Cad C2 Teoria 2serie 2bim Matematica

MATEMTICA 1

1. Teorema de Rouch-CapelliSeja o sistema linear:

A Matriz Incompleta associada ao sistema

e a Matriz Completa

.

Chamando de p a caracterstica da M.I., de q acaracterstica da M.C. e sendo n o nmero de incgnitas,o teorema de Rouch-Capelli afirma que:

2. Como resolver um sistema determinadoSe S Possvel e Determinado, a soluo nica

pode ser obtida usando a Regra de Cramer ou qualqueroutro mtodo, observando que:

a) Se o nmero de incgnitas (n) for igual ao nmerode equaes (m) ento o sistema S ser normal.

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M201

No Portal Objetivo

p q S Impossvel

p = q = n S Possvel e Determinado

p = q < n S Possvel e Indeterminado

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2M.C. = .........................................am1 am2 amn bm

a11 a12 a1na21 a22 a2n M.I. = ...............................am1 am2 amn

a11x1 + a12x2 + ................... a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ................... a2nxn = b2

(S) ...................................................................am1x1 + am2x2 + ................... amnxn = bm

Sistemas Lineares Anlise Combinatria Probabilidade Mdulos17 Discusso de um sistema linear18 Discusso de um sistema linear19 Sistema linear homogneo20 Fatorial e nmero binomial21 Propriedades

dos nmeros binomiais22 Binmio de Newton

Desenvolvimento de (x + y)n23 Binmio de Newton

Desenvolvimento de (x + y)n24 Anlise combinatria

Princpio da contagem e arranjos

25 Permutaes26 Combinaes simples27 Arranjos, permutaes e

combinaes: exerccios28 Arranjos completos e

combinaes completas29 Probabilidade definio30 Unio de eventos31 Interseco de eventos32 Lei binomial de probabilidade

Blaise Pascal (19/06/1623 19/08/1662)

Criao da Teoria das probabilidades

17 e 18Discusso deum sistema linear

Matrizes do sistema Caracterstica Incgnitas

C2_2oA_MAT_prof_Rose_2011 10/01/12 13:41 Pgina 1

b) Se o nmero de incgnitas (n) for menor que onmero de equaes (m), devemos resolver o sistemanormal S obtido de S abandonando m n equaesconvenientes.

3. Como resolver um sistema indeterminadoPara obter as infinitas solues de um sistema S,

possvel e indeterminado, devemos:a) Retirar de S um novo sistema normal S com p

equa es e p incgnitas, abandonando algumasequa es e passando para o segundo membro algu -

mas incgnitas.b) Atribuir valores arbitrrios s incgnitas que foram

para o segundo membro.c) Resolver o sistema S utilizando a Regra de Cra -

mer ou qualquer outro processo.

4. Grau de indeterminaoO grau de indeterminao de um sistema possvel e

indeterminado a diferena entre o nmero de incg -nitas e a caracterstica da matriz. , portanto, o nmeron p e corresponde ao nmero de incgnitasescolhidas arbitrariamente.

MATEMTICA2

Discutir o sistema

Resoluoa) A caracterstica p da matriz

MI = 2 pois 0

b) A caracterstica q da matriz

MC = 3 pois

0

c) p = 2, q = 3 p q o sistema no temsoluo.

Discutir e resolver o sistema


MI = 2 pois 0

b) A caracterstica q da matriz

MI = 2

pois = 0

c) p = q = n = 2 sistema possvel deter -minado.

d) Abandonando a terceira equao, resolve-seo sistema

e) Resolvendo por substituio ou por elimi -

nao ou pela Regra de Cramer obtm-se

x = y = 1.

x + y = 12x y = 1

3x + 2y = 5

x + 2y = 3

x y = 0

112

2 1

1

303

112

2 1

1

303

11

2 111

2

2 1

1

x + 2y = 3x y = 0

2x + y = 3

123

1 1

2

115

123

1 1

2

115

12

1 112

3

1 1

2

Exerccios Resolvidos Mdulos 17 e 18

Nas questes de a , discutir e resolver (se tiver soluo)cada sistema.

RESOLUO:n = 2

MI =

MC = = 5 0

q = 2

p = q = n SPD

( 2) . I + II : 5y = 5 y = 1

x = 1 3y x = 4

V = {(4, 1)}

RESOLUO:n = 2

MI = = 11 0

p = 2

MC = 0 q = 2

p = q = n SPD3 . II + I ; 11x = 11 x = 1y = 1 + 3x y = 2V = {(1, 2)}

x + 3y = 12x + y = 7

det MI = 5 0p = 2

1

2

3

112

3112 31 17

2x + 3y = 83x y = 15x + 2y = 9

2

3

3

1235312

det MC = 0

235312

819

23

3 1

Exerccios Propostos Mdulo 17


MATEMTICA 3

RESOLUO:n = 2

MI = = 11 0

p = 2

MC = = 55 0

q = 3

p = 2, q = 3 p q S.I. V =

RESOLUO:

n = 3

MI = = 1 0

p = 2

MC = = 1 0

q = 2

p = q < n SPI

Fazendo-se z = , temos:

(1) . I + II : x = 1

1 + y = 9 2 y = 10 3

V = {( 1, 10 3, ), }

(ENEM) O mapa abaixo representa um bairro de de ter -minada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mosdo trfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cadaquadra representada na figura um terreno quadrado, de ladoigual a 200 metros.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, emminutos, que um nibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar at oponto Y?a) 25 min. b) 15 min. c) 2,5 min.d) 1,5 min. e) 0,15 min.

RESOLUO:

Considerando o menor dos percursos possveis, par tindo de X, onibus dever seguir o percurso as sinalado no diagrama acima,percorrendo 5 quadras de 200 metros cada uma.O tempo t gasto nesse percurso tal que:

t = = = . h = . 60 min

t = min = 1,5 min

Resposta: D

2x + 3y = 83x y = 15x + 2y = 4

235

3 1

2

2

3

3

1

235

312

814

235

312

814

x + y + 2z = 92x + y + z = 8

1211

21 12 11

1211

21

98 12 11

x + y = 9 2 I2x + y = 8 II

5 x 200m

40 km/h

1 km40 km/h

140

140

32


MATEMTICA4

(MAU) Para que valores de k o sistema abaixo possvel e determinado?

RESOLUO:

S.P.D. det MI 0 k 6 0 k 6

(FATEC) Para que o sistema linear

seja possvel e determinado, necessrio quea) m = 2 ou m = 1 b) m = 2 ou m = 1c) m = 2 ou m 1 d) m 2 e m = 1e) m 2 e m 1

RESOLUO:

S.P.D. det MI 0 1 m 1 + m2 0

m2 m 2 0 m 2 e m 1

Resposta: E

(UNIP) O sistema nas incgnitas x e y,

tem infinitas solues. O valor de a . b :a) 2 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16

RESOLUO:

Para que o sistema tenha infinitas solues devemos ter:

a . b = 12

Resposta: D

(ENEM) O grfico a seguir mostra a evoluo, de abril de2008 a maio de 2009, da populao economicamente ativapara seis Regies Metropolitanas pesquisadas.

Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas. Coordenao de Trabalho e Rendimento.

Pesquisa mensal de Emprego.

Disponvel em: www.ibge.gov.br

Considerando que a taxa de crescimento da populaoeconomicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, entoo nmero de pessoas economicamente ativas em 06/09 serigual aa) 23.940. b) 32.228. c) 920.800.d) 23.940.800. e) 32.228.000.

RESOLUO:Se a populao economicamente ativa em 05/09 23.020.000 e ataxa de crescimento entre 05/09 e 06/09 4%, ento o nmero depessoas economicamente ativas em 06/09 104% . 23.020.000 = 23.940.800Resposta: D

kx + 3y = 22x y = 0

n = 2

k 3MI = 2 1

x + my + z = 0mx + y z = 4x z = 2

n = 3

1 m 1MI = m 1 1

1 0 1

x + ay = 32x + 4y = b

x + ay = 32x + 4y = b x + ay = 3(4 2a) . y = b 6

4 2a = 0b 6 = 0 a = 2b = 6



MATEMTICA 5

19 Sistema linear homogneo Soluo trivial

Seja S um sistema linear homogneo com mequaes a n incgnitas e sejam p e q as caractersticasdas matrizes incompleta e completa, respectivamente.

Sendo nula a ltima coluna da matriz completa con -clui-se que p = q.

Sendo nulos os segundos membros de todas asequaes conclui-se que a nupla (0, 0, ..., 0) soluode qualquer sistema linear homogneo.

chamada soluo trivial.

Assim sendo:

a) Todo sistema linear homogneo possvel

pois p = q sempre.

b) Todo sistema linear homogneo admite pelo

menos a soluo trivial (0, 0, ...,0).

c) Se p = n o sistema determinado e a nica

soluo a trivial.

d) Se p < n o sistema indeterminado e, admite

outras solues, alm da trivial.

a11x1 + a12x2 + ...................... + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + ...................... + a2nxn = 0

..........................................................................

am1x1 + am2x2 + ...................... + amnxn = 0S

Discutir e resolver o sistema


2 pois 0 e

= 0

b) Sendo p = q = 2 < n = 3 conclumos que osistema possvel e indeter mina do.

c) Fazendo z = k e abandonando a ltimaequao temos:

d) Se x = k, y = 3k e z = k ento V = {(k, 3k, k)}, k .

e) Observe que (0; 0; 0), (1; 3; 1), (2; 6; 2),so algumas das infinitas solues do sis -tema.

Determinar m para que o sistema

tenha apenas a soluo

trivial.

Resoluo

a) S a soluo trivial S.P.D. p = n = 3

b) p = 3 0 m 4

Resposta: m 4

2x + y + z = 0 x y 4z = 04x y 7z = 0

214

111

1 47

23 57214

1 1 1

1 4 7

2x + y k x = k x y = 4k y = 3k

2x + y + 3z = 0

3x + 2y + z = 05x + 3y + mz = 0

235

123

31m

Nas questes a , discutir e resolver cada sistema.

RESOLUO:

1o.) = 1 0; logo, p = q = n = 2 (S.P.D.)

2o.) A nica soluo possvel a nula: x = y = 0

S = {(0; 0)}

RESOLUO:

1o.) = 5 + 12 + 4 8 2 15 = 4 0

p = q = n = 3 (S.P.D.)

2o.) A nica soluo possvel a nula: x = y = z = 0

S = {(0; 0; 0)}

2x + 3y = 03x + 4y = 0

23

34

x + y + 2z = 03x + y + z = 04x + 2y + 5z = 0

134

112

215


RESOLUO:

1o.) = 0, pois L2 = L1 + L3

Logo, o sistema admite outras solues alm da trivial. (S.P.I.)

2o.) Abandonando a equao (2) e fazendo z = , temos:

Logo: S = {(, 2, ), }

RESOLUO:

Observando que = 0 3a 12 = 0 a = 4

conclumos que:

a) Se a 4, ento o sistema ser possvel e determinado e a nica

soluo a trivial S = {(0, 0)}.

b) Se a = 4, ento o sistema ser possvel e indeterminado e as

solues so do tipo

S = k, ; k

(ENEM) A msica e a matemtica se encontram narepresentao dos tempos das notas musicais, conforme afigura seguinte.

Um compasso uma unidade musical composta por deter -minada quantidade de notas musicais em que a soma dasduraes coincide com a frao indicada como frmula do

compasso. Por exemplo, se a frmula de compasso for ,

poderia ter um compasso ou com duas semnimas ou umamnima ou quatro colcheias, sendo possvel a combinao dediferentes figuras.Um trecho musical de oito compassos, cuja frmula

, poderia ser preenchido com

a) 24 fusas.b) 3 semnimas.c) 8 semnimas.d) 24 colcheias e 12 semnimas.e) 16 semnimas e 8 semicolcheias.

RESOLUO:24 colcheias e 12 semnimas =

24 . + 12 . = 3 + 3 = 6 = 8 .

Resposta: D

3x + y 5z = 04x 3y + 2z = 0x 4y + 7z = 0

341

1 3 4

527

3x + y = 5x 4y = 7 x =

y = 2

3x + 2y = 06x + ay = 036

2a

x = k

3k y =

2 3k2

12

34

18

14

34

MATEMTICA6


MATEMTICA 7

20 Fatorial e nmero binomial Nmero natural Fatorial

1. FatorialO fatorial de um nmero natural n, representado

pelo smbolo n! (l-se: n fatorial ou fatorial de n), umnmero definido por:

, n *

Observe que uma definio por recorrncia, ouseja: cada fatorial calculado com a utilizao do fatorialanterior. Assim:

De um modo geral, pois, temos:

Exemplos1. Calcular 5!

Resoluo5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

2. Calcular

Resoluo

= = 6 . 5 = 30

2. Nmero binomialSendo n e k dois nmero naturais, o nmero

binomial de ordem n e classe k, ou simplesmente o

binomial n sobre k, representado pelo smbolo ,

um novo nmero natural definido por:

, se n k

, se n < k

Exemplos

a) = = = = 10

b) = = = 35

0! = 1n! = n . (n 1)!

0! = 11! = 1 . 0! = 1 . 1 = 12! = 2 . 1! = 2 . 13! = 3 . 2! = 3 . 2 . 1! = 3 . 2 . 14! = 4 . 3! = 4 . 3 . 2! = 4 . 3 . 2 . 1n! = n . (n 1)! = n . (n 1) . (n 2)! = ...

n! = n . (n 1) . (n 2) ... 3 . 2 . 1

6!4!

6!4!

6 . 5 . 4!

4!

n k

n n! = k k! (n k)!

n = 0k

5 35!

3!(5 3)!

5!3! 2!

5 . 4 . 3!/

3!/ 2 . 1

7 47!

4!3!

7 . 6 . 5 . 4!/

4!/ . 3 . 2 . 1


No Portal Objetivo

(ESPM MODELO ENEM) A expresso

equivale a

a) 4 . 13! b) 4! . 13! c) 15!d) 16 . 13! e) 16!

Resoluo

=

= =

= 2 . 1 . 2 . 2 . 2 . 7 . 6 . 5 . 13! =

= 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 2 . 7 . 13! = = 16 . 15 . 14 . 13! = 16!Resposta: E

Calcule o valor de cada nmero binomialdado a seguir.

a) b) c) d)

Resoluo:

a) = =

= = 792

b) = = = 792

c) = = 1

d) = = 1

1252 . 1 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4! . 13!

4!

2! . 8! . 13!

4!

2! . 8! .13!

4!

127 50 55

125 12!

5! 7!

12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7!

5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 7!

127 12!

7! 5!

12

5

50 5!

0! 5!

55 5!

5! 0!


MATEMTICA8

O valor de 6! :a) 120 b) 720 c) 5040d) 2520 e) 1440

RESOLUO:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Resposta: B

7! O valor de :

5!a) 7 b) 210 c) 40 d) 42 e) 60

RESOLUO:

= = 42

Resposta: D

Simplificando , com n *, obte mos:

a) n + 1 b) n c) n 1d) n(n 1) e) (n + 1) . n

RESOLUO:

(n + 1)! (n + 1) . n . (n 1)! = = n(n + 1) . (n 1)! (n + 1) . (n 1)!

Resposta: B

Nas questes de a , calcular os nmeros bino miais.

=

RESOLUO:

= = 6

=

RESOLUO:

7! 7 . 6 . 5 . 4/! 7 . /6 . 5 = = = 353!(7 3)! 3! . 4/! 3 . 2 . 1

= Resposta: 1

= Resposta: 1

= Resposta: 0

(ENEM) As figuras a seguir exibem um trecho de umquebra-cabeas que est sendo montado. Observe que aspeas so quadradas e h 8 peas no tabuleiro da figura A e 8peas no tabuleiro da figura B. As peas so retiradas dotabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A naposio correta, isto , de modo a completar os desenhos.

Disponvel em http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009

possvel preencher corretamente o espao indicado pelaseta no tabuleiro da figura A colocando a peaa) 1 aps gir-la 90 no sentido horrio.b) 1 aps gir-la 180 no sentido anti-horrio.c) 2 aps gir-la 90 no sentido anti-horrio.d) 2 aps gir-la 180 no sentido horrio.e) 2 aps gir-la 270 no sentido anti-horrio.

RESOLUO: possvel preencher corretamente o espao indicado pela seta dafigura A utilizando a pea 2, aps gir-la de 90 no sentido anti-ho -rrio, conforme mostra o destaque

Resposta: C

7!5!

7 . 6 . 15/!

15/!

(n + 1)!(n + 1) . (n 1)!

4 2

4!2!(4 2)!

24/ . 3 . 2/!12/ . 1 . 2/!

7 3

7 0

8 83 6


MATEMTICA 9

21Propriedades dos nmeros binomiais

Tringulo de Pascal Linhas Colunas Diagonais

1. Binomiais complementares

Os nmeros binomiais e , chamados

complementares, so iguais.

Simbolicamente, supondo n k:

Demonstrao

Consequncia da propriedade

Se os nmeros naturais n, k e p forem tais que n k e n p ento:

ExemploResolva a equao

= 0

Resoluo

= 0

2x + 1 = 7 x ou 2x + 1 + 7 x = 17 x = 2 ou x = 9

O nmero 9 no raiz pois para x = 9 o nmero 7 x no natural.Resposta: V = {2}

2. Relao de STIFELSe n *, k * e n k ento:

Demonstrao

Observao

3. Relao de FERMATSe n , k e n k ento:

Demonstrao

a) . =

= . =

b) =

c) De (a) e (b), concluiu-se que:

. =

Observao

A Relao de Fermat permite calcular, de umamaneira muito sim ples, os coeficientes dodesen vol vimento de (x + y) n. o que veremosno item 2.d do mdulo 22.

n k + 1n kk + 1

n k

n!(k + 1)! (n k 1)!

n k + 1

n!(k + 1)!(n k 1)!

n kk + 1

n!k!(n k)!

n kk + 1

n k

n n k n . = k k + 1 k + 1

A principal aplicao da Relao de Stifel naconstruo do Tringulo de Pascal, como vere -mos no item 5.

n 1 n 1 (n 1)! (n 1)! + = + = k 1 k (k 1)! (n k)! k!(n k 1)!k . (n 1)! + (n k) . (n 1)!

= = k!(n k)!

[k + (n k)] . (n 1)!= =

k!(n k)!

n . (n 1)! n! n= = = k!(n k)! k!(n k)! k

n 1 n 1 n + = k 1 k k

17 7 x17 2x + 1

17 7 x17 2x + 1

n n = k = p ou k + p = nk p

n n = k n k

n n! = k k!(n k)!n n! n! = = n k (n k)![n (n k)]! (n k)!k

n n = k n k

n( )n kn k


4. Binomiais do tipo e

e , n

Demonstrao

a) = = = 1

b) = = = 1

5. Tringulo de PascalDefinio

uma tabela formada por nmeros binomiais, do

tipo , dispostos de tal forma que os binomiais de

mes mo n, situam-se na mesma linha e os de mesmo kna mesma coluna.

Construo do Tringulo de Pascal

Uma maneira de construir o Tringulo de Pascal

calcular os nmeros pela definio. Pode-se, en -

tretanto, construir sem calcular cada um dos bino miais. Basta notar que:a) O primeiro e o ltimo elemento de cada linha so

sempre iguais a 1 pois

b) Os demais elementos de cada linha so obtidosusando a Relao de Stifel.

Observe que os binomiais da relao

+ = , dispostos no Tringulo de

Pascal, sugerem que

somando-se dois nmeros binomiais consecutivos deuma mesma linha, o resultado encontra-se abaixo dobinomial da direita.

Observe a sequncia da cons tru o do tringulo

etc.

n k

1

1

1

1

1

1

2

3

+=

1

1

3

d)

1

1

1

1

1

1

1

2

3

+=

1

1

c)

1

1

1

1

1

1

1

2

+=

1

b)

1

1

1

1

1

1

1...

1

1

1

1

a)

n 1k 1

n 1k

nk

+ =

n 1k 1

+ n 1k

=

nk

n 10

n 11

n 12

. . . n 1k 1

00

10

11

20

21

22

...

+ n 1k

=

. . .

. . . nk 1

n0

n1

n2

nk

. . . .

n kn 1 k

n 1 k 1

0 1 2 n = = = ... = = 1, n 0 0 0 00 1 2 n = = = ... = = 1, n 0 1 2 n

n k

nnn4

n3

n2

n1

n0

4443

42

41

40

3332

31

30

2221

20

1110

00

n!n! . 1

n!n!0!

n n

n!1 . n!

n!0!n!

n 0

n = 1nn = 10

n nn 0

1

1

1

1

1

1

2

3

4

+=

1

1

3

1

e)

MATEMTICA10


a) Em qualquer linha, a partir da segunda, dois bi -no miais equidistantes dos extremos so iguais, poisso binomiais complementares.

Exemplo

A linha do tringulo correspondente a n = 5 :

b) A soma de todos os binomiais da linha n 2n.

Exemplo

+ + + + + = 25 = 32

c) A soma dos binomiais da coluna k, a partir doprimeiro, igual ao binomial localizado na prxima linhae na prxima coluna do ltimo binomial somado.

Exemplos

Generalizando:

d) A soma dos binomiais de uma diagonal (para -lela ao lado oblquo do tringulo), a partir do primeiro, igual ao binomial abaixo do ltimo binomial somado.

Exemplos

Generalizando:

k k + 1 k + 2 n n + 1 + + ++ = 0 1 2 n k n k

2 3 4 5 + + = 0 1 2 2

0 1 2 3 4 5 + + + + = 0 1 2 3 4 4

10

20

30

40

11

21

31

41

44

54

55

50

51

53

33

43

22

32

42

52

00

+

+

+ +

+ +

= =

k k + 1 k + 2 n n + 1 + + ++ = k k k k k + 1

2 3 4 5 + + = 2 2 2 3

0 1 2 3 4 5 + + + + = 0 0 0 0 0 1

00

10

20

30

40

50

11

21

31

41

51

22

32

42

52

33

43

53

44

54

+

+

+

+

+

+

==

5554

53

52

51

50

n n n n + + + + = 2n0 1 2 n

1 5 10 10 5 1

MATEMTICA 11

6. Propriedades do tringulo de Pascal

Calcular

Resoluo

Observando, pela Relao de Stifel, que

, temos:

Resposta: 969

19! 19.18.17= = = 969

16!.3! 3.2.1

18 18 19 = + = = 15 16 16

17 17 18 + + = 14 15 16

17 17 18 + = 14 15 15 17 17 18 + + 14 15 16


MATEMTICA12

Resolver, em , a equao = 0.

RESOLUO:

x = 2x 10 x = 10

ou

x + 2x 10 = 11 x = 7

S = {7; 10}

O tringulo de Pascal uma tabela de nmeros binomiais,dispostos como segue:

Reescreva o tringulo substitundo cada nmero binominal pe -lo seu valor e em seguida verifique as seguintes proprie dades:dos binomiais equidistantes dos extremos, das linhas, dascolunas e das diagonais.

RESOLUO:

Nas questes de a , completar:

+ =

RESOLUO:

+ = = = = 56

+ + + + + + =

RESOLUO:

+ + + + + + = 26 = 64

4 44 34 24 14 0

3 33 23 13 0

2 22 12 0

1 11 0

0 0

11 2x 1011 x

7 37 2

8 . 7 . 6 . /5!3 . 2 . 1 . /5!

8!3! (8 3)!

8 37 37 2

6 66 56 46 36 26 16 0

6 66 5

6 46 36 26 1

6 0

Calculando obtm-se

a) 120 b) 464 c) 495

d) 792 e) 912

Resoluo

=

= + + + + =

(soma na diagonal do tringulo de Pascal)=

Resposta: C

= 49512 . 11 . 10 . 9

4 . 3 . 2 . 1=

12 4

12 4

11 4

9 2

8 1

7 0

12 411 4

9 28 1

7 0

n + 7 n4

n = 0

n + 7 n4

n = 010 3

10 3


+ + + + =

RESOLUO:

+ + + + = =

= = = 70

+ + + + =

RESOLUO:

+ + + + = = 70

O valor :

a) 256 b) 255 c) 128 d) 127 e) 142

RESOLUO:

= + + + + + +

+ + = 28 =

= 28 1 = 256 1 = 255

Resposta: B

(ENEM) Em Florena, Itlia, na Igreja de Santa Croce, possvel encontrar um porto em que aparecem os anis deBorromeo. Alguns historiadores acreditavam que os crculosrepresentavam as trs artes: escultura, pintura e arquitetura,pois elas eram to prximas quanto insepa rveis.

Scientific American. ago. 2008.

Qual dos esboos a seguir melhor representa os anis deBorromeo?

RESOLUO:Acompanhando a figura, nota-se que o anel esquerdo est nafrente do anel superior e atrs do anel direito. Nota-se tambmque o anel direito est atrs do anel superior. Desta forma, omelhor esboo para os anis de Borromeo

Resposta: E

8 08 88 7

8 68 58 48 38 28 18 p8

p = 1

8 p8

p = 1

8 47 4

6 35 24 13 0

7 46 35 24 13 0

8 . 7 . 6 . 5 . 4! 4! . 4 . 3 . 2 . 1

8!4!(8 4)!

8 47 36 35 34 3

3 3

7 36 35 34 33 3

MATEMTICA 13


MATEMTICA14

1. Desenvolvimento de (x + y)n

Observando as identidades(x + y)0 = 1(x + y)1 = 1 . x + 1 . y(x + y)2 = 1 . x2 + 2 . xy + 1 . y2

(x + y)3 = 1 . x3 + 3 . x2y + 3 . xy2 + 1 . y3

nota-se que, nas parcelas de cada desenvolvimento:a) as potncias de x aparecem com expoentes em ordem decrescente;b) as potncias de y aparecem com expoentes em ordem crescente.c) os coeficientes numricos coincidem com os elementos das linhas do Tringulo de Pascal.A partir destas consideraes induz-se uma maneira genrica de desenvolver (x + y)n. o Teorema do Binmio de

Newton.

2. Teorema do Binmio de Newtona) Sendo x e y dois nmeros reais e n um nmero natural, demonstra-se que:

b) Utilizando o smbolo de somatria pode-se tambm escrever:

c) Nmero de parcelas: o desenvolvimeto de (x + y)n tem n + 1 parcelas.

d) Clculo dos coeficientes

Os coeficientes numricos , , , ..., podem ser calculados pela definio de Nmero Binomial

ou ento podem ser obtidos diretamente de cada linha do Tringulo de Pascal. A maneira mais prtica de calcular oscoeficientes, porm, lembrar que o primeiro sempre igual a 1 e que os demais so obtidos a partir do anterior

pela Relao de Fermat que . = . Observe:

e) Observando que (x y)n = [x + ( y)n] e que ( y)0 = y0, ( y)1 = y1, ( y)2 = y2, ( y)3 = y3, etc., temos:

n nn 2

n 1n 0

n k + 1n kk + 1

n k

n n(x + y)n = . xn k . ykkk = 0

n n n n n (x + y)n = . xn . y0 + . xn 1 . y1 + . xn 2 . y2 + + . xn k . yk + . x0 . yn0 1 2 k n

T1 T2 T3 Tk + 1 Tn + 1

n n . (n k) (k + 1) = k k + 1. = cada coeficiente expoente de x expoente de y aumentado de 1 coeficiente seguinte

n n n n(x y)n = . xny0 . xn 1y1 + . xn 2y2 xn 3y3 + ...0 1 2 3

22 e 23Binmio de Newton Desenvolvimento de (x + y)n

Termo geral Coeficientes Expoentes


3. Termo geralComo

podemos concluir que o termo de ordem k + 1 do desen volvimento de (x + y)n, feito segundo os expoen tesdecrescentes de x :

importante observar que, no desenvolvimento de (x + y)n feito segundo expoentes crescentes de x, o ter mo deordem k + 1 :

4. Soma dos coeficientesA soma dos coeficientes numricos do desenvol vi men to de (ax + by)n, com a e b constantes, se obtm fazendo

x = y = 1. A soma vale, portanto, (a . 1 + b . 1)n ou seja (a + b)n.

nTk + 1 = . xn k . ykk

nTk + 1 = . xk . yn kk

n n n n n (x + y)n = . xn . y0 + . xn 1 . y1 + . xn 2 . y2 + + . xn k . yk + . x0 . yn0 1 2 k n

T1 T2 T3 Tk + 1 Tn + 1

MATEMTICA 15

O quarto termo do desenvolvimento de(2x + y)8, feito segundo os expoentes decres -

centes de x igual a:

a) 56x5y3 b) 36x3y5 c) 1792x5y3

d) 1792x3y5 e) 2240x4y4

Resoluo

Como Tk + 1 = xn kyk para (x + y)n temos:

T4 = (2x)5 . y3 = 56 . 32x5y3 = 1792x5y3

Resposta: C

Considerando o desenvolvimento do bin -

mio x2

10

, calcule

a) o termo mdio.b) o termo independente de x.

Resoluoa) Como o desenvolvimento tem 10 + 1 = 11

termos, o termo mdio o sexto.

Tk+1 = xn k . yk

T6 = (x2)10 5 . ( x 3)5 =

= 252 . x 5 =

b) Tk + 1 = (x2)10 k . ( x 3)k =

= . x20 2k . ( 1)k . x 3k =

= ( 1)k . x20 5k

20 5k = 0 k = 4

O termo independente de x

( 1)4 . x0 = 210.

Respostas: a) b) 210252

x5

83

10 4

10 k

10 k

10 k

252

x5

10 5

n k

1x3

nk

Exerccios Resolvidos Mdulos 22 e 23


Nas questes de a , desenvolver:

(x + y)0 = 1

(x + y)1 = x + y

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6

(x y)6 = x6 6x5y + 15x4y2 20x3y3 + 5x2y4 6xy5 + y6

(2x + 3y)5 = 1 . (2x)5 . (3y)0 + 5 . (2x)4 . (3y)1 + 10 . (2x)3 . (3y)2

+ + 10 . (2x)2 . (3y)3 + 5 . (2x)1 . (3y)4 +

+ 1 . (2x)0 . (3y)5 = 32x5 + 240x4y +

+ 720x3y2 + 1080x2y3 + 810xy4 + 243y5


MATEMTICA16

(ENEM) Rotas areas so como pontes que ligamcidades, estados ou pases. O mapa a seguir mostra osestados brasileiros e a localizao de algumas capitaisidentificadas pelos nmeros. Considere que a direo seguidapor um avio AI que partiu de Braslia DF, sem escalas, paraBelm, no Par, seja um segmento de reta com extremidadesem DF e em 4.

SIQUEIRA. S. Brasil Regies. Disponvel emwww.santiagosiqueira.pro.br

Acesso em 28 jul 2009 (adaptado).

Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avioAII, que seguiu a direo que forma um ngulo de 135 graus nosentido horrio com a rota Braslia Belm e pousou emalguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fezuma conexo e embarcou em um avio AIII, que seguiu adireo que forma um ngulo reto, no sentido anti-horrio, coma direo seguida pelo avio AII ao partir de Braslia-DF.Considerando que a direo seguida por um avio sempredada pela semirreta com origem na cidade de partida e quepassa pela cidade destino do avio, pela descrio dada, opassageiro Carlos fez uma conexo em

a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.d) Goinia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.e) Goinia, e em seguida embarcou para Manaus.

RESOLUO:

Conforme o trajeto apresentado no mapa acima, Carlos fezconexo em Belo Horizonte (13) e, em seguida, embarcou paraSalvador (9).Resposta: B


Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x + 2y)10 feito segundo os expoentes decrescentes de x.

RESOLUO:

Tk + 1 = . x10 k . (2y)k

T4 = Tk + 1 k = 3

T4 = . x10 3 . (2y)3 = . x7 . 23 . y3 =

= . x7 . 8y3 = 960x7y3

Calcular o terceiro termo do desenvolvimento de (2x + y)7feito segundo os expoentes crescentes de x.

RESOLUO:

Tk + 1 = . (2x)k . (y)7 k

T3 = Tk + 1 k = 2

T3 = . (2x)2 . (y)7 2 = . 22 . x2 . y5 =

= . 4x2 . y5 = 84x2 . y57 . 6 . 5!2 . 1 . 5!

7!2! . 5!

7( )2

7( )k

10 . 9 . 8 . 7!3 . 2 . 1 . 7!

10!3! . 7!

10( )3

10( )k


MATEMTICA 17

Calcular o termo de grau 9 no desenvolvimento de

RESOLUO:

1o. ) Tk + 1 = . (x2)12 k .

k

Tk + 1 = . x24 2k . x 3k = . x24 5k

Logo, 24 5k = 9 5k = 15 k = 3

2o. ) T4 = . x9 = . x9 = . x9 = 220x9

Calcular o termo independente de x no desenvol vimento

de

RESOLUO:

1o. ) Tk + 1 = . (x4)10 k .

k

Tk + 1 = . x40 4k . x k = . x40 5k

Logo, 40 5k = 0 5k = 40 k = 8

5

2o. ) T9 = . x0 = = = 45

1

A soma dos coeficientes dos termos do desen vol vimentode (2x + y)6 :a) 81 b) 7776 c) 729 d) 2048 e) 243

RESOLUO:

Fazendo x = y = 1, temos: (2 + 1)6 = (3)6 = 729

Resposta: C

(ENEM) Para cada indivduo, a sua inscrio no Cadastrode Pessoas Fsicas (CPF) composto por um nmero de 9algarismos e outro nmero de 2 algarismos, na forma d1d2, emque os dgitos d1 e d2 so denominados dgitos verificadores.Os dgitos verificadores so calculados, a partir da esquerda, daseguinte maneira: os 9 primeiros algarismos so multiplicadospela sequncia 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o se -gundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-seo resto r da diviso da soma dos resultados das multipli caespor 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 zero, caso contrrio d1 = (11 r). O dgito d2 calculado pela mesma regra, na qualos nmeros a serem multiplicados pela sequn cia dada socontados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o ltimoalgarismo, isto , d2 zero se o resto s da diviso por 11 dassomas das multiplicaes for 0 ou 1, caso contrrio, d2 = (11 s). Suponha que Joo tenha perdido seus documen -tos, inclusive o carto de CPF e, ao dar queixa da perda nadelegacia, no conseguisse lembrar quais eram os dgitos ve -rifi cadores, recordando-se apenas que os nove primei ros al -garismos eram 123.456.789. Neste caso, os dgitos verifi ca -dores d1 e d2 esquecidos so, respectivamente,a) 0 e 9. b) 1 e 4. c) 1 e 7.d) 9 e 1. e) 0 e 1.

RESOLUO:Os dgitos verificadores de 123.456.789 so 0 e 9.

1) Dgito d11 x 10 + 2 x 9 + 3 x 8 + 4 x 7 + 5 x 6 + 6 x 5 +

+ 7 x 4 + 8 x 3 + 9 x 2 = 210

210 11

100 191

Como o resto na diviso de 210 por 11 1, ento d1 = 0.

2) Dgito d22 x 10 + 3 x 9 + 4 x 8 + 5 x 7 + 6 x 6 + 7 x 5 +

+ 8 x 4 + 9 x 3 + 0 x 2 = 244

244 11

24 222

Como o resto na diviso de 244 por 11 2, ento d2 = 9

Resposta: A

10 . 9

2. 110( )210( )8

10( )k10( )k

)1x(10( )k

1 10x4 + x

12 . 11 . 10 . 9!

3 . 2 . 1 . 9!

12!3! . 9!

12( )3

12( )k12( )k

)1x3(12( )k

1 12x2 + x3


MATEMTICA18

1. Prncipio fundamental da contagemOs problemas de Anlise Combinatria so, basica -

mente, problemas de contagem. A abordagem destesproble mas baseada num fato, de fcil com prova o,denominado Prncipio Fundamental da Contagem ou,simples mente, Regra do Produto, que enunciaremos eexemplificaremos a seguir.

Enunciado

Um acontecimento composto de dois estgios su -ces sivos e independentes. O primeiro estgio pode ocor -rer de m modos distintos; em seguida, o segundo es t giopode ocorrer de n modos distintos. Nestas condies,dizemos que o nmero de maneiras dis tin tas de ocor -rer este acontecimento igual ao produto m . n.

Exemplo

Um estudante, ao se inscrever no Concurso paraVestibular, deve escolher o Curso e a Faculdade quedeseja cursar. Sabe-se que existem cinco cursos pos -sveis: Engenharia, Medicina, Odontologia, Arquite tura eDireito. Cada curso pode ser feito em trs faculdadespossveis: Estadual, Federal e Particular. Qual onmero total de opes que o estudante pode fazer?

ResoluoDe acordo com o Prncipio Fundamental da Conta -

gem, o nmero total de opes que o estudante podefazer 5x3, ou seja, 15. Podemos ilustrar estas 15 op -es com o auxlio da rvore de possibilidades, obser -vando que para cada um dos cinco cursos pos sveis (E,M, O, A, D) existem trs faculdades possveis (E, F, P).

Generalizaes

Quando um acontecimento for composto por k est -gios sucessivos e in depen dentes, com, respectiva mente,n1, n2, n3, ..., nk possibilidades cada, o nmero total dema neiras distintas de ocorrer este acontecimento n1 . n2 . n3 . ... . nk.

2. Tcnicas de contagemSeja A = {a; b; c; d; ...; j} um conjunto formado por 10

elementos distintos, e consideremos os agrupa men tosab, ac e ca.

Os agrupamentos ab e ac so considerados sempredistintos, pois diferem pela natureza de um elemento.

Os agrupamentos ac e ca, que diferem apenas pelaordem de seus elementos, podem ser consideradosdistintos ou no.

Se, por exemplo, os elementos do conjunto A fo -rem pontos, A = {A1, A2, A3, ..., A10}, e ligando estespontos desejarmos obter retas, ento os agrupamentosA1A2 e A2A1 so iguais, pois representam a mesmareta.

Se, por outro lado, os elementos do conjunto Aforem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, e com estesalgarismos desejarmos obter nmeros, ento os agru -pamentos 12 e 21 so distintos, pois representamnme ros diferentes.

Do que foi exposto, podemos concluir que:a) Existem problemas de contagem em que os agru -

pa mentos, a serem contados, so considerados distin -tos, apenas quando diferem pela natureza de pelo

Escolhado Curso

Escolhada Faculdade Resultado

E

F

P

E

F

P

E

F

P

E

F

P

E

F

P

D

A

O

M

E

E E

E F

E P

M E

M F

M P

O E

O F

O P

A E

A F

A P

D E

D F

D P

24Anlise combinatria Princpio da contagem e arranjos Contagem Sequncias


MATEMTICA 19

menos um de seus elementos. o caso em que ac = ca.Neste caso, os agrupamentos so chamados

combinaes.Caso tpicoO conjunto A formado por pontos e o problema

saber quantas retas esses pontos determinam.b) Existem problemas de contagem em que os

agrupamentos, a serem contados, so consideradosdistintos, quando diferem tanto pela natureza comotambm pela ordem de seus elementos. o caso emque ac ca.

Neste caso, os agrupamentos so chamados arran jos.

Caso tpico

O conjunto A formado por algarismos e o pro ble -ma contar os nmeros por eles determinados.

3. Arranjos simples

Definio

Seja A um conjunto com n elementos e k umnatural menor ou igual a n.

Chamam-se arranjos simples k a k, dos nelementos de A, aos agrupamentos, de k elementosdistintos cada, que diferem entre si ou pela naturezaou pela ordem de seus elementos.

Clculo do nmero de arranjos simplesNa formao de todos os arranjos simples dos n

elementos de A, tomados k a k, temos:

n possibilidades na escolha do 1o. elemento.

n 1 possibilidades na escolha do 2o. elemento,pois um deles j foi usado.

n 2 possibilidades na escolha do 3o. elemento,pois dois deles j foram usados.

n (k 1) possibilidades na escolha do ko. ele -

mento, pois k 1 deles j foram usados.

Pelo Princpio Fundamental da Contagem, represen -tando com o smbolo An, k o nmero total de arranjossimples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:

( o produto de k fatores)

Multiplicando e dividindo por (n k)!.n(n 1) (n 2) . ... . (n k + 1) . (n k)!

An,k = ,(n k)!

e notando que n(n 1)(n 2) . ... . (n k + 1) . (n k)! = n!podemos tambm escrever


No Portal Objetivo

n!An,k = (n k)!

An,k = n . (n 1) . (n 2) . ... . (n k + 1)

(UNESP MODELO ENEM) Uma redede supermercados fornece a seus clientes umcarto de crdito cuja identificao formadapor 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinadacidade receber os cartes que tm L comoterceira letra, o ltimo algarismo zero e o pe -nltimo 1. A quantidade total de cartes dis -tintos oferecidos por tal rede de supermer -cados para essa cidade a) 33 600. b) 37 800. c) 43 200. d) 58 500. e) 67 600. ResoluoA numerao dos cartes dessa cidade dotipo

A primeira letra pode ser escolhida entre as 25res tan tes e a segunda letra entre as 24 res -

tantes. O primeiro algarismo pode serescolhido entre os 8 res tantes e o segundoentre os sete restantes. Desta forma, onmero de cartes 25 . 24 . 8 . 7 = 33 600Resposta: A

(UNESP) Dispomos de 4 cores distintase temos de colorir o mapa mostrado na figuracom os pases P, Q, R e S, de modo que pa sescuja fronteira uma linha no podem sercoloridos com a mesma cor.

Responda, justificando sua resposta, de quan -tas manei ras possvel colorir o mapa, sea) os pases P e S forem coloridos com cores

dis tin tas?b) os pases P e S forem coloridos com a mes -

ma cor?

Resoluoa) Se P e S forem coloridos com cores dis -

tintas, existem4 maneiras de escolher a cor de P,3 maneiras de escolher a cor de S,2 maneiras de escolher a cor de Q e2 maneiras de escolher a cor de R,portanto, 4 . 3 . 2 . 2 = 48 maneiras decolorir o mapa.

b) Se P e S forem coloridos com a mesma cor,existem4 maneiras de escolher a cor de P e de S,3 maneiras de escolher a cor de Q e3 maneiras de escolher a cor de R, portanto, 4 . 3 . 3 = 36 maneiras de colorir omapa.

Respostas: a) 48 maneirasb) 36 maneiras

P Q

R S


MATEMTICA20

Quantos elementos tem o conjunto A = {1936, 1937, 1938,, 1949}?

RESOLUO:

1949 1935 = 14

1, 2, 3, , 1935, 1936, 1937, , 1949

1935

1949

Num avio, uma fila tem 7 poltronas dispostas como nafigura abaixo.

corredor corredor

Os modos de Joo e Maria ocuparem duas poltronasdessa fila, de modo que no haja um corredor entre eles,so em nmero de:a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

RESOLUO:

10 modos

Resposta: D

(FUVEST) Uma caixa automtica de banco s trabalhacom notas de 5 reais e 10 reais. Um usurio deseja fazer umsaque de 100 reais. De quantas maneiras diferentes a caixaeletrnica poder fazer esse pagamento?a) 5 b) 6 c) 11 d) 15 e) 20

RESOLUO:

Resposta: C

Quantos nmeros, diferentes e de trs algarismosdis tintos, podem ser formados com os algarismos 1, 2,3, 5, 7 e 8?

RESOLUO:

Algarismos

Total depossibilidades 6 . 5 . 4 = 120 = A6,3

Quantos nmeros diferentes e de trs algarismosdistintos, existem no sistema decimal de numerao?

RESOLUO:Condio: O algarismo das centenas deve ser diferente de zero.

Algarismos

Total depossibilidades 9 . 9 . 8 = 648

ouA10,3 A9,2 = 10 . 9 . 8 9 . 8 = 9 . 8(10 1) = 648

C D U

UDC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

J M

M J

J M

M J

J M

M J

J M

M J

M J

J M


(ENEM) O cdigo de barras, contido na maior parte dosprodutos industrializados, consiste num conjunto de vriasbarras que podem estar preenchidas com cor escura ou no.Quando um leitor ptico passa sobre essas barras, a leitura deuma barra clara convertida no nmero 0 e a de uma barraescura, no nmero 1. Observe a seguir um exemplo simplifi -cado de um cdigo em um sistema de cdigo com 20 barras.

Se o leitor ptico for passado da esquerda para a direitair ler: 01011010111010110001 Se o leitor ptico for passado da direita para a esquer dair ler: 10001101011101011010 No sistema de cdigo de barras, para se organizar oprocesso de leitura ptica de cada cdigo, deve-se levarem considerao que alguns cdigos podem ter leiturada esquerda para a direita igual da direita para a esquer -da, como o cdigo 00000000111100000000, no sistemadescrito acima.Em um sistema de cdigos que utilize apenas cinco bar -ras, a quantidade de cdigos com leitura da esquer da paraa direita igual da direita para a esquerda, descon -siderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, a) 14 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4

RESOLUO:Se um sistema de cdigos utiliza apenas cinco barras, a quan -tidade de cdigos com leitura da esquerda para a direita igual da

direita para a esquerda, desconsi derando-se todas as barras clarasou todas as escuras 6, pois:1) As barras A,B,C,D,E podem estar preenchidas com cor escura

ou no, ou seja, 2 possibilidades cada.

2) A e E devem estar preenchidas com a mesma cor: 2 possibili -dades.

B e D devem estar preenchidas com a mesma cor: 2 possibi -lidades.

C tem 2 possibilidades de preenchimento.

3) Assim, existem 2.2.2 = 8 cdigos com leitura da esquerda paraa direita igual da direita para a esquerda, das quais 2 tmtodas as barras claras ou todas escuras.Logo, a resposta 8 2 = 6.

Resposta: D

MATEMTICA 21

1. DefinioSeja A um conjunto com n elementos. Os arranjos

simples n a n, dos n elementos de A, so chamadospermutaes simples de n elementos.

Observe que, de acordo com a definio, todas aspermutaes tm os mesmos elementos: so os n ele -mentos de A. Assim sendo: duas permutaes dife -rem entre si apenas pela ordem de seus elementos.

2. Clculo do nmero de permutaes simplesRepresentando com o smbolo Pn o nmero total de

permutaes simples de n elementos e fazendo k = n na

frmula An,k = n(n 1).(n 2) . ... . (n k + 1), temos:

Pn = An,n = n(n 1).(n 2) . ... . (n n + 1) =

= n.(n 1).(n 2) . ... . 1 = n!

Logo:

3. Permutaes com elementos repetidosSejam elementos iguais a a, elementos iguais

a b, elementos iguais a c, ..., elementos iguais a ,num total de + + + ... + = n elementos.

Representando com o smbolo Pn, , , ..., o nmero

de permutaes distintas que podemos formar com os nelementos, temos:

n!Pn

, , , ..., = ! . ! . ! . ... . !

Pn = n!

25 Permutaes Permutar Trocar


MATEMTICA22

Quantos so os anagramas da palavra BONITA?

RESOLUO:

P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Quantos so os anagramas da palavra REPITO que pos -suem a letra R em terceiro lugar?

RESOLUO:

1 . P5 = 5! = 120

Quantos anagramas da palavra BONITA come am comvogal e terminam com consoante?

RESOLUO:

3 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 =

P4

= 3 . P4 . 3 = 9 . 4! = 216

Quantos anagramas da palavra BONITA tm as letras B, Ie O juntas?

RESOLUO:

P3

P4

P4 . P3 = 4! . 3!= 144

Quantos so os anagramas da palavra POROROCA?

RESOLUO:

P2;38

= = = 3 3608!2!3!

8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3!

2 . 1 . 3!

R

B I O

OIA

BNT

Quantos anagramas tem a palavra PAI?Resoluo

P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Quais os anagramas da palavra PAI?Resoluo

Os 6 anagramas da palavra PAI so:

PAI, PIA, AIP, API, IAP, IPA

Quantos anagramas tem a palavraPALMITO?Resoluo

P7 = 7! = 7 . 6 . 5. 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

Quantos so os anagramas da pala vraPALMITO comeados com a letra P?Resoluo

P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Quantos so os anagramas da palavraMACACA?Resoluo

Das 6 letras da palavra MACACA, 3 so iguais

a A, 2 so iguais a C. Logo:

6!P6

3,2 = = 603! 2!

P


MATEMTICA 23

a) Qual o nmero total de anagramas da palavra CIDADE?b) Quantos so os anagramas da palavra CIDADE em que as

vo gais aparecem juntas?c) Quantos so os anagramas da palavra CIDADE que

comeam com vogal?

RESOLUO:

a) P26 = = 360 b) C D D

P24 . P3 = . 3! = 72

c) 3 . P25 = 3 . = 180

(UFABC MODELO ENEM)

A Amrica em busca de ouro

No ms de julho, a cidade do Rio de Janeiro sediou a 15a.edi o dos Jogos Panamericanos, a maior com petio espor -tiva das Amricas. Numa participao recorde na histria doevento, mais de 5500 atletas de 42 pases disputaram asmedalhas de ouro, prata e bronze.

A figura mostra a medalhautili zada na premiao dosatletas. Nela esto estam -pados 5 ps saros distintos.Suponha que ca da pssaropudesse ser co lo rido comuma cor diferen te (verde,amarelo, azul, bran co e ver -melho). O nmero de com -po si es distintas que po -dem ser formadas na dis -tribui o das cores entre oscinco pssaros

a) 25. b) 40. c) 60. d) 120. e) 240.

RESOLUO:

O nmero de composies distintas que podem ser formadas na

distribuio das cinco cores entre os cinco pssaros dado por:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Resposta: D

6!2!

IAE

4!2!

5!2!

26 Combinaes simples Escolher Conjuntos

1. DefinioSeja A um conjunto com n elementos e k um natural

menor ou igual a n. Chamam-se combinaes simplesk a k, dos n elementos de A, aos agrupamentos, de kelementos distintos cada, que diferem entre si apenaspela natureza de seus elementos.

2. Clculo do nmero decombinaes simplesRepresentando com o smbolo Cn,k o nmero total

de combinaes simples dos n elementos de A, toma -dos k a k, temos:

a) permutando os k elementos de uma com bi na -o k a k obtemos Pk arranjos distintos.

b) permutando os k elementos das Cn,k com bina - es k a k obtemos Cn,k . Pk arranjos distintos.

Assim sendo:

Lembrando que An,k = , Pk = k! e

= , podemos tambm escrever:

An,k n! nCn,k = = =

Pk k!(n k)!k

n kn!

k!(n k)!

n!(n k)!

An,kCn,k . Pk = An,k Cn,k = Pk


MATEMTICA24

(ESPCEX) A equipe de professores deuma escola possui um banco de questes dematemtica composto de 5 questes sobreparbolas, 4 sobre circunferncias e 4 sobreretas. De quantas ma neiras distintas a equipepode montar uma prova com 8 questes,sendo 3 de parbolas, 2 de circunferncias e 3de retas?

a) 80 b) 96 c) 240 d) 640 e) 1280

Resoluo

C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240

Resposta: C

(FUVEST) Participam de um torneio devoleibol 20 times distri budos em 4 chaves, de5 times cada uma. Na 1a. fase do torneio, ostimes jogam entre si uma nica vez (um nicoturno), todos contra todos em cada chave,sendo que os 2 melhores de cada chave pas -sam para a 2a. fase. Na 2a. fase, os jogos so

eliminatrios; depois de cada partida, apenas ovencedor permanece no torneio. Logo, onmero de jogos necessrios at que se apureo campeo do torneio :a) 39 b) 41 c) 43 d) 45 e) 47ResoluoNa primeira fase, foram realizados

4 . C5,2 = 4 . 10 = 40 jogos; na segunda fase,

4 jo gos; na terceira fase, 2 jogos e na final,

1 jogo. Total de jogos = 40 + 4 + 2 + 1 = 47Resposta: E

Seja A = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementosdistintos. Com os ele men tos de A podemos formar 4 com bina es de trs elementos cada:

Permutando os 3 elementos de uma delas, porexemplo abc, obtemos P3 = 6 arranjos distintos:

Permutando os 3 elementos das 4 com bi na es ob te - mos todos os ar ran jos 3 a 3:

Assim sendo,

(4 combinaes) x (6 permuta es) = 24 arranjos e,

portanto, C4,3 . P3 = A4,3

abc abd acd bcd

abc abd acd bcd

acb adb adc bdc

bac bad cad cbd

bca bda cda cdb

cab dab dac dbc

cba dba dca dcbabc abd acd bcdacbbacbcacabcba

Saiba mais??

Calcular:

C9,2 = = = = 36

Num plano so dados dez pontos, trs a trs no colinea -res. Pergunta-se:a) qual o nmero total de retas determinadas por esses pon -

tos?b) qual o nmero total de tringulos com vrtices nestes pon -

tos?

RESOLUO:

a) C10;2 = = 45

b) C10;3 = = 12010 3

10 2

9.8.7!

2!.7!

9!2!7!

9 2


(UFU MODELO ENEM) Cada seleo participante dacopa do mundo de futebol inscreve 23 jogadores, sendonecessariamente trs goleiros. Em cada partida, dois jogadoresde cada seleo so escolhidos entre os 23 inscritos para oexame anti-doping, mas so descartadas as possibilidades deque os dois jogadores esco lhidos sejam goleiros. De quantasmaneiras diferentes estes dois jogadores podem serescolhidos?

RESOLUO:C23,2 C3,2 = 253 3 = 250

Num plano so dados dez pontos distintos, contidos emduas retas para lelas, conforme a figura ao lado. Qual o nmerototal de tringulos com vrtices nestes pontos?

RESOLUO:Devemos escolher 1 ponto da reta r e 2 da reta s ou 1 ponto dareta s e 2 pontos da reta r.

C4;1 . C6;2 + C6;1 . C4;2 = 4 . 15 + 6 . 6 = 96

ou

C10,3 C4,3 C6,3 = 120 4 20 = 96

(MODELO ENEM) Doze times se inscreveram em umtorneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foiescolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 timespara compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do GrupoA, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura dotorneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu prpriocampo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possveis para o Grupo A e aquantidade total de escolhas dos times do jogo de aberturapodem ser calculadas atravs de

a) uma combinao e um arranjo, respectivamente.b) um arranjo e uma combinao, respectivamente.c) um arranjo e uma permutao, respectivamente.e) duas combinaes.e) dois arranjos.

RESOLUO:Na escolha dos 4 times para compor o Grupo A, a ordem deescolha desses times no influencia no grupo formado; portanto,trata-se de um caso de combi nao simples.Na escolha dos 2 times que fariam o primeiro jogo, a ordeminfluencia, pois o primeiro time a ser escolhido ter o mando dejogo. Neste caso, temos um arranjo simples.

Resposta: A

MATEMTICA 25

27Arranjos, permutaes ecombinaes: exerccios

(MODELO ENEM) Uma famlia com 5 pessoas possuium automvel de 5 lugares. Se apenas uma pessoa dirige, dequantas maneiras diferentes os passageiros podem seacomodar no carro para uma viagem?a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 120

RESOLUO:P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24Resposta: C


(UEPA MODELO ENEM) Para a formao de umaequipe de trabalho, uma empresa realizou um concurso parapreenchimento de vagas em seu setor de informtica, sendo 2vagas para Analista de Sistemas e 3 para Tcnico. O primeirocolocado no cargo de analista de sistemas ter funo decoordenador da equipe e os aprovados no cargo de tcnicotero funes idnticas. Todos os aprovados no concurso serochamados juntos, independente da classificao de cada um.Inscreveram-se 5 pessoas para concorrer ao cargo de analistade sistemas e 6 ao cargo de tcnico. Ento o nmero mximode maneiras dis tintas que essas 5 vagas podem serpreenchidas, para a formao da equipe de trabalho, peloscandidatos :a) 200 b) 400 c) 800 d) 1200 e) 2400

RESOLUO:A5,2 . C6,3 = 20 . 20 = 400

Resposta: B

(MODELO ENEM) Quantas comisses, de apenas 5pessoas cada, podemos formar com um grupo de 10 rapazes,de modo que em cada uma existam um presidente, umsecretrio e trs conse lhei ros?

RESOLUO:

A10,2 . C8,3 = 90 . 56 = 5040

(UNIFESP MODELO ENEM) O corpo clnico dapediatria de um certo hos pital composto por 12 profissionais,dos quais 3 so capa citados para atuao junto a crianas queapresentam neces sidades educacionais especiais. Para fins deassessoria, dever ser criada uma comis so de 3 profissionais,de tal ma neira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitaoreferida. Quan tas comis ses distintas podem ser formadasnestas condies?a) 792. b) 494. c) 369. d) 136. e) 108.

RESOLUO:

Existem 3 possibilidades:

I) A comisso formada por 1 especialista e 2 outros profis sio -nais. Assim, tem-se: C3,1 . C9,2 = 3 . 36 = 108

II) A comisso formada por 2 especialistas e 1 outro profissional.Assim, tem-se: C3,2 . C9,1 = 3 . 9 = 27

III)A comisso formada por 3 especialistas. Assim, tem-se:C3,3 = 1

O total de comisses possveis de se formar : 108 + 27 + 1 = 136

Outra maneira:

C12,3 C9,3 = = 220 84 = 136

Resposta: D

12 39 3

P S C C C

MATEMTICA26

28Arranjos completos ecombinaes completas Elementos repetidos

1. Arranjos completosArranjos completos de n elementos, tomados k a

k, so os arranjos de k elementos NO NECES SARIA -MEN TE DISTINTOS.

Ao calcular os arranjos completos, portanto, deve -mos considerar tanto os arranjos com elementos dis -tintos (que so os arranjos simples) como tambmaqueles com elementos repetidos.

O nmero total de arranjos completos de n elemen -tos, tomados k a k, e representado pelo smbolo A*n,k, dado por:

2. Combinaes completasCombinaes completas de n elementos, tomados

k a k, so combinaes de k elementos NO NECES SA -RIA MENTE DISTINTOS.

Ao calcular as combinaes completas, portanto, de -ve mos considerar tanto as combinaes com elemen -tos distintos (que so as combinaes simples) comotambm aquelas com elementos repetidos.

O nmero total de combinaes completas de nelementos, tomados k a k, e representado pelo smboloC*n,k, dado por:

n + k 1C*n,k = Cn + k 1, k = kA*n,k = nk


MATEMTICA 27

Numa cesta existem peras, mas, laran -jas e bananas. Existem pelo menos trs decada tipo e as frutas de mesmo tipo so todasiguais.

De quantas maneiras diferentes possvelescolher:

a) trs frutas de tipos diferentes?

b) trs frutas?

Resoluco

4 . 3 . 2a) C4,3 = = 43 . 2 . 1

Observe quais so as 4 maneiras possveis:

6 . 5 . 4b) C*4,3 = C4 + 3 1,3 = C6,3 = = 203 . 2 . 1

Observe quais so as 20 manei ras possveis:

(FUVEST) Quantos so os nmerosinteiros positi vos de 5 algarismos que no tmalgarismos adja cen tes iguais?

a) 59 b) 9 x 84 c) 8 x 94

d) 85 e) 95

Resoluo

O nmero de possibilidades para cada po -sio dos algarismos no nmero

dezena de milhar: 9 (no pode ser o 0)

milhar: 9 (no pode ser o anterior)

centena: 9 (no pode ser o anterior)

dezena: 9 (no pode ser o anterior)

unidade: 9 (no pode ser o anterior)

Assim sendo, pelo Princpio Fundamental deContagem, resulta

9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 95.

Resposta: E

PPP PLL MMM MLB

PPM PBB MML LLL

PPL PLB MMB LLB

PPB PLM MLL LBB

PMM PMB MBB BBB

PML PMB PLB MLB

Quantos nmeros de trs algarismos distintos podemosformar com os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 7}?

RESOLUO:

5 . 4 . 3 = 60

Quantos nmeros de trs algarismos podemos formarcom os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 7}

RESOLUO:

5 . 5 . 5 = 53 = 125

(MODELO ENEM) A onda de desvios de valores decorrentistas de bancos via Internet grande no Brasil. Duranteo ms de outubro, vrias pessoas foram presas no Par,acusadas desse tipo de crime. Os bancos tentam evitar queseus clientes sofram com esse tipo de furto, alertando sobrecuidados na manipulao de de informaes de suas contasbancrias. Atualmente, para maior segurana, alguns bancosesto adotando senhas em que o correntista tem de digitarquatro algarismos seguidos de trs letras. Dessa forma, umcliente de um desses bancos, ao criar sua senha, resolveuutilizar uma das permutaes dos algarismos do ano donascimento de sua filha e, tambm, o nome dela. Sabendo quesua filha nasceu em 1998 e seu nome Isabel, ento o nmerode opes distintas para criao de sua senha ser:a) 240 b) 480 c) 920 d) 1440 e) 2592

RESOLUO:

P4

2 . A*6,3

= . 63 = 2592

Resposta: E

4!2!


MATEMTICA28

De quantas maneiras diferentes uma oficina pode pintar 3automveis iguais, recebendo cada um tinta de uma nica cor,sabendo que a oficina dispe de apenas 5 cores diferentes eno quer mistur-las?

RESOLUO:

C*5;3 = C5 + 3 1;3 = C7;3 = 35

Outra maneira:I) Se os 3 automveis receberem cores distintas, existem

C5,3 = 10 maneiras.II) Se 2 automveis receberem a mesma cor e o outro uma cor

diferente desta, existem 2 . C5,2 = 2 . 10 = 20 maneiras.III) Se os 3 automveis receberem a mesma cor, existem C5,1 = 5

maneiras. Assim, o total de possibilidades 10 + 20 + 5 = 35

(FGV MODELO ENEM) Uma senha de acesso a umarede de compu tado res formada por 5 letras escolhidas entreas 26 do alfabeto (a ordem levada em considerao).a) Quantas senhas existem com todas as letras distintas, e que

comecem pela letra S?b) Quantas senhas so possveis, de modo que haja pelo me -

nos duas letras iguais?Observao: o resultado pode ser deixado indicado, no sendonecessrio fazer as contas.

RESOLUO:

a)

A25,4 = 25 . 24 . 23 . 22 = 303 600

b) o nmero total de senhas (podendo repetir letras) menos

aquelas formadas por 5 letras distintas.

Assim: A*26,5 A26,5 = 265 26 . 25 . 24 . 23 . 22 =

= 11 881 376 7 893 600 = 3 987 776

Respostas: a) 303 600 b) 3 987 776

S

29 Probabilidade definio Espao amostral Evento Possibilidade

Numa experincia com vrios resultados possveis,todos com a mesma chance, dizemos que:

a) Ponto Amostral qualquer um dos resultadospossveis.

b) Espao Amostral (representado por S) o con -junto de todos os resultados possveis.

c) Evento (representado por A) qualquer subcon -junto do espao amostral.

d) n(S) o nmero de elementos de S e n(A) onmero de elementos de A.

A probabilidade de ocorrer o evento A, represen tadapor P(A), de um espao amostral S , o quocienteentre o nmero de elementos de A e o nmero deelementos de S.

Simbolicamente:

Na prtica costuma-se dizer que a probabilidade oquociente entre o nmero de casos favorveis que n(A) e o nmero de casos possveis que n(S).

Exemplo 1

Na experincia de jogar um dado ho nes to de seisfaces, numera das de 1 a 6 temos:

a) O ponto amostral a face nu me rada ou apenas onmero.

b) O espao amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6.

c) O evento nmero mpar A = {1,3,5} e n(A) = 3.

n(A)P(A) =

n(S)


MATEMTICA 29

d) A probabilidade de obter um n mero mpar

e) O evento nmero menor que 3 A = {1, 2} e n(A) = 2.

f) A probabilidade de obter um n me ro menor que

3 :

Exemplo 2

Na experincia de retirar uma carta de um baralhoco mum de 52 cartas, te mos:

a) O ponto amostral a carta.

b) O espao amostral o con jun to S de todas ascartas do baralho e, portanto, n(S) = 52.

c) O evento dama formado por 4 cartas e, por -tan to, n(A) = 4.

d) A probabilidade de obter uma dama

e) O evento carta de copas forma do por 13 car -

tas e portanto n(A) = 13.

f) A probabilidade de obter uma carta de copas

n(A) 3 1P(A) = = =

n(S) 6 2

n(A) 2 1P(A) = = =

n(S) 6 3

n(A) 13 1P(A) = = =

n(S) 52 4

n(A) 4 1P(A) = = =

n(S) 52 13

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL

OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,

digite MAT2M204

No Portal Objetivo

(UNESP) Numa pesquisa feita com 200homens, observou-se que 80 eram casados, 20 sepa rados, 10 eram vivos e 90 eramsolteiros. Escolhido um homem ao acaso, apro ba bi lidade de ele no ser solteiro

a) 0,65. b) 0,6. c) 0,55.

d) 0,5. e) 0,35.

Resoluo

Dos 200 homens, 110 no so solteiros e a

probabi lidade pedida , portanto

= 0,55 = 55%

Resposta: C

(FGV) As seis faces do dado A estomarcadas com 1, 2, 3, 3, 5, 6; e as seis faces

do dado B esto marcadas com 1, 2, 4, 4, 5 e6. Considere que os dados A e B so honestos nosentido de que a chance de ocorrncia de cadauma de suas faces a mesma. Se os dados Ae B forem lanados simultaneamente, aprobabilidade de que a soma dos nmerosobtidos seja mpar igual a

a) . b) . c) .

d) . e) .

Resoluo

A partir do enunciado, as possibilidades das

somas dos nmeros obtidos, est represen -

tada na tabela a seguir

Notando que dentre as 36 possibilidades, a so -ma ob tida mpar em 20 possibilidades,conclui-se que, a probabilidade de que a somados nmeros obtidos seja mpar :

P = = .

Resposta: A

2036

59

1 2 3 3 5 6

1 2 3 4 4 6 7

2 3 4 5 5 7 8

4 5 6 7 7 9 10

4 5 6 7 7 9 10

5 6 7 8 8 10 11

6 7 8 9 9 11 12

29

13

49

12

59

110200


MATEMTICA30

Joga-se, ao acaso, um dado honesto de seis facesnumeradas de 1 a 6 e l-se o nmero da face voltada para cima.

Calcular a probabilidade de obter:

a) o nmero 1 b) um nmero par

c) um nmero maior que 4 d) um nmero menor que 7

e) um nmero maior que 6

RESOLUO:

O espao amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) P{(1)} =

b) P{(2, 4, 6)} = =

c) P{(5,6)} = =

d) P{(1, 2, 3, 4, 5, 6)} = = 1 (evento certo)

e) P() = 0 (evento impossvel)

Numa urna existem 4 bolas numeradas de 1 a 4 quediferem apenas pela numerao. Retiram-se duas bolas aoacaso e simultaneamente. Qual a probabi lidade de obter bolascom nmeros que tm soma par?

RESOLUO:

O espao amostral S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

O evento soma par A = {(1, 3), (2, 4)}

Ento, n(S) = 6 e n(A) = 2, logo: P(A) = = =

Lanam-se dois dados honestos com faces numeradasde 1 a 6. Pede-se :a) O espao amostral desta experincia.

b) A probabilidade de que a soma obtida seja 10.

RESOLUO:

O evento soma 10 A = {(4; 6), (6; 4), (5; 5)}

P(soma 10) = =

c) A probabilidade de obter dois nmeros iguais.

RESOLUO:

O evento nmeros iguais

A = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

P(IGUAIS) = =

(ENEM) Um time de futebol amador ganhou uma taa aovencer um campeonato. Os jogadores decidiram que o prmioseria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar ataa em suas casas. Na discusso para se decidir com quemficaria o trofu, travou-se o seguinte dilogo:

Pedro, camisa 6: Tive uma idia. Ns somos 11 jogadores enossas camisas esto numeradas de 2 a 12. Tenho dois dadoscom as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar os dois dados,a soma dos nmeros das faces que ficarem para cima podevariar de 2 (1 + 1) at 12 (6 + 6). Vamos jogar os dados, e quemtiver a camisa com o nmero do resultado vai guardar a taa.

Tadeu, camisa 2: No sei no Pedro sempre foi muitoesperto Acho que ele est levando alguma vantagem nessaproposta

Ricardo, camisa 12: Pensando bem Voc pode estar certo,pois, conhecendo o Pedro, capaz que ele tenha mais chancesde ganhar que ns dois juntos

Desse dilogo conclui-se quea) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a pro babilidade

de ganhar a guarda da taa era a mesma para todos.b) Tadeu tinha razo e Ricardo estava equivocado, pois, juntos,

tinham mais chances de ganhar a guarda da taa do quePedro.

c) Tadeu tinha razo e Ricardo estava equivocado, pois, juntos,tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda dataa.

13

26

n(A)n(S)

66

13

26

12

36

16

16

636

112

336

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)


d) Tadeu e Ricardo tinham razo, pois os dois juntos tinhammenos chances de ganhar a guarda da taa do que Pedro.

e) No possvel saber qual dos jogadores tinha razo, por setratar de um resultado probabilstico, que dependeexclusivamente da sorte.

RESOLUO:A tabela a seguir mostra a soma dos nmeros das faces queficaram para cima no lanamento de dois dados.

A probabilidade da soma ser 6 (Pedro ficar com a taa) .

A probabilidade da soma ser 2 ou 12 (Tadeu e Ricardo juntos

ficarem com a taa) .

Assim, Pedro tinha mais chance de ficar com a taa do que Tadeu

e Ricardo juntos e ambos tinham razo em seus comentrios.

Resposta: D

(ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou oEnsino Mdio h 10 anos se encontraram em uma reuniocomemorativa. Vrias delas haviam se casado e tido filhos. Adistribuio das mulheres, de acordo com a quantidade defilhos, mostrada no grfico abaixo. Um prmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas.A probabilidade de que a criana premiada tenha sido um(a)filho(a) nico(a)

a) 1/3. b) 1/4. c) 7/15.

d) 7/23. e) 7/25.

RESOLUO

A partir da distribuio apresentada no grfico, temos:

8 mulheres sem filhos, 7 mulheres com 1 filho,

6 mulheres com 2 filhos e 2 mulheres com 3 filhos.

Como as 23 mulheres tm um total de 25 filhos, a probabilidadede que a criana premiada tenha sido um(a) filho(a) nico(a)

igual a P = .

Resposta: E

Dado I

Dado II1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

236

536

725

MATEMTICA 31

a) Dados dois eventos A e B de um espao amostral

S , a probabilidade de ocorrer A ou B :

Demonstrao

Se A e B forem dois eventos de um espao amos tral

S, ento n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

Dividindo ambos os membros por n(S) temos:

= +

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

n(A B)

n(S)n(B)

n(S)

n(A)n(S)

n(A B)

n(S)

30 Unio de eventos Eventos exclusivos Eventos exaustivos


b) Se A B = ento A e B so cha mados eventosmutuamente exclu sivos.

Neste caso P(A B) = 0 e por tanto

c) Se A B = e A B = S ento A e B so cha -ma dos eventos exaus ti vos.

Neste caso alm de P(A B) = 0 temos tambm P(A B) = P(S) = 1. Logo:

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) = 1

MATEMTICA32

Retirando uma carta de um baralhocomum de 52 cartas, qual a proba bilidade deocorrer uma dama ou uma carta de ouros?ResoluoSe A for o evento dama e B o evento cartade ouros temos:

n(A) = 4, n(B) = 13, n(A B) = 1 e n(S) = 52.

Assim sendo:

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) =

4 13 1 16 4= + = =

52 52 52 52 13

Dois dados perfeitos e distinguveis solanados ao acaso. A proba bilidade de os doisnmeros obtidos serem mpares ou teremsoma maior que 7 :

a) b) c)

d) e)

Resoluo

I) P(nmeros mpares) =

II) P(soma maior que 7) =

III) P(mpares e soma maior que 7) =

IV) P(mpares ou soma maior que 7) =

= + = =

Resposta: E

712

49

1736

12 7

12

2136

336

1536

936

336

1536

936

718

Retirando ao acaso uma carta de um baralho comum de 52cartas, qual a probabilidade de obter:a) uma dama b) um reic) uma carta de copas d) um rei ou uma damae) um rei ou uma carta de copas

RESOLUO:

a) P{(D0, Dp, Dc, De)} = =

b) P{(R0, Rp, Rc, Re)} = =

c) P(copas) = =

d) P{(D, R)} = P(D) + P(R) = + =

e) P{(R, C)} = P(R) + P(C) P(R C) =

= + = =

Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte com po -sio:

Marcando-se um encontro com uma delas, escolhen do seunome ao acaso, qual a probabilidade de sair:a) Uma loira?b) Uma loira de olhos castanhos ou uma morena de olhos

azuis?

RESOLUO:

a) P(L) = =

b) P(LC MA) = P(LC) + P(MA) = + = =

Respostas: a) b)

413

1652

152

1352

452

213

113

113

14

1352

113

452

113

452

Loiras Morenas Total

Olhos azuis 10 20 30

Olhos castanhos 30 40 70

Total 40 60 100

25

40100

12

50100

20100

30100

12

25


(FUVEST) Ao lanar um dado muitas vezes, uma pessoapercebeu que a face 6 saa com o dobro da frequncia daface 1 e que as outras faces saam com a frequncia espe -rada em um dado no viciado. Qual a frequncia da face 1?

a) b) c) d) e)

RESOLUO:

I) P(1) = x, P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = e P(6) = 2x

II) P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1

x + + + + + 2x = 1

3x + = 1 3x = 1 3x = x =

Resposta: C

(ENEM)

A vida na rua como ela

O Ministrio do Desenvolvimento Social e Combate Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisanacional sobre a populao que vive na rua, tendo sido ouvidas31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse levan -tamento, constatou-se que a maioria dessa populao sabe lere escrever (74%), que apenas 15,1% vivem de esmolas e que,entre os moradores de rua que ingressaram no ensino superior,0,7% se diplomou.

Outros dados da pesquisa so apresentados nos quadrosabaixo.

Isto , 7/5/2008, p. 21 (com adaptaes).

No universo pesquisado, considere que P seja o con junto daspessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas eQ seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua a decepo amorosa.

Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesqui sado esupondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que essapessoa faa parte do conjunto P ou do conjunto Q, ento aprobabilidade de que ela faa parte do conjunto interseo deP e Q igual a

a) 12%. b) 16%. c) 20%. d) 36%. e) 52%.

RESOLUO:

Sendo P(P), P(Q), P(P Q) e P(P Q) as probabilidades de uma

pessoa pertencer aos conjuntos P, Q, P Q e P Q, respectiva -

mente, temos:

1) Pela tabela, P(P) = 36%, P(Q) = 16%

2) Pelo enunciado, P(P Q) = 40%

3) P(P Q) = P(P) + P(Q) P(P Q)

40% = 36% + 16% P(P Q)

P(P Q) = 36% + 16% 40% = 12%

Resposta: A

46

23

13

19

16

16

16

16

16

13

23

19

29

112

MATEMTICA 33


MATEMTICA34

31 Interseco de eventos Eventos dependentes Eventos independentes

1. Probabilidade condicionadaDados dois eventos A e B de um espao amostral S,

finito e no vazio, chama-se probabilidade de B con -dicionada a A, a probabilidade de ocorrer B sa bendoque j ocorreu A.

Representa-se por P(B/A).

Assim:

2. Interseco de eventos

Dados dois eventos A e B de um espao amostral

S , sabemos que P(B/A) = . Divindo nu -

me rador e denominador do 2 membro por n(S) temos:

Assim sendo:

Analogamente, demonstra-se que:

3. Eventos independentesa) Definio

Dois eventos A e B de um espao amostral S, finitoe no vazio, so independentes se, e somente se:

b) PropriedadeDados dois eventos A e B de um espao amostral

S , dizemos que:

A e B so independentes P(A B) = P(A) . P(B)

A e B so dependentes P(A B) P(A) . P(B)

P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B)

P(A B) = P(B) . P(A/B)

P(A B) = P(A) . P(B/A)

n(A B)

n(A B) n(S) P(A B)P(B/A) = = =

n(A) n(A) P(A)n(S)

n(A B)

n(A)

n(A B)P(B/A) =

n(A)

(VUNESP) Para uma partida de futebol,a proba bilidade de o jogador R no ser escalado

0,2 e a probabilidade de o jogador S ser es -

calado 0,7. Sabendo que a escalao de um

deles independente da escalao do ou tro, a

probabilidade de os dois jogadores serem

escalados :

a) 0,06 b) 0,14 c) 0,24

d) 0,56 e) 0,72

Resoluo

A probabilidade de os dois jogadores serem

escalados 0,8 . 0,7 = 0,56.

Resposta: D

(FEI) Numa competio, h trs equipesformadas por homens (h) e mulheres (m), co -

mo segue: Equipe A: 4h e 6m; Equipe B: 5h e

5m e Equipe C: 7h e 3m. De cada equipe, es -

colhe-se aleatoriamente um atleta.

A proba bilidade de que os trs sejam do mesmo

sexo :

a) 0,09 b) 0,23 c) 0,14

d) 0,023 e) 0,005

Resoluo

a) A probabilidade de serem 3 homens

p1 = . . = = 0,14.

b) A probabilidade de serem 3 mulheres

p2 = . . = = 0,09.

A probabilidade pedida

p = p1 + p2 = 0,14 + 0,09 = 0,23.

Resposta: B

901000

310

510

610

1401000

710

510

410


MATEMTICA 35

Retirando uma carta de um baralho comum, de 52 cartas,e sabendo-se que saiu uma carta de ouros, qual a proba bili -dade de ser uma dama?

RESOLUO:

Das 13 cartas de ouros, apenas uma dama. Logo:

P(dama/ouros) =

Joga-se um dado honesto de seis faces numeradas de1 a 6. Qual a probabilidade de obter:a) o nmero 1 sabendo que saiu um nmero mpar?b) um nmero par sabendo que saiu um nmero maior que 3?

RESOLUO:

a) no. mpar: n(A) = 3; n(B) = 1

n(A B) = 1 P(B/A) =

b) no. > 3: n(A) = 3; n(B) = 2

n(A B) = 2 P(B/A) =

Numa urna existem 6 bolas laranjas e 4 bolas verdes quedife rem pela cor ou pela nu merao. As laranjas es to nume -radas de 1 a 6, e as verdes de 1 a 4.

Reti rando uma bola ao acaso, os even tos bola laranja enmero par, so de pen dentes ou in depen dentes?

RESOLUO:

Bola laranja: n(A) = 6; n(S) = 10

no. par: n(B) = 5; n(A B) = 3

I) P(A) = = =

II) P(A/B) = =

III) P(B) = = =

IV) P(B/A) = = =

V) P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)

Logo, os eventos so independentes.

Uma urna tem apenas 10 bolas, sendo 7 pretas e 3 bran -cas. Retirando duas bolas, ao acaso e com reposio da pri mei -ra antes de retirar a segunda, qual a proba bilidade de obterduas bolas brancas.

RESOLUO:

P(B) = . = = 9%

(UFSCar MODELO ENEM) Gustavo e sua irmCaroline via jaram de frias para cidades distintas. Os pais reco -men dam que ambos tele fonem quando chegar ao destino. Aexperincia em frias an teriores mostra que nem sem preGustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. Aprobabilidade de Gustavo telefonar 0,6 e a probabilidade deCaroline telefonar 0,8. A proba bilidade de pelo menos um dosfilhos contactar os pais :a) 0,20 b) 0,48 c) 0,64 d) 0,86 e) 0,92

RESOLUO:

p = 1 0,4 . 0,2 = 1 0, 08 = 0,92 ou

p = 0,6 . 0,8 + 0,6 . 0,2 + 0,4 . 0,8 = 0,48 + 0,12 + 0,32 = 0,92

Resposta: E

(UNICAMP MODELO ENEM) Ao se tentar abrir umaporta com um chaveiro contendo vrias chaves parecidas, dasquais apenas uma destranca a referida porta, muitas pessoasacreditam que mnima a chance de se encontrar a chavecerta na 1a. ten tativa, e chegam mesmo a dizer que essa chaves vai aparecer na ltima tentativa. Para esclarecer essaquesto, calcule, no caso de um chaveiro contendo 5 chaves,a) a probabilidade de se encontrar a chave certa depois da

1a. tentativa;b) a probabilidade de se acertar na 1a. tentativa;c) a probabilidade de se acertar somente na ltima tentativa.

RESOLUO:

a) 1 = = 0,8 = 80%

b) = 0,2 = 20%

c) . . . . 1 = = 0,2 = 20%4

5

34

23

12

15

15

15

45

310

310

9100

n(A B)

n(A)3

6

12

n(B)n(S)

510

12

n(A B)

n(B)3

5

n(A)n(S)

610

35

23

13

113


MATEMTICA36

32 Lei binomial de probabilidade Combinaes Binmio de Newton

Considere uma experincia que realizada vriasvezes, sempre nas mesmas condies, de modo que oresultado de cada uma seja independente das demais.Considere, ainda, que cada vez que a experincia realizada ocorre, obrigatoriamente, um evento A cujaprobabilidade p ou o complemento A

cuja proba -

bilidade 1 p.

Nestas condies, prope-se o seguinte problema:

Realizando-se a experincia descrita exatamenten vezes, qual a probabilidade de ocorrer o evento As k vezes?

Resoluo do problema

a) Se ocorrer apenas k vezes o evento A, deverocorrer n k vezes o evento A

, pois a experincia

realizada exatamente n vezes.

b) A probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n k vezes o evento A

, numa certa ordem,

p . p . ... . p . (1 p) . (1 p) . ... . (1 p)

k fatores (n k) fatores

ou seja:

c) As k vezes em que ocorrem o evento A soquaisquer entre as n vezes possveis. O nmerode maneiras de escolher k vezes o evento A ,pois, Cn,k.

d) Existem, portanto, Cn,k eventos diferentes, todoscom a mesma probabilidade pk . (1 p)n k, eassim sendo a probabilidade procurada :

Observaes

a) Fala-se em lei binomial de probabilidade por -

que a frmula representa o termo Tk + 1 do desen vol -

vimento de [p + (1 p)]n.

b) O nmero Cn, k pode ser substitudo por Cn, n k

ou Pnk, n k

j que Cn, k = Cn, n k = Pnk, n k

Cn,k . pk . (1 p)n k

pk . (1 p)n k

(AFA) Uma urna contm 12 peas boase 5 defei tuosas. Se 3 peas forem retiradasaleatoriamente, sem reposio, qual a proba -bilidade de serem 2 (duas) boas e 1 (uma)defeituosa?

a) b) c) d)

Resoluo

1) boa na 1a. retirada:

2) boa na 2a. retirada:

3) defeituosa na 3a. retirada:

Como as duas boas podem ocorrer nasretiradas 1 e 2 ou 1 e 3 ou 2 e 3, num total de3 = C3,2 hipteses diferentes, con clumos quea probabilidade a ser calculada

P = . . . C3,2 =

= . . . 3 =

Resposta: C

(FGV) Um carteiro leva trs cartas paratrs destinatrios diferentes. Cada destinatriotem sua caixa de corres pon dncia, e o carteirocoloca, ao acaso, uma carta em cada uma dastrs caixas de correspondncia.

a) Qual a probabilidade de o carteiro noacertar nenhuma caixa de correspondncia?

b) Qual a probabilidade de o carteiro acertarexata mente uma caixa de correspondncia?

Resoluo

a) A probabilidade de o carteiro no acertar

nenhu ma caixa de correspondncia

. . =

b) A probabilidade de o carteiro acertar exata -mente uma caixa

. . . 3 =

Respostas: a) b) 1

2

13

12

11

12

13

13

11

12

23

3368

515

1116

1217

515

1116

1217

515

1116

1217

3334

3368

317

112


MATEMTICA 37

Joga-se, 5 vezes consecutivas, um dado honesto deseis fases, numeradas de 1 a 6. Calcular a probabilidade de:a) obter 5 vezes o nmero 4.b) obter 5 vezes um nmero diferente de 4.c) obter o nmero 4 s nas duas primeiras jogadas.d) obter o nmero 4 s nas duas ltimas jogadas.e) obter o nmero 4 s duas vezes.

RESOLUO:

a) P(4) = . . . . = 5

b) P = 5

c) P = . . . . =

d) P = . . . . =

e) P = C5;22

.3

=

Nas questes a considere um casal normal que tem4 filhos. Calcule a probabilidade de serem:

Quatro meninos.

RESOLUO:

P = . . . = 4

=

Meninos s os dois primeiros.

RESOLUO:

P = . . . =

S dois meninos.

RESOLUO:

P = C4;2 . 2

. 2

= 6 . =

S uma menina.

RESOLUO:

P = C4;1 . . 3

= 4 . =

(UFF) Bzios so pequenas conchas marinhas que em outraspo cas foram usadas como dinheiro e hoje so empregadas comoenfeites, inclusive em pulseiras, colares e braceletes ou como amule -tos ou em jogos de bzios.

No jogo de bzios se con sidera a hip tese de que cada bzioadmite apenas dois resultados possveis (abertura para baixo b zio fechado ou aber tura para cima bzio aberto).Suponha que 6 bzios idnticos sejam lanados simultanea -mente e que a probabilidade de um bzio ficar fechado ao cair,ou ficar aberto, igual a 1/2. Pode-se afirmar que a proba -bilidade de que fiquem 3 bzios abertos e 3 bzios fechados aocair, sem se levar em considerao a ordem em que elestenham cado, igual a:

a) b) c) d) e)

RESOLUO:

A probabilidade p = C6,3 . 3

. 3

= 20 . . =

Resposta: A

332

964

1564

932

516

516

18

18

1212

14

116

12

12

38

116

12

12

116

12

12

12

12

116

121

2

12

12

12

2 . 54

655

6

16

5365

16

16

56

56

56

5365

56

56

56

16

16

5616

16

16

16

16

16


MATEMTICA38

No tringulo retngulo ABC da figura, sen do BC = a,AC = b; AB = c; AH = h; BH = m e CH = n, valem as se -guin tes relaes:

O quadrado de um cateto igual ao produto dahipotenusa pela projeo (ortogonal) desse catetona hipotenusa.

O quadrado da hipotenusa igual soma dosquadrados dos catetos.

O quadrado da altura (relativa hipotenusa) igual ao produto das projees (ortogonais) dos cate -tos na hipotenusa.

O produto da hipotenusa pela altura (relativa hipotenusa) igual ao produto dos catetos.

Assim,

Relaes de Euclides(Teorema de Pitgoras)

a . h = b . c

h2 = m . na2 = b2 + c2

b2 = a . n

c 2 = a . m

hipotenusa x altura = cateto x cateto

(altura)2 = projeo x projeo

(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2

(cateto)2 = hipotenusa x projeo

Geometria Plana e Mtrica Mdulos17 Relaes mtricas

no tringulo retngulo18 Relaes mtricas

no tringulo retngulo19 Natureza dos tringulos20 Lugares geomtricos21 Pontos notveis do tringulo22 Pontos notveis do tringulo23 ngulos na circunferncia24 Potncia de ponto

25 ngulos na circunferncia epotncia de ponto

26 rea dos quadrilteros27 rea dos tringulos28 rea das figuras circulares29 rea dos polgonos30 rea de figuras semelhantes31 Prismas 32 Prismas

Pitgoras de Samos MatemticoGrego (nasceu c. 580 a. C.-572 a. C.)

(morreu c. 500 a. C.-490 a. C.)

17 e 18Relaes mtricas no tringulo retngulo

Hipotenusa Cateto Altura Projeo


MATEMTICA 39

Calcular a medida de uma das diagonais de um quadradode lado .

RESOLUO:

Aplicando Pitgoras, temos;

D2 = 2 + 2 D = 2

Observe a figura:

Depois de tirar medidas de uma atleta, o fot -grafo resolveu fazer uma brincadeira:

1o.) esticou uma linha AB___

, cujo comprimento metade da altura dela;

2o.) ligou B ao seu p no ponto C;3o.) fez uma rotao de BA

___com centro B,

obtendo o ponto D sobre BC___

;4o.) fez uma rotao de CD

___com centro C,

determinando E sobre AC___

.

Para surpresa da modelo, CE a altura do seuumbigo.

Tomando AB como unidade de comprimento

e considerando 5 = 2,2, a medida CE da al -tu ra do umbigo da modelo : a) 0,9 b) 1,0 c) 1,1

d) 1,2 e) 1,3

Resoluo

(CB)2 = (AB)2 + (AC)2 (1+ x)2 = 12 + 22

x2 + 2x 4 = 0 x =

x = 1 + 5 x = 1,2 Resposta: D

(FUVEST) Um lateral L faz um lan a -mento para um atacante A, situado 32 m suafrente em uma linha paralela lateral do campode futebol. A bola, entretanto, segue umatrajetria retilnea, mas no paralela lateral equando passa pela linha de meio do campoest a uma distncia de 12 m da linha que uneo lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha demeio do campo est mesma distncia dosdois jogadores, a distncia mnima que oatacante ter que percorrer para encontrar atrajetria da bola ser de:

a) 18,8 m

b) 19,2 m

c) 19,6 m

d) 20 m

e) 20,4 m

Resoluo

A menor distncia do atacante trajetria dabola est na perpendicular trajetria e essaperpendicular contm a posio do atacante.Na figura seguinte, a medida do segmentoAP. Assim, considerando os dados da figura emmetros,

Cad C2 Teoria 2serie 2bim Matematica

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