Calculadoras gráficas no ensino: a modelação no seu melhor - a simplicidade.

8/7/2019 Calculadoras grficas no ensino: a modelao no seu melhor - a simplicidade.

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Calculadoras graficas no ensino:

a modelacao no seu melhor a simplicidade

trabalho desenvolvido para accao

T3 - Modelacao matematica

Centro de Formacao da APM

Escola Secundaria Jaime Magalhaes Lima

Maio de 1999

1 Sobre as funcoes no ensino secundario

As funcoes reais de variavel real assumem um papel importante na formacaosecundaria em Matematica, reconhecido consensualmente, e os tipos de funcoesescolhidos, no programa do ensino secundario, constituem modelos matematicos

para situacoes que exigem conhecimentos basicos de varios ramos de saber, oque serve para garantir o estabelecimento de conexoes significativas, interna-mente a Matematica, mas tambem com outras ciencias. As funcoes aparecemcomo modelos ajustados a dependencias entre listas de numeros que podemser obtidos como medidas realizadas no decurso de alguma situacao expe-rimental que se observe. E, por isso, relevante que os estudantes estudemas funcoes do ponto de vista numerico, usando tabelas, confirmem a uti-lidade e superioridade do trabalho algebrico/analtico e compreendam aimportancia dos graficos para a informacao e para a tomada de decis oes.A complementaridade das diversas abordagens e tambem motivo para dar

conta das limitacoes de cada uma delas.

1.1 E mais uma razao para introduzir a tecnologia grafica

Este grande tema das funcoes reais de variavel real suscitou e justificou ple-namente a opcao pelo ajustamento do ensino da matematica ao avanco da

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tecnologia de calculo cientfico com capacidades graficas. As perspectivas

para o estudo das funcoes no secundario casaram-se com as calculadorasgraficas que, entretanto, tinham aparecido no mercado. O programa ja previae recomendava a utilizacao de computadores e obrigava a utilizacao de cal-culadoras cientficas. O a justamento vem adequar-se a evolucao tecnologicano domnio da electronica e da informatica entretanto sofrida. Por um lado,tornou-se possvel apontar a utilizacao de ferramentas cientficas (programasde computadores) tao potentes quanto amigaveis e, por outro, as calculado-ras apareceram com capacidades graficas muito interessantes, sem perderemas capacidades de calculo, a portabilidade e o preco acessvel.

1.2 Das sucessivas abordagens

Mas se, numa primeira abordagem, as calculadoras graficas apareceram comouma extensao da mao que desenha rapidamente e permite ilustrar o estudoalgebrico/analtico, a sua introducao foi promovendo alteracoes cada vezmais profundas ao nvel dos metodos de ensino quando obriga ao trabalhomatematico sem subentendidos e obriga professores e alunos a uma pesquisasistematica sobre os mais variados aspectos, desde a definicao dos rectangulosde visualizacao mais convenientes para obter representacoes masi esclarece-doras, a uma ligacao mais sistematica entre o estudo numerico (tabelas), o

grafico (graph e trace) e o analtico (editor de funcoes, e com papel e lapis).As calculadoras obrigam tambem a uma vigilancia crtica constante, dadasas suas limitacoes tanto de calculo como de representacao grafica. Estasalteracoes, particularmente a ultima, aparecem naturalmente na pratica decontinuado recurso as calculadoras e constituem-se em importantes contrib-utos para verdadeiras aprendizagens matematicas.

2 Intencoes possibilistas

Neste estudo, nao nos preocupamos tanto em apresentar problemas novos,mas antes apresentar exemplos simples que possam ser utilizados por todos osprofessores, algumas vezes na leccionacao do ciclo. Consideramos da maximaimportancia fornecer elementos de trabalho, viaveis mesmo nas condicoesmais adversas, que permitam as apropriacoes de que falamos quando falamosdo uso da tecnologia grafica (para alem da mao que desenha).

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2.1 Exemplo para provar a vantagem do uso da calculadora grafica

na matematica que se faz para se aprender matematica

Comecamos por apresentar um exemplo de actividade simples que serve parademonstrar a utilidade da matematica.

2.1.1 Exemplo de situacao:

Um terreno com a forma de um canto (triangulo rectangulo) e licenciado paraconstrucao de um edifcio rectangular, sendo o terreno restante obrigatoria-mente zona verde. O investidor manda investigar quais sao as dimensoes earea maxima que o edifcio pode ter.

Esta situacao pode ser adaptada a qualquer area de intervencao disponvel na

cidade, com esta ou outra forma

Descrevemos, em seguida, os passos do trabalho, que podem transformar-seem elementos constituintes de uma ficha de trabalho:

1. Os estudantes podem recolher todos os dados no terreno, com o auxlioda fita metrica, ou podem e devem ser incentivados a escolher e recolherno terreno, so os dados fundamentais e a fazer o resto da recolha dosdados em ambiente de gabinete - usando cartas do terreno (papel e

lapis ou computador) e escalas.2. Vamos entao supor que os estudantes escolhem (bem) os dados abso-

lutamente necessarios. Para o nosso exemplo, sao precisas e bastamduas: as medidas dos lados do cruzamento rectangular - 600 e 800 m.Porque sao suficientes estes dados?

3. No gabinete (sala de estudo, sala de aula), os alunos desenham umtriangulo rectangulo 6 por 8 cm (que escala?) e experimentam desenharvarios rectangulos com os vertices sobre os lados do canto, dos quaisvao medindo uma das dimensoes que registam numa folha de papel.

(Que significados praticos atribuir a esta dimensao?) Esta dimensao ebastante para definir uma unica posicao do edifcio, no canto ou areade intervencao, bem como para calcular todas as restantes medidasinteressantes - desde a outra dimensao do rectangulo ate aos tamanhosarea do edifcio, passando pelos seus cercados (permetro), dimensoes,permetro e area das zonas verdes correspondentes. (Fazer perguntas

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A B

C

F E

D

m AB = 6.00 cm

m BC = 8.01 cm

2.07 10.85

3.18 11.96

4.20 10.07

4.95 6.91

5.46 3.92

1.33 8.28

0.72 5.09

2.53 11.72

Area(Polygon DBEF)Length(Segment DB)

com o objectivo de averiguar se os estudantes percebem que basta uma

dimensao. Levar a calcular as outras dimensoes ou a area)

4. Apresentam-se um exemplo de figura, as medicoes correspondentes aessa figura, bem como as respectivas medidas das areas do edifcio.Juntamos medidas relativas a outros rectangulos inscritos no canto

.

Figura 1

5. Se queremos estudar a dependencia entre a area e a largura, DB, come-cemos por passar as medidas feitas a DB para uma lista L1 na calcu-ladora e as areas correspondentes noutra lista L2:

STAT EDIT

Figura 2

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6. Activemos o grafico dos pontos (L1, L2):

2nd Y= ou STAT PLOT

STAT EDIT , depois ZOOM ZoomStat e finalmente GRAPH

Figura 3

Assim obtemos o grafico (L1, L2). Se utilizarmos o TRACE , podemospercorrer a informacao que resulta das medicoes e calculos efectuados.

Podemos tentar encontrar um grafico da funcao (modelo matematico)cujo grafico melhor se ajusta a nuvem de pontos (L1, L2).

STAT CALC 5:QuadReg QuadReg e acrescentamos 2nd 1

que e o mesmo que L1 ,

depois , L2 VARS Y-VARS 1:Function 1:Y1

Deste modo, determinamos a expressao da quadratica que melhor se

ajusta a nuvem de pontos, editando a funcao em 1:Y1 e mostrando o

grafico com GRAPH

Figura 4

Podemos experimentar (com a TI83) ajustar qualquer dos tipos de funcoes

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que se aprendem no ensino secundario. Alias, devemos pedir ao aluno que

escolha entre varias alternativas

7. Com o TRACE , podemos ver como o modelo matematico enriquecea informacao que tnhamos a partir da observacao. Este trabalho deveser feito em algum momento do ciclo e, de preferencia cedo, para queo aluno aproprie a vantagem de fazer matematica. Com a nova in-formacao, podemos agora prever, se ha um bom ajustamento, o quese passa em pontos intermedios entre valores provenientes das medidasexecutadas e podemos prever qual sera o maximo. Podemos ainda uti-lizar varias capacidades da maquina para calcular valores aproximados

do maximo, assim como podemos e devemos acompanhar e controlarnumericamente com a utilizacao de TABLE . E extremamente impor-tante tambem que o aluno reconheca expressoes de funcoes realistas(no sentido de que sao modelos calculados para interpretar aspectos darealidade numa dada situacao porblematica) como a que obtivemos em

Y= .

8. Finalmente, o aluno deve poder discutir a adequacao de diversos mod-elos ao situacao em que pretende intervir e, voltando a sua carta de in-tervencao, determinar as suas expressoes algebricas e fazer os calculos.

Este trabalho permite ao aluno apropriar uma graduacao de utili-dade e rigor para os diversos metodos matematicos. Assim a calcu-ladora surge como ferramenta de prova para a necessidade do trabalhoalgebrico.

9. Qual o modelo de funcao que explicaria a dependencia entre o tamanhodo cercado e aquela dimensao do rectangulo?

2.2 O que vem depois: a simplicidade dos instrumentos que per-

mitem verdadeiras aplicacoes e as conexoes com as outrasciencias

E mais: aquilo que nao tinha sido possvel disseminar como praticavel uti-lizando sensores e computadores, torna-se agora viavel usando pequenos ins-trumentos electronicos de medida que se aproximam das capacidades que

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quotidianamente sao postas em evidencia na vida pratica: Os alunos po-

dem perceber como e que sao recolhidos automaticamente dados numa dadasituacao em estudo e como e que eles sao transformados em listas de numeros,graficos, etc, realizando, por essa via, uma aproximacao a matematica que seutiliza, mesmo que sem plena consciencia dos agentes, em todos os sectoresda vida social e profissional. A calculadora grafica veio introduzir a possibil-idade e a necessidade de se realizarem verdadeiras actividades de modelacao,induz o trabalho de grupo e entre diversos grupos disciplinares no sentidode proporcionar aprendizagens matematicas pelas aplicacoes, da sentido eutilidade ao estudo da matematica. Nao so torna possveis, no ensino e naaprendizagem, a compreensao efectiva de conexoes entre diversos ramos do

saber, como estabelece novas conexoes entre temas da matematica por ex-emplo, entre a geometria, as funcoes e a estatstica. As conexoes com outrasciencias esclarece, para os alunos, a utilidade da matematica.

2.2.1 Usando o CBR

Com o CBR podemos medir distancias a obstaculos. O que interessa e que oaluno faca a ponte entre a vida pratica e a matematica que as pessoas normaisusam (mesmo quando nao pensam nisso). Na vida real, todas as pessoassabem que ha aparelhos electronicos que recolhem dados (medidas) que saoguardados sob a forma de listas de numeros e sao tratados por programas

numa garagem, para alinhamento de direccoes de veculos; num hospital,para acompanhar a evolucao de um estado de doenca, etc. E toda a gente javiu como os tecnicos desses servicos vao tomando decisoes a partir das listasde numeros ou a partir de graficos.O CBR ligado a uma qualquer TI, e uma boa ponte para explicar essasactividades e para provar a matematica envolvida.

1. Podem e devem ser apresentadas situacoes de utilizacao do CBR, quantomais nao seja para o que foi dito atras, isto e, para colocar o estudantenuma situacao proxima do real palpavel com a matematica adequada.

Como o CBR introduz o programa na calculadora, o aluno deve efectuaros procedimentos normais similares aos de qualquer profissional queliga e preapra as maquinas e selecciona o programa adequado a tarefaque vai efectuar. Usando LINK RECEIVE prepara a calculadoraem que vai registar os dados recolhidos e os gr aficos associados que

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podera consultar para tomar decisoes. No CBR, deve escolher o tipo

de maquina que lhe ligou.

2. Nas primeiras vezes, a situacao a viver pelos alunos tem a ver com acompreensao e a fiabilizacao dos dados obtidos pela recolha electronica(CBR). O mesmo sera feito por qualquer profissional que verifica obom funcionamento das maquinas que utiliza. Por exemplo, colocaro CBR orientado para um obstaculo fixo e a uma distancia conhecida.Os alunos devem prever qual o tipo de grafico (t, d(t)) que se obtem.Assim como devem, logo que possvel, ser chamados a prever qual o tipode grafico que obtem se pretenderem estudar a variacao das distanciasno decurso do tempo em que foram efectuadas as medicoes. No nossoentender, este tipo de intervencao pode ser feita desde o incio do estudodas funcoes.

3. O aluno deve depois prever quais os tipos de graficos que obtem quandodesloca o CBR, a passo normal, em relacao a um obstaculo. Esta dis-cussao permite estabelecer se o aluno percebe e interpreta bem o tra-balho grafico (e a sua ligacao as observacoes efectuadas), como iniciabem os conceitos de declive e de taxa de variacao, bem como os seussignificados geometrico e fsico.

Tambem se devem apresentar situacoes que permitam verificar que o

aluno pode, a partir do grafico, reconstruir o que se passou o quese constitui tambem em grande utilidade da matematica para a vidapratica. Se nos tivermos dados recolhidos e tratados, podemos recon-struir, pelo menos em parte, o desenrolar de alguns acontecimentos.

4. Estas simples actividades sao de importancia capital para aumentara compreensao e para iniciar os estudantes na importancia e utili-dade do estudo da matematica. Devem ser inicialmente feitas comsituacoes muito simples, acompanhadas de explicacoes ou exemplos deactividades profissionais (pratica cientfica). Se isto for feito desde oprincpio, e com simplicidade, o aluno pode compreender, a partir dediversas situacoes, os diversos modelos matematicos que lhe vao sendopropostos para estudo, bem como compreender os conceitos em estudo em particular a taxa de variacao.

5. Ha fichas de trabalho (actividades ja exploradas) ja publicadas sobretodas estas questoes em manuais. Apresentaremos neste estudo, uma

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ficha de actividades introdutoria ao uso do CBR.

Concluindo:O CBR permite conexoes, ao mesmo tempo simples e potentes, com a Fsica,bem como a clara atribuicao de papeis a matematica que se aprende. In-teressa o CBR, ainda mais, quando pensamos que ele nao exige quaisquerformacao ou condicoes especiais para o seu uso e quando a Fsica utilizadaem situacoes do tipo das descritas e basica e da formacao basica de todos osprofessores de Matematica.

3 Referencias

1 Bower et all; Explorations Math and Science in motion: activities formiddle school; TI; 1997

2 Antinone et all; Explorations Modeling motion: High School Mathactivities with CBR; TI; 1997

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