Capítulo 7

Operadores em espaços normados

Neste capítulo vamos introduzir uma série de operadores em espaços normadosos quais são muito úteis, nomeadamente, na resolução de equações envolvendooperadores. Vamos dar especial atenção aos operadores (auto)-adjuntos definidosnum espaço de Hilbert.

7.1 Operadores adjuntos. Definição e propriedades

Nesta secção vamos considerar X, Y espaços normados quaisquer, T : X → Y umoperador linear limitado e g ∈ Y ′ um funcional. É claro que g está definido sobretodo Y . Definimos a aplicação f em X por

f : X → R, x $→ f (x) := g(T x).

A aplicação f possui as seguintes propriedades:

XT !!

f""!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

! Y

g

##R

1. f é linear, visto que, g e T o são.

2. f é limitada, pois

| f (x)| = |g(T x)| ≤ ‖g‖ |T x| ≤ ‖g‖ ‖T‖ |x|,

assim, tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos

‖ f ‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖ < ∞. (7.1)

155

Portanto, f ∈ X′, isto é, f é um funcional em X. Deste modo, a cada funcionalg ∈ Y ′ corresponde um funcional f ∈ X′ o qual é chamado operador adjunto deT e denotado por T ∗.

Definição 7.1 (Operador adjunto) Sejam X, Y dois espaços normados e T : X →Y um operador linear limitado dado. Então o operador adjunto T ∗ : Y ′ → X′ é

definido por

f (x) = (T ∗g)(x) := g(T x). (7.2)

O operador adjunto está bem definido, isto é, a correspondência

Y ′ ) g $→ T ∗g ∈ X′

é uma aplicação. De facto, já vimos que f = T ∗g ∈ X′. Assim, só falta verificarque, para cada g ∈ Y ′ existe uma única imagem T ∗g. Suponhamos que g ∈ Y ′está associado a dois funcionais distintos f1 e f2 em X′. Como f1 ! f2, entãoexiste x ∈ X tal que f1(x) ! f2(x). Mas, ao mesmo tempo, por (7.2) temosf1(x) = f2(x) = g(T x), ∀x ∈ X. Assim, f1 = f2.

Proposição 7.2 (Norma do operador adjunto) O operador adjunto T ∗ do ope-

rador T definido em (7.2) é linear, limitado e

‖T ∗‖ = ‖T‖ . (7.3)

Prova. Vamos verificar a linearidade de T ∗. Para quaisquer g1, g2 ∈ Y ′, !, " ∈ K ex ∈ X temos

(T ∗(!g1 + "g2))(x) := (!g1 + "g2)(T x)

= !g1(T x) + "g2(T x)

= !(T ∗g1)(x) + "(T∗g2)(x).

Da arbitrariedade de x ∈ X resulta

T ∗(!g1 + "g2) = !T∗g1 + "T

∗g2,

ou seja, T ∗ é linear. Para mostrar que T ∗ é limitado procedemos do seguinte modo.De (7.2) e (7.1) resulta

‖T ∗g‖ = ‖ f ‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖

e, tomando o supremo sobre todos g ∈ Y ′ com norma 1, obtemos a desigualdade

‖T ∗‖ ≤ ‖T‖ .

156

Para provar a desigualdade contrária consideramos x ∈ X\ {0} um elemento arbi-trário dado e denotamos y = T x. Usamos o seguinte resultado: existe um elementog ∈ Y ′ tal que ‖g‖ = 1 e g(T x) = |T x|. Portanto, temos

|T x| = |g(T x)| = (T ∗g)(x)≤ ‖T ∗g‖ |x|≤ ‖T ∗‖ ‖g‖ |x|= ‖T ∗‖ |x|,

pelo que |T x| ≤ ‖T ∗‖ |x|, para qualquer x ∈ X\ {0}. Como temos sempre |T x| ≤‖T‖ |x|, sendo ‖T‖ a menor constante tal que |T x| ≤ ‖T‖ |x|, então terá de ser‖T‖ ≤ ‖T ∗‖.

Em resumo

XT !!

$$

Y

X′ Y ′,T ∗

%% ‖T ∗‖ = ‖T‖

Exemplo 7.3 Sejam X = Y = Rn e T o operador associado à matriz

T : A =

!

"""""""""""""""#

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

$

%%%%%%%%%%%%%%%&

relativamente à base canónica (ei)ni=1 em Rn. A forma geral de um funcional em

Rn é

f (x) =n'

i=1

xi fi, fi := f (ei), f ∈ (Rn)′.

Para cada x ∈ Rn y = T x é dado por

y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn

y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn.........

yn = an1x1 + an2x2 + . . . + annxn.

157

Seja (ei)ni=1 a base dual de (ei)

ni=1, assim, se g ∈ (R

n)′, então

g =

n'

i=1

giei.

Portanto, temos

f (x) = g(T x) = g(y)

=

n'

i=1

giyi =

n'

i=1

gi

n'

j=1

ai jx j

=

n'

j=1

!

"""""#

n'

i=1

ai jgi

$

%%%%%&x j.

Deste modo, f é um funcional em X dado em termos de g. Tendo em conta quef = T ∗g, então

(T ∗g)(x) =n'

j=1

bjx j, bj =

n'

i=1

ai jgi,

ou seja

b1 = a11g1 + a21g2 + . . . + an1gn

b2 = a12g1 + a22g2 + . . . + an2gn.........

bn = a1ng1 + a2ng2 + . . . + anngn.

Assim, a matriz associada a T ∗ é da forma

T ∗ :

!

"""""""""""""""#

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2...

.... . .

...

a1n a2n . . . ann

$

%%%%%%%%%%%%%%%&

= A!.

Vemos, pois, que a matriz associada a T ∗ não é mais do que a matriz transpostaA! da matriz A associada a T .

Exemplo 7.4 Seja K : [0, 1] × [0, 1] → R uma aplicação contínua dada e con-sideremos o espaço de Hilbert real X = Y = L2([0, 1], ds) =: L2(ds). Seja T ooperador integral, com núcleo K, definido em L2(ds) por

T : L2(ds)→ L2(ds), x $→ (T x)(t) :=( 1

0K(t, s)x(s)ds. (7.4)

158

A forma geral de um funcional linear contínuo f em L2(ds) é dada em termos doproduto interno em L2(ds), isto é,

(x, h) =( 1

0x(s)h(s)ds, x, h ∈ L2(ds).

Assim, se x ∈ L2(ds) é tal que y = T x, então para todo g ∈ L2(ds), temos

f (x) = g(T x) =( 1

0(T x)(s)g(s)ds

=

( 1

0

( 1

0K(s, t)x(t)dtg(s)ds

=

( 1

0

)( 1

0K(s, t)g(s)ds

*

x(t)dt

= (x, T ∗g),

onde

(T ∗g)(t) :=( 1

0K(s, t)g(s)ds.

Assim, vemos que T ∗ é um operador integral definido em L2(ds) com núcleoK∗(t, s) = K(s, t). Note a troca das variáveis s e t.

Observação 7.5 No exemplo anterior, se o espaço de Hilbert considerado L2(ds)for sobre o corpo dos complexos C, então todo o funcional linear contínuo emL2(ds) é da forma

h(x) = (x, h) =( 1

0x(s)h(s)ds, x, h ∈ L2(ds).

Neste caso o adjunto do operador T definido em (7.4) é dado por

(T ∗g)(t) :=( 1

0K(s, t)g(s)ds,

ou seja, T ∗ é um operador integral, com núcleo K∗, onde K∗(t, s) = K(s, t).

Vamos de seguida apresentar algumas propriedades dos operadores adjuntossobre espaços normados.

Proposição 7.6 Sejam X, Y espaços normados e S , T ∈ B(X, Y) dados. Então

159

1. (S + T )∗ = S ∗ + T ∗.

2. (!T )∗ = !T ∗.

Prova. 1. Seja g ∈ Y ′ um funcional arbitrário com vista a mostrar que (S +T )∗g =(S ∗ + T ∗)g. De acordo com a definição, para todo x ∈ X, usando a linearidade deg, obtemos

((S + T )∗g)(x) := g((S + T )x) = g(S x) + g(T x) = (S ∗g)(x) + (T ∗g)(x).

Isto implica que (S + T )∗g = S ∗g + T ∗g, ∀g ∈ Y ′, pelo que (S + T )∗ = S ∗ + T ∗.

2. Do mesmo modo, se g ∈ Y ′, então

((!T )∗g)(x) := g((!T )x) = g(!T x) = !g(T x) = !(T ∗g)(x), ∀x ∈ X.

De onde resulta que (!T )∗g = !T ∗g, para todo g ∈ Y ′, assim temos (!T )∗ = !T ∗.

Proposição 7.7 Sejam X, Y, Z espaços normados, T ∈ B(X, Y) e S ∈ B(Y, Z) da-dos. Então

1. o adjunto do produto S T é dado por

(S T )∗ = T ∗S ∗. (7.5)

2. Se T−1 existe e T−1 ∈ B(Y, X), então (T ∗)−1 também existe, (T ∗)−1 ∈ B(X′, Y ′)e

(T ∗)−1 = (T−1)∗.

Prova. 1. Seja g ∈ Z′ um elemento dado com vista a mostrar que (S T )∗g =(T ∗S ∗)g. Então para todo x ∈ X, temos

((S T )∗g)(x) = g((S T )x) = g(S (T x)) = (S ∗g)(T x),

como S ∗g ∈ X′, então o último termo é igual a

T ∗(S ∗g)(x).

Assim, mostramos que (S T )∗g = T ∗(S ∗g), ∀g ∈ Z′. Da arbitrariedade de g resultaa igualdade (7.5).

2. Queremos mostrar que (T ∗)−1 = (T−1)∗, ou seja que

T ∗(T−1)∗ = (T−1)∗T ∗ = I,

pois temos a seguinte composição de aplicações:

160

X′(T−1)∗ !! Y ′

T ∗ !! X′

Assim, sejam h ∈ X′ e x ∈ X dados. Então temos

(T ∗(T−1)∗h)(x) := ((T−1)∗h)(T x) := h(T−1T x) = h(x) = (Ih)(x).

Inversamente

((T−1)∗T ∗h)(x) := (T ∗h)(T−1x) := h(TT−1x) = h(x) = (Ih)(x).

Proposição 7.8 Sejam X, Y espaços normados reflexivos e T ∈ B(X, Y) dados.Então (T ∗)∗ = T.

Prova. Sendo T : X → Y , então o seu adjunto T ∗ é um operador de Y ′ em X′,isto é, T ∗ : Y ′ → X′. Deste modo, concluímos que (T ∗)∗ será um operador linearlimitado de X′′ em Y ′′: T ∗∗ : X′′ → Y ′′. Pela reflexividade dos espaços X e Y ,temos T ∗∗ ∈ B(X, Y). Assim, resta mostrar que os operadores T ∗∗ e T coincidem.Recordemos o operador canónico de X em X′′:

C : X → X′′, x $→ C(x) = Fx,

onde Fx é definido por Fx(l) := l(x), para qualquer l ∈ X′. Assim, para qualquerg ∈ Y ′ e x ∈ X, temos

((T ∗)∗Fx)(g) = Fx(T∗g) = (T ∗g)(x) = g(T x),

e, por outro lado

C◦T◦C−1(Fx)(g) = (C(T x))(g) = FTx(g) = g(T x).

X′′T ∗∗ !! Y ′′

X

C

&&

T !! Y

C

&&

Exemplo 7.9 Consideremos o espaço de Hilbert complexo X = Y = L2([0, 1]) e! : [0, 1]→ C uma função mensurável limitada. Definimos T ∈ B(X, Y) por

(T x)(t) := !(t)x(t).

Mostre que o operador adjunto T ∗ de T é definido por

(T ∗g)(t) = !(t)g(t).

161

Prova. Sabemos, pelo teorema de Riesz, que o dual de qualquer espaço de Hilberté isomorfo a si próprio, assim T ∗ ∈ B(X, Y). Temos ainda que, qualquer funcionallinear limitado é representável pelo produto interno, isto é,

(x, h) =( 1

0x(t)h(t)dt, h, x ∈ L2([0, 1]).

Assim, para quaisquer g, x ∈ L2([0, 1]) obtemos

f (x) = (T x, g) =( 1

0(T x)(t)g(t)dt =

( 1

0!(t)x(t)g(t)dt

=

( 1

0x(t)!(t)g(t)dt = (x, !g)

= (x, T ∗g).

Portanto, o operador adjunto é dado por (T ∗g)(t) = !(t)g(t). No caso de ! ser real,isto é !(t) = !(t), então teríamos (T ∗g)(t) = !(t)g(t) = (Tg)(t), ou seja, T ∗ = T .Na próxima secção vamos estudar este tipo particular de operadores, chamadosauto-adjuntos.

Exemplo 7.10 Seja X = Y = #2(R) o espaço de Hilbert real das sucessões cujoquadrado do módulo é somável. Em #2(R) definimos o operador de deslocamentodireito U da forma usual, isto é, para cada x = (x1, x2, . . .) ∈ #2(R)

Ux = (0, x1, x2, . . .).

Prove que o operador adjunto U∗ de U é o operador de deslocamento esquerdo V .Qual será o adjunto do operador V?

Prova. Os funcionais lineares limitados em #2(R) são da forma

(x, y) =∞'

i=1

xiyi, x, y ∈ #2(R).

Portanto, se g ∈ #2(R), então para qualquer x ∈ #2(R) temos

f (x) = (Ux, g) =∞'

i=1

(Ux)igi =∞'

i=1

gi+1xi = (x,U∗g),

onde U∗g = (g2, g3, · · · ), ou seja, o adjunto do operador de deslocamento direitoé o operador de deslocamento esquerdo V . Usando o Proposição 7.8 temos U∗∗ =V∗ = U, ou seja, o operador dual de V é U.

162

Exercícios

Exercício 7.1 Calcule o adjunto de cada um dos seguintes operadores definidossobre #p(R), p ≥ 1:

1. T x := (x1, x2, . . . , x j, 0, . . .), j ≥ 1.

2. T x := (0, . . . , 0, x1, 0 . . .), onde x1 está na posição j.

3. T x := (!1x1,!2x2, . . .), onde (!i)∞i=1 ∈ #∞(R) é uma sucessão fixa.

4. T x := (0, 0,!1x1,!2x2, . . .).

5. T x := (! j x j,! j+1x j+1, . . .), j ≥ 1.

Exercício 7.2 Seja T ∈ B(X), onde X é um espaço normado. Mostre que paraqualquer n ∈ N temos

(T ∗)n = (Tn)∗.

7.2 Operador adjunto num espaço de Hilbert

Nesta secção vamos analisar o caso particular em que os espaços normados X e Ysão espaços de Hilbert. Assim, sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : H1 → H2

um operador linear limitado. O operador adjunto T ∗ de T é, depois dos resultadosda secção anterior, tal que

T ∗ : H ′2 → H′1, g $→ (T ∗g)(x) := g(T x) = f (x). (7.6)

Mas como sabemos, pelo teorema de Riesz, os funcionais g ∈ H ′2, f ∈ H′2 admi-

tem representantes, digamos x0, y0, isto é,

f (x) = (x, x0)1, (7.7)

g(y) = (y, y0)2. (7.8)

Vamos denotar por R1,R2 os operadores que realizam estes operadores

R1 : H ′1 → H1, f $→ R1( f ) = x0,

R2 : H ′2 → H2, g $→ R2(g) = y0.

Os operadores R1,R2 possuem as seguintes propriedades:

163

1. bijectivos,

2. preservam a norma, isto é, |R1( f )|1 = |x0|1 = ‖ f ‖,

3. são lineares conjugados, isto é, se f (x) = (x, x0)1 e h(x) = (x, x0)1, entãopara qualquer x ∈ H1, !, " ∈ K temos

(! f + "g)(x) = ! f (x) + "g(x)

= !(x, x0)1 + "(x, x0)1= (x, !h0 + "x0)1,

pelo que !x0 + "x0 é o representante de ! f + "g, de onde resulta que

R1(! f + "g) = !x0 + "x0.

O mesmo raciocínio para R2.

Consideremos o operador T ′ definido por

T ′ : H2 → H1, T′ := R1 ◦ T ∗ ◦ R−12 .

TemosT ′y0 = R1(T

∗g) = R1( f ) = x0.

T ′ é linear, pois envolve dois operadores lineares conjugados e ooperador linear T ∗.

H1T !!

T ′%% H2

H ′1

R1

&&

H ′2

R2

&&

T ∗%%

Por outro lado, de (7.6)-(7.8) resulta

(T x, y0)2 = g(T x) = f (x) = (x, x0)1 = (x, T′y0)1,

ou seja(T x, y)2 = (x, T

′y)1.

Definição 7.11 Seja T : H1 → H2 um operador linear limitado. Então o adjunto

T ∗ de T é um operador T ∗ : H2 → H1 definido por

(T x, y)2 = (x, T∗y)1, ∀x ∈ H1, y ∈ H2.

Os exemplos apresentados até agora, foram todos sobre espaços de Hilbert.Vamos em seguida coleccionar algumas das propriedades e relações típicas dooperador adjunto de um operador linear limitado definido num espaço de Hilbert.

164

Proposição 7.12 Sejam T,U ∈ B(H1,H2) operadores lineares limitados. Mostreque

1. (T + U)∗ = T ∗ + U∗.

2. T ∗∗ = T,

3. (!T )∗ = !T ∗, ! ∈ K.

4. N(T ) = R(T ∗)⊥.

5. N(T ∗) = R(T )⊥.

6. R(T ) = N(T ∗)⊥.

7. R(T ∗) = N(T )⊥.

TH1 H2

H2H1

N(T!)

R(T )"R(T )

T !

N(T )"

R(T!) R(T!)" N(T!)"

N(T )

Prova. Ver Exercício 7.7.

Exercícios

Exercício 7.3 Seja X = Y = L2(R, dt) o espaço de Hilbert das funções comple-xas mensuráveis de quadrado integrável. Para cada constante k ∈ R definimos ooperador T ∈ B(X, Y) por

(T x)(t) := x(t − k)

o qual é chamado operador de deslocamento ou operador de translação. Calculeo operador adjunto T ∗ do operador T .

Exercício 7.4 Calcule o adjunto de cada um dos seguintes operadores definidossobre L2(R):

1. (T x)(t) := !(t)x(t + k), onde ! é uma função limitada e k ∈ R está fixo.

2. (T x)(t) := 12(x(t) + x(−t)).

Exercício 7.5 Seja H um espaço de Hilbert e y, z ∈ H fixos. Definimos T ∈B(H) por

T x := (x, y)z.

Calcule o adjunto de T .

165

Exercício 7.6 Seja H um espaço de Hilbert e (en)∞n=1 uma base ortonormada emH . Definimos o operador T por

T : H → H , en $→ Ten := en+1.

1. Calcule o núcleo, a imagem e a norma de T .

2. Encontre o operador adjunto T ∗ de T .

Exercício 7.7 Prove a Proposição 7.12.

Exercício 7.8 Prove que se (Tn)∞n=1 é uma sucessão de operadores lineares limita-dos num espaço de Hilbert tais que Tn → T , então T ∗n → T ∗.

7.3 Operadores auto-adjuntos

De entre os operadores definidos num espaço de HilbertH existem algumas clas-ses de especial interesse, uma delas vamos estudar nesta secção. Assim, nestasecção vamos supor queH1 = H2 = H e o espaço linear dos operadores lineareslimitados sobreH B(H).

Definição 7.13 Seja operador T ∈ B(H) um operador dado. Então T chama-se

1. auto-adjunto se e só se T ∗ = T, isto é,

(T x, y) = (x, Ty), ∀x, y ∈ H ,

2. unitário se e só se T é bijectivo e T ∗ = T−1, isto é,

(T x, y) = (x, T−1y), ∀x, y ∈ H ,

3. normal se e só se TT ∗ = T ∗T.

Observação 7.14 1. Se T ∈ B(H) é um operador unitário, então T preserva oproduto interno, pois

(T x, Ty) = (x, T ∗Ty) = (x, T−1Ty) = (x, y), ∀x, y ∈ H .

166

2. Por seu lado, se T é auto-adjunto ou unitário, então T é normal. De facto,suponhamos que T é auto-adjunto, então temos T ∗ = T e evidentementeque TT ∗ = T ∗T = T 2. Se T é unitário, então T ∗ = T−1, pelo que TT ∗ =T ∗T = I.

3. Do Exemplo 7.3 resulta que T é auto-adjunto se e só se ai j = aji, ∀i, j =1, . . . , n, ou seja a matriz é simétrica. Se a matriz (ai j)ni, j=1 for complexa,então o operador é auto-adjunto se e só se a matriz for Hermiteana, istoé, ai, j = a j,i, ∀i, j = 1, . . . , n. Já no Exemplo 7.4 o operador T será auto-adjunto se e só se a função K for simétrica, isto é, K(s, t) = K(t, s), ∀s, t ∈[0, 1]. No caso complexo teríamos K(s, t) = K(t, s).

4. Se T ∈ B(H) é um operador auto-adjunto, então H = N(T ) ⊕ R(T ∗). Defacto, como N(T ) é fechado, então pelo teorema sobre a decomposição deum espaço de Hilbert na soma directa de espaços mutuamente ortogonais,temos

H = N(T ) ⊕ (N(T ))⊥.Mas pela Proposição 7.12-7, temos (N(T ))⊥ = R(T ∗), de onde o resultado.

Teorema 7.15 (critério T ∗ = T ) Seja T : H → H um operador linear limitado

no espaço de HilbertH . Então

1. se T é auto-adjunto, (T x, x) é real para todos x ∈ H ,

2. se H é complexo e (T x, x) é real para todos x ∈ H , o operador T é auto-

adjunto.

Prova. 1. Por hipótese T ∗ = T e

(T x, x) = (x, T x) = (T x, x),

ou seja, (T x, x) é igual ao seu conjugado, pelo que (T x, x) ∈ R, ∀x ∈ H .

2. Como (T x, x) ∈ R ∀x ∈ H , então

(T x, x) = (T x, x) = (x, T ∗x) = (T ∗x, x).

Deste modo temos ((T − T ∗)x, x) = 0, ∀x ∈ H . Em particular para x = !y + z,obtemos

((T − T ∗)(!y + z),!y + z) = |!|2((T − T ∗)y, y) + !((T − T ∗)y, z)+!((T − T ∗)z, y) + ((T − T ∗)z, z),

167

tendo em atenção que ((T − T ∗)y, y) = ((T − T ∗)z, z) = 0, obtemos((T − T ∗)(!y + z),!y + z) = !((T − T ∗)y, z) + !((T − T ∗)z, y) = 0.

Escolhendo ! = 1 e ! = i obtemos+

((T − T ∗)y, z) + ((T − T ∗)z, y) = 0((T − T ∗)y, z) − ((T − T ∗)z, y) = 0 ⇔ ((T − T ∗)y, z) = 0, ∀y, z ∈ H ,

fazendo z = (T − T ∗)y resulta (T − T ∗)y = 0, ∀y ∈ H , ou seja T − T ∗ = 0. Istoprova que T é auto-adjunto.

Exemplo 7.16 Sejam (!n)∞n=1, ("n)∞n=1, ($n)

∞n=1 ∈ #

∞(R) sucessões fixas e T ∈ B(#2(R))um operador definido de seguintemodo: para cada x ∈ #2(R) T x = ((T x)1, (T x)2, . . .),onde

(T x)1 = !1x1 + "1x2,

(T x)n = $n−1xn−1 + !nxn + "nxn+1, n ≥ 2.Que condições devem verificar os números !n, "n e $n, n ≥ 1 para que T ∗ = T .

Prova. Temos de ver em que condições sobre os coeficientes das sucessões dadastemos

(T x, y)#2(R) = (x, Ty)#2(R).

Assim, temos

(T x, y)#2(R) =∞'

n=1

(T x)nyn = (!1x1 + "1x2)y1 +∞'

n=2

($n−1xn−1 + !nxn + "nxn+1)yn

= (!1y1 + $1y2)x1 +∞'

n=n

($nyn+1 + !nyn + "n−1yn−1)xn

= (x, T ∗y)#2(R).

Assim, T ∗y é dado por

(T ∗y)1 = !1y1 + $1y2,

(T ∗y)n = $nyn+1 + !nyn + "n−1yn−1, n ≥ 2.Portanto, para que T ∗ = T , isto é T ∗x = T x, ∀x ∈ H terá de ser

!1x1 + $1x2 = !1x1 + "1x2 ⇒ $1 = "1,

$nxn+1 + !nxn + "n−1xn−1 = $n−1xn−1 + !nxn + "nxn+1, ⇒ $n = "n, n ≥ 2.Assim, concluímos que a sucessão (!n)∞n=1 ∈ #

∞(R) é qualquer e ("n)∞n=1 = ($n)∞n=1.

168

Exercícios

Exercício 7.9 Sejam T,U ∈ B(H) dois operadores dados. Mostre que

1. se T,U são auto-adjuntos e !, " ∈ K, então !T + "U é auto-adjunto,

2. se T,U são auto-adjuntos, então o operador TU é auto-adjunto se e só se Te U comutam, isto é, [T, S ] = TU − UT = 0,

3. os operadores R = 12(T +T

∗) eC = 12i(T −T

∗) são auto-adjuntos. T = R+ iCe T ∗ = R− iC, o operador R chama-se a parte real do operador T e C a parteimaginária de T ,

4. se T é um operador normal, então RC = CR, onde R,C são os operadoresdefinidos em 3.

Exercício 7.10 Seja (Tn)∞n=1 uma sucessão de operadores lineares limitados auto-adjuntos definidos Tn : H → H sobre um espaço de HilbertH . Suponhamos que(Tn)∞n=1 converge uniformemente para o operador T , isto é,

‖Tn − T‖ → 0, n→∞.

Prove que o operador limite T é linear limitado e auto-adjunto.

Exercício 7.11 Seja Tn : H → H , n ∈ N uma sucessão de operadores normais(TnT ∗n = T

∗nTn) tais que Tn → T . Mostre que T é um operador linear normal.

Exercício 7.12 Mostre que se T : H → H é um operador isométrico, isto é,|T x| = |x|, ∀x ∈ H , então T ∗T = I.

7.4 Operadores de projecção

Recordemos que, dado um espaço de HilbertH e um subespaço L deH , entãoHpode representar-se como soma directa de L e o seu ortogonal L⊥, isto é,

H = L ⊕ L⊥.

Assim, dado x ∈ H existem y ∈ L e z ∈ L⊥ tais que

x = y + z.

169

Dado que a soma é directa, y é único para qualquer x ∈ H . Portanto, a cada x ∈ Hassociamos um único elemento y ∈ L, isto é, definimos um operador linear

P : H → H , x $→ Px = y,

o qual é chamado projecção ortogonal ou projecção em H . Mais precisamente,P é chamado projecção de H sobre L. É claro que P está definido sobre todoH ea sua imagem é exactamente o subespaço L. Por outro lado, se x ∈ H é da formax = y + z, com y ∈ L e z ∈ L⊥, então

Px = P(y + z) = Py + Pz = y,

isto é, Py = y, ∀y ∈ L e Pz = 0, ∀z ∈ L⊥. Concluímos, pois, que N(P) = L⊥.Temos a seguinte definição.

Definição 7.17 Um operador linear P : H → H é uma projecção emH se existe

um subespaço L deH tal que R(P) = L, N(P) = L⊥ e P|L é o operador identidadeem L.

O próximo teorema dá um critério para caracterizar os operadores de projecçãoemH o qual pode ser usado como definição.

Teorema 7.18 Um operador linear limitado P : H → H num espaço de Hilbert

H ! {0} é uma projecção se e só se P é auto-adjunto e idempotente, isto é, P2 = P.Temos ainda que ‖P‖ = 1.

Prova. Suponhamos que P é uma projecção em H e denotemos P(H) = L comvista a mostrar que P é auto-adjunto, idempotente com norma 1. Para qualquerx ∈ H com Px = y ∈ L temos

P2x = P(Px) = Py = y = Px,

logo P é idempotente. Sejam x1, x2 ∈ H tais que

x1 = y1 + z1, y1 ∈ L, z1 ∈ L⊥,x2 = y2 + z2, y2 ∈ L, z2 ∈ L⊥.

É claro que (y1, z2) = (y2, z1) = 0. Por outro lado

(Px1, x2) = (y1, y2 + z2) = (y1, y2) + (y1, z2) = (y1 + z1, y2) = (x1, Px2),

e, portanto, P é auto-adjunto.

170

A norma de P pode calcular-se do seguinte modo: para todo x ∈ H com x = y+ z,Px = y e de acordo com o teorema de Pitágoras, temos

|x|2 = |y|2 + |z|2 ⇒ |y| ≤ |x|⇔ |Px| ≤ |x|.

Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos

‖P‖ ≤ 1.

Para mostrar a desigualdade contrária notemos que se x ∈ L e x ! 0, então Px = x,pelo que

|x| = |Px| ≤ ‖P‖ |x|de onde resulta que ‖P‖ ≥ 1. Das duas desigualdades obtemos ‖P‖ = 1.Inversamente, suponhamos que P2 = P = P∗ e denotamos P(H) = L com vista amostrar que P é uma projecção. Cada x ∈ H pode escrever-se como

x = Px + (I − P)x.

Vamos mostrar que L = P(H) ⊥ (I − P)(H). De facto, temos

(Px, (I − P)y) = (x, P(I − P)y) = (x, Py − P2y) = (x, Py − Py) = (x, 0) = 0.

Com vista a mostrar que L = P(H) é um subespaço de H vamos provar queL = N(I − P) e usar o resultado que diz: o núcleo de um operador linear limitadoé fechado. Assim, seja x ∈ L, então

(I − P)x = x − Px = x − x = 0,

logo x ∈ N(I − P), logo L ⊂ N(I − P). Por outro lado, se y ∈ N(I − P), então

Py = y,

pelo que y ∈ P(H) = L. Deste modo obtemos L = N(I − P). Portanto, L é umsubespaço de H . Notemos que L⊥ = N(P), pois, se z ∈ L⊥, então para qualquery ∈ L temos (z, y) = 0, mas como L = P(H), então y = Px, x ∈ H . Assim,

(z, y) = (z, Px) = (Pz, x) = 0⇒ Pz = 0⇒ z ∈ N(P).

Finalmente P|L é o operador identidade em L, pois se x ∈ L = P(H), então x = Py,y ∈ H . Pelo que

Px = P2y = Py = x,

ou seja P|L = I.

171

Exemplo 7.19 Sejam P1 e P2 projecções em H sobre L1 e L2, respectivamente,tais que P1P2 = P2P1. Mostre que P = P1 + P2 − P1P2 é uma projecção de Hsobre L1 + L2.

Prova. Temos de mostrar que P é auto-adjunto e idempotente. De facto, aten-dendo a que P1 e P2 são projecções e P1P2 = P2P1, então

P∗ = P∗1 + P∗2 − P

∗2P∗1 = P1 + P2 − P2P1 = P1 + P2 − P1P2 = P.

logo P é auto-adjunto. Falta mostrar que P2 = P. Mas, para qualquer x ∈ H ,temos

P2x = (P1 + P2 − P1P2)2x= (P21 + P1P2 − P

21P2 + P2P1 + P

22 − P2P1P2 − P1P2P1 − P1P

22

+P1P2P1P2)x.

Usando o facto de P21 = P1, P22 = P2 e P1P2 = P2P1 a última igualdade dá lugar a

(P1 + P22 − P1P2)x = Px,

logo P é idempotente. É fácil ver que P é uma projecção deH sobre L1+L2, pois,se x ∈ H , então

Px = (P1 + P2 − P1P2)x = P1(x − P2x) + P2x ∈ L1 + L2.

Exercícos

Exercício 7.13 Seja T = S −1PS : H → H , onde S , T ∈ B(H) tais que P é umaprojecção e S unitário. Prove que T é uma projecção.

Exercício 7.14 Sejam P1, P2 ∈ B(H) projecções emH . Mostre que P = P1 + P2é uma projecção se e só se P2P1 = 0.

172

7.5 Operadores compactos

O estudo dos operadores compactos foi motivado pelo uso das equações inte-grais como tentativa para resolver os problema com valores de fronteira da Física-Matemática, também chamado problema de Dirichlet. Este problema consiste noseguinte. Consideremos uma região D aberta de R3 com uma fronteira %D dife-renciável. O problema de Dirichlet para a equação de Laplace é: dada uma funçãocontínua f sobre %D, encontrar uma função u ∈ C2(D) e contínua em D tal que

!u(x) = 0, x ∈ D,u(x) = f (x), x ∈ %D.

Recordemos que um conjuntoM diz-se compacto se qualquer sucessão (xn)∞n=1 ⊂M tem uma subsucessão (xnk)

∞k=1 convergente em M, isto é, xnk → x ∈ M, k → ∞.

Definição 7.20 (Operador compacto) Sejam X, Y espaços normados e T : X →Y um operador linear. Então T chama-se compacto (ou completamente contínuo)

se e só se para qualquer sucessão limitada (xn)∞n=1 ⊂ X a sucessão (T xn)∞n=1 ⊂ Ypossui uma subsucessão convergente em Y.

Proposição 7.21 Sejam X, Y espaços normados. Então

1. todo o operador linear compacto T : X → Y é limitado, logo contínuo.

2. Se dimX = ∞, então nem todo o operador limitado é compacto.

Prova. 1. Seja (xn)∞n=1 ⊂ X uma sucessão limitada tal que |xn| = 1 e (xnk)∞k=1 uma

subsucessão qualquer da sucessão (xn)∞n=1. Suponhamos por absurdo que T nãoé limitado, isto é, |T xnk | → ∞, k → ∞. Mas isto implica que (T xnk)∞k=1 não éconvergente em Y , pelo que T não é compacto, absurdo. Assim, T é limitado.Como T é linear limitado T é contínuo.

2. Consideremos X = Y = #2(R), (en)∞n=1 a base canónica em #2(R) e o operador

identidade I. É claro que a sucessão (en)∞n=1 é limitado, pois, |en| = 1, ∀n ∈ N e‖I‖ = 1. Temos

|Ien − Iem| =√2,

pelo que (Ien)∞n=1 não é uma sucessão de Cauchy, logo (Ien)∞n=1 não possui uma

subsucessão convergente.

173

Observação 7.22 A última proposição diz que a compactidade (continuidade com-pleta) de um operador é uma propriedade mais forte do que a continuidade habi-tual, a limitação.

A próxima proposição dá a relação entre operadores compactos e a dimensãodo domínio e imagem.

Proposição 7.23 Sejam X, Y espaços normados e T : X → Y um operador linear

dado. Então

1. se T é limitado e dimT (X) < ∞, o operador T é compacto,

2. Se dimX < ∞, o operador é compacto.

Prova. 1. Seja (xn)∞n=1 uma sucessão limitada qualquer em X com vista a mostrarque (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Como T é limitado assimcomo (xn)∞n=1, então a desigualdade

|T xn| ≤ ‖T‖ |xn|

mostra que a sucessão (T xn)∞n=1 é limitada. Atendendo a que dimT (X) < ∞,então, digamos T (X) é isomorfo a Ck, k ∈ N. Assim, de acordo com o teoremade Bolzano a sucessão limitada (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente.Portanto T é compacto por definição.

2. Como dim X < ∞, então todo o operador linear é limitado e temos sempredimT (X) < dim X < ∞, pelo Teorema 4.3-3. O resultado é uma consequência de1.

Teorema 7.24 (Sucessão de operadores compactos) Seja X um espaço normado,

Y um espaço de Banach e (Tn)∞n=1 ∈ B(X, Y) uma sucessão de operadores li-neares compactos. Se Tn converge uniformemente para o operador T (isto é,

‖Tn − T‖ → 0, n→∞), então o operador T é compacto.

Prova. Seja (xn)∞n=1 uma sucessão qualquer limitada em X com vista a mostrarque (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Como T1 é compacto, existeuma subsucessão (x1

k)∞k=1 de (xn)

∞n=1 tal que (T1x

1k)∞k=1 é convergente, em particular

de Cauchy. Do mesmo modo, existe uma subsucessão (x2j)∞j=1 de (x

1k)∞k=1 tal que

174

(T2x2j)∞j=1 é convergente, logo de Cauchy. Continuando este processo obtemos o

seguinte diagrama

T1x1 T1x2, . . . , T1xn, . . .

T1x11 T1x

12, . . . , T1x

1n, . . . −→ x1

T2x21 T2x

22, . . . , T2x

2n, . . . −→ x2

.........

Tmxm1 Tmx

m2 , . . . , Tmx

mm, . . . −→ xm

.........

Consideremos a sucessão “diagonal” (ym)∞m=1, ym = xmm, m ∈ N e vamos mostrarque a sucessão (Tym)∞m=1 é de Cauchy e, portanto, convergente, pois Y é completo.Notemos que a sucessão (ym)∞m=k é uma subsucessão da sucessão (x

km)∞m=1 e que

(Tkxkn)∞n=1 é convergente, pelo que (Tkym)

∞m=1 é convergente para qualquer k ∈ N.

Por outro lado, como a sucessão inicial (xn)n∈N é limitado, digamos |xn| ≤ C paratodos n ∈ N, então também |ym| ≤ C, para todos m ∈ N. Seja & > 0 dado. Entãocomo Tn → T existe uma ordem n = p tal que

,,,Tp − T

,,, <

&

3C.

Por outro lado, como (Tpym)m∈N é de Cauchy, logo existe N tal que

|Tpym − Tpym′ | <&

3, m,m′ > N.

Assim, para m,m′ > N obtemos

|Tym − Tym′ | ≤ |Tpym − Tym| + |Tpym − Tpym′ | + |Tpym′ − Tym′ |

≤,,,Tp − T

,,, |ym| +

&

3+,,,Tp − T

,,, |ym′ |

<&

3CC +&

3+&

3CC = &.

Isto mostra que (Tym)m∈N é uma sucessão de Cauchy a qual é convergente, pois Y éum espaço de Banach. Da arbitrariedade da sucessão (xn)n∈N e visto que (Tym)m∈Né uma subsucessão de (T xn)n∈N, resulta a compactidade de T .

175

Exemplo 7.25 Seja X = Y = #2(R) e T ∈ B(#2(R)) definido por

T x =

-x1

1,x2

2,x3

3, . . . ,

xn

n, . . ..

.

Então T é compacto.

Prova. É fácil verificar que T está bem definido, pois

|T x|2 =∞'

i=1

/////

xi

i

/////

2

≤∞'

i=1

|xi|2 = |x|2 < ∞.

Para cada n ∈ N definimos a sucessão (Tn)n∈N por

Tn : #2(R) → #2(R), x $→ Tnx :=

-

x1x2

2,x3

3, . . . ,

xn

n, 0, . . .

.

.

É claro que os operadores Tn são lineares e limitados. Como dimTn(#2(R)) < ∞,então pelo Proposição 7.23-1, Tn é compacto. Temos ainda que

|(Tn − T )x|2 =∞'

i=n+1

/////

xi

i

/////

2

≤1

n + 1

∞'

i=n+1

|xi|2 ≤1

n + 1|x|2.

Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos

‖Tn − T‖ ≤1

n + 1,

portanto Tn → T e T é compacto pelo Teorema 7.24 dado que #2(R) é um espaçode Hilbert, logo de Banach.

O próximo teorema é muito importante em aplicações da análise funcional.

Teorema 7.26 Seja X um espaço normado e T, S : X → X dois operadores

lineares tais que T é compacto e S é limitado. Então TS e S T são compactos.

Prova. Seja (xn)∞n=1 ⊂ X uma sucessão limitada qualquer com vista a mostrar quea sucessão (TS xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. De facto, como S élimitado, então a sucessão (S xn)∞n=1 é limitada. Assim, dado que T é compacto, asucessão (TS xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Isto mostra que TS écompacto.

176

Inversamente, a sucessão (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão (T xnk)∞k=1 convergente,

digamoslimn→∞

T xn = y ∈ X

por T ser compacto. Da continuidade de S vem que a sucessão (S T xnk)∞k=1 é

convergentelimk→∞

S T xnk = S limk→∞

T xnk = S y ∈ X.

Portanto, o operador S T é compacto.

Na Proposição 7.21-2. vimos que o operador identidade num espaço de dimen-são infinita não é compacto. Usando este resultado e o teorema anterior obtemoso seguinte corolário.

Corolário 7.27 Seja X um espaço normado com dimensão infinita. Então se T ∈B(X) é um operador compacto o seu inverso T−1 não pode ser limitado.

Teorema 7.28 SejaH um espaço de Hilbert e A ∈ B(H). Então A é compacto see só se o seu adjunto A∗ é compacto.

Prova. Seja A um operador compacto com vista a mostrar que A∗ é compacto.Pelo Teorema 7.26 o operador AA∗ é compacto. Então se (xn)∞n=1 ⊂ H é uma su-cessão limitada qualquer, a sucessão (AA∗xn)∞n=1 possui uma subsucessão (AA

∗xnk)∞k=1

convergente. Vamos mostrar que a sucessão (A∗xnk)∞k=1 é de Cauchy e, portanto,

converge emH . De facto, temos

|A∗xnk − A∗xnl |

2 = (AA∗(xnk − xnl), xnk − xnl)≤ |AA∗(xnk − xnl)||xnk − xnl |≤ 2C|AA∗(xnk − xnl)|,

pois |xnk − xnl | ≤ |xnk | + |xnl | ≤ 2C, por (xn)∞n=1 ser limitada. Como a sucessão(AA∗xnk)

∞k=1 é convergente ela é de Cauchy emH , portanto, (A

∗xnk)∞k=1 é de Cauchy.

Como H é completo (A∗xnk)∞k=1 converge em H . De acordo com a definição de

operador compacto (ver Definição 7.20) A∗ é compacto.Inversamente, suponhamos que A∗ é compacto com vista a mostrar que A é com-pacto. De acordo com a prova anterior (A∗)∗ = A∗∗ é compacto. Mas pela Propo-sição 7.12-2 temos A∗∗ = A, logo A é compacto.

177

Exercícios

Exercício 7.15 Seja H um espaço de Hilbert separável e (en)∞n=1 uma base orto-normada de H . Um operador T : H → H diz-se de Hilbert-Schmidt se e só se|T |HS < ∞, onde

|T |2HS :=∞'

n=1

|Ten|2 =∞'

n=1

∞'

k=1

|(Ten, ek)|2.

Prove que se T ∈ B(H) é de Hilbert-Schmidt, então T é compacto.Sugestão: prove que T é o limite de uma sucessão (Tn)∞n=1 de operadores compac-tos e use o facto de ‖Tn − T‖ ≤ |Tn − T |HS .

Exercício 7.16 Mostre que o operador T : #2(R)→ #2(R) definido por

T x :=-x1

2,x2

22, . . . ,

xn

2n, . . ..

é compacto. Sugestão: use um processo análogo ao Exemplo 7.25.

Exercício 7.17 Mostre que o operador T : #p(R) → #p(R), 1 ≤ p ≤ ∞ definidopor

T x :=-x1

1,x2

2, . . . ,

xn

n, . . ..

é compacto.

Exercício 7.18 Sejam X, Y espaços de Banach e (B(X, Y), ‖·‖) o espaço de Banachdos operadores lineares limitados de X em Y . Denotamos por C(X, Y) o conjuntodos operadores compactos de X em Y . Mostre que C(X, Y) é um subespaço fe-chado de B(X, Y).

Exercício 7.19 Seja H um espaço de Hilbert e y, z ∈ H fixos. Mostre que ooperador

T : H → H , x $→ T x := (x, y)z

é compacto.

178