UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS FACULDADE DE ENGENHARIA AGRCOLA

CADERNO DIDTICO

MANIPULAO DE NMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS ELETRNICAS

EURICO GUIMARES DE CASTRO NEVES RUBI MNCHOW

Pelotas, Julho de 2008

NDICE

1. INTRODUO .................................................................................................................. 1 2. EVOLUO DAS CALCULADORAS ............................................................................ 1 3. NMEROS COMPLEXOS E CALCULADORAS ELETRNICAS .............................. 3 4. FUNDAMENTOS DE NMEROS COMPLEXOS .......................................................... 4 5. CALCULADORAS EXAMINADAS ................................................................................ 5 6. CONVENES UTILIZADAS ........................................................................................ 6 7. OPERAES COM NMEROS COMPLEXOS NOS MODELOS ESCOLHIDOS ...... 6 7.1. HP 48G......................................................................................................................... 6 7.2. SHARP EL-510W ........................................................................................................ 8 7.3. CASIO FX-82SX E FX-250HC .................................................................................... 10 7.4. CASIO FX-82 TL E FX-82 MS .................................................................................... 11 8. CONCLUSO .................................................................................................................. 12 9. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA .................................................................................. 13

NDICE DE FIGURAS

Figura 1 Calculadora de mesa SHARP Model 4. ................................................................ 2 Figura 2 Calculadora porttil TEXAS TI-150 (1974). ........................................................ 2 Figura 3 - A HP-35, da HEWLETT-PACKARD, uma das primeiras calculadoras cientficas (1972). ................................................................................................................................. 2 Figura 4 - Calculadora grfica SHARP Modelo EL9900. ...................................................... 2 Figura 5 Exemplos de smbolos usados em teclas para operao com nmeros complexos de calculadoras cientficas: (a) CASIO FX-82SX; (b) CASIO FX-350TL; (c) SHARP EL506W. .................................................................................................................................. 4 Figura 6 - Representao de um nmero complexo Z. ........................................................... 4 Figura 7 - Calculadora HP-48G ............................................................................................. 7 Figura 8 SHARP EL-510W ................................................................................................. 8 Figura 9 CASIO fx-82SX .................................................................................................. 10 Figura 10 CASIO fx82-TL ................................................................................................ 12

MANIPULAO DE NMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS ELETRNICAS

Eurico Guimares de Castro Neves1 Rubi Mnchow1

1. INTRODUO Nmeros complexos so utilizados em muitas reas da Engenharia, como Aerodinmica, Geometria e Eletricidade. A anlise de circuitos de corrente alternada, por exemplo, fica bastante facilitada quando se utiliza o chamado Clculo Fasorial, onde as grandezas eltricas so representadas por entidades matemticas chamadas fasores, os quais, por sua vez, so expressos atravs de nmeros complexos. Ao contrrio do que muitos profissionais pensam, a manipulao de nmeros complexos d pouco trabalho e quase no exige treinamento. Atualmente, quase todas as calculadoras cientficas trazem embutidas funes destinadas a esta manipulao; algumas suportam apenas transformaes mais simples, enquanto outras permitem operaes avanadas. O objetivo deste trabalho mostrar como operar com nmeros complexos em calculadoras cientficas. Presume-se que o estudante conhea os princpios bsicos de sua calculadora e tambm que tenha conhecimento dos fundamentos dos nmeros complexos e das operaes fundamentais sobre os mesmos.

2. EVOLUO DAS CALCULADORAS As primeiras calculadoras eletrnicas de mesa surgiram no final da dcada de 60 e realizavam as 4 operaes bsicas: soma, subtrao, produto e diviso. Volumosas e vorazes consumidoras de energia - o que limitava sua portabilidade , seu preo estava em torno de 1.000 dlares. Na Figura 1 v-se a Sharp Model 4, tpica calculadora da poca. No incio dos anos 70 surgiram as calculadoras portteis, basicamente com as mesmas caractersticas de suas irms mais velhas: quatro operaes, capacidade de armazenamento de um valor e, em algumas delas, possibilidade de extrao da raiz quadrada. A TI-150, da Texas Instruments, foi uma das calculadoras mais populares da poca (Figura 2).

1

Professor Adjunto IV da Faculdade de Engenharia Agrcola da Universidade Federal de Pelotas

1

Figura 1 Calculadora de mesa SHARP Model 4.

Figura 2 Calculadora porttil TEXAS TI-150 (1974).

Embora tenham proporcionado muitos avanos em relao s mquinas mecnicas como rapidez, facilidade de operao e portabilidade - essas calculadoras deixavam a desejar nos clculos mais elaborados de Engenharia. Assim, surgiram as chamadas calculadoras cientficas, que incorporavam funes trigonomtricas, transcendentais, logartmicas, etc. A HP-35 (Figura 3), lanada em 1972 pela Hewlett-Packard, foi um grande expoente deste tipo de calculadora, mesmo custando cerca de 400 dlares (nos EUA) poca de seu lanamento. Desde ento, o desenvolvimento das calculadoras impressionante. Novas funes foram embutidas, a possibilidade de programao foi anexada a muitas mquinas e a capacidade de trabalhar com grficos foi desenvolvida (Figura 4), bem como a possibilidade de interao com computadores e/ou outras calculadoras. E, o melhor de tudo, o preo est em contnua queda, ao ponto de uma calculadora bsica custar hoje 1.000 vezes menos que uma similar dos anos 70!

Figura 3 - A HP-35, da HEWLETT-PACKARD, uma das primeiras calculadoras cientficas (1972).

Figura 4 - Calculadora grfica SHARP Modelo EL9900.

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H quem anteveja para breve o desaparecimento das calculadoras, devido ao desenvolvimento dos microcomputadores, bem como interao entre estes e os telefones celulares, os quais passariam a ter funes matemticas cada vez mais poderosas. Embora este seja o futuro, parece-nos que no ocorrer de forma assim to rpida: devido sua portabilidade e especificidade, entendemos que as calculadoras cientficas ainda sero usadas por engenheiros, matemticos e cientistas por um bom tempo.

3. NMEROS COMPLEXOS E CALCULADORAS ELETRNICAS De acordo com a Wikipedia (2008), as primeiras referncias a nmeros complexos remontam ao sculo 1 a.C., porm sua utilizao s se tornou popular no final do sculo XVI, com a interpretao geomtrica proposta por Caspar Wessel (1745 1818) e os trabalhos posteriores de Carl Friederich Gauss (1777 - 1855). Foi este que introduziu a notao

i

1

adotada em quase todos os campos da Matemtica e Engenharia2. provvel que a concepo de nmero complexo advenha da soluo de equaes cujas razes resultem na raiz quadrada de nmeros negativos. Porm sua utilizao em diversos campos da Matemtica e, a seguir, da Engenharia foram se tornando cada vez mais freqentes, ao ponto de Gottfried Leibniz (1646 1716) afirmar talvez com algum exagero - que ...o Esprito Divino encontrou uma expresso sublime nessa maravilha da anlise, nesse portento do mundo ideal, nesse anfbio entre o ser e o no-ser, a que chamamos a raiz imaginria da unidade negativa... As funes de manipulao de nmeros complexos s vieram a ser anexadas a calculadoras em meados dos anos 70, com as transformaes de forma retangular para polar e vice-versa. Ao final dos anos 80 foram lanadas calculadoras de alto desempenho, capazes de manipular diretamente operaes com nmeros complexos, inclusive a capacidade operar matrizes com este tipo de nmero. Atualmente, mesmo as calculadoras cientficas mais baratas so capazes de realizar as transformaes retangular polar. Infelizmente, no h uma padronizao para simbolizar essas transformaes: em algumas calculadoras aparecem teclas nomeadas como R e P (ou REC e POL), para identificar as formas retangular3 e polar; outras mquinas utilizam os smbolos x e y (ou a e b) representando as partes real e imaginria do complexo, bem como r e , representando o mdulo e o ngulo do nmero (Figura 5).

2

Em Eletricidade, costuma-se usar a letra j, para evitar confuses com o smbolo da corrente, universalmente conhecido como i. 3 Na lngua inglesa, esta forma grafada rectangular, de onde o smbolo REC usado.

3

(a)

(b)

(c)

Figura 5 Exemplos de smbolos usados em teclas para operao com nmeros complexos de calculadoras cientficas: (a) CASIO FX-82SX; (b) CASIO FX-350TL; (c) SHARP EL-506W. 4. FUNDAMENTOS DE NMEROS COMPLEXOS Neste trabalho denomina-se operador imaginrio ao termo j na equaoj 1

(1)

4.1. Representao Um nmero complexo Z pode ser expresso de duas formas, conforme se mostra na Figura 6: Forma retangular (REC): expressa matematicamente por Z = a + jb (2) onde a a parte real do complexo (a = Re[Z]) e b a parte imaginria do mesmo (b = Im[Z]); Forma polar (POL): Z=A (3)

onde A o mdulo do complexo (A = | Z |) e o seu ngulo ( = ng Z), contado a partir do semi-eixo Re positivo. De acordo com a conveno usada em Trigonometria, ngulos positivos so aqueles contados no sentido anti-horrio.

Figura 6 - Representao de um nmero complexo Z.

4

A transformao de uma forma em outra imediatamente obtida pela aplicao das noes elementares de trigonometria: Transformao R P: dados a e b, encontra-seA a2 b2

(4)

etg1

b a

(5)

Transformao P R: dados A e , encontra-se

ae

A cos

(6) (7)

b4.2. Operaes Bsicas Sejam dois nmeros complexos Z1 = a1 + jb1 = A1 Soma1

A sen

e

Z2 = a2 + jb2 = A2

2.

possvel demonstrar que as quatro operaes bsicas resultam em: Z1 + Z2 = (a1 + a2) + j (b1 + b2) Subtrao Z1 Z2 = (a1 - a2) + j (b1 - b2) Produto Z1.Z2 = A1.A2 ( DivisoZ1 Z2 A1 A2 (1 2

(8) (9)

1

+

2)

(10)

)

(11)

5. CALCULADORAS EXAMINADAS Para efeito deste trabalho, as calculadoras cientficas foram divididas em 2 grupos, de acordo com suas capacidades de operao com nmeros complexos. Denominou-se calculadoras padro quelas capazes apenas de realizar as transformaes de forma polar retangular; mquinas com caractersticas mais completas, tal como a possibilidade de operaes diretas com nmeros complexos, foram chamadas calculadoras superiores. 5

Atravs de um levantamento feito com alunos do Curso de Engenharia Agrcola da Universidade Federal de Pelotas, constatou-se que os modelos mais utilizados so: Calculadoras padro: CASIO fx-82SX, fx-82TL, fx-82MS e fx-250HC Calculadoras superiores: HP-48G, SHARP EL-510W interessante observar que a esmagadora maioria dos alunos deste curso utiliza algum dos modelos da CASIO acima mencionados. Isto se deve ao fato de serem instrumentos de bom desempenho e de preo bastante acessvel, podendo ser encontrados em quase todas as lojas que comerciem calculadoras, at mesmo em bancas de vendedores ambulantes.

6. CONVENES UTILIZADAS As seguintes convenes foram usadas neste trabalho: Entrada de nmero na calculadora: o valor ser denotado entre o par de sinais "< >". Por exemplo, se for pedida a entrada da parte real de um nmero complexo Z = 8 j4, isto ser denotado como < 8 >. Numa seqncia de operaes, as teclas, estas sero representadas por retngulos onde aparecem as funes a serem usadas naquela operao.

7. OPERAES COM NMEROS COMPLEXOS NOS MODELOS ESCOLHIDOS 7.1. HP 48G As calculadoras HP utilizam a lgica denominada Reverse Polish Notation (RPN), caracterizada pelo uso da tecla ENTER. O pressionamento desta tecla informa calculadora que est pronto o nmero (real ou complexo) sobre o qual ser feita alguma operao matemtica. Na HP 48G (Figura 7) os nmeros complexos sempre devem ser expressos entre parnteses, sendo que as partes que os compem so distinguidas por um separador. Existem dois tipos de separadores, associados mesma tecla; o uso de um ou outro depender da forma como os nmeros so expressos: Forma retangular: a e b so separados por um espao (tecla SPC, de space); Forma polar: A e so separados pelo sinal (leia-se ngulo).

6

Figura 7 - Calculadora HP-48G

Nos exemplos que se seguem, a viso do que aparece no display pode ser diferente daquela que aparece na sua calculadora, de acordo com os modos de clculo (CALCULATOR MODES) selecionados. Neste trabalho, a menos que se informe o oposto, os modos so: NUMBER FORMAT: Fixed, com 2 casas aps a vrgula ANGLE MESURE: Degrees SEPARADOR DE DECIMAIS: Vrgula Exemplos: Entrar com o nmero Z 1 = 4 j3 (forma retangular) Seqncia de teclas Display(4,00;-3,00) (5,00; 36,87 )

Forma selecionadaREC POL

Entrar com o nmero Z 2 = 5 Seqncia de teclas

45o (forma polar) Display(3,54;3,54 ) (5,00; 45,00 )

Forma selecionadaREC POL

Transformao RETANGULAR POLAR (R P) 1. Entrar com o nmero na forma retangular e ENTER 2. Mudar para o modo POLAR (POL)

7

3. Se a calculadora j estava no modo POLAR, a transformao se dar aps teclar ENTER.

Transformao POLAR RETANGULAR (P R) 1. Entrar com o nmero na forma POLAR e ENTER 2. Se a calculadora estiver no modo no modo POLAR, passar para o modo RETANGULAR teclando 3. Se a calculadora estiver no modo RETANGULAR, a transformao ser automtica.

Operaes com nmeros complexos A HP 48G muito potente no tratamento de nmeros complexos, permitindo que se realize qualquer operao com os mesmos, incluindo clculos matriciais. Basicamente, basta lembrar que: As operaes (soma, subtrao, potenciao, matrizes, etc.) com nmeros complexos so feitas de maneira idntica usada com nmeros reais; Os nmeros complexos podem dar entrada em qualquer forma (REC ou POL); no esquecer, entretanto, que devem ser expressos entre parnteses; O resultado de uma operao ser dado na forma REC ou POL, conforme a forma selecionada.

7.2. SHARP EL-510W Embora no possua capacidades grficas, a SHARP EL-510W (Figura 8) pode ser enquadrada na categoria de calculadoras superiores devido a sua capacidade de operaes com nmeros complexos.

Figura 8 SHARP EL-510W

8

Transformao RETANGULAR

POLAR (R

P)

1. Selecionar o modo de operao com nmeros complexos

2. Entrar com a parte real e pressionar a tecla 3. Entrar com a parte imaginria e pressionar a tecla 4. Indicar a converso para a forma polar

5. Obteno do mdulo: apresentado no visor 6. Obteno do ngulo ( ): pressionar a tecla Obs.: O mdulo e o ngulo ficam armazenados, respectivamente, em podendo ser retornados a qualquer momento pressionando estas teclas.

e

,

Transformao RETANGULAR

POLAR (R

P)

1. Selecionar o modo de operao com nmeros complexos

2. Entrar com o mdulo e pressionar a tecla 3. Entrar com o ngulo e pressionar a tecla 4. Indicar a converso para a forma polar

5. Obteno da parte real: apresentada no visor 6. Obteno parte imaginria pressionar a tecla Obs.: As partes real e imaginria ficam armazenadas, respectivamente, em podendo ser retornadas a qualquer momento pressionando estas teclas.

e

,

Operaes com nmeros complexos Esta calculadora permite as operaes bsicas com nmeros complexos, desde que expressos na forma retangular. As partes real e imaginria de cada nmero sero armazenadas nas teclas e e , seguindo-se a tecla relativa operao desejada. Exemplos: Antes de iniciar as operaes, deve-se selecionar o modo complexo digitando

9

Realizar a operao: (12 - j6) + (7 + j15) (11 + j4)Seqncia de teclas Display8

Significado parte real

5

parte imaginria

Realizar a operao: (8

70o) + (12 -25o) Display14,991127

Seqncia de teclas

Significado parte real

122,885138 parte imaginria

Obs.: As partes real e imaginria ficam armazenadas, respectivamente, em podendo ser retornadas a qualquer momento pressionando estas teclas.

e

,

7.3. CASIO fx-82SX e fx-250HC Esta calculadora, mostrada na Figura 9, um dos modelos mais simples, porm muito usada devido ao baixo preo aliado boa qualidade.

Figura 9 CASIO fx-82SX

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Transformao RETANGULAR 1.

POLAR (R

P) P)

Entrar com o nmero na forma retangular, indicando o tipo de converso (R

2. 3.

Obteno do mdulo (A) digitar a tecla Obteno do ngulo ( ) digitar

Transformao POLAR 1.

RETANGULAR (P

R) P)

Entrar com o nmero na forma polar, indicando o tipo de converso (R < >

2. 3.

Obteno da parte real (Re) digitar a tecla Obteno da parte imaginria (Im) digitar

Operaes com nmeros complexos Estas calculadoras no permitem a operao direta com nmeros complexos.

7.4. CASIO fx-82 TL e fx-82 MS Modelo fabricado na China, a srie FX da CASIO (Figura 10) introduziu os displays de 2 linhas: na superior as operaes aparecem por extenso, enquanto que na inferior so registrados os dados de entrada e valores de sada.

Transformao RETANGULAR

POLAR (R

P)

1. 2.

Indicar a transformao R P pressionando a tecla Entrar com as partes Re e Im, separadas pelo smbolo de vrgula, e fechar parnteses direita

3. 4.

Obteno do mdulo (A) digitar a tecla Obteno do ngulo ( ) digitar

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Figura 10 CASIO fx82-TL

Transformao POLAR

RETANGULAR (R

P)

1. Indicar a transformao P R pressionando a tecla 2. Entrar com o mdulo A e o ngulo , separados pelo smbolo de vrgula, e fechar parnteses direita. < >

3. Obteno da parte real (Re) digitar a tecla 4. Obteno da parte imaginria (Im) digitar

Operaes com nmeros complexos Estas calculadoras no permitem a operao direta com nmeros complexos.

8. CONCLUSO Atualmente, grande o nmero de marcas e modelos de calculadoras disponveis no comrcio. Diferenas em capacidade de processamento e armazenamento, caractersticas grficas avanadas e comunicao com outros dispositivos (computadores, celulares, impressoras, etc.) permitem que praticamente todas as profisses tenham modelos apropriados para suas atividades. O presente trabalho foi focado em alguns poucos modelos dentre os mais usados pelos alunos do Curso de Engenharia Agrcola da Universidade Federal de Pelotas, tendo por objetivo auxili-los no tratamento de nmeros complexos utilizados na anlise de circuitos de corrente alternada, assunto que integra o contedo programtico da disciplina Eletrotcnica Geral. No entanto, sua utilidade no precisa se limitar a este tipo de estudante,

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podendo ser estendida a qualquer pessoa que, por interesse ou necessidade, precise lidar com nmeros complexos. A pequena abrangncia relativamente ao nmero de modelos abordados tambm no acarreta, em nosso parecer, diminuio da utilidade deste trabalho, uma vez que a maioria dos modelos disponveis no comrcio e mesmo outros que ainda venham a ser lanados tem operao semelhante a algum dos exemplos aqui abordados.

9. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 1. CALCULADORAS HP. Disponvel em http://www.hp.com/latam/br/produtos/ calculadoras/. Acesso em 26 Mar 2008. 2. CASIO USA. Disponvel em http://www.casio.com/home/. Acesso em 26 Mar 2008. 3. DATAMATH CALCULATOR MUSEUM. Disponvel em http://www.datamath. org/. Acesso em 25 Mar 2008. 4. FACULDADE DE CINCIAS DA UNIVERSIDADE DE LISBOA. Os Nmeros Complexos. Disponvel em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm25/. Acesso em 25 Mar 2008. 5. MUSEU DAS CALCULADORAS. Disponvel em http://museu.boselli.com.br/. Acesso em 26 Mar 2008. 6. NEVES, E. G. C. Eletrotcnica Geral. 2. Ed. Pelotas, Ed. Universitria. UFPel. 2004. 7. SHARP SCIENTIFIC CALCULATORS. Disponvel em http://www.sharpworld.com/products/calculator/index.html. Acesso em 26 Mar 2008. 8. THE MUSEUM OF HP CALCULATORS. Disponvel em http://www.hpmuseum. org/. Acesso em 25 Mar 2008. 9. WIKIPEDIA, The Free Encyclopedia. Complex Numbers. Disponvel em http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Complex_number&oldid=199249251. Acesso em 25 Mar 2008.

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