C lculo-conceito-e-historia

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CÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL

NA

W I K I P É D I A

Cálculo (http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

O Cálculo Diferencial e Integralou simplesmente Cálculo é um ramo importante da da Álgebra e da Geometria(como a inclinação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. Desenvolvido por Isaac NewtonCálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, clássica e até a física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operaçõescomo o cálculo de limites, o

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculoos dois ramos do cálculo: o diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Newton em Cambridge, Isaac Barrowestritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmviram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculápelo matemático Riemann, pupilo de

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo )

Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimalé um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir

Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas linação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo

de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

iado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. Isaac Newton e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o

Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em

s da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais

, o cálculo de derivadas de funções e a integral

indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida

, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

eorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integraldiferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de

Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos

e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmviram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito

, pupilo de Gauss)

O cálculo permite calcular a área

da região assinalada

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cálculo infinitesimal, desenvolvido a partir

, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas linação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo

de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

iado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. , em trabalhos independentes, o

Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em

s da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do base", ou seja, possui áreas iniciais

integral de diferenciais.

indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida

, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

se uma conexão entre Cálculo Integral. O cálculo

diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac

blemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos

que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais

las como limites de soma (método descrito

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História

Desenvolvimento

A história do cálculo se encaixa em vários períodos distintos, de forma notável nas eras antiga, medieval e moderna. Na era antiga foram introduzidas algumas idéias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas idéias de forma rigorosa e sistemática. A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 A.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. Eudoxus (408-355 A.C) usou o método da exaustão para calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 A.C.) levou essa idéia além, inventando a heurística que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui no terceiro século depois de Cristo, que o usou para

Arquimedes, segundo Gauss o

maior matemático da

antigüidade, já apresentava

idéias relacionadas ao Cálculo

dois séculos antes de Cristo.

Índice

• 1 História o 1.1 Desenvolvimento

• 2 Princípios o 2.1 Limites e Infinitesimais o 2.2 Derivadas o 2.3 Integrais o 2.4 Teorema Fundamental do Cálculo

• 3 Aplicações • 4 Ver também

o 4.1 Listas o 4.2 Tópicos relacionados o 4.3 Referências bibliográficas

� 4.3.1 Cálculo Básico � 4.3.2 Cálculo Avançado

o 4.4 Livros on-line o 4.5 Páginas na Internet

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encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi no quinto século depois de Cristo, para achar o volume de uma esfera.

No período medieval, o Matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 D.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara II no século doze a desenvolver uma derivada prematura representado uma mudança infinitesimal, ele desenvolveu também o que seria uma forma primitiva do “Teorema de Rolle”.

No século XII o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa.

No período moderno, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668.

Sir Isaac Newton foi um dos mais

famosos inventores e

contribuidores do cálculo com

relação a suas leis de movimento

e outros conceitos matemáticos-

físicos

Gottfried Wilhelm Leibniz, foi

originalmente acusado de plagiar

os trabalhos não publicados de

Isaac Newton, hoje porém é

considerado, juntamente com

Newton, o inventor do cálculo

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Coube a Leibniz e Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo, a ambos é atribuído a simultânea e independente invenção do cálculo. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou idéias de seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de “A ciência dos fluxos”.

Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo. No século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass. Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral.

Princípios

Limites e Infinitesimais ��Ver anexo 1

O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade Archimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais

No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o valor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais, mas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, calculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por

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números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é encontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para o cálculo.

Derivadas ��Ver anexo 2

O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função original.

O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Em álgebra, os estudantes aprendem sobre funções em que o número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é inserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em qualquer ponto dado da função.

Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação matemática seria escrito assim:

.

Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a taxa em que a função é alterada.

Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, então a função pode ser escrita como y = m x + b, onde:

Reta tangente em (x, f'(x))

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.

Isto da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta, então a variação em y é dividida pela variação em x, e nós precisamos do cálculo para encontrar o valor exato em cada ponto da função. (Note que y e f(x) são duas notações diferentes para a mesma coisa: a saída da função. Uma linha entre dois pontos em uma curva é chamado de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada como:

onde as coordenadas do primeiro ponto é (x, f(x)) e h é a distância horizontal entre os dois pontos.

Para determinar o deslocamento da curva, nós usamos os limites:

Em um caso particular, nós encontramos o deslocamento da função quadrática no ponto em que a entrada é 3 e a saída é 9 (Ex.: f(x) = x2, então f(3) = 9).

O deslocamento da função quadrática no ponto (3, 9) é 6, isto é, ele cresce seis vezes mais rapido e está indo para a direita.

Integrais ��Ver anexo 3

O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de

encontrar o valor de uma integral é chamado calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

A integral indefinida é a integral indefinida de f quando minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definiçsoma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

Um exemplo motivacional é a distância (

Se a velocidade (V) é constante, somente multiplicação é necessária, mas velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por uma das velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma. Entretanto, uma Soma de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância viajada exata.

Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, a distância viajada entre os tempos representados por escura s.

Para aproximar a área, um método intuitivum número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo símbolo ?x. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função Chame o valor h. Então a área do retângulo com a base

encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e

minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

Um exemplo motivacional é a distância (D) viajada em um determinado tempo (

) é constante, somente multiplicação é necessária, mas velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por

as velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma.

de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância

no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, a distância viajada entre os tempos representados por a e b é a área da região

Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir em distâncias entre um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo

. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função . Então a área do retângulo com a base ?x e altura

Integração pode ser explicada

como a medida da área entre

uma curva, definida por

entre dois pontos (aqui

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. Em linguagem técnica, o

, o processo inverso da derivada. F é uma é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e

minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre ão técnica da integral definida é o limite da

) viajada em um determinado tempo (t).

) é constante, somente multiplicação é necessária, mas se a velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por

as velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma.

de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância

no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o é a área da região

o seria dividir em distâncias entre a e b em um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo

. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função f(x). e altura h dá a distância

Integração pode ser explicada

como a medida da área entre

uma curva, definida por f(x),

entre dois pontos (aqui a e b).

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(tempo ?x multiplicado pela velocidade h) viajado naquele segmento. Associado com cada segmento é o valor médio da função sobre ela,f(x)=h. A soma de todos os retângulos dados é uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o qual é uma aproximação da distância total viajada. Um valor menor para ?x nos dará mais retângulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma resposta exata nós precisamos fazer o limite em ?x tender a zero.

O símbolo da integração é , um S alongado (que significa "soma"). A integral definida é escrita da forma:

e lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."

A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma:

.

Desde que a derivada da função y = x2 + C é y ' = 2x (onde C é qualquer constante), então:

.

Teorema Fundamental do Cálculo ��Ver anexo 4

O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e a integração são operações inversas. Mais precisamente, o teorema conecta os valores de antiderivadas ao valor de integrais definidas. Por ser usualmente mais fácil computar uma antiderivada do que aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamental do cálculo provê uma forma prática de computar integrais definidas. Pode também ser interpretado como uma afirmação precisa do fato que a diferenciação é o inverso da integração.

É afirmado pelo teorema fundamental do cálculo que: Se uma função f é contínua no intervalo [a, b] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo (a, b), então

Além disso, para cada x no intervalo (a, b) temos que

E, seu Corolário pode ser transcrito da seguinte forma:

Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [b]. Se F é uma função tal que

para todo

então

e

Essa descoberta, realizada por trabalho anterior de Isaac Barrowresultados analíticos que se seguiram após seus traTeorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitas integrais definidas—sem executar processos limitefórmula para antiderivadas.

Aplicações

O cálculo é usado em todos os ramos das estatística, engenharia, economiapossa ser modelado matematicamente

A Física faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na interrelacionados pelo cálculo. A momento de inércia dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos subeletricidade e magnetismocampos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a segunda lei de Newton que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: A taxa de variação do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o corpo e na mesma direção.

E, seu Corolário pode ser transcrito da seguinte forma:

uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [é uma função tal que

para todo x em [a, b]

.

Essa descoberta, realizada por Newton e Leibniz, que basearam-se nos resultados de um Isaac Barrow, exerceu um papel chave na massiva proliferação de

resultados analíticos que se seguiram após seus trabalhos ficarem conhecidos. O Teorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitas

sem executar processos limite—simplesmente por encontrar fórmula para antiderivadas.

O cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, na ciência da computaçãoeconomia, medicina e em outras áreas sempre que um problema

modelado matematicamente e uma solução ótima é desejada.

faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na mecânica clássicainterrelacionados pelo cálculo. A massa de um objeto de densidade

dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub

magnetismo, o cálculo pode ser usado para encontrar o campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a

que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o

corpo e na mesma direção. Até a expressão comum da segunda lei de Newton como

A espiral logarítmica da concha

do Nautilus é uma imagem

clássica usada para representar o

crescimento e a mudança

relacionados ao cálculo

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uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [a,

se nos resultados de um , exerceu um papel chave na massiva proliferação de

balhos ficarem conhecidos. O Teorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitas

simplesmente por encontrar

ciência da computação, e em outras áreas sempre que um problema

mecânica clássica são densidade conhecida, o

dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub-campos da

, o cálculo pode ser usado para encontrar o fluxo total de campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a

que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o

Até a expressão comum da segunda lei de Newton como

concha

é uma imagem

clássica usada para representar o

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Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo diferencial porque a aceleração pode ser expressada como a derivada da velocidade. A teoria do eletromagnetismo de Maxwell e a teoria da relatividade geral de Einstein também são expressas na linguagem do cálculo diferencial. A química também usa o cálculo para determinar as variações na velocidade das reações e no decaimento radioativo.

O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por exemplo, ele pode ser usado com a álgebra linear para encontrar a reta que melhor representa um conjunto de pontos em um domínio.

Na esfera da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o ângulo ótimo na ramificação dos vasos sanguíneos para maximizar a circulação.

Na geometria analítica, o estudo dos gráficos de funções, o cálculo é usado para encontrar pontos máximos e mínimos, a inclinação, concavidade e pontos de inflexão.

Na economia o cálculo permite a determinação do lucro máximo fornecendo uma fórmula para calcular facilmente tanto o custo marginal quanto a renda marginal.

O cálculo pode ser usado para encontrar soluções aproximadas de equações, em métodos como o método de Newton, iteração de ponto fixo e aproximação linear. Por exemplo, naves espaciais usam uma variação do método de Euler para aproximar trajetórias curvas em ambientes de gravidade zero.

Ver também

Listas

• Lista de tópicos básicos em cálculo

• Tabela de derivadas

• Tábua de integrais

• Lista de tópicos em cálculo

• Publicações sobre cálculo

Tópicos relacionados

• Régua de cálculos

• Série

• Cálculo polinomial

• Geometria diferencial

• Cálculo com múltiplas variáveis

• Análise non-standard

• Pré-cálculo (Educação matemática)

• Integral-produto

• Cálculo estocástico

Referências bibliográficas

Cálculo Básico

• Medeiros, Valeria Zuma (2005). Thomsom Pioneira, 1ª edição. Pré-Cálculo ISBN 8522104506

• Coelho, Flavio Ulhoa (2005). Saraiva, 1ª edição. Curso Básico de Cálculo ISBN 8502051202

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• Mendelson, Elliot (2007). Bookman Companhia Editora, 2ª edição. Introdução ao Cálculo ISBN 8560031537

• Guidorizzi, Hamilton; LTC; 5ª edição, 2001; 4 vols. ISBN 8521612591

• Piskounov, Nikolai Semenovich; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols.

• Goldstein, Larry J./Schneider, David I. (2007); Hemus; 1ª edição, volume único. Cálculo e suas

Aplicações ISBN 9781891389245

• Stewart, James (2002). Thomsom Pioneira, 5ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8522104794

• Thomas, George B. (2002). Addison Wesley Brasil, 10ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8588639114

• Anton, Howard A. (2007). Bookman Companhia Editora, 8ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8560031804

• Barboni, Ayrton/Paulette, Walter (2007). LTC, 1ª edição. Fundamentos da Matemática: Cálculo

e Análise ISBN 8521615469

• Ayres Jr., Frank/Mendelson, Elliot (2006), Bookman Companhia Editora, 4ª edição. Cálculo, col. Schaum ISBN 856003109X

• Bradley, Gerald L./Hoffman, Laurence D. (2008). LTC, 9ª edição. Cálculo:Um Curso Moderno e

suas Aplicações ISBN 8521616023

• Lopes, Hélio/Malta, Iaci/Pesco, Sinesio (2002). Loyola, 1ª edição, 2 vols. Cálculo a uma Variável ISBN 8515024403

• Hughes-Hallett, Deborah (2005). LTC, 2ª edição. Cálculo Aplicado ISBN 8521613970

• Larson, Ron/Edwards, Brruce (2005). LTC, 6ª edição Cálculo com Aplicações ISBN 8521614330

• Avila, Geraldo (2003). LTC, 7ª edição, 3 vols. Cálculo das Funções de uma Variável ISBN 8521613709

• Hallett, Hughes (2004). LTC, 7ª edição. Cálculo de uma Variável ISBN 8521613903

• Salas/Hille/Etgen (2005). LTC, 9ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8521614594

Cálculo Avançado

• Wrede, Robert C./Spiegel, Murray R. (2003). Bookman Companhia Editora, 2ª edição Cálculo

Avançado ISBN 8536303476

• Hellmeister, Ana Catarina Pontone, organizadora. EDUSP, 2ª edição (2006) Cálculo Integral

Avançado ISBN 8531403707

• Bortolossi, Humberto Jose (2002). Loyola, 1ª edição Cálculo a Várias Variáveis: Uma Introdução

à Teoria da Otimização ISBN 851502442X

• Spivak, Michael (2003). Ciência Moderna, 1ª edição Cálculo em Variedades ISBN 8573932252

Livros on-line

• MATHEMATICA NO ENSINO DE CÁLCULO: Uma Abordagem Computacional pelo prof. Inder Jeet Taneja da UFSC

• Cálculo Diferencial a Várias Variáveis:Uma Introdução à Teoria de Otimização

• CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA RETA - Notas de Aula pelo prof. Plácido Z. Táboas do ICMC-USP de São Carlos

• Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral de Funções Definidas em Rn

Páginas na Internet

• Curso de cálculo on-line da USP

• "Kit de sobrevivência em Cálculo" do departamento de Matemática da UEM

• Materiais de aula do IMECC-UNICAMP

• [http://www.mtm.ufsc.br/~taneja/MATREDE/Math4/Math4.html Cálculo com o Mathematica

• Cálculo Infinitesimal: o que é isso?

• Material para Cálculo I pelos professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja da UFSC

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ANEXO 1

Limite

(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite) Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Limite de uma sequência ��Ver anexo 1.1

Seja uma sequência de números reais. A expressão:

significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estão perto de L.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado, pelo desafiante, por

exemplo, pelo intervalo aberto , o desafiado deve

exibir um número natural N tal que .

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:

Índice

• 1 Limite de uma sequência • 2 Limite de uma função

o 2.1 Definição formal • 3 Aproximação intuitiva • 4 Limites em funções de duas ou

mais variáveis

Limite de uma função

Suponhamos que f(x) é uma função real e que

significa que f(x) se aproxima tanto de suficientemente próximo de medida que x se aproxima de

mesmo quando Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

Consideremos definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2)

0.4121 0.4012 0.4001 0.4

À medida que x aproxima-se de 2,

igualdade , diz-se que f é contínua em Vejamos uma função onde tal não acontece

O limite de g(x) à medida que

e consequentemente

Consideremos agora o caso onde

Apesar de f(x) não estar definida em existe e é igual a 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0)

1.95 1.99 1.999 não está definido

função

) é uma função real e que c é um número real. A expressão:

) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de

se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira

, ou quando a função f(x) nem sequer está definida em Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

f(2.001) f(2.01) f(2.1)

0.4 0.3998 0.3988 0.3882

se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a

. Sempre que se verifique a igualdade em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções.

Vejamos uma função onde tal não acontece

) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em

e consequentemente g não é contínua em x = 2.

Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1,

f(1.001) f(1.01) f(1.1)

não está definido 2.001 2.010 2.10

Pá

gin

a1

3

é um número real. A expressão:

quanto quisermos, quando se toma x . Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à

se que esta afirmação pode ser verdadeira

) nem sequer está definida em c. Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

aproxima de 2. Neste caso, f(x) está

se de 0.4 e consequentemente temos a

ra todas as funções.

se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas

se aproxima de 1,

Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2.

Definição formal

O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja definida num intervalo aberto contendo número real. A expressão

significa que qualquer que seja

satisfazendo simbólica:

Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por

um limite A dado pela fórmula:

onde A é o valor do qual difere o valor de f(x) a menos de um valor que zero se o valor de x diferir de a por um valor menor que o valor zero e função de ε (δ = f(ε))

Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser apreendido

pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo

O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja definida num intervalo aberto contendo a (excepto possivelmente a

significa que qualquer que seja existe um tal que para todo

, vale . OU, usando a

Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por Cauchy:

um limite A dado pela fórmula:

onde A é o valor do qual difere o valor de f(x) a menos de um valor ε (epsilon) maior que zero se o valor de x diferir de a por um valor menor que o valor δ (delta) maior que

ε))

Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito pode ser apreendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

A definição ε-δ de limite

Pá

gin

a1

4

pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo

O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja f uma função a) e seja A um

tal que para todo x,

. OU, usando a notação

Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia

ε (epsilon) maior (delta) maior que

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Pá

gin

a1

5

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: f(x) = 2x + 1 e imaginando f:R - > R (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: f(0) = 2.0 + 1 que nos dá: f(0) = 0 + 1 = 1, ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96 Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996 Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996 Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: f(x) = 2x + 1 nos Reais, calcular o limite da função f quando x - > 1. Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f(x) descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se limite exista ou não.

Esse é o caso de funções de duas ou mais variáveis. Uma função do tipo:

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) temgraus de liberdade. Consequentemente, podeo que na verdade influencia no valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançadosé verdade no caso unidimensional, quando os dois contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao:

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades:

• o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja,


A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se



Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) temgraus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia no valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançadosé verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Em caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao:

se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades:

o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja,

Pá

gin

a1

6


A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o



eja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois caminhos entre dois pontos,

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso

coincidem. Em caso

se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades:

o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja,

Nesse caso o limite L é zero

• o limite se fazendo através da ordenada, de cima para baixo, ou seja,

Nesse caso, o limite L é também zero

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero.

Um exemplo de uma função

que pode ser provado fazendoparametrizações dadas pelas equações paramétricas:

a função toma a forma

Vê-se, então, que o valor do limite parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite existe nesse ponto para essa função.

Nesse caso o limite L é zero

e fazendo através da ordenada, de cima para baixo, ou seja,

Nesse caso, o limite L é também zero

ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das dadas pelas equações paramétricas:

se, então, que o valor do limite depende do angulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite

nesse ponto para essa função.

Pá

gin

a1

7

ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa

que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

se a aproximação do ponto (0,0) através das

pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não

Pá

gin

a1

8

ANEXO 1.1

Limite de uma seqüência (http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite_de_uma_sequ%C3%AAncia)

O limite de uma seqüência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá uma definição rigorosa à idéia de uma seqüência que converge até um ponto chamado limite.

De forma intuitiva, supondo que tem-se uma seqüência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de "todos os pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da seqüência se para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da seqüência (com a possível exceção de um número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L, e para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela.

Definição formal

• Para uma seqüência de pontos em um espaço métrico M com função de distância d

(como por exemplo, uma seqüência de números racionais, números reais, números

complexos, pontos em um espaço normado, etc.):

Se diz-se que L é o limite da seqüência e escreve-se

i.e.:se e somente se para todo (hodap) número real , existe um número natural

N tal que para cada , satisfaz-se que

• Uma generalização desta relação, para uma seqüência de pontos em um espaço topológico T:

Índice

• 1 Definição formal o 1.1 Comentários

• 2 Exemplos • 3 Ligações externas

Pá

gin

a1

9

Se diz-se que L é um limite desta seqüência e escreve-se

se e somente se para toda a vizinhança S de L existe um número natural N tal que

para todo

Se uma seqüência tem limite, diz-se que a seqüência é convergente, e que a seqüência converge ao limite. Caso contrário, a seqüência é divergente.

Comentários

A definição significa que eventualmente todos os elementos da seqüência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subseqüentes não, implica em geral, que a seqüência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy).

É possível também que uma seqüência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma seqüência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).

Exemplos

• A seqüência 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reais converge ao limite 0. • A seqüência 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente. • A seqüência 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao

limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita. • Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a seqüência an possui limite

0. Se 0 < a ≤ 1, então a seqüência a1/n possui limite 1. • Também:

ANEXO 2

Derivada (http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada

Em Matemática, diz-se que uma cada ponto a do seu domíniouma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma recta. O declive de uma tal recta é a derivada

ou por

Assim, por exemplo, se se considerar a função f(x) = x2 + x − 1, esta é diferedas restrições daquela função aos intervalos [enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, linear), o segundo é praticameDe facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,este de ser linear.

Em contrapartida, a função se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura ao lado.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada)

se que uma função f é derivável (ou diferenciáveldomínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como

, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma recta. O declive derivada da função f no ponto a e representa-se por

.

Assim, por exemplo, se se considerar a função f de R em R1, esta é diferenciável em 0. Podem-se ver na imagem abaixo os gráficos

das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de recta (de decliveDe facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura ao lado.

Gráfico de uma função derivável.

Gráfico da função módulo, que

não é derivável em

Pá

gin

a2

0

diferenciável) se, próximo de ) se comportar aproximadamente como

, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma recta. O declive se por

R definida por se ver na imagem abaixo os gráficos

−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, (0) está aí longe de ser

nte indistinguível de um segmento de recta (de declive 1). (0)) mais perto estará

não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura ao lado.

Gráfico de uma função derivável.

Gráfico da função módulo, que

não é derivável em 0.

Definições formais

Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto uma função de I em R. Se a

Se for esse o caso, aquele limite designarepresenta-se por f′(a). Notecontinuaria a ser verdade se um ponto não isolado de I.

Índice

• 1 Definições formais• 2 Exemplos • 3 Propriedades das funções deriváveis

o 3.1 Derivabilidade num pontoo 3.2 Derivabilidade em todo o domínio

• 4 Funções continuamente deriváveis• 5 Derivadas de ordem superior• 6 Pontos críticos ou estacionários• 7 Derivadas notáveis

o 7.1 Exponencial e logaritmoo 7.2 Funções trigonométricaso 7.3 Funções trigonométricas inversas

• 8 Funções com valores em R• 9 Funções de uma variável complexa• 10 Física • 11 Usando derivadas para desenhar gráficos de

funções • 12 Derivadas parciais• 13 Referências • 14 Ligações externas


um intervalo com mais do que um ponto do conjunto R dos números reais e seja a ∈ I, diz-se que f é derivável em a se existir o

.

Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto

continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se


Propriedades das funções deriváveis Derivabilidade num ponto Derivabilidade em todo o domínio

Funções continuamente deriváveis Derivadas de ordem superior Pontos críticos ou estacionários Derivadas notáveis

Exponencial e logaritmo Funções trigonométricas Funções trigonométricas inversas

Funções com valores em Rn Funções de uma variável complexa

Usando derivadas para desenhar gráficos de

Derivadas parciais

Ligações externas

Inclinação da secante ao gráfico

de f

Pá

gin

a2

1

dos números reais e seja f se existir o limite

derivada da função f no ponto a e , se existir, é única. Isto

fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse

Inclinação da secante ao gráfico

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Consideraintersecção com o gráfico de inclinação da secante é igual à da

O declive da secante ao gráfico de dado pelo quociente de Newton

Uma definição alternativa é: a função em R contínua em a tal que

Então define-se a derivada de

Diz-se que f é derivável se for derivável em todos os pontos do domínio.

Exemplos

Se c ∈ R, a função f de R em R e a sua derivada é igual a

.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir então φa é contínua e, para cada

além disso, f'(a) = φa(a) = 0

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um . Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de

intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (Newton:

.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função tal que

.

se a derivada de f em a como sendo φa(a).

se for derivável em todos os pontos do domínio.

em R definida por f(x) = c é derivável em todos os pontos de e a sua derivada é igual a 0 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

;

) = 0.

Inclinação da tangente à curva

como a derivada de

Pá

gin

a2

2

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um , quando os dois pontos de

convergem para um mesmo ponto. No limite, a

)) e (x + h,f(x + h)) é

se existir uma função φa de I

se for derivável em todos os pontos do domínio.

é derivável em todos os pontos de R:

em R por φa(x) = 0,

Inclinação da tangente à curva

como a derivada de f(x)

A função f de R em R definida por derivada é igual a 1 em todos os pontos, pois, para cada

.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir então φa é contínua e, para cada


A função f de R em R definida por derivada no ponto a ∈ R é igual a

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir a, então φa é contínua e, para cada


A função módulo de R em

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de quando a > 0 e é igual a − 1

Propriedades das funções deriváveis

Derivabilidade num ponto

• Seja I um intervalo de em R derivável em a. Então pode ver pela função módulo.

• Seja I um intervalo de I em R deriváveis em deriváveis em a e

o

definida por f(x) = x é derivável em todos os pontos de em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R:

.

ão alternativa, basta ver que se se definir φa de R em é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

;

) = 1.

definida por f(x) = x2 é derivável em todos os pontos de é igual a 2a, pois:

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em Ré contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

;

) = 2a.

em R não é derivável em 0 pois

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em − 1 quando a < 0.

ades das funções deriváveis

Derivabilidade num ponto

um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja . Então f é contínua em a. O recíproco não é verdadeiro, como se

pode ver pela função módulo. um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e sejam

deriváveis em a. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(a) ≠ 0) f

Pá

gin

a2

3

é derivável em todos os pontos de R e a sua

em R por φa(x) = 1,

é derivável em todos os pontos de R e a sua

.

R por φa(x) = x +

: a derivada em a é igual a 1

e seja f uma função de I . O recíproco não é verdadeiro, como se

e sejam f e g funções de ) f / g também são

o

o

Em particular, se c ∈ R, então derivação é uma aplicação linear

• Sejam I e J intervalos de I em J derivável em aé derivável em a e

Esta propriedade é conhecida por

• Seja I um intervalo de contínua de I em R derivável em derivável em f(a) e

Outra maneira de formular este resultado é: sem f − 1(a) com derivada não nula, então

Derivabilidade em todo o domínio

• Uma função derivável todos os pontos. Isto é uma consequência do

• Uma função derivável 0 em todos os pontos. Isto também é uma consequência do

Uma função cuja derivada seja sempre maioobservação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor 0 em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de em R definida por f(x) = xdecrescentes.

• Se f for uma função derivável de um ponto, então f'(I)resultado é: se f for uma função derivável de situado entre f'(a) e fc ∈ [a,b] tal que f'(c) =

, então (c.f)' = c.f'. Resulta daqui e de se ter (f + gaplicação linear.

intervalos de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I, seja a e seja seja g uma função de J em R derivável em

.

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja derivável em a com derivada não nula. Então a função inversa

Outra maneira de formular este resultado é: se a está na imagem de f e se com derivada não nula, então

Derivabilidade em todo o domínio

Uma função derivável f de I em R é constante se e só se a derivada for igual a todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média. Uma função derivável f de I em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a

em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média

Uma função cuja derivada seja sempre maior que 0 é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada

em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de x3. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções

for uma função derivável de I em R, sendo I um intervalo de R ) também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este

for uma função derivável de [a,b] em R e se y for um número real e f'(b) (isto é, f'(a) ≤ y ≤ f'(b) ou f'(a) ≥ y ≥ f'(b)), então existe algum ) = y. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux

Pá

gin

a2

4

g)' = f' + g' que a

, seja f uma função de derivável em f(a). Então g o f

e seja f uma função função inversa f − 1 é

e se f for derivável

é constante se e só se a derivada for igual a 0 em

e e só se a derivada for maior ou igual a teorema da média.

é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada

em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R m enunciados análogos para funções

com mais do que . Outra maneira de formular este

for um número real ), então existe algum

teorema de Darboux.

Funções continuamente deriváveis

Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto e seja se que f é continuamente derivávelderivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

pois o limite não existe; em particular,

Derivadas de ordem superior

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de como tal também pode ser diferenciada. Calculandoentão a segunda derivada derivada é chamada de terceira derivadaderivadas subsequentes de f

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregue é:

ou alternativamente,

ou ainda

Se, para algum k ∈ N, f for diz-se que f é de classe Ck.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, dizou indefinidamente derivável

Funções continuamente deriváveis

com mais do que um ponto e seja f uma função de continuamente derivável ou de classe C1 se f for derivável e, além disso, a sua

derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é

não existe; em particular, f' não é contínua em

Derivadas de ordem superior

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos

da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda terceira derivada e assim por diante. Podemos

f por:

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregue é:

for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua,

tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivávelindefinidamente derivável ou ainda de classe C∞.

Pá

gin

a2

5

uma função de I em R. Diz-for derivável e, além disso, a sua

derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é

0.

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e se a derivada novamente obtemos

. De forma semelhante, a derivada da segunda e assim por diante. Podemos-nos referir às

for uma função contínua,

infinitamente derivável

Pá

gin

a2

6

Pontos críticos ou estacionários

Pontos onde a derivada da função é igual a 0 chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a inclinação da reta tangente é paralela ao eixo dos x. Estes pontos podem acontecer:

1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função

2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função

3. em pontos de inflexão da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função f(x) = x

3: no ponto x = 0 a função tem um ponto de inflexão.

4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um

exemplo típico é a função 5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo

contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Obviamente, a função pode ter um comportamento para valores menores que o ponto crítico e outro comportamento para valores maiores que o ponto crítico.

Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também a segunda derivada de f(x):

• Se a segunda derivada de f é positiva no ponto onde a primeira derivada é nula, então o ponto é um mínimo local.

• Se a segunda derivada for negativa, o ponto em questão é um máximo local.

Se a derivada segunda também for nula, nada se pode concluir. No entanto, se a for o ponto em questão e se existir algum número n ∈ N tal que

1. f(k)(a) = 0 se k ∈ {1,2,…n − 1};

2. f(n)(a) ≠ 0,

então:

1. f tem um máximo local em a se n for par e f(n)(a) < 0; 2. f tem um máximo local em a se n for par e f(n)(a) > 0; 3. f tem um ponto de inflexão em a se n for ímpar.

Derivadas notáveis

Exponencial e logaritmo

• A derivada da função exponencial é ela própria, ou seja, exp' = exp. • Para cada x > 0, log'(x) = 1 / x, onde log é o logaritmo natural.

Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade inversa que

Reciprocamente, se se suposer que, para cada

Funções trigonométricas

• ;

• ;

•

•

Mais uma vez, estas igualdades não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do cofórmula para a derivada do quociente

Funções trigonométricas inversas

•

•

•

•

Todas estas igualdades resultatrigonométricas juntamente com a fundamental da trigonometria

Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa al, resulta da igualdade exp' = exp e da fórmula para a derivada da

Reciprocamente, se se suposer que, para cada x > 0, log'(x) = 1 / x, então

Funções trigonométricas

;

.

Mais uma vez, estas igualdades não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do cofórmula para a derivada do quociente:

Funções trigonométricas inversas

;

;

;

Todas estas igualdades resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversafundamental da trigonometria.

Pá

gin

a2

7

Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa fórmula para a derivada da

, então

Mais uma vez, estas igualdades não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co-seno e da

m das fórmulas para as derivadas das funções fórmula para a derivada da inversa e a fórmula

Pá

gin

a2

8

Funções com valores em Rn

Se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em Rn, para algum número natural n, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo exemplo a função

é derivável e

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Funções de uma variável complexa

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Física

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:

• Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.

• Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.

Posto de outro modo:

Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t2 + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32.

Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

Pá

gin

a2

9

Usando derivadas para desenhar gráficos de funções

As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).

Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função quando todas menos uma variável são mantidas constantes temporariamente. Derivadas parciais relativamente à variável x são representadas como ∂/∂x.

Referências

• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994 • Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação

Calouste Gulbenkian, 1981

Pá

gin

a3

0

ANEXO 3

Integral

(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral )

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. No entanto todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de uma integração.

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é:

se e somente se

ATENÇÃO: Este artigo ou secção não cita as suas fontes ou referências, em desacordo

com a política de verificabilidade. Ajude a melhorar este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto ou em notas de rodapé.

Índice

• 1 Definição conceitual • 2 Teorema fundamental

do Cálculo • 3 Passo-a-Passo • 4 Teorema fundamental

do Cálculo • 5 Exemplos de integração • 6 Definições de integral • 7 Ver também

Definição conceitual

Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b] utiliza-se a notação:

A idéia desta notação utilizando um porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produsoma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, podesoma:

onde:

é o comprimento dos pequenosvalor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite

Definição conceitual

Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b]

A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da

é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais se divide o intervalo (bvalor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite

Integrando a área de uma função

abaixo de uma curva

Pá

gin

a3

1

Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b]

comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos

to f(x) dx é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo

se dizer que a integral acima é o valor limite da

intervalos nos quais se divide o intervalo (b-a), f(xi) é o valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e,

Integrando a área de uma função

abaixo de uma curva

esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em linguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integração de maneira formal. O resultado entretanto é coerente entre elas.

O símbolo da integral, ou o "s espicsoma.

Teorema fundamental do Cálculo

Caso se resolva a integral acima entre os limites como:

onde a função F(x) é a função resultante da integração da função integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõemuito próximo de a, tal que se possa escrever:

b = a + Δx

Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode

Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, podeintegral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto podeafirmar, sem causar um erro muito grande, que:

Comparando com a definição da

vê-se que a função procurada obtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostraintegração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for

O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em linguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integração de maneira formal. O resultado entretanto é coerente entre elas.

O símbolo da integral, ou o "s espichado" é utilizado dessa maneira para denotar uma


Caso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito

é a função resultante da integração da função f(x).integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é,

, tal que se possa escrever:

Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever:

Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, podeintegral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto podeafirmar, sem causar um erro muito grande, que:

Comparando com a definição da derivada de uma função:

se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, . Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função

se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostraintegração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for

Pá

gin

a3

2

O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em linguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integração

hado" é utilizado dessa maneira para denotar uma

, o resultado final pode ser escrito

. O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como limite superior da integral, isto é, b, seja

se escrever:

Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-se

é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, . Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função

se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for

derivada e em seguida o resultado integrado, obtémpropriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo

Passo-a-Passo

Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função integrada a cada membro.

Fórmula das Primitivas

Exemplo:

Cada membro da função é tratado como uma função efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usavalor da integral.

No intervalo (0,3): f

Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.

Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.

Para x = 3 �


derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original. Esta Teorema fundamental do Cálculo.

Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função

Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao

f(x) = x2 + 2x + 4

se a Fórmula da Primitiva em cada integral.

se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.

Para x = 0 � f(a) = 0

� f(b) = 30


Pá

gin

a3

3

se a função original. Esta

Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função

em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de

se o teorema do cálculo para chegar ao

se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.

Exemplos de integração

Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:

Por definição a barra

Definições de integral

Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo

• Integral de Riemann • Integral de Lebesgue • Integral de Riemann-Stieltjes• Integral de Gauge

Ver também

• Tábua de integrais • Primitiva • Integração numérica • Métodos de Integração• Integral Múltipla

Exemplos de integração

Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:

(Integral da função constante)

(Integral da função f(x) = x )

é utilizada com o significado da diferença

Definições de integral

definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo

Stieltjes

Métodos de Integração

Pá

gin

a3

4

(Integral da função f(x) = x )

é utilizada com o significado da diferença f(b) - f(a)

definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo

Pá

gin

a3

5

ANEXO 4

Teorema fundamental do Cálculo (http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_do_C%C3%A1lculo)

O Teorema fundamental do Cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro. Isto significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada, volta-se na função original. Este teorema é de importância central no cálculo tanto que recebe o nome teorema fundamental para todo o campo de estudo. Uma consequencia importante disto, às vezes chamada de segundo teorema fundamental do cálculo, permite computar integrais utilizando a antiderivada da função a ser integrada. Em seu livro de 2003 (pág.394), James Stewart credita a idéia que conduziu ao teorema fundamental ao matemático inglês Isaac Barrow apesar da primeira prova conhecida deste teorema ser reconhecida ao matemático escocês James Gregory.

O teorema fundamental do cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.

Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração são processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo.

Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a primitiva da função envolvida.

O teorema afirma que se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função contínua de I em R, então, para cada a ∈ I a função F de I em R definida por

é derivável e a sua derivada é precisamente a função f. Por outras palavras, F é uma primitiva de f.

Intuição

Intuitivamente, o teorema simplesmente diz que a soma de variações uma quantidade ao longo do tempo (ou ao longo de outra quantidade) adiciona a variação líquida naquela quantidade.

Para explicar esta afirmação, começaremos com um exemplo. Suponha que uma partícula viaja em uma linha reta com sua posição dada por derivada desta função é igual a variação infinitesimal em do tempo (é claro, a própria derivada é dependente do tempo). Vamos definir esta variação na distância com o tempo como a velocidade Leibnitz:

Rearranjando a equação, fica claro que:

Pela lógica acima, uma variação em infinitesimais dx. Que também se iguala à e do tempo. Esta soma infinita é a integração; a operação de integração permite recuperar a função original a partir de sua derivada. Claramente, este operação funciona como inversa já que podemos diferenciar o função velocidade.

Formalização

Formalmente, o teorema diz o seguinte:

Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [b]. Se F for a função definida para

Índice

• 1 Intuição • 2 Formalização

o 2.1 Corolário• 3 Prova

o 3.1 Parte I o 3.2 Parte II

• 4 Exemplos • 5 Generalizações • 6 Referências

Intuitivamente, o teorema simplesmente diz que a soma de variações infinitesimaisuma quantidade ao longo do tempo (ou ao longo de outra quantidade) adiciona a

riação líquida naquela quantidade.

Para explicar esta afirmação, começaremos com um exemplo. Suponha que uma partícula viaja em uma linha reta com sua posição dada por x(t) onde derivada desta função é igual a variação infinitesimal em x pela variação infinitesimal do tempo (é claro, a própria derivada é dependente do tempo). Vamos definir esta variação na distância com o tempo como a velocidade v da partícula. Na

Rearranjando a equação, fica claro que:

Pela lógica acima, uma variação em x, chamada ∆x, é a soma das variações . Que também se iguala à soma dos infinitesimais produtos da derivada

e do tempo. Esta soma infinita é a integração; a operação de integração permite recuperar a função original a partir de sua derivada. Claramente, este operação funciona como inversa já que podemos diferenciar o resultado de nossa integral para recuperar a

Formalmente, o teorema diz o seguinte:

uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [for a função definida para x em [a, b] por

então para todo

Corolário

Pá

gin

a3

6

infinitesimais em uma quantidade ao longo do tempo (ou ao longo de outra quantidade) adiciona a

Para explicar esta afirmação, começaremos com um exemplo. Suponha que uma ) onde t é o tempo. A

a variação infinitesimal do tempo (é claro, a própria derivada é dependente do tempo). Vamos definir esta

da partícula. Na Notação de

, é a soma das variações soma dos infinitesimais produtos da derivada

e do tempo. Esta soma infinita é a integração; a operação de integração permite recuperar a função original a partir de sua derivada. Claramente, este operação funciona

resultado de nossa integral para recuperar a


para todo x em [a, b].

Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [b]. Se F é uma função tal que

para todo

então

Corolário

Considere f uma função contínua de valores reais deb]. Se F é uma função tal que

para todo

então

e

Prova

Parte I

É dado que

Considere dois números x1

Subtraindo as duas equações



.



.

e x1 + ∆x em [a, b]. Então temos

e

Subtraindo as duas equações

Pá

gin

a3

7


finida em um intervalo fechado [a,

.

.

Pode ser mostrado que

(A soma das áreas de duas regiões adjacentes é igual a área das duas regiões

combinadas.)

Manipulando esta equação obtemos

Substituindo a equação acima em (1) resulta em

De acordo com o teorema do valor médiotal que

Substituindo a equação acima em (2) temos que

Dividindo ambos os lados por

Note que a expressão do lado esquerdo da equação é o

Newton para F em x1.

Considere o limite com ∆x

A expressão do lado esquerdo da equação é a definição da derivada de

.


Manipulando esta equação obtemos

.

Substituindo a equação acima em (1) resulta em

.

teorema do valor médio para a integração, existe um c

.

Substituindo a equação acima em (2) temos que

.

Dividindo ambos os lados por ∆x temos

.

Note que a expressão do lado esquerdo da equação é o coeficiente diferencial

.

→ 0 em ambos lados da equação.

A expressão do lado esquerdo da equação é a definição da derivada de F

. Pá

gin

a3

8


c em [x1, x1 + ∆x]

coeficiente diferencial de

F em x1.

Para encontrar o outro limite, usaremos o intervalo [x1, x1 + ∆x], então

Também,

Assim, de acordo com o teorema do sanduíche

.

Substituindo em (3), temos

A função f é contínua em c, então o limite pode ser inserido na função. Assim, temos

Parte II

Esta é uma prova limite por

Considere f contínua no intervalo [quantidade

.

Considere os números

Que leva a

Agora, somamos cada F(quantidade resultante é igual:

A quantidade acima pode ser escriva como a seguinte soma:

Para encontrar o outro limite, usaremos o teorema do sanduíche. O número ], então x1 ≤ c ≤ x1 + ∆x.

e .

teorema do sanduíche,

.

, então o limite pode ser inserido na função. Assim, temos

; que completa a prova. (Leithold et al, 1996)

Esta é uma prova limite por Soma de Riemann.

contínua no intervalo [a, b], e F a antiderivada de f. Comece com a

Considere os números x1 a xn

.

.

(xi) juntamente com sua inversa aditiva, de forma que a quantidade resultante é igual:

A quantidade acima pode ser escriva como a seguinte soma:

Pá

gin

a3

9

. O número c está no

, então o limite pode ser inserido na função. Assim, temos

. Comece com a

tal que

) juntamente com sua inversa aditiva, de forma que a

Aqui, aplicamos o teorema do valor médio

Considere f contínua no intervalo fechado [b). Então existe um c em (a

Segue que

A função F é diferenciável no intervalo [intervalo xi-1. Logo, de acordo com o teorema do valor médio (acima),

Substituindo a equação acima em (1), temos

Esta consideração implica que como ∆x de partição i.

Note que estamos descrevendo a área de um retângulo, como o produto de sua largura pelo comprimento, e somando as áreas obtidas. Cada retângulo, por virtude do do Valor Médio, descreve uma aproximação da seção da curva traçada. Note também que ∆xi não precisa ser o mesmo para qualquer valor de larguras dos retângulos podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a largura da

teorema do valor médio. Como anteriormente, é o seguinte:

contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b) tal que

.

.

é diferenciável no intervalo [a, b]; logo, ela é também diferenciável em cada . Logo, de acordo com o teorema do valor médio (acima),

.

Substituindo a equação acima em (1), temos

.

o implica que F'(ci) = f(ci). Também, xi − xi − 1 pode ser expressado

Note que estamos descrevendo a área de um retângulo, como o produto de sua largura pelo comprimento, e somando as áreas obtidas. Cada retângulo, por virtude do

, descreve uma aproximação da seção da curva traçada. Note também não precisa ser o mesmo para qualquer valor de i, ou em outras palavras que as

los podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a largura da

Uma sequência convergente de

somas de Riemann. Os números

na parte superior direita são as

áreas dos retângulos cinzentos.

Convergem para o integral da

função

Pá

gin

a4

0

. Como anteriormente, é o seguinte:

] e diferenciável no intervalo aberto (a,

]; logo, ela é também diferenciável em cada

pode ser expressado

Note que estamos descrevendo a área de um retângulo, como o produto de sua largura pelo comprimento, e somando as áreas obtidas. Cada retângulo, por virtude do Teorema

, descreve uma aproximação da seção da curva traçada. Note também , ou em outras palavras que as

los podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a largura da

Uma sequência convergente de

somas de Riemann. Os números

na parte superior direita são as

áreas dos retângulos cinzentos.

Convergem para o integral da

curva com n retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e aumentando, resultando em maior número de partições para cobrir o espaço, chegaremos mais e mais perto da real áre

Tomando-se o limite da expressão com a norma das partições tentendo a zero, chegamos na Integral de Riemanndas partições aproxima-se de zero em tamanho , então temos que todas as outras partições são menores e o número de partições se aproxima do infinito.

Então, tomamos o limite em ambos lados de (3). Que resulta

Nem F(b) nem F(a) são dependentes de ||F(a).

A expressão do lado direito da equação define a integral ao longo de obtemos

que completa a prova.

Exemplos

Como um exemplo, suponha que precisamos calcul

Aqui, f(x) = x2 e podemos usar

Generalizações

Não precisamos assumir a continuidade de do teorema diz que: se f é uma número em [a,b] tal que f é contínuo em

retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e aumentando, resultando em maior número de partições para cobrir o espaço, chegaremos mais e mais perto da real área da curva.

se o limite da expressão com a norma das partições tentendo a zero, Integral de Riemann. Que quando, tomamos o limite quando a mais larg

se de zero em tamanho , então temos que todas as outras partições são menores e o número de partições se aproxima do infinito.

Então, tomamos o limite em ambos lados de (3). Que resulta

) são dependentes de ||∆||, então o limite do lado esquerdo fica

A expressão do lado direito da equação define a integral ao longo de f de

Como um exemplo, suponha que precisamos calcular

e podemos usar F(x) = (1 / 3)x3 como a antiderivada. Logo:

Não precisamos assumir a continuidade de f em toda a extensão do intervalo. A Parte I é uma função integral de Lebesgue qualquer em é contínuo em x0, então

Pá

gin

a4

1

retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e n aumentando, resultando em maior número de partições para cobrir o espaço,

se o limite da expressão com a norma das partições tentendo a zero, . Que quando, tomamos o limite quando a mais larga

se de zero em tamanho , então temos que todas as outras

ão o limite do lado esquerdo fica F(b) -

de a até b. Logo,

como a antiderivada. Logo:

em toda a extensão do intervalo. A Parte I qualquer em [a,b] e x0 é um

é diferenciável para x = x0 supor que ela é pelo menos localmente integrável. Neste caso, podemos concluir que a função F é diferenciável quase em toda sua extensãoextensão. Isto é geralmente conhecido como

A Parte II do teorema é verdadepossui uma antiderivada F (nem todas a funções integrais possuem, entretanto).

A versão do teorema de Taylorvisto como uma generalização do teorema fundamental.

Há uma versão do teorema para funções de conjunto aberto em C e f: UF em U. Então para cada curva como

O teorema fundamental pode ser generalizado para curvas e superfícies integrais em maiores dimensões e em manifolds

E a mais poderosa declaração neste direção é o

Referências

• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.

• Larson, Ron, Bruce H. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.

• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable

College Publishers. • A Malet, Studies on James Gregorie (1638

• H W Turnbull (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume

com F'(x0) = f(x0). Podemos tirar ainda mais restrições de supor que ela é pelo menos localmente integrável. Neste caso, podemos concluir que a

quase em toda sua extensão e F'(x)=f(x) em quase toda sua extensão. Isto é geralmente conhecido como Teorema da diferenciação de Lebesgue

A Parte II do teorema é verdadeira para qualquer função integral de Lebesgue (nem todas a funções integrais possuem, entretanto).

teorema de Taylor que expressa o termo erro como uma integral pode ser visto como uma generalização do teorema fundamental.

Há uma versão do teorema para funções de números complexos: suponha que U -> C é uma função que tem uma antiderivada

. Então para cada curva γ : [a, b] -> U, a curva integral pode ser computada

O teorema fundamental pode ser generalizado para curvas e superfícies integrais em manifolds.

E a mais poderosa declaração neste direção é o Teorema de Stokes.

Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.

Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable

Boston: Houghton Mifflin Company, 2002. The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins

Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).The James Gregory Tercentenary Memorial Volume

Pá

gin

a4

2

. Podemos tirar ainda mais restrições de f e supor que ela é pelo menos localmente integrável. Neste caso, podemos concluir que a

em quase toda sua Teorema da diferenciação de Lebesgue.

ira para qualquer função integral de Lebesgue f que (nem todas a funções integrais possuem, entretanto).

a o termo erro como uma integral pode ser

: suponha que U é um é uma função que tem uma antiderivada holomórfica

pode ser computada

O teorema fundamental pode ser generalizado para curvas e superfícies integrais em

Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early

Calculus of a single variable. 7th ed.

6th ed. New York: HarperCollins

(PhD Thesis, Princeton, 1989). The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)

ANEXO 5

Integral de Riemann(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann

No ramo da matemática conhecido como por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de intetécnicas podem ser remediadas pela desaparece na integral Lebesgue

Visão geral

Seja f(x) uma função não negativa valida para os S = (x,y) | 0 < y < f(x) uma região plana sobre a função (veja na figura 2). O nosso interesse é medir a área de medição, iremos denotá-la por:

Índice

• 1 Visão geral • 2 Definição da integral de

Riemann o 2.1 Partições de

um intervaloo 2.2 Soma de

Riemann o 2.3 A integral de

Riemann

Integral de Riemann http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann)

conhecido como análise real, a integral de Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral

. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas técnicas podem ser remediadas pela integral Riemann-Stieltjes, e a maioria deles

integral Lebesgue.

uma função não negativa valida para os números reais do intervalo uma região plana sobre a função f(x) e acima do intervalo

(veja na figura 2). O nosso interesse é medir a área de S. Uma vez realizada esta la por:

Figura 2

Definição da integral de

tições de um intervalo

Soma de

A integral de

Pá

gin

a4

3

integral de Riemann, criada integral de uma função

. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos gral. Algumas deficiências destas

a maioria deles

do intervalo [a,b], e seja e acima do intervalo [a,b] . Uma vez realizada esta

A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade para a área de S. Para se ter "no limite" iremos obter exatamente a área de

Note que onde f pode ser positivo e negativo, a integral corresponde a "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo

Definição da integral de Riemann

Partições de um intervalo

Uma partição de um intervalo

sub-intervalo da partição. A mais longo sub-intervalo

. Isto também é conhecido como

Uma partição de um intervalo etiquetado

com uma sequência finita de números

. Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária.

Suponha que de [a,b], e que etiquetada de [a,b]. Nos poderemos dizer que

são um refinamento da i com , exista um inteiro

com de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto não chega a lugar algum.

Nos podemos definir uma partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um refinamento da menor.

A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade . Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nos podemos dizer que

"no limite" iremos obter exatamente a área de S sob a curva.

pode ser positivo e negativo, a integral corresponde a "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo x é positiva e a área abaixo do eixo x negativa.

Definição da integral de Riemann

Partições de um intervalo

partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita

. Cada [xi,xi + 1] é denominado como um da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do

intervalo [xi,xi + 1], isto é, aquele em que max(xi

. Isto também é conhecido como norma de partição.

partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente

com uma sequência finita de números sujeito a condição que para cada

. Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma

e para uma partição ordinária.

juntamente com são uma partição etiquetada juntamente com seja uma outra partição

. Nos poderemos dizer que e

juntamente com se para cada int, exista um inteiro r(i) tal que xi = yr(i) e tal que ti =

. Falando de uma maneira mais simples, um refinamento de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto

Nos podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um

Uma soma de Riemann. Os

números no canto superior

direito são as áreas dos

retângulos cinza. Eles convergem

para a integral da função

Pá

gin

a4

4

A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade uma aproximação cada vez melhor, nos podemos dizer que

pode ser positivo e negativo, a integral corresponde a "área com sinal"; negativa.

é uma sequência finita

é denominado como um de uma partição é definida como o comprimento do

+ 1 − xi) onde

ão de um intervalo juntamente

sujeito a condição que para cada i,

. Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma

são uma partição etiquetada seja uma outra partição

juntas

se para cada inteiro = sj para algum j

. Falando de uma maneira mais simples, um refinamento de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto

um subconjunto de todas as etiquetas de partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um

Uma soma de Riemann. Os

números no canto superior

direito são as áreas dos

retângulos cinza. Eles convergem

para a integral da função

Soma de Riemann

Escolha uma função válida para números reais [a,b]. A Soma de Riemann

é:

Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um retângulo com a altura f(ti)sinalizada de todos os retângulos.

A integral de Riemann

Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.

Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de se igualara a S se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo ε > 0, onde exi

e

Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que a original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de seguintes condições foram consideradas:

Para todo ε > 0, existe uma p

que para qualquer refinamento

, nos teremos

Escolha uma função válida para números reais f a qual se encontra definida no intervalo Soma de Riemann de f com respeito a partição denominada

Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um

) e o comprimento xi + 1 − xi. A soma de Riemann é a área sinalizada de todos os retângulos.

A integral de Riemann

Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o significado preciso a cerca do que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.

Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa

mação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de

se as seguintes condições foram consideradas:

, onde exista δ > 0 tal que para qualquer partição etiquetada

onde a malha seja menor que δ, nos temos:

Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral de Riemann a qual seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que a original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de f é igual a seguintes condições foram consideradas:

, existe uma partição etiquetada e

que para qualquer refinamento e de

, nos teremos

Pá

gin

a4

5

a qual se encontra definida no intervalo com

Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um

. A soma de Riemann é a área

Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma significado preciso a cerca do

Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa

mação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de f

tal que para qualquer partição etiquetada

, nos temos:

Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para de Riemann a qual

seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que a é igual a s se as

tal

de e

Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de partição que seja selecionada que leve a se aproximar de não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos que a soma Riemann convergira para conceito mais geral, uma rede

Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, s funciona na sua primeira definição se e somente se segunda definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos com um ε, e escolhemos um etiquetada onde a malha é menor que qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em segunda definição implica na primeira, isto é facilitado com uso da Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição

inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro

do valor s da integral de Darboux. Seja

o supremum e infimum, respectivamente, de

. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de

respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de

Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de f com respeito para qualquer partição que seja selecionada que leve a se aproximar de s. Desde que isto seja verdade, ão importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos

que a soma Riemann convergira para s. Esta definição é sempre um caso especial de um rede.

Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras funciona na sua primeira definição se e somente se s funciona na sua

a definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos , e escolhemos um δ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição

etiquetada onde a malha é menor que δ. Esta soma Riemann é em dentro ento desta partição ira também ter uma grade menor que

soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em ε de s. Para mostrar que a segunda definição implica na primeira, isto é facilitado com uso da integral DarbouxPrimeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da integral Darbouxpara isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição


da integral de Darboux. Seja r igual , onde

, respectivamente, de f em [xi,xi + 1], e sendo δ menor que

. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de

respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que δ ira estar em dentro de da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de ε de

Pá

gin

a4

6

com respeito para qualquer . Desde que isto seja verdade,

ão importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos . Esta definição é sempre um caso especial de um

Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras funciona na sua

a definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição

. Esta soma Riemann é em dentro ε de s, e ento desta partição ira também ter uma grade menor que δ, então a

. Para mostrar que a integral Darboux. integral Darboux,

para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de tal que o limite


, onde Mi e mi são

menor que e

. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de f com

ira estar em dentro de de s.

Pá

gin

a4

7

ANEXO 6

Integral de Lebesgue (http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesgue)

Em matemática a integral de Lebesgue é uma generalização do conceito de integral de

Riemann. Originalmente definida para funções , a integral de Lebesgue apresenta diversos vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões à Riemann de teoremas como o teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e o lema de Fatou.

A integral de Lebesgue é, no entanto, uma construção matemática generalizável para funções definidas em um espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou mesmo, em um espaço de Banach geral.

Construção

Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.

Considere, então, um espaço de medida.

A integral de uma função positiva

pode ser interpretada como a

área sob a curva do gráfico

Índice

• 1 Construção o 1.1 Funções

positivas o 1.2 Funções reais

• 2 Propriedades • 3 Comparação com a

integral de Riemann • 4 Ver também

===Funções simples=== made by ossman A. Agij Seja função simples:

Diz-se que é Lebesgue integrável

neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de

Funções positivas

Seja uma

em como:

A função é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é

• Quando é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.

• A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável

Funções reais

Seja negativas, respectivamente como:

===Funções simples=== made by ossman A. Agij Seja

Lebesgue integrável em se:

ficando bem convencionado que

neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de como:

uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de

, onde é uma função simples.

é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:

é uma função simples, esta definição é consistente com a definição

A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:

Pá

gin

a4

8

uma

ficando bem convencionado que

se a integral de Lebesgue de

é uma função simples.

finita. Observações:

é uma função simples, esta definição é consistente com a definição

A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A

se as partes positivas e

É fácil ver que se é mensurável, então ambas

negativas e que

A função é dita Lebesgue integrável em

forem finitas e sua integral é definida como:

• Observe que é integrável se e somente se

Propriedades

Se e são funções integráveis em um conjunto mensurável

•

• quase sempre, então

•

• mensurável,

• Se são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e

então:

•

é mensurável, então ambas e são mensuráveis não

.

é dita Lebesgue integrável em se ambas as integrais

forem finitas e sua integral é definida como:

é integrável se e somente se é integrável.

são funções integráveis em um conjunto mensurável

quase sempre, então

mensurável, é integrável em e, ainda:

são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e

então:

define uma medida nos subconjuntos mensuráveis de

Pá

gin

a4

9

são mensuráveis não

se ambas as integrais e

é integrável.

, então:

são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e

nos subconjuntos mensuráveis de .

Pá

gin

a5

0

Comparação com a integral de Riemann

• A integral de Riemann no sentido próprio só está definida em intervalos finitos ou na

união finita destes. Se uma função é integrável a Riemann em um intervalo então a integral de Lebesgue também está definida e possui o mesmo valor.

• Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio.

• O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.

Ver também

• Integral de Riemann • Medida de Lebesgue • Espaço Lp

* Este texto foi obtido na Wikipédia, conforme endereços indicados, em 20/ago/2008, por Luiz Roberto Rosa.

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