IFCE Mecatrnica/Licenciatura em Fsica 2015-2 - CLCULO II Integrais Indefinidas Dada uma funo F(x), qualquer funo f '(x) tal que f '(x) = F(x) chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x). Definio: Se F(x) uma primitiva de f(x), a expresso F(x) + c chamada integral indefinida da funo f(x) e denotada por:

cxFdxxf )()( O smbolo chamado sinal de integrao, f(x) funo integrando e f(x)dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma funo chamado integrao. O smbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a varivel de integrao.

Se f(x) = 5

x5, ento )x(gx

5

x5)x( f 4

4

a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de

f '(x) = g(x) = x4 5

x5

Se f(x) = x3, ento f '(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas de g(x) = 3x2 f(x) = x3.

Quadro Resumo das Principais Integrais Indefinidas

Derivadas Integrais

( x ) ' = 1

R c ,c x dx dx 1

(ax) ' = a

R c ,cax dx a

1n, n x

'

1n

1nx

R c , c1n

1nx dx nx

( ln | x | ) = x

1

R c ,cxdxx

||ln1

'

ln

xa xaa

, 1 a 0 , c Rln

xx aa dx c

a

( ex )' = ex R c ,cedxexx

(senx )' = cosx

R c cxdx x ,sencos

( cosx )' = - senx

R c ,c cosx - dx xsen (tgx)' = sec2x

R c ,ctgxdx x

2sec

( cotgx ) ' = - cossec2 x

2cossec dx - cotgx c , c Rx

( sec x ) '= secx . tgx

R c ,cxdx tgx x sec.sec

(cossecx) '= - cossecx . cotgx

R c ,c x cossec - dx cotgx . xseccos

(arc tgx )' = 2x1

1

R c ,carctgxdxx

211

( arc senx ) ' = 21

1

x

R c ,cxdx

x

arcsen

1

1

2

( arccosx) ' = 21

1

x

1 arc cosx c , c R

21

dx

x

Propriedades da Integral Indefinida Proposio Sejam f, g: I R e K uma constante. Ento:

(i) .)()( dxxfKdxxKf (ii) .)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf A integral da soma a soma das integrais separadas. Isto se aplica a qualquer nmero finito de termos.

(iii) ,1

1

nx

dxxn

n n -1 Para integrar uma potncia, some ao expoente uma unidade e divida a nova

potncia pelo novo expoente.

a) dxx3

= cxx

4

13

4

1

13 b) dxx = dxx

2/1 =

2

3

2

3

x= cx 2

3

3

2

c) dxxx )63(24

dxxdxx 24 63 = cxx

35 25

3

d) dxxectgxx )cos.sec3(2

xdxecxtgxdx2cossec3 3secx cotgx +c

e) cxxdxtgxdxxsenx

xdx

ecx

xsecsec.

cos.

cos

1

cos

sec2

As identidades trigonomtricas so freqentemente utilizadas quando calculamos integrais envolvendo funes trigonomtricas. As oito identidades a seguir so crucias:

)(

1)sec(cos

xsenx

)cos(

1)sec(

xx

)(

1)(cot

xtgxg

)cos(

)()(

x

xsenxtg

)(

)cos()(cot

xsen

xxg sen2(x) + cos2(x) = 1 tg2(x) + 1 = sec2(x) cotg2(x) + 1 = cosec2(x)

f) dxxgxtg )4)(cot)((22

=

dxdxxecdxxdxxecx 2)(cos)(sec)4)1)((cos)1)((sec2222

= tg(x) cotg(x) + 2x + c

Calcule:

a)

dx

3x

3

2x

2 d) dx )x2x2e ( c) dx 3x

2x

1 b) dx)x23x2x(

e) xdxcos4 f) dxx2sen

xcos g)

dt

4t

4t22t h) x

dx

i)

dx2x1

dx j) R c , 0a 1 ,c

aln

xadxxa k) R c , cxsecdx tgx. xsec

l) 3xdx

m) dtt

t

3

2 19 n) dxxx

x

3

1 0) xsen

dx2

p) dtg ..cos q)

dxx

x)

5(

3

1

r) dxxx )1(cossec32