y

3y

4x – 3y

Em seguida, é preciso observar que a diferença dos quadrados

(16x2 – 9y2) significa a sobra do retângulo com medidas 4x

e (4x – 3y) e 3y e (4x – 3y). Rearranjando, construímos um

retângulo de lados (4x + 3y) e (4x – 3y).

4x –

3y

4x

4x + 3y

3y

4x

4x – 3y

4x –

3y

4x

3y

Portanto, podemos concluir que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y) (4x – 3y).

Terminada essa etapa, sugira outras situa-

ções similares, que funcionem como uma in-

trodução à fatoração, tema da próxima Situa-

ção de Aprendizagem.

Com o intuito de trabalhar um pouco mais

com esse manejo algébrico-geométrico, propo-

mos uma atividade que envolve demonstrações.

15. A figura a seguir mostra um quadrado de

lado c formado por 4 triângulos retângulos

de catetos a e b, além de um quadrado me-

nor. Mostre que c2 = a2 + b2.

a b

c

A área do quadrado de lado c corresponde a c2. Os triân gulos

de lado a, b e c têm área igual a 2

a b. O quadrado menor,

por sua vez, tem lados iguais a (b – a), portanto, sua área é

(b – a)2. A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos

triângulos e do quadrado menor.

a

ab – a

b

b

c

Portanto: c2 = 42

a b + (a – b)2

c2 = 2ab + a2 – 2ab + b2

c2 = a2 + b2

A solução desse problema é uma demons-

tração do Teorema de Pitágoras, segundo o

qual em todo triângulo retângulo o quadrado

da hipotenusa é igual à soma dos quadrados

dos catetos em todos os triângulos. Nesse mo-

mento, o professor não precisa enunciar esse

teorema, uma vez que ele é o objeto de estudo

do volume 2 da 7a série/8o ano.

63


Uma noção do desenvolvimento de outras potências (a + b)

Apoiados em noções simples, como o dia-

grama de árvore, propriedades de potências

e produtos notáveis, é possível introduzir

estudo sobre as regularidades presentes no

desenvolvimento de potências sucessivas do

binômio (a + b)n.

A investigação que propomos segue um

modelo que vem sendo adotado em outros

Cadernos: identificar padrões no sentido

de generalizar e organizar dados a partir de

certa propriedade.

Inicialmente, o professor pode propor para

grupos de alunos que completem a seguinte

tabela da expansão da expressão (a + b)n para

n = 0, 1, 2 e 3:

(a + b)0

(a + b)1

(a + b)2

(a + b)3

Os três primeiros casos já são conhecidos.

A solução de (a + b)3 pode ser encontrada por

meio da seguinte propriedade de potência:

(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 =

= (a + b) (a2 + 2ab + b2) =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Geometricamente, seria o mesmo processo

de calcular o volume de um cubo com arestas

(a + b), no caso, (a + b)2 refere-se à área da

base do cubo e (a + b), à altura do cubo:

(a + b)

(a + b)

(a + b)

(a + b)2

Desenvolvimento

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Tendo a tabela completa, o professor

pode destacar para os alunos que, no de-

senvolvimento das potências sucessivas de

(a + b)n, de forma geral, o número de ter-

mos é sempre uma unidade a mais que o

expoente, isto é, igual a n + 1. Esse fato

é importante, pois permite ao aluno uma

análise que pode fazê-lo evitar o erro mui-

to comum de desenvolver (a + b)2 como

simplesmente a2 + b2. Assim, ao observar

o expoente 2, espera-se que ele conclua que

encontrará um trinômio.

16. Faça o desenvolvimento de (a + b)5, utili-

zando padrões e regularidades.

64

Nesse caso, ao desenvolvermos a potência,

encontraremos 6 termos. Mas quais são eles?

Será possível encontrar esses termos sem que

sejam necessários os processos de distribuição?

Apresente aos alunos a possibilidade de

desenvolver potências sucessivas de (a + b)n

aplicando o diagrama de árvore:

1

a

+

+

+ +

++ + + +

+ +

+

a2

a3

b

+

+

b2

b3

+

2ab

(a + b)0

(a + b)1

(a + b)2

(a + b)3

(a + b)4

(a + b)5

3a2b

4a3b 6a2b2

10a3b25a4ba5 10a2b3 5ab4 b5

4ab3 b4a4

3ab2

a

aa

a a a

aaaa

a a a a a

b

bb

b b b

bbbb

b b b b b

Com base nessa configuração triangular, o

professor pode ressaltar que existe um padrão,

o qual permite determinar os termos literais e

os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n

sem que seja necessário efetuar o produto.

Para isso, é preciso, em um processo de análise,

separar a parte literal dos coeficientes. Assim,

os alunos podem observar os expoentes de

cada parte literal e perceber que, da esquerda

para a direita, o expoente de a diminui de n

para 0 (o primeiro termo an pode ser escrito

como an b0) e o expoente de b aumenta de

0 a n (o último termo bn pode ser escrito como

a0 bn).

Com relação aos coeficientes, uma vez

exposta em cartaz ou na lousa a configuração

triangular anterior, podem-se destacar os

coefi cientes com círculos, como ilustra a fi-

gura a seguir.

65


1

1 a

+

+

+ +

++ + + +

+ +

+

1 a2

1 a3

1 b

+

+

1 b2

1 b3

+

2 ab

3 a2b

4 a3b 6 a2b2

10 a3b25 a4b1 a5 10 a2b3 5 ab4 1 b5

4 ab3 1 b41 a4

3 ab2

a

aa

a a a

aaaa

a a a a a

b

bb

b b b

bbbb

b b b b b

Imaginando esses números escritos em

cubos, de modo que formem uma pirâmide,

como a figura a seguir, é possível observar que

cada valor escrito na face do cubo é igual à

soma dos que estão sobre ele (veja o exemplo

destacado):

1

1

2

3

6

10

1

1

4

10

1

1

51

1

1

1

3

4

5

1

1

1

Esse esquema é conhecido há muito tempo

e foi amplamente utilizado pelo matemático

francês Blaise Pascal (1623-1662) no desen-

volvimento de sua teoria da probabilidade.

Seguindo o raciocínio, teremos o seguinte desenvolvimento

para (a + b)5:

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

É possível concluir que, para o desenvolvi-

mento de (a + b)6:

o número de termos desse desenvolvi-

mento é 7;

as partes literais serão a6, a5b, a4b2, a3b3,

a2b4, ab5 e b6;

os coeficientes serão 1, 6, 15, 20, 15,

6 e 1.

Portanto:

(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 +

+ 15a2b4 + 6ab5 + b6

66

Quanto aos coeficientes, os alunos ainda

podem ser estimulados a perceber algumas

propriedades ilustradas na seguinte tabela, as

quais se referem ao conhecido Triângulo de

Pascal. Entre elas, podemos destacar:

Coeficientes

(a + b)0 1

(a + b)1 1 1

(a + b)2 1 2 1

(a + b)3 1 3 3 1

(a + b)4 1 4 6 4 1

(a + b)5 1 5 10 10 5 1

1) Os extremos são ocupados pelo número 1

e dois termos equidistantes dos extremos

são iguais (Figura 1).

2) A soma de dois elementos consecutivos

de uma mesma linha será o número da li-

nha seguinte abaixo do segundo elemento

(Figura 2).

Coeficientes

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Coeficientes

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

+

+

+

Figura 2Figura 1

Portanto, os coeficientes de (a + b)6 podem

ser determinados a partir da linha dos coefi-

cientes de 5 da seguinte forma:

1 + 5 10 10 + 5 1

1 6 15 20 15 6 1

O professor pode sugerir que os alunos

escrevam, por exemplo, o desenvolvimento

de (a + b)10.

Pesquisas similares são objeto de estudo

do Ensino Médio, particularmente quando se

trata de problemas e contagens e binômios de

Newton. Contudo, pelo uso de noções elemen-

tares de Álgebra e potências, esse tipo de inves-

tigação é oportuno. Fica a cargo do professor

perceber as condições de aplicação dessa ativi-

dade, podendo ser proposta aos alunos como

um pequeno projeto de pesquisa.


O tema desta Situação de Aprendizagem

é produto notável. O termo notável, nesse

caso, pode indicar tanto a importância des-

se conhecimento para o desenvolvimento de

outras noções relativas às operações algébri-

cas, à solução de equações e à demonstração

de fórmulas, quanto a possibilidade de ele ser

“visualizado” rapidamente em vários contex-

tos. Para essa rápida visualização, a aborda-

gem adotada apoiou-se no seu significado em

contextos geométricos. Dessa forma, uma das

expectativas que se coloca nesse processo de

67


aprendizagem diz respeito a essa capacidade

de atribuir significado aos produtos notáveis

com base em uma interpretação geométrica.

É comum associarmos o desenvolvimento de,

por exemplo, (a + b)2, à citação oral “o qua-

drado do primeiro mais duas vezes o primeiro

pelo segundo mais o quadrado do segundo”.

Embora ela seja um auxiliar na memorização

do desenvolvimento do quadrado da soma do

binômio, devemos tomar cuidado para que

ela não constitua o ponto central da aprendi-

zagem. No caso do desenvolvimento das po-

tências sucessivas de (a + b)n, o que importa é

a investigação sobre a presença de padrões e a

possibilidade de aplicação de estratégias para

generalizações de propriedades.

Consideramos o desenvolvimento da Situa-

ção de Aprendizagem bem-sucedido se os alu-

nos tiverem consolidado a combinação entre

Álgebra e Geometria de modo a identificar e

aplicar os produtos notáveis em várias situações.

Vale ressaltar que, nas próximas Situações

de Aprendizagem, os produtos notáveis serão

retomados em outros contextos, permitindo

um processo continuado de aprendizagem

e avaliação.

alunos com relação a esses conteúdos são reco-

nhecidas pela maioria dos professores que, por

sua vez, não medem esforços na busca de me-

todologias de trabalho cada vez mais eficientes.

Uma das preocupações dos docentes nesse sen-

tido consiste em promover a aproximação entre

tais conteúdos, a fim de que a complementarida-

de entre eles amplie seus significados individuais.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 ÁLGEBRA: FATORAÇÃO E EQUAÇÕES

Conteúdos e temas: valor numérico de um polinômio; operações entre polinômios; casos de fatora-ção algébrica; resolução de equações.

Competências e habilidades: expressar um polinômio por meio de um produto de fatores mais simples; aplicar os casos de fatoração na simplificação de frações algébricas; resolver equações de 2o grau por fatoração de polinômios; compreender o significado da fatoração algébrica como recurso para a resolução de equações em diferentes contextos; resolver equações aplicando cálculo mental.

Sugestão de estratégias: apresentação de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos.


Os produtos notáveis, os casos de fatoração e

a simplificação de expressões envolvendo frações

algébricas são alguns dos assuntos abordados no

estudo algébrico que, normalmente, é iniciado na

6a série/7o ano. As dificuldades declaradas pelos

68

Assim, convém abordar paralelamente os produ-

tos notáveis e as fatorações, bem como também

abordar em conjunto as fatorações e as simplifi-

cações de frações algébricas. As diversas etapas

que compõem esta Situação de Aprendizagem

são decorrentes desse princípio, uma vez que pre-

tendem promover a integração entre todos esses

conceitos e ainda a resolução de equações.

Vale ressaltar que não se trata de abordar

em profundidade a resolução dessas equa-

ções, o que será feito posteriormente, mas

sim de atribuir significado aos importantes

conceitos de valor numérico de um polinômio

e de raiz de um polinômio, além de relacionar,

desde o início, os casos de fatoração à resolu-

ção de equações.

A primeira atividade relaciona, novamente, a

escrita de expressões algébricas ao cálculo de áreas

e de perímetros de retângulos. Tal abordagem, que

normalmente tem por objetivo ajudar os alunos a

compreender os diversos casos de fatorações algé-

bricas, passa a salientar a interpretação do valor

numérico de um polinômio e a igualdade entre

dois polinômios. Sendo assim, julgamos funda-

mental que todas as etapas desta primeira ativida-

de sejam rigorosamente cumpridas e avaliadas.

1. A medida do comprimento

do retângulo VASO é 3 cm

maior do que a medida de sua

largura. Sendo assim, responda:

O V

AS

a) Se a medida da largura for igual a 6 cm,

qual será a medida do comprimento?

6 + 3 = 9 cm

b) Se a medida do comprimento for igual a

60 cm, qual será a medida da largura?

60 – 3 = 57 cm

c) Se a medida da largura for igual a 15 cm,

qual será a medida da área do retângulo

VASO?

15 18 = 270 cm2

d) Se a medida do comprimento for igual

a 14 cm, qual será a medida da área do

retângulo VASO?

11 14 = 154 cm2

e) Se a medida da largura for x, qual será a

medida do comprimento?

x + 3

f) Se a medida do comprimento for m, qual

será a medida da largura?

m – 3

g) Se a medida de um dos lados do retân-

gulo VASO for igual a y, qual(quais)

das expressões seguintes pode(m) repre-

sentar o cálculo de sua área (em cm2), e

qual(quais) pode(m) representar a medi-

da de seu perímetro (em cm)?

(I) 2 (2y + 3) (IV) y2 – 3y

(II) y (y + 3) (V) y2 + 3y

(III) (y – 3) y (VI) 4y + 6

Perímetro: (I) e (VI);

área (II), (III), (IV) e (V).

69


h) Considere as expressões (III) e (IV) do

item anterior e calcule, para cada uma,

o valor da área do retângulo VASO para

y = 10 cm.

70

i) Dois polinômios são idênticos quando

possuem valores numéricos iguais para

qualquer valor atribuído à variável. Os

polinômios (III) e (IV) do item h, que

representam a área do retângulo VASO,

são iguais ou diferentes?

Os polinômios (III) e (IV) são idênticos, e vale a pena chamar a

atenção dos alunos para o fato de que esses polinômios obe-

decem à condição de serem iguais para qualquer valor de y.

Você pode pedir que eles calculem alguns valores numéricos

positivos, negativos, fracionários ou decimais para verificação.

j) Verifique se os polinômios (II) e (III) do

item g desta atividade são idênticos cal-

culando o valor numérico de cada um

deles para alguns valores de y.

Os polinômios (II) e (III) não são idênticos. Apesar de terem o

mesmo valor numérico para y = 0, eles têm valores diferentes

para outros valores de y, ainda que ambos os polinômios pos-

sam representar a área do mesmo retângulo VASO.

2. Observe os seis polinômios seguintes, no -

mea dos de A a F, e as áreas 1 e 2 dos retângu-

los representados nas figuras.

A = x2 – 16 D = (x – 2)2

B = x2 – 4x + 4 E = 2x(3 + 2x)

C = (x + 4) (x – 4) F = 4x2 + 6x

x

xÁrea 2

Área 1x

x 4

2

24

Área 1

Área 2

a) Quais desses polinômios podem repre-

sentar o cálculo da área 1?

A e C

b) Quais desses polinômios podem repre-

sentar o cálculo da área 2?

B e D

c) Calcule o valor da área 1 para o caso em

que x = 10 cm.

84 cm2

d) Calcule o valor da área 2 para o caso em

que x = 15 cm.

169 cm2

e) Verifique que os polinômios E e F são

idênticos, calculando o valor numérico

de cada um deles para, pelo menos, qua-

tro valores diferentes de x.

Nesse caso, os alunos poderão atribuir a x apenas valores po-

sitivos, por se tratar de medida de lado de retângulo. Todavia,

o professor deve pedir que não sejam atribuídos apenas va-

lores naturais.

3. Leia, nos quadrinhos a seguir, o problema

que Paulo está propondo a João.

2

70

João, pense em um

número positivo qualquer.

O outro lado do retângulo

é três unidades a mais do que esse.

O dobro do número que

você pensou é o lado de um retângulo.

Pensei: x

É 2x + 3

É 2x. E o outro

lado?

1

2

3

a) Quais são as medidas dos lados do retân-

gulo de que fala Paulo no caso de o núme-

ro x, em que João pensou, ser igual a 10?

20 e 23

b) Qual é a área do retângulo de que fala

Paulo no caso do número x, em que João

pensou, ser igual a 8?

2x(2x + 3) = 2 8(2 8 + 3) = 16 (19) = 304

c) Desenhe um retângulo e assinale nele as

medidas dos lados, de acordo com a for-

ma pensada por Paulo.

d) Escreva um polinômio para representar o

perímetro desse retângulo.

P = 2x + 2x + 2x + 3 + 2x + 3 = 8x + 6

2x

2x + 3

2x

2x + 3

e) O polinômio A = 4x2 + 6x pode repre-

sentar a área desse retângulo? Por quê?

A área do retângulo pode ser obtida pela expressão (2x + 3) 2x,

que é idêntica à expressão 4x2 + 6x. O professor pode pedir

aos alunos que verifiquem a identidade a partir de alguns va-

lores atribuídos a x, a fim de atribuir significado ao conceito

de valor numérico de um polinômio.

Professor!

A ideia fundamental na atividade se-guinte é a verificação de uma igual dade por meio do cálculo do valor numérico da expressão envolvida. Todavia, nos de-mais itens, será incluída a ideia de que as equações, quando fatoradas, mantêm os valores de suas raízes. Assim, retoma-se a ideia da atividade anterior, acerca da identidade entre polinômios. Sugerimos que os alunos percorram os itens de a a d, e que, ao final, o professor destaque a equivalência entre as equações.

4. Leia com atenção o enunciado a

seguir:

A soma de certo número positivo com 3 é elevada ao quadrado e o resultado final é 64.

a) Descubra esse número utilizando apenas

cálculo mental.

5

b) Chamando o número procurado de a, es-

creva uma sentença matemática que tra-

duza o enunciado da atividade.

(a + 3)2 = 64

© C

onex

ão E

dito

rial

71


c) Em quais das seguintes sentenças po-

demos substituir a letra a pelo número

que você descobriu “de cabeça”? Efe-

tuando os cálculos, verifique se a igual-

dade final é verdadeira.

(I) (a + 3) (a + 3) = 64

(II) a2 + 6a + 9 = 64

(III) (a + 9) (a + 1) = 20

(IV) (a – 5) (a + 11) = 0

(V) (a – 1) (a – 2) = 12

(I), (II) , (IV) e (V).

d) Existe um número negativo que também

satisfaz à condição descrita no enunciado.

Qual, dentre os elementos do conjunto a

seguir, é esse número?

{– 8, – 9, –10, –11, –12}

–11

e) Entre as sentenças matemáticas do item

c, quais são verdadeiras quando a letra

a é substituída pelo número negativo

que você descobriu?

(I) (a + 3) (a + 3) = 64

(II) a2 + 6a + 9 = 64

(III) (a + 9) (a + 1) = 20

(IV) (a – 5) (a + 11) = 0

f) Dentre as sentenças matemáticas do

item c desta atividade, quais são ver-

dadeiras quando a letra a é substituída

pelo número positivo e também pelo nú-

mero negativo que você descobriu? Es-

creva novamente essas expressões.

(I) (a + 3) (a + 3) = 64

(II) a2 + 6a + 9 = 64

(IV) (a – 5) (a + 11) = 0

g) Considere as sentenças matemáticas (I) e

(IV) do item c. Aplique a propriedade dis-

tributiva, elimine os parênteses e verifique

que essas sentenças são equivalentes entre

si e que também são equivalentes à sen-

tença (II).

As equações (I), (II) e (IV) são equivalentes.

(I) (a + 3) (a + 3) = 64 a2 + 6a + 9 = 64 a2 + 6a – 55 = 0

(IV) (a - 5) (a + 11) = 0 a2 + 6a - 55 = 0

(II)

Atribuindo significado às fatorações

Fatorar uma expressão algébrica é decom-

pô-la na forma de um produto. Nem todas

as expressões algébricas são fatoráveis, mas

quando o forem, é importante ter em mente

os produtos notáveis. Particularmente, vamos

estudar os tipos de fatoração já estudados

por meio de certas “brincadeiras” que envol-

vem pensar em mais de um número e realizar

algumas operações. No final, “adivinhare-

mos” o número em que você pensou.

5. Pense em um número e siga

as instruções:

multiplique-o por 5;

adicione o resultado a 15;

divida o resultado anterior pelo número

em que você pensou adicionado a 3.

O resultado final, vamos "adivinhar", é

igual a 5, certo? Descubra como conseguimos

calcular esse número.

Se o número é x, obtemos a seguinte expressão:

(5x + 15) ÷ (x + 3) = 5(x + 3) ÷ (x + 3) = 5

72

6. Pense em um número inteiro e positivo. Em

seguida, faça o seguinte:

eleve-o ao quadrado;

multiplique o resultado por 2;

adicione o resultado anterior ao quá-

druplo do número em que você pensou;

divida o resultado anterior pelo dobro

do número.

O resultado final, vamos "adivinhar", é

igual a 2 unidades a mais do que o número em

que você pensou, certo? Isto é, se você pensou

no número 5, o resultado final foi 7; se você

pensou no número 3, o resultado final foi 5,

e assim por diante. Descubra como consegui-

mos “adivinhá-lo”.Se o número é x, obtemos a seguinte expressão:

(2x2 + 4x) ÷ 2x = 2x(x + 2) ÷ 2x = x + 2

7. Pense em dois números naturais consecuti-

vos. Em seguida:

eleve cada número ao quadrado;

subtraia o menor resultado do maior;

divida o resultado anterior pela soma

dos números em que você pensou.

O resultado final, vamos "adivinhar", deu 1,

certo? Descubra como conseguimos acertar. Se os números são x e y, obtemos a seguinte expressão:

(x2 – y2) ÷ (x + y) =

= [(x – y) (x + y)] ÷ (x + y) =

= x – y

Já que x e y são consecutivos, x – y = 1.

Outra possibilidade de solução:

Se os números são x e (x + 1), obtém-se a seguinte expressão

[(x + 1)² - x²] ÷ (x+ x+ 1) =

= (x² + 2x + 1 – x²) ÷ (2x + 1) =

= ( 2x + 1) ÷ (2x+1) =

= 1

8. Leia a história em quadrinhos a seguir:

Lucia, pense em um

número inteiro e positivo.

Multiplique por 3 e

subtraia 6.

Divida o resultado pela

diferença entre o dobro do número e 4.

Aposto que o resultado

deu 1, 5, não deu?

8

3 8 – 6 = 18

18 ÷ (2 8 – 4) = 18 ÷ 12

18 ÷ 12 = 1, 5

Deu mesmo. Como é que ele descobriu?

Descubra como o rapaz acertou o resulta-

do obtido por Lúcia.

O que se está calculando nesta atividade é o resultado de 2x - 4

3x - 6 ,

que é igual a 2

3 , de acordo com a seguinte simplificação:

2x - 4

3x - 6 =

2(x - 2)

3(x - 2) = 2

3

. No entanto, estabeleça com os alu-

nos que 2x – 4 deve ser di ferente de zero e, portanto, x não

pode ser 2.

© C

onex

ão E

dito

rial

1

2

3

4

73


O objetivo das próximas três atividades é

construir com os alunos estratégias de cálculo

mental que permitirão certa agilidade no pro-

cesso de fatoração de trinômios do 2o grau.

9. Encontre dois números cujo produto é 36 e

a soma é 15.Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b =

= 36 e a + b = 15. Embora a solução deste exercício possa ser

resolvida por cálculo mental, é interessante que o professor

explore alguns aspectos dessa situação: como o produto é

positivo, os dois números possuirão o mesmo sinal; ou ambos

são positivos, ou ambos são negativos, e nenhum deles será

zero, pois, senão, o produto seria zero. A fim de descobrir os

possíveis números positivos, podemos decompor o 36 como:

36 1; 18 2; 12 3 e 9 4, e escrever uma tabela:

36 18 12 9

1 2 3 4

Soma 37 20 15 13

Portanto, os números serão 12 e 3.

10. Encontre dois números cujo

produto é – 27 e a soma é – 6.

Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b = –27

e a + b= – 6. Agora, Já que o produto é negativo, os núme-

ros deverão ter sinais diferentes. Como a soma é negativa, o

número negativo terá valor absoluto maior que o positivo.

Estudando os possíveis números, podemos decompor o –27

da seguinte forma:

27 3 –27 –3

–1 –9 1 9

Soma 26 – 6 –26 6

Portanto, os números serão 3 e –9.

11. Encontre dois números cujo produto é 0 e

a soma é 8.

Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b =

= 0 e a + b = 8. Já que o produto é zero, um dos números será

0 e, como a soma é 8, o outro número será 8. Portanto, os

números são 0 e 8.

Fatorando um trinômio do 2o grau

Na Situação de Aprendizagem 6, chega-

mos às seguintes conclusões:

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab, e que,

(x – a) (x – b) = x2 – (a + b)x + ab

Observamos que o coeficiente do termo co-

mum x é a soma (a + b) e que o termo indepen-

dente é o produto a b. Se o produto for entre

a soma de dois números, o coeficiente de x será

positivo, caso seja a diferença de dois números,

ele será negativo. Assim, se conhecermos os nú-

meros a e b, poderemos fatorar o trinômio do

2o grau com coeficiente de x2 igual à unidade.

Para fatorar o trinômio x2 + 7x + 12, é pre-

ciso encontrar os valores respectivos de a e b,

que são os termos não comuns.

Como o coeficiente de x é 7 e o termo in-

dependente é 12, é necessário considerar quais

são os dois números cujo produto é igual a

12 (a b = 12) e a soma é igual a 7 (a + b = 7).

O número 12 pode ser escrito como 12 1;

4 3 e 6 2, o que nos permite montar o se-

guinte quadro:

74

12 4 6

1 3 2

Soma 13 7 8

Portanto, os números são 4 e 3, e, assim,

x2 + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3).

Caso o segundo termo fosse negativo,

como no caso de x2 – 7x + 12, o sinal mu-

daria dentro dos parênteses: x2 – 7x + 12 =

= (x – 4) (x – 3).

No caso de o trinômio ser um quadrado

perfeito, o raciocínio não mudaria. No pro-

cesso de fatoração de x2 + 8x + 16, o produ-

to dos dois números deve ser 16 e a soma, 8.

Investigando os fatores de 16, encontramos:

16 1; 8 2 e 4 4. Montando a tabela, pode-

mos concluir que os números que satisfazem

as condições são iguais a 4.

16 8 4

1 2 4

Soma 17 10 8

Portanto, x2 + 8x + 16 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4)2.

Vale observar que, nesses casos, ambos os ter-

mos, x e 4, são comuns, e é isso que torna esse

caso particular.

Embora nessas soluções tenhamos indica-

do a construção de tabelas, elas serviram uni-

camente para organizar um raciocínio que os

alunos deverão fazer mentalmente. Nas ativi-

dades a seguir, tal objetivo será evidenciado.

Resolvendo equações por meio de cálculo mental e fatorações

12. Utilizando apenas o cálcu-

lo mental, descubra o valor do

número x tal que:

a) elevado ao quadrado e depois adiciona-

do a 5 resulta 21;

4 ou –4

b) o dobro subtraído de 9 é igual a ele pró-

prio subtraído de 1;

8

c) o dobro da adição entre x e 4 é igual a 0;

–4

d) o produto de x pela soma de x com 1 é

igual a 0.

0 ou –1

Fique atento!O produto de dois

números é zero quando um deles é zero, ou os

dois são zero.

13. Utilizando apenas o cálculo mental, des-

cubra o va lor do número x que torna ver-

dadeira a igualdade em cada caso.

75


a) 3x – 4 = 208

b) x (x – 5) = 0 0 ou 5

c) (x – 2) (x – 5) = 02 ou 5

d) 45 (x + 5) = 0–5

e) (x – 4) (x + 4) = 04 ou –4

f) (x – 1) (x – 3) = 01 ou 3

Na próxima atividade, os alunos poderão apli-

car várias estratégias de fatoração já estudadas.

Por exemplo, recorrer às semelhanças com os

produtos notáveis ou aplicar, nos casos pos síveis,

a ideia da soma e produto dos termos.

14. Fatore e resolva as equações a seguir:

a) x2 + 16x = 0(x + 0) (x + 16) = x(x + 16) = 0

soluções: 0 ou –16

b) x2 – 25 = 0(x + 5) (x – 5) = 0


c) x2 – 9 = 0 (x + 3) (x – 3) = 0


d) 4x2 – 1 = 0

(2x -1) (2x + 1) = 0

ou x + 2

1 x –

2

1 = 0

soluções: 2

1 ou – 2

1

e) x2 – 6x + 9 = 0(x – 3) (x – 3) = (x – 3)2 = 0

solução: 3

f) x2 + 12x + 36 = 0(x + 6) (x + 6) = (x + 6)2 = 0

solução: –6

g) x2 – 4x + 3 = 0(x – 3) (x – 1) = 0

soluções: 1 ou 3

h) x2 – 7x + 10 = 0(x – 2) (x – 5)= 0

soluções: 2 ou 5

Considerações sobre a avaliaçãoEsta Situação de Aprendizagem abordou

processos de fatoração algébrica. Foram desen-

volvidas atividades apoiadas em conhecimentos

algébricos, geométricos e aritméticos. O novo foco

de trabalho com produtos notáveis será a sua “tra-

dução” para a forma de produto entre números

ou na forma de fatores. Além disso, apresentamos

a identidade entre polinômios, o que nos permi-

tiu destacar a atribuição de um valor numérico às

letras, construindo a noção de variável. Embora

possamos identificar que os processos de fatora-

ção são bem mais assimilados quando o aluno

participa da construção dos significados referen-

tes aos produtos notáveis, percebemos que esse

conhecimento se dá em mão dupla, isto é, ao tra-

tarmos da fatoração, ganham também sentido os

produtos notáveis. Uma das metas traçadas no

trabalho com esta Situação de Aprendizagem é

que o aluno saiba efetuar transformações em uma

expressão algébrica por meio de fatorações, sim-

plificações e cancelamento, permitindo, de certa

forma, uma generalização de procedimentos apli-

cados nos cálculos aritméticos.

76

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

DE ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS

Conteúdos e temas: problemas aritméticos abordados com o auxílio da Álgebra e da Geometria.

Competências e habilidades: expressar por meio de letras relações entre números naturais em diversas situações concretas; integrar as linguagens algébrica e geométrica na represen-tação de relações em diferentes contextos; resolver problemas que integram os números e as formas geométricas.

Sugestão de estratégias: apresentação de atividades que permitam a integração entre as lin-guagens aritmética, algébrica e geométrica em diferentes contextos.

Como você representaria a soma dos n primeiros números naturais a partir do 1?

Como você indicaria o valor de tal soma em termos de n? Como você representa-

ria o número par de ordem n a partir de 2? E o número ímpar de ordem n a partir

de 1? Como você indicaria, em termos de n, o valor da soma dos n primeiros números pares a

partir de 2? E a soma dos n primeiros números ímpares? Como você representaria o número

de diagonais de um polígono de n lados em termos de n?

Podemos responder a questões como essas representando um número natural genérico

por n e expressando as propriedades e as operações por meio de fórmulas envolvendo n.

Procedendo assim, podemos fazer uma ponte entre a Álgebra e a Aritmética. A Geometria

também pode ser usada nesse diálogo entre Álgebra e Aritmética, como veremos a seguir.

Há uma história bastante conhecida segundo a qual Gauss, importante matemático que

viveu entre os séculos XVIII e XIX, com cerca de dez anos de idade, teria efetuado o cál-

culo da soma dos 100 primeiros números naturais a partir de 1 (S100 = 1 + 2 + 3 + ... + 98 +

+ 99 + 100) em poucos segundos, ao perceber que a soma da primeira com a última

parcela era igual à soma da segunda com a penúltima, que também era igual à soma da

terceira com a antepenúltima, e assim por diante. Cada um desses pares de parcelas tem

soma igual a 101.


77


A partir dessa forma retangular, ob-

serva-se que há 7 linhas, e que em cada

linha há 8 bolinhas (1 + 7 = 2 + 6 = 3 +

+ 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2 = 7 + 1). As-

sim, podemos concluir que o valor de S7 é

igual à metade do produto 7 8, ou seja,

S7 = 7 8

2 = 28.

Raciocinando de modo semelhante, seria pos-

sível mostrar que S13 = 13 14

2, S27 =

27 28

2, e

assim por diante. De modo que Sn = n (n + 1)

2.

Com base nessa descoberta, ele teria

concluído que a soma das 100 parcelas se-

ria igual a 50 101, ou seja, S100 = 5 050.

Podemos aproximar o raciocínio de

Gauss da linguagem geométrica. Observe

as formas triangulares indicadas a seguir.

O total de bolinhas representadas em cada

uma delas é a soma S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +

+ 6 + 7.

Se reunirmos as duas formas triangula-

res, obtemos a seguinte forma retangular:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... 50 + 51 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

101

101101

101

101

101

101

78

Desafio!

Raciocinando como Gauss e inspirado nas formas geométricas apresentadas anteriormen-

te, você é capaz de generalizar e indicar como calcularia a soma dos n primeiros números

naturais a partir de 1?Chamando de Sn a soma 1 + 2 + 3 +...+ (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n, podemos notar que as somas 1 + n, 2 + (n – 1), 3 + (n – 2), 4 +

+ (n – 3), e assim por diante, resultam sempre em 1 + n; poderíamos concluir que as n parcelas seriam equivalentes a 2

n parcelas

iguais a 1 + n, ou seja, que o valor de Sn seria igual a 2

n (1 + n), ou, ainda, Sn = 2

n (n + 1) .

Tal raciocínio seria perfeito se soubéssemos que n seria um número par, mas isso nem sempre ocorre.

Para chegarmos a uma conclusão sobre o valor de Sn que seja válida quer n seja par, quer n seja ímpar, podemos raciocinar de

outra maneira. Certamente Sn pode ser escrita das duas formas indicadas a seguir:

Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n

Sn = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 4 + 3 + 2 + 1

Somando as parcelas da 1a igualdade às parcelas correspondentes na 2a igualdade:

2Sn = (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + ... + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) = n (1 + n)

Logo, Sn = 2

n (n + 1) , independentemente do fato de n ser par ou ímpar.

Imaginando uma forma triangular, como nos exemplos anteriores, representando a soma Sn; reunindo duas formas triangulares e

formando uma forma retangular com n linhas, em que cada linha tem n + 1 bolinhas, chegaríamos ao mesmo resultado para Sn .

Como se pode verificar, a linguagem

geométrica é muito sugestiva e pode contri-

buir para a compreensão dos procedimentos

aritméticos e algébricos.

Outra situação que permite o uso de procedi-

mentos aritméticos e algébricos está baseada no

estudo dos números pares e ímpares.

Para resolver as atividades a seguir, o

professor pode retomar as discussões desta

Situação de Aprendizagem, propondo aos

alunos que identifiquem os padrões asso-

ciados aos números pares (2n) e ímpares

(2n – 1), utilizando mais uma vez a repre-

sentação figurada dos números com o auxí-

lio das bolinhas.

79


1. Observando e analisando a

representação dos primeiros

números pares e ímpares por

meio de bolinhas, responda às questões:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

a) Qual é o quinto número par a partir de 2? 2 5 = 10

b) Qual é o centésimo número par a partir

de 2?2 100 = 200

c) Qual é o sétimo número ímpar a partir

de 1? 2 7 – 1 = 13

d) Qual é o trigésimo número ímpar a par-

tir de 1? 2 30 – 1 = 59

e) Represente o número par de ordem n a

partir de 2. 2n

f) Represente o número ímpar de ordem n

a partir de 1. 2n – 1

2. Observe os quadrados a seguir e a estra-

tégia usada para calcular a soma dos pri-

meiros números ímpares a partir de 1.

1 + 3 = 22 = 4

1 + 3 + 5 = 32 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 42 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 = 36

Com base na estratégia apresentada, calcule

a soma dos 9 primeiros números ímpares.

Na atividade, é importante o aluno perceber o seguinte pa-

drão que poderá ser generalizado, ou seja, a soma dos n pri-

meiros números ímpares é n2.

A soma dos 9 primeiros números ímpares é 81.

Essa atividade será retomada no Volume 2,

pois servirá de base para a demonstração do

Teorema de Pitágoras.

3. Generalize uma fórmula para o cálculo da

soma dos n primeiros números ímpares a

partir de 1.

Sn i =1 + 3 + 5 + ... + (2n −1) = n2

4. Como foi visto na atividade anterior, a

soma dos n primeiros números ímpares a

partir de 1 é igual a n2, ou seja,

S n nni = + + + + + =1 3 5 7 2 1 2... ( – )

a) Mostre que a soma dos n primeiros núme-

ros pares a partir de 2 é igual a n2 + n.

A soma Sn P = 2 + 4 + 6 + ... + (2n) é igual ao dobro da soma

dos n primeiros naturais, ou seja, Sn P = 2 + 4 + 6 + ... + (2n) =

= 2(1 + 2 + 3 +...+ n).

Como já vimos que a soma dos n primeiros naturais é igual a

2

n (n + 1) , concluímos que Sn P =

2

2 n (n + 1) = n (n + 1) = n2 + n

80

b) Calcule a soma dos 2n primeiros núme-

ros naturais S2n = 1 + 2 + 3 + 4 +...

+ (2n – 1) + (2n) e mostre que ela é

igual à soma dos n primeiros números

pares a partir de 2, com os n primeiros

números ímpares a partir de 1, ou seja: S S Sn n

inP

2 = + .

Para S2n temos: S2n = 2

2n (2n + 1) = 2n2 + n.

Somando os valores de Sin e de Sp

n , obtemos, então, o mesmo

valor que o de S2n .

c) Considere a soma dos seis primeiros nú-

meros naturais a partir do que pode ser

chamado de “soma sanfonada”:

SS6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

que, como podemos verificar, é igual a 62, ou

seja, 36.

Observe a figura a seguir e verifique que a “soma sanfonada” dos n primeiros números naturais é igual a n2, ou seja:

Ssn = 1 + 2 + 3 + ... + (n – 2) + (n – 1) + n +

+ (n – 1) + (n – 2) + ... + 3 + 2 + 1 = n2

A figura anterior representa a “soma sanfonada” S7 s; temos, no

caso, S7 s = 72 = 49.

Por analogia, podemos estender o quadrado formado pelas

bolinhas para 8, 9, ..., n bolinhas em cada lado, sendo válido

que o total de bolinhas será n2, ou seja, Sn s = n2.

5. Considerando que a soma dos ângulos inter-

nos de um triângulo é igual a 180º, responda:

a) Quanto vale a soma dos ângulos internos

de um pentágono convexo?Traçando as diagonais a partir de um dos vértices, um pen-

tágono pode ser subdividido em 3 triângulos, cuja soma dos

ângulos internos coincide com a soma dos ângulos internos

do pentágono. Logo, a soma pedida vale 3 1 80o, ou seja, 540o.

b) Quanto vale a soma dos ângulos internos

de um octógono convexo?Traçando as diagonais a partir de um dos vértices, o octógo-

no fica dividido em 6 triângulos; a soma dos ângulos internos

do octógono é 6 180o, ou seja, 1 080o.

c) Quanto vale a soma dos ângulos internos

de um quilógono convexo?

No caso do quilógono (1 000 lados), o núme ro de triângulos em

que é possível dividi-lo, traçando as diagonais a partir de um dos

vértices, é igual a 998 (excetuando-se os dois lados cuja interse-

ção é o vértice de onde partem as diagonais, a cada um dos ou-

tros lados corresponde um triângulo); logo, a soma dos ângulos

internos do quilógono é igual a 998 180o, ou seja, 179 640o.

d) Como se expressa, em termos de n, a

soma dos ângulos internos de um polígo-

no convexo de n lados?

No caso de um polígono de n lados, a soma dos ângu-

los internos será igual ao número de triângulos em que se

pode dividir o polígono convexo multiplicado por 180o.

Excetuando-se os dois lados que determinam o vértice de

partida das diagonais, a cada um dos outros lados vai corres-

ponder um triângulo; logo, o número de triângulos é n – 2.

Dessa forma, a soma dos ângulos internos de um polígono

convexo de n lados é Si = (n – 2) 180o.

81


6. Considerando que um triângu-

lo não tem diagonais e que um

quadrilátero tem duas diagonais:

a) Quantas diagonais tem um pentágono

convexo?

Um pentágono convexo tem 5 diagonais.

A

B

Basta notar que, de cada um dos vértices do pentágono, é

possível traçar duas diagonais, uma vez que, unindo-se o

vértice considerado aos vértices adjacentes, não temos uma

diagonal, mas sim um lado. Assim, sendo 5 vértices, teremos,

aparentemente, um total de 10 diagonais. Na verdade, este

número precisa ser dividido por dois, uma vez que cada

diagonal dever ser considerada duas vezes: a diagonal AB é

contada a partir do vértice A e a partir do vértice B. Logo, o

número de diagonais do pentágono convexo é 5.

b) E um hexágono convexo?

Usando o mesmo raciocínio o número de diagonais de um

hexágono pode ser calcu lado da seguinte forma;

de cada vértice partem 3 diagonais (descontando-se o pró-

prio vértice e os dois adjacentes);

o número de diagonais será igual à me tade de 6 3, ou seja,

será igual a 9.

c) E um polígono convexo de n lados?

Do mesmo modo, o número N de diagonais de um polígono

convexo de n lados será tal que:

N = 2

1 n (n – 3)

7. Em uma sala existem 7 pessoas dispostas

ao longo de uma circunferência. Cada uma

delas deve cumprimentar todas as outras

com um aperto de mãos. Quantos apertos

de mãos distintos serão realizados após to-

dos os cumprimentos recíprocos?

Aqui, tratamos um problema muito comum de contagem.

O entendimento do problema e a análise das condições

necessárias à sua solução devem ser o ponto de partida. No

caso, devemos considerar que, quando a pessoa A aperta a

mão de outra pessoa B, é o mesmo que quando B aperta a

mão de A. Outra condição do problema é que A não cum-

primenta a si mesmo, portanto, para n pessoas, cada pessoa

dará n – 1 apertos de mão.

Uma estratégia que pode ser utilizada na resolução deste

problema é partir de um número menor de pessoas. Por

exemplo, sendo duas pessoas, só haverá 1 aperto de mãos,

com três pessoas esse número passa para 3 apertos, para qua-

tro pessoas serão 6 apertos, e assim por diante. Desse modo,

busca-se encontrar uma regularidade entre o número de

pessoas e o núme ro de apertos de mãos.

Outro raciocínio é pensarmos que cada uma das 7

pessoas apertará a mão de outras 6. Serão ao todo 7 6

cumprimentos, mas aqui estão sendo contadas to-

das as repetições (A–B e B–A). Portanto, o total de

7 6 cumprimentos deverá, então, ser dividido por 2. O

total de apertos de mãos distintos é, pois, 2

7 6 , ou seja,

é igual a 21.

8. Repita o cálculo da atividade anterior, su-

pondo que na sala existam n pessoas. Ex-

presse o resultado em termos de n.

O número de apertos de mãos é, nesse caso, igual a

2

n (n – 1) .

82


Nesta última Situação de Aprendizagem,

centrou-se na possibilidade de representar um

elemento genérico de um conjunto por uma

variável. Assim, atividades de demonstração

fizeram parte de um processo que será am-

pliado na demonstração de teoremas, foco da

Geometria no Volume 2 e das noções de fun-

ção, presentes na próxima série/ano.

Em alguns aspectos, podemos perceber que

as atividades desta Situação de Aprendizagem

recuperam noções desenvolvidas em Situações

anteriores, permitindo um processo contínuo

de aprendizagem e avaliação. Combinadas às

atividades utilizadas pelo professor para apre-

sentar os assuntos deste Caderno, acreditamos

ter apresentado situações novas e desafiantes,

que permitirão um conhecimento abrangente e

a construção de habilidades necessárias ao fa-

zer matemático e à compreensão da realidade.

Como orientação ao processo de avaliação,

reiteramos a importância de que o professor

diversifique os instrumentos que permitam

acompanhar o processo de aprendizagem dos

alunos. No caso específico desta Situação de

Aprendizagem, uma estratégia interessante é a

proposição de situações-problema contextua-

lizadas, envolvendo padrões que podem ser

generalizados. Além das apresentadas neste

Caderno, o professor pode criar outras e, tam-

bém, buscá-las em diferentes livros didáticos.

Tais situações podem ser discutidas e resol-

vidas por pequenos grupos de alunos, em di-

ferentes momentos, favorecendo a construção

coletiva de significado para as expressões algé-

bricas decorrentes dos problemas analisados.

O produto do trabalho dos grupos pode ser

avaliado pelo professor na perspectiva de uma

aprendizagem gradual e, nesse sentido, os cri-

térios de correção podem ir se adequando às

características de cada turma.

ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO

Caso as expectativas de aprendizagem es-

tabelecidas não tenham sido alcançadas, o

professor pode investigar se os alunos têm di-

ficuldade na divisão entre números inteiros, ca-

pacidade exigida neste momento. Se constatar

essa dificuldade, pode recuperar as ideias cen-

trais do sistema decimal posicional, discutindo

com os alunos o algoritmo da divisão.

Outra noção exigida nas discussões que

propomos é a de números primos. Caso seja

identificada alguma dificuldade referente a esse

conceito, vale retomar o processo de determi-

nação dos números primos positivos, sugerin-

do, por exemplo, o uso do crivo de Eratóstenes.

Quanto ao trabalho de identificação das fra-

ções que geram dízimas periódicas, é possível

retomar as ideias centrais discutidas na tabela

apresentada no início da Situação de Aprendi-

zagem 2, ampliando-a com outros valores.

Na determinação da geratriz de uma dízima,

o professor pode retomar o método trabalha-

do, apresentando o passo a passo. A discussão

dos dois tipos de situações exploradas, dízimas

83


simples e compostas, por meio de vários exem-

plos, pode facilitar a compreensão dos alunos

sobre o tema. O aluno deve observar que, no

método de obtenção das frações geratrizes, o

produto por potências de 10 deve ser feito até

que se encontrem valores cuja parte decimal

periódica seja igual, para que, quando for feita

a diferença, sobrem somente valores inteiros.

Se no decorrer do trabalho com alguma das

Situações de Aprendizagem propostas o profes-

sor perceber que as metas sugeridas não foram

satisfatoriamente atingidas, pode decidir focar

nelas por mais tempo, retomando alguns exer-

cícios já trabalhados em sala e propondo outros

que façam parte de uma lista que o professor já

tenha construído ou que podem ser encontrados

em vários livros didáticos sobre esse assunto.

As ideias trabalhadas na Situação de Apren-

dizagem 5, que marca o início de um proces-

so de aprendizagem, são aprofundadas na

sequência proposta no Caderno, o que sugere

um processo contínuo de avaliação.

É importante a atenção do professor no

sentido de perceber o domínio dos alunos no

entendimento dos enunciados e na percepção

das configurações geométricas. Dessa forma,

uma estratégia para a recuperação pode ser a

de o professor recorrer ao uso de folhas de pa-

pel quadriculado ou de construção de figuras

em cartolina para manipulação.

No caso específico da recuperação relativa

às noções envolvidas na Situação de Apren-

dizagem 7, propomos que o professor retome,

particularmente, os passos da primeira ativi-

dade, sugerindo outras expressões como “o

comprimento é quatro unidades a menos que

a largura”. Os problemas de “adivinhação”

podem ser retomados em pequenos grupos na

aula. Atividades como essas são resolvidas em

tempos diferentes pelos grupos, e caberá ao

professor ter em mãos outras dessas situações

para ir apresentando ao grupo que já tiver ob-

tido resposta. É importante que o aluno teste

suas hipóteses, perceba seu erro e refaça a ex-

pressão. A atribuição de valores numéricos às

expressões algébricas e a respectiva verificação

dos resultados podem ser uma estratégia de au-

toavaliação em meio ao processo.

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA

Qualquer livro didático de conteúdos do

Ensino Fundamental apresenta uma série de

atividades envolvendo frações e razões. O pro-

fessor pode selecionar algumas que julgar in-

teressantes no sentido de ampliar a interpreta-

ção dos enunciados e permitir a aplicação das

frações em situações contextualizadas.

No livro Conceitos fundamentais da Mate-

mática, de Bento de Jesus Caraça, da Livra-

ria Sá da Costa Editora, o professor encon-

trará um interessante desenvolvimento da

construção dos conjuntos numéricos e uma

discussão ampliada dos conceitos de densi-

dade e continuidade.

84

No livro Meu professor de Matemática e outras histórias, de Elon Lages Lima, da Cole-ção do Professor de Matemática, editado pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), encontramos alguns artigos referentes às dízi-mas na seção “Conceitos e controvérsias”. Na Revista do Professor de Matemática, publica-da pela SBM, também encontramos vários números que tratam desse tema – particular-mente no número 66, há um artigo que discute o número de algarismos do período de uma dízima periódica.

No livro Matemática e imaginação, de Edward Kasner, da Zahar Editora, o profes-sor encontrará mais subsídios para a discus-são referente ao googol.

O professor pode ainda pesquisar na inter-net vários sites que tratam das unidades de me-didas exploradas neste Caderno. Algumas pa-lavras-chave que podem ser utilizadas em sites de busca são: bits, angstrom, parsec e anos-luz.

Com relação às abordagens tratadas neste Caderno para as quais o professor não encontrar subsídio em livros didáticos, sugerimos que consulte materiais como a Revista do Professor de Matemática, publicação quadrimestral da Sociedade Brasileira de Matemática, com apoio da USP. Disponível em: <http://www.rpm.org.br>. Acesso em:

12 nov. 2013.

Uma referência de abordagem histórica pode ser encontrada em Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra, de John K Baumgart, traduzido pelo profes-sor Hygino H. Domingues e editado pela edi-tora Atual.

No livro O diabo dos números, de Hans M. Enzensberger, da Companhia das Letras, o professor encontrará um texto acessível aos

alunos com vários conceitos matemáticos sen-do tratados de forma simples e divertida. Nele são abordados potências, frações, dízimas pe-riódicas e algumas propriedades de sequên-cias numéricas, particularmente a que envolve a série de Fibonacci.

Para aprofundamento das reflexões sobre o ensino e a aprendizagem da Álgebra, desta-camos, de maneira geral, as discussões apre-sentadas em As ideias da Álgebra, cujos orga-nizadores são Arthur F. Coxford e Albert P. Shulte, editado pela Atual, e Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI, de Romulo C. Lins e Joaquim Gimenez, editado pela SBEM e pela Papirus.

Outros livros que permitem um aprofunda-mento sobre os temas tratados neste Caderno estão listados a seguir:

CARNEIRO, Vera Clotilde. Funções elemen-tares: 100 situações-problema de matemática. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1993.

PERELMANN, I. Aprenda Álgebra brincan-do. 3. ed. São Paulo: Hemus, 1994.

SOUZA, Eliane Reame de; DINIZ, Maria Ignez de Souza. Álgebra: das variáveis às equa-ções e funções. São Paulo: CAEM/USP, 1994.

Sites

Na internet, os endereços a seguir são algu-mas referências para consultas sobre o tema:

Mundo matemático

Disponível em: <http://penta.ufrgs.br/edu/ telelab/mundo_mat/mud_mat.htm>. Acesso em: 12 nov. 2013.

Matemática essencial

Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica>. Acesso em: 12 nov. 2013.

85


CONSIDERAÇÕES FINAIS

Apresentamos neste Caderno atividades

no sentido de associar o desenvolvimento de

fatos fundamentais da Álgebra com elemen-

tos geométricos e aritméticos.

A seguir, relacionamos os conhecimentos

essenciais de cada unidade, ou seja, aquilo

que o aluno deve dominar ao final do volume

e que servirá de base para dar continuidade

à sua formação matemática. Esses conteúdos

devem servir de parâmetro para a elaboração

dos instrumentos de avaliação.

No caso específico da iniciação ao cálculo

algébrico, é importante que o foco da avalia-

ção esteja mais centrado no desenvolvimento

do pensamento algébrico do aluno do que na

técnica. Em outras palavras, a técnica não

deve ser um fim em si mesmo, mas um meio

para que o aluno consiga modelar situações e

resolver problemas.

Dito isso, espera-se que o aluno de 7a série/

8o ano seja capaz de:

usar letras para representar situações

matemáticas diversas;

buscar padrões e regularidades numé-

ricas ou geométricas que possam ser

generalizados e expressos por meio de

fórmulas ou expressões algébricas;

utilizar a linguagem algébrica para ex-

primir a área, o perímetro ou o volume

de uma figura geométrica;

conhecer o significado dos seguintes ter-

mos: monômio, polinômio, coeficiente,

incógnita, variável, expoente;

obter o valor numérico de uma expres-

são algébrica;

reconhecer a equivalência entre duas ex-

pressões algébricas;

efetuar transformações em uma expres-

são algébrica por meio de fatoração,

simplificação e cancelamento;

efetuar operações entre monômios e po-

linômios;

compreender o significado geométrico

de um produto notável;

saber representar um trinômio quadra-

do perfeito geometricamente;

compreender o significado e a im-

portância da fatoração algébrica na

resolução de equações e em outros

contextos;

expressar relações de equivalências

entre expressões envolvendo números

naturais por meio de seu significado

geométrico.

Para uma ideia mais nítida das múltiplas

inter-relações entre os diversos conteúdos

aqui tratados, apresentamos, a seguir, a

grade curricular com os conteúdos de Ma-

temática de todas as séries/anos do Ensino

Fundamental, destacando-se com um som-

breado os conteúdos de outras séries/anos e

de outros volumes diretamente relacionados

aos conteúdos apresentados neste Caderno.

86

QUADRO DE CONTEÚDOS DO ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS

5a série/6o ano 6a série/7o ano 7a série/8o ano 8a série/9o ano

Vol

ume

1

NÚMEROS NATURAIS– Múltiplos e divisores.– Números primos.– Operações básicas.– Introdução às potências.

FRAÇÕES– Representação.– Comparação e

ordenação.– Operações.

NÚMEROS DECIMAIS– Representação.– Transformação em

fração decimal.– Operações.

SISTEMAS DE MEDIDA– Comprimento, massa e capacidade.– Sistema métrico

decimal.

NÚMEROS NATURAIS– Sistemas de numeração na

Antiguidade.– O sistema posicional decimal.

NÚMEROS INTEIROS– Representação.– Operações.

NÚMEROS RACIONAIS– Representação fracionária

e decimal. – Operações com decimais

e frações.

GEOMETRIA/MEDIDAS– Ângulos.– Polígonos.– Circunferência.– Simetrias.– Construções geométricas.– Poliedros.

NÚMEROS RACIONAIS– Transformação de

decimais finitos em fração. – Dízimas periódicas e

fração geratriz.

POTENCIAÇÃO– Propriedades para

expoentes inteiros.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– A linguagem das potências.

ÁLGEBRA– Equivalências e

transformações de expressões algébricas.

– Produtos notáveis.– Fatoração algébrica.

NÚMEROS REAIS– Conjuntos numéricos.– Números irracionais.– Potenciação e radiciação

em IR.– Notação científica.

ÁLGEBRA– Equações de 2o grau:

resolução e problemas.– Noções básicas sobre

função; a ideia de interdependência.

– Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

Vol

ume

2

GEOMETRIA/MEDIDAS– Formas planas e espaciais.– Noção de perímetro e área

de figuras planas.– Cálculo de área

por composição e decomposição.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Leitura e construção de

gráficos e tabelas.– Média aritmética.– Problemas de contagem.

NÚMEROS/PROPORCIONALIDADE– Proporcionalidade direta e inversa.– Razões, proporções,

porcentagem.– Razões constantes na

Geometria: .

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Gráficos de setores.– Noções de probabilidade.

ÁLGEBRA– Uso de letras para

representar um valor desconhecido.

– Conceito de equação.– Resolução de equações.– Equações e problemas.

ÁLGEBRA/EQUAÇÕES– Equações de 1o grau.– Sistemas de equações e

resolução de problemas.– Inequações de 1o grau.– Sistemas de coordenadas

(plano cartesiano).

GEOMETRIA/MEDIDAS– Teorema de Tales e

Pitágoras: apresentação e aplicações.

– Área de polígonos.– Volume do prisma.

GEOMETRIA/MEDIDAS– Proporcionalidade, noção

de semelhança.– Relações métricas entre

triângulos retângulos.– Razões trigonométricas.– O número π; a

circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo.

– Volume e área do cilindro.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Contagem indireta e

probabilidade.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoLog Print Grá ca e Logística S. A.

Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís

Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu

Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e

Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva,

Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e

Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza

Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,

Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina

Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza

Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.

Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo

Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene

Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta

Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,

Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso

Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,

João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,

Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida

Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria

Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo

Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,

Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,

Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,

Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo

de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,

Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell

Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e

Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse

Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe

Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa

Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda

Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de

Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimen-tos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.

* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no Caderno do Professor para apoiar na identificação das atividades.

São Paulo Estado Secretaria da Educação.

Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática, ensino fundamental anos nais, 7a série/8o ano / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. - São Paulo : SE, 2014.

v. 1, 88 p.

Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Pro ssional CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.

ISBN 978-85-7849-560-2

1. Ensino fundamental anos finais 2. Matemática 3. Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.

CDU: 371.3:806.90

S239m

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli.

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Valid

ade: 2014 – 2017

BOOK MAT-SPFE-2014 7s CP vol1 · argumento apresentado para a obtenção das geratrizes, ......

Documents

Transcript of BOOK MAT-SPFE-2014 7s CP vol1 · argumento apresentado para a obtenção das geratrizes, ......