Caderno de Questões da 1ª Fase da OBMEP 2014 – Nível 3

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OBMEP 2013 – 2ª Fase – Nível 3

1. Após lançar vezes uma moeda, Antônio contou caras. Continuando a lançar a

moeda, quantas caras seguidas ele deverá obter para que o número de caras fique igual à

metade do número total de lançamentos?

A) 10

B) 15

C) 20

D) 30

E) 40

Resp.: Alternativa C

Seja o número de caras consecutivas obtidas após os primeiros 2014 lançamentos. Então,

de acordo com o enunciado do problema, deverá satisfazer a igualdade

ou equivalentemente,

,

de onde obtemos

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2. Dois números e estão localizados na reta numérica como abaixo:

A) À esquerda de 0.

B) Entre 0 e x.

C) Entre x e y.

D) Entre y e 1.

E) À direita de 1.

Onde está localizado o produto ?

Resp.: Alternativa B

Como , multiplicamos os termos das desigualdades por e obtemos:

Concluímos que

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3. Cinco meninas não estão totalmente de acordo sobre a data da prova de Matemática.

Andrea diz que será em agosto, dia , segunda-feira;

Daniela diz que será em agosto, dia , terça-feira;

Fernanda dia que será em setembro, dia , terça-feira;

Patrícia diz que será em agosto, dia , segunda-feira;

Tatiane diz que será em setembro, dia , segunda-feira.

Somente uma está certa, e as outras acertaram pelo menos uma das informações: o mês, o dia

do mês ou o dia da semana. Quem está certa?

A) Andrea

B) Daniela

C) Fernanda

D) Patrícia

E) Tatiane

Resp.: Alternativa D

Podemos organizar as informações numa tabela:

mês dia do mês dia da semana

Andrea agosto segunda

Daniela agosto terça

Fernanda setembro terça

Patrícia agosto segunda

Tatiane setembro segunda

Se Andrea estivesse certa, então Fernanda não acertava nenhuma das informações. Logo, não

é ela quem está certa, então Tatiane também não acertaria. Logo Daniele e Tatiane não estão

certas. Se Patrícia acertar tudo, as demais acertarão alguma informação e, portanto, Patrícia é

a única que está certa.

4


4. Guilherme precisa chegar em minutos ao aeroporto, que fica a de sua casa. Se nos

primeiros minutos seu carro andar a uma velocidade média de , qual é a menor

velocidade média que ele terá que desenvolver nos próximos minutos para não chegar

atrasado ao aeroporto?

A) 35 km/h

B) 40 km/h

C) 45 km/h

D) 50 km/h

E) 60 km/h


Nos dois primeiros minutos, o carro andou a

ou seja, Guilherme

andou, nos primeiros 2 minutos, Falta percorrer no tempo de

3 minutos.

A velocidade suficiente para isto é

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5. Na figura ao lado, e são quadrados de áreas e , respectivamente. Qual é a

área da região cinza?

A)

B)

C)

D) √

E) √

Resp.: Alternativa A

O lado do quadrado maior é √ e o lado do menor

é √ . Traçamos o segmento BG e vemos que ele

divide a região cinza em dois triângulos e

, cujas áreas, somadas, dão a áreas da região

cinza. A área do triângulo é √ √

e a

área do triângulo BFG é √ √

Logo, a área da

região cinza é

.

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6. Todos os números de a devem ser escritos nas faces de um cubo, obedecendo-se às

seguintes regras:

em cada face devem ser escritos quatro números consecutivos;

em cada par de faces opostas, a soma do maior número de uma com o menor número

da outra deve ser igual .

Se os números e estiverem escritos no cubo como na figura, qual é o menor número que

pode ser escrito na face destacada de cinza?

A) 1

B) 5

C) 9

D) 11

E) 17


Como em cada face aparecem quatro números consecutivos, então a face onde estiver o

número , obrigatoriamente estarão os números , , e . Logo, na face onde estiver o

número estarão os números , , e , e assim, sucessivamente, até chegarmos à face com

os números , , e .

Sendo assim, no cubo apresentado a face com o número também apresenta os números

, e . Como o enunciado diz que a soma do maior número de uma face com o menor

da face oposta é igual a , podemos concluir que na face oposta à que contém o 23 estão os

números , , e . Na face em que aparece o número aparecem os números , , e

. Logo, na face destacada (em cinza) pode estar qualquer número de até .

Como a pergunta é o menor número que pode aparecer na face cinza, a resposta é .

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7. Um retângulo de papel branco, com área de , é dobrado como mostra a

figura, formando o pentágono com área de Se pintarmos de azul os dois

lados do papel dobrado e desfizermos a dobra, o retângulo ficará com uma região não

pintada. Qual é área dessa região?

A)

B)

C)

D)

E)


Quando pintarmos o papel em forma de pentágono dos dois lados, a área total pintada será de

. Esta área pintada inclui a área de um dos lados de retângulo original, que ficará

totalmente azul, e a área pintada do outo lado. Se da área total de , correspondente aos

dois lados do retângulo, retirarmos a área pintada de teremos de área não

pintada.

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8. Começando com um quadrado de de lado, formamos uma sequência de figuras,

como na ilustração. Cada figura, a partir da segunda, é formada unindo-se três cópias da

anterior. Os contornos destacados em vermelho das quatro primeiras figuras medem,

respectivamente, , , e , quanto mede o contorno da Figura ?

A) 88 cm

B) 164 cm

C) 172 cm

D) 488 cm

E) 492 cm


Cada figura é formada por cópias da figura anterior, posicionadas de modo a colocar em

contato apenas dois par de quadradinhos das cópias das figuras. Em consequência, o

comprimento do contorno da nova figura é igual a vezes o comprimento do contorno

anterior, menos (correspondentes aos lados em contato).

A tabela abaixo dá o comprimento do contorno das sucessivas figuras.

Figura Contorno

Portanto, o contorno da Figura mede .

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9. O professor Michel aplicou duas provas a seus alunos e

divulgou as notas por meio do gráfico abaixo Por exemplo, a

aluno A obteve notas e nas provas e , respectivamente; já

o aluno B obteve notas e . Para um aluno ser aprovado, a

média aritmética de suas notas deve ser igual a ou maior do

que . Qual dos gráficos representa a região correspondente às

notas de aprovação?

Resp.: Alternativa E

As notas e obtidas pelo aluno nas duas provas devem ser

tais que

, ou seja, . Os pontos do plano

cujas coordenadas satisfazem a equação

pertencem à reta que corta os eixos nos pontos e

. Os que satisfazem a desigualdade correspondem ao

semiplano determinado por esta reta que não contém a

origem. A região pedida é a interseção desse plano com o

quadrado formado pelas notas possíveis (ou seja, satisfazendo

às condições e ), representada na

alternativa .

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10. Gustavo possui certa quantidade de moedas de , , e centavos, tendo pelo

menos uma de cada valor. É impossível combiná-las de modo a obter exatamente real.

Qual é o maior valor total possível para suas moedas?

A) 86 centavos

B) 1 real e 14 centavos

C) 1 real e 19 centavos

D) 1 real e 24 centavos

E) 1 real e 79 centavos

Resp.: ALTERNATIVA C

Como José possui pelo menos uma moeda de cada tipo, ele não pode ter moedas de

centavos, senão formaria real. Ele também não pode ter moedas de centavos. Com a

moeda de centavos e com uma moeda de centavos ele também não pode formar real.

Concluímos assim, que José possui uma moeda de centavos e uma moeda de centavos.

José não pode ter moedas de centavos, senão junto com a moeda de centavos ele

formaria real. Para maximizar, podemos supor que ele tem, então, quatro moedas de

centavos. Com elas e com as moedas de e centavos ele não consegue formar real.

Por fim, ele não pode ter cinco moedas de centavo, pois se tivesse, formaria real juntando

a elas a moeda de centavos com a de centavos e mais duas de centavos. Assim,

José deve ter, no máximo, quatro moedas de centavo. Logo, o maior valor total possível

que José pode ter é centavos, ou seja, .

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11. Quatro circunferências de mesmo raio estão dispostas como na figura, determinando

doze pequenos arcos, todos de comprimento 3. Qual é o comprimento de cada uma dessas

circunferências?

A) 18

B) 20

C) 21

D) 22

E) 24


Devido às simetrias presentes na figura, podemos construir

o quadrado , com vértices , , e situados nos

centros de cada uma das circunferências, conforme

mostrado na figura. Observamos que em cada uma da

circunferência, os dois lados do quadrado que saem do

centro dela determinam um arco cujo comprimento é

, sendo essa medida a quarta parte do

comprimento de cada círculo. Logo, o comprimento de

cada círculo é .

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12. O símbolo é usado para representar o produto dos números naturais de a , isto é,

. Por exemplo, .

Se , qual é o valor de ?

A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

E) 18


Como , tem-se . Por outro lado,

E, portanto,

Logo, , ou seja, .

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13. Em uma orquestra de cordas, sopro e percussão, pessoas tocam instrumentos de corda,

tocam instrumentos de sopro e tocam instrumentos de percussão. Nenhum de seus

componentes toca os três tipos de instrumentos, mas tocam instrumentos de corda e

sopro, tocam instrumentos de sopro e percussão e alguns tocam instrumentos de sopro e

percussão. No mínimo, quantos componentes há nesse orquestra?

A) 31

B) 33

C) 43

D) 47

E) 53


As informações sobre os componentes da orquestra estão representadas no diagrama.

Seja o número de componentes que tocam instrumentos de sopro e percussão. É claro que

.

O número de componentes da orquestra é

dado pela soma:

Sabendo que , temos que o número

mínimo de componentes da orquestra ocorre

quando , ou seja, quando a orquestra

tem componentes.

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14. Na cidade de Isabel e Talia, o preço de uma corrida de táxi, registrado no taxímetro, é

calculado multiplicando-se um certo valor pelo número de quilômetros percorridos,

acrescentando-se a esse total. O taxímetro sempre inicia a corrida marcando esses

. Elas pegaram um mesmo táxi e combinaram dividir o valor total da corrida de

forma proporcional à distância que cada uma percorreria. Quando o taxímetro marcava

, Isabel desceu sem pagar nada. O táxi prosseguiu com Talia, que pagou no final o

valor de registrado no taxímetro, correspondente a todo o percurso. Quanto Talia

deve receber de Isabel?

A) R$ 4,00

B) R$ 9,00

C) R$ 13,50

D) R$ 14,00

E) R$ 16,50


Sendo a distância percorrida com as duas juntas e a distância percorrida apenas por Talia,

fica claro que Isabel deve pagar pela distância e Talia pela distância . Como os

pagamentos são proporcionais a essas distâncias a fração correspondente a Isabel é

. Seja o preço por quilômetro rodado. Então

{

{

{

Portanto, Isabel deve pagar

do valor total, ou seja,

Talia deve receber Isabel

. Observe que não foi necessário conhecer o

valor de .

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15. Quantos números inteiros e positivos de cinco algarismos têm a propriedade de que o

produto de seus algarismos de

A) 10

B) 20

C) 25

D) 30

E) 40


Como , os possíveis números são formados pelos algarismos:

e , caso em que contabilizamos possibilidades; possibilidades

para a posição do algarismo e possibilidades para o algarismo 4 (as demais casas

do número devem receber o algarismo ).

e , caso em que, de forma análoga, contabilizamos

possibilidades.

Logo, existem números com tal propriedade.

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16. O paralelogramo tem área e os pontos e são os pontos médios dos

lados e , respectivamente. Qual é a área do quadrilátero

A)

B)

C)

D)

E)


Denotaremos por a área de uma figura

e por a relação de semelhança de

triângulos. Sejam a medida da base do

paralelogramo e sua altura. Então:

⁄

Portanto,

Da mesma forma, também podemos concluir que

Vamos calcular agora a área , lembrando que triângulos semelhantes possuem áreas

relacionadas com o quadrado da constante de proporcionalidade:

(

⁄

)

(

)

.

Agora vamos calcular a área do quadrilátero por diferença:

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17. Mônica tem três dados nos quais a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ela

enfileira os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número, obtendo um

número de três algarismos nas faces superiores. Por exemplo, o número 436 pode ser obtido

como mostrado na figura; já o número 635 não pode ser obtido. Quantos números diferentes

ela pode obter?

A) 72

B) 96

C) 168

D) 192

E) 216


Como as faces opostas somam 7, as faces podem ser divididas em três duplas:

Vamos considerar três casos:

a) Os algarismos que aparecem no topo dos três dados são todos da mesma dupla.

Neste caso, a dupla gera números diferentes: ,

.

Analogamente, a dupla gera outras oito possibilidades e a dupla mais oito. Assim,

neste primeiro caso temos um total de possibilidades.

b) Dois dos algarismos do topo pertencem a uma dupla e o outro pertence a uma dupla

diferente.

Em dois dados aparecem algarismos da

dupla:

No outro dado aparece algarismo da

dupla:

{1,6} {2,5}

{1,6} {3,4}

{2,5} {1,6}

{2,5} {3,4}

{3,4} {1,6}

{3,4} {2,5}

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Pensemos nas possibilidades de formação de números em cada uma das linhas da tabela

acima; por exemplo, no caso em que ou aparece no topo de dois dados e no outro dado

aparece ou , teremos possibilidades (a saber:

).

Analogamente, cada um dos casos apresentados nas linhas da tabela produzirão 24 números

diferentes.

No total, neste caso teremos possibilidades.

c) Os três números que aparecem no topo dos dados são provenientes de números de duplas

diferentes. Este caso nunca ocorre, pois é impossível enfileirar os dados de modo que as

faces em contato tenham o mesmo número.

Logo, podemos obter números diferentes.

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18. Um triângulo equilátero gira uma vez em torno do vértice

e outra vez em torno do vértice , sempre se apoiando em uma reta,

como na figura ao lado.

Qual das alternativas representa a trajetória descrita pelo ponto ?


Como em um compasso, o giro de um ponto em torno de outro é sempre um arco de

circunferência. Como o ponto gira duas vezes, a primeira vez em torno de e a segunda

vez em torno de , sua trajetória será a união dos arcos de duas circunferências. Logo,

somente as alternativas e podem estar certas. A alternativa é facilmente descartada,

pois ao terminar o primeiro giro, o ponto não fica sobre a reta que apoia o triângulo.

Assim, a figura que aparece na alternativa , sendo a união de dois arcos de circunferência

de , é a que representa a trajetória do ponto .

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19. Dois dados têm suas faces pintadas de vermelho ou azul. Ao jogá-los, a probabilidade de

observarmos duas faces superiores de mesma cor é 11/18. Se um deles tem cinco faces

vermelhas e uma azul, quantas faces vermelhas tem o outro?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


Podemos supor que o primeiro cubo tem cinco faces vermelhas e uma azul. Seja o número

de faces vermelhas do segundo cubo. Ao se lançar os dois dados, há casos

possíveis. Para que as faces tenham a mesma cor, devem ser ambas vermelhas (

possibilidades) ou ambas azuis ( – possibilidades). A probabilidade de se observar

faces iguais é, portanto,

Para que a probabilidade possa ser igual a 11/18, deve-se ter , ou seja, . O

segundo deve ter, portanto, faces vermelhas.

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20. Rodrigo brinca com uma fita de dois metros, com marcas de centímetro em centímetro.

Começando pela ponta que marca cm, ele dobra a fita varias vezes em zigue-zague, como

na figura, sobrepondo pedaços de fita de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que

pode ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas de 49 cm e de 71 cm ficaram

sobrepostas em pedaços vizinhos. Ele observa também que a marca de 139 cm ficou alinhada

com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a ponta final ficou sobreposta?

A)

B)

C)

D)

E)


Como as marcas e ficaram sobrepostas em pedaços que são vizinhos, houve uma

dobra exatamente no ponto médio, isto é, em . Como o processo

iniciou-se com a marca , o tamanho de cada pedaço, isto é, a distância entre duas dobras

sucessivas, deve ser um divisor de . Os divisores de são

e o próprio . Mas, estando e em pedaços vizinhos,

descartamos os divisores pois a distância de (ou ) até a dobra é

, maior do que todos eles. Resta decidir qual é o tamanho de cada pedaço dentre as

possibilidades ou e, para isto, usaremos a informação de que a marca

ficou alinhada com e .

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As distâncias da marca de 139 aos dois pontos anteriores são, respectivamente, 90 e 68.

Como a marcação de coincide com as anteriores, uma dessas distâncias deve ser um

múltiplo do dobro do tamanho da dobra, ou seja, deve ser um múltiplo de ou

. Mas não é um múltiplo de nenhum desses números, enquanto é múltiplo apenas

de . Portanto, o tamanho de cada pedaço é , o que faz com que a última dobra ocorra na

marca de e, daí, ao dobrar-se o último pedaço, a

marca de fica sobre

.

As figuras a seguir ilustram o que acontece para os cinco

possíveis valores das medidas dos pedaços.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a , teríamos a

situação descrita pela figura ao lado e a marca não

estaria alinhada com e . Logo, este caso não ocorre.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 15, teríamos

a seguinte situação:

Este é o único caso correto. De fato, veremos a seguir

que os demais casos não podem ocorrer:

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Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a

20, teríamos a seguinte situação:

Este caso também não pode ocorrer, pois

não se alinha com e

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 30,

teríamos a seguinte situação:

E vemos que também este caso também não

ocorre.

Finalmente, se o tamanho de cada pedaço fosse

igual a 60, teríamos a seguinte situação:

Este último caso também não ocorre.

Logo o comprimento de cada pedaço é 15 cm e a última dobra é feita na marca 195; assim a

marca 200 alinha-se com a marca 190, a qual está no penúltimo pedaço.

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