Fernando de Melo Lopes UNIUBE 2011 Caderno de Aula CLCULO III Aula 1 Contedo Programtico 1.FUNES DE DUAS OU MAIS VARIVEIS 1.1. Notao e terminologia 1.2. Grficos de funes de duas variveis 1.3. Domnio de funes de duas variveis 1.4. Curvas de nvel 2.LIMITES DE FUNES COM DUAS VARIVEIS 3.DERIVADAS PARCIAIS 3.1. Derivadas parciais de funes de duas variveis 3.2. Notao de derivadas parcial 3.3. Derivadas parciais vistas como taxas de variao e inclinaes 3.4. Derivadas parciais de ordens superiores 3.5. Derivadas parciais de funes com mais de duas variveis 4.DERIVADASDIRECIONAISEGRADIENTEDEFUNESDEDUAS VARIVEIS4.1. Derivadas direcionais definio e clculo 4.2. Forma vetorial o gradiente 4.3. Propriedades do gradiente 4.4. Aplicaes 5.MXIMOS E MNIMOS DE FUNES DE DUAS VARIVEIS 5.1. Extremos5.2. O teorema do valor extremo 5.3. Determinando o extremo relativo 5.4. Teste da derivada segunda 5.5. Determinando extremos absolutos em conjuntos fechados e limitados 6.MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 6.1. Problemas de extremos com restries 6.2. Multiplicadores de Lagrange6.3. Trs variveis e uma restrio 7.INTEGRAL MLTIPLA 7.1. Volumes como integrais iteradas; 7.2. Integrais duplas e integrais iteradas; 7.3. Aplicaes fsicas das integrais duplas; 7.4. Integrais duplas em coordenadas polares; 7.5. Integrais triplas;8.APLICAES NA RESOLUO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA 8.1. Funes de duas ou mais variveis 8.2. Derivadas parciais 8.3. Derivadas direcionais e gradientes de funes de duas variveis 8.4. Mximos e mnimos de funes de duas variveis 8.5. Multiplicadores de Lagrange 8.6. Integral mltipla 3 Bibliografia Os livros abaixo citados sero usados em nosso curso e devero ser consultados semprequenecessrio.Nelesvocencontrarexerccioscomplementareseum contedo mais detalhado. ANTON, H., Clculo, Volume II, 8 edio, volume 2, Bookman, 2007. THOMAS,G.,B.,Clculo,10edio,volume2,AddisonWesleybyPearson Education do Brasil, 2003 STEWART,JEMES,Clculo,5edio,volume2,PioneiraThomsonLearning, 2006 Avaliaes Avaliao cumulativa: 100 pontos Primeiro momento de avaliao: 50 pontos Prova 01: 17 pontos Lista de exerccios 01: 4 pontos Prova 02: 18 pontos Lista de exerccios 02: 4 pontos Oficinas Integradas: 7 pontos Segundo momento de avaliao: 50 pontos Prova 03: 17 pontos Lista de exerccios 03: 4 pontos Prova 04: 17 pontos Lista de exerccios 04: 4 pontos Oficinas Integradas: 8 pontos O aluno deve atingir 70 pontos para passar. Comomedidaderecuperaodenotaaprovadesegundachamadapoder ser feita por aqueles alunos que no atingiram 70 pontos para substituio de umas das avaliaes feitas durante o semestre. Caso o aluno no atinja 70 pontos necessrios para passar ser aplicada uma avaliaosuplementarqueserfeitanaltimasemanadefriasdoaluno.Esta provacontertodaamatriadosemestrecomquestesfechadas,semconsulta, no valor de 100 pontos. Lembramos que esta prova no ser aplicada pelo professor damatriaemquestoeacorreoserfeitadeformaautomatizada.Neste momento a mdia necessria para aprovao ser 6 e seguir a seguinte frmula:

4 ac Avaliao cumulativa as Avaliao suplementar Para aqueles alunos que no fazem oficinas, a nota ser calculada atravs de uma mdia simples conforme estipulado pela Universidade, sendo:

Caso o aluno perca alguma avaliao semestral este ter o prazo mximo de 02(dois)diasteis,apsaavaliao,paraprotocolarpedidonosetorde Multiatendimento. O requerimento deve conter a data da prova, nome da disciplina, motivodafaltaeanexodocumentocomprobatrioquejustifiquesuaausnciano momentodaaplicaodaavaliao.Aprovadesegundachamadasesomentes seraplicadacasooseupedidosejadeferido,aofinaldosemestre,contendoa toda a matria do semestre. 5 Sumrio Contedo Programtico .......................................................................................................... 2 Bibliografia ............................................................................................................................... 3 Avaliaes ................................................................................................................................. 3 Exerccios de reviso de derivadas e integrais ................................................................ 8 Funes de Duas ou Mais Variveis ..................................................................................... 9 Notao e terminologia ...................................................................................................... 9 Domnio .................................................................................................................................. 9 Exerccios ........................................................................................................................... 13 Grficos de funes de duas variveis ......................................................................... 14 Grfico de superfcie ................................................................................................... 14 Grfico de curva de nvel ............................................................................................. 15 Exerccios ........................................................................................................................... 19 Limites e Continuidade ......................................................................................................... 21 Limite de uma funo de duas variveis ....................................................................... 21 Propriedades dos limites ................................................................................................. 21 Exerccios ........................................................................................................................... 22 Derivadas Parciais ................................................................................................................. 24 Derivadas parciais de uma funo de duas variveis ................................................. 24 Notao de derivada parcial ........................................................................................... 26 Clculo de derivadas parciais .......................................................................................... 27 Derivada parcial vistas como taxa de variao ........................................................... 28 Exerccios ........................................................................................................................... 29 Derivadas parciais de funes com mais de duas variveis ...................................... 31 Derivadas parciais de ordens superiores ..................................................................... 31 Igualdade de mistas ......................................................................................................... 33 Exerccios ........................................................................................................................... 34 Derivadas direcionais e gradientes de funes com duas variveis ........................... 35 Derivadas direcionais ....................................................................................................... 35 Clculo de derivadas direcionais .................................................................................... 37 Gradiente ............................................................................................................................ 41 Propriedades do gradiente .......................................................................................... 43 6 Os gradientes so normais curva de nvel ............................................................. 45 Exerccios: .......................................................................................................................... 46 Mximos e Mnimos de funes de duas variveis .......................................................... 48 Extremos............................................................................................................................. 48 Conjuntos limitados ........................................................................................................... 49 Teorema do valor extremo .............................................................................................. 50 Encontrando extremos relativos .................................................................................... 50 Teste da derivada segunda ............................................................................................. 51 Exerccios: .......................................................................................................................... 52 Encontrando extremos absolutos em conjuntos fechados e limitados .................. 53 Exerccios: .......................................................................................................................... 56 Multiplicadores de Lagrange ............................................................................................... 58 Introduo .......................................................................................................................... 58 Mtodo dos Multiplicadores de Lagrange .................................................................... 58 Duas restries ................................................................................................................. 63 Exerccios: .......................................................................................................................... 63 Integrais Mltiplas ............................................................................................................... 64 Volume ................................................................................................................................. 64 Definio ......................................................................................................................... 66 Propriedades das Integrais Duplas ............................................................................... 67 Integrais Iteradas ............................................................................................................ 67 Teorema de Fubini para o Clculo de Integrais Duplas ......................................... 67 Teorema .......................................................................................................................... 68 Exerccios: .......................................................................................................................... 68 Integrais Duplas Sobre Regies No Retangulares ................................................... 69 Teorema .......................................................................................................................... 69 Procedimentos para encontrar limites de integrao ............................................ 71 Exerccios: .......................................................................................................................... 72 Integrais duplas em coordenadas polares .................................................................... 74 Regies polares .............................................................................................................. 74 Clculo de integrais duplas polares ............................................................................ 74 7 Teorema: ......................................................................................................................... 75 Exerccios: .......................................................................................................................... 77 Anexo 1 .................................................................................................................................... 79 Tabelada de derivadas e integrais ................................................................................. 79 Anexo 2 ................................................................................................................................... 81 Trabalho 1 ........................................................................................................................... 81 Trabalho 2 .......................................................................................................................... 83 Trabalho 3 .......................................................................................................................... 85 Trabalho 4 .......................................................................................................................... 88 Anexo 3 ................................................................................................................................... 91 Respostas da pgina 8 ...................................................................................................... 91 Respostas da pgina 13 .................................................................................................... 91 Respostas da pgina 19 .................................................................................................... 92 Respostas da pgina 22 .................................................................................................... 97 Respostas da pgina 29 .................................................................................................... 97 Respostas da pgina 34 .................................................................................................... 98 Respostas da pgina 46 .................................................................................................... 99 Respostas da pgina 52 .................................................................................................. 100 Respostas da pgina 56 ................................................................................................... 101 Respostas da pgina 63 .................................................................................................. 102 Respostas da pgina 68 .................................................................................................. 102 Respostas da pgina 72 .................................................................................................. 102 Respostas da pgina 77 .................................................................................................. 102 Respostas do trabalho 01 .............................................................................................. 102 Respostas do trabalho 02 .............................................................................................. 105 Respostas do trabalho 03 .............................................................................................. 106 Respostas do trabalho 04 .............................................................................................. 108 8 Aula 1 Exerccios de reviso de derivadas e integrais 1)Dada as funes, calcule a derivada: a) b)

c)

d)

e)f)

g)

h)

i)

j)

2)Dada as funes, calcule a integral definida: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Aula 2 Aula de resoluo dos exerccios da pgina 8 Aula 3 Aula de correo dos exerccios da pgina 8 9 Aula 4 Funes de Duas ou Mais Variveis Notao e terminologia Nos estudos de clculo feitos at hoje, trabalhamos sempre com funes de apenas uma varivel real. Agora iremos rever tudo o que foi visto com funes com mais de uma varivel. Este tipode funo aparece com mais freqncia nacincia quefunescomumanicavariveleseuclculoaindamaisextenso.Suas derivadassomaisvariadasemaisinteressantesporcausadasdiferentes maneiras como as variveis podem interagir e suas integrais levam a uma variedade maior de aplicaes. Os estudos de probabilidade, estatstica, dinmica dos fluidos eeletricidade,porexemplo,conduzemdeumamaneiranaturalafunesdemais de uma varivel. H muitas frmulas familiares que envolvem mais de uma varivel, como por exemplo, a rea A de um tringulo depende do comprimento da base b e da altura h pela frmula

, a temperatura T de um ponto na superfcie da Terra depende de sua latitude x e longitude y, representada por. Definio Umafunofdeduasvariveisumaregraqueassociaumniconmero real a cada ponto de algum conjunto D no plano xy. Aterminologiaeanotaoparafunesdeduasoumaisvariveisso anlogas quelas para funes de uma varivel.

Domnio O domnio D o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) possveis para a funo que leva a resultados reais. Assim como acontece com o domnio de funes com uma varivel, o domnio defunescomduasvariveispodeserrepresentadoduasformas: Matematicamente atravs de umaexpresso matemtica ou graficamente atravs de um desenho. 10 Vamos agora lembrar o domnio de funes com uma varivel: Exemplo: 1)Determine o domnio da funo abaixo e represente graficamente. Lembre-sedequenoexisteumarespostarealderaizdeumnmero negativo, portanto o valor de x no poder ser negativo, o que significa que: Desta forma, o domnio desta funo ser: O que quer dizer que x pode assumir qualquer valor que seja maior ou igual a zero. Agorapodemos fazer uma representao grfica destedomnio atravs da reta real. Figura1:Representao dodomniodeumafuno de uma varivel Da mesma forma podemos trabalhar com funes com duas variveis com a diferenaqueagoraoconjuntodomnioformadoporparesdepontos ea representao grfica feita no plano real

. 2)Determine o domnio da funo abaixo e esboce o grfico do domnio:

Para que tenhamos valores de reais, no permitido que tenhamos no denominador da funo um valor igual a zero e nem um nmero negativo dentro da raiz, portanto:

Assim o domnio pode ser escrito: 11

Para fazer a representao grfica seguimos 2 passos: Passo 1 Desenhar o grfico utilizando a condiode domnio substituindo o sinal existente por igual. Passo 2 Analisar a regio do grfico que representar o conjunto domnio. Seacondio

,vamostrocarosinaldeporedesenharo grfico:

Figura2:Desenhododomnio antes da anlise Agoravamosanalisarogrficoehachurartodosospontosquepertencem ao conjunto domnio. Para fazer a anlise vamos seguir uma regrinha prtica: Vamos analisar o sinal da condio. Se for maior devemos hachurar tudo que est acima da linha do grfico, se for igual vamos hachurar tudo que est sobre a linha do grfico e se for menor devemos hachurar tudo que est abaixo da linha do grfico. Assim,comoosinal(

),devemoshachurartudoqueestacimae sobre a linha do grfico e teremos: Figura3:Representaodo domnio da funo Conclumos que todos os pontos que esto na regio hachurada pertencem ao domnio da funo. 12 OBS.: Estamos trabalhando com a representao grfica do domnio, portanto este no o grfico da funo e sim o grfico do domnio da funo. 3)Determine o domnio da funo abaixo e esboce o grfico do domnio:

Nestecasoafunocompostapordoistermoseteremosproblemade domnionosdoistermos.Devemosanalisarseparadamentecadatermosendoo conjuntodomniocompostoportodosospontos quesatisfazemasduas condies simultaneamente. Tudo que est dentro da raiz no pode ser negativo, portanto:

No podemos ter zero no denominador da funo, portanto:

O domnio ser:

Agora vamos desenhar o grfico: Desenhando as duas condies considerandoe , teremos: Figura4:Desenhododomnio antes da anlise Fazendo a anlise, teremos: 2 0 22 02x 1 x 13 Figura5:Representaodo domnio da funo 4)Determine o domnio da funo abaixo e esboce o grfico do domnio:

Neste exemplo novamente teremos duas condies a satisfazer:

Nestas condies o domnio ser:

E a representao grfica ser: Figura6:Representaodo domnio da funo Aula 5 Exerccios 1)Dada as funes, encontre o domnio e represente graficamente: a)

14 b)

c)

d)

e)

Aula 6 Aula de resoluo dos exerccios da pgina 13 Aula 7 Grficos de funes de duas variveis Existemduasmaneirasprincipaisdeserepresentarumafunodeduas variveisem umplano cartesiano. A primeiraerepresentar atravs de umasuperfcie,sendoestamuitodifcildedesenharsemaajudadeum computador;aoutraogrficodecurvadenvel,sendoqueemalgunscasos possvel fazer o desenho mo. Grfico de superfcie Sendo ,asuperfciecriadaobtendo-seumamalhadepontos contendotodososvalores(x,y)dodomniodafunojuntamentecomos correspondentes valores de z. Exemplo:

Figura 7: Exemplos de superfcies

z 15 Grfico de curva de nvel Ogrficodecurvadenvelcriaumfatiamentodasuperfcie,fixando certosvaloresdezjuntamentecomtodososvalores(x,y)quelevamaeste determinado valor de z.

Figura 8: Fatiamento da superfcie para a formao do grfico de curvas de nvel Estamostodosfamiliarizadoscommapastopogrficosnosquaisuma paisagem tridimensional, tal como a extenso de uma montanha est representado porlinhasdecontornobidimensionaisoucurvasdeelevaoconstante.Aolongo das linhas, a funo assume um mesmo valor constante para a altura.Seasuperfcie forcortadapeloplanohorizontal,ento todos os pontos da interseo tm. A projeo desta interseo sobre o planoxydenominadadecurvadenveldealturakoucurvadenvelcom constantek.Umconjuntodecurvasdenvelpara chamadodeum esboo de contornos ou mapa de contornos de . Exemplo: Superfcie Mapa de contorno 16

Superfcie Mapa de contorno

Superfcie Mapa de contorno Figura 9: Exemplos de superfcies e seus respectivos mapas de contornos Para desenhar o grfico de curvas de nvel de uma funo de duas variveis preciso fixar valores de z e encontrar todos os valores de x e y que levam a este resultado. Exemplo: 1)Encontre o mapa de contornos para os nveis ,epara a funo:

Primeirotemosqueencontraraequaodecurvadenvelparacadanvel desejado. Para isso, basta igualar a funo ao valor do nvel desejado. Desta forma teremos: Para

Para

Para

Estassoasequaesdecurvadenvelparaostrsnveis.Observeque agorateremosumafunodeapenasumavarivelindependente,oquefacilitao desenho que ser feito em duas dimenses. Portanto vamos desenhar o grfico das 17 trs funes em um nico sistema cartesiano. Observe que estas so equaes de circunferncia, o que facilita o desenho do grfico. Desta forma, teremos: Figura 10: Mapa de contornos 2)Encontreomapadecontornosparavaloresdeziguaisa,e considerando a funo

. Vamos encontrar as equaes de curva de nvel de cada nvel igualando a funo ao respectivo z: Para

Para

Para

Feito isso basta desenhar as trs equaes em um sistema de coordenadas. Estas so equaes cujo desenho ser uma elipse, desta forma: Para

Para desenhar a elipse basta descobrir onde ela corta o eixo x e y. Para isso fazemosecomo segue:

Agora basta desenhar uma elipse que passa por estes valores em x e y: Figura 11: Curva de nvel para z = 1 18 Desenhando as outras equaes todas juntas, teremos:

Figura 12: Mapa de contornos de

3)Desenhe o mapa de contornos para os nveis ,esendo a funo . Fazendo a funo igual ao respectivo nvel z, teremos: Para

Para Para

Desenhando todas as funes em um mesmo grfico teremos: Figura 13: Mapa de contornos de 19 Aula 8 Exerccios 1)Representenoplanoxyascurvasdenvelz=0,z=1ez=4dasfunes indicadas: a)

b)

2)Represente no plano xy as curvas de nvel z = -1, z = 1 e z = 3 das funes: a)b)c) 3)Represente no plano xy as curvas de nvel z = 0, z = 9 e z = -9 das funes: a)b)

c)

4)Atemperaturanopontodeumachapadadapor

. Determine a equao da isoterma que passa pelo ponto (1,3) e a represente no plano xy. 5)Atemperaturadoponto(x,y)deumachapadeaodadapor

. a)Determine o domnio de T(x,y) e a temperatura do ponto (2,4). b)Determine a equao da isoterma quecontm o ponto (3,4) e a represente no plano xy. 6)O potencial eltrico de uma regio do plano xy dado por

. a)Qual o lugar geomtrico cujo potencial 30 V? b)Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (1,1). 7)Opotencialeltricodoponto(x,y)dadopor

(Vemvolts). Determine e represente no plano xy as curvas equipotenciais para 2V e 4V. 8)Associe cada curva de nvel a sua respectiva superfcie: 20 1a 2 b 3 c 4 d 5 e 21 6 f Aula 9 Aula de resoluo dos exerccios da pgina 19 Aula 10 Limites e Continuidade Adefiniodolimitedeumafunodeduasoutrsvariveissimilar definio do limite de uma funo de uma varivel. Para resolv-los procedemos da mesmaformajestudadaanteriormente,comadiferenaqueagoratemosmais variveis envolvidas. Limite de uma funo de duas variveis Se os valores de uma funo real esto prximos de um nmero real Lparatodosospontos suficientementeprximosdoponto

,masno iguais a

, dizemos que L o limite de f quando se aproxima de

.

Dizemos:Olimitedefquando tendea

igualeL.Isso parecido com o limite de uma funo com uma varivel, com a diferena de que h duas variveis independentes envolvidas, em vez de uma, o que complica a questo deproximidade.Se

umpontointeriordodomniode, podese aproximasde

apartirdequalquerdireo,enquantonocasodeuma varivels se aproxima de

ao longo do eixo x. Propriedades dos limites Sendo L,M e k nmeros reais e

22 1.Regra da soma:

2.Regra da diferena:

3.Regra do produto:

4.Regra da multiplicao por constante:

5.Regra do quociente:

6.Regradapotncia:Semenforeminteiros,ento

Exemplo 1)

2)

3)

Aula 11 Exerccios 1) Encontre os limites abaixo: a) x yx xyy x++ 22 , 2 ,lim b) y xy xy xy x3 29 12 4lim2 22 , 3 ,++ + c) x yy xy xy xy x++ + + 2 21 , 1 ,3 2 3 2limd) 24lim221 , 2 ,xyy xyxy x++ + e) y xy xy x24lim2 24 , 2 , f) y xy xy x++ 28lim3 32 , 1 , g) y xxy x xy y xy x + 2 2 22 , 2 ,lim 23 h) y xyy xy xyy x++ + 24 ) ( 4lim2 2 23 ,21, i) xy xy x xyy x++ 3 2 21 , 5 ,) (lim Aula 12 Aula de resoluo dos exerccios da pgina 22 Aula 13 Aula de resoluo do trabalho 01 em anexo. Aula 14 Aula de resoluo do trabalho 01 em anexo. Aula 15 Reviso para prova. Aula 16 Prova 01 Aula 17 Prova 01 24 Aula 18 Derivadas Parciais Quandofixamostodasasvariveisindependentesdeumafuno,exceto uma, e derivamos em relao a essa varivel, obtemos uma derivada parcial. Desta forma podemos derivar funes com qualquer quantidade de variveis Derivadas parciais de uma funo de duas variveis Quandoderivamosafunoemumponto

estamosencontrandoa inclinao da reta tangente a este ponto

. Esta a definio geomtrica das derivadas. Figura 14: Definio geomtrica daderivada-Inclinaodareta tangente Damesmaforma,arepresentaogeomtricadaderivadadirecional tambm ser uma inclinao de uma reta tangente a um determinado ponto. Porm agora,porsetratardeumasuperfcie,temosaretatangenteemduasdirees: Em direo ao eixo x positivo ou em direo ao eixo y positivo.Portanto, se derivamos a funoem relao ano ponto

estamos encontrando a inclinao de uma reta tangente ao ponto

na direo doeixopositivoesederivamosafuno emrelaoanoponto

estamos encontrando a inclinao de uma reta tangente ao ponto

na direo do eixopositivo. Se

forumpontonodomniodafuno ,oplanovertical

cortar a superfcie na curva

. 25 Figura 15: Superfcie cortada pelo plano vertical

Essa curva o grfico da funo

no plano

. A coordenada horizontal nesse plano x e a coordenada vertical z. Figura 16: Funo

com a reta tangente ao ponto

Aderivadadafuno ainclinaodaretatangenteaoponto

sobre a curva

. Definio A derivada parcial de em relao a x no ponto (

Desde que o limite exista Osmbolo(chamadoDel),similarletragragaminsculausadana definio do limite, apenas outro tipo de d, que diferencia as derivadas parciais de derivadas simples. A definio de derivada parcial de em relao a y no ponto

similardefiniodaderivadaparcialdeemrelaoax.Mantemosxfixono valor

e tomamos a derivada de

em relao a y em

. 26 Figura 17: Superfcie cortada pelo plano vertical

e funo

com a reta tangente ao ponto

O coeficiente angular da curva

no ponto

no plano vertical

a derivada parcial de f em relao a y em

. Definio A derivada parcial de em relao a y no ponto (

Desde que o limite exista Notao de derivada parcial A notao para uma derivada parcial depende do que queremos enfatizar:

ou

Derivadaparcialdefemrelaoaxem

ou

em

.Conveniente para enfatizar o ponto

.

Derivada parcial de z em relao a x em

. Comum em cincias e engenharia quando se lida com as variveis e no se menciona uma funo explicitamente.

Derivadaparcialdef(ouz)emrelaoax.Convenientequandoseconsideraa derivada parcial como uma funo. 27 Aderivadaparcialemrelaoaydenotadadamesmamaneiraquea derivada parcial em relao a x:

Clculo de derivadas parciais As definies de efornecem duas maneiras de derivar em um ponto: a derivada deem relao a , tratandocomo uma constanteeaderivadade emrelaoa,tratandocomo constante. Observe que a varivel que mostrada na notao sempre ser a varivel, o restante das variveis sero tratadas como constante. Exemplo: Encontre os valores deeno ponto (4,-5) se

Soluo: Paraencontrar,tratamoscomoumaconstanteederivamosem relao a :

Para encontrar , tratamoscomo uma constante e derivamos em relao a :

Exemplo: Encontreese 28 Soluo: Tratandocomo uma constante e derivando em relao a , teremos:

Tratandocomo uma constante e derivando em relao a , teremos:

Aula 19 Derivada parcial vistas como taxa de variao Comojsabemos,umaderivadapodeserentendidacomoumataxade variao. Assim (derivada deem relao a ) a taxa de variao deem relao a .De maneira anloga, as derivadas parciais podem ser entendidas como taxas de variao. Sendo assim, a taxa de variao deem relao a . Indica o comportamentodavariaodafunoquandoestvariandoemantido constante e a taxa de variao de em relao a, ou seja, como est variando quando alteramosmantendocosntante. Exemplo: AsensaotrmicaemumdadolocalfunodatemperaturaTeda velocidade do vento v e dado pela frmula:

Nomomentoemqueatemperatura25Feavelocidadedoventode10 milhas/h,seavelocidadedoventoaumentaremumaunidade,qualsero comportamento da sensao trmica? Soluo:Sequisermossabercomoasensaotrmicaestsealterandoemfuno davelocidadedovento,devemoscalcularaderivadaparcialdewemrelaoav, mantendo T fixo. Sendo assim, teremos:

Substituindo T = 25 e v = 10 teremos: 29

Conclumosque,seatemperatura(25F)semantiverconstanteea velocidadedoventosealterarapartirdeumavelocidadeinicial(10milhas/h), entoarazodavariaodondicedesensaotrmicapelavariaoda velocidadedoventodeveriaserdeaproximadamente

.Osinal negativosignificaqueseoventoaumentaremumaunidade,ondicedesensao trmica diminuir, ou seja, inversamente proporcional. Exerccios 1)Seja . a)Determine a inclinao da reta tangente ao pontona direo do eixo . b)Determine a inclinao da reta tangente ao pontona direo do eixo . 2)Seja

. a)Determineainclinaodaretaquetangenciaopontonasuperfcie na direo do eixo . b)Determineainclinaodaretaquetangenciaopontonasuperfcie na direo do eixo . 3)Seja

. a)Determine a taxa de variao deem relao ano momento em que temos comfixado. b)Determine a taxa de variao deem relao ano momento em que temos comfixado. 4)Determinee . a)

b)

c)

d)

e)

f)

5)Determine

e

. a)

b)

c)

30 d)

6)Calcule as derivadas parciais indicadas. a)

b)

c)

d)

7)O volume de um cilindro circular reto dado pela frmula

onde r o raio e h a altura. a)Determine a frmula para a taxa de variao instantnea de V em relao a r se r variar e h permanecer constante. b)Determine uma frmula para taxa de variao instantnea de V em relao a h se h variar e r permanecer constante. c)Suponhaquehtenhaumvalorconstantede5cm,masquervarie. Determine a taxa de variao de V em relao a r com um r inicial de 2 cm. d)Suponha que r tenha m valor constante de 6 cm, mas que h varie. Determine a taxa de variao instantnea de V em relao a h no ponto onde h = 10 cm. 8)Deacordocomaleidosgasesideais,apresso,atemperaturaeovolumede umgsestorelacionadospor,ondekumaconstantede proporcionalidade.SuponhaqueVsejamedidoempolegadascbicas(pol3),T sejamedidoemKelvins(K),equeparaumcertogsaconstantede proporcionalidade seja k = 10 pol.lb/K. a)Determineataxadevariaoinstantneapressoemrelao temperaturaseatemperaturafor80Keovolumepermanecerconstante em 50 pol3. b)Determine a taxa de variao da presso em relao ao volume se o volume for 50 pol3 e a temperatura permanecer constante em 80 K. 9)Atemperaturaemumponto sobreumaplacademetalnoplanoxy

C. Suponha que a distncia seja medida emcentmetros (cm).Determineataxanaqualatemperaturavariacomadistnciase iniciarmos no ponto (1,2) e movemos: a)Para a direita e paralelamente ao eixo x. b)Para cima e paralelamente ao eixo y. 31 Aula 20 Aula de resoluo dos exerccios da pgina 22 Aula 21 Derivadas parciais de funes com mais de duas variveis Para uma funo f(x,y,z) de trs variveis, h trs derivadas parciais:

A derivada parcial

calculada mantendo y e z constantes e derivando em relao a x. Para

as variveis x e z mantm-se cosntantes, e para

as variveis xeysomantidasconstantes.Seumavariveldependentedefor usada, ento as trs derivadas parciais de f podem ser denotadas por:

Exemplo: Se

, ento:

Em geral, se

for uma funo de n variveis, h n derivadas parciaisde, cada uma das quais foi obtida fixando variveis ederivando a funo em relao varivel no fixada. Estas derivadas parciais so denotadas:

Derivadas parciais de ordens superiores Suponha que f seja uma funo de duas variveis x e y. Como asderivadas parciaisetambmsofunesdexey,essasfunespodemelas 32 mesmas ter derivadas parciais. Isso origina quatro possveis derivadas de segunda ordem de f, que so definidas por:

Derivando duas vezes em relao a x

Derivando duas vezes em relao a y

Derivando primeiro em relao a x e, ento, em relao a y

Derivando primeiro em relao a y e, ento, em relao a x Os dois ltimos casos so denominados derivadas parciais de segunda ordem mistas. Observe que as duas notaes para parciais de segunda ordem mistas tm conveno oposta quanto a ordem de diferenciao. Na notao , as derivadas so feitasdadireitaparaesquerdae,nanotaosubscrito,elassotomadasda esquerda para direita. Asderivadasparciaisdeterceiraordem,dequartaordemedeordens superiores podem ser obtidas derivando sucessivamente. Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de

. Soluo: Temos

E assim teremos:

33 Igualdade de mistas Poderamos esperar que uma funo tivesse quatro derivadas parciais desegundaordemdistintas:

.Contudo,observequeasderivadas parciais de segunda ordem mistas do exemplo acima so iguais. O teorema a seguir, explica o motivo dessa igualdade: Teorema Seja uma funo de duas variveis. Se

e

forem contnuas em algum intervalo aberto, ento

neste intervalo Estefatopodefacilitarbastanteemalgunscasos,podendoserusadoem nosso favor. Exemplo: Encontre a derivada de segunda ordem mista

sendo

Soluo: Calculando

, teramos:

Como

, podemos fazer

Chegando ao mesmo resultado, porem de maneira mais fcil e prtica. 34 Aula 22 Exerccios 1)Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de f so iguais fazendo

e

. a.

b.

c.

d.

e. f.

g.h.

2)Determine as derivadas parciais de segunda ordem: a.

b. c.d.

e.

Aula 23 Aula de resoluo dos exerccios da pgina 34 Aula 24 Aula de resoluo do trabalho 02 em anexo. Aula 25 Aula de resoluo do trabalho 02 em anexo. Aula 26 Reviso para prova. 35 Aula 27 Prova 02 Aula 28 Prova 02 Aula 29 Derivadasdirecionaisegradientesdefunescomduas variveis Derivadas direcionais Vimosqueaderivadaparcialdeumafunocalculaataxadevariao instantneadessafunoemrelaoaapenasumavarivel,mantendoorestante constante.Asderivadasdirecionaisnospermitemcalculartaxasdevariaode umafunoemrelaoatodasasvariveisaomesmotempo,ouseja,podemos saber o comportamento da funo se variarmos todas as variveis ao mesmo tempo. Em outras palavras, com as derivadas parciais poderamos encontrar a inclinao de umaretatangenteaopontoapenasnasdireesparalelasaoseixos.Agora poderemos calcular esta inclinao em qualquer direo. Exemplo: Imagineumachapadeaoqueaquecidaapartirdeseucentro,sendoeste aquecimentodadopelaequao

sendoTemCexeyem cm. Uma formiga est sobre esta chapa no ponto . Calcule: a)Se a formiga decidir caminhar na direo positiva de, qual ser a taxa de variaodatemperaturaemrelaodistncia.Atemperaturaestar aumentando ou diminuindo? b)Se a formiga decidir caminhar na direo positiva de , qual ser a taxa de variaodatemperaturaemrelaodistncia.Atemperaturaestar aumentando ou diminuindo? 36 c)Seaformigadecidircaminharemumadireodadapelovetor

, qualserataxadevariaodatemperaturaemrelaodistncia.A temperatura estar aumentando ou diminuindo? Soluo: Para responder a e b, j sabemos que a derivada parcial de uma funo em relaoanosdataxadevariaodafunonadireodeeataxade variaodafunonadireodedadapeladerivadaparcialdafunoem relao a . Com isso: a) Figura18:Variaoda temperatura em relao a x

ou seja, a temperatura ir diminuir a uma taxa de b) Figura19:Variaoda temperatura em relao a y

ou seja, a temperatura ir diminuir a uma taxa de Pararesponderaletrac,primeiroprecisamosaprendercomoderivara funo em uma direo que seja outra qualquer diferente das direes de e . A este tipo de derivada damos o nome de derivada direcional. 37 Clculo de derivadas direcionais Suponhaquequeiramoscalcularataxadevariaoinstantneadeuma funo emrelaodistncianumcertoponto

emalgumadireo. Comohumainfinidadededireesnasquaisumpontopodesemovernoplano

,precisamosdealgummtodoparadescreverumadireoespecfica comeando em

. Uma maneira de fazer isso usar um vetor unitrio

que tenha ponto inicial em

e aponte na direo desejada. Estevetordeterminaumaretanoplanoquepodeserexpressa parametricamente como:

ondeoparmetrocomprimentodearcoquetemseupontoderefernciaem

etemvalorespositivosnadireoesentidode.Avarivel

umafunodoparmetronareta.Entoo valordaderivadaemdataxadevariaoinstantneade em relao distncia de

na direo e sentido de u. Definio Se for uma funo de x e y e se

for um vetor unitrio, ento a derivada direcional de fna direo e sentidodeem

denotadapor

e definida por:

Geometricamente,

podeserinterpretadacomoainclinaoda superfcie na direo deno ponto

. Em geral, o valor de

dependertantodoponto

quantodadireoesentidodo vetor . Assim, num ponto fixado da superfcie, a inclinao dessa superfcie varia com a direo e o sentido. Analiticamente, a derivada direcional representa a taxa 38 devariaoinstantneade emrelaodistncianadireoe sentido deno ponto

Exemplo: 1)Calculeaderivadadirecionaldeemnadireodenoponto sendo a funo e a direo

. Soluo: Primeiramentetemosquecalcularasparamtricasapartirdadireo. Lembrandoqueadireodeveserrepresentadaporumvetorunitrio.Desta forma, teremos:

Agoravamoscalcularafunodoparmetronareta.Paraisso,vamos substituir as paramtricas na funo que queremos derivar:

Aplicando a distributiva, teremos:

Paratermosbastaderivarafunodoparmetroemrelaoas com , ou seja:

39

2)Calculeaderivadadafuno

nopontonadireodo vetor. Soluo: Observe que o vetor direo agora no unitrio. Portanto, vamos primeiro calcular o versor de :

Agora que temos o vetor unitrio, vamos calcular as paramtricas:

Assim, teremos a funo:

Derivando em relao a s, teremos:

A derivada direcional ser:

40

Asderivadasdirecionaisdeumafunoquediferencivelemumponto, existememqualquerdireoesentidonestepontoepodemsercalculadas diretamente em termos das derivadas parciais de primeira ordem da funo. Teorema a)Se fordiferencivelem

ese

forumvetor unitrio, ento a derivada direcional de

existe e dada por:

b)Se for diferencivel em

e se

for um vetor unitrio, ento a derivada direcional de

existe e dada por:

Exemplo: 1)Dada a funo, encontre

, onde

Soluo: Atravs da equao

temos:

Portanto:

Exemplo: 2)Obtenha a derivada direcional de

no ponto (1, -2, 0) na direo e sentido do vetor. Soluo: As derivadas direcionais de f so: 41

Como a no um vetor unitrio, normalizamos a e encontramos:

Ento, obtemos:

Aula 30 Gradiente Ogradienteumvetormuitoimportanterelacionadocomderivadas direcionais,clculodemximosemnimos,entreoutrasaplicaes.Veremosque ele tem algumas propriedades muito importantes e teis. Definio: a)Se f for uma funo de x e y, ento o gradiente de f definido por:

b)Se f for uma funo de x, y e z, ento o gradiente de f definido por:

O smbolo um delta invertido. (Essesmbolo costuma ser lidocomo Del ou nabla) A derivada direcional dena direoem

o produto escalar decom o gradiente deem

. Teorema: Se for diferencivel em

, ento:

O produto escalar do gradiente de f em P0 e u 42 Neste caso, a derivada direcional dada em termos de um produto escalar do vetor direocom um novo vetor construdo a partir das derivadas parciais de . Com essa notao, o exemplo 2 ficaria na forma: Exemplo: 2)Obtenha a derivada direcional de

no ponto (1, -2, 0) na direo e sentido do vetor. Soluo: O gradiente ser:

Como a no um vetor unitrio, normalizamos a e encontramos:

Ento, obtemos:

Agora j temos condies de fazer a letra c daquele primeiro exemplo dado. Exemplo 1)Imagine uma chapa de ao que aquecida a partir de seu centro, sendo este aquecimento dado pela equao

sendo T em C e x e y em cm. Uma formiga est sobre esta chapa no ponto . Calcule: a)Se a formiga decidir caminhar na direo positiva de, qual ser a taxa de variaodatemperaturaemrelaodistncia.Atemperaturaestar aumentando ou diminuindo? b)Se a formiga decidir caminhar na direo positiva de , qual ser a taxa de variaodatemperaturaemrelaodistncia.Atemperaturaestar aumentando ou diminuindo? c)Se a formiga decidir caminhar em uma direo dada pelo vetor

, qualserataxadevariaodatemperaturaemrelaodistncia.A temperatura estar aumentando ou diminuindo? Soluo A letra a e b j foram feitas, vamos fazer agora a letra c 43 Naletracaformigadesejacaminharumumadireodadapelovetor

. Vamos primeiro calcular o versor do vetor d, isto , o vetor unitrio da direo:

Agoraquetemosadireocomoumvetorunitriovamoscalcularogradienteda funo:

Agora resta apenas calcular a derivada direcional:

Comisso,conclumosqueseaformigacaminharnestadireoa temperatura ir comear a diminuir a uma taxa de. Propriedades do gradiente Ogradientenomeramenteumdispositivonotacionalparasimplificara frmulaparaaderivadadirecional.Veremosqueocomprimentoeadireodo gradienteforneceminformaoimportantesobreafunofeasuperfcie . Seconsiderarmosamultiplicaoescalardogradientepeladireoem termos do cosseno, teremos:

Onde o ngulo o ngulo entre e . Podemos fazer as seguintes consideraes: Se Estaequaotemvalormximocrescentede

quando,ou seja,adireode amesmade,eestevalor ,vistoque 44 .Geometricamente,issosignificaqueasuperfcie temsua inclinao mxima em um ponto (x,y) na direo do gradiente. Analogamente,aequaotemvalormximodecrescentede

quando,ouseja,adireoopostaa,eestevalor ,vistoque . Geometricamente, isso significa que a superfcietem sua inclinao decrescente mxima em um ponto (x,y) no sentido oposto ao gradiente. Finalmente,nocasodasdireesortogonaisaogradiente,isto,nas direesqueformamumngulodecomogradiente,ovalorde

zero, uma vez que

e

. Se A derivada direcional em qualquer direo ser zero. Geometricamente, isso significa que este ponto um ponto de mximo ou mnimo relativo ouum ponto de sela. Teorema Seja f uma funo de duas ou trs variveis e denotemos por P o ponto

ou

, respectivamente. Suponha que f seja diferencivel em P. a)Seem P, ento todas as derivadas direcionais em P so nulas. b)Seem P, ento dentre todas as possveis derivadas direcionais de f emP,aderivadaemPnadireoesentidodetemomaiorvalor crescente. O valor dessa derivada direcional mxima crescente . c)Seem P, ento dentre todas as possveis derivadas direcionais de f em P, a derivada em P na direo e sentido oposto de tem o maior valor decrescente.Ovalordessaderivadadirecionalmximadecrescente . Exemplo: Seja

.Determineovalormximodeumaderivadadirecionalem ,edetermineovetorunitrionadireoesentidodoqualovalormximo ocorre. 45 Soluo: Ima vez que:

O gradiente de f em (-2,0) :

Pelo teorema, o valor mximo da derivada direcional :

Esse mximo ocorre na direo de . O vetor unitrio desta direo :

Os gradientes so normais curva de nvel Vimos que o gradiente aponta na direo e sentido em que a funo cresce maisrapidamente.Vejamosagora,comoessadireoesentidodataxade crescimentomximopodemserdeterminadosapartirdomapadecontornosde uma funo de duas variveis. J sabemos que cada curva de nvel em um mapa de contornos nos d um nvel em que a funotem valor constante, ou seja, pensando em termos de taxa devariao,avariaodeznula.Sabemostambmqueogradienteaponta sempre na direo e sentido da maior derivada de crescimento, ou a maior taxa de variaocrescente.Comisso,podemosconcluirqueogradientesersempre ortogonalcurvadenvel.Aprovadesteconceitopodeserencontradanolivro texto. Podemos observar este fato melhor atravs de um exemplo: Exemplo: Considere

, desenhe o mapa de contornos da funo quando z=1,z=5ez=7.Encontreadireodevariaomximadecrescimentoda funo nos pontos (1,1), (2,3) e (-2,1) e desenhe no mapa de contornos. Soluo: Encontrando as equaes de curva de nvel, teremos:

Desenhando o mapa de contornos temos: 46 Para encontrar a direo de mximo crescimento faremos:

Desenhando os vetores teremos: Aula 31 Exerccios: 1)Encontre

em P. a.

; ;

b.

; ;

c.

; ;

d.

;;

e.

; ;

2)Encontre a derivada direcional de f em P na direo de a. a.

; ; 47 b.

; ; c.

; ; d.

;

;e.

; ;3)Encontre o gradiente de f no ponto indicado. a.

b.

c. d.

4)Encontre um vetor unitrio na direo do qual f cresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variao de f em P nessa direo: a.

b. c.

d.

e.

5)A temperatura em C em um ponto (x,y) de uma placa de metal no plano xy :

a.Encontreataxadevariaodatemperaturaem(1,1)nadireoe sentido de. b.Uma formiga em (1,1) precisa andar na direo na qual a temperatura baixe mais rapidamente. Encontre um vetor unitrio nessa direo. 6)Numa certa montanha, a elevao z acima de um ponto (x,y), num plano xy ao nveldomar,de

,ondex,yezsodadosem metros.OeixoxpositivoapontaparaoLesteeoeixoypositivoparao Norte. Um montanhista est no ponto (-20,5,1991). a.Seomontanhistautilizarumabssolaparacaminharemdireoao Oeste, ele estar comeando a subir ou descer? b.Seomontanhistautilizarumabssolaparacaminharemdireoao Nordeste, ele estar subindo ou descendo? A que taxa? c.Emqualdireodabssolaomontanhistadeveriacomeara caminharparapercorrerumacurvadenvel,isto,nosubirnem descer (duas respostas)? 7)A temperatura em C em um ponto (x,y,z) de um slido metlico :

a.Encontreataxadevariaodatemperaturaemrelaodistncia em (1,1,1) na direo da origem. 48 b.Encontre a direo na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente no ponto (1,1,1). (Expresse a sua resposta como um vetor unitrio.) c.Encontre a taxa na qual a temperatura eleva-se movendo-se de (1,1,1) na direo encontrada em b) . Aula 32 Mximos e Mnimos de funes de duas variveis Extremos Se imaginarmos o grfico de uma funo f de duas variveis como sendo uma cadeia de montanhas, ento os cumes, que so os pontos altos de suas vizinhanas imediatas, so chamados de mximos relativos de f e as bases dos valores, que so os pontos baixos de suas vizinhanas imediatas, so chamados de mnimos relativos de f. Assimcomoumgelogopodeestarinteressadoemdeterminaramontanha maisaltaeovalemaisprofundoemtodaumacadeiademontanhas,tambmum matemticopodeestarinteressadoemdeterminaromaioreomenorvalorde f(x,y)sobreumdomniointeirodef.Essessochamadosdevaloresmximos absolutos e mnimos absolutos de f. Definio: Diz-sequeumafunodeduasvariveistemummximorelativoemumponto (x0,y0)sehumcirculocentradoem(x0,y0),demodoque

para todosospontos(x,y)dodomniodef queestodentrodocrculo,ediz-sequef tem um mximo absoluto em (x0,y0) se

para todos os pontos (x,y) do domnio de f. 49 Definio: Diz-sequeumafunodeduasvariveistemummnimorelativoemumponto (x0,y0)sehumcirculocentradoem(x0,y0),demodoque

para todosospontos(x,y)dodomniodef queestodentrodocrculo,ediz-sequef tem um mnimo absoluto em (x0,y0) se

para todos os pontos (x,y) do domnio de f. Se f tiver um mximo ou mnimo relativo em (x0,y0),dizemos que f tem um extremo relativo em (x0,y0), e se f tiver um mximo ou mnimo absoluto em (x0,y0), dizemos que f tem um extremo absoluto em (x0,y0). Afiguraabaixomostraogrficodeumafunofcujodomnioaregio quadradafechadanoplanoxydospontosquesatisfazemasdesigualdades .AfunoftemmnimorelativonopontoCeummximo relativo em B. H um mnimo absoluto em A e um mximo absoluto em D. Conjuntos limitados Assimcomodistinguimosentreintervalosfinitoseinfinitosdaretareal, vamos querer distinguir entre regies de extenso finita e regies de extenso infinitanoespaobioutridimensional.Umconjuntonoespaobidimensional denominadolimitadoseoconjuntointeirocouberdentrodealgumretngulo,e denominadoilimitadosenohouverretnguloquecontenhatodosospontosdo conjunto.Analogamente,umconjuntodepontosnoespaotridimensional limitado se o conjunto couber dentro de uma caixa e ilimitado, caso contrrio. Conjunto limitado no espao bidimensional Conjunto ilimitado no espao bidimensional Conjunto limitado no espao tridimensional 50 Teorema do valor extremo Definio: (Teorema do valor extremo): Se forcontnuaemumconjuntofechadoe limitado R, ento f tem ambos mximo e mnimo absolutos em R Encontrando extremos relativos Lembre-sequeseumafunogdeumavariveltiverumextremorelativo em um ponto x0 onde g diferencivel, ento

. Para obter o anlogo deste resultadoparafunesdeduasvariveis,suponhaque tenhaummximo relativoem

equeasderivadasparciaisdefexistamem

.Parece plausvel,geometricamente,queostraosdasuperfcie sobreplanos

e

tenham retas tangentes horizontais em

, logo:

Amesmaconclusovlidaseftiverummnimo relativoem

eissotudosugereoseguinte resultado: Teorema: (Teorema do valor relativo): Se f tiver um extremo relativo em um ponto

e se as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, ento:

Definio: Um ponto

no domnio de uma funo denominadoponto crtico da funose

ouseumaouambasderivadasparciais no existirem em

Uma funo de duas variveis no precisa ter um extremo relativo em cada ponto crtico. Por exemplo, considere a funo

. Essa funo. Cujo grfico o parabolide hiperblico mostrado, tem um ponto crtico em (0,0), pois:

Entretanto, a funo f no tem um mximo nem um mnimo relativo em (0,0). Por razes bvias, o ponto (0,0) chamado de ponto de sela em

. 51 Teste da derivada segunda Teorema: (Teste da derivada segunda) Seja f uma funo de duas variveis com derivadas parciaisdesegundaordemcontnuasemalgumcrculocentradoemumponto crtico

e seja

a)Se

, ento f tem um mnimo relativo em

. b)Se

, ento f tem um mximo relativo em

. c)Se , ento f tem um ponto de sela em

. d)Se , ento nenhuma concluso pode ser tirada. Exemplo: 1)Localize todos os extremos relativos e pontos de sela de:

Soluo: Como

e

,ospontoscrticosdef satisfazem as equaes:

Resolvendo-as para x e y, obtemos x = 2 e y = 6, logo (2,6) o nico ponto crtico. Para aplicar o teorema, precisamos das derivadas de segunda ordem:

No ponto temos:

Logoftemummnimorelativoem(2,6)pelapartea)dotestedaderivada segunda. 2)Localize todos os extremos relativos e os pontos de sela de

Soluo: Como: 52

Os pontos crticos de f tm coordenadas que satisfazem as equaes:

Substituindo as equaes e resolvendo x temos:

sendo assim

,e Portanto, os pontos crticos so:

Calculando a derivada segunda temos:

E obtemos a tabela a seguir: PONTO CRTICO

004-16 -12-124128 -12-124128 Nospontos(1,1)e(-1,-1),temosD>0efxx =10' ' u e y e yu u = =11euuy u ya alog'' log = =12 uuy u y'' ln = =13( ) ' ln ' ' 0 ,1v u u u u v y u u yv v v + = > = 14' cos ' sen u u y u y = =15' sen ' cos u u y u y = =16' sec ' tan2u u y u y = =17' sec cos ' cot2u u y u y = =18' tan sec ' sec u u y u y = =19' cot sec cos ' sec cos u u u y u y = = 20 21'' arcsenuuy u y= =21 21'' arccosuuy u y= =22 21'' arctanuuy u y+= =23 21'' cotuuy u arc y+= =24 1'' 1 , sec2 = > =u uuy u u arc y 1'' 1 , sec arccos2 = > =u uuy u u y TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS: 1 }+ = C u du2 }+ = C uuduln3 } = ++=+1 ,11K para CKudu uKK 4 }+ = Ckedu ekuku 5 }+ = Caadu auuln 6 }+= Ckkudu ku sen) cos() (7 }+ = Ckku sendu ku) () cos(8 }+= Ckkudu ku) cos( ln) tan(9 }+ = Ckku sendu ku) ( ln) cot(10 }++= Ckku kudu ku) tan( ) sec( ln) sec( 11 }+ = Ckkudu ku ku) sec() tan( ) sec(12 }+ = Ckkudu ku) tan() ( sec2 80 13 }+= Ckku kudu ku) cot( ) sec( cos ln) sec( cos 14 }+= Ckkudu ku ku) sec( cos) cot( ) sec( cos 15 }+= Ckkudu ku) cot() ( sec cos2 16 }+|.|

\|=Cauduu aarcsen12 2 17 }+|.|

\| =+Cauaduu aarctan1 12 2 18 }+|.|

\| = Cauaduu a uarcsen1 12 2 19 }++ =Ca ua uaduu aln21 12 2 20 }+ + =C a u u dua u2 22 2ln1 FRMULAS DE RECORRNCIA: 1

2

3

4

5

6

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA: 1 } } = dx x f c dx x f c ) ( ) (2 } } } = dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) (3 } } = u d v v u dv u: Integrao por partes PROPRIEDADES DE FATORAO 1) )( (2 2b a b a b a + = 2ab b a b a 2 ) (2 2 2 + = +3 2 2 22 ) ( b ab a b a + + = +4 2 2 22 ) ( b ab a b a + = 5) )( (2 2 3 3b ab a b a b a + + = +) )( (2 2 3 3b ab a b a b a + + = IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS 1

2

3

4

5

6 7

8 9 10

81 Anexo 2 Trabalho 1 Valor: 4 pontos -Funes de duas ou mais variveis -Limites O trabalho deve ser entregue no dia da primeira prova, com capa e grampeado. Domnio de funes de duas ou mais variveis 1)Determine o domnio das funes abaixo e represente no plano xy. a)

b)

c)

d)

e)

f)

Curva de nvel 2)Dada a funo, represente graficamente as curvas de nvel , ,e . a)

b)

c)

d)

3)Considereumachapadeassaralimentosondeatemperaturaemseucentro .Admitaqueatemperaturasedistribuaaolongodachapasegundoa funo

. As dimenses da chapa so . a)Qual a temperatura no ponto ? 82 b)Qual a temperatura no canto superior direito? c)Desenhe a regio da chapa que tem temperatura igual a ; d)Desenhe a regio da chapa que tem a mesma temperatura do ponto . 4)Alguns pesquisadores esto fazendo uma pesquisa com relao a movimentao decargaseltricasemumamesademetal.Emdeterminadoexperimentoeles utilizamumamesademetaldeeaplicamumpotencialdeno centrodeumdosladosmaioresdamesa.Estepotencialsedistribuisobrea mesa de acordo com a funo

. a)Qual o potencial no pontodesta mesa? b)Desenhe a regio da mesa que possui o mesmo potencial do ponto ; c)Desenhe a regio sobre a mesa que possui potencial igual a ,e . Limites 5)Calcule os limites abaixo: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

83 Trabalho 2 Valor: 4 pontos -Derivadas parciais -Derivadas parciais de segunda ordem O trabalho deve ser entregue no dia da primeira prova, com capa e grampeado. Derivadas parciais 1)Calcular as derivadas parciais de primeira ordem

e

das funes abaixo: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2)A companhia ACME produz trs tipos de roller skates. O custo em reais para se produzir x unidades do tipo I, y unidade do tipo II e z unidades do tipo III dado pela equao:

Em um determinado dia, a fbrica est produzindo 200 unidades do tipo I, 150 unidades do tipo II e 80 unidade do tipo III, ou seja, (200,15,80). a)Ogerentedafabricaquersaberdequantoocustoirvariarseele aumentar a quantidade de produo do skate tipo I mantendo a quantidade de produo dos skates tipo II e III constantes. b)EseeledesejaraumentaraproduodoskatedotipoIIImantendoa quantidadedeproduodosskatestipoIeIIconstantes,dequantoo custo ir variar? c)EseaumentaraproduodoskatedotipoIImantendoaquantidadede produodosskatestipoIeIIIconstantes,comoseravariaodo custo? 84 3)A anlise de certos circuitos eletrnicos envolve a frmula:

EmqueIacorrentedadaporAmpres(A),VatensoemVolts(V),Ra resistnciaemohms(),LaindutnciaemHenry(H)ewumaconstante positiva. Calcule e interpretee . 4)Considereumachapaqueaquecidaapartirdocentro.Atemperaturasobre esta chapa dada pela equao:

Sendoedados emeem . a)Qual o domnio desta funo? b)Encontreaequaodacurvaisotrmicacomtemperaturaigualae represente no plano ; c)Umaformigaqueseencontrasobreopontodestachapadeseja caminharnadireopositivadoeixo.Dequantoseravariaoda temperatura nesta direo? d)Seestaformigasobreopontoagoradesejacaminharnadireo positiva do eixo , de quanto ser a variao da temperatura nesta direo? Derivadas parciais de segunda ordem 5)Calculeasderivadasparciaisdesegundaordem

,

e

dasfunes abaixo: a)

b)

c)

d) 85 Trabalho 3 Valor: 4 pontos -Derivadas direcionais -Mximos e mnimos relativos -Mximos e mnimos absolutos O trabalho deve ser entregue no dia da segunda prova, com capa e grampeado. Derivadas direcionais 1)Calcule

sendo dados: a)

b)

c)

d)

e)

2)Paraafunoeopontoindicadodetermineumvetorunitrionadireoda derivada direcional mxima e o valor mximo da derivada direcional. a)

b)

c)

3)Atemperatura(Celsius)numpontodadodescritapelafuno

. Se ,eso dados em metros, calcule: a)A taxa de variao deno pontona direo

, com . b)Em qual direo a temperatura cresce mais rapidamente? 86 c)Em qual direo a temperatura decresce mais rapidamente? d)Qual a maior taxa de variao em P? 4)O potencial eltricode um ponto dado por

. a)Determineataxadevariaoem nadireodeparaa origem.b)Determine a direo e sentido que produz taxa mxima de variao deem . c)Qual a taxa mxima de variao em ? 5)A temperatura em uma chapa dada por

sendo a fonte decalorlocalizadaemseucentroeeemcentmetros.Umaformigaest sobre a regio da chapa com coordenadas . a)Seeladesejacaminharnadireo

,comquevelocidadea temperatura ir variar? b)Eseeladesejarcaminharnadireo

,comquevelocidadea temperatura ir variar? c)Emqualdireoeladevercaminharparaqueatemperaturadiminuamais rapidamente? Com que velocidade a temperatura diminuir nesta direo? 6)Umaempresaproduzdoistiposdeprodutos,tipoIetipoII,sendoaquantidadedeunidadesproduzidasdoprodutotipoIdadoporea quantidadedeunidadesproduzidasdoprodutotipoIIdadopor.Aequao que relaciona o lucro com a quantidade de produo dos dois tipos de produtos

(milreais).Emumdadomsforamproduzidas5unidades do tipo I e 4 unidades do tipo II. a)Combasenestems,qualserataxadevariaodolucroemrelao quantidade de produo se aumentarmos a produo em uma proporo de 3 produtos do tipo I para 1 produto do tipo dois? b)Qual a proporo que devemos aumentar para obtermos um aumento mximo do lucro? De qual ser esta taxa? Mximos e mnimos relativos 7)Encontre todos os mximos locais, mnimos locais e pontos de sela nas funes abaixo: a)

b)

87 c)

d)

e)

Mximos e mnimos absolutos 8)Encontre os mximos e mnimos absolutos das funes nos domnios dados. a)

naplacatriangularfexhadaelimitada pelas retas ;eno primeiro quadrante. b)

na placa triangular fechada limitada pelas retas; eno primeiro quadrante 9)Encontre trs nmeros que somados d um resultado igual a 10 e multiplicados d o maior valor possvel.10) Encontretrsnmerosdeformaqueeoprodutosejaomaior possvel.11)Quais as dimenses mais econmicas de uma caixa (sem tampa) de 5 litros com ofundoeumadasfaceslateraiscustando(porcm2)odobrodasoutrastrs faces? 88 Trabalho 4 Valor: 4 pontos -Multiplicadores de Lagrange -Integrais duplas sobre regies retangulares -Integrais duplas sobre regies no retangulares O trabalho deve ser entregue no dia da terceira prova, com capa e grampeado. Multiplicadores de Lagrange 1)Encontretrsnmerosreaisepositivosdeformaque sendo

o maior possvel. 2)Umacaixacomtampacomvolume

deveserconstrudacoma menorquantidadepossveldematerial.Quaisasdimensesquea caixa deve ter? 3)Encontreospontosdemximosemnimosde sobre a esfera

. 4)Encontreovalormximode

sobreareta . 5)Um lago tem relevo do fundo determinado pela equao

.Umbarcocomtrajetriadescritapelafunoque passa sobre estelago estar passando pelo ponto mais fundo do lagoemumpontocomquaiscoordenadas?Qualseraprofundidade do lago neste ponto? 6)Atemperaturaemumponto sobreumaplacametlica

. Uma formiga sobre esta chapa anda ao redor da circunferncia de raio 5 centrada na origem. Quais os pontos onde atemperaturamximaemnimaequaissoastemperaturas mxima e mnima encontradas pela formiga? 7)Umasondaespacialnoformatodeumelipside

penetra na atmosfera da Terra e sua superfcie comea a se aquecer. Depoisde1h,atemperaturanopontosobreasuperfcieda 89 sonda

.Encontreopontomais quente sobre a superfcie da sonda. Integrais duplas 8)Calcule as integrais duplas abaixo: a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

9)Calcule as integrais abaixo: a.

90 b.

c.

d.

e.

f.

10) Calcule o volume dos slidos descritos abaixo: a.Slidocujasuperfciedadapor

eabase formada pelo retngulo , ,e . b.Slidocujasuperfciedadapor eabase formada pelo tringulo ,e . c.Slidocujasuperfciedadapor

eabase formadapelotringulodelimitadopelasretas,e . d.Slidolimitadosuperiormentepelocilindro

e inferiormente pela regio delimitada pela parbola

e pela retano plano . e.Slidocujabasearegionoplanoquelimitadapela parbola

epelareta,enquantootopodo slido limitado pelo plano. 91 Anexo 3 Respostas da pgina 8 1) a) b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)j)

2) a) b)

c) d) e) f) g) h) Respostas da pgina 13 1) a)

b)

92 c)

d)

e)

Respostas da pgina 19 1) a)

93

b)

2) a)

b)

94 c)

3) a)

b)

95 c)

4)

5) a)

b)

96 6)a)

b)

7) a)

b)

97 8)1 -> b 2 -> c 3 -> e 4 -> a 5 -> f 6 -> d Respostas da pgina 22 1) a)Lim=-2 b)Lim=0 c)Lim=-1 d)Lim=0 e)Lim=8 f)Lim=12 g)Lim=6 h)Lim=0 i)Lim=5 Respostas da pgina 29 1)

2)

3)

4) a)

b)

c)

d)

98 e)

f)

5) a)

b)

c)

d)

6) a)

b)

c)

d)

7) a)

b)

c)

d)

8) a)

b)

9) a)

b)

Respostas da pgina 34 1) a)

b)

99 c)

d)

e)

f)

g)

h)

2) a)

b)

c)

d)

e)

Respostas da pgina 46 1) a) b) c) d) e) 2) a) b) 100 c) d) e) 3) a)

b)

c)

d)

4) a) b) c) d)e) 5) a) b) 6) a)

Osinalnegativodaderivadaindicaqueeleestardescendose caminhar na direo oeste. b)Ele estar subindo a uma taxa de 0,283 m/m. c)

7) a)b)c) Respostas da pgina 52 1) a)b)c) 101 d)

e)

f)g) h)i)j)

.... .... .... Respostas da pgina 56 1) a)

b)

c)

d)

102 e) f) 2) 3) 4) Respostas da pgina 63 Respostas da pgina 68 Respostas da pgina 72 Respostas da pgina 77 Respostas do trabalho 01 1) a)

b)

c)

d)

e)

f)

103 2) a)

b)

c)

d)

3) a) b)Coordenadas do canto superior direito c)

104 d)

4) a) b)

c)

5) a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

105 Respostas do trabalho 02 1) a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2) a)

b)

c)

3)

Esta equao determina a variao da corrente I em relao resistncia R enquanto L e V se mantm constantes.

106 Esta equao determina a variao da corrente I em relao indutncia L enquanto R e V se mantm constantes. 4) a)

b)

c)

Atemperaturairdiminuir4Cporcentmetroqueaformigacaminhar nesta direo x positiva d)

Atemperaturairdiminuir4Cporcentmetroqueaformigacaminhar nesta direo y positiva 5) a)

b)

c)

d)

Respostas do trabalho 03 1) a) b) c) 107 d) e) 2) a)

b)

c)

3)S a)

b)Cresce mais rapidamente na direo do gradientec)Decrescemaisrapidamentenadireoopostaaogradiente

d)

4) a) b)Crescemaisrapidamentenadireodogradiente c)

5) a) b) c)Decresce mais rapidamente na direo oposta ao gradiente

6) a) b)Na proporo mostrada pelo gradiente , ou seja, a uma proporo de 2 produtos do tipo I para cada produto do tipo II

7) a)b)

c) d)

e) 8) a)

b) 108

9) 10)

11) Respostas do trabalho 04 1)

2) 3) 4) 5)

6)

7) a) b) c) d) e) f) g) 8) a) b) c) d) e) f) 109 9) a) b) c) d) e)