Aplicações de Derivadas

Cálculo 1 ECT1113

Aplicações de Derivadas

Prof. Ronaldo Carlotto Batista

25 de outubro de 2013

Aplicações de Derivadas

AVISO IMPORTANTE

Estes slides foram criados comomaterial de apoio às aulas e nãodevem ser utilizados como únicomaterial didático. O conteúdo

apresentado aqui está no capítulo 5do livro Cálculo A, Flemming &Gonçalves, 6ª Ed (livro texto); ouainda, alternativamente, no capítulo

4 do livro Cálculo, George B.Thomas, Vol. 1 , 11º Ed.

Aplicações de Derivadas

Funções Crescentes e Decrescentes

De�nition

Função Crescente

Uma função f é dita crescente num intervalo I ⊆ Df se paraquaisquer x1, x2 ∈ I tais que x2 > x1 temos

f (x2) ≥ f (x1)

De�nition

Função Decrescente

Uma função f é dita crescente num intervalo I ⊆ Df se paraquaisquer x1, x2 ∈ I tais que x2 > x1 temos

f (x2) ≤ f (x1)

Aplicações de Derivadas

Funções Crescentes e Decrescentes

De�nition

Função Crescente

Uma função f é dita crescente num intervalo I ⊆ Df se paraquaisquer x1, x2 ∈ I tais que x2 > x1 temos

f (x2) ≥ f (x1)

De�nition

Função Decrescente

Uma função f é dita crescente num intervalo I ⊆ Df se paraquaisquer x1, x2 ∈ I tais que x2 > x1 temos

f (x2) ≤ f (x1)

Aplicações de Derivadas

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja uma função f contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se

f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em[a, b]

f ′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em[a, b]

Aplicações de Derivadas

Funções Crescentes e Decrescentes Exemplos

Determinar os intervalos onde as funções abaixo sãocrescentes ou descrescentes

Exemplo 1:

f (x) = x2 − x + 5

Exemplo 2:

f (x) = x3 − 12x − 5

Exemplo 3:

f (x) =

{2x2 − 4 se x ≤ 1−x − 1 se x > 1

Aplicações de Derivadas

Funções Crescentes e Decrescentes Exemplos

Determinar os intervalos onde as funções abaixo sãocrescentes ou descrescentes

Exemplo 1:

f (x) = x2 − x + 5

Exemplo 2:

f (x) = x3 − 12x − 5

Exemplo 3:

f (x) =

{2x2 − 4 se x ≤ 1−x − 1 se x > 1

Aplicações de Derivadas

Funções Crescentes e Decrescentes Exemplos

Determinar os intervalos onde as funções abaixo sãocrescentes ou descrescentes

Exemplo 1:

f (x) = x2 − x + 5

Exemplo 2:

f (x) = x3 − 12x − 5

Exemplo 3:

f (x) =

{2x2 − 4 se x ≤ 1−x − 1 se x > 1

Aplicações de Derivadas

Funções Crescentes e Decrescentes Exemplo

Determinar os intervalos onde as funções abaixo sãocrescentes ou descrescentes

Exemplo 4:

f (x) = x3 − 3x + 1

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos

De�nition

Máximo relativo

Uma função f tem um máximo relativo no ponto c se existirum aberto I ⊆ Df , contendo c tal que para todo x ∈ I

f (c) ≥ f (x)

De�nition

Mínimo relativo

Uma função f tem um mínimo relativo no ponto c se existirum aberto I ⊆ Df , contendo c tal que para todo x ∈ I

f (c) ≤ f (x)

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos

De�nition

Máximo absoluto

Uma função f tem um máximo absoluto no ponto c se paraqualquer x ∈ Df

f (c) ≥ f (x)

De�nition

Mínimo absoluto

Uma função f tem um mínimo absoluto no ponto c se paraqualquer x ∈ Df

f (c) ≤ f (x)

Seja uma função f , cujo domínio Df = [a, b], então f assumemáximo e mínimo absoluto em [a, b].

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos

De�nition

Máximo absoluto

Uma função f tem um máximo absoluto no ponto c se paraqualquer x ∈ Df

f (c) ≥ f (x)

De�nition

Mínimo absoluto

Uma função f tem um mínimo absoluto no ponto c se paraqualquer x ∈ Df

f (c) ≤ f (x)

Seja uma função f , cujo domínio Df = [a, b], então f assumemáximo e mínimo absoluto em [a, b].

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos

Se f (c) é um extremo relativo (máximo ou mínimo relativo) ef ′ (c) ∃ então

f ′ (c) = 0 .

Note que f ′ (c) = 0 uma condição necessária, mas nãosu�ciente, para que f (c) seja um extremo relativo.

De�nition

Ponto Crítico

Todos os pontos x em que f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) @ sãochamados pontos críticos.

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos

Se f (c) é um extremo relativo (máximo ou mínimo relativo) ef ′ (c) ∃ então

f ′ (c) = 0 .

Note que f ′ (c) = 0 uma condição necessária, mas nãosu�ciente, para que f (c) seja um extremo relativo.

De�nition

Ponto Crítico

Todos os pontos x em que f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) @ sãochamados pontos críticos.

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos Exemplo

Para as funções f abaixo, faça seu grá�co, determine seuspontos críticos e seus extremos relativos e absolutos.

Exemplo 1:

f (x) =

{2x2 − 4 se − 1 ≤ x ≤ 1−x − 1 se 1 < x ≤ 2

Exemplo 2:

f (x) =

{2x2 − 4 se − 1 ≤ x ≤ 1−x − 1 se 1 < x ≤ 4

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos Exemplo

Para as funções f abaixo, faça seu grá�co, determine seuspontos críticos e seus extremos relativos e absolutos.

Exemplo 1:

f (x) =

{2x2 − 4 se − 1 ≤ x ≤ 1−x − 1 se 1 < x ≤ 2

Exemplo 2:

f (x) =

{2x2 − 4 se − 1 ≤ x ≤ 1−x − 1 se 1 < x ≤ 4

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos

Theorem

Critério da primeira derivada:

Seja f uma função contínua num intervalo [a, b] e derivávelem (a, b), exceto possivelmente num ponto c ∈ (a, b). Então,

se f ′ (x) > 0 para todo x < c e f ′ (x) < 0 para todox > c , com x ∈ (a, b), então f tem máximo relativo emx = c ;

se f ′ (x) < 0 para todo x < c e f ′ (x) > 0 para todox > c , com x ∈ (a, b), então f tem mínimo relativo emx = c .

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos

Theorem

Critério da segunda derivada:

Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) ec ∈ (a, b) um ponto crítico. Se f ′′ existe em (a, b), então:

se f ′′ (c) < 0, f tem máximo relativo em x = c ;

se f ′′ (x) > 0, f tem mínimo relativo em x = c .

Aplicações de Derivadas

Máximos e Mínimos Exemplo

Encontre os máximos e mínimos de f aplicando o critério daderivada segunda.

f (x) = 18x + 3x2 − 4x3

Aplicações de Derivadas

Concavidade e Pontos de In�exão

O lado direito do Congresso Nacional é Côncavo e o ladoesquerdo é convexo.

Alguns livros de matemática se referem a côncavo como�concavidade para cima� e convexo como �concavidade parabaixo�.

Aplicações de Derivadas

Concavidade e Pontos de In�exão

Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável atésegunda ordem no intervalo (a, b)

Se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava.

Se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é cônvexa.

De�nition

Ponto de In�exãoO ponto (c , f (c)) é dito Ponto In�exão da função f se suaconcavidade muda em x = c .

Aplicações de Derivadas

Concavidade e Pontos de In�exão

Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável atésegunda ordem no intervalo (a, b)

Se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava.

Se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é cônvexa.

De�nition

Ponto de In�exãoO ponto (c , f (c)) é dito Ponto In�exão da função f se suaconcavidade muda em x = c .

Aplicações de Derivadas

Concavidade e Pontos de In�exão Exemplo

Detemine os intervalos onde a função abaixo é côncava e ondeé convexa, seus pontos de in�exão, extremos relativos eabsolutos. Usando essas informações, faça um esboço de seugrá�co.

f (x) = x4 − 2x2 + 1

Aplicações de Derivadas

Problemas de Maximização e Minimização

Uma vez que sabemos determinar os extremos de uma função,podemos expressar um problema de maximização ouminimização como um problema de encontrar o máximo oumínimo de uma função. Vejamos o exemplo abaixo:

Exemplo (exercício da lista)Uma rede de água ligará uma central de abastecimentosituada na margem de um rio de 500 metros de lagura aum conjunto habitacional situado na outra margem dorio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obraatravés do rio é de R$ 640, 00 por metro, e por terra deR$ 312, 00. Qual a forma mais econômica de instalar arede de água?

Aplicações de Derivadas

Regras de L'Hôpital

As regras de L'Hôpital são muito úteis para calcular limites dealgumas expressões indeterminadas. Sua forma mais simplesestabelece que: se

limx→c

f (x) = limx→c

g (x) = 0 ou ±∞

e

limx→c

f ′ (x)

g ′ (x)∃

então

limx→c

f (x)

g (x)= lim

x→c

f ′ (x)

g ′ (x)

Aplicações de Derivadas

Regras de L'Hôpital Exemplos

Exemplo 1: �onde não aplicar�

limx→∞

x + sen (x)

x

Exemplo 2: �onde aplicar�

limx→∞

2x

ex − 1

Exemplo 3:

limx→2

x2 + x − 6

x2 − 3x + 2

Aplicações de Derivadas

Regras de L'Hôpital Exemplos

Exemplo 1: �onde não aplicar�

limx→∞

x + sen (x)

x

Exemplo 2: �onde aplicar�

limx→∞

2x

ex − 1

Exemplo 3:

limx→2

x2 + x − 6

x2 − 3x + 2

Aplicações de Derivadas

Regras de L'Hôpital Exemplos

Exemplo 1: �onde não aplicar�

limx→∞

x + sen (x)

x

Exemplo 2: �onde aplicar�

limx→∞

2x

ex − 1

Exemplo 3:

limx→2

x2 + x − 6

x2 − 3x + 2