PROCESSO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL

O processo iterativo de Gauss-Seidel resolve quase todos os tipos de equações ou sistemas de equações. O método é muito simples, mas o resultado somente é alcançado após um número relativamente grande de iterações.

Exemplo 1 - Determine as raízes do polinômio utilizando Gauss-Seidel.

Isolando o termo quadrático obtém-se:

Adotando como valor inicial , o procedimento não converge. Entretanto adotando como

valor inicial , a primeira iteração corresponde a:

As iterações subseqüentes resultam em:

Portanto o resultado se aproxima do valor correto que é . A tolerância é definida como o valor absoluto da diferença de resultados de duas iterações. A tolerância atingida na nona iteração é

.

A outra solução pode ser obtida isolando o termo não quadrático, portanto:

Adotando como valor inicial , a primeira iteração corresponde a:

As iterações subseqüentes são:

Portanto o resultado se aproxima do valor correto que é . A tolerância atingida na nona iteração é .

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Exemplo 2 - Determine as soluções das equações e , utilizando Gauss-Seidel.

As duas equações na forma matricial são:

Isolando na primeira equação e na segunda obtém-se:

Para iniciar o processo é necessário adotar valores iniciais para e , portanto:

Assim a primeira iteração resulta em:

A segunda iteração resulta em:

A terceira iteração resulta em:

A quarta iteração resulta em:

A quinta iteração resulta em:

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A sexta iteração resulta em:

As tolerâncias de e atingidas na sexta iteração foram respectivamente de e .

Exemplo 3 - Determine as soluções das equações e , utilizando Gauss-Seidel com fator de aceleração de 1.1.

Adotando os mesmos valores iniciais do exemplo anterior:

Assim a primeira iteração resulta em:

A segunda iteração resulta em:

A terceira iteração resulta em:

A quarta iteração resulta em:

A quinta iteração resulta em:

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As tolerâncias de e atingidas na quinta iteração foram respectivamente de e . Portanto o fator de aceleração resultou em uma pequena melhoria mas em alguns casos o

fator de aceleração pode reduzir significativamente o número de iterações.

Exemplo 4 - Determine as raízes da equação transcendental (x com valores em radianos) utilizando o método Gauss-Seidel.

Isolando o termo exponencial:

Adotando como valor inicial tem-se que:

Portanto na oitava iteração a tolerância atingida foi de valor ainda razoavelmente elevado.Isolando o termo trigonométrico:

Adotando como valor inicial tem-se que:

Portanto o processo não converge.FIM

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PROCESSO ITERATIVO DE NEWTONAvaliação de raízes de polinômios

O processo iterativo de Newton resolve quase todos os tipos de equações ou sistemas de equações. O método de Newton é mais complexo que o Gauss_Seidel entretanto converge mais rápido e Alem de mais rápido o método de Newton as vezes resolve equações que não convergem com o método de Gauss_Seidel.

A dedução do método de Newton pode ser feita através de derivadas ou diferenças finitas. O método de diferenças finitas permite uma visão mais clara do método de Newton.

O método se aplica a equação qualquer, ou mesmo um sistema de equações. Suponha uma equação do segundo grau do tipo . Suponha um valor aproximado de denominado de . Portanto pode-se afirmar que , onde é o resíduo resultante da adoção de um valor aproximado para . Suponha também que a solução mais correta seja , e que , onde é um valor relativamente pequeno. Substituindo o valor de por na equação objeto da análise:

Desprezando o termo de então:

Mas sabendo que , então a equação acima pode ser simplificada:

Isolando e assumindo que possa ser substituído por sem alterar fortemente o valor de , então:

Assim assumindo o valor de e , o valor de pode ser determinado, sabendo que é um valor mais próximo da solução que .

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Exemplo 1 - Determine as raízes do polinômio utilizando o método de Newton.

Adotando um valor inicial de e sabendo que:

Portanto o valor de . Na segunda iteração o valor de é:

Portanto o valor de que já é um valor bastante próximo da solução.

Adotando um valor inicial de e sabendo que:

Portanto o valor de . Na segunda iteração o valor de é:

Portanto o valor de . Na terceira iteração o valor de é:

Portanto o valor de que já é um valor bastante próximo da solução.

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Exemplo 2 - Determine as raízes do polinômio utilizando o método de Newton.

A relação entre o resíduo e pode ser obtida substituindo o valor de na equação original por :

Portanto:

Adotando um valor inicial de e sabendo que:

Portanto o valor de . Na segunda iteração o valor de é:

Portanto o valor de .

Portanto o valor de . Na terceira iteração o valor de é:

Portanto o valor de , e assim por diante.

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Exemplo 3 - Determine as raízes da equação transcendental (x com valores em radianos) utilizando o método de Newton.

Supondo que se conhece um valor aproximado de x denominado de , a equação transcendental pode ser escrita como:

Suponha também que a solução mais correta seja , então se pode afirmar que ,portanto:

Como deve ser um valor relativamente pequeno então:

Considerando que , então:

E também:

Considerando que e que , então:

Substituindo os valores encontrados na equação de resíduo:

A fórmula acima pode ser simplificada como:

Portanto o valor e :

A solução iterativa de qualquer equação pressupõe a adoção de um valor inicial para . Adotando como valor inicial o valor do resíduo corresponde a:

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E o valor :

Portanto o novo valor de x corresponde a:

Na segunda iteração os resultados são:

Na terceira iteração os resultados são:

Portanto o método de Newton converge com mais rapidez que o método de Gauss Seidel.

FIM

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SOLUÇÃO DE SISTEMAS ATRAVÉS DE MATRIZES

Sistemas de equações podem ser resolvidos através de matrizes. Os sistemas lineares são resolvidos utilizando a inversão matricial. Existem diversas maneiras de se obter a inversa de uma matriz. A forma mais eficiente para se obter a inversa de uma matriz é através de escalonamento.

Exemplo 1 (Inversão matricial) - Determine as soluções das equações e , utilizando inversão matricial.

As duas equações na forma matricial são representadas como:

A solução do sistema pode ser determinada como:

A inversa pode ser conseguida realizando operações idênticas nas duas matrizes abaixo. O objetivo das operações é transformar a primeira matriz em uma matriz unidade.

Assim a primeira operação poderia ser dividir a primeira linha por 10.0. Este procedimento pode ser escrito como , assim aplicando esta operação nas duas matrizes:

A segunda operação pode ser , o que resulta em:

A terceira operação pode ser , o que resulta em:

A quarta operação pode ser , o que resulta em:

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A prova de que a matriz acima é a inversa:

Em resumo os procedimentos para se obter a inversa são:

Portanto a solução procurada é:

Exemplo 2 (Escalonamento direto) - Determine as soluções das equações e , utilizando escalonamento direto.

As duas equações na forma matricial são:

O escalonamento direto da equação matricial pode ser conseguido procurando tornar a matriz quadrada em matriz unidade. Assim a primeira operação pode ser :

Assim a segunda operação pode ser :

Assim a terceira operação pode ser :

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Assim a quarta e última operação pode ser :

Deve ser observado que a seqüência de procedimentos é idêntica a do primeiro exemplo. Portanto os procedimentos abaixo equivalem a inversa. A seqüência de procedimentos abaixo é denominada de inversa implícita:

FIM

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