C ATRITO CIRCULAÇÃO I...

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estabilizador da distribuição da densidade ultrapassa a instabilidade potencial devido aos termos não lineares. O valor “critico” exacto de R i é determinado experimentalmente para cada escoamento. No entanto, com R i > ¼ é muito difícil gerar turbulência. Notemos que, em todas as equações que temos usado, o efeito das variações de densidade, em particular na vertical, é indirecto: actua sobre a turbulência modificando a “eddy viscosity”, mas não actua directamente no escoamento médio. De facto, não há derivadas de ρ (ou σ t ou α) nas equações de Reynolds, e desprezamos os termos que continham αρ α x ' ' exemplo, por quando deduzimos as equações de Reynolds! A razão disto é que as variações da densidade são pequenas, quer as variações dos valores médios quer as flutuações. Esta aproximação é aquilo que se chama “aproximação de Boussinesq ”. Ou seja: se as variações da densidade são pequenas, numa primeira aproximação podemos desprezar o seu efeito na “massa” do fluido, mas manter o seu efeito no “peso”. Ou seja ainda: temos que manter o efeito das variações de densidade na “flutualidade” (buoyancy), através da estabilidade estática, por exemplo, mas podemos despreza-los nas acelerações laterais geradas por forças devidas a variações laterais de densidade (ou seja ainda: temos que considerar as variações de densidade quando estão associadas a “g” peso!). Assim, nas equações do movimento horizontal podemos usar uma densidade média da região considerada, mas na equação em z temos de usar os valores verdadeiros da densidade! (porque ela reduz-se à equação da equação hidrostática). CORRENTES COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO A circulação no Atlântico Norte é no sentido dos ponteiros do relógio (Ciclónico) e no Atlântico Sul é no sentido contrario (Anticiclónico). Este facto é conhecido desde o tempo dos descobrimentos! Até que ponto esta circulação

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estabilizador da distribuição da densidade ultrapassa a instabilidade potencial

devido aos termos não lineares.

O valor “critico” exacto de Ri é determinado experimentalmente para

cada escoamento. No entanto, com Ri > ¼ é muito difícil gerar turbulência.

Notemos que, em todas as equações que temos usado, o efeito das

variações de densidade, em particular na vertical, é indirecto: actua sobre a

turbulência modificando a “eddy viscosity”, mas não actua directamente no

escoamento médio.

De facto, não há derivadas de ρ (ou σt ou α) nas equações de Reynolds,

e desprezamos os termos que continham α’ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ρ∂

αx'' exemplo, por quando

deduzimos as equações de Reynolds!

A razão disto é que as variações da densidade são pequenas, quer as

variações dos valores médios quer as flutuações.

Esta aproximação é aquilo que se chama “aproximação de Boussinesq”.

Ou seja: se as variações da densidade são pequenas, numa primeira

aproximação podemos desprezar o seu efeito na “massa” do fluido, mas

manter o seu efeito no “peso”. Ou seja ainda: temos que manter o efeito das

variações de densidade na “flutualidade” (buoyancy), através da estabilidade

estática, por exemplo, mas podemos despreza-los nas acelerações laterais

geradas por forças devidas a variações laterais de densidade (ou seja ainda:

temos que considerar as variações de densidade quando estão associadas a

“g” → peso!).

Assim, nas equações do movimento horizontal podemos usar uma

densidade média da região considerada, mas na equação em z temos de usar

os valores verdadeiros da densidade! (porque ela reduz-se à equação da

equação hidrostática).

CORRENTES COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO A circulação no Atlântico Norte é no sentido dos ponteiros do relógio

(Ciclónico) e no Atlântico Sul é no sentido contrario (Anticiclónico). Este facto é

conhecido desde o tempo dos descobrimentos! Até que ponto esta circulação

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CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO APONTAMENTOS COMPLEMENTARES DE OCEANOGRAFIA FÍSICA
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pode ser atribuída ao vento? Até finais do século XIX era assim que se

pensava.

A transferência de momento do vento para a água do oceano é um

processo muito lento, caso não ocorra turbulência. Ou seja, se o escoamento

induzido pelo vento for considerado laminar, utilizando então o coeficiente de

viscosidade molecular, verifica-se que modificações na circulação na camada

superior do oceano (tipicamente dezenas de metros) induzidas pela acção do

vento demoram meses!!!

No entanto o que se observa é que estas modificações ocorrem em

horas ou poucos dias e não meses! Isto deve-se ao facto de o escoamento no

oceano ser quase sempre turbulento e, neste tipo de escoamento, a

transferência vertical de momento e energia ocorre a uma taxa na ordem de

centenas ou milhares de vezes superiores à transferência que ocorre através

da viscosidade molecular. Nos escoamentos turbulentos temos que utilizar a

viscosidade turbulenta, ou seja o “eddy viscosity” que já tínhamos visto ser

muito (muitíssimo!!!) superior à viscosidade turbulenta.

Quer os efeitos causados pelo vento quer as variações de densidade

lateral do oceano são muito importantes para definir a circulação oceânica. O

vento é muito importante nos 1000 m superiores.

No final do século XIX (1898) Nansen verificou que os icebergs no

Árctico derivam não na direcção do vento, mas sim para a direita da direcção

do vento à superfície. Porque seria? Solução de Nansen:

Ft

FC

FC

inicial

VENTO

cubo de água do oceano

Fb

força tangencial induzida pelo vento

V0

direcção do movimento no estado estacionário

força de Coriolis que aparece mal o cubo entra em movimento (estado inicial)

força de Coriolis depois de atingido o estado estacionário

força de atrito entre as faces submersas do cubo e a água do oceano

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Fgrad.P FCoriolis

Fatrito

O cubo começa por acelerar na direcção do vento, mas assim que entra em

movimento roda para a direita por acção da Força de Coriolis. O estado

estacionário é atingido quando bCt F e F,Frrr

entram em balanço e nessa altura a

velocidade 0Vr

é constante (estado estacionário) e para a direita da direcção do

vento.

A determinação da direcção exacta do movimento relativamente ao

vento, seria feita mais tarde (entre 1905 e 1932) por Ekman, com base em

argumentos quantitativos, ao contrário de Nansen que utilizou apenas

argumentos qualitativos. Ekman teve de recorrer à matemática! ( Nansen era

biólogo... )

AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO COM ATRITO INCLUÍDO Se pegarmos nas equações do movimento para o equilíbrio geostrófico

e incluirmos o atrito, temos:

FyyPu.f

dtdv

FxxPv.f

dtdu

+∂∂

α−−=

+∂∂

α−=

onde Fx e Fy são as componentes do atrito por unidade de massa. No estado

estacionário:

0yPFyu.f

0xPFxv.f

=∂∂

α−+−

=∂∂

α−+ (Coriolis + atrito + Grad P = 0)

ou vectorialmente: a resultante é nula!

Assim, caso haja atrito, o Gradiente de Pressão e a Força de Coriolis já

não são directamente opostas! O movimento será “ageostrófico”.

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Temos pois que encontrar soluções para estas equações (tal como já

tínhamos feito para o caso do equilíbrio geostrófico). Foi isso que Ekman fez!

A primeira coisa a fazer será escrever expressões para os termos Fx e

Fy. Vejamos os argumentos qualitativos: se duas partes de um fluído se

moverem relativamente uma à outra, deve ocorrer atrito. Estas duas partes

podem mover-se em direcções opostas ou na mesma direcção com

velocidades diferentes.

Neste caso ocorre “shear” na velocidade. A quantificação do “shear” faz-

se: ( ) ( )zuzz/uu 3434 ∆

∆=−− ou no limite

zu∂∂

= .

Para um fluído Newtoniano, classe a que pertence a água do oceano, a

tensão de atrito, τ, definida como uma força por unidade de área paralela ao

escoamento, é dada por:

zu

zu

∂∂

ρµ=∂∂

ν=τ

conforme utilizemos o coeficiente dinâmico de viscosidade molecular

( 113 s.m.Kg10 −−−≈ν ) ou o coeficiente cinemático de viscosidade molecular

( 126 s.m10 −−=µ ).

A utilização do coeficiente dinâmico de viscosidade vai fazer com que as

forças de atrito venham em Força / Unidade de volume. O coeficiente de

viscosidade cinemático faz as forças virem em Força / Unidade de massa, que

tem sido o que temos utilizado nas equações de Navier-Stokes já escritas.

Estes são os valores “moleculares” que se usam nos escoamentos

laminares, ou seja, escoamentos suaves, de pequeno diâmetro, com baixos

números de Reynolds ( 310≈< ). No entanto, no oceano o movimento é em

geral turbulento e o valor efectivo da viscosidade cinemática é a “eddy

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viscosity” cinemática, que já vimos, e que são Ax, Ay e Az, com Ax e Ay com

valores até 125 sm10 − para o “shear” horizontal (por exemplo, ...etc;xv;

yu;

xu

∂∂

∂∂

∂∂ )

e Az com valores até 121 sm10 −− para o “shear” vertical (por exemplo, zvou

zu

∂∂

∂∂ ).

As tensões de atrito turbulento (eddy friction stress, também chamado

em português “tensões de corte”) escrevem-se portanto, por exemplo:

zuA zxz ∂∂

ρ=τ ou yuA yxy ∂∂

ρ=τ

e expressam a força que uma camada de fluído faz numa área da camada

vizinha, acima ou abaixo. Para substituir na equação do movimento

necessitamos dessa força mas feita na massa do fluído vizinho:

Na figura acima há “shear” segundo z. A força que actua no cubo é:

( )12 τ−τ na direcção x.

Como zz12 δ∂τ∂

+τ=τ , logo: ( ) Vz

szz

s12 δ∂τ∂

=δδ∂τ∂

=δτ−τ , onde Vδ é o

volume do cubo. No limite sδ e zδ →0, logo Vδ →0.

Portanto, z∂τ∂ representa uma força por unidade de volume. Para ser por

unidade de massa, virá:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

=∂∂

zuρA

zρ1

zττ

utilizamos Az porque estamos a tratar “shear” vertical. No entanto, isto é válido

para o “shear” em qualquer direcção.

Se assumirmos que Az não varia com a profundidade:

perfil da velocidade:

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Força de atrito turbulento por unidade de massa 2

2

z zuA

∂∂

=

(Sabemos tão pouco sobre Az, que limitar a nossa análise ao caso de Az igual a

uma constante em profundidade não será grande erro!!!)

Verifiquemos que já tínhamos obtido esta expressão quando estudámos

as “eddy viscosities” e tínhamos feito a decomposição “à Reynolds”: uma parte

média mais uma parte perturbada.

Também assumimos que uma variação de ρ com a profundidade é

pequena comparado com zuA z ∂∂ ! É uma aproximação consistente com a

aproximação de Boussinesq.

Então os termos Fx e Fy podem ser escritos:

2

2

zy

y

2

2

zx

x

zvA

zF

zuA

zF

∂∂

=∂

τ∂α=

∂∂

=∂τ∂

α=

e as equações do movimento horizontal:

yP

zvAfu

xP

zuAfv

2

2

z

2

2

z

∂∂

α=∂∂

+−

∂∂

α=∂∂

+

A equação em z reduz-se ao equilíbrio hidrostático.

Tínhamos visto que estes termos de atrito eram desprezáveis no oceano

interior. Para que estes termos sejam significativos, eles têm que ter uma

magnitude aproximada, por exemplo, ao termo de Coriolis, ou seja:

UfHUA 2z ≈

Por exemplo, com s/m10A 21z

−= e 14 s10f −−= , temos

m 30Hm101010

fAH 23

4

1z2 ≈⇒≈=≈ −

; com m100H ≈ o termo de atrito será ainda

10% do termo de Coriolis. Estamos, pois, à espera de ter que entrar em linha

de conta com os termos de atrito dentro destas distâncias, quer do fundo quer

da superfície. Isto corresponde a dizer que, dentro destas distâncias da

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superfície ou do fundo, o número de Ekman vertical ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 2

zz fH

AE deve ser da

ordem da unidade.

A SOLUÇÃO DE EKMAN A dificuldade com estas equações é que ficamos com duas causas para

o movimento: a distribuição da massa (ou seja, a densidade) que dá origem ao

termo do Gradiente de Pressão e o termo do Atrito, que na solução de Ekman é

o atrito do vento.

Podemos separar estas duas acções forçadoras e resolver

separadamente a influência do vento e a influência do gradiente de pressão e

depois juntá-las. Esta separação só é possível se assumirmos que as

expressões são lineares. Se os efeitos não lineares se tornarem importantes

esta separação já não pode ser feita (tivemos um exemplo disso quando

fizemos a decomposição “à Reynolds”, em que, ao achar medias de

perturbações não pudemos considerar nulos os termos que continham o

produto de duas perturbações não independentes!).

Mas enfim, são lineares!!!! Uff!!!!

Então podemos fazer:

( )2

2

zEg zuA

xPvvffv

∂∂

−∂∂

α=+=

onde: xPfv g ∂∂

α= gv→ é a velocidade geostrófica e 2

2

zE zuAfv

∂∂

−= Ev→ é a

velocidade de Ekman, associada ao “shear” vertical.

A solução de Ekman é para Ev apenas, ou seja, admitiu 0v g = , ou seja,

admitir a não existência de declive da superfície livre do oceano.

Para facilitar o problema, Ekman admitiu ainda:

- não existência de fronteiras no oceano;

- um oceano de profundidade infinita (para evitar o atrito no fundo, ou seja,

limitou-se a estudar o efeito da tensão do vento);

- Az constante em profundidade;

- um vento estacionário soprando durante um período longo;

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- 0xP=

∂∂ e 0

yP=

∂∂ , ou seja, condições barotrópicas.

As equações de Ekman são, então:

0zvAfu

0zuAfv

2

2

z

2

2

z

=∂∂

+−

=∂∂

+ ou seja, Coriolis + Atrito = 0

E agora a matemática (um passe de mágica!) !!!

Se o vento soprar segundo a direcção y (não esquecer), mostra-se que

a solução para as equações de Ekman são:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±=

zDπ

E0

zDπ

E0

E

E

e.zDπ

4πsenvv

e.zDπ

4πcosvu

(sinal + para o Hemisfério Norte, sinal – para o Hemisfério Sul)

onde ( ) ( )f..D/..2v Ey0 ρτπ= η é a corrente à superfície, com f sendo o módulo

de f, ητ y a magnitude de tensão do vento na superfície do oceano e

fA2

D zE π= a profundidade de Ekman, ou seja, a profundidade até onde a

influencia do atrito à superfície se faz sentir.

Podemos agora interpretar as soluções:

- À superfície, 0z = , temos: )º45cos(vu 0±= e )º45(senvv 0= ou seja,

a corrente à superfície flui fazendo

um ângulo de 45º para a direita da

direcção para onde sopra o vento

(para a esquerda no H. Sul).

- A velocidade da corrente à

superfície é proporcional à tensão

do vento à superfície, ητ y , e

depende também inversamente da

latitude, densidade da água e do

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coeficiente de viscosidade de turbulento (“eddy viscosity”), Az (Está incluído na

definição de ED ).

- A magnitude da corrente diminui exponencialmente com o aumento da

profundidade (z cada vez mais negativo!). A corrente total é: z

D0

Eevπ

, a que

depois se acrescenta o cos (...) ou o sen (...) para achar a projecção u ou v.

Logo, a magnitude decresce exponencialmente com a profundidade.

- A velocidade roda linearmente para a direita com o aumento de

profundidade (z cada vez mais negativo...) no Hemisfério Norte (para a

esquerda no Hemisfério Sul), ou seja, roda segundo os ponteiros do relógio no

H. Norte, ou seja, anticiclónicamente. A tangente do ângulo entre a velocidade da corrente e o eixo dos x é

dada por: Z)DπTg(45º

uv

E

+= . Com a profundidade a aumentar (z cada vez mais

negativo), a tangente é cada vez menor, logo o ângulo cada vez menor, ou

seja, o vector velocidade vai rodando para a direita. (se fosse no Hemisferio Sul

existiria um sinal (-) atrás da Tg…).

A diminuição da velocidade em

profundidade em conjunto com a

rotação para a direita (no H. Norte)

forma a espiral de Ekman (figura

abaixo).

- À profundidade z = DE:

uDE = V0 e- π cos (45º- π)

vDE = V0 e- π sen (45º- π)

A esta profundidade a velocidade diminuiu para e- π (≈0.04=1/23) daquilo

que era à superfície (u= V0 cos 45º e v= V0 sen 45º) e é oposta do que era à

superfície ( pois cos(45º- π) = - cos45º e sem (45º- π)=-sen45º).

Neste modelo, a velocidade tende assintóticamente para zero quando

∞→z mas de longe os efeitos mais importantes estão circunscritos à camada

superficial à espessura DE. Ekmam chamou DE a “profundidade de influência do

atrito (“depth of frictional influence”). Também se chama frequentemente

“camada de Ekman” (Ekman layer) a esta camada.

y

x

vento

v

u

V0

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + z

EDπ45

velocidade à superfície

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É curioso notar que DE não depende do atrito do vento (τyη), embora

aumente com viscosidades turbulentas crescentes e latitudes decrescentes.

No equador ∞→D , logo o modelo de Ekman falha nessas regiões (ou

melhor, as condições do modelo não se verificam, pois nesta região nem num

oceano infinitamente profundo se verifica u = 0 e v = 0 para ∞=z .

Para sucessivos valores de z verificamos que o vector velocidade, além

de diminuir de intensidade vai rodando para a direita no Hemisfério Norte

(esquerda no Hemisfério Sul). A extremidade dos vectores forma assim uma

espiral logarítmica, conhecida como a “espiral de Ekman”.

corrente à superfície

direcção do vento

Prof

undi

dade

(-z)

Espiral de Ekman

⇒ Analisar exemplos do Pond e Pickard, pag. 88-89

ESTIMATIVAS PARA A RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE DA

CORRENTE À SUPERFICIE, V0, A VELOCIDADE DO VENTO, W, E

PROFUNDIDADE DA CAMADA DE EKMAN, DE:

⎪⎩

⎪⎨

→×≈→

→≈→

=

dimensão) sem 101,4( coef." drag" C ventodo e velocidadW

)Kg/m 1,3(ar do densidade ρWCρτ

3-D

3a

2Daη

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Logo: :e W101,41,3τ 23η

−××=

m/sfD

W100,79f1025DW101,8π2V

E

25

mar doágua da ρ

E

23

0−

×=××

××=

321

As observações mostram que a seguinte estimativa é válida para fora

das regiões equatoriais ( fora de +/- 10º latitude):

φ=

sen

0127.0WV0

Se substituirmos na expressão acima:

Φ=

senW3.4DE

Então se medirmos a velocidade do vento, W, e sabendo a latitude,

temos uma estimativa de DE e dai podermos estimar a velocidade da corrente à

superfície, V0, e depois a qualquer profundidade abaixo da superfície.

Reparemos que na equação acima DE depende do W ( mas na solução

das equações de Ekman não dependia de τ!). Como na solução das equações

de Ekman DE depende de Az (DE = fAz2

π ), logo, em princípio, Az aumenta

com W… Bom, se tivermos medições de DE podemos estimar Az.

Valores numéricos (do Pond e Pickard):

Φ 10º 45º 80º

V0 / W 0,030 0,015 0,013

W = 10 m/s ⇒ DE 100 m 50 m 45 m

W = 20 m/s ⇒ DE 200 m 100 m 90 m

Analisar estes valores!!!!

⇒ NOTA: Reparemos que substituímos DE na expressão da V0 obtemos:

fAρfρf

Aπ2

π2fρD

π2V

z

η

z

η

E

η0

τττ===

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Problema: Para um vento de 18 Km/h que sopre sobre o oceano a 40ºN,

qual a velocidade da corrente induzida à superfície.

→ Fazer pela estimativa

→ Fazer pelas equações assumindo: CD= 1.4x10-3; Az = 10-1 kg/ms

ρar = 1.3 kg/m3; ρágua =103 kg/m3

Comparar os valores!

→ Qual a velocidade induzida pelo vento a 50m de profundidade?

Comentários:

→ Muitas vezes compara-se (e por vezes confunde-se) a camada de mistura

com a camada de Ekman, o que não é correcto na maioria das vezes:

- a camada de mistura depende da história passada do vento no local.

- a camada de Ekman depende da velocidade do vento na altura.

- a camada de mistura depende da estabilidade da água subjacente, dos

perfis de salinidade e temperatura.

→ A teoria de Ekman assume Az constante em profundidade e que o vento é

constante, sabe-se que nenhuma destas premissas se verifica! Embora os

resultados fundamentais desta teoria sejam para levar a sério, (como o desvio

para a direita da camada superficial relativamente ao vento, ou o seu

decréscimo exponencial em profundidade) os pormenores da teoria não são

para levar a sério!

Ainda hoje há poucas medições para confirmar a teoria de Ekman!!!

(embora os resultados fundamentais estejam correctos e confirmados).

→ Também há uma camada de Ekman atmosférica e ai há mais medições a

confirmar a teoria.

O problema com a teoria de Ekman tem sobretudo a ver com efeitos que

dependem das variações temporais tais como o vento.

TRANSPORTE E AFLORAMENTO A corrente de Ekman induzida pelo vento é máxima à superfície e

decresce em profundidade à medida que vai rodando para a direita no

Hemisfério Norte! Vamos ver que o transporte integrado na camada de Ekman

faz-se com 90º para a direita relativamente à direcção do vento.

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Na ausência de gradiente de pressão, uma das formas das equações do

movimento, que já tínhamos escrito, era:

yy

xx

dρfudz0z

ρfu

dρfvdz0z

ρfv

ττ

ττ

−=⇒=∂∂

+

−=⇒=∂∂

+

Analisemos o que significa ρvdz : representa a massa que flui por

unidade de tempo na direcção y através de uma área de profundidade dz e

largura uma unidade (1 metro...) na direcção x, perpendicular ao escoamento

→ o mesmo para !!!ρudz

Logo ∫−

ρ0

z

vdz será a massa total passa desde a profundidade –z até à

superfície numa “unidade de largura” do escoamento, perpendicular a esse

escoamento, ou seja, é a massa total transportada por unidade de largura na

direcção y. Se escolhermos a profundidade -z bem funda, então o transporte irá

incluir toda a corrente induzida pelo vento. Seja então –z = -2DE, onde a

velocidade da corrente será 002.0e 2 ≈π− , da corrente à superfície, logo

virtualmente nula. Então os transportes de Ekman (ou seja, os transportes

induzidos pelo vento), serão:

)ED2(sup

EE

)ED2(sup

EE

yy

0

D2y

0

D2XE

xx

0

D2x

0

D2yE

dudzffM

dvdzffM

τ−+τ−=τ−=ρ=

τ−+τ−=τ−=ρ=

∫∫

∫∫

−−

−−

Mas )ED2(x −

τ e )ED2(y −

τ serão aproximadamente nulos porque à profundidade -2DE,

as velocidades e consequentemente as tensões, serão quase inexistentes.

Logo supsup xyEyXE fM e fM τ−=τ= ou em transporte de volume em vez de

massa : yEyExEXE QM e QM ρ=ρ= , temos: supsup xyEyxE Qf e fQ ατ−=ατ= .

Continuando a considerar o vento soprando segundo y, então:

0M e 0 yExsup==τ , mas 0MXE > porque 0

supy >τ , mostrando que o transporte

total induzido pelo vento faz-se para a direita e com um ângulo de 90º em

relação à direcção de onde sopra o vento! (vice-versa no Hemisfério Sul).

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Notas: “upwelling”

→ A equação da continuidade impõe que haja substituição de água que

é transportada para a direita relativamente à direcção do vento. Essa água terá

então que vir da esquerda (isto tudo no Hemisfério Norte). Contudo, se o vento

soprar paralelamente a uma linha de costa, deixando a costa à esquerda (no

Hemisfério Norte) de onde virá a água? ( para o oceano infinito de Ekman isto

não seria problema!!). O que ocorre na natureza é que essa água de

substituição vem das camadas subsuperficiais. Este comportamento é

conhecido como “afloramento costeiro” ou “upwelling” em inglês. As regiões de

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upwelling são por isso regiões de divergência. Este fenómeno ocorre com

frequência ao longo das fronteiras Este dos oceanos. No Hemisfério Norte, o

vento tem que soprar para Sul ao longo da costa, o que ocorre com frequência

em especial no Verão, devido ao estabelecimento de baixas pressões de

origem térmica. No Hemisfério Sul o transporte é para a esquerda em relação

ao vento e o vento tem que soprar para Norte ao longo de fronteira Este para

ocorrer upwelling (o que ocorrer com frequência).

Ou seja, o upwelling ocorre quando o vento sopra para o Equador ao

longo de uma fronteira Leste do oceano ou para o Pólo ao longo de uma

fronteira Oeste (situação muito menos comum…)

→ De que profundidades vêm as águas afloradas? Não mais de 200 -

300 m de profundidade.

→ O upwelling tem grandes implicações biológicas.

→”Downwelling”: o vento sopra deixando a linha de costa à direita (no

Hemisfério Norte).

→ Correntes geostróficas asociadas ao Upwelling / Downwelling:

Estas correntes ao longo da costa têm em geral velocidades muito

maiores que as correntes para o largo ou para a costa induzidas directamente

pelo vento, via teoria de Ekman, tornando estas ultimas muito difíceis de medir.

Muitas vezes estas correntes geostróficas associadas ao upwelling não

são “bem” geostróficas!: perto das costas e/ou em águas pouco profundas, o

atrito no fundo pode ser importante e o balanço entre o gradiente de Pressão e

a Força de Coriolis não funciona!

A um dado nível, perto da superfície, a água junto à costa será mais

densa que a água ao largo. Esta diferença de densidades vai diminuindo em

profundidade, logo a corrente geostrófica associada ao afloramento vai

diminuindo em profundidade, sendo portanto baroclínica. Por vezes há uma

“sobre compensação” e o gradiente de pressão muda de sinal, gerando-se uma

“ undercurrent” (corrente de sub-superfície) para o Pólo (para norte no

Hemisfério Norte).

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UPWELLING E DOWNWELLING LONGE DAS COSTAS A teoria de Ekman assume que o vento é uniforme, o que não é

verdade. Por exemplo, se considerarmos um vento que é constante na

direcção e sentido, mas varia na intensidade, irá gerar zonas de convergência

e de divergência, que serão acompanhadas de movimentos de “downwelling” e

“upwelling” respectivamente, nas camadas superficiais do oceano:

Nesta situação há convergência, logo “downwelling”

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Caso do Atlântico Norte: Nas altas latitudes o vento sopra para leste e nas

baixas latitudes para oeste:

“Ekman pumping”: Assim regiões de convergência são regiões de subida do

nível do mar (regiões de downwelling). Regiões de divergência são regiões de

descida do nível do mar (regiões de upwelling) logo “Ekman pumping”:

Subida

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Upwelling Equatorial:

Um vento a soprar para oeste ao longo da região equatorial irá causar

divergência e upwelling no equador, porque o transporte será para a direita no

hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul (assumindo que a teoria

de Ekman funciona no equador...).

ATRITO NO FUNDO E EFEITOS PARTICULARES EM ÁGUAS

POUCO PROFUNDAS: Quando a corrente flui junto ao fundo do oceano, o atrito induz uma

espiral de Ekman de fundo, de forma análoga espiral induzida pelo vento, com

a diferença que as espirais são opostas!

⇒ A demonstração matemática pode ser vista no Pond e Pickard!!!!

Vejamos os resultados e a análise qualitativa:

A corrente roda da sua direcção geostrófica para a esquerda de um

ângulo de 45º enquanto a velocidade se torna zero no fundo:

Análise qualitativa

Longe do fundo a corrente é geostrófica → força de Coriolis, equilíbra a

força do gradiente de pressão, com a força de Coriolis a actuar para a direita e

a força do gradiente de pressão para a esquerda da corrente geostrófica.

Com a aproximação do fundo, a corrente diminui de velocidade devido

ao atrito. Logo a força de Coriolis diminui, porque é proporcional à velocidade.

Então a força do gradiente de pressão não é compensada e o escoamento

roda para a esquerda até que haja balanço entre a força de Coriolis, a força do

gradiente de pressão e a força de atrito no fundo, o que ocorre quando a

velocidade rodou 45º para a esquerda. Mas também nessa altura a velocidade

é nula!! Por isso não chega a rodar 45º...

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Coisas interessantes:

→ Esta mesma solução aplica-se ao vento, ou seja à interface

Atmosfera – Terra (ou Oceano). Assim o vento à superfície, no hemisfério

Norte, sopra 45º para a esquerda do vento geostrófico e a corrente de

superfície é 45º para a direita do vento à superfície.

Assim, a corrente à superfície terá a mesma direcção do vento

geostrófico, ou seja, do vento acima da camada de Ekman atmosférica.

Contudo, estes resultados não são para ser levados muito a sério,

porque fizemos muitas aproximações ao escolher a forma de Az.... Assim, o

que se verifica na prática é que o vento à superfície roda menos que 45º , em

geral entre 10º e 20º, isto também porque o vento não sopra de forma

constante, é dependente do tempo e também a factores de estabilidade. Da

mesma forma, a corrente à superfície induzida pelo vento também não chega a

rodar 45º para a direita em relação ao vento à superfície, mas neste caso

aproxima-se bastante.

→ A 10 m de altitude o vento é cerca de 60 a 70% do vento geostrófico.

A redução para vento igual a zero ocorre muito perto da superfície. A

espessura da camada de Ekman atmosférica é tipicamente 10 vezes a do

oceano.

→ Se olharmos para o oceano real, verificamos que é possível pensar

na seguinte combinação: uma corrente geostrófica devido a um forçamento

velocidade geostrófica

rodou para a esquerda

fundo do mar

Fatrito

Fgrad.P

FCoriolis

corrente

equilíbrio perto do fundo

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termohalino, uma espiral de Ekman nas camadas superiores, uma espiral de

Ekman no fundo que se sobreporá à da superfície se o oceano for pouco

profundo (junto à costa, sobre a plataforma) e ainda uma corrente de maré. A

descrição do movimento torna-se assim muito complicada. Por isso é muito

difícil analisar o movimento nas suas três componentes: geostrófica, induzida

pelo vento e de maré, em particular se todas estiverem a variar no tempo.

→ À medida que a água se torna pouco profunda, na ordem de DE ou

menos, as espirais de Ekman de superfície e de fundo sobrepõem-se. As duas

espirais tendem a cancelar-se e o transporte total dá-se sobretudo na direcção

do vento à superfície e não perpendicularmente a ele. Quando a profundidade

decresce para cerca de DE/10, o transporte dá-se na direcção do vento, sendo

o efeito de Coriolis “abafado” pelo atrito → é o que acontece nas praias.

LIMITAÇÕES DA TEORIA DE EKMAN: A teoria de Ekman é bem fundamentada, é bonita, mas na realidade

nunca ninguém observa uma espiral de Ekman bem desenhada no oceano! O

que não quer dizer que a teoria esteja errada!

A espiral de Ekman é bem observada em laboratório, onde a

viscosidade é molecular e não turbulenta. E há evidencia que os seus efeitos

integrados ocorrem, como é o caso do upwelling. Contudo, o problema

resolvido por Ekman é ideal:

- Não existem fronteiras: não é realista, mas não é uma má aproximação

longe da costa e as consequências junto ás costas suportam a solução obtida.

- Oceano de profundidade infinita: não é exacto mas é uma pequena

fonte de erro: DE ≈ 100 – 200 m e a profundidade média do oceano é ≈ 4000

m.

- Az constante → O mais certo é não ser verdade, mas o nosso

conhecimento sobre isto é tão pouco que não se sabe se é ou não uma grande

fonte de erro.

- Vento estacionário, o que leva a uma solução apenas para o estado

estacionário → Provavelmente a maior fonte de erro, pois nem o vento nem o

oceano são estacionários.

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- Água homogénea (o que implica condições barotrópicas) → Não é

manifestamente verdade. Sverdrup tentou corrigir esta “falha” na teoria de

Ekman, como veremos a seguir.

A SOLUÇÃO DE SVERDRUP PARA A CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO

VENTO As equações do movimento para um movimento uniforme e desprezado

o atrito devido aos gradientes horizontais da velocidade, são:

zfv

yP

zfv

xP

y

x

τ∂∂+−=

∂∂

α

∂τ∂

∂+=∂∂

α

(F.grad P = F. Coriolis + F. Atrito)

Ekman assumiu um oceano “horizontal” e por isso ignorou os termos à

esquerda ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

α∂∂

αyP e

xP . Aqui apenas estamos a ignorar os gradientes

horizontais da velocidade num movimento uniforme. Ou seja, a solução que

vamos encontrar não será própria para descrever movimentos onde esses

gradientes sejam importantes (nas correntes muito fortes!).

O que Sverdrup fez foi fazer constar da equação os gradientes de

pressão e abandonou qualquer tentativa de descrever o comportamento da

velocidade em profundidade. Ou seja, apenas procurou descrever o transporte

total nas direcções x e y em toda a camada afectada pelo vento (ou seja, Mx e

My em termos de transporte de massa).

Assim, integrou as equações desde z = - h, que será uma profundidade

onde o efeito do vento já não se faz sentir. Por isso h >> DE. Logo:

supsup

supsup

xxx

0

h

0

h

xyx

0

h

0

h

fMfudzdzyP

fMfvdzdzxP

τ+=τ+ρ=∂∂

τ+=τ+ρ=∂∂

∫∫

∫∫

−−

−−

Lembrar que: ∫2

1

z

z

ρvdz , é o transporte de massa na direcção y entre as camadas

z1 e z2 (My).

2

2

z zuA

∂∂

2

2

z zvA

∂∂

prelvas
Rectangle
prelvas
Line
prelvas
Line
prelvas
Line
prelvas
Rectangle