C alculo 2- Exemplos e Exerc ciospacifico/calculo2/Calculo-II-Exemplos... · 2020. 8. 1. · C...

Calculo 2- Exemplos e ExercıciosInstituto de Matematica - Universidad Federal do Rio de Janeiro

Os seguintes exemplos e exercıcios complementam o capıtulo 11 do livro “Stewart, J. Calculo,Vol II.” Usaremos “log” para denotar o logaritmo natural (outros usam “ln” ou “loge”).

Exemplos de Limite. Capıtulo 11.1

Os exemplos de limite abaixo serao assumidos sem demonstracao e apareceram constante-mente ao longo do capıtulo de series:

Exemplo 1. (i) limn→∞

1

np= 0 para qualquer p > 0.

(ii) limn→∞

(1 +

1

n

)n

= e.

(iii) limn→∞

n√n = 1.

(iv) limn→∞

n√a = 1, para qualquer a > 0.

(v)

limn→∞

rn =

0 se |r| < 1;1 se r = 1;Nao existe se |r| > 1 ou r = −1.

Exemplo 2. Calcule

limn→∞

log(n)

n.

Resolucao. Fazemos f(x) = log(x)/x e usamos a regra de L’Hopital. Assim temos

limx→∞

log(x)

x

L’Hop= lim

x→∞

(log(x))′

(x)′= lim

x→∞

1/x

1= lim

x→∞

1

x= 0.

Portanto,

limn→∞

log(n)

n= 0. ■

Exemplo 3. Calcular os seguintes limites:

(a) limn→∞ sen( 1n).Reolucao. Aqui usamos a continuidade da funcao seno, pois nesse caso, o limite pode entrar

no argumento. Assim

limn→∞

sen

(1

n

)= sen

limn→∞ �

��01

n

= sen(0) = 0.

1


(b) limn→∞ n · sen( 1n).Resolucao. Aqui usamos o fato que limu→0

sen(u)u = 1, fazendo u = 1/n. Temos entao

limn→∞

n · sen(1

n

)= lim

n→∞

sen( 1n)

1/n= lim

u→0

sen(u)

u= 1.

(c) limn→∞log(n2)

n .

Resolucao. Nos sabemos que limn→∞log(n)

n = 0 (pela regra de L’Hopital). Logo

limn→∞

log(n2)

n= lim

n→∞

2 log(n)

n= 2 lim

n→∞

log(n)

n= 2 · 0 = 0.

(d) limn→∞ log( nn+1).

Resolucao. O logaritmo e uma funcao contınua, portanto podemos passar o limite no argu-mento. Temos assim

limn→∞

log

(n

n+ 1

)= log

(limn→∞

n

n+ 1

1/n

1/n

)= log

1

1 + ��0

1n

= log(1) = 0.

(e) limn→∞3n

n2−2n+1.

Resolucao. Calculamos diretamente, “dividindo” todo por n2,

limn→∞

3n

n2 − 2n+ 1

1/n2

1/n2= lim

n→∞��>

0

3/n

1−��>

0

2/n+��*0

1/n2

=0

1= 0. ■

Exemplos de soma e convergencia de series. Capıtulo 11.2

Exemplo 4 (Serie Geometrica). Se |r| < 1, e r = 0, entao a serie∑∞

n=0 rn e convergente e

sua soma e∞∑n=0

rn =1

1− r. (1)

Resolucao. Calculamos primeiro suas somas parciais. Como r = 0, a0 = r0 = 1 indepen-dente do valor de r, logo

S0 = 1

S1 = 1 + r

S2 = 1 + r + r2

S3 = 1 + r + r2 + r3

......

Sn = 1 + r + r2 + r3 · · · rn−1 + rn.

2


Multiplicando essa ultima soma parcial por r, obtemos rSn = r + r2 + r3 · · · rn + rn+1. Logo

Sn − rSn = (1 + �r +��r2 + · · ·��rn)− (�r +��r2 + · · ·��rn + rn+1)

(1− r)Sn = 1− rn+1

Sn =1− rn+1

1− r.

Pelo Exemplo ??(v),

limn→∞

Sn = limn→∞

1−��*0

rn+1

1− r=

1

1− r.

Como o limite das somas parciais existe e vale 1/(1−r) concluımos que a serie∑∞

n=0 rn converge

e∞∑n=0

rn =1

1− r.

• Observe que se r = 0, entao∑∞

n=1 rn = 0 + 0 + 0 + · · · = 0.

• Por outro lado, pelo Exemplo ??(v) limn→∞ rn = 0 se |r| ≥ 1 e pelo Teste da Divergencia,a serie

∑∞n=0 r

n diverge nesse caso. ■

Observacao 1. Se a serie geometrica comecar no termo k-esimo; isto e,∞∑n=k

rn entao

∞∑n=k

rn = rk + rk+1 + rk+2 + rk+3 + · · · = rk · (1 + r + r2 + r3 + · · · ) = rk · 1

1− r=

rk

1− r.

Em particular,∞∑n=1

rn =r

1− r. (2)

Exemplo 5. Decida se a serie∞∑n=1

2n + 7 · 3n

6n

e convergente. Em caso afirmativo, encontrar sua soma.

Solucao. Podemos escrever o termo (2n + 7 · 3n)/6n como

2n + 7 · 3n

6n=

2n

6n+ 7 · 3

n

6n=

1

3n+ 7 · 1

2n.

3


Como∑∞

n=113n e

∑∞n=1

12n sao series geometricas com raio r = 1/3 < 1 e r = 1/2 < 1, re-

spectivamente, elas sao convergentes. Como soma de series convergentes e tambem convergente.Assim, temos que

∞∑n=1

2n + 7 · 3n

6n

e tambem convergente.Agora, pela formula (??),

∞∑n=1

1

3n=

1/3

1− 1/3=

1

2e

∞∑n=1

1

2n=

1/2

1− 1/2= 1

Portanto∞∑n=1

2n + 7 · 3n

6n=

∞∑n=1

1

3n+ 7 ·

∞∑n=1

1

2n=

1

2+ 7 · 1 =

15

2. ■

Exemplo 6. Calcule a soma da serie∑∞

n=0

(4

(−3)n − 33n

).

Resolucao. A serie dada pode ser re-escrita como

∞∑n=0

(4

(−3)n− 3

3n

)= 4 ·

∞∑n=0

(−1

3

)n

− 3 ·∞∑n=0

(1

3

)n

Como as duas series da parcela direita sao geometricas com razao r = −1/3 e r = 1/3, respec-tivamente. Ambas satisfazendo |r| < 1.

Aplicando a formula (??), obtemos que

∞∑n=0

(4

(−3)n− 3

3n

)= 4 ·

∞∑n=0

(−1

3

)n

− 3 ·∞∑n=0

(1

3

)n

= 4 · 1

1− (−1/3)− 3 · 1

1− (1/3)

= 4 · 34− 3 · 3

2

= −3

2. ■

Exemplo 7 (Serie Harmonica). A serie

∞∑n=1

1

n(3)

diverge.

4


Resolucao. Vamos a determinar algumas de suas somas parciais para saber a que valorestao-se aproximando.

S1 = 1≥12

S2 = 1︸︷︷︸≥ 1

2

+12≥

22

S4 = 1 +1

2︸︷︷︸≥ 2

2

+1

3+

1

4︸︷︷︸≥ 1

4+ 1

4= 1

2

≥32

S8 = 1 +1

2+

1

3+

1

4︸︷︷︸≥ 3

2

+1

5+

1

6+

1

7+

1

8︸︷︷︸≥ 1

8+ 1

8+ 1

8+ 1

8= 1

2

≥42

Do calculo feito acima podemos deduzir que somas parciais da forma S2n satisfazem

S2n ≥ n+ 1

2

Como limn→∞n+12 = ∞, concluımos que limn→∞ S2n = ∞. Em particular, a serie harmonica∑∞

n=11n diverge. ■

Exemplo 8. Analisar a convergencia ou divergencia da serie

∞∑n=1

5

21n + 9

.

Resolucao. Note que, pelo Exemplo ??(iii),

limn→∞

5

21n + 9

= limn→∞

5n√2 + 9

=5

1 + 9=

1

2= 0.

Pelo Teste da Divergencia, a serie diverge. ■Exemplo 9. Calcule a soma da serie

∑∞n=1

1n2+n

.

Resolucao. Usando fracoes parciais, vemos que 1n2+n

= 1n(n+1) =

1n − 1

n+1 . Portanto,

S1 = a1 = 1− 1

2

S2 = a1 + a2 = (1−��1/2) + (��1/2− 1/3) = 1− 1

3...

......

Sn = a1 + a2 + ...+ an = (1−��1/2) + (��1/2− 1/3) + ...+ (1/(n− 1)−��1/n) + (�

�1/n− 1/(n+ 1)) = 1− 1

n+ 1

5


Portanto,∞∑n=1

1

n2 + n= lim

n→∞Sn = lim

n→∞

(1− 1

n+ 1

)= 1. ■

Exemplo 10. Resolva a equacao

1− x+ x2 − x3 + ... =

√2

2.

Resolucao. A equacao pode ser re-escrita como∞∑n=0

(−x)n =

√2

2

onde o lado esquerdo representa uma serie geometrica com razao r = −x. Como ela convege(pois sua soma e

√2/2) vemos que |x| < 1. Usando a equacao (??), obtemos que

√2

2=

∞∑n=0

(−x)n =1

1 + x

Entao

1 + x =2√2

x =2√2− 1 =

√2− 1. ■

Exemplo 11. Resolver a equacao

2x ·√2x · 4

√2x · 8

√2x · 16

√2x · · · = 0, 25.

Resolucao. Escrevemos 2n√2x = 2x/2

ne entao temos

2x · 2x/2 · 2x/22 · 2x/23 · 2x/24 · · · = 1/4. Aplicando logaritmo, obtemos

x log(2) +x

2log(2) +

x

22log(2) +

x

23log(2) +

x

24log(2) · · · = log(2−2)

x log(2)

(1 +

1

2+

1

22+

1

23+

1

24

)= −2 log(2)

x log(2)∞∑n=0

(1

2

)n

= −2 log(2) ·1/ log(2)

x∞∑n=0

(1

2

)n

= −2 Por (??)

x1

1− 1/2= −2

x · 2 = −2

x = −1. ■

6


Exemplos de criterios de comparacao. Capıtulo 11.4

Exemplo 12. Estude a convergencia ou divergencia da serie

∞∑n=1

√1

n2 + π.

Reolucao. Observe que a serie dada so tem termos positivos. Assim, considerando a serie

harmonica

∞∑n=1

1/n, que sabemos divergente, temos que

limn→∞

√1/(n2 + π)

1/n= lim

n→∞

√n2

n2 + π

=

√limn→∞

n2

n2 + π

=

√limn→∞

1

1 + π/n2

=

√1

1 +��: 0limn→∞

πn2

=√1

= 1.

Como o limite acima e maior do que 0, segue que a serie

∞∑n=1

√1

n2 + πdiverge, pelo criterio de

comparacao no limite. ■

Exemplo 13. Estude a convergencia ou divergencia da serie

∞∑n=1

1√n.

Reolucao. Nao e difıcil notar que√n ≤ n para todo n ≥ 1, logo 1

n ≤ 1√npara todo

n ≥ 1. Como a serie harmonica∑∞

n=11n diverge, a serie

∑∞n=1

1√ntamben diverge pelo criterio

de comparacao. ■

Exemplo 14. Analisar a convergencia ou divergencia da serie

∞∑n=1

(√n+ 1−

√n).

7


Reolucao. METODO 1: As somas parciais da serie vem dadas por

Sn = (��√2−

√1)+(��

√3−��

√2)+(

√4−��

√3)+ ...+(��√n−��√

n− 1)+(√n+ 1−��√n) =

√n+ 1−

√1

Logo,

limn→∞

Sn = limn→∞

(��:∞√n+ 1−

√1) = ∞

Portanto a serie diverge.

METODO 2: Re-escrevemos a expressao√n+ 1−

√n como

√n+ 1−

√n = (

√n+ 1−

√n) ·

√n+ 1 +

√n√

n+ 1 +√n=

n+ 1− n√n+ 1 +

√n=

1√n+ 1 +

√n

Comparando com a serie divergente∑∞

n=11

2√n+1

(esta serie e divergente por que podemos

compara-la com∑∞

n=11√n, que diverge como vimos antes) vemos que

1

2√n+ 1

≤ 1√n+ 1 +

√n

o que mostra que a serie∑∞

n=1(√n+ 1−

√n) e tambem divergente. ■

Exemplo 15. Converge ou diverge a serie∑∞

n=1(n√2− 1)?

Resolucao. Usamos o criterio de comparacao no limite, comparando a serie dada com aserie harmonica. Temos assim

limn→∞

1/nn√2− 1

= limx→∞

1/x

21/x − 1

L′Hop= lim

x→∞

−1/x2

21/x · −1x2 log 2

=1

log 2> 0

Portanto, visto que a serie harmonica diverge, a serie∑∞

n=1(n√2−1) e divergente tambem. ■

EXERCICIOS

Exercıcio 1. Usando a regra de L’Hopital, prove que

limn→∞

n√n = 1.

8


Exercıcio 2. Estude a convergencia ou divergencia das seguintes series:

(a)∞∑n=1

√1

n2 + π. (f)

∞∑n=1

√1 + n2

1 + n4. (k)

∞∑n=1

n2

n3 + 1.

(b)

∞∑n=1

n√4 + 3n4

. (g)

∞∑n=1

log

(n+ 1

n

). (l)

∞∑n=1

n

(4n− 3)(4n− 1).

(c)

∞∑n=1

log2(n)

n. (h)

∞∑n=1

2n| cos(3n)|3n

. (m)

∞∑n=1

2

n+ 3n cos2(n).

(d)∞∑n=1

sin(1/√n)√

n. (i)

∞∑n=1

2 + (−1)n

2n. (n)

∞∑n=1

1

nαse 0 ≤ α ≤ 1.

(e)

∞∑n=1

1

2log(n). (j)

∞∑n=1

√n+ 1−

√n√

n2 + n. (o)

∞∑n=1

1

n1+ 1n

.

Exercıcio 3. Asuma que a n-esima soma parcial de uma serie e dada por Sn = 2− 13n .

(a) A serie converge?(b) Se assim for, qual e o valor da soma?(c) Qual e a formula para o n-esimo termo da serie?

Exercıcio 4. Determine se as seguintes series convergem ou divergem:

(a)∞∑n=1

n

n2 + 1.

(b)

∞∑n=2

1

log n.

(c)∞∑n=1

1

n2n.

Exercıcio 5. Determine se a serie∞∑n=0

1

(n+ 1)(n+ 2)e convergente ou divergente. Se for

convergente encontre sua soma.

9


Exercıcio 6. Analisar a convergencia ou divergencia da serie

∞∑n=1

n3

2n3 + 1.

Exercıcio 7. Resolva a equacao

1 +1

3 + x+

1

(3 + x)2+ · · · = 3 + x.

Exercıcio 8. Resolva

1 + sin2(x) + sin4(x) + sin6(x) + · · · = 2 tan(x).

Solucoes Ex. 2.(a) Diverge. (f) Diverge. (k) Diverge.(b) Diverge. (g) Diverge. (l) Diverge.(c) Diverge. (h) Converge. (m) Diverge.(d) Diverge. (i) Converge. (n) Diverge.(e) Diverge. (j) Converge. (o) Diverge.

Ex. 3. (a) Sim. (b) 2. (c) an = 23n .

Ex. 4. (a) Nao. (b) Nao. (c) Sim.Ex. 5. Converge com soma S = 1.Ex. 6. Diverge.Ex. 7. x = −1.Ex. 8. x = π

4 + kπ, k ∈ Z.

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