Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Escola de Engenharia Departamento de Mecnica - DEMEC

EMA105 Laboratrio de Automao e Controle

Caderno de Prticas de Controle

Autores

Prof. Lzaro Valentim Donadon Profa. Gilva Rossi de Jesus

Fevereiro 2010

Normas do Laboratrio No permitido assistir aula em outro horrio; Relatrio ser impresso e deve ser entregue na prxima aula; Pontualidade e assiduidade sero pontuadas;

Pontuao: 1 Ponto por participao por aula 1 Ponto por presena por aula 3 Pontos por relatrio 15 Pontos da prova prtica Total de Pontos: Participao Presena Relatrios Prova Total 7 Pontos 7 Pontos 21 Pontos 15 Pontos 50 Pontos

CronogramaAula 01 02 03 04 05 06 07 08 Turmas D1 e D2 Turmas D3 e D4 Assunto Sistemas de 1 ordem Sistemas de 2 ordem Introduo ao Controlador PID Mtodo de ajuste em malha fechada Simulink Mtodo de ajuste em malha aberta Identificao de sistemas Prova de Sistemas de Controle

1

ndice1 TRABALHO 1 .............................................................................................................................3 1.1 1.2 1.3 1.4 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3 3.1 3.2 4 4.1 4.2 5 6 TEORIA SOBRE CONSTANTE DE TEMPO ....................................................................................3 EXERCCIO 1 ............................................................................................................................4 EXERCCIO 2 ............................................................................................................................5 COMANDOS UTILIZADOS (MATLAB) ...............................................................................6 TEORIA SOBRE RAZES COMPLEXAS ........................................................................................7 ESTABILIDADE .........................................................................................................................7 EXERCCIO 1 ............................................................................................................................8 EXERCCIO 2 ............................................................................................................................9 EXERCCIO 3 ..........................................................................................................................10 CONTROLADOR PID...............................................................................................................11 EXERCCIO .............................................................................................................................12 MTODO ZIEGLER-NICHOLS DE MALHA FECHADA ................................................................13 EXERCCIO .............................................................................................................................15

TRABALHO 2 .............................................................................................................................7

TRABALHO 3 ...........................................................................................................................11

TRABALHO 4 ...........................................................................................................................13

TRABALHO 5 ...........................................................................................................................16 TRABALHO 6 ...........................................................................................................................17 6.1 6.2 6.3 MTODO ZIEGLER-NICHOLS MALHA ABERTA .......................................................................17 MTODO COHEN E COON .......................................................................................................17 EXERCCIO .............................................................................................................................19

7

TRABALHO 7 ...........................................................................................................................20 7.1 MODELOS DE 1 ORDEM .........................................................................................................20 7.1.1 Mtodo de Ziegler-Nichols e Hagglund.........................................................................20 7.1.2 Mtodo de Smith ............................................................................................................21 7.2 MODELOS DE 2 ORDEM .........................................................................................................21 7.3 EXERCCIO .............................................................................................................................23

2

1 Trabalho 1Esta prtica tem por objetivo estudar a influncia da constante de tempo na resposta de um sistema de 1 ordem.

1.1 Teoria sobre Constante de TempoConstante de tempo o tempo necessrio para a resposta atingir 63,2% da amplitude da resposta em regime permanente quando o sistema submetido a uma entrada degrau.

(a) Resposta ao degrau (b) Resposta rampa Figura 1-1: Identificao grfica da constante de tempo Exemplo: Encontrar a constante de tempo do seguinte sistema, 1 G (s) = 3s + 1Resposta ao Degrau1 20 18

Resposta Rampa

15

Resposta g(t)

0.632

12

9

6

3

0

0

3

6

9

12

15

18

0

0

3

6

9

12

15

18

20

Tempo (sec)

Tempo (sec)

Figura 1-2: Respostas ao degrau e rampa

3

1.2 Exerccio 1Para o tanque abaixo com rea A = 6 m2, Resistncia R = 1,25 m/(m3/min), utilizando o pacote Matlab pede-se:

Figura 1-3: Sistema de um tanque representando um sistema de 1 ordem (a) Determinar a funo de transferncia que relaciona qo(t) e qi(t). (b) Traar qo(t) quando qi(t) sofre uma variao degrau unitrio. Qual a constante de tempo para este caso? (c) Reduzir a rea do tanque para 3 m2 e verificar a influncia desta alterao na constante de tempo do sistema. Traar novamente qo(t) para uma variao degrau unitrio em qi(t). (d) Reduzir a rea do tanque para 1 m2 e verificar a influncia desta alterao na constante de tempo do sistema. Traar novamente qo(t) para uma variao degrau unitrio em qi(t). (e) Comparar as respostas obtidas nos itens (b), (c) e (d). Comentar a respeito das diferenas nas constantes de tempo nos trs casos.

4

1.3 Exerccio 2Para o sistema de tanques definido abaixo, supondo que A1 = 4 m2, A2 = 3 m2, A3 = 2 m2 e R1=R2=R3 = 1,25 m/(m3/min), pede-se utilizando o Matlab:

Figura 1-4: Sistema de tanques representando sistemas de 1 ordem em srie (a) Determinar a funo de transferncia que relaciona q2(t) e q1(t); (b) Determinar a funo de transferncia que relaciona q3(t) e q1(t); (c) Determinar a funo de transferncia que relaciona q4(t) e q1(t); (d) Utilizando o Pacote computacional Matlab, considerar que a entrada q1(t) um degrau unitrio, traar em um nico grfico as respostas q2(t), q3(t) e q4(t) obtidas nos itens anteriores e comentar as diferenas que ocorreram entre as respostas.

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1.4 COMANDOS UTILIZADOS (Matlab)Comando step : simula a resposta ao degrau unitrio; Comando help step : fornece informaoes sobre o comando step STEP(SYS,TFINAL) simulates the step response from t=0 to the final time t=TFINAL. Exemplo de programao t=0:0.1:100; {define o tempo final (100) e o passo (0,1)} num1=[1]; { define o numerador da funo de transfernica) den1=[3 4 5]; { define o denomindor da funo de transfernica : 3s^2+4s+5) planta=tf(num1,den1); {define a FT) y1=step(planta,t); {calcula a resposta ao degrau unitrio} num2=1; den2=[1 4 5]; planta2=tf(num2,den2); u=sin(5*t); {entrada a funo sen(5t)} y2=lsim(planta2,u,t); {calcula resposta a entrada u definida anteriormente} plot(t,y1,t,y2) {(plota y1 e y2 em um mesmo grfico} planta3 = planta*planta2 {multiplica 2 FT) Os comandos listados abaixo podem ser teis nos desenvolvimentos dos trabalhos de simulao. Utilizando o comando "help" possvel obter as informaes sobre estes comandos. Exemplo : help title (i) Especificao de legendas : title, xlabel, ylabel, text (ii) Traando grficos : figure, subplot, axis, axes (iii)Entrando com valores durante a execuo de um programa : input (por exemplo : kc=input('Entre com o valor de Kc :'); (iv) Escrevendo uma informao na tela : disp (por ex : disp('Lugar das razes do sistema em malha aberta')) Nesta pgina de trabalho do matlab o usurio poder ter uma demonstrao da capacidade do matlab digitando o comando "demo" e em seguida "enter". Sugesto : ler demonstrativo disponvel em : "Control System" - "Tutorials" - "Getting started" Como criar um novo programa : (i) Aps entrar no programa matlab, clicar no cone "open file". Uma nova tela ir se abrir e o usurio poder iniciar o seu programa. (ii) Letra minscula diferente de letra maiscula, ou seja, a varivel "a" diferente da varivel "A"; (iii) Comentrios dentro do programa basta inserir no incio da linha "%" (iv) Aps salvar o programa, o mesmo poder ser executado atravs da tecla F5

6

2 Trabalho 2Esta prtica tem por objetivo estudar a influncia dos plos em um sistema de 2 ordem.

2.1 Teoria sobre Razes ComplexasUm sistema massa-mola-amortecedor possui sua representao na forma padro de um sistema de segunda ordem dado por,

& m&&( t ) + cx ( t ) + kx ( t ) = f ( t ) x

&&( t ) + 2 n x ( t ) + 2 x ( t ) = & x n

f (t) m

As razes do sistema acima podem ser dadas por uma parte real e uma parte complexa, s = n jd ; d = n 1 2

onde o fator de amortecimento, n a freqncia natural e d a freqncia natural amortecida. No plano complexo,

Figura 2-1: Movimentao das razes complexas em funo do fator de amortecimento

2.2 EstabilidadeAs razes da equao caracterstica ou plos do sistema so indicativos da sua estabilidade. Supondo um sistema cujas razes so na forma s = j , ento,

Se todos os plos possuem {s} < 0 , o sistema Assintoticamente Estvel; Se pelo menos 1 plo possui {s} = 0 e os demais plos forem {s} < 0 , o sistema Marginalmente Estvel; Se pelo menos 1 plo possui {s} > 0 , o sistema Instvel;

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2.3 Exerccio 1Para o sistema massa mola amortecedor supondo M = 2 kg, C= 1 Ns/m e K = 5 N/m

Figura 2-2: Sistema Massa-Mola-Amortecedor (a) Determinar a funo de transferncia que relaciona a posio y(t) e a fora aplicada f(t); (b) Para uma perturbao na fora igual a um degrau unitrio, traar y(t) usando Matlab. Quais os valores dos plos do sistema (razes da equao caracterstica) ? (c) Calcular o valor mximo de y(t) atravs do grfico obtido no item anteriror; (d) Alterar o valor da massa e/ou mola e/ou amortecedor de tal forma a se obter um sistema criticamente amortecido. Traar y(t) utilizando Matlab. Quais os valores dos plos do novo sistema? (e) Alterar o valor da massa e/ou mola e/ou amortecedor de tal forma a se obter um sistema sobre-amortecido. Traar o grfico da resposta ao degrau. Quais os valores dos plos do novo sistema. (f) Traar os itens (d) e (e) juntos, qual a diferena entre um sistema criticamente amortecido e um sistema sobre-amortecido?

8

2.4 Exerccio 2Considere a funo de transferncia abaixo, traar a resposta ao degrau unitrio para que os plos do sistema sejam na forma: Y(s) 10 = 2 X(s) aS + bS + 1 (a) Os plos da FT so reais, diferentes e negativos; (b) Os plos da FT so reais, iguais e negativos; (c) Faa a anlise dos resultados dos itens (a) e (b). Para melhor visualizar os efeitos dos plos na resposta, traar os itens (a) e (b) sobrepostos. Se necessrio, variar os valores dos plos para que se torne mais significativa a diferena entre os itens. (d) Um dos plos da FT real positivo; (e) Os plos so valores complexos conjugados parte real positiva; (f) Os plos so valores complexos conjugados parte real negativa; (g) Qual o concluso dos itens (d), (e) e (f)?

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2.5 Exerccio 3Para um sistema de 2 ordem sem erro estacionrio, escolha os plos adequadamente tal que o sistema tenha plos complexos conjugados com parte real negativa. Pede-se: Y(s) 10 = 2 X(s) aS + bS + 1 (a) Variar de forma significativa somente a parte real, cerca de 3 valores diferentes. Calcular os valores de n e de n para cada caso. Traar a resposta ao degrau para cada caso em um nico grfico. O que se conclui? (b) Variar de forma significativa somente a parte imaginria, cerca de 3 valores diferentes. Calcular os valores de n e de n para cada caso. Traar a resposta ao degrau para cada caso em um nico grfico. O que se conclui? (c) Variar de forma significativa somente a parte imaginria e fazer a parte real igual a zero, cerca de 4 valores diferentes. Calcular os valores de n e de n para cada caso. Traar a resposta ao degrau para cada caso em um nico grfico. O que se conclui?Observaes a serem feitas: Qual o efeito da parte real e da parte imaginria na resposta? Qual a influncia no fator de amortecimento e na freqncia natural n?

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3 Trabalho 3Esta prtica tem por objetivo analisar os efeitos do controlador PID.

3.1 Controlador PIDO controlador PID possui a seguinte funo de transferncia,2 K I K ds + K ps + K I PID = K p + K d s + = s s 1 K c Td Ti s 2 + K c Ti s + K c = = K c 1 + Td s + Ti s Tis

Onde: Kp o ganho proporcional; Kd o ganho derivativo; Ki o ganho integral; Kc o ganho proporcional; Td a constante de tempo do controle derivativo; Ti a constante de tempo do controle integral; Observe que a funo de transferncia do controlador PID imprpria.

11

3.2 ExerccioPara o sistema abaixo, sabendo-se que rea do tanque 1 A1 = 6 m2, rea do tanque 2 A2 = 10 m2 e as resistncias R1 e R2 so 1,25 m/(m3/min) pede-se:

Figura 3-1: Esquema de controle do sistema de tanques (a) Determinar o diagrama de blocos do sistema de controle de nvel de lquido; (b) Determinar a funo de transferncia da malha fechada com o controlador PID do sistema de controle de nvel de lquido; (c) Assumir que a FT do controlador PID tem apenas o ganho Kc = 1. Comparar as respostas em malha aberta e malha fechada da resposta q3(t); (d) Variar 3 valores para Kc e verificar a sua influncia no controlador traando as curvas no mesmo grfico. Comentar o resultado obtido; (e) Trocar o controlador para um do tipo PI. Fixar o valor de Kc e variar Ti, 3 valores, traando as curvas no mesmo grfico. Comentar o resultado obtido; (f) Trocar o controlador para um do tipo PID. Fixar os valores de Kc e de Ti e variar Td em 3 valores diferentes. Traar as curvas no mesmo grfico. Comentar o resultado obtido; (g) Ajustar um PID para obter o melhor desempenho possvel.

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4 Trabalho 4Esta prtica tem o objetivo de ajustar um controlador PID utilizando Mtodo ZieglerNichols de malha fechada.

4.1 Mtodo Ziegler-Nichols de malha FechadaSupondo um controlador PID na forma,

Figura 4-1: Controlador PID Para aplicar o mtodo Ziegler-Nichols de malha fechada deve-se primeiro encontrar qual o ganho proporcional Kc, sem que tenha a parte integral e derivativa, que torna o sistema de malha fechada marginalmente estvel, isto , pelo menos um dos plos do sistema de malha fechada deve ser puramente imaginrio. Este ganho Kc passa a ser chamado de ganho crtico Kcr. O sistema apresentado na Figura 4-1, fazendo o PID somente Kc, o sistema de malha fechada dado por, Y(s) G (s)Kc = R (s) 1 + G (s)Kc Para o calculo do ganho crtico, pelo menos um dos plos da equao acima deve possuir parte real igual a zero.Root Locus 8

6

Ganho Crtico Kcr

4 System: untitled1 Gain: 49.8 Pole: -0.00349 + 4i Damping: 0.000873 Overshoot (%): 99.7 Frequency (rad/sec): 4

2 Imaginary Axis

0

-2

-4 System: untitled1 Gain: 49.8 Pole: -0.00349 - 4i Damping: 0.000873 Overshoot (%): 99.7 Frequency (rad/sec): 4 0 -2

-6

-8 -10

-8

-6

-4

2

Real Axis

Figura 4-2: Lugar das Razes no plano complexo 13

O segundo passo consiste em traar a resposta ao degrau do sistema realimentado pelo ganho crtico Kcr. Desta resposta retirado o tempo de oscilao Tu.Resposta ao Degrau Unitrio1.4

1.2

Tempo de oscilao Tu

1

Amplitude

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [s]

Figura 4-3: Resposta ao degrau do sistema realimentado com Kcr Agora os parmetros do controlador podem ser ajustados de acordo com a tabela abaixo. Tabela 4-1: Parmetros do controlador em funo do ganho crtico Kcr e do tempo de oscilao Tu Tipo do controlador Kc Ti Td P 0,5 Kcr --PI 0,45.Kcr Tu/1,2 --PID 0,6.Kcr 0,5Tu 0,125Tu Deve ser lembrado que,PID = K p + K d s +2 K I K ds + K ps + K I = s s 1 K c Td Ti s 2 + K c Ti s + K c = = K c 1 + Td s + Ti s Tis

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4.2 ExerccioConsiderando o sistema de controle apresentado na Figura 4-4. Assumindo que G(s) seja a planta do processo a ser controlado e H(s) a funo de transferncia do sensor de erro utilizado para medir a resposta de G(s). Observe que a resposta do sistema no depende do sensor de medida, mas apenas o sistema de controle. Observe que se H(s) possuir erro estacionrio, este afetar o desempenho do sistema de controle.

Figura 4-4: Sistema de controle utilizando sensores Sendo que: E(s) o erro do sistema de controle; U(s) a lei de controle; Y(s) a resposta controlada real do sistema em malha fechada; X(s) a resposta medida pelo sensor de erro; (a) Escolher a planta G(s) para que esta seja uma planta de 2 ordem, tenha plos com parte real negativa e apresente y() entre 0.7 e 0.9, na forma,

G (s) =

d as + bs + c2

(b) Escolher o sensor de erro H(s) para que este seja uma planta de 1 ordem com constante de tempo rpida o suficiente para acompanhar, mas que esta no seja rpida o suficiente para seguir exatamente a planta G(s). Dica, isso pode ser conseguido fazendo o plo de H(s) de 3 a 6 vezes maior que os plos de G(s). H(s) na forma, H(s) = 1 s + 1

(c) Projetar um controlador PID utilizando o mtodo Ziegler-Nichols de malha fechada. Comparar o resultado do sistema de controle em malha fechada real, Y(s)/R(s), com o sistema de controle em malha fechada medido, X(s)/R(s) com o sistema sem controle ou de malha aberta. Comentar a diferena. Este era o resultado esperado? Caso contrrio, qual a explicao? (d) Fazer ajustes finos no controlador PID para obter o melhor desempenho possvel.

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5 Trabalho 5Esta prtica tem o objetivo de simular um sistema de controle em malha fechada utilizando o Simulink

Figura 5-1: Sistema de Controle em malha fechada Para o diagrama de blocos acima, pede-se: (a) Refazer o exerccio 4.2 letras (a), (b) e (c) com valores diferentes do utilizado na aula 4. (b) Utilizando o Simulink, traar a referncia r(t), o erro e(t), a lei de controle u(t), a resposta controlada real y(t) e medida x(t) do Sistema ; (c) Fazer ajustes finos no controlador PID para obter o melhor desempenho possvel. Comparar as respostas controladas e as leis de controle para o mtodo Ziegler-Nichols e do ajuste fino.

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6 Trabalho 6Esta prtica tem o objetivo de ajustar o Controlador PID utilizando o mtodo de ZieglerNichols em malha aberta e o mtodo da curva de reao do processo, proposto por Cohen e Coon.

6.1 Mtodo Ziegler-Nichols Malha AbertaO mtodo Ziegler-Nichols em malha aberta se aplica se a curva de resposta ao degrau unitrio de entrada apresentar o aspecto de um S. Essa curva de resposta ao degrau unitrio pode ser gerada experimentalmente ou a partir de uma simulao dinmica da planta.

Figura 6-1: Resposta ao degrau unitrio A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duas constantes, o atraso L e a constante de tempo T. O atraso e a constante de tempo so determinados desenhando-se uma linha tangente no ponto de inflexo da curva com o formato em S e determinando-se a interseo da linha tangente com o eixo do tempo. O ajuste de controlador PID, segundo este mtodo, introduz no sistema dois zeros em -1/L. Tabela 6-1: Parmetros do controlador PID segundo o mtodo Ziegler-Nichols malha aberta. Tipo de controlador Kc Ti Td P T/L 0 PI 0,9T/L L/0,3 0 PID 1,2T/L 2L 0,5L

6.2 Mtodo Cohen e CoonO mtodo Cohen e Coon muito parecido com o mtodo Ziegler-Nichols de malha aberta, mas neste caso, o degrau aplicado como entrada tem amplitude M e no mais necessrio que seja de amplitude igual a 1. 17

Primeiramente, traa-se uma tangente curva no ponto de inflexo, Figura 6-1. A interseo desta tangente com a abscissa tomada como o tempo morto aparente, L. A inclinao da reta tangente, S, determinada baseando-se no grfico. Com os valores de L e de S, calcula-se B e Kg, ou seja, B= K K ; Kg = S M

Usando os valores de L, B e Kg, os ajustes recomendados para os controladores so os seguintes, Tabela 6-2: Parmetros do controlador PID segundo o mtodo Cohen Coon. Tipo de Kc Ti Td Controlador P 0 1 B Td 1 + Kg L 3B 0 PI 1 T 9 L L + 30 + 3 Kg L 10 12T T L L 9 + 20 T PD 1 B5 L L + 6 2 Kg L 4 6B T L L 22 + 3 B PID 4 1 B4 L L L + 32 + 6 L Kg L 3 4B B 11 + 2 L B L 13 + 8 B

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6.3 ExerccioProjetar um controlador PID baseado nos mtodos Ziegler-Nichols de malha aberta e Cohen Coon para uma planta que apresente a resposta ao degrau unitrio a forma de S, segundo,

Figura 6-2: Sistema de controle utilizando sensores (a) Escolher uma planta G(s) de 2 ordem, com plos reais e negativos, com y() entre 0.7 e 0.9; (b) Escolher um sensor de erro adequado para a planta, isto , que no possua erro estacionrio e uma constante de tempo rpida o suficiente para acompanhar as variaes da planta; (c) Projetar um controlador PID baseado no mtodo Ziegler-Nichols de malha aberta; (d) Projetar um controlador PID baseado no mtodo Cohen-Coon; (e) Projetar um controlador PID baseado no mtodo Ziegler-Nichols de malha fechada; (f) Comparar os resultados obtidos para uma entrada degrau unitrio; (g) Fazer ajustes finos no sistema de controle para se obter o melhor resultado possvel.

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7 Trabalho 7Esta prtica tem o objetivo de estimar os parmetros de um sistema de 1 e de 2 ordem atravs de mtodos analticos simples.

7.1 Modelos de 1 OrdemO modelo paramtrico de um sistema de primeira ordem pode ser representado pela seguinte funo de transferncia,

G (s) =

Kp (s + 1)

e s =

Y(s) U(s)

Note-se que necessrio determinar 3 parmetros: o ganho esttico Kp, a constante de tempo e o atraso por transporte, .

7.1.1 Mtodo de Ziegler-Nichols e HagglundNestes mtodos os parmetros Kp, e so calculados conforme ilustrado na figura abaixo, onde a reta traada corresponde tangente no ponto de mxima inclinao da curva de reao. Os parmetros Kp e so calculados da mesma forma nos dois mtodos, somente a constante de tempo so obtidas de forma diferente.

Figura 7-1: Resposta ao degrau de uma planta que pode ser aproximada por um modelo de 1 ordem Ganho Esttico Kp,

Kp =

y uZiegler-Nichols Hagglund

onde y a variao na sada e u a variao na entrada. Constante de tempo , Atraso por transporte ,

= t1

= t 2 t1 = t 3 t120

7.1.2 Mtodo de SmithNeste mtodo, os parmetros so obtidos conforme as equaes e a figura representada a seguir,

Figura 7-2: Resposta ao degrau de uma planta que pode ser aproximada por um modelo de 1 ordem, apresentado os parmetros para o mtodo de Smith Os parmetros so estimados como,

Kp =

Y ; = 1,5( t 2 t 1 ) ; U

= t2

7.2 Modelos de 2 OrdemO modelo paramtrico de um sistema de segunda ordem pode ser representado pela seguinte funo de transferncia,

Kp Y(s) e s = G (s) = U(s) (1s + 1)( 2s + 1)Note-se que necessrio determinar 4 parmetros: o ganho esttico, Kp, as constantes de tempo 1 e 2, e o atraso por transporte, . Da mesma forma que para sistemas de primeira ordem, existem vrios mtodos que possibilitam a determinao do modelo paramtrico deste sistema. Ser apresentado a seguir, o mtodo de Mollenkamp. O mtodo apresentado por Mollenkamp, tambm analisa a curva de reao do processo, obtida a partir de uma entrada degrau. Na curva de reao, so identificados trs pontos intermedirios,t1 = tempo para a sada alcanar 15% da resposta final; t2 : tempo para a sada alcanar 45% da resposta final; t3 : tempo para a sada alcanar 75% da resposta final.

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Os parmetros so calculados conforme a seqncia de expresses,

(1)

x=

t 2 t1 t 3 t1

0,085 5,547(0,475 x ) 2 (2) Fator de Amortecimento = ( x 0,356)(3) Se 1 (4) Se >1

f 2 = 0,708.(2,811) f 2 = 2,6 0,60n = f2 t 3 t1

(5) Freqncia Natural (6)

f 3 = 0,922.(1,66) = t2 f3 n

(7) Atraso de Transporte (8) Constantes de Tempo

2 1 12 = n

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7.3 ExerccioConstruir uma funo de transferncia G(s) de 3 ordem com plos reais e negativos que apresente resposta ao degrau unitrio entre 0.7 e 0.9. Estimar esta planta utilizando uma aproximao de 1 ordem e uma aproximao de 2 ordem. Comparar as resposta ao degrau da planta real e dos modelos estimados. Escolher uma planta de 2 ordem que tenha fator de amortecimento menor que 1, e resposta ao degrau unitrio 0.8, estimar esta planta utilizando uma aproximao de 2 ordem. Comparar as respostas ao degrau da planta e do modelo estimado e comparar os fatores de amortecimento, freqncias naturais e erro estacionrio.

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