Calculo 3 integrais duplas - coordenadas polares

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Integrais Duplas Coordenadas Polares Prof. Jailson de Abreu Cálculo 3

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  • 1. Integrais Duplas Coordenadas Polares Prof. Jailson de Abreu Clculo 3

2. Mudana de Variveis em Integrais Duplas Atravs de uma mudana de variveis x = x(u, v)ey = y(u, v) uma integral dupla sobre uma regio D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma regio D do plano uv. 3. Mudana de Variveis em Integrais Duplas A correspondncia entre as regies D e D BIJETORA, e podemos retornar de D para D atravs da transformao inversa u=u ( x ,y )ev=v ( x ,y ). Considerando que as funes em (1) e (2) so contnuas, com derivadas parciais contnuas emD eD , respectivamente, temos (3) 4. Mudana de Variveis em Integrais Duplas Onde o determinante jacobiano dexeyem relao auev , dado por 5. Mudana de Variveis em Integrais Duplas A transformao que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy dada por e seu jacobiano dado por (4) Portanto, a frmula (3) pode ser expressa por: (5) 6. Coordenadas Polares Obteno da Frmula Para que (4) seja bijetora, considera-ser para os quaisresatisfazem: 7. Coordenadas Polares rea A do retngulo em D rea A do retngulo polar em D 8. Coordenadas Polares 9. Coordenadas Polares 10. Coordenadas Polares dA = dxdy = rdrd 11. Coordenadas Polares Integral Dupla em D Assim, obtemos o jacobianor k da frmula (5). Enumerando os retngulos polares e 1 an , tome um ponto arbitrrio ( x k,y k ) nok -simo retngulo. Este ponto pode ser representado por ( r k cos k ,r k sin k ) equivalente a onde A ' k = r k k a rea dok -simo retngulo emD . que tem representao ( r k , k ) referente regio correspondente emD . Assim, a soma de Riemann 12. Coordenadas Polares Assim, se tomarmos limite comn com o mximo das diagonais dosnretngulos tendendo a zero, temos dada pela frmula (5). que equivale a integral 13. Coordenadas Polares x y P(x,y) = P(r, ) r x y Relaes: r 2= x 2+ y 2 = arctg(y/x) x = r.cos y = r.sen z = z 14. Coordenadas Polares 15. Coordenadas Polares y r x x y P y = r sen x = r cos sen= y/r cos= x/r r 2= x 2+ y 2 = arctg y/x retang.polares polaresretang. 16. Curvas em Coordenadas Polares y 2 x 1 1 2 r = f ( ) P r 17. Regies em Coordenadas Polares y 2 x 1 1 2 f 1( )rf 2( ) r = f 2( ) r = f 1( )R 18. Integrais Duplas em Coordenadas Polares y x R R k= (r 1 2- r 2 2 )( - )/2 r 1 r 2 R k = [(r 1+ r 2 )/2] ( r ) unidade de rea: R k 19. Integrais Duplas em Coordenadas Polares 20. Clculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares R: r 1( )rr 2( ) 21. Exerccios Exemplo: CalcularR a regio semicircular, x 2+ y 2= 1, onde y positivo. R = 1 22. REA DE UMA SUPERFCIE Exemplo:Achar a rea do parabolide z = f(x,y) = x 2+ y 2 abaixo do plano z = 4. (sugesto: usar coordenadas polares). 23. Exerccios 24. Exerccios 25. Clculo de Volumes - Aplicaes Paraf( x ,y )0, a integral nos d o volume do slido delimitado superiormente pelo grfico dez=f( x ,y ), inferiormente pela regioDe lateralmente pelo cilindro vertical cuja base o contorno deD . 26. Clculo de Volumes - Aplicaes A Integral dupla d o volume sob a superfcie f(x,y) 27. Exerccios 28. Clculo reas de Regies Planas Fazendof( x ,y ) = 1, a rea da regio de integraoD dada por: 29. Exerccios 30. REFERNCIASBIBLIOGRFICAS Loiuis Leithold. O clculo com Geometria Analtica volume 2, editora HARBRA. James Stewart. Clculo volume 2, editora CENGAGE LEARNING.