Caderno RQ6-Estatística

8/17/2019 Caderno RQ6-Estatística

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Caderno RQ6Estatística

Prof. Milton Araujo

INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br


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Sumário 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 4

2 O QUE É ESTATÍSTICA?..................................................................................................................... 5 2.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA................................................................................................................. 5 2.2 ESTATÍSTICA INFERENCIAL............................................................................................................... 5 2.3 TIPOS DE VARIÁVEIS...................................................................................................................... 6

2.3.1 Variáveis Quantitativas ....................................................................................................... 6 2.3.2 Variáveis Qualitativas ou Categóricas .................................................................................. 6

3 NOMENCLATURA............................................................................................................................. 8

4 FORMAS DE APRESENTAÇÃO DOS DADOS ...................................................................................... 9

4.1 DADOS NÃO AGRUPADOS(OU DADOS“CRUS”) .................................................................................... 9 4.2 DADOS AGRUPADOS POR FREQUÊNCIAS............................................................................................. 9

4.2.1 Agrupamento pontual ......... ........ ......... ........ ......... ......... ........ ......... ........ ......... ......... ........ .. 9 4.2.2 Agrupamento intervalar ......... ........ ......... ........ ......... ........ ......... ........ ......... ......... ........ ...... 10

5 MEDIDAS ESTATÍSTICAS ................................................................................................................ 11

5.1 MEDIDAS DETENDÊNCIACENTRAL................................................................................................. 11 5.2 MEDIDAS DEVARIABILIDADE OUDISPERSÃO..................................................................................... 11 5.3 CÁLCULO DAMÉDIAARITMÉTICA................................................................................................... 12

5.3.1 Média Aritmética Simples .................................................................................................. 12 5.3.2 Média Aritmética Ponderada ............................................................................................. 13

5.4 “TRUQUE” PARA O CÁLCULO RÁPIDO DA MÉDIA ARITMÉTICA................................................................. 16 5.5 CÁLCULO DAMÉDIAGEOMÉTRICA................................................................................................. 21

5.5.1 Aplicações da média geométrica ........ ......... ......... ........ ......... ........ ......... ........ ......... ........ .. 21 5.6 CÁLCULO DAMÉDIAHARMÔNICA.................................................................................................. 22

5.6.1 Aplicações da média harmônica ........ ......... ........ ......... ........ ......... ......... ........ ......... ........ ... 23 5.7 COMPARATIVO ENTRE MÉDIAS....................................................................................................... 23

5.7.1 A Amplitude é importante! ......... ........ ......... ........ ......... ......... ........ ......... ........ ......... ......... . 24 5.8 MODA..................................................................................................................................... 26 5.9 MEDIANA................................................................................................................................. 28

5.9.1 Posição da mediana .......................................................................................................... 28 5.10 PROPRIEDADES DASMTCS ........................................................................................................... 29

5.11 PROPRIEDADE EXCLUSIVA DA MÉDIA ARITMÉTICA............................................................................... 32 5.12 CÁLCULO DASMEDIDAS DEVARIABILIDADE...................................................................................... 34

5.12.1 Desvios simples ............................................................................................................. 34 5.12.2 Variância ....................................................................................................................... 34 5.12.3 Desvio Padrão ............................................................................................................... 36 5.12.4 Coeficiente de Variação ................................................................................................. 37

5.13 PROPRIEDADES DASMEDIDAS DEVARIABILIDADE............................................................................... 38

6 PRÓXIMOS CAPÍTULOS... ............................................................................................................... 43

6.1 ESTE MATERIAL AINDA NÃO ESTÁ COMPLETO..................................................................................... 43 6.2 AGUARDE OS PRÓXIMOS CAPÍTULOS... ............................................................................................. 43


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7 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 44

8 PROVA DE ESTATÍSTICA - FGTAS-2011 ........................................................................................... 61

9 PROVA DE ESTATÍSTICA - AGERGS-2013 ........................................................................................ 71

10 PROVA DE ESTATÍSTICA - CÂMARA-POA 2011 ............................................................................... 85

11 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 90


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1 Introdução

Quem cursou essa matéria na faculdade sabe que é impossível resolver questõessem o auxílio de uma boa calculadora, não é mesmo? Mas como é possívelcolocar questões de Estatística em um concurso público, onde não se pode usarcalculadoras? Simples! A matéria é cobrada focalizando-se osconceitos e aspropriedades .

Fui examinador de concursos públicos durante 8 anos. Em 2011 e 2013 elaborei3 provas de Estatística para os concursos públicos da FGTAS, da AGERGS e daCâmara de Porto Alegre-RS. Essas provas estão disponíveis neste e-book.

Logo após receber o primeiro convite para trabalhar com essa matéria, pensei emcomo seria possível elaborar 20 questões de Estatística para serem resolvidas semcalculadora... Como o programa proposto era extenso, foi preciso ‘pinçar’somente os tópicos que não exigiriam dos candidatos a realização de cálculosexaustivos, mas que premiassem aqueles que estivessembem preparados , ouseja, aqueles que tivessem umbom domínio conceitual .

Qual não foi minha surpresa ao receber vários recursos em questões muitosimples, como as de números 73, 76 e 77, por exemplo, deste livro. Percebi queas faculdades acabam formando muita gente que só aprende a fazer cálculos demodo mecânico e sem a devidainterpr etação dos resultados encontrados, à luzdos conceitos ou das propriedades envolvidas.

Em minhas aulas, passei a adotar um método de treinamento que ajudasse meusalunos a enxergarem as respostas de várias questões, sem realizar um cálculosequer, como é o caso da média harmônica, por exemplo, em que vale a máxima:

“a média harmônica não se calcula; olhe para a amplitude da série e crave aresposta cer ta com 100% de certeza.”

Consulte o link:http://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-mat-estat-rac-log.html para outras dicas desse assunto fascinante!

Abraços e Sucesso!Prof. Milton Araújo.

http://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-mat-estat-rac-log.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-mat-estat-rac-log.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-mat-estat-rac-log.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-mat-estat-rac-log.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2014/09/18-dicas-quentes-de-mat-estat-rac-log.html


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2.3.2.1 Nominais

Não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos,fumante/não fumante, doente/sadio.

2.3.2.2 Ordinais

Existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade, mês deobservação (janeiro, fevereiro, ..., dezembro), etc.


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3 Nomenclatura

Meu orientador do Mestrado, Prof. Dr. João Luiz Becker 1

certa vez me disse:

“A nomenclatura matemática foi criada para a boa definição e o bomentendimento dos conceitos e regras. É primordial respeitá-la, para o bem detodos aqueles que estudam ou praticam ciências exatas.”

Esta lição jamais será esquecida!

Amostra População Tamanho Média aritmética Variância Desvio padrão Coeficiente de variação

... ... ...

Observações:

Representam-se dados amostrais através de letras latinas minúsculas. Paradados populacionais, geralmente usam-se letras gregas.

Dados amostrais são denominados deestatísticas; dados populacionaissão denominados de parâmetros.

1 Aos interessados, principalmente aos que pretendem se tornar pesquisadores acadêmicos,aconselho consultar o livro: Estatística Básica – Métodos de Pesquisa – transformando dadosem informação, de João Luiz Becker, editado pela Bookman.


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4 Formas de Apresentação dos Dados

4.1 Dados não agrupados (ou dados “crus”)

Série estatística na qual os dados brutos aparecem enumerados um a um, naforma de “rol”, sem qualquer preocupação com a ordem.

Exemplo: Número de filhos dos funcionários do setor X de uma empresa:

Tamanho da amostra:

4.2 Dados agrupados por frequências

O agrupamento dos dados é feito por frequência, através de uma das seguintesformas, conforme a natureza dos dados.

4.2.1 Agrupamento pontual

Forma de agrupamento própria para variáveis quantitativas discretas.


Nº de filhos Frequência 0 71 92 33 1

Total 20


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4.2.2 Agrupamento intervalar

O agrupamento por intervalo de classes é destinado a representar variáveisquantitativas contínuas.

Exemplo:Distribuição de idades dos funcionários de uma empresa.

Classe Frequência 18⊢ 22 122⊢ 26 226

⊢

30 530⊢

34 1034⊢ 38 2238⊢ 42 2042⊢ 46 1046⊢ 50 5Total 75


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5 Medidas Estatísticas

As medidas estatísticas são classificadas em Medidas de Tendência Central(MTCs) e em Medidas de Variabilidade ou de Dispersão. Além dessas hátambém as Separatrizes (quartis, decis, percentis).

5.1 Medidas de Tendência Central

Como o próprio nome o diz, uma Medida de Tendência Central (MTC)tende aestar no centro da distribuição.

Abordaremos neste livro:

Média aritmética (simples e ponderada); Média Geométrica; Média Harmônica; Moda; Mediana.

5.2 Medidas de Variabilidade ou Dispersão

As medidas de variabilidade ou dispersão tendem para as caudas da distribuição,isto é, medem os afastamentos, geralmente em torno da média aritmética.

São elas:

Amplitude total; Desvios simples; Desvio médio; Variância; Desvio padrão; Coeficiente de variação.


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5.3 Cálculo da Média Aritmética

5.3.1 Média Aritmética Simples

Fórmulas:

Média aritmética para dados amostrais

Média aritmética para dados populacionais

As fórmulas acima são exatamente iguais. A diferença está na nomenclatura.Consulte o Capítulo 3.


Média aritmética:

Resposta : No setor X dessa empresa, cada funcionário tem,em média, 0,9 filho.


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5.3.2 Média Aritmética Ponderada

Fórmulas:

Média aritmética para dados amostrais

Média aritmética para dados populacionais

Exemplo 1:Calcule a média aritmética do número de filhos dos funcionários do setor X deuma empresa:

Nº de filhos Frequência 0 71 92 33 1

Total 20

Solução:

Observe que o setor X da empresa constitui umaamostra. Assim, a médiaaritmética é dada por:

Acrescentaremos à tabela acima uma coluna com os produtos :

0 7 01 9 92 3 63 1 3

Total 20 18


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Resposta : No setor X dessa empresa, cada funcionário tem,em média, 0,9 filho.Exemplo 2: Na distribuição de idades dos funcionários de uma empresa, apresentada a seguir,calcule a média aritmética.

Classe Frequência 18⊢ 22 122⊢ 26 226⊢

30 530⊢ 34 1034⊢ 38 2238⊢ 42 2042⊢ 46 1046⊢ 50 5Total 75

Observe que a tabela acima apresenta a distribuição das idades de todos osfuncionários da empresa. Trata-se, portanto, de uma população. Assim, a médiaaritmética é dada por:

Nas distribuições por intervalo de classes, as variáveis devem serrepresentadas pelos respectivos pontos médios das classes:

20 1 2024 2 4828 5 14032 10 32036 22 79240 20 80044 10 44048 5 240

Total 75 2800


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O cálculo realizado acima é exaustivo! Em uma prova, consumiria um temporazoável do candidato, e a probabilidade de cometer algum erro é alta...

5.3.2.1 Dica

Na introdução deste livro, alertamos para este ponto: a exaustividade doscálculos em questões de Estatística. O candidatobem preparado deve semprefocalizar primeiro osconceitos e aspropriedades !

Pois bem, a média aritmética é uma Medida de Tendência Central, isto é, tende para o centro da distribuição. Observe, na tabela a seguir, que as frequênciassimples crescem até um valor máximo e depois decrescem novamente:

1, 2, 5, 10,22 , 20, 10, 5

Vê-se, claramente, que a média aritmética está no intervalo 34⊢ 38

A questão acima caiu em uma prova de Raciocínio Quantitativo do TesteANPAD, em 2006 (veja a questão nº 26 na lista de exercícios).

Normalmente, questões deste tipo solicitam o cálculo de duas informações: umafácil e outraaparentemente trabalhosa.


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Deixe a informação aparentemente trabalhosa em segundo plano e calcule a maisfácil primeiro! Há 99% de chance que você não precise realizar o cálculotrabalhoso...

5.4 “Truque” para o cálculo rápido da média aritmética

Vou antecipar aqui uma parte do próximo capítulo, que tratará das medidas devariabilidade ou dispersão. Mais particularmente, falarei dosdesvios simples emtorno da média aritmética.

Exemplo:

Dado o conjunto de dados:

Sua média aritmética é:

Define-se o desvio simples (símbolo:) por:

Conjunto formado pelos desvios simples:

Somatório dos desvios simples:

Propriedade:

“Para qualquer conjunto de dados, o somatório dos desvios simples em torno damédia aritmética é sempre nulo.”

Significa que, se colocássemos os desvios em uma balança, com o apoio no zero,

e os tratássemos como “pesos”, teríamos um equilíbrio nesta balança.


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Desconsideremos o valores negativos, pois eles indicam apenas que os valoresconsiderados são menores do que a média aritmética.

Então, temos à esquerda do valor zero um peso total de 3 unidades; e à direita dozero também temos um peso total de 3 unidades.

Veremos as propriedades das MTCs um pouco mais adiante, mas também

anteciparei aqui uma importante propriedade da média aritmética:

“Ao somarmos ou subtrairmos uma constante em cada valor de um conjunto dedados, sua média aritmética ficará somada ou subtraída dessa mesma constante

.

Voltando ao conjunto de dados , vamos subtrair uma unidade decada valor do conjunto :


Observe que agora a média aritmética ficou uma unidade menor do que a médiaaritmética anterior.

Se a constante for igual à média aritmética do conjunto, a nova média ficaráigual a zero. Bingo! Temos aqui algo bastante útil para o cálculo rápido da médiaaritmética de um conjunto de dados.

Sei que ainda não ficou 100% claro, mas o exemplo seguinte ajudará o leitor acaptar o ponto em que pretendo chegar.

Exemplo:


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Vamos tomar o conjunto de dados da questão 25 da lista de exercícios:

61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78

Por simples observação, não sabemos qual é a média aritmética exata doconjunto acima, mas, como a média aritmética é uma medida que tende a estar nocentro da distribuição, podemos desconfiar que ela não estão muito distante do71.

Então, vamos arriscar inicialmente o 71 como o possível valor para a médiaaritmética do conjunto, subtraindo-o de cada um dos valores originais do

conjunto de dados:-10, -5, -5, -4, 0, 1, 1, 1, 6, 7

Coloquemos os dados na balança...

Observe (figura seguinte) que o apoio da balança foi colocado sobre o valor 71.A balança apresenta um “peso” de 24 unidades à esquerda e um “peso” de 16unidades à direita. Isto significa que a verdadeira média aritmética do conjunto éum valor ligeiramente inferior a 71.

Para a confirmação, calculemos o valor da média aritmética para o conjuntoacima:


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Pela propriedade da média aritmética enunciada no quadro da página anterior,sabemos que a média – 0,8 é 71 unidades menor do que a verdadeira média doconjunto. Então:

Observe o leitor que não havia necessidade de calcular com exatidão a verdadeiramédia aritmética do conjunto. Para a questão citada, bastaria apenas sabermosque era um valor ligeiramente menor do que 71...

Para finalizar, segue mais um exemplo:

Calcule a média aritmética do conjunto:

Sabemos que a média aritmética deve estar próxima do valor 102. Para facilitaros cálculos, vamos arbitrá-la inicialmente como sendo igual a 100 e subtraí-la decada valor do conjunto de dados:

Sabe-se que o valor da média aritmética do conjunto éum valor ligeiramente maior do que 100.

Calculando-se a média aritmética dos “desvios” e acrescentando100 unidades, chegaremos à verdadeira média aritmética do conjunto de dados:


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Para mais informações, consulte este link:http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-1.html

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5.5 Cálculo da Média Geométrica

Para o cálculo da média geométrica, utiliza-se a seguinte fórmula:

O símbolo significa “produtório”

Por simplicidade, adotaremos a seguinte fórmula:

Exemplo:Calcular a média geométrica entre 25 e 64.

Solução:

5.5.1 Aplicações da média geométrica

Aplica-se a média geométrica a valores que seguem uma lei geométrica. Veja oexemplo 1 neste link:http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-3.html.

Também aplica-se a média geométrica para o cálculo da taxa média em juroscompostos. Veja o exemplo 2 no mesmo link acima.

A média geométrica quase não aparece em provas de concursos públicos, nem noTeste ANPAD. A razão parece óbvia: para , por exemplo, é necessáriocalcular a raiz cúbica, tarefa nada agradável de se realizar sem o auxílio de umacalculadora...

http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-3.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-3.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-3.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-3.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-3.html


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5.6 Cálculo da Média Harmônica

Para o cálculo da média geométrica, utiliza-se a seguinte fórmula:

Por simplicidade, adotaremos a fórmula escrita como segue:

Exemplo:Calcular a média geométrica entre 4 e 16.

Solução:

Atalho:

Quando , e apenas quando , a média harmônica pode ser calculadado seguinte modo:

Assim, a solução do problema acima fica:


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5.6.1 Aplicações da média harmônica

Aplica-se a média harmônica nos seguintes casos:

Dados com grande amplitude. Exemplo: vestibular, concursos públicos,Teste ANPAD, etc.

Dados que apresentem grandezas de natureza diferente relacionadas.Exemplo: velocidade (relaciona distância com tempo); densidade(relaciona massa com volume), etc.

5.6.1.1 O que é Amplitude?

Amplitude em um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o menorvalor da distribuição.

Exemplo: 16, 18, 20, 25

Amplitude: 5.7 Comparativo entre médias

No link:http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-2.html consta um comparativo entre as médias aritmética, geométrica e harmônica.

Tomamos duas distribuições simples:

e

Calculamos, para as distribuições e as médias aritmética, geométrica eharmônica:



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[Fonte: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-2.html]

Observação : para qualquer conjunto de dados

5.7.1 A Amplitude é importante!

A amplitude do conjunto é: .Observe que o valor da amplitude do conjunto é um valor que está entre 4 e 16, portanto, essa amplitude é consideradagrande . Em outras palavras, 12 é umvalor que está entre 4 e 16.

A amplitude do conjunto é: .Observe que o valor da amplitude do conjunto é um valor fora do intervaloentre 10 e 12. Aqui a amplitude épequena . Em outras palavras, 2 é um valor quenão está entre 10 e 12.

5.7.1.1 A média harmônica não se calcula!

Agora o leitor já está preparado para entender a provocação que coloquei lá naintrodução deste livro!

http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-2.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-2.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-2.htmlhttp://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-2.html


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Quando a amplitude de um conjunto de dados forpequena , a média harmônicaserá pouca coisa menor do que a média aritmética.

Quando a amplitude de um conjunto de dados forgrande , a média harmônicaserá pouca coisa menor do que o dobro do menor valor desse conjunto.

Exemplo:

Durante a realização de uma gincana escolar, uma das provas consiste emcaminhar em linha reta do ponto A até o ponto B, e, em seguida, retornar ao

ponto A. Pela regra da prova, cada competidor não pode andar mais do que 50 passos por minuto em um dos trechos, nem mais de 100 passos por minuto nooutro trecho. Dois dos competidores, João e Pedro, têm passadas iguais, isto é, acada passo, ambos percorrem igual distância. Os dois partem ao mesmo tempo.João percorre o trecho de A até B dando 40 passos por minuto, e o trecho de Baté A com 60 passos por minuto. Pedro percorre o trecho de A até B com 100 passos por minuto. Ao retornar de B para A, já cansado, só consegue dar 10 passos por minuto.Quem venceu a prova?A) Nenhum dos dois venceu, pois cruzaram juntos a linha de chegada.B) Eles teriam cruzado juntos a linha de chegada se João percorresse o trecho deA até B com 50 passos por minuto.C) Pedro venceu a prova.D) João venceu a prova.E) Não é possível determinar quem foi o vencedor.[Fonte: banco de questões do autor]

Solução/Comentários:

Dados:João vai de A para B com velocidade de 40 ppm (passos por minuto), e volta deB para A com velocidade de 60 ppm.

Pedro vai de A para B com velocidade de 100 ppm, e volta com velocidade de 10 ppm.


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Observa-se que os dados relacionam distância percorrida e tempo gasto(velocidade). Logo, deve-se calcular a média harmônica dos dois competidores.

Mas, antes de mais nada, calculemos as amplitudes de cada competidor:

João: (pequena)Pedro: (grande)Disto, podemos concluir que a velocidade média de João é pouca coisa menor doque 50 ppm (ou um pouco menor do que a média aritmética).

A velocidade média de Pedro não é o dobro da menor velocidade, ou seja, é umvalor inferior a 20 ppm.

Conclusão: João venceu a prova!

Resposta: Alternativa: D

Divirta-se com essa pequena lista de exercícios:

http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-estatistica-4.html

5.8 Moda

A Moda é a medida estatística que ocorre com maior frequência.

Uma distribuição de dados pode seramodal (que não tem moda),bimodal (duas

modas), ou polimodal, quando tem 3 modas ou mais.Exemplo:1) Dados não agrupados: Número de filhos dos funcionários do setor X de uma empresa:

Moda do conjunto:



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2) Dados agrupados por pontos:

Moda do conjunto:

3) Dados agrupados por intervalo de classe:

Neste caso, localiza-se, através da maior frequência, a classe modal.

Há três formas de se determinar a moda do conjunto:

1. Moda bruta: calcula-se o ponto médio da classe modal:


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2. Moda de King: cálculo realizado através de fórmula.

3. Moda de Czuber: cálculo realizado através de fórmula.

Cálculos da moda realizado através das fórmulas de King e Czuber não caem em provas de concursos públicos, nem no Teste ANPAD.

5.9 Mediana

A Mediana é uma separatriz, pois divide a distribuição exatamente ao meio. Para

localizá-la, é necessário ordenar os dados do menor para o maior valor.


Ordenamento dos dados:

5.9.1 Posição da mediana

A posição da mediana é dada por:

onde:: é a posição da mediana;: é o tamanho da amostra.

No exemplo acima:


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Significa dizer que a mediana está posicionada entre o 10º e o 11º elementos. Neste caso, é necessário calcular a média aritmética desses dois elementos:

5.10 Propriedades das MTCs

Adicionando-se uma constante em cada valor de um conjunto de dados, suamédia aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão somadas dessa

mesma constante .

Exemplo 1:

Média aritmética:

Mediana:

Moda:

Exemplo 2:Vamos adicionar a cada elemento do conjunto:

Média aritmética:


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Observe que a média aritmética, a mediana e a moda do conjunto ficaramsubtraídas de uma unidade.

Multiplicando-se cada valor de um conjunto de dados por uma constante, suamédia aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão multiplicadas poressa mesma constante.

Exemplo 4:Conjunto original:

Vamos multiplicar cada elemento do conjunto por 2:

Média aritmética:

Mediana:

Moda:

Observe que a média aritmética, a mediana e a moda do conjunto ficarammultiplicadas por 2.

Dividindo-se cada valor de um conjunto de dados por uma constante, suamédia aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão divididas por essamesma constante .


Vamos dividir cada elemento do conjunto por 2:


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Média aritmética:

Mediana:

Moda:

Observe que a média aritmética, a mediana e a moda do conjunto ficaramdivididas por 2.

5.11 Propriedade exclusiva da média aritmética

A média aritmética é afetada pelos valores extremos da distribuição de dados.

Acrescentando-se novos valores próximos ao extremo inferior da distribuição dedados, a nova média aritmética será menor do que a média aritmética original.

Exemplo:

Acrescentando-se outro valor 1:


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Acrescentando-se novos valores próximos ao extremo superior da distribuição dedados, a nova média aritmética será maior do que a média aritmética original.

Exemplo:Acrescentando-se mais um 5 ao conjunto :


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5.12 Cálculo das Medidas de Variabilidade

5.12.1

Desvios simples

Exemplo:Dado o conjunto de dados:


Define-se o desvio simples (símbolo:) por:

Conjunto formado pelos desvios simples:

Somatório dos desvios simples:

Propriedade:

“Para qualquer conjunto de dados, o somatório dos desvios simples em torno da

média aritmética é sempre nulo.”

5.12.2 Variância

Como o somatório de todos os desvios simples em torno da média aritmética ésempre nulo, decidiu-se elevar os desvios ao quadrado e somá-los:


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Propriedade:

“O somatório dos quadrados dos desvios simples em torno da média aritmética éum mínimo.”

Da propriedade acima, nasceu o Método dos Mínimos Quadrados, amplamenteusado na Estatística.

5.12.2.1 Cálculo da Variância pelo método longo

O cálculo da Variância (símbolo: , para população; para amostra) pelo

método longo é dado por uma das fórmulas a seguir:

Para a população

ou

Para a amostra



O somatório dos quadrados dos desvios simples em torno da média aritmética (jácalculado) é:

Variância:


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5.12.2.2 Cálculo da Variância pelo método breve ou curto

Para a população

ou

Para a amostra



Variância pelo método curto:

5.12.3 Desvio Padrão

O desvio padrão de um conjunto de dados é calculado pela raiz quadrada de suavariância.


Sua variância é:

Seu desvio padrão é:


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5.12.4 Coeficiente de Variação

Coeficiente de Variação (ou Variabilidade Relativa) mede a variação relativaentre o desvio padrão e a média aritmética de uma distribuição de dadosestatísticos.

Para a população

ou

Para a amostra

Exemplo:

Dado o conjunto de dados:


Seu desvio padrão é:

Coeficiente de Variação:

Quanto maior for o Coeficiente de Variação, mais heterogênea é a distribuição.Quanto menor for o Coeficiente de Variação, mais homogênea é a distribuição.


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5.13 Propriedades das Medidas de Variabilidade

Ao adicionar-se ou subtrair-se uma constante em cada valor de um conjunto dedados, sua variância e seu desvio padrão não sofrerão qualquer alteração.

Exemplo 1:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:

Coeficiente de variação:

Exemplo 2:Vamos adicionar a cada elemento do conjunto:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:


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Análise dos resultados:

(1) Adicionamos uma constante em cada valor do conjunto original e tanto a

variância, quando o desvio padrão não sofreram qualquer alteração.(2) Adicionando-se uma constante a cada valor de um conjunto de dados, ocoeficiente de variação do conjunto será menor do que o original.


Vamos subtrair uma unidade de cada elemento do conjunto:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:



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(1) Subtraindo-se uma constante de cada valor do conjunto original: variânciae desvio padrão não sofrem qualquer alteração.

(2) Subtraindo-se uma constante de cada valor de um conjunto de dados, ocoeficiente de variação do conjunto será maior do que o original.

Multiplicando-se cada valor de um conjunto de dados por uma constante, suavariância ficará multiplicada por e o seu desvio padrão fica multiplicado por

.


Vamos multiplicar cada elemento do conjunto por 2:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:




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Multiplicando-se cada valor do conjunto original por uma constante, suavariância ficará multiplicada por e o seu desvio padrão fica multiplicado por

, enquanto que o seu coeficiente de variação não sofre qualquer alteração.

Dividindo-se cada valor de um conjunto de dados por uma constante, suamédia aritmética, sua mediana e sua moda (se houver) ficarão divididas por essamesma constante .


Vamos dividir cada elemento do conjunto por 2:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:



Dividindo-se cada valor do conjunto original por uma constante, sua variânciaficará dividida por e o seu desvio padrão fica dividido por, enquanto que oseu coeficiente de variação não sofre qualquer alteração.


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Quadro-resumo:

Somando-se umaconstante acada valor dadistribuição

Subtraindo-seuma constante a cada valor da

distribuição

Multiplicando-secada valor dadistribuição por umaconstante

Dividindo-secada valor dadistribuição por

uma constante Média

aritméticaFica somada

de Fica subtraída

de Fica multiplicada

por Fica dividida

por

Moda Fica somadade Fica subtraída


por Fica dividida

por

Mediana Fica somadade Fica subtraída


por Fica dividida por

Variância Não se altera Não se altera Fica multiplicada por Fica dividida por

DesvioPadrão Não se altera Não se altera Fica multiplicado por Fica dividido por Coeficientede Variação Diminui Aumenta Não se altera Não se altera


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6 Próximos Capítulos...

6.1 Este material ainda não está completo

6.2 Aguarde os próximos capítulos...


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7 Exercícios

1) ANPAD-2009 – O coeficiente de assimetria de Pearson é uma medida deassimetria que expressa a diferença entre a média e a mediana em relação aodesvio padrão. Se uma determinada amostra tiver coeficiente de assimetria dePearson negativo, pode-se concluir que

a) a média é maior que a mediana. b) a média é menor que a mediana.c) o desvio padrão é negativo.d) o desvio padrão é maior que a média.e) o desvio padrão é maior que a mediana.

2) ANPAD-2009 – Certa empresa resolveu duplicar o salário de cadafuncionário. Com relação à variância e ao desvio padrão dos novos salários, pode-se afirmar que

a) a variância quadruplicou e o desvio padrão duplicou. b) a variância duplicou e o desvio padrão quadruplicou.c) ambos permaneceram iguais.d) ambos quadruplicaram.e) ambos duplicaram.

3) ANPAD-2010 – Na tabela ao lado,tem-se a distribuição dos salários dosfuncionários de uma dada empresa (emsalários mínimos). Para esse conjunto dedados, os valores aproximados da média eda mediana são iguais, respectivamente, a

a) 4,0 e 4,0 b) 4,25 e 4,6c) 4,5 e 4,0

Classes de salários

(em saláriosmínimos)

Frequência(%)

1

⊢

3 253⊢

5 405⊢ 7 207⊢ 9 109⊢ 11 5

d) 4,6 e 6,0e) 4,6 e 4,25

4) ANPAD-2010 – Marcos submeteu-se a quatro provas. Sabe-se que as notas da primeira e da quarta prova são, respectivamente 7 e 8. A nota da terceira prova é


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maior que a nota da segunda, e as notas referentes a essas duas provas sãonúmeros inteiros entre 0 e 10. Sabendo-se que a média aritmética das quatronotas é igual a 6, pode-se concluir que uma possibilidade para a nota da terceira prova e para o valor da mediana são valores respectivamente iguais a

a) 8 e 4,5. b) 7 e 3,5.c) 6 e 6,5.d) 5 e 4,5.e) 4 e 6.

5) ANPAD-2010 – Flávia e Maria estão cursando umadisciplina cuja nota final será a média ponderada dosresultados obtidos em quatro avaliações: A1, A2, A3 eA4, que, respectivamente, têm pesos 1, 2, 3 e 4.

Nota A1 A2 A3Flávia 7,0 7,5 7,0Maria 8,0 7,0 7,5

Na tabela ao lado, estão dispostas as três primeiras notas de cada aluna.Sabendo-se que a média de aprovação na disciplina é 6,0 e que as referidasalunas fizeram a quarta avaliação em dupla, conclui-se que, dentre asalternativas, a menor nota A4 que as aprova na disciplina é

a) 5. b) 4.c) 3.d) 2.e) 1.

6) ANPAD-2010 – Em relação ao saláriomensal, a distribuição dos funcionários deuma empresa é aquela mostrada na tabelaao lado. O salário médio mensal e adistribuição são, respectivamente,

a) 5 salários mínimos e simétrica. b) 5 salários mínimos e assimétrica àdireita.c) 5 salários mínimos e assimétrica àesquerda.d) 7 salários mínimos e assimétrica àdireita

Salário Mensal

(nº de salários

mínimos)

Frequência

1⊢ 3 453⊢ 5 405⊢ 7 307⊢ 9 209⊢ 11 1011⊢ 13 5Total 150

e) 7 salários mínimos e assimétrica à esquerda.


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7) ANPAD-2011 – O diretor de certa empresa afirmou: “A média de vendas decada mês do último ano duplicou em relação à média mensal de vendas de cadaum dos respectivos meses do ano anterior.” Dessa informação pode -se concluir,no que diz respeito às vendas do último ano em relação às vendas do anoanterior, que

a) a variância quadruplicou e a mediana duplicou. b) o desvio padrão não alterou e a média anual duplicou.c) o desvio padrão quadruplicou e a média anual duplicou.d) o desvio padrão duplicou e a mediana anual quadruplicou.

e) o desvio padrão, a mediana, a média anual e a variância duplicaram.8) ANPAD-2011 – Os custos mensais com material de limpeza de certa empresaseguem, estatisticamente, uma distribuição normal com média de R$ 250,00 edesvio padrão de R$ 20,00. Logo, pode-se afirmar que

a) aproximadamente 68% dos custos com material de limpeza estão entre R$230,00 e R$ 270,00. b) aproximadamente 78% dos custos com material de limpeza estão entre R$

230,00 e R$ 270,00.c) aproximadamente 95% dos custos com material de limpeza estão entre R$230,00 e R$ 270,00.d) aproximadamente 95% dos custos com material de limpeza estão entre R$190,00 e R$ 310,00.e) aproximadamente 99% dos custos com material de limpeza estão entre R$210,00 e R$ 290,00.

9) ANPAD-2011 – Em uma determinada empresa, a razão entre o número defuncionários que trabalham na administração e o número de funcionários quetrabalham no chão de fábrica é de sete para quatro. O tempo médio de permanência na empresa é de 5 anos entre os funcionários da administração e de11 anos entre os funcionários do chão de fábrica. Então, supondo-se que sóexistam essas duas áreas na empresa (administração e chão de fábrica), o tempomédio geral de permanência na empresa está mais próximo de

a) 10 anos.

b) 9 anos.


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c) 8 anos.d) 7 anos.e) 6 anos.

10) ANPAD-2011 – A partir de uma pesquisa com dez funcionários deuma empresa, foi elaborada a tabelaao lado, contendo as variáveis idade,estado civil e grau de instrução. Com base nos dados da tabela, fazem-se asseguintes afirmações:

I. A idade média é de 25 anos.II. A mediana da variável idade éigual a 25,5 anos.III. A moda da variável idade é 26

Funcionário

IdadeEstadoCivil

Grau deInstrução

1 23 Casado Ensino Médio2 21 Solteiro Graduação3 23 Casado Ensino Médio4 21 Casado Mestrado5 25 Solteiro Mestrado

6 26 Solteiro Ensino Médio7 26 Casado Graduação8 27 Solteiro Doutorado9 27 Solteiro Ensino Médio10 26 Casado Graduação

anos.IV. Existem três funcionários casados que têm apenas o ensino médio.V. Apenas 1% dos funcionários tem doutorado.

Dentre as afirmações acima, sãoCORRETAS

a) apenas I e II. b) apenas I e III.c) apenas II e III.d) apenas II, III e IV.e) apenas II, III, IV e V.

11) ANPAD-2012 – O critério de avaliação da disciplina de Estatística é baseadona média aritmética ponderada das notas de quatro provas, cujos pesos são 1, 2, 3e 4, respectivamente. Se a média das quatro provas for maior ou igual a 8,5, oaluno fica dispensado da apresentação de um trabalho. Se Marcos tirou, nestaordem, notas 6,0, 10,0 e 9,0 nas três primeiras avaliações, para que ele fiquedispensado da apresentação do trabalho, a sua quarta nota deverá ser no mínimoigual a

a) 7,8.

b) 8,0.


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c) 8,5.d) 8,7.e) 9,0.

12) ANPAD-2011 – O gráfico a seguir representa a distribuição das notas que 40alunos do curso de Administração obtiveram em determinada prova.

A média aritmética e a mediana das notas dos 40 alunos nessa prova são,

respectivamente,

a) 4,4 e 5,5. b) 5,5 e 5,5.c) 4,4 e 6,0.d) 5,5 e 6,0.e) 5,0 e 5,0.

13) ANPAD-2012 – A média aritmética das idades das crianças em uma colôniade férias é de 9 anos. Quando essas crianças são separadas em meninos emeninas, a média aritmética das idades é de 11 anos para os meninos e de 6 anos para as meninas. Então, a razão entre o número de meninos e meninas é

a) 3/2. b) 2/3.c) 11/6.d) 6/11.

e) 9/5.


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14) ANPAD-2012 – O salário médio mensal de todos os funcionários de certaorganização é de R$ 2.000,00. Os salários médios mensais para os homens emulheres funcionários dessa mesma organização são, respectivamente, de R$1.700,00 e R$ 2.100,00. A porcentagem de mulheres empregadas pelaorganização é de

a) 80%. b) 75%.c) 60%.d) 30%.

e) 25%.15) ANPAD-2013 – Maria jogou 11 partidas de um jogo e fez média de 49 pontos. Se a média foi de 38 pontos nas cinco primeiras partidas e 59 pontos nascinco últimas, então na sexta partida Maria fez

a) 40 pontos. b) 45 pontos.c) 49 pontos.d) 51 pontos.e) 54 pontos.

16) ANPAD-2013 – Um professor decidiu consultar a seguinte listagem de notasobtidas pelos seus sete alunos na prova final do semestre:

2,5 4 4 6 * 9,5 10

Embora a quinta nota da lista estivesse ilegível, o professor sabia que a média dasnotas coincidia com a mediana e que a lista estava em ordem crescente de notas.Assim, o professor pôde concluir que a nota ilegível era:

a) 6,0. b) 6,5.c) 7,5.d) 8,5.e) 9,0.

17) ANPAD-2014 – A média de tempo dos oito corredores de uma prova de 100m rasos foi de 11 segundos e 20 centésimos. Após a realização de examesanti-doping , apenas o atleta que havia chegado em primeiro lugar foi desclassificado e


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a média de tempo entre os corredores restantes subiu para 11 segundos e 40centésimos. Determine qual foi o tempo, em segundos, do atleta acusado dedoping .

a) 9,8. b) 10,0.c) 10,2.d) 10,4.e) 10,6.

18) ANPAD-2014 – A média das alturas dos irmãos João, Carlos e André é iguala 190 cm, que, por coincidência, equivalem à altura de André. Sabendo que odesvio-padrão das três alturas é igual a

, determine qual é a diferença, em

centímetros, entre as alturas de João e Carlos.

a) 2. b) 4.c) 6.d) 8.e) 10.

19) ANPAD-2014 – Em um jogo de futebol, que durou 90 minutos ao todo, otime visitante ganhou por 7 a 1. Os gols do time visitante saíram aos 11, 23, 24,26, 29, 72 e 80 minutos de jogo. Desconsiderando o intervalo de tempo entre o primeiro e o segundo tempo, determine quantos minutos, em média, o timevencedor ficou sem marcar gols nessa partida.

a) 10. b) 10,65.c) 11,25.d) 11,43.e) 12,95.

20) ANPAD-2015 – A média aritmética dos números e é igual a 6,0, e amédia aritmética dos números e é igual a 6,4. Qual é a médiaaritmética desses 8 números?

a) 1,55. b) 6,25.c) 6,30.d) 6,35.e) 10,00.


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21) ANPAD-2015 – Uma amostra é composta por 5 dados numéricos, dispostosem ordem crescente. Retirando-se o primeiro dado dessa amostra, a mediana dosdados restantes torna-se 15,2. Se, da amostra inicial, for retirado o seu último

dado, então a mediana dos dados restantes torna-se igual a 9,3. A diferença entreo quarto dado e o segundo dado da amostra inicial é igual a

a) 15,0. b) 14,2.c) 13,4.d) 12,6.e) 11,8.

22) ANPAD-2015 – Um atleta correu durante uma hora a passadas que tinham,em média, uma largura de 50 cm. Nos primeiros quinze minutos, a largura médiadas passadas foi de 42 cm, nos dez minutos seguintes a largura média aumentou para 60 cm e, nos vinte minutos seguintes, reduziu para 54 cm. Qual foi, emcentímetros, a média da largura das passadas desse atleta nos últimos quinzeminutos da corrida?

a) 40. b) 42.c) 44.d) 46.e) 48.

23) ANPAD-2015 – Para um aluno obter aprovação, a média aritmética das suasnotas nas duas provas de um dado curso deve ser igual ou superior a 5. Na primeira prova, certo aluno tirou 4 e, na hora de receber sua segunda nota, o professor lhe entregou um papel em que estava escrito o seguinte: “O desvio - padrão das suas duas notas foi 1, e a sua média final não foi suficiente para vocêser aprova. Entretanto, se você deduzir corretamente qual foi a sua segunda nota,eu o aprova no curso”. Qual foi a segunda nota desse aluno?

a) 1. b) 2.c) 3.d) 5.e) 6.

24) ANPAD-2015 – Em uma festa infantil, cinco pessoas disputaram o jogo“dança das cadeiras” em que, a cada rodada, uma das pessoas é eliminada, atésobrar somente uma – a vencedora. A tabela abaixo mostra como variou a média

das massas dos participantes em função do número de participantes de cada


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rodada

Número de participantes 5 4 3 2 1

Média das massas (kg) 21,4 21,75 22 21,5 22Com base na tabela acima e considerando que a última rodada teve apenas um participante e que não há variação nas massas individuais dos participantesdurante todo o jogo, conclui-se que o participante mais pesado do jogo foi o

a) primeiro a sair. b) segundo a sair.c) terceiro a sair.d) quarto a sair.e) vencedor.

25) ANPAD-2006 – Foi realizado um levantamento em relação ao peso de 10estudantes universitários do curso de administração. Obteve-se o seguinteresultado (em kg): 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78. Assim, a mediana e amédia aritmética desse conjunto são, respectivamente,

a) 71,5 e 70,2. b) 71,5 e 71,5.

c) 71 e 70,2.d) 70,2 e 71,5.e) 72 e 70,2.

26) ANPAD-2006 – Os dados da tabela abaixo se referem às idades dosfuncionários de uma empresa

Classe Frequência18⊢ 22 122

⊢

26 226⊢

30 530⊢ 34 1034⊢ 38 2238⊢ 42 2042⊢ 46 1046⊢ 50 5Total 75

A idade média das pessoas que trabalham na empresa e a porcentagem de

funcionários que têm idade igual ou superior a 38 anos são, respectivamente,


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a) 35,4 e 40%. b) 35,4 e 62,5%.

c) 37,3 e 45%.d) 37,3 e 46,66%.e) 42,3 e 46,66%.

27) ANPAD-2006 – A média de idade de 20 funcionários de uma empresa é 30.Sabendo-se que, nessa empresa, não há funcionários com menos de 18 anos deidade, nem com mais de 75, pode-se afirmar que

a) necessariamente, dez desses funcionários têm mais de 20 anos. b) quatro desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 35, dez podem ter 30 e os demais podem ter 40 anos.c) dois desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 25, dez podemter 35, e os demais podem ter 40 anos.d) obrigatoriamente, cada funcionário tem mais de 25 anos.e) dez desses funcionários podem ter 45 anos.

28) ANPAD-2005 – Considere-se a seguinte sequência de valores, à qual faltaapenas um número: 5, 7, 10, 12, 15, 20, 27. Sabendo-se que a média aritméticado conjunto é 13, qual é o número que está faltando?

a) 8. b) 10.c) 12.d) 15.e) 20.

29) ANPAD-2005 – Sabendo-se que a sequência de números 2, 7, 8, 10, 10, 15,20 não está completa e tem como única moda o número 8, conclui-se que essasequência

a) necessita de, pelo menos, mais um número 8. b) necessita de, pelo menos, mais dois números 8.c) necessita de, pelo menos, mais três números 8.d) necessita de, pelo menos, mais quatro números 8.e) necessita de, pelo menos, mais cinco números 8.

30) ANPAD-2005 – Durante quatro anos consecutivos, o proprietário de umafazenda comprou um tipo de inseticida. No primeiro ano, o custo foi de R$ 16,00

por galão; no segundo, de R$ 18,00; no terceiro, de R$ 20,00; e no quarto, de R$


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25,00. Sabe-se que no período considerado o gasto anual com inseticida foiconstante, de R$ 3.600,00. O custo médio aproximado dos inseticidas para o período de quatro anos foi de

a) R$ 26,00. b) R$ 25,33.c) R$ 24,15.d) R$ 19,22.e) R$ 16,30.

31) ANPAD-2005 – Analise as seguintes afirmações:

I. A mediana de um conjunto de números, ordenados em ordem de grandeza,é a média aritmética desses números.II. A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maiorfrequência.III. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.IV. A variância é a raiz quadrada do desvio padrão.

EstãoCORRETAS a) I e II. b) I e III.c) II e IV.d) II e III.e) I, II e III.

32) ANPAD-2005 – Em uma prova de 20 questões realizada por 100 pessoas,40% obtiveram média aritmética de 15 acertos. Qual foi a média aritmética deacertos das outras pessoas se a média total foi de 9 acertos?

a) 8,5. b) 7,5.c) 6,0.d) 5,5.e) 5,0.

33) ANPAD-2005 – As idades de 20 pessoas que participaram de umcampeonato de truco são: 21, 27, 28, 29, 30, 33, 35, 35, 35, 36, 36, 37, 39, 39, 40,41, 42, 43, 48 e 49. O gráfico que melhor representa a distribuição das idades emclasses é


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34) ANPAD-2004 – Na classe A, de 40 alunos, a média de matemática era 6,0.Cinco dos alunos passaram para a classe B, que tinha 25 alunos e cuja média dematemática era 5,0. Sabendo que os alunos transferidos tinham as seguintesnotas: 7,0, 8,0, 7,0, 7,0 e 8,0, então a nova média de matemática da classe B é

a) 5,4. b) 5,5.c) 5,8.d) 6,0;e) 6,2.

35) ANPAD-2004 – Uma pequena indústria de confecções produz por semana200 camisetas brancas, ao custo unitário de R$ 12,00; 180 camisetas estampadas,ao custo unitário de R$ 15,00; e 120 camisetas personalizadas ao custo unitáriode R$ 16,00. Então, o custo médio de uma camiseta é

a) R$ 13,53. b) R$ 14,04.c) R$ 14,33.d) R$ 14,44.e) R$ 15,00.

36) ANPAD-2004 – O exame final em Estatística aplicado a 54 alunos daFaculdade X, cuja média de aprovação é 6,0, teve a seguinte distribuição defrequência


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Notas Frequências1,5⊢ 3,0 3

3,0⊢

4,5 44,5⊢ 6,0 66,0⊢ 7,5 237,5⊢ 9,0 129,0⊢ 10,0 6

Total 54O símbolo a⊢ b significa que inclui a e exclui b.

O número de alunos aprovados é

a) 13. b) 23.c) 29.d) 41.e) 47.

37) ANPAD-2004 – Considerando-se os dados da questão anterior, o percentualaproximado de alunos reprovados é

a) 13%. b) 24%.c) 42%.d) 67%.e) 76%.

38) ANPAD-2003 – Cronometrando o tempo para várias provas de uma gincana,encontram-se

Equipe 1: 30 provasTempo médio: 40 segundosVariância: 400 segundos ao quadrado

Equipe 2:

Tempo de cada prova (segundos) 20 40 50 Número de provas 5 10 10

Pode-se afirmar que as equipes

a) têm o mesmo tempo médio e o desvio padrão iguais.


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b) têm o mesmo tempo médio e o desvio padrão da equipe 1 é maior do que o daequipe 2.c) têm o mesmo tempo médio e o desvio padrão da equipe 2 é maior do que o da

equiped) têm tempo médio diferentes e o desvio padrão da equipe 1 é maior do que o daequipe 2.e) têm tempo médio diferentes e o desvio padrão da equipe 2 é maior do que o daequipe 1.

39) ANPAD-2003 – Oito pessoas fizeram uma prova com 20 itens. As primeiras4 pessoas tiveram média aritmética de 12 acertos. Para que a prova tivesse umamédia final de 14 acertos, a média das outras 4 pessoas foi

a) 12. b) 13.c) 14.d) 16.e) 18.

40) ANPAD-2003 – Em determinada comunidade a razão do número demulheres para o de homens é de 8 para 5. A idade média das mulheres é 28 e aidade média dos homens é 32. Então, a idade média aproximada dessa

comunidade é

a) 27,8. b) 28,9.c) 29,5.d) 30,1.e) 31,4

41) ANPAD-2003 – A distribuição dos salários de uma empresa é dada pelatabela abaixo

Salário (R$) Número defuncionários200,00 25800,00 10

1.500,00 104.000,00 46.000,00 1

Total 50


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Se forem contratados dois novos funcionários com salários de R$ 200,00 cada

a) a média salarial da empresa aumentará.

b) a média salarial da empresa diminuirá.c) a média salarial da empresa ficará a mesma.d) a moda dos salários da empresa ficará R$ 1.500,00.e) a mediana dos salários da empresa ficará R$ 1.500,00.

42) ANPAD-2008 – A média aritmética das idades de um grupo de pessoas é de20 anos. Nesse grupo, a média aritmética das idades das mulheres é de 18 anos ea dos homens é de 24 anos. Pode-se, então, afirmar que no grupo

a) os homens têm seis anos a mais que as mulheres. b) os homens têm quatro anos a mais que as mulheres.c) o número de mulheres é igual ao número de homens.d) o número de homens é o dobro do número de mulheres.e) o número de mulheres é o dobro do número de homens.

43) ANPAD-2008 – Na tabela abaixo é apresentada a distribuição dos salários deuma pequena empresa.

Salário (R$) Frequência500 10800 5

1.000 62.500 2Total 23

O número de funcionários dessa empresa que recebem salários de valor inferiorao salário médio é

a) 2. b) 8.c) 13.d) 15.e) 21.

44) ANPAD-2007 – Uma escola do bairro Ribeirão tinha 15 professores. O professor Carlos Henrique se aposentou e foi substituído por um professor de 25anos. Levando em conta tais dados, a média das idades dos professores diminuiu3 anos. Então, pode-se afirmar que o professor Carlos Henrique tem


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a) 67 anos. b) 68 anos.c) 69 anos.

d) 70 anos.e) 71 anos.

45) ANPAD-2007 – Em uma empresa foi realizada uma pesquisa com 1.000funcionários sobre o número de filhos de cada um deles. Os dados obtidos foramorganizados na tabela abaixo.

Número de filhos 0 1 2 3 4 5 TotalFrequência relativa (%) 10 35 28 20 5,5 1,5 100%

Baseando-se nesta tabela, pode-se afirmar que

a) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 3 filhos. b) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 2 filhos.c) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 1 filho.d) 10% dos funcionários têm 4 ou 5 filhos.e) 45% dos funcionários têm 2 ou 3 filhos.

46) FDRH-2012 – Numa escola, a disciplina de Matemática é composta porquatro provas bimestrais por ano, cujos pesos são os seguintes: 1 para a prova P1,2 para a prova P2, 3 para a prova P3, e 4 para a prova P4. Sabendo-se que, nessaescola, a média para aprovação sem exame é 7,0, que nota necessitará tirar na P4um aluno que tem notas 7,0 na P1, 6,0 na P2 e 5,0 na P3, para passar por média?

a) 6,0. b) 7,0.c) 9,0.d) 9,0.e) 10,0.[Fonte: banco de questões do autor]


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Gabarito

1-B 2-A 3-E 4-C 5-A 6-B 7-A 8-A 9-D 10-C11-B 12-B 13-A 14-E 15-E 16-A 17-A 18-C 19-C 20-B21-E 22-D 23-B 24-C 25-A 26-D 27-B 28-A 29-B 30-D31-D 32-E 33-A 34-A 35-B 36-D 37-B 38-B 39-D 40-C41-B 42-E 43-D 44-D 45-B 46-D

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8 Prova de Estatística - FGTAS-2011

Cargo: EstatísticoOrganizadora: FDRH

Banca: Profª. Tatiani Secretti e Prof. Milton Araújo

47) Dados dois conjuntos de dados A = {100; 101; 102; 103; 104; 105} eB = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, podemos afirmar que:

A) A média de A é igual à média de B multiplicada por 100.

B) A média de A é igual à média de B.C) A média de A é igual à média de B dividida por 100.D) A média de A é igual à média de B, mais a constante 100.E) A média de A é igual à média de B.

48) Os dados abaixo se referem ao rendimento mensal (R$), e carga horáriasemanal (em horas) de 10 funcionários de certa empresa:

Variáveis MédiaDesvio- padrãoRendimento (R$) 1.251,67 267,53

Carga horária semanal (horas) 26 12

A partir dos resultados obtidos, em termos relativos, quem possui menorvariabilidade:

A) A carga horária semanal, pois o desvio-padrão é menor.B) A carga horária, pois tem menor variação absoluta.

C) A carga horária, pois tem menor média e desvio padrão.D) O rendimento, pois tem maior desvio padrão.E) O rendimento, pois o coeficiente de variação é menor.

49) Foi realizado um levantamento em relação ao consumo com cartões decréditos de 5 estudantes universitários do curso de administração de certauniversidade. Obteve-se o seguinte resultado (em R$): 950 – 950 – 890 – 1.200 – 1.150. Assim, a média, mediana, e a moda desse conjunto são, respectivamente,


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A) R$1.028,00, R$ 950,00 e R$ 950,00B) R$ 1.028,00, R$ 890,00 e R$ 950,00.C) R$ 1.028,00, R$ 950,00 e R$ 890,00.D) R$1.050,00, R$ 950,00 e R$ 950,00.E) R$ 1.100,00, R$ 890,00 e R$ 950,00.

50) Para casais sócios de um clube, as probabilidades de o marido votar (A), aesposa votar (B), ou ambos votarem nas eleições para presidente do clube são0,39; 0,46 e 0,31, respectivamente. A partir desta informação, a probabilidade de pelo menos um deles votar é:

A) 31%B) 39%C) 46%D) 54%E) 85%

51) Um concurso realizado simultaneamente nos locais A, B e C apresentou asmédias: 65, 70 e 50 pontos, obtidas, respectivamente, por 40, 30 e 30 candidatos.A média geral do concurso é:

A) 61,7B) 62,0C) 70,6D) 72,0E) 75,5

52) Suponha que de um grupo de funcionários sejam selecionados alguns eanotados o número de compras realizadas via internet. Considere que foramselecionados cinco funcionários, cujo número de compras são: 10, 15, 22, 10 e16, cuja média aritmética é 14,6, mediana 15 e desvio padrão 4,98. Considereque um novo funcionário foi sorteado e que o número de compras realizadas é de200. Digamos que esse é um valor discrepante. Das medidas que você obteve noitem anterior quais serão mais afetadas por esse valor discrepante.

A) A média aritmética e a mediana.B) A média aritmética e o desvio padrão.

C) A mediana e o desvio-padrão.


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D) Apenas a média aritmética.E) Apenas o desvio padrão.

53) Média, mediana e moda são medidas de:

A) Variabilidade.B) Posição.C) Tendência central.D) Dispersão.E) Heterogeneidade.

54) Considere a seguinte distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços de um determinado produto em 100 lojas pesquisadas:

Preços (R$) Nº de lojas50⊢ 52 852⊢ 54 1554⊢ 56 3856⊢ 58 3058⊢ 60 9Total 100

O símbolo a⊢

b significa que incluia e excluib.

Assim, a média e a classe modal de preços desse conjunto são, respectivamente,

A) Aproximadamente R$ 55,00 e 54⊢ 56B) Aproximadamente R$ 55,00 e 56⊢ 58.C) Aproximadamente R$ 56,00 e 54⊢ 56.D) Aproximadamente R$ 56,00 e 58⊢ 60.

E) Aproximadamente R$ 57,00 e não existe classe modal.55) A probabilidade de que um aluno resolva um problema é de 1/3 e a de umaluno B o resolva é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, a probabilidade de o problema ser resolvido é de aproximadamente:

A)

B)

C)


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D) E) 0

56) Os seguintes valores se referem a salários de certos gerentes de uma granderede de lojas:

Faixa salarial (R$) Número degerentes

500⊢ 1000 91000⊢ 1500 121500⊢ 2000 62000

⊢

2500 22500⊢

3000 1Total 30

O símbolo a⊢ b significa que incluia e excluib.

Marque a opção correta:

A) exatamente 65% dos gerentes têm salário não inferior R$ 1.000,00 e inferior aR$ 2.500,00.B) Mais de 65% dos gerentes tem salário de pelo menos R$1.000,00.C) Menos de 20% dos gerentes tem salário igual a R$ 1.000,00.D) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior ao tamanho daamostra.E) 8% dos gerentes têm salário no intervalo de classe 2000 |- 2500.

57) A média salarial dos 320 trabalhadores de certa empresa é de R$ 500,00, comdesvio padrão de R$ 100,00. Sabendo-se que esses trabalhadores receberam umreajuste de 20% em seus salários e mais um abono de R$ 100,00, é correto

afirmar que:

A) O coeficiente de variação do novo salário é igual a 20%.B) O coeficiente de variação do antigo salário é igual a 17,14%.C) O coeficiente de variação do novo salário é maior do que o coeficiente devariação do antigo salário.D) O coeficiente de variação do novo salário é menor do que o coeficiente devariação do antigo salário.E) O coeficiente de variação não sofreu qualquer alteração.


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58) Uma concessionária de veículos importados vende certo modelo por R$250.000,00 e o seguro custa R$ 10.000,00. Se esse modelo apresenta, com baseem levantamentos estatísticos, 2% de probabilidade de sofrer algum sinistro com perda total, então o valor líquido que essa concessionária espera ganhar em cadaseguro vendido é igual a

A) R$ 2.400,00.B) R$ 4.800,00.C) R$ 5.500,00.D) R$ 7.800,00.E) R$ 9.500,00.

59) Os custos com material de expediente de certa empresa seguem,estatisticamente, uma distribuição normal, com média de R$ 10.000,00 e desvio padrão R$ 800,00. Nessas condições, pode-se dizer que

A) aproximadamente 34% dos custos com material de expediente estão nointervalo[R$ 9.200,00; R$ 10.800,00].B) aproximadamente 68% dos custos com material de expediente estão no

intervalo[R$ 8.400,00; R$ 11.600,00].C) aproximadamente 95% dos custos com material de expediente estão nointervalo[R$ 8.400,00; R$ 11.600,00].D) aproximadamente 95% dos custos com material de expediente estão nointervalo[R$ 9.200,00; R$ 10.800,00].E) aproximadamente 99% dos custos com material de expediente estão nointervalo[R$ 10.000,00; R$ 10.800,00].

60) Uma clínica adquiriu certo tipo de medicamento durante quatro anosconsecutivos. No primeiro ano, o custo foi de R$ 10,00 por frasco; no segundo,de R$ 12,00; no terceiro, de R$ 15,00; e no quarto, de R$ 20,00. Sabe-se que,durante o período considerado, o gasto anual dessa clínica com o medicamentofoi constante, de R$ 3.000,00. O custo médio do medicamento para o período de

quatro anos foi de, aproximadamente


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A) R$ 12,00.B) R$ 13,33.C) R$ 14,25.D) R$ 15,00.E) R$ 17,29.

61) Certa marcenaria possui duas equipes de trabalho e o gerente decidiucomparar seus desempenhos. Para tanto, cronometrou o tempo necessário para produzir determinado tipo de móvel, e encontrou

Equipe 1: 30 peçasTempo médio: 40 horasVariância: 400 horas ao quadrado

Equipe 2:

Tempo (horas) 20 40 50 Número de peças 5 10 10

Pode-se afirmar que as equipes

A) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão iguais.B) têm tempo médio diferentes e o desvio-padrão da equipe 2 é maior do que oda equipe 1.C) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão da equipe 2 é maior do que o daequipe 1.D) têm tempo médio diferentes e o desvio-padrão da equipe 1 é maior do que oda equipe 2.E) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão da equipe 1 é maior do que o daequipe 2.

62) Em um concurso público, 10% dos homens e 5% das mulheres têm menos de20 anos. Sabe-se que 60% dos candidatos são mulheres. Se um deles éselecionadoaleatoriamente e tem menos de 20 anos, então a probabilidade de ser homem é

A)


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B)

C)

D) E)

63) O setor de contabilidade de certa empresa tem 12 funcionários. Um dessesfuncionários foi transferido para outra unidade da empresa, e foi substituído poroutro funcionário, que tem 25 anos. Desse modo, a média das idades dosfuncionários do setor de contabilidade diminuiu 2 anos. Então, pode-se afirmarque o funcionário transferido tem

A) 47 anos.B) 48 anos.C) 49 anos.D) 50 anos.E) 51 anos.

64) Uma empresa decidiu fazer a escolha do diretor administrativo de modo

totalmente democrático. Um levantamento prévio, realizado por meio de umaamostra com 100 funcionários, revelou que um dos candidatos contava com 55%da preferência. Nessas condições, o intervalo de 95% de confiança (z = 1,96),considerando-se um erro padrão de estimação de, aproximadamente, 0,1 (formaunitária), é

A) [45%; 65%]B) [42%; 68%]C) [40%; 70%]

D) [35%; 75%]E) [23%; 87%]

65) Uma organizadora de concursos públicos adota, para o cálculo do escoreatingido pelo candidato em determinada prova, a seguinte fórmula:


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Onde: E é o escore atingido pelo candidato; x é o número de acertos do candidatona prova; μ é a média de acertos de todos os candidatos do certame; eσ é odesvio padrão (em número de acertos) da prova.

Se esse concurso teve a participação de 100.000 candidatos, numa prova com 20questões, cuja média foi de 10 acertos, com desvio padrão de três acertos, entãoum candidato que acertou 16 questões nessa prova ficou com um escore de

A) 300 pontos.B) 350 pontos.C) 400 pontos.

D) 450 pontos.E) 500 pontos.

66) A tabela a seguir mostra a distribuição de notas de Estatística de três turmasde certa faculdade.

Notas Número de alunos0,00⊢ 1,67 451,67⊢ 3,33 40

3,33⊢

5,00 305,00⊢ 6,67 206,67⊢ 8,33 108,33⊢ 10,0 5

Total 150O símbolo a⊢ b significa que incluia e excluib.

A nota média e a distribuição são, respectivamente,

A) 3,33 e simétrica.B) 3,33 e assimétrica à direita.C) 3,33 e assimétrica à esquerda.D) 6,67 e assimétrica à direita.E) 6,67 e assimétrica à esquerda.


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Gabarito:

47-D 48-E 49-A 50-D 51-B 52-D 53-C 54-A 55-C 56-B57-D 58-B 59-C 60-B 61-D 62-A 63-C 64-A 65-E 66-B

Programa:

1 – Distribuições de frequências.2 – Medidas de Tendência Central: Média Aritmética (simples e ponderada),Média Geométrica, Média Harmônica; Moda; Mediana.3 – Medidas de Variabilidade ou Dispersão.4 – Momentos, Assimetria e Curtose.5 – Probabilidade.6 – Distribuições de Probabilidade: Discretas e Contínuas.7 – Amostragem.8 – Estimação.9 – Testes de Hipóteses e Significância.10 – Teste Qui-Quadrado.11 – Ajustamento de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados.12 – Correlação Parcial e Múltipla.

13 – Análise de Séries Temporais.14 – Análise de Variância.15 – Testes Não-Paramétricos.

Bibliografia:

1 – SPIEGEL, M. R. Estatística, 4 ed. São Paulo: Bookman, 2007 (ColeçãoSchaum).2 – MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicações a Estatística, 2 ed. São Paulo: LTC,2000.3 – FONSECA, J. S. da, MARTINS, G. A. Curso de Estatística, 6 ed. São Paulo:Atlas, 2006.4 – CASELLA, G. Inferência Estatística, 2 ed. São Paulo: Cengage Learning,2010.5 – SILVA, E. M. da, Ou

Caderno RQ6-Estatística

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