Calculo 02

Cálculo II

São Cristóvão/SE2009

Samuel da Cruz Canevari

Projeto Gráfico e CapaHermeson Alves de Menezes

Elaboração de ConteúdoSamuel da Cruz Canevari

Canevari, Samuel da Cruz.C221c Cálculo II / Samuel da Cruz Canevari -- São

Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD,2009.

1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.

CDU 517.2/.3

Copyright © 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e grava-da por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem aprévia autorização por escrito da UFS.

FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

Cálculo II

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Chefe de GabineteEdnalva FreireCaetano

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Vice-ReitorAngelo Roberto Antoniolli

NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICOHermeson Menezes (Coordenador)Jean Fábio B. Cerqueira (Coordenador)Baruch Blumberg Carvalho de MatosChristianne de Menezes GallyEdvar Freire CaetanoFabíola Oliveira Criscuolo MeloGerri Sherlock AraújoIsabela Pinheiro Ewerton

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Diretoria PedagógicaClotildes Farias (Diretora)Hérica dos Santos Matos

Diretoria Administrativa e FinanceiraEdélzio Alves Costa Júnior (Diretor)

Núcleo de TutoriaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)Carla Darlem Silva dos ReisAmanda Maíra SteinbachLuís Carlos Silva LimaRafael de Jesus Santana

Núcleo de Tecnologia daInformaçãoFábio Alves (Coordenador)André Santos SabâniaDaniel SIlva CurvelloGustavo Almeida MeloJoão Eduardo Batista de Deus AnselmoHeribaldo Machado JuniorLuana Farias OliveiraRafael Silva Curvello

Núcleo de Formação ContinuadaAndrezza Maynard (Coordenadora)

Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy

Núcleo de Serviços Gráficos eAudiovisuaisGiselda Barros

Sumário

Aula 1: Integrais Impróprias 7

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Extremos de Integração Infinitos . . . . . . . . . . 8

1.3 Integrais Impróprias com descontinuidades . . . . . 11

1.4 Convergência de Integrais Impróprias . . . . . . . . 14

1.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Aula 2: Seqüências de Números Reais 19

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Seqüências e Subseqüências . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Seqüências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Seqüências Monótonas e Seqüência Limitadas . . . 29

2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


2.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Aula 3: Séries de Números Reais 37

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


3.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Aula 4: Séries de Potências 59

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Representação de Funções . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


4.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Aula 5: Métodos de Representação de Funções em

Séries de Potências 73

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 Diferenciação e Integração . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Séries de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . 76

5.4 Séries Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


5.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Aula 6: Equações Paramétricas 91

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.3 Cálculo com Curvas Paramétricas . . . . . . . . . . 95

6.3.1 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3.2 Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . 101

6.3.4 Área de Superfície . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


6.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Aula 7: Curvas Polares 107

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3 Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4 Tangentes as Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . 114

7.5 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares . . 116

7.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


7.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Aula 8: Funções com Valores Vetoriais 123

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.2 Definições e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . 124

8.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.4 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


8.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Aula 9: Curvas Espaciais 133

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.2 Movimentos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.3 Movimento no espaço: Velocidade e Aceleração . . 142

9.4 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147


9.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Aula 10: Funções de Varias Variáveis Reais a Valores

Reais 151

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.2 Noções Topológicas no R2 . . . . . . . . . . . . . . 152

10.3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.4 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.5 Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


10.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Aula 11: Limites, Continuidade e Derivadas Parciais 173

11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

11.4 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11.5 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . 187

11.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

11.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191


11.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Aula 12: Funções Diferenciáveis 195

12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

12.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

12.3 Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . 204

12.4 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

12.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


12.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Aula 13: Regra da Cadeia e Derivação Implícita 215

13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

13.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

13.3 Derivação de funções definidas implicitamente . . . 218

13.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

13.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223


13.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Aula 14: Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 225

14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.2 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.3 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

14.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

14.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235


14.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Aula 15: Máximos e Mínimos 239

15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

15.2 Pontos de Máximo e Pontos de Mínimo . . . . . . 240

15.3 Máximos e Mínimos sobre Conjuntos Compactos . 246

15.4 Máximos e Mínimos Condicionados . . . . . . . . . 250

15.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

15.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258


15.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

1AULA

1LIVRO

Integrais Impróprias

META

Apresentar os conceitos e pro-

priedades de integrais com extremos

de integrações infinitos e integrais

de funções com descontinuidade.

OBJETIVOS

Calcular áreas de regiões não limi-

tadas.

PRÉ-REQUISITOS

Conceitos de funções reais, funções

contínuas e o Teorema Fundamental

do Cálculo.


1.1 Introdução

Caros alunos, estamos iniciando o curso de Cálculo II. Neste curso,

faremos uso de bastantes conceitos e resultados vistos no curso de

Cálculo I. Esta primeira aula tem por objetivo estender o Teorema

Fundamental do Cálculo (TFC) e definir as Integrais Impróprias.

No TFC, os limites de integração, a e b em∫ b

af(x)dx, são

números reais e f uma função contínua no intervalo [a, b]. Pode

acontecer que, ao aplicarmos estes conceitos, seja preciso ou con-

veniente considerar os casos em que a = −∞, b = +∞, ou f seja

descontínua em um ou mais pontos do intervalo. Nestas condições,

é preciso ampliar conceito de integral e as técnicas de integração,

de modo a incluir estes casos adicionais. Estas integrais, em que

a = −∞, b = +∞ ou f é descontínua em [a, b], são chamadas Inte-

grais Impróprias. Nem sempre uma integral deste tipo representa

um número real, isto é, nem sempre uma integral imprópria ex-

iste. Quando ela existe, seu valor é calculado levando-se em conta

a generalização do conceito de integral definida.

1.2 Integrais Impróprias com Extremos de

Integração Infinitos

Exemplo 1.2.1. Consideremos o problema de encontrar área da

região limitada pela curva y = ex , pelo eixo−y e pela reta x =

b > 0 como mostra a Figura 1.1 abaixo.

Se A unidades de área for a área da região, então

A =∫ b

0e−xdx = −e−x

∣∣b0

= 1− e−b = 1− 1eb.

8

Livro de Cálculo II

1AULA

Figura 1.1: Área

Se deixarmos b crescer sem limitações, então

limb→∞

∫ b

0e−xdx = lim

b→∞(1− 1

eb) = 1. (1.1)

Segue da equação (1.1) que não importa quão grande seja o

valor de b, a área da região será sempre menor do que 1 unidades

de área.

A equação (1.1) estabelece que se b > 0 para todo ε > 0 existe

um N > 0 tal que

se b > N então |∫ b

0e−xdx− 1| < ε.

Em lugar de (1.1) escrevemos∫ ∞

0e−xdx = 1. Em geral temos

as seguintes definições:

Definição 1.1. (i) Se f for contínua para todo x ≥ a, então∫ ∞a

f(x)dx = limb→∞

∫ b

af(x)dx

se esse limite existir;

(ii) Se f for contínua para todo x ≤ b, então∫ b

−∞f(x)dx = lim

a→−∞

∫ b

af(x)dx

9



(i) Se f for contínua para todos valores de x e c for um número

real qualquer, então∫ ∞−∞

f(x)dx = lima→−∞

∫ 0

af(x)dx+ lim

b→+∞

∫ b

0f(x)dx


Na definição acima, se o limite existir, diremos que a integral

imprópria é convergente, caso caso contrário, diremos que é diver-

gente.

Exemplo 1.2.2. Calcule a integral, se ela convergir:∫ 2

−∞

dx

(4− x)2.

(Ver Figura 1.2)

Figura 1.2: Área com extremo inferior indefinido.

Resolução:∫ 2

−∞

dx

(4− x)2= lim

a→−∞

∫ 2

a

dx

(4− x)2

= lima→−∞

[1

4− x

]2

a

= lima→−∞

(12− 1

4− a) =

12.

Exemplo 1.2.3. Estude a convergência da integral:∫ +∞

0xe−xdx.

10


1AULA

Resolução: ∫ +∞

0xe−xdx = lim

a→+∞

∫ a

0xe−xdx

Para calcular essa integral, usaremos integração por partes com

u = x, dv = e−x, du = dx e v = −e−x. Assim,∫ +∞

0xe−xdx = lim

a→+∞

[−xe−x − e−x

]a0

= lima→+∞

(−ae−a − e−a + 1)

= − lima→+∞

a

ea− 0 + 1.

Aplicando a regra de L’Hospital temos que

lima→+∞

a

ea= lim

a→+∞

1ea

= 0

e portanto ∫ +∞

0xe−xdx = 1.

1.3 Integrais Impróprias com descontinuidades

Exemplo 1.3.1. Suponha que queremos obter a área da região

do plano limitada pela curva cuja equação é y =1√x, pelo eixo-x,

pelo eixo-y e pela reta x = 4. Conforme ilustrado na Figura 1.3

abaixo:

Se for possível ter um número que represente a medida da área

dessa região, ele será obtido pela integral∫ 4

0

1√x.

Entretanto, o integrando é descontínuo no extremo inferior zero.

Além disso, limx→+∞

1√x

= +∞, assim dizemos que o integrando tem

11


Figura 1.3: Área com descontinuidade no extremo inferior de inte-

gração

uma descontinuidade infinita no extremo inferior. Essa integral é

imprópria e sua existência pode ser determinada da seguinte forma:∫ 4

0

1√x

= limt→0+

∫ 4

t

1√x

= limt→0+

(2√x∣∣4t) = lim

t→0+(4− 2

√t) = 4

logo 4 será a medida da área da região dada.

Mais geralmente temos a seguinte definição:

Definição 1.2. (i) Se f for contínua para todo x do intervalo

semi-aberto à esquerda (a, b], e se limx−→a+

f(x) = ±∞, então

∫ b

af(x)dx = lim

t→a+

∫ b

tf(x)dx


(ii) Se f for contínua para todo x do intervalo semi-aberto à direita

[a, b), e se limx−→b−

f(x) = ±∞, então

∫ b

af(x)dx = lim

t→b−

∫ t

af(x)dx


(iii) Se f for contínua para todos valores de x no intervalo [a, b]

12


1AULA

exceto c, onde a < c < b e se limx−→c

|f(x)| = +∞, então

∫ b

af(x)dx = lim

t→c−

∫ t

af(x)dx+ lim

s→c+

∫ b

sf(x)dx


Exemplo 1.3.2. Calcule a integral, se ela for convergente:∫ 2

0

dx

(x− 1)2.

Resolução:

O integrando tem uma descontinuidade infinita em 1, ou seja,

limx−→1

dx

(x− 1)2= +∞, portanto, pela definição que acabamos de

estabelecer, temos∫ 2

0

dx

(x− 1)2= lim

t→1−

∫ t

0

dx

(x− 1)2dx+ lim

s→1+

∫ 2

s

dx

(x− 1)2dx

= limt→1−

(− 1x− 1

)|t0 + lims→1+

(− 1x− 1

)|2s

= limt→1−

(− 1t− 1

− 1) + lims→1+

(1

s− 1− 1)

Como nenhum desses limites existe, a integral imprópria é diver-

gente.

Se no exemplo anterior não tivéssemos notado a descontinuidade

do integrando em 1, teríamos∫ 2

0

dx

(x− 1)2= (− 1

x− 1)|20 = −2.

Esse resultado é obviamente incorreto, uma vez que1

(x− 1)2nunca

é negativo.

Exemplo 1.3.3. Calcule a integral, se ela existir:∫ 1

0x ln xdx.

Resolução:

O integrando tem uma descontinuidade no extremo inferior. Por-

tanto, escrevemos∫ 1

0x ln xdx = lim

t−→0+

∫ 1

tx ln xdx

13


Para calcular essa integral, usaremos integração por partes com

u = ln x, dv = xdx, du = 1xdx e v = x2

2 . Assim,∫ 1

0x ln xdx = lim

t−→0+

∫ 1

tx ln xdx = lim

t−→0+(12x2 ln x− 1

4x)|1t

= limt−→0+

(12ln(1)− 1

4− 1

2t2ln(t) +

14t)

= −14− 1

2lim

t−→0+t2ln(t).

Note que limt−→0+

t2ln(t) é uma indeterminação to tipo 0.(−∞). Para

calcular esse limite, usaremos L’Hospital,

limt−→0+

t2ln(t) = limt−→0+

ln(t)1t2

= limt−→0+

1t

− 2t3

= limt−→0+

− t2

2= 0.

Logo, ∫ 1

0x ln xdx = −1

4.

1.4 Convergência e Divergência de Integrais

Impróprias: Critério de Comparação

Algumas vezes é impossível encontrar o valor exato de uma in-

tegral imprópria, mais ainda assim é importante saber se ela é

convergente ou divergente. Em tais casos o critério de comparação

é útil.

Observamos, inicialmente, que se f for integrável em [a, t], para

todo t > a, e se f(x) ≥ 0 em [0,+∞), então a função

F (x) =∫ x

af(t)dt, x ≥ a

será crescente em [0,+∞). De fato, se x1 e x2 são dois valores reais

quaisquer, com 0 ≤ x1 < x2 então

F (x2)− F (x1) =∫ x2

af(t)dt−

∫ x1

af(t)dt =

∫ x2

x1

f(t)dt ≥ 0.

14


1AULA

Segue que, limx−→∞

∫ x

af(t)dt ou será finito ou +∞; será finito e

existir M ≥ a tal que∫ x

af(t)dt ≤M para todo x ≥ a.

Critério da Comparação: Sejam f e g duas funções integráveis

em [a, t], para todo t > a, e tais que, para todo x ≥ a, 0 ≤ f(x) ≤

g(x). Então

a)∫ +∞

ag(x)dx converge =⇒

∫ +∞

af(x)dx converge.

b)∫ +∞

af(x)dx diverge =⇒

∫ +∞

ag(x)dx diverge.

Demostração:

a) limt−→+∞

∫ +∞

ag(x)dx é finito, pois por hipótese,

∫ +∞

ag(x)dx é

convergente. De 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo x ≥ a, resulta∫ t

af(x)dx ≤

∫ t

ag(x)dx ≤

∫ +∞

ag(x)dx.

Sendo F (t) =∫ ta f(x)dx crescente e limitada, resulta que lim

t−→+∞

∫ t

af(x)dx

será finito e, portanto,∫ +∞

af(x)dx será convergente.

b) análoga. tu

Exemplo 1.4.1. Verifique que∫ +∞

0e−xsen2xdx é convergente.

Resolução:

Note que,

0 ≤ e−xsen2x ≤ e−x, para todo x ≥ 0

e mais∫ +∞

0e−xdx = lim

t−→∞

∫ t

0e−xdx = lim

t−→∞(e−t + 1) = 1,

15


logo,∫ +∞

0e−xdx é convergente. Segue do critério de comparação

que∫ +∞

0e−xsen2xdx é convergente e, além disso,

∫ +∞

0e−xsen2xdx ≤

1.

Exemplo 1.4.2. Verifique que a integral imprópria∫ +∞

1

x3

x4 + 3dx

é divergente.

Resolução:

Note quemx3

x4 + 3=

1x· x2

1 + 3x4

.

Para todo x ≥ 1,x2

1 + 3x4

≥ 14, e, portanto,

x3

x4 + 3≥ 1

4x> 0.

De∫ +∞

0

14xdx = +∞, segue, pelo critério de comparação, que∫ +∞

1

x3

x4 + 3dx é divergente.

1.5 Resumo

Nesta aula, você aprendeu calcular a∫ b

af(x)dx onde a = −∞ e

b = +∞; ou f é descontínua em um ou mais pontos do intervalo

[a, b]. Esta ferramenta será bastante útil nas próximas aulas, onde

estudaremos convergências de séries numéricas.

1.6 Atividades

01. Estude a convergência das integrais a seguir:

(a)∫ +∞

−∞xe−xdx (c)

∫ +∞

−∞xe−x

2dx (e)

∫ +∞

1

ln x

xdx

16


1AULA(b)

∫ +∞

1

1xdx (d)

∫ +∞

1

1x2

(f)∫ +∞

−∞xdx

02. Calcule as seguintes integrais, se existirem:

(a)∫ 1

0

1√xdx (c)

∫ 1

0ln x dx (e)

∫ 2

−1

14− x2

dx

(b)∫ 1

0

1xdx (d)

∫ 3

1

x2

√x3 − 1

(f)∫ π

4

0

cos x√sen x

dx

03. Suponha f integrável em [a, t), para todo t ≥ a. Prove que se∫ +∞

0|f(x)|dx é convergente, então

∫ +∞

0f(x)dx também é con-

vergente. (Sugestão: use que 0 ≤ |f(x)| + f(x) ≤ 2|f(x)| e que

f(x) = |f(x)|+ f(x)− |f(x)|)

04. Usando o exercício 03., prove que a integral∫ +∞

0e−xsen3xdx

é convergente.

05. A integral∫ +∞

1

sen x

xdx é convergente ou divergente? Justi-

fique sua resposta.

1.7 Comentário das Atividades

A atividade 01. é para você (aluno) praticar os conceitos vistos na

Seção 1.2. Se você conseguiu resolver todos os ítens desta ativi-

dade, então você aprendeu a calcular integrais impróprias com ex-

tremos de integração infinitos.

A atividade 02. é referente a Seção 1.3. Conseguiu resolver to-

dos os ítens desta atividade? Que bom!!! Você aprendeu a calcular

17


integrais impróprias com descontinuidades.

Nas atividades 03., 04. e 05. devem usar os resultados vistos na

Seção 1.4. Tais resultados são muito úteis no cálculo de integrais

impróprias.

1.8 Referências

• GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 2).

Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.

• STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Pioneira

Thomson Learning, 2006.

• THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Addison

Wesley, 2002.

18

2AULA

1LIVRO

Seqüências deNúmeros Reais

META

Estudar seqüências de números

reais.

OBJETIVOS

Estudar a convergência de seqüên-

cias numéricas infinita.

PRÉ-REQUISITOS

Funções Reais, Limites, Derivadas,

Integrais de funções reais e a Aula

01.

Seqüências de Números Reais

2.1 Introdução

Nesta aula estudaremos as seqüências numéricas infinitas. Tais

seqüências pode ser pensadas como uma lista de números escritos

em uma ordem definida:

x1, x2, x3, · · · , xn, · · ·

O principal objetivo desta aula, é estudar a convergência de tais

seqüências, em outras palavras, queremos calcular o limite dessas

seqüências quando n tende ao infinito.

2.2 Seqüências e Subseqüências

Definição 2.3. Uma seqüência de números reais é uma função

x : N −→ R para a qual denotamos o valor de x em n por xn em

vez de x(n).

Geralmente usamos a notação (xn)n∈N para representar a se-

qüência x : N −→ R. Às vezes a notaremos também por

(x1, x2, . . . , xn, . . .).

Dizemos que xn é o termo de ordem n ou que xn é o n-ésimo termo

da seqüência.

Quando quisermos explicitar que a imagem da seqüência (xn)n∈N

está contida em A ⊂ R escrevemos (xn)n∈N ⊂ A.

Exemplo 2.2.1. Seja a ∈ R e tomemos xn = a para todo n ∈ N.

A seqüência (xn)n∈N é constante.

Exemplo 2.2.2. Seja a seqüência (xn)n∈N = 2n. Temos

x0 = 20, x1 = 21, x2 = 22, . . .

20


2AULAExemplo 2.2.3. Seja a seqüência (sn)n∈N =

(n∑k=1

k

)n∈N

Temos

s1 = 1, s2 = 1 + 2, s3 = 1 + 2 + 3, . . .

Exemplo 2.2.4. Seja a seqüência (sn)n∈N =

(n∑k=1

1k

)n∈N

. Temos

s1 = 1, s2 = 1 +12, s3 = 1 +

12

+13, . . .

Exemplo 2.2.5. Considere a seqüência

(sn)n∈N =

(n∑k=0

tk

)n∈N

, t 6= 0 e t 6= 1.

Vamos verificar que

sn =1− tn+1

1− t.

Solução:

Note que

sn = 1 + t+ t2 + . . .+ tn−1 + tn. (2.1)

Multiplicando ambos os membros de (2.1) por t, obtemos

tsn = t+ t2 + t3 + . . .+ tn + tn+1. (2.2)

Subtraindo membro a membro (2.1) e (2.2), teremos

sn(1− t) = 1− tn+1.

Logo

sn =1− tn+1

1− t.

Observe que sn é a soma dos termos da Progressão Geométrica

1, t, t2, t3, . . . , tn.

21


Definição 2.4. Dizemos que (yk)k∈N é uma subseqüência de (xn)n∈N

se existe uma seqüência (nk)k∈N ⊂ N com nk < nk+1, ∀k ∈ N, tal

que yk = xnk para todo k ∈ N.

Exemplo 2.2.6. Sejam a, r ∈ N. Considere a seqüência (xn)n∈N =

a + (n − 1)r, n ≥ 1. Note que a seqüência (xn)n∈N é uma Pro-

gressão Aritmética de primeiro termo a e razão r. A Progressão

Aritmética (yk)k∈N de termo inicial a e razão 2r é uma subseqüên-

cia de (xn)n∈N. De fato, tomando nk = 2k − 1 (k ∈ N) obtemos:

xnk = a+ (nk − 1)r = a+ (2k − 2)r = a+ (k − 1)(2r) = yk.

2.3 Seqüências Convergentes

Intuitivamente, uma seqüência (xn)n∈N é convergente para x se

seus termos se aproximam de x quando n cresce. Esta idéia não

está todo errada. Porém, ela pode induzir a uma idéia equivocada

de convergência. Somos tentados a dizer que (xn)n∈N converge

para x quando a distância entre xn e x diminui à medida que n

cresce. Não é bem assim. Veja a figura 2.4.

Ela Foge um pouco do assunto "seqüências de números reais"mais

ilustra bem o que queremos dizer por "se aproximar". Imagine que,

partindo do ponto A, percorremos no sentido anti-horário o cam-

inho desenhado como indicado pelas setas. Ninguém duvida, e

com razão, de que estaremos assim nos aproximando do ponto O.

Porém, a idéia de que a nossa distância ao ponto O decresce com

o tempo mostra-se errada. Convença-se disto percebendo que pas-

samos primeiro pelo ponto B antes de chegar a C e, entretanto, o

segmento BO é menor que o segmento CO. De fato, a distância a

O cresce quando percorremos o segmento BC. Podemos perceber

22


2AULA

Figura 2.4: Espiral da Convergência

que existem muitos trechos do caminho sobre os quais a distância

a O é crescente com o tempo, de modo que não existe nenhum

ponto a partir do qual a distância a O passe a ser decrescente com

o tempo.

Continuemos analisando a Figura 2.4 em busca da boa definição

de convergência. Observamos que nossa distância a O fica tão

pequena quando quisermos, bastando para isto que continuemos

andando por um tempo suficientemente longo. Por exemplo, nossa

distância a O será menor que 1 depois que passamos pelo ponto

D. Ou seja, em certo instante entramos na bola de raio 1 entrada

em O e dela não saímos mais. Da mesma forma, a partir de outro

instante (futuro) entramos na bola de raio 1/2, centrada em O, e

aí ficamos.De modo geral, dado qualquer número positivo ε, existe

um instante a partir do qual nossa distância a O será menos que ε.

Aí está a definição. Para seqüências reais ela é expressa da seguinte

maneira:

Definição 2.5. Um seqüência (xn)n∈N é dita convergente se existe

23


x ∈ R de modo que

∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥M =⇒ |xn − x| ≤ ε.

Neste caso, escrevemos xn −→ x e dizemos que x é limite da

seqüência (xn)n∈N ou que xn converge para (ou tende a) x quando

n tende a mais infinito (n −→ +∞). Se (xn)n∈N não converge,

então dizemos que ela é divergente.

Existem seqüências divergentes que possuem limite! Isto é ape-

nas um jogo de palavras. A definição seguinte diz que certas se-

qüências têm limites que não são números reais. Não diremos que

tais seqüências são convergentes.

Definição 2.6. Seja (xn)n∈N uma seqüência. Dizemos que xn

tende a mais infinito quando n tende a mais infinito ou que mais

infinito é limite da seqüência e escrevemos

xn −→ +∞ ou limn−→+∞

xn = +∞

se,

∀M ∈ R, ∃N ∈ N tal que n ≥M =⇒ xn ≥M.

Definição 2.7. Seja (xn)n∈N uma seqüência. Dizemos que xn

tende a menos infinito quando n tende a mais infinito ou que menos

infinito é limite da seqüência e escrevemos

xn −→ −∞ ou limn−→+∞

xn = −∞

se,

∀M ∈ R, ∃N ∈ N tal que n ≥M =⇒ xn ≤M.

Observamos que as definições acima são exatamente as mesmas

já vistas quando tratamos com limite de uma função f(x) quando

24


2AULA

x −→ +∞; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limites

da forma limx−→+∞

f(x) aplica-se aqui.

Exemplo 2.3.1. Seja x ∈ R e considere a seqüência dada por

xn = x para todo n ∈ N. Temos que xn −→ x. De fato, |xn−x| = 0

para todo n ∈ N. Portanto, podemos escrever

∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N =⇒ |xn − x| < ε.

Exemplo 2.3.2. Considere a seqüência dada por xn = 1n para

todo n ∈ N. Vamos mostrar que xn −→ 0. Dado ε > 0, tomemos

N ∈ N tal que N > 1ε . Temos então 0 < 1

N < ε. Mas se n ∈ N e

n ≥ N, então xn = 1n ≤

1N = xN . Logo podemos escrever

∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N =⇒ |xn − 0| < ε.

O leitor talvez conheça a notação limx−→+∞

xn = x para xn −→

x. Vamos refletir sobre ela. Por enquanto, façamos de conta que

não conhecemos a definição de limite. Suponhamos que ao abrir

um livro de Cálculo, pela primeira vez, encontremos as seguintes

inscrições:

xn −→ 0 e xn −→ 1.

Não ficaríamos chocados. Porém, se estivesse escrito

limx−→+∞

xn = 0 e limx−→+∞

xn = 1.

Seríamos levados a concluir que 0 = 1. Ora, é o sinal ” = ” que

nos leva a esta confusão. Se não tivermos a unicidade do limite,

então a notação limx−→+∞

xn = x é fortemente enganosa.

Teorema 2.1. Sejam (xn)n∈N uma seqüência e x, y ∈ R tais que

xn −→ x e xn −→ y. Então x = y.

25


Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que x 6= y. Seja ε =|x−y|

2 > 0. Como xn −→ x, existe N ∈ N tal que

n ≥ N =⇒ |xn − x| < ε.

Também temos xn −→ y. Logo existe N ′ ∈ N tal que

n ≥ N ′ =⇒ |xn − y| < ε.

Seja n o maior dos números N e N ′. Para tal n as duas conclusões

anteriores são válidas. Temos então

|x− y| ≥ |x− xn|+ |xn − y| < ε+ ε = 2ε = |x− y|.

Concluímos que |x− y| < |x− y|, o que é um absurdo.

Exemplo 2.3.3. (Teorema do Confronto) Suponha que exista um

natural n1 tal que, para todo n ≥ n1, an ≤ bn ≤ cn. Prove que se

limn−→+∞

an = L = limn−→+∞

cn

com L ∈ R, então

limn−→+∞

bn = L.

Demonstração: Como limn−→+∞

an = L = limn−→+∞

cn, dado ε > 0

existe N ∈ N que podemos supor maior que n1, tal que se n >

N =⇒

L− ε < an < L+ ε e L− ε < cn < L+ ε.

Tendo em vista a hipótese,

n > n0 =⇒ L− ε < an ≤ bn ≤ cn < L+ ε

e, portanto,

n > n0 =⇒ L− ε < bn < L+ ε,

26


2AULA

ou seja,

limn−→+∞

bn = L.

Exemplo 2.3.4. Suponha 0 < t < 1. Mostre que

limn−→∞

n∑k=0

tk =1

1− t.

Demonstração: Temos pelo Exemplo 2.2.5 que

sn =n∑k=0

tk =1− tn+1

1− t

. Logo

limn−→∞

n∑k=0

tk = limn−→∞

1− tn+1

1− t=

11− t

.

A proxima proposição nos fornece um critério para testarmos

a convergência de uma seqüência dada.

Proposição 1. Uma seqüência (xn)n∈N tende a x se, e somente

se, toda subseqüência de (xn)n∈N tende a x.

Demonstração: Suponhamos que exista x ∈ R tal que xn −→

x. Seja (yk)k∈N uma subseqüência de (xn)n∈N, isto é, yk = xnk para

alguma seqüência (nk)k∈N estritamente crescente. Mostremos que

yk −→ x. Seja ε > 0. Como xn −→ x, existe N ∈ N tal que se

n ≥ N, então |xn−x| < ε. Como (nk)k∈N é estritamente crescente,

existe K ∈ N tal que se k ≥ K, então nk ≥ N. Segue que

k ≥ K =⇒ |yk − x| < ε.

Portanto (yk)k∈N converge para x. A recíproca é imediata (basta

observar que (xn)n∈N é uma subseqüência de si mesma).

27


Exemplo 2.3.5. A seqüência (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) é diver-

gente. De fato, se ela fosse convergente, então pela proposição

anterior todas as suas subseqüências seriam convergente para o

mesmo limite. Porém, (1, 1, 1, 1, 1, . . .) e (0, 0, 0, 0, 0, . . .) são duas

de suas subseqüências sendo que a primeira converge para 1 e a

segunda para 0.

Como corolário da proposição anterior, obtemos que se xn

tende a x, então xn+2008 tende a x. Não há nada de especial

com o número 2008. Mais geralmente, fixado p ∈ N, temos que

se xn tende a x, então xn+p tende a x. É fácil perceber que a

recíproca também é válida, ou seja, se para algum p ∈ N temos

que xn+p tende a x, então xn tende a x. A importância deste fato

é o seguinte: Se conhecemos alguma propriedade que garanta a

convergência de uma seqüência e soubermos que tal propriedade

só é válida a partir do p−ésimo termo então, ainda sim, pode-

mos concluir que a seqüência é convergente. Vejamos um exemplo

esclarecedor.

Exemplo 2.3.6. Sabemos que seqüências constantes são conver-

gentes. Considere a seqüência (não constante) dada por xn =

b1000/nc, sendo bxc a função Parte Inteira de x, definida abaixo:

bxc = m se m ∈ Z e m ≤ x ≤ m+ 1.

É fácil ver que xn = 0 para todo n > 1000. Ou seja, (xn)n∈N é

constante a partir do seu milésimo-primeiro termo. Concluímos

que ela é convergente.

Teorema 2.2. Toda seqüência convergente é limitada.

Demonstração: Seja (xn)n∈N uma seqüência convergente para

x ∈ R. Tomemos ε = 1 na definição de seqüência convergente,

28


2AULA

concluímos que existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então |xn−x| < 1,

isto é, xn ∈ (x− 1, x+ 1). Tomando

a = min{x1, . . . , xN , x− 1} e b = max{x1, . . . , xN , x+ 1}

temos imediatamente que xn ∈ [a, b] para todo n ∈ N. Portanto

(xn)n∈N é limitada.

2.4 Seqüências Monótonas e Seqüência Lim-

itadas

A recíproca do Teorema 2.2 é falsa como mostra o Exemplo 2.3.5.

Porém, existem algumas recíprocas parciais que veremos nesta

seção.

Seja (xn)n∈N uma seqüência. Dizemos que tal seqüência é cres-

cente se, quaisquer que sejam m,n ∈ N,

m < n =⇒ xm ≤ xn.

Se xm ≤ xn for trocado por xm ≥ xn, então diremos que a seqüên-

cia é decrescente.

Uma seqüência é dita monótona se for crescente ou decrescente.

Dizemos que a seqüência (xn)n∈N é limitada inferiormente se

existir um número real α tal que, para xn ≥ α, ∀n ∈ N.

Dizemos que a seqüência (xn)n∈N é limitada superiormente se

existir um número real β tal que, para xn ≤ β, ∀n ∈ N.

Uma seqüência é dita limitada se for limitada inferiormente e

superiormente.

O teorema que enunciaremos, e provaremos a seguir, será muito

importante para o que segue.

29


Teorema 2.3. Se (xn)n∈N é crescente e limitada superiormente,

então xn −→ sup{xn; n ∈ N}. Da mesma forma, se (xn)n∈N é

decrescente e limitada inferiormente, então xn −→ inf{xn; n ∈ N}.

Demonstração: Vamos provar apenas a primeira parte do teo-

rema já que a segunda se demonstra de modo análogo. Seja s =

sup{xn; n ∈ N}. Dado ε > 0, tome N ∈ N tal que x− ε < xN ≤ s.

Logo, para n ≥ N, temos x − ε < xN ≤ xn ≤ s. Concluímos daí

que |xn − s| < ε.

O teorema que acabamos de provar conta-nos que para uma

seqüência crescente só há duas possibilidades: convergente ou di-

vergente para +∞. Será convergente se for limitada superiormente

e divergirá para +∞ se não for limitada superiormente.

Exemplo 2.4.1. A seqüência de termo geral sn =n∑k=1

1k2

é con-

vergente ou divergente? Justifique.

Solução: Observamos, inicialmente, que a seqüência é crescente.

De fato, qualquer que sejam os naturais m e n, com 1 ≤ m < n,

tem-se

sm =m∑k=1

1k2

e

sn =m∑k=1

1k2

+n∑

k=m+1

1k2.

Comon∑

k=m+1

1k2

> 0, resulta que sn > sm.

Vamos provar a seguir que a seqüência é limitada superior-

mente.

Temos (Veja Figura 2.5)

sn = 1 +122

+132

+ . . .+1n2≤ 1 +

∫ n

1

1x2dx

30


2AULA

Figura 2.5: Soma Inferior

Como a seqüência de termo geral∫ n

11x2 é crescente e

limn−→+∞

∫ n

1

1x2dx = lim

n−→+∞(−1n

+ 1) = 1

resulta

sn ≤ 2, ∀n ≥ 1.

Segue que a seqüência é convergente, pois é crescente e limitada

superiormente por 2.

Exemplo 2.4.2. A seqüência de termo geral sn =n∑k=1

1ké conver-

gente ou divergente? Justifique.

Solução:

Para todo n ≥ 1, (Veja Figura 2.6)

sn = 1 +12

+13

+ . . .+1n≥∫ n+1

1

1xdx

Como

limn−→+∞

∫ n+1

1

1xdx = lim

n−→+∞lnn+ 1 = +∞

resulta

limn−→+∞

sn = +∞.

31


Figura 2.6: Soma Superior

Exemplo 2.4.3. Investigue seqüência de termo geral xn definida

pela relação de recorrência:

x1 = 1, xn+1 =12

(xn + 6), ∀n > 1.

Solução: Observamos, inicialmente, que a seqüência é crescente.

De fato, usaremos indução finita:

1) se n = 1 então x1 = 2 < 4 = x2;

2) suponhamos que xk−1 < xk, ∀k ≥ 2;

3) provemos que xk < xk+1, ∀k ≥ 2 : Temos que xk−1 < xk.

Somando 6 dew ambos os lados da última desigualdade, obtemos

xk−1 +6 < xk+6. Agora, multiplicando, ambos os lados da última

desigualdade, por 12 , concluímos que 1

2(xk−1 + 6) < 12(xk + 6), ou

seja,

xk < xk+1, ∀k ≥ 2.

Vamos provar agora, usando indução finita, que a seqüência é

limitada superiormente:

1) se n = 1 então x1 = 2 < 6;

2) suponhamos que xk−1 < 6, ∀k ≥ 2;

3) Provemos que xk < 6, ∀k ≥ 2 : Temos que xk−1 < 6. Somando 6

32


2AULA

de ambos os lados da última desigualdade, obtemos xk−1 +6 < 12.

Agora, multiplicando, ambos os lados da última desigualdade, por12 , concluímos que 1

2(xk−1 + 6) < 6, ou seja,

xk < 6, ∀k ≥ 2.

Portanto, a seqüência (xn)n∈N é crescente e limitada superior-

mente, logo é convergente, digamos que para L. Aplicando o limite,

quando n tende a infinito, de ambos os lados de xn+1 = 12(xn+ 6),

temos:

limn−→+∞

xn+1 = limn−→+∞

12

(xn + 6)

=⇒ limn−→+∞

xn+1 =12

(6 + limn−→+∞

xn)

=⇒ L =12

(6 + L) =⇒ L = 6.

Finalizamos esta Aula com o seguinte:

Teorema 2.4. (Bolzano-Weierstrass) Toda seqüência limitada pos-

sui uma subseqüência convergente.

Demonstração: Sejam (xn)n∈N uma seqüência limitada. Con-

sidere o seguinte conjunto:

N = {n ∈ N; xn > xm, ∀m > n}.

Existem duas possibilidades: N é infinito ou N é finito.

1) N é infinito: Escrevamos N = {n1, n2, n3, . . .} com n1 < n2 <

n3 < . . .. Assim, se i < j então ni < nj e, como ni ∈ N, obte-

mos que xni > xnj . Concluímos que a subseqüência (xnk)k∈N é

decrescente. Sendo ela limitada obtemos, finalmente, que ela é

convergente.

2) N é finito: Como N é finito, existe n1 ∈ N \ N cota superior

33


de N. Ora, n1 /∈ N logo, existe n2 > n1 (e, portanto, n2 /∈ N) tal

que xn1 ≤ xn2 . Mas n2 /∈ N segue que existe n3 > n2 (e, portanto,

n3 /∈ N) tal que xn2 ≤ xn3 . Por indução, definimos uma subse-

qüência (xnk)k∈N que é crescente e, portanto, convergente (pois

ela é limitada).

2.5 Resumo

Vimos que uma seqüência é uma função que associa a cada número

natural um e só um número real. Deste modo, estudar seqüência

de números reais é estudar um caso particular de função real cujo

domínio é o conjunto dos números naturais.

O limite de uma seqüência é o limite do termo geral da se-

qüência, para n tendendo ao infinito. Quando este limite existe e

é finito, dizemos que a seqüência é convergente e converge para o

seu limite. Vimos, também, nesta aula, alguns principais resulta-

dos que nos auxiliam a estudar a convergência de uma seqüência

qualquer.

Na próxima aula, estudaremos um seqüência especial denomi-

nada série numérica.

2.6 Atividades

01. Liste os dez primeiros termos da seqüência:

(a) xn = 1− (0, 2)n (c) x1 = 1, xn = 2xn−1 + 1

(b) xn =(−2)n

n!(d) xn =

(−1)n−1n

n2 + 1

02. Encontre o termo geral da seqüência:

34


2AULA

(a){

12,

14,

16,

18, · · ·

}(c){

1, −23,

49, − 8

27, · · ·

}

(b){

12,

14,

18,

116, · · ·

}(d) {1, −1, 1, −1, · · · }

03. Determine se a seqüência converge ou diverge. Se ela conver-

gir, encontre seu limite:

(a) xn =n3 + 3n+ 1

4n3 + 2(e)∫ n

1

1xα, onde α ∈ R

(b) xn =√n+ 1−

√n (f) xn = nsen

1n

(c) xn =1nsen

1n

(g) xn =n∑k=0

(12

)

(d) xn =2n

3n+1(h) xn =

n∑k=1

(1k− 1k + 1

)

04. Suponha que, para todo n ≥ 1, |xn − x| ≤ 1n , onde x é um

número real fixo. Calcule limn−→+∞

xn e justifique.

05. Uma seqüência xn é dada por

x1 =√

2, xn+1 =√

2 + xn.

(a) Mostre que xn é crescente e limitada superiormente por 3.

Aplique o Teorema 2.3 para mostrar que a seqüência é convergente.

(b) Calcule limn−→+∞

xn.


Se você (aluno) conseguiu resolver as Atividades 01. e 02., então

entendeu a definição de seqüências de números reais. Viu que uma

35


seqüência nada mais é que uma função que associa a cada número

natural (denominado índice) um e só um número real.

Na Atividade 03. você utilizou (ou utilizará) as propriedades

de limites (vistas no Cálculo I) para testar a convergência das

seqüência dadas.

A Atividade 04. você utilizou (ou deve utilizar) a seguinte

propriedade de módulo de números reais:

|y−x| ≤ a⇔ −a ≤ y−x ≤ a⇔ x−a ≤ y ≤ x+a, ∀a, x, y ∈ R, a > 0.

Após utilizar essa propriedade, basta aplicar o limite para n ten-

dendo ao infinito, de ambos os lados da desigualdade resultante.

Conseguiu resolver a Atividade 05.? Ótimo!!! Você aprendeu

que toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Lembrem-se sempre que há tutores a distância e presenciais

para ajudá-los na resolução dessas atividades. Estudar em grupo

com seus colegas, pode tornar a resolução dessas atividades mais

fácil e interessante.

2.8 Referências






Wesley, 2002.

36

3AULA

1LIVRO

Séries de NúmerosReais

META

Representar funções como somas de

séries infinitas.

OBJETIVOS

Calcular somas de infinitos números

reais.

PRÉ-REQUISITOS

Seqüências (Aula 02).

Séries de Números Reais

3.1 Introdução

Estudaremos nesta aula, uma exemplo especial de seqüência. Seja

(xn)n∈N uma seqüência, a seqüência cujo termo geral é a soma

dos n primeiros termos da seqüência xn, é denominada série de

números reais (numérica).

O principal objetivo dessa aula, é estudar propriedades e a con-

vergência dessas séries. Veremos que quando uma série convergir,

digamos para S então S é a soma de infinitos números reais.

3.2 Séries Numéricas

Definição 3.8. Considere uma seqüência (xn)n∈N. Para cada n ∈

N definimos

Sn =n∑i=1

xi = x1 + x2 + . . .+ xn.

A seqüência (Sn)n∈N denomina-se série numérica associada a se-

qüência (xn)n∈N.

Os números xn, n ≥ 1, são denominados termos da série; xn é

o termo geral da série. Referir-nos-emos a

Sn =n∑i=1

xi

como soma parcial de ordem n da série.

O limite da série, quando existe (finito ou infinito), denomina-

se soma da série e é indicada por+∞∑n=1

xn. Assim

+∞∑n=1

xn = limn−→+∞

n∑i=1

xi.

38


3AULA

Se a soma for finita, diremos que a série é convergente. Se a soma

for infinita (+∞ ou −∞) ou se o limite não existir, diremos que

a série é divergente. Finalmente, dizemos que a série converge

absolutamente se a série+∞∑n=1

|xn| for convergente.

O símbolo+∞∑n=1

xn foi indicado para indicar a soma da série.

Por um abuso de notação, tal símbolo será utilizado ainda para

representar a própria série. Falaremos, então, da série+∞∑n=1

xn,

entendendo-se que se trata da série cuja soma parcial de ordem

n é Sn =n∑i=1

xi. Escreveremos com freqüência∑

xn para repre-

sentar a série+∞∑n=1

xn.

Exemplo 3.2.1. Considere a Série Geométrica+∞∑n=0

arn, onde r é

razão da série e a ∈ R∗ é uma constante denominada termo inicial

da série. Vamos estudar a convergência desta série em função dos

valores de r. Temos que

Sn = a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ arn−1 + arn.

Se r = 1, então é imediato que Sn = na. Segue que (Sn)n∈N

diverge e, portanto∑arn =

∑a diverge. Suponhamos que r 6= 1.

Multiplicando Sn por r, obtemos

rSn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + . . .+ arn + arn+1.

Agora Sn − rSn = a− arn+1 e daí

Sn = a1− rn+1

1− r.

Assim,∑arn converge se, e somente se, |r| < 1 e, neste caso,

+∞∑n=0

arn =a

1− r.

39


Exemplo 3.2.2. Considere a série+∞∑k=1

xk e suponha que xk =

yk − yk+1, k ≥ 1. (Uma tal série denomina-se série telescópica).

a) Verifique que Sn =n∑k=1

xk = y1 − yn+1.

b) Conclua que se limn−→+∞

yn = y, com b real, então a soma da série

será finita e igual a y1 − y.

Solução:

a)n∑k=1

xk = (y1 − y2) + (y2 − y3) + . . .+ (yn − yn+1) = y1 − yn+1

b)+∞∑k=1

xk = limn−→+∞

n∑k=1

xk = limn−→+∞

(y1 − yn+1) = y1 − y.

Exemplo 3.2.3. Calcule a soma+∞∑k=1

1k(k + 1)

.

Solução: Note que1

k(k + 1)=

1k

+1

k + 1. Trata-se então de

uma série telescópica. Segue do exemplo anterior que

n∑k=1

1k(k + 1)

= 1− 1n+ 1

.

Logo,n∑k=1

1k(k + 1)

= 1, pois limn−→+∞

1n+ 1

= 0.

Proposição 2. Sejam∑xn e

∑yn suas séries convergentes e

c ∈ R. Temos que

(i)∑

(xn + yn) é convergente para∑xn +

∑yn;

(ii)∑

(c · xn) é convergente para c ·∑xn.

Demonstração: A demonstração é trivial: basta aplicar as pro-

priedades de limite da soma e da multiplicação por um escalar.

Observamos que, em geral,

+∞∑n=0

(xn · yn) 6=+∞∑n=0

xn ·+∞∑n=0

yn.

40


3AULA

Passamos ao estudo da natureza de séries, isto é, estamos in-

teressados em critérios que determinam se uma série é convergente

ou divergente.

Teorema 3.5. (i)∑xn converge se, e somente se,

∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ m ≥ N =⇒

∣∣∣∣∣n∑

i=m

xi

∣∣∣∣∣ < ε.

(ii) Se∑xn converge, então xn −→ 0, quando n −→ +∞.

(iii) Toda série absolutamente convergente é convergente.

Demonstração: (i) Suponhamos que∑xn converge, isto é, a

seqüência de termo geral Sn =n∑i=1

xi é convergente, digamos que

para S. Logo, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então

|Sn − S| < ε2 . Portanto, se n ≥ m ≥ N, temos∣∣∣∣∣

n∑i=m

xi

∣∣∣∣∣ = |Sn − Sm| ≤ |Sn − S|+ |S − Sm| <ε

2+ε

2= ε.

Reciprocamente, um argumento análogo ao da demonstração do

Teorema 2.2 mostra que (Sn)n∈N é limitada (verifique). Pelo Teo-

rema de Bolzano-Weierstrass, (Sn)n∈N tem subseqüência (Snk)k∈N

convergente para o limite S. Mostremos que Sn −→ S. Seja ε > 0,

temos que existe N ∈ N tal que

n ≥ m ≥ N =⇒ |Sn − Sm| < ε. (3.1)

Como Snk −→ S, existe k ∈ N tal que nk ≥ N e |Snk − S| < ε2 .

Daí e de (3.1) segue que, se n ≥ N, então

|Sn − S| ≤ |Sn − Snk |+ |Snk − S| <ε

2+ε

2= ε.

(ii) Segue de (i), tomando n = m.

(iii)Observamos que para todo m,n ∈ N temos∣∣∣∣∣n∑

i=m

xi

∣∣∣∣∣ ≤n∑

i=m

|xi| =

∣∣∣∣∣n∑

i=m

|xi|

∣∣∣∣∣ .

41


Portanto, por (i), a convergência de∑|xn| implica a de

∑xn.

Devemos ressaltar que a recíproca do item (iii) do teorema ante-

rior, não é verdadeira, ou seja, existem séries que são convergentes

mas não são absolutamente convergentes, as séries deste tipo são

denominadas séries condicionalmente convergente. Veremos um

exemplo posteriormente.

Exemplo 3.2.4. Pelo item (ii), a condição xn −→ 0 é necessária

para a convergência da série∑xn porém ela não é suficiente. A

Série Harmonica∑ 1

né o contra exemplo mais famoso. De fato,

temos

S2 = 1 +12,

S4 = S2 +13

+14> S2 +

24

= 1 + 2 · 12,

S8 = S4 +15

+16

+17

+18> 1 + 2 · 1

2+

48

= 1 + 3 · 12,

...

Portanto, S2n > 1 + n/2. Daí, segue que limn−→+∞

S2n = +∞. Con-

cluímos que a série diverge.

Vamos tratar agora de alguns critérios de convergência para

séries de termos positivos. Claramente, todos os critérios aqui ex-

postos podem ser adaptados para séries de termos negativos. Com

efeito, se∑xn é uma série de termos negativos, então

∑(−xn) é

uma série de termos positivos e, além disso, a primeira converge

se, e somente se, a segunda converge.

Eventualmente, podemos usar também critérios sobre séries de

termos positivos para uma série∑xn que tenha termos de sinais

variáveis, tais séries são denominadas séries alternadas. Ora, se ao

aplicarmos algum destes critérios para a série∑|xn| concluirmos

42


3AULA

que ela é convergente, então, como toda série absolutamente con-

vergente é convergente, concluiremos que∑xn converge. Por

outro lado, se o critério nada disser, ou mesmo se ele nos infor-

mar que∑|xn| é divergente, em geral, nada poderemos afirmar

sobre a convergência da série∑xn. Neste caso, temos o seguinte

critério de convergência para Séries Alternadas:

Teorema 3.6. (Critério de convergência para séries alternadas)

Seja a série+∞∑n=0

(−1)nxn, onde xn > 0, ∀n ∈ N (Séries Alternadas).

Se a seqüência (xn)n∈N for decrescente e se limn−→+∞

xn = 0, então

a série alternada+∞∑n=0

(−1)nxn será convergente.

Não faremos a demonstração deste Critério, pois é baseada em

propriedades dos Intervalos Encaixantes não vistos neste curso. O

leitor interessado pode encontra tal demonstração no Livro "Um

Curso de Cálculo, Vol. 4"de Hamilton Luiz Guidorizzi.

Antes de seguir para o estudo dos critérios de convergência para

séries de termos positivos, observamos também o seguinte fato, já

mencionado no caso de seqüência. Os primeiros termos de uma

série nada influem na sua natureza. De fato, a série∑xn con-

verge se, e somente se, a série∑xn+2008 converge. De maneira

geral, fixando p ∈ N a série∑xn é convergente se, e somente

se, a série∑xn+p é convergente. Desta forma, todos os critérios

que determinam a natureza de uma série através de algumas pro-

priedades verificada por todos os seus termos continuam válidos

se a tal propriedade é verificada à partir de algum termo (por ex-

emplo, 2008). Por outro lado, não podemos desprezar nenhum

termo de uma série convergente quando estamos interessados em

determinar o valor de sua soma infinita.

43


Proposição 3. Uma série de termos positivos é convergente se, e

somente se, a seqüência de suas somas parciais é limitada superi-

ormente.

Demonstração: Por definição∑xn é convergente se, e somente

se, a seqüências de suas somas parciais (Sn)n∈N é convergente.

Como xn ≥ 0, temos imediatamente que (Sn)n∈N é crescente.

Logo, (Sn)n∈N é convergente se, e somente se, ela é limitada supe-

riormente.

Teorema 3.7. (Critério da Integral) Consideremos a série∞∑k=0

xk

e suponhamos que exista p ∈ N e uma função f : [p,+∞[−→ R

contínua, decrescente e positiva tal que f(k) = xk para todo k ≥ p.

Nestas condições, tem-se:

(i)∫ +∞

pf(x)dx convergente =⇒

∞∑k=0

xk convergente;

(ii)∫ +∞

pf(x)dx divergente =⇒

∞∑k=0

xk divergente.

Demonstração: Para n > p,

n∑k=0

xk =p∑

k=0

xk +n∑

k=p+1

xk. Como

p está fixo, segue dessa relação que a série∞∑k=0

xk será convergente

(ou divergente) se, e somente se,+∞∑

k=p+1

xk for convergente (ou di-

vergente).

(i) Temos que (Veja Figura 3.7)n∑

k=p+1

xk ≤∫ n

pf(x)dx ≤

∫ +∞

pf(x)dx.

Segue que a seqüêncian∑

k=p+1

xk é crescente e limitada superi-

ormente por∫ +∞

pf(x)dx. Logo a série

+∞∑k=p+1

xk é convergente e,

44


3AULA

Figura 3.7: Soma Inferior

portanto,+∞∑k=0

xk também é convergente.

(ii) A demonstração deste item é análoga a do item (i), por isso

deixamos para o leitor.

Exemplo 3.2.5. Seja α > 0, com α 6= 1, um real dado. Estude a

série+∞∑k=2

1k(ln k)α

com relação a convergência ou divergência.

Solução: Se α = 1 estudaremos a convergência da série+∞∑k=2

1k ln k

através do Critério da Integral, utilizando a função

f(x) =1

x lnx, x ≥ 2.

Tal função é positiva, contínua e decrescente em [2,+∞[ como se

verifica facilmente. Temos∫ t

2

1x lnx

dx = [ln(lnx)]t2 = ln(ln t)− ln(ln 2).

Como limt−→∞

ln(ln t)dt = +∞, resulta∫ +∞

2

1x lnx

dx = +∞. Pelo

critério da integral a série é divergente.

Suponhamos agora que α > 0 e α 6= 1. Vamos aplicar, novamente,

o critério da integral com a função f(x) =1

x(lnx)α. Está função

é claramente positiva, contínua e decrescente no intervalo [2,+∞[.

45


Temos∫ t

2

1x(lnx)α

dx =[

1(1− α)(lnx)α−1

]t2

= ln(ln t)− ln(ln 2)

e, portanto,∫ t

2

1x(lnx)α

dx =1

1− α

[1

(ln t)α−1− 1

(ln 2)α−1

].

Para

α > 1 =⇒ limt−→∞

1(ln t)α−1

= 0

e, para

0 < α < 1 =⇒ limt−→∞

1(ln t)α−1

= +∞

. Pelo critério da integral, a série é convergente para α > 1 e

divergente para 0 < α < 1.

Teorema 3.8. (Critério da Comparação) Sejam as séries∞∑k=0

xk

e∞∑k=0

yk. Suponhamos que exista p ∈ N tal que, para todo k ≥

p, 0 ≤ xk ≤ yk. Nestas condições, tem-se:

(i)∞∑n=0

yk convergente =⇒∞∑n=0

xk convergente;

(ii)∞∑n=0

xk divergente =⇒∞∑n=0

yk divergente.

Demonstração: (i) Basta provamos que∞∑k=p

xk é convergente.

Como, para todo k ≥ p, yk ≥ 0, a seqüência

tn =n∑n=0

yk, n ≥ p,

é crescente. Daí e pelo fato da série∞∑k=p

yk ser convergente resulta,

para todo n ≥ p,n∑k=p

yk ≤+∞∑k=p

yk.

46


3AULA

Como, para todo k ≥ p, 0 ≤ xk ≤ yk, resulta que a seqüência

sn =n∑k=p

xk, n ≥ p, (3.2)

é crescente e, para todo n ≥ p,n∑k=p

xk ≤+∞∑k=p

yk.

Segue que a seqüência 3.2 é convergente, ou seja, a série+∞∑k=p

xk é

convergente.

(ii) Fica a cargo do leitor.

Exemplo 3.2.6. Vamos estudar a natureza da série∑ 1

npse-

gundo os valores de p. É claro que se p ≤ 0, então ela diverge pois

neste caso limn−→+∞

xn 6= 0. Suponhamos 0 ≤ p ≤ 1. Temos1n≤ 1np

para todo n ∈ N. Portanto, por comparação com a série harmonica,

concluímos que a série diverge. Finalmente, consideramos o caso

p > 1. Mostraremos que a série converge através do Critério da

Integral, utilizando a função f(x) =1xp, p > 1. Tal função é posi-

tiva, contínua e decrescente em [1,+∞[ como se verifica facilmente.

Temos∫ t

1

1xpdx =

[1

(1− p)xp−1

]t1

=1

(1− p)tp−1− 1

1− p.

Como limt−→∞

1(1− p)tp−1

dt = 0, resulta∫ +∞

1

1xpdx =

1p− 1

. Pelo

critério da integral a série é convergente.

Exemplo 3.2.7. A série+∞∑k=1

1ksen

1ké convergente ou divergente?

Justifique.

Solução: Para todo k ≥ 1,

0 ≤ 1ksen

1k≤ 1k· 1k.

47


Como+∞∑k=1

1k2

é convergente (basta usar o exemplo 3.2.6 com p = 2),

segue do Teorema da Comparação que+∞∑k=1

1ksen

1ké convergente.

Exemplo 3.2.8. A série+∞∑k=1

k

k2 + 2k + 1é convergente ou diver-

gente? Justifique.

Solução:k

k2 + 2k + 1=

1k· 1

1 + 2k + 1

k2

.

Para todo k ≥ 1,

1 +2k

+1k2≤ 4

e, portanto, para todo k ≥ 1,

11 + 2

k + 1k2

≥ 14.

Segue que, para todo k ≥ 1,

11 + 2k + 1

≥ 14k.

Como+∞∑k=1

14k

é divergente resulta que

+∞∑k=1

k

k2 + 2k + 1

diverge.

Teorema 3.9. (Critério do Limite) Sejam∑xn e

∑yn duas

séries de termos positivos. Suponhamos que

limn−→∞

xnyn

= L.

Então:

a) se L > 0, L real, ou ambas são convergentes ou ambas são di-

vergentes;

48


3AULA

b) se L = +∞ e se∑yn for divergente,

∑xn também será diver-

gente;

c) se L = 0 e se∑yn for convergente,

∑xn também será conver-

gente.

Demonstração:

a) De limn−→∞

xkyk

= L, L > 0 e real, segue que tomando ε = L2 , existe

N ∈ N tal que

n > N =⇒ L− L

2<xnyn

< L+L

2

ou seja

n > N =⇒ L

2yn < xn <

3L2yn.

Segue do critério da comparação que ambas são convergentes ou

ambas são divergentes.

b) De limn−→∞

xkyk

= +∞, segue que tomando-se ε = 1, existe N ∈ N

tal que

n > N =⇒ xnyn

> 1

e, portanto,

n > N =⇒ xn > yn.

Segue do critério da comparação que se∑yn for divergente, então∑

xn também será.

c) De limn−→∞

xkyk

= 0, segue que tomando-se ε = 1, existe N ∈ N tal

que

n > N =⇒ xnyn

< 1

e, portanto,

n > N =⇒ xn < yn.

Segue do critério da comparação que se∑yn for convergente, então∑

xn também será.

49


Exemplo 3.2.9. A série+∞∑n=1

e−n é convergente ou divergente? Jus-

tifique.

Solução: A série+∞∑n=1

e−n2 é convergente, pois trata-se de uma

série geométrica de razão r = e−12 . Façamos

xn = ne−n e yn = e−n2.

Temos

limn−→∞

xnyn

= limn−→∞

n

en2

= 0.

Pelo critério do limite, a série dada é convergente.

Observação 3.1. O sucesso na utilização do critério do limite está

exatamente na escolha adequada da série∑yn de comparação.

Em muitos casos, as séries harmonicas ou as séries geométricas

desempenham muito bem este papel.


1ln k

é convergente ou divergente?

Justifique.

Solução: Vamos tomar como série de comparação a série har-

monica+∞∑k=1

1ln k

. Temos

xk =1

ln ke yk =

1k.

Então,

limk−→+∞

xkyk

= limk−→+∞

k

ln k= +∞.

Pelo Critério do Limite a série dada é divergente.

Observe, no exemplo anterior, que se tivéssemos tomado como

séria de comparação a harmonica convergente+∞∑n=1

1k2

, teríamos,

50


3AULA

também,

limk−→+∞

xkyk

= limk−→+∞

k2

ln k= +∞.

Entretanto, neste caso, o critério do limite não nos fornecerá infor-

mações alguma sobre a convergência ou divergência da série dada.

Os próximos dois critérios de convergências valem também para

séries com termos negativos.

Teorema 3.10. (Teste da Razão, ou de d’Alembert) Seja

(xn)n∈N uma seqüência não nula. Suponhamos que limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣exista, finito ou infinito. Seja

limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = L.

Nesta condições, tem-se:

(i) Se L < 1, a série∑xn será convergente;

(ii) Se L > 1 ou L = +∞, a série∑xn será divergente;

(iii) Se L = 1, o critério nada revela.

Demonstração: (i) A idéia é comparar a série dada com uma

série geométrica convergente. Como L < 1, existe r ∈ R tal que

limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ < r < 1. Segue da definição de limite, que existe

N ∈ N tal que∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ < r para todo n ≥ N. Temos então:

|xN+1| < r|xN |;

|xN+2| < r|xN+1| < r2|xN |;

|xN+3| < r|xN+2| < r3|xN |;...

De maneira geral, |xn| < rn−N |xN |, para todo n ≥ N. Tomando

yn = rn−N |xN | (para todo n ∈ N) temos que |xn| < yn para todo

51


n ∈ N. Como∑yn é uma Série Geométrica de razão r ∈ (0, 1),

ela é convergente. O critério da comparação nos garante que∑xn

converge absolutamente e, portanto, é convergente .

(ii) Como limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ > 1 ou limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = +∞, existe N ∈

N tal que, se n ≥ N então ∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ > 1.

Isso significa que |xn+1| > |xn| quando n ≥ N, e assim

limn−→∞

xn 6= 0.

Portanto,∑xn diverge pelo teste da divergência.

A parte (iii) do Teste da Razão diz que, se limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = 1,

o Teste da Razão não dá nenhuma informação. Por exemplo, para

a série convergente∑ 1

n2, temos

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ =1

(n+1)2

1n2

=n2

(n+ 1)2=

1(1 + 1

n

)2 −→ 1 quando n −→∞

enquanto para a série divergente∑ 1

n, obtemos∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ =1

n+11n

=n

n+ 1=

11 + 1

n

−→ 1 quando n −→∞.

Portanto, se limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = 1 a série∑xn pode convergir ou

divergir. Neste caso, o Teste da Razão falha e devemos usar algum

outro teste.


1n!

é convergente, pois

limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = limn−→+∞

1(n+1)!

1n!

= limn−→+∞

n!(n+ 1)!

= limn−→+∞

1n+ 1

= 0 < 1.

52


3AULAExemplo 3.2.12. A série

+∞∑n=1

(−1)nn3

3né convergente. De fato,

limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = limn−→+∞

∣∣∣∣∣(−1)n+1(n+1)3

3n+1

(−1)nn3

3n

∣∣∣∣∣= lim

n−→+∞

(n+ 1)3

3n+1· 3n

n3

= limn−→+∞

13

(n+ 1n

)3

= limn−→+∞

13

(1 +

1n

)3

=13< 1.


nn

n!é divergente. Com efeito,

limn−→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = limn−→+∞

(n+ 1)n+1

(n+ 1)!· n!nn

= limn−→+∞

(n+ 1)(n+ 1)n

(n+ 1)n!· n!nn

= limn−→+∞

(n+ 1n

)n= lim

n−→+∞

(1 +

1n

)n= e > 1.

O teste a seguir é conveniente para ser aplicado quando as

potências de n ocorrem. Sua prova é similar à do Teste da Razão

e fica por conta do leitor.

Teorema 3.11. (Teste da Raiz)

(i) Se limn−→∞

n√|xn| = L < 1, então a série

+∞∑n=1

xn é absolutamente

convergente e, portanto, convergente;

(ii) Se limn−→∞

n√|xn| = L > 1, então a série

+∞∑n=1

xn é divergente;

(iii) Se limn−→∞

n√|xn| = 1, então o Teste da Raiz não é conclusivo.

O Teste da Raiz é mais eficiente que o da Razão. Mais pre-

cisamente, em todos os casos nos quais o Teste da Razão permite

53


concluir (seja por convergência ou por divergência) o Teste da Raiz

também será concludente. Entretanto, o Teste da Razão é, em

geral, mais fácil de ser aplicado.

Exemplo 3.2.14. Teste a convergência da série∞∑n=1

(2n+ 33n+ 2

)n.

Solução: Considere

xn =(

2n+ 33n+ 2

)ne

limn−→∞

n√|xn| = lim

n−→∞

2n+ 33n+ 2

= limn−→∞

2 + 3n

3 + 2n

=23< 1

Então, a série dada converge pelo Teste da Raiz.

3.3 Resumo

Considere uma seqüência (xn)n∈N. Para cada n ∈ N definimos

Sn =n∑i=1

xi = x1 + x2 + . . .+ xn.

A seqüência (Sn)n∈N denomina-se série numérica associada a

seqüência (xn)n∈N. O termo geral da (Sn)n∈N,

Sn =n∑i=1

xi

é denominado soma parcial de ordem n da série.

O limite da série, quando existe (finito ou infinito), denomina-

se soma da série e é indicada por+∞∑n=1

xn. Assim

+∞∑n=1

xn = limn−→+∞

n∑i=1

xi.

54


3AULA

Se a soma for finita, diremos que a série é convergente. Se a soma

for infinita (+∞ ou −∞) ou se o limite não existir, diremos que a

série é divergente.

Nosso objetivo com essa aula era que você (aluno) aprendesse

a testar a convergência de séries. Para tanto, foi apresentado os

principais critérios de convergências de séries. (Ver os Critérios e

os Testes de convergências)

Os conceitos e os critérios de convergência de séries serão essen-

ciais no estudo de séries de potências que faremos na próxima aula.

3.4 Atividades

01. (a) Qual a diferença entre uma seqüência e uma série?

(b) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente?

02. Seja xn =n

n+ 1.

(a) Determine se (xn)n∈N é convergente.

(b) Determine se∞∑n=1

xn é convergente.

03. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for con-

vergente, calcule sua soma.

a)12

+14

+16

+18

+ · · · (b) 3 + 2 +43

+89

+ · · ·

(c)∞∑n=0

(12

)n(d)

∞∑n=1

(23

)n−1

(e)∞∑n=2

(2

n2 − 1

)(f)

∞∑n=1

(3n + 2n

6n

)

(g)∞∑n=1

2n

(h)1

(4n+ 1)(4n+ 5)

55


04. Mostre que a série dada é convergente.

a)∞∑n=1

(−1)n2−n (b)∞∑n=1

(−1)n+1 lnnn.

05. Estude a série dada com relação a convergência ou divergên-

cia.

(a)∞∑n=1

(−1)n−1

√n

(b) (−1)nn

lnn

(c)∞∑n=0

1n2 + 1

(d)∞∑n=2

1n lnn

(e)∞∑n=1

ne−n2

(f)∞∑n=3

1n lnn ln(lnn)

(g)∞∑n=1

52 + 3n

(h)∞∑n=1

4 + 3n

2n

(i)∞∑n=0

(−10)n

n!(j)

∞∑n=1

e−nn!

06. (a) Mostre que∞∑n=0

xn

n!converge para todo x.

(b) Deduza que limn−→∞

xn

n!= 0.


Se você (aluno) conseguiu resolver as Atividades 01. e 02., então

entendeu a grande diferença de seqüências e séries de números

reais. Entender essa diferença é muito importante.

Na Atividade 03. você utilizou (ou utilizará) as propriedades

de limites (vistas no Cálculo I) para testar a convergência das séries

dadas.

Na Atividade 04. é dada duas séries alternadas e é pedido que

56


3AULA

você (aluno) teste a convergência das mesmas. Nesta atividade

podemos usar o critério de convergência para séries alternadas ou

lançarmos mão da convergência absoluta.

A Atividade 05. você utilizou (ou deve utilizar) os critérios de

convergência vistos nesta Aula, para estudar a convergência das

séries dadas.

O Teste da Razão deverá ser usado na resolução da Atividade

06.. Nesta atividade estamos interessados em encontrar o conjunto

dos x tais que a série numérica converge.

Conseguiu resolver todas as Atividade? Sabe usar os critérios

de convergência (Critério da Razão dentre outros) dados? Ótimo!!!

Você esta com todos os requisitos necessários para compreensão da

próxima aula.

Lembrem-se sempre que há tutores a distância e presenciais

para ajudá-los na resolução dessas atividades. Estudar em grupo

com seus colegas, pode tornar a resolução dessas atividades mais

fácil e interessante.

3.6 Referências






Wesley, 2002.

57

4AULA

1LIVRO

Séries de Potências

META

Apresentar os conceitos e as prin-

cipais propriedades de Séries de

Potências. Além disso, introduzire-

mos as primeiras maneiras de

escrever uma função dada como

uma série de potências.

OBJETIVOS

Representar funções em séries de

potências.

PRÉ-REQUISITOS

Séries Numéricas (Aula 3).


4.1 Introdução

Uma série de potências de x é uma série da forma+∞∑n=0

an(x− x0)n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·

Observe que esta série pode ser vista como a generalização de

um polinômio. O principal objetivo de estudar essas séries é que

é possível (veremos a diante) representar uma função dada como

uma série de potências.

Você pode imaginar por que queremos expressar uma função

conhecida como uma soma infinita de termos. Veremos mais tarde

que essa estratégia é útil para integrar funções que não têm an-

tiderivadas elementares e para aproximar as funções por polinômios.

Cientistas fazem isso para simplificar expressões que eles utilizam e

para poder representar as funções em calculadoras e computadores.

Nesta aula, introduziremos os conceitos de séries de potências.

Além disso, iniciaremos o estudo de representação de funções em

séries de potências.

4.2 Série de Potências

Seja an, n ≥ 0, uma seqüência numérica dada e seja x0 um real

dado. A série+∞∑n=0

an(x− x0)n (4.1)

denomina-se série de potências, com coeficientes an, em volta de

x0 (ou centrada em x0). Se x0 = 0, temos a série de potências em

volta de zero:+∞∑n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·. (4.2)

60


4AULA

Para cada x fixo, a série de potências é uma série de constantes

que podemos testar sua convergência ou divergência. Uma série

de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir

para outros. A soma da série é uma função de x, cujo domínio é o

conjunto de todos os x para os quais a série converge. Esta função

assemelha a um polinômio. A única diferença é que f tem infinitos

termos.

Exemplo 4.2.1.+∞∑n=0

xn

n!é uma série de potências em volta de zero

e com coeficientes an =1n!.

Nosso objetivo, de agora em diante, é encontrar os valores de

x para os quais uma série de potências é convergente.

Teorema 4.12. Se+∞∑n=0

anxn for convergente para x = x1, com

x1 6= 0, então a série convergirá absolutamente para todo x no

intervalo aberto (−|x1|, |x1|).

Demonstração: Sendo, por hipótese,+∞∑n=0

anxn1 convergente, segue

que

limn−→+∞

anxn1 = 0.

Tomando-se ε = 1, existe um N ∈ N tal que, para todo n ≥ N ,

|anxn1 | ≤ 1.

Como

|anxn| = |anxn1 |∣∣∣∣ xx1

∣∣∣∣n ,resulta que, para todo x e todo n ≥ N,

|anxn| ≤∣∣∣∣ xx1

∣∣∣∣n .

61


Para |x| < |x1|, a série geométrica+∞∑n=0

∣∣∣∣ xx1

∣∣∣∣n é convergente. Segue

do Teste da Comparação que+∞∑n=0

anxn converge absolutamente

para todo x, com |x| < |x1|.


xn

nconverge para x = −1. Pelo

Teorema anterior, a série converge absolutamente para todo x ∈

(−1, 1). Para x = −1 a série não é absolutamente convergente.

Exemplo 4.2.3. Para quais valores de x a série+∞∑n=0

n!xn é con-

vergente?

Solução: Usamos o Teste da Razão. Se fizermos an, como ha-

bitualmente, denotar o n-ésimo termo da série, então an = n!xn.

Se x 6= 0, temos

limn−→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn−→+∞

∣∣∣∣(n+ 1)!xn+1

n!xn

∣∣∣∣ = limn−→+∞

(n+ 1)|x| =∞

Pelo Teste da Razão, a série diverge quando x 6= 0. Então, a série

converge apenas quando x = 0.

Exemplo 4.2.4. Para quais valores de x a série+∞∑n=0

(x− 3)n

né

convergente?

Solução: Seja an = (x−3)n

n . Então

limn−→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn−→+∞

∣∣∣∣(x− 3)n+1!n+ 1

· n

(x− 3)n

∣∣∣∣= lim

n−→+∞

11 + 1

n

|x− 3| = |x− 3|

Pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente, e

portanto convergente, quando |x − 3| < 1 e é divergente quando

|x− 3| > 1. Agora

|x− 3| < 1⇔ −1 < x− 3 < 1⇔ 2 < x < 4

62


4AULA

assim a série converge quando 2 < x < 4 e diverge quando x < 2 e

x > 4.O Teste da Razão não fornece informação quando |x−3| = 1;

assim, devemos considerar x = 2 e x = 4 separadamente. Se

colocarmos x = 4 na série, ela se tornará+∞∑n=0

1n, a série harmonica,

que é divergente. Se x = 2, a série é+∞∑n=0

(−1)n

nque é convergente

pelo Teste da Série Alternada. Então a série dada converge para

2 ≤ x < 4.

Exemplo 4.2.5. Encontre o domínio da função definida por

f(x) =+∞∑n=0

xn

n!

. Solução: Seja an =xn

n!. Então

limn−→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn−→+∞

∣∣∣∣ xn+1

(n+ 1)!· n!xn

∣∣∣∣ = limn−→+∞

1n+ 1

|x| = 0 < 1

para todo x ∈ R. Então pelo Teste da Razão, a série dada converge

para todos os valores de x. Em outras palavras, o domínio da

função dada é (−∞,+∞) = R.

Para as séries de potências que temos vistos até agora, o con-

junto de valores de x para os quais a série é convergente tem sempre

sido um intervalo (um intervalo finito nos exemplos 4.2.2 e 4.2.4,

o intervalo infinito (−∞,+∞) no exemplo 4.2.5 e um intervalo co-

lapsado [0, 0] = {0} no exemplo 4.2.3). O teorema a seguir, diz

que isso, em geral, é verdadeiro.

Teorema 4.13. Para uma dada série de potências+∞∑n=0

an(x− x0)n

existem apenas três possibilidades:

(i) a série converge apenas quando x = x0;

(ii) a série converge para todo x ∈ R;

63


(iii)existe um número R tal que a série converge se |x − x0| < R

e diverge de |x − x0| > R. Nos extremos x0 − R e x0 + R a série

poderá convergir ou não.

Demonstração: Fazendo u = x − x0 na série+∞∑n=0

an(x− x0)n

obtemos+∞∑n=0

anun, deste modo basta provarmos que

(i) a série converge apenas quando u = 0;

(ii) a série converge para todo u ∈ R;

(iii)existe um número R tal que a série converge se |u| < R e

diverge de |u| > R. Nos extremos R e R a série poderá convergir

ou não.

Provemos: Seja A o conjunto de todos u ≥ 0 para os quais a série

converge.

1.0 Caso: A = {0}

Se a série convergisse para algum valor u1 6= 0, pelo Teorema 4.12,

convergiria, também, para todo u ∈ (−|u1|, |u1|), que contradiz a

hipótese A = {0}. Logo, se A = {0} a série convergirá apenas para

u = 0.

2.0 Caso: A = (0,+∞) = R+

Para todo u ∈ R, existe u1 > 0 tal que

|u| < u1.

Como a série+∞∑n=0

anun1 é convergente, pelo teorema 4.12, a série

convergirá absolutamente para todo u, com |u| < u1. Portanto, a

série converge absolutamente para todo u.

3.0 Caso: A 6= R+ e A 6= {0}

64


4AULA

Se, para todo r > 0, existisse u1 > r tal que+∞∑n=0

anun1

fosse convergente, pelo teorema 4.12, a série seria absolutamente

convergente para todo u, que contradiz a hipótese A 6= R+. Por-

tanto, se A 6= R+, então A será limitado superiormente; logo,

admitirá supremo R :

R = supA.

ComoA 6= {0}, teremos, evidentemente, R > 0. SendoR o supremo

de A, para todo x com |u| < R, existe u1 ∈ A, com |u| < u1.

Resulta novamente do teorema 4.12, que a série converge absolu-

tamente para todo u ∈ (−R,R). Fica a cargo do leitor verificar

que a série diverge para todo u, com |u| > R.

O número R que aparece no Teorema anterior é chamado Raio

de Convergência da série de Potência. Por convenção, o raio de

convergência é R = 0 no caso (i) e R =∞ no caso (ii).

Exemplo 4.2.6. Encontre o raio de convergência e o intervalo de

convergência da série∞∑n=1

(−1)n(x+ 2)n

n2n.

Solução: Seja an = (−1)n(x+ 2)n

n2n. Então

limn−→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn−→+∞

∣∣∣∣(−1)n+1(x+ 2)n+1

(n+ 1)2n+1· n2n

(−1)n(x+ 2)n

∣∣∣∣= lim

n−→+∞

12

n

n+ 1|x+ 2|

=12|x+ 2|.

Pelo Teste da Razão, a série dada converge se12|x+ 2| < 1 e di-

verge se12|x+ 2| > 1. Então, ela é convergente se |x+ 2| < 2 e

65


divergente se |x+ 2| > 2. Isso significa que o raio de convergência

é R =12.

A desigualdade |x+ 2| < 2 pode ser escrita como −4 < x < 0;

assim, testamos a série nos extremos −4 e 0. Quando x = −4, a

série é

∞∑n=1

(−1)n(−4 + 2)n

n2n=∞∑n=1

1n.

que é uma série harmonica e, portanto, diverge. Quando x = 0, a

série é

∞∑n=1

(−1)n(0 + 2)n

n2n=∞∑n=1

(−1)n1n.

que converge pelo Teste das Séries Alternadas. Então a série con-

verge apenas quando −4 < x ≤ 0, assim, o intervalo de convergên-

cia é (−4, 0].

Exemplo 4.2.7. Encontre o raio de convergência e o intervalo de

convergência da série

∞∑n=1

n!(2x− 1)n.

Solução: Seja an = n!(2x− 1)n. Então

limn−→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn−→+∞

∣∣∣∣(n+ 1)!(2x− 1)n+1

n!(2x− 1)n

∣∣∣∣= lim

n−→+∞(n+ 1)|2x− 1| = 0 < 1

se, e somente se, |2x− 1| = 0, ou seja, x =12. Então, o raio de

convergência é R = 0. E o intervalo de convergência é{

12

}.

66


4AULA

4.3 Representação de Funções em Séries de

Potências

Nesta seção aprenderemos como representar certos tipos de funções

como soma de séries de potências pela manipulação de séries ge-

ométricas ou pela diferenciação ou integração de tais séries.

Começaremos com uma equação que vimos antes:

11− x

= 1 + x+ x2 + x3 + . . . =∞∑n=0

xn, |x| < 1 (4.1)

Encontramos essa equação no Exemplo 3.2.1, onde a obtivemos

observando que ela é uma série geométrica com a = 1 e r = x.

Mas aqui nosso ponto de vista é diferente. Agora nos referiremos

à Equação 4.1 como uma expressão da função f(x) =1

1− xcomo

uma soma de uma série de potências.

Uma ilustração geométrica da Equação 4.1 é mostrada na Figura

4.8. Como a soma de uma série é o limite da seqüência de somas

parciais, temos

11− x

= limn−→∞

Sn(x)

onde Sn =n∑k=0

xk é a n-ésima soma parcial. Note que, quando n

aumenta, Sn(x) se torna uma aproximação de f(x) para −1 < x <

1.

Exemplo 4.3.1. Expresse f(x) =1

1 + 9x2como a soma de uma

série de potências e encontre o intervalo de convergência.

Solução: Temos que

11 + 9x2

=1

1− [−(3x)2]

67


Figura 4.8: f(x) e algumas somas parciais

Trocando x por −(3x)2 na Equação 4.1, obtemos:

11 + 9x2

=∞∑n=0

[−(3x)2]n =∞∑n=0

(−1)n32nx2n

= 1− 32x2 + 34x4 − 36x6 + . . .

Como essa é uma série geométrica, ela converge quando |−(3x)2| <

1, isto é, 9x2 < 1, ou seja, |x| < 13. Portanto o intervalo de con-

vergência é(−1

3,13

).

Exemplo 4.3.2. Encontre a representação em série de potências

para f(x) =1

x+ 2.

Solução: Note que

12 + x

=1

2(1 + x

2

) =12· 1

1−(−x

2

)Trocando x por −x

2 na Equação 4.1, obtemos:

12 + x

=12

∞∑n=0

(−x

2

)n=∞∑n=0

(−1)n

2n+1xn

Como essa é uma série geométrica, ela converge quando |− x2 | < 1,

isto é, |x| < 2. Portanto o intervalo de convergência é (−2, 2).

68


4AULA

4.4 Resumo

Uma série de potências de x em volta de x0 (ou centrada em x0)

é uma série do tipo Seja . A série

+∞∑n=0

an(x− x0)n (4.1)

onde an, n ≥ 0 (coeficientes) é uma seqüência numérica dada e x0

um real dado.

Para cada x fixo, a série de potências é uma série de constantes

que podemos testar sua convergência ou divergência. Uma série

de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir

para outros. A soma da série é uma função de x, cujo domínio é o

conjunto de todos os x para os quais a série converge.

Dada uma série de potências de x, utilizamos principalmente o

Critério da Razão, visto na Aula 3, para encontrarmos o domínio

da série dada.

Vimos uma primeira maneira de representar funções em série

de potências, através da série geométrica que foi estudada com

detalhes na Aula 3.

Nosso objetivo com essa aula era que você (aluno) aprendesse

a representar funções em séries de potências, através da série ge-

ométrica.

Na próxima aula, estudaremos outras maneiras (mais eficientes)

de representar funções em séries de potências.

69


4.5 Atividades

01. Determine o domínio das seguintes séries de potências de x :

(a)∞∑n=0

nxn (b)∞∑n=2

xn

lnn

(c)∞∑n=1

xn

n3n(d)

∞∑n=1

(−1)nn4nxn

(e)∞∑n=1

(−1)n(x− 2)n

nn(f)

∞∑n=1

n!(2x− 1)n

02. Encontre uma representação em série de potências parax3

x+ 2.

Encontre seu domínio.


Essas atividades tem o objetivo de você (aluno) exercitar os con-

ceitos desenvolvidos nesta aula.

A Atividade 01. pede para encontrar o domínio de algumas

séries de potências dadas. Para tanto, você precisa encontra o raio

de convergência (usando o Critério da Razão) e testar a série nos

extremos do intervalo de convergência da série.

Na Atividade 02. você deve utilizar a série geométrica para

representar a função dada em série de potências.

4.7 Referências





70


4AULA


Wesley, 2002.

71

5AULA

1LIVRO

Métodos de Repre-sentação de Funçõesem Séries de Potên-cias

META

Apresentar os principais métodos de

representação de funções em séries

de potências.

OBJETIVOS

Representar funções em séries de

potências.

PRÉ-REQUISITOS

Série de Potências (Aula 4).

Métodos de Representação de Funções em Séries dePotências

5.1 Introdução

Na aula anterior pudemos encontrar representações para uma certa

classe restrita de funções, utilizando as Séries Geométricas. Nesta

aula, investigaremos problemas mais gerais: quais funções têm rep-

resentações em série de potências? Como podemos achar tais rep-

resentações?

Iniciaremos esta aula, com a diferenciação e integração de séries

de potências que será uma ferramenta muito poderosa de represen-

tação de funções em série de potências. Posteriormente, estudare-

mos a Série de Taylor e a Série de MacLaurin. Mostraremos que, se

uma função puder ser representada como uma série de potências,

então essa função é igual à soma de sua série de Taylor.

5.2 Diferenciação e Integração de Séries de

Potências

A soma de uma série de potências é uma função+∞∑n=0

cn(x− x0)n

cujo domínio é o intervalo de convergência da série. Gostaríamos

de poder diferenciar e integrar tais funções, e o teorema a seguir

(que não provaremos) diz que podemos fazer isso por diferenciação

e integração de cada termo individual da série, como faríamos para

um polinômio. Isso é chamado diferenciação e integração termo a

termo.

Teorema 5.14. Se a série de potências+∞∑n=0

cn(x− x0)n tiver um

raio de convergência R > 0, então a função f definida por

f(x) = c0 + c1(x− x0) + c2(x− x0)2 + . . . =+∞∑n=0

cn(x− x0)n

74


5AULA

é diferenciável (e portanto contínua) no intervalo (x0 −R, x0 +R)

e

(i) f ′(x) = c1 + 2c2(x− x0) + 3c3(x− x0)2 + . . . =+∞∑n=0

ncn(x− x0)n−1

(ii)∫f(x)dx = C + c0(x− x0) + c1

(x− x0)2

2+ c2

(x− x0)3

3+ . . .

= C ++∞∑n=0

cn(x− x0)n+1

n+ 1

Os raios de convergência da série de potência nas Equações (i) e

(ii) são ambos R.

Observação 5.2. Embora o Teorema 5.14 diga que o raio de con-

vergência permanece o mesmo quando uma série de potências é

diferenciada ou integrada, isso não significa que o intervalo de con-

vergência permanece o mesmo. Pode acontecer de a série original

convergir em um extremo enquanto a série diferenciada diverge

nesse ponto.

Exemplo 5.2.1. Expresse1

(1− x)2como uma série de potências

e encontre seu raio de convergência.

Solução: Diferenciando cada lado da equação

11− x

= 1 + x+ x2 + x3 + . . . =∞∑n=0

xn

obtemos

1(1− x)2

= 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + . . . =∞∑n=0

nxn−1.

De acordo com o Teorema 5.14, o raio de convergência da série

diferenciada é o mesmo que o raio de convergência da série original,

a saber, R = 1

75


Exemplo 5.2.2. Encontre uma representação em série de potên-

cias para ln(1− x) e seu raio de convergência.


ln(1− x) = −∫

11− x

dx.

Mas

11− x

=∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + . . .

Daí

ln(1− x) = −∫ ( ∞∑

n=0

xn

)dx = −

∞∑n=0

∫xndx = −

∞∑n=0

xn+1

n+ 1+ C.

Para determinarmos o valor de C, colocamos x = 0 nessa equação

e obtemos ln(1− 0) = C. Então, C = 0 e

ln(1− x) = −∞∑n=0

xn+1

n+ 1

= −∞∑n=1

xn

n= −x− x2

2− x3

3− . . . , |x| < 1.

O raio de convergência é o mesmo que o da série original: R = 1.

5.3 Séries de Taylor e de Maclaurin

Veremos nessa seção que, se uma função f puder ser representada

como uma série de potências, então f é igual à soma de sua Série

de Taylor.

Supondo que f seja qualquer função que pode ser representada

por uma série de potências.

f(x) =∞∑n=0

cn(x− x0)n (5.1)

= c0 + c1(x− x0) + c2(x− x0)2 + . . . , |x− x0| < R

76


5AULA

Queremos determinar os coeficientes cn em função de f . Para

começar, note que, se colocarmos x = x0 na equação (5.1), então

todos os termos depois do primeiro são nulos e obtemos:

f(x0) = c0.

Pelo Teorema 5.14, podemos diferenciar a série na equação (5.1)

termo a termo:

f ′(x) = c1 + 2c2(x− x0) + (5.2)

+3c3(x− x0)2 + 4c4(x− x0)3 + . . . , |x− x0| < R

e a substituição de x = x0 na equação (5.2) fornece:

f ′(x0) = c1.

Agora diferenciando ambos os lados da equação (5.2) temos:

f ′′(x) = 2c2 + 2 · 3c3(x− x0) + (5.3)

+3 · 4c4(x− x0)2 + . . . , |x− x0| < R.

Novamente colocando x = x0 na equação (5.3). O resultado é

f ′′(x0) = 2c2.

Vamos aplicar o procedimento mais uma vez. A diferenciação da

série na equação (5.3) fornece

f ′′′(x) = 2 · 3c3 + 2 · 3 · 4c4(x− x0) + (5.4)

+3 · 4 · 5c4(x− x0)2 + . . . |x− x0| < R.

e a substituição de x = x0 na equação (5.4) resulta em

f ′′′(x0) = 2 · 3c3 = 3!c3.

77


Agora você pode ver o padrão. Se continuarmos a diferenciar e

substituir x = x0, obteremos

f (n)(x0) = 2 · 3 · 4 · · · · · ncn = n!cn.

Resolvendo essa equação para o n-ésimo coeficiente cn, obteremos:

cn =f (n)(x0)

n!

Esta fórmula permanecerá válida mesmo para n = 0 se adotarmos

as convenções de que 0! = 1 e f (0) = f. Então provamos o teorema

a seguir:A série de Taylorrecebeu esse nomeem homenagem aomatemático inglêsBrook Taylor (1685-1731), e a série deMaclaurin tem essenome em homenagemao matemático es-cocês Colin Maclaurin(1698-1746), apesardo fato de a série deMaclaurin ser apenasum caso especial dasérie de Taylor. Mas aidéia da representaçãode funções particu-lares em somas deséries de Potênciasremonta a Newton,e a série geral deTaylor era conhecidapelo matemáticoescocês James Gre-gory em 1668 e pelomatemático suíço JohnBernoulli na década de1690. Taylor aperente-mente não conhecia dotrabalho de Gregory eBernoulli quando pub-licou suas descobertassobre séries em 1715no livro Methodusincrementorum directaet inversa.

Teorema 5.15. Se f tiver uma representação (expansão) em série

de potências em x0, isto é, se

f(x) =∞∑n=0

cn(x− x0)n |x− x0| < R

então seus coeficientes são dados pela fórmula

cn =f (n)(x0)

n!.

Segue desse teorema que, se f tiver uma expansão em série de

potências em x0, então ela deve ser da forma a seguir:

f(x) =∞∑n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n (5.5)

= f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)2!

(x− x0)2 + . . .

A série na equação (5.5) é chamada Série de Taylor da

função f em x0 (ou ao redor de x0 ou centrada em x0). Para o

caso especial x0 = 0 a série de Taylor se torna

f(x) =∞∑n=0

f (n)(0)n!

xn

= f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 +f ′′′(0)

3!x3 + . . . (5.6)

78


5AULA

Esse caso surge com freqüência, e lhe foi dado o nome especial se

Série de Maclaurin.

Exemplo 5.3.1. Encontre a série de Maclaurin da função f(x) =

ex e seu raio de convergência.

Solução: Temos que f (n)(x) = ex, então f ((n))(0) = e0 = 1 para

todo n. Portanto a série de Maclaurin para f é

∞∑n=0

f (n)(0)n!

xn =∞∑n=0

xn

n!= 1 +

x

1!+x2

2!+x3

3!+ . . .

Para encontrarmos o raio de convergência fazemos an =xn

n!. Então

limn−→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn−→+∞

∣∣∣∣ xn+1

(n+ 1)!· n!xn

∣∣∣∣ = limn−→+∞

|x|n+ 1

= 0 < 1

assim pelo Teste da Razão, a série converge para todo x, e o raio

de convergência é R =∞.

Segue do Teorema 5.15 e do exemplo 5.3.1 que se ex tiver uma

expansão em série de potências em 0, então

ex =∞∑n=0

xn

n!

A questão agora é como determinar se ex tem uma representação

em série de potências.

Vamos investigar uma questão mais geral: sob quais circun-

stâncias uma função é igual à soma de uma série de Taylor? Em

outras palavras, se f tiver derivadas de todas as ordens, quando é

verdade que

f(x) =∞∑n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n

Segue da definição de séries convergentes que, f(x) é o limite das

79


somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são

Tn(x) =n∑k=0

f (k)(x0)k!

(x− x0)k

=f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)2!

(x− x0)2 + . . .+f (n)(x0)

n!(x− x0)n

Note que Tn(x) é um polinômio de grau n chamado polinômio de

Taylor de grau n de f em x0.

Em geral, f(x) é a soma de uma série de Taylor se

f(x) = limn−→∞

Tn(x).

Se fizermos Rn(x) = f(x)− Tn(x) de maneira que f(x) = Tn(x) +

Rn(x) então Rn(x) é denominado resto da série de Taylor. Se

pudermos de alguma maneira mostrar que

limn−→∞

Rn(x) = 0,

segue que

limn−→∞

Tn(x) = limn−→∞

[f(x)−Rn(x)] = f(x)− limn−→∞

Rn(x) = f(x).

Aqui, portanto, provamos o seguinte:

Teorema 5.16. Se f(x) = Tn(x)+Rn(x), onde Tn(x) é o polinômio

de Taylor de grau n de f em x0 e

limn−→∞

Rn(x) = 0,

para |x − x0| < R, então f é igual a soma de sua série de Taylor

no intervalo |x− x0| < R.

Ao tentar mostrar que

limn−→∞

Rn(x) = 0,

para uma função específica f , geralmente usamos o fato a seguir

(que não demonstraremos)

80


5AULA

Teorema 5.17. (Desigualdade de Taylor) Se |f (n+1)(x)| ≤M

para |x − x0| ≤ d, então o resto Rn(x) da série de Taylor satisfaz

a desigualdade

|Rn(x)| ≤ M

(n+ 1)!|x− x0|n+1 para |x− x0| ≤ d.

Exemplo 5.3.2. Prove que ex é igual à soma de sua série de

Maclaurin.

Solução: Temos que f (n+1)(x) = ex para todo n. Se d for qual-

quer número positivo e |x| ≤ d, então |f (n+1)(x)|ex ≤ ed. Assim a

desigualdade de Taylor, com x0 = 0 e M = ed, diz que

|Rn(x)| ≤ ed

(n+ 1)!|x|n+1 para |x| ≤ d

e

limn−→∞

ed

(n+ 1)!|x|n+1 = ed lim

n−→∞

|x|n+1

(n+ 1)!= 0

Agora, segue do Teorema do Confronto que limn−→∞

Rn(x) = 0 para

todos os valores de x. Pelo Teorema 5.16, ex é igual à soma de sua

Série de Maclaurin,

ex =∞∑n=0

xn

n!para todo x. (5.7)

Exemplo 5.3.3. Encontre a série de Taylor para f(x) = ex em

x0 = 2.

Solução: Temos que f (n)(2) = e2; e assim, colocando x0 = 2 na

definição de uma série de Taylor, obtemos∞∑n=0

f (n)(2)n!

(x− 2)n =∞∑n=0

e2

n!(x− 2)n

Novamente pode ser verificado, como no Exemplo 5.3.1, que o raio

de convergência é R = ∞. Como no Exemplo 5.3.2, podemos

81


verificar que limn−→∞

Rn(x) = 0, assim

ex =∞∑n=0

e2

n!(x− 2)n para todo x. (5.8)

Observe que temos duas expansão em série de potências da

função ex. A primeira, dada pela equação (5.7), é melhor se es-

tivermos interessados em valores de ex para x próximos de 0 e, a

segunda, dada pela equação (5.8), é melhor se x estiver próximo

de 2.


sen x e prove que ela representa sen x para todo x.


f ′(x) = cos x =⇒ f ′(0) = cos 0 = 1

f ′′(x) = −sen x =⇒ f ′′(0) = −sen 0 = 0

f ′′′(x) = −cos x =⇒ f ′′′(0) = −cos 0 = −1...

...

Portanto a série de Maclaurin para f é

∞∑n=0

f (n)(0)n!

xn =x

1!− x3

3!+x5

5!+ . . . =

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!

É fácil ver que, |f (n+1)(x)| ≤ 1, ∀x ∈ R. Assim a desigualdade de

Taylor, com x0 = 0 e M = 1, diz que

|Rn(x)| ≤ 1(n+ 1)!

|x|n+1 para todo x ∈ R

e

limn−→∞

1(n+ 1)!

|x|n+1 = 0

82


5AULA

Agora, segue do Teorema do Confronto que limn−→∞

Rn(x) = 0 para

todos os valores de x. Pelo Teorema 5.16, sen x é igual à soma de

sua Série de Maclaurin, ou seja,

sen x =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!para todo x ∈ R.


cos x.


cos x =d

dxsen x

e, pelo Exemplo 5.3.5, sen x =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!, logo

cos x =d

dx

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!

=∞∑n=0

(−1)nd

dx

x2n+1

(2n+ 1)!=∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!.

Logo

cos x =∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!para todo x ∈ R.

5.4 Séries Binomiais

Concluiremos esse capítulo com um exemplo muito importante: a

série binomial, descoberta por Isac Newton. De fato, estamos aqui

revertendo a ordem histórica: originalmente, a série binomial foi

descoberta por Newton sem fazer uso da série de Taylor (então

desconhecida). De certa forma, foi o estudo da série binomial uma

das motivações de Newton no desenvolvimento do cálculo, daí sua

importância histórica.

83


Com o nosso conhecimento de s´eries de Taylor, porém, obter-

emos um caminho mais rápido e simples que o de Newton para

expandir a função

(1 + x)k

em série de potências. Aqui, não estamos supondo que k é uma in-

teiro positivo! O argumento a seguir funciona para qualquer valor

real de k (podendo ser inclusive negativo). Observe que uma vez

obtida a expansão para (1+x)k, obteremos facilmente uma expan-

são para (x+ y)k, por meio da igualdade (x+ y)k = xk(1 +y

x)k.

Teorema 5.18. Seja k um número real. A Série de Taylor para

f(x) = (1 + x)k em torno de x = 0 (chamada Série Binomial) é

1 +∞∑n=1

k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n+ 1)n!

xn;

seu raio de convergência é R = 1, e a série de Taylor converge para

f(x) no intervalo (−1, 1).

Observe que quando k é um inteiro positivo, podemos escrever

o n-ésimo coeficiente da série acima como(a

b

)=k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n+ 1)

n!.

Neste caso os termos são todos nulos para n > k, e a igualdade

de (1 + x)k com sua série de Taylor nada mais é que a fórmula do

binômio de Newton.

Observe que se definimos, motivados pelo caso que acabamos

de discutir,(a

b

)=k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n+ 1)

n!para n ≥ 1;

(k

0

)= 1

84


5AULA

quaisquer que seja a constante real k, então a série Binomial to

teorema pode ser escrita sob a forma

(1 + x)k =∞∑n=0

(k

n

)xn

Para verificarmos o teorema, primeiro calculamos as derivadas

de f(x) = (1 + x)k :

f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n+ 1)(1 + x)k−n.

Obtemos então para os coeficientes da série de Taylor:

an =f (n)(0)n!

=k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n+ 1)

n!.

Assim, obtemos a fórmula para a série de Taylor dada no enunciado

do teorema. Para calcular o raio de convergência, utilizaremos o

Teste da Razão. Observe que o termo geral da série é anxn, logo

para aplicarmos o teste temos q estudar o limite de∣∣∣∣an+1xn+1

anxn

∣∣∣∣ =∣∣∣∣an+1

anx

∣∣∣∣ .Temos

|an+1||an|

|x| =|k(k − 1) . . . (k − n)|

(n+ 1)!· n!|k(k − 1) . . . (k − n+ 1)|

|x|

=|k − n|n+ 1

|x|;

Como k é uma constante, vemos que o limite dessa expressão

quando n −→ ∞ é L = |x|. O teste da razão nos diz que a série

converge de L < 1, e diverge de L > 1; ou seja: a série binomial

converge para |x| < 1 e diverge para |x| > 1. A convergência da

série nos casos em que o teste não dá informações, x = 1,−1,

depende do valor de k e não será de interesse para nós.

85


Exemplo 5.4.1. Expanda (8 + x)1/3 em série de potências.

Solução: Usaremos a série binomial com k = 13 . O coeficiente

binomial é

k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n+ 1)n!

=

(13

) (13 − 1

) (13 − 2

). . .(

13 − n+ 1

)n!

=

(13

) (−23

) (−53

). . .(

4−3n3

)n!

= (−1)n+1 (1) (2) (5) . . . (3n− 4)n!3n

e, assim, quando |x| < 1,

(8 + x)1/3 = 1 +∞∑n=1

(−1)n+1 (1) (2) (5) . . . (3n− 4)n!3n

xn

Como Newton calculava... Newton fez uso da série binomial;

a partir desta série ele calculou expansões para diversas funções.

Vamos exemplificar o método de Newton calculando a série de

Taylor de f(x) = arcsen x em torno de x = 0. Primeiro notamos

que

f ′(x) =1√

1− x2= (1− x2)−1/2

que é uma função da forma estudada anteriormente com k = −1/2,

mas calculada em −x2. Assim, f ′(x) pode ser expandida numa

série da forma∞∑n=0

an(−x2)n,

onde a0 = 1 e, para n ≥ 1,

an =k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n+ 1)

n!

=

(−1

2

) (−1

2 − 1) (−1

2 − 2). . .(−1

2 − n+ 1)

n!

=

(−1

2

) (−3

2

) (−5

2

). . .(−2n+1

2

)(−1)n

n!

86


5AULA

Esta expansão é válida para | − x2| < 1, isto é, |x| < 1. Como

(−x2)n = (−1)nx2n, obtemos

(1− x2)−1/2 = 1 +∞∑n=1

(1) (3) (5) . . . (2n− 1)n!2n

x2n para |x| < 1.

Agora, observando que

arcsen x =∫ x

0(1− t2)−1/2dt,

e integrando termo a termo a expressão acima, obtemos

arcsen x = x+∞∑n=1

(1) (3) (5) . . . (2n− 1)n!2n(2n+ 1)

x2n+1 para |x| < 1.

5.5 Resumo

Vimos, nesta aula, três métodos muito eficientes na representação

de funções em série de potências.

O primeiro método é dado pelo Teorema 5.14 que trata-se da

diferenciação e integração e séries de potências.

O segundo método é dado pela Série de Taylor: Se uma função

f admitir expansão em série de potências então sua expansão em

torno de x0 é dada por

f(x) =∞∑n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n

= f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)2!

(x− x0)2 + . . .

O Teorema 5.17, nos da uma condição suficiente para que uma

dada função admita expansão em série de potências.

A série de Taylor em torno da origem é dada por

f(x) =∞∑n=0

f (n)(x0)n!

xn

= f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 + . . .

87


Esta série é denominada Série de Maclaurin.

Terminamos essa aula, estudando da Série Binomial. Tal série

é útil para expandirmos funções do tipo (1+x)k em série de potên-

cias.

Com essa aula, terminamos a primeira parte do curso de Cál-

culo II.

Nossa primeira avaliação tem o objetivo de avaliar o vosso con-

hecimento relativo às aulas 1,2,3,4 e 5.

Nas próximas aula, passaremos a estudar novos tipos de funções.

5.6 Atividades

01. (a) Use diferenciação para achar a representação em série de

potências para

f(x) =1

(1 + x)2.

Qual é o raio de convergência.

(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para

f(x) =1

(1 + x)3.

(c) Use o item (b) para achar a série de potências para

f(x) =x2

(1 + x)3.

02. Encontre uma representação em série de potências para a

função e determine o raio de convergência.

(a) f(x) = ln(1 + x) (b) f(x) = x ln(1 + x)

03. Avalie a integral indefinida∫x− tg−1x

x3como uma série de

potências. Qual é o raio de convergência?

88


5AULA

04. Assuma que a função f(x) = xex admita expansão em série

de potências em torno da origem e encontre sua expansão.

05. Assuma que a função f(x) = x3 admita expansão em série de

potências em torno de x0 = −1 e encontre sua expansão.

06. Prove que a função f(x) = cos2x admite expansão em série de

potências em torno da origem e encontre tal expansão.

07. Use a série binomial para expandir a função f(x) =1

(1 + x)4

como uma série de potências. Encontre seu raio de convergência.




Na resolução das atividades 01. e 02. você (aluno) deve utilizar

o método de diferenciação e integração de série de potências e

também as propriedades de série de potências. Se você conseguiu

resolver essas atividades então entendeu os conceitos e o método

de diferenciação e integração de série de potências.

A atividade 03. mostra uma das vantagens de representarmos

funções em séries de potências. Para resolver a integral da ativi-

dade 03. você deve, inicialmente, expandir a função f(x) = tg−1x

em série de potências, em torno da origem. Feito isso, substitua

tal expansão no integrando e integra a expressão resultante. Note

que a expressão resultante é um polinômio de fácil integração.

Na resolução das atividades 04., 05, 06. e 07, basta utilizar as

89


séries de Taylor, de Maclaurin e a Binomial.

Se sentir muita dificuldade na resolução dessas atividades, volte

ao inicio da aula e reveja com cuidado os conceitos apresentados.

E não esqueça dos tutores, eles existem para ajuda-lo em vosso

aprendizado.

5.8 Referências






Wesley, 2002.

90

6AULA

1LIVRO

Equações Paramétri-cas

META

Estudar funções que a cada ponto

do domínio associa um par orde-

nado de R2

OBJETIVOS

Estudar movimentos de partículas

no plano.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido os conceitos de

funções reais, vistas no Cálculo 1.

Equações Paramétricas

6.1 Introdução

Até agora descrevemos as curvas planas, dando y como uma função

de x [y = f(x)] ou x em função de y [x = g(y)] ou fornecendo a

relação entre x e y que define y implicitamente como uma função

de x [f(x, y) = 0]. Nesta aula discutiremos um novo método para

descrever as curvas no plano. Esse método consiste em escrever

as variáveis x e y em termos de uma terceira variável t, chamada

parâmetro [x = f(t), y = g(t)]. Tais equações serão denominadas

equações paramétricas.

6.2 Equações Paramétricas

Imagine que a trajetória de uma partícula que se move no plano

é descrita pela curva dada na Figura 6.9. Note que é impossível

descrever C por uma equação do tipo y = f(x). Mas as coor-

denadas x e y da partícula são funções de uma terceira variável

t (denominada parâmetro) e, assim, podemos escrever x = f(t)

e y = g(t). Esse par de equações é, muitas vezes, uma maneira

conveniente para descrever uma curva. Tais equações são denomi-

nadas Equações Paramétricas. Para cada valor de t determina

um ponto (x, y), que podemos plotar em um plano coordenado.

Quando t varia, o ponto (x, y) = (f(t), g(t)) varia e traça a curva

C, que chamamos de Curva Paramétrica. Em muitas aplicações

das curvas paramétricas, t denota o tempo e, portanto, podemos

interpretar (x, y) = (f(t), g(t)) como a posição de uma partícula

no tempo t.

Exemplo 6.2.1. Seja a curva paramétrica α(t) = (sen t, cos2t), 0 ≤

t ≤ π2 . Isto equivale as equações paramétricas x = sen t, y =

92


6AULA

Figura 6.9: Curva no plano.

cos2t, com 0 ≤ t ≤ π2 . Pela relação fundamental, estas equações

nos conduzem à equação cartesiana y = 1 − x2, que é a equação

de uma parábola. Na verdade, é apenas um ramo da parábola tal

que 0 ≤ x ≤ 1. (Veja a figura 6.10)

Figura 6.10: Ramos da parábola y = 1− x2.

Em geral, a curva com equações paramétricas

x = f(t) y = g(t) a ≤ t ≤ b

tem ponto inicial (f(a), g(a)) e ponto final (f(b), g(b)).

Exemplo 6.2.2. A curva representada pelas equações paramétri-

93


cas x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π é um círculo. De fato,

eliminando o parâmetro t,

x2 + y2 = cos2t+ sen2t = 1.

Note que, nesse exemplo, o parâmetro t pode ser interpretado como

o ângulo (em radianos) mostrado na figura 6.11. Quando t au-

menta de 0 a 2π, o ponto (x, y) = (cos t, sen t) se move uma vez

ao redor do círculo no sentido anti-horário partindo do ponto (1, 0).

Figura 6.11: Círculo percorrido no sentido anti-horário.

Observe que a curva representada pelas equações paramétricas

x = sen 2t, y = cos 2t, 0 ≤ t ≤ 2π também é um circulo, pois

eliminando o parâmetro t, temos que,

x2 + y2 = sen22t+ cos22t = 1.

Mas quando t aumenta de 0 a 2π, o ponto (x, y) = (sen 2t, cos 2t)

começa em (0, 1) e se move duas vezes ao redor do círculo no sentido

horário, como indicado na figura 6.12.

94


6AULA

Figura 6.12: Círculo percorrido no sentido horário.

O exemplo acima mostra que diferentes conjuntos de equações

paramétricas podem representar a mesma curva. Então distin-

guimos uma curva, que é um conjunto de pontos, e uma curva

paramétrica, na qual os pontos são traçados em uma ordem par-

ticular.

Exemplo 6.2.3. Vamos descrever a curva de equações paramétri-

cas x = t3, y = t2, com t real. É fácil ver que a equação cartesiana

da curva é x2 = y3, ou seja y = 3√x2. (Veja a figura 6.13)

6.3 Cálculo com Curvas Paramétricas

Nesta seção vamos introduzir os métodos de cálculo com curvas

paramétricas. Em particular, vamos resolver os problemas envol-

vendo tangentes, áreas, arco e superfície de área.

95


Figura 6.13: Curva Paramétrica.

6.3.1 Tangentes

Na seção anterior, vimos que algumas curvas definidas por equações

paramétricas x = f(t) e y = g(t) podem também ser expressas pela

eliminação do parâmetro na forma y = F (x). Em geral temos o

seguinte:

Teorema 6.19. Se f ′ for contínua e f ′(t) 6= 0 para a ≤ t ≤ b,

a curva paramétrica x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, pode ser

colocada na forma y = F (x).

Se substituirmos x = f(t) e y = g(t) na equação y = F (x),

obteremos:

g(t) = F (f(t))

assim, se g, F e f forem diferenciáveis, a Regra da Cadeia fornece

g′(t) = F ′(f(t))f ′(t) = F ′(x)f ′(t).

Se f ′(t) 6= 0, podemos resolver para F ′(x) :

F ′(x) =g′(t)f ′(t)

(6.1)

96


6AULA

Como a inclinação da tangente à curva y = F (x) em (x, F (x)) é

F ′(x), a Equação (6.1) nos permite encontrar tangentes a curvas

paramétricas sem ter que eliminar o parâmetro. Usando a notação

de Leibniz podemos reescrever a Equação (6.1) de uma maneira

fácil de lembrar:

dy

dx=

dydtdxdt

sedx

dt6= 0 (6.2)

Podemos ver da Equação (6.2) que a curva tem uma tangente

horizontal quando dydt = 0 (desde que dx

dt 6= 0) e tem uma tangente

vertical quando dxdt = 0 (desde que dy

dt 6= 0). Essa informação é útil

para esboçar as curvas paramétricas.

Para o estudo da concavidade da curva, é útil considerar d2ydx2 .

Isso pode ser encontrado mudando y por dydx na Equação (6.2):

d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)=

ddt

(dydx

)dxdt

sedx

dt6= 0

Exemplo 6.3.1. Uma curva C é definida pelas equações paramétri-

cas x = t2 e y = t3 − 3t.

(a) Mostre que C tem duas tangentes no ponto (3, 0) e encontre

suas equações.

(b) Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal ou ver-

tical.

(c) Determine onde a curva sobre e desce e onde sua concavidade

se encontra para cima ou para baixo.

Solução:

(a) Note que y = t3−3t = t(t2−3) = 0 quando t = 0 ou t = ±√

3.

Portanto, o ponto (3, 0) em C surge de dois valores do parâmetro,

t =√

3 e t = −√

3. Isso indica que C intercepta ele mesmo em

97


(3, 0). Como

dy

dx=

dydtdxdt

=3t2 − 3

2t=

32

(t− 1

t

)a inclinação da tangente quando t = ±

√3 é

dy

dx= ± 6

2√

3= ±√

3;

assim, as equações das tangentes em (3, 0) são

y =√

3(x− 3) e y = −√

3(x− 3).

(b) C tem uma tangente horizontal quando dydx = 0 isto é, dydt = 0

e dxdt 6= 0. Uma vez que dy

dt = 3t2 − 3, isso é apropriado quando

t2 = 1, isto é t = ±1. Os pontos correspondentes em C são (1,−2)

e (1, 2). C tem uma tangente vertical quando dxdt = 2t = 0, isto é,

t = 0. O ponto correspondente em C é (0, 0).

(c)Para determinar a concavidade, calculamos a derivada segunda:

d2y

dx2=

ddt

(dydx

)dxdt

=32

(1 + 1

t2

)2t

=3(t2 + 1)

4t3.

Então a concavidade da curva é para cima quando t > 0 e para

baixo quando t < 0.

(d) Usando as informações das partes (b) e (c), esboçamos C na

Figura 6.14.

Exemplo 6.3.2. (a) Encontre a tangente para a ciclóide x = r(θ−

senθ), y = r(1− cosθ), no ponto θ = π3 .

(b) Em que ponto a tangente é horizontal? Quando é vertical?

Solução:

(a) A inclinação da reta tangente é

dy

dx=

dydθdxdθ

=r senθ

r(1− cosθ)=

senθ

1− cosθ

98


6AULA

Figura 6.14: Curva referente ao Exemplo 6.3.1.

Quando θ = π3 , temos

x = r(π

3− senπ

3) = r(

π

3−√

32

) y = r(1− cosπ3

) =r

2

e

dy

dx=

senπ31− cosπ3

=

√3

2

1− 12

=√

3.

Portanto a inclinação da tangente é√

3 e sua equação é

y =r

2=√

3(x− rπ3

+ r

√3

2) ou

√3x− y = r(

π√3− 2).

A tangente está esboçada na Figura 6.15.

Figura 6.15: Ciclóide

(b) A tangente é horizontal quando dydx = 0, o que ocorre quando

senθ = 0 e 1 − cosθ 6= 0, isto é, θ = (2n − 1)π, n ∈ Z. O ponto

correspondente da ciclóide é ((2n− 1)πr, 2r).

99


Quando θ = 2nr, tanto dxdθ e dy

dθ são 0. a partir do gráfico parece

que as tangentes são verticais naqueles pontos. Podemos verificar

isso usando a Regra de L’Hôspital, como a seguir:

limθ−→2nπ+

dy

dx= lim

θ−→2nπ+

senθ

1− cosθ= lim

θ−→2nπ+

cosθ

senθ=∞

Um cálculo similar mostra que limθ−→2nπ−

dy

dx= −∞; assim, real-

mente existem tangentes verticais quando θ = 2nπ, isto é, quando

x = 2nπr.

6.3.2 Áreas

O Teorema Fundamental do Cálculo no diz que a áreas sob uma

curva y = F (x) de a até b é A =∫ ba F (x)dx, onde F (x) ≥ 0. Se a

curva for dada por equações paramétricas x = f(t), y = g(t) e for

percorrida quando t aumenta de α para β, então podemos adaptar

a fórmula anterior usando a Regra da Substituição para Integrais

Definidas como a seguir:

A =∫ b

aydx =

∫ β

αg(t)f ′(t)dt

ou

A =∫ α

βg(t)f ′(t)dt

se (f(β), g(β)) for o extremo esquerdo.

Exemplo 6.3.3. Encontre a área sob um arco da ciclóide x =

r(θ − senθ), y = r(1− cosθ).

Solução:

Um arco da ciclóide é dado por 0 ≤ θ ≤ 2π. Usando a Regra de

100


6AULA

Substituição com y = r(1− cosθ) e dx = r(1− cosθ)dθ, temos

A =∫ 2πr

0ydx =

∫ 2π

0r(1− cosθ)r(1− cosθ)dθ

= r2

∫ 2π

0(1− cosθ)2dθ = r2

∫ 2π

0(1− 2cosθ + cos2θ)dθ

= r2

∫ 2π

0[1− 2cosθ +

12

(1 + cos2θ)]dθ

= r2[32θ − 2senθ +

14sen2θ]2π0

= r2(32· 2π) = 3πr2.

Figura 6.16: Arco da ciclóide.

6.3.3 Comprimento de Arco

Sabemos que, se uma curva C é dada na forma y = F (x), a ≤ x ≤

b e F ′ for contínua, então o comprimento L da curva C é dado por

L =∫ b

a

√1 +

(dy

dx

)2

dx

Se a curva C for dada por equações paramétricas x = f(t), y =

g(t), α ≤ t ≤ β, onde f ′ e g′ são contínuas em [α, β] e for percor-

rida exatamente uma vez quando t aumenta de α para β, então

adaptando a fórmula anterior, obtemos

L =∫ β

α

√(dx

dt

)2

+(dy

dt

)2

dt.

101


Exemplo 6.3.4. Encontre o comprimento de arco da curva x =

sen t− tcos t, y = cos t+ tcos t, −1 ≤ t ≤ 1.

Solução:

Temos que√(dx

dt

)2

+(dy

dt

)2

=√

(tsen t)2 + (tcos t)2 =√t2 = |t|

Logo,

L =∫ 1

−1

√(dx

dt

)2

+(dy

dt

)2

dt =∫ 1

−1|t|dt =

∫ 0

−1(−t)dt+

∫ 1

0tdt = 1.

Figura 6.17: Curva referente ao Exemplo 6.3.4.

Neste caso, dizemos que a curva C é parametrizada pelo com-

primento de arco.

6.3.4 Área de Superfície

Dada uma curva C com equações paramétrica x = f(t), y =

g(t), α ≤ t ≤ β onde f ′, g′ são contínuas e g(t) ≥ 0, queremos

calcular a área da superfície gerada à partir da rotação da curva

C em torno do eixo-x. A área resultante é dada por

S =∫ β

α2πy

√(dx

dt

)2

+(dy

dt

)2

dt.

102


6AULA

Exemplo 6.3.5. Mostre que a área da superfície de uma esfera

de raio r é 4πr2.

Solução:

A esfera é obtida pela rotação do semicírculo

x = rcos t y = sen t 0 ≤ t ≤ π

ao redor do eixo-x. Portanto,

S =∫ π

02πsen t

√(−rsen t)2 + (rcos t)2dt

= 2π∫ π

0rsen t

√r2(sen2t+ cos2t)dt

= 2πr2

∫ π

0sen tdt = 2πr2(−cos t)

]π0

= 4πr2.

6.4 Resumo

Nesta aula, conhecemos um novo tipo de função, as funções que a

cada valor de t associa um par ordenado (x, y) no plano. Vimos que

tais funções são úteis na descrição da trajetória de uma partícula

no plano.

Além disso, aprendemos a fazer cálculos com curvas paramétri-

cas. Em particular, resolvemos problemas envolvendo tangentes,

áreas, arco e superfície de área.

Na próxima aula, estudaremos as curvas paramétricas em co-

ordenadas polares.

6.5 Atividades

01. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana

da curva, esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual

103


a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

(a) x = 3t− 5, y = 2t+ 1

(b) x = t2 − 2, y = 5− 2t, −3 ≤ t ≤ 4

(c) x = 4 cos θ, y = 5 sen θ, −π2≤ θ ≤ π

2(d) x = et, y = e−t

02. Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y)

dada por

x = cos2t, y = cos t

quando 0 ≤ t ≤ 4π.

03. (a) Mostre que as equações paramétricas

x = x1 + (x2 − x1)t, y = y1 + (y2 − y1)t

onde 0 ≤ t ≤ 1 descrevem o segmento de reta que une os pontos

(x1, x2) e (y1, y2).

(b) Encontre as equações paramétricas para representar o segmento

de reta de (−2, 7) até (3,−1).

04. Encontre os pontos da curva dada por

x = t4 + 1, y = t3 + t

em que a tangente é horizontal. Em que pontos a tangente é verti-

cal? Calcule a equação da reta tangente e da reta normal a curva

dada no ponto em que t = −1.

05. Encontre os pontos da curva dada por

x = 2 cos θ, y = sen 2θ

104


6AULA

em que a tangente é horizontal. Em que pontos a tangente é ver-

tical? Calcule a equação da reta tangente a curva dada no ponto

em que θ = π2 .

06. Calcule o comprimento da curva dada por

x = et + e−t, y = 5− 2t

para 0 ≤ t ≤ 3.

07. Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva dada

por

x = 3t− t3, y = 3t2, 0 ≤ t ≤ 1

ao redor do eixo x.




As atividades 01, 02 e 03 são referentes ao estudo das curvas

paramétricas no plano. Se conseguiu resolve-las, então você apren-

deu a descrever o movimento de uma partícula no plano.

As atividades 04, 05, 06 e 07 são referentes ao cálculo com

curvas paramétricas. Cálculo de retas tangentes, retas normais,

comprimento de arco e área de superfícies de rotação. Se conseguiu

resolver todas essas atividades. Parabéns. Você sabe fazer cálculo

com curvas paramétricas.

105


6.7 Referências






Wesley, 2002.

106

7AULA

1LIVRO

Curvas Polares

META

Estudar as curvas planas em coor-

denadas polares (Curvas Polares).

OBJETIVOS


no plano. Cálculos com curvas

planas em coordenadas polares.

PRÉ-REQUISITOS

Curvas Paramétricas (Aula 06).

Curvas Polares

7.1 Introdução

Até agora temos usado as coordenadas cartesianas para representar

um ponto no plano, por um par ordenado de números, chamados

coordenadas, que são distâncias dirigidas a partir de dois eixos

perpendiculares. Nesta aula descreveremos um sistema de coor-

denadas introduzido por Newton, denominado sistema de coorde-

nadas polares. Tal sistema de coordenadas é muito útil no estudo

de curvas no plano.

Escreveremos as curvas no plano em coordenadas polares. Além

disso, faremos os cálculos relativos as tangentes, ao comprimento

de arco e as áreas delimitadas por curvas no plano, utilizando co-

ordenadas polares.

7.2 Coordenadas Polares

Escolhemos um ponto no plano conhecido como pólo (ou origem) e

o denominamosO. Então, desenhamos um raio (semi-reta) começando

de O, chamado eixo polar. Esse eixo é geralmente desenhado hor-

izontalmente para a direita e corresponde ao eixo x positivo nas

coordenadas cartesianas.

Se P for qualquer ponto no plano, seja r a distância de O a P

e seja θ o ângulo entre o eixo polar e a reta OP como na Figura

7.18. Daí o ponto P é representado pelo par ordenado (r, θ) e r, θ

são denominados coordenadas polares de P.

Usamos a convenção de que um ângulo é positivo se for medido

no sentido anti-horário a partir do eixo polar e negativo se for

medido no sentido horário. Se P = O, então r = 0, e concordamos

que (0, θ) representa o pólo para quaisquer valor de θ.

108


7AULA

Figura 7.18: Sistema de Coordenadas Polares.

Exemplo 7.2.1. Plote os pontos cujas coordenadas polares são

(a) (1, 5π4 ) (b) (2, 3π) (c) (2, −2π

3 ) (d) (−3, 3π4 )

Solução: Os pontos são plotados na Figura 7.19.

Figura 7.19: Figura referente ao Exemplo 7.2.1

No sistema de coordenadas cartesianas cada ponto tem ape-

nas uma representação, mais no sistema de coordenadas polares

cada ponto tem muitas representações. De fato, como uma ro-

tação completa no sentido anti-horário é dada por um ângulo 2π,

o ponto representado pelas coordenadas polares (r, θ) é também

representado por

(r, θ + 2nπ) e (−r, θ + (2n+ 1)π)

onde n é qualquer inteiro.

A relação entre as coordenadas polares e cartesianas pode ser

vista a partir da Figura 7.20, na qual o pólo corresponde à origem

e o eixo polar coincide com o eixo x positivo. Se o ponto P tiver

coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), então,

109

Curvas Polares

Figura 7.20: Coordenadas Cartesianas ↔ Coordenadas Polares.

a partir da figura, temos:

cosθ =x

rsenθ =

y

r

e assim,

x = rcosθ y = rsenθ. (7.1)

As Equações (7.1) nos permitem encontrar as coordenadas carte-

sianas de um ponto quando as coordenadas polares são dadas. Para

encontrar r e θ onde x e y são conhecidos, usaremos as equações

r2 = x2 + y2 tgθ =y

x. (7.2)

que podem ser deduzidas a partir das Equações (7.1).

Exemplo 7.2.2. Converta o ponto (3, π2 ) de coordenadas polares

para cartesianas.

Solução: Como r = 3 e θ = π2 , as Equações (7.1) fornecem

x = rcosθ = 3cosπ

2= 3 · 0 = 0

y = rsenθ = 3senπ

2= 3 · 1 = 3

Portanto, o ponto é (0, 3) nas coordenadas cartesianas.

110


7AULA

Exemplo 7.2.3. Represente o ponto com coordenadas cartesianas

(1,−1) em termos de coordenadas polares.

Solução: Se escolhermos r positivo, então a Equação (7.2) fornece

r =√x2 + y2 =

√12 + (−1)2 =

√2

tgθ =y

x= −1

Como o ponto (1,−1) estão no quarto quadrante, podemos escol-

her θ = −π4 ou θ = 7π

4 . Então uma resposta possível é (√

2,−π4 );

e outra é (√

2, 7π4 ).

Exercícios:

01. Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Então en-

contre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um

com r > 0 e outro com r < 0. Encontre as coordenadas cartesianas

do ponto.

(a)(

1,π

2

)(b)

(−2,

π

4

)(c)(

2,−π4

)(d)

(−2,−π

2

)(e)(

3,π

2

)(f)(−2,−5π

6

)02. As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. Encontre

as coordenadas polares do ponto. Plote-os.

(a) (1, 1) (b)(

2√

3, −2)

(c)(−1,−

√3)

(d) (−2,−3)

03. Esboce a região do plano que consiste em pontos cujas coor-

denadas polares satisfazem as condições dadas.

(a) 1 ≤ r ≤ 2

111

Curvas Polares

(b) r ≥ 0,π

3≤ θ ≤ 2π

3(c) −1 ≤ r ≥ 1,

π

4≤ θ ≤ 3π

4

04. (a) Encontre uma fórmula para a distância entre os pontos

com coordenadas polares (r1, θ1) e (r2, θ2).

(b) Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares(3,π

2

)e(−2,−5π

6

).

Observação 7.3. Conseguiu fazer todos esses exercícios??? SIM!!!

Ótimo, você já pode continuar seus estudos relativos à essa aula.

Se você sentiu dificuldades em resolver esses exercícios, volte a

estudar as coordenadas polares, antes de prosseguir nesta aula.

7.3 Curvas Polares

Uma curva polar é representada por uma equação r = f(θ), ou

mais geralmente, F (r, θ) = 0 e seu gráfico consiste em todos os

pontos P que têm pelo menos uma representação (r, θ) cujas coor-

denadas satisfazem a equação.

Exemplo 7.3.1. A circunferência de raio 3 e centro na origem é

representada pela equação polar r = 3. De fato, temos que x2 +

y2 = r2, logo x2 + y2 = 9.

Exemplo 7.3.2. A curva com equação polar r = 2cosθ é uma

circunferência com centro em (1, 0) e raio 1. De fato, na Figura

7.22 encontramos os valores de r para alguns valores convenientes

de θ e plotamos os pontos correspondentes (r, θ). Então juntamos

esses pontos para esboçar a curva.

112


7AULA

Figura 7.21: Circunferência de equação r = 3.

Vamos agora converter a equação dada em uma equação carte-

siana, usando as Equações (7.1) e (7.2). A partir de x = rcosθ,

temos cosθ = xr ; assim, a equação r = 2cosθ torna-se r

2 = xr , que

fornece

2x = r2 = x2 + y2 ou x2 + y2 − 2x = 0

Completando o quadrado, obtemos

(x− 1)2 + y2 = 1

que é uma equação do círculo com centro em (1, 0) e raio 1.

Figura 7.22: Circunferência de equação r = 2cos θ.

Exemplo 7.3.3. A curva polar r = 1+senθ é denominada cardióide

porque tem o formato parecido com o de um coração. Plotando a

cardióide através do Software Winplot, obtemos a Figura 7.23:

113

Curvas Polares

Figura 7.23: Cardióide

Exemplo 7.3.4. A curva polar r = cos2θ é denominada rosa

de quatro pétalas (ou 4−rosácea). Plotando a curva através do

Software Winplot, obtemos a Figura 7.24:

Figura 7.24: 4−rosácea.

7.4 Tangentes as Curvas Polares

Para encontrar a reta tangente a uma curva polar r = f(θ), va-

mos considerar θ como um parâmetro e escrever suas equações

paramétricas como

x = rcosθ = f(θ)cosθ y = rsenθ = f(θ)senθ

114


7AULA

Então, usando o método para encontrar inclinações de curvas paramétri-

cas(Equação (6.2)), e a Regra do Produto temos:

dy

dx=

dydθdxdθ

=drdθsenθ + rcosθdrdθ cosθ − rsenθ

(7.1)

Localizamos as tangentes horizontais achando os pontos onde dydθ =

0 e dxdθ 6= 0. Do mesmo modo, localizamos as tangentes verticais

nos pontos onde dydθ 6= 0 e dx

dθ = 0.

Exemplo 7.4.1. (a) Para a cardióide r = 1 + cosθ, calcule a in-

clinação da reta tangente quando θ = π6 .

(b) Encontre os pontos na cardióide onde a reta tangente é hori-

zontal ou vertical.

Solução: Usando a Equação (7.1) com r = 1 + cosθ, obtemos

dy

dx=

drdθsenθ + rcosθdrdθ cosθ − rsenθ

=−senθ senθ + (1 + cosθ)cosθ−senθ cosθ − (1 + cosθ)senθ

=−sen2θ + cosθ + cos2θ

−2senθ cosθ − senθ=

2cos2θ + cosθ − 1−senθ(2cosθ + 1)

(a) A inclinação da tangente no ponto onde θ = π6 é

dy

dx=

2cos2 π6 + cosπ6 − 1

−senπ6 (2cosπ6 + 1)=

2(√

32

)2+√

32 − 1

−12

(2√

32 + 1

)=

12 +

√3

2

−12

(√3 + 1

) = −1

(b) Observe que

dy

dθ= 2cos2θ + cosθ − 1 = 0 quando θ =

π

3, π,

5π3

dx

dθ= −senθ(2cosθ + 1) = 0 quando θ = 0,

2π3, π,

4π3

Portanto existem tangentes horizontais nos pontos (32 ,

π3 ), (3

2 ,5π3 )

e tangentes verticais em (2, 0), (12 ,

2π3 ), (1

2 ,4π3 ). Quando θ = π, dxdθ

115

Curvas Polares

e dydθ são 0 e, dessa forma, devemos ser cuidadosos. Usando a Regra

de L’Hôspital, temos

limθ−→π−

dy

dx= lim

θ−→π−2cos2θ + cosθ − 1−senθ(2cosθ + 1)

= limθ−→π−

−2cosθsenθ − senθ−cosθ(2cosθ + 1)− senθ(−2senθ)

= 0

Da mesma forma, prova-se que

limθ−→π+

dy

dx= 0.

Então existe uma reta horizontal no pólo (Veja Figura 7.25).

Figura 7.25: Cardióide

7.5 Áreas e Comprimentos em Coordenadas

Polares

Seja R a região ilustrada na Figura 7.26, limitada pela curva polar

r = f(θ) e pelos raios θ = a e θ = b, onde f é uma função contínua

e positiva onde 0 < b− a ≤ 2π.

Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, cada qual

com comprimento ∆θ = b−an . Sejam a = θ0 < θ1 < · · · < θn = b

116


7AULA

Figura 7.26: Área entre curvas polares.

os pontos dessa divisão. Os raios θ = θi, i = 1, · · · , n, dividem a

figura em n setores, o i−ésimo deles estando compreendido entre

os raios θ = θi−1 e θ = θi possui área aproximadamente igual a

área do setor de um círculo com ângulo central ∆θ e raio f(θ∗i )

para algum θ∗i em [θi−1, θi], ou seja, a área do i−ésimo setor é

dada por f(θ∗i ) ·f(θ∗i )∆θ

2 = f(θ∗i )2

2 ∆θ. (Veja Figura 7.27)

Figura 7.27: Partição da região em setores de um círculo.

Portanto, a área procurada é a soma de todas essas áreas (soma

de Riemann), isto é,

A =n∑i=1

f(θ∗i )2

2∆θ.

117

Curvas Polares

Tomando seu limite quando n −→∞, obtemos a integral

A =∫ b

a

12

[f(θ)]2dθ (7.1)

A fórmula (7.1) é freqüentemente escrita como

A =∫ b

a

12r2dθ (7.2)

entendendo que r = f(θ).

Exemplo 7.5.1. Calcule a área da cardióide r = 1 + cosθ.

Solução: A curva cardióide esta plotada na Figura 7.25. Para

calcular a área, usaremos a fórmula 7.2:

A =∫ 2π

0

12

(1 + cosθ)2dθ =12

∫ 2π

0(1 + 2cosθ + cos2θ)dθ =

3π2.

Exemplo 7.5.2. Calcule a área limitada por uma pétala da 4-

rosácea r = cos2θ.

Solução: Note a partir da Figura 7.28 que a região limitada por

uma pétala da 4-rosácea é varrida pelo raio que gira de θ = π4 até

θ = −π4 . Desta forma, a fórmula (7.2) fornece

L =12

∫ π4

−π4

cos22θdθ =∫ π

4

0cos22θdθ

=∫ π

4

0

12

(1 + cos4θ)dθ =12

[θ +14sen4θ]

π40 =

π

8.

Quando uma curva é dada em coordenadas polares, por exem-

plo, r = f(θ), obtemos facilmente suas equações paramétricas em

termos do ângulo como parâmetro, ou seja:

x = rcosθ = f(θ)cosθ

y = rsenθ = f(θ)senθ

118


7AULA

Figura 7.28: 4−rosácea

Segue que(dx

dθ

)2

+(dy

dθ

)2

= [f ′(θ)cosθ − f(θ)senθ]2 + [f ′(θ)senθ + f(θ)cosθ]2

= f ′(θ)2 + f(θ)2.

Logo, o comprimento de arco da curva com equação polar r =

f(θ), a ≤ θ ≤ b é

L =∫ b

a

√f(θ)2 + f ′(θ)2dθ

ou

L =∫ b

a

√r2 +

(dr

dθ

)2

dθ. (7.3)

Exemplo 7.5.3. Calcule o comprimento da curva polar r = θ2, 0 ≤

θ ≤ 2π.

Solução: A curva é mostrada na Figura 7.29. Seu comprimento

total é dado pelo intervalo de parâmetro 0 ≤ θ ≤ 2π, assim a

fórmula 7.3 fornece

119

Curvas Polares

L =∫ 2π

0

√θ2 + (2θ)2dθ =

∫ 2π

0

√5θ2dθ =

√5∫ 2π

0θdθ = 2

√5π2.

Figura 7.29: Figura referente ao Exemplo 7.5.3

7.6 Resumo

Nesta aula, introduzimos as coordenadas polares. Além disso, tra-

balhamos com as curvas planas em coordenadas polares. Aprende-

mos a fazer cálculos com curvas polares. Em particular, resolvemos

problemas envolvendo tangentes, áreas, arco e superfície de área.

7.7 Atividades

01. Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela

equação polar dada:

(a) r = 2 (b) r = 3 sen θ

(c) r cos θ = 1 (d) r = 2 senθ + 2 cosθ

02. Encontre a equação polar para a curva descrita pela equação

cartesiana dada:(a) x = 3 (b) x2 + y2 = 9

(c) x = −y2 (d) x+ y = 9

120


7AULA

03. Esboce a curva com equação dada:

(a) θ = −π6

(b) r2 − 3r + 2 = 0

04. Esboce a curva com equação dada, calcule a área limitada por

ela e encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal

ou vertical:(a) r = 3 cosθ (b) r = cos θ + sen θ

(c) r = sen θ (d) r = −3 cos θ

(e) r = 2 cos 4θ (f) r = sen 5θ

(g) r = 1 + sen θ (h) r = cos 2θ

05. Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas

que está no setor especificado.

(a) r =√θ, 0 ≤ θ ≤ π

4;

(b) r = sen θ,π

3≤ θ ≤ 2π

3.

06. Encontre a área da região dentro de um laço da curva.

(a) r = sen 2θ;

(b) r = 1 + 2sen θ.

07. Encontre a área da região que está dentro da curva r =

2 + sen θ e fora da curva r = 3sen θ.

08. Encontre a área da região que está dentro das curvas r = sen θ

e r = cos θ.

09. Calcule o comprimento da curva polar:

(a) r = 3sen θ, 0 ≤ θ ≤ π

3;

(b) r = θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.

121

Curvas Polares


Essas atividades, são referentes aos assuntos discutidos no decorrer

desta aula e têm o objetivo de você (aluno) exercitar os conceitos

aprendidos.

Lembre-se, sempre, que existem tutores para ajuda-los na res-

olução dessas atividades.

7.9 Referências






Wesley, 2002.

122

8AULA

1LIVRO

Funções com ValoresVetoriais

META

Estudar funções de uma variável

real a valores em R3

OBJETIVOS


no espaço.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido os conceitos de

funções reais e de curvas no plano.

Funções com Valores Vetoriais

8.1 Introdução

Nesta aula, vamos estudar funções que a cada número real de um

intervalo da reta (domínio) associa um único vetor no espaço. Tais

funções serão úteis no estudo de curvas espaciais, que faremos na

próxima aula.

8.2 Definições e Propriedades

Uma função de uma variável real a valores em R3 ou função vetorial

é uma função ~F : I −→ R3 onde I é um subconjunto de R. Uma

tal função associa a cada t ∈ I, um único vetor ~F (t) ∈ R3. O

conjunto I é o domínio de ~F e será indicado por D~F . A imagem

ou trajetória de ~F é o lugar geométrico, em R3, descrito por ~F (t),

quando t varia em I.

Como uma função vetorial associa a cada t ∈ I, um único vetor

~F (t) ∈ R3, então existem, e são únicas, 3 (três) funções a valores

reais Fi : I −→ R, i = 1, 2, 3, tais que, qualquer que seja t ∈ I,

~F (t) = (F1(t), F2(t), F3(t)) ou ~F (t) = F1(t)~i+F2(t)~j+F3(t)~k.

Tais funções são denominadas funções componentes de F .

Exemplo 8.2.1. ~F (t) = (t2, sen t, 2) é uma função vetorial e suas

funções componentes são:

F1(t) = t2, F2(t) = sen t e F3(t) = 2.

Exemplo 8.2.2. Seja ~F (t) = t~i +√t~j + sen 3t~k. As funções

componentes de ~F são as funções:

F1(t) = t, F2(t) =√t e F3(t) = sen 3t.

124


8AULA

Sejam ~F , ~G : I −→ R3 duas funções de uma variável real a

valores em R3, f : I −→ R uma função a valores reais e k uma

constante. Definimos:

(a) a função ~F + ~G : I −→ R3 dada por

(~F + ~G)(t) = F (t) + ~G(t)

denomina-se soma de ~F e ~G.

(b) a função k ~F : I −→ R3 dada por

(k ~F )(t) = k ~F (t) + ~G(t)

é o produto de ~F pela constante k.

(c) a função f · ~F : I −→ R3 dada por

(f · ~F )(t) = f(t)~F (t)

é o produto de ~F pela função escalar f .

(d) a função ~F · ~G : I −→ R dada por

(F ·G)(t) = F (t) ·G(t)

onde ~F (t) · ~G(t) = F1(t) ·G1(t) + F2(t) ·G2(t) + F3(t) ·G3(t), é o

produto escalar de F e G.

(e) a função ~F × ~G : I −→ R3 dada por

(~F × ~G)(t) = ~F (t)× ~G(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

F1(t) F2(t) F3(t)

G1(t) G2(t) G3(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= [F2(t)G3(t)− F3(t)G2(t)]~i+ [F3(t)G1(t)− F1(t)G3(t)]~j

+[F1(t)G2(t)− F2(t)G1(t)]~k

denomina-se produto vetorial de ~F e ~G.

125


Exemplo 8.2.3. Sejam ~F (t) = (t, sen t, 2), ~G(t) = (3, t, t2) e

f(t) = et. Temos:

(a) o produto escalar de ~F e ~G é a função ~H dada por

~H(t) = ~F (t) · ~G(t) = 3t+ t sen t+ 2et.

(b) o produto de ~F pela função escalar f é a função com valores

em R3 dada por

f(t)~F (t) = et(t, sen t, 2) = (tet, etsen t, 2et).

(c) o produto vetorial de ~F e ~G é a função a valores em R3 dada

por

(~F × ~G)(t) = ~F (t)× ~G(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

t sen t 2

3 t t2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= [t2sen t− 2t]~i+ [6− t3]~j + [t2 − 3sen t]~k

8.3 Limite e Continuidade

O limite de uma função vetorial ~F é definido tomando-se os limites

de suas funções componentes como se segue:

Se limt−→a

~F (t) = L, essadefinição equivale adizer que o compri-mento, a direção eo sentido do vetor~F (t) se aproximamdo comprimento, dadireção e do sentido dovetor L.

Definição 8.9. Se ~F (t) = (F1(t), F2(t), F3(t)), então

limt−→a

~F (t) = ( limt−→a

F1(t), limt−→a

F2(t), limt−→a

F3(t))

desde que os limites das funções componentes existam.

Exemplo 8.3.1. Determine limt−→0

~F (t) onde ~F (t) = (t2,√t+ 1,

√5− t).

Solução:

limt−→0

~F (t) = ( limt−→0

t2, limt−→0

√t+ 1, lim

t−→0

√5− t = (0, 1,

√5).

126


8AULA

Uma função vetorial ~F é contínua em t0 se

limt−→t0

~F (t) = ~F (t0).

Segue da Definição 8.9 que ~F é contínua em t0 se e somente se suas

funções componentes F1, F2 e F3 são contínuas em t0.

Dizemos que ~F é contínua em J ⊂ I de ~F for contínua em todo

t ∈ J ; dizemos, simplesmente, que ~F é contínua se for contínua em

cada t do seu domínio.

8.4 Derivada

A derivadad~F

dtde uma função vetorial ~F é definida do mesmo

modo como foi feito para as funções reais:

Definição 8.10. Uma função vetorial ~F tem derivadad~F

dtse

d~F

dt= lim

h−→0

~F (t+ h)− ~F (t)h

.

Notação 1.d~F

dt(t) = ~F ′(t)

Observação 8.4. Observe que

limh−→0

~F (t+ h)− ~F (t)h

=(

limh−→0

F1(t+ h)− F1(t)h

, limh−→0

F2(t+ h)− F2(t)h

, limh−→0

F3(t+ h)− F3(t)h

)= (F ′1(t), F ′2(t), F ′3(t)).

O próximo teorema mostra que as fórmulas de diferenciação

para funções reais têm suas equivalentes para as funções vetoriais.

Teorema 8.20. Sejam ~F , ~G : I −→ R3, f : I −→ R deriváveis

em A. Então, f · ~F e ~F · ~G serão, também, diferenciáveis em I e

1.d

dt[f · ~F ] =

df

dt· ~F + f · d

~F

dt;

127


2.d

dt[~F · ~G] =

d~F

dt· ~G+ ~F · d

~G

dt;

3.d

dt[~F × ~G] =

d~F

dt× ~G+ ~F × d~G

dt;

4.d

dt[~F (f(t))] =

df

dt· d~F

dt(f(t)).

A demonstração desse teorema segue diretamente da Obser-

vação 8.4 e das fórmulas de diferenciação correspondentes para a

função real. Deste modo, tal demonstração ficará para exercício.Geometricamente, esseresultado indica que, sea curva está em umaesfera com o centro naorigem, então o ve-tor tangente é sempreperpendicular ao vetorposição ~F (t).

Exemplo 8.4.1. Mostre que, se ‖~F (t)‖ = c (uma constante),

então ~F ′(t) é ortogonal a ~F (t) para todo t.

Demonstração: Como

~F (t) · ~F (t) = ‖~F (t)‖2 = c2

e c2 é uma constante, segue da Fórmula 4 do Teorema 8.20 que

0 =d

dt[~F (t) · ~F (t)] = ~F ′(t) · ~F (t) + ~F (t) · ~F ′(t) = 2~F ′(t) · ~F (t).

Então, ~F ′(t) · ~F (t) = 0, o que implica que ~F ′(t) é ortogonal a ~F (t).

8.5 Integral

Seja ~F = (F1, F2, F3) definida em [a, b]. Dizemos que ~F é inte-

grável em [a, b] se cada componente de ~F o for. Além disso, se ~F

for integrável em [a, b], então∫ b

a

~F (t)dt =(∫ b

aF1(t)dt,

∫ b

aF2(t)dt,

∫ b

aF3(t)dt

)=

∫ b

aF1(t)dt ·~i+

∫ b

aF2(t)dt ·~j +

∫ b

aF3(t)dt · ~k.

Se ~F for integrável em [a, b] e ~G for uma primitiva de ~F em

[a, b] teremos ∫ b

a

~F (t)dt = ~G(t)]ba

= ~G(b)− ~G(a).

128


8AULA

De fato,

d~G

dt= ~F ⇔ dGi

dt= Fi, i = 1, 2, 3.

então∫ b

a

~F (t)dt =(∫ b

aF1(t)dt,

∫ b

aF2(t)dt,

∫ b

aF3(t)dt

)= (G1(b)−G1(a), G2(b)−G2(a), G3(b)−G3(a))

= ~G(b)− ~G(a).

Exemplo 8.5.1. Se ~F (t) = et~i+ 2~j + t~k, então∫~F (t)dt =

(∫etdt

)~i+

(∫2dt)~j +

(∫tdt

)~k

= et~i+ 2t~j +t2

2~k + C

onde C é um vetor constante de integração, e∫ 1

0

~F (t)dt =[et~i+ 2t~j +

t2

2~k

]1

0

= e1~i+ 2~j +12~k − e0~i

= (e− 1)~i+ 2~j +12~k.

8.6 Resumo

Uma função de uma variável real a valores em R3 é uma função do

tipo ~F : I ⊂ R −→ R3 dada por

~F (t) = (F1(t), F2(t), F3(t)) ou ~F (t) = F1(t)~i+F2(t)~j+F3(t)~k.

Se ~F (t) = (F1(t), F2(t), F3(t)), então

limt−→a

~F (t) = ( limt−→a

F1(t), limt−→a

F2(t), limt−→a

F3(t))

desde que os limites das funções componentes existam.

129


Uma função vetorial ~F é contínua em t0 se

limt−→t0

~F (t) = ~F (t0).

Uma função vetorial ~F = (F1(t), F2(t), F3(t)) tem derivadad~F

dtse

d~F

dt= lim

h−→0

~F (t+ h)− ~F (t)h

.

Vimos, também, que

~F ′(t) = (F ′1(t), F ′2(t), F ′3(t)).

Seja ~F = (F1, F2, F3) definida em [a, b]. Dizemos que ~F é

integrável em [a, b] se cada componente de ~F o for. Além disso, se

~F for integrável em [a, b], então∫ b

a

~F (t)dt =(∫ b

aF1(t)dt,

∫ b

aF2(t)dt,

∫ b

aF3(t)dt

)=

∫ b

aF1(t)dt ·~i+

∫ b

aF2(t)dt ·~j +

∫ b

aF3(t)dt · ~k.

Na próxima aula, usaremos essas funções vetoriais para estudar

os movimentos de partículas no espaço.

8.7 Atividades

01. Sejam ~F (t) = (t, 2, t2) e ~G(t) = (t, −1, 1). Calcule:

(a) ~F (t) · ~G(t) (b) e−t ~F (t)

(c) ~F (t)− 2~G(t) (d) ~F (t)× ~G(t)

02. Calcule:

(a) limt−→1

~F (t), onde ~F (t) =(√

t− 1t− 1

, t2,t− 1t

)(b) lim

t−→0~F (t), onde ~F (t) = (t, cos t, sen t)

130


8AULA

03. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique

sua resposta.

(a) ~F (t) = t~i+√t~j + 3~k.

(b) ~F (t) =√t− 1~i+

√t+ 1~j + et~k.

04. Sejam ~F , ~G : I −→ R3 e f : I −→ R contínuas em t0 ∈ I.

Prove que ~F + ~G, f ~F , ~F · ~G e ~F × ~G são contínuas em t0.

05. Determine ~r = ~r(t) sabendo que

d~r

dt= sen t~i+ cos 2t~j +

11 + t

~k, t ≥ 0, e ~r(0) =~i−~j + 2~k.

06. Calcule

(a)∫ 1

0(t~i+ et~j)dt;

(b)∫ 1

−1

(sen 3t,

11 + t2

, 1)dt.

07. Sejam ~F (t) = t~i+~j + et~k e ~G(t) =~i+~j + ~k. Calcule

(a)∫ 1

0(~F (t)× ~G(t))dt;

(b)∫ 1

0

(~F (t) · ~G(t)

)dt.




aprendidos.



131


8.9 Referências






Wesley, 2002.

132

9AULA

1LIVRO

Curvas Espaciais

META

Estudar as curvas no espaço (R3).

OBJETIVOS

Descrever o movimento de objetos

no espaço.

PRÉ-REQUISITOS

Funções vetoriais (Aula 08).

Curvas Espaciais

9.1 Introdução

Na aula anterior, estudamos as funções vetoriais. Nesta aula, estu-

daremos o movimento de objetos no espaço utilizando tais funções.

9.2 Movimentos no espaço

Para descrever o movimento de uma partícula no espaço precisamos

explicar onde a partícula está a cada instante de tempo t de um

certo intervalo. Assim, a cada instante t no intervalo considerado

I, corresponde um ponto ~r(t) e o movimento é descrito por uma

função vetorial ~r : I −→ R3.

Suponha que f, g e h sejam funções reais contínuas em um

intervalo I da reta. Então o conjunto C de todos os pontos (x, y, z)

no espaço para os quais x = f(t)

y = g(t)

z = h(t)

(9.1)

e t varia no intervalo I é chamado curva espacial ou curva em R3.

As equações em (9.1) são denominadas equações paramétricas de

C e t é denominado o parâmetro.

Se considerarmos a função vetorial ~r(t) = (f(t), g(t), h(t)), en-

tão ~r(t) é um vetor posição do ponto P (f(t), g(t), h(t)) sobre C.

Assim, qualquer função vetorial define uma curva espacial C que

é traçada pela ponta do vetor em movimento.

Definição 9.11. Seja ~r : I −→ R3 uma curva. O traço de ~r é a

imagem do intervalo I por ~r.

134


9AULA

Figura 9.30: Traço de ~r.

Exemplo 9.2.1. Descreva o traço da curva espacial dada por

~r(t) = (2− 3t, −t, −2 + t).

Solução: As equações paramétricas correspondentes são

x = 2− 3t, y = −t, z = −2 + t

que são as equações paramétricas de uma reta passando pelo ponto

(2, 0,−2) e paralela ao vetor (−3,−1, 1). Outro modo de ver é

observar que a função pose ser escrita como ~r = ~r0 + tv, onde

~r0 = (2, 0,−2) e v = (−3,−1, 1). (Ver Figura 9.31)

Exemplo 9.2.2. Esboce o traço da curva cuja equação vetorial é

dada por

~r(t) = cos t~i+ sen t~j + t~k t ∈[0,

5π2

].

135

Curvas Espaciais

Figura 9.31: Traço da curva dada no Exemplo 9.2.1.

Solução: As equações paramétricas para essa curva sãox = cos t

y = sen t

z = t

Como x2 + y2 = cos2t + sen2t = 1, a curva precisa pertencer ao

cilindro circular x2 + y2 = 1. O ponto (x, y, z) está diretamente

acima do ponto (x, y, 0), que se move no sentido anti-horário em

torno da circunferência x2 + y2 = 1 no plano xy. Como z = t, a

curva faz uma espiral para cima ao redor de um cilindro quando t

aumenta. A curva, mostrada na Figura 9.32, é chamada hélice.

Nos exemplos 9.2.1 e 9.2.2 demos as equações vetoriais das

curvas e pedimos uma descrição geométrica ou esboço delas. No

proximo exemplo daremos uma descrição geométrica da curva e

pediremos para determinar suas equações paramétricas.

Exemplo 9.2.3. Determine a equação vetorial para o segmento

de reta ligando o ponto P (1, 3,−2) ao ponto Q(2,−1, 3).

Solução: Uma equação para o segmento de reta de P a Q (Ver

136


9AULA

Figura 9.32: Hélice

Figura 9.33):

~r(t) = (1− t)(1, 3,−2) + t(2,−1, 3), 0 ≤ t ≤ 1

ou

~r(t) = (1 + t, 3− 4t,−2 + 5t), 0 ≤ t ≤ 1.

Como vimos, a função vetorial ~r tem derivada ~r′(t) em t ∈ I se

~r′(t) = limh−→0

~r(t+ h)−~r(t)h

Lembre que, se~r(t) = (f(t), g(t), h(t)), então~r′(t) = (f ′(t), g′(t), h′(t)).

A Figura 9.34 mostra que o vetor~r(t+ h)−~r(t)

htem a di-

reção que, conforme h tende a zero, aproxima-se da direção que

costumamos chamar a direção tangente à curva ~r em ~r(t).

A derivada ~r′(t) se existe e é diferente do vetor nulo é chamado

de vetor tangente a ~r em ~r(t). Deste modo, a equação da reta

tangente à curva ~r em ~r(t0) é dada por

(x, y, z) = ~r(t0) + t~r′(t0), t ∈ R.

137

Curvas Espaciais

Figura 9.33: Segmento de reta ligando o ponto P (1, 3,−2) ao ponto

Q(2,−1, 3).

Figura 9.34: Vetor Secante (Figura à esquerda) e Vetor Tangente

(Figura à direita).

Teremos ocasião de considerar o versor tangente, dado por

T (t) =~r′(t)‖~r′(t)‖

.

Temos que ‖T (t)‖ = 1, para todo t ∈ I, logo, segue do Exemplo

8.4.1, que T (t) · T ′(t) = 0, ou seja, os vetores T (t) e T ′(t) são

138


9AULA

ortogonais. O vetor

N(t) =T ′(t)‖T ′(t)‖

é denominado vetor normal principal unitário a ~r em ~r(t).

O vetor B(t) = T (t) × N(t) é denominado vetor binormal, é

perpendicular a T e N e também é unitário. (Veja Figura 9.35)

Figura 9.35: Vetores tangente, normal e binormal.

O número

k =‖~r′(t)×~r′′(t)‖‖~r′(t)‖3

é denominado curvatura de uma curva espacial ~r em ~r(t) e mede

quão rapidamente a curva muda de direção no ponto.

Exemplo 9.2.4. Considere a hélice com equações paramétricasx = 2cos t

y = sen t

z = t

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à hélice

no ponto (0, 1, π/2).

Solução: A equação vetorial da hélice é ~r(t) = (2cos t, sen t, t),

de modo que

~r′(t) = (−2sen t, cos t, 1).

139

Curvas Espaciais

Note que o valor do parâmetro correspondente ao ponto (0, 1, π/2)

é t = π/2, e o vetor tangente é~r′(π/2) = (−2, 0, 1). A reta tangente

que passa por (0, 1, π/2) e é paralela ao vetor (−2, 0, 1) é dada por

(x, y, z) = (−2, 0, 1) + t(0, 1, π/2), t ∈ R

ou

x = −2t

y = 1

z = π2 + t

t ∈ R.

Figura 9.36: Traço da hélice e da reta tangente.

Exemplo 9.2.5. Determine os vetores normais e binormais da

hélice circular

~r(t) = cos t~i+ sen t~j + t~k.

140


9AULA


~r′(t) = −sen t~i+ cos t~j + 1~k

‖~r′(t)‖ =√

(−sen t)2 + (cos t)2 + 1 =√

2

T (t) =~r′(t)|~r′(t)|

=1√2

(−sen t~i+ cos t~j + 1~k)

T ′(t) =1√2

(−cos t~i− sen t~j) ‖T ′(t)‖ =1√2

N(t) =T ′(t)‖T ′(t)‖

= −cos t~i− sen t~j = (−cos t, sen t, 0)

A Figura 9.37 ilus-tra o Exemplo 9.2.5mostrando os vetoresT, N e B em doispontos da hélice cir-cular. Em geral, osvetores T, N e Bcomeçando nos váriosponto, formam um con-junto de vetores or-togonais, denominadostriedro TNB, que semove ao longo da curvaquando t varia.

Figura 9.37: Triedro TNB

Isso mostra que o vetor normal em um ponto da hélice circular

é horizontal e aponta em direção ao eixo-z. O vetor binormal é

B(t) = T (t)×N(t) =1√2

~i ~j ~k

−sen t cos t 1

−cos t −sen t 0

=

1√2

(sen t, −cos t, 1).

141

Curvas Espaciais

Exemplo 9.2.6. Determine a curvatura da curva dada pela equação

vetorial ~r(t) = (t, t2, t3) em um ponto genérico e em (0, 0, 0).


~r′(t) = (1, 2t, 3t2) ~r′′(t) = (0, 2, 6t)

‖~r′(t)‖ =√

1 + 4t2 + 9t4

~r′(t)×~r′′(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

1 2t 3t2

0 2 6t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6t2~i− 6t~j + 2~k

‖~r′(t)×~r′′(t)‖ =√

36t4 + 36t2 + 4 = 2√

9t4 + 9t2 + 1

Então a curvatura da curva ~r em ~r(t) é dada por

k(t) =‖~r′(t)×~r′′(t)‖‖~r′(t)‖3

=2√

9t4 + 9t2 + 1(1 + 4t2 + 9t4)3/2

Na origem, a curvatura é k(0) = 2.

9.3 Movimento no espaço: Velocidade e Acel-

eração

Nesta seção mostraremos como as idéias dos vetores tangente e nor-

mal, podem ser usadas na física para estudar o movimento de obje-

tos, sua velocidade e sua aceleração, quando eles estão se movendo

ao longo de uma curva espacial.

Suponha que uma partícula se mova no espaço de forma que

seu vetor posição no instante t seja ~r(t). Observe que o número

‖~r(t+ h)−~r(t)‖|h|

,

para h pequeno, é a velocidade média de ~r no intervalo de t a t+h.

Se ~r′(t) existe, então

‖~r′(t)‖ = limh−→0

‖~r(t+ h)−~r(t)‖|h|

.

142


9AULA

De fato, notemos que(∗) Usamosa propriedade|‖−→u ‖ − ‖−→v ‖| ≤‖−→u −−→v ‖0 ≤

∣∣∣∣‖~r(t+ h)−~r(t)‖|h|

− ‖~r′(t)‖∣∣∣∣ ≤(∗)

≤∥∥∥∥~r(t+ h)−~r(t)

|h|−~r′(t)

∥∥∥∥ −→ 0, com h −→ 0.

Logo‖~r(t+ h)−~r(t)‖

|h|−→ ‖~r′(t)‖

com h −→ 0.

Assim ‖~r′(t)‖ é um limite de velocidades médias sobre um inter-

valo arbitrariamente pequeno. Por essa razão, ‖~r′(t)‖ é chamado

a velocidade (ou rapidez) da partícula que se move no espaço sob

a curva ~r no ponto ~r(t) e v(t) = ~r′(t) é dito vetor velocidade de ~r

em ~r(t).

Da mesma forma, ‖~r′′(t)‖ é a aceleração da partícula que se

move no espaço sob a curva ~r no ponto ~r(t) e a(t) = v′(t) = ~r′′(t)

é dito vetor aceleração de ~r em ~r(t).

Exemplo 9.3.1. O vetor de um objeto se movendo no espaço é

dado por ~r(t) = (t2 + 1, t3, t2 − 1). Determine a velocidade, a

rapidez e a aceleração do objeto no instante t = 1.

Solução: A velocidade e a aceleração no instante t são

v(t) = ~r′(t) = (2t, 3t2, 2t)

a(t) = ~r′′(t) = (2, 6t, 2)

e a rapidez é

‖v(t)‖ =√

(2t)2 + (3t2)2 + (2t)2 =√

8t2 + 9t4.

Quando t = 1, temos

v(1) = (2, 3, 2), a(t) = (2, 6, 2), ‖v(1)‖ =√

17.

143

Curvas Espaciais

Figura 9.38: Vetor Velocidade e Vetor Aceleração.

Exemplo 9.3.2. Uma partícula de move de uma posição inicial

~r(0) = (0, 0, 0) com velocidade inicial v(0) =~i−~j. Sua aceleração

é dada por a(t) = 4t~i+6t~j+~k. Determine sua velocidade e posição

no instante t.

Solução: Como a(t) = v′(t), temos

v(t) =∫a(t)dt =

∫(4t~i+ 6t~j + ~k)dt = 2t2~i+ 3t2~j + t~k + C

Para determinar o valor de C, usaremos o fato de que v(0) =~i−~j.

A equação anterior nos dá v(0) = C, assim C =~i−~j e

v(t) = 2t2~i+ 3t2~j + t~k +~i−~j = (2t2 + 1)~i+ (3t2 − 1)~j + t~k.

Como v(t) = ~r′(t), temos

~r(t) =∫v(t)dt =

∫((2t2 + 1)~i+ (3t2 − 1)~j + t~k)dt

=(

23t3 + t

)~i+ (t3 − t)~j +

t2

2~k +D

Para determinar o valor de D, usaremos o fato de que ~r(0) = 0. A

equação anterior nos dá ~r(0) = D, assim D = 0 e

~r(t) =(

23t3 + t

)~i+ (t3 − t)~j +

t2

2~k.

144


9AULA

9.4 Comprimento de Arco

O comprimento de uma curva é a distância total percorrida pela

partícula móvel. Prova-se que dada uma curva ~r : [a, b] −→ R3,

seu comprimento é dado por

c(~r) =∫ b

a‖~r′(t)‖dt.

Vejamos uma interpretação:

Figura 9.39: Comprimento de arco.

‖~r′(ti)‖ ·∆i w comprimento de arco destacado, melhorando a

aproximação quando Deltai −→ 0.

Assim:

c(~r) = lim∆i−→0

n∑i=1

‖~r′i(ti)‖ ·∆i =∫ b

a‖~r′(t)‖dt

Observação 9.5. O Leitor interessado na dedução dessa fórmula

pode consultar, por exemplo, o livro Advanced Calculus - Buck -

pag. 321.

Exemplo 9.4.1. Considere a curva ~r : [0, 2π] −→ R2 dada por

~r(t) = (cos t, 0). É fácil ver que (Veja a Figura 9.40) que o com-

primento da curva é 4.

145

Curvas Espaciais

Figura 9.40: Traço da curva ~r(t) = (cos t, 0).

Vamos calcular agora pela definição:

c(~r) =∫ 2π

0‖~r′(t)‖dt =

∫ 2π

0‖(−sen t, 0)‖dt =

∫ 2π

0

√(−sen t)2dt

= 2∫ π

0sen tdt = 2[−cos t]π0 = 2(−cos π + cos 0) = 2(2) = 4.

Exemplo 9.4.2. Considere a hélice circular~r(t) = (cos t, sen t, t), t ∈

[0, 2π]. Seu comprimento é dado por

c(~r) =∫ 2π

0‖~r′(t)‖dt =

∫ 2π

0‖(−sen t, cos t, 1)‖dt

=∫ 2π

0

√(−sen t)2 + (cos t)2 + 1dt =

∫ 2π

0

√2dt = 2

√2π.

9.5 Resumo

Vimos nesta aula, que uma curva espacial é dada por uma função

vetorial ~r : I −→ R3.

A derivada ~r′(t) se existe e é diferente do vetor nulo é chamado

de vetor tangente a ~r em ~r(t). O versor tangente é dado por

T (t) =~r′(t)‖~r′(t)‖

.

O vetor

N(t) =T ′(t)‖T ′(t)‖

146


9AULA

é denominado vetor normal principal unitário a ~r em ~r(t).

O vetor B(t) = T (t) × N(t) é denominado vetor binormal, é

perpendicular a T e N e também é unitário.

Se uma partícula se move no espaço de forma que seu vetor

posição no instante t seja ~r(t). Então sua velocidade e sua aceler-

ação no instante t são dadas por ‖~r′(t)‖ e ‖~r′′(t)‖, respectivamente.

O comprimento de uma curva é a distância total percorrida pela

partícula móvel. Prova-se que dada uma curva ~r : [a, b] −→ R3,

seu comprimento é dado por

c(~r) =∫ b

a‖~r′(t)‖dt.

9.6 Atividades

01. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por:

(a) ~r(t) = t2~i+ t4~j + t6~k;

(b) ~r(t) = (sen t, 3, cos t);

(c) ~r(t) = (1 + t, 3t, −t);

(d) ~r(t) = t~i+ t~j + cos t~k.

02. Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para

o segmento de reta que liga P (−2, 4, 0) e Q(6, −1, 2).

03. Duas partículas viajam ao longo das curvas espaciais

~r1(t) = (t, t2, t3) ~r2(t) = (1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t).

As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?

04. Determine os vetores tangente, normal, binormal e o versor

tangente no ponto com valor de parâmetro t dado.

147

Curvas Espaciais

(a) ~r(t) = (6t5, 4t3, 2t), t = 1;

(b) ~r(t) = 4√t~i+ t2~j + t~k, t = 1;

(c) ~r(t) = e2t~i+ e−2t~j + te2t~k, t = 0.

05. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à

curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

(a) x = t5, y = t4, z = t3; (1, 1, 1)

(b) x = e−tcos t, y = e−tsen t, z = e−t; (1, 0, 1)

06. Determine o comprimento da curva dada:

(a) ~r(t) = (2sen t, 5t, 2cos t), −10 ≤ t ≤ 10;

(b) ~r(t) = t2~i+ 2t~j + ln t~k, 1 ≤ t ≤ e;

07. Determine a curvatura da curva dada por ~r(t) = etcos t~i +

etsen t~j + t~k no ponto (1, 0, 0).

08. Determine os vetores velocidade e aceleração e a rapidez da

partícula cuja função posição é dada:

(a) ~r(t) = (√

2t, et, e−t);

(b) ~r(t) = et(cos t~i+ sen t~j + t~k).

09. Determine os vetores velocidade e de posição de uma partícula

dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.

a(t) = −5~k, v(0) =~i+~j − 2~k, ~r(0) = 2~i+ 3~j.

10. Mostre que, se uma partícula se move com rapidez constante,

então os vetores velocidade e de aceleração são ortogonais.

148


9AULA




aprendidos.



9.8 Referências






Wesley, 2002.

149

10AULA

1LIVRO

Funções de VariasVariáveis Reais a Val-ores Reais

META

Estudar o domínio, o gráfico e as

curvas de níveis de funções de duas

variáveis a valores reais.

OBJETIVOS

Estender os conceitos de domínio

e de gráfico de funções de uma

variável a valores reais.

PRÉ-REQUISITOS

Funções de uma variável a valores

reais.

Funções de Varias Variáveis Reais a Valores Reais

10.1 Introdução

No mundo real, quantidades físicas freqüentemente dependem de

duas ou mais variáveis, de modo que, nesta aula, focalizaremos

nossa atenção a funções de duas variáveis e estenderemos nossas

idéias básicas do cálculo diferencial para funções de uma variável

real a valores reais.

Antes de iniciarmos nosso estudo sobre funções de duas var-

iáveis a valores reais, precisamos introduzir alguns conceitos da

topologia do R2.

10.2 Noções Topológicas no R2

Nosso objetivo, nesta seção, é introduzir no R2 os conceitos de

norma e de conjunto aberto, que generalizam os conceitos de mó-

dulo e de intervalo aberto, e que serão fundamentais em tudo o

que veremos a seguir.

Considere P = (x1, x2) ∈ R2.

Associamos ao ponto P um número real chamado sua norma,

definido por:

‖P‖ =√x2

1 + x22

.

Dizemos que a distância entre os pontos P e Q é dada por

d(P,Q) = ‖P −Q‖. Se P = (x1, x2) e Q = (y1, y2), então

d(P,Q) = ‖P −Q‖ =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

Observação 10.6. Esta é a distância euclidiana. Tal distância

pode ser estendida para n variáveis de maneira natural.

152


10AULA

Figura 10.41: Distância entre os pontos P e Q.

Definição 10.12. Chama-se bola aberta (ou vizinhança) de centro

em P0 ∈ R2 e raio δ > 0, ao seguinte conjunto:

B(P0, δ) = {P ∈ R2; d(P, P0) < δ}

Figura 10.42: Bola aberta centrada em P0 e raio δ.

Observação 10.7. Uma bola aberta de centro em P0 e raio δ > 0

também será chamada de vizinhança de raio δ do ponto P0 que

será denotada por Vδ(P0).

153


Dado um conjunto S ⊂ R2, qualquer, todo ponto de R2 tem

uma das propriedades:

(a) dizemos que P é ponto interior a S, se existir δ > 0 tal que

B(P, δ) ⊂ S.

(b) dizemos que P é ponto exterior a S, se existe δ > 0 tal que

B(P, δ) não contém qualquer elemento de S, isto é, B(P, δ)∩S = ∅.

(c) dizemos que P é ponto de fronteira de S, quando P não é

interior nem exterior a S, isto é, para todo δ > 0, B(P, δ) contém

pontos de S e pontos que não são de S.

Exemplo 10.2.1. Observando a Figura 10.43 é fácil ver que P é

ponto exterior a S, Q é ponto interior a S e R é ponto de fronteira

de S.

Figura 10.43: Pontos interiores, exteriores e de fronteira.

154


10AULA

Exemplo 10.2.2. Considere o conjunto S ={(

1n,

1n

), n ∈ N

}⊂ R2.

O esboço do conjunto S em R2 é dado na Figura 10.44. Note que

os pontos P e Q são pontos de fronteira de S e o ponto R é ponto

exterior a S.

Figura 10.44: Pontos exteriores e de fronteira.

Definição 10.13. Seja A ⊂ R2. Dizemos que A é aberto, se todo

ponto de A for interior a A, isto é, para todo P ∈ A existe δ > 0

tal que B(P, δ) ⊂ A.

Exemplo 10.2.3. R2 é aberto em R2.

Exemplo 10.2.4. A = {P = (x, y) ∈ R2; ‖(x, y)‖ < 1} é aberto

em R2. De fato: seja P0 = (x0, y0) ∈ A. Logo ‖P0‖ = r <

1. Consideremos a bola aberta B

(P0,

1− r2

). Mostremos que

B

(P0,

1− r2

)⊂ A : Seja P ∈ B

(P0,

1−r2

)então

‖P‖ = ‖P − P0 + P0‖ ≤ ‖P − P0‖+ ‖P0‖

= ‖P − P0‖+ r <1− r

2+ r < 1.

155


Exemplo 10.2.5. Qualquer B(P0, δ) é um conjunto aberto no R2.

Observação 10.8. Dado um conjunto A ⊂ R2, o conjunto dos

pontos interiores a A é chamado interior de A e é denotado por

intA.

Definição 10.14. Dado A ⊂ R2. dizemos que P é um ponto de

acumulação de A, se qualquer vizinhança de P contém pontos de

A, diferentes de P.

Exemplo 10.2.6. Todo ponto P ∈ R2 é ponto de acumulação do

R2.

Exemplo 10.2.7. Nenhum ponto P ∈ R2 é ponto de acumulação

do conjunto ∅.

Exemplo 10.2.8. O conjunto de pontos de acumulação de A =

{(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 1} ⊂ R2 é {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1}.

Exemplo 10.2.9. Considere o conjunto A = {(x, y) ∈ R2; y >

x} ∪ {(1, 0)}. (Veja Figura 10.45) Observe que o ponto (1, 0) ∈ A

Figura 10.45: Esboço do conjunto A

mais não é ponto de acumulação de A e o ponto (1, 1) /∈ A mais é

156


10AULA

ponto de acumulação de A.

Definição 10.15. Um conjunto A é fechado se todo ponto de

acumulação de A pertence a A.

Exemplo 10.2.10. R2 é fechado.

Exemplo 10.2.11. ∅ é fechado.

Exemplo 10.2.12. A = {(x, y) ∈ R2; x2 +y2 < 1} não é fechado.

Definição 10.16. Um conjunto A ⊂ R2 é dito limitado se existe

δ > 0 tal que A ⊂ B(0, δ).

Figura 10.46: Conjunto limitado

Exemplo 10.2.13. Qualquer B(P, δ) é um conjunto limitado.

Exemplo 10.2.14. {(1,m) ∈ R2; m ∈ N} não é limitado. Desenhe-

o.

Definição 10.17. Um conjunto A ⊂ R2 se diz compacto quando

é fechado e limitado.

Exemplo 10.2.15. Todo conjunto finito é compacto.

157


10.3 Funções

Nesta aula e nas seguintes daremos ênfase ao estudo das funções

reais de duas variáveis reais, e você alunos que chegou até aqui,

não terá dificuldade em generalizar os resultados para funções de

mais de duas variáveis, já que não há diferenças importantes.

Definição 10.18. Seja D ⊂ R2. Uma função f definida em D com

valores em R é uma correspondência que associa a cada ponto de

D um e um só número real.

Notação 2. f : D ⊂ R2 −→ R

O conjunto D é chamado domínio de f e representado por

D(f) ou Df . O conjunto B = {f(P ); P ∈ D} é chamado imagem

de f e denotado por Im(f).

Figura 10.47: Função de duas variáveis reais a valores reais.

Exemplo 10.3.1. Seja f a função de duas variáveis reais a valores

reais dada por

f(x, y) =y√x− y2

.

O domínio de f é o conjunto de todos os pares (x, y) de números

reais, com x − y2 > 0, ou seja, x > y2, isto é: D(f) = {(x, y) ∈

R2; x > y2}. Esta função transforma o par ordenado (x, y) no

número real y√x−y2

. Uma representação gráfica do domínio de f é

dada na Figura 10.48.

158


10AULA

Figura 10.48: Representação gráfica do D(f).

Exemplo 10.3.2. Represente graficamente o domínio da função

f : D(f) ⊂ R2 −→ R dada por

f(x, y) =√y − x2 +

√2x− y.

Solução: O domínio de f é o conjunto de todos os pares (x, y),

com y − x2 ≥ 0 e 2x− y ≥ 0: D(f) = {(x, y) ∈ R2; y ≥ x2 e y ≤

2x}. A representação gráfica do domínio de f é dada na Figura

10.49.


Exemplo 10.3.3. Represente graficamente o domínio da função

159


z = f(x, y) dada por

z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0.

Solução: z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0 =⇒ z =√x2 + y2 − 4. Assim,

f é a função dada por f(x, y) =√x2 + y2 − 4. Seu domínio é o

conjunto de todos (x, y), com x2 + y2 − 4 ≥ 0. E

x2 + y2 − 4 ≥ 0⇔ x2 + y2 ≥ 4.

Portanto, o domínio de f é a parte exterior ao círculo de raio 2 e

centro na origem. A representação gráfica do domínio de f é dada

na Figura 10.50.


Exemplo 10.3.4. (Função Polinomial) Uma função polinomial de

duas variáveis reais a valores reais é uma função f : R2 −→ R dada

por

f(x, y) =∑

m+n≤pamnx

myn

160


10AULA

onde p é um natural fixo e os amn são números reais dados; a soma

é estendida a todas as soluções (m,n), m e n naturais, da equação

m+ n ≤ p.

(a) f(x, y) = 3x2y2 − 13xy +

√2 é uma função polinomial.

(b) f(x, y) = ax+by+c, onde a, b, c são reais dados, é uma função

polinomial; tal função é denominada função afim.

Exemplo 10.3.5. (Função linear) Toda função f : R2 −→ R dada

por

f(x, y) = ax+ by

onde a, b são reais dados, denomina-se função linear.

Exemplo 10.3.6. (Função racional) Toda função f : R2 −→ R

dada por

f(x, y) =p(x, y)q(x, y)

onde p e q são funções polinomiais, denomina-se função racional.

O domínio de f é o conjunto D(f) = {(x, y) ∈ R2; q(x, y) 6= 0}.

Observação 10.9. Analogamente como feito para funções h :

R −→ R podemos definir, ponto a ponto, a soma, o produto e a

divisão de duas funções f, g : A ⊂ R2 −→ R. Por exemplo: a soma

f + g é definida por: (f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y), ∀(x, y) ∈ A.

10.4 Gráficos

Uma forma, bastante eficiente, de visualizar o comportamento de

uma função de duas variáveis é através de seu gráfico.

Definição 10.19. Se f é uma função de duas variáveis com domínio

D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) ∈

R3 tal que z = f(x, y) e (x, y) pertençam a D.

161


Notação 3. G(f) = {(x, y, z) ∈ R3; z = f(x, y), (x, y) ∈ D} =

{(x, y, f(x, y)); (x, y) ∈ D}

Assim como o gráfico de uma função f de uma variável é uma

curva C com equação y = f(x), o gráfico de uma função de duas

variáveis é uma superfície S com equação z = f(x, y). Podemos

enxergar a superfície S de f como estando diretamente em cima

ou abaixo de seu domínio D que está no plano xy. (Veja a Figura

10.51).

Figura 10.51: Gráfico de uma função de duas variáveis a valores

reais.

Exemplo 10.4.1. O gráfico da função constante f(x, y) = k é um

plano paralelo ao plano xy.

Exemplo 10.4.2. O gráfico da função linear f : R2 −→ R dada

por z = f(x, y) = y é um plano passando pela origem e normal ao

162


10AULA

Figura 10.52: Gráfico da função constante.

vetor (0, 1,−1) :

z = y ⇔ y − z = 0⇔ (0, 1,−1) · [(x, y, z)− (0, 0, 0)] = 0

Figura 10.53: Gráfico da função f(x, y) = y.

Exemplo 10.4.3. O gráfico da função f : D ⊂ R2 −→ R dada

163


por f(x, y) = x2 + y2 é dado por

G(f) = {(x, y, x2 + y2), (x, y) ∈ A}

e é denominado o parabolóide.

Figura 10.54: Esboço do parabolóide, feito no Software Maple

através do comando ”plot3d(x2 + y2, x = −5..5, y = −5..5); ” .

Exemplo 10.4.4. Considere a função f : R2 −→ R dada pela dis-

tância do ponto (x, y) ao ponto (0, 0), ou seja f(x, y) =√x2 + y2.

O gráfico de f é dado por

G(f) = {(x, y,√x2 + y2), (x, y) ∈ R2}.

10.5 Curvas de Nível

Acabamos de estudar o gráfico de funções e vimos que este é um

importante método para visualizar funções. Vamos agora estudar

um novo método, empregado por cartógrafos, de visualização de

funções de duas variáveis a valores reais. Trata-se de um mapa de

164


10AULA

Figura 10.55: Esboço do gráfico de f(x, y) =√x2 + y2, feito no

Software Maple através do comando ”plot3d(sqrt(x2 + y2), x =

−5..5, y = −5..5); ” .

contornos, em que os pontos com elevações constantes são ligados

para formar curvas de contorno ou curvas de nível.

Definição 10.20. Sejam z = f(x, y) uma função e k ∈ Im(f).

O conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ D(f) tais que f(x, y) = k

denomina-se curva de nível de f correspondente ao nível z = k. Em

outras palavras, denomina-se curva de nível de f correspondente

ao nível z = k ao seguinte conjunto:

{(x, y) ∈ D(f); f(x, y) = k}.

Observação 10.10. Uma curva de nível de f correspondente ao

nível z = k é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos

quais o valor de f é k.

Você pode ver na Figura 10.56 a relação entre as curvas de nível

e os traços horizontais. As curvas de nível de f correspondente ao

nível z = k são apenas traços do gráfico de f no plano horizontal

z = k projetado sobre o plano xy. Assim, se você traçar as curvas

165


de nível da função e visualiza-las elevadas para a superfície na

altura indicada, poderá imaginar o gráfico da função colocando as

duas informações juntas.

Figura 10.56: Curvas de nível de f correspondente ao nível z = k.

Exemplo 10.5.1. Esboce algumas curvas de nível da função f(x, y) =

x2 + y2.

Solução: A curva de nível de f correspondente ao nível k é dada

por

x2 + y2 = k

que, para k ≥ 0, descreve uma circunferência de raio√k centrada

no ponto (0, 0). A Figura 10.57 mostra as curvas de nível de f

correspondentes a alguns k ≥ 0. Observe que, ao aumentarmos o

valor de k estaremos aumentando o raio das circunferências. Deste

modo, se elevarmos essas curvas aos seus nível correspondente e

uni-las obtemos o gráfico do parabolóide.

166


10AULA

Figura 10.57: Curvas de nível de f(x, y) = x2 + y2 correspondente

ao nível z = k.

Exemplo 10.5.2. Esboce algumas curvas de nível da função f(x, y) =1

x2+y2.

Solução: A curva de nível de f correspondente ao nível k é dada

por

1x2 + y2

= k ⇔ x2 + y2 =1k

que, para k ≥ 0, descreve uma circunferência de raio 1√kcentrada

no ponto (0, 0). A Figura 10.58 mostra as curvas de nível de f

correspondentes a alguns k ≥ 0.

Observe que, ao aumentarmos o valor de k estaremos dimin-

uindo o raio das circunferências. Agora, se elevarmos essas curvas

aos seus nível correspondente e uni-las obtemos o seguinte gráfico

(Ver Figura 10.59).

Exemplo 10.5.3. As Figuras 10.60 e 10.61 mostram, respecti-

vamente, algumas curvas de níveis de f(x, y) =−3y

x2 + y2 + 1e o

gráfico correspondente.

167


Figura 10.58: Curvas de

nível de f(x, y) = x2 +

y2 correspondente ao nível

z = k.

Figura 10.59: Esboço do

gráfico da função f(x, y) =1

x2+y2.

Figura 10.60: Cur-

vas de Nível de

f(x, y) = −3yx2+y2+1

.

Figura 10.61: Esboço do

gráfico da função f(x, y) =−3y

x2+y2+1.

10.6 Resumo

Uma função f de duas variáveis reais a valores reais é uma cor-

respondência que associa a cada ponto de D ⊂ R2 um e um só

número real.

Notação 4. f : D ⊂ R2 −→ R

O conjunto D é chamado domínio de f e representado por

D(f) ou Df . O conjunto B = {f(P ); P ∈ A} é chamado imagem

168


10AULA

de f e denotado por Im(f).

O gráfico uma função f : D ⊂ R2 −→ R é o conjunto de todos

os pontos (x, y, z) ∈ R3 tal que z = f(x, y) e (x, y) ∈ D(f).

O conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ D(f) tais que f(x, y) =

k denomina-se curva de nível de f correspondente ao nível z = k.

A extensão desses conceitos para funções de três ou mais var-

iáveis é feita de modo natural. Se você (aluno) entendeu os con-

ceitos estudados até hoje nesse curso, terá condições suficientes

para estender os conceitos estudados nesta aula para mais de duas

variáveis.

10.7 Atividades

01. Seja f(x, y) = ln(x+ y − 1).

(a) Estime f(1, 1).

(b) Estime f(e, 1).

(c) Determine o domínio de f.

(d) Estabeleça a imagem de f .

02. Seja f(x, y, z) = ln(25− x2 − y2 − z2).

(a) Estime f(1, 1, 1).

(b) Determine o domínio de f.

(c) Estabeleça a imagem de f .

03. Determine e faça um esboço do domínio da função:

(a) f(x, y) =√x+ y

(b) f(x, y) = ln(9− x2 − y2).

(c) f(x, y) =3x+ 5y

x2 + y2 − 4.

169


(d) f(x, y) =

√y − x2

1− x2.

(e) f(x, y) =√x2 + y2 − 1 + ln(4− x2 − y2).

04. Esboce o gráfico da função:

(a) f(x, y) = 1− x− y

(b) f(x, y) = 1− x2.

(c) f(x, y) = y.

(d) f(x, y) = 3− x2 − y2.

(e) f(x, y) = cos x.

05. Traçar curvas de níveis para as funções:

a) f(x, y) = xy;

b) f(x, y) = cos(x).

06. Ache as curvas de nível de f : R2 −→ R definida por f(x, y) =

sen(x− y). Esboce o gráfico de f.




aprendidos.



170


10AULA

10.9 Referências






Wesley, 2002.

171

11AULA

1LIVRO

Limites, Con-tinuidade eDerivadas Parciais

META

Estudar limite, continuidade e as

derivadas parciais de funções de

duas variáveis a valores reais.

OBJETIVOS

Estender os conceitos de limite e

continuidade, e estudar as derivadas

parciais de funções de uma variável

a valores reais.

PRÉ-REQUISITOS

Limite, Continuidade e Derivadas de

funções de uma variável a valores

reais.

Limites, Continuidade e Derivadas Parciais

11.1 Introdução

Nesta aula, vamos apresentar os conceitos de limite, continuidade

e derivadas parciais. Você que entendeu e lembra dos conceitos

de limite, continuidade e derivadas de funções de uma variável

real, visto no curso de Cálculo 1, não terá dificuldade alguma em

compreender o assunto dessa aula.

11.2 Limite

Definição 11.21. Sejam f : A ⊂ R2 −→ R uma função, (x0, y0)

um ponto de acumulação de A e L um número real. Dizemos que

o limite da função f no ponto (x0, y0) é igual a L e escrevemos

lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = L

quando:

Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, para todo (x, y) ∈ D(f),

0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− L| < ε.

Notação 5. lim(x,y)−→(x0,y0) f(x, y) = L e f(x, y) −→ L quando

(x, y) −→ (x0, y0).

Note que |f(x, y)−L| corresponde à distância entre os números

f(x, y) e L, e ‖(x, y)− (x0, y0)‖ =√

(x− x0)2 + (y − y0)2 é a dis-

tância entre os pontos (x, y) e o ponto (x0, y0). Assim a Definição

11.21 diz que a distância entre f(x, y) e L pode ser arbitraria-

mente pequena se tomarmos a distância de (x, y) a (x0, y0) sufi-

cientemente pequena (mais não nula). A Figura 11.62 ilustra a

Definição 11.21 por meio de um diagrama de setas. Se nos é dado

um pequeno intervalo (L−ε, L+ε) em torno de L, então podemos

determinar uma bola aberta B((x0, y0), δ) com centro em (x0, y0)

174


11AULA

e raio δ > 0 tal que f leve todos os pontos de B((x0, y0), δ) [exceto

possivelmente (x0, y0)] no intervalo (L− ε, L+ ε).

Figura 11.62: Representação geométrica do limite.

Observação 11.11. De agora em diante, sempre que falarmos que

f tem limite em (x0, y0), fica subentendido que (x0, y0) é ponto de

acumulação de D(f).

Exemplo 11.2.1. Se f(x, y) = k é uma função constante, então,

para todo (x0, y0) ∈ R2,


k = k.

Solução: Temos que |f(x, y) − k| = |k − k| = 0. Assim, dado

ε > 0 e tomando-se um δ > 0 qualquer,

0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− k| < ε.

Logo


f(x, y) = lim(x,y)−→(x0,y0)

k = k.

Exemplo 11.2.2. Se f(x, y) = x, para todo (x0, y0) ∈ R2,


f(x, y) = lim(x,y)−→(x0,y0)

x = x0.

175



|f(x, y)− x0| = |x− x0| =√

(x− x0)2

≤√

(x− x0)2 + (y − y0)2 = ‖(x, y)− (x0, y0)‖

Deste modo, dado ε > 0 e tomando δ = ε vem:

0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− k| < ε.

Logo,


x = x0.

Exemplo 11.2.3. Se f(x, y) = x+y2 então lim(x,y)−→(2,1)

f(x, y) = 3.


|f(x, y)− 3| = |x+ y2 − 3| = |x− 2 + y−1| ≤ |x− 2|+ |y + 1||y − 1|.

Então, dado ε > 0 tomando δ = min{1, ε3} obtemos que |y+1| < 3

e

‖(x, y)− (2, 1)‖ =√

(x− 2)2 + (y − 1)2 < δ =⇒

=⇒ |f(x, y)− 3| ≤ |x− 2|+ |y + 1||y − 1| ≤ δ + 3δ = 4δ ≤ 4ε

4= ε.

Para as funções de uma única variável, quando fazemos x se

aproxima de x0, só existe duas direções possíveis de aproximação:

pela direita e pela esquerda. Lembremos la do Cálculo 1 que, se

os limites laterais são diferentes então o limite não existe.

Já para as funções de duas variáveis essa situação não é tão

simples porque existem infinitas maneiras de (x, y) se aproximar

de (x0, y0) por uma quantidade infinita de direções e de qualquer

maneira que se queira (veja a Figura 11.63), bastando que (x, y)

se mantenha no domínio de f .

176


11AULA

Figura 11.63: Infinitas maneiras de (x, y) se aproximar de (x0, y0).

O proximo teorema nos diz que se o limite de uma função f

existe em (x0, y0) e é igual a L então não importa a maneira que

(x, y) se aproxima de (x0, y0) que o limite sempre vai ser L.

Teorema 11.21. Sejam f : A ⊂ R2 −→ R uma função e (x0, y0)

um ponto de acumulação. Suponha que lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = L e

seja γ uma curva em R2, contínua em t0, com γ(t0) = (x0, y0) e,

para todo t 6= t0, γ(t) 6= (x0, y0) com γ(t) ∈ D(f). Então

limt−→t0

f(γ(t)) = L.

Demonstração: De lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = L segue que dado ε >

0, existe δ1 > 0 tal que

0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ1 =⇒ |f(x, y)− L| < ε. (11.1)

Sendo γ contínua em t0, para todo γ1 > 0 acima, existe γ > 0 tal

que

0 < ‖t− t0‖ < δ =⇒ |γ(t)− γ(t0)| < δ1. (11.2)

De (11.1) e (11.2) segue

0 < ‖t− t0‖ < δ =⇒ |f(γ(t))− L| < ε,

177


ou seja,

limt−→t0

f(γ(t)) = L.

Sejam γ1 e γ2 duas curvas nas condições do Teorema 11.21.

Segue do Teorema 11.21 que se ocorrer

limt−→t0

f(γ1(t)) = L1 e limt−→t0

f(γ2(t)) = L2 (11.3)

com L1 6= L2, então lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) não existirá. Da mesma

forma, tal limite não existirá de um dos limites em (11.1) não

existir.

Exemplo 11.2.4. Considere a função f : R2 −→ R dada por

f(x, y) =

1, para x 6= 0

0, para x = 0

Não existe o lim(x,y)−→(0,0)

f(x, y). De fato, considerando as curvas

γ1(t) = (t, 0) e γ2(t) = (0, t), temos que

limt−→0

f(γ1(t)) = limt−→0

1 = 1 e limt−→0

f(γ2(t)) = limt−→0

0 = 0.

Logo, lim(x,y)−→(0,0)

f(x, y) não existe.

Exemplo 11.2.5. Considere a função f : R2 − {(0, 0)} −→ R

dada por f(x, y) =xy

x2 + y2. Observe que f(x, y) ≡ 0 quando (x, y)

está em um dos eixos coordenados, de modo que f(x, y) converge

para 0 quando (x, y) aproxima-se de (0, 0) pelos eixos. Por outro

lado, considerando a curva γ : I ⊂ R −→ R2 − {(0, 0)} dada por

γ(t) = (t, t) temos que

limt−→0

f(γ(t)) = limt−→0

t2

2t2=

12.

Portanto, lim(x,y)−→(0,0)

xy

x2 + y2não existe.

178


11AULA

Observamos que continuam válidas para funções de duas var-

iáveis reais a valores reais as seguintes propriedades dos limites

cujas demonstrações são exatamente iguais às que voce fez para

funções de uma variável real, na disciplina de Cálculo 1.

1. (Teorema do Confronto) Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para

0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r e se


f(x, y) = L = lim(x,y)−→(x0,y0)

h(x, y)

então


g(x, y) = L.

2. Se lim(x,y)−→(x0,y0) f(x, y) = 0 e se |g(x, y)| ≤ M para 0 <

‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r onde r > 0 e M > 0 são reais fixos, então


f(x, y)g(x, y) = 0.

3. lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = 0⇔ lim(x,y)−→(x0,y0)

|f(x, y)| = 0.

4. lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = L⇔ lim(x,y)−→(x0,y0)

[f(x, y)− L] = 0.

5. lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = L⇔ lim(h,k)−→(0,0)

f(x0 + h, y0 + k) = L.

6. Se lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = L1 e lim(x,y)−→(x0,y0)

g(x, y) = L2, en-

tão,

(a) lim(x,y)−→(x0,y0)

[f(x, y) + g(x, y)] = L1 + L2;

(b) lim(x,y)−→(x0,y0)

kf(x, y) = kL1; (k constante)

179


(c) lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y)g(x, y) = L1L2;

(d) lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y)g(x, y)

=L1

L2desde que L2 6= 0.

7. (Conservação do sinal) Se lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = L, L > 0,

então existirá δ > 0, tal que, para todo (x, y) ∈ D(f),

0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ f(x, y) > 0.

Exemplo 11.2.6. Calcula, caso exista, lim(x,y)−→(0,0)

x3

x2 + y2.

Solução: Note que

x3

x2 + y2= x · x2

x2 + y2.


x = 0 e∣∣∣∣ x2

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 1, para todo (x, y) 6= (0, 0). Logo,

segue da Propriedade 2 acima que

lim(x,y)−→(0,0)

x3

x2 + y2= lim

(x,y)−→(0,0)x · x2

x2 + y2= 0.

11.3 Continuidade

Definição 11.22. Sejam f : A ⊂ R2 −→ R uma função e (x0, y0)

um ponto de acumulação de A com (x0, y0) ∈ A. Dizemos que f é

contínua em (x0, y0) se


f(x, y) = f(x0, y0),

ou seja:


0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < ε.

180


11AULA

Definição 11.23. Uma função é dita contínua em um conjunto

B quando for contínua em todos os pontos de B. Diremos, sim-

plesmente, que f é contínua se o for em todos os pontos de seu

domínio.

Exemplo 11.3.1. A função constante f(x, y) = k é contínua, pois,


f(x, y) = k = f(x0, y0)

para todo (x0, y0) ∈ R2. (Veja Exemplo 11.2.1).

Exemplo 11.3.2. A função f(x, y) = x é contínua, pois,


f(x, y) = lim(x,y)−→(x0,y0)

x = x0 = f(x0, y0)

para todo (x0, y0) ∈ R2. (Veja Exemplo 11.2.2).

Exemplo 11.3.3. A função f(x, y) =

x2−y2x2+y2

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)não é contínua em (0, 0). De fato, tomando-se as curvas γ1(t) =

(t, 0) e γ2(t) = (0, t) vem,

limt−→0

f(γ1(t)) = limt−→0

t2

t2= 1

e

limt−→0

f(γ2(t)) = limt−→0

−t2

t2= −1.

Segue das propriedades de limite, as seguintes propriedades de

funções contínuas:

1. A soma de m funções contínuas em um ponto é uma função

contínua no ponto.

2. O produto de m funções contínuas em um ponto é uma

função contínua no ponto.

181


Conseqüência imediata dessas propriedades: A função polino-

mial p(x, y) em x e y dada pela soma de parcelas do tipo

axl1xl2

onde a é constante e l1, l2 ∈ N é uma função contínua como produto

e soma de funções contínuas.

Definição 11.24. Sejam f : A ⊂ R2 −→ B ⊂ R e g : B −→ R. A

função composta de g com f, indicada por g ◦ f é definido por

g ◦ f : A ⊂ R2 −→ R

(g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y))

Figura 11.64: Função composta

O próximo teorema nos diz que se g(u) e f(x, y) forem con-

tínuas e se Im(f) ⊂ D(g), então a função composta h(x, y) =

g(f(x, y)) também o será.

Teorema 11.22. Sejam f : A ⊂ R2 −→ B ⊂ R e g : B −→ R tais

que f seja contínua em (x0, y0) e g é contínua em f(x0, y0). Então

g ◦ f é contínua em (x0, y0).

182


11AULA

Demonstração: Dado ε > 0, queremos encontrar δ > 0 tal que,

se (x, y) ∈ A,

‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |(g ◦ f)(x, y)− (g ◦ f)(x0, y0)| < ε.

Figura 11.65: Esboço da demonstração

Sabemos que existe δ1 = δ1(ε, f(x0, y0)) tal que

z ∈ B, |z − f(x0, y0)| < δ1 =⇒ |g(z)− g(f(x0, y0))| < ε

Como f é contínua em (x0, y0) sabemos que dado δ1 > 0, existe

δ2 > 0 tal que

(x, y) ∈ A, ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ2 =⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < δ1.

Logo para

(x, y) ∈ A, ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ2 =⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < δ1

=⇒ |g(f(x, y))− g(f(x0, y0))| < ε.

Portanto, g ◦ f é contínua em (x0, y0).

Como conseqüência deste teorema, segue que se g(x) for con-

tínua, então a função h(x, y) = g(x) também será contínua. De

fato, sendo f(x, y) = x, teremos h(x, y) = g(f(x, y)), com g e f

contínuas.

183


Exemplo 11.3.4. h(x, y) = x2 +√x é contínua em seu domínio.

Exemplo 11.3.5. Sendo f(x, y) contínua, as compostas sen f(x, y),

cos f(x, y), [f(x, y)]2, etc.

Exemplo 11.3.6. f(x, y) =

x3

x2+y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)é con-

tínua em R2. De fato, temos que (Veja Exemplo 11.2.6)

lim(x,y)−→(0,0)

x3

x2 + y2= 0 = f(0, 0).

11.4 Derivadas Parciais

Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis a valores reais

definida em um conjunto aberto A e seja (x0, y0) ∈ A. Então para

x suficientemente próximo de x0 todos os pontos (x, y0) estão em

A, logo podemos considerar a função g de uma variável real dada

por

g(x) = f(x, y0).

A derivada desta função no ponto x = x0 (caso exista) denomina-se

derivada parcial de f , em relação a x, no ponto (x0, y0).

Notação 6. fx(x0, y0); ∂f∂x (x0, y0); f1(x0, y0); zx(x0, y0); ∂z∂x(x0, y0).

Assim:

fx(x0, y0) =[dg(x)dx

]x0

= lim∆x−→0

g(x0 + ∆x)− g(x0)∆x

= lim∆x−→0

f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)∆x

.

ou, ainda,

fx(x0, y0) = limx−→x0

f(x, y0)− f(x0, y0)x− x0

.

184


11AULA

Seja B o subconjunto aberto de A formado por todos os pontos

(x, y) tais que fx(x, y) existe, fica assim definida uma nova função,

indicada por fx(x, y) e definida em B, para cada (x, y) ∈ B associa

o número fx(x, y), onde

fx(x, y) = lim∆x−→0

f(x+ ∆x, y)− f(x, y)∆x

.

Tal função denomina-se função derivada parcial de 1.a ordem de f ,

em relação a x, ou simplesmente, derivada parcial de f em relação

a x.

Considerando z = f(x, y) como uma função de y, para x fixo,

obtemos de maneira semelhante a derivada parcial de f , em relação

a y, no ponto (x0, y0).

Notação 7. fy(x0, y0); ∂f∂y (x0, y0); f2(x0, y0); zy(x0, y0); ∂z∂y (x0, y0).

Temos

fy(x0, y0) = lim∆y−→0

f(x0, y0 + ∆x)− f(x0, y0)∆y

.

ou

fy(x0, y0) = limy−→y0

f(x0, y)− f(x0, y0)y − y0

.

Interpretação Geométrica da Derivada Parcial

Podemos interpretar geometricamente a derivada parcial como

uma inclinação: Consideremos a secção da superfície z = f(x, y)

pelo plano vertical y = y0. Neste plano a curva z = f(x, y0) tem

uma tangente com inclinação fx(x0, y0) em x0.

185


Figura 11.66: Interpretação geométrica das derivadas parciais

As secções da superfície z = f(x, y) com os planos y = y0 e

x = x0 são dadas, respectivamente, nas Figuras 11.67 e 11.68.

Figura 11.67: Secções da

superfície z = f(x, y) com

o plano y = y0.

Figura 11.68: Secções da

superfície z = f(x, y) com

o plano x = x0.

186


11AULA

Para se calcular fx(x0, y0) fixa-se y = y0 em z = f(x, y) e

calcula-se a derivada de g(x) = f(x, y0) em x = x0 : fx(x0, y0) =

g′(x0). Da mesma forma, fx(x, y) é a derivada, em relação a x,

de f(x, y), mantendo-se y constante. Por outro lado, fy(x, y) é a

derivada em relação a y, de f(x, y), mantendo-se x constante.

Exemplo 11.4.1. Se f(x, y) = x2y + ycos x, determine fx(x, y),

fy(x, y), fx(1, 0) e fy(1, 0).

Solução: Para encontrarmos fx(x, y) devemos olhar y como con-

stante em f(x, y) = x2 + ycos x e derivar em relação a x:

fx(x, y) = 2xy − ysen x.

Para encontramos fy(x, y) devemos olhar x como constante em

f(x, y) = x2 + ycos x e derivar em relação a y:

fy(x, y) = x2 + cos x.

Agora fx(1, 0) = 2 · 1 · 0 − 0 · sen 1 = 0 e fy(1, 0) = 12 + cos 1 =

1 + cos 1.

11.5 Derivadas parciais de ordem superior

Se z = f(x, y) é uma função de duas variáveis reais a valores

reais, então fx e fy são também funções de duas variáveis reais a

valores reais. Se estas duas funções fx e fy estiverem definidas em

um aberto A poderemos considerar suas derivadas parciais (fx)x,

(fx)y, (fy)x e (fy)y chamadas derivadas parciais de 2.a (segunda)

187


ordem de f , denotadas como segue:

(fx)x = fxx = f11 =∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2

(fx)y = fxx = f12 =∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

(fy)x = fxx = f21 =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y

(fy)y = fyy = f22 =∂

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2

Se estas derivadas parciais existirem em todos os pontos de um

aberto A, poderemos falar nas derivadas parciais de 3.a (Terceira)

ordem, e assim sucessivamente.

Definição 11.25. Seja f : A ⊂ R2 −→ R, A aberto. Dizemos que

f é de classe Ck (k ≥ 1) em B ⊂ A se f e as derivadas parciais

até a ordem k forem contínuas em todos os pontos de B. f é dita

de classe C∞ se f é de classe Ck, ∀k ≥ 1.

Notação 8. f ∈ Ck e f ∈ C∞.

Exemplo 11.5.1. Seja f(x, y) = xy. Temos que: fx(x, y) = y,

fy(x, y) = x, fxx(x, y) = 0, fxy(x, y) = 1, f(yx)(x, y) = 1 e

fyy(x, y) = 0. Observe que as derivadas de ordem k, k ≥ 3 ex-

istem e são todas nulas. Portanto f ∈ C∞.

Exemplo 11.5.2. A função z = f(x, y) = xsen y + y2cos x é

de classe C∞. De fato, temos que fx(x, y) = sen y − y2sen x,

fy(x, y) = xcos y + 2ycos x, fxx(x, y) = −y2cos x, fxy(x, y) =

cos y−2ysen x, fyx(x, y) = cos y−2ysen x e fyy(x, y) = −xsen y+

2cos x. Observe que existem e são contínuas todas derivadas par-

ciais.

Neste dois exemplos notamos que fxy(x, y) = fyx(x, y), isto é,

a ordem de derivação não influi no resultado, mais isto nem sempre

188


11AULA

é válido. De fato: Consideremos z = f(x, y) = x+ |y|. Temos que

fx(x, y) ≡ 1 e fxy(0, 0) = 0. No entanto,

fy(0, 0) = lim∆y−→0

f(0,∆y)− f(0, 0)∆y

= lim∆y−→0

|∆y|∆y

que não existe. e assim fyx(0, 0) não existe.

O próximo teorema fornece condições sob as quais podemos

afirmar que fxy = fyx.

Teorema 11.23. (Teorema de Schwartz) Seja f : A ⊂ R2 −→

R, A aberto. Se f for de classe C2 em A, então

fxy(x, y) = fyx(x, y)

para todo (x, y) ∈ A.

Vejamos outro exemplo, onde não temos a igualdade fxy = fyx.

Exemplo 11.5.3. Consideremos f(x, y) =

xy3

x2+y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)Neste caso, temos que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0). De fato,

fx(x, y) =xy4 + 3x3y2

(x2 + y2)2, se (x, y) 6= (0, 0)

fy(x, y) =y5 − x2y3

(x2 + y2)2, se (x, y) 6= (0, 0)

fx(0, 0) = lim∆x−→0

f(∆x, 0)− f(0, 0)∆x

= 0

fy(0, 0) = lim∆y−→0

f(0,∆y)− f(0, 0)∆y

= 0

fxy(0, 0) = lim∆y−→0

fx(0,∆y)− fx(0, 0)∆y

= 1

fyx(0, 0) = lim∆x−→0

fy(∆x, 0)− fy(0, 0)∆x

= 0

Observação 11.12. No exemplo anterior podemos observar que

f, fx e fy são contínuas em todo R2. Assim, pelo Teorema anterior

fxy não pode ser contínua em (0, 0), pois caso fosse fxy(0, 0) =

fyx(0, 0), o que não é o caso.

189


11.6 Resumo

Faremos, agora, um resumo das principais definições e resultados

vistos nesta aula.

Definição 11.26. Sejam f : A ⊂ R2 −→ R uma função, (x0, y0)

um ponto de acumulação de A e L um número real. Dizemos que

o limite da função f no ponto (x0, y0) é igual a L e escrevemos


f(x, y) = L

quando:


0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− L| < ε.

Teorema 11.24. Sejam f : A ⊂ R2 −→ R uma função e (x0, y0)

um ponto de acumulação. Suponha que lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) = L e

seja γ uma curva em R2, contínua em t0, com γ(t0) = (x0, y0) e,

para todo t 6= t0, γ(t) 6= (x0, y0) com γ(t) ∈ D(f). Então

limt−→t0

f(γ(t)) = L.

Sejam γ1 e γ2 duas curvas nas condições do Teorema 11.21.

Segue do Teorema 11.21 que se ocorrer

limt−→t0

f(γ1(t)) = L1 e limt−→t0

f(γ2(t)) = L2 (11.1)

com L1 6= L2, então lim(x,y)−→(x0,y0)

f(x, y) não existirá. Da mesma

forma, tal limite não existirá de um dos limites em (11.1) não

existir.

Definição 11.27. Sejam f : A ⊂ R2 −→ R uma função e (x0, y0)

um ponto de acumulação de A com (x0, y0) ∈ A. Dizemos que f é

contínua em (x0, y0) se


f(x, y) = f(x0, y0),

190


11AULA

ou seja:


0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < ε.

Definição 11.28. Uma função é dita contínua em um conjunto

B quando for contínua em todos os pontos de B. Diremos, sim-

plesmente, que f é contínua se o for em todos os pontos de seu

domínio.

11.7 Atividades

01. Mostre, pela definição, que:

a) lim(x,y)→(2,0)

(x2 + y2 − 4) = 0;

b) lim(x,y)→(1,2)

(x2 + 2xy + y2) = 9.

02. Seja a função f(x) =

1, x ≥ 0

−1, x < 0.Prove que a função tem

limite igual a 1 nos pontos (x0, y0) com x0 > 0 e que tem limite

igual a −1 nos pontos (x0, y0) com x0 < 0. Prove ainda que não

tem limite non pontos (0, y0).

03. Determine o valor dos limites, quando existirem:

a) lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

1 + x2 + y2; b) lim

(x,y)→(0,0)

x

x2 + y2;

c) lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2sen1xy

; d) lim(x,y)→(4,π)

x2seny

x;

e) lim(x,y)→(0,0)

1 + y2sen x

x; f) lim

(x,y)→(0,0)

1 + x− yx2 + y2

;

g) lim(x,y,z)→(0,0,0)

4x− y − 3z2x− 5y + 2z

.

04. Usando a definição, prove que f(x, y) = xy + 6x é contínua

em:

191


a) (1, 2); b) (x0, y0).

05. Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no

ponto (0, 0) :

a) f(x, y) =

x3x+5y , 3x+ 5y 6= 0

0, 3x+ 5y = 0;

b) f(x, y) =

x2 + y2 sen(

1x2+y2

), se (x, y) 6= 0

0, se (x, y) = 0;

c) f(x, y) =

xy x−yx2+y2

, se (x, y) 6= 0

0, se (x, y) = 0;

06. Se f(x, y) = (x − y)sen (3x + 2y) calcule: a) fx(0, π3 ); b)

fy(0, π3 ).

07. Calcule ux e uy quando:

a) u(x, y) = exysen(x+y); b) u(x, y) = ln(x4+y4)arcsen√

1− x2 − y2.

08. Se f(x, y) =

x2y2+xyx+y , se x 6= −y

0, se x = −y.

a) Calcule fx(x, 0) e fy(0, y);

b) Observe que f não é constante em nenhuma vizinhança de (0, 0).

09. Ache ∂3f∂x2∂y

(x, y) se f(x, y) = ln(x+ y).

10. Mostre que ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2= 0 esta satisfeita por:

a) ln(x2 + y2); b) x3 − 3xy2.

192


11AULA

11. Calcule fy(1, 2) onde

f(x, y) = xxxy

+ sen(πx)[x2 + sen(x+ y) + excos2y].




aprendidos.



11.9 Referências






Wesley, 2002.

193

12AULA

1LIVRO

Funções Diferen-ciáveis

META

Estudar derivadas de funções de

duas variáveis a valores reais.

OBJETIVOS

Estender os conceitos de diferencia-

bilidade de funções de uma variável

a valores reais.

PRÉ-REQUISITOS

Limite, continuidade e derivadas

parciais de funções de duas variáveis

a valores reais.

Funções Diferenciáveis

12.1 Introdução

Nesta aula, vamos apresentar os conceitos de funções diferenciáveis,

estendendo os conceitos de derivadas de funções de uma variável

real a valores reais, vistos no curso de cálculo 1.

12.2 Diferenciabilidade

Sabemos que, quando uma função de uma variável real é derivável

em um ponto, ela é contínua neste ponto. Observe agora o que

acontece com o exemplo a seguir.

Exemplo 12.2.1. Considere a função

f(x, y) =

xy

x2+y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Temos que f é derivável em relação a x e a y em (0, 0). De fato:

fixando-se y = 0, então z = f(x, 0) ≡ 0, e assim fx(0, 0) = 0.

Agora, fixando x = 0, então z = f(0, y) ≡ 0, e assim fy(0, 0) = 0.

Mas, por outro lado, f não é contínua em (0, 0). Com efeito, o

lim(x,y)−→(0,0)

f(x, y) não existe, pois considerando as curvas γ1(t) =

(t, 0) e γ2(t) = (t, t) temos que

limt−→0

f(γ1(t)) = limt−→0

0 = 0 e limt−→0

f(γ2(t)) = limt−→0

t2

2t2=

12.

Assim é possível que uma função tenha todas as derivadas par-

ciais em um ponto e que não seja contínua naquele ponto.

Vamos então introduzir o conceito de diferenciabilidade, que

entre outras propriedades, vai garantir a continuidade da função.

Na realidade ele implicará que o gráfico da função não tem quinas,

e em particular, que não tem saltos. será introduzido por analogia

196


12AULA

com o conceito de diferenciabilidade de funções de uma variável.

Para uma variável:

y = f(x) é diferenciável (Ver Figura 12.69) em x0, se existe

uma reta passando por (x0, f(x0)) de equação

Y = f(x0) +m(x− x0),

tal que

limx−→x0

f(x)− Yx− x0

= 0

Figura 12.69: Reta tangente ao gráfico de uma função diferenciável.

y = f(x) é derivável em x0, se existe o seguinte limite

limx−→x0

f(x)− f(x0)x− x0

.

Observe que, para funções de uma variável real, ser derivável

é equivalente a ser diferenciável. De fato: suponhamos que f é

derivável em x0. Então existe

limx−→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= m.

Considerando a reta de equação Y = f(x0)+m(x−x0), temos que

limx−→x0

f(x)− Yx− x0

= limx−→x0

f(x)− f(x0)−m(x− x0)x− x0

= limx−→x0

(f(x)− f(x0)

x− x0−m

)= 0

197


Portanto f é diferenciável em x0.

Por outro lado, suponhamos que f é diferenciável em x0.

0 = limx−→x0

f(x)− Yx− x0

= limx−→x0

f(x)− f(x0)−m(x− x0)x− x0

= limx−→x0

(f(x)− f(x0)

x− x0−m

)=⇒ lim

x−→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= m.

Portanto, f é derivável em x0.

Passaremos agora a definir a diferenciabilidade de funções de

duas variáveis reais a valores reais e faremos isso estendendo o con-

ceito de diferenciabilidade de funções de uma variável real a valores

reais.

Para duas variáveis:

Diz-se que z = f(x, y) é diferenciável num ponto (x0, y0),

se existir uma plano passando pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)), de

equação

z = f(x0, y0) +A(x− x0) +B(y − y0),

tal que

limα−→0

f(x, y)− zα

= 0 (12.1)

onde α = ‖(x, y)−(x0, y0)‖ =√

(x− x0)2 + (y − y0)2. Em notação

alternativa, tomando x = x0 + h e y = y0 + k e chamando

E(h, k) = f(x, y)− z = f(x0 + h, y0 + k)− [f(x0, y0) +Ah+Bk]

(12.1) pode ser reescrita como

lim(h,k)−→(0,0)

E(h, k)‖(h, k)‖

= 0 (12.2)

Ainda, com a notação alternativa, temos:

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) +Ah+Bk + E(h, k).

198


12AULA

Passando o limite, com (h, k) −→ (0, 0), obtemos:

lim(h,k)−→(0,0)

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0).

Acabamos de provar o seguinte:

Teorema 12.25. Se f for diferenciável em (x0, y0), então f será

contínua em (x0, y0).

Voltemos em (12.2), fazendo k = 0, obtemos:

limh−→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)−Ah|h|

= 0

Isto equivale a:

limh−→0

[f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)

h−A

]= 0

ou

limh−→0

[f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)

h

]= A

Assim, fx(x0, y0) = A.

Analogamente, fy(x0, y0) = B.

Com isto, temos o seguinte:

Teorema 12.26. Se f for diferenciável em (x0, y0), então f admi-

tirá derivadas parciais neste ponto.

As principais conclusões sobre funções diferenciáveis são dadas

na Observação 12.13.

Observação 12.13. 1. Para mostrarmos que função f é difer-

enciável em (x0, y0) é suficiente provar que f admite derivadas

parciais em (x0, y0) e que

lim(h,k)−→(0,0)

f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− fx(x0, y0)h− fy(x0, y0)k‖(h, k)‖

= 0.

199


2. Se uma das derivadas parciais não existirem em (x0, y0), então

f não será diferenciável neste ponto.

3. Se ambas as derivadas parciais existirem em (x0, y0), mais se o

limite acima não for zero, então f não será diferenciável em (x0, y0).

4. Se f não for contínua em (x0, y0), então f não será diferenciável

em (x0, y0).

Dizemos que f é diferenciável em B ⊂ D(f) se f for diferen-

ciável em todo (x, y) ∈ B. Diremos, simplesmente, que f é uma

função diferenciável se f for diferenciável em todo ponto de seu

domínio.

Exemplo 12.2.2. Prove que f(x, y) = x+ y é uma função difer-

enciável.

Solução: Precisamos provar que f é diferenciável em todo (x, y) ∈

R2. f admite derivadas parciais em todo (x, y) ∈ R2 e

fx(x, y) = 1 e fy(x, y) = 1.

Por outro lado, para todo (x, y) ∈ R2,

E(h, k) = f(x+ h, y + k)− f(x, y)− fx(x, y)h− fy(x, y)k

= x+ h+ y + k − x− y − h− k = 0

Daí

lim(h,k)−→(0,0)

E(h, k)‖(h, k)‖

= 0.

Portanto, f é diferenciável para todo (x, y) ∈ R2.

Exemplo 12.2.3. Prove que z = f(x, y) = xy é uma diferenciável.

Solução: Precisamos provar que f é diferenciável em todo (x, y) ∈

R2. f admite derivadas parciais em todo (x, y) ∈ R2 e

fx(x, y) = y e fy(x, y) = x.

200


12AULA

Por outro lado, para todo (x, y) ∈ R2,

E(h, k) = f(x+ h, y + k)− f(x, y)− fx(x, y)h− fy(x, y)k

= (x+ h)(y + k)− xy − yh− xk

= xy + xk + yh+ hk − xy − yh− xk = hk

Daí

lim(h,k)−→(0,0)

E(h, k)‖(h, k)‖

= lim(h,k)−→(0,0)

hk√h2 + k2

= 0 (Já visto anteriormente).

Portanto, f é diferenciável para todo (x, y) ∈ R2.

Propriedades:

1. A soma (também o produto) de duas funções diferenciáveis em

um ponto é uma função diferenciável no ponto.

2. Toda função polinomial em duas variáveis P (x, y) =∑ij

aijxiyj

é diferenciável, como soma e produto de diferenciáveis.

Já vimos que toda função diferenciável é contínua, mas nem

toda função contínua é diferenciável. Por exemplo:

Exemplo 12.2.4. A função

f(x, y) =

x3

x2+y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

é contínua em (0, 0) (Já visto anteriormente), mais não é diferen-

ciável em (0, 0). De fato, temos que

fx(0, 0) = limx−→0

f(x, 0)− f(0, 0)x− 0

= limx−→0

x

x= 1

fy(0, 0) = limy−→0

f(0, y)− f(0, 0)y − 0

= 0

e

E(h, k) = f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− fx(0, 0)h− fy(0, 0)k

=h3

h2 + k2− h

201


Segue que

E(h, k)‖(h, k)‖

=h3

h2+k2 − h√h2 + k2

=−hk2

(h2 + k2)√h2 + k2

= G(h, k)

Como limt−→0

G(t, t) = limt−→0

−t2√

2|t|não existe, resulta que

lim(h,k)−→(0,0)

E(h, k)‖(h, k)‖

não existe. Logo, f não é diferenciável em (0, 0).

Vimos que se z = f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), então ex-

istem fx(x0, y0) e fy(x0, y0). No entanto pode ocorrer que existam

fx(x0, y0) e fy(x0, y0) e f não ser diferenciável em (x0, y0).

Exemplo 12.2.5. Seja f(x, y) =

xy

x2+y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0). Já

foi visto que fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0. Ainda: f não é contínua e,

portanto, não é diferenciável em (0, 0).

Algumas vezes é difícil verificar diretamente a diferenciabili-

dade de uma função. O próximo teorema dá uma condição su-

ficiente para que uma função f seja diferenciável e é importante

dada a facilidade de verificação de suas hipóteses.

Teorema 12.27. (Critério de Diferenciabilidade) Se as derivadas

parciais fx e fy existem em um conjunto aberto A contendo (x0, y0)

e forem contínuas em (x0, y0), então f será diferenciável em (x0, y0).

Demonstração: Consideremos (x0, y0) ∈ A. Como A é aberto,

para h e k suficientemente pequenos o retângulo formado pelos 4

pontos: (x0, y0), (x0 + h, y0), (x0, y0 + k) e (x0 + h, y0 + k) está

contido em A. Temos então que

∆f = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)

= [f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0)] + [f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)]

202


12AULA

Usando o Teorema do Valor Médio para funções de uma variável

sobre cada uma das diferenças acima, obtemos

∆f = fy(x0 + h, y1)k + fx(x1, y0)h.

Por hipótese, fx e fy são contínuas em (x0, y0) e assim

fx(x1, y0) = fx(x0, y0)+eta1 e fx(x0 +h, y1) = fy(x0, y0)+eta2

onde ambos η1 e η2 tendem a zero com ‖(h, k)‖ −→ 0. Assim:

∆f = fx(x0, y0)h+ fy(x0, y0)k + η1h+ η2k.

Pela definição de diferenciabilidade nós temos somente que mostrar:

n1h+ n2k√h2 + k2

−→ 0

mas ∣∣∣∣n1h+ n2k√h2 + k2

∣∣∣∣ ≤ (|n1|+ |n2|) −→ 0

conforme√h2 + k2 −→ 0.

Exemplo 12.2.6. A função z = f(x, y) = sen (xy) é diferenciável,

pois existem

fx(x, y) = ycos (xy) e fy(x, y) = xcos (xy)

e são contínuas em todo ponto (x, y) ∈ R2.

Bem, caros alunos, o teorema anterior parece resolver todos os

problemas no que se refere a mostrar que uma função é diferen-

ciável, há casos em que ele não se aplica, ou seja: existem funções

diferenciáveis em um ponto cujas derivadas parciais não são con-

tínuas neste ponto. Neste caso a verificação da diferenciabilidade

deve ser feita pela definição. Veja o exemplo a seguir:

203


Exemplo 12.2.7. Seja

f(x, y) =

(x2 + y2)sen(

1x2+y2

)se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

(a) Determine fx e fy;

(b) Mostre que fx e fy não são contínuas em (0, 0);

(c) Prove que f é diferenciável em R2.

Solução:

(a) fx(x, y) =

2x sen(

1x2+y2

)− 2x

x2+y2cos(

1x2+y2

), se (x, y) 6= (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)

fx(x, y) =

2y sen(

1x2+y2

)− 2y

x2+y2cos(

1x2+y2

), se (x, y) 6= (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)

(b) limt−→0 fx(t, t) e limt−→0 fy(t, t) não existem e portanto fx e

fy não são contínuas em (0, 0)

(c) Para verificar que f é diferenciável em (0, 0) note que

E(h, k)‖(h, k)‖

=√h2 + k2 sen

(1

h2 + k2

)e que

lim(h,k)−→(0,0)

E(h, k)‖(h, k)‖

= 0

12.3 Plano Tangente e Reta Normal

Se f é diferenciável em (x0, y0), vimos na Seção 12.2 que o plano

de equação

z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0) (12.1)

204


12AULA

aproxima o gráfico de z = f(x, y) no seguinte sentido:

limα−→0

f(x, y)− zα

= 0

ou, na notação alternativa

lim(h,k)−→(0,0)

E(h, k)‖(h, k)‖

= 0.

Este é um modo de exprimir o fato de que o plano é tangente

à superfície no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).

Observe que só definimos o plano tangente em (x0, y0, f(x0, y0))

se f for diferenciável em (x0, y0). Se f não for diferenciável em

(x0, y0), mais admitir derivadas parciais neste ponto, então o plano

12.1 existirá, mais não será plano tangente.

Em notação de produto escalar, o plano (12.1) se escreve:

(fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1) · [(x, y, z)− (x0, y0, f(x0, y0))] = 0

Segue que o plano tangente em (x0, y0, f(x0, y0)) é perpendic-

ular à direção do vetor

(fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1) (12.2)

A reta que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e é paralela ao

vetor (12.1) denomina-se reta normal ao gráfico de f no ponto

(x0, y0, f(x0, y0)). A equação de tal reta é:

(x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ (fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1) , λ ∈ R.

Exemplo 12.3.1. Seja z = f(x, y) = 3x2y − x. Determine as

equações do plano tangente e da reta normal do ponto (1, 2, f(1, 2)).

Solução: Note que f é uma função polinomial de duas variáveis,

205


Figura 12.70: Plano Tangente e Reta Normal

logo é diferenciável. A equação do plano tangente à superfície

z = f(x, y) no ponto (1, 2, f(1, 2)) é dado por

z = f(1, 2) + fx(1, 2)(x− 1) + fy(1, 2)(y − 2).

Mas f(1, 2) = 5,

fx(x, y) = 6xy−1 =⇒ fx(1, 2) = 11 e fy(x, y) = 3x2 =⇒ fy(1, 2) = 3.

Logo a equação do plano tangente é

z − 5 = 11(x− 1) + 3(y − 2).

Por sua vez, a equação da reta normal à superfície z = f(x, y) no

ponto (1, 2, f(1, 2)) é dado por

(x, y, z) = (1, 2, f(1, 2)) + λ (fx(1, 2), fy(1, 2), −1) , λ ∈ R,

ou seja,

(x, y, z) = (1, 2, 5) + λ (11, 3, −1) , λ ∈ R.

206


12AULA

12.4 A Diferencial

Seja f(x, y) diferenciável em (x0, y0) e consideremos a transfor-

mação linear L : R2 −→ R dada por

L(h, k) = fx(x0, y0)h+ fy(x0, y0)k.

Voltando à condição de diferenciabilidade notamos que

E(h, k) = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− [fx(x0, y0)h+ fy(x0, y0)k]

= ∆f − L(h, k),

onde ∆f = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0). Assim:

lim(h,k)−→(0,0)

∆f − L(h, k)‖(h, k)‖

= 0,

ou seja, L(h, k) ∼ ∆f, para ‖(h, k)‖ ∼ 0.

Chamamos a transformação linear L de diferencial de f em

(x0, y0). Dizemos que L(h, k) = fx(x0, y0)h+ fy(x0, y0)k é a difer-

encial de f em (x0, y0) relativa aos acréscimos h e k.

Em notação clássica a diferencial de f em (x, y) relativa aos

acréscimos dx e dy é indicada por dz (ou df)

dz = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy.

Assim, para acréscimos pequenos,

∆z ∼ dz.

Chamando η = ∆f−df‖(h,k)‖ , a condição de diferenciabilidade pode

ser reformulada com:

f é diferenciável em (x0, y0) se, e somente se, ∆f = df + η ·√h2 + k2, onde η −→ 0 com ‖(h, k)‖ −→ 0.

207


Figura 12.71: Representação da diferencial f em (x, y) relativa aos

acréscimos dx e dy.

Exemplo 12.4.1. Se z = f(x, y) = 3x2 − xy, calcule ∆z e dz se

(x, y) muda de (1, 2) para (1.01, 1.98).

Solução: Temos:

dz = (6x− y)dx+ (−x)dy.

Substituindo x = 1, y = 2, dx = ∆x = 0.01 e dy = ∆y = −0.02,

obtemos:

dz = (6− 2)(0.01) + (−1)(−0.02) = 0.06.

Calculando diretamente ∆z, teríamos:

∆z = 0.0605.

Assim, o erro envolvido é 0.0005.

Exemplo 12.4.2. O raio e a altura de uma caixa de forma cilín-

drica são medidos como 3m e 8m, respectivamente, com um pos-

sível erro de ±0.05m. Use diferenciais para calcular o erro máximo

208


12AULA

no cálculo do volume.

Solução: Temos que o volume da caixa é dado por V = πr2h.

Calculando a diferencial de V temos:

dV =∂V

∂rdr +

∂V

∂hdh = 2πrhdr + πr2dh.

Substituindo r = 3, h = 8, dr = dh = ±0.05, temos:

dV = 48π(±0.05) + 9π(±0.05) = ±2.85π ' ±8.95m3.

12.5 Resumo

As principais conclusões sobre funções diferenciáveis serão dadas

abaixo:

1. Para mostrarmos que função f é diferenciável em (x0, y0) é

suficiente provar que f admite derivadas parciais em (x0, y0) e que

lim(h,k)−→(0,0)

f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− fx(x0, y0)h− fy(x0, y0)k‖(h, k)‖

= 0.

2. Se f é diferenciável em (x0, y0) então f é contínua em (x0, y0).

3. Se f é diferenciável em (x0, y0) então f admite todas as

derivadas parciais em (x0, y0).

4. Se uma das derivadas parciais não existirem em (x0, y0), en-

tão f não será diferenciável neste ponto.

5. Se ambas as derivadas parciais existirem em (x0, y0), mais

se o limite acima não for zero, então f não será diferenciável em

(x0, y0).

209


6. Se f não for contínua em (x0, y0), então f não será diferen-

ciável em (x0, y0).

Se f é diferenciável em (x0, y0), então o plano de equação

z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)

aproxima o gráfico de z = f(x, y) no seguinte sentido:

limα−→0

f(x, y)− zα

= 0

ou, na notação alternativa

lim(h,k)−→(0,0)

E(h, k)‖(h, k)‖

= 0.

Este é um modo de exprimir o fato de que o plano é tangente à

superfície no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).

Segue que o plano tangente em (x0, y0, f(x0, y0)) é perpendic-

ular à direção do vetor

(fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1) (12.1)

A reta que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e é paralela ao

vetor (12.1) denomina-se reta normal ao gráfico de f no ponto

(x0, y0, f(x0, y0)). A equação de tal reta é:

(x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ (fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1) , λ ∈ R.

12.6 Atividades

01. Mostre que a função definida por

f(x) =

x2sen( 1x), se x 6= 0

0, se x = 0

210


12AULA

é diferenciável para todo x, mais não é de classe C1 em x = 0.

02. Justifique porque a função

f(x, y) =

xy3

x2+y6, se (x, y) 6= (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)

não é diferenciável na origem.

03. Calcular as derivadas das funções dadas abaixo:

a) z = exy2; b) z = x2√

1 + xy2.

04. Seja f(x) diferenciável com f(0) = 0 e f(x) 6= 0 para x 6=

0, x ∈ R. Seja

g(x, y) =

f(x)f(y)

f2(x)+f2(y), para (x, y 6= (0, 0)

0, para (x, y) = (0, 0)

a) Mostre que existe gx(0, 0) e gy(0, 0);

b) Mostre que g(x, y) não é diferenciável em (0, 0).

05. Seja f : R2 −→ R tal que |f(x, y)| ≤ x2 + y2. Mostre que f é

diferenciável em (0, 0).

06. Mostre que para uma função f(x, y) ter como curvas de níveis

circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que

x∂f∂y = y ∂f∂x .

07. Achar as equações da reta tangente e da reta normal à curva

γ =

x = t− cos t

y = 3 + sen 2t

z = 1 + cos 3t

211


no ponto t = π2 .

08. Determinar a equação do plano tangente à superfície z =

x2 + y2 no ponto (1, 2, 5).

09. Determinar a equação do plano tangente à superfície z =√9− x2 − y2 no ponto (1, 2, 2).

10. Ache o vetor normal a o plano tangente ao gráfico de f(x, y) =

xy + yex no ponto (1, 1).

11. Ache os pontos do parabolóide z = x2 + y2 − 1 nos quais a

reta normal à superfície coincide com a reta q liga a origem a esses

pontos.

12. Ache a equação do plano tangente à superfície regular S :

x2 + 2y2 + 3z2 = 36 no ponto (1, 2, 3).

13. Ache a equação do plano tangente à superfície regular z =

x2 + 5xy − 2y2 no ponto (1, 2, 3).

14. Ache o plano tangente e a reta normal ao parabolóide de uma

folha x2 + y2 − z2 = 4 no ponto (2,−3, 3).

15. Dada a curva (x, y, z) = (et, e−1,√

2t). Qual a equação do

plano normal à curva no ponto P, correspondente a t = 0?

212


12AULA




aprendidos.



12.8 Referências






Wesley, 2002.

213

13AULA

1LIVRO

Regra da Cadeia eDerivação Implícita

META

Derivar funções compostas e funções

definidas implicitamente.

OBJETIVOS

Estender os conceitos da regra da

cadeia e da derivação implícita de


reais.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido os conceitos lim-

ite, continuidade e derivadas de


reais.

Regra da Cadeia e Derivação Implícita

13.1 Introdução

13.2 Regra da Cadeia

Muitas vezes a função z = f(x, y) é dada sob a forma de função

composta, em que os argumentos x, y são eles próprios funções de

t

x = φ1(t) y = φ2(t).

Então, z = f(φ1(t), φ2(t)) e podemos, portanto, falar em diferen-

ciabilidade relativamente a t.

Figura 13.72: Função composta.

Para derivarmos z em função de t temos o seguinte:

Teorema 13.28. Sejam x = φ1(t) e y = φ2(t) diferenciáveis em t0

e z = f(x, y) diferenciável no ponto P0 = (φ1(t0), φ2(t0)). Então

z(t) = f(φ1(t), φ2(t)) é diferenciável em t0 e ainda(dz

dt

)t0

=(dz

dx

)P0

·(dφ1

dt

)t0

+(dz

dy

)P0

·(dφ2

dt

)t0

.

Demonstração: Como z é diferenciável em P0, temos em par-

ticular que:

∆z =(∂z

dx

)P0

·∆x+(∂z

dy

)P0

·∆y + αη

216


13AULA

onde η −→ 0 com α −→ 0 e α =√

(∆x)2 + (∆y)2 sendo que

∆x = φ1(t0 + ∆t)− φ1(t0) e ∆y = φ2(t0 + ∆t)− φ2(t0).

Logo, para ∆t 6= 0

∆z∆t

=(∂z

dx

)P0

· ∆x∆t

+(∂z

dy

)P0

· ∆y∆t± η

√(∆x∆t

)2

+(

∆y∆t

)2

(13.1)

Observemos que

lim∆t−→0

∆x∆t

=(dφ1

∆t

)t0

e lim∆t−→0

∆y∆t

=(dφ2

∆t

)t0

ainda:

∆t −→ 0 =⇒ [∆x −→ 0 e ∆y −→ 0],

pois φ1 e φ2 sendo diferenciáveis em t0 são contínuas em t0. Pas-

sando ao limite a expressão (13.1) com ∆t −→ 0, temos(dz

dt

)t0

=(dz

dx

)P0

·(dφ1

dt

)t0

+(dz

dy

)P0

·(dφ2

dt

)t0

.

pois η −→ 0 com ∆t −→ 0 e

[(∆x∆t

)2

+(

∆y∆t

)2]−→ L ∈ R com

∆t −→ 0.

Exemplo 13.2.1. Seja z = f(x, y) = exy onde x = sen t e y =

cos t. Calculedz

dtem t = t0.

Solução: Temos que P0 = (φ1(t0), φ2(t0)) = (sen t0, cos t0).

Logo(dz

dt

)t0

=(dz

dx

)P0

·(dφ1

dt

)t0

+(dz

dy

)P0

·(dφ2

dt

)t0

,

ou seja,(dz

dt

)t0

= (y0ex0y0) · (cos t0) + (x0e

x0y0) · (−sen t0)

= esen t0 cos t0(cos2t0 − sen2t0).

217


É freqüente encontrar-se z = f(x, y) com y = y(x). Neste caso,

z = f(x, y(x)) = z(x). Ainda

dz

dx=∂z

∂x· dxdx

+∂z

∂y· dydx.

Portanto,

dz

dx=∂z

∂x+∂z

∂y· dydx.

Exemplo 13.2.2. Seja z = f(x, y) = x2 + y2. Considere a curva

y = φ(x) = x3 e calcule:

(a)∂z

∂x(1, 1)

(b)dz

dx(1)

Solução:

(a) Temos que

∂z

∂x= 2x+ 2y

dy

dx= 2x+ 6yx2.

Logo∂z

∂x(1, 1) = 2 · 1 + 6 · 1 · 12 = 8.

(b)dz

dx(1) =

∂z

∂x(1, 1) +

∂z

∂y(1, 1) · dy

dx(1) = 8 + 1 · 3 = 11.

13.3 Derivação de funções definidas implici-

tamente

A Regra da Cadeia pode ser usada para uma descrição do processo

de diferenciação implícita. Suponhamos que a equação da forma

F (x, y) = 0 define y implicitamente como uma função diferenciável

de x, ou seja, y = f(x), onde F (x, f(x)) = 0, para todo x no

domínio de f . Se F é diferenciável, podemos usar a Regra da

218


13AULA

Cadeira para diferenciar ambos os lados da equação F (x, y) = 0

com relação a x. Como x e y são ambas funções de x, obtemos:

∂F

∂x

dx

dx+∂F

∂y

dy

dx= 0.

No entanto, dxdx = 1; então, se ∂F

∂y 6= 0, resolvemos para dydx e

obtemos

dy

dx= −

∂F∂x∂F∂y

. (13.1)

Para derivar essa equação assumimos que F (x, y) = 0 define y

implicitamente em função de x. O próximo teorema nos fornece

condições segundo as quais essa hipótese é válida.

Teorema 13.29. (Teorema da Função Implícita) Seja F : A ⊂ R2

onde A é um aberto e F é de classe Ck, (k ≥ 1) em A. Se F

se anula em P0 = (x0, y0) ∈ A e ∂F∂y (P0) 6= 0, então existe um

intervalo aberto I contendo x0 e um aberto B ⊂ A, P0 ∈ B com

a seguinte propriedade:

Para cada x ∈ I existe um único ξ(x) ∈ R tal que (x, ξ(x)) ∈ B

e F (x, ξ(x)) = 0, ou seja, F (x, y) = 0 define y = ξ(x), implicita-

mente.

Exemplo 13.3.1. Mostre que existe um intervalo I contendo x0 =

2, no qual está definida da função y = ξ(x) satisfazendo x2 + xy+

y2 = 7 com ξ(2) = 1 e encontre dydx .

Solução: Definimos

F (x, y) = x2 + xy + y2 − 7.

Observemos que F é de classe C∞ em R2,

F (2, 1) = 0 e∂F

∂y(2, 1) = 4 6= 0.

219


Pelo Teorema anterior, existe um intervalo I contendo x0 = 2 e

uma função y = ξ(x), tais que:

x2 + xξ(x) + (ξ(x))2 = 7, ∀x ∈ I.

Ainda: ξ(2) = 1, ξ é de classe C∞. Temos então que F (x, y) =

0 define y = ξ(x) implicitamente, logo, usando a fórmula 13.1,

obtemos

ξ′(x) =dy

dx= −

∂F∂x∂F∂y

= −2x+ y

x+ 2y.

Em particular, ξ′(2) = −54 .

Suponhamos agora que z seja dado implicitamente como uma

função z = f(x, y) por uma equação da forma F (x, y, z) = 0. Isto

é o mesmo que F (x, y, f(x, y)) = 0 para todo (x, y) no domínio de

f . Se F e f forem diferenciáveis, utilizamos a Regra da Cadeia

para diferenciar a equação F (x, y, z) = 0 como se segue:

∂F

∂x

∂x

∂x+∂F

∂y

∂y

∂x+∂F

∂z

∂z

∂x= 0.

Mas ∂x∂x = 1 e ∂y

∂x = 0 portanto, essa equação se escreve

∂F

∂x+∂F

∂z

∂z

∂x= 0.

Se ∂F∂z 6= 0, resolvendo para ∂z

∂x e obtemos:

∂z

∂x= −

∂F∂x∂F∂z

. (13.2)

Analogamente, obtemos

∂z

∂y= −

∂F∂y

∂F∂z

. (13.3)

Novamente, uma versão do Teorema da Função Implícita nos

dá as condições sob as quais nossa hipótese é válida. Se F ∈

220


13AULA

Ck, (k ≥ 1) é definida em um aberto contendo P0 = (x0, y0, z0),

onde F (P0) = 0 e ∂F∂z (P0) 6= 0, então a equação F (x, y, z) = 0

define z como uma função de x e y perto do ponto P0, e as derivadas

parciais dessa função são dadas pelas fórmulas (13.2) e (13.3).

Exemplo 13.3.2. Determine ∂z∂x e ∂z

∂y se exyz = x2 + y2 + z2.

Solução: Seja F (x, y, z) = exyz−x2−y2−z2. Então, das equações

(13.2) e (13.3), temos

∂z

∂x= −

∂F∂x∂F∂z

= −yzexyz − 2x

xyexyz − 2z

∂z

∂y= −

∂F∂y

∂F∂z

= −xzexyz − 2y

xyexyz − 2z

Outra maneira:

Temos

∂

∂x(exyz) = exyz

∂

∂x(xyz) = exyz

(yz + xy

∂z

∂x

)e

∂

∂x(x2 + y2 + z2) = 2x+ 2z

∂z

∂x.

Assim

exyz(yz + xy

∂z

∂x

)= 2x+ 2z

∂z

∂x,

ou seja,∂z

∂x=

2x− yzexyz

xyexyz − 2z

em todo (x, y) ∈ D(f) com xyexyz − 2z 6= 0.

13.4 Resumo

A Regra da Cadeia é dada pelo seguinte:

221


Teorema 13.30. Sejam x = φ1(t) e y = φ2(t) diferenciáveis em t0

e z = f(x, y) diferenciável no ponto P0 = (φ1(t0), φ2(t0)). Então

z(t) = f(φ1(t), φ2(t)) é diferenciável em t0 e ainda(dz

dt

)t0

=(dz

dx

)P0

·(dφ1

dt

)t0

+(dz

dy

)P0

·(dφ2

dt

)t0

.

A Regra da Cadeia pode ser usada para uma descrição do pro-

cesso de diferenciação implícita. Suponhamos que a equação da

forma F (x, y) = 0 define y implicitamente como uma função difer-

enciável de x, ou seja, y = f(x), onde F (x, f(x)) = 0, para todo x

no domínio de f . Se F é diferenciável, podemos usar a Regra da

Cadeira para diferenciar ambos os lados da equação F (x, y) = 0

com relação a x. Como x e y são ambas funções de x, obtemos:

∂F

∂x

dx

dx+∂F

∂y

dy

dx= 0.

No entanto, dxdx = 1; então, se ∂F

∂y 6= 0, resolvemos para dydx e

obtemos

dy

dx= −

∂F∂x∂F∂y

.

Para derivar essa equação assumimos que F (x, y) = 0 define y

implicitamente em função de x. O próximo teorema nos fornece

condições segundo as quais essa hipótese é válida.

Teorema 13.31. (Teorema da Função Implícita) Seja F : A ⊂ R2

onde A é um aberto e F é de classe Ck, (k ≥ 1) em A. Se F

se anula em P0 = (x0, y0) ∈ A e ∂F∂y (P0) 6= 0, então existe um

intervalo aberto I contendo x0 e um aberto B ⊂ A, P0 ∈ B com

a seguinte propriedade:

Para cada x ∈ I existe um único ξ(x) ∈ R tal que (x, ξ(x)) ∈ B

e F (x, ξ(x)) = 0, ou seja, F (x, y) = 0 define y = ξ(x), implicita-

mente.

222


13AULA

13.5 Atividades

01. Calculedz

dt:

(a) z = sen xy, x = 3t, e y = t2.

(a) z = ln(1 + x2 + y2), x = sen 3t, e y = cos 3t.

02. Seja f(x, y) = x2 + y2. Considere a curva y = φ(x) = x3 e

calcule:

a) ∂z∂x(1, 1); b) dz

dx(1).

03. Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1).

(a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f .

(b) Calcule g′(0) admitindo∂f

∂x(0, −1) =

13.

04. Suponha que, para todo t, f(t2, 2t) = t3 − 3t. Mostre que∂f

∂x(1, 2) = −∂f

∂y(1, 2).

05. Considerando a função F (x, y) = f

(x

y,y

x

).Mostre que x

∂F

∂x+ y

∂f

∂y= 0.

06. A equação y3 + xy + x3 = 4 define implicitamente alguma

função diferenciável y = y(x)? Em caso afirmativo, expressedy

dxem termos de x e y. (Sugestão: Observe que (0, 3

√4) satisfaz

a equação e utilize o teorema das funções implícitas para o caso

F (x, y) = 0)

07. Mostre que cada uma das equações seguintes define implici-

tamente pelo menos uma função diferenciável y = y(x). Expressedy

dxem termos de x e y.

223


(a) x2y + sen y = x

(b) y4 + x2y2 + x4 = 3.

08. Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente

pela equação x = F (x2 + y, y2), onde F (u, v) é suposta diferen-

ciável. Expressedy

dxem termos de x, y e das derivadas parciais de

F.




aprendidos.



13.7 Referências






Wesley, 2002.

224

14AULA

1LIVRO

Vetor Gradiente eas Derivadas Dire-cionais

META

Definir o vetor gradiente de uma

função de duas variáveis reais e

interpretá-lo geometricamente.

Além disso, estudaremos a derivada

direcional de uma função de duas


OBJETIVOS

Estender o conceito de derivadas

parciais e estudar a taxa de variação

de uma função em qualquer direção.

PRÉ-REQUISITOS

Limite, continuidade e derivadas

parciais de funções de duas variáveis

reais a valores reais.

Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais

14.1 Introdução

Vamos iniciar nossa penúltima aula, definindo um vetor que indi-

cará a direção de maior crescimento de uma função, tal vetor será

denominado vetor gradiente.

Posteriormente, estudaremos a derivada direcional de uma função

de duas variáveis a valores reais. Já vimos na Aula 13 que as

derivadas parciais permite determinarmos a taxa de variação de

uma função nas direções tangentes às curvas coordenadas. A

derivada direcional, nos permitirá determinar a taxa de variação

de uma função de duas variáveis reais a valores reais, em qualquer

direção.

14.2 Vetor Gradiente

Definição 14.29. Seja z = f(x, y) uma função que admite derivadas

parciais em (x0, y0). O vetor

∇f(x0, y0) =(∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)

)=∂f

∂x(x0, y0) ·~i+

∂f

∂y(x0, y0) ·~j

denomina-se gradiente de f em (x0, y0).

Geometricamente, interpretaremos ∇f(x0, y0) como um vetor

aplicado no ponto (x0, y0).

Exemplo 14.2.1. Se f(x, y) = 16(x2 + y3), então

fx(x, y) =13x e fy(x, y) =

12y2.

Logo

∇f(x, y) =13x~i+

12y2~j.

226


14AULA

Em particular,

∇f(0,−2) =13

0~i+12

(−2)2~j = 2~j.

Na Figura 14.73, esta representado∇f(0,−2) partindo do ponto

(0,−2) e mais alguns vetores gradientes aplicados em diferentes

pontos.

Figura 14.73: Vetores Gradientes de f(x, y) = 16(x2 + y3).

O proximo teorema mostra que, em certas condições, o vetor

∇f(x0, y0) é normal à curva de nível de f que passa por (x0, y0).

Teorema 14.32. Seja z = f(x, y) diferenciável em (x0, y0) com

∇f(x0, y0) 6= (0, 0). Então ∇f(x0, y0) é normal à curva de nível γ

de f que passa por (x0, y0).

Demonstração: Seja γ(t) = (x(t), y(t)) a curva de nível de

f(x, y) tal que γ(t0) = (x0, y0). Assim, temos que

z(t) = f(γ(t)) = f(x(t), y(t)) ≡ k. (14.1)

Como γ e f são diferenciáveis, podemos usar a regra da cadeia

227


para diferenciar ambos os membros de (14.1), obtendo:

∂f

∂x(x0, y0) ·

(dx

dt

)t0

+∂f

∂y(x0, y0) ·

(dy

dt

)t0

= 0

A equação anterior pode ser escrita como

∇f(x0, y0) · γ′(t0) = 0.

Portanto, ∇f(x0, y0) é perpendicular ao vetor γ′(t0) tangente à

curva de nível γ.

Figura 14.74: ∇f(x0, y0) é perpendicular ao vetor γ′(t0).

Exemplo 14.2.2. Achar o vetor normal à curva y = x+ sen x no

ponto x =π

2.

Solução: Definimos

F (x, y) = x+ sen x− y.

Temos que a curva considerada é uma curva de nível da função

diferenciável F. Assim, pelo Teorema 14.32, segue que, para calcu-

lar um vetor normal à curva dada, basta calcular ∇f(π

2,π

2+ 1) :

∇f(π

2,π

2+ 1) =~i−~j.

228


14AULA

14.3 Derivada Direcional

Definição 14.30. Consideremos z = f(x, y) definida em um aberto

de R2 e seja ~v = (v1, v2) um vetor unitário (‖~v‖ = 1). A derivada

direcional de f no ponto P0 = (x0, y0) na direção de ~v é o valor do

limite

limt−→0

f(P0 + t~v)− f(P0)t

,

quando este limite existir.

Notação 9. D~vf(P0) ou(∂f∂~v

)(P0).

A derivada direcional D~vf(P0) denomina-se, também, taxa de

variação de f no ponto (x0, y0) e na direção do vetor ~v, com ‖~v‖ =

1.

Interpretação Geométrica da Derivada Parcial

Podemos interpretar geometricamente a derivada direcional de

f no ponto P0 na direção de ~v como uma inclinação: Consideremos

a curva γ(t) dada por

γ :

x = x0 + at

y = y0 + bt

z = g(t)

onde g(t) = f(x0 + at, y0 + bt).

Observe que a imagem de γ está contida no gráfico de f. Temos:

g′(0) = limt−→0

g(t)− g(0)t

= limt−→0

f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)t

= D~vf(x0, y0)

onde ~v = (a, b).

229


Figura 14.75: Interpretação geométrica da derivada direcional.

Observe que, se ~v =~i = (1, 0) então

D~if(x0, y0) = limt−→0

f((x0, y0) + t(1, 0))− f(x0, y0)t

= limt−→0

f((x0 + t, y0))− f(x0, y0)t

= fx(x0, y0),

ou seja,D~if(x0, y0) = fx(x0, y0), ∀(x0, y0) ∈ D(f). Analogamente,

mostra-se que D~jf(x0, y0) = fy(x0, y0), ∀(x0, y0) ∈ D(f).

Exemplo 14.3.1. Dada a função f(x, y) = x2− xy+ 5y, calcular

a derivada direcional de f no ponto P0 = (−1, 2) na direção do

vetor (3,−4).

Solução: Note que ‖(3,−4)‖ =√

(3)2 + (−4)2 = 5. Seja então

~v =(

35 , −

45

). Temos que:

‖~v‖ = 1

f(P0 + t~v) = f

(−1 + t

35, 2− t4

5

)= 13− 36

5t+

2125t2

f(P0) = f(−1, 2) = 13

230


14AULA

Logo

D~vf(P0) = limt−→0

f(P0 + t~v)− f(P0)t

= limt−→0

13− 365 t+ 21

25 t2 − 13

t

= limt−→0

(−36

5+

2125t

)= −36

5

Portanto, D~vf(P0) = −365.

O próximo teorema, relaciona a derivada direcional de f com

o vetor gradiente de f .

Teorema 14.33. Consideremos f : A ⊂ R2 −→ R com A aberto

e f diferenciável em P0 ∈ A. Para todo ~v ∈ R2 com ‖~v‖ = 1, existe

a D~vf(P0) e ainda:

D~vf(P0) = ∇f(P0) · ~v.

Demonstração: Sejam ~v = (v1, v2) e P0 = (x0, y0) fixos. Con-

sideremos a função F (t) = f(x0 + tv1, y0 + tv2) onde t é tal que

(x0 + tv1, y0 + tv2) ∈ A. Como F é diferenciável no ponto t = 0,

usando a Regra da Cadeira, obtemos:

F ′(0) = fx(x0, y0)v1 + fy(x0, y0)v2 = ∇f(P0) · ~v.

Por outro lado,

F ′(0) = limt−→0

F (t)− F (0)t

= limt−→0

f(x0 + tv1, y0 + tv2)− f(x0, y0)t

= D~vf(P0).

Assim, D~vf(P0) = ∇f(P0) · ~v.

Observação 14.14. Temos: Se f for diferenciável em P0, então

a derivada direcional D~vf(P0) é a projeção escalar do ∇f(P0) na

231


direção de ~v, ou seja,

D~vf(P0) = ∇f(P0) · ~v = ‖∇f(P0)‖‖~v‖cosθ = ‖∇f(P0)‖cosθ,

onde θ é o ângulo formado entre os vetores ∇f(P0) e ~v em P0.

Observação 14.15. O Teorema 14.33 afirma que se f é diferen-

ciável em um ponto P0, então f tem todas as derivadas direcionais

em P0. E a recíproca, é verdadeira? Vejamos um exemplo (a seguir)

em que f tem todas as derivadas direcionais em P0, mais f não é

diferenciável em P0.

Exemplo 14.3.2. Sejam

f(x, y) =

x|y|√x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

e ~v = (v1, v2) com ‖~v‖ = 1. Temos:

D~vf(0, 0) = limt−→0

tv1|tv2|t√t2(v2

1 + v22)

= limt−→0

v1|v2|√v2

1 + v22

=v1|v2|√v2

1 + v22

= v1|v2|.

Em particular:

fx(0, 0) = D~if(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = D~jf(0, 0) = 0.

Ainda se

∆f = f(x, y)− f(0, 0) = df(0, 0)(x, y) + η√x2 + y2 = 0 + η

√x2 + y2

então

η =x|y|

x2 + y29 0, com (x, y) −→ (0, 0).

Portanto, f não é diferenciável em (0, 0).

232


14AULA

Estamos terminando esta aula mais antes disso, vamos respon-

der uma pergunta interessante sobre derivadas direcionais.

Supondo f diferenciável, quando a derivada direcional de f é máx-

ima, quando é mínima e quando é nula?

Solução: Admitamos ∇f(P0) 6= (0, 0). Temos que

D~vf(P0) = ‖∇f(P0)‖cosθ.

Logo, é maxima quando cosθ = 1 e isso acontece se, e somente se,

θ = 0. Logo D~vf(P0) é máxima quando ~v tem o mesmo sentido

de ∇f(P0). É mínima quando cosθ = −1, isto é, quando θ = π.

Portanto, D~vf(P0) é mínima quando ~v tem sentido oposto ao de

∇f(P0). Finalmente, D~vf(P0) é nula se cos theta = 0 ⇔ θ = π2 .

Portanto, D~vf(P0) é nula se ~v é perpendicular ao vetor ∇f(P0).

Finalizamos esta aula, com uma aplicação de derivadas dire-

cionais.

Exemplo 14.3.3. A temperatura num ponto (x, y) do plano é

dada por

T (x, y) =100xyx2 + y2

.

(a) Calcule a derivada direcional no ponto (2, 1), no sentido que

faz um ângulo de 60o com o semi-eixo positivo dos x.

Figura 14.76: Figura referente ao item (a) do Exemplo 14.3.3

233


(b) Em que direção, a partir de (2, 1) é máxima a derivada dire-

cional?

(c) Qual o valor deste máximo?

Solução: (a) Observando a Figura 14.76 é fácil ver que

~u = cos 60o~i+ sen 60~j =12~i+√

32~j.

Note que ‖~u‖ = 1. Temos que T é diferenciável em (2, 1), uma vez

que as suas derivadas parciais são contínuas neste ponto. Além

disso, ∇T (2, 1) = (−12, 24). Logo

D~uT (2, 1) = ∇T (2, 1) · ~u = −6 + 12√

3.

(b) É máxima no sentido do gradiente, isto é, do vetor −12~i+

24~j.

(c) O máximo é o módulo do gradiente = 12√

5.

14.4 Resumo


vistos nesta aula.

Definição 14.31. Seja z = f(x, y) uma função que admite derivadas

parciais em (x0, y0). O vetor

∇f(x0, y0) =(∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)

)=∂f

∂x(x0, y0) ·~i+

∂f

∂y(x0, y0) ·~j

denomina-se gradiente de f em (x0, y0).

Teorema 14.34. Seja z = f(x, y) diferenciável em (x0, y0) com

∇f(x0, y0) 6= (0, 0). Então ∇f(x0, y0) é normal à curva de nível γ

de f que passa por (x0, y0).

234


14AULA

Definição 14.32. Consideremos z = f(x, y) definida em um aberto

de R2 e seja ~v = (v1, v2) um vetor unitário (‖~v‖ = 1). A derivada

direcional de f no ponto P0 = (x0, y0) na direção de ~v é o valor do

limite

limt−→0

f(P0 + t~v)− f(P0)t

,

quando este limite existir.

A derivada direcional D~vf(P0) denomina-se, também, taxa de

variação de f no ponto (x0, y0) e na direção do vetor ~v, com ‖~v‖ =

1.

Teorema 14.35. Consideremos f : A ⊂ R2 −→ R com A aberto

e f diferenciável em P0 ∈ A. Para todo ~v ∈ R2 com ‖~v‖ = 1, existe

a D~vf(P0) e ainda:

D~vf(P0) = ∇f(P0) · ~v.

14.5 Atividades

01. Considere f(x, y) = xy + 1.

a) Desenhe as curvas de nível 0, 1 e 2;

b) Desenhe alguns vetores gradientes de f ;

c) O que acontece com ∇f(0, 0) e com a curva de nível que passa

por (0, 0)?

02. Em cada um dos casos abaixo, desenhe um número suficiente

de vetores para ilustrar para ilustrar o campo gradiente de f :

a) f(x, y) = 12(x2 + y2);

b) f(x, y, z) = x+ y + z;

235


c) f(x, y, z) = 20− z.

03. a) Encontre a equação do plano tangente à superfície f(x, y, z) =

x2 + y2 − z2 no ponto (1, 1,√

2).

b) Mostre que a superfície e o plano tem uma reta em comum.

c) Qual o ângulo entre essa reta e o vetor ∇f(1, 1,√

2)?

04. Prove que D~if(a, b) = fx(a, b) e D~jf(a, b) = fy(a, b). Se

D~vf(P0) = k então D~vf(P0) =?

05. Ache o valor absoluto da derivada direcional em (1, 0, 1) da

função f(x, y, z) = 4x2y + y2z na direção normal em (1, 1, 1) à

superfície x2 + 2y2 + z2 = 4.

06. Se a temperatura em um ponto (x, y, z) de uma bola sólida de

raio 3 centrada em (0, 0, 0) é dada por T (x, y, z) = yz + zx + xy

ache a direção, a partir de (1, 1, 2), na qual a temperatura cresce

mais rapidamente.

07. Sendo f diferenciável em R2, qual o significado geométrico

para o fato de ∇f(x, y) = 0.

a) em um ponto;

b) em todos os pontos.

08. Se f(x, y) = x2 − y2, calcule a derivada direcional de f na

direção ( 1√5, 2√

5) no ponto (1, 1).

09. Se f(x, y) = ex+y, calcule a derivada direcional de f no ponto

236


14AULA

(1, 1) na direção da curva definida por g(t) = (t2, t3) em g(2) para

t crescendo.

10. A temperatura num ponto (x, y) do plano xy é dado por

T = yx2+y2

.

a) Calcule a derivada direcional no ponto (1, 2) no sentido que faz

um ângulo de 45◦ com o semi-eixo positivos dos x.

b) No sentido de P = (x, y) para Q = (0, 0), no ponto P.

11. Seja f(x, y) =

xy√x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)Mostre que fx(0, 0) = 0 = fy(0, 0) mais que o gráfico de f não tem

plano tangente em (0, 0).

12. Seja f(x, y) =

xy2

x2+y4, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)a) Mostre que f derivada direcional, em qualquer direção, em (0, 0)

b) Mostre que f não é diferenciável em (0, 0).




aprendidos.



237


14.7 Referências






Wesley, 2002.

238

15AULA

1LIVRO

Máximos e Mínimos

META

Encontrar os pontos de máximo

e mínimo de uma função de duas


OBJETIVOS

Maximizar e/ou minimizar função

de duas variáveis a valores reais.

PRÉ-REQUISITOS

Limite, continuidade, derivadas par-

ciais e diferenciabilidade de funções

de duas variáveis reais a valores

reais.

Máximos e Mínimos

15.1 Introdução

Vimos no curso de Cálculo 1 que um dos principais usos da derivada

ordinária é na determinação dos valores máximo e mínimo. Nesta

aula, veremos como usar as derivadas parciais para localizar os

pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis.

Este estudo de máximo e mínimo de funções de duas variáveis

tem aplicações em diversas áreas da matemática. Por exemplo,

dado uma chapa com distribuição de temperatura dada por uma

função de duas variáveis reais a valores reais, encontraremos o

ponto de maior e o de menor temperatura desta chapa. (Ver Ex-

emplo 15.3.1).

Iniciemos esta aula com o estudo de máximos e mínimos gerais.

Posteriormente, estudaremos máximos e mínimos condicionados.

15.2 Pontos de Máximo e Pontos de Mínimo

Definição 15.33. Seja f(x, y) uma função a valores reais e seja

P0 = (x0, y0) ∈ A, com A ⊂ D(f) aberto, dizemos que:

(a) P0 é ponto de máximo local de f se existir uma vizinhança

V de P0 tal que f(P ) ≤ f(P0), para todo P ∈ V ∩A.

(b) P0 é ponto de mínimo local de f se existir uma vizinhança

V de P0 tal que f(P ) ≥ f(P0), para todo P ∈ V ∩A.

(c) P0 é ponto de máximo absoluto (ou global) de f se para

todo P ∈ A, f(P ) ≤ f(P0). Neste caso, o número f(P0) será de-

nominado valor máximo de f em A.

240


15AULA(d) P0 é ponto de mínimo absoluto (ou global) de f se para

todo P ∈ A, f(P ) ≥ f(P0). Neste caso, o número f(P0) será de-

nominado valor mínimo de f em A.

(e) P0 é ponto crítico (ou estacionário) de f se fx(P0) = fy(P0) =

0.

Os pontos de máximo e mínimo de uma função f denominam-se

extremantes de f .

Exemplo 15.2.1. (0, 0) é ponto de mínimo absoluto de f(x, y) =

x2 +y2 e f(0, 0) = 0 é o valor mínimo de f, pois, f(x, y) ≥ f(0, 0),

para todo (x, y) ∈ R2.

O proximo teorema fornece-nos um critério para selecionar, en-

tre os pontos interiores de D(f), candidatos a pontos de máximo

(ou de mínimo) locais de f .

Teorema 15.36. Seja P0 = (x0, y0) um ponto interior de D(f) e

suponhamos que fx(P0) e fy(P0) existam. Nestas condições, uma

condição necessária para que P0 seja um extremante local de f é

que P0 seja um ponto critico de f , ou seja, fx(P0) = 0 e fy(P0) = 0.

Demonstração: Suponhamos que P0 seja um ponto de máximo

local de f . Como P0 é ponto interior de D(f), existe uma vizin-

hança B ⊂ D(f) de P0, tal que, para todo P ∈ B,

f(P ) ≤ f(P0).

Por outro lado, existe um intervalo aberto I, com x0 ∈ I, tal que

para todo x ∈ I, (x, y0) ∈ B. Consideremos a função g dada por

g(x) = f(x, y0), x ∈ I.

241

Máximos e Mínimos

Deste modo, temos que g é derivável em x0 (g′(x0) = fx(x0, y0)),

x0 é ponto interior de I e x0 é ponto de máximo local de g, daí

g′(x0) = 0

e, portanto,

fx(x0, y0) = 0.

De modo análogo, demonstra-se que fy(x0, y0) = 0.

Segue deste teorema que se (x0, y0) for interior a D(f), f difer-

enciável em (x0, y0) e (x0, y0) extremante local de f, então o plano

tangente ao gráfico de f em (x0, y0, f(x0, y0)) será paralelo ao plano

xy.

Além disso, o teorema anterior nos diz que se f admite derivadas

parciais em todo os pontos interiores a D(f), então os pontos críti-

cos de f são, entre os pontos interiores de D(f), os únicos can-

didatos a extremantes locais de f .

Já vimos que um ponto P0 ∈ A que não é ponto interior de

A, denomina-se ponto de fronteira de A. O teorema anterior não

se aplica a pontos de fronteira de D(f); um ponto de fronteira de

D(f) pode ser um extremante local sem que as derivadas parci-

ais se anulem nele. Os pontos de fronteira devem ser analisados

separadamente. (Faremos isso a diante.)

Exemplo 15.2.2. Seja f(x, y) = x2 + y2. Como D(f) = R2 é um

conjunto aberto, de

fx(x, y) = 2x e fy(x, y) = 2y

segue que (0, 0) é o único candidato a extremante local. Como

f(x, y) ≥ f(0, 0) = 0, para todo (x, y) ∈ R2, resulta que (0, 0) é

um ponto de mínimo global de f .

242


15AULA

O próximo exemplo, nos mostrará que a condição das derivadas

parciais se anularem num ponto não é suficiente para concluirmos

que tal ponto é um extremante local.

Exemplo 15.2.3. Considere f : R2 −→ R dada por f(x, y) = xy.

Verifica-se sem dificuldade que (0, 0) é o único ponto crítico de

f mais não ponto de máximo ou de mínimo de f . (Para uma

visualização geométrica, observe a Figura 15.77)).

Figura 15.77: Ponto de Sela.

O ponto (0, 0) neste exemplo, denomina-se ponto de sela.

Quais seriam então as condições suficientes para garantir a na-

tureza de um ponto crítico de f?

Para respondermos essa pergunta, precisamos da seguinte definição.

Seja f(x, y) de classe C2. A função dada por

H(x, y) =

∣∣∣∣∣∣∂2f∂x2 (x, y) ∂2f

∂x∂y (x, y)∂2f∂x∂y (x, y) ∂2f

∂y2(x, y)

∣∣∣∣∣∣denomina-se hessiano de f . Observe que

H(x, y) =∂2f

∂x2(x, y) · ∂

2f

∂x2(x, y)−

[∂2f

∂x∂y(x, y)

]2

.

O próximo teorema fornece-nos uma condição suficiente para

um ponto crítico de f ser um extremante local de f .

243

Máximos e Mínimos

Teorema 15.37. Sejam f : A ⊂ R2 −→ R, f de classe C2 e

P0 = (x0, y0) um ponto interior de D(f). Se:

fx(P0) = fy(P0) = 0 (P0 é um ponto crítico de f) e H(P0) > 0.

Então P0 é extremante local de f e

(i) Se fxx(P0) < 0, então P0 é ponto de máximo local.

(ii) Se fxx(P0) > 0, então P0 é ponto de mínimo local.

Se H(P0) < 0, então P0 não será nem ponto de máximo e nem de

mínimo, ou seja, P0 é ponto de sela.

Se H(P0) = 0, nada se pode afirmar.

A demostração desse teorema pode ser encontrada facílmente

em livros mais avançados de Cálculo.

Exemplo 15.2.4. Classificar os pontos críticos da função f(x, y) =

3xy2 + x3 − 3x.

Solução: Note que f é de classe C2, pois é uma função polino-

mial de duas variáveis. Temos que

fx(x, y) = 3y2 + 3x2 − 3 = 0⇔ x2 + y2 = 1

fy(x, y) = 6xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0.

Assim, os pontos críticos são: (0, 1), (0,−1), (1, 0) e (−1, 0).

Observemos que

H(x, y) =

∣∣∣∣∣∣∂2f∂x2 (x, y) ∂2f

∂x∂y (x, y)∂2f∂x∂y (x, y) ∂2f

∂y2(x, y)

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ 6x 6y

6y 6x

∣∣∣∣∣∣ = 36x2 − 36y2

(i) Análise para o ponto (0, 1) :

H(0, 1) = −36 < 0.

Logo (0, 1) é ponto de sela.

(ii) Análise para o ponto (0,−1) :

H(0,−1) = −36 < 0.

244


15AULA

Logo (0,−1) é ponto de sela.

(iii) Análise para o ponto (1, 0) :

H(1, 0) = 36 > 0 e fxx(1, 0) = 6 > 0.

Logo (1, 0) é ponto de mínimo local de f .

(iv) Análise para o ponto (−1, 0) :

H(1, 0) = 36 > 0 e fxx(1, 0) = −6 < 0.

Logo (−1, 0) é ponto de máximo local de f .

Notemos ainda que: f(1, 0) = −2, f(−1, 0) = 2 e f(0, 1) =

f(0,−1) = 0. Utilizando o programa computacional Maple trace-

mos o gráfico de f. (Veja Figura 15.78)

Figura 15.78: Gráfico de f(x, y) = 3xy2 + x3 − 3x.

Exemplo 15.2.5. Seja z = f(x, y), com domínio A = {(x, y) ∈

R2; x ≥ 0 e y ≥ 0}, onde f(x, y) = x2y + 3x. O ponto (0, 0) é um

ponto de mínimo de f em A pois f(x, y) ≥ f(0, 0) em A. Como

fx(x, y) = 2xy + 3, segue que fx(0, 0) = 3 6= 0. Este fato não

245

Máximos e Mínimos

contradiz o Teorema 15.37, pois ele só se aplica a ponto interiores

a D(f) e (0, 0) não é um ponto interior a D(f) (D(f) = A).

15.3 Máximos e Mínimos sobre Conjuntos

Compactos

Na seção anterior determinamos condições necessárias e condições

suficientes para um ponto de D(f) seja um extremante local de

f . Entretanto, para muitos problemas que ocorrem na prática é

importante determinar os extremantes em um subconjunto A de

D(f). O Teorema de Weierstrass, que é o próximo teorema a ser

enunciado, fornece-nos condições suficientes para a existências de

tais extremantes.

Teorema 15.38. Se f(x, y) for contínua no subconjuntoA, fechado

e limitado, de D(f), então existiram pontos (x1, y1) e (x2, y2) em

A, tais que, para todo (x, y) ∈ A,

f(x1, y1) ≤ f(x, y) ≤ f(x2, y2).

Lembremos que um conjunto A ⊂ R2, fechado e limitado é

chamado de compacto.

Este teorema nos garante que se f for contínua em A e A

compacto, então existirão pontos (x1, y1) e (x2, y2) em A tais que

f(x1, y1) é o valor mínimo e f(x2, y2) é o valor máximo de f. As-

sim se estivermos interessados em descobrir os pontos máximos e

mínimos absolutos de f : A ⊂ R2 −→ R, f contínua e A compacto

devemos procurá-los entre:

(i) pontos de fronteira de A.

246


15AULA

(ii) pontos interiores críticos de f .

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 15.3.1. Consideremos uma chapa com a forma D =

{(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1} e suponhamos que a temperatura em

D seja dada por T (x, y) = x2 + 2y2− x. Determinar o ponto mais

quente e mais frio de D.

Solução: Como T é contínua e D é compacto, pelo Teorema

15.38 sabemos que existem P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) em D,

tais que, para todo P = (x, y) ∈ D,

f(P1) ≤ f(P ) ≤ f(P2).

Assim P1 e P2 são, respectivamente, os pontos de mínimo e máximo

absolutos. Como sabemos, eles podem ocorrer somente em:

(i) pontos interiores críticos de f .

(ii) pontos de fronteira de D.

Vamos procurá-los:

(i) No interior de D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 1}

Pontos críticos:

Tx(x, y) = 2x− 1 = 0⇔ x =12

Ty(x, y) = 4y = 0⇔ y = 0.

Assim, o único ponto crítico é o ponto(

12 , 0

)e T

(12 , 0

)= −1

4 .

(ii) Na fronteira de D : {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1}

Temos que x2 + y2 = 1 e assim y2 = 1 − x2. Substituindo y2

247

Máximos e Mínimos

em T, obtemos

T (x, y) = x2 + 2y2 − x = T (x, y) = x2 + 2(1− x2)− x

= −x2 − x+ 2 = F (x), −1 ≤ x ≤ 1.

Chegamos assim ao problema de determinar os pontos máximos e

mínimos absolutos de F (x) = −x2 − x+ 2 em [−1, 1].

Determinemos os pontos críticos em (−1, 1) :

F ′(x) = −2x− 1 = 0⇔ x = −12.

e F(−1

2

)= 9

4 . Ainda, nos pontos extremos, temos F (−1) = 2 e

F (1) = 0. Assim:

Ponto de máximo absoluto de F em [−1, 1] : x = −12 e F

(−1

2

)=

94 = 2, 25.

Ponto de mínimo absoluto de F em [−1, 1] : x = 1 e F (1) = 0.

Voltando ao nosso problema inicial em estudo, temos:

x = −12⇒ y = ±

√3

2x = 1⇒ y = 0.

Logo os candidatos a ponto de máximo e mínimos de T na fronteira

de D são:(

12 , ±

√3

2

)e (1, 0). Temos que

T

(12, ±√

32

)=

94

= 2, 25 e T (1, 0) = 0

Podemos sintetizar as informações na tabela a seguir:

Pontos Localização Imagem do ponto(12 , 0

)Interior de D −1

4

(1, 0) Fronteira de D 0(12 , ±

√3

2

)Fronteira de D 9

4

248


15AULA

Conclusão: O ponto mais frio da chapa D é o ponto(

12 , 0

)e

sua temperatura é −14 = −0, 25. Os pontos mais quente da chapa

são(

12 , ±

√3

2

)e a temperatura correspondente é 9

4 = 2, 25. (Ver

Figura 15.79)

Figura 15.79: Chapa D.

Exemplo 15.3.2. Determine os extremantes de f(x, y) = xy em

A = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1}.

Solução: f é contínua e A é compacto; logo, f assume em A

valor máximo e valor mínimo. O único ponto crítico no interior de

A é (0, 0), e já vimos que este ponto crítico não é um extremante.

Segue que os valores máximo e mínimo de f, em A, são atingidos

na fronteira de A. A fronteira é parametrizada por x = cos θ

y = sen θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.

Logo, os valores de f na fronteira de A são fornecidos pela função

F (θ) = f(cosθ, senθ) =12sen 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.

Temos que

F ′(θ) = cos 2θ = 0⇔ 2θ = (2k + 1)π

2, k = 0, 1, 2, 3.

249

Máximos e Mínimos

Logo os pontos críticos de F são

θ =π

4⇒ F (

π

4) = 1

θ =3π4⇒ F (

3π4

) = −1

θ =5π4⇒ F (

5π4

) = 1

θ =7π4⇒ F (

7π4

) = −1.

F atinge o valor máximo em θ = π4 e θ = 5π

4 ; atinge o valor mínimo

em θ = 3π4 e θ = 7π

4 . Segue que(√

22 ,

√2

2

)e(−√

22 , −

√2

2

)são os

pontos de máximo de f em A;(−√

22 ,

√2

2

)e(√

22 , −

√2

2

)são os

pontos de mínimo de f em A. O valor máximo de f em A é 12 , e

o valor mínimo, −12 . (Veja Figura 15.80)

Figura 15.80: Esboço dos pontos de máximo e mínimo de f em A.

15.4 Máximos e Mínimos Condicionados

O objetivo desta seção é o estudo de máximos e mínimos de uma

função sobre conjuntos do tipo:

{(x, y) ∈ R2; ψ(x, y) = 0}.

250


15AULA

Seja f(x, y) diferenciável no abertoD ⊂ R2 e sejaB = {(x, y) ∈

R2; ψ(x, y) = 0} onde ψ é suposta de classe C1 emD; suponhamos,

também, ∇ψ(x, y) 6= 0 em B. Estamos interessados em determinar

uma condição necessária para que P0 = (x0, y0) ∈ B seja um

extremante local de f em B. (Ver Figura 15.81)

Figura 15.81: Esboço do problema.

Suponhamos que P0 ∈ B seja ponto de máximo local de f em

B, isto é, f(P ) ≤ f(P0) para todo P ∈ B.

Analisemos a situação das curvas de nível ψ(x, y) = 0 e f(x, y) =

k, k ∈ R.

Se P percorre a curva de nível ψ(x, y) = 0 no sentido indicado

na Figura 15.82, então f(P ) cresce até o ponto P atingir P0 e

depois f(P ) começa a decrescer.

Já a situação da Figura 15.83 não é possível, pois depois que

P passa por P0 existem pontos tais que f(P ) ≥ f(P0).

Na Figura 15.82 temos

∇f(P0) = λ∇ψ(P0).

Notemos ainda na Figura 15.84, uma situação em que∇f(P0) =

251

Máximos e Mínimos

Figura 15.82: curvas de

nível ψ(x, y) = 0 e

f(x, y) = k, k ∈ R.

Figura 15.83: curvas de

nível ψ(x, y) = 0 e

f(x, y) = k, k ∈ R.

λ∇ψ(P0) e no entanto P0 não é ponto de máximo ou de mínimo

de f condicionado à curva ψ(x, y) = 0.

Figura 15.84: Esboço do problema.

Formalizemos a discussão anterior:

Teorema 15.39. Seja f(x, y) diferenciável no aberto D e seja

B = {(x, y) ∈ B; ψ(x, y) = 0}, onde ψ é suposta de classe C1

em D e ∇ψ(x, y) 6= (0, 0), para todo (x, y) ∈ B. Uma condição

necessária para que (x0, y0) ∈ B seja extremante local de f em B

252


15AULA

é que exista um real λ tal que

∇f(x0, y0) = λ∇ψ(x0, y0).

(o número λ é chamado Multiplicador de Lagrange)

A demonstração desse teorema pode ser encontrada nos livros

de Cálculo mais avançados.

Então, sendo f(x, y) diferenciável no aberto D e B = {(x, y) ∈

B; ψ(x, y) = 0}, onde ψ é suposta de classe C1 em D e ∇ψ(x, y) 6=

(0, 0) em B, os candidatos a extremantes locais de f em B são os

(x, y) ∈ D que tornam compatível o sistema

∇f(x, y) = λ∇ψ(x, y)

ψ(x, y) = 0

Estabelecemos assim uma condição necessária para um ponto (x0, y0)

ser um extremante local de f em B.

Exemplo 15.4.1. Encontre o máximo de f(x, y) = xy sobre a

curva ψ(x, y) = (x+ 1)2 + y2 − 1 = 0.

Solução: Observemos que o conjuntoB = {(x, y) ∈ R2; ψ(x, y) =

0} = {(x, y) ∈ R2; (x+ 1)2 + y2 = 1} é compacto e f é contínua.

Logo f atinge seus extremos em B.

Temos ∇ψ(x, y) = (2(x + 1), 2y). Assim ∇ψ = (0, 0) se, e

somente se, (x, y) = (−1, 0). Portanto, ∇ψ 6= ~0,∀(x, y) ∈ B.

Temos também que ∇f(x, y) = (y, x). Logo, no ponto extremo

de f em B, devemos ter

∇f(x, y) = λ∇ψ(x, y),

253

Máximos e Mínimos

ou seja,

∇f(x, y) = λ∇ψ(x, y)

ψ(x, y) = 0=

y = λ2(x+ 1)

x = λ2y

(x+ 1)2 + y2 = 1

Se y = 0 =⇒ x = 0. Se y 6= 0, temos λ = x2y e, assim,

y =x

2y2(x+ 1) =⇒ y2 = x2 + x

. Substituindo y2 = x2 + x em (x+ 1)2 + y2 = 1, obtemos

(x+ 1)2 + x2 + x = 1⇔ 2x2 + 3 = 0⇔ x = 0 ou x = −32.

Para x = 0 =⇒ y = 0 =⇒ xy = 0.

Para x = −32 =⇒ y =

√3

2 =⇒ xy = −3√

34 .

Para x = −32 =⇒ y = −

√3

2 =⇒ xy = 3√

34 .

Portanto,(−3

2 ,3√

34

)é ponto de mínimo e

(−3

2 , −3√

34

)é

ponto de máximo. (Veja a Figura 15.85)

Figura 15.85: Localização dos pontos de máximo e de mínimo de

f(x, y) = xy em B.

254


15AULA

Exemplo 15.4.2. Encontre a menor distância da origem a um

ponto da elipse ψ(x, y) = 8x2 − 12xy + 17y2 = 20.

Solução: Queremos minimizar f(x, y) = x2 + y2 (Podemos pen-

sar assim, pois a distância é positiva e portanto basta minimizar

seu quadrado).

Observemos que f é contínua e a elipse é um conjunto com-

pacto. Assim, f atinge seus extremos.

Temos:

∇ψ(x, y) = (16x− 12y, 34y − 12x) 6= ~0

nos pontos da elipse; e ∇f(x, y) = (2x, 2y).

Se ∇f(x, y) = λ∇ψ(x, y), então x = λ(8x− 6y)

y = λ(17y − 6x)

Podemos supor 8x− 6y 6= 0, uma vez que se 8x− 6y = 0 =⇒ x =

0 =⇒ y = 0, ponto que não está sobre a elipse.

Assim,

λ =x

8x− 6y=⇒ y =

x

8x− 6y(17y − 6x) =⇒ 6x2 − 9xy − 6y2 = 0,

a qual juntamente com 8x2−12xy+17y2 = 20 fornecerá y = ±2√

55 .

Calculando x obtemos os pontos(4√

55,

2√

55

),

(−√

55,

2√

55

),

(−4√

55, −2

√5

5

)e

(√5

5, −2

√5

5

).

Calculando a imagem desses pontos por f obtemos:

f

(4√

55,

2√

55

)= f

(−4√

55, −2

√5

5

)= 4

f

(−√

55,

2√

55

)= f

(√5

5, −2

√5

5

)= 1

255

Máximos e Mínimos

Assim, os pontos da elipse mais próximos da origem são:(−√

55 ,

2√

55

)e(√

55 , −

2√

55

). Os pontos da elipse mais distantes da origem são:(

4√

55 , 2

√5

5

)e(−4√

55 , −2

√5

5

). (Veja Figura 15.86)

Figura 15.86: Pontos da elipse que estão mais próximos e mais

distantes da origem.

15.5 Resumo


vistos nesta aula.

Definição 15.34. Seja f(x, y) uma função a valores reais e seja

P0 = (x0, y0) ∈ A, com A ⊂ D(f) aberto, dizemos que:

(a) P0 é ponto de máximo local de f se existir uma vizinhança

V de P0 tal que f(P ) ≤ f(P0), para todo P ∈ V ∩A.

(b) P0 é ponto de mínimo local de f se existir uma vizinhança

V de P0 tal que f(P ) ≥ f(P0), para todo P ∈ V ∩A.

256


15AULA(c) P0 é ponto de máximo absoluto (ou global) de f se para

todo P ∈ A, f(P ) ≤ f(P0). Neste caso, o número f(P0) será de-

nominado valor máximo de f em A.

(d) P0 é ponto de mínimo absoluto (ou global) de f se para

todo P ∈ A, f(P ) ≥ f(P0). Neste caso, o número f(P0) será de-

nominado valor mínimo de f em A.

(e) P0 é ponto crítico (ou estacionário) de f se fx(P0) = fy(P0) =

0.

O próximo teorema nos da uma condição necessária para que

um ponto seja um extremante local de uma função.

Teorema 15.40. Sejam f : A ⊂ R2 −→ R, f de classe C2 e

P0 = (x0, y0) um ponto interior de D(f). Se:

fx(P0) = fy(P0) = 0 (P0 é um ponto crítico de f) e H(P0) > 0.

Então P0 é extremante local de f e

(i) Se fxx(P0) < 0, então P0 é ponto de máximo local.

(ii) Se fxx(P0) > 0, então P0 é ponto de mínimo local.

Se H(P0) < 0, então P0 não será nem ponto de máximo e nem de

mínimo, ou seja, P0 é ponto de sela.

Se H(P0) = 0, nada se pode afirmar.

Muitos problemas que ocorrem na prática é importante deter-

minar os extremantes em um subconjunto A de D(f). O Teorema

de Weierstrass, que é o próximo teorema a ser enunciado, fornece-

nos condições suficientes para a existências de tais extremantes.

Teorema 15.41. Se f(x, y) for contínua no subconjuntoA, fechado

257

Máximos e Mínimos

e limitado, de D(f), então existiram pontos (x1, y1) e (x2, y2) em

A, tais que, para todo (x, y) ∈ A,

f(x1, y1) ≤ f(x, y) ≤ f(x2, y2).

No estudo de máximos e mínimos de uma função sobre conjun-

tos do tipo:

{(x, y) ∈ R2; ψ(x, y) = 0},

usaremos o seguinte:

Teorema 15.42. Seja f(x, y) diferenciável no aberto D e seja

B = {(x, y) ∈ B; ψ(x, y) = 0}, onde ψ é suposta de classe C1

em D e ∇ψ(x, y) 6= (0, 0), para todo (x, y) ∈ B. Uma condição

necessária para que (x0, y0) ∈ B seja extremante local de f em B

é que exista um real λ tal que

∇f(x0, y0) = λ∇ψ(x0, y0).

(o número λ é chamado Multiplicador de Lagrange)

15.6 Atividades

01. Estude as funções abaixo quanto à pontos extremos:

(a) f(x, y) = (y − x2)2 + x5;

(b) f(x, y) = (x− y)4 + (y − 1)4;

02. Calcular os extremos de z = f(x, y) = xy +27x

+27y.

03. Calcular os pontos extremos da função z = f(x, y) = (x− y)6 + (y − 2)4.

(Nota: Observe que H = 0.)

258


15AULA

04. Achar o ponto do plano 2x − y − 2z = 16 mais próximo da

origem. (Sugestão: Procure tirar y como função de x e z.)

05. Uma chapa retangular D é determinada pelas retas x = 3,

y = 5, x = 0 e y = 0. A temperatura da chapa é T (x, y) =

xy2 − x2y + 100. Determinar o ponto mais quente e o ponto mais

frio da chapa.

06. Qual é o ponto (x, y) do plano que tem a propriedade de ter

como mínima a soma de sua distância ao eixo x com duas vezes a

sua distância ao ponto (0, 1)?

07. Achar os máximos e mínimos locais de f(x, y) = x3 +y3−3x−

12y + 20.

08. Os leitos de dois rios são aproximadamente representados pela

parábola y = x2 e a reta x − y − 2 = 0. Deseja-se reunir os dois

cursos por um canal retilíneo de tal maneira que o comprimento

seja mínimo. Qual são os pontos pelos quais deve passar o canal.

(Observação: Distância de um ponto (x, y) à reta ax+ by + c = 0

é dada por∣∣∣∣ax0 + by0 + c√

a2 + b2

∣∣∣∣)09. Calcular o máximo e o mínimo de f(x, y) = x+ y sujeito à

condição x2 + y2 = 1. Observe que de fato eles existem. Desenhe

os vetores gradientes de f(x, y) e de ψ(x, y) = x2 + y2.

10. Calcule os pontos extremos de f(x, y) = 4xy − 2x2 − y4.

259

Máximos e Mínimos

11. Achar a maior e a menor distância de um ponto situado sobre

a elipsex2

4+ y2 = 1 à reta x+ y − 4 = 0.




aprendidos.



15.8 Referências






Wesley, 2002.

260

Calculo 02

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