Calculo 3, Integrais Duplas e Coordenadas Polares Www.iaulas.com.Br

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  • Integrais DuplasCoordenadas PolaresProf. Jailson de AbreuClculo 3

  • Mudana de Variveis em Integrais DuplasAtravs de uma mudana de variveisx = x(u, v) e y = y(u, v)uma integral dupla sobre uma regio D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma regio D do plano uv.

  • Mudana de Variveis em Integrais DuplasA correspondncia entre as regies D e D BIJETORA, e podemos retornar de D para D atravs da transformao inversau = u(x, y) e v = v(x, y).Considerando que as funes em (1) e (2) so contnuas, com derivadas parciais contnuas em D e D, respectivamente, temos(3)

  • Mudana de Variveis em Integrais DuplasOnde o determinante jacobiano de x e y em relao a u e v, dado por

  • Mudana de Variveis em Integrais DuplasA transformao que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy dada pore seu jacobiano dado por(4)Portanto, a frmula (3) pode ser expressa por:(5)

  • Coordenadas PolaresObteno da FrmulaPara que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e satisfazem:

  • Coordenadas Polaresrea A do retngulo em Drea A do retngulo polar em D

  • Coordenadas Polares

  • Coordenadas Polares

  • Coordenadas PolaresdA = dxdy = rdrdq

  • Coordenadas PolaresIntegral Dupla em DAssim, obtemos o jacobiano rk da frmula (5).Enumerando os retngulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrrio (xk , yk) no k-simo retngulo. Este ponto pode ser representado por(rk cosk , rk sink) equivalente aonde A'k = rkk a rea do k-simo retngulo em D.que tem representao (rk , k) referente regio correspondente em D. Assim, a soma de Riemann

  • Coordenadas PolaresAssim, se tomarmos limite com n com o mximo das diagonais dos n retngulos tendendo a zero, temosdada pela frmula (5).que equivale a integral

  • Coordenadas Polares

  • Coordenadas Polares

  • Coordenadas PolaresyrxxyPy = r sen x = r cos sen = y/rcos = x/rr2 = x2 + y2 = arctg y/xretang. polarespolares retang.

  • Curvas em Coordenadas Polaresy2x1 1 2r = f () P r

  • Regies em Coordenadas Polaresy2x1 1 2f1 () r f2 () r = f2 ()r = f1 () R

  • Integrais Duplas em Coordenadas Polaresyx RRk = (r12 - r22)( - )/2 r1r2Rk= [(r1 + r2)/2] (r)unidade de rea: Rk

  • Integrais Duplas em Coordenadas Polares

  • Clculo de Integrais Duplas em Coordenadas PolaresR: r1 () r r2 ()

  • ExercciosExemplo: Calcular

    R a regio semicircular, x2 + y2 = 1, onde y positivo.R = 1

  • REA DE UMA SUPERFCIEExemplo: Achar a rea do parabolide z = f(x,y) = x2 + y2 abaixo do plano z = 4. (sugesto: usar coordenadas polares).

  • Exerccios

  • Exerccios

  • Clculo de Volumes - AplicaesPara f (x, y) 0, a integralnos d o volume do slido delimitado superiormente pelo grfico de z = f (x, y), inferiormente pela regio D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base o contorno de D.

  • Clculo de Volumes - AplicaesA Integral dupla d o volume sob a superfcie f(x,y)

  • Exerccios

  • Clculo reas de Regies PlanasFazendo f (x, y) = 1, a rea da regio de integrao D dada por:

  • Exerccios

  • REFERNCIAS BIBLIOGRFICASLoiuis Leithold. O clculo com Geometria Analtica volume 2, editora HARBRA.James Stewart. Clculo volume 2, editora CENGAGE LEARNING.